[1]
GH. DUMITRESCU'
ALGEBRA
MANUAL PENTRU CLASA a IX-a
EDITURA DE STAT DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ
BU{;UREŞTI - 1962
,
[2]
t.,
II
AproblLt de Ministerul învăţămintului şi Culturii
cu nr. 128791/1961
l.
I
\'
r
.. · ... L·
[3]
CAPITOLLJL 1
RECAPITULAREA ECUAŢIEI DE GRADUL II
REZOLVAREA ECUAŢIEI DE· GRADUL II
1. ECUAŢIA NECOMPI.ETĂ
A. Forma ax2 + bx = O
b
Xq = --.
� a
B. Forma ax2 + G = O
C. Forma ax2 = O
Xl = O; X2 = o.
2. ECUAŢIA COMPlETĂ
ax2 + b x + G = O .
Avem formulele de rezolvare:
_ -b + '1,,2 - 4 ac. . -b - Vh2 - 4ac
Xl - , X2 = ,
2a 2a
care se pot scrie mai strîns, astfel :
-b ± V,,2 - ·Iac
Xl 2 = --=--'----
, :.1. a
Formula redusă
Cînd b este un număr cu soţ, adică b
-b' ± Vh'2 - ac
X1,2 = ..
a
.�
2b', avem:
3
[4]
Cazul a = 10 Ecuaţia se scrie adesea sub forma:
x2 + px + q = O
şi formula de rezolvare se scrie astfel:
P 1/-P2-
Xl,2 = - 2± /4 - q o
EXERCIŢII
1. Să 'Se rezolve ecuaţiile:
1) x2-5x=0; 3x2=12x; -7x2=21x
X2
2) 0- - 3x = O;
4
3X2 + 2 _ O o x2 - 3x _
- x-, ----x
7 4
3) X2 - 12 = 7 x - 4 o
3 '
o!
4) x2 - 256 = O; 3x2 = 675; 4x� = 300
-�
5) 9x2 + 45 ' O; 3x2 = - 1; x2 + 1 = O
, ,
4
6) ;;2 - 13x + 40 = O
7) x2 - 5x - 36 = O
8) x2 + 20x + f.6 = O
9) -x� + 34x + 289 = O
10) 28x2 + 37 x + 12 = O
11) 21x2 - 59x - 22 = O
12) 3x2 - 13x � 10 = O
:13) 25x2 + 80x + 64 = O
14) x2 - X - 1 = O
Ro Xl = 8;
Ro xl = 9;
Ro Xl = -8;
Ro Xl = x2 = -17
4 3
Ro Xl = --; x2 = --
7 4
22 1
Ro Xl = - ; x2 = --
7 3
2
Ro Xl = � ; x2 == --
3
[5]
15) x2 - 4x + 1 = O
16) 16x2 - 24x + 7 = O
-
t
R. Xl = 2 + Y3; Xz = 2 - Y3
R. �l = � + V2 " 3 - Y2
� 4 ;"2 = q
V6
17) 2x2 - 2y6x + 3 = O R. Xl = X2 = --:2
18) x2 -:- "3x = � R. Xl = V3 + 3. Xz = V3 - 3
Y 2 2' 2
19) x2 - 2 y2x - 1 = O R. Xl =V2+ V3; X2-=V'i- V 3
20) 2x2 - 2 (V3 + 1)x + y3 = 0.1
Y3 + 3 V3-1
R. Xl = -2-; x2 = -2--
21) x2 - J + 'J y3 (1 - x) - 2x = O
R. Xl = 1 + -';3 + 2Y2; X2 = 1 + V3 - 2-';2
22) x2 - 6x + 34 ='0
23) 81x2 - 36x + 85 = O
� 24) 25x2 - 30x + 13 = O
25) x2 - 2 y3 x + 7 = O
26) x2 - 16x + 69 = O
27) x2 + x + 1 = O
28) xl! - x + 1 = O
29) x2 - y2x + 1 = O
R. Xl = 3 + 5i; X2 = 3 - 5i
2. 2
R. Xl = - + �; X2 = - - i
9 9
3 + 2i 3 - 2i
R. xl=--; x2=--
5 5
R. xl=Y3 + 2i; x2 =Y3 - 2i
R. xl=8 + iV 5; x2 = 8 - i'y.'5
-1+iV3. _ -1-iV3
R. Xl = :1. I %2 -: 2
R _ 1 + iV3. _ 1 - iY3
• Xl - -�, x2 - 2
�(1 +i) y:i(l-i)
R. Xl = --2-; x2 = �-2-
30) x2 + -y2x + 1 = O
-V2(1+i)
2
3t) ..:.._�. 2X-3+��=�. x2+2
2 3 X - 1 2 (x - 1) 2 3x - 2
32) 2x - 1 _ x- 7 = 4 _ 3x - 1
x+1 x-1 x+2
\
5
. .;
-------_. - ----
[6]
f···
I
1.
I
·V
33)
3X2 -12x+ 11 = _1_ +._2 3_
(x-1)(x-�)(x-3) x-1 x-2 x-3
5
R. Xl = -; x2 = 1 mi are sens
3
'34) (�- l)(x - 2) + (x - 2)(x - .3) + 'f
+ (x - 3)(x - 4) = 8 R. Xl = 4; x 2 =1
35) _x_ +_2_ = 12
1 x + 3 x - 1 (x + 3) (x - 1)
R. xl = 2; x2 = -3 nu are sens
36) _1 4_+ x2 =0.
x-;-l x- 2 (x ·-l)(x -:e)
R. Se găsesc rădăcinile Xl = 2 şi x2 = 1, care nu au sens, fiindcă
anulează numitorul comun. Ecuaţia nu are soluţii; ea este imposibilă.
IL Să se rezolve ecuaţiile literale:
1) (x - a)3 + (b. - x)3 = b _ a
(x - a)2 + (b - X)2
1 n d i c aţi e. Se d=scompune numărătorul într-un
produs de doi factori pe baza identităţii:
-
f'
.�
u3 + v'l! = (u + v)(u2 - uv + v2).
R. Xl = a; x2 = b
2l (a + b) XZ - (a� + b') x + ab' - a2b = O
. �
1 n d i ca ţie. Se calculează discriminantul şi se observă
că este ua pătrat perfect, şi anume: !::.. = (bi- - al - 2ab)2.
b(b - a)
R. x1=---; x2=a
a+b
3) �+�= (a.,h)x2
x � a x - b r (x - a)(x - b)
1 n d i c aţi e. Eliminînd numitorii, se obţine ecuaţia:
(a - b)x:' - (a: + b )x + ab2 + a2b = O.
Se �bservă că discriminantul este pătratul unui trinom.
• 6
"
'.>" .-�': J
�"""FF�"�""""""""�� __ """�C""_____________ ��.�----
[7]
-
Găsim:
b(a+ b)
x1=---; x2=a.
a-b
Rădăcina x2 = a nu are sens, fiindcă anulează numi­
torul comun. Numai Xl verifică ecuaţia.
4) �_�= (a-b)x2
x - a x - b (x - a)(x - b)
1 n d i c aţi e. Se obţine ecuaţia
(a - b) X2 .. (a2 - b') X + a2b - ab2 = O
şi rădăcinile: Xl = a; x2 = b. Nici Una nu verifică ecuaţia
dată în enunţ, fiindcă fiecare dintre ele anulează numi­
torul comun (x - a)(x - b). Ecuaţia nu are soluţii.
Relaţii intre rădăcini şi coeficienţi
Notînd rădăcinile ecuaţiei :
ax? + b x + c = O
cu Xl şi x2, avem:
(1 )
(2)
b
a
Xl + X2 = - P
Xl x2 = q.
Aceste egalităţi se numesc relaţii între rădăcinile şi
coeficienţii ecuaţiei date.
Pentru ecuaţia:
XC + px + q = O
se obţin formulele:
Aplicaţii
a) Pentru a forma ecuaţia de gradul II, avînd rădăcinile
Xl şi x2, calculăm suma şi produsul acestor rădăcini:
5 = Xl + X 2 şi P = X 1 X 2
şi ecuaţia căutată este următoarea:
�
..
X' - Sx + P =0.
7
[10]
II. Să se afle două numere, cunoscînd· suma lor S şi
pro�usul P:
.
1)
S
-
10 ;
P
-
21
2)
S
-
-
1;
P
-
20
3)
5=
-11 ;
p=
28
4)
S
8
p=�
=-
,
5
5
11) Fie ecuaţia:
9) S,= 2a; P = a2 _2- 10) S = 2ac; P = a2 (c2-bl).
a2
p = O
4
9
61
30
6) S
8) S
25
16
5) S = 3; P
... 7) S = O; P = - 576
x2 + px + q = o.
Să se formeze ecuaţia de gradul II, ale cărei rădăcini să
fie de k ori mai mari decît ale ecuaţiei date.
12) Fie ecuaţia:
.x2 + px + q = O.
Să se formeze ecuaţia de gradul II, ale cărei rădăcini
. să fie egale cu :
a) pătratele rădăcinilor acestei ecuaţii; b) inverseZe rădă-
cinilor ecuaţiei date. �
III. 1) Să se discute ecuaţia:
_ x" - 2 (m + 3) x + 6m + 2 = O.
R. � > 0, rădăcini reale, oricare ar fi numărul real 1n.
1
10 1n > - - rădăcini pozitive
3
1
3
X1X2 = 0, Xl + x2 > O; deci Xl = 0, x2 > O
-!
10
I
l ��
�ătr_- _
[11]
are valoarea abso-
1
3
X1X2 < O
semne
contrare
( -3 < m < __ 1_; cea pozitivă
I 3 lută mai mare
{ m = -3; Xl = -x2
l m < -3; cea negativă are valoarea absolută
mai mare.
2) Să se discute ecuaţia:
x2 - 2 (m - 4) x + m2 + 8 = O
R. /:::,. = -8m + 8 = 8(-m + 1)
m < 1 reale, neegale; m = 1 reale şi egale; m > 1 complexe.
X1X2 = m2 + 8; Xl + x2 ="2(m - 4).
IV. ]) Fie ecuaţia:
5 x2 - 8 x + c = O .
Să se determine cantitatea c astfel ca ecuaţia să aibă:
1 o rădăcini pozitive;
2 o rădăcini de semne contrare;
3 o o rădăcină egală cu, zero;
4 o rădăcini complexe.
16 16
R. 1 ° /:::,. > O şi c > O, adică O < c <-; 20 c < O; 30 c = O; 4°c> -"
5 5
2) Fie ecuaţia:
8 x2 - (m - 1) x + m - 7 = O .
Să se determine m astfel ca rădăcinile să fie:
] o numere reale şi egale;
2 o nu-mere oţruse ;
3 o numere inverse;
4 o usia egală cu zero.
R. 1 ° m = 25 şi m = 9; 20 m. = 1; 30 m = 15; 40 m = 7.
3) Sc dă ecuaţia :
mx2 - (m + 3) x + 2m + 1 = O.
Se cere:
Să se determine m astfel ca să avem:
a) xi + x� = 10
b) �+�=�.
Xl x2 3
. 9
R. mI = 1 ŞI mz = - - ; m = 1"
13
11
.�
[12]
4)
(1)
(2)
Să se determine m astfel ca ecuaţiile:
3x2 + mx - 22 = O
x2 - (m + 4) x + 14 = O
.,
,1
să aibă o rădăcină comună.
1 n d i c aţi e. Fie O( rădăcina comună. Avem:
30(2+mO(-22= O
O(� - (m + 4) O( + 14 = O.
înmulţim ecuaţia a doua cu - 3 şi adunăm cu prima.
Din ecuaţia obţinută deducem:
16
0(=-_.
m+3
Scriem că această rădăcină verifică ecuaţia (2). Găsim:
m2 + 14m - 95 = O
mI = 5 ; m2 = - 19.
PROBLEME
1) O gospodină cumpără o cantitate de mere pentru a le
usca. Prin uscare, cantitatea de mere scade la 20 kg. Ştiind
că pierderea 'la sută reprezintă � din cantitatea cumpărată,
5
să se afle cîte kilograme de mere a cumpărat gospodina?
.-
R. 'Problema are două soluţ ii ; 100 de kg şi 25 de kg.
2) Un vapor, navigînd 48 ltm în sensul curentului şi
tot 48 km împotriva curentului unui fluviu, a parcurs tot
drumul îrr 5 ore. Să se calculeze viteza vaporului în apă
stătătoare, ştiind că viteza cursului apei este de 4 km pe oră.
1 n d i , aţi e. Fie x viteza în apă stătătoare. Cînd
vaporul merge în sensul curentului, viteza se măreşte cu
viteza cursului apei, ceea ce se ştie din fizică. Deci, în acest
caz, vitezadevine (x + 4) . Cei 48 km sînt parcurşi în timpul l
t =�. Cînd vaporul merge împotriva curentului,
1 x+4 . _�
viteza este' (x - 4). Cei 48 km sînt parcurşi în timpul/',
't =�. Scriind că tI + t2 = 5, se obţine o ecuaţie în x.
2 X _ <1. ... ,\.
12' " R. 20 km/h l
l __ � ,�I;_
[13]
3) Un romb are aria egală cu 240 dm», iar suma diago­
nalelor este 'egală cu 46 dm. Să se calculeze diagonalele şi
apoi latura rombului.
1 n d i c aţi e. Aria rombului este egală cu jumătate
din produsul diagonalelor; deci produsul diagonalelor este
egal cu 480 drn-. Suma este 46 dm.
R. 16 dm; 30 dm; 17 dm.
4) Se consideră dreptunghiul ABCD, în care AB = 9m
şi BC = 5m. Pe laturile lui se iau segmentele AAl -=
= BBI = CCI = DDI = x.
Unind la rînd punctele Al> Bl, 8 /11 A
Cl> n., se obţine paralelogramui
Al BI CI DI' B
Să se determine x, astfel 1
ca aria AIBICIDI să fie egală
cu 25 m". I
1 n d i c aţi e. Se expri-
măsegmenteleBAl,ADl>DCV C CI lJ
C B l> în funcţie de x. Se ex- Fig. 1
primă aria AlB IC IDI în Iunc-
ţie de x, scriind că este diferenţa dintre aria A BCD şi
ariile celor 4 triunghi uri formate în interiorul dreptunghiului.
R. Sint două soluţii: Xl = 2m; x2=5m
5) Din două puncte, A şi B, situate la 25 m unul de altul,
pteacă deodată două mobile pe linia AB, de la A spre B.
M obilui pornit din A are viteza iniţială de 1 mi sec şi
acceleraţia de J, 16 mi sec», iar mobilul pornit din Bare
viteza iniţială de 5 mlsec şi acceleraţia de 0,2 mţsec«, .
Să se afle după cîte secunde se întîlnesc cele două mobile.
1 n d i c aţi e. Fie t numărul de secunde după care se
întîlnesc, iar SI şi 52 spaţiile parcurse de cele două mobile.
Avem:
51 =t+O,58t2; 52=5t +0,lt2•
R. t = 12,5
.�
[14]
CAPITOLUL II
ECUAŢII CU O NECUNOSCUTĂ,
REDUCTIBILE LA CELE DE GRADUL II
1. ECUAŢII BIPĂTRATE
Considerăm ecuaţiile următoare:
(1)
(2)
(3)
(4)
36 x4 - 13 X2 + 1 = O
X4 - 17 x2 + 16 = O
144x4 + 55x" - 4 = O
x�+2 n 2 x2-1 4
-- - L.X = -- - x
3 • 5
După ce facem toate reduceri le posibile şi trecem toţi
termeniiîn membrul I, ecuaţia (4) devine:
(4')
20x4 - 33x --k] 3 = O.
Constatăm că în fiecare dintre ecuaţiile (1), (2), (3),
membrul T este un polinom de gradul IV, format dintr-un
termen în x4, altul în XC şi un termen liber, iar membrul
al doilea este zero.
Ele se numesc ecuaţii bipătrate.
Şi ecuaţia (4) este o ecuaţie bipătrată, pentru că, după.
transformările făcute, s-a redus la ecuaţia echivalentă (4'),
care are aceeaşi forrr ă ca şi celelalte. Urmează definiţia :
Eeuaţia bipătrată cu o necunoscută x este o ecuaţie
astfel că, după ce tcţi termenii au fost trecuţi în membrul 1
,şi s-au redus termenii asemenea, primul membru este un
polinom de gradul 1 V în x, conţinînd numai puteri pare
ale necu;iwscutei, iar membrul iti doilea este' zero,
14
[15]
-
'1
.\:'\
I
9
I
j
,...
Primul membru al acestei ecuaţii este un trinom de
gradul IV, numit trinom bipătrat.
Această ecuaţie are trei termeni: primul este terme­
nul în x4; al doilea este termenul în x ; ultimul. termen
este termenul independent de x (sau termenul liber ori
constant) .
N o ta ţie. Ecuaţia bipătrată se scrie adesea sub
forma:
ax4 + bx� + c = O,
unde a este coeficientul primului termen, b este coeficien­
tul termenului al doilea, iar c este termenul constant.
a b ser v aţi e. Coeficientul a nu poate fi egal cu
zero, deoarece în acest caz ecuaţia nu mai conţine ter­
menul de gradul IV şi devine o ecuatie de gradul II.
REZOLVAREA ECUAŢIEI BIPĂTRATE
1. Rezolvarea eeuaţiei necomplete
A. FOJma ax' + bx2 = O. Avem: x" (ax� + b) = O;
x2 = O şi ax' + b = O; Xl = O; x2 = O; x3 = V :
x4 = - 11 - : .
B. Forma ax4 + c = O se va studia la ecuaţiile binome.
C. Forma ax! = O. Deducem: x4 = O; x· x· x· x = O,
deci:
II. Rezolvarea ecuaţiei complete
Exemplul 1. Fie de rezolvat ecuaţia:
(1) x4 - 13x" + 36 = O.
Facem substituţia:
(2) x2 = y.
Rezultă x4 = y", iar ecuaţia (J) devine:
(1') f - ] 3y + 36 = O.
Obţinem�: YI = 9; Y2 = 4.
15
.�
-
[16]
".
-
.\
Găsim:
ecuaţiile (3).
{ X2 = 9
x2 = 4
se reduce la
Deci ecuaţia (1)
în ecuaţia (2) înlocuim pe Y succesiv cu 9 şi 4; obţi­
nem ecua ţţile :
(3)
Xl = 3; x2 = - 3; x3 = 2; x4 = - 2.
Ecuaţia are patru rădăcini reale; două cîte două sînt
egale şi de semne contrare.
Ecuaţia (1') se numeşte rezolvanta ecuaţiei (1).
ExemPlul II. Fie ecuaţia:
16x4 + 89x2 + 100 = O.
Procedînd ca în exemplul I, găsim rezolvanta :
16y2 + 89y + 100 = O,
de unde
25
YI = - 16; Y2 = - 4.
Obţinem apoi:
5 . 5 . '). 2'
Xl = - �; x2 = -- z : x3 ="-JZ; x4 = - L
.4 4
Ecuaţia .are pat;u rădăcini imaginare.
Exemplul III. Fie de rezolvat ecuaţia:
,-
(1) 4x4 + 3X2 - 1 = O.
Procedînd ca şi în exemplele anterioare, găsim rezol­
vanta:
apoi
4y2 + 3y - 1 = O,
1. 1
YI = - ŞIY2 = - .
4
Rezultă: :XI=YYI;X2= -YYI;X3= YY2;X4= -VY2
1 1 . .
Xl = -; x2 = - -; x3 = z; X4 = - Z,
. � 2
adică două rădăcini reale şi două imaginare.
G e ne r a l iza r e. Ecuaţia bipătrată i
16
[17]
(1) ax4 + bX2 + c = O
se rezolvă prin substituţia :
(2) X2 = y.
Se obţine ecuaţia rezoluaniă :
(3)
ay2 + by + c = O.
Se fac următoarele operaţii:
IOSe calculează rădăcinile YI şi Y2 ale rezolvantei.
2 o în ecuaţia (2) se înlocuieşte Y succesiv cu YI şi Y2
şi se obţine :
(4) { X2 = YI
X2 = Y2
Din rezolvarea ecuaţiilor (4) se obţin rădăcinile ecua­
ţiei (1) :
Xl = V YI; X2 = - V YI; x3 = V Y2; x4 = - V Y2
două cîte două egale şi de semne contrare.
Scriind valorile lui Y date de ecuaţia (3), avem:
v : + yt2 - 4ac
Xl =
2a
Y-b - Vb2 - 4ac
X4 =-
2a
Toate rădăcinile ecuaţiei (1) sînt cuprinse în formula:
X = ± "\ / - b ± V b2 - 4ac
V 2a
TRANSFORMAREA RADICALILOR DUBLI
Să rezolvăm ecuaţia bipătrată:
X4 - 6X2 + 4 = O.
Ecuaţia rezolvantă: y2 - 6y + 4 = O are rădăcinile:
YI = 3 + V5 ; Y2 = 3 -15·
Rădăcinile ecuaţiei bipătrate sînt:
2 - Algebra el. a IX-a
17
[18]
, c._._ i. _
:"'
I X1=Y3+yJ; X2=-Y3+y;; X3=V3-V,j;
I X4 = -Y3 -Y5.
Precum se vede, rezolvarea ecuaţiei bipătrate conduce;
în general, la expresii de forma:
Cînd B nu este pătrat perfect, aceste expresii conţin
radicali suprapuşi. Calculul lor se face mai uşor transfer­
mîndu-le � cînd e posibil - într-o sumă sau într-o dife­
renţă de doi radicali simpli.
Pr o b l ema 1. Fiind date două numere pozitive ra­
ţionale A ş'i B, B nefiind un pătrat perfect, să se găsească
două numere pozitive raţionale x şi y, astfel ca să avem:
(1)
(2)
Ridicînd la pătrat ambii membri, obţinem:
A +YH = x + y +Y±xy.
Ridicînd din nou la pătrat, avem:
(A - x - y)2 --t B + 2 (A - x - y)V B = 4 xy
(3) '(A -; x - y)2 + B - 4xy = 2 (x + y - A)y B
în ecuaţia (3), primul membru fiind număr raţional,
al doilea membru trebuie să fi� şi el număr raţional.
Deoarece 1/H este număr iraţional, egalitatea (3) e�tf'
posibilă numai dacă coeficientul (x + y - A) al lui VJJ
este egal cu zero.
Deci avem:
(4)
(5)
x + y - A = O.
Ecuaţia (3) Se reduce la următoarea:
B - 4xy = O.
, Considerăm sistemul format de ecuaţiile (4), (5).
18
b�·""�"l"""""""----------------------;'·'
[19]
(6)
r
I X+YB A
'xY=-'
4
Din relaţiile (6) se observă că x şi Y sînt rădăcinile
ecuaţ iei:
B
Z2 - Az + -= O.
4
{7)
A + VA2 - B . A - VA2 - B
X = ,Y = ----'--
2 2
Aceste valori sînt raţionale numai cînd (A2 - B) este un
pătrat p rfect. Dacă această condiţie nu e îndeplinită,
transformarea nu este posibilă. Să presupunem că (A" - B)
este pătrat perfect. Notăm (A2 - B) = C2• Relaţiile (5)
devin:
A+C A-C
x= --; Y=-_'
2 2
Introducînd aceste valori în egalitatea (1), obţinem' rela­
ţia finală:
(8) V A + V B = -V A ; C + -V A ; c,
unde C2 = A 2 - B.
p rob 1 emaIl .Piind date două numere pozitive ra­
ţionale A şi B, B nefiind un pătrat perfect, să se găsească
două numere pozitive raţionale x şi y, astfel ca să avem:
Urmîndu-se o cale analogă, se poate arăta că numai
în cazul cînd (A2 - B) este pătrat perfect se poate face
transformarea. Notînd A2 - B = C�, scriem:
(9)
-V- -V-
A+C A-C
VA-VB= -2-- -2-'
Aplicaţii
1. Să se transforme radicalii dubli:
.!-;
19
[20]
Avem:
1° A = 4, B = 7; A2 - B = 9;
Deci:
C =3.
V 4 + Y7= y4 ; 3 + y4 ; 3; V 4 + y7 = Y : + V �
2° V 6 + 2y 5 = V 6 + Y20;
A = 6; B = 20; A 2 - B = 16; C = 4.
V 6 + 2 V 5, = y"Ţ. + y6 ; 4; V 6 + 2 V 5 = V5 +
3° VIO - 5y3 = V10 - y7G;
A = 10; B = 75; A2 - B = 25; C = 5.
VIO - 5V3=y125_y:'
4° Obţinetp.:
A =�. B'-�' A::- B =�. C = 11
20 ' 5 ' 400' 20
II. Să se simplifice expresia:
(După Nouoseloos }
Aplicînd de trei ori formula de transformare, obţinem:
1 S. 1. N o v o s e Iov, Curs special de algebrp elementarâ, lucrare
jltilă pentru ',aprofundarea algebrei elementare. ..
20
[21]
r
V9 + 4y2 = 2V"2 + 1 (A = 9, B = 32)
V2+(2Y2 + 1) =V3 + 2y2= Y-2 + 1 (A = 3, Bc:08)
E = V13 + 30 (y2 + 1)= V43 + 30..;2 = 5 + 3 y2
(A = 43, B = 1800); E = 5 + 3Y2.
2. ECUAŢII RECIPROCE
Ecuaţii reciproce de gradul III. Fie
ecuaţiile:
(1)
20x3
+
61x2
+
61x
+
20
O
(2)
7x3
9x2
9x
+
7
O
(3)
x3
+
5x2
5x
1
O
(4)
5x3
3lx2
+
3lx
5
O.
Fiecare dintre ele se prezintă sub forma f(x) = O, f(x)
fiind un polinom de gradul III, ordonat după puterile
descrescătoare ale ne cunoscut i.
Ne fixăm atenţia asupra membrului I al ecuaţiei (1).
Primul şi ultimul termen, adică 20x3 şi 20, se numesc
termeni extremi; termen' i aşezaţi lîngă extremi, adică
6lx2 şi 61x, se numesc termeni egal depărtaţi de extremi.
în ecuaţiile (1) şi (2), coeficienţii termenilor extremi
sînt egali între ei; de as menea, coeficienţii termenilor
egal depărtaţi de extremi sînt egali între ei.
în ecuaţiile (3) şi (4), coeficienţii termenilor extremi
sînt numere opuse; de asemenea, şi coeficienţii termenilor
egal depărtaţi de extremi.
Fiecare dintre ecuaţiile date se numeşte ecuaţie reci­
procă de gradul III.
Putem da următoarea definiţie:
Ecuaţie reciprocă de gradul III. O ecuaţie de forma:
f(x) = O,
în care f(x) este un polinom de gradul III şi ordonat, se
numeşte ecuaţie reciprocă :
1 o dacă coeficienţii termenilor extremi sînt egali între
ei şi, �e ase"{enea, coeficienţii termenilor egal depărtaţi de
extremi .sau :
21
[24]
Prin calcule simple, constatăm că rădăcinile verifică
ecuaţia propusă.
O b ser v aţi aII. Fie a o rădăcină a ecuaţiei reciproce:
(1)
Ax3 + Bx2 - Bx - A = O.
Făcî'nd acelaşi raţionament ca în observaţia I, ajungem
la rezultatul următor:
Dacă a este o rădăcină a ecuaţiei (1), � este de asemenea
. a
rădăcină a acestei ecuaţii.
Potrivit acestei observaţii, în exemplul IT, verificînd
rădăcina x3 = -2, nu mai e nevoie să verificăm şi
inversa ei x2 = - �, fiindcă sîntem siguri că şi ea veri-
• 2
fică ecuaţia.
Ecuaţi-a . generală reciprocă de gradul III are una
dintre formele:
(1)
(2)
A x3 + B x2 - B x - A = O
Ax3 + Bx2 + Bx + A = O.
Procedînd ca în exemplul II, ecuaţia (1) se poate
scrie:
"(x -1)[A:x2 + (A + B)x + A] = O.
Ecuaţia admite rădăcinile:
Xl =- 1 ; �.; şi xa date de ecuaţia Ax2 + (A + B)x + A = O.
Procedînd, ca în exemplul I, e�uaţia (2) se poate scrie:
(x + 1) [Ax2 - (A - B)x + A] = O.
Ecuaţiă admite rădăcinile;
Xl = -1; x2 şi x3 date de ecuaţia Ax2 - (A - B)x +
+ A = 0.-
Ecuaţii reciproce de gradul IV. Fie ecuaţiile;
(1) . 6x4 -j-! 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = O
(2) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = O.
Fiecare 'dintre ele Se prezintă sub forma f(x) = O, f(x)
fjind Un polinom de gradul IV, ordonat după puterile
descrescătoare ale lui x.
I , I
24
..
.: ..... ,
ba"���---=���----------
[25]
Ne fixăm atenţia asupra membrului I al ecuaţiei (1) :
6.x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6.
I I I I
Coeficienţii termenilor extremi sînt egali între ei;
de asemenea coeficienţii termenilor egal depărtaţi de
extremi.
Termenul (-38x2) se numeşte termenul egal depărtat
de extremi sau termenul din mijloc al ecuaţiei.
Ecuaţia (2) are aceeaşi structură ca şi ecuaţia (1).
Fiecare dintre ecuaţiile (1) şi (2) se numeşte ecuaţie
reciprocă de gradul IV.
Fie ecuaţiile:
(3) 3x4 - 10x3 + 10x - 3 = O
(4) 2x4 + 5x3 - 5x - 2 = o.
Fiecare dintre ele se prezintă sub forma f(x) = O,
f(x) fiind un polinom de gradul IV, ordonat după pute­
rile descrescătoare ale lui x, din care lipseşte termenul
în x2, adică termenul din mijloc.
In fiecare dintre aceste ecuaţii, coeficienţii termenilor
extremi sînt numere opuse; de asemenea coeficienţii
termenilor egal depărtaţi de extremi sînt numere opuse.
Fiecare dintre ecuaţiile (3) şi (4) se numeşte tot ecuaţie
reciprocă de gradul IV.
Putem da următoarea definiţie":
Ecuaţie reciprocă de gradul IV. O ecuaţie de forma:
J(x) = 0,
în care f(x) este un polinom de gradul IV şi ordonat, se
numeşte ecuaţie reciprocă:
1 o cînd termenii extremi au coeficienţii egali între ei şi
de asemenea termenii egal depărtaţi de extremi ; sau:
2 o cînd coeficienţii termenilor extremi şi, de asemenea,
coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extremi sînt numere
opuse, ,iar termenul din mijloc lipseşt»,
25
.�
[26]
Ecuaţiile reciproce de gradul IV se prezintă sub una
dintre formele: .
•
(1)
(2)
Ax4 + Bx3 - Bx.� A = O
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A = o.
REZOLVAREA ECUATIEI RECIPROCE
DE GRADUL IV
(1)
ExemPlul 1. Să se rezolve ecuaţia:
5x4 - 26x3 + 26x - 5 = O.
(1)
Dînd factor comun între primul şi ultimul termen şi
apoi între. termenii din mijloc, obţinem:
5(x4 - 1) - 26x(x: - 1) = O
5(x2 - ] )(x� + 1) - 26x(x2 - 1) = O
(2) (x� - ] )(5 x:.. - 26x + 5) = O.
Rădăcinile ecuaţiei (J) sînt date de ecuaţia (2). Avem:
(3) {X2 -- 1 = O
JX� - 26x + 5 = O
1
XI� 1; x:?, = -1; x3 = 5; x4 =-
5
Se constată că ecuaţia admite rădăcinile 1; -1, Iar
x3 şi x4 smt inverse una alteia.
ExemPlul II. Să se rezolve �ecuaţia :
12x4 + 4x3 - 41x2 + 4x + 12 = O.
.-'
Observăm că ecuaţia nu e verificată de x = O; deci
x nu este egal cu O şi nici x2 nu este egal cu O. Putem
împărţi ambii membri ai ecuaţiei cu x şi obţinem:
12x2 + 4x - 41 + � + 12 = O.
x x2
Dînd factori comuni pe ] 2 şi pe 4, putem scrie:
(1') 12(x2+ :2)+4(X+ :)-41=0.
Facem, substituţia :
, .
26
[27]
(2)
(3)
1
X+-=Z.
x
Prin ridicare la pătrat, din relaţia (3) obţinem:
X2 + � + 2x =Z2.
x2 x .
în ecuaţia (1') înlocuim expresiile din paranteze cu
valorile lor date de relaţiile (2) şi (3). Găsim:
1222 + 4z - 65 = O
13 5
ZI = -; Z2 = - - .
6 2
Pentru aflarea lui x înlocuim în relaţia (2) pe z suc-
. 13. 5
CCS1V cu - Şi - - .
6 :2
Obţinem ecuaţiile:
(4)
(5)
x +� = 13
x 6
1 5
X+-=--.
x 2
Din rezolvarea lor se obţin cele 4 rădăcini ale ecuaţiei
propuse:
3 2
Xl =-; X2 =-;
2 3
1
X3 = - -; X4 = -3.
2
Rădăcinile Xl şi X2 sînt inverse una alteia; de asemenea
X� cu X4.
O b ser v aţi e. Făcînd o demonstraţie ca şi pentru
ecuaţiile reciproce de gradul III, obţinem următorul
rezultat:
Dacă ecuaţia reciprocă de gradul IV:
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A = O
admite rădăcina a, admite şi rădăcina � .
a
27
.�
[28]
bit
Ecuaţiile reciproce de gradul IV:
(1) Ax4 + Bx3 - Bx - A = O,
(2) Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A = O
se rezolvă după cum urmează:
E cuaţîa (1) se poate scrie :
(x2 - 1)(Ax2 + Bx + A) = O.
Rădăcinile ei sînt date de ecuaţiile:
(3) x2 - 1 = O
(4) A x2 + B x + A = o.
Ecuaţia (3) dă rădăcinile Xl = 1; x2 = -1.
Ecuaţia (4) are două rădăcini x3 şi x4' care verifică
relaţia �3X4 = � sau X3X4 = 1, adică ele sînt rădăcini
inverse.
Deci ecuaţia (1) are rădăcinile:
1; -1; x3 şi X4 date de ecuaţia (4), rădăcini inverse.
Ecuaţia (2) se rezolvă astfel:
10 Se Împart ambii membri prin x2 :
� Ax2 + Bx + C + � + � = o.
X x2
2 o Se .grupează termenii cu aceiaşi coeficienţi şi se
dau factori comuni:
. A (x2 + �2) + B( X + :) + C = O .
.-'
3 o Se face substituţia :
1
X + -= z ,
x
din care se deduce: ,
1
x2 + - = Z2 - 2.
xa
4 o Se Înlocuiesc expresiile din paranteze şi se obţine
ecuaţia rezoloantă ;
28
[29]
r
l
AZ2 + Bz + C - 2A = 0,
care dă rădăcinile zIşi z 2'
5 o Rădăcinile ecuaţiei reciproce sînt date de ecuaţiile;
1
X +-= ZI
X
Prima dă rădăcinile Xl şi x2, care sînt inverse; a doua
dă rădăcinile x3 şi x4' care sînt de asemenea inverse.
Ecuaţii cuadratice
Cînd o ecuaţie care este de un grad superior lui 2 se
poate rezolva prin considerarea ecuaţiilor de gradele I şi II,
ecuaţia propusă se numeşte ecuaţie euadratieă,
Aceste ecuaţii au ,deosebită importanţă în geometrie.
Dacă ne propunem să rezolvăm o problemă de geometrie
prin algebră şi, punînd-o în ecuaţie, rezultă o ecuaţie
cuadratică, se poate spune de asemenea că problema este
cuadratică. O astfel de problemă are proprietatea remar­
ca bilă că poate să fie rezolvată numai cu rigla şi compasul.
Ecuaţiile bipătrate, ecuaţiile reciproce de gradele III
şi IV sînt exemple de ecuaţii cuadratice.
Altă definiţie a ecuaţiei reciproce
Fie ecuaţia reciprocă;
{1)
(2)
A x3 + Bx2 + B X + A = o.
înlocuind în membrul I pe X cu �, obţinem;
x
Prin înmulţirea cu x3, avem
A x3 + B x2 + Bx + A = 0,
ecua ţie identică cu (1).
ţ
29
.. �
[32]
2. Relaţia dintre rădăcinile eeuaţiilor :
xm + 1 r= O; x= + A = O (A > O)
Exemplu. Fie ecuaţiile:
(1) x3 + 1 = O; (2) x3 + 64 = O.
Ecuaţia (1) se poate scrie:
(x + 1)(x2 - x + 1) = O.
Rădăcinile ecuaţiei (1) sînt:
l+iy3. l-iV3
Xl = -1; x2 = 2 ,x3 = 2 .
Pentru rezolvarea ecuaţiei (2) facem substituţia .
x = {/64y, sau :
(3) x = 4y.
Obţinem x3 = 64y3 şi ecuaţia (2) devine: 64y + 64 = O
sau :
(4) y3 + 1 = O.
Ecuaţia (4) are aceleaşi rădăcini ca ecuaţia (1). Adică:
,
. ' 1 + iV3 . 1 - iy3
Yl = -1, Y2= 2 'Y3 = 2 .
înlocuind în relaţia (3) pe y, succesiv, cu valorile Yv
Y2' Ya, obţinem rădăcinile ecuaţiei (2), adică:
• 4
Xl = -4 ;x� =2(1 +iV3); X3= 2(1 - iV3).
--'
Aşadar, rădăcinile ecuaţiei (2) se obţin înmulţind fiecare
rădăcină a ecua ţi ei (1) cu {/ 64 = 4.
Gen era 1 iza r e. Fie ecuaţiile:
(J) xm + 1 = O; (2) xm + A = O (A > O).
Urmînd Un raţionament analog celui întrebuinţat în
exemplul precedent, ajungem la următorul rezultat:
Rădăcinile ecuaţiei x= + A = 'O se obţin din rădăcinile
ecuaţiei xm + 1 = O, prin. înmulţirea fiecărei rădăcini cu
m
'VA (ră�ăcina aritmetică).
I � .
32
[33]
3. Rezolvarea unor ecuaţii binome
care sint ecuatii cuadratice:
. .
1. x-1=O; x=l.
2. (1)' X2 - 1 = O; Xl = 1; x2 = -l.
(2) X2 + 1 = O; Xl = i; x2 = -i.
3. x3 - 1 = O.
Identitatea a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ne permite
să scriem:
(X - 1)( X2 + X + 1) = O.
Rădăcinile ecuaţiei 3 sînt date de ecuaţiile:
X - ] = O; X2 + X + 1 = O.
Obţinem:
_1 +i'{3'
Xl = 1; Xz = 2
-1 -iy'3
X3= 2 .
Hădăeinile cubice ale unităţii. Ne propunem să aflăm
rădăcina cubică a lui]. Scriem:
X = -tii.
Prin ridicarea la cub şi trecînd pe 1 în membrul I,
obţinem:
X:l - 1 = O.
Găsim pentru X cele trei valori:
_ -1 +i""3 . . -1 -i""3
Xl = 1 ; X2 = 2 V , X3 = 2 V
în aritmetică, 1 are o singură rădăcină cubică, anume].
în algebră, 1 are trei rădăcini cubice: 1, care este
rădăcina reală, şi celelalte două, care se numesc rădăci­
nile cubice complexe ale unităţii.
Relaţii remarcabiJe între rădăcinile ecuaţiei x3 - 1 = O
1) Avem: 2 _ (-1+iV3)2_
X2 - 2 -
(-1)! +2(-1)iV3 + (iV3)2 1 - 2iV3- 3
4 4
X2= -2 - 2iV3 _ 2(-1 - iV3) = -1-iV3
2 4 4 2 = X3
3 - Algebra el. a IX-a
33
[34]
Aşadar, rădăcina x3 este egală cu pătratul rădăcinii xs-
Se verifică uşor că există şi relaţia x2 = x�.
în mod obişnuit se notează
-l+iVS deci -l-iVS .,
2 = 0(; eC1 2 = 0(".
Cu această notaţie, rădăcinile cubice ale unităţii sînt:
1; 0(; 0(2.
2) Avem:
x + x + x = 1 + -l+iVS + -l-iV3 =
l 2 3 2 2
2 - 1 + iVS - 1 - iVs
=--�----!...2=---
Xl + x2 + x3 = O
1 + O( + 0(2 = O.
Fie ecuaţia:
(2) x3 + 1 = O.
Pe baza identităţii a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2),
putem scrie :
(x + 1)( x2 - X + 1) = O.
Rădăcinite ecuaţiei (2) sint date de ecuaţiile:
x + 1 = O' X2<1- x + 1 = O
. '
1 + "'3 1 - i''3
.... xl = -1; x2 = ;Yi); x3 = 2 Yi)
x4 - 1 = O.
Putem scrie:
(x2, - l)(x2 + 1) = O.
Rezultă: x2 - 1 = O; x2 + 1 = O
o b ser v aţi e. Din ecuaţie deducem: x = ţ/'f
",.ţ ,
34
..
'" � ---
[35]
în aritmetică, 1 are o singură rădăcină de ordinul IV ;
dar în algebră, 1 are 4 rădăcini de ordinul IV, şi anume :'
1; -1; i; -1.
(2)
x4 + 1 = O.
Putem rezolva această ecuaţie printr-un artificiu de
calcul. în primul membru al ecuaţiei adunăm şi scădem
2x2• Obţinem:
x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = O ; (x4 + 2x2 + 1) - (V2X)2 = O
(x2 + 1)2 - (V2X)2 = O.
Folosind identitatea a2 - b2 = (a - b) (a + b), obţinem:
(x2 - V2 x + 1) (x2 + V2 x + 1) = O.
Rădăcinile ecuaţiei (2) sînt date de ecuaţiile:
x2 - V2 x + 1 = O; x2 + V2 x + 1 = O.
V2(1 + il . "';2(1 - il . - Vii1 + il
Xl = 2 ,x2 = 2 ,x3 = 2
- "2(1 - il
x4 = 2 .
Ecuaţia (2) are 4 rădăcini complexe.
O b ser v aţi e. Ecuaţia (2) se poate rezolva
mod. împărţind ambii membri prin x2,
x2 + _1_ = O. Notăm:
Xl
şi în alt
obţinem
(3)
+ 1 .
X -=Z.
x
întocmai ca la ecuaţia reciprocă de gradul IV, obţinem:
x2 + _1_ = Z2 - 2.
x2
Ecuaţia devine: Z2 - 2 =0; zl=V2 şi Z2 = --{2.
Introducînd valorile lui z în ecuaţia (3), se obţin două
ecuaţii de gradul II, care dau cele 4 valori ale lui x.
5. Fie ecuaţia:
(1)
x5 -1 = O.
35
[38]
I
I I
I I
înlocuind în (2) pe y, succesiv, cu Yl şi Y2' obţinem:
x3 = 8; x3 = -1.
(3) x3 - 8 == O; (4) x3 + 1 = O
Rădăcinile ecuaţiei (1) sînt date de ecuaţiile (3) şi (4).
Rădăcinile ecuaţiei (3) sînt egale cu rădăcinile ecuaţiei
XS - 1 = O, înmulţite cu {/S = 2, adică:
2; -1 + iy3; -1 - iV3.
Rădăcinile ecuaţiei (4) sînt:
-1' 1+;,"';3 . 1-i"';3
, 2 ' 2
Deci rădăcinile ecuaţiei (1) sînt următoarele:
Xl = 2; x2 =-1 + iY3; x3 = -1 - i-y3
1 + iV3. _ 1 -i"';3
x4=-1;x:,= 2 'X6---2--·
Exemplul II. Fie ecuaţia:
r
t
I
(1)
Xl>! +] = O.
Puteră scrie : ,
t=
X12 + 2x6 + 1 - 2x6 = O; (x6 + ])2 - {'V''2 x3)2 = O.
,-
Folosind identitatea a2 - b2 = (a + b)(a - b), avem:
(x6+f.fx3 + 1) (xflA.--Y2 x3 + 1) = O.
Rădăcinile ecuaţiei (1) sînt date de ecuaţiile trinorne :
x6 +'12 x3 + 1 = O; x6 - -y2 x3 +1 = O,
care se rezolvă prin metoda arătată în exemplul 1.
Ecua ţia (1) are ] 2 rădăci ni.
Generaliz'are. Fie ecuaţia:
ax2m + bxm + c = O ;
pentru rezolvarea ei procedăm astfel:
1 o Scriem xm = Y şi formăm ecuaţia de gradul II:
af + by -t c = O.'
. .
38
�.
[39]
2 o Aflăm rădăcinile Yl şi Y2 ale acestei ecuaţii.
3 o Rezolvăm ecuaţiile binome xm = Yl; xm = Y2'
Numărul rădăcinilor unei ecuaţii de gradul n
cu o necunoscută
Din rezolvarea ecuaţiilor cu o necunoscută, pe care
le-am considerat pînă acum, se constată că numărul ră­
dăcinilor unei ecuaţii este egal cU gradul ecuaţiei. Acest
adevăr se enunţă astfel:
Teoremă. O ecuaţie algebrică de gradul n admite n rădă­
cini. Aceasta se stabileşte cu ajutorul următoarei teoreme 1
Teorema lui D'Alembert-, Orice ecuaţie algebrică are o
rădăcină.
Acest adevăr se numeşte teorema fundamentală a alge­
brei şi se demonstrează cu cunoştinţe de matematici supe­
rioare.
5. ECUAŢII CARE SE REZOLVĂ PRIN INTRODUCEREA
UNEI NECUNOSCUTE AUXILIARE
Introducerea neeunoseutei auxiliare
ExemPlul I. Să se rezolve ecuaţia,
(1) (x2 - x - 30)2 - 3(x2 - x) + 90 = O.
Efectuînd operaţiile indicate de semne, obţinem I
(2) x4 - 2x3 - 62x2 + 63x + 990 = O.
Pentru rezolvarea ecuaţiei (2) este nevoie de cunoaş­
terea unor teoreme din teoria ecuaţiilor. Deci, prin mijloa­
cele algebrei elementare nu reuşim să rezolvăm în mod
metodic ecuaţia (2). Ar trebui să încercăm grupări de ter­
meni în vederea obţinerii unui factor comun pentru tot
membrul 1 al ecuaţiei, ceea ce ar fi o lucrare aproape empi­
rică, nu una de metodă şi de raţionament.
1 D' Alembert , J. (1717 -1783). celebru matematician francez, scriitor
şi filozof. �I este ţunul dintre fondatorii Enciclopediei franceze,
39
.�
[42]
Se face substituţia :
(2) x2 + 4x - {) = y.
Relaţia (1) devine:
yy + 2y y -7 = 10.
Se constată că numai rădăcina y = 16 convine. Ob­
ţinem:
Xl = 3; x2 = -7.
Exem-plu! III. De rezolvat ecuaţia :
(1) Y x - 4 = 2 {! x - 4 + 3.
Se face substituţia:
(2) {! x - 4 = y. Rezultă yx - 4 = y2 etc.
Exemplul IV. Fie ecuaţia :
(1)
2(x -1) = 7(Vx2 -{Ix).
Se face substituţia
(2) {Ix = y. Rezultă {I x2 = y2 şi x = {I x3 = )'3.
Se obţirre o ecuaţie reciprocă de gradul III în y.
O b ser v aţi e. Pentru rezolvarea ecuaţiilor este ne­
voie deseori să introducem o necunoscută auxiliară sau,
cum se mai spune, să facem o substituţie. Pentru anumite
tipuri de ecuaţii (bipătrate, reciproce, binorne, trinome)
există substituţii clasice, care 'trebuie cunoscute perfect.
Pentru substituţiile cerute de alte ecua ţii nu avem reguli.
Structură' ecuaţiei respective, experienţa, cultura mate­
matică şi ingeniozitatea celui care o rezolvă conduc L
găsirea substituţiei necesare.
EXERCIŢII
1. Ecuatii blpătrate
1. Să se rezolve ecuaţiile :
",.
1) 16x4 - 25x2 = O;
2) 25x4 + 49x2 = O;
3) 1 29ţix4 .+ 81 = O ;
42
81x4 + 625x2=O; 81x4 - 4.'\;2 =()
3x4 - 5x2 = O; 625x4 - lG = O
!)x4 - j = O; 49x� + 25 = O
. ,
[43]
1
l'
I
4) 2- Xi - � X2 = O; �X4 + _1_ X2 = O; 49x2 + 250=
16 121 625 1296
5) 0,0081x4 - x2 = O; 0,0016x4 + O,0625x2 = O
3
6) 6x4 = O; 0,65�4 = O; - x4 = O
5
7) x4 - 13x2 + 36 = O;,
- 8) 576x4 - 481x2 + 100= O ;
9) x4 - 32 x2 + 256 = O ;
10) x4 - 5x2 - 36 = O;
11) X2+(�r=260;
12) V x2 + 9 = 21 - x2 ;
13) V2x3 +l1x2-9 = x2+x;
R. %1.2=±3; x3,�=±2
2 5
R. X12 = ± - . X3 & = ± -
, 3 t I 8
R. X1,2 = ±4; x3.& = ±4
R. X1•2= ±16; x3,�=±2
R. Xl = 3; x2 = -3;
x3 = 1 ; x, = -1
Să se rezolve ecuaţiile literale:
14) 9a4x4 - 10a2x2 + 1 = O;
lG) x4-13acb2x2+36a'lb4 = O;
16) 81x4 -18a2x2 + a4 = O;
1 1
R. Xl,2 = ± -; x3 � = ±-
a • 3a
R. %1.2 = ± 3ab; X3.� = ± 2ab
R. Xl • = ± � . X3 & = ± �
.- 3" 3
V-·)
R. Xl = a; X2 = � a.
Il. Fără a rezolva ecuaţiile următoare, să se afle natura
rădăcinilor lor:
1) 3x4 - 5x� + 1 = O; 2) �X4 + 6x2,+ 3 = O
3) 3x4 - x� - 1 = O ; 4) x4 + 10x� + 21 = O
5) x4 - 18x2 + 81 = O.
IlI. Să se studieze natura rădăcinilor următoarelor
ecuaţii I
43
.�
[44]
V6 - V2
=±
r
1 n d i c aţi e. Se scrie rezolvanta şi se cercetează L
natura şi semnele rădăcinilor ei. Se găseşte Yl > O şi Y2 > O.
Ecuaţia dată are toate rădăcinile reale.
2) x4 - 2 (m - 4) x2 - m2 = O.
1 n. d i cat i e. Se discută rădăcinile rezolvantei
y2 - 2(m - 4)y - m2 = O, şi apoi se găseşte că ecuaţia
dată are două rădăcini reale şi două rădăcini complexe.
3) m2x4 + 2(m2 + 1)x2 + m2 = O
4) (m2 + 12)x4 - 2(m + 2)x2 + 1 = O.
1 n d i cat i e. Se calculează discriminantul rezolvari­
tei. Pentru m'>- 2, avem �>- O şiyv Y2 sînt reale, iar pentru
m < 2 rezolvanta are rădăcini complexe. Se cercetează
semnele rădăcinilor rezolvantei şi se deduce natura rădă­
cinilor ecuaţiei bipătrate pentru m >- 2 şi pentru m < 2.
IV. Să se formeze ecuaţiile bipătrate avînd ca rădăcini �
,
1) Xl'! = ± 5; XS'4 = ±J.
1 n d i c aţi e. Rezolvanta are rădăcinile 25 şi ]
deci rezolvanta este următoarea: y2 - 26y + 25 = O.
Ecuaţia. bipătrată este x4 - 26x2 + 25 = O.
,.. 1 It
2) X = ± - . X = ± 2
1,2 2' 3,4
3) X(.2 = ±6i; x3.4 = ±5i
4-), x.l.2 = ± V3; x •. 4 = ±?
5) X�2 = ± V 6 + 4 V 2; X3,4 = ± V 6 -1 V 2
\ u.) X = ± �. x = ±�.
1,2 - b' 8.4 a
V. Să se rezolve ecuaţiile următoare şi să se pună radicalii
dubli sub formă de sumă sau diferenţă de radicali simpl»,
1) x4 - 4 x2 + J' = O
-{6 + V2
R. X1,2 = ± 2
2) x4 - 16 x2 + 4 = O
R. X1•2 = ± (�5 T V�); X3,� = ± ('1/5 - Y3)
44
[45]
3) x4 - 102x2 + 2 209 = O
-+-- R. X1,2 = ± (7 + V2); x3,& = ± (7 - 'f2)
VI. 1) Un trapez isoscel ABCD
este circumscris unui cerc O de razăR. B M A
Ştiind că există relaţia: AB2 +
59
+BC2+CD2+DA2= - R2, se cere
2 .
să se calculeze laturile trapezutui.
1 n d i c aţi e. Fie M, N, P, Q
punctele de contact ale laturilor cu (L---:::::....-=----'IJ
cercul. Unim O cu A şi D, apoi ,y
cu P. Fig. 2
Se constată că 1l0AD este dreptunghic, OP .L AD.
Notăm AM = x; deci AP = x. Avem:
R2 RI x2+R2
Op2 = A P . P D; P D = -. AD = x + - = --- etc.
x ' x x
5R
R. AB = R ; CD = 4R ; AD = BC = - .
2
2) Fie patntlaterul ABCD în care laturile au mărimile:
AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Să se găsească condiţia pe care trebuie s-o îndeplinească
patrulaterul pentru ca ecuaţia:
(a + c)x4 - 2(b + d)x2 + (a + c) = O să admită două
rădăcini duble (Xl = x3; X2 = x4).
R. Patrulaterul trebuie să fie circumscriptibil unui cerc.
2. Ecuaţii reciproce
I. Să se rezolve ecuaţiile:
1) 2 x3 + 7 x2 + 'i x + 2 = O
1
R. xl = - 1; x2 = - 2; x3 = - 2
2) 5x3 - 31x2 + 3] x - 5 = O
3) x3 - 5x2 + 5x - 1 = O
R. Xl = 1; x2 = 2 +V3; x3 = 2 -Va
4) 2x3 - 5x2 + 5x - 2 = O
R X =1' x = 3+i'Y7. x"'" 3-sV
�: . 1 '2 4' 8 4
45
.�
[46]
X 10)
I ,6)
7)
i'
I
)(5) 3x4 -10x3 + ]Ox - 3 = O
x4 - 6x3 + 6x - 1 <=1 O
; R. Xl,' = ± 1; x3 = 3 + 2'{'i; x, = 3 - 2V2
3x4 - 4x3 + 4x - 3 = O
. 2 + iV5 . 2 - iV5
R. Xl'2 = ± 1; x3 = 3 ,x, = 3
8) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 <=1 O
1 1
R. Xl = 2; x2 = 2'"; X8 = - 3; x4 = -3
2x4 - 7x3 + 9x2 - 7x + 2 = O
1 1 + iV3 . 1 - iV3
R X = 2' X = -' x3 = , x4 = ---
• 1 '2 2' 2 2
4x4 "- 4x3 + 5x2 - 4x + 4 = O
3 + iV7.' ., 3 - iV7 .
R. Xl = 4 ,X2 - '--4-' .
-1 + iVi5. = -1 - iV15
X3 = --4--' x, 4 .
II. 1) Fie polinoamele:
p!(x) = 5x4 + 41X3x3 - 3x� + x + 1;
P2(X') = x4 - 131X2x3 + x� - 3x - 2 ;
P3(x) .=:.. x4 - 19IXX3 - x2 - 2x - 3 ;
P4(x) = 3;\.4 + 4x3 + 2x2 + 4x + 6.
Să se .determine valoarea numerică a lui IX, astfel ca
suma polinoamelor să fie un trinom bipătrat.
1 n d i cat i e. Suma polinoâmelor trebuie să fie un
polinom Pix) de forma Â.x4 + Bx2 + C. Se va observa
că în P(x) termenul în x lipseşte. Se va pune condiţia
ca termenul în x3 să lipsească. Deci coeficientul lui să fie
egal cu zero. Se obţine o ecuaţie reciprocă. Soluţii :
1
IX! = -1; 1X2 = 4; 1X3 <= - •
4
2) Să se determine valoarea numerică a lui m, astfel ca
ecuaţia: mx2 - 2 (2m + 1)x - (m2 + m + 1) = O să aibă
rădăcini egale.
. 1 n d i c aţi e. Se scrie că !1 = O şi se obţine o ecuaţie
reciprocă de gradul III.
I a.-·1;-2+Y8; -(2+ ţI3)
46
[47]
3. Ecuaţii binome şi trinome
I. Să se rezolve ecuaţiile:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
] 2)
x3 -125 = O
R. 5; 50(; 50(1
x3 - 64 = O; x3 - 0,343 =0; x3 - 2 = O
x3+64=0
x3 + 27 = O; x3 + 5 = O; x3 + 0,001 = O
8x3 - 27 = O ; 125x3 + 64 = O; 2x3 - 1 = ()
x4 -1296 = O
x4 - 81 = O; x4 - 0,0016 = O
x4 + 16 = O
x4 + 81 = O; x4 + 256 = O; x4 + 0,0256 = O
16 x4 - 1 = O; 81 x4 + 10 000 => O
x5 - 32 = O
x5 - 7776 = O
1 n d i c aţi e. Se descompune 7 776 în factori primi
şi se va găsi că acest număr este puterea a 5-a a unui nu­
măr întreg.
13) x5 + 243 = O
14) 32x5 - 312.:; = O
15) X16 - 1 = O
16) x6 - 28x3 + 27 = O
17) 8x� + 65x3 + 8 = O
18) x8 - 97 x4 + 1296 = O
R. %1'2 = ± 3; %3'4 = ± 2; X5'6 = ± 3i; x7'8 = ± 2i
19) X16 + 1 = O
1 n d i ca ţie. Se scrie: X16 + 2x8 + 1 - 2x8 = O ;
(x8 + 1)2 - {V"2x4)2 = O şi se rezolvă două ecuaţii trinome.
II. Să se determine valoarea numerică a lui m, astfel ca
ecuaţia:
x2 - 2m4x + m4 + 56 = O
să aibă rădăcini egale (m să fie număr real).
1 n d i c aţi e. Se scrie că diseriminantul ecuaţiei este
egal eli zero. Se obţine ecuaţia trinomă m8 - m4 - 56 =0.
41'
� R. 111 = ± v
4,
[48]
4. Introdueerea unei necunoscute auxiliare
Să se rezolve ecuaţiile:
L) (x2 - 5 x + 3)2 + 4 (x2 - 5 x + 3) + 3 =o O
2) (x4+ x2 + 1)2 - 38(x4 + x2 + 1) + 105 = O
3) x2 - 6x + 9 = 4V x2 - 6x + 6
1 n d i c aţi e. PUnem: x2 - 6x + 6 = y. Avem I
(y + 3)2 =o 16y etc.
4) V 130 -Vx + 20+ V 120 +Vx + 20 = 10
(Gazeta matematied, anul XIII, nr.10)
1 n d�' li a ţ i e. Se facesubstituţia: V120 + VX+20 =y.
