MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE Şl CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
Ion Mihai
I.	V. Maftei George Popescu Liviu Pârşan Adela Mihai Mihai Haivas Mădălina-Georgia Nicolescu
Manual pentru clasa a XII- a
M1
EDITURA DIDACTICĂ Şl PEDAGOGICĂ, R.A.
Manualul a fost aprobat prin Ordinul Ministrului Educaţiei, Cercetării şi Tineretului nr. 1342/30 din 19.06.2007, în urma evaluării calitative şi este realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordinul Ministrului Educaţiei şi Cercetării nr. 5959 din 22.12.2006.
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematică - Ml: manual pentru clasa a Xll-a /
Ion Mihai, I. V. Maftei, Liviu Pârşan, ... - Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 2016 ISBN 978-606-31-0279-0
I.	Mihai, Ion
II.	Maftei, Ioan V.
III.	Popescu, George
51(075)
© EDP 2016. Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate Editurii Didactice şi Pedagogice R.A., Bucureşti. Orice preluare, parţială sau integrală, a textului sau a materialului grafic din această lucrare se face numai cu acordul scris al editurii.
Referenţi: acad. prof. dr. Radu Miron prof. dr. N. I. Nediţă
EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ, R.A.
Str. Spiru Haret nr. 12, sector 1, cod 010176, Bucureşti
Tel.: (021)315.38.20
Tel./fax: (021)312.28.85
e-mail: offlce@edituradp.ro
www.edituradp.ro
Comenzile pentru această lucrare se primesc:
•	prin poştă: pe adresa editurii, cu menţiunea Comandă carte
•	prin e-mail: comercial@edituradp.ro
comenzi@edituradp. ro
•	prin tel./fax: 021.315.73.98;
Redactor: Lucian Călianu, Delia Anghel Tehnoredactor. Cati-Narcizia Lupu, Angela Coţofană Coperta: Otilia Borş
Număr de plan: 61086/2016. Format: 16/70*100
Tiparul executat la Don Star, Galaţi
Al0€tbKCI
<JF
• (grupuri •Unele şi corpuri
•	Unele de polinoame cu coeficienţi
într-un corp comutativ
•	Probleme de sinteză pregătitoare pentru examenul de bacalaureat
Capitolul 1
GRUPURI
1.1.	Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă
Operaţiile care apar în diferite contexte ale algebrei pot avea o serie de proprietăţi comune: asociativitate, comutativitate etc. De asemenea, există o mare diversitate în ceea ce priveşte natura elementelor mulţimilor pe care sunt definite aceste operaţii: numere, funcţii, polinoame, matrice etc.
S-a ajuns la conceptul de lege de compoziţie, plecând de la faptul că prezenţa unor proprietăţi ale operaţiilor algebrice poate fi evidenţiată fără a se face apel la natura elementelor mulţimilor şi la modul specific în care acestea operează.
Definiţia legii de compoziţie cuprinde situaţii concrete în care apar diferite operaţii algebrice din algebra clasică, ce acţionează pe o mulţime nevidă M şi care asociază oricărei perechi ordonate (x, y) de elemente din M un unic element z din M Mai precis:
Definiţie
Fie M o mulţime nevidă. O operaţie cp : M x M -* M se numeşte lege de compoziţie internă (sau operaţie algebrică internă) pe mulţimea M.
Observaţie. Pe scurt, vom numi o „lege de compoziţie internă” doar „lege de compoziţie” (fără a menţiona şi cuvântul „internă”). Analog, vom spune „operaţie algebrică” în loc de „ operaţie algebrică internă”.
Dacă cp este o lege de compoziţie pe M, atunci elementul cp (x, y) e M care corespunde prin aplicaţia cp perechii ordonate (x,y) e M* Mde elemente din Mse numeşte compusul lui x cuy prin legea de compoziţie cp.
In notaţia aditivă scriem cp (x, y) = x + y; x + y se numeşte suma lui x cu y, iar cp se numeşte adunare.
Capitolul 1. Grupuri
5
în notaţia multiplicativă scriem <p (x, y) = x • y; x - y se numeşte produsul lui x cu y, iar (p se numeşte înmulţire.
Pentru compusul lui x cu y printr-o lege de compoziţie cp : M x M -> M se folosesc şi alte notaţii: x * y,x A. y,xT y,x. o y etc.
Definiţie
Fie cp : Mx M-* Mo lege de compoziţie, notată cu pe mulţimea nevidă M.
Spunem că legea este asociativă dacă
(x * y) * z = x * (y * z), oricare ar fi elementele x, y, z din mulţimea M.
Observaţie. Avantajul unei operaţii algebrice interne asociative este acela că putem „opera” (compune) nu numai două elemente (aşa cum arată definiţia), ci oricâte elemente în număr finit, respectând ordinea în care apar acestea. Pe scurt, asociativitatea unei operaţii permite „eliminarea” parantezelor, menţinând însă ordinea în care se compun elementele.
Definiţie	__________________________________
Fie cp : A/x Mo lege de compoziţie (notată „*”) definită pe mulţimea nevidă M.
Spunem că legea este comutativă dacă
x * y =y * x,
pentru orice elemente x şi y ale mulţimii M.
Observaţie. în cazul când o operaţie este în acelaşi timp asociativă şi comutativă putem compune un număr finit de elemente, neţinând seama de ordinea în care se succed (adică le putem compune în ordinea în care vrem).
Definiţie_______________________________________________________________________
Fie (p : Mx M-> Mo lege de compoziţie (notată „*”) definită pe mulţimea
nevidă M. Un element eeMse numeşte element neutru pentru legea de compoziţie dacă
e*x = x*e = x,
pentru orice element x e M.___________________________________________________
Observaţie. Elementul neutru, dacă există, este unic. într-adevăr, dacă e\ şi e2 sunt elemente neutre pentru legea de compoziţie atunci
e\ — e\ * <?2 ~ £2•
în notaţia aditivă elementul neutru se notează cu 0 (zero) şi se numeşte şi element nul {element zero), iar în notaţie multiplicativă elementul neutru se notează cu l (unu) şi se numeşte element unitate.
6
Manual clasa a Xll-a
Definiţie
Fiecp:M><A/-*M o lege de compoziţie care admite element neutru (notată cu „*”) definită pe mulţimea nevidă M Un element x e M se numeşte simetrizabil în raport cu legea de compoziţie dacă există un element x' din M, astfel încât
x * x' = x' * x = e,
unde e este elementul neutru pentru legea de compoziţie ______
Observaţie. Elementele simetrizabile se definesc numai pentru legi de compoziţie care admit element neutru.
Dacă, în plus, legea este şi asociativă, iar pentru x" e Mavem, de asemenea
x * x" = x” * x = e,
atunci
x" = x" * e = x" * (x * x') = (x" * x) * x' = e * x' = x'.
Aşadar, dacă legea de compoziţie este asociativă şi cu element neutru, elementul x' e Meu proprietatea x * x' = x' * x = e este unic determinat (dacă există!) şi x' se numeşte simetricul lui x.
în notaţia aditivă (respectiv multiplicativă) scriem x' = - x (respectiv x' = x_l) şi simetricul se numeşte opusul (respectiv inversul) lui x.
Exemple
1.	Pe mulţimea numerelor reale IR, operaţiile de adunare şi înmulţire sunt asociative şi comutative. Elementul neutru la adunare este 0, iar elementul neutru la înmulţire este 1.
Simetricul unui număr real x în raport cu adunarea este opusul acestuia, - x. Toate numerele reale sunt simetrizabile (admit un opus) în raport cu adunarea.
Simetricul unui număr real nenul x în raport cu înmulţirea este —. Numărul
x
real 0 nu admite simetric în raport cu înmulţirea.
2.	Să considerăm mulţimea 2Z* a numerelor întregi nenule. Operaţiile de adunare şi înmulţire pe 2Z* sunt asociative şi comutative.
Adunarea pe 2Z* nu admite element neutru, deci nu putem vorbi despre elemente simetrizabile.
înmulţirea pe 2Z* admite elementul neutru 1, iar singurele elemente simetrizabile sunt 1 şi - 1.
3.	Fie M,?(IR) mulţimea matricelor pătratice n x n cu elemente numere reale. Operaţia de adunare a matricelor din M/?(IR) este asociativă şi comutativă, iar operaţia de înmulţire este asociativă, dar nu este comutativă.
Capitolul 1. Grupuri
7
Operaţia de adunare a matricelor admite ca element neutru matricea nulă On de ordin n, iar operaţia de înmulţire admite ca element neutru matricea unitate de ordin n, In.
Simetricul unei matrice A e Af„(IR) în raport cu adunarea este opusa matricei A, adică - A.
Nu toate matricele din A/„(IR) admit simetric (inversă) în raport cu operaţia de înmulţire. Elementele simetrizabile din M„(IR) în raport cu înmulţirea sunt matricele A de determinant nenul. Inversa lui A este A _l.
Conceptul de lege de compoziţie permite folosirea metodei axiomatice în algebră, conducând la constituirea unei discipline distincte a matematicii, cunoscută sub numele de algebră superioară.
Folosirea metodei axiomatice în algebră presupune ignorarea unor aspecte particulare ale obiectelor investigate şi enumerarea listei de proprietăţi (axiome) admise referitor la obiectele studiate, dar şi o restricţie de natură logică, adică interdicţia de a folosi în demonstraţii alte fapte în afară de axiome şi proprietăţi care au fost deduse din acestea.
Cadrul în care se aplică metoda axiomatică în algebră este dat de conceptul de structură algebrică, adică o mulţime nevidă echipată cu una sau mai multe legi de compoziţie care satisfac o listă specifică de axiome date sub formă de identităţi sau alte condiţii.
Structurile algebrice care intervin în acest capitol sunt cele de monoid şi grup, iar în capitolul următor vor fi studiate structurile algebrice de inel şi corp.
Definiţie
Fie Mo mulţime nevidă pe care este definită o lege de compoziţie
O mulţime H c= M se numeşte parte stabilă a lui M în raport cu operaţia
dacă pentru orice x,y e H, compusul lui x cu y prin legea de compoziţie „*” este tot în //, adică x * y e H.
Dacă H este parte stabilă a lui M, restricţia operaţiei la mulţimea H se numeşte operaţie (lege de compoziţie) indusă de pe H.
Fie Mo mulţime nevidă şip : Mx M-^Mo lege de compoziţie pe M. Fie Ho parte stabilă a lui Mîn raport cu operaţia cp. Aşadar, Vx,ye//, avem cp (x, y) e H.
Fie cp' : H x H -► //, cp' (x, y) = cp (x, y), V x, y e H, legea de compoziţie indusă de cp pe H.
8
Manual clasa a Xll-a
Propoziţie
Cu ipotezele de mai sus, avem:
i)	dacă cp este comutativă (respectiv asociativă), atunci cp' este comutativă (respectiv asociativă);
ii)	dacă e este element neutru pentru cp şi e e H, atunci e este element neutru şi pentru H;
iii)	dacă cp este asociativă şi admite element neutru e astfel încât e e H, atunci un element x e H este simetrizabil în raport cu cp' dacă şi numai dacă x este simetrizabil în raport cu cp şi simetricul său x' în raport cu cp se află în H. Mai mult, în acest caz x' coincide cu simetricul lui x în raport cu cp'.
Demonstraţie
i)	Fie x,y, z e H. Din definiţia lui cp' rezultă
cp' (x, y) = (p (x, y) = q>(y,x) = cp' (y, x),
respectiv
<p' (9' (x, y), z) = cp (cp (x, y), z) = cp (x, cp (y, z)) = cp' (x, cp'( y, z)).
Deci cp' este comutativă (respectiv asociativă) dacă cp este comutativă (respectiv asociativă).
ii)	Pentru orice x e H avem:
cp' (<?, x) = cp (e, x) = x = cp (x, e) = cp' (x, e), deci e este element neutru şi pentru H.
iii)	Fie x e H. Presupunem că x este simetrizabil în raport cu cp şi că simetricul său x' în raport cu cp aparţine lui H.
Avem: cp' (x', x) = cp (x', x) = e = cp (x, x') = cp' (x, x'), deci x' este şi simetricul lui x în raport cu cp'.
Afirmaţia reciprocă este evidentă.
Propoziţia precedentă studiază modul în care unele proprietăţi ale operaţiei cp se transmit operaţiei induse cp'.
Ea poate fi de asemenea utilă în stabilirea proprietăţilor unei legi de compoziţie date, atunci când aceasta poate fi considerată ca lege de compoziţie indusă de către alta, ale cărei proprietăţi sunt cunoscute.
Exemple
1.	Considerăm mulţimea numerelor reale IR împreună cu operaţia de adunare. Submulţimea 2Z a numerelor întregi este parte stabilă a lui IR în raport cu adunarea, deoarece adunarea a două numere întregi este tot un număr întreg.
Analog, submulţimea TL a numerelor întregi este parte stabilă a lui IR în raport cu înmulţirea, deoarece înmulţirea a două numere întregi este tot un număr întreg.
Capitolul 1. Grupuri
9
Z* nu este parte stabilă a lui IR în raport cu adunarea (deoarece x + (- x) = 0, 0 g Z*), dar Z* este parte stabilă a lui IR în raport cu înmulţirea (înmulţirea a două numere întregi nenule este un număr întreg nenul).
2.	Să considerăm mulţimea matricelor M„(IR) pătratice de ordinul n cu elemente numere reale.
Fie A/,f (IR) mulţimea matricelor de ordin n simetrice cu elemente numere reale (A = (a/f).	(IR) are proprietatea că A = rA, adică a,-,- = a/h
V ij g {1, 2, ..., «}).
M„ (IR) este parte stabilă a lui Mn (IR) în raport cu adunarea matricelor (suma a două matrice simetrice este o matrice simetrică).
Analog, mulţimea matricelor antisimetrice (respectiv diagonale, superior triunghiulare, inferior triunghiulare) este parte stabilă a lui Mn(SR) în raport cu adunarea matricelor.
3.	Considerăm mulţimea numerelor naturale IN. înmulţirea pe IN este lege de compoziţie asociativă, comutativă, ce admite 1 ca element neutru. Să considerăm 2IN mulţimea numerelor naturale pare. Atunci 2IN este parte stabilă a lui IN în raport cu înmulţirea, dar 1 g 2IN.
Legea indusă pe 2IN de înmulţirea numerelor naturale nu admite element neutru.
4.	Fie mulţimea M= (1, 2, 3, 4, 5}, ,W(M) mulţimea funcţiilor definite pe M cu valori în M, cp operaţia de compunere a funcţiilor.
Considerăm funcţia fe	dată prin/(l) = 2,/(2) = 3, /(3) = 4, /(4) = 5,
/(5) = 3.
Fie H= I/'2,/3,/4}, unde/2 = cp (fj) =f°f f3 = cp (cp (//),/) f4 = 9 (9	9 (£/)) =/°/°/0/
Se verifică faptul că H este parte stabilă a lui :^(M) în raport cu cp (exerciţiu!). Funcţia identitate a lui M nu aparţine lui H (tM <£ H). Dacă cp' este operaţia indusă pe H de cp, atunci cp' admite element neutru /3 * nici un element din H nu este simetrizabil în raport cu cp, orice element din //este simetrizabil în raport cu cp'.
Observaţie. Dacă cp şi \p sunt două legi de compoziţie pe o mulţime nevidă M, H o parte stabilă a lui M în raport cu cp şi y, cp' şi y' legile de compoziţie induse pe H de cp, respectiv y, iar y este distributivă în raport cu cp, adică y (x, cp (y, z)) = cp (y (x, y\ y (x, z)), V x, y, z g M9 atunci y' este distributivă în raport cu cp'. într-adevăr, pentru orice x,y,z g H avem ¥' (x, 9'(y. z)) = v (x, (p (y, z)) = q> (\|/ (x, y), vţ/ (x, z)) =
= cp' O' (x, y), \\i' (x, z)).
10
Manual clasa a Xll-a
Utilizând pentru legile de compoziţie cp (respectiv \|/), notaţiile „*”(respectiv „o”) distributivitatea lui „o” în raport cu se scrie
x ° {y * z) = (x ° y) * (x ° z), V x, y, z e M.
Utilizând pentru legile de compoziţie cp, respectiv \|/, notaţiile aditivă respectiv multiplicativă distributivitatea înmulţirii faţă de adunare se scrie
x • (y + z) = x • y + x * z, V x, y, z e M.
Prima structură algebrică pe care o vom studia (facultativ) este aceea de monoid.
Definiţie____________________________________________________________________________
Fie Mo mulţime nevidă şi o lege de compoziţie pe M.
Perechea (M, *) se numeşte monoid dacă:
i)	operaţia este asociativă;
ii)	operaţia „*” admite element neutru.
Dacă, în plus, operaţia este comutativă, atunci (M, *) se numeşte monoid comutativ.
Se poate arăta (lăsăm ca exerciţiu!) că mulţimea elementelor simetrizabile dintr-un monoid (A/, *) este o parte stabilă a lui M.
Definiţie (facultativ)
Fie (M, *) şi (M', °) doi monoizi având elementele neutre e, respectiv e\
O aplicaţie cp : M-* M* cu proprietăţile
i)	cp (x * y) = cp (x) o cp (y), VijgM;
ii)	<p (e) = e',
se numeşte morfism de monoizi.
Definiţie (facultativ)
Un morfism de monoizi cp : (A/, *) -► (M', °) se numeşte izomorfism de monoizi dacă este morfism inversabil, adică dacă există cp' : (M', o) -► (A/, *) morfism de monoizi, astfel încât cp o cp' = TLM şi cp' o cp = unde prin (respectiv 11^^) am notat funcţia identică a lui M(respectiv A/').
Se demonstrează fără dificultate următoarea propoziţie de caracterizare a izomorfismelor de monoizi:
Propoziţie (facultativ)____________________________________________________________
Un morfism de monoizi cp : (A/, *)	(A/', o) este izomorfism de monoizi
dacă şi numai dacă este un morfism bijectiv.
Capitolul 1. Grupuri
Îl
Observaţie. Deşi definiţia noţiunii de monoid şi studierea proprietăţilor acestuia nu sunt cerute explicit de către programa şcolară pentru manualul de Matematică clasa a Xll-a, considerăm că această noţiune joacă un rol important în definirea şi înţelegerea structurilor algebrice de grup, inel, corp.
Exemple
1.	Considerând exemplele de legi de compoziţie deja enumerate la începutul acestui capitol, se observă că (IR, + ), (IR, • ), (2Z*, • ), (Mn (IR), + ) sunt monoizi comutativi.
(Mn (IR), • ) este monoid, dar nu este comutativ.
2.	Alte exemple diferite de cele standard sunt prezentate ca exerciţii rezolvate.
exerciţii rezolvate
1. Fie M =
a b c d
a,b,c,d eTL, a + b = c + d\.
a)	Să se arate că (M, •), este monoid.
b)	Să se determine elementele inversabile ale monoidului (M, ■).
Soluţie
a)	Vom arăta mai întâi că înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie pe mulţimea M
Pentru aceasta trebuie să arătăm că produsul a două matrice din M este tot o matrice din M, adică pentru orice matrice A, B e	AB e M
Fie A = ^ ^ j , cu a + b = c + d şi B = ^	, cu a + (3 = y + 8 {a, b, c,
d, a, p,y, 8 e TE). Avem AB =
raa + by Kca + dy
aP + b8^
cp + d8 j
Evident (aa + by) -t- (ap + b8) = a(a + p) + b(y + 8) =
= a(y + 5) + b(y + 5) = (a + b)(y + 8) =
= (c + d)(y + 8) = c(y + 8) + d(y + 8) =
= c( a + p) + d(y + 8) = (ca + dy) + (cp + d8), deci suma elementelor de pe prima linie a matricei AB este egală cu suma elementelor de pe a doua linie, adică AB e M.
12
Manual clasa a Xll-a
înmulţirea matricelor este asociativă, iar matricea unitate /2 =
i
0
g M
este element neutru la înmulţire în mulţimea M. Deci (M, •) este moniod.
b)	Fie A g M element inversabil. Atunci există A~] g M, astfel încât A • A = = A -A = I2.
Trecând la determinanţi obţinem det A • det A ~l = 1. Cum det ,4, det g 2Z, rezultă det A = ± 1.
Reciproc, dacă det A = ± 1 rezultă că matricea A ~l = —-—\ ^ \e M
det A\~c a)
(elementele lui A -l sunt numere întregi, iard-b = -c + a)şiA~] ■ A = A 'A _1 = /2.
Am arătat astfel că o matrice A g M este inversabilă dacă şi numai dacă det A = ± 1.
Prin calcul det A = ad - bc = a(a + b — c) — bc = ct2 + ab - ac - bc = = (a + b)(a - c), deoarece d = a + b - c.
Rezultă că este element inversabil în M dacă şi numai dacă (<z + 6)(a - c) = ± 1.	(*)
Condiţia (*) are loc dacă şi numai dacă are loc una dintre următoarele situaţii:
(i)
a + b = 1 a-c- 1
(2)
a + b= 1
a - c = -1 ’
(3)
a + b = -1 a- c— 1
(4)
a + b = -1 a-c = -1
Din (1) rezultă 6 = 1 - a, c = a - 1, deci mulţimea matricelor ce satisfac condiţia (1) este
A/, =
\ae7L>.
r a 1 -a' l^a-1	2 -aj
Analog, mulţimile de matrice ce satisfac (2), (3), (4) sunt respectiv
a	
1 + a	-«J
a	-1-,
-1 + a	- a
a	-l-a
1 + a	-2-a
a gZ|; a \;
M2 =
M3 =
M4 =
Rezultă că mulţimea elementelor inversabile ale monoidului (M, •) este:
M| u Mi u M3 u M4.
2. Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie astfel: x * y = x + ^ - xy, V x, y g Eî.
ia g n y.
Capitolul 1- Grupuri
13
Să se arate că (IR, * ) este monoid comutativ. Să se determine elementele simetrizabile.
Soluţie
Legea de compoziţie este asociativă, deoarece
(x * y) * z = (x + y - xy) *z=x+j;-xy + z-(x+j'- xy) z =
= x+ y-xy + z-xz-yz + xyz =
= x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) =
= x * (y -t- z - yz) = x * (y * z), V x, y, z g IR.
Legea este comutativă, deoarece, evident x * y = y * x, Vr, y e IR.
Elementul neutru este 0. Intr-adevăr, fie e e IR elementul neutru. Atunci x*e = e*x = x,\/xe IR.
Rezultă x + e - xe = x => e(l - x) = 0, V x e IR, deci e = 0.
Am arătat că (IR, * ) este monoid comutativ. Pentru a determina elementele
simetrizabile ale monoidului A/, să considerăm x e A/şi x' e M simetricul lui.
Atunci	x*x'=x'*x = 0 implică x + x' - xx' = 0. Rezultă	x'(x -	l) = x.	Deci
elementele simetrizabile ale lui IR în raport cu sunt x	e IR \	{1},	iar	simetricul
i •	, x
lui x este x =----.
x-1
3.	Pe mulţimea [0, oo) definim legea de compoziţie „_L” prin x 1 y = ^x2 + y2 ,
V	x,y e [0, oo).
a)	Să se studieze proprietăţile acestei legi de compoziţie.
b)	Să se arate că înmulţirea numerelor reale este distributivă faţă de aceasta.
c)	Să se determine x e [0, oo) pentru care 2 _L x = 3.
Soluţie
Evident „1” este lege de compoziţie, deoarece x ly e [0, oo), Vxje [0, oo). a) (x ±y) ± z = (^x2 + y2 ) ±z=	+ y2 j +z2 =^(x2 +y2) + z2 =
=Vx2 +(y2 +zl) =	+	=x±(*Jy2 +z2 )=x±(y±z),
V	x,y,z e [0, oo), deci „_L” este asociativă.
Evident „ ±” este comutativă. ^	_______
Elementul neutru este e = 0. într-adevăr, relaţia x * e = x implică Vx2 + e2 = x,
V	x g [0, oo). Deci e2 = 0 => e = 0 g [0, oo).
14
Manual clasa a Xli-a
Pentru a determina elementele simetrizabile din [O, oo) în raport cu „_L”, considerăm x g [0, oo) şi x ' g [0, oo) simetricul lui x. Avem x _L x' = 0. Deci ^x2 + x = 0 =>
=> x2 + x' = 0 => x = 0 şi x' = 0. Singuml element simetrizabil este x = 0, iar simetricul lui este x' = 0.
b)	Vom arăta că
x • (y 1 z) = (x-y) 1 (x ■ z), V x,y, z e [0, oo),
adică
x • *Jy2 +z2 = tJ(x- y)2 +(x-z)2 .
Relaţia este evidentă.
c)	Relaţia 2 _L x = 3 este echivalentă cu a/4 + x2 = 3, deci x = V5 .
4.	Considerăm monoizii comutativi (IN, + ) şi (IN, ■ ) (lăsăm ca exerciţiu verificarea proprietăţilor monoizilor) şi aplicaţia: cp : IN -* IN, cp (x) = 2X.
Să se arate că cp este un morfism de monoizi.
Să se decidă dacă cp este un izomorfism de monoizi.
Soluţie
i)	cp(x y) = cp(x) • cp(y);
ii)	cp (0) = 1.
cp este aplicaţie injectivă, dar nu este aplicaţie surjectivă, deci cp nu este izomorfism de monoizi.
5.	Considerăm monoizii comutativi (IR, + ) şi (IR* , • ).
Să se arate că aplicaţia cp : IR -* IR* , cp (x) = e este izomorfism de monoizi.
Soluţie
i)	cp(x + y) = (p(x) • cp(y);
ii)	<p(0)= 1.
Aplicaţia este injectivă şi surjectivă, deci bijectivă, în concluzie cp este izomorfism de monoizi.
6.	Pe mulţimea M= {1, 2, 3, 4} definim legea de compoziţie prin a * b = c, unde c este restul împărţirii lui a la 5. Să se studieze asociativitatea, comutati-vitatea şi elementul neutru al legii de compoziţie.
Soluţie
Pentru o mulţime finită M pe care este dată o lege de compoziţie, aceasta poate fi reprezentată şi sub forma unui „tabel”, numit tabla operaţiei.
Capitolul 1. Grupuri
15
Tabla operaţiei este
*	1	2 3	4
1	1	1 1	1
2	2	4 3	1
3	3	0 2	1
4	4	1 4	1
unde pe „coloană” am scris valorile lui a, iar pe „linie” valorile lui b, cu a, b e {l, 2, 3, 4}.
în „căsuţa” corespunzătoare coloanei a şi liniei b am scris a * b.
De exemplu, în căsuţa „marcată” am scris rezultatul operaţiei 3*2 = restul împărţirii lui 32 la 5, adică 4.
Din tabla operaţiei se observă că rezultatul a * b, cu a, b e A/, este întotdeauna în M, deci se verifică faptul că „*” este lege de compoziţie.
Operaţia nu este comutativă, deoarece, de exemplu 3 * 2 ^ 2 * 3.
Observaţie. O lege de compoziţie este comutativă dacă tabla ei este simetrică faţă de diagonala principală.
Operaţia nu este asociativă.
De exemplu (4 * 2) * 3 ^ 4 * (2 * 3).
Operaţia nu admite nici element neutru. Se observă tot din tabla operaţiei că nu există nici un element e e M pentru care x*e = e*x = x, VxgM
Exemple mai importante vom da ulterior, când vom discuta despre grupuri finite (ZZ„, grupul lui Klein, grupuri de permutări etc).
tzxerciţii propuse
1.	Fie A o submulţime a mulţimii numerelor complexe CC, având proprietăţile:
a)	V z e <C, | z | = 1 => z e A;
b)	A este parte stabilă a lui (C faţă de adunare.
Să se arate că A = (E.
2.	Dacă pe mulţimea nevidă Meste dată o lege de compoziţie „*” satisfăcând proprietăţile:
a)	3 e g M astfel încât x * e = x, V x e M\
b)	(x * y) * z = (z * y) * x, V x, y, z e M, atunci (AT, * ) este monoid comutativ.
16
Manual clasa a Xii-a
3. Fie . //i mulţimea matricelor A e A/3 (2Z) de forma
fa 0 0 6 0 0 0c
A =
Vv
, cu a, b, c e TL.
v
Să se arate că este parte stabilă a lui A/3(2Z) în raport cu înmulţirea matricelor, că formează monoid în raport cu operaţia indusă şi să se determine elemente simetrizabile ale monoidului (,	■ ).
4.	Fie mulţimea
H =
0-1 0 ir o -i
0	i
1	0
0 -/ -/ 0
0	-1
1 0
0	1
-1	0
/ 0 0 -/
Să se arate că (//, • ) este monoid necomutativ, unde este operaţia de înmulţire a matricelor.
Să se alcătuiască tabla operaţiei.
5.	Fie n > 1 un număr natural. Considerăm mulţimea zl = {i6 2|(/?,x)^l}. Să se arate că A este parte stabilă a mulţimii TL faţă de adunare dacă şi numai dacă n este o putere a unui număr prim.
6.	Se consideră mulţimea Z3 = {a | a = (a\, a2, a3), at e TL, i e {1, 2, 3}}, pe care se defineşte o operaţie algebrică astfel: dacă a, P e Z3,
a = (ai, a2, tf3), P = (b\, b2, fe3), atunci a o p = (a\b[ + a2b2 + <7363, a2b\ + a^bi + a\b2, a$b\ + a\b2 + a2b2).
a)	Să se studieze asociativitatea şi comutativitatea operaţiei induse. Admite această operaţie element neutru?
b)	Se defineşte o funcţie T:TL3 -*U astfel:
T{a) = c/\+ al + a] -3a\a2ai,
unde a = (aa2, o3) e TL3.
Să se arate că T (a o p) = T (a) T(P), V a, P e TL3.
7.	In mulţimea ©+ a numerelor raţionale strict pozitive se defineşte operaţia x * y astfel încât V x,y,z, t e ©+ să aibă loc relaţiile:
a)	(x * y) • (z * /) = (x • z) * (y • t), unde este înmulţirea obişnuită a numerelor raţionale;
b)	x * x = 1;
c)	x * 1 = x.
Calculaţi 27 * 43.
8.	Fie M=7L x 7L = {(x,^) \x,y e TL). Pe Mse introduce operaţia definită
astfel:
(X\,y[) * (*2, yi) = (X\ ■ x2, X2 ■ y, +y2),
unde (x:, vi), (x2, y2) e M, este înmulţirea numerelor întregi, iar „+” este adunarea acestora.
Să se demonstreze că (M, * ) este un monoid.
Capitolul 1. Grupuri
17
Care sunt elementele inversabile din acest monoid?
9.	Fie F = \ f^ ^ j | a,b e IR l. Atunci F este parte stabilă a lui M2(IR) în
raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor.
10.	Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie:
x ° y= -^-(x + y - xy + 1), Vi, y e IR.
Să se arate că această lege de compoziţie este asociativă, comutativă şi are element neutru. Să se determine elementele simetrizabile.
11.	Pe mulţimea [0, oo) definim legea de compoziţie „t” astfel:
x + y+1 x - y I
IT^=----------2-------'
Să se studieze proprietăţile acesteia.
12.	Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie prin
x * y = 2x + y, V x, y e IR.
a)	Să se studieze proprietăţile acestei legi de compoziţie.
b)	Pentru orice a e IR, să se calculeze: ai = a * a, = a2 * a şi în general
= ak~ i * a.
Să se arate că pentru orice yi > 2 număr natural avem an = (2n - 1 )a.
13.	Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie prin
x * y = xy + ax + by + c, a, b, c e IR.
a)	Găsiţi relaţia între a, b, c astfel încât „*” să fie asociativă.
b)	Arătaţi că legea este asociativă dacă şi numai dacă are element neutru.
c)	Există elemente nesimetrizabile?
14.	a) Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie „*” prin
x * y = — (x + y - xy + 1), V x, y e IR.
Să se arate că mulţimea IR] = IR \ {1} este parte stabilă faţă de legea b) Pe mulţimea (C a numerelor complexe definim legea de compoziţie
Z| o z2 = Z\ + Zi ~ Z\ Z2, V Z|, Z2 E (E.
Să se arate că mulţimea <C| = (C \ {1} este parte stabilă faţă de legea „o”.
15*. Să se arate că monoizii comutativi (Z, + ) şi (©, + ) nu sunt izomorfi. 16*. Să se arate că monoizii comutativi (©, + ) şi (IR, + ) nu sunt izomorfi.
17.	Să se arate că aplicaţia (pq : (D CD, cp^ (x) = qx, cu q e ©, este un morfism definit pe monoidul (©, + ) cu valori în el însuşi.
18.	Se consideră monoizii comutativi (IR, + ) şi (C*, • ) şi aplicaţia/: IR -> (E*, /(x) = cos 27ix + i sin 2tix.
Este / morfism de monoizi?
18
Manual clasa a Xll-a
1.2.	Grup, exemple: grupuri numerice,
grupuri de matrice, grupuri de permutări, TLn
Definiţie
Fie G o mulţime nevidă şi o lege de compoziţie pe G. (G, *) se numeşte grup dacă sunt satisfăcute axiomele:
i)	operaţia este asociativă;
ii)	operaţia admite element neutru;
iii)	orice element din G este simetrizabil faţă de operaţia
Dacă, în plus, operaţia este comutativă spunem că grupul este comutativ (iabelian).
Observaţie. Folosind noţiunea de monoid definită anterior, spunem că (G, *) se numeşte grup dacă este un monoid şi orice element al lui G este simetrizabil în raport cu „*”.
Vom prezenta câteva exemple clasice de grupuri.
Grupuri numerice
1.	Mulţimea numerelor întregi împreună cu operaţia de adunare, (Z, +), este un grup comutativ. Elementul neutru la adunare este 0 (zero), iar opusul lui x <e Z este - x.
Mulţimea numerelor naturale IN cu operaţia de adunare, (IN, +), nu este grup, deoarece opusul unui element x e IN* nu se află în IN.
2.	Mulţimea numerelor reale IR împreună cu operaţia de adunare, (IR, +), formează un grup comutativ.
Elementul neutru la adunare este 0, iar opusul unui element x e IR este numărul real - x e IR.
3.	Mulţimea numerelor reale nenule IR* cu operaţia de înmulţire formează grup comutativ. Elementul neutru la înmulţire este 1, iar inversul lui x e IR* este
x'^i.
x
(Z*, •) nu formează grup (exerciţiu!).
(IN*, •) nu formează grup (exerciţiu!).
Capitolul 1. Grupuri
19
4.	(©, +), (©*, ) sunt grupuri comutative. Elementul neutru la adunare este 0, iar opusul unui element x e © este - x e ©. Elementul neutru la înmulţire este l,
iar inversul unui element x e ©* este x = — e ©*.
x
Grupuri de matrice
1. Mulţimea matricelor pătratice de ordinul n> 2 cu elemente numere reale, (IR), formează un grup comutativ în raport cu operaţia de adunare a matricelor. Elementul neutru este matricea nulă de ordin n, Om iar opusul unei matrice
A e ' (IR) este - A e (IR).
Mulţimea matricelor pătratice (IR) cu determinant nenul formează un grup necomutativ în raport cu înmulţirea matricelor.
Elementul neutru este ln =
0
1
0N
o
iar simetricul matricei A în raport
1° 0 \)
cu operaţia de înmulţire este inversa matricei A, adică A ~ ] (a se vedea algoritmul de calcul din clasa a Xl-a).
Lăsăm ca exerciţiu studierea în mod analog a cazurilor (,(A), +) şi
(,(A), •), unde A poate fi Z, ©, ©.
2. Fie H mulţimea matricelor de forma
a b 0 c
, a, b, c e IR.
Atunci H este grup abelian în raport cu adunarea matricelor.
Demonstraţie
Acest lucru poate fi demonstrat direct, verificând axiomele din definiţia grupului.
Altă posibilitate ar fi să observăm că H este parte stabilă a lui (IR) în raport cu adunarea matricelor, ceea ce implică asociativitatea şi comutativitatea operaţiei de adunare pe H.
Elementul neutru este matricea 02 =
"o o"
lo o,
H, iar opusul matricei
A e H este - A e H.
20
Manual clasa a Xll-a
Grupuri de permutări
Fie mulţimea A = {1, 2, n) şi notăm cu SA mulţimea tuturor permutărilor mulţimii A.
împreună cu operaţia de compunere a permutărilor (SA, °) formează un grup, notat cu Sn, numit grupul simetric de ordinul n.
Sn este un grup cu un număr finit de elemente, şi anume n\ (de exemplu grupul S4 are 4! = 24 elemente).
Elementul neutru la compunere este permutarea identică e =
1 2 ...n
1 2 ...n
, iar inversa
unei permutări cp e Sn este cp , de exemplu permutarea cp e S4, cp =
^1 2 3 4^
V
2 3 4 1
are
inversa cp =
2
1
(a se vedea algoritmul de calcul din clasa a Xl-a).
Observaţie. Importanţa grupului S„ va fi evidenţiată în paragrafele următoare, după ce vom introduce noţiunea de izomorfism de grupuri, mai precis la teorema lui Cayley.
Reguli de calcul într-un grup
teoremă_______________________________________________________________
Fie (G, *) un grup şi a, b, c,xy, e G.
1 )a*b = a*c<^>b = c (simplificarea la stânga);
2)	b*a = c*a<=>b = c (simplificarea la dreapta);
3)	a*x = b<=>x = a~l *6;
4 )x* a = box = b*a~l;
5) (a * b)~] = b'] * a'\
Demonstraţie
1-4) Compunem, după caz, relaţiile de la care pornim cu a~\ la stânga, respectiv la dreapta.
5) (a * b) * (b~] * a~]) = a * (b * b~]) * ax - a * e * ax - a * ax = e.
Grupul lui Klein
Fie (K, ■ ) un grup cu patru elemente {e, a, b, c) astfel încât x2 = e, V x € K, unde e este elementul neutru.
Un grup K cu această proprietate se numeşte grupul lui Klein (în mod riguros, vom spune că grupurile izomorfe cu K se numesc grupuri Klein, după ce vom introduce noţiunea de izomorfism de grupuri).
Capitolul 1. Grupuri
21
Să alcătuim tabla operaţiei lui K.
Calculăm ab e K. Dacă ab = e, din a = e rezultă ab = a2, adică ab = aa. Simplificând la stânga cu a, rezultă b = a - contradicţie. Dacă ab = a, rezultă 6 = e, iar dacă ab = b, rezultă a = e, egalităţi care sunt contradictorii. Rămâne drept posibilitate ab = c.
Analog se arată că ba = c,ac = b, ca = b, bc = a,	= a.
Tabla operaţiei arată astfel:
	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e
Ca exemplu de grup Klein, să considerăm următorul grup: fie 0° un plan, în care fixăm un sistem de axe rectangulare. în planul considerăm următoarele transformări: sx - simetria faţă de axa Ox, sy - simetria faţă de axa Oy, so ~ simetria faţă de punctul O şi aplicaţia identică a planului Mulţimea (K, °) împreună cu compunerea este un grup abelian, care are aceeaşi tablă ca şi grupul lui Klein.
	lip	Sx		so
Hp	lip	sx		^0
Sx	sx	cl ţ=l	so	
S.v	sy		Up	Sx
so	so	5.v	Sx	Up
Grupuri de transformări (facultativ)
Fie A o mulţime ne vidă. Să considerăm mulţimea funcţiilor definite pe A cu valori în A, pe care o vom nota cu
Atunci (.5^, o) este un monoid, unde „o” este operaţia de compunere a funcţiilor.
Notând cu SA = {/: A -> A \f bijectivă} mulţimea funcţiilor bijective definite pe A cu valori în A, avem că (SA, °) este grup, numit grupul simetric (sau grup de transformări) al mulţimii A (vom reveni asupra grupurilor de transformări când vom discuta despre subgrupuri şi izomorfisme de grupuri!).
22
Manual clasa a Xll-a
Pentru următorul exemplu semnificativ de grup {grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, (ZZ,7, + )) avem nevoie de câteva definiţii şi precizări preliminare.
Definiţie
Fiind dată o mulţime oarecare nevidă A, se numeşte relaţie binară pe A orice submulţime R a produsului cartezian Ax A.
Dacă (x, y) e R spunem că 9yx este în relaţia R cu /’ şi scriem xR y.
Relaţia binară se notează frecvent cu de aceea vom scrie x ~ y şi vom citi că 99x este în relaţia ~ cu/’.
Definiţie_________________________________________________________________________
Fie A o mulţime nevidă şi ~ o relaţie binară pe A.
i)	~ este reflexivă dacă V x e A, x ~ x;
ii)	~ este simetrică dacă V x, y e A astfel încât x ~ y, atunci y ~ x;
iii)	~ este antisimetrică dacă V x,y e A din relaţiile x ~ y şi y ~ x rezultă x = y;
iv)	~ este tranzitivă dacă V x, y, z e A astfel încât x ~ y şi y ~ z, atunci x ~ z.
O relaţie având proprietăţile i), ii) şi iv) se numeşte relaţie de echivalenţă, iar o relaţie cu proprietăţile i), iii) şi iv) se numeşte relaţie de ordine.
De exemplu, relaţia de paralelism a dreptelor într-un plan este o relaţie de echivalenţă, iar relaţia de incluziune pe mulţimea pârtilor unei mulţimi M este o relaţie de ordine.
Considerând A = {(x, x) | x e A) diagonala unei mulţimi oarecare nevide, relaţia A este atât relaţie de echivalenţă, cât şi relaţie de ordine ((x, y) e A <=> x = y).
Fiind dată o relaţie de echivalenţă ~, două elemente asociate prin aceasta se numesc echivalente.
Definiţie_________________________________________________________________________
Fie - o relaţie de echivalenţă pe o mulţime nevidă A. Submulţimea lui A
Cx= {y e A \ y~x}
(notată frecvent cu x) se numeşte clasa de echivalenţă a elementului x.
Vom defini şi studia o relaţie foarte importantă definită pe mulţimea TL a numerelor întregi, numită congruenţa modulo n. Fie n >0 un număr întreg pozitiv, n e IN*.
Pe mulţimea TL a numerelor întregi definim o relaţie binară, numită congruenţa modulo n, astfel:
Capitolul 1. Grupuri
23
Definiţie_____________________________________________________________
Fie n e IN*. Dacă a, b e TL, spunem că a este congruent cu b modnlo n şi scriem a = b (mod n) dacă n | a - b.
Dacă a nu este congruent cu b modulo n, vom scrie a *b (mod n).
Vom nota cu relaţia de congruenţă modulo n.
propoziţie
Relaţia este o relaţie de echivalenţă pe 2Z.
Demonstraţie
i)	Dacă a e TL atunci n\a - a, adică a = a (mod n), deci relaţia este reflexivă.
ii)	Fie a, b e TL astfel încât a = b (mod n). Atunci n | a - b, deci n \ - (a - b). Rezultă n\b - a, adică b = a (mod n). Relaţia este simetrică.
iii)	Fie a, b, c gTL astfel încât a = b (mod n) şi b = c (mod n). Atunci n \ a - b şi n\ b - c, de unde n | {a - b) + (b - c), adică n\ci - c.
Rezultă a = c (mod n), deci relaţia este tranzitivă.
Pentru a e 7L, fie
ă = {b <a 7L \ b = a (mod n)}
clasa de echivalenţă a lui a.
Propoziţie
Pentru V a s Z, dacă notăm
a + n TL - {a + nk | k e 7L)
atunci ă = a + nTL.
Demonstraţie
Intr-adevăr, x s â dacă şi numai dacă x = a (mod n), echivalent cu n | x - a. Din relaţia precedentă rezultă că există k e 7L astfel încât x - a = nk, ceea ce este echivalent cu x = a + nk, k e7L. Am arătat astfel că ă = a + n TL.
Dacă a e TL este un număr întreg oarecare şi n e IN*, atunci conform teoremei împărţirii cu rest există q ,r eTL unic determinate astfel încât
a = nq + r, 0 < r < n.
Avem: ă = r , deoarece a-r = nq, deci n\a-r, echivalent cu a = r (mod n). Mai mult, dacă a, b e TL atunci a = b (mod n) dacă şi numai dacă resturile împărţirii numerelor aşibX&n sunt egale.
într-adevăr, dacă a, b s TL din teorema împărţirii cu rest pentm numere întregi avem a = nq\ + r\, 0 < r\ < n şi b = nq2 + r2, 0 < r2 < n.
Prin scăderea celor două egalităţi rezultă
a — b - n (q\ - q2) + (r, - r2).
24
Manual clasa a Xll-a
Atunci n | a - b dacă şi numai dacă n\r\- r2. Cum O < | r\ - r2 | < n, rezultă n | a - b dacă şi numai dacă r} = r2, adică resturile împărţirii numerelor a şi b la n sunt egale.
Am arătat astfel că dacă 0 < r\, r2 < n, cu r\ * r2 (mod n), atunci r, ^ r2 . Definiţie
Mulţimea {0, 1,	n-\} se notează cu TLn şi se numeşte mulţimea
claselor de resturi modulo n.________________________________________________
Mulţimea (0, 1,	1} este un sistem de reprezentanţi pentru congruenţa
modulo n.
Din cele prezentate anterior rezultă că clasele de resturi modulo n sunt următoarele mulţimi de numere:
6 = nTL, î = \ + n7L, 2 = 2 + « ZZ, ..., n-\ = (n —Y) + nTL.
Pe mulţimea 7Ln = {0, 1, n-1} definim o lege compoziţie numită adunarea claselor de resturi, astfel: dacă x = a , y = b e TLm prin definiţie punem
ă + b = a + b.
Deoarece elementul ă + b este definit prin intermediul reprezentanţilor elementelor x şi y, trebuie să arătăm că x + y nu depinde de modul cum se aleg aceşti reprezentanţi.
Vom demonstra că dacă a - ă' şi b = b\ atunci a + b= a' + b' (adunarea claselor nu depinde de alegerea reprezentanţilor).
într-adevăr, a = â ' o a = af (mod n) şi b = b* o b = br (mod n).
Deci a - a' = nkşi b - b’ = ni, cu k, l e 2Z.
Prin adunarea ultimelor egalităţi rezultă (a + b) - (<a' + b’) = n{k + /), adică (a + b) = {a! + b') (mod n), deci a + b= a + bf.
Exemple
Prezentăm adunarea claselor în TL 3 şi TL 4.
1.	Pentru /7 = 3,ZZ3={0, 1, 2} şi tabla operaţiei este
+	6 î 2
6	6 î 2
î	î 2 6
2	2 6 î
Capitolul 1. Grupuri
25
2. Pentru n = 4, 7L 4= {6, î , 2, 3} şi tabla operaţiei este
+	6 î 2 3
6	6 î 2 3
î	î 2 3 6
2	2 3 6 î
3	3 0 î 2
Similar, pe mulţimea 2Z„ putem defini legea de compoziţie numită înmulţirea claselor astfel: a • b = ab, unde ă , b e Z/7.
Ca şi în cazul adunării se arată că înmulţirea claselor nu depinde de alegerea reprezentanţilor.
Exemple
1.	Pentru n = 3, tabla operaţiei de înmulţire pe S3 este
	6	î	2
6	6	6	6
î	6	î	2
2	6	2	î
2.	Pentru n = 6, tabla operaţiei de înmulţire pe Z6 este
	6	î	2	3	4	5
<o	6	6	0	6	6	6
î	6	î	2	3	4	5
2	6	2	4	6	2	4
3	6	3	6	3	6	3
4	6	4	2	6	4	2
5	6	5	4	3	2	î
Grupul abelian (!TLm + ) momoidul (7Lm • )
Revenind la exemplele de grupuri despre care discutăm în acest paragraf, să arătăm că (Z,„ + ) este grup abelian, iar (Zln, • ) este doar monoid comutativ.
• Intr-adevăr, operaţia de adunare a claselor de resturi este asociativă. ă + (b + c) = b + c = a + (b + c) = (a + b) + c =
= a+ b+ c = (â + b) + c ,\/ ă , b, c e 7L„.
Operaţia este^comutativă. â + b ~ a + b = b + a - b + ă ,\l a , b e 7Ln.
Elementul neutru la adunare este 0 : ă+d = d + â=â,X/a e TLn.
26
Manual clasa a Xll-a
Opusul unui element ă e TLn este n~ a s TLn.
ă + n-a = a + n- a=h = 0 ; n - a + a =	= h = 6 .
Deci (Z,7, +) este grup abelian.
• Evident, (Z„, •) este monoid comutativ, operaţia de înmulţire a claselor
fiind asociativă şi comutativă. Elementul neutru la înmulţire este 1.
Monoidul (Z„, •) nu este grup deoarece nu toate elementele din TLn admit simetric în raport cu operaţia de înmulţire a claselor.
De exemplu 0 e 7Ln nu admite simetric (3 îe TLn astfel încât x • 0 = 1 sau, echivalent, Vie Z„, x • 0 = 0 ^ 1).
Un element ă e TLn este inversabil în raport cu înmulţirea dacă şi numai dacă 3 b e TL„ astfel încât ă • b = 1.
Rezultă ab = 1, adică ab = 1 (mod n), deci există k e 2Z astfel încât ab - 1 = nk. Avem ab + «(- k)= l, deci numerele a şi « sunt prime între ele, (a, «) = 1. Reciproc, dacă (a, «) = 1, există b, k e 7L astfel încât ab - nk = 1. Atunci
â -6 = 1, adică â este inversabil în (S„, •).
Prin urmare ă este inversabil o (a, ri) = 1 (a s {0, 1., ..., n - 1}).
Dacă n =p9 cu p număr prim, atunci toate numerele naturale nenule mai mici
decât p, adică 1,2,	1, sunt prime cu p, deci 1, 2, ..., p -1 sunt inversabile.
Rezultă că (5Z*;, -).este grup abelian, unde p este număr prim, iar prin am notat 7LP\ {6 }, adică 7L*p= {î, 2, ..., p-1}.
Observaţie. Grupurile abeliene (2Z;?, +) şi (2Z*;, •), p prim, au un număr finit de elemente.
exerciţii rezolvate
1. Pe 5Z se defineşte legea de compoziţie: TL^TL^TL, x*y = x+y - 1. Atunci (Z, * ) este un grup abelian.
Soluţie
Să verificăm axiomele grupului.
Relaţia „*” este asociativă deoarece
(x *	* z = (x + y - 1 )*z=z(x + y- l) + z- 1 =
= x + (y + z - 1) - 1 = x * (y + z - 1) = x * (y * z).
Capitolul 1. Grupuri
27
Evident relaţia este comutativă, adică x * y = y * x, V x, y g Z.
Să determinăm elementul neutru e e 7L, adică un element cu proprietatea x*£ = e,*x = x, VxgZZ.
Avem x + e - l = x, deci e = l este element neutru.
Vom arăta că orice element x e Z are simetric x' g Z. Relaţia
x*x'=x'*x = e
este echivalentă cu x + x' - l = l, deci x' = 2 - x e Z este simetricul lui x.
2.	Fie & mulţimea matricelor de forma f	c\ \
a	0	1 - a
0	0	0
1 - a	0	a
g ,/^3(IR) | a g IR \ <!^-
G =
Să se arate că # este grup în raport cu înmulţirea matricelor.
Soluţie
Pentru orice a, b g IR \ j-^-j, avem Ga • G/, = G„/, + (l _ „)(i _ b). Deci G este parte stabilă a lui (,	(IR), •).
înmulţirea matricelor din # este asociativă, adică pentru orice A, 5, C g
avem
(A-B)-C = A-(B-Q (lăsăm ca exerciţiu verificarea acestei relaţii).
Să determinăm elementul neutru în raport cu operaţia de înmulţire, adică
matricea E g & pentru care Ga- E- E • Gc, = Ga.
Matricea E este de forma f e 0 l-e^
0	0 0
E =
0 e j
l
, cu e g IR \ {— }.
2
	l o <3	1 o	
p li	0 0 0	■000	=
	vl-a 0 a j	o 1	
	^2ae + l-a-e	0 a + e - 2 ae	
=	0	0 0	
	^ a + e — 2 ae	0 2ae + \-a-i	
Analog, E • Ga
f2ae + \-a-e 0 a + e-2ae ^ 0 0 0 a + e - 2 ae 0 2 ae +1 - a - e
28
Manual clasa a Xll-a
Din egalitatea Ga- E = Ga rezultă 2 ae + 1 - a-e = a, adică 2 a(e - 1) = e - 1. Pentru ca relaţia să aibă loc pentru V a e IR \ {-- } este necesar cae = 1.
Deci elementul neutru este E =
1 0 0^ 0 0 0 0 O 1,
Simetricul matricei Ga e în raport cu înmulţirea este inversa matricei Ga,
adică
-.-i
a	0	a -1
2a-l		2a —1
0	0	0
a-1	0	a
2a -1		2a -1
Rezultă că (#;' ■) este grup.
Mai mult, (<% • ) este grup abelian (din calculele deja efectuate pentru determinarea elementului neutru se observă că operaţia este comutativă), în general însă înmulţirea matricelor nu este comutativă.
3.	Fie IR* = IR \{0} şi aplicaţiile/: IR* IR*, i e {1, 2, 3, 4}, definite prin
f\(x) = X, f2(x) = - ,f3(x) = - x,f4(x) = - -, V X e IR*.
X	X
Arătaţi că mulţimea ,^= {/j, /2, /3, f4} este parte stabilă în raport cu compunerea funcţiilor. Alcătuiţi tabla operaţiei induse şi arătaţi că ° ) este grup abelian.
Soluţie
Tabla operaţiei este
0	f fl fi Ja		
A	J\ fi	Jl	A
A	A A	A	fi
A	A A	A	fi
A	A A	A	A
Se observă că pe .^operaţia este asociativă, comutativă, cu elementul neutru fu f- =f °f =fu v / e {2, 3, 4}, deci f~x =/hVie{l,2, 3, 4}.
Rezultă că ° ) este grup abelian.
Observaţie. Grupul ° ) este un grup Klein.
Capitolul 1. Grupuri
29
exerciţii propuse
1.	Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie prin
x * y = 2(x + y~ 1) - xy, V x, y e IR.
Să se arate că IR\{2} este o parte stabilă faţă de legea iar IR\{2} împreună cu operaţia indusă este un grup comutativ.
2.	Pe mulţimea <Q a numerelor raţionale definim legea de compoziţie
XV
x °y = x+y ——,Vx,y e ©.
Să se arate că mulţimea © \ {2} este parte stabilă faţă de legea „o”, iar ©\ {2} împreună cu operaţia indusă este un grup comutativ.
3.	Să se arate că mulţimea
^ e lR)|x2 - 2y2 ^ oi
x-4yj ~	J
formează un grup comutativ în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor.
4.	Fie mulţimea
(/
G =
^x + 4 y
1-7 y
G =
1
^ r-i	f 0		O 1	i o		f o n	f-i 0^		fi 0)
0 1	J 0,	3	°r	0 oj	’	l-l oj’	V 0 *'J	3	0 1
Să se arate că G împreună cu înmulţirea matricelor este un grup necomutativ.
5.	Pe mulţimea ^(E) (submulţimi ale lui E) a pârtilor unei mulţimi E definim operaţia A prin:
X A Y = (X\Y) u (Y\X), V X, Y e .^(E) (diferenţa simetrică).
Să se arate că (./°(£), A ) este grup abelian.
6.	Pe mulţimea IR* \ {1} se defineşte legea de compoziţie
x *>> = x ln y.
Să se arate că (IR* \ {1}, * ) este un grup abelian.
7.	Fie/: IR IR o funcţie bijectivă, cu/(l) = 0.
Definim legea de compoziţie * : IR x IR -> IR prin:
a * b =	+ f~\b) - 1), V a, b e IR.
Să se arate că (IR, * ) este grup abelian.
8*. Fie G o mulţime nevidă înzestrată cu o operaţie notată multiplicativ şi având proprietăţile:
i)	operaţia este asociativă;
ii)	este valabilă simplificarea la stânga;
iii)	există a e G astfel încâtx3 = axa, VxeG.
Să se arate că (G, •) este grup abelian.
30
Manual clasa a Xii-a
9. Fie (G, •) un grup şi a e G astfel încât pentru orice x e G avem
ax3 a = x.
Să se arate că (G, •) este comutativ.
10*. Fie (G, 1) şi (G, * ) două grupuri definite pe aceeaşi mulţime G. Să se arate că dacă cele două grupuri admit acelaşi element neutru şi dacă a * b = (ci _L a) 1 (a 1 b\ V a, b e G, atunci (G, _L) şi (G, * ) coincid şi sunt comutative.
1.3.	Morfism, izomorfism de grupuri
Conceptele de morfism şi izomorfism sunt fundamentale în algebră (şi în general în matematică). Un izomorfism arată în ce măsură structurile algebrice între care este definit sunt „la fel” (identice) din punctul de vedere al proprietăţilor algebrice. în acest capitol vom discuta despre morfisme şi izomorfisme de grupuri.
Definiţie
Fie (G, o ) şi (G ', * ) două grupuri. O aplicaţie /: G G ' se numeşte
morfism (sau homomorfism) de grupuri dacă pentru orice x,y e G are loc relaţia
f(x°y)=f(x)
Dacă, în plus,/este aplicaţie bijectivă, atunci /se numeşte izomorfism de grupuri.
Dacă (G, o) = (G', *) (adică G = G', iar structurile „o” şi coincid) atunci morfismul (respectiv izomorfismul) / : G -> G se numeşte endomorfism (respectiv antomorfiism) al grupului G.
Observaţie. Dacă cele două operaţii „o” şi „*” sunt notate multiplicativ, aplicaţia /: (G, •) -► (G', •) se numeşte morfism dacă VxjgG, f(xy) =/(x)/(y), iar dacă operaţiile „o” şi sunt notate aditiv, atunci aplicaţia /: (G, +) (G', +) este morfism dacă VxjeG, f(x +y)=fi(x)+f( y).
Exemple
1. Considerăm grupurile abeliene (IR, +) şi (IR* , •), unde IR* = {xgIR|x>0}. Aplicaţia
/, /,(*) = **
este un izomorfism de grupuri, deoarece
f\(x + y) = ex+y = ex ■ ey=fx{x) ■fx{y), VxjelR,
(deci f este morfism) şi/este evident funcţie bijectivă.
Alt exemplu de izomorfism f2: IR -*• IR* este f2(x) = cf, cu a > 0, a ^ 1.
Capitolul 1. Grupuri
31
Inversele funcţiilor/, şi /2 sunt funcţiile bijective
/j-"=g,: ir;-IR, gt(x) = lnx;
fz' "= g2 ■	gz{x) = log,, x;
g,(x • y) = In (x ■ y) = Inx + ln.y = g2(x) + g2(y), V x,y e IR. gz(x ■ y) = log„(x • y) = log,, x + log,, y = g,(x) + g2(y), V x, y e IR;
Evident g\ şi g2 sunt tot izomorfisme de grupuri.
2.	Fie (G, ° ) şi (G ', * ) două grupuri oarecare.
Considerăm aplicaţia / : G -> G ', /(*) = e\ V x e G, unde e' este elementul neutru din G
Avem l(x o y) = e' = e' * e' = I(x) * /(y), deci / este un morfism de grupuri, numit morfism trivial.
Dacă ambele operaţii „o” şi sunt notate aditiv, atunci I: G -► G ', /(x) = Og', V x e G, unde 0G' este elementul neutru din G', se numeşte morfism nul.
3.	Aplicaţia/: 2 -► 2,/(x) = x (f= Hs) este un automorfism al grupului (2, +).
Evident/este morfism (f(x+y)=f(x)+f(y),\/x,y e 2) şi este aplicaţie bijectivă.
Aplicaţia g/7:2-► 2, g„(x) = nx,n e 2, este un endomorfism al grupului (2, +). Avemg„ (x + y) = (x + /) = nx + rty = g„(x) + g/7(y), Vxje2. g„ este automorfism dacă şi numai dacă w = ± l (exerciţiu!).
în continuare vom enunţa şi demonstra câteva proprietăţi importante ale morfismelor şi izomorfismelor de grupuri.
Propoziţia 1
Dacă (G, o ) este un grup, atunci aplicaţia identică 11G : G -> G, (x) = x,
V x e G este automorfism de grupuri.
Demonstraţie
Fie x, y e G. Atunci (x ° y) = x ° 7 =	(x) 0 11^ (y). Rezultă că /este
automorfism.
Observaţie. Propoziţia de mai sus a fost demonstrată pentru grupul (2, + ) în exemplul 3.
Propoziţia 2_____________________________________________________________
Fie grupurile (G, • ), (G ', • ), (G ", • ) (cu operaţiile notate multiplicativ pentru simplificarea scrierii). Dacă /: G G ' şi g : G ' -► G " sunt morfisme de grupuri (respectiv izomorfisme) atunci g o /: G G " este morfism de grupuri (respectiv izomorfism).
32
Manual clasa a Xi!-a
Demonstraţie
Pentru x, y e G avem (g °f){xy) = g(f(xy)) = g(/(x)/( y)) =	g(/( /)) =
= (g°/) <XKg° /)(/>•
Propoziţia 3________________________________________________________________
Fie grupurile (G. ■) şi (G ', •), cu operaţiile notate multiplicativ.
Fie/: G -* G ' un morfism de grupuri. Atunci:
i)	f O) = e';
ii)	=f{x)~\ Vi e G;
iii)	/(x'7) = (/(x))'7, V x e G şi n e ZZ,
unde e este elementul neutru din (G, • ), e' este elementul neutru din (G • ), x-1 este inversul elementului x din G, iar /(x) -l este inversul elementului/(x) din G '.
Demonstraţie
i)	/(e) =/(e • e) =/(e)/(e). Elementul /(e) este din G
în G ' avem <?' =/(e)"‘ -/(e) =/(£/' (/(e)/(e)) = (/(<?)''/(<?))/(e) =
= e' f(e) =/(<?) (am folosit asociativitatea înmulţirii în G ').
ii) e' =/(e) =/(x • x_1) =/(x) -/(x_1). Rezultă/(x)-1 = /(x-1), VxeG.
iii)	Mai întâi considerăm n e IN.
Pentru n = 0 afirmaţia rezultă din i); pentru > 1, presupunem afirmaţia adevărată pentru /7 şi o vom demonstra pentru n + 1.
/(x,7+ ') =/(x#l ■ X) =/(x#I) -/(X) =/(x)/7 */(x) =/(x)w+l, V X E G.
Am arătat astfel prin inducţie că iii) este adevărată, pentru n e IN. Pentru ne7L,n<0, avem/(ac") =/((x-ln =/(*-V = (/‘WT =/(*)", V x e <7.
Propoziţia 4________________________________________________________________
Fie grupurile (G, • ) şi (G • ). Dacă /: G -> G ' este un izomorfism de grupuri, atunci/-1 : G ' -> G este de asemenea un izomorfism.
Demonstraţie
Să observăm mai întâi că am demonstrat această proprietate pentru exemplul 1 de izomorfisme de grupuri din acest paragraf.
Fie y, / e G. Aplicaţia /fiind surjectivă, rezultă că există x, x' e G astfel încâty=f(x) şi/ =/(*')•
Atunci;;/ =/(x)/(x') =/(xx') (deoarece/este morfism de grupuri). Rezultă/-''O/) =f~\f(xx')) = (/‘‘o/) (n') =	(xx') = joc' =/"'(y)/'"l(>;')>
deci /-l este morfism de grupuri. Cum/este bijectivă, funcţia inversă/-l este de asemenea bijectivă.
Rezultă că/-l este izomorfism de grupuri.
Folosind propoziţia precedentă, este evident că definiţia unui izomorfism de grupuri poate fi dată, echivalent, şi în felul următor:
Capitolul 1. Grupuri
33
Propoziţie
Fie grupurile (G, • ) şi (G ', • ). Un morfism de grupuri /: G -> G ' este izomorfism de grupuri dacă există un morfism de grupuri g : G'-+ G astfel încât
_________________________f°g= Şig°/= Ac-_______________________________
Astfel, din definiţia echivalentă de mai sus, bijectivitatea unui izomorfism rezultă ca o consecinţă.
Propoziţie
Fie grupurile (G, • ) şi (G ', • ). Un morfism de grupuri /: G -> G ' este un izomorfism dacă şi numai dacă/este un morfism bijectiv.
Definiţie
Două grupuri (G, ° ) şi (G ', * ) se numesc izomorfe dacă există un izomorfism /: G G'.
Vom nota prin G ^ G ' faptul că grupurile (G, o ) şi (G ', * ) sunt izomorfe. Folosind propoziţiile anterioare, este imediată demonstraţia faptului că relaţia de izomorfism între două grupuri (G, o ) şi (G ', * ) este o relaţie reflexivă, simetrică şi tranzitivă, adică este o relaţie de echivalenţă (exerciţiu!).
Noţiunea de izomorfism permite să definim pe o mulţime nevidă dată A o structură de grup. Condiţia ca acest lucru să fie posibil este ca să existe o aplicaţie bijectivă între mulţimile A şi G.
teoremă
Fie A o mulţime nevidă şi (G, ° ) un grup. Presupunem că există o funcţie bijectivă /: A -► G. Pe mulţimea A se defineşte relaţia prin x*y =f~' (f(x) •/( y)), Vx,y t A.
Atunci (A, * ) este un grup, iar/este un izomorfism de grupuri de la (A, * ) la (G, o ).
Demonstraţie
Fie x,y,z e A. Avem
(x*y)*z = r' {/{x * y) •/( z)) =/’'(/( /-'(/(*) -/(y))) •/(*)) =
=/_,((/W -f(y)) •/(*)) =/■'(/(*) ■ (/(y) •/(*))) =
=/“'(/(*) -/(/"'(/(y) •/(*))) =/-' (/(*) -/(y * z))* (y * z)-
34
Manual clasa a Xll-a
Deci este operaţie asociativă.
Fie e e G element neutru. Notăm e' = f~\e) e /l. Atunci e' este element neutru faţă de operaţia de
într-adevăr, dacă* e A' avem
x*e' =/~‘ (/O) - fie')) =/"‘ (/(*) • e) =/“' (/(*)) = *.
Analog e' * x = x.
Pentru * e ,4, notăm _y =/(*)_l inversul lui/(*) în G.
Deci avem/(*) • y=y • /(*) = e. Fie*' =/”l(y).
Avem*' * * = J 1 (/*(*') •/(*)) =/_1 (>> •/(*)) =f ~l (e) = e', deci *' * * = e'. Analog, * * *' = e', deci *' =f~](y) = /-1 (/ (*)~l) este simetricul lui * în raport cu
Rezultă că (A, *) este grup.
Din definiţie * * y =f~l (/(*) -/(y)), V x,y e A.
Avem/(x * y) =/(/"' (/(*) -fiy))) =/(*) -/O), deci/este morfism;/este aplicaţie bijectivă (din ipoteză). Rezultă că/este izomorfism.
Prin izomorfismul astfel construit am „transferat” structura de grup de pe (G,-) pe (A, *), deci am efectuat un transfer de structură. Reamintim că acesta este posibil numai dacă mulţimile A şi G sunt în bijecţie!
Exemplu
Fie grupul (G, •) = ((0, oo), •) şi mulţimea nevidă A = (1, oo).
Aplicaţia/: A -> G,/(*) = * - 1 este bijectivă.
Operaţia * care se defineşte pe mulţimea A este
x*y =f'] (/(*)' fiy)), Vx,yeA.
Inversa lui f este f~x : G -> A, f~\x) = * + 1, deci
* * .y =/"' (/(* - 1) */0 - 1)) =
= (* - 1)( — 1) + 1 = xy -x -y + 2, V *, y e (1, oo).
Lăsăm ca exerciţiu verificarea directă a faptului că (A, *) este grup.
1.4.	Subgrup
Definiţie
Fie (G, * ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Spunem că H este subgrup al lui G dacă:
i)	H este parte stabilă a lui G în raport cu
ii)	//înzestrată cu operaţia indusă este un grup.
Capitolul 1. Grupuri
35
Observaţie. în notaţia multiplicativă, H este subgrup al lui (G, ■) dacă
i) V x, y <e H	x • y <e H;
ii)	Vx e H=>x~' e H.
în notaţia aditivă, H este subgrup al lui (G, ■ ) dacă i )Vx,j/e//=>x+_ye//; ii) V x e H => - x e //.
Propoziţie
Fie (G, •) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Atunci H este subgrup al lui G dacă şi numai dacă pentru orice x,yeH avem x~' y e H (sau, echivalent, xy~x e //).____________________________________________________________
Demonstraţie
Presupunem că H este subgrup al lui G şi x,y <e H.
Atunci x e H (din condiţia ii)). Rezultă x~{ y e H (din condiţia i)).
Analogy -l e //(din condiţia ii)). Rezultăxy e //(din condiţia i)). Reciproc, presupunem că V x, y e H avem xy _l e H (sau x~ly e H).
Cum H nevidă, rezultă că există un element x e H, deci x x~[ = e e H.
Avem e • x~l e H. Rezultă x _I e //, deci am demonstrat condiţia ii).
Dacă x,y e //, cume // => x(_l) _l e //, deci xy H, adică am arătat condiţia i).
Exemple
1.	Fie (G, * ) un grup oarecare. Mulţimile {e} şi G sunt subgrupuri ale lui G, numite triviale ({<?} se mai numeşte subgrupul unitate al lui G, sau subgrupul {0} dacă operaţia este aditivă).
2.	Subgrupurile grupului aditiv (2, + )
Dacă « e 2, notăm n TL mulţimea
n U - {nk | k e 2}.
Atunci n TL este un subgrup al lui (2, + ), numit subgrupul ciclic generat de elementul n.
Evident, condiţiile i) şi ii) sunt imediat verificate.
Propoziţie
Orice subgrup H al lui (2, + ) este de forma n TL, cu n > 0.
Demonstraţie
într-adevăr, dacă H- {0}, atunci H= 0 ■ 2.
Dacă H ^ {0}, 3 x e //, x ^ 0. Dacă x < 0, cum - x e H ş i- x > 0 rezultă că A = {x e //, x > 0} este nevidă. Atunci A are un cel mai mic element, pe care îl
36
Manual clasa a Xll-a
vom nota cu n (n > 0). Deci n < x, V x e A. Fie y e H oarecare. Din teorema împărţirii cu rest avem y = nq + r, cu 0 < r < n.
Cumr=j; - nq, y e H, n e H => nq e H şi r e //. Din faptul car e H, 0<r<n şi « este cel mai mic element din A, rezultă că r = 0, deci 7 = nq, adică 7 e n TL. Astfel, H^nTL.
Cum w e TL şi « e H, rezultă imediat că n TL c H. Deci H= nB.
3.	Fie (G, • ) un grup, jc e G. Se notează cu < x > = {xt1 | n e TL). Prin verificare directă (exerciţiu!) se arată imediat că mulţimea < x > este un subgrup al lui G, numit subgrupul ciclic generat de x. Dacă există un element x e G astfel încât G = < x >, atunci G se numeşte grup ciclic.
In notaţie aditivă, <x> = {nx\ne 2Z}.
4.	Notăm GLn (IR) mulţimea matricelor pătratice inversabile de ordinul n cu elemente numere reale deci
GLn (IR) = {A e , ^ (IR) | 3 B e (IR) astfel încât AB = BA = /„} -
- e (IR) | det A * 0}.
(GLn (IR), •) formează un grup.
Notăm prin SLn (IR) = {A e GL„ (IR) | det A = 1}. Este imediată demonstraţia faptului că SL„ (IR) constituie subgrup al grupului (GLn (IR), • ) (exerciţiu!). SLn (IR) se numeşte subgrupul special liniar de ordin n.
5.	Fie 0 ) grupul simetric de grad n. Atunci (S„ ,°) formează un subgrup al lui (S„, 0 ), unde S\ este mulţimea permutărilor pare.
6.	Fie O un punct fixat din planul (P şi k e IR, k ^ 0. Se numeşte omotetie de centru O şi raport k, notată hk0, transformarea planului ^ prin care fiecărui punct X e i se asociază punctul A' e dP astfel încât OX' = kOX .
H = {hk01 k e IR*} este subgrup al grupului (Sp , o ), unde Sp = {/: dP-+ îîiP : / bijectivă} (exerciţiu!).
H se numeşte grupul omotetiilor de centru 0. Funcţia/: IR* -►//,/(&)= hk0 este un izomorfism între (IR*, • ) şi (H, 0 ).
7.	Se numeşte translaţie de vector v transformarea planului P, t- : P —» P,
definită prin t (M) = M ' astfel încât MM' = v. Notăm cu T mulţimea tuturor translaţiilor din planul P. Atunci grupul translaţiilor (7, o ) este subgrup al grupului tuturor transformărilor bijective ale planului (Sp , o ).
Notând cu V mulţimea vectorilor din planul este evident că grupul (7, o ) este izomorf cu (V, + )? unde este adunarea vectorilor.
Capitolul 1. Grupuri
37
8.	Fie (G, ° ), (G ', * ) două grupuri şi/: G -> G ' un morfism. Următoarele submulţimi: Ker/= { x s G \f (x) = e'}, unde e' este elementul neutru al lui G ' şi Im/= { y e G ' | 3 x e G astfel încât f(x) =y} sunt subgrupuri în G, respectiv G
Subgrupul Ker/ al lui G se numeşte nucleul morfismului/ iar subgrupul Im/ al lui G ' se numeşte imaginea morfismuluif.
Ca exerciţiu, arătaţi că Ker / şi Im / sunt subgrupuri, iar morfismul / este injectiv dacă şi numai dacă Ker/ = {e}.
1.5.	Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element
Definiţie_______________________________________________________________
Fie (G, * ) un grup. Dacă grupul (G, * ) are proprietatea că G este o mulţime finită, atunci (G, * ) se numeşte grup finit.
în acest caz numărul de elemente al mulţimii G (sau cardinalul mulţimii G), notat | G |, se numeşte ordinul grupului G şi se mai notează prin ord (G).
Ca exemple de grupuri finite să reamintim grupul lui Klein, grupul 2Z„, grupul de permutări Sn.
Un rezultat simplu din teoria grupurilor, dar cu multiple aplicaţii, este următoarea teoremă.
Teorema lui Cagrange_______________________________________________________
Fie (G, * ) un grup finit şi H un subgrup al său. Atunci ord (H) este un divizor al numărului ord G.
Demonstraţie
Fie xeGun element oarecare. Notăm cu xH = {xh | h e //}. Mulţimile xH şi H au acelaşi număr de elemente. într-adevăr, funcţia f:H-+ xH, / (h) = xh este bijectivă (surjectivitatea este evidentă, iar injectivitatea rezultă astfel: dacă f{h0 =f (A2), atunci xh\ = xh2, şi deci x ~\xh\) = x ~\xh2), adică h\ = h2).
Fie x, y două elemente oarecare. Atunci xH = yH sau x H ny H = 0.
într-adevăr, presupunem că xH n yH * 0 şi fiq z s xH n yH. Deci există h\9 h2 e H astfel încât z = xh\ = yh2. Dacă h e H atunci zh = (xh\)h = x(h\h) e x//, deci zH c= xH.
Dinz = x/*i avemx = zh^[, deci xh = (zAf1 )h = z(h,_l A) e zH\ rezultăxHgizH.
Am arătat că x// = zH. Analog, yH = z//, deci x// = ^//. Cum G este finit, putem scrie G = (xj, x2, ..., xn). Dintre submulţimile X\H, x2//, ..., xnH le alegem dintre ele pe cele care sunt diferite; fie acestea x\XpH, p < n (eventual renumerotând elementele xj, ..., x„). Deci pentru i * /, /,/ < /?, avem x,// n x7// = 0
38
Manual clasa a Xll-a
şi pentru orice k > p submulţimea xkH este egală cu una dintre submulţimile X\H, x2H, ..., XpH.
p	p
Evident avem G = \<JxiH , deci | G | = ^T|x,//| = p | H |, deoarece x\H, x2H9
i=1	/=1
XpH sunt submulţimi distincte şi \x\H\ = \H\, V / = l,p .
Rezultă că | H\ este un di vizor al lui \G\.
Evident, pentru un grup finit (G, * ) se poate alcătui tabla operaţiei, de forma
*		X,			x2		Xn
*1	X>	*	X,	X,	* X2	.. X,	* Xn
X2	x2	*	X\	x2	* x2	x2	*X„
Xn	Xn	*	X\	Xn	* x2	Xn	* x„
unde G= {x\, ...,xn).
Exemple de table de operaţie au fost deja amintite în paragrafele precedente. Definiţie
Fie (G, • ) un grup finit şi x e G. Cel mai mic număr natural nenul n astfel încât xn = e, unde e este elementul neutru în grupul G, se numeşte ordinal elementului x şi notăm ord (x) = n, deci
n = ord (x) = min {k g IN* | x = ej.
exerciţiu rezolvat
Fie (K, •) un grup cu patru elemente, K= {e, a, b, c} astfel încât x2 = e9 V x g K, unde e este elementul neutru.
a)	întocmiţi tabla operaţiei lui K.
b)	Arătaţi că grupul (K, ■) nu este izomorf cu (Z4, + ).
c)	Dacă G este un grup cu 4 elemente, atunci G ^ K sau G ^ ZZ4. Daţi un exemplu de grup izomorf cu K.
Capitolul 1. Grupuri
39
Soluţie
a) K este grupul lui Klein, discutat în paragraful anterior. Tabla operaţiei este următoarea:
	e	a	b	c
e	e		b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e
	, v	x e	K.	în
= 2^6. Atunci cele două grupuri nu pot fi izomorfe.
într-adevăr, presupunând că există un izomorfism de grupuri /: (K, • ) -►
^	a	~
(Z4, + ), atunci există xsKcuf(x)= 1. Rezultă că 0 =f (e) =f (x ) =/(x) + +f(x) = 1 + 1 - contradicţie.
c) Fie G = (w, x, y, zj un grup multiplicativ cu elementul neutru ii. Deoarece ordinul oricărui element divide ordinul grupului, rezultă că ordinul oricărui element din G este 1, 2 sau 4. Distingem două cazuri:
Cazul 1
G conţine cel puţin un element de ordinul 4, de exemplu x.
Atunci G = (w, x, x2, x3}, deci (G, • ) este un gmp ciclic, izomorf cu (Z4, + ) prin izomorfismul/: G -► 2Z4, /(x') = i ; i e {0, 1, 2, 3}.
Cazul 2
G nu conţine nici un element de ordinul 4. Atunci u are ordinul 1, iar x, y, z au ordinul 2, deci, x2 = y2 = z2 = u . Suntem în ipotezele a) şi b). Conform punctului a), tabla operaţiei arată astfel
	u	X	y	z
u	n	X	y	z
X	X	u	z	y
y	y	z	ll	X
z	z	y	X	u
Deci aplicaţia (p : K -► G, cp (e) = u , cp (a) = x, (p (/?) = y, cp (c) = z este un izomorfism de grupuri. Aşadar G ^K.
Grupurile izomorfe cu K se numesc grupuri Klein. Reamintim exemplul K = {/, Si, S2, £3}, unde 7, 5|, S2, 53 sunt următoarele transformări ale planului:
40
Manual clasa a Xll-a
transformarea identică, simetria faţă de origine, simetria faţă de Ox, simetria faţă de Oy\ operaţia algebrică este compunerea transformărilor.
Un alt exemplu este (2Z2, + ) x (2Z2, + ) = {(6, 6), (6, î), (î, 6), (î, î)}, unde adunarea se face pe componente
Oi,x2) + Oi, ^2) = Oi +u,*2 + ^2).
teoremă
Fie (G, •) un grup finit. Dacă x e G, atunci
i)	dacă < x > este subgrupul ciclic generat de x, atunci | < x > | = ord x;
ii)	ord (x) | |G|;
iii)	x|C| = e\
iv)	dacă n este un număr întreg astfel încât xn = e, atunci ord (x) | n;
v)	x = e <=> ord (x) = 1.
Demonstraţie
i)	Fie ord (x) = r. Vom arăta că < x > = {e, x, x2, ..., x ]}, unde prin x înţelegem x • x • ... • x de k ori, V k e IN.
Cum < x > = {x ' | t e Z}, este suficient să arătăm că orice element^ = x \ cu / € 2, este în mulţimea {e,x, ..., x''1}.
Din teorema împărţirii cu rest avem t = rq + s, 0 < s < r. Deci y = xf = xrq + s = = {xr)q - xs = eq’xs = e- xs=x'\ deci y e {e, x, ...,x/ _1}.
Atunci <x> = { e, x, ...,x/_l} şi | <x> | = r = ord (x).
ii)	Este evident din teorema lui Lagrange.
iii)	x 0ld(v) = x r = e şi ord (x) | G \ rezultă | G | = k - ord (x), k <e IN*. Deci
x\C\=xk-ord(x) =(jcoid (X)y< = ek = 6'
iv)	Din teorema împărţirii cu rest pentru n şi r = ord (x) obţinem n = ru + v, 0 < v < r. Deci e = x" = xru 4 w = (.x )w • xv = e • xv = e • xv = xv. Dacă v > 1, atunci cum v < r = ord (x), rezultă o contradicţie (prin definiţie, ordinul lui x este cel mai mic număr natural pentru care xr — e\). Rezultă v = 0, adică n = ru, deci r | n.
v)	Afirmaţia este evidentă.
Următoarea teoremă ne arată că un grup finit este izomorf cu un grup de permutări.
teorema lui Gayley (facultativ)
Fie (G, • ) un grup finit cu n elemente. Atunci (G, • ) este izomorf cu un subgrup al lui S„.
41
Capitolul 1. Grupuri
Demonstraţie
Fie SG grupul simetric al mulţimii G, adică mulţimea aplicaţiilor bijective de la G în G '. Definim funcţia /: G -► SG, f (a) = /„ ci e G, unde /, : G -► G, /(x) = ruc, V x e G. Atunci/este morfism de grupuri, adică
f\ab) =f (a) o/(Z?), V a, b e G.
Avem /(arZ?) =/,/„ unde fab: G -> G, fab(x) = aZ?x, V x e G.
Avem (/(a) °f{b)){x) = (/, °/z,)(.x) =/,(./Â(x)) =X(^) =	= abx, VieC.
Aplicaţia / este injectivă, deoarece
/(«) =/(*) =>/, =/* => /„(e) =/i(e) => a = 6 (unde e este elementul neutru al lui G).
Grupurile (Se, ° ) şi (5,,, ° ) sunt izomorfe; izomorfismul este dat de aplicaţia
9 : SG -* S„, cp(g) =
l 2 a(l) ct(2)
a(n)
unde grupul G este
G= (tf|,	Şi aG{k)= g(a/(), V k= (l,	«}.
Construim aplicaţia 0 : G -> 5W, 0 = cp o / 0 este compunerea a două aplicaţii injective, deci este injectivă.
Fie H = 0 (G). Atunci H este subgrup al lui Sn (verificarea o lăsăm ca exerciţiu!) şi 0 : (G, •) -> (//, o ) este izomorfism de grupuri.
exerciţii rezolvate
1.	Fie G un grup finit cu p elemente, unde p este un număr prim. Atunci G este un grup ciclic.
Soluţie
Cum p >2 rezultă că există un element x e G, x * e, unde e este elementul neutru din G.
Cum ord (x) > 1 şi ord (x) | p, rezultă că ord (x) = p, deoarece p este număr
prim.
Deci < x > = {e, x, ..., xp ” 1} = G, adică G este un grup ciclic.
2.	Teoremele lui Euler şi Fermat Teorema lui Euler
Dacă n > 1 este un număr natural şi a e TL astfel încât a şi n sunt prime între ele ((a, n) = 1), atunci = 1 (mod «), unde (p (w) este numărul elementelor mulţimii {k € {1, 2, ..., ^ - 1} | (/c, rc) =1} (numit indicatorul lui Euler) .
42
Manual clasa a Xll-a
Teorema lai Fermat
Dacăp este un număr prim şi a e TL astfel încât (a,p) = 1, atunci ap~1 = 1 (mod/?). Demonstraţie
Considerăm monoidul (Z/7, • ). Mulţimea tuturor elementelor inversabile din monoidul (Z7/, • ) o notăm cu G = U (!TLn) şi formează un grup finit.
Dacă a e TL astfel încât (a, ri)= 1, atunci â e U (TLn).
Rezultă a 9(/7) = î , adică echivalent, a^{n) = 1 (mod n).
Dacă p este număr prim, <p(p)=p-l. Rezultă a p~1 = 1 (mod p) pentru (a,p) = 1.
3.	Să se arate că într-un grup finit G cu un număr par de elemente există un element x e G, x ^ e, pentru care x2 = e, unde e este elementul neutru din grupul G.
Soluţie
Presupunem că oricare ar fi x e G, x ^ e, avem x ^ e. Atunci ord (x) = r > 2. Avem (x“')r = (x')_I = e_l = e, deci ord (x_l) < r. Să presupunem că ord (x-1) = q\ deci q > 1, q < r şi (x~])q = e. Cum (x~])q = (xq) _1 => (x q)_1 = e şi deci x q = ((x q) _l) -l = ex = e. Rezultă q > r. Prin urmare q = r, adică ord (x) = ord (x_l).
Dar din ipoteză avem x-1 ^ x (dacă x~] = x rezultă x2 = e, deci ord (x) < 2; contradicţie). Cum x e G, x ^ e, rezultă că putem forma mulţimea {x, x_l}.
Dacă există un element y * e astfel încât y <£ {x, x-1}, atunci, urmând un raţionament analog, rezultă că putem forma mulţimea {y, y~]}.
Evident {x, x_l } n {y, y~]} = 0.
Continuând raţionamentul rezultă că mulţimea finită G este de forma G= {e} u {x,x-1} u {y,y~'} u adică are un număr impar de elemente; contradicţie.
în concluzie, există un element x e G, x * e astfel încât x2 = e.
4.	într-un grup finit comutativ produsul tuturor elementelor din G este egal cu produsul tuturor elementelor de ordin cel mult 2.
Soluţie
Fie x e G, ord (x) > 2. Din exerciţiul precedent rezultă că ord (x_l) = ord (x) şi x ^ x-1.
Deci f[x= ff	fh
.veG	yeG	zeG
ord(>’)^2 ord(z)>2
în produsul J”Jz apare şi z”1 în acelaşi timp cu z; dar zz_1 = e, deci
zeG
ord(z)>2
Y\z = e‘ Răzuită j~jx= •
zeG"	xeG	yeG
ord(z)>2	ord(_y)<2
Capitolul 1. Grupuri
43
5.	Teorema lui Wilson
Dacăp este un număr natural prim, atunci (p - l)! + l = 0 (modp). Demonstraţie
p fiind număr prim, mulţimea 7Lp = {l, 2p -1} constituie grup abelian faţă de operaţia de înmulţire a claselor.
Fie x = ă e TL*p astfel încât x2 = 1, deci a2 = 1. Rezultă p | a2 - 1. Dar p
este prim, ceea ce implică p | a - 1 sau p\a+ 1.
Dacă p\a- 1, avem a -1=0, adică ă = 1.
Dacă p | a + 1, avem a = p - 1, adică a = p -1.
Rezultă că, în afară de 1, p -1 este singurul element din 7L*p de ordin mai mic sau egal ca 2.
Folosind exerciţiul precedent rezultă
î • 2 - ... - p-1 = î • p- 1,
adică
1 • 2 • ... -{p- 1)= (p-l)! =p-1,
sau
O7 — l) != (/»—!) (m°d/?>,
ceea ce este echivalent cu
(p - 1) ! + 1 = 0 (mod p).
exerciţii propuse
1.	Arătaţi că mulţimea A = {a - b + {a + b)i | a, b e TL) este un grup în raport cu adunarea numerelor complexe.
Este A parte stabilă a lui (C în raport cu înmulţirea numerelor complexe?
X -f- y
2.	Arătaţi că (G, *) este grup abelian, unde G = (-1, l)şix*j^ = \ + xy ’
este un izomorfism între (G, *) şi
Să se arate că/: G —> IR* , f(x) =
1 - x 1 + x
grupul (IR .,,*)•
3. Fie mulţimea M = <A =
cosO sinG -sin9 cosG
,0 e IR,Âe .,*02 (IR)
44
Manual clasa a Xll-a
Să se arate că M este parte stabilă a lui . ^(IR) în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor şi că (M, •) este grup izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1.
4.	Arătaţi că (G, • ) este grup, unde G = {A e ,/^Ş(IR) | lA • ^ = /2 }!, iar este operaţia de înmulţire a matricelor.
Arătaţi de asemenea că pentru orice A e G, det A e (1, -1}.
5.	a) Să se arate că mulţimea matricelor simetrice din ...^K(IR),
G.v = (zi e .^(JR)\'A=A} formează grup în raport cu adunarea matricelor.
b)	Să se arate că mulţimea matricelor antisimetrice din ,^2(IR),
Ga= {A e ,/^(IR)| fA = -A}. formează grup în raport cu operaţia de adunare a matricelor.
c)	Arătaţi că orice matrice A e .-^(IR) se poate scrie ca suma a două matrice A i e Gs şi A2 e GÂ.
6*. Să se arate că grupurile aditive (Z, + ) şi (©, + ) nu sunt izomorfe.
7*. Să se arate că grupurile aditive (©, + ) şi (IR, + ) nu sunt izomorfe.
8*. Să se arate că grupurile multiplicative (©*, • ) şi (IR*, • ) nu sunt izomorfe.
9*. Să se arate că grupurile multiplicative (©*, • ) şi (IR*, • ) nu sunt izomorfe.
10*. Să se arate că grupurile (7L[X], + ) şi (©[Jţf], + ) nu sunt izomorfe (pentru definiţii şi notaţii, vezi „Inele de polinoame”).
11.	Fie (G, • ) un grup cu proprietatea (.xy)2 = x2y2, VijeG. Arătaţi că G este grup comutativ.
12.	Fie (G, • ) un grup cu proprietatea x2 = e, V x e G. Arătaţi că G este grup comutativ.
13.	Fie G o mulţime nevidă şi o lege de compoziţie asociativă. Atunci (G, •) este grup dacă şi numai dacă ecuaţiile ax = b şi ya = b au soluţii în G, pentru orice a, b e G.
14.	Fie (G, • ) o mulţime finită pe care este definită o lege de compoziţie asociativă. Dacă operaţia are proprietăţile:
xy = xz => y = z (simplificare la stânga), pentru V x, y, z e G şi
xy = zy => x = z (simplificare la dreapta) pentru Vij,zeG, atunci (G, •) este grup.
1 (G, • ) se numeşte grupul matricelor ortogonale de ordinul 2 (reamintim că o matrice A e
.	se numeşte matrice ortogonală dacă lA ■ A = A ■ lA = /„, unde I„ este matricea
unitate de ordin n).
Capitolul 1. Grupuri
45
"1 (T	"0	n	f_1	°1	1 O
		oj^	1 0	-v	’l-l °J
15. a) Fie G, =<
Să se arate că (Gi, •) formează un grup comutativ, b) Fie G2 = {1, - 1, i, - /} <= CC, i2 = - 1.
Să se arate că (G2, *) formează un grup comutativ.
c) Fie G3 =
Să se arate că (G3, o ) formează un grup comutativ.
d)	Să se cerceteze dacă grupurile Gi, G2 şi G3 sunt izomorfe.
(\	2	3	4'		f 1	2	3	4"		fl	2	3	4n		n	2	3	4"
vl	2	3	4.	5	v2	1	3	4J	’	11	2	4	3J	5	v2	1	4	3,
■ C Sa
Teste t*c ev^lviAre
Tcstu) t
(10p) 1. Fie n un număr întreg fixat şi G = {(<a, 6) | a, b e TL\ n | a şi n | b}. Definim pe G următoarea lege de compoziţie:
(a, b) * (a', 6') = (ao' + bb\ aa! - bb'), oricare ar fi {a, b), (a\ b') g G.
Să se decidă dacă G împreună cu această operaţie formează un grup.
(10 p) 2. Pe mulţimea (E a numerelor complexe definim legea de compoziţie „t” prin z\ T z2 = i • z, • z2, oricare ar fi Zj, z2 g (C.
Să se arate că mulţimea (E* = <E \ {0} este o parte stabilă faţă de legea T, iar (E* cu operaţia indusă este un grup comutativ.
(10 p) 3. Fie (G, • ) un grup multiplicativ. Dacă x,y g G verifică relaţiile x3 = e şi xyx ~1 = y3, atunci y6 = e, unde c este elementul neutru la înmulţire.
Timp de lucru: 50 de minute
TcstuI 2
(70/?J Pe mulţimea IN a numerelor naturale, definim următoarele două legi de compoziţie: m _L n = c.m.m.d.c. (w, rc) şi m T n = c.m.m.m.c. (m, n), oricare ar fi m, « g IN. Să se studieze proprietăţile acestor legi de compoziţie. Să se arate că:
m J_ (n T p) = (m ± n) T (m _L p) m T (n _L p) = {m T n) _L (m T p), oricare ar fi m,n,p g IN.
46
(10 p) (10 p)
Testul
(10 p) (10 p)
(lOp)
Manual clasa a Xll-a
2.	Pe mulţimea IR a numerelor reale definim legea de compoziţie J_ prin
xly= sjx5 + y5 ,
oricare ar fi x, y g IR. Să se studieze proprietăţile acesteia.
3.	Fie (G, • ) un grup necomutativ cu opt elemente, având elementul neutru e. Fie, de asemenea, a e G un element de ordinul patru şi b g G \ {e, a, a2, a3}. Să se demonstreze că:
a) G = {e, a, a2, a , b, ba,	6a3}.
b)	ab = fo?3.
c)	b2 g (e, a2}.
Timp de lucru: 50 de minute
3
1.	Pe mulţimea 2 a numerelor întregi definim următoarele două legi de compoziţie:
a T b = max {a, b} şi a _L b = min {a, b) oricare ar fia, b s 7L.
a)	Să se studieze proprietăţile acestor legi de compoziţie.
b)	Să se arate că:
a T (b _L c) - (a T b) J_ (a T c) şi a _L (b T c) = {a JL b) T (a JL c), oricare ar fi a, b, c e 2Z.
2.	Pe mulţimea IR a numerelor reale definim două legi de compoziţie şi „o” astfel:
x * y = \jx3 + y3 şixoy = x+ y+ 1, oricare ar fix, y e IR.
a)	Să se studieze proprietăţile acestor două legi de compoziţie.
b)	Să se rezolve sistemul
' x * y = -1 x ° y = 0.
3.	Pe mulţimea {a, b, c, d, e} operaţia defineşte o structură de grup. Ştiind că a * b = d, c * a = e şi d * c = să se alcătuiască tabla operaţiei.
Timp de lucru: 50 de minute
Capitolul 1. Grupuri
47
Testul 4
(10 p) 1. Daţi exemplu de un grup finit G astfel încât a = e, V a e G şi G nu este comutativ.
(10 p) 2. Este adevărat că dacă într-un grup oarecare G două elemente x şi y e G au ordin finit, atunci şi xy are ordin finit?
(10p) 3. Fie grupul multiplicativ GL2 (IR) = {A e ./&i (IR) | det A * 0}.
Pentru A
/2 O
vl V
1
determinaţi C(A) = {Ie GL2 (IR) \XA= AX).
(10p) 4. Fie (G, • ) un grup şi n e IN, n = 2 (mod 3) astfel încât:
(xy)" = xy' şix3 4y3 = yyx3, Vx,y e G. Să se demonstreze că (G, •) este comutativ.
%\ zxercitU ,ecapitulative
1*. Să se arate că numărul operaţiilor algebrice pe o mulţime cu n elemente,
n2-n+l
care sunt în acelaşi timp comutative şi cu element neutru este n 2
2.	Pe mulţimea M nevidă se defineşte o operaţie notată multiplicativ, cu proprietatea x(yx) =y, V x, y e M
Să se demonstreze că fiecare din ecuaţiile ax = b şi xa■ = 6, unde a, b e M, au soluţie unică în M
Daţi exemplu de mulţime finită M înzestrată cu o astfel de operaţie şi alcătuiţi tabla operaţiei.
3.	Pentru fiecare n e IN* definim funcţia fn : (0, oo) -► (0, oo), fn{x) = xn şi pentru fiecare k e TL definim funcţia gk: (0, oo) -► (0, oo), gk(x) = xk. Să se arate că:
a)	mulţimea F = {fn | n e IN*}, înzestrată cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un monoid comutativ izomorf cu monoidul (IN*, ■);
b)	mulţimea G = {gk | k e TL] înzestrată cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un monoid comutativ izomorf cu monoidul (Z, •).
4.	Fie (M, * ) un grup şi a e M Se defineşte operaţia x°y = x*a*y,
VxjgM Să se arate că (M, o ) este un grup şi că (M, * ) este izomorf cu (M, o ).
48
Manual clasa a Xii-a
5.	Pe mulţimea (Q(Vd) = {a + b4d, a, i e fi}, unde d este un întreg liber de pătrate (<d nu este divizibil prin pătratul nici unui număr prim), se defineşte operaţia X| * x2 = x\ + x2 + yfd, pentru orice x\,x2 e (D(y[cî).
Ce structură algebrică este (<Eh/d, * )?
6. Se notează prin mulţimea matricelor de forma
m
pn-2p
m-2pj
cu
ra, n, p g 7L.
a)	Să se arate că înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie pe /rf.
b)	Să se determine cea mai mare submulţime a lui , Adcare este grup faţă de înmulţirea matricelor.
7*. Fie G„ mulţimea matricelor pătratice de ordin n având pe fiecare linie câte un element egal cu 1 şi celelalte n - 1 elemente egale cu 0 şi analog, pe fiecare coloană, câte un element egal cu 1, iar celelalte n - 1 elemente egale cu 0. Să se arate că mulţimea (G,7, • ) înzestrată cu operaţia de înmulţire a matricelor este un grup izomorf cu grupul (Sn, o ) al permutărilor de n elemente, înzestrat cu compunerea permutărilor.
8.	Daţi exemplu de un grup finit (G, ■ ) şi un număr natural n > 2 pentru care ecuaţia x = e are în grupul G mai mult de n soluţii.
9*. Să se arate că dintre toate ecuaţiile de forma a cos x + b sin x + c = 0, cu a, b, c g IR, ecuaţiile ale căror soluţii formează grup aditiv sunt următoarele:
b sin* = 0, b ^ 0 a cos x - a = 0, a ^ 0.
10. Se consideră mulţimea G = l M(x,y) +	= l,a,be IR+ l a punctelor
\	a b~
unei elipse. Fie punctul A(a, 0) e G.
Pe G se defineşte operaţia „*” astfel:
\)A *M=M*A = M, V Mg G.
ii)	Dacă Mg G\ {A}, M * Meste punctul în care paralela prin A la tangenta în M la elipsă retaie elipsa.
iii)	Dacă M\, M2 e G \ {A}, M\ ^ M2, atunci M\ * M2 este punctul în care paralela prin A la dreapta M\M2 retaie elipsa.
Să se demonstreze că (G, * ) este un grup comutativ izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1.
11. Fie (G, *) o mulţime înzestrată cu o lege de compoziţie asociativă „*”.
Pentru fiecare a g G se definesc aplicaţiile/, şi ga, fa, ga\ G -+ G astfel: fa(x) = a * x, ga(x) = x * a, V x g G.
Capitolul 1. Grupuri
49
Să se arate că (G, *) este un grup dacă şi numai dacă aplicaţiile f, şi ga sunt surjective, pentru orice a g G.
12*. Fie (G, • ) un grup şi x, y g G. Dacă există a, P g 2, a, P relativ prime, astfel încât xya = yax şi xyp = ypx, atunci xy = yx.
13*. Fie (G, • ) un grup. Să se arate că dacă există m, n g IN*, (m, n) = 1, astfel încât (xy)m = (yx)”1, V x, y g G şi (.xy)n = (yx)'7, Vxj g G atunci (G, • ) este abelian.
14*. Să se arate că dacă într-un grup finit mai mult de jumătate dintre elementele grupului comută cu toate elementele din grup, atunci grupul este comutativ.
15*. Fie (G, • ) un grup. Dacă există r g IN*, astfel încât pentru orice a\, a2, ...,ar e G avem
a\ • a\ •• arr+\ • arr+z = a3r • a}_x •... • a2+l • a[+2, atunci (G, • ) este abelian.
16*. Fie (G, • ) un grup comutativ finit cu elementul neutru e şi fie x g G. Dacă x2 = e pentru mai mult de jumătate dintre elementele grupului, atunci x2 = e,
VxgG.
17.	Să se afle elementele de ordin 6 din (S6 x Z7, + ).
18.	Fie G un grup cu 4 elemente. Dacă există x e G astfel încât ord (x) = 4, atunci G - 2Z4. Să se arate că dacă G nu este ciclic, atunci G este izomorf cu grupul lui Klein şi G ^ %2 x ^2.
19.	Fie (/„ = {z e (C | z77 = 1}. Să se arate că U„ ^ şi Un este singurul subgrup cu n elemente al grupului (<E*, •).
20.	Să se determine numerele reale a, b, c astfel încât mulţimea
G = {x e (E | x3 + ax2 + bx + c = 0}
să fie grup în raport cu înmulţirea numerelor complexe.
21.	Fie G un grup şi x,y e G. Dacă x şi^ satisfac relaţiile
2	6	4
x =y = e, xy = y x, atunci y3 = e şi x şi y comută între ele.
22.	Fie x, y două elemente ale unui grup G notat multiplicativ (G, • ). Dacăx şi v satisfac relaţiile
5	4	3
x = y = e, xy = yx ,
atunci
2	3	3 2
x y = yx, xy = y x .
Să se afle ord (xy).
23*. Fie G un grup finit cu proprietatea că pentru orice VxgG avem x2 = e, unde e este elementul neutru.
Să se arate că există un număr natural n > 0 astfel încât \G\ = 2'7.
24. Fie G un grup finit cu 6 elemente. Să se arate că:
i)	3 a g G, a* e, astfel încât a = e.
ii)	G este izomorf cu grupul (Z6, + ) sau este izomorf cu grupul S3.
Capitolul 2
INELE Şl CORPURI
2.1.	Inel, exemple: inele numerice (2Z, <Q, IR, <E), 7Ln, inele de matrice, inele de funcţii reale
Fie A o mulţime nevidă înzestrată cu două operaţii algebrice, notate cu „+” şi cu „ • ”, numite adunarea, respectiv înmulţirea.
Definiţie___________________________________________________________________
Spunem că tripletul (A, +, • ) este inel dacă sunt verificate următoarele condiţii:
1.	(A, + ) este grup abelian;
2.	(A, •) este monoid;
3.	înmulţirea este distributivă faţă de adunare._____________________
Condiţiile de mai înainte, pe care le vom numi axiomele inelului, se scriu explicit:
I.	x + y = y + x, V x,y e A\
II.	(x + y ) + z = x + (y + z),\/x, y z e A;
III.	există 0 e A, astfel încât: x + 0 = 0+x = x, V x e A;
IV.	pentru orice x e A, există (-*) e A astfel încât x + (~x) = (-x) + x = 0;
V.	x - (y - z) = (x - y) • z,V x,y,z e A;
VI.	3 1 e A, astfel încât:
x - 1 = 1 x = x, V x e A;
VII.	distributivitatea la dreapta a înmulţirii faţă de adunare: x • (y + z) = x - y + x • z, V x,y,z e A; distributivitatea la stânga a înmulţirii faţă de adunare:
(y + z)-x=y-x + Z'X,\/x,y,zeA.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
51
Definiţie_________________________________________________________________
•	Inelul (A, +, •) este comutativ dacă
x ‘ y=y • x,\/ x,y e A.
•	Un element u e A se numeşte inversabil dacă există u' e A astfel încât u • u ' = u ' • u = 1, unde 1 este elementul neutru al monoidului (A, • )
Dacă yl este un inel vom nota cu U (A) mulţimea elementelor inversabile ale inelului A, care se mai numeşte mulţimea unităţilor inelului A.
Definiţie
•	Spunem că un inel A nu are divizori ai lui zero, dacă oricare ar fi
x,y e A \ {0}, atunci x • y e A \ {0}.
•	Un inel A are divizori ai lui zero dacă există jc, y e A \ {0} astfel încât
xy = 0.
•	Un inel comutativ şi fără divizori ai lui zero se numeşte domeniu de integritate. * 1
Exemple
1.	inelul numerelor întregi, notat cu (Z, +, •);
2.	inelul numerelor raţionale, notat cu (©, +, •);
3.	inelul numerelor reale, notat cu (IR, +, •);
4.	inelul numerelor complexe, notat cu (<E, +, • );
5.	inelul întregilor lui Gauss, notat cu (Z[/], +, •),
unde Z [/] = {a + bi \ a e Z, b e ZZ}, iar adunarea şi înmulţirea în Z [/] sunt definite în modul următor:
(tfi + b\î) + (#2 4- biî) — {ci\ + ai) + (b\ + 62) *
{a 1 + b\i)(a2 + b2i) = (<^1^2 - b\b2) + (a\b2 + a2b\) i.
Se verifică uşor că tripletul (Z[/], +, • ) este inel comutativ şi fără divizori ai lui zero.
Observaţie. Dacă pe mulţimea nevidă A se definesc legile de compoziţie notate cu şi „o”, atunci tripletul (A, *, °) este inel dacă:
1.	(A, *) este grup abelian;
2.	(A, o) este monoid;
3. x 0 (y * z) = (x 0 y) * (x o z), V x, y, z e A (y * z) o x = (y o x) * (z o x), V x,y, z e A.
52
Manual clasa a Xll-a
Pe mulţimea Z a numerelor întregi se definesc operaţiile algebrice: x*y=x+y+ 3 şi x °y = xy + 3x + 3y + 6, V x,y g Z.
a)	Să se arate că (Z, *, o) este inel comutativ fără divizori ai lui zero.
b)	Să se determine elementele inversabile (unităţile) ale inelului dat.
Soluţie
a)	Se verifică uşor că (Z, *) este grup abelian cu elementul neutru e = - 3 şi că (Z, o) este monoid, având elementul neutru e'= - 2. Verificăm distributivitatea la stânga: x ° (y * z) = (x ° y) * (x ° z), V x, y, z g Z.
într-adevăr: xo(y*z) = (x + 3)(y + z + 3) + 3x + 6 = xy + xz + 6x + 3y + 3z + + 15 = (x ° y) * (x ° z), V x, y, z g Z.
Inelul nu are divizori ai lui zero, deoarece pentru orice x * - 3 şi^^-3 avem (x + 3 )(y + 3)^Oorj; + 3r + 3^ + 9^0oxoj;?t-3<
b)	Din relaţiile x ° x~] = x~l o x = - 2, r ^ - 3, obţinem x~] =	^ ^ g Z
dacă* g {- 4, - 2}. Deci U(A) = {- 4, - 2}.
Inelul (7Ln, +, -),n e IN* \ {1}
Adunarea şi înmulţirea claselor de resturi modulo n au următoarele: Proprietăţi
1.	â	+ b = b	+	ă,Vâ,b g Z/7;
2.	(# + £) + c	=	ă + (b + c), V ă ,b ,c	g Z,7;
3.	0	+ â = <5	+	6 = â , V â g Z/7;
4.	V	ă g Z/7, 3	- a g Z„ astfel încât a	+	+	ă	=	0;
5.	ă * b = b ' ă ă ,b g Z/7;
6.	(ă-b)'C = ă -(tr c ), V ă , b ,c e 7Ln;
7.	există 1 g Z/7 astfel încât î-â = a*î = â,Vâ g Z77;
8.	â •(& + <?) = (3-£> + a • <3, V a ,b ,c g Z77.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
53
Demonstraţie
1.	â + b = a + b = b + a = b + ă \
2 ,(ă + b)+ c = a + b + c = (a+ b) + c = a + (b + c)= ă+b + c =
= â + (b + c );
3.	â+6 = a + 0=ă; 0 + â = 0 + a = â;
4.	a +	= a +(-a) = 0 ;	+ â = (-a) + a = 0; rezultă că = - ă ;
5.	â ■ b = ^6 = ba=b- ă ;
6.	(ă - b)- c = ab - c = (ab)c = a(bc) = ă • bc = ă •( 6 • c)\
1. \ - ă = \-a = ă \ ă - \ = a • 1 = <5;
8. <5-(6 + c)=<5-6 + c = a(6 + c) = <36 + ac = a6 + ac = ă	•	b + ă-c	.
Din proprietăţile demonstrate rezultă că tripletul (2Z„, +, •	)	este	inel	comu-
tativ. Acest inel se numeşte inelul claselor de resturi modulo n.
teoremă__________________________________________________________
Fie n e IN, n > 2 şi ă € 7Lny unde (2Z„, +, • ) este inelul claselor de resturi modulo n.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1° a este element inversabil în inelul (!TLn, +, •);
2° numerele a şi n sunt prime între ele (adică cel mai mare divizor comun al numerelor a şi n este 1).
Demonstraţie
1° => 2°.
Dacă ă este element inversabil în inelul (2Z„, +, •) rezultă că există b e7Ln astfel
încât <5-6 = 1 sau ab = 1. Atunci există h e ZZ astfel încât ab = 1 + hn.
Din ultima egalitate avem că dacă d | a şi d | n atunci d | 1, deci numerele a şi n sunt prime între ele.
2° => 1°.
Fie d cel mai mare divizor comun al numerelor a şi n. Conform teoremei lui Bezout (demonstraţia acestei teoreme se face cu ajutorul algoritmului lui Euclid aplicat numerelor n şi a), există numerele u , v € TL astfel încât au + nv = d.
Deoarece d = 1, rezultă că au + nv = 1, deci atT^mT= 1 =>au + nv=l =>
=>ă • u + fr v = 1 => ă -w + 0-v = l => ă -u = 1, deci ă este element inversabil în inelul (2Z„, +,-)şi ă~'=u.
54
Manual clasa a Xll-a
Produs direct de inele
Fie (Ai, +, ■), (A2, +, •) două inele şi fie produsul cartezian A =Ai x A2= {(xi, x2) | X\ s A\,x2 e A2j.
Pe A se definesc următoarele operaţii:
(a, b) © (c, d) = (a + c, b + d),
(.a, b) O (c, d) = (a - c, b • d).
Se poate demonstra că tripletul (A, ©, O) este un inel cu divizori al lui zero.
exerciţii rezolvate
1.	Să se scrie mulţimea U a elementelor inversabile din inelul (Z9, +, •) şi să se arate că (U, •) este grup abelian.
Soluţie
U = { \, 2, 4, 5, 7, 8}, (conform teoremei), având loc egalităţile î"' = î, 2”1 = 5, 4“' = 7, 5 “' = 2, 7_l = 4 şi 8“'= 8. Perechea (U, •) este deci grup abelian cu elementul neutru e = 1.
2.	Să se rezolve în inelul (S|950, +, •) ecuaţia 2 + 101 • x = 1.
Soluţie
Ecuaţia se mai scrie: 101 v=î-2o 101 • x = -1 o 101 • x = 1949 .
Deoarece (101, 1950)= 1, rezultă că există 101 şi x = 101	• 1949.
Aplicând algoritmul lui Euclid pentru numerele 1950 şi 101, avem succesiv (conform teoremei împărţirii cu rest la numere naturale) egalităţile:
1950= 19-101 +31	(I)
101 = 3-31+8	(II)
31 = 3-8 + 7	(III)
8	= 1 • 7 + 1	(IV)
Din IV deducem că 7 = 8 - 1 (V).
Din V şi III rezultă că 31—3-8 = 8—1 sau 31=4-8-1 (VI).
VI şi II implică 31 = 4 • (101 - 3 31) - 1 sau 13-31=4 - 101- 1 (VII)
Din VII şi I deducem că:
13 • (1950- 19 • 101) = 4 • 101 - 1 sau 13 • 1950-251 • 101 = - 1 sau 251 • 101 - 13 • 1950= 1.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
55
Trecând la clase, obţinem:
251 • 101 - 13 • 1950= î => 251- ToT - 13- 6 = î, deci ToT'1 = 251 . Prin urmare x = 251 • 1949 sau, echivalent,
* = 251 • 1949.
Cum 1949 • 251 = 489199 şi 489199 = 1950 ■ 25 + 1699, rezultă că x= 1699.
Probă
ToT • 1699 = 1949 <*771599 = 1949 <* 87 ■ 1950 + 1949 = 1949
egalitate evidentă.
exerciţii propuse
1.	Pe mulţimea Z se definesc operaţiile algebrice (legile de compoziţie):
x*y = x+ y + 2şix°y = xy + 2x + 2y + 2, V x, y e7L.
a)	Să se arate că (Z, *, °) este domeniu de integritate.
b)	Să se determine elementele inversabile ale inelului (Z, *, o) şi inversele acestor elemente.
2.	Pe mulţimea A = TL x Z se definesc operaţiile algebrice:
(*i,Ti) © (x2,yi) = (*i +y\, x2+y2)şi
(*\,y\) o (X29y2) = (X\X2 + 3y\y2, x^+x^yO-
Să se arate că (A, ©, O) este domeniu de integritate.
3.	Să se demonstreze că un element * al inelului (A, +, ) este inversabil dacă şi numai dacă x nu este divizor al lui zero. Să se scrie apoi divizorii lui zero şi elementele inversabile pentru fiecare dintre inelele (Z6, +, •), (Zj0, +, ) şi (Z24, +, *).
4.	Fie (A, +, •) un inel cu proprietatea că x2 = x, pentru orice x e A. Să se arate că:
a)	x + x = 0, V x e A\
b)	A este inel comutativ.
5.	Pe mulţimea IR se consideră operaţiile algebrice:
xTy = ax + by + cş\xTy:=X'y.
Să se determine a, b, c e IR astfel încât (IR, T, J_) să fie inel comutativ.
56
Manual clasa a Xll-a
Reguli de calcul într-un inel
Definiţie
Intr-un inel (A, +, • ) operaţia x + (-7), x, y e A se numeşte diferenţă sau scădere.
Proprietăţi
Intr-un inel (A, +, • ) au loc următoarele proprietăţi:
I.	x • 0 = 0 • x = 0, V x e A;
Regulile semnelor
II.	x ■ (-y) = (-x) ■ y = -x - y x,y e A;
III.	(-x) • (~y)=x-y, Vxj eA;
IV.	Distribuiivitatea înmulţirii faţă de scădere x • (y - z) = x • y - x • z; V x, y, z e A;
(y - z) • x = y • x - z • x; V x, y, z e A;
V.	Intr-un inel fără divizori ai lui zero putem simplifica la stânga sau la dreapta cu un element diferit de zero, adică:
dacă x^0şix-^ = x- z atunci y = z; dacă x^Oşi y • x = z - x atunci y = z;
VI.	Intr-un inel cu cel puţin două elemente, avem 1 ^ 0.
Demonstraţie
I.	x • 0 = x • (0 + 0) = x • 0 + x • 0. Dar dacă notăm x • 0 = a, atunci a + a = a, ecuaţie care (în grupul (A, + )) are soluţia a = 0. Deci x • 0 = 0. în mod asemănător 0 •x = 0, Vx e A;
II.	0 = x • 0 = x • (y + (-y)) = x-y + x- (~y). Decix • (-y) = -x -y, Vx,y e A; Analog se arată că (- x) • y = - x • y, V x, y e A;
III.	(- x) ’ (- y) = - (x • (- y)) = - (- (x • y )) = x • y, deoarece în grupul (A, +) avem - (- a) = a, V a e A;
IV.	x • (y - z) = x • (y + (- z)) = x • y + x ■ (- 2) = x • y - x • z, V x, y, z e A; Analog se arată că: (y - z) * x = y • x - z • x, V x, y, z 6 A;
V.	x ^ 0 şi x • y = x • z =>x^0şix*j;-x-z = 0=>x^0şi x(y - z) = 0 => =>y-z = 0=^y = z, V x,y, z e A.
Analog se arată cealaltă implicaţie.
VI.	Dacă prin absurd 1 = 0, atunci V a € A, 1 •a = 0- a=>a = 0 deci A = {0} ceea ce contrazice faptul că / are cel puţin două elemente.
Capitolul 2- Inele şi corpuri
57
Grupul unităţilor unui inel unitar
czeoremă___________________________________________________________________
Fie (A, +, •) un inel şi U(A) mulţimea unităţilor lui A. Atunci U(A) este grup în raport cu operaţia indusă de înmulţirea lui A.
Demonstraţie
Fie 1 elementul unitate al inelului A. Cum 1 e U(A), rezultă că U(A) * 0.
Dacă a, b e U(A), atunci a • b e U{A\ deoarece produsul a două elemente inversabile este un element inversabil. Aşadar mulţimea U{A) este parte stabilă în A.
Dacă a e U(A), atunci ax e t/(4) şi (a~l)_1 = a.
Operaţia indusă pe U{A) de înmulţirea din inelul A este asociativă, admite element neutru şi orice element u e U(A) admite pe u~] e U(A) ca element simetric. In concluzie, U(A) este grup în raport cu înmulţirea.
exerciţii rezolvate
1.	Arătaţi că într-un inel comutativ (A, +, •) avem:
a)	(x + y)(x - y) = x2 - y2,\f x, y e
b)	(x + _y)2 = x2 + 2xy + y2.
2.	Să se determine U (TL) pentru inelul (Z, *, o ) unde
x*<y = x+ j>-5şix°j; = x>y-5x-5y + 30.
Rcrolvarc
1.	a) Folosind distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi apoi faţă de scădere, avem:
(x + y)( x - y) = x(x - y) + y (x - y) = xx - xy + yx - yy = x2 - xy + xy - y2 =
2 2 = x -y .
b) Din definiţia puterii unui element şi din distributivitate avem:
(x + yf = (x +y)(x +y) = (x + y)x + (x+y)y = x2 +yx + xy+y2 =
= x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2x_y + j;2.
2. Elementul neutru al operaţiei „o” este e' = 6. Dacăx e C/ (Z), atunci există x_l e Z astfel încât x o x'1 = x_I o x = 6 o x"1 = ——^; x_l e Z dacă x e {4, 6}, deci C/(Z) ={4,6}.
58
Manual clasa a Xll-a
exerciţii propuse
1.	Fie (A, +, •) un inel comutativ cu proprietatea:
x + x + x = 0, V x e A.
Să se arate că (x + yf = x3 + y3, V x,y e A.
2.	Să se demonstreze că dacă (A, +, •) şi (B, +, •) sunt două inele, iar A x B este produsul lor direct, atunci U(A x B) = U(A) x U(B).
3.	Să se calculeze suma divizorilor lui zero din inelul (ZZ30, +, •)•
4.	Fie (A, +, •) un inel şi fie C(A) = {a e A \ a - x = x - a, V x e A}.
a)	Să se arate că C(A) este o parte stabilă a lui A în raport cu adunarea şi înmulţirea şi că formează inel faţă de operaţiile induse (centrul lui A).
b)	Dacă x2 - x e C(A), VxeA, arătaţi că A este comutativ.
5.	Fie (A, +, • ) un inel cu proprietatea că, pentru orice x e A, astfel încât x2 = 0 să avem x = 0. Să se arate că dacă xh x2, x3 e A astfel încât x\ ■ x2 ■ x3 = 0, atunci avem: a) • x\ • x2 = 0; b) x\ • a • x2 • b • x3 = 0, V a, b e A.
Alte exemple de inele
1. Inele de funcţii
Fie Mo mulţime nevidă şi (A, +, *) un inel. Notăm
AM={f\f:M^A }
mulţimea tuturor funcţiilor definite pe mulţimea Mcu valori în inelul A.
Considerând două funcţii f\,f 2 e AM, putem defini funcţia sumă şi funcţia produs în modul următor:
/, +/2 : M-> A, (/i +/2) (x) =/, (x) +f2 (x), V x e M,
Şi
f ' f2: M-+ A, {/ */2) (x) =j\ {x) -f2 (x), VxeM.
Notăm cu 0 şi 1 funcţiile definite pe M numite funcţia constantă 0 şi funcţia constantă 1.
Aceste funcţii operează în modul următor:
0(x) = 0, V x e M\ l(x) = 1 ,V x e M.
De asemenea, pentru o funcţie f e AM vom defini opusa ei notată cu - f\ şi care operează în modul următor:
(-/)(x) = ~f(x),VxeM.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
59
Teoremă
_____Tripletul (AM, +, •) este un inel.
Demonstraţie
Se vor verifica pe rând condiţiile:
1)	dacă/j, fi e Am, atunci/, +fi_ e AM;
2)	dacă/!, fi e /4W, atunci/| +/> =f_ +f\
3)	dacă/,, /2, /3 g ,A7, atunci (/, +/2) +/3 =/i + (f +/b);
4)	există Oe/ astfel încât/j + 0 = 0 +/i =/J pentru orice/i e
5)	pentru orie e/j g există -/j g ^ astfel încât f + (-f) = (-/,) +/, = 0;
6)	dacă/j, f g yA7, atunci/j •f2eAM;
7)	dacă/j, /2, f g atunci (/, -/2) -/3 =/i • (/2 */3);
8)	există 1 g /A7, astfel încât 1 ■ f =/j • 1 =/j pentm orice/, g Am\
9)	dacă/,, /2, /3 g /A7, atunci
J/r(A+A) = /rA+/rA Ş1 {(A +A)'/i - A */i + A ’/i-
Vom verifica condiţia 2: V x g M avem (/, + /?) (x) = f (x) + /> (x) =
=/2W+/i W = (/2+/i)W.
Cum x este arbitrar în A/, rezultă că f + /2 =/2 + f adică adunarea în AM este comutativă. Lăsăm în seama cititorului verificarea celorlalte condiţii.
Observaţie. Dacă inelul (A, +, • ) este comutativ, atunci şi inelul (/A7, +, • ) este comutativ, adică V/,,/2 g ^ /, -/2 =/2 •/,.
2.	/fie/e şiruri de numere reale
Vom nota cu IN mulţimea numerelor naturale, cu IR mulţimea numerelor reale şi cu (IR, +, ■) inelul numerelor reale.
Mulţimea şirurilor de numere reale o vom nota cu IRW. Prin urmare avem egalitatea:
nr = {/!/: IN-IR}.
Un element al mulţimii IR" este f = (a0î i, a2, ..., am ...), unde ai g IR, / g IN.
Definim suma a două şiruri de numere reale şi produsul a două şiruri de numere reale în modul următor: dacă
f = (a0> a)> a2, • • •? c*n, • • •),
fi ~ (b0i b\, b2, ..., bn, ...),
atunci
60
Manual clasa a Xll-a
fi +fi — («o + b0, ai + b\, a2 + b2, a„ + b„, f\ 'fi = (a0' b0, a, ■ bu a2 • b2,	b„,...).
Opusul unui element f, notat cu (-f), este
f\ ( a0,	Ct2j ..• • 0
Şirul constant 0 este dat de egalitatea:
0 = (0, 0,0,...).
Se pot verifica uşor toate condiţiile din teorema prezentată anterior la inelele de funcţii.
Deoarece inelul (IR, +, • ) este comutativ, rezultă că tripletul (IRW, +, • ) este inel comutativ.
exerciţii rezolvate
1. Fie şirul f =
'1111	1	N
l 2 3 4	n
Găsiţi şirul f2 astfel încât f • f2 = (1, 1, 1,..., 1,...)
/
Rezolvare
f2 =(1,2, 3, 4,...,«,...).
2, Fie şirurile:/, =(-1,-2,-3,...), f2 = (1, 2, 3, ..., n, ...). Să se calculeze j\+f2, f2-f, f -fi-
Rezolvare
/,+/2 = (0,0,0,..., 0,...).
/-/,=(2,4, 6,..., 2n,...).
/,-/ = (-12, -22,-32,..., -n2,...).
3. Fie F = {f\f: [1, 5] -+ IR}. Dacăg 6 F, g(x) = x2 + x + 1, să se determine h g F astfel încât g ■ h = 1.
1
x2 + x + 1
Rezolvare
h(x) =
Capitolul 2. Inele şi corpuri
61
3.	Inele de matrice
I.	Notăm cu (Z) mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul doi cu elemente din inelul (Z, +, •).
Această mulţime înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire a matricelor formează o structură de inel necomutativ şi cu divizori ai lui zero.
Adunarea a două matrice din . ^(Z) este definită în modul următor:
V^2l
+
422 J
\b2\
b\ 2n
'22 y
a\\ +b\\ \a2\ +b2\
°\2 + b\2 ^ a22	b22 J
Elementul neutru la adunare este matricea nulă adică
(0 0
0 0
= 07.
Adunarea matricelor este comutativă şi este asociativă.
Orice matrice A = dată de egalitatea:
care verifică relaţiile:
e ~^(Z) admite o matrice opusă, notată cu (-A),
-A =
-a -b -c -d
A + (-A) = (-A) + A = 02.
Deci perechea (Z), + ) este grup abelian.
înmulţirea a două matrice din . /^(Z) este definită în modul următor:
Va21
a
22 J
br
\b2\
J22j
a\ \ 'b\ \ +a\2 b2\ \a2\ ' b\ \ + a22 ‘ b2\
a\\b\2 JrQ\2b22 Cl'y\b\'^ “I" dj-yb-
22U22J
Elementul neutru la înmulţire este matricea unitate L adică
f\ 0\
h =
\
0	1
şi au loc egalităţile:
'd b^		'l 0^		r i o"		fa b)		'a b''
		v0 lj		W lj		,c d)		kc d ,
înmulţirea matricelor este asociativă, nu este comutativă, este distributivă la stânga şi la dreapta faţă de adunare.
Deci tripletul (,/^(Z), +, •) este inel necomutativ.
62
Manual clasa a Xll-a
Faptul că acest inel are divizori ai lui zero rezultă din egalitatea:
"1 0"		^0 0"		'0 (T
lo oj		v0 1,		,0 oy
Faptul că acest inel este necomutativ rezultă din egalităţile:
(\ n		"1 2^1		(4 6)		''l 2"		fl *1		a n
vo oy		13 4;		lo oy		U 4,		lo oy		b 3y
II.	Fie (A, +, ■ ) un inel arbitrar.
Notăm cu	mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul n cu ele-
mente din inelul A.
Această mulţime înzestrată cu operaţiile de adunare „©” şi înmulţire „O” a matricelor formează o structură de inel necomutativ şi cu divizori ai lui zero.
Adunarea a două matrice din ,.//i„{A) este definită în modul următor:
«n	Q\2 .	■ • «1„ '		fbn	b]2.	-O		«i i	+ ^11	^12	+ bt2 ..	• a\n	+ b\n ^
«21	a22	■ ■ «2/i	®	b2l	b22 ■	-b2n	=	«21	+ b21	^22	+ b22	' • a2n	+ b2„
an\	an2 •	* ’ ®nn J		Ai	K 2 ■	* ‘ ^nn J		v«„l	+ bn\	«„2	+ b„ 2 .	' * ^nn	+ bn„ )
înmulţirea a două matrice din	este definită în modul următor:
	a\\ a\2 Q\n		A bn .	-O		(c C C > Lll c12 • Cl/7
	a2\ ®22 ' ‘ • a2n	O	b2\ ^22 *	• * b2n	=	C21 C22 ••• C2/7
	\an\ an2 * * * ann ;		Al ^„2	■••b„n j		VC«1 Cn2 • "Crm )
n	n				n	
zLa\h An CM - ^		«1/,	'bh2 \ •••	? C1 n ~	I	a\h' bh„\
h=\	h=1				h=\	
	n				n	
	Cn\ A anh '		h\; •••;	Cnn ~~	I	anh ‘ •
	h=1				h=\	
Se verifică uşor că tripletul (. //n{A), ©, O) este inel.
în particular pentru inelele (Z, +, •), (©, +, •), (IR, +, •), ((E, +, •), (7L„, +, •), avem că şi tripletele (. /^,(Z). ©, O), (, ^((Q), ®, O), (. //JM), ©, O), (. ^,(<C ), ®, O), ©, O), sunt inele.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
63
exerciţii rezolvate
1. Mulţimea M={xe]R\x = a + bl/2 , a• e ©, b e ©} împreună cu adunarea şi înmulţirea numerelor reale, formează un inel?
Soluţie
Răspunsul este negativ, deoarece ijl • \fl = \[Ă, număr care nu poate fi scris sub forma a + b cu a, b g (D.
2.	Să se arate că:
a)	(x	+	y )2 =	jc2	+	y2, în inelul (ZZ2, +, •);
b)	(x	+	y)3 =	x3	+	y3, în inelul (2Z3, +, •);
c)	(x	+	y )5 =	jc 5	+	y5, în inelul (Z5, +, •);
d)	(x	+	y )7 =	jc 7	+	j)7, în inelul (ZZ7, +, •);
e)	(x + j) )p = x/; + j)/;, în inelul (TLP, +,•),/? număr prim.
Soluţie
în inelul (Un, +, •) are loc egalitatea: n - ă = 0, pentru orice 5 e De asemenea dacă p este număr prim (p > 2), atunci C* se divide cu p,
oricare ar fi k e IN, k = 1, 2, ..., p - 1.
a) (x + y)2 = x2 + y2 + 2’ x- y = x2+j)2 + 2-xy = x2 + j)2;
b) (x + y)3 = x3 + y3 + 3 • x2 • j) + 3 • x • j)2 =
= x3 + y3 + 3 • x2_y + 3 • xy2 = x3 +	3>
y
c) (x + y)5 = x5 + j)5 + 5 • x4-
j) + 5 -x-v4 + 10 -3 a2
.4' ,	1 A 7^2
X • j>“ + 10 -X2-y-
4y + 5- xy4 + 10- xV + lO-x2/=	+ ^5;
-5
= x5 + j>5 + 5 ■
d)	(x + y)7 = x7 + 7 • x6- j) + 21 + 21-jc2-y5+7*x*j)6+j)7 = jc7 + 7 • x6>> + 21
+ 35 • x3_y4 + 21 • x2y5 + 7 • xy6 + y7 = x7 + j)7;
e)	Demonstraţia o lăsăm *	" "
*j>2 + 35 - x4 - y3 + 35 • x3 • j>4 +
xV+ 35 -xV +
, i m nantvtn /M+iflut
3. Fie (A, +, •) un inel. Pentru orice x,y e A notăm [x, y\ = xy -yx. Să se demonstreze identitatea lui Jacobi:
k kz]]+ [ y. k -»]] + k k y]] =
Notă: [x,y] se numeşte comutatorul sau croşetul elementelor x şi_y.
64
Manual clasa a Xll-a
Soluţie
Avem succesiv:
[x, \y, z]} + [ y, [z, x}} + [z, [x, y]\ = [x, yz - zy\ + \y,zx- xz] + [z,xy- yx] =
= X'{yz - zy) - (yz- zy)-x + y(zx - xz) - (zx - xz)y + z\xy - yx) - (xy - yx)*z =
= xyz - xzy - yzx + zyx + yzx - yxz - zxy + xzy + zxy - zyx - xyz + yxz = 0.
4.	Intr-un inel (A, +, • ) are loc egalitateax3 =x2, V x e A.
Demonstraţi că: a)r = x,Vx e A; b) Inelul A este comutativ.
Soluţie
a)	Deoarece x3 = x2, V x e A, rezultă pentru x -► - x că (-x)3 = (-x)2 adică - x3 = x2, deci 2x2 = 0. Pe de altă parte pentru x -► x + 1 rezultă că (x + l)3 = (x + l)2, sau x3 + 3x2 + 3x + 1 = x2 + 2x + 1, sau 3x2 + x = 0, deci x2 = - x. Cum x2 = - x2, rezultă că x2 = x.
b)	Deoarece x2 = x, V x e A, rezultă că (-x)2 = - x, deci x + x = 0,\/ x e A. Deoarece (x + y)~ = x + y rezultă că x2 + xy +■ yx + y2 = x + y, deci xy + yx- 0;
dar xy + xy = 0, deci prin scădere rezultă că xy = yx, adică inelul este comutativ.
5.	Fie mulţimea:
		r a b		
M= <	Ae.J%3(Z)\A =	c a	b	,a,b,c e7L
		Kb c		
a)	Demonstraţi că tripletul (M, +, •) este inel.
b)	Este acest inel comutativ?
(S-a notat cu „+” adunarea matricelor şi cu înmulţirea matricelor.)
Soluţie
	'a\ b\	<0		f a2	b2	C2'
a), b) Fie U , V e M. Rezultă că U =	c\ ax		, v =	C2	a2	b2
	v6, c,	a,J		^2	C2	®2 y
unde a\,b\,C\, a2, b2, c2 e Z.
Să arătăm că U + V şi U • V sunt elemente ale mulţimii M.
			rax	+ #2	b{ 4- b2	c,+c2"
într-adevăr: U + V -			C\	+ C7	ci 1 + ct2	b\ +b2
			yb\ +b2		c,+c2	a\ +a2y
	bx	c\'		'o2	b2 c2	
U ■ V =	C\ «1	A		C2	a2 b2	=
	c\	a\)		\b2	c2 a2j	
Capitolul 2- Inele şi corpuri
65
axa2 + bxc2 + b1cx	axb2 4- a2bx 4- cxc2	axc2 +bxb2 4- a2cx^
a1cx + axc2 + bxb2	b1cx 4- axa2 + bxc2	cxc2 4- axb2 4- a2bx
a2bx 4- cxc2 + axb2	bxb2 4- a2cx 4- axc2	bxc2 +b2cx + axa2j
Dacă notăm a = ct\a2 + b\C2 + b2C\, P = ci\b2 + a2b\ 4- c{c2, y = a{c2 + b\b2 4-
p y ^
+ a2c i, atunci U • V-
M, deoarece oc, p, y <e 2Z.
y a p Y a,
Adunarea matricelor este comutativă, este asociativă, elementul neutru la
(o 0 0^
adunare este 02 =
0 0 0
v0 0 0y
(care aparţine mulţimii M) şi orice element
U =
\bi
a\
c,

