ELEMENTE DE MATEMATICĂ 
        DE 
        AGA G. ASACHI 
        MĂDULARI ACADEMIEI DE ROMA
        Partea I. Aritmetică 
        EŞII 
        În Tipografia Albinei. 
        1836.
        S-au îmvoit tipărirea.
        N. Suţu
       [1*] ÎNAINTE CUVÂNT. 
        Matematica, care prin a ei aplicaţie îmbrăţoşază toată sfera a ştiinţilor şi a mesteşugurilor omeneşti, este unul din obiectele cele mai însămnate a îmvăţăturilor clasice. 
        Dorind a da tinerimei patrii înlesnire de a cultivi îndeobşte această ştiinţă, încă la 1814, pe când de la îmvăţături era excluză (înstrăinată) limba patrii, acel întăi am paradosit în public romăneşte Matematica şi anume: Gheometria teoretică şi practică spre înformarea Inginerilor civili, pentru care am fost compus un curs elementar de Matematică, a căruia manuscripte să întrebuinţează încă la shoale. Iar acuma spre îndămănarea tinerimei am socotit a da la lumină o compilaţie în scurt de cunoştinţele Matematice, în trii părţi, din care aceasta I cuprinde Aritmetica, a II Algebra şi a III Gheometria, fericindu-mă deacă [2*] prin această lucrare vor putea spori temelnicile cunoştinţe Matematice şi luminarea tinerimi, care este ţinta tuturor dorinţilor mele. 
        Aga G. Asachi. 
        Eşii, 31 Avgust 1836.
         
       [1] CUNOŞTINŢE 
        ELEMENTARE 
        DE ARITMETICĂ. 
        DESPRE ARITMETICĂ. 
        1. Aritmetica, (de la cuvântul Grecesc , număr) este ştiinţa numerilor. 
        2. Numerile se alcătuesc din unimi. 
        3. Prin unimi să înţălege ceimea seau calităţile trebuitoare spre a comparui, adecă a asămăna mai multe obiecturi între sine. 
        Atunce când să zice doi cai şi trii boi fac cinci vite, aceste obiecturi să socotesc numai în privirea  unei singure însuşimi, care este lor comună (deopotrivă), şi care este viaţa. 
        4. Numerile sânt abstracte şi concrete. Un număr este abstract când să [2] rosteşte chear numai câtimea unimilor ce îl alcătuesc, fără a lua sama la a lor speţie (feliu): douîzeci-cinci, patruzeci-şepte, sânt numere abstracte. 
        Un număr concret, să numeşte acela despre care să cunoaşte, nu-numai câtimea unimelor din care este alcătuit, ce încă şi ceimea seau calitatea acestor unimi: doisprezece oameni, triizeci lei, sânt numere concrete. 
        5. Pre lângă aceste sâ mai deosebesc şi numere complexe seau fracţionare, şi necomplexe seau simple. 
        Un număr să numeşte complex seau fracţionar când să alcătueşte din unimi de deosebită speţie: (feliu): şasă stânjini, patru palme, douî şi giumătate, sânt numere de acel feliu. 
        Un număr este simplu seau necomplexu când unimele din care să alcătueşte sânt toate între ele ecvale, (deopotrivă): douîzeci stânjini, cinzeci trii talleri; sânt numere incomplexe. 
        6. Numerile fiind o adunătură de orice [3] numere de tot acela feliu, lesne se poate înţălege cumcă feliurimea numerilor poate fi nemărginită; căci la orce număr, necontenit să poate adăugi una seau mai multe unimi. Dreptacea, spre a deosăbi fieşcare număr; prin o numire particulară, să cuvine a avea un şăr nenumărat de aceste numiri. 
        Cunoscut este în ce chip au agiuns a să rosti toate numerile, adecă prin îmbinarea unei câtimi de foarte mărginite cuvinte. Acest feliu de a rosti numere, prin numi, să cheamă Numărarea vorbită; spre a o deosăbi de Numărarea scrisă, care îmfăţoşează numere prin haractire seau semne. Noi vom lămuri numai această depe urmă numărare, acea întăi fiind îndestul cunoscută. 
        7. Spre a putea îmfăţoşa numerele, Grecii şi Romanii întrebuinţa literile Alfabitului, Indiianii, alţii zic Arabii, au urzit înadinse haractire pre care le numim ţifre. Ţifrile sânt:
         1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
        unu, doi, trii, patru, cinci, şăsă, şăpte, 
        8, 9, şi haractirul 0, 
        optu, noâ, zero seau nula. 
       [4] 8. S-au învoit că orice ţifră aşăzată spre stânga unei altia, va preţui unimi de zăce ori mai mari decât când s-ar afla în locul acestei depe urmă. Ţifra 2, a numărului 25, preţueşte doâzeci seau de douî ori zăce, când fieşcare unime a ţifrei 5 preţueşte numai una: deacă apoi strămutând aceste ţifre, s-ar pune una în locul altia încât să se scrie 52; lesne să înţălege că unimile de 5 ar fi zăcimi, iar acele de 2 ar fi numai simple unimi. 
        9. Din care urmează că, în fieşcare număr compus din unimi de tot acel feliu, ţifra depe urmă spre dreapta îmfăţoşază purure unimi; acea următoare, unimi de zăce ori mai mari, seau zăcimi; al triile, unimi de zăce ori zăce seau sutimi; al patrule, unimi de zăce ori sută seau de mii.... Rândul şi numile unimilor îmfăţoşate prin un număr de ţifre, purcegând de la acea întăi spre dreapta, sânt: unime, zăcime, sutime de simple unimi, mia, zăcime de mia, sutimea de mia, milionu, zăcime de milion, sutime de milion, bilon, zăcime de bilion, sutime de bilion. &. 
       [5] 10. Să cuvine a însămna cumcă cuvintele de unime, zăcime, sutime să înoesc periodic; şi că numile perioadelor sânt, începând totdeauna de la dreapta: 
        Unimi, zăcimi, sutimi de unimi simple, de mia, milionu, bilionu, trilionu, patrulionu, cincilionu, şesălionu, şeptelionu, optilionu, noâlionu, seau periodul unimilor, a miilor, a milioanelor, bilioanelor..... Înţălegând bine acele de mai sus, să va putea rosti prin ţifre, orice dorit număr. 
        11. Să propune a să scrie prin ţifre numărul doâzăci-trii-milione-cinci-sute-triizăci-trii-mii-o sută-doâzăci-şepte. 23, 533, 127. 
        Dintâi scriu 2 spre a îmfăţoşa doâ zecimi de milione, apoi scriu 3 pentru trii unimi [6] de milione. Trec la periodul următor, carile este a miilor, pun 5 pentru a sale sutimi, 3 pentru a sale zăcimi, şi 3 pentru a sale unimi. În urmă, trec la periodul unimilor simple, şi scriu 1 pentru sutimi, 2 pentru zăcimi sau doâzăci şi 7 pentru unimi. 
        Pentru de a scrie prin ţifre cu stăruinţă şi temeiu un număr propus, să cuvine a fi îmvăţat de a rosti, pe rând, numerile periodelor, începând de la acele a rangurilor mai înalte, şi bine aş aduce aminte că fiecare din ele este compusă din sutimi, zăcimi şi unimi. În acest chip s-ar zice sutimi, zăcimi, unimi de...... cincilion, de patrulion, de trilion, de bilion, de milion, de mia, şi de unimi simple. 
        
        De întrebuinţarea de 0. 
        12. Să poate întâmpla că un număr propus nu are toate a sale periode complecte; atunce de nevoe este a umplea locurile deşerte prin un haractir în sine neînsămnător, pentru ca celelante ţifre să păstreze  pururea a lor respectivă poziţie. 
       [7] Fie numărul o sută trii; deacă ne am mulţămi a scrie 1 pentru sutime, şi 3 pentru trii unimi simple, atunce am avea 13 seau triisprezece, în loc de o sută trii, pentru că ţifra 1 să află în locul ţifrei zăcimilor, care purure este acea de mijloc în orice period, când ţifra sutimilor este a tria spre stânga. Dar deacă în locul zăcimilor s-ar pune un haractir spre a însămna cumcă nu sânt zăcimi, atunce ţifra 3 s-ar afla la postul ce i să cuvine. Ţifra 0 este haractirul ce să întrebuinţază spre căştigarea acelui scopos; încât o sută trii să scrie 103. Dreptacea gheneralnic, 
        13. Să vor umplea cu nula locurile sutimilor, zăcimilor şi unimilor a unui orce period de un număr ce are a să reprezenta prin ţifre. Fie numărul o sută douî milioane patru zăci. Eu scriu 1 pentru sutimea de milione; nefiind zăcimi, scriu 0 în locul lor; scriu 2 pentru unimi. După milione vine periodul de mii; acest period lipsând aice de tot, scriu trii 0 spre a-i ţinea locul: o nulă pentru sutimi, al doile pentru zăcimi, şi acea depe urmă [8] pentru unimi. După miile vine periodul unimilor simple; pentru că lipsesc sutimile, scriu 0 în locul lor; patru zăcimi (tip. unimi) le îmfăţoşez prin 4; şi în urmă scriu 0 spre a cuprinde locul unimilor simple: încât numărul propus reprezentat prin ţifre este, 102, 000, 040. 
        14. Spre a ceti un număr prin ţifre reprezentat, împarte-l în clasuri fieşcare câte trei ţifre, începând de la dreapta spre stânga; scrie o comă între aceste grupe de trei ţifre. Fieşcare clas va reprezenta un period a căruia nume şi rândul lesne să va putea cunoaşte depe acele zise (10). 
        15. Deci fiindcă mergând spre stânga ţifrile rostesc unimi din zăce în zăce ori mai mari, urmează că voind a face unimile a unei ţifre de zăce ori mai mari, ar fi destul a înainti această ţifră de un rang spre stânga. Să fie 1 pe care am voi a face de zece ori mai mare; apoi după cum s-au zis, eu o înaintez de un rang spre stânga ( Pentru de a-ş face despre aceasta o idee lămurită, să cuvine a închipui un şir de case (despărţişuri), în care sânt aşăzate haractirurile ce îmfăţoşază pe un număr.); însă [9] atunce locul ce cuprindea să va face vacant, eu îl împlinesc cu o 0, şi scriu 10 spre a reprezenta poziţia cea nouâ a ţifrei 1, care acuma preţueşte zece, ca una ce să află în rangul zecimilor. Deacă aş voi să o fac încă de zece ori mai mare, eu o voi aşăza în rangul sutimilor; şi pentru că atunce ar lăsa vacant locul zăcimilor, eu aş împlini acel deşărt prin ţifra 0, şi aş avea 100 spre a reprezenta a doua strămutare a ţifrei 1, care îmfăţoşază acuma o sută. Din aceste urmează că spre a face un număr de zece ori mai mare să cuvine a scrie în urma lui 0, a scrie douî 0, spre a-l face o sută ori mai mare, a scrie trii 0 spre a-l face o mie de ori mai mare, şi aşa mai departe. Pentru asemene cuvânt, deacă un număr să săvârşăşte cu nule, el să va face de zece ori mai mic de i să va şterge una din nulele sale, de o sută ori mai mic de i să vor şterge  douî nule, o mie de ori mai mic de i să vor şterge trii nule. 
        
        De operaţii ce să pot face cu numerile. 
        16. Operaţiile ce să pot face cu numere să mărginesc a fi douî de căpitenie. 
       [10] Seau că voim a le face mai mari, care urmează adăugând la un loc douî seau mai multe numere, şi această operaţie să cheamă adiţia seau adunare. 
        17. Adiţia să numeşte înmulţire când tot acel număr să adaoge un hotărât număr de ori. 
        18. Spre a face un număr mai mic, să cuvine a-i scădea un alt număr; care aceaste să cheamă subtragere. 
        Această operaţie are nume de divizie (împărţire) când tot un număr să scade de la alt număr un hotărât număr de ori. 
        Dreptaceea în aritmetică sânt douî operaţii fondamentale, adecă Adiţia şi Subtragerea; şi alte douî care sânt numai un caz particular acelor douî dintăi, şi să numesc multiplicaţia (înmulţirea) şi divizia (împărţirea.)
        
        De Adiţia seau Adunarea. 
        19. Spre a adăugi la un loc douî seau mai multe numere, scrie-le unele subt altele, însă aşa ca unimile cele simple să fie aşăzate supt unimile simple, zăcimile supt [11] zăcimi, sutimile supt sutimi. După aceasta adaoge unimile simple, şi deacă a lor adunare face zece seau un hotărât număr de ori zece, atunce ţâne una atâte dăţi, câte zăcimi vei avea spre a le transporta la următoare colonă, care este colona zăcimilor. Deacă-ţi va rămânea vreun număr de zăcimi simple şi neîndestulător spre a alcătui o zăcime, apoi scrie-l dedesuptul colonii unimilor simple; fă pentru unimile zăcimilor aşa precum ai făcut pentru simple unimi. Aceste să vor lămuri mai bine prin exemple. Fie numerile 5423 şi 6509 spre a să adăogi.  5423+6509=11932 Urmând regulei, le scriu unul supt altul încât 9 unimi a numărului al doile să răspundă la 3 unimi acelui întăi; ca 0, care ţine locul zăcimilor în al doile, să se afle chear supt 2 zăcimi acelui întâi şi aşa mai departe, trag o linie supt totul, şi păşesc în chipul următori: 3 şi 9 fac 12, seau o zăcime, plus (mai mult) douî [12] unimi, scriu 2 unimi supt 9 în colona unimilor simple, şi ţân o zăcime seau 1, spre a o adăogi cătră unimile zăcimei a colonei următoare, şi zic 1 şi 2 fac 3, care scriu dedesupt de 0 în colona unimilor zăcimei. Trec la colona următoare, care este ale sutimilor, şi zic 4 şi 5 fac 9, care scriu dedesupt de 5, în colona sutimilor; în urmă zic 5 şi 6 fac 11, seau zăce plus unu; scriu 1 în colona miilor, supt 6, şi ţân o zăcime spre a o adăogi cătră aceea ale colonei următoare: însă, pentru că în această colonă nu să află nimică, scriu iarăş 1 spre stânga acelui trecut. 
        Fie încă numerile 45002, plus 5447, plus 8700 spre a să aduna: 45002+5447+8700=59149 
        Le scriu precum s-au zis (19) unile supt altele; după care, începând cu colona unimilor simple, zic 2 şi 7 fac 9, care scriu în colona unimilor. Trec la colona zăcimilor; găsind acolo numai 4, eu le scriu în a lor [13] colonă; vin la aceea a sutimilor, şi zic 4 şi 7 fac 11, seau zăce plus una, ţăi una pentru colona următoare, şi scriu 1 la aceea a sutimilor. Trecând la aceea a miilor zic 1 care am ţănut şi 5 fac 6, 6 şi 5 fac 11, 11 şi 8 fac 19, seau o zăcime şi 9 unimi; scriu 9 unimi în a lor colonă, şi ţân o zăcime, seau una, pentru colona următoare, şi zic 4 şi 1 care am ţănut la mână fac 5, care scriu sub linie, şi operaţia s-au încheet. 
        Nu ni să pare cu putinţă a să întămpla vreo nedumerire întru facerea unei orcare adiţii cu numere simple, îndată ce să vor pătrunde cu amăruntul regulile aplicate în cele douî exemple trecute. 
        20. Rezultatul Adiţiii să numeşte soma, care să cuvine să cuprindă unimi, zăcimi, sutimi, miimi, &, a tuturor numerilor partnice carile au alcătuit-o. 
        21. Uneori destul este a însămna adiţia fără a o plini, întrepuind semnul + între numerile ce au a să aduna. Acest haractir însămnează plus (mai mult); aşadar 2+3+5, seau 2 plus 3 plus 5, sânt tot una. 
       [14] 
        De subtragire.  
        22. Pentru de a scădea un număr de la un altu, scrie-l supt acest depe urmă, în acel chip ca şi pentru adiţie, unimile sub unimile, zăcimile sub zăcimile, şi scade unimile de la unimi, şi zăcimile de la zăcimi, sutimile de la sutimi; şi deacă este vreo rămăşiţă, scrie această rămăşiţă la colona ce i să cuvine. De la 4568 a să scădea 1247 = 3321 Îndată ce, sub douî numere, după cuviinţă scrise, să va face o linie, eu scad unimile 7 de la unimile 8, şi zic scăzind 7 de la 8, îm rămâne 1, care scriu în colona unimilor supt 7. Trec la colona următoare şi zic scăzind 4 de la 6 îm rămân 2, care scriu dedesupt. Trecând la sutimi, scad 2 de la 5 îm rămân 3; şi scăzind 1 de la 4, îm rămân 3 care scriu la colona miilor.     
        Să propune a scădea 5245 de la 6324: 6324–5245=1079   
       [15] După ce s-au aşăzat amândouî numere precum să vede aice în urmă, zic a scădea 4 de la 5? nu pot. Atunce împrumut 1 de la 2 care este la stânga de 4; această unime care o împrumut are valore de zece, fiind a colonei de zăcimi ; scriu un punct seau orce alt semn piste 2 spre a-m aduce aminte cumcă acest număr preţueşte una mai puţin, şi urmez zicând, zăce ce am împrumutat cu 4 fac 14; scăzind 5 de la 14 rămân 9; scriu această rămăşiţă sub linie. Trec la colona următoare, şi zic, a scădea 4 de la 2 seau de la 1? nu pot; deci împrumut una seau o zăcime de la 3 a colonei următoare pe care asemene o însămnez cu un acţent, şi zic zăce care am împrumutat cu 1 fac 11; scăzind 4 de la 11 îm rămân 7 care scriu sub linie. Trec la colona sutimilor şi fiindcă 3 preţueşte numai 2, zic scăzind 2 de la 2 nu rămâne nimică. Dar, pentru că mai sânt alte colone, şi că mai pot fi încă alte rămăşiţuri de a să scrie sub linie, deacă nu aş scrie nimică la colona sutimilor rezultatul operaţii nu ar fi drept, pentru că ţifrile* [16] rămăşiţilor carele mai pot veni nu ar cuprinde rangul ce li să cuvine; dreptaceea scriu 0 la colona sutimilor pentru de a cuprinde locul lor; în urmă, scad 5 de la 6, şi rămâne 1 la colona miilor.  
        De la 60002 a scădea 24523=35479  
        Neputând scădea 3 de la 2, sânt nevoit a împrumuta de la colona următoare, dar acele trii nule ce să află una lângă alta însămnează cumcă nu pot împrumuta decât numai de la ţifra 6, a căria unimi sânt zăce mii de ori mai mari decât ale ţifrei 2, deci eu o unime de la ţifra 6 seau o zăcime de mii; însă fiindcă am lipsă numai de zăce unimi simple, apoi am un prisos de 9000, 900, 90, seau 9 unimi de mii, 9 sutimi şi 9 zăcimi: scriu acele 9 mii la colona miilor, deasupra de nula; asemine scriu piste următoare nulă acele 9 unimi a sutimilor; în urmă fac de asămine cu acele 9 unimi a zăcimilor încât în loc de trii 0 am scris în faptă 999, şi îm rămân încă [17] 10 care unite fiind cu 2 fac 12; de la care scăzind 3 rămân 9. Urmezi cu operaţia scăzând pe rând 2, 3, 4 de la 9; şi vin la ţifra 6 care nu preţueşte mai mult decât 5; de la care scad ţifra giosnică 2, şi îm rămân 3. 
        23. Din acele urmate să încheem, că oricând va fi nevoe de a împrumuta de la o ţifră aşăzată spre stânga a mai multor nule, fieşcare din aceste nule, după împrumutatul va preţui, 9.  
        24. Rezultatul subtragerii să cheamă rămăşiţă seau diferenţia (deosăbirea); şi este prisosul numărului susnic piste numărul giosnic. 
        Subtragerea nu să poate face deacă numărul pe carele voim a-l scădea este mai mare decât acela de la carile voim a-l scădea.  
        25. Uneori să însămnează subtragerea fără a o face în faptă, puind între douî numere semnul –, carile însămnează minus (mai puţin) precum: 7–3 seau 7 minus 3, este tot aceea.  
        
        De înmulţirea.  
        Din acele ce s-au zis (17), înmulţirea [18] fiind chear numai un cazu particular ale adiţii, fieşcare înmulţire s-ar putea face după chipul adiţii.  
        26. În faptă, a înmulţi un număr, este tot aceea ce a-l adaogi la el însuş atâte ori câte unimi să află în un alt număr ce să numeşte înmulţitoriul. Numărul ce să adaoge să numeşte înmulţitul (multiplicandu, carele are a să înmulţi), iar somei seau rezultatului s-au dat nume de product. Înmulţitul şi Înmulţitoriul să numesc factori a productului; şi îndeobşte să numeşte factor a unui număr o câtime care este cuprinsă în el chear un hotărât număr de ori: 2, 3, 4, 6, sânt factori de 12.  
        27. Deci spre a face o înmulţire, s-ar cădea a scrie pe înmulţitul sub însuş el atâte dăţi câte unimi să află în înmulţitoriul, şi după aceasta a face adiţia. Încît spre a îmulţi 4 prin 3, voi scrie 4 de trii ori, şi li voi adaogi, care va face 12 soamă seau product. Acest rezultat ar da a înţălege cumcă cu putinţă ar fi de a simplifica operaţia atunce când înmulţitul şi înmulţitoriul unul şi altul s-ar exprima prin o sângură [19] ţifră, compuind o tablă în care s-ar afla toate productele a unui număr de o singură ţifră prin un număr de o singură ţifră.  
        
        Tabla lui Pitagoras. 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2 4 6 8 10 12 14 16 18-3 6 9 12 15 18 21 24 27-4 8 12 16 20 24 28 32 36-5 10 15 20 25 30 35 40 45-6 12 18 24 30 36 42 48 54-7 14 21 28 35 42 49 56 63-8 16 24 32 40 48 56 64 72-9 18 27 36 45 54 63 72 81  
        Spre a compune această tablă, scrie pe o linie orizontală toate numerile de o singură ţifră, după firescul lor rând. După aceea [20] zic 1 cu 1 fac 2 care scriu dedesupt; 2 şi 1 fac 3 care scriu asemene dedesupt; 3 şi 1 fac 4; şi aşa înainte păn la 9; Apoi trec la 2 şi zic 2 cu 2 fac 4, care scriu dedesupt; 4 şi 2 fac 6, şi aşa mai departe, păn la 18 seau de 9 ori 2; de asemine fac cu numerile 3, 4, 5, 6, pe care le adaog cătră ele însuş, 2, 3, 4 şi 9 ori, scriind soma la fieşcare dată, încât am formuit productul a tuturor acestor numere prin 2, 3, 4 - - - pe tot acea colonă verticală.  
        28. Acuma, spre a întrebuinţa această tablă, seau spre a şti care este soma seau productul a unui număr adăugit cătră sine de 3, 4, 5 ori, eu caut acest număr în colona orizontală susnică pe care pun degetul; mă cobor dealungul colonei verticale pănă agiung în şirul orizontal a căruia  întăi ţifră la stânga este aceea prin care am a înmulţi pe ţifra trecută: atunce numărul ce să va afla sub deget este cerutul product. Să lămurim aceasta prin un exemplu.  
        Să cere productul de 4 prin 5; pun un deget pe ţifra 4 la întăiu şiru susnic, şi [21] mă cobor pe colona verticală pănă vin în şirul orizontal, a căruia întăia ţifră spre stânga este 5; atunce aflu sub deget 20 care este productul de 4 prin 5.  
        Nu ar fi deci nevoe de o regulă spre a înmulţi un număr de oricare singură ţifră prin alt număr de singură ţifră. Să vedem în ce chip să poate înmulţi un număr din mai multe ţifre prin un număr de o singură ţifră, seau prin un număr de mai multe ţifre; să începem cu întăiul din aceste douî cazuri.  
        A înmulţi un număr de mai multe ţifre prin un număr de o singură ţifră.  
        29. Fie numărul 432 a să înmulţi prin 4: scriu pe înmulţitoriul 4 sub unimile simple 2, a înmulţitului, precum urmează, şi subliniez totul. 432 .4=1728  
        După aceste, cuvintez aşa: fiindcă (26) a înmulţi 432 prin 4 este tot aceea ce a adăogi* [22] de 4 ori a sale unimi, a sale zăcimi şi a sale sutimi, destul îmi va fi a căuta în tabla înmulţirei cât fac 4 ori 2, 4 ori 3, şi 4 ori 4. Aflu că 4 ori 2 fac 8, care scriu sub linie, la colona unimilor simple. Trec la 3 zăcimi, şi aflu în tablă că 4 ori 3 zăcimi fac 12 zăcimi, seau o sutime şi 2 zăcimi; scriu 2 la colona zăcimilor a productului, şi ţân 1 seau o sutime spre a o adaogi cătră acele a colonei următoare. Înmulţăsc 4 prin 4, şi productul este 16 cătră carile adaog 1 ce am fost ţinut, care face 17, seau şeptesprezece sutimi, seau 1000 plus 7 sutimi; scriu 7 cătră sutimile productului, şi 1 la colona miilor tot acelui product.  
        30. A înmulţi 432 prin 24. Scriu aceste douî numere în chipul următor: 432.24=1728+8640=10368 [23] şi făcând, deodată, abstracţie  de ţifra 2 a înmulţitoriului, fac operaţia ca cum aş avea să înmulţesc 432 prin 4, care aceasta nu este supus la nicio greutate, precum s-au văzut mai sus (29). Nu rămâne alta decât a  înmulţi 432 prin 2 ţifra a înmulţitoriului; care de asemene nu este mai greu decât a înmulţi prin 4; deci zic de 2 ori 2 fac 4; dar fiindcă productul de 2 unimi simple a înmulţitului prin 2 ţifre a zăcimilor înmulţitoriului are să fie de 10 ori mai mare decât deacă aş înmulţi 2 unimi simple prin 2 unimi simple, scriu 4 seau 4 zăcimi la colona zăcimilor a productului; după aceasta zic 2 ori 3 fac 6 care scriu la colona sutimilor a productului; în faptă, 10 ori 10 fac 100, o zăcime înmulţită pe altă zăcime dă o sutime, 2 zăcimi înmulţind 3 zăcimi trebui să dee 6 sutimi; în urmă înmulţăsc 4 prin 2, şi scriu 8 în colona miilor la product: pentru că de 10 ori o sută fac 1000, de 20 ori 100 fac 2000; deci 20 ori 400 trebui să facă 8000. Având eu douî deosebite producturi, le  adaog spre a face [24] numai un singur, încât productul total să face 10368.  
        31. A înmulţi 4502 prin 324. 4502.324=18008+90040+ 1350600=1458648  
        Aşăzând amândouî numere după cuviinţă, zic 4 ori 2 fac 8 care scriu la product; apoi zic 4 ori 0 fac 0, care de asemene scriu la product, spre a ţânea locul zăcimilor care lipsesc; fără care (12) ţifrile următoare ar avea o valoră de zece ori mai mică. Apoi zic 4 ori 5 fac 20, seau douî zăcimi care le ţân, pentru colona următoare, şi scriu 0 la product, spre a ţânea locul sutimilor care lipsesc. Înmulţăsc 4 prin 4 care îm dau 16, cătră care adaog 2 ce am fost ţânut, şi scriu 18 la product. După aceste înmulţăsc prin 2, şi scriu productul ce esă, sub ale lui 4, însă în acel feliu ca unimile acestui al doile product să răspundă la zăcimile întăi,* [25] zăcimile la sutimi, şi mai departe, pentru că (30) un product prin douî zăcimi trebui să fie de zăce ori mai mare decât prin douî simple unimi.  
        În urmă, fac productul prin 3, şi fiindcă acea ţifră este, pentru a ei poziţie cătră ţifra 2, acea ce şi această depe urmă este cătră ţifra 4, scriu productul, prin 3, sub productul prin 2, tot în acel feliu precum am scris productul prin 2 sub productul prin 4; după aceste fac soma acestor trii producturi partnice, şi operaţia s-au încheet.  
        32. A înmulţi 425 prin 302. 425.302= 850+127500=128350.  
        Pentru întâia ţifră 2 de la înmulţitoriu nu întimpin nicio greotate. Trec la ţifra înmulţitoare a zăcimilor, care aice este 0; deacă această ţifră ar avea o valoră în sine, atunce a ei product prin cinci unimi a înmulţitului  s-ar aşăza sub 5 a numărului 850, şi precum productul prin 0 este nimică, [26] scriu 0 sub 5 a numărului 850, pentru ca ţifrile înmulţitoriului următor să păstreze rangul ce li să cuvine a avea; înmulţesc prin 3, şi scriu productul său, prin 5 simple unimi a înmulţitului, spre stânga de 0, şi în colona sutimilor.  
        Din care urmează că să cuvine a scrie de atâte ori 0 la product câte 0 să află în înmulţitoriul mainainte de a vini la ţifra întăi însămnătoare ce să află în a lor stângă.  
        33. A înmulţi 20 prin 20.  
        Să socotim mai întăi că am avea 20 a înmulţi prin 2; atunce am zice de 2 ori 0 fac 0; şi douî ori 2 dau 4, încât productul ar fi 40, seau de 2 ori 20. Dar înmulţind 20 prin douî unimi simple, înmulţirea s-au făcut prin un număr de zece ori prea mic, căci să cuvine a înmulţi prin douî zăcimi iar nu prin douî simple unimi, încât productul 40 fiind de zăce ori mai mic, să cuvine a-l face de zăce ori mai mare: care lucru să va împlini puind o nulă spre dreapta sa (16), când atunce va vini 400 drept product de 20 prin 20.  
        Acest exemplu ni arată un rezultat precum [27] când s-ar fi făcut productul ţifrilor cu valore, 2, 2, şi precum s-ar fi scris spre dreapta acestui product 4 de atâte dăţi 0 câte să afla în urma înmulţitului şi a înmulţitoriului, la un loc.  
        În fieşcare asemene cazu, tae 0 care să află după cea depe urmă ţifră însămnătoare în unul şi altul factor, fă productul ţifrilor însămnătoare, şi pune în urma productului total de atâte ori 0 câte să află la înmulţitul şi înmulţitoriul, la un loc.  
        Fie 243000 a să înmulţi prin 4700: 243000.4700=170100+972000 =1142100000  
        După ce să vor înţălege bine acele ce s-au zis asupra înmulţirii, apoi să poate face fără greotate oricare alta care s-ar propune.  
        34. Înainte de a încheia acest Articul, să însămnăm; cumcă productul de douî numere este purure tot acela, ori că să va pune înmulţitoriul în locul înmulţitului şi viţeversa (pe dos); 4 înmulţite prin 3 [28] dau 12, chear ca şi 3 înmulţite prin 4, figura următoare lămureşte acest adevăr. 1111 1111 1111  
        Spre a avea productul de 4 prin 3, s-ar cuvinea a scrie de 3 ori un şir de 4 ori 1; şi spre a înmulţi 3 prin 4, a scrie 4 şiruri de 3 ori 1. Figura de mai sus îmfăţoşază aceste douî cazuri, şi arată că numărul de 1 este purure 12. Oricum să va socoti figura, productul este tot acela, deacă, să va lua giumătate a înmulţitului să va înmulţi această giumătate prin îndoitul a înmulţitoriului; de exemplu, având 10 a să înmulţi prin 2, productul va fi 20; acest product ar fi atunce tot acela, deacă aş înmulţi 5 giumătăţi de 10 prin 4 îndoitul a înmulţitului 2. Tot acest rezonement să aplică la oricare asemene cazu, adecă, de vom lua triimea, patrimea a înmulţitului, atunce, dorind a avea tot acel product, trebui a înmulţi această triime, această patrime, prin trii, patru ori înmulţitoriul.  
       [29] 35. Adeseori înmulţirea să însamnă prin semnul X, carile vra să zică înmulţit prin; 3X4 este tot acea ce şi zicerea: 3 înmulţit prin 4.  
        Un număr să numeşte multiplu a unui altu când el îl cuprinde chear un hotărât număr de ori, încât 8 este multiplu de 2 şi de 4, pentru că el le cuprinde chear un hotărât număr de ori.  
        A dubla, tripla, cvintupla, este tot aceea ce şi a înmulţi prin 2, 3, 5. 
        
