Partea I Algebră Permutări Matrice Determinanţi Sisteme de ecuaţii 4 Manual clasa a XI-a Capitolul 1 PERMUTĂRI 1.1 Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi Fie M = {1, 2, …, n} mulţimea primelor n numere naturale, n ∈ N*. Definiţie O funcţie bijectivă ϕ : M → M se numeşte permutare de ordinul (gradul) n. Mulţimea tuturor permutărilor de ordinul n se notează cu Pn. Se ştie că pentru orice n ∈ N* există n! permutări de ordinul n. Un mod de scriere a unei permutări este: ϕ = (ϕ1(1) ϕ(22) …… ϕ(nn)) sau ϕ =       … … i i in n 1 2 1 2 . Compunerea permutărilor Fie ϕ şi ψ două permutări ale mulţimii M = {1, 2,…, n}. Putem scrie M → M → M ϕ ψ . Vom nota cu ψ B ϕ compunerea permutărilor. Mai precis dacă ϕ(h) = ih şi ψ (ih) = ih j , atunci (ψ B ϕ)( h) = ih j , pentru orice h ∈ M. Se observă că ψ B ϕ este de asemenea o permutare a mulţimii M (compunerea a două funcţii bijective este o funcţie bijectivă). Proprietăţi ale compunerii permutărilor 1. Compunerea a două permutări nu este comutativă, deci există două permutări ϕ B ψ pentru care ϕ B ψ ≠ ψ B ϕ. Capitolul 1. Permutări 5 Exemple Fie permutările . 2 3 1 1 2 3 , 1 3 2 1 2 3        ψ =      ϕ = Atunci:       ψ ϕ = 2 1 3 1 2 3 o şi       ϕ ψ = 3 2 1 1 2 3 o . 2. Compunerea a două permutări este asociativă, adică ϕ1 o(ϕ2 oϕ3) = (ϕ1 o ϕ2) oϕ3, ∀ϕ1,ϕ2,ϕ3 ∈Pn. 3. Există permutarea identică       ϕ = n n K K 1 2 3 1 2 3 0 , astfel încât ϕ B ϕ0 = ϕ0 B ϕ = ϕ, ∀ ϕ ∈ Pn. 4. Pentru orice permutare ϕ există permutarea inversă ϕ–1 cu proprietatea că: ϕ B ϕ–1 = ϕ–1 B ϕ = ϕ0. Permutarea inversă ϕ−1 se obţine prin următorul procedeu:       ϕ ϕ ϕ … ϕ … ϕ− = − − − − (1) (2) (3) ( ) 1 2 3 1 1 1 1 1 n n , unde ϕ−1(1) este valoarea inversei funcţiei (bijective) ϕ în y = 1, …, ϕ−1(n) este valoarea inversei funcţiei ϕ în y = n. De exemplu, dacă       ϕ = 2 1 5 4 3 1 2 3 4 5 , adică ϕ : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} este o funcţie bijectivă cu ϕ(1) = 2, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 5, ϕ(4) = 4, ϕ(5) = 3, atunci ϕ−1 : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} este de asemenea o funcţie bijectivă şi ϕ−1(1) = ϕ−1(ϕ(2)) = (ϕ−1 B ϕ)(2) = ϕ0(2) = 2, respectiv (prin calcul analog) ϕ−1(2) = 1, ϕ−1(3) = 5, ϕ−1(4) = 4 şi ϕ−1(5) = 3. Rezultă că permutarea ϕ−1 se va scrie:       ϕ− = 2 1 5 4 3 1 2 3 4 5 1 . Considerăm următoarea reprezentare (utilizând săgeţi) sugestivă pentru înţelegerea modului de determinare a inversei permutării ϕ. 6 Manual clasa a XI-a Dacă             ϕ = ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 2 1 5 4 3 1 2 3 4 5 , atunci       ϕ− = 2 1 5 4 3 1 2 3 4 5 1 , urmărind corespondenţa dată de săgeţi. Lăsăm ca exerciţiu verificarea faptului că: ϕ B ϕ–1 = ϕ–1 B ϕ = ϕ0. Schimbare de poziţie într-o permutare Fie o permutare 1 2 3 . 1 2 3       ϕ = i i i in n K K Definiţie Spunem că în ϕ am efectuat o schimbare de poziţie dacă în linia a doua a permutării ϕ schimbăm între ele două numere, iar celelalte sunt lăsate pe loc. Efectuând în ϕ o schimbare de poziţie se obţine o permutare ψ care este diferită de ϕ. Exemplu Fie permutarea       ϕ = 4 1 3 2 1 2 3 4 . Efectuăm schimbarea numerelor 4 şi 3 din linia a doua şi obţinem:       ψ = 3 1 4 2 1 2 3 4 . 1.2. Inversiuni. Semnul unei permutări Definiţie Se numeşte inversiune a unei permutări ϕ o pereche (i, j) ∈ M × M cu proprietatea că i < j şi ϕ(i) > ϕ(j). Numărul tuturor inversiunilor unei permutări ϕ se notează cu Inv ϕ. Numărul sgn ϕ = (–1)Inv ϕ se numeşte semnul (signatura) permutării ϕ. Dacă sgn ϕ = + 1, atunci ϕ se numeşte permutare pară, iar dacă sgn ϕ = – 1, atunci ϕ se numeşte permutare impară. Capitolul 1. Permutări 7 Exemple Fie M = {1, 2, 3}. Atunci        ϕ =       ϕ =      ϕ = 3 1 2 1 2 3 , 2 3 1 1 2 3 , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 sunt permutări pare, iar        ϕ =       ϕ =      ϕ = 1 3 2 1 2 3 , 2 1 3 1 2 3 , 3 2 1 1 2 3 4 5 6 sunt permutări impare. Exerciţiu rezolvat Să se determine Inv ϕ, unde ϕ (h) = n – h + 1, ∀h ∈ {1, 2,…, n}. Soluţie:       ϕ = −1 − 2 1 1 2 3 K K n n n n Inv ϕ = (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = n(n2−1) . Oricare ar fi permutarea ϕ a unei mulţimi finite de n elemente, are loc dubla inegalitate: 0 ≤ Inv ϕ 2 ≤ n(n −1) . Din definiţia inversiunii rezultă că perechea (k, l) este inversiune a permu- tării ϕ, dacă şi numai dacă < 0 − − l k il ik , unde il = ϕ(l) şi ik = ϕ(k). Fie permutarea ϕ =       i i in n K K 1 2 1 2 . Vom nota cu ∏ ≤ < ≤ − − k l n l k l k i i 1 produsul tutu- ror rapoartelor l k il ik − − , unde k, l ∈ {1, …, n} şi k < l. Acest produs are 2 Cn factori. Rezultă că: − permutarea ϕ este pară dacă şi numai dacă ∏ ≤ < ≤ − − k l n l k l k i i 1 > 0; − permutarea ϕ este impară dacă şi numai dacă ∏ ≤ < ≤ − − k l n l k l k i i 1 < 0. 8 Manual clasa a XI-a Teorema 1. Fie două permutări ϕ1, ϕ2 ∈ Pn. i) Permutarea ϕ2 B ϕ1 este pară dacă şi numai dacă permutările ϕ1 şi ϕ2 sunt ambele pare sau ambele impare. ii) Permutarea ϕ2 B ϕ1 este impară dacă şi numai dacă ϕ1 este pară şi ϕ2 este impară sau ϕ1 este impară şi ϕ2 este pară. Observaţie: Permutările pare se mai numesc de clasa I, iar permutările impare de clasa a II-a. Teorema 2. Dacă două permutări se obţin una din cealaltă printr-o schimbare de poziţie, atunci ele sunt de clase diferite. Corolar. Numărul permutărilor pare de ordin n este n2!, iar numărul permu- tărilor impare de ordin n este n2! . Test de evaluare (2p) 1. Stabiliţi semnul permutării:       ϕ = 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 . (2p) 2. Calculaţi inversa următoarei permutări: ϕ = (13 24 13 42 ). 3. Efectuaţi compunerile: (2p) a)             6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 6 5 4 3 1 1 2 3 4 5 6 o ; (2p) b) . 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 −1             o Timp de lucru: 20 de minute. Capitolul 1. Permutări 9 Exerciţii propuse 1. Stabiliţi dacă următoarele permutări sunt pare sau impare: a)       ϕ = 1 3 2 4 1 2 3 4 ; b)       ϕ = 4 7 2 1 6 5 3 1 2 3 4 5 6 7 . 2. Efectuaţi compunerile: a)                   1 3 2 4 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 2 1 4 3 1 2 3 4 o o ; b)             5 7 8 1 6 3 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 o ; 3. Calculaţi inversele următoarelor permutări: a)       ϕ = 1 2 1 2 ;       ϕ = 3 1 2 1 2 3 b) ; c)       ϕ = 4 1 2 5 3 1 2 3 4 5 d) ; 8 1 2 3 4 6 5 7 1 2 3 4 5 6 7 8       ϕ = e) . 9 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9       ϕ = Capitolul 2 MATRICE 2.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice Tabel de tip matriceal 1) Temperaturile măsurate zilnic la o staţie meteorologică în luna februarie a unui an (care nu este bisect) într-o localitate din România au fost următoarele: Luni Marţi Miercuri Joi Vineri Sâmbătă Duminică Săptămâna I – 5° – 6° – 8° – 5° – 4° – 8° 0° Săptămâna a II-a – 4° – 8° – 9° – 4° – 8° – 9° – 2° Săptămâna a III-a – 4° – 7° – 6° – 1° – 8° 0° 2° Săptămâna a IV-a – 8° 0° – 1° – 1° – 2° – 3° 3° Prognoza descrisă anterior se poate prezenta sub forma unui tabel de tip matriceal.                 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 8 0 1 1 2 3 3 4 7 6 1 8 0 2 4 8 9 4 8 9 2 5 6 8 5 4 8 0 Tabelul are 4 linii şi 7 coloane, iar elementele tabelului sunt numere întregi. Capitolul 2. Matrice 11 2) Preţurile în lei noi la morcovi, ceapă, cartofi în fiecare zi a unei săptămâni într-o piaţă din Bucureşti sunt: Morcovi Ceapă Cartofi Luni 1,5 1,6 1,8 Marţi 1,4 1,5 2 Miercuri 1,8 1,4 1,9 Joi 1,4 1,3 1,8 Vineri 1,6 1,5 2 Sâmbătă 1,6 1,6 2 Duminică 1,7 1,7 1,9 Evoluţia preţurilor descrisă anterior se poate prezenta ca un tabel de tip matriceal de forma:                       1,7 1,7 1,9 1,6 1,6 2 1,6 1,5 2 1,4 1,3 1,8 1,8 1,4 1,9 1,4 1,5 2 1,5 1,6 1,8 Tabelul are 7 linii şi 3 coloane, iar elementele tabelului sunt numere raţionale. Matrice. Mulţimi de matrice Definiţie Fie m, n ∈ N*. Se numeşte matrice* de tipul m × n peste R (sau C) o funcţie: A : {1, 2, …, m}× {1, 2, …, n} → R (sau C). Dacă notăm A(i, j) = aij, ∀i ∈ {1,…, m}, ∀j ∈ {1,…, n}, matricei A i se poate asocia un tablou dreptunghiular cu m linii şi n coloane de numere reale (respectiv complexe), pe care îl vom nota tot cu A. * Etimologie: De la latinescul „matrix” cu sensul de „a face”, „a produce”. În sens figurat înseamnă locul în care un obiect se produce, în care începe dezvoltarea sa. De asemenea arată tiparul, forma care imprimă aspectul exterior al unui obiect. Termenul matematic păstrează întrucâtva acest din urmă sens. Singular: matrice. Plural: matrice. Denumirea de „matrice“ a fost introdusă în 1851 de James Joseph Sylvester (1814-1897), matematician şi avocat englez, profesor la universitatea Oxford. 12 Manual clasa a XI-a Vom spune că matricea A are m linii şi n coloane. În general o matrice A se prezintă sub forma: ( ) . 1, 1, 1 2 21 22 2 11 12 1 j n ij i m m m mn n n a a a a a a a a a a A = = =                 … … = K M M M M Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din R (respectiv C) se notează cu Mm×n(R) (respectiv Mm×n (C)). Dacă A ∈ Mm×1, atunci A se numeşte matrice coloană (sau vector coloană), iar dacă A ∈ M1×n, atunci A se numeşte matrice linie (sau vector linie). Exemplu             = − 1 1 2 1 A ∈ M4×1 (R) este o matrice coloană, iar B = (1 2 3) ∈ M1×3 (R) este o matrice linie. Transpusa unei matrice Definiţie Fie A ∈ Mm×n (C) o matrice. Transpusa matricei A este o matrice, notată t A ∈ Mn×m (C), în care coloana j este linia j a matricei A, pentru orice j ∈ {1,…, m}. Prin urmare ( ) , 1, 1, j m ij i n t A b = = = cu bij = aji, ∀(i, j) ∈ {1, …, n}×{1,…, m}. Exemplu Dacă       = 0 4 8 1 2 5 A , atunci           = 5 8 2 4 1 0 t A . În particular, transpusa unei matrice coloană este o matrice linie şi viceversa. Capitolul 2. Matrice 13 De exemplu, pentru matricea                 = vn v v V M 2 1 , avem tV = (v1 v2 … vn). Matrice pătratice Definiţie Fie A o matrice de tipul m×n. Spunem că A este o matrice pătra- tică de ordinul n dacă m = n. Exemplu Matricea       1,35 − 5 0 7 este o matrice pătratică de tipul 2 × 2. Diagonala principală a unei matrice pătratice Numerele reale (sau complexe) a11, a12, …, ann formează diagonala princi- pală a matricei pătratice                 = n n nn n n a a a a a a a a a A K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 . Urma unei matrice pătratice Definiţie Se numeşte urma matricei j n A aij i n 1, ( ) 1, = = = şi se notează * tr(A) suma: . 1 11 22 nn n i ∑aii = a + a +…+ a = Exemplu Dacă A =           − − 4 5 6 2 3 1 1 0 0 , atunci tr(A) = 1 + 3 + 6 = 10. * În engleză „trace“ înseamnă urmă. 14 Manual clasa a XI-a Matrice superior triunghiulare. Matrice inferior triunghiulare Definiţie Se numeşte matrice superior triunghiulară o matrice pătratică U de forma:                     = nn n n n a a a a a a a a a a U K K K K K K K K 0 0 0 0 0 0 33 3 22 23 2 11 12 13 1 , deci o matrice în care toate elementele situate sub diagonala principală sunt nule. Definiţie Se numeşte o matrice inferior triunghiulară o matrice pătratică L de forma:                     = an an an ann a a a a a a L K K K K K K K K 1 2 3 31 32 33 21 22 11 0 0 0 0 0 0 , deci o matrice în care toate elementele situate deasupra diagonalei principale sunt nule. Conjugata unei matrice cu elemente numere complexe Definiţie Dacă A = (aij) ∈ Mm×n (C), atunci matricea (aij ) ∈ Mm×n (C) se numeşte conjugata matricei A şi se notează cu A . Exemplu Dacă       − + − = 2 i 7 1 i 2 3i A , atunci       + − + =         − + − = 2 i 7 1 i 2 3i 2 i 7 1 i 2 3i A Matrice egale Definiţie Două matrice A, B ∈ Mm×n (R) (sau Mm×n (C)), A = (aij), B = (bij) se numesc egale dacă pentru orice (i, j) ∈ {1, …, m}×{1, …, n} avem aij = bij. Capitolul 2. Matrice 15 • Dacă matricele A şi B sunt de tipuri diferite, atunci A ≠ B. Exemplu Dacă A ∈ Mm×n (R) (sau Mm×n (C)), atunci t (t A) = A . Exerciţii rezolvate 1. Să se arate că dacă n ∈ N* şi A ∈ Mn×n (R) (sau Mn×n (C)), atunci tr(t A) = tr(A). Soluţie: Dacă ( ) , 1 1 j n A aij i n ≤ ≤ = ≤ ≤ atunci ( ) , 1 1 j n t A bij i n ≤ ≤ = ≤ ≤ unde bij= aji pentru orice (i, j), i∈1,n, j∈1,n . În particular, ∀i ∈ {1,…,n} avem bii = aii. Atunci: ∑ ∑ = = = = = n i n i ii ii tA b a A 1 1 tr( ) tr( ). 2. Să se arate că dacă n ∈ N* şi A ∈ Mn×n (C), atunci tr (A)= tr(A) . Soluţie: Dacă ( ) , 1 1 j n A aij i n ≤ ≤ = ≤ ≤ atunci ( ) j n A aij i n ≤ ≤ = ≤ ≤ 1 1 şi deci tr( ) tr( ) 1 1 A a a A n i n i = ∑ ii = ∑ ii = = = . 2.2. Operaţii cu matrice: adunarea a două matrice, înmulţirea unei matrice cu un scalar, produsul a două matrice, proprietăţi Adunarea matricelor Definiţie Fie matricele ( ) j n ij i m A a 1, 1, = = = , ( ) j n ij i m B b 1, 1, = = = ∈ Mm×n (c). Se numeşte suma matricelor A şi B, notată cu A + B, matricea (( ) ( )) j n aij bij i m 1, 1, = + = 16 Manual clasa a XI-a sau altfel spus:             + + + + =             +             m m mn mn n n m mn n m mn n a b a b a b a b b b b b a a a a K K K K K K K K K K K L 1 1 11 11 1 1 1 11 1 1 11 1 . Exemplu           − − − =           − − − − − +           − − − 12 14 0 11 9 9 9 0 5 0 5 6 6 7 2 10 4 2 5 2 3 1 8 6 6 7 2 1 5 7 4 2 2 1 3 0 . Înmulţirea unei matrice cu un scalar Definiţie Fie ( ) j n ij i m A a 1, 1, = = = ∈ Mm×n (R) (respectiv Mm×n (C)) şi λ ∈ R (respectiv C). Prin definiţie: ( ) j n ij i m A a 1, 1, = λ = λ = , sau echivalent:             λ λ λ λ =             λ m mn n m mn n a a a a a a a a K K K K K K K L 1 11 1 1 11 1 . Exemplu             − − =             − − 9 6 3 0 3 21 15 15 6 3 2 1 0 1 7 5 5 2 3 . Matrice nule Definiţie O matrice în care toate elementele sunt nule se numeşte o matrice nulă şi se notează cu Om×n, iar când nu există pericolul unei confuzii, cu O. Capitolul 2. Matrice 17 Exemple , (0). 0 0 , 0 0 0 0 0 0 2 3 2 1  1 1 =        =      O × = O × O × Definiţie Prin definiţie, pentru o matrice A, opusa ei, notată cu – A, este matricea (–1) · A. Exemplu Dacă , 2 0 3 4 5 3             π − − A = atunci           − − π − − = 2 0 3 4 5 3 A . Proprietăţi ale adunării matricelor şi ale înmulţirii unei matrice cu un scalar Teoremă. Dacă A, B, C ∈ Mm×n (R) (sau Mm×n (C)) şi λ, µ ∈ R (sau C), atunci: 1. (A + B) + C = A + (B + C) (asociativitatea adunării matricelor de un acelaşi tip) 2. A + O = O + A = A (adunarea matricelor de un acelaşi tip admite matricea nulă de acel tip ca element neutru) 3. A + (–A) = (–A) + A = O (această proprietate ne arată că orice matrice este simetrizabilă în raport cu adunarea matricelor de acelaşi tip cu ea) 4. A + B = B + A (comutativitatea adunării) 5. λ(A + B) = λA + λB (distributivitatea înmulţirii cu un scalar a unei matrice faţă de adunarea matricelor de un acelaşi tip) 6. (λ + µ)A = λA + µA, (distributivitatea înmulţirii cu un scalar a unei matrice faţă de adunarea scalarilor) 7. (λµ)A = λ(µA) 8. 1 · A = A Lăsăm în seama cititorului demonstraţia acestei teoreme. 18 Manual clasa a XI-a Matrice simetrice. Matrice antisimetrice Definiţie • O matrice A se numeşte simetrică dacă şi numai dacă t A = A . • O matrice A se numeşte antisimetrică dacă şi numai dacă t A = −A . Exemplu Dacă             − − = −             = 2 3 0 1 0 3 0 1 2 şi 3 4 5 2 3 4 1 2 3 A B , atunci A este simetrică, iar B este antisimetrică. Exerciţii propuse 1. Dacă A, B ∈ Mm×n (R) (sau Mm×n (C)), atunci: t (k ⋅ A) = k ⋅ tA şi t (A + B) = tA + tB . 2. Determinaţi matricea B, astfel încât A + tB = t (A − B) , unde           − − − = 1 0 1 4 1 3 2 3 0 A . 3. Determinaţi numerele reale a, b, c, d astfel încât:       + + +  +       = ⋅ +       c d b b a a c a c d a b 2 9 2 3 2 . Înmulţirea matricelor Definiţie Fie A, B două matrice astfel încât A ∈ Mm×n (R) şi B ∈ Mn×p (R) (sau A ∈ Mm×n (C) şi B ∈ Mn×p (C)), ( ) j n A aij i m ≤ ≤ = ≤ ≤ 1 1 , ( ) j p B bij i n ≤ ≤ = ≤ ≤ 1 1 . Atunci produsul A · B (cu matricele A, B în această ordine) este o matrice C ∈ Mm×p (R) (sau C ∈ Mm×p C), unde j p C cij i m ≤ ≤ = ≤ ≤ 1 ( )1 cu ∑ = = n k cij aikbkj 1 , œ(i, j) ∈ {1, 2,…, m}× {1, 2,…, p}. Capitolul 2. Matrice 19 Exemple 1.           =           ⋅           31 32 33 21 22 23 11 12 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 c c c c c c c c c b b b b b b b b b a a a a a a a a a , unde: , , , . , , , , , 3 1 33 3 3 3 1 32 3 2 3 1 31 3 1 3 1 23 2 3 3 1 22 2 2 3 1 13 11 13 12 23 13 33 21 2 1 11 11 11 12 21 13 31 12 11 12 12 22 13 32 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = + + = = = + + = + + h h h h h h h h h h h h h h h h h h c a b c a b c a b c a b c a b a b a b c a b c a b c a b a b a b c a b a b a b 2.        =      ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅  =      − ⋅      4 8 0 17 1 0 4 1 0 5 4 2 0 ( 1) 4 0 0 0 2 1 3 5 2 2 3 ( 1) 2 0 3 0 5 1 0 1 2 0 4 0 2 3 . 3. ( ) =           ⋅ 5 2 1 1 2 3 (1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 5) = (20) ∈ M1×1 (R). Matrice unitate Definiţie Matricea unitate de ordin n, n ∈ N*, este o matrice pătratică, de elemente aij, notată cu In, unde pentru orice i, j ∈ {1,…, n} avem     ≠ = = . 0, dacă 1, dacă i j i j aij Prin urmare:                 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 K K K K L K In . Exemple 1. Matricea unitate de ordinul 2 este:       = 0 1 1 0 I2 . 20 Manual clasa a XI-a 2. Matricea unitate de ordinul 3 este:           = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I3 . 3. Matricea unitate de ordinul 1 este: I1 = (1) . Prin calcul direct rezultă că dacă A ∈ Mm×n (R) (sau Mm×n (C)), atunci A · In = A, iar dacă B ∈ Mn×p (R) (sau Mn×p (C)), atunci In · B = B. Dacă C ∈ Mn×n (R) (sau Mn×n (C)), atunci In · C = C · In = C, adică In este un element neutru pentru înmulţirea matricelor pătratice de ordin n. Proprietăţi ale înmulţirii matricelor Înmulţirea matricelor pătratice de un acelaşi ordin nu este comutativă. Să verificăm această afirmaţie pentru matrice pătratice de ordinul 2. Pentru        =      − = 1 0 0 1 şi 0 1 1 0 A B , avem:        = −             − = 1 0 0 1 1 0 0 1 · 0 1 1 0 A·B şi       −  =      ⋅ −       = 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 B·A , deci A · B ≠ B · A. Teoremă. Fie matricele A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R) (sau A ∈ Mm×n (C)), B ∈ Mn×p(C), C ∈ Mp×q(C)) şi λ ∈ R (sau C)). Atunci: 1) A(BC) = (AB)C (asociativitatea înmulţirii matricelor) 2) λ(BC) = (λB)C = B(λC). Demonstraţie Notăm D = BC ∈ Mn×q(R) (sau Mn×q(C)), D = (dkj) şi G = AB ∈ Mm×p(R) (sau Mm×p(C)), G = (gih). Elementele matricei A(BC) sunt: ∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = = = = ∀ ∈ … ∀ ∈ …         = n h p k ih hk kj n h n h p k aih dhj aih bhk ckj a b c i m j q 1 1 1 1 1 , {1, , }, {1, , }. Capitolul 2. Matrice 21 Analog matricea (AB)C are elementele: ∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = = =  = ∀ ∈ … ∀ ∈ …      = p k n h ih hk kj p k p k kj n h gik ckj aihbhk c a b c i m j q 1 1 1 1 1 , {1, , }, {1, , }. Din comutativitatea sumei rezultă concluzia teoremei. Teoremă. Dacă A, B ∈ Mn×n(R) (sau A, B ∈ Mn×n(C)), atunci t (AB)=tBtA . Lăsăm în seama cititorului demonstraţia acestei teoreme. Teoremă. • Dacă A, B ∈ Mm×n(R) şi C ∈ Mn×p(R) (sau A, B ∈ Mm×n(C) şi C ∈ Mn×p(C)), atunci (A + B)C = AC + BC (distributivitatea la dreapta a înmulţirii faţă de adunare). • Dacă A ∈ Mm×n(R) şi B, C ∈ Mn×p(R) (sau A ∈ Mm×n(C) şi B, C ∈ Mn×p(C)), atunci A(B + C) = AB + AC (distributivitatea la stânga a înmulţirii faţă de adunare). Demonstraţia o lăsăm în seama cititorului. Matrice scalare. Matrice de permutări (facultativ) Definiţie • Orice matrice de forma λIn, cu λ ∈ C se numeşte o matrice scalară. • Orice matrice obţinută din matricea In printr-o permutare a liniilor (sau coloanelor) se numeşte o matrice de permutări. Exemple 1. i 3 0 0 i 0 i 0 i 0 0 = ⋅ I         este o matrice scalară (aici i reprezintă unitatea imaginară). 2.           0 1 0 0 0 1 1 0 0 şi             0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 sunt matrice de permutări. 22 Manual clasa a XI-a Observaţie: La o matrice de permutări pe fiecare linie câte un element este 1, iar celelalte elemente sunt 0. Aceeaşi proprietate are loc şi pentru coloane. 2.3. Matrice inversabile. Inversa unei matrice Definiţie O matrice A ∈ Mm×n (C) se numeşte inversabilă la stânga (respectiv la dreapta) dacă şi numai dacă există o matrice B ∈ Mn×m (C) astfel încât BA = In (respectiv B∈ Mn×m (C) astfel încât AB = Im) (spunem că B este o matrice inversă la stânga (respectiv la dreapta) a matricei A). Exemplu Fie matricele             − − −  =      − = 2 7 1 5 1 3 şi 2 0 1 1 2 1 A B . Avem: 2 0 1 1 0 2 7 1 5 1 3 2 0 1 1 2 1 AB  = I      =           − − −  ⋅      − = şi 3 12 4 9 9 2 6 5 2 4 2 0 1 1 2 1 2 7 1 5 1 3 BA ≠ I           − − − −  =      − ⋅           − − − = . Deci matricea A este inversabilă la dreapta şi B este o matrice inversă la dreapta a matricei A, dar B nu este o matrice inversă la stânga a matricei A (se poate demonstra că A nu este inversabilă la stânga). Lemă. Fie o matrice A ∈ Mn×n (C) inversabilă atât la stânga cât şi la dreapta. Dacă B este o inversă la stânga a lui A, iar C este o inversă la dreapta a lui A, atunci B = C. Demonstraţie Prin calcul direct, deoarece BA = In şi AC = In, avem succesiv: B = B · In = B · (A · C) = (B · A) · C = In · C = C. Capitolul 2. Matrice 23 Consecinţe 1) Dacă o matrice A este inversabilă la stânga şi posedă cel puţin două matrice inverse la stânga, atunci ea nu este inversabilă la dreapta. 