Se obţine: V 250 - y3 + y = 10.
R. x = 5
5) x2 - 2x + 14 = 10
%2 _ 2% - 1
6) 2x4 - 15x3 + 40x2 - 45x + ] 8 = O
1 n d i c aţi e. Se întrebuinţează o cale analogă cu
aceea de la ecuaţiile reciproce de gradul IV. Se împarte
cu x2 şi se dau factori comuni termenilor care sînt egal
depărtaţi de. extremităţi.
.
Se face substituţia x + � = z.
x
R. Xl = 1; %2 = 3; x3 = 2 ;
...
3
x =-
4 2
[49]
CAPITOLUL III
SISTEME DE ECUAŢII DE GRADUL II.
ALTE SISTEME CLASICE
Polinomul P(x, y), format cu literele x şi y, se numeşte
polinom în x şi y.
Fie polinomul P(x, y) = x2y8 - 4xy4 + 7 x3y + 5xyG.
După cum s-a arătat în Algebra de clasa aVUI-a,
P(x, y) este de gradul III în raport cu x şi de gradul V în
raport cu y. în raport cu ambele litere, termenii lui P(x,y)
au gradele V; V; IV; VI; deci P(x,y) este de gradul VI
în raport cu x şi y.
Polinomul P(x,y) = 3x - 5y + 2 este polinom de
gradul I în raport cu x şi y.
Polinoamele :
P1(x,y) = 5x2 - y2 + 4xy + x - 2y + 3
P2(x,y) = x2 - 5xy + x + 3y - 7
P3(x,y) = 15xy - 11
sînt polinoame de gradul II în raport cu x şi y.
ECUAŢIA DE GRADUL II CU DOU Ă NECUNOSCUTE
Ecuaţia de gradul II cu două necunoscute x şi y se
numeşte o ecuaţie, astfel că, după ce toţi termenii au fost
trecuţi în membrul 1 şi s-au redus termenii asemenea, primul
membru este un polinom de gradul II în x şi y, iar membrul II
este o. �
c
4 - Algebra el. a IX·a
.�
49
[50]
Ecuaţiile:
(1) 7x2+8xy-5y2+3x-4y+5=0 (4) hy+4x-5y+3 =0
(2) 5x2+10y2+4x+3y-8=0 (5) 4x2-3y-4=0
(3) 3x2-2x+9y-5=0 (6) 3xy-8=O
sînt 'ecuaţii de gradul II cu două necunoscute x şi y.
Ecuaţia:
(7) 5x2 - y2 + 4x = 2x2 - x + 3y - 5
este tot o ecuaţie de gradul II În x şi y. În adevăr, putem
scrie:
(7') 3x2 - y2 + 5x - 3y + 5 = O.
Ecuaţia completă de gradul II cu două necunoscute x şi y
are următoarea formă:
(8) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
adică are 'trei termeni de gradul II (Ax2, Bxy şi Cy2), do i
termeni de gradul 1 (Dx şi Ey) şi termenul F, care este inde­
pendent de necunoscute.
Ecuaţia (1) este ecuaţie completă de gradul II În x
şi y. Coeficienţii ei sînt: A = 7 ; B = 8; C = -5; D = 3 ;
E = -4; F = 5.
Celelalte ecuaţii sînt incomplete.
Ordonarea polino'lflului Pix, y), adică membrul 1 al
ecuaţie] (8), se face astfel: la Început se scriu cei trei ter­
meni de gradul II În ordinea Ax2, Bxy , Cy2, apoi termenii
de graduld În ordinea D x şi Ey , În fine termenul liber.
Ecuaţia (8) are o deosebită importanţă În diferite
discipline 'ale matematicii. <1
.-'
REZOLVAREA ECUAŢIEI P(x, y) = O
Fie ecuaţia:
. ' ,
(1)
y2 - xy + 6 = O.
Dăm lui x o valoare numerică după voie; de exemplu
x =.5. Ecuaţia (1) devine y2 - 5y + 6 = O şi are rădă­
cinile Yl = 3 ; Y2 = 2.
Deci ecuaţia (1) are două soluţii:
IXl = 5 {X2 = 5
lYl = 3 y� = 2 .
50
[51]
r
Deoarece lui x îi putem da orice valoare numerică,
mai putem găsi şi alte soluţii pentru ecuaţia (1). Astfel,
pentru x = 6, ecuaţia (1) dă valorile Y3 = 3 +";3 şi
Y 4 = 3 -";"3: Deci ecuaţia (1) admite şi soluţiile:
{X3 = 6 {X4 = 6
Y3 = 3 +";3 Y 4 = 3 - ";3.
Aşadar, ecuaţia (1) admite o infinitate de soluţii; ea este
o ecuaţie nedeterminată.
Prin generalizare se deduce că ecuaţia:
Ax2 + Bxy + Cy2 + D» + Ey + F 0= O
este o ecuaţie nedeterminată.
Pentru a obţine soluţii ale el, se procedează ca în
exemplul precedent.
Sistem de ecuaţii. După cum s-a arătat în Algebra
de clasa a VIlI-a, mai multe ecuaţii formează Un sistem
cînd necunoscutele notate cU aceleaşi litere trebuie să fie
înlocuite cu aceleaşi numere.
Dacă aceste numere verifică toate ecuaţiile, ele con­
stituie o soluţie a sistemului.
Două sisteme se numesc sisteme echivalente, dacă admit
aceleaşi soluţii.
1. SISTEMUL DE ECUAŢII
{Xl (x, y) 0= O
X2(x,y) = O,
(X 1 'şi X2 sint polinoame in x şi y, respectiv de gradele
1 şi II).
Considerăm cîteva sisteme de acest fel:
3 x + y = .'\: + 2y + .)
3 x2 + y� - il x - ] = 2 x2 - ;) yll - )'.
(1)
(2)
.�
{X + .3y - 10 1::1 O
x2 + 6xy + 8y2 - 91 = O.
\{
51
[52]
{X - 2y -]1 = O
(3) xy - 6 = O.
Sistemul (2), după ce trecem toţi termenii în membrul I
şi. reducem termenii asemenea, se transformă în sistemul
echivalent:
Pentru rezolvarea sistemului avem nevoie de teorema
următoare:
Teorema r, Sistemul:
{ax + by + c ='0
(1) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O
este echivalent cu sistemul format din ecuaţia:
b c
(1) x = -_y __
a a
şi ecuaţia care se obţine înlocuind în ecuaţia a doua a siste­
mului pe x cu valoarea dată de ecuaţia (1).
Soluţiile sistemului (1) sînt date de noul sistem, care
este mal uşor de rezolvat.
Demonstraţia acestei teoreme se face ca şi în cazul
cînd sistemul este' format din două ecuaţii de gradul 1.
O b ser va ţie. ,�e poate demonstra că sistemul:
(ax + by + c = O
(1) Ax2 + Bxy + Cy2 +. D» + Ey + F = O
este echryalent cu sistemul format din ecuaţia:
(2')
{ 2x - 'li - 5 &:::2 O
x2 + 6y2 - 5x + y -] = O.
..
a c
(2) y = - -x--
b b
şi ecuaţia care se obţine înlocuind în ecuaţia a doua a
sistemului (1) pe y cu valoarea lui dată de ecuaţia (2).
Metoda substlurţlet
Exemplu. Să se rezolve sistemul:
J x-y+]=o
1 x2 + y2 - xy ---,�.8x + 11 = O.
52
[53]
Din prima ecuaţie deducem:
(2) Y C2 x + 1.
Ducînd această valoare a lui Y în a doua ecuaţie şi
făcînd calculele, obţinem:
(3) x2-7x+J2=0
Xl = 4; x2 = 3.
• înlocuind în ecuaţia (2) pe X succesiv cu valorile lui
numerice, obţinem:
Y1 <=> 4 + J = 5; Y2 = 3 + 1 = 4.
Soluţiile sistemului sînt (xv Y1), (x2, Y2) adică:
{Xl = 4 {X2 = 3
Y1 = 5 Y2 = 4,.
Verificarea în sistemul (J):
{ 4-5+j =0
J o
16 + 25 - 20 - 32 + J] = J� - 52 = O.
Deci prima soluţie este bună.
{ 3-4+] =0
20
9 + JG -12 - 24 --t 11 - 36 - 36 = o.
Şi a doua soluţie este bună,
Eliminarea neeunoseutei dintr-un sistem. în exemplul
de mai sus vedem că sistemul (1) a fost înlocuit cu sistemul
echivalent :
(] ')
{Y=X+1
x2 + y2 - X)I - 8x + 11 = O.
Din acest sistem s-a obţinut ecuaţia (3), care nu mai
conţine pe y. Spunem că am eliminat pe y. Din ecuaţia (3)
scoatem valorile Xl şi X2 ale necunoscutei x. Îrilocuindu-le
succesiv în ecuaţia (2), obţinem valorile Y1 şi Y2 ale necu­
noscutei y.
Sistemul are două soluţii: (xv )Il) şi (x2, Y2)'
Acest mod de a rezolva sistemul se numeşte metoda
substituţiei. Această metodă s-a aplicat şi la sistemele for­
mate numai din ecuaţii de gradul I.
Din �emplul precedent deducem următoarea
53
.�
[54]
Regulă, Prin metoda substituţiei, sistemul:
{ax + by + c = O
(I) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O
se rezoluărastfel :
)
1. Prima ecuaţie se rezolvă în raport cu o necunoscută,
de exemPlu în raport cu y.
2. Jn a doua ecuaţie, se înlocuieşte y cu expresia găsită
# se obţine o ecuaţie care conţine numai necunoscuta x.
3. Din această ecuaţie de gradul II aflăm rădăcinile
Xl şi x2•
4. J nlocuim succesiv aceste valori ale lui X în relaţia
care exprimă pe y cu ajutorul lui X şi obţinem pentru y
respectiv valprile y 1 şi y 2'
Soluţiile- sistemului sînt: (xl> Yl) şi (X2' Y2)'
Natura rădăcinilor sistemului (1). Fie Ll discriminantul
ecuaţiei de gradul II de la punctul 2.
Dacă Ll > O, sistemul are două soluţii reale, distincte.
Dacă Ll => O, sistemul are două soluţii reale, identice.
Dacă Ll < O, sistemul are două soluţii complexe.
Metoda reducerii
Afară de metoda substituţiei, care se întrebuinţează
foarte des pentru rezolvarea sistemului (I), utilizăm uneori
şi. metoda reducerii. Ea se bazează pe teorema care ur-
"'" . ,
meaza.
(I)
Teorema II. Sistemul:
{ax + by + c = O
A x2 + Bxy + Cy2 + D x + Ey + F = O
este echivalent cu sistemul j
(II)
,
{ax + by + c = O
m(ax+by+c)+n(Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F)=0
,
m şi n fiind numere oarecare, dar n:r:: O.
. Soluţiile sistemului (I) sînt date de sistemul (II).
Demonstraţia acestei teorems se face în acelaşi mod
54
.: �. ."
[55]
ca şi pentru un sistem de două ecuaţii de gra-dul 1 cu două
necunoscute.
(1)
ExemPlul 1. Să se rezolve sistemul:
{ 5x + 6y + 1 = O
x2 - 8x - 8y - 1 = O
Inmultim ecuaţia întîi a sistemului cu 4 şi pe a doua
cu 3 şi apoi adunăm ecuaţiile astfel obţinute, cu scopul
de a elimina pe y. Găsim sistemul echivalent:
(2)
(3)
{ 5x + 6y + 1 = O
4(5x + 6y + 1) + 3(x2 - 8x - 8y - 1) = o.
{ 5x + 6y + 1 = O
3x2 - 4x + 1 = o.
Din ecuaţia a doua obţinem: Xl = 1 ;
1
x2 =-,
3
Jar
4
din prima ecuaţie deducem: Yl = -1 ; )'2 = -
9
4
Y2 = -_.
9
Soluţiile sistemului sînt:
{Xl = 1
)'1 =-1
Jf x., = 2.
- 3
t
o b ser v aţi i. 1 o Pentru ni = 1, n = 1, teorema II
revine la înlocuirea ecuaţiei a doua a sistemului (1) cu
suma celor două ecuaţii.
2 o Pentru m = -1, n = 1 se înlocuieşte ecuaţia a
doua cu diferenţa ecuaţiilor.
ExemPlul II. Fie sistemul:
{ 5x + 9y - 5 = O
(1) 5x2 _ 4x + 9y - 7 = O.
Scăzînd din ecuaţia a doua ecuaţia întîi, obţinem:
(2) 5x2 - 9x - 2 = O
\
" ..
55
.�
[58]
i -
I
Aceasta este o problemă cunoscută de la capitolul
ecuaţiei de gradul II. Necunoscutele x şi y sînt date de
ecuaţia:
Z2 - 2z - 15 = O
ZI = 5; Z 2 = -..3,
x este una dintre valorile lui z, iar y este cealaltă valoare
a lui z.
De<;i soluţiile sistemului sînt:
{Xl = 5 { x2 = -3
YI = -3 Y2 = 5.
Gen era 1 iza r e. Fie sistemul:
(2) { X + Y = a
xY = b2;
x şi y sînt .rădăcinile ecuaţiei :
Z2 - az + b2 = O
a + v'a2 - 4b2
Z - .
1 - 2 '
Soluţiile sistemului sînt:
{ X2 = ::2
Y2 = ZI'
a b ser v aţi e. Sistemul este simetric, adică nu se
schimbă cîIttl Înlocuim pe x cu y şi pe y cu x.
Dacă un astfel de sistem admite soluţia x = (1., y = �,
admite şi soluţia x = �, y = (1.. �
Exemplu],!!. Fie sistemul:
(3) { x - y = a
xy = b·l.
Putem scrie: x-y=x+(-y); -xy=-b2; x.(-y)=-lJ2.
Sistemul (3) se poate scrie:
{X + (-y) = a
x.(-y) = -b2
şi am obţinut Un sistem de forma precedentă, cu necunos­
cutele x şi (-y).
, I
58
[59]
Acest sistem se rezolvă mai uşor pe cale directă decît
prin artificiul întrebuinţat. S-a căutat însă ca rezolvarea
sistemului (3) să fie legată de rezolvarea sistemului (2).
Sistemul (2) este foarte important: o mulţime de sisteme
se rezolvă cu ajutorul sistemului (2).
OBSERYAŢIE I1fPORTANTĂ
ASUPRA �rnTODEI SUBSTITUŢIEI
Se poate demonstra că într-un sistem se poate inlocui,
într-una din ecuaţii. o expresie de x şi v-c« valoarea ei dată
de cealaltă ecuaţie şi se obţine un sistem echivalent (T a n ­
ner y J.1. Lecons d'Alg ebre et d'Analyse).
ExemPlul III. Fie sistemul:
(1) { x + y 0= a
x2 + y2 = b2.
Ridicînd la pătrat ambii membri ai ecuaţiei întîi. obţinem:
(2) x2 + y2 + 2xy = a2•
în ecuaţia a doua a sistemului (1) înlocuim expresia
(x2 + y2) cu valoarea ei dată de relaţia (2) şi obţinem
Un sistem echivalent cu sistemul (1), şi anume:
(3)
{
x+y=a
a2 - 2xy = b2
sau:
..
(3')
1
x+y=a
aZ _ b2
xy =--.
2
Acest sistem se rezolvă aşa cum s-a arătat în exemplul I.
Sistem de soluţii. în unele cărţi, în loc de soluţiile
sistemului se întrebuinţează expresia "sistemele de soluţii
ale sistemului". Astfel, în exemplul I, cantităţile Xl = 5 şi
Yl = -3 constituie Un sstem de soluţii, iar X2 = -3 şiY2=5
constituie al doilea sistem de soluţii ale sistemului (1).
1 jules Tannery (1848-1910), matematician francez, cunoscut în
lumea întreagă ca un pedagog admirabil, aşa cum apare în cărţile sale,
care sînt modele de claritate şi precizie.
59
.�
[60]
(2)
Interpretare geometrică. Sistemul (1) din exemplul III
are o frumoasă interpretare geometrică, adică putem
enunţa o problemă de geometrie a cărei rezolvare să con­
ducă la sistemul (1). Anume: "Să se afle dimensiunile unui
dreptunghi, ştiind că perimetrul este egal cu 2a şi diagonala
este egală ,cu b,"
Din toate exemplele rezolvate pînă acum s-a constatat
că un sistem format dintr-o ecuaţie de gradul 1 în x şi y
şi una de gradul II în x şi y are totdeauna două soluţii
sau - cum se mai Spune - are două sisteme de soluţii
(Xl' Yl) şi (x2, Y2)'
2. SISTEMUL DE ECUAŢII
(1) {AX2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O
A'x2 + B'xy + C'y2 + D'x + E'y + F' = O
(format de două ecuaţii în X şi y, fiecare de gradul II).
Exemplul 1. Să se rezolve sistemul:
(1) { 9 x2 - 4 xy + y2 - 5 = O
xy - 2 = O.
Din ecuaţia a doua scoatem:
,
2
y=-,
x
,-
Introducînd valoarea lui y în ecuaţia întîi a sistemului
şi făcînd succesiv operaţiile indicate de semne, obţinem:
2 4
9 x2 - 4x-, - +- - 5 = O; 9 x4 - 8x2 + 4 _ 5 x2 = O
x x2 •
(3) 9 x4 - 13 x2 + 4 = O,
adică o ecuaţie bipătrată. Prin rezolvarea cunoscută,
obţinem:
, _ 2. _ 2
x3 - -, x4 - - -.
3 3
.Din relaţia (2) găsim: YI = 2 ; Y2 = -2; Y3 = 3 ;
v = -3.
� ,4. ,J
, '
60
..:,' : ...
[61]
Sistemul (1) are patru sisteme de soluţii, şi anume I
{Xl = 1
Yl = 2
I xa = �
Ya= 3
{ Xo = - 1
Y2= - 2
(4)
(5)
Sisteme de ecuaţii care se rezolvă prin procedee speciale
a) Fie sistemul:
(1) {:: + Y;2,= a2
Avem: X2+y2 = (X+y)2 - 2xy; x2+y2=(X+y)2 -2b2
a2 = (x + y)2 - 2b2; (x + y)� = a� + 2b2
(2) X + y = Va2 +'2b2
(3) x + y = - V a2 + '};b2,
Ecuaţia xy = b2, luată cu fiecare dintre ecuaţiile (2) şi (3),
formează sistemele:
{X + y = Va2 + 2b2
xy = b2
{X + y = - ...; a2 + 2b2
xy = b2,
care sînt echivalente cu sistemul (1) şi care au fost studiate.
Rezolvînd sistemele (4) şi (5), obţinem patru sisteme
de soluţii pentru sistemul (1).
Pentru a evita greşeli la scrierea sistemelor de soluţii,
e uşor să se observe că xy trebuie să fie totdeauna egal
ou b2,
b) Sistemul de ecuaţii :
{XI(X, y) = Al
X2(x, y) = A2
în care Xl şi X2 sînt polinoame omogene în x şi y, iar Al
şi A2 sînt numere reale.
\
61
,�
[62]
(1)
ExemplulI. Fie sistemul:
{ X2 + xY + 2y2 = 74
2x2 + 2xy + y2 = 73.
(2)
, Soluţiile acestui sistem se pot obţine prin metoda
arătată în Cap. III, 1. Rezolvarea se poate face însă mai
rapid şi mai elegant prin substituţia : y = t». Sistemul (1)
devine:
{X2(1 + t + 2t2) = 74
x2(2 + 2t+ t2) = 73.
Prin împărţirea unei ecuaţii cu cealaltă, găsim:
1 + t + 212 = 74 sau 24t2 _ 25t _ 25 = O,
.2 + 21 + t2 73
de unde:
5
tI = -'
3 '
5
t2 = - -.
8
E
Din sistemul (2) deducem: x = ±V 74
1 + 1 + 2t2•
5
Pentru tI = -, rezultă Xl = 3 şi x2 = -3; pentru
3
'2 = - :-, rezultă :1;3 = 8 şi x4 = -8.
Fiindcă y = tx, deducem:
,-
Yl = tlX1 = 5; Y2 = tlX2 = -5 ;
�
Y3 = t2X3 = -5; Y4 = t2x4 = 5.
Sistemul (1) are patru sisteme de soluţii:
{ X2 = -�; r x3 = 8 r x4 = -8
Y2 = -{) lY3 = -5' lY4 = 5
o b s e r v aţi e. �n sistemul (1), Înlocuind pe X cu _ x
şi pey cu -y, sistemul nu se schimbă. Aceasta Înseamnă că
sistemul fiind verificat de valorile x = (X, y = �, este veri­
ficat şi de valorile x = - (X, y = _�.
Sau: dacă sistemul admite sistemul de soluţii «x, B)
admite şi pe (- «, -�).
f , � �
&2
, ' -�
[63]
(1)
(2)
sau
ExemPlul II. Fie sistemul:
{2X2 + 3xy + y2 = 70
6x2 + xy - y2 = 50.
Făcînd substituţia y = tx, obţinem I
( x2(2 + 3t + t2) = 70
t x2(6 + t - P) = 50,
(3)
{ 5X2(2 + 3t + t2) = 350
7x2(6 + t - t2) = 350.
Egalînd cele două expresii, obţinem:
5x2(2 + 3t + t2) = 7x2(6 + t - t2),
5(2 + 3t + t2) = 7(6 + t - t2),
3t2 + 2t - 8 = O,
cu rădăcinile:
4
tI = - ; t , = -2.
3 •
Pentru t = -2, sistemul (2) este imposibil, fiindcă obţi­
nem:
{ x2.O = 70
x2.O = 50.
înlăturăm valoarea t = - 2.
Pentru t = � obţinem: x = ±V 70 ,adică 1
3 2 + 31 + t2,
4
Xl = 3; x2 = -3. Din y <= tx deducem: YI = -.3=4;
3
.�
4
)'2 = - (-3) = -4.
3
Sistemul (1) admite
I
I
t
soluţiile:
{Xl = 3 { X2 = -3
YI = 4 Y2 = -4.
63
[64]
i
Sistemul este simetric, adică înlocuind pe x cu Y şi pe
Y cu x, sistemul nu se schimbă. Luăm ca necunoscute auxi­
liare x + y = u şi xy = v.
Avem: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy <= u2 - 2v. Sistemul
(1) devine:
n
I '
i
1
I
j
;
(1)
c) Sistem simetric
Exemplu. Fie sistemul:
{X2+y2=5
xy - (x + y) = 5.
-
(2)'
Procedînd prin
{UZ - 2v = 5
v - u = 5.
substituţie, găsim:
u1 <= -3; u2 = 5 ; VI = 2; v2 = 10.
Consid�rind valorile lui UI şi VI' avem sistemul:
{X + y = -3
xy = 2
{Xl _ -1 { X2 = -2
Yl - -2 Y2 = -l.
Considerînd vaiorile U\l şi V2, obţinem sistemul x + Y = 5,
xy = 10.
Găsim:
"
Sistemul dat are patru sisteme de soluţii finite: două
reale şi două complexe.
O b ser V ati e. Aplicînd metoda substituţiei se ajunge
la ecuaţia:
x4 - 2x2 - 3x2 + 20x + 20 = O
a cărei rezolvare se va face în clasa a X-a reală.
64
" ........
[65]
(1)
(1')
3. SISTEME FORMATE
DIN nouă ŞI DIN TREI ECUAŢII DE GRADUL II
Rezolvarea acestor sisteme se bazează pe teoremele de
echivalenţă a sistemelor, procedindu-se în mod analog ca
la rezolvarea sistemelor formate de ecuaţii de gradul I,
cum s-a arătat în Algebra de clasa a VIII-a.
Exemplele următoare vor indica într-o oarecare măsură
cum se aplică metodele generale. .
ExemPlul 1. Să se rezolve sistemul:
1 X2 - y2 - Z2 = -12
3y2 + 2Z2 - 5x = 25
_Z2 - 2y2 = -17.
Adunînd ecuaţiile membru cu membru, obţinem J
(2) X2 - 5x + 4 = O
Deci sistemul are o astfel de structură, încît prin adu­
narea ecuaţiilor au fost eliminate necunoscutele y şi •.
Am obţinut ecuaţia (2), care conţine numai necunoscuta �.
Avem:
Xl = 4; x2 = 1.
Considerăm pe rînd valorile lui x. Pentru x -= 4, ecuaţia
intii a sistemului devine:
(3) _y2 - Z2 = -28.
Sistemul (1) este echivalent cu sistemul!
Ix = 4
-y2 - Z2 = -28
_Z2 - 2y2 = -17.
înmulţind ecuaţia a treia cu (-1) şi adunînd cu a
doua, obţinem y2 = -11; YI = iVll şi Y2 = -t"YU,
Din ecuaţia a doua deducem Z2 -= 39; ZI = "'Ij39 şi
Z2 = - V;J9.
Avem sistemele de soluţii I
1 Xl = 4 1 x2 = 4 1 xa = 4
YI = i Vll Y2 = i Vll Ya = -�VTI.
ZI = V39 Z2 = - V3';) za = y3\J
�
5 - Algebra el. a IX-o.
"�
65
[66]
(4)
Pentru x = 1, ecuaţia întîi a sistemului (1) devine:
_y2 _Z2 = -13.
Sistemul (J) este echivalent cu sistemul:
x=l
I�
II
I
. t
(1)
(1")
_y2 _ Z2 = -13
_Z2 - 2y2 = -17.
Scăzînd din ecuaţia a doua pe cea de-a treia, obţinem
y2 = 4; Y = 2 şi Y = -2. Din ecuaţia a doua deducem:
Z2 = 9.; Z = 3 şi Z = - 3.
Avem sistemele de soluţii:
\;5=1 \X6=1 \x7=1 \x8=1
/6 _ 2 Y 6 _ 2 Y 7 : - 2 Y 8 = .; 2
Z5 - 3 Z6 - -3 Z7 - 3 Z8 -= 3.
Deci, sistemul dat are 8 sisteme de soluţii. Se constată
că numărul sistemelor de soluţii este egal cu produsul
dintre gradele ecuaţiilor sistemului: 8 = 2·2·2.
Exemplul II. Fie sistemul:
\ X2 + xy + y2 =o 37
, x2 + xs + Z2 =o 28
y2 + yz + Z2 =o 19.
(Bertrand1)
Scădem din prima ecuatie pe cea de-a doua, apoi pe
cea de-a treia din a doua:
1
f
Deducem:y - z = x - y sau:
(3) x + z = 2y.
în ecuaţia a doua din (2) înlocuim pe (x + z) cu 2y
şi obţinem I
(2)
(4)
66
(y - z)(x + y + z) = 9
(x - y)(x + y + z) = 9.
(x - y)y =o 3
1 JosePh Bertranâ (1822-1900), renumit matematician francez
I
I
I
[67]
-
3
(5) x 1:1 - + y.
y
Introducînd această valoare a lui x în prima ecuaţie a
sistemului (1), găsim: (: ,+ Y r + 3 + y2 + y2 = 37
3y4 - 28y2 + 9 = O.
Această ecuaţie bipătrată are rădăcinile:
1"3 1"3
YI -= 3; Y2 = -3; Ys = -3-; Y4 = - -3-'
în relaţia (5), înlocuind succesiv pe Y cu aceste valori
numerice, obţinem:
10 V3 10 V3
X -= 4' x = -4' x = --' x = - __ o
l' 2 ,a 3' 4 3
Din relaţia (3) deducem: Z = 2y - x; adică:
ZI = 2YI - Xl ;Z2 = 2Y2 - x2 ;Za = 2Ya - Xa ;z4=2Y4-X4'
Făcînd calculele, rezultă că sistemul propus admite
patru sisteme de soluţii finite:
XI = 4 f x2 = -4 xa = 10 f x4 = - 10 sV3
J V3 1"3
YI = 3 I Y2 = -3 Ya = -3 Y4 = - -3-
8V3 8Vs
ZI = 2 l za = -2 za = - -3- Z4 = -3-
a b ser v aţi e. în sistemul dat, înlocuind pe x cu
-x, pe Y cu -Y şi pe Z cu -z, sistemul nu se schimbă.
Rezultă că în cazul cînd sistemul admite soluţia (rx, �, y)
admite şi soluţia (- 0(, -�, - y). Aceasta se constată
în cele patru sisteme de soluţii obţinute şi constituie Un
mijloc de verificare a rezultatelor aflate.
4. CITEVA SISTEME CARE CONTIN ECUATII
DE GRAD MAI MARE DECÎT DOI '
ExemPlul 1. Fie sistemul:
(1)
{ x-y=l
XS - ya = 19
67
[68]
putem scrie : (x - y)(x2 + xy + y2) = 19; dar x - y = 1;
deci sistemul devine :
(2) -
-1 ..•
{ x-y= 1·
x2 + xy + y2 = 19.
,
�
I
I
I
{ U(U2 - 3v) = 35
v = 6.
Aplicînd metoda substituţiei, găsim că sistemul (2).
şi deci sistemul (1), admite sistemele de soluţii :
{Xl = 3 { x2 = -2.
Yl = 2 Y2 = -3.
Exemplul II. Fie sistemul:
{ X3 + y3 = 35
(1) • xy = 6
Fiind- un sistem simetric, încercăm să-I rezolvăm prin
substitrrţiile : x + y = u, xy = v. Putem scrie:
x8 + y3 = (x + y)(x2 _ xy + y2) ;
x3 + y3 = (x + y) [(x + y)2 - 3xy].
Sistemul devine:
f (x + y) [(x + y)2 - 3xy] = 35
t xy = 6
,
(2)
(3)
Se obţine ecuaţia:
sau 1
u3 - 18u - 35 = O,
a cărei rezolvare se va face în clasa a X-a. Deoarece nu
putem rezolva sistemul prin acest procedeu, aplicăm
metoda substituţiei,
6
Din a doua ecuaţie a sistemului (1) obţinem y = -; şi,
introducînd în prima, găsim ecuaţia trinomă:
x6 - 35x3 + 2J 6 = O.
Rezultă:
��----------======�--���--�
.
Xl = 3; x2 = 3.0(; x3 = 30(2; x4 = 2; x5 = 20(; x6=20(2.
,,1
,
·68
', '
r
[69]
-
-1+i1/"3 -1-'V3
in care IX = OI:� = .
� 2
Introducînd succesiv valorile lui x în relaţia
6
y=-,
x
obţinem cele şase valori ale lui y. Sistemul admite urmă­
toarele şase sisteme de soluţii :
{Xl = 3
YI -= 2
{ X3 = 301:2
Y3 = 201:
{ X6 = 201:2
Y6=301:.
Se constată că în sistemul (1) prima ecuaţie este de
gradul III în raport cu X şi Y, iar cealaltă de gradul II
în X şi y.
Numărul sistemelor de soluţii ale sistemului (1) este
egal cu produsul dintre gradele celor două ecuaţii, adică
6 = 3·2.
Exemplul III. Fie de rezolvat sistemul:
{ 2x - Y = 1
(1) 7x3-y3+3x+1=0.
Din prima ecuaţie găsim y = 2x - 1. Ducînd această
valoare în ecuaţia a doua, rezultă:
(2)
x3 - 12x2 + 3x - 2 = O.
Această ecuaţie nu se poate rezolva prin metodele
algebrei elementare.
ExemPlul IV. Să se rezolve sistemul:
{ xy(x + y) = 30
(1)
x3 + y3 = 35.
(Problemă propusă la Olimpiada matematică din Lenin­
grad, 1951, pentru clasa a IX-a.)
Din ecuaţia întîi deducem:
(2)
Din sistem:
(3)
.�
�
..
3xy(x + y) = 90.
XS + y3 = 35.
69
[70]
Adunăm ecuaţiile (2) şi (3). Obţinem I
(4) (x + y)8 <= 125
(5) x + y <= 5; x + y = 5oc; x + y = 5oc!.
• v 30
Din .itelaţia xy <= -- deducem:
x+y
(6)
30
xy <= 6; xy = - <= 6 oc2 ;
50t
30
xy = - = 6oc.
50cl
Avem deci sistemele :
{X + y 1::1 5 { x + y = 5 oc { x + y = 50cll
(1) xy <= 6 (II) xy <= 6 oc2 (III) xy = 6 oc.
SoluţiIle sistemelor (1), (II), (III), conduc la rezul­
tatul că sistemul (1) are 6 sisteme de soluţii finite i
{Xl'= 3 {X2 = 2 {X3 1::1 30c {X = 20c
Yl 1::1 2 Y2 <= 3 Ys = 20c y: = 30c
I�
i'
{xI> = 3oc2
YI> = 2oc2
şi anume 2 reale şi 4 complexe.
O b s e r"v aţi e .• Sistemul (1) fiind simetric,
rezolva luînd ca necunoscute auxiliare x + y = u,
Se poate folosi şi substituţia y <= tx,
"
Numărul sistemelor de solutii
ale unui sistem de ecuaţii'
se poate
xy = v.
, ,,'
Din exemplele numeroase şi variate care au fost expuse
în acest capitol se constată următoarele :
1) Sistemul Xl (x, y) 1::1 0, X 2(X, y) <= 0, ecuaţiile
fiind respectiv de gradele m şi n, admite mn sisteme de
soluţii.
2) Sistemul!
Xl(x, y, z) = 0, X2(x, y, z) = 0, X3(x, y, z) <= 0,
. ecuaţiile fiind respectiv de gradele m, n, p, admite ml1p
sisteme ,de soluţii.
', '
'70
[71]
42; 100x + 10y - (100y + 10x) = 90.
/
I!
I
Î
(
I
I
l
r
Pe aceste exemple s-a verificat Una dintre cele mai
importante teoreme din algebră, şi anume:
Teorema lui Bezout. Numărul sistemelor de solutii ale
�tnui sistem de ecuaţii, în care numărul ecuaţiilor este egal
cu al necunoscutelor, este egal cu produsul gradelor acestor
ecuatii.
6 b ser va ţie. Dacă rezolvăm Un sistem de ecuaţii
şi găsim că numărul sistemelor de soluţii este inferior
produsului dintre gradele ecuaţiilor, înseamnă că s-au
calculat numai sistemele de soluţii finite.
Ca încheiere a capitolului Sisteme de ecuaţii de gradul II,
constatăm că sistemele considerate au fost dintre cele
mai simple. Rezolvarea sistemelor formate din ecuaţii
complete de gradul II sau de grade mai mari constituie
o problemă grea, care aparţine algebrei superioare.
5. PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN SISTEME
DE ECUAŢII DE GRAD MAI MARE DECIT UNU
P rob 1 ema 1. Un număr de trei cifre are cifra uni­
tăţilor egală cu O. Cîtul dintre acel număr şi suma pătra­
telor cifrelor este egal cu 42, iar dacă schimbăm cifra sutelor
cu a zecilor, numărul se micşorează cu 90. Să se afle acel
număr.
R e z o l var e. Fie x şi y cifrele numărului necunoscut
adică respectiv cifra sutelor şi cifra zecilor. Conform
enunţului, putem scrie:
100 x + 10 Y
Efectuînd operaţiile indicate de semne şi reducînd
termenii asemenea obţinem:
{ 21 (x2 + y2) - 50x - 5y = O
x-y=1.
Din a doua ecuaţie obţinem y = x - 1. Introducînd
această valoare în prima ecuaţie a sistemului, găsim:
42x2 - 97x + 26 = O
13
x1=2;x2=_o
42
71
.�
[72]
(I)
Evident, convine numai soluţia x = 2 ; urmează că y.".1.
, � Numărul cerut în problemă este 210.
V ;i,' ţAp bl � A 210 210 42
eri] icarea se J ace m ro ema. vem :-- =- = ;
• 21 + 11 5
210 - 120 = 90. Deci problema este bine rezolvată.
P r o)b 1 ema II. Un triunghi dreptunghic are peri­
metrul de' 30 m şi suma pătratelor laturilor este egală cu 338.
Să se calculeze laturile.
R e z o 1 var e. Fie A BC triunghiul dat, în care
Â=90 0. Notăm AB=x, AC=y, BC=z. Obţinem sistemul,
Ix + y + z = 30
(1) Z2 = x2 + y2
x2 + y2 + z� o:::::: 338.
Inlocuind în ecuaţia a treia pe x2 + y2 cu Z2, obţinem
2Z2 = 338; Z2 -= 169.
Deoarece z este o latură, deci z > O, avem I Z o::::J 13.
Din primele două ecuaţii găsim:
Af {X + y = 17
x2 + y2 = 169.
Acest sistem se rezolvă cum s-a
, arătat la pagina 59, de unde rezultă I
x = 5 m, y = ] 2 m, z = 13 m.
P rob 1 ema III. O prismtl
dreaptă are muchia laterală de 2· dm,
Baza ei este un triunghi în care o
latură ests media armonică a celor­
lalte două. Aria laterală a prismei
este de 7 40 cm», iar suma pătratelor
laţurilor bazei este egală cu 469. Să se
• Fig.. 3 calculeze laturile triunghiului de la bază.
R e z o l var e. Fie y < x < z laturile bazei. Din
enunţ se deduce sistemul:
.
{;O(x:: � z) � 740
x2 + y2 + Z2 = 469 .
. ,
[73]
y = 10; z = 15
Deducem apoi I x = 12
Relaţiile (5) dau pentru y şi z valori imaginare, deci
nu constituie o soluţie a problemei.
R. (4; - 2); (O; 2)
R. (1; 8); ( - 1; 4)
astfel că sistemul devine :
2yz
v+z
x=
{ %2 + y2 - X + 3y = 10
x +y = 2.
{ '4xy - y2 + 32 = O
Y +- 2x = 6.
I 2v
U + -;; =37
l4VB
-+ u2 - 2v = 469.
UD
Rezolvăm sistemul prin substituţie, Avem: v= 14(37-") •
2
.�
EXERCIŢII
1. Să se rezolve sistemele de ecuaţii :
(2)
(4)
(1)
astfel că ecuaţia a doua devine:
u2 - 37 U + 300 = O
u1 = 25; u2 = 12. Sistemul (3) are soluţiile I
{UI = 25 (4') {y + z = 25 (5) {U2= 12
VI =150 yz = 150 v2 = 150
!y + z+�= 37
y+z
(2)
4ylZB
. (y + Z)I + (y + Z)2 - 2yz = 469.
Sistemul (2) este simetric; notăm y + z = u şi yz <=> v.
Putem scrie:
(3)
Obţinem:
[ .
r
1
I
l
r
i
,
I
I
i
i
[74]
""'"- _ .1. '-Ll...L'- �'- ""'..I...I..J.J.J...IJ...Ia Al l-'J.J.J.J. ..L'-\...&.\...I. ""'..L\,....
\
l
(
R. (4; - 2) ; ( - 2; 4).
R. (2; - 3); (3; - 2)
x,,- v= 5
xy = -6.
x+y=2
x2 + y2 = 20.
{ x2+y2-2x-y=21 { 2x2-5y2-3x-5y=10
x - Y = 2. (8) 2x - 3y = 5.
{ X2 - xy - y2 - X + y = 6
x+y=l.
_� { 4x2,+ xy - 2f + 5x + 4y = 6
3x + 2y = 2.
1 �-ty�:
1- xy = l.
{
{
(7)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
I
t
l
r
V�zi subcapitolul 1, exemplul III.
(15) I : = �
l'2X2 + 3y2 = 155.
R. (8; 3); (-8; - 3).
1 n d i c aţi e.
1 x y
-=-
(14) 5 7
x2 + y2 -= 296.
R. (10,; 14); (- 10; -14).
[75]
{ x�-Y�--rx--ry=oo
(21) R. (7; 3); (7; - 4); (-8; 3); (-8; - 4)
X2+y2+X-y=44
1 n d i c aţi e. Se adună ecuaţiile:
R. (3;1); (-3;-1); (12; - ;); (-12; ;)
(23)
R. (3; 5) ; (2 ; 1)
1 n d i c aţi e. Se adună ecuaţiile şi se obţine
(x + 2y)2 = 25. Deci avem sistemele: x + 2y = 5 şi
x2 + 3xy = ]8; x + 2y = -5 şi x2 + 3xy = 18.
f s. +L = 10
:y x 3
t �+� =2..
x :y 3
(Examenul de admitere în Institutul politehnic, Bucureşti,
septembrie 1959.)
{ 6x2+xy-y2-3x-4y=15
(24) 4xy-y2+3x2+15x-7y=18.
1 n d i c aţi e. Prin scădere, se elimină y2 şi se obţine
. d d II A S 3x· - 6x + 1 .
o ecuaţie e gra u 111 y. e scoate y 0= ŞI se
x-1
introduce în prima. După efectuarea calculelor, se obţine
o ecuaţie de gradul II în x.
�
,75
,
[76]
{ ;v-rY'=.m
(25) (x + y)2 + (x _ y)2 + xy <= 32.
1 n .d i c aţi e. Se iau ca necunoscute x + y "'" u ;
xy = v,
·� .
(26)
{ xy (x + y) =6
x3 + y3 = 9.
•
ţ-
I
(Examenul de admitere în Facultatea de matematică şi ţisicâ, Cluj, 1954.)
(27)
1 x2y + X,Y2 = 30
�+�=�.
x y 6
(Examenul de admitere în Institutul politehnic, Bucureşti,1960.)
{ X2 + y2 <:::1 13
y2 + xy <= 15.
(Examenul de admitere în Institutul de petrol, gaze şi geologi;.
Bucureşti, 1959.)
" .
1 n d" ca ţie. Scriem: xy (x + y) 1:1 30; x + y "'" �.
xy 6
Prin înmulţirea ecuaţiilor se obţine (x + y)2 <= 25; x +
+y "'" ±5.
(28)
\
.76
I
�
r
J.
'",
R. (9; 8; 12); (8; 9; 12)
[6 (1 + i) ; 6 (1 - i); 1 7 ]
[6 (1 - il; 6 (1 + i); 17]
� + y2 + Z2 = 289
x + y + z <:::1 29
xy <= 72.
1 x+y+z=6
xy + yz + xz = 11
x2+ y2 - Z2 = 12.
x(x + y + z) = 70
y(x + y + z) = 28 R. (5; 2; 7); (-5; -2; -7)
z(x + y + z) = 98.
III. 54, se rezolve sistemele:
Ix + y <:::1 3z
x2 + y2 <= 5z
x3 + y3 = 9z.
(Examenul de admiter� în Institutul politehnic. Cluj. 1959.)
(31)
(32)
�29)
I
II
I
'1 ,(30) 1
!I ..l-
I
,
I�. �_.,., __ �
[77]
,33)
1 X2 - xy + y2 = 7
y2 - yz + Z2 = 3
Z2 - xz + x2 = 7.
(Examenul de admitere în Institutul politehnic Braşov, 1956).
.
"
1 n d i c aţi e. Din ecuaţia a treia, scăzînd prima
ecuaţie, obţinem:
Z2 - xz + xy - y2 = O; Z2 - y2 - x(z - y) = O ;
(z - y)(z + y - x) = O. Deci (I) z -y=O; (II) z+y ­
- x = O. Ţmînd seamă de (1), sistemul dat se transformă
in sistemul x� - xy + y2 = 7; y2 = 3. Apoi se obţine
alt sistem, ţinînd seamă de (II) etc:
PROBLEME PROPGSE
1. Un număr de două cifre este cu 18 unităţi mai mic
decît răsturnaiul lui. 1 mpărţind acel număr prin produsul
cifrelor lui, se obţine cîtul 3. Să se afle acel număr.
1 n d i ca ţie. Fie x cifra zecilor şi y a unităţilor.
Valoarea numărului este 10x + y, iar a răsturnatului său
10X+y
este10y + x.Avem: = 3 ;10y+ x-(10x +y)=18.
xy
R.24
2. Numărul 12y este scris într-o bază necunoscută; nu­
mărul 21y este scris în aceeaşi bază. Ştiind că în sistemul
zecimal cele două numere se scriu respectiv 68 şi 110, se
cere să se afle baza sistemului necunoscut şi cifra y.
1 n d i c el tie. Se notează baza cu x. Valoarea nu­
mărului 21y este egală cu 2x2 + x + y; deci 2x2 + x +
+ y = 110. Se procedează la fel cu celălalt număr şi avem
x2 + 2x + y = 68. ..
R. Baza este 7 şi cifra este 5.
3. Pentru un grup de persoane s-au cumpărat bilete de
teatru. Numărul persoanelor este egal cu numărul care arată
costul biletului de teatru. Pentru al doilea grup de persoane
s-au cumpărat bilete de cinematograf. Şi numărul persoanelor
din acest grup este egal cu numărul care arată costul bile­
tului de cinematograf. Suma plătită pentr« toate persoanele
din cele două grupuri este de 241 lei. Să se afle cîte persoane
�
77
.�
[78]
I
I
au mers la teatru şi cîte au mers la cinematograf, ştiind că
numărul total al persoanelor ain cele două grupuri este 12.
1 n d i ca ţie. Fie x numărul persoanelor din primul
grup; conform enunţului, costul biletului de teatru este
x, iar costul biletelor de teatru este x2• La fel, costul bile­
t�lor q.e cinematograf este y2, notînd cu y numărul per­
soanelor care merg la acest spectacol. Sistemul de ecuaţii
se scrie foarte uşor. Din rezolvarea lui nu rezultă pentru
x şi y numere întregi; problema este imposibilă.
4. Să se rezolve problema 3, luînd numărul total al
persoanelor din cele două grupu1t' egal cu lS,
R. Se găseşte sistemul Xl + yl = 241 ; x + y = 19, din care se deduce:
x = 15; Y = 4.
5. Două brigăzi trebuia să execute o lucrare. La început.
prima brigadă a întrebuinţat pentru lucrare o treime din
timpul,pe care i-ar fi întrebuinţat cealaltă brigadă pentru
executarea întregii lucrări; după aceea, a doua brigadă a
lucrat o treime din timpul pe care prima brigadă l-ar fi
întrebuinţat pentru executarea întregii lucrări. După aceasta,
s-a constatat că s-a executat 13 din întreaga lucrare. Să
18
se afle în cît timp ar fi terminat lucrul fiecare brigadă în
parte, dacă împreună aceste brigăzi pot să-I execute în
3�ore (C.;.L,l).
5
1 n d.,i ca ţie. Fie x numărul orelor necesare primei
brigăzi 'ca să termine toată lucrarea; y numărul orelor
necesare brigăzii celeilalte pentru a termina singură
lucrarea. La început, brigada 1 lucrează L ore şi executînd
� 3
_1_ din lucrare pe oră, în L ore execută _1_. L = L din.
x 3 x 3 3x
toată lucrarea. A doua brigadă execută _1_ din lucrare pe
y
oră, deci lucrînd..!. ore, execută � din toată lucrarea. Potri-
3 3y
vit enunţului, avem;
1 C. P. L. = Culegere de probleme de algebrâ de La r i c e v, care
conţine un interesant şi variat material de algebră elementară.
, ,.J
" '
78
l,tI'
,
,
L, __ �
[79]
-
s. +.!.. = 13 ; 18 (� +�) = 1 ;
3y 3x 18 5 x y
13 5
X2 + y2 = (; xy; x + y = 18 xy.
R. x = 9; Y = 6
6. Media aritmetică a două numere este 25, iar media lor
armonică este 24. Să se afle cele două numere.
Ind i o aţi e. Media aritmetică a numerelor a şi b
ta + b d' 1 . � t � f 1
es e -- ; me la or arrnoruca es e Un numar z, ast e
2
2ab 2 1 1
ci avem: z = -- sau - =- +-.
a+b z a b
R. 5; 20.
R. 20; 30
7. Să se afle dimensiunile unui dreptunghi înscris
intr-tin cerc cu raza de 25 m, ştiind că diferenţa dintre
lungimea şi lăţimea dreptunghiului este de 10 m.
R. 40 m şi 30 m
8. Să se afle caietele unui triunghi dreptunghic a cărui
ipotenuză este de 75 cm, iar raza cercului înscris în el are
15 cm, 1\
Ind i ca ţie. Fie ABC triunghiul în care A = 90°,
iar I este centrul cercului înscris. Notăm cu D, E, F punc­
tele de contact între cerc şi laturile AB, BC, CA. Se
observă egalităţile: AD = AF = raza; CE = CF şi
DB 0= BE. Găsim sistemul : x� + y2 = 752; x + y = 75 +
+ 30, unde x şi y sînt catetele.
9. Să se afle două numere, ştiind că media lor geometrică
este 10, iar media armonică este 8.
Fig. 4
R. Laturile neparalele sint de cite 25 cm ; apoi B = 32 cm şi b = 18 CID.
�
10. Să se afle cele patru laturi ale
ttnui trapez isoscel circumscris unui
cerc cu raza de 12 cm, ştiind că peri­
metrul trapezului este de 100 cm.
Indicatie. Se observă că
'triunghiul CO B este dreptunghic.
Avem: OE2 0= EC . EB.
Se observă egalităţile:
CE = CF = DF = DG 0= x'
AG = AH = H B = BE =y.
79
.�
[80]
11. Să se afle laturile unui triunghi dreptunghic, ştiind
că ele sînt numere întregi, aria şi perimetrul sînt exprimate
prin numere egale, iar pătratul uneia din laturi şi suma
celorlalte două sînt două numere egale.
I w d i ca ţie. Fie ABC triunghiul în care A = 90°,
AC =�x, AE = y, EC = z. Se găsesc ecuaţiile:
)
xY'= 2(x + y + z); x2 = y + z; Z2 = x2 + y2.
R. 5 m; 12 m; 13 m
12. Ştiind că o catetă a unui triunghi dreptunghic este
de 6 cm, iar suma pătratelor proiecţiilor caietelor pe ipo­
tenuză este de 90 cm», să se afle cealaltă catetă şi ipotenuza.
(Institutul de petroI' şi gaze, Bucureşti, 1954.)
R. Ipotenuza 12 cm şi cateta 6 V3.
] 3 .. Fie 01 şi O2 două cercuri tangente exterioare, iar T 1
şi T 2 punctele de contact ale unei tangente comune exterioare,
dusă la aceste cercuri. Se dau T 1T 2 = 4 V3 dm şi diferenţa
ariilor celor două cercuri de 7 dm2• Să se calculeze razele
cercurilor.
Ind i c aţi e. Fie O2 cercul mic. Prin O2 se duce
O 2A /1 1.'1 T 2 şi se formează un triunghi dreptunghic
0201 A 1 unde A este intersecţia razei OlT 1 cU paralela O 2A •
Se găseşte T 1 T 2 în funcţie de razele x, y.
R. 3 dm şi 4 dm
14. Suma muchiilor unui paralelipiped dreptunghic este
de 24 ni, diagonala de VT4 m fi aria bazei de 2 m2. Să se
găsească lungimile muchiilor par :leliPiPedului.
N unÎerele obţinute pot fi lungimile loturilor unui triunghi?
(Institutul ,politehnic, Iaşi, 1954)
R.lm; 2m; 3m.
;< 15. Două corpuri se mişcă pe laturile unui unghi drept
spre vîrful unghiului. La un moment dat, corpul A se află
la 60 m de vîrful unghiului, iar corpul B la 80 m de vîrf.
După 3 secunde, distanţa dintre A şi B a devenit 70 m,
iar după următoarele 2 secunde, distanţa dintre aceste cor­
puri s-a micşorat cu încă 20 m, Să se afle viteza fiecămi
. corp (C.:ţ>.L.).
80
[81]
Fig. 5
seamă de (2),
x2 + y2 =o 100.
R. 6m; 8m.
1 n d i c aţi e. Fie x viteza corpului A, care se mişcă
pe latura Ox, de la A spre O, iar y viteza corpului B, care,
se mişcă pe Oy de la B spre O. Avem fi
OA=60 şi OB�80 ;AB=YOAt.+OB2=' 8
=100. Avem: AAI = 3x; BBI =>1
lC2 3y; OAI=60-3x; OBI=80-3y;
AIB� =(60-3x)2+(80-3y)2;
A2B� = (60-5x)2 + (80-5y)2.
S-a dat AlBI = 70; A2B2 <= 70-
- 20 = 50. Se obţine sistemul:
(1){X2 + y2 - 24x-32y = -300 O
3x2+3y2-120x-160y= -1700. L-_��""""�_-"
Ecuaţia întîi se înmulţeşte cu 3
şi din cea obţinută se scade a doua.
Avem (2) 3x+4y=50. în sistemul (1)
avem: -24x-32y=-8(3x+4y). Ţinînd
ecuaţia întîi a sistemului devine (3)
6 - Algebra el. a IX·a
81
[82]
I
II
, I
I •
,
CAPITOLUL IV
FUNCŢIA DE GRADUL II
(TRINOMUL DE GRADUL fi)
în capitolul VIn al Algebrei de clasa a VIII-a a fost
studiată funcţia y = ax + b, care se numeşte funcţie
de gradul I sau funcţie liniară.
De multe ori, pentru rezolvarea problemelor din dife­
rite discipline: algebră, geometrie, fizică, mecanică etc.,
sîntem conduşi să studiem funcţia y = ax2 + bx + c, în
care funcţia y este egală cu un polinom de gradul II în x,
deci cu un trinom de gradul II. Putem da definiţia urmă­
toare :
Funeţie.de gradu� II în x se numeşte o funcţie y astfel că I
y = ax2 + bx + c,
adică y este un trinom de gradul II, iar a, b, c sînt numere
fixe, date, numite constante. ,
Funcţia de gradul II se mai numeşte funcţie cuadratică,
Observaţie a�upra terminologiei
Pentru a arăta că ne ocupăm cu o funcţie de gradul II,
ne putem. exprima în, trei feluri: studiem funcţia de gra­
dul II, sau funcţia cuadratică, sau trinomul de gradul IL
Trinomul : notaţie, valori numerice, . rădăcini, dis eri.
minant, Fie trinomul:
�(1)
-82
81, ,
y = 5x2 - 4x - L
'..f •
[83]
Trinomul y, adică expresia (5x2 - 4x - 1), este o
funcţie de x: pentru fiecare valoare numerică a lui x,
rezultă o valoare a lui y, care se calculează din relaţia (J).
Astfel:
Pentru x = 2, Y = 5· 22 - 4 . 2 - 1 = 11; pentru
x = -1, Y = 8; x = 0, y = -1; x = 1, Y = O
Scriem: y(2) = 11 şi citim y de 2 este egal cu 11. Tot
aşa scriem: y (-1) = 8; Y (O) = -1; Y (1) = O.
După cum se ştie, deseori notăm: f(x) = 5x2 - 4x - J.
In acest caz, scriem:
f( -1) = 8; f(O) = -1 etc.
In toate problemele pe care le avem de rezolvat in acest
capitol, avem de lucrat cu două noţiuni distincte: tri­
nomul de gradul II şi ecuaţia de gradul II, şi anume:
ax2 + bx + c; ax2 + b x + c = O.
în ecuaţie, x se numeşte necunoscută, iar în trinom x
se numeşte variabilă. La ecuaţia de gradul II ne interesează
două valori numerice ale lui x: cele două rădăcini. La
trinom ne interesează toate valorile numerice ale variabilei
x şi valorile corespunzătoare ale funcţiei y.
Rădăcinile trinomului (ax2 + b x + c) sînt rădăcinile
ecuaţiei ax2 + b x + c = 0, pe care o obţinem egalînd
trinomul cu zero.
Notînd y = ax2 + bx + c , avem:
y(x1) = O; y(x2) = 0,
adică trinomul are valoarea numerică 0, cînd înlocuim
variabila x cu oricare dintre rădăcinile lui.
Discriminantul trinomului este cantitatea /). = b2 -4ac.
ApI i c aţi a 1. Să se determine trinomul de gradul II
care are rădăcinile Xl = 5 şi x 2 = - �, iar pentru x = O
4
are valoarea numerică -15.
Sol u ţie. Orice trinom de gradul II este de forma
y -= ax2 + bx + c. Un astfel de trinom este determinat
cînd cunoaştem valorile numerice ale coeficienţilor a, b, c,
83
,�
-
[84]
Pentru aplicaţie, trebuie să avem I
Y (5) C> O; Y (- :) = O; y(O) = -15.
'�5a + 5b + c = O ; � a - � b + c C> O; c C> -15.
� 16 4
Din acest sistem de ecuaţii deducem i a c> 4 ; b c> -17 ;
c c> -15. Trinomul care s-a cerut în problemă este 4x2 -
-17x -15.
ApI i c aţi a II. Fie trinomul I
(1)
y = X2 - 5x + 6.
Să se afle ce valoare numerică trebuie să dăm lui x, pentru
ca trinoniul să aibă valoarea numerică n.
S o l.u ţie. Trebuie să avem y(x) = n;
+ 6 c> n; x2 - 5x + 6 - n = O. Deci:
(2)
x2 - 5x +
Astfel, dacă vrem ca trinomul să ia valoarea 90, în
formulele (2) facem n c> 90 şi obţinem Xl = 12 şi x2 = -7.
Deci, înlocuind în. (1) pe X cu 12 sau cu -7, obţinem
y c> 90.
Dacă vrem ca trinomul să ia valoarea -0,000999, în
formulele (2) facem pe n egal cu acest număr şi obţinem
Xl c> 2,999 şi x2 <:::1 2,001. Trinomul ia valoarea n = 238 632
pentru 'X1 = 491 şi x2 c> -186.
în egalitatea (1), lui X îi putem da orice valoare
numerică; în acest mod, obţinem pentru y foarte mul­
te valori numerice; calculînd cîteva, 1?utem alcătui un
tablou I
_yX 1 4_8_6_-_1_0 __ 1 2_,5 __ 4_91_.
238632 12 6 2 -0,25 23� 632
In cele ce urmează vom arăta că valorile numerice
ale trinomului de gradul II nu apar în mod dezordonat,
ci prezintă o simetrie, ceea ce se va putea constata în
. mod intuitiv prin reprezentări grafice,
J
84
' ..
[85]
r
1. DESCOMPUNEREA TRINOMULUI
îN FACTORI LINIARI
Fie trinomul:
y = ax2 + b x + c.
Rădăcinile lui sînt date de ecuaţia ax2 + b« + c 0= O ;
le notăm cu Xl şi X2• Putem scrie:
(1) ax2 + b x + c = a (X2 + : X + :)-
Din relaţiile cunoscute: Xl + x2 = - !!..-; XIX! = .:.- ,
a a
Q
deducem I
(2)
,
,
,
1, .
1.
Ţinînd seamă de aceste relaţii, egalitatea (1) se poate
scrie:
ax2 + b x + c = a[x2 - (Xl + x2)x + XIX2]
Y = a(x2 - XIX - x2x + X1X2)·
în paranteză dăm factor comun pe X între primii doi
termeni şi pe -x2 între ultimii doi termeni. Găsim I
y = a[x(x - Xl) - x2(x - Xl)];
Y = a [(X - Xl) (X - X2) J sau:
(3) I Y= a (x - Xl) (X - X2) I
Egalitatea (3) exprimă următorul adevar:
Un trinom de gradul II este egal cu un produs de trei
factori: primul este coeficientul lui x�, iar ceilalţi doi sînt
binoame de gradul 1, care reprezintă diferenţa dintre varia­
bila x şi fiecare dintre cele două rădăcini ale trinomuiui.