        Despre Împărţire (divizie).  
        36. A împărţi un număr prin un altu, este a scădea pe al doile de al acel întâi de atâte ori cât să cuprinde în el. Această operaţie s-ar putea face după chipul subtragerii de care divizia este numai un cazu (18).  
        Numărul pe carile scad să numeşte împărţitoriul, (divizorul) acela de la carile îl scad să numeşte împărţitul (dividenul) (care are a să împărţi); iar rezultatul operaţii, adecă numărul carile însămnează numărul* [30] de câte ori au întrat împărţitoriul în împărţitul, să numeşte câtor (cvoţient).  
        A împărţi un număr de o singură ţifră, prin un număr de o singură ţifră.  
        37. Această operaţie, oricum ar fi acele douî numere, să află gata în tabula (27): căci, împărţirea comparuită fiind cu înmulţirea, împărţitul reprezentează productul, împărţitoriul pe îmulţitul, şi câtoriul pe înmulţitoriul. Deci spre a găsi pe câtoriul de 8 împărţit prin 2, pun degetul pe 2 ale şirului orizontal susnic, şi cobor în colona pănă vin în şirul în care să află 8; ţifra 4 care este capătul stâng a acestui şir este căutatul câtor.  
        38. Împărţirea putându-să socoti ca o înmulţire a căria factori sânt repezentaţi prin împărţitoriul şi câtoriul, iar împărţitul prin product, urmează că împărţitoriul înmulţit fiind prin câtoriul, trebui să alcătuiască pe împărţitul.  
        Din aceste mai urmează că împărţind pe [31] productul prin înmulţitul, înmulţitoriul va fi la câtoriul; şi de să va împărţi prin înmulţitoriul, înmulţitul va veni la câtoriu.  
        A împărţi un număr de mai multe ţifre prin un număr de o singură ţifră.  
        Fie 128 a să împărţi prin 4. Împărţitul 128 Împărţitoriul 4: 12/008/8/0 câtoriul 32  
        Aşez amândouî numere precum aici să vide, scriind pe împărţitul spre stânga iar pe împărţitoriul spre dreapta, tot în acea linie. Le despart prin o linie verticală (din sus în jos) şi subliniez pe împărţitoriul.  
        După aceste zic: 4 de câte ori întră în 128? Neputând a-m face o idee lămurită de analoghia ce este între 128 şi 4, mă îndestulez a lua numai 12 din a stânga a împărţitului, şi caut în tablă (27) de câte or să cuprinde 4 în 12; văd cumcă să cuprinde [32] de 3 ori. Scriu 3 la câtoriu, sub împărţitoriul 4; şi, spre a mă încredinţa deacă acest câtor este acel adevărat, înmulţăsc pe împărţitoriul 4 prin 3, şi scriu productul 12 sub partea 12 a împărţitoriului. Subliniez 12 şi îl scad de la împărţitul: nu-m rămâne nimică. Trec la rămăşiţa împărţitului, care este 8; cobor pe acest 8 alăture cu douî 0 care sânt sub 12, şi zic în 8 de câte ori întră 4? întră de 2 ori; scriu 2 la câtori, spre stânga de 3; după aceste înmulţăsc pe împărţitoriul 4 prin 2, şi trec productul 8 sub împărţitul cel partnic pe carile l-am fost coborât; subliniez totul, şi, după subtragere, nu rămâne nimică. De unde încheiu cumcă 32 este adevăratul câtori de 128 împărţit prin 4.  
        A împărţi 1185 prin 5. 11,8,5:5= 10/018/15/035/35/00=237  
       [33] Precum în pilda trecută, mă mărginesc a lua îndestule ţifre din a stânga a împărţitului spre a le împărţi prin împărţitoriul. Aceste ţifre sânt 11 care le despart de la celelante prin o comă, şi zic: de câte ori merge 5 în 11? merge de 2 ori; scriu 2 la câtori, şi înmulţăsc 5 prin 2: productul este 10; îl scriu sub partea 11 a împărţitului, subliniez, subtragu, şi am 1 de rămăşiţă, alăture şi la dreapta cu acesta cobor ţifra 8 a împărţitului, prin care să face 18 împărţitul cel partnic, pentru că unimea care am avut-o de rămăşiţă este o zăcime în alăturare cu 8: urmez operaţia, şi zic în 18 de câte ori merge 5? de 3 ori, scriu aceste 3, spre dreapta a întăiului câtori 2. 
        Înmulţesc pe împărţitoriul 5 prin câtoriul 3, şi productul îl scriu sub împărţitul partnic 18; fac subtragerea, şi îm rămân 3; lângă care cobor ţifra 5 a împărţitului, care face 35, şi zic în 35 de câte ori întră 5? de 7 ori; scriu 7 în urma ţifrilor aflate la câtor; înmulţăsc pe împărţitoriul 5 prin acest depe urmă câtor 7, [34] şi scriu productul 35 sub acest depe urmă partnic împărţit 35; făcând subtragerea nu rămâne nimică, de unde pot încheia cumcă 1185 cuprinde pe 5, de 237 ori fără vreo rămăşiţă.  
        Alt exemplu:  
        39. A împărţi 1017 prin 5. 10,17 :5=10/00,17/15/2=203 2/5  
        Zic în 10 de câte ori întră 5? de 2 ori, care scriu la câtoriu; înmulţesc 5 prin 2, şi scăzind productul 10 de la împărţitul partnic 10, nu-m rămâne nimică. Cobor ţifra următoare 1 a împărţitului, şi zic, în 1 de câteori întră 5? neputându-să face împărţirea, scriu 0 la câtori alăture cu 2.
        Cuvântul despre aceasta este că împărţitul 1 nu cuprindea pe împărţitul 5, din care urmează că câtoriul nu poate avea unimi de speţia acestui împărţit partnic: dreptaceea de nevoe este a scrie 0 spre a însămna locul lor. 
       [35] Deci, totdeauna când un împărţit partnic nu va cuprinde pe împărţitul, să cuvine a scrie 0 la câtoriu, mainainte de a coborî o altă ţifră; cu un cuvânt purure să se scrie 0 pentru fieşcare ţifră ce să va coborî, pecât împărţitul partnic nu va cuprinde pe împărţitoriul. Urmez operaţia, şi cobor 7 alăture cu rămăşiţa 1, şi zic, în 17 de câte ori întră 5? întră de 3 ori; 3 ori 5 fac 15 care scriu supt 17; scăzind, îm rămân 2 care nu mai cuprind pe 5; nefiind nicio ţifră de a fi coborâtă, pe cea de urmă rămăşiţă 2 o scriu la câtori, pe împărţitoriul 5 pun dedesupt, şi le dispart prin o linie: câtoriul total este 203 şi 2/5 seau douî cincimi. Mai în urmă vom lămuri firea unori asemene câtimi: 
        
        De împărţirea prin un număr de multe ţifre. 
        40. Mainainte de a trece la această operaţie, să însămnăm cumcă, în oricare număr, o unime a ţifrei întăi, spre stânga, este mai mare, în valore, decât toate ţifrile următoare la un loc, oricare ar fi [36] numărul lor. De exemplu, fie 328724; eu zic cumcă una din unimile ţifrei 3 preţuieşte mai mult decât rămăşiţa 28724 pentru că unimile acestui 3 sânt sutimi de mii; însă, 100,000 preţuesc mai mult decât 28,724; din care urmează că ţifra întăi spre stânga a unui număr reprezentează acea mai mare parte a valorei sale. 
        Să fie 7,560 a să împărţi prin 24. 75,6,0 :24= 72/ 36/ 24/ 120/ 120/ 000 =315 
        Dinastânga a împărţitului dispart atâte ţifre încât să poată cuprinde pe împărţitoriul 24, pe carile îl socotesc ca cum ar fi reprezentat numai prin o singură ţifră; văd că împărţitul partnic 75 este îndestul; deci aş fi trebuit să zic, în 75 de câte ori întră 24? dar fiindcă după însămnarea de mai sus (40) numerile sânt cu apropiere [37] reprezentate prin a lor întâi ţifră din a stânga, eu mă mărginesc a zice, în 7 de câte ori întră 2? de 3 ori; deşi mai este o rămăşiţă, însă de 4 ori nu întră; deci scriu 3 la câtori, şi înmulţesc pe împărţitoriul 24 prin 3, pe productul 72 îl pun sub împărţitul partnic 75; fac subtragerea, şi îm rămân 3, lângă care cobor ţifra 6 a împărţitului, şi în loc de a zice în 36 de câte ori întră 24? zic în 3 de câte ori întră 2? 1 dată; scriu 1 la câtoriu, înmulţesc pe împărţitoriul 1, şi scriu productul 24 sub acel depe urmă împărţit partnic 36; subtragerea îm dă 12 de rămăşiţă, pre lângă care cobor ţifra cea depe urmă 0 a împărţitului, şi am 120 nou partnic împărţit; zic, în 1 de câte ori întră 2? nu poate întra; eu pe a doua ţifră 2 a împărţitului şi zic: în 12 de câte ori întră 2? întră de 6 ori; aş trebui să pun 6 la câtori; dar văd că 6 ori 24 fac mai mult decât 120; deci pun 5, şi înmulţind 24 prin 5, esă 120 care, scăzindu-să de la acel depe urmă împărţit 120, nu lasă nicio rămăşiţă. 
       [38] Alt exemplu: 41. 
        A împărţi 18503 prin 57.
        185,0,3 :57= 171/ 0140/ 114/ 263/ 228/ 35 =324 35/57 
        Eu dinastânga a împărţitului atâte ţifre încât să poată cuprinde pe împărţitoriul; deci eu trii ţifre, pentru că 18 nu cuprinde pe 57, şi pentru că 1 nu cuprinde pe 5, adaog pe următoriul 8, şi zic, în 18 de câte ori întră 5? de 3 ori; înmulţesc 57 prin câtoriul 3, şi scriu productul 171 sub 185. Subtragerea îm lasă rămăşiţă 14, care necuprinzind pe 57, cobor alăture 0 a împărţitului, şi zic în 14 de câte ori întră 5? de 2 ori; înmulţind pe împărţitoriul prin câtoriul 2, şi scăzind productul 114 de la 140, rămâne 26, lângă care scriu ţifra depe urmă 3 a împărţitului; şi apoi, făcând operaţia ca şi alteori,* [39] văd că 263 cuprinde pe 57, de 4 ori, şi că esă 35 de rămăşiţă, scriu pe acea rămăşiţă 35, la câtoriu, cu 57 dedesupt, precum s-au făcut mai sus (39). 
        Alt  exemplu: A împărţi 4704 prin 183. 
        42. Să întâmplă adeseori că ţifra care să pune la câtoriu nu este acea adevărată, şi, să cuvine a mărturisi, cumcă nu este un metod care să poată povăţui, întru aceasta, în un chip sigur; căci numai după oarecare cercări să poate câştiga un câtoriu nemerit. 
        O ţifră pusă la câtoriu este pre mare, când împărţitoriul înmulţit prin această ţifră dă un product mai mare decât împărţitul; care aceasta să cunoaşte îndată ce nu să poate face subtragerea.  
        Din protivă, tot acea ţifră este pre mică deacă a ei product prin împărţitoriul scăzindu-să de la împărţitul esă o rămăşiţă care cuprinde pe împărţitoriul una seau mai multe ori. 
        În acea întăi din aceste douî cazuri, să cuvine a împuţina ţifra câtoriului de una seau de mai multe unimi, şi a începe iar operaţia. 
       [40] Iar în al doile cazu, să cuvine a-l mări, şi a face altă cercare pănă să va căpăta un câtori cuvenit. 
        43. Acea care uneori aduce zmintele ce să fac întru căutarea câtoriului, este dacă a doua ţifră, dinstânga, a împărţitoriului este mult mai mare decât acea întăi. În asemene întâmplare bine este de a adăogi această depe urmă cu o unime. Să vinim la exemplul nostru: 470,4 :183 =368/ 1044/ 915/ 129 =25 129/183 
        Rădic trii ţifre pentru ca să cuprindă pe împărţitoriul, şi în loc de a zice, în 4 de câte ori întră 1? zic în 4 de câte ori întră 2? (pentru că acele dintăi douî ţifre 18 ale împărţitoriului să apropie mai mult de 20 decât de 10). Să urmăm: pun 2 la câtori; făcând înmulţirea şi subtragerea, esă 104 de rămăşiţă, lângă care cobor acea depe urmă ţifră 4 a împărţitului, [41] care îm dă 1044 nou şi cel depe urmă împărţit; şi socotind purure pe acea întăi ţifră 1 a împărţitoriului ca cum ar fi de o unime mai mare, zic în 10 de câte ori întră 2? de 5 ori, care scriu la câtor, lângă care scriu iarăş acea depe urmă rămăşiţă 129, cu împărţitoriul dedesupt.  
        44. Deacă atât împărţitoriul cât şi împărţitul ar avea amândoi nule la capăt, atunce să cuvine a despărţi de la una şi altă parte atâte câte să află în urma acelui din douî numere care are mai puţine nule. Deacă spre exemplu, am avea 6,000 a să împărţi prin 500, atunce s-ar şterge 2 din nulele care sânt în urma fieşcăruia număr, şi 60 s-ar împărţi prin 5, câtoriul va fi tot acela ce şi când 6,000 s-ar fi împărţit prin 500; căci luând de la acele numere câte douî nule, amândoî numere s-au făcut fieşcare de 100 ori mai mic (15), şi în loc de a împărţi 60 sutimi prin 5 sutimi, 60 unimi simple s-au împărţit prin 5 unimi de tot acel feliu; dar vederat este că sutimi cuprind pe sutimi, aşa precum unimi simple cuprind pe unimi simple; 60 lei cuprind pe 5 [42] lei de atâte ori cât şi 60 de bani cuprind pe 5 bani. 
        Deacă am avea a face de rost o împărţire, de folos este, deacă să poate, de a împărţi prin tot un număr atât pe împărţitoriul cât şi pe împărţitul. Aceasta nu schimbă nicicât raportul ce au între sine aceste numere, şi prin această răducere, să poate mai uşor nemeri; aşadar deacă mi s-ar propune de a împărţi 144 prin 48, eu voi lua giumătate de aceste douî numere, şi voi avea 72 a împărţi prin 24, luând apoi giumătate de aceste douî depe urmă, voi avea 36 a împărţi prin 12; luând iar giumătate, vine 18 a să împărţi prin 6, şi apoi 9 a să împărţi prin 3; câtoriul 3 îm însămnează cumcă 48 să cuprind de trii ori în 144. 
        De însămnat este: că a lua giumătate, o triime, o pătrime, o cincime de un număr, este tot acea ce şi a-l împărţi prin 2, prin 3, prin 4, prin 5.  
        De pruba acelor patru operaţii fondamentale al Aritmeticii.  
        După ce s-au făcut una din aceste patru operaţii* [43] aice descrise, nu aveam o adevărată încredinţare, deacă rezultatul are seau nu are zmintele; spre a să siguripsi, s-au statornicit a să face pruba. 
        Pruba adiţii. 423+681+295 =1399 
        45. Fie 1399 soma seau rezultatul a numerilor susnice la un loc adăogite; fac adiţia, începând cu colona spre stânga, şi zic 4 şi 6 fac 10, 10 şi 2 fac 12; scad 12 de la ţifra 3 a soamei din tot acea colonă, şi fiindcă 3 nu cuprind pe 12, împrumut ţifra 1 aflătoare în a ei stângă, cu care face 13, de la care scăzind 12; îm rămâne 1 care scriu supt 3, şi pin cuget, cobor, acel întăi 9 a somei spre a sa dreaptă, care face 19; adun a doua colonă şi scad soma 19 de la 19, nu-m rămâne nimică; înliniez ţifra 1, care am fost coborât supt soma, şi trec la a tria şi depe urmă colonă; fac soma, care esă 9, care, scăzindu-să de la acel depe urmă 9 a somei* [44] de căpitenie, nu-m lasă nicio rămăşiţă; din care înţăleg cumcă operaţia este bună.
        Această prubă nu este alta decât o adiţie, făcută pe dos de acea întăi. 
        Pruba subtragerii. 
        46. Pruba substragerii este mult mai puţin ostenitoare; destul este a adăogi rămăşiţa, deacă este, cu numărul scăzut, când atunce are din nou a să îmfiinţa numărul de la carile s-au scăzut acel mai mic. 
        Fie subtragerea: 42705–20342= rămăşiţa 22363 /42705 
        Adaog numărul scăzut cu rămăşiţa 22363, şi în acest chip îmfiinţăz iar numărul 42705. 
        Pruba înmulţirii. 
        47. Pentru de a face pruba înmulţirii, trebui a împărţi productul prin înmulţitoriul; şi deacă operaţia este bună, atunce va eşi înmulţitul; seau să cuvine a-l împărţi prin acest din urmă, şi va eşi înmulţitoriul.* [45] După ce să vor pătrunde regulile pănă acuma arătate apoi să va înţălege cuvântul unei asemene operaţii (37). 
        Pruba împărţirii. 
        48. Pruba împărţirii să face înmulţind pe împărţitoriul prin câtoriul; rezultatul trebui să fie împărţitul, adăogându-să însă la product a împărţitoriului prin câtoriu rămăşiţa care nu s-au putut împărţi, deacă este vreo rămăşiţă. 
        De pruba prin 9. 
        49. Fieşcare număr ce are mai mult decât o ţifră este ecval (întocma) cu un hotărât număr de 9 ori, plus soma ţifrilor sale adunate ca nişte simple unimi. 
        Fie numărul 542; zic cumcă acest număr este ecval cu un hotărât număr de 9 ori, plus soma ţifrilor 5,4,2 ce sânt ecvale cu 11. În faptă, acest număr poate fi descompus în chipul următor: 500, seau 5 ori 99 +5. 40, seau 4 ori 9 +4. +2. 
        99 este cu bună samă un multiplu de 9, adecă, că îl cuprinde în rătund număr de ori (adecă fără rămăşiţă); 5 ori 99 trebui* [46] să aibe tot acea proprietate: 4 ori 9 este chear un multiplu de 9; spre a complectui numărul propus 542, nu rămâne alta decât a face soma ţifrilor 5, 4, 2, şi de a o adăogi la soma de 5 ori 99 + 4 ori 9: soma ţifrilor 5, 4, 2, fiind 11 seau 9 +2, numărul 542 ecvalează un hotărât număr de ori 9 + 2, seau 60 ori 9 +2. 
        Pruba adiţii prin 9. 
        50. Să vede că soma unei adiţii cuprinde toate 9 ce să găsăsc la deosăbite numere partnice care au alcătuit-o; încât deacă operaţia este bună, trebui a găsi rămăşiţuri ecvale după ce să vor subtrage toate 9 de la numerile partnice precum şi de la somă. Să facem această aplicaţie la exemplul următori: 
        452 +637+ 421=1510 
        Încep prin numărul susnic, şi zic 4 şi 5 fac 9 şi 2 fac 11, scoate 9 rămân 2, adaog aceste 2 la numărul giosnic, şi zic: [47] 2 şi 6 fac 8 şi 3 fac 11 şi 7 fac 18, scoate toate 9, nu rămâne nimică. Apoi trec la numărul depe urmă şi zic iarăş: 4 şi 2 fac 6 şi 1 fac 7, acest număr fiind mai mic de 9 va fi acea întăi rămăşiţă; scriu oareunde această rămăşiţă, şi scot de la somă în acela chip toate 9; deacă am făcut bine operaţia, atunce rămăşiţa trebui iar să-m iasă 7; care întru adevăr să şi întâmplă, căci 1 şi 5 fac 6 şi 1 fac 7.
        Pruba subtragerii prin 9. 
        51. Scad precum în cazul de mai sus, toate 9 de la acel mai mare din douî numere, şi scriu rămăşiţa, deacă este vreuna, asemene scad toate 9 de la numărul ce s-au scăzut de la acel trecut şi pe acele a diferenţii seau deosăbirii, şi rămăşiţa trebui să fie tot acea ca şi acea găsită. 
        Exemplu: 4274–2533=1741 
        Zic: 4 şi 2 fac 6 şi 7 fac 13 şi 4 fac 17, scoate 9 rămân 8. 
       [48] După aceasta zic: 2 şi 5 fac 7 şi 3 fac 10 şi 3 fac 13, scoate 9 rămân 4, pe carile îl adaog cătră ţifra diferenţii, zicând: 4 şi 1 fac 5, şi 7 fac 12, şi 4 fac 16, şi 1 fac 17; scot 9 rămân 8; care rezultat este ecval cu acel de mainainte. 
        Pruba înmulţirii prin 9. 
        52. Să însămnăm dintăi că 9 ale înmulţitului, înmulţite prin înmulţitoriul, trebui să dee un număr rătund de 9 ori; că rămăşiţa de 9 a înmulţitului, prin 9 ale înmulţitoriului trebui asemene să dee un exact număr de 9; şi că în urmă rămăşiţa de 9 a înmulţitoriului, trebui asemene să dee un exact număr de 9; şi că în urmă rămăşiţa de 9 al înmulţitului prin rămăşiţa de 9 ale înmulţitoriului trebui să dee oarecare 9, cu seau fără rămăşiţă, seau o rămăşiţă fără 9; din care urmează că productul cuprinde un hotărât număr de ori 9, plus rămăşiţa ecval cu productul rămăşiţii de 9 a înmulţitului, prin rămăşiţa de 9 a înmulţitoriului, de la care product să vor fi scăzut toate 9. 
        Exemplu: Înmulţitul 453 Înmulţitoriul 672 Productul 304416 
       [49] Zic; pentru înmulţitul: 4 şi 5 fac 9, şi 3 fac 12; scot 9, rămân 3.
        Trec la înmulţitoriul, şi zic: 6 şi 7 fac 13 şi 2 fac 15; scot 9 rămân 6. 
        Înmulţăsc rămăşiţa 3 a înmulţitului prin rămăşiţa 6 a înmulţitorului, şi-m esă 18; scot toate 9 ce li cuprinde, şi-m esă nimică seau 0; dincare mă încredinţez că, deacă operaţia înmulţirii este bună, după ce voi scoate de la product toate 9, să cuvine să am iară 0 de rămăşiţă. 
        Deci trec la product, şi zic: 3 şi 4 fac 7 şi 4 fac 11 şi 1 fac 12 şi 6 fac 18; scăzând toate 9, nu rămâne nimică; din care încheiu că rezultatul este bun. 
        Pruba împărţirii prin 9. 
        53. Pruba împărţirii prin 9 să face tot în acel chip ca şi pruba înmulţirii; căci (38), împărţitul reprezentează pe productul, împărţitoriul şi câtoriul, să pot socoti drept înmulţitul şi înmulţitoriul. 
        Deci trebui a scoate toate 9 a înmulţitoriului, a scoate iarăş toate 9 a câtoriului, a înmulţi acele douî rămăşiţuri, deacă vor fi, una prin alta, a mai scoate încă toate [50] 9 de la acest product, şi a scrie rămăşiţa deacă va fi. 
        După aceasta să cuvine a scoate toate 9 a împărţitului; apoi, deacă operaţia este bună, rămăşiţa trebui să fie ecvală cu acea depe urmă rămăşiţă trecută. 
        Exemplu: 304416 :435 rămâne 3 =672 rămâne 6 = 18 rămâne 0 Rămăşiţa 18 sau 0. 
        După ce să vor scădea toate 9 a împărţitului, plus toate 9 a câtoriului, şi să vor înmulţi rămăşiţăle una prin alta, şi să vor scădea toate 9 de la product, scoate toate 9 de la împărţitul, atunce mai rămân 18, seau 2 ori 9, seau 0. 
        