M este simetrizabil fată de adunare. Simetricul fată de
> care aparţine mulţimii M
	f°\	bx			r—a{	~bx	
adunare al elementului	c\	ch	bx	este	~c\	~a\	~bx
	u	ci	Q\ J		l-bi	~ci	~ a\;
înmulţirea este asociativă în general deci este asociativă şi în cazul problemei.
f\ 0 0^
Elementul neutru la înmulţire este /3 =
0 1 0 0 0 1
M
înmulţirea matricelor este distributivă faţă de adunarea matricelor în general, deci are loc proprietatea şi în cazul problemei. în concluzie (M, +, • ) este inel. b) Să calculăm şi produsul:
	r a2 b2 c2N		f aK b{ Cf ^
v-u =	C2 a2 b2		c, a, b,
	\p2 c2 a2 J		Kb\ c, a{/
faxa2 + b1cx + bxc2 a2bx + a{b2 + cxc2 a{c2 4- a2c{ + b{b2 b{c2 + axa2 + b2cx ydxb2 4- cxc2 + bxa2 bxb2 + axc2 4- a2cx
Rezultă că U • V ~-
a2cx +bxb2+ axc2^
C|C2 + bxa2 + axb2 b2cx + bxc2 + axa2j V -U, V U, V e M Deci (M, 4-, ■ ) este inel comutativ.
66
Manual clasa a Xll-a
\	ro	6]		o>		o>		<0		"6 r		rl V
5 /	lî	0,	5	<0 <0	5	o> o>	î	<0	î	vo îj	5	lo 6,
6.	Fie inelul (S2, +, •) şi mulţimea de matrice . /X(7L2). Scrieţi toate elementele acestei mulţimi. Determinaţi apoi numărul elementelor mulţimii. //2[TL„).
Rezolvare
'6 6 o î
î î î 6
Mulţimea. /X{TL2) are 16 elemente. Mulţimea ./XiTL,) are rt elemente.
7.	Fie inelul (Z5, +, •) şi mulţimea de matrice ,//&,(ZZ5).
Rezolvaţi în inelul (^^(2Zs), +, •) ecuaţia:
6:	i ^ f\
^6	o>	/
vO	o>	5 V
"6	6"	/
	î,	V
\	ra	r		a	<0		a	r			îl			<0		fl	r
î y		l	5	lî	îj	5	o>	l	>		0,	>	o>	ÎJ	5	J	l
X +
1 2 0 3 4 î î 2 4

2 1 4 3 2 4

Rezolvare
	r2 î 2"		'î 2 6"		"î 4 2N
	4 3 2	-	3 4 î	sau X =	î 4 î
	2 4 î		î 2 4		î 2 2
			V /		V J
8. Fie inelul (2Z3, +, •) şi inelul de matrice (.. ^(Z3), +, •). Calculaţi produsul
"6 2"		fl 6^
J îJ		v2 2j
Rezolvare
fo	2^		fl	61		"6-Î + 2-2	6-6 +2-2^		fl	-\ li
	ÎJ			2J		J-î + î-2	Î-0 + Î-2,			b
9. Fie inelul (Z4, +, •) şi mulţimea de matrice M2(7L4).
„ n n ^
a) Calculaţi produsul: P =
( A a	b'
	dj
1 2 2 3
fl ^ 6 î
b) Determinaţi a, 6, c, d astfel încât: P =
Capitolul 2. Inele şi corpuri
67
Rezolvare
a )P =
ă + 2b ^c + 2 d
2a + 3b 2c + 3 d j
b) Rezultă sistemele de ecuaţii:
<5 + 26 = 1 . „	. şi
2â + 3b = 0
c + 2 d — 0 2c + 3d = l
Soluţiile sistemelor sunt, respectiv: ă = \,b = 29c = 2, d=3.
10. Fie ă , b, c , d	unde (!TLn, +, ■) este inelul claselor de resturi modulo n.
Numim determinant de ordinul doi:
a b c d
= a
d - b
Să se calculeze în (2Z 4, +, •):
î î		2 î
	; b)	
3 3		2 2
c)
3 6
2 î ’
Răspuns
a) 6, b) 2, c) 3 .
11.	Fie <5, b, <3, d, e, /, A, / , j e Z,7, unde (ZZ/7, +, • ) este inelul
claselor de resturi modulo n.
Numim determinant de ordinul trei:
a b c
d e f
h i j
« a-	« /	- b ■	d f	+ c •	<3
	1 )		h j		A i
Să se calculeze în (Z5, +, •) determinantul:
î 2 3 4 î 2 2 3 4
Rezolvare
	î 2		4 2		4 î
1-	3 4	-2-	2 4	+ 3 ■	2 3
= 1 • (4 - 1)- 2 • (1 - 4) + 3 • (2 - 2) = = 3 + 1=4.
68
Manual clasa a Xll-a
12.	Să se rezolve în inelul (S]7, +, •) sistemul
f 4 • * + 7 -y = î
19 • * + 8 ■ y= 2.
Rezolvare
Calculăm determinanţii:
D =
Dx = Dy =
4 7 9 8
î 7 2 8
4 î 9 2
= 4-8 - 7 ■ 9= 15 - 12= 3.
= î-8 - 7-2 = 8 - 14 = - 6 = fî. = 4 • 2 - î • 9 = 8 - 9 = - î = 16 .
Prin urmare:
x=3_i • n,
_y=_3“''
Cum 3	= 6 rezultă x = 6- 11 =>*=15.
De asemenea ^ = 6 • 16 =>_y= 11.
Observaţie. 1. Deoarece determinantul sistemului este nenul deci inversabil în 7Ln, am putut aplica formulele lui Cramer.
2.	Folosind metoda substituţiei avem, din ecuaţia întâi, x = 11 jy + 13 , de unde rezultă că 11 y - 2 o y = 11 şi apoi x= 15 .
Test be â<utocvâi]u*re
1.	Pe mulţimea A = {x + yj5 | x, y e TL) se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor reale. Să se arate că (A, +, •) este inel comutativ.
-\2
2.	Să se rezolve în inelul ,.^o(S4) ecuaţia: 3 X + 3 4
3.	Să se calculeze suma şi produsul elementelor inversabile din inelul
(Z2o,	*)•
4.	Fie (z/, +, •) un inel necomutativ şi fie x, y e A. Să se arate că dacă 1 - xy este inversabil, atunci şi 1 -yx este inversabil.
Timp de lucru: 60 de minute
Capitolul 2. Inele şi corpuri
69
III tzxerciţii propuse
1. Fie inelele:
e) (3Z|4, +, •); f) (S20, +, •); g) (%p, p număr prim, p>3,p fixat. Determinaţi pe rând unităţile (elementele inversabile) ale fiecărui inel.
2.	Fie mulţimea 2TL = {2h | h e ZZ}.
Demonstraţi că tripletul (2Z, +, • ) este inel comutativ, unde „+” este adunarea pe TL şi este înmulţirea pe TL.
3.	Fie mulţimea yiTL = {nh | h £ 2Z}, unde « e IN, w > 2, « fixat.
Demonstraţi că tripletul (nTL, +, * ) este inel comutativ, unde „+” este
adunarea pe TL şi este înmulţirea pe TL.
4.	Pentru n e IN şi a e IN, a > 2, a fixat se consideră numărul
An = (a - 1)2" + 1 + (a + l)'7. Să se calculeze An în inelul (2Z2c/, +, ■).
5.	Rezolvaţi pe rând ecuaţiile:
7.	Fie (A, +, •	) un	inel	şi	a,	b	e	A.	Să se calculeze	(a + b)2 şi {a	+	bf.
8.	Fie (A, +, •) un	inel	şi	a,	b	e	A.	Dacă cr b = b •	a, să se calculeze	(tf + b)n,
unde w g IN*.
9.	Fie (/l, +, •) un	inel	şi	a,	b	£	A,	a inversabil. Să	se arate că
(a + b) ■ a~l ■	(a -	b) =	{a	-	b)	■	a-1	• (a + 6).
10.	Fie (/4, +, •) un inel şi a £ A astfel încât elementul 1 + a este inversabil. Demonstraţi că (1 + a)~l • (1 - a) = (1 - a) ■ (1 + a)~\
11.	Fie (A, +, • ) un inel cu proprietatea că (xy)2 = yx2y, pentru orice x, y £ A. Demonstraţi că inelul este comutativ.
12.	Fie (A, +, • ) un inel şi a £ A cu proprietatea că a = 0. Demonstraţi că elementele 1 + a şi 1 - a sunt inversabile.
13.	Fie (A, +, • ) un inel şi a £ A cu proprietatea că a6 = 0. Să se arate că 1 - a este inversabil.
a)12*x+3=19,	în (S23,	+,	•);	b)	5 • x +	6	= 10 ,	în (ZZh,	+,	•);
c)	6	• x +	7 = 2,	în (2Z|9,	+,	•);	d)	13 • x +	2	= 8 ,	în (2Z|7,	+,	•);
e) 9	• x +	4 = 18 ,	în (Z25,	+,	*	);	f)	4 • x +	5	=45 ,	în (Z47,	+,	•	);
g) 3	-x+	10=2,	în (2Zi8,	+,	•	);	h)10*x+3=4,	în (ZZ13,+,	•	)•
6. Rezolvaţi în inelul (5Z7, +, •) sistemele de ecuaţii
70
Manual clasa a Xll-a
14.	Fie (A, +, •) un inel. Să se arate că dacă pentru orice x e A, x6 = x, atunci
x2 = x.
15.	Fie (G, +) un grup comutativ. Să se arate că mulţimea
H = {/: G -» G \f[x + y) =J[x) + f[y), Vxje G}, înzestrată cu legile de compoziţie notate © şi o şi care sunt definite în modul următor:
(f® gXx) =/(*) + g(x), V/, geff,şiVxeG,
(f° g)(x) =/(gOO),	V/, g e H şi V X e G, este un inel.
1	V3
16.	Fie w =---+ i—- şi TL[w] - {m + nw \ m, n e TL} ci <E.
2	2
a)	Demonstraţi că (7L[w\, +, • ) este un inel, unde „+” şi reprezintă adunarea şi respectiv înmulţirea în (E.
b)	Care sunt elementele inversabile ale acestui inel?
17.	Fie mulţimea S:
fx y^ 0 z
|x,y, z g 2Z, x * 0, z ^ Of
Demonstraţi că (5, +, • ) este inel, unde şi reprezintă adunarea şi respectiv înmulţirea matricelor în (2Z).
18.	Demonstraţi că mulţimea^ =
x 0
U 0
e Zi, înzestrată cu operaţiile
de adunare şi înmulţire a matricelor pătratice de ordinul 2 peste TL este inel comutativ.
19.	Fie mulţimea
	f	U	0	a')	
M=<	A e . {TL) | A -	0	0	0	,ae7L>
		la	0		J
Demonstraţi că tripletul (M, +, • ) este inel comutativ, unde „+” şi reprezintă adunarea şi respectiv înmulţirea matricelor.
20.	Calculaţi în (Z 6, +, •) determinanţii:
	î î 3		2 6 î		5 5 î
a)	3 5 î	; b)	2 3 2	; c)	î 5 4
	5 4 î		5 6 î		4 2 3
1 2 6 7 3 2
7	111
21. Calculaţi în inelul (Z8, +, •) determinantul:
Capitolul 2. Inele şi corpuri
71
2.2.	Corp, exemple: corpuri numerice (<G), IR, <G), 7LP, p prim, corpuri de matrice
Definiţie____________________________________________________________________
Un inel (K, +, • ) se numeşte corp dacă 0 * 1 şi orice element nenul din K este simetrizabil în raport cu înmulţirea.
Dacă înmulţirea în K este comutativă, atunci K se numeşte corp comutativ. Corpurile pot fi finite, adică au un număr finit de elemente, sau pot fi infinite, adică au un număr infinit de elemente.
Dăm fără demonstraţie următoarea:
teoremă______________________________
Orice corp finit este comutativ.
Pentru a demonstra că un triplet (.K, +, •) este corp va trebui să verificăm condiţiile:
1.	V x, yeK^x+yeK;
2.	V x, y eK=>x+y=y + x;
3.	V x, y e K => (x + y) + z = x + (y + z);
4.	există 0 e K, astfel încât 0+x = x + 0 = x, \/ x s K\
5.	oricare ar fi x e K, există (-x) e K astfel încât: x + (-x) = (-x) + x = 0;
6.	V x, y e K => x • y e K\
7.	V x, y e K => (x • y) - z = x • (y - z);
8.	există 1 e A^astfel încât 1 • x = x • 1 = x, Vr e A;
9.	V x e AT, x ^ 0, există x _l e AT astfel încât sunt verificate egalităţile:
x • x -1 = x _1 • x = 1.
10.	V x, z e AT => x • (y + z) = x • 7 + x • z şi (y + z) • x = y - x + z • x;
Pentru a demonstra că un triplet (K, +, •) este corp comutativ verificăm cele
10	condiţii expuse anterior şi verificăm şi condiţia 11.
11.	\f x,y e K => x • y = y • x.
Exemple de corpuri
1.	Corpul numerelor raţionale, notat cu (©, +, •).
Acest corp este comutativ şi este infinit. Se verifică uşor cele 11 condiţii.
72
Manual clasa a Xll-a
Câteva exemple pentru condiţia 10: dacă x = 1 atunci x 1 = 1; dacă x = - 1
atunci x = - 1; dacă x = 0,33 atunci x -1 =	; dacă x = 0,(4) atunci x~l = — .
33	4
2. Corpul numerelor reale, notat cu (IR, +, •).
Acest corp este comutativ şi este infinit. Se verifică uşor cele 11 condiţii. Câteva exemple pentru condiţia 10.
Dacă x = 2 + V3 atunci x _l = 2 - V3 ; dacă x = V3 + V2 atunci x ~1 = V3 - V2 . Dacăx = Vv7 + V6 atunci x	- V<5 .
3.	Corpul numerelor complexe, notat cu ((C, +, •).
Acest corp este comutativ şi este infinit. Cele 11 condiţii se verifică uşor. Condiţia 10, în acest caz, este următoarea:
dacă
atunci
x e (E, x = a + ib, x ^ 0 (a2 + b2 ^ 0), _, _ a - b • / _ a	b
^	~~	1 7T ~	1 Ţi 1 ŢŢ'	^
a~	+ D	a"	+ D	cr + D
4.	Corpul claselor de resturi modulo 3, notat (ZZ3, +, •)■ Este un coi*p finit, comutativ.
Tablele celor două operaţii sunt în acest caz următoarele:
+	6	î	2
6	6	î	2
î	î	2	6
2	2	6	î
	6	î	2
o>	6	6	<0
î	6	î	2
2	6	2	î
Proprietăţi ale corpurilor
teoremă_________________________
Un corp nu are divizori ai lui zero.
Demonstraţie
Fie K un corp şi presupunem că există a, b e K \ {0} astfel încât ab = 0. Avem:
b = 1 • b = (a~] • a) * b = a~l (a b)= a~[ • 0 = 0, contradicţie.
Capitolul 2- Inele şi corpuri
73
^teoremă
j~ Elementele nenule ale unui corp formează grup în raport cu înmulţirea. Demonstraţie
Fie K un corp şi K* = K \{0}. Dacă a, b e AT*, atunci a • b * 0 (un corp nu are divizori ai lui zero), deci a • b e K*. Rezultă: AT* este parte stabilă a lui K în raport cu înmulţirea.
Cum într-un corp 1 ^ 0, rezultă că 1 eP. Deducem că operaţia indusă pe A^* de înmulţirea lui K este asociativă şi admite pe 1 element neutru. Dacăx e A^*, atunci x ^ 0 şi fie x “1 inversul lui x în raport cu înmulţirea lui K.
Cum x • x = 1 ^ 0, rezultă că x "1 ^ 0, deci x _l e K*.
Evident că x~{ este inversul lui x în raport cu operaţia indusă pe K* de înmulţirea lui K.
Rezultă că perechea (K*, •) este grup. Acest grup se numeşte grupul multiplicativ al corpului K.
exerciţii rezolvate
1. Fie corpul (S5, +, ■). Faceţi tabla grupului multiplicativ al corpului. Soluţie
Acest grup se notează cu (Z5 \ {0}, •).
Tabla acestui grup este:
2
3
4
Se observă că: î “' = î; 2 ”1 = 3 ; 3	= 2 ; 4	= 4.
2.	Fie corpul (ZZ7, +, ■). Faceţi tabla grupului multiplicativ al corpului. Soluţie
Acest grup se notează cu (ZZ7 \ {0}, •).
74
Manual clasa a Xll-a
Tabla acestui grup este:
	î	2	3	4	5	6
î	î	2	3	4	5	6
2	2	4	6	î	3	5
3	3	6	2	5	î	4
4	4	î	5	2	6	3
5	5	3	î	6	4	2
6	6	5	4	3	2	î
Avem: î= î; 2_1 =4; 3 _l =5 ; 4'1 = 2; 5	= 3 ; 6'1 = 6.
teoremă_________________________________________________________________
I	Orice domeniu de integritate finit este corp.
Demonstraţie
Fie A un domeniu de integritate.
Avem 1 ^ 0 şi ax = ay, a ^ 0 => x = y.
Fie a e A \ {0}. Aplicaţia/: A -> A,f(x) = ax este injectivă şi cum A este mulţime finită rezultă că/este şi surjectivă.
în aceste condiţii, pentru 1 e A, există a’ e A astfel încât/{a') = 1, adică ad = 1. Analog se arată că există a" e A astfel încât a"a = 1. Deoarece înmulţirea este asociativă, rezultă că inversul lui a la dreapta este egal cu inversul lui a la stânga, adică d = a". Prin urmare a este inversabil şi a-1 = d.
teoremă
Fie inelul (TLP, +, •), p e IN, p > 2, p fixat. Orice element din TL p\ {0 } este inversabil dacă şi numai dacăp este număr prim. în acest caz, (2^, +, •) este corp.
Demonstraţie
Un număr p e IN, p > 2, este prim dacă din relaţia p \ (ab), unde a, b e Z, rezultă că/? | a saup | b.
Deoarece p > 2, rezultă 1^6. Dacă p este prim şi ă • b = 6 în inelul TLP,
rezultă ab = 0, deci p | (ab), de unde p | a sau p | b, deci a = 0 sau b = 0.
Deci dacă /? este prim, atunci (2^, +, •) este domeniu de integritate finit şi deci este corp.
Dacăp nu este prim atunci există a, b e IN* \ {1} astfel încât p = ab.
Atunci ă ^ 0 nu este inversabil (a şi p nu sunt prime între ele).
Capitolul 2- Inele şi corpuri
75
Corpuri de matrice
Este posibil ca o mulţime de matrice pătratice cu elemente din corpul (IR, +, •) al numerelor reale sau din corpul (C, +, •) al numerelor complexe în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor să fie corp?
Vom arăta că este posibil şi vom da următorul exemplu.
Fie mulţimea M a matricelor pătratice de ordinul doi de forma
r a + bi c + di\
, unde a, b, c, a e IR.
K-c + di a-bi)
Să demonstrăm că M împreună cu adunarea şi înmulţirea matricelor formează o structură algebrică de corp necomutativ.
	( aA+bd	c, + d,i^		r a1+b1i c2+d2is
1. Fie Ai =			,a2 =	
	c\ + dxi	a, -byij		^ C--) + d1i a*) b'yij
două elemente
din M
Atunci: A \ + Ai =
(#ţ + #•■>) + (by + b2)' i (c*i +	) + (dx + d7) • i
M.
(c, +c2) + {dx +d2)’i (ax + a2) — (bx + b2) • ij
2.	Adunarea matricelor de acelaşi tip peste (E este comutativă în general, deci şi în cazul problemei avem:
A i + Aj = A2 “f- A1, V A1, A2 €= M.
3.	Adunarea matricelor de acelaşi tip este asociativă în general, deci şi în cazul problemei avem:
(A 1 + A 2) + A3 = A\ + (A 2 + A 3), VA 1, A 2, A3 g M
4.	Elementul neutru la adunare este:
( 0 + 0 / 0 + 0-/^
0> =
0 0	f
lo oj	V
— 0 + 0 • / 0 — 0-/
e M
Şl
A1 + O2 — O 2 A1 — A1, V A1 g M,
5.	Orice element din Meste simetrizabil faţă de adunare. Dacă luăm elementul:
^ a + bi c + di^
- c + di a~ bi
simetricul (opusul) său este:
r-a-bi -c- di^
c-di - a + bi
(~a) + (-b)i (-c) + (-d)i (~c) + (-d)i	(-a)-(-/>)/
e M.
Deci (M, +) este grup comutativ.
76
Manual clasa a Xll-a
6.	Considerăm Ah A2 date de egalităţile de la punctul 1. Atunci avem:
A \' A? —
( ax+ bxi c{ + dxi\ ( a2+ b2i c2 + d2i^ y-c{+dxi a{-b{iy
y-c2+d1i a1-b1ij
' zl	Z2^		(	Z3	7 ^ z4		Z1 ' Z3 Z2	" Z4	Z1	• z4 + z2 • z3 A
l-h	Z\)		V	Z4	Z3 J		v~ Z2 ' Z2> ~ Z\	* Z4	Zl	•Z3 Z2 -Z4 y
-\	^3	^2	^4	*-4 "t ^2 ’ z3 ^
G M.
-(z, *z4 + z2 -z3) z, -z3 -z2 -z4 J Am notat zx = ci\ + b\ • /, z2 = cţ + d\ • z, z3 = a2 + b2 • z, z4 = c2 + d2 • i.
Am mai ţinut cont de proprietăţile:
± w • v ± t • w = ± u • v ± t • w , V u , v? /, w e (C (semnele se aleg în toate cele 4 cazuri posibile) şi u = u u e (E.
7.	înmulţirea matricelor pătratice de acelaşi tip peste (C este asociativă în general, deci şi în cazul problemei avem:
zî, • (z(2 -A3) = Ar (A2 • ^3), V zl,, z(2, z(3 e M
8.	Elementul neutru la înmulţire este
e M.
'l 0^		O + O O +
v0 1;		1 O + O 1 O
I2 =
Avem ca. A \ -12 = I2 • A \ = A\,\/ A\ e M 9. Să arătăm că pentru orice matrice ^ =
ro 0^
a + bi c + di
e M, A *
0 0
-c + di a- bi,
(adică a2 + b2 ^ 0 sau c2 + d 2 * 0), există A' e M astfel încât A • A' =
- A' • A = I2. Avem det ^ = a2 + £>2 + c*2 + d2 ^ 0 şi
A'=A~ =
1
7,7	7	,7
a +6 + c“ + a 1
2/2	2	,2
£7 + b + c + d
a-bi -c- di
Kc-di a 4- biy
a + (~b)i (-c) + (-d)i - (-c) + (-d)i a - {-b)i
e M
10.	înmulţirea este distributivă la stânga şi la dreapta faţă de adunare.
11.	înmulţirea nu este comutativă deoarece:
/ n		fl+/ ' 1
v-1 -0		l 1 1-»'J
/	.	.2
Z + Z 4-1
— 1 — / — /2
r+l-Z f-\ + i
■i-i + r
- i -1-2/
Şi
p+/ / >		( i 1]		6-1 • 1 • ^ z — 1 — z l + z-z“		r -1 2+/"
V i l-i)		V"1 -'y		v/2 -1 + z i-i + i2 j		v- 2+/ -1,
Capitolul 2- Inele şi corpuri
77
Deci (M, 4-, • ) reprezintă un corp necomutativ.
Fie (K, +, •) un corp arbitrar şi (K) mulţimea matricelor pătratice de ordinul n cu elemente din K.
înzestrând mulţimea .s/rfn (K) cu 2 legi de compoziţie (adunarea © şi înmul-
ţirea O matricelor) se poate demonstra că . K) este inel de matrice (a se vedea paragraful „Inele de matrice”).
Fie M a (K) astfel încât (M, ©, O) este inel.
^0
Dacă orice element din M diferit de matricea
0
0"
0
unde 0 este ele-
\0 0)
mentul neutrii la adunare al corpului K, este inversabil faţă de înmulţire, atunci spunem că tripletul (M, ©, O) este corp de matrice.
exerciţii rezolvate
1.	Pe mulţimea IR se definesc operaţiile algebrice:
x * y = ax + by - 2 şi x ° y = xy - 2x - 2y + c\ a, b, c e IR.
Să se determine a, b, c astfel încât (IR, *, o) să fie corp comutativ.
Soluţie
i)	(IR, *) - grup abelian. Din axiomele grupului rezultă a = b şi apoi {x * y) * z = = a1 2x + ay 4- az - 2a - 2; x * (y * z) = ax + ay 4- a2z - 2a - 2. Deci a = 1 = b. Elementul neutru este e-2.
ii)	(IR, o) - grup abelian. Din asociativitate rezultă c - 6, iar elementul neutru este e' = 3.
iii)	Se verifică distributivitatea la stânga şi la dreapta.
2.	Fie mulţimea M=IR x IR= {(x,y) \x e IR,y e IR}.
Definim pe mulţimea M două legi de compoziţie notate respectiv cu © şi O, în modul următor: (x,, y{) ® (x2, y2) = (*i + x2, yt + y2); (x,, O (x2, y2) = (x,x2 -
-yiy2,x\y2 + x2yi).
Demonstraţi că:
a)	(M, ©) este grup comutativ.
b)	(M, ©, O) este inel comutativ.
c)	(M, ©, ©) este corp comutativ.
78
Manual clasa a Xll-a
Soluţie
a)	Legea © este comutativă, este asociativă, elementul neutru este (0, 0) şi orice element (a, b) admite simetricul (-a, -b) faţă de legea ©.
b)	Legea O este comutativă. Pentru asociativitatea legii O să arătăm că:
[(*1, y\) O (x2, y2)} O (x3, y3) = (*i>>i) o [(x2, yi) O (x3, _y3)] <=>
o	(x, -x2-yr y2, x, -y2 + x2-y,)0 (x3, y3) =
= (xx,y\) O (x2 -x3-y2- y3, x2-y3+x3- y2) o o ((x, -x2-yi • y2) ■ x3 - (x, -y2 + x2 • y,) • y3,
(x, ■ x2-yI -y2)-y3 + (x, -y2+x2 -j>i) -x3) =
= (x, • (x2 • x3-y2 ■ y3)-y{ ■ (x2 • y3 + x3 • y2),
Xi ■ (x2 • y3 + x3 • y2) +y, • (x2 • x3-y2 ■ y3)) o o (xi x2x3 - x3yiy2 - x,y2y3 - x2y,y3, x, x2y3 -y,y2y3 + x, x3^2 + x2x3jy,) =
= (X|X2x3-x,_y2^3-x2^,_y3-x3y,y2, x,x2y3 + x, x3y2 + x2x3y, -y,y2y3).
Se observă că egalitatea anterioară este adevărată ţinând cont că are loc echivalenţa (u , v) = (a, (3) o u = a şi v = p.
Elementul neutru al legii O este (1,0).
Lăsăm în seama cititorului să verifice egalitatea:
(a, b) O [(a, P) © (y, 5)] = ((*, b) O (a, p)) © ((a, b) © (y, 5)).
Deci (M, ©, G) este inel comutativ.
c)	Să arătăm că (M, ffi, ©) este corp.
Deci va trebui să demonstrăm că orice element (a, b) * (0, 0) este simetrizabil faţă de legea ©. Căutăm un element (c, d) care să verifice egalităţile:
O, ti) Q(c,d) = (c, d) O (a, b) = (1, 0).
Egalitatea
(fl,6)©(c,d) = (l,0)
se scrie succesiv:
(a • c - b • d, a • d + b • c) = (1, 0) <=>
ac - bd = 1
o
ad + bc = 0
ac - bd = 1 bc + ad = 0
(*)
Sistemul (*) este un sistem liniar de două ecuaţii cu două necunoscute, c, d iar a, b sunt date cu condiţia suplimentară a2 + b2 ^ 0.
Aplicând regula lui Cramer, avem:
A =
= a2 + b2 0; Ac =
1 -b 0 a
a\ Ad =
a 1
b 0
= -b.
-,d=-
-b
Prin urmare: c = ———-
a2 +b~ aL +bz
Deci simetricul elementului (a, b) ^ (0, 0) faţă de legea O este elementul
f a	_\
—5----7, —5----7 . în concluzie tripletul (M, ©, O) este corp comutativ.
a +b a +b~ )
Capitolul 2. Inele şi corpuri
79
3.	Fie mulţimea:
® (42 ,4$) = {a e IR | a = x + y4l + z 4$ + t46 , undex, y, z, t e ®}.
Să se arate că adunarea şi înmulţirea numerelor reale determină pe mulţimea ®(V2, 4$) o structură de corp.
Soluţie
Fie a', a" e ®(V2 ,43 ), a' =x'+y '42 + z'4$ + t '46 ,
a" =x"+y"42+z"4$ + ("46.
Atunci a' + a", a' • a" aparţin mulţimii ®(42 , 4$): a' + a" = (x ' + x ") + (y ' + y ")42 +(z' + z")4i +(t' + t")46 e ®(V2 ,V3)şi
a'-a" = (x'x" + 2y 'y " + 3 z'z" + 1 't ") +
+ (x'y" + x "y ' + 3 z"t' + Iz't ")42 +
+ (x ’z " + x "z ' + 2y ’t " + 2y "t ')S +
+ iy'z" + y"z' + x’t "+x"t'46) e <£>(42,4$).
Elementul neutru la adunare este 0 = 0 + 0- 42 + 0 • 4$ + 0 • 46 iar elementul neutru la înmulţire este 1 = 1+0- 42 + 0 • 4$ 1 0 • 46 .
Opusul elementului x ' + y ' -42 + z'-4$ + t '• 4~6 este (-x') + (-y ')42 +
+ (-z')4î +(-t') 46.
Inversul elementului a = x + y 42 + z 4$ + (46 & 0 este:
_	1	_ (x + y4i)-(z +142)4$ _
~ (x + y42) +(z +(42)4$ ~ (x + y42)2-$(z + t42)2 ~
_ x + y42-z4$-(46	_
(x2 + 2y2 -3z2 -6t2) + 2(xy-$z()42
_ (x + y4$ - z4$ - t46)(h - k.422) _
h2 - 2k2	_
_ xh + yh42 - zh4$ - (h46 - xk42 - 2yk + zk46 + 2(k4$ _
h2 — 2k2
_ (xh-2yk) + (yh-xk)42 + (2tk - zh)4$+(zk ~(h)46	rr /r
h2-2k2	6
Am notat: h = x2 + 2y~ - 3z2 - 6(2, k = 2(x^ - 3zt).
Celelalte axiome se verifică uşor şi deci corpul (®(4$ , 4$ ),+,•) este comutativ.
80
Manual clasa a Xii-a
4. Să se rezolve în corpul {TL\% +, •) sistemul:
x + y = 2 3 • x + 4 • y = î
Soluţie
Din prima ecuaţie deducem că 3 • x + 3 ■ y = 6 .
Prin scădere rezultă / = 14 şi deci x = 7.
Test be evâJu&re
(10p) 1. Să se arate că tripletul (2Ih +, • ) este corp, iar elementele sale nenule formează grup în raport cu înmulţirea.
(10p) 2. Pe intervalul K= (0, oo) se definesc operaţiile:
x T y = x ■ y şi x _L y = xln y.
(10p)
(lOp)
Să se arate că tripletul (.K, T, 1) este corp comutativ.
3. Pe mulţimea K= < A =
(a	5
b a
\A e (Q) ^ se definesc operaţiile de
adunare şi înmulţire a matricelor. Să se arate că (K, +, •) este corp. 4. Să se rezolve în corpul (Z5, +, •) sistemul de ecuaţii:
x + y 4- z = 3 < x + 3 y + z = 0 3x + y + 2z = 1
Timp de lucru: 60 de minute
1 exerciţii propuse
1.	Fie mulţimea: K= {a + bj2 \ a, b e ©}.
Demonstraţi că tripletul (K, +, •) este corp comutativ, unde cu „+” şi s-au notat adunarea şi înmulţirea pe IR.
2.	Fiep un număr prim şi mulţimea	= {a + b-Jp \ a, b e ©}.
Să se arate că ®(-Jp) împreună cu adunarea şi înmulţirea numerelor reale este corp comutativ.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
81
3.	Se consideră mulţimea ®(V2 ) = {x e]R\x = a + b \[2 + c ifĂ ,a,b9c e ©}.
Să se arate că ©( V2 ) împreună cu adunarea şi înmulţirea numerelor reale este corp comutativ.
4.	Fiq p un număr prim. Considerăm mulţimea
©( ifp	= a +	%[p + c , a, b e ©}.
Această mulţime împreună cu adunarea şi înmulţirea numerelor reale posedă o structură de corp comutativ?
5.	Fiepi şi p2 două numere prime distincte. Considerăm mulţimea
®(-v/Â" > *J~P2 )={^eIR|x = a + fe ^ +	+ d-yJplp2 ,a,b,c,d e <E>}.
Această mulţime înzestrată cu adunarea şi înmulţirea numerelor reale posedă
o	structură de corp comutativ?
6.	Fie M mulţimea matricelor pătratice de tipul (2, 2) cu elemente numere reale. Fie Kd submulţimea mulţimii M formată din matrice de forma:
a bjd
Kb4d a J
unde a, b e © şi d este un număr întreg fără factori pătratici.
Mulţimea Kd este corp, faţă de adunarea şi înmulţirea matricelor?
2.3.	Morfisme de inele şi de corpuri
Morfîsme de inele
Fie (A, +, •) şi (A ©, O) două inele cu elementele unitate 1 şi 1'. Definiţie
•	Funcţia f:A-+A' este morfism de inele dacă:
1	)f(x+y) =f(x) ®/(y), V x,y e A;
2)	f(x ■ y) =f(x) O f(y), Vx,y<=A;
3)	/(l)=l'.
•	Spunem că/: A -> A' este izomorfism de inele dacă:
1)	/este morfism de inele;
2)	/este bijectivă.
•	Dacă există cel puţin un izomorfism de inele f: A A aceste două inele se numesc izomorfe şi scriem A^A '.
•	Un morfism al inelului (A, +, •) pe el însuşi se numeşte endomorfism.
•	Un izomorfism al inelului (A, +, •) pe el însuşi se numeşte automorfism.
82
Manual clasa a Xll-a
Reamintim că o funcţie/: A -> B se numeşte injectivă dacă V x\, x2 e A, egalitatea/(xi) =/ (x2) implică x\ = x2.
Funcţia/: A B se numeşte surjectivă dacă, V b e B, există a e A astfel încât / (a) = b.
Funcţia f\A^B se numeşte bijectivă dacă/este injectivă şi/este surjectivă.
cteoremă________________________________________________________________
Fie/:	+,•)-> (A ©, O) un morfism de inele. Atunci au loc egalităţile:
1)	/(O) = 0', 0 şi 0' fiind elementele nule respectiv din cele două inele;
2)	/(- x) = -/(x), V X € A;
3)	dacă x este element inversabil în inelul A, atunci / (x) este element inversabil al inelului A ' şi/(x' ') = (/(x))~'.
Demonstraţie
1)	/(x) =/(x + 0) =/(x) ©/(0), şi cum (A ©) este grup, rezultă că/(0) = 0;
2)	0' =/(0) =/(x + (-x)) =/(x) ©/(-x) şi cum (/I	©) este grup, rezultă că
/(-x) = -/(x), x € Ay
3)	1' =/(l) =f(x • xM) =/(x) 0/(x _l) şi
l^/X^^x-'-x)^-1)©^).
Rezultă că/(x) este inversabil în inelul A ' şi (/(x)) 1 =/(x ').
exerciţii rezolvate
1.	Pe mulţimea 2Z se definesc operaţiile algebrice: x*j> = x+ y- 2şi
x o y = xy - 2x - 2y + 6. Ştiind că (Z, *, °) este inel comutativ să se arate că funcţia /: TL -> Z,/(x) = x + 2 este un izomorfism între inelul (Z, +, •) şi inelul (Z, *, °). Să se verifice apoi că f (ei) = e\ şi / (e2) = e'2 unde eh e2, e\, e2 sunt respectiv elementele neutre ale celor două inele.
Soluţie
Funcţia liniară/(x) = x + 2 este evident bijectivă şi avem: f(x + y) = x + y + 2 = (x + 2) + (y + 2)-2 =/(x) +f(y) - 2 =
=/(*) *f(y), v x, ^ e z.
Apoi/(x • _y) = x • y + 2, iar/(x) °/(y) = (x + 2) • (y + 2) - 2(x + 2)-- 2(y + 2) + 6 = x ■ y + 2 = f(x ■ y), \/ x, y e 7L Cum e\ = 0, e2 = 1, e[ = 2 şi /, = 3, avem/(0) = 2 = e( şi/(l) = 3 = e'2.
2.	Să se determine toate morfismele de inele /: (Z, +, •) —» (Z,„ +, • ) unde n e IN, n > 2.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
83
Soluţie
Dacă/: Z -> Z,7 este morfism de inele, notăm ă =/( 1) e Z,7.
Avem ă =/( 1) =/(l • 1) = ă 2. Atunci/(x) =/(x ■ 1) = x/(l) =x • ă . Reciproc, dacă există <5 g	cu â2 = â, atunci funcţia /}: Z —» Z„,
definită prin /- (x) = x • ă este morfism de inele.
3.	Considerăm inelele (Z, +, •) şi (Z/7, +, •). Demonstraţi că funcţia f \ U-*TLn dată de/(/) = â este un morfism de inele.
Soluţie
Fie a, b gZ. Avem succesiv:
f{a + b) = a + b = â + b =/(a) +f(b),
fia ■ b) = a-b = â ■ b =f(a) -f(b),
fi l)=î-
4.	Fie funcţia/: TL . //f {TL), f(a) = ţj jjj.
Demonstraţi că/este un morfism injectiv de inele.
Soluţie
Avem pentru a, b g Z,
./'(--*)=(a o6	®) + (o 2)-/w+/w.
o* A) = (o 2)-(S 2)-/<»>•/<»>.
Injectivitatea funcţiei/rezultă din:
Va, b e7Lşif(a)=f(b)=> fjj JjWj
exerciţii propuse
1.	Pe mulţimea Z definim următoarele patru operaţii algebrice pentru a, b gZ,
date:
x^^x+y + a;	x °_y - xy + a(x + _y) + a2 - a;
x_Ljk = x+ j;-6;	xT_y - xy — 6(x + y) + b1 + b.
Demonstraţi că:
a)	(Z, *, o) şi (Z, _L, t) sunt domenii de integritate;
b)	funcţia/: Z —> Z,/(x) = x + a + b este un izomorfism între cele două inele.
84
Manual clasa a Xll-a
2.	Pe mulţimea A = {x + y 4Î | x, y e TL) se definesc adunarea şi înmulţirea
numerelor reale, iar pe mulţimea M:
x, y e Z > se definesc aduna-
x y'
Jy
rea şi înmulţirea matricelor. Să se arate că (A, +, •) şi (M, +, •) sunt inele izomorfe.
3.	Pe mulţimea A = © x © se definesc operaţiile:
(a, b) + (ar, b’) = (a + a\ b + b’) şi (<a, /?) * (a', 6') = (aa' - bbab' + a'&), iar pe mulţimea
© [/] = {x + (y | e © }
se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe.
Să se arate că (A, +, •) şi (© [z], +, ■) sunt inele izomorfe.
4.	Fie/: (A, +, *) —» (A\ +, •) un morfism de inele.
Demonstraţi că:
a)	Mulţimea Ker/= {xe A |/(x) = 0^'} este un subgrup al grupului (A, +) cu proprietatea: V x e Ker/ V a e A avem ax, xa e Ker/.
b)	Morfismul/este injectiv dacă şi numai dacă Ker/= {0^}.
Morfisme de corpuri
Fie (K, +, •) şi (K1, ©, O) două corpuri.
Definiţie
•	O funcţie/: K -*■ K ' de la corpul K la corpul K ' se numeşte morfism de corpuri dacă/este un morfism de inele de la K la K
•	O funcţie /: K -*• K ' de la corpul K la corpul K ' se numeşte izomorfism de corpuri dacă/este un izomorfism de inele de la K la K
•	Un morfism al unui coip K pe el însuşi se numeşte endomorfism.
•	Un izomorfism al unui corp K pe el însuşi se numeşte automorfism.
•	Dacă există un izomorfism de la corpul K la corpul K ' spunem că acele corpuri sunt izomorfe şi scriem K~K’.
teoremă_______________________________________________________________
Dacă/: K-> K' este un morfism de corpuri, atunci/este injectivă.
Demonstraţie
Fie X\, x2 e K astfel încât f(xt) =f (x2). Să arătăm că x, = x2. Notăm x = X\ - x2. Atunci:/(x) =/(x, + (-x2)) =/(x,) +/(-x2) =/(x,) + (-/(x2)) = 0'.
Dacă x * 0, avem 1' = /(l) = /(x • x~') = /(x) • /(x-1) = 0' • /(x_1) = 0', ceea ce este absurd deoarece într-un corp 1' ^ 0'.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
85
exerciţii rezolvate
1.	Fie mulţimea: (£) (y[2 ) = {a + by[2 \ a, ă e ©}.
a)	Demonstraţi că (© (V2 ),+,•) este corp comutativ.
b)	Arătaţi că funcţia/: © (yfî. ) -► © (V2 ),/(a + b42 ) = a - ă V2 , este un automorfism al corpului (© (V2 ), +, •)■
Soluţie
a)	Se vor verifica axiomele (condiţiile) pentru corpul comutativ.
b)	/{{a\ + b\ 42 ) + (a2 + b2 42 )) =/ ((#1 + a2) + (b\ + b2)yfi) =
= («! + a2) - (b\ + b2) V2 =(a\-b\y[2) + (a2 - Ă2 V2 ) =/(tfi + Ăi 42 ) +/(a2 + b2 4l). /(fli + 61 V2 ) •/(a? + b242 ) =f((a\b\ + 2b\b2) + (ci\b2 + a2b\)42) =
= (a\b\ + 2b\b2) - (a\b2 + ci2b\)y[2 = {a\ - b\4l )(a2 - b242 ) = f{a\ + b\42 ) •
■/(tf2 + b2yf2 ).
/(l)=/(l+0- V2) = 1-0- V2 = 1.
Am arătat că /este morfism de corpuri. Să arătăm că / este funcţie bijectivă. Avem succesiv: f(a\ + b} 42 ) =/(a2 + b2y[2 ) => a\ - b\42 = a2 - Ă2 V2 =>
=> ai = a2 şi Ăi = Ă2, deci a\ + Ăi 42 = a2 + Ă2 V2 .
Am demonstrat că/este injectivă. Fie acum c + d42 e © (V2 ). Din egalitatea /(a + Ă yj~2 ) = c + d4î , rezultă a - ă V2 = c + dyl2 , deci c = aşid = -b. Prin urmare/este surjectivă.
2.	Fie (©, +, • ) corpul numerelor complexe şi funcţia/: © -> C,/(z) = z (z este conjugatul lui z).
Să se arate că/este un automorfism al corpului (©, +, *).
Soluţie
Avem Zj + z2 = zj + z2 şi z, • z2 = zj • z2.
Rezultă că/(zi + z2) =/(zj) + /(z2) şi/(z, • z2) =/(z,) -/fe), adică/este morfism de corpuri.
Pentru orice z e ©, există z e © astfel încât/(z ) = z, adică/este surjectivă. Cum orice morfism de corpuri este injectiv, deducem că/este bijectivă, deci este un automorfism al corpului (©, +, •).
3.	Fie IR x IR = {(a, b) \ a, b e IR}. Definim pe IR x IR două legi de compoziţie ©, © date respectiv de egalităţile:
(a, Ă) © (c, d) = (a + c, b + d);
(a, ă) © (c, d) = (ac - 3bd, ad + 2ĂJ + bc).
86
Manual clasa a Xll-a
Demonstraţi că (IR x IR, ©, O) este un corp izomorf cu corpul numerelor complexe.
Soluţie
Se vor verifica axiomele corpului. Izomorfismul între cele două corpuri este realizat de aplicaţia:
(a, b) -> {a + b) - bi 42 .
într-adevăr funcţia /: IR x IR -* (C dată de f ({a, b)) = {a + b) - bi4l are proprietăţile:
a) este injectivă:
deci a = c şi b = d de unde rezultă că (<a, b) = (c, d). b) este surjectivă:
V z e (C, există {c, d) e IR x IR astfel încât / ((c, d)) = z; într-adevăr fie z = a + 6/. Condiţia/((c, r/)) = a + bi se scrie:
c)	V (a, 6), (c, d) e IR x IR avem:
/((a, 6)) ® (c, d)) =/((a, 6)) +/((c, cŢ)) şi /((*, *)) © (c, d)) =f((a, b)) -/((c, d)).
într-adevăr:
/ ((a, />) © (c, t/)) =/((âf + c, b + d)) = {a + c- b + d)-{b + d)i 42
f ((a, &)) =f ((c, d)) a + b - bi 42 = c + d - di 42 =>
=>a + b = c + dş\b = d,
iar
/((a, b)) + /((c, </)) = (a + 6 - biyfî) + (c + d-di4l).
Prima egalitate de la punctul c) se verifică. De asemenea avem:
f{{a, b) O (c, d)) -f {{ac - 3bd, ad + 2fo/ + bc)) =
= {ac - 3bd + ad+ 2bd + bc) - {ad + 2bd + bc) i42 = = (ac - bd+ ad + bc) - {ad + 2bd + bc) i 42 ),
iar
Capitolul 2. Inele şi corpuri
87
/((a, b)) •/((c, J)) = (# + 6 - biyfl )(c + d- diyfî) =
= ((a + b)(c +d) - 2bd) - d(a + b) + b(c + d)) i 4Î =
= (ac - bd+ ad+ bc) - (ad + 2bd + bc) i V2 .
Am demonstrat şi a doua egalitate de la punctul c).
Deci am demonstrat că: (IR x IR, ©, O) ^ (C, +, •).
4.	Fie M mulţimea matricelor pătratice de tipul (2, 2) cu elemente din corpul © al numerelor raţionale. Fie Kd submulţimea mulţimii M formată din matricele de
r
forma
a bd
, unde a, b e © şi d este un număr întreg liber de pătrate (\d\ nu se
divide prin pătratul unui număr prim).
Să se arate că mulţimea Kd este corp faţă de adunarea şi înmulţirea matricelor şi că aplicaţia/: © (4d ) —> Kcj,
^ a bd^
f(ct + b4d ) =
b
stabileşte un izomorfism de la corpul ©( 4d ) la corpul Kd.
Soluţie
Adunarea matricelor este lege de compoziţie internă pe Kd, deoarece:
b{d^
\b\
(^ bnd^ (
4\ J
\b2
2 J
Q\ +a2
(b{ + b2)d
Qy + Qn
6 Kj
b\ ~h b~)	Wj ~r i4 2 j
Se verifică uşor că (Kch + ) este grup abelian.
Apoi se observă că înmulţirea matricelor este lege de compoziţie internă pe
Kch deoarece:		
h		r a2
U	a\ J	Kb2
b2d
zKd.
a\a2 -f~ bxb^d (axb2 H- a2bx^d K axb2 + a2b{ axa2 + b{b2d J
înmulţirea matricelor este asociativă, comutativă, iar elementul neutru este:
"1 0
lo '
/
88
Manual clasa a Xll-a
Orice matrice
A =
a bd
(0 0-d)
0 0
este inversabilă deoarece în ipoteza problemei şi din faptul că a şi b nu sunt simultan nule rezultă că a2 - b2 • d ^ 0. Inversa matricei A este matricea
-b
a2-b2-d	a2-b2-d
-b	a
eKc,
W-b2-d a2 -b1 -d )
Deci tripletul {Kch +, • ) este corp comutativ deoarece este verificată şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunarea matricelor.
Aplicaţia/are proprietăţile:
f[{a\ + b\ 4d ) + (a2 + b2^fd )] =f[{a\ + a2) + (b\ + b2) •	] =
^ax+a2 (bx+b2)d^
yb\ + b2 ci\ + ci') j
-j {a\ + b\ Jd ) +f(a2 + b2 4d );
/[(a, + b] 4d )(a2 + b24d )] =f((axa2 + b\b2d) + (axb2 + a2b\) -4d ) ■
r axa2 +b{b2d (axb2 + a2b{)d^		fax b,d^		fa2 b2dN
K axb2 + a2b{ a{a2 + b{b2d J		Kb\ a\ J		Kbl a2 ,
=/(«! + bi 4d ) ■ f{a2 + b2^[d ).
De asemenea avem:
/(i+o- 4d)-
Deci/este morfism de inele.
Avem implicaţiile:
f 1 0-^ 0 1
btd'		f a2 b2d'
a> J		\b2 a2 )
=> ci\ = a2 şi b\ = b2=>
=> a\ + b\ Vd = a2 + b2 4d ,
deci /este injectivă.
De asemenea avem VCe Kd există c e ©( yfd ) astfel încât / (c) = C.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
89
Deci/este surjectivă.
Prin urmare/este un izomorfism de corpuri.
Test î>e cvaIuâ<re
(20p) 1. Fie K = (0, oo) pe care definim operaţiile algebrice: x _L y = x • y şi
-In
x T = x3 n v. Ştiind că tripletul (K, _L, t) este corp comutativ, să se determine a, p e IR astfel încât între corpurile (IR, +-, •) şi (K, _L, t) să existe un izomorfism dat de funcţia/: IR —> K,f (x) = e av + p.
(25 p) 2. Fie A = {0, 1, a, b) un inel cu 4 elemente. Să se arate că:
a)	funcţia/: A —> A,f(x) = 1 + x este bijectivă;
b)	Yj/(*) = l+ a + ^şil + l + l + l=0;
,Y6 A
c) dacă A este corp atunci 1 + 1=0.
(15 p) 3. Să se calculeze rangul matricei A e ■ //( (ZZ6), A =
se rezolve apoi ecuaţia matriceală A
p1]		m
x2	=	2
UJ		4 V J
r2	2	4^
3	3	2
2	î	î
şi să
Timp de lucru: 60 de minute
exerciţii propuse
1.	Pe mulţimea TL a numerelor întregi definim două legi de compoziţie: x®y = x+y+ 1, V x, y e TL, x Oy = xy + x + y, Vx v e TL.
Demonstraţi că:
a)	(TL, ©, O) este inel;
b)	(TL, +, •) - (Z, ©, O).
90
Manual clasa a Xll-a
2.	Fie inelul (Z6, +, •) şi funcţia/: ZZ6 -» ZZ6 dată de/(<5) = 4<5.
Determinaţi Im/
3.	Pentru a e TL, notăm cu [a]6 clasa lui a în Z6 şi cu [a\2 clasa lui a în Z2. Demonstraţi că funcţia/: 2Z6 —> Z2, dată prin/([a]6) = [a]2, este morfism de inele.
4.	Fie (Z, +, •) inelul numerelor întregi şi mulţimea
	ra 0 0"	
M= <	0 0 0	e 3(Z), a e Z >
	v° 0 °y	
a)	Demonstraţi că (M, +, ) este inel comutativ.
b)	Arătaţi că (Z, +, •) ^ {M, +, •).
5*. Fie K = IR4, adică
K = {(a, b, c, d) | a, 6, c, d e IR}.
Pe mulţimea ÂT definim două legi de compoziţie, notate © şi O, în modul următor:
(tfi, &i, C|, rf|) © (a2, b2, c2, d2) = (ai + <?2, 6| + b2, C\ + c2, d\ + d2),
(ai, Ai, ci, <^i) O (#2, b2, c2, d2) = (w, n->p, q), unde m = a\Ch - b\b2 - C\C2 - d\d2, n = a\b2 + a2b\ + C\d2 - c2d\, p = a(C'2 - b\d2 + C|tf2 + ă2^i,
^ = «^2 + b\C2 - C\b2 + a2^i.
Să se arate că tripletul (.K, +, •) este un corp necomutativ.
6*. Fie A/(4, IR) mulţimea matricelor de forma
a	b	c	d
-b	a	-d	c
-c	d	a	-b
-d	-c	b	a
cu
a, Ă, c, d e IR.
a)	Să se arate că (M{4, IR), +, •) este un corp necomutativ, unde „+” şi „ • ” sunt adunarea şi respectiv înmulţirea matricelor pătratice de ordinul 4.
b) Corpul (M(4, IR), +, •) este izomorf cu corpul (,K, +, •) de la exerciţiul anterior.
7.	Pentru fiecare a e © considerăm funcţia
(ax, dacă x e ©
7	7 V '	1 0, dacă xelRXfi
Să se arate că adunarea şi compunerea funcţiilor determină pe mulţimea F = {fa | a e ©} o structură de corp comutativ izomorf cu corpul © al numerelor raţionale.
Capitolul 2. Inele şi corpuri
91
8. Fie ,/M mulţimea matricelor pătratice de ordinul doi cu elemente reale
' a	b'
-b a t
formate din matricele de tipul M(a, b) =
v
v
a)	Să se arate că, faţă de operaţiile uzuale,, ^are o structură de corp izomorf cu corpul (E.
b)	Folosind rezultatul precedent, să se rezolve în ,/M sistemul de ecuaţii
fX+ Y=M( 3,3)
\X3+ y3 = M(-9, 9).
9.	Considerăm mulţimea K a ,/M2(W) formată din toate matricele de forma
a)	Să se arate că, faţă de adunarea şi înmulţirea matricelor, K este un corp comutativ izomorf cu corpul IR.
b)	Deşi matricele din K sunt elemente inversabile în K, ele sunt matrice singulare. Explicaţi acest lucru.
10*. Fie d\ şi d2 doi întregi liberi de pătrate, d\ * d2. Să se demonstreze că:
a)	®(A/^)n©(V^) = ©;
b)	Z(V^) n 2Z(VO = ZZ.
11*. Fie d\ şi d2 doi întregi liberi de pătrate şi /: ©( -yjd^) —>	un
izomorfism de corpuri.
a)	Să se arate că d\ = d2.
b)	Să se determine automorfismele coipului (D(V^), unde d este un număr întreg liber de pătrate.
12.	a) Fie (K, +, •) un corp finit. Notând cu (K*, •) grupul elementelor inversabile din K, să se determine toate morfismele de grup de la (K, + ) la (K*, • ) şi de la (/C\ •) la (*, + ).
b) Fie © corpul numerelor raţionale. Să se determine toate morfismele de grup de la grupul (©, + ) la grupul (©*, •), unde ©* = ©\{0}.
13*. Fie/un automorfism al corpului numerelor reale.
a)	Să se determine/(0),/(l) şi/(- 1).
b)	Să se arate că pentru orice e e IR, 8 > 0, rezultă/(e) > 0. Să se deducă de aici că/este o aplicaţie strict crescătoare.
c)	Folosind rezultatele stabilite la punctele precedente, să se demonstreze că singurul automorfism al corpului numerelor reale este aplicaţia identică.
92
Manual clasa a Xll-a
14. Se consideră K = {0, 1 ,a,b} un corp cu patru elemente. Să se arate că:
a)	ab = 1 = ba;
b)	a2 = b2, a - 1, a2 + a + 1 = 0;
c)	1 + 1 = 0.
Să se întocmească tabla adunării pentru K.
Este (K, +) izomorf cu grupul lui Klein?
•	Tripletul (A, +, • ) este inel dacă: a) (A, + ) este grup abelian; b) (A, • ) este monoid; c) înmulţirea este distributivă faţă de adunare.
• Inelul (A, +, • ) este comutativ dacă x • y -y • x, V x, y e A.
• Inelul (A, +, • ) are divizori ai lui zero dacă există x ^ 0 şi y ^ 0 astfel încât x - y = 0.
•	Un inel comutativ, cu cel puţin două elemente şi fără divizori ai lui zero (V x, y e A, x ^ 0, y * 0 => x • y ^ 0) se numeşte domeniu de integritate.
•	Intr-un inel fără divizori ai lui zero putem simplifica prin elemente diferite de zero.
•	Elementele inversabile ale unui inel A se numesc unităţi ale lui A iar mulţimea lor se notează cu U (A).
•	Un inel (K, +, • ) se numeşte corp, dacă 0 * 1 şi orice element nenul din K este inversabil.
•	(ZJ/;, +, •) este corp dacă p este prim.
•	Un corp nu are divizori ai lui zero.
•	Fie (A, +, • ) şi (A', *, ° ) două inele. Atunci: funcţia/: A —> A' se numeşte morfism de inele dacă Vx,y e A avem: f(x +y)=f(x)* f(y) şi/(x • y) = /(x) °f(y).
•	Un morfism bijectiv de inele se numeşte izomorfism.
•	Analog se definesc morfismul şi izomorfismul corpurilor (K, +, •) şi (K', *, ° ).
Capitolul 2- Inele şi corpuri
93

exerciţii recapitulative
1. Să se demonstreze că numărul a = 21965 + 1 1 este divizibil cu 43.
2*. Se consideră funcţia /: Z9 x Z9 x Z9 —> S9,/(x, v, z) = x3 + v3 + z3.
a)	Să se calculeze/(ZZ9 x Z9 x zz9).
b)	Demonstraţi că ecuaţia x3 + v3 + z3 = 19692 nu are soluţii în TL x TL x 2Z.
3*. Să se calculeze 22 2 25555 + 5 5 5 5 2222 în Z7.
4.	Calculaţi 2'7, n e IN, în Zi0.
5.	Fie w e IN şi numărul a/7 = 7" + 2"+2. Calculaţi ăn în Z5.
6.	Fie n <e IN şi numerele
an = n(n + 1);	bn	= n(n + \)(n + 2);
cn = /7(/7 + l)(/7 + 2)0 + 3); d„ = n(n + 1)0 + 2)0 + 3)0 + 4).
Calculaţi an în ZZ2, bn în ZZ6, c„ în 2Z24, dn în ZZ!2o-
7.	Pentru n e IN se consideră numerele
an = 3" - 2/7 - 1;	bn = 4#7 - 3/7 - 1;	- 5'7 - 4/7 - 1;
dn = 6” - 5/7 - 1;	<?„ = T ~ 6/7 - 1;	fn = 8" - ln - 1;
Calculţi ^ în 2Z4, în Z9, c/7 în 2Z!6, dn înZ25, în ZZ36, fn în 2Z49.
8.	Fiep un număr primp > 3. Să se calculeze 1 în 7LP.
9.	Să se rezolve în 7Ln+\ ecuaţia h • x - 1, unde n e IN*, n fixat.
2-x + 3- _y + 3- z = 6
10.	a) Rezolvaţi în corpul (2Z7, +, •) sistemul <4-x + 5 • y+ 2-z = 2.
x + 2 ■ y + 3 • z = \
b) Rezolvaţi în corpul (2Zi3, +, •) sistemul
2-x + _y + 4-z = 9 3 - x + 5 • y + 1 • z = 6 ,
x + 4 y + 9-z = 10
11. Să se rezolve în corpul (2Zi3, +, •) sistemul
2- x + 3- y = 9
9x + 4- y-l
94
Manual clasa a Xll-a
12. Să se rezolve în corpul (Zn, +, •) sistemul
2-	x + 3- _y + 4- z = î
3-	x + 4- _y + 2- z = 2.
4-	x + 9- ^ + 7- z = 3
13.	Fie inelul (ZZ12, +, • ) şi G grupul multiplicativ al elementelor sale inver-sabile. Demonstraţi că grupul G este izomorf cu grupul Klein.
14.	Fie inelele:
1.	inelul numerelor întregi, (5Z, +, • );
2.	inelul numerelor raţionale, (©, +, ■);
3.	inelul numerelor reale, (IR, +, ■);
4.	inelul numerelor complexe, (CC, +, *);
5.	inelul întregilor lui Gauss, (2Z[z] +, •), unde TL[i\ = {a + bi | a, b e Z}. Determinaţi elementele inversabile ale fiecărui inel.
15.	Fie mulţimea A = {a\,	an} şi legile de compoziţie şi „o”
definite astfel:
ai * cij = ai + j şi a,- ° cij = a,. /, unde an + k = ak.
Cu ce structură algebrică este înzestrat tripletul (A,	° )?
16.	Fie T o mulţime nevidă şi ?P(T) mulţimea părţilor mulţimii T. Să se arate că tripletul (7), A, n) este un inel comutativ (prin definiţie, A A B = (A \ B) u u (£\ A) este diferenţa simetrică a mulţimilor^ şi B).
17.	Fie T o mulţime nevidă şi ,^(7) mulţimea părţilor mulţimii T. Să se arate că tripletul (^(7), A , u) este inel comutativ (prin definiţie, A A B = AAB , unde
A/SB este complementarea mulţimii A A B în raport cu mulţimea 7).
18.	Fie (A, +, •) un inel cu 7 elemente. Să se demonstreze că
1	+ 1 + 1 + 1 + 1 + 14-1=0
19.	Fie A, +, •) un inel şi a, b e A astfel încât
a{ab - ba) = (ab - bd)a.
Demonstraţi că pentru orice n e IN* are loc egalitatea anb - ba'1 = n{ab - bă)cP~x
20.	Fie (A, +, •) un inel şi a, b e A.
Demonstraţi echivalenţele:
1)	1 - ab este inversabil <^> 1 - ba este inversabil;
2) 1 - (ab)2 este inversabil <=> 1 - (ba)2 este inversabil;
3) 1 - (ab)'1 este inversabil <=> 1 - (ba)'1 este inversabil, unde n e IN*, n fixat.
21.	Fiind dat inelul necomutativ (A, +, •) să se rezolve sistemul în necunos-
f a-x + b-y = c	,
cutelex, v\ <	, ştiind că a, b, a\, b\, a -b-ax b\,b a~bx a\ sunt
[ax‘X + bx-y = cx
elemente inversabile.
Capitolul 2- Inele şi corpuri
95
22.	Fie mulţimea
M=(C.x(L= {(x,y)\x,y e€}.
Definim pe mulţimea Mdouă legi de compoziţie notate cu © şi O: (x\*y\) © fe^V’2) — (*i + xi,y\ yi)
(*i, >’i) o (*2, }'i) = {x\ ■ X2~y\ ■ }’2, X, ■ y2 + x2 • y{).
a)	Demonstraţi că (M, ©, O) este inel comutativ.
b)	Are inelul (M, ©, ©) divizori ai lui zero?
c)	Este inelul (M, ffi, ©) corp?
23.	a) Fie K un corp comutativ cu 2n +3 elemente. Calculaţi produsul tuturor elementelor lui K\ {0}.
b)	Î11 (Z7, +, •) să se calculeze 1-2-3-4-5-6.
24.	Fie (.K, +, •) un coip şi a, b e K \ {0}, a i=- b.
a)	Dacă a + b = a~] + b~] = 1, demonstraţi că a = b~] şi b = a
b)	Să se calculeze a2 - a + 1.
Capitolul 3
INELE DE POLINOAME CU COEFICIENŢI ÎNTR-UN CORP COMUTATIV
(©, IR, (E; 7Lp,p prim)
3.1.	Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)
Definirea polinoamelor cu coeficienţi într-un corp comutativ
în capitolul precedent am demonstrat că tripletele (©, +, •), (IR, +, •), (CC, +, •) şi (TLP, +,•),/? prim, sunt corpuri comutative. Fie (K, +, •) oricare din aceste corpuri comutative.
Construim şiruri infinite cu termeni dinK, de forma/ = (tf0, a\, a2, .... am ...) care au numai un număr finit de termeni nenuli, adică există un număr natural m astfel încât a-, = 0, pentru orice i > m.
Exemple
1.	Şirurile/= (3, -1, 4,	1, 0, 0, ...) şi g = (0, 2,-4, V3 , —0, 0, ...)
sunt şiruri infinite care au un număr finit de termeni nenuli din corpul (IR, +, •). Astfel şirul/are 5 termeni nenuli, iar şirul g are 4 termeni nenuli.
2.	Şirurile g = (6,2,3,6,6...) şi h = (î, 2, 3, 4, î, î, 6, 6,...) au numai 2, respectiv 6 termeni nenuli din corpul (2Z5, +, •).
Mulţimea acestor şiruri infinite cu termeni din corpul comutativ (K, +, •) va fi notată în continuare, cu K(m). Pe această mulţime definim relaţia de egalitate a două elemente şi două operaţii algebrice: adunarea şi înmulţirea, după cum urmează:
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
97
Definiţie_______________________________________________________________
Spunem că elementele/ g e Km ,/= (ao, ax,a2, -.-,an, ...) şi g = (b0, b\,b2, ..bm ...) sunt egale dacă şi numai dacă a-, = bh pentru orice i e IN.
Definiţie_______________________________________________________________
Fie/, g e /= (a0,aua2,	...) şi g = (b0, bu b2i ...,bm ...).
Elementul/+ g = (a0 + 60, m	+ ^2, ..tf,7 + bn, ...) se numeşte suma
dintre/şi g. Operaţia prin care oricăror elemente/şi g din	se asociază suma
lor se numeşte adunare.
Exemple
1.	Fie/- (1, /, -2, -3/, 0, 0, ...) e (C(B° şi g = (2, 0, z, 0, 2/, 0, 0, ...) e <&"\ Atunci suma lor este elementul/+ g = (3, /, -2 + /, -3z, 2z, 0, ...) e (C(in).
2.	Dacă/ge Zf//-(2,î,U,î,0,...)şig-(3, 4, 2, 2, 1,6, ...), atunci suma lor este elementul/ + g = (6, 6, 3, 6, 2, 6, 6, ,..) e , obţinut conform definiţiei şi folosind tabla operaţiei de adunare în grupul (Z5, +).
Definiţie_______________________________________________________________
Elementul /• g = (c0, Cj, c2, ...), unde
c0 = a0 ■ b0\ c\ = a$b\ + a\b0; c2 = a0b2 + axbx + a2b0, ...
p
cp = a0bp + ax bp.\ + a2bp-2 + ... + apb0 = Y^a\bP-i = Haibj
/'=0	/'+j-p
se numeşte produsul dintre/şi g. Operaţia prin care, oricăror elemente/şi g din se asociază produsul lor se numeşte înmulţire.________________________
Observaţie. Elementul/•/ obţinut după regula de mai sus se notează cu/2.
Exemple
1-Fie/g e IR(IN),/ = (1,- V2 V2,2,0,0, ...)şig = (V2 ,-l, 1,0,0,...). Atunci avem: c0 = «c/o= V2 ; c, = a0^i + a/0 = -1 -2 = -3; c2 = a062 + a\b\ + a2b0 =	-1; c3 = 2 V2 ; c4 = -2 - -\/2 ; c5 = 2; c„ = 0, V n > 6;
deci /• g = (V2 , -3, V2 - 1, 2 V2 ,-2-S ,2, 0,0, ...) e IR(D,).
2.Fie/,gG Z<K),/=(Î, 2, î, 6, 6, ...) şi g = (2, î, 6, 6,...).
Folosind tablele operaţiilor din corpul (2Z3, +, •), avem: c0 = a0b0 = 2; C\= a0b\ + a\b0 = 1 + 1 = 2; c2 = a0^2 +	+	#2^0	=
= 6 +2 + 2 — î; c3 — 6 + 6 + î + 6 — \\ cn— 6, V /z > 4.
Deci/- g = (2, 2, î, î, 0, 6,...) e
98
Manual clasa a Xll-a
Din exemplele prezentate observăm că mulţimea K{m) este parte stabilă în raport cu operaţiile definite. Intr-adevăr, dacă/e ÂT(IN), există un număr natural m astfel încât a, = 0, V i > m\ dacă g e Km, există un număr natural p astfel încât bj = 0 pentru orice j > p. Atunci, pentru orice k > max(m, p), avem ak = bk = 0, deci ak + bk = 0, V k > max(m, p). Rezultă că/+ g e j£(M), adică mulţimea Â^(IN) este parte stabilă în raport cu operaţia de adunare a şirurilor.
Dacă k> m + p, unde m şip sunt numerele naturale menţionate mai sus, se arată că elementul ck = aQbk + a\bk-\ + ... + akb0, din definiţia produsului/• g, este de asemenea nul. Deci /■ g e , adică este parte stabilă în raport cu operaţia de înmulţire a şirurilor.
Definiţie
Elementele mulţimii Km, pe care sunt definite cele două operaţii precedente, se numesc polinoame. Dacă f- (a0, a\, a2, an, 0, ...) e , atunci a0, ai, a2, ..., a/7, ..., se numesc coeficienţii polinomului/
Dacă/= (0, 0, ..., 0, ...), atunci vom spune că gradul polinomului/(numit polinom nul) este - oo.
Dacă / este nenul, cel mai mare număr ftatural m astfel încât am * 0 se numeşte gradul polinomului/şi se notează grad (/) = m.
Exemple
Polinomulf= (1, 0, -1, 2, 3, 0, 0, 4, 0, ..., 0) are grad (/) = 7, iar polinomul g = (2, 6,..., 6, ...) e Z(3m> are grad (g) = 0.
Observaţie. Dacă f e K(m , grad (f) = m, atunci se scrie f= (a0, a]9 ..., a/w, 0, 0,...), cu am & 0. In acest caz am se numeşte coeficient dominant.
Fie K\ cz , submulţimea formată din toate şirurile de forma (a, 0, 0, ...), unde a e K. Atunci funcţia cp : K ^ K\, definită prin egalitatea cp (a) = (a, 0, 0, ...), V a e K, este o funcţie bijectivă. în plus avem:
cp(<2 + b) = (a + b, 0, 0, ...) = (a, 0, 0, ...) + (b, 0, 0, ...) = cp (a) + cp(6) şi cp (a • b) = (a - b, 0, 0,...) = (a, 0,0„ ...) • (b, 0, 0, ...) = cp(a) * cp(6), V a, b e K. Rezultă că mulţimea K\ are aceleaşi proprietăţi aritmetice ca şi mulţimea K, fapt care ne permite să identificăm polinoamele de forma (a, 0, 0, ...) e K^m cu elementul a e K.
Polinomul (a, 0, 0, ...) se numeşte polinom constant.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi Tntr-un corp comutativ
99
Construcţia inelului de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
Fie	mulţimea polinoamelor cu coeficienţi din corpul comutativ K,
înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite anterior
Vom demonstra proprietăţile acestor două operaţii cu polinoame.
a)	Proprietăţile adunării polinoamelor
aj) Adunarea este comutativă, adică oricare ar fi/şi g din K{m), avem:
f+g=g+/
Demonstraţie
Dacăf= (a0, ai, a2, ...) şig = (b0, bh b2, ...) avem:
/+ g = (a0 + bo, a\ + b\9 a2 + b2, ...) = (b0 + a0, b\ + a{, ...) = g +f deoarece adunarea în corpul K este comutativă.
a^) Adunarea este asociativă, adică oricare ar fi f, g şi h din , avem: (/■+£) + *=/+ (g + h).
Demonstraţie
Dacă/= (a0, a,, a2, ...),g = (b0, b\, b2, ...) şi h = (c0, Ci, c2, ...) atunci:
(/’+g) + h = (a0 + 60, ai + 6,, a2 + 62, ...) + (c0, ci, c2, ...) =
= ((#0 + *o) + co, (ai + 6|) + ch ...) = (a0 + (60 + c0), a! + (Z>i + c{), ...) =
= / + (g + A), deoarece (a, + b,) + c, = a, + (bt- + ci), V i > 0 (adunarea în corpul K este asociativă).
a3) Polinomul nul 0 = (0, 0, ...) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, adică oricare ar fi/e K{m), avem
/+0=0+/=/
Demonstraţie
Dacă/= (a0, a!? a2, ...), atunci/+ 0 = (a0, a\,a2, ...) + (0, 0, ..., 0) =
= (ao + 0, ai + 0, a2 + 0, ...) =/
Folosind comutativitatea avem şi 0 + /=/, V/e ÂT(IN).
a4) Orice polinom are un qpws, adică oricare ar fi/ e AT(IN), există un polinom, notat cu -/ astfel încât: /+ (-/) = (-^Z) + f= 0.
Demonstraţie
Dacă/= (a0, a,, a2, ...) atunci -f= (- a0, - aj, - a2, ...), deoarece /+ (“/) = (^o + (-^o), ai + (-a,), ...) = (0, 0, ...) = 0.
Conform comutativităţii avem şi (-/)+/= 0, V e Kw .
100
Manual clasa a Xll-a
Exemplu
Dacă/= (2, -1, 0, 3, 4, 0,...) e E(IN), atunci opusul său este -/ = (- 2, 1,0,-3,-4,0, ...) 6 E(IN); dacă g = (2, 3,0, 4, 6, ...) e Z<K), atunci opusul său este -g = (3,2,0,l,0,...)e	.
Proprietăţile demonstrate ne conduc la următorul rezultat:
Teorema
_____Perechea (AT(]N), +) este grup comutativ.____________________
Observaţie. Se poate defini diferenţa polinoamelor/şi g ca suma/ + (- g), notată prin f-g.
Exempl u
Dacă/= (3, 6, 6, 2, 0, ...) şi g = (4, 6, 6, 5, 6,.g e 7L{®), atunci /-g = (6, î, 6, 4, 6, ...) e TLŢK
b)	Proprietăţile înmulţirii polinoamelor
bj) înmulţirea este comutativă, adică oricare ar fi/şi g din K{m , avem
f-g= g-f
Demonstraţie
Dacă/= (ao,	a2, ...) şig = (b0, b\, b2, ...), atunci
/•g = (c0, c,,c2, ...)şi g-/= (4, «W2, •••)> unde
= cr06p + a|6p_i + a2 b^2 + ... + apb0 şi dp = b0ap + bxap.\ + b2ap-2 + ... + bpa0. Deoarece adunarea şi înmulţirea în corpul K sunt comutative şi asociative, rezultă că cp = dp pentru orice p > 0, de unde avem/• g = g •/
b2) înmulţirea este asociativă, adică oricare ar fi /, g şi h din Km), avem
(/' g)'h =/• (g • h).
Demonstraţie
Fie/= (a0, au a2, ...),g = (b0, bu b2, ...) şi h = (c0, cu c2, ...)• Atunci (f’g)'h = (d0, d^ d2, ...)■ (c0, Ci, c2, ...) = (e0, eu e2, ...), unde
* = •
i+j+k=q
dp=	j pentru orice p > 0, iar eq= ^
‘+.i=P	p+k=q\i+ j=p	J
Analog se obţine:/- (g • h)= ^afijCk , deci înmulţirea este asociativă.
/+j+k=q
b3) Polinomul 1 = (1, 0, 0, ...) este element neutru pentru înmulţire, adică, oricare ar fi/e	, avem /• 1 = 1 •/ =/
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
101
Demonstraţie
Dacă/(«o, au a2, ...), atunci/- 1 = (a0, au a2, ...) • (1, 0, 0, ...) =
= (ao • 1, a0 - 0 + a\ • 1,	• 0 + ai • 0 + a2 • 1, ...) =
= (<^0?	--•) Folosind Z?i) rezultă şi că l-/=/V/e /f(IN).
Cele trei proprietăţi permit formularea următorului rezultat:
‘teoremă
Perechea (Km), •) este monoid comutativ.
c)	înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică oricare ar fi polinoamele / g, /? <e (IN), au loc relaţiile:/• (g + h) =/• g+f-hşi
(f+g)‘h=f-h+g-h.
Demonstraţie
Dacă/= Oo, tf|, ^2, . • .)> g = (6o, *i, 62, • •.) şi h = (c0, ch c2, .. .)> atunci /(g + h) = Oo, tfi, «2, -	* (&o + co> + cj, b2 + c2, ...) =
p
= (a0 (b0 + c0), a0(6i + c,) + ai(60 + c0), Yjai(bP-i + </-/)’ •••) =
/=o
p	p
= (a0b0 + a0c0, (<z0*i + fl|6o) +	+ tfiCo), ^aibP-i + zlaicP-i > ■••) =
i=0 P
= (a0b0, a0b, + a,60,..+
/=0 P
+ (OflCo, tfoC, + fl|Co, •••> Haicp-i >•••)=/• g+/'
/=0
d)	Dacă / şi g sunt polinoame nenule, atunci produsul lor este un polinom nenul, adică din/^ 0 şi g ^ 0 rezultă/• g ^ 0.
Demonstraţie
Fie/= (a0, aua2, ...)şig = (b0, bu b2, ...)■
Notăm/• g = (c0, cj, c2, .. .)• Dacă grad (/) = m şi grad (g) = «, atunci C/;7 4- /; ciob di + n “t- a i b in + n _ i “f- ... "t” ambti "t- am + i bn-\ , ... "^ am + rîb§ am bn^ deoarece
bm -r n bn 14- /7 - i ... ~ bn + \	0 şi am + j am + 2 ~ ...	+	n	0.
Cum am ^ 0 şi b„ ^ 0, atunci cm 4-n ^ 0 şi deci/• g * 0.
Teoremele anterioare şi proprietăţile c) şi d) ne conduc la următorul rezultat.
102
Manual clasa a Xll-a
teoremă
Tripletul (Km, +, •) este un inel comutativ şi fără divizori ai lui zero (domeniu de integritate), numit inelul polinoamelor cu coeficienţi din corpul comutativ K.
Observaţii. 1. Dacă f g şi h sunt polinoame din inelul K(IN), astfel încât/• g =/• h şi /> 0, atunci g = h (simplificarea cu un factor nenul). într-adevăr, din /• g = /‘ h rezultă/ - (g- h) = 0. Cum0, din proprietatea d) avem g - h = 0, adică g = h.
2. Dacă tripletul (.K, +, • ) este inel comutativ cu divizori ai lui zero atunci şi inelul polinoamelor (A^(IN), +, •) are divizori ai lui zero.
Exemplu
Fiepolinoamele/g e TLf),f = {2, 2, 6, ...) şig = (2, 6, 2, 2, 0,
Deşi/V 0 şi g ^ 0, avem/- g = 0 .
Forma algebrică a unuipolinom
Fie K(m) inelul polinoamelor cu coeficienţi în corpul comutativ K, constmit mai sus. Notaţia/= (a0, ai, a2, ...) folosită pentru polinoame nu este prea comodă în operaţiile de adunare şi înmulţire. De aceea vom obţine o scriere uzuală a polinoamelor, mai simplă, printr-o serie de identificări şi convenţii de notaţii.
Astfel, convenim să notăm polinomul (0, 1, 0, 0, ...) prin X şi citim „nedeterminata X ”. Scriem atunci: X = (0, 1, 0, 0, ...). Folosind apoi regula de înmulţire definită anterior obţinem:
*2=2f-X=(0, 1,0, .!.)■(<), 1,0, ...) = (0, 0, 1,0,...)
X3=X-X2 = (0, 1,0, ...)-(0, 0, 1,0, ...) = (0, 0, 0, 1,0, ...)
X" = X-X"-'=(0, 1,0, ...) ■ (0,0, 0, ...0, 1,0, ...) = (0, o, ...,0, 1,0, ...)
--------Y-------
(/? - I) ori
Pe de altă parte aşa cum am arătat mai sus, orice număr a e K poate fi identificat cu polinomul (a, 0, 0, ...) e Kim . Atunci avem: a ■ X= (a, 0,0, ...) ■ (0,1,0, ...) = (0, a, 0, ...) a-X2 = (a, 0, 0, ...)'(0, 0, 1,0, ...) = (0,0, a, 0, ...)
aX" = (a, 0, 0, ...)■((), 0	0, 1,0, ...) = (0, 0,	,0,a, 0, ...)
n ori	n ori
Fie polinomul/e Kw, f= (a0, aua2,..., a„, 0,...).
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
103
Folosind acum adunarea şi înmulţirea din K^m) şi identificând polinoamele constante cu elemente corespunzătoare din corpul K se poate scrie: f = (a0, 0,0, ...) + (0,ari,0,	+ (0, 0, ..., 0, am 0, ...) =
= Oq + ct\ ■ X+ ai ■ X2 + ... + an' Xn.
Definiţie________________________________________________________________________
Scrierea f = a0 + a\ • X + a2 • X2 + ... + a„ • Xn se numeşte reprezentarea algebrică (sau forma algebrică) a polinomului/e K(m) ,/= (a0,	a2,..0,...).
n
Observaţie. Forma algebrică a polinomului/poate fi scrisă, restrâns, astfel:/= ^ aiXi .
i=0
Definiţie
Polinoamele de forma a- X'\ unde a e K şi n e IN se numesc monoame.
Se observă că orice polinom nenul este o sumă finită de monoame nenule.
Notaţii Datorită reprezentării algebrice a polinoamelor se adoptă pentru mulţimea Km , notaţia K [X\. în acest caz elementele din K [X] se mai numesc polinoame într-o singură nedeterminată cu coeficienţi din corpul K. De asemenea, dacă/e K [X] este un polinom, scriem uneori f=f(X).
Exemple
1.	(Q [X\, IR [X] şi (C [X] sunt inele de polinoame în nedeterminata X cu coeficienţi raţionali, reali şi respectiv complecşi.
De exemplu:/= 1 - ~ X + 2X2 + 0,3X4 e © [X];
g= V3 - V2X+6X3 + V5 X1 e IR [XI;
/î = 2 + / + 3X-(1-/)X2 + 7/X4 e<E[X],
2.	7LP[X\, p e IN, p > 2, p număr prim, este inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi din corpul 2Z/;.
De exemplu:/= î + 3 X+ 2 X2 + 5 X3 e 2Z7 [X],
Observaţii.
1.	Dacă polinomul/are coeficienţii din inelul (Z, +, •), atunci notaţia 7L [X\ reprezintă inelul polinoamelor cu coeficienţi întregi.
2.	Fie polinoamele/ g e K [A ],/= a0 + a\ •	+ ... + am • Xw, ^ 0
şi g = 60 + b\ ' X+ ... + bn • A", bn ^ 0, astfel încât m<n. Atunci suma şi produsul polinoamelor, definite mai sus, se transcriu astfel:
/+ g = ao + b0 + (a\ + b\) ■ X+...+ (am + £,„) • Xm + bm+ \ Xm+] +...+ +...+ bn-Xn eK[X];
f	\
fmg =
a0b0 + (a0b} + a$b\) • X + ...+
Ha>bJ
\i+j=k J
■xk+...+
+ ... + am ■ b„ ■ Xm + n e K [X],
104
Manual clasa a Xll-a
3.	La calcularea produsului a două polinoame se recomandă folosirea proprietăţii de distributivitate a înmulţirii faţă de adunarea din corpul K.
4.	Operaţiile de adunare şi înmulţire a două polinoame pot fi extinse la un număr finit de polinoame.
Exemple
1.	Fie polinoamele/, g e <E [X\,f= 2 + hiX + 4X2 şi g = 1 - iX- 2X2. Atunci: /+ g = 3 + 2i ■ X + 2X2 şi
f-g = 2 + 3i ■ X+ 4X2 - i(2 + 3/ • X+ 4X2) ■ X-2(2 + 3i ■ X+4X2) ■ X2 =
= 2 + i-X+3X2- l0i-X3-SX4 eC[4
2.	Fie polinoamele/, g e Z5 [X\,f= 2 + 3X + 4X2; g = 4 + X + 2X3. Atunci
f+g= î + 4X + 4X2 + 2X2 şi
f-g= 2 .(4 +X+ 2Xl)+ 3 -(4 +X+ 2X3)-X+ 4 -(4 +X+ 2X3)-X2 = = 3 + 4X+ 4X2+ 3X3+2f4+ 3 Xs.
exerciţii rezolvate
1.	Să se arate că inelul de polinoame TLP [X\ are divizori ai lui zero dacă şi numai dacă p nu este prim.
Rcrolv^rc
Dacă p nu este prim, atunci p = a - b, \ < a < p, \ < b < p. Cum ă * 0 şi
6^0, atunci, de exemplu, âX + â * 6, b X + b ^ 6 şi (ăX + â)( bX + b) = 6 . Reciproc, dacă p este prim, atunci (2Z/;, +, •) este corp şi deci inelul TLP [X] nu are divizori ai lui zero, adică este domeniu de integritate.
2.	Fie p şi q numere prime.
Să se arate că există un morfism de inele (p : TLP [X] —» TLq [X] dacă şi numai dacă p = q.
Rezolvare
Avem TLP = {6, î, 2, ..., p^\ } şi TLq = {6, î, 2, ..., q -1 }.
Dacă există morfismul de inele (p : TLP [X] ~^1Lq\X\, atunci avem:
<p(î)= î şi 6 = cp(6> = cp(p) = cp(î + î +... + î) =
V-----------
p ori
= (p(î) + <p(î)+...+(p(î)=î + î + ... + î =	.
p ori
p ori
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
105
Dar dacă p = 0, rezultă că p se divide cu q şi cum p, q sunt numere prime, rezultă p = q.
Reciproc, dacă p = q există morfismul identic drept endomorfism al inelului
% [X\.
Fie/= oq ci\ • X + cti ■ X2 + ...+#„• Xf\ a„ & 0,/ e K [X].
Reluând definiţia gradului unui polinom dată anterior, avem grad (/) = n. Referitor la gradul sumei şi produsului a două polinoame avem următoarea
teoremă_________________________________________________________________
Dacă/ g e K [X], atunci au loc relaţiile:
a)	grad (/+ g) < max {grad (/), grad (g)};
b)	grad (/• g) - grad (/) + grad (g).____________________________
Demonstraţie
Fie/, g K [X\,f= ao + a\ - X+ ... + cim • Xn\ am * 0 şi g — b$ b\ -X+ ... + bn-X\bn* 0
şi presupunem m < n.
Atunci, aşa cum rezultă din observaţia anterioară 2 avem: grad (/+ g) < w = = max {grad (/), grad (g)} şi grad (f’g)-m + n = grad (/) + grad (g), deoarece în corpul AT (fără divizori ai lui zero!) din am ^ 0 şi b„ ^ 0, rezultă am • bn ^ 0.
Observaţie. Dacă polinoamele / şi g au coeficienţi dintr-un inel care nu este domeniu de integritate, atunci grad (f '• g) < grad (/) + grad (g).
Exemple
l.fg e <D[A],/=2+*-3 -X5şig = 3 -2X+3X2+X4 + 3X5.
Atunci grad (/’+ g) = 4 < 5, iar grad (/’• g) = 10 = grad (/) + grad (g).
2	,/ge Z4[X|,/= î +2X+ 2X2;g = 3 +2X\
Avem grad (f+ g) = 3 < max {2, 3}, iar
grad </ • g) = grad (3 + 2X+ 2X2 + 2X3) = 3 < grad(/) + grad(g); (inelul (Z4, +, •) nu este domeniu de integritate).
exerciţii rezolvate
1. Să se calculeze/+ g şi/- g dacă:
a)	/= 1 + X+X2 şig=\-2X-X3-X4; / ge®[A];
b)	/= V2 +(2- J2)X + X3 ş\g = 42 +(2+ V2 ^-X2; /g e IR [X|;
c)	/= 1 + i + (2 - i)X+ iX2 şi g = - / + iX+ (1 + i)X3; j\ g e (C [XI;
106
Manual clasa a Xll-a
d)	/= Î + 2X + 3X2 şi g = 2 +X+ 2X3; f,ge7L5[X};
e)	/= 3 +X+ 4X2 şi g= 4 + 2X+ 3 X3; fge 7L6[X}.
Rezolvare
a)	f+g = 2-X + X2-X3-X4;
f-g= 1 -X-X2 - 3X3 - 2X4 - 2X5 -X6;
b)	f+g = 2a/2 +4X-X2+X3;
f ■ g = 2 + 4 V2 X+(2- V2 )X2 + (2^ - 2)X3 + (2 + jî )X4-X5;
c)	/+ g = 1 + 2X+ i 262 + (1 + i)X3;
/• g = 1 - / - (2 + 0 26+ 2(1 + i)X2 + (-1 + 2i)X3 + (3 + i)X4 + (i - l)X5-
d)	Pentru rezolvare folosim tabelele adunării şi înmulţirii în Z5. f+g= 3 + 3^T+ 3X2 + 2X3;
/•g = 2 + 3X2+ 4X4 + X5;
e)	Pentru rezolvare folosim tabelele adunării şi înmulţirii în 7L6. f+g= î + 3X+ 4X2+ 3X3;
f-g= 4X+ 5X3+ 3X4;
2.	Să se discute în raport cu parametrul m e K, gradul următoarelor polinoame:
a)	/= (m2-4m + 3)X3 + (m2-5m + 4)X2 + (m2- 1)26 + 12,/e ®[A];
b)	/= (m2 + 4)Xb + (m4 - 16) X3 + 3iX+ 2 e C [X];
c)	f(m2+ 2) 263 + ( 2 m + \)X2 + X+ 2 e Z3 [X\.
Rezolvare
a)	dacă m = 1, atunci grad (/) = 0; dacă m = 3, atunci grad (/) = 2; în rest, grad (/) = 3;
b)	dacă m = 2/ sau m = - 2/, avem grad (/) = 1; în rest, grad (/) = 6;
c)	dacă m = 1, atunci grad (/) = 1; dacă m= 2, avem grad (/) = 2, iar pentru m = 0, avem grad (f) = 3.
exerciţii propuse
1.	Să se calculeze/+ g şi/- g, dacă:
a)	f=l~X+X2-X3+X4	şi	g= 1 +X;	/ge®[Jf];
b)	/= V3 +2 V3 26- 4 263	şi	g= 1 + VJ 26+264;	/geJR[A];
c)	/= 3-i + (2~i)X+X2	şi	g = 3 + i + (2 + i)X-iX2; /ge<C[A];
d)	/= î + 4 26+ 5262+263	şi	g= 2 + 3 X+ 4I3;	fge7L7[X};
e)	./=26+262+263	şi	g=l + 3X2+X3;	f,ge^[X\;
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
107
2.	Fie/= a0 + a{ X+ a2 X2 + ... + anX" e <C [X].
Notăm cu / = â0 + âx X + ă2 X2 + ... + ăn Xn e CC [X\, unde este conjugatul numărului complex ah\/ i e {0, 1,..n).
Să se arate că/ + / e IR [X\ şi/ • / e IR [X\.
3.	Să se arate că pentai orice polinom/ e K [X] de gradul n > 0 şi pentm orice număr natural 0 <k<n, există un polinomg e K [X\ astfel încât grad (/+ g) = k.
4.	Să se discute în raport cu parametrul m e K, gradul următoarelor polinoame:
a)	/= (m2 - 2)X4 + (m4 - 4)X3 + (m +	) X2 + X + 1, /e IR [X\;
b)	f= (m2 + \)X4 - (m4 - \)X3 + (m - i)X+ 3/, /g <G [X|;
c)	/= (m2 + m + 3 )X3 + (m + 2)X2 + X+ m, f e Z5 [X];
5.	Determinaţi polinoamele/dacă:
a)	grad (/) = 1,/e © [X\ şi / • (1 +^ +.Y2) = 1 -^3;
b)	grad (/) = 1,/e 5Z3 [X] şi (2 +X + X2) •/= 1 + 2X3;
c)	grad (/) = 1,/e S4 [X| şi/2 = 6 .
6.	Daţi exemplu de un inel A pentru care A şi A [X\ sunt izomorfe.
Funcţia polinomială
Fie/e K [X], f = a0 + a{ ■ X+ a2 • X2 + ... + a„ ■ X'\ un polinom arbitrar şi x e K un element oarecare.
Definiţie
Număail / (x) = a0 + ct\ • x + a2 • x +	.. + an ’ x\ se numeşte valoarea
polinomuhii f în x.	
Exemple
1.	Dacă / = 1 + 2X+ 3X2 -X3, atunci valoarea lui /' în 1 este:
/(1) = 1 + 2 • 1 +3 • l2- l3 = 5, iar valoarea lui / în - 1 este:
/(— 1) = 1 + 2 • (-1) + 3 • (-1)2 - (-1)3 = 3.
2.	Dacă f e C [X], f = 2 + X2 -(l + i)X\ atunci valoarea lui/ în i este:
/(/) = 2 + i3 - (1 + /) /3 = 2 - i + i - 1 = 1.
3.	Fieg e 7L5 [X],g= 3 + 4- X2 + 3 ■ X2. Valoarea lui g în î este:
g(î)= 3 + 4 + 3 = 6.
Observaţii 1) Din exemplele anterioare, constatăm că dacă / e K [X] şi x e K, atunci /x) e K.
2) Fie/e K [X\ şi x e K. Dacă f(x) = 0, atunci x este o rădăcină a lui / Vom reveni mai târziu asupra acestei noţiuni centrale din studiul
108
Manual clasa a Xll-a
polinoamelor. Un rezultat important va fi dat de teorema fundamentală a algebrei, conform căreia orice polinom/e (C [X\ de grad > 1, are cel puţin o rădăcină complexă.
Valoarea unui polinom are câteva proprietăţi importante. Fie/,’ g e K [X] şi x e K, un element arbitrar. Atunci:
a)	(/'+ g)(x) =/(x) + g(x), V x g K;
b)	(/' g){x) =/(x) • g(x), VxeK.
Aceste proprietăţi rezultă direct din definiţia sumei şi produsului a două polinoame.
Cazuri particulare pentru valoarea unui polinom
i)	Dacă/e IR [X\ şi z e CE, atunci/(z ) = f\z), unde z reprezintă conjugatul lui z, iar /(z) conjugatul lui/(z).
Intr-adevăr, folosind proprietăţile cunoscute:
Z, + z2 = Zj 4- Z2 şi Zj • z2 = z, • z2 ,
avem pentru polinomul /e IR [A],/ = a0 + ai • X+ ... + an ■ A/ următoarele:
/O) = o0 + a, -z + ... +	-z" =«o + «i • Z + ••• +«»• (z)"=f(z);
ii)	Dacă/e © [A] şi a, b e ®, b > 0, astfel încât 4b <£ ©, atunci:
f(a ± 4b ) = A± B 4b , unde A, B e ©. în plus, dacă/(a + 4b )= A + B4b , atunci f (a -4b ) = A - Bpb şi reciproc. într-adevăr, avem:
f(a ± 4b ) = aa + ct\ ■ (a ± 4b ) + a2 ■ (a ± 4b )2 + ... + a„- (a ± 4b )".
Folosind binomul lui Newton şi relaţiile:
(4b )2m = b"' e © şi (± 4b )2m& 1 = ± bm ■ 4b , V m e IN, b > 0,
atunci rezultă că:
f(a ± 4b ) = A±B 4b , unde A, B e ©.
Exemple
1.	Dacă/= X3 + X+ 3 e IR [A] şi z = 1 - avem:
/(D:7)=/(l + /) = (1 + if + 4 + / = 1 +3/+3/2 + /3 + 4 + / = 2 + 3/;
/(I - /) = (1 - z)3 + F1/ +3 = 1-3? + 3 4 - F + 4 + i = 2 + 3/.
2.	Fie polinomul/= X4 + X2 + 2 € © [A] şi elementul 1 + 42 € ©. Atunci: /(I + V2 ) = (1 + V2 )4 + (l + V2 )2 + 2 = (3 + 2V2 )2 + 5 + 2V2 =22+14V2 ;
f(\- 4l ) = (1- 42 )4 + (l- 4l f + 2 = (3-242f + 5-242 =22-1442.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
109
Folosind valoarea unui polinom f e K[X\, conform căreia, oricărui x e K îi corespunde/(a:) e K, se poate introduce o nouă noţiune.
Definiţie__________________________________________________________________
Funcţia / : K —» K, definită prin / (x) =/(x) pentm orice x e K, se numeşte funcţie polinomială asociată polinomului/
Exemple
1.	Dacă/e IR [X\,f= 2 + 3X+ 42 X2, atunci funcţia polinomială asociată lui/ este funcţia reală de variabilă reală / : IR —> IR, / (x) - fix) = 2 + 3x + V2 x2, V x e IR.
2.	Dacă g e 7L4 [X], g = l + X + 2X3, atunci funcţia polinomială asociată
g : Z3 —»	este dată de tabelul următor:
	/V			
X	0	1	2	3
8	î	6	3	2
Definiţie_______________________________________________________________
Spunem că o funcţie h \ D —> K, D cz K, este funcţie polinomială dacă există un polinom / e K [X] astfel încât / (x) = /?(x), VxgD.
Proprietăţi ale funcţiei polinomiale asociate unui polinom
FiefgeK[X]J=a0 + arX+...+am‘X"\ani*0,g=b0 + brX+...+bn'Xf\
bn * 0. Dacă / : K —> AT, g : K K, f + g : K K sunt funcţiile polinomiale asociate polinoamelor/, g şi respectiv/+ g. atunci:
pi )F?g = f + g;
p2) Zg = f'g\
P3) / = g=> 7 = g ■
Demonstraţie
Intr-adevăr, dacă presupunem că m < n, avem:
(/ + g )(x) = (J+g)(x) = (o0 + bo) + (a, + b\)x+...+ (am + bm)xm + bm+{xm+1 + ... + b,/ =
= a0 + a\ x + ... + am xm + b0 + b\X + ... + bn xn = /(x) + g)x)= f (x)+ g (x), Vxet Analog, se demonstrează proprietăţile P2 şi P3.
110
Manual clasa a Xll-a
Observaţii. 1) Reciproca proprietăţii P3 este falsă, aşa cum rezultă din următorul contraexemplu:
fi ef ge7L2[X], f=\ +X3+X4+X5,g=l +X6. Evident/* g, dar /(O) = g(0) = 1 şi XI) = g(l) = 0. Deoarece / şi g au acelaşi domeniu de definiţie şi acelaşi codomeniu, rezultă că / = g .
2) In anumite condiţii vom demonstra echivalenţa/= g <=> / = g .
exerciţii rezolvate
1.	Să se determine polinomul f= a0 + ai • X+ ai • A2, astfel încât, / (1) = 4, /(-l) = 0 şi/(2) = 3.
Rezolvare
Obţinem sistemul de ecuaţii:
a0 + a\ + a2 = 4; a0 - ai + a2 = 0; a0 + 2«i + 4r?2 = 3, cu soluţia = 3, a\ = 2 şi = - 1.
2.	Fie/e Z3 [A],/= î + X+ 2 X2 + X3. Să se determine toate polinoamele g g Z3 [A], de grad cel mult trei, astfel încât g = f .
Rezolvare
Din condiţiile/(6) = g(6);/(î) - g( î) şi/(2) = g( 2), unde: g = <5 + bX+ cX2 + dX\
se obţin ecuaţiile:
ă = \ ; b + c + d = \ \2b + c + 2d = 6 Rezultă polinoamele:
g\ = 1 + 2X2+ 2 X3;g2 = î +^+ 2X2+X3şig3= î + 2X + 2X1.
3.	Să se determine două polinoame/şi g de grad 1,/ge® [A], astfel încât:
(1 +X+2X2) •/+ (2-X+3X2) -g = 1 +X.
Rezolvare
Fie/= a + bX şi g = c + dX. Avem:
(1 + A+ 2X2){a + bX) + (2-X+ 3X2)(c + dX) = 1 + A; a, b, c, d g ©.
Rezultă sistemul de ecuaţii:
a + 2c = 1; « + fe-c + 2rf= 1;2<?+ £ + 3c<i- d=0; 2b + 3d=0
cu soluţia
a=\\b=	şi d=\ Deci/ = i(6-9A)şig= |(1 +6A).
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
111
4.	Fie/6 IR [X], grad (/) < 2. Să se arate că dacă există trei numere reale diferite ah oc2, a3 astfel încât/(a,) = 0, / e {1, 2, 3}, atunci/este polinomul nul. Generalizare.
Rezolvare
Dacă/= c + bX + aX\ a, b, c e IR, atunci obţinem sistemul de ecuaţii liniare omogene:
aja + a^b + c = 0 < a2^/ + a26 + c = 0. a3tf + ot36 + c'= 0
Cum determinantul (Vandermonde) sistemului este:
A = (a2 - ai)(a3 - ai)(a3 - a2) * 0, rezultă a = b = c = 0, adică obţinem polinomul nul /= 0.
Generalizare. Dacă f = ciq + a\ - X + a2- X2 + ... + an. i •	1 şi/(a,-) = 0; z =l,z? ,
oc/ ^ a,-, V z,y = \,n , i ^/ atunci se obţine un sistem liniar omogen de n ecuaţii cu n necunoscute, având determinantul nenul.
Deci a0 = a\ = ... = tfn-1 = 0, adicăf= 0.
Test fce ev^lviAre
(10p) 1. Fie polinoamele f g e IR [.*],/=*3 - 2X2 -X+ 4 şi g = 2	- 3X+ 1.
Să se calculeze:/ + g; /- g; /■ g şi să se verifice că/(/+ g) =/2 +/g.
(70p) 2. Să se discute în raport cu parametrul m e ZZ5 gradul polinomului:
/e 2Z5[A], / = (m2 + 4)Z3 + (2m+ 3)2f2+X.
//C>jc/ 3. Fie/g Z3[A],/= 2 + 2X+X4. Să se determine polinoamele g e Z3 [A], de grad cel mult doi, astfel încât funcţiile polinomiale / , g : Z3 —» Z3 să fie egale.
(10p) 4. Să se determine două polinoame /şi g de grad unu, / g e © [A], astfel încât: (1 +3X2) ■ f + (2 + X2) ■ g=3 + 5X+ 4X2.
Timp de lucru: 45 de minute
112
Manual clasa a Xll-s
m exerciţii propuse
1.	Să se determine polinomul / g K[X] dacă:
a)	grad (/) = 2;/e IR [A];/(0) = 3;/(l) = 2;/(-l) = -2;
b)	grad (/) = 2;/g <C [A];/(l) - /;/(-l) - 2z;/(z) = 1;
c)	grad(/) = 3;/e2Z3[A];/(6)= 2 ;/(î) = 6 ;/(2) = î.
2.	Fie / e 2Z4 [A], / = 3 + 2A" + A" 2 + 3 A” 3. Să se determine toate polinoamele g g Z4[A] de grad cel mult patru, astfel încât g - f .
3.	Fie polinoamele /,/2,/3 e £ [A], grad (//) = z; z = 1,3 , unde K este un corp comutativ. Să se arate că dacă există egalitatea a\f \ + a2/2 + a3/3 = 0, unde a/ g atunci, în mod necesar, avem ai = a2 = a3 = 0. Generalizare.
4. Fie fe © [A],/ = a0 + a\ ■ X +a2- X2. Să se determine coeficienţii	a, #2 dacă/(l) +/(2) + ... + f{ri) = z?3, V /? g IN*.
5.	Se consideră polinomul/= - 4 + 3A"- 5A"2 + 2X3 g IR [A].
Să se determine a, b,c,d g IR, astfel încât/ = a + fe(Ar- 2) + c(Ar- 2)2 + d(X- 2)3.
6.	Să se determine polinomul/=	+ a\ • A" + a2 • A"2;/g IR [A], cu proprietatea
./V) = f\x), V X e IR.
7*. Să se calculeze valorile polinoamelor următoare pentru numerele a indicate alăturat:
a)	f=X2-9X+ 1; <x= ^7 + 722 +V7-V22 ;
b)	/= 1 + 3 X- 4 X3; a = sin ;
c)	/= 52 + 2X2 + ^4; a = 41 - 2i.
8.	Să se determine n e IN* şi f e IR [X\,f* 0, dacă:
/(1) +f(X) +f(X2) + ... +f(X ") = (1 + X+X2+...+Xn)-f(X).
9.	Fie polinomul/;, e IR [X\, n e IN*,
f	X . X(x-l) X(X-l)(X-2)
Jn	1!	2!	3!
+ (_1}k . *(*-!)(*-2)...(*-« + !)
n\
Să se arate că/„ =	(X- \)(X- 2) ... (X- n).
Yl\
10*. Fie polinomul g„ e IR [X], n e IN*,
- - , , X X(X + l) X(X + l)(X + 2)...(X + n-l)
1!	2!	'	n\
Să se arate căg„ = — (X+ 1)(X +2) ... (X+ ri).
n\
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
113
11	*. Să se determine funcţia / : Z7 —> Z7, astfel încât/(x) +/(4 • x) = 3 x, pentru orice x e 2Z7.
12.	Fie (Z 77, +, •), n g IN*, inelul claselor de resturi modulo n şi polinoamele f g e Z/7 [A], unde/* =	+ (~\ )Xşi
gm — a o + ax X + ... + a m _ i X + m g IN, m > 2.
Fie / /w : Z77 —> Z„ şi g 777 : Z,7 —» Z77 funcţiile polinomiale asociate celor două
polinoame şi fie mulţimea Fm = { gm : Z/7 —> Z/7}, m g IN, m > 2.
a) Să se arate că fm g Fm , V m g IN, m > 2.
b) Să se calculeze fm (6) şi fm (î), V m g IN, m > 2.
c)	Să se determine numărul elementelor mulţimii .
d)	Să se arate că funcţia fm nu este nici injectivă şi nici surjectivă.
e)	Să se arate că există ă e Z„, astfel încât fm (x) ^ ă , V x g Z/7.
f)	Să se arate că pentru orice m g IN, m > 2, există un polinom h m g Z,7 [Jf]
cu grad (h) = m, astfel încât hm (x) ^ 6, V x g Z„.
13*. Se consideră numerele reale au a2,	a,7 distincte şi bj, b2, .bn g IR
arbitrare, unde n g IN, n > 3.
Definim polinoamele/î, /2, .. .,/7 g IR [A] şi F77 g IR [A] prin relaţiile: f_(X-a2)(X~a3)...(X-al1)	^_ (X - aQ(X - a3). ..(X - an) ,	.
■'	(«i~a2)(a\-a3)...(a,-a„) ’72	(a2	~ an)
(X-a])(X-a2)...(X-a„_l)
(°n ~a\)(an ~a2 )•••(*„ -On-|)
; F„ — b\f\ + bifi + ... + b„f„.
a)	Să se verifice că/(#/) = 0, V /^y; g (1, 2,
b) Să se verifice că/(#,■) = 1, V / g (1, 2,
c) Să se verifice că grad (/) = «- 1; V i g {1,2,...,;?}.
d)	Să se arate că grad ( F77) < n - 1 şi Fk (ak) = 6*, V k g {1, 2, ..., n).
e)	Să se arate că dacă /g IR [X\, grad (/) < n - 1 şi/(a*) = bk,\f k e (1, 2, ..n) atunci f=Fn.
f)	Să se arate că:
(pa\+q) -f + (pa2 + q)-f2 + ... +(pa„ + q)-f„=p -X+qgf p,q e IR.
14. Fie/ g e C [2c], grad (/) < 2, grad (g) < 2 şi fie / : <E -» (C, g : (C -» (C,
funcţiile polinomiale asociate. Să se demonstreze echivalenţa /= g <^> f = g .
114
Manual clasa a Xll-a
3.2.	Teorema împărţirii cu rest, împărţirea polinoamelor, împărţirea cuX-a, schema lui Horner
în acest paragraf vom arăta că există o analogie între proprietăţile inelului TL al numerelor întregi şi cele ale inelului de polinoame K[X\, unde K este un corp comutativ. Unele particularităţi vor fi date de natura corpului K, considerând cazurile K=<L, K=1R, K=(Q sau K = 7LP, unde p este un număr prim.
Teorema împărţirii cu rest
Reamintim că, un rol important în obţinerea unor proprietăţi aritmetice din inelul (TL, +, ■) l-a avut teorema împărţirii cu rest: oricare ar fi a, b e TL, b ^ 0, există q,r eTL unic determinanţi, astfel încât: a=b-q + r, 0<r<\b\.
Vom extinde această teoremă la polinoame de o nedeterminată cu coeficienţi într-un corp comutativ.
^teoremă (a împărţirii cu rest)
Fie K un coip comutativ şi fgeK [X\, g * 0. Atunci există două polinoame q, r g K\X\, unic determinate, astfel încât / = g • q + r, grad (r) < grad (g).
Demonstraţie
a) Existenţa polinoamelor q şi r
Fie grad (/) = n şi grad (g) = m. Distingem două cazuri:
i)	dacă n < m, atunci luând q = 0şir=f avem/= g * q + r\
ii)	dacă n > m, scriem polinoamele/şi g sub formă algebrică:
f = a0 + alX+a2X2+...+a„X"şig=b0 + b{X+b2X2+... + bmXm,
unde an ^ 0 şi bm ^ 0. Cum bm e K şi K este corp comutativ, rezultă că există b~n e K. Atunci putem considera polinomul:
/, =/- / X"-"’ = (a„., -a„ ■ b;J ■ bm_ vr~' + ...+ aosK[X\.
Dacă grad (/) = n i, atunci avem n\<n-\, egalitatea având loc dacă şi numai dacă an _ i • bm ^ an • bm _ i. Din nou, avem două cazuri:
11)	dacă vi\ < m, luăm q = an- bj *Xn~m şi r=f\, de unde rezultă/ = g • q + r;
12)	dacă y\\ > m, repetăm procedeul de înicşorare a gradului, printr-o nouă scădere:
fi -./i - a„pbm -X ■ g .
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
115
Dacă grad (/2) = n2, atunci n2 <n\ < n. Continuând procedeul de micşorare a gradelor se obţine un şir de polinoame/j,/2, ...,fp,fp +h ..., cu grad (/) > grad (f) >...> grad (.//, ) > grad Cum n este un număr natural (finit), există p e IN, astfel încât grad (fp , ,) = np ~ , < m.
Adunând toate egalităţile prin care s-au „construit” polinoamele/uf 2, .. .,fp+ u obţinem:
fp I ~ f (Pn b,
-1
• + G
iP)