2) Dacă o matrice A este inversabilă la dreapta şi posedă cel puţin două matrice inverse la dreapta, atunci ea nu este inversabilă la stânga. Observaţie: Se poate da un exemplu de matrice nepătratică şi inversabilă la stânga care posedă o infinitate de inverse la stânga. De exemplu, dacă           = 0 0 0 1 1 0 A , atunci pentru fiecare matrice       = y x Bxy 0 1 1 0 , cu x, y ∈ C, avem: 2 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 I y x Bxy A  =      =             ⋅      ⋅ = ; matricea A nu este inversabilă la dreapta. Definiţie Fie n ∈ N* şi A ∈ Mn×n (R) (sau Mn×n (C)). Vom spune că A este inversabilă (sau nesingulară) dacă şi numai dacă există B ∈ Mn×n (R) (sau Mn×n (C)) astfel încât AB = BA = In. În caz că există, matricea B este unică şi se numeşte inversa matricei A şi se notează cu A–1. O matrice pătratică neinversabilă se mai numeşte şi singulară. Exemplu Fie matricea ∈      = c d a c A M2×2 (R). Dacă ad – bc ≠ 0, atunci, prin calcul direct, se verifică uşor că matricea       − − ⋅ = − − c a d b A ad bc 1 1 reprezintă inversa matricei A. Teoremă. Fie matricele A, B ∈ Mn×n(R) (sau Mn×n(C)) inversabile. Atunci A ·B este o matrice inversabilă şi (A · B) – 1 = B – 1· A – 1. 24 Manual clasa a XI-a Demonstraţie Deoarece matricele A şi B sunt inversabile, există matricele A –1 şi B –1 astfel încât: A · A –1 = A –1 · A = In şi B · B –1 = B –1 · B = In. Prin urmare: (AB)(B–1A–1) = ((AB)B–1)A–1 = A(BB–1)A–1 = AInA–1 = (AIn)A–1 = AA–1 = In; (B–1A–1)(AB) = ((B–1A–1)A)B = B–1(A–1A)B = B–1InB = B–1(InB) = B–1B = In. Deci inversa matricei AB este matricea B–1 · A–1. Puterile cu exponent întreg ale unei matrice A ∈∈∈∈ Mn××××n (cccc) Dacă m ∈ N, avem A0  In şi pentru m ≥ 1 : Am = Am–1 · A. Dacă A este inversabilă, atunci pentru k ∈ z, k < 0 : Ak  (A−1 )−k . Dacă Ak + l, Ak, Al au sens şi k, l ∈ z, atunci Ak · Al = Ak +l. Dacă A este singulară, relaţia de mai sus este adevărată numai pentru exponenţi pozitivi. Teoremă. Dacă A, B ∈ Mnxn(C) astfel încât AB = BA, atunci pentru orice n ∈ N*, avem ( ) n k k n k k n A B n C A − B = + = ∑ 0 . Lăsăm în seama cititorului să demonstreze, prin inducţie matematică, această teoremă. Test de evaluare (2p) 1. Se dau matricele:             = 0 0 0 A şi B =             7 8 3 4 5 6 1 2 3 . Calculaţi B · A. (2p) 2. Calculaţi tA şi tA · A pentru             − − − − − = 5 1 1 2 4 3 2 1 1 1 0 5 A . (2p) 3. Fie matricele A, B ∈ M2 (C) astfel încât ABAB = O2. Demonstraţi că BABA = O2. Capitolul 2. Matrice 25 (2p) 4. Fie A o matrice inversabilă astfel încât           − = 4 2 1 0 1 3 1 1 2 A 1 . Determinaţi matricea C astfel încât AC = A4 + A3 + A2 + A. Timp de lucru: 45 de minute. Exerciţii propuse 1. Dacă A, B, C ∈ M3×3(R) şi A ≠ O3, din egalitatea AB = AC rezultă B = C? 2. Fie A o matrice pătratică. Demonstraţi că: a) matricele A · tA şi A + tA sunt simetrice; b) A – tA este antisimetrică. 3. Folosind problema 2, să se arate că orice matrice pătratică A se poate scrie ca suma dintre o matrice simetrică şi o matrice antisimetrică. 4. Se dau matricele A = (0 0 0) şi B =             5 5 1 2 3 0 1 6 4 . Calculaţi A · B. 5. Fie A o matrice inversabilă şi k ∈ z. Este adevărat că t(Ak) = (tA)k? 6. Fie matricele: A =       − 1 2 1 2 1 1 , B =             −1 1 3 şi C = (1 –1). Calculaţi ABC şi CAB. 7. Fie matricea A ∈ M3×3(C) astfel încât AB = BA pentru orice matrice B ∈ M3×3(C). Demonstraţi că A este o matrice scalară. 8. Fie matricea                 − − = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 A . Demonstraţi că există p ∈ N astfel încât Ap = O4. 26 Manual clasa a XI-a 9. Fie matricea           = 0 0 1 0 1 3 1 2 0 A . Calculaţi Ak, k ∈ z. 10. Scrieţi matricea                 − = 7 3 1 5 6 1 3 2 2 1 3 5 1 8 5 4 A sub forma A = B + C, unde B este o matrice simetrică şi C este o matrice antisimetrică. 11. Există valori ale lui a, b, c ∈ c astfel încât        =      − 0 0 1 c a b c a b ? 12. Dacă A ∈ M3×2(r) şi B ∈ M2×3(r), rezultă că matricea AB este inversabilă? 13. Să se arate că dacă A = (aij) ∈ Mn×n(c), B = (bij) ∈ Mn×n(c) şi notăm ( ) ∑ = = n i A aii 1 tr , atunci: a) tr(A + B) = tr(A) + tr (B); b) tr(A – B) = tr(A) – tr(B); c) tr(kA) = k tr(A), ∀ k ∈c; d) tr(AB) = tr(BA); e) nu există matrice A, B ∈ Mn×n (C) astfel încât AB – BA = In; f) dacă A şi B sunt inversabile, iar U ∈ Mn×n(C), atunci tr(AUA–1) = tr(BUB–1). 14. Fie A, B, C ∈ Mn×n (r) şi notăm cu [A, B] = AB – BA. Să se demonstreze identitatea lui Jacobi1: [[A, B],C] + [[B, C],A] + [[C, A],B] = On. 15. Fie A o matrice inversabilă, A ∈ Mm×n (C) şi k ∈ C*. Demonstraţi că: a) A–1 este inversabilă şi (A–1)–1 = A; b) kA este inversabilă şi ( )−1 = 1·A−1 kA k ; c) tA este inversabilă şi (t A)−1 = t (A−1). 16. Demonstraţi că oricare ar fi matricele pătratice X1, ..., Xn de acelaşi ordin şi inversabile are loc egalitatea (X1·…·Xn )−1 = Xn−1·…·X1−1 . 17. Demonstraţi că pentru orice matrice inversabilă X şi pentru orice n ∈ z avem (X n )−1 = (X −1)n . 1 Jacobi, Karl Gustav (1804-1851), matematician, mecanician, astronom şi om politic german. Capitolul 3 DETERMINANŢI 3.1. Determinant de ordin n, proprietăţi Fie mulţimea M = {1, 2, 3, …, n} şi fie σ o permutare a mulţimii M, adică:       σ σ σ … σ … σ = (1) (2) (3) ( ) 1 2 3 n n . Notăm cu Pn mulţimea tuturor permutărilor mulţimii M. Reamintim că funcţia sgn n (semnul unei permutări) se defineşte în modul următor: sgn : Pn → {–1, 1},    − σ = 1, 1, sgn Exerciţiu rezolvat Fie permutarea       σ = 2 3 4 1 1 2 3 4 . Calculaţi sgn σ. Soluţie. Inversiunile permutării σ sunt: (2, 1); (3, 1); (4, 1). Deci σ este impară, iar sgn σ = –1. Considerăm în continuare n2 numere întregi, raţionale, reale sau complexe (n ∈ N, n ≥ 2) pe care le notăm cu a11, a12, a13, …, a1n; a21, a22, a23, … a2n; …an1, an2, an3, …, ann. Aceste n2 numere le scriem în modul următor: n n n nn n n a a a a a a a a a a a a K K K K K K K 1 2 3 21 22 23 2 11 12 13 1  Dn. dacă σ este permutare impară dacă σ este permutare pară. =not 28 Manual clasa a XI-a Definiţie Numim determinant de ordin n, numărul Dn definit prin: 2σ(2) σ( ) σ (sgn ) 1σ(1) · · n n P Dn a a a n = ∑ σ ⋅ … ∈ . Evident Dn ∈ Z (respectiv Q, R, C) după cum aij ∈ Z (respectiv Q, R, C), unde: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Deoarece Pn are n! elemente rezultă că Dn are în dezvoltare n! termeni, din care n2! termeni au semnul „+” şi 2 n! termeni au semnul „–”. Să observăm că un determinant are n linii şi n coloane. Un element aij ( i = 1, …, n şi j = 1,…, n) este situat pe linia i şi coloana j. Determinant de ordin doi Pentru n = 2, avem: ∑ ∈ = σ σ 2 1σ(1) 2σ(2) 21 22 11 12 (sgn )· · P a a a a a a . (1) Cele două permutări ale mulţimii P2 sunt:        σ =      σ = 2 1 1 2 , 1 2 1 2 1 2 . Avem sgn σ1 = 1 şi sgn σ2 = –1. Egalitatea (1) devine: 11 22 12 21 11 22 12 21 21 22 11 12 a a ( 1)·a a a a a a a a a a = + − = − . Determinant de ordinul trei Pentru n = 3, avem: (sgn ) 2σ(2) 3σ(3) . σ 1σ(1) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 a a a a a a a a a a a a P = ∑ σ ⋅ ⋅ ⋅ ∈ (2) Capitolul 3. Determinanţi 29 Cele 6 permutări ale mulţimii P3 sunt: . 3 1 2 1 2 3 , 2 3 1 1 2 3 , 3 2 1 1 2 3 , 1 3 2 1 2 3 , 2 1 3 1 2 3 , 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3        σ =       σ =      σ =        σ =       σ =      σ = Semnele acestor permutări sunt: sgn σ1 = 1, sgn σ2 = – 1, sgn σ3 = – 1, sgn σ4 = – 1, sgn σ5 = 1, sgn σ6 = 1. Rezultă că egalitatea (2) devine: 13 22 31 12 23 31 13 21 32 11 22 33 12 21 33 11 23 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + − ⋅ + + = + − ⋅ + − ⋅ + sau 13 22 31 12 23 31 13 21 32. 11 22 33 12 21 33 11 23 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + + = − − − Să considerăm determinantul de ordinul 3 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a O regulă de calcul a acestui determinant de ordin 3 este foarte simplă, fiind cunoscută sub numele de regula triunghiului. Considerăm următoarele figuri sugestive pentru înţelegerea acestei reguli. Figura 1 Figura 2 a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − − a13 a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11. + − 30 Manual clasa a XI-a Explicit, termenii cu semnul + din expresia determinantului de ordin 3 sunt: produsul elementelor a11, a22, a33 de pe diagonala principală şi produsele ele- mentelor ce determină o dreaptă paralelă cu diagonala principală (a12 şi a23 respectiv a21 şi a32) cu elementele din colţul „opus“ al matricei (a31, respectiv a13). Analog, termenii cu semnul − se obţin considerând produsul elementelor de pe diagonala secundară şi produsul „vârfurilor“ triunghiurilor ce au una dintre laturi paralele cu diagonala secundară. Exemplu Vom calcula determinantul 0 2 1 1 1 3 1 0 2 − − folosind regula triunghiului. 0 2 1 1 1 3 1 0 2 − − = Pentru calculul unui determinant de ordinul 3 se mai foloseşte şi regula lui Sarrus (atenţie! se foloseşte numai pentru determinanţi de ordinul 3): Se scriu elementele determinantului aşezate pe linii şi pe coloane şi apoi se copiază primele două linii. Se fac produsele pe diagonalele trasate cu linii pline şi se adună, obţinându-se numărul d1. Apoi se fac produsele pe diagonalele trasate cu linii punctate şi se adună, obţinându-se numărul d2. Determinantul d are valoarea d = d1 – d2. Evident, cele 2 reguli expuse anterior sunt echivalente. 21 22 23 11 12 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a 1 · 1 · 1 + 0 · 3 · 0 + (−1) · (−2) · 2 − − 2 · 1 · 0 − 3 · (−2) · 1 − (−1) · 0 · 1 = = 1 + 4 + 6 = 11. Capitolul 3. Determinanţi 31 Determinat de ordinul patru Pentru n = 4, avem: 1 (1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 4 sgn σ σ σ σ∈ = ∑ σa σ ⋅a ⋅a ⋅a a a a a a a a a a a a a a a a a P (3) Partea dreaptă a egalităţii (3) are 4! = 24 termeni. Exerciţii rezolvate 1. În dezvoltarea unui determinant de ordinul 5, unul din termeni este: ε · a12 · a23 · a34 · a45 · a51. Stabiliţi dacă ε este (+1) sau (–1). Soluţie: Permutarea din P5 ataşată termenului din enunţ este: σ =       2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 . Inversiunile permutării σ sunt: (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1). Deci σ este o permutare pară, prin urmare ε = 1. 2. Un determinant de ordinul n are în dezvoltarea sa 720 de termeni. Determinaţi n. Soluţie: n! = 720, deci n = 6. 3. Calculaţi determinantul t t D 1 ctg tg 1 = , unde t ∈ (0, 2 π ). Soluţie: D = tg t · ctg t – 1 = 0. 4. Calculaţi determinantul 1 1 2 + + + = n n n n D , unde n ∈ N. Soluţie: D = (n + 1)2 – n(n + 2) = 1. 32 Manual clasa a XI-a 5. Calculaţi determinanţii: a) 0 0 2 0 2 1 2 1 1 D = b) 1 1 1 ( 1) 3 3 1 0 0 2 2 + = + + + n n D n n n , unde n ∈ N. Soluţie: a) D = 2 · 2 · 2 + 0 · 0 · 1 + 0 · 1 · 1 – 1 · 2 · 0 – 1 · 0 · 2 – 2 · 1 · 0 = 8 b) Procedând analog punctului a), obţinem D = 1. Exerciţii propuse 1. Să se calculeze determinanţii de ordinul 2. a) a a a a 1 1 , a ≠ 0; b) − α α α α sin cos cos sin , α ∈ R; c) 2 i 1 i 1 i 2 i − − + + ; d) 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 + − ; e) t t t 1 cos tg sin , t ∈ (0, 2 π ); f) 2 2 1 1 x x x x − − , x ∈ (–1, 1); g) 2 2 1 1 1 1 x x x + + , x ∈ R; h) 2005 2006 2006 2005 . 2. Să se calculeze determinanţii de ordinul 3. a) 4 8 2 2 1 6 1 2 5 − ; b) 3 4 9 1 2 6 a a b , a, b ∈ C; c) 2 2 2 1 1 1 a b c a b c , a, b, c ∈ C; d) 0 0 a 0 1 0 1 1 0 , a ∈ C; Capitolul 3. Determinanţi 33 e) a b c 1+ a 1+ b 1+ c 1 1 0 , a, b, c ∈ C; f) 0 0 1 5 1 2 1 9 99 − − ; g) 1 2 3 sin sin sin cos cos cos x y z x y z ; h) 1 1 1 z z y y x x e e e e e e − − − , x, y, z ∈ R; i) 2 ( 1)2 ( 2)2 1 2 1 2 3 + + + + n n n n n n , n ∈ N; j) 9 3 8 1 5 6 2 4 + + + + + + + + n n n n n n n n n , n ∈ N; k) x y x y x y x y + + 1 1 1 2 2 ( )2 , x, y ∈ R; l) a b c a b c a b c sin 3 sin 3 sin 3 sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin , a, b, c ∈ R. 3.2. Proprietăţile determinanţilor Fie n n nn n n n a a a a a a a a a D K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 = un determinant de ordinul n. Ştim că prin definiţie (sgn ) , 1 1 2 2 n n ni P Dn = ∑ σ a i ⋅a i ⋅ ⋅a σ∈ K unde       σ = i i in n K K 1 2 1 2 . Remarcăm că în fiecare produs de forma (sgn σ) i i nin a a … a 11 2 2 indicii liniilor figurează în ordine naturală. Este firesc să ne întrebăm ce rezultat se obţine dacă se face suma 34 Manual clasa a XI-a ∑ ϕ∈ ϕ n n P (sgn )a j11a j2 2 Ka j n , (*) unde indicii coloanelor figurează în ordine naturală şi ϕ este permutarea       j j jn n K K 1 2 1 2 . Răspunsul este dat de următoarea: Teoremă. Suma celor n! produse de forma (*) este Dn adică ∑ ϕ∈ = ϕ … n n P Dn (sgn )a j11a j2 2 a j n. Demonstraţie Factorii oricărui produs de forma i i nin a a …a 1 1 2 1 sunt elemente ale determi- nantului Dn, alese câte unul din fiecare linie şi fiecare coloană. Rezultă că orice produs de această formă poate fi scris schimbând corespunzător ordinea factorilor astfel încât indicii coloanelor să figureze în ordine naturală. Astfel încât dacă:       ϕ = i i in n K K 1 2 1 2 şi       ψ = j j jn n K K 1 2 1 2 , trebuie să avem egalitatea a1i1 a2i2 …anin = a j11a j2 2 …a jnn (**) Exemplu În calculul unui determinant de ordinul 5 apare şi termenul a13a25a32a41a54. Schimbând ordinea factorilor avem egalitatea: a13 a25 a32a41 a54 = a41a32a13a54a25. Permutările ϕ şi ψ sunt respectiv:        ψ =      ϕ = 4 3 1 5 2 1 2 3 4 5 , 3 5 2 1 4 1 2 3 4 5 . Să considerăm un element oarecare akl care figurează în produsele din membrul stâng şi cel drept al egalităţii (**). Mai exact, în membrul stâng (în care indicii liniilor sunt în ordine naturală) elementul akl ocupă locul k (numărând factorii de la stânga la dreapta), iar în membrul drept (unde indicii coloanelor sunt în ordine naturală) acelaşi element ocupă locul l. Capitolul 3. Determinanţi 35 Ţinând seama de cum au fost definite permutările ϕ şi ψ, ϕ îl duce pe k în l şi ψ îl duce pe l în k. Avem: ϕ(k) = l ⇔ ψ(l) = k, ∀k, l = 1, 2, …, n. Dacă notăm M = {1, 2, …, n} rezultă că ϕ, ψ : M → M sunt funcţii bijective inverse una alteia adică: ϕ o ψ = ψ o ϕ = 1M. Însă 1M este permutarea identică (permutare pară). Cum ϕ o ψ este o permu- tare pară rezultă că ϕ şi ψ sunt de aceeaşi clasă, adică sgn ϕ = sgn ψ. Rezultă că respectiv termenii sumelor: ∑ ϕ∈ ϕ … n n P (sgn )a1i1a2i2 ani şi ∑ ∈ ψ … n n P aj aj aj n ψ 11 2 2 (sgn ) sunt egali (doi câte doi), deci sumele sunt egale. Teorema este demonstrată. Folosind teorema demonstrată anterior avem o primă proprietate a determi- nanţilor. Teorema 1. Prin schimbarea într-un determinant a liniilor în coloană se obţine un determinant egal cu cel iniţial. O altă proprietate a determinanţilor este dată de: Teorema 2. Prin schimbarea între ele a două linii (sau două coloane) determi- nantul îşi schimbă semnul. Demonstraţie: Pentru n = 4, putem alege de exemplu liniile 2 şi 4, fără a restrânge generali- tatea. Fie D4 = |aij|, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, 4, deci ∑ ϕ∈ = ϕ 4 4 11 2 2 3 3 4 4 (sgn ) P D a i a i a i a i (*) Să presupunem de asemenea că schimbăm între ele liniile 2 şi 4 ale lui D4. Fie D4' determinantul astfel obţinut. 36 Manual clasa a XI-a Un element al lui D4 de forma 2i2 a devine în D4' element al liniei 4 (coloana i2), iar un element al lui D4 de forma 4i4 a devine în D4' element al liniei 2 (coloana i4). În acelaşi timp elementele lui D4 de forma 1i1 a şi 3i3 a rămân pe loc în D4' . Să renotăm elementul 2i2 a cu ' ' 4i4 a şi elementul 4i4 a cu ' ' 2i2 a . După cum am remarcat i4' = i2, i2' = i4 . Obţinem: D4' = ∑ ψ∈ ψ 4 ' 3 4 ' 1 2 ' 3 4 ' 1 2 (sgn ) P i a i a i a i a (**) Ne propunem să arătăm că D4' = – D4. Să stabilim legătura între semnele cu care figurează în sumele date de (*) şi (**) perechile de produse: ' 3 4 ' 11 2 2 3 3 4 4 11 2 2' 3 4' , i i i i i i i i a a a a a a a a . Cele două permutări ataşate acestor produse sunt respectiv:       ϕ = 1 2 3 4 1 2 3 4 i i i i şi       ψ = ' 3 4 ' 1 2 1 2 3 4 i i i i , unde , 2. ' 4 4 ' i2 = i i = i Cum permutările ϕ şi ψ se obţin una din alta printr-o schimbare de poziţie, rezultă că sgn ψ = – sgn ϕ. Obţinem că: (sgn ) ' ( sgn ) 1 2 3 4 . 1 2' 3 4 1 2 3 4 ' 3 4 ' 1i 2i i i i i i i ψ a a a a = − ϕ a a a a Deoarece egalitatea anterioară are loc pentru orice pereche (ϕ, ψ) de permutări de forma menţionată, rezultă că: ∑ ∑ ψ∈ ψ∈ ψ = − ϕ 4 1 2 3 4 4 1 2' 3 4 1 2 3 4 ' (sgn ) 1 2' 3 4 (sgn ) P i i i i P a i a i a i a i a a a a , adică D4' = – D4. Acelaşi raţionament se poate face pentru orice n ∈ N*, n ≥ 2. Teorema 3. Un determinant Dn cu 2 linii (respectiv două coloane) identice este egal cu 0. Demonstraţie Fie Dn' determinantul care se obţine din Dn prin schimbarea celor două linii (respectiv coloane) identice, deci Dn' = Dn. Conform teoremei 2 avem Dn' = – Dn. Rezultă Dn = – Dn, adică Dn = 0. Capitolul 3. Determinanţi 37 Teorema 4. Prin înmulţirea unei linii (respectiv coloane) a unui determinant cu un număr, se obţine un determinant egal cu produsul dintre determinantul iniţial şi acel număr. Exemplu: 3 1 3 2 8 6 1 4 5 3 1 3 2 8 6 4 5 = λ λ λ λ . Teorema 5. Dacă un determinant are două linii (două coloane) proporţionale, atunci el este nul. Exemplu: α β γ µ µ µ λ λ λ a b c a b c = 0. Teorema 6. Dacă într-un determinant elementele unei linii (respectiv coloane) sunt fiecare sumă de două elemente, atunci determinantul se descompune într-o sumă de doi determinanţi după modelul: . 1 2 3 21 22 23 2 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 11 11 12 12 13 13 1 1 n n n nn n n n n n nn n n n n n nn n n n a a a a a a a a b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a b K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K = + = + + + + Următoarea teoremă este foarte importantă pentru calculul determinanţilor. Teorema 7. Dacă la o linie (respectiv coloană) a unui determinant se adună o altă linie (respectiv coloană) înmulţită cu un număr arbitrar, se obţine un determinant egal cu determinantul iniţial. 38 Manual clasa a XI-a Exemple l m n u v w x u l y v m z w n l m n u v w x y z + α + β + α + β + α + β = ; 21 24 45. 3 7 3 8 1 1 0 0 1 3 7 3 3 8 4 2 1 2 4 1 5 3 3 3 4 1 2 4 1 5 3 3 3 4 1 0 0 0 1 1 2 4 2 1 5 3 1 3 3 4 2 1 2 1 1 1 1 3 5 2 3 7 1 1 1 4 5 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 = + = − − − − = ⋅ − − = − + − + = − − − − − = − = − − − − − + − + − − + − C C C C C C C C C C Dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii (respectiv coloane) Considerăm un determinant de ordin n, cu n ≥ 3, n n nn n n n a a a a a a a a a D K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 = . 1. 2. Capitolul 3. Determinanţi 39 Fie i, j ∈ {1,…, n} arbitrar fixaţi. Determinantul obţinut din Dn prin supri- marea liniei i şi coloanei j, notat dij, se numeşte minorul corespunzător elementului aij. Numărul Aij = (–1)i + j dij se numeşte cofactorul (sau complementul algebric) lui aij. Teorema 8. Fie Dn un determinant de ordin n, cu n ≥ 3. Atunci: Dn = ∑ = n j aij Aij 1 , œi ∈ {1, …, n} Demonstraţie Fără a restrânge generalitatea, putem presupune i = 1. În caz contrar, putem schimba liniile 1 şi i între ele. Vom demonstra că Dn = a11A11 + a12A12 + …+ a1nA1n (1). Pentru aceasta observăm că nici un termen al determinantului Dn nu poate apărea în două produse diferite din dezvoltarea (1): toţi termenii determinantului care intră în produsul a11A11 conţin elementul a11, deci sunt diferiţi de termenii care intră în produsul a12A12, aceştia conţinând numai elementul a12 de pe linia 1 etc. Pe de altă parte, numărul termenilor determinantului Dn care apar în dezvol- tarea (1) este egal cu (n – 1)!n = n!, deci dezvoltarea (1) conţine toţi termenii lui Dn. Rămâne să demonstrăm că termenii lui Dn apar cu acelaşi semn în dezvoltarea (1). În minorul lui 1 j1 a , termenul arbitrar j njn a …a 2 2 are semnul (–1)l, unde l este numărul inversiunilor permutării:       j j jn n K K 2 3 2 3 Atunci semnul lui j j njn a a …a 1 1 2 2 în dezvoltarea (1) este (−1)l+ j1 +1 . Pe de altă parte, semnul lui j j njn a a …a 1 1 2 2 în Dn este semnul permutării       j j j jn n K K 1 2 3 1 2 3 , adică (−1)l+ j1 −1 = (−1)l+ j1 +1 , ceea ce încheie demonstraţia. 40 Manual clasa a XI-a Corolar. Fie Dn un determinant de ordin n, cu n ≥ 3. Atunci: Dn = ∑ = n i aij Aij 1 , œ j ∈ {1, …, n} Demonstraţia rezultă din teoremele 1 şi 8. Exerciţiu rezolvat Să se calculeze determinantul: 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − d = Soluţie: Dezvoltând după linia a treia, avem: 2 16 40 48 40. 