        DE NUMERE ZĂCIMALE. 
        54. Cu putinţă este a împărţi un totul (lucru întreg) în atâte părţi câte vom voi; dar este un chip particular de a împărţi un întreg, adecă socotindu-l împărţit în zăce părţi ecvale, fieşcare din aceste în alte zăce părţi ecvale, fieşcare din aceste iar în [51] zăce părţi ecvale, şi aşa mai departe. 
        55. Când un totul este împărţit în zăce părţi, fieşcare din aceste părţi să numeşte zăcini: 12 bani sânt o zăcine de un leu; a zăcea parte a unei zăcini să numeşte o sutine. Zăcinea a unei sutini să numeşte miine, şi aşa mai departe; şi acest feliu de unimi să numesc îndeobşte Zăcimale. 
        56. Pentru de a rosti zăcini, sutini, miini, a unui orice totul, să întrebuinţază tot acele haractiruri ce şi pentru numerile întregi. Însă mai întăi de a trece înainte, bine este de a lua aminte că, fiindcă ţifrile de orice număr rostesc, mergând de la dreapta la stânga, unimi ce sporesc din zăce zăce ori mai mari (8), neapărat este ca mergând de la stânga la dreapta tot acele ţifre să rostească unimi din zăce în zăce ori mai mici (15), încât ţifra cea depe urmă spre dreapta rostitoare de unimi, să înţălege că, de s-ar trăce tot înainte, păşind tot spre dreapta, s-ar găsi unimi de zăce ori mai mici decât unimile cele simple adecă zăcini; că mergând tot după acea direcţie, [52] s-ar afla iarăş unimi de zăce ori mai mici decât zăcinile, adică sutinile; păşind încă mai departe, s-ar găsi unimi iar de zăce ori mai mici decât sutinile adică miini - - -; încât purcegând de la unimile simple, rândul şi numile unimilor zăcimale vor fi zăcini, sutini, miini, zăce-miini, sute-miini, milionini.... a unimei cei simple seau prinţipale. 
        57. Nu rămâne alta decât a şti în ce chip să va cunoaşte că ţifrile ordinare rostesc zăcini, sutini, miini... 
        Pentru aceasta, s-au îmvoit a pune o comă între ţifra care rosteşte unimi prinţipale şi între acea care însămnează zăcini. 
        Fie 7 întregi şi 3 zăcini, scriu 7,3. Ţifra întăi 7, la stânga, reprezentează şepte unimi; găsăsc după ia o comă, din care închei că ţifra următoare 3 are să exprimeză zăcini; nu întâmpin nicio greutate pentru sutini, miini - - -, destul este a le reprezenta prin ţifre aşăzate după rândul lor, la dreapta ţifrei care rosteşte zăcinile. 
       [53] 58. Să poate întâmpla că o expresie numerică zăcimală nu are unimi zăcimale a vreunei trepte, atunce să pune 0 pentru de a ţânea locul unimilor carile lipsesc. 
        Asemene să poate întâmpla că o expresie numerică, să fie alcătuită numai de unimi zăcimale, atunce să scrie 0 la stânga comei spre  a ţânea îndeobşte locul unimilor întregi. 
        Încât: 2,04 
        Însămnează 2 întregi, nicicum zăcini, 4 sutini; şi 
        0,12 vra să zică nicicum unimi prinţipale, 1 zăcine şi 2 sutini, seau mai ales 12 sutini, pentru că o zăcine preţueşte (55) 10 sutini. 
        59. Să însămnăm, deodată, că spre a ceti o expresie numerică zăcimală, să cuvine a urma ca cu numirele întregi, şi a încheia zicerea cu numele zăcimalilor ce reprezentează acea depe urmă ţifră spre dreapta. 
        Fie expresia 2,47, eu cetesc: douî, [54] patruzăci-şepte sutini. Fie iarăş 0,4202; citesc: 4 mii, 2 sute, 2 zăcemiini. 
        60. Şi în deobşte, o expresie zăcimală să închee prin o ţifră care rosteşte unimi a tot acelui rang ce şi unimea urmată de atâte 0 câte ţifre să află în numărul zăcimal, cu finalul ini. 
        Exemplu: 
        0,237, seau douî sute triizeci şepte miini; să vede că acea depe urmă ţifră 7 rosteşte miini, seau unimi ce răspund cu mia, seau cu 1 urmat de trei 0, adică atâte câte are ţifre zăcimale care asemene sânt trii la număr.
        61. Fiindcă s-au aşăzat de a dispărţi prin o comă unimile întregi de la unimile zăcimale, vederat este că un număr poate schimba a sa valore, prin strămutarea acestei come. Căci în faptă, fie: 437,24 
        Deacă pui coma între 3 şi 7, va eşi 43,724, număr de zăce ori mai mic decât acel trecut; fiindcă acel întăi 4 spre stânga, carile reprezenta miile, numai [55] reprezentează acum decât sutimi; 3 următoare, care rostea zăcimi, preţueşte acuma 3 unimi simple; în sfârşit 7 unimi întregi nu sânt mai mult alta decât 7 zăcini, 2 zăcini s-au făcut sutini, şi 4 sutini s-au schimbat în 4 miini: din care urmează că expresia totală reprezentează o valore de zăce ori mai mică decât mainainte, fiindcă toate părţile sale s-au făcut numai a zăcea parte din aceea ce au fost. 
        62. Din care urmează iarăş că, spre a face o expresie zăcimală de zăce ori, de o sută ori - - mai mare, să cuvine înainti coma spre dreapta de unul sau douî ranguri ... De acea numărul 42,457, să va face 424,57, seau de zăce ori mai mare, când să va strămuta coma, între ţifra zăcinilor şi a sutinilor, pentru că 4 zăcini să fac prin aceasta 4 întregi, 5 sutimi să fac zăcini, şi aşa mai departe ... 
        63: Un număr zăcimal nu schimbă valore; deşi să vor scrie în urma sa una sau mai multe 0. 
       [56] Fie 0,1; scriu 0 în urmă de 1 zăcime, şi vine 0,10 (10 sutini). Dar, lesne să înţălege, că 1 zăcime seau 10 sutimi au tot acea valore. 
        Dreptacea; o câtime zăcimală încheetă cu oricâte 0, nu va schimba valore ei, deşi să vor scoate una seau mai multe din acele 0. 
        Fie 0,10000, seau 1000 zăce miini; scad o nulă, vine 0,100, seau 100 miini. Încât să vede că a lua o mie asupra zăce mii, seau o sută asupra zăce sute seau o mie, este tot acea. 
        Mai scot încă o nulă, adecă 0,10, zăce sutini, seau o zăcime asupra zăce zăcini, care este tot acea ce şi mainainte; în urmă scot toate 0, şi îm rămân 0,1, o zăcine, seau una asupra zăce, care expresie este ecvivalentă cu acele trecute. 
        
        Adiţia numerilor zăcimale. 
        64. Adiţia numerilor zăcimale să face chear aşa ca şi acea cu numerile întregi. 
        Fie a să adăogi la un loc 42,27, 54,01, 28,27; eu aşăz aceste numere ca la [57] adiţia obicinuită, precum urmează: 42,27 + 54,01 + 28,27 = 124,55 
        După ce voi face operaţia, aflu 124 întregi şi 55 sutini. 
        Alt exemplu: 47,28 + 28,99 + 17,82 = 94,09 
        După ce să va face adiţia ţifrilor zăcimale, aflu, cu acele ce am la mână, douâzăci zăcini, dar douâzăci zăcini, preţuesc douî întregi, fiindcă zăce zăcini fac un întreg; de acea pun 0 la colona zăcinilor în somă, şi după ce am pus coma la stânga acestei 0, adaog acele douî unimi, înformate din douâzăci zăcini cu unimile întregi, şi urmez operaţia ca şi cu numerile întregi. 
        65. Deci îndeobşte, spre a face adiţia numerilor zăcimale, trebui a lucra ca cu numere* [58] întregi, şi a dispărţi, prin o comă spre dreapta, atâte ţifre de la somă câte ţifre zăcimale să află în urma acelui din numere ce alcătuesc această somă şi carele are mai multe ţifre zăcimale. 
        Exemplu: 42,4321 +83,102 +12,284= 137,8181 
        După ce s-au făcut operaţia, dispart patru ţifre spre stânga somei, pentru că găsesc patru zăcimale în urma întregilor 42, unul din numerile partnice care au cooperat întru facerea somei, şi carele are mai multe zăcimale decât celelante. 
        
        Subtragerea numerilor zăcimale. 
        66. Aşază amândouî numere ca şi pentru subtragerea obicinuită, şi scade miinile de la miini, sutinile de la sutini, zăcinile de la zăcini, întregile de  la întregi, şi mai departe; dar deacă s-ar întâmpla ca ţifra zăcinilor să nu cuprindă pe ţifra giosnică al acelui rang, atunce împrumută [59] o unime de la ţifra unimilor întregi, care preţueşte zăce zăcini, şi care, unite la ţifra neîndestulătoare, vor înforma o somă ce va cuprinde pe ţifra cea giosnică. 
        De la 45,247 a subtrage 24,336 =20,911 
        Scad 6 de la 7, rămâne 1 miine care scriu la rezultat; scad 3 de la 4, rămâne iar 1 seau o sutime; voi să scad 3 de la 2, dar aceasta nu să poate; deci împrumut după metodul orânduit, 1 de la 5 a unimilor întregi, care preţuitoare de 10 zăcini, care, adăogându-să cu 2 ce am, fac 12 zăcini, scad 3 de la 12, şi îm rămân 9 zăcini; scriu 9 la rămăşiţă, şi după ce am scris o comă la a ei stângă, urmez operaţia după chipul obicinuit.
        
        Înmulţirea numerilor zăcimale. 
        67. Înmulţirea numerilor zăcimale să face ca acea a numerilor întregi; numai, după operaţie, să despart, prin o comă, spre dreapta productului, atâte ţifre, câte ţifre* [60] să află după comă; la înmulţitul şi înmulţitoriul la un loc. 
        Exemplu: 6,4 . 5,3 = 192 +320 =33,92 
        Fac operaţia ca cum ar fi a să înmulţi 64 prin 53, şi productul total esă 3392, dispart douî ţifre spre dreapta, pentru că ţifrile zăcimale a înmulţitului şi a înmulţitoriului, fiind luate la un loc, sânt douî la număr.
        68. Spre a înţălege rezonul acestei urmări, să cuvine a-ş aduce aminte că a înmulţi, este a lua pe un număr atâte ori câte unimi să află în altul, încât a înmulţi prin 1, este a lua pe înmulţitul odată, a înmulţi prin giumătate, seau giumătate de una, este a lua pe înmulţitul o giumătate de ori, seau a-i lua giumătate; pentru asemene cuvânt, a înmulţi prin o zăcine, este a lua a zăcea parte a înmulţitului; [61] dreptacea, deacă şi înmulţitul ar fi o zăcine, seau 0,1, şi că ar fi a să înmulţi prin o zăcine, vederat este că productul ar fi o sutime, pentru că a lua a zăcea parte a unei zăcini, este tot acea ce şi când s-ar împărţi pe înmulţitul o zăcine, în zăce părţi ecvale, şi că din aceste s-ar lua una; însă în totul sânt zăce zăcini, deci şi în acest totul sânt o sută părţi ecvale cu zăcinea a unei zăcini. 
        Fiindcă atât la înmulţitul cum şi la înmulţitoriul să află zăcini, făcând operaţia ca cum n-ar fi zăcini, să înmulţesc 4 seau mai bine zicând 0,4 prin 0,3, care trebui să de sutini; deci la product vor fi sutini; dar, sutinile să reprezentează prin al doile, spre dreapta, a ţifrilor zăcimale, deci să cuvine să aibă două ţifre zăcimale la productul de mai sus. 
        Alt exemplu: 4,024 . 2,12 =8048+ 4024 + 8048 =8,53088 
       [62] Dispart, prin coma, cinci ţifre zăcimale spre dreapta a productului total, pentru că la înmulţitul să află trii şi la înmulţitoriul douî, care fac cinci piste tot. 
        69. Fie 0,002 a să înmulţi prin 0,001 
        0,002 . 0,001 = 0,000002 
        Zic 1 dată 2 fac 2, care scriu la product, în margenea colonei, spre dreapta; dar la productu au să fie atâte ţifre zăcimale câte sânt la înmulţitul şi la înmulţitoriul (67); înaintea ţifrei 2 a productului scriu cinci 0, şi lesne să înţălege că 2 trebui să fie în urma de toate aceste 0, pentru că însămnează milionini, căci a înmulţi 0,002 seau douî miini prin 0,001 seau o miine, este tot acea ce şi a lua (68) a mia parte a înmulţitului 0,002, care trebui să dee 0,000002, precum aceasta după oarecare pătrundere lesne să poate pricepe. 
        
        Împărţirea numerilor zăcimale. 
        70. Deacă la împărţitul sânt atâte [63] zăcimale ca şi la împărţitoriul , şterge coma la una şi altă parte, şi operează ca la împărţire cu numere întregi: câtoriul care va eşi va fi exact; căci, ştergând comile, atât împărţitul cât şi împărţitoriul să face fieşcare de zăce, o sută, o mie - - - ori mai mare, precum ar avea una, douî, trii - - - zăcimale în a lor urmă (61). Dar, făcând aceste douî numere de o potrivă mai mari, raportul care era mainainte între între ele nu încetează a fi tot acela: acest adevăr să va face mai pipăitor, deacă ne vom închipui pe împărţitul ca un vas pe care voim a dişerta cu un mai mic, îndoind, întriind, înzăcind - - - capaţitaoa (încăperea) acelor douî vase, atunce vom găsi că acel mai mare cuprinde pe acel mai mic tot acel număr de ori; că o balercă cuprinde douâsprezece ciuture, un vas de trii ori mai mare va cuprinde asemene douâsprezece ciuture de o capaţita de trii ori mai mare decât cealantă ciuture - - - 
        Dar deacă ar fi una seau câteva zăcimale mai mult la împărţitul decât la împărţitoriul, seau reţiproc (pe dos) atunce ar trebui a pune atâte 0 în urma acelui mai [64] mic număr de zăcimale, câte ar fi mai mult în acel mai mare, prin care numărul zăcimalilor s-ar face ecval la una şi alta parte.
        Aceasta nu schimbă nicicum valore numărului în a căruia urmă s-au scris acele 0 (63). Apoi, ştergând comile, împărţitul şi împărţitoriul sânt înmulţiţi unul şi altul prin zece, o sută, & 
        Exemplu: a împărţi 42,45 prin 2,21. 42,45 : 2,21 221 2035 1989 0046 = 19 46/221 
        Fiindcă numărul zăcimalilor este ecval la împărţitul şi la împărţitoriul, eu şterg coma la o parte şi alta, şi operez cacum aş avea 4245 a împărţi prin 221, câtoriul este 19 46/221 
        Alt exemplu: 42,4 : 2,213 
        Scriu douî 0 în urma zăcimalei 4, a [65] împărţitului, pentru că la împărţitul să află trii nule, şterg comile, şi vine, 42400: 2213 = 19 /353 După operaţie esă 19 la câtor, şi 353 rămăşiţă. 
        71. Păzind marşa urmată pănă acuma la împărţire, ar trebui a scrie această rămăşiţă 353 în urma câtoriului, şi a scrie dedesupt pe împărţitoriul; dar, fiindcă scoposul propus, când să întrebuinţază calculul cu zăcimale, este chear acela de a să feri de complicaţia (încâlcire) a unor asemene câtori, apoi în loc de a scrie rămăşiţa 353 în urma de 19, mai bine este a înainti operaţia în chipul următori: 
        42400: 2213/ 3530/ 2213/ 13170/ 11065/ 21050/ 19917/ 1133 = 19,159 
       [66] După ce s-au găsit câtoriul întreg 19, scriu 0 după rămăşiţa 353, care să face 3530, urmez operaţia precum aş avea 3530 a împărţi prin 2213; în faptă, scriind 0 în urma de 353, eu am făcut pe acest nou împărţit de 10 ori pre mare (15); încât câtoriul ce ar eşi ar fi de 10 ori pre mare; dar eu îl aduc la adevărata sa valore, puind o comă după întregul câtori 19, care face că ţifra, ce esă din împărţirea de 3530 prin 2213, exprimează numai unimi de zăceori mai mici decât întregile, seau zăcini. Operez deci, şi zic în 3530 decâte ori întră 2213? 1 dată, care scriu spre dreapta comei. După ce să va face înmulţirea şi subtragerea, esă încă o rămăşiţă de 1317, lângă care scriu 0, care face unimile sale de 10 ori mai mari, şi care, fiind partea acelui depe urmă partnic împărţit, era acuma de 10 ori pre mare; încât câtoriul ce ar da ar fi 100 ori pre mare; dar fiindcă ţifra care îl va exprima trebui să cuprindă locul sutimilor, să cuvine a închipui cumcă va fi, precum s-ar zice, o compenzaţie* [67] (dispăgubire) exactă: această ţifră este 5, seau 5 sutini; după prubă mai rămân 2105, în a căruia urmă scriu 0, şi am 9 de câtori, seau 9 miini. Numai fac împărţirea mai departe; deşi mai este o rămăşiţă de 1133, acest număr îl las; dar uşor me-ar fi de a urma operaţia punind 0 în urma lui. 
        Câtoriul total 19,159 este îndestulător, pentrucă spre a fi acel adevărat i lipseşte numai o miine. 
        72. La tot feliu de împărţire, să pot socoti rămăşiţile, deacă sânt, precum am făcut pentru rămăşiţa 353 a exemplului de mai sus.
        73. Fie 0,002 a să împărţi prin 0,0005. 0,00.20 :0,00,05= 4 
        Complectez zăcimalile scriind 0 în urma de 0,002, şi înpărţesc 0,0020 prin 0,0005, seau mai simplu zicând 20 prin 5, căci puind coma despre una şi alta parte dinastânga de al doile 0, eu fac pe unul şi altul număr 100 ori mai mare (62), şi aceasta precum* [68] aş avea 0,20 a împărţi prin 0,05. 
        
        DE FRACŢII. 
        74. Cuvântul fracţie înseamnă fărmătură, seau parte de unu tot seau întreg. Deci, unimile ce compun pe o fracţie, sânt mai mici decât unimea, care să numeşte prinţipală seau de căpitenie, cătră acea spre care ele să alăturează. Unimile unei fracţii sânt ecvale între ele, şi, absolut socotite, au tot acele proprietăţi ce şi numerile întregi: un ban, fracţia unui leu, este cătră un ban precum întregul leu este cătră un leu. 
        75. Spre a exprima o fracţie, trebui mainainte a însămna câte părţi aveam de numărul întreg, şi apoi de care feliu sânt acele părţi, care aceasta să poate face prin un număr şi prin un nume; încât zicând, douî palme, trii palme, să însămnează cumcă avem douî, trii unimi cu ceime de palmă. S-au îmvoit a numi numărătoriu seau socotitoriu, pe numărul carile exprimează câtimea unimilor ce am. Cuvântul carile însămnează speţia acestor unimi să cheamă numitoriu* [69] seau cvalificator; aceste douî numere să cheamă şi douî termine ale fracţii. Cuvintele palmă, ban, leu, dram, sânt numitori: fără zminteală s-ar vorbi drept zicând am un ban de măr, spre a însămna că am luat a osută douîzăcea parte de măru, dar fiind cu putinţă, de a împărţi un totul în nenumărate feliuri, lesne este a vedea că ar trebui un număr nemărginit de cuvinte spre a speţifica ceimea părţilor care ar eşi din aceste deosăbite împărţiri; care lucru ar fi neputincios a să face. Aceste greotăţi uşor s-au întămpinat puind în locul cuvântului cvalificator (numitoriu) numărul care exprimează câtimea părţilor ce derază de la împărţirea întregului; încât în loc de a zice am trii bani, patru bani a vreunui lucru, să zice am trii, o sutădouâzăcimi al acestui lucru, care să scrie în acest chip: 3/120, 4/120. 
        76. Deci, decâte ori vom avea a exprima o fracţie, dintăi să scriem numărul ce însămnează câtimea unimilor care să eu, apoi să va pune dedesuptul acestui din urmă numărul ce însămează în câte părţi totul [70] s-au împărţit, şi aceste douî numere să vor dispărţi prin o liniuţă. A exprima deci prin ţifre fracţia douî cincimi, să va scrie 2 şi 5 unul sub altu în acest chip 2/5, care numere să vor dispărţi prin o liniuţă. 
        Fracţiile 1/2, 1/3, 1/4, să rostesc o giumătate, o triime, o patrime. Numitorii acelora ce sânt dedesupt eu finala de ime şi îmi, încât să zâce o triime, trii cincimi. 
        
        De operaţii care să pot face cu fracţii. 
        77. Să pot face cu fracţii tot acele operaţii ce şi cu numere întregi, adecă să pot adăogi, împuţina, împărţi &. 
        O fracţie sporeşte deacă să sporeşte al ei numărător; deacă să adaogi unu la numărătoriul fracţii 2/5, vom avea 3/5, câtime vederat mai mare. O fracţie sporeşte iarăş când să adaog câtimi ecvale la a ei numărător şi la a ei numitor. ( Numai numărătoriul să nu fie ecval cu numitoriul seau mai mare decât el. La acea întăi întâmplare, fracţia ar rămânea tot acea, iar în a doua i s-ar împuţina valore). Deacă să adaog [71] 5 la amândouî termine a fracţii 4/5, să va face 9/10, câtime care să apropie mai mult de un întreg decât acea trecută, pentru că lipseşte numai 1/10 ca să-i fie ecvală, când mainainte i trebuia 1/5. 
        Asemene o fracţie () sporeşte când să împuţănează al ei numitor. 1/5 este mai mare decât 1/7 care lucru este vederat. 
        În urmă o fracţie să face un hotărât număr de ori mai mare, când să înmulţăşte al ei numărător; aşadar numărătoriul 2 a fracţii 2/5, înmulţit prin 2, va da 4/5, câtime îndoită decât acea întăi. 
        Pentru asemene cuvânt, o fracţie să face un hotărât număr de ori mai mare împărţind pe numitoriul ei. Deacă s-ar împărţi prin 2 numitoriul 8 a fracţii 3/8, ia s-ar face 3/4, care este mai mare valore, precum lesne să înţălege. 
        78. O fracţie să va face mai mică supuindu-o la prefaceri contrarie acelor de mai sus, spre a o face mai mare; adecă împuţinându pe numărătoriul ei, adăogind pe a ei numitor, scăzind câtimi ecvale de la amândouî a sale termine, împărţind pe al [72] ei numărătoriu seau înmulţind pe numitoriul ei; de exemplu: 3/5 sânt mai mari decât 2/5; 3/5 sânt mai mari decât 3/10; 9/10 sânt mai mari decât 4/5; împărţind 4 a fracţii 4/5 prin douî, seau înmulţind pe numitoriul ei 5 prin tot acel număr, vom avea 2/5 seau 4/10, câtimi mai mici decât 4/5. 
        79. Fracţia nu schimbă valore ei de să înmulţăsc seau să împărţesc a ei douî termine prin un tot acel număr. 
        Deacă să înmulţesc prin 2 amândouă termine a fracţii 1/3, să va face 2/6, câtime ecvală cu acea dintăi, pentru că 2/6 este vederat două triimi a unui întreg, precum doi bani sânt douî triimi seau 2/6 a unei întregi părale. Pentru asemene rezon, deacă să împărţesc amândouî termine a fracţii 2/4 prin 2, să va face 1/2, valore ecvală cu 2/4; din care urmează că o fracţie poate uneori fi rostită prin numere mai simple. 
        80. Deacă numărătoriul unei fracţii ar fi ecval cu a ei numitori, lesne să înţălege că această fracţie ar fi ecvivalentă cu un întreg 3/3, seau 1, trii bani seau o para, sânt tot acea; din aceasta urmează că deacă numărătoriul ar fi mai mare decât celalant termin, [73] fracţia ar fi mai mare decât un întreg, şi încă ia ar putea cuprinde mai multe. Să lămurim metodul de a face asemene extragere. 
        
        Metodu de a extrage întregi din o fracţie. 
        81. Spre a extrage întregile din o fracţie, să cuvine a împărţi pe al ei numărătoriu prin al ei numitoriu. Căci numitoriul arată în câte părţi întregul s-au împărţit, seau, ce este tot acea, câte părţi sânt de lipsă spre a-l recompune; deci vom avea atâte întregi câte ori numitoriul să va cuprinde în numărător. Deacă 6 mere s-ar fi tăet în patru bucăţi ecvale (întocma) care mere de asemene le vom socoti ecvale între sine, atunce vom avea 24 bucăţi seau 24/4; însă, spre a recompune merile, să vor uni numai patru bucăţi; şi; precum 4 este cuprins de şesă ori în 24, vom avea îndestule bucăţi spre a recompune acele şesă mere.  Întâmplându-să că numărătoriul să nu cuprindă pe numitoriul un hotărât număr de ori, neapărat ar fi o rămăşiţă; atuncea s-ar lăsa acea rămăşiţă sub forma fracţii, având de numitori pe acel a [74] fracţii trecute. Fie expresia 14/3, din care să se extragă întregii; să împărţim, după regula mai sus rostită, pe numărătoriul 14, prin 3, la câtoriu va veni 4, şi va rămânea 2; care nu mai cuprinde pe împărţitoriul 3; să va scrie 4 la numere întregi, şi la 2 să va scrie 3 de numitoriu; încât rezultatul operaţii va fi 4 întregi plus 2/3 de întreg. 
        Să însămnăm aice, deodată, că o fracţie poate fi socotită ca cum ar reprezenta pe câtoriul a unei împărţiri neputincioase: numărătoriul ei este împărţitul iar numitoriul împărţitoriul: aşadar 2/3 sânt tot acea ce şi 2 împărţite prin 3; căci, 2 nu poate cuprinde decât 2 unimi a împărţitoriului 3, seau de de douî ori a sa triime care este 1. 
        
        A preface pe întregi în fracţie. 
        82. Având numere întregi unite cu fracţii şi voind a pune totul sub forma de fracţie, să cuvine a îmulţi pe întregii prin numitoriul fracţii, a adăogi productul la numerătoriul ei, şi a da la această somă pe numitoriul a tot acii fracţii. 
       [75] Să propune a preface în fracţie pe întregii 4, uneşte cu fracţia 2/3; înmulţeşte 4 prin 3, numitoriul fracţii, va veni 12; adaoge acest product 12 cu numărătoriul 2, soma va fi 14; pune pe numitoriul 3 sub această somă, şi vei avea 14/3, câtime ecvală cu 4 +2/3; fieşcare unime a întregilor 4 preţueşte 3/3; cele 4 întregi preţuesc 12/3; care, adăogându-să cu 2/3 care aveai mainainte, fac 14/3 . 
        