De aici deducem:
Regula. Pentru a descompune un trinom de gradul II
în factori, aflăm rădăcinile Xl şi x2 ale acestui trinom (ega­
Iînd trinomul cu zero) şi aplicăm. formula (3).
ExemPlul 1. Fie trinomul:
Y = 4x2 - 23x + 15.
Rădăcinile trinomului . sînt date de ecuaţia: y = O ;
3
4x2 - 23x + ]5 = O. Obţinem Xl = 5; x2 1::1 - în tri­
,
nom, a 1::1 4.
�
85
[86]
i
I
I
1,1
i
·1
I
I
Rezultă!
4x2 - 23x + 15 = 4 (x - 5)( x - +J "
Evident, mai putem scrie:
4x2 - 23x + 15 = (x -- 5)(4x - 3).
ExemPlul II. Pentru trinomuly = -3x2 + 13x + 10=0
aflăm rădăcinile;
2
Xl = 5' x2 = - -
, 3
y = -3(x - 5) ( x + +J,
sau:
y = -(x - 5)(3x + 2).
ExemPlul III. y = x2 - 6x + 7. Obţinem:
,
y => (x - 3 ':'-Y2)(x - 3 + Y2).
ExemPlul IV. y <=> -2x2 + 2x - ]3. Aflăm rădăci­
nile:
1 + 5i 1 - 5i
Xl = --; x2 => --o
2 2
Avem: ,
, (1 + 5i)( 1 - 5i)
-2x2 + 2x -13 = - 2 x - -2- X - -2- .
Ca! particular al formulei (3). Dacă rădăcinile trino­
mului sint egale, adică Xl = X2 = «, obţinem:
• «
ax2 + b x + c = a(x - rx)2; ax2 + b x + c => [ya(x - rx)]2
sau: .-'
ax2 + bx"+ c- = ({ax - rx ya)2.
Adică, dacă rădăcinile unui trinom sînt egale ( au Â=O),
trinomul este un pătrat perfect, şi anume pătratul unui
binom de gradul 1,
Exemple«: y -.!.9x2 - 24x + 16.
,Avem: Xl = x2 = + ; y = 9 ( x - + r ;
y = [3 (x - +J r; y = (3x - 4)2.
J.
86
.....
[87]
(1)
Dacă d = O, s-a văzut că trinomul este pătrat per­
fect; adică d = O este o condiţie suficientă. Se poate
arăta că d = O este şi condiţie necesară, adică fără ea,
trînornul nu poate fi pătrat perfect.
De reţinut următorul adevăr:
Teoremă. Condiţia necesară şi suficientă ca irinomul
de gradul al doilea să fie pătrat perfect este ca discriminantul
să fie egal cu zero.
Aplicaţii asupra descompunerii trinomului în factori.
ExemPlul 1. Să se rezolve ecuaţia:
x2 + 2x - 35 + x2 + 5x + 4 = 3.
x2 - 2x � 15 2x2 + 5x + 3
N tă F x2 + 2x - 35 F x2 + 5x + 4
o am: 1 = ; 2 =
x2 - 2x - 15 2x2 + 5x + 3
Căutăm să simplificăm fracţiile. în acest scop descom­
punem în factori trinoamele de la numărători şi de la nu­
mitori. Găsim:
x2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7) ;
x2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) ;
x2 + 5 x + 4 = (x + 1)( x + 4) ;
2x2 + 5x + 3 = 2(x + 1)( x + +) = (x + 1)(2x + 3).
înlocuind în FI şi F 2 trinoamele cu produsele respec­
tive şi simplificînd, obţinem:
F =x+7. F = x+4
1 x + 3 ' 2 2x + 3 .
Ecuaţia (1) devine:
(2)
Rezultă:
x + 7 + x +4 = 3.
x + 3 2x + 3
� .
.
ExemPlul II. Descompunerea în factori a trinomului
bipătrat. Polinomul ax4+bx2+cse numeşte trinom bipătrat
Să descompunem în factori trinomul bipătrat I
y = 9 x4 - 37 x2 + 4.
87
.�
[88]
Notăm x2 = z şi avem: y = 9z2 - 37z + 4. Rezultă
că acest trinom în z are rădăcinile ZI = 4 ; Z2=..!.' Putem
9
scrie :
) y�9(Z-4)(z- :); y=9(X3-4)(X2- :).
9x4-37X2+4=9(X+2)(x-2)(X+ :)(x- :).
E �emplul III. Să se simplifice fracţia:
yl + 2xy - 15x2
F= ,
y2 _ 10xy + 21x2
ai căţei termeni sînt polinoame omogene de gradul II
in x şi y.
Facem substituţiay=tx şi obţinem: F
X2(12 + 21 - 15)
x2(t! - 10/ + 21)
F = tI + 2t - 15 .
t2_ lOt + 21
t2 + 2t - 15 = (t - 3)(t + 5) ;
t2 - lOt + 21 = (t - 3)(t - 7).
,
Deci: F = / + 5. înlocuind pe t cu y şi făcînd calcu-
1-7 . x
lele necesare, rezultă:
F�5x+y.
y =:»
r-; acelaşi mod se procedează în general pentru fracţia r
F = ax2 + bxy + cyA .
a'x2 + b'xy + c'yl
2. FORME CANONICE ALE TRINOMULUI
DE GRADUL II
5 e numesc forme canonice ale trinomului anumite forme
particulare în care putem scrie trinomul, astfel ca să-i punem
în. �videnţă proprietăţile es,enţiale.
88
l
[89]
Fie trinomul:
y = ax2 + b x + c.
Putem scrie i Y = a( x2 + : x + :) =>
( b � � C)
= a x2 + -x + - - - + _ .
a 4a2 4a2 a
Y = a[(x + �)2 _ b2 - 4aC] .
2a 4a2
(1) ax2 + b x + c = a [(x + �)2 � ba - 4aC] .
2a 4a2
Egalitatea (1) înfăţişează forma canonică generală a
trlnomului de gradul II.
Discuţie. Deosebim trei cazuri, după semnul disci imi­
nantului � = b2 - 4ac.
10 Dacă � < 0, 4ac - b2 > O; egalitatea (1) se poate
scrie:
[( b )2 4ac - b2]
ax2 + b x + c = a x + - + ---
- - 2a 4a2
(1) ax2 + b x +.c = a [( x + :af +,(V4a�a- b2f] .
Deci, cînd � < 0, trinomul este produsul dintre a şi o
sumă de pătrate, dintre care umtl este cantitate constantă,
Exemplu: 18x2 - 42x + 37 = 18 [( x - :r + (frJ.
2 o Dacă � => 0, din (1) deducem i
(2) ax2 + b x + c = a ( x + �r
Deci, dacă � <=1 0, trinomul este produsul lui a printr-un
pătrat perfect.
3 o Dacă � > 0, identitatea (1) devine t
(3) ax2 + b x + c = a [( x + �r _ (Vb2�-: 4acfJ .
Deci: dacă � > 0, trinomul ax2 + bx + c este egal
cu produsul dintre a şi o diferenţă de pătrate.
89
L'
[90]
Exemţilu : 5x2 - ]3x + 6 = 5 [( x - �r - (�rJ .
Egalităţile (1), (2), (3) reprezintă forme canonice pe
care le ia trinomul în cazurile � < O, � = O, � > O.
3. MAXIMUL ŞI MINIMUL FUNCŢIEI CUADRATICE
1 o Fie funcţia:
(1)
y = 3x2 - 24x + 54.
Folosind forma canonică a trinomului de gradul II.
prtte,m scrie:
(2) 'y = 3 [(x - 4)2 + 2] ;
(2')
y = 6 + 3(x - 4)2.
Pătratul oricărui număr (pozitiv sau negativ) este un
număr pozitiv; (x - 4)2 este pozitiv dacă x =:F- 4 şi, la
fel, 3 (x - 4)2 este pozitiv dacă x =:F- 4. Avem:
y = 6 + 3(x - 4)2 .
.j. .j..
număr număr variabil,
constant pozitiv
Dacă x =:F- 4, valoarea numerică a lui y este egală cu 6
plus un. număr pozitiv; deci dacă x =:F- 4, Y > 6.
Pentru x = 4, Y = 6. Deci, cînd x variază Între - 00
şi + oo , cea mai mică valoare a funcţiei y este 6, obţinută
pentru x = 4. Spunem că y are un minim, anume y", = 6,
pentru x", = 4.
G' e ner ali zar e. Fie' trinomul :
(1) .-'
y = ax2 + b x + c,
(2)
în care a> O,
Scriem: y = a [(x +�)2 + 4ac - ..!:).
2a 4a2
, 4ac - bS ( b )2
y=--+a x+- .
4a 2a
.j.. .j..
număr număr variabil,
constant pozitiv
Apoi:
J
Observăm că (x + �r este număr pozitiv şi, de ase-
90
t
tu
[91]
menea, cantitatea a( x + �)2 este pozitivă, fiind produsul
,2a •
a două numere pozitive. (S-a dat a> O.) Dacă x -:;e - !.. •
2/1
. � lui t l� 4ac - bl 1
valoarea numerica a UI y es e ega a cu p us un
- 4a
� iti deci d � --+. b 4ac - bl
numar pOZI IV; eC1 aca x -r- --, y> .
2a 4a
P b 4ac - b2 A d • d . �
entru x = - -, y = --- . şa ar, czn x vanaza
2a 4a
între -00 şi +00, funcţia yadmite un minim, şi anume 1
b 4ac - bl
pentru x". = - -, y". = .-:...:.._:...-
2a 4a
2 o Fie funcţia.:
(1)
y => -5x2 + 12x - 4.
Folosind �forma canonică a trinomulul de gradul II,
scriem:
(2)
(2 ') Y = � - 5 ( x - � r
6 16
Dacă x -:;e-, valoarea numerică a lui y este egală cu
5 5
. � iti deci d � --+. 6 16
minus un numar pOZI IV; eCI aca x -r- -, y < - .
5 5
6 16
Pentru x = - y = - .
5 ' 5
Aşadar, cînd x variază între -00 şi +00, cea mai mare
valoare a funcţiei y este �, obţinută pentru x = � .
5 5
Spunem că y admite Un maxim, anume YM = � pentru
5
6
XM=- •
5
Gen era 1 iza r e. Fie trinomul i
t
(1)
-în care a < o.
�
.�
y => ax2 + b x + o,
91
[92]
" '
92
4. PROBLEME DE l\IAXIM ŞI DE MINIM REZOLVATE
CU AJLTORUL TRIXOl\IULUI DE GRADUL II
pozitiv, aşa CUm s-a văzut
b" 4ac - bS
x � - -, Y < . Pentru
2a 4a'
(2)
Scriem l Y &:::1 a [(x + �)2 + 4ac - bl], Apoi:
• 2a 4a2
Y = 4ac - b2 + a (x + �)2.
4a 2a
Ca�titatea a (x + �r este negativă, pentru că este
produsul dintre numărul pozitiv ( x + 2: r şi numărul
negativ a (s-a dat a < O).
v b
Daca x r!: - -, valoarea numerică a lui y este egală
. 2a
cu 4ac - bl minus Un număr
4a
la punc�u1 2 o. Deci, dacă
b 4ac - b2
X = � -, y = 4 Spunem că y admite un maxim,
2a a
b 4ac - bS
anume: pentru XM = - -, YM = --_
2a 4a
Concluzii asupra studiului maximului 'şi minimului
pentru funcţia de gradul � 1 : Y . ax2 + �x. + c.
10 Dacă a> O, funcţia adrnite Un mmim pentru x =o
b. Xl + %2 ( • A t ădăcini! .
= - - sau x = -- Xl ŞI x2 SIn ra acmi e trinornu-
2ao 2
b + )' VI" lui t 4ac - ba
lui ax2 + xc. a oarea mrnrmn UI es e Ym = _
4a
2 o "Dacă a < O, funcţia admite un maxim pentru x=
b Xl + %2 ( • A ădăcinil . 1 .
= - - sau x = -- Xl ŞI x2 SInt ra aClnl e trinornu Ul
2� 2 �
. ) VI' lui 4ac - b2
axa + bx + c. a oarea maximu UI este YM =�.
� �
P rob 1 e'm a I. Construim dreptunghiuri avînd ace­
laşi perimetru, anume P = ]00 m. Notînd lungimea unui
dreptunghi cu L şi lăţimea cu 1, iată cîteva dreptunghiuri
avî .id perimetrul dat:
LI = 30 şi 11 = 20; L2 = 35 şi 12 = 15 ;
. L3 = 40 şi 13 = 10; L4 = 45 şi 14 = 5.
l
I
l
I!
j,
il
I
.'
c'
,J
I
�.
, \
il I
! I
.�
�,
"").
l.
I
il
'1
!\
I '!
[93]
�1
I
i
Putem construi o infinitate de dreptunghiuri avînd
perimetrul P = 100 m.
(1)
1
Dintre toate dreptunghiuri le acestea să se afle acela
a cărui arie este cea mai mare.
Re z o 1 var e. Fie un dreptunghi ABCD, avînd lun­
gimea x şi lăţimea (50 - x). Este evident că perimetrul
lui este de 100 .m.
Cînd x variază, luînd valori în intervalul (O; 50), ob­
ţinem toate dreptunghiurile care aU P = 100 m. Notînd
aria ABCD = y, avem:
y = x(50 - x).
-----,
/ y 1 X = 30 ; Y 1 = 600
Y =. x(50 - x) - Y2 X = 35 ; Y2 = 525
"'-Ya x = 40; Ys = 400
Ce valoare să-i dăm lui x în' relaţia (i) pentru ca să
obţinem pentru Y cel mai mare număr?
Din (1) deducem: B A
(2) Y CI -x2 + 50x. ,-------.1
. y,x(50-x) .JO-x
De aici vedem că aria Y este
exprimată prin trinomul incom- C z IJ
plet (- x2 + 50x). Deci aria
este maximă cînd trinomul Y • Pig. 7
este maxim. Acest fapt are loc pentru x = _!!...; x COl
2a
= - 50 ; X = 25. în acest caz, lăţimea este 50 - 25 CI 25,
2(-1)
adică dreptunghiul devine pătrat. Am ajuns la rezultatul
următor: dintre toate dreptunghiurile cu acelaşi peri­
metru P = 100 m, aria cea mai mare o are pătratul.
Atunci Y = 625 m2 şi scriem:
Y ma« = 625 m- .
93
.�
[94]
r
I
II
o b ser v aţi e. Problema se generalizează uşor şi
se găseşte rezultatul: dintre toate dreptunghi urile cu
acelaşi perimetru P, pătratul are aria maximă.
P rob l ema II. Fie un dreptunghi ABCD, în care
A B' = 4.( m şi BC = 20 m. Parcurgînd perimetrul lui
in acelaşi. sens, pe laturile lui luăm punctele Al' B v C lr
Dv astfel că AAl = BBI = CCI = DDI = x. Unind punc­
tele Av Bv CI' DI la rînd, se obţine paralelogramul
AtBIC1DI' Să se afle minimul ariei acestui paralelogram
cînd x variază.
Re z o l var e. Pe figură avem: AlB = C1D = 44 -x;
BIC = DiA = 20 - x.
Notăm- aria AIBICIDI cu y. Avem:
y = aria ABCD - 2 aria AAIDI - 2 aria AIBBI'
y = 880 - x(20 - x) - x(44 - x).
(1)
y = 2x2 - 64x + 880.
4ac - b2
Ym = --- sau înlocuind în
4a
o
C C1
Aria y este exprimată prin trinomul (2x2 - 64x + 880),
Deci aria e;';e minimă atunci cînd trinomul este minim. Acest
fapt are loc pentru x = - � f
8 2a
64 16 M" l .
x", = -; x = . mimu IU1
8, <! 4
Y se calculează cu formula
Fig. 8 (1) pe x Cl'1 ] 6. Obţinem
y", = 368 m".
Gen era l iza rea se face luînd A B = a şi BC =o
b P t .. �. a+b
= . en rU mInIm gaSIm x = -- .
4 .
Discuţie: Trebuie să avem AAI <. BC,
o Rezultă a <. 3b.
di � a + b/b
a Ica--� .
4
94
[95]
Fig. 9
A
o
P rob l ema III. Pe două drepte perpendiculare OX.
şi Oy, se mişcă două mobile A şi B, cu vitezele constante
v şi w, plecînd în acelaşi timp
de la distanţele a şi b de la fi
originea O şi apropiindu-se de b
. acest punct. Să se afle depăr-
tarea minimă dintre ele'. I
R e z o l var e. După un
timp t, mobile le ajung în A' b'
şi B', cum se vede în figura 9.
AA' = vt; BB' = wt.
O A' = OA - AA' = a - vt;
OB' = OB - BB' = b - wt
A' B'2 = OA'2 + OB'2.
A' B'2 = (a - vt)2 + (b - wt)2.
A' B'2 = a2 - 2avt + v2t2 + b2 - 2bwt + w2t2 ;
A' B'2 = (v2 + W2)t2 - 2(av + bw)t + a2 + b2•
Notăm: (1) Y = (v2 + W2)t2 - 2(av + bw)t + a2 + b2 ;
obţinem:
(2)
A'E'=VY·
Distanţa A' E' depinde de y; ea este minimă atunci
cînd y este minim. Dar y, cum arată relaţia (1), este un
trinom de gradul II în t, adică format cu variabila t.
au + bw
Minimul lui y are loc pentru t = 2 + 2
U W •
Minimul lui y se obţine Înlocuind în (J) variabila t
au + bw
cu 2 + 2 • Obţinem:
u w
(au + bW)2 av + bw
y = (v2 + W")· (2 2)2 - 2 (av + bw). 2 2 + a2 + ba
v+w V+W
(au + bW)2 - 2(au + bW)2 + (a2 + b2) (vI + w2)
y=
vZ + w2
(a2 + b2) (v2 + WZ) - (au + bW)2
Vi + w2
1 Dm cartea Maxime şi minime geometrice de Ion Ion e s cu,
lucrare interesaftă şi utilă pentru studiul matematicilor elementare.
95
!
t;
.�
[96]
Pe baza identităţii lui Lagrange (Algebra de clasa
a VIII-a) :
(a2 + b2)(a'2 + b'2) = (aa' + bb')1 + (ab' - ba')2
putem scrie: (a2 + b2)(V2 + 1'.02) = (av + bW)2 + (aw - bV)2.
Deci I •
(aw - bV)1
y_ r::::J v2 + w2 "
.. aw - 00.
M inimul distantei A' B' -= .
. Vv2 + w2
A plicaţie numerică: a = 700 m, b = 500 m, v = 8 mls şi
w = 6 mi s. Obţinem: t = 86 secunde şi A' B' -= 20 m,
Deci după 86, secunde, distanţa dintre cele două mobile
este cea mai mică, şi anume 20 m.
Metodă de rezolvare a problemelor de maxim şi de minim
. cu ajutorul trinomului de gradul II
într-o problemă se poate cere maximul sau minimul
unei lungimi variabile, al unei suprafeţe vanabile, al
unei forţe variabile etc. Notăm această cantitate variabilă
cu y. Ea depinde de o altă cantitate variabilă, care poate fi
lungimea, timpul, forţa etc.; pe aceasta o notam cu x.
Dacă y se� exprimă printr-un trinom de gradul II în x,
maximul sau mininrul Iui y are loc în acelaşi timp cu maxi­
mul sau minimul trinomului.
Problemele de maxim şi de minim sînt printre cele
mai interesante şi mai frumoase probleme din matematici.
Unele dintre ele prezintă dificultăţi de rezolvare şi ne ce-
� sită cunoştinţe de analiză matematică. Există unele pro­
bleme de maxim şi de minim care au devenit celebre,
pentru care marele matematician francez Lagrange a
creat un capitol de analiză superioară intitulat Calculul
variatiilor. '
C� încheiere a acestui subcapitol cităm din cartea
Maxime şi minime geometrice de Ion Ion e s c u "Pro­
bleme de' maxim şi 'minim se întîlnesc în multe împreju­
rări: la construcţii, ca economii de material şi de muncă,
la reducerea costului lucrărilor şi fabricatelor, la trasări
de drumuri, căi ferate etc.".
In cursul de Poduri de lemn de Ion Ionescu se află
. astfel de exemple.
it ,J
I
96
[97]
r
5. VARIATIA TRINOMULUI DE GRADUL II
• ŞI GRAFICUL LUI
Fig. 10
Pentru reprezentarea grafică a trinomului de gradul II
este nevoie de o curbă remarcabilă, numită parabolă,
care a fost definită şi construită în Geometria de clasa
a VIII-a.
Parabola este locul geometric al punctelor M egal depăr­
tate de un punct fix F, numit focar, şi de o dreaptă fixă (�),
numită directoare.
Ducem FA --L (�) şi notăm �)
cu O mijlocul segmentului AF.
Pentru a construi un punct al N
parabolei, lucrăm astfel: consi­
derăm pe directoarea (�) un
punct N, după voie, pe care î1_�_---"�-+--+r- �
unim cu F. Perpendiculara în A .t
punctul N pe (�) şi mediatoarea
segmentului NF se taie într-un
punct M. Avem: MN 1. (�) ��-----:-!I.
şi MN = MF; deci M este
un punct al parabolei. La fel
putem construi şi alte puncte,
pe care le unim şi obţinem
curba din figură. Punctul O aparţine şi el parabolei, fiindcă
OA 1. (�) şi OA = OF. Punctul O este un punct impor­
tant al parabolei, anume este virful parabolei.
Fie MI simetricul punctului M în raport cu dreapta
Ax şi ANI = AN. Avem: FMI = FM şi MINI = MN;
dar FM = MN; deci FMI = MINI. Rezultă că punctul
MI se află pe parabolă, adică punctul M îşi are simetricul
să u faţă de A x tot pe parabolă.
Ax, adică perpendiculara dusă din focar pe directoare,
este axa de simetrie a parabolei.
Elementele parabolei: focarul F, directoarea (�), axa
FA .L (�) şi vîrful O, astfel că OA =o OF.
Mărimea segmentului AF se numeşte parametrul para­
bolei şi se notează AF = p.
10 Variaţia funcţiei: y = xl!
Dăm lui x cîteva valori numerice crescătoare, cal­
culăm valorile corespunzătoare ale funcţiei x2 şi obţinem
tabloul următor:
�
7 - Algebra el. a IX-a
9'7
1
.�
[98]
� I - eL) - 1 000 - 100 - 2 O 1 10 100 1000 + eL)
y I + co 1 000 000 � 10 OOO\(4�0)f1 7' 100 7' 10 0007'1 000 000 + eo
Se constată următoarele: cînd x este negativ şi foarte
mare în valoare absolută, y este foarte mare şi pozitiv.
Astfel � pentru x = -1000, Y = 1 000 000; pentru x =
= -ljOOO 000, Y = 1 000000000000 etc. Cînd x creşte,
rămînînd însă negativ, adică ia valori negative a căror
valoare absolută este din ce în ce mai mică, y descreşte.
Astfel: pentru x = -10, Y = 100; pentru x = -2, Y <=
= 4; pentru x = -1, Y = 1; pentru x = -0,1 avem
Y = 0,01; cînd x = -0,001 avem y = 0,000001. Vedem
că y se apropie de zero în acelaşi timp cu x. Pentru x = O.
Y = O. Cînd x continuă să crească, luînd valori pozitive
din ce în ce mai mari, y ia de asemenea valori pozitive
din ce in ce mai mari. După CUm s-a arătat în Algebra
de clasa a VIII-a, cînd Un număr x poate deveni mai
mare decît orice număr pozitiv N, oricît de mare, spunem
că x tinde către infinit. Scriem x = +00 (plus infinit).
Dacă Un număr y poate deveni mai mic decît un număr
negativ n, oricît de mic, spunem că y tinde către -00.
Scriem y = -00 (minus infinit). Reamintind aceste no­
ţiuni, completăm tabloul de mai sus, scriind: pentru
x = -00, y = +00; pentru x = +00, y = +00.
Intervalul de variaţie al unei variabile. Fie a şi b două
numere astfel că a < b.
1) Totalitatea' numerelor cuprinse între a şi b se nu­
meşte interval deschis şi se notează (a, b).
Astfel, (3, 8) înseamnă toate numerele cuprinse între
3.şi 8. Pentru a arăta că un număr x este cuprins în acest
interval, scriem: 3 < x < ş.
2) Totalitatea numerelor cuprinse între a şi b, inclusiv
numere-le a şi b, se numeşte interval închis şi se DO"
tează [a, b].
Pentru a arăta că x este cuprin� în acest interval,
scriem: a « x -<. b.
3) Totalitatea numerelor x, care verifică inegalităţile !
a -<. x < b, se notează [a, b) şi se numeşte interval închs
la stînga şi deschis la dreapta.
Astfel, .[2, 10) Înseamnă toate numerele cuprinse între
2 şi 10 împreună cu numărul 2. La fel se înţelege că
{3, 11] cuprinde toate numerele dintre 3 şi 11, împreună
cu 11. El este un interval deschis la stînga şi închis la
dreapta .
. ,
98
[99]
4) Totalitatea numerelor pozitive se notează (O, +00),
iar numerele negative formează intervalul (-00, O).
5) Totalitatea numerelor reale se notează (- 00, + 00).
6) Intervalul (-00, O] este format din toate numerele
negative şi numărul O; cu [O, +00) se notează toate nu­
merele pozitive şi numărul O.
Din consideraţiile anterioare rezultă:
Functia x2 este descrescătoare în intervalul (-00, O]
şi crescdtoare în intervalul [O, + 00).
Pentru x = O, funcţia admite minimul y = O.
A m studiat astfel variaţia juncţiei x2, adică am cer­
cetat cum variază numărul y cînd numărul x ia toate
valorile între -00 şi +00.
Graficul funcţiei y = x2• în figura 11 desenăm axele
de coordonate xx', yy' cu originea O şi alegem o unitate
de măsură OE. Construim punctele M, N, P, Q, M', N',
P', Q' cu următoarele coordonate:
M'
(1 1) (3 9)
M 2; 4 ; N(l; 1) ; P 2; 4 ; Q(2; 4).
( __ 1 ._1). N'(-I'I)' p'(-�'�)'Q'(-')'4)
2 ' 4 ' " 2 ' 4' -.t,
Unind printr-o trăsătură continuă punctele Q', P',
N', M', O, M, N, P, Q, obţinem curba din figura 11. Această
curbă ar trebui prelungită dincolo de punctele Q şi Q'
dar dimensiunile limitate ale figurii ne permit să repre­
zentăm numai o por-
ţiune din curbă.
Axa de simetrie. Ob­
servăm că ordonatelePC,
P' G', care corespund la
două abscise opuse OC,
OC', sînt egale. Dreapta
P p' este deci paralelă I
cu xx'; deci P P' ..lyy' şi
punctul 1 de intersecţie
al ei cu axayy' este mij- �������I����I
locul segmentului P P',
pentru că O este mijlocul
lui CG'. Aşadar, punctul
P este simetricul lui P
în raport cu drea pta yy'. Pig. 11
99
.�
[100]
\
Acest raţionament se aplică oricărui punct al ramurii
OMN PQ; de aceea zicem că ramura OM'N'P'Q' este
simetrica ramurii OMNPQ în raport cu yy'.
Curba este formată din două ramuri simetrice în ra­
port CU yy'. Spunem că această curbă admite dreapta ss:
ca axti de simetrie.
Să' verificăm că graficul funcţiei x2 este o parabolă.
Din ecuaţia y = x2, pentru x = 1, obţinem y = 1.
M(1, 1) este un punct al curbei (fig. 12). Pe axa yy' consi-
derăm un punct F, astfel că OF = !.-, şi Un punct D, aşa
. 4
!j că OD = _1_. Ducem în pune-
N 4
tul D dreapta (L1) .L yy', apoi
MP .L (L1). ConstruimFE-.lMP,
Avem:
MP= MA+AP=1+ 1
� I l"-:.-L--1h-1 r; 4
=( ==s=r= X (1) M P= + ;
!f' ME=MA-AE= 1 __ 1 .
Fig. 12 4 >
ME- 3. FE=1.
-4'
r
I
(2)
Dil) triunghiul dreptunghic FME deducem:
MF = VfE� + ME2
MF = V 1 + 1�� = V ��
MF=�.
4
Din egalităţile (1) şi (2) rezultă:
(3) MF = MP,
adică punctul M este egal depărtat de punctul F şi de
dreapta (L1).
Se poate arăta că orice punct de pe graficul funcţiei Xl
este egal depărtat de punctul F şi de dreapta (L1).
" .
100
[101]
-
Astfel, pentru un punct oarecare N de pe curbă avem I
NF= NQ.
Rezultă că această curbă este o parabolă avînd focarul
F (o, +) şi directoarea (�) 1.. yy', astfel că OD = +.
fi
!I'
Fig. 13
2° Variaţia funcţiei: y = -x2
în figura 13 reprezentăm grafic y = x2 şi obţinem para­
bola trasată cu linie întreruptă. Fie A un punct oarecare
de pe axa O», căruia îi cores­
punde punctul M de ordonată
AM = OA2. Punctul curbei •
y = - x2, care corespunde � "
abscisei OA, este un punct ... :
M', a cărui ordonată AM' ",,,'AI
este negativă şi are ca valoare 0/
absolută OA2. Deci M' este si- ·-lZ...,...----;,�-1I-----�x
metri eul lui M în raport cu O x.
Aceleiaşi valori a lui x, pe
curbele y = x" şi Y = -x2
îi corespund ordonate repre­
zentate prin numere opuse.
Astfel, pentru x = 2, pe curba
punctată corespunde ordo­
nata y = 4, iar pe cealaltă
curbă corespunde ordonata y = -4. Aşadar, a doua
curbă se obţine construind simetrica primei curbe în raport
cu Ox. Variaţia funcţiei y = -x2 se poate urmări în ta­
bloul următor:
o
o "::l negativ, descreşte
M
Pentru x = O, funcţia admite maximul y = o.
"1-00
Y I - 00 71 negativ, creşte /f
3° Variaţia îuncţiei: y = axs,
unde a este o constantă pozitivă.
Considerăm funcţia: (1) y = 2x2•
Putem forma un tablou al variaţiei ca şi pentru funcţia
y = x2• Avem:
�
101
[102]
,..
!
xl-co o +00
y I + 00 -:» pozitiv, descreşte '::l O 7' pozitiv, creşte 7' + 00
m
Pentru graficul funcţiei (1) dăm lui x cîteva valori nu­
merice crescătoare şi calculăm din relaţia (1) valorile cores­
punzătoare ale funcţiei 2x2• Obţinem tabloul:
I
3
I
xl
3
-2
-
- 1
o
-
:2
2
2
:!
2
yl
9
1
9
8
-
2
O
2
8
2
2
:!
:!
De aici rezultă punctele:
M (�.�) . N (1 . ") .
2 J 2' , -- ,
P (:; �); Q (2; 8);
M'( - l�). N' (-1' 0).
2 '2 ' , -' ,
p'(- �; �); Q'( -2; 8)
2 2
I
Q
Fig. 14
şi graficul din figura 14. Se
poate demonstra că şi curba
din figura 14, adică graficui
funcţiei y = 2 x2 , este tot o
p�rabolă.
Funcţiile y -= ax2, pentru care a> 1, reprezintă para­
bole "mai ascuţite" decît parabola y = x2; din contră,
dacă a este pozitiv şi mai mic decît 1, ramurile parabole!
sînt mai apropiate de axa xx'. Astfel, considerînd funcţia
1
y = 4" x2, obţinem parabola din figura 15, cu ajutorul
valorilor din tabloul:
x 1- 3
-2
-1
O
1
2
3
I
yl
9
1
1
9
1.·
-'::l
1 '::l
--:»
O
7'
7'
1
7'-
4
4
-i
4
,J
.'
,
Hl2
,
l
..
[103]
-
Cele două curbe:
y=
y
�x� .
4 '
Y=
1
X:!,
4
,
--Til7- - ------0 ---- --- -----
v'
Fig. 16
construite cu aceeaşi unitate de lungime, sînt simetrice
in raport cu O», cum se vede în figurile] 5 şi 16.
4 o \' ariaţia funcţiei: y = ax2 + e
Fie trinomul (J) Y = - � x2 + 3.
2
Efectuăm reprezentarea grafică a funcţiei:
(2)
1
Y = - - x2
2
şi obţinem curba punctată din figura 17.
Graficul funcţiei (1) se obţine folosind tabloul:
x -4-3-2-101234
I \) 1 1 9
- - x2 8 - 2 O - - - 2 - - - 8
2 2 2 2 2
din care deducem punctele:
1
-x2 + 3
2
fi
3
2
5 5
3
2 2
Max.
3
1---5
2
M(l;-�); N(2; -2); P(3;-:);O(O;O):
103
.�
[104]
:c
y
o'
Fig, 17
,
Q (-1; - �); R (-2; -2); S (-3; - :);
M'-Jl;:); N'(2; 1); P'(3;-�); 0'(0; 3);
q' (-1; :); R' (-2; 1); S' (-3; - �).
Curba (1) se deduce din curba (2), mărind cu 3 ordo­
natele tuturor punctelor curbei (2). Din parabola
SRQOMN P se obţme astfel parabola S' R' Q' O' M' N' P',
segmentele SS', RR', QQ',
00', MM', NN', PP' fiind
toate egale cu 3, paralele şi
de acelaşi sens. Curba trasată
cu linie continuă se deduce
deci din curba auxiliară, care
este trasată cu linie între­
ruptă, printr-o translaţie pa­
ralelă cu Oy. -
O b ser v aţi e. Cînd se
cere să facem graficul func-
ţiei y = - � x2 + 3 nu este
2
nevoie să mai considerăm
funcţia auxili;ră y = - 2.- x2,
2
ci formăm un tablou compus
numai din valorile lui x şi
din valorile corespunzătoare
ale funcţiei _2.-x2 + 3. In acest tablou considerăm cîteva
2
valori crescătoare ale variabilei x (pozitive şi negative),
în aşa fel ca punctele corespunzătoare să aibă loc în cadrul
figurii. Din acest tablou nu trebuie să lipsească pentru x
valoarea -O, deoarece valoarea lui y corespunzătoare lui
x = O dă punctul O', adică virful parabolei. Se constată
că 00' = ,3. Pentru funcţia y = ax2 + c, 00' = c.
5° Variaţia funcţiei: y <=2 a (x + m)2
a şi m fiind numere constante.
, Fie funcţia: (1) y = � (x - 1)2.
2
104
I
r
[105]
-
Curba reprezentativă a funcţiei (1) se poate deduce
din curba reprezentată de ecuaţia
(2) y =2- X2,
2
printr-o translaţie paralelă cu axa xx'.
în figura 18, graficul funcţiei (2) este reprezentat prin
parabola trasată cu linie întreruptă, iar parabola desenată
cu linie continuă este graficul funcţiei (1). Pentru o bţi­
. nerea parabolelor utilizăm tabloul:
x
- 2
-10123
1
1
1 9
y=-x2
2
-0-2-
2
2
2
2
1
9
1
1
JY = -(x-l)2
-
2-0-2
2
2
2
2
Fig. 18
a cărui abscisă OB este egală
acestui punct este dată de
r
Fie P' punctul curbei (1)
cu x; ordonata y = BP' a
egalitatea (1). Fie P
un punct a cărui ab­
scisă O A este cu 1 mai
mică decît abscisa lui
P' şi a cărui ordonată
A P este egală cu or­
donata lui P'. Deci :
OA = x - 1
AP=y.
Egalitatea (1) arată
că AP = ..!.. OA2 şi
2
deci punctul P apar­
ţine curbei (2), deoarece îndeplineşte condiţia că or­
donata este egală cu jumătate din pătratul abscisei, adică
tocmai ceea ce cere relaţia (2).
Deci punctele curbei T' S' R'O' M' P' Q' se obţin din
punctele curbei TS ROM PQ printr-o translaţie paralelă cu
axa xx' şi avînd mărimea egală cu 1. Pe figură se observă
egalităţile:
TT' = SS' = RR' = 00' = MM' = PP' = QQ' = 1.
Pentru funcţia y = a(x + m)2, translaţia este dată de
relaţia x +�11't = O; x = -m.
105
,
[106]
I
,\
o b ser v aţi e. Pentru a construi parabola corespun­
zătoare funcţiei � (x - 1)2, nu e nevoie să considerăm
- :2
şi funcţia y = � x2, ci formăm un tablou compus numai
. � 2
din valdrile lui x şi valorile corespunzătoare ale funcţie!
� (x - i)2. în acest tablou considerăm cîteva valori cres-
2
cătoare ale variabilei x (pozitive şi negative), astfel ca
punctele obţinute să aibă loc în cadrul figurii. Din acest
tablou nu trebuie să lipsească pentru x valoarea 1, care dă
punctul O', vîrful para, bolei; de asemenea se consideră
pentru � şi valoarea 0, care dă pentruy valoarea aR' = :.
Punctul 'R' este punctul în care parabola taie axa yy'.
Pentru funcţia y = a(x + m)2, în tablou trebuie să
se găsească neapărat pentru x valorile -m şi O.
1\ ,
6° Variaţia funcţiei: y = ax- + bx + c
Fie trinomul:
106
I
,
,
II
II.
I
,
I
I
I
,
I
I
I
I
,,'
Y'
,
I
Fig. 19
(1) Y = x2 + 4x + 3.
Putem scrie: y = (x + 2)2 - .l . Această formă a tri­
nornului ne permite să arătăm că reprezentarea grafică a
t.rinornnl ni" (1) se poate deduce din parabola corespunză­
toare funcţiei y = x2, prin două translaţii: una paralelă
cu ax şi alta cu Oy. în acest scop, construim graficul func-
, ţiei y = x2 şi obţinem în figu­
ra 19 o parabolă trasată cu
lmie întreruptă şi avînd vîr­
ful O. Curba corespunzătoare
funcţiei
y = (x + 2F
se deduce, -după CUm s-a ară­
tat la punctul 5°, dînd primei
parabole o mişcare de trans­
laţie paralelă cu ax şi definită
de segmentul 001 = -2.
--; Obţinem astfel o altă para­
bolă cu vîrful al' trasată, de
x'
asemenea, cu linie întreruptă.
Curba corespunzătoare
funcţieiy = (x + 2)2 - 1 SE
I
V
I
I I
1'"
I I
j J .J
II'
[107]
r
obţine din cea de-a doua parabolă scăzînd 1 din ordonata
fiecărui punct al acestei parabole. Aceasta înseamnă că
dăm parabolei o mişcare de translaţie paralelă cu Oy,
definită de segmentul 010' = -1. Obţinem În acest mod
parabola trasată CU linie continuă, care reprezintă variaţia
trinomului dat. Pentru funcţia x2 + 4x + 3, tabloul va­
riaţiei este următorul:
x I -00 -2 +00
y I +00 � descreşte � -1 71 creşte 71 +00
O b ser V ati e. Trinomul x2 + 4x + 3, care a fost
<studiat la punctul 6°, este un trinom complet de gradul II
adică aşa încît coeficieriţii lui sînt diferiţi de zero. Studiul
variaţiei acestui trinom şi graficul lui se pot face fără
a considera funcţiile intermediare y = x2 şi Y =
c:::a (x + 2)2.
Metodă directă pentru a obţine variaţia şi gralicul
trinomului complet
Observaţii preliminare. 1. Variaţia funcţiei (x - 3)2 se
poate vedea în tabloul:
x 1-00 - ()7 -17 -7 131 13 23 103 +00
(x - 3)2 1+00 '" 10000," 400'" 100," O/' 100/, 400/, 10000 ,li +00
minim
Deci, cînd x variază de la -<X) la 3, (x - 3)� descreşte
de la +00 la O ; apoi cînd x variază de la 3 la +00, (x-3)�
creşte de la O la + 00.
2. Pentru funcţia (x - 3)2 + 5, concluziile sînt ase­
mănătoare. Cînd x variază de la - <X) la 3, această funcţie
descreşte de la + <X) la 5, apoi cînd x variază de la 3 la
+00, funcţia creşte de la 5 la +00. Admite minimul y=5.
3. Tot aşa procedăm cu funcţia 2 [(x - 3)2 + 5]. Cînd
x variază de la - <X) la 3, această funcţie descreşte de la
+00 la 10; apoi cînd x variază de la 3 la +00, această
funcţie creşte de la 10 la +00. Ea admite minimul 10.
a) Variaţia funcţiei: y = ax2 + bx + e (a > O)
Avem:y = a[( x + �)2 + 4ac - bl].
2a 4ai
� ,
. .
107
.�
[108]
W'
în tabloul următor se arată cum variază (x + :a r
apoi cum variază cantitatea din paranteza mare; în fine
se aratii'. cum variază y.
b
)
x
-00
+00
2a
(x '+�r
+ 00 descreşte
O
creşte
+00
2a
( x + :ar +
4ac - b2
4ac - b2
4a2
+ 00 descreşe
4a2
creşte
+cc
:1
-lor. - b2
Y
+ 00 descreşte
creşte
+00
4a
t:inim
I
II
I
1:
li
II
b) Variaţia funcţiei: y = ax2 + bx + c (a < O)
Avem! y = a [( x + �)2 + 4ac - bl].
2a 4a2
Aici trebuie observat ca III cazul cînd cantitatea din
paranteză descreşte, y creşte, fiindcă se înmulţeşte canti­
tatea din paranteză CU numărul negativa. Astfel, dacă
Il, -= -3 şi cantitatea din paranteza mare trece prin valo­
rile descrescătoare 10 ; 7 ; 3 ; 1, y trece prin valorile -30;
-21; -9; -3, deci y creşte. De asemenea, cînd canti­
'l::atea variabilă din paranteza mare creşte, y descreşte.
în tabloul următor se arată cum variază (x + :a r,
apoi cum variază cantitatea din paranteza mare; în fine,
se arată cum variază y. ..
--'
b
x
- 00
+00
2a
---
( b r
'1)
x+2a
-1- 00 descreşte
creşte
+00
x+�r +
4ac - b2
----
4ac - b2
(
4a� ,
+ 00 descreşte
4a2
creşte
+00
2a
4ac - b2
Y
- 00 creşte -
descreşte
- 00
4a
maxim
în urma studiului făcut, putem proceda în mod uni­
form, metodic, pentru variaţia şi graficul trinomului
108
[109]
f
I
(
I
ax2 + b x + c, cu coeficienţi numerrci, fără a mal con­
sidera funcţiile auxiliare ax2 şi a(x + C)2.
Pentru a efectua variaţia şi graficul trinomulul
y = ax2 + b x + c ne interesează valorile principale şi apoi
valorile auxiliare ale variabilei x.
Valorile principale pe care le dăm lui x sînt: rădăcinile
trinomului, valoarea pentru maxim sau minim ( x -= Xl � XI).
O şi ±oo.
Valorile auxiliare, necesare pentru trasarea cît mat
precisă a curbei reprezentative, sînt I o valoare numerică
mai mare decît rădăcina cea mai mare, o valoare numerică
mai mică decît rădăcina cea mai mică. Aceste valori nume­
rice date după voie lui x trebuie să dea pentru y valori
astfel, ca punctele corespunzătoare să fie în cadrul figurii
ExemPlul 1. Să se efectueze variaţia şi graficul trino­
raului J
xm =
(1)
y = x2 + 2x - 3.
a) Determinarea valorilor numerice ale variabilei x
Valori principale:
y = O J Xl = -3
l x2 = 1
- 3 + 1 = -1 (valoarea pentru minim)
2
x=o
x -= ±oo.
."
J x = 2
Valori auxiliare: l x = -4.
b) Acum intocmim tabloul variaţiei trinomului, srciind
valorile principale şi auxiliare ale lui x în ordine crescîndă
şi calculînd valorile corespunzătoare ale funcţiei y. Ob­
ţinem i
xl -00 -4 -3 -1 O 1 2 +00
y I +00 ':.. 5':.. O ':.. -4 » -3 » o » 5.l1 +00
minim
109
.�
[110]
Cu aceasta, variaţia funcţiei este terminată. Pe tablou
citim: cînd x variază de la -00 la -1, y descreşte
de la +00 la -4, care este minimul funcţiei; cînd x creşte
de la -:.Ila +00, y creşte de la -4 la +oo·i
c) Pentru grafic luăm din tablou punctele:
-.
'1
\
I
.
,
A(-3;0);
B (1 ; O) ;
C (O; -3);
V (-1; -4);
D (-4; 5);
E (2; 5).
Fig. 20
Ţ
d) Desenăm axele
de coordonate, ne ale­
gem o unitate de mă­
sură pentru lungimi
şi aşezăm punctele în
,�; tr-o trăsătură conti­
nuă şi obţinem para­
bola din figura 20.
Punctele impor-
tante ale parabolei
care au rezultat din
reprezentarea funcţiei
y sînt:
1) Punctele A şi B, în care parabola taie axa .xx';
ele corespund rădăcinilor trinomului: x = Xl şi x = x2"
2) Punctul C, în care parabola taie axa yy'; el cores­
punde valorii x = O.
3) Punctul V, vîrful parabolei, corespunde valorii
x = �1 + �2.
2
După cum se constată, [punctele D şi E sînt puncte aju­
tătoare, necesare pentru o trasare mai precisă a curbei­
O b ser v aţi e. în tablou, calcularea minimului lui y
f 4ac - bl A
se ace sau cu formula y", = , In care a = 1,
4a
ilo
[111]
.b ""'" 2, C o:::> -3, sau înlocuind în (1) pe x cu -1. Avem
}'(-1) = (-1)2 + 2(-1) - 3 = -4.
Exemplul II. Fie trinomul :
y = x2 - 6x + 9.
Valori principale:
y = O pentru Xl = X2 = xm= 3
x = O şi x = + 00.
Valori auxiliare: x = I ; x = 5.
Tabloul variaţiei este următorul;
xl-oo O 1 3 5 +00
y I +00 '" 9 '" 4 '" O". 4". +00
minim
Graficul se efectuează considerînd punctele V (3; O),
C(O; 9) ; D(l ; 4) ; E(5 ; 4). Obţinem parabola din figura 2l.
Curba taie axa Ox în două puncte confundate, adică para­
bola este tangentă axei xx' în punctul V. Acesta este vîrful
parabolei. Punctele D şi E sînt puncte auxiliare.
ExemPlul III. Fie trinomul:
y = x? + 2x + 2.
Valori principale:
y=O
{Xl = -1 + i
x�=-l-1
în tablou nu considerăm valori complexe.
X - x,+x2 --1
m - -
2
x=O
şi
x=
±oo.
Valori
auxiliare:
x = -3;
x=]
xl -00
-3
-1
O
+00
y I +00
'"
5
'"
1 »
2
»
5".
+00
minim
Rădăcinile lui y fiind complexe, evident că valorile
auxiliare nu se iau în raport cu rădăcinile; ele se iau după
voie, aşa Încît punctele D şi E să fie în cadrul figurii.
�
111
.�
[112]
�I
I I
I
j I
\
Oraficul din figura 22 este o parabolă C(1l1e nu taie
axa xx'. -
Concluzie: în aceste trei exemple S-aU considerat tri­
noarne în care a > O. De fiecare dată s-a obţinut ca grafic
o pa!abolă. Cînd A > O, parabola taie axa xx'în două
I
J I
! II
1 ,1
Fig. 21
Fig. 22
puncte diferite (ex. 1) ; cînd !1 = O, parabola taie axa xx
in dOJ.1ă puncte confundate (ex. II), adică parabola este
tangentă axei xx'; în cazul !1 < O, parabola nu taie
axa ;\(X' (ex. III). în toate aceste exemple, trinomul admite
Un minim. -
EymPlul IV. Fie trinomul :
(1) Y = - � x2 + x + 4.
2 ,
Valori principale :
. y = O { Xl = 4
l x2 = -2
. Xl + X2 _ ]
XM=----
2
X = O şi x => ±co.
Valori auxiliare: x = -3 şi x = 5.
112
.. ..
[113]
Variaţia
se
vede în
tabloul
următor z
%1-00
-3
-2
O
1
4
5
+00
,1-00 /'
7
9
7
--/,O/,
4/,-'0.
0'0.
- - 'o.
-00
2
2
2
maxim
Cînd x creşte de la - 00 la 1, Y creşte de la - 00 1 a �
2 '
care este valoarea maximului. Apoi x creşte de la 1 la
+00, iar y descreşte de la �la '-00.
2
Graficul este para­
bola din figura 23 şi
se construieşte ca şi
în cazul 'trinoamelor
pentru care a > O,
studiate în exemplele
I, II, III.
Punctele impor-
tante, ale acestei pa­
rabole sînt: .
1) Punctele A şi
B, în care parabola
taie axa xx'; ele CO-Illllllllliilii
respund rădăcinilor
trinomului. Avem:
A (- 2 ; O) şi B (4; O).
2) Punctul C, în care t -r:
parabola taie axa yy' :
el corespunde valorii
x = O. Avem C(O; 4). Fig. 23
3) Punctul V, vîrful parabolei, corespunde valorii x c::I
= �� �2 Avem: V(l; :). Dreapta VV' .L=' este axa
parabolei.
Exemplul V. Fie trinomul :
(2)
y = - �X2 + x - 1.
4
8 - Algebra el. a IX-a
,�
113
[114]
în acest caz � = (�
Xl = X2 = 2; XjI = 2
Pentru X = 0,
y =-1.
Ca şi în celelalte
exemple, se alcătuieş­
te tabloul şi se ob­
ţine parabola din fi­
gura 24. Ea este tan­
gentă axei xx'. S-au
luat punctele auxili­
are D( -2; -4) şi
E(5;-:)'
E xe1npl�tl VI. Fi e trs­
nornul :
1
y = - - x2 + :? x - 6.
5
Fig. 24.
--i:;:t;
IutE': ��-�=:-! .
I
I
I
II
;1
I
l ,
i
'1
II
r .
l! f
,
,J
• j
Fig. 25.
Se găseşte � < O ; trinomul are rădăcini complexe, care nu
se consideră în tabloul de variaţie. Avem:
• _ Xl + X2 _ b _ ;-' .
XM- - ---.),
2 2a
pentru, x = 5, Y = -1.
114
[115]
Apoi, pentru x = 0, y = -6.
valori auxiliare: x = -1 ; Y = -8,2 şi x = 10, Y =o
-Ii. Se obţine parabola din figura 2G. Această c11,rbă
nu taie axa xx'.
Concluzie. în exemplele IV, V, VI am considerat tri­
noame în care a < O. Graficul fiecărui trinom este o pa­
rabolă. Cînd f). > O, parabola taie axa xx' în două puncte
diferite (ex. IV). Cînd f). = O, parabola e tangentă axei xx'
[ex. V) ; în cazul f). < O, parabola nu taie axa xx' (ex. VI).
In toate aceste exemple, trinomul y admite un maxim.
6. SEMNUL TRINOMUI,UI DE GRADUL II
P rob 1 e m ă. Fie ecuaţia:
x2 - 2(m + l)x + 12m - 15 = 0,
in care tn este un număr variabil.
Să se determine m astfel ca ecuaţia să aibă rădăcini
reale şi neegale.
Analiza problemei. După cum se ştie de la discuţia
rădăcinilor ecuaţiei de gradul II, trebuie ca discriminan­
t111 ecuaţiei să fie pozitiv. Avem: f). = (m + 1)2 - 12m +
+1- 15; f). = m2 - 10m + 16. Deci trebuie să avem:
(1) m2 - 10m + 16 > 0,
adică trinomul y = m2 - 10m + 16 să aibă valori nume­
rice pozitive.
Dăm lui m cîteva valori numerice şi, calculînd pe 6.,
avem:
· ... ,f
m I -3 1
tl. I 55 7
4 5 10
-8 -9 16
Constatăm că pentru unele valori numerice ale variu.,
bilei m, valorile numerice ale trinomului (m2 - 10m + 16)
sint pozitive, iar pentru alte valori numerice ale variabilei m,
valorile numerice ale acestui trinom sînt negative. Pro­
blema va putea fi considerată rezolvată cînd vom şti să
răspundem la întrebarea: "Pentru ce valori numerice ale
variabilei m trinomul (m2 - 10m + 16) ia valori numerice
pozitive şi pentru ce valori numerice ale lui m trinomul
�
115
"
[116]
cînd x variaziJ
înt 1 . 5
sin - Ş1 ;
2
acesta ia valori negative?" sau cînd vom rezolva problema
următoare:
"Dacă m variază de la -00 la +00, să se afle semnele
valorilor numerice ale trinomului m2 - 10m + 16."
Atunci.cînd studiem această problemă, spunem că ne ocu­
păm' cu "semnul trinomului de gradul II".
)
a) Rădăcini reale, neegale
Exemplul 1. Fie trinomul t
(1) y = 2x2 - llx + o.
Să se studieze semnul acestui trinom
Intre -oo,şi +00.
R e z o xlv are. Rădăcinile trinomului
deci I
(2) Y=2(X-�)(X-5).
1 o în egalitatea (2) înlocuim pe x cu o valoare nu­
merică mai mică decît cea mai mică rădăcină, de exemplu
x <=1 -1; obţinem y = 18, adică o valoare pozitivă. Deci
pentru x ::,. -1, trinornul are semnul + ca şi coeficientul
lui x2, care este 2. Aeest rezultat este explicabil, deoarece,
prin înlocuirea făcută, factorii din ambele paranteze devin
negativi, deci produsul lor este pozitiv, iar acest produs
înmulţit cu 2 dă un număr de acelaşi semn cu coeficientul
lui x2•
2 o în' egalitatea (2) înlocuim pe x cu o valoare nu­
merică cuprinsă în intervalul rădăcinilor, de exemplu
x = 3; obţinem y = -10, adică valoarea numerică a
trinomului are semnul -, contrar semnului pe care îl are
coeficientul lui x2, care este 2 . Ne explicăm acest rezultat
astfel: prin înlocuirea făcută în egalitatea (2), factorul
( x - �) este pozitiv: factorul (x - 5) este negativ, iar
produsul lor este negativ. Acest produs înmulţit cu 2 dă
un număr de semn contrar semnului pe care îl are coefi­
cientul lui x2•
3 o în egalitatea (2) înlocuim pe x cu un număr mai
'mare decît rădăcina mai mare, de exemplu, pentru x = 7 ;
118
[117]
obţinem y = 26. Deci valoarea trinomului are semnul +
ca şi coeficientul lui x2•
Ne explicăm acest rezultat prin înlocuirea făcută in re-
laţia (2); factorul (x - �) este pozitiv, factorul (x -5)
de asemenea pozitiv şi produsul lor este pozitiv. Acest
produs înmulţit cu coeficientul lui x2 dă Un număr de
acelaşi semn cu el. Rezultatele obţinute se pot înfăţişa in
tabloul următor:
- ro
1
2
5
y
++++++0-
-0+++++
a = 2> O.
Concluzie. Dînd lui x valori numerice în afara inter­
valului rădăcinilor, valorile numerice ale trinomului sint
de acelaşi semn cu a; pentru valorile numerice ale lui x
cuprinse în intervalul rădăcinilor, valorile numerice ale
trinomului sînt de semn contrar cu a.
ExemPlul II. Fie trinomul :
(1) y <= -3x2 + 8x + 3, în care a => -3.
Să se studieze semnul acestui trinom cînd x variază
între --00 şi +00.
R e z o 1 var e. Rădăcinile trinomului fiind Xl = 3 Şl
1 t .
x2 = - -, pu ern scne :
� 3
(2) Y <= -3(x - 3) ( x + +) .
1 o înlocuind în egalitatea (2) pe x cu o valoare nu­
merică mai mică decît cea mai mică rădăcină, adică mai
mică decît - -� , avem: (x - 3) < 0, ( x + +) < O. Pro-
dusul (x -3) ( x + �) > 0, iar acest produs înmulţit cu a
dă un număr de acelaşi semn cu a.
2 o Cînd valoarea numerică a lui x este cuprinsă în inter-
valul rădăcinilor, adică - � < x < 3, avem: (x - 3) < O,
3
117
.�
[118]
( x + �) > O. Produsul acestor factori este negativ şi.
înmulţit cu a, dă Un număr de semn contrar cu a.
3 o Ţ>acă în egalitatea (2) înlocuim pe x cu un număr
mai mare decît rădăcina cea mai mare, constatăm urmă-
toarele � (x - 3) > O, ( x + �) > O. Produsul acestor fac-
tori este pozitiv şi, înmulţit cu a, dă Un număr de acelaşi
semn cu a.
Rezultatele obţinute se pot înfăţişa în tabloul următor:
� I
- 00
1
3
3
+00
y I
--00------0+++++0
a = -3 < O.
---------00
Concluzia este aceeaşi ca la exemplul 1: dînd lui x
valori în afara intervalului rădăcinilor, valorile numerice
ale trinomului au acelaşi semn ca a; pentru valorile nume­
rice ale luil x cuprinse în intervalul rădăcinilor, valorile
numerice ale trinomului sînt .de semn contrar cu a.
Gen era 1 iza r e. Fie trinomul :
y = ax2 + b x + c,
avind rădăcinile X'1 şi x2, astfel că rădăcinile sînt reale
şi Xl < x2•
10 1)1, cazul a > O, urmînd Un raţionament ca şi cel de
la exemplul r, semnul trinomului se poate înfăţişa în
tabloul : .•
y I + ++ + + O - - - -
+00
0++++++
2 o 1 n cazul a < O, urmînd un raţionament ca şi cel
de la exemplul II, sem nu) trinomului se poate înfăţişa în
tabloul:
x I - 00
y 1--
+00
--o +++++0-------
\ .
Semnul trinomului care are rădăcini reale, neegale : Cînd
x ia valori numerice în afara intervalului rădăcinilor, tri­
.�
. 118
[119]
nomul are semnul lui a; pentru valorile numerice ale lui x,
cuprinse în intervalul rădăcinilor, trinomul este de semn
contrar cu a.
b) Rădăcini reale şi egale (rădăcină dublă)
Fie trinomul :
y = ax� + b x + c
cu rădăcini egale, anume Xl = x2 ; putem scrie:
y = a(x - XI)2.
Avem: (x - xl)2 > O; a(x - X1)2 are semnul lui (J
pentru orice valoare numerică a lui x.
Semnul trinomului care are rădăcinile egale: Pentru orice
valoare numerică a lui x, diferită de rădăcină, trinomul are
semnul lui a.
c) Rădăcini complexe
Fie trinomul:
(J)
y = ax" + ax + c
avînd rădăcini complexe. Să se studieze semnul acestui tri­
nom cînd x variază de la -co la +00.