1 5 3 5 1 3 3 1 1 ( 1) ( 1) 1 5 3 5 1 4 3 1 2 ( 1) 1 5 3 3 1 3 4 1 1 2 ( 1) 2 3 4 3 1 3 3 = ⋅ − + = − − − + − ⋅ − + − − + − ⋅ − − − − − − = − ⋅ + + + d Funcţia determinant Putem defini funcţia determinant det : Mn(c) → c astfel: pentru orice matrice A ∈ Mn(c), j n A aij i n 1, ( ) 1, = = = , det A este numărul complex Capitolul 3. Determinanţi 41 n n nn n n a a a a a a a a a K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 . Observaţie: Analog putem defini funcţia det pe Mn (r), Mn (Q) sau Mn (z) cu valori respectiv în r, Q, z. Vom da fără demonstraţie următoarea teoremă, referitoare la determinantul produsului a două matrice. Teoremă. Fie n ∈ N* \ {1} şi două matrice A, B ∈ Mn (c). Atunci det (AB) = (det A) · (det B). Exerciţii rezolvate 1. Dacă X, Y ∈ M2 (c), să se arate că: det (X + Y) + det(X – Y) = 2 det X + 2 det Y. Soluţie: Fie        =      = g h e f Y c d a b X , cu a, b, c, d, e, f, g, h ∈ C       − − − −  − =      + + + + + = c g d h a e b f X Y c g d h a e b f X Y , , 2 2 2 2 2( ) 2det 2det . det( ) det( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ad eh bc fg ad bc eh fg X Y X Y X Y a e d h b f c g a e d h b f c g = + − − = − + − = + + + − = + + − + + + − − − − − = 2. Fie (an)n≥1 o progresie aritmetică de raţie r. Calculaţi determinantul 6 8 9 3 5 7 1 2 4 + + + + + + + + + n n n n n n n n n a a a a a a a a a . 42 Manual clasa a XI-a Soluţie: = + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + r r r r r r a nr a n r a n r a n r a n r a n r a n r a n r a n r a nr a n r a n r 3 3 2 2 3 3 ( 1) ( 3) ( 5) ( 7) ( 8) ( 2) ( 4) ( 6) ( 1) ( 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + = ⋅ + + + + + = ⋅ 3 0 1 2 1 1 3 3 3 2 2 3 3 ( 1) ( 3) 1 2 1 1 1 2 a nr r r r a nr a n r a n r r . ( 6 2 ) ( 4 ) ( ( 4) 5 2 1 2 1 2 1 2 = − ⋅ + = ⋅ − − − + = ⋅ − − − = − − + = r an r a nr r r r a nr r r a n r 3. Calculaţi determinantul 10 13 15 16 6 9 12 14 3 5 8 11 1 2 4 7 + + + + + + + + + + + + + + + + Δ = n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a , dacă (an)n≥1 este o progresie aritmetică de raţie r. Soluţie: 6 . 3 2 0 0 1 0 2 2 5 2 4 1 1 2 2 4 5 2 2 4 1 2 1 2 0 1 0 0 2 4 1,3,4 2 9 2 2 0 5 2 3 2 2 1 2 2 3 6 2,3,4 9 11 11 9 5 7 8 7 2,3,4 2 3 4 4 4 1 3 3 2 3 1 1 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 2 4 7 r a r r r C C C r C C C a r r r r a r r r r i r C C a r r r C r i C C C r r r r r r r r r r r r a a a a i L L L n n i n n i i n n n n i i i n = − − − ← − = ⋅ ← + = − − − − − = ⋅ = − − − − −  = ⋅        = − ← = ⋅ =  =        = − ←  = =        = − ← Δ = + + + + + + + + Capitolul 3. Determinanţi 43 4. Calculaţi următorii determinanţi: . ; ; 3 1 2 jm kr lv jn ks lw jp kt ly jq ku lz gm hr iv gn hs iw gp ht iy gq hu iz dm er fv du es fw dp et fy dq eu fz am br cv an bs cw ap bt cy aq bu cz em fq en fr ep fs cm dq cn dr cp ds am bq an br ap bs bc db ac ad + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Δ = + + + + + + + + + Δ = Δ = Soluţie: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 Δ1 = ⋅ = ⋅ = Δ2 = ⋅ q r s = ⋅ = m n p e f c d a b c d b a ; 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ3 = ⋅ = ⋅ = v w y z r s t u m n p q j k l g h i d e f a b c 5. Calculaţi determinantul matricei: ∈C                 + + + + + + + + + + + + = a b c d d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a M , , , , 1 2 3 3 4 3 5 1 2 3 3 4 3 5 1 2 3 3 4 3 5 1 2 3 3 4 4 5 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 . Soluţie: Fie matricele             = 0 0 0 4 0 0 3 5 0 2 4 0 1 3 0 0 A şi . 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3             = d d d c c c b b b a a a V Deoarece M = V · A şi det M = det V · det A, rezultă că: det M = 24(d − a)(d − b)(d − c)(c − a)(c − b)(b − a). 44 Manual clasa a XI-a Test de evaluare 1. Calculaţi următorii determinanţi: (2p) a) 0 3 5 1 1 2 2 1 0 − ; (2p) b) 2 2 2 2 2 2 2 2 b ab ab a ab b a ab ab a b ab a ab ab b . 2. Rezolvaţi următoarele ecuaţii: (2p) a) 2 2 2 2 2 2 x x x = 0; (2p) b) = 0 a a a x a a x a a x a a x a a a , a ∈ R. Timp de lucru: 30 de minute. Exerciţii propuse 1. Calculaţi: ; 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 a) 3 0 1 3 0 1 5 0 0 3 1 0 2 0 2 4 b) − − . 2. Calculaţi: a) 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 1 1 d d d c c c b b b a a a ; b) 3 3 3 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C , n ∈ N*, n ≥ 3. Capitolul 3. Determinanţi 45 c) a r b r c r d r a r b r c r d r a r b r c r d r a b c d 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + + ; d) t x y x z t x y y x t z x y z t − − − − − − ; e); 4 3 2 1 1 2 3 4 1 1 3 2 2 3 3 2 2 3 a a a a a a a a a a a a ; f) a b c d a b c c a b b b a a a a 3. Să se arate că dacă a1, a2,…,an ∈ c, atunci are loc egalitatea: ∏ ≤ < ≤ − − − … = = − i j n j i n n n n n n n a a a a a a a a a a a V a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ( ) 1 1 1 ( , , , ) K K K K K K K (determinantul de mai sus se numeşte determinant Vandermonde1). 3.3. Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte; aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan Ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte Fie A(xA, yA) şi B(xB, yB) două puncte distincte într-un sistem cartezian din plan. Se ştie că ecuaţia dreptei determinate de punctele A şi B este ( A ) B A B A A x x x x y y y y − − − = − , 1 Vandermonde, Théophile Alexandre Charles August (1735-1796), matematician şi fizician elveţian. A activat la Paris. 46 Manual clasa a XI-a sau echivalent, (x – xA)(yB – yA) – (y – yA)(xB – xA) = 0. Această ecuaţie poate fi scrisă sub formă de determinant: 0. 0 0 1 = − − − − B A B A A A x x y y x x y y x y Dacă scădem linia I din linia a II-a, obţinem: 0. 0 1 1 = B − A B − A A A x x y y x y x y În sfârşit, adunând ultimele 2 linii, obţinem: 0. 1 1 1 = B B A A x y x y x y Am găsit astfel ecuaţia dreptei AB sub formă de determinant. Aria unui triunghi Considerăm într-un sistem cartezian un triunghi ABC, cu vârfurile A(xA, yA), B(xB, yB) şi C(xC, yC). Ecuaţia dreptei BC este: 0. 1 1 1 = C C B B x y x y x y Atunci distanţa de la punctul A la dreapta BC este y O xA xB yA yB x A (xA, yA) B (xB, yB) Capitolul 3. Determinanţi 47 ( ) ( ) BC x y x y x y y y x x x y x y x y d A BC C C B B A A B C B C C C B B A A                   = − + −             = 1 1 1 det 1 1 1 det ( , ) 2 2 . Prin urmare ( ) ( )                   Δ = ⋅ = 1 1 1 det 2 1 , 2 1 C C B B A A x y x y x y A ABC BC d A BC . Coliniaritatea a trei puncte în plan Fie A(xA, yA), B(xB, yB) şi C(xC, yC) trei puncte distincte într-un sistem cartezian din plan. Ecuaţia dreptei BC este: 0. 1 1 1 = C C B B x y x y x y Atunci punctele A, B şi C sunt coliniare dacă şi numai dacă A ∈ BC, sau echivalent, 0. 1 1 1 = C C B B A A x y x y x y Am obţinut condiţia ca trei puncte din plan să fie coliniare. y O xB xA yA yC yB x A (xA, yA) B (xB, yB) C (xC, yC) y O xC xB xA yA yB yC x A (xA, yA) B (xB, yB) C (xC, yC) xC 48 Manual clasa a XI-a Observaţie: Dacă B = C, atunci evident A, B şi C sunt coliniare şi 0. 1 1 1 = C C B B A A x y x y x y Exerciţiu rezolvat Fie ABCD un pătrat. Considerăm punctele Q ∈ (BC) şi P ∈ (CD) astfel încât m( 3 PAQ ) = 45°. Dacă AQ ∩ BD = {V} şi AP ∩ BD = {U}, să se calculeze raportul dintre aria triunghiului APQ şi aria triunghiului AUV. Soluţie: Fie α° = m( 3 BAQ ), m = tg α° ∈ (0, 1) şi n = tg(α° + 45°) = 1m−+m1 . D P (a/n, a) C U V A B Q (a, ma) α 45° x y [ ] . 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 0 1 det 2 1 2 2 2 2 m m a m m m m m a n n m a a ma a n a APQ + = ⋅ + − + +− − = ⋅ ⋅ − = ⋅             AΔ = ⋅ BD : x + y = a; AQ : y = mx; AP : y = nx.    = + = AQ y mx BD x y a V : : : ; deducem că . 1; 1     + m + am m a V    = + = AP y nx BD x y a U : : : ; deducem că       + 1; n + 1 an n a U sau       − + 2 (1 ) ; 2 a(1 m) a m U . Capitolul 3. Determinanţi 49 [ ] (1 ); 2 2(1 ) 1 1 1 1 1 2 (1 ) 2 (1 ) 0 0 1 det 2 1 2 2 m m a m ma m a a m a m AUV ⋅ + = ⋅ +             + + − + AΔ = ⋅ [ ] [Δ ] = 2. Δ AUV APQ A A Exerciţii propuse 1. Verificaţi că simetricele vârfurilor B şi C ale triunghiului ABC faţă de mijloacele segmentelor [AC] şi [AB] sunt coliniare cu A. 2. Fie A şi B puncte fixe în plan. Determinaţi locul geometric al punctelor M din plan pentru care aria triunghiului MAB este constantă. 3. Fie patrulaterul ABCD cu A(–1, 6), B(1, –3), C(4, 10), D(9, 0). Calculaţi aria patrulaterului ABCD. 4. Determinaţi locul geometric al punctelor M din planul triunghiului ABC pentru care ariile triunghiurilor MAB şi MAC sunt egale. 5. Se consideră punctele A(a, 0), B(b, 0), C(c, 0), unde 0 < a < b < c şi punctele A1(0, 1), B1(0, 2), C1(0, 3). Fie {M} = AB1 ∩ A1B, {N} = AC1 ∩ A1C1, {P} = BC1 ∩ B1C. Demonstraţi că punctele M, N, P sunt coliniare (un caz particular al teoremei lui Pappus). 6. Fie un triunghi ABC şi DEF triunghiul său ortic (D ∈ BC, E ∈ AC) Demonstraţi că simetricele lui D faţă de AB şi respectiv AC şi punctele E, F, sunt coliniare. 7. Fie A(1, 2, 5), B(2, 6, 3), C(a, b + 3, a + 6). Determinaţi a şi b ştiind că punctele A, B, C sunt coliniare. 8. Fie A(a + 1, a + 3), B(a + 3, a), C(2, 5). Determinaţi a ştiind că A, B, C sunt coliniare. 9. Fie triunghiul ABC şi punctele M ∈ [AB], P ∈ [AC] astfel încât 2 = 1 MB AM şi 5 = 4 PC AP . Determinaţi poziţia punctului Q pe dreapta BC astfel încât punctele M, P, Q să fie coliniare. Capitolul 4 SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 4.1. Matrice inversabile din Mn(C), n ≤ 4 Algoritmul de calcul al inversei unei matrice Să considerăm matricea                   = n n nn n n a a a a a a a a a A K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 , A ∈ Mn (c) cu elemente numere complexe, n ≤ 4. Acestei matrice i se poate asocia matricea                   = n n nn n n A A A A A A A A A B K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 , unde Aij este complementul algebric (cofactorul) elementului aij (Aij = (–1)i+jMij, unde Mij este minorul de ordinul (n – 1) obţinut prin „tăierea“ liniei i şi coloanei j), i, j ∈ {1,…, n}. Matricea B se numeşte matricea cofactorilor lui A. Transpusa matricei B (notată t B ) se numeşte adjuncta matricei A şi se notează cu A*. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 51 Folosind proprietăţile determinanţilor, se poate arăta uşor că pentru ∀i, j ∈{1,…, n} are loc relaţia     ≠ = + +…+ = i j A i j a A a A a A i j i j in jn 0, dacă det , dacă 1 1 2 2 . Rezultă că (det ) , 0 0 det 0 det 0 det 0 0 * A In A A A A A = ⋅                   ⋅ = K K K K K K (*) unde cu In notăm, ca de obicei, matricea unitate de ordinul n. O matrice A ∈ Mn(c) este inversabilă dacă admite o inversă (notată cu A–1) astfel încât: A · A –1 = A –1 · A = In Teoremă. O matrice A ∈ Mn(c) este inversabilă dacă şi numai dacă det A ≠ 0 Demonstraţie Dacă matricea A este inversabilă, atunci det A · det (A–1) = det In ⇒ det A · det (A–1) = 1. Reciproc, dacă det A ≠ 0, atunci din relaţia (*) rezultă: A A A  = In     ⋅  · * det 1 . Prin urmare, * det 1 1 A A A− = este inversa matricei A. Exerciţii rezolvate 1. Se consideră matricea           = 2 3 1 1 1 1 1 2 3 A . Să se calculeze A–1. Soluţie: Avem 1; 2 3 1 1 1; 2 1 1 1 2; 3 1 1 1 M11 = = − M12 = = − M13 = = 52 Manual clasa a XI-a 1. 1 1 1 2 2; 1 1 1 3 1; 1 1 2 3 1; 2 3 1 2 5; 2 1 1 3 7; 3 1 2 3 31 32 33 21 22 23 = = − = = − = = − = = − = = − = = − M M M M M M Prin urmare             − − − − = 1 2 1 7 5 1 2 1 1 B şi             − − − − = = 1 1 1 1 5 2 2 7 1 A* tB (det ) 3 0 0 3 0 3 0 3 0 0 1 1 1 1 5 2 2 7 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 A·A* = A ⋅ I             =             − − − − ⋅             = . Deci det A = 3 şi A–1 = * 3 1 ⋅ A , adică:               − − − − − = 3 1 3 1 3 1 3 2 3 5 3 1 3 1 3 7 3 2 A 1 Se verifică uşor faptul că A–1 ·A = A · A–1 = I3. Observaţie: Bineînţeles, determinantul matricei A se poate calcula direct, fără a efectua înmulţirea A · A*. 2. Se consideră matricea A =       + − i 2i 1 i 1 i . Să se calculeze A–1. Soluţie: Matricea cofactorilor lui A este:       − + + − = 1 i 1 i 2i i B , iar transpusa lui A este       − + = 1 i 2i 1 i i t A . Deci adjuncta matricei A este:       − + − + = i 1 i 2i 1 i A* Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 53 Rezultă (i 3) 2 (det )· 2 0 i 3 i 3 0 AA*  = − I = A I      − − = . Deci: . 1 3i 2 4i 2 6i 4 2i 10 1 10 4i 2 10 3i 1 10 4 2i 10 2 6i 10 (1 i)(i 3) 10 i(i 3) 10 ( 1 i)(i 3) 10 2i(i 3) i 3 1 i i 3 i i 3 1 i i 3 2i i 1 i 2i 1 i i 3 1 · * det 1 1       − + − − − − =         − − − − − = =           − + + − − + − − + + − + =         − + − − − − + = −  =      − + − + A− = A A = − 3. Fie matricele A, B ∈ M4(c) astfel încât A este inversabilă şi B2 = O4 (matricea nulă din M4 (c)). Demonstraţi că matricea C = I4 + A–1 BA este inversabilă. Soluţie: (I4 + A–1BA)(I4 – A–1BA) = I4 + A–1BA – A–1BA –(A–1BA)(A–1BA) = = I4 + A–1B(AA–1)BA = I4 + A–1BI4BA = = I4 +A–1B2A = I4 + A–1 O4 A = I4. Rezultă: (I4 + A–1BA)–1 = I4 – A–1BA. 4. Fie A, B ∈ M3(r) astfel încât       = c d a b AB , unde a, b, c, d ∈ r şi ad – bc = 1. Să se calculeze det (BA + (BA–1)). Soluţie: Deoarece det (AB) = 1 rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, deci există A–1 şi B–1. Matricea AB verifică egalitatea: (AB)2 – (a + d)AB + (ad – bc)I2 = O2. Înmulţind la stânga cu A–1 şi la dreapta cu B–1, obţinem: BA – (a + d)I2 + (BA)–1 = O2. Rezultă BA + (BA)–1 = (a + d)I2, deci det (BA + (BA)–1) = a + d. 54 Manual clasa a XI-a Exerciţii propuse 1. Verificaţi dacă matricele ; 5 5 1 0 2 3 1 1 1 ; 0 0 0 4 0 0 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4           =             A = B ; 2 2 1 3 2 3 1 2 1               − C =                   = 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d D ; a, b, c, d ∈ r, a, b, c, d distincte, sunt inversabile. În caz favorabil, determinaţi inversele lor. 2. Calculaţi inversele matricelor: . 4 36 64 2 6 8 1 1 1 ; 2 4 1 5 3 2 4 2 2           =           − − − A = B 3. Fie matricea A astfel încât . 5 6 2 1 8       A− = Să se calculeze A2. 4. Fie matricea . 3 4 6 2 1 5 1 2 8           A = Calculaţi A–1, (A–1)–1. 5. Dacă U ∈ M3(r), , 31 32 33 21 22 23 11 12 13           = a a a a a a a a a U atunci tr U  a11 + a22 + a33 se numeşte urma matricei U. Să se arate că: a) dacă A, B ∈ M3(r), atunci tr (AB) = tr (BA); b) dacă A ∈ M3(r) este inversabilă şi C ∈ M3(r), atunci tr (ACA–1) = tr C. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 55 6. Să se calculeze A–1, unde A este una dintre matricele: a) ; 0 0 1 0 1 i 1 i i             − A = b) . i 0 i 0 – i 0 i 0 i             − A = 7. Fie A, B, C ∈ Mn(C) astfel încât ABC = In. Demonstraţi că BCA = In şi CAB = In. 8. Fie matricea ,             − − − − − − = d c b a c d a b b a d c a b c d A a, b, c, d ∈ Q, a2 + b2 + c2 + d2 ≠ 0. Calculaţi A–1. 9. Fie matricele inversabile A, B, C ∈ M3(r). Să se calculeze det (AB–1 C–1A–1BC). 10. Să se determine parametrul m ∈ r, ştiind că matricea           = − m x x x A 1 2 1 2 3 este inversabilă pentru orice x ∈ r. 4.2. Ecuaţii matriceale În general, o ecuaţie matriceală (liniară) este de forma: AX = B, unde A ∈ Mn×m (c), X ∈ Mm×p (c), B ∈ Mn×p (c). Matricele A şi B sunt date, iar X este matricea necunoscută care trebuie determinată. Pentru a rezolva o ecuaţie matriceală se scrie sistemul liniar ataşat şi se rezolvă acest sistem. Soluţiile sistemului ne vor da componentele matricei necunoscute. 56 Manual clasa a XI-a Exerciţiu rezolvat Să se rezolve ecuaţia matriceală        =          ⋅      0 0 4 2 2 1 y x , x, y ∈ c. Soluţie:         =         + + 0 0 4 2 2 x y x y şi deci 2x + y = 0, 4x + 2y = 0. Obţinem x = m, y = –2m, deci        − =         m m y x 2 , m ∈ c. Rezultă că o infinitate de matrice sunt soluţii ale ecuaţiei. Un caz special de ecuaţii sunt cele de tipul AX = B, unde A ∈ Mn×n (c), X ∈ Mn×p(c), iar B ∈ Mn×p (c) şi mai mult matricea A este nesingulară (inversabilă). În acest caz avem echivalenţele: AX = B ⇔ A–1 · (AX) = A–1 · B ⇔ (A–1 ·A)X = A–1 · B ⇔ InX = A–1 · B ⇔ ⇔ X = A–1 · B. Dacă ecuaţia este de forma A · X · B = D, unde A, B, D, X ∈ Mn×n (c) şi A, B sunt nesingulare, atunci ecuaţia admite soluţia: X = A–1 · D · B–1. Nu toate ecuaţiile matriceale sunt liniare; de exemplu ecuaţia       + = 1 1 2 1 1 X X , X ∈ M2 (c), este o ecuaţie neliniară, deoarece matricea X apare şi cu exponentul 2. În general pentru ecuaţiile atipice nu există metode de rezolvare standard. Acestea se rezolvă de la caz la caz. Exerciţii rezolvate 1. Să se rezolve ecuaţia        ⋅ =      1 1 1 1 3 7 1 2 X . Soluţie: Deoarece matricea       3 7 1 2 este inversabilă (având determinantul nenul), avem X =        ⋅      − 1 1 1 1 3 7 1 2 1 . Dar . 3 1 7 2 3 7 1 2 1       − −  =      − Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 57 Deci X = . 2 2 5 5 1 1 1 1 3 1 7 2       ⇔ = − −      ⋅      − − X 2. Să se arate că matricea X =           π π − π π sin 50 cos 50 cos 50 sin 50 este soluţie a ecuaţiei X100 = I2, unde I2 , 0 1 1 0       = X ∈ M2 (R). Soluţie: Dacă A =       − α α α α sin cos cos sin , se demonstrează prin inducţie matematică relaţia       − α α α α = n n n n An sin cos cos sin . Deci matricea           π π − π π = sin 50 cos 50 X cos 50 sin 50 este soluţie a ecuaţiei X100 = I2 . Exerciţii propuse 1. Să se rezolve ecuaţiile matriceale: a)        =          ⋅      3 9 4 5 1 2 y x ; b)        =       ⋅       ⋅      3 8 1 2 1 0 6 1 3 5 1 2 z t x y ; c)           =           ⋅           2 1 0 1 1 1 1 4 9 1 2 3 x y x ; d)           − = −           ⋅           3 1 0 1 8 27 1 2 3 1 1 1 z y x ; e)        = −      ⋅      5 1 6 1 1 4 2 3 z t x y . 58 Manual clasa a XI-a 2. Să se determine A ∈ M3 (z) astfel încât           − =           ⋅ ⋅           0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A . 3. Rezolvaţi ecuaţia matriceală neliniară X 2 + X       − − = 4 2 2 1 4. Să se determine matricele X, Y∈ M2 (r) care verifică simultan relaţiile: X Y  X ⋅Y = Y      + = , 1 1 1 1 , în cazurile: a) Y este o matrice inversabilă b) Y nu este o matrice inversabilă. 4.3. Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer Sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 4 necunoscute Teoria sistemelor de ecuaţii liniare joacă un rol important în algebră. Termenul de „liniar“ provine din geometria analitică, unde o ecuaţie de gradul I cu coeficienţi reali în două necunoscute reprezintă o dreaptă în plan, respectiv o ecuaţie de gradul I cu coeficienţi reali în 3 necunoscute reprezintă un plan în spaţiu. Prin ecuaţie liniară cu coeficienţi numerici în necunoscute x1, x2,…,xn înţelegem o egalitate de forma a1x1 + a2 x2 + … + an xn = b , unde a1, a2,…, an, b ∈ r. Numerele a1,…,an se numesc coeficienţii necunoscutelor, iar b se numeşte termenul liber al ecuaţiei. Când cel puţin unul dintre numerele a1, a2,…, an este nenul spunem că egalitatea de mai sus este o ecuaţie de gradul întâi în necunoscutele x1, x2,, …, xn. Vom folosi următoarele simboluri pentru un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute: vom nota cu xj necunoscutele, cu aij coeficientul lui xj în ecuaţia numărul i . Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 59 a sistemului, cu bi termenul liber din ecuaţia numărul i, unde i ∈ {1, 2,…, m} şi j ∈ {1, 2,…, n}. Deci un sistem S de m ecuaţii liniare cu n necunoscute este de forma:             + +…+ = …………………………… + +…+ = …………………………… + +…+ = + +…+ = m m mn n m i i in n i n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b S 1 1 2 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 : Matricea j n ij i m A a 1, 1, ( ) = = = formată din coeficienţii necunoscutelor sistemului de ecuaţii liniare S se numeşte matricea sistemului S (vom înţelege prin „sistem“ un sistem de ecuaţii liniare). În general, A este o matrice dreptunghiulară. Dacă m = n (numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor), A este o matrice pătratică de ordinul n. O soluţie a sistemului S o constituie o mulţime de n numere k1, k2, …, kn care verifică fiecare dintre ecuaţiile sistemului S. Definiţie • Un sistem de ecuaţii liniare se numeşte incompatibil, dacă nu admite nici o soluţie. • Dacă un sistem S admite soluţii, el se numeşte compatibil. • Un sistem care admite o unică soluţie se numeşte compatibil determinat. • Un sistem care admite mai mult de o soluţie se numeşte compatibil nedeterminat. În exemplele pe care le vom da vom considera n ≤ 4 (sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 4 necunoscute). Exemple 1. Sistemul    + = + = 4 2 7 1 2 1 2 x x x x are soluţie unică x1 = 1, x2 = 3, deci este compa- tibil determinat. (ecuaţia 1) (ecuaţia 2) (ecuaţia i) (ecuaţia m) 60 Manual clasa a XI-a 2. Sistemul    − = − = 6 2 2 3 1 1 2 1 2 x x x x este compatibil nedeterminat, deoarece admite o infinitate de soluţii la forma x1 = k, x2 = 3k – 1, k ∈ r arbitrar. 