        Răducerea fracţiilor la cea mai simplă expresie. 
        83. Spre a răduce o fracţie la ei mai simplă expresie, împărţeşte a ei douî termine prin un tot acel număr. 
        Fie expresia 4/8: împărţesc 4 şi 8 fieşcare prin 2, şi-m vine 2/4; mai împărţesc încă 2 şi 4 prin 2, şi esă 1/2, care expresie este mai simplă decât 4/8, şi care cu toate acestea  este a ei ecvivalentă - (79). 
        Nu rămâne alta decât a cunoaşte numărul prin care trebui a-l împărţi. 
        Fieşcare număr înpărechet să poate împărţi prin 2, tot numărul ce să săvârşăşte cu 5 seau 0 să poate împărţi prin 5; căci un oricare [76] număr din mai mult de o ţifră să compune din zăcimi şi unimi, şi din zăcimi numai atunce când are 0 la capăt; dar, vederat este că o zăcime să poate împărţi prin 5, deci o culegere  de zăcimi să va împărţi de asemene, deacă numărul să săvârşeşte cu 5, aceste unimi 5 să pot împărţi prin ele însuş seau prin 5. 
        Fieşcare număr a căruia ţifre adăogite ca nişte unimi simple ecvalează 9 seau de mai multe ori 9, să poate împărţi prin 3 şi prin 9. De exemplu 54, să poate împărţi prin 9, pentru că 4 şi 5 a lui douî ţifre, fac 9. Rezonul de aceasta lesne să poate înţălege căci 54 să poate socoti ca cum ar fi compus de cinci zăcimi, seau cinci ori 9 plus 5, plus unimile 4; cinci ori 9 să pot împărţi prin 9, soma de 5 şi 4 unimi este împărţitoare prin 9. Mai vezi (48). 
        Deacă douî termine a fracţii ce are a să răduce seau măcar unul, n-au niciuna din însuşirile rostite mai sus, să poate cerca împărţirea prin 7, 11, 13, 17 - - -; şi în urmă prin numere care nici ele nu să pot împărţi* [77] decât  numai prin unime ( Aceste numere să cheamă numere primitive; două numere sânt Între sine primitive când nu pot fi împărţite unul şi altul decăt numai prin unime, 12 şi 25 sânt numere de acel feli.) 
        84. În urmă, spre a să încredinţa deacă terminii au un împărţitori comun (obştesc) să cuvine a împărţi pe acel mai mare prin acel mai mic; deacă această operaţie dă o rămăşiţă, să se împărţască pe împărţitoriul prin această rămăşiţă, de mai este încă o rămăşiţă, să se împărţască iarăş rămăşiţa trecută prin această depe urmă, şi aşa mai departe, păn să va găsi un împărţitori exact; acest depe urmă împărţitori va fi numărul prin care să cuvine a împărţi acele douî termine a fracţii. 
        Fie fracţia 16/36: eu împărţesc 36 prin 16, vin 2 la câtoriu, şi rămân 4; împărţesc pe împărţitoriul 16 prin 4, în care să cuprinde exacte dăţi; din care încheiu cum că prin 4 să cuvine a împărţi 16 şi 36, ce sânt termine a fracţii propuse, şi care o va preface în 4/9. Iată rezonul acestei regule: fiindcă 4 împărţeşte pe 16, ea deasemene [78] va împărţi şi pe douî ori 16 plus 4, seau 36. 
        Dintâi, împărţind 16 şi 36 prin 4, fracţia nu schimbă valore (79). 
        Apoi 4 este acel mai mare comun împărţitori între 16 şi 36; căci acel mai mare comun împărţitori ce este între aceste douî numere nu poate fi mai mare decât 16, acel mai mic între douî, aceasta este vederat: asemene nu poate fi mai mare de 4, rămăşiţa împărţirei de 36 prin 16, seau de douî ori 16+4 prin 16; fiindcă, deacă el împărţeşte 16 şi un hotărât număr de ori 16, trebui să poată împărţi şi pe rămăşiţa 4. 
        A răduce la a ei cea mai simplă expresie fracţia 1008/1260. 
        1260: 1008=1 1008:252 =4. 
        Împărţesc 1260 prin 1008, şi scriu pe câtoriul 1 sub împărţitoriul, precum să vede mai sus. Făcând subtragerea, am rămăşiţă 252; [79] împărţesc pe acel depe urmă împărţitor 1008 prin 252, şi scriu încă pe câtoriul 4 sub împărţitoriul: subtragerea nu-m dă nicio rămăşiţă; împărţind pe terminii fracţii propuse prin rămăşiţa 252, ia să face 4/5. Deacă acea depe urmă rămăşiţă ar fi 1, aceasta ar fi o prubă cumcă fracţia este nereducătoare, pentru că un număr împărţit prin 1 nu schimbă. 
        
        DE ADIŢIA FRACŢIILOR. 
        85. Adiţia fracţiilor când au tot un numitori este atât de uşoară ca şi acea ale numerilor întregi. De s-ar propune a aduna fracţiile 3/10, 7/10, 1/10, să vede îndată că 3/10 şi 7/10 fac 10/10, care adăogându-să cu 1/10 fac 11/10; aceasta este totuna ce şi deacă s-ar cere a aduna la un loc 3 bani, 4 bani fac 7 bani, orcine va face lesne această operaţie. 
        86. Deci, deacă fracţiile au tot acel numitor, atunce spre a face adiţia să cuvine a aduna pe ai lor numărători, şi a da somei de numitori pe numitoriul care era comun la toate fracţiile. 
        87. Asemene lesne să poate face soma a [80] mai multori fracţii, numai numitorii lor să fie factori seau împărţitori acelui mai mare dintre toţi. Să cere a să face soma fracţiilor 1/2, 2/3, 3/4, 1/6, 5/12. Însămnez mai întăi că 1/2  preţuieşte 2/4; aceste adăogite cătră 3/4 care am, vor face 5/4, deci şterg fracţiile 1/2 şi 3/4 şi scriu 5/4 în locul lor. Asemene însemnez că 1/3 preţueşte 3/6 deci 2/3 preţuesc 4/6; adaog 4/6 cu 1/6 ce am avut, şi scriu 5/6 în locul fracţiilor 2/3 şi 1/6. Îm rămâne acuma 5/4, 5/6, 5/12. Dar 1/6 preţueşte 2/12, deci 5/6 preţuesc cinci ori 2/12, seau 10/12, care adăogându-să cu 5/12 vor face 15/12; în urmă 1/4 preţueşte 3/12, 5/4 preţuesc 5 ori 3 seau 15/12, carii adaogiţi cu 15/12, care am aflat, fac piste tot 30/12. 
        88. Spre a să încredinţa deacă acel mai mare dintre toţi numitorii cuprinde pe fieşcare din cialanţi un hotărât număr de ori, ar trebui a-l împărţi pe rând prin fieşcare dintrânşii; care operaţie ar fi adeseori foarte lungă, şi uneori nefolositoare. Cu toate aceste când fracţiile sânt rezultatul unei înmulţiri complexe, cea mai adeseori este sigur că acel mai mare dintre toţi ai lor numitori este multiplul acelorlalţi. 
       [81] 
        De reducerea fracţiilor la un singur numitor. 
        89. Decâteori douî seau mai multe fracţii ce am voi a le adăogi la un loc seau a le subtrage unile de la altele, nu au tot un numitor, cu neputinţă este a plini aceste operaţii; deci să cuvine a găsi un metod prin care să se aducă la o formă de a avea toate un singur şi acel numitoriu. 
        Să căutăm a da un numitori comun la fracţiile 2/3, 3/4. Dintăi vom însămna că 1/3 preţueşte 1/4 şi oarece mai mult; căci, deacă s-ar propune de a preface 4/4 în 3/3, ar trebui  a împărţi pe unul din aceste 4/4 în trii părţi ecvale, a adăogi una la fieşcare din trii alte patrimi, atunce vederat am avea 3/3, pentru că acele de nou trii părţi ecvale între sine ar putea să înformeze un întreg; deci nu rămâne alta decât a cunoaşte valore a unei din părţile pătrimei tăete în trii, seau valore triimei a unei patrimi. Dar de s-ar fi împărţit fieşcare din 4/4 în trii părţi atunce am avea douâsprezece de acele părţi, care, fiind purure ecvale cu un întreg, ar [82] face 12/12; deci triimea unei patrimi preţueşte 1/12, 1/3 preţueşte deci 1/4 şi 1/12; 2/3 preţuind 1/2 şi 2/12, amândouă fracţii propuse să vor putea exprima prin 5/4 şi 2/12: Acuma nu urmează nicio greotate pentru de a aduna 5/4 şi 2/12; căci, din cele ce s-au zis (88), 1/4 preţuind 3/12, 5/4 vor preţui 15, care adăogindu-să cu cele douî vor da 17/12. 
        Acest metod este îndestul spre a adăogi la un loc douî fracţii care nu au tot un numitori; el mai are încă şi oarecare înlesnire, când acele fracţii sânt exprimate prin numere mici, dar metodul acesta ar fi prea ostenitori în un caz contrariu; când atunce metodul următori este a să protimisi. 
        90. Spre a răduce douî seau mai multe fracţii la un singur numitoriu, să înmulţeşti amândouî termine a fieşcăria; deacă sânt numai douî, prin numitoriul a cealante; iar de sânt mai mult decât douî, înmulţeşte amândouî termine a fieşcăria prin productul numitorilor celoralante fracţii, afară de a ei numitori. 
        Din cele ce s-au zis (79), o fracţie nu schimbă valore deacă amândouî a sale termine [83] să înmulţesc seau să împărţesc prin un tot acel număr; deci, deacă am avea douî fracţii 2/3, 3/4, de a să răduce la un singur numitori, s-ar putea înmulţi amândouî a sale termine 2 şi 3 a fracţii întăi prin 4, numitor acei al doile, care ar da 8/12; de asemene înmulţind 3 şi 4, termine acii a doua fracţii, prin 3 numitoriul acii dintăi, ar eşi 9/12, încât fracţiile primitive s-ar reprezenta prin 8/12 şi 9/12, câtimi ce ar fi cu ele ecvale, precum vederat este. Asemene uşor este a să încredinţa dice 12 este numitoriul cel comun; înmulţind reciproc terminile fieşcăria fracţii prin numitoriul altiia, s-au înmulţit numitoriul 3 prin 4 şi pe acest din urmă prin 3, care neapărat au trebuit să dee 12. 
        Fie aceste trii fracţii 2/3, 3/4, 2/5, a să răduce la tot un numitoriu. Depe regula dată, fac productul de 4 şi 5, numitor acelor douî din urmâ, şi zic 4 ori 5 fac 20, înmulţesc 2, numitori acii întăi, prin acest product 20, care îm dă 40 de nou numărători; de asemene înmulţesc pe numitoriul său 3 prin 20, şi productul său 60 scriu sub 40; încât fracţia 2/3 să găseşte schimbată în 40/60, a ei ecvivalent. Apoi operez [84] cu fracţia 3/4, şi pentru aceasta fac productul numitorilor acii întăi şi acii depe urmă, şi vine 15, înmulţesc amândouî termine 3  şi 4 prin 15, şi capăt nouî termine a fracţii 3/4, 45/60. Apoi trec la acea depe urmă 2/5, şi după ce am făcut productul de 3 şi 4, ce sânt numitori a celoralante douî, îm vine 12, zic 2 ori 12 fac 24, şi 5 ori 12 fac 60 care scriu sub 12; încât acele trii fracţii 2/3, 3/4, 2/5, sânt reprezentate prin 40/60, 45/60, 24/60. 
        Deacă ar fi patru fracţii seau şi mai multe, atunce s-ar operui tot în acel chip, adecă că, lăsând totdeauna pe numitoriul fracţii pe care o voim a schimba, să vor înmulţi cealanţi numitori unii prin alţii, pe acel întăi prin al doile, productul lor prin acel următor, pe acest nou product prin următoriul şi mai departe. După care să vor înmulţi amândouî termine a fracţii asupra căria să operuiază prin cel depe urmă aflat product. 
        Fie cinci fracţii 1/2, 2/3, 1/4, 2/5, 5/6; zic 3 ori 4 fac 12, 5 ori 12 fac 60, 6 ori 60 fac 360; înmulţesc 1 şi 2, ce sânt termine acei întăi, prin acel depe urmă product 360, şi vine 360/720. Trec la a doua, şi, lăsând pe [85] numitoriul ei, zic 2 ori 4 fac 8, 5 ori 8 fac 40, 6 ori 40 fac 240; înmulţesc 2 şi 3, termine a 2/3, prin 240, care îm dă 480/720 nouâ fracţie. Trecând la a tria, fac producturile numitorilor 2, 3, 5, şi 6, care este 180; înmulţind 1 şi 4 prin 180, fracţia cea nouî este 180/720. Pentru a patra, înmulţesc pe numitorii 2, 3, 4 şi 6 unii prin alţii, şi productul fiind 144, înmulţesc 2 şi 5 prin acest număr, care îm dă 288/720 în locul fracţii 2/5. Trecând la acea depe urmă, caut productul numitorilor 2, 3, 4, 5, care este 120; zic 5 ori 120 şi 6 ori 120, şi am 600/720, în locul de 5/6: fracţiile cele nouî sânt 560/720, 480/720, 180/720, 288/720, 600/720.
        Cu oarece luareaminte, să  înţălege că numitorii fiind cunoscuţi, care urmează la acea întăi operaţie, de prisos este a înmulţi pe numitorii celorlante fracţii prin productul ce s-au aflat; încât spre a răduce un orce număr de fracţii la un numitor trebui mainainte a face productul a tuturor numitorilor, care va da pe numitoriul comun, şi a înmulţi apoi pe numărătoriul fieşcăria fracţii prin productul numitorilori aceloralante. 
       [86] Spre a adăogi fracţii care au pe tot acel numitori, fă soma tuturor numărătorilor lor, şi scrie sub această somă pe comunul numitor. Pentru de a adăogi acele cinci fracţii despre care s-au vorbit, scriu pe numărătorii 360, 480... unii sub alţii în acest chip: 360+ 480+ 180+ 288+ 600= 1908/720 
        Care adăogându-să dau somă de 1908 sub care scriu pe numitoriul 720; şi precum sânt şi numere întregi, numitoriul fiind mai mic decât numărătoriul 1980, fac extragerea precum s-au arătat (81). 
        Pentru de a adăogi întregi cu fracţii, să cuvine preface pe aceşti întregi în fracţii şi a urma precum s-au arătat, la No: 82. 
        
        DE SUBTRAGEREA FRACŢIILOR. 
        91. După ce să vor răduce fracţiile la tot acel numitor de va fi de nevoe (89), subtrage pe numărătoriul a unia de la numărătoriul altia, [87] şi dă de numitor la rămăşiţă, deacă este, pe numitoriul comun ale amânduror fracţiilor. 
        Fie fracţia 5/12 care să cuvine a o subtrage de la 7/12; scad 5 de la numărătoriul 7, şi îm rămân 2 sub carile scriu 12, şi care face 2/12 rezultatul operaţii. 
        Deacă ar fi mai multe fracţii a să subtrage de la câteva alte, ar trebui mai întăi a adăogi toate acele care au a să subtrage precum şi acele de la care au a să subtrage, şi după aceasta să cuvine operui ca şi cazul trecut. 
        Să propune de a subtrage de la fracţiile 2/7, 4/7 fracţiile 1/7 şi 3/7; adaog 2/7 cu 4/7 care fac 6/7, asemene adaog 1/7 şi 3/7 care îm dă 4/7, deci scăzându-să de la 6/7 dau o rămăşiţă de 2/7. 
        De ar fi a să subtrage o fracţie de la un întreg, atunce acesta s-ar preface în fracţie (82); încât pentru de a subtrage 1/3 de la 2, eu voi răduce 2 în triimi şi voi avea 6/3, de la care scăzind 1/3 ar rămânea 5/3. 
        
        DE ÎNMULŢIREA FRACŢIILOR. 
        92. Înmulţirea fracţiilor prin un număr întreg. 
       [88] Pentru a înmulţi o fracţie prin întregi, să cuvine înmulţi pe numărătoriul ei prin întregi. 
        Să propune a să înmulţi 2/5 prin 2, operuind după regula dată, înmulţesc pe numărătoriul 2 prin 2, care îm dă 4 nou numărători, şi am 4/5 de rezultat. 
        Rezonul acestii regule este uşor a să înţălege, căci a înmulţi un număr prin un întreg, este a-l face de atâte ori mai mare câte unimi să află în acel întreg. Dar, o fracţie să face mai mare (78) înmulţind pe numărătoriul ei; iată pentru ce am înmulţit pe numitoriul ei prin 2. Apoi socotindu-să pe numitoriul numai chear ca un nume, fireşte să cuvine a înmulţi pe numărătoriul carele exprimează câtimea de unimi ce să eu; asemene am urma deacă ar fi a să înmulţi 2 bani seau 2/120 a leului prin 2; toţi ar zice că face 4 bani seau 4/120 de leu. 
        A înmulţi o fracţie prin o fracţie. 
        93. Spre a înmulţi o fracţie prin o fracţie, eu închipuesc mainainte cumcă fracţia înmulţitoare nu ar avea numitoriu. 
        Fie a să înmulţi 2/5 prin 2/3; deodată nu eu samă la numitoriul 3 a fracţii înmulţitoare, şi urmez ca cum aş avea 2/5 a înmulţi prin 2, care [89] este tot atâta ce şi a înmulţi 2/5 prin 5 întregi. Dar acest product este de trii ori prea mare, căci nu prin 2 ce prin 2/3 avem să înmulţesc, însă 2/5 sânt de trii ori mai mici decât 2 întregi, că 1/3 fiind de trii ori mai mic decât unu, neapărat 2/3 vor fi de trii ori mai mici decât douî, deci să cuvine a face fracţia 4/5, productul de 2/5 prin 2, de trii ori mai mică, care să va căpăta precum s-au arătat (78), înmulţind pe numitoriul ei 5, prin 3 numitoriul fracţii înmulţitoare 2/3. 
        Din care urmează, că spre a înmulţi o fracţie prin o fracţie, să cuvine înmulţi numărătoriu prin numărătoriu, şi numitoriu prin numitoriu.
        
        ÎMPĂRŢIREA FRACŢIILOR. 
        A împărţi o fracţie prin întregi. 
        94. A împărţi un număr prin un număr întreg, este a-l face de atâte ori mai mic câte unimi să află în acel împărţitor. Deci deacă s-ar propune a împărţi o fracţie prin un număr întreg, să cuvine operui ca cum am avea a face această fracţie de atâte ori mai mică câte unimi sânt în acel împărţitor*; [90] dar s-au arătat (78) în ce chip să poate agiunge la asemene rezultat. 
        Fie fracţia 2/5 a să împărţi prin 2; eu înmulţesc pe numitoriul 5 prin 2, din care esă 2/10, câtime de douî ori mai mică decât 2/5, căci a preface cincimi în zăcimi, s-ar cuvini a împărţi pe acele întâi în douî părţi ecvale. 
        A împărţi o fracţie prin o fracţie. 
        95. Pentru  de a împărţi o fracţie prin o fracţie, trebui a înmulţi pe numitoriul fracţii împărţitoare prin numitoriul fracţii împărţitoriului, şi acest product va fi numărătoriul câtoriului; după aceasta a înmulţi pe numitoriul împărţitului prin numărătoriul împărţitoriului, şi a pune acest product sub acel trecut, ca un numitoriu. 
        Fiind a înmulţi 2/5 prin 2/3: înmulţesc pe numărătoriul 2 a împărţitului prin 3, numitoriul a împărţitoriului, şi scriu 6 numărător a câtoriului: apoi fac productul de 5, numitoriul a împărţitului, prin 2, numărător a împărţitoriului, şi scriu 10 sub productul 6 ce am; aceasta face 6/10 câtoriul fracţii 2/5 împărţite prin 2/3. 
       [91] Spre a înţălege rezonul acestui metod, eu urmez în un chip analoghic cu acele zise (92), adecă că nu eu aminte la numitoriul 3 a fracţii împărţitoriului, şi împărţesc 2/5 prin 2, care îm dă 2/10; însă fiindcă nu prin 2 aveam să împărţesc, ce prin 2/3, adecă prin un număr de trii ori mai mic decât 2, vederat este că câtoriul 2/10 este de trii ori prea mic; deci trebui a-l face de trii ori mai mare, şi aceasta să căştigă înmulţind pe numărătoriul său 2 prin numitoriul 3 a împărţitoriului (77). 
        
        A împărţi un număr întreg prin o fracţie. 
        96. Pentru de a împărţi un număr întreg prin o fracţie, să înmulţesc acele întregi prin numitoriul fracţii, şi să împărţesc productul prin numărătoriul a tot acii fracţii. 
        Având a să împărţi 4 prin 2/5: înmulţesc 4 prin 5, iar productul 20 îl împărţesc prin 2, care ne dă 10 de rezultat. 
        Pentru de a înţălege rezonul acestei regule, şterg pe numitoriul 5 a împărţitoriului, prin care 2/5 să fac 2 întregi, nou împărţitor de cinci ori mai mare decât acel [92] trecut; deci numai este tot acea proporţie între împărţitul 4 şi acest nou împărţitori, dar acest raport să va restatornici înmulţind 4 prin 5, adecă făcând şi pe împărţitul de 5 ori mai mare. 
        
        A preface oricare fracţie în fracţie zăcimală. 
        97. Fiindcă o fracţie reprezentează un câtori (81) a căruia împărţitul este numărătoriul iar împărţitoriul numitor, pune pe numărătoriul fracţii ce are a să preface în zăcimale, la împărţitul, iar pe numitoriul la împărţitori, şi operuiază ca la împărţirea zăcimală obicinuită.
        Fie fracţia 7/8 propusă a să preface în fracţii zăcimale: eu aşăz aceste douî termine în chipul următori. 7:8 70/ 64/ 60/ 56/ 40/ 40/ 00 = 0,875 
       [93] Şi zic: în 7 de câteori întră 8? nu întră nicicum; scriu 0 la câtori spre a ţinea locul de întregi, şi scriu o comă spre dreapta ei; după aceasta cobor 7 sub liniuţă, şi-l înmulţesc prin zăce puind 0 la dreapta sa, şi zic: în 70 de câteori merg 8? merge de 8 ori pentru 64; înmulţesc pe împărţitoriul 8 prin câtoriul pe carele l-am aflat, şi scriu productul 64 sub 70; fac subtragerea, îm rămân 6 lângă care scriu iar 0, şi împărţind 60 prin 8, vine 7 la câtori; înmulţind pe împărţitoriul 7, scriu rezultatul 56 sub partnicul împărţit 60; făcând subtragerea, am 4 de rămăşiţă; în urmă scriu 0 lângă această rămăşiţă, care îm dă 40, aceste împărţite prin 8, dau 5 de câtori, carile înmulţit prin împărţitoriul 8 dă 40, product ecval cu acel depe urmă împărţit. După subtragere nu rămâne nimică, deci fracţia 7/8, prefăcută în zăcimale, ecvalează cu 0,875. 
        
        A preface o fracţie zăcimală în fracţie ordinară. 
        98. Nimică nu este mai uşor decât prefacerea unei fracţii zăcimale în fracţie [94] ordinară; să cuvine numai a o răduce la cea mai simplă expresie; aşadar 0,75 să răduc la 3/4 împărţind pe numărătoriul 75, şi pe numitoriul 100 prin 25, fiindcă 0,75 este tot acea ce şi 75/100. 
        Întrebare. 
        99. A unui stânjăn 2/7 câte fac palme şi linii? 
        Aşăz această fracţie ca în cazul trecut precum urmează: 
        2: 7 = 16/ 14/ 2/ 8/ 16/ 14/ 2/ 12/ 24/ 21/ 3 = palme 2, palmace 2, linii 3 3/7. 
        Şi fiindcă 2 nu cuprind pe 7, înmulţesc 2 prin 8 spre a avea palme, productul 16 [95] cuprinde pe împărţitoriul de 2 ori, şi rămân 2 care înmulţesc prin 8 ca să am palmace. După ce fac divizia îm rămân 2 care înmulţesc prin 12, ca să am linii, după împărţirea şi subtragerea esă 3 rămăşiţă, care de asemene aş putea înmulţi prin 12 spre a avea puncturi, dar eu mă mărginesc a scrie rămăşiţa după linii, dându-i de numitor pe împărţitoriul 7. 
        Din care să arată că douî şeptimi a unui stânjin ecvalează cu 2 palme, 2 palmace şi 3 3/7 linii. 
        100. Având palme, palmace, linii... bani, seau dramuri... şi că să propune a le uni în o singură fracţie, să cuvine a răduce palmele în palmace, palmacile în linii,... banii în şalăi,... şi a da acelui depe urmă product, de numitori, pe numărul carile exprimează raportul acestor unimi cătră unimea prinţipală. Să facem aceasta mai lămurit prin un exemplu.
        Fie 3 palme, 2 palmace, 6 linii, a să exprima prin o singură fracţie. Una palmă preţuind 8 palmace, trii palme preţuesc de 3 ori 8 seau 24 palmace, care adăogându-să cătră 2 palmace ce am avut, fac 26 palmace. Un [96] palmac preţueşte 12 linii, deci 26 palmace vor preţui 312 linii, cătră care mai adaog 6 linii ce am avut, şi totul ecvalează cu 318 linii. Acest număr va fi numărătoriul fracţiei cii nouî; rămâne a să afla raportul liniei cătră stânjăn, seau, ce şi tot acea, de a şti câte linii sânt în un stânjăn: lucrul este uşor. Un stânjăn are 8 palme, palma 8 palmace;  deci stânjănul preţueşte 8 ori 8, 64 palmace; palmacul având 12 linii, apoi stânjănul va preţui 12 ori 64 seau 768 linii. Pun acest număr sub 312 şi fracţia 312/768 a unui stânjăn ecvalează cu 3 palme, 2 palmace, 6 linii. 
        
        DE NUMERE COMPLEXE 
        seau de întregi unite cu fracţii ( Vorbind absolut un număr complex este un număr fracţional, adecă compus de întregi unimi cu fracţii. 2 stănjini 4 palme seau 2 1/2 stânjini; seau 5/2 cm: sânt expresii ecvivalente) 
        101. Adiţia numerilor complexe. 
        Spre a să face adiţia numerilor complexe nu să întâmpină nicio greotate. Dintăi să se adaogă fracţiile după ce să vor răduce* [97] la tot acel numitoriu, de este de trebuinţă; să se facă extragerea celor întregi, deacă aceasta somă le cuprinde, şi să se adaogă cătră cealanţi întregi. Fie aceste douî numere 27 5/8, şi 12 7/8; 5/8 şi 7/8 făcând 12/8, extragu pe întregul  şi-m rămâne 4/8 seau 1/2; adaog pe întregul cătră soma de 12 şi 27 şi soma totală ecvalează cu 40; scriu 1/2 în urma sa, şi soma cerută este 40 1/2. 
        Să se adaogă 3 stânjini 5 palme 4 palmace, plus 5 stânjăni 3 palme 7 palmace, plus 6 stânjăni 0 palme 6 palmace. Scriu aceste trii numere precum mai jos să vede, încât stânjănii să fie sub stânjăni, palmele sub palme, palmacele sub palmace. 
        Stânjăni 3 + 5 + 6 =15, Palme 5 + 3 + 0 =2, Palmace 4 + 7 + 6 =1. 
        Apoi adaog 4, 7 şi 6 palmace, soma lor este 17, dar fiindcă 8 palmace fac o palmă (vez tabla măsurilor) apoi 17 palmace fac 2 palme şi 1 palmac, scriu pe acest din urmă în colona palmacilor, iar acele douî palme  le [98] ţân la mână, le adaog cu 5 şi 3 şi am 10 palme; dar pentru că 10 palme fac 1 stânjin şi 2 palme, scriu aceste din urmă în colona palmelor şi ţân 1 stânjin la mână pe care îl adaog cu acii următori 3, 5 şi 6 care fac 15, ce scriu la colona stânjinilor: deci soma totală ecvalează cu 15 stânjini, 2 palme şi 1 palmac. 
        