Dacă se notează polinomul din paranteză cu q şi polinomul fp.,\ cu r se obţine relaţia din enunţul teoremei, adică
/ - g • q + r, unde grad (r) =	< m = grad (g).
b) Unicitatea poUnoamelor q şi r
Presupunem, prin reducere la absurd, că există în inelul K [X] polinoamele c/i, <y2, r\ şi r2 , astfel încât:
f= g‘ q\ + n şi f=g - cj2 + r2,
cu grad (n) < grad (g) şi grad (r2) < grad (g). Atunci avem g • qx + r\ = g • q2 + r2, de unde rezultă g • (c/i - q2) ^ ri - r2, cu grad [g (cyi - cy2)j = grad (r| - r2).
Dacă <71 - q2 * 0, atunci grad (g • (r/, - cy2)) > grad (g) > max (grad(ri), grad (r2)| > grad (r\ - r2), contradicţie. Deci, trebuie să avem qx - q2 = 0, adică c{\ ^ qi, caz în care obţinem r\ = r2.
Modul de calcul al polinoamelorf, f2, ..., deci şi a polinoamelor q şi r, va fi ilustrat prin următoarele exemple.
Exemple
1.	Fie./,' g e IR [A],/= 2 + A+ 3A2 + 4X4 şi g = 1 +X+ 2X2. Atunci avem, succesiv, polinoamele:
/ fi . x2 ■ g = 2 + X+ 3X2 + 4Ă4 -2X2- 2X3 -4X4 = 2 + X+X2- ZY3, unde grad (/j ) = /7j = 3, iar a'3 = - 2;
t
A = /i - t2- •A'- g = 2 + X + X2 - 2Ar3 + X + X2 + IX2 = 2 + 2X4- 2X2, b2
unde grad (f2) = n2 = 2 şi = 2;
A -/2 -	• g = 2 4- 2X4-2X2- 1 - X-2X1 - 1 + X cu grad (,/3) = 1 < grad (g).
b2
Adunând relaţiile de mai sus, rezultă:
1 4- X -f - (1 - X 4- 2X2) ■ g, adică /= g ■ q 4- r, unde q = 1 - X 4- 2X2, r = 1 4- X cu grad (r) = 1 < grad (g).
2.	Fie/g g Z 3 [A],/= î + 2X2 + X3şig = î + 2X2.
116
Manual clasa a Xll-a
Aplicând procedeul din demonstraţia teoremei împărţirii cu rest obţinem polinoamele:
f =/- â3 • ^1 -X-g= î + 2X2 + X3- 2X-X3 = î - 2X+ 2X2, unde grad (/ ) = n\ = 2, iar d2-2\
f2=f- d2-t>2X ■g=\-2X+ 2X2 - 1 - 2X2 = - 2X2.
Adunând cele două relaţii, se obţine:
/ -(î + 2X) • g = - 2X, adieă/=g • (î + 2X) + Xy deoarece - 2X= X în inelul Z3 [X]. Deci q = î + 2 X, iar r = X, cu grad (r) = 1 < grad (g).
Observaţii. 1. Polinoamele q şi r din teorema împărţirii cu rest se numesc cdfw/ şi restul împărţirii lui / prin g ^ 0, iar polinoamele / şi g se numesc deîmpărţitul, respectiv împărţitorul.
2.	Din modul de construcţie a coeficienţilor polinoamelor/i’,/2, ..rezultă că polinoamele q şi r aparţin aceluiaşi inel K [X], din care fac parte polinoamele/şi g. Astfel, în primul exemplu am avut f g, q, r e IR [A], iar în exemplul al doilea/ g,q,re Z£3 [X\.
3.	Dacă polinoamele /şi g au coeficienţi dintr-un inel comutativ A (de exemplu, mulţimea 3Z a numerelor întregi), atunci câtul q şi restul r nu au, în mod necesar, toţi coeficienţii din inelul A. Totuşi pentru polinoamele f g e ZZ [X], cu g polinom monic (coeficientul dominant este 1), avem q, r e 7L [X].
4.	Date fiind polinoamele/ g s K [.X], putem determina câtul q şi restul r, din teorema împărţirii cu rest şi prin alt procedeu, numit „metoda coeficienţilor nedeterminaţi”, bazată pe egalitatea a două polinoame de acelaşi grad, definită în prima parte a capitolului.
Exerciţiile rezolvate care urmează, vor ilustra mai bine aceste observaţii privind teorema împărţirii cu rest.
exerciţii rezolvate
1. Să se calculeze câtul şi restul împărţirii polinomului / la polinomul g, dacă:		
a)/, g e TL [X\,f= 4+X+ 2X2 + X3	Şi	g= 1+3X2;
b)/; g e TL [X\,f= 3 -X- 2X2 + 3X3	Şi	g= 2-X+X2;
c)f g e <C [X\,f= 3 + 2i + 3X - iX2 + 2X3	Şi	g=i + X+iX2;
d)/,gs Z5 [A],/= î + 2X+X2+ 3X3	Şi	g= 4 +Z+ 2X2.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
117
Rezolvare
a) Aplicând metoda folosită în demonstraţia teoremei precedente se obţine:
/ = &•
■X + -3	3
2 10
+ —A+ — , deci q,reZ[X\;
b)	/= g • (1 + 3X) + 1 - 6X, deci q. r e TL [X\, deoarece, coeficientul dominant din polinomul g este egal cu 1;
c)	Folosind teorema împărţirii cu rest, există polinoamele:
q = a + b - Xşi r= c + d • X, astfel încât f=g-q + r;q,re <C,[X\.
Atunci avem următoarea egalitate de polinoame:
3 + 2/ + 3X- iX2 + 2 X3 = (i + X+ X2)(a + bX) + c + dX.
După efectuarea calculelor, egalând coeficienţii termenilor de acelaşi grad din cele două polinoame, se obţine sistemul de ecuaţii liniare:
a ■ i + c = 3 + 2 /; a + b • i + d= 3; a • / + b = - /; b • i = 2.
Soluţia sistemului este a = 1; b = - 2i\ c = 3 + /; d = 0, deci <7 = 1 - 2i X şi r— 3 + /.
d) Există polinoamele q, r e 7L5 [X\, q = a + b - X şi r = c + d X, astfel încât:
î + 2 •X+X2+ 3 ■ X2 = (4 +X+ 2 •X2){ă + b -X)+ c + d-X.
Rezultă sistemul:
4 â+c=l;â+4 b + d = 2; 2 â + b = l; 2 b = 3, cu soluţia: â = \ ; b = 4; c = 2; d =0. Deci q= î + 4Xşir = 2.
2.	Fie polinomulf=l +X+X2 + ... + X2m e TL2 [X\.
Să se determine restul împărţirii polinomului/ la polinomul g = X(X+ 1).
RezolvAre
Din teorema împărţirii cu rest, există q, r e TL2 [X], astfel încât/= g • q + r, grad (r) < grad (g) = 2, adică r = â + b X; ă , b e 7L2. Atunci avem:
/= X(X + 1) -q + â + b X. Folosind valoarea unui polinom, rezultă: pentru
x = 0, â = 1, iar pentru x= l, â + b = 0, adică b = 1. Deci r= 1 + X.
3.	Fie polinomul/ g, h e (E [X\.
Să se arate că dacă/şi g dau prin împărţirea lor la h resturile r\, respectiv r2, atunci pentru orice a, P e (C, polinomul a • / + |3 • g dă prin împărţire la h restul a • r\ + P ■ r2.
Rezolvare
Din teorema împărţirii cu rest, rezultă că există q\, q2 e C [X\, astfel încât:
f = h ■ q\+ r\Ş\g = h • q2 + r2.
Atunci a • / + [3 g = h ■ (a • q\ + P • q2) + a • r\ + P • r2 = h • q + r, unde r = a • r\ + P • r2, iar q = a ■ q\ + P • q2.
118
Manual clasa a Xll-a
tzxerciţii propuse
1.	Să se calculeze câtul şi restul împărţirii polinomului/ la polinomul g dacă:
a)	f,ge<Bi[X\,f = 3-X-2X2+X4şi g = 1 +X+4X2;
b)	/gsE \X\, / = 1 +X4 şi g = 1 - 42 ■ X+X2;
c)	f g e <E [A], / = 16 -!■ X2 + X3 şi g = 1 + i ■ X+X2;
d)	/ g e Z3 [X], f = 2 +X + X2 + 2X3 şi g= î + 2X -t-X2.
2.	Fie/ g e IR [A], / = o + b -X-\l X2 + 9 X4 + 2 X5 şi g = - 3 + 2 X+ X2. Să se afle a şi b, astfel încât restul împărţirii polinomului / la polinomul g să
fie egal cu zero.
3.	Fie/e <C [A],/* 0 şi r/, 6 e <C, a * b.
Să se arate că restul împărţirii lui /prin (X-d)(X-b) este polinomul r= M-m x ( am-bf(a) a-b	a-b
4.	Fie/g,heR[X\,f=\-aX-bX2+Xi\g = -\+Xşih=l + X.
Să se determine a, b e IR dacă resturile împărţirii lui / la g şi h sunt respectiv -1 şi 1.
y\
împărţirea polinoamelor (algoritm)
Fie polinoamele f g e K [X\, unde K este un corp comutativ. Procedeul de obţinere a polinoamelor/,/,	i folosit în demonstrarea teoremei împărţirii
cu rest, sugerează o prezentare algoritmică a calculelor, redată printr-un tabel.
Astfel, dacă/= an • X" f a„„ \ • X"~1 + ... + X+ a0 şi
g = bm • Xm + bm.. i * Xm 1 + ... + cu ^ 0,	^ 0 şi n > m,
avem următorul tabel (algoritm) pentru calcularea câtului şi restului împărţirii lui/ la g.
./ =	an ■ X" ~ i • X" 1 -t- ... + ci) ■ X- cnj	b,„X"‘^b,„.i A""'1* ...-rbyX-bo
	t,.v- aA-' A"1'1 - ... £,"^“ A'" b,„ bm	£/„ #| #J| „ #M 	— yV + — ... A, <■1
f =	+anr\X +...+ a() -x- < b-'x---...X'l,‘x"	 hm hm	
,/2 =		
U + i =	a(/,+l)A'"'"i + ... + //Hl, "/y + l w	
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
119
Vom ilustra prin câteva exemple, aplicarea acestui algoritm de calcul.
Exemple
Să se calculeze câtul şi restul împărţirii polinomului/ la g, dacă:
1./; g e © [V], /= 3V5 - 4X3 + 2X2 + IX- 8; g = X2-X + 2. Organizăm calculele în următorul tabel.
/=	3 Xs - 4 X2 + 2 X2 + 1X- 8	£ X2-X+2	Calculul coeficienţilor lui q
	- 3 X2 + 3 X4 - 6 A"'1	3X2 +3X2 -IX-11 H	— = 3\X“-"’ = X4 b2
,/i =	3Xi-\0X' + 2X1 + 7X-$, -3 X4 + 3 X1, -6X2		a\ X=3’x4 =x
,/2 =	-7 X'-4X- + 1X- 8 7 X2-l X2 + 14 X		1 II "^3 |
h =	- U X2-^2l X-8 U X2 - 11 X+ 22		— =-11;*° b2
,f4 =	IPX+ 14 r		
Verificare
g ■ q + r = (X2-X+ 2) • (3X3 + 3X2 - IX- 11) + 10V+ 14 =
= 3X5 - 3X4 + 6X3 + 3X4 - 3X3 + 6X2 - IX3 + IX2 - 14AT- 1IX2 + + 1IV- 22 + 10V+ 14 = 3X5 - 4X3 + 2X2 + IX- 8 =/
2.f g e IR \X\,f = 2X4 - 4lX3 + 4,g=X2+ 4Î .
	2X4 - -Jl X3 + 4	x2+ V2	Calculul coeficienţilor lui q
	- 2X4 -2^2 X2	2X2 -V2V-2V2 </	^ = 2;*2 b2
	/ - 4Î X2-2^2 X2 + 4 42 X2 +2X		
	/ -242 X2 + 2X+4 2V2 ;r2 +4		£ =-2V2 ; X" b2
	/ r		
Verificare
g-q + r=(X2+ 4l){2X2 - JlX-242) + 2X+% = 2X4- 4Î V3 + 4.
3./, g e Z5 [X], ./'= 2 V5 + 3 V3 + 4V+ î, g=4X3+X2 + 2.
Vom prezenta două variante de tabel pentm organizarea calculelor.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
121
3.	Fie /; g,h e E[A], / = aXl + b X2 + c X+ d; g = X2-Xşi h = X2 - 1. Să se determine a, b, c, d e IR ştiind că restul împărţirii lui/ la g este 22f- 1,
iar restul împărţirii lui/ la h este2f.
4.	Fie polinoamele / g e IR [X], f=X3+pX+qş i g = 222 + m X+ 1.
Să se determine relaţiile dintre p, q şi w, astfel încât restul împărţirii polino-mului/ la g să fie zero.
5.	Fie polinomul/e © [X],	X2'1-X2n^ + X2"'1 + ... -X+ l,ne IN*.
Să se determine restul împărţirii polinomului j\X2" '') la polinomul f.
6.	Fie polinoamele/ g s Z [X\, f=Xn + X2' +X5 + 9 X4 + 1 şi
g = X10+X+3.
Să se afle restul împărţirii polinomului/ la polinomul g.
7.	Fie polinoamele/g e 2Z5 [X], f(X) = Xmi + 2 • Xjl + 4 şi g = X2 + 4 2f + 3 . Să se determine restul împărţirii polinomului/ la g.
8.	Fie IR i [X], mulţimea polinoamelor/e IR [X],/= a + b - X\ ct,b e IR.
Dacă/ g e IR| [2f], definim legea de compoziţie prin/ * g = r, unde r este
restul împărtirii prin X 2 + 1 al polinomului / • g. Să se arate că adunarea uzuală a polinoamelor, împreună cu legea de compoziţie conferă mulţimii M\[X] o structură de corp izomorf cu (C.
împărţirea cu X-a
Teorema împărţirii cu rest are o serie de consecinţe importante privind împărţirea prin polinoame monice de gradul 1, adică prin g = X- a, g e K[X\.
O primă consecinţă este dată de următorul rezultat.
teoremă (a restului)
Fie polinomul / e K [X\ şi a e K. Atunci restul împărţirii lui / prin X - a est e/(a).
Demonstraţie
Conform teoremei împărtirii cu rest, există două polinoame q, r e K [X\, unic determinate, astfel încât: / = (X- a) * q + r, grad (r) < grad (X- a)= 1.
Cum grad r < 1, rezultă că r e K. Atunci avem:/(a) = (a- a) • g(/) + r(a) = r, deci / = (X- a) • q +f(a). Rezultă că r=f(a), adică restul împărţirii polinomului/ prin X- a este valoarea f (a) a polinomului.
Observaţii. 1) Această teoremă ne ajută să găsim restul împărţirii unui polinom oarecare prin polinomul X- a fără a mai face împărţirea.
2) Teorema restului are dezavantajul că nu oferă nici o informaţie asupra câtului împărţirii polinomului / prin X-a.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
123
2*. Prin împărţirea polinomului / e (C [X\ la A' - a, X - b şi X - c obţinem resturile, r2 respectiv r3. Să se afle restul împărţirii lui/ prin (X- ci)(X- b)(X- c); a -T- b; b ?-■ c: c V- a.
3.	Fie /' e IR [X] un polinom cu proprietatea:
X'JXX+ I) + (X- l)f(X+ 3) = 4X+ 6.
Să se afle restul împărţirii polinomului/ prin (X- 3)(X- 2).
4.	Fie/ e TLi \X\. Dacă restul împărţirii lui/ prin (X+ 6 )(/f + 5 ) este 3 X + 2 , să se calculeze resturile împărţirii lui/ prinX- 1, respectiv X- 2 .
Schema lui Horner
Folosind teorema împărţirii cu rest vom indica acum un procedeu de aflare a câtului împărţirii polinomului/ prin2C- a.
Fic/'e K [X\J =- a„ X" + a„.. tX" ' l ... + a, X+ a0.
Conform teoremei împărţirii cu rest pentru polinoamcle / şi X - a, există polinomul q e K [X] şi numărul r g K, astfel încât/ = {X - a) • q + r (1)
Cum grad (/ ) = n, atunci trebuie ca grad (q) = n - 1, deci q este un polinom dc forma:
q~b„ \Xn 1 + bn.2X"-2+...+b{X+bo	(2)
Din (1) şi (2) rezultă, după efectuarea înmulţirii lor, egalitatea:
an X" -l- a„_. | X" 1 -f-... + ci\X + aQ~
- />„. , X" -I- (/v2 ~ a • b„.,) • X" 1 +	- a ■ b„.. 2)X"~2 + ... + (bQ-crb\)X-cr b0 + r.
Din egalitatea celor două polinoame obţinem relaţiile:
= b„_, - o-b„
a„ = b
//- 1 ’
an
= b„
■ a ■ b„
a i =b0
(3)
O/-1 ~~L/n-2	“	-15
a{) ~ r - a * b{)
Cum pe noi ne interesează coeficienţii câtului q şi restul r, vom rezolva sistemul (3) în raport cu bn.. h bn..2,	b() şi r.
Sc obţin următorii coeficienţi ai câtului q şi restul r:
- u ,,
b„ 2 = a ■ bn-1 + on-\; b„_ 3 = a-b„
+ C1„
b{) - a ■ bx
r - ci • b{) + a0
(4)
Schematic, egalităţile (4) pot fi redate printr-un tabel (FI), de forma:
	X"	X" 1	xu~2		X1	x°
	tin	tin - 1	Un 2		"1	U()
a	«n	a • b„.. i + 1	... 2 U,1 2		cr b[ + ct\	a ■ bu + «o
	b„. ,	b„ 2	3		b0	r
124
Manual clasa a Xll-a
Observaţii 1) Scrierea puterilor descrescătoare ale nedeterminantei X nu este obligatorie; ea se recomandă, totuşi, pentru a nu omite coeficienţii nuli ai polinomului /
2)	In linia a doua a tabelului (H) se trec succesiv, pe măsură ce sunt determinaţi cu formulele (4), coeficienţii câtului q şi restul r. Se observă că bn _ i = an, iar pentru calculul lui b, (/ < n - 1), se înmulţeşte a cu coeficientul bi r i (deja determinat) din stânga lui b-, şi se adună rezultatul cu l5 situat deasupra lui b\. Analog se calculează r ,
3)	Efectuând înlocuirile de mai sus, în relaţiile (4), rezultă că r - an • a + an _ i ■ a ~ 1 + ... + ct\ • a + a0 = /(a), adică teorema restului.
4)	Acest tabel este cunoscut în algebră sub numele de schema Iui Horner.
Exemple
Utilizând schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii lui / prin X- a, pentru următoarele polinoame:
1. /e ©[X], /=3X6-3X4 + 4X3-7X + 1; X-2.
	V6	X5	X4	x>	X2	X]	xu
	3	0	-3	4	0	-7	1
2	3	23+0=6	2 ■ 6 - 3 = 9	2-9 + 4 = 22	2 • 22 + 0 = 44	to 4^ 1 II oo	2-81 -t- 1 =163
	bs	b4		b2	b\	bo	r
Deci câtul împărţirii este q = 3X5 + 6X4 + 9X2 + 22X2 + 44X + 81 şi restul este r = 163.
2./e © [X\, f= 5X4 + 3/A3 + 2A2 - iX+ 1 + /; X+ i.
	X*	xi	X2	X	x°
	5	3/	2	-i	1 +/
-i	5	5 • (-/) + 3/ = -2i	(-') ■ (—2/) + 2 = 0	H) • 0 - i = - ;	(~i)' H) + 1 + i = /
	b}	bi	b\	bo	r
Deci câtul şi restul împărţirii sunt: q = 5 X2 - 2iX2 - / şi r = i.
3. fe TLS [X\, f= 2 X4 + 3 X2 + 4 A + 1; X'+ 3 .
Avem A" + 3 =X- 2 şi renunţăm la scrierea puterilor lui X.
					
	2	0	3	4	î
2	2	2 • 2 + 6 = 4	2 • 4 + 3 = î	2 • î + 4 = î	2 •î+î =3
	b3	b2	A,	bo	r
Rezultă câtul q = 2 A3 + 4A2 + X+ î şi restul r = 3 .
125
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
Test î>e ev*)u*re
(10p) 1. Fie polinoamelc/ g e IR \X\, /= 1 + 2 X+ 3 X2 + 4 X4 şi
g = X2 + 3X- 1.
Să se calculeze câtul şi restul împărţirii polinomului/la polinomul g.
(10p) 2. Fie polinoamele/, geS5 [X], f=XA + âX2 + X+ î şi
g =	4.
Să se determine ă e 7LS astfel încât restul împărţirii polinomului/la polinomul g să fie egal cu 0.
(10 p) 3. Polinomul/ <e (C [X] împărţit cu X- 1 şi X+ 1 dă resturile i respectiv 3/.
Să se afle restul împărţirii lui/prin X2 - 1.
(10 p) 4. Să se afle un polinom/ <e © \X\ de grad cât mai mic astfel încât împărţit la X + 2 să dea restul - 2 şi împărţit la X- 1 să dea restul 1.
Timp de lucru: 45 de minute
ffff exerciţii propuse
1.	Aplicând schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului/ prin g dacă:
a)	f,ge%[X\, f=X5-X4 + 2X1 -X-4, g = X- 3;
b)	f, g e IR [X\, /= 3X4 + (1 + V2 )XZ - 42 X- 3 4l , g = X+ 2;
c)	f, g e <C [X], /= 4X6 + X5 - 2iX3 + (1 + i)X+ 4 - 3/, g = X- i;
d)	f,ge TL-i [X\, /= 2AT6+ArS+Ar4 + 2X3 + 2X3 + î,g = X+ 2;
e)	/,ge®[4/= 32f4+/f3-22f-4,g = X+i;
f) /, g e © [X], / = X3 + 32f2 + 22f - ^ , g = 3X - 1.
2.	Folosind schema lui Horner să se determine câtul împărţirii polinomului / la X- a, cunoscând restul r, dacă:
a)	f e ® [X\,f= X4 + m X3 -2 X2 + 3m X + l,r = 10, a = 1;
b)	/e (E [X\,f=X3 + (m + l)X2 + iX— 1 + 2/, r = 2/, a = i;
c)	/eZ4[X],/= 3 X3+X2+ 2mX + w + î,r = 2,a=3.
3.	Se consideră polinoamele/ g e IR [X], f=X4-4X2 + 4X2 + aX+bşig = X2-4 +3.
Să se determine a, be IR astfel încât restul împărţirii polinomului /prin polinomul g să fie zero.
126
Manual clasa a Xll-a
3.3.	Divizibilitatea polinoamelor, teorema Iui Bezout, cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili
Relaţia de divizibilitate. Proprietăţi Teorema lui Bezout
Un concept fundamental al inelului de polinoame K\X\ este cel de divizibilitate. Definiţie
Fie /' g g K \X\. Spunem că poli nomul g divide poli noimii f (sau / este divizibil prin g) dacă există un polinom h g K \X\ astfel încât/= g • h. Dacă polinomul g divide polinomul /'scriem g |/sau/ : g.
Exemple
L Polinomul g = X 2 - 1 divide polinomul f ^ X 6 - l, deoarece există polinomul h = X* i- X2 + 1 astfel încât Xb - l - {X~ - 1 )(X4 + X2+ 1).
2. Polinomul g g S3\X\, g - 2X + î, divide polinomul / g 2Z3[X\,
f- 2X3 + 1, deoarece există polinomul h g Z3 [X\, h = X2 + X + 1 , astfel încât f= g • h.
Observaţie. Atunci când g ] / se mai spune că g este divizor (sau factor) al lui/sau că / este multiplu al lui g.
Relaţia de divizibilitate introdusă pe mulţimea polinoamelor K [V| arc o serie de proprietăţi.
PI. Polinomul g divide polinomul/dacă şi numai dacă restul împărţirii lui/ prin g este polinomul nul. Această proprietate rezultă din teorema împărţirii cu rest.
Exemple
1.	Fie polinoamele/g e IR [A/ /= X4 - 2 Xi 4- X2 -t a bşig-X2 ■*-1.
Să se determine a, b e IR astfel încât g \f.
RerolvAre
Utilizând teorema împărţirii cu rest, obţinem:
/= (X2 + 1 ){X2 - 2 X) + {a + 2) ■ X + b.
Cum g |/o r =0, rezultă a = -2 şi b = 0.
2.	Fie polinoamelc/ g e 1L<, \X\, f=Xi+ 4X2 + 2X+ â şi g = X2 + X + b. Să se determine â , b eTL5 astfel încât g \f.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
127
Rezolvare
Din g |/rezultă că există h e 7L5 [X], h = X+ m astfel încât f=(X2 + X + b)(X + m)=X3 + (m + l)X2 + (m + b)X + m b.
Rezultă m = 3 , a = 2 şi b = 4.
P2. Dacă g |/ şi/^ 0, atunci grad (g) < grad (/). într-adevăr, cum g |/, există un polinom h astfel încât/= gh.
Deoarece /^ 0, atunci grad (/) = grad (g) + grad (h). Dar grad h > 0 şi deci grad g < grad f
P3. Polinoamele de grad zero, adică constantele nenule, divid orice polinom. într-adevăr, dacă a <e K* şi/e K [X] este un polinom oarecare, putem scrie:
/=	=	decia|/.
P4. Dacă/ g K [X\ şi a e K*, atunci cr f\f
Avem: /=
— • a
■/ = -•(«•/) deci a ■ f\f
a
Definiţie
Dacă f e K [X], atunci divizorii de forma a şi a •/ unde a e se numesc divizori improprii ai polinomului / Divizorii care nu sunt improprii se numesc divizori proprii.______________________________________________________
Exemplu
Fie polinomul /e <C [A], f=X1> - i\ atunci polinomul /T3 + 1 = i • (X3 - z) este un divizor impropriu, iar g = X + /' şi h = A2 - i • A- 1 sunt divizori proprii deoarece/= (A + z)(-^f2 - i ’ A"- 1).
P5. Relaţia de divizibilitate este reflexivă, adicăf\f oricare ar fi polinomul fzK\X\.
P6. Relaţia de divizibilitate este tranzitivă, adică dacă h \ g şi g \fl atunci h \f
într-adevăr, cum h | g, atunci există un polinom h\ astfel încât g = h • h\. Din g 1/ rezultă că există un polinom g| astfel încât/= g • gj.
Atunci obţinem:/=g • gi = (/z • /?i)gi, adică /z |/
P7. Dacă g 1/ şi g |/2, iar h\ şi h2 sunt două polinoame arbitrare, atunci: g I h\fl+h2f2.
într-adevăr, din ipoteză rezultă că există polinoamele g\ şi g2 astfel încât f\ = g • gi şi= g • g2- Atunci avem:
h\f + h2f2 = h\■ (g-gi) + /?2 • (g'g2) =
’ (Ai ’ gi + h2 * g2), adică g | /?, / + h2f2.
128
Manual clasa a Xll-a
Exemplu
Fie polinoamele/| J2, g e IR [X\, /, = X4 - 4,/2 = X6 - 8 şi g = X- 4l . Evident g \ f şi g \f2. Dacă h\ şi h2 sunt polinoame arbitrare din inelul IR [X\
avem:
h,f + h2f2 = hv (X2 + 2)(X- V2 )(X+V2 ) +
+ h2 ■ (X-V2 )(X+42 )(X4 + 2I2 + 4) =
= (X- V2 )[/;, (Z2 + 2)(T+V2 ) + A2(X + V2 )(X4+2^2 + 4)], adică g | /?i/i + h2 f2.
P8. Fie/ g s K \X\. Dacă g |/şi/(g, atunci există a e K*, astfel încât /= a ■ g. Intr-adevăr, din g |/şi/( g, rezultă că există polinoamele h2 e K [X] astfel încât / = g • /?, şi g =/• h2. (*)
Dacă g = 0, atunci din/= g • h\ obţinem că /= 0.
în acest caz putem alege a= 1. Analog dacă f= 0, rezultă g = 0.
Presupunem acum că/;* 0 şi g ^ 0. Din relaţiile (*) obţinem: g =/ • h2 = (g ’ A|) • h2 = g • (/7| ■ //2). Cum g ;* 0, atunci /?i • h2 = 1, deci grad (/?i ■ /?2) = 0, adică grad (/) + grad (/?2) = 0. Dar grad (/zj) > 0 şi grad (/z2) > 0. Rezultă că grad (h\) = grad (h2) = 0, adică h\=a,a e A?*5. Deci/ = a • g cu a e AT*.
Definiţie
Fie/ g e K [X\. Spunem că polinoamele/şi g sunt asociate în divizibilitate (sau, pe scurt, asociate), dacă/1 g şi g |/ în acest caz se notează/ ~g.
Observaţie. Din proprietăţile P4 şi P8 ale relaţiei de divizibilitate rezultă că / ~g dacă şi numai dacă există a e A^*, astfel încât/= a • g.
teoremă
Relaţia de asociere în divizibilitate este reflexivă, simetrică şi tranzitivă, deci este o relaţie de echivalenţă.
Demonstraţie
într-adevăr, avem:
i)	/-/ deoarece, conform observaţiei, există 1 e K* astfel încât/= 1 •/;
ii)	dacă /~g, atunci/= a • g cu a e A^*, deci g = a _1 •/ unde a-1 e A^*, deci g -/ adică simetria relaţiei;
iii)	dacă/~gşi g ~/z, atunci există a, b e AT*, astfel încâtf = a - gşi
g = b ' h, deci/= (a • b) ' h, unde a • b e A^*.
Deci relaţia este tranzitivă.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
129
Exemple
9	1	2	2
1.	Polinoamele f=X~ + 2şig = —X + — sunt asociate în divizibilitate
deoarece/ = 7 • g, deci putem scrie f ~g.
2.	Polinoamele /, g e ZZ 3 [X\, f= 2X3+X2+X+ 2 şi g = X2 + 2X2 + + 2 X+ 1 sunt asociate în divizibilitate deoarece /= 2 • g.
cCeorema lui Vţezout______________________________________________________
Fie / e K [X] şi a e K. Atunci X- a divide polinomul/dacă şi numai dacă
m = o-__________________________________________________________________
Demonstraţie
Conform teoremei împărţirii cu rest, aplicată polinoamelor/şi X- a, există două polinoame q, r e K [X], unic determinate, astfel încât/= (X- a) • q + r, cu grad (r) < 1, adică r e K.
Cum/(a) = r , rezultă/= (X-a)q +f (a).
Dacă / (a) = 0, avem f= (X - a)q, deci A - a \f Reciproc, dacă X - a | / atunci există q e K[X\, astfel încât
/= (X- a)q = (JT- % + 0, deci f{a) = 0.
tzxerciţii rezolvate
l.Fie/e IR [X], /= 4X4 + (2/77 + 1)X3 + (m + h + 2)X2 +	3/7 - 1.
Să se determine m, n e IR astfel încât A + i | / şi să se afle apoi câtul împărţirii lui/prin X + i.
Rezolvare
Conform teoremei lui Bezout avem:
X + i |/<=>/(- /) = 0, adică 4 - (2/77 + \) i - m - n - 2 + mi + 3n - 1 = 0. Rezultă m = -\\n = -\, deci/= 4X4-X3 -X-4.
Folosim schema lui Homer pentm a afla câtul împărţirii.
	4	-1	0	-1	-4
- i	4	-1 -4/	-4 + /	4z	0
Deci, câtul este q = 4X2 - (1 + 4i)X2 - (4 - Î)X+ M.
2. Fie/e IR [X\ grad (/) > 2 şi a, b e IR, a ^ 6. Să se arate că polinomul (X- a) (X- b) |/dacă şi numai dacă/(a) =/(6) = 0.
130
Manual clasa a Xll-a
Rezolvare
Presupunem că (X- d){X-b)\f adică există q e IR [X] astfel încât f=(X-a)(X-b)-q.
Rezultă căf(a) = (a - a) - (a - b) - q(a) = 0 şi f(b) = 0.
Reciproc, dacă f (a) = / (6) = 0, atunci din teorema împărţirii cu rest aplicată polinoamelor fş\g=(X- a)(X- b\ rezultă că există polinoamele q, r e IR [X\, unic determinate, cu grad (r) < 2, astfel încât: f=(X-a)(X - b) • q + r.
Deoarece grad (r) < 2, deducem că
f= (X- a)(X- b) • q + mX + n\ m, n e IR.
Cum/(a) -f (b) = 0, a* b, obţinem sistemul liniar omogen: ma + n = 0 şi mb + n = 0, cu soluţia nulă m = n = 0.
Deci r = 0, adică (A- /)(A- 6) |/
Generalizare
Fie ai, tf2, ..e IR [2f] diferite două câte două şi fie/e IR [X\, grad (/') > n. Atunci polinomul (X- a{)(X- a2)... (X- an) | /dacă şi numai dacă f{a,) =f(a2) = ..., =/(a„) = 0.
Demonstraţia este similară cu cea pentru n — 2.
3. Fie/e ZZM [X\, f= 3X5+ ÎX4+ 2X3 + ăX+ b.
Să se determine â , b e TL\ i astfel încât (X + 10 )(X + 9) |/şi să se afle apoi câtul împărţirii.
Rezolvare
Din exerciţiul precedent avem:
/(-10) =/(-9) = 6 <=>/(î) = /(2) = 6. Folosind schema lui Horner, obţinem soluţia: ă - 8 şi b = 2.
	3	7	2	6	a	b
î	3	/V 10	î	î	ă+ î	a 4~ b H~ 1 0
2	3	5	6	î	Q -f 3 6	
Câtul împărţirii lui / prin {X+ 10 ){X + 9) este q= 3 X3 + 5 X2 + î.
||j exerciţii propuse
1. Fie polinoamele f,geK [X]. Să se arate că g |/ dacă: a) / g e ® [X\, f=X5+X4+\,g = X2+X+\-,
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
131
b)	/geIR[X], /=(X-l)4-X2,g = X2-X+l;
c)	fg&Bs[X\, /=X4 + 4X3 + 3X+ î,g = X2 + 4X + 3; d )/,geZ3[X], /=X2007 + 2X3 + X2 + 2, g = X2 + 2; eJ/geCW, f=(X2 + aX+a)2-(a - l)2 • X, g = X2+X + 1, a e <C.
2. Să se determine valorile parametrilor care apar în polinoamele/ g g K [X], astfel încât g | f dacă:
a)	/, g g © [X], f=X4 + mX2 + n+p,	g	=	(X- l)3;
b)	f,g eE[4 f=X2 + aX2 + bX+6,	g	=	X2-X- 2;
c)	fg e Z4[X], /=X5 + â X2 + 2 X2 + b, g = X2+ 3;
d)	/ge M[X\, f= X4 + X2 sin a + X2 sin 2a + Xsincx- 1 ,g = X- 1.
3*. Să se arate că polinomul g = (X- l)2 divide polinomul
f=Xn±i ~(n + \)X+n, VneIN
şi să se afle câtul.
4.	Dacă/eC [X], să se arate că /(/(X)) -/ (A) este divizibil prin /(X) - X
5.	Daţi exemple de polinoame gi, g2 e K [X\, astfel încât g\ \ f; g2 \ f, dargi g21/
6*. Se consideră/, g g IR [X],
/=
X
n-l

X
>7-2

*
n-l
şi g = Jf- 1, e IN
& 2^3	®n-\^n
Ştiind că a2, ..an sunt în progresie aritmetică, să se arate că g \f
7. Fi cf gel£ [X], astfel încât g =/ + 1. Să se arate că/• g |/2w + g" - 1,
V m, « e IN*.
8. Să se arate că g |/, V n e IN, dacă:
a)	/ g g IR [X], /=(X2+ l)6” + 2 + X4+ 1,
b)	/,g g IR [X], /= (X - 1)” + 2 - X2"~2,
c)	/ g g IR [X], /= (X + 1 )3''+ 2 + X + 2;
d)	/, g g IR [X], /= (X2 +X+ 1 )4"+ 1 -X,
e)	/ g g Z7 [X], /= (X2 + 4X + 3 )"+ 1 + 6,
g = X2+X+l; g = X2-X+l; g = X2 + 3X+ 3; g = X2+ 1: g = X2+ 4X+ 2;
f)	/>g g IR [X], /= X4’ + X3 - X- l, n e IN*, g= (X+ I)(X3- 1).
9.	Să se determine m g IN* astfel încât g |/, dacă:
a)	y: g g IR [X], /= (X - 1)'" + X'” + 1,	g	=	X2-X+l;
b)	f,g eJR [X], /= (X- l)m - Xm +1,	g	=	X2-X+l;
c)	f g g IR [X], /= (X2 + 1)'” + (X+ 1 )m + Xm-\ g = X2 +X+ 1;
d)	/, g g C [X], /= (X4 +X2 + iŢ - (X2 + 2)2m + \ g = X2 + 1.
10*. Să se determine a şi b astfel încât g | f dacă:
a)	/g g IR [X], /= (X- l)2" + a ■ X2" + b ■ X- 1, g = 2X2-3X+l;
b)	/,ge(C[X], /=X4” + a-X4,,+ l +6-X4n + 2, g = X2 -3iX-2.
132
Manual clasa a Xll-a
Cel mai mare divizor comun alpolinoamelor
Date fiind polinoamele/şi g din inelul K\X], se poate pune problema exis-tenţei unor divizori comuni ai lor, şi, în caz afirmativ, a aflării divizorului comun de grad maxim.
Răspunsul la aceste probleme va fi dat folosind teorema împărţirii cu rest şi proprietăţile relaţiei de divizibilitate, deja prezentate.
Definiţie_______________________________________________________________
Fie/, g e K[X\. Polinomul d e K[X] se numeşte un cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor/şi g dacă verifică următoarele condiţii:
i)	d este un divizor comun al lui/şi g, adică d |/şi d | g;
ii)	oricare alt divizor comun al lui/şi g îl divide şi pe d, adică
V</' e K{X\9cud'\fşid'\g=>d'\d.
Exemple
1.	Fie/, g e IR [X\,f=X3 -\,g = X4-l.
Cum/= (X- \)(X2 +X + 1) şi g = (X- 1)(X+ l)(X2 + 1), observăm că divizorul comun care verifică şi condiţia ii) este d = X- 1, adică este un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g.
2.	Fie/, g e ZZ5 [X],f=X2 +X2 +X+ î =(X2+ 3X + 2)(X+ 3 ) şi g = X2+ 2X2+ 4X+ 3 . Cumg = (X2 + 3X+ 2)(X+ 4), rezultă că d = X2 + 3X + 2 este un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g.
Notaţie. Pentru simplitate, se va nota cu {j\ g) un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g.
Definiţie_______________________________________________________________
Polinoamele/şi g se numesc prime între ele dacă (f,g)= 1.
Exemplu
Polinoamele/= X2 + X + 1 şig = yf+2 sunt prime între ele deoarece nu există un polinom neconstant d astfel încât d\f ş\d\g.
Observaţii. 1) Fie/şi g două polinoame şi d un c.m.m.d.c. al lor. Atunci putem scrie /= d • f şi g = d * gi, unde (f\,g\)= 1, adică/ şi g\ sunt prime între ele. Intr-adevăr, dacă d\ este un c.m.m.d.c. al lui/ şi gj, atunci d ■ d\ este un divizor comun al polinoamelor/şi g. Cum d este un c.m.m.d.c. al lui / şi g, atunci rezultă că d • d\ | d. Deci există polinomul d2 astfel încât d = d - d\ • d2, relaţie din care avem d\ • d2 = 1, deci d\ este un polinom constant ceea ce arată că/ şi g\ sunt prime între ele.
Exemplu
Polinoamele / = X 3 - 1 şi g = X 2 - 1 au un c.m.m.d.c. polinomul d = X- 1.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
133
Atunci putem scrie/= d • (X2 + X+ 1) = d - f şi g = d • (X+ 1) = d • g\. Evident că/ şi g\ sunt prime între ele, deoarece (/j, g\) = 1.
2) Definiţia unui c.m.m.d.c. a două polinoame poate fi extinsă la un număr finit de polinoame. Dacă/,/2, ...,/7 e [2f], atunci un polinom d g K [.X], se numeşte un c.m.m.d.c. al polinoamelor/,/, ...,/„ dacă verifică cele două condiţii cunoscute: î)d\f]9d\f29...,d\fn; ’
ii) dacă d’ e K [X\ este un polinom astfel încât d' | /, d' |/2, ...,d '| /, atunci d' | d.
în acest caz d se calculează astfel: se determină d\ = (/i, f2), apoi se determină d2 = (d\,f3), apoi d2 = (d2,f\) ş.a.m.d. în final se obţine d = dn. i = (dn-2,fn).
Existenţa unui c.m.m.d.c. a două polinoame este asigurată de următorul rezultat important.
Teoremă
Dacă fg^K [X], atunci exw/a un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g.
Demonstraţie
Analizăm cazurile:
a)	dacă/= g = 0, atunci confonn definiţiei avem (f,g) = 0;
b)	dacă/* 0 şi g = 0, atunci {j\ g) =f deoarece/=/• 1 şi g =/• 0.
în plus, dacă d' este un divizor comun al lui/şi g, atunci d' este în particular un divizor al lui/;
c)	dacă / ^ 0 şi g ^ 0, conform teoremei împărţirii cu rest, există două polinoame qu e K [X], astfel încât:
/= g ' q\ + ru cu grad (rj) < grad (g).	(1)
în cazul r\ = 0, avem (f, g) = g. Dacă r\ ^ 0, aplicăm teorema împărţirii cu rest polinoamelor g şi r\. Există atunci polinoamele q2, r2 e K [X] astfel încât: g = n ■ q2 + r2, cu grad (r2) < grad (r,).	(2)
Repetând acest procedeu, găsim în inelul K [X], polinoamele
94,...... • qm • • ■ şi n,, rm ... astfel încât:
:^3

;grad(r3) < grad(r2)
rn-2 = r,-i •	+ rn
,-i =',w	+^+1
Cum grad (ri) > grad (r2) > . număr natural n astfel încât rn ^ 0 şi rn+ \ = 0.
Vom arăta că rn este un c.m.m.d.c. al lui f şi g.
;grad(r/7)<grad(r/?_1) ;grad(rfl+l)<grad (rj >grad (rn) > grad (rn
(3)
i) > ..., există un
134
Manual clasa a Xll-a
Parcurgem relaţiile (3) „de jos în sus” în ipoteza că rn + \ = 0.
Avem succesiv, următoarele divizibilităţi de polinoame: r„-î =rn-qn+ i => rn | rn.\\ r„_2 = rn- \ ' q„ + rn = rn • qn+ i • q„ + rn => rn | r,7_2.
Continuând înlocuirile din aproape în aproape, rezultă, în final, că rn divide polinoamele r/7_ i, r„_2, r/7_3, ..., r2, rj. Atunci, din relaţia (2) rezultă că rn | g, iar din relaţia (1) obţinem rn \f
Deci, rn este un divizor comun al polinoamelor / şi g. Să verificăm acum a doua condiţie din definiţia c.m.m.d.c. a polinoamelor. Fie d un divizor comun al lui/ şi g. Din (1) obţinem r\ = / - g • #|. Folosind proprietatea P7 a relaţiei de divizibilitate, rezultă că d | r\. Apoi din relaţia (2) avem r2 = g- r\ • q\.
Cum d | g şi d | ru obţinem d | r2. Continuând în relaţiile (3) acest procedeu de aplicare a proprietăţii menţionate, obţinem că d | r3, d | r4, ..., d | rn _ j şi d | rm fiind astfel îndeplinită şi condiţia a doua a definiţiei. Deci rn (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g şi scriem r„ = (/ g).
Teorema demonstrată ne arată că fiind date două polinoame / şi g există un c.m.m.d.c. al lor. Mai mult, metoda „constructivistă” folosită în demonstraţie ne indică şi o regulă de obţinere a acestui c.m.m.d.c., enunţată sub forma următoare.
Algoritmul lui Euclid
Fie f,geK [X], cu grad (/) > grad (g). Pentru a obţine un c.m.m.d.c. al lui/ şi g parcurgem (algoritmic) următoarele etape:
Ei împărţim pe/ la g, obţinând restul Atunci:
a)	dacă r\ = 0, rezultă (/ g) = g;
b)	dacă r\ & 0, se trece la etapa a doua.
E2 împărţim pe g la r\, obţinând restul r2. Atunci:
a)	dacă r2 = 0, rezultă (/, g) = r{\
b)	dacă r2 ^ 0, se trece la etapa a treia.
E3 împărţim pe r\ la r2, obţinând restul r3 etc.
Ultimul rest nenul din acest şir de împărţiri succesive este un c.m.m.d.c. al celor două polinoame.
Dacă ultimul rest rn este o constantă a e K [X\, atunci (f,g)= 1 şi polinoamele sunt prime între ele.
Propoziţiile şi observaţiile de mai jos vor da un răspuns la problema privind unicitatea c.m.m.d.c. a două polinoame.
Propoziţie________________________________________________________________________
Fie / g e K [X\ şi d e K [X\, unde d este un c.m.m.d.c. al lui /şi g. Dacă a e K*, atunci a * d este de asemenea un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g.
într-adevăr, din proprietatea P4 a relaţiei de divizibilitate avem a■ • d\d.
Cum d 1/ atunci folosind tranzitivitatea relaţiei obţinem a • d \f Analog, obţinem a • d | g, adică a • d este un c.m.m.d.c.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
135
Propoziţie____________________________________________________________________
Fie /, g e K [X] şi presupunem că există doi divizori d, d ' e K [X], cu d = (f, g) şi d' = (f, g). Atunci există a e K* astfel încât df = a • d.
într-adevăr, din d = (f, g) rezultă, conform definiţiei, că d ' | d. Schimbând rolurile lui d şi d ' obţinem d \ d '. Atunci, folosind proprietatea P8, deducem că există a g K* astfel încât dr = a • d.
Observaţii. 1) Din propoziţiile anterioare rezultă că c.m.m.d.c. a două polinoame/ şi g este unic, abstracţie făcând de un factor constant nenul. Altfel spus,c.m.m.d.c. este unic determinat mai puţin o asociere în divizibilitate.
2) Cele două propoziţii ne ajută să evităm coeficienţii fracţionări în aplicarea algoritmului lui Euclid pentru obţinerea c.m.m.d.c. a două polinoame cu coeficienţi întregi. Mai precis, dacă la una din împărţiri primul termen al deîmpărţitului nu este divizibil prin primul termen al împărţitorului, se pot înmulţi toţi coeficienţii deîmpărţitului cu un număr convenabil ales. De asemenea, dacă toţi coeficienţii vreunui deîmpărţit sau împărţitor sunt divizibili cu acelaşi număr, îi putem împărţi cu acel număr. Vom aplica în exerciţiile ce urmează aceste observaţii utile.
tzxerciţii rezolvate
1.	Folosind algoritmul lui Euclid să se determine un c.m.m.d.c. al polinoa-melor/şi g, dacă:
a) f,g e TL[X\,f=X4 + 3Xî+X2-2-,g = Xi+2X2 + 2X+ 1.
Rezolvare
Ei Impărţim pe/ la g.
X4+3X}+X2-2 -X4-2X3-2X2-X /	X3- X2 - X-2
-X3 -2X2 -2X- 1 / - 3X2 - 3X— 3
X3 + 2 X2 + 2X+ l X+ 1
Deoarece, împărţitorul în etapa următoare este restul r\ = - 3 X2 - 3 X- 3, conform observaţiilor anterioare, putem împărţi coeficienţii lui prin (-3) şi obţinem gi=X2 + X+l.'
E2 Impărţim g la g\.
X3 + 2.X2 + 2X + 1 x2+ X+ 1 -X3- X2- X X+ 1 / X2 + X+l -X2 - X- 1 / / /
136
Manual clasa a Xll-a
Cum r2 = O, rezultă că, ultimul rest nenul (simplificat prin (-3)), adică ultimul împărţitor, este un c.m.m.d.c. şi scriem (/ g) = X2 + X + 1.
b)/ge 2Z5 [X},f= 4 + 42f3 + 4X2 + 3 ;g=X3+ 3X2+ 4X + 4. Rezolvare
Ei împărţim pe/la g, folosind tabelele de operaţii din Z5, şi relaţiile:
-î = 4;-2 = 3;-3 = 2;-4 = 1; 2_1 = 3; 3“' = 2 şi 4~'=4.
X4 + 4X3 + 4X2	+3	X3+ 32T2+ 426 + 4
X4 + 3X3+4X2+ 4X X+ î / X3	+ X +3
.Y3+ 3X2 + 42T + 4 /	2X2+2X+ 4/-(3)
E2 împărţimg\ag]=X2 +X + 2, obţinut prin înmulţirea restului r\ cu 3 . X3+ 3X2+ 4X+ 4	X2+ X+ 2
X3 + 262 + 226	26 + 2
/	2X2+2X+4
2.X2 + 226 + 4
/ / /
Deci, un c.m.m.d.c. al polinoamelor f şi g este X2 + X+ 2 .
c)fgem[X},f=X4+\6şig = X3-S
Rezolvare
Ei
X4 + 16
-264 + 826 /	826 + 16
263 -8 X
E2
X3 -8	X+2
-X3-2X2	X2 - 2 X+ 4
/ - 2262 - 8 2262 + 426 /	426-8
-426-8 / -16
Ultimul rest este o constantă, deci c.m.m.d.c. este 1, adică polinoamele/şi g sunt prime între ele.
2.	Fie/ g e IR [26],/=264 + 263 + 3X2 + (m- \)X+ 2;g = X3 + 2X2 + 326+ m.
Să se determine m e IR, astfel încât/şi g să admită un c.m.m.d.c. de gradul 2.
Rezolvare
Folosim algoritmul lui Euclid, impunând condiţia ca ultimul rest nenul să fie un polinom de gradul 2.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
137
E, X4 + X2 + 3X2 + (m-\)X+2
-X4-2Xl-3X2-mX_______
/ -X3	-X +2
X3 + 2X2 + 3X+ m ~	2X2 + 2X+ m + 2
X3 + 2X2 + 3X+m X- 1
E2 2 X3 + 4 X2 +	6X+2m	2X2 + 2X+m + 2
- 2X3-2X2-(m + 2)X x+ 1 /	2 X2 - (in - 4) X + 2m
-2X2-2X-m - 2 /	(2-m)X+m-2
Din condiţia ca restul r> = (2 - m)X + m- 2 = 0, rezultă m = 2, iar
(f,g)=X2 + X + 2.
3.	Fie/, g e K [X] şi fie d un c.m.m.d.c. al lui / şi g. Atunci există polinoa-mele u , v e K [X\ astfel încât d=u ■/ + v • g.
Rezolvare
Reluăm egalităţile din demonstraţia teoremei de existenţă a c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g, unde ultimul rest nenul rn este chiar c.m.m.d.c. Avem, în ordine inversă, egalităţile:
~ ( (7/-/) ^7 I f n - !■>	- 1	(—	- 1) ^ n - 2	- 3? • • • ?
r2= - q2 • r i + g şi n = - qx • g +/
înlocuind acum, de la dreapta la stânga r\ în relaţia r2, apoi r2 în relaţia r3 ş.a.m.d., obţinem în final rn = u •/+ v • g. Cum rn era un c.m.m.d.c. al polinoamelor/ şi g, avem d = w •/ + v • g. Dacă, în particular există , v e K [X\ astfel încât u •/ + v • g = 1, atunci if,g) = 1, adică polinoamele sunt prime între ele.
într-adevăr, fie d = (f, g). Cum d \ f şi d \ g, rezultă d | u • / + v • g, deci d | 1, de unde, avem d = 1.
4.	Fie/ gi, gi K [X\ trei polinoame astfel încât/1 gt g2. Dacă/şi gi sunt prime între ele, să se arate că/1 g2.
Rezolvare
Folosind exerciţiul anterior există polinoamele t/, v e K [X\ astfel încât u •/ + v • gi = 1. înmulţind această egalitate cu g2 avem g2 = a • /• g2 + v • gi • g2. Cum/| gi g2, rezultă că există un polinom/ e [X\ astfel încât g\ • g2 =/•/.
înlocuind, avem g2 = iifgi + v// =/(wg2 + v/), de unde rezultă că/1 g2.
5.	Să se arate că dacă polinomul /este prim cu polinomul g şi cu polinomul /?, atunci/este prim cu produsul g ■ h.
Rezolvare
Cum (f,g)= 1, există polinoamele u şi v astfel încât w./+ v • h = 1; analog, există w j şi vj astfel încât z/i./+ vi • h = 1. înmulţind cele două relaţii, avem:
138
Manual clasa a Xll-a
u -u\ .f2 + u •v\-f-h + u\-vf-g + v-v\-g-h=l, adică (ii • u\‘ f + u • vj * h + ii\ v • g) ' f + (v • V]) • g • h = 1.
Dacă notăm w = u ■ u\ • f + it • v\ • h + u\ v - g şi z = v - v\, atunci putem scrie w -f+ z ■ gh= 1, deci (/ gh) = 1.
Test î>e cvAlw^rc
(10 p) 1. Fie/e © [X\, f=X4 + 3X3 + 3X2-2mx-n.
Să se determine m, n e (D astfel încât X - V2 | / şi să se afle apoi câtul împărţirii lui/prin X- +2 .
(10p) 2. Fie/e © [X], f=(X2+X+ lf+'-Xşig = X2+l.
Să se arate că g \ f V n e IN.
(10p) 3. Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor/ geZ3 [Ar],/= A"3 +	+ 2
şig = ^r4+ 2^3+^r2 + x+ î.
(10p) 4. Fie polinoamele/ g, h e K \X\. Să se arate că dacă f\ /?, g \ h şi/şi g sunt prime între ele, atunci f-g\h.
Timp de lucru: 45 de minute
exerciţii propuse
1.	Folosind algoritmul lui Euclid să se determine un c.m.m.d.c. al polinoamelor/ şi g, dacă:
a )/ge2[X], f =X('-X5 -X4 + SX3 -5X2-2X+ 10, g = 3X4- 6X3 + 5X2 + 2X- 2;
b)	/geIR[X], f=X5- 10X3+X,
g = X4-4V2 • X3 + 6 X2 + 4V2 • X + 1;
c)	f,g,heQ[X\, /=X6+X4+X-1,
g = Xb-X4 + 2X3-X + 1, h=X5 + 2X2-X+ 1;
d)	/ge 7L5{X], /=X5 + 3X4 + 3X3 +X2 + 3X + 4,
g= 2.X4 + 3X3 + 4X2 + 2 1+4.
2.	Fie / g e X [X] şi fie d = (f, g) un c.m.m.d.c. al lui /şi g. Să se determine a, b e K ştiind că grad (d) = 2, dacă:
a)	/,g e m[X],f=X3-X2 + aşig = X3+X+b, a, b e IR;
b)	/geZ5[X],/=X4+X3 + 4X2 + 2X+ âşig = X3+- 4X2 + b, â, b e Z5-
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
139
3.	Să se arate că următoarele polinoame/şi g sunt prime între ele:
a)	/,geZ7[X],f=X4 + X3 + 2X+ 2 ,g = X2 + 3X+ 6;
b) / g g IR [X\,f= 3X4 -2X3-2X2+X+2 ,g = X3- 2X2 + 2X- 1;
c)	/ g e Q [X\,f= X3 - 6X4 + 8X3 + X2 - 6X+ 8,
g = X4 + lX3 + 12 + 22X + 12.
4.	Dacă d este un c.m.m.d.c. al polinoamelor/ şi g, iar h este un polinom nenul, să se arate că d ■ h este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f-hşig-h.
5.	Fie/ g e IR [X],f= X3 + 2X+a, g = X2 + X+b.
Să se determine un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g. Discuţie.
6.	Să se afle un c.m.m.d.c. al polinoamelor/ g eTL [X],f=Xn - 1 şi g = Xn - 1, unde m, n e IN*.
7*. Să se afle c.m.m.d.c. al polinoamelor/ ge2 [X],f=:Xn + a şi g = Xm+ d\ unde a e 2Z.
Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor
Păstrând analogia cu divizibilitatea numerelor întregi vom defini cel mai mic multiplu comun a două polinoame.
Definiţie_____________________________________________________________
Fie polinoamele/ g e K [X]. Spunem că polinomul m e K [X] este un cel mai mic multiplu comun (pe scurt, un c.m.m..m.c.) al polinoamelor f şi g dacă verifică următoarele condiţii:
i)	/| m şi g | m (adică m este un multiplu comun al lui/şi g);
ii)	oricare alt multiplu comun rri e K [X] al lui /şi g este multiplu al lui m (adică, dacă/| m' şi g | m\ atunci m | m’).
Notaţie. Un cel mai mic multiplu comun al polinoamelor/şi g se notează, pentru simplitate, cu [/ g].
Exemple
1.	Fie/, g e IR [X},f= X2 - 1 şi g = X2 + 1.
Atunci polinomul m e IR [X], m = X4 - 1 este un c.m.m.m.c. al polinoamelor / şi g deoarece verifică cele două condiţii ale definiţiei. Astfel, dacă mf = X 5 - X este un multiplu al lui/şi g avem m | m'.
2.	Polinoamele / g e 7L5 [X\, f = X 2 + 3 X + 2 şi g = X 2 + î au un c.m.m.m.c. polinomul m e 2Z5 [X\ m=X3+X2 + X+ \.
într-adevăr, avem/= (X + î )(X + 2)şig = (X + 2)(X + 3 ), iar m = (X+ \ )(X+ 2)(X+ 3).
Un procedeu de obţinere a unui c.m.m.m.c. a două polinoame este dat de următoarea teoremă.
140
Manual clasa a Xll-a
teoremă
Fie polinoamele/ g e K [X\, astfel încât cel puţin unul dintre ele este nenul. Dacă d e K [X], este un c.m.m.m.c. al lui/şi g, atunci câtul împărţirii polino-
f • g
mului/■ g prin d este un c.m.m.m.c. al polinoamelor/şi g, adică m = -——.
d
Dem onstraţi e
Din d = (/ g), rezultă că există polinoamele/, gi e K [X\, astfel încât/ = d • /, g = d • gi şi (f\, g\) = 1. Atunci m = d - f • gi este un multiplu comun al lui /şi g. Fie acum m\ e K [X\ un polinom, astfel încât f\mx şi g | 777!. Deci există polinoamele f2, g2 e [A], astfel încât 7771 =/•/ = g • g2, adică
777, = </■/, */2 = d-grg2-
Cum d ^ 0, rezultă că/ •/ = gi • g2. Vom arăta că m 17771. Intr-adevăr, din (/, gi) = 1, există polinoamele u ,v e K [X\, astfel încât 1 = u • f + v • g,. înmulţind această egalitate cu g2, obţinem:
g2 = U */ ’ g2 + V * g, ' g2 = W •/ ' g2 + V •/ •/ =/, (W • g2 + V */2), ceea ce arată că/ | g2. Deci există polinomul g3 <e K [X\, astfel încât g2 =/ * g3. Atunci avem: m\ = d • g\ ‘ gi = (d - g\ */) * g3 = m • g3, adică 777| 7771.
în concluzie, polinomul 777 =
/•g
este un c.m.m.m.c. al lui / şi g, adică
putem scrie (/ g] =
/'g
Observaţii 1) Dacă /şi g sunt prime între ele atunci [/, g] =/• g;
2) Notaţia / g] pentru un c.m.m.m.c. al polinoamelor/şi g reprezintă o clasă de polinoame asociate în divizibilitate şi anume clasa multiplilor comuni de grad minim ai lui/şi g.
Exemple
Să se afle c.m.m.m.c. al polinoamelor/şi g, dacă:
1.	fge M,f=4X4 + 2X} + 2X + 1, g = 2 X4 - 4 X3 + X- 2.
Folosind algoritmul lui Euclid, se obţine:
d- (f,g) = 2X} + 1, deci \f,g] =	= 4X5 - 6X4 - 4X3 + 2X2 - 3X~ 2.
d
2.	fgeTL,[X\,f=X4+ 4X2+ 2 ,g = Xy + 5X2 + 6 X+ 2.
Folosind algoritmul lui Euclid, se obţine:
d=(f,g) =X2 + 6, deci \f,g] = J—L = A5 + 5A4 + 4X3 + 6X2+ 2X+ 3.
d
3.	/ge®M,/=rT| - \,g = X"-\,n e IN*.
Aplicând algoritmul lui Euclid, găsim, (f,g)=X- 1 şi apoi [/jgj = (X" - \)(X" +X'" ' + ... +A+ 1).
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
141
Observaţie. Definiţia c.m.m.m.c. a două polinoame / şi g poate fi extinsă la un număr finit de polinoame. Mai exact, dacă/,/2,. . .,/7 sunt n polinoame din inelul K[X\, atunci un polinom m e K[X\ se numeşte un c.m.m.m.c. al polinoamelor/,/, ...,/„ dacă verifică următoarele condiţii:
i)	/i | mji I m, ...Jn | m;
ii)	dacă m\ e K \X) este un polinom astfel încât f | m\\ / |	| m\,
atunci m | nij.
în acest caz, un c.m.m.m.c. al polinoamelor/, /, ...,/, se calculează astfel: se determină un m\ = (/,/]; apoi se determină un m2 = [rai,/j ... ; în final se determină un c.m.m.m.c. i = [mn..2, fn\.
Polinomul m = i este un c.m.m.m.c. al polinoamelor/,/, ...,/, şi se scrie m = [/i,/2v..,/,].
mm. exerciţii rezolvate
1.	Să se determine c.m.m.m.c. al polinoamelor/, g, h e IR [A],
/=A3-X2 + X- \,g = Xi+X2 + X+\,h=X2 + 2.
Rezolvare
în prima etapă găsim (f, g) = X2 + 1, de unde avem m\ =	- ■ = X4 - 1.
(/>&)
Apoi calculăm (m{, h)= 1 şi găsim, în final, [f,g, h] = \mu h\ =
m''h = X6 + 2 X4 - X2 - 2.
Oi,/?)
2. Fie /, g e K \X\ şi fie m e K [X], m = (/ g\. Dacă d e K [X] este un c.m.m.d.c. al polinoamelor/ + g şi m, să se arate că d- (/ g).
Rezolvare
Cum d= (f + g, w), rezultă că există polinoamele u e K [X\, astfel încât: ă1 = u (f + g) + v • m - u ‘f+u • g + v • m.
Din m = [f] g], rezultă că există f e K [X], astfel încât m = /•/• înlocuind, avem: d = w/+ wg + v ff = (ii + v/) -f+u • g, deci d=(j\ g).
142
Manual clasa a Xll-a
Test t>e cvaIu&re
(10 p) 1. Să se determine c.m.m.m.c. al polinoamelor/, geZ [X],f= X3 - 1 şi g = X3 + 2X2 + 2X + 1.
(10p) 2. Fie polinoamele/,/,/, m e S5 [X],/ = X + 4 ,/2 = X+ 2 ,/ = X + 3 şi m = X3 + â X2 + bX+ c.
Să se determine ă , b, c e Z5, astfel încât m = [/,/,./]•
(70p) 3. Fie polinoamele f, g, h e K [X\, astfel încât/| /z şi g | h. Dacă m este un c.m.m.m.c. al polinoamelor/şi g să se arate că m | h.
(10p) 4. Fie polinoamele f g m e (C [X\, f= X2 + i X + 1, g = X1 - i X + 1 şi m=X* + (a-3i)X3 + bX+ 1.
Dacă m = \f, g], să se determine a, b e (E, astfel încât polinoamele/şi g să fie prime între ele.
Timp de lucru: 45 de minute.
III Exerciţii propuse
1.	Să se afle un c.m.m.m.c. pentru polinoamele:
a)	/ g e IR \X\, /= 2X5-6X3-V3X2 + 3V3,g=X4+X3-2X2-3X-3V3 ;
b)	/geZZ,, [X\,f=X3+ 10X + î,g = 2X4 + 7;
c)	./; g g <C [X], /=X3 + i, g = X3 - 2X-i.
2.	Fie polinoamele / gefi [X\, /= X4 + aX + b şi g = X2 - 2X - \.
Să se determine a, b e ©, astfel încât polinomul m e © [A/ m = / g] să aibă gradul 4.
3.	Fie/, gel[l] şi w = [/, g], Dacă m =/•/, = g • g,, unde/, g, g X [X], să se arate că (f\,g\) = 1.
4.	Fie/ g e K \X\ şi fie meK [X\, m = [/ g].
Dacă există un polinom m! <e K[X] astfel încât m! =/-/2 = g * g2, cu condiţia (/, g2) = 1, atunci m' = m.
Descompunerea polinoamelor în produse de factori ireductibili
Introducem acum, în inelul K [X\ al polinoamelor cu coeficienţi din corpul comutativ K, o noţiune asemănătoare celei de număr prim din inelul (2Z, +, • ) al numerelor întregi.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi Tntr-un corp comutativ
143
Definiţie_________________________________________________________________________
Spunem că polinomul/ e K [X\ cu grad (/) = n > 0, se numeşte polinom ireductibil peste corpul K, dacă nu există în inelul K [X] divizori ai lui / de grad diferit de 0 şi n.
Altfel spus, nu există două polinoame g, h g K [X\, cu 1 < grad (g) < n şi 1 < grad (h) < n, astfel încât/= g • h.
Un polinom / e K [X\ care nu este ireductibil peste corpul K se numeşte reductibil peste K.
Observaţii. 1) Dacă/ g K \X\ este ireductibil peste K şi a e K, a ^ 0, atunci şi a - f este ireductibil peste K\
2) Dacă un polinom / e K[X] este ireductibil peste K, atunci se mai spune că este ireductibil în K [X\.
Exemple
1.	Orice polinom de grad 1 din K [X ] este ireductibil peste K. într-adevăr, un polinom/ g K [X\, /= aX + b, a, b e K, a * 0, nu poate avea
divizori de grad diferit de 0 şi 1.
2.	Polinomul f e © [X], /= X2 - 3 este ireductibil peste ©, deoarece, în caz contrar / admite un di vizor de grad 1 din © [X\ de forma g = X- a, a e ©. Cum X- a\f
rezultă, conform teoremei lui Bezout, că/(a) = 0, şi apoi a = ^3 g ©. Contradicţie! în schimb, acelaşi polinom/este reductibil peste IR, deoarece există polinoa-
mele g, h g IR [X\, g = X- V3 şi h = X + V3 , astfel încât/= g • h.
3.	Polinomul / g IR [A],/ = X2 + 4 este ireductibil peste IR (demonstraţia ca mai sus), dar este reductibil peste corpul (C, dată fiind scrierea
/ - (X+ 2i){X - li) = g-h, unde g, h e <C [X].
4.	Fie polinomul/g K[X\,f = X2 -pX + q,p, q e K, astfel încât pentru orice a e K, avem/(a) ^ 0. Atunci/este ireductibil peste K.
într-adevăr, dacă / ar fi reductibil peste K, atunci ar exista polinoamele g, h e K [X\ g = X- a şi h = X - b, astfel încât/= g • h. Din g | /rezultă că/(a) = 0, contradicţie cu/(a) * 0, V a g A!-.
Rezultatul următor este analogul în inelul K [X] al teoremei fundamentale a aritmeticii din inelul (Z, +, ■).
'Teoremă (de descompunere în factori ireductibili)________________________________
Fie polinomul/ g K [X], grad (f) > 1. Atunci/se descompune în mod unic într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K, abstracţie făcând de ordinea factorilor şi de asocierile în divizibilitate.
144
Manual clasa a Xll-a
Demonstraţie
Vom demonstra numai existenţa descompunerii, prin metoda inducţiei matematice, după gradul lui /
Fie grad (f) = n, n e IN*.
Dacă n — 1, atunci / este un polinom de grad 1 ireductibil peste K (vezi exemplul 1) şi are un singur factor ireductibil în descompunerea sa.
Presupunem că toate polinoamele/de grad mai mic sau egal cu n se descompun în factori ireductibili peste K şi arătăm că afirmaţia din teoremă este adevărată şi pentru polinoamele/de grad n + 1. Distingem două cazuri:
i)	dacă polinomul / de grad n + 1 este ireductibil, atunci teorema este demonstrată şi existenţa descompunerii asigurată;
ii)	dacă polinomul/de grad n + 1 este reductibil, atunci există g, h e K [X], cu 1 < grad 0?) < n + 1 şi 1 < grad (h) < n + 1, astfel încât /= g ■ h. Conform ipotezei de inducţie, polinoamele g şi h se scriu ca produse de polinoame ireductibile, deci şi polinomul/ de grad n + 1, se va scrie ca un produs de polinoame ireductibile.
Demonstraţia unicităţii, abstracţie făcând de ordinea factorilor şi de asocierile în divizibilitate, o lăsăm ca exerciţiu.
Observaţie. Dacă în descompunerea în factori ireductibili, grupăm factorii asociaţi
în divizibilitate şi folosim scrierea cu puteri, obţinem, pentru orice polinom f e K [X] de grad > 1, următoarea formă:
/= //' ' j'21 •...•//', unde f g K [X\, i = 1,5, sunt polinoame ireductibile peste K, neasociate (în divizibilitate) două câte două, iar a/ g IN*, / = 1,5. în această scriere, polinoamele/,/>, ...,/ sunt unic determinate, abstracţie facându-se de asocieri în divizibilitate.
1.	Fie / e IR [X\f= X4 - 81. Avem următoarea descompunere în factori ireductibili peste IR: / = (X 2 + 9)(X - 3)(X + 3). Atunci conform observaţiei,
factori ireductibili ai lui / diferită de prima. Cele două descompuneri coincid, într-un sens mai larg, deoarece avem asocierile
şi este schimbată ordinea factorilor, ceea ce este permis, deoarece inelul IR [X\ este comutativ.
Exemple
scrierea/=	(\2X2 + 108)1 —X -1 Inu reprezintă o altă descompunere în
2.	Fie/e S5 \X\ ,/=X4+ 2IJ+4I+4.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
145
Descompunerile:
f- {X2 + 2)(X- 1)(X- 2) şi/= (X+ 3)(3X2+ Î)(X + 4)
coincid, deoarece X- î = X+4,X-2=X+3,X2+2 ~3I2+Î şi este schimbată ordinea factorilor, lucru permis în Z5[X].
Comentariu
Unicitatea descompunerii unui polinom în factori ireductibili, menţionată în teorema de mai sus, se referă la un corp K, fixat. Dacă descompunem acelaşi polinom peste un alt corp Kh atunci cele două descompuneri pot să fie diferite. De exemplu, polinomul / = A 4 - 2 este ireductibil peste corpul ©, are descompunerea f = (X - V2 )(A + V2 )(A 2 - 42) peste corpul IR şi descompunerea /= (X-V2XX+V2 )(X - V2 /)(X + V2 0 peste corpul <C.
exerciţii rezolvate
Să se studieze reductibilitatea polinomului/peste K, dacă:
1.	/eZ 7 [*],/= 3 I4+ 2 X2 +X + î; K = 7L7;
2.	/g S 3 [X],/=X4 + X2 + 2 X+ î;	X=Z3;
3.	/e IR [Xj, /=X3-8;X = IRşiX=C.
Rezolvări
1.	Cum/(1) = 0, rezultă că A"- 1 \f Aplicând schema lui Homer, obţinem /= (A- î)(3 X3 + 3X2 + 5 X + 6), deci/este reductibil peste TL 7.
Din/(4) = 0, rezultă că A- 4 |/, deci
f=(X- Î)(A- 4)(3A2+A + 2) = (A + 6)(A + 3)(3 A2+A + 2).
2.	Vom arăta că/ este ireductibil peste Z3. Deoarece/(a ) ^ 0, V â e 2Z3, rezultă că/nu se poate scrie ca g • h, unde g = X- ă şi grad (h) = 3. Presupunem că/= g • /?, unde grad (g) = grad (h) = 2.
Fie g =	bX + c şi h = mX2 + hX + p ; g, A e Z 3 [A]. Efectuând
înmulţirea obţinem: a • m = 1, cu soluţiile ă = m = 1 sauâ = m = 2. Atunci: i) dacă <5 = m = î, avem /= (A"2 + bX + c) • (A"2 + h A + p) =
= A4 + (6 + h ) • A3 + (/ +	• n +<5 )• A2 +
+ (6 •/+<:• â) • A+ c •/ .
146
Manual clasa a Xll-a
Identificând coeficienţii, avem ecuaţiile:
b + n = 0; p + b- n + c = \;b-p + c -n= 2 şi c p = l.
Din ultima ecuaţie avem:
11)	c = p = l =>b + n = 0 şi b + h = 2,fals;
12)	c = p = 2 => b + h = 6 şi 6 + /z = î,fals; ii) dacă â = rh = 2, avem
/=(22f2 + 6X + c) ■ (2Z2+	+ £) =
= X4 + 2 ■ (b + n)-Xi + (2 - p + b • h + 2- c) ■ X2 + (b ■ p + c • h)X + c ■ p . După identificare rezultă sisteme de ecuaţii incompatibile, deci / este un polinom ireductibil.
3./ = (.X- 2)(X2 + 2X + 4), peste corpul IR şi /= (X- 2)(X+ 1 - V3 • i )(X+ 1 + V3 • / ) peste corpul <C.
în cele ce urmează vom studia ireductibilitatea polinoamelor în inelele TL [X] şi © [X\. Pentra a formula criterii de ireductibilitate peste inelul TL sau peste corpul © vom introduce unele noţiuni noi.
Definiţie
Polinomul f eTL [X], f= a0 + a\ X + a2 • X1 + .. .+an * X" se numeşte polinom primitiv dacă singurul divizor natural comun al tuturor coeficienţilor lui/este 1.
Exemplvi
Polinomul /= 3X 5 + 5X4 + 2X 3 + 6X 2 + IX + 4 este polinom primitiv, deoarece c.m.m.d.c. al coeficienţilor săi este 1.
Observaţie. 1) Pentru orice polinom f g7L [X\f * 0, există d astfel încât
/ = d • /j, unde f este polinom primitiv. într-adevăr, dacă d este c.m.m.d.c. al coeficienţilor lui/, are loc această egalitate. De exemplu, /e TL[X\J=5X^ + \5X2- 10^+20 = 5 -(X3 + 3X2-2X+4) =
= 5 */i, unde f\ este un polinom primitiv.
2) Pentru orice polinom / e © [X\ f * 0, există m g ©, astfel încât f=m-f, unde/i este un polinom primitiv. Acest număr raţional m se obţine aducând la acelaşi numitor coeficienţii lui f De exemplu,/e © [X],
/= -X4+ -X2-—X+ - = — (20^4+ 12X2 - 25X + 10) =
3	5	12	6	60
= — •/, unde f\ este un polinom primitiv.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
147
Definiţie_____________________________________________________________
Fie f e TL [X\,/= a0 + a\X + a2X + . '..+anXn şi fie k e IN, k > 2. Polinomul
definit prin egalitatea f = ă0 + ă{ • X + ...+ăn • X11 e se numeşte polinomul redus modulo k al polinomului/_______________________________
Exemplu
Fie/e TL [*],/= 2007 + 2006A + 2004A2 + 2003A3.
Atunci polinomul/ e TL5 [X\, f = 2 + X+ AX2 + 3X2 este polinomul redus modulo 5 al polinomului/
Reamintim că inelul TLP [X], p număr prim, nu are divizori ai lui zero (este domeniu de integritate). Folosind acest rezultat să arătăm că produsul a două polinoame primitive/şi g este un polinom primitiv.
Presupunem că / • g nu este un polinom primitiv. Atunci există p e IN, p număr prim, care divide toţi coeficienţii polinomului/■ g.
Rezultă caf-g=bof-g=Q. Cum 7LP [X] este domeniul de integritate,
avem / = 0 sau g = 0, adică/şi g nu sunt polinoame primitive, ceea ce contrazice ipoteza.
Exemplu
Fie / g e TL [X],f= 1 + 2A • 3X2 + 5A3 şi g = 1 + IX2, două polinoame primitive. Atunci fmg = 1 + 2X + AX2 + 19X3 - 2LY4 + 35A5 este un polinom primitiv.
Următorul rezultat furnizează o metodă simplă pentru a stabili dacă un polinom feU [X] este ireductibil.
teoremă
Fie/= a0 + a\X+ a2X + ...+ anXn e TL [X\,p e IN,/? număr prim şip \ an. Dacă f = ăş + ăx • A+ ...+ ăn ■ X" e TLP [X] este ireductibil peste TLP, atunci/ este ireductibil peste TL.	__________________
Demonstraţie
Presupunem că/este reductibil peste TL, adică există
g,h e Z [X], grad (g) > 1, grad (h) > 1,
astfel încât/= g • h. Atunci / = g h. Cump \ a„, rezultă că grad (g) = grad (g), grad (h) = grad (h), deci / este reductibil peste 7LP, ceea ce contrazice ipoteza.
148
Manual clasa a Xll-a
exerciţiu rezolvat
Să se arate că polinomul/e 2 [X],f= 2008 + 2006X + 2005X2 + 2005X4 este ireductibil peste TL.
Rezolvare
Aplicăm teorema precedentă pentru p = 3; 3 \ 2005. Atunci / = 1 + 2X +
+ X 2 + X 4, f e TL 3 [X], care este ireductibil peste corpul 2Z3 (vezi exerciţiul rezolvat 2). Deci şi/este ireductibil peste TL.
Test t>e evaIvi^rc
("70p) 1. Fie/e © [X],/= X3 - 5. Să se arate că/este ireductibil peste © şi apoi să se descompună în factori ireductibili peste IR şi ©.
(10p) 2. Să se descompună polinomul X3 - 3 în factori ireductibili peste Z5 [X). (10 p) 3. Folosind polinomul redus modulo 2, să se arate că polinomul /e 2 [X], /= 2001 + 2003X3 + 2007X4 este ireductibil.
(10p) 4. Să se determine a e 23, astfel încât polinomul/ e 23 [X],
/=X4 + (a + î) X3 +X+2 să fie ireductibil peste 23.
Timp de lucru: 45 de minute
exerciţii propuse
1.	Să se descompună în factori ireductibili peste IR şi peste © polinoamele /=X4 + 4 şi g = X6 + 27.
2.	Fie f=K [X],/= X3 + pX2 + qX + r, astfel încât pentru orice a e K avem/(a) ^ 0. Să se arate că/este ireductibil peste K.
3.	Să se determine â e 2P, astfel încât polinomul fe TLP [X], să fie ireductibil peste 2/;, dacă:
a)	/e25[X],/= 3X4 + (2 â + 3)X2+ 4X+ î;
b)	/e 23 [X],/= 2X3 + (â + 2)-X+î.
4.	Fie/€ X [X] un polinom ireductibil şi fie g e X [X] un polinom oarecare, astfel încât/nu divide g. Să se arate că/şi g sunt prime între ele, adică (f,g)= 1.
5.	Fie f,g,heK [X], astfel încât f\ g ■ h şi (/ g) = 1. Să se arate că/| h.
149
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
6.	Fie / g K [X], / * 0 şi/* 1. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente.
a)	/este ireductibil peste K;
b)	oricare ar fi polinoamele g, h e K [X], astfel încât/ | g -h, atunci/1 g sau/ | h.
7.	Să se demonstreze unicitatea descompunerii din teorema de descompunere a unui polinom în factori ireductibili.
8.	Dacă/ € TL [X] este un polinom ireductibil peste Z, atunci/este ireductibil peste © (Gauss).
9.	Fie/= a0 + a\-X+ ...+ <v,X"~' + a„X" e TL [X],p e IN,p număr prim. Să se arate că dacăp divide toţi coeficienţii a0, au ..., a„_i şip nu divide a„, iarp2 nu
divide aQ, atunci / este ireductibil peste TL (criteriul de ireductibilitate al lui Eisenstein).
10.	Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile peste ©[*]:
a)	/e TL [X],/= 2X6 + 3X5 - 9X4 + 6^3 + 3Z+ 6;
b)	/e TL [X},f= 3X5 + 5X3 + 10X2 - 20X+ 5;
c)	/ s 2 [X\,j = XP 1 + Xp ~2 + ... + X+ \,p elN,/? număr prim;
d)	fţTL[X],f=Xu+Xil + ...+X+ 1.
11*. Să se arate că următoarele polinoame sunt ireductibile peste ®[x]:
a)	/e TL [X\,f= 2009 + 2007X + 2005X2 + 2003Z3 + 200IX4;
b)	/e TL [X],/= 11 - 3IX + 64X3 + 5X4.
3.4.	Rădăcini ale polinoamelor. Relaţiile iui Viete
Fie polinomul/e K [X\,f= a„ -X"+	1 + ...+ a,X+ a0 şi fie x e K,
un element oarecare.
Reamintim că /(x) = an • x + an_\• xn~ 1 + ...+ ci\-x + se numeşte valoarea polinomului f în x. Atunci când această valoare este egală cu elementul neutru (zero) al grupului (K, +), apare o noţiune centrală în studiul polinoamelor peste corpul K, şi anume cea de rădăcină a unui polinom.
In cele ce urmează vom prezenta principalele proprietăţi ale rădăcinilor, precum şi relaţiile dintre rădăcinile unui polinom şi coeficienţii săi.
Rădăcinile unui polinom
Definiţie________________________________________________________
Fie polinomul nenul / e K [X\ Spunem că a e K este o rădăcină a polinomului f dacă/(a) = 0.
150
Manual clasa a Xll-a
Exemple
b
1. Polinomul / e (C [X],f = aX + b, a ^ 0 are rădăcina a =-, deoarece
2.	Numărul a = i este rădăcină pentru polinomul / e <E [JY], /= X 3 + /, deoarece/(/) = /3 + / = -/ + / = 0.
3.	Polinomul/ e ZZ5 [yY],/= JY2 + î, verifică relaţiile: /(2) =/(3 ) = 6, deci ai = 2 şi a2 = 3 sunt rădăcini ale sale.
Folosind noţiunea de rădăcină a unui polinom nenul, se poate reformula teorema lui Bezout, astfel: numărul a e K este o rădăcină a polinomului f e K [X] dacă şi numai dacă X - a divide pe / în acest caz, există polinomul g e K [.X], astfel încâtf= (X-a) • g.
1.	Să se determine rădăcinile polinomului / e K [X], ştiind că a e K este o rădăcină a sa, dacă:
a)	f e m[X], f = X2 - 4 X2 + X + 6; a = - l,
b)	fe <E [X], f=X} + 2(2 - i)X2 + (3 - 8i)X- 6i; a = 2/;
c)	/e ZZ|| [2f], f=X2+X2 + 5X+ 4;a = î.
Rezolvare
Folosind schema lui Horner se găsesc următoarele câturi g ale împărţirii lui/ prin X- a:
a)	g = X2 - 5X+6;	x2 = 2,	x3 = 3,	X|=-l
b)	g = X2 + 4X+ 3;	x2 = -l,	x3 = -3,	x, = 2/
c)	g = X2+2X+7;	x2 = 3,	x3=6,	Xi = î
2.	Fie polinomul/e IR [Ar],/=	4 -	62f3 + 32f2	+ aX + b. Să se determine a,
b e IR, astfel încât/să se dividă cu X2 - 3X+ 2 şi să se afle apoi catul împărţirii. Rezolvare
Cum X2 - 3 X + 2 = (X- 1) • (X-2), aplicând teorema lui Bezout, trebuie să avem:/(1) =/(2) = 0. Se obţin ecuaţiile:
a + & = 2 şi 2a + 6 = 20 cu soluţia a=18şi6 = -16.
Câtul este h=X2 -3X-8.
a
exerciţii rezolvate
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
151
Rădăcini comune alepolinoamelor
Date fiind două sau mai multe polinoame dintr-un inel K [X] se poate pune problema rădăcinilor comune ale acestor polinoame. Un răspuns în acest sens este dat de următorul rezultat.
teoremă
Fie / g e K [X\ şi fie d e K [X], cel mai mare divizor comun al polinoamelor/ şi g. Atunci, rădăcinile comune ale lui f şi g sunt rădăcinile polinomului d.
Demonstraţie
Din definiţia lui d=(J\ g), rezultă că există polinoamele/, g} e K [X], prime între ele, astfel încât avem/= df şi g = d-g\.
Dacă a e K este o rădăcină a lui d, adică d{a) = 0, atunci avem /(a) = d{a)/,(a) = 0 şi g(a) = <i(a) g,(a) = 0.
Deci a este o rădăcină pentru / şi g. Definiţia lui d garantează faptul că polinoamele nu mai au şi alte rădăcini comune.
Observaţii. 1) Teorema rămâne adevărată şi pentru un număr oarecare n de polinoame, cu n > 2.
2) Rădăcinile comune a două polinoame/ şi g, se pot găsi şi din rezolvarea sistemului de ecuaţii: / (a) = 0 şi g(a) = 0, prin operaţii convenabile.
exerciţii rezolvate
1.	Să se determine rădăcinile comune ale polinoamelor f g e K [X], dacă:
a)	/geIR[X],/=X4 + 3X3 + 4X2-3X-5, g = 2Xî+ JiX'2'-2X- S;
b)	/ge!E[4 f=X3- 10Z2 + 23X- 14, g = 2X3 - 19^2 + 38 X -21; c )/,geZ7[4/=I3+ 2X2+ 6X+ 5, g = X3+ 2X2+ 3.Y+ 3.
Rezolvare
a)	Folosind algoritmul lui Euclid se obţine d = (f, g) = X2 - 1. Deci ai = 1 şi a2 = - 1 sunt rădăcinile comune ale lui/şi g.
b)	Fie a e IR, o rădăcină comună a polinoamelor/şi g.
Atunci, avem: g(a) - 2/(a) = a2 - 8a + 7 = 0 cu ai = 1 şi a2 = 7 rădăcini comune. Verificarea este imediată.
c)	Fie a e 2Z7 o rădăcină comună a lui/şi g. Avem:
/(a) - g(a) = a2 + 3 a + 2 cu rădăcinile aj = 1 şi a2 = 2.
152
Manual clasa a Xll-a
2.	Fie polinoamele fg eiC [X\,f= aX2 + bX + c şi g = a'X2 + bX + c'.
Să se găsească o relaţie între coeficienţii lui /şi g ştiind că polinoamele date au o rădăcină comună.
Rezolvare
Din/(a) = g(a) = 0, rezultă că d-f (a) - a • g(a) = 0, adică (a'/? - ab') • a = ac' - <z'c. Atunci:
i)	dacă db - ab' ^ 0, obţinem a = ——— .
a'b-ab'
Din/(a) = 0, avem relaţia (ac1- dcf - (ab1 - db) • (bc'-b'c) = 0;
ii)	dacă 6 - ab1 = 0, atunci a'c - /zc' = 0 şi relaţia găsită este verificată.
3.	Fie/ g e IR [X\,f= X4-2X1-X+ m şi g = X4 - 4X3 + 6X2 - 5X+ n. Să se determine m şi n ştiind că/şi g au două rădăcini comune întregi consecutive.
Rezolvare
Dacă a şi a + 1 sunt rădăcinile comune, atunci
/(a) -g(a) = 2a3 - 6a2 + 4a + m- /7 = 0şi
/(a + 1) -g(a + 1) = 2(a + l)3 - 6(a + l)2 + 4(a + 1) + m - n = 0.
Scăzând relaţiile obţinem ecuaţia a(a- 1) = 0, cu rădăcinile aj = 0 şi a2 = 1. Rezultă numai valorile convenabile m = n = 2 pentm a = 1.
exerciţii propuse
1.	Să se determine rădăcinile comune ale polinoamelor/ g e K [X\, dacă:
a) /,gGIR[^],/=Z3 + 3X2-X-3,	g = X4-X3+X-l;
b) /,geC[4/=^4-I3+I2-2I-6,	g = X3 + iX+2X+2i\
c)	/;g e ZZ5[X),f= X4 + 3X3+X2+ 2X+ 3, g = X3 + 2^2+ 4X + 3;
d) /geIR[X],/=Z6-64,	g = X4 - 16.
2.	Să se determine o relaţie între a şi b, astfel încât polinoamele / g e (E [X\, f=X3 + X2 + 2 X+ a şi g = X3 + X2 + X + b să aibă o rădăcină comună.
3.	Fie/ g e <C [X], f=X5 + 3X2 + mX+ n şi g = X4 - mX3 + 2X+ n - 1.
Să se determine m, n e (C ştiind că/şi g au rădăcina comună z.
4.	Fie/, g e IR [X], /=X3 + (/w + l)X2 + 2X+3« şig = X2 + 3X + 1.
Să se determine ra, n e IR, astfel încât/şi g să aibă două rădăcini comune.
5.	Să se afle rădăcinile polinoamelor / g e A/Y], ştiind că au rădăcini comune, dacă:
a)	/ g e IR [X], /=X4 - 2X3 -X+ 2,	g = X4- 4X3 + 6X2 - 5X + 2;
b)	/ g 6 <C [X], /= X4 + X,	g = X4 -X-3-X2 + 2X- 2;
c)	/ g e <C [X\, f= 2X5-X3- 54X2 + 27,	g = 2X4 + 13X2 - 7.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
153
Teorema fundamentală a algebrei (d’Alembert-Gauss)
Studiul existenţei rădăcinilor unui polinom şi găsirea metodelor de determinare a acestor rădăcini au constituit multă vreme unul dintre obiectivele principale ale algebrei. O parte dintre rezultatele obţinute în acest sens, pentru cazurile particulare ale mulţimilor (E, IR, ©, TL şi TL p vor fi prezentate în paragrafele care urmează.
teorema fundamentală a algebrei_________________________________
Orice polinom / e (E [X] cu grad (/’) > 0 admite cel puţin o rădăcină complexă.
Admitem fără demonstraţie această teoremă, deoarece nu se cunosc demonstraţii elementare ale sale.
Observaţie. Teorema enunţată este una de existenţă, oricare dintre demonstraţiile cunoscute neindicând vreun procedeu de obţinere a rădăcinilor, pentru cazul general. Astfel, se cunosc formule de determinare a rădăcinilor, exprimabile prin radicali, pentru polinoame de grad < 4, publicate încă din anul 1545 de către Gerolamo Cardano. încercările ulterioare ale matematicienilor de a găsi formule de rezolvare pentru polinoame de grad > 4, au fost zadarnice. Răspunsul (negativ!) a fost dat de o altă teoremă celebră (Abel-Ruffini) care afirmă că nu există formule cu radicali, formate cu coeficienţii polinomului, pentru obţinerea rădăcinilor (excepţie făcând anumite polinoame particulare). De exemplu, polinomul / e (E [X\, f = crX 2 + b -X + c; a ^ 0, are două
rădăcini, date de formula ai 9 =—unde A = b1 - 4 ac.
2a
Revenind acum la polinoamele ireductibile vom stabili o legătură între acestea şi teorema fundamentală a algebrei.
Propoziţie	___________
Polinoamele de grad 1, din (E [X\ sunt singurele polinoame ireductibile peste corpul (E.
Demonstraţie
Intr-adevăr, fie/e (E [X] un polinom ireductibil. Cum grad (/) > 1, conform teoremei fundamentale a algebrei, există a e (E, astfel încât/(a) = 0. Din teorema lui Bezout avenn/= (X- a) • g, unde g e (E \X\. Cum g \f rezultă că g = 1, deci grad (/) = 1. Pe de altă parte, am arătat că orice polinom de grad 1, dintr-un corp K [X\ este ireductibil.
154
Manual clasa a Xll-a
Consecinţă
Aplicând teorema de descompunere în factori ireductibili, obţinem, din această propoziţie că orice polinom f grad (f) > 1 din (E [X\ se descompune, în mod unic, într-un produs de polinoame de grad 1, peste corpul (C.
Exemple
1.	f= X4 + 5X2 + 4 = (X- i) ■ (X+ i) ■ (X- 2i)iX+ 2/);
2.	/= 64Xb- 1 = (*- 2) • (*+ I) ■ (4X+ 1 -/ V3 ) •
• (4X+ 1 + iS) ■ (4X- 1 + / ■S) • (4X- 1 - / V3 );
3.	/= 9X4- 6/ -X3 + 80X2- 54/ -X-9 = (3X- if(X+ 3 i)(X- 3 /).
Propoziţie______________________________________________________________
Polinoamele ireductibile din inelul IR [X\ sunt de gradul 1 şi respectiv de gradul 2 care nu au rădăcini reale.
Demonstraţie
Intr-adevăr, în exemplele şi exerciţiile rezolvate anterior am arătat că polinoamele de gradul 1 şi cele de gradul 2 care nu au rădăcini reale sunt ireductibile peste IR. Fie acum/ e IR [.X\, cu grad (/) > 2, un polinom ireductibil peste IR; vom arăta că, în mod necesar, grad (/) = 2 şi că / (a) * 0, V a e IR. Conform teoremei fundamentale a algebrei, există a e (E, a = a + bi, a, b e IR, astfel încât / (a) = 0. Evident, a g IR, căci, în caz contrar, din teorema lui Bezout am avea X— a |/în inelul IR [X\ deci /ar fi reductibil peste IR., ceea ce contrazice ipoteza. Aşadar a e (E \ IR şi cum/ e IR [X\, arătăm că/(a) = 0, unde a este conjugatul numărului complex a. Intr-adevăr, dacă /= anXn + an.. i X” ~ 1 +...+ a\X+ a0% n > 2 şi a = a - 6/; a, b e IR, avcm/(a) = an(a-bi)" + a/7_ i (a- bi)n~l + ... + a\ (a - bi) + a<>= f (a) = 0=0.
Deci polinomul/se divide cu g = (X- a)(X- a) în inelul (E [X\.
Dar g = X2 - (a + a) X + aa = X2 - 2aX + a2 + b2 e IR [X], adică există h € IR [X], astfel încât / = g • h. Cum / era ireductibil peste IR, este necesar ca
h ~ 1 şi astfel/ ~ g, adică/este de gi*adul 2 şi are rădăcinile complexe nereale a şi a . Consecinţă
Folosind teorema de descompunere în factori ireductibili, rezultă, din această propoziţie, că orice polinom f grad (/) > 1 din IR [X] se descompune peste IR într-un produs de polinoame de grad 1 şi polinoame de gradul 2 fără rădăcini reale.
Exemple
1.	/ = X6- 1 =(X- 1)(X+ 1)(X2-X+ 1)(X2 + X+ 1);
2.	g = X4-3X3 + 4X2 + 8X+4 = (X-2)2 (X2 + X+ 1);
3.	/z=X5-7X3-2X2+ 14 = (X-V7 )(X+V7 )(X- \[2 )(X2 + ijl X+ V4 ).
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
155
exerciţii rezolvate
1. Aplicând teorema lui d’Alembert-Gauss să se arate că dacă / e C [X], grad (/’) > 2, atunci funcţia polinomială asociată / : (C (C, / (x) =/(x), V x e (£, este surjectivă.
Rezolvare
Pentru orice e CC, există x e (E, astfel încât / (x) = v, deoarece, conform teoremei fundamentale, polinomul g -f-y are cel puţin o rădăcină complexă.
2.	Fie/, g g (C [A]. Să se arate că/şi g sunt prime între ele dacă şi numai dacă nu au nici o rădăcină comună.
Rezolvare
Presupunem că (f, g) = 1; atunci există «,v€(C [X], astfel încât u •/+ v • g = 1. Rezultă că nu există a e (C, cu/(a) = g (a) = 0. Reciproc, dacă/şi g nu au nici o rădăcină comună, atunci nu există a e (C, astfel încât A- a |/şi X- a | g, deci/şi g nu au factori comuni (până la o constantă), adică sunt polinoame prime între ele.
3.	Să se descompună peste IR în produse de polinoame de gradul 1 şi polinoame de gradul 2 fără rădăcini reale, polinomul/ dacă:
a)	/e <S[X\,f= X* + X2 + 1;
b)	fzM{X\J=Xb+XA + X2+\-
c)	/e IR, [X\,f=X6 + X5 + 3X4-4X2-4X- 12.
Rezolvare
a)	/=(I4 + 2I2+ l)-X2 = (X2 -X+ \){X2+X + 1);
b)	(X2+ I)(Z4+ 1) = (X2+ 1)(X2-V2X+ 1)(A'2+ 4ÎX+ 1);
c)	/= (X- 4l )(X+ 42 )(X2 + 2)(X2 + X+ 3).
Rădăcini multiple ale unuipolinom
Fie/e AT [X\ şi a e K o rădăcină a polinomului/ Cum/(a) = 0, din teorema lui Bezout avem X- a \f Este posibil să avem şi (X- a)21 f (X- a)3 \f etc.
Exemplw
Dacă / e <C [X},f= (X- 1 f(X2 + 3X+ 5), atunci {X- 1 )21/
156
Manual clasa a Xll-a
Definiţie
Fie / g (C \X\ un polinom nenul şi fie a g (C o rădăcină a lui / Numărul natural k > 1 cu proprietăţile că (X - a)k divide pe/şi (X - a)Â+l nu divide pe/ se numeşte ordinul de multiplicitate al rădăcinii a.
Dacă k = 1 atunci a se numeşte rădăcină simplă. Dacă k > 1, atunci a se numeşte rădăcină multiplă; dacă k = 2, 3, atunci a se numeşte rădăcină dublă, triplă, ...
Exemple
1.	Fie / e (E [V|, f=X4 — 2i-X2 — (\ — i) -X2 + 2X- i. Să determinăm ordinul de multiplicitate al rădăcinii a = i.
Observăm că/(/) = 0, deci X - i |/ împărţind polinomul/prin X - i găsim f= (X - i){X3 - iX2 + iX + 1) = (X - i) • g. Cum g (/) = 0, rezultă că X - i | g şi găsim g = (X-i)(X2 + /). Deci/= (X- if -(X2 + i) = (x- i)2 • h.
Cum h (/) = - 1 + /’ ^ 0, rezultă că X - i nu divide pe h, deci (X - i)2 nu divide pe/ Rezultă că a = i este rădăcină dublă a polinomului/
2.	Fie/G 2Z5[Ar]?/= 3 X3 + X2 + b\ a , 6 g ZZ5. Să determinăm ă şi 6 , astfel încât a = 1 să fie rădăcină dublă a lui/
Din/(1) = 0, obţinem ecuaţia ă + b = 1, adică i = 1 - ă . împărţind/prinX- î, găsim/= (X- î )(3X2 +	+ ă + 4) = (Jf- î) -g.
Condiţia g (1) = 0, conduce la soluţia ă = 4, de unde avem 6 = 2. într-adevăr/= (X- î)2-(3Ar+ 2)= 3X3+X2+ 4^r+ 2.
Observaţie. Dată fiind legătura dintre teorema lui Bezout, rădăcinile multiple ale unui polinom şi divizibilitatea polinoamelor, schema lui Horner devine un instrument simplu pentru stabilirea ordinului de multiplicitate a unei rădăcini.
Exemple
1.	Să determinăm ordinul de multiplicitate al rădăcinii a = 1 pentru poli-nomul/e <C [X\, f=X5 - 4X4 + IX1 - 13X2 + 12X-4.
Aplicând, repetat, schema lui Horner pentru a = 1, avem tabelul următor.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
157
Deci a = 1 este rădăcină triplă, deoarece s-au obţinut trei resturi consecutive egale cu zero. în plus, putem scrie/= (A- l)3 • (A2 + 4).
2. Fie polinomul/e Z7 [X],/= 5X5 + 3X3 + âX2 + bX + c. Să determi-
năm a , b şi c , astfel încât ă = 2 să fie rădăcină multiplă de ordinul 4 al lui/
Vom aplica, repetat schema lui Horner de 5 ori, impunând condiţiile ca primele patru resturi să fie nule, iar al cincilea nenul. Avem următorul tabel:
	X5	X4	X3	X2	X1	X
						
