DINU  BRATOSIN
ELEMENTE
DE
DINAMICA  PĂMÎNTURILOR
     
     
     
     
     
     
     
    
    
EDITURA  ACADEMIEI  ROMÎNE
    Bucureşti,  2002
     
     
PREFAŢĂ
     Pentru o ţară cu un potenţial seismic apreciabil, studiile de comportare dinamică a materialelor din amplasament sunt deosebit de necesare şi încă actuale. Reducerea riscului seismic este condiţionată şi de elucidarea unor numeroase aspecte teoretice, dar cu un deosebit impact practic. Un astfel de aspect este şi determinarea răspunsului dinamic al sistemelor care includ materiale degradabile şi disipative cu mari neliniarităţi, cum sunt pămînturile şi rocile din amplasamentele construcţiilor.
     Pentru rezolvarea optimă a acestei probleme sunt necesare clarificarea a două aspecte esenţiale - determinarea pentru aceste materiale cu comportare dinamică complexă a unor legi constitutive cît mai complete şi apropiate realităţii iar apoi, asigurarea unor posibilităţi de utilizare a acestor legi în calculul răspunsului dinamic structural. 
     Realitatea impune în mod sigur ca legile constitutive să fie legi neliniare. Avem la această oră posibilitatea de a modela legi neliniare şi avem (parţial, din păcate) logistica necesară determinării parametrilor de material. Însă, legile constitutive neliniare introduc dificultăţi în calculul răspunsului structural, dificultăţi care pot fi totuşi depăşite apelînd la calculul numeric. 
     Monografia de faţă este axată pe probleme de modelare a răspunsului dinamic al materialelor disipative şi degradabile cu mari neliniarităţi dar abordează şi posibilităţile de depăşire a dificultăţilor introduse de această modelare în calculul răspunsului structural. Însă, nu a fost în intenţia autorului tratarea completă a acestor aspecte. Autorul ţine numai să aducă în discuţia celor interesaţi unele rezultate ale eforturilor sale din ultimii ani în încercarea de a obţine unele modele constitutive şi metode, ca un compromis optim între completitudine şi aplicabilitate. Structura lucrării reflectă această intenţie. Sunt prezentate în principal „elemente” de dinamică  axate pe rezultatele amintite mai sus dar cadrul general  care include aceste elemente este redus la un minim necesar parcurgerii textului.
     Un prim capitol de „Noţiuni generale” pezintă cîteva consideraţii privind principalele caracteristici mecanice care definesc comportarea dinamică a pămînturilor. De asemenea, tot în acest capitol a fost inclus şi un „remember” al spaţiului invarianţilor tensorului tensiunii  deoarece pe parcursul lucrării toate legile constitutive sunt concepute ca relaţii între invarianţii tensorilor tensiunii şi cei ai tensorului deformaţiei iar ruperea, statică sau dinamică, este legată de spaţiul invarianţilor tensorului tensiunii.
     Din vastul material al dinamicii sistemelor elastice a fost extras pentru capitolul al doilea oscilatorul cu un grad de libertate dinamică care ulterior a fost folosit pentru definirea unui oscilator neliniar aplicat în modelele dinamice prezentate. Tot aici este inclusă prezentarea unei metode de obţinere a soluţiei neliniare, metodă folosită, de asemenea,  ulterior.
     În mecanică, în general, dar mai ales în mecanica pămînturilor, experimentul are un rol predominant. Nu pot fi concepute, iar dacă se concep nu pot fi folosite, legi constitutive fără o susţinere experimentală.  Din acest motiv, capitolul al treilea conţine o succintă prezentare a unei minime aparaturi necesare definirii şi cuantificării relaţiilor constitutive expuse pe parcursul lucrării.
     Comportarea dinamică a unui material nu este complet distinctă faţă de răspunsul la solicitări statice. Din acest motiv, în capitolele 4, 5 şi 6 sunt succint expuse modele elstic şi  vîscoelastic, liniare şi neliniare, modele care stau la baza modelelor de comportare dinamică. De fapt, modelul vîscoelastic neliniar conceput pentru determinarea răspunsului dinamic, prezentat în capitolul 7, include drept cazuri particulare modelele statice din capitolele anterioare 4, 5 şi 6. A fost însă preferată expunerea de la simplu la complex.
     Modelul vîscoplastic de la capitolul 8 are rolul de a pune în discuţie efectele incuderii explicite în model a vitezei  de încărcare şi oferă posibilitatea evidenţierii diferenţelor dintre efectele solicitărilor lente în raport cu cele rapide.
     Capitolul 9 prezintă o metodă de liniarizare echivalentă destinată unei aproximări acceptabile a soluţiei neliniare. Concepută împreună cu colegul meu de la Institutul de Mecanica Solidelor dr.Tudor Sireteanu, metoda s-a dovedit utilă în aplicaţii şi credem că potenţialul său aplicativ nu este epuizat. 
     Problema epuizării capacităţii de rezistenţă mecanică la pămînturi şi roci face obiectul capitolului 10,  unde sunt prezentate particularităţile specifice acestor materiale atît în cazul solicitărilor statice, dar mai ales în cazul celor dinamice. 
     Penultimul capitol se abate într-o oarecare măsură de la titlul general enunţat – nu pămînturile fac obiectul modelului vîscoelastic neliniar prezentat ci materialele folosite la izolări antivibratorii. Insă, comportarea dinamică a acestor materiale a permis adaptarea modelelor dinamice ale pămînturilor
     Ultimul capitol prezintă o metodă de evaluare a efectelor provocate de neliniaritatea caracteristicilor dinamice ale materialelor asupra răspunsului dinamic al amplasamentului.
     Autorul ţine să mulţumească Consilului Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţămîntul Superior  - CNCSIS - care prin atribuirea grantului 33517/2002 – tema 1 a permis îndeplinirea condiţiei obligatorii de editare a prezentei lucrări. Autorul mulţumeşte, de asemenea, tuturor celor care l-au susţinut în perioada de realizare şi de redactare finală. 
      AUTORUL	
     
1
NOŢIUNI GENERALE
     1.1. Caracteristici mecanice definitorii
     În prezent nu există ecuaţii constitutive care să descrie toate însuşirile reale ale comportării mecanice a corpurilor deformabile. Fiecare ecuaţie constitutivă reprezintă o idealizare a însuşirilor reale şi furnizează o descriere aproximativă a acestor însuşiri, acceptabilă  numai între anumite limite. Un grad mai mare de generalitate a ecuaţiei constitutive permite o modelare mai apropiată de realitate dar poate crea dificultăţi, uneori insurmontabile, atît în determinarea constantelor de material, cît şi la rezolvarea problemelor la limită. Din acest motiv, ecuaţia constitutivă nu poate fi decît un compromis, restrîngerea generalităţii fiind costul plătit aplicabilităţii.
     Includerea sau excluderea din modelul matematic al unora sau altora dintre proprietăţile reale ale materialelor poate avea un răsunet  important sau, din contră, un efect neglijabil asupra răspunsului structurii în ansamblu. Această constatare cu valabibilitate generală capătă o pondere însemnată în cazul materialelor cu comportare atît de complexă cum sunt pămînturile. 
     Denumirea generică de „pămînturi” acoperă o mare gamă de materiale apărute în decursul timpului ca rezultat al proceselor de degradare a rocilor. Clasificările din diverse tratate sau standarde cuprind zeci de grupe şi subgrupe. Insă, din punctul de vedere al comportării mecanice două mari grupe prezintă o importanţă deosebită – nisipurile şi argilele – materiale care deşi au multe proprietăţi mecanice comune au şi diferenţe de comportare care impun utilizarea unor modele diferite.
     În mod obişnuit nisipurile au proprietăţi reologice reduse şi pot fi acceptabil modelate (în anumite condiţii care vor fi precizate pe parcurs) cu un model elastic neliniar iar argilele care, în mod frecvent, prezintă modificări semnificative în timp pot fi modelate cu un model vîscoelastic neliniar. Insă, deoarece există o mare varietate de materiale cuprinse în şi între grupele „nisipuri” şi „argile” o delimitare netă a tipului de comportare nu poate fi făcută. In plus, un acelaşi material poate avea comportări diferite în funcţie de  parametrii ce definesc starea fizică a materialului, cum sunt umiditatea, gradul de îndesare, porozitatea, etc. Din aceste motive, considerăm că numai analiza de laborator a comportării probelor prelevate din amplasament poate indica modelul matematic cel mai adecvat cazului concret analizat.
     Modelarea caracteristicilor mecanice ale pămînturilor are o puternică influenţă asupra evaluării răspunsului structural, structura fiind în acest context atît pachetul de straturi din amplasament, cît şi construcţia propiu-zisă ce reazemă şi conlucrează cu materialele din amplasament.
     O enumerare succintă a principalelor caracteristici mecanice definitorii pentru construirea unei ecuaţii constitutive, într-o ordine pe care o estimăm descrescătoare ca pondere, poate fi următoarea :
• neliniaritatea (definită de dependenţa caracteristicilor mecanice de nivelul de deformaţie provocat de solicitarea exterioară); 
• problemele date de proprietăţile reologice ale acestor materiale, care se manifestă prin fluaj şi relaxare în cazul solicitărilor exterioare statice şi prin disipare în timpul solicitărilor dinamice;
• ireversibilitatea deformaţiilor;
• frecvenţa sau viteza solicitărilor exterioare.
     Desigur, există numeroşi alţi factori cu răsunet în modelarea răspunsului static sau dinamic, cum sunt: natura şi proprietăţile fizice ale materialului (compoziţia mineralogică, granulometria, coeziunea, indicele porilor, densitate, umiditate  etc.), starea de tensiuni “in situ”, perturbările provocate de operaţiile de prelevare şi prelucrare a probelor, tipul şi timpul de consolidare a probelor etc. Insă, din punctul de vedere al modelării aceşti factori nu definesc tipul relaţiei constitutive, ci intervin în valorea parametrilor care cuantifică ecuaţia constitutivă.
1.1.1. Neliniaritatea
     Caracteristica mecanică principală a răspunsului pămînturilor şi rocilor la solicitări exterioare statice sau dinamice este, indiscutabil, dependenţa de nivelul de deformaţie provocat de aceste solicitări.
     La materialele care admit ipoteza de corp elastic liniar (de exemplu, metalele) proporţionalitatea dintre tensiuni şi deformaţii se conservă pînă în apropierea ruperii. Relaţiile constitutive sunt, în acst caz, relaţii liniare de forma :
     
     unde modulii elastici: K – modulul volumic şi G – modulul de forfecare au valori constante pe parcursul procesului de deformare pînă în apropierea epuizării capacităţii de rezistenţă mecanică.
     Deşi se consideră că la nivele reduse de solicitare şi pămînturile au această comportare, practic acest palier liniar este atît de redus încît este pe deplin neglijabil. Experienţa a demonstrat că valorile modulilor determinate pe probe de pămînt diferă în raport cu amplitudinea solicitării aplicate probei şi că aceste diferenţe apar încă de la nivele extrem de mici. 
     Prima modalitate de a ţine cont de această dependenţă de nivelul de solicitare, sau de nivelul de deformaţie impus, a fost realizată prin înlocuirea constantelor elastice prin funcţii de tensiune sau de deformaţie în cadrul modelelor numite cu "moduli variabili"[65], [106], [108] [119]. Un exemplu în acest sens poate fi scris:
     Aceste modele sunt cunoscute şi sub denumirea de modele elastic neliniare, ele încadrîndu-se în domeniul elasticităţii neliniare. Însă, încadrarea în elasticitatea, fie ea şi neliniară, presupune admiterea existenţei unui potenţial elastic W sau  care să permită ca tensorii tensiunii şi deformaţiei să poată fi legaţi prin relaţii de forma [130], [132], [133]:
     Această ipoteză conduce, însă, la acceptarea reversibilităţii deformaţiilor. Există materiale cu relaţii neliniare între tensiuni şi deformaţii şi care prezintă reversibilitate dar pămînturile nu pot fi incluse în această categorie deoarece acumularea deformaţiilor ireversibile este un fenomen curent şi specific acestor materiale.
       Însă, în anumite condiţii, elasticitatea neliniară poate fi folosită şi la pămînturi. Astfel, pentru o primă solicitare statică monoton crescătoare, modelele cu moduli variabili au o susţinere teoretică şi dau rezultate satisfăcătoare în ceea ce priveşte concordanţa model-experiment deoarece nu se pune problema descărcării în urma căreia apar evidente deformaţiile ireversibile. 
     Cazul solicitărilor dinamice este, din acest punct de vedere, mult mai complicat. Solicitările dinamice sunt compuse, în principiu, dintr-o succesiune de încărcări - descărcări - reîncărcări, proces în care acumularea deformaţiilor este evidentă şi provoacă efecte evidente.
     În figurile 1.1 şi 1.2  este prezentat schematic răspunsul în tensiuni sau deformaţii al pămînturilor solicitate ciclic în teste triaxiale cu tensiune controlată 
     (fig.1.1) sau cu deformaţie controlată. (fig.1.2). Este evidentă în ambele cazuri prezenţa răspunsului histeretic, diminuarea rigidităţii reflectată de diminuarea valorilor modulului de forfecare G şi acumularea deformaţiilor ireversibile. 
     Aceste caracteristici fac inacceptabilă utilizarea elasticităţii neliniare, dar cu acceptarea unor ipoteze, poate fi utilizată vîscoelasticitatea neliniară. În primul rînd trebue admisă înlocuirea disipării histeretice cu o disipare de tip vîscos : ipoteza de echivalare reo - histeretică [29], [76].  Apoi, se acceptă că dependenţa de deformaţie, neliniaritatea, este modelată de o „curbă – schelet” definită ca locul geometric al vîrfurilor buclelor de histereză. Astfel, modelul vîscoelastic neliniar este construit pe baza a două funcţii : o funcţie modul dinamic dată de funcţia modul a curbei - schelet şi o funcţie de amortizare cu valori legate de aria buclelor de histereză (fig.1.3).
                
     	       Fig. 1.1					Fig. 1.2
       
       
     
       
       
       
       
       
       
       
     
     
       
       
Fig. 1.3
1.1.2. Efectele reologice
     Pentru un material vîscoelasic, modificările în timp ale caracteristicilor sale mecanice reprezintă o trăsătură definitorie. Fenomenul de evoluţie în timp a deformaţiilor sub tensiuni constante este numit fluaj iar modificările tensiunilor sub deformaţii constante este cunoscut sub denumirea de relaxare. Ambele fenomene se întîlnesc şi la pămînturi, concomitent cu dependenţa caracteristicilor mecanice de nivelul de deformaţie, ceea ce impune luarea în considerare a vîscoelasticităţii neliniare.
     Fenomene de fluaj şi relaxare sunt întîlnite şi la pămînturi, în special la argile, ceea ce face ca aceste materiale să poată fi considerate vîscoelastice. Vom folosi şi în această lucrare aceeaşi denumire de material „vîscoelastic” cu rezervele datorate termenului de „elastic” menţionate anterior. Însă, neliniaritatea atît de prezentă în toate manifestările acestor materiale face ca pentru pămînturi să nu fie admisibile decît modelele vîscoelastic neliniare.
     Modelele vîscoelastice s-au dovedit utile şi în cazul solicitărilor dinamice, şi anume la modelarea disipării de energie, fenomen prezent la pămînturi. Desigur, amortizarea în pămînturi nu are caracter vîscos ci este, mai curînd, de natură histeretică. Însă, fenomenologic, amortizarea din aceste materiale poate fi cu succes modelată cu modele vîscoelastice. Aşa se face că utilizăm modele dinamice vîscoelastic neliniare inclusiv la pămînturile la care nu prezintă fenomenele reologice „clasice” de fluaj sau relaxare (de exemplu, nisipurile).
1.1.3. Ireveresibilitatea 
     Primele modelări ale ireversibilităţii au apărut în cadrul modelelor elasto-plastice [60], [61] prin adaptarea unor modele concepute pentru alte materiale, în special metalice. În esenţă, aceste modele presupun existenţa unor legi constitutive de tip incremental, cu una din formele :
unde şi dş sunt variaţiile incrementale ale tensorilor tensiunii   şi deformaţiei  , iar H şi M sunt tensorii de ordinul patru ale căror componente depind, în general, de starea de tensiune şi/sau de deformaţie.
     Admiţînd izotropia materialului, numai două din componentele tensorilor H şi M rămîn distincte. În  cazul tensorului  H componentele distincte sunt echivalente cu modulii elastici ( ; ; ) iar în cazul tensorului M componentele distincte sunt inversele acestor moduli.
     În construirea modelelor elastoplastice sunt folosite, în general, ipotezele [61]:
• Deformaţiile sunt compuse aditiv din deformaţii incrementale, elastice şi plastice (ireversibile):
 (ipoteză discutabilă la pămînturi unde deformaţiile reversibile sunt extrem de reduse)
• Variaţia deformaţiilor elastice poate fi calculată în funcţie de tensiuni:
   caz în care componentele tensorului M sunt constante.
• Deformaţiile plastice sunt ireversibile iar variaţia incrementală a acestora depinde de starea de tensiune D şi de deformaţia plastică acumulată :
• Deformaţiile plastice apar cînd tensiunile ating o anumită limită, numită limită de curgere. În spaţiul componentelor tensorului tensiunii ., tensiunile limită formează o suprafaţă, numită suprafaţă de curgere, definită de o funcţie F :
unde h este un parametru de ecruisare care guvernează modificările acestei suprafeţe pe parcursul proceselor de încărcare, introducîndu-se astfel, parţial, efectul istoriei încărcărilor.
• Deformaţiile plastice derivă dintr-un potenţial plastic :
unde λ este un parametru. Această lege de curgere este numită asociată dacă sau  neasociată dacă cele două suprafeţe au forme diferite. 
     După modul în care evoluează suprafaţa de curgere, modelele elstoplastice pot fi izotrope (caz în care F se extinde sau se contractă izotrop de-a lungul axei tensiunilor sferice) sau anizotrope (cînd F se şi translatează).
     Dintre modelele elastoplastice cu ecruisare izotropă menţionăm modelul Roscoe [116], [117] seria de modele tip „cap” [119] şi modelul Lade [90], iar dintre modelele anizotrope pe cele ale lui Mroz [106] şi Prevost [115]. Aceste modele se deosebesc prin forma analitică pe care o atribue funcţiei de potenţial şi legilor de curgere.
     Modelele vîscoplastice care se obţin prin extinderea celor elastoplastice rezultă prin modificarea ec.(1.9) în:
unde viteza de deformare vîscoplastică  ocupă locul deformaţiilor plastice incrementale , iar parametrul λ este înlocuit cu o funcţie de forma:
     Modelele vîscoplastice astfel obţinute preiau, însă, şi deficienţele modelelor elastoplastice din care provin, printre care menţionăm:
• Concepute iniţial pentru modelarea comportării uniaxiale a metalelor, modelele elasoplastice presupun  existenţa unui anumit prag pînă la care deformaţiile sunt reversibile şi după care deformaţiile devin ireversibile. Modelele elastoplastice create pentru pămînturi menţin în general acest cadru ipotetic, care în cazul acestor materiale apare ca neadecvat, deformaţiile remanente apărînd încă de la primele solicitări. 
• Extinderea la solicitări triaxiale prin introducerea suprafeţelor de curgere rămîne la nivel de speculaţie teoretică greu verificabilă experimental.
• Forma incrementală a ecuaţiilor constitutive elastoplastice este utilizabilă în programele de rezolvare „step by step” după o operaţie de integrare, ceea ce reprezintă o complicaţie faţă de forma în raport cu componentele totale ale tensorilor p şi  .
   Aceste motive fac să apară mai indicată calea aleasă în această lucrare, şi anume renunţarea la postulatul existenţei suprafeţelor de curgere, definirea şi utilizarea unor ecuaţii constitutive între invarianţii tensorilor tensiunii şi deformaţiei, ecuaţii definite şi cuantificate  prin utilizarea unor teste-diagnostic atît pentru determinarea formei funcţiilor constituente cît şi a constantelor de material (cap.7).
     1.2.  Geometria spaţiului invarianţilor
1.2.1.  Invarianţi
     Deoarece în relaţiile constitutive vor interveni invarianţii tensorilor tensiunii şi deformaţiei, în aceste paragraf vor fi expuse cîteva definiţii, proprietăţi şi semnificaţii geometrice ale invarianţilor tensorului Cauchy al tensiunii T, noţiuni care pot fi extinse la tensorul deformaţiei E printr-o simplă schimbare de notaţii [130], [132], [133], [134].
     Se numesc vectori proprii, vectorii nenuli , care au proprietatea:
     unde coeficienţii  sunt valorile proprii ale tensorului T. Se observă că vectorii proprii  nu sunt rotiţi de T, deci sunt invarianţi în direcţie. Ei pot fi obţinuţi aducînd ec.(1.12) în forma:
     Sistemul de ecuaţii liniare (1.13) are soluţii nebanale numai dacă:
     Dezvoltînd ec.(1.14) şi ordonînd după puterile lui  se obţine ecuaţia caracteristică:
     unde coeficienţii sunt:
     iar între coeficienţii şi rădăcinile ec.(1.15) există relaţiile:
     Tensorul T fiind simetric, cele trei valori proprii sunt reale, iar dacă sunt şi distincte din ec.(1.13) vor rezulta vectorii proprii  care sunt în acest caz ortogonali între ei.  Ca orice tensor simetric de ordinul doi, tensorul tensiunii T este complet definit de trei valori principale şi de trei vectori proprii .
     Dacă alegem un nou reper format din vectorii proprii , atunci T ia forma diagonală:
     

     unde v este un tensor ortogonal ale cărui componente  sunt proiecţiile vectorilor  pe vectorii bazei iniţiale , iar componentele matricii diagonale  sunt valorile proprii , numite curent componente principale ale tensorului T.
     	Prin definiţie, o funcţie scalară izotropă a unui tensor de ordinul doi I este invariantă dacă : , unde Q este orice tensor ortogonal care caracterizează o rotaţie în urma căreia tensorul T devine .  Se observă că:
     
     
     deci coeficienţii (1.17) ai ecuaţiei caracteristice (1.15) sunt invarianţi, numiţi invarianţii principali ai tensorului tensiunii T.
     Notînd deviatorul tensorului tensiunii cu S, componentele sale carteziene cu  iar cele principale cu :
       ; 

     invarianţii principali ai deviatorului vor fi:
     
     
     	Tot invarianţi sunt şi funcţiile scalare izotrope - tensiunea medie:
     
     
     (utilizată şi în definirea deviatorului) şi intensitatea:
     
     
1.2.2.  Geometria spaţiului invarianţilor
     Spaţiul componentelor principale  ale tensorului tensiunii T poate fi conceput ca un spaţiu vectorial izomorf cu spaţiul euclidian tridimensional. 
     
     Dacă se alege un reper cartezian drept a cărui bază o formează vectorii proprii v(k), k = 1, 2, 3, coordonatele unui punct din acest spaţiu vor fi tensiunile principale (fig. 1.4).
      Fig. 1.4
     O stare de tensiune va fi reprezentată în acest spaţiu printr-un punct  de coordonate , vectorul de poziţie al acestui punct  reprezentînd tensorul T în forma sa diagonală. Modulul acestui vector  este deci, intensitatea  tensorului tensiunii.
     Proiectînd vectorul t pe bisectoarea principală (diagonala spaţiului:) obţinem o interpretare geometrică a părţilor – sferică şi deviatorică – a tensorului tensiunii. Astfel,  proiecţia  vectorului t pe  diagonala spaţiului va reprezenta partea sferică a lui T, iar vectorul diferenţă s deviatorul lui T. De aici şi denumirea de plan deviatoric atribuită planului perpendicular pe bisectoarea principală .             
     Pentru a calcula modulele vectorilor sferic şi deviator proiectăm pe diagonala spaţiului şi, apoi, pe planul deviatoric componentele principale . Deoarece bisectoarea principală este egal înclinată faţă de cele trei axe cu unghiul , proiecţia vectorului t pe această diagonală va fi:
     

     
     Modulul vectorului deviator poate fi obţinut proiectînd tensiunile principale pe un plan deviator . Se observă din fig.1.4 că toate proiecţiile au lungimile afectate cu  iar direcţiile se conservă. Ataşînd planului deviatoric un sistem local de coordonate yoz (fig.1.5) punctul de stare  se va proiecta pe acest plan în punctul P de coordonate :
     Fig. 1.5
     
     
     Rezultă astfel:
     
     
     deci modulul vectorului deviator este intensitatea deviatorului tensorului tensiunii. De asemenea, modulul vectorului deviator este legat şi de invariantul numit tensiuni octaedrale.
     Planul care include vectorii t şi s (deci şi bisectoare principală) îl vom numi planul intensităţilor deoarece punctele de stare din acest plan pot fi raportate la sistemul de referinţă format de intensităţile n şi  . Înclinarea vectorului t faţă de bisectoarea principală este dată de invariantul direcţional  :
     

     iar înclinarea planului intensităţilor faţă de reperul cartezian  este dată de invariantul direcţional  :
     
     
     unde invariantul  este:
     
     
     Ec. (1.28) se obţine din ecuaţia caracteristică a deviatorului S :  în care se substituie , unghiul , fiind unghiul pe care îl face proiecţia deviatorului (axa  ) cu cea mai apropiată proiecţie a unei axe principale  pe planul deviator.
      Fig. 1.6
     În cazul particular în care tensorul tensiunii are numai două valori proprii distincte, iar spaţiul componentelor principale se restrînge la un plan numit planul simetriei axiale (fig.1.6). În acest plan, invariantul direcţional ) este nul.  Planul intensităţilor include în acest caz şi una din axele principale ( în fig.1.6), iar intensităţile   şi   au expresiile:
     

relaţii care se pot obţine şi prin particularizarea ec.(1.24) şi (1.26).
     
