Coperta: MIHAI BOITOR Emanuel Vasiliu PRELIMINARII LOGICE LA SEMANTICA FRAZEI Editura ştiinţifică şi enciclopedică Bucureşti, 1978 Omagiu profesorului Iorgu Iordan E.V. PREFAŢĂ ©uvinte ca sens, denotaţie (sau referinţă), identitate de sensr sinonimie etc. sînt în momentul de faţă comune atît vocabularului lingvisticii, cît şi vocabularului logicii. S-a în-tîmplat însă ca înţelesul acestor termeni (folosiţi iniţial dacă nu exclusiv, cel puţin cu precădere în interiorul lingvisticii) să se fi precizat nu în lingvistică, ci în logică, înţelesurile originare ale acestor cuvinte au devenit în cursul evoluţiei celor două discipline nişte explicanda pentru care logica (mai precis, semantica logică) a avut de formulat o serie corespunzătoare de explicata. Clarificarea şi definirea exactă a acestor concepte semantice în afara domeniului propriu lingvisticii a avut cîteva consecinţe negative : (a) definiţiile exacte (provenite din logică) au fost şi sînt considerate şi tratate de către mulţi lingvişti ca exterioare disciplinei lor; (b) plasate într-un cadru conceptual puţin sau deloc familiar pentru mulţi lingvişti, relevanţa pentru limbajul natural a acestor concepte exact definite a fost greu de degajat; (c) în condiţiile de sub (a) şi (b) era greu de aşteptat ca aceste concepte semantice, definite exact în raport cu limbaje idealizate, deci mai simple decît limbajul natural, să fie adaptate la necesităţile descrierii unui limbaj deosebit de complex, cum este limbajul natural. S-a ajuns în felul acesta la o incapacitate de comunicare reală şi de esenţă între două domenii de cercetare care, prin natura lucrurilor, nu pot fi străine unul de celălalt : atît semantica limbajului natural, cît şi semantica limbajelor logice sînt, după părerea noastră, mai întîi de toate semantică, adică studiu al unor sisteme de semne în raport cu denotatele lor. 5 Lucrarea de faţă trebuie luată ca o încercare de „mediere” între logică şi lingvistică, într-un moment în care, după părerea noastră, acest lucru se impune din punctul de vedere al metodologiei generale. Sperăm că titlul acestei cărţi este suficient de lămurit din punctul de vedere al intenţiilor noastre : „Preliminarii logice” se justifică prin aceea că, după părerea noastră, semantica logică oferă un cadru sau un aparat conceptual indispensabil pentru semantică în general şi pentru semantica limbajului natural, în particular; aşadar, lucrarea de faţă trebuie văzută ca o introducere în (semantica) logică. Partea a doua a titlului, ,,la o semantică a frazei” , are rolul de a pune în evidenţă două lucruri: (a) că lucrarea nu este o simplă „introducere in logică”, ci o introducere în logică pentru lingvişti (sau pentru cei cu formaţie sau cu preocupări filologice) şi (b) că avem în vedere nu o aplicaţie lingvistică ,,în general” a sistemului conceptual logic, ci o aplicaţie la un domeniu precis delimitat, anume sensul frazei. Ceea ce, cel puţin în intenţia noastră, deosebeşte această lucrare de numeroasele manuale şi tratate de logică existente este faptul că noţiunile de semantică logică sînt privite şi explicate din punctul de vedere al lingvistului (şi nu al logicianului), fapt care ne-a permis degajarea semnificaţiei lingvistice a acestor noţiuni şi indicarea posibilităţilor şi condiţiilor de utilizare a acestora în semantica limbajelor naturale. Materia prezentată în această carte a făcut, în parte, obiectul unor cursuri speciale pe care le ţinem, de mai mulţi ani, ia Facultatea ,de limba şi literatura română, fapt care ne-a prilejuit o îndelungă şi din variate puncte de vedere reflexie asupra diverselor aspecte ale relaţiei dintre limbajele logice şi limbajul natural. Din acest punct de vedere, avem sentimentul că datorăm foarte mult tuturor celor care, de-a lungul anilor, ne-au audiat cu inteligenţă şi interes aceste cursuri: au fost pentru noi un stimulent intelectual şi un sprijin moral. Ţinem să exprimăm cea mai vie recunoştinţă colegului nostru, dr. Sorin Yieru, de la Institutul de filozofie, pentru 6 bunăvoinţa pe care a avut-o de a citi această lucrare şi de a ne comunica prin referatul făcut substanţialele d-sale observaţii, în urma cărora un număr de neclarităţi şi erori au putut fi eliminate în forma definitivă a lucrării. Colegul Mihai Gaiţă, de la Institutul de lingvistică al Facultăţii de limba şi literatura română din Bucureşti, a acceptat să alcătuiască indicele de materii al acestui volum şi a binevoit să ne comunice un mare număr de observaţii judicioase deosebit de utile în pregătirea pentru tipar a acestei lucrări. Ne îndeplinim o deosebit de plăcută datorie, aducîndu-i aici viile noastre mulţumiri. Este evident însă că autorul rămîne singurul răspunzător pentru eventualele erori, imprecizii sau neclarităţi existente în volumul de faţă. Bucureşti, 19 februarie 1977 E. V. SUMAR CAPITOLUL I, INTRODUCERE .......................... 11 § 1. Lingvistică şi logică........................................... 11 § 2. Concepte semantice în lingvistică şi logică..................... 12 § 3. Scopul lucrării................................................. 16 CAPITOLUL II, LOGICA PROPOZIŢIILOR CA SISTEM SEMANTIC ................................. .......................... 21 § 1. Consideraţii introductive.................. 21 § 2. Constante şi variabile propoziţionale....................... 21 § 3. Condiţii de adevăr pentru propoziţii 24 § 4. Adevăr, extensiune, intensiune, sens ..................... 26 § 5. Limbaj natural; conceptul de adevăr şi conceptele conexe 29 § 6. Valorizarea propoziţiilor....................................... 37 § 7. Conectori ................ 42 a. Consideraţii ne-faunale 42 b. Reguli de formare............................ 44 c. Reguli de adevăr............................................... 47 d. Tabele de adevăr............................................... 55 § 8. Conectori în limbajul natural................................... 63 § 9. Descripţii de stare (lumi posibile)............................. 70 § 10. Interpretarea lingvistică a conceptului de „descripţie dc stare”.......................................................... 76 § 11. Validitate în logica propoziţiilor................... 8$ § 12, ,.Consecinţă logică” şi ..identitate de sen>” 95 a. Consecinţă logică............................. 95 b. Identitate de sens.............................................. 99 c. Identitate de sens şi sinonimie................................. 106 § 13. Validitate şi tautologie în limbajul no Iu ral 108 a. Sinonimia frazelor............... 108 b. Raportul de consecinţă logica 112 8 t*. Tautologiile ....................................................... 115 d. Tautologiile şi ,,conştiinţa lingvistică”............................ 118 CAPITOLUL 111, LOGICA PROPOZIŢIILOR ŞI MODALITĂŢILE ALETHICE........................................................... 123 § 1. Consideraţii introductive.......................................... 123 § 2. Elementele constitutive ale sistemului modal....................... 123 § 3. Valorizare şi lumi posibile ....................................... 125 § 4. Operatori modali .................................................. 132 § 5. Sistemul T......................................................... 135 a* Elementele constitutive ale sistemului T........................... 135 b. Modelul T şi noţiunea de „valorizare1' ............................ 135 c. Validitate în T.................................................... 136 d. Metodă de testare a validităţii în T .............................. 139 e. Teoreme cu privire la validitate în T.............................. 143 f. Implicaţie materială/implicaţie logică; echivalenţă materială/ echivalenţă logică................................................ 152 g. „Consecinţă logică” şi „identitate de sens” în T.............. 153 h. Identitate de sens şi sinonimie în T ........................... 159 i. Raportul dintre sistemul T şi logica propoziţiilor................. 160 § i. Sistemul S4........................................................ 163 a. Elementele constitutive ale sistemului S4.......................... 163 b. Modelul S4......................................................... 163 e. Validitate în ..................................................... 164 d. Metodă de testare a validităţii în S4.............................. 164 e. Teoreme cu privire la validitate în S4............................. 166 I, Implicaţie materială/implicaţie logică; echivalenţă materială/echivalenţă logică.............................................173 g. „Consecinţă logică” şi „identitate de sens” în S4............. 173 h. Identitate de sens şi sinonimie în S4........................... 175 i. Raportul dintre sistemul S4 şi sistemul T.......................... 175 | 7. Sistemul S5........................................................ 176 a. Elementele constitutive ale sistemului S5.......................... 176 b. Modelul S5......................................................... 176 e. Validitate în SS................................................... 177 d. Metodă de testare a validităţii în S5.............................. 178 e. Teoreme cu privire la validitate în S5............................. 180 f. Implicaţie materială/implicaţie logică; echivalenţă mate» rială/echiyalenţă logică.......................................... 184 f. „Consecinţă logică” şl „identitate de sens'* în S5 .... 184 9 ♦ h. Identitate de sens şi sinonimie in S5.......................... 185 i. Raportul dintre sistemele T, S4 şi S-5............................. 185 § 8. Sistemele modale şi limbajul natural........................... 186 a. Cuvinte modale.................................................... 192 b. Conjuncţii modale................................................. 204 c. Consideraţii finale............................................... 210 CAPITOLUL IV, LOGICA PROPOZIŢIILOR ŞI MODALITĂŢILE NON-ALETHICE.................................................... 212 § 1. Consideraţii introductive..................................... 212 § 2. Sistemele DT şi DS4........................................... 213 a. Elementele constitutive ale sistemelor DT şi DS4................. 213 b. Modelele DT şi DS4............................................... 214 c. Validitate în DT şi DS4.......................................... 214 <1. Metodă de testare a validităţii în DT şi DS4..................... 215 e. Teoreme cu privire la validitate în DT şi DS4.................... 217 f. Implicaţie materială/implicaţie doxastică ; echivalenţă mate- rială/echivalenţă doxastică.................................... 226 g. „Consecinţă doxastică” şi „identitate doxastică de sens” . . 226 h. Identitate doxastică de sens şi sinonimie doxastică .... 230 i. Raportul dintre sistemul DT şi sistemul DS4 ..................... 231 § 3. Raportul dintre sistemele alethice şi sistemele doxastice 232 § 4. Sistemele doxastice şi limbajul natural ...................... 237 a. Cuvinte modale în sens doxastic.................................. 238 b. Conjuncţii modale................................................ 246 c. Alethicşi doxastic în limbajul natural........................... 253 § 5. Interpretarea deontică a sistemelor DT şi DS4................. 254 § 6. Consideraţii finale.............................................. 256 CAPITOLUL V, ÎNCHEIERE................................................ 258 BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ 261 INDICE DE MATERII 265 Capitolul I INTRODUCERE § 1. Lingvistică şi logică. Este bine cunoscut faptul că lingvistica şi logica, cel puţin în antichitatea greacă, nu erau discipline bine delimitate una în raport cu cealaltă, iar în perioada care a urmat, cele două discipline nu au fost preocupate în primul rînd de a se „delimita” între ele. Separarea netă a lingvisticii de logică aparţine perioadei moderne de evoluţie a celor două discipline; delimitarea capătă un caracter foarte clar în momentul în care se poate vorbi de o „logică matematică” şi de o „lingvistică structurală”. Din acest moment, mulţi logicieni consideră că întregul aparat conceptual dezvoltat în procesul de construire a sistemelor de logică matematică şi de studiere a proprietăţilor acestor sisteme sînt incompatibile cu natura cu totul diferită a limbajului natural, după cum mulţi lingvişti (dacă nu chiar marea majoritate a acestora) consideră c-ă, deoarece logica studiază „legile gîndirii” iar gîndirea este altceva decît limbajul, conceptele logicii nu sînt de natură să pună în lumină proprietăţile specifice limbajului. Este unul dintre marile merite ale lui R. Carnap acela de a fi atras atenţia asupra faptului că diversele sisteme ale logicii matematice nu sînt decît limbaje, cu o structură analogă cu aceea a limbajului natural, dar cu o serie de particularităţi care derivă din caracterul lor artificial, anume caracterul lor neambiguu şi caracterul explicit şi exact al regulilor (cf. Carnap, 1959: 1 — 9; 1958: 1—3). Ultimele două decenii ^au pus în evidenţă tendinţa de „reconciliere” între cele două discipline, cînd în teoria limbajului natural pătrunde un număr important de concepte definite la origine în raport cu limbajele logice (re- 11 * ferinţă, extensiune, intensiune, limbaj-obiect, meta-lim-baj etc.). § 2. Concepte semantice în lingvistică şi logică. Lingvistica operează cu un număr de noţiuni ca semantică, sens, sinonimie, negaţie, aserţiune etc., cu care operează şi logica modernă. împrejurări istorice au făcut ca aceste noţiuni (fundamentale pentru ambele discipline) să primească o definiţie exactă (sau mai exactă) în logică. Dacă pentru logician a face semantică înseamnă a cerceta semnele şi expresiile unui limbaj (logic) în raport cu denotatele acestora, nu există nici un motiv rezonabil pentru care lingvistul ar trebui să înţeleagă altceva prin a face semantică. După cunoştinţele pe care le avem, astfel de motive nu au fost invocate. Dacă acceptăm că semantica se ocupă de raportul dintre semne şi expresii (constituite din semne) şi denotatele acestora, atunci trebuie să ne întrebăm şi cum se stabileşte acest raport şi care este natura lui. A şti să foloseşti un semn (al unui limbaj natural sau artificial) înseamnă a şti să-l aplici în mod corect (adecvat) unui obiect (sau unei clase de obiecte) şi nu altuia (sau altei clase de obiecte). Or, acest lucru nu înseamnă altceva decît a cunoaşte care sînt proprietăţile pe care trebuie să le aibă obiectul (sau clasa) respectiv(ă) pentru a i se putea aplica un anumit semn sau o anumită expresie (a limbajului natural sau artificial). De exemplu, cineva poate aplica în mod corect (adecvat) semnul creion unui obiect, numai în măsura în care ştie că ,,pentru a i se putea aplica semnul creion, X trebuie (i) să fie un instrument, (ii) să fie destinat scrisului sau desenatului, (iii) să fie construit dintr-o mină neagră sau colorată protejată de un înveliş, de obicei de lemn” (după DEX, s.v.). După cum se vede, a şti să aplici un semn obiectului în mod apropriat înseamnă, în ultimă instanţă, a cunoaşte sensul semnului respectiv; raportul semn-denotat se stabileşte prin sens. Conceptul de sens cu accepţia de mai sus apare în semantica logică şi, din nou, nu există nici un motiv raţional 12 pentru a considera că, în această accepţie, noţiunea de sens nu convine limbajului natural. în cazul unei expresii complexe, cum este propoziţia^ noţiunea de sens necesită unele clarificări suplimentare: o propoziţie face o aserţiune despre un fapt, un eveniment, o stare din lumea reală ; o propoziţie „se aplică” deci unui fapt, eveniment sau unei stări tot aşa cum spunem că creion „se aplică” obiectelor din „clasa creion”. Cînd o propoziţie se aplică în mod adecvat sau corect unei anumite stări sau unui anumit fapt sau eveniment, logicienii spun că propoziţia este adevărată, cînd nu, propoziţia este falsă. în ce condiţii putem decide dacă o propoziţie este adevărată sau falsă? Evident că numai în condiţiile în care cunoaştem „ceea ce se spune” prin propoziţia respectivă ; numai în acest caz putem spune dacă faptul, evenimentul sau starea care este denotat(ă) printr-o propoziţie P sînt sau nu sînt conforme cu „ceea ce se spune” prin propoziţia respectivă. Aşadar, „ceea ce se spune” printr-o propoziţie reprezintă condiţia ei de adevăr, deci condiţia în care putem spune dacă o propoziţie este aplicată în mod apropriat unei stări, unui fapt sau unui eveniment. Dar „ceea ce se spune” printr-o propoziţie reprezintă sensul propoziţiei respective. Prin urmare, sensul pnei propoziţii este condiţia de adevăr a acestei propoziţii (cf. mai jos, II § 3.). împotriva identificării „sensului” cu „condiţia de adevăr” se aduc din partea lingviştilor mai multe obiecţii: 1°. Limbajul natural conţine un număr de propoziţii care nu sînt nici adevărate nici false (interogative, exclamative, dubitative etc.). 2°. Limbajul natural nu are numai funcţie comunicativă, deci nu are numai funcţia de a transmite informaţii cu privire la realitate, ci şi o funcţie afectivă (emoţională), anume aceea de a exprima starea emoţională a vorbitorului sau de a determina o anumită stare emoţională la interlocutor. 3°. „Adevărul” sau „falsul” nu sînt categorii care interesează pe lingvist, întrucît există propoziţii false car® sînt corecte din punctul de vedere al înţelesului. 13 La prima obiecţie se poate replica, invocând faptul că, dacă este adevărat că limbajul natural nu conţine numai propoziţii asertive (care deci pot fi adevărate sau false), el conţine totuşi şi propoziţii asertive. Aşadar cel puţin pentru această clasă de propoziţii (cele asertive) identificarea sens-condiţie de adevăr este adecvată. Ar urma cel mult deci ca noţiunea de sens să fie definită pentru limbile naturale într-un mod ceva mai general, care să permită totuşi ca, pentru o anumită clasă de expresii, sensul să poată fi identificat cu condiţia de adevăr. în plus, o serie de sisteme logice dezvoltate în ultimii ani sugerează posibilitatea de a reduce un număr de propoziţii neasertive la propoziţii asertive (logica imperativelor, logica interogaţiei ş.a.m.d.). La a doua obiecţie se poate răspunde că, deşi limbajul natural are şi alte funcţii decît cea comunicativă, deci transmite şi alte informaţii decît cele privitoare la realitate, funcţia comunicativă este una dintre funcţiile limbajului şi, în consecinţă, cel puţin în raport cu această funcţie, concepţia de mai sus a sensului este adecvată. Şi, în acest caz, trebuie să menţionăm faptul că dezvoltarea recentă a,,pragmaticii” permite tratarea anumitor aspecte care ţin de „semnificaţia emoţională”, în termeni analogi cu cei în care se tratează semnificaţia strict comunicativă. în sfîrşiţ, în legătură cu cea de a treia obiecţie, trebuie făcute următoarele observaţii. Este foarte posibil ca lingvistul să nu fie interesat de faptul dacă propoziţia x sau y din limbajul natural este adevărată sau falsă. Cu toate acestea, în măsura în care „valoarea de adevăr” este implicată în noţiunea de sens şi în măsura în care lingvistul se interesează de sens, lingvistul nu poate, prin forţa lucru -rilor, să se dispenseze de conceptul de „valoare de adevăr”. Am putea spune chiar că „valoarea de adevăr” nu are pentru lingvist numai o importanţă teoretică. Există cazuri în care ea poate căpăta o importanţă operaţională. Să ne gîndim la sinonimie. Orice lingvist cunoaşte dificultatea de a decide dacă (şi, eventual, în ce măsură) două cuvinte au sau nu au sens identic. Simpla „descriere” a sensului fiecăruia dintre ele nu este suficienţă, deoarece 14 nu se poate şti niciodată în ce măsură o deosebire de „frazare” a definiţiei exprimă sau nu exprimă o diferenţă de sens. Testul de sinonimie uzual este substituţia : dacă două cuvinte se pot substitui unul celuilalt (probabil că în orice context), fără ca sensul unităţii în care se face substituţia să se schimbe, atunci cele două cuvinte sînt sinonime. întrebarea care se pune este însă următoarea : de unde ştim dacă se schimbă sau nu se schimbă sensul unităţii în care se face substituţia? La această întrebare este greu de răspuns în mod clar, dacă vrem să ne dispensăm de conceptul de „valoare de adevăr”. în schimb, bazîndu-ne pe acest concept putem răspunde : sensul expresiei în care se face substituţia nu se schimbă dacă şi numai dacă expresia rezultată din substituţie este echivalentă cu cea dintîi şi dacă această echivalenţă este validă (în sensul definiţiei 11 — 1 de mai jos). Pe de altă parte, unii logicieni consideră că noţiunile semantice definite în raport cu limbajele logice au valoare exclusiv în raport cu aceste limbaje şi nu pot fi transferate într-o descriere a limbajului natural. De exemplu, Tarski, 1952 :19, subliniază explicit că noţiunea de „adevăr” pe care o defineşte este valabilă exclusiv pentru limbaje formale, deci limbaje neambigue şi cu reguli complet specificate. Observaţia că noţiunile de adevăr, sens, regulă de adevăr etc. (şi noţiunile al căror sens depinde de accepţia dată acestor termeni) nu pot fi transferate direct din logică în lingvistică este perfect justificată. Structura limbajului natural este mult mai complexă decît structura oricăruia din limbajele logice. Pe lîngă aceasta, trebuie remarcat faptul că regulile limbajului natural nu ne sînt date, o dată cu sistemul, ci trebuie „descoperite” de către cercetător, în dosul faptele de uzaj. Or, o astfel de „descoperire” nu este niciodată completă, iar rezultatul nu este decît o aproximare a realităţii concrete. Acest sens sau în primul rînd acest sens trebuie acordat afirmaţiei că limbajul natural nu are reguli explicite. Aceasta nu înseamnă însă că „transferul” de care vorbeam nu este posibil în măsura în care anumite condiţii sînt îndeplinite. Avem în vedere pe de o parte dezambigui-&area explicită a expresiilor limbajului natural şi, pe de 15 altă parte, explicitarea regulilor limbajului natural. Altfel spus, conceptele în discuţie pot fi transferate din logică în lingvistică în măsura în care: a) printr-un procedeu oarecare facem ca nici una dintre expresiile considerate să nu aibă mai mult decît un sens, şi b) printr-un procedeu oarecare ne asigurăm că nici una dintre regulile (gramaticale şi/sau semantice) care guvernează folosirea limbajului natural (sau a fragmentului considerat din limbajul natural) nu rămîne „sub-înţeleasă”. în raport cu acest limbaj dezambiguizat şi în raport cu aceste reguli explicitate, transferul de concepte din logică în lingvistică devine posibil. în plus, trebuie amintit şi faptul următor : limbajele logice nu sînt de multe ori decît „idealizări” ale unei porţiuni din limbajul natural; conjuncţia din logica propoziţiilor nu este decît un şi „ideal” (cu un singur sens şi numai unul, care se supune unui număr de reguli fixe şi explicite şi numai acestora etc.); semnul de negaţie nu este decît o „idealizare” a diverselor feluri de a spune în limbajul natural că o afirmaţie nu este adevărată; operatorii modali nu sînt decît „idealizări” ale unor cuvinte ca necesar, se poate, crede, şti, credibil etc. în aceste condiţii, elementele menţionate au, în raport cu cuvintele corespunzătoare din limbajul natural, un statut asemănător pînă la un punct cu acela pe care îl au cuvintele cu sens asemănător (eventual identic) din două limbi naturale diferite. După cum nu este raţional să spunem că pentru a descrie semantica a două limbi naturale diferite avem nevoie de două sisteme de concepte teoretice radical diferite, tot aşa nu este raţional să considerăm fără rezerve că, pentru a descrie limbajul natural, avem nevoie de un sistem de concepte teoretice radical diferit de sistemul de concepte teoretice necesar pentru descrierea semantică a unui limbaj logic. § 3. Scopul lucrării. Tot atît de util ca şi discuţia teoretică a faptului dacă noţiunile de semantică definite în raport cu limbajele logice pot sau nu pot fi utilizate în semantica lingvistică ni se pare examenul direct al posi-; bilităţii de a interpreta conceptele din semantica logică în1 termeni specifici semanticii limbajului natural. Altfel spus, i 16 ni se pare util să stabilim dacă şi în ce condiţii o serie de definiţii, reguli şi teoreme formulate în raport cu unele elemente ale limbajului logic îşi păstrează valabilitatea şi pentru acele elemente ale limbajului natural care au proprietăţi de sens evident asemănătoare cu entităţile limbajului logic în legătură cu care s-au formulat definiţiile, regulile şi teoremele respective. Acest lucru urmărim să-l realizăm în paginile următoare. Întrucît drumul firesc al unei astfel de investigaţii este normal să înceapă cu examinarea unor definiţii, reguli şi teoreme cît mai simple, ne propunem să examinăm aici, din punctul de vedere care ne interesează, definiţiile, regulile şi teoremele legate de limbajele logice cele mai simple: logica modală şi ne-modală a propoziţiilor. Se întîmplă însă că celui mai simplu limbaj logic îi corespund în limbajul natural cele mai complexe structuri semantice, şi cele mai puţin cercetate din punct de vedere semantic, anume frazele. Situaţia prezintă un deosebit interes, întrucît, dacă în momentul de faţă este foarte greu de precizat ce trebuie să înţelegem prin „sensul unei fraze”, adică să spunem cum se poate specifica sensul unei fraze oarecare, F, pornind de la sensul propoziţiilor ei constituente: Pi .. .pn> aceasta se datoreşte în mare parte, dacă nu chiar exclusiv, faptului că noţiunile strict lingvistice folosite în descrierea semantică a elementelor de legătură (conjuncţii) şi a unei categorii de cuvinte regente (ale propoziţiilor) sînt şi insuficiente şi defectuos definite. într-adevăr, chiar şi un examen sumar al modului tradiţional de a defini raporturile exprimate prin conjuncţii şi raporturile existente între cuvintele regente şi propoziţiile subordonate lor ne permite să facem următoarele constatări: (i) raporturile exprimate de conjuncţii sînt definite în termeni cu o semnificaţie neprecisă (uneori ambiguă) luaţi direct din limbajul uzual şi care, în consecinţă, trebuie ei înşişi definiţi mai departe; în plus, definiţiile au un caracter descriptiv, şi nu operaţional; (ii) raporturile stabilite între diversele tipuri de propoziţii (subordonate) şi cuvintele regente de care aceste 1T propoziţii depind sînt definite, de asemenea, în termeni cu o semnificaţie (care trebuie, la rîndui ei, precizată) luată direct din limbajul uzual; în plus, şi aceste definiţii au un caracter pur descriptiv şi nu operaţional. Să luăm spre exemplu felul în care este definit raportul de coordonare copulativă : „unităţile sintactice coordonate prezentate de vorbitor ca asociate se numesc copulative” {GLR II: 243). Pentru „coordonare” se dă următoarea definiţie : „coordonarea este raportul dintre două sau mai multe unităţi sintactice (părţi de propoziţie, propoziţii, fraze) care stau pe acelaşi plan”. Conform cu cele două definiţii, sensul unei fraze ca Ion doarme şi Gheorghe se plimbă ar trebui să fie : „propoziţiile ‘Ion doarme’, ‘Gheorghe se plimbă’ stau pe acelaşi plan şi sînt prezentate de vorbitor ca asociate”. în legătură cu o astfel de definiţie a raportului copulativ, ne putem întreba ce înseamnă „prezentate de vorbitor ca asociate”? Cele două propoziţii dintr-o frază ca Ion doarme, prin urmare Gheorghe se plimbă sînt prezentate de vorbitor ca mai puţin „asociate” sau ca deloc, „asociate” ? Dacă răspunsul este că sînt asociate, atunci ne putem întreba mai departe : în ce condiţii trebuie să spunem că două propoziţii sînt „prezentate de vorbitor ca asociate”? Or, astfel de condiţii nu se formulează nicăieri. într-un mod asemănător se poate arăta că nici definiţiile date în gramatică diverselor categorii de propoziţii subordonate nu pot fi utilizate în specificarea sensului global al unei fraze atunci cînd cunoaştem sensul propoziţiilor constituente. în sensul celor arătate, în capitolele următoare vom proceda* după cum urmează : (i) Pornind de la logica simplă (adică ne-modală) a propoziţiilor, vom arăta dacă şi în ce condiţii si, sau, dacă ... atunci şi diversele forme de negaţie a propoziţiilor şi frazelor pot fi definite şi tratate în aceiaşi termeni în care sînt trataţi conectorii logici corespunzători (Cap. II). (ii) Pornind de la logica modală alethică a propoziţiilor, vom arăta dacă şi în ce condiţii construcţii formate din 18 propoziţii (sau complexe de propoziţii formate cu conjuncţii) dependente de cuvinte şi expresii „modale” ca în mod necesar, se poate, trebuie etc. pot fi tratate în aceiaşi termeni în care sînt^ tratate în logica modală expresiile cu operatori modali. în plus, vom discuta o serie de conjuncţii pe care le numim „modale” ; este vorba de conjuncţii în a căror definiţie semantică se face uz de operatori modali j conjuncţii ca prin urmare, incit, dacă ... atunci cu valoare de „implicaţie logică” (Cap. III). (iii) Pornind de la logica modală ne-alethică a propoziţiilor (se va avea în vedere în primul rînd logica pe care o numim doxastică), vom arăta dacă şi în ce condiţii construcţii constituite din propoziţii (sau complexe de propoziţii formate cu conjuncţii) dependente de cuvinte şi expresii „modale” ca crede, credibil, a fi convins, a şti, a cunoaşte etc. pot fi tratate în aceiaşi termeni în care sînt tratate în logica doxastică expresiile cu operatori doxastici. Şi aici vom discuta o serie de conjuncţii pe care le numim, „modale”, în sensul că definiţia lor semantică conţine o-peratori modali, de data aceasta doxastici. E vorba de: conjuncţii ca deşi, însă sau de dacă ... atunci cu valoare, modal-doxastică (Cap. IV). Atragem atenţia asupra faptului că lucrarea de faţă, nu trebuie luată ca o încercare de a construi o teorie a, sensului frazei ci, pur şi simplu, ca o încercare de a fixa cadrul conceptual şi metodologic al unei astfel de teorii care. s-ar putea construi ulterior. Scopul nostru este în primul rînd acela de a pune la îndemîna lingvistului un sistem de, noţiuni semantice aşa cum ele au fost definite în raport cu limbajele logice, noţiuni pe care le considerăm într-un îe\ sau altul relevante pentru semantica limbajului natural, în al doilea rînd, dat fiind că acest sistem de concepte nu a fost elaborat în lingvistică şi pentru lingvistică, ne propunem să arătăm în ce constă relevanţa lui lingvistică. în sfîrşit, în al treilea rînd, ne propunem să sugerăm numai (fără a avea deci nici pretenţia şi nici intenţia de a aplica efectiv aceste concepte în teoria semantică a limbajului natural) ce condiţii ar trebui să îndeplinească o (Jescriere. a limbajului natural pentru ca sistemul conceptual folosit în raport cu limbajele logice să poată fi utilizat şi în raport cu limbajul natural. Deoarece sistemul de concepte semantice este definit în raport cu logica propoziţiilor, ne va interesa cum ar trebui descrisă fraza, pentru ca sensul ei să poată fi descris în termenii modelelor semantice ataşate diverselor tipuri de logică a propoziţiilor. în măsura în care se poate vorbi de „originalitate” în raport cu o lucrare de acest tip, ea nu trebuie căutată nici în sistemul conceptual folosit (acesta este cel cunoscut oricărui logician) şi nici în rezultatele consemnate în propoziţii şi teoreme (care şi ele pot fi găsite în marea lor majoritate în manualele şi tratatele de logică simbolică); ea trebuie căutată cel mult în încercările constante de a degaja atît relevanţa lingvistică a conceptelor şi regulilor folosite, cît şi consecinţele metodologice pentru lingvistică ale acestora. în ce priveşte expunerea propriu-zisă a materiei, a-ceasta urmează în linii mari cursul expunerii din unele lucrări pe care le-am folosit în mod special, anume Hughes & Cresswell, 1972, Hintikka, 1969. Nota specifică — cel puţin în intenţia noastră — este dată de faptul că prezentarea este făcută din punctul de vedere al lingvistului şi nu al logicianului. Capitolul II LOGICA PROPOZIŢIILOR CA SISTEM SEMANTIC § 1. Consideraţii introductive. Logica propoziţiilor ca sistem semantic se ocupă de sensul propoziţiilor simple şi de sensul expresiilor complexe, formate din propoziţii simple cu ajutorul unor semne numite conectori şi care corespund în mare „conjuncţiilor” din limbajul natural. Întrucît, după cum am arătat în Cap. I, lucrarea de faţă îşi propune să definească o serie de concepte de semantică logică utilizabile în studiul semantic al limbajului natural, vom consacra în acest capitol paragrafe speciale problematicii lingvistice pentru care diversele concepte introduse au relevanţă imediată. în acest capitol vom descrie ca sistem semantic cel mai simplu limbaj logic şi anume logica propoziţiilor. A prezenta un limbaj logic ca sistem semantic înseamnă a-1 prezenta ca un sistem în interiorul căruia concepte ca adevăr, validitate, sens, consecinţă logică, identitate de sens ş.a. pot fi definite cu exactitate. Acest lucru este posibil în măsura în care sistemul de semne este considerat în relaţie cu obiectele, stările şi evenimentele la care semnele sistemului respectiv se referă, adică în măsura în care semnelor acestui limbaj li se asociază anumite denotate. § 2. Constante şi variabile propoziţionale. Prin constantă propoziţională se înţelege, în logica propoziţiilor, un semn care are ca sens „ceea ce se spune” într-o propoziţie simplă a limbajului natural. Cu alte cuvinte, o constantă propoziţională poate avea ca sens o expresie ca Ion doarme sau sîmbătă este a şasea zi a săptămînii sau luna este satelitul pămîntului etc. Excludem posibilitatea de a considera că o constantă propoziţională are ca sens o propoziţie interogativă 21 (ca Ion doarme?) sau o propoziţie exclamativă (ca Ce frumos este afară!) sau dubitativă (ca Ion va fi dormind) sau optativă (ca Ion ar dormi) etc. Faptul că spunem că sensul unei constante propoziţionale este „ceea ce spune” o propoziţie simplă exclude posibilitatea de a considera că o constantă propoziţională are ca sens ceea ce se exprimă în limbajul natural printr-o frază. în consecinţă, expresii ca Ion spune că doarme, Ion doarme şi Gheorghe citeşte, Ion, cu care m-am întîlnit astăzi, doarme etc. nu pot fi considerate ca exprimînd sensul unei constante propoziţionale. în linii mari, se poate spune că o constantă propoziţională (din logica propoziţiilor) corespunde la ceea ce gramatica numeşte o propoziţie simplă. Trebuie adăugat că, pentru motive care vor deveni clare mai jos (vezi § 8), sensul unei constante propoziţionale este totdeauna cel exprimat de o propoziţie afirmativă şi niciodată negativă. Yom spune deci mai exact că unei constante propoziţionale îi corespunde o propoziţie afirmativă simplă. Spre deosebire de abordarea lingvistică a limbajului natural, cînd propoziţiile sînt analizate, deci sînt privite ca structuri alcătuite din elemente simple (eventual cuvinte), în logica propoziţiilor, constantele propoziţionale sînt luate ca entităţi inanalizabile sau, altfel spus, ca entităţi a căror structură de constituenţi este nerelevantă, pentru cel care descrie un astfel de limbaj. în sistemul pe care îl prezentăm mai jos, vom folosi în locul propoziţiilor de forma (1) Ion doarme. (2) Sîmbătă este a şasea zi a săptămînii. (3) Luna este satelitul pămîntului. litere mici de la începutul alfabetului latin : a, b, c, ... sau litere mici indexate, de la începutul alfabetului latin : ai ? a2 5 * * * J ^1 5 ^2 ? * * • i C1 ? C2? • • • Este ca şi cum am avea a face cu un limbaj în care pentru fiecare propoziţie distinctă am avea un suport fonetic distinct (aşa cum pentru fiecare morfem distinct avem în limbile naturale cîte o expresie fonetică distinctă* bineînţeles, exceptînd cazurile de omonimie). 22 Cu titlu de exemplificare, vom spune că semnele a, b, c din sistemul nostru „stau în locul” propoziţiilor (1), (2), respectiv (3); în alţi termeni putem spune că (1') a exprimă propoziţia (1). (2') b exprimă propoziţia (2). (3') c exprimă propoziţia (3). Trebuie menţionat, pe de altă parte, faptul că în logica propoziţiilor nu este totdeauna necesar ca sensul unei constante propoziţionale să fie explicitat; este suficient uneori să ştim că un semn oarecare, să spunem aXJ are un sens determinat (= exprimă o propoziţie afirmativă simplă) fără a fi necesar să ştim exact care anume este acest sens. Este deci suficient uneori să ştim că ax este o constantă propoziţională, fără să fie necesar să ştim care este propoziţia concretă pe care o „exprimă” av Prin variabilă propoziţională se înţelege în logica propoziţiilor un semn care poate lua diverse valori din domeniul constantelor propoziţionale. în sistemul pe care îl descriem, reprezentăm variabilele propoziţionale prin litere mici de la mijlocul şi sfîrşitul alfabetului latin : p, q, r,..., sau litere mici indexate, de la mijlocul şi sfîrşitul alfabetului latin : p±J p2, - - ; 2i, 52>* • • 5 ru r2> • • -etc* Un semn ca p reprezintă deci o propoziţie oarecare % (în sensul acordat termenului de „propoziţie” mai sus); sau, altfel spus, p poate fi înţeles ca oricare dintre propoziţiile reprezentate prin constante. Principala proprietate a unei variabile propoziţionale este aceea că în principiu poate fi substituită prin oricare dintre constantele propoziţionale ale sistemului (vezi mai jos regula de substituţie). Aceasta „substituţie” nu înseamnă altceva decît acordarea unei valori determinate pentru variabila respectivă. Pentru a reveni la exemplul discutat, valorile pe care o variabilă propoziţională, p, le poate lua sînt a sau b sau c. Pentru a înţelege mai exact care este statutul variabilelor propoziţionale în sistemul descris, vom spune că o variabilă propoziţională este un analog al variabilelor numerice dintr-o expresie ca 2 + x = 3, unde x poate lua diverse valori numerice : 1, 2, 3, ... n (evident însă că, în ecuaţia de mai sus, valoarea lui x nu poate fi decît x = 1). 23 § 3, Condiţii de adevăr pentru propoziţii. Putem considera că o propoziţie (din limbajul logic sau din limbajul natural) este adevărată atunci cînd aserţiunea conţinută, de acea propoziţie corespunde unei anumite stări de fapt existente în univers. Putem spune deci că o propoziţie ca (1) este adevărată numai în cazul în care, în momentul acesta, individul numit Ion se află în starea pe care o numim prin verbul dormi. Trebuie să observăm, în continuare, că expresia „individul numit Ion se află în starea pe care o numim prin verbul dormi99 nu este decît o parafrază a expresiei mai fireşti în limba română, Ion doarme, în sensul că cele două expresii spun exact acelaşi lucru. Aşadar, putem considera că propoziţia (1) este adevărată numai în cazul în care „Ion doarme”. Formulînd explicit această regulă particulară de adevăr, vom spune : 3—1. Condiţie de adevăr. Propoziţia ,,Ion doarme” este adevărată dacă şi numai dacă Ion doarme. Observaţii. 1°. Prima apariţie (în 3—1)* a propoziţiei aici în discuţie nu reprezintă o aserţiune propriu-zisă, ci nu este altceva decît un semn cu ajutorul căruia ne referim (în meta-limbaj) la propoziţia discutată. în schimb, a. doua apariţie a propoziţiei (în 3—1) face o aserţiune cu privire la starea de lucruri. 2°. Impresia de absenţă a oricărei informaţii adusă de ceea ce urmează după „dacă şi numai dacă” în 3—1 deriva * Sistemul de trimiteri la paragrafe, subparagrafe, definiţii, teoreme etc. utilizat în această carte este următorul: a) Semnul * §’ urmat de un număr reprezintă trimiterea la un paragraf care se află In acelaşi capitol în care se află şi trimiterea. b) Dacă semnul ‘ §' este precedat de o cifră romană, aceasta trimite la nn alt capitol decît acela în care se găseşte trimiterea ; aşadar, dacă în capitolul I avem „vezi III§8”, aceasta înseamnă ,,vezi cap. III, paragraful 8”. c) Trimiterea la definiţii, teoreme etc. se face prin simpla indicare în cifre arabe a numărului acestora (1 — 2, 3—17 etc.), atunci cînd acestea se găsesc în acelaşi capitol cu trimiterea; sau prin numărul în cifre arabe al acestora, precedat de numărul (în cifre romane al) capitolului, atunci clnd definiţia, teorema etc. se află în alt capitol decît acela în care se găseşte trimiterea. De ex., dacă în cap. III găsim : „cf. 2—3”, aceasta înseamnă că trimiterea se face la teorema 2—3 din cap. III; dacă în acelaşi capitol găsim „cf. II 5—4", aceasta înseamnă că trimiterea se face la teorema 5—4 din cap. II. S4 exclusiv din faptul că, întîmplător, meta-limbajul folosit aici pentru a ne referi la propoziţia (1), care este o propoziţie a limbii române, este tot limba română. De aceea „conţinutul” propoziţiei (1) îl simţim oarecum ca „dat” împreună cu propoziţia considerată. în felul acesta, a doua apariţie a expresiei „Ion doarme” în 3—1 pare că nu face decît să repete ceea ce se spune în (1). De fapt, pentru a înţelege exact ce spune o formulare ca 3—1, trebuie să ne referim la propoziţia (1) numai ca la o succesiune de semne (grafice sau fonetice), aşa cum ne-am referi la o expresie dintr-o limbă pe care nu o cunoaştem. Dacă n-am cunoaşte limba română şi dacă metalimbajul folosit pentru descrierea limbii române ar fi, să presupunem, engleza, atunci 3—1 ar avea forma 3—r. The sentence „Ion doarme” is true if and only if John is sleeping. 3°. în cazul în care ne referim la sistemul semantic pe care îl descriem, dacă formulăm regula de adevăr pentru propoziţia (constanta propoziţională) a 3—1 devine: 3—1". Propoziţia ‘a’ este adevărată dacă şi numai dacă Ion doarme. Se poate observa cu uşurinţă că, deoarece, în limbajul logic pe care îl descriem, semnificaţia unei constante propoziţionale, ‘a’, nu este „dată” odată cu constanta respectivă, ca în cazul propoziţiei Ion doarme, din limba română, ci este stabilită printr-o convenţie explicită (§2 (1)), o regulă ca 3—1" nu lasă impresia de „tautologie”, aşa cum se întîmplă cu 3 — 1. Pentru a generaliza definiţia 3 — 1, vom introduce următoarele convenţii: fie numele unei propoziţii oarecare (de observat că, pentru maxima generalitate, folosim aici o variabilă propoziţională); fie p aserţiunea făcută de ip\ în aceste condiţii, 3—1 devine : 3—2. Condiţie de adevăr pentru propoziţii. Propoziţia lpr este adevărată dacă şi numai dacă p are loc. Observaţie. Ca şi în 3—1, ‘p1 reprezintă numele propoziţiei considerate (vezi convenţiile precedente). Este evident că o condiţie de forma 3—2 (sau 3—1) nu are sens decît atunci cînd este formulată în legătură cu un sistem determinat ale cărui reguli sînt sau pot fi for- 25 mulate explicit şi exact. Pentru an sistem ambiguu, aşa cum este orice limbă naturală, o astfel de formulare este inoperantă, sau, mai exact, nu este operantă în forma aceasta. Să luăm spre exemplu însăşi propoziţia (1). Atunci cînd i-am discutat sensul, am lăsat la o parte, pentru simplificare, faptul că, în realitate, această propoziţie exprimă mai multe aserţiuni. Yom înşira mai jos cîteva dintre ele, într-o formulare aproximativă : (la) Ion doarme acum (la ora II30). (lb) Ion doarme în general (adică ori de cîte ori este cazul, nu se întîmplă să nu poată dormi). (Ic) Ion este o fiinţă din categoria acelora care se caracterizează prin faptul că dorm. (ld) Ion doarme totdeauna la ora II30. Este evident că, în aceste condiţii, regula 3 — 1 devine şi ca ambiguă : a) pentru că însăşi propoziţia situată în dreapta lui „dacă şi numai dacă” este ambiguă; b) pentru că, aşa cum este formulată regula 3 — 1, nu se poate şti la care dintre sensurile (la) — (ld) se referă condiţia de adevăr. Pentru acest motiv, unii logicieni consideră că o regulă de forma 3—2 nu este adecvată limbilor naturale, sau chiar mai mult, că pentru limbile naturale nu se pot stabili condiţii de adevăr (în legătură cu acest aspect, vezi § 5). Este clar însă că, pentru un limbaj logic de felul celui descris în acest capitol, astfel de condiţii se pot stabili, întrucît acest limbaj este lipsit de ambiguitate, prin însuşi modul în care este construit. § 4. Adevăr, extensiune, intensiunc, sens. Din cele discutate în § 3 rezultă că ceea ce am numit „condiţie de adevăr” pentru propoziţii se află în directă legătură cu ceea ce se înţelege de obicei prin sensul unei propoziţii. Se poate observa din 3 — 1, 2 că o propoziţie este adevărată atunci şi numai atunci cînd aserţiunea făcută de această propoziţie este conformă cu starea de lucruri reală. Prin urmare, făcînd distincţia între forma (fonetică sau grafică) a unei propoziţii şi ceea ce această propoziţie 26 „exprimă”, putem spune că ceea ce o propoziţie oarecare „exprimă” nu este altceva decît condiţia în care această propoziţie este adevărată. Mai concret : ceea ce propoziţia (1) exprimă nu este decît aserţiunea „Ion doarme” sau, ca să folosim ca meta-limbaj altă limbă decît limba română (căreia propoziţia (1) îi aparţine), aserţiunea „John is sleeping”. Aşadar, condiţia de adevăr a unei propoziţii este reprezentată de aserţiunea făcută de această propoziţie şi invers, aserţiunea făcută de o propoziţie reprezintă condiţia de adevăr a acestei propoziţii. Dar ceea ce „se exprimă” printr-o propoziţie nu este altceva uecît sensul propoziţiei respective. De aici concluzia că sensul unei propoziţii nu este altceva decît condiţia pe care trebuie să o satisfacă o stare de lucruri pentru ca o propoziţie dată, p, să poată fi „aplicată” acestei stări de lucruri. Că între „condiţia de adevăr” şi „sens” există un raport de determinare reciprocă ne-o dovedeşte faptul de experienţă lingvistică elementară că, dacă nu cunoaştem sensul unei propoziţii, nu putem spune dacă propoziţia respectivă este adevărată sau falsă, şi, invers, în cazul în care putem decide dacă o propoziţie este adevărată sau falsă, aceasta presupune că îi cunoaştem sensul (= ştim ce anume aserţiune este făcută prin această propoziţie şi, prin urmare, ştim dacă această aserţiune este sau nu este conformă cu starea de fapt). Pe baza consideraţiilor de mai sus, putem formula următoarea definiţie : 4 — 1. Definiţie. Numim intensiunea sau sensul unei propoziţii, p, ceea ce este afirmat în propoziţia p*. O consecinţă imediată a celor conţinute de 3—2 şi 4—1 este următoarea propoziţie : 4—2. Propoziţie. Intensiunea (sensul) unei propoziţii reprezintă condiţia care trebuie să fie îndeplinită pentru ca propoziţia p să fie adevărată. * Definiţia 4—1 trebuie înţeleasă ca spunînd acelaşi lucru cu următoarea definiţie din Carnap, 1960 : 27 : “The iniension of a sentence is the propo-sition expressed by it”. Întrucît limba română nu conţine decît un singur cuvînt corespunzător engl. sentence şi proposiiion, am redat formularea i “the proposition expressed by it” prin „ceea ce este afirmat în”. 27 Cele conţinute în 4—2 reprezintă o formulare mai exactă a ceea ce trebuie să înţelegem prin „sensul” sau „intensiunea” sau „ceea ce spune” o propoziţie. Este cazul acum să ne întrebăm la ce se referă o propoziţie sau, mai precis, care este elementul din realitate care este „denotat” de o propoziţie. Pentru a preciza acest lucru, ne vom întoarce din nou la exemplele (1), (2), (3) din §2, ţinînd seama, în acelaşi timp, de conceptele introduse în § 3. Dacă propoziţia (1) este adevărată atunci şi numai atunci cînd „Ion doarme” (conform cu 3—1), putem face două presupuneri: a) că Ion doarme, şi atunci propoziţia este adevărată, sau că b) Ion nu doarme, şi atunci propoziţia este falsă. Generalizînd, putem spune că, în legătură cu orice propoziţie, p, există două alternative : aceea ca ceea ce se afirmă în propoziţia p să aibă loc în realitate sau ca ceea ce se afirmă în propoziţia p să nu aibă loc în realitate* Prima situaţie reprezintă adevărul propoziţiei p, cea de a doua reprezintă falsul propoziţiei p. Dacă ne întrebăm deci la ce „se referă” sau ce anume „denotă” o propoziţie, putem răspunde, în formă generală, în felul următor : o propoziţie p poate denota fie faptul că starea de lucruri coincide cu „ceea ce se spune” în p, deci poate denota adevărul, fie faptul că starea de lucruri nu coincide cu „ceea ce se spune” în p, deci poate denota falsul. în acord cu cele arătate putem formula următoarea definiţie : 4—3. Definiţie. Extensiunea unei propoziţii este valoarea ei de adeoăr. Trebuie observat că atît conceptul de intensiune cît şi cel de extensiune, în accepţiile precizate sub 4—1, 2, 3, în măsura în care sînt în întregime dependente de conceptul de condiţie de adevăr, au sens numai în măsura în care însuşi conceptul de condiţie de adevăr are sens, adică numai în cazul în care avem în vedere limbaje cu reguli exacte şi explicite, limbaje neambigue. Altfel spus, definite în această formă, conceptele aici în discuţie sînt aplicabile direct limbajelor logice, dar nu şi limbajelor naturale, caracterizate prin reguli implicite, nu totdeauna clar 28 formulate, şi cu un mare grad de ambiguitate (vezi mai jos, § 5). § 5. Limbaj natural; conceptul de adevăr şi conceptele eenexe. Anticipînd, am arătat în §§ 3, 4 că atît conceptul de condiţie de adevăr, precum şi conceptele legate de acesta, intensiune, extensiune, sînt utilizabile — în forma în care au fost definite — numai în legătură cu un limbaj determinat, cu reguli explicite şi exacte, şi lipsit de ambiguitate ; ^prin urmare, aceste concepte nu sînt utilizabile în legătură cu orice limbaj. Limbajul natural intră, după cum am spus, în categoria acelor limbaje cărora conceptele de mai sus nu li se pot aplica în mod direct. Ne propunem ca, în acest paragraf, să arătăm ceva mai amănunţit care sînt motivele pentru care se consideră că limbajul natural are statut diferit în raport cu limbajele logice de tipul celui descris în acest capitol şi, pe de altă parte, să arătăm, în linii foarte mari şi cu titlu de simplă sugestie, în ce sens trebuie mers pentru a ,,adapta” conceptele aici în discuţie descrierii limbajului natural. Ceea ce opune limbajul natural, ca sistem semantic, limbajelor logice este faptul că, spre deosebire de regulile limbajelor logice, regulile semantice ale limbajului natural au un caracter implicit. Mai exact: în cazul unui limbaj logic, sensul semnelor (în cazul nostru particular, sensul constantelor propoziţionale) este fixat prin reguli explicite (ca în § 2 (1'), (2'), (3')), odată cu construcţia sistemului, în cazul limbajului natural, sensul cuvintelor trebuie „descoperit” de către cercetător prin observarea felului în care cuvintele sînt utftizate în raport cu diverse obiecte din lumea reală. Această împrejurare face ca, pe de o parte, sensul cuvintelor din limbajul natural să se caracterizeze prin instabilitate (manifestarea acestei instabilităţi se poate observa atît în fenomenele de evoluţie semantică, cît şi în diversitatea aproape nelimitată a valorilor semantice determinată de contextul verbal sau situaţional), iar, pe de altă parte, descrierea acestor sensuri să nu poată fi decît o aproximare a lor. I>e exemplu, o propoziţie ca (1) poate avea, în raport cu diversele contexte verbale şi/sau situaţionale, printre 29 altele, sensurile enumerate în § 3 sub (la — d). Ca răspuns la întrebarea ,,ce face Ion acum ?” (1) are sensul (la); apărînd în continuarea enunţului „Eu nu dorm niciodată la ora II30”, (1) are sensul (ld); în continuarea enunţului „Gheorghe nu poate să doarmă niciodată”, (1) poate avea sensul (lb) etc. Observaţie. Am dat aici numai exemple de „instabilitate” a sensului propoziţiilor. Dacă ne imaginăm o situaţie în care în atenţia vorbitorului se află nu un singur individ care se numeşte Ion, ci mai mulţi indivizi, dintre care mai mulţi poartă numele de Ion, vom constata că o propoziţie ca (1) poate să transmită informaţii diferite, în raport cu faptul dacă are în vedere pe Ion Popescu, Ion Ionescu, Ion Vasilescu etc. Cînd spunem că sensurile definite de lingvist nu reprezintă decît o „aproximare” a sensului, avem în vedere faptul că oricît de comprehensivă ar fi o astfel de definiţie, ea nu poate acoperi niciodată totalitatea sensurilor posibile ale unei expresii. De exemplu, este greu de imaginat o definiţie suficient de comprehensivă a sensului unui verb ca a mînca, astfel încît aceasta să poată exprima diferenţa de sens dintre cîinele mănîncă, peştele mănîncă şi musca mănîncă (unde este suficient de clar că există un număr de trăsături care disting acţiunea de „a mînca” efectuată de un „cîine”, un „peşte” şi o „muscă”). Urmează de aici că orice definiţie a sensului din limbile naturale implică un anumit grad de idealizare (sau de tipizare) ; iar de această idealizare cercetătorul lingvist de multe ori nu este (şi nici nu este obligat să fie) conştient. Această observaţie este deosebit de utilă, întrucît pune în evidenţă faptul că, între abordarea tradiţională a sensului şi abordarea acestuia cu ajutorul conceptelor şi tehnicilor elaborate pentru descrierea limbajelor logice (situaţie care presupune o anumită „idealizare” a realităţii foarte concrete a limbajului natural) nu există o diferenţă de principiu : ambele abordări presupun un grad determinat de idealizare. Deosebirea constă în faptul că cel de al doilea mod de abordare se caracterizează printr-un grad superior de exactitate şi coerenţă. 