R e z o 1 var e. Putem scrie:
{2)
(3)
Prin ipoteză avem: b2 - 4ac < O sa u:
4ac - b2> O.
în paranteza mare sînt două cantităţi pozitive; suma
lor este Un număr pozitiv. Acest număr înmulţit cu a dă
un număr de acelaşi semn cu a; adică y are acelaşi semn
cu a, oricare ar fi x.
Semnul trinomului care are rădăcini complexe j Pentru
orice valoare numerică a lui x, trinomul are acelaşi semn
'Ca şi a.
II�
.�
[120]
CONCLUZIE ASUPRA SEMNULUI TRINOMULUI
DE GRADUL II
i
j
1
.
. a) S:;» o: semnul trinomului este acelaşi ca semnul
lui a cînd x ia valori în afara intervalului rădăcinilor;
trinomul are semn contrar lui a cînd x ia valori în inter­
valul rădăcinilor.
b) Il <= O: semnul trinomului este acelaşi ca semnul
lui a pentru orice valoare numerică a lui x diferită de ră­
dăcină.
c) Il <: O: semnul trinomului este acelaşi ca semnul
lui a pentru orice valoare numerică a lui x.
Revenire asupra-graficului funcţiei
de gradul II
120
Fig. 26
v
In figura 26 este desenată o parabolă care reprezintă
un grafic al funcţiei Y = ax2 + b x + c. Pe această figură
se poate urmări dintr-o
privire variaţia trincmului
de gradul II.
Valorile numerice ale
variabilei x sînt date de
abscisele Xl =OPl> X2=OP2•
Xa = OPa, ... , X = OP.
r
Valorile corespunzătoare
ale trinornului sînt date
de ordonatele Yl = MtPt>
Y2 = M2P2, Ya = MaPa,· .
. . . Y = M P. Aşadar, va­
loarea numerică a trino­
mului este reprezentată
prin mărimea perpendicu­
larei M P. Astfel, Y> O,
cînd M P e situată deasu­
pra axei xx'; Y < O, cînd M P e situată dedesubtul
axei şi Y = O pentru rădăcinile trinomului. Astfel, Yl =
1::1 u,», < O, Y2 = M2P2 > O, Ya = MaPa < o. Pentru
,x =o q4 şi. x = OB, Y = O.
,i .' I
� : , , \.
L
[121]
r
j
1
Semnul trinomului de gradul II dat de graficul respee­
tiv. Este instructiv să se constate semnul trinomului urmă­
rindu-i graficul.
1 o în figurile 27,a şi 28, a, trinomul are rădăcinile reale
Xl = OA şi x2 = OB. Pentru X < Xl şi pentru X> XI
avem M lPI şi M 2P2 de acelaşi semn cu a. Pentru XI<X<XI
avem M P de semn contrar cu a.
2 o în figurile 27,b şi 28,b, trinornul are rădăcini reale
şi egale, anume Xl = X2 = OA. Pentru orice valoare
a lui x diferită de rădăcină, MIPI, M2P2 etc. sînt de acelaşi
semn cu a.
II are semnul -
1/
a
<'l are semnul +
a
9
a are semnul -
li
Fig. 27
a are semnul +
b
Fig. 28
z
a are semnul _
a are semnul +
•
,1.,
3 o In figurile 27,c şi 28,c, trinomul are rădăcini com­
plexe. Pentru orice valoare a lui x, avem M P de acelaşi
semn cu a.
121
.�
[122]
Aplicaţii la semnul trinomului de gradul II
şi variaţia lui
1
I
Să se afle wn număr întreg :1, astfel încît trinoamele
y şi Y să aibă valori numerice pozitive pentr« x = a,
R e z o l var e. Se calculează rădăcinile trinomului y .
-x2 + 9x + 70 = O; x� - 9x - 70 = O
Xl = 14; x2 = -o.
1). Rezultă: y > ° pentru -[) < x < 14.
Rădăcinile lui Y :
X2 - 7x - 60 = °
Xl = 12; X 2 = - Ii,
2) Deci: Y > ° pentru x < -[) şi x > 12.
Din 1) şi 2) deducem: a = J3.
ApI i c aţi a a II-a. 10 Fără a rezolva ecuaţia!
(1) (x - 2)2 = 3x - 7,
să se arate că [iecqre dintre răd ăcinil e ei este mai mare deci { 2-
3
R e z o 1 var e. Ecuaţia se poate scrie:
(1 ') " X2 - 7 x + n = O.
1). b.. = 49 - 44 > 0, deci ecuaţia are rădăcini reale,
astfel că ele pot fi comparate ca mărime cu 2.
""' 3
2) Se constată că 2 nu e rădăcină a ecuaţiei (1), fiindcă
nu o verifică; nici 2 nu este rădăcină.
- 3
Potrivit definiţiei rădăcinii unei ecuaţii, cînd înlocuim
in (1) pe x cu o rădăcină, ambii membri au aceeaşi valoare
numerică, deci mern brul II are acelaşi semn, cu membrul 1.
în rnem brul 1 înlocuind pe X cu o rădăcină x l a ecua ţiei
(1), obţinem (Xl - 2)2 > 0, deci şi 3xI - 7> O sau Xl > ; .
La fel arătăm că X2 > 2.
3
r
�
I I
!
i
,
i,
"
i
,
'1
I
,\
!'l
I ' �
A-plicaţia
,(1)
(2)
I. Fie trinoamcle :
y = -x:� + 9x + 70;
Y = x2 - 7 x - 60.
1,
� I
122
" ...
[123]
T
I
2 o Fără a rezolva ecuaţia:
(1)
-3(x - 2)2 = (x + 4)(x - 5),
să se demonstreze că rădăcinile ei sînt cuprinse între -4 Şf 5.
R e z o 1 var e. Ecuaţia se poate scrie;
(1') 4x2 - 13x - 8 = O.
1) 11 = 169 + 128 > O; deci ecuaţia are rădăcini reale,
2) înlocuind în (J) pe x cu o rădăcină Xl a ecuaţiei (1).
cei doi membri trebuie să aibă aceeaşi valoare numerică.
Membrul 1 devine:
-3(xl - 2)2<0; deci trebuie să avem: (xl+4)(x1 - 5)<0
2
sau; Xl - Xl - 20 < O,
adică Xl este cuprins Între -4 şi 5. La fel pentru xl!'
ApI i c aţi a a III-a. în ecuaţia;
(1) X2 + 12 xy + 4y2 + 4 X + 8y + 20 = O
să se afle limitele între care să uarieze x (real), pentru ca
valorile lui y să fie reale, şi limitele între care să uarieze
y (real), pentru ca valorile lui x să fie reale.
R e z o 1 var e. Membrul 1 al ecuaţiei il ordonăm în
raport cu variabila x. Avem;
(2) X2 + 4(3y + l)x + 4y2 + 8y + 20 = O.
Rezolvînd ecuaţia, obţinem: X = -2(3y + 1)±
± 4 V 2y� + y - 1.
Pentru ca X să fie număr real, trebuie ca discriminantul
să fie mai mare sau egal cu O :
2y2 + y -1 >0.
4y2 + 4(3x + 2)y + x2 + 4x + 20 -= O.
Ordonînd
obţinem;
(3)
1
Rădăcinile acestui trinom fiind YI = "2 şi Y2 = -1,
rezultă că trebuie să avem;
1
y > 2 şi Y -< -l.
membrul 1 al ecuaţiei (1) în raport cu y"
(1)
Rezolvînd � ecuaţia în y, avem:
123
,
[124]
I
I ,
I il
I
I
�
)';
,
,1
I
1
Y -= "2[- 3x - 2 ± 2 y2 (x2 + x - 2)].
P�ntru ca y să fie real, trebuie să avem ll. >- O, adică r
.x2+�-2>-0.
Rădăcinile acestui trinom sînt Xl = 1 şi x2 = -2.
Rezultă că trebuie să avem:
(II) X >- 1 şi X -< - 2.
Rezultatul la problema propusă este dat prin relaţiile
(1) şi (II).
Astfel, pentru y = 2 avem Xl = -2 şi x2 1::1 -26,
pentru y = -1 avem Xl = X2 = 4.
ApI i c aţi a a IV-a. Ce valoare numerică putem să
dăm lui m, pentru ca trinomul:
(1) .
mx2 + (m -l)x + m-1
I �
I "
I
..
să aibă valori numerice negative pentru orice valoare
numerică a lui x?
Fie y = ax2 + b x + c. Dacă ll. <. O, semnul lui y este
acelaşi ca semnul lui a, orice valoare numerică ar avea X
CU excepţia rădăcinii. Sau: Pentru ll. <. O, semnul lui y e
totdeauna + dacă a > O; semnul lui y este totdeauna ­
dacă a,< O. Dacă ll. > O y nu are acelaşi semn pentru
orice valoare a 'lui x.
Invers: Pentru ca semnul lui y să fie acelaşi pentru orice
valoare a lui x, trebuie să avem /). -< 1). In acest caz, semnul
lui y este semnul lui a .
. Revenind la aplicaţia a III-a, se cere ca trinornul (1)
să aibă numai valori negative; deci ll. -< O, iar semnul coefi­
cientalui lui x2 trebuie să aibă semnul trinomului, adică
m < O. Condiţiile sînt următoarele:
(2) (m - 1)2 - 4m(m - 1) -< O,
(3) m < O.
Din (2) deducern : (2') - 3m2 + 2m + 1 -< O.
Trinomul (-3m2 + 2m + 1) are rădăcinile mI = 1 şi
1
m2 = - _.
3
Din (2') se deduce că m trebuie să fie în afara interva-
lului (- 2-,]) sau egal cu rădăcinile, adică: m -< - �
'. . 3 3
124
"' ...
[125]
-
şi m >- 1. Inegalitatea (3) cere ca m să fie negativ, dec i
singura posibilitate rămîne m -< - �.
. 3
însă pentru m = - �, trinornul (1) devine:
3
1 4 4 1 1
- - x2 -- X - - = - - (x2 + 4x + 4) = - - (x + 2)2.
3 3 3 3 ,3
Acest trinom, pentru x = -2, are valoarea O; deci nu
este negativ pentru orice valoare a lui x,
Soluţia problemei propuse este m < - � .
3
Exemplu. Pentru m = -1, trinomul devine j
- (x2 + 2 x + 2); x2 + 2 x + 2 > O.
Deci -(x2 + 2x + 2) < O pentru orice valoare-a lui x.
7. INECUAŢII DE GRADUL II
în Algebra pentru clasa a VIII-a au fost rezolvate ine­
cuaţiile de gradul I, adică acelea care pot fi aduse la una
din formele:
ax + b > O; ax + b < O.
Inecuaţie de gradul II se numeşte o inecuaţie care poate
fi adusă la una din formele următoare:
(1)
(2)
ax2 + b x + c > O,
ax2 + b» + c < O,
unde a este diferit de zero.
A rezolva inecuaţia (1) înseamnă a afla toate valorile
lui x pentru care trinomul ax2 + b x + c este pozitiv,
iar a rezolva inecuaţia (2) înseamnă a afla toate valorile
lui x pentru care trinomul ax2 + b x + c este negativ.
Deci rezolvarea inecuaţiilor de gradul II se bazează
pe semnul trinornului de gradul II. Calea de urmat se
poate arăta astfel:
Regulă. Pentru a determina valorile variabilei x, care
satisfac o irt�cuaţie de gradul II, se lucrează astfel,'
125
.�
[126]
1 o Se determină natura rădăcinilor trinomului :
ax" + bx + c.
2 o Se compară semnul pe care trebuie să-I aibă trinomuJ
cu semnul'lui a, apoi se aplică regula pentru a determina.
semnul trijz,omului corespunzător acestui caz.
Cazul 1: Rădăcinile trinomului sînt egale sau sînt com­
plexe.
Trinomul are semnul lui a. Inecuaţia este satisfăcută
pentru orice valoare a lui x, dacă semnul impus trinomului
este acela al lui a ; în cazul contrar, inecuaţia nu are soluţie.
Cazul II: Rădăcinile trinomului sînt reale şi neegale
(Xl < x2),
a) Fie- a > O. Inecuaţia ax2 + bx + c > O este veri­
ficată pentru valorile numerice ale lui x, exterioare inter­
valului (xv' x2)·
Inecuaţia ax2 + b x + c < O va fi verificată pentru
valorile lui X interioare intervalului (xv x2).
b) Fie a < O. Iriecuaţia ax2 + bx + c > O este veri­
ficată pentru valorile lui x cuprinse în intervalul (xv x2).
Jnecuaţia ax2 + b x + c < O este verificată pentru va-
lorile lui x exterioare intervalului (Xl' x2). •
ApI i c aţi i. 1 o Să se rezolve inecuaţia :
)1)
x� - 5x - 14 > O,
Rădăcinile trinomului din membrul 1 sînt Xl = 7 ş:
x2 = -2. Deci inecuatia este verificată de valorile urmă-
� ,
toare:
x < -2 şi � > 7.
2 o Să Je rezolve inecuaţia:
(2) 3x2-20x+12<0.
Rădăcinile trinomului 3x2 - 20x + 12 sînt Xl = 6 şI
2
x2 = - . Urmează că x trebuie să fie cuprins în intervalul
3
rădăcinilor. Soluţiile sînt date de dubla inegalitate:
� < x < 6.
3
3 o Să se rezolve inecuaţia :
126
.. ,
- 3 x2 + x + .2 < O .
..
[127]
-
Aflăm rădăcinile trinomului -3x� + x + 2; avem r
3x2 - x - 2 = O. Rezultă: Xl = 1 si Xo = - �; x tre-
,- 3
buie să fie în afara intervalului rădăcinilor. Soluţiile 111-
ecuaţiei sînt: x > 1 si x < _ 2
, 3
4 o Să se rezolve inecuaţia :
(4) 5x2 - 3x +] > O.
Trinornul are rădăcini complexe, deci inecuaţia este
verificată de orice valoare a lui x.
5 o Să se rezolve inecuaţiile :
,5) - x� + fix - 8 > O
(6) 4 XC - ] 2 x + 9 < O.
Tr inoruul - x" + 5x - 8 are rădăcini complexe: il =
<:::1 2G - 32 < O. Semnul lui este acelaşi ca semnul lui a
la = -1); deci pentru orice valoare numerică a lui x,
valoarea numerică a t.rinornului este negativă. Nu există
valoare numerică a lui x care să dea pentru trinom valoare
p nitivă. 1 necuatia nu are solutie.
Trinomul 4x� - ] 2 x + 9 a;e rădăcini egale.
�h2 - ]2x + 9 = O ;x1 = Xo =�. Semnul trinomului este
• 2
acelaşi ca semnul lui a (a = 4) ; deci pentru orice valoare
numerică a lui x, trinomul este pozitiv. 1 necuaţia (6) nu
are soluţie.
O"ECUAŢII CARE POT FI ADUSE LA INECUAŢI1
DE GRADUL II
10 Cîtul a două binoame de gradul I. Fie inecuaţia :
1 )
ax ..L b
--'-> O.
a/» + b'
înmulţind ambii termeni ai fracţiei cu binomul
(l'x + b'), obţinem:
(ax + b)(a'x + b')
> o.
te
(ax + b')
Cîtul dintre termenii fracţiei trebuie să fie pozitiv, iar
�
127
.}
[128]
numitorul fiind pozitiv, urmează că numărătorul trebuie
să fie pozitiv. Deci scriem:
(3)
(ax + b)(a' x + b') > O.
,Rezolvarea inecuaţiei (3) intră în cazul precedent,
deoarecq primul membru al ei este un trinom de gradul II,
ale cărui rădăcini se obţin imediat:
(ax + b)(a' x + b') = O; Xl = - � şi
a
Cînd avem de rezolvat inecuaţia I
b'
x2= --o
a'
(4)
ax + b k
---'-- > ,
a/» + b' ,
trecem p.e k în membrul 1 şi, după efectuarea scăderii şi
reducerea+termenilor asemenea, obţinem forma (1).
20 Cîtul sau produsul a două trinoame de gl'adul II.
Fie inecuaţia I
(5)
ax2 + b» + c j O
---'---'--- > .
a'x2 + b'» + c'
(1)
Procedînd ca şi pentru inecuaţia (1), obţinem inecuaţia
echivalentă:
(6) (ax2 + b x + c)(a' x2 + b' x + e') > o.
,
a) Dacă unul dintre trinoame are rădăcini complexe
sau reale şi egale, semnul lui este constant (are acelaşi
semn pentru orice valoare numerică a lui x, cu excepţia
rădăcina).
împărţim ambii membrii ai inegalităţii cu acest trinom,
ţinînd seamă de semnul lui.
b) Dacă ambele trinoame au rădăcini reale şi neegale,
se procedează aşa cum se va arăta în cele ce urmează,
A p 1 i c aţi a 1. 1 o Să se rezolve inecuaţia 1
- 4x - 3
�-->l.
-7x +:!
,
Trecem pe 1 în membrul 1 şi avem:
-4x-3 -4x-3+7x-2 3x-,5
- 1 > O ; > O ; > O,
-7x+2 -7x+2 -7x+2
(3x - 5)(-7x + 2) > O; -21x2 + 41x -10 > O.
'128
..
[129]
(1)
Rădăcinile trinornului din membrul 1 sînt:
5 2
Xl = - şi x2 =-
3 7
Soluţiile i necuaţiei :
2 5
-<X<-.
7 3
2 o Fie inecuaţia :
x2- 5x - 36
----<0.
x2-x+l
Această inecuaţie este echivalentă cu următoarea 1
(X� - 5x - 36)(x2 - x + 1) < O.
( I )
Trinomul (x2 -- x + 1) are rădăcini couiplexe : el are
semnul + pentru orice valoare a lui x, Pe scurt: canti­
tatea (x� - x + 1) este Un număr pozitiv împărţim
ambii membrii ai inecuaţiei (2) prin trinomul (,\,,2 - X + 1)
şi sensul nu se schimbă. Obţinem:
(3 \ x2 - 5x -- 36 < O.
Trinouiul din membrul 1 are rădăcinile Xl = 9 şi x2 =
- -4. Sohrţiile inecuaţiei (3) şi deci soluţiile inecuaţiei
(1) sînt :
--1 < x < li.
3 J Fie> i necuaţia :
.112 + 2x - 84
------>1.
-4x2 + 12x - 9
Trecem pe 1 în uiembrul 1 şi apoi facem operaţiile
xl + 2.11 - 84
indicate de semne. Obţinem: - 1 > O;
- 4x2 + 12x - \)
r2 + 2x -_8_4_+_4_x_2_-_12_x_+_9 > O.
-4x2 + 12x - 9
(:! )
5x2 - 10x - 75
>11.
4x2 + 12x - 9
(:�) (.)X� - 10.1 - 75)( -4x2 + l:.!x - �lJ > O.
Rădăcinile trinomului Yl = 5x2 -- lOx - 75 sint :
.\ 1 = 5 şi X2 = -3, iar rădăcinile trinornului Y2 =-4x2 +
- 12x - fi sînt Xl = %2 = : . Urmează că _'\it are semnul­
�
� - Al qeb r a ci. a IX-a
"
".
129
[130]
pentru orice valoare numerică a lui x. Cantitatea (-4xl:--t­
+ 12x - 9) este negativă; împărţind cu ea, inegalitatea (3
işi schimbă sensul. Avem:
5:%2 - 10x - 75 < O; x2 - 2x - 15 < O.
Acest trinom are rădăcinile Xl = 5 şi x2 = -3 ; x tre­
buie să fie cuprins în intervalul rădăcinilor, adică:
-3 < X < 5.
ApI i c aţi a a II-a. Să se rezolve inecuaţia :
(1)
_-_3_x_2 _-I-_4_x_+_1_5 > O.
x2 + x -:10
Notăm: Yl = -3x2 + 4x + 15; Y2 = x� + x - 20
trebuie, să avem: YI> O. Aflăm rădăcinile trinoarnelo
V2
Obţinern :
{Xl = 4
Y2 = O _
x� =-D
Aşezăm într-un tablou valorile lui X scrise in ordine
crescătoare, la care se adăugă -CXJ şi +CXJ. Aceste valon
sînt aşezate pe o linie orizontală. Pe alte două linii ori­
zontale-vorn scrie semnele trinoamelor Yl> Y2' iar pe ultima
linie .orjzontală, semnele cît ului .VI Tabloul se încheie cu
o linie orizontală.
.ţ - ro
-5
3
3
4
V,
� ------I--r---- f ++++ f-------/-----
-- / I I
Y2 ++++++f------ ----- -------,+++-.-
I + I I + :
130
..
·f
[131]
-
..
In tablou lucrăm astfel: În dreptul fiecărei valori a
lui x ducem cîte o perpendiculară pe direcţia liniilor ori­
zontale şi o mărginim la ultima linie orizontală din tablou.
Pentru )'1> barele verticale au împărţit valorile nume-
rice ale variabilei x În intervalele (-00, -:); (- :' 3) ;
(3. +00).
Pentru )'2' barele au determinat intervalr-le (-00, -5) ;
(--fi, 4); (4, +00),
Pentru cîtul Yl au fost determinate 5 intervale:
J'2
Ţinînd seamă de teorema asupra semnului unui t rinorn
ie gradul II, urmează că )'1 are semnul + În intervalul
1- �, 3) şi semnul - în exteriorul intervalului, p�. linia
mi )'1' În dreptul valorilor lui x din intervalul (-o::', -:)
punem semnul --, În dreptul valorilor lui x din mterva­
'ul ( -1, 3) punem semnul + şi în dreptul valorilor lui
t Cl1 prmse În intervalul (3, + 00) punem semnul - , Găsim
-ă Y2 are semnul +- pentru x< -fi şi pentru x > 1, iar
in intervalul (-5, 4) trinornul an:' semnul Trecem
aceste semne în tablou,
Acum semnul cîtului Yl se determină cu uşurinţă în
Y2
'lecare dintre cele 5 intervale. în intervalul (-00, -15),
v 1 < O, Y 2 > O, deci Yl < O ; cîtul are semnul -, Procedînd
jJ2
.a fel cu celelalte 4 intervale, se obţin semnele din tablou.
Jnecuaţia (1) cere: ca Yl să aibă semnul +-, Privind
Yz
"a bleul alcătuit, rezultă că soluţiile inecuaţiei sînt:
5
< x< --
3
,) < x < 4,
o b str v ati al, Nu e inutil să facem cîteva veri­
ncări. Astfel, pentru x = -2, din inecuaţia (J) deducem
�
13]
.�
[132]
--Ţ,
valuri
r
Să se rezolve inecuaţia :
XS - 8
--<O.
1 - x'
(1)
5 O t 3 - bti 7.75 O A
- > ; pen ru x = .o o ţinem - >. ceste
18 4,25
verifică deci inecuaţia,
O b ser va ţi a II. Cîtul a două numere are acelaşi
seţIlll ca şi produsul lor; de aceea, în tablou, ultima Iinie
poate fi: înlocuită cu Y1Y2 cu semnele din intervalele rE'S­
pective.
A p l z' c aţi e,
Cîtul expresiilor algebrice (x3 - 8) şi (1 - x4) est«
negativ, potrivit relaţiei (1). Aşadar şi produsul acestor
expresii este negativ. deci:
(x3 - 8)(1 - x4)< O
(2) {x :2)(x2 .i, 2x + 4)(1 - x2)(1 + x2) < o.
Trinomul x2 + 2x + 4. are rădăcini complexe: el e"t.
o cantitate pozitivă pentru orice valoare numerică a lui x .
de asemenea binomul (1 + x�) este pozitiv. Produsul
,x2 + 2x + 4)(1 + x2) fiind pozitiv pentru orice valoare
a lui x, împărţim ambii membrii ai inecuaţiei ('11 ('1 si (1)
ţinem o inecuaţie echivalentă. Avem:
3) (x-2)(1 - x2)< O.
,
Notînd .1'1 = x - 2 şi Y2 = 1 - x�, gasmi C�i ) 1 � Il
pentru x = 2 şi Y2 = O pentru X1 = 1 ; x2 = -1, Î'nt oo­
mim tat;loul :
_x r�
-1 .t
-- : - - - -1-
-1 -- - ----1 -
-O+++-l..O--
1 1
1 1 +
1
-0+ +..,..--
1
1--- ----­
I
Privind ta bleul act sta, rezultă că soluţiile inecuaţ it
(1) sînt:
-1 <x<l
x "> :2,
�
132
,
[133]
8. SISTEME DE INECUAŢII CU O NECUNOSCUTĂ
Fie de rezolvat sistemul :
,
(1)
! 6x -L 11 .> O
x:! - 7x + 6 > O
- x:! + 6x -- 5 < O.
Procedeul este următorul:
1 o Se rezolvă fiecare inecuaţie a sistemului.
2 o Se caută solutiile comune tuturor inecuaţiilor din
care este format sist/mul.
Prima inecuaţie a sistemului dat este verificată pentru
x -, 11 a doua are soluţiile x < 1 şi x > () : a treia
6
are soluţiile \: < J şi x > fi.
Formăm tahloul :
1 i
.)
6
-,-
,.2 IX li 1++
1
I
(1 '� -r- -+- . ..; • ..:.. � I + + �
-1 - - ----1 --
I (l
L 1
,--- - ---'-1 --
0--
_1-
�
solu ţie
soluţie
- ..
Din sistemul dat, vedem că polinoamele din membrul 1
trebuie să aibă respecti,' semnele +, +, -. Tabloul arată
că valorile lui x care îndeplinesc aceste condiţii sînt SI­
tuate în intervalele
(_�1, 1): (6, +(0).
11
Soluţiile SiStV111Ului sînt: - - «: x <] �1 .\:" 6.
6
133
'�
[134]
9. DISCUŢIA ECUAŢIEI DE GRADUL II
CU COEFICIENŢI VARIABILI
P rob 1 e TI! ă. Fie ecuaţia:
(1) )
2x2 - 2(m - l)x - m� T 2rn + ,1 0.= (1,
I
I
II
1·
II
Să se discute natura şi semnele rădăcinilor ei, cmo
parametrul m ia valori numerice de la -00 la +00,
Re z o l var e. Pentru fiecare valoare numerică a lui m ,
obţinem o ecuaţie cu coeficienţi numerici. Astfel, pentru
m =2 obţinem ecuaţia 2x2 - 2x + .5 = O ; pentru : ni =
= -1 găsim ecuaţia x2 + 2x + 1 = O etc.
Deci ecuaţia (1) conţine o infinitate de ecuaţii cu cod,­
cienţi numerici. A discuta natura şi semnele rădăcinile:
ecuaţiei (1) înseamnă să alcătuim un tablou în care să Fe
vadă, la fiecare valoare numerică a lui 'In, ce fel de rădăcn.:
are 'ecuaţia numerică corespunzătoare,
Procedăm astfel:
10 Calculăm discriminantul ecuaţie: (1) :;;i găsim
� =-= (111 - 1)- -- 2(-mc - 2m -- ,II
t::. = 311l� - fim !J,
Alcătum. Un. tablou În care St arată sernuul lui � • i..':
m variază. .\ "'em :
In -00 - 1 :3 ,oc.
�1 + +...L _ + + n __ _ _ (1 + _L ..L
bin acest tablou dedtlcem :
�entru m < -1 şi m > 3, tl > u : deci ccu.rţin .re
rădăcini reale şi neegale.
Pentru m = -1 şi 111 = 3, � = O; deci ecuaţia ar e
rădăcini reale şi egale.
Pentru -1 < m « 3, Do <' O; deci ecuaţia are r ăd a­
cinicomplexe
2'0 Cu ajutorul lui t::. am determinat natura rădăcinilor
Pentru a determina semnele rădăcinilor. cînd ele :-,1., t
reale, este nevoie de produsul P �i de suma S a rădăcinil '.
Din (1) deducem P1'Od1�S1t1 r ădăcrnilor :
p
- m2 T 2m +,)
2
J
[135]
Alcătuim un tablou din care să se vadă semnul lui P
dnd m variază. Avem:
ml-oo 1-V6 1, Y6
p --------- O ++++++ O ----
Deci, cînd m < 1 -V6 şi m > 1 + Vo, produsul este
negativ şi rădăcinile sînt de semne contrare; cînd avem
1 - iti <: m < 1 +1/6, produsul este pozitiv şi rădăcinile
sfnt de acelaşi semn.
3 o Suma rădăcinilor este următoarea: S = 2(m - 1)
2
S=m-l .
. \Jcătuim un tablou care să arate semnul lai S. cînd
m variază. Obţinem:
ni , -00
-1---
s
1 +00
-----
o +++++++++++
Valorile remarcabile ale parametrului m, scoase ci, ,1
cele trei mici tablouri - În ordine crescătoare - sînt
nrmătoarele :
yr; ; -- 1 : ] ; 3: 1 + Y6.
Trebuie să considerăm pentru m următoarele intervale
?i valori:
V 6 ; 1It = 1 - YG; I - VIJ <, 111 < - 1 ;
m=-l; -l<m<-J; m=1,1<m<3; m=3;
3 < m<l +Y6'm = 1 +YIJ: In> 1 +VU .
..
[138]
Dacă Xs este baza, înălţimea este
10. DISCUŢIA PROBLEMELOR DE GRADUL II
După cum s-a arătat în Algebra pentru clasa a VIII-a,
o problemă se numeşte de gradul II cu o necunoscută, cînd
. rezolvarea ei conduce la o ecuaţie de gradul II cu o ne­
cunoscută.
Discuţia unei probleme de gradul II se face în mod
analog cu discuţia problemelor de gradul 1. Aici trebuit
să Se pună condiţia ca rădăcinile să fie reale.
P rob 1 ema 1. Se dă o sîrmă cu lungimea 2 l şi se cer,
să se îndoaie în formă de dreptunghi, astfel ca acest dreptfmgh,
să aibă aria egală cu a2•
Re z o 1 var e. Fie x Una dintre dimensiunile drept u ,.
. a2
ghiului ; rezultă că cealaltă este . Putem scrie:
x
2a2
2x+ - =2l,sau:
x
(1 i x� - lx + a2 = O.
Condiţia ca rădăcinile să fie reale este: l� - 4-a:': >­
sau (1 + 2a)(l - 2a) >- O. Deoarece a şi 1 sînt numere
pozitive, 1 + 2a >- O.
Deci trebuie să avem l - 2a >- O sau:
(2' l>-2a.
Această condiţie fiind îndeplinită, ecuaţia admite două
rădăcini reale.
Djn relaţiile dintre rădăcini şi coeficienţi deducem.
P => XIX2 = a2 > O, iar S = Xl + X2 = l, deci ecuaţia
are două rădăcini pozitive,
în concluzie: dacă l >- 2a, problema admite două SOIUţli
Cercetarea soluţiilor. Fie Xl şi x2 cele două valori nu­
merice obţinute pentru x. între ele există relaţiile:
') , al
XIX2 = a" sau X2 = -
Xl
I
Dacă Xl este baza, înălţimea este Il , adică dimensiuni-
" Xl
I
le dreptunghiului sînt: Xl Ş1 !! .
Xl
X. XI
Aşadar. dimensiunile dreptunghiului sînt . � şi Xl'
Xl
138
[139]
Rezultă numai o soluţie, fiindcă cele două dreptunghiuri
�. sînt egale.
p rob 1 ema a II-a. Să se determine laturile unui
triunghi dreptunghic, cunoscînd aria sa, m2, şi perimetrul, 2p.
Re z o l var e. Fie x, y, z laturile triunghiului, z fiind
ipotenuza.
Prrtern scrie :
zt = x. + yC
x + y + z = 2P
2m2 = xv
de unde:
{1
)1
(2)
2" + 4mt = x:.! + y:.! + 2xy, sau
(x + y)2 = Z2 + 4m2 ;
x + y = 2P - z
(x + y)t = (2P - z)".
Din (1) şi (2) deducem: (2P - Z)2 = Z2 + Jm:.! , p"
(3)
p%_ m2
z� --'
p ,
inlocuind valoarea lui '" obţinem sistemul:
x 1- Y =
p
(4)
u=
xv = 2m:.!
pe care-I rezolvăm introducînd necunoscuta auxiliară u'
p2 + mi
UZ -- U +- 2m" = O
P
P' _+ mi _ ± 'l fu)· + -;'n2)2 _ 2m" .
2P V 4p2 '
X şi Y sint rădăcinile ecuaţiei (4).
Discuţie. Deoarece z > 0, avem condiţia p2 - m2 > O
sau p> m (P > 0, m ;» O).
Dacă rădăcinile ecuaţiei (4) sînt reale, ele sînt pozitive,
Iimdcă produsul este pozitiv 'li suma este pozitivă. Pentru
CR. rădăcinile să fie reale, trebuie Îndeplinită condiţia:
�
139
.�
[140]
" e
(5)
(p2 7 gm2)1 _ 2m� > o; (P2 + m2)2 _ 8p2m� > (1
ep
(P2 + m2)2 > 8p2m2 "au:
p2 + m2 > 2pmy2e
.,
r
)
Să cercetăm în ce mod variază p şi m, unul in raport
eu altul. Notăm � = r . Din (5) deducem succesiv:
m
sau
(6)
r� ,- 2r y2 -+- 1 .> u.
2) x:.! + 3x - 108
4) x2 - 2x + 35
6) x2 + 25x + 11-1
8) m2 - m -12
10) 9x2 - 30x + 25
..12) 63)'2 - 42)' + ..
14) x2 + ax - 2a2
161' ab x: - (a2+b2) x -+- ab .
Rădăcinile trinornului r� ,2ry2 + 1 sînt (Vi -r- 1) Şi
('fi' -: 1). Inegalitatea (6) este satisfăcută pentru valorile
lui r exterioare intervalului rădăcinilor: r > Y'2 + 1
şi r < y1, - l.
p2
Dar "-8 obţinut condiţia pC! > m: "au - > 1 : r:.! > 1,
mi
deci:
r / 1.
Rezuîtă că u.ebuie să Înlăturăm condrţui r < y'2 - 1
astfel, unica soluţie a problemei est<,· l' > y� 1, 1 Î r;
concluzie:
" p > m (y-;Z .+- 1) sau m < ,,_P ..
V 2..1 I
EXERCIŢII
A. Să se descompună în factori următoarele tr t noamt
de gradul II:
1) x� - 7 x + 12
31 x2 - lOx,+ 9
)(5) 6x� + 5x - 6
7) m2 - m - 56
9) x2 + 15x + 44
.B'j 48x2 + 72x + 27
13) x2 - ax - 6a2
15) 4x2 - 4a2x + a4-b4
I �
140
[141]
-
•• XZ T 3.x - 10
",2 _ 2x - 35
x2 - Gx j f)
11-----:..-­
,,2 _ 8x + 1;,
Il. Să se descompwnă în factori de gradul 1 următoa-
rele irinoame bipătral ('. :
1) x4 - 20x2 + 64 2) x4 - 5Ux2 + 49
3) .lx4 - 37x2 + !) 4) 36x4 - 13x2 + 1
.1) x4 _ (m2+n2)x2+m2n2 6) a2x4 - (1 + a2b2)x2 + b2
1) m2n2 x4- (m2 +n2) x2 + 1 8) j 6x4 - 8a2x2 + a4
�l) .'1.'4 + 3x2 -.J 10) x4 + 25x2 + 114.
III. Si! se simpl1fice [ract i ile 1/1'111âtoa1'e:
./
:� 4x2 - 7 x -l- 3
Ix2- 11x + 6
.n2+ 6m- 91
m2+8m-105
x2 _ 9xv -l- 14v2
.1)
2x2 - xy - 3y!
(�\
'!x2 - 5xy + 3y·
11/ d 1 C aţi c. Se: notcază : y = t x :;;i se simplifică
prin x'. Se o bţ in trinoame de gradul II în 1, care se des­
compun 111 factori. Se' face simplificarea, .rpoi se Înlocuieşte
cu ,,. .
x
IV. FI, tri.noniul Y = '(" - 2(4m 13)\ i tjm -+- 7, Să
<e determine m astjel ca trinomul sJ [ic piUrat perject
1 n d i c ati e. Se calculează t1 SI se scrie că t1 = O.
((,le nouă valori obţinute pentru In 'dau soluţiile :
\' = '\.'2 ;IX + 25 = (x - .-'):'.
4 2
)' = x" + �x + 1 = (x -+-- l)�.
\' Să se reprezinte grafic [uncţiile :
1) v = �X2' �,= 3 xc' y = O 5x2. V = U,l x:' .
..t. -' '- 5! "
�) Să se reprezinte pe acelaşi desen [unctiile :
Considerînd parabolele y = a1x2, Y = a2xi, în care
al > a2, din comparaţia graficelor, ce se poafe spune despre
ramurile lor?
�
141
.�
---�-----� -�--==---------
[142]
a) y = XC - x + 0,25 :
b)y_= 1,8x2 - 12x -t 2 ;
e) y c:: -x2 + 12x - 36
3) Să se facă graficele funcţiilor:
12 12 2' 3'"
Y = - 4 x ;y -= - 10 x ; y = -' X· : y = - z-
4) Să- se reprezinte grafic funcţiile:
y�x2-+;4; y=x2-6; y-=-1,5x2+3; y=_ 1X"_:,
4
5) Pe acelaşi dese« şi la aceeaşi scarii să se reprezint.!:
grafic funcţiile:
a) y = x2 ; y = x" + -1 ;
b) y = x2 : y = XC - 5 .
c) y= -x2 ; Y = - x� --1- 3 :
d)y=-x2; 'V=-x�-4.5:
e) y ��X2. � = 1 x� + �;
5 ' "5
f) Y =' -0,4x� ; Y = -O.-Lr� -
6) Să se facă graficele funcţiilor:
1 1
Y = (x + 1)2 ; y= - (x - 2)�; Y = -2(x -r 5)".
2 3
7) Pe acelaşi desen şi la aceeaşi scară sâ se facă grtll.
ficele funcţiilor:
1., 1 ( + 3)" 4 ., . .j, ( f)
y = - x- � '\' = - x � : '\1 = - -x' ŞJ � X - '" y
2 -:! � 5 - ;,
8) Să se reprezinte grafic funcţiile:
�
a) y -'-- x� - 4x; Y = - x� + 3x ;
b) Y "'7 -3x� + 6x ; y = 2x" -+ 6x.
9) Să se studieze variaţia trinoamelor următoare�\
să se fad! şi graficul:
a) y = x2 - 8x + 12; l = 3.x2 +- 7� 2tL;
b)y=--4x2+x+3; y=-x2-2x+J5.
,cl.y = 3x2 � 14x + 8 ; y = S.x2 + 15x;
â) y =,0,25x· - 3x - 1 ; y = - X" + x + 1.
I
10) Să se studieze variaţia trinoamelor următoare ŞI
eă se traseze parabolele corespunzătoare:
1
y = - x� - 3 x + 9 ;
4
Y = -x2 + 4x - 4;
J
1'42
[143]
-
v
!I
D
�1) Să se studieze variaţia trinoamelor următoare Ş1
să se traseze parabolele corespunzătoare:
a) Y = x2 - 4x + H; Y = -2x2 + 6x - '; ;
b) :v = x2 - 4x + 5 ; Y = -3x� + 6x - 8.
VI. J.} Să se studieze variaţia spaţiului în mişcările
definite de ecuaţiile:
a) s = t2 - nt + 6 ;
b) s = t" + t + 2 ;
c) s = t2 - 6t + 2.
:!) Un ascensor coboară vertical de la o înălţime de 40 tit
cu o viteză de 3,5 m pe secundă. O piatră cade din ascensor
rn momentul plecării. Să se studieze şi să se reprezinte
grafic variaţia distanţei dintre piatră şi ascensor, con­
siderată ca funcţie de timp. Să se afle această distanţă cînd
piatra ajunge pe pămînt.
1 n d 1: c aţi e. Fie O punctul de plecare. După un
rrmp t, ascensorul este în punctul A, iar piatra în P
Ascensorul are o mişcare uniformă cu viteza v = 3,5 ro/sec
Spaţiul OA este dat de formula SI = 3,5t.
n
lj,
Fig. 31>
PIatra are o mişcare uniform accelerată, fără viteză.
<nit.ială şi cu acceleraţia a = g = 9,8 m/sec".
Spaţiul OP este dat de forrnula s , <= � gt»,
2
Pe figura 29 avem: AP = OP - OA ; YII = 2.. gt2-3,5t
2
-tc. Pentru punctul ultim, piatra ajunge la pămînt după
timpul dat de relaţia
1
40 = - gt<.
2
143
.�
[144]
l
1,1
I
/
t
1
I
3) Să se facă grafic 1,,-1 funcţ1:ei :
y = - V3 (Xi - 1).
Parabolă obţinută are vîrful V pe axa vs'. Ea tau aha xx '
în punclţle A, B. Notăm cu S aria cuprinsă între parabolă
şi axa xx. Să se demonstreze relaţia :
V3 < S < 2 V3.
1 n d i c aţi e. Se găseşte OV = V'3, OA = 1, O.H=L St.
calculează aria 51 a triunghiului echilateral A BV (fig. 30),
apoi aria 52 a dreptunghi ului cu baza BA şi înălţimea
�' Avem: 51 < 5 < 52 etc.
î.L *) Să se determine a în aşa fel ca suma pătratelor
r dăcinilor ecuaţiei x2 + (2 - a)x - a - 3 = O să fie
minimă. -
1 n d i c aţi e. Notăm y = xf + x�. Se găseşte y <=
= a2 - 2a + 10 şi se caută minimul acestui trinom în a
R, II - 1,
- 2) Să se determine coeficienţii trinomului axe + bx + c
astfel ca trinomul să se anuleze pentru x = 8 $1: să admită
minimul 13 pentru x = 6.
1 n d i c ati c. Se obţin ecuaţiile:
64a + 8b + c � O ; b = 6; 4ac - bl = - 1:!
2a 4a
" R. 3x' - 36x' + 9t1
BO. = 2a- x.
- 2
AH - AM =:20
MB
•• ,K�
= -; afla cercului 01 = -
2 4
'rig .. 31
VIII ... 1) Un cerc O are diametrul AB = 2a. Pe aces.
diametru considerăm un punct variabil M, astfel că AM = x
Pe segm�ntele AM şi M B, ca diametri, se descriu cercurile'
01 şi 02' Cînd punctul M se mişcă pe diametrul A B. să SI
afle maximul ariei cuprinse între cele trei cercuri.
Indicaţie. Avern : AOt=
1·14
,- ....
[145]
, ' 7t(2a _ x)'
Ana cercului O. = ; ana cercului O = 7ta�.
- 4
Notînd cu \' ana haşurată, avem:
re
(-x- + 2ax).
4
7t(2a _ x)' ,
)'=
2
.J 7tX2
\' = 7ta- -� -
4
Maxirnul lui y arc loc pentru x = a.
Se află maximul acestui trinom sau maximul lui
(- x2 + 2ax), deoarece y este maxim în aceleaşi condiţii
ra şi (- x2 + 2ax), adică pentru aceeaşi valoare a lui ,\
\� Fie ABC un triunghi echilaterat A
cu{atttra egală cu a (fig, 32), Pe laturile
AB, BC, CA luăm respectiv punctele
el' Al, Bl> astfel că ACl = BAl =
= CBI = x.
Cînd x variază, să se afle mini­
mui ariei trt'unghiului AIBlel,
1 n d i c aţi e. Se poate demon-
stra uşor că Ll AlB 1 Cleste echilateral. 8 x A1 C
AVE'm (vezi Geometria de clasa
a IX-a) : Fig, 32
Pitagora generu liznt ă.
x):! - :�(a - x) = 3x:!
3ax T a-,
"/-3 aria A,Ble,
\ . A Be' a V • 1 - di (1) d d
""TIa = -4- ast te ca 111 se e uce : a2V 3
Se notează aria AlB 1 CI = Y şi se găseşte că y este 11n
a
tril10111 de gradul II în x, Minirnul are loc pentru x =- ,
2
1 il - Algebra el. a IX,.
145
,�
[146]
.%' X - a
a x - 1
Cînd x oariază să se afle m1'
r nimul ariei AIBtCIDIEIFt·
1 n d i c aţi e. Se poate Pf0-
ceda ca în exerciţiul 2.
IX. 1) Să se rezolve ecuaiia t
[
�f
Fig. 33
o
c
<, /.'3) Fie ABCDE.F un hexagon regulat, avînd latur'l; a
'jfig. 33). Pe laturile AB, BC, CD, DE, EF, FA se �au
punctele Al> BII CI' Dt, El' F 1
astfel că avem:
AAI = BBI = CCI = DDI
= EEI = FF I = X.
'$i să se afle între ce limite trebuie să fie cuprins a, pen/n.
ca rădăcinile să fie reale
R
1
3
2) Să :;e afle pentru ce oalori numerice ale lu,!, x sînt
poziiioc următoarele trinoame :
r-: a)
r-
t0
/' �
dj
x2 -- 12 x + 35 ,
7x2 + 8x - 15,
-·2x2 + 'i x 3 ,
- x2 + 2x + ] ;
4) 99xt - 66x + 11 ;
1
R. orice valoare numerică a lui x =1= -
3'
R, nici o valoare numerică a lui '"
h) x� + mx + 11'1' (m � nu-
111 ăr real) ;
f) - 12x2 + 4x - 8 ;
g) 2m2x2 -+ 4mx + 2 ;
.k) 3 x� - 2 x + 2.. ;
2
l) - x2 + 2x
5
4
:3) Să se afle pentru ce valori numerice ale lU1' x sînt
negative .trinoamele :
, l' .�
146
..
-- --�--
[147]
r
,
7?
\....--a) 5X2�4; Lb)-L+ _l(h± 24..;._
/j c) - x2 + 7 x + 30 ; ",..rd) 2 x2 - X - 1 ;
e) -98x2+84x- 18; f) 3x2-x+;;:
3
R, La exerciţiul e) orice valoare =t: -:- '
la f) nici o valoare a lui s,
g) -4x� + 5x - 7 < O; h) 25x2 - 10x + ],
.ţ) Să se afle valorile numerice ale variabilei x astfel ca :
a) Trinomul x� - ix - 5 să aibă valori numerice mas
mari decît 7_
1 n d i ca ţie, Se scrie x2 - 4-x - 5 > 7; x2 - 4x -
- 12> O
R, x < -2; x ;» 6
b) Trinomul x" - 12x -+- 18 să aibă valori numerice
mai mici decît - �
R, 2 < x <!tI
c) Trinomul xt -l x - 16 să ia valori numerice C1I-
prinse între -4 ŞI 5,
Lm d i c a ţ i Trebuie să avem:
(l )
f
x'
4x -
16 >
l
.x:.! -
4x
16 < 5
(2)
f
XC
4x -
13 >
O
1
x"
4x - 2j
< o,
Din prima inecuaţie deducem: x < -2 ŞI x? ti.
Din a doua deducem: -3 < x < 7. Rezultă că sistemul de
inecuaţii este satisfăcut de valorile: -3 < x < -2 şi
fi < x < 7.
5) Să se afle ce valori numerice reale poate să ia m pen-­
Iru ca trinomul :
y = - .�t -r 2 (m - 1) x - 6m + H
.ă aibă valori numerice negative pentru orice valoare nn«­
merică a lui x.
'-
Ind i c aţi e, Trebuie să avem: 6. -< u.
R, 3 < m < -;
,�
[148]
\
-"
6) Să se afle ce valori numerice reale poate să ta 111 pen­
tru ca trinomul :
y = (m - 2)xc + 2(2m - 3)x + om - 6
să aibă valori numerice pozitive penir« orice valoare nume
rică a lui' x,
J n d l' C aţi e. Trebuie să avem � <. Il Şl rII
rn2 - 4m + 3 >- li
m>2
Î) Fie trinomul:
• ) ,- � 1 •
R, m>:3
v = x�
16,
Să se afie ce valori numerice poate sti la x, pentru IAl
»aloarea absolută a irinomului să fie mai mică decît ,"l
adică:
I x� - 2 x - 16: < rI,
1 n d 1: cat i e. înseamnă că valorile numerice ale t n­
nomului trebuie să fie cuprinse între -8 şi +8. Se ur­
mează calea din exerciţiul 4c. Scriem: x2 - 2 x - 1 f} > 8;
,,2 _ 2x-16<8. Obţinem: -4<x< - 2 şi t < x < 1),
B) Să se a.Jle valorile lui x pentru care [unct iile urmă
toure «u valori reale:
d� Y = 'rj3x2 - x + 1.
1 n d 1: c aţi e. Trebuie ca trjno nrul (3x" - x --t- 1) să
-ribă valori pozitive,
b) V xl. � 3 x 10;
c} V - x·" -:- 1 Ox--�1
d) V3x� x �J;
R, Orice valoare a lui x,
R. x < -5şix>8
R,3<x<-:-.
----�
e) V-8x� + x + 30,
, ,
X. 1) Să se rezolve inecuaţiile :
al 5x2 - 7 x - 4 > O ; b) x� - 6x - ] 6 < O;
c) 8 + 2x - 3x2 > O ; d) -6x2 + 11x + 27 < O •
e) 3x2 - 6x + 3 > O ; f) -8 + 20x - 25x2 > O ;
g) 7x2 t: 2x + 9 > O; h)1x - ;") - x2 > O.
b
148
I
I
[149]
2) Să se rezolve inecuaţiile :
a) (x2 - 7x + lO)(-3x2 + 21x - 72) > O;
b) (x2 - .5x + 6)(35 - 7x) < O.
3) Să .�e rezolve inecuaţiile :
. 4x - 8
(()-- '> O;
il.r ..L �J
) 3x - .', 2
c -- >
7x -L �
'Âl 2x - 7 < (1 ;
x - 5
c4) _9_x_-_1_8 <:)
4;r - 5
1) Să se rezolve inecuaţiile :
) 4x! - 10x + 48
a < O :
x2 - 5x + 6
>0
x2 - 3x - 14
5xl + 30x + 45
.'l) Să se rezolve inecuutiiţ c:
R .r <
:! şi .r >"7
b) :>x2 T J 1 x - 12 <" O
- �2 + 8x _ ()
R. Pentru a) avem: -2 < x < 2 şi 3 < x < ţ. pentru b) avem
4
x<
ti) S ci. se rezolve inecuaţiile :
il: -1
-: \' <' _. şi t''''> q
:) I
1) + 2x _. 3x2
------- < O:
- x2 + ilx _ .(
- x2 -+- 5x - 6
a)--- --- <, (1'
x2..L:'\1'-10 -- ,
b\ -2x2 - 17x + 31 :> 3 ;
x2-7x-+-10
9x2 - 13x - 37
3 -+- 2A - x2
<
.1.
1 n d i cat i e. Se trec numerele :3 si -fi din membrul II
'in membrul i, se fac operaţiile necesare şi se aduc ine-
cuaţiile la formele P(x) > O şi Pix' < O.
Q(x) Q(x)
( I
2x2 '7' 17..r 31
x2 - 5x - 14
-- 3x2 -e- ilx - 8:2
-- ->3;
- '2x2 - f)x - 2
-- i)
-6x2 -r- 11x + 27
---- <
.t2 - 5x -t' 6
'1·
-"',
x-I
3x.L \1
x 4
1 - s
xlI-8
e) < O;
;r2-ţx-15
16x4-81
.> �).
1 - x4
149
I
j
[150]
1 n d i c aţi e. x3 - " = (x - �)(X2 + 2x + 4). Se ţine
seamă că x2 + 2x + 4 > O pentru orice valoare a lui x.
16x4 - 81 = (4x2 + 9)(4x2 - 9); avem 4x2 + 9 > O
pentru orice valoare numerică a lui x;
1 '- x4 :- (1 + x2)(l - x2) şi 1 + x� > O etc.
XL, 1) Să se rezolve inecuatia :
x2 - 3x T :2 :.>",2 - 3x - :.>
------�- > --------
x+l x-l.
(Examenul de admitere în Şcoala de poduri şi şosete, 1907.)
R. x < -5; -1 < x < o.
, ,
�) Se dă ecuaţia :
mx» - :!(m + l)x + 8 = O.
Să se determine m , astfel ca să avem:
Xl Ş1 X2 fiind rădăcinile ecuaţiei date.
i E'xamenul dr admitere în Institutul ţ oresti er Braşov. lfJ64
R. 3 - :.> V:� < m < O şi m > 3 + 2V3
:)) Să se discute. ecuaţia:
,;-
x� - (2m - l)x..;- (4m� - 10m - 5) = 0,
cînd m variază de la -00 la +00.
XII. 1) St dă un cerc O cu diametrul AB, avînd raza 1<
Să' se detJWmine pe raza OA un punct C, astfel ca, ridicind
perpendicularo CD pe AB pînă la întîlnirea cu cercul, să
avem:
AC + AD = l,
! fiind o lungime dată. Să se facă discuţia.
1 n di c a ţ. i e. Se notează AC = x. Avem: AD2 =
== AB·AC. Se găseşte: x ; V 21<.x = l,
x2 - '2 (/ .-L R)x .-L 1� = O •
150
[151]
Se constată că Ll > O; deci rădăcini reale. Apoi
p > O, S > O ; deci ambele rădăcini pozitive. Fie Xl < x2
cele două rădăcini. Se găseşte, prin rezolvarea ecuaţiei,
că Xl > R, ceea ce nu se poate. Se pune condiţia ca X2 -< R
�i se găseşte că 0< 1 -< R + RV :!. în acest caz, problema
admite o soluţie.
2) Distanţa dintre două oraşe, A şi B, este de 200 km
Din A pleacă o cale ferată rectilinie AX; distanţa de la
oraşul B la calea ferată este de 87 km. Să se calculeze cum
�rebuie construită o şosea rectilinie de la oraşul B la calea
ferată, astfel î1�ctt costul mărfurilor transportate pe traseul
tintre A şi B să pe minim, ştiind că pe calea ferată trans­
portul este de două ori mai ieftin decît pe şosea. Să se afle
'a ce distanţă de A trebuie aşezată staţia care va Lega oraşul B
'1,1 calea ferată AX (F.G.M .1).
Fig. 34
8
d�
"r---C D x A
punctul în care trebuie să se
cerute de problemă. Notăm;
t = '1""(;2 - 7-­
- V y' - d»,
1 n d i cat i e. Fie D
acă staţia în condiţiile
AD = X şi BD = y;
Re = d ; AB =a.
Traseul mărfurilor se
.xnnpune din şoseaua BD
)i calea ferată DA.
Cu banii plătiţi pentru
transportul mărfii pe
şoseaua BD = Y se poate merge pe calea ferată pe
o distanţă egală cu 2)'. Deci costul mărfii pe traseul
mixt ADB este egal cu costul mărfii pe distanţa (x + 2y)
de pe calea ferată, adică pe distanţa:
(1)
z = V u2 - d2 - V� _-,(2 + 2y.
Costul mărfii pe acest drum va fi cel mai mIC -- evi­
dent - cînd drumul va fi cel mai mic. Deci trebuie să
aflăm minimul distanţei z din relaţia (1). Cantitatea
1 Ex ercices d=Atg ebre par F.G.M. este o culegere de problemecunos­
-ută fn toa\A lumea, conţinînd un material foarte bogat şi variat.
151
.�
[152]
u-rmătoarea: .j m» - 3m� - 3d:!:>- O; 11t2>3d� ; m >- d V--;.'[
V � 2dVS
Minirnul lui m. cst« li 3. Rezulta v = -- :
J �
x = V a� - d2 _ dVS
3
Pentru a-plicaţia numerică, găSJnl x = 130 km (cu
a prnxirna'ţic].
..
[153]
C<\PlTOLUL \"
ŞIRURI DE NUMERE
1. PUOGUESII AIUTMETIC:E
In ,;,irul de numere:
4; 7; 10; 13; 16; 19; 22
vedem că uu număr oarecare este egal cu cel diriaintcu
lui adunat cu 3. Astfel: 7 = 4 + 3 ; 10 = 7 + 3; 13 =
= 10 + 3 etc. Spunem că aceste numere formează o
progresie aritmetică şi scriem :
(1)
: 4.7.]0.13.16.] 9.::!2.
Numerele care intră în acest şir se numesc termen ii
progresiei: deci această progresie are şa ptc tr-r me ni.
Numărul constant 3, care se adună unui termen pent r u
-bţinerea următorului, se numeşte ratie.
Şirul următor:
36 ; 32 ; 28 ; ::!1 ; 20 ; 16 ; 12 ; 8 ; 4. ; ()
este tot o progresie aritmetică, formată di 11 zece tvr iueni.
Scriem :
(2)
+ 36. 32. 2S. ::!4.. 20. 1U. ]�. 8. 1. O.
Aici raţia este - 4., deoarece -., trebuie adunat nunră­
[ului 36 pentru a obţine 32 ; tot -1 adunăm lui 32 pentru
a obţine 28 etc.
Termenii progresiei (1) cresc, cei din progresie (�I
descresc ; de aceea prima se numeşte progresie crescătoare,
iar cealaltă este progresie descrescătoare.
Putem da următoarea definiţie:
Progresie aritllll'IÎ.·:'\ se wuin oşte VII )'IJ' de riu nter, Ci/re
�
153
.�
-'-- ., �'-�---"
[154]
poartă numele de termeni, astfel că fiecare termen este egal
cu precedentul plus un număr constant, numit raţie.
Notaţie. O progresie oarecare se notează astfe 1 :
-;- a.b.c. . .. h.k.l.
Raţia se notează cu r, iar numărul termenilor cu n
Trebuie fixat bine în minte că notăm cu a şi l primul ş:
ultimul termen. Ei se numesc termeni extremi ai progresiei,
sau, mai scurt, extrem ii.
Deci, pentru prima progresie, avem: a = 4; t = 22
r = 3; n = 7. Pentru a doua progresie, elementele el
sînt: a = 36, l = O, r = - 4; n = ] O.
Altă notaţie. O progresie se mai notează şi în modn!
următor:
(3)
Cu această notaţie, extremii sînt al şi a". Pentru progresia
.;- 5.5,50.6.6,50.7.7,50.8.8,50.9.9,50.10
avem al = 5; a" = 10; r = 0,50 şi n = 11.
O progresie este crescătoare cînd r > O şi descrescă­
toare cînd r < O.
Ilanqul unui termen al progresiei. în progresia:
(1)
--=- 4.7.10.13.16.1 9.22,
I
termenul 16 ocupă locul al cincilea. Numărul 5 arată
locul ocupat' de acest termen. Acest fapt se mai exprimă
astfel : 16 este termenul de rangul 5. Sau: rangul ter­
menului 16' este 5. în progresia (I ), 19 este termenul de
rangul 6; 7 are rangul 2 etc. în prozresia (3), as este
termenul de"' rangul 3; a4 are rangul 4 ; a" are rangul n,
In progresia (3), rangul unui termen este egal cu indicele
lui a.