        Subtragerea numerilor Complexe. 
        102. Pentru de a face această operaţie, subtrage dintăi fracţiile de la fracţii; şi, deacă acea pe care o voim a subtrage nu să cuprinde în acea de la care o voim subtrage, împrumută un întreg şi prefă-l în fracţie, care, adăogită cu fracţia aflătoare la a ei dreaptă, va da o somă putincioasă de a cuprinde pe fracţia giosnică.
        Să propune a subtrage 5 4/7 de la 8 3/7;
        8 3/7 – 5 4/7
        3/7 necuprinzând pe 4/7, împrumut o unime de la ţifra 8, care preţueşte 7/7, aceste adăogite cu 3/7 fac 10/7; subtrag 4/7 de la 10/7, şi  [99] rămân 6/7, ţifra 8 preţuind acuma numai 7, subtrag 5 de la 7, îm rămân 2: încât rezultatul operaţiei este 2 6/7. 
        Să înţălege că deacă fracţiile nu ar avea tot acel numitori, atunce ar trebui a le reduce (83). 
        A subtrage 5 stânjăni 9 palme, 5 palmace de la 7 stânjăni 4 palme 6 palmace. 
        Stânjini 7 – 5 =1 palme 4 – 9 =3 palmace 6 – 5=1 
        După ce am scris şi am orânduit acele douî câtimi, precum să vede mai sus, subtragu dintăi 5 palmace de la 6, diferenţia 1 o scriu sub colona palmacilor, trec la colona palmelor, şi zic: deacă 9 palme scad de la 4, cât îm rămâne? însă aceasta nu să poate, deci împrumut 1 seau un stânjăn de la ţifra 7, care este spre stânga de 4, şi pentru că un stânjin are 8 palme, adaog 8 cu 4 şi am 12, de la care subtrăgând 9 rămân 3 palme, care scriu în a lor colonă, sub ţifra 9, în urmă subtragu 5 stânjăni de la 6, ţifra 7 fiind înpuţinată* [100] de o unime decând am împrumutat de la ia, am 1 stânjăn de rămăşiţă, încât rezultatul total ecvalează cu 1 stânjăn 3 palme 1 palmac. 
        Adiţia şi subtragerea de litre, dramuri, lei, bani, de palme şi alte asemene, lesne să face când este ştiut câte dramuri fac o litră, leul din câţi bani să alcătueşte, stânjănul din câte palme, care aceste să vor găsi în o tablă înadinsă la capătul acestei cărţi. 
        
        Înmulţirea prin numere complexe. 
        103 Înmulţirea numerilor complexe este numai aplicaţia teoriei fracţiilor. Să poate întâmpla douî cazuri: înmulţitoriul poate fi un număr simplu, seau un număr complex. 
        Exemplu a unui înmulţit complex prin un înmulţitoriu simplu. 
        Să propune a să înmulţi. 
        7 3/5 prin 6 = 42 + 3 3/5 
        Înmulţesc 7 prin 6, care îm dă 42, aceste le scriu sub cele întregi, după aceasta înmulţesc fracţia 3/5 prin 6, care, după [101] regulă, (82) îm dă 18/5, seau 3 întregi şi 3/5: scriu 3 întregi la colona celor întregi, şi după adiţie productul ecvalează cu 45 3/5. 
        Să propune a înmulţi: 
        Stânj. 5 Palme 2 Palmace 3 prin 4. 
        Reduc 2 palme şi 3 palmace la o singură fracţie, precum s-au lămurit (100) care fac 19/64 de stânjăn, încât propunerea să răduce a înmulţi: 5 stân.19/64 prin 4. 
        Această operaţie este chear tot acea ce şi acea trecută, încât să cuvine a înmulţi: 
        5 stân. 19/64 prin 4. 
        S-ar mai putea răduce totul în fracţii, încât 5 stân. 2 palme 3 palmace s-ar răduce în 339 de stânjini /64 A înmulţi prin 4 
        Operaţia este uşoară a să face, după cele ce s-au zis (92). 
        104. A înmulţi un număr complex prin [102] un număr complex.
        Fie 4 2/5 A să înmulţi prin 3 3/7 
        Înmulţesc pe întregii 4 prin 3, care îm dă 12 de product a întregilor prin întregi. 
        Înmulţesc fracţia 2/5 prin 3, şi vine 6/5, seau 1 întreg plus 1/5 (81): scriu pe întregul sub 12 ce am căpătat, şi înmulţesc 4 prin 5/7, care îm dă 12/7, seau 1 întreg şi 5/7; scriu pe întregul sub întregile, şi alăture 5/7 ce rămân. 
        În urmă înmulţesc fracţia 2/5 prin 3/7, şi vine, precum s-au zis (93), 6/35 care scriu la colona fracţiilor. 
        Încât productul total este: 
        12 + 1 1/5 + 1 5/7 + 6/35 Ecval cu 14 38/35 
        Seau, după cele lămurite (81) 15 3/35 
        A înmulţi 42 lei 80 bani prin 5 stânj. 6 palme 7 palmace 
        Răduc palmele şi palmacele în o singură fracţie, precum s-au zis (100) încât operaţia să preface. 
       [103] A înmulţi 42 lei 80/120 bani prin 5 stânj. 55/64. 
        Acele ce s-au zis (104) sânt îndestule spre a operui în cazul propus.
        Deacă voim ca productul să exprimeze lei, apoi fracţia care să va afla în urma celor întregi, să o socotim fracţie a leului, şi a o tractarisi, spre a preţui în bani, precum s-au zis (99). 
        Voind ca productul să însămneze stânjini, atunce fracţia să va socoti ca cum ar exprima părţi de stânjăn, şi a o preţui în palme... să se urmeze după No. (99). 
        Altă manieră: Lei 42 . 5 st. 210/ 3/ 21/ 10/ 2/ 1 bani 80 . 6 pal. 7 palmace 40/ 40/ 80/ 80/ 40/ 80 = 250 
        Să zicem cumcă s-au făcut această întrebare: la săpatul unui puţ s-au tocmit de stânjăn 42 lei 80 bani, adâncimea puţului [104] au eşit 5 stânjăni 6 palme 7 palmace, cât să cuvine a să plăti pentru acest lucru?  spre a îndestula întrebarea, cuvintez şi operez în chipul următori: deacă de lucru să plăteşte câte 42 lei 80 bani stânjănul, 5 stânjăni vor ţânea de 5 ori pe atâta, deci înmulţesc 42 lei prin 5, şi 210 scriu la productul în colona leilor, mai înmulţesc şi 80 bani prin 5, şi îm vin 400 bani seau 3 lei 40 bani, scriu 3 la colona unimilor de lei a productului şi 40 la colona banilor; trec la palmele înmulţitoriului, le decompun în 4 plus 2 şi zic: deacă un stânjăn ţâne 42 lei, 80 bani, 4 palme, care sânt giumătate de stânjăn, vor ţânea giumătate de această somă, seau 21 lei, 40 bani, care scriu la colona leilor şi a banilor; acesta au fost productul de 4 palme, îm rămâne a mai înmulţi prin 2 palme, care este uşor luând aminte că 2 palme este a patra parte de un stânjăn, căci atunce să cuvine lua a patra parte de acea ce costiseşte un stânjăn, adecă a patra parte de 42 lei 80 bani, adecă 10 lei 80 bani, seau 2 palme fiind giumătate de 4 palme, eu giumătatea* [105] de acea care au costisit 4 palme, adecă giumătate de 21  l. 40 bani, care iarăş vine 10 l: 80 bani, rezultat scriu la product, după acea nu-m rămâne alta decât a înmulţi prin 7 palmace, eu le descompun în 4 plus 2 plus 1 palmac, şi fiindcă 2 palme au costuit 10 lei 80 bani, 4 palmace care este a patra parte de 2 palme, vor costisi a patra parte de acea somă, adecă 2 lei 80 bani, scriu acest rezultat la product, şi eu giumătate de el pentru productul de 2 palmace, decompuse, care sânt giumătate de 4 palmace, scriind la product 1 leu 40 bani, îm rămâne încă a înmulţi prin 1 palmac, carile fiind giumătate de 2 palmace neapărat îm va da giumătate de productul lor, adecă giumătate de 1 leu 40 bani seau 80 bani, care scriu sub colona banilor. Nu-m rămâne alta decât a face adiţia spre a avea productul total, carile ecvalează cu 250 lei, cheltuiala ce va ţânea săpatul acelui puţ, făcând operaţia prin fracţii rezultatul va fi tot acela. 
        
        De împărţirea numerilor complexe. 
        105. Împărţirea numerilor complexe, precum* [106] şi înmulţirea de acest feliu, poate îmfăţoşa câteva deosăbite cazuri, pentru că împărţitoriul poate fi simplu seau compus; să mai poate întâmpla ca împărţitul să fie simplu, iar împărţitoriul compus. 
        A împărţi numărul complex 14 2/5 prin simplul împărţitor 4. 
        Scriu amândouî numere în chipul următor: 14 2/5 :4 12/ 2/ 5/ 10/ 2/ 12/5 4/ 12/20 =3 3/5 şi împărţind pe întregile 14 prin 4; vine 3 la câtoriu; înmulţind pe împărţitul 4 prin 3, vine 12, care substrasă de la 14, dă pe rămăşiţa 2. 
        Prefac aceste 2 în cincimi spre a le adăogi cu 2/5 după metodul (82), şi totul face 12/5; împărţesc 12/5 prin 4 (94), şi îm vine 12/20, seau (83) 3/5. 
       [107] De ar fi a să împărţi stânjăni, urmaţi de palme, palmace, linii & prin un număr simplu, atunce s-ar răduce palmele, palmacii, liniile în o singură fracţie (100), şi s-ar operui ca în cazul trecut. 
        106. Încă uşor este a face această împărţire fără asemene operaţie pregătitoare. 
        Fie 18 stân. 4 palme 3 palmace de un pământ a să împărţi între 5 fraţi: Stânj. 18 Palme 4, palmace 3 : 5 =15/ 3/ 8/ 24/ 4/ 28/ 25/ 3/ 8/ 24/ 3/ 27/ 25/ 3 =st. 3 pa. 5 palmace 5 3/5 
       [108] Împărţesc 18 prin 5, şi îm vin 3 la câtoriu; înmulţind şi scăzând îm rămân 3 st. pe cari-i răduc în palme înmulţindu-le prin 8, care îm dă 24 palme, cătră aceste adăogând 4 palme a împărţitului, am 28 palme, aceste împărţind prin 5 dau la câtoriu 5, după înmulţire şi subtragere îm rămân 3 palme, aceste le răduc în palmace înmulţindu-le prin 8, şi cătră acest product adăogând 3 palmace a împărţitului am 27, care împărţind prin 5 îm dau 5 la câtoriu cu o rămăşiţă de 3 palmace care aş putea răduce în linii înmulţindu-le prin 12, dar mă mărginesc întru aceasta şi pun aceste douî palmace în forma fracţii, dându-i de numitor pe împărţitoriul 5, pe care o scriu în urma palmacilor la câtoriu, ce s-au făcut 3 st. 5 palme 5 3/5 palmace. 
        107. A împărţi un număr complex prin un număr complex. 
        Pentru de a face  asemene operaţie, să cuvine a răduce pe împărţitoriul în număr necomplex: aceasta să va lămuri prin exemplul următori. 
       [109] Fie 8 3/5 a să împărţi prin 4 2/3. 
        8 3/5 : 4 2/3 =3/ 24 9/5 / 25 4/5 / 14/3 = 14 
        Aceste douî numere aşăzându-să după cuviinţă, răduc pe acei întregi 4 a împărţitoriului în triimi (82), care îm dă 14/3; şterg pe numitoriul 3 a le acestui nou împărţitori, şi înmulţesc pe împărţitul prin 3 (96), care îm dă 24 9/5, seau mai simplu 25 4/5 de nou împărţit. 
        Nu rămâne alta decât de a împărţi 25 4/5 prin numărul întreg 14, precum s-au arătat (105). 
        La întâmplare când am avea stânjăni, palme, palmace... seau lei, bani, şalăi... atunce deosăbitele fracţii s-ar răduce la o singură (100) şi s-ar urma precum mai sus. 
        108. Să poate încă şi lăsa această pregătire; iată un exemplu: 
        Să cere a să împărţi 36 lei 34 bani prin 3 stân. 5 palme. 
       [110] Lei 38/ 8 304/ 3/ Bani 48/ 24 Stân. 3/ 8/ 24/ 5 palme 5 = lei 307 bani/ 24 / 29 
        Prefac stânjăni în palme înmulţindu-i prin 8, care îm dă 24 apoi adăogite cu 5 palme fac 29 palme seau 29/8 a stânjănului. 
        Ştergu pe numitoriul 8 a le acestei fracţii ce prin aceasta să face de opt ori mai mare (96) şi pe împărţitul îl înmulţesc prin 8 spre a păstra raportul ce are să fie între el şi între împărţitoriul (96). 
        Deci noul împărţit este 307 lei 24 bani a să împărţi prin 29, care operaţie să urmează precum mai sus (106), răducând 17 lei ce au rămas în bani, înmulţindu-i prin 120, şi adăogându-i acei 24 bani a împărţitului, împărţesc pe noul împărţit 2064 prin împărţitoriul 29, această operaţie îm dă la câtoriu 10 lei 71 5/29 bani. 
       [111] 109. A împărţi un număr simplu prin un număr complex.
        Nimică mai uşor decât această operaţie, deacă s-au pătruns bine marşa urmată în împărţirile trecute. Căci, nu este alta decât a face pe împărţitoriul necomplex, şi a înmulţi pe împărţitul prin numitoriul a împărţitoriului, ce l-am fost şters. 
        Să propune a împărţi 15 prin 3 1/7. 
        15 : 3 1/7 / 7 / 7 / 21 / 1 / 105 / 22 / 88 / 17 = 4 17/22 
        Reduc pe întregii împărţitoriului în şeptimi, care îm dă 21, aceste adăogite cu 1/7 care am avut, fac 22/7; dar las pe numitoriul 7, prin carile înmulţesc pe împărţitul 15, după care cererea să răduce a împărţi 105 prin 22, după regula arătată (96). 
       [112] 
        DE RAPORTURI, REZONE ŞI PROPORŢII. 
        110. Când douî numere să comparează (alăturează) între sine, atunce să cearcă a cunoaşte raportul lor. Douî numere să pot comparui în douî maniere. 
        111. Ori că voim a şti cu cât unul întrece pe altul seau este întrecut, şi atunce rezultatul acestei comparaţii să cheamă raport aritmetic. Pentru de a cunoaşte raportul aritmetic care este între numerile 5 şi 3, scad 3 de la 5 spre a cunoaşte cu cât el este întrecut, şi am 2 de raport. 
        112. Seau că voim a cunoaşte de câteori un număr cuprinde pe altul, care să poate avea prin împărţire. Iar câtoriul seau rezultatul, să cheamă raport gheometric. Pentru de a cunoaşte raportul gheometric. de 6 la 3, împărţesc 6 prin 3, iar câtoriul 2 este raportul căutat. 
        Douî numere cu raport aritmetic să scriu în acest chip: 5. 3, dispărţindu-le prin un punct, carile însămnează este la seau sânt la 5.3, seau 5 este la 3 însămnează tot acea. 
       [113] Douî numere socotite în raport gheometric, să scriu în acest chip 6: 3, puind între ele douî puncturi, care însămnează este seau sânt la.
        113. Acel întăi număr a unui raport gheometric să numeşte antecedent, iar al doile consecvent, şi amândouî numere să numesc termine a raportului. 
        114. Fiindcă o fracţie este câtoriul (18) a unei împărţiri, fieşcare fracţie să poate socoti ca şi oricare împărţire ca cum ar face un raport gheometric, a căruia numărătoriul seau împărţitul ar fi antecedentul, iar numitoriul seau împărţitoriul consecventul. 
        115. Douî raporturi ecvale înformează acea ce să numeşte proporţie. 
        Acele patru numere ce înformează o proporţie să împart în extreme şi în miezine, în antecedente şi în consecvente: extremile sânt acel dintăi şi acel depe urmă, celelante douî sânt acele miezine. 
        Antecedentile sânt acel întăi şi acel al triile, consecventele sânt al doile şi acel depe urmă. Să mai deosăbeşte încă* [114] acel întăi antecedent, al doilea antecedent, întăiul consecvent şi al doile consecvent.
        116.  Pentru de a scrie o proporţie aritmetică, amândouă termine a fieşcăruia raport să deosăbesc prin un punct, iar amândouî raporturi prin douî puncturi, care însămnează precum. În proporţia gheometrică să pun douî puncturi între terminile fiecăruia raport, şi patru puncturi între douî raporturi. 
        Exemplu unei proporţii aritmetice. 2.3 : 4.5, care să rosteşte: douî sânt la trii, aritmetic, precum patru sânt la cinci. 
        Exemplu unei proporţii gheometrice: 2:4 :: 3:6, care să rosteşte: douî sânt la patru precum (simplu) trii la şese. 
        117. O proporţie să numeşte continua dacă amândouî miezine sânt tot acel număr. Încât 2:4 :: 4:8 este o proporţie gheometrică continuă.
        Pentru de a însămna o proporţie aritmetică continuă, să scrie înaintea ei douî puncturi puse unul sub altul şi dispărţite prin o liniuţă, precum să vede aice: -:3. 
       [115] 4.4.5; dar atunce terminul miezin să scrie numai odată.
        Asemene înaintea unei proporţii gheometrice continua să scrie o liniuţă orizontală iar deasupra şi dedesuptul ei încâte douî puncturi precum urmează:
        :: 2 :4 :4 :8 . 
        118. Însuşimea cea mai însămnată a unei proporţii aritmetice este că soma extremilor ecvalează cu soma miezinilor. 
        Fie proporţia aritmetică 2 . 3 :4. 5; făcând soma celor extreme 2 şi 5, vom avea 7; acea a miezinilor 3 şi 4 este de asemene 7, iată cuvântul.
        Proporţia propusă s-ar putea scrie în chip următori: 2.2 +1 :4. 4+1, care nici cum nu schimbă valore acestori termine, şi să vede, fără nicio îndoială, că soma extremilor 1 + 4 +2, are a ecvalui pe soma miezinilor înformată tot din acele numere 2 +1 +4. 
        119. În o proporţie gheometrică, productul extremilor ecvalează cu productul miezinilor. Exemplu: 2 : 4 :: 3 :6. 
       [116] Înmulţesc pe extremul 6 prin extremul 2, şi vin 12; asemene înmulţesc pe miezinul 4 prin miezinul 3, şi vine iar 12. Să  lămurim cuvântul acestei însuşimi. 
        120. Pentru că o fracţie reprezentează un raport, apoi un raport s-ar putea pune sub forma fracţii; şi pentru că douî raporturi ecvale înformează o proporţie, acea care propăşeşte s-ar putea scrie în acest chip: 2/4 ecvalează 3/6. 
        Reduc aceste fracţii la acea mai simplă expresie împărţind amândouî termine acii dintăi prin 2, şi acele de al doile prin 3; ele să fac:
        1/2 = 1/2. 
        Aşez amândouî fracţii 1/2 în proporţie, puind pe ai lor numărători la antecedenţi, pe ai lor numitori la consecvenţi, şi am 
        1 : 2 :: 1 : 2. 
        Acuma lesne îm este a înţălege, dice productul celor extreme ecvalează pe productul celor miezine; căci vederat este că să cuvine a înmulţi 1 prin 2 din una şi altă parte. 
        Dar ar putea să urmeze oarecare îndoială [117] despre adevărul acestei lămuriri; deci eu reduc iar proporţia 1 : 2 :: 1 : 2 la starea în care au fost la început, şi însămnez că pentru aceasta să cuvine a înmulţi terminii acelui dintăi raport prin 2, şi pe acii a raportului al doile prin 3; dreptacea scriu proporţia în următoriu chip: 1 X 2 seau 2 : 2 X 2 seau 4 :: 1 X 3 seau 3 : 2 X 3 seau 6. seau simplu 1 X 2 : 2 X 2 :: 1 X 3 : 2 X 3. 
        Pentru de a face productul celor extreme, înmulţesc 1 prin 2, acest product iarăş prin 2 şi pe acest din urmă prin 3, pentru de a face productul celor miezine, înmulţesc asemene 1 prin 2, şi 2 prin 3; şi fiindcă factorii sânt deopotrivă de o parte şi de alta, încheiu cumcă şi productii au să fie de asemene. 
        121. Din aceste urmează că deacă cunoaştem trii termine, oricare a unei proporţii aritmetice seau gheometrice, deapurure este cu putinţă a găsi pe al patrile. 
        122. Să cere a afla pe al patrile termin a următoarei proporţii aritmetice. 2. 3 : 4. 
        Fiindcă soma miezinilor ecvalează pe soma [118] extremilor, fac soma miezinilor cunoscute 3 şi 4 şi care este aice 7, şi apoi zic: extrema 2 care o cunosc adăogită la acea care lipseşte va face asemene 7, deci nu-m rămâne alta decât a subtrage 2 de la 7, şi rămăşiţa 5 va fi terminul căutat.
        123. Deacă s-ar cere a să afla unul din miezinile, atunce s-ar face soma celor extreme de la care s-ar subtrage pe miezinul cunoscut. 
        124. A găsi pe terminul al patrile a unei proporţii gheometrice. 
        Fie proporţia 2 : 4 :: 3 : 
        Înmulţesc pe miezinul 4 prin miezinul 3, vine 12; după acea cuvintez aşa: fiindcă productul celor extreme este ecval cu productul celor miezine (119), extremul cunoscut 2, înmulţit fiind prin acela ce nu-l cunosc, asemene ar da 12; împărţesc 12 prin 2, şi câtoriul 6 este extremul căutat. 
        Deacă ar fi unul din miezinile care ar lipsi, atunce s-ar înmulţi extremile unul prin altu, iar productul s-ar împărţi prin miezinul cunoscut. 
        125. Terminile unei proporţii gheometrice [119] pot fi supuse la deosăbite permutaţii  (strămutări) fără a fi jignite a ei însuşimi. 
        Să luăm proporţia 1 : 2 :: 3 : 6. 
        Această proporţie poate fi supusă la următoare strămutări, fără să înceteză a fi ecval productul extremilor cu acel a miezinilor. 1:2 ::3:6, 1:3 ::2:6, 2:1 ::6:3, 2:6 ::1:3, 3:6 ::1:2, 3:1 ::6 :2, 6:3 ::2:1, 6:2 ::3:1. 
        Spre a fi în stare de a da cuvântul despre toate schimbările la care pot fi supuse numerile ce compun o proporţie gheometrică, să cuvine purure a o socoti ca cum ar fi compusă din douî fracţii ecvale. 
        