	5	0	3	a	b	C
2	5	3	2	<7+4	2 ă-\- b + î	45 4- 26 + c + 2 = 6
2	5	6	6	â + 4	4ă + b + 2 = 6	
2	5	2	4	ă + 5 — 6		
2	5	5	o> II o>			
2	5	î * 6				
Obţinem valorile: a = 2; 6 = 4; c = 3 . Putem scrie f=(X~ 2 )4 • (5 X + î ) sau/= (X + 5 )4 • (5 X + î ).
Un instrument eficace de determinare a ordinului de multiplicitate pentru rădăcinile unui polinom /este dat de conceptul de derivată a funcţiei polinomiale asociată lui f
în acest scop, reamintim definiţia funcţiei polinomiale asociată unui polinom / dat sub forma sa algebrică.
Fie/e K \X\,/= anXn + an.. \ • Xn~1 +.. .+a\-X + a{). Atunci funcţia / \ K-+ K, astfel încât / (x) =/(x) = an-xn + a,7_ i • x ~1 +...+a\-x + a0, V x e K, se numeşte funcţie polinomială asociată lui / Pentru simplitate, vom nota funcţia / tot cu/ derivata de ordinul 1 cu/'şi presupunem cunoscută regula de derivare: f\x) = ivan'X~ 1 + (/7 - 1) • an - i *xn~2 +...+ 2 ayx + a\; x g K. Următoarea teoremă ne va oferi un instrument simplu pentru stabilirea ordinului de multiplicitate a rădăcinilor unui polinom.
teoremă
Fie / e K [X] şi a e K o rădăcină a lui / Atunci a este o rădăcină de ordinul k > 2 a lui/dacă şi numai dacă a este o rădăcină de ordinul k - 1 a polinomului/'.
Demonstraţie
Dacă a este o rădăcină multiplă de ordinul k a lui/ atunci/= (A - a/ • g, g g K [A], g (a) ^ 0. Derivând, avem:
/' = k(X-a)*-■•£ + (X- a)" • g' = (X- a)* -1 • [*• g +(X - a) • g'] =
= (X- a )* ~ 1 • h, unde h = k • g + (X- a) ■ g'.
158
Manual clasa a Xll-a
Cum h(a) = k ■ g(a) + (a - a) ■ g'(a) * O, rezultă că a este rădăcină multiplă de ordinul k - 1 pentru/'. Reciproc, presupunem că a este o rădăcină multiplă de ordinul k- la polinomului /' şi fie k ' ordinul de multiplicitate al rădăcinii a pentru polinomul/ Conform primei părţi a demonstraţiei a este o rădăcină multiplă de ordinul Ic' - la lui/'. Deci k - 1 = k ' - 1, de unde k ' = Ic.
Exemplu
Polinomul/= (A- l)3 • (A + l)2 • A4 are rădăcinile 1, - 1 şi 0 cu ordinele de multiplicitate 3, 2 respectiv 4. Atunci:
/' = 3(X- 1)2-(X+ l)2 • X4 + 2(X- l)3 • (A+ 1) • X4 +
+ 4(X- l)3 ■ (A + l)2 ■ A3 =
= 9(A- l)2 • (A + 1) • X3 -(9A2+A-4).
Rezultă că rădăcinile 1, - 1 şi 0 au ordinele de multiplicitate 2, 1, respectiv 3 pentru/'.
Consecinţă
Fie / e K [A] şi a e K. Elementul a este rădăcină multiplă de ordinul k a lui/dacă şi numai dacă/(a) =/'(a) =/"(a) = ... =f(k~ ])(a) = 0 şi/W) (a) * 0.
Demonstraţia se face prin inducţie după k e IN* şi o propunem ca exerciţiu.
exerciţii rezolvate
1.	Folosind derivatele funcţiei polinomiale să se determine ordinele de multiplicitate ale rădăcinii a pentru polinomul/ dacă:
a)	/g ©[A], /=A5-5 X4 + 7Xl-2X2 + 4X-8, a = 2;
b) fem{X},f=X3"-n-X', + 2 + n-X"-l-\, n> 2,	a=l;
c) / eE[4 f=X2n~n-Xn + ] +n-X"~' - 1, n> 1,	a= 1.
Rezolvare
a)	Avem/(2) = 0; apoi/' = 5Ar4-20A3 + 21A2-4A+4şi/'(2) = 0. Cum/" = 20 A3 - 60 A2 + 42 X-4 şi/"(2) = 0, iar/'" = 60 A2 - 120 A + 42, cu f'"(2) ^ 0, rezultă că a = 2 este rădăcină triplă a lui/
b)	Avem, succesiv:/(l) = 0;/' = 3n -X3”~l - n(n + 2)'Xn'r 1 + n (n - 1)- Xn~2\ /'(1) = 3n - n2 - 2n + n2 - n = 0;
/"(l) = 3n(3n - 1) - n(n + l)(n + 2) + n(n - 1 ){n - 2) =
= 2>n~ -3n = 3n{n -1)^0 pentru n > 2.
Deci a = 1 este rădăcină dublă.
c)	/(l) = 0;/' = 2n ■ X2n ~'-«(« + 1)-A" + n(n - 1)- An'2;/'(1) = 0;
f" = 2n(2n- 1)-A2” "2 - n\n +1)- X"~1 + n(n - 1)(« - 2) ■Xn~*\f"(\) = 0; /'"(1) = 2n(2n - 1)(2« - 2) - n2(n2 - 1) + n{n - 1 )(n - 2)(n - 3) * 0; V n > 1. Deci a = 1 este rădăcină triplă.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
159
2.	Să se determine numerele reale a şi b, astfel încât polinomul/e IR [X], f= crXn "2 + bXn" 1 + 2 să fie divizibil cu (.X- l)2.
Rezolvare
(X- l)2 | f o a = 1 este rădăcină dublă a lui/
Deci/(1) =/'(l) = 0 <=> a + b + 2 = 0 şi (n + 2)ct + (n + 1)/? = 0.
Se obţin valorile a = 2/7 + 2 şi b = - 2/7 - 4.
3.	Fie / e IR [A], /- A4 - 4 X3 + aX + b. Să se determine a, b e IR, astfel încât polinomul/să aibă o rădăcină triplă.
Rezolvare
Dacă a e IR este o rădăcină triplă, avem relaţiile:/(a) =/'(a) =/"(a) = 0 şi /,,,(a) ^ 0. Obţinem ecuaţiile:
a 4 - 4a3 + a-a + £> = 0; 4aJ - 12a2 + a = 0; a2 - 2a = 0;
Avem două cazuri:
i)	a = 0 => a = 0; b = 0;
ii)	a = 2 => a = 16; b = - 16.
Folosind noţiunea de rădăcină multiplă a unui polinom se pot obţine o serie de rezultate privind descompunerea polinoamelor în factori ireductibili.
Astfel, avem următoarea teoremă şi consecinţele sale care sunt foarte utile în aplicaţii.
teoremă___________________________________________________________________
Dacă ah a2,..., ar sunt rădăcini ale polinomului nenul / e (C [X] având ordinele de multiplicitate /ch /c2, ..kn atunci produsul
{X- d\ )*' - (2f- a2/2(Z- a,.)/c' divide pe/
Demonstraţia se face prin inducţie după r e IN.
Exewplv*
Fie / e IR [A]. Dacă numerele reale 2, 3 şi -1 sunt rădăcini cu ordinele de multiplicitate 4, 2 şi, respectiv 3 atunci produsul (.X- 2)4 • (.X- 3)2 • (.X + l)3 |/
Consecinţa 1
________2------------------------------------------------------—     ——■—
Orice polinom/ e (C [X\ de grad n > 1 are n rădăcini (nu neapărat distincte;
o	rădăcină se repetă de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate). Demonstraţie
într-adevăr, dacă ai, a2)..a,, sunt toate rădăcinile lui/care are gradul n, atunci, conform teoremei, există un polinom ged [X], g ^ 0, astfel încât f=(X-ai)-(X-a2)...,(X-ar)-g.
160
Manual clasa a Xll-a
Dacă grad (g)> 1, atunci aplicând teorema fundamentală a algebrei obţinem că g are o rădăcină otr + j care este evident rădăcină şi a lui f Deci/ar avea r + 1 rădăcini, contradicţie. Rezultă că grad (g) = 0 şi deci g = a s <E.
Atunci/= a (.X- a/ • (X- a2)... (X- a,.), de unde avem r = n.
Consecinţa 2_______________________________________________________________
Fie/ e (C [X], f= a0 + tfi-A + a2X2 + ...+ an Xn un polinom cu an^0, n> 1. Dacă ah a?,..a„ sunt rădăcinile lui f atunci/= an (X- ai) • (X- a2).. .(X- a/7), iar această descompunere în factori liniari este unică.
Intr-adevăr, din consecinţa 1 rezultă a an.
exerciţii rezolvate
1.	Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor/ g e K [X\, dacă:
a)	./; gel \X\J= (X+ 1)3(X- lf (X- 3)(X- 1) şi g = (X- 1)2(X+ 1)(A- 7 )3;
b)	/ gel fX],/= (X- if(X+ 2if(X+ 1) şi g = (X- i)(X+ 2i)\X+ l)3.
Rezolvare
La fel ca şi în cazul numerelor întregi, un c.m.m.d.c. al polinoamelor/şi g este produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică. Avem:
a)	(/; g) = (X + l)(X- 1)\X- 1) = (A2 - 1)(X2 - \4X + 49) =
= X4- 15X3 + 48A2 + 14A-49;
b)	(/g) = (A-/)(A+2i)2(A+l).
2.	Să se scrie polinomul de grad cel mai mic care are rădăcina simplă 1, dublă -2 şi triplă 5.
Rezolvare
Avem/ = a(X- 1)(A+ 2)\X- 5)3.
3.	Fie /'getD [X\, cu grad ( /) = grad (g). Atunci /şi g au aceleaşi rădăcini dacă şi numai dacă/şi g au coeficienţii proporţionali.
Rezolvare
Fie/= a0 + ct\-X+ a2-X2 + .. ,-i- a„■ X", a„ ^ 0 şi
g = bo + b\-X + b-rX 2 + ...+ b„X ", b„ & 0. Presupunem că /şi g au aceleaşi rădăcini x\, x2, .Atunci, putem scrie:
/ = a„ ■ (X-x,) ■ (X-x2)... (X-x„) şi g = b„ ■ (X-xt) ■ (X-x2)... (X-x„),
de unde obţinem/= — • g o / = k ■ g <=> a, = k ■ bf, V / = 0, n . b„
Reciproc, dacă a, - k • bf, V / = 0,n , rezultă/= k ■ g; k & 0, adică/şi g au aceleaşi rădăcini.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
161
(lOp)
(10 p)
(10 p)
(lOp)
^Lest de evaluare
1.	Să se determine rădăcinile comune ale polinoamelor/, g e IR. [X], /=X3 + 4X2+X-6,g = X4 + 5X3 + 8X2+ 10X + 12.
2.	Fie/ e Z3 [X], /=X4 + 2X3 + âX2+ b, ă,b e S5. Să se deter-
mine a şi b , astfel încât a = 2 să fie rădăcină dublă a polinomului/
3.	Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor/, g e IR [X\
/= (*2 - 1)V3 - !)(*- 2) şi g = (X- \)\X-2)5.
4.	Fie/ g e © [X], /= 2X3 + mX2 - 2X+ «şi g=X3 + (m - 1) X2 - X+ n + 1. Să se determine m, n e © ştiind că/şi g au aceleaşi rădăcini.
Timp de lucru: 45 de minute.
exerciţii propuse
1.	Să se determine rădăcinile comune ale polinoamelor fgeK [X], dacă:
a)	/ g e <C [X], /= 6X6 - X5 - 6X4 + 4X3 + 8X2 - 7X+ 2 şi
g = 2X5-X4- 10X3+ 15X2-9X+2;
b)	/geC[4/=I5-T4 + 2I! + l şig = X2-X+ 1.
2.	Fie/ g e IR [X], /= X4 + aX2 + &X+ 2 şi g = X3 - 3 X+ 2c.
Să se determine a, b, c e IR, ştiind că/şi g au o rădăcină dublă comună.
3.	Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinii a pentru polinomul/
dacă:
a)/e E [X], /= n • X',+ 1 - (« + 1) • X" + 1, a = 1;
b )/e25(4/=I4+ 4X3 + 2X2 + 3,a = î;
c)	/el[l], f=X6- 6X5 + 12X4-9X3 + 6X2 - 12X+8, a = 1;
d)	/eE[4 f=X5+X4- 2X3 -2X2 +X+ 1, a = - 1.
4.	Fie/ g e <C |X],/=X3 + X2 + aX+ 6 şi g = 2iX3 - 2X2 + (2a + \)X+2 - b. Să se determine a, b ştiind că/şi g au aceleaşi rădăcini.
5.	Fie/ g e E [X], /= X3 - IX + a şi g = X4 + 3X3 - 3X2 - 11X+ b.
Să se determine a, b, e IR, astfel încât polinoamele / şi g să admită două rădăcini comune.
6.	Fie/ e (E [A/ grad (/) = n. Dacă polinomul /se anulează pentru n + 1 valori distincte, atunci /= 0 (polinomul nul).
7.	Să se determine relaţia întrep şi q, astfel încât polinomul fe IR [X], f=X3 + pX + q să aibă o rădăcină dublă.
162
Manual clasa a Xll-a
8.	Fie/e IR [X], un polinom de grad n care este divizibil cu derivata sa/'.
Să se arate că/este de forma: / - — {X- c)f\ a, c e IR.
n\
9.	Fie/;g e IR [X], f=X5 + a-X2 + b-X+ 1 şi^ = Z5 + mX2 + n ■ X+ 1.
Să se arate că dacă/şi g au o rădăcină dublă comună, ele au toate rădăcinile comune.
10*. Fie/e IR [X\, un polinom de grad n9 cu rădăcinile reale şi distincte x\,x2,.. .,xn. Să se arate că derivata lui/are rădăcini reale şi distincte.
X X2
11*. Să se arate că rădăcinile polinomului f e IR, / = 1 + — +	+ • •
n\
sunt
simple.
Relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii unui polinom (Viete)
Fie f&K [X\ ,f= a,X" + a„ _ \X" ~ 1 + ...+ atX + a0, a„ * 0, un polinom de gradul n, care are rădăcinile ot|, ot2, ..., a/7 (nu neapărat distincte). Am arătat în paragraful precedent că/se scrie în mod unic sub forma: f=aniX-al)-(X-a2)-...-(X-an).
Intre coeficienţii polinomului / şi rădăcinile sale există, anumite relaţii, cunoscute sub numele de formulele lui Viete.
Considerăm mai întâi cazurile particulare n = 2 şi n = 3.
a)	/= a2 X2 + ci\ X+ a0 = a2(X- ai)(A- a2) = a2[X2 - (ai + a2)A + aia2].
Identificând coeficienţii, obţinem: ai + a? = - — şi aj-a? = —.
a2	a2
b)	Dacă/= a3X3 + a2X2 + <ar, A+ a0 = (X- a0 (.X- a2) (X- a3) -
= a2 X3 - a3(aj + a2 + a3)X2 + a3(aia2 + aia3 + a2a3)X- a3aia2a3, prin identificarea coeficienţilor, obţinem:
a2
a, +a2+a3 =—-a3
a\
<a,a2 +a,a3 + a2a3 . a,a9a3 =
Exemple
1.	Fie / e <C [X\, /= 3	2 -	+ 10 şi notăm cu *i şi x2 rădăcinile sale.
Atunci, obţinem: x\ + x2 = 2/ şi x\ x2 = — .
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi Tntr-un corp comutativ
163
2.	Fie g e IR [X\, g = 2 X3 + 4Î • X: rădăcinile sale. Avem:
A
2
1	+ V3
-(1 + ^)-X-6şixu
X2 Şl x3
X, + x2 + x3
XjX2 + x,x3 + X2X3 = —
x,XşX3 = 3
cteoremă (formulele lui Viete)
Fie/e <C [X\,f= a„X" + a„_ X"~1 + a„-2Xtt~2 + ...+ a0; a„ * 0.
Numerele complexe oti, a2,..., an sunt rădăcinile lui/dacă şi numai dacă verifică relaţiile:
OCj + CX-} +----------+ (X /7 — -
'•n-l
a,a2 +a,a3 +.... + a,,_1a„ =-
an-2
(*)
a,a2... a* +a,a2 ... ak_{ak+[ + ... + an_k+lan_k+2 ...a„ =(-!)*
a,a2... a„ =(-!)"
Demonstraţie
în relaţia/^ an(X- a,|)(A"- a2) ... (X- an) se efectuează înmulţirile apoi se identifică coeficienţii şi obţinem relaţiile (*).
Reciproc, presupunem că a]? a2, ..., a/7 satisfac relaţiile (*) şi considerăm polinomul g = (X- ai)(A"- a2) ... (X- a/7)
Efectuând înmulţirile obţinem:
g = Xn - (ai + a2+ ...+ an)X”~1 + (aia2 + aia3 + ... +a„_ ja„ )Xn~2 + ...+ ... + (- I)'7 aja2... a„. înlocuind în g relaţiile (*) deducem că:
g = X" + ^±xn~' + ^±xn~2 + ... +	=
q n	an	ctn
= — {a„-Xtt + a„_ r X”~ 1 + ... + a0) = -1- •/
a„
Din ultima egalitate rezultă că ai, a2,..., a„ sunt rădăcini şi pentru f
164
Manual clasa a Xll-a
Observaţii. 1) Relaţia de ordinul k din (*) are în membrul stâng Ckn termeni ce sunt produse de k factori. De exemplu, pentru n = 4, cele patru relaţii au, respectiv, 4 termeni, 6 termeni, 4 termeni şi respectiv 1 termen.
2)	Relaţiile (*) se numesc relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii poli-nomului/sau relaţiile (formulele) lui Viete.
3)	Relaţiile lui Viete sunt foarte utile în aplicaţii unde se cere să se determine rădăcinile unui polinom atunci când se cunoaşte o relaţie suplimentară între rădăcini. Vom nota în continuare, rădăcinile polino-mului/cu X], x2, xm aşa cum se obişnuieşte în majoritatea manualelor şi culegerilor de probleme.
rc+w#
IM Exerciţii rezolvate
1.	Fie/s <E[X], f=Xi - 6X2 + (12 - 4i)X + 16/- 16.
Să se determine rădăcinile lui/ştiind că suma a două rădăcini este 2.
Rezolvare
Relaţiile lui Viete şi condiţia suplimentară sunt:
X\ + x2 + x3 = 6
x,x2 + xlx3 + x?x3 =12-4/
<
x,x2x3 = 16-16/ x{ + x2 = 2
Obţinem x3 = 4, de unde x\ x2 = - 4/ + 4. Rădăcinile x{ şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 - 2x - 4/ + 4 = 0, de unde x\ = 2 + 2/ şi x2 = - 2/.
2.	Fie/e IR [X\,f=XA - 10X3 + 35 X2 - 50 Z+ 24.
Să se determine rădăcinile lui/ştiind că x\ + x2 = x3 + x4.
Rezolvare
Vom scrie „grupat” relaţiile lui Viete:
X, + x2 + X3 4- x4 = 10
(x, +x2)(x3 +x4) + XjX2 +x3x4 =35
<
XjX2(x3 + x4) + x3x4(x, + x2) = 50 x,x2x3x4 = 24
Pentru simplificare vom nota: S = x\ + x2; S '= x3 + x4; P = xjx2 şi P ’ = x3 x4. Atunci avem: S = S ' = 5; 25 + P + P ' = 35; PP ' = 24, de unde rezultă P = 4 şi P ' = 6. Polinomul are rădăcinile: x\ = 1; x2 = 4; x3 = 2 şi x4 = 3.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
165
3.	Fie/e IR [X\, f=X3 + a-X2 + bX + c având rădăcinile xl5 x2, x3. Notăm:
S/(— Xy -h X 7 + X-ţ (k > 0).
a)	Să se determine în funcţie de a, b şi c sumele S0, Si, S2 şi 53.
b)	Să se arate ca Sn + 2 + a ’ Sn + 2 + b ■ S n + \ + c • Sn = 0, n e IN.
Rezolvare
Formulele lui Viete sunt:
S{ = x2 + x2 + x3 = -a < xxx2 + XjX3 + x2x3 = b x,x2x3 = -c
Avem:
S2 = x2 + x\ + x2 = (xi + x2 + x3)2 - 2(xix2 + XjX3 + x2x3) = a - 2b.
Pentru a calcula S 3, înlocuim în polinom pe X cu xj, x2 şi x3.
Obţinem:
/(Xj) = x,3 + ax2 +bxx+c = 0 < /(x2) = x3 + ax2 + bx2 + c = 0 (*)
/(x3) = x3 + ax] + bx3+c = 0
Adunând relaţiile (*) rezultă 53 +	+ bS\ + 3c = 0, de unde
St, = — a(a2 - 2b) + ab - 3c = - a3 + 3ab -3c.
b)	înmulţind relaţiile (*), respectiv cu x", x2 şi x3 şi adunând egalităţile obţinute, găsim relaţia de recurenţă:
Sn +. 3 + C7 *	2 b ' S n -t. \ + c ■ iS^ = 0, V 77 g IN,' S0 = 3.
4.	Fie polinomul / e (E [Af], /= Ar3 + cf-Ar2 + £>-X+c, c^O având rădăcinile X|, x2 x3 g (C*.
Să se scrie polinomul g care are ca rădăcini
Rezolvare
Metoda 1
_1_
*1
1 . 1
— Şi —
x2 x3
^ _ 1 1 Daca notam y \ - — , y2 = — şi y3
polinomul g sunt:
y\ +^2 + ^3 =■
y\y2 +^1^3 + y2y2 =
X,
x(x9 + x,x3 + x0x3
='
J___
x,x2x3
XfX2X3	c
x, + x2 + x3 _ a
x,x2x3 c
, atunci relaţiile lui Viete, pentru
-; c =£ 0
166
Manual clasa a Xll-a
Obţinem polinomul g e <£[Y], g = Y3 + — - Y2 + — ■ Y + — =
CCC
= ~(cY3 + bY2 + aY + 1). c
Metoda 2
Relaţia dintre rădăcinile polinoamelor/şi g poate fi scrisă Y= — sau X= — .
X	Y
Atunci/= /(I +a - Y+b■ Y2 + c ■ F3),decig = c- Y3 + b ■ Y2 + a■ Y+ 1.
5.	Fie polinoamelef g e (C [X\, f= X6 + X3 + 1, cu rădăcinile x2,..., x6 e CC şi g = X2 + X+ 1, cu rădăcinile^1,^2 e
a)	Să se determine câtul şi restul împărţirii lui / la g.
b)	Să se calculeze suma f(y\) +f (y2).
c)	Să se calculeze suma g(xj) + g{x2) + ... + g(x6).
Rezolvare
a)	Se obţine câtul q = X4 -X3 + 2X+2 şi restul r = 3.
b)	Din relaţiile lui Viete, avem: y\ + y2 = - 1; y\ y2 = 1; y] + ,y2 = 2 şi
yf + yb =2. Rezultă/O,) +f(y2) = yf + y2 + y3 + y3_+2=6.
c)	g (x,) + g (x2) + ... + g (x6) = X2 + x\ +... + xl + X, + *2 + • • • + X6 + 6 = 6, deoarece primele două relaţii ale lui Viete pentru polinomul/au în membrul drept zero.
exerciţii propuse
1.	Să se determine rădăcinile polinomului / e K [X], relaţia suplimentară între rădăcini fiind cea indicată, dacă:
a) /e IR [A], / = 4A° - 12 A2 + 11 X- 3;	x, + x2 = 2x3.
b) /e <C [A], f=X4 + 2X3 + 2X2+10X+ 25;	x, ■ x2 = x3 • x4.
c)	/e IR [A], f =X3 + (1 -2V2 )X2 + (5V2 -6)X+ 14 V2 -20;	x,,x2,x3.
sunt în progresie geometrică.
d)	/e <C[X\, f=X-4X3 + 5X2-2X-6;	x, +x2 = x3 + x4.
2.	Să se determine m e IR şi să se afle rădăcinile polinomului f & K [A], ştiind că rădăcinile sale satisfac relaţia scrisă în dreptul fiecăruia, dacă:
a) /eIR[A], f = 2X3 + mX2+ 7X-2;	x, • x2 = 1.
b) /e IR [X], f =X3 - 2X2 + mX+ 2;	x2 +x92 +x2 = 6.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
167
c) /eC[4 f =X4-4X3 + mX2 + 4X-3;	xx -x3 = x4-x2.
d) /e <C [X\, f=X4- \0X2 + mX+ 9;	xhx2, x3 şi x4. sunt în progresie aritmetică.
3.	Să se determine a, b e IR şi să se afle rădăcinile polinomului / e K [X], relaţia suplimentară fiind cea indicată, dacă:
a)	/e IR [A"], f=X4- 10X3 + aX2 - 50X+b; xux2,x3şix4 sunt în progresie aritmetică;
b)	/el [X\, f = 8X4 + aXz + 35J\f2 + bX+ 2;	xh x2,x3 şix4
sunt în progresie geometrică;
c)	/e(C[X],/=Z4 + X3 + a*+l,/ + / + / + /= 1.
xf x2 x3 x4
4.	Fie/e IR [X\, f = X3 + a X2 + b X + c, cu rădăcinile xh x2, x3. Să se scrie polinomul g cu rădăcinile yj, y2, y3, relaţiile dintre rădăcinile lui /şi g fiind cele indicate, dacă:
a)	Vi =x2+x3,	y2 = *i+*3,	_y3=X| + x2;
b)	y\=x2-xin	y2 — X\ x3,	= jci x2;
c)	y\ = 2 x\ + x2 + x3,	y2 = X\ + 2 x2 + x3,	y3 = X\ + x2 + 2	x3.
5.	Fie/e IR [X\ f= X3 + mX2 + 2X +	m -	1, m e IR, cu rădăcinilexj, x2, x3.
a)	Să se calculeze S3 = x3 + x\ + x3.
b)	Să se determine m e IR astfel încât X - 1 | / şi să se afle în acest caz rădăcinile polinomului/
6*. Fie polinoamele/ g e (E [X\,f= X3 + X2 + X + 1, cu rădăcinile X|, x2, x3, x4 g (E şi g = X2 + 3 X + 9, cu rădăciniley\,y2 e
a)	Să se determine restul împărţirii polinomului X3 - 21 la polinomul g.
b)	Să se calculeze sumele S2 = x2 + x\ + x3 şi S3 = x3 + x\ + x3.
c)	Să se calculeze y3 + y3.
d)	Să se calculeze produsul (xi ->>i)(xi -y2)(x2 -yi)(x2 -y2)(x3 -yi)(x3 - >>2).
7.	Să se determine a, b, c numere reale astfel încât acestea să fie rădăcinile
polinomului/e IR [X\, f=X3 - aX2 + bX+ c.
8*. Să se găsească o relaţie între rădăcinile polinomului/ e IR [X], independentă de a şi b, dacă /= 2 X3 + 2a X2 + (a2 + 4a + 1 \)X + b, unde a, b e IR.
9.	Fie polinomul / e IR [X\, f = X 3 - pX 2 + q X - r, /?, <7, r e IR. Să se găsească relaţiile dintre /?, ^ şi r, dacă:
a)	/are două rădăcini opuse;
b)	/are rădăcinile în progresie aritmetică;
c)	/are rădăcinile în progresie geometrică.
10.	Fie / e IR [X], f = X4 - X3 + aX + b, cu rădăcinile xj, x2, x3, x4. Să se scrie polinomul g e IR [Y], cu rădăciniley},y2,y3,y4, dacă:
y 1 = x2 + x3 + x4, y2 = X\ + x3 + x4, y3 = xi + x2 + x4, y4 = xj + x2 + x3.
168
Manual clasa a Xll-a
3.5.	Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi în 2Z, (R, IR şi <E. Ecuaţii binome, ecuaţii reciproce şi ecuaţii bipătrate
Ecuaţii algebrice cu coeficienţi numerici într-un inel sau corp
Fie/ e K [X] un polinom nenul, unde K poate fi unul dintre corpurile ©, IR sau ©. De asemenea vom studia şi cazul când / este un polinom cu coeficienţi întregi, adicăf e TL [X\,
Definiţie
Se numeşte ecuaţie algebrică cu o singură necunoscută o ecuaţie de forma /(x) = 0, unde/este un polinom nenul de o nedeterminată (cu coeficienţi din 2Z, ©, IR sau ©).
O	ecuaţie care nu poate fi adusă la o ecuaţie algebrică folosind operaţiile: adunare, înmulţire, ridicare la putere etc. se numeşte ecuaţie transcedentă.
Exemple
1.	Ecuaţia 3x5 + 4x3 - 2x2 + x + 1 = 0, x e © este o ecuaţie algebrică;
2.	Ecuaţia 4V + 2X - sin x + In x = 0, x e (0, oo) este o ecuaţie transcendentă .
Date fiind incluziunile TL [X] c= © [X] a IR [X] c= © [.X\, vom considera pentru început, polinomul/ca aparţinând inelului © [X\.
Dacă/ e © [X] are fonna algebrică /= an Xn + an _ i Xn ~ 1 + ... + ax X + a0, an * 0, atunci ecuaţia algebrică, asociată lui f se scrie:
anx1 + an - \X n ” 1 + ... + a\X + a0 = 0.	(1)
Definiţie____________________________________________________________________
Gradul ecuaţiei algebrice (1) este gradul polinomului f iar coeficienţii ecuaţiei algebrice sunt coeficienţii an, an_ \ , ..., a0 e © ai polinomului/
Exemplu
Dacă/ e © [X\9 f=X4 + (2 - i)X3+X2 - iX+ 4, atunci ecuaţia x4 + (2 - i)x3 + x2 - ix + 4 = 0 este o ecuaţie algebrică de gradul 4 cu coeficienţi complecşi.
Dacă coeficienţii polinomului / sunt numere reale, raţionale, respectiv întregi, atunci spunem că ecuaţia algebrică (1) este cu coeficienţi reali, raţionali, respectiv întregi.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi Tntr-un corp comutativ
169
Redefinim acum, pentru ecuaţiile algebrice, o serie de noţiuni folosite în paragraful precedent privind rădăcinile polinomului şi reformulăm teoremele deja prezentate.
Definiţie______________________________________________________________________
Rădăcinile (soluţiile) ecuaţiei algebrice (1) sunt rădăcinile polinomului / Aflarea acestor rădăcini înseamnă rezolvarea ecuaţiei algebrice.
Definiţie______________________________________________________________
O rădăcină a e <C a ecuaţiei (1) se numeşte multiplă de ordinul k, k > 1, dacă a este rădăcină multiplă de ordinul k pentru polinomul /
Exemple
1. Ecuaţia algebrică x4 + (1 - 2/)x3 - (1 + 2i)x" - x = 0 are rădăcina dublă x\ = x2 = i deoarece polinomul /= X 4 + (1 - 2Î)X 3 - (1 + 2Î)X 2 - X verifică relaţiile///) =/'(/) = 0 şi/"(0*0.
2.	Ecuaţia algebrică cu coeficienţi întregi: x5 - 3x4 + 7x3 - 13x2 + 12x - 4 = 0, are rădăcina triplă xj = x2 = x3 = 1, deoarece polinomul
f=X5 - 3 X4 + 1X3 - \3X2 + 1226-4, verifică egalităţile
/O) =/'(!) =r(l) = 0şi//,/(l)^0.
Date fiind ecuaţiile algebrice:
an • x" 4- an _ i • xn 1 + ... + a\ • x + ciq — 0,	an ^ 0	(2)
bm * xm + bm _ i • xm ~ 1 + ... + b\ • x + bo = 0,	bm* 0	(3)
acestea au rădăcina comună a e C, dacă a este o rădăcină comună a polinoamelor f,ge<C.[X}:
f— atl • Xn + an - i • Xn 1 + ... + a\ ■ X + a$\ g = bm •X"' + bm-rXm-' + ... + brX+bo.
Exemple
Să rezolvăm ecuaţiile: x4 + 3x3 + x2 - 2 = 0 şi x3 + 2x2 + 2x + 1, ştiind că au rădăcini comune.
Folosind algoritmul lui Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. al polinoamelor
/ g e © [X\, f=X* + 3X3+X2-2 = 0ş\ g = X} + 2X2 + 2X+ 1 se găseşte d= {j\ g) = X2 + X+ 1; deci, rădăcinile comune ale ecuaţiilor sunt
-\±iS
Xui 2
Pentm a afla celelalte rădăcini ale ecuaţiilor se determină câturile împărţirilor polinoamelor/şi g la polinomul d. Se obţin câturile q\ = X2 + 2 X- 2 c\\ rădăcinile x3i 4 = - 1 ± yfş şi q2 = X + 1, cu rădăcina X3 = - 1.
170
Manual clasa a Xll-a
Teorema fundamentală a algebrei are acum următoarea formulare: orice ecuaţie algebrică cu coeficienţi complecşi de grad mai mare sau egal cu 1, admite cel puţin o rădăcină complexă. De asemenea, consecinţa privind rădăcinile unui polinom se reformulează (echivalent) astfel: orice ecuaţie algebrică de grad n > 1 are n rădăcini (nu neapărat distincte). în ceea ce priveşte formulele de rezolvare pentru ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru, teorema lui Abel-Ruffini afirmă că astfel de ecuaţii nu pot fi rezolvate prin radicali (exceptând anumite ecuaţii particulare: binome, bipătrate, reciproce etc.).
Fie ecuaţia algebrică:
anx + an \X ~ 1 + ... + ci\ x + a0 = 0	(1)
Dacă x\, x2, ... , x„ sunt rădăcinile ecuaţiei algebrice (1), atunci relaţiile lui Viete formulate pentru polinomul/= an • X11 + an _ j • Xn ~1 + ... + ci\ • X + a0 se vor numi acum relaţiile între rădăcinile şi coeficienţii ecuaţiei (1).
Toate rezultatele privind relaţiile lui Viete pentru polinomul fi e (E [X], rămân valabile şi în cazul ecuaţiei algebrice asociate,/(x) = 0.
în cele ce urmează, vom demonstra unele rezultate privind ecuaţiile algebrice cu coeficienţi din IR, © şi ZZ.
Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi reali
Fie polinomul/e IR [X], de grad n > 2 şi ecuaţia algebrică asociată anx + an _ fi1ci\X +	= 0, an ^ 0.	(*)
Vom demonstra o teoremă foarte utilă în aplicaţii, când se cere rezolvarea unei ecuaţii algebrice cunoscând o rădăcină complexă a sa.
cteoremă
Fie/e IR [X] de grad n > 2.
Dacă a = a + ib, a, b e IR, b * 0, este o rădăcină complexă a ecuaţiei/(x) = 0, atunci:
i)	â = a - ib este, de asemenea, o rădăcină a ecuaţiei/(x) = 0;
ii)	a şi ă au acelaşi ordin de multiplicitate.
Demonstraţie
i)	Reamintim că dacă z e ©, z = x + / y, atunci relaţia z = 0 implică x = y = 0. înlocuind a în ecuaţia (*) avem:
an(a + ib)n + an _ \(a + ib)n~ ' + ...+ a\(a + ib) + a0 = 0.
Dezvoltând după formula binomului lui Newton, se obţine în final o relaţie de forma A + iB = 0, deci A = B = 0. înlocuind ot = a - ib în membrul stâng al
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
171
ecuaţiei (*) se obţine A + iB = A - iB = 0, deoarece A = B = 0. Deci cc este rădăcină a ecuaţiei (*). Numărul oc = a - ib se numeşte conjugatul numărului a = a + ib.
ii)	Demonstraţia părţii a doua foloseşte definiţia ordinului de multiplicitate k a unei rădăcini a, rezultatul de la punctul i), precum şi teorema lui Bezout, aplicată în mai mulţi paşi dacă avem k> 2.
Propunem ca exerciţiu această demonstraţie.
Observaţie. Teorema nu mai este adevărată atunci când ecuaţia nu are coeficienţi reali. De exemplu ecuaţia x3 + (3 - i) x2 + (2 - 3/) x - 2i = 0 are rădăcina X\ = z, dar nu admite rădăcina x2 = - i.
Teorema de mai sus are cel puţin două consecinţe.
Consecinţă______________________________________________________________________________
•	Orice ecuaţie algebrică cu coeficienţi reali are un număr par de rădăcini complexe, nereale.
•	Orice ecuaţie algebrică cu coeficienţi reali de grad impar are cel puţin o
rădăcină reală.___________________________________________________________________
De exemplu, o ecuaţie de gradul 6 cu coeficienţi reali poate avea 0, 2, 4 sau 6 rădăcini complexe nereale.
De exemplu, o ecuaţie algebrică de gradul 5, cu coeficienţi reali poate avea 1, 3 sau 5 rădăcini reale.
exerciţii rezolvate
1.	Să se rezolve ecuaţia x - Ix + 19x2 - 23x + 10 = 0, ştiind că admite rădăcina x\ = 2 + /.
Rezolvare
Conform teoremei, ecuaţia are şi rădăcina x2 = 2 - i. Pentru a afla rădăcinile x3 şi x4 putem folosi diferite metode: relaţiile lui Viete, schema lui Homer sau împărţirea polinoamelor.
Vom scrie relaţiile lui Viete, în care notăm S = x\ + x2 = 4; S ’ = x3 + x4; P = x*\ • x2 = 5 şi P' = x3 • x4.
Sunt suficiente numai două relaţii: S + S ' = 7 şi P • P ' = 10, de unde obţinem S ’ = 3 şi P1 = 2. Deci x3 = 1 şi x4 2.
2.	Să se determine a, b e IR şi să se rezolve ecuaţia x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = 0, ştiind că admite rădăcina 1 + i.
Rezolvare
x\ = 1 + /, x 2 = 1 - /. Atunci avem:
S	= x\ + x2 = 2; S' = x3 + x4; P = X\ ■ x2 = 2 şi P ’ = x3 • x4.
172
Manual clasa a Xll-a
Relaţiile lui Viete, devin:
5 + 5r = -2; SS'+P + P' = 3; 5 P' +	• P = - a şi PP' = b. Obţinem:
5' = - 4 şi P ' = 9, de unde avem: a = - 10 şi b= 18. Rădăcinile x3 şi x4 se obţin din ecuaţia x2 + Ax + 9 = 0.
3.	Să se scrie o ecuaţie algebrică cu coeficienţi reali de gradul cel mai mic, care are rădăcina simplă 3 + /, rădăcina dublă 1 - i şi rădăcina triplă 2.
Rezolvare
Ecuaţia are rădăcinile:
X\ = 3 + /; x2 = 3 - /; x3 = x4 = 1 - /; x5 = x6 = 1 + /; x7 = x8 = x9 = 2. Obţinem:
#-(x2 - 6x + 10)(x2 - 2x + 2)2(x - 2)3 = 0, a ^ 0.
4.	Să se determine a, b e IR şi să se rezolve ecuaţia: x5 + x3 - 8x2 + ax + b = 0, ştiind că admite rădăcina i.
Rezolvare
Cum X| = i şi x2 = - /, obţinem polinomul g = X2 + 1 care trebuie să dividă polinomul f=X5 + 2f3 - 8X2 + aX+ b.
Atunci restul împărţirii lui/la g este nul dacă a = 0 şi b = - 8, iar câtul este q = X3 - 8. Deci avem de rezolvat ecuaţia (x - 2)(x2 + 2x + 4) = 0, care are rădăcinile x3 = 2 şi x4< 5 = - 1 ± i V3 .
^ tzxerciţii
propuse
1.	Să se arate că următoarele ecuaţii au rădăcinile multiple indicate:
a)	x3 - 3x2 - 9x - 5 = 0;	X[	= x2	=	- 1;
b)	x4 - 16x3 + 94x2 - 240x + 225 - 0;	x,	= x2	=	3;
c)	x - rr a “1 ■ x + (n - 1) • a =0;	x\	= x2	=	a\
d)	(2n - 1) ■ x2" + 2/7 • x2” ~1 + 1 = 0;	x\	= x2	=	- 1.
2.	Să se rezolve ecuaţiile următoare ştiind că au rădăcini comune:
a)	x3 - 8x2 + \ lx- 10 = 0 şi x4 - 3x3 + 5x2 - 9x + 6 = 0;
b)	2x3 + 5x2 - 6x - 9 = 0 şi 3x3 + 7x2 - 1 lx - 15 = 0.
3.	Să se rezolve ecuaţiile următoare ştiind că admit rădăcinile complexe indicate:
a) 6x4 + x3 + 52x2 + 9x - 18 = 0;	x\ = 3/;
b) x 4 - 3x3 + 4x2 - 7x + 15 = 0;	x, = 2 + /;
c)	X4 + (1 - 2 V3 ) • X3 + (4 - V3 ) • X2 - 2x + 4 V3 =0; x, = V3 - i.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
173
4.	Să se determine numerele reale a şi b şi să se rezolve ecuaţiile, ştiind că au rădăcinile indicate:
a)	x4 - 4x3 - 2x2 + ax + b = 0;	x\	= 3	+	2z;
b)	x4 + ax7, + bx2 - x + 1 = 0;	x\	= /;
1	73
c)	x4 + ax3 - x2 +■ bx -2 = 0;	X| =----+ /—.
2	2
5.	Să se arate ca ecuaţia:
x4 + (2a + l)x3 -l- 2{a + l)2 x2 + bx + c = 0, a, b, c e IR, cu a > 0, admite cel mult două rădăcini reale.
6.	Să se determine numerele reale a, b, c, d ştiind că ecuaţia
x6 + x5 + 2x4 + ax7 + bx2 + cx +	d =	0	admite rădăcinile X| = 1 + i şi x2 = 2 - i.
1. Fie ecuaţia x3 + ax~ + 2x + b	= 0,	a,	b e	IR.
a)	Să se arate că nu există valori reale ale parametrilor a şi b, astfel încât ecuaţia să admită rădăcina xj = /.
b)	Să se arate că dacă a e (-2, 2), atunci rădăcinile ecuaţiei nu pot fi toate
reale.
8.	Să se rezolve ecuaţiile următoare, cunoscând o relaţie suplimentară între rădăcini:
a)	4x4 + 14x3 - 4x2 - 26x +12 = 0;	xi	= 2x2;
b)	3x3 - 32x2 + 73x + 28 = 0;	x\	-x2 = 3;
c)	x3 + (1 - -s/3 )• x2 - (2 + 73 ) • x + 2 73	=	0;	x,2	= x2 + x2.
9*. Să se afle valorile parametrilor reali	m	şi n ştiind	că următoarele ecuaţii
au relaţiile suplimentare între rădăcini cele indicate şi să se rezolve apoi ecuaţiile:
a)	x3 - 2x2 - 1 lx + m = 0;
b)	x3 + x + n = 0;
c)	x4 - 12x3 - 2x2 + mx + 297 = 0;
d)	x4 + 4x3 + mx2 + nx + m • n\ = 0; 10*. Să se rezolve ecuaţia x6 - 3x2
xj + 2x2 + 3x3 = 0;
Xj + x^ + x^ = 10 ;
X| + x2 = x3 + x4;
X| + x2 = 1 şi x3 - x4 = 1. -2 = 0, ştiind că admite rădăcina dublă
a = 1.
Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi raţionali şi coeficienţi întregi
Pentru a demonstra următoarea teoremă privind ecuaţiile algebrice cu coeficienţi raţionali, introducem două noţiuni din aritmetica numerelor întregi şi a celor raţionale.
174
Manual clasa a Xll-a
Definiţie_____________________________________________________________
Spunem că numărul d e7L, d ^ O şi <7^1 este liber de pătrate dacă \d\ nu se divide prin pătratul unui număr prim.
Exemple
Numerele 10, - 14, 5, - 1 sunt numere întregi libere de pătrate; numerele - 18 şi 50 nu sunt numere libere de pătrate, căci |-18| = 18 = 2 • 32 şi |50| = 2 • 52.
Observaţie. 1) Se demonstrează că dacă d este un număr natural liber de pătrate, atunci 4d € ©. De exemplu VlO g ©, ^[5 <£ ©.
2) Se demonstrează că a + b 4d este nul dacă şi numai dacă a = b = 0.
teoremă__________________________________________________________________
Fie polinomul/e © [X], de grad n> 2.
Dacă a = a + b 4d , a, b e b * 0, 4d £ © , este o rădăcină a ecuaţiei /(x) = 0, atunci:
i)	oc = a - b4d este de asemenea o rădăcină a ecuaţiei/(x) = 0;
ii)	oc şi oc au acelaşi ordin de multiplicitate.
Demonstraţie
i)	înlocuind oc în ecuaţia/(x) = 0 avem:
an • (a + b 4~d )" + a„ _ i • (a + b 4~d )" ” 1 + ...+ at • (a + b Vx/) + a0 = 0.
Dezvoltând după formulele binomului lui Newton, obţinem/(a) = A + B-Jd = 0, deci A = B = 0.
înlocuind apoi oc = a - b *fd în ecuaţia f(x) = 0 rezultă A - B ^[d , care va fi nul pentru A = B = 0. Deci numărul oc este o rădăcină a ecuaţiei f{pc) = 0 şi el se numeşte conjugatul numărului a.
ii)	Demonstraţia o propunem ca exerciţiu precizând că se va folosi noţiunea de rădăcină multiplă de ordinul k a unei rădăcini a = a + b^fd şi prima parte a teoremei, aplicându-se în mai mulţi paşi teorema lui Bezout, dacă avem k > 2.
Observaţii.
1) Teorema de mai sus nu este adevărată dacă ecuaţia / (x) toţi coeficienţii raţionali. De exemplu, ecuaţia
x3 - 2V3 x2 - 2a/3 • x - 1 - 2V3 = 0 are rădăcinile
1	_. V7
2	1 2
0 nu are
1
X\ = 1

Ş1X3 ;
2) Se demonstrează că o ecuaţie cu coeficienţi raţionali care admite
rădăcina xj = a*J~d + bjd' (unde a, b e ©*, iar d şi d' sunt întregi
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
175
liberi de pătrate), mai admite încă 3 rădăcini: x2 = - a4d + b4d*, x3 = a4d - b4cf şi x4 = - a4d - by[cF. De exemplu ecuaţia:
x''1 - 56x4 - 10x3 + 560x2 + x - 56 = 0 are rădăcinile X|>2 = V5 ± V2 , x3ţ4 = - V5 ± V2 şi x5 = 56.
3)	De asemenea, se demonstrează că o ecuaţie cu coeficienţi raţionali care are rădăcina x\ = a4d + bi, (a,	un întreg liber de pătrate) mai
admite rădăcinile x2 = a4d - bi, x3 = - a4~d + bi şi x4 - a4d - bi. De
exemplu, ecuaţia 2x6 - ;
X| 1 = V2 ± i\ x3i4 = - V2 ± i,
5x4 + 2x3 + 20x2 ■
9x - 9 = 0 are rădăcinile
x5 — 1 şi x6;
exerciţii rezolvate
1.	Să se scrie ecuaţia cu coeficienţi raţionali de grad minim care are rădăcinile X| = V3 + 2/ şi x2 = 1 + 42 .
Rezolvare
Ecuaţia are gradul 6 şi este: x6 - 2x5 + x4 - 4x3 + 47x2 - 98x - 49 = 0.
2. Să se afle a, b e (E) ştiind că ecuaţia x4 - 2x3 - x2 + ax - b = 0 admite
rădăcina X| = 1 - V3 şi apoi să se rezolve ecuaţia.
Rezolvare
Folosim relaţiile lui Viete. Avem x? = 1 + V3 ; S = x\ + x? = 2, S ' = x3 + x4, P = x, • x2 = -2şiP' = x3 • x4. Obţinem: S + Sf = 2, S-S' + P + P'=-fS-P' + S' -P = -a şi P P ' = - b, de unde rezultă S" = 0, P ’ = l, a =-2 şi b = 2. Ecuaţia are şi rădăcinile x3 = /, x4 = — i.
Determinarea rădăcinilor raţionale ale unei ecuaţii cu coeficienţi întregi are la bază rezultatul care urmează.
cTeoremă_______________________________________________________________________
Fie ecuaţia algebrică cu coeficienţi întregi de grad n > 1:
anx n + an- \X 11 ~ 1 + ... + ci\x + a0 = 0, an * 0.	(*)
Dacă a = —(p,q numere prime între ele) este o rădăcină raţională a
q
ecuaţiei (*), atunci:
i)	p divide termenul liber <%;
ii)	q divide coeficientul termenului de grad maxim an.
176
Manual clasa a Xll-a
Demonstraţie
înlocuim a = — în ecuaţia (*) şi apoi înmulţim egalitatea cu q . Obţinem:
9
ao * </'7 + ci\ ' p ■ q-n ~ 1 + a2 • p1 • g7 2 + ...+	... i ■ /?" “ 1 • q + an • p n = 0.
i) Din	= p\-avq 1 - Qi'P'cl ~2 ~ • • • ~ an’P”1) rezultă că p | <30 • g'7. Cum /? şi q sunt prime între ele, atunci p şi q sunt prime între ele, deci p | a0.
ii)	Din relaţia an • pn = q • {-a{yq 1 - ayp-q ~2 - ... - an.. j ■ p/7~ '), rezultă, în mod analog, că q | an * //, de unde obţinem q | an.
Mulţimea căreia îi aparţin rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienţi întregi o găsim din următorul rezultat.
Consecinţă______________________________________________________________________
Dacă ecuaţia algebrică cu coeficienţi întregi de grad n > 1, are rădăcina întreagă a =p, atunci p este un divizor al termenului liber qq.
Demonstraţie
într-adevăr, cum a = p = —
1
că p | a0.
atunci aplicând teorema de mai sus, se obţine
Comentariu
Conform consecinţei, rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienţi întregi se găsesc printre divizorii termenului liber a0. Atunci, se verifică, pe rând, aceşti divizori folosind schema lui Homer, până la obţinerea unei ecuaţii reductibile la una de gradul doi sau a unei ecuaţii particulare (binomă, reciprocă etc.). Pentru a găsi rădăcinile raţionale ale ecuaţiei (*) se scriu, mai întâi toate fracţiile ireductibile având la numărători divizori ai termenului liber a0, iar la numitori divizori ai coeficientului dominant al ecuaţiei, a„. Se verifică apoi, cu schema lui Homer, aceste fracţii până la obţinerea unei ecuaţii reductibile la una de gradul 2 sau a uneia particulare.
exerciţii rezolvate
1. Să se rezolve următoarele ecuaţii, ştiind că au şi rădăcini raţionale (întregi şi/sau fracţionare).
a)	x4 - x3 - 8x2 + 2x + 12 = 0; b) 12x4 - 8x3 - 21x2 + 5x + 6 = 0.
Rezolvare
a)	Ecuaţia poate admite numai rădăcini raţionale întregi din mulţimea {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Folosim schema lui Homer:
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi Tntr-un corp comutativ
177
	1	- 1	-8	2	12
-2	1	-3	-2	6	Lo_
3	1	0	-2		
Se obţine apoi ecuaţia x - 2 = 0. Rădăcinile ecuaţiei sunt: - 2, 3, 4Î , - V2 . b) Rădăcini întregi pot fi: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, iar rădăcini fracţionare pot fi:
±i,±i,±i,±i,±±
2	3	4	6	12
2	3	3
± — ± — ± —
3’	2 ’	4'
1
, 2	3
Aplicăm schema lui Homer şi obţinem rădăcinile: - 1,-------------, — şi —
2	3	2
	12	8	-21	5	6
-1	12	-20	- 1	6	Li
1	12	-26	12	L2	
2					
2	12	- 18	Li		
3					
3	12	Lo_			
2					
2. Să se arate că ecuaţia: x3 + px2 + px + p = 0, unde p este un număr prim, nu are rădăcini raţionale.
Rezolvare
Ecuaţia poate admite rădăcinile întregi ± Îşi ±
înlocuind se obţine pe j-y, 0, —W3^ori care nu convin. Deci ecuaţia nu are rădăcini raţionale.
exerciţii propuse
1. Să se scrie ecuaţiile algebrice cu coeficienţi raţionali, de grad minim, ştiind că admit următoarele rădăcini:
a) X) — 3 - y/~S şi x2 = 1 + 2 V3 ;
b) xj + i şi x2 = 4 + V2 ;
c)	rădăcina dublă 1 - şi rădăcina simplă V3 - 2/.
178
Manual clasa a Xll-a
2.	Să se determine a, b e © ştiind că următoarele ecuaţii admit rădăcinile indicate şi să se rezolve apoi ecuaţiile:
a)	x4 + x3 + ax2 + bx + 1—0;	x\ — — 2 — ^3 >
b)	x5 + 3x4 + x3 - 5x2 + ax + b = 0;	xi = V2 ;
c)	x6 - 4x5 - 3x4 + 12x3 + 12x2 + ax + b = 0, X| = x2 = 1 + V5 .
3.	Să se rezolve ecuaţiile, ştiind că admit şi rădăcini raţionale, dacă:
a)	x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 - 5x + 6 = 0;
b)	6x4 - 43x3 + 107x2 - 108x + 36 = 0;
4.	Să se determine a, b, c	e © şi să	se rezolve ecuaţia x4 + 2x3 + + ax2 + bx + c =	0
ştiind că admite rădăcina x\ = -	1 + V2 şi are suma coeficienţilor egală cu 4.
5.	Să se arate că ecuaţia 2x4 + 2x3 -	x2 - 3x - 3 = 0 nu are rădăcini raţionale.
6.	a) Fie ecuaţia: atlxn + an_.\X~X + ...	+ a\x +	a0 = 0, cu an ^ 0,	n >	2	şi	a,	e	2Z,
V i = 0, n . Dacă a = — este o rădăcină ratională(p, q prime între ele), atunci q-p
q
divide suma coeficienţilor ecuaţiei.
b) Generalizare
Să se arate că pentru orice k e 7L, numărulp-k' q divide suma S(k) = an	• li + an-\	'li 1 + ... + a\ * k + a$.
7.	Să se rezolve ecuaţia	x5 + mx4	+ x3 + nx1 + mx + 1 = 0; m, n e Z,	ştiind	că
admite o rădăcină dublă întreagă.
8.	Să se rezolve ecuaţia 2x4 + 3x3 + ax2 + bx + 1 = 0, a, b e 2Z, ştiind că admite o rădăcină simplă întreagă şi una simplă fracţionară, ambele strict pozitive.
9.	Fie ecuaţia cu coeficienţi întregi x5 + a\ • x3 + ai • x2 + a3 ■ x + a4 = 0, care are rădăcinile întregi. Să se arate că dacă rădăcina xj divide oricare alte trei rădăcini ale ecuaţiei, atunci xf divide pe ak (k= 1, 2, 3, 4).
10.	Ecuaţia cu coeficienţi întregi: x3 - 10x2 + mx + n = 0 are rădăcinile întregi xj, x2 şi x3. Să se rezolve ecuaţia astfel încât x\ - x,2 + x2.
Ecuaţii binome, ecuaţii reciproce şi ecuaţii bipătrate
Am arătat în paragrafele precedente că se cunosc formule de rezolvare pentru ecuaţiile algebrice de grad < 4. Aceste formule (în special pentru ecuaţiile de gradul 3 şi 4) prezintă inconvenientul că sunt foarte complicate şi nu au prea multe utilizări practice. în plus, teorema lui Abel - Ruffini spune că pentru ecuaţia algebrică generală de grad > 5 nu se pot da formule de determinare a rădăcinilor prin radicali.
în acest paragraf ne propunem să arătăm că există ecuaţii (particulare) de grad > 3 pentru care se pot da formule de calcul a rădăcinilor.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
179
a)	Ecuaţii binome
Forma generală a unei ecuaţii binome de grad n > 1 este: a„xn + a0 = 0; an * 0; am a0 e (E.
Dacă împărtim prin an şi notăm a = - —, obţinem ecuaţia binomă:
an
x-a = 0;ae(t:.	(1)
Rezolvarea ecuaţiei (1) foloseşte formula de extragere a radicalului de ordinul n dintr-un număr complex.
Fie a = r (cos a + i sin a), forma trigonometrică a numărului complex a, unde r = I a\ este modulul numărului complex a, iar a = arg a este argumentul numărului complex a.
Reamintim formulele de calcul pentru r şi a. Fie a = x + iy\ x, y e IR. Atunci
r = \a\= ^x2 + y2 , iar a este soluţia comună a ecuaţiilor cos a = — şi sin a = —,
r	r
situată intr-unui din cele 4 cadrane.
Exemple
Să scriem sub formă trigonometrică următoarele numere complexe:
n 1 + -73 1) = — + /	; 2 2	+ 1 II r\T	3)a= V3 -
.x V3 1 . 4) a = - — - - /; 2 2	II Q un	1 II Co
1 II F7	8) a = 4/.	
Avem:
,s	,	1	V3 n	n . n
1) r =	1; cos	a = —; sin a =	—,	a = —	=> a = cos —	+ i sin —;
2	2	3	3	3
~ /r	V2 . V2 3rc
2) r = V2 , cos a =-------, sin a =----, a =—
2	2	4
• a = V2 (cos — 4
. 3tc
+ 1 sm— ); 4
V3 .	1 lin	lin . lin
3) r = 2; cos a = —, sin a = —, a =------ => a = 2(cos------ + i sin--);
2	2 6 6 6
..	V3 .	1	n 7n
4) r = 1; cosa =-----,sina =--------; a = n + — = — =>
2	2 6 6
7n . . 7n a = cos — + i sin — ; 6 6
5)	r=l;a = 0=><3 = cos 0 + / sin 0;
6)	r=l,a = n=>a = cos n + / sin n;
1 371 7) r = 1; a = —
3n . . 3n a = cos — + i sin— 2 2
180
Manual clasa a Xll-a
8) r = 4; a = 4(cos
n
2
.	■ TC
+1 sin — 2
);
Revenind la ecuaţia (1) avem:
xn = r(cos a + i sin a)
Rădăcinile ecuaţiei binome (T) sunt date de formulele:
a + 2/crc . a + 2kn ^
cos-------+ *sin---------- ,
V	n	n )
unde k= 0, n-l.
(1')
(2)
exerciţii rezolvate
1. Să se rezolve următoarele ecuaţii binome:
a) x3 - 1 = 0;	b)x4-i + / = 0;	c) x" - 1 = 0;
d)	x6 - 4i = 0;	e) (x + î)n + (x - î)n = 0.
Rezolvare
a) x3 = cos 0 + i sin 0. Rădăcinile sunt xk = cos
2kn
2kn
+ i sin —, k = 0, 1,2. 3	3
Deci xj = cos 0 + / sin 0 = 1; x2 = cos
2rc
/ sin
2 n
1	+ .41 .
— + l --- Şl
2	2
471	. . 4tc 1	. V3
x3 = cos — + i sin — =-------------i —.
3	3	2	2
Observaţie. Numerele Xj, x2 şi x3 se numesc rădăcinile de ordinul trei ale unităţii (rădăcini cubice) şi se notează de regulă x2 = e şi x3 = e = s2. Mulţimea acestor rădăcini se notează cu t/3 = { x e (C | x3 = 1} = {1, e, 8 }. Evident
xk
= V2
COS
3:E3*=l,V*e:		Z; £:
! (cos —		7n
	+ i sin—	
4		4
In .,		In
	1- 2kn		
4	+ i sin-	4 '
k= 0,3.
c)	x” — 1 => x - cos 0 + i sin 0. Soluţiile ecuaţiei se numesc rădăcinile de
ordinul n ale unităţii, iar mulţimea lor se notează cu Un = { x e (E | xn = 1} =
,	2 hz
= {cos-----
n	n
. . 2kn .	-----:,
+ i sin--; k = 0, n -1};
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
181
d)	x6 = 4(cos — + z sin —). Rădăcinile ecuaţiei sunt: 2 2
*k
k= V2
(4/c + l)7i . .	(4k + l)7i
cos V 12
- + zsin-
12
k= 0,5
e)	(x + i)n = - (x - î)n. Se observă că ecuaţia dată nu poate avea rădăcina x = z, deci o putem scrie astfel:
:\n
X + Z
x-l J
= - 1; x + z
X + z
Dacă notămz =-------; x + z, obţinem ecuaţia binomă: z " = - 1
x - z
^	(2/c + 1)71	. . (2/c + 1)tt ;	--------
cu rădăcinile: zk = cos------ + z sin--------; k = 0, n -1.
n	n
înlocuind zk în substituţia făcută, vom arăta că ecuaţia iniţială are toate rădăcinile reale.
într-adevăr, notând ^ + ^ = 2a, avem zk = cos 2a + z sin 2a. n
^	1 + Z/ .	l + cos2a + z'sin2a . 2cos2 a + 2zsinacosa
Cum xk =------- • z, avem xk =--------;-----z =——-------------------i =
1-z^	l-cos2a-zsin2a	2sin a-2z'sinacosa
= - ctg a = - ctg———————; k = 0, n -1, deci xk e IR, V k = 0, n -1.
2n
b)	Ecuaţii reciproce
Fie ecuaţia algebrică:
anx + a/7_\xn~] + an-.2xn~2 + ... + a2x + axx + a0 = 0 (an + 0) (*)
Definiţie___________________________________________________________________
Dacă în ecuaţia (*) avem an_ j = ah V /= 0,«, spunem că aceasta este o ecuaţie reciprocă de gradul n.
Exemple
a)	Ecuaţia ax3 + bx2 + 6x + # = 0 {a + 0) este o ecuaţie reciprocă de gradul 3.
b)	Ecuaţia ax4 + bx2, + cx2 + bx + a = 0 (a + 0) este o ecuaţie reciprocă de gradul 4.
Observaţie. Uneori se poate defini o ecuaţie antireciprocă de gradul n, astfel:
i) Dacă n = 2p + 1 şi a/7_;- = - V z = 0, n spunem că ecuaţia (*) este antireciprocă de gradul n.
182
Manual clasa a Xll-a
ii) Dacă n = 2p şi a,7_, = - ah V i = O, n, i * p, iar ^ = O, atunci spunem că ecuaţia (*) este antireciprocă de gradul n.
Exemple
a)	Ecuaţia 4x6 - 15x5 + 3x4 - 3x2 + 15x - 4 = 0 este antireciprocă de gradul 6.
b)	Ecuaţia ax5 + bx4 + cx3 - cx2 - bx - a = 0 este antireciprocă de gradul 5.
Proprietăţi generale ale ecuaţiilor reciproce
PI. Dacă ecuaţia reciprocă are rădăcina a, atunci ea are şi rădăcina — .
a
Demonstraţie
în egalitatea: an • a” + a„_i * a/?_1 + ... + tficx +	= 0, cum a ^ 0, putem
1	(1Y"1	fiY
împărţi prin an şi obţinem relaţia: an + an.\ • — +...+ a\ —	+	—	= 0.
a	va2	va7
Din relaţiile = <?,, V i = 0, n, obţinem:
Z' j y


+ a„_i
' j Y-'
V0ty
+ ... + Q\ — + tfo ~ 0 a
şi deci şi — este rădăcină a ecuaţiei (*). a
P2. Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina a = - 1.
Demonstraţie
Fie n = 2p + 1, p e IN. înlocuind în ecuaţia (*) pe x cu - 1 avem egalitatea:
a2p+\(- l)2/;+1 + a2/;(- l)2/? +	+ <Vi(- lf+] + ap(- Yf + ... + a\(- 1) + a0 = 0
deoarece a2p+1 = a2p = tf|, ...,	= ap. Deci a = - 1 este o rădăcină a ecuaţiei
reciproce.
Observaţie. în acest caz, aplicând schema lui Horner pentru a = - 1, rezultă o ecuaţie reciprocă de grad par, adică b2p x2p + b2p-\ x2p~] + ... + b\x + bQ = 0,
unde b2p-\ = bh V / = 0, 2p .
Enunţăm, fără demonstraţii, proprietăţile similare pentru ecuaţiile antireci-proce de grad n.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
183
PI'. Dacă ecuaţia antireciprocă de grad n are rădăcina a atunci ea are şi
rădăcina —.
a
P2'. Orice ecuaţie antireciprocă de grad impar are rădăcina a = 1 şi orice ecuaţie antireciprocă de grad par are rădăcinile ai = 1 şi a2 = - 1.
Rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul 3
Fie ecuaţia ax3 + bx2 + bx + a = 0 (a * 0); fiind ecuaţie reciprocă de grad impar, ea are rădăcina a = - 1. Atunci putem scrie (x + 1) [ax2 + (b - a)x + a] = 0, de unde obţinem rădăcinile X|, x2 şi x3.
Observaţie. în cazul ecuaţiei ax3 - bx2 + bx - a = 0 (a ^ 0), avem (x - 1) [ax2 + (a - b)x + a] = 0.
Exemple
Să rezolvăm ecuaţiile:
a)	2x3 + lx2 + Ix + 2 = 0; b) 3x3 - 13x2 + 13* - 3 = 0.
Avem: a) (x + 1 )(2x2 + 5x + 2) = 0; xi = - 1; x2 = - 2 şi x3 = -	.
b)	(x - 1 )(3x2 - 1 Ox + 3) = 0; xi = 1; x2 = 3 şi x3 =	.
Rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul 4
Fie ecuaţia reciprocă: ax4 + bx + cx2 + bx + a = 0 {a ^ 0).
Cum a* 0, ecuaţia dată nu admite rădăcina x = 0. împărţim cu x2 * 0 şi obţinem ecuaţia:
9	,	b a'■ / \
ax~ + bx + c+ — + — = 0	(1)
a x"
Se grupează termenii în mod convenabil şi se obţine:
a(x2 + \ ) + b(x + —) + c = 0. x“	x
Ultima formă a ecuaţiei ne sugerează substituţia: y = x + —.
x
Cum x2 +	=y2 - 2, obţinem ecuaţia în y:
x"
a(y2 - 2) + by + c = 0 sau ay2 + by + c - 2a = 0 (2)
184
Manual clasa a Xll-a
Din ecuaţia (2), numită rezolventa ecuaţiei (1), calculăm rădăcinile yj şi y2 pe care le înlocuim în substituţia făcută.
Obţinem două ecuaţii de gradul 2 (tot reciproce) de forma: x2 -y} • x + 1 = 0
şi x2 -y2 • x + 1 =0.
Rădăcinile xj, x2, x3 şi x4 ale acestor ultime ecuaţii sunt soluţiile ecuaţiei reciproce (1).
Observaţie. Ecuaţia antireciprocă de gradul 4 are forma: ax4 + bx3 -bx-a = 0, care se poate scrie astfel:
(x2 - 1) [a{x2 + 1) + ăx] = 0.
Deci obţinem xj = 1; x2 = - 1, iar x3i4 =
-b±Jb2-4a2
2a
Exemple
Să rezolvăm următoarele ecuaţii
a)	4x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 4 = 0; b) 2x4 + 5x3 - 5x - 2 = 0.
a)	Ecuaţia se scrie: 4(x4 + 1) + 5(x3 + x) + 2x2 = 0 o 4(x2	) + 5(x +—) + 2 = 0.
x"	x
i	.	?	J
Cu substituţia y = x + — se obţine ecuaţia: 4y~ + 5y - 6 = 0, care are rădăcinile y\ = — x	4
ş\y2 =-2. Revenind în substituţie, avem ecuaţiile: 4x2 - 3x + 4 = 0 şi x2 + 2x + 1 = 0 cu
rădăcinile x,,2 = 3±l^ şix3 = x4 = - 1.
8
b)	Ecuaţia se scrie (x2 - l)(2x2 + 5x + 2) = 0 cu rădăcinile X|i2 = ± 1, x3 = - 2
1
ş,x4=--.
Observaţie. Ecuaţia reciprocă de gradul 5 are forma generală
ax5 + bx4 + cx + cx2 + bx + a - 0 (a ^ 0).
Conform proprietăţii P2 ea are rădăcina a = - 1 şi aplicând schema lui Horner se obţine o ecuaţie reciprocă de gradul 4.
exerciţii rezolvate
1. Să se rezolve ecuaţiile:
a)	2x5 + 4x2 + 2x3 + 2x2 + 4x + 2 = 0;
b)	3x5 - 2x4 + 5x3 - 5x2 + 2x- 3 = 0.
Capitolul 3- Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
185
Rezolvare
a)	Ecuaţia se scrie: 2(x + l)(x4 + x3 + x + 1) = 0 şi are rădăcinile x\ = x2 = x3 =
_ 1±/V3
— 1; *4,5---------— •
2
b)	Ecuaţia se scrie: (x - l)(3x4 + x3 + 6x2 + x + 3) = 0. Cu substituţia >> = x + —,
obţinem ecuaţia 3y~ + y = 0 cu rădăcinile j^i = 0 şi y2 = -	. în final, obţinem: x\ = 1;
^ .	-1 ± /V35
*2,3 = ± /; *4,5 = ------•
6
2. Să se arate că orice ecuaţie reciprocă de gradul n = 2p se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul p şi a p ecuaţii de gradul doi.
Rezolvare
Fie ecuaţia reciprocă:
a2px2p apr| x2p~] + ... + ap,\	+ apxp + ... + a2p-\ x + a2p = 0 (a2p * 0)
împărţim prin./ şi grupăm convenbil. Avem:
+ —r) + a2p-\{xTx + ——) + ...+ ap+\(x + —) + ap = 0
x'	XJ	X
Cu substituţia y = x + —, folosind binomul lui Newton, obţinem în final o
x
ecuaţie de gradul p în jy:
Ap- yp + Ajy. i • yihA + ... + A0 = 0 (Ap = a2p^ 0)
Această ecuaţie arep rădăcini: yi,y2, • • • yP, care înlocuite în relaţia
y = x + — ne conduc la p ecuaţii de gradul doi.
x
c)	Ecuaţii bipătrate
Forma generală a ecuaţiilor bipătrate este:
ax4 + bx2 + c = 0,	(3)
unde a, b, c e (E şi a ^ 0.
Cu substituţia x =y se obţine ecuaţia de gradul doi:
ay~ + by + c = 0, a ^ 0,
numită rezolventa ecuaţiei (3), ale cărei rădăcini sunt:
-b + ^b2 -Aac .	-b-^b2 - 4ac
Şi ^2 =
Fi =
2 a
2a
186
Manual clasa a Xll-a
Revenind la substituţie, obţinem rădăcinile:
-b +	~ 4ac .	\-b ~^jb2 - 4ac
xl,2 _ ± îl---------1--------- Şl x3,4 ~ ±	—
2a
2a
Observaţie. Ecuaţia bipătrată este un caz particular de ecuaţie trinomâ de forma ax2n + bx + c - 0.
Exemple
Să rezolvăm următoarele ecuaţii bipătrate.
1) x4 - 6x2 + 8 = 0;	2) x4 - 6x2 + 25 = 0.
în prima ecuaţie substituţia x2 = y conduce la ecuaţia y2 - 6y + 8 = 0 cu
rădăcinile y\ = 2 şi y2 = 4. Deci ecuaţia dată are rădăcinile x!ţ2 = ± 42 şi x3ţ4 = ± 2.
Din ecuaţia a doua, obţinem y2 - 6y + 25 = 0 cu rădăcinile yi = 3 + 4/ şi y2 = = 3 - 4i. Atunci ecuaţiile binome x2 = 3 + 4/ = (2 + i)2 şi x2 = 3 - 4/ = (2 - z)2, ne dau rădăcinile complexe: X|,2 = ± (2 + /) şi x3 4 = ± (2 - /).
exerciţii rezolvate
1.	Să se discute natura rădăcinilor ecuaţiei bipătrate
3x4 - 5mx2 - 2m2 = 0, după valorile parametrului real m.
Rero1v<xre
Folosind substituţia x2 =y, obţinem ecuaţia 3j^2 - 5my - 2m2 = 0 cu rădăcinile
0	. m
7, =2mş\y2 = -—.
?	2	/77
Atunci ecuaţiile x“ = 2m şi x = —— au două rădăcini reale şi două complexe pentru orice m e IR*. Dacă m = 0, rezultă xt = x2 = x3 = x4 = 0.
2.	Să se rezolve ecuaţia (trinomă): ax2n + bx + c = 0 (a * 0).
Rcrolv^rc
Dacă xn = y9 atunci ecuaţia ay2 + by + c = 0, are rădăcinile y{ şi y2. Revenind, se obţin două ecuaţii binome de gradul n: x =y\ şi x =y2, deci 2n rădăcini.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
187
Test t>c cvdu&rc
(10 p) 1. Să se rezolve ecuaţia: x4 + x3 - 25x2 + 41x + 66 = 0, ştiind că admite rădăcina x\ = 3 + / V2 .
(10 p) 2. Să se rezolve ecuaţia bipătrată: x4 - (1 + 2î)x2 + 2/ = 0.
(10 p) 3. Să se rezolve ecuaţia: 2x3 - 12x2 + 13x - 15 = 0, ştiind că admite şi rădăcini raţionale.
(10 p) 4. Să se rezolve ecuaţia reciprocă: 3x3 + 2x2 + 2x + 3 = 0.
Timp de lucru: 45 minute
IU Exerciţii propuse
1.	Să se rezolve următoarele ecuaţii binome:
a)	(x + 1 )6 = 1;	b)	(x - i)4 = 2z;
c)	(2x + i)n + (2x - î)" = 0;	d)	(x + 1 )/7 + (x - 1 )n = 0;
e)	(ix + ir-(/x- 1)'7 = 0.
2.	Să se rezolve următoarele ecuaţii (trinome):
a)	x2" - 3x" + 2 = 0; n & IN*;	b) x8 + 12x4 -13 = 0;
c)x2"-(l +i)-x+i = 0;n e IN*.
3.	Să se rezolve următoarele ecuaţii reciproce sau antireciproce:
a)	5x3 + 3 lx2 + 3 lx + 5 = 0;	’ b) 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2 = 0;
c)	4x4 - x3 + 5x2 - x + 4 = 0;	d)	7x3	+ 3x2 - 3x - 7 = 0;
e)	2x4 + 5x3 - 5x - 2 = 0;	f)	x5 + 3x4 + 2x3 - 2x3 - 3x - 1 = 0.
4.	Să se determine relaţia dintre a şi b astfel încât ecuaţia reciprocă
ax3 + bx2 + bx + a = 0 {a e IR*, b e IR) să aibă: i) două rădăcini egale;	ii) toate rădăcinile reale;
iii)	două rădăcini complexe;	iv) rădăcinile în progresie aritmetică.
5.	Să se determine valorile parametrului real m astfel încât ecuaţiile următoare să aibă toate rădăcinile reale:
a)	(2w - 1 )x4 - {m + 1 )x2 + 1 = 0;	b) x4 + 2x3 + mx2 + 2x + 1 =0;
c)	mx3 + (jn + l)x2 + (/77 + l)x + m = 0;	d) 2x4 - mx3 + (m + l)x2 + mx + 2 = 0.
6.	Să se rezolve ecuaţiile reciproce de gradul 5:
a)	x5 + 3x4 - 1 lx3 - 1 lx2 + 5x + 1 = 0;
b)	20x5 - 8 lx4 + 62x3 + 62x2 - 8 lx + 20 = 0.
7*. Să se determine relaţiile dintre numerele reale a şi b astfel încât ecuaţia 9x3 + 9ax2 + 9bx + a3 = 0 să devină o ecuaţie binomă de gradul 3, printr-o transformare de forma x=y + cA n acest caz să se rezolve ecuaţia.
8. Să se găsească relaţia dintre coeficienţii a, b şi c ai ecuaţiei reciproce ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 astfel încât rădăcinile ecuaţiei să fie în progresie aritmetică.
188
Manual clasa a Xll-a
9.	Să se scrie ecuaţia reciprocă de gradul 5 cu coeficienţi raţionali care admite rădăcina x\ = 1 + s.
10.	Fie ecuaţia reciprocă: ax + bx + cx2 + bx + a = 0, a & 0, a, b , c e IR şi x\ e (C o rădăcină a sa. Să se arate că dacă x\ este rădăcină a ecuaţiei x3 + x - 1 = 0, atunci există x2 e (E, care este o rădăcină comună pentru ecuaţia reciprocă şi ecuaţia x3 - x2 - 1 = 0.
Modelarea unor situaţii practice utilizând noţiunea de ecuaţie algebrică
Prezentăm câteva probleme cu caracter practic a căror rezolvare presupune aflarea rădăcinilor unor ecuaţii algebrice.
PI. Un cablu electric este format din patru conductori legaţi în paralel şi care au rezistenţele în progresie aritmetică de raţie r > 0. Ştiind că rezistenţa întregului cablu este de a ohmi să se determine rezistenţa fiecărui conductor.
Aplicaţie numerică: r= \,a= — .
Rezolvare
Dacă notăm cu R rezistenţa primului conductor se obţine ecuaţia algebrică (legea lui Kirchhoff):
i 1	1	1
R	R + r + R + 2r + R + 3r
— , a * 0, o a
R4 + (6r - 4a) R3 + (1 lr - 18ar) ■ R2 + (6r3 - 22ar) ■ R - 6ar3 = 0.
(*)
4	1	4
Din inegalităţile— > — şi--------
R a R + 3r
< —, rezultă că ecuaţia (*) are rădăcinile
în intervalul (4a - 3r, 4a). Pentru aplicaţia numerică ecuaţia devine:
\9 R4 + 1>AR3 - 15li?2 - 3267? - 120 = 0; R e
. Se obţine rădăcina
R = 3.
P2. Preţul unui obiect a suferit trei reduceri succesive cu procentele p %, 2p % şi 3p %. Ştiind că preţul iniţial a fost A, iar cel final este B, să se afle procentul p.
Aplicaţie numerică: A = 1250 lei, B = 240 lei.
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
189
Rezolvare
După fiecare reducere, preţurile vor fi A( 1 - p), A( 1 - p)( 1	2p), respectiv
A( 1 -p)( 1 - 2p)(l - 3p) = B. Se obţine astfel ecuaţia algebrică de gradul trei.
6p3 - 1 \p2 + 6p + r - 1 = 0, unde r= — ,p s (0, 1).
A.
Aplicaţia conduce la ecuaţia 6p3 - 11 p + 6p
0,808 = 0 cu rădăcina p = — ,
adică procentul este 20%.
P3. Un bazin având o capacitate de V litri se poate umple în 2 ore prin patru robinete; pentru a umple singur bazinul, cel de-al doilea robinet ar curge cu 1 oră şi 12 minute mai mult decât cel dintâi, cel de-al treilea cu 3 ore, iar cel de-al patrulea cu 6 ore (mai mult decât primul). Care este debitul pe oră al fiecărui robinet?
Rezolvare
Dacă x este debitul primului robinet obţinem o ecuaţie algebrică de gradul
patru din relaţia: 2| — + — ^ - - + —| = 1, care are rădăcina întreagă ’ l x 5x + 6 x + 3 x + 6 J	&
x = 6.
P4. Să se afle dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic ştiind că suma dimensiunilor sale este 6 dm, aria totală 24 dm1 2 iar volumul V dm3. Să se determine
v
v max-
Rezolvare
Fie x, y z cele trei dimensiuni. Obţinem ecuaţia x3 - 6x2 + 12 x - V = 0, de unde avem funcţia V(x) = x3 - 6x2 + 12 x; x e (0, 6). Din V '(x) = 0 rezultă xmax = 2, adică paralelipipedul devine cub.
exerciţii recapitulative
1.	Să se găsească polinoamele/ e IR[2f], grad (f) = 2, care satisfac condiţiile:
a)	f{a2) = (f{d))\ V a e IR;
b)	/(a3) = (f(a))\ V a e IR.
2.	Să se determine polinoamele/ e IR[XI astfel încât:
190
Manual clasa a Xil-a
b)	Xf(X- 1) = (X- 3)f(X).^
3.	Fie/ e ZZ3pY],/= 2X3 + 2X + î. Să se determine polinoamele g e 7L2[X] de grad cel mult doi astfel încât / = g , unde f,g : Z3 -> Z3 sunt funcţiile polino-miale asociate polinoamelor/şi g.
4.	Fie/ e (C [X\, grad (f) > 2. Dacă/împărţit prin X- a şi X- b dă câturile C\(X) şi C2(X), arătaţi că C\(b) = C2(a).
5.	Fie/ e © [X] şi a e IR \<D. Să se calculeze/(a), dacă:
a) f=Xi-6X+6;	a= a/7 + V4Î + Vv-ViT ;
b) f=X4-4X2+ 1;	a =	+ l/3 + 2V2 .
6.	Fie/e IR [A],/= a2„X2" +	2"~' + ••• +	+ ao- Să se arate că restul
împărţirii polinomului f\aX2- I este o constantă dacă şi numai dacă: ct\ + a2 +
+ ... + cî2n.-\ — 0.
7*. Să se arate că cel mai mare divizor comun al polinoamelor/ g e IR [X\, f=Xm - 1 şi g = Xn - 1 este Xd- 1, unde d este c.m.m.d.c. la numerelor m şi n.
8. Să se arate că polinomul
f=(X-ax){X-a2) ...{X-a,)- 1,
unde ct\,a2, an sunt numere întregi distincte, este ireductibil în TL [X].
9*. Fie polinomul / e IR [X\J= (X 3 + X) - A'- X3. Să se determine m e IN* astfel încât:
a)/să fie divizibil cu A-2 + 1; b)/să fie divizibil cuX4 + X2 + 1.
10.	Fie polinomul / e IR[X\,f= X3 + aX2 + bX + c cu rădăcinile xu x2, x3 reale şi distincte. Dacă /' este derivata funcţiei polinomiale asociată lui/să se arate că:
a)
= 1;
b) g(xi) | gQî) | s(x3)
/'O,)	f(x2)	f(x3)
= 0,
f(x>)	f(x2)	f\x})
unde g este un polinom de gradul întâi.
11.	Fie/e TR[X\9 grad (/) = 4 şi/' derivata funcţiei polinomiale asociată lui/ Dacă rădăcinile lui /sunt în progresie aritmetică, atunci şi rădăcinile lui /' sunt în progresie aritmetică.
12.	Fie a o rădăcină a polinomului/ e TL[X\,f= X3 - X- 1. Să se găsească un polinom nenul g e 7L[X] care să admită rădăcina p = 2a2 - a.
13.	Fie/ g e IR[X]. Dacăf(X3) + Xn • g(X?) este divizibil cu X2 + X+ 1, iar n e IN*, n nu se divide cu 3, atunci/(l) =g(l) = 0.
14.	Fie polinomul/e m[X\9f=X2n + Xn + 1; n e IN*.
a)	Să se arate că X2 - X + 1 I /dacă şi numai dacă n = 6k + 2 sau n = 6k + 4, cu k e EST.
b)	Dacă2f2 -X+ 1 I /, atunci şi X2 + X + 1 I /.
c)	Să se descompună polinomul g = X* +X4 + 1 în factori ireductibili peste IR.
Capitolul 3. inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
191
15.	Să se determine m g IR astfel încât ecuaţiile următoare să admită cel puţin o soluţie reală şi să se rezolve apoi ecuaţiile:
a)	x3 - x2 - 2/x + 2/ + m = 0; b) x4 - mx3 + ix - 2i = 0.
16.	Să se determine a e IR ştiind că ecuaţia x4 - 3x3 + ax2 + x + 5 = 0,
admite rădăcina a + /.
17.	Să se rezolve ecuaţia:
f X + / ^	n-1	fx + i'
Kx-ij	+	[x-ij
x + i
+ ...+-----
x - i
+ 1- 0.
18. Fie/g TR[X],f=X2 + aX2 + X+ b; a, b + 0 cu rădăcinile xh x2, x3.
a)	Să se determine a, b g IR astfel încât X2 - 2X + 2 I /
b) Să se determine a, b <e IR, dacă x,2 + x22 + x2 - a şi — + —7 + — = — .
x“ x2" x~ b
19.	Fie/g TL[X\,f = X3 -X2 + 2. Dacă x\ este rădăcina reală şi x2, x3 rădăcinile complexe ale lui/ să se determine un polinom g g (C [A], grad (g) - 2, astfel încât g(xi) = xh g(x2) - x3 şi g(x3) - x2.
20.	Fie polinomul/g IR[X\,f=X3 + X2 + aX + b cu rădăcinile x\, x2, x3. Să se determine a, b g IR ştiind că restul împărţirii polinomului / (X - 3) la X - 1 este - 4 şi că x,3 + x2 + x3 = 9.
21. Să se discute în funcţie de parametrul real m natura rădăcinilor ecuaţiilor:
a)	x4 - (m - l)x3 + mx2 - (m - l)x + 1 - 0;
b)	x4 - (m - 4)x2 - Am = 0.
•	Forma algebrică a unui polinom este/= a0 + a{ • X + ... + an * X f\ unde cij g K, i = 0, n , iar K este un corp comutativ.
Fie (K [X], +, • ) inelul polinoamelor cu coeficienţi din corpul K şi fie polinomul/ g K [X\. Atunci:
•	Numărul/(x) = a0 + ax • x + ai • x2 + ... + a„ * x\ se numeşte valoarea polinomului/în x.
•	Funcţia / : K -> K cu / (x) - / (x), V x g K se numeşte funcţie polinomială asociată polinomului/
192
Manual clasa a Xll-a
•	Date fiind / g e K[X), g ^ O, există două polinoame q, r <e K[X\ unic determinate, astfel încât/= g • q + r, grad (r) < grad (g).
•	Date fiind/ e K[X) şi a e K, atunci restul împărţirii lui / prin X- a este/(/).
•	Fie / g e K[X\. Polinomul g divide polinomul / dacă există un polinom h e K\X\ astfel încât/= g • h. Se scrie /: g sau g |/
•	Date fiind/ e A/Y] şi a e K, avem A"- # \ f of (a) = 0 (Bezout).
•	Polinoamele/ g e A/Y]. se numesc prime între ele dacă (f g) = 1.
•	Polinomul / e K[X], grad / > 0, este ireductibil peste corpul K dacă nu există în inelul K[X\ divizori ai lui/de grad diferit de 0 şi n.
•	Fie polinomul nenul /e K\X\ şi fie a e K. Spunem că a este o rădăcină a polinomului/dacă/(a) = 0.
•	Fie/ e K[X\, grad/ > 2. Dacă a = a + /&, a, b e IR, b ^ 0 este o rădăcină a
ecuaţiei/(x) = 0, atunci şi a = a - ib este o rădăcină a ecuaţiei date iar a şi a au acelaşi ordin de multiplicitate.
•	Rădăcinile întregi ale ecuaţiei algebrice: a}1xn + an _ \x" ~ 1 + ...+ a\x + a0 = 0,
aj g 2, V i g 0, n se găsesc printre divizorii lui a0.
•	Ecuaţia at1xn + an _ \xn" 1 + ...+ a\X -f a0 = 0 este ecuaţie reciprocă dacă
an _, = ah V / = 0, n
Probleme de sinteză pregătitoare pentru examenul de bacalaureat
1. Se consideră a, b c e IR şi polinomul /e IR [X\, f^X2, -pX2 + qX- r, cu rădăcinile xh x2, x3 e (C, unde p, q, r e (0, ,oo).
a)	Să se determine ^ e IR cu proprietatea că f= s(X- x\)(X- x2)(X- x3).
b)	Să se calculeze expresia (1 -xi)(l -x2)(l -x3) în funcţie dep, q, r.
c)	Să se arate că x2 + x\ + x2 = p2 - 2q.
d) Să se arate că polinomul g = X3 -X2 + X- 2 nu are toate rădăcinile reale.
e) Să se arate că, dacă x e (~oo, 0], atunci/(x) < 0.
f)	Să se arate că, polinomul /nu are rădăcini în intervalul (-CO, 0],
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
193
g)	Să se arate că, dacă a + b + c > 0, ab + bc + ac > 0 şi abc > 0, atunci a > 0, b > 0, c > 0.
2. Se consideră mulţimea G = IR x IR*, pe care se defineşte legea de compoziţie prin: (a, x) ° (b, y) = (bx + a, xy), V a, b g IR, V x, y e IR* .
a) Să se calculeze (-1, 1) o (1, 2) şi (1, 2) o (-1, 1) şi să se deducă apoi dacă legea este comutativă.
b)	Să se verifice că
((a, x) o (b, y)) o (c, z) = (a, x) ° ((/, y) ° (c, z)) = (cxy + bx + a, xyz), V (a,x), (b,y), (c, z) e G.
c)	Să se verifice că (a, x) ° (0, 1) = (0, 1) ° (a, x) = (a, x), V (a, x) e G.
a 1 ^
d) Să se verifice că (a, x) °| - —
x x
X X
o (a, x) = (0, 1), V (a, x) e G.
e)	Să se determine x g IR* , astfel încât (e\ x) o (x, e) = (1 + e,e).
f)	Să se determine (u , v) g G, astfel încât:
(u , v) o (u , v) o ... o (ii ? v) = (a7 - 1, a'), w g IN*, a g IR* .
de n ori
g)	Ce structură algebrică are (G, ° )?
3. Se consideră mulţimea ,.^(IR), matricea /3 =
f\
0
		' \ 0 0"	
submulţimea G = <	A(x) =	- x 10 v302 -x) -6 1,	1 X G IR >
0
1
0
o"
o
Şi
Se consideră apoi funcţia/: IR -► G,/(x) = A (x), V x g IR
a)	Să se verifice că /3 g G.
b)	Să se arate că A(x) • A(y) = A(x + y), V x, y g	IR.
c)	Să se arate că ((/l(x) • A(y)) • ^4(z) = ^(x) • (A(y) •	,4(z)),	V ^(x), ^4(y), ^4(z)	g G.
d)	Să se arate că, pentru orice A(x) g G, există	(-x)	g	G,	astfel încât
^(x) • A(-x) = A(-x) • y4(x) = /3.
e)	Să se demonstreze că funcţia /este bijectivă.
f)	Să se arate că/(x + >>) =/(x) •/(y), V x, >> g IR.
g)	Să se determine n g IN*, astfel încât f(nx) = [^(x)]100.
4.	Se consideră în mulţimea (E [Jf] polinomul /= (1 + iXf + (1 - iXf, având forma algebrică /=	+ cit X1 + ... + a\ X + a0 şi rădăcinile X|, x2,.x8 g (E.
a)	Calculaţi/(i),/(-i) şi să se arate că/(-x) =/ (x), V x g IR.
194
Manual clasa a Xll-a
b)	Să se calculeze suma coeficienţilor polinomului f
c)	Să se determine ag, a2, <z6 şi a0.
d)	Să se arate că x2 + x\ +... + xy2 = 56.
e)	Să se arate că xk £ ©, V k = 1,8 .
f)	Să se demonstreze că dacă xe(C este o rădăcină a lui /’ atunci | 1 + ix\ = = 11 - ix| şi să se deducă faptul că xk e IR\ ©, V k = 1,8 .
g)	Ştiind că xk = tg ^ , k = 1,8 să se deducă egalitatea:
16
? 7i j 3tc ? 5n i In
tg 16 + tg 16 tg T6 tg 16 = 8'
5. Se consideră polinomul / = X 3 - aA"2 + bX - c, unde a, b, c e IR, cu
rădăcinile xj, x2, x3 e (C. Notăm Sk = x,/c + x* + x*, k e IN, yl =
a, b,	C
'X\	x2
xi	xi
	xl
Şi
^27
A = det(A).
a)	Să se verifice caS\ = a şi S2 = a2 - 2b.
b)	Să se arate că Sn+3 =a • SY2 - 6	+ c • Sn9 V 77 e IN.
c)	Să se calculeze S2 şi 54 în funcţie de a, b şi c.
d)	Să se calculeze valoarea determinantului A.
e)	Să se arate că dacă a ^ 0, A = 0 şi x\, x2, x3 e IR, atunci X\ = x2 = x3.
f)	Să se arate că dacă xl5 x2, x3 sunt în progresie aritmetică, atunci avem 2a3 -9ab + 27c = 0.
g)	Să se arate că inegalitatea b2 - 2ac < 0 este o condiţie suficientă pentru ca polinomul /să admită o singură rădăcină reală.
6.	în mulţimea ty/^(JLp), p > 2,p număr prim, se consideră submulţimea:
lY
Gp-