30 în cele ce urmează, vom enumera, ceva mai concret, cîteva dintre caracteristicile propoziţiilor limbajului natural care fac ca o regulă de forma 3—2 să nu fie aplicabilă în mod direct acestui limbaj. în mod paralel, vom încerca să arătăm, în linii mari, care ar fi limbajul logic în care, definind concepte ca ,,adevăr”, „condiţie de adevăr” etc., aceste definiţii ar putea conveni în mai mare măsură limbajului natural. 1°. Polisemia cumulului. Unul dintre elementele care generează ambiguitatea propoziţiilor limbilor naturale este, după cum se ştie, polisemantismul elementelor lexicale constituente. Dacă cel puţin unul dintre constituenţii lexicali ai unei propoziţii este polisemantic, întreaga propoziţie are mai multe sensuri. De exemplu, dat fiind că cuvîntul broască are două sensuri, acela prin care este desemnat animalul şi acela prin care este desemnat mecanismul de închidere a unei uşi, o propoziţie ca (4) Ion vede broasca. are două sensuri, reprezentate prin cele două aserţiuni diferite : una care se referă la relaţia dintre individul Ion şi animalul numit „broască”, cealaltă la relaţia dintre individul Ion şi mecanismul de închidere a unei uşi. în aceste condiţii, nu mai poate fi vorba de o condiţie de adevăr pentru propoziţia respectivă, ci de două condiţii: una care are în vedere primul sens al propoziţiei (4), cealaltă, care are în vedere cel de al doilea sens al acesteia. Dar, pentru a fixa două condiţii de adevăr alternative, este necesar ca, mai întîi, propoziţia (4) să fie făcută neam-biguă. Acest lucru se poate realiza cu ajutorul unui procedeu tehnic uzual în lexicografie, anume indeocarea. Folosind indici subscrişi pentru fiecare sens al cuvintelor polisemantice (sau omonime) vom scrie cele două propoziţii după cum urmează : (4a) Ion vede broasca (4b) Ion vede broasca2. unde indexarea are rolul de a „crea” două semne distincte, broască1? broască2, fiecare dintre aceste semne avînd un sens şi numai unul singur. Întrucît în (4a, b) ultimul loc este ocupat de semne distincte, sîntem îndreptăţiţi să considerăm că, în limbajul 31 la care ne referim, nu avem a face cu o propoziţie, anume {4), ci cu două propoziţii, anume (4a) şi (4b). în acelaşi fel, o propoziţie ca (5) Broasca este mare. va apărea dezambiguizată, conform cu procedeul propus, în felul următor : (5a) Broasca1 este mare. (5b) Broasca2 este mare. Trebuie observat că, în conformitate cu acest sistem i) = ^ satisface condiţia 6—1. Explicaţii. Definiţia 6—2 arată că valorizarea Fja unei clase de propoziţii este asocierea uneia dintre valorile <1, 0 > cu fiecare dintre propoziţiile clasei (= condiţia (a)), prin intermediul unei funcţii de valorizare, Fj, conformă cu regula 6 — 1, care cere ca oricăreia dintre propoziţiile p19. . . pn să-i fie asociată o singură valoare şi numai una (= condiţia (b)). Propoziţia următoare (urmare evidentă a definiţiei 6—2) fixează condiţiile în care putem spune că două valorizări, V\ Fj, ale aceleiaşi clase de propoziţii E, sînt distincte între ele. 6—3. Propoziţie. Două valorizări, F1, Fj, ale aceleiaşi clase de propoziţii, K = (pv..., pn)j sînt distincte între ele, F* ^ Fj, dacă şi numai dacă 39 există un m pentru care 1 < m < n, astfel încît Vl(Pm) = 1 Şi VKPm) = 0, sau F1^') = O şi FJ(î?ra) = 1, dar nu F1^) = FJ(^m) = 1 şi nici F^Pm) = FJ(^m) = 0. Explicaţie. Propoziţia6—3 arată că două valorizări ale aceleiaşi clase de propoziţii sînt distincte între ele în cazul în care există cel puţin o propoziţie (pm) care este valorizată cu 1, în conformitate cu una din valorizări, şi cu 0, în conformitate cu cealaltă (sau invers). Urmarea evidentă a definiţiei 6 — 1 şi a propoziţiilor 6—2, 3 este formulată în termenii următoarei propoziţii: 6 — 4. Propoziţie. Fie K == ..., pn) o clasă de propoziţii oarecare. Numărul tuturor valorizărilor distincte care se pot asoci^i clasei K este 2n, deci F1, F2, .. V Totalitatea valorizărilor distincte, pentru o clasă de propoziţii poate fi reprezentată cu ajutorul unui tabel, după cum urmează : în primul rînd al tabelului se înscriu propoziţiile care aparţin clasei considerate. în rîndul imediat următor, sub fiecare propoziţie, se înscrie 1 sau 0, în acord cu valorile pe care voim să le atribuim propoziţiilor respective prin această primă valorizare, F1. în rîndul imediat următor (al treilea), sub fiecare propoziţie se înscrie 1 sau 0, în acord cu valorile pe care voim să le atribuim propoziţiilor respective, prin această a doua valorizare, F2, în aşa fel încît F1 ^ F2 (= valorizarea F1 să nu fie identică cu valorizarea F2); în rîndul al treilea se înscriu valorile 1 sau 0 sub fiecare propoziţie, în acord cu valorile pe care voim să le atribuim propoziţiilor prin F3, în aşa fel încît să avem F1 =£ F2 ^ F3 ş.a.m.d. Tabelul se consideră încheiat sau exhaustiv atunci cînd, după construirea conform cu principiile formulate mai sus a n rînduri, în al n + i-lea rînd nu mai putem înscrie cifrele 1 şi 0 astfel încît să avem F1 F2 ^ , • • •, # Fn # ^ Fn+1; altfel spus : dacă în rîndul Fn+1 înscriem cifrele 1 şi 0 în acord cu valorile pe care vrem să le atribuim propoziţiilor prin Fn+1, există totdeauna un F*(i < i < n) astfel încît Fn+1 = F\ pe scurt, tabelul este exhaustiv atunci cînd nu i se mai poate adăuga nici un rînd care să reprezinte o valorizare diferită de toate cele precedente. 40 Pentru exemplificare, sub (11) —(13), dăm reprezentarea prin tabele a valorizărilor posibile pentru clasele de propoziţii (j>) (clasa cu un singur membru), (p, q) şi, respectiv, (p, q, r). (11) (12) (13) (V1) (V2) P 3 (V1) 1 1 (V2) 1 0 (V8) 0 1 (V*) 0 0 p fl r (Y1) 1 1 1 (V2) 1 1 0 (V») 1 0 1 (V*) 0 1 1 (V») 0 0 1 (V«) 0 1 0 (V») 1 0 0 (Y«) 0 0 0 41 § 7. Conectori, a. Consideraţii ne~formale. Alături de constantele şi variabilele propoziţionale, limbajul pe care îl construim conţine un număr de semne cu ajutorul cărora, din semnele din prima categorie (constante şi variabile propoziţionale), se pot forma expresii mai complexe, analoge în mare măsură „frazelor” din limbajul natural. Semnele din această categorie se numesc conekori. Din punct de vedere semantic, conectorii se deosebesc de constantele şi variabilele propoziţionale : o constantă propoziţională, prin aserţiunea pe care o exprimă, se referă la un eveniment, o stare etc. din lumea reală ; în consecinţă, o propoziţie poate fi calificată ca adevărată sau falsă exclusiv prin raportarea ei la o anumită stare de lucruri. Conectorii, după cum vom vedea, nu se referă în mod direct la realitate şi, în consecinţă, nu li se pot aplica direct Calificativele „adevărat” sau „fals”. Adevărate sau false sînt numai expresiile formate cu ajutorul lor, iar caracterul adevărat sau fals al acestor expresii depinde în mod exclusiv de valoarea de adevăr a expresiilor legate prin intermediul conectorilor. Acesta este motivul pentru care conectorii sînt numiţi şi „funcţii de adevăr”. Conectorii corespund, în linii mari, unor conjuncţii (coordonatoare şi subordonatoare) din limbajul natural (diferenţele dintre conectorii limbajului logic şi conjuncţiile limbajului natural vor fi examinate în § 8). Vom explica pentru un moment sensul conectorilor prin indicarea cuvîntului (cuvintelor) din limbajul natural care le corespund : (i) Conjuncţia: 4A’ corespunde, în linii mari, conjuncţiei şi şi face parte din categoria conectorilor diadici, în sensul că stabileşte o relaţie între două propoziţii (sau expresii complexe formate, la rîndul lor, cu conectori): p /\ q (citeşte Lp şi g’)? a A b (citeşte La şi 6’) etc. (ii) Disjuncţia : 4 V’ corespunde, în linii mari, conjuncţiilor disjunctive sau, ori etc. atunci cînd acestea nu sînt folosite cu sens exclusiv, ca în Peste cinci minute, pleacă Ion sau Gheorghe, unde ceea ce se afirmă este faptul că, după cinci minute, acţiunea de „a pleca” va fi efectuată de cel puţin una din cele două persoane (Ion, Gheorghe) dacă nu de amîndouă. Disjuncţia face parte din clasa conectorilor diadici: p V ? (citeşte Lp sau #’), a V b (citeşte ‘a sau &’). (iii) Implicaţia : ‘ =>’ corespunde, în linii mari, conjuncţiilor condiţionale din limbajul natural: dacă ... atunci. Pentru moment, nu vom spune decît că implicaţia nu are sensul de „consecinţă logică” pe care îl au uneori condiţionalele din limbajul natural. (Vom examina acest lucru în detaliu aici, mai jos, sub 7—2, explicaţiile de sub 4° şi § 8, III §§ 5 g, 6 g, 7 g, IV § 2 g întrucît, în momentul de faţă, nu dispunem de aparatul conceptual necesar pentru a face distincţiile suficient de clare.) Implicaţia este, ca şi semnele precedente, un conector diadic : p q (citeşte ‘dacă p, atunci g’ sau Lp implică qJ), a b (citeşte ‘dacă a, atunci fc’ sau ‘a implică &’). Se obişnuieşte uneori ca referirea la primul membru (din stingă) al unei implicaţii să se facă prin termenul antecedent, iar referirea la cel de al doilea (din dreapta) prin termenul consecvent. (iv) Echivalenţa: ‘ = ’ corespunde, în linii mari, unei expresii ca „dacă şi numai dacă” din limbajul natural. Ca şi conectorii de sub (i) —(iii), echivalenţa face parte din clasa conectorilor diadici: p = q (citeşte ‘jo numai dacă g’ sau ‘p dacă şi numai dacă qJ sau ‘p este echivalent cu #’) sau a = b (citeşte ‘a numai dacă V sau ‘a dacă şi numai dacă V sau La este echivalent cu 6’). (v) Negaţia: corespunde diverselor forme de negaţie totală din limbile naturale (nu, nu este adevărat că..., este fals că ... etc.). Semnul de negaţie se pune în faţa unei constante sau variabile propoziţionale; în cazul în care negaţia se referă la o expresie mai complexă formată din constante şi/sau variabile propoziţionale legate prin conectori (inclusiv negaţia), atunci întreaga expresie la care se referă negaţia se închide între paranteze, iar semnul de negaţie se pune înaintea parantezei. Exemple : ~ a ; ~ ~ a) ; ~ (a A A&);~(î>Va); ~(î>V«)i~(~î>:>î)ete: Deoarece negaţia se aplică unei singure expresii (propoziţie sau expresie complexă formată cu ajutorul conectorilor) şi nu exprimă o relaţie între mai multe expresii (conectorii precedenţi exprimau relaţii între două expresii), spunem că negaţia este un conector monadic. b. Reguli de formare. După ce am văzut care sînt conectorii din limbajul pe care îl construim, putem formula următoarele reguli care ne permit să construim expresii corecte cu ajutorul semnelor introduse pînă acum (constante şi variabile propoziţionale şi conectori). în acest scop, vom introduce semnele a, /?, y ... ale meta-limbajului, pentru a desemna, cu ajutorul lor, anumite expresii din limbajul-obiect. 7—1. Reguli de formare : a) Dacă a este o constantă sau o variabilă propoziţională, atunci a este corect formată. b) Dacă a, p sînt corect formate, atunci: (i) a A P, (ii) a V P, (iii) a => P, (iv) a = p sînt, de asemenea, corect formate. c) Dacă a este o expresie corect formată, atunci ~ a este, de asemenea, corect formată. Cu ajutorul regulilor 7 — 1 se pot construi toate expresiile corecte (şi numai acestea) ale logicii propoziţiilor. Exemplele de mai jos au rolul de a arăta cum se obţin expresii corecte prin aplicarea acestor reguli. Exemplul 1°. Conform cu 7— 1 a, toate constantele şi variabilele propoziţionale care apar singure (nelegate prin conectori) sînt expresii corecte: a, b, c etc., p, q, r etc. Exemplul 2°. Deoarece toate constantele şi variabilele propoziţionale sînt expresii corect formate, urmează că a. prin 7 — 1 b (i), expresii ca p /\ q, a A b, p A a> a A P expresii corect formate; b. prin 7 — 1 b (ii), expresii ca p V 9» a V P V a> a V P sîut expresii corect formate; c. prin 7—1 b (iii), expresii ca p q, a => b, p => a, a => p sînt expresii corect formate; 44 d. prin 7 — 1 b (iv), expresii ca p = q, a==b, p = a, a = p sînt expresii corect formate; e. prin 7—1 c, expresii ca ~p, ~a sînt expresii corect formate. Din formularea regulilor 7 — 1 b, a, rezultă că prin conectori nu se pot lega numai propoziţii (constante şi/sau variabile), ci şi expresii mai complexe, formate prin aplicarea prealabilă a regulilor 7 — 1 b, c. Acest lucru rezultă din faptul că în 7 — 1 b nu se cere decît ca a şi jS să fie expresii corect formate (deci nu se cere ca ele să fie constante sau variabile propoziţionale); aşadar a şi /? pot fi expresii rezultate din aplicarea prealabilă a regulii 7 —1 b unor constante şi/sau variabile propoziţionale, sau unor expresii, mai complexe, rezultate din aplicarea aceleiaşi reguli unor expresii complexe. în acest sens, spunem că 7 — 1 b are un caracter recursiv. Tot caracter recursiv are şi regula 7—1 c, pentru un motiv asemănător : regula cere ca a să fie o expresie corect formată ; prin urmare, ea poate fi o constantă sau o variabilă propoziţională (7 — 1 a) sau poate fi o expresie complexă, obţinută prin aplicarea (repetată) a regulii 7 — 1 b. - A Exemplul 3° a. în cazul în care a este oricare din expresiile din exemplul 1° şi fi este oricare din expresiile din exemplul 2°a, prin aplicarea regulii 7 — lb (i) obţinem : 1A (p A ?)> 9 A (« A W. q) A (P V a)t (asft)A(pV Q) etc. c. în cazul în care a este oricare din expresiile din exemplul V şi /? este oricare din expresiile din exemplul 2°, prin aplicarea regulii 7—1 b (ii), obţinem: P V (P A 9) î a V (P => q); a V (a = p), P V (? = r) etc. cf. în aceleaşi condiţii ca sub c., dacă aplicăm regula 7— 1 b (iii), obţinem: P D (p D g) ; CI D (/) D ş) ; fl D (fl = p) ; p D ((P = ?))> ~(a = (P ^ ?)) etc. sînt expresii corect formate. d. Dacă a este una din expresiile din acest exemplu de sub c., atunci ~(~(9 A (p A ?)))• ~(M(P A î) A (“ A *))) etc. sînt expresii corect formate. Exemplul 5° a. Dacă a este una din expresiile din exemplul 4° a. şi fi este una din expresiile din exemplul 1°, atunci, conform 7—1 b (i) —(iv), ~p /\ a, ~b V P> ^ P> = a sînt expresii corect formate. b. Dacă a este una dintre expresiile din exemplul 2°, atunci expresiile ~(P A (a V b), ~(a => p), ~(p = a) etc. sînt expresii corect formate. c. Dacă a este una dintre expresiile din acest exemplu de sub b şi 0 este una din expresiile din exemplul 1°, atunci prin 7— 1 b (i) — (iv): ~(P A q) A a> ~(a V b) V q> ^(a ^ p) => b, ~(p = G) = b sînt expresii corect formate. d. Dacă a este una din expresiile din acest exemplu de sub b, iar fi este oricare din expresiile din exemplul 2°, atunci, conform cu 7—1 b (i)-(iv) : ~(P A 9) A (« V b), ~(a V b) V (p ^ ?)> ~(P = 9) ^ (P => a). ~(P V V q) = (a /\ b) etc. sînt expresii corect formate. e. Dacă a este oricare dintre expresiile din acest exemplu, atunci M~P A «)> => P)> ~Hfl V &)V MMP A 9) A (« V &)) etc. sînt expresii corect formate. Se poate observa că, pe baza regulilor de sub 7—1, pentru orice secvenţă de simboluri se poate decide dacă este corect formată, deci dacă aparţine limbajului descris sau nu. Oricare dintre expresiile din exemplele de mai sus este corect formată; în schimb, nici una dintre următoarele expresii nu este corect formată (= nu aparţine limbajului descris) : p PQi PaVi A a A => etc. 46 e. Reguli de adevăr. în acest punct, putem trece la definirea exactă a semnificaţiei conectorilor, în dependenţă de valoarea de adevăr a expresiilor legate cu ajutorul acestora. Fie a, p expresii oarecare din logica propoziţiilor şi fie F o valorizare oarecare. 7 — 2. Reguli de adevăr (pentru conectori) (RA): RA 1. [^] : F(~a) = 1 dacă şi numai dacă F(a) = = 0; altfel, F(~a) = 0. RA 2. [A] • F(a A P) = 1 dacă şi numai dacă F(a) = 1 şi V(P) = 2; altfel, V(a A P) = 0. RA 3. [ V]: F(a V P) = 1 dacă şi numai dacă V(oc)=l sau V(P)=1 sau amîndouă ; altfel F(a VP) = 0. RA 4. [ =>] : V(ot P) = 1 dacă şi numai dacă (i) F(a) = F(/J) = 1; sau: (ii) F(a) = = F(^) = 0, sau : (iii) F(a) = 0 şi F(jS) = = 1; altfel, dacă F(a) = 1 si F(j8) = 0, F(a =>P) = 0. RA 5. [=] : F(a = P) = 1 dacă şi numai dacă (i) F(a) = V(P) = 1; sau : (ii) F(a) = = V(p) = 0; altfel F(a = p) = 0. Explicaţii 1°. 1 fixează condiţiile în care negaţia unei expresii oarecare, a, adică ~ a, este adevărată : ~ a este adevărată atunci cînd a este falsă şi, invers, ~ a este falsă cînd a este adevărată. Acest lucra este în perfect acord cu cele arătate în § 3 cu privire la condiţiile de adevăr ale unei propoziţii. Pentru a avea o intuiţie clară asupra acestei relaţii, vom folosi un exemplu din limbajul natural: dacă (1) (din § 2) este adevărată atunci şi numai 47 atunci cînd „Ion doarme”, aceasta înseamnă, în mod firesc, că (1) este falsă atunci cînd „Ion nu doarme”. Dar ‘Ion nu doarme’ nu este altceva decît negaţia aserţiunii făcute de (1). Deci (1) e falsă atunci cînd starea de lucruri reală corespunde negaţiei aserţiunii făcute prin (1). Este clar însă că, dacă negaţia aserţiunii făcute prin (1) este în acord cu starea reală a lucrurilor, atunci însăşi negaţia propoziţiei (1) este adevărată, întrucît putem spune (conform cu 3—2): Propoziţia ‘Ion nu doarme’ este adevărată dacă şi numai dacă Ion nu doarme. Invers, dacă afirmaţia că <‘Ion doarme’ este conformă cu starea reală de lucruri, urmează a) că propoziţia (1) este adevărată şi b) că afirmaţia <‘Ion nu doarme’ nu este conformă cu starea reală de lucruri şi, prin urmare, propoziţia Ion nu doarme (= negaţia propoziţiei (1)) nu este adevărată. în consideraţiile de mai sus, am avut în vedere în primul rînd situaţia în care a era o propoziţie simplă. în cazul în care a este o expresie opmplexă, formată din propoziţii simple legate prin conectori, stabilirea caracterului adevărat sau fals al expresiei a se face pe baza regulilor RA 2— 5; ulterior, în raport cu rezultatul acestei operaţii, se poate stabili dacă ~ a este adevărată sau falsă. 2°. Begula BA 2 fixează condiţiile în care o conjuncţie de forma a A P este adevărată : conjuncţia a două expresii este adevărată atunci şi numai atunci cînd ambii conjuncţi sînt adevăraţi. Prin urmare, dacă a, b sînt constante propoziţionale cu sensul fixat în § 2 (1'), (2'), conjuncţia a A b este adevărată dacă şi numai dacă a este adevărată (deci dacă Ion doarme) şi dacă b este adevărată (deci dacă sîmbătă este a şasea zi a săptămînii). în toate celelalte cazuri, a a b este falsă. în legătură cu semnificaţia acestei reguli trebuie făcute două observaţii: a) Valoarea „adevărat” a unei conjuncţii ca a A b nu depinde de ceea ce s-ar putea numi „legătura de sens” dintre propoziţiile legate prin ‘A’ sau de posibilitatea ca cele două propoziţii legate să fie vreodată „gîndite împreună”. O frază ca (11) Ion doarme şi sîmbătă este a şasea zi a săptămînii. este puţin obişnuită: este destul de greu de imaginat o 48 situaţie în care o astfel de frază ar putea fi enunţată. De aici înclinaţia unui vorbitor obişnuit de a o considera într-O' oarecare măsură „anormală” sau „lipsită de sens”. Realitatea este însă că acest „sentiment al anomaliei” derivă nu din natura strict semantică a faptului, ci din felul în care este folosit în mod obişnuit un sistem lingvistic dat (adică limbajul natural). Altfel spus, dacă o frază ca (11) se abate de la un număr de reguli, atunci aceste reguli nu sînt de natură semantică (adică reguli care să privească relaţia dintre semne şi obiectele la care acestea se referă) ci privosc uzajul obişnuit al limbii. O frază ca (11)’ frapează nu prin anomalie de înţeles (ceea ce spune fraza (11) este, dealtfel, perfect clar şi acceptabil: ea afirmă ca simultan adevărate propoziţiile (1) şi (2)), ci prin caracterul ei neobişnuit sau neaşteptat. Reacţia la o fiază ca (11) este asemănătoare cu reacţia la o îmbinare neaşteptată de cuvinte ca Ion are ochi albaştri şi pantaloni ru/pţi.. Putem spune deci că, în măsura în care (11) necesită o calificare, această calificare este de natură stilistică (ţine de un uz special al sistemului lingvistic) şi nu de natură semantică. Faptul că o expresie ca La A V apare ca „bizară” abia în momentul în care o traducem într-un limbaj natural se explică prin aceea că limbajul natural este dotat cu anumite reguli de uzaj (deci reguli pragmatice) cu care limbajul logic nu este dotat. b) Semnificaţia semnului 4A’ (conjuncţie) nu acoperă decît în parte sensurile conjuncţiei şi ; aşa cum a fost definit prin jRA 2, semnul 4 A ’ corespunde sensului copulativ al lui şi menţionat în GLR I, p. 397 ; sensul copulativ este explicat în GLR II, p. 243 după cum urmează : „unităţile sintactice coordonate prezentate de vorbitor ca asociate (sublinierea mea, E.Y.) se numesc copulative”, în această definiţie, „asociate” poate fi înţeles ca referin-du-se la faptul că aserţiunile legate printr-o conjuncţie copulativă (şi) sînt prezentate ca simultan adevărate.. c) Trebuie reţinut, de asemenea, faptul că a şi /? pot fiy la rîndul lor, expresii complexe (= formate din propoziţii simple legate prin conectori), a căror valoare de adevăr* se determină cu ajutorul regulilor RA. 49" 4 - c. 1549 3°. Regula RA 3 arată că o disjuncţie de forma oc V P este adevărată atunci şi numai atunci cînd cel puţin unul din disjuncţi este adevărat şi este falsă atunci cînd ambii disjuncţi au valoarea „fals”. Revenind Ia exemplele din § 2, o propoziţie ca a V b este adevărată dacă cel puţin ' una dintre propoziţiile a, b (cu sensurile fixate în § 2 (!'), (2')) este adevărată, deci dacă Ion doarme, sau dacă sîmbătă este a şasea zi a săptămînii, sau ambele. Dacă nici Ion nu doarme, nici sîmbătă nu este a şasea zi a săptămînii, atunci a V b este falsă. Observaţii asemănătoare cu cele făcute sub 2° se pot face şi în legătură cu RA 3, şi anume : a) Valoarea de adevăr a unei disjuncţii ca a V i nu depinde de ,,legătura de sens” dintre propoziţiile legate prin 4 V’ sau? altfel spus, de posibilitatea de „a le gîndi împreună”. O disjuncţie ca a V ^ nu spune nimic altceva decît că cel puţin una (dacă nu amîndouă) dintre propoziţiile a, b este adevărată. „Anomalia” unei propoziţii ca (12) Ion doarme sau sîmbătă este a şasea zi a săptămînii. este numai aparentă şi, în orice caz, de natură stilistică sau pragmatică (= ţine de uzul obişnuit al limbii naturale) şi nu semantică logică. Şi aceasta exact pentru aceleaşi motive ca cele de sub 2°. a). b) Felul în care a fost definit sensul semnului 4 V’ în RA 3 nu acoperă decît unul din sensurile lui sau (ori al altor conjuncţii disjunctive) şi anume sensul pe care l-am numit „inclusiv”, adică sensul în acord cu care nu se exclude posibilitatea ca ambele propoziţii legate prin sau să fie adevărate. Este sensul pe care îl are conjuncţia latină vel, în opoziţie cu conjuncţia aut. Sensul definit prin RA 3 nu este decît expresia formală a sensului pe care GLR I: 397, îl consideră „copulativ” al conjuncţiei sau, ca în: nisipul se găseşte pe prundul rîurilor, al lacurilor sau al mărilor. în GLR II: 246, se face observaţia : „raportul disjunctiv poate fi însă apropiat de cel copulativ [... ] dacă nu există obligaţia de a alege o singură situaţie”. Exemplul dat la aceeaşi pagină se referă la conjuncţia ori, dar acest lucru nu interesează aici, deoarece, aşa cum se poate observa, în locul lui ori, putea fi întrebuinţat tot atît de 50 bine sau : Doriţi să vă odihniţi ori doriţi să gustaţi ceva, vă rog să porunciţi. Ceea ce se înţelege în GLR prin „sens copulativ” al conjuncţiei disjunctive nu este decît posibilitatea ca ambii termeni legaţi prin conjuncţia disjunctivă să fie, am spune noi, adevăraţi. Trebuie notat, de asemenea, faptul că gramatica amintită defineşte raportul disjunctiv în primul rînd ca pe un raport exclusiv, deci ca raport între doi termeni dintre care unul şi numai unul este adevărat (ca raportul exprimat prin latinescul aut), aşa cum reiese din definiţia de la p. 245 (GLR II) : „Unităţile sintactice coordonate care sînt prezentate de vorbitor ca excluzîndu-se una pe alta (sublinierea mea, E.V.) într-o măsură mai mare sau mai mică se numesc disjunctive”. Valoarea „copulativă” a conjuncţiei disjunctive (deci situaţia în care disjuncţii pot fi concepuţi sau înţeleşi ca fiind ambii adevăraţi) este considerată ca o „slăbire” a raportului disjunctiv, care se caracterizează (în mod tipic, după GLR) prin relaţia de excluziune. Realitatea este că unele limbaje naturale (cum e limba română) se caracterizează prin două valori ale conjuncţiilor disjunctive : una exclusivă şi alta inclusivă. S-ar putea ca sensul exclusiv al unei conjuncţii ca sau să fie mai frecvent sau mai prezent în conştiinţa lingvistică a vorbitorilor, fapt care ar explica poziţia autorilor gramaticii, care consideră ca definitoriu pentru disjuncţie raportul de excluziune dintre termeni, iar raportul inclusiv ca un fel de „slăbire” a sensului exclusiv. c) Ca şi în cazul conjuncţiei, trebuie remarcat faptul că, în RA 3, a şi p pot fi, la rîndul lor, expresii complexe. 4°. Enunţînd o propoziţie ca (13) Dacă afară e frig, atunci Ion stă acasă. se spune, în orice caz, că este exclusă alternativa ca „afară să fie frig” şi, în acelaşi timp, ,,Ion să nu stea acasă” ; altfel spus, se exclude alternativa în care prima propoziţie : (13 a) afară e frig să fie adevărată, iar a doua : (13 b) Ion stă acasă să fie falsă. 51 Observaţie. Cazul în care aserţiunea „Ion nu stă acasă” coincide cu starea reală a lucrurilor este exact cazul în care (13 b) este falsă. Excluzînd alternativa menţionată, nu excludem şi următoarele posibilităţi: a) ca afară să nu fie frig şi ca Ion să nu stea acasă b) ca afară să nu fie frig şi ca Ion să stea (totuşi) acasă. Altfel spus, (13) neagă existenţa reală a situaţiei în care (13 a) are loc iar (13 b) nu are loc, sau, într-o formulare pozitivă, afirmă faptul că (13 b) poate fi adevărată şi atunci cînd (13 a) este adevărată, şi atunci cînd (13 a) este falsă, dar nu este falsă decît atunci şi numai atunci cînd (13 a) e falsă; dacă (13 a) este adevărată, atunci şi (13 b) este adevărată. Cele arătate sînt în acord cu ceea ce se înţelege în mod obişnuit printr-o formulare ca A condiţionează pe B sau A este o condiţie a lui B; a spune că A condiţionează pe B înseamnă a spune că dacă A are loc, atunci B are, de asemenea, loc, dacă A nu are loc, nu are loc, de asemenea, nici B, dar fără ca să fie adevărată şi reciproca, anume : dacă B are loc, atunci are loc şi A. Toate formulările alternative pe care le-am dat pînă aici, sub 4°, nu fac altceva decît să exprime în limbajul comun condiţiile de adevăr ale implicaţiei. Ceea ce trebuie remarcat este faptul că aceste formulări sînt, pe de altă parte, parţial în acord cu ideea comună de „condiţie”, conţinută şi în conceptul gramatical de „raport condiţional între propoziţii” (cf. GLR IZ, p. 321 : „Propoziţia circumstanţială condiţională exprimă o ipoteză sau o condiţie (sublinierea mea, E.V.) de a cărei îndeplinire depinde realizarea acţiunii exprimate de propoziţia regentă”). Observaţiile care trebuie făcute în legătură cu propoziţiile de forma a /? sînt de aceeaşi natură cu cele făcute sub 2°-3° : a) Uzul normal al limbajului natural cere ca cei doi termeni ai unei fraze condiţionale (antecedentul şi consecventul) să aibă o legătură de sens (tradusă printr-o relaţie oarecare de natură factuală). Acesta este singurul motiv pentru care o frază ca (14) Daca afară este frig, atunci Ion are ochii verzi. este considerată ca absurdă, în timp ce o frază ca (13) nu 52 este. în fond, ceea ce dă impresia de anomalie în (14) este faptul că antecedentul poate fi mai greu (eventual deloc) gîndit în relaţie cu consecventul, pe baza experienţei comune. Dacă o astfel de relaţie nu poate fi stabilită, atunci, pe baza aceleiaşi experienţe, nu se poate afirma nici existenţa vreunui raport între adevărul antecedentului (13 a) şi adevărul consecventului: (14') Ion are ochii verzi. b) în ce priveşte sensul frazelor condiţionale din limbajul natural şi sensul implicaţiei logice, trebuie observat că frazele condiţionale din limbajul natural, după toate aparenţele, exprimă în plus, faţă de ideea de „condiţie” în sensul definit mai sus, şi ideea de necesitate. O frază condiţională ca (13) exprimă pe lîngă ideea că în cazul în care antecedentul (13 a) este adevărat, atunci şi consecventul (13 b) este adevărat, şi ideea că, dacă antecedentul este adevărat, atunci consecventul nu poate fi decît adevărat. Cu alte cuvinte, frazele condiţionale exprimă şi ideea imposibilităţii ca antecedentul să fie adevărat şi consecventul fals. Acest caracter de „necesitate” al raportului exprimat de condiţionale trebuie înţeles ca relativ : el se bazează pe cunoştinţele pe care vorbitorul (sau vorbitorii) le are (le au) în prealabil despre stările sau evenimentele sau obiectele la care se referă fraza condiţională. Mai concret: dacă se afirmă (13), aceasta se face pe baza celor ce se ştiu despre Ion şi despre modul său de a se comporta. în raport cu aceste cunoştinţe se afirmă că dacă (13 a) este adevărată, atunci (13 b) nu poate fi decît adevărată sau, într-o formulare mai puţin tare, dacă (13 a) este adevărată, atunci este greu de aşteptat ca (13 b) să nu fie şi ea adevărată. Acest caracter de „necesitate” relativă al condiţionalei poate constitui eventual o explicaţie (suplimentară) a faptului că propoziţii ca (14) sînt considerate ca aberante : deoarece conţinutul factual şi deci de sens al antecedentului nu are nimic comun cu conţinutul factual şi deci de sens al consecventului (14'), nu poate fi afirmată o relaţie necesară între adevărul propoziţiei (13 a) şi adevărul propoziţiei (14'). Altfel spus, experienţa comună arată că, dată fiind absenţa unei legături între conţinutul factual 53 şi de semnificaţie al celor două propoziţii, este perfect posibil ca (13 a) să fie adevărată şi (14) falsă. c) Ca şi în cazul 1°—3°, expresiile a, /? pot fi, la rîndul lor, expresii complexe. 5°. Prin RA 5 se fixează condiţiile în care o expresie de forma a = /? este adevărată : anume, cînd a şi /? au aceeaşi valoare de adevăr. Prin urmare, o expresie de această formă nu spune nimic altceva decît că cele două expresii sînt fie simultan adevărate, fie simultan false. Echivalenţa nu are un corespondent foarte clar într-un limbaj natuial ca româna. în limba română o expresie ca, dacă şi numai dacă — expresie care corespunde echivalenţei logice — nu aparţine uzului comun al limbii, ci limbajului ştiinţelor exacte. Un corespondent aproximativ ar putea fi considerat o expresie ca numai dacă, în cazul în care nu exprimă pur şi simplu sensul condiţional. Observaţiile care se pot face în legătură cu RA 5 sînt paralele cu cele făcute în legătură cu regulile precedente. a) ,,Traducînd” în limbajul natural o echivalenţă în care a şi b au sensurile stabilite în § 2 (1'), (2'), obţinem : (15) Ion doarme dacă şi numai dacă sîmbătă este a şasea zi a săptămînii. Fraza (15) pare tot atît de puţin acceptabilă ca şi frazele discutate la 2°—4° sub a). Se pare deci că, pentru a afirma că două propoziţii sînt simultan adevărate sau simultan false, uzul lingvistic cere ca cele două propoziţii să aibă ,,ceva comun” din punctul de vedere al sensului şi/sau al realităţii la care se referă. Restricţia este deci de natură pragmatică şi stilistică şi nu de natură semantică. Întrucît am discutat în detaliu această chestiune sub 2° a),, nu mai insistăm asupra ei aici. b) în limbajul comun, termenul de echivalenţă este asociat în mod obişnuit de ideea de „identitate de sens”. Cu alte cuvinte, în măsura în care dacă şi numai dacă poate fi luat ca o „traducere” în limbajul natural a semnului de echivalenţă, cele două propoziţii legate prin dacă şi numai dacă sînt înţelese în primul rînd ca exprimînd una, pentru cealaltă o condiţie (de adevăr) necesară; aşadar,u cînd două propoziţii sînt legate prin dacă şi numai dacă„ 54 vrem să spunem că nu este posibil ca una dintre ele să fie adevărată şi cealaltă falsă. Or, dacă A nu poate fi adevărat atunci cînd B este fals sau B nu poate fi adevărat atunci cînd A este fals, aceasta înseamnă că A şi B au condiţii de adevăr identice ceea ce înseamnă că au sens identic (asupra relaţiei condiţie de adevăr/sens, vezi mai sus, § 4). Această idee de relaţie „necesară” conţinută de expresia dacă şi numai dacă poate fi şi ea o explicaţie a faptului că norma limbajului comun cere ca termenii legaţi prin această expresie să nu fie disjuncţi din punctul de vedere al sensului. Observaţia se susţine în acelaşi fel ca aceea pe care am făcut-o în legătură cu implicaţia (cf. mai sus 4°b). Aceeaşi remarcă trebuie făcută şi în legătură cu dacă şi numai dacă din limbajul ştiinţific, unde această expresie exprimă, în mod explicit, ideea de condiţie (reciprocă) necesară şi suficientă. c) Ca şi mai sus, expresiile a şi p se pot referi la expresii complexe. 6°. în măsura în care RA 1 — 5 fixează condiţiile de adevăr ale expresiilor complexe formate cu conectori, putem spune că RA 1—5 exprimă sensul (intensiunea) expresiilor complexe (formate cu ajutorul conectorilor). d. Tabele de adevăr. Regulile RA 1—5 definesc conectorii în raport cu diversele valori acordate expresiilor legate prin aceştia. Cu ajutorul acestor reguli se poate calcula valoarea de adevăr a oricărei expresii. Procedeul uzual de calcul este acela al matricilor sau tabelelor de adevăr. înainte de a arăta cum se construiesc în general matri-cile de adevăr, vom arăta cum regulile de sub c. pot fi reprezentate cu ajutorul acestor matrici. Primele coloane ale tabelului înregistrează propoziţiile simple legate prin conectori. Cum, cu excepţia negaţiei care este un conector monadic, toţi ceilalţi conectori sînt diadici, vom construi două tabele : unul pentru negaţie, altul pentru toţi ceilalţi conectori. în primul tabel, în capul primei coloane, va figura o propoziţie, mai exact, o variabilă propoziţională, p (aşadar, tabelul va avea o maximă generalitate: ceea ce este arătat pentru p, este valabil pentru orice propoziţie). în capul coloanei urmă- 55 toare. va figura negaţia expresiei din prima coloană, deci ~p. Sub p, se înregistrează, în rîndul întîi, respectiv al doilea, cele două valorizări posibile ale lui p : 1 şi 0. în coloana a doua, conform cu EA 1, se scriu valorile luate de ~ p, în raport cu cele două valorizări din prima coloană. 7—3. Negaţia p .—'P 1 0 0 1 Matricea de sub 7—3 indică pentru ~;p valoarea 0 pentru prima valorizare a lui p (V(p) --= 1) şi 1 pentru cea de a doua valorizare a lui p (V(p) = 0). Pentru ceilalţi conectori, care sînt, după cum am văzut, diadici, matricile vor înregistra cele 4 valorizări posibile ale clasei de propoziţii (p, q) (cf. mai sus 6—3). în capul primelor două coloane ale tabelului figurează propoziţiile p, q-, în rîndurile următoare figurează cele 4 valorizări (distincte) posibile pentru clasa (j>, q), exprimate prin cifrele 1 sau 0 scrise sub literele p şi q. în capul coloanelor următoare se scriu expresiile formate din p şi q legate prin conectorii diadici ■ p A q, p V q, P => 2 Şi P = In fiecare rînd din coloana de sub fiecare din expresiile de mai sus se scrie, în dreptul fiecărei valorizări, valoarea (1 sau 0) pe care o ia expresia, în raport cu valorizarea notată în capătul rîndului (cf. RA 2—5 de sub 7—1). 4. Cc P injunc « iţia, disj P f\ => ’ şi ‘ = ’ în felul, următor : este conectorul care ia valoarea 1, pentru valoarea 0 a expresiei p şi 0, pentru valoarea 1 a luip ; ‘ A ’ este conectorul care ia valoarea 1 pentru valorile % V ale expresiilor p, respectiv, q şi 0, pentru valorile ‘7, 0; 0, 1; 0, 0’’; ‘ V’ este conectorul care ia valoarea 1 pentru valorile ll, 1; 1, 0; 0, F date expresiilor p, q şi 0 pentru valorile l0, 0\ etc. O definiţie matricială alternativă a conector.ilor este: ;-3'. 1 0 0 1 7-4'. A 1 0 V 1 0 1 0 = 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 "o 1 unde, în 7—3', în primul rînd, în cele două coloane, se înscriu valorile expresiei care urmează semnul iar în cel de al doilea rînd, în fiecare coloană, se înregistrează valoarea expresiei formate cu ‘ pentru fiecare din valorizările incluse în primul rînd. în 7—4', în coloanele de sub ‘A’, ‘VS <=)S se înscriu valorizările membrului din stînga conectorului, în rîndul de sus, în dreapta semnelor ‘A ’, ‘V’, ‘ =>’, i= \ se înscriu valorizările termenului din dreapta conectorului; cele 4 valorizări posibile pentru clasa alcătuită din cele două expresii se obţin prin citirea primei cifre din prima coloană şi a primei cifre din primul rînd; a celei de a doua cifre din prima coloană şi a primei cifre din primul rînd; a primei cifre din prima coloană şi a celei de a doua cifre din primul rînd; a celei de a doua cifre din prima coloană şi a celei de a doua cifre din primul rînd (sau : prima cifră 57 din prima coloană — prima cifră din primul rînd; prima cifră din prima coloană — a doua cifră din primul rînd etc.). La intersecţia fiecărui rînd cu fiecare coloană se înscrie valoarea expresiei formate cu conectorul respectiv pentru valorizarea obţinută prin citirea în felul indicat mai sus. Matricile de adevăr sînt utilizate în calcularea valorii de adevăr a expresiilor de o complexitate mai mare. Tfontni construi matricea, de arlevăr^nnei expresii complexe] a, se procedează în felul următor: ' (1) Expresia a se descompune în constituenţii ei ime- diaţi; această descompunere poate avea două rezultate posibile : a) dacă a are forma (deci dacă a este constituită din semnul de negaţie urmat de o altă expresie, j8) atunci rezultatul analizei este ‘~5, pe de o parte, /?, pe de altă parte ; b) dacă a nu este o expresie precedată de semnul negaţiei, atunci rezultatul analizei nu poate fi decît l(i A Y’> sau 7? V Y% sau =) y5, sau 7? = y\ (ii) Constituenţilor /?, y li se aplică acelaşi gen de analiză în constituenţi imediaţi ca sub (i); prin urmare, /?, y se pot analiza fie ca sub (i) a), fie ca sub (i) b). (iii) Procedeul se aplică de n ori, pînă în momentul în care, pentru orice constituent $ al expresiei a, analiza în constituenţi imediaţi are ca rezultat o secvenţă de conectori şi semne propoziţionale (constante şi/sau variabile). După cum se observă, procedeul de analiză în constituenţi imediaţi urmează drumul invers al aplicării regulilor de formare pentru construirea unei expresii, a. Exemplul 1° : p => {q A (P => ; p ; q. (4) Aceeaşi construcţie obţinută pe baza regulilor de formare : 7-^1 a. p, q sînt expresii corect formate; (1) b. (p r> q) este corect formată; (2) din (2) şi 7—1 b : (p A (P ^ Q) este corect formată; (3) din (3) şi 7— 1 b : p ^ (p A (P 3 ?)) este corect formată. (4) Exemplul 2°: ~((ţ = r) s ((p V 9) A (P V r))) A. Analiza în constituenţi imediaţi: Prin (i) a): ~ ; ((9 => r) = ((p V 9) A (P V r)); (1) Prin (ii) b) din (1) : = ; (q => r); ((p V 9) A (P V r); (2) 58 Prin (ii) b) din (2) : A; (PV ?); (pVO; (3) Prin (ii) b) din (3) : V ; P> q; V î P> r• (4) B. Aceeaşi construcţie obţinută pe baza regulilor de formare : 7—lb: p, q, r sînt corect formate; (1) 7—lb din (1): (p V q) este corect formatăf (2) 7—lb din (1) : (p V r) este corect formată; (3) 7 — lb din (2), (3) : (p V ?) A (P V **) este corect formată ; (4) 7 — lb din (1) : (q r) este corect formată ; (5) 7-lb din (4), (5) : (q ^ r) = ((p V ?) A(pV r)) este corect formată; (6) 7-lc din (6) : ~((q z> r) = ((p V q) A (P V *0)) este corect formată. Exemplul 3° : p => (~(p = 9) => (r V (/)) A. Analiza în constituenţi imediaţi: Prin (i) b) : ^ ; p ; (~(P = q) => (r V ^)) (D Prin (ii) b) din (1) : =3 ; ~(p = q); (r V ?) (2) Prin (ii) a) din (2) : ~; (p = q) (3) Prin (ii) b) din (2), (3) : = ; p ; q ; V ; r, q. (4) B. Construcţia obţinută pe baza regulilor de formare : 7—-la: p, q, r sînt corect formate; (1) 7—lb din (1): (/*V q) este corect formată; (2) 7—lb din (1): (p = q) este corect formată; (3) 7—lc din (3): ~(p = q) este corect formată; (4) 7 — lb din (4), (2) : ~(p = q) =5 (r V q) este corect formată ; (5) 7—lb din (5), (1) : p =5 (~(p = q) => (/* V q)) este corect formată. (6) Numim constituenţi ultimi ai unei expresii a secvenţa de semne rezultată din analiza expresiei a în constituenţi imediaţi. Numim propoziţiile constituente ale expresiei oc clasa de semne propoziţionale (constante şi/sau variabile) care sînt constituenţii ultimi ai expresiei a. Cu aceste precizări, putem trece la indicarea felului în care se construieşte o matrice de adevăr pentru o expresie oarecare, a. (Pentru a urmări mai uşor cele ce urmează, cititorul se poate referi la felul în care este construită matricea de adevăr din exemplul 1°, mai jos.) A. In primele n coloane ale matricii se înscriu, în primul rînd, propoziţiile constituente ale expresiei a. Rîn-durile următoare ale celor n coloane vor cuprinde cele 2n valorizări posibile ale clasei de propoziţii constituente ale expresiei a. B. în următoarele coloane, în primul rînd, se înscriu constituenţii de rang imediat superior constituenţilor ultimi. 59 C. în fiecare dintre coloanele menţionate sub B, in rindurile următoare, se înscriu valorile pe care le iau constituenţii înscrişi în primul rînd al coloanei pentru fiecare dintre valorizările aflate în primele n coloane; valoarea constituentului se află la intersecţia coloanei afectate acestuia cu rîndul corespunzător valorizării date. D. în coloanele următoare, în primul rînd, se înscriu constituenţii de rang imediat superior (alcătuiţi din constituenţi din prima categorie). E. în fiecare dintre coloanele menţionate sub D, în rîndurile următoare, se înscriu valorile pe care le iau constituenţii înscrişi în primul rînd al coloanei, pentru fiecare dintre valorile înregistrate în coloanele precedente, afectate constituenţilor imediaţi ai expresiilor respective. F. Se repetă procedura D, E, pentru constituenţii de rang imediat superior, pînă ce se ajunge ca, în primul rînd al coloanei n + m, să figureze expresia a însăşi. Coloana în al cărei prim rînd se află a reprezintă Evalo-rile (de adevăr) ale expresiei a pentru fiecare dintre valorizările posibile pentru clasa de propoziţii constituente ale expresiei a. Pentru mai multă claritate, vom construi matricile de adevăr ale expresiilor din exemplele 1°, 2° de mai sus. Explicaţiile care vor urma fiecărui tabel vor arăta felul în care acesta a fost construit. Exemplul l°a. Expresia: p => (q A (P => q)) (V1) (V2) p q p => q q A (p => q) P(SP A (!>=«)) 1 1 î 1 1 1 0 0 0 0 0 1 î 1 1 0 0 î 0 1 1 2 3 4 5 60 Explicaţii: Coloanele 1, 2 corespund celor doi membri ai clasei de propoziţii constituente ale expresiei din exemplul 1: q’ legată prin ‘A y de q. în coloana 5 (rîndul întîi), se află o expresie de rang superior celei precedente, întrucît expresia precedentă apare legată aici prin 1 z>’ de p. Cifrele din coloana 3 se obţin prin considerarea cifrelor din coloanele 1, 2 (în această ordine şi numai în aceasta, vezi RA 4); în dreptul fiecărei combinaţii de valori din primele două rînduri se scriu valorile 1 sau 0r după caz, în coloana 3. Valorile din coloana 4 se obţin prin compararea valorilor din coloana 2 (afectată constituentului q) cu cele din coloana 3 (afectată constituentului Lp => q*). [N.B. Ordinea în care se compară valorile înscrise în acelaşi rînd în 2 şi 3 nu este relevantă (vezi RA 2).] Valorile din coloana 5 se obţin prin compararea valorilor din coloana 2 (afectată constituentului p) cu cele din ?)’)-[N.B. Ordinea în care se compară valorile înscrise în acelaşi rînd este relevantă (vezi RA 4); aşadar valorile se vor lua întîi din coloana 1 apoi din coloana 4.] Exemplul 2° a. Expresia : ~ ((q => r) = ((p V q) A A (p V ?*))) (vezi tabelul de la p. 62). Explicaţii: Primele trei coloane includ valorizările posibile pentru clasa propoziţiilor constituente (pr q, r>. Există 23 = 8 valorizări posibile. în coloanele 4f 5, 6 se află, în primul rînd, constituenţii de rang imediat superior constituenţilor p, q, r; coloana 7 include constituentul imediat superior constituenţilor înscrişi în 5, 6 (5 şi 6 sînt comlituenţi ai expresiei din 7); primul rînd al coloanei 8 include constituenţii de rang imediat superior constituentului din 7 (expresia din 7 este constituent imediat al expresiei din 8); în primul rînd al coloanei 9 figurează întreaga expresie ale cărei 61 6 8 L I 0 0 0 I T 0 I 0 I 0 0 0 I I 0 I l I 0 I 0 I I ((UArf)V(5Arf))s = (/cS))~ v(fyVZ))= = j) UA d)\J V(6A«f) 9 g f £ z I 0 0 T 0 0 0 (aA) I T I 0 0 I (iA) 0 I 0 0 T 0 (#a) T 0 I I 0 0 (sA) I I T I x 0 (*a) I I I T 0 I (eA) I T 0 0 T I (sA) I I I I T I (iA) j,/\d SA d j, <=■ h Jk 6 d valori vrem să le calculăm : ea este de rang superior celei din 8, întrucît aceasta din urmă este constituent imediat, alături de al expresiei din 9. Valorile din coloana 4 se obţin prin compararea valorilor înscrise în acelaşi rînd în coloanele 2, 3 [N.B. în această ordine]; valorile din 5 se obţin prin compararea valorilor înscrise în acelaşi rînd în coloanele 1, 2 [N.B. indiferent în care ordine]; valorile din 6 se obţin prin compararea valorilor înscrise în acelaşi rînd în coloanele 1, 3 [N.B. indiferent în care ordine]; valorile din 7 se obţin prin valorile înscrise în acelaşi rînd în coloanele 5, 6 [N.B. indiferent în care ordine]; valorile din 8 se obţin prin compararea valorilor înscrise în acelaşi rînd în coloanele 4, 7 [N.B. indiferent în care ordine, vezi RA 5]; valorile din 9 se obţin prin RA 1 din valorile înscrise în 8. § 8. Conectori în limbajul natural. După cum se poate observa din cele discutate în §7c. cu privire la conectorii din limbajele logice, există cîteva puncte în care aceştia diferă de conectorii limbajului natural. în cele ce urmează vom încerca să facem cît mai clare aceste diferenţe. Clasa conectorilor din limbajele logice corespunde în mare clasei conjuncţiilor din limbajul natural : atît conectorii, cît şi conjuncţiile ,,leagă” între ele propoziţii, realizînd, în felul acesta, expresii mai complexe (care, în terminologia gramaticală, se numesc fraze). Din acest punct de vedere, al funcţiei pe care cele două clase de semne o îndeplinesc, deosebirile apar în următoarele privinţe : 1°. Gramatica limbajelor naturale face de obicei distincţia între conjuncţii de coordonare şi conjuncţii de subordonare. în legătură cu limbajele logice, această distincţie nu se face. Dealtfel, după cum s-a remarcat uneori, distincţia între coordonare şi subordonare nu este foarte clară în ce priveşte limbajele naturale (cf. Graur, 1956: 130; Vasiliu, 1974 : 110—111). Definiţiile care pot fi găsite în gramatici sînt vagi şi, în consecinţă, pe baza lor nu se poate face distincţia, pentru fiecare caz în parte, între un raport de coordonare şi un raport de subordonare. Dacă încercăm totuşi să stabilim o corespondenţă între conectorii discutaţi în § 7 şi conjuncţii, observăm 6a •că o parte din conectori, annrne 4 A’, 4 V’, corespund unor conjuncţii considerate coordonatoare (şi, sau), în timp ce 1 şi4 = ’ corespund unor conjuncţii considerate subordo-natoare (dacă (-atunci), dacă şi numai dacă). în măsura în care distincţia coordonare/subordonare nu este clară nici în gramaticile care au ca obiect limbajul natural, deosebirea dintre conectorii logici şi conjuncţiile limbajului natural din punctul de vedere aici în discuţie este neglijabilă. 