3. Sistemul    + = + = 3 5 3 1 1 2 1 2 x x x x este incompatibil. Spunem că două sisteme S1 şi S2 sunt echivalente dacă ambele sunt incompatibile sau ambele sunt compatibile, având aceleaşi soluţii. În funcţie de numărul de ecuaţii şi de numărul de necunoscute ale unui sistem S, se disting mai multe cazuri: m = n (det A ≠ 0 sau det A = 0) sau m ≠ n. Sisteme de tip Cramer Vom considera mai întâi sisteme de ecuaţii liniare în care numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor (m = n).       + +…+ = …………………………… + +…+ = + +…+ = = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b S 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 . Vom nota cu d = det A, unde A este matricea sistemului S. Să presupunem că d ≠ 0. În acest caz S se numeşte sistem de tip Cramer. Vom arăta că în acest caz sistemul S este compatibil determinat. Vom nota cu dj determinantul matricei obţinute din matricea A prin înlocuirea elementelor coloanei j cu termenii liberi b1, b2, …, bn respectiv. Explicit: n n nn n n a a a a a a a a a d K K K K K K 1 2 21 22 2 11 12 1 = şi n n nj n nj nn j j n j j n j a a a b a a a a a b a a a a a b a a d K K K K K K K K K K K K K 1 2 1 1 21 22 2 1 2 2 1 2 11 12 1 1 1 1 1 1 − + − + − + = , unde j parcurge mulţimea {1, 2, …, n}. Vom arăta că sistemul S admite soluţie unică: d d x d d x d d x1 = 1 , 2 = 2 ,K, n = n . Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 61 Observaţie: Reamintim că se notează cu Aij complementul algebric (cofactorul) elementului aij. Dezvoltând determinantul d după coloana j obţinem d = a1 j A1 j + a2 j A2 j + … + anj Anj , iar dezvoltând determinantul dj după coloana j obţinem: dj = b1A1j + b2A2j + …+bnAnj. Revenind la sistemul S de n ecuaţii liniare cu n necunoscute, să presupunem că acesta este compatibil şi fie x1, x2, …, xn una dintre soluţiile sale. Au loc următoarele ecuaţii:       + + + = + + + = + + + = = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b S K KKKKKKKKKKK K K 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 . În prima ecuaţie a sistemului înmulţim ambii membri cu A1j; analog, în a doua ecuaţie se înmulţesc ambii membri cu A2j, respectiv în a n – a ecuaţie cu Anj. Obţinem:       + +…+ = + + + = + + + = n nj n nj nn nj n n nj j j n j n j j j n j n j a A x a A x a A x b A a A x a A x a A x b A a A x a A x a A x b A 1 1 2 2 21 2 1 22 2 2 2 2 2 2 11 1 1 12 1 2 1 1 1 1 KKKKKKKKKKKKKKK K K . Prin adunarea celor n ecuaţii rezultă: 1 1 2 2 . 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 2 11 1 21 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j j n nj n j n j nn nj n j j j j nj nj j j j n nj j j n nj b A b A b A a A a A a A x a A a A a A x a A a A a A x a A a A a A x = + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + K K KKKKKKKKKKKKKKKK K KKKKKKKKKKKKKKKK K K Evident, conform observaţiei precedente, coeficientul lui xj în această ecuaţie este d, iar termenul liber este dj. Coeficientul lui xk, k ≠ j, este a1k A1 j + a2k A2 j +K+ ank Anj şi reprezintă dez- voltarea după coloana j a determinantului 62 Manual clasa a XI-a n n nk nk nn k k n k k n a a a a a a a a a a a a a a a K K K K K K K K K K K K K K K K 1 2 21 22 2 2 2 11 12 1 1 1 , care este 0 (coloanele j şi k coincid). Deci coeficientul lui xk, cu k ≠ j, este 0. Rezultă că d d x j = j , ∀j ∈ {1, 2,…, n}. Am arătat astfel că dacă sistemul S este compatibil, atunci admite unica soluţie: d d x j = j , j ∈ {1, 2,…, n}. Pentru a completa demonstraţia, vom arăta că numerele d d x d d x d d x1 = 1 , 2 = 2 , K, n = n constituie o soluţie a sistemului, deci că sistemul este compatibil. Introducem aceste valori în ecuaţia numărul i (i ∈ {1, 2, …, n}): = + + + + + + + +………+ + + + = + + + = 1 [ ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 11 2 21 1 2 1 12 2 22 2 1 1 2 2 2 2 1 1 i n n i n n i i in n n i i in a b A b A b A a b A b A b A d a d a d a d d d d a d d a d d a K K K K 1 · , ( ) ( )] ( )] 1 [ ( ) 2 1 21 2 22 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 11 2 12 1 i i i i in n n i n i n in nn in n n n nn i i in n b d b d b a A a A a A b a A a A a A b a A a A a A a b A b A b A d = = + + + + +………+ + + + = + + + + = + + + + K K K K Am arătat astfel că d d x d d x d d x1 = 1 , 2 = 2 , K, n = n reprezintă o soluţie a sistemului S. Am obţinut astfel următorul rezultat, cunoscut ca regula lui Cramer. Teoremă. Un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute cu determinantul matricei sistemului nenul are soluţie unică (un sistem de tip Cramer este compatibil determinat). col j col k deci ecuaţia i este verificată. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 63 Observaţie: Un sistem de tip Cramer poate fi rezolvat şi prin metoda matriceală. Forma matriceală a unui sistem de tip Cramer este AX = B, cu matricea sistemului A nesingulară, deci inversabilă. Înmulţind la stânga ecuaţia de mai sus cu A–1, obţinem că soluţia (matriceală) a sistemului S este X = A–1B. Exemple 1. Se consideră sistemul    − = − + = 3 2 2 7 1 2 1 2 x x x x . Determinantul sistemului este 7 0 1 3 2 1 = − ≠ d = − , deci sistemul este de tip Cramer. Unica soluţie a acestui sistem este dată de: d d x d d x1 = 1 , 2 = 2 , unde 11 1 2 2 7 19, 2 3 7 1 1 2 = − d = − − = − d = − , deci 7 11 , 7 19 x1 = x2 = . 2. Se consideră sistemul . 3 6 25 3 2 2 5 9 1 2 3 1 2 3 1 2 3     − − = − + = + + = − x x x x x x x x x Determinantul sistemului este 24 0 3 6 1 1 1 3 1 2 5 = ≠ − − d = − , deci este sistem de tip Cramer şi putem aplica regula lui Cramer: 64 Manual clasa a XI-a 48 25 6 1 2 1 3 9 2 5 1 = − − − − d = , 72 3 25 1 1 2 3 1 9 5 2 = − − − d = , 24 3 6 25 1 1 2 1 2 9 3 = − − − − d = . Soluţia sistemului este x1 = 2, x2 = –3, x3 = –1 şi este unică. 3. Se consideră sistemul       + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0 2 2 5 3 6 9 2 5 8 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x . Determinantul sistemului este 27 0 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 = ≠ − − − − − d = , deci sistemul este de tip Cramer şi putem aplica regula lui Cramer. 81 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 = − − − − − − d = , 108 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 = − − − − − − d = , 27 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − = − − − d = , 27 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 = − − − − − d = . Astfel, 1 = 1 = 3; 2 = 2 = −4; 3 = 3 = −1; 4 = 4 =1. d d x d d x d d x d d x formează unica soluţie a acestui sistem. Un caz interesant al sistemelor de tip Cramer este cel al sistemelor formate din ecuaţii liniare omogene (cu termenul liber nul), adică sisteme de tipul: Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 65       + +…+ = …………………………… + +…+ = + +…+ = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x cu d ≠ 0, numite sisteme omogene. În acest caz toţi determinanţii dj, j ∈ {1, 2,…, n}, conţin o coloană formată numai din 0, deci dj = 0, ∀j ∈ {1, 2, …, n}. Rezultă că singura soluţie a unui sistem omogen de tip Cramer este x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0. Exemplu Sistemul omogen de tip Cramer      − + + = − − = − − = 2 0 3 2 6 0 2 3 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (d = 3 ≠ 0) are unica soluţie x1 = x2 = x3 = 0. Recapitulând rezultatele enunţate şi demonstrate anterior, obţinem următoa- rele teoreme şi aplicaţii ale acestora pentru sisteme de ecuaţii de tip Cramer cu n = 2, n = 3. Teoremă. Fie S un sistem de 2 ecuaţii liniare cu 2 necunoscute   + = + = 21 1 22 2 2 : 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b S . i) dacă d ≠ 0 atunci sistemul S are soluţie unică d d x d d x1 = 1 , 2 = 2 (regula lui Cramer) ii) dacă d = 0 iar d1 ≠ 0 sau d2 ≠ 0, atunci S este incompatibil; iii) dacă cel puţin o ecuaţie din sistem este de gradul întâi şi d = d1 = d2 = 0, atunci S este compatibil nedeterminat. O aplicaţie a teoremei precedente este poziţia relativă a 2 drepte în plan, aceasta putând fi determinată cu ajutorul ecuaţiilor carteziene ale dreptelor. 66 Manual clasa a XI-a Teoremă. Fie D şi D ' două drepte dintr-un plan P, raportat la un reper cartezian xOy, de ecuaţii: D : ax + by + c = 0, D' : a'x + b'y + c' = 0 (a2 + b2 ≠ 0, a'2 + b'2 ≠ 0). i) Dacă 0 a' b' ≠ a b , atunci dreptele D şi D' sunt concurente (fig. 1). ii) Dacă 0 a' b' = a b , iar 0 a' c' ≠ a c sau 0 ' ' ≠ b c b c , dreptele D şi D' sunt paralele şi neconfundate (fig. 2). iii) Dacă 0 ' ' = ' ' = b' c' = b c a c a c a b a b , dreptele D şi D' sunt confundate (fig. 3). y x D1 D2 O y x D1 D2 O y x D1= D2 O Figura 1 Figura 2 Figura 3 Ca aplicaţie la sisteme de tip Cramer de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute, să considerăm următorul exemplu: Sistemul     − + + = − − = − − = 2 6 3 2 6 1 2 3 2 8 : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x S este de tip Cramer cu d = 3 ≠ 0. Prin calcul rezultă: d1 =9, d2 = –3, d3 = –2, deci unica soluţie a sistemului este x1 = 3, x2 = –1, x3 = –2. Să interpretăm geometric acest rezultat: dacă ecuaţiile carteziene ale planelor P, P', P", în raport cu un reper cartezian în spaţiu Oxyz sunt ecuaţiile sistemului S, atunci cele 3 plane au în comun un singur punct de coordonate (3, –1, –2). Acest D D' D D' D D' Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 67 raţionament este valabil pentru orice sistem Cramer de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute. Exerciţii rezolvate 1. Rezolvaţi sistemul    − α + α = α α + α = α sin cos sin cos sin cos x y x y , α ∈ r. Soluţie: 1 sin cos cos sin = − α α α α d = ; = α − α = α α α α α = cos sin cos2 sin cos cos sin 2 2 d1 ; = α α = α − α α α α = 2cos sin sin 2 sin sin cos cos d2 . Deci x = cos 2α, y = sin 2α. 2. Rezolvaţi sistemul         + = + = + = + = 5 6 4 5 3 4 2 3 u x z u y z x y . Soluţie: 2 2 2 1 5 0 0 1 0 0 1 4 0 1 3 0 1 2 0 0 C C C d ← − = = 119 10 0 1 0 1 4 1 3 0 5 10 0 1 0 0 1 4 0 1 3 0 1 0 0 0 = − − = − ; 119 19 0 1 4 1 3 3 2 0 0 0 0 1 19 0 1 4 4 1 3 0 3 2 0 0 6 0 0 1 5 0 1 4 4 1 3 0 3 2 0 0 1 1 6 4 1 = − − = − = = C ←C − C d . 68 Manual clasa a XI-a Analog, folosind proprietăţile determinanţilor obţinem d2 = d3 = d4 = – 119, deci sistemul admite soluţia unică x = y = z = 1. 3. Rezolvaţi sistemul şi verificaţi soluţia obţinută.     + + = + + = + + = , 1 a2x b2 y c2z k2 ax by cz k x y z unde a, b, c, k ∈ R, a ≠ b, b ≠ c, a ≠ c. Soluţie: ( )( )( ), ( )( )( ). ( )( )( ) 0, ( )( )( ), 2 3 1 d a k k c c a d a b b k k a d a b b c c a d k b b c c k = − − − = − − − = − − − ≠ = − − − Soluţia este: . ( )( ) ( )( ) ; ( )( ) ( )( ) ; ( )( ) ( )( ) b c c a b k k a z a b b c a k k c y a b c a k b c k x = −− −− − − − − = − − − − = Probând soluţiile se obţin identităţi interesante! 4. Rezolvaţi sistemul omogen     − − + = + − = − + = 2 0 2 0 2 0 x y z x y z x y z . Soluţie: x = 0, y = 0, z = 0, deoarece 6 0. 1 2 1 2 1 1 1 1 2 = − ≠ − − − − d = 5. Rezolvaţi în R3 sistemul Soluţie: Prin adunarea ecuaţiilor rezultă sistemul omogen     + + = + − = − + = 7 8 5 0 4 3 0 2 3 0 x y z x y z x y z , cu soluţia nulă x = y = z = 0 (d ≠ 0). | x − 2y + 3z |=| x| −| y | | 4x +3y − z |=| y | −| z | . |7x +8y +5z |=| z | −| x | Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 69 Exerciţii propuse 1. Rezolvaţi prin regula lui Cramer sistemele: a)     + = + = 9 2 8 2 3 9 x y x y ; b)     + + = + + = + + = 2 3 6 5 8 2 3 6 x y z x y z x y z ; c)     − = − = − = 4 6 3 9 2 5 z x y z x y ; d)     + + = + − = − + = − 6 2 3 1 2 3 5 x y z x y z x y z ; e)         + = − = + = + = 2 1 2 2 7 2 9 x z u v y v x u ; f)         + = + = + = + = 4 1 4 9 4 5 3 4 t x z t y z x y ; g)       + + + = + + + = + + + = + + + = 8 27 64 125 4 4 9 16 25 3 2 3 4 5 2 1 x y z u x y z u x y z u x y z u ; h)         + = + = + = + = 5 7 4 6 3 5 2 4 t x z t y z x y ; i)     + + = + + = + + + = 2 3 4 2 1 ( 1) 0 x y z x y nz nx n y z ; n ∈ N*; j)     α + α = α α + α = α sin cos cos cos sin sin x y x y ; α ∈ R. 2. Rezolvaţi sistemul       + + = + + + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 3 a x b y c z a b c ax by cz a b c x y z , unde a, b, c ∈ R, a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a. 3. Rezolvaţi sistemul: 2x·3y ·5z = 2y ·3z ·5x = 2z ·3x·5z = 30 . 4. Rezolvaţi sistemul:         + + + = + + + = + + + = + + + = 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 x dy d z d u d x cy c z c u c x by b z b u b x ay a z a u a ; a, b, c, d ∈ R distincte. 70 Manual clasa a XI-a 5. Să se rezolve sistemul:   − + = + = bx ay c1 ax by c , unde a, b, c, c 1 ∈ R, a 2 + b2 ≠ 0. 4.4. Rangul unei matrice Pentru studiul sistemelor de ecuaţii liniare cu numărul ecuaţiilor egal cu numărul necunoscutelor (m = n) în cazul det A = 0, ca şi pentru cele cu numărul ecuaţiilor diferit de numărul necunoscutelor (m ≠ n), un rol important îl joacă noţiunea de rang al unei matrice. Fie A o matrice de tip m × n (m linii, n coloane) şi r un număr natural nenul, r ≤ min {m, n}. Cu elementele lui A situate la intersecţia a r linii distincte cu r coloane distincte se poate forma o submatrice pătratică de ordin r. Determinantul unei submatrice pătratice de ordin r a lui A se numeşte minor de ordin r al lui A. Exemplu Fie matricea                 − − − − − − = 4 7 4 4 5 0 1 1 3 1 1 2 1 4 2 2 4 3 1 0 A . Observăm că matricea are 4 linii şi 5 coloane (m = 4, n = 5). Minorii de ordin 2 ai matricei A sunt în număr de C42·C52 = 60. De exemplu 13 etc. 1 3 4 1 8, 1 2 2 4 = − = − − − sunt minori de ordin 2. Minorii de ordin 3 ai lui A sunt în număr de C43·C53 = 40. De exemplu 12 0 1 3 1 1 4 2 3 1 = − − − este un minor de ordin 3. Minorii de ordin 4 ai lui A sunt în număr de C44·C54 = 5 . Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 71 De exemplu 0 4 7 4 5 0 1 1 1 1 2 1 2 2 4 3 0 = − − − − este un minor de ordin 4. Definiţie Spunem că matricea A de tip m × n (A ≠ Om×n) are rangul r (scriem rang A = r) dacă A are cel puţin un minor de ordin r nenul şi toţi minorii lui A de ordin mai mare decât r sunt nuli. Prin definiţie, matricea Om×n are rangul 0. Exemple 1. Matricea             − − − = 2 4 3 1 2 4 3 1 1 2 1 0 A are rangul egal cu 2. Într-adevăr, se observă că submatricea       − 2 3 1 1 , care provine din primele 2 linii ale lui A şi coloanele 1 şi 3, are determinantul 5 0. 2 3 1 1 = ≠ − Cum cea de a treia linia a matricei A coincide cu a doua, rezultă că orice minor de ordin 3 va avea 2 linii egale, deci va fi nul. Rezultă rang A = 2. Să observăm că A mai are şi alţi minori de ordin 2 nenuli, de exemplu: 1 2 1 1 0 = − − . 2. Matricea           − − − = 0 3 3 2 3 2 2 1 2 1 1 0 A are rangul 3, deoarece 18 0. 0 3 3 3 2 2 2 1 1 = ≠ − − Observaţie: Calculul rangului unei matrice pe baza definiţiei conduce la multe calcule. 72 Manual clasa a XI-a Să considerăm, de exemplu, o matrice de tip 4 × 5 (m = 4, n = 5), deci rangul matricei va fi r ≤ min {4, 5} = 4. Să presupunem că am găsit un minor de ordin 2 nenul. Pentru ca această matrice să fie de rang 2, ar trebui să arătăm că toţi minorii de ordin 3 şi toţi minorii de ordin 4 sunt nuli. Rezultă că, în total, avem de calculat: C43·C53 + C44·C54 = 45 minori! Să considerăm o matrice A de tip m × n de rang r. Conform definiţiei, matricea A conţine cel puţin un minor de ordin r nenul şi toţi minorii de ordin r + 1, r + 2 etc. sunt nuli. Dar minorii de ordin r + 2 se vor calcula prin dezvoltarea după o linie sau o coloană, deci se vor reduce la calculul unor minori de ordin r + 1. Rezultă că, dacă toţi minorii de ordin r + 1 sunt nuli, atunci şi toţi minorii de ordin r + 2 sunt nuli. Analog, dacă toţi minorii de ordin r + 2 sunt nuli, atunci toţi minorii de ordin r + 3 vor fi nuli ş.a.m.d. Conform raţionamentului de mai sus, pentru a arăta că rangul unei matrice este r, este suficient să găsim un minor de ordin r nenul şi să arătăm că toţi minorii de ordin r + 1 sunt nuli. Următoarea teoremă reduce numărul de minori de ordin r + 1 ce trebuie calculaţi. Teoremă Fie ( ) j n A aij i m 1, 1, = = = o matrice de tip m × n de rang r şi M o subma- trice pătratică de ordin r a lui A cu det M ≠ 0. Atunci orice linie (respectiv coloană) a lui A din care nu face parte M este combinaţie liniară de liniile (respectiv coloanele) lui A din care provine M. Demonstraţie (schiţă) Deoarece rang A = r rezultă că toţi minorii de ordin mai mare decât r sunt nuli. Se foloseşte faptul că un determinant este nul dacă şi numai dacă o linie (respectiv coloană) este combinaţie liniară a celorlalte linii (respectiv coloane). Din teorema Kronecker şi din demonstraţia acesteia rezultă următorul proce- deu de determinare a rangului unei matrice. Fie ( ) j n A aij i m 1, 1, = = = o matrice de tip m × n şi M o submatrice pătratică de ordin r a lui A cu det M ≠ 0. „Bordăm“ minorul M cu una din cele (m – r) linii rămase şi cu una din cele (n – r) coloane rămase. Obţinem astfel minori de ordinul r + 1. (Kronecker) Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 73 Distingem următoarele cazuri: i) dacă toţi aceşti minori sunt nuli, atunci rangul matricei A va fi rang A = r. ii) dacă cel puţin unul dintre minorii de ordin r + 1 astfel construiţi este nenul, continuăm procedeul, prin bordarea minorului de ordin r + 1 cu una din cele (m – r – 1) linii rămase sau una din cele (n – r – 1) coloane rămase. Obţinem astfel minori de ordin r + 2. Se disting următoarele cazuri: a) dacă toţi minorii de ordin r + 2 astfel construiţi sunt nuli, atunci rang A = r + 1. b) dacă există un minor de ordin r + 2 nenul, se continuă procedeul până în momentul în care se ajunge la toţi minorii de ordin k (k ≤ min {m, n}) nuli (şi atunci rang A = k – 1) sau se ajunge la un minor nenul de ordin min {m, n} şi atunci rang A = min {m, n}. În concluzie, pentru a arăta că rangul unei matrice A de tip m × n este r, este suficient să găsim un minor M de ordinul r nenul şi să arătăm că toţi minorii de ordinul r + 1 obţinuţi prin bordarea lui M cu una din cele (m – r) linii rămase şi cu una din cele (n – r) coloane rămase sunt nuli. Observaţii: Astfel se reduce numărul minorilor de rang r + 1 ce trebuie calculaţi de la Cmr+1 ⋅Cnr+1 (conform definiţiei rangului unei matrice) la (m – r) · (n – r) (conform procedeului de bordare). Exemplu Vom determina rangul matricei                 − − − − − − = 4 7 4 4 5 0 1 1 3 1 1 2 1 4 2 2 4 3 1 0 A Considerăm, de exemplu, minorul de ordin doi nenul. 2 0 2 1 4 3 = ≠ − − M = ⇒ r = rang A ≥ 2. Bordăm minorul M, de exemplu, cu elemente de pe prima coloană şi a treia linie şi obţinem minorul nenul: 74 Manual clasa a XI-a 1 0 0 1 1 1 2 1 2 4 3 ' = ≠ − − − M = ⇒ r = rang A ≥ 3. Bordăm minorul M ' cu elemente de pe linia 4 şi coloana 4. Obţinem un minor de ordin 4 nul 0 4 7 4 4 0 1 1 3 1 2 1 4 2 4 3 1 = − − − − − − . Bordăm minorul M ' cu elemente de pe linia 4 şi coloana 5. Obţinem, de asemenea, un minor de ordin 4 nul. 0 4 7 4 5 0 1 1 1 1 2 1 2 2 4 3 0 = − − − − . Cum ambii minori de ordin 4 obţinuţi prin bordarea lui M ' sunt nuli, rezultă că rang A = 3. 4.5. Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kronecker – Capelli, proprietatea Rouché, metoda Gauss Să considerăm sistemul de m ecuaţii liniare cu n necunoscute:       + +…+ = ……………………………… + +…+ = + +…+ = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b S 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 : . Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 75 Vom stabili criterii (teoreme de compatibilitate) cu ajutorul cărora să putem decide dacă sistemul S este compatibil şi, de asemenea, metode de rezolvare a sistemelor compatibile, cu ajutorul cărora să determinăm mulţimea tuturor soluţiilor. Evident, teoremele şi metodele de rezolvare sunt aplicabile atât în cazurile nediscutate încă (m = n, cu det A = 0 şi m ≠ n), dar şi în cazul sistemelor de tip Cramer. Vom nota cu A matricea sistemului S şi cu A matricea de tip m × (n + 1) obţinută prin adăugarea la matricea A a unei coloane (pe poziţia n + 1) formată din termenii liberi b1, b2, …, bm. A se numeşte matricea extinsă şi este de forma:             … … … … … … … … = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b A 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 Există doar două posibilităţi: i) rang A = rang A sau ii) rang A = rang A + 1. Proprietatea Kronecker – Capelli Teoremă. Fie S un sistem de m ecuaţii cu n necunoscute. Sistemul S este compatibil dacă şi numai dacă rang A = rang A . Demonstraţie (facultativ) Presupunem că sistemul S este compatibil şi fie x1, x2,…, xn o soluţie a sistemului S. Rezultă că ultima coloană a lui A este suma coloanelor lui A înmulţite respectiv cu coeficienţii x1, x2,…, xn.                         … … + +…+ … … … … … … … … … … … … + +…+ … … … … + +…+ … … + +…+ = m m mr mn m m n mn r r rr rn r r n rn r n n n r n n n a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a A 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 21 22 2 2 1 21 2 22 2 11 12 1 1 1 11 2 12 1 . Presupunem rang A = r şi, fără a restrânge generalitatea, putem presupune că rangul este dat de minorul: 76 Manual clasa a XI-a 0. 