0
, ă , b, c gTL,
J
, pe care se defineşte operaţia de înmulţire.
A - A
a)	Să se arate că Gp conţine p elemente.
b)	Să se arate că există A, B e Gp, astfel încât A B ^ B • A.
c)	Să se arate că există E e G/;, astfel încât A - E = E- A=A,VA e Gp.
d)	Să se arate că, pentru orice matrice A s Gp, există A'1 e Gp, astfel încât A=E.
a a A
-i=a-i
e) Să se demonstreze că A p =
0 0 î 6 6 î
,\/A e Gp.
J
Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
195
f)	Se consideră mulţimea: C(A) = {X e ,,^(2ZP); X4 = AX}, unde A e Gp, iar a = c = 0 şi  = 1. Să se arate că, dacă X e C (A), atunci există y, z , t , u, v eZ,
	(~ y	6	51
astfel încât: X=	z	t	6
	y	V	K
g)	Daţi exemplu de un grup necomutativ cu 343 de elemente.
7.	Se consideră mulţimea CC, sistemul de ecuaţii (S) : 3x - y - z = 4;
x + y - z = 1 + i V3 ; x + 2y + 2z = - 1, iar în mulţimea, ^(IR), matricea
/
2
V3
2 2,
defineşte operaţia de înmulţire a numerelor complexe, notată cu a) Să se determine mulţimea G.
A =
X
2
1
. Se notează cuG= {x0, yo, z0} soluţia (S) pe care se
b)	Să se arate că x0 + y0 + z\ = 0 şi Zq = 1.
c)	Să se demonstreze că (G, •) este grup abelian.
d)	Să se calculeze A 2 şi A 3.
e)	Să se arate că mulţimea G ' = { I2, A, A 2j este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor.
f)	Să se arate că există o funcţie bijectivă /: G -► G astfel încât: f{a-b)=f(a)-f(b)9\/a,beG.
g)	Să se calculeze A2006.
8.	Fie a e (0, +oo) şi mulţimea Ga = (a, +oo) înzestrată cu operaţia astfel încât x * y = xy - a(x + y) + a2 + a, V x, y e Ga.
a)	Să se arate că V x, y e G„ => x * y e Ga.
b)	Să se arate că operaţia este comutativă şi asociativă pe Ga.
c)	Să se arate că x = x * x * ... * x = (x - af + a, V n e IN*.
v v y
n ori
d)	Fie m, n e IN*. Să se arate că xm * yn =yn * xm, V x, y e Ga, V m, n	e	IN*.
e)	Să se arate că nu există elemente b e G„ \ {a + 1}, astfel încât	să	avem:
6'7 = 6'”, pentru m, n e IN*, w ^
f)	Fie n e IN*, a e (0, 1) şi #/7 =	Să se calculeze lim
/7	/7______J7	>7->+oo
n ori
196
Manual clasa a Xll-a
g)	Fie mulţimea IR* şi operaţia de înmulţire definită pe IR" . Să se arate că există o funcţie /: Ga -► IR* , bijectivă, astfel încât să fie verificată egalitatea ./O * y) =/(x) -/O), Vxjg Ga.
9.	Se consideră în inelul ZZ3 [X\ polinoamele /= ăX3 + bX2 + c X + 1 şi g = 2X6 + X3 + 1 . Dacă h e 2Z3 [A], se notează cu h funcţia polinomială asociată polinomului h, definită prin h : 2Z3 —> 2Z3, h (x) = h(x), V x e 2Z3.
a)	Să se determine ă , b, c astfel încât/(1) = 1 şi/( 2) = 2 .
b)	Să se determine toate polinoamele f astfel încât / = g .
c)	Dacă £ = c = 0, să se arate că [/(x)]3 =/(x3), V x e 2Z3.
d)	Să se afle câtul şi restul împărţirii polinomului g la polinomul f atunci
când ă = \ ş\ b = c = 0.
e)	Câte polinoame /sunt ireductibile peste corpul ZZ3?
f)	Precizaţi dacă Z3 [X] are divizori ai lui zero?
g)	Câte polinoame /nu au rădăcini în TL{!
10.	Fie polinomul f= (X + l)2005 şi forma sa algebrică:
J — Clo ' X + a i ' X +...+ #2004 ’ X + #2005*
a)	Determinaţi a0 + a{ + ... + ^2oo5-
b)	Aflaţi coeficienţii a0, #2004, #2005-
c)	Calculaţi qq — ci\ #2 — • • •	#2004 — #2005*
d)	Calculaţi/(- V2 ) •/( V2 ).
e)	Aflaţi #1 + 2#2 + 3#3 + ... + 2005 #2oos-
11. Fie G = (-/c, /c), k > 0, cu operaţia x * y =
k2(x + y)
k2 +xy
. Demonstraţi că:
a)	oricare ar fi x, >> e G => x * y e G;
b)	x * y = y * x, V x, y e G;
c)	x * (y * z) = (x * y) * z, V x, y, z e G;
d)	3 e e G, astfel încât e * x= x * e = x, V x <e G;
e)	oricare ar fi x e G, există x' e G, astfel încât x * x' = e;
f) funcţia /: G

k -f x k - x
este un izomorfism între (G, * ) şi

Capitolul 3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
197
12. Se consideră în mulţimea . ^(25) submulţimea ,(x 3
G =
\y
x,y eZ5 >ş\ matricele/2
J
f\	<o
	b
şi 02
ro 6^
6 6
a)	Să se verifice că /2 e G şi 02 e G.
b)	Să se arate că dacă x, y e Z5 şi x2 - 3 y2 = 0, atunci x = y - 0 .
c)	Să se arate că dacă A, B e G, atunci A+BeGşiA-BeG.
d)	Să se arate că dacă A e G şi A * 02, există B e G cu A • B = I2.
e)	Să se determine numărul matricelor inversabile din mulţimea G.
f) Dacă C =
'\ P 2 î
e G, să se calculeze C2 şi C
g)	Să se arate că C3/7 = 2 /7/2 şi să se calculeze C20%
13.	Considerăm legea de compoziţie * pe IR, definită prin
x * y = axy + bx + cy + d,
cu a, b, c, ^ g IR.
Să se determine a, b, c, d e IR astfel încât (IR \ {3}, * ) să fie grup şi funcţia/: IR* —» IR \ {3}, f(x) = 2x + 3, să fie un izomorfism al grupurilor (IR*, •) şi (IR \ {3}, * ).
14.	Fie mulţimea
G =
a
b
\a, b e (Q, a2 + b2 = 1
Să se arate că:
a) G împreună cu înmulţirea matricelor este grup comutativ.
b) Dacă a, b e ©, b ^ - 1 şi A =
dacă există re© astfel încât (7 =
2r
T ?i b =
a
b a 1 - r2
, atunci A e G dacă şi numai
v
1 + r2	1 + r2
c) Grupul G are o infinitate de elemente.
15. Se consideră în mulţimea © sistemul de ecuaţii 3x - y - z = 4 (S) : < x + y - z = 1 + /V3 . x + 2y + 2z = -l
198
Manual clasa a Xll-a
în mulţimea . //:m) se consideră matricea A =
_ V3
l 2
J3)
2
2)
Se notează cu G = {x0,	?o} soluţia sistemului (S), iar pe G se consideră
operaţia de înmulţire a numerelor complexe, notată cu „ • ”.
a)	Să se determine mulţimea G.
b)	Să se arate că x0 + y0 + i\ = 1 şi z\ = 1.
c)	Să se demonstreze că (G, •) este grup comutativ.
d)	Să se calculeze A2 şi A3.
e)	Să se arate că mulţimea G' = {/2, A, /I2} este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor.
f)	Să se arate că există o funcţie bijectivă/: G —> G 'astfel încât f{a • b ) =/(tf) */(/?), V a, b e G.
16. Se consideră polinomul / e IR [A],/= ^4 + 4Z 3 + 6 JT2 + 4 JT + 2 şi x2, x3, x4 e (C rădăcinile lui. Fie S/{ = ** + xj + X3 + xk4 , k e IN*.
a)	Să se calculeze: X] + x2 + x3 + x4 şi X|X2x3x4;
b)	Să se calculeze: S2, Si şi S4;
c)	Să se determine rădăcinile polinomului g=f - 1;
d)	Să se determine rădăcinile polinomului/;
e)	Să se arate că / nu se poate scrie ca produs de două polinoame cu coeficienţi întregi de grad cel puţin 2.
f)	Să se descompună polinomul/în factori ireductibili în inelul C[A].
iniţializa
matematică
•Primitive
•integrala nedefinită •Arii şi volume
•Probleme de sinteză pregătitoare pentru examenul de bacalaureat
Capitolul 1
PRIMITIVE
1.1.	Probleme care conduc la noţiunea de primitivă (integrala nedefinită)
Problema de bază în clasa a Xl-a a constituit-o studierea comportării unei funcţii, atunci când variaţia argumentului tinde la zero. Acest lucru s-a redus în final la calculul derivatei şi studierea comportării funcţiei derivate ţinând seama de un număr important de proprietăţi şi propoziţii matematice specifice calculului diferenţial. Altfel spus, într-un alt limbaj, cunoaştem comportarea întregului în ansamblul său şi ne interesează anumite informaţii privind comportarea întregului în anumite puncte specificate.
Exemple:
a)	In geometrie:
Se dă funcţia F : I —> IR (derivabilă pe I ) şi urmărim să determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în orice punct x e / şi în particular în punctul x0 e /.
Coeficientul unghiular al tangentei în punctul x = x0 este m(x0) = tg aOo) = F '(x0).
Ecuaţia tangentei la curbă în punctul de abscisă x0 este y - F(Xo) = F(x0)(x - x0).
b)	In mecanică:
Cunoscând expresia spaţiului în funcţie de variabila timp s = s(7) am obţinut viteza de mişcare v(t) a unui mobil la orice moment t,
v(t)=s'(t).
Sau, cunoscând viteza v(7) obţinem formula acceleraţiei
kt) = s*{t).
In clasa a Xll-a ne punem problema invers: cunoscând comportarea întregului în anumite puncte ne propunem să găsim întregul. Considerând exemplele prezentate mai sus obţinem:
Capitolul 1- Primitive
201
a') în geometrie:
Cunoscând coeficientul unghiular al tangentei la o curbă în funcţie de argument să determinăm curba corespunzătoare. Adică, dacă m(x) = tg a(x) = /(x), să determinăm funcţiile T7: / —> IR, derivabile care verifică condiţia
F'(x)=f(xf\/xel.
Funcţia F : / —> IR se numeşte primitivă a funcţiei /: I —> IR şi evident că există mai multe astfel de funcţii: orice funcţie care se obţine adunând la F o constantă reală arbitrară k, deoarece
(F(x) + /c)' = F'(x) =/(x).
Mulţimea tuturor primitivelor se va numi în matematică (în mod tradiţional) integrală nedefinită.
Pentru a obţine din mulţimea de curbe corespunzătoare o anumită curbă, va fi suficient să mai punem în ipoteză o condiţie suplimentară. De exemplu, să determinăm acea curbă care trece prin punctul A(x0, y0).
înlocuind în relaţia: y = F(x) + k obţinem y0 = F(x0) + k=> k = y0- F(x0).
Rezultă: y = F(x) + y0- F(x0) (fig. 1). Ol
		^y=F(x)+k	\ \ .2 :	/ /
			II col*	/ /
k\			\ \ \ \	//
	w» g!t‘:		\ \ \ V : \ 	j~ \ -r	Aii A 1
				■ / : /
				: /m=
Ol	x
..►
x " /

x:
Fig. 1
Fig. 2
Din punct de vedere geometric putem spune că dacă y — F(x) este o anumită curbă, atunci toate celelalte curbe sunt de ecuaţie y = F(x) + /c, unde k este o constantă, ceea ce înseamnă că se pot obţine din F(x) printr-o translaţie paralelă cu axa Ox de ecuaţie y = k (fig. 2).
202
Manual clasa a Xll-a
tzxerciţiu rezolvat
Să se determine toate curbele 7^ : IR —> IR, = F(x) cu proprietatea
tg a(x) = x, V x e IR
să se determine acea curbă care trece prin punctul 0(0, 0).
Rezolvare
Având în vedere cele de mai înainte, egalitatea tg a(x) = /c, V x e IR se transpune în egalitatea F(x) = x, (V x e IR. Evident funcţiile F : IR —» IR sunt de forma
F(x)
-+/c,
unde k este o constantă reală, deoarece se verifică cu uşurinţă că:
F(X) :
f 9 X
+ k
= x, V x e IR.
Din condiţia F(0) = 0, obţinem 0 = k şi deci F(x) ■
(fig. 2).
b') Un exemplu din mecanica newtoniană!
Presupunem că avem în vedere o mişcare uniform accelerată, (de exemplu, mişcarea are loc sub influenţa atracţiei universale), care în orice moment de timp are valoarea a = g ~ 9,81 cm/s2.
Atunci, ţinând seama că pentru orice t aparţinând intervalului de timp considerat avem acceleraţia a(t) = V'(0, obţinem:
V(0 = g:t + k,
k fiind o constantă. Dacă cunoaştem la momentul t = t0 că viteza este egală cu V0, atunci obţinem
r(0 = g(t-to)+Vo.
In mod asemănător, putem determina expresia spaţiului în funcţie de timp, ştiind că 5 \t) = V(t) = g(t - t0) + V0.
1 2
Cu uşurinţă se obţine S(t) = —g(t - t0)~ + V0(t - /0) + k!. Pentru a determina
valoarea constantei k' este suficient să cunoaştem S(to) = 50, adică valoarea spaţiului parcurs la momentul t = tQ. înlocuind, obţinem S(to) = 50 = k' şi în final obţinem expresia spaţiului în funcţie de timpul t de forma:
S(t)=±g(t-t0)2+V0(t-t0)2 + So.
Observaţie. Valorile t0, V0, S0 în mod convenţional se mai numesc valorile iniţiale ale lui t, V şi S.
Capitolul 1. Primitive
203
exerciţiu rezolvat
Un mobil se mişcă astfel încât acceleraţia sa în funcţie de timp este dată de legea a{t) = r, pentra orice t aparţinând intervalului de timp considerat.
a)	Să se determine expresia vitezei şi spaţiului funcţie de timpul t.
b)	Să se determine spaţiul parcurs ştiind că la momentul t = t0, V(t0) = 0 şi
S(t0) = 0.
Rezolvare
T	/3
a)	Avem evident din V '(t) = a(t) = r, V(t) = — + k\ şi din S ’(t) = V(t), obţi-
r3	t4
nem S'(!) = — + k\ => S(t) = — +k\t + k2.
î3	/3
b)	Din V(t0) = 0=>-Ţ + ki=>kt= —j- şi din S(t0) = 0, obţinem
/0 — + / •	( tl)		ti	_ u4
12	{ 3J	+ ki => k2 - -y- -	12	4
în final obţinem: S(t) --	_ t4 12 '	/3 t4 - ^t+ 2-. 3 4		
® exerciţii propuse 1 2
1.	a) Să se determine toate curbele F : IR —> IR, y - F(x), cu proprietatea
tg a(x) = e\ V x e IR.
b) Să se determine şi să se construiască acea curbă care trece prin punctul
A( 0, 1).
2.	Un mobil se mişcă astfel că acceleraţia sa funcţie de timp este a(i) = 1 + /, V t aparţinând intervalului de timp considerat.
a)	Să se determine expresia vitezei şi a spaţiului, funcţie de timpul t.
b)	Să se determine spaţiul parcurs, ştiind că la momentul /0 = 10 s avem V(t0) = 10 m/s şi S(t0) = 10 m.
204
Manual clasa a Xll-a
1.2.	Primitive (antiderivate)
In baza exemplelor analizate până acum, ne propunem în continuare să studiem sistematic problematica corespunzătoare cu privire la primitive şi integrale nedefinite, introducând definiţii şi proprietăţi importante specifice calculului integral, dând în acelaşi timp consistenţă şi un sens matematic precis celor menţionate mai înainte.
Astfel, vom introduce noţiunile de primitivă şi integrală nedefinită, proprietăţile mai importante ale calculului cu primitive şi tabelele cu integrale nedefinite (ale funcţiilor de bază şi ale funcţiilor compuse).
De asemenea ne propunem să calculăm efectiv integralele nedefinite ale anumitor tipuri de funcţii, urmând ca lucrurile să se aprofundeze la capitolul „Integrala definită”.
Primitivele unei funcţii definite pe un interval
Dacă /:*/—> IR este o funcţie definită pe intervalul J se pun următoarele probleme:
I.	există o funcţie F : J —> IR derivabilă pe J astfel încât derivata ei să fie egală cu funcţia/?
II.	pornind de la funcţia/ cum se pot determina funcţiile F pentru care F ’{x) =/(*), Vig,/.
Se poate arăta că există suficiente funcţii (de exemplu orice funcţie continuă) care îndeplinesc condiţia I.
Pentru a înţelege mai precis cum se pune problema din punct de vedere matematic, vom da următoarea:
Definiţie
Fie Jc: IR un interval şi o funcţie/: */—> IR. Vom spune că funcţia/admite primitivă (antiderivată) pe intervalul / dacă există o funcţie F : J —» IR astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiţii:
1.	funcţia F este derivabilă pe intervalul J\
2.	F(x) =/(*), VigJ.
Funcţia F care îndeplineşte aceste două cerinţe se numeşte primitivă a funcţiei/sau antiderivată a funcţiei/
Capitolul 1. Primitive
205
în legătură cu intervalul / facem următoarele precizări:
i)	Dacă J = [a, +oo), atunci derivata funcţiei F în punctul a coincide cu
?
derivata la dreapta în punctul a şi vom calcula Fct (a).
ii)	Dacă J - (-00, b], atunci derivata funcţiei F în punctul b va coincide cu
1
derivata la stânga în punctul b şi vom calcula Fs (b).
1	»
iii)	Dacă J = [a, b], atunci vom calcula şi F(J (a) şi Fs (b).
Având în vedere că determinarea primitivelor poate fi considerată ca o problemă inversă a calculului derivatelor, atunci, pornind de la existenţa unor funcţii ale căror derivate sunt cunoscute, putem pune în evidenţă primitivele corespunzătoare.
Exemplu
Considerăm funcţia F : IR —> IR, F(x) = —; evident F(x) = x2. Atunci
jc3
spunem că funcţia F : IR —> IR, F(x) = —, este 0 primitivă a funcţiei /: IR —> IR,
/(x) = x2, ceea ce este echivalent cu a spune că funcţia/: IR —» IR,/(x) = x2, admite
3
x
ca primitivă funcţia F : IR —> IR, F(x) = ^r~.
Dar observăm că şi funcţia G1 : IR —> IR G(x) = — + /c, (unde k e IR este o constantă reală) este de asemenea o primitivă a funcţiei/ deoarece:
G'{x) =
(y? , — + k
= x .
Observaţie, 1. De aici se degajă concluzia următoare: dacă o funcţie definită pe un interval admite o primitivă pe acel interval, atunci ea admite o infinitate de primitive şi toate primitivele diferă între ele printr-o constantă.
2. De regulă, notaţia primitivelor se va face utilizând litere mari din alfabet.
Prima afirmaţie se poate demonstra astfel: fie F şi G două primitive ale funcţiei /: J —> IR. Avem evident F '(x) = G'(x), V x e J => F(x) - G'{x) = 0 => [F(x) - G(x)] ' = 0 => F(x) - G(x) = k, unde k este o constantă reală. Ipoteza ca funcţia să fie definită pe un interval este esenţială întrucât am folosit teorema creşterilor finite (teorema lui Lagrange).
206
Manual clasa a Xll-a
teoremă________________________________________________________
Orice funcţie continuă/: / —^ IR (/ este un interval) admite primitive pe acel interval.
Demonstraţia se va face în capitolul următor.
tzxerciţii rezolvate
1. Fie funcţia/: IR —» IR,/(x) = xa(a g IR, a ^ - 1).
a)	Să se determine primitivele funcţiei.
b)	Să se determine acea primitivă pentru care F( 1) = 0.
Rezolvare
a) Este evident că orice funcţie F de forma
. a + l
F : IR —> IR, F(x)
a +1
+
unde k este o constantă reală, îndeplineşte condiţia
F\x)
xa a +1
+ k
b)F(l) = 0
a +1
+ k = 0 => k =
= xa,\/xe IR. 1
F: IR —»IR, F(x) =
a + l
a+l	|
. Primitiva căutată este: , V x g IR.
a + l a + l
2.	Fie funcţia/: IR -> IR,/(x) = sin x + cos x, V x g IR.
a)	Să se determine primitivele funcţiei/
b)	Să se determine acea primitivă cu proprietatea F ^ j = 0.
Rezolvare
a)	Evident, primitivele sunt de forma F : IR —» IR, F(x) = - cos x + sin x + k, deoarece F '(x) = (- cos x + sin x + k)! = sin x + cos x, V x g IR.
( ji	ji
b)	F — = 0 => - cos — + sin — + k = 0 => k = 0. Primitiva căutată este
V4J	4	4
F : IR —» IR, F(x) = sin x - cos x.
3.	Fie funcţia/: IR* —> IR,/(x) = —, V x g IR*.
x
a)	Să se determine primitivele funcţiei/
b)	Să se determine acea primitivă pentru care F(l) = 0.
Capitolul 1. Primitive
207
Rezolvare
a) Evident primitivele sunt de forma F : IR —> IR, F(x) = In | x | + /c, deoarece
F '(x) = (In \ x\ + k)' = —, V x g IR*.
b) F(l) = In |1| + k = 0 => k = 0 => F(x) = In |x|.
4. Fie funcţia/: IR —> IR,/(x) = i*
I x, x > 1
a)	Să se arate că funcţia/admite primitive pe IR.
b)	Să se determine primitiva F : IR -» IR pentru care F(l) = 0.
Rezolvare
a)	Evident funcţia/este continuă pe IR şi deci admite primitive pe IR.
b)	Dacă funcţia 7^ : IR —> IR este o primitivă pe IR a lui/ atunci este de forma:
F : IR IR, F(x) =
V3	
— + L, 3	X < 1
k2,	X = 1
1 X“ 7 	h /Ct 2 3	X < 1
unde constantele kh i= 1,3 , se vor determina impunând condiţia ca funcţia F să fie derivabilă pe IR. Determinăm relaţia dintre constantele k-, impunând mai întâi condiţia ca funcţia F să fie continuă în punctul de abscisă x0 = 1 şi obţinem:
limF(x) = limFţx)	= F(l) =>	\	+ k\ =	—	+ k3 = k2 = k,
x->\	x ► i	3	2
V<l	X>1
de unde va rezulta:
Fk (x) = F(x) =
x3 ,	1
------1-k —, x < 1
3	3
k,
x = l.
x1	. i
— + k —, x > 1 2 2
Din studierea condiţiei de derivabilitate a funcţiei Fk în punctul x0 = 1 obţinem:
F,'(l) = lim
X->1 .Y< l
F(x)-F(1)
X — 1
- + k- — -k
■ lim-
.t —> 1
AXl
x — 1
=llm-^-•v-;i 3(x -1)
= 1.
208
Manual clasa a Xll-a
X" . _ 1_
,.m	..	F(x)-F(l)	~2+	2~	,• x2-\	.
Fy(l) = lim--------------= hm—----------------= hm----------= 1.
x-1 v->i x-1	-v—>i 2(a: — 1)
A‘> 1	.Ol	A>1 V 7
t	»
Din faptul că Fs (1) = Fd (1) = 1 rezultă că funcţia : IR —> IR este deriva-
bilă în x0 = 1 şi evident pe IR.
Avem:
x", x<l
F'k (x):
x“ X ^ 1
1, x = 1 = s ’	=/(x), Vi g IR.
[X, X > 1
X, X > 1	^
în concluzie funcţia Fk este o primitivă a funcţiei/, unde k este o constantă reală oarecare.
Din Fk (1) = F{ 1) = 0, obţinem k = 0 şi funcţia
Fo : IR —> IR, Fq (x)
3 1
T"3- J<1
0, x = 1, care este primitiva căutată.
x2 1
— - —, x > 1 2 2
Observaţie, i) Să verificăm pe acest exemplu că oricare două primitive diferă printr-o constantă reală. Intr-adevăr fie Fk , Fki două primitive, unde
Fkl (x) =
-------1- k. —, x < 1
3	'	3
/c,, x = 1 şi Fi<2 (x) = < x2	1
-------h /C,-------, X > 1
2	1	2
X3 .	1
-----h /Cp----, X < 1
3	2	3
k2,
x	, 1
----V k1---.
2 2
x — 1. x > 1
Avem evident:
F, (x)-Fk, (x) =
k, - L, x < 1
kx -k2, x = 1
k{ - /c2, x > 1
=^> Fk (x) - Fki (x) = k\ - k2, V x e IR, deci diferenţa celor două funcţii este o constantă.
Capitolul 1- Primitive
209
ii) Condiţia de derivabilitate în x0 = l nu a mai furnizat relaţii noi între constante, în plus faţă de condiţia de continuitate.
5.	Fie funcţia/: IR —> IR, f(x) = | x |.
a)	Să se arate că funcţia/admite primitive pe IR.
b)	Să se calculeze primitiva F : IR —» IR pentru care //l) = 0.
Soluţie
a) Evident funcţia/este continuă pe IR.
b) f(x) = <
Funcţia F: IR —> IR este primitivă a lui/dacă este de forma:
-X,	x < 0
o,	x = 0
X,	x>0
F{x) =
- + /c,, X €. (-00,0)
k2,
x = 0
—+ /c3, X G (0, + Oo)
Avem lim.F(x) = k\, limF(v) = /c3. Condiţia de continuitate este:
.V—>l	A—>l
A<l	A> l
k\= k2 = k2 = k şi funcţia F este de forma:
F : IR -» IR, F{x) = <
■ + k, x e (-oo,0)
x = 0
— + k, X G (0, + <X))
sau
F(x) =
~ — + k, x < 0 2
2
— + k, x>0
Observaţie. Nu mai este necesar să verificăm derivabilitatea funcţiei /în punctul x0 = 0, deoarece nu aduce condiţii suplimentare pentru constanta k.
Există un număr important de funcţii care sunt continue şi deci admit primitive, dar nu putem calcula primitivele corespunzătoare.
210
Manual clasa a Xll-a
exerciţii rezolvate
Să se studieze dacă următoarele funcţii admit primitive pe domeniile specificate.
IR,/(*)=£?*'
sinx
3./:E->IR,/(x) =
, x ^ 0
1, x = 0 5./: (0, +oo) -> IR, f(x) = e • lnx;
l.f: IR -»IR,/(x);
e x~, x ^ 0 •
3
0, x = 0
l.f: IR —> IR, / (x) — e~x~ tgx
4./:IR^R/(*)='
x ^ 0
1, x = 0
6./: | 0,— | —> IR,/(x) = sinx • lnx.
8./: IR -> IR, /(x) =
— e -v“, x ^ 0
r
0, x = 0
Soluţie
Funcţiile sunt continue, deci admit primitive, dar aceste primitive nu se pot calcula.
Primitivele unei funcţii definite pe o reuniune de intervale disjuncte
Problema existenţei primitivelor se poate extinde şi la funcţii care sunt definite pe o reuniune de intervale disjuncte.
Astfel, dacă funcţiile/: / -+ IR şi g : /2 -► IR (/ n /2 = 0) admit primitivele
F(x) + kx, x e 7j
F(x), respectiv G(x), atunci funcţia: H(x) =
, reprezintă o
G(x) + k2, xe/2
primitivă a funcţiei h(x)
f(x), xe/,
(unde k], k2 sunt constante reale).
g(x), xel2
O altă primitivă a funcţiei h este şi funcţia
\F(x) + k[, jcg/,
•
G*(x) + k2, xel2
K(x) =
; k[, k'2 e IR sunt constante.
Capitolul 1. Primitive
2ll
H(x) - K(x) = <
rK~k[,	X G /,
k2-k'2,	xe/2
, deci cele două primitive nu mai diferă
printr-o constantă. Aceasta este deosebirea esenţială faţă de cazul când funcţiile sunt definite pe un interval.
Exemple
f x, x > 0
1. Funcţia /: IR —> IR,/(x) =	9	, admite ca primitivă funcţia:
lx“, x<0
F :1R*	IR,/(x) =
—	+ k,, x > 0 2
—	+ k7,	x<0
3	2
2. Funcţia / : IR* -> IR, f (x) =
—, x > 0
x	admite primitive şi o primitivă
x, x < 0
Z7": IR —> IR este de forma:
F(x) =
In x + k]9 x > 0
— + /c9, x < 0 2 2
Teste be verificare
Testul 1
Se consideră funcţiile: f : (0, +oo) -> IR,/, (x) = xln x;
./2:(0, +oo) -> IR,/2(x) = (In x)2;
 ■ (0, +co) - IR,/3(x) = 2-1^
şi funcţiile:
G\ : (0, ,co) IR, G\(x) = (lnx)2;
G2 : (0, +oo) —» IR, G2(x) = x(ln x)2 - 2x In x + 2x;
212
Manual clasa a Xll-a
G3 : (O, +oo) —> IR, G3 (x) —
Să se decidă care dintre funcţiile G, (7 = 1,3) sunt primitivele corespunzătoare
pentru funcţiile/ (/ = 1,3).
Timp de lucru: 30 de minute
Testul 2
Se consideră funcţiile:
j\ : IR —> IR,/i(x) = (x2 - x - 1) sin x;
/2 : IR —> IR, /2(x) = (x2 - 2) sin x şi funcţiile:
Gi : IR —> IR, G|(x) = (2 -x2) cos x + 2x sin x;
G? : IR —> IR, G?(x) = (- x2 + x + 1) cos x + (2x - 1) sin x.
Să se decidă care dintre funcţiile G,- (/ e {1, 2}) sunt primitive pentru funcţiile
/(/e {1,2}).
Timp de lucru: 30 de minute
Testul 3
Se consideră funcţiile:
tg*
/j : IR -»IR, /j (x) =7^-77; fi: (0, 7) - IR, f2 (x) =-^-1 + e	2	cos" .x
e*
/3 : (0, Too) -> IR, / (x) = —^ şi funcţiile:
vx
F, : IR - IR, F, (x) = arctg ev; F2: (0, -j) -»IR, F2 (x) = elgA;
F3 : (0, +00) - IR, F3 (x) = 2erx .
Să se decidă care dinte funcţiile F-, sunt primitive pentru funcţiile f,ie {1,2,3}.
Timp de lucru: 30 de minute
1.3.	Exemple de funcţii care nu sunt continue dar care admit primitive
Am văzut în paragraful precedent că orice funcţie continuă admite primitive. Vom da în continuare câteva exemple de funcţii care, deşi nu sunt continue, totuşi admit primitive.
Capitolul 1. Primitive
213
Exemplul 1
Funcţia/: IR -> IR,/(x) = \Sln x ’ x*°.
0,
x = 0
Soluţie
Avem sin — = f x2cos—j -2xcos —.
x l	x	x
1
Fieg : IR —> IR, g(x) = ţ C0S3/
x^O
X
0, x = 0
Se observă imediat că funcţia g este continuă pe IR, deci admite primitive şi fie G : IR —» IR o primitivă a sa (pe care nu o putem calcula).
Atunci funcţia/se poate scrie sub forma:
/« =
x2cos-t| -2xcos-f x^O
X	X
0,
x = 0
Dacă F: IR —> IR. este o primitivă a funcţiei/, atunci este de forma:
F(x) =
i	1
x“ cos---2G(x) + k{, x ^ 0
x
k2,
x-0
Determinăm relaţia dintre constantele k\, k2 e IR, punând condiţia ca funcţia F să fie continuă în punctul de abscisă x0 = 0 şi obţinem
lim F(x) = lim (x2 cos — - 2G(x) + k\) = - 2G(0) + k\ = k2.
x —> 0	x —> 0	X
Atunci F devine de forma
F(x) =
7 1
x“ cos---2G(x) + Ic, x ^ 0
X
-2G(0) + k, x = 0 Studiem derivata funcţiei Fin punctul x0 = 0 făcând apel la definiţie
F(x) _ f(0)	*2 cos----2G(x) + k{+ 2G(0) - k{
F '(0) = lim —= lim---------------------*----------------------------=
.v-»0	X	A--»0	X
= lim x cos — - 2 lim	= limxcos — -2G'(0) = g(0) = 0.
a - >0	X .v->0	X	A->0	x
Deci F '(0) =/(0) = 0. Concluzia este că funcţia F este o primitivă a funcţiei/
214
Manual clasa a Xll-a
Exemplul 2
Funcţia/: IR->ffi,/(x)=<jcos~/ * * 0 ,
O,	x = O
o ■ 1	( , . 1
= 2x sin		x' sin —
X	l *
f . 1	x ^ 0 5
c)= xsm-,	
o,	* II O
care se observă că este continuă în punctul de abscisă x0 = 0 şi în consecinţă pe IR. In continuare raţionamentul este analog cu cel făcut la exemplul 1 şi de aceea îl propunem ca exerciţiu.
Exemplul 3
. a
sin — , x^O
Fie a e IR \{0} şi funcţia fa : IR —> IR,/,(x) = < x
0, x = 0
Vom arăta că funcţia fa admite primitive pe IR, V a e IR \ {0}.
Soluţie
Considerăm funcţia Fa(x) ■
x2cos—,
0,	x = 0
Se arată cu uşurinţă că funcţia Fa este derivabilă pe IR şi

0 a .a 2xcos—+ asin—, x^O x	x
x = 0
Rezultă că:

x cos—, x^O
X
0,	x = 0
Ultima funcţie este continuă, deci admite primitive pe IR. Prin urmare şi funcţia fa admite primitive pe IR.
Capitolul 1. Primitive
215
Procedând în mod analog se arată că şi funcţia
£<,(*) = i
CI
cos — ,
0,
X 7^ 0
cu a e IR \ {0} admite primitive pe IR.
x = 0
1.4.	Relaţia dintre funcţiile care admit primitive şi funcţiile care au proprietatea lui Darboux
Se ştie din clasa a Xl-a că funcţia derivată a oricărei funcţii derivabile are proprietatea lui Darboux pe intervalul pe care funcţia este derivabilă.
Funcţia F fiind o primitivă a funcţiei f deducem conform proprietăţii amintite că F are proprietatea lui Darboux; cum F '(x) =/ (x), V x e J, de aici rezultă cu uşurinţă concluzia: dacă funcţia f admite primitive, rezultă că ea are proprietatea lui Darboux.
Aplicând operaţii logice din calcul propoziţional se deduce că o funcţie care nu are proprietatea lui Darboux nu admite primitive. De aici rezultă o metodă practică aplicabilă la un număr important de funcţii pentru a arăta că acestea nu admit primitive.
exerciţii rezolvate 1 2
1.	Fie J un interval şi / : J —> IR o funcţie, astfel încât imaginea funcţiei f(J) = {/(x) | x e J} nu este interval.
Să se arate că funcţia/nu admite primitive.
Soluţie
Intr-adevăr dacă / ar admite primitive, atunci ar avea proprietatea lui Darboux şi o dată cu două valori distincte ar lua orice valoare intermediară; acest lucru este imposibil deoarece f(J) nu este interval.
2.	Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive:
a)/: IR - IR, /(*) -
•1, x < 0
1, x > 0
b) /: IR —^ IR, /(x) =
l
0,
: ©
;IR\©
d)/: IR
IR, f(x) =
1
xe© x e IR \ ©
C)/: IR - IR, f(x) = [xl;
216
Manual clasa a Xll-a
Soluţie
a)	/(IR) = (-1, 1} care nu este un interval;
b)	/(IR) = {O, 1} care nu este un interval;
c)	/(IR) = 5Z care nu este un interval; __ ____________
d)	Fie intervalul/= (VTJ,Vn) şi fie Vl 53 <8<vl73 .
Vom arăta că ecuaţia /(x) = 8 nu are soluţii pe intervalul 7.
Astfel pentru x e I n ©, ecuaţia x2 = 8 are soluţia x = 2V2 g I n ©.
Pentru x e I n (IR \ ©), ecuaţia x3 = 8 => x = 2 g / n (IR \ ©). în concluzie funcţia / nu admite proprietatea lui Darboux pe IR şi în consecinţă nu admite primitive pe IR.
3.	Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive:
a) /: IR -> IR,/(x) =
x,
l-x,
x < 0 x > 0 ’
b)/:IR-IR,/(x) =
| x|, xefi x2, xeIR\©
Soluţie
a) Fie 7 =
2’ 2
Atunci se observă că/(7) =
2>0| u
care nu
este interval, de unde rezultă că funcţia/nu are proprietatea lui Darboux şi deci nu admite primitive pe IR.
b) Fie intervalul / = [2, 3],/(2) = 2,/(3) = 3 şi X = V? e (2, 3).
f(x) = V? => x2 = VJ => x = V5 g (2, 3), deci funcţia/nu are proprietatea lui Darboux şi în consecinţă nu admite primitive pe IR.
4. Să se arate că funcţia/: IR
IR, f(x) =
0,
1 1
sin-----cosx,
x x
x<0
x>0’
nu admite primitive pe IR.
Soluţie
Se constată cu uşurinţă că:
1.	funcţia f : (-<0, 0] —> IR, f\(x) = 0 admite ca primitivă funcţia F\: {-<0, 0] —» IR, F\{x) = k (constantă)
2.	funcţia / : (0, ,00) IR, f2(x) = sin — - 2 cos x, admite ca primitivă
funcţia F2: (0, +co) -» IR, F2(x) = x sin
1
Dacă funcţia /admite primitiva F, atunci F este de forma:
1,
F: IR —»IR, F (x) =
xsin—i-k-,, x>0 x
Capitolul 1. Primitive
217
Pentru ca funcţia F să fie o primitivă trebuie mai întâi să fie derivabilă pe IR. De aceea vom determina o relaţie dintre constantele lc{ şi k2, astfel ca F să fie derivabilă în punctul x0 = 0.
a) Punem condiţia ca F să fie continuă în x0 = 0 şi obţinem:
F(0) = lim/r(x) = lim/r(x) => k\ = k2. Deci, din condiţia de continuitate va
.v—>0	a-~>0
.Y <0	.Y > 0
rezulta funcţia F de forma:
F : IR —» IR, F(x) = <j j
K
x<0
xsin— + /cj, x>0 x
b) Analizăm derivabilitatea în punctul de abscisă x0 = 0 plecând de la definiţie şi obţinem:
F](0).	=	= limsiii—,
,Y—>0	X - 0	A' —>0	X	A' —>0	X
A- >0	.Y > 0	A' > 0
care nu are limită în punctul x0 = 0.
De aici deducem că funcţia F nu este derivabilă în x0 = 0, deci nu este derivabilă pe IR. în concluzie funcţia/nu admite primitive pe IR.
exerciţii propuse
Să se arate că următoarele funcţii,/: IR IR, nu posedă primitive pe IR:
l./(*) = *- W;
V(»h4 *>0:
-2,	x<0
X, X E ©
5 .fix) ■
7 .f{x) ■■
x\ x e IR \ ©
2xsin — -cos —, x ^ 0
X	X
1
2.f(x) =
4*-/(a) =
6-/W =
8*./M :
•	1	n
sin — , x^U
x
5
2, x = 0 x, x e ©
2 '\ x e IR \ ©
2, XE©
5
v, x s IR \ ©
1 1 .
cos—i—sinx, x^O
12’
x = 0
x x
x = 0
Manual clasa a Xll-a
1.5.	Operaţii cu funcţii care admit primitive
Propoziţie
Fie funcţiile/ g : J—> IR {J a IR interval).
a)	Dacă funcţiile/şi g admit primitive rezultă că şi funcţiile/+ g,f - g admit primitive.
b)	Dacă funcţia /admite primitive şi funcţia g nu admite primitive rezultă că funcţiile/’* g,f- g nu admit primitive.
Demonstraţie
a)	Fie F şi G câte o primitivă a funcţiilor/respectiv g.
Atunci (F + G)’ = F + G' = / + g şi deci funcţia F + G este o primitivă a funcţiei /+ g.
b)	Să presupunem că funcţia h : J IR, h(x) =/(x) + g(x) admite primitive pe IR; atunci funcţia g(x) = h(x) -/(x), Viei admite primitive ca diferenţă de două funcţii care admit primitive (fals); rezultă că funcţia h : J —> IR, nu admite primitive pe IR. în mod analog se va demonstra şi în cazul diferenţei funcţiilor/şi g.
Propoziţia se poate generaliza astfel: în condiţiile date funcţia u : J —» IR, ii(x) = af\x) + bg(x), a, b e IR (fixaţi) nu admite primitive pe IR.
Observaţie. i) Dacă funcţiile/şi g nu admit primitive, nu rezultă neapărat că funcţiile /+ g, / - g nu admit primitive.
Este suficient să construim câte un contraexemplu pentru fiecare caz:
1) Dacă/, g : IR —> IR şi/(x) =
-1,
1,
x < 0 x > 0
şi g(x) =
1, x < 0
-L x>0
se
observă că funcţia /? : IR —> IR, h(x) = f (x) + g(x) = 0, V x e IR, admite primitive pe IR.
f 1, x < 0
2) Dacă / = g = <	, se obsei'vă că funcţia /z : IR —> IR, h(x) =
[-1, x > 0
=/(x) - g(x) = 0 , V x e IR admite primitive pe IR.
ii) Prima proprietate nu se transferă necondiţionat şi pentru operaţiile: produs, cât, compunere de funcţii care admit primitive (când operaţia de compunere este permisă).
1.	Vom enunţa condiţii suficiente ca produsul a două funcţii care admit primitive să admită primitive.
Capitolul 1- Primitive
219
Propoziţie
Fie/ g : 7^ IR (J interval) două funcţii care îndeplinesc următoarele condiţii:
a)	funcţia/admite primitive pe J;
b)	funcţia g este derivabilă cu derivata continuă pe J.
Atunci funcţia h =/• g : J —» IR admite primitive pe J.
Demonstraţie
Fie F : J -> IR o primitivă a funcţiei/şi funcţia (7 : J —> IR, £/(x) = g(x) • F(x), V x e ./. Evident funcţia t/ este derivabilă pe J (ca produs de funcţii derivabile) şi obţinem:
D'(x) = g'CO • F(x) + g(x) -f(x) => g(x) ■/(*) = t/'(xc) - g'(x) ■ F(x). Observăm că funcţia U' are ca primitivă funcţia U şi g'(x) • F(x) este o funcţie continuă, deci are primitive.
Rezultă că funcţia g(x) ■ / (x) admite primitive ca diferenţă de două funcţii care admit primitive.
2.	Nu întotdeauna compunerea a două funcţii care admit primitive este o funcţie care admite primitive. Vom enunţa condiţii suficiente ca acest lucru să se întâmple.
Propoziţie
Fie /: IR —» IR şi g : J —» IR (J a IR interval) două funcţii care îndeplinesc condiţiile:
a)	/admite primitive;
b)	funcţia /: J —> IR este de două derivabilă cu derivata de ordinul doi continuă pe J\
c)	g'(x) ^ 0, V x e J.
în aceste condiţii funcţia/ o g admite primitive pe J..
Demonstraţie
Fie F: IR —> IR o primitivă a funcţiei/ Atunci funcţia F ° g este derivabilă pe J şi (F O g)'(x) = F '(g(x)) • g’(x) =/(g(x)) • g'(x) => (f o g)(x) =	• (F o g)'(x).
Deoarece (F ° g)' admite primitive în baza condiţiilor din ipoteză, iar
g'W
este derivabilă cu derivata continuă, deducem că funcţia / o g admite primitive.
Exempl u
Fie funcţiile f: IR —> IR,/(x) = x2 şi g : IR —> IR, g(x) = i s*n
[o.
x * 0 x = 0
220
Manual clasa a Xll-a
r 21
Se observă că funcţiile /'şi g admit primitive, dar (/' o g)(x) = -j s*n	nu
IO, x — 0
admite primitive pe IR (exerciţiu!).
3.	In legătură cu problema existenţei primitivei unei funcţii vom enunţa următoarea
Propoziţie_________________________________________________________
Dacă funcţiile f g : J —> IR (Jc= IR, interval) îndeplinesc condiţiile:
a)	funcţia/admite primitive pe J\
b)	funcţia g diferă de funcţia/pe o mulţime finită notată cu A
(/(*) *g(x), Vx e A)
şi coincide cu/în rest
(f(x) = g(x),\f X ef\ A)
Atunci funcţia g : J —> IR nu admite primitive pe J.
Demonstraţie {facultativ)
Dacă funcţia g ar admite primitive pe J, atunci în baza operaţiilor cu funcţii care admit primitive deducem că şi funcţia/- g admite primitive; pe de altă parte
(/-£)(*)=<
0,	xeJ\ A
a/>	x = a,,/ - 1, h,
unde
A = {a,, a2, an} = {x e J \f{x) * g(x)}.
Rezultă că (f - g)(J) = {ai, ot2, <x„} u {0}, mulţime care nu este un interval, adică funcţia / - g nu are proprietatea lui Darboux, contradicţie; în consecinţă, funcţia g nu are primitive.
exerciţiu rezolvat
Să se arate că funcţia
g : IR IR, g(x) =
nu admite primitive pe IR.
Soluţie
Considerăm funcţia ajutătoare/: IR —» IR,/(x) ='sin — ’
sin — , x^O x
4 jr = o
X
0,
X & 0
x = o’
Capitolul 1. Primitive
221
care ştim deja că admite primitive. Atunci funcţia [0, x * 0
(/- g){x) = |_ J_	^ _ 0 şi rezultă că (f- g)(IR) =
care nu este interval şi deci f-g nu are proprietatea lui Darboux şi în consecinţă nu are primitive; rezultă că g nu admit primitive.
Teste be evaluare
Testul t
(10p) 1. Se consideră funcţia/: IR IR,/(x) =■
ex + cosx, x < 0
x" + x + 2, x > 0
a)	Să se arate că funcţia/admite primitive pe IR.
b)	Să se determine o primitivă a sa.
x-1,
(1 Op) 2. Să se arate că funcţia/: IR IR,/(x)
xe® x2 + x + 2, xeIR\©
nu admite primitive pe IR.
(10p) 3. Se dau funcţiile/ g : IR IR care verifică următoarele condiţii:
i)	funcţia /+ g nu admite primitive pe IR;
ii)	funcţia / - g admite primitive pe IR.
a)	Să se arate că funcţiile /'şi g nu admit primitive pe IR.
b)	Să se dea exemplu de funcţii/şi g care verifică condiţiile a) şi b).
(10p) 4. Se consideră funcţia/: IR IR care verifică condiţia
f\x + y) =f(x) +f(y), v x, y e IR.
Dacă funcţia / admite primitive pe IR, să se arate că V n e IN* funcţia f{-nx) admite primitive pe IR.
Timp de lucru: 60 de minute
222
Manual clasa a Xll-a
Testul 2
(10 p) 1. Să se determine o primitivă pentru funcţia /: [0, 2n) -> IR, /(x) = | sin x | - | cos x |, x e [0, 2ti).
(10p) 2. Să se arate că funcţia/: IR —► IR,
(10p) 3. Se dau funcţiile/ g h e IR IR, care verifică următoarele condiţii:
i)	funcţia/+ g + h : IR -+ IR nu admite primitive pe IR;
ii)	funcţia/- g : IR -> IR admite primitive pe IR;
iii)	funcţia g - h : IR -+ IR admite primitive pe IR.
a)	Să se arate că funcţiile/ g, h nu admit primitive pe IR.
b)	Să se dea exemple de funcţii / g, h care verifică condiţiile date. (10 p) 4. Se consideră funcţia/: IR* -► IR care verifică condiţia
Dacă funcţia / admite primitive pe IR*, se arată că pentru orice n e IN*
2V, IE®
f(x) =<
, nu admite primitive pe IR.
x“, xeIR\(E)
f(xy) =f(x) -f(y),\fx9ye IR*.
funcţia/ admite primitive pe IR*.
Timp de lucru: 60 de minute
tzxerciţii rezolvate
I. Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive pe IR:
1./ : IR IR, /\(x) -< x
0, x = 0
cos“ —, x^O
2'h : IR IR, ji(x) x
0, x = 0
x * 0
3./ : IR IR, /(x) =<
0, x = 0
Capitolul 1. Primitive
223
4.	/4 : IR ^ IR, /4(x) =
cos4—, x + 0
0,
x = 0
Soluţii
Metoda 1
Ţinând seama de formulele trigonometrice
o	1-t-cos 2a . . 9	1- cos 2a 1 .
cos" a =--------- şi sin" a =--------obţinem
1 l-cos—
a) sin2 -=----—Z-;
x	^
, 2
1	1 + cos —
, ,	1 I	X
b) cos' —=-------—— ;
x 2
c) sin4— = —
' 2^ 1 -cos —
X
2	1 — cos -
l-2cos—+------—1
x 2
d) cos — x
2V	9	1 — cos -
1 + cos—	l + 2cos—+----—1
4 i _ V____x )	_______x_____2
4	4
înlocuind funcţiile f, /2, /3, j\ obţinem:

2 ./2(xH
• 2 î sin —, X	x * 0	1 2’	x + 0	1 — <	2 cos—, X	X + 0 r 1 => /1 nu admite
0,	O II *	[O.	X	z	0,	x primitive pe IR
		nu admitcprimilivc			V admite pri	milive
, 1 cos"—,	x + 0 I		x + 0	1	r 2 cos—,	x + 0
X	=	2’	+	— <	X	—> j2 nu admite
0,	X = 0 J	.0.	X	z	[ 0,	x primitive pe IR
iui admilcprimilivc
admilcprimilivc
3./jW
• 4 1
sin —, x + 0	1
x	= —
4
0, x = 0
1	4
l-cos —
l-2cos— H----—
x 2
0,
—, x + 0 x = 0
224
Manual clasa a Xll-a
f3	x ^ 0 1	2	x^0 1	4
—		cos—,		cos—,
8	_2 <	X	~8 *	X
0,	X	0,	X 	/ v.	0,
=>f nu are
x	primitive pe IR
nu posedă primitive posedă primitive
posedă primitive
4../iW =
—, x ^ 0	1 .
8 V
0, x Z
cos—, x^O 1
Y	^	<
0,	X *
cos — , x^O
x	^„Anuare
0, x
primitive pe IR
mi posedă primitive	posedă primitive	posedă primitive
Metoda 2
Utilizând aşa-numita metodă a „integralelor surori 1 şi 2. Avem relaţiile:
2
h ~f ~ <
cos — , x^O	11’
x	Şi/i +/2 = j
0, x = 0
0, x = 0
nu arc primitive
are primitive
=>f şi/1 nu posedă primitive pe IR. 3 şi 4. Avem relaţiile:
h +.U = <
l-2sin2 —cos2 —, x^O	,
X X	Şl/4-/3 =
0,	x = 0
cos — , x^0 x	:
0, x = 0
iui areprimitive
> f şi j\ nu posedă primitive pe IR.
II. Să se arate că următoarele funcţii admit primitive pe IR:
1-gi :JR-^IR,g1(x)=i	• 3 1 sin —, X	X * 0
	0,	* II O
2. g2 : lR->-IR,gi(x)=<	3 1 cos —, X	x * 0
	o,	x = 0
3.g3 : IR-*IR, gi(x)=<	sin5 — , X	x * 0
	0,	0 11
4. g4 : IR->IR, g,(x)=-	5 1 COS —, X	x ^ 0
	. °>	0 11
Capitolul 1. Primitive
225
Soluţii
Ţinând seama de formulele trigonometrice
sin 3a = 3 sin a - 4 sin3 a;
cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a;
sin 5a = 5 sin a - 20 sin3 a + 16 sin5 a; cos 5a = 16 cos5 a - 20 cos3 a + 5 cos a.
. I -3
i 3 sin----sin —
a) sin3 — —-----
x	4
x .
b) cos
~	1	3
i	3 cos— + cos —
3	1	X X	.
. 5 c . 1	. 3 1
1 sin-------5 sin —+ 20 sin —
c)	sin5 - =---*-------£------------;
x	16
5	„	3 1 ,	1
i cos—i-20cos----------5cos —
I	v	V	V
d) cos —
X
înlocuind, obţinem:
	sin3 — , x + 0 3	sin — , x + 0 1
		* "Ti
	0, x — 0	O X II o -1
posedă primitive
■ gi posedă primitive pe IR.
2. gi(x) =
cos3 2 x^0 3	1 cos—,	X 5* 0 1
* =4	X	+ 4‘
J O II H o"	0,	x = 0
. 3
sin-, x + 0
X	:
0, x = 0
posedă primitive
cos—, x + 0
X	:
0, x = 0
posedă primitive
posedă primitive
=> gi posedă primitive pe IR.
Pentru funcţiile g3 şi g4 se procedează în mod asemănător.
III.	Să se arate că următoarele funcţii admit primitive pe IR: 1./, :IR-IR,/j(x) =
2./2:E-IR,/2(x) =
1	x + 0
sin x • cos —,	
X	
0,	* ii o
.1	x + 0
sin x • sin —,	
X	
0,	li o
226
Manual clasa a Xll-a
Soluţii
L Funcţia f se poate scrie ca un produs de următoarele funcţii:
g\ : IR IR, gi (x) = sin * şi g2: IR -+ IR, g2(x) ■■
cos — , x^O
X
0, x = 0
2. Funcţiaf2 se poate scrie ca un produs de următoarele funcţii:
sin — , x^O x
hi : IR ^ IR, h\{x) = sin x şi h2 : IR -> IR, h2(x) =
0, x = 0
exerciţii propuse
I. Să se decidă care dintre următoarele funcţii posedă primitive pe IR: L/, : IR -> IR, /j (x) =
2 I 1 n
sin —cos—, x^O x x	;
0,
x = 0
2./2:1R-]R,/2(x) =
3./3:1R-IR,/3(x):
4	Ja : IR R./4W =
: IR IR,/,'7(x) :
gn : IR IR, £„(*):
2 1	.	1	A
cos —sin — , x^O
X X
0,	x = 0
■	1	3 1	n
sin —cos —, x ^ 0
X	X
0,
x = 0
1	• 3 1
cos —sin —, x^O x x
0,
1
x = 0
cos"-, x*0	^ .
X	, Yl G IN* Şl
0, x = 0 sin" — , x^O
x	, w e IN* (discuţie după n e IN*).
0, x = 0
Capitolul 1. Primitive
227
II. Să se arate că următoarele funcţii admit primitive pe IR:
\
, x ^0 x = 0
l*. /i : IR - IR,./i(x) =
2*./i : IR -»■ IR,/i(x) =
3../i : IR - IR,./,(x) =
	( 1)
sin	
<	l xj
	0,
	r n
cos	X H	.
	‘v XJ
	o,
xitO x = 0
ex sin 2 x ^ 0
x	:
0,
x = 0
4../i : IR IR,./i(x) =
evcos—, x^O x
x = 0
0,
1.6. Relaţii între funcţii continue, funcţii cu proprietatea lui Darboux şi funcţii care admit primitive
A.
1.	Am văzut că dacă o funcţie admite primitive pe un interval, atunci pe acel interval funcţia are proprietatea lui Darboux.
Avem implicaţia:/admite primitive =>/are proprietatea lui Darboux.
2.	Dacă o funcţie/nu are proprietatea lui Darboux pe un interval, atunci/nu are primitive pe acel interval.
3.	Există funcţii care au proprietatea lui Darboux pe un interval, dar nu posedă primitive pe acel interval. Proprietatea lui Darboux nu este o condiţie suficientă pentru ca funcţia să admită primitive, dar este o condiţie necesară.
Exemple
• Funcţia / : IR —» IR, / (x) = I s*n^’	acjmjte proprietatea lui
[ 1, x = 0
Darboux (s-a arătat în clasa a Xl-a), dar nu admite primitive pe IR.
228
Manual clasa a Xll-a
Intr-adevăr avem:
' . 1 sin-,
/WH x
x * o
+ <
O,
x = O
posedă primitive
0,	x + 0
1,	x = 0
nu posedă primitive
>/nu posedă primitive.
II
Funcţia/: IR —» IR,/(x) = \ x C°S x ’ X ^ , are proprietatea lui Darboux
0,	x = 0
pe IR, dar nu admite primitive pe IR.
Să arătăm că funcţia are proprietatea lui Darboux.
i) Fie 7] = (-oo, 0] şi /2 = [0, +oo). Pentru orice £ > 0 vom arăta că
/([O, £]) = IR şi./((-£, 0]) = IR =>/(IR) - IR.
Pentru aceasta va fi suficient să arătăm că există şirul xn > 0 cu xn -» 0, astfel
încât
lim — cos — = +oo şi că există şirul yn —> 0 cu yn < 0 astfel încât:
+ ->°n x„
x„ > 0
lim — cos — = -oo . Considerăm xn -
y«-+°n y„ y„	lnn
y„ < 0
ş1 yn
1
2/771
şi ţinem cont că
funcţia/este continuă pe IR \ {0}. Deci funcţia are proprietatea lui Darboux pe IR. ii) Să arătăm că funcţia nu admite primitive pe IR.
o •	,	,	.	1	1.1
Se tine cont de relaţia: — cos — = sin —
xx	x
Y
xsin —
x
, V x e IR \ {0}, şi se
urmăreşte un model de rezolvare anterior, ajungându-se la faptul că funcţia considerată ca primitivă nu este derivabilă în punctul de abscisă x0 = 0.
Dacă g : IR —> IR, g(x) = | p x ^ 0 ^ atuncj 0 primitivă se prezintă sub
,	x = 0
forma: F : IR —» IR, F(x) =
G(x)-xsin — + k9 x + 0 x
unde G : IR -> IR este o
G(0) + /c,	x = 0
primitivă a funcţiei continue. în final se arată că funcţia F nu este derivabilă în punctul de abscisă x0 = 0. Detalierea rezolvării exerciţiului propus rămâne ca activitate individuală.
4.	Am văzut că suma (diferenţa) a două funcţii care admit primitive este o funcţie care admite primitive. Proprietatea nu se transferă automat şi la funcţii cu proprietatea lui Darboux. Suma a două funcţii care au proprietatea lui Darboux în general nu este o funcţie cu proprietatea lui Darboux.
Capitolul 1- Primitive
229
Vom justifica printr-un contraexemplu.
Fie/, g : IR ^ IR, două funcţii definite astfel:
S,V -l,!0ş.gW-{-s,,'î' *i<0.
0,	x = 0	[l,	x = 0
f 0, x^O
Funcţiile f şi g au proprietatea lui Darboux, însă funcţia/+ g = <	nu
[l, x = 0
are proprietatea lui Darboux.
5.	Dacă funcţia /: IR -> IR are proprietatea lui Darboux şi k este o funcţie constantă, atunci şi/ + k are proprietatea lui Darboux. De asemenea, dacă/admite primitive, atunci şi/ + k admite primitive.
6.	Dacă / : IR —> IR are proprietatea lui Darboux şi X e IR* atunci şi Xf are proprietatea lui Darboux pe J. în mod analog proprietatea se conservă şi pentru cazul funcţiilor care admit primitive.
7.	a) Dacă /: IR —> IR are proprietatea lui Darboux şi/^ 0, V x e IR, atunci şi funcţia admite proprietatea lui Darboux.
b) în schimb, dacă funcţia /: IR —> IR cu / ^ 0 admite primitive pe IR nu
rezultă că şi funcţia h : IR —» IR, h =
/’
admite primitive pe IR.
Demonstraţie
a)	Dacă J este un interval care nu îl conţine pe zero, atunci se poate arăta că şi mulţimea ,/0 =	| x e J l este tot un interval.
Din ipoteză rezultă că pentru orice interval I c= IR,/(7) este un interval care nu îl conţine pe 0.
Atunci avem:
\
f
(/)=
i
/«
| xel
-\y-m
şi din faptul că J0 este interval rezultă că şi -//) este interval şi în consecinţă
/«
funcţia g : IR —> IR, g(x) =
are proprietatea lui Darboux pe IR.
230
Manual clasa a Xll-a
Exemplu
Funcţia
/:E->IR,/(x) =
2 + sin —, x
2,
x ^ 0
•>
x = 0
are proprietatea lui Darboux pe IR şi nu se anulează pe IR. Atunci conform celor arătate mai sus rezultă că şi funcţia
g : IR -> IR, g(x) =
1
/(*)
1
o •	1 ’
J 2 + sm — x
l_
. 2 ’
x^O
x = 0
are proprietatea lui Darboux.
Funcţia/se poate scrie astfel:
fix) = 2 +
. 1
sin — ,
x
x* 0
0, x — 0
şi evident admite proprietatea lui Darboux fiind suma dintre o funcţie constantă şi o funcţie cu proprietatea lui Darboux.
b)	Funcţia / admite primitive pe IR, fiind suma a două funcţii care admit primitive pe IR. însă se va arăta că funcţia g nu admite primitive pe IR (explicaţia se va găsi în capitolul următor).
8.	Fie /, J c IR două intervale şi/:/—> J şi g : J —> IR două funcţii.
a)	Dacă funcţiile/şi g au proprietatea lui Darboux, atunci funcţia g °f\ I —» IR are proprietatea lui Darboux.
b)	Dacă funcţiile/ şi g au primitive, atunci este posibil ca funcţia g °/să nu admită primitive.
Exemplu
/: IR -> KJW = *2 şi/: E -» R/to =
sin — , x^O x
0,
x = 0
Evident funcţiile/şi g admit primitive, dar funcţia
sin2—, x^O
x	:
0,	x = 0
nu admite primitive pe IR.
Capitolul 1. Primitive
231
B.
Fie I a IR interval şi funcţia/: / —» IR.
I.	Dacă funcţia/ este continuă, atunci are proprietatea lui Darboux şi admite şi primitive pe /.
Avem implicaţiile:
i)	/continuă =>/admite primitive;
ii)	/continuă =>/are proprietatea lui Darboux.
II.	Există situaţii când funcţia nu este continuă şi totuşi are proprietatea lui Darboux şi admite şi primitive.
Exemplu
Funcţia / : IR —» IR, / (x) =
2
cos—
X
[o,
x =£ 0
, nu este continuă, însă are şi
x = 0
proprietatea lui Darboux şi admite şi primitive.
III.	Dacă funcţia/: / —► IR are un punct x0 de discontinuitate de prima speţă, atunci funcţia/nu admite primitive pe IR.
Demonstraţie
Presupunem prin absurd că/are primitive. Atunci deducem că/are proprietatea lui Darboux, de unde obţinem că funcţia / nu are nici un punct de discontinuitate de prima speţă; contradicţie (a se vedea manualul de clasa a Xl-a.)
Exemplu
Fie funcţia/: (0, +oo) —> IR,
lnx
/ (x) = <
x-r
[2,
x e (0, + oo)\ {1}
x-1
Să arătăm că funcţia/nu admite primitive pe IR.
Observăm că funcţia/este continuă pe (0, 1) u (1, +oo).
In x
Calculăm lim/(x) = lim--------- = 1 şi/(l) = 2. Se observă că funcţia prezintă în
A” —^ I	X —^ 1 X 1
punctul de abscisă x0 = 1 o discontinuitate de prima speţă şi deci funcţia nu admite primitive pe intervalul (0, +oo).
IV Din rezultatul de la punctul III rezultă că dacă o funcţie care admite un număr finit de puncte de discontinuitate admite şi primitive, atunci ea admite numai discontinuităţi de speţa a doua.
232
Manual clasa a Xll-a
Exemple
1.	Fie funcţia/: IR —» IR,/(x) =
sin — , x^O x
[O,
x = 0
Am văzut că funcţia admite primitive şi lim f (x) nu există, deci în punctul de
.v—>0'
abscisă x0 = O, admite discontinuitate de speţa a doua.
Observaţie. O funcţie monotonă dacă are discontinuităţi nu poate admite primitive.
Am văzut în clasa a Xl-a că dacă o funcţie este monotonă poate să admită numai discontinuităţi de prima speţă şi deci nu admite primitive.
2.	Funcţiile /, : [0, oo] -* IR, /,(x) = J *	* e ;
1x4-1, X > 0
fi : [0, oo] -► IR, f2(x) =< î' \x~ +1.
X €E [0,1]
x > 0 ’
y. TT\ t^v /* / \	^'Y,	X<0
/ : IR IR, /3(x) -<
[x + 2,	x>0
admit discontinuităţi de prima speţă şi deci nu admit primitive.
V. Vom da în continuare generalizarea unui rezultat foarte important din analiza matematică.
Propoziţie
Dacă f g : IR —> IR sunt două funcţii distincte şi continue pe IR, atunci funcţia
|7(x), xe®
[g(x), xeIR\(D
nu are proprietatea lui Darboux şi în consecinţă nu admite primitive pe IR._
: IR —> IR, h(x) =
Demonstraţie (facultativ)
Deoarece / (x) ^ g(x), există un număr real a e IR astfel ca/ (a) * g(a) şi să presupunem că g(a) >f (a).
Notăm cu £ = - —	şi fie vecinătăţile U = if (a) - e, / (a) + e) şi
gW + e)-
Funcţiile/şi g fiind continue în punctul a, există vecinătăţile W\ şi W2 ale lui a astfel încâtf{W\) <z t/ şi f(Wf) a V.
Fie b = —; observăm că b £ U, b <£ V şi b e (/(a), g(tf)).
Capitolul 1. Primitive
233
Atunci h(x) * b, (V) * e W= W\ n W2.
Fie X|, x2 s W, x{ e ©, x2 £ © şi X| < x2.
Avem h(x\) =/(xi) < b < g(x2) = h(x2) şi h(pc) ^ b, V x e (xi, x2). De aici rezultă că h nu are proprietatea lui Darboux.
Observaţie. Pentru ca funcţia h să admită proprietatea lui Darboux pe IR trebuie ca funcţiile/şi g să fie egale pe IR.
VI. Fie J c= IR un interval şi .Jfj} = [f: J -+ IR}. Notăm următoarele mulţimi: •^u)= {/: J
Ct{j) = {/: J -> IR, admite proprietatea lui Darboux};
•^c/) = {/:7 -► IR,/admite primitive pe 7};
ţ^y) = {f: 7 -> IR,/continuă pe 7}.
Atunci putem să realizăm diagrama ala Urmărind desenul din figură, deducem următoarele relaţii între mulţimi:
^(J) C= ^y} C= i/y) C= .5/).
1.7. Integrala nedefinită
Fie 7 cz IR un interval şi funcţia/: 7 —> IR care admite primitive pe 7.
Definiţie
Mulţimea tuturor primitivelor funcţiei se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f se notează cu simbolul J/(x)dx şi se citeşte integrală nedefinită din
/(x)dx.
Operaţia de calcul a primitivelor unei funcţii (care admite primitive) se numeşte integrare.
234
Manual clasa a Xll-a
Precizare
Simbolul J/(x)dx nu are sens cu părţile J sau Jdx luate separat şi de aceea trebuie privit ca o notaţie indivizibilă.
înainte de a discuta despre operaţii cu integrale nedefinite avem nevoie de câteva elemente pregătitoare.
1.	Fie .-FTJ) mulţimea tuturor funcţiilor/: J—> IR, adică .FV) = {/: J—> IR}.
Dacă A şi B sunt două submulţimi ale mulţimii	definim următoarele operaţii:
i)	A + {f+g\feAşigeB};
ii)	A-B*L{f-g\feAşigeB};
iii)	XA & {Xf |/g A}, unde X eJR \ {0}.
2.	Definim mulţimea a funcţiilor constante pe un interval / astfel:
(ă/ = {f:J^ IR | /constantă}.
3.	Mulţimea faţă de operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari (numere reale nenule) are următoarele proprietăţi:
a)	XV = fef, V X g IR*;
b)	tr+K= %";
c)	Dacă F0 : J —» IR este o primitivă a funcţiei/ atunci
[f{x)âx = F,(x)+^:
Având în vedere că FJ (x) =/(x), Vxg J, relaţia se mai poate scrie şi sub forma J F0' (x)dx = F0 (x) +
Demonstraţie (facultativ)
a)	Dacă /:«/-> IR este o funcţie constantă şi X e IR , atunci X f este o funcţie constantă, iar X% c=
Reciproc, dacă / este o funcţie constantă rezultă că şi funcţia g : J —> IR,
g(x) = ]- f este constantă, deci/= Xg este constantă, iar X
X'
Din cele două incluziuni rezultă că:
X %■ = %\MX g IR\{0}.
b)	Evident că suma a două funcţii constante este tot o funcţie constantă şi în consecinţă %- a %\
Reciproc, dacă/este constantă, atunci şi /este constantă, iar din
/’ = — /*+ — f rezultă că % a %' +
2 2
Capitolul 1. Primitive
235
Din cele două incluziuni rezultă
c)	Dacă F0 este o primitivă a funcţiei /definită pe un interval, atunci orice primitivă / va fi de forma:
F = F0 + C, unde C este o funcţie constantă pe /
Atunci J/(x)cLx = {F <e ^F\J) | F primitivă a lui f} =
= {F0 + C\Ce tf}=F0+V:
Proprietăţi ale integralei nedefinite
Propoziţie
Fie / g : J —> IR două funcţii care admit primitive pe J, şi X e IR \{0} un număr real. Atunci funcţiile/+ g şi Xf admit primitive şi avem relaţiile:
0 K/M + gO)) d* = Sf(x) dx + Jg(x) dx;
ii)	$Xf(x) dx = Aj/(x) dx;
iii)	J/(x) dx = F(x) + Vf, unde F(x) este o primitivă a funcţiei/ Demonstraţie
i)Fie F şi G primitivele funcţiilor/şi g : J —> IR. Atunci conform celor precizate anterior:
J/(x)cLx = F(x) + ^ Jg(x)dx = G(x) + #'şi J(/(x) + g(*)) dx = F(x) + G(x) + deoarece ((F(x) + G(x))' = F(x) + G'(x) =/(x) + g(x).
Avem:
j/(x) dx + Jg(x) dx = F(x) + G(x) + % + (<d - F(x) + G(x) +	-
= I ((/'(*) + g(x)) dx ^ J ((/'(x) + g(x)) dx = J/(x) dx + Jg(x) dx.
ii)	JXf(x) dx = XF + YT [(A.F)' = XF = Xf].
Atunci Xff(x) dx = X(F(x) +	= XF(x) + Xtf= XF(x) +	JX/(x) dx.
Cu alte cuvinte proprietăţile i) şi ii) de mai sus, se enunţă astfel:
i)	integrala nedefinită a sumei a două funcţii este egală cu suma integralelor nedefinite ale funcţiilor respective;
ii)	o constantă iese înaintea integralei nedefinite (factor de proporţionalitate).
Dacă în proprietatea ii) X = - l, atunci J -/(x) dx = - J/(x) dx şi deci J(f(x) - g(x)) dx = f/(x) dx - Jg(x) dx.
Proprietăţile i) şi ii) de mai sus pot fi generalizate în modul următor: considerând funcţiile/,/, ...,/, : J—> IR care admit primitive peJşiXi,A,2, ...,X„ e IR*. Atunci avem: J(A,|/i(x) + X2f2(x) + ... + Xnfn(x)) dx =
= h ff\(x) dx + X2 J /(x) dx + ... + X„ J/,(x)) dx, V x e / sau prescurtat, utilizând simbolul sumă:
. f n	\ n
j	d-* = 2A / Wdx ,VxeJ.
. / = l
/=!
236
Manual clasa a Xll-a
Tabel de integrale nedefinite imediate
1.	/: IR —> IR; y c IR f(x) = .v"; n e IN	fx"dx = —	b <</
2.	/: J —» IR; J c (0, oo) /(x) = x"; a e IR\ {-1>	fx,,dx= — + Y J a+ \
3.	IR; Jc IR f{x) = a'\a 6 IR* \ {1}	\a'dx =-^— + Y J In a
4.	/: J-*IR; JcIR* /w"7	[— dx = In | x | + Y J X
5.	/: J-> IR; Jc IR \ {-a, a} fix) = ■ ■■ ■ 9 , a e IR*	f 1 dx = * In X~a + Y; Jx~-a' 2a x + a
6.	/: JcIR ./M~ , ,a e IR* xz + az	f 1 . 1 x ^ 1—	ţ dx = — arctg — + Y Jx2 + a' a a
7.	f: J —» IR; yd IR /(x) = sin x	jsin x dx = - cos x + Y
8.	/ ./ —> IR; J d IR /(x) = cos X	Jcos x dx = sin x + Y
9.	/: IR; Jc IR\ |(2/c + l)y| k e s| fix) = -V COS“ X	f—^— dx = tg x + Y Jcos2 X
10.	/: y —> IR; Jc IR \ {/<n \k e Z} /w= . sin~ x	f—\— dx = —ctg x + Y J sin“ x
11.	/: y —» IR; Jc IR \ j(2/< + l)y| /c e z| /(x) = tg X	Jtgxdx = - In | cosx | + Y
12.	/: y -> IR; y c: IR \ {/ctc | /< e Z} fix) = ctgx	jctgxdx = In |sinx\ + Y
13.	/ ; J—^ IR; c/ ci IR /'(x) = --===! = = = :•; c/ g IR* "> i Vx“ ± <7“	f—==J==cLy = ln(x + Vx2 ± a2) + Y J Vx2 ±a:
14,	/: J -> IR;./c (- a, a),a> 0 ./ (*) ~ ,	 sa2 - x-	f j ~—L~ z r — dx = arcsin — + Y Jyja2-X2 a
Capitolul 1. Primitive
237
exerciţii rezolvate
1. Fie funcţia/: IR \ {0} -» IR,/(x) =
interval care nu conţine originea.
Soluţie
x2 +1
Să se calculeze J/(x)dx pe un
2 t -i	^	__
Avem J/(x) dx = (---- dx = f— dx + fx dx = — + In | x | + %' . J x	J x J	2
dx
2. Fie./ = 0, — . Să se calculeze f
l 2j	J
Soluţie
dx
sin x cos x
h
rsinx . rcosx ,
-----dx + —-----dx
Jcosx Jsinx
= Jtgxdx+ Jctgxdx =- In (cosx) + ln(sinx) + Vf- In
1	sinx cosx
— -------—-------1—: 
sin x cosx cosx sinx
sin x cosx
sinx
cosx
+
3. Fie J = ( 0, — I. Să se calculeze: f- - -C-°-\	2)	J sin“ x •
Soluţie
cos2x
-dx
sin“ x cos" x
r cos2x . rCOS'X-Sin'X , r dx r dx J—-------— d*= I—5---------—dx= I—----------I-----— = -ctgx-tgx+^.
r	J sin“ r • ms r	Sili" X COS" X
dx
sin"- cos" x r
4. Fie J =
dx
dx
0, — . Să se calculeze: [— V 2)	Jsi
sin x-cos“x
Soluţie
^ cin'.r'r\c" v	J ci
1	, rsin2x + cos2x
r dx
j—= tgx-ctgx + ^ .
s x , r dx
2	?—d>c - j---— +
sm x-cos“x Jcos"x Jsm“x
sm"-cos" x
5.	Să se calculeze integralele nedefinite ale următoarelor funcţii:
a)	/: (0, +<x>) - IR,/(x) = -L + -L;
Vx v x2
b)	/: (0, +oo) -* IR,/(x) = xVx + xV^ ;
c)	/: (0, +°°) -+ IR,/(x) = 2x-1=;
vx
d)	/: (0, +oo) -* IR,/(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1;
e)	/: IR —> IR,/(x) = b • a + c • xa, a, b, c e IR+;
f)	/: IR —> IR,/(x) = sin ax + cos 6x, a, b e IR;
g)	/: IR -> IR,/(x) =	,fl,k IR*;
£>“X“ + 6T
238
Manual clasa a Xll-a
h)/: IR \ {-a, a}-> E,/(x) = -----;
x- - a~
\) f: IR -> IR,/(x) =

j)/: IR -> IR,/(x) = (x + 1)";	k)/: IR -> IR,/(x) = (ax + b)n ,a,be IR*.
Soluţii
a)
/	1	2	“ 7 + 1	~ 7+ 1
X “	X J
vvx Vx2 ;
dx = Jx 2 dx 4- Jx 3 dx ;
-4-
1	,	2 i
—~ 4-1	—-4-1
2	3
- + ^ =
— 2 Vx + 3 Vx 4- %.
b)	J(xV4 + x Vx2")dx = JxVx dx 4- Jx^/x2 dx =
_ 1
= jx2 dx4- Jx3 dx =
—+i	-+i
y.2	V3
5	-) X
■3 +	j— + »
1 + 1	1 + 1
2	3
	
5	8
c) j^2x --^=jdx = 2 Jxdx- j*.
x 2 dx = 2— - + K--
2 -I + l
= X2 + 2 • X 2 4- # = X2 + 2 Vx 4- % . d) J(4x3 4- 3x2 4- 2x 4- 1) dx = 4jx3 dx 4- 3 Jx2 dx 4- 2 Jx dx 4- Jdx =
Y4	V3	y2
=4 4+3/+24
= X4 + X3 4- x2 4- x 4- <*?;
e)	j(b • aA 4- c • xa) dx = b\a dx 4- cjx' dx = b •——h—-— 4- VT.
In a a 4-1
t
f)	Avem evident ^--^-cosaxj = sin ax) - a = sin ax şi
vsinfot = —cos bx ’ b = cos fot. Deci

J(sin ax + cos fot) dx = - — cos ax 4- -J- sin bx 4-
a	b
Capitolul 1. Primitive
239
g) f-r-7^—7=	—r; avem evident
J O X“ + a J(hr\~A-n~
(bx)~ + a ' bx'
bx
y
Tarctg — b a
b
a
l +
i1 2 b rr^ ^	~ i~r> ^	~
o x	b x~+a	\ox~+a~
a . r dx	l	bx
Atunci ——------- = Tarctg—+ V.
J b~x~ + a~	o	a
a~
1	. bx
a
h) Avem evident (ln(x + a))' -
şi (ln(x - a))r =	^
1
1 ( 1
1
x + a
. Atunci
x- a
x1 - a1 2a\x — a x + a r dx _
Jx2-a2 2aix-a 2aJx + a 2a
1 r djc 1 f dx 1 ,
= —— In
x-a
x + a
+
Observaţie. Metoda utilizată se poate aplica şi în calculul unor integrale de tipul
[—7-^-------- în cazul în care discriminantul ecuaţiei ax2 + bx + c = 0,
J ax“ +bx + c
A = b2 - Aac este strict pozitiv.
De exemplu, în cazul integralei |—
J v“
x2 - 3x + 2 = (x - l)(x - 2) şi deci dx	r dx
dx
x“ -3x + 2 1
, x e (2 +oo), avem: 1 1
r ax _ r coc	r
Jx2 -3x + 12 ~~ Jx-2	J.
dx
x2 - 3x + 2 x - 2 x -1 x - 2
de unde:
= In---- +
x“-3x + 12 Jx-2 Jx-1 x-1
i) Avem [ln(x +
Jxr+a‘)Y- (X + J?1+a2Y .
X 4*
Vv
+ az
_ Vx2 + a2 _	1 x + Vx2 + a2 _	1
x + Vx2 + a2 Vx2 + a2 x + Vx2 + a1 Vx2 + a1
Atunci	- -= = ln(x + Vx2 + a2 ) + #
J Vx2 + a2
240
Manual clasa a Xll-a
Observaţie. Această formulă trebuie reţinută şi aplicată direct în exerciţii. De exemplu, în cazul integralei	, avem evident a2 = 2 şi aplicând
J Vx2 + 2
formula obţinem: f-T=^= = ln(x + Vx2 + 2 ) +
J Vx2 + 2
j)	Observăm că [(x + l)77"']' = (n + l)(x + l)77. De aici rezultă că
(x+ 1)” =	+ şi deci
n +1
J'(x + 1)" dx = J Kx + 1)	= _L_ J [(x + 1»-' ]'dx = —L.(x +1)"+1 + Y;\
n +1	n -f-1	n +1
k)	Plecăm de la [(ax + b)n M]' = (n + 1) • (ax + b)n • a. De aici va rezulta:
(ax +bf = —- • - [(ax + b)n r']' şi deci n + l a
J (ax +b)n dx = J
1
[(ax + b)n+ ']' dx =
(n +1 )a
1	\[(ax + b)n + '}' dx= _f}-% ,v-(ax + 6)”+l +
a(n +1)	a(n + \)
Teste be verificare
Testul 1
Să se stabilească valoarea de adevăr pentru următoarele egalităţi:
x e IR;
(1 Op) 1. y—---- dx = — (xa/x2 +1 - In (x + Vx2 +1) +
Wx2+1	2
(10 p) 2. J-
^ = — (x Vx2 -1 + In (x + Vx2 + 1) + x > 1; a/x2 -1	2
4~x
(10p) 3. [-^=dx = x-2Vx +2 In (Vx + 1) + fcf,x > 0;
j1 + a/x
4. f——...
•*x3-3x~+2x	2	x(x-l)2
, 1 ln AX-*! + ^ > 2.
Timp de lucru: 45 de minute
Capitolul 1. Primitive
241
Testul 2
Să se arate că funcţiile F, sunt primitive pentru funcţiile f pe intervalele precizate:
(10 p) 1. F,(x) =
(10 p) 2 .F2(x)=x
f(x)=	1 .VxelR;
x“+U	(1 + x")'
l-x 1 + x ’
Â(X)= / X ,X~	, Vx e (-1, 1);
(1 + x)Vl -X
(10 p) 3.F3(x) =
sin x - xcosx cosx + xsinx
1
/3«
7-------:—77’* e (°. t)î
(cosx + xsinx)	2
(10 p) 4. F4(x) = - tg2 x, /4(x) = tg3 x + tg x, x e (0,	).
Timp de lucru: 45 de minute
iH exerciţii propuse
A. Să se calculeze următoarele integrale nedefinite pe intervalele specificate în dreptul fiecăreia:
w
dx, x e (0, Too);
2.	j(x2 Vx + 2xVx - Vx)dx, x <e (0, +oo);
3.	J(7x6 - 6x5 + 5x4 - 4x3 + 3x2 - 2x + 1) dx;
4. J(sin 3x - cos 3x) dx;
, f dx
6.	—-----,x e(1, + oo);
J x -x
^ r dx	^
8.	----, x e IR;
W4x2 +9
10. J(x + l)3dx; xeK;
f
dx	f 3	^
,x e I —, + oo
4x2 -9 ' " 12’ dx
7. f 1--------- , x 6 (4, +oo);
Jx -5x + 4
9. J (tg 2x + ctg 2x) dx, x e | 0, —
11./ (ax + 6)" dx, x e IR.
242
Manual clasa a Xll-a
B. Să se calculeze integralele nedefinite ale următoarelor funcţii:
l./:IR^IR,/(x)= j2./:E-HR,/(x) = VUI ;
11 + jc, x > 0
3./:
0,-
IR,/(X) ^
sin x, x e

n n
cosx, xe|—,— 1
= I-, X G (0, 1) .
] X	5
[x, xe[l, + oo)
5./: IR-+ IR,/(x) =V|*-1| ;
r <? v,	x < 0
cosx, x>0’ lnx
>
x
4./: (0, +oo) -> IR,/(x) x
6.	/: IR —> IR,/(x) = <
7.	/: (0, +oo) -> IR,/(x) =-
8.	/: (0, +oo) -> lR,/(x) =	, n e IN*
9.	/: IR —> IR,/(x) = x+ Inx2;
f x<0
10.	/: IR —» IR,/(x):	’	"
1 - x, x > 0
IR -> IR,/(x) = (2x + 3)";
IR -IR,/(x) = (2x + l)9 - 3(3x + l)7; IR - IR, /(x) = max (1, x2);
IR — IR, /(x) = min (x, x2);
11./
12./
13./
14-/
Ti î ^
15.	/: IR* — IR, /(x) = max — ,—
V* x-)
16.	/: IR — IR, /(x) = max (1, x, x2).
1.8. Unele metode de calcul ale integralelor nedefinite
(facultativ)
Din consideraţiile prezentate mai înainte rezultă că este foarte important să calculăm primitivele (integralele nedefinite) şi altor tipuri de funcţii diferite de cele din tabele, lucru care ne va ajuta foarte mult în calculul integralelor definite, ce se vor studia în capitolul următor.
Capitolul 1. Primitive
243
Ca elemente pregătitoare vom prezenta următoarele metode de integrare.
I. Metoda de integrare prin părţi
Propoziţie
Dacă funcţiile/ g : J ^ IR sunt derivabile şi derivatele sunt funcţii continue pe / atunci avem:
a)	funcţiile/' • g şi g' •/: J —> IR admit primitive pe J\
b)	are loc relaţia J/'(x) • g(x) dx =/(x) • g(x) - J/(x) ■ g(x)' dx.
Demonstraţie
a)	Evident funcţiile/' • g şi g' /sunt funcţii continue şi deci admit primitive
pe J.
b)	if(x) ■ g{x)y =f(x) ■ g(x) +f(x) ■ g'(x) =>
=>f'(x) ■ g{x) = (J\x) ■ g(x))' -f{x) ■ g'(x), V x eJ.
Aplicând integrala nedefinită în ambii membri, obţinem:
/ f'(x) ■ g(x) dx = J(f{x) ■ g(x))' dx -J/(x) • g'(x) dx
=> / f'(x) ■ g(x) dx =f(x) ■ g(x) - J f(x) ■ g'(x) dx.
Folosind un raţionament asemănător celui de mai sus, obţinem şi formula analogă:
//(*) • g'(x) dx =f(x) ■ g(x) - J g(x)/'(x) dx.
exerciţii rezolvate
Aplicând metoda de integrare prin părţi să se calculeze următoarele integrale nedefinite:
1.	Jx In x dx, x	e	(0, +oo);	2.	Jx	cos x dx, x e IR;	3.	J x sin x dx, x e IR;
4.	jxex dx; x e	IR;	5.	J ex	cos x dx, x e IR;	6.	J ex sin x dx, x e IR;
7. Jx2 sin x dx;	8.	Jx2	cos x dx; x e IR;	9.	J cos2 x dx, x e IR;
10. J sin2 x dx;	11.	J arctg x dx, x e IR;	12.	J arcctg x dx, x e IR.
Soluţii
1. Notăm:/(x) = In x, f'(x) = 2; g'(x) = x => g(x) =	.
x	l
244
Manual clasa a Xll-a
Aplicând formula, obţinem:
Jx In x dx = — x2 In x -	* — dx = \ x2 In x
2	J 2 x 2	4
2.	Notăm: /(x) = x => /'(x) = 1; g'{x) = cos x => g(x) = sin x.
Aplicând formula, obţinem:
Jx cos x dx^ x sin x - Jcos x dx = x sin x - sin x +
3.	Se procedează ca la exerciţiul 2.
4.	Notăm: /(x) = x =>/'(x) = 1; g'(x) = e => g(x) = J e dx = ex.
Aplicând formula, obţinem:
Jx • e dx = x • e - fex dx = x • e - e +	- eĂ(x - 1) +
5.	Notăm: f(x) = cos x => f\x) - - sin x, g'(x) = ex => g(x) = J e dx = ex. Aplicând formula, obţinem:
J e • cos x dx = ex • cos x + Jex • sin x dx.	(1)
Mai aplicăm încă odată formula de integrare prin părţi, pentru calculul integralei nedefinite: Jex • sinx dx.
Notăm:/(x) = sin x =>/'(x) = cos x; e = g'(x) => g(x) - ex.
Aplicând formula, obţinem:
J ex • sin x dx = sin x * ex - Jex cos x dx.	(2)
înlocuind în (1), în final se obţine:
J ex ■ cos x dx = ex • cos x + sin x • e - Je ■ cos x dx =>
=> Jex cos x dx — — e (cos x + sin x) +
6.	înlocuind în (2) la exerciţiul precedent, obţinem:
(3)
Jex • sin x dx = sin x • e - ex(cos x + sin x) + #= ^v(sin x - cos x) +
7.	Notăm: /(x) = x2 => f\x) = 2x, g'(x) = sin x => g(x) = J sin x dx = - cos x. Aplicând formula, obţinem:
Jx2 • sin x dx = -x2 • cos x + 2 Jx ■ cos x dx.
Integrala Jx ■ cos x dx s-a calculat la exerciţiul 2. înlocuind obţinem:
Jx2 • sin x dx = - x2 • cos x + 2x • sin x - 2 sin x + V?.
8.	Se procedează ca la exerciţiul 7.
9.	Avem Jcos2 x dx = Jcos x • cos x dx.
Notăm:/(x) = cos x =^> f\x) = - sin x, g'(x) = cos x => g(x) = sin x. Aplicând formula, obţinem:
J cos2 x dx = sin x • cos x + J sin2 x dx = sin x • cos x + J (1 - cos2 x) dx =>
Capitolul 1. Primitive
245
10.	Folosind rezultatul de la exerciţiul precedent obţinem:
5	sin2 x doc = J(1 - cos2) dx = Jdx- Jcos2xdx =
1 , x 1 ,
= x-----(x + sm x • cos x) = — (x - sin x ■ cos x).
2 ' 2
11. Notăm: f(x) = arctg x => f\x) = ——r , g'(x) = 1 => g(*) =
1 + X“
Aplicând formula, obţinem:
J arctg x doc = arctg x - x - J —^— dx. Dar se observă că:
x“ +1
J —p—dx = — ln(x2 + 1) + ^ x*" +1	2
în final, obţinem:
1
Jarctgx dx = x • arctgx~ ~ 1n(x2 + 1) + #
12.	Se procedează ca la exerciţiul 11.
Comentariu
1.	Analizând exerciţiile rezolvate se poate aprecia că metoda de integrare prin părţi se aplică în cazul când funcţia de integrat se poate prezenta ca un produs de funcţii elementare în care cel puţin pentru una se poate calcula fără dificultate o primitivă a sa.
Exemple: x ■ ex, x • sin x; x • cos x; In x; x • In x, ex • sin x; ex • cos x.
Alegerea funcţiilor/şi g'se va face în aşa fel încât integrala nedefinită Jf-gdoc să se calculeze cu uşurinţă.
Exemplu: Pentru integrala nedefinită Jx • ex dx nu este recomandabil să alegem:
fix) = £ =>/'(*) = £ şi g\x) = X => g(x) = y .
Aplicând formula obţinem:
Jx • ex dx =	■ ex - J • ev dx
fiind evident că, lucrurile în loc să se simplifice se complică şi mai mult, integrala Jx' • e dx fiind mai dificilă decât integrala iniţială. De aceea este de preferat să facem următoarea alegere:/(x) = x => f\x) = 1 şi g'(x) = ex => g(x) = ex.
2.	Metoda de integrare prin părţi se poate aplica şi altor tipuri de funcţii ca de exemplu:
a) jVtf2 +x2dx, x e IR;	b) jV#2 -x2dx, x e (-a, a);
X“	x^
c)	[ ,	dx, x e IR*; d) f-dx, x e (-a, a), a > 0.
Wa2 + x2	va2 -x2
246
Manual clasa a Xll-a
exerciţii propuse
Să se calculeze următoarele integrale nedefinite:
I.	Jarcsin x dx, x g (-1, 1);	2. Jarccosxdx,x g (- 1, 1);
3. Jx • e cos x dx, x g IR;	4. Jx ex sin x dx, x g IR;
5. JIn2 x dx, x g (0, + oo);	6. dx; x g (0, + oo);
J x2
7. JIn(x + Vx2 +1 )dx, x g IR* ;	8. Jx" • e dx, x g IR,
9. Jsin(ln x)dx, x g (0, + oo);	10. Jx" Vl + x2 dx, x g IR.
II.	Metoda de integrare a funcţiilor compuse {Facultativ)
Fie o funcţie /z: / —> IR. Dacă h este o funcţie care se poate scrie sub forma:
Kt) =/(<p(0) • <?V), vre/,
atunci avem posibilitatea să calculăm o primitivă //:/-> IR a funcţiei h.
Condiţiile în care se poate realiza acest fapt sunt cuprinse în următoarea
Propoziţie
Fie funcţiile/şi cp definite astfel:
cp : / —^ J şi/: J —^ IR
(unde I şi J sunt intervale din IR). Dacă sunt îndeplinite condiţiile:
i)	funcţia cp este derivabilă pe /;
ii)	funcţia/admite primitive pe J (fie F o primitivă), atunci funcţia
/z : / -> IR, h(t) =/(cp(/)) • cp'(0
admite primitive pe / şi
___________________fKQdt = J/(cp(Q) • cp'(Q dt = (F o (pXQ + ^_________________
Demonstraţie
Demonstraţia se face prin verificare directă arătând că:
[(Fo (p)W]'=/(cp(0)-CpmV/G/.
Aplicând formula de derivare a funcţiilor compuse studiate în clasa a Xl-a,
avem:
[{F o (p)(0]' - Fim • cp'(0 =/(q>(0) • cp'W, V / G /.
In concluzie funcţia (F o cp) ; / —> y este o primitivă a funcţiei
/(<P(0) • <P#(0d/.
Observaţie. 1. Condiţia ii) din enunţ poate fi înlocuită cu condiţia ca funcţia/să fie continuă, deoarece avem implicaţia: /continuă ==>/admite primitive.
2.	Metoda se mai numeşte şi prima metodă de schimbare de variabilă.
Capitolul 1. Primitive
247
Pentru o alegere convenabilă a funcţiei/şi stabilirea intervalelor / şi J pentru care se poate realiza compunerea funcţiei/şi (p se poate obţine un tabel de integrale nedefinite, asemănător cu primul tabel, numit tabelul integralelor de funcţii compuse.
Tabel cu integrale nedefinite din funcţii compuse
1.	J (p"(x)(p'(*)dx = —	+ '6			ne IN
2.	J <p“(*)<p'(*)dx = ——+ '6 a +1			âfeIR\{-l},cp(/)c(0, oo)
3.	J<7<PW(p'(A')dv - +v* In a			a e IR* \ {1}
4.	li(x))cLv"in|<pW|+^			cp(x) ^ 0, V I G /
5.	r ;p,(x), dx= 1 \n^x)~a ^ (p2(x)-a~ 2a (p(x) + a			<p(x) a,\/ x e I, a * 0
6.	f , dx= 1 arctgCp(x) + VT J cp" (x) -i- a2 a a			
7.	Jsin (p(x) (p'(x) dx = cos <p(jc) + Y			
8.	Jcos cp(x) cp'(x) dx = sin cp(x) + Y			
9.	r "f; d,.,„<,>+* J COS~ (p(x)			(p(x) £ {(2 k + 1) y \k eTL},\/ x e I
10.	1 ^ * dv ctg <p(x) + 'f; J sin “ (p(x)			(p(x) £ {kn | k e TL }, V x e I
11.	Jtg((p(x))(p'(A')ck = -In | cos (p(x) | + Y			cp(x) e {(2k + 1) -î- | /c e ZZ}, V x e /
12.	Jctg(cp(A'))cp'W dx = In | sin cp(x) | + Y			cp(x) £ {kn | /c e Z }, Vx e /
13.	r <pw_ = ln 7<p2(x) + a2	cp (x) + -J(p2(x) + a2	+ Y	a * 0
14.	r <pV)dL_=[n V<ţ>2(x)-a2	cp(x) + ^/(p2 (x)-a2	+ Y	fcp(/)c(-co,-a) a > 0, l sau [cp(/)c(a,co)
15.	f cp'(jc)ck . (0(x) .. 7 = = arcsin + Y J 2 2, s o -cp (x)			a> 0, (p(7) c: (-a, ă)
248
Manual clasa a Xll-a
Să detaliem pe câteva exemple cele arătate în tabelul de mai sus:
1.	Dacă/: IR —» IR,/(O = t" şi cp : IR —> IR derivabilă pe IR, atunci
(f 0 <P)(*)<P'(*) = <P”W ' <P'O0-
tn+{	cp,?+1(^)
O primitivă a funcţiei / este------. Atunci (F o cp)(x) = ——.
1	n + l	n + l
Aplicând formula (1) obţinem în final:
| cp'7(A) • tp'(x) dx = —— n +1
2.	Dacă/: IR —»IR,/(O = sin t şi cp : IR -> IR derivabilă pe IR, atunci:
(f o cp)(x)<p'(*) = sin cp(x) • cp'(x).
Pe de altă parte F(x) = - cos x şi (F ° cp)(x) = - cos cp(x). înlocuind obţinem: J sin (p(x) • cp'(x) dx = - coscp(x) +
3. Dacă/: IR \	| k s zl - IR, f(t) = ——,
[	^	J	COS-t
şi Cp : I\ j(2^^1)7r I k g Ţii, atunci: (f o cp)(x)(p'(x) =--^-----' <p'M-
l 1	J	cos (p(x)
O primitivă a funcţiei/este: F(t) = tg /. Atunci (F o cp)(x) = tg cp(x).
înlocuind obţinem: f —— dx = tg cp(x) +
J cos“ cp(x)
exerciţii rezolvate
Să se calculeze următoarele integrale nedefinite:
1.	j(ax + b)n dx, a, b e IR, a * 0, x g IR;
2.	f—^— , a g IR*, sin ax * 0;
J sin“ ax
3.	f—^—, a g IR*, cos ax * 0;
J cos“ ax
4.	j sin ax dx, x g IR;
5.	jcos ax dx, x g IR;
6.	J tg ax dx, x g IR;
7.	J sin(ax + P) dx, x g IR;
8.	J cos(ax + P) dx, x g IR;
c dx
9.	————, X G IR, a * 0;
J a~x~ +b~
Capitolul 1- Primitive
249
10.
. f dx 22
'•	—7T’ax ~
J n~ — h~
2	2	i
1 a x - b
b2 ^ 0;
11.	- - , a2x2 - b2 >0;
JVr2-2 '-2
/ax - b
12. f Ck , fr2 - a2x2 Xb2-a2x2
> 0.
Soluţii
1.1 = <p(x) = ax + 6 => (p'(x) = a. Conform primei formule din tabel, obţinem:
j (ax + bf = - ■ -L- (ax + b)a+i + ¥r. a a +1
2.	t - cp(x) = ou => cp'(x) = a Şi obţinem [—^— = —- • ctg ax +
J sin" ax a
3.	t = cp(x) = oue => cp'(x) = a şi obţinem f—— = — • tg ax + S*?.'
Jcos~ocx a
4-5. / = cp(x) = ax => cp'(oc) = a şi
J sin oue dx = —- cos ax +	J cos oue dx = — sin ax + <<u
a	a
6.	t = cp(x) = ax => (p'(x) = cc şi avem Jtg oue dx = — In | cos oue I +
a
7.	t = cp(x) = oue + p => cp'(x) = oc şi obţinem J sin(c(x + p) cbe = - — cos(oue + P) +
8.	t = cp(x) = oue + (3 => (p'(x) = a şi obţinem J cos(cue + P)dx =
= — sin(oue + B) + %\ a
9. t = cp(x) = ax => (p'(x) = a şi obţinem [---	—- = — arctg-^- + fcf:
J eTx“ + b~ ci	b
10
■ i
2	,2 = <P(*) = ax=> (p'(x) = a = - • 2- In
a x -b~	a 2a
ax-b
ax + b
+
1
In
•f
■I-
dx
2 ab
= —In
ax-b
ax + b
+ £
4a2x2 - b2 a
i^ax + 4a2x2 - b2 j
dx
4b2 - a2x1	a
1 .ax = — arcsin— + # b
250
Manual clasa a Xll-a
exerciţii propuse
Aplicând prima metodă de schimbare de variabilă să se calculeze:
r 4x + 2	,
1. j—-------dx,xeIR;
Mt
X 2 4- X + 5
X
+ x4 dx
x(l + x)
dx, xg IR;
,xe (0, +oo);
7. Jx Vl + x2 dx, x g IR;
9. f-^- dx, x e (0, - );
J sm x	2
11.	a) J sin x • cos2 x dx, x g IR; c) Jsin3 x dx, x g IR;
12.	a) sin 2x • sin 3x dx, x g IR;
c) Jsin x * sin 5x dx, x g IR;
sin x	n
—— dx,x g (0, -); cos x	2
14.	a)	dx, x e IR;
J 1 + X“
13. a) f-
2- J
1 + x2
2
dx, xg IR;
- dx, xg IR;
Mt
6. Jex Vl + ex dx, x e (0, +co);
8. J
- dx, x e (-oo, 0);
10

Vl - v
dx	n
----, x e (0, — );
cosx	2
b) J cos x • sin2 x dx;
d)	J cos3 x dx, xg IR; b) J cos2x • cos 3x dx, x g IR;
U\ f COS X	K
b) I—— dx,x g (0, -); •'sin^x	2
f 1 - sin x	n
b) -----------dx, x g (0, — ).
J x + cos x	2
Teste be AprofvmbAre
Testul 1
1. Fie funcţia/: [a, ă] —> IR şi punctul c g (a, b). Dacă funcţia/admite primitive pe fiecare din intervalele [a, c] şi [c, b], atunci să se arate că admite primitive pe intervalul [a, b].
2.	Dacă funcţia/: IR —> IR îndeplineşte condiţia că/2(x) = 1, V x g IR, să se arate că/ admite primitive dacă şi numai dacă/ (x) = 1, V x g IR sau / (x) = - 1, V x g IR.
3. Fie intervalul [a, b] a IR. Să se construiască o funcţie/: [a,	—> IR care să îndeplinească următoarele condiţii:
i)	să fie mărginită, Vxg [a, b];
ii)	să fie continuă Vxg (a, b) şi discontinuă de speţă a doua în punctele a şi b\
Capitolul 1- Primitive
251
iii)	să admită primitive pe [a, b]; iiii) să se anuleze în punctele a şi b.
4.	Se dau funcţiile / g, /z : IR —> IR, g(x) = / (x) sin x şi h(x) = /(x) cos x, V x g IR. Să se arate că dacă funcţiile g şi h admit primitive pe IR, atunci şi funcţia/ admite primitive pe IR.
5.	Să se arate că funcţia/: IR -> IR definită prin
f 1	1
cos --------.------ , x ^ 0
f(x) = i ^ ln(x + v x2 + 1) j
admite primitive pe IR.
0,	x — 0
6.	Să se calculeze primitivele funcţiei
/: fOj-r-l -> TB.,f(x) = -	— r
V z )	(a cosx + osinx)
— , a > 0, b > 0.
Indicaţie
Utilizând o schimbare de variabilă convenabilă, obţinem o integrală rcpV)
nedefinită
de tipul (*-J (
(p(x)
7. Să se calculeze J-
ln |cp(x)| +
(x + l)2 + sinx . (n 3tu^
-----------—--------------- dx, x g I —-
2(x“ + 1) + sin x - cos x,	4
Testul 2
1.	Fie funcţia/: [a, b] —> IR o funcţie strict crescătoare care admit primitive şi F o primitivă a sa. Să se arate că pentru orice % e [a, b) există xj, x2 g [a, b] astfel încât să avem:
F(x{)-F(x2)
■f&y
2.	Să se determine toate funcţiile /: IR —> (0, +oo) care verifică ecuaţia funcţională
/
x + y

ştiind că funcţia In o /are primitive pe IR.
3.	Fie funcţia g : IR IR derivabilă pe IR, care îndeplineşte condiţiile:
,imlW= |im !«=(,.
A"—>-oo X	.V—>+00 X
252
Manual clasa a Xll-a
Să se arate că funcţia h : IR —> IR, h(x) = <
O, x = O
admite primitive pc IR.
4. Fie funcţiile/ g, h : IR —> IR. Dacă funcţiile g : IR —> IR, g(x) = /(x) ■ sin3 x şi /?: IR —> IR, h(x) =/(x) • cos3 x, admit primitive pe IR, atunci şi funcţia/: IR —» IR admite primitive pe IR.
5.	Se consideră funcţiile/: IR —> IR cu proprietatea/(x2 + y2) = x f (x) + y f (y),
V x, y e IR.
a)	Să se arate că:/(O) < 0 şi/(-x) = /(x), V x e IR;
b)	Să se determine funcţiile/ care admit primitive pe IR.
Se transformă produsul de tangente în sumă algebrică de tangente aplicând formulele de trigonometrie studiate în clasa a IX-a.
Indicaţie
7.	Să se calculeze:
sin2x + sin2x + l
e x + sin x +1
tzxerciţii recapitulative
I. Să se decidă care dintre următoarele funcţii admit primitive pe IR.
a b
cos—cos —, x^O
3./: IR -> IR,/(x) =i	x x	, a, b e IR \ {0} fixaţi;
0,	x = 0
4./: IR —» IR,/(x) =
. a . b
sin- sin —, x^O
X X
, a, b e IR \ {0} fixaţi;
0,	x = 0
Capitolul 1. Primitive
253
5./: IR -> IR,/(x) =
6./: IR —> IR,/(x) =
7./: IR > IR,./'(.v)
8./: IR	IR,/(x) =
. a b
sin —cos—, x^O
x x	,a, b e IR\ {0} fixaţi;
0,	x = 0
■ i a . f b
sin-—sin-—, x^O
x x	, a, b g IR \ {0} fixaţi;
0,	x = 0
. , a , b . sm~—cos- —, x*0
x *	, a, b e IR \ {0} fixaţi;
0,
x = 0
2 a -,b
cos —cos-—, x ^ 0 x x
, a, b e IR \ {0} fixaţi.
0,
x = 0
II.
1
arctg—, x = 0
x
1*. Se consideră funcţia f: IR —> IR, f(x) =
i
a, x = 0
Să se arate că nu există valori a e IR, pentru care funcţia / să admită primitive V x g IR.
2. Fie funcţia/: (- 1, +oo) —> IR 1
f(x)
-ln|(l + x) • ex j x g (-1, +oo) \ {0} 2007,	x = 0
Să se arate că funcţia/nu admite primitive.
1
3. Se consideră funcţia/: IR —> IR, dată prin/(x):
Să se arate că funcţia/ nu admite primitive pe IR.
l-x2’
-1,
1,
X * -1,X * 1
X = -1 X = 1
254
Manual clasa a Xll-a
4. Fie funcţia/: [O, 1] —> IR, dată de: /(x) =<
xsin-
I
O,
(1 -x)sin
1
1 - x ’
x = 0,x = 1
O < x < —
K
71	71
1 1
1-----< X < 1
K
Să se arate că funcţia /admite primitive.
5.	Fie / cz IR un interval. Există funcţii/: I -> IR care admit primitive pe / şi (fof)(X)=-X?
6.	Să se calculeze:
2x	1 — x2
a)	Jarcsin —dx, x g IR; b) Jarccos---------dx, x g IR.
l + x~	1 + x2
7.	Fie/: IR —» IR o funcţie de două ori derivabilă cu derivata a doua funcţie continuă.
Să se calculeze: Jx \/"(x) dx, x g IR.
8*. Să se determine primitivele funcţiei/: [0, 2k] -> IR,/(x) = | cos x + -1 |
9.	Să se determine toate funcţiile / : IR -> IR care admit primitive cu proprietatea 2f (x) = x[f (x) - x3 - x2], V x e IR, unde F : IR —> IR este o primitivă a funcţiei/
• f • 1
arc sin sin —
l x
X * 0
10*. Fie funcţia/: IR —> IR dată de:/(x) =
a,	x = 0
Să se determine ^ e IR, astfel încât funcţia/să admită primitive pe IR. Indicaţie
Utilizând o schimbare de variabilă convenabilă obţinem în final integrale de
forma (*-- yX} dx = In ]cp(x)| + %.
J cp(x)
11. Să se calculeze:
r3^'v 4-10 cos x + 5 sin x
a) f

ex +3cosx + 4sinx sinx
dx, x g IR;
dx, x g (0, +oo);
ex 4-sinx-f-cosx 2 'n -(- 3 *nA'2
c) j------------dx,x € (0, +00);
Capitolul 1. Primitive
255
d*) *) dx’ -v e (°>+co); '') f f , d*> x g (0, +oo);
J X8 + l	J X8 + l
. rsin2 x-sin2x + l , m
e)		----------cir, x e IR.
J ex -f sin~ x + l
12.	Determinaţi a, b, c e IR, astfel încât funcţia
F :	, + °°j —> IR, F(x) = (ax2 + bx + c) 4lx + 1 ,
să fie o primitivă a funcţiei/: j^--^-, + ooj —> IR,/(x) = 5x/2x + 1 .
13.	Determinaţi a, b, c e IR, astfel încât funcţia
F:	°o,| j -> ffi, F (x) = (ax2 + bx + c) V3-2x
să fie o primitivă a funcţiei/: ^-co,2j —► IR;/(x) = xV3-2x .
14.	Fie funcţia:
/: IR —> IR,/(x) = e~x • cos 4x şi F: IR —> IR, F(x) = e~x(a cos 4x + b sin Ax). Să se determine a, b e IR astfel încât F să fie o primitivă a funcţiei / V x e IR.
15.	Determinaţi primitivele funcţiei
/: IR —» IR,/(x) = x- 1 + Vx2 + 2x +1 + Vx2 -6x + 9 ,x e IR.
16.	Calculaţi
a) J(tg x + tg x)dx, x
b) J (tg”x + tg" 2x)dx, x
re n 2,2)J k n 292
şi n e IN;
17*. Calculaţi primitivele funcţiilor:
a)/: (0, +CO) -* IR,/(x) = -- = ■■■■ f ■,x e (0, -hx>);
xa/x4 + x2 + 1
b)j-
c> I
X ~b X + 1 X2 + 1
x2<?A
earc'8A cir, x g IR;
pr<k,xe (0,+co);
... X X
ex +1 + —+ —
1!	2! j
18.	Calculaţi primitivele funcţiilor pe domeniile de definiţie corespunzătoare:
m ,, , 2xeA + x In x + 1
a)	/: (1, +oo) -»IR, /(x) =	-------;
2x(eA + In x +1)
b)	/: [0,2n] —> IR,/(x) = V2-2cosx ;
256
Manual clasa a X!!-a
c)	/: (O, +00) -> IR,/(x) = gJ(,X 2) ;
x(x~ +ex)
d) f:(0,n)->IR,/(x)=—l---------;
3 + cosx
19.	Fie funcţia/: [O, 2n] —> R,/(x) = arcsin | sin x |;
a)	Calculaţi /(0),/(-^).
b)	Calculaţi funcţia /
c)	să se determine o primitivă a lui/
^	.	. r-^sin2x + cos2 x ,
20*. Sa se calculeze: -------------dx, x e (O, +oo).
J	x3
1.	Dacă/: / —> IR (/ interval) admite F ca primitivă, atunci J/(x) dx = F(x +
2.	Pentru a arăta că o funcţie nu admite primitive avem una din următoarele posibilităţi de abordare:
a)	să arătăm că funcţia nu are proprietatea lui Darboux;
b)	să presupunem că admite primitive şi să ajungem la o contradicţie:
ex.:
/ g : IR -> R/M =
sin — , x ^ 0
x , g(x) =
0 , x = 0
cos — , x * 0 x
0 , x = 0
c)	să scriem funcţia ca sumă algebrică dintre o funcţie care admite primitive şi o funcţie care nu admite primitive:
ex.:/: IR —> IR, /(x) =
sinx
, x = 0
x	= <
2 , x ^ 0
sin x ^ r --, x ^ 0 f 0, x * 0
î.,-o+U.
> / nu admite
primitive pe IR.
d)	să arătăm că funcţia admite discontinuităţi de prima speţă.
3.	Pentru a arăta că o funcţie admite primitive avem una din următoarele posibilităţi:
a)	verificăm condiţiile din definiţie;
b)	se verifică dacă funcţia se poate scrie ca o sumă algebrică de funcţii care admit primitive;
c)	să calculăm efectiv o primitivă.
Capitolul 2
INTEGRALA DEFINITĂ
2.1.	Probleme care conduc la noţiunea de integrală definită
Fie/: [a, b] —» IR o funcţie continuă, pozitivă şi mărginită. Graficul său Gy este situat deasupra axei Ox.
Ne punem problema dacă figura abBA mărginită de axa Ox, graficul Gf şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b are arie şi cum se calculează aria sa.
Deoarece funcţia / este mărginită, figura abBA este mărginită. Pentru a estima aria sa, o vom aproxima din interior şi respectiv din exterior cu poligoane particulare, cu laturile paralele cu axele de coordonare. Concret, considerăm o diviziune A, a intervalului [a, b]:
A : a = xq < x\ < ... < Xj < xi+] < ... <xn = b.
Pe intervalul [x„ x-l+\] ca bază, construim dreptunghiul cu cea mai mică înălţime m, (respectiv cea mai mare înălţime Mi) astfel încât acest dreptunghi să fie inclus (respectiv să conţină) în întregime în figura abBA. Deci
mi = inf{/■(*) \x e [xi9xi+{]}9
respectiv
Mi - sup[f (x) l X G [*/, */+,]}.
Reuniunea acestor dreptunghiuri este un poligon P (respectiv Q) a cărui arie
este
i?-i
s = s(P)= Yj^XM-Xi),
i=0
s=s{Q)=Ym^-xX
/=()
respectiv
258
Manual clasa a Xll-a
Fig.2
Evident P <z Q şi s(P) < s(Q).
Poligonul Q-P conţine în întregime graficul funcţiei f şi aria sa este: s(Q-P) = s(Q)-s(P).
Poligoanele P şi respectiv Q aproximează figura abBA prin lipsă, respectiv prin adaos.
Cu cât numărul intervalelor parţiale este mai mare şi lungimea acestora este mai mică, poligoanele P şi Q aproximează mai bine figura abBA.
Suntem astfel conduşi să considerăm un şir (A„) de diviziuni din ce în ce mai fine. Obţinem două şiruri de poligoane (.P„) şi (Qn). Dacă ariile lor, sn = s(Pn) şi Sn = au o limită comună
/= lims? = lim ,
/I—>00	/?-> oc
atunci figura abBA are aria I.
Putem aproxima figura abBA şi astfel: în fiecare interval [xh x/+j] alegem un punct arbitrar apoi construim un dreptunghi cu baza [xh x,+i] şi înălţimea/(£,/). Reuniunea acestor dreptunghiuri este un poligon R, cu aria:
/=o
Astfel avem: P czRcz Q, deci s(P) < s(R) < s(Q), adică
s <a <S.
Capitolul 2- Integrala definită
259
Dacă alegem un şir de diviziuni (A„) din ce în ce mai fine şi pentru fiecare diviziune puncte intermediare ţ, atunci între ariile poligoanelor Pm Qn şi /?„, avem dubla inegalitate:
s„ <o„< S„.
Dacă \imsn = liniS =/, atunci şi lima = I.
>-x	li—> oc	/j—>oc
Astfel se obţine o aproximare a figurii abBA cu dreptunghiuri R care nu sunt nici complet conţinute şi nici nu o conţin în întregime.
Aplicaţie (calculul ariei unui segment de parabolă)
Să considerăm funcţia/: IR —» IR,/(x) = x2 şi dreapta d de ecuaţie y = 1. Mulţimea punctelor din plan delimitată de graficul Gf al funcţiei / şi dreapta d de ecuaţie y = 1 determină un segment de parabolă.
Ne propunem să calculăm aria acestui segment de parabolă.
Rerolvarc
Dreapta d intersectează graficul Gf al funcţiei/în două puncte simetrice faţă de axa Oy : A{\, 1) şi B(- 1,1) (fig. 4)	’	/
Intuitiv, analizând graficul din figura 4, se observă că este suficient să se calculeze aria haşurată S\, care este jumătate din aria segmentului de parabolă.
Tot intuitiv se constată că aria S\ este egală cu aria pătratului OA'AL minus aria S2 a triunghiului curbiliniu OAA\ pus în evidenţă pe figura 4. Toată problema se reduce la calculul ariei S2-
Pentru calculul ariei S2 vom proceda în modul următor:
Considerăm o diviziune echidistantă A a intervalului [0, 1] prin punctele xt definită astfel:
A = (0 = x0 < X\ <x2< ... < jc/7_i <x„ = 1).
Pe fiecare subinterval [x/_h xs] cu lungimea egală cu — ca bază, construim
n
dreptunghiuri cu cea mai mică înălţime şi respectiv cea mai mare înălţime (fig. 5).
Pe intervalul [0, X\] = [0, — ] aria triunghiului curbiliniu Ox\A\ este mai mică
n
decât aria dreptunghiului OB\A\X\ care este
260
Manual clasa a Xll-a