P�OGRESIILE ÎN DOMENIUL TEORETIC
ŞI îN CEL PRACTIC
Aceste şiruri se ivesc în multe probleme din diferite
ramuri ale matematicii pure, precum şi în problemele
de. fizică, mecanică, aritmetică comercială, algebră finan­
ciară etc.
,,1
154
, .... ,
[155]
Exemplul 1. Şirurile:
� 1) -;- 1.2.3.4.G.6.'; .8.�.1 O
I:!) .i: 1.3.;;.7.9.1J .13JG
;» .:- 2.4.6.8.10.J2.14.Hi.IK.�O
<înt progresii aritmetice, prima cu raţia], iar celelalte
cu raţia 2.
F, xem.piu! 1 J. Expresiile următoare:
(u + X)2; (a� + x2); (a - X)2
-eprezintă trei termeni ai unei progresii arit met.ic«. Put e m
-r-rie :
Se constată, Într-adevăr, că avem o progresie arit­
net.ică, în cal'e raţia este r = - 2ax.
Exemplul III. Un mobil M parcurge dreapta Ox îr.
"nod uniform, cu viteza de 3 m/sec, de la O spre x îl,
nomentul iniţial se află depărtat de originea O cu !i m,
"dică spaţiul iniţial So = G m.
o
MI
M
...
Să arătăm că. spaţiile O i'v1 o; U M J ; OM 2; U Ai 3' r
• )1'v1 7 sînt numere în progresie aritmetică. Ecuaţia mişcări:
-ste următoarea: s = So + ut ; s = ,r; ...L �l. Făcînd t
=> f)1 ,2. '7, găsim progresia :
-;- �.8.11. 14.17.20.23.26.
E:xempltd IV. În cădere' liberă .. o piatră ajunge de
ia o înălţime la pămînt după 5 secunde.
Fie Mo poziţia iniţială a pietrei şi 1111, M 2' M 3' M 4'
'VI 5 poziţiile ei respectiv după 1 secundă, 2 secunde. .. "
I secunde. Să probăm că spaţiile:
, M o MI: 1111 M 2 ; ivI2 M 3 ; 111 3 M 4 ; M 4 M.)
155
.}
[156]
AI,
M.
formează o progresie aritme­
tică.
Pentru aceasta utilizăn
formula:
1 t"
s = -g',
2
în care g = 9,8 (acceler aţi..
gravitaţiei). Avem: MoM1=
= SI = 1- = 4,9 m ; M1M2 '"
2
= S2 - SI = 14,7 m etc. Obţ v­
nem progresia aritmetică:
�,!1.l4,7 .24,3.34 .3A4, 1
cu raţia 9,8 = g.
I
H'
M5
il
Fig. 36
Proprietăţi
Fie progresia :
-:- al ({ z aa· u4· .. a"_l' an,
i11 care primul t errne n <,,;te al' iar raţia este r .
Ave m :
(ij
Apoi {/.:
(2)
a'2 -:..;;:: al -r r.
a, ·i r; deci:
a:J = al + 2r
(3)
(/� ..l.. r : de ci :
-.
r
..-
Din relaţiile (1), (2), (3) se constată că indicele lui a
din membrul 1 este cu o unitate mai mare decît coefi­
cientul termenului în r din membrul II. Pentru termenn'
de rangul p, avem:
_1 _tr_p _li + (p - l)r I
For mula (-1) exprimă următorul adevăr:
Teorema 1. intr-o progresie aritmetică, un termen oare­
care este egal cu primul termen plus de atîtea ori raţia cît1
termen?' sînt înaintea lui.
156
[157]
-
o b ser v aţi a 1. în probleme asupra progresiilor
este de multe ori nevoie de expresia ultimului termen.
adică de termenul a". Trebuie să fie cunoscută bine for­
mula :
(4 '
care , desigur, exprimă acelaşi adevăr ca şi formula (4)
O b ser v aţi a a II-a cu notaţia --;- a.b.c .... h.k.l, formula
(4') se scrie:
(4 ") l = a + (n - 1 )r.
îuţelegîndu-se ca această progresie are n termeni .
A p 1 i c aţi i. ] o Să se afle al 50-lea număr din şiru!
-iumerelor impare :
1; 3; 5; 7:.
Sol fi ţie. Trebuie calculat termenul a 50 din pw­
!!resia aritrnet ică :
--;- J .3.5.7 .... a50.
Averu : il 50 = 1 + (50 - 1).2; a50 = 99.
� o în şirul numerelor impare:
1 ; 3; 5; 7; ... 5557
să se afle al cîtelea loc este ocupat de numărul 5557.
Sol u ţie. Trebuie aflat rangul termenului 1) 557 dir­
progresia :
--;- 1.3.?>.7.
. 5557.
Avem: an =- 5 557: a,. = 1 + (n - 1)·2; ;) 557 =--
';!,n - J; n = 2 779.
Deci fi 557 este al 277!l-lea număr din şirul numerelor
Impare
3 o Cal (' \. ste valoarea termenului al n-lea din pro­
grvsia :
(1)
--;- 1.3.5.7 ... an.
Sol u ţ ./ e. Avem: a" = 1 + (n - 1)·2; an= 2n - 1.
Din această formulă deducem: pentru n = 3, a3 =
= 2·3 - 1 = 5; pentru n = 4, a4 = 7; pentru n = Î,
\
157
.�
[158]
.li 'i = 13. Deci în progresia (1), termenul 5 are rangul :1
şi valoarea 5 ; termenul 13 are rangul 7 şi valoarea 13 .
'termenul a .. are rangul n şi valoarea (2n - ]).
-4 o '�ă se afle cîţi termeni are progresia aritmetică
-:-- 2. 1 (). 1 R. . . . 1 554.
-;.-4.!i.14.1 !1.24.29.3·1
. 1 554 - 2
Din formula (4 ") obţ inem : 11 =. --- . 1: n 1 q;;
s
(p - 1)r.
(Ip
Termeni egal depărt ali (1(' exrremi
în progresia:
-onsrderăm termenii lip 'Ii aq E'sai depărtaţi de extre uu
Aceasta înseamnă. că înaintea termenului ap sînt (P - 1 i
termeni. iar după aq sînt tot (p - 1) termeni Puterr
scrie:
'1 )
·�ermel}ii 4 şi 34. adică primul şi ultimul. se numesc extrem!
I'errnenii â şi 29 se numesc termeni egal depărtaţi de extrem;
le asemenea termenii 14 şi 24 sînt egal depărtaţi de ex­
remi. .Termenul ] 9 este egal depărtat de extrerni : el
-ste termenul din mijloC1tl progresiei. Este evident d
există un termen în mijlocul progresiei numai cînd pr0-
zresia are un număr impar de termeni.
în progresia:
�l
\
I
II
I
Termenul llq, împreună cu tr-rmer-u
formează prozresia :
..:are
ur rnează
După Uq urmează Ct> - 1) termeni; deci această pro­
I�rcsie arc' P termeni. Avern : a" = af -L (P - 1)r: sau.
aq,-: ,�.. - (P 1)r.
I
Pri n adu narea relaţiilor (1) �i (2). deducem
n
..
-!- I
1 ap -, aq = alT a.. I
Adevărul e-xprimat de r claţ ia (3) se enunţă astfel:
, ...
[159]
Teorema II. In orice progresie aritmetică, suma a do.
termeni egal depărtaţi de extremi este egală cu suma extr e­
milor.
a b ser v aţi e. Fie
alo-l> ak, ak+l,
trei termeni consecutivi dintr-o progresie aritmetica
Putem scrie :
Rezultă:
Sau:
formulă utilă în diferite probleme, care se poate exprima
astfel :
Considerind trei termeni consecutivi ai unei progrese:
critmetice, termenul mijloci« este egal cu media aritmetică
a celorlalţi doi.
Suma termenilor uru-i proqresii aritmetice
Fie progresia:
Notînd suma cu 5, scriem:
(J ) 5 = al + a2 + a3 + -j- a"-2 + a"-l + a".
(2) 5 = a .. + a .. -.l. + an-2 + + a3 + a2 + al
Adunînd egalităţile (1) şi (2), obţinem:
(3) 25 =, (al + a,,) + (a2 + a .. -1) + (a3 + a .. -2) '1
... + (a"-2 + a3) + (a"-1 + a2) + {a" + al}'
Fiecare paranteză, fiind suma a doi termeni egal dL'
părtaţi de extremi, este egală cu suma extremilor. Deci
fiecare paranteză este egală cu (al + a,,).
�
159
.�
[162]
Verificare. Avem: 12+22+32+42+52=1+4+9+16+
5·6·11
+ 25 = 55. în formula aflată, inlocuindpencu5,obţinem:S = -6- =
= 55, adică acelaşi rezultat.
ExemPlul IV. Fie progresiilc aritmetice:
-:-1.3.G (2n -1)
-:-2.4.6 211
Să se calculeze suma:
(1)
S = 1 ·2 + 3·4 + ;). fi + .,. + (2n - 1 )2n.
(Din lucrarea Calculul algebric1 de Traian Lalescu-).
Sol u,ţ i e. Putem scrie :
(2 k - 1 ) 2 k = 4 k: -:>. k.
Dînd lui k succesiv valorile 1,:>', 3, ... n, obţinem:
1·2=4.V-2.1
3·4 = 4.22 -2·2
5· 6 = 4.32 - 2 . 3
(2n -1)2n = 4n" - :>'n.
Prin adunarea acestor egalităţi, avem:
S = 4(12'+ 22 + 32 + ... + n )-2(1 + 2 + 3 + ... + n)
5=
5=' 4n(n +1)(211 + 1)
6
(2)
2nLn+l)
2
n(n + 1)(111 -1)
3
Verificare. Avem l vâ + 3·4 + [)·6 = 2 + 12 + 30=J4.
în formula (2), înlocuind pe n cu 3, obţinem:
S 3·4·11 di ă acelasi 1
= -- = 44, a lea ace as] rezu tat.
3 '
1 Calculul algebric, carte de valoare pentru aprofundarea capito­
lului din algebră: "Polinoame şi fracţii raţionale algebrice".
2 T rai a n Lai e s c u (1882-1929), renumit matematician romîn,
cunoscut ,mai ales prin cercetările sale de analiză matematică.
162
" ... ,
[163]
D
I I
Inserarea mediilor aritmetice
Fig. 37
parii vor fi aşezaţi la dis-
P rob l e m ă. Grădina unei şcoli trebuie împrejmuită
cu un gard de nuiele împletite. In acest scop, se fac groPi
pentru stîlpi groşi, care se aşază la distanţa de 4 m unul
de altul, apoi se unesc la capete cu stinghii. Intre stîlpii
alăturaţi se înfig 4 pari mai subţiri, pe care se împletesc
nuiele. Ştiind că parii sînt aşezaţi în aşa fel ca distanţa
dintre stîlpi să fie împărţită în porţiuni egale, să se afle
distanţa ce trebuie să fie între doi pari alăturaţi.
5 o 1 u ţie. Să figurăm o porţiune dintr-o latură a
grădinii care trebuie împrejmuită.
Notînd cu A, B, C, D
locurile stîlpilor groşi, între A B C
A şi B trebuie înfipţi 4 pari, 1"" 1, , , I I
deci distanţa A B trebuie f 234 5678
împărţită în 5 părţi egale.
AB
Avem : - = ° 8 m astfel că
5 J ,
tanţa de 0,8 m unul de altul.
A pistanţele de la capătul A al grădinii pînă la diferiţi
st�lp'� for,mează o progresie aritmetică cu raţia 4.
. înhgllldu-se cîte 4 pari între doi stîlpi alătur aţi,
distanţele de la A Pînă la punctele L, 2, 3, 4, B, 5, 6 etc.
Jorme�ză o nouă progresie aritmetică w raţia 0,8.
Prim., progresie este :
(1) -;- 0.4.8.12.16 ...
A doua progresie este:
(2) -;- O. 0,8. 1,6. 2,4. 3,2. 4. 4,8. 5,6. 6,4. 7,2. 8 ...
în progresia (1) am intercalat, între doi termeni con­
secutivi, patru numere care împreună cu termenii pro­
gresiei (1) să formeze o nouă progresie aritmetică. Spu­
nem că între ° şi 4 am inserat 4 medii aritmetice.
In general să considerăm progresia aritmetică:
-;- a.b.c .... h.k.l.
Între doi termeni consecutivi vrem să inserăm
m numere, care împreună cu cei doi termeni să formeze
o progresie aritmetică. Să luăm termenii a şi b. Notăm
163
.�
_ ....... _---------- -----
[164]
termenii inseraţi cu Xv x2' x3, .•. X" şi noua raţie o no­
tăm cu r' . Avem progresia :
, .
deci: baT (m + j' r'; (m + 1) r' = b - a. însă
b - a = r; rezultă :
, r
r =--.
it! + 1
A P li c aţi i. 1 o Între primii doi termeni al pro­
gresiei :
-;- 5.29.53 ...
să se insereze 7 medii aritmetice.
5 o 1 u ţie.
gresia Este:
A ' 'y 24 3
�� venl : r = -- = - = .
m + 1 8
Deci
pro-
-;- 5.8.11.14.17.20.23.26.29 ...
2 o intre numerele 3 şi 13 să se insereze cel mai mic
număr de medii aritmetice, astfel ca, în pro[,resia aritme­
tică obţinută, diferenţa dintre doi termeni consecutivi să.
fie mai� mică decît 0,00001.
5 01 u ţie. Fie m numărul de medii inserate şi r' raţia,
Potrivit enunţului, trebuie, să, avem r' < 0,00001;
10 1 m + 1 .
__ < . SaU: -- > 100000. Apoi : m +] >
m+l .-' 100000 1('
> 1000000; m ;» 999999.
Rezultă că valoarea cea mai mică a lui m este 1000000.
_ Ne propunem să demonstrăm următorul adevăr:
Teoremă. Î n orice progresie aritmetică crescătoare, ter­
menii cresc în acelaşi timp cu rangul lor, astfel că pot să
atingă sau să depăşească orice cantitate dată.
Fie 'progresia -;- a1.a2.a3 ••• aII şi un număr A, oricît
de mare vrem. Ne propunem să aflăm cel mai mic ter­
men din progresie astfel ca acel termen să fie mai
, mare 'decît A. Fie an acel ţermen; să-i aflăm rangul n,
164
... - ".
[165]
-
'.-...-- -
Avem: a" = al + (n - 1)r. Deci trebuie să avem inega­
litatea :
al+ (n-l)r>A
(n - :1)r > A - al; n _ 1 > A - al .
r
Sau:
A -al
n ;» --+1.
r
Deci termenul al cărui rang este exprimat prin nu­
mărul întreg care depăşeşte imediat cantitatea ( A � al + 1)
este superior lui A, oricît de mare ar fi A.
Astfel, în progresia -:- 1.5.9.13 ... , rangul n al ter­
menului la care trebuie să ne oprim, pentru ca acel ter­
men a să fie mai mare decît 1000, este 251. în adevăr:
1 000 - 1 ..L 1 250 75
n ;» ,;n > ,
4
şi numărul întreg imediat superior lui 250,75 este 251.
2. PROGRESII GEOMETRICE
Observînd şirul de numere :
2; 6; 18; 54; 162; 486
vedem că Un număr oarecare din acest şir este egal cu
cel dinaintea lui înmulţit cu 3. Astfel:
6=2·3; 18=6·3; 54=18·3 etc.
Spunem că numerele din şir formează o progresie
geometrică. Scriem:
(1 )
�2:6: 18: 54: 162: 486.
(2)
Aceste numere se numesc termenii progresiei. Deci,
această progresie are şase termeni. Numărul constant 3,
cu care se înmulţeşte Un termen pentru a-l obţine pe
următorul, se numeşte raţie.
Tot astfel avem progresia :
= 64 . 32 . 16 . 8 . 4 .. ) . 1 . � . �
.. . . . . . -'. . 2 . 4 .
165
.�
[166]
Aici raţia este 2-, deoarece 64 trebuie înmulţit cu �,
2 2
pentru .a obţine 32; tot cu � înmulţim pe 32 ca să dea
16 etc .
. Terraenii progresiei (1) cresc, cei din progresia (2)
descresc; de aceea prima progresie este o progresie geo­
metrică crescătoare, iar cealaltă este o progresie geome­
trică descrescătoare.
Putem da următoarea definiţie:
Progresie geometrică se numeşte un şir de numere,
care se numesc termeni, astfel că fiecare termen este egal
cu termenul dinaintea lui înmulţit cu un număr constant,
numit ratie .
..
Notaţie. O progresie geometrică oarecare se notează
astfel:
-:7 a : b : c : . .. : h : k : l.
Raţia se notează cu q, iar numărul termenilor cu n.
Numerele a şi 1 sînt termenii extremi ai progresiei.
Pentru prima progresie avem:
a = 2;l = 486;
Pentru progresia a doua
1
q = -; n = 9.
2
q = 3; n = 6.
avem: a = 64;
1 =�'
4 '
,-
Altă notatie. O progresie geometrică se mal notează
astfel: . .
(3)
Cu această notaţie, extremii sînt al ŞI a... Pentru
progresia (1) avem;
a .. = 486.
r j
Progresia este .crescătoare cînd q > 1 şi descrescă­
toare cînd O < q < 1.
Rangul unui termen al progresiei geometrice. În pro­
gresia (1), termenul 54 ocupă locul al patrulea. Numărul 4
arată locul ocupat de acest termen. Spunem că 54 este ter­
menul, de rangul 4.
166
"
[167]
r
1 în progresia (1), termenul 18 are rangul 3; în progre-
\' sia (2), termenul 4 are rangul 5; în progresia (3), termenul
aII are rangul k.
Uneori se ivesc în calcul şi progresii geometrice cu
raţia Un număr negativ. Progresiile:
-;-;. 3 : -12 : 48 : -192 : 768
-;-:... 360 : -]20 : 40 : _ 40 : 40: _ 40
3 9 27
au raţiile respectiv - 4 şi
1
3
PROGRESIILE îN DOMENIUL TEORETIC
ŞI îN CEL PRACTIC
Aceste şiruri se ivesc în diferite probleme din mate­
matica pură, precum şi în probleme de fizică, mecanică,
algebră financiară etc.
ExemPlul 1. 10 Fie numărul 77 777. Putem scrie:
77 777 = 7 + 70 + 700 + 7 000 + 70 000.
Părţile componente ale acestui număr formează pro­
gresia geometrică
07 : 70 : 700 : 7 000 : 70 000
avînd raţia q = 10.
2 o Numărul 0,5,1545454 se poate scrie:
0,54545454 = 0,54 + 0,0054 + 0,000051 + O,OOOOOO;J-i.
Părţile componente ale numărului considerat for­
mează progresia :
.. 54 54
.. 100 1002
cu ratia�.
, 100
ExemPlul 11. Cantit ăţile :
54 54
1003 1004
x2 + x + ] ;
formează o progresie geometrică, avînd raţia q = x - 1.
,
167
•
�-------------------------
[168]
Fig. 38
ExemPlul III. IOSe dă un triunghi ABC de arie 5.
prin vîrfurile A, B, C, ducem paralele respectiv la laturile 'f,
BC, AC, AB. Aceste paralele
se întîlnesc două cîte două în
punctele A 1> B l' C l' Notăm CU
51 aria triunghiului A1B1C1· Fă- r
cînd construcţii la fel, obţinem,
după n operaţii, ariile:
(1) 5, 51> 52, 53"", 5".
C2 Se poate demonstra uşor că
51 = 45. De asemenea
52 = 451, 53 = 452 etc.
sau :
52 = 165, 53 = 645 ... etc.
Prin urmare, ariile din şirul (1) formează o progresie
geometrică cu raţia 4. Scriem:
-:-:- 5: 45 : 165 : 6J5 : ... : 4"5.
o
c
Fig. 39
B
c
5 a2
53 = _2 = - etc.
2 , 8
Avem deci progresia geometrică descrescătoare:
5 a2 5 a2
51 =_=_. 5q=_1 =_.
:2 2 J ... 2 .t J
. ABCD; A1B1C1D1:
A2B2C2D2; •.. ; AnB"C�Dn' g
1
Se găseşte că :
2 o Considerăm un pătrat A BCD cu latura a. Prin uni­
rea mijloacelor lui obţinem un pătrat A1B1C1D1 a cărui
arie o notăm cu 51, Prin unirea mijloacelor lui A1B1C1D1
obţinem Un pătrat A2B2C2D2, a cărui
arie o notăm cu 52, Continuînd la fel,
obţine Hl ariil e :
2
ac.!
2n
. 1
cu r a tra c--.
, :2
168
it
fi •
[169]
do2; do3;· ••
� �
64; 128; ...
-
Exemplul IV. Se ştie că oricărui sunet îi corespunde
un anumit număr de vibra ţii pe secundă.
în fizică se arată că, pornind de la nota do, care are
16 vibraţii pe secundă, octava acestei note are 32 de vi­
braţii pe secundă. Să notăm dOI = 32. Octava lui dOI
are 64 de vibraţii pe secundă, adică do , = 64. La fel se
găseşte că d03 = 128 etc.
Avem:
do; dOI;
� �
16' 32'
, .
Aşadar, numerele de vibraţii corespunzătoare octa­
velor succesive ale sunetului do formează o progresie
geometrică cu raţia 2.
Proprietăţi
Fie progresia:
(1 )
Formula (1) exprimă următorul adevăr:
Teorema 1. In orice progresie geometrică, un termen
oarecare este egal cu primul termen înmulţit cu raţia ridi­
cată la o putere egală cu numărul termenilor dinaintea lui.
� O b ser v aţi e. Cu notaţia.. a: b : c : . .. :h: k : l
avem:
(1')
Il = aq,,-1
ApI i c aţi i. 1 o Să se afle al 15-lea termen din pro­
gresia :
-;.:- 4 : 40 : 400 : 4 000 : ...
Avem:
l = aq,,-1 = 4.1014 = 4·100000000000000 =
= 400000000,000000.
169
'�
[170]
b = aq,
Âvem:
Termeni egal depărtaţi de extremi. Fie progresia I
� a: b : c : ... : h: k : l.
A-vem:
l
k = - deci:
q
bk = al.
La fel: cb = al etc.; adică:
Teorema II. In orice progresie geometrică, produsu1 a
doi termeni egal depărtaţi de extremi este egal cu produsul
extremilor.
O b ser v aţi e. Considerăm trei termeni consecutivi
ai un�i progresii geometrice, şi anume:
Rezultă:
ak = ak-l·q
ak = all+1 : q
Avem deci:
2
ak = a"_l' a,,+ l'
formulă utilă în probleme, care poate fi exprimată astfel:
Considerînd trei termeni consecutivi ai unei progresii geo­
metrice.; termenul mijlociu este egal cu media geometrică a
celorlalţi doi. '
� Suma termenilor unei progresii geometrice
Fie progresia:
*a : aq : aq2 : ... : aqr:',
S = a + aq + aq2 + + aq,,-l
Sq = aq + aq2 + aq3 + + aq".
Prin scăderea acestor relaţii obţinem:
Sq - S ' aq" - a; Sq - S = aq"-lq - a ;
Sq - S = lq - a; S(q - 1) = lq - a
şi deci :
(1)
170
5 = lq - a 1.
q -1,
.J
..;.- ....
[171]
Cu notaţia � al : a2 : a3 : ••• : a"-l : a"
obţinem:
(1')
S = a"q- al
q -1
o b ser va ţie. Deoarece a" = a1q,,-1, deducem:
S=at(qn-1)
q -1 '
formulă necesară în aplicaţii.
ApI i c aţi i. 1 o Să se afle cele patru 1mghiuri ale
unui patrulater, ştiind că aceste unghiuri sînt în progresie
geometrică şi că ultimul este de nouă ori mai mare decît al
doilea.
Notăm cu x cel mai mic unghi şi raţia cu q.
Avem:
{X + xq + xq2 + xq3 = 360
xq3 = 9xq.
Din a doua ecuaţie aflăm q = 3; ducînd această va­
loare în prima ecuaţie, avem:
40x=360; x = 9.
Unghiurile sînt deci :
9 o; 27 o; 81 o; 243 o.
2 o Să se găsească suma celor dintîi n termeni ai şirului :
5, 45, 445, 4445, ... 444 ... 45.
(Gazeta matematică, anul 1.)
Ultimul termen conţine cifra 4 de (n - :1) ori şi cifra 5
o dată. Putem scrie:
5=5
45 = 40 + 5 = 4.:l O + 5
445 = 400 + 40 + 5 = 4·:1 02 + 4.10 + 5
444 ... 45 = (4.10"-1 + 4-·]0"-2 + ... +4.10) -+--
4.10 .. -1.10-4 ·10
+5= +5
10 - 1
171
.�
[172]
sau:
" .
4' , 4� _ 40(10,,-1 - 1) + r:
'±'± • •• a - ()
9
444 4� = 4·10" + 5
. .. i) •
9
în relaţia (1), dacă dăm lui n valori de la 1la n, obţinem
toţi termenii din şirul dat la început. Trebuie să aflăm
suma:
(1)
5 = 4·10 + 5 + 4.102 + 5 + ... + 4·10" + 5
9 9 9
5 = 4(10 + 102 + 103 + ... -L 10n) + 5n =
9
10" . 10 - 10 �
4 . + an
10 -1
40(10" - 1) + fin
9
9
5 = 40(10" - 1) + 45n .
81
9
Inserarea mediilor geometrice
Considerăm progresia geometrică:
-;-;- 3 : 24 : 192.
I
I
Ne propunem ca întreS şi 24 să intercalăm două numere,
care împreună cu 3 şi 24 să f6rmeze o nouă progresie geo­
metrică; Să aflăm raţia.
Notăm cu b, c numerele căutate şi cu q' raţia.
Avem progresia:
l'
1
I
'1
-7;- 3 : b : c : 24.
Sprijinindu-ne pe, formula: a" = a1qn-l avem:
24 = 3. s": q'3 = 8; q' = {/S = �.
Aşadar progresia cerută este:
-;-;- 3 : 6 : 12 : 24.
, Spunem că între 3 şi 24 am inserat două medii geometrice.
172
.. .
[173]
•
în general, cînd vrem ca între două numere a şi b, să
inserăm m medii geometrice, scriem:
-:7 a : Xl : X2 : %3' .. Xm : b.
b
b = a.q'm+1; q'm+1 =_
a
sol sol :\1: la si bernol si do
.j...j.. .j...j.. .j.. .j..
%8 %9 XlO %11; X12%13
m+y- m+v- m+v-
, b aq
q = -= -= q.
a a
ApI i c aţi e. Să se afle numărul vibraţiilor cores­
punzătoare treptei fa * din gama cromatică do, do #, re,
re #, mi, fa, fa #, sol, sol :\1:, la, si bemoi, si, do, cunos­
cînd că tonica are 64 de vibraţii pe secundă.
Măsurătorile precise din fizică au arătat că numerele
de vibraţii, corespunzătoare treptelor gamei cromatice,
formează o progresie geometrică. Notăm aceste numere
cu Xv %2' %3"'" %12' X13 :
do do:\l: re re '"' mi fa fa :\1:
.j.. .j.. .j...j.. .j...j...j..
X1X2 X3X4 X5X6%7
Avem deci:
� 64: X2 : X3: %4 : X6 :X6: X7 :X8: X9 : xlO: %11: X12 : 12�.
Noi trebuie să aflăm numărul corespunzător lU1 fa =lP,
adică pe X 7'
Avem:
1?
128 = B4. q'12 ; q'12 = 2 ; q' = V2
12 la
X7 = 64.q'6; %7 = 64· (y'"2l = 64· y'26;
%7 = 64· V� = 64·1,41 = 90,24;
fa:\l: are deci, în gama considerată, 90,24 de vibraţii pe
secundă.
Ne propunem să stabilim următorul adevăr:
Teorema 1. J n orice progresie geometrică crescătoare,
termenii merg crescînd în acelaşi timp cu rangul lor, astfel
încît pot să atingă şi să depăşească orice număr dat.
Fie progresia: --:-;.- 2 : 6 : ] 8 : 54 : 16� : ...
în schema:
173
4 12 --3-6-
2 6' 18 S4
bK:::::>! <::::::::: ::::::>' '
'�
I
I
f
r
I�
I
d
[174]
,
'1
I
I
I
!I
�
r
I
I
I
se constată că diferenţa dintre doi termeni consecutivi se
măreşte pe măsură ce se înaintează în progresie.
Acest fapt se poate dovedi pentru progresia geometrică
crescătoare:
-;-;- a : b : c : . .. : h : k : l.
Avem: k = hq; l = kq. Rezultă:
l - k = (k - h)q.
Deoarece q > 1, rezultă că l - k > k - h,
într-o progresie aritmetică crescătoare, unde această
diferenţă este constantă,
2 6 10 /4 18 __ 00
I�I
2. 6 18 5"4
_00
:: a:b:c:d: ...
1
din (2) obţinem: - > 1.
q
termenii progresiei cresc şi tind către infinit, cînd n creşte
la infinit (vezi teorema de la progresiile aritmetice).
Această proprietate se menţine cu atît mai mult în
progresia geometrică crescătoare, cum se poate vedea din
schema de. mai sus.
,
Teorema II. In orice progresie geometrică descrescătoare.
termenii descresc pe măsură ce rangul lor se măreşte, astfel
că devin' mai mici decît orice cantitate pozitivă oricît de
mică.
Fie progresia geometrică descrescătoare:
1 1 1
-=---
d c q
d = cq ;. .. Rezul+ă :
1 1 1
-==.-.-
c b q
1 1 1
-==-._"
Avem: b = aq ; c = bq ;
b a q
S-a dat: (2) q < 1.
După cum din relaţia 3 < 1 rezultă � > r. tot astfel
5 3
(1)
li
I
II
I
�
�
f
'174
.. ."-
[175]
po
Şirul
(3)
1
a
1
b
1
c
1
d
r
l'
I
1
formează o progresie geometrică, avînd raţia -, ceea ce
q
se vede din (1). Progresia este crescătoare. Termenii con­
secutivi ai progresiei (3) pot să atingă şi să depăşească
orice cantitate dată (teorema 1). Aceasta înseamnă că
nurnitorii fracţiilor din (3) se micşorează necontenit şi se
apropie de zero; sau, cum ne exprimăm deseori, uumitorii
tind către zero. Aşadar, termenii progresiei:
:: a: b : c : d : ...
descresc şi devin mai mici decît orice cantitate pozitivă
oricît de mică.
Din această teoremă decurg două teoreme importante,
pe care le utilizăm în probleme fundamentale de mate­
matică.
Fie q > 1. Şirul:
(1) :: qO: ql : q� : q3 : q4 : ...
reprezintă o progresie geometrică crescătoare. tn baza
teoremei 1 deducem:
Teorema III. Puterile succesive ale UlMI" cantităţi mai
mari decît 1 se măresc necontenit şi tina către injinit.
Dacă avern q < 1, şirul (1) reprezintă o progresie geo­
metrică descrescătoare. în baza teoremei II deducem j
Teorema IV. Puterile succesive ale unei cantităţi pozitive
mai mici decît 1 se micşorează necontenit şi tind către zero.
Astfel avem:
2<0 = 1 048576; 230 = 1073741 824 ;
2�o = 1 099511 627 776 ; ...
Puterile succesive ale lui 2 cresc, pot deveni mai mari
decît orice număr N, oricît de mare, adică tind spre infinit,
(0,3)10 = 0,0000059049; (0,3)15 = 0,00000001434X907 ;
(0,3)cO = 0,0000000000348()'j8J401 ;
(0,3)30 = 0,000000000000000205891132094649.
Puterile succesive ale numărului 0,3 descresc şi pot
deveni mai mici decît orice număr pozitiv e oricît de mic
vrem.
175
"':o
[176]
3. ŞIR, TERMEN GENERAL, LIMITE
Dacă avem n cantităţi:
(1)
v
care se succed după o lege (regulă) anumită, spunem că ele
formează tin şir. Cantităţile care compun şirul se numesc
termenii şirului. Exemple de şiruri:
(2) 2 ; 4; 6; 8; ... ; 2n
(3) 1; 3; 5; 7; ... ; 2n - 1.
Numerele :
(4)
1
1
1
2
1
3
1
4
1. .
'0'0,
5
1
n
formează tin şir, pentru că termenii se succed după o l('ge
bine determinată. Anume : dacă am scris termentil-1- ,
p
termenul următor se obţine păstrînd numărătorul 1 şi
mărind numitorul cu o unitate. Adică aNI = _1_.
P+l
Şirul (1) are tin număr limitat de termeni. Se poate
ca tin şir să aibă tin număr infinit de termeni. Exemplu :
:1 i 2; 3; ... ; ?r,: •••
Rangul unui termen este numărul care arată al cîtelea
loc îl ocupă termenul în sir.
Astfel," în şirul (1) ter�enl1l ap are rangul p, în şirul (4)
1
termenul � are rangul 5. Fie şirul:
'" 1 . 2 . 3 p
2'3'4 p+l
Termenul ap= -P- se numeşte termenul general. Din
p+l
el obţinem toţi ceilalţi termeni făcînd p = :1, 2, 3, ...
, ! 1 2 3
... n ;. .. Astfel, al = -; a2 = -; aa = - etc.
2 3 4
Termenul general se poate nota şi cu ati. Astfel, în
şirul :
176
_1_ . _1_ . _1_
1·2'2·3'3-4"" ,
1
n(n + 1)
.J
, ... ,
..
[177]
-
termenul general este a" = . Pentru n = L, 2, 3, ... ,
n(n + 1)
obţinem toţi termenii.
Notaţie. Un şir oarecare se notează Într-Unul din modu­
rile următoare:
ill; a'!.; a 3 ; ... ; an ; ...
sau :
Sir monoton crescător se numeste un sir în care fiecare
termen este mai mare sau egal cu precede'ntu,z (termenii nu
descresc) .
Exemplu: 1; 2; 3 ; ... ; n; ...
Şir monoton descrescător se numeşte un şir in care fiecare
termen este mai mic sau egal cu precedentul.
în cele ce urmează ne vom ocupa de şiruri crescătoare
şi descrescătoare cu Un număr infinit de t.erm'eni.
1 1 1
Exemplu: -; -;
1 2 3 n
Limita unui şir
1 o Fie şirul :
"
3
2
(1 )
3 5 7 2n + 1
cu termenul general Un = _n_o -. Se constată că, făcînd
2n -l.. 1
n = 1, 2, 3,. , , obţinem toţi termenii şirului.
Aceşti termeni cresc : un termen este mai mare decît
precedentul. Reprezentînd termenii şirului prin fracţii zeci­
male, obţinem:
0,33; ; 0,4; 0,42; .
Considerînd Un număr suficient de termeni de la înce­
putul şirului (1), constatăm că termenii se apropie de
1
valoarea -.
2
în schemă reprezentăm numărul pnn segmentul
2
12 - Algebra cI. a IX·a
177
[178]
OA de mărimea 1..; termenii şirului (1) îi reprezentăm de
2
asemenea prin segmente, aşa cum se vede în schemă.
Din această reprezentare grafică, se constată că ter­
menii şirului "se îngrămădesc" către 2. ; termenii se apropie
2
de 1
2
Expresia "termenii se apropie de 1.." nu are precizia
. 2
care este necesară în matematică. Exprimarea precisă a
modului în care termenii unui şir se apropie de un număr
constant se realizează cu ajutorul noţiunii de limită a
unui şir, după cum se va vedea în cele ce urmează.
Apropierea de 1.. a termenilor şirului (1) se evaluează prin
2
diferenţele.dintre 1.. şi diferiţii termeni ai şirului. În schemă
2 '
se constată că aceste diferenţe se micşorează, cînd rangu-
rile termenilor se măresc.
Problema 1. Să se cerceteze dacă în şirul (1) există un
1
termen astfel ca diferenţa dintre 2 şi acel termen să fie mai
mică decţt un număr pozitrv c. ales după voie; de exemplu
1
E = -.
20
Procedînd prin încercări, obţinem:
1
1
1
1
---
->-
.)
,
3
1)
6
20
1
2
1
1
1
---===
-
->-
2
5
10
10
20
1
3
1
1
1
---==-
->-
2
7
14
14
.20
J.
178
..
-
[179]
r
1
2
4
!) 18
1 1
->-
18 20
1 5 1
-----
2 11 22
G 1
---===
2 13 26
�<�
22 20
�<�
26 20
Ne fixăm atenţia asupra termenilor de la începutul
şirului (1) pînă la al 4-1ea inclusiv. Constatăm că diferenţa
dintre � si oricare dintre aceşti termeni este mai mare
2 '
decît.! ; dar diferenţa dintre � si orice termen de rang
20 2 '
mai mare decît 4 este mar mică decît � . în schemă este
20
desenat un segment avînd mărimea
uşor:
1 1
- - ZI" <-
2 20
1
<"--
20
Se constată
pentru n > 4.
Nu este practic să rezolvăm prin Încercări problema
propusă, precum şi alte probleme analoge. Problema pro­
pusă poate fi rezolvată în mod metodic: punem condiţia
ca diferenta dintre � si termenul general să fie mai mică
, 2 .1
decît �. Adică:
20
(1)
1 n 1
----<-.
2 2n + 1 20
Avem :
2n -+- 1 - 211 1
-----<-,
2(2n + 1) 20
1 1
---<-;
2(2n + 1) 20
1 1
__ <_o
2n + 1 10'
l
2n + ] > ] O: 2n> fi; n ;» 4,5.
Deci inegalitatea (11 are ca soluţii toate numerele
întregi:
n ;» 4.
179
.�
[180]
Problema II. Să se cerceteze dacă în şirul (1) există
1
un termen astfel ca diferenţa dintre:2 şi acel termen să
fie mai mică decît e = 1
-! 000 002
Putern'[scrie :
(2)
� __ '_1_< 1
2 2n + 1 -! 000 002
Făcînd calculele, găsim: n ;» 1000000.
Ne fixăm atenţia asupra termenilor de la Începutul
şirului (1) pînă la cel de rangul n = 1 000000 inclusiv.
Diferenţa dintre � şi oricare dintre aceşti termeni este mai
decît 1 d dif di 1. . t
mare ecît-. ; ar l erenta Intre - SI orice er meu
4000002 ' 2 '
de rang mai mare decît 1 000 000 este mai mică decît
1
4000002
Aşadar, dîndu-se <: = 1 ,inegalitatea (2) este
4000002
verificată şi anume pentru n ;» 1000000.
Generalizare. Se dă un număr e, oricît de mic vrem.
Să se cerceteze dacă în şirul (1) se află un termen astfel
ca diferenţa dintre !..:' şi acel termen să fie mai mică decît s.
2
Scriem:
�
(3)
1 11
----< ':
2 2n + 1
Făcînd calculele, obţinem:
1 - 2<:
n>
4<:
Toate numerele întregi şi pozitive mai mari decît
1 - 2<: verifică inegalitatea (3).
4<:
Deci dîndu-se Un număr e > O, oricît de mic vrem,
inegalitatea:
ţI)
1
ti
<
----
e
..
2
2n + 1
,
I
,
180
..
[181]
este
satisfăcută,
ŞI
anume
pentru
numerele
întregi
şi
pozitive:
(II)
1- 2e:
n>
4e:
în condiţiile de mai sus vom spune că _1_ este limita
- .... 2
şirului (1), adică : � este limita şirului (1), deoarece pentru
2
e > O oricît de mic, avem îndeplinită condiţia (1) de îndată
ce este satisfăcută condiţia (II).
2 o Fie şirul:
(1)
7 14
16 31
21
,.
46
7n
15n T 1
trebuie să avem :
Exprimînd termenii prin fracţii zecimale, obtinem:
0,43 ... ; 0,451. .. ; 0,456; ...
o observare sumară ne îndeamnă să spunem că termenii cresc şi , .se
apropie de 0,5".
Se apropie termenii oricît de mult vrem de 0,5? Sau: are şirul
(1) ca limită 0,5?
1
Fie E =
100000
(2)
')
7n 1
<
15n + 1 .100000
49999
n<----·
49985
Inegalitatea din urmă este imposibilă, n trebuind să fie număr pozitiv,
Rezultă că şi inegalitatea (2) este imposibilă, adică nu există pentru
n valori astfel ca diferenţa dintre 0,5 şi termenii şirului (1) să fie oricît
de mică vrem.
Deci 0,5 nu este limita şirului.
7
Să cercetăm dacă - este limita şirului (1). Considerăm un e: după
15
11
voie, de exemplu E = -. Trebuie să avem:
105
(3)
.�
15
In 1
<-o
13n + 1 10·
181
[182]
2
Efectuînd toate calculele, găsim:
2
n > 3111-.
45
Rezultă "că pentru toate valorile intregi ale numărului n, mai mari
decît 3111, fuegalitatea (3) este satisfăcută.
La fel se poate demonstra pentru orice valoare pozitivă a lui e,
7
Deci - este limita şirului (1).
15
Observaţie importantă. în schema de mai jos sînt repre-
zentaţi termenii şirului (1), numărul :!..- şi numărul 2-. Orice
15 2
termen al 'şirului este mai mic decît 2. În schemă orice
15
termen uft• 'al sirului este situat la stînga lui 2. Avem:
r 15
1 7 1
---
2 15 30
-
oricare termen din şirul (1) este
Diferenţa dintre
mai mare decît _1_,
30
1 .
-Ş1
2
adică:
1 1
,- - Un?-
2 30
1 7n 1
Deci nu putem avea - - < --. Aşadar ter-
2 15n + 1 100 000
me nii şirului DU se apropie oricît de mult vrem de 2-. Rezultă
2
că � nu este limita şirului.
2
U2
IA
1
2
Şir convergent s� ,,!�meşte un şir .care are o limită.
Unele şiruri nu aU limită. Exemplu: şirul 1; 2; 3; ... ;
n ; ... nu are limită. Astfel de şiruri se numesc şiruri di­
V,el'genle.',
182
"
[183]
Se pune întrebarea: cum procedăm pentru a afla limita
unui şir? în exemplele date ne-am propus problema: "Să
se cerceteze dacă Un anumit număr este limita unui şir dat,"
Dar cum alegem numărul pe care să-I cercetăm dacă este
limita unui şir?
în exemplul 2 o am procedat prin intuiţie, "am văzut"
că termenii se apropie de 2 . în cele mai multe cazuri,
15
lucrul nu e atît de simplu. Această problemă dificilă apar­
ţine matematicilor superioare (analiza matematică). Acolo
se pun în mod precis problemele: 1 o Cum cunoaştem că
un şir este convergent? 2 o Dacă este convergent, ce li­
mită are?
4. PROGRESIA GEOMETRICĂ INI<'INITĂ
DESCRESCĂTOARE
1 o Fie progresia geometrică descrescătoare:
(1)
., 1 1
.. 4 42
1 1
1 1
4n+1 - '4
Sn = ---=---
3
1
--1
4
S,.
formată din n termeni. Notind suma cu S .. , avem:
1 1
4n+1 4
înmulţind ambii termeni ai fracţiei cu - �, obţinem l
3
� 1 1
::'n=- ---o
;l 3'4"
Această formulă se scrie succesiv;
(2)
(3)
S,. = � - � . : .. ; S,. = : - : . c r
S,. = � - .l.. (0,25)"
3 3
1 1
- - S,. = -. (0,25)".
3 3
183
.}
[184]
r ,1
Sn
J
'o
Cînd n ia valori din ce în ce mai mari, tinzînd către
00, (0,25)" descreşte necontenit şi tinde către zero; de
asemenea, ',!- . (0,25)" tinde către zero.
3
Din eg;litatea (3) se constată că diferenţa dintre � şi S"
3
tinde către zero, cînd n tinde către infinit. Cu o
exprimare foarte simplă,
aceasta înseamnă că în
progresia (1), luînd din ce
în ce mai mulţi termeni,
diferenţa dintre 2- şi suma
3
termenilor luaţi poate de­
veni extrem de mică, mai mică decît orice număr pozitiv ori­
cît de mic; dacă luăm Un număr suficient de termeni. Faptul
că diferenţa (: - S,,) tinde către zero, cînd n tinde
către infinit, se exprimă astfel: limita l1ii Sn, pentru 11
tinzînd către infinit, este egală cU 2-. Cînd n tinde către
3
infinit, Sn' se scrie:
.� 2..+2.> 12..+ +2-+
4 42 T 43 . . . 4" ..
Suma �progresiei infinite:
.. 1.1.1. 1
--.-.- ...•.
.. 4 42 43 . 4"
lui Sn pentru n tinzînd
este, prin:' definiţie, egală cu limita
către infinit.
Notînd cu 5,:0 această sumă,
1
avenl: Soo = - .
3
O b ser v aţi e. Se poate constata că suma progresiei
infinite, adică 2.., este limita sirului SI; S,; S3 ; ... ; S .. ; ... ,
3 ' -
pentru că inegalitatea 2.. - S" < s are loc pentru E > °
3
oricît de mic, dacă n este suficient de mare.
Generalizare. Fie progresia geometrică descrescătoare:
-:-:- a : aq : aq2 :. .. :aq"-I,.
184
[185]
Avem:
5" = -,!_q"- �. 5 _ � a.q"
q-l' ,,- l-q
5 _ a o.q". a a
,,------, 5,,=----- .q"
l-q l-q l-q l-q
-
(2)
a 5 a
__ _ ,,= __ . s:
l-q l-q
Cînd n tinde către infinit, qrl tinde către zero; de asemenea
_0._. qn tinde către zero.
1 - q
Din egalitatea (2) se constată că diferenta dintre _a_
, 1 - q
şi Sn tinde către zero,
cînd n tinde către infinit.
Faptul că diferenţa �
(_a __ 5,.) tinde către
1 - q
zero, cînd n tinde către infinit, se exprimă astfel: limita
lui Sn, cînd n tinde către infinit, este egală cu _80_.
l-q
Cînd n tinde către infinit, Sn se scrie:
el + aq + aq2 + ... -+- aqn-l .....!..... •••
Suma progres1'ei infinite:
-:-:- a : aq : aq: :. . . : el q" -1 :. . .
este, prin definiţie, egală cu limita lu i Sn pentru n ti n zl nd
către infinit.
Notînd ca 500 această sumă, avem:
500 =_a_.
1 - q
O b ser v aţi e. Se poate constata că suma pr:ogresiei
infinite, adică _0._, este limita şirului:
1 - q
51; 52; 53;" .; 5,,; ... ,
pentru că inegalitatea _a_ - Sn < s are loc pentru
1 - q
e > O oricît de mic, dacă n este suficient de mare.
,
185
.�
1
[186]
I
1
.\
A P 1.1 ca ţii. 10 ln triunghiul echilateral ABC unim
mijloacele laţurilor şi obţinem triunghiul echilaieral AlBlCV
a cărui .arie o notăm cu SI' Unim mijloacele loturilor lui
AlB1Ci §i obţinem triunghiul A2B2C2 de arie S2 şi notăm
la .fel alte triunghiuri obţinute în acelaşi mod. Să se afle
limita swmei :
s
R e z o 1 var e. Observăm că 51 = -, 5 fiind
4
\
11
I
I
I
triunghiului A se. La fel:
52 = � = �; 53 = S
4 42 43 '
Deci tte buie să aflăm stima :
S
54 = - etc ....
44
ana
Avem o progresie geometrică descrescătoare cu raţia
1 . . 1 s
- Ş1 pnmti termen
4 4
s S
4 4 S
5� =--- =- =-'
133
1 -- -
4 4
Vedem că ariile tuturor triunghiurilor formate înăun­
trul lui A BC fac împreună 2.. din aria triunghiului A BC.
3
Fracţia generatoare a unei Iraeţii periodice
� .
�' 2 o Să se afle din ce fracţie ordinară a provenit fracţia
zecimală periodică 0,7777 ...
Avem:
F O 7"'77 ... = 3.... + .l: + 2. +
= " .
10 102 103
însă :
186
[187]
7
10 7
=--=-
1-� 9
10
Deci:
() 7,--,- 7
, III ... =-.
9
Fracţia generatoare a fracţiei 0,7777 ... este 2 .
9
3 o Pentru fracţia F = 0,43143143l. ..
avem: F = 431 + 431 + 431 -t- ...
103 106 109
431
103 131
F=
1
1 --
103
999
0,131431431 ...
431
999
Regula 1. Fracţia generatoare a une: fracţ�i zecimale
periodice simPle se obţine împărţind numărul întreg format de
perioadă prin numărul întreg format din cifra 9, luată de
atîtea ori cîte cifre are perioada.
4 o Fie fracţia periodică mixtă:
F = 0,86534534534 ...
Avem: F = � + � + 534 + 534 + ...
100 100·1000 100.10002 100.10003
F = � + 534 (_1_ + _1_ + _1_ + )
100 100 10UO 1000" 100U3 • •• •
Cantitatea din paranteză are valoarea:
1
10UO 1
1 999
1---
1 UOO
187
.�
[188]
Deci:
F = �+� = 86·999 + � = 86(1000 -1) + 534.
100' 100.999 99900 99900
(1) F=�
99900
86448
F=-'
99900
Din (1) deducem:
Regula II. Fracţia generatoare a unei fracţii periodice
mixte este formată astfel: numărătorul se obţine scăzînd
partea neperiodică din numărul format de partea neperio­
dică u!maJă de o perioadă; numitorul �ste un .număr for­
mat dtn atîtea cifre 9 cite cifre are perwada şz urmate de
atîtea zerouri cîte cifre se află în partea neperiodt·că.
EXERCIŢII
Progresii aritmetice
R. n = 10; 5 = 140,
1. 1)' Se dau. cantitătile : 111 = 23 ; an = 5; r = -2. Să
s'e calculeze n şi $. .
R. r = 4; n =10.
R. an = 27; 5 = 195.
3) Date: al = �;; ; n = 19 � an = 3. Să se calwleze r şi S .
.-' R. r = -;); 5 = 950.
�) Date: al = 3; an = 3n; S =:3JO. Să se calculeze
r şt n.
2) Df}te: al = 3; r = :2; n = j3. Să se calculeze an
şi S. .
R. al = 1 ; l' = 2.
6) Date: (lI = 3 ; r = :J ; 5 = 1:30. Să se calculeze a" şi n.
R. an = 21; n = 10.
5) Date: a" = j99; It = 100; S = 10000. Să se calcu-
leze al şi r. r
:-) Datc: a" = 18 ; r = 2 ; S = 88. Să se calculeze al şi n.
R. al =-= 4�i 11 = 8; sau al = - 2 şi n = 11.
188
[189]
II. 1) Fie progresia :
--:- 3.10.17.24 ....
Să se afle dacă numerele 3356 şi 4201 sînt termeni ai
acestei progresii.
Ind i c aţi e. Presupunem că 3 356 face parte din
progresie, avînd rangul p. Putem scrie: 3356 = 3 +
+ (p - 1).7. Se deduce p = 4.80; deci 3356 este termen
al progresiei, anume este al 480-lea termen. Procedind
la fel pentru 4201 şi notînd rangul e11 q, găsim q= 600 � .
7
Deci n11 există Un număr întreg q astfel ca să avem aq =
= 4201, adică 4201 n11 este termen al progresiei.
2 Fie . .pr.ogresia :
(1)
-;.- 3.30.00.80 ... 480.
1 nire termenii ei consecutivi se inserează patru medii
aritmetice. Să se calculeze suma S a mediilor aritmetice inse­
rate în întreaga progresie.
Ind i c aţi e. între termenii 5 şi 30 inserăm ter­
menii IXv IXV 1X3' 1X4 şi formăm progresia -;.-5· 1X1' IXZ· 1X3 .1X4• 30,
• d' 30-5 25 5 M diil . t i . t
aVln raţia r1 = -- = - = . e 11 e arrtme lce S'l Tl :
4 + 1 5
10; 15; 20; 25.
Considerînd alţi termeni consecutivi, raţia este tot 5.
Progresia (1), după inserarea mediilor aritmetice, se trans­
formă în progresia :
(2) -;.-5.10.1 5.20.25. 30.35.40.45.50.55 ... 480.
Progresia (1) are 20 de termeni. Numărul mediilor
aritmetice este egal cu 4·19 = 76. Numărul termenilor
progresiei (2) este 20 + 76 = 96.
Fie SI suma termenilor progresiei (1) şi 52 suma ter­
menilor progresiei (2).
51 = (5 + 480).20 = 4850; 52 = (5 + 480).96 = 23280.
2 2
Suma)5 a mediilor aritmetice = 52 - 51; 5= 18430.
189
.�
[190]
III. 1) Intr-o progresie aritmetică avem: a4 = 10 şi
a7 = 19. Să se afle al şi r.
1 n d i c aţi e. Se scrie a4 = al + 3r; 10 = al + 3rşi
19 = al + 6r. S-a obţinut lin sistem de două ecuaţii cu
două necunoscute al şi r.
) R. al = 1 ; r = 3.
2) Suma termenilor unei progresii aritmetice este 28;
apoi a3 = 8 şi a4 = 5. Să se afle numărul termenilor acestei
progresii.
1 n d i c aţi e. Se procedează ca în exerciţiul prece­
dent, obţinîndu-se lin sistem de două ecuaţii cu două
necunoscute, anume al şi r. Găsim: al = 14, r = -3.
Avem: a" = al + (n - l)r; a" = 14 - 3(n - 1) =
= -3n +'17. Introducînd în formula S = (al + an)n valorile
2
lui al şi a,,; se obţine ecuaţia 3n2 - 31n + 56 = O.
R. n = 8.
3) Intr-o progresie aritmetică se dau suma a2 + a4 =16
şi produsul ala6 = 28. Să se calculeze al şi r .
1 n d i c aţi e. Se exprimă a2 şi a4 în funcţie de al
şi r ; de asemenea a 5' Se obţine lin sistem de două ecua ţii
cu necunoscutele al şi r. Procedînd prin substituţie, se
obţine ecuaţia de gradul II : ai - ] 6al + 28 = O. Găsim
două soluţii": ,
al = 14 şi r = - 3 ; al = 2 şi r = 3.
<Yei
4) 1 ntf-o progresie aritmetică suma termenilor este 176,
diferenţ« extremilor este 30, iar numărul termenilor este 11.
Să se afle progresie. <1
R. -i- 1.4.7 ... 31
5) Suma a trei numere în progresie aritmetică este 33,
iar produsul este egal cu] 287. Să se afle cele trei numere.
1 n d i c aţi e . Se notează numerele cu x - r; x;
x + r.
Scriind ecuaţiile problemei, x se deduce imediat. Tot
cu uşurinţă aflăm pe r.
R. -:--9.11.13.
6) Raţia unei progresii aritmetice de 4 termeni este egală
cu 4. Produsul termenilor este egal cu 585. Să se afle pro-
,,' =: , , �
190
..
[191]
1 n d i cat i e. Fie x; x + 4; x + 8; x + 12 numerele
căutate. Potrivit enurrţului, scriem:
x(x + 4)(x + 8)(x + 12) = 585;
x(x + 12)(x2 + 12x + 32) = 585.
Se ia necunoscuta auxiliară y = x2 + 12x. Se obţine
y(y + 32) = 585.
R. 1; 5; 9; 13 sau -13; -9; -5;-1.
7) Să se afle 5 numere în progresie aritmetică, ştiind
că suma lor este S = 25, iar produsul P = 945.
1 n d i c aţi e. Se notează CU x - 2r; x - r; x;
X + r; X + 2r numerele căutate. Scriind ecuaţiile pro­
blemei, rezultă imediat x; apoi se obţine ecuaţia bipă­
trată4r4-125r2+436=O; rl=2; r2=-2;
V109 . -V109
'3 = -2-' r1 =--2-'
Problema admite patru soluţii.
V. 1) Să se demonstreze că pătratele cantităţilor
A = x2 - 2 x - 1; B = x2 + 1; C = x2 + 2 x - 1
formează o progresie aritmetică.
1 n d i c aţi e. Se va arăta că există relaţia:
B2 = A2 + C2 •
2
2) Dacă x, y, z sînt în progresie aritmetică, cantităţile
A = x2 + xy + y2; B = x2 + xz + Z2 ; C = y2 + yz + Z2
formează de asernena o progresie aritmetică. Să se afle
raportul raţiilor.
1 d i t i S . x+z '" S
n 2 ca, 2 e. e scrre : y = - 2 -; z = �y - x. e
expri mă A, B. C în funcţie de x şi y şi se constată .pro­
prietatea cerută.
Raportul raţiilor este (x + y + z).
3) D � 1 1 1 1 't . t .
aca numere e - ; --; -- S2n trei ermen�
b+c a+c a+b
consecutivi ai unei progresii aritmetice, această proprietate
aparţine şi numerelor a-, b2, ce.
1 d i t i S· - 2 1 1 . fă
n z ca, z e. cneln ca -- = -- + -- ŞI a-
a+c b+c a+b
191
.�
[192]
cînd calculele, obţinem o relaţie care exprimă că numerele
a2, b2, c2 formează o progresie aritmetică.
4) Dacă a, b, c sînt trei termeni consecutivi ai anei pro­
gresii a.t�tmetice, să se demonstreze că există relaţia:
�
'\
I
I
!
I
a2 + 8bc = (2b + cf.
(1)-
)
1 n d i c aţi e. Se exprimă b în funcţie de a şi c, apoi
introducîndu-l în (1), se obţine o identitate.
VI. 1) Unghiurile interioare succesive ale unui poli­
gon formează o progresie aritmetică, avînd primul termen
120 ° şi raţia 3 0. Cîte laturi are poligonul? . .
1 n d i ca! i e. Fie n numărul laturilor. Unghiurile
formează progresia: 7 120 ° .125 ° .130 0 ••• an. Avem a .. =
= 120° -+ 5(n - 1).
Se calculează suma termenilor progresiei, }le care o
notăm cu' S. Mai avem: S = 1800(n - 2). Din egalarea
celor două expresii ale sumei S se găseşte o ecuaţie de
gra�t!.l II în n. Numai rădăcina.....u-= 9 convine.
�Se consideră parabolele:
(1)
a şi b fiind numere date. Pe axa Ox se iau distanţele egale
OPI = PlP2 = P2P3 = ... = Pn-l Pn = 1. Perpendicuca­
rele ridicate pe axa Ox în punctele P l' P 2" .. , P n, taie pa­
rabola (1) "in punc�ele MI> M2, •.. , M,,; aceleaşi perpendi­
culare taie parabola (2) în punctele NI> N2, ... , �n. Să se
calculeze suma:
"
ci = MllVl + M2N2 + M3N3'+ ... + M,.N"
a segmentelor cuprinse între cele două parabole.
1 n d-i c aţi e. Se găseşte: MlPl= a2; PIlPI = -b" ;
INIPll = b2• Se ia MINI = a2 + b2• La fel:
M2N2 = 4(a2 + b2) ;M3N3 = 9(a2 + b2) etc.