2°. în logică, semnul de negaţie, 4~’, este considerat ca aparţinînd clasei conectorilor (este un conector mona-dic). Faptul se justifică, pe de o parte, prin aceea că, prin prefixarea semnului de negaţie la o propoziţie, se obţine o expresie corect formată, tot aşa cum, prin „introducerea” unui conector diadic între două propoziţii, se •obţine o expresie corect formată. Pe de altă parte, această încadrare a negaţiei în clasa conectorilor se justifică într-un mod mai profund, prin faptul că negaţia, ca şi ceilalţi conectori, este o „funcţie de adevăr” (vezi mai sus, § 7 a) : adevărul unei expresii ca ~a depinde în mod exclusiv de valoarea de adevăr a expresiei a (cf. § 7 c, EA 1 si § 7 d, 7—3), tot aşa cum adevărul unor expresii ca a A P, a V a => /? şi a = /? depinde în mod exclusiv de valoarea ’ şi 4 = ’ (7 c 2°b), 3°b), 4°b), 5°b), am arătat cu privire la fiecare dintre primii doi că nu corespunde decît cu unul dintre sensurile conjuncţiilor şi, respectiv, sau, ori în legătură cu ultimii doi, că nu corespund decît aproximativ sensului conjuncţiilor dacă, respectiv, dacă şi numai dacă. Alături de sensul pe care GLR 1: 397 îl numeşte „copulativ” (sens care, după cum am văzut, coincide cu definiţia dată semnului 4 A’), conjuncţia şi mai poate avea, după cum se arată în aceeaşi lucrare, şi sens adversativ (ca în aş pleca şi nu pot) sau sens conclusiv (ca în exemplul citat la p. 397 : asta-i şagă şi nu-mi pasa). Alături de sensul inclusiv (calificat de GLR 1: 397, disjunctiv cu nuanţă „copulativă”), care coincide cu definiţia semnului 4 V*, conjuncţia sau are şi un sens exclusiv (calificat de GLR I : 396, ca „disjunctiv propriu-zis”). în ce priveşte conjuncţiile dacă şi dacă şi numai dacă, am arătat (cf. 4° b), 5° b)) că, spre deosebire de ‘ => ’, respectiv, ‘ = ’, sensul celor dinţii se asociază de ideea de necesitate relativă (la cunoştinţele pe care vorbitorii le au asupra stărilor de lucruri). Cele arătate conduc la următoarele două concluzii: a) în cazul în care vrem să definim sensul conjuncţiilor şi, sau, în acelaşi fel în care au fost definiţi conectorii ‘ A’, ‘ V’, va trebui ca mai întîi să procedăm la dezambiguizarea 66 conjuncţiilor respective (eventual prin acelaşi sistem de indexare folosit în legătură cu cuvintele polisemantice (cf. § 5, 1°) : vom avea deci un şixi şi2, şiZl un sauly sau2). b) Definiţiile date se vor referi, în aceste condiţii, la una dintre valorile conjuncţiei şi (anume aceea care coincide cu sensul conectorului 4 AS să spunem şix) şi la una dintre valorile conjuncţiei sau (anume aceea care coincide cu sensul conectorului ‘V’, să spunem sau2). Pentru conjuncţiile (dezambiguizate) şi2, şiSj saux se pot construi reguli convenabile, fie folosind exclusiv aparatul conceptual al logicii propoziţiilor, fie un aparat mai complex. Pentru saux (= sau „exclusiv”) se poate construi o definiţie a sensului folosind în mod exclusiv conceptele logicii propoziţiilor. Nu vom arăta aici cum se poate defini în logica propoziţiilor un conector corespunzător lui sau exclusiv, întrucît scopul lucrării de faţă nu este acela de a construi efectiv o logică interpretabilă în termenii limbajului natural, ci numai o prezentare a cîtorva tipuri de logică şi a legăturii acestora cu limbajul natural, pe de o parte, precum şi a unei părţi din problematica logică a limbajului natural, pe de altă parte. (înlegătură cu definirea unui conector corespunzător lui sau^ vezi Reichenbach, 1966 : 23, 35, 43, 45.) Pentru a construi o definiţie a sensului conjuncţiilor dacă, dacă şi numai dacă, logica propoziţiilor este insuficientă ; este necesar un limbaj logic cu operatori modali, întrucît raportul exprimat prin dacă, dacă şi numai dacă este — după cum am văzut — asociat de ideea de „necesitate” (cf. Vasiliu, 1973,1974 ; pentru conceptul de operatori modali, vezi mai jos, cap. III, IV). 5°. Este cunoscut faptul că, în limbajul natural, există numeroase cazuri de sinonimie (totală sau parţială) între conjuncţii; se vorbeşte, de exemplu, despre conjuncţii copulative, conjuncţii disjunctive, conjuncţii adversative etc. Există, de asemenea, cazuri de interferenţă între polisemie şi sinonimie. De exemplu, conjuncţia sau din limba română are şi sens „inclusiv” (sau „copulativ”, cum îl numeşte gramatica, deci sinonim aproximativ cu şi) şi sens „exclusiv” („disjunctiv propriu-zis”, conform cu aceeaşi terminologie) (vezi mai sus sub 4°). GLR 1: 387 mai menţionează printre „principalele” conjuncţii disjunctive şi conjuncţiile fie şi ori. 67 Observaţie. Vom" scoate din discuţie pentru un moment conjuncţia fie, care nu leagă propoziţii, ci numai părţi de propoziţie. La aceste conjuncţii trebuie să adăugăm şi conjuncţiile dublate : ori... ori, sau.. . sau. Observaţie. Conjuncţia fie apare în formă dublată : fie., .fie, însă nu leagă propoziţii ci părţi de propoziţie (nu se poate spune: Fie Ion a venit, fie Gheorghe a venit). în forma fie că. .. fie că, se pare că nu este decît un substitut al concesivei chiar dacă, făcînd o disjuncţie între două adversative : Fie că a venit Ion, fie că a venit Gheorghe, eu tot la ora 7 plec. Conjuncţiile simple au şi sens inclusiv şi sens exclusiv (cf. GLR 1: 393—394, 395—396). în ce priveşte conjuncţiile „dublate”, se pare că sau... sau, ori. .. ori se asociază în special de sensul exclusiv. Continuarea unor fraze ca : (17) Sau Ion a venit sau Gheorghe a, venit. (18) Ori Ion a venit ori Gheorghe a venit. pare a fi mai firească : (19). . . dar nu amîndoi. decît (20). . . sau amîndoi. Prin urmare, în cazul în care lucrurile stau intr-adevăr aşa, trebuie să spunem că sau „exclusiv” este sinonim cu sau... sau şi ori.. . ori şi că ultimele două sînt sinonime. Un alt exemplu : conjuncţia şi, pe lîngă sensul „copu-' lativ”, mai are, conform cu GLR I: 397, şi un sens „adversativ”. Notînd cu şix sensul copulativ şi cu şi2 sensul adversativ, observăm că şi2 este sinonim cu o conjuncţie adversativă ca însă (în exemplul de sub 4°, şi2 poate fi substituit cu însă : aş pleca însă nu pot); această frază are acelaşi sens cu fraza originară : aş pleca şi nu pot). Din cele arătate aici urmează că, în cazul în care se încearcă o definiţie logică a valorii conjuncţiilor, o definiţie dată nu se va aplica totdeauna unei singure conjuncţii (aşa cum, de exemplu, RA 2 se aplică semnului 4 A’ şi numai acestuia), ci vor exista destul de numeroase cazuri în care o definiţie va avea în vedere o clasă de conjuncţii (clasa conjuncţiilor disjunctive, clasa conjuncţiilor adversative, clasa conjuncţiilor conclusive etc.). Mai concret: aceeaşi definiţie, anume o definiţie care să spună acelaşi lucru cu RA 3 (indiferent deforma în care acest luciu va fi spus), va avea în vedere nu numai conjuncţia sau2 (vezi aici mai sus sub 4° b), ci şi conjuncţia ori2. în cazul în care, în gramatica cu ajutorul căreia descriem limba română, se face distincţia între structura superficială şi stiuctura profundă, vom putea spune că, în structura profundă, există o singură conjuncţie disjunctivă (pe care o vom simboliza într-un fel oarecare, spre exemplu prin Bis) care are mai multe ,,realizări fonetice” la nivelul stiucturii superficiale : sau2, ori2. Dacă descrierea este făcută în teimenii unei gramatici de tip structural, vom spune că [sau2j on2] sînt două ,,variante” ale aceleiaşi conjuncţii (disjunctive): /Dis/. în ambele cazuri, o regulă de tipul RA 3 so va referi la elementul Dis sau /Dis/ şi nu direct la conjuncţiile reale sau, ori. 6°. în logica propoziţiilor, conectorii 4 A’ şi iV' stau numai între două propoziţii. în limbajul natural, conjuncţiile şi, sau pot lega nu numai propoziţii, ci şi constituenţi ai propoziţiilor. Se poate observa că definiţia ,,logică” a sensului copulativ (şij) şi a sensului disjunctiv ,,cu valoarea copulativă” (sau2) este posibilă în cazurile în care şil9 sau2 leagă propoziţii. în situaţiile în care cele două conjuncţii leagă constituenţi ai unor propoziţii (= părţi de propoziţie) raportul exprimat de cele două conjuncţii nu mai poate fi definit decît în mod indirect. Construcţiile cu constituenţi coordonaţi (prin şily sau2) au, de obicei, aceeaşi semnificaţie cu construcţiile corespunzătoare în care cele două conjuncţii leagă între ele propoziţii. De exemplu, construcţia (21) Ion şi1 Gheorghe se plimbă. are aceeaşi semnificaţie cu fiaza (22) Ion se plimbă Gheorghe se plimbă. după cum propoziţia (23) Ion sau2 Gheorghe se plimbă are aceeaşi semnificaţie cu fraza (24) Ion se plimbă sau2 Gheorghe se plimbă. Dacă lucrurile stau a şa, putem formula o regulă de forma; 8 — 1. Regulă de adevăr* Fie x — y — z, x — w — z două propoziţii oarecare, unde y şi w sînt consti- 69 tuenţi de acelaşi tip, iar x — z reprezintă „restul” propoziţiilor respective (x poate fi nul sau 2? poate fi nul, dar nu ambele). a. Dacă fraza x — y — z x — w — z. este adevărată, atunci propoziţia x — y w — 2 este, de asemenea, adevărată; reciproca nu este valabilă. b. Dacă fraza x — y — z sau2 x — w — z este adevărată, atunci propoziţia x — y sau2 w — z este, de asemenea, adevărată; reciproca nu este valabilă. După cum se observă, ambele puncte (a, b) ale regulii 8—1 conţin formularea „reciproca nu este valabilă”. Această restricţie are în vedere cazurile în care adevărul unei construcţii de forma Lx — y ş\± w — z’ ori — y sau2 w — z’ nu poate fi dedus din adevărul frazelor corespunzătoare. De exemplu, adevărul unei propoziţii ca (25) Ion şi± Gheorghe cîntă la pian la patra mîini. nu poate fi condiţionat de adevărul unei fraze ca (26) Ion cîntă la pian la patru mîini şîx Gheorghe cîntă la pian la patru mîini. care nu poate fi niciodată adevărată (în cazul în care propoziţiile din (26) se referă exclusiv la Ion şi Gheorghe). Sau, dacă este adevărată (în cazul în care propoziţiile din (26) se referă „implicit” la Ion şi altcineva, respectiv la Gheorghe şi altcineva), atunci este adevărată şi în alte condiţii decît cele în care (25) este adevărată (anume, cînd fiecare dintre cei doi cîntă la patru mîini cu o persoană diferită de celălalt). § 9. Descripţii de stare (lumi posibile). La începutul § 6 arătam că, în legătură cu o propoziţie anumită, să spunem a, există două stări posibile ale universului : a) aceea în care a este adevărată, deci acea stare a universului în car£ condiţia de adevăr a propoziţiei a este satis- 70 făcută, şi b) aceea în care a este falsă, deci acea stare a universului în care condiţia de adevăr a propoziţiei a nu este satisfăcută. Dacă sensul propoziţiei a este cel specificat în § 2 (1'), atunci putem spune că acea stare a universului în care a este adevărată (adică avem V(a) = 1) este starea în care Ion doarme, deci starea care „conţine” adevărul propoziţiei a. Prin urmare, dacă vrem să specificăm într-un fel această stare de lucruri, nu avem decît să spunem „starea în care a”. Să vedem acum cum se poate specifica starea de lucruri în care a este falsă (adică avem V{a) = 0). Starea în care a este falsă este starea în care Ion nu doarme. Dar, conform cu BA 1 (cf. 7—2), dacă a este falsă în acea stare a universului în care Ion nu doarme, atunci, exact în această stare a lucrurilor ~a este adevărată (F(^a) = 1). Prin urmare, în cazul în care vrem să specificăm într-un fel starea de lucruri în care a este falsă, nu avem decît să spunem „starea în care ~a”. în sensul acesta, spunem că a, pe de o parte, ~ay pe de altă parte, reprezintă două descripţii de stare sau două lumi posibile. Întrucît, în logica bivalentă (cf. § 6 prima observaţie) nu există pentru o propoziţie dată decît două alternative : aceea de a fi adevărată sau aceea de a fi falsă, spunem că, în raport cu o propoziţie dată, există două şi numai două descripţii de stare (lumi posibile) care se pot specifica : a şi ~a. Se poate observa cu uşurinţă (cf. 6 — 1 şi 7—2, BA 1) că cele două descripţii de stare, a şi ~a, sînt mutual exclusive. O urmare firească a relaţiei de excluziune reciprocă a descripţiilor de stare a şi ~a este faptul că una şi numai una dintre descripţiile de stare reprezintă starea reală a universului (sau : dintre toate lumile posibile — în cazul nostru două lumi posibile — una şi numai una reprezintă lumea reală). Pentru a pune în evidenţă relaţia dintre conceptul de „valorizare” şi acela de „deFciipţie de stare” (?au „lume 71 posibilă”) în sensul explicat mai sus, vom construi matricca de adevăr a expresiilor p, q, ~py ~q : p 3 ~p ~î V1 1 1 0 0 V2 1 0 0 1 V" 0 1 1 0 V4 0 0 1 1 Dacă din (27) vom extrage expresiile care au valoarea 1 în raport cu cele 4 valorizări posibile, obţinem : (27') yi: ; V2: ; F4: <~p, — a). Dacă vom face acelaşi lucru pentru expresiile jo, q, r, vom obţine : î> r .—q V1 1 1 1 0 0 0 V2 1 1 0 0 0 1 yj 1 0 1 0 1 0 V4 0 1 1 1 0 0 V5 0 0 1 1 1 0 v« 0 1 0 1 0 1 V7 1 0 0 0 1 1 V» 0 0 0 1 1 1 72 şi : (28') V1 : (p, q, r) ; F2: (p, q, ~r> ; F? ; F4: <(jf, r, ~p>; F5 : ; F6 : ; F7 : , ~r>; F8 : ■—'**) Întrucît fiecare din membrii claselor de propoziţii enumerate sub (27') şi (28') are valoarea 1 pentru valorizarea notată în stînga, deci sînt adevărate (pentru valorizarea respectivă), spunem că aceste clase de propoziţii (enumerate sub (27') şi (28')) sînt descripţii de stare (lumi posibile), construite cu ajutorul propoziţiilor p, q (pentru (27')) şi p, q, r (pentru (28')). Pe baza consideraţiilor de mai sus, putem da următoarea definiţie mai exactă conceptului de ,,descripţie de stare” („lume posibilă”). 9 — 1. Definiţie. Fie K = (plt p2,... pB) o clasă de propoziţii simple; fie K' o clasă de propoziţii. K' este o descripţie de stare (lume posibilă) (în raport cu K) dacă şi numai dacă, pentru orice Pi (1 < i < n), următoarele condiţii sînt satisfăcute : 1° pi € K’ sau ~Pi e K' dar nu amîndouă; 2° pi e K' dacă şi numai dacă V(p{) = 1; sau e K' dacă şi numai dacă F(-~pj) = 1. Pe baza consideraţiilor precedente şi a definiţiei 9—1 se poate stabili următoarea propoziţie: 9—2. Propoziţie. Fie K = (j>x, p2, ..., 2>„) o clasă de propoziţii simple; fie Fk clasa valorizărilor posibile ale clasei K şi fie K[ = P A q (P, ~2> P A~2 (Q,~P> q A ~2> A ~) V (~î> A ~î) 1 1 0 0 1 0 o 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 î 0 1 0 0 1 1 0 0 0 ... 1 i 2 3 4 5 6 7 ' 8 ' 9 75 Explicaţii. Valorile din coloana 9 se calculează prin compararea coloanelor 5—8; se înscrie pe fiecare rînd valoarea i, deoarece, conform cu 7—2 RA 3 o disjuncţie este adevărată dacă cel puţin unul din disjuncţi este adevărat. După cum se observă, în fiecare dintre coloanele 5—8 există (într-un rînd oarecare) cifra 1. Matricea (30) ne permite să stabilim următoarea teoremă : 9—6* Teoremă. Disjuncţia formelor conjunctive ale tuturor descripţiilor de stare care se pot construi pe baza unei clase K de propoziţii este totdeauna adevărată. § 10. Interpretarea lingvistică a conceptului de „descripţie de stare”. Dacă ne propunem să dăm o interpretare li&gvistică noţiunii de „descripţie de stare” („lume posibilă”) nu trebuie să facem altceva decît să avem în vedere nu propoziţii simple ale unui limbaj logic (de felul celui avut în vedere în § 9), ci propoziţii simple afirmative ale limbajului natural (de felul celor menţionate în § 2). în raport cu o propoziţie ca (1) (cf. § 2), există două stări posibile ale universului: aceea în care (1) este adevărată şi aceea în care (1) nu este adevărată (cf. şi mai sus §§ 6, 9'). Folosind modul de a raţiona din § 9, putem spune că propoziţia (1) Ion doarme „descrie” prima stare posibilă a universului, în timp ce propoziţia (1") Ion nu doarme descrie cea de a doua stare posibilă a universului. Observaţie. Cînd spunem că (1) descrie o stare posibilă a universului, nu avem în vedere o descriere „completă” a lumii: aceasta ar necesita un număr probabil infinit de propoziţii şi, în acest sens, o descriere a stării de fapt a lumii ar fi practic irealizabilă. Avem în vedere numai o descriere parţială a lumii, anume o descriere în care sin^ gurul element relevant este considerat „adevărul” propoziţiei (1), deci faptul sau starea la care se referă propoziţia (1). în mod analog, cînd spunem că (1") descrie o altă stare posibilă a universului, avem în vedere tot o descriere T6 parţială, anume descrierea în care singurul element relevant este considerat „adevărul” propoziţiei (1"), deci faptuKla care se referă (1"). Termenul „descripţie de stare” trebuie înţeles ca o prescurtare a formulării mai exacte „descriere parţială de stare”. Fiind dată propoziţia (1), deci o clasă de propoziţii afirmative care conţine un singur element (propoziţia (1)), se poate construi (prin aplicarea negaţiei la propoziţia (1)) o a doua descripţie de stare. Propoziţiile (1) şi (1") reprezintă clasa tuturor descripţiilor de stare (sau a tuturor lumilor posibile) care se pot construi pe baza propoziţiei (1): în cazul în care avem în vedere un număr mai mare de propoziţii asertive simple, clasa tuturor descripţiilor de stare (a lumilor posibile) care se pot construi pe baza acestor propoziţii se obţine printr-o serie de combinaţii între aceste propoziţii şi negaţiile lor, pe baza unui procedeu analog cu cel descris sub (27), (27') şi (28), (28') din § 9. Prin urmare, avînd în vedere propoziţiile (1), (2) din §2, pe baza lor se pot construi următoarele descripţii de stare : (31) i. ii. iii. p este adevărată şi atunci cînd facem V(p) = 7, şi atunci cînd facem V(p) = 0, aşa cum se poate vedea din matricea următoare : p p => p 1 1 0 1 Exemplul 2° : în aceeaşi situaţie este o expresie ca p :=> ~~p : p ~p 1 0 1 1 0. 1 0 1 12 3 4 E x[p 1 i c a ţ i i. Valorile din coloana 2 se obţin din 7—2 i?A 1; cele din coloana 3« din valorile înscrise în coloana 2 şi regula 7 — 2 RA 1; cele din 80 coloana 4, din comparaţia coloanelor 1 şi 3 (în această ordine) si regula 7-2 RA 4. Exemplul 3° : Fie expresia (p\/ q) = ~(^p /\ ~q). Matricea de adevăr a acestei expresii este : (36) p q —P ~q pV q X < r T (p\/q) = ~(~pA~q) 1 1 0 0 1 0 1 î 1 o 0 1 î 0 1 î 0 1 1 0 i 0 1 î 0 0 1 1 0 1 0 î 1 2 3 4 5 6 7 8 Explicaţii. V alorile din coloana 3 se obţin din valorile din 1 şi RA 1; valorile din coloana 4 se obţin din valorile din 2 şi RA 1; valorile din 5 se obţin din valorile 1, 2 şi RA 3; valorile din 6 se obţin din 3, 4 şi RA 2; cele din 7, se obţin din 6 şi RA 1; cele din 8 se obţin din 5, 7 şi RA 5. în urma celor arătate, se poate da următoarea definiţie pentru noţiunea de validitate. 11-1. Definiţie. Fie a o expresie oarecare. Fie Ffc clasa valorizărilor posibile ale clasei K de propoziţii simple constituente ale expresiei a. Expresia a este validă dacă şi numai dacă, pentru orice F, pentru care F e Fk, avem F(a) = 1^ Definiţia 11—1 arată că o expresie este validă atunci cînd F(a) =2 (adică este adevărată) pentru orice valorizare a constituenţilor ei. Se poate observa că toate expresiile din exemplele 1°—3° de mai sus sînt valide. Din definiţia 11—1 şi din propoziţia 9—2 b (care arată că fiecare dintre descripţiile de stare care se pot construi pe baza unei clase de propoziţii simple este echivalenta cu o anumită valorizare a propoziţiilor clasei respective) se poate deduce următoarea propoziţie: 11—2. Propoziţie. O expresie este validă dacă ţi numai dacă este adevărată în toate descripţiile de stare (lumile posibile). 81 Am văzut că valoarea de adevăr a oricărei expresii din logica propoziţiilor poate fi calculată cu ajutorul matri-cilor de adevăr. Întrucît procedeul de calcul are caracter mecanic (se face conform unor reguli explicite şi fixe) şi finit (se desfăşoară pe baza unui număr finit de paşi), spunem că procedeul este efectiv (Hughes & Cresswell, 1972 : 14). Întrucît o expresie validă nu este altceva decît o expresie care are valoarea 1 pentru orice valorizare a constituenţilor ei propoziţionali, urmează că, prin construirea matricii de adevăr, putem decide pentru orice expresie a logicii propoziţiilor dacă este validă sau nu. Dat fiind că există o metodă efectivă care ne permite să spunem în legătură cu orice expresie, a, dacă este validă sau nu, spunem că logica propoziţiilor este un sistem decidabil. Observaţie. Calculul cu ajutorul matricilor de adevăr nu este singurul procedeu efectiv de decizie. Pentru alte procedee, vezi Hughes & Cresswell, 1972: 11—16). Una dintre aceste metode este şi aceea prin care se stabileşte dacă o expresie, a, este sau nu este echivalentă cu disjuncţia tuturor descripţiilor de stare (în forma lor de conjuncţii) (cf. 9—6): Dacă a este echivalentă cu această disjuncţie, atunci a este validă (întrucît, conform cu 9—2, disjuncţia tuturor descripţiilor de stare (în formă conjunctivă) este totdeauna adevărată, deci validă). în cazul în care a nu este echivalentă cu această disjuncţie, a riu este validă. Pentru a putea testa validitatea unei expresii a, formulăm următoarea regulă : 11—3. Regulă de testare a validităţii. Fie a o expresie oarecare în logica propoziţiei şi Ma matricea de adevăr a acestei expresii. Expresia a este validă dacă şi numai dacă în fiecare rînd al ultimei coloane din Ma se află cifra 1; în caz contrar (= dacă în unele rînduri se găseşte cifra 2, în altele cifra 0, saji în toate rîndu-rile se găseşte cifra 0), atunci a nu este validă. 82 Yom introduce acum conceptul de “tautologie” cu ajutorul următoarei definiţii: 11—4. Definiţie. O expresie a din logica propoziţiilor este o tautologie dacă şi numai dacă a este validă în logica propoziţiilor. Teorema pe care o stabilim mai jos se demonstrează arătînd cu ajutorul matricilor de adevăr că fiecare dintre expresiile enumerate este o tautologie. 11—5.Teoremă. Următoarele expresii sînt tautologii: i° (p Vp) -=>p 2° q =>(pW q) 3° {p\J q) =>(gV P) 4° (î=r) =((j>Vg) =>(1>V*-)) 5° (p A q) => p 6° (p A q) =» q 7° (p A q) = ~ (~î>V ~ q) 8° ~(p Aq) = (~pV ~«) 9° (py q) = ~(~p/\~q) io° ~(?> v q) = (~M ~3) 11° (p =>q) = (~î>V 3) 12° (pA 3) s (3Aî>) 13° (PV«) = (3Vî>) 14° (p = q) = (q = p) 15° (p => q) = (~ q => ~ p) 16° ~ (p => q) s= (M ~ 3) 17° (p = q) = ((p =>g) A(3 =>J>)) 8$ 18° a. ~(p = q) = (p = ~q) b. ~(p = q) = (~p = q) c. ~(p = q) = ((p A ~ 3) V (3 A ~ P)) 19° a. (p => q) ((g r) => (p => r)) 6. (4 z) r) o ((p 3 q) => (p =» r)) «• ((p =>3) A (3 =>'»■)) =>(2» =>0 20° (pA(f =»«))=« 21° }) s j) 22° p = ~ ~ p 23° p =>p 24° P .-**/ r-o p 25° (p Ap) = p 26° (p V P) = P 27° p V — P 28° ~(p A ~P) 29° (p =>(q=> r)) = (q -> (p => r)) 30° (p(p r)) =a ((p Aq)^r) 31° ((p Aq) => r) => (p => (3 »•)) 32° ((p V 3) V r) s (p V (3V r)) 33° ((p A 3) A r) = (p A (3 A r)) 34° (p A (3 V r)) = ((P A3) V (P A r)) 35° (p V (3A»-)) = ((PV 3) A(PV »’)) Explicaţii. 1°. Toate expresiile din 11—5 sînt de fapt “scheme” tautologice şi nu propoziţii (complexe) tautologice, întrucît ele nu conţin decît variabile propoziţionale. Ele pot fi transformate în propoziţii prin înlocuirea variabilelor prin constante propoziţionale. Printr-o astfel de înlocuire, 1° devine: (a V a) =5 a; 2° devine : 6 => (a V &);.8° devine : ~(a/\b) = (^ a V ~ b) etc. 2°. Unele dintre tautologiile din 11 —5 au o importanţă deosebită. Vom sublinia semnificaţia cîtorva dintre acestea. — 5°, 6° arată că o conjuncţie implică pe fiecare dintre membrii ei; deci, dacă o conjuncţie este adevărată, atunci fiecare din conjuncţi este adevărat. — 7°—.10° stabilesc o serie de relaţii între conjuncţie şi disjuncţie; 7° arată că o conjuncţie este adevărată atunci şi numai atunci cînd nu este adevărat că cel puţin unul dintre conjuncţi este fals (adică este adevărată cînd ambii conjuncţi sînt adevăraţi, cf. BA 2); 8° arată că o conjuncţie nu este adevărată atunci şi numai atunci cînd cel puţin unul dintre conjuncţi nu este adevărat (cf. BA 2) \ 9° arată că o disjuncţie este adevărată atunci şi numai atunci cînd nu este adevărat că ambii disjuncţi sînt falşi (deci cel puţin unul e adevărat, cf. BA 3); 10° arată că o disjuncţie este falsă atunci şi numai atunci cînd ambii disjuncţi sînt falşi (cf. BA 3). într-un mod mai general: negaţia conjuncţiei se obţine prin înlocuirea semnului ‘/\’ prin ‘V’ Şi prefixarea negaţiei la fiecare dintre disjuncţi; negaţia disjuncţiei se obţine prin înlocuirea semnului ‘V’ priu ‘A’ Şi prefixarea negaţiei la fiecare dintre conjuncţi. Expresiile 7°, 9° se numesc “Legile lui De Morgan”, iar 8°, 10° sînt conseciuţe directe ale acestora. — Expresiile 12° — 14° exprimă caracterul simetric al relaţiilor de conjuncţie, disjuncţie şi echivalenţă. — Implicaţia nu are caracter simetric; 15° arată că 85 antecedentul şi consecventul se pot totuşi interverti, cu condiţia ca schimbarea de poziţie să fie însoţită de prefixarea negaţiei atît la antecedent cît şi la consecvent. — Expresia 16° indică o expresie echivalentă a unei implicaţii negate. — Expresia 17° arată că echivalenţa nu este altceva decît o implicaţie reciprocă a doi termeni (de aici şi numele de „bicondiţională” dat echivalenţei de unii logicieni). — Expresiile de sub 18° indică o serie de expresii echivalente ale unei echivalenţe negate. — Expresiile de sub 19° pun în evidenţă caracterul tranzitiv al relaţiei de implicaţie (mai evident în c.); aceste relaţii guvernează desfăşurarea silogismelor (de aici şi numele de ,,legile silogismului”). — în 20° se exprimă, de asemenea, o formă de raţionament (,,modus ponens”) : din p şi p implică qy urmează q. — 21° exprimă ,,legea identităţii”, iar 22° ,,legea dublei negaţii” (dubla negaţie a unei expresii este echivalentă cu expresia ne-negată). — Expresia 23° arată că orice expresie se implică pe ea însăşi, ceea ce este în perfect acord cu intuiţia noastră; 24° arată că dacă o expresie este adevărată, atunci nu este adevărată negaţia ei (cf. şi 21°)* — Expresiile 25°, 26° arată că orice propoziţie poate fi considerată ca o conjuncţie (25°) sau o disjuncţie (26°) a ei cu ea însăşi. De aici, ideea că o propoziţie singură poate fi considerată o conjuncţie sau o disjuncţie „degenerată”. — Expresia 27° exprimă ceea ce în logica artist o telică se numeşte „principiul terţiului exclus”. — în 28° se exprimă principiul „contradicţiei” : o propoziţie şi negaţia ei nu pot fi adevărate în acelaşi timp. — Expresiile 32°, 33° arată ca atît disjuncţia cît şi conjuncţia sînt asociative; pe de altă parte, 34° şi 35° pun în evidenţă proprietatea de distributi-vitate a conjuncţiei (34°) şi a disjuncţiei (35°). 86 Opusă noţiunii de „valid” este aceea de „contradictoriu”. O expresie este contradictorie atunci cînd este falsă (=are valoarea 0) pentru orice valorizare a clasei de propoziţii constituente. Definiţia exactă a unei propoziţii contradictorii este următoarea: 11— 6. Definiţie. Fie a o expresie oarecare. Fie Fk clasa valorizărilor posibile ale clasei K de propoziţii simple constituente ale expresiei a. Expresia a este contradictorie dacă şi numai dacă, pentru orice F, pentru care F e Fk, avem F(a) = 0. Paralel cu 11 —2 şi în mod asemănător se poate stabili: 11—7. Propoziţie. O expresie este contradictorie dacă şi numai dacă este falsă în toate descripţiile de stare (lumile posibile). Numim contradicţie orice expresie contradictorie. Observaţie. Termenul contradicţie se opune termenului tautologie. în legătură cu relaţia dintre validitate şi caracter contradictoriu, se poate stabili următoarea teoremă : 11—8. Teoremă. Pentru orice expresie a, din logica propoziţiilor, ~oc este contradictorie dacă şi numai dacă a este validă. Demonstraţie. Pentru a demonstra teorema 11 — 8 trebuie să demonstrăm : (i) că dacă este contradictorie, atunci a este validă şi (ii) că dacă a este validă, atunci ~a este contradictorie. Vom proceda prin reducere la absurd, pentru fiecare din cele două puncte. (i) Din enunţul teoremei : ~a este contradictorie. Presupunere i a nu este validă. Din (1), prin 11 — 6 : Pentru orice Ve Vk, (1) (2) V(~a) = 0 Din (3), prin 7—2 RAI: Pentru orice Ve Vk, V(«) = 1 Din (2), prin 11—1: Există un V e Vk, astfel încît V(a) = 0 (3) (4) (5) 87 Se poate vedea că (4), (5) sînt contradictorii, ceea ce înseamnă că presupunerea (2) duce la contradicţie. Urmează că (2) este falsă, de unde rezultă că a este validă, Q E D. * (6) (ii) Din enunţul teoremei : a este validă. (1) Presupunere: nu esle contradictorie. (2) Din (1), prin II—1 : pentru orice Ve Vk, V(a) = 1 (3) Din (2), prin 11 — 6: Există un V e Vk, pentru care V (~a) = i (4) Din (4), prin 7—2 RA 1 : Există un V e Vk, pentru care V(a) = 0 (5) Se poate vedea că (3), (5) sint contradictorii, ceea ce înseamnă că presupunerea (2) duce la contradicţie. Urmează că (2) este falsă, de unde rezultă că 0mOL este contradictorie, Q E D. (6) Date fiind cele cuprinse în 11—8, un procedeu de testare directă a caracterului contradictoriu al unei expresii nu este strict necesar. Este suficient să aducem o expresie oarecare, a, în formă negativă : ~a' şi să testăm ulterior expresia a' din punctul de vedere al validităţii: dacă a' este validă, ~ A ~?) V (9 A ~p)) (38) p 4 ,.q ~p p/\~q q/\~p (pA ~g)V V(?A ~P) (p = q) = ((p A A-?) (?A-p)) 1 1 0 0 î 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 î 0 0 0 0 î 2 3 4 5 6 7 8 9 Explicaţii. Se observă că ultima coloană (9) conţine numai cifra 0 Valorile din 3, 4 se calculează în raport cu valorile din 2, respectiv 1, pe baza regulii RA 1 (7—2). Valorile din 5 se calculează în raport cu valorile din 1, 2, pe baza regulii RA 5. Valorile din 6 se calculează pe baza valorilor din 1, 3, pe baza regulii RA 2 ; valorile din 7 se calculează în raport cu valorile din 2, 4, pe baza regulii RA 2 ; valorile din 8 se calculează în raport cu valorile din 6, 7, pe baza regulii RA 3; valorile din 9 se calculează în raport cu valorile din 5, 8, pe baza regulii RA 5. Exemplul tf°. Testarea indirectă a caracterului contradictoriu al expresiei ‘(pV?)s (~p A Expresia pe care vrem s-o testăm indirect este, după cum vom arăta imediat, negaţia expresiei ‘(pV A an’ este, de asemenea, o tautologie. b. Dacă pentru orice (1 V an’ este, de asemenea, o contradicţie. Dat fiind că toate tautologiile au, prin definiţie, valoarea 2 şi toate contradicţiile au valoarea 0, urmează că pentru oricare pereche de expresii a,, aj, dacă ambele expresii sînt tautologii, ele nu pot avea decît valoare de adevăr identică, anume F(ai) = F(<*j) = 2 (şi niciodată valori de adevăr diferite); dacă ai? dEj sînt ambele contradicţii, ele nu pot avea, din nou, decîţ valoarea de adevăr identică anume F(ofi) = F(a,j) = 0 (şi niciodată valori de adevăr diferite). Dar identitatea valorii de adevăr a două expresii reprezintă condiţia de adevăr a raportului de echivalenţă dintre cele două expresii (cf. 7—2, RA 5). Cum însă toate tautologiile au valoarea 2 şi toate contradicţiile au valoarea 0, urmează că orice expresie formată din două tautologii legate prin 4 = ’ sau din două contradicţii legate prin 4 = ’ nu 92 poate avea niciodată valoarea O (întrucît expresiile legate prin acest conector nu pot avea decît valoarea de adevăr identică). Cele arătate pot servi ca demonstraţie nefor-mală a următoarei propoziţii. 11 —13- Propoziţie, Fe oc, p două expresii oarecare din logica propoziţiilor. a. Pentru orice a şi orice p, dacă q) = (~q z3*p) «4 şi nici să facem la prima apariţie o substituţie şi la a doua alta : (~P => ?) = (~s => r). § 12. „Consecinţă logică" şi „identitate de sens”, în acest paragraf ne vom ocupa de două concepte semantice de bază : acela de ,,consecinţă logică” şi acela de ,,identitate de sens”. a. Consecinţa logică. în limbajul obişnuit, cînd spunem că B este consecinţa logică a lui A, spunem de fapt că nu există în mod logic (deci independent de datele empirice) niciodată posibilitatea ca A să fie adevărat şi B să fie fals; că, prin urmare, ori de cîte ori are loc A are şi B sau, că din adevărul lui A decurge totdeauna adevărul lui B. Se observă că a spune că B este consecinţa (logică a) lui A sau că B decurge (logic) din A nu înseamnă altceva decît a spune că nu se întîmplă niciodată ca A să fie adevărat şi B să fie fals (sau, pozitiv : ori de cîte ori A este adevărat B este, de asemenea, adevărat). Această formulare ne conduce în mod evident către condiţiile de adevăr ale implicaţiei (7—2, BA 4): dacă în loc de A, B folosim, ca în paragrafele precedente, simbolurile metalingvistice a, p pentru a desemna expresii oarecare din logica propoziţiilor, a spune că ,,nu se întîmplă niciodată ca F(a) = 1 şi F(p) = 0” înseamnă a spune că implicaţia 4a 3 p* este totdeauna adevărată, adică F(oc =3 P) = 1 pentru orice valorizare a propoziţiilor simple constituente ale acelei expresii. Or, o implicaţie care satisface o astfel de condiţie este o tautologie (cf. 11—4); sau, altfel spus, a „implică tautologic” pe p. Este evident că, dacă a => p este totdeauna adevărată, nu se poate întîmplă niciodată ca F(a) — 1 şi 7(p) = 0; prin urmare, ori de cîte ori a este adevărat, p nu poate fi decît tot adevărat, sau, din adevărul lui a,,,se deduce” sau ,,rezultă” sau ,,urmează” adevărul lui p. După cum se observă, acest mod de a înţelege ideea de ,,consecinţă logică” acoperă în mod convenabil sensul pe care această expresie îl are în limbajul uzual. Ceea ce 95 am spus pînă aici, precum şi formulările următoare nu au decît rolul de a exprima în mod exact şi neambiguu acest înţeles. Întrucît ideea de „consecinţă logică” poate fi concepută mai larg decît am făcut-o aici, în sensul că poate fi definită şi în raport cu alte limbaje logice mai complexe decît logica propoziţiilor (vezi mai jos, cap. III, IY), vom folosi termenul de implicaţie tautologică pentru a ne referi la raportul de „consecinţă logică” definit în raport cu logica propoziţiilor. Aşadar, se poate considera că termeni ca implicaţie tautologică, implică tautologic, este implicat tautologic, se referă la anumite cazuri speciale ale raportului y) ((« V P) => (« V T)) 5° (a A P) N « 6° (a A P) f= P 7° (a => P) t= ((P 3 y) => (a => y)) 8° (p => y) (= ((a = P) => (a => y)) 9° ((a => p) A (P => T)) N (a => y) 10° (a’Ar(« => P)) N P 11° a f= a 12° a f= 13° (a=> (P=>y)) 1= ((a A P) => Y) 14° ((a A P) => Y) N (“=>(P => Y)) Observaţii. 1°. Expresiile din 12—2 se referă la scheme care se implică tautologic. Pe de altă parte, pe baza acestor scheme se pot construi alte scheme, de o complexitate mai mare, prin înlocuirea variabilelor metalimbajului cu alte scheme de expresii propoziţionale, conform cu regula 11 — 14 de substituţie uniformă a variabilelor. 2°. Din faptul că 1°—14° sînt implicaţii tautologice şi sînt adevărate pentru logica propoziţiilor, urmează că oricare dintre termenii din dreapta semnului ‘t= ’ din aceste 97 expresii este o „consecinţă logică” (este „implicat tautologic”) a termenului din stînga. Prin urmare, dacă se afirmă termenul din stînga, se poate oricînd deduce că termenul din dreapta este adevărat. Aşadar, dacă se afirmă a A putem afirma oricînd a, sau putem afirma (3 (conform cu 5°, 6°). Sau : dacă facem « = ((t» o(f V «)) şi (3 = (r V %)> atunci, dacă se afirmă (w => (r V 2) A (r V z) conform cu 5° a, se poate afirma oricînd şi w ■=> (r V *)• 3°. Se poate observa că raportul de implicaţie tautologică este mai apropiat de sensul conjuncţiei dacă ... atunci din limbajul natural decît raportul de implicaţie simplă (sau „implicaţie materială”, cum i se mai spune). Aceasta deoarece, în limbajul natural, dacă ... atunci exprimă un raport la care participă de obicei şi ideea de „necesitate relativă” (§ 7 e, 4°). b. Identitatea de sens. Am arătat (cf. § 7 e 5°) că echivalenţa definită prin BA 5 (numită şi „echivalenţă materială”) nu spune altceva decît că expresiile legate prin ‘ = ’ au valoare de adevăr identică. Prin urmare, aşa cum a fost definită prin BA 5, echivalenţa a două expresii nu spune nimic cu privire la sensul expresiilor respective. Situaţia este diferită în cazul în care o echivalenţă de forma ‘a = |3’ este o tautologie: dacă ‘a = (3’ este o tautologie, atunci s (3’ nu este niciodată falsă, sau, altfel spus, niciodată nu avem F(a = (3) = 0. Dacă aceasta este situaţia, înseamnă (conform cu 7 — 2 BA 5) că niciodată nu avem F(a) = 1 şi F((3) == 0 sau invers : F(«) = 0 şi F((3) — 1 şi că totdeauna avem F(a) = F((3) = 1 sau F(oc) = F(,(3) = 0. Dacă valorile de adevăr ale lui a şi j3 sînt totdeauna identice, urmează că oc şi Ş sînt adevărate (sau false) în exact aceleaşi condiţii. Dar, conform cu 4—2, condiţia de adevăr a unei propoziţii nu este altceva decît intensiunea sau sensul propoziţiei respective, iar conform •98 cu § 7 e 6°, regulile de adevăr pentru conectori (RA 1 — 5), deci regulile care fixează condiţiile în care o expresie formată cu unul din conectorii respectivi este adevărată, nu fac altceva decît să exprime sensul (intensiunea) expresiilor respective. Urmează de aici că două expresii a, (3 care sînt adevărate (sau false) în exact aceleaşi condiţii au aceeaşi intensiune (acelaşi sens). Yom introduce în continuare semnul 4H’ pentru a desemna identitatea de sens (intensiune) dintre două expresii ale logicii propoziţiilor. Semnul 4t=)’ nu este un semn în logica propoziţiilor, ci un semn al meta-limbajului folosit pentru a vorbi despre logica propoziţiilor. O expresie ca a H p nu face o aserţiune despre lucruri, ci despre expresiile a, p. ’ * '* . ** 12—3. Definiţie. Fie a, p două expresii din logica propoziţiilor. 4oc M P’ dacă şi numai dacă 4o&>=T[?’ este o tautologie. *>1* Observaţie. în raport cu logica propoziţiilor, semnul ‘(=1’, poate fi citit 4 ... este tautologic echivalent cu .. Paralel cu 12—2, vom formula următoarea propoziţie, ţinînd seama de faptul că toate expresiile din 11—5 care nu sînt implicaţii tautologice (cf. 12—2) sînt echivalenţe tautologice : 12—4. Propoziţie. Fie a, p, y expresii oarecare în logica propoziţiilor.* Următoarele expresii sînt totdeauna adevărate pentru logica propoziţiilor : 1° (a A p) N ~ a V ~P) 2° ~(a A P) H (<■'■' « < X 3° (a V P) H ~* A - P) 4° ~ (a V P) N (~ a A ~P) 5° (a => (3) H (~ # V P) 6° («AP)N (PA«) 7° (a V P) N (p V«) 99 8° (« s p) M (P s a) 9° (a =5 p) t=l (~ P r> ^ a) 10° ~ (a => P) N (a A P) 11" (a = p) N ((« => P) A (P => «)) 12° a. ~ (a = p) N (« = P) b. ~ (a s P)H(~«= P) c. ~ (a = p) M ((a A ~P) V (PA~*)) 13° a N a 14°a^ |=J ^ r* «C 15° (« A «) N a 16° (a V«) N a 17° (a => (P => y)) N (p => (« => y)) 18° ((«V P) Vy)H (« V(P Vy)) 19° ((« A P) A y) H (« A (P A^y)) 20» (a A (P Vy)) n ((a A P) V (<* A y)) 21° (a V (P A Y)) N ((a V P) A (« V Y)) Cele arătate în 12—3 şi 12—4 sînt importante pentru că formulează exact condiţiile în care două expresii pot fi considerate ca avînd sens identic (intensiune identică): anume, cînd ele sînt tautologic echivalente (12—3) şi indică un număr de expresii care au totdeauna acelaşi sens (aceeaşi intensiune) în logica propoziţiilor (12—4). în acord cu aceste precizări, putem spune că, în cazul oricărei expresii de forma ‘a |=| p’, oricare dintre cele două expresii poate fi considerată ca „exprimînd sensul” celeilalte. Pe baza celor conţinute în 12—3, 4 se poate înţelege în mod exact în ce constă un „raport de parafrază” între două expresii, tot aşa cum se poate înţelege exact în ce constă raportul între o expresie şi „definiţia” ei: se poate arăta că definiţia unei expresii nu este altceva decît o ICO expresie al cărei sens (a cărei intensiune) este identic(ă) cu sensul (intensiunea) expresiei de definit. Tom încerca să demonstrăm acest lucru pe scurt îb rîndurile următoare. Fie a şi p două expresii oarecare în logica propoziţiilor. Vom simboliza faptul că (3 este o definiţie a lui a (sau invers) scriind a = Dfp. Se cunoaşte faptul (chiar şi din uzul lexicografic) că orice definiţie (definiens), în cazul în care este corectă, se poate substitui în orice context termenului definit (ăefi-niendum). Formulăm explicit următoarea regulă : 12—5. Substituţia reciproeă definiendum/definiens. Dacă două expresii a, (3 ale logicii propoziţiilor sînt astfel încît ‘a = DtP’> atunci (3 se poate substitui în logica propoziţiilor lui a : a / (3, şi invers, a se poate substitui lui (3: p/a în orice context, salva veritate. Să admitem acum că a = Dfp şi să presupunem câ ‘a N P’ nu este adevărată. Conform cu 11—5, 21°, putem scrie a = r(P)- A spune că a este substituibil prin [3 salva veritate înseamnă a spune că dacă V(v(a)) = 1, atunci V(y((3)) — 7 şi dacă V(y(a)) = 0, atunci V(y(j3) = = 0. Considerăm separat cele două situaţii alternative : (i) V(y(a)) -- 1, şi (ii) V(v(a)) = 0. Considerăm, în continuare, ca dale următoarele alternative posibile : (i) Prima alternativă v(r(«)) = i «MP (i) (2) V(y) = t în y(a) şi y(P). unde l este o valoare constantă, aceeaşi in y(x) şi y(p) şi facem următoarea presupunere : v(r(P)) = o. (3) (4) 102 A. Admitem că (1) rezultă din valorizarea V(y) = / şi V(a) = 1. (5) Deoarece atît în (1), cit şi în (4) avem, conform cu (3), V(y) = t, urmează că (4) nu poate rezulta decît din V(P) = 0. (6) Dar (5) : V(a) = 1 şi (6) sînt în contradicţie evidentă cu (2). B. Admitem că (1) rezultă din valorizarea V(Y) = / şi V(a) = 0. (7) Deoarece atît în (1) cît şi in (4) avem, conform cu (3), V(y) = t, urmează că (4) nu poate rezulta decît din V(P) = 1. (8) Dar : V(a) = 0 şi (8) sînt în contradicţie evidentă cu (2). (ii) A doua alternativă. Considerăm ca date V(Y(a)) = 0 (9) a H p (10) V(Y) = t în Y(a) şi y(P) unde / este o valoare constantă, aceeaşi în y(a) şi y(P) (H) şi facem următoarea presupunere: v(r(pjH(12> A. Admitem că (9) rezultă din valorizarea V(y) = t şi V(a) = 1. (13) Deoarece atît în (9) cît şi în (12) avem, conform cu (11), V(y) = i, urmează că (12) nu poate rezulta decît din V(p) = 0. (14) Dar (13) : V(a) = 1 şi (14) sînt în contradicţie evidentă cu (10). B. Admitem că (9) rezultă din valorizarea V(Y) = t şi V(a) = 0. (15) Deoarece atit în (9) cit şi în (12) avem, conform cu (11), V(y) = t, urmează că (12) nu poate rezulta decît din V(3) - 1. (16) 103 Dar (15) : V(a) = O şi (16) sînt în contradicţie evidentă ca (10). Deoarece în ambele alternative posibile, (i) şi (ii), pentru ambele revalorizări posibile ale expresiei y(a)» presupunerile (4), (12) duc la contradicţie, urmează că (4) şi (12) sînt false. Prin urmare, în cazul primei alternative trebuie să admitem ^(y(P)) — în loc de (4) (17) iar în cazul celei de a doua alternative trebuie să admitem V(y(P)) = 0 în loc de (12). (18) Din (17), (18) rezultă V(T(a)) = V(T(p)), QED. (19) O consecinţă evidentă care decurge din 12—3, 12—4, 11° şi 12—1 este cuprinsă în următoarea teoremă: 12—8. Teoremă. |=| p’ este adevărată pentru logica propoziţiilor dacă şi numai dacă t= P’ şi ‘P f= a’ sînt ambele adevărate pentru logica propoziţiilor. Teorema de mai sus arată că, în cazul în care a şi P au aceeaşi intensiune (acelaşi sens), p este o consecinţă logică a lui a şi a este o consecinţă logică a lui p. în aceste condiţii, este clar că, în cazul tuturor expresiilor de sub 12—4, membrul din dreapta semnului ‘ H ’ poate fi dedus din cel din stînga şi invers. Măi precis : dacă se afirmă P AS din aceasta rezultă (= se poate deduce), conform cu 12—4 1° şi 12-8 '—V ~ S) şi invers. Sau, dacă se afirmă ~(î> => 3) din aceasta rezultă (= se poate deduce), conform cu 12—4, 1° şi 12-8 PA ~î şi invers. 104 O consecinţă directă a felului în care a fost definită tautologia (11—4), a felului în care a fost definită contradicţia (rîndurile care urmează propoziţiei 11—7 şi 11—8), a regulilor de adevăr pentru ‘ = 5 (cf. 7 — 2 RA 5) şi a definiţiei date semnului 4 N ’ (12—3) este următoarea teoremă : 12—9. Teoremă. Fie a, p două expresii oarecare în logica propoziţiilor. Pentru orice a, p: a. Dacă a, p sînt tautologii, atunci oc 1=1 p. b. Dacă a, p sînt contradicţii, atunci a H p. Demonstraţie Pentru punctul a, considerăm ca dat faptul că a, fi sînt tautologii. (1) Facem următoarea presupunere : a |=| fi este falsă. (2) Din presupunerea (2) rezultă că a = fi nu este o tautologie. (3) Din (3) rezultă că există cel puţin o valorizare pentru care avem V(oc = fi) = 0. (4) Din (4) rezultă că există o valorizare Yj, astfel încît V(a) = 1 şi V(p) = 0 (5a) sau V(a) = 0 şi V(fi) = 1. (5b) Dar atît (5a), unde V((3) = 0, cit şi (5b), unde V(oc) = 0, contrazic datele iniţiale anume (1). Presupunerea (2) este, prin urmare, falsă, deci a |=1 fi este adevărat, QED. (0) Pentru punctul b, demonstraţia urmează exact aceiaşi paşi, cu singure deosebire că „datul” este (1') a, fi sînt contradicţii. în acest caz, (5a), (5b) contrazic acest „dat” iniţial prin faptul că, îr (5a) V(a) = h iar în (5b) V(0) = 1. Teorema 12—9 este deosebit de semnificativă, deoarece pune în evidenţă faptul că toate tautologiile au acelaşi sens (a), după cum toate contradicţiile au acelaşi sens (b) (of. şi observaţiile de sub 11—11 pp. 90—92). 103 c. Identitate de sens şi sinonimie. In special în lingvistică (ca şi în limbajul comun) între identitatea de sens şi sinonimie nu se obişnuieşte să se facă distincţie. Definiţia uzuală a raportului de sinonimie ca raport intre două forme lingvistice (eventual cuvinte) care au acelaşi sens reflectă tocmai această ,,sinonimie” între cei doi termeni. Nevoia unei distincţii între cele două concepte apare în momentul în care luăm în consideraţie unele cazuri pe care le-am putea numi ,,extreme”. Unul dintre ele ne este sugerat chiar de teorema 12—9, care spune că toate tautologiile (ca şi toate contradicţiile, dealtfel) au sens identic, sau, altfel formulat, spun acelaşi lucru. Conform cu această teoremă, sîntem obligaţi să admitem că, de exemplu, expresiile 4 ~p V^’ (11—5, 27°) şi L(p d g) d ((q => r) => (p => r)Y (11—5, 19° a) au acelaşi sens sau „spun acelaşi lucru”; conform cu uzul obişnuit, ar trebui să spunem, de asemenea, că cele două expresii sînt sinonime. Dacă ,,traducem” aceste expresii în limbajul natural înlocuind, în acelaşi timp, variabilele cu propoziţii ale limbajului natural, vom observa că este greu de admis că cele două expresii-traduceri sînt ,,sinonime” în accepţia uzuală a termenului. Pentru prima expresie vom avea, de exemplu : (39) (Ion doarme) sau2 (Ion nu doarme). Pentru a doua expresie vom avea, făcînd substituţiile pjlon doarme, q / afară plouă, r/afară e frig: (40) Dacă (Ion doarme implică faptul că afară plouă) atunci fdacă faptul că afară plouă implică faptul că afară este frig) atunci (faptul că Ion doarme implică faptul că afară este frig)). Conform cu cele arătate, ar trebui să spunem că (39) şi (40) sînt sinonime, ceea ce este greu de admis, dată fiind accepţiunea comună a termenului de sinonimie, căci este destul de clar că (39) şi (40) nu spun ,,acelaşi lucru în forme diferite” (sau ,,cu cuvinte diferite”). Această situaţie ne arată că definiţia dată pentru ,,identitatea de sens” este prea puţin restrictivă pentru a .putea fi luată ca definiţie mai exactă a ceea ce se înţelege jîîl mod obişnuit prin ,,sinonimie” sau raport de ,parafrază” între două expresii. *106 Introducerea unei definiţii mai restrictive ne-ar putea permite să realizăm o nuanţare în ce priveşte chestiunea identităţii de sens. Fără a avea pretenţia de a da o definiţie exactă a raportului de sinonimie (sau de parafrază) în logica propoziţiilor, vom enumera mai jos condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească două expresii din logica propoziţiilor pentru ca ele să poată fi considerate sinonime. 12—10. Condiţii pentru sinonimie. Fie două expresii oarecare a, (3 din logica propoziţiilor. Spunem că între a şi |3 există un raport de sinonimie (parafrază) dacă şi numai dacă următoarele condiţii sînt satisfăcute : 1°. « |=| (3 este adevărată pentru logica propoziţiilor. 2°. Nici una dintre expresiile «, (3 nu este o tautologie sau o contradicţie cu excepţia cazului în care a este identie cu (3, cînd a, (3 pot fi tautologii sau contradicţii. 3°. Constituenţii ultimi ai celor două expresii sînt identici. După cum se observă, prima condiţie stipulează identitatea de sens; a doua exclude posibilitatea ca cele c' ouă expresii să aibă sens identic pe baza faptului că sînt tautologii sau contradicţii. Altfel spus, a şi (3 sînt expresii logic nedeterminate, ceea ce înseamnă că echivalenţele sînt din categoria celor înregistrate în 12—4 sau că cele două expresii sînt obţinute una dintr-alta prin aplicarea regulii de substituire a echivalentelor (12-7). De exemplu, două expresii ca (p=>q)z>r (~P V ®) =>r pot fi considerate ca sinonime (sau ca fiind în raport de parafrază) deoarece se pot obţine una dintr-alta prin substituţia constituentului (p o q) prin (~p V 5) (sau invers), pe baza regulii 12—7 şi a propoziţiei 12—4 5°. O altă alternativă (rezultată din excluderea posibilităţii ca a şi (3 să fie tautologii) este aceea ca a şi/sau (3 107 să fie obţinute prin substituirea în 12—4 a unor expresii complexe în locul meta-variabilelor a, /}. Astfel, dacă în 12—4 5° facem substituţia ^N Vs) V r care exprimă sinonimia (raportul de parafrază) dintre V q) =>r şi Vq) Vr. Se exceptează de la restricţia prevăzută sub 2° cazurile in care expresia din stînga semnului ‘ N ’ este identică cu expresia din dreapta; aceasta înseamnă că, în cazul în care cele două expresii sînt identice, ele trebuie considerate sinonime, chiar dacă sînt tautologii. Aceasta revine la a admite că orice tautologie este sinonimă cu ea însăşi, ceea ce este în perfect acord cu intuiţia noastră. Mai mult: în cazul în care nu admitem această „excepţie”, condiţia 2° s-ar dovedi contraintuitivă, întrucît ne-ar constrînge să considerăm că nici o tautologie (sau contradicţie) nu este sinonimă cu ea însăşi. Trebuie să facem însă, în această ordine de idei, o observaţie esenţială : pentru cazul în care a este o tautologie (sau contradicţie), spunem că ‘a este sinonim cu a’ nu în virtutea faptului că a este o tautologie (sau contradicţie), ci în virtutea „principiului identităţii” : ‘as a’ este o tautologie. § 13. Validitate şi tautologie în limbajul natural. Dintre conceptele discutate în §§11, 12, o legătură evidentă şi incontestabilă cu problematica lingvistică o au conceptul de identitate de sens (§ 12 b) şi conceptul de sinonimie (sau raport de parafrază) (§ 12 c). Acesta este motivul pentru care vom începe consideraţiile din acest paragraf cu problemele legate de sinonimie. a. Sinonimia frazelor. Se pare că două fraze ca (41) Ion doarme sau2 Gheorghe citeşte (42) Ion nu doarme şix Gheorghe nu citeşte sau, într-o formă mai apropiată de vorbirea uzuală (42') Nici Ion nu doarme, nici Gheorghe nu citeşte sînt interpretate fără dificultate de un vorbitor al limbii române ca fiind într-un raport „antonimie” : frazele (42), (42') „contrazic” fraza (41). Aceasta înseamnă că negaţia 108 frazei (42) şi/sau (42') spune exact ,,acelaşi lucru” cu fraza (41), tot aşa cum o propoziţie ca Ion nu este neînsurat spune acelaşi lucru cu o propoziţie ca Ion este însurat: (43) Nu este adevărat eă (Ion nu doarme Gheorghe nu citeşte). sau (43') Nu este adevărat că (nici Ion nu doarme, nici Gheorghe nu citeşte). La fel, este foarte probabil că un vorbitor al limbii române va considera că două fraze ca (44) Nu este adevărat că (Ion doarme şix Gheorghe citeşte). Şi (45) Ion nu doarme sau2 Gheorghe nu citeşte. sau (45') Sau Ion nu doarme, sau2 Gheorghe nu citeşte spun ,,acelaşi lucru” ((44), pe de o parte, (45), (45'), pe de altă parte) sau, altfel spus, se află în raport de parafrază. în acelaşi fel, este foarte probabil că perechi de fraze ca : (46) Ion doarme şix Gheorghe citeşte. (47) Nu este adevărat că (Ion nu doarme sau2 Gheorghe nu citeşte). Şi (48) Nu este adevărat că (Ion doarme sau2 Gheorghe citeşte) . (49) Ion nu doarme Gheorghe nu citeşte. sînt interpretate ca fiind în raport de parafrază. Este foarte posibil ca relaţia de sens dintre (50) Nu este adevărat că (dacă Ion stă în casă, atunei afară este frig). Şi (51) Ion stă în casă şix afară nu este frig. să nu aibă pentru un vorbitor obişnuit un caracter de parafrază. în schimb, este foarte probabil că, în cazul în care i s-ar cere să motiveze o aserţiune ca (50), orice vorbitor va răspunde : (52) Pentru că (uneori) Ion stă în casă şix afară nu este frig. 109 Observaţie. Formularea „mai naturală” care conţine cuvîntul „uneori” se datoreşte caracterului de „necesitate” asociat de ideea de implicaţie în limbajul natural (vezi mai sus, § 7 4° b). O implicaţie necesară este o implicaţie care are loc în orice condiţii; dacă se neagă implicaţia, atunci este firesc să se specifice că expresia echivalentă cu implicaţia negată are loc uneori, adică în unele condiţii. Se poate uşor vedea că relaţiile de parafrază dintre (41) şi (43), (43'), dintre (44) şi (45), (45'), dintre (46) şi (47), dintre (48) şi (49) şi dintre (50) şi (51) corespund unor relaţii de identitate de sens de sub 12—4 şi anume celor de sub 3°, respectiv 2°, 1°, 4° şi 10°. Pe de altă parte, trebuie remarcat faptul că nimic din definiţiile gramaticale date raporturilor de disjuncţie, coordonare copulativă, raportului condiţional şi negaţiei nu permite stabilirea vreunei relaţii de sens, mai exact, stabilirea unui raport de parafrază (sau sinonimie) între fraze ca cele menţionate mai sus. Trebuie să spunem, prin urmare, că aparatul conceptual tradiţional al gramaticii este insuficient din acest punct de vedere şi inadecvat. Se pare că, în schimb, definiţii ale identităţii de sens şi sinonimiei de felul celor de sub 12—3, 10 ne pot oferi un mijloc de a exprima raporturi de parafrază de tipul celor de mai sus. Trebuie observat însă că definiţii ca 12—3, 10 se bazează în întregime pe definiţii, teoreme şi propoziţii legate de conceptul de validitate, tautologie, echivalenţă tautologică ş.a.m.d., aceasta pentru a nu aminti decît noţiunile imediat învecinate. Dacă mergem mai departe, aşa cum se impune într-un sistem deductiv, constatăm că întreaga semnificaţie a definiţiilor care ne interesează aici nu poat» fi captată decît prin raportare la noţiunile fundamentale de „adevăr”, „condiţie de adevăr”, „Eens (intensiune)”, „valorizare” etc. Din aceste observaţii rezultă două lucruri: a) Utilizarea aparatului conceptual furnizat de logica propoziţiilor în descrierea semantică a frazelor din limbile naturale nu trebuie privită ca simplă „înlocuire” a unui aparat conceptual mai vechi cu unul „mai nou” şi mai „formalizat” pentru a realiza un acord cu tendinţa de 110 formalizare manifestată în ultimul timp în majoritatea ştiinţelor umaniste. E vorba de ceva mai mult şi anume de înlocuirea unui sistem de concepte care se dovedeşte insuficient pentru descrierea anumitor realităţi semantice din limbajul natural, cu un altul, cu o capacitate explicativă mai mare, şi în ai cărui termeni aceste relaţii ar putea fi descrise în mod satisfăcător. (b) Conceptele de ,,identitate de sens” şi ,,sinonimie” („parafrază”) au fost definite în 12—3, 10 exclusiv în raport cu logica propoziţiilor şi, în consecinţă, sînt aplicabile direct numai acestui tip de limbaj logic. Mai mult: se poate spune că numai atunci cînd sînt folosite în legătură cu un astfel de limbaj, conceptele aici în discuţie au o semnificaţie exactă. Rezultă de aici că cele două concepte nu pot fi aplicate direct în studiul limbajului natural. Aceasta în primul rînd pentru motivul că noţiunile pe care cele două definiţii se bazează nu sînt nici ele aplicabile în mod direct limbajului natural: am arătat ca noţiunea de ,,regulă de adevăr” nu se poate aplica propoziţiilor simple din limbajul natural decît în anumite condiţii, specificate în § 5; dacă sensul (intensiunea) unei propoziţii nu este altceva decît condiţia ei de adevăr (cf. 4—2), urmează că sensul unei propoziţii din limbajul natural poate fi considerat ,,condiţie de adevăr” numai în măsura în care reguljile de adevăr au fost formulate explicit pentru propoziţiile limbajului natural; mai departe, conceptul de validitate poate fi definit pentru limbajul natural numai în măsura în care condiţiile de adevăr au fost definite în mod satisfăcător pentru limbajul natural. Mai departe : în definirea conceptului de validitate este implicată formularea regulilor de adevăr pentru conectori (7—2, RA 1—5). Dar conectorii limbajului natural (diversele forme de negaţie şi conjuncţiile) prezintă anumite particularităţi (cf. § 8) care trebuie avute în vedere atunci cînd se stabilesc reguli de adevăr (corespunzătoare celor din 7—2) pentru conectorii limbajului natural. Toate cele arătate aici sînt de natură să arate mai clar în ce sens se poate vorbi de o ,,adaptare” a conceptelor de validitate şi tautologie la necesităţile descrierii semantice a limbajului natural. 