        DE PROGRESII. 
        126. Sânt douî feliuri de progresii; progresia aritmetică, şi progresia gheometrică. 
       [120] 
        De progresia aritmetică. 
        127. Progresia aritmetică este un şir de termine, din care fieşcare întrece pe propăşitoriul său, seau este întrecut de tot acea câtime cu care întrece pe următoriul său, seau este de el întrecut. 
        Numerile naturale 1, 2, 3, 4, 5, ... sânt o progresie aritmetică, fiindcă fieşcare termin este de o unime mai mare decât acela ce-l propăşeşte. O progresie aritmetică să scrie în chipul următori: 
          1.2.3.4.5.6... 
        Acele douî puncturi dispărţite prin o liniuţă care să află la început însămnează că să cuvine repetui fieşcare termin a progresii, afară de acel dintăi şi acel din urmă, şi a zice: 1 este la 2 ca 2 este la 3, ca 3 este la 4, ca 4 este la 5... 
        128. Tot  acea diferenţie care este între toate terminile consecutive a unei progresii aritmetice, să numeşte rezonul (raţia) progresii. Îndată ce să va lua oarece aminte la firea unei progresii aritme-tice*, [121] să va înţălege că spre a o înforma, îndestul este a cunoaşte terminul întăi şi diferenţia seau rezonul care are să fie statornic între toate termine. Căci, depe diferenţia ce s-au dat de această progresie, terminul al doile să compune de acel întăi plus rezonul. 
        Al triile termin este compus din al doile, plus rezonul seau din acel întăi plus de douî ori rezonul. 
        Al patrile termin este compus din al triile, plus rezonul, deci din acel întăi termin plus de trii ori rezonul, şi aşa mai departe. 
        129. Din aceste să cuvine deci încheia că orice termin a unei progresii aritmetice este compus din acel întăi plus de atâte ori rezonul câte termine să află înaintea sa. 
        Şi deacă terminul întăi ar fi chear însuş rezonul, atunce oricare alt termin a progresii ar fi ecval cu rezonul luat de atâte ori câte termine s-ar afla înaintea sa. î1.2.3.4... este o progresie de acel feliu. 
       [122] 130. Din aceste urmează: 
        1). Că terminul întăi a unei progresii şi rezonul acestei progresii fiind cunoscute, să poate îndată, cunoaşte pe oricare din terminile următoare; fie progresia. c 2.5.8... 
        Care este a ei al noule termin? 
        Fiindcă să cere al noule termin, vederat este că acest al noule termin este compus de opt ori rezonul, plus întăiul termin 2; dar rezonul seau diferenţia este 3, deci terminul cerut ecvalează cu 8 ori 3 seau 24, plus terminul întăi 2, seau 26, în faptă 26 să află terminul al noule a progresii l 2.5... de să va urma pănă acolo. 
        2). Mai urmează încă din proprietăţile unei progresii aritmetice mai-sus însămnate, că între douî numere să pot înşâra atâte numere câte vom voi, încât totul să fie în progresie aritmetică, care aceasta să numeşte a înşăra între douî numere mai multe miezine aritmetice. 
       [123] De exemplu, să pot lega 3 şi 13 prin patru miezine aritmetice aşa încât aceste patru miezine să facă cu 3 şi 13 o progresie aritmetică. 
        Iată cum să cuvine urma întru aceasta. 
        Fiindcă numerile ce să propun de a să înşăra sânt miezine, urmează că 3 şi 13 sânt cele douî extreme, adecă că 3 va fi acel întăi termin a progresii, şi 13 acel depe urmă. Dar 13 este compus din acel întăi termin 3 şi de cinci ori rezonul, seau de atâte ori rezonul câte termine sânt înaintea sa. Deci subtragu 3 de la 13, rămân 10; împărţesc 10 prin 5, numărul terminilor ce trebui să propăşască pe 13, pentru că au a să înşăra patru miezine, şi că avem pe acel întăi carile este 3. Câtoriul de 10, împărţit prin 5, este 2; deci 2 este rezonul seau diferenţia care are a domni între toate terminile. Deci eu pe întăiul termin 3, i adaog rezonul 2, şi am 5 de al doile termin a progresii; adaog rezonul 2 la 5, şi vine 7 de terminul al triile; operuez tot în acel chip pentru de a găsi pe al patrile* [124]... şi progresia îndeplinită este. . 3.5.7.9.11.13. 
        131. A face soma tuturor terminilor de o progresie aritmetică. Pentru aceasta să cuvine adăogi pe terminul întăi cătră acel depe urmă, a lua giumătatea somelor sale, şi  a înmulţi această giumătate de somă prin numărul  terminilor progresii. Fie progresia n 2.5.8.11.14 a căria termine s-ar cere a să adăogi; adaog pe acel întăi cu acel depe urmă, şi zic, 2 şi 14 fac 16; eu giumătatea de 16, şi am 8 pe care înmulţesc prin 5, ce este numărul terminilor progresii, şi îm vin 40 pentru soma totală a tuturor terminilor, căci, 2+5+8+11+14 fac 40. 
        Să lămurim cuvântul acestui metod, 
         2.5.8.11.14 
         14.11.8.5.2. 
        Pentru aceasta, prescriu progresia de mai sus p 2.5.8..., pun subt acel întăi termin 2 pe acel depe urmă termin 14, subt al doile termin 5 pe acel înainte dinurmă termin 11, şi aşa mai departe, încât [125] am o nouî progresie, din care, întru adevăr, toate terminile sânt tot acele ce şi acii trecute, însă scrise pe rândul invers. Cu toate aceste nu-i îndoială că soma acestor termine trebui să fie tot acea ca în progresia susnică, fiindcă purcegând de la dreapta aflu 2.5.8...şi 14. Observez acuma că soma a douî termine, ce răspund la fieşcare proporţie, este ecvală cu 16, adecă că 2 şi 14 fac 16; 5 şi 11 fac asemene 16... din care urmează că adiţia de cinci termine de douî progresii în acest feliu adăogite ar înforma cinci ori 16, seau 80, şi vederat este că 80 ar fi soma a tuturori terminilor a douî progresii; însă acele douî progresii sânt compuse absolut tot din acele termine, deci soma terminilor a fieşcăria trebui să ecvaleze cu giumătate de 80, seau cu 40. 
        Nu rămâne alta decât a lămuri di ce  16 este soma a douî termine corespondente în fieşcare progresie, oricare ar fi; spre a agiunge la acel scopos, să cuvine a-ş aduce aminte că un orcare termin a unei progresii aritmetice este ecval cu întăiul termin a le [126] acestei progresii, plus de atâte ori rezonul câte termine sânt înaintea sa. Deci, când zic 2 şi 14, văd că adaog terminul întăi a progresii susnice cu acel din urmă, carile cuprinde pe terminul întăi, plus de patru ori rezonul: deci soma 16 de 2 şi 14 cuprinde de douî ori terminul întăi 2, plus de patru ori rezonul. Mai însămnez că soma 16 de 5 şi 11, douî termine corespondente următoare în acele douî progresii, cuprinde şi de douî ori pe întăiul termin 2, plus de patru ori rezonul; căci, 5 şi 11 fiind unul şi altul termine a le progresii s2.5... cuprind odată fieşcare pe întăiul termin 2; apoi 5 fiind terminul al doile a tot acei progresii, cuprinde odată pe rezonul, iar 11 îl cuprinde de trii ori, ca unul ce este al patrile termin a progresii; deci ii doi singuri cuprind de patru ori rezonul, şi fieşcare odată pe întăiul termin 2: deci a lor somă 16 cuprinde de douî ori pe terminul întăi 2, plus de 4 ori rezonul. Noi nu vom trece mainainte cu această lămurire, socotind că din cele zise îndestul s-au înţăles. 
       [127] 
        De progresii gheometrice. 
        132. O progresie gheometrică este un şir de termine dintre care fieşcare cuprinde pe acela ce-i urmeză, seau este în el cuprins, de atâte ori decât el însuş să află cuprins în acela ce-l propăşeşte seau că îl cuprinde. Să numeşte rezonul au raţia câtoriul carile exprimează decâte ori un termin este cuprins în un altu: seau îl cuprinde. 
        Progresia gheometrică să scrie în acest chip: ee 2:6:18:54... şi să rosteşte 2 este la 6, cum 6 este la 18, cum 18 este la 54, cum 54... 
        133. Oricare termin a unei progresii gheometrice este ecval cu acel întăi înmulţit prin productul de atâte dăţi rezonul câte termine sânt înaintea sa. 
        Rezonul, în progresia gheometrică de mai sus, este 3; căci al doile termin 6 cuprinde pe acel întăi 2, de 3 ori chear precum 18 cuprinde pe 6, ce-l propăşeşte de 3 ori, şi chear precum 54 cuprinde pe 18, de 3 ori. [128] 54 este ecval cu acel întăi termin 2 înmulţit prin 3 X 3 X 3, seau productul de atâte ori rezonul  câte termine sânt înaintea sa. Căci, 3 ori 3 fac 9, 9 ori 3 fac 27, 27 ori întăiul termin 2, seau 27 ori 2 fac chear 54. 
        Problemu. Cunoscând terminul întăi a unei progresii gheometrice, şi rezonul, a găsi al şeptele. 
        134. Pentru de a îndestula această cerere fac productul de 6 ori rezonul, de atâte ori câte sânt termine înaintea celui al şeptele, şi înmulţesc acest product prin întăiul termin cunoscut, productul total este terminul căutat. 
        Fie acel întăi termin cunoscut 3, iar rezonul carile trebui să domneze în progresie 2, fac productul de 6 ori acest rezon, seau de 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2, şi zic: 2 ori 2 fac 4, 4 ori 2 fac 8, 8 ori 2 fac 16, 16 ori 2 fac 32, 32 ori 2 fac 64; înmulţesc 64 prin 3, terminul întăi a progresii, şi vine 192 pentru al şeptele termin cerut a progresii. 
       [129] 
        DE PERMUTAŢII ŞI COMBINAŢII 
        135. Prin permutaţie să înţălege deosăbitele maniere de a aşăza un hotărât număr de lucruri, unile cătră altele. 
        Combinaţiile sânt un cazu particular a permutaţiilor: ele să cuprind în deosăbitele maniere de a lua un hotărât număr de lucruri, unul la unul, douî la douî, trii la trii. 
        
        De permutaţii. 
        136. Să reprezentăm prin literile alfabitului obiectile care au a să supune permutaţilor. 
        Să vede cumcă o literă seau obiect a nu poate cuprinde decât un singur loc; dar deacă am avea un al doile obiect b, atunce s-ar putea schimba a+b de douî ori, scriind pe una seau pe alta din început, şi atunce ar fi a b seau b a. Fie un al triile obiect c, acesta ar putea cuprinde trii locuri în fieşcare din aranjamentile trecute, adecă, el va putea fi la stânga seau la dreapta de [130] a b seau b a, şi între aceste douî litere; care dă şesă nouî aranjamente prin agiutoriul a trii litere, abc, acb, bac, bca, cab, cba. 
        O a patra literă ar putea cuprinde patru deosebite locuri în fieşcare din aranjamentele celor trii litere, adecă la început, între acea întăi şi a doua, între a doua şi acea depe urmă, şi la capăt; care ar face patru aranjamente nouî cu fieşcare din cele şesă trecute, şi piste tot douzăci patru aranjamente. 
        O a cincea literă ar cuprinde cinci locuri în fieşcare din douâzăci patru feliuri acelor patru litere, putând fi la început, întră cea întăi şi a doua, între aceasta şi a tria, între a tria şi a patra, şi la capăt; care ar face cinci deosăbite figuri cu fieşcare din cele trecute douâzăci patru, şi în totul de 5 ori 24, seau 120 figuri fieşcare din cinci litere. 
        137. Din aceste urmează, că o literă seau un obiect nu este supus decât unui singur aranjament; că douî lucruri pot înforma douî deosăbite figuri, seau 1 X 2; că trii lucruri înformează şesă figuri, seau [131] 1 X 2 X 3; că patru lucruri dau douâzăci patru, seau 1 X 2 X 3 X 4; în urmă că cinci lucruri înformează o sută douâzăci, seau 1 X 2 X 3 X 4 X 5. 
        Încât, spre a cunoaşte toate schimbările la care poate fi supus un număr de obiecturi, să se facă productul tuturori numerilor, de la unime pănă la numărul dat de obiecturi seau de unimi ce au a să permuta. 
        Problemă. câte cuvinte deosăbite să pot face cu şesă litere deosăbite? 720. 
        De acea zic: 1 dat 2 fac 2, 2 ori 3 fac 6, 6 ori 4 fac 24, 24 ori 5 fac 120, 120 ori 6 fac 720. 
        Iată deosăbitele cuvinte ce să pot înforma cu cuvântul mora. mora omra ramo  aorm moar omar raom aomr mroa orma rmao armo mrao oram rmoa arom maor oamr roma amro maro oarm roam amor 
        
        De combinaţii 
        138. La permutaţii, să caută a şti în câte [132] chipuri să poate aranjui un hotărât număr de lucruri luându-le toate deodată; în combinaţii, scoposul este a cunoaşte în câte feliuri să poate aşăza un număr dat de obiecturi, luându-le douî câte douî, trii câte trii... şepte câte şepte. 
        139. Să se propue de a cunoaşte câte cuvinte din douî litere să pot face cu 6 litere a, b, c, d, e, f. 
        Văd că puind a dintăi vom avea aa, ab, ac, ad, ae, af; şi de vom pune b dintăi vom avea bb, ba, bc, bd, be, bf, adecă şesă cuvinte din douî litere precum în cazul trecut; din aceste încheiu că fieşcare literă, fiind întăi va da şesă cuvinte: dar fiindcă sânt şesă litere, deci vom ave 6 ori 6, seau 36 cuvinte câte de douî litere înformate prin 6 litere luate douî câte douî. 
        Să vedem câte cuvinte s-ar înforma tot cu acele litere luate trii câte trii. 
        Vederat este că puind a dintăi în cele triizăcişesă cuvinte din douî litere acuma înformate, vom avea triizăcişesă cuvinte de trii litere începătoare cu a. 
        b, fiind acea întăi tot în acele triizăcişesă [133] cuvinte din douî litere, asemene ar da trizăcişesă cuvinte din trii litere începătoare toate cu b. Pentru asemene rezon, c, fiind dintăi, asemene ar da triizăcişesă cuvinte din trii litere, începătoare prin c. 
        Şi precum sânt şesă litere, şi că fieşcare literă pusă la început dă triizăcişesă cuvinte, să înţălege că acele şesă litere vor da de şesă ori triizăcişesă seau douî sute şesăsprezăce cuvinte din trii litere seau 6 X 6 X 6.
        De am voi înforma cuvinte de patru litere tot cu acele şesă litere, atunce s-ar aşăza a, b, c... fieşcare la începutul fieşcăruia cuvânt de trii litere acuma înformate; şi precum sânt douî sute şesăsprezăce, fieşcare literă fiind întăi va da  douî sute şesăsprezăce cuvinte de patru litere; deci acele şesă litere ar da de şesă ori douî sute şesăsprezece, seau o mie douî sute nouzăcişesă cuvinte fieşcare din patru litere, seau 6 X 6 X 6 X 6, product ecval cu 1296. Pentru de a avea cuvinte din cinci litere, s-ar cuvini pune pe rând fieşcare literă la începutul de o mie douî sute nouâzăci şesă [134] cuvinte de patru litere, care ar da o mie douî sute nouâzăci şesă cuvinte începătoare cu a, tot atâte începătoare prin b, asemene atâte prin c..., seau de şesă ori o mie douî sute nouâzăci şesă seau 7776, product ecval cu 6 X 6 X 6 X 6 X 6. 
        140. Luând aminte la acele ce am urmat pentru de a înforma, cu a, b, c, d, e, f, cuvinte de douî, trii, patru şi cinci litere, vom vedea: 1-) că numărul cuvintelor de douî litere, este ecval cu 36 seau cu productul de şesă, numărul literilor, prin însăş sine, seau cu 6 X 6; 2-) că cuvintele de trii litere sânt în număr de 216, seau de 36 ori 6, care este tot acea ce şi 6 X 6 X 6; 3-) că cuvintele de patru litere sânt la număr 1296, productul de 216 prin 6, seau de 6 X 6 X 6 X 6. Tot acea observaţie ne face cunoscut că cuvintele din cinci litere sânt la număr de 7776, product de 6 X 6 X 6 X 6 X 6. Din aceste să poate încheia că, spre a avea deosăbitele aranjamente a unui hotărât număr de lucruri luate douî câte douî trebui a face productul de douî ori acel număr de lucruri; pentru de a avea aranjamentile* [135] trii câte trii, ... a face productul de şepte ori, de opt ori acest număr de lucruri pentru de a avea aranjamentele şepte câte şepte, opt câte opt... 
        Kâte deosăbite aranjamente ar cuprinde, douî lucruri, a şi b, luându-să cinci câte cinci? 
        Pentru de a răspunde la această întrebare, fac productul de cinciori 2 carile exprimează numărul lucrurilor ce au a să combina, şi zic 2 X 2 X 2 X 2 X 2 ecvalează cu 32, care îm dă numărul figurilor ce pot înforma douî lucruri luate cinci câte cinci. 
        Urmând acestui metod, s-ar găsi, că douî lucruri luate zăce câte zăce, douâsprezece câte douâsprezece, ar înforma 1024 şi 4096 deosăbite tablo. 
        
        DE REGULA DE TRII. 
        141. Prin regula de trii să înţălege o regulă prin care date fiind trii numere, să caută un al patrile carile să fie în proporţie cu acele date. 
        142 Regula de trii să numeşte simplă, [136] când expresia cererii cuprinde numai patru câtimi, din care trii sânt cunoscute. 
        143. Regula de trii să numeşte compusă, când terminii proporţii cătră care atărnă câtimea căutată să compun de mai multe câtimi care să cuvine mainainte a calcului (socoti) chear după starea cererii. 
        144. O regulă de trii este directă, când după starea cererii, câtimea care are a să găsi să cuvine a fi cu atâta mai mare seau cu atâta mai mică cu cât acea, cu care immediat ia este legată, ce să numeşte a ei relativă, este ia însaş mai mare seau mai mică. 
        145. O regulă de trii să numeşte inversă, când după expresia cererii, câtimea care să caută are să fie cu atâta mai mică cu cât a ei relativă este mai mare, seau cu atâta mai mare cu cât a ei relativă este mai mică. 
        146. Ştiut este că în o regulă de trii întră patru câtimi. Din aceste patru, douî sânt de tot un feliu, şi alte douî iarăş de un feliu, dar deosăbite de acel întăi; şi pentru de a aşăza după cuviinţă acele termine, să cuvine scrie: 
       [137] Acel mai mare a feliului întăi este la acel mai mic de tot acel feliu precum acel mai mare de feliul al doile este la acel mai mic de tot acel feliu. 
        Seau, acel mai mic a feliului întăi este la acel mai mare a tot acelui feliu cum acel mai mic de feliul al doile este la acel mai mare a tot acelui feliu. 
        Exemple: 
        Problema întăi. 60 coţi de o stofă au costisit 660 lei, cât vor costisi 25 coţi? 
        Dispoziţie. 60 coţi, 660 lei. 25 – x (terminul neştiut). 
        Vederat este că 25 coţi vor costisi mai puţin decât 60, deci x trebui să fie mai mic decât 660. 
        Deci proporţia va fi: x, acel mai mic a feliului întăi, este la 660, acel mai mare a tot acelui feliu, cum 25, acel mai mic de feliul al doile, este la 60, acel mai mare de tot acel feliu. x:660 :: 25:60 
        Din însuşimea acestei proporţii gheometrice (119) urmează că x extremul, ecvalează [138] cu 660 miezinul, înmulţit prin 25, alt miezin, şi productul împărţit prin 60, al doile extremu. 
        x = 660X25/60, seau x = 66X25/6, 
        Ştergând o nulă la numărătoriu şi la numitoriu x =11X25. 
        Împărţind prin 6 pe numărătoriul şi pe numitoriu, 
        Făcând înmulţirea, 25 X 11 25/ 25 = 275. 
        Deci 25 coţi vor costisi 275 lei. 
        Pruba 
        60 coţi au costisit 660 lei, câţi coţi vom cumpăra cu 275 lei? 
       [139] Dispoziţia. 
        660 lei 60 coţi. 275 – x 
        Vederat este că cu 275 lei vom cumpăra mai puţină stofă decât cu 660 lei. Deci x trebui să fie mai mic decât 60. 
        Vom ave deci proporţia aceasta: 
        x: 60 :: 275:660 
        x =60X275/660
        Ştergând o nulă la numărătoriu şi una la numitoriu, vom avea
        x = 6X275/ 66
        x = 275/11 
        Împărţind prin 6 pe numărătoriu şi pe numitoriu; 
        x=25 
        Extraguind întregile din expresia fracţională. 
        Deci cu 575 lei vom cumpăra 25 coţi. 
        Asemene s-ar putea căuta celelante douî termine; dar aceasta să face nefolositoriu [140] fiindcă prin aceasta din urmă să vede că regula trecută au fost adevărată. 
        Problema II. Un curier au făcut o cale de 100 mile în 25 ceasuri; cât drum va face în 8 ceasuri? 
        Dispoziţie. 
        100 mile 25 ceasuri x – 8 ceasuri 
        Vederat este că în 8 ceasuri va face mai puţin drum decât în 25: deci x este mai mic decât 100. 
        Deci vom avea proporţia. 
        x, acel mai mic de feliul întăi, este la 100, acel mai mare de tot acel feliu, cum 8, acel mai mic de al doile feliu, este la 25, acel mai mare de tot acel feliu. 
        x: 100 :: 8:25, 
        x=100X8/25 
        Făcând înmulţire avem 800 împărţite prin 25, care îm dă 32. 
        Deci curierul va face în 8 ceasuri drum de 32 mile. 
        Pruba 
        Un curier au făcut 32 mile în 8 ceasuri câtă* [141] vreme îi trebueşte ca să facă 100 de mile? 
        Dispoziţie 
        32 mile 8 ceasuri. 
        200 – x 
        Vederat este că pentru de a face 100 mile trebueşte mai multă vreme decât pentru de a face 32 mile. Deci x trebui să fie mai mare decât 8. 
        Deci vom avea proporţia: 
        x, acel mai mare a feliului întăi, este la 8, acel mai mic atot acelui feliu, cum 100, acel  mai mare de al doile feliu, este la 32, acel mai mic a tot acelui feliu. 
        x:8 :: 100:32 
        x= 8X100/32, 
        x = 800/32,
        Simplificuind x=200/8 x=50/2 x=25. 
        Încât curierului vor trebui 25 ceas. ca să poată face o cale de 100 mile. 
       [142] Problema III. O moşie a căria cumpărătură este de 160,000 lei, să dă în posesie pe an, câte 10,200 lei; să cere a şti cât p.   (proţent seau dobândă) aduce pe an? 
        Dispoziţia. 
160,000 lei capitalul, 10,200 lei proţent. 
        100 – x. 
Vederat este că 100 lei vor aduce mai puţin decât 160,000 lei: deci x este mai mic. 
        Deci vom avea proporţia: 
x, acel mai mic de feliul întâi, este la 10,200 lei, acel mai mare de acest feliu, cum 100, acel mai mic de al doile feliu, este la 160,000 lei, acel mai mare de acelaşi feliu. 
        x :10,200 :: 100:160,000. 
        x=10,200X100/160,000 
        Să pot şterge patru nule la numărătoriu şi patru la numitoriu; încât va rămânea x=102X1/16 
        Înmulţirea prin 1 nu foloseşte pentru că ar aduce* [143] tot acel product, deci îmulţirea nu încape. 
        x= 102/16 simplificând, vom avea 
        x=5/8, 
        Extrăgând pe întregii cuprinşi în această expresie fracţionară, vom avea 6 3/8 p.  .
        Pruba. 
        O moşie cumpărată având a aduce pe an 6 3/8 p. . s-au dat în posesie câte 10,200 lei pe an, să cere a şti preţul cumpărăturii sale? 
        100 capitalul 6 3/8 proţent 
        x – 10,200 lei. 
        Deci x trebui să fie mai mare; vederat este că o dobândă de 10,200 lei ar trebui să aibă un capital mai mare decât 6 3/8 dobândă. 
        Deci vom avea proporţia: 
x, acel mai mare a feliului întăi, este la 100, acel mai mic acestui feliu, cum 10,200, acel mai mare de feliul al doiea, este la 6 3/8 acel mai mic a tot acelui feliu. 
        x : 100 :: 10,200 :6 3/8 
        x= 100X10,200/6 3/8 
       [144] Înmulţirea prin 100 să face adăugând douî 00; deci avem: 
        x = 1020,000/6 3/8 
        Trebue a răduce 6 în fracţie x = 1020,00/51/8 
        x=1020,000:51/8, x=1020,000X8/51; 
        Făcând înmulţirea, vom avea 
        x=8,160,00/51 
        Împărţindu-să prin 51, avem 
        x=160,000 lei. 
        Probleme de dizlegat. 
1) Un neguţitori au cumpărat cafe de 24,000 lei, să întreabă a şti cu cât trebui să o vândă pentru ca să căştige 15 p.   ? 
        Urmând precum sus să vede să arată: cumcă ar trebui să vândă această cafe cu 27,600 lei pentru de a căştiga 15 p.  . Adecă el va căştiga 3600 lei. 
[145] 2) O oaste de 12,000 soldaţi închisă în o cetate are proviant pe 6 luni (seau 180 zile), cătră acest garnizon să adaug încă 3000 soldaţi, să întreabă pe câte zile li va agiunge proviantul? 
        Li va agiunge pe 144 zile. 
        
        DE REGULE DE TRII COMPUSE. 
        147. Regule de trii compuse sânt acele în care întră mai multe decât patru termine. 
        Acest feliu de regule să dizleagă răducându-le la regule de trii simple. 
        Problema I. 
        240 lucrători în 90 zile au făcut, lucrând câte 8 ceasuri pe zi, un canal de 360 palme lungime. Să cere a şti 300 lucrători câte zile vor întrebuinţa, lucrând câte 12 ceasuri pe zi, pentru de a face un canal de 640 palme? 
        Dispoziţia. 
        240 lucrători 90 zile 8 ceasuri 360 palme 
        300   –            x –    12 –          640 
        Făcând dintăi abstracţie de ceasuri şi de [146] lucru, cererea să va răduce la aceasta: 
        240 lucrători au întrebuinţat 90 zile de a face oarecare lucru; 300 lucrători câte zile vor întrebuinţa pentru de a face tot acel lucru? 
        Dispoziţia. 
        Regula I. 240 lucrători 90 zile. 
        300 – x. 
        x trebui să fie mai mic decât 90, pentru că vederat este că fiind mai mulţi lucrători spre a face tot acel lucru, ii vor lucra mai puţine zile. 
        x, acel mai mic din feliul întăi, este la 90; acel mai mare de tot acel feliu, cum 240, acel mai mic de feliul al doile este la 300, acel mai mare de tot acel feliu. 
        x : 90 :: 240 :300 
        x =90X240/300 
        Să pot disface amândouî nule la numărătoriu şi la numitoriu. 
        x =9X24/3 
        Să poate lua o triime la numărători şi [147] o triime la numitoriu, şi atunce împărţirea va lipsi. 
        x=9X8 
        x=72 
        Deci 300 de lucrători vor întrebuinţa 72 zile. 
        Acuma luând aminte şi la ceasurile, vom zice: lucrând 8 ceasuri, trebuesc 72 zile, câte zile vor trebui lucrând câte 12 ceasuri? 
        Dispoziţie. 
        Regula II. 8 ceasuri 72 zile 12 – x. 
        x trebui să fie mai mic decât 72, căci, lucrând mai multe ceasuri pe zi, vederat este că vor întrebuinţa mai puţin timp. 
        x, acel mai mic de feliul întăi, este la 72, acel mai mare de tot acel feliu, cum 8, acel mai mic de feliul al doile, este la 12, acel mai mare de tot acel feliu. 
        x: 72 :: 8 :12 
        x =72X8/12 
        x =576/12 
       [148] Simplificuind, luând douâsprezăcimea, avem: 
        x =48 zile. 
        Lucrând câte 12 ceasuri pe zi, să vor întrebuinţa 48 zile. 
        Apoi luând aminte şi la lucru, vom avea această depe urmă cerere:
        Pentru de a face 360 palme, trebuesc 48 zile; câte zile vor trebui pentru de a face 640 palme? 
        Dispoziţia. 
        IIIa Regulă. 360 palme 48 zile 640 – x 
        Vederat este că, pentru de a face lucru de 640 palme, vor trebui mai multe zile decât pentru de a face 360: deci x este mai mare. 
        x, acel mai mare de feliul întăi, este la 48, acel mai mic de tot acel feliu, cum 640, acel mai mare de feliul al doile, este la 360 acel mai mic de tot acel feliu. 
        x :48 :: 640 :360 
        x= 48X360/360 
       [149] Să poate şterge o nulă la numărătoriu şi una la numitoriu 
        x =48X64/36 
        x= 3072/36 
        Simplificând, avem x= 1536/18 x= 768/9 x=256/3 
        Extrăgând pe întregii cuprinşi în această expresie fracţională, avem
        x =85 zile 1/5 seau 8 ceasuri; pentru că sânt 24 ceasuri într-o zi, o 1/3 de 24 fiind 8. 
        Încât 300 lucrători vor întrebuinţa 85 zile 1/3, lucrând câte 12 ceasuri pe zi, pentru de a face un canal de 640 palme. 
       [150] Pruba problemei trecute. 
        300 Lucrători întrebuinţează 85 1/3 zile, lucrând 12 ceasuri pe zi, pentru de a face un canal de 640 palme, 240 lucrători câte zile vor întrebuinţa, lucrând câte 8 ceasuri pe zi pentru de a săpa un canal de 360 palme? 
        Dispoziţie. 
        300 lucrători. 85 1/3 zile, 12 ceasuri 640 palme 
        240      –              x      –     8     –       360 
        Neluând dintăi în samă ceasurile şi lucrul, cererea să răduce la aceasta: 
        300 lucrători au întrebuinţat 85 1/3 zile pentru de a face vreun lucru; 240 lucrători câte zile vor întrebuinţa pentru de a face tot acel lucru?
        Dispoziţie. 
        I Regulă: 300 lucrători 85 1/3 zile
                       240 – x. 
        x este mai mare decât 85 1/3 căci, fiind mai puţini lucrători la săpat, ii vor întrebuinţa mai mult timp. 
       [151] x : 85 1/3 X 30f /24 f 
        x=256/3 X30/24 
După ce am disfăcut o nulă la numărătoriu şi una la numitoriu, x=256X30/3/8 
        x= 2560/3:8 
        x=2560/24 
        Simplificând, vom avea pe rând: x= 1280/12 x= 640/6 x=320/3;
       [152] Extrăgând pe întregii, cuprinşi în această expresie fracţională, vom avea: 
        x = 106 2/3 
240 lucrători vor întrebuinţa 106 2/3 seau 16 ci. 
        Acuma socotind şi ceasurile, vom zice: lucrând 12 ceasuri trebuesc 106 2/3 zile; câte zile vor trebui lucrând 8 ceasuri? 
        Dispoziţia. 
        IIa Regulă. 12 ceasuri 106 2/3 zile 
                            8    –     x. 
        x este mai mare; căci, lucrând mai puţine ceasuri pe zi, cu bună samă să va întrebuinţa mai mult timp. 
        x : 106 2/3 :: 12 : 8 
        x= 106 2/3 X 12/8 
        x= 320/3 X 12/8 
        x= 3840/3:8 
        x= 3840/24; 
       [153] Luând o triime, vom avea: x= 1280/8 
        Luând giumătate: x= 640/4 
        Luând giumătate; x=320/2 
        Extrăgând pe întregii, vom avea: x =160; 
        Lucrând 8 ceasuri, trebuesc 160 zile. 
        Apoi socotind şi lucrul vom avea această depe urmă cerere: 
        Pentru de a face 640 palme trebuesc 160 zile; câte vor trebui pentru de a face 360? 
        Dispoziţia. 
        III a Regulă. 640 palme 160 zile 
                             360     –    x. 
        x este mai mic; să va întrebuinţa mai puţin timp pentru de a face 360 palme de lucru decât de a face 640. 
        x : 160 :: 360 :640 
        x =160X360/640 
       [154] x= 160X36/64 
disfăcând o nulă la numărătoriu şi la numitoriu. 
        x= 160X18/32 
        Luând giumătate de numărătoriu şi giumătate de numitoriu. 
        x =160X9/16 
        Luând iarăş giumătatea de numărătoriu şi giumătate de numitoriu 
        x=1440/16 
        Luând o patrime, x= 360/4 
        Luând iar o patrime, x= 90 
        Încât 240 lucrători, lucrând 8 ceasuri pe zi, pentru de a face un canal de 360 palme, vor întrebuinţa 90 de zile. 
       [155] 
        DE REGULA DE COMPANIE SEAU DE SOŢIETATE. 
        148. Regula de companie este spre a împărţi un număr în porţii seau părţi proporţionale cu numere date. 
        Ia să întrebuinţază la negoţu spre a împărţi căştigurile unei companii; în proporţia somei ce au pus-o fieşcare companion. 
        Exemplu. 
        Trii companioni au făcut oarecare operaţie de comerţu în care au căştigat 60,000 lei, 
        Acel întăi companion au pus la mijloc - - 90,000
        Al doile - - - - - - -  - - - - - - - - - - - - - - - 60,000 
        Al triile - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -40,000 
        Să cere a şti căştigul a fieşcăruia dintre aceşti companioni. 
        Vederat este că fieşcare va avea cu atâta mai mult căştig cu cât va fi pus la mijloc mai mare somă. Deci căştigul de 60,000 lei trebui să se împartă în porţii proporţionale cu punerea fieşcăruia. Noi vom aduna dintăi partnicile puneri pentru de a cunoaşte [156] punerea ghenerală. 90,000 lei + 60,000 + 40,000 = 190,000 punerea ghenerală 
        Deci vom avea următoare proporţie: 
        190,000, gheneralnica punere, este la 60,000 căştigul gheneral, cum 90,000 punere particulară acelui întăi companion, este la x, căştigul particular a tot acelui companion. 
        I a Regula de trii. 
        190,000 : 60,000 :: 90,000 : x 
        x = 90,000X 6f,fff/19f,fff 
        x = 90,000X6/19 
        x =540 000: 19/ 160/ 80/ 40/ 20/ 1 =28421 1/19 câştigă un companion 
       [157] Tot acea marşă să va urma pentru de a face proporţia aceloralanţi companioni, schimbând numai soma punerei particulare. 
        II a Regulă de trii. 
        190,000 :60,000 :: 60,000 : x  
        x = 60 000 X 6f,fff/19f,fff 
        x = 60,000 X 6/19 
        x =360.000/19 
        x = 360 000 : 19/ 170/ 180/ 90/ 140/ 7 = 18947 7/19 
        III a Regulă de trii.
        190,000 : 60,000 :: 40,000 : x.
        x=60,000 X4f,fff/19f,fff 
       [158] x = 240 000/19 
        x = 240 000 : 19/ 50/ 120/ 60/ 30/ 11 = 12631 11/19 
        Acel întăi au căştigat - - - 28421 1/19 
        Al doile - - - - - - - - - - - - 18947 7/19 
        Al triile - - - - - - - - - - - - 12631 11/19 
        Pentru că adăogând căştigul fieşcăruia dintre dânşii, găsim obştescul câştigu 60,000 lei, vederat este că operaţia s-au făcut bine. 
        