VII. i Se presupune că, coborînd în interiorul pămîn­
tului, la fWCare 30,5 m temperatura creşte cu lOC. Dacă
la suprafaţa pămîntului temperatura este de 10 °C, at-unci :
a) ce temperatură va fi la adîncimea de 1098 m?
b) la ce adîncime temperatura atinge punctul de fierbere
. al apei?
R. 46°; 2,45 m.
192
"
[193]
q = � . n = () . S = 2730 Să se afle al şi a,..
4 J' .
R. 2048; 2
-
�) D02tă cor-puri depărtate între ele cu 153 m se mişcă,
unul către ceiâlalt. Printul corp parcurge 10 ni pe secundă,
iar al doilea parcurge î1t prima secnndă 3 m şi în fiecare
secundă următoare C1t 5 ui niai mult decît în secunda pre­
cedentă. Peste cîte secunde se vor întîlni cele două corţiur» ?
(C.P.A.L.)1
R. 6 secunde
Progresii geometrice
? 1) Dale: al = �; q = 3; n = G. Să se afle a,. şi S.
R. 162; 242.
r:tJ Date: a" = 1 280; al = fi; n = 9. Să se afle q şi S.
R. 2; 2555
3} Dale: a" = 384 ; q = 2 ; ti = 8. ser se afle al şi S.
R. 3; 765
/J- Date:
1...
- 5) Să se insereze: a) două medii geometrice între 161
şi 4347: b) trei medii geometrice între 3 şi 243; c) patru
medii geometrice între 243 şi 1.
R. a) 161; 483; 1449; 4347
b) 3; 9; 27; 81 ; 243
el 243; 81 ; 27; 9; 3; 1.
II. J) O progresie geometrică este formată din trei ter­
meni, a căror susn ă este egală cu 221. Ştiind că al treilea
iermen Lntrec e pe primul cu 136, să se afle progresia.
1 n d i ca ţie. Notăm primul termen c u x şi raţia
cu q. l'utem serie: (1) x (1 + q + q ) = 221 : (2) x (q- -1) =
= J 30. Se împarte relaţia (J) cu relaţia (2) şi se obţine
o ecuaţie de gradul II în q.
4?" -!)fI" R:-l3
R. 17; 51; 153 sau -; --;-
333
2) Să se afle trei numere care formează o progresie geo­
metrică descrescătoare, ştiind că suma lor este 26, iar suma
pătratr./or acestor numere este 364.
1 Culegere de probleme de algebră, de La r i c e v.
)
13 - Algebra el. a IX-a
.�
----------- - -- -
193
[194]
1 n d i c aţi e. Scriem ecuaţiile: al + alq + alq2 = 26 ;
ai + aJq2 + alt = 364; apoi al (1 + q + q2) = 26 ;
a� (1 +- q2 + q') = 364. Se elimină al şi ecuaţia obţinută
este o .ecuaţie reciprocă de gradul IV. Sau: în ecuaţia
obţinută se ţine seamă că avem: q' + q2 + 1 = (q2 + q+
+ 1) (tl- q +:1) şi se obţine o ecuaţie de gradul II.
R. 18; 6; 2
III.)t Suma a trei numere care formează o progresie
aritmetică este 30. Dacă din primul se scade 5, din al doilea
4 şi al treilea rămîne neschimbat, numerele obţinute vor
forma o progresie geometrică. Să se afle aceste numere.
(C.P.A.L.)
1 n â i c aţi e. Progresia formată de cele trei numere
o notăm astfel: -:- (x - r). x· (x + r), unde x este ter­
menul.din mijloc, iar r este raţia. Se obţine progresia geo­
metrică: -7.- (x-r-5) : (x - 4) : (x + r).
în progresia aritmetică se scrie că suma termenilor
este 30. Rezultă x = :10. Progresia geometrică devine
� (5 - r) : 6 : (10 + r).
ln orice progresie geometrică ......;.:- al : alq: alq2 avem:
(alq)2 = al· (a]q:"), adică termenul din. mijloc este medie
proporţională între termenii alăturati.
Aplicînd această proprietate la progresia din problemă,
rezultă: (5 - r) (1 O + r) = �6.
R. 17; 10; 3; sau 8; 10; 12.
"
"y 2) Să se afle patru numere întregi, dintre care primele trei
/ormectză o progresie aritmetică şi ultimele trei o progresie
geometrică. Se ştie că suma celor două numere extreme este
37, iar'suma celor două numere din mijloc este 36.
(C.P.A.L.)
1 n d i ca ţie. Avem progresia aritmetică -:- al· a2• aa
şi progresia geometrică � a2 : aa : a4· Rezultă a3 = a2q ;
a4 = a2q2. Deci, ţ>rogresiile sînt:
1
1
Se scriu relaţiile:
al + a2q2 = 37; a2 + a2q = 36 ;
. ,
194
" .�
[195]
3)
Valoarea lui al din prima ecuaţie o ducem în ecuaţia
a treia. Se obţin ecuaţiile: a2 (q2 - q + 2) = 37 ; a2 (q +
+ 1) = 36. Prin împărţire se elimină a2•
R. 12; 16; 20 ; 25
IV .. L) Fie ABCD un pătrat cu latura egală cu a. Se pre­
lungesc laturile cu cantităţile : BAI = CBl = DCl = ADI =a.
Se obţine pătratul AlBlC lDl' a cărui arie o notăm
cu SI' In acelaşi mod. din AIBlClDI se abţine pătratul
A2B2C2D2• luînd BIA2 = CIB2 = DlC2 = AID2 = AlBI etc.
Să se demonstreze că numerele:
S ; SI; S 2 ; S 3 ; s,
formează o progresie geometrică.
Ind i c aţi e. Aria AlBIC1DI = AlBi. Se aplică teo­
rema lui Pitagora în �AIBBI'
2)./ Un vas contine a litri de otet. Se scoate 1 litru de otet
şi sf înlocuieşte cu 1 litru de apă'; apoi se scoate 1 litru 'de
amestec şi se inlocuieşie cu 1 litru de apă. După aceea se
scoate 1 litru de amestec şi se înlocuieşte cu 1 litru de apă
şi aşa mai departe. Să se afle cantitatea de oţet pe care o
mai conţine vasul du,Pă 11 operaţii.
R. S-a scos întîi 1 litru de oţet. S-a iormat un amestec de a litri în
care sînt (a - 1) litri de oţet şi 1 litru de apă. Se scoate 1 litru de ames­
tec. Dacă în a litri de amestec sînt (a - 1) litri de oţet, în 1 litru de ames-
a -1 l itr i d t t pA - (1 + a -1) l' .
tec avem -a- In e otet. ma acum s-au scos -a- i tr i
a-l
de oţet. Socotind mai departe la fel se găseşte că s-au scos 1 + -- +
a
(a - 1 )2 (a - 1 )n-l (a _1)n
+ --- + ... + litri de oţet. Au rămas --- litri.
a2 an-1 an-1
V. Să se afle sumele progresiilo1' infinite:
1) 8 + 4 +2+] +2-+2-+ ...
2 4
2) ] + 2- + 2- + 2.. + ...
4 16 64
_2-+2-_2-+2- _
2 4 8 16
4 2
R. ţ6;
3 ' 3
195
.�
[196]
R. 25 cm3
•
�I. Să se afle fracţiile generatoare ale fraciiilor periodice:
1) O,5BB55 ... ; 2) 0,45-15-15 '.,
3).0,01350]35013.) ... ; 4) 0,]23123123
5) 0,3383858
1 n d li c aţi e. Pentru exerciţiul .1), scriem :
0,3385858 = 0,3 + 0,038 + 0,00058 +
= � + (�+ ,,8 + ... ) .
10 lU3 10'
VII. 1) Un tri�tnghi ABC are aria S. Fie Al' BI, CI
respecti» mijloacele laturilor BC, CA, AB. Se formează
triunghi�tl AIB]e' 1 de arie Si' La fel se [ormează din triun­
ghiul AlBlCl trittnghiHI A2B2C2 de arie S2 elco Să se afle
suma:
în funcţie de S.
1 n d i c aţi e. Triunghiurile for matc au ariile în pro-
• � • � A d ti 1 G�' S
greSIe ge0111e�nca, av m ra la -. aS1111 c = -.
� , 4 3
2) Să se studieze problema analogii cu problema J), în
locul triunghiul1ti considerînd 1t1l liexagon regulat, avînd
latura a. ,
3) Se dă un pătrat C1t diagonala de 5 cm ; latura acestui
pătrat se ia ca diagonală a 1m�ti al doi/ea pă/rat; lat ma
celui de-td doilea pătrat se ia ca diagonală a Hn�ti nou pătrat,
aceasta; operaţie prel1tngindu-se la infinit. Să se afle suma
ariilor acestor pă trate. ...
1
Fig. 40
, 196
VIII. F1'e un. pătrat ABCD
cu latura a. Pe laturile 11ti se
iau segmentele AAl = BBI =
= CCI = DDI = ka (O < k <1),
cum se vede în figură. Unind la
rînd punctele Al' BI' Cl> DI' se
obţine pătrat�d A]B1CIDI• a cărui
arie se notează Ctt S i - Procedind
la fel, se obţin pătratele A2B2C 2D2.
A3B3C3D3' "'. ale căror arii se
notează cu S2 • S3' .
-!
[197]
, ...
6
Se cere:
J) Să se calculeze aria SI în funcţie de a şi k.
2) Să se calculeze suma S = SI + S2 + Sa +
3) Să se determine valoarea numerică a lui k, astfel
A At - S 5a2
1-nc'/, sa avem =-.
4
(Olimpiada pe şcoală la Şcoala medie "N. Bălcescu",
Bucureşti, 1956-1957.)
Indicaţie. AD1=a(1-k). Se găseşte AID
din A AA1D1; SI = a2(2k:: - 2k + J). Ariile pătratelor
formează o progresie geometrică descrescătoare cu raţia
"k' 2k 1 S a2(2k2 - 2k + 1) S .. d lit t
q = � :. _ +. = . crun ega 1 a ea
"2k - "2k2
care rezultă din condiţia impusă la punctul 3, obţinem
pentru h două valori: k1 = 2.; k2 =�, dar problema are
3 3
o singură soluţie.
IX. 1) Sâ se afle termenii generali ai şirurilor:
1 2 3 4
1 . ----
3 4 5
2.
1
1
1
1
-
-
-
-
,
...
1
4
9
16
0.
1
3
5
7
-
-
-
-
,
2
4
6
8
4.
1
1
1
1
-
-
-
-
1·3
2·4
3·5
4·6
5.
2
4
6
-
-
-
," .
1 ·3
3·5
5·7
·111,+ 3
R. Pentru primele patru şiruri, termenii
2n
Pentru şirul 5., avem Un = -----­
(211 - 1)(211 + 1)
-[f'Uie şirul:
7 . 11 15
, .... , , ...
6 11 16 5n + 1
generali se seri u uşor.
Să se afle valorile numerice ale rangurilor termenilor
din acest şir, astfel ca diferenţa dintre oricare dintre aceşti
termeni şi 4 să fie mai mică decît 0,0001.
5
197
.�
[198]
1 n d i ca! l' e. Fie Un un termen care îndeplineşte
această condiţie. Trebuie să avem: Un - � < 0,0001 ;
5
ţn + 3 - 4 _
-- - - <, 0,0001. Se găseşte: n>- 4 <100.
5n+ 1 5
. �
3)
Să se demonstreze că şirurile:
1 J
3
6
9
12
3n
-
-
-
-
••• J
, ...
2
3
4
5
,
n +1
})
16
13
24
17
} ••• J
32
4n + 1.
, ...
8n
,,1
1
au ca limite respectiv 3; - .
2
1 n d.i c aţi L� 1 o Se demonstrează că putem afla valori
. t f 1 A ît - 3 3n
numerice pen ru n , ast e mC1 sa avem: - -- < E,
n+l
F.: fiind un număr pozitiv oricît de mic. De exemplu, se ia
1. Ilă
e; COl ::'1 se a a n.
10' '
'J o Se arată că putem afla valori numerice pentru n,
astfel ca să avem inegalitatea: 4n + 1 -- � < z ,
8n 2
" .....
[199]
CAPITOLUL VI
COMPLEMENTE DE CALCUL ALGEBRIC
J. GENERAJ�JZAREA NOŢIUNII DE EXPONENT
a) Exponenţi întregi şi pozitivi. Operaţiile asupra pu­
terilor cu exponenţi întregi şi pozitivi se bazează pe pro­
prietăţile exprimate prin egalităţile:
(1) am. an = am+"
(II) (am)" = amn
(III) am :a" = ar:».
b) Exponentul zero. Să efectuăm împărţirea a3: ar.
Deoarece deîmpărţitul este egal cu împărţitorul, cîtul est« 1.
PriI1 aplicarea formulei (III), obţinem: aS: aS = aO Ex­
presia aO nu are sens, însă observăm că la împărţirea aS: aS,
efectuată în două moduri, s-a obţinut cîtul 1 şi apoi cîtul
aO. Deoarece la o împărţire trebuie să obţinem un singur
rezultat, considerăm pe aO egal cu 1. A vem egalitatea:
(IV)
Orice număr diferit de zero, ridicat la puterea zero, este egal cu 1.
Astfel: 2°= 1 ; (:r= 1; (-5)° = 1; (7,36)° = j ;
12500° = 1 etc.
O b ser v aţi e. Putem justifica egalitatea IV astfel:
puterea aO trebuie să se supună şi ea regulii de calcul expri­
mată de relaţia (1). Făcînd în această relaţie m = 0,
obţinem: aO. a" = a". De aici rezultă că a" trebuie con=i­
derat egal cu 1.
\
199
.}
----------- .. _-- -
[200]
el Exponenţi Irueţionari, Putem scrie egalităţile:
.Egalităţile aflate le putem scrie astfel:
20 12
(14 =ţI�; a3={la12.
m
rin egalităţile (1) vedem că puterea aP are înţeles
m
precis cînd, m se divide prin p. în acest caz, aP reprezintă
puteri întregi ale numărului a, anume a5; a4 etc.
Avem de rezolvat următoarea chestiune: în cazul cînd
m
m nu este divizibil prin p, ce înţeles are aP?
4
De exemplu, ce reprezintă 86 ?
Egalităţile (1) sugerează o definiţie care va rezolva
chest.iunea propusă,
.. . li •
Definitie, a fiind un. număr POZItIV ŞL - ZHt numar ra-
1, P
m
iional pozitiv, valoarea puterii Lli' este dată de egalitatea:
"
l··,·
,1
\
(V)
--'
Potrivit acestei definiţii, putem scrie:
4 4
8ti = ţi ;:;4 = {/8c; 86 = {/(a =-1
3 3
"')-;- - �/-;;-:-;a - �/--:;:I5. 305 - 0)3 - 8
v_ -- V v_ - V � , L. - - -
1
81°,25 = 8(4' = y81 ; 810,25 = 3.
Pentru ca definiţia să fie utilă, trebuie să fie în con­
cordauţă cu regulile de calcul stabilite pînă acum în al-
, . I
200
[201]
-
'"
gebră şi să dea precis valoarea puterii a p. Considerăm o
proprietate evidentă a puterilor cu exponenţi întregi şi
pozitivi:
Dacă m. = 11, avem: am = an.
Este clar că fiecare dintre cei doi membri exr.rirnă D:fO­
dusul a m. factori egali cu a. Să arătăm că această propne­
tate este adevărată şi pentru puteri cu exponenţi frac­
ţioriari. Anume:
Să dă egalitatea:
(1 )
(2 )
(3)
m 11t'
p p'
Să se demonstreze egalitatea:
uP = aP
Demonstraţie. Din (1) de ducem succesiv:
1np' = 111:P ; amp' = am'P
pf>' PP'
V mr,' = Ve.tmp
P m /1' m'
Dar, potrivit definiţiei, avem: y:;m = a P ; Vum' =aP' >
astfel că (3) devine:
m 1'7'
ar = a r,
ceea ce era de demonstrat.
Rezultă că definiţia este în concordanţă cu proprie­
tatea puterilor cu exponenţi întregi. Din această dernon­
straţie rezultă că valoarea unei puteri nu se schimbă dacă
înlocuim exponentul cu un alt exponent egal cu el. Sau :
m
Puteni simPlifica sau amţilifica exponentul puterii a»
şt valoarea p1tterii 111f. se schimbă.
Definiţia permite să se calculeze precis valoarea pu-
m
t erii ar .
4 10
O b ser v ati e, Fie puterile 86 şi t,15'
\ '
201
. .}
[202]
�
'!
Procedîndu-se cu superficialitate, s-ar părea că nu
este nevoie de demonstraţie pentru a arăta că aceste puteri �
sînt egale, S-ar putea spune : simplificînd exponenţii, se
4. 2 10 2
găseşte 86v = 83 şi 8 \s = 8 3 Deci puterile fiind egale
2 )
cu 8s, sînt egale Între ele.
4 10
Raţionamentul este greşit. Cantităţile 86 şi 81s sînt
expresii algebrice noi. Nu ştim dacă, simplificînd expo­
nentul unei puteri, obţinem o putere egală cu cea dată.
Numai după ce s-a făcut demonstraţia anterioară, s-a
stabilit proprietatea că putem simplifica exponentul şi
valoarea puterii rămîne neschimbată.
OPERAŢII CU PUTERI FRACŢIONARE
2 4
1. Să efectuăm înmulţirea aS. aS
Avem:
2 4 15 15 I S 2Z
- - 3F 5/- ,/-- ,/- ,,--
{/3 :a5 �cVa- 'Va' = Valll. val'..=- Va,,-c=,aIS
.�
4
22
Deci
aS
·0
='alS
22 2
4
Urmează:
dar - = ---.
15
3
5
,-
2
4
2
4
(1)
aS
aS
-+-
= a3 S
.în general a ve m :
..-
In .. P ? pq pq pq
a P. a -;; = Va" . Va" = Vamq. yanp = yc.,nq+.IP = a
(1')
m ti
aP a q
In ti
-+-
a p q
adică regula (1) pentru înmulţirea puterilor întregi este
valabilă şi pentru puteri fracţionare.
7 5
II. Să efectuăm împărţirea a"4 : aS
7 5 12 12 12 11
r , ,\. vel�l : a 4 : a"6 = � a7 : V aS :t' ya-1 � YI)lC =c yail = a12 .
202
..
[203]
-
7 5 11
Deci a4 : a6 = a12 ; dar � = 2. _ 5 Rezultă:
12
4
6
(2)
(3')
7 5 7 5
a4 :a6 = a4-6
Generalizînd, obţinem:
m 1� m fi.
Regula (III) pentru împărţirea puterilor întregi S�
menţine deci şi pentru puteri fracţionare.
4
III. 10 Să se calculeze (a7fs.
astfel că putem scrie :
(3)
3 o Să se calculeze
Rezultă:
(3')
4 4
- 7.-
(a7) 5 = Il 5.
3 _
-.,
a4
=� 7.
4
( �)�
3 o Să se calculeze, a 3 .
Avern :
7 7 7
(a�-)�= Vla�)5 V � 1/3 - 21 - �
= Il = {j alt, -r-: 'Va1IJ= a.21
Dar 10 = � .�. Rezultă:
21 3 7
(3")
203
,
---------- ---_.-
[204]
Relatiile (3), (3'), (3") probează că regula (II), anume
(a"')" = am .. , se aplică în toate cazurile: cînd m şi n sînt
ambele mimere Întregi, cînd unul este număr fracţionar,
cînd arnbe'le sînt numere fractionare.
m
IV. Să se efectueze: (abc)P.
Avem:
!!!... p p p p p
(abc) P = y-r;;bC)'" = V a"'u1ncm = V a'" • V vm • ...;cm
m m ni m
(abc) P = a P • b P • C P .
Adică :' pentru a ridica un produs la o putere întreagă
sau fracţionară, putem ridica la această putere fiecare
factor al. produsului.
V. Să se efectueze: (:);.
m
== -'
m
bP
Deci rt-gula : "o fracţie ordinară se ridică la o putere
ridicînd fiecare termen la acea putere" este valabilă şi
in cazul tn care exp011Pn1 ul puterii este număr fracţionar.
O b ser v aţi e. Opera ţiile cu puteri fracţionare se fac
tot dună=reg nlile carp se aplică pute-rilor întregi.
d) Exponenti Ilt'g:ltivi. C onsidcr ărn puterea 4 -2 şi să
vede-m ce înţeles îi putem atribui. Putem scrie: '.P: 45 =
= � Prin simplificare, avem:
4'
(1)
Aplidr:d formula am : a" = am-II, obţinem :
(2)
r ; ,
Expresia 4-2 11U are sens, clar observăm că la împăr­
ţirea 481 45; efectuată în două! modufi, s-a obţinut cîtul
204
[205]
apoi cîtul 4-2• La împărţire trebuie să obţinem un
1
singur rezultat; de aceea considerăm pe 4- 2 egal cu - ,
42
Avern :
il.
(3)
VI.
Acum 4 2 are U11 înţeles; anume 4.- 2 ,,= � = 2-. 4 -2 =
42 16'
0,OG23,
Procedîud la fel pentru împărţirea ar : a2P, obţinem:
a-P = _1_
P'
a
..
o b ser V ati e, Relaţia obţinută o putem justifica
astfel: .
Fie relaţia (1) am. (iP = am+p, unde m. şi p sînt numere
pozitive. Considerăm această relaţie valabilă şi pentru
valori negative ale expor« rr u lui m, Îriloc uit d pe m. cu
_ p. găsim: a-P.aP = (l-P+P; a-P·aP = (10; a-P·aP = 1. De
aici rezultă că trebuie să considerăm a-P = _1_ pentru
aP
ca relaţia (1) să fie valabilă şi pentru 111 negat1\'.
Bazîndu-ne pe formula (\'1). 1 utcm scric :
(�)-2 == _1_ = 2- = 16 = O 61'
oi (�)2 :Ii) :25 • ,
� 10
( -4)-2 = _1 _ = 2. = 0.OG23;
( _4)2 16
( -3)-3 = _1 _ = _1 _ = -0,008;
(_b)3 -U5
2
8-"3 = � = _1_ = 2- = O 25 .
� {llJ� 4 "
8�
_2- 1 1 1 1 I
(--;--.) 3=--:-= __ =--=-=--_.
'2/ 2/- _'_o "')
.: vi _1:))5 V _,,"; v_
( _8)3
205
.�
1
I
I
J
[206]
...., v .......... , v "" v ... V".
[0,)-", _ 1 1 bm Putem scrie:
� -(:r=::=am'
(1 )
1
Această formulă este utilă pentru calcul. Pe baza el,
obţinem imediat:
OPERAŢII CU PUTERI NEGATIVE
1 1 1 1
1. Avem: a-4.a-5=_._=_, dar-= a-9;
a' a" a9 a9
deci avem: a-4• a=» = a(-4)+(-S) .
în general, a \'('111 :
.�
ar=s a:» =_�: � = 1 . Dar
am an am+n am+n
deci:
FOr11l1olJa am. a" = am+" este va la bilă şi în cazul cînd
exponenţii sînt negativi.
, 1 1 a"
II. Avem: a-m: a:» = -:_ =_ = an-m
am an am
Formula a'" : a" = a=: .. este valabilă !71 pentru expo­
nenţi negativi.
Astfel: a-5 : a-3 = a-5+3 = a-2 ; a-2 : a=! = a-2+7 = a6 ;
- .� _l. +1
a 4: a-l = a 4
206
[207]
(a-2)3 = a(-2).3.
2 o Putem scrie: (a-2)-4 = ( �2 r = I a12 r = a8 ;
(a-2)-4 = 11(-2).(-41.
3 o Avem: ( a -{- f = ( 1�» = \ = a - f ;
, ,
a a
(a-%f =a(-�r
40 Obţinem (a-�r � (:{ � (:*r � a�
(et-+r2 = a(-+)·(-2}
50 Avem:
Din aceste exemple se constată că formula (am)" = am"
este valabilă şi în cazul cînd unul dintre exponenţi este
negativ sau cînd amîndoi sînt negativi.
IV. Să se efectueze (abcţ:», Avem:
iabcţ:» = _1 _ = 1
(abc)m am bm cm am b'" c'"
iabcv:» = a-m·b-m·c-m.
Deci formula (abc)P = aP. bP. cP se aplică şi pentru ex­
ponenţi negativi.
O b ser va tie. Puterile negative ale numărului 10
sînt cu <\eosebire interesante în calcul.
�O'j
.�
[208]
1 1 1
Avem ; :10-1 = - = O 1 . 10-2 = - = _. = O 01'
10 " 1U2 100 "
10-3 -.:: _1_ = O 001 . 10-4 = O 0001 . ] 0-5 = O 00001 .
-r-" 1 03 " " "
10-6 = 0,000001 etc.
ApI i c aţi i. în fizică intervin deseori cantităţi
foarte mici. Este comod să exprimăm aceste cantităţi
prin puteri negative ale numărului] O.
1 o Coeficientul de dilataţie liniară al argint1tl1ti este
0,00001.9. iar coeficientul de dilata tie în »olusn al mercurului
este 0,U0018. . ,
Să se scrie aceşti coeficienţi cu ajutorul puterilor negative
ale miniărului 10.
Sol u ţi e. Avcrn : 0,000019=19.0,000001 = 19.]0-6.
Apoi 0,00018 = 18.0,0000] = ]8.]0-5.
2 o Greutatea atomului de hidrogen este dată de numărul:
N = 0,000 000 000 000 000 (jOO 000 ] G 7 g.
Urmînd ca în exemplul 1 o, avem: N = J67.10-24.
Acest cxemplu arată clar avantajul de a scrie numerele
foarte mici cu ajutorul puterilor negative ale numărului 1 O.
în fizică se Între buintează în mod curent accast ă scriere.
Astfel, volumul unui atorn de sodiu este 3,9.10-23 crn" ;
sarcina electroJlului este egală cu ] ,6. J 0-19 COUlOl1'bi etc.
3 o Să se scrie cantităţile următoare, folosind puteri nega­
tive ale unor numere:
"
� ._1_.� ._1_ .-=--.
64' 9·125 ' 7.16' .,:Sy2 'y3z
1 1 1 1
A,'em:- = - = 4-3; sau: - =- = 2-6
64 43 G4 :<6
3 . 1 1
--=3·_·-= 3· 7-1.2-4;
,·16 ',16
4 o (x-3 � y-3F = (X-3)2 + 2x-3 . :v-a + (.:v-3)" =
x-6 + 2x-3 y-3 + y-6;
208
[209]
I 2 I
60 E = (aS - b) (aS + aSb + b2).
Efect uam calculele ca şi atunci cînd înmulţim Un hinom
cu un trinum. Avern :
I 2 2 I
E = li3 aS + a3 b + a302
2 1
ba s_a 3 b2 - b3 ;
3 2 I 2
E = a 3 + a 3 b + a 3 b� - a 3 b - a 3 b1 - b3 ; E = a - b3•
4 5 2 4
7 o (x2 - 3x + x3 - 3x3 - x3 - 1) : (x S -1 - 3x).
Ordonăm deîrnpăr ţit ul şi împărţitorul după puterile
descrescătoare ale literei x şi facem împărţirea întocmai
ca la polinoamele în care termenii sînt monoame întregi,
adică monoarne cu exponenţi întregi şi pozitivi. Avem:
S 4 2 4
;t2 - 3x3 + x" - "'.'\: - xa - 1 x" - �x - 1
5
-- x2 -1- 3.\ a
xa - 3x
4
- ;t,i +3x
(.
2
Cîtul este (x J + L) şi restul O.
Oh.';CI'VH!ie relativă la calculul cu puteri. Ţinînd seamă
de rezultatele pe care le-am obţinut din examinarea ope­
raţiilor cu puteri fracţionarc şi cu puteri negative, obţinem
regulile următoare, care nu sînt supuse nici unei restricţii
în ceea ce priveşte natura exponenţilor :
1. Produsul a două puteri ale aceluiaşi număr este tot o
putere a acest-ui număr, exponentul fiind egal cu suma expo­
nentilor celor două pztferi.
2. Citul a două puteri ale aceluiaşi număr este tot o putere
a acestui număr, exponentul fiind egal cu diferenţa dintre
exponentul de�mpărţitului şi exponentul împărţitorului.
14 - Algebra el e IX-.
209
[210]
S. Cînd ridicăm o putere a unui număr la altă putere,
obţinem o putere a aceluiaşi număr, avînd exponentztl egal cu
produsul dintre exponentul puterii date şi acela al noii puteri.
4. Pentr« a ridica un produs la o putere, putem ridica
fiecare ja{tor la această putere. '
Exponenţi iraţionali. Un număr iraţional, de exemplu
"12, poate fi utilizat ca exponent. Considerăm expresia :
A = 3'/2.
Luăm pentru V2 valori apropiate prin lipsă, şi scriem
şirul:
-
(1)
31.4; 31,41; 31,414; 3t..l142;
Se poate demonstra că acest şir are o limită, care se
� - '/2
noteaza cu 3
Şirul (1) poate fi scris astfel:
{1') 1�314 ; 1O°.J3141; lOOev 31414 ; lOOOO.J 314142 ;
Valorile numerice ale termenilor acestui şir se pot
calcula, cum se va arăta în Cap. VII, la operaţii cu loga­
ritmi.
Din cele'" de mai sus constatăm că şi un număr iraţional
poate fi luat ca exponent. Expresia 3'/2 este un număr de­
finit ca limită a şirului (1).
4
EXERCIŢII
,
1. 1) Să se scrie numerele următoare:
0,045; 0,0000792 ; O,OOOOOOOO!)
.cu ajutorul puterilor negaiire ale mtmăr1tlui 10.
R j>IO-'etc.
2) Să se scrie numerele următoare:
1 3 X
x3y7' a4c' 3x4' 5yz3
1 ,1
(a + W (.1'2+ 1)"
sub forma de monoame efi exponenţi uegati»),
""
210
[211]
r
1 n. d i cat l' e . _1_ = x-3y-7 etc.
, x3y7
3) Se dau coeîicienţii de dilataţie liniară şi de dilataţie
în 'volum ai urmă toarel or metale:
Cuprul
Argintul
Aurul
Platina
l
0,0000172 ;
0,0000191 ;
0,0000147 ;
0,0000088 ;
k
0,0000516
0,0000573
0,0000541
0,0000261
Să se scrie aceşti coeficienţi folosind puterile negative
ale numărului 10.
II. Să se efectueze operaţiile:
2) 7a 4.�a5.2a-5; 63x-1:7x-4; �a-3b2:�a7b-l
14 4 8
.1) (il 6 + a3 - a-4) • a3; (x-7 - x-5 + x4) : x-2
4) (".l:+ 3x-1)(3x-2x-I); (a-2+a-J T ')(a-2+a)
ti) (6a2 - 10a - 6 + 4a-1): (3a + 1 - a-l).
1 li d l' ca ţie. Se procedează ca la împărţirea polinoa­
mc lor. Cîtul este (2a - 4).
I II. Să se efectueze operaţiile:
317 1157 I 2
1) a2b2cZ-.a-Zb2c-Z; x9: x-3. 4xy·-I: 2x3 y-!.
a-m - 1
1 + a-1m .
3) �-�+�.,
I I I 1 '
a3_b3 a3+b3
(1 + x-n + y-n )_2.
x-n - y-n
R. 2VaU:+[1 - (;fJ·Z
�) (1 T:\;-l +u:-2)(1 - x) ; (J + x-1 + x-2..L ••• +x-")(l-x).
211
.�
I
-;' .1
...
[212]
K. X + y.
1 1
6) ({J-;- l)(xS + 1)(.ţIX" + 1)(x2 + l)(x + 1).
R. X2 - 1.
7 5 3 I I
2" "2 "2 z 2
7) (x -- a3 + a - a 2 + a • -- a + a-l) (a + 1).
R. a4 - 1.
IV. Să se demonstreze identitatea:
1 n d i c aţi e. Se ridică ambii membri la pătrat.
V. Să se efectueze operllţiile.-
1 )
2)
r � � +'\+
a . (ak) t,
R. 10.
R. = 1.
I
l
r ,
VI. 1) Se dă expresia:
,
Să se afle valoarea ei pentm x = 2a � (1 + U:I -1, unde
, a. > 1 � J.
212
..
[213]
a+l
a-l
I
i
".
1
R. E = V;'
�) Să se determine caloarea expresiei:
i
2:
ţentr« x = 2:1 (1 + a)-1, unde a> 1-
(Institutul potiteţvnic, Timişoara, 1954.)
1 n d i c aţi e. Se urmează calea din exerciţiul pre­
cedent. Găsim E = a �1 .
Va
Fie
funcţiile :
(1 )
'V = 3'"
(2)
'V = ] O" .
� ,
� ,
(3)
y=(:r;
(-1)
y = (0,7)".
Fiecare dintre aceste funcţii se prez iut.ă ca o putere :
baza este un număr pozitiv şi diferit de 1, iar varrabila x
este exponent. Astfel, în funcţia y = 3", baza este 3 şi
expouer.tul este x. Fiecare dintre aceste funcţii se nu­
meşte funcţie expo nerrţială. Putem da următoarea definiţie:
Funcţie exponenţială este o funcţie de forma
y = a",
în care a > O şi a r= 1.
1 o Nu se ia a = 1, pentru că în acest caz y = ] ", Y =1 :
deci Y, nu mai conţine pe x, nu mai este funcţie de x.
213
.�
[214]
:3 o Se ia a > O. Baza nu poate fi negativă pentru mo­
tivul arătat în exemplul:
y=(-8)%.
Să dăm lui x cîteva valori numerice şi să calculăm
valorile corespunzătoare ale funcţiei y. Obţinem tabloul:
1
3
x
--
2
3
2
:2
Y
-2
V-8
-8
V-512
64
.j.
.j.
imaginar
imaginar
Se constată că y nu are valori reale pentru orice valoare
. � 1" A tf 1 1 3
numerica a Ul x. se, pentru x = -, x = - , y are va-
2 2
lori imagiriare ; dar în studiul pe care îl facem, nu consi­
derăm decît valori reale. Pentru ca y să aibă numai valori
reale, trebuie să luăm a > O.
3 o Fie funcţia y = a". Pentru x egal cu o valoare frac­
sr:
ţionară, anume x = m , avem y ='Jam. Considerăm numai
. p
valoarea aritmetică a radicalului, adică valoarea pozitivă.
Fie funcţia y = 16%. Pentru x = 2. , y = V16; luăm
� 2
Y = 4 _ Pentru x = �, y = ţ/163; luăm y = 8 .
.-'
STUDIUL FUKCTIEI EXPONENTIALE
Avem de examinat următoarele chestiuni:'
I. Semnele valorilor numerice ale funcţiei y, cînd x
variază de la - 00 la + 00 .
II. Mărimile valorilor numerice ale funcţiei y în com­
paraţie cu numărul 1.
III. Modul cum creşte sau descreşte y cînd x ia valori
de' la - 00 la + 00.
IV. Tabloul variaţiei lui y ş1 graficul acestei funcţii.
214
[215]
T
Cazul a> 1
1. Pentru a se înţelege mai uşor şi a se putea verifica
imediat proprietăţile funcţiei exponenţiale, considerăm
un exemplu particular:
(1) y = 8x
�oo
-1
Dăm lui x cîteva valori numerice şi calculăm valorile
corespunzătoare ale funcţiei y. Obţinem tabloul:
O 1 1 5
3 2 .1
y ! ° /70,015625/7 0,125/71/7 2/72,82/7 8/7 32/764/7 .)12 "+00'
Din tabloul acesta se constată că y ia numai valori
pozitive cînd x variază de la -00 la +00.
Ne propunem să demonstrăm această proprietate pentru
orice funcţie exponenţială în care a > 1. Fie funcţia
y=a".
1 o Pentru x număr întreg, este evident că aX > O.
2 o Pentru x egal c u o fracţie pozitivă, adică x = �
p
avem:
m p
a" = ap=vam.
p
Ilar a'" > U, deci şi Vam> o.
Aşadar,
a"> O.
3 o Pentru x egal cu Un număr negativ, adică x - p
(p > O), avem:
a" =a-P = :p. Dar ar :» 0, deci :p> o Rezultă a" > O.
Am ajuns la următorul rezultat:
Proprietatea 1. Funcţia y = aX are numai valori nu-
merice pozitive cînd variabila x ia valori de la - 00 la + 00.
II. Din tablou constatăm următoarele:
a) pentru x = O,)' = 1
b) x> O,y > 1
e) x < 0, y < 1.
Să demonstrăm această proprietate pe utr u funcţia
y aX.
.J
.�
215
[216]
a) Pentru x = 0, aX = aO = 1.
b) Pentru x > O. x poate fj întreg sau fracţionar.
- I o Dacă x este număr întreg, a" > I pentru că a"
reprezintă Un produs de factori, fiecare fiind mai mare
decît Y. v
J
In
2 o Dacă X= m, aX = aP. Avem:
p
p m
a > 1; am> 1 ; V'l'� > 1; aP> 1. Deci a" > l.
1
în tablou avem 83 = 2> 1.
c) Fie x un număr negativ, anume x - p (p > O).
Avem:
- 1 1
aX = a -P ; aX = -P . Dar aP > J , deci -P < 1. Avem a" < 1.
'a a
Am ajuns la următorul rezultat:
Proprietatea II. Cînd variabila x ia valori de la - 00 la
+ 00, mărimile valorilor numerice ale funcţiei y, în compa­
raţie cu numărul 1, se inf ăţişează astfel:
Pentru x = 0, y = 1; pentru x > 0, y > 1.; pentru
x < 0, y � ].i
III. Din tablou se constată că y creşte cînd variabila x
creşte.
Astfel=pentru x = -2, Y = 0,0]5625 ; pentru x = -1,
Y = 0,12;;;; pentru x = 2-, y = 2; pentru x = 2-,
3 - 2
Y = 2,82 ; pentru x = 2,y = 6J ; pentru x=3, y = 512 etc.
Ne propunem să demonstrăm această proprietate pen­
tru fu ncţia y = aX. Fie Xl şi x � două valori numerice ale
variabilei. x, astfel că x2> Xl'
1 o Dacă Xl şi x2 sînt nu mere întregi. este evident că din
inegalitatea x2 > Xl se deduce aX, > a"l. în tablou avem
83> 8 .
om. n
2 Dacă Xl şi X2 sînt fracţii, fie Xl = - ŞI x2 = - ,
p q
astfel
că:
. (1 )
n
m
"
->-.
,,1
q
J
216
.. .
[217]
Din (1)
pn nzq
deducem: - > - ; pn > JJtq ;
pq pq .
pq pq
y--:;;;: > V·,I"q
n M
5 1
î 5 1 -
Deci a%' < a:r,. n tablou avem: - > - �1 83 > 82•
3 2
Proprietatea III. Cind variabila x creşte de la -00
la +00, funcţia exponenţială creşte de la O la +00.
IV. Variaţia lui y se poate înfăţişa În tabloul următor:
1)
Pentru a face graficul funcţiei y = as, luăm pentru a o
valoare numerică convenabilă, astfel ca valorile corespun­
zătoare lui y să poată fi cuprinse în cadrul restrîns al
figurii. Fie funcţia:
Dăm lui x cîteva valori numerice şi calculăm valorile
corespunzătoare ale lui y; obţinem tabloul:
1
-2 -1 -­
'}
1
U -
2
;{
2
Cu ajutorul acestui tablou se face reprezentarea grafică din
figura 41.
CI afic ul funcţiei y = a" se numeşte curl.ă exponeniială.
Analiza graficului.
Fie punctele:
A (O; 1) ; B (- : ; 0,1); C( -1; 0,5); D( -2; 0,25);
E(-3; 0,125); F(J,2); G(2, 4).
Cînd x ia valorile : O; - �; -1; -2; -3 ; ... şi tinde
2
către -00, ordonatele: AO, BBll CCl, DDl' EEI, ....
descresc necontenit si tind către zero, astfel-încît curba se
� ,
217
.�
[218]
(2)
apropie foarte mult de axa xx'. Axa xx' tinde să devină
tangentă la ramura curbei. Pentru a exprima acest fapt,
spunem că Ox' este tangentă la curbă în punctul de la
infinit al curbei.
Dreapta xx', care
este tangentă la curbă
în punctul de la infinit
al curbei, se numeşte
asimpioiă a curbei.
Curba exponenţială
admite ca asimptotă
axa x.-ţ'. Constatăm
că pentru x = O, se
obţine punctul A, în
care curba taie axa
yy'.
Ramura AFG ... se
întinde la infinit;
cadrul restrîns al
figurii nu ne permite
să descriem decît o
Fig. 41 porţiune din ea.
Cazul O < a < 1
1. Pentru a se înţelege mai uşor şi a se putea verifica.
imediat proprietăţile funcţiei exponenţiale, considerăm un
exemplu particular:
v = (16)X.
- 81
Procedind ca în exemplul anterior, dăm lui x cîteva
valori numerice şi calculăm valorile corespunzătoare lui y.
Obţinem tabloul:
x 1
1
,1
1
1
5
- 00 - 1
-
-
.-
o
-
-
1
+
OC!
2
4
4
2
4
yl
tl1
\)
3
2
4
16
32
+OC'�,-�-'
�- � 1
�-
�-�
-
�
- � O
16 4
2
3
!)
81
243
" Din tablou se constată că y ia numai valori pozitive
I cî,ud x v�ria�ă de la - 00 la +�.
218
..
[219]
Demonstraţia acestui adevăr se face ca şi pentru cazul
a > 1. Enunţăm rezultatul:
Proprietatea 1. Funcţia exponenţială are numai valori
pozitive cînd variabila x ia valori numerice de la -00 la
+00.
II. Din tablou constatăm:
a) Pentru x = O, Y = 1 b) pentru x > O, .v < 1 ;
c) pentru x < O, Y > 1.
Demonstratie
a) Pentru' x = O, avem aX = aO = 1.
b) Pentru x > O, x poate fi întreg Sau fracţionar.
1 o Fie x = m (întreg) . Avem am < 1, deoarece se ştie
câ puterile întregi şi pozitive ale unui număr mai mic
decît 1 descresc şi tind către zero (vezi Capitolul V).
(16 2
Astfel avem: 81 J '. 1 etc
7n P
2 o Fie x=� (număr fracţionar). Avem aZ = aP = Va;;;- ;
p
P m
a < 1 ; am < 1 ;yam -: 1; aP < 1. Deci a' -; 1.
5
În tablou avem : (�)4 = � <, 1; (�·14 -<, 1 etc.
81 3 81 J
c) Fie x = -p (p este pozitiv); aX = a=» = -;. Avem:
a
1
il < .l , ar < 1, deci > 1. Adică ar "<, 1. Enunţăm
aP
rezultatul :
Proprietatea 11. Cînd variabila x ia valori de la - 00 la
+00, mărimile valorilor numerice ale funcţiei y, în com­
paraţie cu numărul 1, se prezintă astfel:
Pentru x = O, Y = 1; pentru x> O, y < 1; pentru
x < O, y> 1.
III. Din tablou se constată că y descreşte, cînd varia-
bila x creşte. Astfel, pentru x = - 2.., y = �; pentru x= 2..,
2 4 4
2 16
Y = - pentru x = 1 Y = - etc
3 '81 .
219
.�
[220]
Demonstraţie. Fie Xl şi x2 valori numerice ale varia­
bilei X, astfel că X2> Xl'
10 Dacă Xl şi X2 sînt numere întregi, avem a", < aZ',
pentru ca 'l>utprile întregi şi pozitive ale unui număr mai
mic decît i descresc şi tind către zero. Şi cînd Xl :i X2
sînt întff'V negativi, proprietatea se menţlDe. Exemplu:
a-2 < a-3 .:
2 o Dacă Xl şi X2 sînt numere fracţionaH', fie Xl-=
m. n f v n m np - PI.q
= -ŞI X2 = -, ast II ca - > -. Deducc:n;: -.>-
p q q p pq pq
pq pq n In
up > mq ;.anp < amq ; Vanp < Vumq ; aq < at. Deci aX, < ar,.
Proprietatea III. Cînd variabila x creşte de la - (X)
la +00, funcţia exponenţială descreşte de la + (X) la O.
IV. Variaţia lui y se poate înfăţişa în tabloul următor:
;-1 :: -- �-':S-�-
Fig. 42
". '
220
pentru a face gra­
ficul, luăm pentru a
o valoare convena­
bilă, astfel ca valo­
rile lui y să nu fie
prea mici, fiindcă în
acest caz nu le pu­
tem reprezenta în fi­
gură la o scară obiş­
nuită. Fie funcţia:
y = cr
Dăm lui X cîteva
valori numerice şi cal­
culăm valorile cores­
punzătoare lui y. Ob­
ţinem tabloul:
..
[221]
xl
- 00
-3
-:2,
-1
O
2
3
+
00
2
2
yl
+00
'::l8
'::l1
'::l�'::lI, 11
'::l t'::l 0,7 '::l
U,5 '::l (J,�5
'::l
U,1�5 '::l
U
Cu ajutorul acestui tablou se face graficul funcţiei (fig. 42).
Analiza graficului. Fie punctele : A (O ; ]) ; B (�; 0,7);
2 ,
C(l ; 0,5) ; D('J; 0,25) ; E(3; 0,:125) ; F(-l; 2); G(-2; 4).
Cînd x ia valorile: O; _1_; 1 ; 2 ; 3 ; ... şi tinde către -l co ,
2
ordonatele : AO, BBI' CCl> DDI' EE1, ••• descresc ne­
contenit şi tind către zero, astfel încît curba se apropie
foarte mult de axa xx'.
Axa xx' tinde să devină tangentă la ramura curhei.
Spunem: Ox este tangentă la curbă în punctul de t� infinit
al curbei. Ca şi în cazul a > L, axa xx' este asim-piotă a
curbei.
Pentru x = ° obţinem punct ul A, în care curba taie
axa yy'. Ramura AFG ... se întinde la infinit. în figură,
evident, este trasată numai o porţiune din en.
Ci!ir('agl'uticrlor. în figurile 41 ţI 4� prorrietăţile
funcţiilor exponenţiale apar intuitiv:
li
I
a>]
y este pozitiv; de aceea curba este situată
în întregime deasupra axei xx'.
Pentru x = 0, y = ] ; cînd x < 0, y < 1 ;
cînd x> 0, y> 1.
Funcţia este crescătoare.
( 1 o y este pozitiv; curba e situată în întregime
I deasupra axei xx'.
O<a<l{ 2° Pentru x=O,y=l; cînd x<O,y>l;
I cînd x> 0, y < 1.
l 3 o Funcţia este descrescătoare.
221
.�
[222]
p
r
Fig. 43
în ambele cazuri, axa xx' este asimptotă a curbei
exponenţiale.
Forma curbei exponenţiale cînd baza a variază. Îu
figura-43 sînt desenate curbele reprezentative ale
funcţiilor
y =c (�r ;y=(1,5y;
y = ?X ; Y = (2,7)"'.
Pentru orice valoa­
re a lui a, curba trece
prin punctul A (0,1).
Se o bservă aşe­
zarea fiecărei curbe
faţă de dreapta y = 1,
adică dreapta dusă
prin punctul notat] ,
paralelă C11 axa xx'.
I
�I
IMPORTANŢA CURBELOR EXPONENŢIALE
A
!/
o
Fig. 44
Din studiul unui foarte mare număr de fenomene fizice,
chimice şi biologice, găsim curbe exponenţiale. Astfel:
descresterea intensităţii unei raze luminoase care traver­
sează Un corp absorbant se exprimă printr-o funcţie expo­
nenţială; deci graficul este curba exponenţială. Descreşte­
rea corpurilor radioactive se reprezintă grafic tot printr-o
curbă ca aceasta. Alte exemple: creşterea unui animal
creşterea unei populaţii, diferite '
reacţii chimice conduc tot la curbe
exponeîiţiale sau foarte apropiate
de acestea.
ApI i c aţi e. Se consideră
funcţia y = 3'" (fi?,. 44). Pe semiaxa
Ox luăm segmentul OA = 4k şi pe
semiaxa Ox' luăm 0B= -2k2• Fer­
pendicularele pe axa xx' în punctele
A şi B taie curba în punctele M}i N.
Să se 'afle maximul produsului
z = MA. NB, !? fiind un paramc­
t ru uariabil,
222
.. -
[223]
5 011-1 ţie. Din ecuaţia y = 3", deducem:
MA = 34k; NE = 3-2k".
z = 3-2k'+4k•
Ca ntitatea c are valoarea cea mai mare cînd exponen­
tul lui 3 are valoarea cea mai mare. Deci z este maxim
cînd trinomul (-'2k2 + 4k) este maxim. Ţinînd seamă
de proprietăţile trinomului de gradul II, se găseşte că
exponentul lui 3 este maxim pentru k = 1. Maxirnul lui
(-3k2 + 4k) este 2; maximnl lui z este 32 = 9. Rezultă
că maxirnul produsului MA .NE este 9 şi are loc pentru
OA = 4k = 4 şi OH = --2k� = -2.
EXERCIŢII
1) Fie funcţia y = (2,5)". Să se facă tabloul variaţiei
acestei funcţii şi apoi graficul.
1 n d i cat i e. Se vor utiliza pentru x valorile:
2;
-1·0·1·� :2.
, . '2
2) Fie funcţia y = (� r Să se facă tabloul variaţiei
acestei funcţii şi apoi graficul.
1 Il d. i c aţi e. Se vor utiliza pentru x valorile: -2;
1 1
-1; O; - ; -; 1.
4 2
3) Fie funcţia)' = 2" şi graficul ei. Pe semiaxa Ox'
considerăm segmentele:
Perpendicularele ridicate pe axa xx' în punctele AII
A 2' A a, ... taie curba în punctele M l' M 2' M 3' ... Să se
calculeze suma:
223
.�
--------- - - -- -
[224]
1 n,d i c aţi e. Din ecuaţia y = 2� se deduce:
MIAl = 2-1; .i'j,12A2 = 2-2 etc. S = 1.
4) ţ<'ie funcţia y = a" şi graficul ei. Pe se miaxa Ox
considerăm segmentele: OAl = 1 ; OA2 = 4; 01'13 = 9 ; ... ;
OA. ",,,)n2•
Pcrperidicularele ridicate pe axa xx' în puncte-le
AII A2, A3"'" A .. taie cu ha în punctele MI, M2• AI3"'" iVI".
Să se calculeze produsul :
z = AIIAI·M2A2·AI3A3" .M .. An.
....,.
t
,. ,
R. a
..
[225]
CAPITOLUL VII
LOGARITMI
Numerele 100; 1000 ; 10000 pot fj scrise astfel:
100 = 102 ; ] 000 = 103; 10 000 = 104,
adică fiecare este înfăţişat ca o putere a lui 10. Ne fixăm
atenţia asupra egalităţii:
1000 = ]03.
Exponentul 3 se numeşte logaritmul lui 1 000 în baza 10.
Scriem: log 10 ] 000 = 3 şi citim: logaritmul lui 1 000 în
baza] O este egal cu 3. Fiecare dintre celelalte numere are
tin logaritm. Anume:
loglo 100 = 2; loglo 10000 = 4.
în mod analog putem considera logaritmi şi în alte
baze. în egalităţile:
64 = 26; 12f) = 03,
exponentul 6 este logaritmul lui 64 în baza 2, iar expo­
ueutul 3 este logaritmul lui 125 în baza 5. Scriem:
log264 = 6; log,5125 = 3.
în general, considerînd egalitatea: N = ar, în care a
este Un număr paziti v , numărul p se numeşte logaritmul
numărului N în baza a. Scriem:
log, N = p.
Putem da următoarea definiţie:
Logaritmul unui număr este exponentul ptt!erii la care
trebuie să ridicăm un nsinuir constant JÎ pozitio, ntiniit
bază, pentru a obţine număru] dat.
15 - Algebra cI. a IX-a
225
[226]
Exemple. 1 o Să se afle logaritmii numerelor:
10000000; :10; 1 ; 0,001; V1 oUO
în baza 10.
Avem : :}O 000 000=107; :10 = 101; :1 =100; 0,001 = 10-3;
3
VI 000 = 102. Deci logaritmii în baza 10 ai numerelor
date sînt:
2 o Să se afle următorii logaritmi :
log264 ; log 864 ; logo,50,125 ; log 50,04.
.Avem.: 64 = 26; 64 = 82; 0,125 = (0,5)3; 0,04
4 1
=-0::::>,-= 5-2•
100 25
T
l
log 0'50,125 = 3 ;
log864 = 2 ;
Deci: log264 = 6 ;
log,O,04 = -2.
Ne vom ocupa de următoarele chestiuni:
1. Legătura dintre funcţia exponenţială şi
2. Funcţia logaritmică.
3. Proprietăţile generale ale logaritmilor.
4. Sisteme de logaritmi.
5. Logaritmi zecimali. Table de logaritmi.
6. A;>licaţii ale logaritmilor.
logaritmi.
CI
1. Con�ecinţe
care rezultă din variaţia funcţiei exponenţiale
Fie funcţia exponenţială y = 2" şi graficul ei.
Avem:
, 1
(1) log22 =,1; log24 = 2 ; log2- =-l.
2
Folosind graficul, egalităţile (1) devin:
(1') log MlAl = OAl; log M2A2 = OA2; log M3A3= OA3·
, ,
Pe grafic
constatăm:
226
{numerele sînt ordonatele
logaritmii sînt reprezentaţi prin abscise.
'..l .
-.
[227]
r
A, P A2
graficul ei.
logaritmi cu
logaritmi în
y
c
Fig. 4;;
A,. A, O
II
M, M
Il'!
x'
Se dă un număr a(a > O). Să-i aflăm în mod grafic loga­
ritmul. în acest scop, luăm pe Oy segmentul OC = a;
paralela dusă prin C la Ox taie curba în punctul D. Con­
struim DP .l Ox. Avem:
log a = log D'P = OP. Ve­
dem că am putut afla log a,
pentru că am putut găsi
o ordonată DP = a, căreia
i-a corespuns abscisa OP.
1 o Urmează că numerele
negative n-au logaritmi,pen­
tru că nU găsim pe figură
nici o ordonată negativă.
2 o Constatăm că ordo­
natelor l\fIA], M�A�, ... ,
care sînt mai mari decît 1, le
corespund abscise pozitive.
Adică: un număr mai mare decît 1 are logaritmul pozitiv.
Ordonatelor MaAa, J14A 4' ... , mai mici decît 1, le co­
respund abscise negative.
Deci: un număr mai mic decît 1 are logaritmul ne­
gativ. Pe scurt, notînd un număr cu N, avem:
Pentru N> r. log N> O; pentru N < 1, log N < O;
pentru N = 1, log N = O.
30 Fie M2A2 > MIA!. Graficul arată că log M2A2 >
> log MIAl' Deci inegalitatea (1) A > B atrage după
sine (2) log A > log B. Reciproca este adevărată. Mai
•
putem spune: cînd x creşte, logaritmul creşte.
4 o Dacă A = B ,avem: log A = log B. în adevăr, pe
grafic, numerelor A şi B le corespunde aceeaşi ordonată
şi deci le corespunde aceeaşi abscisă, adică acelaşi loga­
ritm. Reciproca este adevărată.
Fie funcţia exponenţială y = (0,5)x şi
în exemplul precedent ne-am ocupat de
baza mai mare decît 1. Acum considerăm
baza 0,5 < 1. Avem:
(1)
1
log- = 1 ;log 0,25 = 2; log 2 = -l.
2
�
227
.�
"' ..... --------- ----
[228]
• ;Fig. 46
1
!
!j
Il
1 o Numerele negative n-au logaritmi, deoarece în figură
nu există nici o ordonată
negativă.
2 o Avem: pentru N> 1"
log N < O; pentru N < 1,
log N > O; [pentru N = 1 >
log N = O.
30 Fie MIAI > M2A2.
Avem OAI < OA2, adică
log MIA l < log M 2A 2' Din ine­
galitatea (1) A> B se deduce
inegalitatea (2) log A < log B.
Reciproca este adevărată .
Mai putem spune: cînd x
creşte, logaritmul descreşte.
4 o Dacă A = B, rezultă log A = log B. Reciproca
este adevărată. Justificarea apare imediat în figură, ca.
şi în cazul a > L.
:2. Funcţia logaritmică
C onsiderăm tabloul :
.1' I O ... 0,001 0,01
Y L - 00 ••• -3 -2
0,1 1 10 100
-1 O 1 2
1000 ... T CL>
3 ... +00
In, linia întîi a tabloului se află numerele pozi'tiv«
scrise în 'orcnne crescîndă. In linia a doua se află logaritm ii
în baza 10 ai numerelor din linia 1. Sub fiecare număr
se află 16'garitmul său.
Fiecărui număr x îi corespunde Un număr y. Deci
y este o funcţie de x, şi anume y este egal cu logaritmul
lui x. Scriem astfel:
(J)
y = log x.
,.}
Funcţia (1) se numeşte funcţie logaritmică. Pentru pre,
cizare, scriem: y = IOglOx, ca să arătăm că logaritmi]
sînt consideraţi în baza ] O.
Graficul funcţiei logaritmice rezultă imediat din va-o
riaţia funcţiei exponenţiale.
228
[229]
!!
Exemplui 1. Fie funcţia y = log, x. Alcătuim tabloul:
(Numere) x I O � 1 � 3"1/3 9 + 00
(Logaritmi) y 1- ro /' -1 » ° » 1 » � » 2 » + 00
In graficul din figura 47 se constată: pentru OP> 1,
Jl,J P > O, adică: dacă numărul > 1, logaritmul e pozi-
!I
tiv. Pentru OP <, (P Între O şi A), "ţJP < O.
Deci: cînd numărul < 1, logaritmul e negativ.
Pentru OP = 1 (P este în A), logaritmul este zero.
Cînd x creşte, logaritmul creşte.
Graficul funcţiei y = log x se numeşte curba logarit­
mică. Ea are ca asimptotă axa yy'.
Exemblu! II. Fie funcţia y = 1012"0,5 x. Alcătuim ta­
bloul:
(Numere) x
°
0,125 0,25 1°,51
+00
(Logaritmi) y I +00 '" 3 '" 2 '" 1 '" ° '" -) '" - 00
în graficul din figura 4 8 se constată:
Pentru OP> i. MP < O. Adică: dacă numărul> 1,
logaritmul lui este negativ.
Pentru OP <] (P între O şi B), MP> O. Deci: cind
numărul <], logaritmul lui este pozitiv.
Pentru O P = 1 (P este în B), logaritmul este zero.
Cînd numărul x creşte, logaritmul său descreşte.
229
.�
[230]
r
f' ,,1
i
I
\
I
IL
3, Proprietăţile generale ale logaritmilor
La pagina 227 s-a arătat că numerele negative n-au logaritmi. De
aceea in cele ce urmează vom considera log A, log B, log C etc .. numai
pentru A >.0, B > 0, C> ° etc.