1 2 21 22 2 11 12 1 ≠ … … … … … … … = r r rr r r a a a a a a a a a M Există două situaţii: 1. Dacă r < min {m, n}, bordăm minorul M cu una dintre cele (m – r) linii rămase şi cu ultima coloană. Fără a restrânge generalitatea, putem alege, de exemplu, ultima linie. Obţinem minorul de ordin (r + 1) al matricei A : = … + +…+ + +…+ … + +…+ + +…+ … … … … ……………………………………………………… … + +…+ + +…+ … + +…+ + +…+ + + + + + + + + m m mr m m r mr n m r n mn r r rr r r r rr n r r r rn r r r r r n n r r r r r n n m a a a x a x a x a x a x a r a a a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a x a x a 1 2 1 1 2 2 1 ( 1) 1 2 1 1 2 2 1 ( 1) 21 22 2 1 21 2 22 2 1 2( 1) 2 11 12 1 1 11 2 12 1 1 1( 1) 1 linia linia linia 2 linia 1 = … +…+ … +…+ … … … … ………………………… … +…+ … +…+ = + + + + + + + + m m mr r m r n mn r r rr r r r n rn r r r n n r r r n n a a a x a x a a a a x a x a a a a x a x a a a a x a x a 1 2 1 ( 1) 1 2 1 ( 1) 21 22 2 1 2( 1) 2 11 12 1 1 1( 1) 1 1 1 . 1 2 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 21 22 2 2( 1) 11 12 1 1( 1) 1 r · n· n r m m mr mn r r rr rn r n r n n m m mr m r r r rr r r r r r r r x M x M a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a a a a a a a a a a a a a a x + − + + + + + = +…+ = … … … … … … … … … +…+ … … … … … … … … … = Dar M1, M2, … Mn–r sunt minori de ordin r + 1 ai matricei A, deci M1 = M2 = … = Mn–r = 0 (deoarece rang A = r). Rezultă că orice minor de ordin r + 1 al lui A este nul, deci rang A = r = rang A. 2. Dacă r = min {m, n}, există două posibilităţi: i) r = n (dacă n < m) şi în acest caz există cel puţin o linie şi exact o coloană cu care putem borda minorul M. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 77 Urmează un raţionament analog cazului 1. ii) r = m (dacă m ≤ n) şi în acest caz evident avem rang A = rang A = m. Prin urmare, am arătat că în ambele cazuri rezultă rang A = rang A . Reciproc, să presupunem că rang A = rang A . Vom arăta că sistemul S este compatibil. Fie 0 1 2 21 22 2 11 12 1 ≠ … … … … … … … = r r rr r r a a a a a a a a a M un minor de ordin r nenul. Evident, există mai multe cazuri, ce rezultă din compararea numerelor r, m şi n. Esenţiale sunt următoarele situaţii: i) r = m = n şi atunci sistemul este de tip Cramer şi este compatibil determinat. ii) r = m < n Fie λm+1, …, λn, (m – r) numere reale. Se rezolvă sistemul Cramer.      +…+ = − λ −…− λ ……………………………………………………… +…+ = − λ −…− λ + + + + m mm m m m m m mn n m m m m n n a x a x b a a a x a x b a a 1 1 ( 1) 1 11 1 1 1 1( 1) 1 1 , care are soluţia unică x1, …, xm. Atunci soluţiile sistemului S vor fi (x1, …, xm,λm+1,…, λn), deci sistemul S este compatibil nedeterminat. iii) r < m < n Bordând minorul M cu coloana b1, …, bi şi cu orice linie ai1, …, air cu i ∈ {r + 1, …, m}, obţinem un minor de ordin r + 1 nul. 0, { 1, , }. 1 1 11 1 1 i r m a a b a a b a a b i ir i r rr r r = ∀ ∈ + … … … … … … … … Rezultă că ultima coloană poate fi scrisă ca o combinaţie liniară de celelalte r coloane:       = α + α +…+ α = α + α +…+ α ………………………………… = α + α +…+ α i i i r r r r r r rr r r b a a ai b a a a b a a a 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 11 2 12 1 , ∀i∈{r +1,…, m}. 78 Manual clasa a XI-a Considerând primele r ecuaţii de mai sus, rezultă că o soluţie (unică!) a sistemului de tip Cramer (determinantul sistemului este M):      + +…+ = …………………………… + +…+ = r r rr r r r r a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 11 1 12 2 1 1 este α1, α2, …, αr. Rezultă că o soluţie a sistemului S va fi (α1, α2, …, αr, 0, 0, …, 0), deci sistemul S este compatibil nedeterminat. iv) r = n < m , adică rang A = rang A = n = numărul de necunoscute. Raţionamentul este analog cazului iii), dar evident sistemul S este compatibil determinat, cu unica soluţie (α1, α2, …, αn). O consecinţă a demonstraţiei teoremei lui Kronecker – Capelli este urmă- toarea: Teoremă. Un sistem S de m ecuaţii liniare cu n necunoscute are soluţie unică dacă şi numai dacă rang A = rang A = n. Exemple 1. Fie sistemul     − − + = + + − = − + + = 3 6 5 0 2 4 2 1 5 2 7 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x , (m = 3, n = 4). Rangul matricei sistemului este 2, deoarece 7 0 2 1 5 1 = ≠ − şi 0. 1 3 5 2 1 2 5 1 1 1 3 6 2 1 4 5 1 2 = − − − = − − − Rangul matricei extinse este 3, deoarece 35 0. 1 3 0 2 1 1 5 1 7 = − ≠ − − n – r Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 79 Rezultă că rang A ≠ rang A , deci sistemul este incompatibil. 2. Fie sistemul      + = − = − + = 4 9 11 2 3 7 3 7 1 2 1 2 1 2 x x x x x x , (m = 3, n = 2). Rangul matricei coeficienţilor este 2 şi este egal cu numărul necunoscutelor. De asemenea, rangul matricei extinse este 2, deoarece: 0 4 9 11 1 2 3 7 3 2 − − = . Rezultă că rang A = rang A = 2 = numărul de necunoscute. Deci sistemul este compatibil determinat cu soluţiile: 17 23 , 17 5 1 2 = − x = x . Observaţie: Să presupunem că avem un sistem format din (n + 1) ecuaţii cu n necunoscute. Atunci matricea extinsă A va fi o matrice pătratică de ordin (n + 1). Dacă sistemul este compatibil, atunci, conform teoremei lui Kronecker – Capelli, det A = 0. De exemplu, să considerăm sistemul      + = − + = − = 4 7 4 2 1 8 3 1 2 1 2 1 2 x x x x x x , (m = 3, n = 2, m = n +1). Rangul matricei sistemului este 2(rang A = 2) şi rang A = 3 (deoarece: 77 0) 4 7 4 2 1 1 1 8 3 = − ≠ − − . Rezultă că sistemul este Reciproca, în general, nu este adevărată: dacă det A = 0 nu rezultă neapărat că rang A = rang A . incompatibil. 80 Manual clasa a XI-a De exemplu, să considerăm sistemul         + = + + = + + = + = 2 4 0 4 3 2 1 3 2 0 2 0 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x x x x (m = 4, n = 3, m = n +1). Avem det A = 0 şi rang A = 3, dar rang A = 2, deci sistemul este incompatibil. Exerciţii rezolvate 1. Rezolvaţi sistemul     + + + = − + + = + − − = 5 6 2 3 4 2 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x Soluţie: Fie A =           − − − =           − − − 5 1 6 2 3 4 1 1 1 2 2 3 4 5 1 ; 5 1 6 2 4 1 1 1 2 3 4 5 A Deoarece 107 0 5 1 6 4 1 1 2 3 4 − = − ≠ − d = , rezultă că rang A = rang A = 3, deci sistemul este compatibil. Cum d ≠ 0, rezultă că x1, x2, x3 sunt necunoscute principale şi x4 este necunoscută secundară. Notăm cu x4 = λ şi rezolvăm sistemul:     + + = − λ + − + = −λ + + − = λ + 5 6 2 3 4 2 2 3 4 5 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x , folosind regula lui Cramer. 2. Rezolvaţi sistemul     + + = + − = − + = 1 1 2 1 x y z x ay z x ay z (discuţie după parametrul a ∈ R). Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 81 Soluţie: 3( 1) 1 1 1 1 1 2 1 − = + − = a a a d i) dacă a ≠ –1, sistemul este compatibil determinat (rang A = rang A = 3) şi se aplică regula lui Cramer; ii) dacă a = –1 sistemul devine     + + = − − = + + = 1 1 2 1 x y z x y z x y z Din primele 2 ecuaţii rezultă 3x = 2, iar din ultimele două rezultă 2x = 2, deci sistemul este incompatibil (în acest caz rang A = 2, rang A = 3). 3. Sistemul     − − = − + = + − = 4 2 4 2 5 4 3 2 3 5 x y z x y z x y z este compatibil? Soluţie:             − − − − =             − − − − = 4 1 2 11 2 5 4 3 1 2 3 5 , 4 1 2 2 5 4 1 2 3 A A Avem det A = 0 ⇒ rang A = 2 (de exemplu, 0) 2 5 1 2 ≠ − , dar rang A = 3, deoarece 0. 1 2 11 5 4 3 2 3 5 ≠ − − − − Deci sistemul este incompatibil. Proprietatea Rouché Considerăm un sistem S de m ecuaţii liniare cu n necunoscute. Presupunem că rangul matricei sistemului este r, deci matricea A admite cel puţin un minor de ordin r nenul. Fixăm un astfel de minor (fără a restrânge generalitatea, putem 82 Manual clasa a XI-a considera minorul format din primele r linii şi r coloane). Acesta se va numi minor principal al matricei A (sau al sistemului S). r r rr r r a a a a a a a a a M … … … … … … … = 1 2 21 22 2 11 12 1 ≠0. Cum rang A = r, rezultă că toţi minorii de ordin r + 1 ai lui A sunt nuli. Vom avea rang A = rang A = r dacă şi numai dacă 0, { 1, , }. 1 1 11 1 1 i r m a a b a a b a a b i ir i r rr r r = ∀ ∈ + … … … … … … … … Aceşti minori obţinuţi prin bordarea, pe rând, a minorului principal cu una din cele (m – r) linii rămase şi cu coloana termenilor liberi, se numesc minori caracteristici (în număr de m – r). Rezultă că un sistem este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii săi caracteristici sunt nuli. Acest rezultat constituie de fapt teorema lui Rouché. Teoremă (Rouché) Un sistem S de m ecuaţii liniare cu n necunoscute este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii săi caracteristici sunt nuli. Ecuaţiile sistemului S care corespund liniilor din care face parte minorul principal (în acest caz al primelor r linii) se numesc ecuaţii principale, iar necunos- cutele corespunzătoare coloanelor minorului principal (în acest caz al primelor r coloane, deci primele r necunoscute) se numesc necunoscute principale. Să considerăm un sistem S de m ecuaţii liniare cu n necunoscute, în care rang A = rang A = r, deci compatibil. Să presupunem că minorul principal este dat de primele r linii şi primele r coloane. Fie S ' sistemul format de ecuaţiile principale:     +…+ + +…+ = ……………………………………………… +…+ + +…+ = + + + + r rr r rr r rn n r r r r r n n a x a x a x a x b a x a x a x a x b S 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ': . Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 83 Orice soluţie a sistemului S ' verifică şi celelalte ecuaţii ale sistemului S, deoarece liniile r + 1, r + 2 …, m ale matricei A sunt combinaţii liniare ale primelor r linii ale lui A . Deci rezolvarea sistemului S se reduce la rezolvarea sistemului S ' format numai din ecuaţiile principale. Necunoscutele x1 …, xr sunt necunoscute principale, deci sistemul S ' este un sistem de r ecuaţii cu r necunoscute, de tip Cramer:     +…+ = − −…− ………………………………………………… +…+ = − −…− + + + + r rr r r rr r rn n r r r r n n a x a x b a x a x a x a x b a x a x S 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ': . Necunoscutele xr+1, …, xn se numesc necunoscute secundare (iar ecuaţiile r + 1, …, m ale sistemului S se numesc ecuaţii secundare). Deci, folosind regula lui Cramer, putem exprima necunoscutele principale x1, …, xr în funcţie de necunoscutele secundare xr+1, …, xn. Soluţia generală a lui S ', deci şi a lui S, se obţine dând valori arbitrare λ1, λ2,…, λn–r respectiv necunoscutelor secundare xr+1, …, xn. Exemple 1. Să considerăm sistemul     − + + − = − − + − + = − − + − = 5 5 4 4 2 4 2 5 3 2 2 : 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x S . Pentru a determina rang A, să observăm că 2 0. 2 4 1 1 = ≠ − − M = Rezultă rang A ≥ 2. Minorii care bordează pe M sunt: 0, 1 5 4 2 4 1 1 1 2 0, 1 5 5 2 4 2 1 1 3 = − − − − − = − − − − deci rang A = 2 şi putem alege M minor principal. Deci necunoscutele principale vor fi x1 şi x2, iar ecuaţiile principale vor fi prima şi cea de a doua ecuaţie. Avem un singur minor caracteristic, şi anume: 0 1 5 4 2 4 5 1 1 2 = − − − − − . 84 Manual clasa a XI-a Cum minorul caracteristic este nul rezultă conform teoremei lui Rouché că sistemul S este compatibil. Sistemul S se reduce la sistemul S ' format din ecuaţiile principale, cu necunos- cutele principale x1 şi x2 şi necunoscutele secundare x3 şi x4:   − + = − + − − = − + 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 5 2 2 3 2 ': x x x x x x x x S . S ' este un sistem de tip Cramer, deci soluţia sistemului S ' este x1 = dd1 , x2 = dd2 , unde: 4 3 1. 2 5 2 1 2 3 2 10 7 3; 5 2 4 2 3 2 1 2; 2 4 1 1 3 4 3 4 3 4 2 3 4 3 4 3 4 1 = − + − − − + − − + = = − + + − + − − + − = = − − = x x x x x x d x x x x x x d d Necunoscutele secundare pot lua valori arbitrare λ1, λ2 ∈ R (x3 = λ1, x4 = λ2). Rezultă că sistemul S este compatibil nedeterminat cu soluţiile: ( ) ( )        = λ = λ = − λ + λ − = − λ + λ + 4 2 3 1 2 1 2 1 1 2 4 3 1 2 1 10 7 3 2 1 x x x x , λ1, λ2 ∈ R. 2. Să se rezolve sistemul       + − − = + − = − − − + = + − + = 3 3 3 1 2 5 1 2 2 2 4 2 3 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x Chiar dacă numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor, determi- nantul sistemului este 0, deci nu putem aplica regula lui Cramer. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 85 Rangul matricei sistemului este 3, dat de exemplu de minorul 10 0. 5 0 1 2 1 2 1 2 1 = − ≠ − − − − Rangul matricelor extinse este de asemenea 3 (minorul caracteristic este nul). 0. 3 1 3 1 5 0 1 1 2 1 2 2 1 2 1 3 = − − − − − − − Rezultă că necunoscutele principale sunt x2, x3, x4, iar x1 = λ este necu- noscută secundară. Sistemul     − = − − λ − − + = − λ − + = − λ 5 1 2 2 2 2 2 3 4 ': 2 4 2 3 4 2 3 4 x x x x x x x x S este de tip Cramer şi are soluţiile: , 0. 5 9 5 8 , 5 2 5 1 x1 =λ, x2 = − − λ x3 = − + λ x4 = Un caz particular de sisteme de m ecuaţii liniare cu n necunoscute este cel al sistemelor omogene (toţi termenii liberi sunt nuli):       + +…+ = …………………………… + +…+ = + +…+ = 0 0 0 : 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x S (pentru m = n, aceste sisteme au fost deja discutate la sisteme de tip Cramer). Orice sistem omogen este compatibil pentru că întotdeauna admite soluţia x1 = x2 = … = xn = 0 (numită soluţia banală). Un sistem omogen S admite numai soluţia banală (compatibil determinat) dacă şi numai dacă rang A = n = numărul necunoscutelor. În particular, un sistem omogen cu n ecuaţii şi n necunoscute admite numai soluţia banală (este compatibil determinat) dacă det A ≠ 0 şi va avea cel puţin o soluţie nebanală (compatibil nedeterminat) dacă det A = 0. 86 Manual clasa a XI-a Exemple 1. Se consideră sistemul omogen de 2 ecuaţii liniare omogene cu 3 necu- noscute   + = + + = 0 2 3 0 2 3 1 2 3 x x x x x . Cum rang A = 2 < 3 = numărul necunoscutelor, rezultă că sistemul admite şi alte soluţii în afara soluţiei banale x1 = x2 = x3 = 0. Soluţia generală a sistemului este x1 = – λ, x2 = λ, x3 = –λ, cu λ ∈ R, deci sistemul este compatibil nedeterminat. 2. Se consideră sistemul omogen de 3 ecuaţii liniare omogene cu 2 necu- noscute     − + = + = + = 2 0 0 2 3 0 1 2 1 2 1 2 x x x x x x . Cum rang A = 2 = numărul necunoscutelor, sistemul admite numai soluţia banală x1 = x2 = 0 (compatibil determinat). 3. Se consideră sistemul omogen de 4 ecuaţii liniare omogene cu 4 necu- noscute       − − + = − − = − − + + = − + + = 3 3 0 5 0 2 2 2 0 2 3 0 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x . Cum det A = 0 rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat şi admite şi alte soluţii în afara soluţiei banale x1 = x2 = x3 = x4 = 0. Soluţia generală a sistemului este: , 0, . 5 8 , 5 1 1 = 1 = λ 2 = 2 = λ 3 = 3 = x4 =λ d d x d d x d d x 4. Se consideră sistemul omogen de 3 ecuaţii liniare omogene cu 3 necunoscute     − − + = − − + = + + = 3 0 2 3 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x . Cum det A ≠ 0 rezultă că singura soluţie a sistemului este cea banală x1 = x2 = x3 = 0 (sistemul este compatibil determinat). Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 87 Metoda Gauss Metoda Gauss este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare ce se bazează pe eliminarea succesivă a necunoscutelor (se mai numeşte şi metoda eliminării necunoscutelor). Sistemul iniţial S se reduce la un sistem S ' echivalent cu S, prin transformări elementare asupra matricei extinse A a sistemului S. Reamintim că asupra liniilor unei matrice A de tip m × n se pot efectua următoarele operaţii (numite transformări elementare): i) adunarea la linia i a liniei j, i ≠ j, i, j =1,m , înmulţită cu numărul α ∈ R (prescurtat vom scrie Li ← Li + αLj); ii) permutarea liniei i cu linia j, i ≠ j, i, j =1,m (Li ↔ Lj); iii) înmulţirea liniei i (i = 1,m ) cu numărul α ≠ 0 (Li ← αLi). Analog se definesc transformările elementare asupra coloanelor unei matrice A (cu notaţia Ci pentru coloana numărul i, i =1, n ). O matrice E de tip m × n se numeşte matrice eşalon cu l pivoţi, 1 ≤ l ≤ max {m, n}, dacă este de forma:                       … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … α … λ … … … … … … … … … … α … … γ … α β β … β = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 1 2 l il i i E cu αi ≠ 0, i ∈ {1, 2,…, l}. Numerele αi, i ∈ {1,…, l} se numesc pivoţii matricei eşalon. Toate elementele matricei E de pe linia i care preced pe αi, i ∈ {1,…, l}, sunt nule. Pivoţii α1, α2,…, αl, αi, se găsesc în coloane diferite j1, j2 … jl, cu 1 ≤ j1 < j2 … < jl ≤ n. Restul elementelor matricei E sunt nule (β, γ, …, λ = 0). Din teoria matricelor este cunoscut următorul rezultat. Teoremă. Fie A o matrice de tip m × n. Există un număr finit de transformări elementare prin care matricea A poate fi redusă la o matrice eşalon E. 88 Manual clasa a XI-a Exemple           − − 0 0 0 4 0 0 1 1 1 2 4 3 – matrice eşalon cu 3 pivoţi;          − 0 0 0 0 2 1 1 1 3 – matrice eşalon cu 2 pivoţi;             − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 2 4 0 1 0 0 1 2 0 3 1 1 – matrice eşalon cu 3 pivoţi. Revenind la metoda Gauss, aceasta constă în aplicarea de transformări elementare matricei extinse a sistemului A care reduc pe A la o matrice eşalon E. Matricea astfel obţinută va fi matricea extinsă a unui nou sistem S ', echivalent cu sistemul iniţial S. Vom arăta cum se aplică metoda Gauss pentru sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 4 necunoscute. Exemple 1. Fie sistemul      − − = − + = + + = − 3 6 25 3 2 2 5 9 : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x S . Matricea extinsă a sistemului S este           − =           − − − − = 25 2 9 3 6 1 25 1 1 3 2 1 2 5 9 A A Prin transformări elementare ale matricei A căutăm să aducem matricea A la forma eşalon.         − − − −         − − − − −         − − − − → → ← − ← − 0 0 8 8 0 3 2 11 1 2 5 9 0 12 16 52 0 3 2 11 1 2 5 9 3 6 1 25 1 1 3 2 1 2 5 9 L2 L2 L1 L3 L3 4L2 Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 89 Ajungem astfel la următorul sistem de ecuaţii liniare     − = − − = + + = − 8 8 3 2 11 2 5 9 ' : 3 2 3 1 2 3 x x x x x x S cu soluţia unică x1 = 2, x2 = –3, x3 = –1. Deci sistemul S este compatibil determinat. 2. Fie sistemul       + − = − + = − + − − = − − + = 11 20 9 2 7 2 5 3 3 5 1 5 8 3 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x . Prin transformări elementare aplicate matricei extinse a sistemului A , obţinem . 0 0 0 0 2 0 5 1 1 8 0 89 0 29 160 1 5 8 1 3 0 89 0 29 162 0 5 1 1 8 0 89 0 29 160 1 5 8 1 3 0 11 20 9 2 0 5 1 1 8 0 16 21 8 8 1 5 8 1 3 0 11 20 9 2 1 0 7 2 5 3 1 3 5 1 1 5 8 1 3 4 4 2 4 2 20 3 2 2 21 3 3 3 1 2 2 3 1             − − − − −             − − − − − − −             − − − − − −             − − − − − − − → → → ← − ← − ← − ← − ← − L L L L L L L L L L L L L L L Nu este necesară o altă transformare elementară pentru a ajunge la o formă eşalon a matricei A. Am ajuns la un sistem cu ultima ecuaţie 0 = 2, deci sistemul iniţial este incompatibil. 3. Să se rezolve sistemul     − + + − = − − + − + = − − + − = = 5 5 4 4 2 4 2 5 3 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x S . Matricea extinsă a sistemului este             − − − − − − − − = 1 5 5 4 4 2 4 2 1 5 1 1 3 2 2 A . 90 Manual clasa a XI-a Prin transformări elementare (exerciţiu!) matricea A a sistemului se reduce la matricea eşalon             − − − − 0 0 0 0 0 0 2 4 3 1 1 1 3 2 2 . Aşadar sistemul S este compatibil şi este echivalent cu sistemul     + − = − − + − = 2 4 3 1 3 2 2 ': 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x S . În sistemul S ' necunoscutele principale x1 şi x2 (care corespund coloanelor matricei eşalon în care se găsesc pivoţii) se exprimă în funcţie de necunoscutele secundare x3 şi x4 (corespunzătoare coloanelor lui E care nu conţin pivoţii). Astfel, soluţia sistemului S este 1 = − α + β+ 2 = − α + β − , 3 = α, 4 = β 2 1 2 3 , 2 2 3 2 7 x 5 x x x , (sistem compatibil nedeterminat). 4. Fie sistemul:     − − + = + + − = + − − = 2 2 3 0 2 3 5 0 4 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x . Este un sistem de ecuaţii liniare omogene cu numărul ecuaţiilor mai mic decât numărul necunoscutelor, deci sistemul este compatibil nedeterminat. În acest caz (termenii liberi sunt nuli!), vom considera numai transformările elementare ale matricei sistemului (observaţie: în cazul sistemelor neomogene se consideră, ca de obicei, matricea extinsă). Obţinem . 1 2 2 3 0 7 5 11 0 2 0 2 1 2 2 3 0 7 5 11 0 9 5 13 1 2 2 3 2 3 1 5 4 1 3 1 1 1 2 2 2 4 1 1 4 2 4             − − − − →             − − − − →             − − − − − ← − ← − ← − L L L L L L L L L Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 91 Am ajuns astfel la următorul sistem de ecuaţii: . 2 2 3 0 7 5 11 0 2 2 0 1 2 3 4 2 3 4 2 4     − − + = + − = − = x x x x x x x x x Considerând x4 = α ∈ R, obţinem . 5 4 , , 5 3 x1 = α x2 = α x3 = α Exerciţii rezolvate 1. Rezolvaţi sistemul     + + + = + + + = + + = (1 ) 0 (1 ) 2 x y a z x a z a x y z a , a ∈ R. Soluţie: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a d a = + = + a) dacă a ≠ 0, se aplică regula lui Cramer; b) dacă a = 0, toate cele trei ecuaţii ale sistemului sunt identice cu ecuaţia x + y + z = 0, având soluţia x = α, y = β, z = –α – β. 2. Rezolvaţi sistemul     − = − = − = 3 1 2 2 3 1 1 2 3 x x mx x x mx x x mx , m ∈ R. Soluţie: Sistemul se scrie     − − + = − + − = − − = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x mx x mx x x x x mx ; ( 3); 1 1 1 1 1 1 = − 2 + − − − − − − = m m m m m d a) dacă m = 0, atunci x1 = x2 = x3 = 1; b) dacă m ≠ 0, atunci x1 = x2 = x3 = 0. 