     
 2
sistem oscilant 
cu un grad de libertate dinamică
     În cele ce urmează vor fi expuse cîteva noţiuni din dinamica sistemelor elastice, noţiuni necesare definirii elementelor de dinamica pămînturilor utilizare pe parcursul lucrării. Ne vom axa în special pe comportarea oscilatorului cu un grad de libertate dinamică supus unui regim staţionar torsional, iar relaţiile necesare excitaţiei axiale vor fi deduse prin adaptările necesare aduse formei torsionale.
     2.1. Sistem liniar 
     Ecuaţia diferenţială a mişcării unui sistem cu un grad de libertate dinamică în regim staţionar de vibraţii torsionale armonice este [50]:
     
     
     unde J0 este momentul de iner(ie masic al vibratorului care imprimă mi(carea armonică, iar c, k sunt constantele modelului limiar ... = rigiditatea resortului şi c = vîscozitatea amortizorului.
     	Ecuaţia (2.1) poate fi adusă la forma :
     
     
unde :
     
     
     	Solu(ia acestei ecua(ii este compusă din două păr(i : , prima, , fiind solu(ia ecua(iei diferen(iale omogene ata(ată ec.(2.1) :   iar a doua, , o solu(ie particulară a ecua(iei diferen(iale neomogene (2.1). Prima parte a solu(iei, i1, modelează vibra(ia liberă iar prin adăugarea celei de a doua păr(i i2 se include efectul momentului perturbator ce transformă mi(carea într-o vibra(ie între(inută. Datorită amortizării sistemului, după un scurt regim tranzitoriu, i1 tinde la zero iar mi(carea intră într-un regim sta(ionar cu i =  2.
     2.1.1. Vibra(ia liberă
     În regim de vibraţie liberă ecuaţia de mişcare a oscilatorului (2.2) se reduce la ecuaţia omogenă:
     
     
     care admite o soluţie de forma :
     
     
     Prin introducerea acestei forme în ecuaţia omogenă.(2.4) rezultă ecua(ia caracteristică: , cu solu(iile :
     
     
     Deci, solu(a ecua(iei omogene este:
     
     
     sau ţinînd cont că : , rezultă :
     
     
     În lipsa amortizării () solu(ile (2.6) se reduc la :
     
     
     deci d0 din ec.(2.2) este pulsa(ia proprie sau naturală a sistemului neamortizat.
     Atunci cînd amortizarea este prezentă solu(ia diferă în func(ie de semnul discriminantului , adică depinde de valoarea relativă a constantei de amortizare c în raport cu celelalte constante ale sistemului (k, J0) :
• Dacă : , amortizarea este numită critică, discriminantul , este nul, rădăcinile (2.6) sunt reale şi egale:  iar  solu(ia ec.(2.4) este de forma :
     
     
     deci, o mi(care neoscilatorie, descrescătoare exponenţial în timp (deoarece ). 
• Dacă : , cele două rădăcini (2.6) sunt reale (i pozitive, caz în care solu(ia (2.5) pierde caracterul oscilatoriu (i devine o  mi(care descrescătoare exponen(ial în timp iar sistemul este denumit sistem supraamortizat ;
• Dacă : , adică : , sistemul este subamortizat, rădăcinile (2.6) sunt complex conjugate :
      
     
          iar solu(ia ec.(2.4), are forma :
     
     
          unde , iar ,d este pulsa(ia proprie a sistemului cu amortizare :
     
     
     Soluţia (2.12) este o vibraţie pseudoarmonică cu pulsaţia Sd şi pseudoperioada :
             
     
     graficul soluţiei fiind cuprins între exponenţialele (fig.2.1):
     
     
     Gradul de amortizare a sistemului în regim de vibra(ie liberă amortizată poate fi definit de raportul a două amplitudini succesive (sau situate la un număr n de perioade):
     
     
     Prin defini(ie, decrementul logaritmic  este logaritmul natural al acestui raport : 
     
     
     iar raportul : 
     
     
     este numit raport de amortizare sau frac(iune din amortizarea critică (i este o măsură a amortizării utilizată curent la evaluarea amortizării pămînturilor. 
Fig.2.1
     Între pulsa(ia proprie a sistemului cu amortizare id (i  pulsa(ia proprie neamortizată ă0     există rela(ia (ob(inută din ec.(2.9), (2.13) (i relaţia de definiţie a amortizării critice ): 
     
     
     	Se observă că, deoarece , pulsa(ia proprie amortizată id este întotdeauna inferioară pulsa(iei proprii neamortizate i0 (i că id tinde la zero pe măsură ce coeficientul de amortizare c tinde către valoarea sa critică cc (fig.2.2). De asemenea, se poate constata că pentru rapoarte de amortizare mari, de ordinul a 40%, întîlnite la pămînturi din relaţia (2.19) rezultă că : , deci cele două pulsa(ii proprii au valori destul de apropiate şi practic se poate folosi numai pulsaţia proprie neamortizată i0.
Fig.2.2
     Cînd sistemul are o deplasare  şi o viteză îniţială  la timpul :
     
     
     este posibilă evaluarea celor două constante, B1 şi B2, din ec.(2.8) şi determinarea soluţiei. 
     Astfel, situîndu-ne în cazul amortizării subcritice, constantele au forma:
     
     
     iar soluţia tranzitorie are expresia:
     
     
relaţie în care s-a folosit aproximaţia .
     2.1.2. Regim staţionar armonic
     Admitem drept solu(ie particulară a ecua(iei diferen(iale (2.2) o solu(ie de forma :
     
     
     Substituind această solu(ie în ec.(2.2) (i colectînd coeficien(ii func(iilor trigonometrice se ob(ine un sistem liniar de două ecua(ii în cele două necunoscute B3 (i B4 :
     
     
     din care rezultă :
     
     
     Rearanjînd solu(ia în forma rezultă :
      
     
     (i introducînd pulsa(ia proprie neamortizată : , coeficientul de amortizare critică , raportul de amortizare  (i notînd raportul dintre pulsa(ia excita(iei (i pulsa(ia proprie neamortizată  cu: , ob(inem :
     
     
     unde ust este este rotirea statică provocată de amplitudinea M0 :
     
     
     F este „factorul” de amplificare al vibra(iei for(ate, în fapt, o funcţie dependentă de frecvenţa relativă f şi de factorul de amortizare D (fig.2.3):
     
     
     iar defazajul  capătă  expresia:
     
     
     Soluţia finală a ecuaţiei diferenţiale liniare (2.1) poate fi acum obţinută prin reunirea soluţiei ecuaţiei omogene (2.12) cu soluţia particulară (2.27) : .
     
Fig. 2.3
     2.2. Sistem neliniar 
     Constantele elastice au în cazul corpurilor liniare expresii cunoscute. Astfel, constanta elastică de rigiditate k pentru o bară cilindrică în cazul mi(cării torsionale, este:
      [Nm]
     
     unde Ip este momentul de iner(ie polar al sec(iunii , h înăl(imea barei, i diametrul ei,  iar G modulul torsional. Dacă bara este solicitată axial, expresia pentru k este:
       [N/m]
     
unde  este aria secţuinii transversale iar E modulul longitudinal Young.
     De asemenea, coeficienţii de amortizare c pot fi exprimat în func(ie de raportul de amortizare D şi au expresiile: 
        [Nms] – pentru mişcarea torsională
       [Ns/m] – pentru mişcarea longitudinală
     
     relaţii în care inervine pulsaţia proprie  0 , masa m sau o altă caracteristică a masei – momentul de inerţie masic J0. 
     În cazul pămînturilor comportarea neliniară a materialului poate fi modelată prin înlocuirea  modululilor şi rapoartelor de amortizare prin func(ii-modul (i de amortizare, funcţii dependente de nivelul de deformaţie.
     Cum relaţiile au o formă asemănătoare, vom aborda în continuare cazul solicitărilor torsionale, caz în care funcţiile de material au ca argumente deforma(ia torsională i: şi  sau, (inînd cont de rela(ia de legătură dintre deformaţia i (i rota(ia i : , func(iile dinamice de material pot fi definite (i în raport cu rotirea i :  (i .
     Prin urmare, putem admite că dependen(a de a sau   afectează atît caracteristica elastică k :


     cît (i caracteristica de amortizare c :
     
     
     În cazul sistemelor liniare pulsa(ia proprie i0 este definită în func(ie de caracteristica elastică k :  Însă, în cazul unui sistem neliniar k este o func(ie (i nu o constantă. Din acest motiv, vom defini drept pulsa(ie proprie a sistemului neliniar, pulsa(ia corespunzătoare valorii ini(iale i = 0 :


     Cu aceste precizări privind comportarea neliniară a materialului, sistemul oscilant (2.1) ia forma :


     Efectuînd schimbarea de variabilă  (i introducînd o nouă func(ie [124]: 


     prin derivare în raport cu noua variabilă, se ob(ine  :
     
     
     astfel că ec.(2.37) ia forma adimensionalizată :
     
     
     unde :
     
     
     Soluţia staţionară a ecuaţiei adimensionalizate (2.40) se obţine pe aceiaşi cale. Admitem drept solu(ie particulară a ecua(iei diferen(iale (2.40) o solu(ie de forma:


     Substituind această solu(ie în ec.(2.40) (i colectînd coeficien(ii func(iilor trigonometrice se ob(ine un sistem liniar de două ecua(ii în cele două necunoscute  (i :


     din care rezultă :
     
     
     Rearanjînd solu(ia în forma , unde:


     se obţine:
     
     
     unde F este factorul de amplificare in formă echivalentă relaţiei (2.29): 
     
     
     2.3. Soluţie numerică pentru oscilatorul neliniar
2.3.1. Metoda ...
     O soluţie analitică pentru sistemul neliniar (2.37) sau (2.40) este dificil de obţinut în toate cazurile de interes practic, dar rezolvarea poate fi făcută numeric cu o precizie suficientă. 
     Vom prezenta în continuare o posibilitate de a obţine o soluţie numerică cu metoda de integrare ... care foloseşte diferenţele finite [93], folosind în acest scop o formulare generică pentru ecuaţia de mişcare a unui sistem neliniar cu un grad de libertate dinamică:


     Intervalul de timp  se împarte în n subintervale egale . Admitem că deplasarea x, viteza  şi acceleraţia  sunt cunoscute la timput de debut  al unui subinterval oarecare :. 
     Metoda constă în a determina valorile acestor mărimi la sfîrşitul intervalului  pornind de la valorile cunoscute la timpul  şi folosind aproximaţii ale evoluţiei acceleraţiilor pe parcursul subintervalului. Pornind de la primul subinterval unde valorile la capătul din stînga sunt date de condiţiile iniţiale şi parcurgînd secvenţial toate subintervalele se obţin în final valorile căutate.
     Dacă pe un interval  acceleraţia este constantă şi are o valoare estimată ca medie a valorilor acceleraţiilor de la capetele intervalului: , prin integrare se obţine viteza şi deplasarea la capătul final al intervalului:


     Dacă se admite o variaţie liniară a acceleraţiei: , va rezulta:


     ... a ales o variantă intermediară între (2.49) şi (2.50) prin introducerea unui parametru e:


     Se observă că dacă  se regăseşte prima variantă cu acceleraţia constantă pe interval iar dacă  ec.(2.51) se reduce la ec.(2.50) corespunzătoare variaţiei liniare a acceleraţiei pe intervalul .
       Acum, din ec.(2.48) se obţine pentru :
     
     
     unde:
     
     
     iar  şi  sunt date de ec.(2.51). Dacă valoarea obţinută cu ec.(2.52) este diferită de valoarea estimată iteraţia se reia înlocuind valoarea estimată anterior cu valoarea obţinută cu ec.(2.52) pînă cînd diferenţa devine inferioară unei anumite erori acceptabile :


2.3.2. Program FORTRAN
     Metoda este relativ simplă dar rezolvarea efectivă a cazurilor concrete necesită efectuarea computerizată a iteraţiilor. Vom prezenta în continuare un program FORTRAN bazat pe metoda ..., program adaptat pentru PC în sistem interactiv [39].
• Programul principal:
     2.3.3. Aplicaţii
     Programul a fost aplicat în numeroase cazuri şi a dat rezultate corecte. În cele ce urmează vom prezenta trei aplicaţii. Prima constă în determinarea soluţiei unui oscilator liniar, a doua se va referi la determinarea soluţiei liniare a sistemului oscilant al coloanei rezonante pentru o treaptă de încărcare iar a treia aplicaţie va avea ca obiect determinarea soluţiei neliniare a aceluiaşi sistem oscilant al coloanei rezonante. În primul caz, cel al unui sistem liniar, verificarea este imediată deoarece există posibilitatea determinării analitice a soluţiei. Celelalte două aplicaţii au fost alese pentru verificare deoarece soluţia determinată cu programul de calcul poate fi confruntată cu datele experimentale.
• Aplicaţia nr.1
     Fie sistemul oscilant din fig.2.5, excitat de o forţă , cu următoarele caracteristici mecanice şi de încărcare:
     
     
     Din aceste date pot fi obţinute alte caracteristici mecanice – pulsaţia proprie şi raportul de amortizare D:
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
      Fig. 2.5
     
     
     Ecuaţia de mişcare are în acst caz forma similară ec.(2.1):
     
     
     ecuaţie cu aceiaşi forma adimensionalizată (2.40):
     
     
     unde:
     
     
     Soluţia analitică (staţionară) este (2.46):
     
     
     unde, în acest caz la rezonantă, factorul de amplificare F  din ec.(2.29) şi defazajul din ec.(2.30) au valoarile:
     
     
     astfel că soluţia devine:
     
     
     Revenind la variabila iniţială t:  şi ţinînd cont că: se obţine soluţia staţionară:
     
     
     Programul de calcul trebuie să ruleze în acest caz cu datele iniţiale:


Fig. 2.6
Fig. 2.7
     Rezultatul calculului este introdus într-un fişier de date denumit de utilizator  la solicitarea programului (xxxx.dat) şi poate fi transferat şi prelucrat într-o aplicaţie grafică. O astfel de prelucrate este dată în fig. 2.6. Se remarcă o bună concordanţă cu soluţia analitică staţionară din fig. 2.7.
• Aplicaţia nr. 2
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
      Fig. 2.8
     Sistemul oscilant al coloanei rezonante Drnevich [142] format din ansamblul vibrator-probă este un sistem cu un grad de libertate dinamică. Pentru o treaptă de solicitare, de regulă în regim armonic staţionar, acest sistem poate fi considerat liniar.
     Considerăm un astfel de sistem (fig.2.8) supus unei excitaţii de forma . Vibratorul are un moment de inerţie masic  iar proba (de argilă, în acest caz) are un modul de torsiune iniţial , iar pentru frecvenţa de rezonanţă , un modul torsional , un raport de amortizare , iar deformaţia impusă probei este . Din aceste date, preluate dintr-un experiment în coloana rezonantă, pot fi calculate următoarele caracteristici de material şi de încărcare:


     

(2.65)
     Astfel, sistemul oscilant este defint şi se poate trece la calculul soluţiei în cele două variante – rezolvarea analitică şi rezolvarea cu ajutorul programului de calcul numeric.
     Soluţia analitică are în acest caz forma:


     unde:
     
     
     iar soluţia va fi:
     
     
     deci, amplitudinea  rezultă:
     
     
     Apelînd la programul de calcul, vom introduce datele iniţiale:


     iar din prelucrarea datelor obţinute rezultă o amplitudine a rotaţiei staţionare de .
     Compararea celor două rezultate, date în figurile 2.9 şi 2.10, indică o funcţionare corectă a programului. În acest caz avem şi o verificare în plus, şi anume, valoarea amplitudinii deformaţiei se poate calcula direct din datele experimentale iar valoarea obţinută 0,035 rad este destul de apropiată de cele două valori obţinute anterior.
Fig. 2.9
Fig. 2.10
• Aplicaţia nr.3
     Vom folosi pentru această exemplificare tot sistemul oscilant al coloanei rezonante, sistem format din vibrator şi proba de pămînt care, pe parcursul întregului proces de deformare, imprimă întergului sistem o comportare neliniară. Modelul analog va fi acelaşi ca la aplicaţia anterioară (fig.2.8), însă locul caracteristicilor liniare c şi k este preluat de funcţii de material determinate experimental, de forma  şi :


       În acest caz, pentru a verifica funcţionarea, progamul a fost rulat în varianta neliniară a subrutinei de tip FUNCTION cu funcţiile de material din relaţia (2.71). Pentru o frecvenţă relativă fixă (, deci la rezonanţă) şi cu diverse valori ale excitaţiei adimensionalizate , (aceleaşi valori ale excitaţiei folosite experimental), soliţiile neliniare staţionare sunt date în fig.2.11 iar comparaţia experiment – calcul este dată în fig.2.12. Se remarcă o apropiere satisfăcătoare. 
        Fig. 2.11
        
        
        
        
        
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
        Fig. 2.12
     
     
3
TESTE  de  DEFINIRE  şi  CUANTIFICARE
     3.1. Introducere
     Toate tentativele de modelare sunt strict dependente de posibilităţile de determinare experimentală a funcţiilor sau parametrilor necesari cuantificării proprietăţilor mecanice ale materialului. Cu cît materialul este mai complex din punct de vedere al răspunsului mecanic, cu atît este mai dependent de experiment. Iar pămîturile şi rocile sunt un elocvent exemplu. 
     Desigur, ar fi ideal dacă pentru fiecare material sau model în parte s-ar putea imagina şi utiliza experimentele cele mai indicate. Însă, realitatea ne obligă să utilizăm la maximum aparatura existentă şi numai în cazul în care aceasta se dovedeşte insuficientă şi inadecvată putem apela la conceperea unor noi aparaturi şi tehnologii de testare. 
     Modelele care vor fi expuse în continuare, sunt astfel concepute încît să se bazeze pe o aparatură existentă, dar cu modificări ale tehnologiei de testare care să satisfacă necesităţile de cuantificare. Aparatele existente folosite sunt : triaxialul şi coloana rezonantă, iar posibilităţile oferite de aceste aparate larg utilizate în geotehnică şi mecanica pămînturilor vor fi expuse, succint în continuare.
     Menţionăm că în determinarea proprietăţilor mecanice ale materialului aflat "in situ" prelevarea şi prelucrarea probelor prezintă o mare importanţă. Cu toate precauţiile care pot fi luate, prelevarea probei perturbă structura materialului şi produce anularea stării de tensiune pe care materialul a avut-o „in situ". Pentru a contracara, cel puţin parţial, aceste perturbări, înainte de a fi solicitată proba trebuie "consolidată" cel puţin 24 de ore, adică supusă unei stări constante de tensiune asemănătoare celei avute în configuraţia iniţială, stare care poate fi aproximată astfel :


     unde  este presiunea verticală produsă de sarcina geologică, iar  coeficientul presiunii laterale în stare de repaus [97]. Decomprimarea şi recomprimarea probei modifică, într-o oarecare măsură, proprietăţile mecanice naturale ale materialului, acest fapt constituind un dezavantaj inevitabil al încercărilor de laborator.
3.2.  Teste de compresiune triaxială
     În aparatul de compresiune triaxială o probă cilindrică (uzual, cu diametrul  şi înălţimea ), este supusă unei presiuni hidrostatice , constante sau variabile, echivalentă tensiunilor sferice pe care materialul le-a suportat „in situ”, la care se adaugă o încărcare axială variabilă egală cu forţa axială verticală  dată de piston, forţă repartizată uniform pe suprafaţa superioară a probei .
     Într-o experienţă triaxială uzuală forţa verticală este continuu crescută pînă la rupere impunînd probei o anumită viteză de deformare şi se măsoară la anumite trepte de timp atît valoarea forţei axiale, cît şi unele din modificările geometrice ale probei. 
     Dacă axa de simetrie a materialului coincide cu axa verticală a probei , starea de tensiune şi deformaţie a probei este axial-simetrică cu  şi  (fig. 3.1). Se observă că denumirea aparatului este impropie, dar fiind folosită în mod curent o vom menţine. 
     Admiţînd că starea de tensiune indusă în probă de solicitările exterioare este uniformă, tensiunile principale ale unei trepte de timp i pot fi obţinute direct din condiţiile de contur :


     unde  este valoarea presiunii din celulă la treapta i (care poate fi şi constantă la toate treptele),  este valoarea forţei verticale transmisă de piston iar  este secţiunea transversală medie a probei  la treapta i:
     
     
     relaţie în care s-a notat prin  înălţimea iniţială a probei, prin  volumul său iniţial iar prin  şi  variaţiile acestor mărimi pe parcursul treptelor de timp.
     	De asemenea, admiţînd că deplasările verticale  ale fiecărei trepte au o variaţie liniară pe înălţimea probei iar cele radiale  au variaţii liniare în sens radial (fig. 3.1), deformaţiile treptei rezultă în forma:
     
     
     La aparatele obişnuite pot fi măsurate numai deplasările axiale . Deplasările radiale  pot fi măsurate numai cu ajutorul unor dispozitive optice sau tensometrice care nu sunt în dotarea curentă. În plus, pe parcursul deformării probele nu rămîn cilindrice datorită frecărilor care apar pe bazele probelor, astfel că diametrul probei variază pe înălţime. Din acest motiv este preferabilă determinarea unor deformaţii medii radiale cu ajutorul variaţiei de volum  care poate fi măsurată. Astfel, ţinînd cont că: , obţinem:


     Numărul treptelor de timp poate fi astfel ales încît stările de tensiune şi de deformaţie ale unei trepte să poată fi considerate infinitezimale. Însă, o treaptă infinitezimală se dezvoltă în prezenţa tensiunilor şi deformaţiilor anterioare, care prin acumulare devin din ce în ce mai mari, asfel că principiul clasic al suprapunerii efectelor devine inaplicabil. Din acest motiv, este preferabil ca sumarea treptelor să urmeze un procedeu ameliorat [11], [41], procedeu bazat pe suprapunerea unor deformaţii infinitezimale peste o deformaţie finită [133]:


unde  este tensorul deformaţiei neliniare de la sfîrşitul treptei,   este acelaşi tensor la începutul treptei, reprezintă tensorul deformaţiilor infinitezimale apărute pe parcursul treptei iar  este gradientul deformaţiei datorate deplasării particulei materiale din configuraţia iniţială la configuraţia de la începutul treptei.
     Adaptînd relaţia tensorilaă (3.5) la starea axial simetrică din triaxial obţinem:


     După deteminarea componentelor principale ale tensorilor tensiunii şi deformaţiei putem obţine valorile de la fiecare treaptă ale invarianţilor tensorului tensiunii:


     
     şi deformaţiei:
     
     
Fig. 2.1
     În testele obişnuite, cu denumirea uzuală de “statice”, forţa axială este crescută continuu sau în trepte, cu o viteză constantă sau variabilă în timp, dar cu variaţie lentă.  
     Viteza de deformare impusă astfel probei poate varia în limite relativ largi, ordinul de mărime fiind, de regulă, inclus în intervalul . Datorită proprietăţilor neliniare şi reologice ale pămînturilor, aspectul curbelor tensiune deformaţie este dependent de viteza în care este condus experimentul şi datorită acestui fapt, triaxialul poate fi folosit şi pentru obţinerea unor informaţii calitatative şi cantitative privind influenţa vitezei de deformaţie asupra răspunsului mecanic al acestor materiale.
3.3. Teste triaxiale de fluaj
     Un alt tip de încercări care pot fi efectuate în triaxial sunt încercările pentru determinarea caracteristicilor reologice ale pămînturilor. 
     După cum se ştie, la pămînturi sunt prezente atît fenomenele de fluaj (creşterea deformaţiilor sub tensiune constantă), cît şi fenomenele de relaxare (scăderea tensiunilor sub deformaţie impusă constantă). 
     Însă, datorită posibilităţilor tehnice pe care le oferă aparatul triaxial obişnuit, numai încercările de fluaj pot fi efectuate şi numai după înlocuirea sistemului de încărcare continuă cu un sisten de încărcare statică. În acest caz, încărcările sunt aplicate în trepte menţinute un anumit interval de timp, interval în care modificările geometrice ale probei sunt măsurate din timp în timp. Astfel, în fiecare interval de timp are loc o experienţă de fluaj. 
     Modalitatea de utilizare a unor astfel de teste va fi prezentată în paragraful 6.2.
3.4.  Modelarea testului din coloana rezonantă
3.4.1.  Coloana rezonantă - descriere sumară
     Coloana rezonantă (resonant column) - tip Drnevich [142] - este un aparat destinat determinării experimentale a răspusului dinamic al pămînturilor prin solicitarea unei probe cilindrice (column) cu vibraţii armonice staţionare longitudinale şi/sau torsionale în regim de rezonanţă (resonant).
     Proba utilizată în coloana rezonantă este asemănătoare în formă, dimensiuni şi mod de preparare cu proba triaxială. Probele sunt cilindrice, uzual cu două dimensiuni - una cu diametrul şi înălţimea cm şi alta cu şi cm.
     Baza inferioară a probei este fixată, iar la baza superioară se ataşează dispozitivul electromagnetic de vibrare. Proba împreună cu vibratorul, ansamblu ce constituie sistemul rezonant, sunt amplasate într-un tub cilindric transparent („celulă" asemănătoare celei triaxiale) în care se introduce o presiune hidrostatică cu ajutorul aerului, apei sau uleiului mineral. Mărimea acestei presiuni este asfel aleasă încît tensiunile sferice provocate probei să fie identice cu cele pe care materialul le-a suportat „in situ”.
     Dispozitivul de excitare torsională este format dintr-un sistem de bobine electromagnetice – magneţi permanenţi plasaţi în jurul bazei superioare iar vibratorul longitudinal constă dintr-o bobină montată coaxial cu proba. 
     Semnalul de excitare este emis de un generator variabil de impulsuri sinusoidale, este apoi amplificat de un amplificator de putere şi introdus în bobinele vibratorului. Acest semnal de intrare este, totodată, conectat la axa orizontală a unui osciloscop şi măsurat cu un multimetru.
     Momentul de torsiune rezultat şi/sau forţa longitudinală sunt direct proporţionale cu intensitatea curentului excitant, raportul moment/intensitate şi/sau forţă/intensitate fiind constante ale aparatului.
     Mişcările, orizontală şi/sau verticală, sunt măsurate de accelerometre plasate în axa de rotaţie pentru mişcarea verticală şi la o distanţă de 3,175 cm de axa de rotaţie pentru oscilaţia rotaţională. Acceleraţiile pot fi convertite în deplasări prin împărţire cu  în cazul mişcării verticale sau cu   în cazul mişcării orizontale.
     Semnalul electric de ieşire dat de accelerometre este amplificat de un amplificator electronic (cu un factor de calibrare , unde n = 0,1 sau 2) şi apoi conectat la axa verticală a osciloscopului. Totodată, tensiunea acestui curent este măsurată cu multimetrul în (milivolţi „root-mean-square”) raportul  fiind o constantă de calibrare.
     Pentru determinarea frecvenţei de rezonanţă este folosit ecranul osciloscopului X-Y, care are pe axa X semnalul de intrare şi pe axa Y pe cel de ieşire. Frecvenţa excitaţiei este mărită pînă cînd apare rezonanţa sistemului probă-generator, moment în care pe ecranul osciloscopului apare o elipsă Lissajous cu axele suprapuse pe X şi Y şi mărimea proporţională cu intensitatea semnalului de intrare. 
     În acest moment, se înregistrează frecvenţa de rezonanţă [Hz], acceleraţia la rezonanţă A   şi intensitatea curentului C. Apoi, se impune frecvenţa   şi se înregistrează din nou acceleraţia A' şi intensitatea C'. Aceste valori sunt necesare determinării caracteristicilor dinamice ale materialului din probă : modulii elastici (torsional G şi/sau longitudinal E), rapoartele de amortizare (torsional Dt şi/sau longitudinal Dl) precum şi a amplitudinilor deformaţiilor (torsionale i şi/sau longitudinale  ). 
     Amplitudinea excitaţiei fiind suficient de redusă putem admite ipoteza [29], [47], [76] :
• Pe parcursul vibraţiilor staţionare proba se comportă ca un corp vîscoelastic liniar echivalent cu aceeaşi masă, densitate, dimensiuni geometrice şi frecvenţă de rezonanţă. 
     Această ipoteză, numită ipoteza reo-histeretică, stă la baza interpretării datelor experimentale. 
     Ipoteza reo-histeretică, pe lîngă echivalea fenomenologică dintre comportarea vîscoasă şi cea histeretică, implică faptul că încercarea din coloana rezonantă poate fi considerată o încercare nedistructivă, deci o aceeaşi probă poate fi folosită la evaluarea caracteristicilor dinamice corespunzătoare unor amplitudini tot reduse dar diferite. De asemenea, ipoteza permite ca, sub un regim staţionar al forţei perturbatoare, tensiunile şi deformaţiile din probă să poată fi considerate staţionare şi, în consecinţă, modulii şi rapoartele de amortizare determinate să rămînă constante. Tot ca o consecinţă a ipotezei de mai sus, apare şi posibilitatea de a modela răspunsul materialului la un nivel constant al excitaţiei cu ajutorul unui model ... echivalent (fig. 3.2).
     Momentul torsional  va provoca în probă unde torsionale iar forţa perturbatoare  unde longitudinale. Deoarece în ambele cazuri ecuaţiile de mişcare au forme similare vom aborda cazul vibraţiilor torsionale.
     