Teorejna 1. Logaritmul prod'Usului mai multor factori
este egal C1J, suma logaritmilor acestor factori.
Fie trei numere:
A = 10m; B = 10"; C = 10P. Avem: ABC = lom+n-'-p.
Prin definiţie avem:
log A = m ;log B = n ;log C = P;log (ABC) = m + 11, + p.
în ultima egalitate, înlocuind pe m, n, p cu valorile lor,
găsim: .
',log (ABC) = log A + log B + log C.
în geperal, avem:
Ilog (A. B. C ... L) = log A + log B + log C + ... + log L.I
Verificare. Fie numerele:
A = 100; B = 10000; C=O,OO1. Avem: (ABC)= 1000.
Putem scrie: log A = 2; log B = 4; log C = -3.
Apoi log :1..000 = 3
>
2 + 4 + (-3) = 3.
Deci se verifică formula log (A BC) = logA + logB + log C.
O b ser v aţi e. în demonstraţie am considerat loga­
ritmiinumerelor A, B, C în baaa If). Teorema este valabilă
pentru orice bază. Astfel, să luăm logaritmii acestor numere
in baza 'li. Avem:
A = a"; B = a'; C = a'. Apoi ABC = aHH'.
Prin definiţie avem:
(1) log (ABC) = x + y + z.
,
Dar x = log A ; y = log B ; z = log C ; deci relaţia (1)
devine:
log (ABC) = log A + log B + log C.
Teorema II. Logaritmul unui cît este egal cu logaritmul
,deîmpă�ţitului minus logaritm.,:l împitrţito�ului.
230
[231]
-
Notăm cu C cîtul numerelor A, B, adică:
�=C.
B
Deducem A = BC. Apoi log A = log (BC), ceea ce dă:
log A = log B + log C; log C = log A - log B.
A
log - = log A - log B
B
Verificăm uşor că:
Ioa 100000
b 100
în adevăr :
= log 100000 - log 100.
log 100000 = log 1000 = 3 I
100
log 100 000 = 5, log 100 = 2.
3 = 5 - 2.
De asemenea :
(1 )
4
log -- = log 4 - log 0,125.
0,125
Putem lua logaritmii în orice bază vrem. De exemplu,
să-i considerăm în baza 2. Avem:
_4_ = 32 = 25; 4, = 22 ; 0,125 = � = 2-3
0,125 8
4
log -- = 5; log 4 = 2; log 0,]25 = - 3.
0,125
Relaţia (1) se verifică imediat.
Teorema III. Logaritmul puterii unui număr este egal
cu exponentul puterii înmulţit cu logaritmul număruhti
care se ridică la putere.
Putem scrie: Am = A·A·A· ... ·A
­
de mori
log Am = log A + log A + log A + ... + log �
de m ori
231
.}
[232]
Deci I
I log Am = m log A
In, particular avem:
log A2 = 2 log A
log A 3 = 3 log A,
Teorema IV. Logaritmul rădăcinii unui număr este egal
cu logaritmul numărului de sub radical împărţit la indicele
radicalului,
Notăm cu B rădăcina de ordinul 'In a lui A,
Avem prin ipoteză:
m
VA = B
A = B»,
Aplicînd teorema precedentă, găsim:
log A = m log B.
log B = log A,
m
Sau:
11 :'iA - log A -\
.og V -
m
.
în particular:
log VA = ��
2
1 :JIA_logA
og V -,.--.
3
Loqarirtaul unei expresii algebrice
10 Se dă expresia algebrică:
E = 2a3bc2•
Să i se aplice logaritmii.
Avem :log E = log 2 + log a3 + log b + log c2
log E = log 2 + 3 log a + log b + 2 log c.
ub ser v aţi e. Uneori, în loc să se spună: , ,expresiei
�lgebrice să i se aplice logaritmii", se spune: "să se logarit­
meze expresia algebrică". însă verbul "a logaritma" nu
este în .spiritul limbii rornîne.,
232
,
--
[233]
2 o Expresiei :
E = {j ab
c
�
Dar log A - log B = log - .
B
log x = log 14.
(2) log x = log !)fi - log 4.
- 56
Deci scriem: log x = log - ;
4
să i se aplice logaritmii.
5 o 1 u ţie. log E = log V----ab - log c = log �ab) - log c.
1 E log a + log b 1
og = - og c.
3
3 o Să se afle x din egalitatea:
(1) log x = log 8 + log 7 - log 4.
5 o 1 u ţie. Avem: log A + log B = log (AB);
log 8 + log 7 = log 56.
Putem scrie:
,
Logaritmii numerelor x şi 14 fiind egali, rezultă că
numerele sînt egale. Deci: x = 14.
4- o Să se afle x din egalitatea:
) loga
(1 log x = + log b - 2 log c.
5
5 o 1 u ţie. Avem: loga = log i/ a (teorema IV).
5
Deci (J) devine:
log x = logi/a + log b - 2 log c.
Aplicînd teorema 1, putem scrie: log x = log (b i/a)
- 2 log c.
Pe baza teoremei III, găsim: log x = log (b i/a)
- log c2•
Potrivit teoremei II, avem:
er:
log x = log _v-2-·
C
Cînd două numere au logaritmii egali, ele sînt egale.
Rezultă:
�33
.�
[234]
II.
.............. ---------------------------------------�
4. Sisteme de logaritmi
Considerăm toate numerele pozitive şi apoi logaritmii
acestor numere în baza 2.
Totalitatea acestor logaritmi se numeşte sistemul de
logaritmi cu baza 2. Se pot considera o mulţime de baze,
astfel că există o mulţime de sisteme de logaritmi. Putem
da definiţia următoare:
Sistemul de logaritmi cu baza B (B > O) se compune
din logaritmii tut'uror numerelor pozitive, logaritmii [iind
considerati în baza B.
Pentru rezolvarea problemelor teoretice şi a celor prac­
tice se întrebuinţează două sisteme de logaritmi: sistemul
neperian şi sistemul zecimal.
1 o Logaritmi neperieni. Logaritrnii au fost inventaţi
la începutul- secolului al XVII-lea de către N eper", care a
luat ca bază un număr iraţional e = 2,71828 ... Loga­
ritmii acestui sistem se numesc logaritmi neperieni sau
logaritmi naturali.
In analiza matematică. se arată că aceşti logaritmi au
proprietăţi speciale, de unde rezultă importanţa lor teo­
retică. Ei se notează cu In sau cu litera L. Astfel, logaritmul
neperian din 2 se notează L2 sau In 2.
2 o Logaritmi zecimali. în practică se utilizează loga­
ritmii cu baza 10. Ei şe numesc logaritmi zecimali şi se no­
tează cu semnullg fără nici un indice. Astfellg 23 înseamnă
logaritmul lui 23 în baza 10. Logaritmii zecimali au fost
calculaţi de către Briggs".
Proprietăţi comune tuturor sistemelor de logaritmi
J. Teoremele I, II, III, IV (proprietăţile generale ale
logaritmilcr) .
1 o Logaritmul bazei este egal cu l.
2 o Logaritmul lui 1 este egal cu zero.
"Notînd baza cu B, avem: B = Bt ; 1 = BG. Con­
form definiţiei logaritrnului în baza B, rezultă:
log B = 1; log 1 = O.
Din studiul funcţiei logaritmice se observă:
1 Pentru B> 1, avem log O = -00 ;
log +00 = +00
3 o Pentru B < J , avem log O = +00 :
log +00 = -00.
,J
1 N epe« (sau NaPier), matematici!lll scoţian (1550 -1617).
2 BriiJgs, matematician englez (15-:16-1630).
234
, .
[235]
1
4
EXERCIŢII
1. ]) Să se ajie logaritmii în baza 4 ai numerelor urmă­
toare :
./2
,} "6' ° �5' '). V
-v , ,"; J �J 2·
1 n d i cat i e. Se scrie fiecare număr ca o putere a
lui 4. Pentru' ultimul număr avem:
V2_ 1 1 1
2-Y2-ţ/4-i- 4
44
:!) Să se afle logaritmii in baza 5 ai numerelor:
] 5 625 ; U,� ; 0,04 ; y� .
1 n d i c il tie. Primul număr se descompune În fac­
tori primi, pentru a-l scrie ca putere a lui 5. Apoi 0,2 =
:2 1
= - = - = r;-1 etc.
10 ;)
3) Să se afle logaritmii in baza 0,0016 ai numerelor:
0,00000256; 625; 5.
R. 2; - 1;
/ ..J.) Să se afle logaritmi: zecimali ai numerelor:
V 10000; 0,000001; 1 ; O; +00.
ţi 1000
1 n d i cat i e. Se va scrie fiecare număr ca o putere
a lui 10. '
4
R -' - 6 etc .
. 3 '
II. ] \ Să se afle număru! x din egalităţile :
log2x = [); loglOx = -1; logo,5x = -3.
2) Să se găsească baza :r din egalităţile:
1 1
log, 216 = 3; log x - = 4; log .. - = -3.
� 81 64
'�
[236]
-
5)
3)
a
5a4b2
x·== -;
x=--;
bc
7mn
4)
x=
Vab:
X = Va"b;
III. 1J Să se întocmească tabloul variaţiei şi să se facă
graficul funcţiei logaritmice y = log 2.5 x.
2) Sir.se facă tabloul variaţiei şi apoi graficul funcţie1'
logaritmice y = log 0,4 x.
IV. Expresiilor următoare, să li se aplice logaritmii:
1) x = 3 ab ; x = fi asbc ; x = 7 a3b5c2.
7 ab �a3b2 6a4bc 8a3b
2) x = -; x = x = x = -.
5 4 d �"
3ab 4a8b6
x= x=--.
c2d3 ' 9c4d2
V- V-
_ ab . _ a2
X - -c-' X - 71:"
x = 1��; X = ""\5 / a3b4 •
V a2 + x2 V 2 cd
1 n d i cat i e. La al doilea exercitiu se descompune
numărătorul in factori. '
6)
7)
X = vP(P - a)(p - b)(P-c) ; x=�vP(P - a)bc
b+c
� � _2 _ V,(P - b)(P - c)bc ; x = "' /PiP-b) (P-c) .
b-c V p-a
\
-rv. Să se calculeze x din egalităţile următoare:
� .
1) log x = log 15 + log 4 - log 12 ; log x = 2 log 5 +
+ log 3 .
R. 5; 75.
2) log"x = 2 log a + 3 log b; log x = 5 log P - 3 log q.
3) log x = 2 log (a + b) - log (a2 - b?) ;
log.x = 3log (a - b) - log (a3 - b3).
1 1 1
4) log x = -log a + -log b; log x = -(log a - log b).
2 3 -i
,
VI. 1) Să se calculeze sumele:
SI -= log a + log a2 + log a3 + ... + log a"
S 2 = log � + 2 log a2 + 3 log a3 + . . . + n log a".
n(n + 1) n(n + 1) (2n + 1)
. ,J R. 2 � log a; • 6 log IJ.
236
..
[237]
;., J) Să se calculeze suma:
,"
2"
S = logya- + log{ja + log{l a + ... + logya + ...
R. log a.
·3) Să se calculeze suma:
S = log (ava2) + log (aS va4) + log (a5 va6) +
+ ... + log(a2n-1 va2")
R. (n2 + n + 1) log a.
4) Să se calculeze suma :
nr: or» nt=: nI--
va v� v� v��
S = log 10 + log 1(j3 + log 105 + ... + log 1U2" 1
R. n (log a - n) .
.-D) Să se demonstreze egalitatea:
log Q,j� + log Q,j;a + log Q,j;o + .. , + log Q,j a2,.-1
log Q,j;a + log Q,j-;;' + log Q,j� + ... + log Q,j a2"
n
=--
d. Logaritmi zecimali. Tabele de logaritmi
În aplicaţiile pe care le vom face de aici înainte vom
utiliza numai logaritmii zecimali.
Cînd scriem:
19A = m
fără să scriem vreun indice la 19, vom înţelege că este vorba
de logaritmul zecimal.
Să considerăm cîteva numere ŞI logaritmii acestor
numere.
Numere
Numere
Logaritmi
-, .
r
Logaritmi \
t
.�
1 = 10°; 10 = 101; 100 = 102; 1000=103;
t -t. t t
O 1 2 3
10000 = 104; 100000 = lOD.
t t
4 5
237
[238]
Din observarea acestui 'tablou, rezultă:
1) Numerele sînt puteri ale lui] O.
2) Logaritrnii sînt exponenţii puterilor lui 10; loga­
ritrnii sînt mult mai mici decît numerele, ceea ce are dea­
sebită importanţă pentru calcul.
Logaritmii numerelor L, ] 0, J 00, ] 000, ... din ta bleul
de mai sus se pat afla uşor, fiindcă fiecare dintre aceste
numere este a putere întreagă a lui] O.
De exemplu: 19 1 = 0, 19 10 = L, Ig 100 = :2, 19 1000 =
-= 3 etc.
Regula I. Logaritmul unui număr format din 1 urmat
de zerouri este egal cu atîtea unităţi pozitive cîte zerouri ur­
mează d1!Pă 1.
Scriem ,tablaul :
,JOi
Logaritmi
Numere'
!0'000f01=] 0-6; 0,00101 =] 0-5; O,Of01
-6 ;) -J
= 10-4 ;
Numere
Logaritmi
to 00] =10-3. 001 =10-2. () J =]0-1. 1 = ]O(�
, , , " , ...
-!- -!- -!- -!-
-3 -:2 -1 O
Şi În acest tablou observăm :
1) Numerele sînt puteri ale lui ]0.
2) Logaritrnii sînt exponenţii puterilor lui 10.
Logaritmii numerelor 0,00Q001; 0,00001; 0,0001; ...
din acest tablou se găsesc uşor, fiindcă fiecare dintre aceste
numere este a putere Întreagă a lui ] O.
De exemplu: 19O,0001 = -4; 19O,OO1 = -3 ;
19 0,1 = :-1 etc.
Regula II. Logaritmul tinua nU'i'Ităr de forma 0,1; 0,01 ;
0,001 etc.; adică logaritmul unei unităţi zecimale este negativ
şi egal cu ordinul UI1I1'tăt1'i zecimale.
(Se ştie că zecimea este a unitate zecimală de ordinul 1,
sutimea este de ordinul II, miimea de ordinul III etc.)
Potrivit celor arătate la funcţia logaritmică (a > 1),
.rezultă că logaritmii zecimali au proprietăţile următoare:
,. , 1 o Numerele negative n-atJ.J, lagari�mi.
238
" ......
,1,
[239]
-
2 o Dacă N > 1, 19 N este un număr pozitiv; dacă
N < 1, 19 N este număr negativ.
3 o Dacă A > B, avem 19 A > 19 P. Exemplu:
1000 > 100
19 1 000 > 19100.
S-a văzut că logaritmii numerelor din tablourile de
mai sus se află uşor. Însă sînt multe numere care nu intră
in aceste tablouri. Referindu-ne, de exemplu, la primul
tablou, vedem că între 1 - 10; 10 - 100; 100 - 1000 ;
1 000 - 10 000 etc. sînt multe numere, necuprinse în ta­
blou. Acestor numere trebuie să le aflăm logaritmii. Cum
aflăm deci 19 7? Dar 19 45? Dar 19 265 ?
Modul în care se calculează logaritmii acestor numere,
care nu sînt egale cu o putere întreagă a lui 10, se înfă­
ţişează în cursul de matematici speciale. Cu logaritmii
numerelor s-au alcătuit tabele de logaritmi, din care aflăm
cu uşurinţă logaritmii de care avem nevoie.
Carnererisricu şi mantisa unui logaritm
Vedem că:
1 < 7 < 1 O; 1 O < 23 < 1 00; 100 < 457 < 1000 ;
1000 < 7358 < ]0000.
Bazîndu-ne pe proprietăţile funcţiei logaritmice, putem
'Scrie :
19] < 19 'j < 19 10; 19 10 < 1923 < Ig100 etc.
(] ) O < 19 7 < 1 ; ] < 19 23 < 2 ;
2 < 19 457 < 3; 3 < 19 7358 < 4.
Din inegalităţile (L) se constată că 19 7 este cuprins
între O şi 1 ; aşadar 19 7 este Un număr zecimal.
Tot astfel 1923, 19457, 197358. Urmează:
Logaritmul oricărui număr, care nu este egal cu o putere
Întreagă a lui 10, este un număr zecimal.
Partea întreagă se numeşte caracteristică, iar cea zeci­
mală se numeşte mantisă.
Pentru a putea scrie logaritmul unui număr trebuie
să-i cunoaştem caracteristica şi mantisa.
\
239
.�
[240]
1 o Determinarea earaeteristicii. Caracteristica logarit­
mului unui număr nu se află în tabele, dar se determină
uşor. Relaţia (1) arată: caracteristica logaritmului unui
număr de- o cifră este O, caracteristica logaritmului unui
număr d�,2 cifre este 1, cea corespunzătoare unui număr de
3 cifre esţe 2. Urmează:
Logaritmul unui număr întreg de m cifre are caracteristica
(m -1).
Exempls«: 19 76 259 are caracteristica 4; Ig2 435 921
are caracteristica 6 etc.
2 o Mantisa se află în tabele. Pentru a putea utiliza
tabelele de logaritmi trebuie prezentate cîteva teoreme
asupra logaritmilor zecimali.
TAllELE DE LOGARITMI
După cum s-a văzut, în general logaritmul unui număr
este format dintr-o parte întreagă, numită caracteristică,
şi o parte zecimală, numită mantisă.
S-au calculat logaritmii de către matematicieni şi s-au
format tabele. în unele tabele, logaritmii sînt daţi cu
7 zecimale; acestea se numesc tabele mari. Aici se află 10-
garitmii numerelor pînă la 100000.
în alte tabele, numite tabele mici, logaritmii sînt calcu­
laţi cu 5 zecimale. Aici se află logaritmii numerelor pînă
la 10000.
în cele ce urmează ne ocupăm de tabele de logaritmi
cu 5 zecintale, întrebuinţate în calcule care nu cer o prea
mare precizie.
Din tabelele cu 7 zecimale, lngaritmii se află printr-un
procedeu asemănător cu acela utilizat pentru tabelele mici.
Pentru'calcule care cer o precizie mai mică se între­
buinţează tabele de logaritmi cu 4 zecimale, care se mînuiesc
cu uşurinţă, folosind explicaţia dată în cîteva rînduri'.
Tabele de logaritmi cu 5 zecimale
în prima pagină se află logaritmii numerelor de la 1
pînă la 100, bineînţeles numai mantise1e, deoarece - după
cum am arătat - caracteristica se determină uşor. Dăm
1 De utilizat: Tabele matematice cu patru cifre, Editura de stat didac­
tică şi ped�gogică, 1955 (pp.3-8, explicaţia la'p' 8).
,'\ '1' J'
240
' ..
......
[241]
mal JOS această pagină, ca să O utilizăm la nevoie. Se
observă că în coloana N sînt scrise numerele, iar în dreapta
lor, în coloana 19, se află logaritmii numerelor.
Prima pagină din tabelele de logaritmi cu 5 zecimale 11
LOGARITl\lII ZECIl\IALI AI NUl\IERELOR DE LA 1 LA 100
NI
19
INI
19
INI
19
INI
19
IN\
19
01
00000
21
32222
41
61278
61
78 533
81
90849
2
30103
2
34242
2
62325
2
79239
2
91 381
3
47712
3
36173
3
63347
3
79934
3
91908
4
60206
4
38021
4
64345
4
80618
4
92428
5
69897
5
39794
5
65321
5
81291
5
92942
6
77815
6
41497
6
66276
6
81954
6
93450
7
84510
I
7
43136
I �
67210
I �
82607
I �
93952
8
90309
8
44716
68124
83251
94448
9
95424
9
46240
9
69020
I 9
83885
9
94939
11
04139
31
49136
51
70757
171
85126
91
95904
2
I
07918
2
50515
2 I
71 600
I�
85733
2
I
96379
3
11 394
3
51 851
3
72 428
86332
3
I
96848
4
14613
4
53148
4
73239
14
86923
4
97313
5
17609
5
54407
5
74036
1 �
87506
5
97772
6
20412
6
5563'()
6
74819
88081
6
98227
7
23045
7
56820
7
75587
7
88649
7
98677
8
25527
8
57978
8
76343
' 8
89209
8
99123
9
27875
9
59106
9
77085
I 9
89763
9
99564
Printr-o simplă citire avem:
195 = 0,69897; 198 = 0,90309; 1918 = 1,25527
1926 = 1,41497; 1954 = 1,73239; 1999 = 1,99564.
Proprietăţi ale logaritmilor zecimaJi
Teorema 1. Dacă înmultim un număr cu 10,100,1000 ... ,
mantisa logaritm ului său �u se schimbă, dar caracteristica
se măreşte cu 1, 2, 3, ... scnităti.
De exemplu:
1926 = 1,41497.
Să considerăm 19 260 = 19 (26.10)
\
.16 - Algebra el. a IX·a
241
I
Ll
---_ .. - �
[242]
,J
19 (26 <10) = 19 26 + 19 10 = 1,41497 + 1 = 2,41497
19260 = 2,41497.
După cum se constată, 1926 şi 19260 au aceeaşi man­
tisă, iar caracteristica acestuia din urmă este cu o unitate
. )
mal mare.
Tot aşa:
19 26 000 = 19 (26·1000) = 19 26 + 19 1000
19 26000 = 1,41497 + 3 ; 19 26000 = 4,41497.
Prin urmare, 19 26 şi 19 26000 au aceeaşi mantisă,
'însă caracteristica acestuia din urmă este cu 3 unităţi
'mai mare. '
Teorema-II. Dacă împărţim �m număr cu 10, 100,1000 ... ,
'mantisa logaritmului său nsc se schimbă, dar caracteristica
.se micşorează C1[ 1. 2, 3, ... unităţi.
De exemplu:
19 54 = 1,73239
Ig 5,4 = Ig � = 19 54 - 19 10 = 1, i323!1 - 1
10
19 5,4 = 0,73239.
Deci 195J şi 195,4 au aceeaşi mantisă, dar caracte­
ristica acestuia din urmă este cu o unitate mai mică.
Dirr.aqeste teoreme rezultă următoarea:
�
Regulă. Pentru a obţine mantisa logar'itm�tlui unui
număr zecimal, luăm mantisa logariimului 1tumărulu1' întreg
care rezultă prl'n ştergerea »irgulei.
De exemplu :
19 64,38 are aceeaşi mantisă ca 19 6438; Ig O,O.ţ23 are
aceeaşi mantisă ca 19 423.
,
Determinarea earacteristieii unui număr zecimal
Cazul 1. N umere zecimale mai mari decît unu.
Fiindcă:
" .
242
[243]
-----------=====���==�=�
I
] ° < 64,38 < 100; 100 < 375,8 < 1000 ;
1000 < 6395,264 < ] 0000.
1 < 19 G"!,38 < 2 ; 2 < 19 375,8 < 3; 3 < 19 6395,264 < 4�
rezultă că 1964,38 are caracteristica 1, 19375,8 are carac­
teristica 2, 19 6395,264 are caracteristica 3 .
. Aşadar :
Dacii un număr zecimal mai mare decît 1 are m cifre la
partea întreagă, caracterist-ica logaritmului său este (m - 1).
Cazul II. Numere zecimale mai mici decît 1.
Să considerăm:
T
197 = 0,845]0.
Putelll scrie:
112,' 0,7 = 192 = 19 'i -lg10 = 0,845]0-1
c, 10 L
IgO,7 = -0,15490.
Dar, în acest mod, mantisa este negativă şi în tabele nu
există decît mantise pozitive; apoi, în calcul este mai co­
mod să întrebuinţărn mantise pozitive. Pentru acest motiv
scriem:
19 0,7 = 1,84510.
[Observăm că 0,84510 este mantisa logaritmului lui 7.)
De asemenea :
7
la ° 07=lg - = 127 - Ig 100 = 0,84510 -:2 .
.., , 100 �
Obişnuim să scriem: 19O,07 = 2,84510.
La fel: 19 0,007 = 3,84510.
După cum vedem, logaritmii numerelor 0,7; 0,07;
0,007 au caracteristica negativă, dar mantisa pozitivă.
Mai obţinem:
f
!
1
1
� .
IgO,37 = ] ,56820
19O,037 = 2,56820
19O,0037 = 3,56820
19O,00037 = 4,56820.
243'
.�
[244]
- ALCĂTUIREA TABELELOR Cu "ZECIMALE
Sînt - formate din două părţi:
1) S-a:văzut cum este formată prima pagllla.
2) Celelalte pagini sînt formate întocmai ca aceea
alăturată, adică coloana întîi, intitulată N, în care sînt
scrise numerele de la 100 la 999, apoi zece coloane intitu­
late 0,1,2,3,4, a, 6, 7, 8, 9, în care sînt scrise mantisele
logaritrnilor.
Din aceste exemple deducem:
Caracteristica logaritmului unui număr zecimal mai mic
decît 1 este egală cu ordinul primei cifre semnificative (dife­
rită. de zero) după virgulă, luat cu semnul minus.
Dupăjce am stabilit teoremele şi am făcut observaţiile
de mai sus, putem să arătăm cum sînt alcătuite tabelele
de logaritmi cu 5 zecimale.
Reproducem o pagină din aceste tabele, pentru a explica
modul în care le utilizăm (vezi pag. 245).
--, ------------------------------ ----
I
,'1
:'
Aflarea logaritmului unui număr dat
a. Logâritmul unui număr de 3 cifre. Caracteristica
este 2, iar mantisa este scrisă la dreapta numărului, pe
aceeaşi linie cu el, în coloana intitulată O. Astfel se citeşte
numaidecît:
19310 = 2,49136.
Apoi: Ig311 = 2,49276
(primele două cifre ale .rnantisei nu se mai repetă la nume­
rele următoare) .
.
De asemenea:
�, ,J
I '
19312 ;2,49415; 19316 = 2,49969 ; 19 317 = 2/)0106 etc.
,
în alte pagini ale tabelelor găsim:
Ig102 = 2,00860, Ig118 = 2,07188
19 637 = 2,80414, Ig999 = 2,99957.
b. Logaritmul unui număr de 4 cifre. Să aflăm Ig3126.
Se 'ştie- că are caracteristica 3. Mantisa se află astfel 1
244
[245]
r
I
NI
O
I
1
I
2
I
3
I 4 I
5
I
6
I 7 I
8
I 9 1
310
49 136
150
164
178
192
206
220
234
248
262
1
276
290
304
318
332
346
360
374
388
402
2
415
429
443
457
471
485
499
513
527
541
3
554
568
582
596
610
624
638
651
6651 679
4
693
707
721
734
748
762
776
790
803 817
I
5
831
845
859
872
886
900
914
927
941
955
6
969
982
996
·010
·024
·037
·051
·065
·079
·092
7
50 106
120
133
147
161
174
188
202
215
229
8
243
256
270
284
297
311
325
338
352
365
9
379
393
406
420
433
447
461
474
488
501
-
320
515
5291
542
556
569
583
596
610
623 637
1
651
664
678
691
705
718
732
745
7591 772
2
786
799
813
826
840
853
866
880
8931 907
3
920
934
947
961
974
987
·001
·014
·028
·04]
I
4
51 055
068
081
095
108
121
135
148
162
175
5
188
202
215
228
242
255
2681
282
295
308
6
322
335
348
362
375
388
402
415
428
441
7
455
468
481
495
508
521
534
548
561
574
8
587
601
614
627
640
654
667
680
693
706
9
720
733
746
759
772
786
799
812
825
838
330
851
865
878
891
904
917
930
943
957
970
1
983
996
·009
·022
·035
*048
·061
·075
*088
·101
2
52 114
127
140
153
166
179
192
205
218
231
3
244
257
270
284
297
310
323
336
349
362
4
375
388
401
414
427
440
453
466
479
4921
5
504
517
530
543
556
569
582
595
608
62]
6
634
647
660
673
686
699
711
724
737
750
7
763
776
789
802
815
827
840
853
866
879
8
892
905
917
930
943
956
969
982
994
·007
9
53 020
033
046
058
071
084
097
110
122
135
IN I
O
li 1 I
2
I
3
I 4 I
5
I
6
I
7 I
8
I
9
.�
14
1
1,4
2
2,8
3
4,2
4
5,6
[)
7,0
6
8,4
7
9,8
8
11,2
9
12,6
13
1
1,3
2
2,6
3
3,9
4
5,2
5
6,5
(j
7,8
7
9,]
8
10,4
9
[1,7
1 1,2
2 2,4
3 3,6
4 4,8
5 6,0
6 7,2
7 8,4
8 9,6
9 10,8
245
[246]
19 3163 "F 3,50010.
lăsăm la' o parte cifra 6 a unităţilor numărului 3126 şi
obţinem numărul 312. Acest număr se află în coloana N.
Ne fixăm asupra liniei orizontale a lui 312 ; chiar este bine
la început să aşezăm marginea unei rigle, a unei foi de
hîrtie sai] un creion, care să servească drept linie orizon­
tală a lui 312.
Ne fixăm şi coloana intitulată 6 (se observă că 6 este
ultima cifră a numărului 3126). Luăm primele două cifre
ale mantisei logaritmului lui 312, adică luăm 49 ; apoi la
intersecţia liniei orizontale a lui 3] 2 cu coloana intitu­
lată 6 se găseşte numărul 499. Mantisa 19 3126 este
49499.
19 3126 = 3,49499.
în acelaşi mod găsim:
193134 = 3,49610
19 3]31 = 3,49568
Ig3130 = 3,49554.
în alte pagini ale tabelelor găsim:
. 19 4129 = 3,61584; 19 6382 = 3,80496
fg 7777 =>= 3,89081; 199999 = 3,99996 etc.
Ohservarea steluţei. Folosind tabelele, putem scrie:
Ig3160 = 3,49969
193161 ( 3,49982
193162 = 3,49996.
,
Căutînd mai departe în tabele în felul în care am arătat
mai sus, ar trebui să luăm:
19 3163 = 3,49010.
Dar aceasta nu se poate, fiindcă ar rezulta: 19 3163 <
< 19 3162, ceea ce 'contrazice variaţia funcţiei logaritrnicc.
La stînga cifrelor din coloana 3 se găseşte o steluţă. Ea
ne arată că în loc să luăm 49 ca primele două cifre ale
mantisei, trebuie să luăm 50 ca primele două cifre ale
mantisei.
Aşa,dar:
246
. � :
[247]
cat-
Prin urmare, cînd ultimele trei cifre găsite într-o coloană
poartă o steluţă la stînga, trebuie ca primele două cifre ale
mantisei să le luăm din linia orizontală, care urmează
imediat în jos după linia orizontală a numărului (bine­
înţeles din coloana intitulată O).
Potrivit acestei observaţii, tabelele dau:
Ig3164 = 3,50024; 19 3165 = 3,50037; Ig3169 =
= 3,50092.
Din alte pagini ale tabelelor găsim:
Ig4366 = 3,64008; Ig6767 = 3,83040; Ig9777 =
= 3,9902] etc:
c. Logaritmul unui număr format din mai mult
de 4 cifre.
Exemplul 1. Să aflăm 19 J1 457. Procedăm astfel:
caracteristica se ştie că este 4. Potrivit unei teoreme de­
monstrate, mantisa este aceeaşi ca şi pentru Ig1145,7.
în adevăr: 1] 45,7 = 11457. însă în tabele nu se află loga-
10
ritmul unui număr zecimal, deci nu găsim 19 1145,7.
Observăm că J145,7 este cuprins între 1145 şi 1146 ; de
aceea rezultă că 19 1145.7 este cuprins între 19 ]145 şi
19] 146.
Aşezăm lucrarea astfel:
19 1145 = 3,05881
Ig1145,7
19 Jl46 = 3,0591R.
Adrniţînd că creşterile logaritmilor sînt proporţionale
cu creşterile numerelor, putem să judecăm: trecînd de la
1145 la 1146, adică numărul mărindu-se cu 1, logaritmul'
se măreşte cu 9] 8 - 881 = 37 unită ţi de al 5-lea ordin
zecimal. Deci, trecînd de la 1145 la ]145,7, adică numărul
mărindu-se cu 0,7, logaritmul se măreşte cu 37·0,7 = 25,n
unităţi. Deoarece lucrăm numai cu 5 zecimale, neglijăm
0,9, dar prin majorare obţinem 26 unităţi de ordinul
al 5-lea. Pe acestea le adunăm la mantisa cea mai mică,
adică la 05881 şi obţinem : 05881 + 26 = 05907. Rezultă:
19 1145,7 = 3,05907
247
.�
[250]
4) 7; 33; 68; 93; 147; 326; 574; 4555; 63078; 753675;
0,6; 0,85;_ 0,736; 0,.5634; 0,04; 0,073; 0,008; 0,00475;
0,0000591>4..
5) 251�; 2637; 3809; 5624; 56264; 7!).! 738 ;
0,00812965.
II. In tabele găsim:
192 = 0,30103, 19]6 = 1,20412.
Să se explice pentru ce 19 16 este de patru ori mai mare
decît 19 2.'
III. t '!Z tabele găsim;
193 = 0,47712.
Să se afle, fără ajutorul tabelelor, logaritmul lui 243.
Aflarea numărului corespunzător unui logaritm dat
a. Mantisa se află in tabele. Exemplul 1. Se dă
19 x = 2,50961 şi se cere x.
Căutăm mai întîi primele două cifre ale mantisei, adică
50, în coloana O. Coborîm în coloana ° pînă cînd aflăm
cel mai apropiat număr de 96], adică numărul format
de ultimele trei cifre ale mantisei. Aflăm în acest mod
920. Mergînd pe linia orizontală a lui 920, găsim 961 în
coloana intitulată 3. Luăm acest 3 ca ultimă cifră a numă­
rului x ;.pe linia orizontală a lui 961 găsim, în coloana N,
numărul 323, care reprezintă 1>rimele trei cifre ale numă­
rului x . .Aşadar lui x îi corespunde în acest mod numărul
3233. Fiindcă Ig x are 2 la caracteristică, deducem:
x = 323,3.
Exemplul II. Se dă 19 x = 1,51521. Să se afle x.
Procedăm la fel, găsim:
x = 0,3275.
Exemplul III. Se dă 19 x = 1,52075.
Aflăm: x = 33,17.
O b ser v aţi e. Pentru aflarea primelor trei cifre ale
lui x, cuprinse în coloana N, mergem totdeauna pe linia
orizontală a numărului format de ultimele trei cifre ale
mantisei. . �
250
[251]
u
Să se ţină seamă de aceasta mai ales în cazul steluţei,
ca în exemplul III.
b. Mantisa nu se află în tabele. Exemplul 1. Se dă
19 x = 3,52821. Să se afle x.
Procedînd ca în exemplele anterioare, vedem că man­
tisa 52821 nu se află în tabele, dar este cuprinsă între
52815 şi 52827.
Scriem:
3,52815
3,52821
3,52827.
După aceasta, scriem numerele corespunzătoare primei
şi ultimei mantise.
Avem: 3,5281;) . . . . . . . 3371
3,52821 .
3,52827 . . . . . . . 3375.
Facem raţionamentul următor: logaritmul, crescînd cu
827 -815 = 12 unităţi (de-al V-lea ordin zecimal), numărul
creşte cu un întreg; cînd logaritmul creşte cu 821-815 =6
unităţi, numărul creşte cu 6 : 12 = 0,5, ceea ce adunăm
la numărul 3374.
Calculul se ordonează astfel:
3,52815 3374
0,5
3,;)2821
3,52827
12
6.
3374,5
3375
1
�= 0,5.
12
Deci: x = 3374,5.
ExemPlul II. Se dă 19 x = 2,70820.
Dispunînd calculele ca în exemplul precedent, obţinem
�,70817
2,70820
2,70825
8
3
Aşadar: x = 0,05107375.
\
0,05107
0,375
0,05]07375
0,05108
1
3
- = 0,375.
8
251
[252]
1,87017
1,87020
1,87023
Exem-plul III. Se cere x din relaţia:
19 x = 1,87020.
74,16
0,5
74,165
74,17
I
1
1
6
3
1
�=�= 0,5.
6 2
x.
.3,49748
14
"
Prin urmare x = 74,165.
Tabele de părţi proporţionale. În unele tabele de loga-
14 ritmi, pe marginile paginilor de la început, se găsesc
11!1 aşa-numitele "tabele de părţi proporţionale", scrise
2 2,8 cu .cifre mai mici decît cele obişnuite din pagină.
3 !'� Astfel, pe marginea din dreapta a uneia din pagini
: 7' se găseşte tabela de părţi proporţionale corespun-
6 8,4 zăt oare diferenţei tabulare ] 4.
7 9,8
8 11,2
9 12,6
Alcătuirea şi utilizarea ei se arată în cele ce urmează:
a. ExemPl1ll 1. Să aflăm 1931438.
Procedînd ca în exemplele anterioare, scriem:
3143 .3,4973"1
3143,8
3144
1
0,8
(
Se constată că 14 reprezintă creşterea logarit mului
cînd nurrrărul creşte cu 1 (de la 3143 la 3144).
Cînd numărul creşte cu ] logaritmul creşte cu H
0,1 1,4
0,2 ,,2,8
r ,
" '
0,8
O,!)
.-1
" 1 J ,:2
]2.6
[253]
Vedem că cele două coloane ale tabelei de părţi pro­
porţionale, corespunzătoare diferenţei tabulare 14, ne
permit să citim dintr-o dată creşterea logaritmului, cînd
numărul creşte cu un anumit număr de zecimi. în exemplul
de mai sus, fără a mai folosi regula de trei simplă, citim
în dreptul cifrei 8 creşterea 11,2 a logaritmului.
Adunînd această creştere la mantisa cea mică, obţinem:
19 3143,8 = 3,49745.
Calculul se aşază astfel:
3,49734
]]
.;"}2827
- ----_._--
Pentru 3143· . .
Pentru 08 ..
19 3143,8 = 3,49745
Exemplul II. Să aflăm 19 337 -167.
3374 .528J5
3374,67 ..
337;)
Luăm:
13
Utilizăm tabela părţilor proporţionale, relativă la
diferenţa tabulară ]2.
Avem:
zecimi cores-
Să se afle x,
,"}281 ;;
7·,
,�
0,8.1
Pentru
Pentru
Pentru
3371
0,6
0,07 .
19 337 467 = 5,52823.
(în tabela părţilor proporţionale la 7
punde 8,4; deci la 7 sutimi avem 0,84.)
b. Exemplul 1. Se dă 19 x = 2,40166.
Scriem:
40157
40166
40175
2fl21
2522
diferenţa = 175 - 157 = 18
apoi: 166-157= n
Procedăm aşa :
Pentru
Pentru
401;"} 7
n
40166 .
2521
O,,)
:!521,G.
253
.�
[254]
Prin urrnare : x = 252,15.
(Pe 9 îl căutăm în coloana din dreapta de sub 18, iar
0,5, care corespunde, este scris în coloana din stînga de
sub 18.) 1 •
Exempt,ul II. Se dă 19 x = 3,21571.
)
Avem :.
21564 164�
21571
21590 ]6�4
diferenţa = 26
571-564 = 7.
Utilizăm părţile proporţionale relative la diferenţa 26.
J?entru :n.564 ] 643
Pentru 5,2. 0,2
Pentru 1,82 . 0,07
21571 ]643,27.
Deci: x = 1643,27.
(Să se observe că numerele 5,2 şi 1,82 se află în coloana
din dreapta de sub 26, iar numerele corespunzătoare
(/,2 şi 0,07 sînt în coloana din stînga, de sub 26.
Numerele 5,2 şi 1,82 au fost alese în aşa fel ca suma lOT
să fie cît mai apropiată ele 7 = 21571 - 21564.)
următorilor
EXERCIŢII
afle numerele coresţnineătoare
VIS' v·
. a se
logaritmi' �.
1) 0,69897; 1,17609; 2,12613; 2,51001; 3,75959
4,80044; 4,88007.
R. 5; 15; 133,7; 323,6; 5749; 63160; 75870.
, r v
2) 1,71819; 2,92942; 3,51772; 4,66068.
• R. 0,56; 0,085; 0,003294; 0,0004578.
3) 3,12532; 4,01860; 6,18030; 1,760:15; '3,79002.
R. 1334,5; 10 437,619; 1 514 607,14; 0,5756375; 0,00616628.
4) 0,51851; 1,93450; 3,58715; 2,59084; 4,78000;
- -
2,'W044; 5,97011.
I '..J
254
[255]
1,16982; 5,51820; 1,30130; 2,99054;
1,07090·; 2,14192; 6,65016; 1,75001
5) 0,06275;
4,80035.
6)_0,03120 ;
3,83004.
II. Utilizînd tabela părţilor proporţionale, se cere:
1) Să se afle logaritmii numerelor:
.
,.
10735; 1235,8; 323,26; 57,552; 6,9083; 0,79459;
0,0085147.
2) Să se afle numerele corespunzătoare logaritmilor:
0,14375; 1,18026; 3,53937; 1,500]5; 3,70014 ;5,87001
6. OPERAŢII CU LOGARITMI
Adunarea. S-a văzut că un logaritm oarecare are tot­
deauna mantisa pozitivă, pe cînd caracteristica poate
fi pozitivă, negativă sau nulă. Prin urmare, pentru a
putea face adunarea mai multor logaritmi, procedăm în­
tocmai ca la adunarea numerelor zecimale, ţinînd însă
seamă că din adunarea mantiselor ies unităţi pozitive, care
se vor aduna alge brie cu caracteristicile logaritmilor.
Exemplul 1. Să se facă adunarea:
19 3452 + 19 253 + 191,439.
în tabele găsim:
193432 = 3,53807 ; 19 253 = 2,403] 2
şi
19],439 = 0,15806.
Deci lucrăm aşa:
3,53807+
2,403]2
0,15806
6,09925.
Exemplul II. Să se facă adunarea:
19O,42 + 19O,0592 + 19O,0035 ..
255
[256]
'-------
Avem:
19 0,42 = 1,62325; 19.0,0592 = 2,77232
19 0,0035 = 3,54407.
'Deci �
)
1,62325 +
2,77232
3.54407
5,93964.
Aici, din adunarea mantiselor am obţinut o unitate
pozitivă, care, adunată cu caracteristicile logaritrnilor,
ne dă -5.-
Exemplul III. Să se efectueze suma:
19457 + 19 0,98 + 19 75,43 + 19O,0029.
Căutînd în tabele, rămîne să facem adunarea
3,65992 +
1,99123
1,87754
3,462-10
1,U9J ou.
Scădere;-. Să aflăm 19 539:53 •
Se ştie' că:
19 � = la 3Ui - 19 5933.
5933 b
în loc -să facem această scădere, din care am obţine
mantisă negativă, procedăm astfel:
2,53782 - 3,77327 = 2,53782 - 3 - 0,77327
2,53782 - .3,77327 = 2,53182 - 3 - 1 + 1 - 0,77327,
I
adică am scăzut 1 şi am adunat 1, ceea ce nu schimbă
valoarea expresiei.
Avem mai departe :
2,53782 - 3,77327 = 2,53782 - 4 + 0,22673.
, (1) .' , 2�53782 - 3,77327 �2,5378:l + 4,,22673.
256
..
"
[257]
..
"
C
I
Egalitatea (1) arată că putem înlocui scăderea a doi
logaritmi printr-o _adunare de logaritmi. în loc să scădem
3,77327, adunăm 4,22673.
Ştim că 3,77327 este 19 5933; pe 4,22673 îl numim
cologaritmul numărului 5933.
Scriem: /
colg 5933 = 4,2�673.
Egalitatea (1) arată că
(2) 19 345 - 19 5933 = 19 345 + colg 5933.
Aşadar: în loc să scădem logaritmul u,n�ti număr, adunăm
cologaritmul său.
în exemplul de mai sus găsim:
2,53782 +
4,22673
2,76455
Deci: Iz � = �,76435.
t:> 5933
Din relaţia (2) deducem:
colg .'5933 = - 19 f>P3,) ,
La fel găsim:
colg 347 = - 19 347 ; colg 59 = - 19 ;)9 etc.
colg N = - 19 N,
Definiţie. Cologaritmul unUl' număr se numeşte opusul
logaritmului acelui număr.
Deoarece
1
log - = log 1 - log N
N
Ioa _1_
t:> N
- log N
1
log -,
N
colg'N
mai rezultă :
Cologaritmul unui număr este egal cu logaritmul inver­
sului acelui număr.
t
17 - Ai�etr" el. a IX-a
,�
257
- ti'
[258]
Observînd numerele:
. ,
3,77327
4,22673
'1
I �
1, ,
I!
I
care reprezintă respectiv logaritmul lui 6933 şi cologaritrnul
lui 5933, deducem:
Regula pentru aflarea eoloqaritmulni. La caracteristica
logaritm ului adunăm unitatea pozitivă (3 + 1 = 4) şi
numărului obţinut îi schimbăm imediat semnul; obţinem
-4, care este caracteristica cologaritmului. Pentru aflarea
mantisei cologaritmului, scădem ultima cifră semnificativă
a mantisei logaritm ului din 10 şi pe fiecare din celelalte
o scădem din 9.
ExemPlul 1. Să aflăm colg 0,035.
Avem:
19 0,035 = 2,54407; colg 0,035 = 1,45593
2 + 1 = - J şi, schimbînd semnul, obţi nem + 1).
ExemPlul II. Să se afle colg 0,8534.
Avem:
19· 0,8534 ..- 1,93115; colg 0,8534 = 0,06885.
O b ser v aţi a 1. Aplicînd raţionamentul pentru aflarea
cologar itmului, găsim:
196045 = 3,78149, colg 6045 = 4,21860
19 7551 = 3,87800, colg 7551 = :r,12200
196166 = 3,79000, colg 6166 = 4,21000.
Aşadar: Dacă mantisa logaritmului se termină cu unu
sau cu mai multe zerouri, pentru aflarea mantisei cologarit­
mului se lasă aceste zerouri neschimbate şi din 10 se scade
ultima cifră semnificatioă (diferită de zero); se înţelege că
celelalte cifre se scad din 9.
O b ser va ţ i a a II-a. Utilitatea cologaritrnului se în­
vederează mai cu seamă într-o sumă algebrică de logaritmi,
cînd în loc să facem adunări şi scăderi, facem numai o
adunare.
, ".1 Înmulţirea, Exem-plul �' Să calculăm 19 (24,53)7,
258
.. '
[259]
-
Se ştie că: 19 (24,53)1 = 7· 19 24,53.
Deci: 19 (24»3)7 = 7·1,38970 = 9,72790.
ExemPlul II. Să aflăm: 19 (0,004798)5.
Obţinem:
19 (0,004728)5 = 5 . 19 0,004798.
19 (0,004728)5 = S.S,6810a = 12,40530.
Aici, cele trei unităţi pozitive care au rezultat de la
partea zecimală le-am adunat algebric cu produsul
5·(-3) = -15. Avem: 3 + (-15) = -12.
Împărţirea. ExemPlul 1. Să aflăm 19 V 486.
Scriem
19 V <186 = 1!L486 = :<,68664 = 0,89554.
3 3
Aici, caracteristica logaritrnului lui 486 este pozitivă;
deci avem împărţirea unui număr zecimal printr-un număr
întreg; nici o dificultate.
Exemplul II. Să aflăm 19 V 0,0052.
Avem:
19 VO,0052 = Ig 0,0052 = 3,71600 =
3 3
= -3 + 0,71600 = -3 + 0,71600
333
sau:
19 V 0,0052 = 1,23866.
Aici, unde caracteristica este negativă, dar se împarte
exact prin împărţitor, am împărţit caracteristica prin
împărţitorul 3 şi am aflat caracteristica cît ului şi apoi
am împărţit mantisa prin împărţitor şi am aflat mantisa
citului.
Exem-plul III. Să aflăm: 19 Vo,5�h2.
\
259
[260]
Putem. scrie:
19 {I-0,5942 = 19 0,5942 = 1,77393 = 1 +0,77393;
, • 3 3 3
19 {Ie,5942 = -1 - 2 + 2 + 0,77393 = 3 + 2,77393 =
3 3
= -3 + 2,77393
3 3
19 {I 0,5942 = 1,92464.
Prin urmare aici, unde caracteristica este negativă şi
nu se împarte exact cu împărţitorul 3, am adăugat două
unităţi negative şi am obţinut - 3, care se împarte exact
cu 3. în acelaşi timp am adăugat şi două unităţi pozitive
şi am obţinut 2,77323. Acum împărţim caracteristica.
astfel mărită şi obţinem caracteristica cît ului şi apoi îm-,
părţim numărul format de unităţile pozitive cu mantisa şi
aflăm mantisa cîtului.
La fel:
2.35427
13
13 + 11,35427
13
187.'340.
Împărţirea a doi logaritmi. Vom vedea că, la rezolvarea
unei ecuaţii exponenţiale, avem nevoie să împărţim Un
logaritm cu alt logaritm. Dacă ambii logaritmi ali carac.
teristica ,pozitivă, avem o simplă împărţire de numere
zecimale.
Exempl« '. 19354 2,64900 1 5'"'030
__ 19 42 1,62325 = " .
Dacă însă unul dintre logaritmi are caracteristica nega,
tivă, sali. poate chiar amîndoi au caracteristica negativă,
transformăm logaritrnii în numere negative şi apoi îm-
părţim. '
Exem-p]«: 1 o �g.0,458 = 1,66087 = -1+0,66087 = -0,33913
1965 1,81291 1,81291 1,81291
19 0,458 = -0,33913 = _ O 18706.
1965 1,81291 '
20 1��8 = 1,_6�0�? = -0,33913 = 0,�8;)tij.
19O,065 2,81291 -1,187.09
J,
260
.. ..
[261]
r
!
Altă soluţie. Amplificînd fracţia' prin (-1), obţinem:
19 0,458 = -lgO,458 = colg 0,458 = 0,33913 = 0,28567.
19O,065 -lgO,065 colg 0,065 1,18709
EXERCIŢII
1. Să se facă adunările:
]) Ig4392 + 19 56,38 + 19 1,562 + 19 63 428.
2) 19 0,45 + 19 0,029 + 19O,00068.
3) 19 4927 + 19 4 + 19 0,099 + 19 0,00:144 +
+ 19 977 425.
II. Să se afle cologaritmii numerelor:
425; 6298; 154,82: 0,45; 0,000694; 6223.
R. 3,37161 ;4,20080; 3,81017; 0,34679; 3,15864; 4,20600
III. Folosind cologaritmii, să se facă scăderile :
19 4f) - 19 427; 19O,964 - 19 0,0028 ;
19 4 -� 19O,86:160
R. 1,02278; 2,53692; 0,66675.
IV. Să se facă înmulţirile(
4.1g429 ;6.1g1,457;
:3 -lg 0,2fî; 8 -Ig 0,0079.
R. 10,52984; 0,98076; 2,19382; 17,18104.
V. Să se facă împărfţrile :
Ig495 . Ilg 0,293. 19O,004837
5' 2' 7
--J R. 0,53892; 1,73343; 166922.
ţI. Să se calculeze:
Ig47; . 19O,68. 19O,0035
IgO,042 1926 IgO,823
R. -1,21452; -0,11837; 29,029,
261
.�
__ ... - .... e .... · ---- �
[262]
Utilitatea logaritmilor
Folosind proprietăţile logaritmilor şi utilizînd tabelele de
logaritmi, se pot înlocui calcule lungi, obositoare, care cer
timp mult şi expun la greşeli, cu calcule cu numere mult
mai mici decît cele date şi supuse la operaţii mult mai
simple decît cele care trebuiau efectuate.
Astfel, în loc de înmulţirea mai . multor numere, se
adună lcigaritmii lor; împărţirea a două numere se înlo­
cuieşte prin scăderea logaritmilor; calculul unei puteri
revine la o înmulţire de numere mici, iar aflarea rădăcinii
dintr-un număr se face printr-o împărţire simplă de
numere mici.
Aplicaţiile care urmează vor lămuri aceste consideraţii .
. #
7. APLICAŢII ALE LOGARITMILOR
EXERCIŢII
E xenzplul I. Să se calculeze: {/125. 4593.
,----,- __ --:-:- <t
Notăm: x = {/125 . 4593.
-'
în acest exemplu, ca şi în cele care urmează, procedăm
astfel: notăm cu x numărul pe care vrem să-l aflăm, cal­
culăm mâi întîi 19 x şi apoi aflăm pe x din tabelele de loga­
ritmi.
Pentru exemplul 1 avem:
19 x = Ig{/J25 . 4593.
Servindu-ne de teoremele stabilite înainte, putem scrie:
19 x = 19 (125· 4593) = 19 125 + 194593
3 � 3
262
..
---�-----"'"'
'f
!
I
I
I
�>
[263]
D
Tabelele dau:
19 125 = 2,09691 ; Ig4593 = 3,66210.
Deci:
19 x =
2,09691 + 3,66210
3
5,75901
3
.s
lg x = 1,91967.
CunoscÎndu-1 pe lg x, din tabele obţinem:
x = 83,113.
Aşadar, în loc să-I aflăm dintr-o dată pe x, i-am aflat
întîi logaritmul şi apoi de la logaritm am trecut la număr.
ExemPlul II. Să se calculeze (0,986542)15.
Notăm x = (0,986542)15.
19 x = ]51g 0,986542 = ]5· ] ,994]2
19 x = 1,91180.
Din tabele avem : x = 0,8]62.
ExemPlul III. Să se calculeze:
236,39' 127,46
564,87
Avem:
x = 236,39 • 127,46
564,87
19 x = 19 236,39 + 19 ] 27,46 + colg 564,87.
Folosind tabelele cu 5 zecimale, putem scrie:
19236,39 = 2,37363
19 ]27,46 = 2,10537
colg 564,87 = 3,24805
19 x = ] ,72705
x = 53,34.
Exemplul IV. Să se calculeze:
5-­
x = ,/0,5142
Y375'
263
.�
[264]
Putem scrie:
1 0,5142
g--
li x = _-::-37_5_
5
19O,5142 - 19375 _ 19O,5142 + colg 375
,.
"1
I
1.
�
1 1,71113 + 3,42597
g x = 5 = 1,42742.
De unde: x = 0,267558.
Exemplul V. Să se calculeze:
V (36926,5)3. V�629-
x = -'----;i/�(=62=5=8,=96=):::-1-
Aplicind logaritmii, găsim:
19 x = 3' 4,56734 + 3,41979 _ 2' 3,79650 = 0,11039
7 5 3
x = 1,289411.
Exem-plu; VI. Să se verifice inegalitatea:
(1:: r < 1000.
- (125)"
Sol u tie. 'Notăm N= - şi obtinem:
, 64'
"lg N = 10 (lg 125 - 19 64). Făcînd calculul, găsim
. 19 N = 2,91 < 3 ; deci N < J 000.
PROBLEME
1. Să se calculeze dimensiunile litrului, ştiind că inăl­
timea lui este dublul diametrului bazei.
, Ş�tim că: V = 7t r2h. Deoarece se dă h = 2i = 4r,
urmează:
însă V
364
v = trcr3.
J drn", deci:
47tr3 = 1
[265]
-
l 19 1 - 19 47t
g r = - --=----
3
19 r = 1,63360
r = 0,43 dm.
supusă la forţa Con-
32000
9.81
stantă F = 250-130 = 120 kg, capătă acceleraţia y = �.
m
Fie t timpul necesar pentru ca locomotiva să parcurgă
1 V�s
spaţiul s = 7000 m. Avem: s = -yt2;t = -;
2 Y
= V �: ; t -= V 2;n
Aşadar: h = 1,72 dm.
II. O locomotivă cîntăreşte 32 tJ. Să se afle în cît timp
va parcurge 7 km, ştiind că acţiunea vaporilor echivalează
cu o forţă constantă de 250 kg, iar rezistenţelc pasive, cu o
forţă de 130 kg.
Sol u ţie. Masa m
_ /2 . 7000 . 32000
Numeric: t "' .
- V 9,81 ·120
19 t = Ig2+lg7000+lg32000-lg9.81-lg120
2
19 t = 2,7902] ; t = 617 secunde = 10 minute şi 17 secunde.
III. Problema duPlicării cubului sau problema din Delos­
Se dă un cub cu latura a. Să se afle latura x a altui cub
care să aibă oolumu! de două ori mai mare decît volumul
primului cub.
1 Geometrii greci din antichitate au fost preocupaţi cu deosebire
de trei probleme, rămase celebre în istoria matematicilor: trisecţiunea
unghiului, cuadratura cercului şi duPlicarea cubului. Ei au căutat să re­
zolve aceste probleme numai cu rigla şi compasul şi n-au reuşit.
Aceste probleme au enunţul următor:
Trisecţiunea unghiului: Să se împartă un unghi oarecare în trei părţi
egale. 1
Cuadratura cercului: Să se constrniască un pătrat care să aibă aceeaşi
arie ca un cerc dat.
Du-plicarea cubului: Să se construiască un cub care să aibă un volum
de două ori mai mare decît Ull cub dat.
Matematicienii moderni au demonstrat că este imposibil să se rezolve
aceste probleme în mod grafic, utilizînd numai rigla şi compasul.
\
265
.�
[266]
Putem scrie succesiv:
v = x3.
Se dă : V = 2v, deci : x3 = 2>l3
X = {/2. a3
.(1)
(2)
't,.
� '�
I
'II, " Re z o l var e. Fie v volumul primului cub, şi V, al
celui de-al doilea.
I
I
II '
l'
�"i:
"
Aplicînd logaritmii, pentru a afla {/2, găsim:
19{/'2 = Ig2 = O,3010� = 0,10034
3 3
»r:
v 2 = 1,26.
De aici se vede că latura celui de-al doilea cub se obţine
din prima înmulţind-o cu 1,26.
IV. "Să se afle cel mai mic număr de învîrtituri pe care
trebuie să le facă pe secundă un vas legat de extremitatea
unei sfori cu lungimea de 1,50 m, pentru ca să nu curgă apa
pe care o conţine.
'S·o l u ţie. Pentru minimul n cerut, forţa centrifugă F
aplicată lichidului este egală cu greutatea sa P, Viteza
v = 2n Rn .
Avem: F = mv2 =� . ±rc2Rtn2
R gR
4it2 R2n2 P = gRF.
Dar P F: deci 4rc2 Rn2 = g; n = �",\ I g
" V 4R
n =: y!
19 1 + 19 g - 19 6
n=-grc .
2
J
266
[267]
-
Făcînd calculele, obţinem n = 0,407.
Importanţa funcţiei logari1mice se constată în chestiu­
nile teoretice şi în studiul fenomenelor fizice, chimice şi
biologice. Iată cîteva exemple:
10 în fizică se arată că la altitudinea de 5500 m pre­
siunea atmosferei este jumătate din presiunea de la su­
prafa ţa pămîntului: la altitudinea de 2· 5 500 = 11 000 m,
presiunea devine + din aceea de la suprafaţa pămîntului;
la altitudinea de 3· 5500 = 16 500 m, presiunea scade la
_1_ din aceea de la suprafaţa pămîntului etc.