111 De exemplu, nu se poate spune cu precizie dacă o frază a limbii române ca (53) Gheorghe are o carte sau Ion are o broască. t este sau nu este sinonimă (în raport de parafrază) cu o frază ca (54) Nu este adevărat că (nici Gheorghe nu are o carte, nici Ion nu are o broască). If atîta timp cît nu ştim dacă cuvîntul broascădin (53) are acelaşi sens cu broască din (54) şi, prin urmare, nu ştim dacă Ion nu are o broască este sau nu este negaţia propoziţiei Ion are o broască; altfel spus, nu ştim dacă al doilea constituent al frazei (54) este identic cu al doilea constituent al frazei (53) + negaţie. în aceste condiţii, este evident că nu putem spune dacă (53) şi (54) sînt sau nu adevărate în exact aceleaşi + condiţii, adică nu putem spune dacă (53) şi (54) au sau nu au acelaşi sens. Pe de altă parte, nu putem spune dacă cele două fraze sînt sau nu sînt sinonime pentru simplul motiv că nu ştim dacă sau din (53) este inclusiv (sau2 din § 8, 4°) ori exclusiv (saux din § 8, 4°). Este evident că (53), (54) sînt sinonime numai în măsura în care în (53) avem a face cu < un sau2 (inclusiv). Este evident că asupra existenţei unui raport de sinonimie între cele două fraze nu se poate decide în sensul definiţiilor 12—3, 10 decît după ce atît propoziţiile simple, cît şi conjuncţiile au fost în mod explicit dezar\biguizate. b. Raportul de consecinţă logică. Eelaţia de ,consecinţă logică’5 este mai puţin uzuală (dacă nu chiar deloc) în semantica lingvistică. Justificarea introducerii acestui concept pentru caracterizarea unor raporturi semantice între expresiile limbajului natural o vom încerca la sfîr-şitul acestui subparagraf. Pentru un moment, vom încerca să arătăm dacă şi în ce măsură acest concept, aşa cum a fost definit în 12—1, are vreo semnificaţie pentru limbajul natural. După toate aparenţele, pentru orice vorbitor care judecă în mod corect, o propoziţie ca (55) Gheorghe citeşte. va fi o „consecinţă logică” a unei fraze ca (46) (cf. mai sus, sub a). 112 La fel, o frază ca (56) Nu este adevărat eă (Ion nu citeşte). va fi considerată drept „consecinţa logică” a propoziţiei? (57) Ion citeşte. Dat fiind că limbajul natural poate fi folosit în „argumentare”, este de presupus că „legile silogismului”, aşa cum sînt exprimate în 12—2, 7°—9°, permit să se spună că (58) Dacă Ion doarme, atunci afară e frig. este „consecinţa logică” a frazei: (59) (Dacă (Ion doarme) atunci (afară plouă)) şi (dacă> (afară plouă) atunci (afară este frig)). (cf. 12—2, 9°), sau că (60) Dacă ((faptul că afară plouă) implică (faptul că afară este frig)) atunci (faptul că Ion doarme), implică (faptul că afară este frig)). este o „consecinţă logică” a frazei (61) Dacă Ion doarme, atunci afară plouă. (cf. 12-2, 7°), sau că (62) Dacă ((faptul că Ion doarme) implică (faptulf că afară plouă)) atunci ((faptul că Ion doarme) implică (faptul că afară este frig)). este o „consecinţă logică” a frazei (63) Dacă afară plouă, atunci afară este frig. (cf. 12-2, 8°). Se poate observa că, atunci cînd spunem că, de exemplu, (62) este o „consecinţă logică” a frazei (63), ne bazăm în fond pe teorema 12—2, 8° adică pe faptul că (62) este* o „transpunere” în limbaj natural (cu înlocuirea variabilelor prin propoziţii simple) a celui de al doilea constituent din 12—2, 8°, iar (63) este o „transpunere” în limbaj natural a primului constituent al aceleiaşi expresii- Stabilirea unui astfel de raport (de „consecinţă logică”) în exemplele de mai sus se justifică numai în măsura în care o „transpunere” de felul celei operate mai sus se* justifică. Şi o astfel de „transpunere”, mai departe, se justifică numai în măsura în care am definit conceptele de validitate şi de tautologie în raport cu limbajul natural. După cum am arătat sub a., însăşi definirea acestor concepte în raport cu limbajul natural este posibilă numai după ce conceptele de adevăr şi condiţie de adevăr au fost 11* definite în prealabil pentru limbajul natural şi după ce anumite conjuncţii ale limbajului natural au fost definite într-un mod analog cu conectorii din logica propoziţiilor. Dacă, în momentul de faţă, este greu de presupus că cineva ar putea să considere că problema identităţii de sens a frazelor sau problema sinonimiei (raportului de parafrază) dintre fraze este o problemă exterioară lingvisticii, este mult mai probabil ca cineva să considere că raportul de „consecinţă logică” este o problemă care nu interesează lingvistica, ci numai logica. La acest mod de a vedea se opun, credem, două serii de considerente. în primul rînd, pentru a ne menţine la un punct de vedere foarte pragmatic, putem spune că limbajul natural este utilizabil şi utilizat, printre altele, şi în argumentare, şi că argumentarea presupune ceea ce în mod obişnuit numim „coerenţă” (logică) iar această coerenţă se bazează în bună măsură, dacă nu exclusiv, pe raportul de consecinţă logică. Prin urmare, se poate spune că una dintre funcţiile deloc periferice ale limbajului se bazează şi poate fi descrisă în termenii conceptului de „consecinţă logică”. Mai mult: conceptul de „coerenţă” poate fi privit şi oarecum independent de „argumentare” ca simplu calificativ stilistic. Se spune despre un text (vorbit sau scris) că este coerent sau incoerent. Or, în momentul în care voim să explicăm cît mai exact ce înţelegem prin coerenţă, ajungem inevitabil la raportul de „consecinţă logică” (dintre propoziţii şi fraze). Să ne imaginăm un text de felul acesta : (64) Ion citeşte şi Gheorghe doarme. Este ora 11. Afară plouă, aşa cum plouă de obicei în luna noiembrie, dar Gheorghe nu doarme, fiindcă el nu doarme niciodată. Propoziţia (65) Gheorghe nu doarme. este negaţia propoziţiei (66) Gheorghe doarme. care, la rîndul ei, este consecinţa logică a frazei (67) Ion citeşte şi Gheorghe doarme. (la fel cum (55) este consecinţa logică a frazei (46)). 114 Prin urmare, în (64) este conţinută negaţia unei propoziţii care în forma afirmativă este, în acelaşi timp, consecinţa logică a unei părţi din (64) (anume fraza (67)). în plus însăşi conjuncţia (67) este în contradicţie cu consecinţa logică a propoziţiei (68) El nu doarme niciodată. In aceste condiţii, spunem că (64) este un text „incoerent”. Dacă vrem să arătăm mai exact de ce anume este incoerent sau în ce anume constă incoerenţa acestui text, trebuie să facem uz, aşa cum am făcut mai sus, de conceptul de consecinţă logică : (64) conţine negaţia unor propoziţii care sînt, în forma lor afirmativă, consecinţe logice ale altor propoziţii şi fraze din acelaşi text. în al doilea rînd, pentru a examina lucrurile dintr-un punct de vedere ceva mai teoretic: dacă acceptăm ideea că este perfect legitimă preocuparea lingvistului de a stabili dacă şi în ce condiţii două fraze au sau nu au sens iden-* tic şi/sau dacă aceste fraze sînt sinonime (sau : sînt în raport de parafrază), atunci de ce este mai puţin legitimă preocuparea lingvistului de a stabili dacă şi în ce condiţii # o expresie decurge din altă expresie? Aşa cum identitatea sau sinonimia sînt relaţii între sensuri ale expresiilor, tot aşa şi consecinţa logică nu este altceva decît tot o relaţie între sensuri ale expresiilor. Ambele relaţii se manifestă la nivelul semantic şi în limbajul natural. Prin urmare, cel care descrie semantica limbajului natural nu poate să se intereseze de una dintre relaţii, şi să o ignore pe cealaltă, pentru motivul că ar fi de natură ne-lingvistică, adică nu ar ţine de semantica limbajului natural. Dacă ne gîndim şi la faptul că identitatea de sens nu este altceva decît un raport de consecinţă logică ,,în ambele sensuri”, aşa cum arată teorema 12—9, atunci ne apare şi mai puţin justificabilă teoretic excluderea relaţiei de consecinţă logică din cîmpul de investigaţie al lingvistului^ c. Tautologiile. Conceptul de „tautologie” (ca şi cel de „contradicţie”, dealtfel) pare a fi, la prima vedere, şi mai depărtat de domeniul conceptual al lingvisticii. Aceasta cu atît mai mult cu cît avem în vedere faptul că tautologiile flînt aproape absente din vorbirea uzuală. Mai mult; în momentul în care încercăm să „transpunem” tautologiile 115 în limbaj natural (cu substituirea variabilelor propoziţionale prin propoziţii simple afirmative ale limbajului natural), obţinem, în majoritatea cazurilor, fraze-monstru care de multe ori au greu pot fi acceptate ca normale. Pentru exemplificare, se pot lua chiar fraze ca (40) sau <62), care sînt, totuşi, mai puţin depărtate decît altele de ceea ce se poate considera în mod obişnuit „fraza normală” ; care aceeaşi valoare cu constantele propozi- ţionale din logica ne-modală a propoziţiilor (cf. II § 2); 123 (b) variabile propoziţionale : p, q, r,pv p2,.. qv q2, . . ., care au aceeaşi valoare cu variabilele propoziţionale din logica ne-modală (cf. II § 2); (c) conectori: ‘^'(negaţie) ‘A’ (conjuncţie), ‘V’ (dis-juncţie), *=>’ (implicaţie), ‘ s ’ (echivalenţă), cu semnificaţia explicată neformal în II § 7( i)—(vi). Observaţie. Definiţia exactă a acestor conectori în logica modală se va da mai jos, 3—2. (d) operatori modali: *□’ şi ‘O’. Primul este operatorul de necesitate, al doilea — operatorul de posibilitate. O expresie ca ‘da’ se citeşte „a este necesar” ; o expresie ca ‘Oa’ se citeşte ,,a este posibil”. Pentru a putea construi expresii corecte în acest sistem, este nevoie să stabilim un număr de reguli de formare : 2 — 1. Reguli de formare a. Identică cu II 7 — 1 a. b. Identică cu II 7 — 16. c. Dacă a este corect formată, atunci: (i), ‘Da’ este corect formată ; (ii) ‘ O a’ este corect formată. d. Dacă a este corect formată, atunci ~ a este corect formată. Explicaţii. Pentru a., b. sînt valabile exact aceleaşi explicaţii cucele privitoare la II 7 — 1 a., b. Regula de sub c. spune că oricărei expresii corect formate din logica ne-modală i se poate prefixa unul dintre operatorii modali *□’ sau ‘O’, iar rezultatul este o expresie corect formată în logica modală a propoziţiilor. Astfel, din expresii ca p,~q, p=>q, (p\Zq)=>r (corect formate în logica propoziţiilor) se pot obţine expresii ca □ p, □ ~ qy n(p=>q), 0(p=>q), □((2>Vg)=>r), 0((pVq) =>r), care sînt corect formate în logica modală. Pe de altă parte, tot conform cu c., o expresie modală se poate obţine din altă expresie modală prin prefixarea unui operator modal: dintr-o expresie ca □/> (formată pe baza regulii c.) se pot obţine expresii ca □ □ p sau O □ p ; 124 dintr-o expresie ca Op se pot obţine expresii ca □ Op sau O Op ; din expresii ca □ Hp, □ Op, O \3p, O O P, se pot obţine, tot prin aplicarea regulii c., expresii ca □□□ pr nnop, non p, no o p etc. Cu privire la 2 — 1 d. trebuie observat că (spre deosebire de 7 — 1 ă.) pe baza acesteia, se pot forma expresii corecte prin prefixarea negaţiei atît pornind de la expresii ale logicii ne-modale (deci expresii ca ~p, ~{p=>q)r ~((P V q) =>/*), cît şi pornind de la expresii modale (deci ~Op,~Op, ~p, ~0 ~p, ~ D(p=>q), ~ O (p=>q), ^□((pVî)^), ~ 0((p Vî) =>r). în vederea discuţiei din paragrafele următoare vom introduce prin definiţie următoarele noţiuni: 2—2. Definiţie. Fie a o expresie corect formată în sistemul modal (= formată pe baza regulilor 2—1> şi M unul dintre cei doi operatori modali, 1 □’ sau ‘O’. a. a este o expresie LP dacă şi numai dacă nu conţine nici un M. b. a este o expresie modală dacă şi numai dacă conţine cel puţin un M. c. a este un constituent LP al unei expresii modale dacă şi numai dacă: (i) a este un constituent al unei expiesii modale /?; (ii) a este o expresie LP. In acord cu 2—2 a., expresii ca p, ~p, (p =>g), (p V q)'=>r sînt expresii LP. în acelaşi timp, conform cu 2—2 b., ele sînt constituenţi LP ai expresiilor \Jp o~p, □(?>=>?), 0((PVg) =>r), respectiv. Tot aşa, q, (p\J r) şi (p = q> sînt constituenţi LPai expresiilor qA □(/> =>q), (p Vr) => Qg, (P = S)A 0(q\/p), respectiv. § 3. Valorizare şi lumi posibile. în II § 6 am introdus funcţia de valorizare V, în conformitate cu care unei propoziţii p i se asocia una sau alta din valorile de adevăr incluse în clasa <1, 0>. Această asociere a unei valori se făcea în mod absolut: V(p) — 1 însemna că „p este adevărat” pur şi simplu, tot aşa cum V(p) = 0 însemna că „p este fals” pur şi simplu. în acest paragraf vom considera valorile adevărat/ fals nu în mod absolut, ci în dependenţă de, sau prin raportare la un anumit obiect w{, care aparţine unei clase de 125- obiecte W, pe care o vom numi clasă a lumilor posibile. în consecinţă, F devine o funcţie de două variabile p şi wx domeniul valorilor rămînînd acelaşi, anume <2, 0>. Vom scrie deci V(p, Wi) = 1 sau V(p, «i>i) = 0, citind ,,j> are valoarea 1 în w” şi, respectiv, „p are valoarea 0 în Wi’\ în legătură cu F formulăm următoarea regulă 3 — 1, Regulă de valorizare. Pentru orice expresie a şi orice W9 avem fie F(a, w{) = 2, fie F(a, = 0 dar nu amîndouă. La sfîrşitul acestui paragraf, vom arăta mai exact care este relaţia dintre conceptul de ,,lume posibilă”(des-cripţie de stare) aşa cum a fost definit în 9—1 şi obiectele wi9 wj ale clasei W9 a ,,lumilor posibile”. Imediat mai jos vom da regulile de adevăr pentru conectori, prin raportare la obiectele conţinute în clasa W. 3—2. Reguli de adevăr pentru conectori BA 1 [~]: V( ~a, Wi) = 1 dacă şi numai dacă F(a,Wi) = 0 ; în caz contrar, F(~a,Wi)=0. BA 2 [A]: F[(aAP), = 1 dacă şi numai dacă F(a, = F(/?, ^i) == 1; în caz contrar, F[(aAjS), w{\ = 0. BA 3 [V]: V[(oc\/P,Wi] == 1 dacă şi numai dacă: a. F(a, w{) = V(P,Wi) = 1 sau : b. F(a, w{) = 1 şi F(j8, Wi) == 0, sau : c. F(a, = 0 şi V{ft, Wi) = 1; dacă nici a., nici 6., nici c., atunci F[(«Vj8), Wi] = ii!JL 4 [s]: F[(az>p), Wj] = 1 dacă şi numai dacă: a. F(a, Wj) = V(P, w{) = 1, sau : fe. F(a, wx) = F(/J, îi?i) = 0, sau : c. F(a, Wi) = 0, F(j8, wi) = 1-j 126 dacă nici a., nici b., nici c., atunci F[(«=>0), w,]=0. BA 5 [s]: F[(otis/î), w>j] = 1 dacă şi numai dacă : a. F(a, Wi) = V(P, wO = 1, sau : b. F(a, i»,) = V(P, Wi) = 0; dacă nici a., nici 6., atunci F/(«=P), «,) = 0. Observaţie. Aceste reguli sînt perfect asemănătoare cu regulile BA 1—5 de sub II, 7—2 cu singura deosebire că în 3—1 asocierea valorii 1, sau 0 unei anumite expresii se face în raport ou o lume posibilă, wt. Pentru a putea stabili raportul dintre regulile de sub 3—2 şi conceptul de „lume posibilă” (sau : descripţie de stare) aşa cum a fost definit sub II, 9—1, vom aminti că o lume posibilă nu este altceva decît o colecţie de propoziţii cu anumite proprietăţi: (a) dacă p aparţine acestei colecţii, atunci nu aparţine, şi invers; (b) dacă p aparţine acestei colecţii, atunci V(p) = 1, şi dacă ~p aparţine acestei colecţii, atunci F(~p) = = 1 (cf. II 9-1, 1°, 2°). (c) dacă plf p2,.. -,pn aparţin acestei colecţii şi dacă q este o consecinţă logică a propoziţiilor pv p2,.. .pn, atunci q aparţine, de asemenea, acestei colecţii. Să considerăm acum obiectele wx, w2,... din mulţimea W, ca fiind lumi posibile în sensul definiţiei II, 9—1. în aceste condiţii, vom căuta să vedem ce înseamnă de fapt expresii ca V(p, Wi) = 1 sau V(p, u\) = 0. Dacă u>i este o clasă de propoziţii care este o lume posibilă şi dacă V(p, w{) = 1 spune că p este adevărat în această lume posibilă, w{, aceasta nu înseamnă altceva, conform cu II 9—1, 2°, decît că p e Wi (= propoziţia p aparţine clasei Wi). Dacă wt este o lume posibilă în sensul definiţiei II 9—1, şi dacă V{p, wt) — 0 spune că p este fals în această lume posibilă, wu aceasta înseamnă, conform cu 3—2, BA 1 127 «că V(~p, Wi) = 1. Dar, întrucît F(~p, wt) = 1 înseamnă că este adevărat în lumea posibilă aceasta nu înseamnă altceva, conform cu II 9—1 2°, decît că e Mai departe, conform cu II, 9 — 1, 1°, dacă pewh =atunci ^p^w{ (citeşte: „p nu aparţine la w”), şi dacă ~pewi9 atunci p^w{. Cele arătate pot servi ca demonstraţie neformală pentru următoarea propoziţie : 3—3. Propoziţie. Fie Wi o lume posibilă în sensul «definiţiei II 9—1. A. a. V(p, w^ = 1 dacă şi numai dacă pewt b. V(p, w^ = 0 dacă şi numai dacă ~pewi c. Wi) = 1 dacă şi numai dacă ~p e w{ d. F(~jt>, w^ = 0 dacă şi numai dacă pewx B. a. V(p, = 0 dacă şi numai dacă p^Wi b. F(~p, Wi) = 0 dacă şi numai dacă ^ wt Propoziţia de mai sus exprimă faptul că a spune că o propoziţie este adevărată într-o anumită lume posibilă echivalează cu a spune că propoziţia respectivă aparţine lumii posibile respective (3—3 A, a., c.). A spune că o propoziţie este falsă într-o anumită lume posibilă înseamnă a spune fie că (a) negaţia ei aparţine lumii posibile respective, fie că (b) propoziţia respectivă nu aparţine lumii posibile respective. După cum am arătat în II§ 9 (cf. II 9—3 a.), cu propoziţiile care aparţin unei clase de propoziţii cu n membri, se pot construi 2n lumi posibile (în sensul definiţiei II 3-1). Să presupunem că una dintre lumile posibile wv ...wn, anume w{ este lumea reală. Să presupunem că cineva face parte din starea de lucruri descrisă de w{. Bxistînd în cineva poate să-şi ,,reprezinte” o altă stare de lucruri, diferită de aceea în care există; vom simboliza această stare de lucruri (pe care cineva din w{ şi-o poate „reprezenta”) prin wj. De exemplu, trăind într-o 128 regiune în care există lupi pot să-mi reprezint, ea lume posibilă alternativă la aceea în care trăiesc, o lume în care nu există lupi. în acest sens, putem spune că lumea Wţ este accesibilă lumii wx. Mai departe : dacă Wj este accesibilă (în sensul de mai sus) lumii w{ (în care cineva există), acest cineva se poate reprezenta pe el însuşi ca existînd în Wj şi, mai departe, din reprezentîndu-şi o altă lume, wk, cu anumite caracteristici, diferite şi de acelea ale lumii wi9 şi de acelea ale lumii Wj. De exemplu, dacă este lumea în care nu există lupi şi există patru anotimpuri, lumea wk ar putea fi lumea în care nu există lupi şi nu există patru anotimpuri. Prin urmare, prin faptul că cineva se reprezintă pe sine ca existînd în lumea wk devine accesibilă lumii w-}. în aceste condiţii, cineva care există realmente în Wi îşi reprezintă o lume alternativă, wh şi, mai departe, reprezentîn-du-se pe sine ca existînd în îşi reprezintă în continuare o lume pe care şi-ar putea-o reprezenta din wh anume o lume wk. Prin urmare, cel care există în Wi îşi reprezintă o lume wk, prin intermediul unei lumi care este accesibilă lumii wi. Cele arătate se pot exprima în felul următor: dacă lumea Wj este accesibilă lumii wu şi dacă lumea wk este accesibilă lumii w^ atunci lumea wk este accesibilă lumii Wi. Spunem, în aceste condiţii, că relaţia de accesibilitate este tranzitivă. Se poate însă să nu facem presupunerea că cineva existînd realmente în wx (lumea reală) se poate reprezenta pe sine însuşi existînd într-o lume wi9 accesibilă lumii wi9 şi de acolo (din wj) reprezentîndu-şi, mai departe, o altă lume, wk. în acest caz, relaţia de accesibilitate este netranzitivă. Mai departe. Putem considera că cineva existînd în wi9 (lumea reală) îşi poate reprezenta o lume alternativă, Wj, şi că se poate reprezenta pe el însuşi în Wj. în cazul în care presupunem, în continuare, că, reprezentîndu-se pe sine în cineva îşi poate reprezenta, dinwj, lumea reală spunem de fapt că Wj este accesibilă lumii w{ şi că, invers, Wi este accesibilă lumii w^. în acest caz, relaţia de accesibilitate este simetrică. în cazul în care facem prima presu- 9 — c. 1549 129 punere, dar nu o facem şi pe cea de a doua (anume, că reprezentîndu-se pe sine în w^ cineva îşi poate reprezenta, din wh lumea reală) înseamnă că avem în vedere o relaţie de accesibilitate cu caracter nesimetric. în sfîrşit, în cazul în care presupunem că cineva exis-tînd într-o lume w{ (să spunem ca şi mai sus că w{ este lumea reală) îşi poate reprezenta această lume în totalitatea ei, spunem că Wi îşi este accesibilă ei înseşi. în acest caz, putem spune că relaţia de accesibilitate este reflexivă. în cazul în care considerăm că cineva existînd în nu este capabil în mod necesar să-şi reprezinte lumea în totalitatea ei, putem spune că relaţia de accesibilitate este nereflexivă. Observaţie. O relaţie de accesibilitate nereflexivă nu este atît de neobişnuită, cum ar părea la prima vedere. Este foarte posibil ca cineva care trăieşte în Bucureşti să nu ştie să spună dacă o propoziţie ca : în Bucureşti există o clădire cu 28 de etaje este adevărată sau falsă. Deci este foarte posibil ca cineva care există în Wi să nu aibă acces la întreaga lume w{. în consideraţiile de mai sus, pentru a oferi o bază intuitivă de înţelegere a relaţiei de accesibilitate, am făcut uz de anumite elemente anecdotice : un individ care există într-o anumită lume şi care îşi reprezintă sau nu-şi reprezintă o altă stare de lucruri alternativă; care se reprezintă pe sine într-o altă stare de lucruri etc. Lăsînd la o parte aceste consideraţii cu caracter foarte concret, putem considera o relaţie abstractă B între membrii mulţimii W a lumilor posibile. Această relaţie B o numim prin convenţie relaţie de „accesibilitate”. (Eventual ne-am putea mulţumi cu desemnarea ei cu ajutorul simbolului B.) Există mai multe posibilităţi de a defini relaţia B, pe mulţimea W, a lumilor posibile, avînd în vedere proprietăţile de (i) reflexivitate, (ii) tranzitivitate, (iii) simetrie ale acestei relaţii, posibilităţi rezultate din combinarea diferită a acestor proprietăţi: a) Putem considera că B este reflexivă : pentru orice Wi e W, WiBwi. (b) Putem considera că B este tranzitivă: pentru orice .130 Wi e W, orice WjeW şi orice wk e W, dacă WiBwj şi WjB wk, atunci B wk. (c) Putem considera că B este simetrică: pentru orice Wi e W şi orice w-s e W, dacă w-.Bwj, atunci WjB w{. (d) Putem considera că B este reflexivă şi tramitivă (deci satisface condiţiile de sub (a), (b)). (e) Putem considera că B este reflexivă şi simetrică (deci satisface condiţiile de sub (a), (c)). (f) Putem considera că B este tranzitivă şi simetrică (deci satisface condiţiile de sub (b), (c)). Este uşor de observat că, dacă B este tranzitivă şi simetrică, atunci B este şi reflexivă : dat fiind că pentru orice wh wh wk e W este adevărat că, în cazul în care WiBwi şi WjBwk, atunci wtB wk şi dat fiind că B este simetrică, atunci este adevărat şi faptul că dacă WiBwj şi WjBWi, atunci WiBWi. (g) Putem considera că B este reflexivă, tranzitivă şi simetrică (deci satisface condiţiile de sub (a), (b), (c)). Se ştie că o relaţie care satisface toate aceste trei condiţii este o „relaţie de echivalenţă”. Observaţie. Dat fiind că o relaţie B care este tranzitivă şi simetrică este, în mod necesar, şi reflexivă, urmează că o relaţie ca cea definită mai sus, sub (f), este, în acelaşi timp, şi o relaţie de echivalenţă (ca şi cea de sub (g)). (h) Putem, în sfîrşit, considera că relaţia B este nereflexivă, netranzitivă şi nesimetrică (deci nu satisface nici una din condiţiile (a), (b), (c). Pe baza relaţiei B definită într-unul din felurile menţionate sub (a) — (h) putem delimita şi considera numai o parte din clasa W. De exemplu, putem defini pe B ca sub (a) şi considera, în continuare, subclasa a clasei W, pe care o definim astfel: pentru orice Wi e W, dacă WiBwi, atunci Wi 6 Wj. Definind pe B ca sub (b), putem considera în continuare subclasa W2 a clasei W pe care o definim astfel s pentru orice wlf w-}, wk e W, dacă wt Bw$ şi WjB wk implică Wi B Wt, atunci wiy Wj, wk e W2. 131 Procedînd mai departe pe baza aceluiaşi principiu, putem obţine subclasele W3, W4,.. .,W8. § 4. Operatori modali. Cînd afirmăm o frază ca (82) Este posibil ca Ion să fie acasă. facem în fond afirmaţia că oricare ar fi starea de lucruri reală (deci fie că Ion este acasă, fie că Ion nu este acasă), există o stare de lucruri (cea reală sau alta) în care Ion este acasă. într-o formulare mai tehnică, (82) afirmă că există o lume posibilă în care propoziţia Ion este acasă este adevărată. După cum se observă, pentru a exprima sensul frazei (82) nu a fost necesar să considerăm starea reală de fapt, ci am putut să ne referim şi la alte stări de fapt decît cea reală, anume la una care, dacă nu este numaidecît cea reală, poate constitui o stare de fapt alternativă la cea reală, adică o stare reprezentabilă sau 'posibilă. Dacă starea reală este, conform cu II 9—1, o „lume posibilă”, atunci o alternativă diferită de starea reală nu este altceva decît o altă lume posibilă. Observăm, prin urmare, că, pentru a explica sensul unei fraze ca (82), nu este suficient să considerăm o singură lume posibilă (aşa cum am făcut, în II §4, pentru a explica sensul unei propoziţii simple), ci este necesar să considerăm, în mod simultan, mai multe lumi posibile. Pentru a reveni acum la limbajul logic, conform cu II 3—2, o propoziţie ca V este adevărată dacă şi numai dacă Ion doarme. In acest caz am avut în vedere o singură lume posibilă, şi anume cea reală. Considerînd, în continuare, o expresie ca ‘Oa’, va trebui să spunem, conform cu cele arătate mai sus în acest paragraf, că < O a1 este adevărată dacă şi numai dacă există o lume posibilă în care a este adevărată, deci o lume posibilă în care Ion doarme (cf. II 3—2). Sensul unei fraze ca (83) In mod necesar, Ion este student sau Ion nu este student poate fi explicat astfel: Ion este student sau Ion nu este student este adevărată totdeauna, adică în orice stare de lucruri (inclusiv, deci, starea de lucruri reală). Dat fiind că 132 ceea ce am numit aici „stare de lucruri” nu este altceva decît o lume posibilă, putem r efor mula sensul frazei (83) spunînd că Ion,este student sau Ion nu este student este adevărată în toate lumile posibile. Întîmplător, în măsura în care Ion este student sau Ion nu este student este o tautologie, afirmaţia că această frază este „adevărată în toate lumile posibile” esteşi ea adevărată. Am arătat (II, 11—2) că o expresie este validă dacă şi numai dacă ea este adevărată în toate lumile posibile, iar în II 11—4 am definit tautologia ca o expresie validă în logica propoziţiilor; acesta este motivul pentru care spunem că fraza de mai sus este adevărată în toate lumile posibile şi, prin urmare, (83) este adevărată. După cum se observă, în acest caz, pentru a exprima sensul frazei (83), deci condiţia ei de adevăr, nu a fost suficient să ne referim la o singură lume posibilă (cea reală), ici a trebuit să ne referim la mai multe, mai exact, la toate. Pentru a reveni din nou la limbajul logic, vom spune ca şi mai sus că a este adevărată dacă şi numai dacă Iob doarme (II, 3—2). Mai departe, o expresie ca ‘□a’ este adevărată dacă şi numai dacă V este adevăiată în toate lumile posibile (deci nu numai în cea reală). Întîmplător, L □ a’ nu este adevărată, întiucît a se pare că nu este adevărată în toate lumile posibile. Observaţie. în schimb, 4 □ (a V este adevărată, deoarece ‘a\J ca tautologie, este adevărată în toate lumile posibile. în cazul în care am defini conceptele de posibil (O) şi necesar (□) ca mai sus, adică „adevărat în cel puţin una din lumile posibile” şi, respectiv, „adevărat în toate lumile posibile”, am ajunge în mod necesar la concluzia că o expresie ca ‘Da5 este adevărată atunci şi numai atunci cînd a este o tautologie (întrucît, în logica propoziţiilor, numai tautologiile sînt adevărate în toate lumile posibile). Există însă şi posibilitatea de a da formulării toate lumile posibile o accepţie mai restrînsă, adică posibilitatea de a considera numai o parte din lumile posibile (care se pot descrie în termenii unei colecţii de propoziţii simple), în acest caz toate lumile posibile va însemna „toatelumile posibile din acea partea* totalităţii lumilor”. Şi aici intervine 133 rolul relaţiei R (de accesibilitate) definită în § 3. Nu vom mai vorbi pur şi simplu de „adevărat în toate lumile posibile” ci de „adevărat întoateuumileposibilejaecesibile lumii reale w”. Dar lumile accesibile lumii nu sînt altceva decît clasa constituită din acei pentru care iViRio^ este adevărată. în felul acesta, formularea „toate lumile posibile (accesibile)” îşi va modifica semnificaţia în raport cu felul în care au fost obţinute cele 8 subclase ale lui W (W1} . .., W8) la sfîrşitul §3. „Toate lumile posibile (accesibile)” poate însemna „toatelumile din W” (cînd R este numai reflexivă), sau „toate lumile din TF2” (cînd R este tranzitivă), sau „toate lumile din TF3” (cînd R este simetrică) ş.a.m.d., pînă la Ws (cînd R este nereflexivă, netranzitivă şi nesimetrică). în urma acestor consideraţii, putem să stabilim următoarele reguli de adevăr pentru expresiile formate prin prefixarea operatorilor modali. 4—1. Reguli de adevăr pentru operatori modali. Fie a o expresie oarecare. RA 1 [□] : Pentru orice a şi orice wt eW, F( □ a, w{) = = 1 dacă şi numai dacă pentru orice Wj e W, pentru care wjlwj, F(a, w^) = 1; în caz contrar, F(da, w{)=0. RA 2 [O ] : Pentru orice a şi orice e TF, F( O a, w{) = 1 dacă şi numai dacă există cel puţin un wjeTF, pentru care wxRwj, astfel încît F(oc, wj) = i; în caz contrar, F(<0> a, = 0. Date fiind consideraţiile care precedă regulile de sub 4—1, rezultă că există mai multe feluri dea defini operatorul 4 □’ (în raport cu felul în care este definită relaţia R); corespunzător acestor definiţii diferite ale opei atoiuiui ele necesitate, vom avea sisteme modale (aletftice) diferite. Conform cu diversele moduri de a defini relaţia R (menţio-natela sfîrşitul § 3(a) — (h)), vomavea cel puţin opt sisteme modale distincte. Dintre aceste sisteme, nu vom descrie în paragrafele următoare decît trei (urmîncl sistemul de desig-naţie din Hughes & Cresswell, 1972), sistemele î7, 84 şi S5. în sistemul T, relaţia R este reflexivă (cf. (a) de la sfîrşitul § 3), în 84, relaţia R este reflexivă şi tranzitivă (cf. (d) ele la 134 sfîrşitul § 3), în 85, relaţia R este reflexivă, tranzitivă şi simetrică (cf. (g) de la sfîrşitul § 3). După cum am văzut în §§ 3,4, în definiţia conceptului de „adevăr”, în sistemele modale intervine nu numai funcţia V de valorizare, ci şi relaţia R de accesibilitate şi clasa W= ..., wn..., )a lumilor posibile. Spunem că orice triplet de forma ( W, R, V ) unde: — W este o clasă de obiecte numite lumi posibile: <«>!,.. wD, ... >, — R este o relaţie definită pe mulţimea obiectelor din W, relaţie caracterizată într-unul din modurile indicate la sfîrşitul § 3 sub (a) — (h), iar — V este o funcţie de două variabile (una aparţi-nînd expresiilor corect formate în sistemul dat, cealaltă aparţinînd clasei W) ale cărei valori fac parte din clasa (1, 0} (a valorilor de adevăr) este un model (semantic). Întrucît relaţia R poate fi caracterizată, aşa cum am văzut, în mai multe feluri (cel puţin în opt feluri), vom avea cel puţin opt tipuri de modele (semantice), fiecare cores-punzînd unui sistem modal. Întrucît ne ocupăm de sistemele T, 84 şi 85, vom avea a face în paragrafele următoare cu trei tipuri de modele, asociate sistemelor descrise, anume modelul T, modelul 84 şi modelul 85. § o. Sistemul T. a. Elementele constitutive ale sistemului T. Inventarul de semne ale sistemului este cel indicat în § 2, sub (a) — (c); regulile de formare sînt cele formulate sub 2—1, regulile de adevăr sînt cele indicate în 3—1, 3—2, 4—1, regula de substituţie reciprocă definiendumjdefiniens, identică cu II 12-5. b. Modelul T şi noţiunea de „valorizare”. După cum am arătat în § 4, un model T este constituit din tripletul < W, R, V ), unde : 1°. TF este clasa lumilor posibile; 2°. R este o relaţie reflexivă definită pe clasa W; deci, pentiu orice wt e W, avem wlRwl; 3°. V este o funcţie prin intermediul căreia fiecărei expresii corect formale, a, j se asociază una dintre 135 valorile (1,0}, în raport cu un element, wh al clasei W, în conformitate c"u regulile 3 —1,3—2 şi 4—1. Dat fiind că funcţia V (de valorizare) este un element al modelului T, urmează că, în principiu, asocierea valorii 1 (adevărat) sau 0 (fals) la o expresie este dependentă de modelul T. Nu mai vorbim, deci, pur şi simplu, de „adevărat” şi/sau „fals”, ci de „adevărat în (modelul) T” sau „fals în (modelul ) T”. De fapt, specificarea „în (modelul) T” este indispensabilă numai pentru expresiile formate cu operatori modali, întrucît- relaţia R (împreună cu proprietăţile care o definesc) intervine numai în regulile de adevăr stabilite pentru această clasă de expresii (cf. 4—1). în regulile de adevăr pentru expresiile nemodalizate, relaţia B nu intervine în nici un fel (cf. 3—2). Or, după cum am arătat în § 4, singura diferenţă între cele trei modele semantice de care ne ocupăm rezidă în felul în care este definită relaţia R (reflexivă în modelul T, reflexivă şi tranzitivă în modelul 84, şi reflexivă, tranzitivă şi simetrică, în modelul S5). Prin urmare, dacă a este o expresie care nu conţine operatori modali, V(a, wt) = = 1 sau V (a, = 0 înseamnă acelaşi luciu în oricare din cele trei modele, întrucît condiţiile de adevăr ale expresiei a nu depind în nici un fel de natura relaţiei R. în schimb, dacă a are forma ‘ □ /?’, V( □ p, wt) = 1 înseamnă altceva în T decît în 84 sau 85; aceasta deoarece condiţia de adevăr a expresiei ‘ □/?’ depinde de natura relaţiei R, aşa eum arată regula RA 1 de sub 4—1 : ‘ □/?’ este adevărată în Wi dacă şi numai dacă în orice w} pentiu care avem wt Ricj, V(P, ws)=l; dar „orice w” înseamnă totalitatea membrilor subclasei Wx (a clasei TF), în cazul sistemului T, în timp ce „orice w” înseamnă totalitatea membrilor subclasei W4 (a clasei TT) sau totalitatea membrilor subclasei 1F7 (a clasei W), în cazul sistemelor 84, respectiv S5 (pentiu noţiunea de subclasă a clasei W, vezi consideraţiile finale din § 3). e. Validitate în T. în acord cu II § 11 — 1, o expresie a este validă în logica propoziţiilor dacă şi numai dacă, pentru orice valorizare V, a clasei de propoziţii care formează constituenţii ultimi ai expresiei a, avem F(a) = 1; mai pe 136 scurt : a este validă în logica propoziţiilor, dacă pentru orice valorizare avem V(ol) = 1. Ţinînd seamă de faptul că (a) în T, nu vorbim pur şi simplu de „valorizare”, ci de valorizare în raport cu o anumită lume posibilă, (cf. §3), (b) în T, funcţia V este un membru al tripletului (W, R, V) şi (c) valorizarea depinde, în cazul expresiilor modalizate, de natura relaţiei R (cf. mai sus, sub b.), urmează că, în definirea conceptului de „validitate în T”, trebuie să intervină în mod explicit raportarea la o lume posibilă şi la un model T. Dacă o expresie validă în logica propoziţiilor era o expresie adevărată în toate lumile posibile (descripţiile de stare), cf. II 11—2, în cazul în care vrem să transferăm în sistemul T conceptul de validitate şi să-l adaptăm acestui sistem, atunci trebuie să admitem în primul rînd că © expresie validă în T este o expresie adevărată în toate lumile posibile, deci în orice e W. Mai departe, dat fiind că funcţia V este un element al modelului T, urmează că trebuie să admitem, de asemenea, că o expresie validă în T nu este numai o expresie adevărată în orice wx e W, ci şi o expresie adevărată în orice w{ e W, în raport cu modelul T. în sfîrşit, ţinînd seamă de faptul că există mai multe modele T posibile în raport cu aceeaşi expresie (deoarece există mai multe valorizări posibile ale constituenţilor unei expresii în raport cu aceeaşi lume posibilă, după cum există posibilitatea ca acelaşi constituent să aibă valorizări diferite în lumi posibile diferite), urmează că, pentru a fi validă în T, o expresie trebuie să fie adevărată în raport cu orice model T. Toate condiţiile formulate mai sus sînt incluse în următoarea definiţie a validităţii: 5 — 1. Definiţie. O expresie a este validă în T dacă şi numai dacă pentr'u orice e W şi orice model T de forma (W, R, V), avem V(oc, wt) = 1. Observaţie. Pentru a face mai clară semnificaţia formulării „orice model T”, vom analiza cîteva exemple. 137 1°. Pentru o expresie ca ‘ Dp’ există următoarele modele T posibile : (i) pentru orice w, e W, pentru care WiRwh avem V(p, w,) = 1; (ii) pentru orice wjeTF, pentiu care w^wj, avem V(p, Wj) = 0 •, (iii) există un w^eW, pentru care w^Rw^ astfel încît V(p, w})=l; (iv) există un w^eW, pentru care u'( RiVj, astfel încît V(p, Wj) = 0. Conform regulii 4—1 RA 1, este clar că, în cazul (i) avem F(Q p, w,) = 2; în cazurile (ii) şi (iv) avem F( Dp, = 0; în cazul (iii) nu putem stabili dacă F(Qp, Wi) = 1 sau F(Qp, w^)= 0. Prin urmare, trebuie să spunem în acest caz că ‘Dp’ nu este validă în T deoarece nu avem F( □ p, wt) = 1 pentru orice model T (ci numai pentru modelul (i)). 2°. Pentru o expresie ca p există următoarele modele T posibile (presupunînd că W este fixat) : (i) F(_p, = 1 şi pentru orice Wj e W, pentru care WiîtWj, V(p, Wj) = 1 j (ii) V(p, Wi) = 1 şi pentru orice w} e W, pentru care w}Rwj, V(p, Wj) = 0 ; (iii) V(p, Wi)= 1 şi există un w-^W, pentru care WiRwj, astfel încît V(p, wj) — 1; (iv) V{p, Wi)= 1 şi există un W\ e W, pentru care WiRwj, astfel încît V(p, Wj) — 0 ; (v) V(p, w^ ~ 0 şi pentru orice w^eW pentru care WiRwh V(p, Wj)= 1; (vi) V(p, Wj) = 0 şi pentiu orice w}eW pentru care WiRwj, V(p, Wj) = 0 ; (vii) F( p, Wi) = 0 şi există un WjeW, pentru care w^wj, astfel încît V(p, Wj) = 1; (viii) V{p, w^ =0 şi există un Wj e W, pentru care WiRWj, astfel încît V(p, Wj) = 0. Conform cu 5—1, trebuie să spunem că p nu este validă în T, deoarece nu avem V(p, w{) = 1 pentru oricare din cele 8 modele. 138 3°. Peni iu o expresie ca p V P, al cărei constituent ultim este p, av^n exact aceleaşi modele posibile ca cele de sub 2° : (i) — (viii). Urmează să calculăm valoarea expresiei p\/ ~p în raport cu cele opt modele posibile, pe baza regulilor 3-2 BA i, 3. Pentru (i): dacă V(p, w^) —- 1, at(unci, prin BA 1, F(~ je, wt) = 0; conform cu BA 3, V[(p\/ ~p), w{\ = 1. Dat fiind că în orice u\cW, pentru care Bws, avem V(p, Wj) = 1, urmează, ca mai sus, că în orice w„ pentru care wtBwj, avem V(~p, wj)= 0. în consecinţă, în orice WjeW, pentru care wtB Wj, avem V(p\J ~p) = 1. Pentru (ii): Dacă V(p,wt) = 0, atunci, prin RA 1, F(~p, wt) = 1. Conform cu BA 3, F[(i>V r^P), Wi\=l. Dat fiind că în orice WjeW pentru care wtBw) avem V(p, ws)a= 0, urmează, ca mai sus, că în orice wt pentru careWiBwj avem l'( -—'p, m>j) = 1. în consecinţă, în orice WjeW, pentru care WiRwj, avem F[(_pV ~P), w>j] = 1-Fără a mai da raţionamentul în detaliu consemrăm, în continuare, numai rezultatele finale : Pentru (iii) : F[(^)V r^p)1 Wi)] = 1 şi există un Wj e W, pentru care w{Rwj, astfel înctt V[(p V r^P)1 w{\ = l. Pentru (iv) : F[(p V ~p), w{\—l şi există un Wj e W, pentru care WiBwj, astfel încît V[(p V ~p), = 1. Pentru (v): V[(p\/ ~p), wt] = 1 şi pentru orice Wjţ W pentru care WiltWj, V[(p\/ i^p), w{]=l. Pentru (vi): V[(p V ~p), w{\= 1 şi pentru orice Wj e W pentru care w%Bwj, V[(p V ~_p), Wj]—1. Pentru (vii) : V[(p V ~p), w^—l şi există un Wj eW, pentr® care wlBwj, astfel încît V[(p V r^P), Wj]= 1. Pentru (viii): F[(p V ^P), w,]=2 şi există un Wj eW, pentru care WiBwj, astfel încît V[(p V ~p), w{\=l. Sepoate observa eă în raport cu nici unul dintremodelele (i) — (viii) nu avem nici F[(j>V ~P), Wj] = 0, nici V[(p V ~p)} Wj]=0. Eezultă că □ (p V ~P) este adevărată în raport cu oricare din cele opt modele. d. Metodă de testare a validităţii în T. Pentiu a decide dacă o expresie a este sau nu este validă în T nu ne putem folosi de matricile de adevăr (ca în cazul expresiilor din logica propoziţiilor), deoarece, după cum am văzut, în 139 sistemele modale, există cazuri în care, pentru a stabili valoarea de adevăr a unei expresii este necesar să considerăm în mod simultan şi comparaţii mai multe lumi posibile (este vorba de valoarea de adevăr a expresiilor care conţin operatori modali). Matrioile de adevăr nu oferă posibilitatea de a ne referi în mod simultan la mai multe lumi posibile. Este necesară deci o altă metodă de testare. Putem dovedi în mod oarecum indirect că o expresie a este validă în T arătînd că presupunerea 6ă a nu este validă duce la contradicţie. Această metodă se numeşte metoda falsificării sau a reducerii la absurd. A spune că o expresie, a, nu este validă, înseamnă, conform cu 5 — 1, a spune că: există o lume wi pentru care F(oc, w{) = 0, în raport cu cel puţin unul dintre modelele posibile T, de forma . în caziil în care, făcînd ipoteza că există cel puţin o lume Wi e W, în care F(a, = 0, constatăm că pentru un model T, există un constituent, /?, al expresiei a pentru care avem într-o lume wj valorizările F(/?, w{) = 7 şi V(fijW)) = 0 (situaţie care contrazice regula 3 — 1), urmează că ipoteza că a nu este validă duce la contradicţie şi, prin urmare, este adevărată ipoteza contrară, anume că a este validă. Ceva mai sistematic, metoda falsificării poate fi descrisă după cum urmează, ca un număr definit de paşi: 5—2. Testarea validităţii în T. (i) Ipoteză: există o lume astfel încît F(a, Wi) = 0. (ii) Se acordă constituenţilor f}lr..yf}n ai expresiei a valorile prescrise prin regulile 3—2, 4—1, pentru ca F(a, = 0. în cazul în care există mai multe posibilităţi de valorizare a constituenţilor /?n> se înregistrează fiecare valorizare în mod separat. (iii) Se acordă fiecăruia dintre constituenţii yî, ..., Ym? YiYp> yî--? Y? ai expresiilor /?Jr.., respectiv pn valorile prescrise prin regulile 3—2, 4—1, pentru ca V(pu w*)=l, sau V(fil9 w*)=0 ;F(/?2, w*)=l sau F(/?2, w*)=0 ;...: F(/?u, w*) = l sau F(/?n, w*)=0, conform cu valorile acordate expresiilor /?n, 140 pe baza celor prevăzute sub (ii), pentru fiecare din valorizările înregistrate prin (ii) (w* simbolizează un element oarecare al clasei W, care urmează să fie specificat în cursul aplicării testului). în cazul în care există mai multe posibilităţi de valori-zare a constituenţilor y},Ym, Yi>-> Y», •••, YÎ>-> Y?, se înregistrează fiecare valorizare în mod separat, (iv) Procedeul se repetă pînă cînd : (a) se ajunge la cel puţin o clasă de valorizări conformă cu 3—1 ale constituenţilor ultimi ai expresiei a, sau (b) se ajunge la situaţia încarc, adoptînd oricare din valorizările posibile la un moment al procedurii, se ajunge la situaţia în care pentru un constituent oarecare, 8, al expresiei a să avem (F8, w*) = 1 şi 7(8, w*) = 0. în cazul (a) sau (b), testul se încheie. în cazul (a), spunem că a nu este validă în T (deoarece ipoteza că există un e W, pentru care F(a, w{)= = 0 poate fi admisă). în cazul (b) spunem că a este validă în T (deoarece ipoteza că există un e W pentru care V{(x.9wi) = 0 duce la contradicţie — violînd regula 3 — 1 — şi, în consecinţă, nu poate fi admisă). Exemplificăm mai departe modul de aplicare a testului de validitate 5—3. Exemplul 1°. Fie expresia ‘ \2p = ~ Ipoteză : Există o lume posibilă e TF, astfel încît F [( □ p = ~ o ~p) wj] = 0 (1) Din (1), prin 3—2 BA 5 : (a) F( Qp, w^ = 1 şi F(~ O wt) = 0 (2) sau (b) F( □ p, w{) = 0 şi F( ~ O ~ P, «?i) = 1 (3) Din (2), prin 4 — 1 EA 1 : pentru orice TF, pentru care w{Rw^ V(p, w,) = l (4) 141 Din (2), prin 3—1 RA 1: 7(<0>~î>, »i) = 1 (5) Din (5), prin 4—1 RA 2: Există nn e W, pentru care wtR wk, astfel încît V(~p,wk) = l (6) Din (6), prin 3—2 RA 1 : V(p,wk) = 0 (7) Din (4) : Dacă pentru orice Wj e W, pentru care WjRwj, avem V(p, Wj) = 1, atunci şi pentru wk avem V(p, wk) = 1 (8) Din (3), prin 4—1 RA 1: Există un m'j e W pentru care wtRwj, astfel încît V(P, u>i) = O (9) Din (3), prin 3—2 RAI: 7(0 ~2>, to,) = O (10) Din (10), prin 4—1 RA 2: Nu există nici un Wj e W, pentru care wtRwj, astfel încît V(~p,w,) = l (11) Din (11), prin 3—2 RA 1: Nu există nici un wt e W, pentru care wtRws, astfel încît V(p, Wl) = 0 (12) Din (12), prin 3—2 RA 1 : Dacă nu există nici un ws, pentru care WiRwj, astfel încît V(p, Wj) = 0, atunci, pentru orice Wj e W, avem V(p, Wj) = 1 (13) Testul se încheie după (8) şi (13), întrucît prin (8) şi (7) avem V(p, wv) = 1 şi V(p,wk) = 0, iar prin (13) şi (9) avem V(p, wj) = 2 şi V(p, Wj) 0. 142 Întrucît testul se încheie prin alternativa (b) din 5—2. spunem că ‘Qp = ~<>este validă în T. Exemplul 2°. Fie expresia ‘ □ □ p\ Ipoteză: Există o lume posibilă w{ e W, astfel încît V{{Uf = □ □!>), w]J= 0. (1) Din (1), prin 3—2, RA 4 : (a) F(Dp, w{) = 1 şi (b) v(nnp,w,) = o (2) Din (2) (b), prin 4—1, EA 1 : Există un Wje F pentru care WiRwj, astfel încît F( Op, Wj) = 0. (3) Din (3), prin 4—1, RA 1 : Există un wke W, pentru care wsRwk, astfel încît V(p, wk) = 0. (4) Din (1) (a) prin 4 — 1, RA 1 : Pentru orice Wj e W pentru care WiRwb V(p, Wj) = 1. (5) Testul se încheie după (5) întrucît se ajunge la valorizarea singurului constituent ultim, p, al expresiei iniţiale (alternativa (a)). De observat: 1° faptul că (4) şi (5) nu violează regula 3—1, întrucît V asociază propoziţiei p valori de adevăr diferite în lumi posibile diferite (‘0’ în wk şi ‘2’ în Wj); 2° din (5) nu rezultă că, în wk, p ar trebui să fie valorizat V(p, wk) = 1, deoarece, dacă ws este accesibilă lumii w{ (cf. (3)), wk nu este accesibilă lumii wh deoarece, în T, relaţia R nu este tranzitivă. Întrucît, prin testul de mai sus, s-a ajuns la o valorizare noncontradictorie a constituentului p, ipoteza (1) se poate face, ceea ce înseamnă că expresia testată nu este validă în T. e. Teoreme eu privire la validitate în T. Deoarece dispunem de o definiţie a validităţii în T şi de o metodă 143 de testare a validităţii, putem, în momentul de faţă, să stabilim un număr de teoreme privitoare la validitatea în sistemul T. Prima teoremă priveşte statutul tautologiilor în sistemul T. * 5—3. Teoremă. Fie a o expresie LP. Dacă a este o tautologie (lucru care se poate demonstra cu ajutorul matricilor de adevăr), atunci a este validă în T. Demonstraţie. Admitem, conform cu prima parte din 5—3, că oc este o tautologic şi facem următoarea Ipoteză : Există un Wi e W pentru care avem V(a, wi) = 0. (I) Conform cu II, 11 — 2, spunem că, întrucît a este o tautologie, a este adevărată în ţoale lumile posibile. (2) Din (2) rezultă că pentru orice wj e W, avem V(a, Wj) = 1 (3) Dacă pentru orice wj e W, V(a, W}) = 1, atunci şi pentru w\ e W, avem V(a, u>}) = 1 (4) Întrucît (1) contrazice pe (4), urmează că ipoteza (1) este falsă, şi, prin urmare, negaţia ei este adevărată : nu există nici un wj e W, pentru care să avem V(a, w\) = 0 (5) ceea ce înseamnă că pentru orice Wi e W, avem V(a, w{) = 1 Q E D. (6) 5—4. Teoremă. Fie a o expresie oarecare din logica propoziţiilor. Dacă a este o tautologie, atunci ‘□a’ este validă în T. Teorema 5—4 arată că orice tautologie (din logica propoziţiilor) este necesar adevărată în T. Demonstraţie. Conform primei părţi a teoremei 5—4, a este o tautologie (1) Ipoteză j ‘□a* nu este validă în T. (2) Din (2), prin 5— 1 : Există un e W, astfel încît v(n«» Mo = ° (3) Din (3), prin 4—1, RA 1 : Există un u>j e Wy pentru care RiVj, astfel încît V(a, u’j) = 0 (4) 144 Din (1), prin 5—3 : a este validă in T (5) Din (4), prin 5—1 : a nu este validă în T. (6) Se observă că (6) — rezultată din ipotfeza (2) — contrazice pe (5), care rezultă din ceea ce am admis iniţial. întrucît (2) duce la contradicţie, urmează că (2) este falsă, deci negaţia ei este adevărată : nu este adevărat că * [~1«* nu este validă în T (7) Din (7) : ‘Qa’ este validă în T, QED. (8) O consecinţă directă a teoremei 5—4 este exprimată prin următorul corolar : 5—5. Corolar. Fie a o expresie oarecare din logica propoziţiilor. Dacă a este o contradicţie atunci □ ~ a este validă în T. înainte de a merge mai departe, vom introduce prin definiţie două semne noi, anume 4-3’, semnul „implicaţiei necesare (sau logice)”, şi semnul 4 = ’, al „echivalenţei necesare (sau logice)”. 