Fig. 3.2
3.4.2.  Torsiunea probei
     Considerăm proba ca un cilindru circular vertical, încastrat la baza inferioară (i liber la cea superioară, solicitat de un moment de torsiune M al cărui vector este dirijat dupa axa verticală (fig. 3.3) 
     Admi(înd ipoteza sec(iunilor plane a lui Bernoulli, ca efect al torsiunii, sec(iunile transversale rămîn plane, dar se rotesc (sau „lunecă”) una fa(ă de alta. Dacă deforma(iile sunt relativ mici, se poate scrie:


     unde u este lunecarea specifică,   este rotirea sec(iunii curente iar prin i s-a notat torsiunea specifică.
     Tensiunile tangen(iale au o varia(ie liniară, sunt normale pe rază (i dirijate astfel pentru a echilibra momentul de torsiune M. Rezultă astfel :


     Deoarece  iar , unde  este momentul polar de iner(ie al sec(iunii transversale, expresia momentului torsional devine :  (i ţinînd cont că , se ob(ine:
     
     
     Produsul  poartă numele de rigiditate la torsiune.
     
Fig. 3.3
     Din (3.10) (i (3.12) se poate ob(ine prin integrare rotirea specifică i : , deci :


     Utilizînd nota(iile din fig.2.3, avem :


     rezultînd astfel o rela(ie de legătură între rotirea e (i lunecarea specifică i , relaţie care pentru proba uzuală (cu şi cm) este:
     
     
3.4.3.  Determinarea amplitudinii rota(iei (i deforma(iei torsionale
     Deoarece proba este solicitată de un moment de torsiune cu varia(ie armonică admitem că (i rotirea e va fi de aceia(i formă : , iar accelera(ia mi(cării de rota(ie va fi de forma : . Notînd cu  traseul accelerometrului montat pe vibrator la o distan(ă de  ra = 3,175 cm de axa de rota(ie (i cu  valoarea accelera(iei furnizate de accelerometru, amplitudinea rota(iei rezultă:


     dacă  valoarea accelera(iei A este  măsurată în rad/s2, sau :
     
     
     dacă A este măsurat, ca deobicei, în mvrms . În rela(iile anterioare f este frecven(a măsurată în Hz, ACF este factorul de amplificare al semnalului de ie(ire, dat în -mv/pk-g, g fiind accelera(ia gravita(ională (g = 9,806 m/s2). Cu o amplificare obi(nuită, ACF = 2500 pk-mv/pk-g, expresia amplitudinii rota(iei se reduce la :
        [rad]
     
     rela(ie în care s-a renun(at la indicele "0" al amplitudinii a0.
     Deforma(ia torsională i se poate ob(ine cu ajutorul ec.(3.15), rezultînd :
[ - ]     sau     [ %]

3.4.4.  Determinarea modulului torsional 
     Considerăm ecua(ia propagării undelor torsionale prin proba considerată mediu vîscoelastic liniar [132]:


unde u este unghiul de torsiune,  este viteza de propagare:


G este modulul de torsiune iar m este densitatea materialului.
     Introducînd în ec.(3.20) o solu(ie de forma , rezultă:


unde raportul  dintre pulsa(ia naturală  şi viteza de propagare  este numit pulsa(ie adimensională sau număr de undă. 
     Tinînd cont de condi(iile de capăt, la baza fixă x = 0 torsiunea fiind împiedicată iar la cea superioară x = h momentul de torsiune al probei trebuie să egaleze momentul de iner(ie al vibratorului (i momentul perturbator:


din ec.(3.22) rezultă:


unde este momentul polar al sec(iunii probei iareste raportul dintre momentul de iner(ie masic al probei J:
  

(i cel al vibratorului : J0 = 2,8 10-3 N.m.s2 . De asemenea, în ec.(3.25) s-a notat cu m masa probei iar cu w greutatea sa.
     Frecven(a excita(iei poate fi variată pînă la apari(ia rezonan(ei, cînd din ec.(2.24) rezultă ecua(ia pulsa(iilor proprii :


     Ecua(ia transcendentă (3.26) poate fi rezolvată prin dezvoltare în serie rezultînd rădăcina  în forma [22], [29]:


(i ţinînd cont că  iar, la rezonanţă,  viteza de propagare se obţine în forma:


Din ec.(3.28) şi ec.(3.21) se ob(ine, apoi, modulul torsional : .
     În momentul în care greutatea probei este cunoscută, expresia modulului torsional G poate fi adusă la o formă mai simplă. Vom ilustra această modificare printr-un exemplu, în care admitem că urmează să introducem în aparat o probă de argilă cu o greutate de 158 g.
     În acest caz, momentul de iner(ie masic poate fi ob(inut :


     deci (i raportul:
     
     
     Radicalul din (3.28) are acum valoarea , iar viteza de propagare devine:
     
     
     Densitatea probei D poate fi de asemenea calculată:
     [kg/m3 = Ns2/m4]
     
     deci, modulul torsional G rezultă în forma:
      
     
     rela(ii modificate în mică măsură de variaţii ale greutăţii probelor.
3.4.5. Estimarea amplitudinii momentului perturbator
     Momentul care provoacă o stare de tensiune (i deforma(ie torsională în probă este dat de: 


     relaţie rezultată din ec.(3.13) şi (3.14).
     Considerînd proba de exemplificare rezultă:
[m4]

[Nm]

3.4.6. Determinarea raportului de amortizare torsională 
     Calculul capacităţii de amortizare la un anumit nivel al amplitudinii excitaţiei se bazează pe ipoteza de echivalenţă reo-histeretică, ipoteză care permite utilizarea unui model echivalent ...în evaluarea energiei disipate în sistemul probă-vibrator.
     Ecuaţia diferenţială a mişcării modelului ...în regim staţionar de vibraţii torsionale este [50]:


     unde :
     
     
       fiind factorul de amortizare,  pulsaţia proprie a probei iar c, k constantele modelului ... (k = rigiditatea resortului şi c = vîscozitatea amortizorului).
     Cu ajutorul coloanei rezonante amortizarea se determină prin două metode:  prin metoda vibraţiilor libere amortizate şi prin metoda vibraţiilor staţionare. În continuare aceste metode vor fi expuse succint, iar pentru detalii se poate apela la paragraful 2.1.
     Prima metodă constă în întreruperea bruscă a momentului perturbator ceea ce conduce la apariţia unor oscilaţii libere amortizate a sistemului probă-vibrator, oscilaţii descrise de ecuaţia omogenă ataşată ec.(3.37):


     Soluţia acestei ecuaţii, pentru cazul amortizării subcritice al coloanei rezonante, este de forma :


     deci, o vibraţie pseudoarmonică cu pseudopulsaţia  şi pseudoperioada  (fig.2.1).
     O măsură a intensităţii amortizării este decrementul logaritmic :


     unde  este raportul de amortizare (dintre amortizarea curentă c (i amortizarea critică ) sau fracţiunea din amortizarea critică, măsura amortizării utilizată în mod curent.
     Avînd înregistrată curba vibraţiei libere amortizate, se pot măsura două amplitudini succesive sau situate la n pseudoperioade şi ţinînd cont că la amortizări mici , se obţine :


     Cea de a doua metodă, numită metoda vibraţiilor staţionare sau metoda factorului de amplificare, utilizează factorul de amplificare (2.27):


     care, la rezonanţă, cînd  şi , devine , de unde rezultă:
     
     
     Amplitudinea momentului perturbator M0 este proporţională cu intensitatea C a curentului ce trece prin bobinele vibratorului, raportul de proporţionalitate fiind o constantă de etalonare. De asemenea, amplitudinea mişcării la rezonanţă  poate fi obţinută din acceleraţia mişcării la rezonanţă A afectată de o  altă constantă de etalonare. Rezultă astfel :
     
     
     În cazul coloanei rezonante Drnevich, factorul de calibrare kd poate fi exprimat în funcţie de valorile acceleraţiei şi a intensităţii curentului, valori culese la  [142] :
     
     
Pentru proba uzuală valoarea expresiei din paranteza mare a ec.(3.46) este apropiată de 1, astfel că poate fi neglijată.
     Toate determinările expuse în acest paragraf presupun existenţa unei excitaţii cu o anumită amplitudine constantă şi a unei anumite presiuni constante în celula aparatului şi conduc la obţinerea unor valori ale modulilor dinamici şi factorilor de amortizare, valori corespunzătoare nivelului de deformaţie provocat probei de această amplitudine a excitaţiei.
     În cadrul ipotetic admis, încercarea din coloana rezonantă poate fi considerată nedistructivă, deci după terminarea unei încercări pe aceeaşi probă se poate efectua o nouă încercare cu o altă amplitudine a excitaţiei.
     Modificarea amplitudinii excitaţiei sau a presiunii din celulă conduce la obţinerea altor valori ale caracteristicilor dinamice, fapt care reflectă comportarea neliniară a materialului din probă. Dacă o singură încercare cu o anumită excitaţie constantă poate fi modelată de un model ..., diferenţa dintre rezultatele obţinute cu solicitări diferite nu mai poate fi explicată de acest model liniar. Apare deci, evidentă, necesitatea introducerii unui model neliniar. 
     Cu titlu de exemplificare redăm în tabelul 3.1 datele experimentale obţinute în coloana rezonantă pe o probă de argilă, precum şi rezultatele prelucrării lor în vederea obţinerii valorilor C, G şi D pentru 12 nivele de solicitare, valori calculate cu relaţiile:
     
     
     
     

4
Relaţii  constitutive  elastic  neliniare
     Modelele elastic neliniare ale pămînturilor au fost primele modele care au luat în considerare comportarea neliniară a acestor materiale. Aceste modele au făcut obiectul a numeroase cercetări teoretice şi experimentale, dintre care menţionăm lucrările [68], [88], [106], [108].
     Cu toată diversitatea punctelor de vedere conţinute, aceste lucrări au o trăsătură comună dată de utilizarea unor „moduli variabili”, autorii respectivi înlocuind constantele elastice ,  sau  cu funcţii empirice care au ca argumente componente ale tensorilor tensiunii sau deformaţiei.
     În continuare va f expus un alt mod de abordare, bazat pe rolul de potenţial elastic al energiei de deformaţie ceea ce permite o analiză clară a dependenţei relaţiilor obţinute de condiţiile de obţinere şi, totodată, o analiză a posibilităţilor de extindere la alte tipuri de solicitare [10], [18].
    4.1.  Forma generală a ecuaţiei constitutive
     Admitem că energia de deformaţie specifică a pămînturilor care pot fi considerate corpuri elastice are rol de potenţial elastic, ceea ce  permite utilizarea ecuaţiei constitutive neliniare în forma [132], [133]:
     

     unde  este cel de al doilea tensor ... al tensiunii (tensor care raportează tensiunile din configuraţia curentă la unitatea de arie din configuraţia de referinţă existentă „in situ”), E este tensorul deformaţiei neliniare iar w este densitatea energiei de deformaţie specifică pe unitatea de volum pe care corpul a avut-o în configuraţia naturală K'. Prin  şi  au fost notate componentele tensorilor respectivi raportate la sistemul de coordonate  ataşat configuraţiei naturale.
     Interesează, însă, forma acestei ecuaţii în cazul în care se alege drept configuraţie de referinţă configuraţia iniţială  existentă „in situ” la momentul iniţial , configuraţie căreia îi ataşăm sistemul de coordonate . În această configuraţie corpul are o anumită stare de tensiune şi deformaţie  şi  .  Admitem că energia de deformaţie  poate fi dezvoltată în serie Taylor după puterile lui  în jurul lui :
     

     În această serie, componentele:
     

     reprezintă constantele elastice de ordinele 1, 2 şi 3 ale materialului aflat în configuraţia iniţială, constante ce includ efectele proceselor de formare a materialului.
     Din ec.(4.1) şi (4.2) rezultă acum:
     

     Cum diferenţele  şi  reprezintă tensiunile şi deformaţiile raportate la sistemul de coordonate  al configuraţiei iniţiale, din ec.(4.4) obţinem forma căutată a ecuaţiei constitutive:
     

     unde:
     
     
     4.2. Relaţii constitutive între invarianţi
     Considerăm pămînturile care pot fi modelate cu un model elastic neliniar (nisipurile) drept materiale izotrope. Este, desigur, o ipoteză simplificatoare dar acceptabilă datorită faptului că lipsa de coeziune nu a permis fixarea unor direcţii preferenţiale. Energia de deformaţie a materialelor izotrope poate fi exprimată numai în funcţie de invarianţii principali ai tensorului deformaţiei. Aceeaşi dependenţă poate avea ca argumente şi alte trei combinaţii ale invarianţilor principali, combinaţii care sunt tot invariante.
     Astfel, dacă folosim invarianţii sfericului şi deviatorului tensorului deformaţiei:
     

     unde  este invariantul sferic al tensorului deformaţiei, iar  sunt invarianţii deviatorului tensorului deformaţiei D, din ec.(4.2) va rezulta o formă polinomială a energiei de deformaţie :
     
     
     unde constantele  ;  ; sunt noile constante elastice de ordinele 1, 2 şi 3, constante rezultate din combinarea constantelor elastice din ec.(4.3)
     Această formă a energiei de deformaţie poate fi utilizată ca potenţial pentru obţinerea invarianţilor analogi ai tensorului tensiunii:
     

     unde  este invariantul sferic al tensorului tensiunii T, iar  sunt invarianţii deviatorului tensorului tensiunii S . Utilizînd forma (4.8) a energiei de deformaţie drept potenţial se obţine, după cîteva calcule simple, relaţia constitutivă între invarianţii tensorilor tensiunii şi deformaţiei:
     
     
     formă aplicabilă solicitărilor ce conduc la deformaţii cu , caz în care este necesară relaţia constitutivă .
     Rapoartele dintre invarianţi din parantezele ec.(4.10) pot fi exprimate în raport cu două funcţii A şi B, funcţii proporţionale cu invarianţii direcţionali  şi :
     

     din ec.(4.10) rezultînd relaţia căutată:
     
     
     unde :
     
     
     unde constantele  sunt, combinaţii ale constantelor elastice din ec.(4.7)
     Printr-un procedeu similar se obţine şi relaţia :
     

     unde:
     
     
     Prezenţa invarianţilor direcţionali în relaţiile constitutive (4.12) şi (4.14) pune în evidenţă dependenţa de drumul în deformaţii sau tensiuni a relaţiilor constitutive tensiune-deformaţie ce se rezumă la dependenţa dintre invarianţii de acelaşi ordin ai tensorilor tensiunii şi deformaţiei  sau .
     S-a observat experimental că aplicînd unei probe de pămînt o compresiune izotropă, în deformaţiile rezultate ponderea o deţin deformaţiile de volum, dar vor apare şi deformaţii de formă, iar aplicarea unor tensiuni tangenţiale provoacă în principal deformaţii de formă, dar apar şi deformaţii de volum [10], [18], [70], [90]. 
     	Faptul că în relaţiile (4.12) şi (4.14) invarianţii tensorului tensiunii depind de toţi cei trei invarianţi ai tensorului deformaţiei denotă că aceste relaţii pot modela atît dependenţa directă sau , cît şi efectele reciproce  sau , mai reduse ca pondere dar prezente. Forma polinomială a relaţiilor (4.12) şi (4.14) reflectă şi ponderea diferită a invarianţilor tensorului deformaţiei. Astfel, invarianţii de acelaşi ordin sunt folosiţi drept „argumente” ale polinoamelor, iar ceilalţi invarianţi incluşi sub forma invarianţilor direcţionali afectează „coeficienţii” dezvoltărilor polinomiale. Cu alte cuvinte, relaţiile constitutive tensiune-deformaţie, de volum (4.12) şi de formă (4.14) au aceeaşi formă analitică, diferenţa dintre ele fiind numai de ordin cantitativ, diferenţe traduse prin valorile diferite atribuite "coeficienţilor" acestor polinoame.
	Aceste concluzii sunt confirmate de alura curbelor experimentale tensiune-deformaţie (fig.4.1) întîlnite în literatura de specialitate ([5], [51], [52], [57], [77], [83], [84], [102] etc.) sau obţinute din experimentări proprii [8], [15], [16].
     4.3. Funcţii-modul
     Din relaţiile constitutive (4.12) şi (4.14) pot fi acum definite funcţiile-modul, de volum: sau de formă: , în varianta „tangentă”:
     

     sau în forma „secantă”:
     
     
     denumiri derivate din semnificaţiile geometrice ale acestor funcţii. Menţionăm că semnul minus din faţa funcţiei  este impus de curbura funcţiilor experimentale (fig. 4.1).
     
     
      Fig. 4.1
     Pentru determinarea parametrilor relaţiilor constitutive (4.13) şi (4.15) sunt necesare încercări experimentale efectuate pe diferite drumuri în deformaţii sau tensiuni, încercări care să permită evaluarea atît a dependenţei dintre invarianţii de acelaşi ordin cît şi a influenţei invarianţilor direcţionali. 
     Însă, în triaxial, aparatul cel mai „complet” existent în ţară, nu pot fi obţinute decît drumuri situate în planul simetriei axiale, plan pentru care , deci, la ora actuală nu putem evalua experimental influenţa acestui invariant direcţional. Acest impediment restrînge aplicabilitatea modelului la rezolvarea problemelor la limită axial-simetrice şi, cu anumite modificări, la rezolvarea problemelor plane,  arie de aplicabilitate suficient de extinsă pentru a prezenta interes practic. 
     În planul simetriei axiale relaţiile constitutive (4.13) şi (4.15) au forma:
     

     unde:
     
     
     Desigur, noile constante  diferă de constantele din (4.13) şi (4.15), însă au fost notate la fel pentru simplificarea notaţiilor.
     Se remarcă faptul că expresiile funcţiilor-modul din ec.(4.18) pot fi considerate forme polinomiale de „moduli variabili”. Deşi beneficiază de susţinere teoretică (legată de constantele elastice de ordine superioare), formele (4.18) pot provoca uneori dificultăţi în cuantificarea experimentală datorită inflexiunilor curbelor polinomiale de aproximare a distribuţiei datelor experimentale, inflexiuni care uneori nu au suport fizic. 
     Din acest motiv, reţinînd rolul de potenţial al energiei de deformaţie dar înlocuind dezvoltarea în serie Taylor a acesteia cu un alt tip de aproximare se pot obţine funcţii-modul cu expresii analitice „netede” pe întregul interval de definiţie. Mai mult, aceste expresii analitice pot fi astfel alese încît să asigure o aproximare optimă a distribuţiei datelor experimentale.
     Astfel, dacă se alege pentru energia de deformaţie a formei o expresie de forma:
     
     
     funcţia-modul de forfecare va avea forma:
     
     
     deci, o funcţie hiperbolică de tipul celor propuse în [77], [81], [88]. 
     De asemenea, dacă expresia aleasă pentru este:
     

     funcţia-modul de forfecare va lua o formă exponenţială:
     
     
     formă cu o bună aplicabilitate practică.
     
     
5
MODELAREA  EFECTELOR  REOLOGICE
 ÎN  
MEDII  LINIARE
     5.1.  Fluaj şi relaxare
     Fenomene de fluaj şi relaxare sunt întîlnite şi la pămînturi, în special la argile, ceea ce face ca aceste materiale să poată fi considerate vîscoelastice. Vom folosi şi în această lucrare aceeaşi denumire de material „vîscoelastic" cu menţiunea că admitem, deocamdată, existenţa proprietăţilor elastice numai în cazul primei încărcări monoton crescătoare. Însă, neliniaritatea atît de prezentă în toate manifestările acestor materiale face ca pentru pămînturi să nu fie admisibile decît modelele vîscoelastic neliniare.
     În acest paragraf vom aminti succint cîteva definiţii şi noţiuni din mecanica corpurilor vîscoelastic liniare [56], [96], [111], [131], [135], elemente care vor fi utilizate ulterior în expunerea modelului vîscoelastic neliniar.
     Pentru un material vîscoelasic, modificările în timp ale caracteristicilor sale mecanice reprezintă o trăsătură definitorie. Fenomenul de evoluţie în timp a deformaţiilor sub tensiuni constante este numit fluaj iar modificările tensiunilor sub deformaţii constante este cunoscut sub denumirea de relaxare.
     Într-o experienţă de fluaj se măsoară evoluţia în timp a deformaţiilor apărute sub o tensiune constantă.  La materialele vîscoelastice obişnuite (de exemplu. polimeri) asemenea experienţe sunt uniaxiale. La pămînturi vom folosi teste care conduc la relaţii uniaxiale ca formă dar rolul componentelor tensorului deformaţiei este preluat de către invarianţii tensorului deformaţiei. Astfel, experienţele de fluaj la pămînturile cu proprietăţi reologice vor consta în determinarea evoluţiilor în timp a invariantului sferic al tensorului deformaţiei:  sau vom urmări evoluţia în timp al invariantului deviatorului tensorului deformaţiei: . 
     Însă, pentru fixarea unor noţiuni şi definiţii, vom folosi o experienţă uniaxială oarecare în care o deformaţie uniaxială, fie a, se va modifica în timp sub acţiunuea unei tensiuni constante uniaxiale oarecare, fie , unde este funcţia lui Heviside (fig.5.1-a).
     În momentul aplicării tensiunii apare o deformaţie elastică instantanee (OA din fig.5.1), după care deformaţia creşte în timp (arcul ABE din fig.5.1-b) apropiindu-se asimptotic, în cazul unui fluaj amortizat, de o valoare OF denumită deformaţie întîrziată. Dacă, după un anumit interval de timp , tensiunea este înlăturată, bara are o revenire instantanee marcată prin micşorarea deformaţiei (BC din fig.5.1-b), urmată de o revenire progresivă (CD din fig.5.1-b). În cazul materialelor cu caracteristici perfect elastice (fără deformaţii remanente) revenirea instantanee egalează deformaţia elastică instantanee iar revenirea progresivă tinde asimptotic la zero. Cum în realitate corpurile nu sunt perfect elastice, cele două segmente OA şi BC nu sunt egale iar deformaţia de revenire progresivă nu tinde la zero ci la o valoare diferită de zero numită deformaţie permanentă (sau remanentă) [135].
     