92 Manual clasa a XI-a 3. Determinaţi m ∈ R ştiind că sistemul     − = + = + = 3 4 1 2 3 6 x y x y x my m este compatibil. Soluţie: Numărul m este soluţia ecuaţiei 0 3 4 1 2 3 6 1 = − m m . Rezultă m = 27. 4. Fie sistemul       + + + = + + + = + + + = + + + = 4 3 2 1 ax by bz bu ax ay bz bu ax ay az bu ax ay az au , unde a, b ∈ R. În ce condiţii sistemul admite soluţie unică? Soluţie: ( ) 0 0 ( ) · ( ) ·( ) ·( ) . ( ) 0 0 0 2 b a 2 ab a2 a a b 3 a b a a b a a b b b a a a a b a a b b a a b a a a b a a b b b a a b b b a a a a a a b b b a a b b a a a b a a a a d = − − = − − = − − − = − = − = − = = Din condiţia d ≠ 0, deducem a ≠ 0 şi a ≠ b. 5. Rezolvaţi sistemul       − = − = − = − = u x m z u m y z m x y m , m ∈ R. Soluţie: Dacă m = 0, atunci x = y = z = u = α; dacă m ≠ 0 sistemul este incompatibil. 6. Rezolvaţi sistemul     + − = − + = − − + = 2 2 1 1 mx m y z m x y z x my z , m ∈ R. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 93 Soluţie: ( 1)( 1 ) ( 1)( 1). 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 2 = − + − − + = − + − = − − = − + + − + − = − = − + − + − ← + ← + − − − = m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m L L L L L L m m m d i) dacă m ≠ 1 şi m ≠ –1, se aplică regula lui Cramer; ii) dacă m = 1, primele două ecuaţii devin: x – y + z = 1 x – y + z = –1 Prin scădere rezultă 2 = 0, deci sistemul este incompatibil. iii) dacă m = – 1, atunci x = –α, y = 1, z = α. 7. Fie sistemul       + + + = + + + = + + + = + + + = 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x mx x x mx x x mx x x mx x x x m . Determinaţi m ∈ R ştiind că sistemul admite soluţie unică. Soluţie: ( 3)( 1) . 1 0 1 1 1 1 0 1 ( 3)( 1)· 1 1 1 1 1 1 1 ( 3)( 1)· 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 ( 3)· 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3)· 3 1 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + − − = + − 3 = + − = + − = = + = + + + + = = m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m d d ≠ 0 ⇔ m ∈ R \ {1, –3}. 94 Manual clasa a XI-a 8. Pentru ce valori ale parametrului m ∈ Q, sistemul       − + + = − + + = − − + = + + + = 4 3 0 3 3 0 2 0 0 x y z u x y z mu x y z u x y z mu Soluţie: 12( 1) 0. 5 4 4 2 ( 1)· 4 1 2 2 3· 5 4 1 4 2 2 3 0 1 5 0 4 1 4 0 2 2 3 0 0 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 1 4 3 1 3 2 1 2  = − =      + + = − + + + = − = + + ← + − − − − = ← + ← + m m m m m m m m m m m L L L L L L L L L m m d Deci m = 1, caz în care sistemul devine       = −α − + = α − − = α + + = α u x y z x y z x y z 3 2 , cu soluţiile: , . 3 , 3 2 , 3 x = 2α y = α z = −α u = −α 9. Rezolvaţi sistemul       − + = − + = − + = − + = 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 2 2 x x x mx x x x mx x x x mx x x x mx , m ∈ R. Soluţie a) Dacă m = 0, atunci x1 = x2 = x3 = x4 = λ. b) Dacă m ≠ 0, atunci: = − − − + − + − + − − − + − − + ← + ← + ← + − − − − − − − − = 2 3 2 2 1 1 2 0 2 2 1 2 1 1 0 0 0 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 1 4 3 1 3 2 1 2 m m m m m m m m C mC C C C C C C C m m m m d = − − + − + − + − − − − − + ← + − − + − + − + − − + − − + = 3 2 2 1 2 0 2 2 2 0 2 2 3 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1 2 1 3 1 2 m m m m m m m L L L m m m m m m m admite şi soluţii diferite de soluţia (0, 0, 0, 0)? Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 95 ( 2) · ( 4). 1 0 2 2 4 ( 2) 1 1 2 2 2 2 ( 2) 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 2 2 2 2 2 = − + + = − − + = − + + − = − − − + + + − = − m m m m m m m m m m m m m m m m m Se disting următoarele situaţii (subcazuri ale lui b): b1) dacă m ≠ 2, m ≠ – 4, atunci x1 = x2 = x3 = x4 = 0 b2) dacă m = 2 sistemul devine:       =β =α − + = α−β − = −α+ β ⇔       − + − + = − + − = − + − + = − + − = 4 3 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Apoi aplicăm regula lui Cramer. b3) dacă m = – 4 sistemul devine:       = −α + + = − α + − = α − + = α ⇔       − + + + = + + − = + − + = − + + = 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 4 2 2 4 2 4 0 4 2 0 4 2 0 2 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 36 6 3 6 9 2 6 3 1 0 0 4 6 9 2 2 4 1 1 1 2 4 2 1 36 ; 1 6 0 4 9 6 1 0 0 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 1 3 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 = =α = α − − = −α − − − ← + α ← + − − − =α ← − + − = ← + − − = d d x C C C C C C d C C C C C C d După calcule simple, în final obţinem: x1 = α, x2 = –α, x3 = α, x4 = – α . 96 Manual clasa a XI-a Test de evaluare (2p) 1. Rezolvaţi, cu ajutorul regulii lui Cramer, sistemul     + − = − − = + + = 3 2 2 2 0 2 4 x y z x y z x y z . (2p) 2. Să se rezolve şi să se discute sistemul     λ∈ + +λ = λ− +λ + = −λ λ + + = , R 3 1 2 1 x y z x y z x y z . (2p) 3. Să se discute sistemul     ∈ + + = + − = + + = a R x y az x y z ax y z , 0 2 0 0 . (2p) 4. Determinaţi a, b ∈ R, astfel încât sistemul       − = + = − = + = x y b x y a x y x y 9 7 4 5 3 2 1 2 3 5 Timp de lucru: 50 de minute. Exerciţii propuse 1. Să se determine α şi β astfel încât sistemul       + = β − = α + = − = − x y x y x y x y 2 3 2 3 3 2 , să fie compatibil. 2. Fie sistemul     α β∈ + +α =β +α + = α + + = 0 , , R 0 x y z x y z x y z . a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. să fie compatibil. Capitolul 4. Sisteme de ecuaţii liniare 97 b) Să se rezolve sistemul în cazul α = – 2, β = 0. c) Să se rezolve şi să se discute sistemul în funcţie de α şi β. 3. Să se discute şi să se rezolve sistemul      ∈ + + = + + = + + = a b c R x cy c z c x by b z b x ay a z a , , , 2 3 2 3 2 3 . 4. Să se rezolve sistemul  ( )    ∈ + + + = + + + = + + = a b c R a x b y a b z c ax by a b z c x y z ( ) , , , 1 2 2 2 2 2 . 5. Rezolvaţi sistemele a) ∈R     + − = + = + − = + m x y z x my m mz mz m , 2 3 5 1 4 3 1 ; b) ∈R     − − = + + = + + = m x my z x y z x my z m , 1 3 ; c)   + − + = + + + = 2 3 4 1 0 x y z t x y z t ; d)     − − = − + − = + + = 5 5 3 2 4 2 3 4 9 x y z x y z x y z ; e)     ∈ + − = + + = + + + = + m Q x y z x y mz m mx y z m , 1 2 2 ; f)     + = − = − = 2 3 2 1 x y my z x mz , m ∈ R; g)   − = + + = 4 3 5 2 4 7 x y x y z ; h)     ∈ + = + = + = m R x y mx y x my , 1 1 1 . 6. Rezolvaţi în R3 sistemul     − + − + = − + − + = − + − + = 3 3 2 2 1 z x x y z y z z x y x y y z x . 7. Rezolvaţi sistemul     + − − = + − + = + − + = 3 3 14 9 1 3 7 2 4 0 x y z u x y z u x y z u . 8. Rezolvaţi sistemul    ∈ + + = + + = m R mx m y z x my m z , 0 0 2 2 . Discuţie. 98 Manual clasa a XI-a 9. Rezolvaţi şi discutaţi sistemul     ∈ + − = + + = + + = 2 2 , m R. x y z m m x my mz m mx y z m 10. Rezolvaţi sistemele: a)   + − = − − + = 2 2 3 2 1 x y z x y z ; b)       + + − = + − + = − + − = + + + = 2 3 2 2 3 2 6 x y z u x y z u x y z u z x y z u ; c)       − + − + = − − + − + = + − + − = − + − + = 2 14 7 7 11 1 4 10 5 5 7 0 2 2 1 2 2 1 x y z u v x y z u v x y z u v x y z u v ; d)         + − = + + = − + = − + = + − = 3 2 1 6 4 2 3 3 2 2 2 1 x y z x y z x y z x y z x y z . 11. Rezolvaţi în Rn următorul sistem         + + + + = − + + + + = − + + + = − + + + = − − − − − 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3 2 3 2 3 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n K K KKKKKKKKK K K 12. Rezolvaţi sistemele omogene: a)   − + = + − = 5 0 2 3 5 0 x y z x y z ; b)     − + + = − − = + + = 3 11 59 0 7 4 51 0 2 5 10 0 x y z x y z x y z . pentru n = 4. Exerciţii recapitulative 1. Fie A ∈ Mn (R) şi In matricea unitate. Să se demonstreze că det (A2 + In) ≥ 0. 2. Fie A, B ∈ Mn (R), astfel încât A · B = B · A. Să se demonstreze că det (A2 + B2) ≥ 0. 3. Fie A ∈ Mn (R). Să se demonstreze că: det (A2 + A + In) ≥ 0. 4. Demonstraţi că există a, b, c, d ∈ Z \ {0} astfel încât să aibă loc egalitatea . 0 0 2 0 0        =      c d a b 5. Fie A ∈ Mn (R), n ∈ N, n ≥ 2, A nesingulară. Demonstraţi egalitatea (A*)* = (det A)n–2 · A. 6. Fie A, B ∈ Mn (C). Demonstraţi că în general A · B ≠ B · A şi că Tr(A · B) = Tr(B · A). 7. Fie A, B ∈ Mn (C) astfel încât 2AB + A + B = On. Să se arate că AB = BA. 8. Fie A, B, C ∈ Mn (C) astfel încât A2 = B · C, B2 = C · A, C2 = A · B. Să se arate că A3 = B3 = C3. 9. Fie A, B ∈ Mn (C). Demonstraţi echivalenţa In – AB este inversabilă ⇔ In – BA este inversabilă. 10. Fie A ∈ Mn (C) astfel încât det A = 0. Demonstraţi că există matricea B ∈ Mn (C), B ≠ On astfel încât A · B = On. 11. Determinaţi m ∈ Q, ştiind că sistemul liniar       + + − = − − + = + + + = + + + = 3 4 5 0 6 2 3 0 2 3 4 2 0 0 x y z u x y z mu x y z u x y z u admite şi soluţii diferite de soluţia (0, 0, 0, 0). 100 Manual clasa a XI-a 12. Fie A ∈ Mn (C) cu det A ≠ 0. Determinaţi a ∈ C, astfel încât să aibă loc egalitatea det A = det (a · A). 13. Calculaţi determinantul 1 1 4 0 0 0 0 1 0 1 2 2 2 ε ε ε ε ε ε D = , unde ε = i. 2 3 2 − 1 − 14. Calculaţi rangul matricei             − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A . 15. Determinaţi k ∈ Q, astfel încât sistemul       + + + + = + + + + = + + + + = + + + = 2 2 ( 3) 2 0 ( 2) 0 ( 1) 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x k x x x x k x x x k x x x kx x x x să admită şi soluţii diferite de soluţia x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0. 16. Rezolvaţi în r ecuaţia = 0 c b a x b c x a a x c b x a b c , unde a, b, c ∈ R. 17. Fie a ∈ C \ {0}. Să se arate că a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = . 18. Fie şirurile de numere reale (an), (bn), (cn), (dn) date de egalitatea matriceală        =      n n n n n c d a b c d a b , œn ∈ N*, iar a1 = a, b1 = b, c1 = c, d1 = d. Să se demonstreze că bn · cm = bm · cn, oricare ar fi m, n ∈ N. Exerciţii recapitulative 101 19. Fie matricele:       α α α − α  =       =      − α α α α = sin cos cos sin , 0 1 1 1 , sin cos cos sin A B C , unde α ∈ R. Să se calculeze (A · B· C)n, unde n ∈ Z. 20. Fie matricea           = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 A . Să se calculeze An (n ∈ N*). 21. Fie matricea           = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A . Să se calculeze An (n ∈ N*). 22. Fie matricea           = 0 0 1 1 0 1 0 0 0 A . Să se calculeze An (n ∈ N*). 23. Calculaţi inversa matricei           α α α − α = 0 0 1 sin cos 0 cos sin 1 A , unde α ∈ R. 24. Calculaţi inversa matricei A =             0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 . 25. Calculaţi determinantul 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a D = , a ∈ C. 26. Găsiţi cel puţin o matrice X ∈ M2 (R) astfel încât       = 2 4 2 1 2 X . 102 Manual clasa a XI-a 27. Să se calculeze inversa matricei           = c a b b c a a b c A , ştiind că a, b, c ∈ R şi a3 + b3 + c3 – 3abc ≠ 0. 28. Fie A ∈ Mn (R) nesingulară cu proprietatea că A = A –1. Calculaţi det A. 29. Fie           = a a a A 0 0 0 0 0 0 şi           = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 B , a ∈ R. Să se calculeze (A + B)n, n ∈ N*. 30. Găsiţi matricele X ∈ M2 (R) care verifică egalitatea       ⋅ = ⋅ −     − b a a b X X b a a b , unde a, b ∈ R, a, b date. 31. Rezolvaţi sistemul     − = − = BX AY C AX BY C , unde       = 0 1 1 1 A ,       − − = 1 1 1 0 B ,       − = 0 1 1 1 C , iar X, Y ∈ M2 (R). 32. Fie S, T ∈ Mn (R) şi S nesingulară. Să se demonstreze că (S + T) · S–1 · (S – T) = (S – T) · S–1 · (S + T). Exerciţii recapitulative 103 Probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori 1. În mulţimea M2(C) se consideră matricele       = 0 0 0 1 A şi       = 0 0 0 0 O2 . a) Să se calculeze A2. b) Să se calculeze det A. c) Să se determine rangul matricei A. d) Să se arate că dacă X ∈ M2(C) şi XA = AX, atunci există a, b ∈ C, astfel încât . 0        = a a b X 2. În mulţimea matricelor M2(R) se consideră matricea I2 =       0 1 1 0 precum şi submulţimea          ∈ ∞ ∈      = a b R b a G (0, ), 1 0 . a) Să se verifice că matricea I2 ∈ G. b) Să se arate că dacă A, B ∈ G, atunci AB ∈ G. c) Să se arate că dacă C ∈ G, atunci există D ∈ G astfel încât CD = DC = I2. d) Să se găsească două matrice S, T ∈ G pentru care ST ≠ TS. e) Să se demonstreze că pentru orice matrice A ∈ G şi œ n ∈ N*, există o matrice X ∈ G astfel încât X n = A. 3. În mulţimea M2(R) se consideră submulţimea          − = ∈      = a b a b Q b a a b G 3 1, , 3 2 2 . a) Să se verifice că I2 =       0 1 1 0 ∈ G. b) Să se arate că dacă A, B ∈ G, atunci AB ∈ G. 104 Manual clasa a XI-a c) Să se arate că dacă X ∈ G,       = b a a b X 3 , atunci X este matrice inversabilă şi că X −1       − − = b a a b 3 . d) Să se găsească o matrice A ∈ G,       = b a a b A 3 , cu b ≠ 0. e) Să se arate că, dacă B ∈ G, B       = b a a b 3 cu a > 0, b > 0, atunci Bn ≠ I2, œ n ∈ N*. f) Să se arate că mulţimea G este infinită. 4. În mulţimea M2(C) se consideră matricele A =        =      − − 0 1 1 0 , 1 1 1 1 I2 şi submulţimea G = {X ∈ M2(C) | AX = XA}. a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A. b) Să se verifice că I2 ∈ G şi că A ∈ G. c) Să se arate că XA2 = A2X , œ X ∈ G. d) Să se găsească o matrice B ∈ M2(C) cu proprietatea că AB ≠ BA. e) Să se arate că dacă a, b ∈ C atunci aI2 + bA ∈ G . f) Să se arate că dacă X ∈ G atunci există x, y ∈ C astfel încât X = xI2+ yA. 5. În mulţimea M3(C) se consideră matricele: A =             =             0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 1 0 0 0 0 0 O3 şi funcţia ƒ : M3(C) → M3(C), ƒ(X) = X 3. a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A. b) Să se calculeze A2 şi A3. Exerciţii recapitulative 105 c) Să se arate că dacă Y ∈ M3(C) şi YA = AY, atunci există a, b, c ∈ C, astfel încât             = c d a b a a Y 0 0 0 . d) Să se arate că dacă Z =             c b a b a a 0 0 0 , unde a, b, c ∈ C şi det Z = 0, atunci Z3 = O3. e) Să se găsească două matrice U ≠ V ∈ M3(C), astfel încât ƒ(U) = ƒ(V). f) Să se demonstreze că ecuaţia ƒ(X) = A nu are soluţii în mulţimea M3(C). 6. Se consideră matricele           =           = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , 9 6 3 6 4 2 3 2 1 A I3 şi B = I3 + A. a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A. b) Dacă           = 3 2 1 X şi Y = (3 2 1), să se calculeze matricea S = A – X · Y. c) Să se verifice că A2 = 10A. d) Să se arate că matricea B este inversabilă şi inversa sa este matricea B I A 11 1 3 −1 = − . e) Să se găsească trei matrice U, V, W ∈ M3 (C) de rang 1, astfel încât: B = U + V + W. f) Să se arate că oricare ar fi două matrice C, D ∈ M3 (C) de rang 1, avem: C + D ≠ B. 106 Manual clasa a XI-a 7. Se consideră matricele           = 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A şi           = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I3 , precum şi sistemul      + = + + = + + + = 0 0 1 z t y z t x y z t , (x, y, z, t) ∈ C × C × C × C. a) Să se determine matricea sistemului. b) Să se calculeze rangul matricei A. c) Să se rezolve sistemul. d) Să se calculeze suma elementelor matricei I3A. e) Să se arate că ecuaţia AX = I3, cu X ∈ M4, 3 (C) are o infinitate de soluţii. f) Să se arate că ecuaţia YA = I3, cu Y ∈ M4, 3 (C) nu are soluţii. 8. În mulţimea M3 (C) se consideră matricea           = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 A . a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A. b) Să se arate că matricea A este inversabilă şi să se calculeze inversa ei. c) Să se arate că, dacă Y ∈ M3 (C) şi YA = AY, atunci există a, b, c ∈ C, astfel încât           = c b a Y 0 0 0 0 0 0 . d) Se consideră matricea           = c b a Z 0 0 0 0 0 0 , cu a, b, c ∈ C. Să se arate, utilizând metoda inducţiei matematice, că           = n n n n c b a Z 0 0 0 0 0 0 , ∀ n ∈ N*. Partea a 2-a Analiză matematică Limite de funcţii Continuitate Derivabilitate Grafice de funcţii 108 Manual clasa a XI-a Capitolul 1 LIMITE DE FUNCŢII 1.1. Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile + ∞∞∞∞ şi – ∞∞∞∞ Mulţimea numerelor reale (preliminarii) Numerele reale au fost cunoscute încă din antichitate, fiind utilizate în mod curent în anumite evaluări cu caracter matematic sau practic, însă definiţia riguroasă a noţiunii de număr real a fost dată abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea prin contribuţia decisivă a marilor matematicieni K. Weierstrass (1815-1897), R. Dedekind (1831-1916), G. Cantor (1845-1918). Conceptul de număr real şi funcţie reală de variabilă reală stau la baza analizei matematice. În procesul de învăţare şi însuşire a noţiunii de număr s-a procedat în mod etapizat făcându-se cunoştinţă cu noţiunea de număr natural, apoi de număr întreg şi apoi cu numerele raţionale şi ulterior cu cele reale. S-au definit mulţimile: N (mulţimea numerelor naturale), Z (mulţimea numerelor întregi), Q (mulţimea numerelor raţionale), R (mulţimea numerelor reale) şi incluziunile N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. De asemenea, s-au definit principalele operaţii în fiecare din aceste mulţimi şi implicit proprietăţile care stau la baza fiecărei mulţimi. Din necesităţi de ordin practic şi matematic, ca de exemplu: rezolvarea ecuaţiei algebrice x2 = 2, determinarea diagonalei unui cub când se cunoaşte lungimea muchiei, determinarea ariei şi lungimea unui cerc, ariei şi Capitolul 1. Limite de funcţii 109 volumului corpurilor rotunde, s-a impus ca o necesitate extinderea mulţimii numerelor iraţionale şi construirea mulţimii R a numerelor reale. Fondatorii mulţimii numerelor reale au construit şi au pus bazele ştiinţifice a mulţimii R urmând căi diferite. Astfel, K. Weierstrass a realizat construcţia lui R, utilizând fracţiile zecimale infinite, Dedekind a utilizat aşa-numitele tăieturi Dedekind în mulţimea Q, metodă ce se studiază cu precădere în învăţământul superior şi G. Cantor a utilizat metoda şirurilor. Dintre cele trei metode amintite, metoda lui K. Weierstrass este cea mai accesibilă pentru învăţământul liceal, putând fi pusă în discuţie la cercurile de elevi sau clasele de excelenţă. Pentru clarificarea unor chestiuni din punct de vedere matematic, vom preciza că în construcţia lui K. Weierstrass se consideră că dacă x ∈ R, atunci x = x0, x1 x2... xn ..., unde x0 este partea întreagă a lui x, iar 0 ≤ xi ≤ 9, œi ≥ 1, sunt cifrele din partea sa zecimală. Dacă x0 > 0, atunci [x] = x0, iar dacă x < 0, atunci [x] = x0 − 1. Mulţimea numerelor reale. Proprietăţi Pe mulţimea numerelor reale se definesc două operaţii de bază: adunarea notată cu semnul +, care asociază oricărei perechi (x, y), x, y ∈ R, elementul x + y ∈ R, şi înmulţirea notată cu semnul ·, care asociază oricărei perechi (x, x), x, y ∈ R, ele- mentul x · y. 1. Proprietăţile operaţiei de adunare: a) este asociativă: (x + y) + z = x + (y + z), œx, y, z ∈ R. b) este comutativă: x + y = y + x, œx, y ∈ R. c) există elementul neutru notat cu ,,0”, astfel încât x + 0 = 0 + x, œx ∈R. d) orice număr real are un element simetric (opus): pentru orice x ∈ R există (–x) ∈ R astfel încât x + (–x) = (–x) + x = 0. Utilizând aceste proprietăţi se poate arăta că elementul neutru ,,0” este unic; fie- cărui element x ∈ R îi corespunde un singur element opus –x ∈ R; din x + y = 0 rezultă y = – x şi x – y  x + (–y) (operaţia de scădere); orice ecuaţie de forma x + a = b, cu a, b ∈ R, are soluţie unică x = b + (– a), x = b − a. 110 Manual clasa a XI-a Demonstraţiile acestor afirmaţii se propun ca temă. 2. Proprietăţile operaţiei de înmulţire: a) este asociativă: (x · y) · z = x · (y · z), œx, y, z ∈ R; b) este comutativă: x · y = y · x,œx, y ∈ R; c) admite element neutru, notat cu „1” astfel încât x · 1 = 1 · x = x, œx ∈ R; d) oricărui element x ∈ R \ {0} îi corespunde elementul simetric (invers), notat cu x 1 astfel încât x · x 1 = x 1 · x = 1, œx ∈ R \ {0}. Urmare a acestor proprietăţi se poate demonstra că elementul neutru este unic, elementul simetric este unic, se poate defini xy = x⋅ 1y , œx ∈ R, œy ∈ R \ {0}; orice ecuaţie de forma ax = b, cu a ≠ 0, are soluţia unică x = a b ∈ R. 3. Înmulţirea şi adunarea sunt legate prin operaţia de distributivitate: x · (y + z) = xy +xz, œx, y, z ∈ R. În consecinţă avem: • x(y – z) = x[y + (–z)] = xy + x · (–z) = xy – xz; x(–y) = –xy; (–x)(–y) = xy, œx, y ∈ R; • xy = 0 ⇒ x = 0 sau y = 0; xy ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 şi y ≠ 0; • xy = xz şi x ≠ 0 ⇒ y = z (simplificare la stânga); yx = zx şi x ≠ 0 ⇒ y = z (simplificare la dreapta). Proprietăţile enunţate mai înainte îi conferă mulţimii R o structură algebrică de corp comutativ (*). 