5—6. Definiţie. a. a -3 P = DfD(a 13 P) b. a = p = Dfm(a = P) Conform cu II 12—5, ‘a -3 P’ şi 4D(a =>/?)’ sînt reciproc substituibile în orice context (inclusiv în contextul nul), după cum ‘a = P’ şi 4D(a = p)’ sînt şi ele reciproc substituibile în orice context (inclusiv contextul nul).. După aceste precizări, putem stabili următoarea teoremă: 5—7. Teoremă. Următoarele expresii sînt valide în T t a) Toate tautologiile din logica propoziţiilor„ b) 1°. Dpj) 2°. □ (p zd q) => ( Up => Dql 3°. p 3 Op 4°. (p = q) => (Up = Dq) 10 - c. 1549 5°. U(p A q) = (Op A □?) 6°. D(p s q) * (p = q) 7°. np = ~<>~î> 8°. Oî> = 9°. a. □~j> =; ~\>1> b. = O c. □□jp s ~00~J) d. = ~0 0,p e. O O'—' s ~ □ Qj> f. □<> ~ p = ~ O □ g. OQ~})s~D(>y 10°. ~<>(i>V 3) s (~OfA ~Og) 11°. 0(P V î) = (Op V og) 12°. (j> -3 g) => (Oî> => Og) 13°. (DîiVn^DffVî) 14°. 0(2> A q) => (Op A Oq) 15°. (~p -3 p) = Op 16°. (p -3 ■—'p) = 17°. ((g -3 2>) A (~ q -3 ?>)) = □!> 18°. ((p -3 q) A (p -3 ~g)) = □ 19°. Qp ^ (g -3 p) 20°. =3 (P -3 q) 21°. Dp z> (Og => 0(p A g)) Pentru a demonstra teorema de mai sus, trebuie să arătăm cu ajutorul metodei descrise sub 5—2 că fiecare dintre expresiile 1° — 21° este validă în T. 146 Este necesar acum sâ arătăm semnificaţia expresiilor de sub 5—7. 1° arată că tot ceea ce este necesar este adevărat şi acum; mai exact: o propoziţie necesară, deci adevărată în toate lumile posibile, este adevărată şi în această lume (din a cărei descriere face parte si 1°). 2° exprimă într-un anumit fel proprietatea de distri-butivitate a operatorului 4 □ ' pe lîngă fiecare membru al unei implicaţii (operaţia inversă, de prefixare a operatorului 4D’ la o implicaţie în cazul în care fiecare din membrii unei implicaţii este precedat de ‘D’, nu este posibilă, deoarece 2° este o implicaţie şi nu o echivalenţă (= implicaţie bilaterală)). 3° arată că tot ceea ce este adevărat (acum şi aici) este şi posibil. 4° exprimă raportul dintre o expresie formată cu 4 = ’ si o echivalenţă în care fiecare dintre membrii constituenţi este precedat de ‘CP; dat fiind că,, prin definiţie, ‘a = (3’ nu este altceva decît □ (a = = p), prin 2° se ajunge fără dificultate la 4°. ____________ 5° exprimă proprietatea de distributivitate a operatorului *□’ pe lîngă membrii unei conjuncţii. De observat că 2° era o implicaţie, în timp ce 4° este o> echivalenţă; de aici posibilitatea de a substitui în orice context (inclusiv contextul nul) membru! din stînga membrului din dreapta, sau invers. 6° rezultă din definiţia 5—6 b. 7° oferă posibilitatea de substituire a operatorului prin 4'—'O'—’’ în orice context. Eventual sistemul T se poate constitui luînd ca termen primar (nedefinit) un singur operator, anume 4 O’, ur-mîndca4[I]’ să fie introdus prin definiţie : 4 Da = =Df~ O ~ a’; în acest caz, 7° devine o consecinţă directă a acestei definiţii, pe baza regulii II 12-6 (cf. §5 a.). Se poate proceda şi în alt mod, anume luînd ca termen primar operatorul l\39 şi introducînd prin definiţie operatorul 40’ : ‘Oa =Df în acest caz, consecinţa directă a acestei 147 definiţii va fi LOp = ~D~p’ (prin II 12—6), adică 8°, de sub 5—7. 8° vezi 7°. 9° afe. dau formele echivalente ale expresiilor modale precedate de semnul de negaţie; această formă se obţine prin înlocuirea operatorului modal negat prin perechea lui şi trecerea semnului de negaţie după operatorul înlocuit. Punctele o. — g. arată că secvenţele de operatori modali sînt guvernate de aceleaşi reguli care guvernează operatorii modali sim-pli. 10° dă echivalentul negaţiei unei disjuncţii modalizate. 11° exprimă proprietatea de distributivitate a operatorului ‘O’ în raport cu disjuncţia. 12° arată că, în cazul în care p implică în mod necesar pe q, atunci posibilitatea lui p implică faptul că q este, de asemenea, posibil. 13° arată că operatorul ‘ □’ prefixat la fiecare dintre membrii unei disjuncţii poate fi prefixat o singură dată, întregii disjuncţii. După cum se vede, 13° are ceva comun cu distributivitatea, dar nu exprimă o relaţie de distributivitate, întrucît 13° este o implicaţie şi nu o echivalentă (cf. si mai sus, sub 2°). 14° arată că semnul ‘O’ prefixat la o conjuncţie poate fi distribuit pe lîngă fiecare membru al conjuncţiei. Şi în acest caz, proprietatea exprimată are ceva comun cu distributivitatea, fără a fi însă proprietatea propriu-zisă de distributivitate, deoarece expresia este o implicaţie şi nu o echivalenţă (ca şi mai sus, sub 13°). Expresiile de sub 15°—21° exprimă anumite legi ale raţionamentului: 15° arată că dacă negaţia unei expresii implică în mod necesar expresia corespnzătoare ne-negată, atunci aceasta din urmă este necesară. Altfel spus, o afirmaţie implicată în mod necesar de propria ei negaţie are caracter necesar. 16° arată că orice expresie care îşi implică în mod necesar propria ei negaţie este necesar falsă. 148 17° exprimă faptul că o expresie care este implicată cu necesitate atît de o altă expresie cît şi de negaţia acesteia este necesar adevărată. Altfel spus : adevărul necesar este implicat cu necesitate şi de adevăr şi de fals. 18° arată că în cazul în care o propoziţie implică cu necesitate o altă propoziţie şi negaţia acesteia, atunci prima propoziţie este necesar falsă. Altfel spus : din falsul logic (= necesar) se poate deduce atît adevărul, cît şi falsul; sau : falsul implică orice. Cele exprimate de .18° reprezintă o motivare a faptului că, în momentul în care într-un sistem formal se poate deduce atît o expresie a cît şi negaţia ei, ~ a, se consideră că sistemul este contradictoriu. Cele exprimate de 17° şi 18° stau la baza următorului principiu : adevărul (necesar) este implicat şi de adevăr şi de fals, iar falsul (necesar) implică atît adevărul, cît şi falsul. 19° exprimă o consecinţă directă a principiului de mai sus, sau, mai exact a celor arătate de 17°: ceea ce este necesar adevărat este implicat cu necesitate de orice adevăr. 20° este, de asemenea, o consecinţă a principiului de mai sus, sau, mai exact-, a celor arătate de 18°: ceea ce este necesar fals implică orice adevăr. 21° arată că, în cazul în care o propoziţie este necesar adevărată, conjuncţia ei cu o altă propoziţie este posibilă, cu condiţia ca această ,,altă propoziţie” să fie, de asemenea, posibilă. Trebuie observat că expresiile de sub 5—7 (ca şi expresiile de sub II 11—5) nu sînt decît scheme valide şi nu propoziţii valide, întrucît nu conţin decît variabile propoziţionale. în cazul în care înlocuim variabilele cu constante propoziţionale, obţinem propoziţii propriu-zise valide. Se poate observa că, în T, există două categorii de expresii valide : prima este constituită din expresiile valide pe baza teoremei 5—3, adică din tautologiile logicii propoziţiilor care îşi păstrează validitatea şi în T; a doua categorie este constituită din expresii care conţin operatori 149 modali şi care se dovedesc a fi valide in urma aplicării testului de validitate în T (5—2). Prin urmare, clasa expresiilor valide în T cuprinde pe lîngă tautologiile din logica propoziţiilor şi alte expresii; altfel spus, tautologiile reprezintă o subclasă a clasei expresiilor valide în T. După cum am văzut, atît expresiile de sub II 15—5, cît şi expresiile de sub 5—2 sînt scheme valide : uimea ză deci că, pe baza acestor scheme se pot obţine alte expresii (eventual tot scheme) care se caiacterizcază tot piin faptul că sînt valide, în cazul în care înlocuim în mod unifoim variabilele prin expresii coiect foimate în T. Pentiu a realiza acest luciu este necesar să dispunem de o regulă de substituţie a variabilelor. Eegula II 11 — 14 nu poate fi transferată tale quale în T, întiucît este prea restrictivă (nu are în vedere decît tautologiile). Este deci nevoie de o adaptare a regulii II 11 —14 la sistemul T. Pentru a putea fi utilizabilă în T, regula de substituţie a variabilelor trebuie să aibă următoarea formă : 5 — 8. Regulă de substituţie a variabilelor. Fie a o expresie corect formată în Ţ şi a' o expresie obţinută din a prin substituţia uniformă a variabilelor (nu în mod necesar a tuturor variabilelor) din a piin expresii corect formate în T. Dacă a este validă în T, atunci a' este, de asemenea, validă în T. Explicaţii 1°. Calificarea „unifoimă” pe lîngă substituţie are exact aceeaşi semnificaţie cu aceea menţionată în legătură cu II 11 — 14. 2°. Pe baza regulii 5—8 se pot obţine expresii valide în T din tautologii. De exemplu, din p\/ ~ q se poate obţine : (a) : (a z> b) V ~ {a => 6); b) : (r A w) V ~ (r A w); (c) : Qp V ~Dp ; (d): Op V ~ Op ş.a.m.d. Sau din (q (pVq)) se poate obţine : (a): a => (b V «); (b) : (a => b) ^ ((c d) V (a b)); (c) : (r A w) => ((r A z) V (r A w)); 150 (d): Dp(î»V Dg); (e): Og => (p V Og); (f): Dg = (□yVD?); (g): Og => {OpVO g); (h): □ (r V #)3(gVQ(i’V «0) ş.a.m.d. 3°. Pe baza aceleiaşi reguli, se pot obţine expresii valide în T din expresii de tipul celor de sub 5—7. De exemplu, din Qp => p se poate obţine : (a) : □« = a / (b) : □ (p Aq) (p Aq); (c) : □(« V b) => (a V b); (d): □ => Vom numi, în continuare, expresie tautologic validă (în T), o expresie LP care este validă în T, sau o expresie modală obţinută prin 5—8 dintr-o expresie LP validă în T. Expresiile tautologic valide sînt valide în T exclusiv în virtutea regulilor logicii propoziţiilor şi prin aceasta se deosebesc de expresiile valide în virtutea regulilor specifice sistemului T. Paralel cu definiţia II 11— 6 a contradicţiei, vom avea următoarea definiţie a contra-validitâţii : 5—9. Definiţie. Fie a o expresie oarecare în T. Expresia a este contra~validă în T dacă şi numai dacă pentru orice wke W şi orice model T : avem V(’ şi 4s’ şi ‘ = \ g. „Consecinţă logică” şi „identitate de sens” în T* Conform cu cele arătate aici mai sus sub f. şi în II § 12, în cazul în care antecedentul şi consecventul sînt legate prin ‘-3’, consecventul poate fi considerat „consecinţă logică” a antecedentului; în mod paralel, în cazul în care două 153 expresii sînt legate prin ‘ = ’, cele două expresii trebuie considerate ca avînd ,,sens identic”. Trebuie atrasă însă atenţia asupra faptului că semnele ‘-3’ şi ‘ = ’ nu trebuie înţelese ca avînd aceeaşi semnificaţie cu semnele ‘(=’> respectiv ‘M’ introduse în II § 12. Şi aceasta din două motive principale : (i) Pentru că, aşa cum am precizat în comentariile privitoare la II 12—1 şi II 12—3, prin care au fost introduse lh= ’ şi ‘N’, cele două semne nu aparţin limbajului-obiect ci meta-limbajului; ca urmare a acestui fapt, expresiile formate cu ajutorul celor două semne nu fac aserţiuni despre lucruri, ci despre expresiile din limbajul-obiect. Spre deosebire de aceste două semne, conectorii ‘-9’ şi ‘ = ’ din T sînt semne ale limbajului T, deci ale limba-jului-obiect. în consecinţă, expresiile formate cu aceşti conectori fac aserţiuni despre lucruri şi nu despre propoziţiile limbajului obiect. (ii) Semnele ‘N ’ şi ‘M ’ sînt mai „comprehensive” decît semnele ‘-3’ şi, respectiv, ‘ = \ După cum am văzut, la N /?’ şi ‘a |=| /P sînt adevărate atunci şi numai atunci cînd ‘a =3 /T şi, respectiv, ‘a = /?’ sînt tautologii. Dar, dacă ‘a => /*’, ‘a = /?’ sînt tautologii, atunci, conform cu 5—4, ‘□ (a =3 py şi ‘□(a = /?)’ sînt valide în T. Dar cele două expresii cu operatorul 1 □’ prefixat sînt, prin definiţie (5—6), identice cu ‘a -3 /?’ şi ‘a = /?’. Aşadar, se poate spune că dacă ‘a N /?’ şi ‘a N atunci ‘a -3 /S’ şi ‘a = /?’. Pe de altă parte însă, implicaţiile şi echivalenţele tautologice nu sînt singurele implicaţii şi echivalenţe valide; în afară de implicaţiile şi echivalenţele tautologic valide în T, mai există, după cum am arătat (cf. comentariile care precedă regula 5—8), şi implicaţii şi echivalenţe a căror validitate decurge din regulile sistemului T (şi nu din caracterul lor tautologic). în această situaţie sînt toate schemele valide de sub 5—7. Ideea de „consecinţă logică” se leagă de ideea de implicaţie totdeauna adevărată (= care nu poate fi niciodată falsă), în timp ce ideea de „identitate de sens” se leagă de ideea de echivalenţă totdeauna adevărată (= care nu poate fi niciodată falsă), aşadar cele două concepte (de „consecinţă logică” şi de 154 „identitate de sens”) se leagă de ideea de validitate şi nu de aceea de tautologie. Coincidenţa dintre conceptul de „validitate” şi cel de „tautologie” reprezintă un caz particular, care se realizează numai în logica propoziţiilor. Ca urmare a consideraţiilor de mai sus, vom defini cele două concepte (de „consecinţă logică” şi de „identitate de sens”) într-un mod mai larg, independent de conceptul de tautologie şi numai în dependenţă de acela de „validitate”. Folosim, ca şi în II 12—1, 3, semnele ‘N ’ şi ‘N’ în expresii ca ‘a N J?’ sau ‘a H /?’ cu semnificaţia ,,/? este consecinţa logică a lui a”, respectiv „a şi P au sens identic”. 5—14. Definiţie. Fie a, P două expresii corect for-mjrfate în T. a. a |= p este adevărată pentru T dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută: (i) ‘a’ -9 /?’ este validă în T; sau : (ii) ‘a ^ /?’ este validă în T; b. ‘a N /?’ este adevărată pentru T dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) ‘a = /?’ este validă în T; sau: (ii) ‘a = /?’ este validă în T. Urmarea directă şi evidentă a acestei definiţii şi a teoremelor II 11—5, 5—3, 5—7 este următoarea teoremă : 5—15. Teoremă. Următoarele expresii sînt adevărate pentru T. a. (i) 1°. (a V «) 1= « 2°. P N (« VJ8) 3°. (a yp) N (P V a) 4°. (P =,y) N (a \Jp) = (a Vv) 5°. (a A P) N a 6°. (« A P) 1= P 155 n n n n n JL S; «Q. n n n JL 3 2? SI JL JL < n s; n n S! n < S y o* o" QO o* o o* O i " SQ. CCJ. < n » A JL JL n n s l » l - ^ JL JL n f ^ o « JL « QCL □ n □ O « iii n □ 8 « JL □ o JL JL n » ^—„ O <20- JL II T □ » 8 'W' # o C0 O* O* IO □ JL «a. O < x O JL 8 T «a. < » T n T - ^ -n- ii O 1 > < JL « JL 2, £. 8 < 8 9 o □ □ □ f f ? > < < ? ? S l I T I i SI < > « > « T l Si o* co Th > «“ 1 < ( SO. I I n < » » 7°. (a V fi) N (fi V «) 8°. (« a fi) H (fi = «) 9°. 10°. 11°. 12°. 13°. 14°. 15°. 16°. 17°. 18°. 19°. 20°. 21°. (ii) 1". 2°. 3°. 4°. f>°. (a = P) N (~P => ~a) ~(a => 0) H (a A ~/*) (a = P) N ((a = p) A (0 = a)) a. ~(a s /?) H (a = ~/?) b. <-~(a = /?) M (~a = P) c. ~(« s p) N ((a A ~P) V V (P A ~«)) a |=| a a H r^r^jQt (a A «) N a (a V a) N a (a => (P => y)) N (P => (a => v)) ((« V/î) Vv) N (a V (/* V r» ((a AP) A V)) N (a A (P A y)) (« A (P V 7)) N ((« A P) V V (« Ar)) (« V(0 A?) H ((« V 0) A A (« V r)) □(« A P) H (□« A □£) □(a = p) H (a = p) □a M ~ ol Oa N ~ a a. D/vaH fe. ~ Da M O ~a c. □ Qa N O ~ a 157 d. □□~a N ~OOa e. 0~al=l '-'-■□□a /• DO'—« H <—'O □ p\ ‘0(p => => ?) => (Oj> => O?)’ se pot obţine expresii ca ‘~0 3 =>?>’, respectiv, ‘D(~p V fl) 3 (QP 0 □Qp’ (cf. 5—15a(ii)3°) are acelaşi sens cu o expresie ca ‘(p =>q) =>((q=>r) =>(p =>r))T întrucît, conform cu 5—3, toate tautologiile sînt valide în T, iar cea de a doua expresie este o tautologie (cf. II 11-5 19°a). Putem scrie deci: (p => Op)H ((p => q) => ((q => r) => (p => r))). Ca şi în logica propoziţiilor, este evident că identitatea de sens nu este o condiţie suficientă (deşi necesară!) pe care două expresii trebuie să o satisfacă pentru a le considera „sinonime” sau ,,în raport de parafrază”: nu se poate considera că expresia din dreapta semnului ‘ H ’ spune cu ajutorul unor semne diferite exact acelaşi lucru pe care îl spune expresia din stînga. Nu este necesar să insistăm asupra acestui lucru, întrucît am făcut-o în II § 12 c, iar diferenţa dintre expresiile pe care le avem în vedere aici şi cele pe care le-am avut în vedere în acel paragraf nu constă decît în faptul, neesenţiaJ, că în expresiile pe care le avem în vedere aici pot interveni şi operatorii modali. Este necesară deci fixarea unor condiţii mai restrictive care să definească relaţia de „sinonimie (parafrază) în T”. Pentru formularea acestor condiţii este suficient să „transpunem” cele cuprinse în II 12—10 în sistemul conceptual folosit pentru descrierea sistemului T. 15» 5 — 19. Condiţii pentru sinonimie în T. Fie a, fi două expresii în T. între expresiile a, fi există un raport de sinonimie (parafrază) dacă şi numai dacă următoarele trei condiţii sînt satisfăcute : 1°. a N P este adevărată pentru T; 2°. Nici una dintre expresiile oc, /? nu este validă sau eontra-validă în T, cu excepţia cazului în care a este identic cu /?, cînd a şi p pot li valide sau contra-valide în T. 3°. Constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei a sînt identici cu constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei /?. Conform cu 5 — 19, expresiile din exemplul de mai sus nu sînt într-un raport de sinonimie, deoarece satisfac condiţia 1°, dar nu satisfac condiţiile 2° şi 3°. în schimb, dintre perechile de expresii legate prin M de sub 5 — 15 b., cele indicate mai jos se află în raport de sinonimie (parafrază) : cele de sub (i) şi (ii) 1° — 7° (vezi şi comentariile de sub II 12 — 10). Observaţie. Expresiile de sub 5 — 15 b (ii) 8° —11° nu sînt în relaţie de sinonimie, întrucît nu satisfac condiţia 3°. i. Raportul dintre sistemul T şi logica propoziţiilor. ^Dacă se compară sistemul T cu sistemul pe care l-am numit „logica propoziţiilor”, se constată următoarele : (i) toate elementele constitutive ale logicii propoziţiilor : constante şi variabile propoziţionale, conectori, sînt şi elemente constitutive ale sistemului T dar nu şi invers; în plus, T conţine operatorii *□’, ‘O’ precum şi conectorii ‘-3’ şi 4 = (ii) toate regulile de formare din logica propoziţiilor sînt şi reguli de formare în sistemul T, dar nu şi invers (vezi §5a) : regulile 2 — 1 a, b sînt identice cu II 7—1 a, b din logica propoziţiilor ; în schimb, 2—1 a nu este o regulă de formare în logica propoziţiilor, după cum nici 2—1 d nu este o regulă de formare în logica propoziţiilor, deoarece se referă şi la expresii formate pe baza regulii 2-1 c (care nu este o regulă în logica propoziţiilor); 160 (iii) regulile de substituţie sînt identice: regula de substituţie definiendum/definiens (cf. § 5 a şi II12—5) şi regula de substituţie uniformă a variabilelor (cf. II 11—14 şi 5—8). în plus, teorema 5—3 arată că toate tautologiile logicii propoziţiilor sînt valide în T. Întrucît tautologiile sînt, conform cu 11—4, expresii valide în logica propoziţiilor, putem spune că toate expresiile valide în logica propoziţiilor sînt şi expresii valide în T. Mai departe, se poate vedea uşor că nu orice expresie validă în T este şi o expresie validă în logica propoziţiilor. Aceasta pentru că : (a) nu orice expresie corect formată în T este şi expresie corect formată în logica propoziţiilor : nici una dintre expresiile modale din T(cf. 2—2 b) nu este o expresie corect formată in logica propoziţiilor; (b) testul de validitate pentru expresiile modale din T(5—2) nu se poate aplica în logica propoziţiilor întrucît, în aceasta din urmă, valorizarea nu se efectuează în raport cu lumile posibile. Putem formula deci următoarea teoremă (consideraţiile de mai sus pot servi ca demonstraţie neformală a acesteia). 5—20. Teoremă. Orice expresie validă în logica propoziţiilor este validă în T, dar nu orice expresie validă în T este validă în logica propoziţiilor. Fie două limbaje oarecare, Lf, Lj (logica propoziţiilor sau sistemul T pot fi considerate ca exemplificări pentru conceptul de „limbaj”, cu accepţia folosită aici). 5—21. Definiţie. Limbajul L| este inclus în limbajul Lj, sau L, este un sub-limbaj al lui Lj dacă şi numai dacă următoarele condiţii sînt satisfăcute în mod simultan: (i) inventarul de semne ale lui Lt este inclus in inventarul de semne ale lui Lj (dar, eventual, nu şi invers); (ii) toate regulile de formare ale lui Lt sînt şi reguli de formare ale lui Lj (dar, eventual, nu şi invers); (iii) regulile de substituţie sînt identice; 161 (iv) orice expresie, a, care este validă în L1? este validă în Lj, dar nu orice expresie, a, validă în ij este validă, în Li. Observaţie. în cazul particular al sistemelor discutate pînă aici, logica propoziţiilor şi sistemul T, elementele constitutive şi regulile de formare ale primului limbaj erau şi reguli constitutive şi reguli de formare ale celui de al doilea limbaj, fără ca inversa să fie adevărată; după cum vom vedea mai jos (§§ 6, 7, 8), există sisteme care au elemente constitutive perfect identice, reguli de formare perfect identice şi satisfac, în acelaşi timp, condiţiile (iii), (iv). Aşa se explică formularea ,,dar eventual nu şi invers” din formularea condiţiilor (i), (ii). Pe baza definiţiei 5—21, a observaţiilor (i) —(iii) de la începutul acestui paragraf şi a teoremei 5 — 20, putem formula următoarea teoremă : 5—22. Teoremă. Logica propoziţiilor este inclusă în sistemul T ; sau : logica propoziţiilor este un sub-limbaj al limbajului T. Pe baza definiţiei 5—21 şi a unei definiţii explicite a conceptului de „validitate” şi a relaţiilor de „consecinţă logică” (1= ) şi de „identitate de sens” (H ) se poate formula următoarea teoremă : 5—23. Teoremă. Fie două limbaje oarecare ii? ij. Dacă ii, sînt astfel încît Lx să fie inclus în (sau : ii să fie un sub-limbaj al lui ij) atunci pentru oricare două expresii a, J3 corect formate : V a. dacă ‘aJ=/T este adevărată pentru i1? atunci ‘at=(3’ este adevărată şi pentru ij (dar nu totdeauna şi invers); b. dacă ‘a|=)/r este adevărată pentru ii, atunci ‘aH/?’ este adevărată şi pentru ij, dar nu întotdeauna şi invers. Teorema 5—23 arată că relaţiile de „consecinţă logică” şi de „identitate de sens” se „transferă” din limbajul inclus în limbajul care îl include, fără ca acest transfer să fie posibil şi în sens invers, de la limbajul care include, la limbajul inclus. 162 Consecinţa imediată a teoremelor 5—22, 5—23 este următoarea propoziţie: 5—24. Propoziţie. Fie a, p două expresii oarecare în T. a. Dacă al=/? este adevărată pentru logica propoziţiilor, atunci a f= P este adevărată şi pentru T, dar nu şi invers. b. Dacă a |=| P este adevărată pentru logica propoziţiilor, atunci a N 3 este adevărată şi pentru T, dar nu ' şi invers. Propoziţia 5—24 arată că relaţiile de „consecinţă logică” şi de „identitate de sens” se pot transfera din logica propoziţiilor în sistemul T, dar nu şi invers. Lucrul acesta se poate vedea în mod concret în 5—15, unde toate expresiile din II 12—2 figurează sub a(i) şi toate expresiile din II 12—4 figurează sub b(i), dar nici una din expresiile de sub 5—15 a(ii) nu figurează în II 12—2, după cum nici una dintre expresiile de sub 5 — 15 b(ii) nu figurează în II 12-4. § 6. Sistemul S4. a. Elementele constitutive ale sistemului S4. Inventarul de semne ale sistemului 84 este identic cu cel al sistemului T (cf. §5a) la care se adaugă, ca şi în T, semnele ‘ —3 ’ şi ‘ = ’ introduse prin definiţie (cf. 5—6); regulile de formare sînt identice cu cele ale sistemului T (cf. § 5. a); regulile de adevăr sînt identice cu cele din T (cf. § 5 a.), la fel şi regulile de substituţie reciprocă definiendumldefiniens (cf. §5a) şi de substituţie a variabilelor (cf. 5—8). b. Modelul S4. Modelul 84 este constituit, ca şi în modelul T, din tripletul , unde: 1°. W este clasa lumilor posibile; 2°. B este o relaţie reflexivă şi tranzitivă definită pe clasa W; deci (a) pentru orice M,e F avem WiBwi şi (b) pentru orice w{, wn wkeW dacă WxBw^ şi WjBwk, atunci w^w*. 3°. V este o funcţie prin intermediul 'căreia fiecărei expresii corect formate, a, i se asociază una dintre valorile , avem V(oc, Wi) = i. Toate explicaţiile cu privire la expresia „orice model” date în legătură cu 5 — 1 sînt valabile şi aici. în plus, atragem atenţia asupra faptului că formularea „orice Wi e TF” raportată la un model S4 are în vedere, în ultimă instanţă, sub-clasa TF4 (aşa cum a fost definită la sfîrşitul §3). d. Metodă de testare a validităţii în S4. Validitatea în 84 se testează cu o metodă identică cu aceea descrisă sub 5—2; evident, în aplicarea testului de validitate se ţine seama de faptul că în 84 relaţia B este şi reflexivă, şi tranzitivă. Efectul caracterului tranzitiv al relaţiei 84 poate fi urmărit în testarea unei expresii care s-a dovedit a nu fi 164 validă în T, anume ‘ Qp □ [jp1 (cf. §5. d, exemplul 2°). Se va vedea că această espresie este validă în raport cu modelul 84. Fie expresia ‘ Op => □ □/>’. Ipoteză : Există un wt e W, astfel încît: F [(□*> = □□*»), wi] = 0 (1) Din (1), prin 3—2 RA 4 : (a) V(Op, W\) = 1 Şi (b) V( □ □ />, Wi) = 0 (2) Din (2) (b), prin 4—1 RA 2: Există un w^eW, pentru care w^Rwj,. astfel încît v(np,wj) = o. (3) Din (3), prin 4—1, RA 1 : Există un wk e W, pentru care WjR wk, astfel încît V(p,wk) = 0. (4) Din (2) (a) prin 4—1 RAI : Pentru orice w-, e IF, pentru care w^Rw,, v(p, = 1 (5) Din (3), (4) şi intranzitiv : wtRwk (6) Din (6), (5) : Dacă pentru orice w^eW pentru care w{ Rws avem V(p, Wj)=l, atunci şi pentru wk e W avem V(P, wk) = l (7) Testul se încheie prin alternativa (b) din 5—2, ceea ce înseamnă că formula testată este validă în 84. Obser- văm faptul că, în 84, expresia devine validă datorită paşilor (6), (7), care în exemplul 2° din §5 nu apăreau; (6), (7) sînt determinaţi tocmai de caracterul tranzitiv al relaţiei R(cf. (6)). 165 Vom arăta, în continuare, că o expresie ca ‘Oj>=>DOî>’ nu este validă în S4. Fie expresia ‘<>î> => DOi>’. Ipoteză : Există un wt e W, astfel încît: F[(Oî>=>DOp), wj = 0 (1) Din (1), prin 3—2 BA 4 : (a) V(Qp, w{) = 1 şi (b) V(\JOp, «ti =0. (2) Din (2) (b) prin 4—1 BA 1 : există un e W pentru care Riv,, astfel încît F(0 p,Wj)=0. (3) Din (3), prin 4—1 RA 2: Pentru orice wv e TF pentru care WjBwk, V(p, wk) = 0. (4) Din (2), (a) prin 4—1 BA 2: există un wj, pentru care B Wj astfel încît: ________________________F(f>, Wj) = 1.______________________(5) Testul se încheie prin alternativa (a), întrucît se ajunge la valorizarea corectă a constituenţilor ultimi ai expresiilor LP din expresia modală iniţială. Trebuie observat faptul că (4) şi (5) nu contrazic regula 3—1, deci nu sînt incompatibile: deoarece B nu este simetrică, iv, nu esie accesibilă lumii wk : deci dacă avem pentru orice wk V(p, wk) — 0, de aici nu rezultă că pentru trebuie să avem, de asemenea, V(p, w{) = 0. e. Teoreme eu privire la validitate In S4. Pentru a putea stabili o teoremă cu caracter analog teoremei 5—3, care să exprime relaţia dintre validitatea în T şi validitatea în S4, este necesar să aducem unele precizări cu privire la raporturile dintre clasa lumilor posibile asociate sistemului T şi clasa lumilor posibile asociate sistemului 84. 166 Fie, in continuare, R o relaţie definită pe clasa W = = a lumilor posibile. 6—2. Definiţie. Pentru orice wl9 e W, este o alternativă a lui dacă şi numai dacă w{Rwj. Mai departe, introducem conceptul de alternativă T a lui Wi, după cum urmează. 6—3 Definiţie. Pentru orice wi9 wt e W, W\ este o alternativă T lui wl9 dacă şi numai dacă (i) w{Rw} şi (ii) R este reflexivă (netranzitivă şi nesimetrică). O consecinţă imediată a acestei definiţii este următoarea propoziţie. 6—4. Propoziţie. Pentru orice e W, este propria sa alternativă T. Fie WT o clasă de lumi posibile definită astfel: pentru orice Wj e W, w^ e WT dacă şi numai dacă W\ este o alternativă T a lui w{. Consecinţa directă a propoziţiei 6—4 şi a definiţiei clasei WT[ este următorul corolar. 6—5. Corolar. Pentru orice w{ e W, wx e WT{, în conformitate cu definiţia dată clasei WT[dacă avem Wi Rw),WiRwk, WiRwi atunci avem wh wk, Wi ...gTFTi ; conform cu 6—4, avem şi w, e WT[. O lume posibilă Wi e W poate să aibă sau să nu aibă o alternativă T, diferită de ea însăşi, însă orice w{ e W este propria ei alternativă (6—4). Prin urmare, o clasă WT[ nu este niciodată vidă, întrucît dat fiind caracterul reflexiv al relaţiei R, WTl conţine cel puţin un singur element, anume ; în acest caz limită avem WTl = {wi}-Vom defini în continuare clasa WT a alternativelor T sau a ,,lumilorposibile T” în felul următor: fieTFxi > • • • > ^td clasele de alternative T ale lumilor posibile w19. . ., respectiv wn. 6-6. Definiţie. WT = WTl u . . . U WTn. Introducem acum noţiunea de alternativă S4 a lui w{ în felul următor : 167 6—7. Definiţie. Fie R o relaţie reflexivă; pentru orice wif wk e W, wk este o alternativă S4 a lui dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : sau : (i) WiRtvk} sau : (ii) pentru orice Wj e W, pentru care WiRwh dacă WjRwk, atunci wxRwk. Explicaţii. Conform cu această definiţie, pentru ca wk să fie o alternativă 84 la w{ este necesar şi suficient fie ca wk să fie „direct” accesibilă lumii wi7 adică să avem wiRwk (unde R este reflexivă) (condiţia (i)), fie ca wk să fie „indirect” accesibilă lumii wu prin intermediul lumii wj, adică să avem w{RWj şi WjRwk, pentru orice w, (ceea ce înseamnă că R este nu numai reflexivă, ca în (i), ci şi tranzitivă) (condiţia (ii)). Consecinţa evidentă a definiţiei 6—7 este următoarea : 6—8. Propoziţie. Pentru orice v\, wk e W, dacă wk este o alternativă T a lui wiy atunci wk este şi o alternativă 84 a lui Wi; însă dacă wk este o alternativă S4 la Wi, wk nu este şi o alternativă T la w{. Cele stabilite prin 6 — 7 au la rîndul lor următoarea consecinţă evidentă : 6—9. Propoziţie. Orice alternativă S4, wk, la u\ este şi propria ei alternativă T. Propoziţia 6—9 rezultă din faptul că relaţia R este reflexivă (cf. 6—7). Fie WS4. clasa tuturor alternativelor 84 ale lui wu definită astfel: pentru orice wk e W, wk e Wsi. dacă şi numai dacă wk este o alternativă 84 a lui w{. Ca şi mai sus, vom defini clasa WS4 a alternativelor S4 sau a „lumilor posibile S4” în felul următor : fie Ws* > • • • Ws4m clasele de alternativei ale lumilor wv ..., respectiv, 6 — 10. Definiţie. WS4 = WS4l u . - ,u ^S4m-Din faptul că R este tranzitivă, deci din faptul că pentru orice wu wh wk e W avem : dacă w\Rwj şi iVjRwk, 168 atunci wtRwk, urmează că şi pentru cazul particular în care wk = wu avem : dacă WiRwj şi WjRwu atunci WiRwt. Acest raţionament ne permite să stabilim următoarea propoziţie : 6—11. Propoziţie. Pentru orice u\ e VV'S4, wk este una dintre propriile sale alternative S4. Consecinţa imediată a acestei propoziţii este dată de corolarul următor. 6 — 12. Corolar, a. Pentru orice wk 6 W, u\ e TFs4k. b. Pentru orice wk e W, wk e WS4. Explicaţie: b.’din 6—12 decurge din definiţia 6 — 10. Pe baza definiţiilor 6—6, 6—7 şi 6—10 şi a propoziţiei 6—8 putem stabili următoarea lemă: 6—13. Lemă. Pentru orice wt e TT, dacă wx e WT este adevărat, atunci şi wj e WS4 este adevărat; reciproca nu este adevărată. în continuare, vom reformula definiţiile validităţii în T şi în 84 în felul următor: 5—1'. Definiţie. O expresie a este validă în T dacă şi numai dacă pentru orice Wi e W pentru care u\ e TV'T, avem 7(a, w{) = 2. 6—2". Definiţie. O expresie a este validă In S4 dacă şi numai dacă, pentru orice e W, pentru care w{ e WS4, avem F(a, wt) = 1. Din 6 — 13, 5 — 1' şi 6—1', rezultă: 6 — 14. Teoremă. Pentru orice expresie corect formată, a, dacă a este validă In T, atunci a este validă şi în S4; reciproca nu este adevărată. D[e m o ns t raţie. Pentru a demonstra această teoremă, vom demonstra Întîi 1° că orice expresie validă în T este validă şi în S4 şi apoi 2° că reciproca nu este adevărată. 1°. Pentru a demonstra 1° procedăm prin „reducere la absurd” şi anume : admitem prima parte a enunţului : oc este palidă In T (1) şi facem următoarea ipoteză : a nu est« palidă In S4 (2) 16» Din (2) şi 6 — 1': există un JVS4 astfel încit V(a, u>i) = 0. (3; Din (1) şi 5—1': pentru orice wx e WT, V( OP &np = cnp 4° Op = O Op 5°onc>p^op 6° ao^^nonop rnop = no dop 8°ODî> - ODOPP Demonstraţia primului punct, a., al teoremei de mai sus, se face prin teorema 6 —14; punctul b. al teoremei se demonstrează (ca şi pentru 5—7) arătînd pe baza metodei din 5—2 că fiecare dintre expresiile b. 1°—8° este validă in 84. Explicaţii 1° exprimă ideea că tot ce este necesar este în mod necesar necesar. Echivalenţele de sub 3°, 4°, 7°, 8° reprezintă reguli de reducţie. O secvenţă de operatori modali poartă numele de modalitate. Practic, pe baza regulilor de formare (identice în T şi 84) un constituent LP poate fi precedat de o secvenţă de operatori cu un număr oricît de mare de membri, în acest sens, spunem că numărul modalităţilor este infinit (atît în T, cît şi în Si, întrucît regulile de formare sînt identice în ambele sisteme). Pe baza echivalenţelor menţionate şi a teoremei de substituţie a echivalentelor (vezi mai jos, 6—26), orice modalitate se poate substitui, în acord cu 3°, 4°, 7°, 8°, cu următoarele şapte modalităţi: (i):— ;(ii):d;(iii):0 ;(iv): DO ; (v): O □ ; (vi): DO □ ; (vii): O □<> (unde 4 —’ reprezintă modalitatea nulă, adică absenţa oricărui operator modal). în acest sens, spunem că orice modalitate din S4 este reductibilă la una din cele şapte modalităţi menţionate mai sus. Întrucît, în T, echivalenţele 3°, 4°, 7°, 8° nu sînt valide (lucrul se verifică prin aplicarea testului de validitate 5—2), spunem că sistemul T nu are reguli de reducţie; consecinţa acestei situaţii este faptul că, în T, numărul modalităţilor este infinit, în timp ce, în S4, orice modali- 171 tate se poate reduce la una din cele şapte (pentru detalii vezi Hughes & Cresswell, 1972: 43—47; 47—49). Expresiile 2°, 6° reprezintă consecinţe directe ale expresiilor 4° şi, respectiv 7°, care pot fi înţelese ca legi de reductibilitate. Expresia 5° arată că din modalitatea ‘ O □ O ’ se poate obţine una dintre modalităţile de bază, anume ‘<>\ Aşa cum am probat prin 5—2 că expresiile de sub 6 —17 a sînt valide în S4, se poate proba, pe baza aceluiaşi procedeu, că expresiile 1°—8° (de sub 6—17 b) nu sînt valide în T (pentru 1°, am văzut că proba a fost făcută sub § 5 d. 2°). Acest lucru este exprimat de următoarea propoziţie : 6 — 18. Propoziţie. Nici una dintre expresiile din 6 —17b nu este validă în T. în ce priveşte conceptele de „contra-validitate” în 84, caracter „logic determinat” şi „logic nedeterminat” al unei expresii în 84, precum şi relaţiile dintre expresiile valide şi contra-valide din S4, nu avem de făcut decît să „transpunem” definiţiile, propoziţiile şi teoremele privitoare la T, în sistemul de concepte legat de sistemul 84. în consecinţă, vom enunţa mai jos aceste definiţii, propoziţii şi teoreme, indicînd pentru fiecare analogul ei din paragraful consacrat sistemului T. 6 — 19. Definiţie. Fie a o expresie oarecare în S4. Expresia « este contra-validă în S4 dacă şi numai dacă, pentru orice e W şi orice model S4 de forma , avem F(!=□□? 2° O Opt= Op 3° O DOp\=Op 4° mopNnonop (ii) 1° □pHDDî» 2° OpttOOp 3° □Oj>NDODOl> 4° O OP N O □ O Hp (cf. 5-15). Propoziţia 5—16 privitoare la identitatea de sens dintre definiendum şi definiens îşi păstrează valabilitatea şi în legătură cu S4, întrucît nu depinde de elemente relevante exclusiv pentru T, ci de conceptul de „echivalenţă tautologică” (cf. demonstraţia care precedă II 12—6). Analogul pentru 84 al teoremei 5 — 17 este : 6—26. Teoremă. Fie a, fi două expresii oarecare în S-L Dacă ot, fi sînt astfel încît ‘aHjS’ este adevărată pentru S4, atunci oc şi fi sînt reciproc substituibile în orice context (inclusiv contextul nul) salva veritate. Analogul pentru S4 al teoremei 5—18 este : 6—27. Teoremă. Fie a, /? două expresii în 84. ‘aH/S’ este adevărată pentru S4, dacă şi numai dacă ‘a(=/?’ si ‘Pt= a’ sînt ambele adevărate pentru S4. 174 h. Identitate de sens şi sinonimie în S4 Condiţiile de sinonimie în 84 sînt derivate din condiţiile de sinonimie pentru T, prin înlocuirea lui „adevărat pentru T, „valid în T” prin „adevărat pentru S4”, „valid în S4”. 6—28. Condiţii pentru sinonimie în S4. Fie ol, fi două expresii în S4. între expresiile ol, fi există un raport de sinonimie (parafrază) dacă şi numai dacă următoarele trei condiţii sînt satisfăcute : 1°. ‘aW/T este adevărată pentru 84; 2°. nici una dintre expresiile ol, J3 nu este validă sau contra-validă în 84, cu excepţia cazului în care a este identic cu p, cînd a şi P pot fi valide sau contra-valide în 84. 3° constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei a sînt identici cu constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei fi. Conform cu 6—28, toate expresiile de sub 6—25 c. (ii) sînt sinonime (în 84). i. Raportul dintre sistemul S4 şi sistemul T. Din § 6 a, rezultă următoarele : (i) inventarul de semne ale sistemului T este identic cu inventarul de semne ale sistemului S4 ; (ii) regulile de formare sînt identice în T şi 84; (iii) regulile de substituţie din T sînt identice cu regulile de substituţie din 84. în plus, teorema 6—14 arată că (iv) orice expresie validă în T este validă şi în 84, fără ca inversa să fie adevărată. în aceste condiţii, pe baza definiţiei 5—22, devine evidentă următoarea teoremă : 6—29. Teoremă. Sistemul T este inclus în sistemul S4; sau : limbajul T este un sub-limbaj al limbajului 84. Din 5—23 şi 6—29 rezultă în mod evident următoarea propoziţie (analogă propoziţiei 5—24, care se referea la raporturile dintre T şi logica propoziţiilor). 175 6—30. Propoziţie. Fie a, P două expresii oarecare în S4. a. Dacă ‘aN/?’ este adevărată pentru T, atunci ‘ocN/J5 este adevărată şi pentru S4, dar nu şi invers. b. Dacă ‘aH/?’ este adevărată pentru T, atunci ‘ocH/?’ este adevărată şi pentru 84, dar nu şi invers. Propoziţia 6—30 arată că relaţiile de „consecinţă logică” şi de „identitate de sens” se pot transfera din sistemul T în sistemul 84 (dar nu şi invers). Eelaţiile puse în evidenţă de 6—30pot fi exemplificate concret dacă ne referim la 6—25; punctele a. b. arată că tot ceea ce se poate ,,deduce” în T se poate deduce şi în 84, tot ce este identic ca sens în T este identic ca sens şi în 84 ; punctul c.(i), comparat cu a.(ii) din 5 — 15, arată că nici una dintre relaţiile de „consecinţă logică” enumerate în 6—25 nu este relaţie de consecinţă logică în T; punctul c.(ii) (din 6—25) arată că nici una dintre relaţiile de identitate de sens enumerate în 6—25 nu este relaţie de identitate de sens în T. § 7. Sistemul S5 a. Elementele constitutive ale sistemului S5. Inventarul de semne ale sistemului 85 este identic cu cel al sistemului^ (cf. §6a); regulile de formare sînt identice cu cele ale sistemului 84 (cf. §§6 a., 5a.); regulile de adevăr sînt identice cu cele ale sistemului 84 (cf. § 6 a., 5 a.), la fel regula de substituţie reciprocă definiendum/definiens (cf. §§5 a., 6 a.) şi regula de substituţie a variabilelor (cf. 5—8 şi § 6a.). Propoziţia 5 — 16 cu privire la identitatea de sens dintre definiens şi definiendum îşi păstrează valabilitatea şi în S5, pentru aceleaşi motive pentru care ea îşi păstrează valabilitatea în S4. Teorema 6—26 privitoare la substituţia salva varitate a echivalentelor îşi păstrează valabilitatea şi în raport cu S5. b. Modelul S5. Modelul 85 este constituit, ca şi modelele T şi 84, din tripletul , unde : 1°. W este clasa lumilor posibile; 2°. R este o relaţie reflexivă, tranzitivă şi simetrică, definită pe clasa W; deci: (a) pentru orice e W, avem w^RWi, (b) pentru orice wx, wh wk e W, avem : dao& 176 WiRWj şi WjRWk, atunci u\ Ra\ şi (c) pentru orice u\, w^eW, dacă w^wj, atunci WjRWi. Atragem atenţia asupra faptului că o relaţie care este reflexivă, tranzitivă şi simetrică este o relaţie de echivalenţă. Prin urmare, lumile posibile asociate modelului 85 sînt echivalente. 3°. V este o funcţie prin intermediul căreia fiecărei expresii corect formate, a, i se asociază una dintre valorile în conformitate cu 2°, în măsura în care valorizarea se face în raport cu lumi posibile legate prin relaţia R, trebuie avut în vedere caracterul, în acelaşi timp, reflexiv, tranzitiv şi simetric al acestei relaţii, caracter care o deosebeşte de relaţia R din T (care era numai reflexivă) şi de relaţia R din S4 (care era numai reflexivă şi tranzitivă). Prin urmare, atunci cînd ne referim, în diverse împrejurări, la totalitatea lumilor posibile (sau la „toate lumile posibile”) în legătură cu S5, avem în vedere lumile posibile care aparţin subclasei W7 (cf. §5b şi consideraţiile finale din §3). în fond, dat fiind că, după cum am văzut,, relaţia R este, în cazul modelului 85, o relaţie de echivalenţă, subclasa W-, este identică cu clasa W; aşadar,, într-o formulare ca „orice e W, pentru care wtRw ” spune exact acelaşi lucru ca formularea „orice Wj e W”, iar o formulare ca „există un w, e W, astfel încît WiRw,'' spune exact acelaşi lucru ca formularea „există un wieW'’. Rezultă de aici că în formulările de acest tip referitoare la 85 ne putem dispensa de calificarea „WiRw ”, întrucît pentru orice wt, w-, e W, avem wtRWj. După cum reiese în mod evident, aceste precizări sînt esenţiale pentru înţelesul pe care îl au expresii ca „necesar în $5” (deci i,V (Op, wl)=l, în $5”) sau „vaUd în 85v. e. Validitate în S5. Pentru a înţelege exact în ce constă deosebirea dintre „validitatea în S5'n şi „validitatea în 84” sau „validitatea în T”, atragem din nou atenţia asupra faptului că, în cazul sistemului $5, validitatea se defineşte în raport cu un model în care reiaţi» R este refUxivă, tranzitivă şi simetrică (în timp ce 177 validitatea in $4 era definită in raport cu un model în care R era numai reflexivă şi tranzitivă, sau în T — în raport cu un model în care R era numai reflexivă). Cu aceste precizări, stabilim următoarea definiţie : 7 — 1. Definiţie. O expresie a este validă în S5 dacă şi numai dacă, pentru orice e W şi orice model 85 de forma , avem F(a, w{) = 1. Toate explicaţiile care privesc expresia ,,orice model” date în legătură cu 5 — 1 sînt valabile şi aici. în plus, atragem atenţia asupra faptului că formularea ,,orice w{ e W” raportată la un model 85 are în vedere subclasa W7 (aşa cum a fost definită la sfîrşitul §3), care, după cum am arătat în consideraţiile de sub b, este de fapt identică cu clasa W, în întregimea ei. d. Metodă de testare a validităţii în S5. Validitatea în S5 se testează cu o metodă identică cu aceea descrisă sub 5—2. Evident, în aplicarea testului de validitate se ţine seamă de faptul că, în S5, relaţia R este reflexivă, tranzitivă şi simetrică, sau de faptul că este o relaţie de echivalenţă. în cazul în care o tratăm ca relaţie de echivalenţă, deci în cazul în care avem în vedere că pentru orice wi9 Wj e W avem w{Rw^ ne putem dispensa (aşa cum am arătat sub c) de menţionarea existenţei acestei relaţii. Pentru a arăta cum se aplică testul de validitate, în raport cu S5, vom lua ca exemplu expresia ‘Op => DOp\ care s-a dovedit a nu fi fost validă în S4 (al doilea exemplu din §6d.). Vom aplica testul în două variante : (a) în care relaţia R este menţionată şi (b) în care relaţia R nu este menţionată (pentru motivele arătate sub c.) Fie expresia ‘ Op HOp' (A). Ipoteză : există un wt e W astfel încît V[(Op^ DOP), wj = 0 (1) Din (1), prin 3—2 RA 4: (a) V(0p, w{) = 1 şi (b) F(DOî), == 0 (2) Din (2) (b), prin 4—1 RA 1: Există un Wj e W pentru care wtRwj, astfel încît F(0p, Wj)=0 (3) 178 Din (3), prin 4—1 RA2: Pentru orice wk, pentru care WjRwk, V(p, wk) = O (4) din (2) (a), prin 4—1 RA2: Există un Wj e TF, pentru care w^Rw), astfel încît V(P) Wj) = 1 (5) Din (4), prin R-simetric: Pentru orice w\ e W, dacă WjRwk atunci wkRwj (6) Din (4) şi (6) Pentru orice Wj e TF, V(p, = O (7) Testul se încheie prin alternativa (b), întrucît (7) şi (5) violează regula 3 — 1. Ipoteza (1) este falsă, deci expresia iniţială este validă în S5. (B) Ipoteză: există un Wi e TF, astfel încît F[(<>2>=> □ Op), w,] = 0 (1) Din (1), prin 3—2 RA4: (a) 7(0p, w{) = 1 şi (b) V(nO P, «*) =0 (2) Din (2), (b), prin 4—1 tRAl: Există un m'j e W, astfel încît 4 F(0 p, Wj) = O (3) Din (3), prin 4—1 RA2: Pentru orice wk e TF, V(p, wk) = O (4) Din (2) (a), prin 4—1 RA2: Există un ws e TF, astfel încît V(p, ws)=l (o) 179 Din (4): Dacă pentru orice wk, V(p, wk) = O, atunci şi pentru orice wn V(p, tvj) = O (6) Testul se încheie prin alternativa (b), întrucît (6) şi (5) violează regula 3 — 1. Ipoteza (1) este falsă, deci expresia iniţială este validă în 85. e. Teoreme cu privire la validitate în S5. înainte de a stabili un număr de teoreme cu privire la validitatea în S4 este necesar, ca şi în §6.e., să stabilim raporturile dintre clasa de alternative 85 (WSs) şi clasele de alternative T şi 84 (respectiv WT şi WS4). Întrucît relaţia R este, în modelul 85, şi simetrică (nu numai reflexivă şi tranzitivă), putem spune că, pentru ca o lume posibilă, wk, să fie alternativă a unei alte lumi, wu este necesar să avem wtRwk; în cazul în care acest lucru este adevărat, atunci este adevărată şi inversa, adică wkRWi (conform proprietăţii de simetrie). Dar ce înseamnă că WiRwk este adevărată? Aceasta nu înseamnă decît fie că (a) wk este o alternativă T la ivl (conform cu 6—3), fie că (b) wk este o alternativă 84 la wt (conform cu 6—7). Formulăm, în continuare, următoarea definiţie, ţinînd seamă de observaţiile de mai sus. 7—2. Definiţie. Fie R o relaţie reflexivă. Pentru orice wu wk e W., wl este o alternativă 35 a lui wk, dacă şi numai dacă una din următoarele trei condiţii este satisfăcută : (i) wkRwi; (ii) pentru orice w, e W, pentru care w^Rwj, dacă ivkRwj, atunci wkRu\; sau : (iii) wtRwk şi pentru orice u\, ivk e W, dacă w,Rwk, atunci wkRwt. Explicaţie. Definiţia de mai sus arată că u\ este o alternativă 85 a lui wk, fie în cazul în care wt este direct accesibilă lumii wk (avînd deci wkRwt, cu R reflexivă), fie în cazul în care este indirect accesibilă lumii wk (prin intermediul unei lumi w}, avînd wkRws şi WjRwt, cu R re- 180 flexivă şi tranzitivă), fie în cazul în care wxRwk şi R este simetrică. Din 7—2 se poate vedea că orice alternativă T a lui wk este şi o alternativă 85 a lui wk (7—2, (i)); orice alternativă 84 a lui wk este şi o alternativă S5 a lui wk (7—2, (ii)), dar nu orice alternativă 85 a lui wk este, în acelaşi timp, şi o alternativă 84 sau T a lui wk (fiindcă R nu este simetrică nici în T, nici în 84). în continuare, spunem că wx e Wssk (= clasa alternativelor 85 ale lumii wk) dacă şi numai dacă este o alternativă 85 a lui wk. în continuare, definim clasa TFS5a tuturor alternativelor 85 (sau a „lumilor posibile 85”) în felul următor : 7—3. Definiţie. Fie Wssl9- • ->Ws5n clasele de alternative 85 ale lumilor w19..., wn, respectiv, în aceste condiţii Wss = WS5l U . .. U TFS5n. Pe baza observaţiilor făcute sub 7—2 şi a definiţiei 7—3, putem stabili următoarea lemă: 7—4. Lemă. Pentru orice w{ e W : a. Dacă e TFT, atunci wx e T7S5, dar nu şi invers. b. Dacă Wi e TFS4, atunci w{ e TTS5, dar nu şi invers. Eeformulăm, în continuare, definiţia validităţii în 85, după cum urmează : 7—1'. Definiţie. O expresie a este validă în S5, dacă şi numai dacă, pentru orice w{ e W, pentru care w{ e TTS5, avem F(a, w{) = 1. Din 7—4 şi 7—1' rezultă, în mod evident, următoarea teoremă : 7 — 5. Teoremă. Pentru orice expresie corect formată, a : a. Dacă a este validă în T, atunci a este validă în S5, dar nu şi invers. b. Dacă a este validă în 84, atunci a este validă în S5, dar nu şi invers. Demonstraţia acestei teoreme se face în acelaşi fel cu demonstraţia teoremei analoge 6 — 14. 131 Dat fiind că orice tautologie este validă în 84 (cf. 6—15) şi orice expresie validă în 84 este validă şi în S5 (cf. 7—5), putem stabili următoarea propoziţie : 7—6. Propoziţie. Orice tautologie este validă in 85. Corespondentul teoremei 6—14 privitoare la 84 este următoarea teoremă privitoare la 85 : 7—7. Teoremă. Fie a o expresie corect formată în 84. Dacă a este validă în S4, atunci Da este A'alidă In S5. Demonstraţia teoremei 7—7 urmează exact aceiaşi paşi ca demonstraţia teoremei 6—14. Analogul pentru 85 al teoremei 6—17 este: 7—8. Teoremă. Următoarele expresii sînt valide in S5: a. Toate expresiile valide în S4 în acord cu 6-17 Şi b. 1° Opz> DOi» 2° O □*>=> UP 3° «op= nop 4° Op = O Op. Expresia 1° arată că ceea ce este posibil este necesar posibil (deci posibil în toate lumile posibile). Expresia 2° arată că ceea ce este posibil să fie necesar este necesar. Expresiile 3°, 4°, alături de 6—17 b. 3°, 4°, valide şi ele în 85, permit să se stabilească următorul sistem de echivalenţe : (a) Op= DOp (b) hp=oop (c) Cp=OOp (d) np=nup pe baza căruia, orice modalitate (cf. sub 6—17 comentariile la 3°, 4°, 7°, 8°) poate fi redusă la una din următoarele trei modalităţi: (i):— ; (ii) :□ ; (iii): O. 182 Analogul propoziţiei 6—18 este: 7—9. Propoziţie. Nici una dintre expresiile de sub 6—8 b nu este validă în S4. Definiţiile pentru 85 a conceptelor de „contra-validi-tate”, „logic-echivalent”, „logic-nedeterminatu şi a relaţiilor dintre acestea se obţin (ca şi în § 6) prin transpunerea teoremelor corespunzătoare din § 5. Vom avea deci 7—10. Definiţie. Fie a o expresie oarecare în S5. Expresia a este contra-validă în S5, dacă şi numai dacă, pentru orice e W şi orice model 85 ( W, R, F>, avem F(a, Wi) = 0. (cf. 6-19). 7 — 11. Teoremă. Pentru orice expresie a din 85, ~a este contra-validă în 85, dacă şi numai dacă a este validă în 85. (cf. 6-20). 7—12. Definiţie. Fie a o expresie în S5. a. a este logic determinată în S5, dacă şi numai dacă a este validă în 85 sau contra-validă în 85. b. a este logic nedeterminată (sau factuală) în S5, dacă şi numai dacă a nu este nici validă în 85, nici contra-validă în 85. (cf. 6-21). 7 — 13. Propoziţie. Fie aA,a2, ..., an un număr de expresii în 85. a. Dacă fiecare expresie oc{ (1< i < n) este validă în 85, atunci axA «2 A • • • A«n este, de asemenea, validă în 85. b. Dacă fiecare expresie ax (1 < i < n), este contra-validă îu 85, atunci ‘ocj Va2V . ..V«n’ este, de asemenea, contra-validă în 85. (cf. 6-22). 7—14. Propoziţie. Fie a, fi două expresii în 85. a. Pentru orice a şi orice /?, dacă a şi P sînt ambele valide în 85, atunci ‘a = /?’ este de asemenea validă în S5. b. Pentru orice a şi orice /?, dacă a şi P sînt ambele 183 contra-valide îu 85, atunci ‘a = este validă în 85. (cf. 6-23). f. Implicaţie materială/implicaţie logică; echivalenţă materială/echivalenţă logică. Cele două perechi de concepte au în 85 semnificaţie identică cu aceea din T şi 84 (cf. §§ 5 f., 6 f.). g. „Consecinţă logică” şi „identitate de sens” In S5. în S5 cele două concepte se definesc prin „transpunerea” definiţiei 6—24 : 7—15. Definiţie. Fie a, două expresii în 85. a. ‘a N /?’ este adevărată pentiu 85, dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) ‘ot-3/?’ este validă în 85 sau : (ii) ‘a =>/?’ este validă în 85 ; b. ‘aH/?’ este adevărată pentru 85, dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) ‘a=/J’ este validă în S5 sau : (ii) ‘a = /J’ este validă în 85. Urmarea directă a acestei definiţii şi a teoremelor II 11 — 15, 6—14, 7—5 şi 7—8 este următoarea teoremă: 7—16. Teoremă. a. Toate raporturile de „consecinţă logică” adevărate pentru 84 şi indicate în 6—25 a. sînt adevărate si pentru 85. ■ - b. Toate raporturile de „identitate de sens” adevărate pentru 84 şi indicate în 6—25 b. sînt adevărate şi pentru 85. c. Toate raporturile de „consecinţă logică^ şi „identitate de sens” adevărate pentru 84 şi indicate în 6—25 c. sînt adevărate şi pentru 85. d. Următoarele expresii sînt adevărate pentru 85: (i) i° opt=nop 2° O UP N □ P (ii) 1° OpH DOP 2° PPHCIQI» (of. 6-25). Analogul teoremei 6—27 este: 184 7—17. Teoremă. Fie a, fi două expresii în S5. ‘a M /P este adevărată pentru S5 dacă şi numai dacă ‘a (= /?’ şi t= a’ sînt ambele adevărate pentru S5. h. Identitate de sens şi sinonimie în S5. Condiţiile de sinonimie în S5 sînt derivate din 6—28, după cum uşor se poate vedea: 7—18. Condiţii pentru sinonimie în S5. Fie a, fi două expresii în 85. între expresiile a, fi există un raport de sinonimie (parafrază), dacă şi numai dacă următoarele trei condiţii sînt satisfăcute: 1°. ‘a H /T este adevărată pentru 85. 2°. Nici una dintre expresiile a, fi nu este validă sau contra-validă în 85 cu excepţia cazului în care a este identic cu /?, cînd a şi p pot fi valide sau contra-valide în S5. 3°. Constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei a sînt identici cu constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei /?. Conform cu 7 — 18, toate expresiile de sub 7 — 16 d. (ii) sînt sinonime (în S5). i. Raportul dintre sistemele T, S4 şi S5. Din § 7 a. rezultă următoarele : (i) inventarul de semne ale sistemului S4 este identic cu inventarul de semne ale sistemului 85; (ii) regulile de formare sînt identice în S4 şi 85; (iii) regulile de substituţie din 84 sînt identice cu regulile de substituţie din S5. în plus, teorema 7—5 arată că : (iv) orice expresie validă în 84 este validă în 85, fără ca inversa să fie adevărată. în aceste condiţii, pe baza definiţiei 5—22, devine evidentă următoarea teoremă : 7—19. Teoremă. Sistemul S4 este inclus în sistemul 85, sau : limbajul 84 este un sub-limbaj al limbajului 85. Din 6—28 şi 7—19 rezultă evident următoarea propoziţie : 185 7—20. Propoziţie. Sistemul Teste inclus în sistemul S5, sau : limbajul T este un sub-limbaj al limbajului S5. Din 5—23 şi 7 — 18, 20 rezultă : 7—21. Propoziţe. Fie sepoateu are unul şi numai unul dintre sensurile menţionate în discuţia de pînă aici (şi eventual şi altele, pe care dicţionarele le înregistrează) şi anume sensul de „este posibil ca..La fel, puteaM are sensul ,,este posibil ca. .. ” (în afirmaţiile de re). După cum se observă, ca şi în cazul conjuncţiilor (cf. II § 8, 5°), avem a face cu cazuri de sinonimie a expresiilor cu un sens modal: se poate ca... este sinonim cu este posibil ca.. . în cazul în care vrem să definim sensul celor două expresii printr-o regulă analogă cu 4—1 RA 2, avem două soluţii la dispoziţie : (a) să formulăm această regulă în aşa fel încît ea să nu se refere la un semn ci la o clasă de semne (clasă care include pe se poate ca şi pe este posibil ca) sau (b) să considerăm că avem (eventual la nivelul „structurii profunde”) un singur element modal (simbolizat într-un fel oarecare, eventual prin 4POS’ sau prin ‘M’ sau eventual chiar prin ‘O’) cu două „realizări fonetice de suprafaţă” (se poate ca şi este posibil ca) şi să formulăm o regulă ca 4—1 RA 2 pentru acest singur element modal. în cazul în care o astfel de regulă este formulată, condiţia de adevăr a unei fraze ca (94) este dată de o regulă ca 195 (101) F[(94), w{\ = i, dacă şi numai dacă există un w\ e W9 pentru care WiRw» astfel încît V (Ion merge la plimbare, W\) = 7. O regulă de forma (101) nu este altceva decît o particularizare a regulii 4 — 1 RA 2 ş io adaptare a acesteia la situaţia în care limbajul obiect este limbajul natural. O regulă ca (101) nu face altceva decît să exprime sensul propoziţiei (94) adică să exprime explicit condiţiile în care (94) are valoarea „adevărat”; condiţia exprimată în limbaj obişnuit este : (94) este adevărată într-o lume posibilă, w{ (care eventual poate fi lumea reală), dacă şi numai dacă există o lume posibilă, accesibilă lumii în care propoziţia (99) este adevărată; la rîndul ei, propoziţia (99) este adevărată într-o lume, wh conform cu II 3—2, dacă şi numai dacă, în are loc evenimentul descris de propoziţia (99), adică faptul că Ion se plimbă. Trebuie să atragem atenţia asupra faptului că există şi posibilitatea ca Wj (accesibilă lumii w{) să fie identică cu lumea posibilă (întrucît în toate sistemele descrise în acest capitol, relaţia R era reflexivă, astfel încît orice lume wx e W este şi una dintre propriile ei alternative). Corelatul expresiei se poate caM. . . este, după cum am văzut, în mod necesar. Trebuie să atragem atenţia asupra faptului că am ales în mod deliberat dintre expresiile înrudite ca sens, expresia în mod necesar în calitate de corelat al expresiei se poate cayi. Această alegere a fost determinată de două considerente : 1°. Expresia în mod necesar prezintă avantajul că atunci cînd este prefixată unei construcţii sintactice nu impune schimbarea modurilor în expresia la care este prefixată (spre deosebire de este necesar ca. .., expresie care cere modul conjunctiv în subordonată). Observaţie. în cazul expresiilor cu sensul de „posibilitate” nu am putut face o alegere asemănătoare, întrucît toate expresiile din această categorie cer ca verbul propoziţiei dependente să fie la conjunctiv. 2°. Expresia este necesar să are cel puţin încă două sensuri, în afară de cel care ne interesează, şi anume sensul de „a fi obligatoriu ca...” sau „a fi indispensabil (în sensul utilităţii practice) să” Spre deosebire de această 196 expresie, în mod necesar se pare că nu are alt sens decît acela de „imposibilitate de a nu fi adevărat”. Că lucrurile stau aşa ne-o dovedeşte următorul fapt. Dacă o propoziţie este în mod necesar adevărată, ea este în mod obligatoriu şi adevărată, pur şi simplu, acum şi aici (deci în această lume posibilă, oricare ar fi ea) (cf. 5 — 7, 1°). Prin urmare, o frază în care se afirmă că ceva este necesar şi în acelaşi timp se spune că acest „ceva” nu este adevărat, nu poate fi decît contradictorie. Se poate observa că, în limbajul natural, o frază ca (102) In mod nccesar Ion este student, dar Ion nu este student. este contradictorie (caracterul „contradictoriu” al acestei fraze se reflectă în faptul că un vorbitor oarecare este înclinat să considere o frază ca (102) drept „absurdă” sau „fără sens”). în schimb, o frază ca : (103) Es(c necesar ca Ion să fie student, dar Ion nu este student. nu este nici contradictorie şi nici nu poate fi considerată de vorbitori drept „absurdă” sau „fără sens”. Aceasta, din cauză că este necesar ca nu se referă aici la „adevărul necesar” al propoziţiei subordonate, deci la adevărul acestei propoziţii în toate lumile posibile (deci inclusiv în lumea în legătură cu care se afirmă (103)), ci la adevărul conform cu „trebuinţele” sau cu „obligaţiile”, adevăr care nu implică adevărul propoziţiei subordonate în toate lumile posibile, deci nici în lumea la care se referă (103). Întrucît (103) nu este contradictorie, sîntem îndreptăţiţi să spunem că este necesar ca nu are în (103) un sens identic cu acela pe care în mod necesar îl are în (102). în schimb, putem spune că (103) poate fi contradictorie, dacă este necesar ca are înţelesul pe care în mod necesar îl are în (102). Observaţie. Un motiv asemănător cu cel invocat aici sub 2° ar fi putut să ne determine să alegem expresia este posibil ca în calitate de corelat al expresiei este necesar ca : este posibil ca este, după toate aparenţele, neambiguă (ea se referă totdeauna la „posibilitatea” definită în sensul regulii 4—1 RA 2). Am preferat însă expresia se poate caM 197 (deci o expresie dezambiguizată) întrucît ea nu are caracter neologic, deci mai mult sau mai puţin ,,savant”, şi prin urmare nu s-ar putea justifica obiecţia că aparţine numai unui anumit stil (funcţional) al limbii, anume acela în care se vehiculează concepte filozofice şi logice. Am preferat deci o expresie aparţinînd vorbirii comune. Expresia trebuie, care poate candida la statutul de operator modal în limbajul natural, este şi ea ambiguă în exact acelaşi fel în care este ambiguă şi expresia este necesar ea. Cele arătate mai sus cu privire la cuvintele şi expresiile corelate cu expresia se poate ca ne determină să facem următoarele precizări. (a) în cazul în care vrem să descriem semantic cuvintele din această categorie în acelaşi fel în care am descris operatorul ‘D’ din sistemele modale, este necesară o operaţie prealabilă de dezambiguizare a cuvintelor şi expresiilor ambigue. Procedeul este identic cu cel folosit pentru dezambiguizarea expresiilor referitoare la posibilitate. Din ansamblul de cuvinte şi expresii este necesar cav este necesar ca2,. . ., este necesar caT sau trebuiev trebuie2,. . ., trebuiek, vom avea în vedere cîte un singur element, pe care îl vom simboliza prin este necesar caN, trebuieN; cele două semne reprezintă expresia este necesar ca avînd sensul „adevărat în toate lumile posibile accesibile” şi numai acest sens şi, respectiv, expresia trebuie cu sensul „adevărat în toate lumile posibile accesibile” şi numai acest sens. Ambele expresii au acelaşi sens cu în mod necesar (care nu are decît sensul „adevărat în toate lumile posibile accesibile”). (b) După cum se observă, este necesar caN, trebuiev şi în mod necesar sînt expresii sinonime. în cazul în care vrem să specificăm sensul acestor semne prinţ r-o regulă de tipul 4—1 RA 2, trebuie să facem fie ca refula respectivă să se refere la întreaga clasă de sinonime despre care am vorbit, fie ca regula să se refere la un singur element, pe care îl vom considera ca existînd la nivelul unei structuri profunde, mai abstracte, şi ca avînd mai multe „realizări fonetice” la nivelul superficial, mai concret. 198 Ca şi în cazul seriei poateM, se poate cam este posibil ea, trebuie să facem distincţia între afirmaţiile de dicto şi de re. Spre deosebire de expresiile din prima categorie, se pare că, în cazul expresiilor legate de ideea de „necesitate”, nu există o specializare a anumitor expresii pentru afirmaţiile de dicto şi a altora pentru afirmaţiile de re. Se poate spune şi: (104) Este necesar ca^ Ton să fie biped. (de dicto), şi (104') Ion este necesarN să fie biped. (de re, cu traducerea „există un x, pentru care x = Ion, astfel încît x în mod necesar este biped”), după cum se poate spune şi (105) In mod necesar Ion este biped. (de dicto), dar şi (105') Ion este în mod necesar biped. (de re, cu traducere identică cu cea de sub (104')). Distincţia de dicto jde re este însă nerelevantă în acest caz, pentru exact aceleaşi motive pentru care aceeaşi distincţie nu era relevantă în cazul expresiilor este posibil ca, se poate ca. . . etc. : în sistemele T, S4, S5, propoziţiile sînt tratate ca blocuri neanalizate, iar distincţia de dicto/de re presupune un model în care propoziţiile afirmative sînt analizate în constituenţi (vezi mai sus, comentariile de sub (93')). în cele ce urmează, vom avea în vedere numai afirmaţiile de dicto. în cazul în care avem în vedere cele arătate sub (a) — (c), putem formula condiţiile de adevăr pentru fraze de forma ‘In mod necesar P’ printr-o regulă analogă regulii RA 1 de sub 4—1. în cazul particular al unei fraze ca (105), condiţiile de adevăr vor fi exprimate prin (106) F[(105), = 1 dacă şi numai dacă, pentru orice Wj e W, pentru care WiRwj, V (Ion este biped, wj = 1. O regulă ca (106) nu este decît aplicarea la un caz particular a regulii 4 — 1 RA 1, adaptată la situaţia în care limbajul obiect este limbajul natural. Ca şi în cazul regulii (101), putem spune despre (106) că nu face altceva decît să exprime sensul frazei (105), adică să exprime explicit 199 condiţiile în care (105) are valoarea adevărat; exprimate în limbaj obişnuit, aceste condiţii sînt: (105) este adevărată într-o lume posibilă (care eventual poate fi lumea reală) dacă şi numai dacă în orice lume posibilă wh accesibilă lumii w{, propoziţia Ion este biped este adevărată ; la rîndul ei, propoziţia Ion este biped este adevărată într-o lume wh conform cu 113—2, dacă şi numai dacă, în w}, are loc starea descrisă de această propoziţie, adică dacă Ion este biped; altfel spus : (105) este adevărată dacă şi numai dacă toate lumile posibile accesibile lumii w{ (inclusiv w{) sînt compatibile cu aserţiunea exprimată de propoziţia Ion este biped. După ce am văzut dacă şi în ce condiţii regulile 4 — 1 pot fi adaptate descrierii limbajului natural, este normal să răspundem la următoarea întrebare. Dacă se poate caM şi în mod necesar pot fi consideraţi operatori modali în limbajul natural şi dacă sensul acestor operatori este specificat prin reguli de forma 4—1, atunci căruia dintre sistemele modale descrise în acest capitol (T, S4 sau S5) îi este analog limbajul natural? Evident, răspunsul la această întrebare este legat în primul rînd şi direct de sensul pe care îl are operatorul în mod necesar în limbajul natural. După cum rezultă din 6—6, 10, 7—3, fiecăruia din sistemele T, 84 şi S5 îi este asociată cîte o clasă de lumi posibile (sau ‘clasă de alternative’) proprie : sistemului T îi corespunde clasa WT, sistemului 84 — clasa WS4, iar sistemului 85 — clasa Ws5. în felul acesta, operatorul ‘D’ are semnificaţii diferite, în raport cu fiecare dintre sistemele modale definite. într-adevăr, dacă fixăm pentru condiţia de adevăr 4—1 RA 1, care spune că ‘Dp’ este adevărat în dacă şi numai dacă p este adevărat în orice w-}, accesibil lui wi9 atunci „adevărat în orice w” înseamnă clasa WT, în cazul în care sistemul descris este T, înseamnă clasa WS4, în cazul în care sistemul descris este S4 şi înseamnă Wss, în cazul în care sistemul descris este S5. Dar, WT, WS4 şi Wss nu sînt identice, ci, conform cu 6 — 13/ 7—4, sînt într-un raport de incluziune: WT este strict inclusă în WS4 iar aceasta este strict inclusă în TFS5. Prin urmare, clasa TFS5 este cea mai comprehensivă clasă, WS4 este mai puţin comprehensivă decît Wrs, dar 200 mai comprehensivă decît WT, iar aceasta din urmă este cel mai puţin comprehensivă. Prin urmare, o propoziţie^, pentru a fi necesară în T, trebuie să fie adevărată într-un număr mai mic de lumi posibile (din totalitatea W, a lumilor posibile) decît pentru a fi necesară în 84, unde trebuie să fie adevărată într-un număr mai mare de lumi posibile, sau, în sfîrşit, pentru a fi necesară în 85, cînd trebuie să fie adevărată într-un număr şi mai mare de lumi posibile, mai exact în toate lumile posibile din W, întrucît, după cum am arătat în § 7. b, în S5, relaţia R este o relaţie de echivalenţă (deci toate lumile echivalente cu pentru care e W înseamnă toate lumile care aparţin la W). Putem vorbi deci de o accepţie slabă a necesităţii (definită în T), de o accepţie mai tare a necesităţii (definită în S4) şi de o accepţie tare a necesităţii (definită în 85). Problema care se pune în legătură cu limbajul natural este următoarea: avînd în vedere cele trei sisteme modale descrise, în mod necesar din limbajul natural corespunde accepţiei slabe a necesităţii (T), accepţiei tari (85) sau accepţiei mai puţin tari (S4)’ şi dacă. . . atunci, am remarcat faptul că dacă. .. atunci se deosebeşte ca sens de 4 3 ’ prin faptul că, în sensul exprimat de conjuncţia condiţională, intervine ideea de necesitate (cf. şi în acest capitol, consideraţiile făcute la începutul acestui paragraf sub 3°). Altfel spus, în limbajul natural, consecventul este înţeles ca „rezultînd din” antecedent. De aceea, conjuncţia condiţională din limbajul natural corespunde ca sens mai curînd implicaţiei logice, ‘—3 ’y decît implicaţiei materiale, ‘=>’ (asupra acestei distincţii, vezi mai sus § 5 f.). Întrucît limbajul natural nu are o conjuncţie corespunzătoare implicaţiei materiale, o definiţie de forma ‘p -3 q =Dt n (p => qY (cf. 5—6 a.) nu este posibilă. În aceste condiţii, dat fiind 5 — 7, 7°, avem (oc) ~ O ~ (p =5 q) în loc de L\3(p => qV, iar în loc de ~(p q), conform cu 11—5 16° obţinem din (a) (P) ~0(P A ~î). 205 Expresia (P) are avantajul de a conţine conectorul 4 A’> pentru care dispunem de un echivalent în limbajul natural, anume şiv Mai departe, convenind să simbolizăm diversele forme de negaţie ale limbajului natural prin nu prefixat simbolului P (simbolul unei propoziţii asertive simple oarecare din limbajul natural) deci nu-P} putem fixa în formă generală condiţia de adevăr pentru dacă — atunci prin : (111) ‘Dacă Pj atunci P^ este adevărat, dacă şi numai dacă ‘nu se poate eaM {Px şix nu-P2y este adevărată. Evident, negaţia unei condiţionale va avea forma : (111') Se poate caM (P2 nu-P2). Conform cu (111), vom spune că (110) este adevărată dacă şi numai dacă (112) Nu se poate caM (afară să fie frig şix Ion să nu stea în casă). este adevărată. Observaţie. în discuţia de sub a.(ii), întrucît nu aveam în vedere formularea unei reguli de adevăr pentru limbajul natural, am tratat conjuncţia dacă. .. atunci ca şi cum ar fi echivalentul „natural” al implicaţiei materiale şi am „introdus” ideea de necesitate prin prefixarea expresiei în mod necesar. (ii) în consideraţiile introductive la acest paragraf sub 3°, vrînd să punem în evidenţă caracterul modal al unor conjuncţii, am legat conjuncţiile conclusive de ideea de „consecinţă logică” şi am sugerat că sensul unei fraze de forma ‘P1? prin urmare P2’ ar putea fi specificat prin reguli de tipul (91) sau (92). în realitate, nici (91), nici (92) nu sînt adecvate acestui scop. în ce priveşte regula (91) : Indiferent de faptul dacă interpretăm conjuncţia condiţională în mod direct, ca implicaţie logică (în conformitate cu (111)) sau dacă „prefixăm” la fraza condiţională operatorul în mod necesar (ca în (91)), o regulă ca (91) prezintă inconvenientul de a stabili o relaţie de sinonimie între o frază de forma (113) Pv prin urmare P2. 206 şi o frază de forma (114) Dacă, Pv atunci P2. (cu sensul specificat prin (111)) sau cu o frază de forma (115) în mod necesar (dacă P17 atunci P2) (conform cu (91)). Or, în realitate, (113) nu este sinonimă nici cu (114), nici cu (115). O frază ca (113) conţine în ea aserţiunea simultană a propoziţiilor P2 şi P2. Mai concret: dintr-o frază ca (89) (vezi mai sus, p. 191) decurge în mod firesc că (89 a) Astăzi este luni este adevărată şi că (89 b) Ion stă în casă este, de asemenea, adevărată. Observaţie. Dovada faptului că (89) include aserţiunile (89 a), (89 b) o face faptul că o frază ca (89') Astăzi este luni, prin urmare Ion stă în casă, dar Ion nu stă în casă sau ca (89") Astăzi este luni, prin urmare, Ion stă în casă, dar astăzi nu este luni sînt, ambele, contradictorii. Spre deosebire de (113), fraze ca (114) sau (115) nu conţin aserţiunea nici uneia dintre propoziţiile Pv P2. Mai concret: o frază ca (90) nu conţine nici aserţiunea propoziţiei (89 a), nici a propoziţiei (89 b), chiar dacă dacă... . . . atunci este luat cu sensul de implicaţie logică; după cum nici o frază ca (89'") în mod necesar (dacă astăzi e luni, atunci Ion stă în casă) nu conţine aserţiunea vreuneia din propoziţiile (89a, b). în ce priveşte (92): condiţia de adevăr este prea puternică, întrucît, conform cu o astfel de condiţie, o frază ca (89) ar trebui să fie totdeauna falsă, întrucît, după cum am văzut, în cazul în care luăm pe dacă. . . atunci cu sensul de implicaţie materială, (90) nu este o tautologie (deci (89 b) nu poate fi consecinţă logică a propoziţiei (89 a)); iar în cazul în care luăm pe dacă.. . atunci cu sensul de implicaţie logică, (90) nu este validă (nici în T, nici în $4, nici în 85); (deci nici în acest caz (89 b) nu poate fi consecinţă logică a propoziţiei (89 a); cf. 6 — 14 a., 5 — 14 a., 6—24 a., 7—15 a.). întrucît o propoziţie totdeauna falsă 207 este o propoziţie contra-validă (deci contradictorie), ar urma ca (89) să fie contradictorie, ceea ce, conform cu intuiţia lingvistică a oricărui vorbitor, nu este cazul. Este necesar deci să găsim o altă condiţie de adevăr pentru fraze ca (113). Pentru aceasta, trebuie să avem în vedere următoarele : (a) că orice frază de forma (113) conţine aserţiunea simultană a celor două propoziţii, P1 şi P2; (b) că alături de această aserţiune, (113) exprimă şi ideea că P2 „rezultă din” I\ sau că „pentru că P, este adevărat, alunei şi P2 trebuie să fie adevărat”. Conform cu (a) şi (b), dacă am vrea să exprimăm printr-o parafrază sensul frazei (113), ar trebui să spunem : „Pl este adevărat şi P2 este adevărat şi P2 rezultă din P*”. Oă (113) nu se poate reduce la o simplă conjuncţie ne-o dovedeşte faptul că (113) nu este simetrică : (113) nu spune acelaşi lucru cu P2, prin urmare P, sau, mai concret, (89) nu spune acelaşi lucru cu Ion stă în casă, prin urmare astăzi este luni. Această lipsă de simetrie se datoreşte faptului că, în semnificaţia conjuncţiei prin urmare, intră şi ideea de „implicaţie logică” între cele două propoziţii, iar implicaţia (materială sau logică) nu este simetrică. Condiţia de adevăr a frazelor de forma (113) este deci: (115) ‘P„ prin urmare P2’ este adevărată dacă şi numai dacă4 (Px şi3 P2) yîi (dacă P1? alunei P2)’ este adevărată *. Trebuie notat că, în (115), constituentul ‘Dacă P1? atunci P2’ are sensul specificat în (111) (deci este o implicaţie logică şi nu materială). în cazul particular al propoziţiei (89), conform cu (115), spunem că aceasta este adevărată dacă şi numai dacă (116) (Astăzi este luni şix Ion stă în casă) şi x (dacă astăzi este luni, atunci Ion stă în casă) este, de asemenea, adevărată. * O frază de forma (113) este o endmemă, adică un raţionament a cărei premisă majoră este subînţeleasă. De fapt, condiţia de adevăr (115), prin ceea ce urmează după şflf nu face decit să expliciteze premisa subînţeleasă. 208 O propoziţie ca (113) este falsă numai în cazul în care sau Px nu este adevărat, sau P2 nu este adevărat, sau nu este adevărat că P2 „rezultă din” Pv După cum se poate observa, această formulare nu este altceva decît condiţia în care o conjuncţie este falsă (cf. 3—2 EA 2) ; în acest cazr conjunctele sînt exact termenii conjuncţiei din (115). Mai departe : a spune că ,,nu este adevărat că Pz rezultă din Px” sau că „nu este adevărat că Px implică logic P2” înseamnă, conform cu (111), a afirma propoziţia (117) Se poate caM (Px şix nu-P2). Aşadar, negaţia unei propoziţii ca (113) este echivalentă cu (11.8) nu-Pi sau2 nu-P2 sau2 se poate caM (Px şij nu-P2). în particular, negaţia propoziţiei (89) este (119) Nu este adevărat că (astăzi este luni (şi) prin urmare Ion stă în casă) iar (119) este echivalentă cu (120) Astăzi nu este luni sau2 Ion nu stă în casă sau2 (se poate caM (astăzi să fie luni şix Ion să nu stea în casă)). (iii) în consideraţiile făcute la începutul acestui paragraf sub 3° am arătat că între conclusive şi consecutive nu există o deosebire de sens, ci, în măsura în care o astfel de deosebire se poate face clar, aceasta este numai o deosebire sintactică : raportul conclusiv este de coordonare, în timp ce raportul consecutiv este de subordonare. Rezultă de aici că pentru o frază de forma (121) Pj, încît P2 este valabilă aceeaşi condiţie de adevăr ca aceea formulată pentru conclusive. Vom spune deci (122) 4P1? încît P2 este adevărată dacă şi numai dacă4 (Px şix P2) şij (dacă P3, atunci P2)’ Negaţia unei fraze ca (121), deci (123) Nu este adevărat că (Px încît P2) este echivalentă (pe baza aceloraşi considerente ca cele făcute sub (ii)) cu (124) (nu-P1,sm2nu^P2) sau2se poate caM (P1şi1Vx\i-P2). Un exemplu concret: negaţia frazei (125) Este atît de frig încît Ion stă în casă este 209 (120) Nu este adevărat că (este atît de frig încît Ion stă în casă) şi este echivalentă cu (127) (Nu este atît de frig sau2 Ion nu stă în casă) sau2se poate caM (să fie atît de frig şix Ion să nu stea în casă). Din (115) şi (122) rezultă în mod clar că (128) Frazele de forma CP1? prin urmare P2’ şi 4Pi, încît P2’ au acelaşi sens. c. Consideraţii finale. Din cele discutate sub a şi 1), rezultă în mod clar în ce fel pot interveni conceptele modale definite iniţial în raport cu limbajul logic în descrierea semantică a limbajului natural. Cu ajutorul lor se poate defini atît sensul unor cuvinte şi expresii modale (ca în mod necesar, se poate ca etc.) cît şi sensul construcţiilor în care o propoziţie este subordonată unei astfel de expresii modale, aşa cum reiese din a. Pe de altă parte, aceleaşi concepte modale definite iniţial în raport cu limbajul logic pot interveni în definirea sensului unor conjuncţii pe care sub b le-am numit „modale”, şi al construcţiilor în care două propoziţii asertive simple sînt legate cu ajutorul unor astfel de conjuncţii. Trebuie remarcat faptul că, în special atunci cînd aceste concepte intervin în definirea sensului conjuncţiilor, ele nu au o simplă valoare descriptivă, ci şi una operaţională. Astfel, condiţiile de adevăr stabilite pentru construcţiile condiţionale (111), conclusive (.115), consecutive (122) ne-au permis să stabilim care sînt construcţiile-echivalente cu negaţia celor trei tipuri de construcţii: (111'), (118) şi (124). Mai departe, făcînd uz de aceleaşi concepte, am stabilit în mod explicit un raport de identitate de sens între construcţiile conclusive şi cele consecutive (128). Subliniem faptul că toate aceste echivalenţe sînt demonstrabile în interiorul acestui sistem (ceea ce nu se întîmplă atunci cînd folosim exclusiv definiţiile „tradiţionale” ale acestor raporturi). Mai mult : pornind de la condiţii de adevăr ca cele fixate prin (111), (115), (122), se pot demonstra o serie de teoreme privitoare la semantica limbajului natural, teoreme care, în mare măsură, sînt analoge teoremelor stabilite (şi demonstrate sau demonstrabile) pentru 210 limbajele logice. Cum scopul lucrării de faţă nu este însă acela de a descrie limbajul natural în termenii aparatului conceptual al semanticii logice, ci numai acela de a defini iniţial o serie de concepte semantice în raport cu limbajul logic şi, ulterior, de a arăta dacă şi în ce condiţii aceste concepte pot fi folosite în raport cu limbajul natural, nu vom stabili aici aceste teoreme. în încheiere, rămîne să precizăm încă o chestiune. Atunci cînd (sub a) ne-am ocupat de operatorii modali din limbajul natural, am pus problema alegerii unuia dintre sistemele modale (T, 84, 85) pentru definirea acestor operatori. Am arătat acolo că în termenii sistemului 85 trebuie definit sensul (i) al expresiei în mod necesar („necesarul” filozofic şi logic), urmînd ca sensul comun, (iii), al acestei expresii să fie definit în termenii sistemelor T sau 84, avîndu-se în vedere şi faptul că un sistem de forma 84 ar putea fi utilizat în tratarea sensului unor verbe ca a şti. O problemă asemănătoare se pune şi în raport cu „conjuncţiile modale” : implicaţia logică (exprimată în limbajul natural prin dacă. . . atunci) care intervine şi în (115) şi în (122) trebuie înţeleasă ca fiind definită în T, în 84 sau în 85 ? Pentru un moment, vom formula numai un răspuns negativ, spunînd că ea nu poate fi definită în termenii sistemului 85; dacă am da o astfel de definiţie, ar însemna că o frază ca (110) este totdeauna falsă (deci contra-validă), întrucît 4Afară este frig şix Ion nu stă în casă5 nu este o propoziţie falsă în toate lumile posibile (aşa cum cere condiţia (111)). Urmează că dacă... atunci trebuie definit, fie într-un model S4, fie într-un model T. Pentru un moment nu vom alege unul dintre aceste două modele. Yom preciza care este modelul la care ne referim, atunci cînd formulăm o regulă ca (111), abia după ce vom prezenta şi o serie de sisteme modale non-alethice, întrucît se poate întîmpla ca aceste modele să se dovedească mai apropriate sensului construcţiilor condiţionale. Mai mult: în momentul în care vom avea în vedere şi alte conjuncţii modale decît cele discutate sub b, vom putea da o motivare mai puternică alegerii unuia sau altuia (sau altora!) dintre modelele semantice descrise. 211 Capitolul IV LOGICA PROPOZIŢIILOR SI MODALITĂŢILE NON-ALETHICE §. 1. Consideraţii introductive. în acest capitol vom descrie trei sisteme modale care difeiă de cele dc.scri.se în cap. III din dona puncte de vedere : (a) prin natura modelului semantic care le este asociat şi (b) prin semnificaţia care se dă operatorilor modali. în ce priveşte diferenţa menţionata sub (a), în toate modelele semantice discutate în cap. III (modelul-1\ III § 5, b, modelul-S4, III § 6, b şi modelul-S5, § 7, b), relaţia R era reflexivă. Aceasta însemna că orice lume posibilă, w?i, din W era în mod necesar şi propria ei alternativă, în modelele semantice asociate sistemelor pe care le vom descrie în acest capitol, relaţia R va fi totdeauna ne-refle-xivă. Aceasta înseamnă că, în sistemele care urmează să fie descrise, o lume oarecare, din W nu este propria ei alternativă. în consecinţă, într-un astfel de sistem, dacă o propoziţie p este ,,adevărată în orice lume posibilă, wh pentru care avem WiRw”, această propoziţie nu trebuie să fie adevărată şi în (în wu p poate fi adevărată sau falsă). în ce priveşte diferenţa menţionată sub (b) : în toate sistemele descrise în cap. III, semnificaţia semnelor 4 □’ şi 40’ a fost exprimată în mod neformal (adică nu prin reguli de adevăr) prin cuvintele necesar şi posibil. Prin aceasta, spunem că am dat o anumită interpretare semnelor amintite, şi, în consecinţă întregului sistem. în III § 8, a, am văzut că semnul 4 definit într-un model 84, poate fi interpretat şi prin a şti. în cazul sistemelor pe care le vom avea în vedere în acest capitol, vom vedea că o astfel de interpretare nu mai este posibilă, pentru motive pe care le vom explica la locul cuvenit (cf. § § 4 a, 5). O interpretare posibilă a operatorilor modali cu care 212 vom avea a face mai departe ar fi a crede pentru ‘□'şi credibil pentru ‘O’ ; sau este obligatoriu (în raport cu un cod de norme), pentru ‘D’ şi este permis (în raport cu un cod de norme), pentru ‘O’. Dacă avem în vedere prima interpretare, putem numi sistemul construit un sistem modal doxastic; dacă avem în vedere cea de a doua interpretare, putem numi sistemul construit un sistem modal deontic. în cele ce urmează, vom descrie sistemele respective ca sisteme doxastice, urmînd ca, în paragrafele consacrate interpretării lingvistice a acestor sisteme, să avem în vedere şi interpretarea deontică. Pentru a uşura urmărirea si înţelegerea textului, vom folosi în cele ce urmează semnele ‘ □’ şi ‘O’ cu indicele I) subscris: ‘CV, ‘Od’ ; în acest fel, vom face explicită în permanenţă interpretarea posibilă pe care o avem în vedere atunci cînd facem descrierea sistemelor. Aşadar Ln\uP’ se va citi „se crede căj)M iar ‘Opp’ se va citi „este credibil căp”. Întrucît sistemele T, S4 şi S5 au fost descrise şi ex* plicate în mod amănunţit în cap. III iar sistemele pe care le descriem aici nu diferă de primele două decît şi exclusiv prin faptul că, în modele semantice asociate lor, relaţia B este nereflexivă, vom discuta aceste sisteme nu sepaiat, ca în cap. III, ci împreună; deoarece avem în vedere interpretarea doxastică a acestor sisteme şi întrucît ele sînt derivate din sistemele alethice corespunzătoare prin simpla suprimare a uneia dintre proprietăţile relaţiei B (aceea de reflexivitate), ne vom referi la sistemele următoare prin DT şi DS4 şi vom pune astfel în evidenţă relaţia fiecăruia dintre ele cu sistemul alethic din care sînt derivate. Trebuie să observăm că un sistem DS5 nu este posibil deoarece, în modelul asociat acestui sistem, B ar trebui să fie tranzitivă, simetrică şi ne-reflexivă; or, o relaţie care este tranzitivă şi simetrică, este, în acelaşi timp, şi reflexivă. § 2. Sistemele DT şi DS4. a. Elementele constitutive ale sistemelor DT şi DS4. Elementele constitutive ale celor două sisteme sînt identice cu cele ale sistemelor T şi S 4 : reguli de formare, reguli 213 de adevăr, regula de substituţie reciprocă defimendumj de-finiens, regula de substitutie a variabilelor (ef. în special III 5-8). Propoziţia III 5 — 16 cu privire la identitatea de sens dintre definiens şi definiendum este valabilă şi în DT şi DS4, teorema III 6—26 privitoare la substihiţia echivalentelor este valabilă şi pentru DT şi DS 4 (cf. III §§ 5 a., 6 a., 7 a). Semnele ‘-3’ şi 4 = ’ vor fi modificate în şi 4 =D% modificare impusă de convenţia prin care, în sistemele D, folosim operatorii ‘O* şi ‘O’ eu un D subscris. b. Modelele DT şi DS4. Ambele modele sînt constituite din tripletul (W, R, V), unde W şi V au aceeaşi semnificaţie ca în modelele sistemelor alethice (cf. III §§ 5 b., 6 b. şi 7 b), iar R se defineşte după cum urmează : (i) în modelul DT, R este o relaţie ne-reflexivă, ne-tran-zitivă şi ne-simetrică (se observă că are numai propiie-tăţi negative), definită pe clasa W. (ii) în modelul DS 4, R este o relaţie tranzitivă, ne-reflexivă şi ne-simetrică, definită pe clasa W. Prin urmare, pentru orice wu w,, wk e W, avem : dacă tOiRwj şi w^Rwk, atunci WiRtvk. (în schimb, nu este adevărat nici că pentru orice wxe WjWiRiv^ nici cătpentru orice wuw^eW7 dacă WillWj, atunci w^Rw^) în consecinţă, formularea „toate lumile posibile”, în raport cu DT, se referă la toate lumile posibile care aparţin subclasei W8 (cf. observaţiile finale din III § 3), iar în raport cu DS4, se referă la toate lumile posibile care aparţin subclasei W2. c. Validitate în DT şi DS4. în DT, validitatea se defineşte în raport cu modelul DT, unde R este ne-reflexivăy ne-tranzitivă şi ne-simetrică, în timp ce în DS4 validitatea se defineşte în raport cu modelul DS4, unde R este tranzitivă (ne-reflexivă şi ne-simetrică). De remarcat încă o dată că modelul-DT diferă de modelul- T prin faptul că R este în DT ne-reflexivă (în timp ce în T este reflexivă), iar mode-lul-DS4 diferă de modelul-S4 prin faptul că R este în DS4 tranzitivă, ne-reflexivă şi ne-simetrică (în timp ce în S4 este tranzitivă, reflexivă şi ne-simetrică). 214 Cu aceste precizări, putem stabili următoarea definiţie a validităţii în cele două sisteme. 2 — 1. Definiţie. a. O expresie a este validă în DT dacă şi numai dacă, pentru orice e W şi orice model-DT de forma (W, J2, F> avem F(a, wt) = 1. b. O expresie a este validă în DS4 dacă şi numai dacă, pentru orice e W şi orice model-DS4 de forma (TF, R, F) avem F(a, w{) = 1. d. Metodă de testare a validităţii înDT şi DS4. Metoda de testare a validităţii în DT şi DS4 este identică cu aceea clescrisă sub III 5—2. Desigur că, în aplicarea testului III 5—2, trebuie avute în vedere proprietăţile specifice relaţiei R în cele două modele semantice (cf. mai sus, sub b., c.). Pentru a vedea cum se aplică testul III 5—2 în cazul sistemelor aici în discuţie, ca şi în III § 5 d., 6 d., 7 d., vom supune acestui test cîteva expresii. Ex'emplul 1°. Expresia (OdP3 Dd?) este validă tn DT. “ Presupunere: V[QD(p^7)=3(QDp^nD9), w{] = 0 (1) Din (1), prin III 3-2 RA 4 : (a) V Od (pa?), w{] = 1 ; (b) V[(E]Dp=>nD7), w{] = 0 (2) Din (2) (a), prin III 4—1 RA 1: pentru orice w} e IV, pentru care wiRwj, V[(p => q), Wj] = 1 (3) Din (2) (b), prin III 4-1 RA 1: (a) VQDp,^i) = 1; (b) = 0 (4) Din (4) (a), prin III 4—1 RA 1: pentru orice Wje W, pentru care w^Rwj, V(p, wj) = 1 (5) Din (4)(b), prin III 4—1 RAI: exis/ă un w^e W, pentru care wiRw^ astfel încît V(q, wk) = 0 ' (6) 215 Din (5) : dacă pentru orice WjS W, pentru care w^Rwj avem V(P> ujk) = !> atunci şi pentru avem V(P> u>k) = 1 (7> Din (6), (7): Exislă un e W, pentru care avem wiRw^t astfel încît (a) Y(p, wk) = 1; (b) Y(q, wk) = O (8) Din (8), prin III 3 — 2 RA 4: Există un w^e W, pentru care avem w^Rw^, astfel incit vl(P => q)> wkl = O (9) Din (3): Dacă pentru orice WjE W, pentru care WiRw} avem V[(P =>qh w{] = 1, atunci şi pentru wk e W, pentru care wxRwt, avem : v\.(p =>q)> Wk] = i (io) Testul se încheie deoarece (9), (10) contrazic regula III 3— 1. Ipoteza (1) este falsă, deci expresia testată este validă in DT. Exemplul 2°. Expresia Qd(p=)?);=>(OdP:Z)[IId9) este validă in DS4. Întrucît caracterul tranzitiv al relaţiei R nu intervine în nici un fel în aplicarea testului III 5—2 în exemplul de mai sus, rezultă că validitatea expresiei de mai sus în DS4 poate fi testată urmînd exact acelaşi număr de paşi şi în aceeaşi formă, ca în exemplul 1°. Exemplul 3°. Expresia (QD p) => p nu este validă în DT. Presupunere: VJQd p) => p), u'i] = 0 (1) Din (1), prin III 3-2 RA 4 : (a) V Q) p, ) = 1; (b) V(p, w{) - 0 (2) Dcoarece R nu este reflexivă, nu avem wiRwit prin urmare din (3) nu rezultă şi V(p, u>i) = 2. Constituenţii LP ai expresiei inţiale au fost valorizaţi deci testul se Încheie prin alternativa (a). Ipoteza (1) nu duce la violarea regulii III 3—1, aşadar există o lume posibilă, anume în care expresia iniţială este lalsă conform cu modelul DT, deci formula testată nu este validă în DT. Exemplul 4°. Expresia (Od P) ^ p nu este validă în DS4. Pentru acelaşi motiv ca cel invocat în legătură cu exemplul 2°, testarea caracterului nevalid în DS4 al expresiei de mai sus urmează aceiaşi paşi şi în aceeaşi formă ca în exemplul 3°. 216 Exemplul 5°. (Expresia (p =3 OdP) 1111 esie validă in DT. Presupunere: V[(p Od /■>)• lvi1 = 0 (1) Din (1), prin III 3-2, RA4 : (a) V(p, w,) - 1 ; (h) V(0oP< <*'0 = ^ (2) Din (2) (b) prin III 4 —1 RA2: pentru orice Wj e W, pentru care \\\Rwy V (p, Wj) = .'/ Testul se încheie prin valorizarea constituenţilor LT ultimi (alternativa (a)), deoarece R nefiind reflexiva, nu avem deci din (3) nu rezultă şi pentru w{V(p, w{) — 0. Ipoteza (1) nefiind în contradicţie cu III 3—1, urmează că formula testată nu este validă în DT. Exemplul 6°. în exact acelaşi fel se arată că p D d P inl esie validă nici în DS4. e. Teoreme cu privire la validitate în DT şi DS4. înainte de a formula teoreme cu privire la validitate în cele două sisteme, vom preciza raportul dintre clasa TFDT a lumilor posibile asociate sistemului DT şi clasa WDS4 a lumilor posibile asociate sistemului DS4. Lema care urmează precizează acest î aport şi se demonstrează în acelaşi fel în care s-a demonstrat lema III 6 — 13 (bineînţeles, avînd în vedere faptul că atît în DT cît şi în DS4 relaţia R nu este reflexivă). 2—2. Lema. Pentru orice wi e W, dacă wt e WDT este, adevărat, atunci şi e WDS4 este adevărat, dar nu şi invers. Mai departe, vom reformula definiţia 2 — 1, în acelaşi sens în care am reformulat definiţiile validităţii în T, S4 (III 5 — 1, respectiv III 6—2), prin III 5 — 1’, şi, respectiv III 6—2', prin raportare la clasele TFDT şi WDS4, 2 — 1'. Definiţie. a. O expresie a este validă în DT dacă şi numai dacă, pentru orice e W pentru care WjeTFDT, avem F(a, wt) = 1. b. O expresie a este validă în DS4 dacă şi numai dacă, pentru orice w{ e IF, pentru care ^e}PS4, avem F(a, wx) = 1. 217 Din 2 — 2 şi 2—1' rezultă în mod evident : 2—3. Teoremă Pentru orice expresie corect formată, a, dacă a este validă în DT, atunci a este validă în DS4, dar nu şi invers. Teorema care urmează se demonstrează în acelaşi fel ca teorema III 5—3 : 2—4. Teoremă. Fie a o expresie LP. Dacă a este o tautologie (lucru care se poate demonstra cu ajutorul matricilor de adevăr), atunci a este validă în DT. Consecinţa imediată a teoremelor 2—4 şi 2—3 este cuprinsă în următoarea propoziţie : 2—5. Propoziţie. Dacă a este o tautologie, atunci x este validă în DS4. în acelaşi fel în care au fost demonstrate teoremele III 5-4 şi III 6-16 se demonstrează punctele a. şi, respectiv, b. din teorema următoare : 2—6. Teoremă. a. Fie a o expresie LP. Dacă a este o tautologie, atunci Dd a este validă în DT. b. Fie a o expresie corect formată în DS4. Dacă « este validă în DT, atunci Dd a este validă în DS4. ^ Observaţie. Deşi spune acelaşi lucru cu teoremele III 5—4, III 6 — 16, dată fiind interpretarea pe care o avem în vedere a operatorului ‘Dd’ (anume se crede că), teorema 2—6 merită o discuţie specială. Punctul a al acestei teoreme spune că „oricine crede că orice tautologie este adevărată”. Altfel spus, dat fiind îapoitul dintre 1 □o’ şi ‘Od’ (cf. mai jos 2—7 b, 22°) „contradicţiile sînt incredibile”. Acest punct al teoremei este legat de ceea ce se numeşte caracterul raţional al opiniilor. Pentiu a înţelege în ce constă caracterul raţional al opiniilor trebuie să precizăm faptul că (dată fiind interpretarea pe care o avtm în vedere), o expresie de forma ‘Dna’ sau ‘Od «’ (care înseamnă ‘se crede că a’ sau ‘este credibil că a’) se referă la 218 opinia pe care cineva (sau o colectivitate sau toată lumea) o are cu privire la adevărul expresiei ol. Conform cu III 4 — 1 BA 1 (care este şi o regulă de adevăr â sistemului doxastic, cf. mai sus, sub a.), o expresie ca DDa (în interpretare : se crede că a) este adevărată într-o lume, (care poate fi eventual lumea reală) dacă şi numai dacă, în toate lumile accesibile lumii wh ol este adevărată. Aici ,,în toate lumile accesibile lumii w” trebuie înţeles ca în toate lumile compatibile cu opinia privitoare la adevărul expresiei ol. Altfel spus, dacă 4se crede că a’ este adevărată, aceasta înseamnă că a este adevărată în orice împrejurare sau în orice curs al evenimentelor (adică în orice lume posibilă), conformă cu ceea ce se crede. A spune că Ddol este validă în DT înseamnă a spune că ol „este crezută” în toate lumile posibile (care aparţin la TFDT); cu alte cuvinte, dacă nDa este validă în DT, aceasta înseamnă că ol este crezută în orice împrejurare sau curs al evenimentelor, sau că nu există curs al evenimentelor în care să nu se creadă că a este adevărat. Este însă aproape evident că dînd ideii de validitate înţelesul de mai sus, 2—6 a. devine prea restrictivă : oricînd poate fi indicată o stare de fapt în care ol să fie o tautologie şi cineva să nu creadă că a este adevărată, într-adevăr, dacă este de presupus că foarte mulţi (deşi nu în mod necesar toţi) membri ai unei colectivităţi vor crede că ‘p V ~ p’ este adevărată sau nu vor considera credibilă propoziţia L(p A ~p)\ este mult mai puţin probabil că cineva fără o instrucţie logică prealabilă va ,,crede“ tautologia L(p d (g d r)) => ((p A q) => r)’ (cf. II 11—5, 30°). O interpretare mai acceptabilă a teoremei 2—6 a este următoarea : teorema 2 — 6 a arată că oricine, în orice împrejurare, poate fi „convins” sau este dispus să-şi modifice opiniile (cu privire la adevărul unui număr de propoziţii) în momentul în care i se atrage atenţia asupra faptului că opiniile pe care le are sînt contradictorii (fie în sensul că ceea ce consideră credibil nu poate fi niciodată adevărat (= consideră că poate fi adevărată o contradicţie), fie în sensul că crede în adevărul unor propoziţii care nu pot fi adevărate împreună). Aşadar, 2—6 a tre- 219 Imie înţeleasă nu ca afirmînd că toate tautologiile sînt în mod real „crezute” în orice împrejuiare, ci ca aîiirnînd că oricine şi în orice împrejuiare este dispus să creadă orice propoziţie a, în măsura în care este (sau este făcut) conştient de faptul că, în cazul în care nu crede că a este adevărat, opiniile sale au un caracter contradictoriu. O formulare echivalentă a teoremei 2 — 6 a mai apropiată de interpretarea propusă mai sus ar fi : ,,dacă a este o contradicţie, atunci ~ Od« este validă în DT”. Am preferat însă formularea din 2—6 a, întiucît este făcută în termeni identici cu aceia în care au fost foi mulate teoremele corespunzătoare din logica alethică. Această condiţie de „raţionalitate a opiniilor”, chiar în interpretarea piopusă mai sus, presupune o anumită „idealizare” a realităţii. De fapt, oamenii nu sînt totdeauna, în orice împrejuiare atît de sensibili la argumentele logice (deci strict formale), încît să-şi modifice sistemul de opinii cu privire la adevăiul unor propoziţii de îndată ce li se atrage atenţia asupra caracterului lor eontiadic-toriu. De aceea „condiţia de raţionalitate” de care vorbim determină, de fapt, un univers doxastic ideal, în care indivizii au şi / sau adoptă numai opinii raţionale. Avem aici a face cu o „idealizare” de aceeaşi natură cu aceea presupusă, în orice descriere a unui sistem lingvistic dat : o giama-tică (indiferent de ce tip) este un sistem de reguli care sînţ formulate de către lingvist independent de faptul că un număr mai mic sau mai mare de vorbitori concreţi se abat în realitate (din anumite motive) de la aceste reguli; regulile gramaticii sînt regulile care caracterizează comportamentul lingvistic al unui vorbitor ideal. Trebuie remarcat faptul că, în fond, atît toate teoremele legate de „raţionalitatea opiniilor” cît şi multe dintre formulele valide în sistemele doxastice trebuie interpretate în permanenţă în raport cu un univers doxastic ideal sau, mai exact, ca ansamblu de propoziţii care caracterizează un astfel de univers. în ce priveşte punctul b al teoremei 2 — 6, acesta va fi analizat în detaliu în raport cu 2—8 c. 1°, pentru motive care vor deveni clare ceva mai departe. 220 Analogul pentiu DT al teoremei III 5 — 7 este uimă-toarea teoremă, care se demonstrează arătînd eă fiecare dintre expresiile enumerate este validă, pe baza testului de validitate III 5—2. 2—7. Teoremă. Următoarele expresii sînt valide în DT. a. Toate tautologiile din logica propoziţiilor. b. 1°. □„(p => q) o (□,# => D^) 2°. (p =uq) => (Di>P = □»?) 3°. □„ (p A q) = (DoP A Doq) 4° □ »(p = q) = (P =D q) 3°. Di)P = ~ Od ~ q 6°. Odp -= -~Dd ~ q 7°. a' □„ ~ OoP b. ~ mDp = o» ~.p C. DdCIdJ» S ~ OnOi) d. □,) □„ ~p = Oi) Oi) P e. OdOi)~î> = ~ DdP f- di) Oi) ~ Ou Dd /■* g- OuOi)~y5 ~DdOi,p 8°. ~ Oi)(î> V?) S (~ OdPA^Odî) 9°. Oi Ap Vî)s Od P V Od? 10°. (p^3Dq) => (Od/) => Od?) 11°- (Dd P V Ddî) => Dd (p V ?) 12°. Ou(P Ag) ^ OdJ» A Odq 13°. (~p sDp) = nDp 14°. (j9 -3n ~p) = □„ 1“)°. ((q-3Dp) A q SdP)) = Dd? 221 16°. (p -3d q) a (p ^îD ~ q) = Dd ~2> 17°. DdP => {q -3n P) 18°. Dd ~p => (p -3D g) 19°. DdP => (Odî => C d (f> A 5)) + 20°. (UdPA CM? => ?)) => Dd« + 21°. Dnj) dOd? + 22°. ~ □„ (p A ~ q) Explicaţii. Toate expresiile de sub b. 1° — 19° sînt şi expresii valide în*#s (cf. III 5—7 b). Atragem atenţia asupra faptului că subscriptul D la opeiatorii modali şi la semnele de implicaţie şi echivalenţă logică nu are altă semnificaţie decît aceea de a „atrage atenţia” asupra unei anumite interpretări pe care o avem în vedere atunci cînd descriem sistemul, anume interpretarea doxastică. Explicaţiile date sub III 5—7 sînt valabile şi în legă-gătură cu expresiile corespunzătoare din lista de mai sus, cu condiţia de a ţine cont de faptul eă, în 2—7, opeiatorii modali trebuie interpretaţi ca se crede ( Dd) şi este credibil Dd DdP 2° Od Od P => Od P Explica ţi i. Toate explicaţiile valabile pentru 2—7 b sînt valabile şi pentru 2—8 b. Explicaţiile date sub III 6 — 17 pentru b 1° şi 4° sînt valabile şi pentru c 1°, 2° de mai sus. Trebuie atrasă atenţia asupra faptului că nici una din celelalte expresii de sub III 6 —17 b nu este validă în DS 4, datorită faptului că, în modelul DS 4, relaţia R nu este reflexivă. O atenţie specială merită expresia 1° (care nu este validă în DT). Ea exprimă o opinie despre ceea ce se crede : anume că în cazul în care o propoziţie p este crezută ca adevărată, ea este în toate împrejurările (= toate lumile posibile compatibile cu ceea ce se crede) crezută ca adevărată ; altfel spus : dacă o propoziţie, p, este crezută, atunci nu există nici o împrejurare sau curs al evenimentelor (= 22a lume posibilă) care să fie de natură să modifice această opinie, în ipoteza existenţei unui univers de opinii fixat. După cum arătam în observaţiile de sub 2—6, teorema 2 — 6 b este legată de caracterul valid în DS4 al expresiei 2 — 8 c 1° : se poate vedea că, într-un sistem în care 1° nu este validă, deci pentru un sistem în care relaţia R nu este tranzit ivă, nu poate fi adevărat nici punctul b al teoremei 2-6. Pe de altă parte, 1° nu poate fi trecută printre regulile , avem F(a, = 0. b. Expresia a este contra-validă în DS4 dacă şi numai dacă, pentru orice wx e W şi orice model D84 de forma (TF, P, F>, avem F(a, w{) = 0. {cf. III 5—9, III 6 — 19 si III 7 —10). Teorema următoare este consecinţa directă a definiţiilor 2 — 10 şi 2 — 1. 2 24 2 — 11. Teoremă. Pentru orice expresie, a, din DT şi/ sau DS4. a. ~ a este contra-validă în DT, dacă şi numai dacă a este validă în DT. b. ~ a este contra-validă în DS4, dacă şi numai dacă a este validă în DS4. Corespunzător definiţiilor III 5 — 11, III 6—21 si III 7-12, vom avea pentru sistemele doxastice : 2 — 12. Definiţie. Fie a o expresie intrig şi sau D84. a. (i) a este logic determinată în DT, dacă şi numai dacă a este validă în DT sau contra- ^ validă în DT. (ii) a este logic nedeterminală în DT, dacă şi numai dacă a nu este nici validă în DT, nici contra-validă în DT. b. (i) a este logic nedeterminată în DS4, dacă şi numai dacă a este validă în DS4 sau contra-validă în DS4. (ii) a este logic nedeterminată în DS4, dacă şi numai dacă a nu este nici validă în DS4, nici contra-validă în DS4. Propoziţiilor III 5-12, III 6-22 şi III 7-13 le corespunde următoarea propoziţie valabilă pentru DT şi DS4 : 2 — 13 Propoziţie. Fie at, aa, an un număr de expresii in DT şi/sau DS4. Dacă pentru fiecare ai (1< i în legătură cu sistemele DT şi DS4 şi vom stabili ulterior o serie de teoreme privitoare la aceste relaţii. 226 2 — 15. Definiţie. Fie a, p două expresii în DT (DS4).' a. ‘a (=0 0’ este : A. adevărată pentru DT dacă; şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) ‘a -3d /T este validă în DT; (ii) 4a =>D fi’ este validă în DT. B. adevărată pentru DS4, dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) ‘a -3d P9 este validă în DS4 ; (ii) ‘a ^ P’ este validă în DS4. b. ‘a H Dp’ este : A. adevărată pentru DT, dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) 4 a =DP’ este validă în DT; (ii) ‘a = py este validă în DT. B. adevărată pentru DS4, dacă şi numai dacă una din următoarele două condiţii este satisfăcută : (i) ‘a =D p9 este validă în D84 ; (ii) 4a = p9 este validă în DS4. Urmarea directă a acestei definiţii şi a teoremelor 2—3, 2—4, 2—7, 2—8 este cuprinsă în următoarea teoremă: 2 — 16. Teoremă. A. Următoarele expresii sînt adevărate pentru DT : 1°. (a V fi) t=D a 2°. fi I=d(/? V a) 3°. (a V 0) t=D(0 V a) 4°. (0=> Y) f=D(a V J») =3 (a v y) 5°. (& A fi) f“D ® 6°. (& A. fi) Nd fi 7°. (a => 0) Nn (0? => V) n n 227 8°. (fi =, y) f=D ((a => P) => (a => }’)) 9°. ((a => P) A (P => y)) )=n (cc => y) 10°. (a A (a => P)) t=n P 11°. a Nu a 12°. a f= D ~ ~ a 13°. (a => (P => y)) No («AP) => ?)) 14°. ((a A P) y) N d (a (P => y) (ii) 1°- □D(a ^j?)