      		Fig. 5.1					     Fig. 5.2
      	       Experienţă de fluaj			          Experienţă de relaxare
     Funcţia care descrie evoluţia în timp a deformaţiei  corespunzătoare tensiunii constante aplicate  este numită funcţie de fluaj (fig.5.1-c):
     

     funcţie cu un aspect grafic asemănător funcţiei . Valoarea iniţială a funcţiei de fluaj  este numită  fluaj instantaneu.
     Într-o experienţă de relaxare se impune o deformaţie constantă  (fig.5.2-a) şi se măsoară evoluţia în timp a tensiunilor  necesare pentru a menţine în timp deformaţia constantă. Se remarcă faptul că tensiunea necesară scade în timp tinzînd la zero sau către o anumită valoare  (arcul de curbă ABC din fig.5.2-b). Dacă la un moment dat  deformaţia este suprimată, tensiunea din bară scade brusc (segmentul BC din fig.5.2-b) după care tinde asimptotic către o anumită valoare numită tensiune remanentă (arcul de curbă CD din fig.5.2-b).
       Funcţia care reflectă variaţia tensiunii  necesare menţinerii unei deformaţii constante  este numită  funcţie de relaxare (fig.5.2-c):
     
     
     Valoarea iniţială a acesti funcţii, , este numită modul instantaneu iar valoarea asimptotică  este numită modul întîrziat.
     5.2.  Răspunsul la vibraţii forţate
     Experienţele de fluaj şi relaxare pot furniza informaţii asupra comportării unui material vîscoelastic supus unor solicitări lente, numite solicitări statice. Datorită vitezelor lente, efectele inerţiale devin neglijabile în acest caz, ca şi cele disipative.
     Experienţele efectuate în regim dinamic, de regulă armonic, oferă informaţii suplimentare utile asupra răspunsului dinamic al materialelor vîscoelastice.
     Admitem că un material vîscoelastic este supus unei istorii a tensiunilor de forma:
     

     Ca şi în cazul experienţelor de fluaj sau relaxate tesnsiunea T din ec.(5.3) este o tensiune uniaxială oarecare, deformaţiile corespondente fiind notate generic cu r.
     După un interval de timp, care este cu atît mai scurt cu cît proprietăţile disipative ale materialului sunt mai puternice, proba intră în regim staţionar, unde deformaţiile de răspuns au forma:
     

     deci, deformaţia staţionară poate fi descompusă într-o parte „în fază” cu tensiunile, parte care caracterizează proprietăţile elastice ale materialului şi o a două parte, defazată, legată de capacităţile disipative ale materialului.
     Analiza vibraţiilor forţate este, de regulă, condusă în domeniul complex, caz în care relaţiile dintre tensiunea T şi deformaţia A poate fi scrisă:
       ; 

     Menţionăm că, în general, notaţia „Re” poate lipsi, însă chiar în lipsa acesteia relaţiile complexe de forma (5.5) se referă la partea reală a mărimilor implicate (T sau a).
     Raportul:
     

     este numit modul complex, iar raportul invers:
     
     
     este numit  complianţă complexă.
     Modulele complexe (5.6) şi (5.7) pot fi scrise şi în forma:
     

     unde indicile „re” semnifică partea reală a mărimii respective iar indicele „im” partea imaginară. este unghiul de întîrziere a materialului cuprins în intervalul: . Valoarea   corespunde unui maerial elastic iar valoarea:  corespunde unui fluid newtonian vîscos. În aceste două cazuri extreme valoarea unghiului s depinde de  . Tangenta unghiului de întîrziere , numită disipare  interioară are expresia:
     
     
     În cazul particular în care tensiunea este dată în forma (5.3) rezultă componenta în fază a deformaţiei sub forma:  iar componenta defazată cu  /2 este .
     5.3.  Legi de comportare liniare
     O lege de comportare vîscoelastic liniară de forma:
     

     este o lege de tip fluaj, iar o lege de comportare:
     
     
     este o lege de tip relaxare.	
     Legile de comportare vîscoelasic liniare, atît de tip fluaj cît şi de tip relaxare, pot fi diferenţiale sau integrale. 
     O lege de comportare vîscoelastică diferenţială liniară are forma:
     

     unde:
     
     
     iar operatorii diferenţiali P şi Q sunt definiţi de:
     
     
     cu  
     Dacă , legea (5.12) este de ordinul n, dacă  legea este de tip relaxare iar dacă  legea este de tip fluaj. De asemenea, dacă există o constantă  astfel ca:
     

     atunci materialul este de tip elastic, deoarece legea de comportare poate fi obţinută prin derivare în raport cu timpul a unei legi de tip ....
     Materialul pentru care  este numit material vîscoelastic standard:
     

     Cele mai simple modele ce aparţin acestei clase sunt modelele ..., pentru care în ec.(5.16) se introduce::
     

     şi Maxwell, cu  în ec.(5.16):
     
     
     Legile diferenţiale de comportare pot avea „ataşate” modele analoge compuse din resorturi care traduc proprietăţile elastice şi amortizoare ce simulează proprietăţile disipative.
     Astfel, modelul analog ... este format prin cuplarea în paralel a unui resort elastic de rigditate  cu un amortizor de vîscozitate  (fig.5.3) iar modelul analog Maxwell se obţine prin legarea în serie a unui resort de rigiditate  cu un amortizor de vîscozitate  (fig.5.4).
       
     
           Fig. 5.3 - Model analog ...		Fig. 5.4  - Model analog Maxwell
     5.4.  Modele diferenţiale de ordinul întîi
     5.4.1.  Modelul ...
     Se observă că în cazul modelului ... deformaţia resortului şi amortizorului vor fi identice, în timp ce tensiunea  se va compune aditiv din două părţi: una corespunzătoare tensiunii din resort proporţională cu deformaţia resortului () şi alta corespunzătoare tensiunii din amortizor proporţională cu viteza de deformaţie (). 
     Abordînd cazul unei solicitări de torsiune pură (caz în care ), ecuaţia diferenţială a modelului ... poate fi scrisă:
     

     Prin integrarea ec.(5.19), cu condiţia iniţială  se obţine evoluţia deformaţiilor în forma:
     

care, pentru , se reduce la:
     

de unde  funcţia de fluaj a modelului ... rezultă (fig.5.5): 
     

unde este valoarea asimptotică a funcţiei de fluaj iar raportul  este timpul de întîrziere.
     Soluţia ec.(5.19) pentru , corespunzătoare unui experiment de relaxare, este: , de unde rezultă că modelul ... nu are funcţie de relaxare. 
     Modelul ... este utilizat pentru o descriere în primă aproximaţie a comportării la fluaj a unui solid vîcoelastic fără fluaj instantaneu.
       
     
Fig. 5.5 - Funcţia de fluaj a		      	        Fig. 5.6 -  Funcţia de relxare a
      modelului ...				         modelului Maxwell
5.4.2.  Modelul Maxwell
     Modelul Maxwell are ca model matematic ecuaţia diferenţială (5.18):
     

căreia îi corespunde modelul analogic constituit dintr-un resort montat în serie cu un amortizor din fig.5.4. Deci tensiunea va fi aceiaşi atît în resort cît şi în amortizor, iar deformaţia totală va fi formată din suma deformaţiilor resortului  cu cele ale amortizorului.
     Abordînd tot cazul solicitărilor de torsiune, unde  şi notînd cu  deformaţia din resort şi cu deformaţia amortizorului, rezultă:
     

De aici se obţine ecuaţia diferenţială:
     

     Pentru o tensiune constantă  ecuaţia diferenţială (5.25) devine:
     

din care, prin integrare, deducem:
     

unde constanta de integrare  C  se detemină din condiţia iniţială, şi anume, pentru  deformaţia   trebue să fie egală cu deformaţia elastică .  Rezultă în fina:
     

iar apoi funcţia de fluaj a modelului Maxwell:
     

deci, o dreaptă de pantă  cu ordonata în origine .
     Comportarea la relaxare a modelului Maxwell se obţine introducînd în ecuaţia diferenţială a modelului (5.25) deformaţia constantă . Se obţine:
     

cu soluţia :


unde constanta de integrare A se determină din condiţia iniţială, adică pentru momentul  tensiunea este . Rezultă astfel, tensiunile de relaxare date de modelul Maxwell în forma exponenţialei ce tinde asimptotic la zero:
     

     şi apoi funcţia de relaxare a modelului Maxwell (fig.5.6):
     
     
     unde raportul  este timpul de relaxare al modelului Maxwell.
     Modelul Maxwell este utilizat pentru o descriere în primă aproximaţie a unui fluid vîcoelastic.
     5.4.3. Solidul vîscoelastic standard
     Solidul vîscoelastic standard are legea diferenţială (5.16), care mai poate fi scrisă şi în forma: 
     

     cuşi condiţiile iniţiale [56]:
     
     
     Ecuaţiei diferenţiale (5.34) îi poate corespunde două modele analoge diferite, unul obţinut prin montarea în serie a unui resort cu un element ... (fig.5.7-a) iar al doilea prin montarea în paralel a unui resort cu un element Maxwell (fig.5.7-b).
     Existenţa a două modele analoge permite ca funcţiile de fluaj şi relaxare ale solidului vîscoelastic standard să poată fi obţinute direct, fară întegrarea ecuaţiilor diferenţiale. 
     Modelul analog din  fig. 5.7-a este format prin legarea în serie a unui resort cu un element .... Deci, deformaţia totală a montajului va fi constituită din suma deformaţiilor elementelor componente. De asemenea,  şi funcţia de fluaj va fi compusă din suma:
     

     
      Fig. 5.7
     Modelul anlog din fig.5.7-b este constituit prin legarea în paralel a unui resort cu un element Maxwell. Deci, tensiunea totală va fi suma tensiunilor parţiale din elementele componente, ca şi funcţia de relaxare:
     

     Ecuaţiile diferenţiale ale acestor două modele analoge sunt:
     

     pentru montajul din figura 5.7-a, şi:
     
     
     pentru modelul analog din figura 5.7-b.
     Comparînd ecuaţiile (5.34) şi (5.38) observăm că:
     

     iar funcţia de fluaj (5.36) poate lua forma:
     
     
     unde raportul  este denumit timp de întîrziere.
     De asemenea, din ec.(5.34) şi (5.39) rezultă:
     

     ceea ce conduce la următoarea formă a funcţiei de relaxare:
     
     
     unde parametrul este timpul de relaxare.
     	Tinînd cont de:
           ; 
     
     rezultă că valorile iniţiale şi la limită ale funcţiilor de fluaj şi relaxare ale solidului vîscoelastic standard sunt inverse: iar cele două funcţii pot fi scrise în forma (fig.5.8 şi fig.5.9):
     
     
     Acest model permite descrierea calitativă, într-o primă aproximaţie, a comportării unui solid vîscoelastic liniar, dar avînd numai un timp de întîrziere şi numai un timp de relaxare nu permite utilizarea sa pentru o descriere cantitativă satifăcătoare. 
     
     
	Fig. 5.8 - Funcţia de fluaj a 			      Fig. 5.9 - Funcţia de relaxare a
		solidului standard				      solidului standard
     5.5. Modele diferenţiale generalizate
     Pentru o descriere mai corectă a rezultatelor obţinute în experienţele de fluaj şi relaxare au fost utilizate modelele diferenţiale – ... şi Maxwell – generalizate.
     Modelul ... generalizat permite o descriere mai exactă a comportării la fluaj. Modelul său analog este constituit din n elemente ... (de vîscozităţi  şi rigidităţi ) montate în serie cu un element Maxwell (de vîscozitate  şi rigiditate ) care poate modela elasticitatea instantanee. Funcţia de fluaj a acestui model conţine n timpi de întîrziere şi are expresia:
     

     unde . Modelul posedă, deci, n timpi de întîrzire .
     Modelul Maxwell generalizat permite o descriere adecvată a comportării la relaxare. Modelul său analog cuprinde n elemente Maxwell (de vîscozităţi  şi rigidităţi ) grupate în paralel cu un resort (de rigiditate G0). Funcţia de relaxare a acestui model este:
     

     cu n timpi de relaxare .
     O extindere imediată a acestor modele generalizate poate fi obţinută considerînd că materialul posedă un spectru continuu de timpi de întîrziere, funcţia de fluaj (5.46) luînd forma:
     

     sau dacă materialul posedă un spectru continuu de timpi de relaxare, funcţia de relaxare (5.47) devine:
     
     
     scopul cercetărilor experimentale rămînînd, în acest caz, determinarea funcţiilor  sau  pornind de la un spectru discret de timpi de întîrziere sau relaxare.
     5.6.  Modele vîscoelastice de tip integral
     Amiţînd existenţa unor funcţii tensoriale de fluaj şi relaxare se pot obţine legile de comportare vîscoelastic liniare integrale de tip fluaj:
     

     sau de relaxare:
     
     
     unde prin * s-a notat convoluţia Stieltjes a funcţiilor respective:
     
     
     Evident, în virtutea simetriei tensorilor tensiunii şi deformaţiei (liniare)  se poate admite că funcţiile tensoriale de fluaj J şi relaxare G satisfac relaţiile de simetrie:
     

     iar dacă J şi G sunt funcţii de clasă H1, se pot înlocui convoluţiile Stieltjes (5.50) şi (5.51) prin convoluţii Riemann:
     
     
     rezultînd:
     
     
     Dacă materialul este izotrop, se pot separa aditiv tensorii tensiunii şi deformaţiei în sferici şi deviatori:
     

     iar tensorii de ordinul patru J şi G, care satisfac relaţiile de simetrie (5.53) pot fi puşi sub forma:
     
     
     unde , sunt funcţii arbitrare de t.
     Introducînd (5.56) şi (5.57) în ec.(5.55) şi separînd sfericii de deviatori, se obţine după cîteva transformări:
     

     Deci, în cazul izotrop este posibilă separarea legilor de comportare vîscoelastic liniare în legi care guvernează modificările de volum (între sferici) şi legi care descriu schimbarea formei (între deviatori ). 
     Această înpărţire justifică şi denumirile de funcţie de fluaj la dilatare pentru , funcţie de fluaj de forfecare pentru  şi, analog,  funcţie de relaxare a volumului pentru  şi funcţie de relaxare a formei pentru .  
     Dacă în locul tensorilor sferici şi deviatori se utilizează învarianţii sfericişi deviatori :
       

     atunci, relaţiile constitutive tensiune-deformaţie pentru un corp vîscoelastic izotrop (5.58), iau forma:
     
     
     Se remarcă faptul că legile constitutive integrale (5.60) sunt relaţii între tensiunile prezente şi viteza  a tensorului deformaţiei  , viteză ponderată de funcţiile de material, şi anume de funcţiile-modul de relaxare  şi .
     5.6.  Răspunsul în regim armonic staţionar
     Să analizăm acum comportarea unui solid vîscoelastic cu ecuaţia constitutivă (5.60)2 :
     

     supus unui regim staţionar armonic:
     
     
     unde este amplitudinea iar e frecvenţa circulară (pulsaţia) excitaţiei.
     În cazul unui solid vîscoelastic, cu valoarea limită a relaxării diferită de zero, funcţia de relaxare  poate fi descompusă în:
     

     unde  este valoarea la limită a funcţiei de relaxare:
     
     
     iar funcţia diferenţă  are limita nulă:
     
     
     Un exemplu de astfel de funcţie de relaxare este dat în fig.5.8-b care reprezintă funcţia de relaxare a solidului vîscoelastic standard.
     Introducînd relaţiile (5.62) şi (5.63) în ecuaţia constitutivă (5.61) rezultă:
     

     iar după schimbarea de variabilă :
         
     
     Relaţia constitutivă poate fi pusă în forma alternativă:
     
     
     unde modulul complex  are expresia:
     
     
     unde, părţile: reală  şi imaginară , au forma:
           
     
     Partea reală  este denumită modul de acumulare (storage modulus) iar partea imaginară  modul de atenuare (loos modulus).
     Este de remarcat comportarea ecuaţiei constitutive (5.61) în cazurile extreme, la frecvenţe foarte reduse sau foarte inalte. Deoarece:
     

     rezultă că un solid vîscoelastic cu ecuaţia constitutivă (5.61) supus unor vibraţii foarte lente sau foarte rapide răspunde ca un solid elastic.
     Aspectul calitativ al variaţiilor modulilor dinamici în raport cu frecvenţa A este dat  în fig.5.10 [56], [131].
     
     
      Fig. 5.10
     Modulul complex  poate lua şi expresia alternativă:
     

unde este valoarea absolută a modulului complex iar este unghiul de defazaj dintre tensiuni şi deformaţii:
     

     Funcţiile de frecvenţă (5.70):
     

      (rescrise aici pentru a facilita compararea) pot fi considerate ca transformări Fourier directe, iar prin transformare inversă rezultă funcţiile în domeniul timp:
     
     
     Se observă că dacă funcţia de relaxare  este cunoscută cu ajutorul transformărilor Fourier directe (5.74) pot fi obţinute părţile: realăşi imaginară  ale modulului complex , iar dacă funcţiile dinamice sunt cunoscute,  transformările Fourier  inverse (5.75) pot furniza funcţia de relaxare. Însă, relaţiile (5.74) şi (5.75) sunt interconectate pe întregul lor domeniu de definiţie. Prin urmare obţinerea unor valori corecte pentru funcţia de relaxare ar necesita cunoaşterea modulului complex pe întreg spectrul de frecvenţe iar determinarea corectă a valorilor modulului complex necesită cunoaşterea funcţiei de relaxare pe întregul domeniu de timp. Cum experimental determinările sunt accesibile numai unor domenii restrînse este recomandabilă utilizarea unor teste specifice – de relaxare pentru funcţia de relaxare şi teste dinamice pentru modulul complex.
      
     
 6
Model  vîscoelastic  neliniar
6.1.  Forma generală a ecuaţiei constitutive
     Vectorul deplasărilor u, tensorii tensiunii T şi deformaţiei E sunt, în cazul materialelor vîscoelastic liniare, funcţii de poziţie x şi de timp t, funcţii ce definesc starea vîscoelastică a corpului.  Pentru un timp dat şi fixat  aceste funcţii vor defini o stare elastică a corpului.
     Această reducere a stărilor vîscoelastice la stări elastice - intuitivă, de fapt - este riguros definită şi demonstrată în [72], unde este dată şi condiţia necesară acestei reduceri, şi anume, condiţia ca pentru un timp t fixat, funcţiile de relaxare şi de fluaj să se reducă la constantele şi coeficienţii elastici corespunzători.
     Reducerea stărilor vîscoelastice la stări elastice este observabilă experimental şi în comportarea unor probe de argilă supuse în triaxial unei încercări de tip fluaj, izocronele  şi/sau fiind curbe tensiune-deformaţie ce pot fi modelate cu un model elastic neliniar.
     Modelul prezentat în acest capitol se bazează pe reducerea stărilor vîscoelastice la stări elastice. Pornind de la forme generale ale ecuaţiei constitutive ale vîscoelasticităţii neliniare se ajunge la forme aplicabile la pămînturi utilizînd condiţia ca pentru un moment dat funcţiile neliniare de relaxare şi să se reducă la funcţiile-modul elastic neliniare şi din capitolul 4. În acest capitol va fi expus, de fapt, un procedeu de determinare a variaţiei în timp a acestor izocrone, ataşînd astfel relaţiilor tensiune-deformaţie elastic neliniare o lege de variaţie în timp. 
     În cazul materialelor vîscoelastic liniare, pentru un timp dat , funcţiile de relaxare  şi  se reduc la constantele elastice corespunzătoare K şi G  iar relaţiile constitutive la relaţiile constitutive elastice corespunzătoare:
     

     Admitem că această teoremă de reducere a stărilor vîscoelastice la cele elastice, demonstrată de  Gurtin şi Sternberg pentru corpurile liniare [72], poate fi extinsă la materialele nelinare în sensul că pentru un timp dat , funcţiile de relaxare  şi se reduc la funcţiile-modul corespunzătoare  şi . Prin urmare, funcţiile de relaxare a unui material vîscoelastic neliniar pe lîngă variabila timp trebuie să conţină drept argumente şi invarianţii tensorului deformaţiei: şi . În aceste condiţii, ecuaţiile constitutive vîscoelastic neliniare (5.60) iau forma:
     

6.2. Funcţiile neliniare de relaxare
     Pentru ca legea vîscoelstic neliniară (6.2) să fie complet determinată trebuie ca funcţiile de material – funcţiile neliniare de relaxare şi  să fie definite şi cuantificate prin teste experimentale de relaxare. 
     În cazul pămînturilor pot fi folosite în acest scop testele triaxiale. Însă, deoarece testele de relaxare sunt dificil de realizat în triaxial vom prezenta în continuare o metodă de determinare indirectă a funcţiilor de relaxare prin teste triaxiale de fluaj. Vom exemplifica metoda prin determinarea funcţiei de relaxare  utilizînd datele experimentale obţiute prin teste triaxiale pe probe de argilă [23].
     Metoda este compusă din în două etape. În prima etapă se determină experimental funcţii de fluaj iar apoi, în etapa a doua,  prin prelucrarea numerică a acestora se obţin funcţiile de relaxare căutate.
     Într-un experiment triaxial de fluaj o probă de pămînt este solicitată de forţe cunoscute aplicate în n trepte de încărcare, fiecare treaptă i fiind menţinută constantă un anumit interval de timp . Deci, la fiecare treaptă proba va avea o stare de tensiune constantă  iar deformaţiile corespunzătoare  vor creşte, pînă la stabilizare sau rupere. Se realizează, astfel, la fiecare treaptă o experienţă de fluaj din datele căreia poate fi obţinută variaţia deformaţiilor treptei , adică funcţii de fluaj cu o formă analitică impusa de distribuţia datelor experimentale. 
     De regulă, funcţia de fluaj a solidului vîscoelastic standard de formă exponenţială:


reprezintă o bună aproximaţie pentru fluajul unei trepte. In ec.(6.3)  este valoarea invariantului deformaţiei treptei i la momentul iniţial al treptei,  reprezintă valoarea asimptotică de stabilizare iar prin  s-a notat timpul de întîrziere al treptei (fig.6.1).
      Fig. 6.1
     Acest procedeu este aplicabil în procesele de fluaj cu tendinţă de stabilizare, caz în care deformaţiile scad în timp (fluaj primar [56]). După un anumit număr de trepte, prin creşterea solicitărilor exterioare, viteza de deformaţie devine crescătoare iar materialul intră în fluaj accelerat către rupere (curgere).
     După determinarea funcţiilor de fluaj se poate trece la etapa următoare care constă în determinare unor izocrone  folosind valorile f şi   culese din toate funcţiile de fluaj ale treptelor pentru un acelaşi timp t fixat. 
     În acest scop, fiecare din intervalele de timp  ale celor n trepte de timp se divizează în aceleaşi m trepte de timp, stabilindu-se la fiecare treaptă de încărcare i valori . Apoi, pentru un acelaşi timp tj, din toate cele n funcţii de fluaj ale celor n trepte de încărcare se pot obţine m relaţii constitutive elastic neliniare de forma (fig.6.2) :


      
      Fig. 6.2
     Cele m funcţii-modul ale acestor izocrone, de forma unor ecuaţii constitutive elastic neliniare (fig.6.3):
                   

pot fi interpretate drept curbe pentru valori fixe ale variabilei timp  pe suprafaţa generată de funcţia .
     Formele analitice ale relaţiilor constitutive (6.4) ca şi ale funcţiilor-modul (6.5) sunt impuse de distribuţia datelor experimentale. Pot fi utilizate în acest scop funcţii hiperbolice, exponenţiale, polinomiale, sigmoidale etc., aproximaţiile oferite nefiind mult diferite (un exemplu este dat în fig.6.4).