Pentru intervalele [x\, x2], [x2, x3], [xn.\, xn], ariile trapezelor curbilinii sunt cuprinse între ariile a două dreptunghiuri exprimate prin relaţiile
1 r r .
*= —r = — S1
yî yi~ n
c_ i (/+i)2 _(/+d2
3	~	3
n n	n
pentru orice ie
Atunci a(OAA') (aria triunghiului curbiliniu) va fi cuprinsă între ariile reuniunilor dreptunghiurilor care o include şi vom avea relaţiile:
î/, ^CT(0^')<§S,+-1
/=0
»=i n
sau
//-1 -2
Z±*oiOAA’)S	‘
/=i n
n n
3 *
(2)
Ţinând seama că ^z2 = l2 + 22 + ... + n2 = --- +	+ ^ şi înlocuind în (2)
/ = !
obţinem:
D(2"-l) S<,(OAA')< "(" + 1X,2" + 1),Vn>2. 6 6«
(3)
Trecând în (3) la limită, obţinem:
■j < o(OAA') < 2 , adică o(OAA') = 2 .
1 12-
Atunci Si = aria pătratului — =1- — = —. In final rezultă că aria
3	3	3
segmentului de parabolă este egală cu —.
Capitolul 2. Integrala definită
261
Comentariu
Calculul ariei segmentului de parabolă a fost făcut încă din antichitate de către Arhimede. Metoda utilizată de Arhimede a constat în aproximarea ariei segmentului de parabolă cu arii cunoscute ale unor figuri plane, întrucât nu se cunoştea noţiunea şi conceptul de limită. Ingenioasa metodă descoperită de Arhimede a fost dezvoltată şi folosită o perioadă foarte lungă de timp. Amintim că şi principiul lui Cavalieri din geometrie are la bază aceleaşi consideraţii.
Trebuie subliniat că toţi matematicienii din secolele al XVII-lea şi al XVIII-lea care s-au ocupat cu astfel de probleme au făcut apel la acest gen de artificii.
Este meritul incontestabil al lui Isaac Newton (1643 - 1727) şi Leibniz (1646 - 1716) de a descoperi calculul diferenţial şi integral şi de a recunoaşte că dintr-un anumit punct de vedere derivarea şi integrarea sunt operaţii inverse.
In acest mod a apărui noţiunea de integrală nedefinită, care constituie punctul de pornire în studiul funcţiilor integrabile. în deceniile şi secolele care au urmat s-a dezvoltat în mod precis noţiunea de integrală, care s-a dovedit de o mare utilitate nu numai pentru nevoia de a calcula arii, volume, lungimi de curbe etc. cât şi pentru formularea matematică a multor noţiuni din fizică. De asemenea, calculul integral a adâncit studiul unor funcţii reprezentate cu ajutoail unor integrale definite cu limite variabile, ce nu se pot exprima prin funcţii elementare.
Observaţii. 1. în clasele anterioare s-a definit aria unor figuri plane, dar nu s-a definit aria şi pentru alte tipuri cunoscute de figuri, în particular pentru segmentul de parabolă. De aceea am pornit de la faptul că, intuitiv, această arie există şi a fost pusă în evidenţă în figurile 4 şi 5.
2.	Se pot da exemple de figuri plane mărginite care, în înţelesul corect matematic, nu au arie.
exerciţii propuse
1.	Să se calculeze aria segmentului de parabolă determinat de graficul funcţiei/: IR —> IR,/(x) = ax1 2 (a e IR") şi dreapta de ecuaţiey = a3.
2.	Să se calculeze aria trapezului curbiliniu determinat de graficul funcţiei
/: IR —> JR,/(x) = x2 + 1, axele Ox, Oy şi dreapta de ecuaţie x = 1.
262
Manual clasa a Xll-a
2.2.	Diviziuni ale unui interval [a, b], norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare.
Sume Riemann, interpretare geometrică.
Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval [a, b]
Diviziuni ale unui interval Norma unei diviziuni
Definiţie
Fie [a, b] c IR un interval închis şi mărginit. Se numeşte diviziune a intervalului [a, b~\ un sistem de puncte A = {x0> x\, ..., xn} astfel încât
a = x() < x\ < x2 < ... < x„_i < xn = b.
Practic putem spune că o diviziune A împarte intervalul [a, b\ în n subintervale [xh xi+]], i = 0, n -1.
Lungimea celui mai mare dintre aceste intervale se numeşte norma diviziunii A, notată ||A||, mai precis
||A|| = max 0/+, -Xj).
xt -x0 = x2-xl = ... =xn-xn-i =-;
n
acestea împart intervalul [a, b] în n subintervale de lungimi egale. în acest caz norma diviziunii este
b-a
, x2 — a + 2
b-a
Xq = a, x\ = a +
î • • • 5
n
n
..., xn-\ = a + (n- 1)
b-a
b-a
= b.
n
n
Capitolul 2. Integrala definită
263
exerciţii rezolvate
Pentru următoarele diviziuni să se determine norma diviziunii:
1.	^, = [1, 3], A, = (1, 2,	3).
2.	J2 = [0, 1],A2 = (0, j,~,l).
3.	Ji = [0, 1], A3 = (0,	1).
4	2 4
112 13 3 4
4.	J4 = [0, 1], A4 = (0,	1).
5	4 5 2 5 4 5
5.	J5 = [0, 1], A5 = (0,	1).
6.	y6 = [l,2],A6 = (l,|,V3,2).
Soluţii
Ţinând seama că norma diviziuni A, ||A|| " max (xi+\ - x;), obţinem:
1. ||A||| = max< (2-1),
(5 ^	OO	5^	
				3 —
U J	U	2j	l 3 J
,, 1 1 1 , ,
= maxţl,—> = 1.
2 6 3 [
2. |[A2|| = max
1 J		r 1 n		(\ n		f, O
—0		1 l 1				
.5 ;		U 5j		v3 4,		l 3,
|2 J_ J_ 2 \5’20’12’ 3
2
3 '
3.	||A3|| = —. Toate lungimile subintervalelor sunt egale cu — şi deci 4	4
diviziunea A3 este o diviziune echidistantă.
4.	||A4||=i.
5.	||AS||=P
6.	||A6|| = 0,5.
264
Manual clasa a Xll-a
Definiţie
Fie diviziunile A şi A' ale intervalului [a, £], a < b. Vom spune că diviziunea A este mai fină decât diviziunea A', dacă orice punct al diviziunii A' se găseşte în diviziunea A, adică A' c: A.
în virtutea definiţiei rezultă că diviziunea A4 este mai fină decât diviziunea A3, întrucât A3 cz A4. Din faptul că diviziunea A' c: A obţinem uşor că ||A|| < ||A'||. în cazul diviziunilor A3 şi A4 se verifică:
||A4||=i<i=||A3||.
exerciţii propuse
1.	Se consideră următoarele diviziuni ale intervalului [0, 1]:
f ,	^	^	„	, \
a) A, =
b) A2 =
c) A3 -
1	2 3
a"	/; 5 n a a
1	2 3
’P"	V’P'”'
a
p"-l
1
___________2___	3	(oc(3)/7-l
(ap)"' ’ (ap)" ’ (aP)" ’ ’ (apr
Se cere:
i)	Să se determine norma pentru fiecare diviziune.
ii)	Făcând o discuţie după a şi p e IN* să se compare diviziunile Ai şi A2.
iii)	Să se arate că avem incluziunea de mulţimi:
Ai u A2 c A3.
iv)	Să se exemplifice pentru o alegere particulară a lui a şi p,
2.	Se consideră intervalul [0, 1].
i)	Să se dea exemple de două diviziuni cu punctele diviziunii în progresie aritmetică.
ii)	Să se compare cele două diviziuni.
iii)	Să se compare normele diviziunilor.
Capitolul 2. Integrala definită
265
Sistem de puncte intermediare. Sume Riemann
Definiţie
Pentru o diviziune A = {x0,x\,...,xn\ orice sistem de puncte astfel încât
£1 e [x0,x\]9 e [xux2],...,	6 [x„_uxn]9
se numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii A.
Definiţie
Fie o funcţie/: [a, b] —>IR, o diviziune A = {x0,	x77} a intervalului
[a, b] şi un sistem de puncte intermediare asociat £, = (£,|, £,2Numărul real
ct(/; A, £,) =
/■=I
se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f diviziunii A şi sistemului de puncte intermediare t>= {£,/}, / = 1, n .
în particular, în cazul unei diviziuni echidistante, suma Riemann corespunzătoare este
a(/; A, Q = £—/&) = —Z/(U •
Putem alege ca sistem de puncte intermediare chiar capetele subintervalelor
i)	capătul din stânga £,■ = x7_[, sau,
ii)	capătul din dreapta ^ = xh
şi obţinem sumele Riemann corespunzătoare
i)	a(/; A, £)=	+f(x\)+ ... +/(*„_,)),
n ~r	w
pentru £,/ = x7_,.
ii) a(/; A, Q =	/(*,-) = —- (/‘Oi) +/fe) +...+/0/;-i) +f(xn)\
n jŢ\	n
pentru ^ = Xj.
266
Manual clasa a Xll-a
Interpretare geometrică
In cazul în care funcţia /: [o, b] —> IR, are valori pozitive f (x) > 0 pentru orice x e [a, b\, produsul
reprezintă aria dreptunghiului având ca bază segmentul [x,_i, x,], şi înălţime/(£,,). Prin urmare suma Riemann în acest caz reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor (fig. 6).
tzxerciţii rezolvate
1. Fie intervalul J = [1, 3] şi funcţia/: IR —» IR,/(x) = x2. Pentru diviziunea
A = (1, 2, —, 3) şi punctele intermediare ^ = 2 e [l, 2], £,2
9 n 5i 4 e P' 2]'
ţJ'36
1 8
2 ’ 3
8
,	= — e [—, 3] să se calculeze suma Riemann corespunzătoare.
Soluţie
a(/; A, S) =/£,) (x, -x0) +/fe)(x2 -x,) +f(ţ3)(x3 -x2) +/(^4)(X4 -x3) = = ^ (x, - Xq) + t,l (x2 -x,)+ ţj (x3 - x2) + fţţ (x4 - x3) =
= 4(2-1) +
8lf5_.V 64f8 5V 64L 8^1	8715
16l 2
2 +-
9
3	2 J+ 9
3 — 3
2. Fie J= [0, 1], funcţia/: [0, 1] -> IR,/(x) =
x +1
864
şi diviziunea echidistantă
A„
ol! nzl
vy, ,	5 • • ■ 5
n n n
,1
. Alegând ca puncte intermediare mai întâi capătul din
dreapta şi apoi capătul din stânga al fiecărui subinterval [x/_ţ, x;], să se calculeze şirurile sumelor Riemann corespunzătoare şi limitele acestor şiruri.
Capitolul 2. Integrala definită
267
Soluţie
Fie diviziunea echidistantă A„ = i -1 /
"oi 2 2 nzli'
v/,	,	,	...,
i) pentru £>i= —e
n n 1 ^
V n n n n )
, V / = 1, n , obţinem:
1^1 1
u„=o(j: a„, o = -Z/(U=-Z-—=S—
n /=,	n /=1 J_ + 1	/=, / + w
1 1
- +--------------+ ... + -
/7 + 1	/7 + 2
2/7
în clasa a Xl-a s-a arătat să acest şir este convergent şi lim t/,7 = In 2.
ii) pentru ţ-, ■
i-1
i -1 /
n n
1 ^ 1
, V / = l,/7, obţinem:
1 1 1
V„ = a(f, A„, y	T-j- = Z—7 = - + -4
nT\ i +	Tfn + i-1	«	/7 + 1
• + -
2/7-1
De asemenea şirul (Vn)n>\ este convergent şi lim Vn = In 2.
3.	Fie J = [0, 1], funcţia /: [0, 1] -» IR, / (x) - x2, diviziunea echidistantă
1 2	/7-1
A/7 -	0,
,1
n yî
. Alegând ca puncte intermediare ^ e x,-], ţi =
x. . + x.
L, să se calculeze:
i)	suma Riemann corespunzătoare a(A„,/ ţ);
ii)	lim <j(An,f ţ).
Soluţie
l^r(x,_,+xA l^fi-l + iv
a(^A„,^)=-Z/p/i =-Z
n T:

= J_y( 2/ — 1 2
V 1 ^	^4r -4/ + 0	2 1 (
II ÎL ^	l 2 j	II 4^ I
2/7
1 »(« + l)(2» + l) 1 «(« + 0 ,
Făcând calcule şi trecând la limită obţinem lima(/~, A„,	= —.
3
K	71
4.	Fie intervalul J = [0, — ] şi funcţia/: [0, — ]—» IR, /(x) = sin x. Alegând
71 .
diviziunea intervalului [0, —1, A
2
71 71 71 71
0,—I şi punctele intermediare 6 4 3 2 1

^ 7t 71 71 7l/ ~75	5 ~T 5 TT
V 6 5 4 2 y
, să se calculeze suma Riemann corespunzătoare.
268
Manual clasa a Xll-a
Soluţie
(n
3	4
sin
, 4l- . n
3	+----l-sin —
2	5
f
V
Tt
12
n n 2 ~1
,-fi	> -0	• K , sm — +	^ 71 71 ^	. n sm —	+
u	)	6	U6,	5	
. 71	n	: 1 ti .	71 71	V2 +	71
sm —	— —	— _)	sin —H				—
2	6	2 12	5 12	2	6
5.	Fie intervalul J = [- 1, 1] şi funcţia /: [-1, l]-> IR, / (x) = e . Alegând
A	11^
diviziunea intervalului [- 1, 1], A =	-1, — ,0,—,1 şi punctele intermediare
V	2	2)
£ = (- In 2, 0, 0, In 2), să se calculeze suma Riemann corespunzătoare.
Soluţie
1
o (f, A, O = [ -- +1 j/(- In 2) + ^ 0 + -J/(0) +
1
1
0 /(O) +
n
i—
2
J/(ln2)
1 e-2 + - • e° + - • e° + - e'n2 = -[- +1 +1 + 2] = 9
2	2 2 2
212
||j| exerciţii propuse
1.	Să se calculeze sumele Riemann pentru funcţiile, diviziunile şi punctele intermediare precizate.
1 3 5^
a)/: [0, 3] IR,/(x) = x , A = (0, 1, 2, 3),
2 2 2
b)./: [1,2] —> IR,/(x) = —, A =
x
1,2,24,2,2
8 6 4 2
,= | 10 8 6 4
[	9 ’7’5’37
c)/: [0, ^	IR,/(x) = cos x, A = 0,~,~ U =
l	\ o 4 3 2 y
2.	Se consideră funcţia/: [0, 1] -> IR,/(x) = Vl + x2 ,
/ it it n'1
6’’7,4,2’
AH o,i,2„
n n n
, ţi= —, j=i,«. n
Capitolul 2. Integrala definită
269
a)	Să se calculeze a (/, A,?, Q.
b)	Să se calculeze lima(/, A/7, £,).
3. Se consideră funcţia/: [0, 1] —» IR,/(x) = x, A„ = | 0,—-—-,1
n n n
1 2	n-\
Şi
% G
/-I /
n n

2i-l . t-
-----, / = 1, n .
2n
a)	Să se calculeze o(/ A77, £,).
b)	Să se calculeze lima(/^ A„, £,).
/i—>oc
6	4	4 i
4.	Fie funcţia/: [- 1, 1] —> IR, f{x) = şi diviziunea A = -1,--------,0,—,1 şi
punctele intermediare =

Să se calculeze ap(J\ A, ^), pentru pe {1,2,3}.
5.	Fie funcţia / : [1, 2] —» IR, / (x) = —, diviziunea echidistantă
x
a f, i 1 i 2	,	/7^i .	, .	.	2/-1	, . -—
An= I,l-i—, 1 h—— şi punctele intermediare:^, =------------------- + \, i = \,n .
\ n n	n)	2 n
a)	Să se calculeze o (f, A/7, £,).
b)	Să se arate că lima (/ A,„ £,) = In 2.
//—>oc
6.	Fie /: [(7, A] —> IR o funcţie continuă. Să se arate că pentru orice sumă Riemann asociată funcţiei f există c e [a, 6], astfel încât să avem:
uif, A, £) =/(c) • (6 - a)
7.	Se consideră funcţia/: [1, 3] —> IR continuă. Să se arate că pentru orice sumă Riemann asociată funcţiei/ există c e (a, 6), astfel încât să avem
cf(A,/,0 = 2/(c).
8. Se consideră funcţia/: [0, 1] —> IR,/(x) = ^^l + x , diviziunea echidistantă
A„ =
0,-
1 2 «-1
5 V)
\ n n n
şi punctele intermediare ^ = —, / = l,n.
a)	Să se calculeze a/; A77, Q.
b)	Să se calculeze lima(/ A/7, £).
270
Manual clasa a Xll-a
Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval [a, b]
Definiţie
Fie o funcţie / : [a, b] —» IR. Acesta funcţie se numeşte integrabilă Riemann pe intervalul [a, b\ dacă există un număr / e IR astfel încât pentru orice şir de diviziuni (A„)„>| cu şirul normelor ||A„|| —> 0 şi orice alegere a sistemelor de puncte intermediare asociate şirul sumelor Riemann obţinut converge la acel număr /:
lim(/; A,„ i;,,) = lim ^(x, -xM)/(^ )
n—'yoL	n—>oc ‘ ■■■	"
= /.
Pe scurt, funcţia se numeşte „integrabilă”. Se foloseşte notaţia
I = f f(x) dx.
Ja
Numărul / = J f(x)dx se numeşte integrala Riemann a funcţiei f pe [a, Z?]
sau integrala definită, sau valoarea integralei Riemann sau valoarea integralei definite; în mod tradiţional se citeşte „integrală din/(x) de la # la 6”.
Semnul J se numeşte semn de integrare (uneori integrală), numărul a este limita inferioară, numărul b limita superioară, iar intervalul [a, b] este intervalul pe care se integrează funcţia/
Exemplul 1
Considerăm o funcţie constantă f(x) = /c, x e [#, Z?]. In acest caz orice sumă Riemann, indiferent de diviziunea A aleasă, arată astfel
a(/; A, O = 2 <X - *,-! )/&) = Ş O, - )k = (b- a)k.
Prin urmare şirul sumelor Riemann asociat unui şir de diviziuni A„ cu norma tinzând la 0, este constant, deci convergent; funcţia este integrabilă şi integrala sa pe intervalul [a, b] este
f k dx= lim a(/’ A„, £,) = k(b - a).
Ja
In concluzie, orice funcţie constantă este integrabilă, iar integrala sa pe un
interval (j /cdxj este constanta k înmulţită cu lungimea intervalului. Pentru k > 0
integrala reprezintă aria dreptunghiului delimitat de graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = a, x-b.
Comentariu
In exemplul de mai înainte, demonstraţia că o funcţie constantă este integrabilă folosind definiţia (sumele Riemann) are doar rol didactic. Observaţia este valabilă şi pentru exemplul care urmează. Cele două funcţii considerate sunt
Capitolul 2. Integrala definită
271
integrabile deoarece sunt funcţii continue şi orice funcţie continuă este integrabilă (aşa cum vom menţiona mai târziu). Totuşi în acest moment sunt cele mai simple exemple de funcţii integrabile, care pot fi integrate folosind definiţia. Din acest motiv „pur didactic” le utilizăm în aceste prime exemple.
Faptul că în definiţia integralei Riemann se consideră orice fel de diviziuni complică mult un eventual calcul al integralei folosind definiţia. Din acest motiv, menţionăm următoarea „simplificare” deosebit de utilă.
Observaţie. O funcţie este integrabilă dacă în definiţie se consideră doar sumele Riemann asociate unor şiruri de diviziuni echidistante cu norma tinzând la 0. Nu dăm demonstraţia, dar vom folosi această observaţie în cele ce urmează.
Exemplul 2
Considerăm funcţia/(x) = x, x e [a, b\. Folosim observaţia de mai înainte. Considerăm diviziuni echidistante ale intervalului [a, b]. Funcţia este crescătoare, deci
/(*;_,) </(£;) </(*/),
pentru orice e [x,_l5 x,].
Formând sumele Riemann corespunzătoare unor diviziuni echidistante şi la trei sisteme de puncte intermediare: x,_i, respectiv x, obţinem
/=l	/=l	/=!
b — a	b — ci Y b — a
Z— x'-' - Z—	Z—
" n	“ n	~r n
b-ax^,	1Xb-ax x^b-a ^ ^ b-ax^, .b-aN
—Z^+('_1)—) ^ Z—	—Z(a+*—)■
n i=i	n " n	n	«
Putem calcula sumele din stânga şi din drepta inegalităţii, deoarece termenii sunt în progresie aritmetică
b-a 1
— n
n 2
a + a + (n -1)
b-a
<
±—t*
<
. b-a 1
<------n
n 2
(a + b) +
n J ~ n b-a
n
Trecând la limită după n —> oo, obţinem (conform criteriului „cleştelui”) (b-a)
\U’ t U) ^ 11111 / —
n
(a+ b)< limZ--------- ^ ^
n—>oc	i/\
b-a ^ ^ (b-a) ,	1
(a + b) = -(b2-a2). 2 2
Prin urmare, conform observaţiei de mai înainte, funcţia este integrabilă şi integrala sa este
r'>	1	?	?
272
Manual clasa a Xll-a
exerciţii rezolvate
1. Să se arate că funcţia/’: [a, b] —» IR, O < a < b,f (x) = —, este integrabilă
x
chdx
x	a
2.	Fie a e IR şi funcţia/: [a, 6] —> IR,/(x) = ax, V x e (a, b). i) Să se arate că funcţia/este integrabilă pe intervalul [a, b].
r h	fb	t
Riemann şi /(x) dx =	— = In b - In a = ln-
Ja'	Ja r
ii) | /(x) dx = | ax = — (b2 - a2).
3.	Fie funcţia f: [a, b] -> IR,/(x) = cos x, a, b e IR, a < b.
i)	Să se arate că funcţia/este integrabilă pe [a, b].
C1’	i/j
ii)	J cosxdx = sinx|(j = sin b- sin a.
Soluţii
1. Fie A = (a = x0, xt,x2, xn = b) o diviziune a intervalului [a, 6] şi t, -£,2,	£,„) un sistem de puncte intermediare. Atunci a(f, A, £,) = t /a-A-i) şi
>=i
a(f, A, Z) - (In b - In a) =	(x,. - xM) - (In b - In a) =
<=! 4/
n j	>i
= ^—(xf. - x._,) - ^ (In x,. - In xM). în virtutea teoremei lui Lagrange
/=i ţ>i	/=i
aplicată funcţiei g : [x,_i, xi] —> IR, g(x) = In x, obţinem g(x,) - g(x/_.i) = In x, - In x,_! =
l	c — £
— (x,-xw). înlocuind obţinem: a(f A, £,) - (In b - In a) = V ———(x. -x._,).

Dacă notăm cu ||A|| nonna diviziunii A a intervalului [a, b], obţinem:
c~ţ,
|a(/;A^)-(ln6-lna)|< £

(x,.-x,J<-^-/||A||.
1
Făcând n -» oo, rezultă că funcţia/: [a, b] -» IR, /(x) = — este integrabilă şi
x
p/>	1
— dx = In/) - In a - In
ia x
Capitolul 2. Integrala definită
273
2. Vom proceda asemănător:
o(/; a, ţ) = X/&)(*.■ -Jfw) = £/ -
X. + X.

+
	( X. 4- X. . ^
	~J~r!zL
	\ 2 )_
Pentru f(x) = ax, obţinem:
	f
	= a
L l 2	V



Deci:
a(/,A,5)-y(a!-4!)
-o-t, jfe)"/
^ Xj + xM ^

Dar
Deci:
m*)-/
X; 4- X;
ac,,. —f---------— a
= |a|
t x;. 4- x,._ S /	^
A, Ş,) - y (o - a2)| < |a| • ||A||.
Considerând un şir de diviziuni (Aw) cu ||A„|| —> 0, obţinem:
| ax dx = ~ (b2 - a2).
3.	<j(/; A, £,) = £cos^(x,. — x,_,).
/=]
Se aplică teorema lui Lagrange funcţiei sin x pe intervalul [xM, x,], pentru care avem:
sin X/ - sin x,_j = cos C/(x/ - x,_i).
Suma Riemann se scrie astfel:
n	n	n
ct(/;a, £)=	cos £,( (x;. — X(_|) = ^COSC,.(x,.-XM) + ^(cos^,. -cosc,)(x, -xw) =
j=l	/■=!	/=1
»	/t
= ^(sinx.-sinxM) + ^(cos^. -cosc/)(x/ -xM) = sin b- şina +
/=l	/=!
ii
-cosci)(xi -xM) => |a(A,/ £) - (sin b - sin a)| =
M
= Z(cos^ -cosc,/)(x;. -xM)
274
Manual clasa a Xll-a
Aplicând teorema lui Lagrange din nou pentru funcţia h : [£,„ c,] —> IR, h(x) = = cos x, există 0i e (£,,-, ci) astfel încât să avem cos x,- - cos c, = sin 0,. Atunci obţinem:
|cr(/‘ A, Q - (sin b - sin d)\
ZsinG,
(4y-c,)<||Ap-a).
Considerând un şir de diviziuni (A„) cu ||A/7|| —> 0 rezultă că
g(/, A„, %) —> (sin b - sin a) şi deci Cos x dx = sin b - sin a.
i a
f3 exerciţii propuse
Să se arate că:
1.	funcţia/: [a, b\ —» IR,/(x) = ax2, 0 <a<b, este integrabilă şi
f /(x) dx = = f ax2 dx = — (b3 - a3);
J a	J a	^
2.	funcţia/: [a, b] —» IR,/(x) = sin x, 0 < a < b, este integrabilă şi
pb
sin x dx — cos a — cos b\
J a
3.	funcţia/: [- 1, 1] —» IR,/(x) = e'v, este integrabilă şi
rl	1
I exdx = e-~;
J->	  e
4.	funcţia/: [0, 1] -> IR,/(x) = x VTTx dx, este integrabilă şi
f xVl + x = — (a/^ ■+■ 1) j Jo	15V
5.	funcţia/: [2, 4] —» IR,/(x) = x In x dx, este integrabilă şi
| xlnx = 14 In 2 - 3.
tceoremă_________________________________________________________________________
Orice funcţie monotonă/: [<^r, 6] —> IR este integrabilă pe intervalul [a, b].
Această propoziţie oferă un număr mare de exemple de funcţii integrabile, dar nu şi modul în care pot fi calculate integralele corespunzătoare. Prezentăm demonstraţia într-o secţiune ulterioară.
Exemplu de funcţie care nu este integrabilă (funcţia lui Dirichlet). Funcţia/: IR -> IR definită prin
/(*) =
l X G ©,
[0, X £ ©,
numită şi funcţia lui Dirichlet, nu este integrabilă Riemann pe nici un interval [a, b\.
Capitolul 2. Integrala definită
275
Justificare
Considerăm o diviziune oarecare a intervalului [a, b] şi două sisteme de puncte intermediare e ©, respectiv r|, £ (Q. Sumele Riemann corespunzătoare sunt
a(/; A, £,)='£ (xi - x,_, )/(£,) = (xf - xM )■ l=x„-x0 = b-a,
i=\	/=1
n	n
o(/; A, T]) = “O/OlO =	~x^ ' 0 = 0
/=I	/=l
Deci pentru orice şir de diviziuni cu norma tinzând la 0, putem alege ca puncte intermediare numai numere raţionale, sau numai numere iraţionale. Şirurile sumelor Riemann corespunzătoare sunt fie constante 0, fie constante b - a, deci nu au aceeaşi limită, ceea ce înseamnă că funcţia nu este integrabilă Riemann pe [a, b\.
exerciţii rezolvate
Folosind proprietatea de integrabilitate a funcţiilor monotone, să se arate că următoarele funcţii sunt integrabile pe intervalele specificate.
1./: [a, b] -> IR (0 < a < b),f(x) = 2-, a > 0, pe [a, b],
x
2./: [a, b] —» IR (0 < a < b),f (x) = VxJ +1 , pe [a, b\.
3.	/: [a, b] -> IR b] <= (0, -)J f(x) = tg x, pe [a, b],
4.	/: [a, b] -> IR ([a, b] <= (0, l))/(x) =	, pe [a, b].
fx, xeTO, 11
5.	/: [0, 2] —» IR,/(x) = < 2 L J pe [0,2],
[x +1, X € (1, 2]
fe ',	x e [0, 1]
V^2HVW-|, + 1
7.	/: [- I, 1]-»IE,/W-\X ’ Aţ|J'‘J| pc[- 1, I]
[-X-1, X E (0, 1]
8. /: [e, e2]	IR,/(x) = — pe [e, e2].
x
Soluţii
OL
1. Funcţia este derivabilă pe [a, b\,f'{x) =--— < 0, deci funcţia este strict
descrescătoare pe [a, b] =>/integrabilă pe [a, b].
276
Manual clasa a Xll-a
2.	Funcţia este derivabilă pe [a, b],f'(x) =
strict crescătoare pe [a, 6] =>/integrabilă pe [a, 6].
3.	Funcţia este derivabilă pe [a, b],f'(x)

x2 +1
> 0, deci funcţia este
1
COS“ X
> 0, deci funcţia este strict
crescătoare =>/integrabilă pe [a, b].
4 ./'(*) =
-x
< 0 => funcţia este descrescătoare pe [a, b] =>/integrabilă.
Vi -x2
5.	Funcţia nu este continuă pe [0,2], dar se constată că este strict crescătoare pe [0, 2] (se propune ca exerciţiu) şi deci este integrabilă.
6.	Funcţia nu este continuă pe intervalul [0, 2], dar se poate arăta că este strict crescătoare pe acest interval.
într-adevăr: pe intervalele / = [0, 1] şi J2 = (1, 2) se constată cu uşurinţă că funcţia este strict crescătoare.
Fie a g J| şi p g [1, 2], atunci e“ < ep <	+ 1. Deci funcţia este strict
crescătoare pe intervalul [0, 2] şi deci este integrabilă.
7.	Se poate arăta că funcţia este strict descrescătoare pe [- 1, 1], ceea ce se va observa şi din grafic (se propune ca exerciţiu).
într-adevăr: pe intervalele / = [- 1, 0] şi J2 = (0, 1] funcţia este strict descrescătoare.
Dacă a e [- 1, 1] şi (3 g (0, 1], atunci a2 > - (3 - 1 => a2 + 1
pozitiv negativ
Deci funcţia / este strict descrescătoare pe intervalul [- 1, 1] şi deci este integrabilă.
-lnx
8. Funcţia / este derivabilă şi / '(x) =
< 0 pe intervalul [e, e2] şi
funcţia/este integrabilă.
III exerciţii propuse
Să se arate că următoarele funcţii sunt integrabile pe intervalele specificate: 1./: [a, b] -» JR,/(x) = VxM (1 < a < b);
2•/: [a, b] -> IR,/(x) = ctgjţ, [a, b] c (0,	);
3./: [a, b] -» IR,/(x) = arcsin x, [a, b]cz(- 1, 1);
Capitolul 2. Integrala definită
277
4. /:[-l, 1]	IR,/(*) =
5.	/:[-l,l]-+IR,/(x) =
[--*> xe[-l, 0) [-xr -1, x e[0, 1]
/ i V
1_
V2y
xe[l, 0] -x-l, xe[0,1]
6.	/: [1,2] —> IR,/(x) = —;
7. /: [3, 4]	IR,f(x) =jx2-4x + 5 ;
8.	/:[e, e1] —> IR,/(x) = /- .
Inx
Reamintim că o funcţie /: [a, 6] -» IR se numeşte mărginită pe intervalul [a, 6], dacă una din următoarele afirmaţii echivalente este adevărată:
i)	există a, p e IR, astfel încât
a <f(x) < P, pentru orice x g [a, 6];
ii)	există M g IR, astfel încât
/(x)| < M, pentru orice x e [a, 6].
In caz contrar funcţia se numeşte nemărginită pe intervalul [a, b].
Propoziţie__________________________________________________________________
O	funcţie/: [a, b] —» IR este nemărginită pe intervalul [a, b\ dacă şi numai dacă există un şir (xn)n>\,xn e [a, b\ aşa încât/(xn) —» + oo sau/(x„) —» - oo.
Demonstraţie
Dacă există un astfel de şir, este clar că se contrazice condiţia ii) din definiţia de mai înainte, deci funcţia este nemărginită pe intervalul [a, b].
Reciproc, presupunem că funcţia este nemărginită pe intervalul [a, b], deci este contrazisă afirmaţia ii). Aceasta înseamnă că pentru orice M e IR, există x g [a, b] aşa încât /(x)| > M\ în particular pentru fiecare n g IN există xn g [a, b] aşa încât /(x,7)| > n. în această situaţie există un subşir (x )/f>i cu limf(x ) = + oo sau limf(x ) = - oo.
1	A--> oc	x	k—>cc	k
Teoremă (de mărginire)
Orice funcţie/: [a, b] -» IR integrabilă pe intervalul [a, b] este mărginită pe acest interval._______________________________________________________________
Demonstraţie
Presupunem prin absurd contrariul, adică funcţia este nemărginită pe intervalul 1a, b\. Conform observaţiei anterioare, există un şir (xn)n>\, xn e [a, b\, astfel încât /(xn) g [ia, b] şi /(x„) —> + oo sau/(x,7) —> - oo. Să presupunem că limf(xn ) = + oo.
M—>0C	*
278
Manual clasa a Xll-a
Funcţia este integrabilă pe intervalul [a, b], deci pentru orice şir de diviziuni cu norma tinzând la 0 şi orice alegere a punctelor intermediare i;, e [x,_i, x,] sumele Riemann obţinute se află într-o vecinătate a limitei lor, adică a integralei f ^
/(x) dx = /. Pe de altă parte însă, intervalul [a, b] este reuniunea intervalelor
J a
diviziunii, care sunt în număr finit, deci cel puţin unul din aceste intervale conţine o infinitate de termeni (x )*>|. In acest interval pe care îl notăm [x7_i, x7] putem alege
ca punct intermediar orice termen al subşirului (x
Pentm lim/ (xn ) = + oo,
/)—>OC	k
putem alege punctul intermediar ^7 = x e [x7_i, x7] aşa încât/(x ) să fie oricât de
mare. Rezultă că suma Riemann corespunzătoare este nemărginită Se contrazice faptul că funcţia este integrabilă, deci presupunerea că funcţia este nemărginită a fost falsă. Funcţia este deci neapărat mărginită.
^eoremă________________________________________________________________________
Dacă / g	:	[,a,	b\	—»	IR,/este integrabilă pe intervalul	[a,	b\ iar g : [a,	b]	->IR
diferă de/într-un număr finit de puncte, adică/ (x) -g(x) = 0 pentru orice x e [a, 6]\ {ai,..., a*}, atunci şi funcţia g este integrabilă pe intervalul [a, b] şi în plus
[ g(x) dx = | f(x) dx
Jet	Ja
Demonstraţie
Funcţia/este integrabilă, deci mărginită pe intervalul [a, b]. Deci există M € IR, aşa încât \f (x)| < A/, pentm orice x € [a, b] şi fie N = max{|(g(a7)|, j = 1, k }. Considerăm şiruri de diviziuni A„ cu norma tinzând la 0 şi sumele Riemann asociate pentru funcţia g. Indiferent de alegerea punctelor intermediare valorile g(£>,) diferă de/£/) cel mult în k puncte. Astfel putem scrie:
a(g A„, ţ)= £ (x, - xM) g(ţi) =
/=1

Pe de o parte, prima sumă este o sumă Riemann pentm funcţia/şi deci
£(•*,	-> j f(x)dx,
m	Ja
iar pe de altă parte cea de a doua sumă tinde la 0,deoarece:
X<>,,	)[g(o-j)-f(a.j)] ^ ]£(x,.	[N+ ^ - [^+ M\k\\An\\ -> 0.
/=! ' ' /=!
Capitolul 2. Integrala definită
279
în final am obţinut:
a(g, A„, £,) = ^(x, - xM) g(^) -> £ /(x) dx, deci funcţia g este integrabilă pe intervalul [a, b] şi are integrala egală cu a funcţiei f
f/c, X €E [tf, 6)
In particular, /(x) = <	este integrabilă pe intervalul [a, /?] deoarece
(y, x = 6
~	r/>
diferă de o funcţie constantă într-un singur punct. In plus /(x) dx = k(b - a).
Ja
exerciţii rezolvate
Să se arate că următoarele funcţii nu sunt integrabile pe intervalele specificate:
' 1
!•/: [0, 1] —> IR,/(x) =
2./U-1,	-
3./:[0, l]->IR,/(x) =
,	x e (0, 1]
x°	\ct>0.
0,	x = 0
2xsin-f-—cos-y; x€[-l, 1]\{0} x" x x
0,
x = 0
2xsin— Inx-cos— lnx + xsin —, xs(0, 1] xx	x
0,
x = 0
4. /': [- 1, 1] —» IR, f(x) = <|	> x G (-1>	.
1, x e {-1, +1}
5./: [0, — ] -> IR,/(x) =
tgx, x e (0, —)
n	n
0, x — —
Soluţii
1. lim/(x) = + oo. Deci/nu este mărginită, prin urmare nu este integrabilă.
x—>0 r>0
280
Manual clasa a Xll-a
2.	Fie (x„)„>,, cu xn = —f= ,	-> 0.
V2wi

Deoarece lim/ (x„) = lim
1 2
2x„ sin —------cos
v

oo, funcţia este
nemărginită şi deci nu este integrabilă.
3.	Fie şirul (*„)„>i, xn = —— şi lim/(xn) = + oo, funcţia nu este mărginită şi
2nn ”->cc
deci nu este integrabilă.
4.	Avem lim/(x) = + oo şi lim f(x) = + oo, funcţia nu este mărginită şi deci nu
este integrabilă.
5.	lim tg x = + oo deci funcţia nu este mărginită şi astfel nu este integrabilă.
71
.r—>—
2
exerciţii propuse
Să se studieze integrabilitatea următoarelor funcţii:
l./:[-2, 2] —> UJ,/(x): 2-/: [O, 1] —»	=
3./: [O, 1] -» IR,/(x) =
4-/: [1,2]—» IR,/(x) = <
5./: [0,1]-* IM*) =<
24~x’, x e (-2, 2)
O,	x e {-2, 2}
—sin2) x g (O, 1]
O,	x = 0 1 1
—	cos—, x^O x x
O,	x = O
------------, x G (1, 2)
0-l)0-2)	.
1,	xg{1,2}
—	inx, x e (0,1] x
1
Capitolul 2. Integrala definită
281
6./: [0, l]->IR,/tx) =
exU °, xe(0,1) 1 , x e {0,1}
7*./:[0,-]->m,Xx) =
sin x	n
x'	2
1	, x = 0
tgx
8*./: [0, ^ ] -► IR,./(x) = <
2 ’ X"
0
* e (0,
, x e {0, -} 2
2.3.	Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare. Integrabilitatea funcţiilor continue
Vom prezenta în acesta secţiune principalele proprietăţi ale integralei definite:
1.	Pentru orice funcţie/: [a, b] -> IR, integrabilă pe intervalul [a, b], avem prin „convenţie”:
f f(x) dx = - f /(x) dx.
Ja	Jl>
In particular, pentru b = a, avem:
£/(x) dx = 0.
2.	Liniaritate
i) Pentru orice funcţie/: [a, b] —> IR, integrabilă pe intervalul [a, b], avem
£ a/(x) dx = a £ /(x) dx,
pentru orice a e IR.
ii)	Dacă/’ g : [a, b] —> IR sunt integrabile pe intervalul [<a, /?], atunci şi suma (diferenţa) lor (f± g) este integrabilă pe [a, 6], iar
£(/(*) ±g(x))dx= £/(x)dx± £g(x) dx.
282
Manual clasa a Xll-a
3.	Monotonie în raport cu funcţia care se integrează
i) Dacă funcţia/: [a, b] —» IR este integrabilă pe intervalul [a, 6] şi ia valori pozitive, atunci şi integrala sa este pozitivă, adică
/(x) > 0, V x g [a, b] => f / (x) dx > 0.
Jci
ii)	Dacă funcţiile / g : [a, b] —> IR sunt integrabile pe intervalul [a, b] şi f(x) < g(x), pentru orice x e [a, /?], atunci
f fW dx < j g(x) dx.
Ju	Ju
In particular, pentru m </(x) < M, V x e [a, 6], rezultă:
/7?(6 - a)< | f(x) dx < M(b - a).
4	Aditivitate în raport cu intervalul de integrare
Dacă funcţia/: J —> IR este integrabilă pe intervalele [a, c] cz J şi [c, b] cz / atunci funcţia este integrabilă pe intervalul [a, b\ = [a, c\ u [c, b] şi
f/O) dx= \j\x) dx+ ţ/(x)dT.
5.	Ereditate
Dacă funcţia/: [a, b] —> IR este integrabilă pe intervalul [a, 6], atunci funcţia este integrabilă pe orice subinterval [c, d\ a [a, 6].
6.	Descompunere
Dacă funcţia/: J —» IR este integrabilă pe intervalul / atunci pentru orice a, 6, c e ./ are loc formula de descompunere (indiferent de ordinea în care se află cele trei numere a, b, c)
j f(x) dx = [ f(x) dx + f f(x) dx.
Ja	Ju	Jc
7.	Monotonie în raport cu intervalul pentru funcţii pozitive
Dacă /: [a, b\ —» IR este integrabilă pe intervalul [a, b] şi funcţia este pozitivă, adică/(x) > 0, V x e [a, b\ atunci pentru orice subinterval [c, d\ cz [a, b] avem:
j( f(x)dx< \j\x) dx.
8.	Dacă funcţia / [a, b] —» IR este integrabilă pe intervalul [a, b\, atunci funcţia \f\ este integrabilă pe r
\a,b] şi avem \j\x)dx< |j/(x)|dx.
9.	Produsul de funcţii integrabile este o funcţie integrabilă
Dacă/ g : [a, b] —>IR sunt integrabile pe intervalul [a, b], atunci şi produsul lor (fg) este o funcţie integrabilă pe [a, b\.
Capitolul 2. Integrala definită
283
10.	Translaţie
Dacă/: [a, b] —> IR este integrabilă pe intervalul [a, b], atunci pentru orice [a, p] cz [a, b] şi orice c e IR, pentru care [a + c, (3 + c] c [a, b], avem
pP+c	p(i
i /(x)dx = I /(x + c)dx.
Ja+c	Ja.
Demonstraţii
2.	Să observăm că sumele Riemann pentru funcţia a • / sunt exact sumele Riemann ale funcţiei/înmulţite cu constanta a, deci se păstrează convergenţa, iar limita se obţine înmulţind cu a, adică:
o(a/, A,„ c,) = ao(/, A,„ £,) -> a £/(x) dx,
deci funcţia a •/este integrabilă pe intervalul [a, 6] şi are loc egalitatea:
| af (x) cbc = a J /(x) dx,
Sumele Riemann ale sumei de funcţii (f + g), se obţin astfel:
a(f+ g, A(I, ţ) = £(x,	[/’(^) + g&)] =
»=1
i = l	/ = 1
= a(/, A,„	+ c?(g, A,„ £) -> £ /(x) dx + £ g(x) dx.
Funcţiile/şi g sunt integrabile, deci sumele Riemann sunt convergente.
Prin urmare funcţia sumă (f + g) este integrabilă pe intervalul [a, b] şi are loc egalitatea:
£(/ + ?)W^= £/(x)dx+ £g(x) dx.
Analog, se demonstrează pentru
£(/-?)W<k= £/(x)dx- £g(x)dx.
n
3.	Dacă funcţia ia valori pozitive, atunci sumele Riemann ^(x, -xw)/(jVj
i=1 rh
sunt pozitive. Integrala j /(x)dx este limita unui şir de sume Riemann, deci tot
r/i
pozitivă: j /(x)dx > 0. Pentru cazul/(x) < g(x), observăm că g(x) -/(x) > 0, şi obţinem inegalitatea pentru funcţii pozitive
£g(*)dx> £/0) dx.
284
Manual clasa a Xll-a
4.	Funcţia este integrabilă pe intervalele [a, c] şi [c, b], deci este mărginită pe reuniunea lor [a, b]. Fie M e IR astfel încât jf (,r)| < M, pentru orice x e [a, b\. Pentm intervalul [a, b\ considerăm şiruri de diviziuni A„ cu norma tinzând la zero şi puncte intermediare arbitrar alese pentru sumele Riemann asociate.
Avem două cazuri:
i)	Dacă c este punct al diviziunii A„, atunci suma Riemann pentru intervalul [a, b] se descompune în două sume Riemann şi avem una pentru [a, c], iar cealaltă
pentru [c, b]. Conform ipotezei acestea tind către | f(x) dr, respectiv la f(x)dx.
ii)	Dacă c nu este punct al diviziunii A/7, atunci există un subinterval astfel încât c e (xh|, x,). în acest caz, adunăm şi scădem (c - xh\)J[c) + (xj - c)f (c) la suma Riemann pentru [a, b], şi atunci suma Riemann se descompune în două sume Riemann, una pentru [a, c], iar cealaltă pentru [c, b]. Astfel rămân termenii:
o(f, A,„	= (Xi-XHY(^) - (c-xhY(c) - (.Xj - c)/(c) =
=(xj-xHmţ,)-mi
Aceşti termeni tind la zero, deoarece
\{xj-xHmţ)-f{c)\\ < ||A/7|| ■ 2M —» 0
Astfel, orice şir de sume Riemann pentru intervalul [a, b] tinde la suma integralelor funcţiei pe intervalele [a, c], respectiv [c, b]. Deci funcţia este integrabilă şi pe intervalul [a, b] şi
\j(x) dx = £ f(x) dx + £ f(x) dx.
6.	Presupunem că a < b şi avem trei cazuri posibile pentru poziţia lui c,
c < a< b sau a < c < b sau a < b < c. Facem demonstraţia pentru primul caz,
celelalte sunt absolut similare. Folosim proprietăţile 4 şi 5:
| /(x) cir = | /(,r) dr + j f(x) dx <£>
<=> J f(x)dx = - f f(x)dx+ f f(x) dx = f/W dx + [/(x) dx.
Ja	J ci	Jc	Ja	Jc
7.	Conform proprietăţii 6) de descompunere, putem scrie
£ f(x) dx = £ f{x) dx+ £ f(x) dx + £ f(x) dx > £ f(x) dx deoarece funcţia ia valori pozitive, iar cele trei integrale sunt de asemenea pozitive.
8.	Omitem demonstraţia faptului că funcţia \f | este integrabilă. Folosind monotonia integralei, obţinem:
-\f(x)\ ^f(x) < ^(x)! =>- £|/(x)| dx < £/(x)dx < £|/(x)|dx<i>
<=> |£/Wdx| < £|/(x)| dx.
Capitolul 2. Integrala definită
285
10. Orice diviziune a intervalului [a, P], a = x0 < x{ < ... < x/7_i <xn = p, induce o diviziune a intervalului [a + c, P + c] şi pentru f;, e [a, P], obţinem sumele Riemann corespunzătoare:
Considerând şiruri de diviziuni cu norma tinzând la zero şi trecând la limită rezultă că:
Aplicaţie
Orice funcţie în scară (constantă pe subintervale) este integrabilă. Demonstraţie
Descompunem intervalul [a, b] într-o reuniune de intervale disjuncte [a, b] = = ,/iU1/2'J...u cu capetele a = x0 < x\ < x2 < ... < xk..\ < xk = b Este evident că intervalele sunt de forma (a, P) sau [a, p) sau (a, p] sau [a, P].
Considerăm o funcţie în scară definită astfel
pentru orice x e JjJ = 1, k .
Funcţia /astfel definită este integrabilă pe fiecare din intervalele [x7_i, xy], j = 1, k , deoarece pe fiecare astfel de interval, funcţia diferă de funcţia constantă C7 cel mult în capetele intervalului şi deci conform unei observaţii anterioare este integrabilă. Conform proprietăţii de aditivitate (4) rezultă că funcţia este integrabilă şi pe reuniunea acestor intervale, adică pe intervalul [a, b]
I.	Fără a calcula efectiv integralele să se demonstreze următoarele inegalităţi.
fix) = Cj,
tzxerciţii rezolvate
n
n
n
n
286
Manual clasa a Xll-a
Soluţii
71	—n
1.	Cum x e [O, — ], atunci cos x > sin x. Deci J^cosxdx^ |4sinxdx.
2.	x - sin x > 0, V x e [0, — ] => x > sin x ;
3.	Analog cu 2.
4.	V x e [0, 1] => ex > x + 1 => f e dx > f (x-fl)dx.
Jo	Jo
f2 xdx> r sinxdx. Jo	Jo
5.	Se consideră funcţia / : [0, e] —> IR, / (x) = ln(l+ x)-—; f'(x) =
X + l
X
- ----:—7 > 0 => / crescătoare pe [0, e] şi pentru V x > 0 => / (x) > / (0) = 0 =>
(x+i)-
=> ln( 1 + x) > -X ■ => f ln(l + x) dx > f X âx.
x + l Jo	Jojc + 1
6.	Fie funcţia/: [0, a] -» IR,/(x) .= ln(l + x2)--,/'(x) = / 2* , > 0,
X"+l	(x‘+l)"
2
Vre[0, a] =>/(x) >/(0) = 0, V x e (0, a] =>f(x) > 0 => ln(l+ x2) > -£—• =>
x'+l
2
=> f ln(l + x)2dx> f —^—dx.
J.	J'x2+1
7.	Se consideră funcţia/: [0, 2] —» IR,/(x) = ln( 1 + x2) - x arctg x.
Avem:/'(x) =	- arctg x şi/"(x) = - --y*-	< 0.
x“+l	(x“+l)“
De aici avem:/"(x) < 0=> f'(x) descrescătoare. Cum x > 0 => f\x) </'(0) = 0 =>
=> / '(*) < 0 => / descrescătoare. Cum x > 0 => / (x) < / (0) = 0 => / (x) < 0 =>
-7	r2 ^ r2
=>ln(l + x") < x arctg x => J ln(l + x)'dx< J x arctg x dx.
II.	Fără a calcula efectiv integralele, să se demonstreze următoarele relaţii.
1. f2ln^-dx<2 In 1 + 6 Jo
2 2
3. fVl + x3 dx < J- .
Jo	V A
2.
1
<f
dx.
±< f-2 Joi
i 2x
11
dx < 1.
5. 1 <
e\e-\)
— f
_n ic
x , e
----dx < -
lnx 2
-f X
5 / X ~ 1
6.S< f J^dx<V6.
Jj Vjc + 1
Capitolul 2- Integrala definită
287
7. f ——dx>------!---,neJN*.
JM + x" 2(n + 2)
1
»+> dx
VT
= 0.
+ x
. pi x*”’
9. lim// ---------dx:
"~>0° Jo 1 4- X
Soluţii
1.	Se consideră funcţia/: [0, 2] -» IR,/(x) = In
1 + e
Atunci din/'(x)=---------------- > 0, V x e [0, 2], obţinem m = inf /(x) = f (0) = 0
1-fe'	’	.ve[0, 2]
1 + e2
şi sup f(x) = f (2) = In-------------- = M
vef'o, 2]	‘	2
Atunci:
m(2-0)< j/tliL <A/(2-0)=>0<	<21n-
l+£x l + <?2
2 ' 2
2.	Pentm orice x e [0, 1] avem inegalităţile:
x2 < 1 =>-x2 > - 1 => e x > d1 => f e ' > —
Jo	e
3.	Se studiază proprietăţile funcţiei/: [0, 1]—» IR,/(x) = vl +
x3 .
4. 1 < 1 +x" <2=>x< 2x
fi	/*i 2x	f1
< 2x => x dx <	--------— dx < 2 x dx
Jo	Jo 1 J. y"	Jo
1 + X
0 l-fx‘
1 f* 2x
' < f
? Jo
1 + X
< 1.
5.	Se studiază variaţia funcţiei/: [e, e~] —> IR,/(x) = -- şi se alcătuieşte
lnx
următorul tabel de variaţie:
X	1 e e~
/'(*)	0 + + + +
/w	1 e~ e / / / — 2
Deci V x e [e, e2], e </(x) < f(e2) =	.
Conform teoremei de monotonie, rezultă inegalitatea cerută.
288
Manual clasa a Xll-a
6.	Analog se studiază funcţia/': [2, 5] —» IR,/(x) = J-------- (se propune ca
Y x +1
exerciţiu).
7.	Avem următoarele inegalităţi:
x">x"+l, Vx e [0, 1] şi 1 < 1 + x"<2, Vx e [0, 1],
A . x" ^ x"+l fl x" J 1 fl „+1 ,	1
Atunci-------->------=>	------dx > — x dx =---------------.
1 + x" 2 Joi + x" 2 J»	2(« + 2)
8.	Din inegalitatea 0 < ■ ,■	< ,— , V x e [n, n +1], obţinem
Vl + x2 Vl+«
Ht	1	Hy
0< I	<-7==,Vxe [n,n+ 1]. Deci lim I -7——■■ = 0.
9.	Avem V n e IN*, «3 f —— dx > — f x2" dx = — • —--> + oo.
JM + x 2 J<’	2	2« + l
întegrabilitatea funcţiilor continue
Enunţăm, fără a prezenta demonstraţia, un rezultat deosebit de important.
teoremă
Orice funcţie continuă pe un interval [a, b] este integrabilă pe acel interval.
exerciţii rezolvate
I.	Dacă funcţia/: [a, A] —> IR este continuă şi /(x) > 0, pentru orice x e [a, b\,
atunci
f /(x) dx = 0 =>/(x) = 0,
Ja
pentru orice x e [#, />].
Capitolul 2. Integrala definită
289
Soluţie
Presupunem prin absurd că există x0 e [a, b] aşa încât/(xo) > 0. Fie X e IR, cu 0 < X < f (x0). Din continuitatea funcţiei în punctul x0 rezultă că există un interval J a [a, b\, cu x0 e J, astfel încât f (x) > X pentru orice x e J. Considerăm c, d capetele intervalului J. Funcţia este continuă, deci integrabilă pe intervalul [a, b]. Din monotonia integralei şi din faptul că funcţia este pozitivă, deducem că
ceea ce contrazice ipoteza. Prin urmare/(x) = 0, pentru orice x e [a, b].
II. Utilizând teorema de mai sus, să se arate că următoarele funcţii sunt integrabile Riemann pe intervalele specificate:
£ f(x)dx> £ f(x) dx> j* A, dx = X{d - c) > 0,
sinx, xe 0,— 4
3./: [ —, 0] > IR,/(x) = <
ln(l + x),	xg[_2’
0,	x = 0
x	4
4./:	->IR,/(x)=	0, x = 0
4 4
1
cos —
X G (0, —] 4

X2 -x + l, X€[-l, 0]
xe[-l, 1) \ {0}
1,	x = 0
290
Manual clasa a Xll-a
Soluţii
1. lim f(x) - lira /(x) =1 =>/este continuă pe [- 1, 1].
-v—>0 ‘ .r<0
x—>0 ‘ x>0
2. lim /(x)
lim/W =/(j) - f
4	V 7
> / este continuă şi în x0 = —
4
71	71
/continuă pe [0, — ] =>/integrabilă pe [0, — ].
3. lim /(x) =/ (0) = 0 => /este continuă şi în x0 = 0 => funcţia este continuă
x-»0
pe [-	, 0] =>/integrabilă pe [•—, 0].
cos-
4.	lim/(x) = limtgx sin — =0; lim/(x) =
x—>0	,v->0	y	x-»0
.v<0	x<0	x>()
X _
= 0,/(0) = 0 funcţia
este continuă şi în x0 = 0 =>f continuă pe 5. lim/(x) = \imf(x) = f (0) = 1
n n 4’ 4
=>/integrabilă pe
71 K
"4 9 4
x—>0 '
x<0
A->0 ‘ x>0
funcţia este continuă şi în punctul
71	K
x0 = 0 => funcţia este continuă pe [-1, — ] => funcţia este integrabilă pe [-1, — ].
6.	lim f(x) = lim f(x) = / (0) = 1 => funcţia este continuă şi în punctul
x->0	x->0
-V < 0	x>0
x0 = 0 => funcţia este continuă pe [-1, 1] => funcţia este integrabilă pe [-1, 1],
7.	lim/(x) = lim/(x) = /(0) = 1 => funcţia este continuă pe [-1, 1] =>
x—>0 ‘ x<0
X-»0
x>0
funcţia este integrabilă pe [-1, 1],
III.	Aplicând operaţii cu funcţii integrabile şi proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul de integrare, să se calculeze următoarele integrale definite:
1.	Exerciţiile 1, 2 şi 5 de la II.
Ix,	X £ [0, 1]
2.	/: [0, 2] -» IR,/(x) = <	\ \
[x2+l, x e(l, 2]
3.	/: [- 1, 2] —> IR,/(x) = max(l,x, x2).
4.	/: [0,2^3 ]-*m,f(x) = x-[x].
5.	/: [0, 1] -> lR,/(x) = [23x],
X
6.	/: [- 1, 1] —> E,/(x) = ’~
xz+l
x,
x e (-1, 0] x e (0,1]
Capitolul 2. Integrala definită
291
7./:[-l, 1] —» IR,/(x) =
xe(-l, 0]
- x — 1, x e (0,1]
Soluţii. Vom nota variaţia funcţiei F pe [a, b] prin F(x)|* = F(b)-F(a).
1.	a) J|/(x)dx = j ex dx + £(x + l)dx = ev| | + — (x +l)2
= (e° - e') +
+ V.)-{-±;
n	k	n	ţi	22
b)	£2/(x)dx = J4sinxdx + p cosxdx = -cosx|4 + sinx|2 =
= -(cos — - cos 0) + sin — - sin — = 2 -	.
4	2	4
7t	o	71	^
c) \	I (x2-x + l)dx + |2 (sinx + cosx) dx = 3 —.
J-l	J-l	Jo	5
2.	Se observă că funcţiile f : [0, 1] -> IR, / (x) = x; /2 : [1, 2] —> IR,yi(x) = = x2 + 1 sunt continue şi deci sunt integrabile. Funcţia g : (1, 2] —> IR, g(x) = x2 + 1
diferă de funcţia/2 în punctul x = 1 şi deci funcţia g este integrabilă şi ^ g(x) dx = = | f2(x) dx.
Atunci avem: J /(x) dx = J x dx + | (x2 +1) dx:
2	1	( 3	\
X	+	X	+ x
2	0	(J	)
23 6 '
Observaţie. Se poate arăta că funcţia/este strict crescătoare pe intervalul [0, 2] şi deci este integrabilă.
1,	x e [-1, 0)
3.	Avem/: [- 1, 2] —» IR,/(x) = -j x, x e [0, 1) . Se observă că funcţia este
x2, xe[l, 2]
continuă pe [- 1, 2] şi deci este integrabilă.
f2	f° r1	r2 7	23
Atunci ^f(x)dx= J ^dx + Joxdx + Jx“dx=—.
4.	Se împarte intervalul [0, 2yf3] în subintervalele [0, 1), [1, 2), [2, 3), [3, 2 V3 ) şi obţinem pentru funcţia/următoarea formă explicită:
x, xe[0, 1) x-1, xe[l,2) x-2. «p.3) x-3, xe[3, 2V3]
292
Manual clasa a Xll-a
Din motive asemănătoare cu cele prezentate la ex. 2, avem
J>-Dd*+ /’<
5. Se împarte intervalul [0, 1] în următoarele subintervale:
£ f(x) dx= £ x dx + | (x -1) dx + (x - 2) dx + £ (x - 3) dx = 6(2 - V3 ).
0,
\	4 2\		1 K) LO	'3 4\	4 5\	'O un i			1 o\ --4 	1
)	oo | OOJ	.8’ 8/	i~oo | oo 	1	1 OO I OOj	1 oo 1 oo 	1	1	 OO I 00	| 1		
f".
Funcţia/este integrabilă pe [0, 1] şi avem:
i	_______	j
| /(x)dx =	0dx: + J4 dx + J,8 2doc + J32 3cbc -f J,8 4dx + J545dx + J386cU +17 7ck .
8	4	8	1	8	4	8
6.	Funcţia/este continuă pe intervalul [-1, 1] şi obţinem:
f/(x)dx = f^dx + J^d*.
7.	Funcţia este integrabilă pe intervalul [-1,1] făcând acelaşi raţionament ca cel folosit la exerciţiile 2, 4, 5. Atunci:
|)/(x)dx= j x2dx + £(-x-l)dx .
Observaţie. Se poate arăta că funcţia este strict descrescătoare pe intervalul [-1,1] şi deci este integrabilă pe intervalul [-1,1].
Sume Darboux
Definiţie
Pentru o funcţie mărginită/: [a, b\ —> IR şi o diviziune A a intervalului [a, b] se definesc sumele Darboux astfel:
n
- suma Darboux superioară: S&= (xitl - xi)Mi , unde M, = sup /(x);
i=0	xe[ Xj. -f(,,)
n
- suma Darboux inferioară: s& = ^ (xi+l - xf )mi , unde m, = inf /(x);
Considerăm o funcţie mărginită/: [a,	—> IR, A, Ai şi A2 diviziuni ale
intervalului [a, b], puncte intermediare e [x,-, Xj.+|], i = 0, (n-l) şi oif, A, £,) suma Riemann corespunzătoare.
Capitolul 2. Integrala definită
293
Definiţie
Spunem că diviziunea A2 este mai fină decât diviziunea A| dacă toate punctele diviziunii Ai se află printre punctele diviziunii A2 şi notăm Ai c A2.
Proprietăţi
în aceste condiţii au loc următoarele proprietăţi: i) 5A < a(f, A, 0 < SA;
>0 ^ ;
iii)	sA < S&i
Demosntraţie
i)	Este evident că w,- </(£,,) < Mi şi deci prin adunare obţinem relaţia din enunţ:
S* = £ (■*,■♦, -x,)mi < a(f, A, ţ) = ]T(x,+1 -x,)f(ţ,) < ]T(xM -xl)Mi = SA.
i-0	i=0	/=0
ii)	Să presupunem că diviziunea A2 are un punct în plus faţă de diviziunea A|, c e (xh x,+ i); putem scrie:
(x/+| - Xj)mi = (x/+| - c)m, + (c - x,)m,- <
<(x/+,-c) f inf /(x)l + (c~xi) inf /(x),
)	-re[x,.,c]
ceea ce arată că prin adunare se obţine relaţia cerută.
iii)	Considerăm diviziunea Au Ai ce are ca puncte de diviziune punctele reunite ale celor două diviziuni. Prin urmare diviziunea Au A| este mai fină şi decât A şi decât A|.
Conform proprietăţii ii), obţinem:
^ ^AuA, ^ 5AUA, ^ Sa, ■
Consecinţă
Pentru un şir de diviziuni Aw din ce în ce mai fine (A„ e A/H-i), şirul sumelor Darboux superioare este descrescător, iar şirul sumelor Darboux inferioare este crescător
5 A. ^ SA.„ ^ SA,„t ^ SK ,
pentru orice n > 1.
Definiţie________________________________________________________________________
Se definesc integralele Darboux ca supremum, respectiv infimum, după toate diviziunile intervalului:
-	integrala Darboux superioară: inf SA ;
A
-	integrala Darboux inferioară: supsA .
A
O funcţie se numeşte integrabilă în sens Darboux (pe scurt integrabilă Darboux) dacă inf Să = sup s. .
*	A
294
Manual clasa a Xll-a
Observaţie. Există şiruri de diviziuni A„ din ce în ce mai fine (A/7 c A/7+i) cu şirul normelor ||A/7|| —» 0, astfel încât
lim să = supjA şi limS^ = inf SA
h—>oo "	A	>oo u"	A
teoremă (Darboux)____________________________________________________________________
Pentru o funcţie mărginită/: [a, b] -» IR sunt echivalente afirmaţiile:
1)	este integrabilă Riemann,
2)	inf SA = sup sA .
A	A
Acum suntem în măsură să demonstrăm următoarea:
teoremă___________________________________________________________
Orice funcţie monotonă/: [a, b\ —> IR este integrabilă pe intervalul [a, b].
Demonstraţie
Putem presupune că funcţia este crescătoare. Considerăm şirul de diviziuni ____________________ _____________
echidistante A„, xt = a +-i, / = O, (n -1). Să observăm că:
n
Mj= sup f(x)=f(xM),mj= inf /(*)=/(*,•)
(*)	s&. ~	= Z(*i+i “tiWi ~ !>,*, ~	=
1=0 /=()
rt-1
-x
6-a
/u+i)
b-a
fix,) =
b-a
n
Z [/(*,♦■)-/(*,)]=
— [/(*J-/(*o)l =
—[/(6)-/(a)]->0,
n
când « -» oo.
Pe de altă parte, deoarece şirurile sumelor Darboux sunt mărginite, ele au subşiruri convergente. Fie de exemplu subşirul SA convergent
limSA -L
«—>CX3
Din relaţia (*) deducem că şi subşirul sumelor Darboux inferioare este convergent tot către L. Din definiţia pentru infimum şi supremum, rezultă că limsA =L< supj. <infSA <L = lim5. ,
/i->oc ”*	a	A	n—>oo a,'A
ceea ce arată că de fapt avem egalitate
sup iS’A — inf SA .
A	A
Deci funcţia este integrabilă Riemann, conform teoremei anterioare. Cazul în care funcţia este descrescătoare se rezolvă în mod analog.
Capitolul 2. Integrala definită
295
exerciţii rezolvate
Să se arate că următoarele funcţii:
a)	nu admit primitive;
b)	sunt integrabile.
1.1./: [-1, l]-Hfi,/(*) =
x + 1, xe[-l, 0) x2 3 4 +2, xe [0, 1]
2./:[-l,l]->E,/(x) =
ex, xe[-l, 0] x + 2, ie(0, 1]
3./:[-l, 1] —> IR./W =
-1,	JC6[-1,0)
1, *e[0,l]
4.	/:[-l,l]->IR,/(*) =[*].
5.	/: [-!,!]-> TR,f(x) =sgn(x).
6./: [0, 1] —> IR,/(x) =
1,
1
12’
x e (0, i)
*411
7./: [0, 1] —» {0, 1 },f(x) =
0,
8- 0/: [0, 1] —> IR; /(*) =
. 1
sin —
x
x = 0 x e (0, 1]
x e (0,1]
1, x = 0
ii)/: [0, 1] -> IR,/(x) =
1
cos—,
X
1,
x e (0, 1] x = 0
Soluţii
1.	a) Im(/) = [0,1) u[2, 3] (care nu este un interval) şi funcţia nu are proprietatea lui Darboux. Deci funcţia nu admite primitive.
b)	funcţia / este integrabilă, deoarece prezintă un singur punct de discontinuitate (v0 = 0).
2.	Acelaşi raţionament ca la exerciţiul 1. Imţ/') = [ — , 1] u (2, 3]
e
3.	a) Im(/) ={-1,1}, care nu este un interval, deci/nu admite primitive;
b)	funcţia este o funcţie în scară, deci este integrabilă.
4.	a) Imaginea funcţiei nu este un interval şi deci/nu admite primitive;
b)	funcţia este o funcţie în scară şi deci este integrabilă Riemann.
296
Manual clasa a Xll-a
5.	a) Imaginea funcţiei este mulţimea{- 1,0, 1}, care nu este interval, deci/ nu are proprietatea lui Darboux.
6.	a) Im(f) = {—, 1}; funcţia nu are proprietatea lui Darboux;
b) Funcţia este o funcţie în scară şi deci este integrabilă.
7.	a) Im(/) = (0, 1};/nu are proprietatea lui Darboux deci nu are primitive; b)Funcţia este o funcţie crescătoare pe intervalul [0, 1], deci este integrabilă.
8.	i) a) funcţia nu admite primitive (vezi Cap. I);
b) funcţia este mărginită şi are un singur punct de discontinuitate; deci este integrabilă;
ii) se tratează în mod analog.
II.	Să se arate că următoarele funcţii:
a)	admit primitive;
b)	nu sunt integrabile.
l./:[-l,l]->IR,/(*) =
2-/: [- 1, 1] -» !R,/(x) =
3.	/:[-l, 1]->IR,/(jc) =
4.	/:[-l, 1]->IR,/(*) =
2 1 —cos—, X X	x e [-1,
0,	X II O
2 . 1 --sin — , X X'	x e[-l,
o,	X II O
3 1 — cos— X X	, xe[-l
o,	O II H
3 . 1 - —sm — X' X	, xe[-L
o,	X II O
5./: [0, 1] -> IR,/(*) =
3xsin — -2cos —
------*-------xe(0,1],
I'fx
0,
x = 0
Soluţii
1. a) O primitivă a funcţiei /este funcţia F: [- 1, 1] —»IR,
F{x) =
x2sin2-,
0, x = 0
b) Funcţia nu este mărginită. Considerând de exemplu şirul	x„ =
evident lim f(xn )=-oo.
• V2mt
Capitolul 2. Integrala definită
297
2.	a) O primitivă a funcţiei/este funcţia F: [- 1, 1] —> IR.
1
F(x) =
x2 cos ——, xe(l, 1] \ {0}
x~
0,	x = 0
b) Funcţia/nu este mărginită.
3.	a) O primitivă a funcţiei/este funcţia F: [-1, 1] —> IR,
F(x) =
x2sin-^-, xe[-l, 1] \ {0}
0, x = 0
b) Funcţia/nu este mărginită.
4.	Se face un raţionament asemănător.
5.	a) O primitivă a funcţiei/este funcţia F: [0, 1] —> IR,
X'kI x sin
F{x) =
b) Funcţia/nu este mărginită
x-Jx sin —, x e [0, 1] \ {0}
0,
x = 0
exerciţii propuse
Să se arate că următoarele funcţii nu sunt integrabile Riemann. 1 •/: [0, l]->IR,/(x) =
In xsin —, xe(0, 1] x
0,
x = 0
		" 1 .	ti n
ti n		— sinx, xg		—
	-> IR,//) = <	X"	2 2_
		0, x —	0
2./:
3-/: [0, 1] —> IR,/(x) =
4.	/:[0,l]->IR,/(x) =
5.	/: [0, 1] —» IR,/(x) =
\{0}
6./:
n n 2’2
fx, xe[0, l]n© [-x, xe[0,1]\®
[x,	xe[0, l]n©
[l-x, xe[0,l]\® ' [cosx, xe[0, l]n© [ e\ xe[0,1]\©
' 1
-> IR,//) =
-cosx, xe
ti n ~2’~2
\{0}
0,
x = 0
298
Manual clasa a Xll-a
7./: [O, 3] -> IR,/(x) =
5x-2, 2x + 3,
x e [O, 3]n© x 6 [O, 3]\©
Teste î>e cvaIviavc
Testul t
(10p)	1. Folosind definiţia, sase arate că funcţia/: [1,4] —> IR, definită prin / (x) = l-x,
f4
este integrabilă pe intervalul [1,4] şi să se calculeze integrala J /(x) dx.
(10p) 2. Să se arate că funcţia/: [- 2, 3] -»IR, definită prin
'2, x e [-2,-1]
AX) =
-1,
5,
x e (-1, 0) , x e [O, 3]
este integrabilă pe intervalul [- 2, 3] şi să se calculeze integrala j /(x)dx. îcţia/: [ fix) =
(10p) 3. Să se arate că funcţia/: [- n, ti] —»IR, definită prin
[sinx,	xe[-n, Tc]n©
[cosx,	xe[-7t, tc]\<9
nu este integrabilă pe intervalul [- tc, tt].
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 2
(10p) 1. Să se arate că funcţia
fix) =
sinx
s x
a,
x ^ O
x = O
(10p)
este integrabilă pe intervalul [O, b], pentru orice a e IR şi b > 0.
2.	Să se arate că funcţia
fix) =
X tg2’	x s (-71, n)
a,	* li l a
P.	li
nu este integrabilă pe intervalul [- re, tt], pentru orice a, p e E
Capitolul 2. Integrala definită
299
(10p) 3. Daţi un exemplu de funcţie neintegrabilă/cu |/|integrabilă.
(10p) 4. Daţi un exemplu de funcţie integrabilă şi pozitivă / (x) > 0, neidentic
rh
nulă, astfel încât /(x) dx = 0.
Ja
Timp de lucru: 50 de minute
Testul 3
(10p) 1. Arătaţi că funcţia/: [- 1,1] —»]R,
a, x^O
/W=j n>
[-a, x = i)
nu admite primitive pentru orice a e IR*, dar este integrabilă pe intervalul [-1, 1]. pi	pi 2x
(10p) 2. Să se arate că ln(l + x) dx > J --dx.
(10p)	3. Se dă funcţia/: [0, 10] —> IR,/(x) = “ M-
a)	Să se arate că funcţia este integrabilă pe [0, 10].
pl o
b)	Să se calculeze /(x) dx.
Timp de lucru: 45 de minute
Tc$tu\ 4
(10p)	1. Să se demonstreze ingalitatea 1 < | e ^ dx < e - 1.
(10p) 2. Să se calculeze J {ex} dx.
(10p) 3. Se dă funcţia / : [0, 2tc] -> IR, / (x) = |sin x|. Să se arate că / este
p2 71
integrabilă şi să se calculeze J( /(x) dx.
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 5
(10p)	1. Se dă funcţia/: [0, 1] —> IR, /(x) = i X ^
[3, x = l
i)	Să se arate că funcţia este integrabilă pe [0, 1],
ii)	Să se calculeze J /(x) dx.
(lOp) 2. Se consideră funcţia/: [0, 1] —> IR,/(x) = e -x - 1. Să se arate că
1 ^ n
300
Manual clasa a Xll-a
r1 x	1
(10p) 3. Arătati că -----------dx <----------.
X + 1	2/7 -I- 1
ri x2”+1
(10 p) 4. Calculaţi lim |----------dx.
«->x Jo x + 1
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 6
(10p)	1. Se dă funcţia/: [0, 2n] —» IR,/(x) = |cos x\.
a)	Să se arate că funcţia/este integrabilă.
[2n
b)	Să se calculeze J /(x)dx.
(10p)	2. Sc consideră funcţia/: [0, 2] —> IR,/(x) = [x1].
a)	Să se arate că funcţia/este integrabilă;
b)	Să se calculeze J /(x) dx.
(10 p)
3. Fie funcţia/: arate că există c
r 1	Ji
[0, 1] —» IR, continuă, cu proprietatea | f(x) dx = — . Să se
e (0, 1) astfel încât
1 „ ^ 1
-----< / (c) < —
1 + c	2c
Timp de lucru: 45 de minute
Teste be Aprofvtfib^re
Testul 1
1.
Se consideră funcţia/: [0, 1] —> IR,/(x) =
1	T
X	_x_
	0,
x^0
x = 0
a)	Să se arate că funcţia/este integrabilă pe [0, 1].
b)	Să se calculeze J /(x) dx.
2.	Fie funcţia /: [0, 1] -> [a, b] continuă şi J /(x) dx = 0. Să se arate că J()/2(x)dx <- ab,
3.	Să se demonstreze dubla inegalitate:
2e < f ex dx 4- f e2~x dx < 1 + e2.
Jo	Jo
Capitolul 2- Integrala definită
301
4.	Se dă funcţia/: [0, 3] -» IR,
f(x) =
5.x-2,
2x + 3,
x g [0, 3]n© x e [0, 3] \ ©
a)	Să se arate că funcţia nu admite primitive pe [0, 3].
b)	Să se arate că funcţia/nu este integrabilă pe intervalul [0, 3].
5.	Funcţia /: [a, b] —> IR este integrabilă pe [a, b].
a) Să se arate că funcţia /1 : [a, b\ —» IR este integrabilă pe [a, b] şi să se analizeze afirmaţia reciprocă.
b) Să se arate că: j* /(x)dx < j |/(x)| dx.
6.	Funcţiile f g : [a, b] —» IR sunt integrabile pe [a, b\.
i)	Să se arate că şi funcţia/° g este integrabilă pe [a, b].
ii)	Să se analizeze afirmaţia reciprocă.
Testul 2
1. Fie f g : [a, b] —» IR două flmcţii integi*abile pe [a, b] şi funcţia h : [a, 6] —» IR,
h(x)= f/00>	6]n©
Să se arate că funcţia h este integrabilă pe [a, b] <=>/ = g, în toate punctele de continuitate a lui / şi g.
2.	Să se calculeze limf n4 f	.
J'/î+i In x
—-----dx.
" x +1
4.	Fie funcţia/: [0, 1] IR, continuă astfel încât 2	/(x) dx = 1. Să se arate
că există x0 g (0, 1), astfel încât/(x0) =x0.
5.	Se consideră o funcţie / : [0, 1] -> IR integrabilă, astfel încât pentm orice interval deschis (x', x") cz [a, b] există un punct a g (x', x"), astfel încât
1	fi
/(x) =-------. Să se arate că / (x) dx = In 2.
1 + a	Jo
6.	Se consideră o funcţie /: [a, b] —> IR, astfel încât pentm orice interval deschis (x', x”) a [a, b\ să existe a g (x', x"), P g (x', x") astfel încât/(a) = a şi /(P) = 2p. Să se arate că funcţia/nu este integrabilă pe [a, b\.
302
Manual clasa a Xll-a
2.4.	Teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue
Teorema de medie pentru funcţii continue
c>teoremă____________________________________________________________
Dacă/: [a, i>] —> IR este continuă pe intervalul [a, £>], atunci există un punct c e [a, £], pentru care are loc relaţia:
[f(x)dx=f(c)(b-a)
Demonstraţie
Funcţia/‘fiind continuă duce un interval închis şi mărginit tot într-un interval închis şi mărginit, mai precis
f([a, b]) = [m, M],
Conform proprietăţii de monotonie a integralei definite, rezultă că m(b - a) < | f(x) dx < M(b - a) şi pentru că a < b putem scrie
1 ch
m <------ f(x) dx < M
b-a
Folosind din nou faptul că funcţia / este continuă (are proprietatea lui Darboux) rezultă că există c e [a, b] astfel încât
fie) =	\ fix) cbc <=> | f(x) dx =f(c){b - a)
b — a Ja	Ja
Teorema de medie pentru funcţii integrabile
teoremă _________________________________________________________________
Dacă/: [a, 6] —» IR este integrabilă pe intervalul [a, 6], iar m <f (x) < M, pentru orice x e [a, b], atunci există u e [m, M], aşa încât să aibă loc relaţia:
| f(x) dx = u{b - a)
Capitolul 2. Integrala definită
303
Interpretare geometrică
In cazul unei funcţii cu valori pozitive, aceste formule se pot intrepreta
ch
astfel: integrala J f(x) ăx reprezintă aria domeniului aflat „sub” graficul funcţiei.
în cazul unei funcţii continue, există un punct pe graficul funcţiei (c,/(c)) aşa încât dreptunghiul având ca bază segmentul cu capetele în a şi b, iar înălţimea egală cu /(c), are aria egală cu integrala funcţiei (fig. 7). în cazul unei funcţii integrabile, există u e [m, A7], aşa încât dreptunghiul având ca bază segmentul cu capetele în a şi b, iar înălţimea egală cu w, are aria egală cu integrala funcţiei.
exerciţii propuse
1.	Să se calculeze valoarea medie a funcţiei:
a)	/:[l,2]—>K,/(x)=—l—.
X + X~
b)	/: [0, 71 ] —> TR,f(x) =sin x.
j^cos/2 dt
2.	Să se calculeze lim—-----.
Teorema de existenţă a primitivelor unor funcţii continue
cteoremă______________________________________________________________
Dacă /: [a, b] —> IR este continuă pe intervalul [a, b\, atunci funcţia are primitive pe intervalul [a, b] şi o primitivă este definită de formula
F(x)= \Xf(t)dt,xe[a,b].
J a
304
Manual clasa a Xll-a
Demonstraţie
Fie xQ e [a, b\. Arătăm că
lim
F{x)-F{x»)
x-x.,
-f(x o)
= 0,
ceea ce este echivalent cu faptul că F este derivabilă în x0 şi că F'(,v0) =f (*o)-
Din continuitatea funcţiei în punctul x0 rezultă că pentru orice £ > 0 există o vecinătate V a lui x0 astfel încât pentru orice x e V, avem că [f (*) -/(x0)| < £. Pentru această situaţie calculăm:
F(x)-F(x o)
X - xn

x-xn
[mdt-£nt)dt)-f(x0)
\x - xfl
T { f(t)dt-(x-x0)f(x0) = j——r £ f{t)dt-| f{x0)dt
I v>*	\x x0|l -'<>
Deoarece t se află „între” x şi x0 avem 11 — x0\ <\x — x0\, adică t e F, şi deci 1/ (0 —/(*o)l < e, atunci
F(x)~F(x0)
X-Xn
-f(X o)
1
x-xn
[(/(O -f(x0))dt
<
' i'd'
\X-Xn
X - xn
\x - Xo\ = 8,
ceea ce arată că
lim
F(x)-F(x 0)
X-Xn
■f(xo)
= 0.
q.e.d
Derivatele unor integrale cu limite de integrare variabile
Să demonstrăm acum două formule legate de teorema de mai înainte, şi deosebit de importante în aplicaţii.
Dacă/: [a, 6] —» IR este continuă pe intervalul [a, b]9 iar w, v : [c, d\ —> [a, b] sunt derivabile pe intervalul [c, d], cu derivate continue, atunci funcţiile G, H : [c,	—> IR
J'"(x)	rv(x)
f (t) dt, H(x) =	j\t) dt sunt derivabile pe intervalul [c, d\
a	*u{x)
şi derivatele lor se calculează astfel:
• G/(x) = (j/'7(0dt} =* G'(x) =f(u(x)) ■ u'(x), x e [c, d]-
• H(x) = ({'/(Od/j => H’(x) =f(v(x)) ■ v'(x) -f(u(x)) ■ ii'(x), x e [c, d\.
Capitolul 2. Integrala definită
305
Demonstraţie
Considerăm primitiva funcţiei/definită mai înainte F(x) = J /(/) dt, x e [a, b]. Atunci putem scrie că:
G(x)= f(t)ât = F(it(x))
şi conform proprietăţii de derivare a funcţiilor compuse funcţia G este derivabilă şi derivata sa se calculează după formula
G\x) = F(u(x)) • u\x) =f(u(x)) • u'(x).
In cazul funcţiei H putem scrie
h{x)= rfw= r /(od/+ r/(od/=
Ju{x)	Ju(.x)	Ja
= £<r) f(l) dl - [M fit) d t = Fivix)) - F(u(x)).
Deci conform proprietăţii de derivare a funcţiilor compuse, funcţia H este derivabilă şi derivata sa se calculează astfel H'ix) = {F(v(x)) - Fiuix))}’ = fivix)) ■ v'ix)-fiuix)) ' W(x).	q.e.d.
exerciţiu rezolvat
Să se calculeze derivatele funcţiilor F, G, H: IR —> IR. definite prin
cos* sin/	‘
1 + r
■ df, G(x) = f cos / • ln(l+ /2)d/, H(x) = f exnt ât.
J2x+l	Jx1
i
Rezolvare
Conform observaţiei de mai înainte, funcţiile F, G, H sunt derivabile pe IR, iar derivatele se calculează astfel
■'(*)=[ rf^
i j° i+/
dt
sin(cos x)
_ -sin(cosx)sinx
f- (cos x)' = l + (cosx)‘	l + (cosx)
G'(x)= f V+ cos?ln(l + /2)d/
Vj2v+I
= cos Vx2 +1 • ln(l + x2 + 1) (Vx2 +1)' - cos(2x + 1) • ln(l + (2x + l)2)(2x + 1)' =
= cos Vx2 +1 • ln(2 + x2) •	X-- ■ - 2 cos(2x + 1) • ln(4x2 + 4x + 2);
Vx2 +1
H\x)= fj"Vn'd/l =(- £ esin'd/l =-3x2e,injt\
306
Manual clasa a Xll-a
2.5.	Formula Leibnlz - Newton
teoremă (Formula Leibniz - Newton)
Dacă/: [a, b] —> IR este integrabilă pe intervalul [a, b] şi admite primitive, atunci:
|7(x)dx = F(b)-F(a)
Ja
pentru orice F : [a, b] -> IR, primitivă a funcţiei /
Demonstraţie
Fie F : [a, 6] —> IR o primitivă a funcţiei/şi A o diviziune a intervalului [a, b], A = {x0, *i, ..., x/7_], *„}. Aplicând teorema lui Lagrange (a creşterilor finite) funcţiei F, pe fiecare din intervalele [jc/_i, x], i = 1, n , obţinem că există ^ e (x,_i, x,) astfel încât
= F'&)=/&),
de unde rezultă că suma Riemann obţinută, alegând ca sistem de puncte intermediare e (x,_i, x,) este
a(A A, $) = £(*,. -*,_,)/&) =	=
(=1 /=1
= F(x\)~ F{xo) + F(x2) -F(xi) + ... + F(x„_,) - F(x/7_2) + F(x„) - F(xn-\) =
= F(b)~F(a).
Şiml sumelor Riemann astfel formate este evident constant, indiferent de diviziune şi deci converge la F(b) - F(a), pentru orice şir de diviziuni (A„) cu norma ||A„|| —» 0. Deoarece funcţia/este integrabilă, rezultă că integrala sa este limita şirului acestor sume Riemann, adică:
lj(x)ăx = F(b)-F(a).
Formula Leibniz - Newton, se scrie de obicei în notaţia:
£/(*) d* = F(b) - F(a) = F(xţa
ce arată că integrala definită reprezintă variaţia funcţiei F (a primitivei) între a şi b.
Această formulă se aplică la calculul integralelor definite pentru funcţii continue ale căror primitive pot fi determinate.
Observaţie. Deci, dacă funcţia /: [a, b\ —» IR este continuă pe intervalul [a, b], atunci ea este integrabilă pe acest interval şi admite primitive. Se determină o primitivă F : [a, b] —> IR a funcţiei / şi apoi se aplică formula Leibniz - Newton.
Capitolul 2. Integrala definită
307
Exewplw
[xdx=lx‘
1
1
a2 = -(b2-a2) 2 2
şi putem constata că am obţinut acelaşi rezultat ca mai înainte, când am folosit sume Riemann.
Observaţie. Dacă o funcţie /: [a, b] —> IR este continuă pe intervalul [a,b\ şi putem
Ch
calcula relativ uşor integrala sa	/(x) dx, atunci acesta este un mod
practic de a demonstra că şirurile de sume Riemann corespunzând unor şiruri de diviziuni cu norma tinzând la 0, sunt convergente şi au limita egală cu integrala funcţiei pe intervalul [a, b].
exerciţiu rezolvat
Să se arate că următoarele şiruri sunt convergente şi să se determine limita lor:
1 1 1 ^ 1
Xn--------/ - ■■ H-------—■ • + ... ----------/■ -■	— / " « - - - j
1 + n2 y}2 + n2	-Jn + n2 7? !l '	2
1
yn
vr
1
- +
r + ...+
1
Vl + n1 V22 + n2	Vn1 + n2 m Vk2 + yi2
k=1 Vk + n2
= i-77T1
Soluţie
Observăm că termenii din ambele sume sunt descrescători,
1
1
1
■yjn + n1 Vk + n2	-\/l + n2
1.1,1
V«2 +n2 sfk2'-
+ n‘	Vl + «2
deci pentru cele două sume obţinem inegalităţile
n 1	V 1	>> 1 ^ V 1 _	n
Vn + n2 Im yjn + n2	k=1 Vk + n2	Wl + fl2	Vi+«2
U XT' 1	n 1 < V		/J 1 ^ V 1	n
yln2 +n2 k=1 ^ n2 + n2	+ Jk2+n2	Vl + n2	sl\ + n2
Pentruprimul şir folosim criteriul „cleştelui”
1
:X-
1
lî
y/n + n2	k=1 ^k + n2 ^l + n2
deci şirul (*„)„>] este convergent cu limx/7 = 1.
Pentru al doilea şir criteriul „cleştelui” nu este util deoarece 1	n	1	. n
V2	Vn2 +n2	m Vk2 + n2	^JÎ~+~n2
1.
308
Manual clasa a Xll-a
Dar în acest caz să observăm că termenii şirului sunt sumele Riemann
k
asociate diviziunilor echidistante A„, punctelor intermediare £,/<• = — , pentru funcţia
n
f(x) = -	■ ■■ ■■■ pe intervalul [0, 1]. Acestă funcţie fiind continuă este integrabilă şi
Vx2 +1
deci sumele Riemann converg la integrala funcţiei pe [0, 1].
y» = Z

+ n
1
yjx2 +1
dx =
= ln(x + Vx2 4-1) = ln( 14- -\/2 )
Comentariu
Să remarcăm faptul că şiruri aparent asemănătoare, se tratează în moduri foarte diferite.
exerciţii rezolvate
I.	Aplicând formula lui Leibniz - Newton, să se calculeze următoarele integrale definite:
fi	2
1. \ x e x dx . Jo
r1 2x3 4- x
3. f"
dx.
>X44-X2+1
5. ^ (In x 4-1) dx.
f 2 n	.
7. cos xsinxdx.
Jo
9- 2 Soluţii
1.	f x*ex dx = — ex
Jo	2
2.	f — lnxdx = — (In x)2
Jo v	9
+----2x+]
*	Vx2+1
dx.
— lnxdx.
0 X
4. f x3(x4 4-1)3 dx.
Jo
C2n .	7
6. sin" xcosx dx. Jo
8. jjx|dx.
10. f [x] dx, yi ge IN*.
JO
= i[(lne)!-(lnl)’] = ^
z	z
Capitolul 2. Integrala definită
309
3. f - yX~ +-X--~ dx = — \n(x4 + x2 +1)
Jo
= —ln3. 2
'° x4 + x2 +\	2
4.	ţx3(x4 + 1)3 dx = - f(x4 + l)3(x4 + l)'dx = —(*“ + 1)
Jo	4 Jo	16
5.	| (In x +1) dx = J (x In x)'dx= (x In x)|‘ = e In e - 1 In 1 = e.
= — (24-l)= — 16 16
r2n 1	p2rr ?
6. sin"xcosxdx = j sin" x(sinx)'dx =
sin x
f2ic	p2n
7. J cos xsinxdx=-J^ cos x(cosx)dx =
cos x
-0
8. J Jx| dx = J ^ (-x)dx 4- | xdx = -
+ ■
1	1 _ i
~2+2"L

+------2V+I 4-
Vx2 4-1
ri 2	r i dx	r 2
dx = | x2dx + 2 |-------2 I 2Ydx 4-
J 2	J2 X	J1
5 f ”—-J i 2
dx
1 Vx2 4- 1	5
+ 21nxf-2-2
2 5
8V2-2
= 4 (4V2 -1) + 2(ln 2 - In 1) - 2
+ 2 In 2-------+ 5 In
In 2
_4______2_
In 2 In 2
2 + V5
+ 5 ln(x + x~ +1)
+ 5[ln(2 + V5)-ln(l + V2)] =
5	In 2	1 + V2
10. Observaţie. Pe intervalul [0, ri\ funcţia f(x) = [x] are >7 discontinuităţi de prima speţă în punctele X/ = i{i = 1, n).
Având în vedere cele explicate mai înainte, vom avea:
£[x]dx= J 0dx4-J ldx4-£2dx4-...+ j (n- l)dx =
= 0 4- lx| ~ 4- 2x|^ 4-...4-(«-l)x|"_l =1 4-24-34-...4-27-1 = ——— .
II. Să se calculeze derivatele de ordinul I şi II ale următoarelor funcţii:
1. F: IR -> IR, F(x) = £4Vl + t2 dl.	2. F: IR -> IR, F(x) = J'sinrd/.
3. F: IR -> IR, F(x) = j^cos/d/.	4. F: IR -> IR, F(x) = j0p^Ţdf-
310
Manual clasa a Xll-a
5. F: IR —»IR, F(x) = [ e'dt.	6. F: (0, +oo) —» IR, F(x) = f— dt.
Jo	Jo ţ
1.	F: (0, +oo) -» IR, F(x) = f In / dt.
Jo
Soluţii
l.F'(x) = xVl + x2 (.x)'=xsjl + x2 , iarF"(x) = Vl + x2 +
1 + 2*2
VT-kx2" VT
+ x“
2.	F '(x) = (sin x)(x)' = sin x, iar F "(x) = cos x.
3.	F '(*) = cos x (x)' = cos x, iar F "(x) = - sin x.
sinx , sinx 4- F (x) = ——-(x)
x2+T '	*J+1
5. F '(x) = e*' (x2)' = 2x e’!, iar F "(x) = 2[ e*' + 2x2 ex' ] = 2F(1+ 2x2).
,	. sinx sin* .	xcosx-sinx
6.	F (x) =----(x) =-----, iar F (x) =----------.
7.	F \x) = (In x) (x)' - In x, iar F "(x) - -.
x
III.	Să se studieze variaţia următoarelor funcţii:
1.	F : IR -> IR, F(x) = fV’ {t2 - l)d/.
Jo
2.	F: IR-> IR, F(x) = f
3.	F: [0, 2ti] -> IR, F(x) =	dt > 0.
4.	F: [0, 2n] -> IR, F(x) = £-Ş^dr.
5.	F: (0, + oo) -> IR, F(x) = f' VT+7 d/.
6.	F: [0, - ] -> IR, F(x) = P” Vl + F df.
2	Jsinx
Soluţii
1.	F '(*) = ev2 (x2 - 1) = 0; F '(*) = 0 => x - ± 1.
Pentru x = - 1 funcţia F are maxim, iar pentru x = 1 funcţia F are un minim. 2x
2.	F '(x) = —--; F '(*) = 0 => x = 0, care este abscisa unui punct de minim.
x" -l-l
.	. sinx	,
3.	F (x) =-----; x = n este abscisa unui punct de maxim.
x + 1
Capitolul 2. Integrala definită
311
Din faptul că F(x) > min{F(0), F{2n)} rezultă că
n	. r2"sin/ . r"sint , ftsinw
F(0) = 0 şi F(2n) =	----dr> --------dt- --------- = 0.
t + l Jo r + 1 Jo u +1
Din min{F(0), F(2k)} = 0 => F(x) > 0, V x e [0, 2n].
4. F ’(x)
sinx
1 + x
-; F '(x) = 0 => x e {0, n, 2n},x = n este abscisa unui punct
de maxim şi V x € [0, 2n] => F(x) < F(n), deci [ ,	< f Sin ■ dt.
+1 f +1
5.F'(x)= Vl + x2-2x ■ 2(x- 1) = 2|1 -x|(x- 1)
x0 = 1 este abscisa unui punct de minim şi va rezulta [	vT+7 dt > 0.
Jo
6.	F '(x) = Vl + cos2 x (cos x)' - Vl + sin2 x (sin x)' =
= —sinxVl + cos2x - cosx Vl+sin2 x = —(sinxVl +cos2 x + cosxVl + sin2x )=>
7X
=> F '(x) < 0, V x e [0, — ]. Cum funcţia F este strict descrescătoare pe intervalul [0, — ], vom avea: F(0) > F(x) > F{—) => £ Vl + t2 d/ > F(x) > - J Vl + /2 d/.
Observaţie. Funcţia G :
71 3n ~2’~2
J’COS X I	-
Vl + r dt este strict crescătoare
sinx
şi vom avea: 3n
G( — )> G(x) > G(-) => ftT[î+7dt>G(x)> jVl + f2 dt.
IV.	Să se calculeze următoarele limite:
1. lim
fe“'d'
z- ilV f
e2rdt
f cosf2df 3. lim—---------
[ tg/df 4. lim——-—
5. lim
fYdt
Jo
p sin .Y .-
J Jt^tdt
6. lim-
M0C [ e2,‘dt Jo
7. lim f ef dt.
x->+>x 0X Jo
x —> 0 ftg* x > 0
J0
f8 Vsin tdt Jo
X
312
Manual clasa a Xll-a
Soluţii
Considerăm funcţia/: [0, oo) —> IR,/ (t) = e2r . Deoarece /'(O ^ 4 • e2r > 0 rezultă că funcţia este crescătoare şi pentru t > 1 =>/(/) >/(l) = e2. De aici rezultă
că e1,2dt >	e2dt =e2(/-l)şi lim elt2 dt = + oo.
+ 00
Avem nedeterminare de tipul--------. Aplicând regula lui THospital obţinem:
+ 00
•	f
j*e2,2dt	fj) e2,2dt)
lim -----------= lim ---------,—— = \ime2x~ = + oo.
A'—>+00	X	A—>+00	X
2. Avem nedeterminare de tipul oo°.
— In J <?' dt
-ex 1 şi totul se reduce
lnf e1’1 dt
la calculul următoarei limite: lim —------------ = lim
A —> oo	X
2 A2
\ *e2lldt
oo
Am obţinut din nou nedeterminarea — . Mai aplicăm încă o dată regula lui
oo
,2a2
4xe2xl
THospital şi obţinem: lim —;-------= lim-------7— = + 00.
x-*°°J V/2d/ e2t“
3. Avem cazul de nedeterminare —. Aplicând regula lui THospital, obţinem:
[ cos/2d/
J o
4. Avem cazul de nederminare
lim—------= lim^:=l.
.r—>0	yţ	,x—>0	|
O
O
. J>d' U''8'd'
lim
= lim
(x2)'
= lim
tgx 1
2x 2
5. Avem cazul de nedeterminare — :
00
[e'-dt]	2ex‘ [ e'dt	e'2dt
lim ^------2. = Hm----k.---=2 lim il_—
™ f'e2/2dl	«
J O
A—>+00
Capitolul 2. Integrala definită
313
oo
Obţinem din nou nedeterminarea —. Mai aplicăm încă o dată regula lui
l'Hospital şi în final obţinem:
lim
IV d /
Jo
[Vrd/
Jo
= 0.
O .
6. Avem cazul de nedeterminare — şi obţinem:
O
j J&dl	^tg(sinx) cos*	,
hm—-------— = lim-7==---------— = 1
\ ^[s\rudt	Vsin(tgx) _L
JO	___ 2
7. Avem nedeterminare de tipul
+ oo
+ oo
2x- f e dt	[ e' dt
lim----+-----= 3dim Jo
COS" X
+ x-e'
e
fVd*
= lim----- - + lim
lim
+V£'1
xe
xex	v_>+oc ef (2x2 + 1)
+ 1 = 1.
V.	1. Să se determine funcţiile /: IR —> IR, continue pe IR, pentru care sunt îndeplinite pe rând următoarele condiţii:
i)	| f(t)dt = x2 + x + 1, V x e IR.
ii)	^ f{t)dt = x2, V x e IR.
iii)	| f(t)dt = x3, V x e IR.
2.	Fie funcţia/: [- 1, 1] —> IR o funcţie continuă, astfel încât V x e [- 1, 1] avem [ f{t)ât = 0. Să se arate că funcţia/este impară.
3. Fie/: IR —» IR o funcţie continuă pe IR cu proprietatea că
rx-rh
[ /(O*
<h\
V x, h e IR. Să se arate că/(x) = O, V x e IR.
4.	Fie o funcţie continuă/: [O, 1] —» [O, 1], Să se arate că există x0 e [O, 1],
unic, care să fie soluţie a ecuaţiei: 2x - 1 = f f(t)dt.
JO
314
Manual clasa a Xll-a
5.	Să se determine funcţia/: [O, + oo) —> IR,/> 0 pe (0, + oo), care verifică condiţiile:
’i)/(l) = e.
ii)	2x f f{t)dt =f (x), V x > 0.
Ju
6.	Să se determine funcţiile continue/: [0, +oo] -> IR? care verifică relaţia
f/(/)d/ = - [/*(jc) + 1], V X G (0, + oo).
Jo	2
7.	Să se determine funcţia /: [0, + oo) —» IR, derivabilă pe [0, + oo), astfel încât pentru orice x > 0, să verifice condiţia x + J f(t)dt = (x + 1 )/(x).
Soluţii
1.	Prin derivare obţinem cu uşurinţă: i)/: IR —> IR,/(0 = 2t -f- 1.
iii)	/: IR -> IR,f{t + 1) = 312 =>f(u) = 3(u - l)2.
2.	Prin derivare obţinem:
t
{ f /(/)dd =0'=>/W • 1 -/(-*)(- 1) = 0 =>/W = -/(-Jf). Vx e [- 1, 1],
3.	Funcţia fiind continuă, admite primitive pe IR şi fie F : IR —» IR o primitivă
F(x + h)-F(x)
a lui / Atunci relaţia dată în enunţ devine
h
< \h\, V x, h g IR, h ^ 0,
ceea ce ne conduce la concluzia că |F '(^)| = 0 => j/'(x)| = 0 =>/(x) = 0, V x e IR.
4.	Considerăm funcţia ajutătoare g : [0, 1] —> IR, g(x) = f f{t)dt - 2x + 1.
•Jo
Evident funcţia g este derivabilă şi g'(x) =/(x) - 2 < 0, V x e [0, 1], deci funcţia g descrescătoare.
g(0) = 1 > 0, g(l) = J /(r)d^ - 1 < 0. Funcţia g fiind continuă şi luând valori de semne contrare la capetele intervalului [0, 1], se anulează într-un punct x0 e (0, 1), punct unic datorită monotoniei lui g. Din g(x0) = 0 => | ° /(t)dt = 2x0 - 1.
5.	Evident din condiţia ii) rezultă că funcţia /este derivabilă pe (0, + oo). Atunci din	= -----, V x e (0, + oo), prin derivare, se obţine:
j>)d<
2x
rm'
J
\
2x
■f= 2x + — => Inf{x) = x2 + Inx + k.
m x
Capitolul 2- Integrala definită
315
Rezultă/(x) = eA" + lnA+/f = /c,xeA'2, k e IR. Din/(l) = e => e = /ci • 1 • e => => /cj = 1 şi/(x) = x •	.
6.	Facem aceeaşi observaţie ca la exerciţiul 5 şi va rezulta funcţia / deri-vabilă pe (0, + oo). Din:
r
\j’(t)dt = -|(/'0) + 1), V x € (0, + oo) =>( j0V(Odf) =
-(/W + 1)
>/m = i	~ 2m =/w +1 + ,/'W

= -- + k x x
=>f(x) = kx- 1,/c 6 IR.
7.	Procedăm în mod analog ca la exerciţiile precedente şi vom obţine:
1 +/(*) =/(*) + (x + Y)f'(x) =>f'(x) = -3— =>
x + l
=>/(x) = ln(x + 1) + In k =>/(x) = In k(x + 1), /ce IR" .
VI.	Să se scrie cu ajutorul unor integrale definite, cu limita superioară variabilă, următoarele funcţii continue:
1.	F : IR -> IR, F(x) = cos x.
2.	F : IR —> IR, F(x) = sin x.
3.	F: IR -> IR, F(x) = ln(jc + V*2 +1).
4.	F:IR->E, F(;c) = er-1.
5.	F: IR* —> IR F(x) = x In x - x + 1.
6. F : IR —> |	—
2 2
, F(x) = arctg x.
7.	F : IR —> (0, n), F(x) = arcctg x. Soluţii
1.	cosx= | H(-sin/)dF
2. sinx
-r
cos / dt.
3. ln(x + 4x2 +1) = f
J o VTT7
316
Manual clasa a Xll-a
4.	eA - 1 = f ef dt .
Jo
5.	x In x - x + 1 = | In t dt.
,	r-v d/
o.	arctg x =	-----.
b Jo 1 + t2
fA 1
7.	arcctg;c = - J„ y-j-^-dr.
Teste t>e ev^lv^re
Testul i
(10 p) 1. Să se calculeze derivata funcţiei F: IR —> IR,
F(x) = f* e' dt.
Jo
(10 p) 2. Să se calculeze derivata funcţiei F : IR+ —» IR,
F(x)= | arC'8Jt ln(l + tg t)dt.
/•sin -x'	■>
j e' dt
(10p) 3. Să se calculeze lim—^--------.
fVdt
Jo
Timp de lucru: 45 de minute
Tcstu) 2
(10 p) 1. Să se determine a, b e IR, astfel încât funcţia
F(x) = f -3--- dt, x > 0
2
să admită în punctul de abscisă x0 = 1 un extrem local egal cu In 2.
(10 p) 2. Să se determine imaginea funcţiei F : IR —> IR,
F(x)= [-4t)dt.
Jo
(10 p) 3. Fie funcţiile F, G : IR -> IR, definite prin:
F{x)= £' e'’ dt şi G(x) = jV" .
Capitolul 2. Integrala definită
317
Să se arate că:
a)	lim F(x) = lim G(x) = + oo
T—»oc	,v—>oc
F(x)
b)	Să se calculeze lim ——.
G(x)
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 3
(10 p) 1. Să se calculeze derivata funcţiei F : IR —> IR,
F(x)= fVd'-
(10 p)
(lOp)
2.	Să se calculeze derivata funcţiei F :(- 1, 1) —> IR,
r a re sin .v
F(x) = J H ln(l + sin** t)dt.
J 4
3.	Să se calculeze lim-i- f sin V7dt.
.v->0 Jo
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 4
(10p) 1. Fie funcţia/: IR —> IR,
_ I (1 + sin 2x)x, x 0 [	0,	x = 0
imn
Să se calculeze lim-------.
v->0	x
J (arctgf)1 2 dt
(10 p) 2. Să se calculeze lim ——j==— .
Vx2 + 1
(10p) 3. Să se arate că funcţia F: IR -» IR, F(x) = f , ^ - este bijectivă.
Jovi+7
Timp de lucru: 45 de minute
Test bc A\>rofunî>3<re
1.	Să se determine funcţiile continue /: 1R —» IR, pentru care există x e 1,
astfel încât f(x) = k( 1 + x2)
•>°l + t
, V x e IR.
318
Manual clasa a Xll-a
2.	Fie funcţia /: IR —» IR, continuă pe IR. Dacă funcţia g : IR —» IR, g (x) =
=/M ' f f(0 dt, V x e IR, este o funcţie descrescătoare, să se arate că f(x) = 0, V x e IR.
Jo'	’	‘
3.	Se consideră funcţia /: [0, 1] —> IR definită astfel:
x * 0
/(*) =
smx-xcosx
x~
0,
■ 0
a)	Să se arate că funcţia/este continuă.
1 pa	1
b) Să se arate că lim—-	f(t)dt = — .
’	<x-->0 a2 Jo ■' w 6
4.	Să se detemiine funcţiile continue/: [1, + oo) —> IR, pentru care avem relaţia jor /(O ât = [' //(O dr, V X € [ 1, + oo).
5.	Se consideră o funcţie continuă f: [0, + oo) —> IR. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a)	/este crescătoare.
b)	funcţia g : [0, + oo) —»IR, g(x) = x f(x) - [ f{t) dt este crescătoare.
Jo
6.	Fie funcţia/: [0, + oo) —» [m, M\ o funcţie continuă, unde 0 < m < M. Să 1 r
se calculeze lim— f{t)dt prin două metode:
•v->r' x~ Jo‘
i)	utilizînd teorema de medie;
ii)	utilizând regula lui l'Hospital.
2.6.	Metode de calcul ale integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă.
Calculul integralelor de funcţii raţionale
In cele ce urmează, prezentăm principalele metode de calcul folosite. Acestea vin să ajute aplicarea formulei Leibniz -Newton. Deci toate metodele urmăresc să faciliteze calculul unei primitive (integrala nedefinită) pentru funcţia a cărei integrală trebuie calculată (integrala definită). Există şi cazuri în care nu se poate calcula o primitivă, dar folosind în mod ingenios tehnici de calcul se poate calcula valoarea integralei definite. Vom prezenta exemple adecvate fiecărei situaţii.
Capitolul 2- Integrala definită
319
Integrarea prin părţi
începem cu metoda integrării prin părţi (amintită în capitolul I), metodă folosită adesea în calculul integralelor. Reamintim o proprietate a derivării studiată în clasa a Xl-a.
^teoremă
Dacă funcţiile/, g : D -> IR sunt derivabile pe domeniul D c= IR, atunci funcţia produs f g este derivabilă pe D şi
________________________________(fg)' =fg +fg>________________________________(*)
^teoremă (formula de integrare prin părţi)_______________________________
Dacă funcţiile f g : I -> IR sunt derivabile pe intervalul I cz IR şi au derivatele continue pe /, atunci pentru orice a, b e / are loc relaţia
\j'\x)g{x)dx= f(x)g(xţu-j"f(x)g'(x)âx.
Demonstraţie
Funcţiile/şi g sunt derivabile pe /, deci sunt şi continue pe I. Pe de altă parte din ipoteză funcţiile/' şi g' sunt continue pe 7, deci atât funcţiile produs fg' şi f g' cât şi (/’g)' sunt continue pe /, prin urmare sunt integrabile pe intervalul [a, b\. Putem rescrie proprietatea derivării (*) de mai sus, astfel f(x)g(x) = (fg)'(x)-f(x)g’(x),
pentru orice x e /.
Apoi integrăm pe intervalul [a, b], folosim formula Leibniz - Newton şi deducem că:
f f(x)g(x)dx= [ (fg)'(x)dx- f f(x)g'(x)dx =
Ja	Ja	Ja
= f{x)g{xj[u - \j{x)g'(x)dx.
In practică spunem că „folosim metoda integrării prin părţi” sau „aplicăm formula de integrare prin părţi” sau „integrăm prin părţi”.
Exemple
1.	| xlnxdx = | | j lnxdx = ^-lnx - |	• (In x)'dx =
r_
2
ln 2 - — In 1 — f ——- dx = 2 In 2 - f — dx = 2 In 2 -2	Ji 7 r	Ji 7
2 Jl 2 x în concluzie
: 2 ln 2-----+
4	4
| x ln x dx = 2 ln 2
320
Manual clasa a Xll-a
Observaţie. Este clar că tot o formulă de integrare prin părţi obţinem şi dacă schim-
Totuşi în acest caz putem să aplicăm formula de integrare prin pălii şi ca în primul exemplu:
Observaţie. Există cazuri în care, deşi corect aplicată, formula de integrare prin
Cowctiteriw
Ce putem observa din aceste exemple?
1.	Funcţia a cărei primitivă trebuia calculată s-a putut scrie ca un produs de două funcţii de tip ,/f(x)g(x)” sau de tip g\x)f{x).
2.	Aceasta înseamnă de fapt că una din funcţiile produsului este „recunoscută” ca fiind o derivată.
3.	Formula de integrare prin părţi este de folos numai dacă primitiva (integrala nedefinită ^f(x)g\x) dx) este mai simplu de calculat decât primitiva
iniţială ( \f'{x)g(x)âx).
4.	Felul în care alegem „rolul” funcţiilor/şi g depinde de doi factori:
-	care din funcţii este recunoscută ca fiind o derivată;
-	dacă noua integrala nedefintă este mai simplu de calculat decât cea iniţială.
băm „rolul” lui /cug. Deoarece produsul este comutativ, putem scrie:
[g(x)f'(x)dx= g(x)/(x)[ - JV(x)/(x)dx
2.
Deci în final obţinem
dar integrala obţinută | xV dx nu este mai simplu de calculat decât | xex dx.
părţi nu este neapărat folositoare.
3.Să calculăm integrala xcosx dx.
Ce constatăm ?
1. Funcţia este scrisă ca un produs ţrx cos x”.
Capitolul 2. Integrala definită
321
2. Recunoaştem că x cos x :
v2 ,
cos x, dar şi x cos x = x(sin x)'
3.	Ce variantă alegem? Le încercăm pe rând, iar varianta care duce la o integrală mai simplă, este de folos.
a) | xcosxdx = J f—
cos xdx = —cosx 2
pb x
- | — (cos x)'dx =
Jtj 9
x“
= —cosx 2
1 fib ?
— J x" (- sinx)dx.
ch i
Ne oprim, integrala x~ sin xdx nu este mai simplu de calculat decât
Ja
fib
integrala iniţială J x cos xdx.
b)	| xcosxdx = | x(sinx)'dx = jc sin jcj^ - J x sin xdx =
= xsinx|* - £ sinxdx = x sinx- (-cosx)|* = (x sinx + cosx)|\ Rezultatul final este
| x cos x dx = (x sin x + cos x) = b sin b + cos b - a sin a - cos a. Concluzie
Varianta b) a dus la o integrală mai simplă pe care am putut să o calculăm; varianta a) nu a fost utilă.
4.	In cazul în care putem aplica formula de integrare prin părţi în două moduri, ne putem întreba:
- este posibil ca ambele variante să ducă la integrale mai complicate? Da. în asemenea cazuri formula de integrare prin părţi nu este utilă.
De exemplu:	sin x • — dx, 0 < a < b.
x
5.	Există cazuri în care este necesară folosirea de două (sau de mai multe) ori
fib
a formulei de integrare prin părţi. De exemplu în cazul integralei eA cos x dx.
*	va
J'h	fib	| /;	rb
e'xcosxdx= ex (sin x)'dx = ex sinx - (ex) sin xdx =
a	Ja	I a	Ja
|/> rb
= ex sin x| - J ex sin xdx.
rb	rh
Este integrala ex sin xdx mai simplu de calculat decât integrala ex cos xdx?
Ja	Ja
Evident că nu!
322
Manual clasa a Xll-a
rb
Dar putem aplica integrarea prin părţi şi pentru integrala obţinută e* sin xdx
Ja
şi rezultă
j ex cos xdx = ex sin jc| - e'r(-cosx)'dxj =
= ex sinxj -ţV(-cosx)|* - J (£*)'(-cos x)dxj .
Obţinem
f/>	i/>
2	J ex cos xdx = (e ' sin x + ex cos x)| .
Rezultatul final este:
1	A
flh	|
J ex cos xdx = — e'v(sinx + cosx) .
2	a
b) Putem integra prin părţi şi varianta:
rb	/•/>	| h	j*h
ex cos x dx = (ex) cos xdx = ex cos x - ex (cos x)'dx =
Ja	Ja	Irt	Ja
i h	ph
= ex cos x - ex (- sin x)dx.
I a	Ja
Apoi pentru integrala obţinută se aplică încă o dată integrarea prin părţi
J>h	i h	rh
ex cos x dx = ex cos x + (ex) sin xdx =
a	I a	Ja
Obţinem
r (	r f"	i
= eAcosx| -f- I er sin x| -J ev(sinx)dxj. f ex cos xdx = (ex cos x + ex sin x)| - f ex cos xdx,
Ja	I a	Ja
de unde:
rezultatul final este
2 | ex cos xdx = (ex cos x + ex sin x)| ;
f b	|
J ex cos xdx = — ex (sin x + cos x)
adică exact acelaşi rezultat ca în varianta a).
6.	f x2ex dx = f x2(eA’)'dx = xVl - f (x2)Vdx = xVl - f 2xex dx =
Ja	Ja	u/ Ja	u/ Ja
= xV’| -2^J x(c'v)'dxj = x2exj -2^x£A’| - J (x)Vdxj =
■7 \b	|/>	fh	t \h	\b	ih
= x~e'\ -2xe \ +2 e dx = x2ex\ -2xe\ +2ex\ ;
u/	I a	Ja	I a	I a	la
Capitolul 2. Integrala definită
323
rezultatul final este
f x Vdx = (x V - 2xex + 2ex )| .
Ja	\a
7.	Există categorii destul de largi de funcţii care se pot integra uşor folosind integrarea prin părţi. Iată câteva exemple.
rb	rb	rb	rb
1.	J arctgxdx, J lnxdx, J arcsinxdx, J arccosxdx.
Indicaţie: se scrie f{x)~ 1 */(x) = (x)'/ (x).
rb	rb	rb
2.	J x<?'dx, J xsinxdx, J xcosxdx Indicaţie: se scrie xf(x)=xF '(■x), unde F(x) =/(x).
3.	£ xlnxdx, J xarctgxdx,| xarcsinxdx
Indicaţie: se integrează de două ori prin părţi.
Exemple
a)
x
x — ăx = x x
lnx|* - J ldx = (xlnx-x)^ = 3 In 3-3-1 In 1 + 1;
deci
rezultatul final este
= xarcsinx
o Jo
2 x(arcsin x)' dx
324
Manual clasa a Xll-a
1	.	1 n 1	^ n p 1	-2x	n ţ, - 2x
2	2 Jo	12 Jo -2 VÎT7 12 Jo 2VTV?
= — + Vl-x2 2;
12	Io
rezultatul final este
d)	| xarctgxdx =| jjyJ arctgxdx = -^-arctgx	^ • (arctgx)' dx =
V? t	1 t ,	f^3 x2 1	3n n 1 f'/s x2 + 1-1
2	2	Jl 2 1 + x2 2-3	8	2 J> 1 + x2
12 Jo -2 vr?
fi .	, n V3
arcsmxdx = — +
Jo	1 ?
2V1-X2
12 2
.2
2_
V3
r/j x2
8	2 J'	2 Jl 1 + x2
rezultatul final este
1	1	, 3n
dx =-----
8
fl 1	"
— x — arctg x v2 2
V3
3tt 1	rr k	1	7i	5 7r	1-V3
xarctgxdx =------V3 + — + — -— =--------1-------
Jl &	82	6	?	£	4S ?
8	45
p/j	p/>	p/)
Observţie. Se poate calcula imediat J arcctgxck şi J arccosxdx, J xarcctgxdx şi
rh
x arccosx dx, ţinând seama că avem relaţiile:
Ja	’	’
a)	arcsinx + arccos x=-,Vxg[-1,1];
K
b)	arctg x + arcctg x = — , V x e IR;
c) x(arcsin x + arccos x) =	x;
d)	x(arctg x + arcctg x) = — x.
8.	Pentru funcţii de forma f(x) = xnu(x), se integrează prin părţi de două ori şi se stabileşte o relaţie de recurenţă.
i) £ x"sinxdx = J x''(-cosx)'dx = x"(-cosx)| - J (x'7)'(-cosx)'dx = = x/7(-cosx)|	+ J nxnA cosxdx = x”(-cosx)| + n J x^sinx/dx =
Capitolul 2. Integrala definită
325
= x"(-cosx)| + n^x"~' sinx)|’ - j (x"~')'sinxdxj =
= x"(-cosx)| + n ^x"_l sin x)|' - J {n-\)x"~2 sinxdxj =
= (x”(-cosx) + nx"~x sinx)| * -n(n~ 1) J x"'2sinxdx.
Relaţia de recurenţă este:
In= J x"sinxdx = (-x'7 cosx + /7x"_1 sinx)| -n(n-l) j x"~“sinxdx,
In = (- x" cosx + nxn~{ sin x)|	- n{n - \)I(n-2y
ii) Funcţiile raţionale de forma:
rb 1
I
(c“ + x“)
se integrează prin părţi pentru a determina o relaţie de recurenţă, de exemplu:
J'h	1	rb
----dx = f x'
sau
1
2x
dx =--——I - f x(-n)-——rdx =
(i+x2)" (i + x2)"'« i«
+ 2 n
(1 + x2)
h x2 +1
2VH J„
I b . r* x‘
*Y Xa+2ni« (l + x2)n+l
■* 1
(1 + x2)
X I b
(1 + x2)"
+
(1 + x2)"
■dx
(i+x2r
(1 + x2)
+ 2 n [ ---f.— dx - 2n [ -----^—r dx.
J<, (1 + x2)"	i“ (l + x2)"+l
rb	[
Dacă notăm cuI„ =	------—dx, obţinem:
J" (1 + x2)"
h = n X 2v, |A +2nI*~2n (1 + x ) 1a
ţ  	X	| b	1 ţ
n+'~ 2«(l + x2r l“ + (	2^} "•
In particular pentru a calcula integrala:
I ), l2^dx>
+
procedăm astfel:
rb	1	rb
f ---—7~dx = f 1-
•*“ (1 + x-)	•’«
(1 + x2)2
1 dx = f(x)'-—^-Ţ-dx = J" (1 + x )
(1 + x2)
326
Manual clasa a Xll-a
1
(i+*0
X | b
w