        DE REGULA DE INTERES SEAU DE DOBĂNDĂ 
        149. Regula de interes este o operaţie prin care, cunoscând interesul care aduce o somă ştiută în cursul unui timp dat, să hotărăşte interesul seau dobânda care oricare altă somă trebui în proporţie să aducă* [159] iarăş în cursul unui timp dat. 
        Cuvântul de finanţie dinar este numărul carile însamnă de câte ori atâta la sută este cuprins în 100. 
        Aşadar, a împrumuta câte 5 la sută seau cu dinar 20, este tot una. 
        Împrumutând cu folos de 20 dinar, este la fieşcare 20 lei a somei împrumutate, a lua 1 leu dobândă. 
        A împrumuta cu folos de 5 la sută, este la fieşcare 100 lei, a lua 5 dobândă. 
        Regula de interes este simplă seau compusă. 
        Regula de interes simplu. 
        Să cere a cunoaşte dobânda de 15,600 lei câte 4 1/2 p. % pentru 3 ani 11 luni 29 zile. 
        Vederat este că câte sutimi sânt la numărul propus, de atâte ori vor fi 4 1/2; dar în 15 600 lei sânt 156 sutimi. 
        Deci vom avea: 156 X 4 1/2 /624/ 78/702 pentru un an. 
       [160] Având dobânda ce aduce 15,600 într-un an, uşor este a cunoaşte acea care tot acea somă va da în curs de 3 ani 11 luni 29 zile înmulţind dobânzile a unui an prin 3 ani, 11 luni 29 zile.
        702 lei, dobândă pentru un an
        3 ani 11 luni 29 zile
        2106 lei pentru 3 ani.
        Pentru 6 luni – 351  1/2 de an
        Pentru 4 luni – 234 1/3 de an
        Pentru 1 lună – 58,05 1/4 de 4 luni
        Pentru 15 zile – 29,25 1/2 de o lună
        Pentru 10 zile – 19,5 1/3 de lună
        Pentru 3 zile – 5,85 1/10 de o lună
        Pentru 1 zi – 1,95 1/3 de trii zile
        2806,05
        Deci 1560 lei aşăzaţi la dobândă în curs de 3 ani 11 luni 29 zile câte 4 1/2 p.  , vor aduce 280,605 lei.
        Pruba regulei trecute.
        Pruba regulii de interes simplu să face prin regula de trii compusă.
        100 lei aduc 4 1/2 p.   în curs de un an seau 12 luni, câtă dobândă vor aduce 15600 lei [161] aşăzaţi în curs de 3 ani 11 luni 29 zile?
        100 lei. 4 1/2 p. 1 12 luni;
        15600 – x - - 47 29/30 
        Răduc anii mei în luni, pentru de avea mai puţine subîmpărţiri; de asemene aş putea răduce toate în zile; pun zilele în fracţii, luând de numitoriu a fracţii mele pe 30, care este numărul zilelor cuprinse în o lună, pentru că dintăi toate am rădus în luni. 
        I Regulă de trii. 
        100 – 4 1/2; 
        15600 – x 
        100 lei aduc 4 1/2, aşăzaţi pe un hotărât termin; cât vor aduce 15,600 lei aşăzaţi pe acelaş termin? X este mai mare; deci vederat este că 15,600 lei, aşăzaţi pe tot acel termin ce şi 100 lei, vor aduce mai mult. 
        x : 4 1/2 :: 15 600 : 100 
        x = 4 1/2 X 156 ff/1ff 
        x = 9/2 X 156 
        x = 1404/2 
        x = 702 
       [162] Deci 15,600 lei, aşăzaţi pe un an câte 4 1/2, vor aduce 702 lei. 
        II a Regula de trii. 
        15,600 lei, aşăzaţi pe 12 luni, aduc 702 lei; cât vor aduce în 47 luni 29/30? 
        12 – 702 
        47 29/30 – x 
        x este mai mare, căci capitalul aşăzat fiind pe mai mult termin, vederat este că şi dobânda va fi mai mare 
        x : 702 :: 47 29/30 : 12 
        x = 702 X 47 29/30/12 
        x = 702 X 1439/30/12 
        x = 1010178/30 : 12 
        x = 1010178/360
        x = 2806,05. 
        Deci 15,600 lei aşăzaţi la interes pe 3 ani 11 luni 29 zile câte 4 1/2 p. % aduc [163] 2806,05, rezultat potrivit cu regula trecută. 
        
        DE REGULA DOBÂNZILOR COMPUSĂ. 
        150. Patru neguţitori au făcut o întraprindere în care au căştigat 120,000 lei. 
        Acel întăi au pus 100,000 lei în curs de trii luni, şi după aceasta au mai adaos 50,000 lei. 
        Al doile au pus 100,000 lei în curs de patru luni, şi după aceasta au tras îndărăt 50,000 lei. 
        Al triile au pus 100,000 lei în curs de trii luni şi după aceasta au mai adaos 50,000 lei. 
        Al patrule au pus 100,000 lei în curs de nouî luni, şi după aceasta au tras îndărăt 50,000 lei. 
        Soţietatea au ţânut 12 luni; să cere a şti câştigul a fieşcăruia companion. 
        Dizlegarea. 
        Însămnez mainainte că 100,000 lei [164] în curs de 3 luni trebui să dee atâta ce şi 300,000 lei în curs de 1 lună: deci noi vom avea: 
        100,000 X 3 = 300,000 
        La încheerea de 3 luni, el au adaos 50,000 lei, deci acuma sânt în companie 150,000 lei, care rămân păn la încheere, adecă 9 luni, pentru că trii luni s-au trecut. Deci, vom zice ca mai sus: 150,000 lei, în curs de nouî luni trebui să dee atâta cât 9 ori 150,000 lei, în curs de o lună; deci iar vom mai avea: 
        150,000 X 9 = 1,350,000 
        Deci capitalul acelui întăi să poate reprezenta prin: 
        100,000 X 3 = 300,000 +
        150,000 X 9 = 1,350,000 = 1,650,000
        Asemine pentru al doile, vom avea 100,000 lei, în curs de 4 luni, care vor da atâta cât 4 ori 100,000 lei în o lună. 
        100,000 X 4 = 400,000 
        La încheerea acestui timp el au tras [165] 50,000 lei; deci nu i-au rămas alta în companie decât 50,000 lei, carii rămân acolo pân la a ei încheere, adică 8 luni, şi precum mai sus, vom zice că 50,000 lei, în curs de 8 luni dau atâta ce şi 8 ori 50,000 lei, în o lună: 
        50,000 X 8 = 400,000 lei. 
        Ca mai sus, capitalul acelui al doile să va putea reprezenta în chipul următori: 
        100,000 X 4 = 400,000 + 
        50,000 X 8 = 400,000 = 800,000 
        Să cuvine a zice tot acele rezoane şi pentru celelante douî; adică a înmulţi capitalul prin timpul, şi vom avea: 
        Pentru a tria persoană: 
        100,000 X 3 = 300,000 + 
        150,000 X 9 = 1350,000 = 1650,000 
        Pentru a patra persoană. 
        100,000 X 9 = 900,000 + 
        50,000 X 3 = 150,000 = 1.050,000 
        Acuma adunând particularile some puse a fiecăruia, vom găsi punerea tuturor. 
       [166] Punerea acelui întăi 1,650,000 
             al doile    800.000 
     al triile 1,650,000 
  al patrile 1,050,000 
                 Gheneralnica punere 5,150,000 
        Atunce încape iar regula de companie simplă, care să va face după cum s-au arătat şi precum  urmează: 
        I-a regulă de trii. 
        x, căştigul particular acelui întăi, este la 1,650,000 a ca particulară punere, cum 120,000, căştigul tuturor, este la 5,150,000, obştească punere. x : 1,650,000 :: 120,000 : 5,150,000 
        x = 1.650.000 X 12 ffff /515 ffff 
        x = 19800000 : 515 = 4350 / 2300 / 2400 / 3400 / 310 = 38446 310/515 
       [167] II-a regulă de trii. 
        x : 800,000 :: 120,000 : 5,150,000 
        x = 800000 X 12 ffff /515 ffff 
        x = 9600000 : 515 = 4450 / 3300 / 2100 / 0400 = 18640 400/515
        III-a Regulă de trii. 
        x : 1,650,000 :: 120000 : 5,150,000 
        x = 1650000 X 12 ffff /515 ffff 
        x = 19800000 : 515 = 4350 / 2300 / 2400 / 3400 / 310 = 38446 310/515 
        IV-a regulă de trii. 
        x : 1,050,000 :: 120000 : 5,150,000 
        x = 150000 X 12 ffff /515ffff 
       [168] x = 12600000 : 515 = 2300 / 2400 / 3400 / 3100 / 010 = 24466 10/515 
        Acel întăi au căştigat - - 38446 310/515 
        al doile - - - - - - - - - - - -18640 400/515 
        al triile - - - - - - - - - - - - 38446 310/515 
        al patrile - - - - - - - - - - - 24466 10/515 
        soma fracţiilor  - - - - - - - - - - 2 
        Obştescul căştigu - - - - -120000 
        Găsindu-să căştigul cel obştesc prin adunarea căştigurilor particulare, vederat este că operaţia bine s-au făcut. 
        
        REGULE DE SCONTO. 
        151. Regula de sconto este acea prin care să hotărăşte scăderea seau ertarea ce face un creditor, seau pierderea la care el să supune, în folosul unei plăţi anticipate pentru o somă înaintea împlinirii vadelii; această ertare seau pierdere să cheamă sconto. 
        Deci sconto este chear protivă de acea ce să numeşte interes, dobândă seau proţent. 
       [169] 152. Pentru de a calcula dobânda unei some câte 5 p % adecă la sută, să zice: Deacă 100 lei să fac 105 lei, cât să va face o cutare somă? Pentru de a sconta câte 5 la sută să zice: deacă 100 lei să răduc (scad) la 95 lei, la cât să va răduce o cutare somă? 
        153. Sconto este proporţionat la soma şi la timpul a cărora plată să anticipază. El să calculă, ca şi dobânda, cu atâta proţent pe an seau pe lună. 
        Exemple. 
        A afla sconto a unei poliţe de 8400 lei câte 1/2 p % pe lună, pentru 3 luni 12 zile. 
        În 8400 să află 84 sutimi, înmulţesc 84 prin 1/2, care este tot acea ce şi a-i lua giumătatea; căci în fracţii, înmulţirea împărţeşte, iar împărţirea înmulţeşte. 
        Giumătatea de 84 este 42, şi aceasta este sconto a unei luni. 
        42 lei pentru o lună, 
        3 luni 12 zile 
        126 pentru 3 luni 
        pentru 10 zile 14 1/3 de o lună 
        pentru 2 zile 2,8 1/5 de zăce zile = 142,8 lei (96 bani) 
       [170] Pruba. 
        Pruba regulei de sconto să face ca acea a regulei de interes simple, prin regula de trii compusă. 100 lei dau 1/2 pe I lună 
        4800 lei, vor aduce x în curs de 3 luni 12/30. 
        Dispoziţia acei întăi regule de trii. 
        100 – 1/2 – 1 
        8400 – x – 3 12/30 
        x : 1/2 :: 8400 : 100 
        x = 1/2 X 84ff /1 ff 
        x =42 
        Dispoziţia acei a doua regule de trii 
        1 – 42 
        3 12/30 – x 
        x : 42 :: 3 12/30 : 1
        x = 42 X 3 4/10 /1
        x = 42 X 34/10
        x = 1428/10 
       [171] Ştiut este că, pentru de a împărţi prin 10, destul este a pune o comă între acea depeurmă ţifră: deci x ecvalează cu 142,8 seau 8 zăcimi; care rezultat este chear ca şi acel în trecuta opraţie. 
        Alt exemplu: 
        A afla sconto a unui sânet de 7200 lei, pentru 5 luni 21 zile, câte 3/4 de sută pe lună. 
        În 7200 sânt 72 sutimi; deci vom avea: 
        72 X 3/4 = 216/4 
        extrăgând pe întregii din această expresie fracţională, vom afla: 
        54 lei pentru o lună 
        5 luni 21 zile 
        270 pentru 5 luni. 
        Pentru 15 zile 27 lei, 1/2 de o lună, 
        Pentru 6 zile, 10,8 lei 1/5 de o lună 
        = 307,8 lei, seau 96 bani. 
        Pruba. 
        I-a Regula de trii. 
        100 – 3/4 – 1 
        7200 – x – 5 7/10 
       [172] x : 3/4 :: 7200 : 100 
        x = 1/4 X 72 ff/1ff 
        x = 216/4 seau 54: 
        deci x = 54 
        a doa Regulă de trii. 
        1 – 54 
        5 7/10 – x. 
        x : 54 :: 5 7/10 : 1 
        x = 54 X 57/10 /1 
        x = 54 X 57/10 
        x = 307,8 lei, (96 bani) 
        Rezultat întocma cu a regulei trecute. 
        
        REGULA DE ALEGAŢIE 
        154. Alegaţia este unirea a mai multor metale la un loc topite seau a mai multor mărfuri la un loc numai amestecate. 
        Scoposul regulei de Alegaţie este: 
        1. Mai multe lucruri a cărora câtimi şi valore particulare sânt cunoscute, fiind amestecate, a afla preţul amestecării. 
        2. Cunoscând preţul particular a mai multor lucruri, a hotărî în care raport să cuvin* [173] ele a să alega, spre a face o amestecătură a unui preţ dat. 
        Exemplu. 
        S-au cumpărat trii feliuri de grăuri, cu preţuri deosebite; voim a şti cât vor ţinea unul cu altul. 
        6 merţă grâu câte 24 lei, înmulţind 24 prin 6, îm dau 144 lei. 
        10 merţă ovăs câte 17 lei, înmulţind 17 prin 10, îm dau 170 lei. 
        7 merţă orz câte 15 lei, înmulţind 15 prin 7, îm dau 105 lei. 
        Făcând apoi adiţia de 144, 170, 105, preţurile fieşcăruia feliu de grăunţă, aflu 419, care va fi împărţitul meu. 
        Făcând apoi adiţia şi de numărul merţilor, 6, 10, 7, aflu 23 de împărţitoriu. Făcând împărţirea, văd că aceste grăunţe amestecate costisesc, una cu alta, 18 lei 14/23. 
        Alt exemplu. 
        Să întrebuinţază 200 lucrători, din care 50 să plătesc câte 40 lei pe lună, 70 câte 30 lei, 50 câte 25 şi 30 câte 20 lei, câte cât vine fieşcare lucrătoriu unul cu altul? 
       [174] 50 lucrători, câte 40 lei pe lună fac cheltuială de- -2,000 lei + 
     70 - - - 30  - - - 2,100 +
              50 - - - 25 - - - 1,250 +
              30 - - - 20 - - - - 600 
        = 5,950 lei.
        Deci cheltuiala plăţii a 200 lucrători este 5,950 lei pe lună, şi împărţind 5950 prin 200, aflu că fieşcare lucrătoriu vine la 29 lei 90 bani pe lună. 
        
        DE REGULA FALSILOR POZIŢII. 
        155 Aceste regule sânt acele prin care să cuvine a înpărţi un număr în porţii proporţionale cu oarecare numere ce să hotărăsc în atârnarea stării a vreunei cereri. 
        Pentru de a face această împărţire, adeseori, nu este lipsă de alta decât de o singură supoziţie (prepunere) a porţiilor proporţionale cătră acele a unui număr pe carile să cuvine împărţi, dar adeseori este nevoie a să face şi douî supoziţii; noi vom urma acelui întăi cazu, al doile fiind pre greu. 
       [175] Exemple: 
        A împărţi 658 lei, între trii persoane în chip ca a doua să aibe de trii ori pe atâta cât acea întăi, şi a tria atâta ce şi amândouî celelante la un loc. 
        Prepun că porţia acii dintăi persoane este 1 leu. 
        Porţia acii a doua va fi 3 lei, fiindcă ia are de trii ori pe atâta ce persoana întăi. Iar porţia persoanei al triile va fi 1 leu + 3 lei, seau 4 lei, pentru că ia are atâta ce şi cele douî la un loc. 
        Deci totimea acestor trii porţii este 8. 
        1 + 3 + 4 fac 8. 
        Dară supoziţia ce am făcut este falsă (neadevărată) pentru că îm dă numai 8 lei pentru totimea porţiilor supozate; când totimea acelor adevărate porţii este 658 lei. Încă vederat este că părţile supozate sânt proporţionate cu acele adevărate porţii. 
        Deci noi vom cunoaşte pe acele adevărate porţii prin aceste trii proporţii: 
        8, Totimea porţiilor supozate, este la 1, partea porţiilor supozate, cum 658, totimea adevăratelor porţii, este la x, porţia cea [176] adevărată.
        8 : 1 :: 658 : x 
        x = 658 X 1/8 
        x = 658/8 
        x = 658 :8 =18/ 20/ 40/ 0 = 85,25 
        Deci porţia acelui dintăi este 82,25 lei. 
        a doua Regula de trii. 
        8 : 3 :: 658 : x 
        x = 658 X3/8 
        x = 1974/8 
        x = 1974 : 8 = 37/ 54/ 60/ 40/ 0 = 246,75 Porţia acelui al doile este 246, 75 lei, [177] care să vede chear că este de 3 ori pe atâta ce şi acea întăi somă, numai de 82,25 lei. 
        III a Regula de trii. 
        8 : 4 :: 658 : x 
        x = 658 X 4/8 
        x = 2632/8 
        x = 2632:8 = 23/ 72/ 0 = 329. 
        Porţia acelui al triile este 329 lei, pentru că ia este chear atâta ce şi amândouî celelante la un loc; somarisind porţiile celelante, vom afla neapărat 329 lei. 
        Porţia acelui întăi - -28,25 lei, 
         al doile - - 246,75 
                       = 329 lei. 
        Apoi, deacă operaţia noastră bine au urmat puteam face adiţia porţiilor, şi atunce vom afla totimea lor.
        Porţia acelui întăi - - 82, 25 lei 
                    al doile - - - 246, 75 
                   al triile - - -  329,00 
                                    = 658 lei. 
       [178] Alt exemplu. 
        A împărţi numărul 720 în trii porţii, încât acea întăi să fie la a doua cum 3 este la 4, şi ca a doua să fie la a tria cum 5 este la 6. 
        Să supozuim că porţia întăi este exprimată prin 1, făcând această proporţie: 3 : 4 :: 1 : x, un al patrule termin. 
        x = 1X4/3 
        x = 4/3 
        Reprezentuind a doua porţie 
        Făcând această altă proporţie: 
        5 : 6 :: 4/3 : x, 
        al patrile termin, ce trebui să fie porţia a trea. 
        x : 4/3 :: 6 : 5 
        x = 4/3 X 6 /5
        x = 24/3 : 5 
        x = 24/15 seau 8/5, a trea porţie. 
        Totimea acestor trii porţii este 1 + 4/3 + 8/5 [179] adecă (răducând pe amândouî fracţii la tot acel numitori) 15/15 + 20/15 + 24/15; făcând adiţia fracţiilor, aflăm 59/15, care este o falsă supoziţie. 
        Dar acele adevărate porţii vor eşi făcând aceste trii proporţii: 
        I Regula de trii. 
        59/15 :1 :: 720 : x 
        x = 720 X 1 /59/15 
        x = 720 : 59/15 
        x = 720 X 15/59 
        x = 10800 : 59 
        x = 183 3/59 întăia adevărată porţie. 
        II a Regulă de trii. 
        59/15 : 4/3 :: 720 : x 
        x = 720 X 4/3 X 59/51 
        x = 2880/3 : 59/51 
        x = 2880/3 X 51/59 
       [180] x = 45200/177 seau 14400/59. 
        În urmă x = 244 4/59, a doua adevărată porţie. 
        III a Regulă de trii. 
        59/15 : 8/5 :: 720 : x 
        x = 720 X 8/5 / 15/59 
        x = 5760/5 : 15/59 
        x = 5760/5 X 59/15 x = 86400/295 seau 17280/59 
        În urmă x = 292 52/59, a tria adevărată porţie. 
        Făcând adiţia acelor trii porţii, trebui să aflăm 720, deacă operaţia bine s-au făcut. Porţia acelui întăi - -183 3/59 
                                   Al doile - - 244 4/59 
                                  Al triile - - 292 52/59 
                             Soma fracţiilor - - 1
                                                     = 720 
       [181] Alt exemplu. 
        A afla un număr a căruia giumătate, patrimea şi cincimea fac la un loc 60. 
        Să reprezentăm pe numărul căutat prin 1; a sa giumătate va fi 1/2, a sa patrime 1/4, şi a sa cincime 1/5. 
        Reduc aceste trii fracţii 1/2, 1/4 1/5, la tot acel numitoriu; şi să face 20/40, 10/40, 8/40, seau 10/20, 5/20, 4/20. 
        După aceste fac adiţia care îm dă 19/20 totimea porţiilor supozuite.
        Supoziţia este falsă; însă ia va da pe adevăratul număr, făcând această simplă regulă de trii. 
        Deacă fracţia 19/20 cuprinde pe 1/2, pe 1/4, şi pe 1/3 de 1, de care număr 60 va cuprinde pe 1/2, pe 1/4 şi pe 1/5? 
        19/20 : 1 :: 60 : x 
        x = 60X1 / 19/20 
        x = 60 : 19/20 
        x = 60 X 20/19 x = 1200/19 x = 63 3/19 
       [182] Luând giumătatea, patrimea şi cincimea de 63 3/19, trebui să aflăm 60 adunând aceste numere, deacă operaţia noastră bine s-au făcut.
        Împărţind 63 3/19 pe rând prin 1/2, 1/4 şi 1/5, aflăm: 
        1/2 de 63 3/19 este 600/19, 
        1/4 - - - - - - - - - - - 300/19, 
        1/5 - - - - - - - - - - - 240/19 
        Adunând aceste fracţii, avem 1140/19. Extrăgând pe întregile cuprinse în această expresie fracţională, aflăm 60. 
        La capătul acestei cărţi vor urma câteva deosăbite probleme de dezlegat. 
        