4. Structura de ordine pe R Pe mulţimea R se defineşte o relaţie numită relaţie de ordine notată cu semnul „≥” sau „≤” cu următoarele proprietăţi: a) reflexivitatea: x ≤ x, œx ∈ R; b) antisimetria: (x ≤ y şi y ≤ x) ⇒ x = y, œx, y ∈ R; c) tranzitivitatea: (x ≤ y şi y ≤ z) ⇒ x ≤ z, œx, y, z ∈ R; d) pentru orice x, y ∈ R, avem x ≤ y sau x ≥ y. Capitolul 1. Limite de funcţii 111 În baza proprietăţilor a, b, c, d spunem că pe mulţimea R relaţia de ordine este totală. În modul acesta mulţimea R devine un corp comutativ complet ordonat (**). Relaţia de compatibilitate între operaţiile de adunare, înmulţire şi relaţia de ordine pe RRRR a) Dacă x ≤ y, atunci x + z ≤ y + z, œz ∈ R. b) Dacă x ≤ y şi z ∈ R+, atunci xz ≤ yz. c) Între mulţimile N, Z, Q, R, există relaţiile: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Observaţii: i) Toate operaţiile şi proprietăţile enunţate mai sus stau la baza calculului algebric. ii) Toate operaţiile şi proprietăţile enunţate mai sus sunt adevărate şi în mulţimea Q a numerelor raţionale. iii) Pentru (*) şi (**) se vor face precizările necesare în clasa a XII-a la cursul de algebră. Să prezentăm metoda de construire a numerelor reale de către Weierstrass, cu ajutorul fracţiilor zecimale infinite. Dacă a ∈ R, atunci acesta poate fi reprezentat sub forma: a = a0, a1 a2… an…, unde a0 este partea întreagă a lui a (se notează cu [a]) şi 0, a1 a2… an ... este partea fracţionară a lui a (se notează cu {a}). Orice număr real x ∈ R, se poate scrie sub forma x = [x] +{x} , unde 0 ≤ {x} < 1 şi se poate arăta că această scriere este unică. În legătură cu partea întreagă a unui număr real, există următoarea: Axiomă (Arhimede) Pentru orice x ∈ R, există în mod unic un număr întreg k ∈ Z, astfel încât k ≤ x < k + 1. Numărul k este partea întreagă a lui x şi se notează cu [x]. Putem scrie [x] ≤ x < [x] + 1, œx ∈ R. 112 Manual clasa a XI-a Exemple Să se pună în evidenţă partea întreagă şi partea fracţionară, pentru urmă- toarele numere reale: a) x = 4,15; b) x = 15,35; c) x = – 25,15; d) x = –0,575. Soluţii a) x = 4,15 = 4 + 0,15 ⇒[x] = 4 şi {x} = 0,15. b) x = 15,35 = 15 + 0,35 ⇒ [x] = 15 şi {x} = 0,35. c) x = –25,15 = –26 + 0,85 ⇒ [x] = –26 şi {x} = 0,85. d) x = –0,575 = –1 + (1 – 0,575) = –1 + 0,425 ⇒ [x] = –1 şi {x} = 0,425. Partea întreagă are următoarele proprietăţi: 1. x = [x] ⇒{x} = 0, œx ∈ R. 2. x ≤ y ⇒ [x] ≤ [y]. 3. [x + y] ≥ [x] + [y]. 4. dacă x ∈ R şi k ∈ Z, atunci: [x + k] = [x] + k şi {x + k} = {x}. Mulţimea numerelor reale se poate reprezenta ca o reuniune infinită de intervale disjuncte având extremităţile numere întregi consecutive: R = ∈Z ∪ n [n, n + 1). Evident numărul real x aparţine unui singur interval de forma [n, n + 1), n ∈ Z, unde în virtutea axiomei lui Arhimede, n = [x]. Notaţia ∈Z ∪ n ne indică faptul că operaţia de reuniune se face după toate numerele întregi n. Exerciţii propuse 1. Să se rezolve ecuaţia: [x + 1] = 3. 2. Să se demonstreze identitatea: [ ] , 2 1 2x −[x] = x +  œx ∈ R. 3. Să se rezolve ecuaţia: 1 . 2 x x  + =     Capitolul 1. Limite de funcţii 113 4. Să se rezolve ecuaţia: 2. 2 1 [x]+  x +  = 5. Să se construiască graficele funcţiilor: f(x) = [x] şi g(x) = {x}, pentru x ∈ [–3, 3]. 6. Să se rezolve ecuaţia: . 3 2 4 3 = −     x + x 7. Să se calculeze suma: S = [ 1]+[ 2]+…+ [ n], n ∈ n*. 8. Să se rezolve sistemul: x + [y] = 9,3; [x] + 3y = 4,9. Intervale Pe lângă mulţimile clasice de numere N, Z, Q, R, un rol deosebit îl au submulţimile de numere reale, numite intervale. Definiţie Fie a, b ∈ R, a < b. Submulţimile de numere reale definite în cele ce urmează se numesc intervale: 1. [a,b]  {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, numit interval închis şi mărginit. 2. [a,b)  {x ∈ R | a ≤ x < b}, numit interval mărginit închis la stânga şi deschis la dreapta. 3. (a,b]  {x ∈ R | a < x ≤ b}, numit interval mărginit deschis la stânga şi închis la dreapta. 4. (a, b)  {x ∈ R | a < x < b}, numit interval deschis şi mărginit. 5. (–∞, a]  {x ∈ R | x ≤ a}, numit interval nemărginit închis la dreapta. 6. (–∞, a)  {x ∈ R | x < a}, numit interval nemărginit deschis la dreapta. 7. [b,+∞)  {x ∈ R | x ≥ b}, numit interval nemărginit închis la stânga. 8. (b,+∞)  {x ∈ R | x > b}, numit interval nemărginit deschis la stânga. Observaţii: 1. a şi b se numesc capetele (extremităţile) intervalului. 2. Când a şi b sunt finite, se defineşte noţiunea de lungime L a intervalului [a, b], prin L  b – a. 114 Manual clasa a XI-a Astfel, pentru intervalele [a, b],[a, b), (a, b], (a,b) lungimea inter- valelor este egală cu b – a. 3. Fie a ∈ R. Intervalele de forma [–a, a] sau (–a, a) se numesc intervale simetrice sau centrate în zero. Exerciţii rezolvate Să se calculeze: 1. [0, 1] ∪ [–1, +∞]; 2. [–1,+∞) ∪ [0, 1] ∪ 12 , 3 ; 3. (–∞, 1]     ∪  , + ∞ 2 1 ∩ (0, 1); 4. {(–∞, 3]∩[2, 4]} ∪      ,+∞ 2 1 ; 5. [0, a] ∩ 1 ,1 a , unde a ∈ R, a > 1. Soluţii 1. Reprezentăm pe axa numerelor reale intervalele şi obţinem: [0,1] ∪ [–1, +∞) = [–1, +∞). 2. Reprezentăm pe axa numerelor reale intervalele şi obţinem: – ∞ – 1 0 2–1 1 3 ∞ Aplicând proprietăţile de la reuniunea mulţimilor, obţinem: i) [–1,+∞) ∪ [0,1] = [–1,+∞), deoarece [0,1] ⊂ [–1 ,+∞); ii) [–1,+∞) ∪ 12 , 3 = [–1,+∞), deoarece 12 , 3 ⊂ [–l,+∞); − ∞ − 1 0 1 +∞ +∞ Capitolul 1. Limite de funcţii 115 3. (–∞, 1]     ∪  , + ∞ 2 1 ∩ (0,1) = ={( ,1] (0,1)} { 12 , (0, 1) } (0,1) 12 ,1 = (0,1)    −∞ ∩ ∪  +∞ ∩ = ∪  – ∞ 0 2–1 1 ∞ 4. Avem (–∞,3] ∩ [2, 4] = [2, 3].     =  +∞     ∪  +∞ , 2 1 , 2 1 [2,3] . – ∞ 0 2–1 2 3 4 ∞ 5. [0, a] ∩ 1 ,1 a = [0, a], deoarece    1 ,1 a ⊂ [0, a]. Exerciţii propuse 1. Fie a > 0. Să se calculeze: (–∞, –a) ∩ [a, +∞);       a a 1 , ∩ [a2, +∞). 2. Fie a şi b numere reale strict pozitive. Să se efectueze: i) (–∞, –a] ∩ [b, +∞); ii) (–∞, –a] ∩ (b, +∞); iii) (0, a) ∩ b1 ,1 ; discuţie după a, b > 0. 3. Să se arate că o mulţime finită de numere este un interval, dacă şi numai dacă se reduce la un punct. +∞ +∞ 116 Manual clasa a XI-a 4. Intersecţia a două intervale deschise este un interval deschis sau mulţimea vidă. 5. Se dau intervalele I1= (–∞, 1] şi I2 = [–1, +∞), Să se efectueze: I1 \ I2; I2 \ I1; CI2 I1; CI1 I2; (CI2 I1 \ {0}) ∩ (I2 \{1}). 6. Fie a ∈ R. Să se efectueze: [0,1] ∪ [–a, a]; [a, l] ∪ [0, a2]. Comentariu Există o bijecţie între axa numerelor reale şi mulţimea numerelor reale. Oricărui punct M situat pe axa reală i se asociază în mod unic un număr real xM ∈ R, numit abscisa punctului M (se notează M(xM)) şi oricărui număr real x îi corespunde un punct M pe axa numerelor reale, notat M(x). Mulţimea R se mai numeşte şi dreapta reală, iar numerele reale se mai numesc puncte. Fie M(xm) şi N(xN) două puncte distincte situate pe dreapta reală; atunci putem defini d(M, N) distanţa dintre cele două puncte, notată cu d(M,N)  |xM – xN| . Distanţă dintre două puncte are următoarele proprietăţi: 1. d(M,N)≥ 0 şi d(M, N) = 0 ⇔ M / N. 2. d(M,N) = d(N, M). 3. d(M,N) ≤ d(M,P) + d(P, N), oricare ar fi punctul P situat pe dreapta reală. Acestea se bazează pe proprietăţi ale modulului numerelor reale. Reamintim: dacă x ∈ R, atunci se defineşte modulul numărului x: |x|     − < ≥ , 0 , 0 x x x x , cu următoarele proprietăţi mai importante, care au fost prezentate în clasele anterioare: 1. |x| ≥ 0, œx ∈ R şi |x| = 0 ⇔ x = 0; 2. |x +y| ≤ |x| + |y|, œx, y ∈ R; 3. |x · y| = |x| · |y|, œx, y ∈ R; 4. | | | | y x y x = , œx ∈ R, œy ∈ R*; 5. Pentru a > 0: 6. Pentru a ≥ 0: |x| ≤ a ⇔ –a ≤ x ≤ a; |x| ≥ a ⇔ x ∈ (–∞, –a] ∪ [a, +∞); 7. ||x| – |y|| ≤ |x – y|, œx, y ∈ R; 8. x ≤ |x|, œx ∈ R. Capitolul 1. Limite de funcţii 117 Cu ajutorul modulului numerelor reale se mai definesc maximul sau minimul dintre două numere reale: dacă a, b ∈ R, atunci max (a, b) = ; 2 | | | | ; min( , ) 2 | | | | a b a b a +b + a −b a b = + − − Exerciţii propuse 1. Fie a, b ∈ R; atunci max(a, b) = min(a, b) ⇔ a = b. 2. Fie a, b, c ∈ R şi max(a,b,c) =     > > > ≥ ≥ ≥ c c b c a b b a b c a a b a c , , , , , , . Să se determine x ∈ R, astfel încât max(1, x, x2) = 1 + x + x2. 3. Să se rezolve inecuaţia: |x –1| < |x|. 4. Să se rezolve inecuaţia: ||x – 1| – 1| ≤ x. 5. Să se determine x ∈ R, astfel ca d(–l, 1) = d(l – x, 1 + x). 6. Fie I1 = [1, x] şi I2 = 1x , x . Să se determine x ∈ R astfel ca I1 ⊂ I2. 7. Dacă max(a, b, c) = min(a, b, c), atunci a = b = c? 8. Să se rezolve ecuaţia: 1,9. 2 1 | 2 1|  =     x − + x 9. Să se rezolve ecuaţia: 2 1 2 1 x x x + x = − . Mulţimi mărginite Definiţie • O mulţime A de numere reale se numeşte mărginită inferior sau minorată dacă există un număr m astfel încât pentru œx ∈ A să avem x ≥ m. Numărul m poate să aparţină sau nu mulţimii A. Numărul m cu această proprietate se numeşte minorant al mulţimii A. • Orice număr m' ≤ m este de asemenea un minorant al mulţimii A. Cel mai mare minorant al mulţimii A, dacă există, se numeşte margine inferioară şi se notează: inf A sau x x∈A inf şi se citeşte infimum al mulţimii A. 118 Manual clasa a XI-a Exemple 1. Fie mulţimea = { ,…, 1 ,…} 2 1 , 1 1 n A ; evident inf A = 0 ∉ A. 2. Pentru N* = {1, 2, 3, …, n,…}, evident inf N* = 1 ∈ N*. Definiţie • O mulţime A de numere reale se numeşte mărginită superior sau majorată, dacă există un număr M astfel încât pentru orice x ∈ A să avem x ≤ M. Numărul M cu această proprietate se numeşte majorant al mulţimii A. • Orice număr M ' ≥ M este de asemenea un majorant al mulţimii A. Cel mai mic majorant al mulţimii A, dacă există, se numeşte margine superioară a mulţimii A şi se notează A x∈A sup sau x x∈A sup şi se citeşte supremum al mulţimii A. Exemple 1. Fie = {− − − …,−1 ,…} 3 1 , 2 1 , 1 1 n A ; evident sup A = 0 ∉ A. 2. Fie A = {–n, −(n – 1), …, –2, –1}; evident sup A = –1 ∈ A. 3. Fie  … …  =  , , 1 , 2 1 , 1 1 A n ; evident sup A = 1 ∈ A. Definiţie O mulţime se numeşte mărginită dacă este mărginită superior şi inferior. Exemple 1. Orice interval mărginit este o mulţime mărginită; 2. Mulţimea    =  ∈ * 2 1 n N n A este mărginită superior şi inferior şi sup A = 1 ∈ A şi inf A = 0 ∉ A; 3. Mulţimea     ∈ + = n N n n A 1 2 2 este mărginită şi sup A = 1 ∈ A şi inf A = 0 ∈ A. Capitolul 1. Limite de funcţii 119 Prin definiţie un interval închis şi mărginit se numeşte compact. Putem conchide că o mulţime A este mărginită dacă şi numai dacă este inclusă într-un interval compact [α, β], A ⊂ [α, β]. O mulţime care nu este inclusă într-un interval compact nu este mărginită. Exemple 1. Mulţimea numerelor naturale şi mulţimea numerelor întregi sunt mulţimi nemărginite. 2. Mulţimea numerelor raţionale şi mulţimea numerelor reale sunt mulţimi nemărginite. Propoziţie. O mulţime A este mărginită dacă şi numai dacă există un număr α > 0, astfel ca |x| ≤ α, pentru orice x ∈ A. Demonstraţie Dacă există α > 0, astfel ca |x| ≤ α pentru orice x ∈ A, atunci rezultă – α ≤ x ≤ α adică x ∈ [–α, α] care este un interval compact, deci mulţimea este mărginită. Reciproc, dacă A este mărginită, există un interval mărginit [a, b] care o conţine, adică a ≤ x ≤ b, œx ∈ A. Dacă considerăm α = max {|a|, |b|}, atunci b ≤ |b| ≤ α şi –a ≤ α ⇒ ⇒ –α ≤ – |a| ≤ a, adică –α ≤ a ≤ b ≤ α, de unde rezultă –α ≤ x ≤ α sau |x| ≤ α, pentru orice x ∈ A. Comentariu 1. Dacă sup A ∈ A, atunci sup A  A x∈A max (maximul mulţimii A). 2. Dacă inf A ∈ A , atunci inf A  A x∈A min (minimul mulţimii A). 3. Orice mulţime finită A = {a1, a2, ..., an} este o mulţime mărginită. Cel mai mic dintre numerele ai este margine inferioară şi chiar minimul mulţimii, iar cel mai mare dintre numerele ai este margine superioară şi chiar maximul mulţimii A. 120 Manual clasa a XI-a Exemplu Pentru A =    − π − 2 1 , 2, 0, , evident avem: sup A = max A = 2 1 ∈ A, inf A = min A = – π ∈ A. Proprietăţi de caracterizare a marginilor unei mulţimi Propoziţia 1. Orice mulţime mărginită admite margine inferioară şi margine superioară. Propoziţia 2. • Un număr m este margine inferioară a mulţimii A, dacă şi numai dacă verifică următoarele două condiţii: i) x ≥ m, œx ∈ A (m este un minorant al mulţimii A); ii) dacă α > m, atunci există cel puţin un punct x ∈ A astfel încât x < α. m x α • Un număr M este margine superioară pentru mulţimea A dacă şi numai dacă verifică următoarele două condiţii: i) x ≤ M, x ∈ A (M este un majorant al mulţimii A); ii) dacă β < M, atunci există cel puţin un punct x ∈ A astfel ca x >β. β x M Se pune întrebarea firească ce proprietăţi are mulţimea R pe care nu le are mulţimea Q? Prin ce se deosebesc cele două mulţimi din punct de vedere al mărginirii? Aici intervine un rezultat profund al analizei matematice, cunoscut sub denumirea de „axioma lui Cantor“! Orice submulţime nevidă A ⊂ R majorată admite un cel mai mic majorant (margine superioară) aparţinând mulţimii R; sup A ∈ R. Capitolul 1. Limite de funcţii 121 Un rezultat asemănător avem şi pentru o mulţime nevidă minorată. Dacă B ⊂ R este o mulţime nevidă minorată, atunci ea admite un cel mai mare minorant (margine inferioară); inf A ∈ R. Submulţimile din Q, în general, nu verifică axioma lui Cantor, în sensul că nu întotdeauna marginea superioară sau marginea inferioară aparţine mulţimii Q. Exemplu Fie mulţimile A = {x2 ≤ 2 | x ∈ Q} şi A' = {x2 ≤ 2| x ∈ R}. Evident ambele mulţimi sunt mărginite şi avem: sup A = 2 ∉ Q, inf A = – 2 ∉ Q sup A' = 2 ∈ r, inf A' = – 2 ∈ r. Se observă că sup A' = max A' şi inf A' = min A'. Exerciţii propuse 1. Fie A ⊂ R o mulţime mărginită. Să se arate că orice submulţime a lui A este mărginită. 2. Fie A şi B, două submulţimi mărginite ale lui R. Să se decidă dacă: i) A ∪ B; ii) A ∩ B; A \ B sunt mulţimi mărginite? 3. Se consideră următoarele submulţimi ale dreptei reale: | . 3 1 2 1 d) {91, 92, 93}; e) ; b) [2, 3] [2, 5]; c) 2 | ; 2 1 a) 1, * *       ∈ + + =     = ∪ =  − ∈    = − N N A n n n n A A A n n Să se decidă pentru fiecare submulţime în parte dacă este mărginită şi în caz afirmativ să se determine inf A, sup A, min A, max A. 4. Dacă A este o submulţime nevidă A ⊆ R, atunci –A  {–x | x ∈ A}. a) Să se arate că sup(–A) = –inf A şi inf (–A) = –sup A. b) Dacă A ⊆ B; atunci sup A ≤ sup B şi inf A ≥ inf B. c) sup(A + B) = sup A + sup B. d) Fie x ∈ R. Atunci au loc relaţiile: sup(x + A) = x + sup A şi inf(x + A) = x + inf A. 122 Manual clasa a XI-a Propoziţie: Pentru orice a, b ∈ R, a < b, atunci avem: [a, b] = {x ∈ R | x = (1 – λ)a + λb, 0 ≤ λ ≤1}. Demonstraţie Fie x = (1 – λ)a + λb, cu 0 ≤ λ ≤1. Atunci x = a + λ(b – a) şi cum 0 ≤ λ(b – a) ≤ ≤ b – a avem a ≤ x ≤ b şi deci x ∈ [a, b]. Reciproc, dacă x ∈ [a, b], notăm λ = b a x a − − ; atunci 0 ≤ λ ≤1, 1 – b a b x − − λ = şi avem (1 – λ)a + λb b x. b a x a a b a b x ⋅ = − − ⋅ + − − = Definiţie O mulţime A ∈ R se numeşte convexă dacă pentru orice x, y ∈ A şi orice 0 ≤ λ ≤ 1, (1 – λ)x + λy ∈ A. Exemple 1. Intervalele (–4, 2), (–7, –1) şi (0, 7) sunt mulţimi convexe. 2. Intervalele [–5, –1], [–2, 6] şi [0, 4] sunt mulţimi convexe. Vecinătăţi Fie x0 ∈ R un punct pe axa reală. Definiţie Vom numi vecinătate a punctului x0 orice mulţime E ⊂ R care conţine un interval deschis centrat în punctul x0. Un interval deschis centrat în punctul x0 este de forma (x0 – r, x0 + r), unde r > 0. Un asemenea interval simetric se numeşte vecinătate simetrică a lui x0. Deci există r > 0, astfel ca (x0 – r, x0 + r) ⊂ V. Capitolul 1. Limite de funcţii 123 Orice mulţime V care conţine un interval deschis (a, b), conţine şi o vecinătate simetrică, deci este suficient să considerăm fie vecinătăţi de forma (a, b) care conţin x0, fie vecinătăţi simetrice ale lui x0. Vecinătăţile unui punct x0 au următoarele proprietăţi: 1. Orice mulţime U care conţine o vecinătate V a lui x0 este de asemenea o vecinătate a lui x0. 2. Intersecţia a două vecinătăţi a punctului x0 este de asemenea o vecinătate a punctului x0. 3. Orice vecinătate a lui x0 conţine punctul x0. 4. Pentru orice vecinătate V a lui x0 există o vecinătate W = (a, b) a lui x0 astfel încât V este o vecinătate a oricărui punct din W= (a, b). Propoziţie. Fie a, b două puncte reale distincte (a ≠ b). Atunci există o vecină- tate U a lui a şi o vecinătate V a punctului b astfel încât U ∩ V = ∅ (vecinătăţi disjuncte). Demonstraţie Fie a < b şi r = 3 b – a . Atunci considerăm vecinătăţile simetrice U = (a – r, a + r) pentru punctul a şi V = (b – r, b + r) pentru punctul b. Datorită faptului că a + r < b – r rezultă că U ∩ V = ∅ şi deci există vecinătăţi disjuncte. Observaţie: Proprietatea enunţată în această propoziţie se exprimă spunând că dreapta reală este un spaţiu separat. 124 Manual clasa a XI-a Exemple 1. Fie intervalele I1 = (–3, 3), I2 = (–1, 2), I3 = (–2, +∞). Intervalele I1, I2, I3 sunt vecinătăţi ale originii. Evident toate intervalele includ intervalul (–1, 1) care conţine originea. 2. Mulţimea numerelor reale pozitive nu este vecinătate a originii deoarece nu conţine originea. 3. Fie I = (a, b). Acest interval este vecinătate a oricărui punct x pentru care a < x –∞ < x < +∞; 2. intervalele de forma: [–∞, a) = {x ∈ R  –∞ ≤ x < a}; (a, +∞] = {x ∈ R  a < x ≤ +∞}; [–∞, +∞] = {x ∈ R  –∞ ≤ x ≤ +∞}. 3. sup A = +∞, dacă mulţimea A nu este majorată. 4. inf A = –∞, dacă mulţimea A nu este minorată. Capitolul 1. Limite de funcţii 125 De exemplu: sup N = +∞, inf Z = –∞, sup Z = +∞, sup Q = +∞, sup R = +∞, inf Q = –∞, inf R = –∞. 5. Vecinătăţile pentru +∞ sau –∞ sunt definite astfel: i) se numeşte vecinătate a lui +∞, orice mulţime V ⊂ R, care conţine un interval de forma (a, +∞), a ∈ R; ii) se numeşte vecinătate a lui –∞, orice mulţime W ⊂ R, care conţine un interval de forma (–∞, b), b ∈ R. Observaţie: Din convenţia x < +∞, ∀x ∈ R, rezultă în particular că 0 < +∞, ceea ce ne determină să scriem ∞ în loc de +∞; Comentariu Elementele –∞ şi +∞ nu sunt numere reale, ele fiind doar simboluri matema- tice, care nu verifică toate proprietăţile din mulţimea numerelor reale R. În matematică nu se poate da un sens direct expresiilor de forma: ∞ – ∞; 0 ⋅ ∞; ∞ ∞ ; 0 0 ; 1∞; 00; ∞0, ele fiind cunoscute în analiza matematică ca forme nedeterminate. În R se dă un sens următoarelor reguli de calcul, cu simbolurile –∞ şi +∞: 1. + ∞ + ∞ = + ∞; 2. (–∞) + (–∞) = –∞; 3. a + ∞ = +∞, ∀a ∈ R; 4. a + (–∞) = –∞, ∀a ∈ R; 5. a · (+∞) =     − ∞ < + ∞ > 0 0 a a dacă dacă ; 6. a · (–∞) =     + ∞ < ∞ > ,dacă 0 – , dacă 0 a a ; 7. (+∞) · (+∞) = (–∞) · (–∞) = +∞; 8. (+∞) · (–∞) = (–∞) · (+∞) = –∞; 9. +10 = +∞ ; 10. −10 = −∞ . 126 Manual clasa a XI-a Exerciţii propuse 1. Care din submulţimile de mai jos sunt vecinătăţi ale originii: V = (–2, 3); V = (–3, 1) (2, +∞); V = [0, +∞); V = ∅? 2. Care din submulţimile următoare sunt vecinătăţi pentru –∞ sau +∞: a) [0, +∞]; b) [–∞, 1); c) [–∞, 1) ∪ (2, +∞]; d) Z; e) Q? 1.2. Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse Principalele proprietăţi ale unei funcţii. Recapitulare şi sistematizare (definiţii, lecturi grafice) În acest capitol vom recapitula pe scurt principalele proprietăţi ale funcţiilor studiate în clasele a IX-a şi a X-a, punând un accent deosebit pe aspectul intuitiv şi pe reprezentări grafice. Pentru o înţelegere mai bună considerăm util să reamintim principalele pro- prietăţi algebrice ale funcţiilor. Definiţie Se numeşte funcţie sau aplicaţie, un triplet format dintr-o mulţime A numită domeniu de definiţie, o mulţime nevidă B numită codome- niu sau mulţimea în care funcţia ia valori şi un procedeu (lege, corespondenţă), care asociază fiecărui element x ∈ A un element unic y ∈ B. Schematic se scrie ƒ: A → B sau A f → B sau x →ƒ (x); x se numeşte variabilă independentă sau argument şi y =f(x) se numeşte imaginea elementului x prin funcţia ƒ sau valoarea funcţiei ƒ în punctul x. Capitolul 1. Limite de funcţii 127 Mulţimea ƒ(A) = {y | y = ƒ (x), x ∈ A} se numeşte mulţimea valorilor funcţiei ƒ sau imaginea funcţiei ƒ, notată Im ƒ ={ƒ (x) | x ∈ A}. Fie funcţiile ƒ1 : A1 → B1 şi f2 : A2 → B2. Avem f1 = f2 dacă sunt simultan îndeplinite următoarele condiţii: A1 = A2, Bl = B2 şi œa ∈ A1, ƒ1(a) = f2 (a). Observaţie: Se poate considera că o funcţie este un triplet (ƒ, A, B), unde A este domeniul de definiţie, ƒ este legea de corespondenţă, iar B este mulţimea în care funcţia ia valori (codomeniul). Monotonia unei funcţii numerice Fie funcţia ƒ: A → B, cu A, B ⊂ R. Definiţie • Funcţia ƒ este crescătoare (respectiv strict crescătoare) pe A, dacă œx1,x2 ∈ A, cu x1 < x2, avem ƒ(x1) ≤ f(x2) (respectiv f(x1) < f(x2)). • Funcţia ƒ este descrescătoare (strict descrescătoare) pe A, dacă œx1,x2 ∈ A, cu x1 < x2, avem ƒ(x1) ≥ f(x2) (f(x1) > f(x2)). Observaţii: 1. O funcţie nu poate fi simultan strict crescătoare şi strict descrescătoare. 2. Dacă funcţia f este crescătoare şi descrescătoare atunci f este funcţia constantă. Maximul şi minimul unei funcţii numerice Definiţie Funcţia ƒ este mărginită pe mulţimea A dacă imaginea funcţiei este o mulţime mărginită. Altfel spus funcţia ƒ : A → B este mărginită dacă există numerele reale a, b, a < b astfel încât să avem a ≤ f(x) ≤b, œx ∈ A. Dacă are loc doar una din inegalităţi, de exemplu ƒ(x) ≥ a sau ƒ(x) ≤ b, œ x ∈ A, atunci funcţia ƒ este mărginită inferior sau, respectiv, mărginită superior. Facem şi aici precizarea că funcţia ƒ : A → B este mărginită, dacă există un număr real k ≥ 0, pentru care avem | ƒ (x) | ≤ k, (– k ≤ f(x) ≤ k), œx ∈ A. 128 Manual clasa a XI-a Definiţie • M ∈ R este valoarea maximă pentru funcţia ƒ definită pe mulţimea A, dacă există x0 ∈ A astfel încât ƒ(x0) = M şi ƒ(x) ≤ M, œx ∈ A. • m ∈ R este valoarea minimă pentru funcţia ƒ definită pe mulţimea A, dacă există x1 ∈ A astfel încât ƒ(x1) = m şi ƒ(x) ≥ m, œx ∈ A. Observaţie: Pe grafice se vor ilustra valorile de maxim, respectiv de minim pentru funcţiile elementare. Funcţii pare şi funcţii impare Fie A ⊆ R o mulţime nevidă. Definiţie Mulţimea A se numeşte simetrică dacă x ∈ A ⇒ –x ∈ A, œx ∈A. Exemple 1. A = [ – a, a] este simetrică,œa ∈ R, a > 0. 