     
     Fig. 6.3
      
      Fig. 6.4
     În final, din relaţiile (6.5) se obţin valori ale funcţiei-modul de relaxare:


din care, prin prelucrare statistică, se pot obţine expresii analitice pentru funcţia de relaxare căutată. O astfel de formă pentru funcţia de relaxare este:


unde, valoarea iniţialăeste constantă în raport cu e şi t dar poate fi dependentă de alţi parametri fizici şi mecanici ai materialului, cum sunt: umiditatea, densitatea, indicile porilor, timpul de consolidare a probei sau raportul de supraconsolidare, presiunea de consolidare, etc. 
     Pentru argila folosită ca exemplu a fost obţinută o funcţie de relaxare (fig.6.5), de forma ec.(6.7), unde funcţiile parţiale de deformaţie şi timp sunt:


Fig. 6.5
     
 7
    MODELAREA  RĂSPUNSULUI  DINAMIC
    7.1. Model dinamic vîscoelastic neliniar
     Adimitem că un material vîscoelastic neliniar cu ecuaţia constitutivă (6.2)2 supus unei excitaţii armonice staţionare:
     

răspunde în deformaţii tot sub formă armonică staţionară:
     

În relaţiile de mai sus este amplitudinea excitaţiei torsionale, i frecvenţa circulară (pulsaţia),   amplitudinea răspunsului în deformaţii iar .
     Introducînd în ecuaţia constitutivă (6.2)2 istoria deformaţiei (7.2) se obţine o ecuaţie constitutivă dinamică de forma[19], [22], [46]:
     

unde  este funcţia-modul complex:
     

astfel denumită prin analogie cu dinamica liniară. Tot prin analogie vom denumi partea reală a funcţiei  : , funcţie-modul de acumulare (storage modulus function), iar partea imaginară , funcţie-modul de atenuare (loss modulus function) :
     

iar este valoarea la limită:
     

     Utilizînd forma (6.7) a funcţiei neliniare de relaxare:
     
(6.7)
funcţiile de acumulare şi atenuare devin:
     

unde funcţia de deformaţie  are aceiaşi formă ca la funcţia neliniară de relaxare (6.7) iar dependenţele de frecvenţă iau forma:
     

     Este de remarcat comportarea ecuaţiei constitutive (7.3) în cazurile extreme, la frecvenţe foarte reduse sau foarte înalte. Deoarece:
         

rezultă că un solid vîscoelastic cu ecuaţia constitutivă neliniară (7.3) supus unor procese foarte lente sau foarte rapide răspunde ca un solid elastic neliniar.  Primul caz, cînd , corespunde solicitărilor „statice” aplicate un timp suficient de îndelungat pentru ca fenomenele de relaxare şi fluaj să poată fi considerate „stinse”, deci este firesc ca în ec.(7.3) să intervină valorile stabilizate ale funcţiilor neliniare de relaxare din modelul vîscoelastic neliniar. În cazul în care  datorită frecvenţei foarte mari a excitaţiei relaxarea este blocată iar în ec.(7.3) intervin valorile iniţiale ale funcţiilor neliniare de relaxare. Regăsim astfel, atît asemănarea cu dinamica liniară [56], [131], cît şi concordanţa cu observaţiile experimentale [6], [22], [95].
     Funcţia-modul complex (7.4) poate lua forma alternativă:
     

unde:
     

     Tot prin analogie cu dinamica liniară prima funcţie (7.11), numită funcţia-modul de torsiune dinamică, introduce în model rigiditatea iar cea de a doua funcţie (7.11), numită funcţia de amortizare torsională, caracterizează proprietăţile disipative ale materialului. 
     Relaţiile inverse celor din ec.(7.11) sunt:
     

     De regulă, pentru materialele cu amortizări reduse: . Datele experimentale au confirmat că această aproximare poate fi admisă şi la pămînturi. Chiar în cazul argilei testate, pentru care în coloana rezonantă s-a obţinut o valoare maximă a raportului de amortizare de 0,22, valoarea maximă a funcţiei de sub radicalul din ec.(7.12) este de 1,10454, Deci, acceptarea aproximaţiei conduce la o eroare maximă de 9%, ceea ce în cazul pămînturilor este acceptabilă. 
     Utilizînd expresiile (7.5) ale părţilor reală  şi imaginară ale funcţiei-modul complex, funcţia-modul de torsiune dinamică şi funcţia de amortizare torsională devin:
     

     Să examinăm acum aspectul calitativ al acestor funcţii. Dependenţa de frecvenţă a funcţiilor  şi  (fig.7.1) este în concordanţă cu comportarea calitativă a unui solid vîscoelastic şi cu observaţiile experimentale obţinute prin teste pe pămînturi [56], [32]. De asemenea, dependenţa funcţiei-modul dinamic  în raport cu nivelul de deformaţie  este corectă – pentru o frecvenţă dată  această funcţie dinamică se reduce la funcţia-modul elastic neliniară.
     Însă, funcţia de amortizare din (7.13)  depinde numai de frecvenţă ceea ce implică o amortizare constantă în raport cu deformaţia, formă neadcvată modelării amortizării în pămînturi. Datorită existenţei şi acumulărilor deformaţiilor ireversibile, disiparea de energie în pămînturi este dependentă de amplitudinea deformaţiei, ceea ce impune modificarea formei analitice a funcţiei de amortizare. Acestă neconcordanţă calitativă se datorează formei (6.7) cu variabile separate admisă pentru funcţia neliniară de relaxare , formă utilă în prelucrarea datelor experimentale şi care nu a dat neconcordanţe cu distribuţia datelor experimentale. Însă, în relaţia (7.13) a condus la eliminarea funcţiei  din raportul .
     Fig. 7.1
     Din acest motiv, vom utiliza o altă formă a funcţiei de amortizare, obţinută ca o extindere în domeniul neliniar a raportului de amortizare din dinamica liniară, raport dependent atît de frecvenţă cît şi de nivelul de deformaţie:
     

dependenţe care au fost admise separabile, ca şi la funcţia-modul torsional. După cum se va observa mai departe, în paragraful 7.4, această formă este validată de experiment.
     Modelul vîscoelastic neliniar dinamic prezentat în acest paragraf a fost construit prin adaptarea controlată şi amendată experimental a modelului vîscoelastic neliniar bazat pe funcţia neliniară de relaxare  obţinută prin teste triaxiale. Se poate spune că modelul dinamic este pînă acum tributar unor determinări experimentale în regim static şi nu dinamic cum ar fi de aşteptat.
     Desigur, între valorile pentru un anumit nivel D ale funcţiilor de relaxare  şi cele ale funcţiei-modul complex  există o interdependenţă dată de transformările Fourier directe (5.73):
     

sau de transformările inverse (5.74):
     

     Însă, aşa cum se observă din aceste relaţii de transformare, întreaga plajă de frecvenţe este pusă în corespondenţă cu întreaga plajă de timp ceea ce face extrem de dificilă determinarea experimentală. În plus, deşi modelul vîsoelastic neliniar obţinut prin teste experimentale statice s-a dovedit util pentru determinarea formei complexe a ecuaţiei constitutive dinamice, forma funcţiei de amortizare a trebuit modificată datorită inerentelor simplificări impuse de prelucrările datelor experimentale.
     Toate aceste motive fac recomandabilă menţinerea formei complexe a ecuaţiei constitutive, dar determinarea funcţiilor ce intervin în această formă -  şi  trebuie făcută nu prin utilizarea relaţiilor de transformare ci direct, prin teste dinamice în aparate destinate încercărilor dinamice cum sunt: coloana rezonantă  [29], [76], triaxialul dinamic [79], [113], aparatul de torsiune dinamică [129] etc.
     În cele ce urmează, vom prezenta o astfel de determinare a funcţiilor dinamice prin utilizarea testelor în coloana rezonantă Drnevich [142] pe probe din aceiaşi argilă folosită şi la testele triaxiale de determinare a funcţiei neliniare de relaxare, determinare prezentată în capitolul 6.
     Prezentarea experimentului în coloana rezonantă a fost făcută în capitolul 3. Reamintim, că pentru un anumit nivel al excitaţiei torsionale , din datele furnizate de aparat se obţin valori ale frecvenţei  , deformaţiei torsionale ,, ale modului torsional G şi ale raportului de amortizare D, valori corespunzătoare nivelului de deformaţie torsională   . 
     Modificînd amplitudinea excitaţiei, se inpune probei un alt nivel de deformare n căruia îi corespund alte valori G şi D. După n astfel de trepte de încărare se obţine un set de valori ale funcţiei-modul dinamic , şi un set de valori ale funcţiei de amortizare , din care prin prelucrare statistică se obţin funcţiile respective  şi .  Rezultatele sunt prezentate în fig.7.2 şi fig.7.3, unde datele furnizate de coloana rezonantă (la frecvenţe de peste 1 Hz) au fost completate pentru domeniul frecvenţelor joase prin încercări ciclice triaxiale.
     
Fig. 7.2
     Aplicînd acelaşi procedeu statistic de determinare a dublei dependenţe (în raport cu deformaţia  şi frecvenţa  ), procedeu prezentat în capitolul 5 cu ocazia determinării dublei dependenţe a funcţiei de relaxare (în raport cu deformaţia şi timpul t) şi admiţînd separarea variabilelor s-a obţinut:
     

     

     
      Fig. 7.3
     Aspectul calitativ al acestor funcţii dinamice este dat în următoarele diagrame spaţiale, figura 7.4 pentru funcţia-modul dinamic şi figura 7.5 pentru funcţia de amortizare.
     
     
      Fig. 7.4
      Fig. 7.5
7.2.  Model dinamic pentru solicitări seismice
     Testele din coloana rezonantă indică faptul că ponderea majoră în variaţia valorilor funcţiilor dinamice  şi  o deţine variabila  0, iar frecveţa   are un aport neglijabil în plaja de frecvenţe de peste 1Hz, plajă de interes în ingineria seismică. Această comportare a fost semnalată în lucrări anterioare [22], [67], [74], [77], [81], [99], [123], [129], [136] şi poate fi observată şi în figurile 7.6 şi 7.7. Menţionăm că independenţa de  n a funcţiilor dinamice de material nu înseamnă independenţa de   a răspunsului structural.
Fig. 7.6
     Deci, pentru frecvenţe  dependenţa funcţiilor dinamice de   poate fi neglijată, caz în care funcţia-modul complex (7.4) devine:
     

unde:
     

iar legea constitutivă (7.3) ia forma :
     

formă care poate fi privită ca o extindere în domeniul neliniar a modelului ... nevîscos [9].
     Partea reală a ec.(7.21):
     

poate fi considerată o ecuaţie de tip elastic neliniar, ecuaţia curbei-schelet. De asemenea, funcţia de amortizare  este legată de energia disipată de o buclă de histerezis de amplitudine  cu relaţia cunoscută [80], [92]:
     

unde  este energia potenţială acumulată pînă la amplitudinea  iar  este energia disipată de ciclul cu aplitudine .
Fig. 7.7
     Neglijînd aportul frecvenţelor de peste 1 Hz, funcţia-modul  din ec.(7.13) şi funcţia de amortizare din ec.(7.14) iau forma cunoscută:
     

unde indicele n semnifică forma normalizată a funcţiei în raport cu valoarea de normalizare notată cu indicele 0. De asemenea, funcţiile dinamice (7.17) şi (7.18) folosite ca exemplu de determinare a formei complete a ecuaţiei constitutive se reduc la:
     ;      

     Forma normalizată a funcţiilor dinamice are aspectul din fig.7.8. In această figură, ca şi în relaţiile şi figurile următoare, s-a renunţat la indicele "0", astfel că notaţia o semnifică în cele ce urmază amplitudinea deformaţiei torsionale.
      Fig. 7.8
7.3.  Model ... neliniar
     Modelul vîscoelastic neliniar cu caracteristici dinamice de material independente de frecvenţă din paragraful anterior 7.2, model bazat pe două funcţii de material – funcţia-modul dinamic care modelează rigiditatea materialului şi funcţia de amortizare  legată de proprietăţile disipative ale materialului sugerează posibilitatea utilizării unui model vîscoelastic analog. 
     Un asemenea model, construit pentru un solid vîscoelastic standard (deci, liniar) este şi modelul ... format din legarea în paralel a unui resort de rigiditate G cu un amortizor cu vîscozitatea s.
     Acum, paralela dintre modelul vîscoelastic neliniar şi modelul analog ... este evidentă. Un model analog neliniar poate fi realizat prin înlocuirea rigidităţii liniare G cu una neliniară bazată pe funcţia-modul dinamic  şi a vîscozităţii liniare s cu o caracteristică de amortizare neliniară legată de funcţia de amortizare. 
     Utilizînd această analogie formală poate fi construit unui model analog ... neliniar cu caracteristici de rigiditate şi de amortizare dependente de nivelul de deformaţie sau de mărimea deplasării. Şi în acest caz vom porni de la date experimentale obţinute printr-un test în coloana rezonantă pe o probă de argilă, pentru care s-a obţinut experimental următoarele funcţii dinamice de material (fig.7.11 şi fig.7.12):
      Fig. 7.11
      Fig. 7.12
     

     Asemănarea relaţiilor (7.26) şi a graficelor corespunzătoare 7.11 şi 7.12 cu funcţiile de relaxare şi fluaj a solidului vîscoelastic standard (relaţiile 5.45 şi figurile 5.8) este acum evidentă. Deci, o astfel de comportare a materialului sugerează că un model analog al solidului vîscoelastic standard (dar neliniar) este mai indicat decît un model ... neliniar. Însă, prin înlocuirea constantelor din modelul liniar ... cu funcţiile (7.26), care conţin constante libere cu rol de valori iniţiale, funcţionarea modelului ... neliniar devine identică cu a unui model standard neliniar iar diferenţele se menţin numai în alcătuirea grafică a modelelor analoge. Cum în acest context, diferenţa nu prezintă importanţă deoarece nu vom utiliza modelul în forma sa analogă, în cele ce urmează vom utiliza denumirea de model ... neliniar.
     	Un astfel de model are şi un corespondent fizic în aparatul de încercări dinamice numit coloana rezonantă. Sistemul oscilant al coloanei rezonante este un sistem cu un grad de libertate dinamică format din probă şi vibratorul ataşat (fig.7.13) iar răspunsul dinamic structural depinde atît de caracteristicile dinamice ale materialului din probă cît şi de condiţiile concrete din aparat (geometria probei şi a vibratorului, tipul de solicitare dinamică, condiţiile limită şi de de capăt etc.). Această corespondenţă oferă avantajul unei verificări a modelului ... neliniar şi, implicit, a modelului vîsoelastic neliniar din care provine.
     
     
      Fig. 7.13
     Curbele tensiune-deformaţie obţinute prin teste ciclice au forma unor bucle închise, ceea ce conduce la concluzia că amortizarea în pămînturi are mai curînd un caracter histeretic şi nu este de tip vîscos ca la modelul .... 
     Toate determinările din coloana rezonantă a capacităţii de amortizare corespunzătoare unui anumit nivel al excitaţiei sunt bazate pe ipoteza de echivalenţă dintre amortizarea histeretică a probei de pămînt şi amortizarea vîscoasă a unei probe cu aceiaşi masă, densitate şi dimensiuni dar formată dintr-un material echivalent vîscos. În virtutea acestei ipoteze reo-histeretice modelul ... liniar este capabil de a descrie disiparea de energie din sistemul oscilant probă-vibrator pentru un anumit nivel al excitaţiei iar verificările au indicat o bună concordanţă model-experiment.
     	O verificare suplimentară a ipotezei reo-histeretice poate fi realizată acum prin analiza capacităţii modelului ... neliniar de a modela buclele de histereză şi prin compararea funcţiilor de amortizare obţinute cu modelul ... neliniar şi cu modele histeretice directe.
     	O serie de metode de determinare a „raportului de amortizare” D, (aşa cum este numit în dinamica liniară) pentru un anumit nivel de deformaţie sunt bazate pe relaţia cunoscută:
     

unde W este energia acumulată maximă iar mW este energia disipată pe un ciclu, reprezentată de aria inclusă în bucla de histerezis (fig.7.14). Unele metode folosesc buclele de histereză înregistrate experimental iar alte metode construiesc aceste bucle pornind de la curba-schelet şi utilizînd regula lui Masing: ramura superiaoră şi cea inferioară a buclei de histerezis sunt obţinute din curba-schelet prin reducerea cu factorul doi în ambele direcţii [80].
     
     
Fig. 7.14
     Pentru a testa capacitatea modelului ... de a modela bucle de histeresis, dar mai ales caracteristicile de amortizare a materialului putem apela la un „drum invers” – plecînd de la funcţiile de material şi  determinate experimental se calculează „forţa de revenire”  şi se obţine cu ajutorul ei funcţiile care definesc bucla de histereză. Apoi apelînd la relaţia de determinare a amortizării cu ajutorul ariei buclei de histereză (7.27) se determină valoarea funcţiei de amortizare corespunzătoare unei amplitudinii excitaţiei . Această valoare a funcţiei de amortizare este apoi comparată cu valoarea obţinută experimental în coloana rezonantă pentru acelaşi nivel al excitaţiei. Menţionăm că în coloana rezonantă valorile amortizării sunt determinate cu metode diferite, care nu  utilizează relaţia (7.27), şi anume metode bazate fie pe înregistrarea oscilaţiei libere amortizate după „tăierea” excitaţiei, fie pe metoda factorului de amplificare (vezi, capitolul 3).
     	Asfel, pentru modelul ... neliniar din fig.7.13 forţa de revenire este:
     

unde componenta elastică a forţei de revenire este  (ecuaţia curbei-schelet), iar componenta de amortizare a forţei de revenire este . 
     Pentru un anumit nivel al excitaţiei armonice , după stingerea oscilaţiei tranzitorii rotaţia de răspuns are forma :


     Ţinînd cont că:
     

prin eliminarea variabilei timp t din ecuaţiile (7.29) şi (7.30) rezultă:
     

iar forţa de revenire (7.28) rămîne cu o singură variabilă n:
     

     Funcţia (7.32) descrie într-un planbucla de histerezis corespunzătoare nivelului amplitudinii : cu semnul „+” va reprezenta ramura superioară a buclei iar cu semnul „” pe cea inferioară (fig.7.15).
     Pentru comparare, în fig.7.16 este dată bucla de histerezis construită cu ajutorul regulei lui Masing preluînd din exemplul dat în fig.7.15 aceiaşi curbă-schelet  şi aceiaşi amplitudine rad. 
     Aşa cum rezultă din compararea celor două figuri (7.15 şi 7.16), aspectul geometric obţinut în cele două cazuri este diferit. Însă, valoarea raportului de amortizare D este dependent de aria buclei de histerezis şi nu de forma ei geometrică. Din acest punct de vedere, diferenţele persistă dar nu mai sunt atît de evidente. Calculînd în cele două cazuri valori ale  raportului de amortizare corespunzătoare unor aceleaşi amplitudini : , se obţin două funcţii de amortizare care nu sunt mult diferite între ele şi nici depărtate de curba determinată pe baza datelor experimentale obţinute direct  în coloana rezonantă. (fig.7.17).
     
     
Fig. 7.15
Fig.7.16
Fig.7.17
7.4. Validarea modelului vîscoelastic neliniar
     Validarea corectitudinii modelării comportării dinamice a materialului poate fi realizată dacă există posibilitatea comparării răspunsului dinamic structural calculat pe baza modelului cu răspunsul structural măsurat experimental. Cum asemenea experimente cu structuri la scară mare sunt dificil sau chiar imposibil de  realizat preconizăm utilizarea în acest scop a unor experimente de laborator unde structura-test să fie constituită din sistemul oscilant al coloanei rezonante. Avantajul unei astfel de alegeri, pe lîngă costul redus, constă în posibilitatea unui control riguros al răspunsului structural măsurat.
     Sistemul oscilant al coloanei rezonante este un sistem cu un grad de libertate dinamică format din probă şi vibratorul ataşat. Datorită materialului din probă, în toate cazurile, ecuaţia de mişcare a sistemului oscilant probă-vibrator va fi una neliniară.
     Pentru o excitaţie armonică staţionară de forma  sistemul poate fi modelat cu un modelul ... neliniar din paragraful anterior (fig.7.13). 
      În acest caz, ecuaţia de mişcare a sistemului neliniar poate fi scrisă în forma [4]:
     

unde  este momentul de inerţie al vibratorului.
     Utilizînd aceiaşi metodă de adimensionalizare prin schimbarea de variabilă  rezultă ecuaţia de mişcare (vezi cap.2):
     

unde indicii superiori reprezintă derivata în raport cu noua variabilă de timp, iar:
     

     Pentru o amplitudine normalizată P dată şi o anumită pulsaţie relativă ă ecuaţia diferenţială neliniară (7.34) poate fi rezolvată numeric şi o soluţie de forma  poate fi obţinută în n puncte. După eliminarea porţiunii iniţiale tranzitorii, reţinînd numai soluţia staţionară se obţine amplitudinea rotaţiei  (fig.7.18) :
     

     Aceiaşi amplitudine  poate fi direct obţinută din datele de ieşire ale coloanei rezonante:
     

unde A este valoarea acceleraţiei, ra  este distanţa de la axa de rotaţie la axa accelerometrului (ra = 0,03175 m la coloana rezonantă Drnevici) iar  pulsaţia semnalului de ieşire [142].
     Compararea valorilor  obţinute prin cele două căi distincte – direct din datele de ieşire a aparatului şi indirect prin calcul din soluţia sistemului oscilant – poate da o imagine a corectitudinii modelării. O astfel de comparaţie este dată în fig.7.19.
     
Fig. 7.18
Fig.7.19
8
MODEL  VÎSCOPLASTIC
     În capitolele anterioare au fost prezentate modelări ale principalelor caracteristici ale comportării mecanice, cum sunt : neliniaritatea, capacitatea disipativă, efectele reologice, toate inglobate, practic, într-un model vîscoelastic neliniar adaptabil atît solicitărilor statice cît şi celor dinamice.
     Capitolul de faţă are ca scop includerea în mod explicit a caracterului ireversibil al deformaţiilor şi a influenţei vitezei de deformare, ceea ce va conferi modelului un caracter vîscoplastic. Ne vom concentra atenţia asupra stabilirii unei ecuaţii constitutive vîscoplastice bazate pe utilizarea informaţiilor ce se pot obţine prin combinarea unor teste definitorii executate în triaxial şi coloana rezonantă.
8.1.  Forma generală a ecuaţiei constitutive
     Adoptăm ca formă generală a ecuaţiei constitutive o formă directă între tensiuni şi deformaţii:
     

formă în care, influenţa vitezei de deformare  a fost inclusă ca argument al funcţiei-modul torsional G.
     	O asfel de formă a ecuaţiei constitutive vîscoplastice poate deveni operaţională cu condiţia ca să poată fi complet definită, calitativ şi cantitativ, prin teste experimentale. După cum se va vedea în cele ce urmează acestă condiţie poate fi satisfăcută utilizînd atît teste lente în triaxial cît şi încercări dinamice în coloana rezonantă.
8.2. Determinare prin încercări triaxiale
     Apelînd la toată gama de încercări triaxiale, cu viteze de deformare diferite, plecînd de la cele mai lente cum sunt testele de fluaj şi continuînd cu încercările monoton crescătoare pe probe din acelaşi material, pot fi obţinute curbe tensiune-deformaţie  care diferă între ele numai datorită vitezei de deformare impusă experimental. 
     Prelucrarea datelor experimentale oferite de aceste teste poate fi realizată în două etape, mai întîi determinînd pentru fiecare viteză de deformare o ecuaţie tensiune-deformaţie cu aceiaşi  formă analitică , iar apoi prin determinarea dependenţei în raport cu viteza de deformaţie a „parametrilor” funcţiilor analitice determinate în prima etapă. Poate fi astfel, evaluată calitativ şi cantitativ dubla dependenţă, atît în funcţie de nivelul de deformaţie atins cît şi în raport cu viteza  cu care s-a ajuns la acest nivel. 
     Vom exemplifica o astfel de determinare prin prelucrarea datelor experimentale obţinute pe probe de argilă în teste triaxiale, de fluaj şi monoton crescătoare.
     Astfel, în figurile 8.1 – 8.3 sunt date rezultatele a trei încercări monoton crescătoare cu viteze diferite. Impunînd pistonului viteze de înaintare de 5, 1 şi 0,1 mm/min şi ţinînd cont de dimensiunile geometrice ale probei vitezele de deformare  impuse au fost de aproximativ 10-3, şi, respectiv 10-5 s-1. În fig.8.4 este dată curba fluajului stabilizat, adică curba  obţinută de teste de fluaj  cu tensiuni   = ct. care au condus la stabilizarea în timp a deformaţiilor. 
Fig. 8.1
     
Fig. 8.2
Fig. 8.3
     
Fig. 8.4
     Din aceste figuri se poate observa că o exponenţială de forma:
     

reprezintă o bună aproximare în toate cele 4 experimente, aliura calitativă este corespunzătoare iar ceea ce diferă sunt numai valorile parametrilor a şi b. 
     Prelucrînd aceste valori a şi b corespunzătoare vitezelor la care au fost obţinute se pot obţine funcţii ,  cu o formă impusă de distribuţia valorilor a şi b obţinute în pasul anterior.  O astfel de prelucrare este dată în fig.8.5, în care au fost folosite valorile a şi b din fig.8.1 – 8.4.
     Determinarea calitativă şi cantitativă a funcţiilor  şi  conduce la explicitarea completă a ecuaţiei constitutive (8.1)  în forma :
     

relaţie care pentru argila testată are aspectul din fig.8.6. De asemenea, din ec.(8.3) rezultă şi funcţia-modul torsional , al cărei aspect este dat în fig.8.7.
Fig. 8.5
Fig. 8.6
Fig. 8.7
8.3. Determinare prin încercări dinamice
     In coloana rezonantă o probă este solicitată în regim armonic:
     

ceea ce ne permite să admitem că şi deformaţia provocată are acelaşi aspect:
     

rezultînd, astfel, că viteza de deformaţie impusă probei are forma:
     

     Prin măsurarea vitezei de propagare a undelor prin probă experimentul furnizează, printre alte date utile, şi valoarea amplitudinii deformaţiei atinse de probă :
     

unde A este valoarea măsurată în mvrms a acceleraţiei mişcării iar fr  este frecvenţa de rezonanţă a sistemului probă-vibrator. De aici rezultă că amplitudinea vitezei de deformaţie este:
     

     Pentru o anumită valoare a amplitudinii momentului perturbator M0, în regim de rezonanţă, experimentul furnizează valorile corespunzătoare ale funcţiei-modul torsional G, deformaţiei , şi vitezei de deformaţie . Repetînd aceste determinări, pentru diferite valori M0, datorită cunoscutei comportări neliniare, se obţin alte valori G, , şi , rezultînd în final funcţii de forma  (fig.8.8):
     

 (fig.8.9):
     

sau, direct (fig.8.10), unde a fost utilizată ipoteza separării variabilelor:
     

Fig. 8.8
      
Fig. 8.9
Fig.8.10
      Astfel, relaţia constitutivă (8.1) este complet determinată, aspectul ei din spaţiul  fiind dat în fig.8.11.
Fig.8.11
8.4  Comparaţie între răspunsul lent şi cel dinamic
     Comparînd aspectul  răspunsului în tensiuni determinat prin încercări lente (fig.8.6) cu răspunsul dinamic (fig.8.11) observăm diferenţe calitative în ceea ce priveşte variaţia în raport cu viteza de deformaţie. În cazul încercărilor lente tensiunile d cresc în raport cu viteza de deformaţie  în timp ce la solicitări dinamice tensiunile   se micşorează pe măsură ce viteza de deformaţie este crescută.
     De asemenea, prin compararea funcţiilor-modul torsional obţinute prin încercări lente (fig.8.7) sau prin încercări dinamice în coloana rezonantă (fig.8.10)  se observă că în timp ce în triaxial valorile G cresc cu  la orice nivel de deformare  , în coloana rezonantă valorile G scad în raport cu .
     	O explicaţie plauzibilă a acestei comportări aparent bizare se obţine considerînd fenomenul de degradare  dinamică [25], [45] al cărui efect de diminuare a rezistenţelor mecanice pare că depăşeşte rigidizarea dată de creşterea vitezei de deformare.
     Experimental, în încercările triaxiale monoton crescătoare, se constată că modificarea vitezei de încărcare conduce la modificări  în aspectul curbelor tensiune-deformaţie  dar şi la obţinerea unor valori diferite ale rezistenţei de rupere [31]. Pe măsură ce viteza de încărcare creşte, procesele de deformare în timp datorate proprietăţilor reologice sunt stînjenite tot mai mult, iar rezistenţele de rupere obţinute au valori din ce în ce mai mari. 
     În cazul încărcărilor aplicate în trepte, efectele reologice sunt şi mai evidente. Fiecare treaptă de încărcare menţinută un interval de timp dat constituie, de fapt, o încercare de fluaj în care deformaţiile evoluează pînă la stabilizare sau rupere. Este evident faptul că rezistenţele de rupere obţinue în acest tip de încercare vor avea valori mai reduse. Regăsim, astfel, o constatare experimentală anterioară – modulele dinamice au valori superioare celor statice.
În cazul solicitărilor repetate sau ciclice viteza de încărcare prezintă aceiaşi importanţă. De regulă acest tip de solicitare presupune existenţa unor solicitări aplicate într-un mic interval de timp pe ciclu, ceea ce conduce la viteze de încărcare sau deformare mari. 	
Ca şi în cazul solicitărilor monoton crescătoare, cu cît este mai mare viteza de încărcare cu atît fenomenele reologice sunt mai stînjenite, fapt ce se traduce prin creşterea rezistenţelor mecanice.  
Însă, tot experimental s-a constatat că succesiunea ciclurilor de încărcare-descărcare-reîncărcare conduce la un fenomen contrar de diminuare a rigidităţii, la o diminuare a rezistenţelor de rupere, fenomen cunoscut sub denumirea de „degradare dinamică".
     Toate aceste constatări experimentale conduc la concluiza că în cazul solicitărilor ciclice, cu viteze mari de deformare, degradarea dinamică a caracteristicilor mecanice ale materialului depăşeşte sporul de rigiditate adus de stînjenirea manifestărilor reologice prin creşterea vitezei de deformare. 
Diferenţe între răspunsul lent şi cel dinamic sugerează faptul că modelul vîscoplastic are mai mult o valoare teoretică şi mai puţin una practică. Pentru aplicaţii este mai sigură utilizarea variantelor modelului vîscoelastic neliniar, pentru solicitări statice sau dinamice, cu parametrii de material determinaţi prin teste statice sau, respectiv, dinamice.
     