+ 2
(1 + * )
■* x2+\-l
dx =x
dx =
1
Ja
(1 + x2)1" J» (1 + x2)2	(1 + x2)
f» 1
(1 + x2) °	■>«	(1 + x2)
' |‘+2r^liL<u
I a	Ja
(1 + x2)2
r
-2I
•></
(1 + x2)2
-dx.
Deci se obţine:
ci,
2
Ja
rezultatul final este
1 A	X I b _L_
-dx = -----------— I +
(1 + x2)2	(1 + x2)
/./; 1
Ja!
-dx;
+ x
Ch 1	,	/ 1
-dx =
x	1
J n ^ —	V 9 /i----n + ~î arctB*
(l + x')“	\2 (1 + x")	2
9.	în anumite cazuri în loc de a integra de două ori prin părţi, se poate forma un sistem; de exemplu pentru a calcula
rb	/•/)
ex cos xdx şi ex sin xdx
Ja	Ja
putem proceda astfel:
notăm:/= [ e' sin xdx = ex sinx - f e* (sin x)'dx = ex sin x- [ ex cos xdx;
Ja	Ja	Ja
J— \ ex cos xdx = e cos x- \ ex (cos x)' dx = ex cos x + f ex sin xdx ;
Ja	Ja	Ja
| / = ex sin x - J 17 + J = ex sin x
Ir	SaU 1
\J = ex cosx + 7	\-I + J = ex cosx
de unde rezultă
r vsinx-cosx . _ xcosx-sinx I=e----------- şiJ=e-----------,
în mod cu totul similar se pot calcula
| e^cosPxdx, | cav sinPxdx , a, P ^ 0
Em Exerciţii propuse
Să se calculeze următoarele integrale folosind metoda integrării prin părţi.
l.a) J' ln(l + x)dx ;
b) J x ln(l + x) dx;
Capitolul 2. Integrala definită
327
2. a)	rn ' 3 sin' xdx ; Jo	b)	rn 3 cos x dx ; Jo
3. a)	rn . cos xdx; Jo	b)	n 12 ex sin 2x dx; Jo
4. a)	rn i ' e"Asinxdx; Jo	b)	rn 1 e~Acos2xdx; Jo
5. a)	f' ^3- x2dx ; Jo	b)	f x3Vl + x2dx; Jo
6. a)	£' (ln*)J4( ;	b)	J x(lnx)3dx;
7. a)	jf	b)	Jî *
	J4 sin x		J4 COS X
8. a)	n 2 X* ex sin xdx; Jo	b)	n j2 x-ex cos xdx.
9.	(lnx)'7 dx , vi e IN*,	n > 2, stabilind o relaţie de n	
10*. a) In = f2 sin'7 x di;	b) In = f2 cos'7 x dx
Jo	Jo
n e IN*, stabilind relaţii de recurenţă;
11*. a) In = fl (l-x2)77 dx;	b)/w = f* x"ex dx ,
Jo	J o
n e IN*, stabilind relaţii de recurenţă.
Integrare prin schimbare de variabilă
Să reamintim formula de derivare a funcţiilor compuse:
Dacă F:/^IRşiw:J—» / sunt derivabile pe intervalele / c: IR, respectiv J cz E, atunci funcţia compusă de F ° u este o derivabilă pe intervalul J şi
(F o u)'(x) = F '(w(x)) • w'(x),
pentru orice xeJ.
tZeorema 1 (prima metodă de schimbare de variabilă)
Dacă funcţia /: / —» IR este continuă pe intervalul / cIR, iar u : 7 —» / este derivabilă pe intervalul J c= IR cu derivata continuă, atunci pentru orice a, b e J are loc relaţia:
} f(u(x)) u'(x)ăx= f * }f(y)dy.
Ja	Ju(a)
328
Manual clasa a Xll-a
Demonstraţie
Conform proprietăţii derivării, F ° u este o primitivă pentru f(u(x)) • u\x) şi aplicând formula Leibniz - Newton, obţinem:
_[ /(«(*))' u'(x)âx = F(w(x))|= F(u{b)) - F{u{a)) = f'J/O) • 4v .
Această „formulă” se foloseşte uşor dacă se cunoaşte o primitivă F(x) pentru /(x), aşa cum arată şi tabelul cu derivatele compunerii cu funcţii elementare.
Dacă însă primitivele funcţiei / nu sunt cunoscute, atunci ele trebuie determinate. Formula de schimbare de variabilă „simplifică” calculul primitivei, de
la J/(w(x)) ■ u\x)dx la J/(j^)dy .
In mod tradiţional această metodă se numeşte schimbare de variabilă de primai tip.
exerciţii rezolvate
Să se calculeze:
1.
x In x • ln(ln(x))
-dx , cu e < a < b.
Rezolvare
Notăm In x = y , (In x)' = — şi obţinem
i
1	]	fin/; 1
-------------dx = I —— dy = f — i
“ xlnxln(ln(x))	y\ny	Jln'' lny
= ln(ln(^))|	= ln(ln(ln(*>))) - ln(ln(ln(a))).
2' 2 j
fh	f	71 71 |	f"
2.	tgxdx pentru a,b e----------, — şi ctgxdx pentru a, b e (0,7t).
J"	V 2 2 J	J"
Rezolvare
Ja	cosx	cosx
Notăm cos x =y, (cos x)' = - sin x şi obţinem
Ch	fcos/; — 1	| ii cos/;
tgxdx =	—dy = - lnly\\	= - In (cos b) + In (cos a).
Ja	Jcosa y	1 'I cos o
In mod asemănător, pentru a, b e (0, n) notăm sin x -y şi obţinem J ctgxdx = lnjsinx||	= In (sin b) - In (sin a).
Capitolul 2. Integrala definită
329
Ideea generală a schimbărilor de variabilă recomandate este de a reduce problema calcului de primitive la calculul de primitive pentru funcţii raţionale. Deşi laborios, calculul de primitive pentru funcţii raţionale este perfect determinat şi algoritmic.
rh
Pentru o anumită formă a funcţiei care se integrează, f(x)dx , se recomandă
Ja
anumite schimbări de variabilă care conduc la calcul de primitive pentru funcţii raţionale. Deşi poate părea neaşteptat, schimbarea de variabilă constă în înlocuirea x = u(t) obţinându-se formula:
f /(*)dx = | /(«(/)) • u'{t)ăt,
unde c, d se determină, astfel încât a - u(c) şi b = u(d), iar funcţiile /şi u au aceleaşi proprietăţi ca în teorema de schimbare de variabilă enunţată mai înainte.
In aproape toate cazurile concrete pe care le prezentăm, schimbarea de variabilă recomandă este de forma v(x) = t. Pentru a obţine forma x = u(t) este necesar ca funcţiile v, u să fie inversabile, deci u = v '. Din acest motiv enunţăm a doua teoremă de schimbare de variabilă.
teorema 2 (a doua metodă de schimbare de variabilă)_______________________________
Dacă funcţia/: [a,b] —> IR este continuă pe intervalul [a, b\ iar v : [a, 6] —»IR strict monotonă, cu inversa v_1 = u derivabilă, cu derivata continuă, atunci
f /(*) d* = l /(«(O) • u'(t)ât
unde c = v(a), iar d= v(b).
Demonstraţie
Astfel enunţată, teorema este un caz particular al teoremei de schimbare de variabilă de mai înainte.
In mod „tradiţional”, acest enunţ poartă numele de a doua schimbare de variabilă. De fapt constatăm că nu este decât teorema de schimbare de variabilă folosită într-un caz particular.
simple\
Integrarea funcţiilor raţionale
Următoarele funcţii raţionale se pot integra relativ uşor şi sunt numite fracţii
1
(x + a)k ax + b
(x2 +cx + d)k
pentiu x2 + cx + d = 0 cu rădăcini complexe.
k> 2,
330
Manual clasa a Xll-a
Cazuri particulare frecvent întâlnite
R.l.
R.2.
R.3.
R.4.
[ —-—dx = lnlx + al1 , - a <£ [a, p], Ja x + a	1 “
rP 1
-dX =
-1
1
Ja (x + a)" n-l (x + a) rn
, n> 1,-a (2 [a, P],
f
J a
11	X
—5--dx = — arctg—
a~ + x~ a a
, a + 0.
f , 1 , dx = — In
^x~-a~	2 a
x-a
x + a
p
,-a,a £\a, P],
Demonstraţie
Dacă derivăm în raport cu x deducem că au fost bine calculate primitivele în formula Leibniz - Newton.
(ln(x + a))'
1
x + a
sau (ln(- x - a))’ ■
-1
1
■1
{(n-l)(x + aY
1	x
— arctg—
{a	a)
-x—a x+a -1 -(«-!)_ 1
n-l (x + a)"~l+l	(x + a)n
1 +
respectiv
).' - /
J y — n	J
1
' x" - a 1
(x - a)(x + a)
1	f-
ril1	u„
Ka)	
dx =	1
	2 a
dx =
2a
[—-—dx- [—-—dx * x — a J x + a
2 a
(ln|x - a\- ln|x + a\) + C =
- —In 2a
x-a
Pentru integralele de tipul JP-
x + a
1
+ C, C e IR.
dx avem trei cazuri posibile.
a ax~ +bx + c
Caz /. A = b2 - 4ac > 0, iar rădăcinile reale distincte X|, x2 <£ (a, P).
R.5.
1
Ja ax2 +bx + c
-dX =
1
va(x1 -x2)
-In
x-x.
x-x2
Capitolul 2. Integrala definită
331
Demonstraţie
- f
Ja ax' +bx + c	Jn
a{x - x, )(x - x-,) 1	( rP 1
dx = [
Ja
P 1
a(x, -x2) ^ Ja x-x,
-dx- f
Ja
a(x, -x2) ■P 1
dx =
2 j v X - X, X~X2 j
x-x.
-dx i J
1
a(x{ -x2)
n\x
-x,|-ln|x-x2|)|* =
1
va(x, -x2)
■In
X - X,
x-x,
Caz II. A = b2 - 4ac = 0, iar rădăcinile reale şi identice Xj = x2 £ (a, (3)
R. 6. f
Jc
1
“ ax +bx + c
dx = f Ja
'	1 dc —	'
a(x - x, )"
a(x - x,)
Caz III. A = b2 - 4ac < 0, caz în care avem rădăcini complexe.
R.7.
r
1 ,11
-dx =-arctg
ax" + bx -f- c a a
f b ^
X H---
____2a
a
V	J
, unde a =
4ac - 62
4a2
sau
2	2ax + b
- arctg
unde A = b - 4ac < 0.
jzz
Demonstraţie
Putem scrie numitorul ca o sumă de două pătrate de numere pozitive
ax2 + bx + c = a
= a
f 7	„ 1	b	—1	7 c	f b 1	
X"	“h 2 —	— x +		+—		
V	2	a	v2 a)	a	v2 a j	)
7 b '	f 4 ac-b2
XH		+ ,
_l 2 a.	J 4a2
şi în mod similar cu R3 în acest caz obţinem
rP 1	. rP	1
Ja ax" +bx + c Ja
a
\2
X 4* -
2a
1 1
-----arctg
a a
f b '
x + —
2 a
a
V
4ac - b2 4 a2
2 ax + b
dx -
V=Iarc,g^T
332
Manual clasa a Xll-a
Exemple
1.
i
1
■ dx =
ţ —= ln|x - 3|| = In 2 - In 3. 1
1
2. f
J-i (x + 4)3	3-1 (x + 4)3_l
2(jc + 4)2
-i
225
f I 1	f
3.	I -XTâx = f
3 + x~
= 4arc,g4
1
r1
-dx = j
o 1
1
1 n 6‘
1
1	^ dx f°
' J-' x2 -7	J-' (x-^)(x + 47)^V	J-' 2V7 l (X-V7) (x + a/7)
dx =
In
2V7
—<u=r
J-l V2 -3r + ? J-I
x-V7	0 = 1 In	-1-V7
x + 4î	2V7	-1 + V7
1
(x - l)(x - 2)
-dx =
O ( 1
£-J^dx -	= ln|*-2|-ln|A:-l|" = ln^-
x-l
x — 2 x -1
x - 2
x-l
dx =
In 2 - In
6. f —^-------------dx = f
Jo 4v 4-4v-i- I
' 1
-dx =
1 -1
7-I
0 4x2 + 4x + 1	J»(2x + 1)2	2 (2x + l)
•	1	, f	1
0 X' - x + 1
1
dx = f —
Jo ,
2 -1	1.1
X —2 — X "1-hi —
2	4	4
dx = f Jo
_-l J_ ~ 6 + 2 '
1
’H)
-dx =
3
+ -
4
1
,	1	9
------^ dx = —j=- arctg —7=^
^	V3 V3
2 2
x —
x — 2
+
V22
2	K	2	— 71	_ 2	71	_ 271-s/3
a/3	6	V3	6 V3 3	9
R.8. Integralele de tipul f+ ^—dx
ax" 4- bx + c
se reduc la integrarea unor fracţii simple. Astfel:
6b
d' 9x + 8	,	^ rP 1	2 ax + b . rP °
—;-------dx = 0	------------dx +	— ---^—dx -
ax' + hx 4- r	•» a 2a ax~ + bx + c	J & ax~ + hx -h c
ro | oj
Capitolul 2. Integrala definită
333
— Inia*2 +bx + c\
2 a	1	v
fs om fi»
o---------
1
2a )	ax2 + bx + c
dx,
iar ultima integrală se rezolvă conform unuia din cazurile R5, R6 sau R7. Exemplu
3
(" }x + 2 dx = 3 f'2dx+ f—-
Jh x' — x + 4	Jn 2 x" - x + 4 Jo x' - x + 4
dx =
= — ln|x2 _x + 4|
+
7 f
1
2* , J 1.1
x" — 2—xH-f-4 —
dx =
= - In 4
2 2
2	4
3 , ,	7 fi 1
In 4 + - f
7 Jc
2 1
x---
v 15 + —
4
-dx =
1
7	1	x 2
2 Vfsarctg Vil
2 2
R.9.
7	1	1	-1	14
(arctg —f== - arctg—ţ= ) =
2 VÎ5 VÎ5
VÎ5VÎ5 “^VU
Jafr"+1Y' f r' 4- /7" V'	(nx~
1
-dx
(xz + \y	Ja (x + a y ' J“(^ + te + c)w
(pentru n >2, a ^ 0, 8 = b2 - 4ac < 0)
Primitivele se calculează folosind metoda integrării prin părţi, obţinându-se o relaţie de recurentă.
f" , 1 ,dr - -L
J“ (x2 + l)"+l	2n
(x2+l)"

1
(x + iy
-dx
sau
unde
respectiv
	P 2«-l	
2«(x2 +1)"	2n a	
/„- r	1	— dx,
(x + 1)"		
		fi 2/7-1
2na(x2 + a2)"		1 2 na2 a
334
Manual clasa a Xll-a
Pentru cazul
rP	1
«Ju (nr2 -4- An
™ (ax' +bx + cŢ
calculele sunt laborioase, dar asemănătore.
-dx
Exemplu
1
r
dx = —
(x^ + iy 2
(x2 + l)
VI
vi dx
rV3 C
Jl r2
rfl
R.10. Integralele de tipul
Ja
1 X” + 1
9x + 5
2 (x2+l)2
VI
+ — arctgx
2
VI
Ja (ax" +bx + cŢ se reduc la integrarea unor fracţii simple. Astfel:
dx, pentru n> 2
5-
Qb
f" ex+l> <k-e f— ^x+b <h + |
,(1 {ax' + bx + c)"	Ja2a (ax~ + bx + c)n	J(X (ax“ + bx + c)n
dx =
0
-1
2a(/7 + l) (ax2 + bx + c)”+i
+i5_“] f_
l 2/7 J Ja f
1
2a y Ja (ax" + bx + c)"
-dx + C
iar pentru ultima integrală se foloseşte relaţia de recurenţă menţionată la R9.
Algoritmul de calcul al integralelor raţionale
Ne propunem să calculăm
coeficienţi reali.
Se procedează astfel.
rPP(x)
Q(x)
dx
, unde P, Q sunt polinoame cu
V&su) 1. Se efectuează împărţirea
= K(x) + VIV , unde grad (R) < grad(g). Q(x)	Q(x)
Pasul 11 se descompune numitorul Q(x) în factori primi.
(*) Q(x) = P(x-a])"' ... (x-aA.)'7* (x2 -b^x-bc,)77'... (x2 +i/jc + c/)ft
unde P * 0, a!v.., a.k e IR, iar x2 + 6|X + Ci,..., x2 + 6/x + cy au rădăcini complexe conjugate.
PasuI 111. Folosim următoarea teoremă (pentru care nu dăm demonstraţie).
Capitolul 2- Integrala definită
335
teoremă
Q(x)
sumă finită de „fracţii simple” corespunzătoare descompunerii în factori primi a numitorului (*) după cum urmează:
- pentru fiecare factor (x - at)"' apar în sumă termenii
Pentru a determina coeficienţii Ai,..., Bh Ch... se aduc la acelaşi numitor şi apoi se identifică coeficienţii polinoamelor obţinute.
T*$u\ IV. Se integrează fiecare din termenii descompunerii în sumă finită:
Calculul primitivelor pentru „fracţii simple” este exemplificat în cazurile R.l, R.2,	R.10 considerate anterior.
Această metodă implică un volum mare de calcule pentru determinarea coeficienţilor şi integrarea fracţiilor simple obţinute, dar constă într-un algoritm clar care se poate finaliza în mod sigur.
în final avem suma finită
Observaţie. Există un caz în care coeficienţii se pot determina mai simplu.
336
Manual clasa a Xll-a
Dacă numitorul Q(x) are numai rădăcini reale de ordinul I, putem proceda astfel: aducem la acelaşi numitor pentru descompunerea în fracţii simple:
R(x) _	4
+
4
+... +
Q(x) x-r/, x-a2	x~ak
şi obţinem:
R(x) = Ai P\(x) + A2 Pi(x) + ... +Ak Pk(x).
Egalitatea este adevărată pentru orice x e IR, deci în particular şi pentru x = a\ \ obţinem
R(xi) = A\ P\(ci{), de unde rezultă c&A\ =	,
i)
deoarece polinoamele P2,	Pk conţin factorul (x - ci\) şi deci se anulează
pentru x~ a \.
Se procedează analog pentru fiecare din celelalte rădăcini reale de ordinul 1, #2, • • • î ctk.
Exemplu
PM)' - P2(a2)
x + l
PM)
f—
J() v2 .
dx.
> X" -hX-6
Descompunem x" + x - 6 = (x - 2)(x + 3) şi determinăm descompunerea în fracţii simple
x + l
l.+.A
x+x-6	x-2	x+3
aducem la acelaşi numitor şi obţinem:
x + 1 = A\(x + 3) + A2(x — 2).
Pentru x = 2 obţinem
2 + 1 = Ai(2 + 3), deci A \ = -j . Pentru x = - 3 obţinem
- 3 + 1 = A2(- 3 - 2), deci A2 =
în final rezultă
f
Ju x+x-6 Jo
j ln|x - 2\ + - j ln|jc + 3|
3
5
2 A
5
x—2	x+3

dx= - f —l— dx+ - f‘ 5 Jo x - 2 S Jo
5 J°jt + 3
• dx::
J
3	2	3	2	1	'	1
= — In 3 + — In 4------In 2------In 3 = — In 3 + — In 2.
5	5	5	5	5	5
0
Capitolul 2. Integrala definită
337
în cele ce urmează, se indică anumite situaţii şi schimbarea de variabilă recomandată pentru a ajunge la funcţii raţionale.
Schimbări de variabilă recomandate în cazuri speciale
Schimbări de variabilă trigonometrice
Se integrează funcţii raţionale R care depind de sin x şi cos x
Principiul general este ca prin schimbarea de variabilă să se obţină o funcţie raţională cu numitor cu grad cât mai mic posibil (deci mai puţini factori şi calcule mai simple).
1. Dacă funcţia R este „impară” în sin, adică
atunci se recomandă schimbarea de variabilă cos x = t, t e (- 1, 1), x e [a, b\ a (0,7i).
2. Dacă funcţia R este „impară” în cos, adică
i?(sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x),
atunci se recomandă schimbarea de variabilă sin x = /, t e (- 1, 1), x e [a, b] a
3.	Dacă funcţia R verifică egalitatea:
R(- sin x, - cos x) = 7?(sin x, cos x),
atunci se recomandă schimbarea de variabilă tg x = t, t e IR, x e [a, b] a

R(- sin x, cos x) = - 7?(sin x, cos x),
Deci x = arccos t, sin x = VÎ-7^ , (arcos t)' =	■ — şi conform formulei
/1	j.2
schimbării de variabilă, obţinem
Deci x = arcsin /, cos x = Vl-t2 , (arcsin t)’ =	.	şi conform formulei
-1
schimbării de variabilă, obţinem:
c=
338
Manual clasa a Xll-a
Deci x = arctg t, sin x =
VT
, COS X =
+ r
ii
i , t v i
, (arctg 0 = --------- şi
conform formulei din teoremă, obţinem:
tg/>
rh	r tg b
7?(sinx,cosx)dx = R
Ja	J tg a
+r
l V l
1 + r
IVTTF’VÎTT1
i + t2
■d t.
4.	Dacă funcţia R nu verifică nici unul din cazurile anterioare, atunci se
X
recomandă schimbarea de variabilă tg— = /, t e IR, x e [a, b\ a (- tu, 71).
^	.	1	.	2î	l-t2 A	„11
Deci x = — arctg /, sin x = ----7, cos x = -----7, (— arctg /) =--------7 şi
2 1 + /2 1 + /2 2 2 1 + /2
conform formulei din teoremă, obţinem:
rb	ptg(/>/2)
i?(sinx,cosx)dx =	R
Ja	Jlg(<//2)
21	1 -/
2 \
i + r 1 + t2
1 l
2 1 + t2
ăt.
Exerciţii rezolvate
J'Tt/3 j
-7—dx. 71/6 sinx
Soluţie
Deoarece —]— = —^—, funcţia este „impară” în sinus şi folosim schim-
-smx sinx
barea de variabilă cosx = Lx e
^ n tc ^ v6’ 3y
c= (0, tc); avem:
= arccos /, sinx = Vi-/2 , (arccos /)' =
Vi-/2
şi conform formulei din teoremă, obţinem
/•n/3	|	/»cos(n/3) ţ	— \
/•n/3 |	p cos( n / 3)	j	— [	pl/2 — j
——dx =	-===■ —f== d/ =	----
Jnli Sinx	Jcos(tc/6) ^2 ^2 J J„2	JV3/2 1_/
-I
■d? =
1,1/2 f_1	1
JV3/2
t •+• 1 t — 1
dt = |(ln(t + l)-ln(l-0)|
1/2
VJ/2
= i(ln 3 -ln(V3 + 2) + ln(2 - jh )).
rt/4 ţ
pTC/4 |
2. Să se calculeze:	------dx.
Jo cosx
Capitolul 2. Integrala definită
339
Soluţie
Deoarece
-cosx cos*
funcţia este „impară” în cosinus şi folosim
schimbarea de variabilă sin x = t,x e 0,
^	71	71 ^
'~2’2
avem:
= arcsin t, cos x = Vl ~t2 , (arcsin /)' =
Vi-/2
şi conform formulei din teoremă, obţinem:
/•7C/4 J	j»sin(n/4)	[	j	fyJl/2	|
-------dx =
J{) COS X	Js,n
rV
:(17 = [ Jo
Jsi„° Jţz? ViT? Jo 1 -tl
fV2/2 1 f 1	1 ^	1	,
= [	------------— df =-(ln(f + l)-ln(l-0)
J» 211 + 7 I-7J 2	1
d/ =
VI/2
0
= 3 (In V2 +2)-ln(V2 -2)).
p7c/3
3. Să se calculeze:	—
Jo si
Soluţie
Deoarece
1
sinx 4-cosx
-dx
-sinx
sinx
- sin x + (- cos x)	sin x + cos x
, folosim schimbarea de variabilă
tg X = 7, x e | 0, —
71
71 71
lî'2
; avem:
x = arctg t, sin x :
t
VT
COS X :
1
[+1~	Vi+t2
şi conform formulei schimbării de variabilă, obţinem:
1
, (arctg 7)'
l + t2
r*/3 sinx		flg(7l/3)
			-dx =	f
,0 sin x -f cos x		JlB0
rfi.f	i	7 + 1 >
=		4-	
Jo ^	/ 4-1	t2 +lj
VT
+ t
t	1
+ -
1	, f'/î t 1	,
------d t =--------------------Tdt =
l + t	Jo 7 + 11 + 7
Vi+t2 Vi+t2
,	1	,	'N
dt = | - ln(7 +1) + — ln(r +1) + arctg t
fi
= - ln( V3 + 1) + In 2 + arctg V3 = In 2 + -j - ln( -\/3 + 1).
4. Să se calculeze: f
1
71/2 sin x +cosx
-dx.
340
Manual clasa a Xll-a
Soluţie
în
şi obţinem
în acest caz folosim schimbarea de variabilă te— = t, x e
2
1 2/
x = — arctg t, sin x =--------,
2	1 + î2
l-t2 A
cos x =------ ( — arctg t)
1 + 0 2
r n Z 1 1
C (- 71, 7t)
Conform formulei din schimbarea de variabilă, obţinem:
1
f-,
Jo sin x + cos x
j»tg(7t/4)
dx =
Jlg(0)
1
1 1
2t l-t2 2 1 + 0 +
d t =
1
-t r
2 Jo
1 + 0 1 + 0 d? = Z/71 [~
•(/-1)2+2	4a/2 Jo i, V2-1 + / V2 + 1-
2 1 + 0 ' 1
2 Jo 2t+ 1-0
1 V
d t =
4V2
(- ln(/ - V2 +1) - ln(V2 +1-0)
Integrarea unor funcţii iraţionale
Se integrează funcţii iraţionale de forma
/= j-j*
ax + b cx + d
ax + b cx + d
\/>2
ax + b cx + d
\pl \
dx,
unde R este o funcţie raţională, iarp\,p2, >-^Pk sunt numere raţionale.
Se recomandă schimbarea de numitorul comun pentrup\,p2,...,pk,
Se recomandă schimbarea de variabilă 0 < ----- = t'n, unde m este
cx + d
x =
dtm-b „ , (aa + b^/m
'-1
a - ctm »( dt"
Exemple
1.
t>0,A =
~b
ca + d
,B =
Zp+Z1'"
c$ + d
•n a-ct

vdr-ba
y ci ct j
d t.
f
-dx;
(Vx -I- yfîd )
Indicaţie: Se efectuează schimbarea de variabilă >/x = /.
r 1
2.
-dx.
'sfx + \fx + 2\[x) Indicaţie: Se efectuează schimbarea de variabilă 'yfx
Capitolul 2. Integrala definită
341
Schimbări de variabilă de tip Euler
Se integrează funcţii raţionale R având ca variabile x şi wx2 +bx + c , cu a & 0. J*7?(x, 4ax2 +bx + c) dx.
C^rvil 1
a > 0, se recomandă schimbarea de variabilă
Vax2 +bx + c = t ± 'iax
Căzu] 2
c > 0, se recomandă schimbarea de variabilă
V ax2 +bx + c = tx ± *s[c
3
a < 0 şi c < 0, rezultă că A = b2 - 4ac > 0, deci ecuaţia ax2 + bx + c = 0 are rădăcini reale X|, x2.
Se recomandă schimbarea de variabilă
V
ax2+bx + c =t(x — x i)
exerciţiu rezolvat
» 1
Să se calculeze f —P
JoVî
-dx.
+ x
Soluţie
Pentru a calcula integrala, notăm Vl + x2 = t + x, deci t = ~Jl + x2 - x şi
xe [0, 1], te [1, V2 - 1]
21 j
■2t2 -(l-t2) l + t2
212
VT
+ X" = t + X = t +
212
■t2 l + t2
Obţinem: r1 1
r' t , rJî-' 1	1 + f .	r*2-' it l + t' .	r«-‘ i ,
, dx =	---5------— dt =-	---- —r-dt =-	- dt -
JoVÎ+xr Jl 1 + / l 212 J J' l + t2 212	Jl t
1 + t2^
21 21
■V2-1 2t l + t2
fV2-l 1
21
= -tal/llf ' = - ln( V2 - 1).
342
Manual clasa a Xll-a
Integrarea funcţiilor pare, impare Definiţie
O funcţie/: (- a, a) -> IR (sau/: IR -> ]R) se numeşte:
•pară, dacă/(-x) =/(x), pentru orice x e (- a, a) (sau x e IR);
• impară, dacă/(- x) = -/(x), pentru orice x e (- a, a) (sau x e IR).
Propoziţie
Dacă funcţia/: (- a, a) —» IR este integrabilă pe orice interval [6, c] cz (- a, a) şi în plus
i)	funcţia este pară, atunci
rP	fP
J ^ /(x)dx = 2 J /(x) dx, pentru orice (3 e (-a, a).
ii)	funcţia este impară, atunci
fp
/(x)dx = 0, pentru orice P e(-a, a)
J-p
Demonstraţie
Conform proprietăţilor integralei avem:
|*P	fO	fP
| /(x) dx = | /(x) dx + | /(x) dx.
j-p	j—p	Jo
Pe de altă parte, orice sumă Riemann pentru intervalul [- p, 0] este de forma
o(f, A, ţ) =	-(-x: ))f(- ţ),
1=0
unde punctele de diviziune sunt
-(3 = — xn < — xn-\ < ...< — X\ <x0 = 0,
-ţi e (— X/+1, — X/)
şi deci
0 = x0 < xj < ... < x/7_i < xn = (3 constituie o diviziune pentru intervalul [0, p].
i) Dacă funcţia este pară, atunci orice sumă Riemann pentru intervalul [- P, 0] este sumă Riemann pentru intervalul [0, P], deoarece
a(/;A, s)= XK-K,))/(-y=Zk,^,)/fe).
i=0	i=()
Prin urmare, considerând şiruri de diviziuni cu norma tinzând la zero şi trecând la limită, obţinem:
fp/O) d*= J/Wdx
şi deci
rP ,	j*o	fP	fP
J ^ /(x) dx = j /(x) dx + £ /(x) dx = 2 £ /(x) dx.
Capitolul 2. Integrala definită
343
ii) Dacă funcţia este impară, atunci orice sumă Riemann pentru intervalul [- (3, 0] este sumă Riemann pentru intervalul [0, (}] cu semn schimbat, deoarece
a(/; A, £) =	(-x, -(-**,))/(- $) =
/=() /=0
Prin urmare, considerând şiruri de diviziuni cu norma tinzând la zero şi trecând la limită, obţinem
şi deci
J°/(x)d* = -j/(x)dx |j/(x)dx= |(/(x)dx+ £/(x) dx = 0.
Exemple		-li y2k+l
l.a)	f x2k dx = 2	[ x2k dx: = 2	
	J-p	2 k +
c)	r,1	pi* 1 2 -	7-dx = 2
	■Hi 1 + X-	1 + x“
2. a)	g1 II O	rP b) sinxdx: J-p
R2A+i	fi	fi
= 2—----; b) cosxdx = 2 cosdx;
2/c+r	^
Integrarea funcţiilor periodice Definiţie
O funcţie/: IR —» IR se numeşte periodică, dacă există T & 0, pentru care f(x + T) =f(x), pentru orice x e IR.
Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia/ Dacă există un cel mai mic număr T > 0 care să fie perioadă, atunci T se numeşte perioadă principală.
Observaţii. 1. O funcţie constantă verifică această definiţie, deci este periodică. Orice număr T e IR, T * 0 este perioadă pentru o funcţie constantă.
2. Dacă T este perioadă, atunci tot perioade sunt şi numerele de forma kT,ke7L,k*0.
344
Manual clasa a Xll-a
Propoziţie
Dacă funcţia periodică/: IR —> IR (cu perioada T > 0) este integrabilă pe intervalul [0, 7], atunci funcţia este integrabilă pe orice interval [a, b] a ]R şi în plus avem
rnT+T	ra+T
i)	/(x)dx = /(x)dx = /(x)dx , pentru orice n e IN, a e IR.
JnT	JO	Ja
pb+T	pb
ii)	/(x)dx =	/ (x)dx, pentru orice a, b e IR.
Ja+T	Ja
Demonstraţie
i) Orice diviziune a intervalului [nT, nT + 7] se poate scrie: nt = nT+x0<nT + + X| < ... < nT+ x/7_i < nT+x„ = nT + T, deci punctele 0 = x0 < X| < x2 < ... < x„_i <x„=T constituie o diviziune a intervalului [0, 7]. Datorită faptului că funcţia este periodică, orice sumă Riemann pentru intervalul [0, 7] generează o sumă Riemann corespunzătoare intervalului [nTt nT + 7] deoarece pentru e [xh x/+i] avem:
A,4)= tt(xM-xl)m)=;Z[riT + xM-(nT + xl)]f(ţi + nT).
i=0	/=0
Prin urmare considerând şiruri de diviziuni cu norma tinzând la zero şi trecând la limită, obţinem:
lr	= lf(x)dx.
Pentru orice număr real a s IR, există k e7L, astfel încât a e [kT, IcT + T\. Putem descompune intervalul [a, a + 7] în [a, kT + 7] u [^T1 + T, a + 7]. Ca şi mai înainte, orice sumă Riemann corespunzătoare intervalului [a, kT + T\, se poate scrie ca o sumă Riemann pentru intervalul [a - kT, 7], iar suma Riemann corespunzătoare intervalului [kT + T, a 4- 7], se poate scrie ca o sumă Riemann pentru intervalul [0, a-kT].
Folosind şiruri de diviziuni cu norma tinzând la zero şi trecând la limită obţinem:
pkT+T	pŢ	pa+T	pu-kT
J f(x) dx = [	f(x) âx, ( f(x)dx= [ f(x)dx.
Ja	Ja-kT	JkT+T	J0
ceea ce prin adunare duce la
J>a+T	pT
0 f(x)âx = £ /(x)dx.
ii) în final orice diviziune a intervalului [a + T, b + 7] se poate scrie a + T = = x0 + T < X| + T < ... < x„_i + T < x„ + T = b + Ţ şi în aceste condiţii orice sumă Riemann corespunzătoare intervalului [a + T, b + 7] este şi o sumă corespunzătoare intervalului [a, b], deoarece:
c(/> A, $)= fJ{xM+T-(xi + T))f(ţi+T)=fj[xM-xi]f&).
/=() ;=()
Deci folosind şiruri de diviziuni cu norma tinzând la zero şi trecând la limită obţinem:
J>h+T	ph
/(x) dx =	/(x) dx, pentru orice a, b e IR.
a+T	Ja
Capitolul 2. Integrala definită
345
Exemple 1	|*An+2n	r 2n |	•n _ pa-r2n
1.	sinxdx =	sinxdx =	sin.xdx = :
J	'An	Jo J	-n Ja
1	rÂ'7t-r2n	|*2 n	rn po + 2:
2.	cosxdx =	cos x dx =	cosxdx =
J	'An	Jo	J-n Ja
j	pAn+n	f n	rn/2
3- J	cos2xdx = 'An	cos2xcLx = Jo	cos2xdx = J-n/ 2
sinxdx.
n
cosxdx.
rb
4. Fie/: ]R —> IR o funcţie continuă şi impară. Să arătăm că J /(cosx)dx = 0,
pentru orice a, b e IR, cu a + b = (2k + 1)tc, k e 7L.
Soluţie
Funcţia compusă g(x) =/(cos x) este continuă şi periodică de perioadă 2tt, deoarece/(cos(x + 2n)) = /(cos x).
Pe de altă parte să observăm că graficul funcţiei cosinus este simetric faţă de
71
punctul de coordonate (— , 0) şi anume:
,K N	,71 x
cos (---c) = -cos( — + C).
2 2
Funcţia/este impară, deci
y(cos(~ -c))=/(-cos(-| +c)) = -/(cos/ + c)).
Rezultă că
— H	71	71
I*2 /(cosx)cbc = p /'(cos x) dx + j„2 /(cosx)dx=0.
2 ^ 2 C 2
Revenind la ipoteză, pentru k = 0, avem a + b = ti,.deci intervalul [a, b] este
/	~	. ci + b Tt
centrat (are mijlocul) in punctul —— = — . Atunci
h	n^h-a
J /(cosx)dx = |„2	/(cos x) dx =0.
° 2 2
Pentm a + b = 2kn + ti folosim periodicitatea:
r—+ n	f>2n	p2 An
0 =	„2 /(cosx)dx = /(cosx)dx = /(cosx)dx,
J—n	J 0	J 0
2
ra	*2kn+n-a	pn-a	*2kn+y.-a
/(cosx)dx = j /(cosx)dx = j /(cosx)dx + J /(cosx)dx =0, deoarece pe de o parte a + (tu - a) = tt, deci
f /(cosx)cbc =0,
Ja
iar pe de altă parte
J>2kn+n-a	/»2An
/(cosx)dx = /(cosx)dx=0.
n-a	Jo
346
Manual clasa a Xll-a
exerciţii* rezolvate
A. Să se calculeze: 1 xdx
1
••> -
J-l y
X 4- X + 1 dx
2. a) f2-F—7;
J' x{x2+\f
^ I
b> Lî?
b>I
dx
0	4x~ + 4x + 5
1	xdx
X 4-X
(X + 1)(X“ + X+1)
dx;
b) Iw-r2
'« (JC + 1)(jc2 -(- 3)
X^ + 1
dx.
a \ f1 *5dx 4-a) I
Jo ( V-
0 (x2 + l)(x2 +5) ’ x~ +1
(x2+l)(;r+3)
ji_îl±£±i_(U.
Jo
■a)
J2 X -x~
b>I
'» (x-l)Xx2 + l) •j (2x + 7)dx
1(1 (x + 3)2(x + 4)
Soluţii
1. Prelucrăm convenabil integrala şi avem succesiv:
2 ’
a)
i xdx
14
1
X' + X + 1
f !x+l dt-f
J--1 v“ 4- Y -4-1 J-
i dx
”l X" 4- X 4-1
X 4-X + l
r1 (x2 +x + l)' r1 J-' x2 + x +1 h
dx
V
/ rz\2
X H--
Vă
V 2 J
1 / 9 i\l1	2 2x +1
ln(x“ + x + 1)	—t= arctg—t=—
1 V3 V3
1	i f
= — (ln 3 — In 1) —j= arctgVă - arctg
2	v 3 ^
/ j A A
S
1 , -	1
= — ln 3-----t=
2 V3
f	/ \\
K	71
	v 6 ) j
1
= — ln 3---t=
2 lS
t-1
b) Facem schimbarea de variabilă x = cp(/), unde cp(7) = —, cp : [1,3] —> [0, 1].
Avem <p'(0 = ^ şi (f o cp)(/) <p'(0 = ^
Determinăm noile limite de
Capitolul 2. Integrala definită
347
integrare şi obţinem pentru x = 0, t\ = 1 şi pentru x = 1, t2 = 3. Conform formulei de schimbare de variabilă avem:
f dx _ 1 f3
4x2 + 4x + 5	2 t2
1 dt 1	t
— = — arctg — + 4	4	2
_l/
4
3	1
arctg—-arctg—
2. a) Descompunem funcţia raţională de integrat în fracţii simple şi avem:
1
A Bx + C Dx + E ■ = — + —,-+ -
x(x2 +l)2 x x2 + l (x2 + l)2
După efectuarea tuturor calculelor şi aplicarea metodei coeficienţilor nedeterminaţi, obţinem sistemul:
’ A+B = 0;C = 0;2A + B+D = 0;C + E = 0; care ne conduce la soluţia:
A = l;B = -\;C = 0;D = -l;E = 0.
Atunci:
dx	r2 dx c2 xdx
J' x2 +1
f2 dx	_ c2 dx f2 x^x f2	x	a -
■>' x(x2+l)2	~ '' T	_ J' x2+l	~ J' (x2	+1)2	dX~
= lnx|î -•^■ln(x2 +1)
+ -
1
2(x2 +1)
1 1 f = (In 2 -In 1) - — (in 5 - In 2) + -
I_il = 1 in i_JL
5	2)	2 n 5	20
b) Avem
(x2+3)(x + 1)	x + 1	x2+3
Prin identificare obţinem:
A +Bx + C _ (A + B)x2 +(B + C)x + 3A + C
(x + l)(x2 + 3)
1
A + B = 0;B + C=1;3A + C = 0=>A=--,B=-;C=-
4	4	4
Atunci:
£77
»(x + 3)(x + 1)
• dx :
-	1 r1 dx 1 r1 x
4 Jo X + 1 d Jo Y2
x + 3
> n
x +3
dx =
— ln(x + l) 4
1 f2x + 6 1 , , 1X	' 1	yfî X
+ - —	= — ln(x +1) „ 8 J x2 + 3 4	+ — ln(x2 + 3) o o	+ —arctg-p, o 4 a/3
= —[In4-In3]	- -[ln2-ln	1] + — -	=--	ln3 + —.
8	4	4 6	8	24
3. a) Metoda 1
x3 -f- x
Prelucrăm convenabil fracţia--------:------ şi obţinem succesiv
(x l)(x~ + X + 1)
348
Manual clasa a Xll-a
x34x	_ x34x4x2-x2	_	x(x24x4l)	x2
(x 4- l)(x“ 4 X 4 1) (x 4 l)(x2 4 X 4 1) (x 4 l)(x2 4 X 4 1) (x 4- l)(x2 4 X 4 1)
= _X_ _ (x2+x + l)-(x+l) = J _ _2_ +	1	=
X 4- 1	(x“ 4- X + l)(x 4 1)	X + 1 X~ 4- X 4-1
- 1 -
x 4-1	4x'+4x + 4
= 1 -
Atunci
X +x
x + 1
■dx= fdx-2 f-^ + 4 f
JO	JO yJ-1	JC
+ 4
1
(2x +1)2 +3 dx
(x4l)(x2 4X41)	J°X4l Jo(2x4l)2 4 3
Calculul integralei s-a redus la calculul unor integrale definite simple, care se propun ca exerciţiu.
Metoda 2
Se descompune în fracţii simple după regula cunoscută şi obţinem: ^
X 4 X
= 1 +
Bx 4 C
(x 4 l)(x2 4 X 4 1)	X 4 1 X2 4 X 4 1
şi se determină cu uşurinţă^, B, C (exerciţiu independent).
i_\	X* 4 1	1	3 i\T l
b) ""2~ ,v 2	= -4+ l)|
(x 4 l)(x 4 3)	2
1 3	1	^ X3 4 1 X3 4p
X2 4 3 y	2	^ X" 4 1 X~ 4 3^
X 4
l -x X~ 4 l
- 14
1 -3x
x2 4 3
x -1 3x -1 -4-
X24l X2 4 3
î	71 2x	1 3		f 3 2x	i V
2	k2 X2 4 1	X~ 4 1 y		(2 x2+3	4 i	
Atunci
X 4 X
3-ln(;c2 +1)
j®(jc + 1)(jc2+;c + 1)
I	Y f
- arctg x|
dx =
V
— ln(x 4 3)
'iarc,4
1 \
°y
3	(ln 2 - ln 1) -	- 0) -—(ln 4 - ln 3) + -4= (arctg -4= - arctgO)
2	4	2	V 3	V 3 1
1 , 0 3	4 K 7T
— In 2 — In---4 —pr
.2	2	3	4 6V3
Altfel, se poate calcula integrala aplicând descompunerea în fracţii simple:
X3 4 1
(X24l)(x2 4 3)
Ax + B Cx + B	...
—;-----4—^------ (se propune ca exerciţiu).
X44l X'4 3
Capitolul 2. Integrala definită
349
4. a) Metoda 1 Prelucrăm convenabil funcţia raţională
(x2 + l)(x2 + 5)
este mai mare decât gradul numitorului şi obţinem succesiv:
; gradul numărătorului
r5	= Ix5	f 1	1 ^	_ î	5 X	X5
(x2 +l)(x2 +5)	4	U2+i	+ i	4	x2 +1	x2 +5
3	, X
X —x +
x2+\
4x + -
25x
x2 + 1 x2 + 5 Integrând, obţinem:
3 c 25x
x -5x + —---
x2 + 5
. 2x _ 4xh----r----25-
2x
2(x2 +1)	2(x2+5)
f_
J() ( r2
*5 A 1
,	----:-----dx = —
(x- + l)(x2 +5)	4
= J_ 4
2x2| +-bn(x2+l)	——ln(x2 +5)	1
i o 2	0 2	0
2 + — In 2 - — In 6 2 2
Metoda 2
După ce se face împărţirea lui x5 la (x2 + l)(x2 + 5) se efectuează descompunerea în fracţii simple (se propune ca exerciţiu).
b) Metoda 1
Prelucrăm convenabil funcţia raţională de integrat şi obţinem:
x2 + x +1
(x-1)2 +3x
1
+ 3-
(x-1)2(x2 +1) (x-1)2(x2 +1) X2 +1	(x-1)2(x2 + 1) ’
Descompunem fracţia raţională
(x-l)2(x2+l)
în fracţii simple şi obţinem:
A B Cx + D
+-------T-+-
(x-l)2(x2+l)	x-1	(x-1)2 x2-fl
Calculăm coeficienţii A, B, C, D astfel:
(1)
1
a)	înmulţim (1) cu (x - 1) , facem apoi pe x = 1 şi obţinem B = —. înlocuim
în (1) pe B = ^ şi obţinem:
1
A Cx + D + -
(x-l)2(x2 +1)	2(x-l)2	x-1 x2+l
350
Manual clasa a Xll-a
2x — x2 -1
1
(x-1)2
A Cx + D + -
2(x-l)2(x2+1)	2 (x-l)2(x2+l)	x-1 x2+l
1
=> A = 0, C = 0; D = -
înlocuind, obţinem: (2)
(x-l)2(x2+l)	2(x-l)2	2(x2 +1)
Integrala devine:
x~ + x +1
1*2 X~+X + [	p dx +	p Clx 1 r~ C
Jo t r2 - IV r2 4- H	Jo Y2 4- 1	9 Jo (y-\Y-	9 Jo r2
(x - l)(xz + 1)	x£ +1
3 r1 dx 1
1
dx
1 n dx
j r1 ax	ir
9 Jofr_1\2	9 J()
2 Jo (jc —1 )2	2 x2+l
dx
2 J"(x-\y	2 x2-hl
3	f i ^	1 1
—	l x-1 J		arctgx
2		0 2
\_
2
0
9
2
2
1
arctg -.
Metoda 2
Descompunem direct în fracţii simple:
x2+x + l _ A B Cx + D
(x2-l)(x2+l)	x-1	(x-1)2 x2+l
_ x	x+1 x~ +1	x2	1	1	1
5.	a) —------^	------ = —5------ + —--- =----- + —-----
x3-x"	x~(x — 1)	x”(x-l) x (x-1)	x-1 x~(x — 1)
Descompunem în fracţii simple --- -- şi obţinem:
x~ (x — 1)
1	ABC
— ---------1——-i---;
x'(x-l)	X X" x-1
atunci după identificare avem: y4=-l,2? = -l,C=l. înlocuind, obţinem:
r3 x2 +1 hx'-x
2
dx = 2
r3 dx ^~x^\
21n(x-l)| ^ - lnx|
3
2
A	18
--- = 21n 2 - In 3 + In 2 - - = In -3 2J	6	3
2(ln 2 - In 1) - (In 3 - In 2) +
Metoda 2 (direct descompunerea în fracţii simple pentru expresia de integrat)
6 '
x2 + 1	A	B	C
—------- —----1--— H----,
x~ (x — 1)	X x~	x-1
unde A, B,C se determină cu metoda cunoscută. Continuarea se propune ca exerciţiu.
Capitolul 2- Integrala definită
351
b) Prelucrăm convenabil funcţia raţională de integrat şi obţinem 2x + 7	1	1
Atunci
J;
(x + 3)2(x + 4)2 (x + 3)2 (x + 4)2 (2x + l)	0 dx	dx
(x + 3)2(x + 4)
n ax _ p
2	1° (x + 3)2	1“
(x + 4)
1	1 2 + 0	1	1 2	/ 1	X 1	+	f	\ 1 1
x + 3		x + 4	0	i + 3	0 + 3		1	+ 4 0 + 4
				U	)		U	J
19
252
~ 2x~ -f-1
Propunem ca exerciţiu calculul integralei definite	——— dx, aplicând
observaţia de la 5. b)
(x2-l)3
B. Să se calculeze:	
l.a) [ r r dx; •*° (Vx + 2)(Vx +1)	
2. a) [ ,— dx; Joi+V7	«i:
x r-r dx	»>i-
3. a) f,2		, ; 3 (l + x)vl+x-x“	
■yfx + 2
dx.
Vx(5 + 3Vx) dx
1 + v/ x" + 2x + 2 xdx
X + Vx2 -x + 1
Soluţii
1. a) Fiex = cp(t) = r, t = Vx , t> 0, (p'(0 = 2/> 0, t-2?	fx = 0=xp"'(0) = 0
(/■°(p)(0cp'(0 :
(2 + 00 + 0 lx = lr^(p-|(l) = l

2/2
j» (2+ 00 + 0
= 2
Odt
Jo 0 + 2)(/ + 1)
= 2 f/2
Jo
1
1
î +1 î + 2 0-1 + 1
dt = 2 f
Jo
'Jl
ll/ + l
•d t -
ţ'rât ™ 1 + 2
t + 1
t2
t + 2
— t ~ 1 + -
t + 1
/ +1
0-4 + 4	. 4
t-2 + -
t + 2
înlocuind, obţinem: f 20dt
= 2 /-1 +
° (2+00 + 0	-H	t + i
î
t + 2
t-2 + -
t + 2
dt =
352
Manual clasa a Xll-a
= 2 f(l + —-----—
H t+1 t + 2
d/=2[/|;+ln(l + 0|;-41n(/ + 2)|;
= 2+ 10 In 2-8 In 3.
b)	x = (p(/) = r, / > 0; (p'(/) = 2t>0,t= -Jx ,
(fo <p)(0tp'(0 = -7^-2;=	^ ^-'(1) = 1, (p-'(2) = V2 ;
/(5 + 3/)	5 + 3/
obţinem:
f
2 +	0 f A t + 2
—7=------7=-ax = 2\	-----
Vx( 5 + 3Vx)	Jl 5 + 3/
d/
(rezolvarea şi finalizarea se propun ca exerciţiu)
2. a) Evident x> 0 şi fie x = <p(/) = /5; cp'(/) = 5Z4 > 0 => (p~'(0) = 0 şi cp~'( 1) = 1
/ • 5/4	5/5
(/■° (p)(/)(p'(0 :
1 + /2 1 + /2
Atunci
r' Vjc ■ dx = 5 rd/.
Jol + /2
J°l+V7
Dar
şi atunci
1 + /2
= /3 - / + (
f- +1
5 f'-^ =5 Jo 1 4-/2
/ 3		f 1 1 3
/ + ?	un II "O	
/ +1)		14 2 J
Jol + /- JOI
b) Aplicând metoda substituţiilor lui Euler, transformăm integrala într-o integrală dintr-o funcţie raţională.
Fie
/2 -2 ,x . x 1 /2 +2/ + 2 x = —----------- = cp(/> şi (p (/) =
2(1 + /) ' ' ' ’ ’ v/ 2 (/ + 1)2
Funcţiile se definesc astfel:
t = (p_l(x) = x+ ^x2 +2x4-2 ,
[&, 1+ V5]^ [0, l]ilR, x-0=>t= V2 ,
x = 1 => / = 1+V5 ,
In final avem
r1	dx	_ 9 r+A	/2 + 2/ + 2
■’M + Vx2 +2x + 2	f (/ + l)(/2+2/ + 4)
Capitolul 2. Integrala definită
353
Din descompunerea în fracţii simple a funcţiei /2 + 2/ + 2 1
/ ~ + 21 + 2
2 +—
(/ + 1)(/2 +2/+ 4) t + \
obţinem:
(/ + 1)(/2 + 2?+ 4)	3(/ +1)	3r+2/ + 4’
de unde rezultă ♦Vi /2 + 2/ + 2
r
J>/2
= — ln(/ +1)
1+V5
+ — ln(/2 + 2/ + 4)
VI 3
^ (/ + 1)(/2 +2/+ 4)	3
3. a) Utilzând substituţiile lui Euler, obţinem:
n-------r , ,	1-2/
Vl + x-x“ = tx+ 1
i+Vs
VI
2, 22 + loV?
= -In------;=- .
3	5 + 4VI
Efectuăm schimbarea de variabilă
1-2/
x = (p(/) =
t2 +1
<p'(0 =
Se determină funcţia inversă l = cp '(x) =
t2+l'
2(/2-/-l)
(/2+l)2
Vl + x-x2 -1
Determinăm noile limite de integrare şi obţinem:
1 _,ro
-	pentru x = — => /, = (p
1
-	pentru x = — => /| = (p
Aplicând metoda schimbării de variabilă, obţinem: dx	„ rVu-3 d/
v3y
UJ
= VTT — 3 : = V5-2.
F
= - 2 f ----------
JVI-2 ,2_;
- 2 arctg (/ ■
3 (1 + x)yll + x-x2	2 /Z-2/ + 2
Propunem ca exerciţiu calculul integralelor:
J_ ________ I “ 2
1. J,2jca/jc — jc2 dx; 2. J,2——— dx.
3	I
b) Aplicând substituţiile lui Euler sub forma
r~y-------	t2 — 1
Vx“ -x4* 1 = t-x, obţinemx = cp(/) =-------------,
2/ -1
„ N 2(/2-/ + l) .	f—7-------7	_i, ,
iar (p (/) = —şi t = x+ Vx“ - x +1 = 9 (x).
(2/-1)2
Evident (p'(/) > 0.
Atunci
(f° (p)(/) • (p'(0 = 2
r -t + \
/(2/-1)2
x = 0 => / = (p_l(0) = 1; x = 1 => / = qf'(1) = 2.
| VTT-3
I Vs-2
354
Manual clasa a Xll-a
înlocuind în funcţia de integrare şi aplicând a doua metodă de schimbare de variabilă, obţinem:
r1 dx	. r t2 -t +1 t
----i==^=--===r =2	-------dt.
JoxWx2-x + l
Descompunem fracţia raţională în fracţii simple şi obţinem:
t2-t +1 A B C - +----------------+ -
t 2t -1	(2t -1)2
După efectuarea calculelor şi identificare găsim:
3	3
A = l,B = --,C=~; 2	2
înlocuind, obţinem:
21,
'	dţ= 21
r(2?-l)	1
2 dl 3 f2	dt
ar i r
T~ 2 Ji
+
3
i 2f - 1	2 h (2t- Xf
r
dt
= 2
lnt| * - — ln(2t-l)
2 2/-1
2\
I J
3	3 13
= 2(ln 2 - — (In 3) - — - +-) = 2	2 3	2
2(ln 2 - - In 3 + 1) = 2fa-—1”:27 + 2
27
/
C. Să se calculeze: 1. a) J Vev -1 dx;
ex dx
2. a) f —
<y+l)(2*rv+l)’
b>i

■°e2x+e-2x
dx.
dx
x(l + In x)(3 + In2 x)
fi e'-1	fi x2"-1
3.	a)	J-—- dx;	b) —d-------dx, n e IN*.
V ex +1	J"x4" + 1
Soluţii
1.	a) Efectuăm substituţia:
Ver -1 = t => ex - 1 = t2 =>	= 1 + t2 => x = tp(t) = ln( 1 + t2) =>
2t
=> (p'(0 = -—; pentru t > O, tp'(0 > 0;
t = <p~'(x) = ylex -1 .
Schimbăm limitele de integrare:
- pentru x = O => /| = <p“'(0) = ^e° -1 = 0;
- pentru x = 1 => t2 = tp-1 (1) = Ve-1,
(f° <p)(/)q>'(0 = * ■
2t
\ + t2
212
1	+ t2 ‘
Capitolul 2. Integrala definită
355
Conform formulei de schimbare de variabilă, avem:
t2
1 + r
d/ = 2
fv^i	fvcr dr
dr -	------
Jo	Jo \+f-
2\t

-arctg/
|0^) = 2(Ve-l -arctgVe-1 )•
2. a) Facem substituţia ex = t
• x = cp(/) = In t (r > 0) => cp'(Z) = - > 0.
/
Schimbăm limitele de integrare
x = 0 => / = cp !(0) = e° = 1; x = 1 => / = cp '(0 = e-
(fo (p)(r)(p'(r) =---------------
(r + lX2r + l) /
Conform formulei de schimbare de variabilă, avem:
, r dr	r( 2	1 >
I
J« (ex + \)(2ex +1)
= ln(l + 2r)|;-ln(l + 0|;
^ = f
1 (f + l)(2/ + l)
f
111 + 2/	1 + r
dr =
In
1 + 2/
1 + r
= ln
l + 2e
1 + e
.	3	, (2 + 4e^
In — = In
3 + 3e
b)	Evident, facem substituţia:
x = e' => x = cp(r) = e' => cp'(r) = e' > 0, r = In x = cp'’(x); x = 1 => t\ = cp-1 (1) = In 1 = 0; x = e => ti = cp"'(e) = In e = 1
1 , 1
(f° <p)(0<p'(0 :
-e =
e' (1 + In e )(3 + (In ex))2 '	(1 + r)(3 + r2)
Conform formulei de schimbare de variabilă avem:
p	dx	__ r1 dr
* x(l + In x)[3 + (In x)2 ] ~ Jo (1 + r)(3 + t2)' Descompunem fracţia raţională în fracţii simple şi obţinem:
1
A Bt + C
(1 + r)(3 + r2)	1 + r 3 + /2
După aducerea la acelaşi numitor şi efectuarea calculelor, obţinem:
C= - şi B 4
Finalizarea o lăsăm ca exerciţiu. 3. a) Facem substituţia
ex -1
ex-l ex +1
= /:
ex +1
= r
e =
1 + r2
l-t2
4
x = ln(l + r2) — ln( 1 — r2).
356
Manual clasa a Xll-a
Schimbarea de variabilă este:
/ \ i 1 + /“	,	21
* = <p(0 = ln-—j-, cp'(0 = -—2 l-t	l + r
Funcţia inversă este:
+
21
l-t2
2t
1 1
1 + t2 1 -t2
41
(1 + /2)(1-/2)
t = cp (x)
Schimbăm limitele de integrare:
- pentru x = O => t\ = qf'(0) = 0;
e -1 ex +1
- pentru x = 1 => t2 = (p '(1):
e-l e + l
Aplicând formula de schimbare de variabilă, avem:
t2	,	„
e'-l	/Eî dx = 4 r L'+1 -
\l ex -1	Jo
2fJă	dt 2 J
Jo	t +1
	= - 2 arctj
(1 + / )(!-')
t2-l + t2+l (\ + t2)(l-t2)
dt =
d t
e-l e + l
In
/ + 1
t-l
-In
■Je-l --Je + l
4e-1 +4e +1
b)	Facem schimbarea de variabilă:
x = yft , t > 0 => <p'(0 =
t =■

Determinăm limitele de integrare:
-	pentru x = 0 => t = (ff'(O) = 0;
-	pentru x = 1 => t = (p”'(l) = 1.
Aplicând formula de schimbare de variabilă, obţinem: r1 x2"~'dx	1 r' tdt _ 1 j-i 2t
« x4"+l ~ ~n Jo?+T ~ 2n '°77l~
= ^arCtg(1 + '2)ll =^(arCtg2_f)
D. Să se calculeze:
■ rc/2	dx
1 o 1 + sin x + cos x 9 rn/3 dx

!.a) f
Jv
n/4cosx-sin x
b) I
71/4 sin" xcosx
J>n/d n/4 ci
0 sinx + cosx
,n/3 dx
dx.
smx-cos" x
Capitolul 2. Integrala definită
357
dx
sin2 x-5sinx + 6 ’
dx
1-tg2 x ’
dx
cos2 x-7cosx + 12 dx
1 - ctg2 x
cosx
■;----r-d*;
1 + COS" X
dx
sinx + ctgx ’ tg Xyjtg x dx;
*/2 sinx 1 + sin2 x
*7i/4 dx
dx.
J'TI
o
b) [
J,t/6 cos x + tg x
b)	f ctgxjctgx dx.
J 0
Soluţii
1. Facem schimbarea de variabilă:
x = 2 arctg t = <p(/) => <p'(0 = j-~jţ >0,t = tp~'(x) = tgj.
Determinăm noile limite de integrare şi obţinem:
- pentru x = 0 => / = cp^'(O) = tg 0 = 0;
pentru x = — 2
-1 , TC \
*-<p <T>-
K
tg 4 =1‘
Calculăm (f o cp)(^)cp'(/):
1
1 + /
Aplicând formula de schimbare de variabilă, obţinem:
fi dx	r1 dt
J0 1 + cosx + sinx J°l + ^ b) Facem schimbarea de variabilă:
= ln(l + 0|; = In 2.
x = arctg t=> 1 = tg x = cp '(x) => (p'(0
I
1 + t2 '
Determinăm noile limite de integrare şi obţinem: - pentru x = 0 => t\ = cp-1 (0) = tg 0 = 0;
71	_ i 7X	71
- pentru x = - => /, = cp (—) = tg — =1.
4	4	4
t2
Atunci (f ° q>)(/)(p'(/) =-----------------7 .
(t +1)(72 +1)2
Aplicând formula de schimbare de variabilă, obţinem: p sin2 xcosx	r> t2dt
-’0 sinx + cosx	J0(t + l)(t2 +1)2
358
Manual clasa a Xll-a
Calculăm F(t) o primitivă a funcţiei:
(/+i)(/2+D2
şi obţinem:
1
1	/ + 1	1 j , 1 \
— ln(r+l).
F(0=-ln(/+l)-- 2 i o 4	4 t1 +1	8
Aplicând formula de schimbare de variabilă obţinem: n sin2 xcosx r1 f
f-
sinx + cosx
(/+i)(/2+i)2
d t =
1 1 t + 1	1 \
0 4 t2+l	ln(r +1) 0 °
2.a) jf-
= -ln(/ + l)
=- In 2 --(1-1) -- (In 2-0)=- In 2. 4	4	8	8
dx
cos x sin" x
Metoda 1
Se poate utiliza schimbarea de variabilă
<P(0 = 2 arctg tşit = <p''(x) = tg^ => tp'(0 = Schimbăm limitele de integrare şi obţinem:
- pentru x = - => tx = <p (- )= tg - ;
1 + t2
>0
- pentru x = — => t2 = cp" (-)= tg
3	3	o
Atunci
(f°<p)(0<p'(0:
1
2x3
0 + 0
1 -t2 ( 2t V 1 + t2 (l-t2)-4t2 1 + t2
1 + t2 '
2x2	i .
2(l + l2)2 = 4t2(l-t2)
(1 + t2)2	_ 1 + 2r + t
1
+
1
+
2t2(l-t2)	2/2(l -t2)	lt2(\-t2) l-t1 2(1 -t2)
+ -3— + t2~l + l
---+
2t2(l-t2) l-t2	2(1 -t2)	2/2 (1 — /2)	l-t2 2	2(1 -t2)
1
1
2t2(l-t2)	2(l-r)	2
Aplicând formula de schimbare de variabilă, obţinem:
fT &	= ft
|n	. i	| rt
mc rcin" r Jijî-
4( d t
\_____J_
cosxsin2x Jl«f^2/2(l-r2)	2(1 — /2)	2
+ -
ât =
Capitolul 2. Integrala definită
359
2
l-t2 + t2
d/ + 3
4 d t
|Tt
-1
= In
1-f 1 + 7
V3
3
Jt
H
V3	V3
13	13
---1
Metoda 2
Integrala se calculează cu uşurinţă scriind funcţia sub o formă convenabilă trigonometrică. Astfel:
71
dx
- 2
cosx sin- x
u
1 cos xdx
cos2 xsin2 x
4	4
Dacă facem sin x = t obţinem integrala:
n
fi
(sin x)'
sin2x(l-sin2x)
dx.
V3
r~ d t	r^~| i_
Jv5/2(l-r2)	J^[l-?2 t
4i i
n. î.i-i
+ — df = — In
2	1 + t
Ml
2 1
H t
2
2
Şl
2

= -ln-2
2 -il„
i-M
2
f
l+S 211'i+V2 V.V3 V2y
2 2
1	. 2-V3	1 . 2-V2	V2-V3
= — In--r=---In---j= - 2--7=— =
2 2+V3 2 2+V2 V6
_1	2-V3	2 + V2 0(V2-V3)-V6_
2 n 2 + V3 ' 2-V2	6
1 , (2-V3)(2 + V2)	2V3-3V2
= Iln(2+VJ)(2-V7)----—■
= |n(2-VJ)-.(2^ + 3 (3 V2 -2V3 ) =
= ln(7-4V3)(3 + 2V2) +	(3V2 -2^3)
Observaţie. Metoda a Il-a este mult mai rapidă decât metoda 1. Metoda 3
1
cosx sin" x
sin" xcos~ x
cosxsin" x
1 cosx ---+----r-
1 (sinx)'
h «
cosx sin x cosx sin"x
360
Manual clasa a Xll-a
71	1
Se calculează o primitivă a funcţiei g : (0, —) —> IR, g(x) = --- şi apoi se
2	cos*
calculează cu uşurinţă integrala dată.
b) în mod asemănător se calculează şi integrala L3—
J4 sir
1 1 1
dx
3. a) —
1
sin~-5sinx + 6 (sinx-2)(sinx-3) sinx-3 sinx-2
K
f-
Jo Cir
dx
-I
sin" x-5sinx + 6 Jo l sinx-3 sinx-2
1
1
dx = r
Jc
dx
dx
Integralele I\ = f2——— şi /2 = f2——— sinx-2	Jo sinx-3
schimbarea de variabilă
0 sinx-2 Jo sinx-3 se calculează utilizând
x = 2 arctg t şi t = (p '(x) = tg ^;
sin x =
2lgf 2,
(f° «pXOvXO =
I+«1 1+'
1 2
; <p'(0:
i + r
1 + t2 ’
2/	2 1 + /2 it-i-it1 1 + t2 t-i-t2'
1 + t2
Determinăm noile limite de integrare şi obţinem:
-	pentru x = 0 => t\ = (p"'(0) = 0;
71	_i . 71
-	pentru x = — => t2 = y (—) = 1.
Aplicând metoda de schimbare de variabilă obţinem: rf dx = r1 dt sinx-2 J°t-l-t2 9
integrală care se calculează cu uşurinţă şi se recomandă ca exerciţiu.
dx
Observaţie. Se poate calcula integrala I(a) = |2--------- (a > 1) utilizând aceeaşi
Jo sinx-a
schimbare de variabilă.
b) Se va proceda ca la exerciţiul 3, a (se propune ce exerciţiu).
Capitolul 2. Integrala definită
361
4. a) Facem schimbarea de variabilă x = cp(7) = arctg t => cp'(0
1
> 0, t = cp '(x) = tg x.
1 + t2
Determinăm noile limite de integrare şi obţinem:
-	pentru x = 0 => t\ = (p~'(0) = tg 0 = 0;
K	-1/ ^ x ti V3
-	pentru x = - => t2 = cp (-) = tg - = — .
o	o	o 3
if° <p)(0<p'(0 =
1
1
l-t2 1+t2
Conform formulei de schimbare de variabilă obţinem:
Vî
iT-
f-
dx
d/
(1-tg x)
(l-r)(l + /2)
V3
rf—
Jo ll-72
1 + t2
= iln-^ 2 1 + /
b) Se face schimbarea de variabilă
	3	
In		71 j	
	, Vă	i 6
	l 3 )	
V3
+ arctg/| =
1	3-V3	n
= — In---+ — .
2 3+v3	6
x = (p(7) = arcctg t => (p'(0 = ~
1 + r
<0
şi se procedează ca la punctul a). Se propune continuarea rezolvării ca exerciţiu.
5. ă) Scriind convenabil funcţia de integrat, obţinem:
cos* ii= fi	rfjsin*)'
Jo 2-sin“x Jo bilă x = arcsin t =
>0, t e (- 1, 1).
71
f2-
Jo ].
- dx.
+ cos" x J0 2-snTx Jo 2-siirx Facem schimbarea de variabilă x = arcsin t = (p(/); evident ftmcţia cp(- 1, 1) —> IR 1
este derivabilă şi cp'(0 =
Vî-7
Funcţia inversă t = cp *(x) = sin x. înlocuind obţinem integrala [
JO
I dt °2-t2
care
se calculează cu foarte multă uşurinţă, b) Se face schimbarea de variabilă
x = cp(7) = arccos î = cp(7) => (p'(0 = -

<0,/e(-l,l)
şi se procedează ca la punctul a). Continuarea rezolvării se propune ca exerciţiu.
362
Manual clasa a Xll-a
6.	a) Avem
1	_	1	_ sinx _ sinx
sinx + ctgx sin x i CQSX sin2x + cosx l-cos2x + cosx sin x
Evident făcând schimbarea de variabilă x = arccos t, î e (- 1, 1) obţinem funcţia: if° <p)(/)q>' (/)=
V-t-\
t = (ff‘(x) = COS X.
în final avem de calculat integrala I =
S Af
[— dt
He-t-1
. Continuarea rezolvării
se propune ca exerciţiu.
b)	Se procedează ca la punctul b) cu schimbarea de variabilă: x = cp(/) = arcsin / => cp'(/) =
Continuarea rezolvării se propune ca exerciţiu.
1
VE7 ‘
7.	a) Se face schimbarea de variabilă
2/
x = arctg t2 = (p(/) => <p'(0 = -—ţ ; *
1 + r
{fo cp)(/)(p'(0 = t ■ r ■ -Ap 1 + t
Noile limite de integrare sunt:
- pentru x = 0 => t\ = cp_1(0) = 0;
<p~'(x) = Jtgx 214
1 + r4 '
pentru x :
4
Avem de calculat integrala
f r4
1=2 f-^-dr.
J°l + /4
Polinomul de la numitor se descompune în IR, sub forma: 1 + /4 = (i + r + / 4î )(i +12 - 14l)
Descompunem în sumă de fracţii simple fracţia 1	At + B
1
i+r
Ct + D
şi obţinem:
1 + ?4
t1 +
t42 + 1
* t4~2 +1
Efectuând toate calculele indicate şi identuând coeficienţii, obţinem:
A =- C= -2=;5 = D=
2V2	2
Capitolul 2. Integrala definită
363
înlocuind, obţinem: r1 d t
1 1
-1 H----
f'JE_ = f ^ r? d,+ f 2V2 Z
Jol + t4 Jor2 + /V2 + 1	Jo/2-/V2 + l
V2 f' 2? + 2V2 V2 r' 2/-2V2 ,
= — -------p=—dt-------------r=—dt =
8 J<’/2+V2/ + l 8 J®r2 — V2/ + 1
— [ln(r + 4lt +1) - ln(/2 - 4ll + 1)
1 1
rt+-
2^	2dt =
[arctgţV^t + 1) + arctg(V2i
t~ 1)

= — [ln(2 + V2 ) - ln(2 - V2 )] +
8
Jî
+----- [arctg( V2 +1) - — + arctg( V2 - 1) - — ] =
4	4	4
In ^ + ^ +-^3- [arctg (V2 +1) + arctg(V2 - 1) - — ] =
8	2-V2	4	2
-^3 ln + ^ + ^3 [arctg (V2 + 1) + arctg( V2 - 1) - —
8	V2-1	4	2
Evident
fi /**	fi
I -—df = [ d/ -J = 1 -J. Jo	+ 1	Jo
Propunem ca exerciţiu calculul integralelor:
xt	___ 7t	____
1. |4sinx^/tgx dx;	2. J4 cosx^/ctgx dx.
exerciţii propuse
A. Utilizând metodele pentru calculul integralelor definite, să se calculeze următoarele integrale:
l.a) f
J(j
dx
0 X3 + 1
dx
3	5
x~ +x
dx
4	7	1
X + X~ +l
dx
x3 - 3x + 2 ’
364
Manual clasa a Xll-a
3. a) f-^r;
J<' x4 -1
dx:
4.	a) f -f—
J-' x3-l
5.	a) f -4X'~l dx ;
J" x4 +x2 +\
6. a)[
1	dx
x — y/x2+ 2x + 4
7.	a) f J— dx;
J» Vx + 1
8.	a) [75 -----^	;
°	(1 -X2)Vl +X2
r 2
9‘a) I
dx:
1 xVl + x3
_l_	5
10.	a) p-=L=ck;
Jo VT^7
11.	a) f e^' dx ;
Jo
12.	a) f sin Vx dx;
Jo
13.	a) J ln(x + Vx + l)dx ; -dx;
,4a)
15. a) f
2 COsV*
— I
dx
Vl - X2
arcsin x
_ x r? sin“x + sinx
16. a) “------------------dx;
Jo
1 + sin x-f cosx
17*. a)	dx;
Jo sin3 x-f cos3 x
18*
•a) f
arctg x x + 1
dx;
b) f T77
dx
Jl x(x~+x + l)
b) f-^dx;
Jo x3 + 1
b) J'-^dx;
J(l x +1
»> J3
dx
2 (1 + x)Vl -X2
b) f+7^
b) f. 3JX + * dx :
x + 2

dx
1 xVx4 + x2 -f 1
b>i
> x°
“Vî+x1
rdx ;
b)	+ e )dx;
b) f cos V* dx;
Jo
b) f ln(x 4- V1 + x2) dx Jo
b)f
cosx
V2
rdx;
+ cos x
•»£
1 e“'‘'4t

1X f? cos2 x +COSX .
b) Jt—------
1-f sin x + cosx
xcos3 x
b) [2-J() si
r71 (1 + x)sinx
sin3 x + cos3 x
dx;
b>J,
_ dx; 0 2-sin~x
Capitolul 2- Integrala definită
365
ni- r+1 sin/ , 19. a) hm ---------------d/;
,->00 J, t
20.
a) hm f2”"-*:—>() Ji; 1
dx
+(tg,)

21. a) f
Jc
tg,
22. a) p-
J() ci
0 1 + cosx sin 2x
dx;
sinx + cosx
-dx;
x n sin2x a 23*. a) I2—-----------—dx-,
VU Clr
sin4x + cos4x
n	3
..	. COS X ,
24. a) p--------rdx;
l + e
e +cos,
•dx;
25.	a) p-^
Jo e + sinx + cosx
n
26.	a) hm |2 x2 cos2'7 x dx;
n—><x JO
n
21*. a) hm [2sin/7xsin^?x dx;
7 n->oc JO
7t
28. a)	tg x tg 2x tg3x dx;
n
29.	a) [2 sinxsin2xsin3x dx;
Jo
30*. a) F-------—-------
Jo cosxcos2x
dx;
b) hm f e v cosxdx.
Jo
b) hm f e~ax sinbxdx(a>0,a^b)
n-yx- Jo
b)jic,g*
■ dx.
b) p-
Jo ci
2 1 + sinx cos2x
»>jh
0 smx + cosx sin2 xcos x
dx.
dx.
sin x-f cos x
b) J arctg(e'v)dx.
sinx
■ dx.
n
b) p-
Jo e* + sin x + cos x
b) hm [2 cosrcxcos" x dx.
n—>oc Jo
b) lim [ —-l4§_'5- ^
"->* Jl x(x + l)
n
b) p tg x tg 2x dx.
71
b) p
cos x cos 2x cos 3x dx.
b) p-
dx
sinx sin 3x
-dx.
B. Să se calculeze următoarele integrale definite, stabilind relaţii de recurenţă:
x^dx	t x p x"
l.a) f
j i
J*.a) f -
Jo
0 V*2 + X + 1 dx
b> £
V1 +X2
dx.
x" "\[\ + x4
b) f —
Jo v"
dx
3. a)
cosxdx;
b4
x77(x + X + 1)
x77 sin/7xdx.
366
Manual clasa a Xll-a
n
4*. a) J4tg/7xdx;
C. Să se calculeze:
l-a) j;-
sin x
0 sin3 x-f cos3 x
dx;
dx
2- a) f-
Jo sin x + cos x 4-1
n
3.	a) J4ln(l + tgx) dx;
4.	a) r;(£±02Ş£.
2 xvl + x2
" dx
, fT a
a) hi,

dx
6*. a) jj-
7.	a) fJ-
J() cosx(cosx-Ksinx)
8.	a, Jf *
9.	a) f
J (
!- r~-	3
4 V sin x cos x tg xdx
■4
COS x +COS3 X
1 e
arcclg .v
10*. f
J(
(1 + *2)2 1 ln(l + x)
0 1 + x2
dx;
11. a) f', (a + Qarcctga
2 xvx2+l
....	\	I*1 X ~ + X + 1 arna v t
12*. a) —--------<? 8 dx;
J° x2+l
n
b) | “ ctg'?x dx dx.
dx
°sin4x4-cos4x
4 tg2*
b>l
b) j
J() 1 + cosx
n
b) J3 ln(l + ctgx) dx.
-dx.
b) f
7 cos xdx
V2 + cos 2x
b) 0
7 dx
b) 0
^ctgx
dx
w £
4 Vcosxsin3 x ^ |sin(2arccosx)
b) n
V1 — x2 dx
dx.
2 Vl -x2 (arccosx)2
b>I
b) j;
b>J,
b> J<
arctgx
arctgx + arctg(l -x)
VI
-dx.
arcsin x
dx.
arcsin
Vl + x2
dx
0 3 4- sin x 4- cos x
D. Să se calculeze următoarele integrale folosind o schimbare de variabilă.
!	î
ee’- A dx;
I. 1
fee Y
a) f — dx;
J I r“
re e x
b) f ~~t
X2
Capitolul 2. Integrala definită
367
2. a) P .-----ds;
Jl xv 1 +In a:
71
3*.a) 2 cos2 x sin 2x dx; J o
«, . 1 r- sin-
4. a) f;—^dx: J 1 x“
rhi2 /--
b) I V<?A
Jo
•1 dx ;
b) f2
Jo
2 sin5 x cos 2x dx;
cos-

f~4 COS X
5. a) J — dx;
Vsî
sinx
II. a) j
, ln(l + tg.v)
dx;
III. 1*. a) f
J i
o 1 + x“
27C	dx
■» ii
o (2 +- cos x)(3 +- cos x) ’ 1
-dx;
2 + cosx
2
n
3*.a) 2 sin3 x • cos x dx; Jo
4*.a) J,!
3	1
cos x-sin x
dx;
5. a) f2 -3—dx; sin3 x
IV. l.a) J* VT -x2 dx;
>• r
3. a) J
h 1 T
F-x î
f 4 sin x
b) I „ 7/-------dx ;
vcosx
2
Jn(l + cigx)
r1
b) ------------— dx;
h 1 + r2
2
1 + x2
2» (cosx-sinx)dx
•»r.
(2 + sin x)(5 + cos x)
î dx
2-cosx
b) 2 cos3 x • sin4 x dx; Jo
w
Jţ sm x-cos x
«fi
i
— 1 + COS' X
— dx;
r2 Vl
+ x"
b)* f- ^ dx;
Jl X
Jx(l-x)
dx, [a, b\ a (0, 1);
1 + x x
dx;
4*.a) fX-7=-----tL-----7=dx;
1 Vx + \Tx + 2 Vx
b) f x2Vl - x2dx; Jo
1

X +
3 \[x + 2
dx;
368
Manual clasa a Xll-a
r-2	/] — Y
5-a) f ik-rţdx;
V. 1

-3 V 1 + X
dx
b) I
Jt
I l-x
o XMl + x
dx;
a/'x2 - x + 2
2 ■> r-rr*

dx
i xV2 + x - x
7 ’
V7I
dx;
3x + 2
b) f^Lck;
J()
*1/7+1
3. a) i;
x-1
Vl + 2x2
VI. 1. a) f‘ . X .:.dx; J-' V5-4x
dx;
2- i
3*.a)
4. a) f
1
0 (x+i)V77I
3 dx
dx;
xVTTT 2 1 x(l + Vx)
b>I
b)fi
3
»> ii mi
dx
X + a/x2 - X + 1 î	dx
1 - a/i + 2x - x2 dx
(x - 1)a/i + 2x - x2 dx
a/x4 + 1
dx;
b*> f* 3/1+2*
J2 X
Teste t>e ev^lu^rc
Testul i
Să se calculeze următoarele integrale definite:
X dx.
(10 p) 1. f —
J-' x' +x +1
(10 p) 2.	.
Jl x + x
(ioP)
sin x + x" +4
dx.
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 2
Să se verifice următoarele relaţii:
(10 p)
(10p)
f'JL» f-_5L.,vx>0.
M+<! Ji i+(‘
psin:x	( r—	pcos” x	i—
2. arcsiiiA/^ d/+ arccosAM d? Jo	Jo
dr
7C
4 '
Capitolul 2. Integrala definită
369
,.~ _	[~~	~	tc	In 2
(10p) 3. 0 < Vl -x' arctg x < —---—
Testul 3
Să se verifice:
(10p) 1. ['	djC/—- = 2 -4 In
J('2 + VI	2
,,	t _ f1	dx	71
(io p) 2.	—----7 = arctg e--.
J°e' + e '	4
(10p) 3. | xcos2 x dx —	.
Timp de lucru: 45 de minute
Timp de lucru: 45 de minute
Testul 4
Să se verifice relaţiile:
00 p) (10 p)
1.	lim [
J()
2.	jr
dx
z \ + t*
[xf + [x] d t +
= 1.
r
d t
t(\ + t2)
(10 p)
3
1
— < 5
J' U + l)3
dx < 1.
= 1, V x e (0, —).
2
Timp de lucru: 45 de minute
Test t>e Aproftttib^rc
1. Să se
calculeze f Jo
i jc4 +1
X6 +1
dx.
2.	Să se calculeze [ *SU1* dx.
Jo 1 + COS' X
3.	Să se compare numerele:
p/7 + 1	frt + l
a= J arctg xdx;b= J arcctgxdx.
r1	a
4.	Se dă şiml an = x" ln(l + x)dx, n e IN*. Să se calculeze lim—!- ,p e IN*.
JO	n—>oc yj!}
5.	Fie / o funcţie de două ori derivabilă pe IR* care îndeplineşte condiţia /(x) = xf\x) + x2/"(x), V x e IR*.
3	5	r>
Dacă /admite primitive pe IR şi/(- 1) = — ,/(l) = —, să se calculeze J ^f(x) dx.
370
Manual clasa a Xll-a
6. Fie funcţia/: IR -> IR,/(x) = j* b elg' d/.
Să se arate că f Jo
Exerciţii recapitulative (I)
f-4—
ex'	2 J° x2 +1
dx=
8
1. Să se arate că funcţia/: [0, 3] —> IR, definită prin:
f(x) =
\--Jl-x, X < 1
3x2-4x, l<x<3
este integrabilă şi nu admite primitive pe intervalul [0, 3]. 2. Se consideră funcţia /[O, 2] —» IR, definită prin:
j-x-3, xg[0, 1] I-2jc-5,jc€(1, 2]
m=
a)	Să se studieze integrabilitatea funcţiei pe intervalul [0, 2].
b)	Să se studieze existenţa primitivelor funcţiei pe intervalul [0, 2].
3.	Să se determine valoarea medie pentru următoarele funcţii, determinând şi punctele intermediare corespunzătoare:
a)	/: [0, 1] —> IR,/(x) =x3;
b)	/: [1, e] —> IR,/(*) = In x.
4.	Să se calculeze:
a) lim f emxdx;
/J —>oc Jo
5.	Se dă funcţia / : [0, — ] —> [0, + oo) integrabilă Riemann
[0, — ]. Să se calculeze lim |2x"/(x)dx.
2	//->CC Jo
6.	Să se studieze convergenţa şirului (a„),7>2, dat prin relaţia an =
pe intervalul
p/7	_ 2
J,"" ^
7.	Fie o funcţie /: IR -> IR. Să se arate că funcţia/este periodică de perioadă
rx+T
T > 0, dacă şi numai dacă are loc relaţia J	/(t) dt = constant, V jc e IR.
cn
8.	Fie ne IN \ {0, 1} şi integrala definită In = j x{x} dx. Să se calculeze lim^y .
«-KO nl
Capitolul 2. Integrala definită
371
9.	Se consideră funcţiay: IR —> IR,/(x) = ax5 + bx2 + c, unde a, b, c <e IR. Să se determine a, c, astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiţii:
/(O) = l,/'(7) = 36, jo7(x)dx = 3.
J*l x
-------dx.
0 1 4- r
0 1 + X
a)	Să se arate că şirul (an)n>\ este convergent.
b)	Să se arate că lima, = 0.
n—»oc
( i i	y
c)	Să se verifice că lim 1 — + - + ... + (-1)1' 1 —
2 3
= In 2.
nj
fx, x e [a, 6]n(Q
11.	Să se arate că funcţia / : [a, 6] —> IR, / (x) = <	nu este
{-x, xe[a, 6]\©
integrabilă pe intervalul [a, b].
12*. Să se calculeze:
a)	lim f-----------dx;
00 Jo xn + x +1
b)	,im f—.
Jo x" _ x + 1
f1 dx
13.	Se consideră şirul (an)„>\ definit prin relaţia an = Jq-------.
i)	Să se arate că lima,, = 1.
/i->oc
ii)	Să se arate că lima,',' =— .
,7_>oc 2
/•arctgjr
14.	Se consideră funcţia/: IR —> IR definită prin relaţia/(x) = elgf dt.
a)	Să se arate că funcţia/este derivabilă pe IR.
b)	Să se calculeze derivata funcţiei.
(*2 sin xt
15*. Se consideră funcţia / : IR —> IR, / (x) = |----------------dt. Să se arate că
71
funcţia/este strict crescătoare pe intervalul [0, — ].
16. Se consideră funcţia/: [0, + oo) —> IR care îndeplineşte condiţiile: a)/(O) = 0 şi /"(x) > 0, V x e (0, + oo). Să se arate că funcţia F : (0, + oo) -» IR,
/«)
F(,)= f'i
dt este convexă pe (0, + oo).
372
Manual clasa a Xll-a
17*. Se consideră funcţia/: [- 1, 1] -> IR, definită prin f(x) =
2x, x g (0,1]
1, jc = 0 5x, xe[-l, 0)
a)	Să se arate că funcţia/este integrabilă pe [- 1, 1].
b)	Să se arate că pentru orice x,v e [- 1,1] pentru care x < v, are loc relaţia:
f /(O d/= 7 (yf(y)-xf(x)).
Jv 2
18*. Fie funcţia/: [0, 1] —» IR, continuă pe [0, 1] care îndeplineşte condiţia
Să se arate că existăm £ (0, 1), astfel încât să avem relaţia:
1 ,, , 1 </(*<>)<
1 + X
2*n
Pentru calculul integralelor definite:
a)	se verifică dacă integrala este imediată şi se folosesc tabelele de integrare;
b)	se analizează dacă funcţia se poate integra prin una din metodele:
i)	prima metodă de schimbare de variabilă
[a, b] —J —£—> IR (J interval) cu proprietăţile:
1)	/este continuă pe J\
2)	(p este derivabilă pe \a, b\ şi cu derivata continuă.
rh	rw(b)
Atunci avem: £ /((p(0)' cp'(/)d/ = J	/(x) dx.
ii)	a doua metodă de schimbare de variabilă [c, d\ —[a, b] ——» IR cu proprietăţile:
1)	/este continuă pe [a, b];
2)	cp bijectivă, derivabilă cu derivata continuă iar cp_1(/) ^ 0, V t g [c, d\. Atunci avem: £ f(x)dx= jj,^/(9(0)' 9'(0^.
Atenţie! Se aleg cu foarte multă atenţie funcţiile/şi (p şi se verifică toate condiţiile.
c)	pentru a arăta că o funcţie nu este integrabilă pe un interval [a, b] avem una din următoarele posibilităţi:
1) se aplică direct definiţia (nu se verifică condiţiile din definiţie);
Capitolul 2- Integrala definită
373
2) se arată că funcţia nu este mărginită pe intervalul [a, b\
d)	pentru a arăta că o funcţie este integrabilă pe [a, b] avem una din următoarele posibilităţi:
1)	se aplică definiţia şi se poate calcula integrala;
2)	se verifică dacă funcţia este continuă, se poate calcula o primitivă şi se aplică formula Leibniz - Newton;
3)	se verifică dacă funcţia este monotonă pe intevalul [a, b].
Atenţie! La corelaţiile care există, între funcţiile cu proprietatea lui Darboux, funcţiile care admit primitive, funcţiile continue şi cele integrabile se poate face o schemă:
mulţimea funcţiilor integrabile pe [a, b]
mulţimea funcţiilor continue pe [a, b]
mulţimea funcţiilor care admit primitive pe [a, b\
2.7.	Inegalităţi clasice sub formă integrală (facultativ)
Inegalitatea Cauchy - Buniakowski - Schwarz
Propoziţie______________________________________________________________
Fie funcţiile/, g : [a, b] -» IR, integrabile Riemann pe [a, b\.
Atunci are loc inegalitatea:
(^£/2(x)ckj • ^£g2(x)drj >	/(x)g(*)dxj
Demonstraţie
Fie X e IR; funcţia (f + Xg) : [a, b\ —» IR este integrabilă pe [a, b] şi conform proprietăţilor integralelor definite avem:
f(/ + Xg)2dx >0, VX e IR=>
Ja
X2 j g2 (x)cbc + 2X £ /(x)g(x)dx + | /2 (x)dx > 0, V X e IR =>
374
Manual clasa a Xll-a
//(*)£<>)/ - \ f2{x)âx £g2(*)dx <0,
de unde rezultă inegalitatea din enunţul propoziţiei.
Observaţie. Avem egalitate în următoarele cazuri:
l)/= S = 0; 2)/= 0 şi g arbitrară; 3) g = 0 şi/arbitrară; 4)/ = kg (k e IR).
exerciţii rezolvate
1. Fie/: [a, b] —» IR o funcţie integrabilă pe [a, b]. Să se deducă următoarea inegalitate
^| /(x)sinxj + /(x)cosxj <{b-a) J f2(x)dx.
Soluţie
Aplicând inegalitatea Cauchy - Buniakowski - Schwarz funcţiilor/şi cos x, respectiv/şi sin x, obţinem:
| /(x)cosxj < | f2(x)dx | cos2 xdx
Şi
J f(x) sin xdxJ < J f2(x)dx • J sin2 xdx . Adunând inegalităţile se obţine:
| /(x)sinxj + ^J/Mcosjcj < J /2(x)dx:^J (cos2 x + sin2 x)dx
= \j\x){b-a).
2. Fie funcţia/: [0, 1] —> IR, integrabilă pe [0, 1]. Să se arate că:
1 r'
J0*2/(*)d*J	JQ -x2 (/(Jf))2 cbc.
Soluţie
Aplicând inegalitatea (CBS) funcţiilor x şi xf (x) obţinem:
£x2/(x)drj = f£*(;/(x))cbc'j < £x2dx £x2(/(x))2dx =
J/2/2C*)d*=/ J/Vtod* •
Capitolul 2. Integrala definită
375
exerciţii propuse
1.	Fie o funcţie/: [a, b~\ —»• IR o funcţie strict crescătoare pe [a, b] astfel încât
eh	eh
J /(x)dx = 0. Să se arate că j xf (x) > 0.
2.	Fie o funcţie/: [a, b] —> IR derivabilă şi cu derivata continuă pe [0, 1]. Dacă/(1) -/(O) = 1, să se arate că [ (/'(x))2 dx > 1.
J o
Inegalitatea lui Jensen
Propoziţie
Fie funcţiile/: I J şi g : J continue. Atunci:
1)	Dacă g este funcţie convexă avem:
f \ ch	^	1	ch
S 7-----f f(x)dx < -------- } g(f(x))dx .
\b-a	)	b-a
2)	Dacă g este funcţie concavă avem:
g( I /tod* ] ^ T~ J g(f(x))dx
\ h — n	h — n
exerciţii rezolvate
1.	Fie o funcţie continuă / : [0, 1] —> [0, + oo). Să se arate că Soluţie
Se aplică inegalitatea lui Jensen funcţiei/şi funcţiei convexe g = x2. Atunci
avem:
«(jrj i/Wd*) - 7/ J/'= J’/’W* =
£ J/’Md* => J>>d' £
2.	Fie o funcţie/: [0, 1] —> (0, /), integrabilă pe [0, 1],
376
Manual clasa a Xll-a
Să se arate că:
[Vl-/2(x))dx ln^—j---------- <
Jo/(x)dx
1 ~ /O) /(*)
Soluţie
Fie funcţia g : (O, 3) —» IR, g(x) = In-—-.
N 1 1 . ,	2/ — 1 ^ _
g (x) = —ţ— şi g (O = -,2/, ,x2 > O => g convexa.
/-I t

Aplicând inegalitatea Jensen pentru funcţiile In
l-x
şi / (x), continue şi
convexe, obţinem inegalitatea din enunţ.
exerciţii propuse
că:
1. Fie o funcţie/: [0, 1] —> IR continuă astfel încât
j^/(x)dx = 1. Să
se arate
|^\ + f2(x)dx >	.
2. Fie o funcţie/: [0, 1] -> IR* continuă pe [0, 1]. Să se arate că: £ In /(x)dx < In £ /(x)dx
Inegalitatea lui Cebîşev
Propoziţie
Fie funcţiile/ g : [a, b] —> IR continue pe [a, b}.
Au loc următoarele implicaţii:
i)	dacă/şi g au aceeaşi monotonie, atunci:
//(>)(/ • /g(x)dxj <{b- a) \{f(x)g(x))&x .
ii)	dacă/şi g sunt de monotonie diferită, atunci:
//(*)/ • [jogO)dxj >{b-a) £(/(x)g(x))dx .
Capitolul 2. Integrala definită
377
Avem egalitate când una dintre funcţii este o funcţie constantă. Demonstraţie
i)	Dacă funcţiile f şi g au aceeaşi monotonie pe [a, b\9 atunci V x, y e [a, b] avem:
f(x) ■ g(x) -fix) ■ g(y) -/(>’)• g(x) +/(>’) • g(y) > o	(1)
Integrăm pe [a, b] în raport cu variabila x, y fiind considerată constantă şi obţinem:
f f(x)g(x) dx - g(v) f /(x) dx -/(v) f g(x) ăx + (b- a)f{y-) g(t') > 0 (2)
Ja	Ja	Ja
Integrând pe [a, b] în raport cu variabila independentă y e [a, b] (x este fixat), obţinem:
(b - a)/(x)g(x) -f(x) £ g(y) dy - g(x) £ f(y) dy + £ f(y)g(y) ^ 0	(3)
Ţinând seama că avem j"/(x) dx = j f{y)dy, V x, y e [n, A] (nu are
importanţă cu ce literă se notează variabila de integrare) obţinem inegalitatea din enunţ.
ii)	Se procedează în mod analog ca la punctul i) ţinând seama că V x, y e [a, b]
avem:
[/'W-/(v)]-[gW-gOO]<o.
exerciţii rezolvate
1.	Fie /: [a, b] —» IR o funcţie crescătoare pe [a, b]. Să se arate că
ri>	a + b ch
£ xf{x)dx> —y- £ /(x) dx.
Soluţie
Utilizând inegalitatea lui Cebîşev pentru funcţiile/şi g(x) = x obţinem:
£ xf (x) dx >	£ f(x)dxj £ x dx =	£ /(x) dx.
2.	Fie /: IR —» IR o funcţie monoton crescătoare. Să se arate că V a e IR, a > 0, avem:
£'x(/o/)(x)dx>0.
Soluţie
Din /monotonă => f ° f: IR -> IR monoton crescătoare. Se aplică inegalitatea lui Cebîşev funcţiilor (f °/)(x) şi g(x) = x. Obţinem:
(a-(-a)) £n x(/o/)(x) dx > £^(/°/)(x) • £(Xdx<=>
£/(/ ° /)(*) d* ^ d- J£(/ o /)(x)ţ^ £'xdxj = 0.
378
Manual clasa a Xll-a
HI exerciţii propuse
1.	Fie a, b e IR cu a > O, 2a + 36 = 6 şi/: [O, 1] —> 3R o funcţie monoton descrescătoare pe [0, 1]. Să se arate că
| /(x) dx > | (ax2 + bx) f(x) dx.
2.	Fie o funcţie/: [a, b] —» [0, + oo), a > 0, derivabilă cu derivata negativă.
~ Ch v i ^ b + a rh f(x) ,
Sa se arate ca J /(x) dx < —— J —— dx.
exerciţii recapitulative (II)
1. Se dă şirul an =
J(l
dx
^2 + ^2 +...+ a/2x
. x > 0.
--------'y'---
n radicali
a)	Să se arate că şirul (a„)„>j, este monoton şi mărginit.
b) Să se demonstreze inegalităţile: — < an < ~~ f—- --= -1	~ -
■	2 V2W2 + ... + VÎ
c)	Să se arate că lima,, = —.
"-**■ 2
2. a) Să se verifice identitatea:
x2,M 1 +1
-------v'---
n radicali
= l- x + x“-x3 + ...+ x2n, V x ^ 1.
X + 1
f I x2/,+1
b) Notând /„ =	-----dx, să se arate că:
Jo x +1
/„ = 1 - - + - - 3 + ... + —+ _i-----------------ln 2.
2	3	4	2n 2n + \
c)	Să se verifice că lim/„ = 0.
n—>x,
3*. Fie/: I -» IR, [0, 1] c I, o funcţie/continuă pe I. a) Să se arate că J xf (sin x) dx = n J^x/(sin x).
Capitolul 2. Integrala definită
379
b) Să se calculeze | -Jo 1
xsinx
dx.
i + sm~ x
4*. Fie/: [-1, 1] o funcţie continuă şi pară pe [- 1, 1].
i	71
a)	Să se arate că £ xf(cos x) dx = n /(cos x) dx.
b)	Să se verifice relaţia
r2n	'	rn
xf (sin x) dx = 2n j( /(sin x) dx.
5*. Fie o funcţie/: 7 —> IR, unde I a [- 1, 1], continuă pe I.
|*2 7t	pn
a)	Să se arate că xf (cos x)dx = 2n j f (cos x) dx.
b)	Să se calculeze f	.
6.	Se dă / = f (l-x2)"' dx, n e IN*.
Jo
a)	Să se stabilească o formulă de recurenţă pentru /.
b)	Să se calculeze lim/.
//—>x
c)	Să se calculeze suma:
>—T l	✓"'f 2 ^~<3	fin
1 - ^ + -^-■^- + ... + (-1)'’-^-.
3	5	7	2n + l
7.	Calculând prin metoda integrării prin părţi, să se demonstreze egalităţile:
a)	J (x +1) / In x dx = e\e - 1).
p7i	Ţ[
b)	I (xcosx + sinx) In x dx = - (1 + — In 2).
2	2
8.	Se consideră o funcţie/: [a, b] —> IR, care admite ca derivată de ordinul doi o funcţie continuă pe [a, b]. Dacă/(a) =/(b) = 0, să se arate că
\hf(x)f"(x)dx< 0.
Ja
K
9*. Se consideră şiml an = |2 cos2"' x dx.
Jo
a)	Să se arate că şirul este monoton şi mărginit.
2/? — 1
b)	Să se arate că V n > 2, avem an =------a„_|.
2/7
c)	Să se calculeze an
380
Manual clasa a Xll-a
10. Fie/,, = f—
Jo oi
sin nx
dx.
Jo S11U
a)	Să se arate că I2n = 0, V n <e IN*.
b)	Să se arate că I2fl-1 = 2tt, \/ n s IN*.
c) Să se arate că | Jo
7 cos(2 n + \)x
2cosx	v ' 4
■ djc = ( i y7
V/ig IN*.
11.	Fie o funcţie/: (0, + oo) continuă şi derivabilă pe (0, + oo) care verifică relaţia 2x f(x) - x1 f'(x) = 3 J /(/) d/, V x > 0.
a)	Să se arate că x2/"(x) +/(x) = 0, V x > 0.
b)	Să se determine X\, X2 g IR care să verifice relaţia:
fix) = Vx
cos	fvz 1	+ X2 sin	r^i 11
	l2 J		c2 JJ
12.	Să se arate că V n,p e IN* are loc egalitatea
f x"(l-x)/; dx = f xp{[-xy' dx. Jo	Jo
\x + e'\	x<0
13.	Se consideră funcţia/: IR —> IR,/(x) = < ______
j^V 1 + x~, x > 0
a)	Să se arate că funcţia/admite primitive pe IR şi să se calculeze o primitivă a sa.
b)	Să se arate că funcţia este integrabilă pe orice interval [a, 6] cz IR şi să se
calculeze J /(x) dx.
14*. Se consideră funcţiafn: [0, 1] —»IR,/(x) = x • e['x, n g IN*.
a)	Să se arate căVxe [1,2], avem 0 </7(x) < 1;
b)	Dacă In - | /,(x) dx, să se stabilească o relaţie de recurenţă între In şi 7„_i;
c)	Să se arate că şirul (/„)„> i este mărginit. 15*. Se consideră funcţia
cp: [-1,1]-» IR,
x = -1
xe(-l, 1).
a)	Să se studieze continuitatea şi derivabilitatea funcţiei cp.
b)	Este funcţia cp mărginită pe intervalul [-1,1]?
Capitolul 2. Integrala definită
381
J’l	X
—-----------dx, n e IN*.
11 Ax2 + 2x +1
a) Să se arate că /„ > 0 şi să se studieze convergenţa şirului (/„)„>).
b) Determinaţi a e IR, astfel încât —-— ----------- <a,Vxe!R;
4xJ + 2x + l
c)	Arătaţi că lim/„ = 0.
17.	Se consideră integralele
In= f'-^rcbcşi J„=	n e IN*.
*'° 1 + x"	Jo 4 _ x-
a) Să se arate că /„ > J/7, V n e IN*;
b) Să se arate că O < In < —— , V n e IN*;
n + l
c)	Să se arate că lim/;7 = lim J„ = 0.
n —yx.
18.	Fie şirul (In)n>\ definit prin relaţia
In = f ln(l + ex") dx, n e IN*.
Jo
a)	Să se calculeze I\ şi /2.
b)	Să se arate că şirul (In) este monoton şi mărginit.
c)	Să se arate că
/„ < — + - , V n e IN*. n +1 e
19. Fie funcţia/: [— 1,3] —> IR, definită prin
tgx, x e [-1, 0]
fix) = j . 1
sin-
cosx
, X G (O, 3]
X X
Verificaţi valoarea de adevăr a următoarelor afirmaţii:
a)	funcţia/admite primitive pe [- 1, 3];
b)	funcţia/este integrabilă Ricmann pe [- 1, 3].
20*. a) Să se arate că V a s (O, 1), avem relaţia
lim n f x”/(x)dx = O,
>oc J()
unde/: [O, 1] —> IR este o funcţie integrabilă pe [O, 1].
b) Dacă în plus/este continuă în x0 = 1, să se arate că
lim [x"/(x)dx =/(l).
ti—>cc JO
Capitolul 3
ARII Şl VOLUME
3.1. Aria unei suprafeţe
în acest capitol vom prelua şi extinde rezultatele cunoscute din studiul geometriei plane privind suprafeţele poligonale şi ariile acestora.
Notăm cu mulţimea suprafeţelor poligonale şi cu U suprafaţa pătratului de latură 1.
Există o unică funcţie ../# :	» [0; + oo) (funcţia arie) cu următoarele
proprietăţi:
1.	Dacă suprafeţele poligonale E\ şi E2 sunt congruente, atunci. /6(E\) =, /d(E2).
2.	Dacă suprafaţa poligonală E se descompune în suprafeţele poligonale
E\ şi Ei, atunci. £(E) =. t(E\) +. t(E2).
3..	= 1
Pentru a defini aria unui disc D de rază r se pleacă de la existenţa a două şiruri de suprafeţe poligonale (£„)/ieIN. şi	cu proprietăţile:
1)	£„cDc Eh
2)	lim, /6(En) = \\m,/6(En).
Valoarea comună a limitelor celor două şiruri de arii defineşte aria discului.
. M(D) = nr. Cerinţe de ordin aplicativ impun să atribuim o arie şi altor suprafeţe mărginite din plan.
Am făcut o scurtă prezentare orientativă cu menţiunea că un studiu riguros se realizează îmbinând cunoştinţele avansate de analiză matematică cu cele de geometrie pe fondul unei construcţii a acesteia având la bază un sistem axiomatic.
Stabilim în plan un reper cartezian xOy şi considerăm funcţia f: [a; b]	IR,
continuă şi pozitivă pe intervalul [a\ b] pe care o reprezentăm grafic.
Mulţimea punctelor din plan cuprinsă între graficul funcţiei /, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b o vom nota cu Sf- şi o vom numi subgraficul funcţiei f
Prin urmare Sf = {(*,}>) | O <y </(jt), a<x< b) (fig. 1).
Capitolul 3- Arii şi volume
383
Vom extinde conceptul de arie şi pentru asemenea suprafeţe.
Considerăm în plan suprafeţele dreptunghiulare cu laturile paralele cu axele de coordonate sau situate pe axe, de asemenea reuniunile de asemenea suprafeţe. Impunem condiţia ca suprafeţele dreptunghiulare să aibă interioarele disjuncte.
în cadrul expunerii le vom numi suprafeţe elementare.
Cu notaţiile incluziunile
din
Aria unei suprafeţe elementare este egală cu suma ariilor dreptunghiurilor care o compun (fig. 2).
Vom folosi în cele ce urmează un rezultat cunoscut din studiul funcţiilor continue pe intervale.
Fie / : [a; (3] -> IR o funcţie continuă pe intervalul [a; p], a, P e IR.
Atunci funcţia / este mărginită şi există numerele reale m şi Mcu următoarele proprietăţi:
1)	m <f(x) < M, V x e [a; p].
2)	m =f (u) şi M= f (v) cu w, v e [a; p]. figura următoare (fig. 3, a, b, c) observăm că au loc
D a Sfd D
Fig. 3
Suprafeţele dreptunghiulare D şi D au bazele de aceeaşi lungime, P - a şi înălţimile egale cu m respectiv M
Prin urmare , /6{D) = (p - a)m şi,./A{ D) = (P - a)M.
Revenim la funcţia/: [a; b] —> IR, continuă şi pozitivă pe intervalul [a\ 6]. Fie (AJ/;gIN, un şir de diviziuni echidistante ale intervalului [a; b\.
384
Manual clasa a Xll-a
a	,b-a	^ 0 b-a	b-a
An : Xq = a, x\ = a + -----,x2 = a + 2 • -----, ... xk = a + /c • ---.. x,7_i =
n	n	n
- a + (n- 1) ——- , x„ = 6*. n
HA II b~a r	A
l|A*|| =----, hm--------= 0.
n "~>0° n
In fiecare subinterval lk = [x/f_.|, x/v], /ce {1, 2, . valoarea minimă respectiv valoarea maximă a funcţiei"*.
| mk < /(x) < Mk, Vx g Ik;
K =/KX Mk = f(vk) cu w*,v* g 7/f Formăm sumele Riemann asociate funcţiei/
b-a t
n\ notăm cu mk, Mk
Avem:
n
b-a
n
-[m\ + m2+ ... + mn]\
M+M+...+A/*];
Pe de altă parte aA şi ga reprezintă ariile unor mulţimi elementare Dn şi Dn, astfel încât:
Dn a Sjd Dn ?»)= aA ,./t(Dn)= a.
a
Fig. 4
6
Abscisele punctelor de diviziune depind de diviziunea An. Pentru simplificarea expunerii
renunţăm la notatia de forma x{n) = a + k
k	n
** Valorile mk, Mki uki vk depind de diviziunea An.
Capitolul 3- Arii şi volume
385
Din integrabilitatea funcţiei/pe intervalul [a; b\ rezultă: lim aA = lim aA =	/(x)dx .
//—>oo	"	/;—>oc	"	'
In acest cadru vom spune că mulţimea Sf (subgraficul funcţiei f) are arie şi
•'m)= (’mdx.
Jd
De exemplu aria subgraficului funcţiei /: [-2; 2] —> IR, 3 2
f{x)=—x +1, continuă şi pozitivă pe intervalul [-2; 2] este
r2,3
= J" (--X2 +1) dx = 2 £(-x2 +1) dx ■■
Fig.5	= (x3+2x)|o =8(fig. 5).
Presupunem că o suprafaţă S are arie şi totodată este congruentă cu o
suprafaţă S . Atunci şi S are arie şi. <i(S) =, 6(S ).
Deducem că printr-o translaţie sau simetrie (axială sau centrală), aria unei suprafeţe rămâne aceeaşi.
In aplicaţii folosim şi următorul rezultat important:
Fie / g : [a; b] —> IR, funcţii continue pe intervalul [a\ b] cu proprietatea că f(x)<g(x\ Vi e [a; b].
Notăm cu S/■ g mulţimea tuturor punctelor din plan cuprinsă între graficele celor două funcţii şi dreptele cu ecuaţiile x = a şi x = b.
Aşadar SÂ g = {(x, y) | / {x) < y < g(x)\ a <x < b]
Se demonstrează că Sf-g are arie şi
•	fW)-/w]^(fig-6).
Ja
Probleme rezolvate
1.	Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei /: IR —> IR, 1 .
f(x) = - —x~ + x + 4, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = O şi x = 3.
Rezolvare
Observăm că pe intervalul [O, 3] funcţia este continuă şi pozitivă, după cum rezultă din tabelul care precizează semnul funcţiei.
386
Manual clasa a Xll-a
	—oo — 2 0 3 4 +oo
fix)	0 + + 0	
Calculăm aria mulţimii plane:
Sf= {(x,y) I O <ykf(x), O <x < 3}
. A(Sf) = £(- 3 x2 + x + 4) dx =