|=d(Ddoi => □,yp) 2°. (# =D P) ( Dd a = CHd/0 3°. (® ~3 n P) Nd Od* 3 Od P 4°. (□d« V Dd P) Nd Dd (a V fi) 5°. Od(« A/») f=D Od aA Od/* 6°. Od a (P ~3d a) 7°. Dd a Nd (<* -3dP) 8°. □d* I=d (Od a => Od (a AP)) 9°. (□d<* ADd (a => P) NdDdP 10°. □d* Nd Od « i 1°. (a A P) Md ~ ( ~ a V ~ fi) 2°. ~( fi) |=|D(~a V fi) 6°. (a A /?) Nd(^ A a) 7°. (a V j8) Hd (P V a) 8°. (a = fi) Md (P = «) 9°. (a => /?) t=lD (~ /? => ~ a) 228 10°. ~ (a => P) Nd (a A ~J8) 11». (asj9) No(a = fi)A(p=>a)) 12°. a. ~ (a s jg) HD(« = ~ fi) b. ~ (a = /?) Hd(~«£ P) c. ~ (a = p) Mu ((a A ~ P) V V (M ~ a)) 13°. a Hd a 14°. a Hd ~ ~ a 15°. (a A a) Nd a 16°. (a V a) Nd« 17°. (a=> (/?=>y)) Hn(j9 3 ( y)) 18°. ((a V P)Vy) Nd(« V (P V y)) 19°. ((a AP) A y) Nd (a A (P A y)) 20°. (aA(j8Vy)) Nd((« A P) V (a Ay)) 21°. (aV(i?Ay)) Nd((«Vj8) A(aVy)) (Ii) 1°. Dd (a A P) Nd ( Dd a A Dd P) 2°. Dd (a = P) Nd (# =d /^) 3°. □d«Nd'~Od~« 4°. Od« Nd^Dd^» 5°. a. do ~ NdOd <* b. ~Dd« Nd Od~« C. Dd □d“Hd'vOdOd~“ d. DoDo ® Nd ^ Od Od* e. OdOd~«Hd~Dd Dd« f» Dd Od ^ * Hd Od Dd ® g- On Dd # Nd 1 ' Dd Od a 229 6° ~Od(<*V/?) Hd(~Od«A~Od|S) 7°. Od(®V/î) Md (Od aV Od|S) 8°. (~«-3d«) HdOd* 9°. (a -3d °0 Md Dd 1—’ # 10°. ((/î -9d«)A(~Md“)) WdDdI» 11°. Nd/))/a(Hd^)H»Gd-ii B. Următoarele expresii sînt adevărate pentru DS4 a. (i) Toate expresiile de sub A. a. (i) (ii) Toate expresiile de sub A. a. ii şi 1°* Dd a CUdCUd a 2°. Od Od^ Nd Od® b. (i) Toate expresiile de sub A. b (i) (ii) Toate expresiile de sub A. b. (ii). Analogul doxastic al teoremelor III 5 — 18 şi III 6—27 este următoarea : 2 — 17. Teoremă. Fie a, p două expresii în DT (sau DS4). ‘a MdP’ este adevărată pentru DT sau pentru DS4 dacă şi numai dacă ‘a f=D P’ Şi ‘P f=D a’ sînt ambele adevărate în DT sau, respectiv, în DS4. h. Identitate doxastică de sens şi sinonimie doxastică. în măsura în care a fost util să introducem termenul de „identitate doxastică de sens” este util să introducem şi termenul corespunzător, de „sinonimie doxastică” ; „sinonimia doxastică” este deci analogul termenului de „sinonimie” folosit în raport cu expresiile din logica modală alethică. Nu toate expresiile care au sens identic doxastic pot fi considerate ca „sinonime doxastice” pentru exact aceleaşi motive pentru care nu toate, expresiile cu sens identic din logica modală alethică puteau fi considerate sinonime (în raport de parafrază) (cf. III §5 h.). Formulăm în continuare următoarele condiţii pe care două expresii 230 trebuie să le satisfacă, pentru a putea fi considerate sinonime doxastice : 2—18. Condiţii pentru sinonimia doxastică. Fie a, p două expresii în DT (sau DS4). între expresiile a, fi există un raport de sinonimie doxastică (parafrază doxastică), dacă şi numai dacă următoarele trei condiţii sînt satisfăcute : 1°. lol Md P’ este adevărată pentru DT (sau DS4)\ 2°. Nici una dintre expresiile a, p nu este validă sau contra-validă în DT (sau D84), cu excepţia cazului în care a este identic cu p, cînd ol şi p pot fi valide sau contra-valide în DT (sau DS4). 3°. Constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiilor a sînt identici cu constituenţii ultimi ai constituenţilor LP ai expresiei p. Conform cu 2—18, toate expresiile de sub 2—16. A. b. (i, (ii) (1°—9°) şi B. b. (i), (ii) (afară de B. b. 9°, 10°) sînt sinonime doxastice. « w iC / i. Raportul dintre sistemul DT şi sistemul DS4. Din a. rezultă următoarele : (i) Sistemele DT şi D84 au un inventar de semne identic; (ii) regulile de formare sînt identice în DT şi D84. (iii) regulile de substituţie sînt identice în DT şi D84 (iv) regulile de adevăr sînt identice în DT şi D84. în plus, din 2—3 rezultă că (v) orice expresie validă în DT este validă şi în DS4, fără ca inversa să fie adevărată. în aceste condiţii, conform definiţiei III 5—22, devine evidentă următoarea teoremă : 2 — 19. Teoremă. Sistemul DT este inclus în sistemul DS4; sau : limbajul DT este un sublimbaj al limbajului DS4 Din III 5—23 şi 2 —19 rezultă următoarea propoziţie : 2—20 Propoziţie. Fie a, p două expresii în DS4. a. Dacă ’of(=Dj5’ este adevărată pentru DT, atunci ’aJ=D/?’este adevărată şi pentru DS4, dar nu şi invers. 231 b. Dacă ’ocMd/?’ este adevărată pentru DT, atunci fcste adevărată şi pentru DS4} dar nu şi invers. Se observă că relaţiile de „consecinţă doxastică” şi „identitate doxastică de sens” pot fi transferate din DT în DS4, dar nu şi invers. § 3. Raportul dintre sistemele alethice şi sistemele doxastice. Urmînd liniile generale ale felului în care s-a demonstrat incluziunea dintre clasele de lumi posibile WT şi TFS4, Ws\şi WS5, WDT şi WDS4 (cf. III§ 6e., III§7 e şi, în acest capitol, § 2e) se poate demonstra următoarea lemă : 3 — 1. Lemă. Fie, ca mai sus, W o clasă de obiecte nespecificate numite „lumi posibile” şi fie TTT, WS4, Ws5? ^dt wt**c: W, clasele de lumi posibile asociate sistemelor T, S4, S5, DT şi, respectiv DS4. Pentru orice wxeW sint adevărate următoarele : a. Dacă e WDT, atunci w-x e WT, dar nu şi invers. b. Dacă wx e atunci wx e 1FS4, dar nu şi invers. Din 3 — 1 a, 2 — 1' a(=definiţia validităţii în DT) şi III 5 — 1' ( = definiţia validităţii în T) rezultă în mod evident următoarea teoremă : 3—2 Teoremă. Pentru orice expresie corect formată, a, dacă a este validă în DT, atunci a este validă şi în T; reciproca nu este adevărată. Din 3 — 1 b, 2 — 1' b şi III 6—2' (= definiţia validităţii în S4) rezultă : 3—3 Teoremă. Pentru orice expresie corect formată, a, dacă a este validă înDS4, atunci a este validă şi în Si; recipro3a nu este adevărată Din 3—2 şi 3—3 rezultă direct: 3—4 Teoremă. Pentru orice expresie corect formată, a, dacă a este validă în DT, atunci a este validă şi în Si; reciproca nu este adevărată. 232 Din 3—4 şi III 7—5 b (care arată că orice expresie validă în S4 este validă şi în S5) rezultă : 3—5. Teoremă. Pentru orice expresie corect formată, a: a. Dacă a este validă în DT, atunci a este validă şi în S5 ; reciproca nu este adevărată. b. Dacă a este validă în DS4, atunci a este validă şi în S5 ; reciproca nu este adevărată. Ţinînd seamă de faptul că toate sistemele modale descrise în cap. III şi IV sînt identice din punctul de vedere : (i) al inventarului de semne ; (ii) al regulilor de formare; (iii) al regulilor de substituţie; (iv) al regulilor de adevăr; din 3—2, 4, 5, rezultă următoarea teoremă: 3 — 6. Teoremă. a. Sistemul DT este inclus în sistemul T; sau : limbajul DT este un sub-limbaj al limbajului T. b. Sistemul DT este inclus în sistemul S4; sau : limbajul DT este un sub-limbaj al limbajului S4. c. Sistemul DT este inclus în sistemul S5; sau : limbajul DT este un sub-limbaj al limbajului S5. d. Sistemul DS4 este inclus în sistemul S4; sau : limbajul DS4 este un sub-limbaj al limbajului S4. e. Sistemul DS4 este inclus în sistemul S5; sau : limbajul DS4 este un sub-limbaj al limbajului S5. Din II 5—23 şi 3—6 rezultă următoarea propoziţie: 3 — 7. Propoziţie. Fie a, p, două expresii corect formate în S5. A.a. Dacă ‘af=D /?’ este adevărată pentru DT, atunci: =dP' este adevărată pentru T, DS4, S4 şi S5, dar nu şi invers. 233 b. Dacă este adevărată pentru DT, atunci ‘«Nd/5’ este adevărată şi pentru T, DS4, 84 şi S5, dar nu şi invers. B.a. Dacă ‘af=D/?’ este adevărată pentru D8A, atunci ‘at=D/?’ este adevărată şi pentru 84 şi 85, dar nu şi invers; b. Dacă ‘ocHdP1 este adevărată pentru D84, atunci este adevărată şi pentru 84 şi 85, dar nu şi invers. Teorema 3—7 arată că relaţiile de „consecinţă doxastică şi de „identitate doxastică de sens” pot fi transferate din sistemele doxastice în cele alethice, dar că acest transfer nu se poate face şi în sens invers (de la sistemele alethice, la cele doxastice). încheiem aceste consideraţii cu stabilirea unei teoreme care exprimă relaţia dintre operatorii modali alet-hici şi cei doxastici. Teorema se formulează deci despre sistemele modale descrise şi nu este o teoremă în nici unul dintre aceste sisteme. Întrucît, conform cu 3—6, oricare dintre cele două sisteme DT şi D84 sînt sub-limbaje ale limbajului 84 sau 85 (T fiind, la rîndul său un sub-limbaj al limbajului 84 şi D T sub - limbaj al lui T), vom stabili relaţiile dintre operatorii modali din fiecare sistem alethic şi fiecare dintre operatorii doxastici din sistemele doxastice descrise mai sus. Pentru a explicita apartenenţa operatorilor modali (alethici şi doxastici) la un anumit (sub-)limbaj, vom indica prin superscripte plasate în dreapta fiecărui operator apartenenţa sa la un (sub-) limbaj; vom avea deci S®; nSi, O84, ; □*, Ot ; D?Od; □£, <>£• Folosim semnul ’n’ pentru a exprima un raport de „consecinţă logică”. De remarcat că acest semn este distinct de ’t= V folosit pînă acum. Distincţia este necesară, întrucît semnul ’f= ’ a fost rezervat pentru desemnarea raportului de „consecinţă logică într-un anumit sistem”. Semnul *= exprimă raportul de consecinţă logică între expresii aparţinînd la sisteme, diferite. 234 3—8 Teoremă. Următoarele expresii sînt valide pentru S5 şi pentru oricare dintre sub-limbajele: 84, D84, T şi DT ale acestuia : a. 1° CpocN Dd a 2° □“ahsdga 3° Ds4a N Dd * 4° Ds4a|= Dja 5° DTaN Dd* 6° □“aNOna 7° □“aNOSa 8° □“«NOd» 9° DS4aNOSa 10° [DTat= o5« b. 1° □D4*NOssa 2° d!,4 a NO 34 a 3° □lfaNOTa 4° aga^O^a 5° □îaNO84* 6° DSaNOTa e. 1° Od*N0S6« 2° OD4aNOS4« 3° Od«N 0Ta 4° 05aN085a 5° OSaNOS4a 6° OSocNOToc Demonstraţia teoremei 3—8 se face arătînd pentru fiecare expresie că este validă cu ajutorul testului III 235 5—2 şi ţinînd seama, fireşte, de faptul că fiecare operator modal are condiţii de adevăr definite în raport cu modelul semantic asociat sub-limbajului la care operatorul aparţine. Explicaţii. Expresiile a. 1°—5° arată că tot ce este necesar (în oricare din cele trei accepţii, adică S5, S4 şi T) este crezut ca fiind adevărat (în oricare din cele două accepţii ale lui crede). Expresiile a. 6°—10° arată că tot ce este necesar (în oricare din cele trei accepţii ale necesităţii : 85, &4 şi T) este şi credibil (în oricare din cele două accepţii ale lui credibil: DS4 şi DT). După cum se observă, dacă tot ce este necesar este crezut ca adevărat, atunci cu atît mai mult este şi credibil. Expresiile b. 1°—6° arată că tot ce se crede (în oricare din cele două accepţii ale lui crede) este şi posibil (în oricare din cele trei accepţii ale lui posibil), in timp ce expresiile c. 1°—6° arată că tot ce este credibil (în oricare din cele două accepţii ale lui credibil) este şi posibil (în oricare din cele trei accepţii ale lui posibil). Altfel spus, într-o formă mai generală, tot ce se crede sau tot ce este credibil este şi posibil (nu se pot crede şi nu sînt nici credibile lucrurile care sînt imposibile). Dacă 2—6 a putea fi interpretată ca formulînd o condiţie de raţionalitate a opiniilor în raport cu conceptul de validitate, expresiile din 3—8 pot fi interpretate şi ele ca exprimînd tot o condiţie de raţionalitate a opiniilor, dar, de data aceasta, în raport cu conceptele de necesitate şi posibilitate. Trebuie să amintim din nou, în această ordine de idei, că, atunci cînd vorbim despre „condiţii de raţionalitate”, avem în vedere un univers doxastic ideal. Prin aceasta înţelegem că cele arătate în 3—8 nu înseamnă că în realitate oricine şi oricînd crede ca adevărate toate propoziţiile necesar adevărate, consideră credibile toate propoziţiile necesar adevărate şi nu crede decît propoziţii posibil adevărate sau nu consideră credibile decît propoziţiile posibil adevărate. Condiţiile 3—8 trebuie înţelese ca exprimînd numai presupunerea că oricine şi în orice împrejurare, într-un univers doxastic ideal, va fi dispus oricînd să renunţe la a nu crede ceea ce este necesar adevărat, 236 sau la a crede ceea ce este logic imposibil, sau la a considera credibil ceea ce este logic imposibil în momentul în care va constata că opiniile sale sînt contradictorii. Pentru a exprima într-un mod sintetic cele cuprinse în 3—8, vom formula următoarea lemă (care ne va fi utilă pentru a demonstra o teoremă următoare). 3—9. Lemă. Fie DA oricare dintre operatorii DS5, □S4, □'* ; fie O a oricare dintre operatorii v> s\ Os4 şi Ot ; fie do, oricare dintre operatoriid^4, □p Şi Od oricare dintre operatorii OSS o£. Pentru S5 şi pentru oricare dintre sub-limbajele S4, DS4, T şi DT ale acestuia sînt adevărate următoarele : a. Da«N mDa b. Da«NOd« e. laNOA^ d. Od^-NOa® Lema 3—9 arată că (i) tot ce este alethic necesar este şi doxastic necesar ; (ii) tot ce este alethic necesar este doxastic posibil; (iii) tot ce este doxastic necesar este şi alethic posibil şi (iv) tot ce este doxastic posibil este şi alethic posibil. §. 4. Sistemele doxastice şi limbajul natural. în III § 8 am arătat că, în structura frazei, se stabilesc raporturi de dependenţă între cuvinte şi expresii ca necesar, posibil, în mod necesar, se poate ca etc. şi propoziţiile care sînt subordonate acestor cuvinte. Întrucît, pe de o parte, logica propoziţiilor nu putea oferi aparatul conceptual necesar pentru a determina sensul unor astfel de construcţii şi întrucît cuvintele şi expresiile din această categorie au semnificaţii care pot fi specificate, în anumite condiţii, în acelaşi fel în care sînt specificate semnificaţiile operatorilor modali alethici, am ajuns la concluzia că aparatul conceptual de care se serveşte logica modală alethică poate fi utilizat în abordarea acestui tip de construcţii din punct de vedere semantic. 237 Pe de altă parte, am văzut că specificarea sensului unor conjuncţii pe care le-am numit „modale” (cf. III § 8b.) reclaină utilizarea unui sistem modal alethic. Există însă propoziţii care depind de cuvinte şi expresii al căror sens nu poate fi descris în termenii unor sisteme alethice, ci al unor sisteme modale mai puţin puternice. în mod paralel, există „conjuncţii modale” al căror sens nu poate fi specificat decît în termenii unor sisteme modale mai slabe decît cele alethice. Pentru aceste cazuri, după cum vom vedea mai jos, se dovedesc a fi convenabile sistemele doxastice. a. Cuvinte modale în sens doxastic. Paragrafele anterioare ale acestui capitol au sugerat în mare măsură care sînt cuvintele şi expresiile din limbajul natural susceptibile de a fi tratate în termenii unui sistem doxastic: se crede că... şi este credibil că... ; în aceeaşi serie mai poate fi încadrată şi expresia există convingerea că... O particularitate a expresiilor din această clasă este următoarea : dacă o construcţie de tipul: (129) Se crede că Ion este student. este adevărată, din aceasta nu rezultă în mod necesar că (130) Ion este student. este, de asemenea, adevărată. Altfel spus: (129) poate fi adevărată, independent de valoarta de adevăr a propoziţiei (130). În mod asemănător, dacă (131) Există convingerea că Ion este student. este adevărată, din aceasta nu rezultă cu necesitate că (130) este, de asemenea, adevărată. Şi în acest caz (131) este adevărată independent de valoarea de adevăr a propoziţiei (130). Această observaţie este în perfect acord cu intuiţia pe care o avem asupra sensului unor expresii ca se crede că, există convingerea că', cineva poate să creadă sau să aibă convingerea că o propoziţie oarecare este adevărată, fără ca, această propoziţie să fie, în realitate, adevărată. Că lucrurile stau aşa ne-o dovedeşte şi faptul că propoziţii sau fraze ca 238 (132) Se crede eă Ion este student, dar Ion nu este student. sau (133) Există convingerea că Ion este student, dar Ion nu este student. nu sînt considerate de nici un vorbitor ca „absurde” sau, mai exact, contradictorii. Prin cele arătate pînă acum, expresiile discutate aici se deosebesc esenţial de expresia în mod necesar; după cum am arătat în III § 8, a. 2° (p. 19 7), o frază ca (102), care conţine pe în mod necesar în loc de se crede ca şi există convingerea că, în rest fiind identică cu (132), (133), este contradictorie. Cele discutate aici sînt de natură să arate că sensul expresiilor menţionate (se crede că, există convingerea că) nu poate fi captat în termenii unui model semantic de tip alethic (în care relaţia R este reflexivă), ci în termenii unui model semantic de tip doxastic (în care relaţia R este nereflexivă). Aceasta, din cauză că, din proprietatea de reflexivitate a relaţiei R rezultă, validitatea în toate sistemele alethice a expresiilor de forma ‘Dp=>p’ (cf. III 5—7 b. 1°, III 6—17 a., III 7—8 a.), în timp ce caracterul ne-re-flexiv al relaţiei R în modelele doxastice (cf. § 2b) face ca expresiile de forma ’Op^p' să nu fie valide în nici un sistem doxastic (cf. §2d. exemplele 3°, 4°). înainte de a încerca să arătăm cu care dintre modelele semantice doxastice este compatibil sensul verbului crede, sînt necesare cîteva precizări: Dintre diversele sensuri înregistrate în dicţionar sub crede (cf. DEX s.v.), ne interesează cele pe care verbul le are în construcţiile în care este determinat de o propoziţie (completivă directă sau subiectivă). în aceste construcţii trebuie să facem şi aici distincţia între aserţiunile de diclo, ca în (129), şi aserţiunile de re, ca în (134) Se crede despre Ion că este student. (al cărei sens se poate „traduce” prin, există un x pentru care a? = Ion, astfel încît se crede că x este student” 3 pentru distincţia de dictojde re vezi mai sus III § 8a.) Pentru aceleaşi motive pe care le-am arătat în III § 8 a, nu vom considera aici decît aserţiunile de dicto. 239 în plus, trebuie remarcat faptul că verbul crede este folosit nu numai în forma de reflexiv impersonal se crede, ci şi în forma personală (deci cu subiect şi completivă directă) (această construcţie poate fi considerată ca cea mai „obişnuită”). Pentru a putea formula condiţii de adevăr pentru construcţii de forma (135) X crede că P. este nevoie de un sistem doxastic construit într-o formă puţin diferită de aceea în care a fost prezentat aici, anume un sistem in care operatorul ’ Dd’ este „relativizat”, adică raportat în mod explicit la o persoană: ’df,’. în aceste condiţii, regulile de adevăr vor fi formulate în raport cu construcţii de forma (135') Dlp Este evident că regulile de adevăr pentru expresii ca (135') vor putea fi folosite şi pentru expresiile de forma (135) ale limbajului natural. în această ordine de idei, atragem atenţia asupra faptului că Hintikka, 1969, construieşte un sistem doxastic DS4 cu operatori relativizaţi. Tehnica de „trecere” de la un sistem cu operatori modali relativizaţi la un sistem cu operatori simpli (şi invers) este prezentată în Hilpinen, 1969. în § 2 al acestui capitol am construit un sistem cu operatori simpli, întrucît am urmărit realizarea unui paralelism cu operatorii modali alethici, fapt care ne-a dispensat de prezentarea metodei de construire a sistemelor cu operatori simpli pornind de la sisteme cu operatori relativizaţi, ceea ce a simplificat în mod simţitor expunerea. Prin urmare, cele ce urmează vor avea în vedere nu expresiile de forma (135), ci expresii de forma (136) Se crede că P. urmînd ca cititorul să aibă în vedere în permanenţă faptul că printr-o generalizare a oricăruia dintre sistemele doxastice de sub § 2, prin care se obţin sisteme cu operatori relativizaţi, se poate ajunge oricînd la formularea de reguli de adevăr pentru expresii de forma (135). Mai departe, dintre diversele sensuri ale verbului crede enumerate de dicţionar (cf. spre exemplu DEX s.v.), numai unele prezintă interes din punctul nostru de vedere. Prin urmare, avem şi în acest caz a face cu un caz de ambiguitate a limbajului natural care trebuie eliminată, înainte de a încerca să formulăm reguli de adevăr pentru construcţiile care ne interesează. Vom realiza dezambiguiza-rea — ca şi în III § 8 — prin indexare; vom avea a face deci cu următoarele elemente lexicale : (i) credex cu sensul de „a considera pe cineva sau ceva altfel decît este în realitate ; a (i) se părea” (definiţie reformulată după DEX s.v.j. (ii) crede2 cu sensul de ,,a fi convins de adevărul unui fapt, al unui lucru” (după DEX s.v.). Cu această accepţie, crede este sinonim cu a fi convins (în forma se crede este sinonim cu există convingerea că, v. mai sus.); (iii) crede3 cu o accepţie mai slabă decît crede2 care nu presupune „convingerea”, eventual un sens identic cu ,,a se considera că” (acest sens nu apare în DEX s.v.). După cum se vede, primul sens al lui crede presupune un model semantic ales în aşa fel încît o frază de forma (137) dacă (se crede2 că P), atunci P. să nu fie validă (pentru aceasta ar fi suficient oricare din cele două modele doxastice de care ne-am ocupat în acest capitol). Această condiţie este însă prea slabă : este necesar un model semantic în ai cărui termeni orice expresie de forma (138) dacă (se crede că P), atunci nu-P. să fie validă. O construcţie ca (138) spune că dacă P este considerat a fi adevărat fără a fi adevărat în realitate (= sensul (i) al lui crede) aceasta implică faptul că P nu este adevărat. Or, nici modelul DT, nici modelul DS4 nu permit formularea unor condiţii de adevăr în conformitate cu care (138) să fie validă. Urmează de aici că nici unul dintre modelele doxastice descrise aici (şi cu atît mai puţin cele alethice, descrise în cap. III) nu poate fi adecvat în descrierea sensului lui credev în ce priveşte sensul lui crede2: După cum am remarcat sub (ii), erede2 este sinonim cu a fi convins că. Întrucît dicţionarul nu face o distincţie clară decît între credej şi crede2 (sinonim cu a fi convins că), nesemnalînd existenţa unui sens mai slab al lui crede (anume cel înregistrat de noi sub (iii), vom încerca să stabilim existenţa celui de al trei- 241 lea sens al lui crede într-un mod indirect, arătînd că accep-tînd că există o relaţie de sinonimie între a crede şi a fi convins că (sensul lui crede înregistrat sub (ii)), trebuie să admitem că există cel puţin un context în care cele două sinonime nu se pot substitui unul celuilalt şi că, prin urmare, există cel puţin încă un sens al lui crede, care este diferit de cel al lui a fi convins că. O propoziţie ca : (139) (Sînt convins că Ion este student), dar (nu sînt sigur că Ion este student). este evident contradictorie (eventual, într-o terminologie mai puţin tehnică, absurdă) pentru orice vorbitor. în schimb, dacă înlocuim în (139) pe sînt convins că prin cred că, rezultatul este o frază care poate fi, după împrejurări, adevărată sau falsă, dar în nici un caz contradictorie (sau „absurdă”): (140) (Cred că Ion este student), dar (nu sînt sigur că Ion este student). Această situaţie arată în mod clar că cred din (140) are; un sens diferit de sînt convins din (139); acest sens al lui cred este sensul definit mai sus, sub (iii). Mai departe : dacă este cazul să ne îndoim de existenţa unui eventual al treilea sens al lui crede, atunci acest al treilea sens este exact sensul înregistrat de noi sub (ii), cel identic cu al lui a fi convins, adică cel înregistrat de DEX, în orice caz, existenţa sau inexistenţa unui crede2 (= crede cu sensul (ii)) nu ne interesează prea mult aici, deoarece, oricum, există o expresie cu un sens „mai puternic” decît al lui cred&3, anume tocmai expresia a fi convins că. i . Dealtfel, în consideraţiile care urmează, nici nu ne vom baza în vreun fel pe existenţa unui crede2 (a cărui existenţă poate fi pusă la îndoială), ci vom avea în vedere numai expresia a fi convins, care, în mod sigur, diferă ca sens de credes. în cazul în care existenţa lui crede2 va putea fi probată în vreun fel oarecare, acesta poate fi tratat fără nici o dificultate ca sinonim al lui a fi convins. în ce priveşte pe a fi convins, menţionăm faptul că, spre deosebire de a crede, nu poate fi folosit într-o formă impersonală, corespunzătoare lui se crede. De aceea am recurs la o formă destul de neobişnuită şi artificială : 242 există convingerea că.. .Notăm, în această ordine de ideiy şi deosebirea de regim sintactic dintre se crede că şi există convingerea că : propoziţia care urmează după prima expresie este o subiectivă, în timp ce construcţia care urmează după a doua este o atributivă (pe lingă convingerea). Am recurs la această construcţie neobişnuită pentru a putea da o descriere semantică în termenii modelelor pe care le avem la îndemînă, fără a recurge la modele ale unor sisteme cu operatori modali relativizaţi. Observăm totuşi că, în momentul în care generalizăm modelele semantice în aşa fel încît să putem descrie şi construcţii de tipul Ion crede că P (descriere pe care nu o putem realiza cu ajutorul modelelor descrise în acest capitol), ne putem dispensa de o expresie mai greu acceptabilă (deşi nu incorectă!) ca există convingerea că. Cu aceste precizări, putem încerca să clarificăm într-o măsură mai mare diferenţa de sens dintre credes şi a fi convins. în explicaţiile de sub 2—8, arătam că, în termenii unui model DS4, dacă o propoziţie P este crezută ca adevărată, aceasta înseamnă că se crede, de asemenea, că nu există nici o împrejurare (curs al evenimentelor) în care P să nu fie crezută ca fiind adevărată. Dacă pentru crede3 această condiţie pare a fi prea puternică, pentru a fi convins o astfel de condiţie pare a fi justificată. într-a-devăr dacă este adevărată propoziţia (141) Ion crede că vacanţa începe la 20 decembrie* aceasta nu înseamnă că este adevărat şi că (142) Pentru Ion nu există nici q împrejurare în care el ar putea crede că vacanţa nu începe la 20 decembrie. în schimb, dacă propoziţia (143) Ion este convins că vacanţa începe la 20 decembrie este adevărată, atunci nu este neraţional să admitem şi că propoziţia (144) în raport cu convingerile lui Ion, nu există nici o împrejurare (=lume posibilă) în care el ar putea să nu aibă aceeaşi convingere. Sâu : (145) în raport cu convingerile lui Ion nu există nici o împrejurare (=lume posibilă) care l-ar putea determina să renunţe la convingerea că vacanţa începe la 20 decembrie. 245 / în cazul în care diferenţa de sens dintre crede3 şi a fi convins se poate face pe această bază, urmează că distincţia semantică dintre cei doi termeni rezidă în faptul că a fi convins implică cu necesitate ideea de conservare a opiniei în toate împrejurările (=4umile posibile) compatibile cu convingerile cuiva, în timp ce a crede3 nu implică o astfel de conservare a opiniei în toate împrejurările (=lumile posibile). Dacă lucrurile stau aşa, urmează că sensul lui a fi convins trebuie definit în termenii unui model DS4 (unde ‘ChxP13 OdOd?5 o expresie validă), în timp ce sensul lui a crede3 trebuie definit în termenii unui model DT (unde ‘□j#3 □dOd?’ nu es^e 0 expresie validă). Cele arătate ne duc la concluzia că în limbajul natural avem a face cu mai mulţi operatori modali doxastici: cel mai „puternic” este a fi convins, cel mai puţin puternic este a crede3. Sensul celui dintîi poate fi specificat în termenii unui model DS4, sensul celui de al doilea poate fi specificat în termenii unui model DT. După cum am arătat mai sus, sensul lui a credex nu poate fi specificat nici în termenii unui model DS4, nici în cei ai unui model DT. Pentru acest sens este necesar un model diferit, asemănător cu cele doxastice, prin faptul că relaţia R trebuie să fie ne-reflexivă, dar diferit de acestea prin faptul că una dintre condiţiile de adevăr ale expresiei se crede! că Peste valoarea „fals” a lui P. Întrucît nu am discutat pînă aici astfel de sisteme, nu ne vom ocupa aici de sensul lui se credev Conform cu cele arătate pentru a specifica sensul unei construcţii ca (146) Există convingerea că P vom formula o regulă de forma (147) F[(Există convingerea că P),^,] —1 dacă şi numai dacă pentru orice w-3 e W pentru care Rwh avem V(P9 w-3) = 1 (unde R este ne-refle-ocivăj tranzitivă şi ne-simetrică). Pentru a specifica sensul unei construcţii ca (148) Se crede3 că P vom formula o regulă de forma 244 (149)V[(Se crede3 eă P), w,)] = i, dacă şi numai dacă pentru orice e W, pentru care WiRWj, avem V(p, Wj) = 1 (unde R este ne-reflexivă, ne-tran-zitivă şi ne-simetrică). în limbajul natural, operatorul corelat celor doi operatori doxastici: a fi convins şi credes este credibil. Avem deci a face cu un nou caz de ambiguitate : o expresie ca (150) Este credibil că P poate fi înţeleasă fie în corelaţie cu (146), fie în corelaţie cu (148); altfel spus, credibil din (150) poate fi definit fie într-un model DS4, şi, în acest caz, credibil este corelatul lui există convingerea că, fie într-un model DT, şi, în acest caz, credibil este corelatul lui se crede3. Vom avea deci în primul caz un element lexical pe care îl vom reprezenta prin credibil2 (corelat al lui crede2) şi în al doilea caz un element lexical pe care îl vom reprezenta prin credibil3 (corelat al lui crede 3). Pentru crede1 (de care ne-am ocupat la începutul acestui sub-paragraf) vom avea un credibilv Sensul lui credibil2 va fi specificat prin regula (151) F[(Este credibil2 că P), w{]=l dacă şi numai dacă există un Wj e W pentru care w{Rw^ astfel încît V(p,Wj) = 1 (unde R este ne-reflexivă, tranzitivă şi ne-simetrică), iar sensul lui credibil3 va fi specificat printr-o regulă ca (152) F[(Este credibîl3 că P)wl] = l, dacă există un Wj e Wj pentru care w{Rwjj astfel încît F(P, Wj)=l (unde R este o relaţie ne-reflexivăj ne-tran-zitivă şi ne-simetrică). în încheierea consideraţiilor asupra „cuvintelor modale” trebuie să atragem atenţia asupra următoarei particularităţi a operatorului a fi convins, în opoziţie cu crede3. Atîta timp cît a fi convins este definit în termenii unui model DS4 (ca în (147)), următoarea expresie este validă în limbajul natural (deşi este poate destul de greu de susţinut că acest lucru este în acord cu intuiţia noastră). (153) Dacă (există convingerea că P), atunci (există convingerea că (în mod necesar P)). 245 în limbajul DS4, construcţiei (153).îi corespunde expresia (153') a cărei validitate în DS4 poate ii testată cu uşurinţă prin metoda III 5—2). în schimb, o expresie ca (154) Dacă (se crede eă3 P) atunci (se crede3 că (în mod necesar P)). nu este validă în cazul în care, aşa cum am convenit, se crede3 esţe definit în termenii unui model DT (deoarece în acord cu modelul DT, în care se crede3 este definit, relaţia JS, fiind ne-tranzitivă, lumea posibilă wk, în care, apli-cînd testul III'5—2, ar trebui să avem V(p, wk)=0, nu este o alternativă a lumii wi9 în care se crede3 că P este adevărată). Faptul că (154) nu este validă ni se pare că, în mod clar,, este în acord cu intuiţia pe care o avem asupra sensului lui se crede3. Faptul însă că (153) este validă (în acord cu definiţiile date) ni se pare într-un acord mai puţin evident cu intui-ţia pe care o avem asupra sensului lui a fi convins. b. Conjuncţii modale. în cele ce urmează, ne vom ocupa de două clase de conjuncţii şi anume : cele concesive şi cele adversative, pentru ca, la sfîrşit să ne oprim asupra ambiguităţii conjuncţiei dacă . .. atunci. în GLR II: 325, propoziţia concesivă este definită după cum urmează : „propoziţia circumstanţială concesivă arată o împrejurare care ar fi fost de aşteptat să împiedice realizarea acţiunii din regentă, dar nu o împiedică”. Din această definiţie trebuie reţinute pentru discuţia care urmează trei idei: (a) că evenimentul (faptul sau starea la care se referă propoziţia concesivă este de natură să împiedice „realizarea” acţiunii (a evenimentului a faptului sau a stării) la care se referă propoziţia regentă (b) că ceea ce este de natură să „împiedice” realizarea acţiunii din regentă nu împiedică de fapt, ci ar fi numai de aşteptat să împiedice şi (c) că, de fapt (= în realitate), atît acţiunea din regentă cît şi cea din subordonată se „realizează”. 246 va) Faptul că evenimentul, faptul sau starea la care se referă concesiva „împiedică” realizarea evenimentului, faptului sau stării de regentă se poate exprima foarte firesc şi spunînd că în cazul în care concesiva este adevărată (deci realitatea este conformă cu aserţiunea făcută prin propoziţia respectivă), atunci regenta este falsă (deci realitatea nu este conformă cu aserţiunea făcută prin propoziţia respectivă) şi invers, dacă regenta este adevărată, atunci concesiva este falsă. Raportul este de forma (155) Dacă Pv atunci nu-P2 (înr-un limbaj logic : p => ~q). (b) După cum arătam în III § 8 b, conjuncţia dacă ... atunci din limbajul natural nu este echivalentul implicaţiei materiale din limbajele logice discutate (deci echivalentul conectorului ‘=>’), ci echivalentul implicaţiei logice (deci echivalentul conectorului ‘-3’ din sistemele modale. Dacă raportăm expresia (155) cu acest sens (= de implicaţie logică) al lui dacă ... atunci la formularea „ar fi fost de aşteptat să împiedice”, observăm că (155), ca implicaţie logică, nu spune exact acelaşi lucru cu formularea pe care o avem în vedere: a „exclude în mod necesar” nu este tot una cu „a fi de aşteptat să excludă”. Pentru a capta ideea exprimată prin „ar fi fost de aşteptat să împiedice” avem nevoie de o excluziune mai puţin tare decît excluziunea logică. Dacă substituim în definiţia citată pe „ar fi fost de aşteptat” cu „ar fi fost de crezut”, vom obţine o definiţie care va fi acceptată de orice gramatic, ca o „variantă stilistică” a primei definiţii, şi nu va fi considerată ca o versiune „alterată” a celei dintîi. în schimb, o astfel de substituţie are calitatea de a sugera o anumită direcţie în căutarea unei excluziuni mai puţin tari decît excluziunea logică. O excluziune mai slabă decît cea logică poate fi considerată excluziunea doxastică (derivată din implicaţia doxastică (cf. § 2 b.)). <... Dacă am fixat pentru implicaţia exprimată prin dacă .. . alunei condiţia de adevăr (112) (cf. III §8 b.), atunci 247 pentru excluziunea logică de forma (151) trebuie formulată o condiţie de adevăr ca : (156) O expresie de forma (151) este adevărată dacă şi numai dacă expresia4 nu se poate caM(Px şix P2)’ este, de asemenea, adevărată. Pentru excluziunea doxastică (a cărei formă nu o specificăm deocamdată) vom folosi următoarea condiţie de adevăr provizorie : (157) excluziunea doxastică este adevărată dacă şi numai dacă expresia ‘nu este credibil că (P1 şi1 P2y este adevărată. în (157), credibil este luat în accepţia cea mai slabă (credibil^), întrucît în cazul raporturilor concesive obişnuite nu poate fi vorba de convingeri, ci de simpla credinţă în incompatibilitatea a două propoziţii. (c) în sfîrşit, dat fiind că raportul de excluziune dintre cele două propoziţii în raport concesiv nu este „realizat”, deci adevărat, ci numai crezut a fi adevărat, atît propoziţia concesivă, cît şi regenta pot fi şi sînt afirmate. Cele arătate sub (a) — (c) sînt captate într-o condiţie de adevăr de forma : (158) 4P1? deşi P2’este adevărată dacă şi numai dacă expresia4 (Pişii P2) şlx nu este credibil3 că (Pj ş^ P2y este adevărată! în mod mai concret, o frază ca (159) (Ion nu stă în casă), deşi afară este frig. este adevărată dacă şi numai dacă este adevărată fraza (159') (Ion nu stă în casă şi2 afară este frig) şix nu este credibil3 că (Ion nu stă în casă şi2 afară este frig) sau : o frază ca (160) Ion stă în casă deşi afară este cald este adevărată dacă şi numai dacă (160') (Ion stă în casă şix afară este cald) şix nu este eredibil3 că (Ion stă în casă şix afară este cald). este adevărată. După formularea condiţiei de adevăr (158), devine clar că alegerea excluziunii doxastice (şi nu logice) ca element al condiţiei (158) este dictată nu numai de faptul că exclu- 248 ziunea doxastică, fiind mai slabă decît cea logică, este mai apropiată de sensul definiţiei cu a cărei analiză am început acest paragraf, ci şi de faptul că, în cazul în care în (158) am avea „nu se poate caM (P1 şix P2/’ în loc de „nu este credibila că (P ş'j P)”, (158) ar deveni contra-validă. într-adevăr, (161) ‘Nu se poate caw (Px şij P2)’ este identică din punctul de vedere al sensului cu (162) în mod necesar nu -(P, şij P2). (c-f. III 5 — 15 b. (ii) 5° a.). în consecinţă, (158) formulată în termeni alethici ar avea forma (163) ‘Pj deşi P3’ este adevărată dacă şi numai dacă (Px şij P2) (în mod neccsar (nu - (Px şi P2))) în cazul în care condiţia din (155) ar fi adevărată, am avea : (164) (Px ştx P2) şix (în mod necesar (nu (P1şi1 P2))} Conform cu III 5 — 15 a (i) 6° spunem că : (165) PlŞ'h P2 este o consecinţă logică a expresiei (163). In acelaşi fel, (166) In modnecesar (nu — (Px şij P2)) este (conform cu III 5 —15 a. (i) 6°), de asemenea, o consecinţă logică a expresiei (164). Mai departe, conform cu III 5-15 a. (ii) 1° (167) nu-(P1şi1 P2) este o consecinţă logică a expresiei (166). Conform cu III 5—15 a. (i) 9°, putem spune că (167) este o consecinţă logică a expresiei (164). Dar (167) este negaţia expresiei (165). Dat fiind că (164) implică şi ‘(P1şi1 P2y şi lnu — (PxŞi P2)’ spunem că (164) este contra-validă. în schimb, folosind operatorii doxastici lucrăm cu un model semantic în care R nu este reflexivă şi, prin urmare, o expresie ca (168) Se crede3 că nu- (Pi Şii P2)- nu are drept consecinţă o expresie ca (167), deoarece, în DT, o expresie ca ‘Od V=> />’ nu este validă (cf. § 2 d, exemplul 3°). în acelaşi fel în care a fost specificat sensul lui deşi, se specifică şi sensul celorlalte conjuncţii (şi/ sau locuţiuni conjuncţionale) concesive : cu toate că, măcar că, chit că, fără (ca) să (cf. GLR, II: 326). Pentru aceasta, 249 regula (158) trebuie formulată în aşa fel încît să se refere la întreaga clasă de conjuncţii concesive. Coordonarea adversativă este definită în GLR II: 248 astfel: „unităţile sintactice coordonate care se opun una alteia fără a se exclude se numesc adversative”. Pentru moment ne interesează numai cazurile în care „unităţile sintactice” legate prin raport adversativ sînt propoziţii. Prima remarcă pe care o facem este aceea că formularea „se opun una alteia fără a se exclude” nu este suficient de clară, întrucît nu putem preciza în ce constă „opoziţia” în cazul în care doi termeni nu se exclud. într-un exemplu ca (169) Ion vorbeşte însă Gheorghe nu este atent. în ce constă „opoziţia” dintre cei doi termeni (căci, evident, cele două propoziţii nu se „exclud”) ? Ideea de „opoziţie” între cei doi „termeni” ( = propoziţii) devine şi mai puţin clară într-un exemplu ca (170) Ion vorbeşte, Gheorghe nu este atent şi toată lumea se plictiseşte. Credem însă că definiţia nu are în vedere „opoziţia” şi absenţa excluziunii existente între termeni, ci raportul pe care conjuncţia îl stabileşte între doi termeni (indiferent de relaţia, să spunem, „paradigmatică” existentă între termenii respectivi). în acest caz, „absenţa excluziunii” trebuie înţeleasă ca posibilitatea existentă de a afirma ambele propoziţii. într-adevăr, o frază ca (169) conţine şi afirmaţia că (171) Ion vorbeşte şi afirmaţia că (172) Gheorghe nu ascultă. Pe de altă parte, ideea de „opoziţie” conţinută într-un raport adversativ trebuie înţeleasă ca afirmaţie a faptului că „normal” ar fi ca cele două propoziţii să nu fie ambele adevărate, sau, altfel spus, „normal” ar fi ca cele două propoziţii să fie incompatibile (şi nu compatibile, aşa cum rezultă din afirmarea lor simultană). 250 Ne putem pune acum următoarea întrebare : „norma1” în raport cu ce? Şi răspunsul firesc este: „normal” în raport cu ceea ce se crede. Aşadar, sîntem din nou în prezenţa, pe de o parte, a afirmaţiei a două propoziţii şi, pe de altă parte, a afirmaţiei că raportul de compatibilitate dintre cele două propoziţii nu este credibil. După cum şe observă, sensurile implicate în definiţia raportului adversativ (aşa cum a fost interpretată aici) sînt identice cu sensurile implicate (mult mai clar, după cum s-a văzut) în definiţia raportului concesiv. Putem, prin urmare, formula pentru expresii de forma (173) Pv însă P2. aceeaşi condiţie de adevăr ca aceea formulată pentru expresii de forma Pv deşi P2: (174) ‘P1? însă P2’ este adevărată dacă ţi numaidacă* (Px şii P2) şii nu era credibil3 că (Px şix P2y este adevărată. Întrucît în (158) şi (174) după „dacă şi numai dacă” urmează una şi aceeaşi expresie, sîntem îndreptăţiţi să spunem că (175) Orice expresie de forma LPX, deşi P2 are sens identic cu o expresie de forma ‘Pv însă P2\ Deosebirea dintre1 raportul adversativ şi cel concesiv este mimai de ordin sintactic (adversativele sînt propoziţii coordonate, în timp ce propoziţia concesivă este subordonată unei regente), tot aşa cum deosebirea dintre raportul conclusiv şi cel consecutiv era tot de ordin strict sintactic (propoziţiile în raport conclusiv sînt coordonate, în timp ce propoziţia consecutivă este subordonată unei regente, cf. III § 8 b.). Ca şi în cazul conjuncţiilor concesive, regula (174) trebuie formulată în aşa fel, încît să permită specificarea aceluiaşi sens pentru întreaga clasă a adversativelor (dar, ci, iar, şi2 (cf. GLR II II: 249). în III § 8 b, am definit conjuncţiile conclusive şi consecutive cu ajutorul unor operatori modali alethici (In mod necesar, nu se poate caw, cf. (115), (111); (122)), su- 251 gerind în III § 8 c, că o eventuală revizuire a acestui mod de definire ar fi posibil, în urma analizei sensului altor conjuncţii şi/sau al altor cuvinte modale. în momentul de faţă, putem face o distincţie pe care nu am făcut-o în III 8 b : există posibilitatea de a trage concluzii fie pe baza unui raport de „implicaţie logică”, fie pe baza unui raport de „implicaţie doxastică” ; altfel spus : fie pe baza a ceea ce este necesar adevărat, fie pe baza a ce se crede a fi adevărat. Dacă cineva spune : (176) Este ora 7, prin urmare Ion nu este acasă această afirmaţie nu se bazează numaidecît pe faptul că propoziţia (177) nu se poale caM (să fie ora 7 Ion să fie acasă). este adevărată, ci se poate baza — şi sîntem îndreptăţiţi să spunem că se bazează în mod special — pe faptul că propoziţia (178) nu este credibil3 ca (să fie ora 7 şl 1 Ion să fie acasă). este adevărată. Sîntem înclinaţi să spunem că o propoziţie ca (176) se bazează în special pe adevărul unei propoziţii ca (178), deoarece este de presupus că vorbitorii îşi bazează afirmaţiile şi judecăţile mai ales pe ceea ce cred (deci pe opiniile lor subiective) şi mai puţin pe necesitatea obiectivă. Aşa se explică, de exemplu, faptul că un vorbitor poate considera propoziţia (176) adevărată, în timp ce altul ar putea-o considera falsă. în schimb, o propoziţie ca (179) Apa aceist% fierbe, prin urmare apa aceasta a atins temperatura de 100°. va fi acceptată probabil de către toţi vorbitorii cu o anumită instrucţie ca adevărată. Aceasta se întîmplă din cauză că (179) se bazează pe un raport de „necesitate obiectivă”, în timp ce (176) se bazează pe un raport de necesitate „subiectivă”. Această „necesitate subiectivă” poate fi exprimată în mod natural în termenii unui model doxastic. 252 Consecinţa observaţiilor de mai sus este faptul că putem vorbi de încă un sens al conjuncţiilor prin urmare, respectiv, încît: anume sensul lor doxastic, opus sensului lor alethic, definit în III § 8 b. Acest sens poate fi exprimat printr-o regulă de forma (115) şi, respectiv, (122), în care înlocuim pe ‘Dacă Pv atonei P2 prin ‘Nu este credibil3 că (Px şlx nu - P2)’. Vom vorbi deci de un prin urmarex şi un prin urmare2j de un încîtx şi un încît2J unde elementele indexate cu 1 au sens alethic, iar elementele indexate cu 2 au sens doxast ic. Aceeaşi dezambiguizare o putem realiza şi în raport cu dacă ... atunci: există o conjuncţie condiţională alethică dacă .. . atunci^ definită prin (111) şi o conjuncţie condiţională doxastică dacă ... atunci2, definită prin (180) ‘Dacă PXJ atunci P2 este adevărată dacă şi numai dacă ‘nu este credibil3 că (Px şij nu -P2j’. c. Alethic şi doxastic în limbajul natural: înainte de a încheia acest paragraf consacrat semnificaţiei lingvistice a logicii doxastice, trebuie să ne oprim asupra raportului existent în limbajul natural între operatorii modali alethici (discutaţi în III § 8 a) şi operatorii modali doxastici (discutaţi în acest paragraf, sub a). Cu alte cuvinte, ne interesează semnificaţia lingvistică a lemei 3—9 (Întrucît lema 3—9 exprimă în mod sintetic conţinutul teoremei 3—8). Conform cu 3—8, dacă definim pe în mod necesar, se poate caM, există convingerea că, se credez că, este credibil2 că şi este credibil3 aşa cum am propus în III §8 a. şi §4 a., ar trebui ca frazele de forma următoare să fie valide : (181) a. Dacă (în mod necesar P), atunci (există convingerea că P) b. Dacă (în mod necesar P), atunci (se crede3 P) (*. I)acă (în mod necesar P), atunci (este credibil că P) d. Dacă (în mod necesar P), atunci (este credibil că P) 253 3 P /.a* c^-cU-^ :xC P Pf. dtţS» * ft *• Dacă (în-mod- necesar P), atunci (se poate eaM P) f. Dacă (este credibil2 că P), atunci (se poale eaM P) g. Dacă (este credibil că3 P), atunci (se poate caM P). Întrucît , după cum am văzut în III § 8 a, în mod necesar poate fi luat în accepţie tare (85), slabă (T) şi mai puţin slabă (84), această expresie care figurează în (181) are avantajul de a corespunde destul de bine la ceea ce am notat în 3—9 prin ‘[UA\ în ce priveşte operatorii doxastici, în (181) ei sînt menţionaţi fiecare în parte. Problema care se pune este următoarea : sînt intr-adevăr valide toate expresiile de sub (181) pentru o fiinţă raţională care face uz de limbajul natural ? Răspunsul ni se pare că nu poate fi decît afirmativ în raport cu construcţiile de sub c. — f. : nu se poate afirma In mod rezonabil că ceva este necesar adevărat şi că, în acelaşi timp, este incredibil (în oricare din sensurile lui incredibil menţionate sub §3 a.). în schimb, validitatea unor expresii ca a., b. de sub (181) nu apare cu aceeaşi evidenţă: afirmaţia că nu oricine este convins sau crede că sînt adevărate toate adevărurile necesare nu este în nici un caz în contradicţie cu situaţia reală (vezi comentariile de sub 2—6). De aceea validitatea expresiilor a., b. nu trebuie înţeleasă pur şi simplu ca „adevăr în toate lumile posibile”, ci ca adevăr în toate lumile posibile cu condiţia raţionalităţii sistemului de opinii. Aşadar, a., b. sînt legate de condiţia de raţionalitate a opiniilor (în sensul discutat în legătură cu 2—6). Aceste construcţii nu exprimă decît faptul că oricine .şi în orice împrejurare este dispus să-şi modifice sistemul ■de opinii în momentul în care devine (sau este făcut) conştient de faptul că acesta este contradictorj^. §.5. Interpretarea deontică a sistemelor DT şi DS4. în § 1 am arătat că interpretarea doxastică (□ = crede, O = credibil) a sistemelor DT şi D84 este numai una dintre interpretările posibile. Am menţionat, în această 254 ordine de idei, şi o altă interpretare posibilă, anume interpretarea deontică. Atît sistemul DT cit şi sistemul D84 pot fi înţelese ca logică a conceptelor obligatoriu şi permis (ambele în raport ou un cod de norme de conduită). Trebuie menţionat faptul, caracteristic dealtfel pentru orice sistem formal, că structura formală a sistemului nu este influenţată în nici un fel de interpretarea avută în vedere (în cazul în care sistemul se construieşte de la început în vederea unei anumite interpretări). Aşa se explică faptul că sistemele DT şi D84 rămîn neschimbate chiar atunci cînd li se dă o interpretare deontică. O modificare strict superficială li se poate aduce: putem să indexăm operatorii *□’ şi ‘O’ în aşa fel, încît să atragem atenţia asupra faptului că avem în vedere interpretarea deontică a acestor operatori (tot aşa cum am procedat în §§ 2—3 pentru a marca faptul că avem în vedere interpretarea doxastică a lor); putem folosi ‘[Ude;’ şi ‘Ode’ pentru a realiza acest lucru. Atragem însă atenţia asupra faptului că această indexare, deşi utilă în raport cu anumite scopuri nu este necesară şi că nu afectează în nici un fel natura sistemului (ale cărui reguli se stabilesc independent de această indexare). Odată făcute aceste precizări, este suficient să adăugăm că toate definiţiile, regulile, teoremele, lemele şi propoziţiile adevărate pentru DT şi DS4 sînt adevărate şi pentru sistemele deontice, pe care le vom simboliza prin DET şi DES4. Toate expresiile valide în DT sînt valide şi în DET, după cum toate expresiile valide în DS4 sînt valide şi în DE84. Menţionăm că sistemul descris în Hintikka, 1971, este asemănător, dar nu identic cu un sistem DES 4 (simbolurile folosite acolo sînt 40’ pentru LOţ£= „obligatoriu”, şi ‘P’pentru ‘Ode’ = „permis”; vezi şi von Wright, 1968, 1971, Fellesdal & Hilpinen, 1971 : 1—35). Cuvintele şi expresiile modale al căror sens urmează a fi specificat în termenii unui model DET şi/sau DES4 sînt: în mod obligatoriu, este obligatoriu *să, trebuie să (cu sensul deontic, menţionat în III §8 a.), pe de o parte, şi este permis să, este voie să . .. etc., pe de altă parte. 255 § 6. Consideraţii finale. în acest capitol am descris două limbaje logice. DT si DS4< împreună cu modelele semantice asociate lor, diferite de cele descrise în cap. II. O serie de concepte definite în raport cu DT şi DS4 sînt utilizabile în descrierea unor aspecte ale semanticii limbajelor naturale, aspecte pentru car e aparatul conceptual folosit în raport cu logica propoziţiilor şi logica alethică era insuficient. Am definit sensul unor cuvinte modale doxastice (a vrede, a fi convins, credibil şi sinonimele lor), am definit sensul unor conjuncţii în care este implicată o idee modală ne-alethică (deşi, însă) şi am reinterpretat sensul conjuncţiei dacă . .. atunci, arătînd că, pe lîngă sensul de implicaţie logică, această conjuncţie poate avea şi sensul unei implicaţii doxastice. Am atras, de asemenea, atenţia asupra „condiţiilor de raţionalitate” a opiniilor, condiţii care nu se referă numai la limbajele logice, ci şi, inegală măsură, la limbajul natural. în acelaşi timp, am arătat că, printr-o interpretare deontică a sistemelor DT şi DS4, se poate ajunge la definirea sensului unor alte serii paralele de cuvinte şi expresii modale, de data aceasta, din seria deontică : este obligatoriu să, trebuie să, este permis să, este voie să. Este demn de notat faptul că, în seria conjuncţiilor „modale” (cf. III § 8 b.), se pare că nu există conjuncţii în al căror sens să fie implicată o „idee deontică” aşa cum există conjuncţii in al căror sens este implicată o idee alethică (prin urmare, încît) şi / sau doxastică (deşi, însă, prin urmare, încît, dacă .. . atunci). Deşi verbe ca a şti, a cunoaşte sînt apropiate ca sens în primul rînd de seria cuvintelor şi expresiilor care exprimă ,,atitudinea” sau „opinia” în raport cu adevărul propoziţiilor (deci prezintă asemănări cu a crede, a f i convins, a fi permis), semantica acestor verbe nu poate fi tratată în termenii unor modele ne-alethice, de felul celor discutate în acest capitol, deoarece, în toate aceste modele, relaţia R fiind ne-reflexivă, o expresie ca ‘\3p p' nu este validă . Or, pentru a şti, este nevoie de un model prin caro 256 o expresie de această formă să fie validă. Dovadă o face faptul că o propoziţie ca (178) Este cunoscut faptul că pămîntul este rotund, dar nu este adevărat că pămîntul este rotund. este, în limbajul natural, contradictorie. Rezultă de aici că, pentru specificarea sensului cuvintelor din această clasă este necesar un model alethic. Modelul convenabil pare a fi cel propus de Hintikka, 1969, anume S4. Semnalăm numai, fără a încerca, deci, să propunem o soluţie, următoarea problemă. Am întîlnil pînă acum cel puţin două cazuri în care acelaşi model semantic urmează să fie utilizat în descrierea unor elemente lexicale (ale limbajului natural) care în nici 1111 caz nu pot fi considerate sinonime : modelul 84 folosit pentru a descrie sensul lui în mod necesarn (necesitatea ştiinţific empirică) şi a verbelor din clasa şti, cunoaşte ; modelul DT şi/sau DS4 pentru a descrie sensul verbelor din clasa a crede, a fi convins etc. şi al verbelor din clasa trebuie, sau al exj^resiilor este obligatoriu etc. Atunci cînd descriem aceste clase de verbe şi expresii în mod separat, inconvenientul practic nu este prea mare (sau eventual este chiar inexistent); rămîne totuşi o dificultate de ordin teoretic : cum se justifică faptul că crede are sens diferit de trebuie, în ciuda faptului că ambele se definesc prin aceeaşi regulă de adevăr III 4 — 1 RA 1, în acelaşi model semantic (DT sau DS4)% Dificultatea devine şi practică atunci cînd ne ocupăm de secvenţe de operatori de tipul crede că trebuie, trebuie să creadă. 