     
9
Echivalenţa  liniară 
ÎN 
dinamica  materialelor  neliniare
9.1. Introducere
     Există probleme practice pentru a căror rezolvare nu este justificată generarea (i rezolvarea unor mari sisteme neliniare. De asemenea, există în mecanica structurilor metode eficiente de calcul bazate pe ipoteza de corp elastic liniar care sunt corecte pentru structurile propriu-zise dar neadecvate pentru materialele din amplasamentul acestor structuri. Amintim, în acest sens, metodele de interac(iune teren-structură care înlocuiesc răspunsul pămînturilor pe o direc(ie cu răspunsul dat de un model liniar tip .... Un alt domeniu în care liniarizarea este utilă îl constituie metodele de control destinate protecţiei antiseismice, metode care operează în timp real şi unde nu pot fi folosite rezolvări ce necesită timp îndelungat. 
     Toate aceste motive fac pe deplin justificată încercarea de a înlocui ecua(ia neliniară a unui oscilator cu un grad de libertate:
     

cu o ecua(ie liniar echivalentă de forma:
     

deci, de a înlocui funcţiile neliniare de material şi  cu constantele respective c şi k, modificare care, însă, nu trebuie să afecteze sensibil soluţia sistemului. 
     Avantajele aduse de liniarizare pentru rezolvarea problemelor structurale sunt evidente. Practic, dificultăţile sunt transferate determinării constantelor echivalente astfel ca soluţia liniarizată să fie cît mai apropiată de soluţia liniară. Posibilităţile de depăşire a acestor dificultăţi fac obiectul acestui capitol.
Ecuaţia de mişcare a oscilatorului neliniar (9.1) poate fi scrisă în forma adimensionalizată (vezi capitolul 2):
     

iar pentru sistemul liniarizat forma adimensionalizată este:
     

     După ce efectul condi(iilor ini(iale se anulează, solu(ia stabilizată a sistemului liniar echivalent (9.4) poate fi scrisă:
     

unde:
     

     Solu(ia (9.5) se mai poate scrie (i sub forma:
     

unde:
     

9.2.  Metode de liniarizare
     	Vom aborda calculul constantelor liniar echivalente,  c şi k, prin trei metode relativ cunoscute [124] urmînd ca pe baza acestora să prezentăm o nouă metodă. O primă metodă constă în minimizarea diferen(elor dintre solu(iile sistemelor (neliniar (i liniar echivalent), a doua constă în minimizarea diferen(elor dintre „for(ele” elastice (i a celor de de amortizare ale celor două sisteme iar a treia metodă este o metodă de liniarizare globală [39].
9.2.1.  Minimizarea diferen(ei dintre solu(ii
     	Prima metodă constă în calculul diferen(ei dintre solu(ia ecua(iei neliniare (9.3) (i solu(ia ecua(iei linar echivalente (9.4).  
     Mediind această diferen(ă pe o perioadă ob(inem o func(ie care depinde de cele două constante pe care dorim să le determinăm :
     

func(ie care în mod evident trebuie să fie minimă pentru a avea cea mai bună echivalen(ă între cele două sisteme.
	Determinarea punctelor de minim ale func(iei (9.9) se face rezolvînd sistemul:
     

de unde, prin introducerea solu(iei stabilizate (9.7) (i gruparea convenabilă a termenilor, rezultă sistemul de două ecua(ii în cele două necunoscute c, k:


     Men(ionăm că la ambele ecuaţii ale sistemului (9.11) expresiile din membrul drept depind în mod indirect de constantele c (i k prin intermediul factorului de amplificare  definit în ec.(9.8)1. De asemenea, se observă că ambele ecuaţii ale sistemului (9.11) depind, cum era de a(teptat, de amplitudinea t (i frecven(a excita(iei i.
     Rezolvarea numerică a sistemului (9.11), pentru o amplitudine  (i frecven(ă adimensională , furnizează valorile corespunzătoare c (i k, valori dependente de e (i i.
     

9.2.2.  Minimizarea diferen(elor dintre for(ele elastice (i de amortizare
     	O altă metodă de determinare a constantelor  ecua(iei liniar echivalente (9.4) impune ca mediile pe un ciclu ale diferen(elor dintre for(ele elastice (i de amortizare din cele două sisteme, să fie nule. În acest caz se ajunge la sistemul:
     

în care î ( ) este solu(ia stabilizată a sistemului liniar echivalent. 
     	Introducînd în sistemul (9.12) expresia (9.5) a solu(iei stabilizate, rezultă:
     

unde:
     

     (i sistemul (9.14) care determină constantele c (i k este neliniar, deci pentru ob(inerea valorilor acestor constante este necesară utilizarea metodelor numerice de rezolvare.
9.2.3.  Liniarizarea  globală
     Această metodă corespunde unui criteriu de liniarizare ce utilizează numai o estimare a domeniului de varia(ie a solu(iei i.
     Notăm cu  domeniul maxim de varia(ie al solu(iei  (i cu  domeniul maxim de varia(ie pentru .
     (inînd seama de simetria caracteristicilor elastice (i de amortizare, putem determina coeficien(ii liniar echivalen(i din rescrierea condi(iilor de liniarizare statistică sub formă globală.
     Astfel, din prima metodă de linarizare statistică, rescrierea în formă globală transformă rela(ia de defini(ie (9.9) în:
     

iar din cea de a doua metodă de linarizare statistică rezultă condi(iile globale:
     

     Aplicînd condi(iile (9.10) func(iei (9.15) ob(inem sistemul de ecua(ii:
     

unde:
     

     Observăm că de data aceasta, termenii din dreapta ai ecua(iilor sistemului (9.17) nu mai depind de constantele c (i k, deci sistemul (9.18) este liniar. Prin rezolvarea acestui sistem se ob(ine solu(ia:
     

     Acestă solu(ie poate fi validată numai dacă (i , adică:
     

     Dacă introducem solu(ia stabilizată a sistemului liniar echivalent (9.7) în sistemul (9.17) se ob(in constantele sistemului liniar echivalent într-o nouă formă:
     

     Forma (9.21) a constantelor liniar echivalente are avantajul unui calcul imediat, evitînd rezolvarea numerică a unor sisteme neliniare. Însă, necesită estimarea prealabilă a domeniului de varia(ie a solu(iei, valoarea constantelor c (i k fiind, de fapt, dependentă de alegerea acestui domeniu. 
     Dacă există soluţia neliniară  se poate determina limta de integrare din integralele ec.(9.21),  iar constantele liniarizate c şi k se determină direct. 
9.3.  Liniarizarea globală în regim de rezonan(ă
     După cum se poate constata din analiza răspunsului sistemului neliniar, factorul de amplificare (9.8) este dependent de amplitudinea excita(iei. Deci, este necesară determinarea unui sistem liniar echivalent pentru fiecare nivel de excita(ie.
     (inînd cont că determinarea caracteristicilor de amortizare (i rigiditate C(() (i K(() a fost făcută în regim de rezonan(ă, pentru diferite excita(ii i, valorile  (i  pot fi, de asemenea estimate în regim de rezonan(ă. 
     Valoarea la rezonanţă a factorului de amplificare poate fi determinată pe calea obişnuită prin anularea derivatei:
     

reţinînd soluţia cu semnificaţie fizică :  la care corespunde următoarea valoare a factorului de amplificare:
     

     Prin urmare:
     

     Deoarece limita de integrare depinde c (i k din relaţiile (9.21) rezultă un sistem care poate fi rezolvat numeric, rezultînd constantele liniar ehivalente căutate. 
     Astfel, de exemplu, avînd funcţiile neliniare C(() şi K(() determinate experimental în forma exponenţială:
     

din ec.(9.21) cu limita de integrare din (9.24) se obţine sistemul:
     

care poate fi rezolvat numeric, pentru diferite valori c date, obţinînd pentru fiecare amplitudine a excitaţiei a  perechea de constante liniar echivalente c şi k. 
     Această metodă permite ca prin calcularea soluţiei liniarizate  să se poată realiza un control al liniarizării prin comparaţia cu soluţia neliniară .
     Pentru a exemplifica procedeul redăm în tabelul 9.2 constantele liniar echivalente calculate cu sistemul (9.26) cu parametrii funcţiilor (9.25) din tabelul 9.1.
Tabelul  9.1
     	
Tabelul 9.2
     Cu aceste constante liniar echivalente au fost determinate curbele de amplificare  date în fig.9.1, care pot fi comparate cu cele din fig.9.2 determinate din soluţiile neliniare corespunzătoare.
Fig. 9.1
     Compara(ia dintre curbele de amplificare corespunzătoare aceleia(i amplitudini ale excita(iei i relevă faptul că metoda de liniarizare conduce la rezultate satifăcătoare. Numai la valori   mari apar inerente, dar rezonabile, diferen(e.
     În final, remarcăm că, în realitate, constantele liniar echivalente determinate sunt de fapt funcţii dependente de amplitudinea normalizată Î. Aparent, prin liniarizare, funcţiile neliniare de material  şi ale sistemului neliniar au fost înlocuite cu alte funcţii neliniare  şi  iar efortul de a liniariza sistemul neliniar nu pare a fi justificat.
     Însă, trebuie să remarcăm că în timp ce argumentul n al funcţiilor neliniare de material  şi  este şi necunoscută a problemei, argumentul „constantelor” de liniarizare – amplitudinea normalizată   este o mărime dată de la început:
     

     Prin urmare, cunoscînd amplitudinea excitaţiei şi caracteristicile mecanice ale sistemului  şi , , este cunoscut, iar după determianrea constantelor liniar echivalente c şi k, amplitudinea de răspuns a sistemului liniarizat se obţine imediat:
     

Fig. 9.2
     Pentru facilitatea aplicaţiilor practice pot fi determinate funcţii de material dependente de caracteristici ale excitaţiei, de forma  ;  sau, revenind la caracteristicile dimensionale,   ;  utilizînd în acest scop datele rezultate din procesul de liniarizare. 
     Astfel, utilizînd valorile constantelor liniarizate din tabelul 9.2 se obţin funcţiile  (fig. 9.3):
     

şi ţinînd cont de caracteristicile mecanice şi de încărcare ale sistemului oscilant folosit la liniarizare () rezultă:
     

funcţii dependente de amplitudinea excitaţiei care pot fi considerate caracteristicile neliniare de material ale modelului ... neliniar.
Fig. 9.3
     
10
Ruperea  dinamică  la  pămînturi  şi  roci
10.1. Introducere
     Acest capitol dedicat ruperii la pămînturi este structurat pe trei secţiuni principale. Mai întîi, va fi abordată problema determinării suprafeţei de rupere pentru pămînturi în condiţiile care fac acceptabilă ipoteza comportării de corp elastic neliniar. Apoi, vor fi expuse cîteva particularităţi ale determinării stărilor limită la pămînturile cu manifestări reologice neneglijabile, apoi vom analiza efectele proprietăţilor reologice asupra rupeii, urmînd ca, în final, să abordăm ruperea în condiţii de solicitare dinamică, mai întîi sub încărcări armonice apoi sub încărcări seismice. 
     Nu pot exista stări de tensiune în tot cuprinsul spaţiului invarianţilor tensorului tensiunii (vezi paragraful 1.2).
     Suprafaţa care delimitează în interiorul său stările de tensiune fizic posibile este numită suprafaţa stărilor limită sau suprafaţa de rupere, stările de tensiune existente pe această suprafaţă provocînd scoaterea din uz a materialului.
     Formularea condiţiilor mecanice care conduc la epuizarea capacităţii de rezistenţă a materialului sunt numite criterii de rezistenţă, acestea fiind de fapt, expresii analitice  ale  suprafeţei stărilor limită.
     Mai înainte de a ne referi la criteriile de rezistenţă utilizate la pămînturi considerăm necesară precizarea sensului atribuit noţiunilor de „curgere” şi „rupere”.
     La pămînturi epuizarea capacităţii de rezistenţă mecanică se face aparentă printr-o multitudine de forme de manifestare, în funcţie de proprietăţile fizice şi chimice ale diverselor materiale reunite sub denumirea generică de „pămînturi”. Apar, ca efect al solicitărilor exterioare, atît distrugeri evidente prin decoeziune cît şi procese de deformare continuă sub tensiuni constante, caz în care coeziunea nu este complet anihilată dar materialul îşi pierde capacitatea de a prelua noi încărcări. Mai mult, se întîlnesc frecvent cazuri cînd procesul de deformare continuă este brusc întrerupt prin apariţia decoeziunii.
     Aspectul probelor triaxiale solicitate pînă la epuizarea capacităţii reflectă formele de cedare amintite. Astfel, cînd proba îşi pierde brusc coeziunea (naturală sau aparentă dată de presiunea hidrostatică din celulă) apar suprafeţe de separare distincte, în general sub forma unor plane înclinate cu un unghi  faţă de bazele probei. În alte cazuri, deformaţiile cresc continuu iar proba, sub formă de „butoi”, îşi modifică continuu dimensiunile pînă cînd pistonul aparatului îşi epuizează cursa, sau pînă cînd, brusc, apare un plan de separare.
     Deteriorarea structurii materialului prin decoeziune bruscă este numită rupere casantă (fracture) [9]. Specifică rocilor, decoeziunea este întîlnită şi la unele categorii de pămînturi cu densităţi şi rezistenţe mecanice mai ridicate.
     Procesul limită de deformare continuă sub tensiuni constante este cunoscut sub denumirea de curgere (flow) şi este un proces obişnuit la pămînturi.
     Ambele procese care conduc la scoaterea din uz a materialului, fie prin epuizarea capacităţii de a prelua încărcări, fie prin depăşirea deformaţiilor admisibile, sunt reunite sub denumirea curentă de rupere (failure).
     Prin suprafaţa starilor limită sau suprafaţa de rupere vom înţelege, în cele ce urmeză, acea suprafaţă din spaţiul invarianţilor tensorului tensiunii constituită din  locul geometric al stărilor de tensiune care provoacă ruperea, indiferent de procesul prin care materialul este scos din uz.
     Depistarea experimentală a limitelor pînă la care se pot solicita pămînturile se face, deobicei, concomitent cu încercările necesare determinării parametrilor ecuaţiilor constitutive, cînd se utilizează drumuri în tensiuni diferite care pleacă sau nu din acelaşi punct de stare iniţial. 
     O experienţă triaxială va furniza un punct al suprafeţei de rupere, şi anume, punctul în care drumul în tensiuni va întîlni suprafaţa de rupere. Valoarea invariantului  din acest punct este numită rezistenţă de rupere.  
     Prin urmare, pentru determinarea întregii suprafeţe de rupere sau numai a unor porţiuni sau curbe caracteristice ale ei sunt necesare, în principiu, mai multe încercări de rupere pe probe repetabile solicitate pe drumuri diferite.
     În cele ce urmeză vom raporta suprafaţa de rupere la "coordonatele" formate din invarianţii Î, , şi , forma generală a suprafeţei de rupere fiind, deci:
     

     Urma suprafeţei de rupere în planul intensităţilor ,  planul în care , o vom numi secţiune meridiană, iar urma suprafeţei de rupere dintr-un plan deviator  o vom numi secţiune transversală [30].
10.2.  Ruperea în condiţii statice
10.2.1.  Criterii de rupere
     În decursul timpului, în funcţie de evoluţia cunoştinţelor despre comportarea pămînturilor şi de aparatura disponibilă, au fost propuse sau utilizate o serie de criterii pentru ruperea pămînturilor, multe din ele fiind „împrumutate”, cu sau fără modificări, de la alte materiale cu comportări mai simple şi mai cunoscute. Vom expune pe scurt, în continuare, cîteva din criteriile de rupere folosite la pămînturi, insistînd îndeosebi asupra fondului experimental adus şi asupra cadrului ipotetic bazat pe  acest fond experimental.
       Primele criterii folosite au fost cele bi-invariante  bazate pe datele experimentale furnizate de clasicul „triaxial”, în fapt un aparat de compresiune biaxială. Au urmat, apoi, criterii tri-invariante în forma completă (10.1) propuse de cei care au putut dispune de un aparat capabil să impună drumuri cu . 
Fig. 10.1
     Criteriul Mohr-Coulomb [9], [120] în forma sa iniţială admitea că ruperea apare atunci cînd tensiunile tangenţiale dintr-un plan ating valorile maxim posibile, valori ce depind de tensiunile normale pe planul de rupere. Extins sub formă invariantă , acest criteriu defineşte o curbă meridiană a cărei aproximaţie liniară este:
     

unde c este coeziunea iar  unghiul de frecare internă, ambele fiind considerate constante de material (fig.10.1). Deci, secţiunea meridiană Mohr-Coulomb este liniară, iar secţiunile transversale prin piramida hexagonală neregulată definită de ec.(10.2) au forme de hexagoane neregulate cu laturi egale dar neparalele (fig.10.2).
     S-a observat că la presiuni hidrostatice mari rezistenţa la forfecare nu mai depinde de invariantul sferic , pămînturile admiţînd criteriul ... [9]:
     


        
Fig. 10.2
     Evident, trecerea de la comportarea la presiuni hidrostatice mici la indiferenţa faţă de E nu poate fi bruscă. Din acest motiv, s-au propus racordări continue între cele două suprafeţe (10.2) şi (10.3). 
     Astfel, Nelson şi Baron [108] au utilizat un criteriu de rupere cu o secţiune meridiană de forma:
     

unde  este o valoare-prag a invariantului  ce corespunde nivelului presiunii hidrostatice care nu mai influenţează rezistenţa de rupere.
     Deşi adecvate fizic, ecuaţiile (10.4) sunt incomod de utilizat, motiv pentru care au fost propuse curbe de racordare cu ecuaţii unice. Astfel, DiMaggio şi   Sandler [65] au folosit exponenţiala:
     

unde a, b şi c sunt constante cu semnificaţii ce reies din fig.10.1 şi care se determină experimental.   Se observă că,  pentru ,  ,  iar pentru  , , deci exponenţiala (10.5) are pentru  punct comun cu dreapta Mohr-Coulomb  şi tinde asimptotic la dreapta Misses .
     Pentru determinarea experimentală a formei secţiunilor transversale sunt necesare încercări pe drumuri cu . Astfel de încercări au fost făcute de  ...] şi alţii, folosind în acest scop triaxiale astfel modificate încît să poată exercita, pe lîngă compresiuni axial-simetrice, şi torsiuni. Ulterior, a fost pus la punct un aparat triaxial veritabil, aparat care poate solicita o probă cubică pe trei direcţii. Astfel de încercări au fost comunicate de... [86], Lade [89], [90], [91], Pearce [112] şi alţii. Rezistenţele maxime obţinute în aceste aparate s-au situat, în secţiuni transversale, între laturile Mohr-Coulomb şi cercul Misses (fig.10.2). 
     Pornind de la aceste observaţii experimentale au fost propuse drept criterii de rupere ecuaţii care duc la secţiuni transversale curbe.
     Coleman [57] a propus un criteriu tri-invariant în forma:
     

din care prin înlocuirea invarianţilor  cu  rezultă:
     

ecuaţie din care se obţine, pentru  şi  o curbă  plasată între latura Mohr-Coulomb şi cercul Misses (fig.10.3).
     Criteriul sugerat de Gudehuş [71] conţine invarianţii direcţionali  şi  în forma:
     

unde A şi B sunt constante care se determină prin încercări. Înlocuind invariantul  se obţine:
     

deci, pentru , rezultă de asemenea o curbă .

     	
     
Fig. 10.3
     Lade [91] a utilizat drept criteriu de rupere o relaţie simplă:
     

unde k este o constantă determinată experimental. Trecînd în invarianţii , criteriul Lade ia forma ceva mai complicată:
     

din care rezultă, pentru , o curbă  care,  deşi diferită ca expresie analitică de curbele Coleman sau Gudehuş, este asemănătoare grafic cu acestea.
     
     În teza sa de doctorat, Stutz [127] a propus drept criteriu de rupere o relaţie de forma:
     

unde m este o constantă experimentală subunitară. Curbele  se depărtează de laturile hexagonului Mohr-Coulomb şi se apropie de cercul Misses pe măsură ce valorile parametrului m cresc.
     Criteriile Coleman, Gudehuş, Lade şi Stutz dau într-un plan deviator curbe asemănătoare între ele, cu puncte comune cu hexagonul Mohr-Coulomb în  şi  (compresiune  şi extensie  axial-simetrică). Însă, toate au secţiuni meridiane liniare, probabil datorită faptului că au fost obţinute prin încercări cu presiuni hidrostatice reduse, caz în care curba  este apropiată de dreapta Mohr-Coulomb.
10.2.2.  Un nou criteriu tri-invariant
     Din sumara examinare efectuată în subparagraful anterior asupra unor criterii de rupere utlizate la pămînturi se pot reţine cîteva constatări experimentale care permit adoptarea următoarelor ipoteze:
• Secţiunea meridiană a suprafeţei de rupere este o curbă de racordare între dreapta Mohr-Coulomb şi dreapta Misses.
• Secţiunea transversală este o curbă cu puncte comune cu hexagonul  Mohr-Coulomb în  şi  .
• Toate secţiunile transversale au aceiaşi formă, influenţa invariantului  traducîndu-se numai prin modificarea mărimii secţiunii.
• Admiţînd că materialul are o comportare izotropă, secţiunea transversală are şase sectoare simetrice cu unghi la centru  de .
     În consens cu aceste ipoteze, vom încerca obţinerea unui criteriu de rupere a cărei ecuaţie să fie formată prin combinarea ecuaţiei curbei meridiane  cu ecuaţia curbelor transversale , criteriu care va trebui să satisfacă şi următoarele condiţii :
• Forma suprafeţei de rupere să fie în concordanţă cu datele furnizate de aparatura adecvată investigării planului deviatoric ;
• Constantele ce intervin în ecuaţia suprafeţei de rupere să poată fi determinate prin încercări în triaxialul obişnuit existent în ţară.
     Drept ecuaţie a curbei meridiane  vom adopta exponenţiala DiMaggio-Sandler ec.(10.5) care satisface prima ipoteză iar constantele de material conţinute pot fi determinate prin încercări triaxiale obişnuite.
     Pentru a obţine forma secţiunii transversale, adică a dependenţei în punctele de rupere dintre invarianţii  şi , vom apela la relaţia dintre aceşti invarianţi de pînă la rupere, adică la ecuaţia constitutivă elastic neliniară (4.19)2, o relaţie de forma :
     

unde:
     

     

     Scriind această ecuaţie pentru drumuri situate într-un plan deviator, drumuri cu , după o rearanjare se obţine:
     

unde prin  au fost notate combinaţiile dintre constantele de material şi invariantul   al tensorului deformaţiei.
     Deci, efectuînd experienţe cu drumuri , se pot obţine valori ale combinaţiilor , iar relaţia (10.13) dintre invarianţii  şi  poate fi complet determinată.
     În lipsa aparaturii capabile să impună drumuri , ec.(10.13) poate fi înlocuită cu o alta derivată din ea, făcînd apel la ipotezele admise şi condiţiile impuse. Se observă că, din ec.(10.13), pentru anumite valori ale invariantului direcţional  se regăsesc solicitările particulare:

:
compresiune triaxială
:


:
forfecare pură
:


:
extensie triaxială
:

de unde, rezultă:
     

     Ca o consecinţă a ipotezei  de coincidenţă cu hexagonul Mohr-Coulomb în punctele şi , raportul poate fi exprimat în funcţie de unghiul de frecare internă :
     

astfel încît ec.(10.14) devine:
     

     În aceste condiţii, ec. (10.13) poate fi înlocuită cu:
     

relaţie ce poate fi complet determinată prin încercări triaxiale, iar funcţia de formă  dă o secţiune meridiană curbă situată între curbele Gudehuş şi Lade (fig.10.3).
     Conform ipotezei care admite conservarea secţiunilor transversale , efectul invariantului , este inclus în ecuaţia curbei meridiane . Deci, prin combinarea ecuaţiilor (10.5) şi (10.17) rezultă următorul criteriu tri-invariant:
    