1	3	1	,	,
— x + — x +4x 6 2
= 12(fig. 7).
O
2.	Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei /: [ 1; 4] —> IR,
+1
/(x) = —----------, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 4.
x +3x + 2
Rezolvare
Pe intervalul [ 1; 4] funcţia/este continuă şi pozitivă. Calculăm aria mulţimii plane S/ = {(x,y) I 0 <y<f (x), 1 <x < 4}.
-i
2x + l
1 x + 3x + 2
h
*=1
3
1
x + 2 x +1
ăx =
= 31n|x + 2||) — ln|jc -f-1||( = ln-^.
3.	Se consideră funcţia / : (- 2, + oo) —> IR, / (x) = ——-------. Să se
3(x + 2)
determine aria suprafeţei limitată de graficul funcţiei/, asimptota oblică şi dreptele de ecuaţii x = 2 şi x = 8.
Rezolvare
Reprezentăm grafic funcţia / şi asimptotele sale pe baza rezultatelor stabilite mai jos.
lim/(x) = + oo; ecuaţia asimptotei oblice este y = — x - 2
X-+CC	’	3
lim/(x) = + oo; ecuaţia asimptotei verticale estex = -2
x>-2
fix)
x2 +4x-12 3(x + 2)2
; x0 = 2 este punct de minim.
	— 2 2 +oo
fix)	- 0 +
ff)	+ 00 \ Of +00
Capitolul 3. Arii şi volume
387
F„„cţia/este continuă §1 poz.tiva pe interva,ul [0; 8], Notăm <pW - | - 2.
16 1
x £ (2; + oo) şi avem f(x) - cp(x) =------------>0,Vxe [2; 8]. Aria suprafeţei
3 x + 2
st^)-1
■V = {(*>y) I <pO)	2 <x < 8}
este
x2 -4x +4 (1
----------— x-2
3(x + 2)	\3
dx
16 r* 1
_10 f
“ ^ J2
16, 5
, dx =— In—(fig. 8). 3 j2 x + 2	3	2	5 J
4.	Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între graficele funcţiilor
o ^
2 x
f(x) = 2x2 + x-2 şi g(x) =-----------7 , definite pe IR.
1 4- /
Rezolvare
Reprezentarea grafică a funcţiei / este o parabolă cu punctul de minim f j_ _ j/7^j 4’	8 /
Pentru a reprezenta grafic funcţia g ţinem seama de tabelul de mai jos.
V
X	— OO—l 0 1 +00
z'(x)	- 0 + 0 -
g(x)	0 \ -1 / 0/1 \ 0
lim g(x) = 0,
g'(x) = 2
l-x2
(1 + x2)2
Punctele de intersecţie dintre cele două curbe le aflăm din rezolvarea 2x
sistemului de ecuaţii

1 + x
y = 2x2 + x-2
388
Manual clasa a Xll-a
Obţinem punctele de intersecţie A(- 1; - 1) şi B(1; 1) (fig. 9).
Fig. 9
Observăm că g(x) -f (x) =
_ (1 -x2)(2x2 + x + 2)
l + x2
> 0 oricare arfîjce [—1; 1].
Funcţiile/şi g sunt continue pe intervalul [- 1; 1] prin urmare
*(%,)= J',
2x o	pi 0	( 4 /
		ţ-(2x2 +x-2)	dx = 2 1 (2-2x2)dx =	4x--x3
Li+x2	Jo	l 3 J
Probleme propuse
1.	Să se calculeze -	aria subgraficului pentru fiecare dintre funcţiile
următoare:
a)	f(x) = x + 2x, x e [0; 2];
b)	/(x) = 4x3 + 3x2, x e [1; 3];
c)	f(x) = 2x + 3 , x e [-1; 5];
x + 2
d)	f(x) = (2x + \)e\ x g [0; 1];
e)	fix) = (x2 + l)lnx, x e [1; e];
oo 1 cn
Capitolul 3. Arii şi volume
389
f)/W =
3x2 + 2x +1 x2 +4
xe [-2;2];
g)	/W=|V3x + 4,xe [0;4];
h)	/(x) =—j===, x e [0; V2 ];
i)/W =
-\/x2 +1
1 + U ,^[-V3;V3];
^4-x2
j)/0) = sin x, x g [0; 7c];
271
k)	/(x) = sin x + cos x, x e [0; — ];
l)	/(*) = I arctgx |, x e [-V3 ; V3 ].
2.	Să se calculeze aria unei suprafeţe Sf-g în următoarele situaţii:
a)	/M = ~x ~ 2, g{x) = 4 - x2, x e [-1; 1];
b)	/W = / , gOO = -r—•, x g [-2; 2];
4	X' +4
c)	/(x) = sin 2x, g(x) = 1 + sin x, x e [0; 71];
d)	/O) = a/2x-x2 , g(x) = V4-x2 , x g [0; 2];
[V2x-x2, dacă xg[0; 2]
e)/W =
I-V6x-x2 -8, dacă xg[2;4]
g(x) = V4-X2 , x e [0; 4];
f)/(x) =x2 - 2x, g(x) =x ln(l + x2), x g [0; 2\.
3.	Să se calculeze aria mulţimii cuprinsă între parabolele de ecuaţii y2 = 3x şi
x2 = 3y.
4.	Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între parabola de ecuaţie y2 = 2x şi dreapta de ecuaţie y = x- 4.
x2 +2x-l
5. Să se reprezinte grafic funcţia/: (- 2; +00) —> IR,/(x)
x + 2
■. Să se
determine aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei / asimptota oblică şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 4.
390
Manual clasa a Xll-a
6*. Să se reprezinte grafic funcţia/: (- 2; + oo) —»IR,/(x) =----------.
4(x + 2)
i)	Să se determine aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei / asimptota oblică şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = a, a > - 1.
ii)	Să se determine a astfel încât aria menţionată să aparţină intervalului (In 5; 3 In 2).
x~ v"
7.	Să se demonstreze că aria elipsei de ecuaţie :—T + ^—r = 1,0 < b < a este
a~ b~
,	— a ' a ’ b.
Aplicaţie
Să se calculeze aria elipsei de ecuaţie 4x2 + 9y2 = 25.
8*. Se consideră funcţia / :
, / (x) = - x2 + x - In (x + 1). Să se
calculeze aria suprafeţei Sf- = {(x, y) I /(x) <y < 3,--< x < 0}.
9.	Să se determine aria suprafeţei cuprinsă între parabolele de ecuaţii
1.1	, .	3 2	1
y - — x“ + — x + 1 şi =-x +—x + 2.
4	4	4	4
10*. Se consideră funcţia /: [0; a] -> IR, / (x) - ax - x2. Să se determine m e IR astfel încât dreapta de ecuaţie y = mx să împartă subgraficul funcţiei / în două suprafeţe cu arii egale.
11.	Se consideră funcţia/(x) = a2 -x2. Notăm cu S suprafaţa plană cuprinsă între graficul funcţiei/şi axa Ox.
i)	Să se calculeze aria suprafeţei S.
ii)	Să se arate că dreapta cu ecuaţia x = 0 desparte suprafaţa S în două suprafeţe cu arii egale.
2 a
in) Să se arate că dreapta cu ecuaţia y = a------desparte suprafaţa S
V 4
in
două suprafeţe cu arii egale.
Capitolul 3. Arii şi volume
391
3.2.	Volumul unui corp de rotaţie
în cadrul lecţiilor de geometrie în spaţiu s-au studiat proprietăţile unor anumite corpuri geometrice (poliedrale şi de rotaţie) şi s-au utilizat în aplicaţii formule pentru calculul volumelor acestora.
Vom nota cu ^ mulţimea ale cărei elemente sunt mulţimile poliedrale. Menţionăm următoarele rezultate.
Există o unică funcţie	> [0; + oo] (funcţia volum) cu următoarele
proprietăţi:
1.	Dacă mulţimile poliedrale D\ şi D2 sunt congruente, atunci au volumele egale adică 7\D{) = ^(D2).
2.	Dacă D\ şi D2 sunt mulţimi poliedrale cu interioarele disjuncte, atunci
7 \D, uD2) = 7\D,) + 7\D2).
3.	Fie Uun cub (corp) cu muchia 1. Atunci 5^’(U) = 1.
Vom considera cunoscut faptul că un corp cilindric (circular drept) cu raza bazei r şi înălţimea de lungime h are volumul
W- nr2h.
Un corp geometric format dintr-un ansamblu de cilindri coaxiali având interioarele disjuncte (fig. 10) are volumul egal cu suma volumelor Fig. 10	cilindrilor care-1 compun.
£
IX

Ţ\
U
în cele ce urmează vom indica un procedeu prin care putem extinde conceptul de volum pentru o clasă mai largă de corpuri de rotatie folosind
integralele definite.
Introducem în spaţiu un reper cartezian Oxyz şi în planul xOy reprezentăm grafic funcţia continuă şi pozitivă/: [a, b] -> IR, a, b e IR.
Prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei se formează un corp geometric notat Kf (fig. 11). Mai precis:
Kf= {(xy, z)\y2 + z2 <f\x), a<x<b)}.
De exemplu:
K’f = {(x, y, z) | y2 4- z2 < r2, 0 <x<h) reprezintă un corp cilindric.
392
Manual clasa a Xll-a
= a + (n - 1)
Considerăm un şir de diviziuni echidistante (A/;)//eIN* ale intervalului [a, b].
.	b-a	_ b a	.b-a
An : *0 = a, x\ = a + --, x2 = a + 2----, ..., xk = a + k---, ..., xn_\ =
n	n	n
b-a
■ ,xn = b şi funcţia continuă h : [a, b] —> IR, h(x) = nf2{x).
Avem ||A„|| = -—- , lim -—- = 0.
n ”-yc n
Procedând ca la definirea ariei unui subgrafic, pe fiecare subinterval h = [xk-\, xk], k = {1, 2,	notăm cu mk şi Mk valoarea minimă, respectiv
valoarea maximă a funcţiei h unde h(x) = iif2{x).
f m. < h(x) < M,, Vx e I,
Avem: ^	, cu uh vk e 4
Formăm sumele Riemann asociate funcţiei h\
b-a
n
b-a
n
[m\ + m2 + ... + mn], [M\ + Mi + ... + Mn\.
Observăm aA şi aA au o anumită semnificaţie geometrică. Reprezintă
volumele unor corpuri geometrice cunoscute Dn respectiv Dn (ansamble de cilindrii coaxiali) (fig. 12, a, b).
Fig. 12
Dn c: Kf c= D
Avem: <
[ga	5V-.7'(D„)
Funcţia h : [a, b] —» R, h(x) = nf2(x) este integrabilă pe intervalul [a, b] şi
~	Ch 1
lim aA = lim a. = rc f~(x)dx.
n—"	/)—>oc	"	Jr/
Capitolul 3. Arii şi volume
393
r/>	^
Atribuim corpului de rotaţie Kf volumul 7 {K}) = n /“(x) dx.
în aplicaţii folosim notaţia ^7.
Numerele aă şi aA constituie aproximaţii prin lipsă, respectiv adaos ale volumului corpului de rotaţie Kf.
Să calculăm volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul axei Ox a suprafeţei mărginită de graficul funcţiei /: (0; -f- 00) —»
(0; + 00), f (x) = — ,axa Ox şi dreptele de
x
ecuaţii x = 2 şi x = 4 (fig. 13).
.4 1
f4 1
Avem: 7} = n ——dx J 2 X“
n
4
Prezentăm în continuare un rezultat important pentru numeroase aplicaţii.
Se dau funcţiile /, g : [a, b] —> IR, Fig. 13	continue şi pozitive pe [a, b] astfel încât:
f(x)<g(x),Vx e [a, b}.
Prin rotirea în jurul axei Ox a suprafeţei cuprinsă între graficele celor două funcţii şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b se obţine un corp geometric, Kftg al cărui volum este
J.i.x = rc £[&2(*)-/2M] dx.
Probleme rezolvMe
1. Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei
/: [- 3; 5] -> IR,/(x) = 2 Vx + 4 . Rcrolv^rc
Funcţia / este continuă şi pozitivă pe intervalul [- 3; 5] (fig. 14).
/2(x) = 4(x + 4) şi = 71 J ^ 4(x + 4)dx .
Fig. 14
394
Manual clasa a Xll-a
Efectuând calculele obţinem
7' }- n(2xl + 16x)|	= 160 ti.
2. Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul axei Ox a sub graficului funcţiei /: [0; 21n 3] -> IR,/(*) = 1 +
Rezolvare
Funcţia f este continuă şi pozitivă pe intervalul [0; 21n 3].
f2{x) = 1 + 2ex + e2x şi &}= n J (1 + 2ex + e2x)dx
în continuare obţinem
2 In 3
k(x + 2ex + — e2x) 2
= 7i(21n 3 + 56) (fig. 15).
Fig. 15
3.	în cele ce urmează vom stabili cu ajutorul integralei definite formulele pentru calculul volumelor unor corpuri de rotaţie cu care suntem familiarizaţi din anii anteriori.
i)	Conul circular drept
f(x) = ţ-x, X e [0; h], h
^ 2	2 i
ry-	2A	?	1	3
y/—'K	— X OX = K—— — X
Jo/z2	h2 3
nr2h
~T~
ii)	Trunchiul de con circular drept
în planul xOy ecuaţia dreptei care conţine punctele A(0; r) şi B(h; R) este
R-r
y = r + ——x , h
Capitolul 3- Arii şi volume
395
prin urmare considerăm
f(x) = r+ ^—^-x , X e [0; h],
h
= K
, 2R-r (R-r)2 3 r'x + rx ---+ ----r—x
h	3 h2
y(i?2 + r +Rr).
iii) Sfera
Ecuaţia cercului cu centrul în 0(0, 0) şi raza R este x2 +y2 = R2. Luăm/Oc) = ^R2-r2 ,xe[-R;R].
'5?'= n | R2 -x2)dx =	(R2 -x2)dx = 2nlR2x~ —
R 4nR3
7 =
iv) Sectorul sferic
/(*) =
Fig. 18
[x tg u, dacă x €= [0; R — h\
I /TT?

396
Manual clasa a Xll-a
M	h = O'Mreprezintă înălţimea calotei sferice
Avem cos u =
Fig. 19
7t [ x2tg2 wdx +71 f (i?2-x2)dx.
JO	JR-h
R-h
R
1-
Deducem tg2w
R-h
R
V
R-h
R
2 Rh-h2 (R-h)2
1 ,	2Rh - h2	R-h	( T“\ 7	1 3^
II 1	(R-h)2	+ K	R“x -	--x3
3		0	\	3 J
î ~ i	2nR2h
In final rezulta J/y-----
4.	Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei
/: [0; 5] —» IR,/(x) =
1	9
— x",	dacăxe[0;2]
< 4-x, dacă x e (2; 3) Vx2 -8, dacă x e[3; 5]
Capitolul 3. Arii şi volume
397
Fig. 20
Rezolvare
Funcţia dată este continuă şi pozitivă pe intervalul [0; 5] (fig. 20).
Jj:=n --x4dx + 7i£(4-x)2cbc + jtţ\x2 -8)dx
'77/'	^	5
■7-/r= ----X
20
+ n\\6x-4x2 +y
^ o "
--8x
v3 ,
Efectuând calculele obţinem 7=
5. Se consideră funcţiile /
IR -> JRJ\x) - ^(T + 2~x) şi g : [-3; 3] -> IR,
g(x) =	V9-x2 . Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul
axei Ox a suprafeţei cuprinsă între graficele funcţiilor /, g şi dreptele de ecuaţii x = - 1 şi x = 1.
Rezolvare
Studiem cele două funcţii pe intervalul [- 1; 1]. Avem: [-1; 1].
0 / '(*) = - (2V • In 2 - 2“'v In 2) = — •——.
4	4 r
Ecuaţia f(x) = 0 are soluţia xQ = 0 (punct de minim).
/(-*) = /(*) g(~x) = g(x) ’
2 )g’(x)
-x
2^9-x1
Ecuaţia g\x) - 0 are soluţia x0 = 0 (punct de maxim).
398
Manual clasa a Xll-a
	1 Si ° 1	
g'(x)		- +
g(x)		
Fig. 21
Pe intervalul [- 1; 1] avem
V2 < g(x) < --< /'(x)<-
U	8
şi observăm că g(x) > f (.x),
Vxg [-1; 1] (fig. 21).
Cele două funcţii sunt continue pe intervalul [- 1; 1]. Volumul corpului de rotaţie este
m = n jjg2(x)-/2(x)]dx.
% = 2k £-(9 - x2) dx - 2n £—(22t + 2~2v + 2) dx.
| 1

,3 \
9x •
16
r 1 1 ^
2 In 2
-21*-
2 In 2
-2~2r + 2x
^.i-x n
49	15 ^
12 64 In 2 J
Capitolul 3. Arii şi volume
399
Probleme propuse
I.	Să se determine volumele corpurilor de rotaţie determinate de subgraficele funcţiilor următoare:
1.	f(pc) = 3x-x2,x e [0; 3];
2.	f(x) = x Vx , x e [1; 4];
3.	f(x)= A3,ie [-2; 2];
o ______
4.	f(x) = — -Jx2 —4 , x e [2; 4];
5.
6.
7.
8. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
/(*) =——r, jc e [0; 2]; x + 2
/(i)=^,ie[0; 3];
x + 1_____
f(x) = ţ/(2-x)(x + l) ,x e [- 1; 2];
f (x) = — ^a2 -x2 , x e [- a, a]; a
/(x) = sin x, x e [0; tc];
71
/'(x) = a sin cox, x e [0;— ], a > 0, co > 0; co
/(x) = 2 + cos x, x e [0; 2n];
/(x) = (x + \)e\x eJO; 1];
/(x) = In x, x e [1; e~];
/(x) = aresin x, x e [0; — ]; f(x) = Vx arctgx, x e [0; V3 ];
16.	/W=J£^.xe[0;l];
V x-2
17.	/(x) = ^|x2 — 2xj ,x € [- 1; 4];
(x, dacă x e [1; 2]
18.	/(x) =	-----
[V3x- 2, dacă x e [2; 6]
II. Să se determine volumele corpurilor obţinute prin rotirea în jurul axei Ox a următoarelor suprafeţe:
1.	S= {(x,y) I ^1--^- <y < Vx2-2x + 4,1 <x < 2};
2*.S= {(xy)l 1 <^< | Vl2-x2 , V2 <x<V2} 3.5= {(x, _y) I x2 + (y - 2)2 < 1}.
400
Manual clasa a Xll-a
Probleme cu caracter aplicativ
1.	Pentru determinarea centrului de greutate al unei anumite plăci omogene de grosime neglijabilă, identificăm aceasta cu o suprafaţă plană, subgraficul unei funcţii/: [a, b] -> IR, continue şi pozitivă pe [a, b].
Coordonatele centrului de greutate G(xCn >’c) sunt date de formulele:
eh
x/'(x)dx
\ I f\x)âx
^---------,5 =
S
Aplicaţie
Să se determine centrele de greutate ale următoarelor plăci plane omogene (subgrafice):
i) ,///j = {x, y | 0 < y < ax - x2, 0 < x < a);
ii)	. //'6 = (x, j; | 0 < y < sin x, 0 < x < ti} ;
iii)	.s/fj = {x,y | 0 < y < —4a1 -x2 , 0 < x < a}.
a
2.	Pe o axă Ox se consideră punctele A (a) şi B(b), a < b. O particulă P(x) se
deplasează de la A la B sub acţiunea unei forţe F având direcţia axei Ox.
Intensitatea forţei, notată F este considerată funcţie continuă pe un interval / care conţine punctele a şi b. Lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea particulei
jP(x) de la A (a) la B(b) sub acţiunea forţei F este dată de formula:
La. h = [ j\x) dx.
Jil
Aplicaţie
Să se calculeze lucrul mecanic efectuat pentru întinderea unui resort elastic cu 25 cm, ştiind că pentru a-1 întinde cu 1 cm este necesară o forţă de 100 N.
3.	Momentul de inerţie al unui corp de rotaţie (omogen) faţă de axa de rotaţie Fie p densitatea corpului material, omogen. Corpul se obţine prin rotirea subgrafîcului unei funcţii continue şi pozitive pe intervalul [a, b] în jurul axei Ox. Momentul de inerţie al corpului în raport cu axa de rotaţie este dat de formula:
I=^p\j\x)dx.
Aplicaţie
i) Să se determine momentul de inerţie al unui corp conic faţă de axa de rotaţie.
Corpul de rotaţie se realizează prin rotirea în jurul axei Ox a subgrafîcului
r
funcţiei/(x) = —x, x e [0, h\. h
Capitolul 3. Arii şi volume
401
ii) Să se determine momentul de inerţie faţă de axa Ox al elipsoidului generat prin rotirea elipsei de ecuaţie
il + il = l.
O 1	. O	A •
3.3.	Calculul limitelor unor şiruri cu ajutorul integralelor definite
Calculul integralei definite utilizând sume Riemann ne permite să determinăm limitele unor anumite şiruri.
Considerăm intervalul [a; b] şi formăm un şir de diviziuni echidistante,
(A„),ieIN. astfel încât pentru fiecare n > 1 avem A„ : x0 = a, X\ = a +
b-a
■, x2 = a +
+ 2
b-a	, b-a	b-a
-----, ...,xk = a + k--,	=a + {n- 1)-----, x„ = b.
n	n	n
Norma diviziunii A„ este ||A„
b-a
cu lim ||A„|| = 0.
în subintervalele formate, Ik = [xk-\, xk] cu k e {1, ..., n) luăm punctele intermediare = xh ţ2 = x2, .^ = xk,	= x„_,,	= x„ şi construim un şir
de sume Riemann asociat funcţiei/ integrabilă pe intervalul [a; b\.
Pentru n > 1 avem:
a„ =-----/($,) +-----/fe) + ... +----/(Q =------2_,f(a + k-----).
n	n	n tt
n
n
«	rb
întrucât lim ||A„|| = 0, rezultă lim aA =	/(x)dx.
/;—>oc	n—>oo "	Ja
Prin urmare lim V /[ a + k——- = f f(x) âx.
"->0°	\ n )
Pentru intervalul [0; 1] avem lim — V / — = f f(x) doc.
"->* n k.A \n) Jo
Se deduc următoarele rezultate:
lim-^/f-1 = f/(x)dx, lim-^/(£,t.) = f/(x)dxdacă <^<
n—>oc yj	l yt )	J0	>cc yj ' _	J0	in
402
Manual clasa a Xll-a
exerciţii rezolvate
1.	Să se calculeze lima,7 dacă
n—> oc
a„ = —-—H-------— + ... + — , V n g IN*.
4/7 + 1	4/7 + 2	5/7
Rezolvare
Prelucrăm mai întâi termenul general al şirului:
1
an= -n
1 1 1
+------------ + ... + -
,1,2
4 + —	4 + —
. n
4 + —
/7	/7	/7
Această scriere ne sugerează să considerăm funcţia / : [0; 1 ] —> IR, 1
/(x) =-------, diviziunea
jt + 4
A . n 1 2	k	«-1
a/7 . u, ,	, I
/7 n	n n
cu norma ||AW|| = — pentru care lim ||A„||= 0 şi punctele intermediare
n	"->cc
* _	_ 2	_ k	_	_n-\	_
Sl -^1	5 S2 -^2	5 '•') y	? •••? S/7-1	^ n— I
77	77	77	77
Pentm fiecare 77 e IN* suma Riemann asociată funcţiei considerate este:
QAn = “ 77
1 1 1
+------------ + ... +-------------
, 1	, 2
4 + —	4 + —
„ n 4 + —
=
77	77	77
Funcţia/fiind integrabilă pe intervalul [0; 1] avem
T1	1
limaA =	—-—ck = ln(x + 4)
oc +	+ 4
= ln-
Prin urmare lima = In — .
n 4 2
2.	Să se calculeze lima dacă
Qn
- + -
3/7 +1	3/r +2
- + ... + -
3/7 +n*
•, V 77 g IN*.
Capitolul 3- Arii şi volume
403
Rezolvare
Putem scrie an = —
1 1
- + ... + -
n	, fO	2	f2i	2 		
	3 + —	3-b		3 +	
	\n)		[nj		U J
Sub această formă an reprezintă suma Riemann aA , asociată funcţiei
/: [0; 1] -> IR,/(x) = —p—, diviziunii A„ : 0, —, —	cu norma ||A„|| = —, şi
x~ + 3	n n n	n
punctelor intermediare
^ =	4»-i = — ,^=i-
n	n	n	n
Funcţia/este integrabilă pe intervalul [0; 1] şi prin urmare
r1 1	,	1	x
lima = limxA = —--------dx — —ţ= arctg —p=-
" J°x2+3 V3	73
nS
3.	Să se calculeze lima dacă an = « V------r ,Vwe IN*.
îJ(n + k)2
Rezolvare
„ 1^ 1
Putem scrie an= — ^
n~(, k
1 + -
y
n)
Considerăm funcţia / : [0; 1] -» IR, / (x) = --— şi procedând ca în
(*+ir
exerciţiile anterioare deducem:
lima = f
><x Jc
■ 1
rdx ~
1 "
X + 1
(x + 1)'
Probleme propuse
Să se calculeze limitele următoarelor şiruri:
,	_ l5 + 2S +... + X
!• ,
. _ 1 1 1
2.	—--------1-----------h ... + -
2
n n +1 n + n
1 1 1
-----1--------b ... H---
2 n	2n +1 An
3.
404
Manual clasa a Xll-a
4. a„ =
n	n
1 + n2	2 2 + n2
+ ...+
2 2 n + n
5.	cin
n
6.	a„ =
. 7C . 2tt	(/? —l)7t
sin — + sin — + ... + sin------—
v n n	n
2 n
7. an — n 1
,	71	271	77 — 1
1 + COS---+ COS----+ ... 4- COS---71
2n 2n	2n
1

1
(« + 1)J (n + 2y
■ + ... + ■
1
(n + Yiy
8.	a„= -i-(l-^/3+2-V37 + ... + «-VF);
9. a„ =
1 + 3--+ Jl + 3 -2	11 + 3w-
n V	n \ n
10*. a„ =
1
1
+ ... + -
1
V2«2-l	a/2«2-22	V2n2-«2 ’
11	i v
11.	an = — / —-----------;
nj^9n -k
12.	^ r—:---------- ,
A'=l v/c +477
13.	a„=— YJke" ;
^ A'=l
14*. a„ =	•
^ Ar=l
Test t>e aprofvmbAre
2x2
1. Fiind dată funcţia/: IR —> IR,/(x) = —-------, să se determine aria suprafeţei
x“ +4
limitată de graficul funcţiei, asimptota oblică şi dreptele de ecuaţii x = - 2 şi x = 2.
2. Să se calculeze aria subgraficului funcţiei/(x) =
cos n-
, x e [0, 6tt].
3. Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între ramurile hiperbolei de ecuaţie y2 - 2x2 = 1 şi dreptele de ecuaţii x = - 2 respectiv x = 2.
Capitolul 3. Arii şi volume
405
4.	Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat de funcţia/: [0, a] —> IR,
x-a-1
5. Să se determine volumul corpului de rotaţie obţinut prin rotirea în jurul axei
Ox a subgraficului funcţiei///) = <
dacă *e[-3,0]
-x + 2, 3
2	1
------, dacă xe (0,—1
2x + l	2
JUotă: In încheierea capitolului precizăm că aplicaţiile integralei definite nu se reduc la cele prezentate mai înainte. Cu acelaşi aparat matematic se stabilesc astfel formule de calcul pentru:
-	lungimea graficului unei funcţii (continuă, cu derivata continuă);
-	aria unei suprafeţe de rotaţie;
-	coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene;
-	lucrul mecanic al unei forţe de intensitate variabilă (care acţionează pe direcţia deplasării unui punct material);
-	momentul de inerţie al unui corp de rotaţie faţă de axa de rotaţie.
Prin modul în care a fost conceput manualul am încercat să oferim un suport teoretic accesibil şi un instrument de calcul bazat pe analiza matematică, în perspectiva completării şi aprofundării unor importante capitole ale matematicii, mecanicii şi fizicii.
exerciţii recapitulative
1. Se consideră funcţia/: IR -» IR,/(x) = 3A - 2X.
a)	Să se calculeze/'(x), x e IR.
b)	Să se calculeze lim^—^
.v->oc	x
c)	Să se arate că funcţia/este strict crescătoare pe intervalul [0; + oo].
d)	Să se arate că funcţia/este convexă pe intervalul [0; + oo].
e)	Să se arate că f a dt = ----- , V x e K, Va>0, <2*1.
Jo	In a
f)	Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei / axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1.
406
Manual clasa a Xll-a
2.	Se consideră funcţia/: IR —» IR,/(x) = (x + 2)3 -x3.
a)	Să se calculeze/'^), x e IR.
b)	Să se arate că funcţia/este convexă pe IR.
c)	Să se arate că funcţia/este strict descrescătoare pe intervalul (- oo; - 1) şi strict crescătoare pe intervalul [- 1; + oo].
d)	Să se arate că f(x) > 2, V x e IR.
e)	Să se arate că oricare primitivă a funcţiei/este strict crescătoare pe IR.
f)	Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei / axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1.
In x 1
3. Se consideră funcţia/: (0, + oo) —» IR,/(x) =--h — + ax + b cu a, b e IR.
x x
a)	Să se determine a şi b astfel încât dreapta de ecuaţie y = x să fie asimptotă a graficului funcţiei/
b)	Fie a = 1, b = 0. Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a graficului funcţiei cu asimptota oblică.
c)	Să se calculeze /„ = J\ [/(x) - x] dx, n e IN*.
d)	Să se demonstreze că şirul (/),ieIN* constituie o progresie aritmetică.
4.	Se consideră funcţia/: IR —» IR,/(x) = Vx2 + 2 - Vx2 +1 .
a)	Să se calculeze/'(*), x e IR.
b)	Să se arate că funcţia este strict descrescătoare pe intervalul [0; + oo].
c)	Să se calculeze lim/(x).
,r-»cc
d)	Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei/ către - oo.
e)	Să se calculeze lim	+ ^	”m+.
f)	Să se arate că f Vx2 +<32d/ = — x^x2 +a2 + — ln(x + Vx2 + o2) - — In a,
Jo 2 2 2
V x e IR, a > 0.
g)	Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei / axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1.
5.	Se consideră funcţia/: IR -> IR,/(x) = ln(x2 + 2) - ln(x2 + 1).
a)	Să se calculeze f'(x), x g IR.
b) Să se calculeze lim——fW)_
A'_>0 x
c)	Să se arate că funcţia /este strict crescătoare pe intervalul (-oo; 0] şi strict descrescătoare pe intervalul [0; + oo).
d)	Să se arate că 0 </(x) < In 2, V x e IR.
Capitolul 3. Arii şi volume
407
e)	Să se arate că [ ln(72 + a1) dt = xln(x2 + a2) - 2x + 2arctg— , V x e IR,
Jo	a
V a € IR*.
f)	Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei / axa Qx şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1.
1	a"+1
6. a) Să se verifice egalitatea-- = 1 + a + ... + a" +-----, V n e IN* şi
l-a	l-a
Va g E\ {1}.
b)	Să se deducă relaţia
—~ =	+ ... + (-i)"(V^r + (-iy+l
1 + V x	1 + V x
Vxe[0;l],Vne IN*.
c)	Să se arate că 0 < (7*)	<	y1*1, v x g [0; 1], V n g IN*.
1 +Vx
d)	Să se arate că lim f	dx = 0.
Jo i + >/x
f1	1
e)	Să se calculeze integrala ---p=dx.
Jol + Vx
f)	Să se arate că
lim
-+i	-+i
' \ 2
(-l)x2	(-1)2	(-l)"x2
x + -L— -+ ă—^— + ... + - 7
1 ,	2	,
- + 1	-	+	1
2	2
"+1
2
-I
i 1
i+4t
d/,Vxe [0; 1].
7.	Se consideră funcţia/: IR —» IR,/(x) = ex .
a)	Să se calculeze/'(x), x e IR.
O O
>0.
b)	Să se arate că dacă x e [1; e\, atunci (x - 1)
\x eJ
c)	Utilizând ineegalitatea de la punctul (b) să se arate că dacă x e [1; e],
.11	1+e
atunci — + — <------.
x e e
1	f (X^	1 4- p
d)	Să se verifice că---+ ------ <-----, V x e [0; 1].
/(x) e e
e)	Să se arate că dacă u, v e IR, atunci (u + v)2 > 4uv.
f)	Integrând inegalitatea de la punctul (d), să se arate că
[ —-—dx + — [ /(x)dx < V-f.
/ (x) e	e
g)	Utilizând inegalitatea de la punctul (e) să se arate că
408
Manual clasa a Xll-a

8*. Se consideră funcţiile/ g : (0; + oo) -> IR definite prin/(x) = e şi g(x):

a)	Să se calculeze f'{x) şi g'(x), x e (0; + oo).
- 2
b)	Să se calculeze J f2(x)dx .
r2
c)	Să se calculeze j g2(x)dx.
d)	Să se determine ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei g.
e)	Să se arate că fe2x -2t— + ^— > 0, V t e IR, V x > 0.
x x
f)	Integrând inegalitatea de la punctul (e) să se arate că
■> (*2 o	f2 €■*	f2 1
{- f e~xăx-2t f — dx+ | — dx > 0, V / e IR.
8,	s“4rT-I<rH(f7^'
9.	Se consideră funcţia/: IR —> IR,/(x) = —— .
x- + 1
a)	Să se calculeze f(x), x e IR.
b)	Să se verifice caf(-x)=f (x), V x e IR.
c)	Să se arate că 0 <f(x) < 1, V x e IR.
d)	Să se determine abscisele punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei /
e)	Să se determine ecuaţia asimptotei către + co la graficul funcţiei/
f)	Să se calculeze lim [ f(t)ât.
.r—>oo J 0
10*. Se consideră funcţiile/ g : [a, b] —> IR şi funcţia h : [0; 1] -> IR, h{x) = = Vl - x‘J unde a, b IR, a < b.
a)	Să se arate că 1 - x9 < h(x), V x e [0; 1].
b)	Să se calculeze [ h2(x)dx .
Jo
c)	Să se verifice că t2f2(x) - 2tf (x) • g(x) + g2(x) > 0, V t e IR.
d)	Integrând inegalitatea de la punctul (c) să se arate că:
t2 [ f2{x)âî-2t f f{x)g(x)dx+ f g2(x)dx >0, e IR.
Ja	Ja	Jo
e)	Să se deducă inegalitatea f | f(x)-g(x)dxj < M /2(x)dxj f J gJ(x)dx
Capitolul 3. Arii şi volume
409
f)	Analizând inegalitatea de la punctul (e) să se arate că dacă u : [0; 1] —» IR, este o funcţie continuă, atunci ^ J z/(x)dxj < ^ zr(x)dx .
g)	Să se arate că aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei /?, axa Ox şi dreptele x = 0 şi x = 1 este un număr real din intervalul (0,90; 0,95).
11. Se consideră funcţiile fn: IR —» IR definite prin
fo(x) = ex şi/„+i (x) = |o fH (t)dt, V n e IN, V x e IR.
a)	Să se calculeze/] (x) şi	V x e IR.
b)	Să se arate că f,+\(x) = ex - 1 - —	V n g IN, V x e IR.
12! n\
c)	Să se determine ecuaţia asimptotei spre - oo la graficul funcţiei/].
X
d)	Să se arate că 0 <f„(x) <e — , V n e IN, V x > 0.
n\
e)	Să se arate că fn este convexă pe intervalul (0; + oo), V « e IN.
f)	Să se demonstreze că:
lim
f	2	\
, XX	X
1 + —+ — + ... + —
1!	2!	n\
-■ e .
12*. Se defineşte şirul (/„)„£lN astfel:
Io =
r1 x"
— d,t,r7 e IN*. J«x + 3
a)	Să se calculeze 70 şi I\.
b)	Să se demonstreze că pentru orice n e IN are loc egalitatea
2/„+i + 3/;, = —.
n +1
c)	Să se arate că pentru orice n e IN, In+\ < In.
d)	Utilizând rezultatele de la punctele (b) şi (c) să se demonstreze că pentru orice n 6 IN* au loc inegalităţile:
4/„+,<-I- <4I„.
n +1
e)	Să se demonstreze că pentru orice n s IN* au loc inegalităţile:
4 (n + 1) n	4 n
f)	Să se calculeze lim nln.
n—>oo
410
Manual clasa a Xll-a
13.	Se consideră funcţia/: [0; 1] —> IR, /(x) = —----. Se defineşte şirul
x- + 4x + 5
(/„)/ieIN astfel:
Io= jQ/(x) dx şi In = |oX/'/(x)dx, n e IN*.
a)	Să se calculeze I0 şi 7|.
b)	Să se demonstreze că pentru orice n e IN* are loc egalitatea:
L+i + 4 In+\ + 5 ln =------.
w + 1
c)	Să se arate că pentru orice n e IN, In+\ < In.
d)	Utilizând rezultatele de la punctele (b) şi (c) să se demonstreze că pentru orice n e IN* au loc inegalităţile:
10/(I+2 < — < l0/„. n +1
e)	Să se demonstreze că pentru orice yi e IN, n > 2, au loc inegalităţile:
--------- <I»<-------î-----.
10(w + l)	10(w-l)
f)	Să se calculeze lim nln.
K
14*. Pentru orice n e IN*, se consideră funcţia fn : [0; — ] —> IR, fix) = Sln ^ şi integrala I„ = f3 /,(*) dx:-
9 -h COS“ X	J{]
a)	Să se calculeze I\.
TC
b)	Să se determine derivata fn'(x), Vxe [0; — ].
K
c)	Să se demonstreze că fn este crescătoare pe intervalul [0; — ].
71
d)	Să se demonstreze că pentru oricexe[0;-] are loc relaţia:
o <m )•
e)	Să se arate că 0 < /„ <f„ (—) • -j, V n e IN*.
f)	Să se determine lim/„.
Capitolul 3. Arii şi volume
411
15. Să se determine A, B, C e IR astfel încât:
1
— +—,Vx>0.
(x + l)(x + 2)(x + 3) x +1 x + 2 x + 3
1
a > 0.
Fie funcţiile / g : IR -» IR, / (x)
a)	Să se calculeze Jg(x) dx;
b)	Să se calculeze J /(x) dx.
c)	Considerăm şirul (£„),l6lN. definit prin
(<? + 1)(£ + 2)(<?A + 3)
Şi g(x)
S„=-
n
f[^]+f{P\+-+f[2n 1
2n)	' \ 2n
Să se calculeze limS,,.
//—>o(.
16. Să se calculeze limitele următoarelor şiruri:
n g IN*.
,	1^	2/c — 1
a )a„ = -2J-
(2k — l)2 + (2n)2 ’
b) "
*=l n + k'
1
n +1
77 g IN*.
k k
c)* a„= — k arctg—+ — nr	" A
n e IN*.
17. Fiea„= Jf]
", k"
1 + —
n 4
şi bn = In am n g IN*.
Să se calculeze lim bn şi apoi lima/7.
1
ex + a ’
412
Manual clasa a Xll-a
Probleme de sinteză pregătitoare pentru examenul de bacalaureat
1.	Se consideră funcţia/: (0, -t-ac) IR,/(x) = In x şi integralele / (/?), unde n,p e IN*, In (p) = f (1 -x/;)"dx .
JQ
a)	Să se calculeze I\{p) = f (l-x/;)dx.
* o
b)	Utilizând metoda integrării prin părţi, să se arate că:
h„ (p) = nP,\h„-\ (p),V n> 2, n,p e IN*. np +1
c) Deduceţi că: In (n) =
2n
n + 1 2n + l yi~ 4.i
d)	Să se calculeze/'(jr), x > 0.
e)	Utilizând teorema lui Lagrange să se arate că:
— < In (x + 1) - In x < —, V x > 0.
\ + x	X
, V n e IN*.
f)	Să se demonstreze că lim
-V —> cO
g)	Să se calculeze lim In (n).
	
i+-	i+—
l n)	in)
• 1 + -
= 1.
2.	Se consideră funcţiile / : IR -► IR, / (x) = 3 + {x}, şi F : IR -» IR, F{x) = J /(/) dt. Prin {x} am notat partea fracţionară a numărului real x.
a)	Să se verifice că/(x + 1) =/(x), V x e IR.
b)	Să se arate că funcţia/este continuă în punctul x = 1.
2	3
c)	Să se verifice că F (x) = 3x+	, V x e [0, 1).
d)	Să se arate că 3 </(x) < 4, V x e IR.
e)	Să se arate că orice primitivă a funcţiei/este strict crescătoare pe IR.
f)	Să se calculeze lim F (x).
g)	Să se arate că există a e IR, astfel încât funcţia G : IR -► IR, G(x) = F(x) - ax să fie periodică, având o perioadă egală cu 1.
3.	Se consideră funcţiile IR -»IR, f(x) = -—^--şi
5	+ 4cosx
-E,F(x)= [f{t)dt.
J o
F: IR
Probleme de sinteză
413
a)	Să se verifice că/(x + 2rr) =/(x), V x g IR.
b)	Să se arate că -- </(x) < 1, V x e IR.
c)	Să se calculeze lim F(x).
.v—>00
d)	Să se arate că orice primitivă a funcţiei/este strict crescătoare pe IR.
e) Să se verifice că F (x) =
jarctg
li
3
J
+ C,, JCG[0,7t)
f + C2,
X = K
f)	Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficul funcţiei f axa
_	. ,	,	,	71	2n
Ox şi dreptele de ecuaţii x = — şi x = — .
g) Folosind f) şi egalitatea arctg a - arctg p = arctg
a -p 1 + ap
V a, P g (O, +oo), să
. t w .	w n	^V3 -6 7i
se deducă inegalităţile: — < arctg——— < — •
4.	Se consideră /': [O, l] -► IR, f(x) = —-— ----şi se defineşte şirul (In)n G w
+5x + 6
prin In = [ xn • f(x) dx, n g IN.
a)	Să se calculeze I0 şi I\.
b) Să se demonstreze că In +1 + 5In + i + 61 n =—, V n g IN.
n +1
c)	Să se arate că In+ \ < /„, V n g IN.
d)	Să se deducă inegalităţile —4—— < In < ——-—— ,V«gIN*\{1}.
’	12(77 + 1)	12(77-1)
\_
e)	Să se arate că lim n ■ en In =/( 1).
n—>yj
g)	Să se calculeze/(/7) (x), n g IN	(derivata de ordinul n a funcţiei/).
5.	Se consideră funcţiile/: IR	IR, /(x) = a + {x} • (b - {x}), a, b	g	IR	şi
F: IR -> IR, F (x) = | /(/) d/. Prin {x} am notat partea fracţionară a numărului real x.
J o
a)	Să se verifice/(x + b) =f (x), V x, a g IR şi V b e TL.
b)	Să se determine a g IR şi b e Z,	astfel încât flmcţia f să fie continuă în	x =	0.
c)	Dacă b g [l, +oo), să se arate că	a </(x) < a + b, V x, a e IR.
414
Manual clasa a Xll-a
3x x
d)	Să se determine a g IR şi b g 2, astfel încât F(x) = Zy + —---,Vxe[0,1).
e)	Dacă a e (O, +oo) şi b g [l, +oo) să se calculeze lim F (x).
f)	Dacă b = 1, să se determine <7 g IR, astfel încât orice primitivă a funcţiei / să fie strict descrescătoare pe IR.
g)	Dacă a g IR şi b = 1 să se arate că există m g IR, astfel încât funcţia G : IR -> IR, G(x) = F (x) - mx să fie periodică, cu perioada egală cu 1.
6.	Se consideră funcţia/: [0, +00) -► IR, /(x) = ln(l + x + a2x2), a > 0 şi se
fi lax1'1 + x'1
defineşte şirul (/)„ > , prin In = n —------------dx.
ax“" + x/7 + a
a)	Să se calculeze/'(x), x g [0, +00).
b)	Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f
c)	Să se arate că: 0 < ln(l + x + a2x2) < x + a2x2, V x > 0.
d)	Utilizând metoda integrării prin părţi, să se arate că:
g)	Să se determine a > 0, astfel încât tangenta la graficul funcţiei / în punctul de abscisă 1, să fie paralelă cu dreapta de ecuaţie x + y = 0.
d)	Să se determine valoarea polinomului P{a) de gradul trei, astfel încât: /3 (a) + P(a) = ln(l + <7); V a > 0.
f) Să se calculeze lim ln.
ra
defineşte şirul (/,.,)„>0 prin I„(a) =	fn(x) dx, V n e IN, V a >0.
a)	Să se calculeze /„' (x), x > 0.
b)	Să se calculeze 70 (a) şi I\ (a).
c) Să se arate că In+l(a) =-----— • a"+' + I„(a), V n e IN.
n +1
e) Să se arate că J [(* - af - /3 (x)] < 0, V a > 0.
f) Să se arate că J (x - a)3 dx < I3(a) < 0, V a > 0.
Probleme de sinteză
415
g)	Să se demonstreze că
\	a" ci
ln(l + a)- a + —--------
4
<^,Va>0.
4
8.	Se consideră funcţia/: IR IR, f(x) =----:-------— .
1 + e x + e~~x
a)	Să se scrie ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei/
b)	Să se calculeze/' şi să se studieze monotonia funcţiei/pe IR.
rh
c) Să se demonstreze că (b - a)f(b) <	f (x) dx < (b - a)f (a), Vie [a, b\.
k+1
d)	Să se deducă inegalităţile: ” /(x) dx < —/ /J < J” (f(x) dx,
n	n
V k E IN, n e IN*.
f k	'
f1	" f
e)	Să se demonstreze că J f(x)dx = ^ J ” ^ f(x) dx
k+1
*=» V T
lt(k
k=\
. r 1	, 3e
g) Sa se arate ca hm — >	— =
f)	Să se deducă inegalităţile " f(x) dx < — ^ — < j* f(x) dx.
k=1
ln-
+e + l
9.	Se consideră şirul (!„)„>o, definit astfel:
/o =
Jo 2.x;+ 3
a)	Să se calculeze 70 şi /.
b)	Să se arate că 2In+{ + 3/ =
r1 1	rl x'7
[ -	- dx şi /„ = [ — - dx, n e IN*.
Jo 2x + 3	Jo 2x + 3
1
, , n € IN*.
n +1
c)	Dacă x e [0, l], atunci x1 > xn+\ V«e IN*.
d)	Să se arate că In+] < Im V«e IN*.
e) Să se arate că
----1----- < I„ < — , V n e IN*.
5(« +1)	" “ 5/» ’
f)	Să se arate că lim nl„ =— .
n—>+co	5
10.	Fie/: IR -> IR, fix) = 1 - x2 e'x.
a)	Calculaţi/' (x).
b)	Calculaţi/" (x).
c)	Determinaţi f(k\x), k e IN.
416
Manual clasa a Xll-a
= /
d)	Dacă Ik = I xke ' dx , k e IN* determinaţi o relaţie de recurenţă între Ik şi

A+l-
e)	Calculaţi aria determinată de dreptele x = 0, x - 2 = 0, axa Ox şi graficul funcţiei f(x) = 1 - x2e~K.
11.	Se consideră funcţiile/: IR ->■ IR, /(x) = 5 + arccos(cos2x) şi
F : IR -+ IR
, F(x) =	d/.
J 0
a)	Să se verifice că/(x + n) =/(x), V x e IR.
b)	Să se arate că 5 </(x) < 5 + ti, V x e IR.
c)	Să se calculeze lim F (x).
d)	Să se arate că orice primitivă a funcţiei /este strict crescătoare pe IR.
e)	Să se arate că F (x) = 5x + x2, V x 6

f)	Să se arate că graficul funcţiei /nu are asimptotă orizontală spre +oo.
g)	Să se calculeze aria mărginită de graficul funcţiei / axa Ox şi dreptele
1	•	3
X = 1 Şl X = -.
12.	Se consideră funcţiile/: IR —> IR, /(x) = x3 - 3x + 3 arctg x şi F : IR IR,
F(*)=f,/(/) d/-
a)	Să se arate că f'(x) > 0, V x e IR.
b)	Să se demonstreze că/(x) < 0, V x < 0 şi/(x) > 0, V x > 0.
c)	Să se arate că orice primitivă a funcţiei / este strict descrescătoare pe (-oo, 0) şi strict crescătoare pe (0, oo).
d)	Să se verifice că/(-x) = -/(x), V x e IR şi că Fţl) = 0.
x3
e)	Să se deducă inegalitatea: arctg x>x —-,Vx>0.
I) Să se arate că J arctg(x3) dx
/(x2)
>
13
60
g) Să se calculeze lim
.r->0
13.	Fie/: (0, +oo) -> IR, /(x) = x - n In x şi fie F (x) = J /(/) dt.
a)	Să se calculeze f'(x), x e (0, +oo).
b)	Să se arate că /este strict descrescătoare pe (0,7t).
c)	Ştiind că 0 < e < k, să se deducă inegalitatea 2n < e + n ■ In n.
Probleme de sinteză
417
x -1
d)	Să se arate că F (x) = —-— + n(x - 1 - x • In n), x e (0, +oo).
e)	Să se demonstreze prin inducţie matematică propoziţia
= (-1)” • (n - 1)!-^-, n > 2, unde f[n) este derivata de ordinul n a
funcţiei f
f)	Să se calculeze lim V*’f{k) (2).
/7_>00^2 )
g)	Să se calculeze aria mărginită de graficul funcţiei f axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e.
14. Se consideră funcţia/: IR -► IR, f(x)= —^—şi se defineşte şirul (7„)w>0
4x" +1
fi
prin In = J xn f (x) dx ; n e IN.
a)	Să se calculeze/'(x), x e IR şi să se studieze monotonia lui/pe IR.
b)	Să se calculeze I0 şi I\.
c)	Să se arate că şirul (In) este descrescător şi mărginit.
d)	Să se arate că: 4 In+2 + /„ = ——r, V n e IN.
n +1
e)	Să se demonstreze -r/~	■ < In <	< n e IN, n > 2.
5(^ + 1)	5(^7 — 1)
f)	Să se calculeze lim n • In.
x—>00
g)	Să se calculeze lim e" ■ /„.
Răspunsuri
Algebră
Cap. 1. Grupuri Pag. 43
1.	Se verifică axiomele grupului. Deoarece produsul a două elemente din A nu este în A rezultă că A nu este parte stabilă.
*	1 + x
2.	Se verifică axiomele grupului. Funcţia f:G-* IR+ ,/(x) = -—— , este izomorfism de grupuri.
3.	Se arată că înmulţirea a două matrice din M este tot în M Aplicaţia/: M -> M,
(cos0 sin0^
-sin0 cos 0 j
f(x) = cos 0 + / sin 0, unde X =
e M şi ijt/j = { z e (C, |z| = 1}, este un
izomorfism al grupurilor (M, •) şi ('M, •).
4.	Se verifică axiomele grupului, det (‘A • A) = det lA • det A = (det A)2 = det I2= 1.
5.	c) A = Ab + Aa, unde As = (A + lA) este o matrice simetrică, iar Aa = (A - A) este o matrice antisimetrică.
6.	Presupunem că există un izomorfism /: (2, +) -► ((B, + ). Dacă notăm f(\)=x e CB,
atunci rezultă că/(n) = nx, V n e 7L. Deci CB = {nx | x e 2}. Cum/(l)^0=>x = —,
<7
cu p * 0 şi (/?, q) = 1. Putem presupune q > 0. Atunci
q +1
P
= mx = m —
• q-(q+ 1 )mp ■
■=> q+ \ \q, contradicţie.
7.	Presupunem că există un izomorfism/:(©, + )-> (IR, + ). Fie 4Î , 1 e IR. Există <3, 6 g (B astfel încât ^fî =/(a) şi 1 =/(Z>). Cum a ^ 0 şi 6 ^ 0 există m, n e 2* astfel încât
ma = nb. Atunci / (wa) =/ (>?6) => mf (a) = nf (b) => mjl = n ■ \ => — = V2 e CB,
m
contradicţie.
10.	Presupunem că există un izomorfism cp : ((B[A|, + ) -> (2[A|, + ). Fie/e (BfAf] un polinom nenul şi să considerăm polinomul cp (f) = a0 + a\ X+ ... + an Xn e 2 [A 1.
Polinomul cp (f) va fi de asemenea nenul. Alegem un număr k e IN*, k > max (|<30|,
\o11, ..., \an\) şi considerăm polinomul q e (B [A], g = y/. Rezultă kg = f şi aplicând
K
izomorfismul cp obţinem /ccp(g) = cp (/'), deci cp (g) = y cp (/) g 2 [Al, contradicţie.
K
11.	(x;;)2 = x2_y2 => xyxy = x(xy)y => yx = xy, prin înmulţirea la stânga cu x şi respectiv la dreapta cuj^
Răspunsuri
419
15. d) Definim/: G\ -> G2, /
r\ 0A
v0 1,
\,F-
O -1
= '•,/ =
^0 1^
V1 oy
= -1,
/=
O -lx
■1 o
: z;/este izomorfism de grupuri.
g( D =
Definim g : G2 -> G3 astfel:
1 2 3 4^		"1 2 3 4"		"1 2 3 4"	fl 2 3 4^1
	,g(-l) =	U 1 4 3,	, gU) =	[2 13 4,	. g{~i) = L „ . „
.1 2 3 4;					[\ 2 4 3J
pag. 45
4.	Aplicaţia cp : (M, * ) -► (A/, o ), cp (x) = x * a~] este izomorfism de grupuri. Se arata că Ker cp = {e\, unde e este elementul neutru din grupul (M, * ), deci cp este injectivă. Considerând^ e Marbitrar şi x = y * a e M, rezultă cp (x) = y, deci cp surjectivă.
5.	Problema este un caz particular al exerciţiului 4. Din exerciţiul 4 rezultă că dacă (G, + ) este un grup aditiv abelian şi a e G este un element fixat, atunci operaţia x * y = x + + y + a determină pe mulţimea G o nouă structură de grup comutativ, în care elementul
neutru este -a, iar simetricul lui x este x = x - 2 a. în cazul nostru, G = (Q (yfd), a = 4d. Deducem că ((D (J~d), * ) este un grup abelian cu elementul neutru - iar simetricul
unui element co e (D (Vd) va fi co = co - 2 Vd e (D ().
6. b) M= M|UM2uM3u M4, unde
M, =
Mx
\ w + 1
lU
(7 W + 1
/7
1 - n
n eTL)
n e 7L
\ne7L)
|ne7L\, M4 =
^-"-2 -n-l) J
7.	Se observă că o matrice A e G/? poate fi caracterizată prin faptul că elementele sale sunt numere naturale şi suma elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană este 1. Inversa fiecărei matrice A e Gn este matricea lA, deci (Gm • ) este subgrup al grupului matricelor ortogonale.
Considerăm aplicaţia cp : Gn -► Sn, cp (A) = ga, unde permutarea aA este definită astfel: ga : {1, 2, ..., n) -> {1, 2, ..., n) asociind fiecărui element ie {1, 2, ..., n} elementul j e {1,2astfel încât oA (/) =j<=> ar, = 1 (fixând coloana / în matricea A, există o unică linie / în această matrice cu proprietatea că elementul de la intersecţia lor este 1, adică ctjj = 1); cp este izomorfism de grupuri.
8.	In grupul lui Klein, luând n = 2, ecuaţia x2 = e are 4 soluţii, adică toate elementele grupului.
9.	Grupul aditiv al soluţiilor ecuaţiei a cos x + b sin x + c = 0 va fi subgrup al lui (IR, + ), deci va conţine elementul neutru 0. Scriind că x = 0 este soluţie, obţinem a + c = 0, adică c = - a. Se consideră două cazuri, a = 0, respectiv <7^0.
10.	c) Folosim coordonatele parametrice M\ (a cos tu b sin ^), M2 {a cos t2, b sin t2),
t\tt2 e IR. Paralela prin A la dreapta M\M2 taie elipsa în punctul M(a cos (^ + t2), b sin (^ -+-+ t2). Se verifică faptul că aplicaţia cp : G ->	= {z e C / |z| = 1}), cp (M(a cos /, b sin /)) =
= cos / + i sin /, este izomorfism de grupuri.
420
Manual clasa a Xll-a
12.	Deoarece x comută cu^ a, rezultă că x comută cu orice putere întreagă a elementului ya, adică xyna = y nax, pentru orice n e 2Z. Analog, xy ,7(i = y 77,1x, V n e U. Cum a şi p sunt relativ prime, există p, q e 7L, astfel încât pa +	= 1. Atunci putem scrie
xy = xyim + ^ = (xy pa) y = y pa(xy *p) = (ypay *p) x = ypa^ *px = yx.
18.	Conform ipotezei x4 = e şi xk ^ e, V k e {1, 2, 3}. Atunci G = {e, x, x2, x3}.
Aplicaţia cp : G -► Z4, cp (x)* = k , pentru orice k= 0,4 , este un izomorfism de grupuri.
Dacă G este un grup ciclic, atunci toate elementele sale diferite de e au ordinul 2. Prin urmare G este izomorf cu grupul lui Klein.
. _ _.	,	2/C7T	. . 2/ctc . , f	...
19.	U„ = {zk = cos---+ i sin----- | k e {0,	1}}.
n	n
Aplicaţia cp : U n -> TLn, (p(z^) = k , este un izomorfism de grupuri. Fie G un subgrup cu n elemente al grupului (CC*, • ). Atunci xn = 1, V x e G, deci G <= Un. Cum G şi U n au acelaşi număr de elemente, rezultă G = Un.
Cap. 2. Inele şi corpuri pag. 69
1.	a) 1; b) 1, 3 ; c) 1,3,5,7 ,9 ; d) 1,5,7,11 ; e) 1,3,5,7,9,11 ,13 ;
f)	î, 3, 7, 9, H ,13, 17, 19; g) î ,2,3,4, ..., p2, pl.
4. Deoarece (a - l)2/7 + 1 + 1 se divide la a şi (a + l)77 - 1 se divide la a, atunci An se divide la 2a, deci An- 0 .
6.	a) x = 3 ;y= 3;b)x = 1 ;y= 5.
7.	1) Avem succesiv: (a + bf = (a + b) • (a + b) = a2 + ba + ab + b2.
2) Avem succesiv: (a + bf = (a + Z>)2 • (a + 6) = (o/2 + ba + ab + b2) - (a + b) =
= a3 + ba1 +	+ b2a + a2b + bab + ab2 + b3 \
8.	Se va arăta mai întâi că ap ■ b‘l = bCJ ■ ap pentru oricep, q e IN*. Apoi rezultă că:
(a + b)n = an+ Cln - a77'1 -6 + C“-tf'7“2 •£+...+ C^1 • a • bn~ 1 + b\
12.	Avem: 1 = 1 + a9 = (1 + a) ■ (a8 - a1 + a6 - a5 + a4 - cf + a2 - a + 1) =
= (a -a + a -a + a - a + <sr - a + 1) • (1 + a). Rezultă că 1 + a este inversabil şi că inversul său este a* - a1 + a6 - a5 + a4 - a3 + a2 - a + 1. Elementul 1 - a are invers elementul a3 + a1 + cf + a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1.
13.	1 = 1 - a6 = (1 - a) • (a5 + a4 + a3 + cf + 1) = (cf + ct + a + cf + 1) • (1 - a).
Deci inversul elementului 1 - a este elementul cf + a + a3 + a2 + 1.
14.	Pentru x -► - x (în relaţia din ipoteză) obţinem: (- x)6 = - x sau x6 = - x, deci x = - x adică x + x = 0. Pentru x -► x + 1 (în relaţia din ipoteză) obţinem: (x + l)6 = x + 1 sau
x6 + 6x5 + 15 x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 = x + 1 sau x4 = - x2. Am ţinut cont că în acest inel a + a = 0, V a e A. Deci x6 = x4 • x2 = (-x2) • x2 = - x4 = x2 şi cum x6 = x rezultă x~ = x.
16.	b) ± 1, ± co. ± (1 + oo).
17.	Se arată că (5, + ) este grup abelian. înmulţirea în S este asociativă, admite ele-
(1 0^
mentul neutru ^	^ şi este distributivă la stânga şi la dreapta faţă de adunare.
Răspunsuri
421
Pag. 93	_________
1.	Vom arăta că în S43 avem: 21965 + 1 1 = 6 .
într-adevăr, 21%5 +11= 2I%5 + Tî = ( 214 )140 • 25 + n = 32 + fl=o\ deoarece 27 = 128 = - 1 (mod 43), 214 = 1 (mod 43).
3.	2222 = 3 (mod 7) şi 22225 = 5 (mod 7), iar 55552 = 42 = 2 (mod 7); apoi (22225)1111 + (55552)1111 = (5 + 2) (mod 7) = 0 (mod 7).
4.	2 1 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 6; 25 = 2; 26 = 4; 27 = 8; 28 = 6.
Prin urmare 24A+I= 2; 24A + 2= 4; 24A"3 = 8; 24A + 4 = 6, V k e IN.
7.	Deoarece pentru a e M, a > 2 şi « e IN numărul (a + 1)" — an — 1 se divide la a2, rezultă că ă n = 6 , b n = 6 ; c n = 6 ; d n = 6 ; e n = 6 , f „ = 6 .
8.	2'' = (1 + iy' = 2+ Clp + C2 +...+ Cp' -l + ./Sp.
9 .x = h .
10.	a) (x,yz) = ( 2 , 3 , 6 ); b) (x,yz) = (6,9,6 ).
14.	1)+ 1;- 1;2)©* = ©\ {0};3)IR* = 1R\ {0};4)C* = <C\{0}; 5) + 1,-1, + /,-/.
23.	a) Elementele lui K \ {0} sunt date de mulţimea {1,- 1,jcj, x[1, x2, x21,	x~'}.
Produsul P al acestor elemente este:
P= 1 • (-1) -X! • xf1 -x2 • x^1 * ...-xn • x“l = - 1
b)	î - 2 * 3 - 4-5-6=- î = 6.
24.	a - b = cr 1 • b = a • (tf_l + 6_I) ■ b = (a * tf_l) • b + (7 ■ (b‘ b~]) = b + a = 1; b • a = b • 1 • a = b • (Zf1 + a~])' a = (b • b~]) - a + b ' (rf1 ■ d) = a + b= 1.
Deci a = bA şi 6 = a-1. Avem c/ + Z?-l=0|*tf=>tf2+ ab-a = 0=>a2-a + 1 =0.
1
Cap. 3. afe polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ Pag. 106
\.*)f+g=2+X2-Xl+X\ f'g = 1 +^5;
d)/+g= 3 + 5A"2 + 52f3, /-g= 2 + 4X+X2+ 5X4 + 6X5+ 4^6.
4. a) grad/= 4 dacă m e IR \ {-	, V2 }; grad f= 2 dacă m= \ grad/= 1
dacă m = - V2 . 5. a)/= 1 -Ar;c)/i= 2^,/2= 2^+ 2.
Pag. 112
1.	a)/= - 33f2 + 22f + 3; b)/= - j f(l - 3i)X2 + 2iX- 1 - 3/1.
4.£/„= l,t/| = - 3, a2 =	6.f{= X2,f2 = -X2. 8.« = 2. 11./= 2AT.
Pag. 118
1.	b) C= 1 + JÎX+X2, r= 0; d) C= 23f, r = 22f + 2.2. a = 261, b = - 255. 4. o = 2, 6=1.
422
Manual clasa a Xll-a
Pag. 120
1.	b) C = 2X + j,r = 4X2-2X2 - |-X- d) C= 2X2 + 3X+ 2 , r= 2X.
4. m + q = 0, p + m2 - 1 = 0. 7. r = 2X + 4 .
Pag. 122
1. a) r = 0; c) r =
2 ; d) r =

Pag. 125
Test de evaluare
l.C = 4X2- 12X + 43, r = 44 - 139X2. â = 2.3. r = 2iX- /. 4./=X.
Exerciţii propuse
1.	b) C=3X3-6X2 + (13+V2 )X- 26 - 3 42 , r = 52 + 3 42 ; d) C= 2 X5+X3 + 2 , r = 6.3. a = - 4, 6 = 3.
Pag. 130
2.	a) w = - 6, n = &,p = - 3; c) <5 = î, b = 0.9. a) m = 6k + 2 şi m = 6k + 4, k e 7L. d) m = 4k, k e 2Z. 10 a = - 1, b = 2; b) o = y, 6 = - j .
Pag. 138
Test de evaluare
1. m = 3, n = 10, C = X3 + (3 + VI )X2 + (5 + 3 S )X+ 5 42 .
2-/(0=/H) = 0.3.(/,g)=/
Exerciţii propuse
l.b)(/',g)= l;d)(/',g) = 2X+ 3.2. a) a = - 4; b) = - 2. 6. (/, g)=Xd- 1, unde d = (m, n). l.d= (m, n). Dacă — şi — sunt impare, atunci (/, g) = Xd + ad\ dacă cel puţin m vi
unul dintre numerele — şi — este par, atunci (J\ g) = 1. a a
Pag. 148
Test de evaluare
l./=(X- VI ){X2 + VI -X+ V25 ); 2./= (X + 3 )(X3 +X+ î);
3.	/ = î +X3 + X4; 4. a e {6, 2}.
Exerciţii propuse
l./= (x2 - 2X+ 2)(X2 + 2X + 2);
g = (^r2 + 3)(A’2-3Z+3)(Ar2 + 3Ar+3).3.a)a e { 6 , 3 }; b) a = 2 .
Pag. 152
1. b) Nu au rădăcini comune; c) î, 3 , 4 ; d) - 2; 2. 2. (6 - a)3 + {b - af + 2b - a = 0.
7	1
Răspunsuri
423
Pag. 161
Test de evaluare
1. - 3; - 2. 2. a = î; b= 4.3. (/ g) = (X- l)3(x - 2). 4. m = 2; n = - 2. Exerciţii propuse
l.b) =
4.a =
\±iS
-1 -i
,6 =
• tfl =-
2-4/
5
i; b\ = - 2, ci = 1; a2 = - 1; b2 = 2, c2 = - 1. 7.4 /?3 + 27 q2 = 0,p*0.
Pag. 166
l.a)2,|,l;d)
-i±Vs -i±/vn , ,	, i , 0 u,
---2-->----2-----2. a)/w = -7; —, 1, 2; b) /w =

4.	a) 3 + 2 tfy2 + (a2 + 6) _y + ab + c = 0; c) cy3 -	-	c3	=	0.
8.	x2 + x\ + x\ - 4(jcj + x2 + x3) + 11 = 0.
9.	a) r-p • q\ c) c/3 = r • p3. 10. (1 -yf - (1 -yf + a( 1 -y) + b = 0.
Pag. 172
2.a)l,2,5şil,2,-/V3,iV3;b)-3,-l, | şi-3, - 1,|. 3. a) 3/, - 3i,-|, 1;
c)S-i,S + /, ——	—- ,5. xj2 + x2 + x2 + X4 = - 4 a - 3 <0 pentru a > 0.
10./,/,-;,-/, S,S.
Pag. 177
1. a) (x2 - 6x + 4)(x2 - 2x - 11) = 0; c) (x2 - 2x- l)(x2 - 2 fi x + 7)(x2 + lfix + l).
7. m\ = - 2, «1 = 1, rădăcinile: - 1, 1, 1, 1 ± iyf3
1±/V3
\ mi = 2, n2= 1, rădăcinile: -1, -1,
Pag. 186
Test de evaluare
1.3 ± z'V2 , 1,6. 2.± 1,±(1 +0.3.5,	.4.- 1,
Pag. 187
t x	1 , kn . . kn ,	— x	l (2& + 1)tt ,	-----:
1. a) = - 1 + cos — + / sin — , k = 0,5 ; c) xk = - — ctg -—-—— ,k = 0,« -1. 3	3	2	2/7
5.	a) /« e f j , 11 u [5, oo); c) m e [- j , j ].
Pag. 189
l.a )f=X2. 5. a) 20; b) 5. 12. g = X3 - 4 X2 + 9 X-U.
424
Manual clasa a Xll-a
Analiză matematică
Cap.l. Primitive Pag. 211
Testul 1. G[(x) =/3(*); G[{x) =f2(x); G'(x) =/,(x). Testul 2. FXx) =/(x); F;{x) =f2(x); F/(x) =/3(x).
Pag. 217
1.	/admite pe IR => [x] admite primitive pe IR, fals.
2,	3. Im/nu este un interval. 4./nu are proprietatea lui Darboux.
5.	/nu admite proprietatea lui Darboux. Fie / = [2, 3]. Atunci/(2) = 2 şi/(3) = 3 şi
X = V5 e [2, 3]. Dacă c e <Q => c = ^ e IR \ (D fals; dacă c e IR \ (Q => V5 = c3 =>
=^C= Vs £ (2,3).
6.	/nu are proprietatea lui Darboux.
7.	Dacă/admite o primitivă, aceasta ar fi de forma F : IR —> IR,
x<0
F(x)
xsin — + x
x > 0
a) F continuă => k\ = k2- k.
b) F derivabilă în x = 0
x
x->0 X
există. Deci/nu admite primitive pe IR.
8. Dacă/admite o primitivă, aceasta ar fi de forma F : IR —» IR,
F(x)=\
x2sin — + &,, x*0 x
x = 0
/c2,
limsin—, care nu
x-+Q X
a)	F continuă => k\ = k2.
b) F derivabilă => F'{0) *	(F nu este derivabilă în origine). 9. Se procedează ca la exerciţiul 8.
Pag. 221
Testul 1
1. a) funcţia este continuă.
b) o primitivă este F : IR -> R., F(x) =
ex + cos x +	, x < 0
k,	x = 0
x2 + x + 2 + k^ x > 0
i) F continuă => 2+ Ari = k2 = 2 + k2 = k=>k\=k2 = k-2,ke IR.
Răspunsuri
425
ii) F derivabilă în x = O => F'(O) = 1 şi F'd (0) = 1. Deci funcţia F : IR —> IR, ex + cos x + k- 2, x < 0
F(x) = <	k,	x = 0 , este o primitivă a lui/
x2+x-\-2 + k-2, x>0
2./nu admite proprietatea lui Darboux.
4./(O) = 0;/(wx) = /7/'(x)şi/(- hx) = - w/(x).
Testul 2
1.	Se explicitează modulele când x parcurge cele patru cadrane.
2.	Nu admite proprietatea lui Darboux.
4. x = y =>/(x2) = 0; _>’ = 1 =>/(l) = 0,/(2j =/(*),/ (jr] = 0;/(Aj = -/(*)• Se discută după paritatea lui n.
Pag. 226
7 1	9 1
I. 1. sin" — = 1 - cos- — şi f se scrie ca diferenţa a două funcţii care admit primitive. x	x
9 1	9 1
2. cos" — = 1 - sin" — şi fi se scrie ca diferenţa a două funcţii care admit primitive. x	x
3	1	1 (	3	1
3.	cos — = — cos —+ 3cos — şi/3 se scrie ca o sumă algebrică de trei funcţii
x 4 \ x	x)
care admit primitivă pe IR.
4.	Analog ca la exerciţiul 3.
5.	a) şi b) pentru n par fn şi g„ nu admit primitive; pentru n impar admit primitive. Demonstraţia se poate face stabilind relaţii de recurenţă.
. i n	1	. î .
II. 1. sin| x + — = sin x cos — + cos x sin — şi
X)	X	X
m =
sinxcos —, x*0
x	+
• 1
cos x sin —
x	=> j admite primitive ca sumă de
0, x = 0
°, x = 0 două funcţii care admit primitive.
2.	Analog ca la exerciţiul 1.
„ w f f, v n .v i 9 v i t . i v . i
3.	Metoda 1. x~e cos— = 2x e cos— + x" e' cos— + e' sin— => e sin —
= ( x2ex cos —	- 2x ex cos---x2 ex cos — . Atunci:
X )	X	X
m
f (x) este suma a 3 funcţii care admit primitive.
f3 - ii	> x =£ 0 _ 2 <	, i „ xe' cos—, x 0
l x)		X
0,	X ii O'	0, x = 0
x~ex cos—, x * 0 x ;
l 0, x = 0
426
Manual clasa a Xll-a
Metoda 2. Se poate proceda ca la exerciţiul 1 pentru/: IR —> IR,/(x) =
şi g : IR —> IR, g (x) = ex.
4. Se va proceda ca la exerciţiul 3.
Pag. 241
sin — , x * 0 x
0, x = 0
B. 1. O primitivă este	: IR —> IR, F(x) =
ex + /c,, x < 0 k2, x = 0 .
-----h X + /(p X > 0
X
a) F continuă => 1 + k\ = k2 = /c3 = k => k\ = k - 1 şi F este de forma
F(x) = <
ex+k- 1, x < 0
/c, x = 0 , k e IR. Atunci J/(x) dx = F(x) +
x“ ,	^
----b x + Ic, x > 0
2, 3, 4, 5, 6. Se procedează ca la exerciţiul 1.
7.	+ ^ 8. plill =
J X	2	J X M+l
11. J(2x + 3)'” dx =

(2x + 3)l( 200
Pag. 246
1. jarcsinx dx = x arcsin x - J-
+
dx + fcf
-- x arcsin x +
Vl - X'2 + V?
Vl - X2
'l=f'=*/ = X g = arcsin x => g'(x) =
vr:
x- ;
2.	Se procedează ca la exerciţiul 1.
3.	Se aplică integrarea prin părţi de două ori. Se obţine:
f	6?r
J xex sin x dx = — [x sin x + (1 - x) cos x] +
4.	Se procedează ca la exerciţiul 3.
6./= In x =>/'(*) = - ; g\x) = A
X	X"
, • rlnx ,	1 ,	1
obţine: —— dx =-------In x----+ f;.
J Y~	Y	Y
g(x) =----. Se integrează prin părţi şi se
x
Răspunsuri
427
7./(x) = ln(x + V*2 +1 ) f\x) =
yj X~ + 1
; 1 = g'(x) => g(x) = x. Se integrează
prin părţi şi se obţine:
Jln(x + V*2 + 1) dx = x ln(x + ^x2 + 1 ) + Jx2 + 1 +
8.	Se stabileşte relaţia de recurenţă In = exx - n In_x.
10.	Se stabileşte relaţia de recurenţă:
în = —— X"~\X2 + 1) •	I„_2.
n + 2	n + 2
Pag. 250
1. 21n(x2 + x + 5) +	2. — arctg x2 + %\ 4. — arctg x3 + (<4; 5. ln(l + In x) + l<4;
5. Wl + e v = (l + e, )7(l + e',y => jWl + e')
dx =
= o±o!.^
= — (l+er) VT+e7 + kf.
3
7., 8. se va proceda ca la exerciţiul 6.
1
9.
1
1
cos"
, X
sinx « . *	x	2 x
2 sin —cos— te — 2	2 2
71
i =. fdx
sin x
r dx	, x
j-— = lntgT + ^
J sin r	7.
10.	cos x = sin (— - x) şi se va proceda ca la exerciţiul 9.
r	r	cos3 x
11.	a) Jsin xcos2 x dx = - Jcos2 x(cosx)' dx =--------— + b) Se va proceda ca la
punctul a.
12.	a, b, c, d. Se transformă produsele ţinând seama de formulele trigonometrice: cos(oc - (3) - cos(cc + p)
i)	sin a sin P
ii)	cos a cos P =
iii)	sin a cos p =
cos(a + P) + cos(a - P)
2 ’ sin(a + P) + sin(a~P)
_ x rsinx , r(cosx)' .	1 f, , N A .
13. a) --------—dx= -------;—dx =-----------+ b) Analog ca la punctul a.
J cos x J cos" x	cosx
14.	a) f-r— * dx = [(arctg x)(arctgx)' dx = (arctg x)2 +	;
J l + x	J	2
fl-sinx	r(x-f cos x)'	_
Wv -u — vX -4-
428
Manual clasa a Xll-a
Pag. 250
Testul 1
1. Fie F : [a, c] —> IR şi F{x) = /(x)|( ( şi G : [c, b] —> IR, G\x) = /'(x)|f /(, astfel încât F(c) = G(c).
F(x), x e [a, c]
G(x), x e [c, 6]
Se observă că funcţia H este o primitivă pentru funcţia/
2.	Dacă / = 1 sau /= - 1 => / admite o primitivă. Presupunem că / 2(x) = 1 şi / admite primitive.
fl, X E T
Dacă / (x) = <j i ^ , unde A n 5 = IR şi A n 5 = 0, ^ ^ 0, 5 ^ 0 => / nu are
Atunci definim funcţia // : [a, Z>] —> IR, //(x) =
[- 1, X E B
proprietatea lui Darboux. De aici rezultă sau A = 0 sau Z? = 0, deci/= 1 sau/= - 1.
1
(Zx - a - b) sin-----
3. Se consideră funcţia/: [a, b] —»IR,/(x) =
, x e (a, b)
(x-a)(x-b)
0,	x — {a, 6}
4.	Evident funcţiile g(x)sin x şi h(x)cos x admit primitive pe IR, dar g(x)sin x + + h(x)cos x = /(x)(sin“x + cos“x) =/(x).
cos —, x ^ 0
5. Fie G o primitivă a funcţiei g : IR —> IR, g(x) = < x	şi w : IR —> IR,
0, x — 0
w(x) = Vl + x- - G (x + Vl + x-) =>/(x) = m'(x) -
l + x“
b	. , . T cos2 cp r c/x
/admite primitive.
cos2 cp	, r,
i	,	—ctg(x + cp) + 6".
[sin(x + cp)]2 a2
7. Notăm 2(x2 + 1) + sin x - cos x = cp(x) => cp'(x) = 4x + cos x + sin x şi integrala devine J-
, XT „ b	. , . y cos “cp r
6. Notam — = ctg cp şi obţinem / =-ţ-1- —
a	’	Nsir
p2(cp + ^ ). ^ = 2x + ln|2(x2 + 1) + sin x - cos x| +
<P
Testul 2
1. Considerăm funcţia g : \a, b] —> IR, g(x) = F(x) - f (Qx => g derivabilă => g'(x) = = F(x) -/(/) şi a<t)< b. Fie xj e [a, şi x2 e [£, b] astfel încât g(xj) = g(x2).
3. Fie F : IR -> IR, F(x) =
,xj	şi F(x)
0, x - 0
va arăta că în condiţiile date funcţia F este derivabilă pe IR.
x" / [ — , x * 0
‘Ir/	,<si F( =

0,
x = 0
4.	Se ţine seama de (sin2x + cos2x)3 = sin6x + cos6x + 3sin4xcos2x + 3sin2xcos4x = 1.
5.	/: IR -» IR,/(x) = x. 6. tg x • tg 2x • tg 3x = tg x + tg 2x - tg 3x.
_ XT „ rsin2 7. Notam -------
J e'x
fVO)
sin2 x + sin 2x +1 , rc~v+sin2x + l , r sm2x-e~x
—------dx= ----------;---
e''+sin-x + l	J e~x + sin" x + 1
• dx ■
' e~x + sin2 x + 1
dx =

A^	„ A -f	'	1
Răspunsuri
429
Cap.2. Integrala definită Pag. 276
l./este strict crescătoare; 2. / este strict descrescătoare; 3. /este strict crescătoare;
4./este strict descrescătoare; 5./este descrescătoare; 6./este strict crescătoare; 7./este strict crescătoare; 8./este strict crescătoare.
Observaţie. In toate cazurile funcţia este integrabilă.
Pag. 280
1.	lim f\x) = + oo şi lim f(x) = + oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este inte-
•T-;2 '	.x —>—1
.v < — 1
grăbi lă.
2.	Se consideră şirul xn = ----!------ şi lim f(xn) = + oo; funcţia nu este mărginită şi
(2/7 + 1)-2
deci nu este integrabilă.
3.	Fie şirul (*;i)„eIN,, xn =	, xn —» O, —cos— = 2mrcos 2nn şi lim f(xj =
2/771	Xn Xn
= lim 2/771 cos 2/771 = + oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este integrabilă.
4.	lim f(x) = - oo şi lim/(jc) = - oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este
integrabilă.
5.	lim f \x) = - oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este integrabilă.
V—►(>
r>()
6.	funcţia nu este mărginită (lim f(x) = + oo şi lim f(x) = + oo).
’	.V —»() J	.V->1
X>()	A'< I
7.	lim f(x) = + oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este integrabilă.
.v — >0 ‘	’
8.	lim fi(x) = + coşi lim f(x) = + oo; funcţia nu este mărginită şi nu este integrabilă.
t>»	V_>T
Pag. 297
2.	lim f(x) = lim — • lim-—— = + oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este
.V>(>	A>() X A>()	X
integrabilă.
3.	4. 5. Enunţăm următoarea propoziţie:
„Fie/ g : [a, b] —> IR două funcţii integrabile pe [a, b] şi h : [a, b] -> IR, h(x)= \f{x),xe[a, 6]n®
|g(A), a e[a, b]\<B
Funcţia h este integrabilă dacă şi numai dacă / (a) = g(x) în toate punctele de continuitate ale funcţiei/şi g.”
Aplicând această propoziţie se constată că funcţiile de la exerciţiile 2, 3, 4 nu sunt integrabile pe intervalele specificate.
6. lim f(x) = lim f(x) = + oo; funcţia nu este mărginită şi deci nu este integrabilă.
A —>0 ‘	A->()
V>()	A<()
430
Manual clasa a Xll-a
3	k
7.	Considerăm şirul de diviziuni A„ = (x0,	xn.\, xn), n e IN* cu xk = —,
Y)
k = 0 - /7, căruia i se ataşează două şiruri de sume integrale Riemann cu punctele intermediare e [0, 3] n (Q şi r\k e [0, 3] \ (D.
Folosind faptul că funcţiile g : [0, 3] -» IR, g(x) = 5x - 2 şi h, e [0, 3] —» IR, h(x) = 2x + 3 sunt integrabile, obţinem:
a)	lim o/(A,„ ^.) = Hm oK(A,„ ^(5* - 2)ck = / ;
b)	lim o, (A,„ ri*) = lim cr/,(A„, r)X) = f (2x + 3)dx = 18.
De aici rezultă că funcţia nu este integrabilă.
Observaţie. în rezolvarea exerciţiilor de acest tip putem să utilizăm şi următoarea propoziţie:
„Dacă pentru funcţia/: [a, b] —» IR există un interval [c, d] a [a, b] astfel încât/să nu fie integrabilă pe [c, d], atunci/nu este integrabilă pe [a,
Dacă calculăm integrala pe intervalul [0, — ] pentru funcţia de la exerciţiul 3
obţinem valori diferite astfel:
1
n	1
g •• [o, - ] -» IR, g(x) = x =>	- g(x) duc = - Şl
2 •>» 8
1
h : [0,	IR, h(x) = 1 -x=> J3 /î(jc) <±c = /
Conform propoziţiei enunţate, funcţia de exerciţiul 3 nu este integrabilă pe intervalul [0,1]3[0,
Pag. 326
1. b) ^ In 3; 2. a) ^ ; b) 0; 3. a) cos 3x = 4cos3 x - 3cos x => cos3x = (cos 3x +
+ 3cos x)
f e'x cos3 x —— [ ex cos3xdr + — f ercosxdx= — ev(sin3x-3cos3jc) Jo	4	4 *1°	40
+ — <?x(sin x-cosx) 8
-^(e*+l).b) j(eCl);
rh	1
4.	Calculăm: i) e"“ sin p.v = —;-7 e“* (a sin Bx - B cos Bx)
a"+P‘
ch .	1
ii) J eatcosPx=—-—— eat(acospx + PsinPx);
a)	Se înlocuieşte în i) astfel: a = 2, p = \,a = 0,b = rc.
b)	Se înlocuieşte în ii) astfel: a = 2, p = 2, a = 0, b = n.
1
5. a) -x^3-x2 + — arcsin—j=
2 2 41
3	.1
— + — arcsin—
2 2 S
Răspunsuri
431
b) f x3 Vl + x2 dx = f (x3 + x - x)Vl + x2 dx =
Jo	J o
1	f(x;+lAx:+1)'ck- i f(l + ^(l + x:)'cLr=^(x2+ir
2	Jo	? J()	5

= ~(22 - 1) ■
j(22-D
Jl
6.	a) 8e2 - 4e; 7. a) - — + In-
4	2
r-	g
8.	a) J" xex sin dx = — [xs'n * + 0 - x)cosx]
7l<2“
”4”
9.	a) Fie In = J| (lnx)" . Se stabileşte relaţia de recurenţă:
In = x(lnx)"|, - xlnx"'1 — dx = e - nln.\ şi se obţine: In = e[(\ - n + n(n - 1)) + + n(n- l)(/7-2) + ... + (- l)V]-(- 1 )"n\.
n	r.	K
10.	a) In =	= 12 cos" x dx = f2 cos"'1 xcos dx = f 2 cos'7”1 x(sinx)' dx =
Jo	Jo	JO
- r-
= cos"-1 xsin x| j - J2 sin x(n - l)cos"~2 x ■ (- sin x)dx =
ji	n
= (n - 1) 12 sin2 xcos"'2 x dx = (n - 1) |2 (1 - cos2 x)(cos"~2 x) dx =
Jo	Jo
= (n - 1) [2 cos"'2 x — (/7 — 1) f2 cos" x dx => nln = (n- l)/„_2 => hn = Jo	Jo
(2/7-1)!! 7C (2/7)!!	2 :
,	_	(2/7)!!
^2/7+1	_	1 \	•
(2/7 +1)!!
11. a) Se stabileşte relaţia de recurenţă _	2/7	/	2/7
In = -------- In-\ => — = -
n
2k _ 22"(/7Î)2
k=2
2/7+1 ’ ’	/||_]	2/7 + 1
b) Se stabileşte relaţia de recurenţă
In+\ = e - (n + l)/,7 sau /,7 = J x"(lnx)2 dx.
= (/?2 + l)g"+l - 2
(/7 + I)3
Pag. 363
2/r +1	(2/7 + 1)!
A. 1. a) —
3
l	1 . . 9	l	2x-l
ln(x + l)-ln(x“ -x +1) + —j= arctg—j=-
6	V3 V3
(y
3ln2.
3
432
Manual clasa a Xll-a
_ fi JC2 + X + 1	1	X-v/3
2.	a) - In —------- + —1= arctg------
I 4 x‘-x + l 2V3	l-x2
1 , „	1	tc	1 , ^ n
= — In 3 + —ţ= • — = — In 3 + —==■. 4	2V3 2	4	4V3
3. a)
(1,	x — 1	1 ^	i
-In	x +1	— arctgx	—-
		2 J	0 V
1,2 1 1 — In 4-- — arctg— 4	3	2	52
-| -^lnl-^arctgO
4. a)
1,11 1
= —In--arctg—
4	3	2	2
f X- l.|	,,	1 , , ,	„	1	2x + 1a
---h —lnx-1—ln(x“ +x + 1) + -t=t arctg—j=—
2	3	6	V 3	V3
71	1	1
3^3	2	3
In 2.
5.	b) f —ţ—dx = —\= In——1 +—!_ [arctg(V2x +l)-arctg(V2x-1)]| = J"x +1	4V2 x2+xj2 + \	2V2	I»
= —4lr|2 f - +4= [arctg(V2 + l)-arctg(V2-l)]-------.
4V2	2 + V2 2V2 '	4v2
18
.a) r Jo
arctgxcL,- n
jc+ 1
P------------— d/= f
Jo (1 + tg/)cos_ / J(
4—^—dx= o 1 + sin 2x + cos 2x
4 Jo
25. a), b) Fie A = p —
Jo px
.----------------------------------— (tg x)'dx = — In 2.
4 J,) 1 + sin 2x + cos 2x 1 + tg x	8
e +cosx
e +sinx + cosx
dx,B= f1-
J O p
sin x
e + smx + cosx
■ dx.
Avem: A + B- —yA-B = p	, |n £±1 De ajd „
2	J(» ex + cosx + sinx	2
rezultă:
71	1	1 + e2 n 1	1 + e2
A = — + — In------------------, B =-------------In-----------
4	2
4	2
Cap.3. Arii şi volume Pag. 388
1	,	.	20
1. a). Z6 = — ;
3
d).M = e + 1; g)- / -56;
b).'K= 108;
e). .-ii = — (ei - 5); 9
c).S = 12-In 7; f).	12- —
h). /6 = 2 + 21n(2 V2 + 3); i). /I = 2(1 +
Răspunsuri
433
2. a). zt :
34
b). Z6 = 271-
c) r/b — 2 + 7i;
d),-A =
e). /& = 2ti;
f) .	= — In 5 -
2
3. Parabolele se intersectează în punctele 0(0; 0) şi A(3; 3);
. €=	dx = 3.
4.	Dreapta intersectează parabola în punctele Aii;- 2) şi B(8; 4).
= 2 J2V2Vjc dx+ J\V2-Vx-x + 4)dx= 18.
5.	Se reprezintă grafic funcţia/pe baza tabelului alăturat:
X	-2	+ 00
/'«	+ + + + + + + +	
fix)	— 00 —				+ 00
f'(x)-
x + 4x + 5 (x + 2)"
>0.
Ecuaţia asimptotei oblice este y = x.

x2 +2x-\ | ,	, n
x---------| dx = In 2.
x + 2
6. Se reprezintă grafic funcţia/pe baza tabelului alăturat:
1 x2 + 4x
/'(*)= 7-7—rrr
4 (x + 2)“
X	-2	0 +00
f'ix)	-	0 + +
fix)	+ oo"	^ 0 	"	^ + 00
^ . lf. 1 1 Ecuaţia asimptotei oblice este^ = — x - — .
J
£______J_
-■^4(x + 2) 4X 2
dx= f -
J-i
1
x + 2
ii) In 5 < ln(tf + 2) < In 8. Rezultă ae(3; 6).
= ln(a + 2).
„ x“ y~	.	b [—>-----ţ
7. —- + —r	a> b => y = ± —^Ja~ -x~
a fr	a
Fie/: [- a; a] —> IR,/(x) = —yja2 -x2
a
,/6 =
2 • — [ V#2 -x2 = 4 ■ — [ ^a2 -x2 dx.
Cu substituţia x = cp(/) = a sin t, t e [0; — ], obţinem dx - a
. ^ = 4 • — f2 a2 cos n J»
cos21 dt;. z6 = nab.
4xz + 9/ = 25 <=> -^- + 4- = 1;.	=
7	25	25	6
2
3 *
cos t dt şi
434
Manual clasa a Xll-a
8.	Se reprezintă grafic funcţia/ Pe intervalul [- — ; 0] avem f(x) < 0. ./# = | , [3 + x2 -x + ln(x + l)]dx; ./A — — In 2 + — .
9.	Parabolele se intersectează în punctele^ (-1; 1) şi 5(1; — ).
,/6 = I" (l-x2)dx;./^ =
J-'	3
a	a1
10.	Aria subgraficului funcţiei/este ./& = | (ax- x1) doc - — . Dreapta de ecuaţie
Jo	6
v = nu intersectează parabola de ecuaţie y = ax - x~ în punctele 0(0; 0) şi P[a- m; m(a - m)]. Determinăm panta m din condiţia:
— ,/6= f	(ax-x2)dx~ — (a- m)1 = —. Rezolvăm ecuaţia 2 2 12
—	(a - m)2-(a - m)3 - — (a - nif = — . în final rezultă m = a--------%= .
2	3	2	12	V2
(*;i	4
11.	Aria subgraficului funcţiei/este .^ =	(a2 - x2)dx = — a . Dreapta de ecuaţie
J.	3
y = k intersectează parabola de ecuaţii y = a2- x2 în punctele M(~ -\la2 - k ; k) şi N( Va2 - /: ; /c). Determinăm A: din ecuaţia:
— .,7 = 2 f (a2 - x2)dx-2k'Ja2 - k = — o3. în final rezultă = o2—7= . 2	^	3	V4
Pag. 399
8l7t
I. 1. ^ =---------
10
3. 7/'=
404k
2. 9T=
255k
4. ? = 24 rt;
5. ? '= tt(3 - 41n 2);
7. | -j(b-x)(x-a) dx = ^ ^ 71 ; 7'"= — 7t2;
9. ^ = —;
11. ^ '= 9ti:2;
13. 7’=2%{e2- 1);
6. 2'=k (^- + 8 In 2);
10. 7• =
2 2 TU «
2co
5
12. ?/ = 7u| — e2 I;
4	4
14. 5^'’= tu
7t2	a/3
---+------TU — 1
v72	6	,
Răspunsuri
435
15. 7'=n
2n
~9
K-y[î
+ ln2

-2x, dacă x e[-l;0]
2x-x2, dacă x e (0; 2) ; 5?'" = x2 -2x, dacă x e[2;4]
2871
16. 7'=n]^-2\n2
18. y= 1225;
II.	1. 7' '= ti | (x2 -2x + 4)dx-7r^ j)--jjdx, 7/'= —;
2.	5? = 80 n;
3.	(y - 2)2 + x2 = 1 => y = 2 ± j\-x2 , ^ =
— 7i J (2 + Vl - *2 )dx-7r j* (2 - Vl - *2) dx, 5£/,= 47i2.
Pag. 400
1.i)/(x) = ox-jc,S=	x(ox — x2)dx = —■, fx(ax-x2)dx =	— f (ax-x2)dx =
Jo v	6	J,)	12	2 Jo
a5 _i .	a	a2
= — . Obţinem xc = — , yG = — .
60 ’ 2 ' 10
K	K
4	a	4 b
iii)	xG = —,	= —. Menţionăm că dacă suprafaţa admite o axă de simetrie,
37i	3tc
atunci centrul de greutate este situat pe această dreaptă. Dacă suprafaţa admite un centru de simetrie, aceasta coincide cu centrul de greutate.
l.,7J= Pi 00 xdx-Jo
100
50
16
„ .x r 71 4f 3mr1
3. î) / = — or h = -, m = pV= p
10 ^
3,125; $/f= 3,125 J. nhr2
... r 2mb2 n) / =----, m :
10
4tt 2 : p — ab . 3
Pentru a = b = R se obţine momentul de inerţie al unei sfere omogene de rază R în raport cu un diametru.
Pag. 403
r *
1. lim an = x4 5dx
II-**	Jo
3. lima,7 = lim — 2n
2. lima,,
fl 1	fi
------dx +	-------dx = In 2; 4. lim an:
Jo x +1	J<> x + 3
f-----dx = In 2 ;
J() x +1
r-j—
J» x +1	4
436
Manual clasa a Xll-a
5. lim a„ =	i sin xdx = 2 ; Jo	6. lim or,, = /(->X ,	[2 cosxdx■ Jo	= 1 ;
	r1 1 3		r1	3 ln3 - 2
7. lim an =	f , dx= ;	8. lim an =	x • 3A dx =	
			Jo	(ln3)2 ’
9. lim a,7 =	r* n—r~, 248 J Vl + 3xdx = ——;	10. lim an =	f 1 J"V 2-x2	-dx - 71 ; 4
	r1 r2 3		f 1	. , V5 + 1
11. lim =	1 <N >1 II -3	12. lim an =	f ,——	dx = In	
	^9-x2 2		J,) V-x2 +4	2
	r1		r1	e -1
13. lim a„ =	= xexdx = 1;	14. limflf„ =	g- 11	
»->x-	Jo		Jo	2
Pag. 404
1. Funcţia/este impară şi dreapta de ecuaţie y = 2x reprezintă asimptota oblică spre - oo şi spre + oo.
2 *-/(*) =
8x
> O, V x e [O, + oo]
x" +4
m1 V y
.A = 2 J()'-7—r	= 8In (x2 + 4)1; = 8 In 2.
8x
1 x2 + 4
2. Funcţia este periodică cu perioada principală T0 = 2n.
r('n	x	r-n x
,A=	f	sin —	dx = 3	f sin — dx	= 3(- 2) cos:
Jo	2	Jo 2
= 12.
3. y2 - 2x2 = 1 =>y± Vl + 2x2 .
./6= I'2Vl + 2x2 dx = 4 JV 2x2 + 1 dx = 4V2 j^x2 +2 dx = 12 +	ln(2>/2 +3).
Am ţinut seama de rezultatul:
[Vx2 + a2 dx = — V-X2 + a2 + — ln(x + V*2 + tf2 ) +
2 2
x(x - a)
4.
x - (a + 1)
=tc r
Jo
> O, V x e [O, a].
a + 1
x + l + -
x-(a + 1)
dx = 7i[— + a-(a+ l)ln(a+ 1)].
5./V) =
4 ,	8
— x"+ — x + 4, dacă x e[-3,0] 9	3
a	1	1
dacă x e (0,-1 2
[(2x +1)
^*= 71 |2 /2(x) dx = 71 f— x2 + — x2 + 4x
+ K
2x +1
= 5n.
bibliografie
Alexandrescu, P., Maftei, I. V. Aramă, L., Morozan, T.
Bătineţu, D. M., Maftei, I. V., Stancu, M.
Bătineţu, D. M.
Bătineţu, D. M., Tomescu, I., Maftei, I. V. şi colectiv
Berman, G.
Buşneag, D., Maftei, I. V.
Coşniţă, C., Turtoiu, F.
Demidovitch, B., Maro, I. Demidovitch, B. şi colectiv
Donciu, N., Flondor, D.
Fabry, E.
Giurgiu, I., Turtoiu, F.
Goursat, E.
Ion, I. D., Niţă, C.,
Năstăsescu, C.
Ion, I. D., Radu, N.,
Niţă, C., Popescu, D.
lonescu-Ţiu, C., Pârşan, L.
Kurosh, A. G.
Mihai, I., Maftei, I. V.,
Pârşan, L., Mihai, Adela, Nicolescu, C. P.
-	Exerciţii şi problema de analiză matematică, Editura Alcomi, 1992
-	Probleme de calcul diferenţial şi integral, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978
-	Exerciţii şi probleme de analiză matematică pentru clasele XI-XII, Editura Didactică şi Pedagogică 1981
-	Probleme de matematică pentru treapta a ll-a de liceu, Editura Albatros, Bucureşti, 1979
-	Olimpiadele naţionale de matematică 1950-2003, Editura Enciclopedică, Bucureşti, 2005
-	Problemes d'analyse mathematique, Editions Mir, Moscou, 1977
-	Teme pentru cercurile şi concursurile de matematică ale elevilor, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1983
-	Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1962
-	Elements de calcul numerique, Editions Mir, Moscou, 1974
-	Recueil d'exercices et de problemes d'analyse mathematique, Editions Mir, Moscou, 1971
-	Culegere de probleme de algebră şi analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964
-	Problemes d'analyse mathematique, Paris, Hermann et fils
-	Culegere de probleme de matematică pentru treapta a doua de liceu, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981
-	Cours d'analyse mathematique, voi. I, Gauthier-Villars, Paris
-	Complemente de algebră, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1984
-	Probleme de algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981
-	Calcul diferenţial şi integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, Bucureşti, 1975
-	Higher Algebra, Mir Publ. Moscow, 1975
-	Matematică XI, M1, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2006
438
Manual clasa a Xll-a
Munteanu O., Munteanu, E.
Nicolescu, C. P.
Nicolescu, C. P.
Nicolescu, C. P.
Nicolescu, C. P.
Nicolescu, C. P.
Nicolescu, M. G.
Nicolescu, C. P.,
Nicolescu, M. G.
Nicolescu, C. P.,
Nicolescu, M., Dinculescu, N., Marcus, S. şi colab.
Năstăsescu C., Ţena, M., Andrei, G., Otărăseanu, I.
Năstăsescu C., Niţă, C., Grigore, G., Bulacu, D. Năstăsescu, C., Niţă, C., Brandiburu, M., Joiţa, D. Panaitopol, I., Ottescu, C.
Pârşan, L.
Rivaud, J.
Roşculeţ, M., Popescu O.
Sireţchi Gh.
Manuale şcolare alternative
-	Probleme pregătitoare pentru olimpiade, Editura Universităţii Transilvania, Braşov, 2006
-	Teste de analiză matematică, Editura Albatros, Bucureşti, 1984
-	Analiză matematică. Aplicaţii, Editura Albatros, Bucureşti, 1987
-	Teste recapitulative de matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989
-	Sinteze de matematică, Editura Albatros, Bucureşti, 1990
-	100 lecţii de matematică fără meditator, Editura ICAR, Bucureşti, 1990-1991
-	Teste de analiză matematică pentru elevii claselor a Xl-a şi a Xll-a, Editura UNIVERSAL PAN, Bucureşti, 2000
-	Analiză matematică. Exerciţii şi probleme pentru elevii claselor XI-XII. Subiecte pregătitoare pentru examenul de bacalaureat, concursul de admitere în învăţământul superior, Editura UNIVERSAL PAN, Bucureşti, 2005
-	Manual de analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971
-	Probleme de structuri algebrice, Editura Academiei, Bucureşti, 1988
-	Matematică XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2003
- Exerciţii şi probleme de algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1992
-	Probleme date la olimpiadele de matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977
-	500 probleme pregătitoare de algebră şi analiză matematică pentru candidaţii la admiterea în învăţământul superior economic, Editura PAN GENERAL, Bucureşti, 1994
-	Exercices d’analyse, tome I, Libraire Vuibert, Paris, 1966
-	Probleme de analiză matematică pentru concursurile de admitere în învăţământul superior, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971
-	Analiză Matematică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985
-	2002-2006
- Gazeta Matematică (1965-2005)
Cuprins
ALGEBRĂ
Capitolul /. grupuri.........................................................4
1.1.	Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), tabla operaţiei,
parte stabilă.......................................................4
1.2.	Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri
de permutări, 7Ln .................................................18
1.3.	Morfism, izomorfism de grupuri....................................30
1.4.	Subgrup...........................................................34
1.5.	Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element.................37
(Exerciţii recapituCative....................................................47
Capitolul	2. IneCe şi corpuri...............................................50
2.1.	Inel, exemple: inele numerice (ZZ, ©, IR, CC), Z„, inele de matrice,
inele de funcţii reale.............................................50
2.2.	Corp, exemple: corpuri numerice (©, IR, (E), 7Lp,p prim,
corpuri de matrice.................................................71
2.3.	Morfisme de inele şi de corpuri...................................81
(Exerciţii recapituCative ....................................................93
Capitolul 3. IneCe de poCinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
(©, IR, (E, 2ZP, p prim) ........................................96
3.1.	Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii
(adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)....................96
3.2.	Teorema împărţirii cu rest, împărţirea polinoamelor,
împărţirea cuX- a, schema lui Horner..............................114
3.3.	Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout, cel mai mare
divizor comun şi cel mai mic multiplu comun al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori	ireductibili..............126
3.4.	Rădăcini ale polinoamelor. Relaţiile lui Viete...................149
3.5.	Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi în Z, ©, IR şi <E.
Ecuaţii binome, ecuaţii reciproce şi ecuaţii bipătrate............168
(Exerciţii recapituCative................................................... 189
(Pro6Ceme de sinteză pregătitoare pentru examenuCde 6acaCaureat..............192
440
Manual clasa a Xll-a
ANALIZĂ MATEMATICĂ
Capitolul /. (Primitive .............................................................200
1.1.	Probleme care conduc la noţiunea de primitivă (integrala nedefinită)......200
1.2.	Primitive (antiderivate)..............................................204
1.3.	Exemple de funcţii care nu sunt continue
dar care admit primitive...............................................212
1.4.	Relaţia dintre funcţiile care admit primitive şi funcţiile care au
proprietatea lui Darboux...............................................215
1.5.	Operaţii cu funcţii care admit primitive..............................218
1.6.	Relaţii între funcţii continue, funcţii cu proprietatea
lui Darboux şi funcţii care admit primitive................................227
1.7.	Integrala nedefinită..................................................233
1.8.	Unele metode de calcul ale integralelor	nedefinite (facultativ).......242
(Exerciţii recapitulative........................................................252
Capitolul2. Integrata definită...................................................257
2.1.	Probleme care conduc la noţiunea de integrală definită....................257
2.2.	Diviziuni ale unui interval [a, b\, norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare. Sume Riemann, interpretare geometrică.
Definiţia integralităţii unei funcţii pe un interval [a, b\ ...............262
2.3.	Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate
în raport cu intervalul de integrare. Integrabilitatea funcţiilor continue.281
2.4.	Teorema de medie, interpretare geometrică,teorema de existenţă a
primitivelor unei funcţii continue.....................................302
2.5.	Formula Leibniz-Newton................................................306
2.6.	Metode de calcul ale integralelor definite:integrarea prin părţi, integrarea
prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de funcţii raţionale....318
Exerciţii recapitulative (I).....................................................370
2.7.	Inegalităţi clasice sub formă integrală (facultativ)..................373
(Exerciţii recapitulative (II)...................................................378
(Capitolul 3. Jitii şi volume................................................... 382
3.1.	Aria unei suprafeţe...................................................382
3.2.	Volumul unui corp de rotaţie..........................................391
3.3.	Calculul limitelor unor şiruri cu ajutorul integralelor definite......401
(Exerciţii recapitulative........................................................405
(ProSCeme de sinteză pregătitoare pentru examenuCde	6acaCaureat..................412
(Răspunsuri......................................................................418
(Bi6Ciografie ...................................................................437