17 - c. 1549 . Capitolul y Încheiere Cele discutate în capitolele precedente ne permit să facem, în încheiere, unele observaţii cu caracter mai general. 1°. Conceptele, definiţiile, regulile şi teoremele calculului propoziţîonal simplu (= ne-modal) se dovedesc a fi utilizabile în descrierea semantică a frazei în următoarele condiţii : (aj Dacă avem în vedere numai iraze ai căror constituenţi sînt propoziţii asertive simple (cf. II § 2) (b) Dacă aceste propoziţii sînt dezambiguizate atît la nivelul lexical (= se consideră că avem a face cu n propoziţii distincte, în cazul în care o propoziţie conţine un element lexical cu gradul de polisemie n; în cazul în care o propoziţie conţine m elemente lexicale polisemantice, notînd gradul de polisemie a fiecăreia dintre ele prin nv. .. nm, vom spune că avem a face cu Wjx...x\ = k propoziţii distincte), cît şi la nivelul pe care îl vom numi „pragmatic” : adevărul unei propoziţii depinde nu numai de „starea de lucruri” la care se referă această propoziţie, ci şi de o serie de factori ca : locul unde este enunţată, timpul cînd este enunţată, identitatea emitentului (eventual şi a receptorului) etc. în măsura în care există posibilitatea de a lua în considerare aceşti parametri în stabilirea valorii de adevăr a propoziţiilor, se poate considera că ambiguitatea pragmatică poate fi şi ea eliminată (cf. II § 5). (c) Dacă înseşi conjuncţiile limbajului natural sînt dezambiguizate, astfel încît condiţiile de adevăr fixate pentru acestea să se refere totdeauna la o conjuncţie cu un singur sens (cel specificat prin regulă) (cf. II § 7 c, II §8). 258 (d) Dacă ne propunem să descriem numai construcţiile limbajului natural din punct de vedere strict semantic, fără a lua în consideraţie şi regulile de „uzaj” ale limbajului natural (în conformitate cu care, anumite propoziţii se pot coordona copulativ şi/sau disjunctiv şi altele nu, unele propoziţii pot figura într-o frază condiţională, altele nu etc.) (cf. II § 7, explicaţiile de sub 7—2). 2°. Conceptele, definiţiile şi regulile din semantica logicii propoziţiilor se dovedesc a fi insuficiente dacă ne propunem să luăm în consideraţie relaţiile semantice stabilite la nivelul frazei. Aceasta deoarece : (a) există conjuncţii care nu au un corespondent direct în clasa conectorilor din logica propoziţiilor; (b) multe dintre aceste conjuncţii au un sens în care este implicată o „idee modală” ; or, această idee modală nu poate fi captată de definiţiile, regulile şi teoremele valabile pentru logica propoziţiilor (cf. III § 8 şi IV § 4). 3°. Un sistem mai complex de concepte, definiţii, reguli şi teoreme, care se dovedeşte a fi utilizabil pentru 2° (a), (b) este cel legat de modelele semant ice asociate logicii modale alethice şi ne-alethice. E vorba de sistemele modale alethice T, 84, 85, descrise în cap. III şi de sistemele ne-alethice (doxastice : DT, D84 şi/sau deontice : DET şi DE84) descrise în cap. IV. 4° Conceptele, definiţiile, regulile şi teoremele valabile pentru aceste limbaje modale sînt valabile şi pentru semantica frazei, în următoarele condiţii: (a) Dacă toate condiţiile de sub 1° sînt respectate. (b) Dacă „cuvintele modale” şi „conjuncţiile modale“ considerate sînt dezambiguizate, în aşa fel încît condiţiile de adevăr fixate pentru acestea să se refere la cuvinte modale şi conjuncţii cu un singur sens, anume cel definit prin regulă. 5°. Există cuvinte şi expresii modale ca se pare, a se aştepta să, a căror semnificaţie nu poate fi descrisă în termenii modelelor semantice descrise în cap. III şi IV. Este deci necesară construirea unor modele semantice diferite pînă la un punct de cele descrise în cap. III, IV (şi care sînt mai bine cunoscute şi studiate), în cazul în care vrem să 259- luăm în consideraţie şi construcţiile din care fac parte cuvintele din această categorie (cf. IV §4). 6?. în sfîrşit, există în semantica frazei un număr de relaţii de subordonare care nu presupun tratarea propoziţiilor ca blocuri semantice neanalizate (ca în logica modală sau nemodală a propoziţiilor), ci o analiză explicită a lor în constituenţi: este vorba de propoziţiile relative atributive, de unele categorii de circumstanţiale etc. Evident că modelele semantice de care ne-am ocupat nu pot pune la dispoziţie aparatul conceptual şi metodologic necesar celui interesat de aceste aspecte ale semanticii frazei. Pentru a aborda aceste aspecte este necesară referirea la sisteme logice mai complexe. 7°. Utilizarea unor modele semantice modale în definirea relaţiilor semantice care se stabilesc în interiorul frazei duce la o aproximare mai fină a acestor relaţii în raport cu aproximarea realizată prin modelul semantic al logicii propoziţiilor, dar ceea ce se obţine rămîne totuşi o aproximare, date fiind cele arătate sub 3°. O aproximare şi mai nuanţată decît aceasta se poate realiza oricînd, prin utilizarea altor modele semantice, eventual legate de limbaje logice mai complexe, sau prin utilizarea simultană şi corelată a mai multor modele semantice (dintre care unele pot fi şi cele de care ne-am ocupat în cap. III, IV). Să ne gîndim, de exemplu, la faptul că oricare din modelele descrise în cap. III, IV se poate combina nu cu un model semantic al logicii propoziţiilor, în care propoziţiile sînt tratate ca blocuri (semantice) neanalizate, ci cu un model semantic al logicii predicatelor, sau cu un model semantic al logicii temporale a propoziţiilor ş.a.m.d. 8°. Trebuie, în sfîrşit, să atragem atenţia asupra faptulu i că tratarea relaţiilor semantice (de la nivelul frazei) în termenii unor modele semantice logice nu reprezintă numai înlocuirea unor concepte mai puţin exacte (cum sînt cele care provin din interiorul lingvisticii) cu altele mai exacte (cum sînt cele provenite din logică). Această „înlocuire” are consecinţe mai largi; conceptele şi regulile introduse au şi un caracter operaţional: ele permit detectarea şi exprimarea unor relaţii între semnificaţiile diverselor tipuri de construcţii-, relaţii care nu se pot nici detecta, nici exprima. în tei menii conceptelor lingvistice tradiţionale. 260 BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ Această bibliografic, cuprinde atît lucrări dc logică şi/sau filozofia limbajului, cît şi lucrări dc lingvistică propriu-zisă. Pornind dc la ideea că citilorii accslei cărţi sini familiarizaţi cuj)roblcma-lica şi bibliografia lingvistica, nc-am li ini l al, în cc priveşte lucrările din a doua categorie, Ia a cita exclusiv ti11 urile la care nc-am referit explicit în textul acestui volum. în ce priveşte lucrările din prima categorie, bibliografia cuprinde pe lîngă titlurile la care nc-am referii în text, şi un număr de titluri de lucrări pe care nu am avut ocazia de a le cita, dar care ne-au fost deosebit de utile, sau pe care le considerăm utile pentru cei interesaţi în aprofundarea unor anumite probleme discutate în aceaslă carte sau în cunoaşterea mai cuprinzătoare a sistemelor logice discutate. Ackermann, 1970 = Robcrt J. Ackermann, Modern Deductive Logic. An Introduclion io lls Teclmiqucs and Significance. New York, 1970 (Anchor Books). Benveniste, 19GG — Emile Benveniste, Problemes dc linguistique generale. Paris, 19GG (Galimard). Carnap, 1958 = Rudolf Carnap, Introduclion to Sijmbolic Logic and Its Applications. New York, 1958 (Dover Publications, Inc.). Carnap, 1959 = Rudolf Carnap, The Logical Synlax of Language. Patcrson, New Jersey, 19>9 (Little Field, Adams & Co.). Carnap, 19G0 = Rudolf Carnap, Meaning and Ncccssity. Chicago, 19G0, Third Impression (University of Chicago Press). DEX = Academia Republicii Socialiste România, Institutul de lingvistică, Dicţionarul explicativ al limbii române, Bucureşti, 1975 (Editura Academiei Republicii Socialiste România). Dumitriu, 1971 = Anton Dumitriu, Logica, polivalentă. Bucureşti, 1971 (Editura enciclopedică română). Dumitriu, 1973 = Anton Dumitriu, Teoria logicii. Bucureşti. 1973 (Editura Academici Republicii Socialiste România). 261 Enescu, 1971 = Gheorghe Enescu, Logica simbolică. Bucureşti, 1971. (Editura ştiinţifică). Follesdal & Hilpinen, 1971 = J. Follesdal & Risto Hilpinen, „Deontic Logic: An Introduction”, în Hilpinen, 1971 : 1 — 35. GLR I, II = Gramatica limbii române, voi. I, II. Bucureşti, 19CG, Ediţia a Il-a (Editura Academiei Republicii Socialiste Remania). Graur, 1956 = Al. Graur, ,,Pentru o sintaxă a propoziţiilor principale”, în Studii de gramatică, voi. I, Bucureşti, 1956, pp. 121 — 139. Hilpinen, 1969 = Risto Hilpinen, „An Analysis of Relativized Modalities”, în Plxilosophical Logic, edited by J. W. Davis, 1). J. Hockney and W. K. Wilson, Dordrecht —Holland, 1969 (Reidel), pp. 181 — 193. Hilpinen, 1971 = Risto Hilpinen (edt.), Deontic Logic : lniroduclonj and Systematic Readings. Dordrecht—Holland, 1971 (Reidel). Hintikka, 1969 = Jaakko Hintiklca, Knowlcdge and Belief. An Introduction to the Logic of the Two Notions, Ithaca & London, 1969, fourth printing (Corneli University Press). Hintikka, 1971 = Jaako Hintikka, ,,Some Main Problems of Deontic Logic”, în Hilpinen, 1971 : 59—104. Hughes & Cresswell, 1972 = G. E. Hughes & M. J. Cresswell, An Intro-duction to Modal Logic. London, 1972 (Methuen & Co. Ltd.). Kalish & Montague, 1964 = Donald Kalish & Richard Montague, Logic. Techniques of Formal Rcasoning. New York, Chicago, San Francisco, Atlanta, 1964 (Harcourt, Brace & World Inc.). Lewis & Langford, 1959=Clarence Irving Lewis & Cooper Harold Langford, Symbolic Logic. New York, 1959, second edition (Dover Publications). Montague, 1972 = Richard Montague, „Pragmatics and Intensional Logic”, in Semantics of Natural Language, edited by Donald Davidson and Gilbert Harman, Dordrecht—Holland, 1972 (Reidel), pp. 141 — 168. Nagel, 1961 = Ernst Nagel, The Structure of Science : Problems in the Logic of Scientific Explanation, New York, Burlingame, 1961 (Harcourt, Brace & World Inc.). Reichenbach, 1966 = Hans Reichenbach, Elements of Symbolic Logic. New York, 1966 (Free Press, Collier—Macmillan). Resher & Urquhart, 1970 = Nicholas Resher & Alasdair Urquhart, Tem-poral Logic, 1970. Swain, 1970 = Marshall Swain, „The Consistency of Raţional Belief”, în Induction, Acceptance and Raţional Belief, edited by Marshall Swain, Dordrecht —Holland, 1970 (Reidel). 262 Tarski, 1952 = Alfred Tarski, „The Semantic Conception of Truth”, In Scmaiilics and the Philosophy of Language, edited by Leonard Linsky, Urbana, Chicago, London, 1952 (University of Illinois Press), pp. 13 — 47. Vasiliu, 1973 = E. Vasiliu, ,,Inference and Modality in Natural Language”, în Wiener Linguislischc Gazctlc II, 1973. Vasiliu, 1974 = E. Vasiliu, „Propoziţii negative şi 'atitudini epistemice'”, în Probleme de lingvistică generală, VI, 1974, pp. 99 — 116. Vasiliu, 197G E. Vasiliu, „Sens şi cunoaştere”, SCL XXVII, 1976, pp. 343-351. von Wright, 1908 = Georg Hcnrik von Wright, An Essay in Deonlic Logic and the General Theonj of Aclion, Amsterdam, 1908 (North—Ilolland Publishing Company); în special cap. I: Some Systems of Deontic Logic, pp. 11 — 30. von Wright, 1971 = Georg I-Ienrik von Wright, ,,A New Systems of Deonlic Logic”, în ITilpinen, 1971 : 105 -120. Witlgjnslein = Ludwig Wittgenstein, Traclatus Logico-Philosophicus (text paralel german-englez ; traducere în engleză de D. F. Pcars & B. F. Mc Guinness). London, Ne v York (lourlh impression) 1969 (Routledge & Kegan Paul). INDICE DE MATERII* ACCESIBILITATE *\ relaţia de ~ între lumile posibile, 129, 130. (v. si RELAŢIA DE ACCESIBILITATE) acum, cuvial a cărui denotaţie e dependenta de condiţiile de emitere a mesajului, 35. ADAPTARE, ^a conccplclor dc val idila le şi tautologie la descrierea limbilor naturale, 111; conceptelor semantice la descrierea limbilor naturale, 29. ADEVĂR, — în DT şi in DS4 (2- 17)***, 230; ~ în sistemele modale, 135 ; ~ in toate lumile posibile, 201 ; ~ul logic şi ~ul şi falsul, 149; ~ul şi falsul ca denotaţii ale propoziIilor, 28 ; ~ul unei conjuncţii ca dependent de ,,legă-lura de sens” dintre constituenţi, 48 ; ~ul unei propoziţii valide, 91, 92 ; reguli dc ~ pentru conectori (7 — 2), 47 ; reguli dc ~ pentru conectori în raport cu lumile posibile, 126 —127 ; reguli de ~ pentru operatorii modali, 134; valoarea de ~ a expresiilor care conţin operatori modali, 140; valoarea de ^ a expresiilor complexe, 91 ; valoare de ^ şi sens în definiţia negaţiei, 01. (v. si CONDIŢIE 1)E ADEVĂR, REC.L'LĂ DE ADEVĂR) ADEVĂRAT, ~ conform cu valorizarea V, 38; ~ in T, 136; ^ şi posibil, 147 ; echivalenţa totdeauna ~a, 1f>4; expresii ^c in DS 1 (2— 16b), 230: expresii ~e în DS4, S4, Sf> (3-7), 231; ex-presi. în DT (2— 16). 227 - 230 ; expresii în DT şi in i)Sl (2 — 20), 231 — 232 ; expresii iu DT şi în T (3 — 7), 233; expresii ~e în DT, T, DS4, SI şi in So (3 — 7), 234 ; expresii ~e in orice lume posibila în raport cu modelul T, 137 ; expresii ~e in toate lumile posibile, 81. 92, 132, 133, 134, 137, 203; expresii ~e pentru orice valori date constituenţilor lor, 91 ; expresii necesar ~e, 153; expresii necondiţionat ~e, 80, 92 ; expresii valide în T ca ^e în loate lumile posibile, 137 ; implicaţie totdeauna ^ă, 154 ; necesarul ca ~ în loate lumile posibile, 133; posibilul ca ~ in cel puţin o lume posibilă, 133; propoziţie ~ă intr-o anumită lume posibilă, 128; propoziţie ne- * Indicele a fost alcătuH de Mihai Gaiţă. ** în indice sînt redate cu litere majuscule termenii care denumesc cnnccptc, iar cu caractere cursive, cuvintele şi expresiile limbii române, ale căror proprietăţi semantice sînt discutate în lucrare. *** Perechile de cifre dintre paranteze indică, în toate cazurile pe parcursul acestui indice, num&rul de ordine al teoremelor, lemelor, corolarelor sau al propoziţiilor în care sînt in-♦roduse conceptele în discuţie. 264 cesar —ă, 202; tautologiile ca —e in toate lumile posibile, 133. ADVERSATIV, coordonarea ~ă, 250 ; raportul ~ şi raportul concesiv, 251 ; sensul ~ al conjuncţiei şi, 66 ; conjuncţii ~e, 67. ALETHIC, ~ necesar şi doxastic posibil, 237 ; ~ necesar şi doxas-lic necesar, 237 : ~ posibil şi doxastic necesar, 237 ; ~ posibil şi doxastic posibil, 237 ; — şi doxastic, 232— 238; — şi doxastic in limbile naturale. 253 — 254 ; sisteme modale —'e, 134. ALTERNATIVĂ, — S4 a unei lumi posibile (6 — 7), 168; ~ So a unei lumi posibile (7—2), 180; —' T a unei lumi posibile (6 — 2; 6 — 3), 167 ; ~ T şi ~ Sta unei lumi posibile (6 — 8; 6 -9), 168; lume posibilă şi 129, 132 ; propria —T a unei lumi posibile (6 — 4), 167 ; raportul dintre —ele T, —ele S4, —ele S5, 181. AMBIGUITATE, —a cuvintelor mo-dale, 193; —a verbului crede, 241. ANTECEDENT, —, membru al unei implicaţii, 43. ANTERIORITATE, —, situare posibilă in timp, 34. ANTONIM IC, raport — între două expresii, 108. ANOMALIE, aparenţa de — a unei fraze condiţionale, 53; aparenţa de — a unei fraze disjunctive, 50. ARGUMENTARE, utilizarea limbajului natural în —, 114. ASERŢIUNE, —, condiţia de adevăr a unei propoziţii, 27 ; —i de dicto şi —i de re construite cu expresii modale cu sens doxastic, 240 ; —i despre expresii, 99 ; —i despre lucruri şi —i despre expresii, 154; verificarea empirică a —ilor, 91. ATEMPORAL, propoziţii —e, 35. ATITUDINE, —a vorbitorului in raport cu adevărul unei propoziţii, 256. BICONDIŢIONAL, echivalenţă —ă, 86. BIVALENT, caracterul — al logicii propoziţiilor, 37. CALCUL. —ul valorii de adevăr cu ajutorul matricilor semantice, 58, 82. (a fi) capabil (să), ~ şi (a fi) posibil (să), 193. CAPACITATE, —a vorbitorilor dc a folosi corect regulile sistemului lingvistic, 121. CATEGORIE, — lingvistică şi — logică, 120. CLASĂ, —a lumilor posibile, 126; —e de alternative, 200 ; —a expresiilor valide in T, 150. COERENŢĂ, — in argumentare si consecinţă logică, 114; — şi incoerenţă, 115; —a textului, 118. COMPATIBILITATE, raport de — între propoziţiile coordonate adversativ, 251. COMPETENŢĂ LINGVISTICĂ, — şi regulile limbajului natural, 121. CONCEPTE SEMANTICE, — de bază în analiza unei limbi naturale, 12, 123. CONCLUSIV, conjuncţii. —e, 189; conjuncţii —e şi ideea de „consecinţă logică”, 206 ; propoziţii —e şi consecinţă logică, 190 — 191 ; raport — şi coordonare, 209; sensul — al conjuncţiei şi, 66. CONDIŢIE, —ile de emitere a mesajului, 35 — 37 ; —ile de utilizare a logicii propoziţiilor 111 descrierea semantică a frazei, 258 -259 : —ile de utilizare a sistemelor modale in descrierea semantică a frazei, 259 ; —ile in care două expresii au sens identic, 100; —ile în care o expresie este validă, 82 ; —ile in care negaţia unei expresii este adevărată, 47 ; ideea de — în sensul frazelor condiţionale, 52 — 53. CONDIŢIE DE ADEVĂR, — a propoziţiei subordonate, 188 ; — a unei propoziţii, 24 — 26, 70 — 71, 98, 265 111 ; ~ile ~ ale implicaţiei, 51 — 52; i~ identice pentru termenii unei echivalenţe logice, 55; ~i ~ pentru conjuncţie, 48, 93; ^i ^ pentru conectori, 187; ^i ^ pentru dacă ... atunci, 206 ; ^i ~ pentru disjuncţie, 50; ~i ^ pentru echivalenţă, 54, 93; ^i ~ pentru excluziunea doxastică, 248 ; ~ i~ pentru excluziunea logică, 248; ~i ~ pentru fraze de forma (în mod) necesar ‘p’, 199 — 200; ~i ~ pentru conjuncţia încît, 209 ; ~i ^ pentru conjuncţia însă, 251 ; ~i ~ pentru prin urmare, 208 ; ~i ~ şi contradicţie, 92 ; ~i ^ si tautologie, 92. (v. şi ADEVĂR) CONDIŢIE DE RAŢIONALITATE, ~ a opiniilor, 218, 220, 224 ; ~ a opiniilor in raport cu conceptele de necesitate şi posibilitate (3 — 8), 235 — 236; ~ a sistemului de opinii, 254. CONDIŢII PENTRU SINONIMIE, ~ într-un limbaj, 107 ; ~ doxastică (2-18), 231 ; — în S4, 175 ; ~ în S5, 185 ; ^ în T (5 —19), 160. CONDIŢIONAL, conjuncţie ~ă alethică, 253; conjuncţie ~ă doxastică, 253; frază ~ă, 189; negaţia unei fraze ^e, 206 ; raport ~ între propoziţii, 52 ; sensul frazelor ~e şi sensul implicaţiei logice, 53; sensul unei fraze ~e, 189. CONECTORI, funcţii de adevăr, 42, 123, 124 ; ~ diadici, 42 ; — în limbajul natural, 03 — 70, 111 ; condiţii de adevăr pentru 187 ; conjuncţiile limbajului natural şi -~i logici, 21, 63 ; reguli de adevăr pentru 111 ; reguli de adevăr pentru ~ în raport cu lumile posibile, 126 — 127 ; unele conjuncţii coordonatoare şi subordonatoare din limbajul natural şi sensul ~lor, 42. CONEXIUNE, ~i logice intr-un text, 122. CONJUNCŢIE, ~a şi, conector diadic, 42; ~i adversative, 67; ~i adversative ca ~i modale, 246 ; ~i al căror sens conţine o idee modală, 189; conclusive, 189, 205 ; ~i conclusive şi conectorii logici, 191 ; ~i condiţionale, 205; ~i consecutive, 189, 205 ; ~i consecutive şi logica propoziţiilor, 191 ; —i copulative, 67 ; ~i de coordonare, 63, 64 ; ~i de subordonare, 63; ~i definite ca funcţii de adevăr, 187 ; ~i disjunctive, 67, 69 ; ~i modale, 204-210, 246-253; ~i modale la nivelul structurii profunde, 205 ; ^i şi conectori logici, 63 ; ~ile de subordonare dacă . .. .. . atunci şi dacă şi numai dacă, 64 ; afinităţi semantice între ~i şi negaţie, 64 : dezambiguizarea ~ilor, 112; sensul modal al ~ilor, 192. CONJUNCŢIE LOGICĂ, ~a ~ a două propoziţii, 78; ~a a propoziţiilor aparţinînd unei descripţii de stare (9 — 4), 75 ; ^ şi disjuncţie logică, 85 ; ~ a tautologiilor (11 —12a), 93; distributivitatea operatorului „necesar” pe lîngă membrii unei ~i ~e, 147 ; matricea de adevăr pentru ~a 56 — 57. CONSECINŢĂ LOGICĂ, —, conector diadic, 95 — 98, 112 — 115, 153; — în S4 (6-24), 173; — în S5, 184 ; ^ în T (5 —14a), 155 ; ~ în T şi în S4, 174 ; relaţie între sensuri, 115 ; relaţie transferabilă din S4 in S5, 186; relaţie transferabilă din T în S4, 176; relaţie transferabilă din-tr-un sub-limbaj în limbajul care îl include (5 — 23), 162; ~ şi coerenţă în argumentare, 114; ^ şi identitate de sens in T (5 — 18), 159; ~ şi implicaţie totdeauna adevărată, 154; ~ şi raporturile conclusiv şi consecutiv, 190, 191 ; şi validitate, 155; necesarul 260 doxastic ca — a necesarului alethic (3- 10), 237 ; posibilul alethic ca — a posibilului doxatic (3 — 10), 237 ; posibilul alethic ca — a necesarului doxastic (3— 10), 237 ; posibilul doxastic ca — a necesarului alethic (3 — 10), 237 ; raport de — intre opinii, 222. CONSECINŢĂ DOXASTICĂ, —, relaţie transferabilă din sistemele doxastice în cele alethice, 234; definiţia —ei—e (2 —15a), 227. CONSECUTIV, conjuncţii —e, 189; propoziţii —e şi consecinţă logică, 190 ; raport — şi subordonare, 209. CONSECVENT, —, termen al unei implicaţii, 43, 190. CONSTANTE PROPOZIŢIONALE, — ca entităţi lingvistice inanaliza-bile, 21, 22, 123; — şi propoziţii simple sub raport gramatical, 22 ; — si variabile propoziţionale, 21 — 23.’ CONSTITUENT, — LP al unei expresii modale, 125 ; —i ultimi ai unei expresii, 59, 60, 61 ; analiza în —i imediaţi a expresiilor complexe, 58 — 63; valorizări posibile ale —ilor unei expresii, 59, 60, 61. CONŞTIINŢA LINGVISTICĂ, — şi instrucţie specială în logică, 120 ; — şi tautologii, 118 — 122. CONTEXT, — verbal şi — situa- ţional, 29. CONTRADICTORIU, —, fals în toate descripţiile de stare, 87 ; — şi valid, 87 ; caracterul — al unei expresii, 88, 92 ; caracterul — al textului, 117; sistem —, 149; testarea caracterului — al unei expresii, 88. CONTRADICŢIE, —, expresie contradictorie, 87, 93 ; — în T (5 — 5), 145 ; — şi condiţii de adevăr, 92 ; — şi identitate de sens (12 — 9), 105 ; — şi sens, 92 ; — şi tautologie, 87 ; — şi tautologie negată, 118 ; —ile ca identice sub raportul sensului (12 — 9), 105; —ile ca incre- dibile, 218; disjuncţra —Fior, 93;; identitatea —ilor, 94; principiul —i, 86. CONTRA-VALID, expresie -<ă in DS4 (2-10b), 224, (2- 11b), 225, (2 — 14), 226; expresie —ă în DT (2 — 10a), 224, (2-11a), 225; expresie —ă in S4 (6 — 19), 172; expresie —ă în S5, (7 — 10 ; 7-11), 183. CONTRA-VALIDITATE, — în DS4 (2 —10b), 224, (2-llb), 225, (2-14), 226; — in DT (2-lOa), 224, (2 —11a), 225 ; —în S4 (6-19.), 172; în S5 (7-10; 7-11), 18a.; — în T, 143-157. CONVINGERE, — şi raporturi.concesive, 248. (există) convingerea (că), —^«expresie modală cu sens doxastic, 238 ; regulă de adevăr pentru —, 245 ; validitatea construcţiilor cu ^vt 253. (a fi) convins (că)., — şi (există') convingerea (că), 243; — şi modelul DS4, 244. COORDONARE, — adversativă, 250; — conclusivă, 189 — 190; — copulativă, 188; — disjunctivă, 188; — şi subordonare, 190, 258; raportul de —, 63. COPULATIV, conjuncţii —e, 67; sensul — al lui şi, 66. (a) crede, — şi a fi convins că, 242; —3 şi modelul DT, 244; — şi necesar adevărat, 213, 236; — şi posibil adevărat, 236; ambiguitatea verbului —, 241 ; dezambi-guizarea verbului —, 241 ; secvenţa de operatori — că trebuie, 257. (se) crede (că), —, expresie modală cu sens doxastic, 238 ; —, expresie subordonatoare, 188; validitatea construcţiilor cu —, 253. CREDIBIL, — şi posibil, 213, 236; — şi necesar adevărat, 236. (este) credibil (că), —, expresie modală cu sens doxastic, 238; regulă de adevăr pentru —, 245.. 246 ; validitatea construcţiilor cu 253. 267 CUNOAŞTERE, —a regulilor de sens, 121 ; ~a regulilor sistemului, 92 ; ~a stărilor reale de lucruri, 92. CUVINTE MODALE, — cu sens alethic, 192 -204; ~ cu sens doxastic, 238 — 246; ambiguitatea ^lor ~e, 193. dacă. . .alunei, conector diadic, 43, 187 ; ~lt conjuncţie condiţională alethică, 253 ; ~2« conjuncţie condiţională doxastică, 253 ; conjuncţie subordonatoare, 64 ; ~ din limbajul natural şi ideea de consecinţă logică, 98; ~ şi ideea de „necesitate relativă”, 66 — 67, 98; ~ şi implicaţia logică, 205 ; ~ şi implicaţia materială, 43, 64, 205 ; condiţie de adevăr pentru ~■, 206. dacă şi numai dacă, ~ şi echivalenţa materială, 54, 64 ; ^ şi ideea de „necesitate relativă”, 66, 67 ; ideea de condiţie necesară şi suficientă ca exprimată de 55 ; ideea de relaţie necesară conţinută de sensul expresiei 55. deci, conjuncţie conclusivă, 187. DECIDABIL, logica propoziţiilor ca sistem 82. DEFINIRE, ~a sensului din limbajul natural prin idealizare, 30. DEFINIŢIE, ~a descripţiei de stare (9 — 1), 73; ~a logică a sensului copulativ exprimat de şiv 69; ~a logică a sensului disjunctiv „cu valoare copulativă” exprimat de sau2, 69 ; ~a unei expresii, 100 ; matricile de adevăr ca ~i pentru conectori, 57. DENOTAŢIE, ~a unei propoziţii, 28; adevărul şi falsul ca ~i ale propoziţiilor, 28 ; cuvinte a căror ~ e dependentă de condiţiile de emitere a mesajului, 35. (v. şi ADEVĂR, ADEVĂRAT, DENOTAŢIE, FALS). DEONTIC, interpretarea ~ă a sistemelor DT şi DS4, 254 — 256. DEPENDENŢĂ, ~a valorii de adevăr a unei propoziţii de condiţiile în care aceasta este emisă, 35: ^a valorii de adevăr de datele lumii reale, 91 ; —>a valorii de adevăr de valorile date cuvintelor indiciale, 35. DESCRIERE, ^ parţială a lumii, 76 ; ~ parţială de stare, 77 ; ^a semantică a frazei, 258 — 260; conceptele modale in ~a semantică a limbajului natural, 210 ; ~a sensurilor ca aproximare a lor, 29. DESCRIPŢIE DE STARE, — ca prescurtare pentru „descriere parţială de stare”, 77 ; ~ şi relaţii semantice in limbajul natural, 70 -76, 79 ; -—-^i —^ şi conjuncţia propoziţiilor care aparţin aceleiaşi ~i 74 ; -—' i -—şi valorizări, 71—73, 74 ; definiţia ~ilor 73 ; disjuncţia tuturor ~ilor 82. (v. şi LUME POSIBILĂ) DES4, sistem deontic construit pe baza lui S4 şi a lui DS4, 255. deşi, conjuncţie concesivă, 187 ; ~ şi conjuncţiile tratabile ca funcţii de adevăr, 65 — 66. DET, sistem deontic construit pe baza lui T şi a lui DT, 255. DETERMINAT, expresie logic ^ă, 90, 92 : expresie logic ~ă în DS4, 255 : expresie logic ~ă in DT (2 — 12), 225: expresie logic ~ă în S4 (6 —21a), 172; expresie logic ~ă în So (7 — 12), 183: expresie logic ~ă in T (5 — 11), 151. DEZAMBIGUIZARE, —a conjuncţiilor, 66: conjuncţiilor cu sens modal, 253 ; ~a cuvintelor modale, 195 ; —a expresiilor, 15 ; ~a propoziţiilor, condiţie necesară pentru fixarea condiţiilor de adevăr, 31—33; indexarea, procedeu de ~, 31-33, 66-67, 195, 241. DEZAMBIGUIZAT, limbaj —, 16; propoziţii ~e, 258. (DE)DICTO, aserţiune 194; aserţiuni ~ si aserţiuni de re, 199, 240. 268 DISJUNCŢIE, conector diadic, 42; ~a contradicţiilor (11—12b), 93 ; ^a formelor conjunctive ale descripţiilor de stare, 75, 76, 77 ; ~a logică şi conjuncţiile disjunctive sau şi ori, 42; ~a tuturor descripţiilor de stare ca totdeauna validă, 82; — şi conjuncţie, 85 ; adevărul unei ~i, 76 ; distribulivi-tatca operatorului ,,necesar” in raport cu ~a, 148; matricea de adevăr pentru 56, 57. DI STB I BUT IVITA TE, ~a conjuncţiei şi a disjuncţiei, 86; ~a operatorului „necesar” în raport cu disjuncţia, 147 ; ~a operatorului ,,posibil” in raport cu disjuncţia, 148. DOXASTIC, — necesar, 222; ~ necesar şi alethic, 237 ; ~ necesar şi alethic posibil, 237 ; ~ necesar şi ~ posibil, 237 ; ~ posibil, 222 : ~ posibil şi alethic posibil, 237 ; ~ şi alethic, 232 — 238 ; ^ şi alethic in limbajul natural, 253 — 254 ; condiţii pentru sinonimia ~ă (2 — 18), 231; consecinţă ^ă, 226; echivalenţă ~ă, 226; identitate ~ă de sens, 226, 230 — 231 ; implicaţie ~ă, 226; interpretarea ~ă a semnelor modale, 226 ; model ~ şi ideea de „necesitate subiectivă”, 253 ; necesar ~ relativizat la o persoană, 240; sinonimie ~ă, 230 — 231 ; sistem ~ cu operatori relativizaţi, 240; sistem modal interpretat 213; univers ~ ideal, 220, 236. DS4, sistem modal interpretat doxastic, 213 — 232; ~ ca sub-lim-baj al limbajului S4 (3 —6d), 233; — ca sub-limbaj al limbajului S5 (3 — 6e), 233 ; adevăr în — (2-17), 230; definiţia validităţii in ~ (2 — 1), 215 ; DT ca sub-limbaj al lui ~ (2 — 19), 231 ; expresii adevărate in — (2 —16b), 230; expresii valide in ~ (2 — 8), 223; model —■, 214; raportul dintre ^ si DT, 231 -232; validitate in 214-226. DT, ~ ca sub-limbaj al limbajului S4 (3-6b), 233; — ca sub- limbaj al limbajului S5 (3 —6c), 233; — ca sub-limbaj al limbajului T (3 —6a), 233 ; ^ ca sub-limbaj al lui DS4 (2 — 19), 231 ; adevăr în ~ (2 — 17), 230; expresii adevărate in ~ (2 —16a), 227 — 230; raportul dintre si DS4r 231 -232. ECHIVALENŢA, ~a ca bicondi-ţională, 86 ; ~a ca implicaţie reciprocă a doi termeni, 86 ; ~a doxastică, 226 ; ~a materială, 43, 98 ; ~ materială şi ~ logică, 152 — 153 ; ~ materială şi ~ logică în S4, 173 ; ~ materială şi ~ logică în S5, 184 ; — materială şi ~ doxastică, 226 ; ^ materială şi expresia dacă şi numai dacă din limba română, 43 ; ~a necesară (logică) (5 —6b), 145; ~ şi identitate de sens, 54 ; ~ tautologică, 174 ; ~ totdeauna adevărată, 154 ; ~a tuturor expresiilor valide din T ca validă in T (5 — 13), 152; condiţia de adevăr a ~ei, 93; matricea de adevăr pentru 56, 57 ; R ca relaţie de ~ in S5, 203 ; relaţie de ~ si relaţia R de accesibilitate, 131. ’ EFECTIV, caracterul ~ al procedeului de calcul, 82 ; procedeu ^ de decizie, 82. eu, cuvînt a cărui denotaţie e dependentă de condiţiile de emitere a mesajului, 35. EVOLUŢIE, fenomenele de ~ semantică ca manifestări ale instabilităţii sensului, 29. EXCLUSIV, descripţii de stare mutual ^e, 71, 74, 77 : sensul ~ al conjuncţiilor „dublate” sau .. . sau, ori . . . ori, 68 ; sensul ~ al lui sau, 66 ; valoarea ~ă a conjuncţiilor disjunctive, 51. EXCLUZIUNE, — logică şi ~ doxastică, 248 ; condiţie de adevăr pentru ~a logică, 248 ; condiţie 2—'ilor, 252 ; condiţie de raţionalitate a —ilor, 220 : sistem raţional de ~i, 224, 254. OPOZIŢIE, ideea de — în coordonarea adversativă, 250, 251. ori, conjuncţie disjunctivă, 42; 0 realizare fonetică a conjuncţiei disjunctive profunde, 69. PARAFRAZĂ, — doxastică, 231 ; raport de 100, 106, 109 — 110, 112, 114, 159. PERMIS, ~ in raport cu un cod de norme, 255 ; ^ şi „posibil”, 213. (este) permis (să), ~ intr-un sistem deontic, 255. poate, adverbul propoziţional ~ şi verbul a putea, 193 ; ideea de incertitudine a adverbului 194. (se) poate (ca), ~ ca operator modal, 200; — şi (este) posibil (ca), realizări fonetice diferite pentru aceeaşi structură profundă, 195 — şi (în mod) necesar, 196; validitatea construcţiilor prefixate de ~, 254. POLISEMIE, —a conjuncţiilor, 66; —a cuvintului, sursă de ambigui- 273 ta te, 31 ; ~a, sursă de ambiguitate în limbile naturale, 66 ; grad de 258 ; interferenţă între ~ si sinonimie, 67. POLIVALENŢĂ, — logică, 37-38. POSIBIL, ~ ca „adevărat în cel puţin o lume posibilă”, 133; ~ doxastic şi ~ alethic, 237 ; ~ logic, ~ ştiinţific-empiric şi ~ empiric, 204 ; ~ şi adevărat, 147 ; ~ şi tot ceea ce se crede, 236 ; doxastic 222; lume —ă, 126-129, 131-133, 151, 180, 219. {a fi) posibil (ca), expresie modală in română, 132; ~ şi construcţiile reflexive ale verbului a putea, 193. POSTERIORITATE, situare posibilă în timp, 34. PRAGMATIC, ambiguitate ~ă, 258 ; operatori ~i, 37 ; reguli ~e, 49. prin urmare, condiţie de adevăr pentru 208. PROCEDEU, calculul cu ajutorul matricijor de adevăr, ~ efectiv de decizie, 82. PROPOZIŢIE, ~ adevărată într-o anumită lume posibilă, 128; ~ afirmativă simplă, 116, 188; ~ afirmativă simplă şi constantă propoziţională, 22 ; ~ factuală, 92 ; ~ falsă într-o anumită lume posibilă. 128 ; ~ tautologică şi schemă tautologică, 85 ; ~ile ca blocuri complet independente în logica propoziţiilor, 188; condiţia de adevăr a ~ilor subordonate, 188; modurile în care sînt adevărate ~ile, 188. PROPRIETĂŢI LINGVISTICE, ~ ale expresiilor şi proprietăţi logice, 120. (a) putea, ~ nereflexiv şi aserţiune de re, 194 ; ^— reflexiv ca expresie subordonatoare, 188; ~ reflexiv (şi impersonal) şi aserţiune de dicto, 194 ; ~ şi se poale ca, 193 ; ambiguitatea verbului ~ între reflexiv impersonal şi nereflexiv, 193. RAPORT, ^ de parafrază în S4 (6 — 28), 175; ~ul dintre anomalie semantică şi utilizarea stilistică a expresiei, 49 ; ~ul dintre sistemele T, S4, S5, 185-186. RAŢIONAL, caracterul ~ al opiniilor, 218; opinie ~ă, 223; sistem ~ de opinii, 224. RAŢIONALITATE, ~a opiniei, 254 ; condiţie de ^ a opiniilor, 220; regula de 224. (DE) RE, aserţiune 194 ; aserţiuni ~ şi aserţiuni de dicto, 240. RECURSIV, caracterul ~ al regulilor de formare ale calculului pro-poziţional, 45. REFLEXIV, caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate, 130; caracterul ~ şi tranzitiv al relaţiei de accesibilitate în S4, 134; caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate în T, 134. REGULĂ, — de sens, 121 ; ~ de testare a caracterului contradictoriu al unei expresii, 88; ^ de testare a validităţii (11 — 3), 82; ~ de valorizare (6—1), 39, 126; (v. şi VALORIZARE) ~i de raţionalitate, 224; ~i de reducţie în S4, 171 ; ~i gramaticale, 121 ; ^i de sens pentru construcţiile modale, 196; ~i de uzaj specifice pentru limbajul natural, 49 : ~i implicite ale limbajului natural, 28 ; ~i tautologice, 122 ; ~ile care guvernează secvenţele de operatori modali, 148; ~ile limbajului natural, 15 ; ansamblu de ~i care guvernează modul de a gîndi şi de a argumenta discursiv al vorbitorului, 79 ; cunoaşterea ^ilor, 121 ; tautologiile ca ~i, 121. REGULĂ DE ADEVĂR, ~i ~ pentru T (3 — 1 ; 3 — 2 ; 4 — 1), 135 ; ~i ~ ale sistemelor DT şi DS4, 214; ~ pentru conectori (7 — 2), 47, 111 ; ~i ~ pentru conectori în raport cu lumile posibile, 126 — 127 ; ~ile — pentru conjuncţiile modale sinonime, 205 ; ~ pentru (este) credibilY (că), 152, 246; ~ 274 pentru (este credibil2 (că), 245 ; pentru (există) convingerea (că), 245 ; ~i ~ pentru operatorii modali, (4 — 1), 134; ~ pentru şix (8 — 1), 69 — 70; conceptul de 49, 111. (v. şi ADEVĂR) REGULĂ DE SUBSTITUŢIE, — a variabilelor, (5 — 8), 150; ~ a variabilelor pentru DT şi DS4, 214; a variabilelor pentru sistemul T, 135. REGULI DE FORMARE, — pentru calculul propoziţional (7 — 1), 4\; ~ pentru sistemul modal al propoziţiilor (2 — 1), 124; ~ pentru sistemul T (2 — 1), 135 ; ~ pentru sistemele DT şi DS4, 213. RELATIVIZAT, sistem doxastic DS4 cu operatori ~i, 240. RELAŢIA DE ACCESIBILITATE (R), — ca definită pe mulţimea lumilor posibile, 135 ; ^ ca nereflexivă în sistemele modale non-ale-thice, 212 ; ^ ca nereflexivă, netranzitivă şi nesimetrică în DT, 214 ; ~ ca relaţie de echivalenţă, 177, 201, 203 ; ~ ca reflexivă în T, 134 — 136; ~ ca reflexivă şi tranzitivă în S4, 134, 136, 163; ~ ca reflexivă, tranzitivă şi simetrică în S5, 135, 136, 176, 203; ~ ca tranzitivă, nereflexivă şi nesimetrică în DS4, 214; ~ şi expresiile nemodalizate, 136; ~ şi modurile în care pot fi definiţi operatorii modali, 134 ; dependenţa de ^ a valorizării in T, 137 ; diferenţa dintre T, S4. S.r>, ca rezidind în felul în care e definită 136 ; modurile de a defini — şi cele 8 sisteme modale alethice, 134. RELAŢIE, ~i de sens între expresiile limbajului natural, 7Vi . între sensurile expresiilor (identitatea, sinonimia, consecinţa logică), 115; ^i semantice, 116, 117. RELEVANŢĂ, ~a lingvistică a conceptelor de validitate şi tautologie, 118. REPREZENTARE, —a valorizări-, lor cu ajutorul tabelului semantic 40 — 41 ; mod de — a limbajului natural, 37. S4, — ca sub-limbaj al lui S5 (7 — 19), 185 ; ^ şi în mod necesar, 203 ; ~ şi sensul verbului a şti, 204 ; caracterul tranzitiv al relaţiei R în —, 164 ; descrierea sistemului 163 — 176; raportul dintre — şi T, 175 — 176 ; reguli de reducţie în 171 ; relaţia R ca reflexivă şi tranzitivă în 134; sistemul modal alethic —■, 134 ; T, sub-limbaj al lui — (6 — 29), 175. S5, ~ şi în mod necesar, 203 ; elementele constitutive ale sistemului S5, 176; expresie validă în ~ (7 — 1), 178; relaţia de accesibilitate ca reflexivă, tranzitivă şi simetrică în 135 — 136, 176, 203; sistemul modal alethic 134 ; validitate în —, 177, 178-185. SATISFACERE, —a condiţiei de adevăr, 91. sau, conector logic şi conector de constituenţi ai propoziţiilor, 69 ; —, conjuncţie disjunctivă, 42; — şi disjuncţia logică, 64 ; ~2 şi disjuncţia logică, 187; ~2, una dintre realizările fonetice ale conjuncţiei disjunctive profunde, 69 ; forma dezambiguizată a conjuncţiei —■, 116; sensul copulativ al conjuncţiei —, 50 — 51 ; sensul exclusiv al conjuncţiei 51, 66; sensul inclusiv al conjuncţiei ~, 50. SCHEMĂ, ~e de frază, 119; ~e dc funcţionare, 117 ; ~e tautologice şi propoziţii tautologice, 85 ; '~~e valide si propoziţii valide, 149. SFXVENŢĂ DE OPERATORI, ~ modali, 171, 257. SEMANTICĂ, — generală, 120 ;—a limbajului natural, 115; —a ver- l ului a şti, 204. SENS ~ul conjuncţiilor adversative, 252; — ui expresiilor complexe, 21 : —ul modal al conjuncţiilor consecutive, 192 ; ~ul modal 275 al conjuncţiei conclusive, 192 ; ~ şi valoare de adevăr în definirea negaţiei, 64 ; ~ul unei constante propoziţionale, 22 ; ~ul unei fraze şi lumi posibile, 132, 187 ; ~ul unei propoziţii, condiţia sa de adevăr, 13, 26, 92, 98, 99, 111, 133, 187 ; ~ul unei propoziţii simple, 21, 90 ; ^ul unor cuvinte ca dependent de condiţiile de emitere a mesajului, 35 ; identitatea de 98 — 105 ; identitatea de ~ a tuturor contradicţiilor (12 — 9), 105; identitate de ~ şi sinonimie, 106; identitatea de ~ a tuturor tautologiilor (12 — 9), 105 ; învăţarea ^ului cuvintelor, 121 ; legătura de ~ dintre termenii unei echivalenţe, 54 ; legătura de ~ dintre termenii unei fraze condiţionale, 52 ; lipsă de ~ si non-sens, 92 ; regulă de —, 121. (v. şi IDENTITATE DE SENS) SIMETRIC, caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate, 129, 131 ; caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate in S5, 135 ; caracterul ~ al relaţiilor de conjuncţie, disjuncţie şi echivalenţă, 85. SINONIMIE ,^aconjuncţiilor sau. . . . . . sau şi ori . . . ori, 68 ; ~a dintre şi adversativ şi însă, 68; doxastică, 230 — 231 ; '—a expresiilor este necesar ca-j$, trebuien, în mod necesar, 198 ; ^a expresiilor se poate ca şi este posibil ca, 195 ; ~a frazelor 108 — 112; ~a, relaţie între sensurile a două sau mai multe expresii, 115; ~ şi identitate de sens în sistemul T, 159 ; ~ totală sau parţială între conjuncţii, 67 ; condiţii pentru ~a doxastică (2 — 18), 231 ; condiţii pentru ^ în S4, 175 ; condiţii pentru ~ în S5 (7 — 18), 185 ; condiţii pentru ~ in T, 160; identitatea de sens, condiţie necesară a ~i, 159; interferenţa dintre ~ şi polisemie, 67 ; substituţia, test al ~ei, 15. SISTEM, ~ alethic şi ~ doxastic, 232 — 238 ; ~ ambiguu (limba naturală), 26 ; ~ de concepte, 111; ~ lingvistic, 121 ; ~ modal, 123; ^ modal alethic, 134; ~ modal deontic, 213; ~ modal doxastic, 213; ~ modal şi limbajul natural, 186; ~ raţional de opinii, 224; ~ semantico-pragmatic, 36; conceptual al logicii modale, 123 J ^ul de conexiuni logice dintr-un text, 122 ; ^ul S4, 134; ~ul S5, 134 ; ~ul T, 134 ; ~ul T şi logica propoziţiilor, 160 — 163; adevăr in ~ele modale, 135 ; opt ~e modale diferite în raport cu diversele moduri de a defini relaţia de accesibilitate, 134. STARE, ~ de fapt alternativă la cea reală, 132; ,,^a in care a”, expresie care specifică ~a de lucruri care „conţine” adevărul propoziţiei a, 71 ; ”^a in care non-a”, expresie care specifică ~a de lucruri in care propoziţia a este falsă, 71 ; ^ de lucruri şi lume posibilă, 133 ; *^i posibile ale lumii, 37 —38 ; descripţii de 70 — 76, 77, 79, 82 ; expresie adevărată in orice ~ de lucruri, 132. STRUCTURĂ LOGICĂ, ~a unui text, tautologie si contradicţie, 118-122. STRUCTURĂ PROFUNDĂ, ~ a ~ a enunţurilor modale, 195. SUB-LIMBAJ, ~ al unui limbaj (5-21), 161 ; DS4 ca — al lui S4 si al lui S5 (3-6, d-e), 233; DT ca ~ al lui DS4 (2-19), 231 ; DT ca ~ al lui T, al lui S4, al lui S5 (3 — 6, a —b —c), 233 ; logica propoziţiilor ca ~ al lui T (5- 22), 162; T ca ~ al limbajului S4 (6-29), 175. SUBORDONARE, ^ şi coordonare, 190, 251 ; condiţie de adevăr pentru conjuncţia de ~ dacă... atunci, 206 ; conjuncţia de ~ dacă . .. atunci şi ideea de „necesitate relativă”, 66 — 67, 98; conjuncţia de ~ dacă .. . atunci şi implicaţia 276 logică, 205 ; conjuncţia de — dacă şi numai dacă şi echivalenta materială, 54, 64 : conjuncţia de — fiindcă şi funcţiile de adevăr, 66, 187; conjuncţii de ~ la nivelul structurii profunde, 205 ; conjuncţii de ~ şi sensul anumitor conectori logici, 42 ; conjuncţiile de ~ dacă . . . atunci şi dacă şi numai dacă, 64 ; similitudini semantice intre raportul de — consecutiv şi raportul de coordonare conclusiv, 190, 210; consecinţă logică şi raportul de ~ consecutiv, 190, 191 ; ideea de ,.relaţie necesară” conţinută de sensul conjuncţiei de ~ dacă şi numai dacă, 55 ; raportul de ~ consecutivă, 190; raporturi dc —, 63, 188 ; sensul conjuncţiei de — deşi, 187 ; sensul modal al conjuncţiilor de — concesivă, 246 ; sensul modal al conjuncţiilor de — consecutivă, 192; sensul modal alethic al conjuncţiei de ~ dacă ... atunciv 253 ; sensul modal doxastic al conjuncţiei de —' dacă . .. atunci2, 253. SUBSTITUŢIE, ~a reciprocă defi-niendum/definiens (12 — 5), 101 ; —a, test al sinonimiei, 15 ; —a uniformă a variabilelor, 94, 97, 150; identitate de sens şi — salva veritate în T (5 — 17), 158; regulă de '—a variabilelo r (11—14), 94, 150; sinonimia şi posibilitatea de ~ reciprocă a unor conjuncţii, 67. şi, ~ adversativ, sinonim al lui însă, 68; —conector propoziţional şi conector de constituenţi ai propoziţiilor (8 — 1), 69 — 70; ~ şi conjuncţia logică, 64, 187 ; conjuncţia — şi propoziţii simultan adevărate, 49 ; forma dezambiguizată a conjuncţiei 116; sensul adversativ al conjuncţiei 66 ; sensul conclusiv al conjuncţiei —, 66 ; sensul copulativ al conjuncţiei —, 49, 66* (a) şti, sensul verbului -—^ şi S4, 204. T, sistem modal alethic, 134 ; ~, sub-limbaj al limbajului S4 (6 — 29), 175 ; sub-limbaj al limbajului S5, 186 ; ~ şi expresia in mod necesar, 203 ; — şi logica propoziţiilor, 160—163; ~ şi noţiunea de valorizare, 135 ; adevărat 111 —, 136 ; condiţii pentru sinonimie in—, 160; consecinţă logică in — (5 — 14a), 155 ; elementele constitutive ale lui —, 135 ; expresie tautologic validă 111 —, 158; expresii valide in — (5-15), 155-158; fals in sistemul —, 136 ; identitate de sens 111 — (5 —14b), 155; identitate de sens şi consecinţă logică in — (5 — 18), 159 : identitate de sens şi sinonimie în —, 159 ; identitatea de sens şi substituţia salva veritate 111 — (5 — 17), 158; logica propoziţiilor, sub-limbaj al limbajului —, 162 ; metodă dc testare a validităţii in —, 138, 139—143; regula de substituţie reciprocă de-finiendum/definiens in — 135 ; regulile de adevăr ale sistemului —, 135; regulile de formare ale sistemului —, 135 ; relaţia de accesibilitate ca reflectivă şi tranzitivă în sistemul —, 134, 163; teoreme cu privire la validitate in sistemul —, 143 — 152; testarea validităţii în — (5 — 2), 140—141 ; validitate în sistemul — (5 — 1), 137 ; valorizare in —, 137. TABEL SEMANTIC, v. MATRICE DE ADEVĂR. TAUTOLOGIE, —-, expresie adevărată în toate lumile posibile, 133 ; \ —, expresie care are totdeauna valoarea 93 ; — în limbajul natural, 108, 115 — 116; — şi condiţii de adevăr, 92 ; — şi conştiinţa lingvistică a vorbitorului, 118—122; — şi contradicţie, 87 ; — şi dis- poziţia de a crede in adevărul unei expresii, 220 : — şi identitate de sens (12 — 9), 105 ; — şi non- contradicţie, 118; — şi sens, 92; — şi validitate în logica propoziţiilor, 155 ; —i in logica propozi- 277 ţiilor (11—5), 83 — 84; ~ile ca identice sub raportul sensului (12 — 9), 105 ; ~ile ca reflectînd competenţa frazelor sinonime, 117 : ^ile ca reguli exprimînd capacitatea unui limbaj de a comunica, 121 ; -—^ile ca scheme de funcţionare, 117 ; ~ilc ca subclasă a clasei expresiilor valide in T, 150; ~ile logicii propoziţiilor ca valide în DS4 (2 — 5), 218; —ile logicii propoziţiilor ca valide in DT (2 — 4), 218; ~ile logicii propoziţiilor ca valide în S4, 172 ; '"-'ile logicii propoziţiilor ca valide în S5, 182; ~ile logicii propoziţiilor ca valide în T, 144, 161; conjuncţia ~ilor, 93; definirea ~i în logica propoziţiilor (11—4), 83; identitatea ~ilor, 94; interpretarea lingvistică a conceptului de 117 ; negaţii de ~i, 118; relevanţa lingvistică a ~i, 118 ; scheme de ~i, 116 ; sinonimia cu ea însăsi a unei ~i, 108. TEOREME CU PRIVIRE LA VALIDITATE, ~ în sistemele DT şi DS4, 217 — 226; ~ în sistemul S4, 166 —173 ; ~ în sistemul S5, 180 — 184 ; ~ in sistemul T, 143 — 152. (v. şi VALIDITATE) TESTARE A VALIDITĂŢII, ~unei expresii, 82 ; metodă de ~ în sistemele DT şi DS4, 215-217 ; metodă de ~ în sistemul S4, 164 — 166; metodă de ~ în sistemul S5, 178 — 180; metodă de ~ în sistemul T (5-2), 140-141. (v. si VALIDITATE) TEXT, ~ incoerent, suită de enunţuri contradictorii, 118; sistemul de conexiuni logice al unui 122 ; structura logică a ~ului, 122. TIMP GRAMATICAL, ~ şi timpul la care se raportează o propoziţie, 34. TRANSFER, ^ul consecinţei doxastice din sistemele doxastice în cele alethice, 234 ; ~ul consecinţei do-xastiee şi al identităţii doxastice de sens din DT în DS4 (2 — 19; 2—20), 231—232; >—'iii consecinţei logice din S4 in S5, 186 ; ~ul consecinţei logice din T în S4, 176 ; ^ul consecinţei logice dintr-un sub-limbaj in limbajul care îl include (5 — 23), 162; ~ul identităţii de sens din sistemele doxastice în cele alethice, 234 ; ^ul identităţii de sens din S4 în S5, 186; ~ul identităţii de sens din T in S4, 176 ; ^ul identităţii de sens dintr-un sub-limbaj în limbajul care îl include (5 — 23), 162; ~u\ relaţiilor de „consecinţă logică” şi de „identitate de sens” din logica propoziţiilor în sistemul T (5-24), 163. TRANZITIV, caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate, 129, 130; caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate în DS4, 214 ; caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate în S4, 134 — 164; caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate în S5, 135 —136,. 176, 203 ; caracterul ~ al relaţiei de accesibilitate în T, 163. trebuie (să), ^N, expresie adevărată in toate lumile posibile accesibile, 198; expresie cu sens deontic, 255 ; expresie subordonatoare, 188 ; -— creadă, secvenţă de operatori, 257. UNIFORM, substituţie ~ă a variabilelor, 150. UNIVERS, — doxastic ideal, 220, 224, 236. VALID, ~ ca opus la „contradictoriu”, 87 ; condiţiile în care o expresie este ~ă în logica propoziţiilor (11—1), 81 ; echivalenţa tuturor expresiilor ~e în T ca ^ă în T (5 — 13), 152; expresie ~ă, 82, 91. 133; expresie ~ă ca adevărată în toate lumile posibile, 137 ; expresie ~ă în DS4 (2 —lb), 215, (2-1’b), 217, (2-14) 226; expresie ~ă în DT (2 —la), 215, (2-1’a), 217, (2-13), 225; expresie ~ă în DT ca expresie ,,cre- 278 zută” in toate lumile posibile din W®T, 219; expresie —ă în logica propoziţiilor, 83, 136, 137; expresie —ă in S4 (6-1), 164, (6-2’), 169 ; expresie —ă in So (7 — 1), 178, (7 — 1’), 181 ; expresie —ă in sistemul T (6— V), 169; expresie —ă în T ca expresie adevărată in toate lumile posibile în raport cu modelul T, 137 ; expresie —ă in DS4 şi în S4 (3 — 3), 232 ; expresie —ă în DS4 şi în S5 (3 — 5), 233; expresie —ă in DT şi în S5 (3 — 5), 233 ; expresie —ă in DT şi în T (3 — 2), 232; expresie —ă în S4 şi in S5 (7 — 5), 181 ; expresie —ă in T şi în logica propoziţională (5 — 20), 161 ; expresie —ă in T şi in S4 (6 — 14), 169 : expresie —ă in T şi în S5, 181 ; expresii tautologic —e, 151 ; expresii tautologic —e în T, 158; expresii —e in DS4 (2 — 8), 223; expresii —e în DT (2-7), 221-222; expresii —e în S4 (6-17), 170-171 ; expresii —e în S5, 182 ; expresii —e în S5 şi în oricare din sub-lim-bajele S4, DS4, T şi DT (3-8), 235, (3 — 9), 237 ; expresii —e in T (5-1), 137, 141, (5-7), 145-146, (5 — 15), 155 — 158; scheme —e şi propoziţii —e, 149. VALIDITATE, — in sistemele DT şi DS4, 214 — 226; — in logica propoziţiilor, 80; — in sistemul S4 (6-1), 164, (6-2), 169; — în sistemul S5, 177 — 184; — în sistemul T, 136-152, (5-3; 5-4), 144, 155, (6-1'), 169; — şi caracter contradictoriu (11—8), 87; — şi consecinţă logică, 154 — 155; — şi contra- — în sistemele DT şi DS4 (2-13), 225, (2-14), 226; — şi identitate de sens, 155 : — şi tautologie în limbajul natural, 108 — 122; — şi tautologie în l*o-> gica propoziţiilor, 155; contradicţie şi — în T (5 — 5), 145 ; definirea —ii în DT şi in DS4 (2—1)> 215 ; definirea ^ii în logica propoziţiilor (11 — 1), 81; definirea —ii in S5 (7 — 1), 178; definirea —ii în T (5 — 1), 135; metodă de testare a —ii în DT şi DS4, 215 — 217 ; metodă de testare a —ii în S4, 164 —166 ; metodă de testare a —ii în T, 139 — 143; relevanţa lingvistică a conceptului de —> 118; teoreme cu privire la — în DT şi în DS4, 217 — 226; teoreme cu privire la — în S4, 166 — 173; teoreme cu privire la — în S5. 180—184; teoreme cu privire la — în T, 143-152. VALORIZARE, — necontradictorie. 143; — şi descripţie de stare, 71 ; — şi lumi posibile, 125 —132 ; — şi — in raport cu o lume posibilă, 137 ; —a ca dependentă de natura relaţiei de accesibilitate, 137 ; —a propoziţiilor, 37; —a unei clase de propoziţii (6 — 2), 39; —i diferite în lumi posibile diferite, 137 ; —i posibile ale constituenţilor unei expresii, 59 — 61 ; expresii adevărate pentru toate —ile posibile, 80; funcţia de — V in sistemele modale, 135 ; regulă de — pentru orice expresie şi orice lume posibilă, 126. (v. şi REGULĂ DE VALORIZARE) VARIABILĂ, — propoziţională, 23, 123—124 ; proprietăţile —elor prepoziţionale, 23, 38, 39 ; regulă de substituţie a —elor, 94. VERIFICARE, empirică a aserţiunilor, 91. (este) voie (să), sensul expresiei — într-un sistem deontic, 255. 279, W, clasă a lumilor posibile, 135 ; relaţia de accesibilitate ca definită pe 135. W»S4 clasa lumilor posibile asociate sistemului DS4, 217 ; WDT şi ~ (2-2), 217. WDT ^ clasa lumilor posibile asociate sistemului DT, 217. \VS4, clasă a lumilor posibile asociate sistemului S4, 200. WS5, clasă a lumilor posibile asociate sistemului S5, 20.0; cea mai comprehensivă, clasă în raport cu WS4 şi WT, 200. WT, clasă a lumilor posibile asociate sistemului T, 200; cea mai puţin comprehensivă, clasă în raport cu \VS* şi W85, 200. Redactor: Jana Balacciu Tehnoredactor: Olimpiu Popa Coli de tipar: 17,5 Tirajul: 2600 ex. Bun de tipar: 7.09 1978 I. P. Informaţia c. — 1549