     Parametrii acestui criteriu : a, b, c, , au semnificatiile care reies din fig.10.1 şi pot fi obţinuţi prin încercări experimentale în triaxialul obişnuit.
     Atunci cînd încărcările exterioare provoacă tensiuni sferice reduse, curbura secţiunii meridiane este redusă, caz în care aproximaţia liniară a secţiunii  meridiane dată de criteriului Mohr-Coulomb devine acceptabilă (tabelul 10.1) [17], ecuaţia suprafeţei de rupere luînd forma:
     


Tabelul 10.1
MATERIAL




      
      
Măsurat
Liniar*
Exponenţial**
      -
[Mpa]
[Mpa]
[Mpa]
[Mpa]
Argilă
0
      -
      0,0879
      0,0852
      
0,2245
      0,1005
      0,1040
      0,1055
      
0,6149
      0,1342
      0,1288
      0,1325
      
0,9792
      0,1600
      0,1531
      0,1548
      
1,9325
      0,1698
      0,1766
      0,1731
Nisip
0,4367
      0,3756
      0,3183
      0,3621
      
1,1865
      0,9431
      0,8677
      0,8217
      
1,8277
      1,3595
      1,3365
      1,3444
      
2,4163
      1,7024
      1,7670
      1,6922
Argilă:
      *)

      
**)

Nisip:
      *)

      
      **)

10.3.  Efectul proprietăţilor reologice asupra ruperii
     Pămînturile, cele argiloase în special, sunt cunoscute ca materiale cu proprietăţi reologice apreciabile ceea ce face ca procesele de deformare să continue şi după suprimarea cauzei exterioare care le-a provocat.
     Proprietăţile reologice îşi semnalează prezenţa şi în comportarea probei triaxiale atît în cazul încărcărilor în trepte cît şi atunci cînd proba este solicitată cu viteză de încărcare constantă şi continuă pînă la rupere.
     Experimental, s-a constat că modificarea vitezei de încărcare conduce la modificări  în aspectul curbelor tensiune-deformaţie dar şi la obţinerea unor valori diferite ale rezistenţei de rupere [17], [31], [40]. Pe măsură ce viteza de încărcare creşte, procesele de deformare sunt stînjenite tot mai mult, iar rezistenţele de rupere obţinute au valori din ce în ce mai mari. Deci, acest tip de încercare conduce la o supraestimare a rezistenţei de rupere.
     În cazul încărcărilor aplicate în trepte, efectele reologice sunt şi mai evidente. Fiecare treaptă de încărcare menţinută un interval de timp dat constituie, de fapt, o încercare de fluaj în care deformaţiile evoluează pînă la stabilizare sau rupere. Este evident faptul că rezistenţele de rupere obţinue în acest tip de încercare vor avea valori mai reduse.
     În capitolul 4, în paragraful dedicat determinării experimentale a parametrilor ecuaţiei constitutive vîscoelastic neliniare, a fost expusă o metodă de determinare a constantelor din funcţiile neliniare de relaxare prin încărcări în trepte, fiecare treaptă fiind de fapt o încercare de fluaj. Acestă metodă poate folosi nu numai la cuantificarea comportării pînă la rupere ci oferă şi posibilitatea unei evaluări mai realiste a rezistenţei de rupere.
     Reamintim că după metoda amintită, din perechile de valori , ale celor n trepte de încărcare, colectate la aceleaşi trepte de timp , se obţin m izocrone  în forma ecuaţiei constitutive elastic neliniare . 
Fig. 10.4
     Se constată că izocronele diferă între ele în funcţie de timpul   folosit şi conduce la estimarea unor valori de rupere diferite. Cu cît timpul  este mai apropiat de momentul iniţial de aplicare a treptei de încărcare, cu atît valoarea rezistenţei de rupere este mai mare iar izocrona calculată cu valorile stabilizate ale deformaţiilor va da o valoare minimă a rezistenţei de rupere (fig.10.4).
     Aceste izocrone sunt asemănătoare curbelor tensiune-deformaţie obţinute din încercări cu viteze de încărcare diferite, dar constante, curbele obţinute cu viteze mari se apropie de izocrona iniţială, iar pe măsură ce viteza de încărcare scade, curbele se apropie de izocrona stabilizată. 
     În concluzie, pentru a evita supraevaluarea rezistenţei de rupere datorată proprietăţilor reologice ale materialului, încercările experimentale trebuie efectuate fie cu o viteză de încărcare redusă, fie utilizînd încărcările în trepte şi adoptînd drept ultimă rezistenţă valoarea maximă a izocronei stabilizate.
     Pentru a ilustra diferenţele apreciabile de evaluare a rezistenţei de rupere în fig.10.4 sunt reunite cîteva curbe tensiune-deformaţie  obţinute cu viteze diferite, începînd cu cele mai rapide, aşa cum sunt în testele din coloana rezonantă, continuînd cu cele obţinute prin încercări triaxiale cu viteză de încărcare constantă şi terminînd cu curba  obţinută cu valorile stabilizate ale deformaţiilor dintr-o încercare triaxială în trepte. Toate aceste încercări au fost efectuate pe probe formate în laborator din aceeaşi argilă .
10.4.  Determinarea ruperii prin oboseală la roci
     Deseori rocile sunt supuse unor solicitări dinamice datorate seismelor, exploziilor, traficului rutier şi feroviar, vibraţiilor fundaţiilor de maşini etc. În timp, astfel de solicitări pot provoca degradări mecanice ale materialului, degradări care se manifestă prin reducerea rezistenţelor mecanice, reducere care poate avansa pînă la rupere prin oboseală.
     Obosela materialelor a fost intens studiată în special la metalele din componenţa organelor de maşini. Există numeroase studii efectuate pe metale atît  în scopul elucidării mecanismului de rupere prin oboselă cît şi în scopul cuantificării rezistenţelor de rupere dinamică [9].
     Uzual, la materialele metalice, reducerea rezistenţelor mecanice datorită oboselii se determină experimental prin solicitarea dinamică a unei epruvete prelevate din materialul respectiv cu un număr de cicluri cu o amplitudine dată iar apoi, epruveta este solicitată pînă la rupere. Prin comparare cu rezistenţa de rupere determinată pe o altă epruvetă nesolicitată dinamic se poate evalua diminuarea rezistenţei de rupere datorată solicitării dinamice. Repetînd procedeul cu o serie de epruvete supuse la numere diferite de cicluri se obţine o curbă , cunoscută sub denumirea de curba lui ..., curbă care reflectă diminuarea rezistenţei de rupere în funcţie de amplitudinea şi numărul ciclurilor.
     Extinderea acestei tehnologii a fost încercată şi în cazul unor roci naturale (marmore, gresii) sau artificiale (ipsos, beton), încercări care au relevat diminuări importante ale rezistenţelor de rupere [63]. Însă, datorită neomogenităţilor pronunţate ale majorităţii geomaterialelor, existenţa unor „probe repetabile” este puţin probabilă, ceea ce introduce erori inacceptabile datorate comparării  rezistenţei de rupere a unei probe solicitată dinamic cu rezistenţa de rupere statică determinată pe o altă probă. 
     În acest paragraf prezentăm un procedeu de depăşire a acestor dificultăţi prin utilizarea unor rezistenţe de rupere determinate nedistructiv cu ajutorul corelaţiei cu densitatea materialului ceea ce permite o determinare mult mai precisă a curbei ... [16].
10.4.1.  Corelaţia rezistenţă de rupere-densitate
     Pentru a evalua reducerea rezistenţei de rupere datorată exercitării unui anumit număr de cicluri fără a apela la comparaţia cu rezistenţa de rupere determinată pe o altă probă este necesară estimarea rezistenţei de rupere pe care proba respectivă a avut-o înaintea aplicării solicitării dinamice. În acest scop poate fi folosită relaţia de proporţionalitate care există între rezistenţa de rupere  a unei probe şi densitarea sa . 
     Prin rezistenţă de rupere  vom înţelege  valoarea intensităţii tensiunilor tangenţiale   care provoacă ruperea, valoare determinată în triaxial pe drumul în tensiuni corespunzător solicitării dinamice date. Deci, în spaţiul tensiunilor principale , rezistenţa de rupere corespunde punctului în care drumul în tensiuni intersectează suprafaţa de rupere.
     În aparatul de compresiune axial-simetrică cunoscut sub denumirea de triaxial, unei probe cilindrice (uzual cu înălţimea  şi diametrul  ) i se impune o stare de tensiune axial-simetrică cu  astfel că invariantul   are expresia:
     

unde J2 este al doilea invariant al deviatorului tensorului tensiune:
     

care în cazul stării de tensiune axial-simetrică devine:
     

iar intensitatea tensiunilor tangenţiale se reduce la:
     

     Drumurile în tensiuni care pot fi impuse în triaxial sunt situate în planul  al spaţiului tensiunilor principale (fig.10.5) şi pot fi astfel alese încît să fie cît mai apropiate solicitării exterioare analizate. 

                     
                       

Fig. 10.5
     Astfel, în cazul în care solicitarea dinamică este compusă din vibraţii verticale suprapuse peste o stare de tensiuni iniţiale – cazul solicitărilor date de fundaţiile de maşini sau de trafic – drumul în tensiuni indicat este drumul cu presiune laterală constantă (1 din fig.10.6), iar în cazul în care solicitarea exterioară constă în undele de forfecare date de seism sau explozii, mai indicat este ca în triaxial să se impună drumul cu presiune medie constantă (2 din fig.10.6). Ambele drumuri au ca punct de plecare punctul din spaţiul invarianţilor corespunzător stării iniţiale „in situ” (A din fig.10.6).
     
     

      
Fig. 10.6
10.4.2. Curba tip ...
     Solicitînd pînă la rupere n probe cu densităţi diferite, prelevate din stratul şi amplasamentul analizat se poate evalua corelaţia dintre rezistenţa de rupere şi densitate. Ulterior, pentru determinarea unei curbe de tip ...rezistenţa de rupere a unei probe, rezistenţă diminuată de solicitarea cu un anumit număr de cicluri, se poate compara cu rezistenţa de rupere evaluată înaintea solicitării în funcţie de densitatea iniţială. Vom exemplifica acest procedeu utilizînd rezultatele experimentale obţinute pe probe de calcar [16].
     Deoarece amplasamentul analizat era solicitat de vibraţiile generate de un turboagregat, atît încercările de rupere cît şi solicitările ciclice au fost efectuate pe drumul cu presiune laterală constantă, punctul de plecare fiind punctul corespunzător tensiunilor date de sarcina statică existentă „in situ” ().
     Prin ruperea a 7 probe de densităţi diferite s-a obţinut, mai întîi, corelaţia dintre rezistenţa de rupere statică, probabilă (fig.10.7):
     

     Apoi, au fost solicitate cinci probe cu cicluri pulsatorii de amplitudini între 0,6 – 0,9 din rezistenţa de rupere statică probabilă a fiecărei probe determinînd numărul de cicluri care au provocat ruperea. S-a obţinut astfel curba ... normalizată în raport cu rezistenţa de rupere statică (fig.10.8):
     


Fig. 10.7
Fig. 10.8
     În cazul investigat, amplitudinea solicitării date raportată la rezistenţa de rupere a fost sub valoarea asimptotei dmin, ceea ce indică improbabilă apariţia ruperii prin oboseală.
10.5.  Efectul de degradare dinamică
     În cazul încărcărilor monoton crescătoare epuizarea capacităţii de rezistenţă mecanică a materialului – ruperea în condiţii „statice” – apare atunci cînd tensiunile tangenţiale ating o valoare limită sau cînd deformaţiile scot materialul din exploatare.
     Atunci cînd solicitarea este repetată ciclic, chiar cu amplitudini mai mici decît amplitudinea care provoacă ruperea statică, capacitatea de rezistenţă se reduce cu fiecare ciclu, reducere ce poate avansa pînă la rupere. Valorile de rezistenţă dinamică sunt substanţial mai mici decît rezistenţele statice de rupere, solicitarea dinamică provocînd o diminuare a rigidităţii materialului, o degradare a proprietăţilor de rezistenţă.
     În practica curentă rezistenţele de rupere ale diverselor materiale care pot fi considerate elastic liniare se determină prin încercări statice de laborator, completate în cazul solicitărilor dinamice cu încercări de oboseală.
     La pămînturi şi roci, deşi fenomenul de degradare dinamică este semnalat în literatura de specialitate [55], [79], datorită proprietăţilor neliniare şi reologice ale acestor materiale, încercări de oboseală cu o metodă „clasică” preluată de la metale sunt deosebit de dificil de executat şi interpretat ceea ce conduce la evitarea lor şi la folosirea, în cel mai bun caz, a unor corecţii empirice.
     Dacă la roci dificultăţile date de neomogenitatea materialului au putut fi depăşite cu ajutorul relaţiei dintre rezistenţa de rupere şi densitate, la pămînturi, materiale cu o comportare mecanică mult mai complexă, o astfel de metodă este ineficientă, fiind necesară o altă cale de abordare pentru determinarea rezistenţei de rupere şi a rezistenţei la oboseală.
       O astfel de metodă se bazează pe comportarea mecanică a materialului pe tot parcursul procesului de deformare, tratînd ruperea ca un ultim stadiu al procesului de degradare a caracteristicilor mecanice, proces provocat de solicitarea dinamică [31]. În acest mod, ruperea este evaluată analizînd comportarea dinamică pe tot parcursul solicitarii prin extindere şi nu abordînd direct la ultimele resurse de rezistenţă.  Metoda permite o aproximare mult ameliorată a ruperii dinamice şi se bazează pe datele experimentale obţinute în aparatele de laborator care imprimă probei solicitări torsionale (triaxialul dinamic, aparatul de torsiune dinamică). De asemenea, pot fi folosite şi încercările pulsatorii în aparatul triaxial obişnuit [25]. 
     Răspunsul pămînturilor la solicitări dinamice torsionale poate fi caracterizat de funcţia-modul de torsiune dinamică G. Prin definiţie, o valoare a acestei funcţii este dată de raportul dintre amplitudinile invarianţilor . şi   de la un moment dat t:
     

     Această definiţie este în concordanţă cu sensul atribuit funcţiilor neliniare de relaxare a modelului vîscoelastic neliniar (vezi, cap.6) şi cu forma „secantă” a funcţiilor-modul elastic neliniare utilizată în cazul solicitărilor statice (vezi, cap.4).
       Deoarece amplitudinile invarianţilor D şi   definesc într-un plan ( ,,) punctele de extrem ale curbei histeretice , funcţia G este legată de locul geometric al acestor extreme care, în planul ( ,,) formeză o curbă numită curbă-schelet (...) [25], [45], [47], [79], [80] (fig.10.9).
       
       
Fig. 10.9
     La fel ca funcţia-modul de torsiune dinamică G, şi curba-schelet prezintă o formă neliniară, depinzînd atît de nivelul de deformaţie   cît şi de frecvenţa  . 
     Însă, s-a constatat experimental [17], [29], [67], [74], [75], [76], [77], [80]  că pentru domeniul de frecvenţe ce prezintă interes în ingineria seismică , caracteristicile mecanice sunt puternic influenţate de numărul total al ciclurilor de încărcare n, numărul acestora pe unitatea de timp  avînd o pondere redusă în cazul ciclurilor cu amplitudini mari. De asemenea, încercările pulsatorii triaxiale efectuate pe probe repetabile de argilă cu viteze de încărcare diferite dar cu aceeaşi amplitudine  nu au condus la valori G diferite pentru acelaşi număr de cicluri [25]. Din acest motiv, vom utiliza în acest caz – cazul solicitărilor dinamice cu amplitudini mari - drept argumente ale funcţiei-modul de torsiune dinamică, amplitudinea  şi numărul ciclurilor n, funcţie care va lua forma : .
     Influenţa numărului de cicluri asupra funcţiei-modul de torsiune dinamică poate fi abordată cu ajutorul oscilaţiilor staţionare în triaxial. 
     	Astfel, într-o experienţă triaxială ciclică cu tensiune controlată, menţinînd amplitudinea 	 constantă se observă o creştere a amplitudinilor deformaţiei n (fig.10.10),  iar în experienţele cu deformaţie controlată, menţinînd constantă amplitudinea   se constată o scădere a amplitudinilor tensiunii   (fig.10.11).
     
Fig. 10.10
    
Fig. 10.11
     În ambele cazuri, valorile  funcţiei-modul de  torsiune    dinamică scad iar influenţa numărului de cicluri se traduce printr-o diminuare a rigidităţii probei, printr-o  degradare  a proprietăţilor sale de rezistenţă  mecanică. 
     O măsură a degradării, de la primul ciclu pînă la ciclul n, este raportul:
     

dintre valoarea funcţiei-modul de torsiune dinamică calculată pentru ciclul n şi valoarea sa iniţială nedegradată. Cum valoarea acestui raport depinde atît de numărul ciclurilor cît şi amplitudinea lor şi reflectă degradarea mecanică a materialului, vom defini o funcţie de degradare:
     

unde G0 este valoarea iniţială, nedegradată a funcţiei-modul de torsiune dinamică.
     Determinarea acestei funcţii de degradare poate fi făcută experimental prin încercări triaxiale ciclice efectuate pe probe repetabile solicitate la oscilaţii staţionare dar cu amplitudini diferite.
     Astfel, într-un test cu „deformaţie controlată” o probă poate fi supusă unei oscilaţii pulsatorii cu o anumită amplitudine  iar la fiecare ciclu n poate fi înregistrată forţa necesară menţinerii deformaţiei impuse, de unde se poate calcula valoarea degradării corespunzătoare numărului de cicluri n:
     

     Prin prelucrarea statistică a perechilor de valori ,cicluri, pot fi găsite funcţii  care să aproximeze optim distribuţia datelor experimentale. Repetînd aceste determinări pe probe din acelaşi material, solicitate cu amplitudini d diferite, se pot obţine un număr de funcţii , de unde se poate sintetiza o funcţie unică de degradare .
     În încercări cu „tensiune controlată” procedeul aste asemănător, rezultînd funcţii de degradare de forma .
     Deoarece funcţia de degradare poate avea aparent forme diferite:
     

în încercări cu deformaţie controlată sau:
     

în încercări cu tensiune controlată, vom încerca obţinerea unei forme unice, utilizînd valorile normalizate ale invarianţilor î şi   în raport cu valorile lor de rupere determinate în condiţii „statice”:
        sau   

şi ţinînd cont că:
     

rezultă că la rupere cînd :
     

deci, funcţia de degradare poate lua o formă unică , indiferent de tipul încercării folosite,  iar argumentele ei devin amplitudinea normalizată r şi numărul de cicluri n. 
     În continuare vom exemplifica metoda cu ajutorul datelor experimentale obţinute prin teste triaxiale pe probe de argilă  [25], [31]. Astfel, prin încercarea a 8 probe repetabile de argilă cu 8 nivele diferite de deformaţii impuse s-au obţinut datele din tabelul 10.1.
     Prelucrarea statistică a datelor provenite din fiecare probă furnizează cele 8 funcţii de degradare  (fig.10.12).  
     Datele experimentale din tabelul 10.1 au permis o aproximare optimă a funcţiilor de degradare pentru fiecare palier de solicitare cu expresii analitice  cu o  formă comună:
     

dar cu constantele a şi b cu valori diferite, valori date în tabelul 10.2.
     Deoarece prin modificarea amplitudinii D forma funcţiilor (10.35) se conservă, „parametrii” a şi b devin funcţii dependente de r (fig.10.13): 


astfel încît funcţia de degradare devine:
     

funcţie cu aspectul din digrama spaţială 10.14.
Fig. 10.12
     
     
     
     
     
     
     
     
     
Fig.10.14
     Ruperea în condiţii dinamice poate fi acum definită de valorile minime ale funcţiei de degradare [31]:
     

valori, ce descriu în spaţiul  o curbă obţinută prin intersecţia suprafeţei   cu planul (fig.10.14). 
     În formulare explicită  curba  este o curbă tip ...  normalizată în raport cu rezistenţa de rupere statică [10]. În cazul folosit pentru exemplificare această curbă a fost determinată în forma (fig.10.15):
     

     
     
     

Fig.10.15
10.6.  Ruperea în condiţii seismice
     Solicitările provocate de cutremure sunt solicitări aleatorii în amplitudine şi frecvenţă ce nu pot fi simulate în aparatura de laborator capabilă să impună probei numai vibraţii sau oscilaţii armonice. Din acest motiv, modelarea comportării dinamice a pămînturilor se bazează pe determinarea în laborator a constantelor de material prin încercări cu frecvenţă şi amplitudine constantă.
     Desigur, ideal ar fi ca proba din aparatul de laborator să fie solicitată cu o forţă perturbatoare care să simuleze diagrama seismică, înregistrată sau sintetizată pentru amplasamentul analizat. Cum această cale nu este accesibilă, nu ne rămîne decît posibilitatea de a diminua discordanţa prin transformarea solicitării seismice într-o vibraţie armonică echivalentă cu care apoi, se solicită proba.
     În principiu, pentru a echivala o solicitare seismică este necesar, în primul rînd, să se cunoască istoria tensiunilor  şi/sau a deformaţiilor  ce pot fi provocate în amplsament de un viitor cutremur. Datorită comportării neliniare a majorităţii materialelor din amplasament calculul starilor de tensiune şi de deformaţie provocate de cutremure rămîne o problemă deschisă. Însă, pentru procedeele de echivalare a mişcării seismice sunt acceptabile şi metode mai simplificate cum sunt cele bazate pe rezolvarea neliniarităţii cu metoda „elastic echivalentă” [58], [117].
     Metodele de determinare a răspunsului în tensiuni a masivului de pămînt sub acţiunea solicitărilor seismice sunt bazate pe ipoteza conform căreia efectele sunt datorate propagării verticale a undelor de forfecare care transmit o bună parte din energia seismică (~ 76%).  Dintre aceste metode, cele care ţin cont de comportarea neliniară şi disipativă a pămînturilor au dat rezultate în concordanţă cu observaţiile din teren [58], [122]. Însă, datorită dificultăţilor introduse de forma neliniară a ecuaţiei constiutive a pămînturilor, aceste metode rezolvă neliniaritatea prin introducerea conceptului de comportare liniar echivalentă  înlocuind materialul real cu un material vîscoelasic liniar echivalent care conduce la obţinerea aceloraşi tensiuni şi deformaţii. Caracteristicile mecanice ale acestui material echivalent sunt determinate printr-un procedeu iterativ, care va fi expus mai departe.
     În principiu, aceste metode implică următoarele etape [58] :
• Detererminarea caracteristicilor mişcării seismice la nivelul rocii de bază : acceleraţia maximă, perioada predominantă, durata efectivă etc., utizîndu-se în acest scop accelerogramele unor cutremure puternice înregistrate anterior sau accelerograme generate sintetic.
• Determinarea caracteristicilor dinamice ale fiecărui strat cuprins între roca de bază şi suprafaţa liberă a terenului, concretizate în determinarea completă a funcţiilor de material şi .
• Calculul răspunsului seismic al masivului, concretizat şi în determinarea evoluţiei în timp a tensiunilor în punctele de interes, adică a tensogramei seismice.
     Au fost propuse mai multe metode de aproximare a vibraţiilor aleatorii prin vibraţii armonice echivalente [80], [113].  În esenţă,  aceste metode  constau în determinarea unei amplitudini armonice echivalente  (sau ) care, după un număr echivalent de cicluri , să provoace aceleaşi efecte ca şi solicitarea seismică.
     Un astfel de procedeu trebuie aplicat şi în cazul în care se urmăreşte determinarea rezistenţei de rupere dinamică.  
     Vom prezenta în continuare o metodă de echivalare, utilizată iniţial de Seed şi Idris în calculul lichefierii [113], [123] şi adaptată pentru a putea fi folosită la determinarea degradării materialelor din amplasament, degradare provocată de solicitările seismice [31]. Această metodă presupune cunoscută diagrama seismică  şi constă în următoarele etape :
• Se determină din diagrama seismică tensiunile tangenţiale maxime  provocate de seism;
• Se determină o amplitudine echivalentă a tensiunilor tangenţiale armonice:
     

   unde k este un factor empiric de conversie, cu valoarea 0,65 ;  0,75 sau  0,85 ;
• Cunoscînd rezistenţa de rupere statică , se calculeză o amplitudine normalizată echivalentă  şi din ecuaţia curbei normalizate ... (10.39), prin inversare, se  obţine numărul de cicluri  de amplitudine pe care le poate suporta  materialul:
     

• Se stabilesc nivele de tensiune în diagrama seismică:
     

• Pentru fiecare nivel  se calculează , iar apoi, apelînd din nou la ecuaţia curbei normalizate ... (10.39), din ec.(10.41) se obţine numărul echivalent de cicluri  de amplitudine  care pot provoca ruperea:
     

• Pentru fiecare nivel , se determină numărul de vîrfuri ale diagramei seismice din acest nivel  ;
• Se transformă numărul de vîrfuri  din fiecare nivel într-un număr  echivalent de cicluri  de amplitudine :
     

• În final, numărul echivalent de cicluri rezultă prin sumarea numerelor echivalente de cicluri ale nivelelor:
     

     Deci, avînd o tensogramă seismică  se poate determina o oscilaţie armonică echivalentă compusă dintr-un număr  de cicluri de amplitudine . Însă, materialul nu poate suporta decît un număr  de cicluri de amplitudine . Prin urmare, dacă , rezultă că materialul poate suporta o încărcare cu o durată mai lungă decît cutremurul de calcul. În caz contrar, cînd   sunt toate şansele ca un viitor cutremur să producă depăşirea rezistenţei de rupere a materialului.
Fig. 10.16
     Vom exemplifica metoda prezentată mai sus prin rezultatele obţinute pe probe de loess prelevate dintr-un amplasament [24], [101]. A fost utilizată tensorgama seismică din fig.10.16. În general, calculele au indicat o comportare bună a materialului solicitat de o oscilaţie armonică echivalentă formată din cicluri cu amplitudinea normalizată echivalentă . (tabelul 10.3) 
     Însă, în cazul unui strat de loess submersat, din ecuaţia de  rezistenţă dinamică (10.45) a rezultat că materialul poate suporta numai un număr maxim  de cicluri cu amplitudinea . Deci, cum , apar depăşiri locale ale rezistenţei de rupere ce pot conduce la tasări suplimentare.
TABELUL 10.4