8
Acest rezultat este cunoscut în fizică sub numele de
legea barometrică a lui Laplace-. Ea se exprimă folosind
funcţia logaritmică:
ln� =- Mg (hJ - hol.
Po RT
(Vezi Fizica generală de A. Ci Ş m a n.)
20 Pentru a studia cantitativ aciditatea şi alcalini­
tatea soluţiilor, s-au introdus două elemente : PH, numit
puterea hidrogenului, şi cH, numit concentraţia ionilor
de hidrogen. Cantitatea pH se exprimă prin functia loga­
ritmică:
1
pH = 19-.
cH
(Vezi Elemente de electricitate biologică, de N. B ă r­
bulescu.)
3 o O problemă dificilă, dintre cele mai importante
din teoria numerelor: "determinarea a două limite între
care se află cuprins numărul numerelor prime dintre două
numere date" a fost rezolvată de C ebisec», Formulele se
exprimă cu ajutorul funcţiei logaritmice.
1 Pierre-Simon Laplace , celebru matematician şi astronom francez
(1749-1827).
2 Cebişeu, P. L. (1821-1894). renumit matematician rus, care a
adus o contribuţie importantă in matematicile superioare' analiză, cal­
culul probabilităţilor şi teoria numerelor
267
.t-
[268]
I
I,
t i
I
I
!
I
I
�.
ECUAŢU EXPONENŢIALE.
Ecuaţie exponenţială este o ecuaţie în care necunoscuta
este exponent, sau o ecuaţie în care este exponent o expresie
care contine necunoscuta.
.:
Astfel ecuaţiile:
2" = 32 ; 243"-2 = 10 000 ; 7,,1_5"+9 = 343
:e
2"+3 + 4."t-1 = 320; Y 256 = 4"
sînt e�uaţii exponenţiale. Ultima se scrie 256x 4".
M dorle de rezolvare a ecuaţiilor exponenţiale
1 o Fie ecuaţiile:
(1) 2" = 32; 32>' = 81 ; /)%2_"-3 = ]25.
Avem: 32 = 26; 2% = 25. Deci x = 5.
81 = 34; 32" = 34; 2x = 4; x = 2.
125 = 53; 5,,0-X-3=53 ; x2 - X - 3 = 3 ;
x2 - X - 6 = O
Xl = 3 şi x 2 = - 2.
Ecuaţiile (1) sînt de forma af(x) = b, în care b poate fi
scris ca o putere a lui a: b = am. Deducem: af(") = am,
J(x) - m = O. <{
2 o -Fie ecuaţia:
(1)
a"= b,
în care b nu se poate scrie ca o putere a lui a. în acest caz,
aplicăm logaritmii ecuaţiei (1) şi obţinem:
x 19 a = 19 b ; x = Ig b .
Ig a
Pentru ecuaţia aR") = b procedăm la fel :
f(x) 19a = 19 b; f(x)
268
Ig b RV A v l v ţi
-. armne sa rezo vam ecua la;
I&,a
-
[269]
-
(2)
f(x) - 19b =0.
19a
3 o Fie ecuaţia:
(1 )
1 4
- - 4
Avem: 256 % = 4'" ; 4 % = ·1'"; - = x; x2 = 1; x = �.
x
Rădăcina x = - 2 n-are sens, fiindcă indicile radica­
Iului trebuie să fie pozitiv.
Fie ecuaţia: (2) (: r = (: r5. Avem: (: r = (: r ;
(� f% = (� r; 2x = J; x = : .
În aceste exemple au putut fi scrişi ambii membri
ca puteri avînd aceeaşi bază: af(%) = ag(%). S-a dedus :
f(x) =g(x).
4 o Fie ecuaţia: (1) 4% + 2% = 272.
Putem scrie :
22>" + 2'" - 272 = O.
Se face substituţia : 2% = Y şi obţinem :y2 + Y - 272=0.
Rezultă yj = 16 şiY2 = - 17 ; 2% = 16; x = 4. Cealaltă
soluţie nu convine.
5 o Fie ecuaţia: (1) 3e%. 52>"-3 = 7%-1 • 4'"+3.
Ambilor membri li se aplică logaritmi:
2x 19 3 + (2x - 3) 19 5 = (x - 1) 19 7 + (x+3) 19 4-.
Efectuînd calculele, se obţine: x =
125·64
19--
7
225
19-
28
.�
3,05799
0,90502
x = 3,367.
269
[270]
ApI i ca ţii.
1. Dwţră statistica din 1948, populaţia R. P. R. afost de
15 872 f;24, iar după cea din 1956, de 17 489 794. Care a
fost proc�ntul mediu de creştere anuală a populaţiei ţări?"
noastre î1ţtre 1948 şi 1956?
Sol u ţie. Generalizînd, fie C populaţia la Un mo­
ment dat; notăm CU P% procentul mediu de creştere
anuală. Să aflăm care va fi populaţia C după nani.
La 100 creşterea este p; la 1 cresterea este�. Notăm
, 100
.!...... = r, După 1 an, 1 devine 1 + r; iar populaţia C devine,
100
după tin .an, C(1 + r). Popula.ţia C(J + r) devine, după
tin an, C(1 + r)2. Continuînd acelaşi raţionament
deducem cJl populaţia C devine, după nani, C(l .i, r)"
Pentr.u problema propusă, e vern :
C = 11) 872 62J ; n = 8 ;
C(1 + r)" = 17 489 794.
(1 +r)8=17489794
15 872 624
8 19' (l� -r r) = 19 17489 794 + colg 15 873 621,
19 (1 + r) = 7,24278 + 8,79035 ,
8
,
19 (1 + r) = 0,001)27 ; 1 + r = 1,OJ22 ; r = 0,0122
P = 1,22%.
II. O .întreprindere siderurgică a produs în cursul anului
1949 o cantitate de 5000 tone de oţel. lntreprinderea îşi pro­
pune ca în fiecare an să mărească producţia cu 20% faţă
de anul precedent. 1 n cit timp, socotind de la 1 ianuarie 1949,
va totaliza întreprinderea o producţie de 50 000 tone de oţel?
(R. :M. F .. 1050\
Sol u ţie. Producţia în 1949 era de 5000 tone.
Producţia în 1950 este de
5000 + 20 " 5000= 5000 + � . 5000=�. 5000.
100 e [)
J.
270
[271]
Deci producţia unui an este � din producţia anului
5
precedent.
Deci în x ani producţia totalizată va fi :
5000 + : .5000+(: r ·5000+ ... +(: r-I. 5000=50000.
Împărţind ambele părţi ale ecuaţiei cu 5000, avem:
1 + : + ( : r + ... + t : r-I = 10 ;
deci în prima parte o progresie geometrică cu primul ter-
1. . 6
men Şl raţia -.
5
Sumînd, avem:
(�r-' �IO sau (:r �3.
--1
5
Aplicînd logaritmii, obţinem:
xlg (�)= 193 sau x = 193 .
5 19 6 -lg 5
III. Să se rezolve ecuaţia: 6" + 4" = 9 ",
(OlimPiada matematică din Kiev, 1955.)
Sol u ţie. Împărţind ambii membri ai ecuaţiei prin
6$, obţinem:
4'" 9'" (4 'x 9 )"
1 +-=-; 1+ -) =1-
6" u" 6 l e
( 2 )" _ t 3)�. ( 2 )" _ 1
1+- -- ,1+- _--o
3 2 3 (:r
(2)"
Notăm 3" = y,de unde rezultă:
1
l+y=-; y2+y=1,
Y
y� + y-1 = O,
V5 -1 1/5 +1
Yl = -2-' Y2 = --2-'
271
.�
[272]
Deoarece Y > O, considerăm numai rădăcina Yl' Deci:
1 •
,
(�)X = V5 -1
3 :.J
2 V5 -1
xlogs =log-2-
x _ log ('1/5 - 1) -log2
log2 - log3
ECU.I\ ŢII LOGARITMICE
o ecuaţie în care intră logaritmul necunoscutei sau lo­
garitmul unei expresii care conţine necunoscuta se numeşte
ecuaţie' )ogaritmică.
1 o Fie ecuaţia:
(1 )
19 25 000 = 19 ] O 000 + 20 19 (1 + x).
Avem:
19 (1 + x)
19 25 000 -lg 10 000
20
(2)
19 (1 + x) = 4,39794 - 4
20
19.(l + x) = 0,01990
1 + x = J,0469
x = 0,0469.
Deci ecuaţia (1) a fost, adusă la forma (2), adică
19f(x) = A. De aici, prin tabelele de logaritmi, s-a dedus
f(x) , apoi x.
2 o Să se rezolve ecuaţia:
Vx1dX' = 10.
(Insţitutul agronomic .,N. Bălcescu" Bucureşti, Facultatea de ntecanieare
, a agriculturii.ţ
�lg'I/;-
Solutie. Scriem : x- �JO
272
..
[273]
-
Aplicînd logaritrnii zecimali, obţinem:
� (la- X)2 = ]
.i (� I
sau
(lg X)2 = 4.
de unde:
(1) 19 x =:J şi (2) 19 x = - 2
19 x = 19 100; 19 x = 19 0,01.
Deducem:
1
Xl = J UO ; x o = 0,01 = - .
- 100
Ambele rădăcini verifică ecuaţia dată:
Vl00lglO = V100 = 10.
V L�or IlO = V(l�orl = V100 = 10.
3 o (1) Jg(x + 8) + Jg (3x + 4) = 2.
Avem: (2) 19 (x + 8)(3x + 4) = 19] 00.
(3) (x + 8)(3x + 4) = JOO .
. 3x2 + 28 X - 68 = O.
Xl = 2; X2 = _34. Convine numai rădăcina .\"1=2. în
3
ecuaţia (1), înlocuind pe xcu - 3�, X + 8 < Oşi3x + 4<0.
3
Logaritrnii expresiilor (x + 8) şi (3x + 4) nu au sens. Deci
trecînd de la ecuaţia (:1) la ecuaţia (3) s-a introdus rădăcina
străină x2.
Din exemplele 2 o şi 3 o se constată: cînd este posibil,
aducem ecuaţia logaritmică la forma: 19 f(x) = 19 A ;
f(x) = A. Trebuie Însă totdeauna să vedem dacă rădă­
cinile ecuaţiei din urmă verifică ecuaţia logaritmică dată
la început.
O b ser v a ţi e. Ecuaţia 2· 51g x = x este logaritmică
pentru că ea conţine logaritmul necunoscutei : dar este şi
ecuaţie exponenţială pentru că expresia 19 x, care îl con­
I
18 - Alqebr c cI. " IX·a
273
[274]
ţine pe x, este exponent. Ecuaţia dată poate fi numită
ecuaţie logaritmo-exponenţială.
O rezolvăm aplicînd logaritmii: 19 2 + 19 5 . 19 x =
= 19 ţ; l&. x (1 - 19 5) = 19 2; 19 x (lg 10 - 19 5) =
= 19 2; 19 p; 19 2 = 19 2; 19 x = 1; x = 10.
Metoda de rezolvare a sistemelor
formate din ecuaţii exponenţiale sau logaritmicc.
Se aplică principiile arătate la ecuaţiile respective.
ExemPlul 1. Să se rezolve sistemul:
{ 272y-l = 243.34 .. +2
3·3:r+y = V�P"-l.
5 o lut te. Avem: 27 = 33; 81 = 34; 243 = 3°. Sis­
temul devi'Ile :
{ 36y-3 = ;i4x+7
3:r+y = 3h-3
{ 6y - 3 = 1x + 7
x + y = 4x - :3
Deducem-; x = 2 ; Y = 3.
,
Exemplul II. Să se rezolve sistemul:
{X + y = 65
19 x + 19 Y = :3.
4
Avem:
19 x + 19 Y = 19 (xy) ;
deci ecuaţia a doua se poate scrie:
19 (xy) = 3; xy = 1000.
Sistemul dat se înlocuieşte cu acesta:
. '
{X + y = 65
xy = 1000 .
Rezolvîndu-l, găsim: x = 40. Y
1 I y = 40.'. '..ţ
274
25 sau x
35 şi
[275]
-
Relaţia dintre logaritmul unui număr N in baza a
şi logaritmul lui N in baza b.
Fie x logaritmul lui N în baza a şi y logaritmrtl lui N
în baza b, adică log, N = x şi log, N = y. Avem: N = a� ;
N = bY.
(1) a� = bY.
în relaţia (1) luăm logaritmii ambilor membri în baza a
şi obţinem:
loga(a�) = logaW): x log, a = y log, b
x = y log, b.
(2)
2(logp A)2
(1 + logp�)(l + logpq)
Formula (2) este importantă. Dacă a este baza veche,
iar b este baza nouă, putem spune :
Logaritmul unui număr în baza veche este egal cu loga­
ritmul în baza nouă înmulţit cu logaritmul în baza veche
a noii baze.
Verificare. Fie N = 64 <a = 2
b=8
log264 = (logs64).log2 8
fi =2·3.
ApI i c aţi e. Să se rezolve ecuaţia:
(logpx A + logpq A) log, A = 2logpx A lOi!pq A.
(Examenul de admitere în Academia tehnică militară,
1956.)
Sol u ţi (, Avem: logp A = (logp% A) logp (px) ;
log, A = (logp p+logp x) logp% A ; Iogp A = (1 +logp x)logpx A.
La fel: log, A = (1 + log, q) logpq A.
înlocuind cantităţile logpx A şi logpq A în ecuaţia dată,
obţinem:
( logpA log pA) 1 A
--- -+- Of!p
1 + logpx 1 + logpq
Făcînd calculele, avem:
log, x + log; q = O: log, (qx) = O; qx = 1 ;
.�
1
x=-.
q
275
[278]
� ...... ----------�.
/
1 n d i c aţi e. Se calculează 19 Y şi 19 z din relaţi­
ile date; între relaţiile obţinute se elimină 19 Y şi se ob­
ţine o relatie între 19 x şi 19 z. De aici se scoate 19 x şi
apoi x.
)
4) Logaritmul zecimal al unui număr ]'\ este 4,89279.
Să se calcule;e logaritmul 111i N în baza y,r:).
R. Trebuie să avem: (11 5)" = 104,89279 Aplicînd logaritmii găsim
x = 14.
5) Douăprogresi1', una aritmetică şi alta geometrică,
se corespund termen cu termen. Progresia aritmetică începe
cu il 8 şi are raţia 0,007 ·V8; progresia geometrică începe
cu 1000 şi are raţia 0,2. Ce termen din progresia aritmetică
coresţncnde termenuhti 0,00002048 din progresia geometrică?
1 n d i ca ţ 1: e. Fie n rangul termenului căutat. Avem în
progresia geometrică: a,,=a1q"-1 ; 0,00002048=1000· (0,2) n-l.
Se aplică logaritmii şi se găseşte n = 12. Se calculează
apoi a12 din progresia aritmetică şi obţinem: a12 = 1,63243.
Tl I. 1) Să se afle latura cub�tlui care are volumul de două
ori mai mare decît eubul cu· latura de 2,378 m .
R. 2.9961"m
2) Trebuit- turnată o sferă de metal cu volumul de
2,332 dm3. Să se afle 'dia metrul tiparuluJ.
Ind l' cat l' e, Se foloseste forrnnla V = 47t R3.
� . . 3
R. 16,453 cm.
3) Volumul unui con este de �6 cm3. Raza bazei sale este
de patru orti,· mai mică decît înălţimea sa. Să se afle raza bazei
conului,
In d l' c_ aţi e. t cr- � "R2h.
3
R. 2,8405 cm.
4) O sferă plină, făcută din aramă, cîntăreşte 3,785 kg.
Ştiind că densitatea aramei este de 8,427, să se afle raza
sferei,
R. 0,47518 dm.
5) F l . d fi l 47t2R f" d l .
o OS1n ormu a a = --, a tin acce eraţia cen-
T2
tripetă,sa se _afle acceleraţia c8'ntripetă a Lunii, ştiind că
278
.. - .
[279]
I
I
I
,
1
..l...-...
depărtarea ei de Pămînt este R = 60,27 raze pămînteşti, iar
timpul de revoluţie în jurul Pămîntului este T = 27,32 zile.
Raza Pămîntului este de 6371 km.
R. 0,272 cm/sec2•
6) Cantitatea de căldură produsă în t secunde de un curent
de i amperi, cînd rezistenţa firului este r ohmi, se exprimă
în calorii mici prin formula Q = 0,24 i2 rt. Cîtă căldură
produce într-o oră un bec de 16 lumini, la un curent
de 0,315 am-peri, dacă rezistenţa filamentului este de
357,2 ohmi?
R. 30,62 cal.
7) După cîte curse ale unei pompe cu capacitatea de
40 cm3 se poate goli un balon de 2 litri, astfel ca presiunea
să scadă de la o atmosferă la 0,1 mm Hg? (G.M.F., 1953.)
1 n d z' c a ţ l' e. Se întrebuinţează formula:
p = PO(R:cf·
Avem: Po = 760 mm Hg ; P = 0,1 mrn Hg; R = 2000 cm! ;
C = 40 cm",
Aplicînd logaritmii în formulă, se găseşte n � 452 curse.
8) Un triunghi ABC are laturile a = 608,78 m,
0=]363,65 ni, c = 949,69 m.
Să se calculeze:
10 Aria S, înălţimile ha, hb, h, şz' raza cercului circum­
scris.
2 o Bisectoarea interioară (1. a unghiului A şi cea exte­
rioară (1.' a aceluiaşi unghi.
1 n d i c aţi e. Se fac calculele preliminare : p = a + � + c ;
P - a; p - b; P - c.
Se aplică logaritmii în formula lui Heron :
S = V p (P - a)(p - b)(P - c) (vezi Geometria de clasa
a IX-a).
. 2S abc 2, I
Apoi : ha = -; R =-; CI.. = -- V P (p - a) bc ;
a 4S b .i, C
(1.' = _2_V (p - b)(P - c) bc.
b - c
R. S = 249050 m2; ha = S18,l\) ni : };b = 365,26 III ne = 524,48 m.
R = 791,41 ro; oc = 1097 <) m : �: = 1227,1 m.
279
.�
[280]
)!:. Să §e rezolve ecuaţiile expo�enţiale :
.. " = 2187; 2-" = 16; l6x =-; 10-" = 10000.
A - 4
, 1
,
2r(fr: (�r5; 32%-1=81; V5�=V25.
3) V256 = 4"; J%+l + 5" = 750; 1 0(3-�)(4-%) = 100.
R. ± 2 ; 3; 2 şi 5.
4) ,2.< - 6 . 7% + :> = O; 32" - 3% = 702 :
5 . 32" - 7 . 3" - 3456 = O.
1 n d i c '! ţie. Se notează 7" = y.
5) x% == x·� .\ 'Ix = (yx)% ; x1g % = 100 x.
R. 1; 1 şi 4; 100 şi 0,1.
6) lO% = "\f5; 10" = �2; 52" = 0,1.
R. ± VJg5; ± Vlg 2; - 0,58275.
7) 3% - '::;%+� = 3"+4 - 5%+3.
R. Se scrie. 3%+4_3"=.5",+3_5.<+2; 3"·�1 3"=5".125-5".2;"
8) 72+3% - 54.<+1 = 54.<+1 - 73".
(Examenu1 de admitere în facultatea de fizica-matematică, secţia
serală 1953.)
1 n d i c a ţi e. 'j'3X+J + .3% = J4%+1.2: 73x .49 + 73x =
= 54".10; pO. 73" = 10.;;4": i)·73" = 54.<: 73< = 54"-1 Se
aplică logaritmii.
9) 2" -L 4% = 2,�; 2x+3 + 4"+1 = 320.
R. x = 4; x = 3.
R. \. = 3; x = 1,633.
11)
]2)
280
X,,2-7x+12 = J.
"-
R . .v 4;:r = -1.
[281]
1 n d i c aţi e. (x2 - 'Ix + ] 2) 19 x = 19 J.
R. 1; 3; 4.
J3)
14)
15)
7776.
R. x = ±3.
29.
R. :2; - 0.36.
(a - bJ2"
(a + 6)2
log (a - o)
R. x = - - .
log (a + f.,)
16)
n.
Apiicaţie. a = 2; n. = 512.
V10gn 1" .• 3
R .. , = -- . Pentru ap icat.ia numerIca: x = .
log a
1 7)
]8)
] 9)
20)
"';>�l _. ') "';x+!. {::I )4X-7 _ ( 7 )7,.-3
1 - 6J·� - - -
, l 7 3
R. 35; 1.
1
R.O;-·
4
R.3.
H.._ 2; 2.
V. Să se rezolue ecuaţiile logaritmice :
, 1) 19 x = 1924 - 19 8; 19 x = 3 19 1� - 4 19 12 ;
19 x = 1 - 19 3.
2) 19 x = 2; 19 (:!x - 49) - 19 x = 19 (x - .3).
1 - 19 :4,
281
.�
[282]
1
R.-·
2
4)
5)
6)
7)
8)
9)
19 (x - 2) = 19 x - 192 ; 19 (3 x" + 7) -
-lg (3x - 2) = 1.
ig(x + y3) = - 19 (x - V3) ; 19 x = - J.
� 19 (x + 1)
)
�-1g (X - 9) -l- 19 y'2X-l = l.
2
19(3x2 + 7) - Ig(3x _ 2) = 1 ; 2 19 x = 1.
19(5x - 4)
R. 9 şi 1; 4.
19(x + 6) -� 19 (2x - 3) = 2 - 1925.
2
19{� + X) = 19 � -lgx.
1 1 1
- (lg X)2 = - - -lg x.
12 3 4
R.10.
r
10)
O,5Ig(2x -1)+ 19Vx "=-9 = 1.
R. 13.
11)
19 19l9 X = O:
,
log2log31og4 X = O.
R. 10'"; 64.
12) x!g% = 10; X1gx+2 = 1000.
R. 10 şi 0,1; 10 şi 0,001.
]3) lâgx-1 (x2 -- 5x + 10) -2; 100Ig(X+20) = 10 noa.
R. 3; 80.
�,
14) (O,1)-{>'-5x+8) = 100; 19 lUg (%'+21) - 1 = 19 x.
R. 2 şi 3; 7 şi 3.
15) log , (x -1)� - logo,s (x - 1) = 9.
16) Să se rezolve ecuaţia :
Ig ( x + :) + :1 = 19 (: + �J + 19 11: + 1 �
-+-
111 10
ş� să se discute.
R.9.
, I
(Examen'll.l de admitere în Institutul de petrol şigaee, Bucureşti, 1952.)
, 1 I •
282
..
[283]
17) Să se rezolve ecuaţia:
19 {/10x2 - 21g (10x2) = 5.
(Examenul de admitere la Facultatea de chimie, Bucureşti, 1956.)
R. x = 0,01
18) log3x .... logy'X-x - log...!. X = o.
3
I.ndicaţie. Se foloseşte formula log, N = (log, N) . log .. b.
Se exprimă toţi logaritmii în baza 3. Pentru a = 3,
N = x, b =yx avem: log3x = (logy'7 x) .log3Yx; logy' % x =
!oQ'sx D 1 ,1- !og,x 1 2 î f Iă fă
= --=. ar og3V x = -'-"-; og.,_ X= . n orrnu a, a-
��. 2 yx
cînd a = 3, N = xb =�, obţinem: log3x = (log 1 x) log , � ;
3 '3 3
1
Iog , 3' = log; 1 - Iog , 3 = - 1 ; log...!. x = - log3 X.
3
Ecuaţia devine: log , x T 2 + log , x = 6. Se găseşte
x = 9.
19) 2log4 x + 2 log. 4 = .'}; 2Iog,,2!) - .31og25 x =].
20) log16 x + log4x + log , x = 7.
(Institutul agronomic "N. Bălcescu", Bucureşti.)
21) (log 4X�)2 - 10 log (18x) + 4 = O,
baza logaritmului fiind 9.
Indicaţie. Se va scrie : [log (2x)2]2-101og(9.2x)+
+ 4 = O.
729 1
R. -şi-o
2 6
VI. Să se rezolve sistemele de ecuaţii:
1) { x2 + y2 = 425
19 x + 19 Y = 2.
Ind i ca ţie. A doua ecuaţie se scrie 19 (xy) = 2
sau xy = 100.
R. x = 20, Y = 5 sau x = 5, Y = 20.
283
.},
-�
,
"
,,1
[284]
-
2)
{ X�4 + y4 = 641
2 19 x + 2 19 Y = 2.
R. x = 5, Y = 2 sau x = 2, Y = 5)
_ I -l )
{X - 'V = 90
Jg X + 19 Y = 3.
x"-Y"=O
X2 - y3 = O.
(27 9 )
R. -; - şi (1; 1).
1) 4
R. (10; i) sau. (4; 10).
1 n d i c aţi e. Pentru sistemul 3) se scrie 729 ca putere
a lui 9; apoi X - Y -1 = 0, fiindcă 3° = 1.
5) {lg x + 19 Y = ;:; 6.) {X" - y% = O
-. 19 x - 19 Y = 3. 2% - 4" = O.
7) {�Y' 40 8) {
xlg" = 4.
\ 3"· Yti4 = 36
5" . '1/512 = 200.
R. 3; 2 ..
(lg af.
j O)
9)
{ xVy = y
yVy= Xi.
R. (2; 4); (-2 ;1) şi (1,1\.
\ "(3 y� = (713
1]) (lg �xr + (lg' y)c = 1 :11
(Institutul de petrol şi gaze, Bucureşti, 1955.)
Indic-aţie. Se notează 19x=u; 19y=vşilga=o.
Se obţine un sistem algebric :
\ 3u + 2v = 13b
u2 + v2 = 130b2.
9
R. Xl = a3 �; )', = a şi x2 = a2{1;; Y2 = aS.
VII. Să se rezolve sistemele:
1) { x:Y = .J,i"
xP = yq,
p şz' qfiin�,dou.ă numere pozitive date, p � q.
284
..
[285]
Aplicaţie numerică:
p = 4,5783 şi q = ] ,7598.
P
qlg-
R.lgx = __ q_,
p-q
P
plg-
19 Y = --q-.
p-q
Pentru aplicaţia numerică se găseşte:
x = 1,8167 şi Y = 4,7264.
{x" = �!%"
2) J
p%" = q",
P şi q fiind numere mai mari decît 1 şi P > q.
Aplicaţie numerică:
p = 8, q = ().
R. 19 x =
(Ig P)
19q.lg �
Ig P - Igq
19P'lg (_lg_P)
19 q
Ig)'= �-
19 P -lg q
Pentru apltca t i.. nun.ci kă
x = 2,4047 şi y = 3,1071.
1 (log X)2 + (log y)� = 2m.
�) xlog,. + 'V1ogy == 2. p2+q2 a"',
• p2 _ q2
unde a este baza sistemului de logaritmi, iar ni, p, q sînt
numere reale.
(Suplimentul Gazetei matimatice.}
V m + log p+ q
R . .r = a p- q
V p-q
m-ş-log -
J'=a p+q.
1·
----------- ---_ .. _--.
[286]
1 •
,
PROBLEME RECAPITUI .. ATIVE
CAPITOLUL I
1. Să se rezolve ecuaţiile:
1) 4x2 - 2 (V5 + 1)x + 15 = O.
115. 1
R. Xl = -, x2=_·
2 2
2) 9x2 - 3(2 + V7)x + 2V7 = O.
3) 25x2 - 5(2 - V3)x 2 V3 = O.
2 V3
R. Xl = ; X2 = - -_-o
5 J
4) 36x2 - 6(5 + V2)x + 5 V2 = o.
� 5 V2
R. xI=6; x2=6'
5)
81x2 - 9('V�1 - 4)x ,q/n = o.
Vu -l
R. Xl = -9- ; X2 = - 9'
1 n d i ca ţie pentru exerciţiile 1) - 5).
Dt1pă ce se calculează rădăcinile, se utilizează formulele:
VA+V�=VA:C+ VA;C;1!A-V-B= VA:C-
-VA�C,
I Notâ.; Pentru Cap. VI nu se dau probleme recapitulative, nefiind
J.. necesare; J • '...ţ
286
.. .
[287]
�
I
t;
•
l>
-oi
f'
I
.
în care Ct = A2 - B.
II. Să se formeze ecuaţiile de gradul II avînd ca rădăcini
J)
1 n d i c aţi e . Se aplică formulele de mai sus.
R. x2 - y'6x + 1 = o.
2) Xl =V6.-L 4Y2: Xz =V6 - 4Y'J·
1 n d i c aţi e. Se scrie: V fi + 4- Y'J = V 6 + Y 32 şi
se ţine seama de indicaţia de la exerciţiul 1).
R. x2 - 4x + 2 = O.
III. 1) Să se determine numerele p şi q astfel ca ecuaţiile:
(1) P x2 - (ap - 4) X - 2 a (p - J) = O
(2) (q - J) x2 - (a - 2)(q -1) x + a (2q-4) =0
să aibă aceleaşi rădăcini. După ce se determină p şi q, să se
discute ecuaţia.
(Propusă la examenul ăc admitere fn Institutul de petrol şi gaze, Bucu­
"eşti 1952.)
1 n d i c aţi e. Avem:
q _ 1 = (a - 2) (q - 1) = q - 2
P ap-4 -p+l
(q _ l)(ap - 4-) - P (a - 2)(q - 1) = O
(q _ 1)(- P + 1) - P (q - 2) = O.
Din ecuaţia (2) se vede că q or=- 1. în sistemul (3) se
împarte ecuaţia întîi prin (q - 1). Făcînd reducerea ter-
menilor asemenea, obţinem:
{ 2P - 4 = O
2pq - 3p - q + 1 = O
5
P=2;q=-.
3
Ecuaţiile (1) şi (2) se reduc la ecuaţia:
x)! - (a - 2) x - a = O.
287
.1;
I
ri�i
[288]
r
I
Discuţie. 1) Ll = a2 + 4, Ll> 0, deci ecuaţia are ră­
dăcini reale pentru orice valoare reală a lui a.
(2) , , . { XIX2 = - a
Xl + x2 = a - 2.
Considerăm trei cazuri:
a < 0, rezultă X1X2 > 0, rădăcinile sînt de acelaşi
semn; Xl + x2 < 0, deci ambele rădăcini sînt negative.
a = ° Xl = ° x2 < °
{ XIX2<0 semne contrare; X1+X2<0'
° < a < 2 rădăcina negativă are valoarea abso­
lută mai mare
r
{ XIX2<0 semne contrare; XI+X2>O'
rădăcina pozitivă are valoarea abso­
lută mai mare
2) Dacă ecuaţia x2 + px + q = O are rădăcini reale,
să se demonstreze că ecuaţia:
(1) X� - (p2 - 2q + 2) X + p + q2 - 2q + 1 = O
are rădăciwi reale şi pozitive.
, (Gazeta matematică şi fizică, ,9·j.i.)
Indicaţie. Se dă p2 - 4q> O. Fie Ll discrimi­
narrtul ecuaţiei (1). Se găseşte Ll = pz (P2 - 4q), deci
.Ll > Q, adică rădăcini reale. Notînd cu P şi 5 produsul
şi suma" lor, se găseşte: P "p2 + (q - 1)2 > 0, adică
rădăcini de acelaşi semn. 5 = pz - 2q + 2. Dacă q > O,
deoarece p - 4q > 0, cu atît mai mult p'!. - 2q > O;
deci 5 > O. Dacă q < 0, p - 2q > 0, şi 5 > O. Deci în
ambele cazuri 5> O.
CAPITPL1:L II ŞI CAPITOLl'l. III
1. 1) Aria triunghiului ABC este de 84 m-. Ştiind cii
b = 13 m şi c = :1[; m , se cere să se calculeze latura a.
1 n d i e a ţ l' e. Se utilizează formula lui Helon:
S = vp (P - a) (P - b) (p - e), în care 5 este aria,
. .
, I
288
1.
t
1
--fe5 ..
[289]
iar p serr iperimetrul. Avem: 2 r= a + 28; P - a = 14 -
- � ; l' - b = � + 1 ; P - c =� - 1 . înlocuim sub ra-
222
dical şi apoi stabilim ecuaţia problemei. Găsim ecuaţia
bipătrat.ă :
I
a4 - 788a2 + 116032 = O.
Problema admite două soluţii: al = H 111 şi a2=24,3m.
2) Să se rezolve ec-uaţiile :
fix! - 16;\3 + 2x2 + 16x + il = O.
x4 + 2x3 --L 3xs + 4x + ci = O.
13
x4 + - :\3 - 39x + 81 = O.
3
3)
II. 1) Sti. se afle valorile numerice care trebuie puse în
locul lui x şi y în polinoamele:
a3 + a2bx + ab2y + b3
a3 - a2bx + ab2y - b3
pentru ca proâus ul lor sti fie egal C1/ (a" - b").
(Recreaţii ştiinşiţice), 1883.)
1 ri eli c aţi e. Se efectuează produsul şi coeficienţii
termenilor în a4b2 şi cf2b4 se egalează cu zero. Se obţine
sistemul 2y - x� = (); y"l - :.!X =, O. Procedînd prin
substituţie, se găseşte ecuaţia x (:t3 - 8) = O.
R. (0,0); (2; 2); (- 1 + s v s . - 1 - i V 3); (- 1 - i y'-3; - 1 + i V 3).
{ 8 x2 - 2 xy - y2 - 18 x + 6y + 7 = O
2)
y2 - ] O xy - ] 8x + 6y + ::n = O.
R. (1; 1); (2; - 1); (1; 3); (-1; - 3).
1 n d i c aţi e. Ecuaţia a doua este de gradul 1 în x.
• '1'2 + 6y + 21 . . t d • d l' .
::-;e scoate x = . SI In ro ttcrn u- In pnma
10y + 18 '
ecuaţie, obţinem ecuaţia bip ătrată : y4 -:- ] 0)'2 + 9 = O.
1 x(y + z) = 2P
y(z + x) = 2q
z(x + y) = 2r.
(Bert/'and)
1 Recreaşii ştunfJliCe este prima revistă ştiinţifică a părut ă în ţara
noastră. Primul număr a apărut la 15 ianuarie 1883, la Iaşi.
,
19 - Algebra el. a IX·a
.}
289
[290]
4)
Fig. 49
A
/t)r
Bi�c
Il
1 n d i c aţi e. Obţinem: xy = p + q - r; xz = p +
+r- q ; yz = q + r - p. Se înmulţesc primele două ecu­
aţii şi ecuaţia obţinută se împarte prin a treia.
x = ' / (P + q - r) (P + r - q) etc.
V q+r-p
1 X2 +�xy+ y2 = 21
x2 + xz + Z2 = 12
y2 + yz + Z2 = 3.
(c. d. P.)
1 n d i c aţi e . Prin scăderi şi împărţiri se găseşte
-x + z
că Y = -r-r- - etc.
2
'.
R. (4 ;. 1 ; - 2) ; (- -1 ; - 1 ; 2) ; (2'13 ; '13 ; O); (- 2'13, - V3 ; O).
III. 1) Fie ABC un triunghi dreptunghic, în care
r-;
A = 90 o, iar AD înălţimea coborîtă pe ipotenuză. Notăm
cu E proiecţia P�tnctului D pe
cateta AB, apoi cu F proiecţia
lui D pe cateta AC.
Ştiind că suma segmente­
lor BE şi CF este de 14,56 m,
iar suma catetelor triwngbiu­
lui ABC este de 28 m, se cere
să se calculeze laturile trian­
ghiului ABC.
1 n d i.c aţi e. Fie AB=). ;AC=y;BC=a. tlDBE �tlABC,
deci putem scrie:
BE BD
-=_.
AB se
BE BD
x a
,,1
Dar A.B2= BC·BD; BD = �, deci avem:
a
BE = _x_3 -' la fel: FC = � .
, .;-2 + y2 ' ;;2 + J 2
• I
290
.. -
.....
[291]
Fig. 50
Cţz\
O A
.-
,
I
Ţinînd seamă de enunţul problemei, putem scrie:
1 x3+r = 14,56
X2+y2
x+y = 28.
Din rezolvarea sistemului, obţinem:
AB = 12 m; AC = 16 m. Se deduce BC = 20 m.
2) Două forte concurente sînt reprezentate în figura 50
� �
prin vectorii OA şi OC, iar rezultanta lor e reprezentată prin
�
vectorul O B. Directiile acestor
jorţe fac un unghi de 120°;
rezultanta este de 49 kg, iar
forţele sînt proporţionale cu 8
şi 5. Să se calculeze forţele.
1 n d i cat i e. Ducem
OD .1.BC ; .ţ:COA = 120°, deci
.ţ:COD = 30°. Din triunghiul
dreptunghic COD rezultă: CD = oe. Notăm OA = x;
2
OC = y. Din jj.OBC, aplicînd teorema lui Pitagora gene­
ralizată, obţinem: 492 = x2 + y2 - xy.
Rezultă sistemul:
1 X2 + y2 - xy = 240]
x y
-==-.
8 5
x = 56; Y = 3i'.
� �
Deci forţa OA = 56 kg şi forţa OC = 35 kg.
CAPITOLUL IV
,
I
I
\ I
I
1. 1) Se consideră ecuaţia:
xl + 2 (2m - 1) x + 3m2 + 5 = O
\
, şi se cere să se determine m, astfel ca rădăcinile ecuatiei să
jie reale. '
(Institutul de mine, Bucu'Ye�ti.)
R. m � 2(l-V"2) şi 2 (1 +V2)�m.
"f 291
.�
[292]
2) Să se afle valorile lui m, pentru care expresia
"lI -Ix"-4(2tn-l)x+4m+l:�
V ,," - (In + 2) x + -l
---­
'1
este reqlă, oricare ar fi valoarea lui x.
(Lnstitutul agronomic, Galaţi.)
1 n d i cat i e. Cele două trinoame care formează ter­
menii fracţiei trebuie să fie pozitive, oricare ar fi x.
Disc riminanţii ecuaţiilor
4x2 - 4 ţ2 J.I! - 1)x + 4m + ] 3 = O şi x� - (111 + :::') x + 4 = O
trebuie, să fie negativi,
Se ajunge la sistemul de ine cuaţii :
1Jl2 - '.2111 - 3 < O, m2 - 4m - ]2< O.
-1<11l<�.
3) Sâ .' e rezolve inecuaţia:
x4 - J7x2 + DU
- ->0.
x(x" �x J5)
[Lwstit uiul de căi ferate, Bucure ş ti.]
1 n.d i c aţi e. Se scrie .0 - 17x2 + 60 =
= (x2 -J2)(x2 - :î).
Se ,...alcătuieşte o t ibc Iă, în CHe se uti lizează sernnu l
trinomului de gradul II.
R. � :2 13 < x < - 15'; O < x < V 5; 3 < x < 2 V 3; fi < x.
4) Să se discute ecuaţia:
x� 1- (m-l)x-:!.m� +.3 =0,
cînd m variază de la - 00 la + 00.
5) Fie un triunghi dreptunghic cu pcritnetrul 2P şi su­
ma piţ'ratelor laturilor egală cu 2a2. Să se calculeze laturile
triunghi141ui.
\ I • �
292
....
'"
[293]
Re z o 1 var e. Notăm catetele cu x şi Y şi ipotenuza
cu z, şi obţinem sistemul:
(1) x + y + z = 2p ; Z2 = x2 + y2 ; x2+ y2 + Z2 = 2a2.
Deducem: x + y = '2P - a; xy = 'Jp2 - 'Jap; z = a.
Deci x şi y sînt rădăcinile ecuaţiei :
(2) u2 - (2P - a)1t + 'JP(P - a) = O.
Discuţie. � = - 4p2 + 4ap + a2. Pentru ca ecuaţia
să aibă rădăcini reale, trebuie să avem :
-Jp + 4 ap + a2 > G ; 4P - 4ap - a2 < O; ('JP - a)2 -
- �a2 < O; (2p - il + a V 2)(2p - a - av 2) < O.
[2p + a(v '2 - 1)][2p - a (-..r;. + J)] < U.
Dar primul factor este un număr pozitiv; deci trebuie
să avem: 2P - a(v '2 + 1) < O.
(3) P <�(V2 +1).
2
Pentru ca rădăcinile să fie pozitive, trebuie să avem:
2P(P - a) > O şi 'JP - a> O.
Ambele inegalităţi sînt satisfăcute de valoarea
(4) p> a. Condiţiile (3) şi (4) se pot scrie astfel:
a<p<;(V2+1).
=
(1)
II.
]) Fără ({ rezolva ecuatia :
.12 - 13x + 36 = 0,
'"
să se determine poziţia numărului 6 faţă de rădăcinile acestei
ecuatii.
Re z o l var e. Numărul 6 se poate compara ca mă­
rime cu rădăcinile ecuatiei numai dacă aceste rădăcini
sînt numere reale. '
De aceea trebuie să calculăm neapărat discriminantul�.
Avem: 6. = 132 - 4-36 = '25 > 0, adică ecuaţia are rădă­
cini reale. Notăm '1' = XC - ]3x + 36. Avem :
, -
293
.�
[294]
y(6) = 36 - 78 + 36 = -6 < o.
înlocuind în trinomul y pe x cu 6, constatăm că va­
loarea trinomului este numărul -6, de semn contrar cu a
(a = 'n : deci 6 se află în intervalul rădăcinilor. Avem:
Xl < 6 < X2.
Verificare. Rezolvînd ecuaţia, găsim: Xl = 4; x2 = 9 ;
deci avem: 4 < 6 < 9.
O b ser va ţie. Fie ecuaţia ax2 + b x + c = O, avînd
rădăcinile reale Xl şi x2, rădăcina Xl fiind mai mică decît
x2, adică Xl < x2• Putem scrie:
•
l­
I
(1)
Adunînd. Xl
2
(2)
Adunînd
(3)
::!<�.
2 2
ambilor membri ai inegalităţii, avem:
ambilor membri ai inegalităţii (1). obţinem I
(4)
Folosind inegalităţile (2) şi (3). putem sene dubla
inegalităte :
Xl < Xl + X2 < x2.
2
Relaţiile (4) expnma următoarea proprietate: rădă­
cina cea mai mică. a unei ecuaţii de gradul II este mal
mică decît semisuma rădăcinilor, iar rădăcina cea mai
mare este mai mare decît semisuma rădăcinilor.
Exemplu. Ecuaţia X2 - 10x + 21 = O are rădăcinile
n
r
, I
7. Avem: Xl + X2 = 1); apoi: 3 < 5 < 7.
2
I
"
• �:"C
294
[295]
2) Fără a rezolva ecuaţia:
(1) 3x2 - 14x + 8 = O
să se determine poziţia numărului .5 faţă de rădăcinile ei.
R e z o 1 var e. Calculăm pe D..; avem: D.. = 49
- 24 = 25 > O. Ecuaţia are rădăcini reale, deci are sens
să comparăm pe 5 cu numere reale. Notăm: y = 3x2­
- 14x + 8 şi găsim: y (5) = 75 - 70 + 8 = 13 > O.
Am înlocuit pe x cu !) în trinorn şi am aflat un număr
de acelaşi semn cu a (a = 3). înseamnă că numărul 5
este în afara intervalului rădăcinilor. Sînt două posi­
bilităţi :
-.Q
Xl + �
2
-1--1--1---1-
G Xl x2
poziţia 1
sau: -i-- -1- -1--1
Xl X2 5
poziţia II
Pentru a găsi care din aceste două poziţii este cea con-
bilă blernei W 5 Xl + XO b
vena I a pro emer, comparam pe CU ---" = - -;
2 2a
Xl + x2 7 A 7
�--'---" = - . vem: 5 > - şi, deoarece 5 este în afara
2 3 3
rădăcinilor, urmează că numărul [) este mai mare decît
rădăcina cea mai mare a ecuaţiei. Poziţia lui 5 faţ ă de
rădăcini este urrnătoarea :
Xl < X2 < 6.
Verificare. Rezolvînd ecuaţia, găsim: x2 = 4- şi Xl =:
apoi �< 4 < 5.
3
3) Fără a rezolva ecuaţia :
5X2 + 19x + ]2 = 0,
să se determine poziţia numărului -4 faţă de rădăcinile ei.
Re z o 1 var e. Calculînd pe D.., găsim !l. > O. Notăm
y = 5X2 + 19x + 12 şi calculăm y (-4). Avem y (-4) =>
= 16, acelaşi semn cu a = 5; deci - 4 este în afara rădă-
cinilor. Comparăm pe - 4 cu Xl + Xz ; găsim că Xl + X2 d
2 2
295
'�
---------------:-.
[296]
•
2Q
4 19 f 1 � 4 t . d A
< - -, ast e ca - es e mal mIC ecît
10
rădăcină. Avem:
- 19
=--
10
cea mai mică
1
- 3 şi
- .J < Xl < x2·
J
Verificare. Rădăcinile ecuaţiei sînt
4 4
Xz = - -; - -1 < - 3 < - -
5 5
4) F liră a rezoloa ecuatia :
-h2 - :JOx + 23 = O
să se determine poz1:ţia numărului 3 fată de rădăcini,
R e z o l var e. Avem: t:. = O, Xl = .1'2 ; Xl + x 2 =
= -.!!..- = 'i); deducem: Xl = �. în acest caz, comparaţia
a 2
5
se face imediat: 3 >
2
III. Se consideră u.n. triunghi ABC şi mediana Al).
Să se găsească pe această mediană an. punct M, astfel ca
expres:«
să fie mznitnii.
1 n d i cat i e. Se notează BC = a, A]) = iti, JID =X.
Aplicînd teorema medianei, obtinem:
� '
MB2 _..1- lvfC� = 2:\2 + 2a� •
, • 4
Înlocuind în expresia lui y, obţinem:
Se găseşte că 114 coincide cu centrul ele greutate al triun­
ghiului A,EC,
CAPITOLUL v (PIWGHESII)
.' ,
,.1
1) Sti St' demonstreze că expresiile:
(a + x)2 ; (a2 +'J2) ; (a ': xF
296
..
[297]
, ...
>
sînt trei termeni consecutivi ai u-nei progresii aritmetice.
Să se calculeze suma primilor n termeni, primul termen
fiind (a + X)2,
(Institutul de petrol şi gaze, Bucureşti, 1954.)
R, raţia % = - 2a%; 5" = n ((a + %)2 - ax (n - 1)].
:3) Să se găsească al n-lea termen şi suma celor dintîi
n-11,-2
n ten-Ilem' ai şirului : 1 ;
'II n
1 1
R -' -(n+l).
It 2
-:- 6.20.34A8,
să se insereze între 6 şi 20 cel mai mic număr de termeni,
astfel ca din noua progresie să facă parte şi numărul 12.
1 n d i c aţi e. Fie m numărul mediilor inserate, Scriem
pr ogresia :
-
Presupunem că 12 este al n-lea termen inserat,
x .. = 12. Putem scrie: 12 = 6 + nr'; 6 = nr'.
, 14 leei 14n 7n
l' -- ._-; ceCI avem: 6 =--; 3 =
m-\-} m+l m+l
adică
Dar
(J)
7n-3m=3,
111 = 2n - 1 +.!:,
3
Deoarece ni trebuie să fie număr întreg, membrul II al
ecuaţiei trebuie să fie număr întreg; deci � să fie număr
3
întreg. Aşadar, n trebuie să fie multiplu de 3. Pentru
a obţine cea mai mică valoare pentru m, trebuie să luăm
10 = 3.
--:- 6.8.10.1�.J4,16,18,20,
../) Să se găsească patru numere în progresie aritme­
tică, ştiind că suma lor este egală C1t 20, iar suma inverse-
25
lor acestor nscmere este-.
24
1 n d i c aţi e. Se notează numerele cu x-3a;x - a;
x + a; x+3a, raţia fiind r = 2a.
R, 2; 4; 6; 8.
297
.!-
-
[298]
fiL
5) Să Se demonstreze ca, cn cazul cînd laturile unui
triunghi dreptunghic sînt în progresie aritmetică, raţia acestei
progresii 1 este egală cu raza cercului înscris în triunghi.
6) Să ie împartă numărul 221 în trei părţi, astfel ca
ele să formeze o progresie geometrică, ştiind că al treilea
termen î-ntrece pe primul cu 136.
1 n d i c aţi e. Se notează primul termen cu x şi
raţia cu q. Rezultă sistemul:
425
3
-595
3
833
R. 17; 51; 153 sau 3;
{X (1 + q + q2) = 221
X (q2 -1) = 136.
R. 5 cm; 15 cm; 45 cm.
7) Vohimul unui paraleliPt"ped dreptunghic este de
3375 cm3: Să se afle lungimile muchiilor sale, ştiind că ele
sînt in progresie geometrică şi că suma lor este egală cu 65 cm.
Ind i c aţi e. Se notează muchia mijlocie cu x şi
raţia cu q; muchiile sînt:""; x; qx.
q
CAPIŢOLUL VII (LOGARITMI)
1. Să se rezolve sistemele de ecuaţii:
�
_{ 5x + 3y = 100
1) .
19 x - 19 Y = 19l,6.
R. re; 10.
{ 19 x + 19y = 7
<1 2) 19 x - 19 Y = 5.
R. 106. !ti.
{ 14% = 63)
\
xY = 2·!3
3)
4)
y (2 r
17'" = 87Y
V1024 = "3 x
R. l,li625 şi 1,2766.
R.
3 şi 5.
{ x"'-'-Y = y12
\
v� - V-Y
=y4
X
5)
y"'+Y = Xl.
6)
y-; - V-Y
Y
= x.
,j
R.', (4 ;·2); (9; -3) ; (1; -1) �(1 ; 1).
R. (1; 1) şi (16; 4).
298
[299]
y 9" = 243 \/27Y
y5" = 5VW-y•
(Institutul de petrol şi gaze, Bucureşti, 1952.)
R. (�; �) şi (- 2; 4).
8) Să se afle raţia şi primul termen al unei progresii
aritmetice în care termenul al nouălea şi al unsprezecelea
sînt daţi de cea mai mare şi de cea mai mică rădăcină a
ecuaţiei:
1 ,1 1
- Ig 2 + Ig V x� + 4 x + [) = - [lg (x2 - 4 x + 5) + 1 ] .
2 2
Se cere suma a 20 de termeni ai progresiei.
(Institutul de petrol şi gaze, Bucureşti, 1952.)
1 n d i c aţi e. Ecuaţia are rădăcinile Xl = 1 ; X 2 = 5.
în progresie a9 = 5 şi au = 1. S20 = 40.
9) Se dă sistemul :
1 1
-log3 X -log3 '\' =-
2 - 2
şz se cere:
a) Să se rezolve sistemul dat.
b) Să se determine progresia aritmetică pentru care va­
lorile lui y2 şi x sînt, respectiv, termenii de rangul 5 şi 12.
(Examenul de admitere în Institutul Politehnic, Bucureşti, 1959.)
II. 1) Să se afle cît de mare trebuie să fie grosimea pere­
telui unei sfere de fier cu un gol sferic în interior, ştiind
că la dimensiunea de 2r a diametrului exterior corpul se
cufundă pe jumătate în apa cu temperatura de 4°C. (Se
consideră greutatea specifică a fierului egală cu 7,5.)
1 n d i c aţi e. Notăm cu x grosimea peretelui (în dm).
4
Volumul coroanei sferice este V = - TI: [103 - (10 - X)3J ;
3
299
.�
9
II
[300]
forat;
preţul
coroana sferică cîntăreşte 7,5 V kg, adică 10it [lO�­
(10 - X)3J.
2
Apa dezlocuită are greutatea -. l03it kg. Se găseşte
, 3
ecuaţia:
(10 _ X)3 = 2800 .
3
Aplicînd logaritmii, se obţine 10 - x = 9,7726, deci
x = 2,27 cm.
2) Se argintează o bilă sferică cu diametrul de 7 cm,
Ştiind că Pr.in eleciroliză se depun 3 g argint pe decimetrui
pătrat, să se determine grosimea stratului depus. Densi­
tatea argintul'ui este 10,42.
1 n d i c 'a ţie. Se notează cu x grosimea, în cm, a
stratului. Volumul stratului este � it [(3,5+x)3 - 3,531 cm".
3
Oreutatea argint.ului depus este G = (41t3.52) • 3 g. Volti-
100
G . � 41t'3,52'3
mul str atului, în cm", este , adică .
, 10,42 100· 10,42
Egalind cele doua expresii găsite pentru volumul
stratului, se obţine o ecuaţie exponenţială. Aplicăm
logaritmii şi-obţinem x = 0,00288 cm.
3) La [orarea unui puţ, preţul unui metru de jorat este
cu 10% mai mare decît preţul #tetrului precedent [orai.
Să se afle dacă este mai convenabilă forarea unui puţ de
30 m adîncime sau a trei puţuri de cîte 20 m adîncime.
Cîte puţuri .tu adîncimea de 10 m se pot fora cu preţul fo-
rării unui puţ de 40 ni adîncime? (G.M.F. - B., 1968.)
1 n d i c-a ţie. Fie, x preţul primului metru de
pretul celui de-al doilea este x +....::. = � ;
r 10 10
" 11x 11... 121%
celui de-al treilea met ru este - + - = etc. Pre-
10 100 100
I ţU,rile sînt : x; 11x; (�)2X; (�)3 x; ... (�)mx.
10 10 1� I lQ
300
.. .
[301]
Costul forării Unui puţ de n metri este:
5 = lOx [(l,l}n - :1 J.
Pentru forarea unui puţ de 30 m se ia n. = 30. Se calcu­
lează prin logaritmi 1,13° şi se găseşte că forarea unui puţ
de 30 m costă 164,46 x. în mod asemănător, forarea Unui
puţ de 20 m costă 57,266 x, iar forarea a 3 puţuri de 20 m
costă 171,798 x. Deci e mai convenabilă forarea unui puţ
de 30 m decît a trei puţuri de 20 m.
Se găseşte că se pot fora 27 de puţuri de cîte :1 O m
cu preţul forării unui puţ de 40 m .
. �
- r
[302]
p-
,
...
CUPRINS
CAPITOLUL 1
Recapitularea eeuaţtel de gradul II
Rezolvarea ecuaţiei de gradul II
1. Ecuaţia necompletă
2. Ecuaţia completă. . .
Exerciţii . .
Relaţii Între rădăcini şi coeficienţi
. Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul II
DIscuţia ecuaţiei' de gradul II cu coeficienti reali
Exerciţii . . . . . . . .
CAPITOLUL II
3
3
3
4
7
8
8
9
Ecuaţii cu o ueeunoseută, reduettbtle la celc de gradul II
1. Ecuaţii bipătrate ..... 14
Rezolvarea ecuaţiei bipătrate 15
1. Rezolvarea ecuaţiei ne complete 15
II. Rezolvarea ecuaţiei complete 15
Transformarea radicalilor dubli 17
2. Ecuaţii reciproce . . . . . . . . . . . 21
Rezolvarea ecuatigi reciproce de gradul III 22
Rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul IV 26
Ecuaţii cuadratice 29
3. Eeuaţii binome . . . . . . . . . . . . . 30
1) Relaţia dintre rădăcinile ecuaţiilor: %"'-1=0; xm-A=O 30
2) Relaţia dintre rădăcinile ecuaţiilor : xm+ 1 =0; xm + A =0 32
3) Rezolvarea unor ecuaţii binorne care sînt ecuaţii cuadra-
tice .( 33
4. Ecuaţii trinome 37
Rezolvarea ecuatiei trinome 37
Numărul rădăcinilor unei ecuaţii de gradul n cu o necunos-
cută ...............•....... 39
5. Ecuaţii care S8 rezolvă prin introducerea unei necunoscute auxiliare 39
Introducerea necunoscut ei auxiliare 39
Exerciţii . . . . , . . . . . . . . . . . .. 42
CAPITOLUL III
Sisteme de ecuaţii de gradul II. Alte sisteme clasice
�-
Ecuaţil1 de gradul II cu două necunoscute . . . . . .
Rezolvarea ecuaţiei P (x, y) = O. • . • • • • . • •
1. Sistemul de ecuaţii, respectiv de gradele 1 şi II cu două necunoscute
Metoda. substituţiei
Metoda' reducerii
, J ••••••• � ••• : •••••••
302
49
50
51
52
54
..
[303]
...
Sisteme de ecuaţii Care se rezolvă prin procedee speciale
2. Sistemul de două ecuaţii de gradul II cu două necunoscute . . .
3. Sisteme formate din două şi din trei ecuaţii de gradu; II . . . .
4. Cîteva sisteme care conţin ecuaţii de grad mai mare decît doi
5. Probleme care se rezolvă prin sisteme de ecuaţii de grad mai mare
decît unu .•.......
Exercitii
Proble�e propuse . . . . . .
CAPITOLUL IV
57
60
65
67
71
73
77
--QSW
Funeţta de gradul II [Trtnomul de gradul Il)
1. Descompunerea trinomului în factori liniari . 85
2. Forme canonice ale trinomului de gradul II 88
3. M aximul şi minimul funcţiei cuadraiice . . 90
4. Probleme de maxim şi de minim rezolvate cu ajutorul t rinomului
de gradul II • • . • . . .. .•. . . . . . . 92
Metodă de rezolvare a problemelor de maxim şi de minim
cu ajutorul trinomului de gradul II 96
5. Variaţia trinomului de gradul II şi graficul lui 97
10 Variaţia funcţiei: y x2 • • • 97
20 Variaţia funcţiei: y = - x2• • 101
30 Variaţia funcţiei; y = ax2• • • 101
4 o Variaţia funcţiei: y = ax2 + c. 103
5 o Variaţia funcţiei: y = a (x + m)2 104
6 o Variaţia funcţiei: y = ax2 + b x + c 106
t 6. Semnul trinomului de gradul II . . . . . 115
a) Rădăcini reale, neegale 116
b) Rădăcini reale şi egale (rădăcinii dublă) 119
c) Rădăcini complexe. . . . . . . 119
7. Inecuaţii de gradul II 125
Inecuaţii care pot fi aduce la inecuaţii de gradnl II. 127
8. Sisteme de inecuaţii cu o necunoscută • • . . . . 133
9. Disculia ecuaţie! de gradul II cu coeficienţi uariabili 134
10. Discuţia problemelor de gradul II 138
Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
CAPITOLUL v
Şiruri de numere
Progresii aritmetice . . . . . • • . . • .
-Suma termenilor unei progresii aritmetice
Inserarea mediilor aritmetice . . . . . .
Progresii geometrice • . • • . . • . . • . . .
Suma termenilor unei progresii geometrice
Inserarea mediilor geometrice
3. Şir, termen general, limite .
Limita unui şir .
4. Progresia geometrică infinită descrescătoare
\ Exerciţii
,
153
159
163
165
170
172
176
177
183
188
303
-