        DE CVADRATE ŞI DE EXTRAGERE RĂDĂCINILOR LOR.
        156. Prin cvadratul unui număr să înţălege productul acestui număr înmulţit prin însuş sine: 4 este cvadratul de 2, pentru că este productul de 2X2; 9 este cvadratul de 3, pentru că 3X3 ecvalează cu 9. Deci nu este nimic mai uşor decât a înforma cvadratul unui număr; pentru aceasta destul este a înmulţi pe acest număr* [183] prin însuş sine. Pentru de a înforma cvadratul de 5, înmulţesc 5 prin 5, şi productul 25 este cvadratul cerut. 
        157. Numărul, carile, înmulţit prin însuş sine, au produs un cvadrat, să numeşte rădăcina acestui cvadrat. 2 este rădăcina cvadratului 4, 3 este rădăcina cvadratului 9. Tabla (27) cuprinde toate cvadratile a numerilor exprimate prin o singură ţifră, care sânt: 
        Rădăcini 1. 2. 3.  4.    5.   6.   7.   8.  9. 
        Cvadrate 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64. 81. 
        158. Fieşcare număr întreg seau şi fracţionar, prin însuş sine înmulţit, înformează un deplin cvadrat; dar oricare număr nu este cvadrat, adecă fieşcare număr nu este productul exact a unui alt număr înmulţit prin însuş sine. 
        Precum s-au văzut nu este nicicum greu a înforma cvadratul unui număr, însă nu este totdeauna de asemene uşor a cunoaşte rădăcina cvadrată a oricăruia număr propus. 
        159. Iată marşa ce vom urma pentru de a găsi metodul ce are a să întrebuinţa spre [184] a putea discoperi această rădăcină. 
        Pentru de a vedea acele ce urmează la facerea unui cvadrat, să facem cvadratul de 12. 
        10 + 2 
        10 + 2 
        20 +4 
        20 
        100 
        Nu să va sschimba valore de 12 deacă să va socoti compus din 10 + 2, deci scriu 10 + 2 în loc de 12, şi înmulţesc 10 + 2 prin 10 + 2, 
        Şi zic: 2 ori 2 fac 4, care scriu la colona unimilor; apoi zic 2 ori 10 fac 20, seau douî zăcimi, care scriu la colona zăcimilor. 
        Înmulţesc apoi prin 10 a înmulţitoriului zicând, 10 ori 2 fac 20, seau 2 zăcimi, care scriu sub 20, la colona zăcimilor; în urmă, 10 ori 10 fac 100, seau zăce zăcimi, care scriu la colona sutimilor: deci cvadratul de 12 este 100 +2 ori 20 + 4. 
        Dar oare ce este 100? ia este productul de 10 prin 10, seau cvadratul de 10, singura zăcime* [185] ce să cuprinde în 12; găsesc apoi 2 ori 20, şi însămnez că întăiul 20 este productul de 10 prin 2, şi că al doile este productul de 2 prin 10, seau, care tot una este, de 10 ori prin 2: deci 20 şi 20 sânt de douî ori productul  a zăcimei de 12 prin a ei unimi 2. În urmă găsesc 4 unimi, şi îm aduc aminte că ele sânt productul de 2 a înmulţitului, prin 2 a înmulţitoriului. 4, după acele trecute, este cvadratul de 2, simple unimi a numărului 12. Deci lămurind pe scurt acest rezultat a observaţiilor mele, încheiu că cvadratul de 12 cuprinde: 
        1. Cvadratul zăcimilor, 
        2. 2 ori productul zăcimilor prin unimi. 
        3. şi cvadratul unimilor. 
        160. Dar orcare număr de mai mult de o ţifră este compus din zăcimi şi din unimi; deci să poate înforma cvadratul de oricare număr, operuind cum am făcut pănă acuma spre a înforma pe cvadratul de 12, vederat este că rezultatul va fi tot acela, adecă că al său cvadrat va fi compus din cvadratul zăcimilor, plus de douî ori productul zăcimilor [186] prin unimi, plus cvadratul unimilor. 
        161. Să facem aplicaţia acestor prinţipii; dar, mainainte de a trece mai departe să însămnăm: 
        1). Că cvadratul acelui mai mare a tuturor numerilor din o singură ţifră are ţifre numai douî: 81 este cvadratul de 9; deci orce cvadrat compus din douî ţifre, are numai una la rădăcină. 
        2) Că orice cvadrat compus din mai multe de douî ţifre, are cel puţin douî la rădăcină, fiindcă o sută, cel mai mic din numere compus din mai mult decât din douî ţifre, are de rădăcină 10 compus din douî ţifre. 
        3) Că cvadratul de zăcimi are a să afla numai în sutimi seau în miini, în milionini ... multiplu de o sută, pentru că cvadratul a unei singure zăcimi este o sută seau o sutime. 
        162. A extrage rădăcina cvadrată din 529. 
        5,29 /4 /12,9 /43 /2 /00 =23
       [187] Scriu 529, precum mai sus se vede, şi trag o linie perpendiculară în dreapta acestui număr. Zic, fiindcă numărul propus are mai mult de douî ţifre, urmează a fi rădăcina sa un număr de mai mult de o ţifră; deci ia va avea zăcimi şi unimi, şi cvadratul zăcimilor negăsindu-să decât în sutimi, prin o comă dispart de la 529 zăcimile şi unimile simple, seau douî ţifre, şi caut cvadratul zăcimilor  a rădăcinii în 5, seau 5 sutimi care rămân, şi zic: care este cel mai mare cvadrat cuprins în 5? 4, a căruia rădăcină cvadrată este 2; scriu aceste 2 după 529, şi dincolo de liniuţă; apoi spre adeveri deacă 2 este rădăcina cvadrată de 5, fac cvadratul de 2, şi esă 4 care scriu sub 5; fac subtragerea, şi rămâne 1, seau o sutime. Cobor clasul 29 alăture cu aceasta rămăşiţă 1, şi cuvintez în acest chip: rămăşiţa 129 trebui să cuprindă douî ori pe productul zăcimilor prin unimi, şi cvadratul unimilor. Dar productul zăcimilor prin unimi nu poate fi decât în zăcimile rămăşiţii 129. Deci despart prin o comă acele 9 simple unimi, şi zic: fiindcă [188] 12, seau 12 zăcimi a rămăşiţii 129, este productul de douî ori zăcimile rădăcinei prin unimi, împărţind 12 prin îndoitul zăcimilor rădăcinei (38) vor eşi unimi la câtoriu; deci îndoesc ţifra 2 a zăcimilor rădăcinei acuma aflate, acest îndoit este 4; împărţesc 12 prin 4, şi am 3 la câtoriu, pe carele scriu la rădăcină, spre dreapta de 2, şi spre a mă încredinţa de am lucrat bine, scriu 4 îndoitul zăcimilor a rădăcinei sub zăcimile rămăşiţii 129; după aceste scriu 3; ţifra unimilor rădăcinei, sub 9, simple unimi de 129, şi înmulţesc 4 şi 3 seau 43  prin 3, subtrag productul de 129; deci zic 3 ori 3 fac 9, scad de la 9, rămâne 0; 3 ori 4 fac 12, scad de la 12, rămâne 0; încât încheiu că 23 este rădăcina cvadrată de 529, pentru că dintăi am scăzut cvadratul zăcimilor care era 400, apoi productul de douî ori zăcimi, seau 40, prin unimile 3, care product este 120; în urmă cvadratul unimilor 3 carile este 9: deci 529 ecvalează în adevăr cu 400 + 120 + 9. 
       [189] 163. Care este  rădăcina cvadrată de 1849? 
        18,49 /16 /24,9 /83 /3 /00 = 43 
        Fiindcă numărul propus are mai multe decât douî ţifre, vor să fie zăcimi la rădăcină; deci caut cvadratul lor în sutimi, şi despart prin o comă douî ţifre spre dreapta, şi zic: care este mai mare cvadrat cuprins în 18? 16, a căria rădăcină este 4. Scriu 4 la rădăcină, îl înmulţesc prin însuş el, şi scriu cvadratul său sub 18; fac subtragerea, şi rămân 2, lângă care cobor rămăşiţa 49; totumul înformează 249 rămăşiţă totală, care trebui să cuprindă de douî ori productul zăcimilor prin unimi, şi cvadratul unimilor; productul zăcimilor prin unimi neputându-să afla decât numai în zăcimi, despart, prin o comă, unimile 9 de la 249, şi împărţesc, precum mai sus, 24 prin 2 ori zăcimile 4 a rădăcinii, seau prin 8: câtoriul este 3, seau unimile căutate a rădăcinii. Scriu 3 lângă 4 a rădăcinei; apoi scriu 3 sub 9 unimi simple de [190] 249, şi 8, îndoitul zăcimilor 4, sub ţifra 4 a zăcimilor de tot acel număr, şi înmulţesc 83 prin 3, ţifra unimilor a rădăcinei; subtragu productul de 249, şi îm rămâne 0; deci 43 este rădăcina cvadrată de 1849.
        164. Care este rădăcina cvadrată de 15376? 
        1,53,76 /1, /05,3 /22 /2 /97,6 /244 /4 /000 = 124. 
        Dispart douî ţifre spre dreapta, şi îm rămân încă trii; a cărora rădăcină trebui să aibe mai mult decât o ţifră. Socotesc pe 153 aşa precum ar fi dispărţite de la 76, şi urmez ca cum aş avea să extragu rădăcina din 153; dispart de la acest număr douî ţifre spre dreapta, şi îm rămâne 1, carile trebui să fie cvadratul ţifrei zăcimilor a rădăcinei căutate, şi zic: acel mai mare cvadrat cuprins în 1 este 1, [191] rădăcina cvadrată de 1 este 1, care scriu la rădăcină; cvadruez şi subtragu, şi nu-m rămâne nimică; cobor clasul 53, dispart unimile simple 3, şi împărţind 5 prin 2, îndoitul ţifrei găsite de zăcimi, am 2 la câtoriu ţifra unimilor rădăcinei; scriu 2 sub unimile 3 a rădăcinei coborâte, 2, îndoitul a zăcimilor, sub 5; înmulţesc 22 prin 2, şi, subtrăgând productul de 53, îm rămân 9 lângă care cobor 76; dispart unimile simple 6, şi socotind douî ţifre 1,2, a rădăcinei ca cum ar face numai un număr, îl îndoesc, şi esă 24 prin carile împărţesc pe 97: câtoriul este 4, pe carile îl scriu la rădăcină, după 12; scriu 4 sub 6, şi 24, îndoitul de 12, sub 97; înmulţesc 244 prin 4, şi după ce am subtras productul de 976, nu rămâne nimică. Deci 124 este rădăcina căutată. 
        S-au însămnat fără îndoială, în exemplul de mai sus, cumcă s-au fost dispărţit douî clasuri, fieşcare câte douî ţifre: cuvântul este că deacă rămân mai multe ţifre după ce s-au despărţit clasul întăi spre dreapta, numărul ce reprezentează aceste ţifre* [192] să poate socoti ca cum ar fi singur şi compus de zăcimi şi unimi. Deacă după ce s-au despărţit douî ţifre spre dreapta mai rămân încă mai mult decât douî, atunce trebui a mai dispărţi un nou clas, şi aşa mai departe. Deci, mainainte de a păşi la extragerea rădăcinei cvadrate a oricăruia număr, să cuvine împărţi acest număr, începând de la dreapta, în clasuri câte douî ţifre. 
        165. Deacă după operaţia extragerii rădăcinei ar fi vreo rămăşiţă, atunce ar trebui pune douî 0 lăngă această rămăşiţă, şi a urma operaţia după ce să va pune o comă lângă rădăcină, spre a însămna că ţifrile care vor să vie sânt zăcimale. 
        Puind douî 0 lângă rămăşiţă, atunce ia să face de o sută ori mai mare; dar şi ţifra care ia va da la rădăcină va exprima zăcini. Adiţia acestor 00 nicicum nu înrăurează asupra rădăcinei căci, (63) să pot pune atâte 0 câte vom voi la capătul unui număr, numai ca aceste 0 să fie dispărţite de la acest număr prin o comă. Pre lângă aceste, să socotim cumcă la rădăcină să află [193] zăcimale, atunce spre a reproduce numărul din care ia s-au extras, s-ar cuveni a o înmulţi prin însuş ia, adică a înmulţi zăcinile prin zăcini, care ar da sutini. 
        165. Fie rădăcina 2,30, cvadratul ei va fi 2,30 X 2,30 seau 5,2900, seau simplu (mai scurt) 5,29 ; din care să vede că numărul zăcimalilor a cvadratului este purure îndoitul a zăcimalilor rădăcinei. 
        166. Deci, îndată ce un cvadrat va cuprinde zăcimale, deacă aceste sânt înpărechete la număr, atunce să va operui aşa precum nu ar fi zăcimale ştergând coma, iar spre dreapta rădăcinei să vor dispărţi atâte ţifre câte vor trebui pentru de a agiunge la giumătatea zăcimalilor cvadratului; la întâmplare când zăcimalile cvadratului nu ar fi în număr părechet, să va adăogi o nulă, care nicicum nu va schimba valore nici a cvadratului nici a rădăcinei sale. 
        Să mai cuvine a însămna cumcă nu pot fi mai puţin de douî zăcimale lângă un cvadrat; căci deacă rădăcina ar avea numai o zăcimală, atunce înmulţându-să prin însuş sine, ar eşi la product sutini. 
       [194] Care este rădăcină cvadrată de 5? 
        5 /4 /10,0 /42 /2 /160.0 /443 /3 /271 = 2,23 
        167. Acel mai mare cvadrat ce să cuprinde în 5 este 4, a căruia rădăcină este 2; cvadruind pe 2, şi subtragând rămâne 1. Pun 00 lângă rămăşiţă, şi socotesc pe 100 precum ar cuprinde pe îndoitul zăcimior prin unimi, şi pe cvadratul unimilor. Dispart pe ţifra cea depe urmă, şi zic în 10 decâteori merge 4? merge de 2 ori care scriu la rădăcină; după toate operaţii rămâne 16, după care pun iarăş 00 pentru de a avea o altă zăcimală. Operuez ca şi alte dăţi, şi am la rădăcină 3 iar 271 rămăşiţă. Deacă aş voi avea încă o zăcimală mai mult, atunce aş mai adăogi 00. 
        Deci rădăcina cvadrată de 5 este 2,23; dispart douî ţifre prin o comă pentrucă am [195] fost adăogit patru 0. 
        168. Pentru de a face cvadratul unei fracţii ar trebui a o înmulţi prin însăş sine, adecă a înmulţi pe numărătoriul ei prin a ei numărătoriu, şi pe numitoriu prin numitoriu. 
        169. Asemene pentru de a extrage rădăcina cvadrată din o fracţie, ar trebui extrage rădăcina cvadrată din numărătoriu şi din numitoriu. 
        Încât rădăcina cvadrată de 25/36 ar fi 5/6. 
        170. Întâmplându-să ca numitoriul să nu fie un cvadrat deplin, atunce ar trebui înmulţi pe amândouî termine a fracţii prin numitoriul; aceasta nu ar schimba a sa valore, iar numitoriul fracţii cii nouî ar fi un deplin cvadrat. Având a extrage rădăcina cvadrată din 4/5, fiindcă 5 nu este un cvadrat deplin, apoi atât 4 cum şi 5 să vor înmulţi prin 5, şi va eşi o nouâ fracţie 20/25, a căria rădăcină cvadrată ar fi 4,47/5 cu apropiere de o sutină. 
        171. Dar, avănd a extrage o rădăcină cvadrată din o fracţie, mai scurt şi mai îndămănatic este dintăi a preface această fracţie în fracţie zăcimală, şi apoi [196] a căuta a ei rădăcină cvadrată. Încât, în loc de a căuta rădăcina cvadrată de 4/5, eu caut rădăcina 
        de 0,8 /4 /40,0 /48 /8 160,0 /562 /2 /476 = 0,282 
        care este 0,282, cu apropiere de o miine. 
        172. Deacă ar fi numere întregi unite cu fracţii, apoi să vor preface toate în fracţii, şi vom urma precum s-au zis mai sus. 
        
        De cube şi de extragerea rădăcinilor lor. 
        173. Prin cubul unui număr să înţălege productul carile esă din înmulţirea, dintăi a le acestui număr prin însuş sine, şi apoi din înmulţirea a le acestui product iarăş prin acel număr. 
        Cubul de 2 ecvalează cu 2 X 2 X 2, seau cu 8. 
        Îndată să înţălege cât de uşor este a [197] face cubul unui număr.
        Iată cubile numerilor exprimate prin o singură ţifră. 
1, 2,   3,   4,    5,     6,      7,     8,     9, 
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. 
        174. Să însămnăm, dintăi, că acel mai mare cubu a numerilor din o singură ţifră are numai trii numere; şi că 10, acel mai mic din numerile din douî ţifre, are patru ţifre la cubul său, carile este 1000. 
        175. Mainainte de a trece la extragerea rădăcinei cubice, să vedem ce urmează întru facerea unui cubu. 
        Fie 12 din care să se facă cubul. 
        10 + 2 
        10 + 2 
        20 + 4 
        20 
        100 
        Cvadratu 100 + 40 + 4 
        A să înmulţi prin 10 + 2 
        200 +80 + 8 
        400 + 40 
        1000 
       [198] Seau 1000 + 600 + 120 + 8 
        Descompun 12, în 10 + 2; înmulţesc 10 + 2 prin 10 + 2, şi de cvadrat a 12 am 100 +2, de 2 ori  20 +4; înmulţind pe acest cvadrat prin 10 + 2, vine rezultatul 1000 + 600 + 120 + 8. Însămnez că 1000 este cubul de 10 seau de zăcime de 12; că 600 sânt de trii ori cvadratul a le acestei zăcimi, care este 100, înmulţit prin 2, unimi de 12; că 120 este de trii ori  zăcimea de 12 prin cvadratul unimilor 2; în urmă că 8 este cubul unimilor 2 de 12. Căci, dintăi s-au înmulţit o dată prin însuş sine pentru de a înforma pe cvadratul, care au dat 4; apoi s-au înmulţit cvadratul 4 prin 2, care au dat 8, cubul de 2.
        176. Din aceste încheiu că cubul unui număr ce este compus din zăcimi şi din unimi cuprinde: 
        1) Cubul zăcimilor. 
        2) De trii ori cvadratul zăcimilor prin unimi. 
        3) De trii ori zăcimi prin cvadratul unimilor. 
        4) Cubul unimilor. 
        Să înformăm cubul unui număr compus [199] din zăcimi şi unimi, de exemplu de 23. 
        Cubul de douî zăcimi va fi ... .....................8000 
De trii ori cvadratul zăcimilor prin unimi va fi.......3600 
Soma acelor douî întăi mădulări ...........................11600 
De trii ori zăcimile prin cvadratul unimilor 3 va fi ...540 
În urmă cubul unimilor va fi ecval cu ... .....................27 
Soma totală seau cubul de 23 ... ...........................12167. 
        177. Iată în ce chip să cuvine urma, pentru de a extrage rădăcina cubică din oricare număr. Să cere rădăcina cubică de 12167, 
        Cubu 			Rădăcina 23
        12. 167 
        8 
        41. 67 
        12 
        Fiindcă cubul de 10 X 10 X 10 seau 1000, cubul zăcimilor neapărat nu să poate găsi decât în miile, deci deprisos este a-l căuta în acele trii depe urmă ţifre spre dreapta; deci dispart acele trii depe urmă ţifre prin un punct. 
        Cât rădăcina cubică de 12, care este 2, [200] pentru că acel mai mare cubu cuprins în 12 este 8 cubul de 2, pun 2 la rădăcină, în dreapta comei care o disparte de la cubu. Cubuez 2 şi subtragu productul 8 de la 12, rămâne 4, alăture cu rămăşiţa cobor 167, care îm dă 4167, şi care număr cuprinde de trii ori cvadratul zăcimilor 2, acuma aflate, prin unimile ce la căutăm, plus de trii ori tot acele zăcimi înmulţite prin cvadratul unimilor, şi plus cubul acestor unimi. 
        Dar cvadratul, seau mai bine zicând de trii ori cvadratul zăcimilor nu să poate afla decât numai în sutimi. (161). Deci dispart douî ţifre spre dreapta de 4167, şi precum 41 trebui să cuprindă de trii ori pe cvadratul zăcimilor prin unimi, pentru de avea acele unimi le împărţesc prin 12, ecval cu trii ori cvadratul a douî zăcimi cunoscute (38); câtoriul este 3, pe carile îl scriu la rădăcină, după 2, care dă 23 rădăcină cubică de 12167, şi pentru de a mă încredinţa, cubuez 23, făcând productul de 23 prin 23 prin 23. 
        Alt exemplu: 
        178. Să cere rădăcina cubică de 1860867, 
       [201] 1.860.867 /1 /08.60 /3 /1728 /1328.67 /432 = 123 
        Socotind pe rădăcina acestui număr ca cum ar fi compus din zăcimi şi unimi, dispart de la ia trii ţifre spre dreapta. 
        Partea 1860 care cuprinde pe cubul zăcimilor, având mai mult decât trii ţifre, rădăcina sa va avea mai mult decât o ţifră, pentru că cubul de 10, ce este acel mai mic dintre numerile cu douî ţifre, are la cubul său patru, adecă 1000; deci rădăcina cubică de 1860 trebui să aibe zăcimi şi unimi, şi pentru a avea cubul acestor zăcimi, mai dispart încă trii ţifre spre dreapta de 1860. 
        După aceste caut rădăcina cubică de 1, care aice este 1, căci 1 X 1 X 1, ecvalează cu 1, deci scriu 1 la rădăcină. 
        Cubuez 1, şi subtragu productul 1 de la [202] 1, rămâne 0, lângă carile cobor clasul 860, care cuprinde de trii ori cvadratul zăcimilor 1, prin unimi; dispart douî ţifre spre dreapta de 860, şi înpărţesc 8, prin 3 întriitul cvadratului de 1; vine 2 care scriu la rădăcină, şi am 12, care socotesc ca rădăcina cubică a zăcimilor numărului 1860,867. 
        Cubuez 12 şi subtragu 1728 de la 1860, îm rămâne 132, lângă carile cobor clasul 867, şi socotind tot pe 12 ca pe un singur număr carile exprimează zăcimile rădăcinei căutate, dispart acele  douî depe urmă ţifre 67 a numărului 132867, şi împărţesc 1328 prin întriitul cvadrat a 12, seau prin 432; câtoriul este 3, pe carile scriu, după 12 la rădăcină; cubuez 123, subtragu productul 1860867 de la 1860867, pentru de a adeveri şi a mă încredinţa de este la rădăcină vre o rămăşiţă. După subtragere eşind 0, încheiu că 123 este chear rădăcina cubică de 1860867. 
        179. Din cele urmate să încheem, că mainainte de a păşi cătră extragerea rădăcinei cubice a unui număr, trebui a-l împărţi, mergând de la dreapta spre stânga, în clasuri [203] câte trii ţifre. 
        180. Pănă a nu trece înainte, să însămnăm că la toate aceste operaţii niciodineoare nu trebui pune mai mult decât 9 la rădăcină. 
        Deacă ţifra care să a pune la rădăcină ar fi prea mare, aceasta s-ar înţălege prin neputinţa de a face subtragerea, şi atunce s-ar împuţina acea rădăcină pe rând de 1,2,3,... unimi, pănă să va putea face subtragerea. 
        181. Deacă numărul despre care să caută rădăcina nu este un cub deplin, atunce rădăcina care să află este numai o rădăcină apropietă. Încă foarte rar să întâmplă să fie destul de a o avea în numere întregi: căci deacă s-ar cere, de exemplu, rădăcina cubică de 25, nu s-ar îndestula cererea, de s-ar da spre răspuns 2, deşi aceasta este rădăcina cubică de 8, acel mai mare din cubele ce să cuprinde în 25; dar prin mijlocirea zăcimalilor şi urmând unei marşe analoghice cu acea ce s-au arătat (165) la prilejul extragerii rădăcinei cvadrate, să va apropia de adevărata valore a rădăcinei cubice atâta pecât să va voi. 
       [204] De acea să va pune în urma numărului a căruia rădăcină să caută de atâte ori 000 câte ţifre zăcimale voim avea la rădăcină, după care să cuvine urma ca în exemplile trecute. 
        Exemplu: 
        182. Să cere rădăcina cubică de 9, cu apropiere de o sutine. Pentru de a avea sutini la rădăcină, să cuvine avea douî ţifre, de acea pun de douî ori 000 seau 000 000 în urma de 9 şi caut rădăcina cubică de 
        9,000,000 =2,07
        8 /10,00 /12 /8000 
                             10000,00 /1200 /8869743 
                                                        130257  
        Depe cum s-au arătat mai sus, împart, începând de la dreapta, numărul propus; în clasuri câte trii ţifre. 
        Extragu rădăcina cubică de la clasul depe* [205] urmă 9, ce este 2, şi pe care scriu la rădăcină, cubuez 2 şi subtragu 8 de la 9; rămâne 1 lângă carile cobor clasul 000, ce înformează 1000, de la acesta dispart acele douî depe urmă ţifre, supt partea rămasă 10 scriu 12, întriitul de 4, cvadratul rădăcinei 2, şi împart 10 prin 12; câtorul este 0, pe carile îl scriu la rădăcină, înformând acuma 20, cubuez 20 şi subtragu 8000 de la 9000, rămân 1000 lîngă carele cobor acel depe urmă clas 000; totumul înformează 1000000; de la acesta număr dispart douî ţifre spre dreapta şi împart 10000 prin 1200; ce este ecval cu de trii ori cvadratul rădăcinei 20, câtoriul este 7, pe carile îl scriu la rădăcină. Cubuez 207 şi subtragu productul 8869743, de la 9000000, rămân 130257, lângă carile voi mai pune încă 000 deacă voesc avea o zăcimală mai mult la rădăcină. 
        Punind 000000 după 9, am făcut această ţifră de un milon de ori mai mare (15). Deci rădăcina 207 este de o sută ori pre mare, căci cubul de 100 seau 100 [206] X 100 X 100 ecvalează cu 1000000, deci 207 îl fac de o sută ori mai mic dispărţind prin o comă douî ţifre spre dreapta sa (61).
        183. Fiindcă a înmulţi o fracţie prin o fracţie, să cuvine înmulţi pe numărătoriul prin numărătoriu, şi pe numitoriul prin numitoriu, apoi pentru de a cubui o fracţie să cuvine cubui pe a ei numărătoriu şi pe a ei numitoriu, încât reciproc pentru de a extrage rădăcina cubică din o fracţie, să cuvine extrage rădăcina cubică din numărătoriu şi rădăcina cubică din numitoriu, deci rădăcina cubică de 8/27 este 2/3, pentru că rădăcina cubică de 8 este 2 şi de 27 este 3. 
        184. Dacă singurul numitoriu este un cubu, să va extrage rădăcina apropiitoare din numărătoriu, şi la această rădăcină să va da de numitoriu pe rădăcina cubică a numitoriului. 
        Să cere rădăcina cubică de 9/1331 cu apropiere de o sutime. Rădăcina de 9, cu apropiere de o sutime este (182) 2,07, rădăcina de 1331 este 11, deci rădăcina cubică de 9/1331 este 2,07/11, seau răducând în zăcimale (97) avem 0,18 rădăcină de 9/1331 cu apropiere de o sutime.
       [207] 185. Deacă numitoriul nu ar fi cubu deplin, atunce s-ar cuveni înmulţi amândouî termine a fracţii prin cvadratul numitoriului, şi apoi cel nou numitoriu fiind un cubu, vom urma ca în exemplul trecut. 
        Să cere rădăcina cubică de 2/3 cu apropiere de o sutime. 
        Înmulţesc aceste amândouî termine prin 9 ce este cvadratul numitoriului său 3, carile să face 18/27, extragu rădăcina cubică din 18,000000, ia este 2,62, rădăcina de 27 este 3, încât rădăcina cubică a fracţiei 2/3 este 2,62/3. 
        Seau răducând în zăcimale 0,87. 
        186. Deacă ar fi întregi unite cu fracţii, atunce totul s-ar răduce în fracţii şi s-ar operui ca mai sus. 
        187. Deacă zăcimalile aflătoare lângă un număr, din care să extrage rădăcina cubică, nu sânt trii la număr, seau un hotărât număr de ori trii, atunce să se adaugă cătră ele una seau mai multe 0 încât numărul* [208] zăcimalilor să fie trii, seau un multiplu de trii; aşadar deacă de exemplu zăcimalile sânt cinci la număr, să va adăogi 0; de sânt patru să vor adăogi douî 0, spre a face şesă ţifre zăcimale, aceasta nu va schimba valore numărului (63).                                                   




















  




1