Date din tensograma seismică

Date
din
curba ...

neq
Nivel




Ec.(10.45)

0,0485
0,681
  0,5
4,458
  8,907
 
0,0433
0,613
  4,5
7,657
46,675

0,0385
0,545
  6,5
16,106
32,052

0,0337
0,477
  9,0
53,308
13,408

0,0289
0,409
14,0
1632,160
   0,681

0,0241
0,341
32,5
-
-




 =
102
     
	10.7.  Lichefierea. Caz particular de rupere dinamică
     Cazul cel mai spectaculos de  depăşire a rezistenţei mecanice a pămînturilor supuse acţiunii seismice este lichefierea. Multe din cutremurele majore au fost însoţite de distrugeri apreciabile datorate lichefierii [80], [113],	Lichefierea apare deobicei în pămînturile necoezive saturate, cu o anumită granulaţie şi densitate, situate în straturi cu adîncimi de peste 15 m[113].
     Din cauza saturării şi a absenţei drenajului undele seismice de forfecare pot provoca, în funcţie de amplitudinea şi durata lor, o creştere a presiunii apei din pori peste presiunea medie efectivă preexistentă. Din acest moment, materialul îşi pierde capacitatea de a prelua tensiuni tangenţiale şi se comportă ca un fluid, de unde denumirea de „lichefiere” dată acestui proces.
     Au fost propuse multe modele pentru lichefiere. În marea lor majoritate, aceste modele reflectă mecanismul de producere menţionat mai sus  constînd în evaluarea creşterii presiunii apei din pori şi detectarea momentului în care egalează presiunea medie efectivă preexistentă. 
     În acest scop, sunt evaluate tensiunile date de undele seismice de forfecare din stratul cu condiţii de lichefiere şi se echivalează tensograma obţinută cu o oscilaţie armonică echivalentă care se compară cu „curba de lichefiere” (amplitudinea excitaţiei versus numărul de cicluri care provoacă lichefierea), determinată experimental. 
     Determinarea în laborator a curbei de lichefiere, de fapt o curbă  de rezistenţă la lichefiere, se face prin încercări dinamice pe probe prelevate din amplasament. Probele sunt supuse unor tensiuni sau deformaţii armonice detectînd numărul de cicluri  la care presiunea apei din pori u egalează presiunea din celulă , moment în care proba lichefiază.
     Repetînd aceste încercări cu diverse amplitudini R (sau  ) se obţine curba de rezistenţă la lichefiere, utilizată de obicei în formă normalizată în raport cu tensiunea medie existentă „in situ”:
     

     Curba cu ec.(10.46) poate fi privită ca o curbă ... normalizată în raport cu .
     Ca şi în cazul materialelor nelichefiabile, lichefierea apare ca un ultim stadiu de degradare produsă de încărcările dinamice. Creşterea presiunii apei din pori apare treptat la fiecare ciclu iar capacitatea materialului de a prelua tensiuni tangenţiale se reduce treptat cu fiecare ciclu pînă la epuizarea totală numită lichefiere.
     Cu toate că degradarea şi ruperea materialelor nelichefiabile au un mecanism diferit de cel al lichefierii materialelor necoezive, se remarcă o similitudine fenomenologică în comportarea acestor materiale diferite dar supuse la aceleaşi încărcări dinamice. 
     Din acest motiv, conceptul de degradare utilizat la modelarea ruperii materialelor nelichefiabile poate fi folosit ca atare şi în modelarea lichefierii, care apare ca un caz particular de rupere dinamică [31].
     Astfel, transformînd o curbă de tipul ec.(10.46) în una de forma , prin multiplicare cu , şi renormalizînd în raport cu rezistenţa de rupere statică , se obţine o curbă de rezistenţă dinamică  de forma ec.(10.39).
     Pentru exemplificare, în tabelul 10.5 este dată o astfel de transformare obţinută prin prelucrarea datelor prezentate în [83], [84].  După cum se observă, curbele obţinute prin transformare pot fi satisfăcător aproximate de exponenţiala (10.39) determinată pentru materialele nelichefiabile.
TABELUL 10.5

Material


n


 /  0

r

r
ec.(10.39)


Nisip de Fuji [83]
           =  0,10 MPa
            =  0,020 MPa

1
5
10
15
20
50
100
0,580
0,355
0,305
0,285
0,270
0,240
0,222
1,000
0,612
0,526
0,491
0,466
0,414
0,383
1,000
0,610
0,525
0,488
0,467
0,418
0,395

Nisip de Monterey [84]
           = 0,056 MPa
            = 0,020 MPa

1
4
9
16
63
0,357
0,237
0,206
0,183
0,148
1,000
0,664
0,576
0,511
0,415
1,000
0,679
0,573
0,507
0,416
     								

11
MODEL VÎSCOELASTIC NELINIAR
PENTRU 
MATERIALE ANTIVIBRATORII
11.1.  Introducere
     Materialele folosite în izolări antivibratorii au cîteva caracteristici mecanice esenţiale, dintre care menţionăm, în primul rînd, neliniaritatea şi capacitatea de disipare, motiv pentru care în modelarea răspunsului dinamic este necesar, în principiu, un  model vîscoelastic neliniar (vezi, cap.7). 
     Cum la pămînturi, materiale cu mult mai dificile decît materialele antivibratorii, asemenea modele şi-au dovedit utilitatea vom prezenta în acest capitol adaptări ale modelelor vîscoelastic neliniare ale pămînturilor, adaptări care să le facă aplicabile în evaluarea comportării materialelor antivibratorii.
     Deşi mult mai adecvat comportării reale, un model vîscoelastic neliniar conduce la relaţii constitutive ceva mai complicate. Neliniaritatea relaţiei constitutive tensiune-deformaţie-timp face ca ecuaţia de mişcare să fie puternic neliniară, iar datorită componentei vîscoase aceste ecuaţii devin ecuaţii diferenţiale neliniare.
     Rezolvarea numerică a acestor ecuaţii necesită liniarizarea, globală [58], [122] sau pe porţiuni [11], [33], [38], [41], [71], [141], procedeu laborios şi cu un control al erorilor dificil de realizat. În plus, în cazul materialelor izolatoare integrate într-un sistem de control al vibraţiilor timpul necesar rezolvării unor sisteme neliniare compromite metoda de control [54], [126].
     Din acest motiv, considerăm pe deplin justificată existenţa în acest caz a unor metode de liniarizare controlată a comportării reale neliniare bazată pe utilizarea  modelului  vîscoelastic neliniar şi a posibilităţilor oferite de aparatura dinamică existentă . 
     Controlul calitativ al liniarizării poate fi obţinut prin realizarea şi modelarea neliniară a experimentului dinamic, iar determinarea efectivă a parametrilor liniari ai modelului echivalent  pot fi obţinuţi din condiţia ca soluţia liniarizată să fie apropiată celei neliniare. Şi în acest caz, metodele de liniarizare concepute pentru pămînturi, metode prezentate anterior în capitolul 9, pot şi vor fi adaptate comportării materialelor antivibratorii.
     În principiu,  liniarizarea echivalentã  urmeză aceiaşi cale şi este bazată pe înlocuirea ecuaţiei diferenţiale neliniare a sistemului oscilant printr-o ecuaţie diferenţială liniară, cu condiţia ca determinarea coeficienţilor liniari echivalenţi sã fie astfel făcută încît soluţiile celor două ecuaţii să difere prin termeni de ordinul doi [39], [47], [124].  
     Problema determinării constantelor echivalente poate fi tratată ca o problemă de tip invers :  cunoscînd excitaţia (intrarea) ca şi soluţia sistemului neliniar (ieşirea) se determină caracteristicile sistemului.
     Avantajele utilizării la calculul ansamblului structură – izolaţie – fundaţie a unor constante în locul unor funcţii neliniare este evident, simplificînd considerabil efortul de calcul prin înlocuirea ecuaţiilor neliniare cu unele liniare. De fapt, metoda de liniarizare propusă transferă dificultăţile de la utilizator la laboratorul care operează determinările şi prelucrările experimentale.  Depăşirea dificultăţilor este astfel mult înlesnită, deoarece în laborator există posibilitatea verificării riguroase a modelării răspunsului probei prin compararea permanentă a  datelor experimentale cu cele obţinute prin calcul, ceea ce pentru un sistem real, în mărime naturală,  este imposibil de realizat.
     Structura acestui capitol este axată  pe demonstrarea posibilităţii de realizare a unei astfel de liniarizări echivalente a comportării neliniare pe care o manifestă materialele utilizate ca izolatori antivibratorii. În primul paragraf se va prezenta o posibilitate de modelare a răspunsului neliniar la o solicitare dinamică, modelare asemănătoare celei utilizate la pămînturi. Însă, la pămînturi solicitarea dinamică predominantă este de torsiune în timp ce solicitările materialelor antivibratorii sunt, de regulă, date de forţe şi nu de momente. Apoi, va fi prezentată o metodă de liniarizare adaptată acestor materiale.
     Metoda de liniarizare este ilustrată cu determinări aplicative în care au fost folosite datele experimentale obţinute pe probe de cauciuc moale şi de elastomer, materiale curent folosite cu rol anivibrator. 
     Menţionăm că metoda prezentată este relevantă pentru orice material izolator. Indiferent de natura concretă a materialului folosit, dacă răspunsul dinamic poate fi modelat cu un model vîscoelastic neliniar (şi marea majoritate a acestor materiale admit această modelare), atunci procedeul expus nu se modifică cu nimic. Sunt necesare numai date experimentale obţinute pe probe din materialul respectiv iar prelucrarea lor rămîne aceiaşi.
11.2.  Modelarea răspunsului neliniar 
     Considerăm un sistem oscilant cu un grad de libertate dinamică solicitat de o forţă unidirecţională: . Dacă proba conţine un material neliniar ecuaţia de mişcare a sistemului este [39]:
     

unde m este masa vibratorului,  caracteristica de amortizare a materialului din probă,  caracteristica de rigiditate a materialului din probă,  amplitudinea excitaţiei iar   pulsaţia (, unde f este frecvenţa excitaţiei).
     Un sistem similar, dar liniar, are ecuaţia de mişcare de forma [48], [51]:
     

     În dinamica liniară constanta elastică  k este dată, în acest caz,  de relaţia:
      [N/m]

unde E este modulul Young, A este aria sec(iunii :, h înăl(imea probei iar i diametrul ei.
     Coeficientul de amortizare c exprimat în func(ie de raportul de amortizare D este : , (i cum , ob(inem:
      [Ns/m]

     Comportarea neliniară a materialului este reliefată de dependen(a modulului longitudinal E şi al raportului de amortizare D de nivelul de deforma(ie i, dependen(ă definită prin introducerea func(iei-modul  (i a funcţiei de amortizare . De asemenea, (inînd cont de rela(ia de legătură dintre deforma(ia longitudinală i (i deplasarea longitudinală x :  func(iile dinamice de material pot fi definite (i în raport cu deplasarea x :  (i .
     Prin urmare putem admite că dependen(a de a sau x afectează (i caracteristica elastică k:
     

(i caracteristica de amortizare c:
     

iar aceste expresii sunt folosite în ec.(11.1).
     În cazul sistemelor liniare pulsa(ia proprie i0 este definită în func(ie de caracteristica elastică k : , care, în cazul unui sistem neliniar este o func(ie (i nu o constantă. Din acest motiv, vom defini drept pulsa(ie proprie a sistemului neliniar, pulsa(ia corespunzătoare valorii ini(iale :
     

     Efectuînd schimbarea de variabilă  (i introducînd o nouă func(ie: 
     

prin derivare în raport cu noua variabilă, se ob(ine:
     

astfel că ec.(11.1) devine:
     

unde:
     

     În cele ce urmează vom exemplifica determinarea răspunsului neliniar utilizînd rezultatele unui test în coloana rezonantă pe o probă de cauciuc moale în greutate de 147 g şi cu dimensiunile :  şi .
     Prelucrarea datelor experimentale, a condus la ob(inerea func(iilor dinamice (fig. 11.1):


     (inînd cont de dimensiunile şi masa probei (i prin utilizarea func(iilor dinamice de material (i din relaţiile 11.11 şi 11.12 se ob(in func(iile neliniare ale sistemului adimensionalizat din ec.(11.10) (fig.11.2):
       

Fig. 11.1
Fig. 11.2
     În func(ie de parametrii solicitării exterioare : amplitudinea normalizată r (i pulsa(ia relativă i, ecua(ia neliniară (11.10) poate fi rezolvată numeric (vezi cap.3), ob(inînd o solu(ie de forma dată în n valori discrete, iar prin prelucrarea acestora se pot determina curbele de amplificare (fig.11.3).
     Liniarizarea echivalentă urmează calea expusă în cap.9. În acest caz, utilizînd constantele de material din tabelul 11.1 au fost obţinute constantele liniar echivalente din tabelul 11.2 iar curbele de amplificare liniarizate sunt date în fig.11.4. Şi în acest caz se poate constata că liniarizarea conduce la curbe de amplificare sufucient de apropiate de cele obţiute prin rezolvarea neliniară.
      
Fig.11.3
Tabelul 11.1
a1
a2
a3
b1
b2
b3
0,32
0,28
105
0,25
0,75
105
     							
     
     	
Tabelul 11.2

Fig. 11.4
11.3.  Utilizarea relaţiilor experimentale forţă-deplasare
     Metoda de determinare a răspunsului neliniar şi de liniarizare expusă anterior presupune implicit posibilitatea de a realiza şi testa epruvete din materialul a cărei comportare dinamică se doreşte a fi cuantificată. Însă, în aplicaţiile practice nu întotdeauna operaţiile de prelevare-prelucrare a epruvetelor sunt accesibile. În plus, în cazul izolatorilor de mici dimensiuni care pot fi testaţi în aparatul de laborator sau în situ ca atare, confecţionarea de epruvete poate fi evitată  iar determinările pot fi realizate pe baza datelor experimentale obţinute prin testarea întregului corp nu numai a unei părţi cum este epruveta. 
     În cazul în care se testează întregul izolator, relaţiile experimentale obţinute sunt de tipul forţă-deplasare şi datorită geometriei mai complicate a corpului trecerea în relaţii de tip tensiune-deformaţie nu mai este atît de facilă ca în cazul epruvetei. De aici, necesitatea de a adapta metodele de cuantificare la acest tip de relaţii experimentale. 
     O astfel de adaptare va fi prezentată în acest capitol, utilizînd datele experimentale obţinute prin încercarea pe standul de încercări Schenck al Institutului de Mecanica Solidelor a unui izolator din elastomer.
Elementul încercat face parte dintr-un distanţier-antivibrator pentru cablurile paralele ale liniilor electrice aeriene destinat atît menţinerii distanţei dintre două cabluri cît şi diminuării vibraţiilor induse de diverse cauze exterioare. Distanţierul este compus dintr-o tijă de metal care se prinde de fiecare cablu prin două bucşe din elastomer, elemente cu rol disipativ. Bucşele au o geometrie complexă, impusă de necesitatea unei prinderi ferme între tijă şi cable. Însă, dimensiunile relativ reduse ale ansamblului tijă-cable au permis montarea în aparatul de încercare şi încercarea întregului ansamblu la vibraţii axiale.
Fig. 11.5
11.3.1.  Funcţiile elastice şi de amortizare
     Considerînd ansamblul tije-bucşe solicitat în regim staţionar de vibraţii axiale armonice ca un sistem vibrant neliniar cu un grad de libertate, ecuaţia de mişcare poate fi scrisă în forma (11.1):
     

unde m este masa celor 4 bucşe (160 g),  este caracteristica neliniară de amortizare iar  este caracteristica elastică, de asemenea neliniară.
     Datele experimentale obţinute prin solicitarea la vibraţii axiale, date care reprezintă răspunsul celor 4 bucşe de elastomer, sunt prezentate în fig.11.5 în forma unui răspuns histeretic forţă-deplasare, din care pot fi determinate caracteristicile elastice şi de amortizare.
Fig. 11.6
     Asfel, „curba-schelet” a buclelor de histerezis, curbă care este locul geometric al punctelor de extrem ale buclelor reprezintă forţa elastică,  şi are în cazul de faţă o expresie analitică neliniară obţinută prin  „best-fit” de tip sigmoidal (fig.11.6):
     

De aici, caracteristica elastică  poate fi imediat obţinută în forma (fig.11.7):
      

Fig. 11.7
     Caracteristica neliniară de amortizare  poate fi obţinută prin intermediul formei neliniare a „raportului” de amortizare :
     

iar acest „raport”, variabil în cazul materialelor neliniare, se poate obţine din curbele de histerezis cu relaţia [80]:
     

     În relaţiile de mai sus, (11.17) şi (11.18), au fost folosite notaţiile obişnuite: ,0 – pulsaţia proprie, definită prin ;  – energia disipată, egală cu aria buclei de histerezis şi W – energia elastică maximă corespunzătoare nivelului de deformaţie atins.
     Utilizînd curbele de histerezis din fig.11.5 s-au determinat, pentru fiecare buclă, cu relaţia (11.18) valori ale raportului de amortizare D iar prin prelucrarea acestor valori s-a obţinut funcţia de amortizare (fig.11.8):
     

      
Fig. 11.8
11.3.2.  Determinarea răspunsului neliniar
     Prin aceiaşi schimbare de variabilă l =  0t (vezi capitolul 3) poate fi determinată forma adimensionalizată a ecuaţiei de mişcare (11.14):
     

unde, în acest caz,  noile caracteristici neliniare  pot fi determinate cu ajutorul funcţiilor neliniare  şi  obţinute anterior în forma din relaţiile (11.16) şi (11.19), astfel:
     

     Ecuaţia neliniară (11.20) poate fi acum rezolvată numeric şi obţinută soluţia  în n valori discrete. Folosind, ca în paragraful 11.1, factorul de amplificare maxim ca ilustrare a comportării sistemului dinamic, prin rezolvări numerice repetate cu diferite valori e şi  , se obţin funcţiile de amplificare din fig.11.9.
     
Fig. 11.9
11.3.3.  Liniarizarea
     Şi în acest caz liniarizarea caracteristicilor dinamice poate  urma calea expusă în cap.9. Folosind aceiaşi metodă de liniarizare globală în regim de rezonanţă au fost obţinute constantele liniar echivalente din tabelul 11.3.
Tabelul 11.3
F0 [N]


C
K
375
0,0005
0,162
0,648
750
0,001
0,182
0,616
1500
0,002
0,193
0,604
3000
0,004
0,200
0,601
6000
0,008
0,203
0,600

      Funcţiile de amplificare liniarizate calculate cu aceşti coeficienţi liniar echivalenţi sunt date în fig.11.10
Fig. 11.10
     
     
     
     
     
12
EVALUAREA  EFECTELOR  STRUCTURALE
12.1. Introducere
     Marea majoritate a materialelor din amplasamentele construcţiilor au caracteristici dinamice neliniare, mai mult sau mai puţin pronunţate. Numeroase teste, efectuate în special în coloana rezonantă [3], [6], [7], [8], au relevat modificări apreciabile ale valorilor iniţiale corespunzătoare unor deformaţii reduse, modificări care pot ajunge, în funcţie de materialul testat, pînă la 70 – 80%. Este de aşteptat ca asemenea modificări ale valorilor de rigiditate şi amortizare să aibă un efect apreciabil în răspunsul dinamic structural.
     În capitolele anterioare comportarea nelinară a fost modelată, în principal,  prin considerarea acestor materiale drept materiale vîscoelastic neliniare. Modelul dinamic rezultat (capitolul 7) este construit pe baza a două funcţii dinamice, una care modelează caracteristicile de rezistenţă – funcţia-modul dinamic , iar a doua, funcţia de amortizare  care include proprietăţile de disipare, ambele funcţii fiind dependente de nivelul de deformaţie d. Aceste funcţii de material pot fi cuantificate experimental, în principal, prin teste efectuate în coloana rezonantă.
     Se constată experimental că evoluţia acestor funcţii de material în raport cu amplitudinea excitaţiei dinamice este diferită – funcţia-modul dinamic este descrescătoare (datorită fenomenului de degradare dinamică) iar funcţia de amortizare creşte pe măsură ce nivelul de deformaţie creşte. 
     Aceaste evoluţii contradictorii ale funcţiilor de material au efecte contradictorii în răspunsul dinamic al sistemului oscilant în a cărui componenţă intră şi astfel de materiale. Este şi cazul masivelor din amplasamentul construcţiilor care sunt formate din materiale cu evidente caracteristici neliniare. În acest caz, răspunsul dinamic al întregului masiv este tributar atît neliniarităţilor materialelor constituente, cît şi efectelor contradictorii amintite mai sus, amplificarea sau disiparea structurală rezultînd ca un compromis între aceste tendinţele divergente. 
     De asemenea, amplificarea sau atenuarea într-un sistem oscilant neliniar prezintă caracteristici diferite faţă de sistemele liniare ceea ce face ca răspunsul neliniar să difere, atît calitativ cît şi cantitativ, de răspunsul obţinut prin neglijarea neliniarităţii.
     Pentru a testa modificările calitative şi cantitative pe care le aduce în răspunsul structural prezenţa şi sensul neliniarităţii caracteristicilor dinamice de material poate fi utilizat modelul ... neliniar bazat pe sistemul oscilant al coloanei rezonante (paragraful 7.3). Utilizînd probe din materiale diferite prin compararea datelor de răspuns experimental cu soluţia ecuaţiei diferenţiale neliniare a sistemului oscilant se obţine o imagine pertinentă asupra modificărilor aduse răspunsului structural.
12.2. Funcţii de material
     Pentru a ilustra această metodă de evaluare a efectelor structurale vom folosi două materiale cu proprietăţi mecanice distanţate  – nisip, material care face parte din grupa „pămînturi” şi o rocă, calcarul.
     Prin testarea probelor prelevate din materialele respective au fost obţinute următoarele funcţii dinamice, pentru nisip (fig.12.1):


şi pentru calcar (fig.12.2):


     După cum se observă din figurile 12.1 şi 12.2, nisipul are, în comparaţie cu calcarul, o funcţie-modul dinamic cu valori mai reduse dar o funcţie de amortizare cu valori superioare amortizărilor din calcar. 
     Ca o consecinţă a acestor proprietăţi mecanice diferite şi caracteristicile neliniare ale modelului ... neliniar vor fi diferite. Astfel, pentru nisip caracteristicile neliniare, de rigiditate şi amortizare, au forma:
     

iar pentru calcar:
     

     În relaţiile (12.3) şi (12.4) au fost folosite caracteristicile sistemului oscilant al coloanei rezonante (vezi cap.2):
     

     O comparaţie a rigidităţilor este dată în fig.12.3, iar în fig.12.4 sunt ilustrate diferenţele dintre caracteristicile de amortizare.
Fig. 12.1
Fig. 12.2
Fig. 12.3
     
Fig. 12.4
12.3. Răspunsul structural
     	Prin rezolvarea repetată a ecuaţiei diferenţiale neliniare a sistemului oscilant probă-vibrator (2.40):
     
pentru diferite valori ale amplitudinii normalizate p şi pulsaţiei relative  , se pot obţine soluţii de forma  din care rezultă expresii ale „factorului de amplificare”, de fapt, funcţii de forma:
     

funcţii, care dau o imagine semnificativă a răspunsului dinamic. Astfel, în fig. 12.5 sunt date cîteva asemenea funcţii de răspuns pentru nisip iar în fig. 12.6 pentru calcar.
     
Fig. 12.5
Fig. 12.6
     Asemenea funcţii de amplificare structurală relevă cîteva aspecte semnificative ale răspunsului dinamic structural deoarece au fost obţinute printr-un calcul neliniar, care a inclus ambele aspecte contradictorii ale comportării materialului – degradarea şi disiparea internă. 
     La început trebuie remarcate cîteva aspecte care ţin de neliniaritatea caracteristicilor dinamice ale materialului:
• pentru amplitudini normalizate p reduse  (de exemplu,) curba de răspuns are o formă apropiată de forma liniară cu un maximum de rezonanţă apropape de valoarea de rezonanţă a pulsaţiei relative ();
• dacă amplitudinea excitaţiei d creşte, amplitudinile de rezonanţă scad iar curba de amplificare ia o înclinare spre stînga, aspect caracteristic al materialelor neliniare cu caracteristică de rigiditate descrescătoare.
     În ceea ce priveşte comportarea diferită a celor două materiale analizate – nisip şi calcar – se observă cîteva aspecte interesante care pot fi extinse la pămînturi şi roci :
• răspunsul dinamic structural este amplificat în toate cazurile dar valoarea amplificării diferă de la un material la altul ; în toate cazurile amplificarea este descrescătoare în raport cu amplitudinea excitaţiei ; 
• amplificarea dinamică este mult mai evidentă la materialele cu amortizări interne reduse, chiar dacă acestea au rezistenţe mecanice superioare;
• în comparaţie cu rocile (calcar) pămînturile (nisip), deşi materiale cu rezistenţe dinamice inferioare, au amplificări mai reduse datorită capacităţii superioare de disipare internă;
• la toate materialele se constată o reducere a amplificărilor la rezonanţă pe măsură ce amplitudinea excitaţiei creşte; 
• la pămînturi se constată o lărgire apreciabilă a plajei de frecvenţe care pot conduce la rezonanţă la diferite amplitudini ale excitaţiei; acest efect neliniar este prezent şi la roci însă plaja de valori n este mult mai limitată.