2. Mulţimile Al = [a, + ∞), a > 0 şi A2 = (– ∞, a], a < 0, nu sunt simetrice. Definiţie Fie A o mulţime simetrică şi funcţia ƒ : A → B. • Funcţia ƒ este impară pe mulţimea A dacă ƒ (–x) = – ƒ(x), œx ∈ A. • Funcţia ƒ este pară pe mulţimea A dacă ƒ(–x) = ƒ(x), œx ∈ A. Observăm că dacă o funcţie este pară, atunci graficul ei este simetric faţă de axa y'y şi dacă o funcţie este impară, atunci graficul este simetric faţă de originea axelor de coordonate. x ′ O x y N N ′ B (– xA, – yA) B ′ M M ′A′ A (xA, yA) y ′ Figura 1. Oricare ar fi dreapta D || xx', punctele B şi B' sunt simetrice faţă de axa yy'. x ′ x y y ′ A′(– xA , 0) O A( xA , 0) B ′(– xB ,yB) B (xB , yB) (D) Figura 2. Graficul funcţiei este simetric faţă de originea axelor de coordonate. Capitolul 1. Limite de funcţii 129 Funcţii injective, surjective, bijective Fie funcţia ƒ : A → B. Definiţie Funcţia ƒ este injectivă (injecţie) dacă pentru orice x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2, avem ƒ (x1) ≠ ƒ(x2). Afirmaţia din definiţia de mai sus este echivalentă cu condiţia: f : A→B este injectivă dacă pentru orice x1 , x2 ∈ A cu proprietatea ƒ(x1) = ƒ(x2) ⇒ x1 = x2. Intuitiv, o funcţie este injectivă dacă o paralelă oarecare D dusă prin punctele codomeniului la axa Ox intersectează graficul funcţiei Gf în cel mult un punct. Aceasta înseamnă că dreapta D poate să intersecteze graficul într-un singur punct sau poate să nu intersecteze graficul. În figura 3 este reprezentat graficul unei funcţii injective, iar în figura 4 este reprezentat graficul unei funcţii neinjective (dreapta D intersectează graficul funcţiei ƒ în două puncte distincte). Figura 3. Funcţia ƒ : R → R este injectivă Figura 4. Funcţia ƒ : R → R nu este injectivă Definiţie Funcţia ƒ : A → B este surjectivă (surjecţie) dacă oricare ar fi y ∈ B, există cel puţin un x ∈ A, astfel încât să avem ƒ(x) = y. Altfel exprimat, o funcţie este surjectivă când mulţimea valorilor funcţiei (imaginea funcţiei) coincide cu codomeniul funcţiei, adică f(A) = B. 130 Manual clasa a XI-a Intuitiv, o funcţie este surjectivă dacă o dreaptă paralelă la axa Ox dusă prin punctele codomeniului intersectează graficul în cel puţin un punct. Definiţie Funcţia ƒ : A → B este bijectivă (bijecţie) dacă este injectivă şi surjectivă. Intuitiv, o funcţie este bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă prin punctele codomeniului intersectează graficul funcţiei într-un singur punct. Funcţia ƒ : [xA, xB] → [yA, yB] este surjectivă. Dreapta D1 intersectează graficul într-un singur punct N. Dreapta D2 intersectează graficul în trei puncte distincte M1, M2, M3. Dreapta D3 intersectează graficul într-un singur punct R. Observăm că dreapta D4 nu intersectează graficul în nici un punct, dar nu poate fi luată în considerare, deoarece nu este dusă prin puncte care aparţin codomeniului. Funcţia ƒ : R → R nu este surjectivă. Dreapta D de ecuaţie y = – 1 dusă prin-un punct ce aparţine codomeniului nu intersectează graficul funcţiei Figura 7. Funcţia ƒ : R → R este bijectivă Figura 8. Funcţia ƒ : R → [a, b] nu este bijectivă, deoarece nu este injectivă Figura 5 x ′ x y y ′ O Gf (D) a b B A Figura 6 Capitolul 1. Limite de funcţii 131 Propunem ca exerciţiu următoarea propoziţie: Propoziţie. Dacă funcţia ƒ : A → B este strict monotonă, atunci ea este injectivă. Funcţii inversabile Definiţie O funcţie ƒ : A → B este inversabilă pe mulţimea A dacă există o funcţie g : B → A, astfel încât g B ƒ = 1A şi ƒ B g = 1B (unde 1A : A → A, 1A(x) = x, œx ∈ A şi 1B : B → B, 1B (y) = y, œ y ∈ B). Funcţia g cu această proprietate se numeşte inversa funcţiei f şi se notează ƒ–1 : B → A. Avem următoarea proprietate: Teoremă. Funcţia ƒ : A → B este inversabilă dacă şi numai dacă este bijectivă. Geometric, graficele funcţiilor directă şi inversă sunt simetrice faţă de prima bisectoare a axelor de coordonate. În figura 9 este reprezentat graficul unei funcţii inversabile, iar în figura 10 este reprezentat graficul unei funcţii care nu este inversabilă. x ′ x y y ′ O A (xA, 0) A ′ (0, xA) B ′ B (xB, yB) B ′( yB, xB) Gf Gf–1 M ′ M prima bisectoare Figura 9. Funcţia ƒ : [xA,xB] → R este bijectivă, admite inversă, iar graficul funcţiei inverse −1 f G , este simetric faţă de prima bisectoare a axelor de coordonate. Figura 10. Funcţia ƒ : [xA,xB] → R nu este inversabilă, deoarece nu este injectivă, dreapta D intersectând graficul în două puncte distincte M şi N. x ′ x y y ′ O (D) B xA xB A Gf M N 132 Manual clasa a XI-a Funcţii periodice Definiţie Fie I ⊆ R şi funcţia ƒ : I → R. Funcţia ƒ se numeşte periodică de perioadă T, T ∈ R \ {0}, dacă ƒ(x + T) = ƒ(x) pentru orice x ∈ I pentru care x + T ∈ I şi x – T ∈ I. Consecinţe imediate Fie ƒ : I → R o funcţie periodică. 1. Dacă T este o perioadă a funcţiei şi n ∈ Z*, atunci şi nT este o perioadă a funcţiei, adică ƒ(x + nT) = f(x), œx ∈ I (exerciţiu). 2. Cea mai mică perioadă strict pozitivă T0, dacă există, se numeşte perioada principală a funcţiei. În acest caz este suficient să reprezentăm graficul funcţiei pe un interval de lungime egală cu perioada principală, adică pe intervalul [0, T0]. 3. Există funcţii periodice care nu admit perioadă principală. Exemplu, funcţia ƒ : R → R,     ∈ ∈ = R Q Q 0, \ 1, ( ) x x f x (funcţia lui Dirichlet). Se constată că orice număr raţional este perioadă pentru funcţia ƒ, însă ƒ nu admite perioadă principală. Cele mai ilustrative exemple de funcţii periodice sunt oferite de studiul funcţiilor trigonometrice, care se va face ulterior. Funcţii convexe şi funcţii concave Reamintim definiţia noţiunii de funcţie convexă, respectiv funcţie concavă, învăţate în clasa a X-a. Definiţia 1 Fie I ⊂ R un interval. Funcţia ƒ : I → R este convexă dacă œx1, x2 ∈ I şi œλ ∈ [0, 1], avem: ƒ (λx1 + (1 − λ) x2) ≤ λ ƒ(x1) + (1 − λ)ƒ(x2). Intuitiv vom spune că graficul funcţiei ƒ „ţine apa“ Definiţia 2 Fie I ⊂ R un interval. Funcţia ƒ : I → R este concavă dacă œx1, x2 ∈ I şi œλ ∈ [0, 1], avem: ƒ (λx1 + (1 − λ) x2) ≥ λ ƒ(x1) + (1 − λ)ƒ(x2). Intuitiv vom spune că graficul funcţiei ƒ „nu ţine apa“ Cu ajutorul acestor definiţii şi ţinând cont de natura graficelor, vom determina intervalele de convexitate (respectiv concavitate) pentru funcţiile elementare studiate în clasele a IX-a şi a X-a. Capitolul 1. Limite de funcţii 133 Principalele tipuri de funcţii A. Funcţia polinomială de gradul întâi Definiţie O funcţie ƒ : R → R, ƒ(x) = a0x n + a1x n – 1 +…+ an, unde ai ∈ R, se numeşte funcţie polinominală. Cazuri particulare 1. Dacă toţi coeficienţii ai sunt nuli, atunci funcţia polinomială este funcţia nulă. 2. Dacă a0 ≠ 0 şi n = 1, atunci funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = a0x +a1, se numeşte funcţie de gradul întâi. 3. Dacă a0 ≠ 0, n = 2, ƒ : R → R, f(x) = a0x2 + a1x + a2, se numeşte funcţie polinomială de gradul doi sau trinom de gradul doi. 4. Dacă a0 ≠ 0 şi n ∈ N*, vom spune că f are gradul n. Comentariu Ca metodă generală pentru punerea în evidenţă a proprietăţilor funcţiilor elementare, vom întocmi tabelul de valori, vom uni punctele importante obţinute printr-o linie continuă şi vom obţine alura graficului funcţiei, care ne va ajuta să punem în evidenţă şi principalele proprietăţi, care au fost studiate în clasele anterioare. a) Funcţia liniară: ƒ : R →R, ƒ(x) = ax, a ∈ R*. Vom distinge două cazuri după semnul lui a: Cazul a > 0 Tabelul de valori: x –∞ – 1 0 1 +∞ ƒ(x) –∞ –a 0 a +∞ Caracteristici importante ale funcţiei liniare 1. Graficul funcţiei este o dreaptă care trece prin originea axelor de coordonate. 2. Funcţia este strict crescătoare pe R. 3. Pentru x ≥ 0, avem ƒ(x) ≥ 0 şi pentru x ≤ 0, avem ƒ (x) ≤ 0. 4. Funcţia este impară: ƒ(– x) = –f(x), œ x ∈R. 5. Funcţia este bijectivă pe R. 6. Funcţia este inversabilă pe R şi inversa ƒ –1 : R → R, y x f y a 1 = −1( ) = . 134 Manual clasa a XI-a 7. Funcţia nu este periodică. 8. Funcţia nu este mărginită. 9. Funcţia nu este nici strict convexă şi nici strict concavă pe R. 10. Verifică ecuaţia funcţională f(x + y) = ƒ(x) +ƒ (y), œ x, y ∈ R. Cazul a < 0 Un raţionament asemănător se va face pentru cazul a < 0 (pe care îl propunem ca exerciţiu independent). b) Funcţia de gradul întâi: ƒƒƒƒ : RRRR →→→→ RRRR, ƒƒƒƒ(x) = ax + b (a ≠≠≠≠ 0) 1. Graficul funcţiei este o dreaptă care intersectează axa Ox în punctul      = − , 0 a b A şi axa Oy în punctul B(0, b). 2. Funcţia este strict crescătoare dacă a > 0 şi strict descrescătoare dacă a < 0. 3. Funcţia este bijectivă şi deci inversabilă; funcţia inversă este ƒ –1 : R → R. ƒ–1 (y) (y b) = a − 1 , cu graficul dat în fig. 11, care intersectează axa Ox în punctul A'(b,0) şi axa Oy în       − a b B' 0, . 4. Funcţia nu este periodică. 5. Funcţia nu este mărginită pe R. 6. Funcţia nu este nici strict convexă şi nici strict concavă pe R. 7.      − + < − + ≥ − = + = a b ax b x a b ax b x f x ax b ( ), , | ( )| | | . 8. Verifică ecuaţia funcţională f(x + y) – f(x) – ƒ(y) = – b, œx ∈ R. x ′ x y y ′ O A A ′ B B ′ 1 –a f –1(x) = (x – b) f(x)=ax + b Figura 11 Capitolul 1. Limite de funcţii 135 c) Funcţia de gradul al doilea Definiţie O funcţie ƒ : R → R definită prin formula f(x) = ax2 + bx + c, unde a, b, c ∈ R, a ≠ 0, se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţi a, b, c. Caracteristici importante ale funcţiei de gradul al doilea: 1. Dreapta de ecuaţie a b x = − 2 este axă de simetrie, adică:      = − −      − + x a b x f a b f 2 2 , œx ∈ R. 2. Graficul este o parabolă, iar punctul      = − − Δ a a b V 2 , 4 aparţine graficului funcţiei şi se numeşte vârful parabolei. 3. Funcţia de gradul al doilea admite un maxim pentru a < 0 şi un minim pentru a > 0, astfel: dacă: a > 0 ⇒ œx ∈ R, ƒ(x) ≥ − 4Δa şi dacă a < 0 ⇒ œx ∈ R, f (x) 4a Δ ≤ − . 4. Pentru a > 0 funcţia este convexă pe R şi pentru a < 0 funcţia este concavă pe R. 5. Graficul intersectează axa Oy în punctul A(0, c). 6. Intersecţia graficului funcţiei cu axa absciselor depinde de semnul lui Δ = b2 – 4ac (discriminatul ecuaţiei ax2 + bx + c = 0) a) Δ > 0, graficul intersectează axa absciselor în două puncte distincte; b) Δ = 0, graficul intersectează axa absciselor într-un singur punct x0 (numit punct dublu, deoarece x1 = x2) şi este tangent la axa absciselor în punctul x0; c) Δ < 0, graficul nu intersectează axa absciselor fiind situat în întregime fie în semiplanul pozitiv (y > 0), fie în semiplanul negativ (y < 0). 7. Funcţia de gradul al doilea nu este nici injectivă, nici surjectivă, nici bijectivă. Acest lucru se poate ilustra grafic cu o dreaptă variabilă paralelă cu axa x'x. 8. Funcţia de gradul al doilea nu este monotonă pe R. În funcţie de semnul lui a vom pune în evidenţă intervale de monotonie (strictă monotonie). 136 Manual clasa a XI-a Astfel: i) Dacă a > 0, atunci funcţia ƒ este strict descrescătoare pe    −∞ − a b , 2 şi strict crescătoare pe     − ,+∞ 2a b . ii) Dacă a < 0, atunci funcţia ƒ este strict crescătoare pe    −∞ − a b , 2 şi strict descrescătoare pe     − ,+∞ 2a b . 9. Funcţia de gradul al doilea nu este mărginită pe R. Pentru a < 0 este mărginită superior şi avem: –∞ < ƒ(x) 4a Δ ≤ − , iar sup ( ) = max ( ) = − 4Δ şi inf ( ) = −∞. ∈ ∈ ∈ f x x R f x x R f x a x R Pentru a > 0, este mărginită inferior şi avem: + ∞ > ≥ − Δ = +∞ ∈ , iar sup ( ) f (x) 4a x R f x şi f x f x a x x 4 inf ( ) = min ( ) = − Δ ∈R ∈R . 10. Funcţia de gradul al doilea pe R nu este inversabilă. Pe intervalele de strictă monotonie funcţia este bijectivă, deci este inversabilă. 11. Semnul funcţiei depinde de semnul lui a şi Δ şi vom distinge următoarele cazuri: Vom prezenta în continuare interpretarea geometrică a semnului funcţiei de gradul doi şi rezolvarea grafică a unor inecuaţii de gradul al doilea. Considerăm funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = ax2 + bx + c şi ecuaţia ax2 + bx + c = 0. i) Cazul a > 0 Semnul lui ΔΔΔΔ Semnul funcţiei Interpretare geometrică Δ > 0 f (x) = a(x − x1)(x − x2) , œx ∈ R + + + x1 O x2 + + + y x Capitolul 1. Limite de funcţii 137 Δ = 0 f (x) = a(x − x1)2, œx ∈ R x1= x2 + + + + + + O y x Δ < 0 a a b f x a x ( ) 2 4 2 + − Δ      =  + , œx ∈ R + + + + + + + + + O y x ii) Să se alcătuiască un tabel asemănător şi pentru a < 0. Test de evaluare Fie ƒ : R → R, f (x) = 12 x2 − 2x şi P reprezentarea ei grafică. (2p) a) Indicaţi mulţimea soluţiilor inecuaţiei 12 x2 − 2x ≥ 0. (2p) b) Care este mulţimea soluţiilor inecuaţiei 12 x2 − 2x < 0? (2p) c) Regăsiţi rezultatele de la a) şi b) alcătuind tabelul semnelor funcţiei: ƒ(x) = 12 x2 − 2x. (2p) d) Rezolvaţi inecuaţia ƒ(x) ≥ x. Timp de lucru: 30 de minute. P 138 Manual clasa a XI-a Probleme propuse 1. Fie funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = 12 x2 − 4x + 6 . a) Să se reprezinte grafic funcţia într-un sistem de axe ortogonale. b) Să se indice pe grafic mulţimea soluţiilor inecuaţiilor ƒ(x) ≥ 0 şi ƒ(x) < 0. 2. Să se rezolve inecuaţiile: a) 6x2 + x – 1 ≤ 0; b) –2x2 + 3x – 1 > 0; c) x2 – x – 1 ≤ 0; d) –5x2 – 3x – 2 ≥ 0. 3. Fie inecuaţia x2 – 4x + 4m2 > 0. Să se determine valoarea parametrului real m, astfel încât mulţimea soluţiilor inecuaţiei să fie mulţimea numerelor reale. 4. Fie inecuaţia: − x2 + 2x + m < 0. Să se determine valoarea parametrului real m, astfel încât mulţimea soluţiilor inecuaţiei să fie mulţimea numerelor reale. 5. Determinaţi funcţia de gradul al doilea care trece prin punctele A (0, 1); B (1, 2); C (3, 10). 6. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic trece prin punctul A (0, 3), iar punctul de extrem al graficului este V (−2, −1). Reprezentaţi grafic funcţia obţinută. 7. Să se reprezinte grafic funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = |x2 − 4x + 3|. 8. Se consideră familia de funcţii de gradul al doilea ƒm : R → R, ƒm(x) = x2 − 2(m − 2)x + m − 2, unde m ∈ R. 1) Să se arate că vârfurile parabolelor asociate acestor funcţii se găsesc pe o parabolă. 2) Pentru ce valori ale lui m ∈ R, parabola asociată funcţiei ƒm are vârful sub axa Ox? 9. Fie funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Să se arate că dacă ecuaţia ƒ(x) = x nu are rădăcini reale, atunci nici ecuaţia ƒ(ƒ(x)) = x, nu are rădăcini reale. Capitolul 1. Limite de funcţii 139 B. Funcţia raţională Definiţie O funcţie raţională este o funcţie ƒ : I → R, de forma: q q q p p p b x b x b a x a x a f x = ++ − ++……++ − 1 0 1 1 ( ) 0 1 , unde b0xq + b1x q–1 + …+ bq ≠ 0, œx ∈ I, p, q ∈ N*. Observaţie: Dacă b0x q + b1x q – 1 + …+ bq ≠ 0, œx ∈ R, atunci funcţia raţională este definită pe întreaga axă a numerelor reale. Exemple 1. ƒ : R → R, 1 1 ( ) 2 + + = x x f x , este funcţie raţională pe R. 2. ƒ : R → R, 1 1 ( ) 2 2 + + = x x f x , este de asemenea o funcţie raţională pe R. 3. ƒ : I → R, 1 ( ) 2 − = x x f x , nu poate fi definită pe R, deoarece pentru x = – 1 şi x = 1 numitorul se anulează; în acest caz I = R \ {–1, 1}. 4. ƒ : R \    − c d → R, cx d ax b f x + + ( ) = , unde c ≠ 0 şi ad − bc ≠ 0; ƒ se numeşte funcţie omografică. Pentru anumite valori particulare date coeficienţilor reali a, b, c, d obţinem funcţii particulare. Vom prezenta în continuare principalele proprietăţi ale funcţiei ƒ : R* → R*, ƒ(x) = x 1 : 140 Manual clasa a XI-a Funcţia/Domeniu de definiţie –∞∞∞∞ 0 +∞∞∞∞ 1. semn – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + 2. monotonie strict descrescătoare strict descrescătoare 3. concavitate/convexitate concavă convexă 4. periodicitate nu este periodică nu este periodică 5. funcţia inversă ƒ : (–∞, 0) → (–∞, 0) este bijectivă, admite inversă şi ƒ–1 : (–∞, 0) → (–∞, 0), x = f −1(y) = 1y ƒ : (0, +∞) → (0, +∞) este bijectivă, admite inversă şi ƒ–1 : (0, +∞) → (0, +∞), x f y y 1 = −1( ) = Tabelul de variaţie şi graficul funcţiei ƒ : R* → R*, ƒ(x) = x 1 : Figura 12 Justificări a) semnul funcţiei: pentru x > 0 ⇒ x 1 > 0 şi pentru x < 0 ⇒ x 1 < 0; b) monotonia: – pentru x ∈ (–∞, 0); Fie 0 > x1 > x2 ⇒ 1 1 x < 2 1 x ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2) (strict descrescătoare); – pentru x ∈ (0, +∞); Fie x1 > x2 > 0 ⇒ 1 1 x < 2 1 x ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2) (strict descrescătoare); c) mărginirea: x ∈ (–∞, 0) ⇒ ƒ(x) < 0; funcţia este mărginită superior; x ∈ (0, +∞) ⇒ ƒ(x) > 0; funcţia este mărginită inferior. y y ′ x ′ O x −∞ 2 − 1 −1 ∞ 1 2 1 Capitolul 1. Limite de funcţii 141 Test de evaluare (2p) 1. Construiţi graficul funcţiei ƒ : R \ {0}→ R, ƒ(x) = − x 1 ; (2p) 2. Se dau funcţiile: ƒ : R → R, ƒ(x) = 1 1 x2 + şi g : R → R, g(x) = x + 1. Să se calculeze: ƒ B g şi g B ƒ. (2p) 3. Să se discute după valorile parametrului m, semnul funcţiei ƒm : R \{0, 1} → R, x x x mx fm x − = + 2 2 ( ) . (2p) 4. Să se calculeze Im f, unde ƒ : R → R, 1 2 3 ( ) 2 2 + + = − − x x x x f x . Timp de lucru: 45 de minute. Exerciţii propuse 1. Se consideră funcţiile: f1 : R \ {0} → R \ {0}, f1(x) = x, f2 : R \ {0} → R \ {0}, f2(x) = x, ( ) f x x 1 2 = , f3 : R \ {0} → R \ {0}, f3(x) = –x, f4 : R \ {0} → R \ {0}, f4(x) = – x 1 , şi mulţimea M = {f1, f2, f3, f4}. a) Să se arate că dacă compunem oricare două funcţii din M, funcţia obţinută este tot o funcţie care aparţine mulţimii M. b) Să se reprezinte grafic în acelaşi sistem de axe de coordonate, funcţiile f1, f2, f3, f4. 2. Fie mulţimea H = R \ {0, 1} şi funcţiile fi : H → H (i =1,6); f1(x) = x, ( ) f x =1− x 1 2 , ( ) x x f3 x = −1 , ( ) f x x 1 4 = , f5(x) = 1 – x, ( ) 6 −1 = x x f x , ∀x ∈ H. a) Să se arate că pentru oricare două funcţii din M, funcţia compusă este o funcţie care aparţine mulţimii M = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}. 142 Manual clasa a XI-a b) Să se reprezinte grafic funcţiile în acelaşi sistem de axe de coordonate. c) Să se pună în evidenţă principalele proprietăţi pentru funcţiile f2, f3, f5, f6. 3. Se consideră funcţia f : (0, +∞) → (0, +∞), ( ) ax x a f x =1++ . Să se determine a ∈ [0, +∞), astfel încât ( f o f )(x)= x , ∀x ∈ (0, +∞). 4. Puneţi în evidenţă principalele proprietăţi ale funcţiilor numerice f1, f2 : R \ {1} → R ale căror grafice sunt trasate în figurile de mai jos. y O x 1 Gf 1 Gf B (0,2) x =1 y O x 2 Gf 2 Gf B (0,2) x =1 y =1 A a) b) Figura 13 C. Funcţia putere cu exponent număr natural Definiţie Fie n ∈ N*. Funcţia f : R → R, f (x) = xn se numeşte funcţia putere de gradul n. Observaţii: 1) Funcţia putere este o funcţie numerică. 2) Pentru n = 1, se obţine funcţia liniară f : R → R, f (x) = x, iar pentru n = 2, se obţine funcţia de gradul doi f : R → R, f (x) = x2. Proprietăţile funcţiei putere 1. Monotonia a) dacă n este un număr par, funcţia f : R → R, f (x) = xn este strict descrescătoare pe intervalul (–∞, 0] şi strict crescătoare pe intervalul [0, +∞); b) dacă n este un număr impar, funcţia putere este strict crescătoare pe R. Capitolul 1. Limite de funcţii 143 O x y 1 2 x x 3 2. Paritatea a) dacă n este un număr par, atunci funcţia putere este funcţie pară, adică f (–x) = f (x), ∀x ∈ R; b) dacă n este un număr impar, atunci funcţia putere este funcţie impară, adică f (–x) = – f(x), ∀x ∈ R. 3. Bijectivitatea a) Pentru n impar, funcţia este bijectivă şi deci este inversabilă; b) Pentru n par, funcţia nu este bijectivă şi deci nu este inversabilă. 4. Mărginirea a) Pentru n impar, funcţia este nemărginită: ( )= +∞ ∈ f x x R sup şi ( )= −∞ ∈ f x x R inf ; b) Pentru n par, funcţia este mărginită inferior şi nu este mărginită superior; inf ( )= min ( )=0 ∈ ∈ f x f x x R x R ; ( )= +∞ ∈ f x x R sup . 5. Graficul Graficul se construieşte prin puncte, care se unesc printr-o linie continuă. a) În figura 14 este prezentat graficul funcţiei ƒ : R → R, ƒ(x) = x3. • Domeniul de definiţie: R. • Tabelul de valori asociat • Proprietăţile graficului – trece prin originea axelor O; – ramura din dreapta a graficului se găseşte deasupra axei Ox, iar ramura din stânga se găseşte sub axa Ox; – admite pe O centru de simetrie (funcţia este impară: (– x)3 = – x3. Figura 14 –∞ +∞ 144 Manual clasa a XI-a Observaţie: Graficul funcţiei f (x) = x2k+1 (k ∈ N) are o comportare asemănătoare cu graficul funcţiei f (x) = x3. Comentariu Funcţia f : R → R, f (x) = x3 este o funcţie inversabilă (fiind bijectivă), a cărei funcţie inversă este f –1 : R → R, f –1 (x) = 3 x , numită funcţia radical de ordinul 3 (care va fi studiată în urmă- torul paragraf) (fig. 15). În general, dacă n = 2k + 1, k ∈ N, funcţia f(x) = xn este inversabilă cu inversa f –1 : R → R, f –1 (x) = n x , numită funcţia radical de ordinul n. b) În figura 16 este prezentat graficul funcţiei f : R → R, f (x) = x4 • Domeniul de definiţie: R • Tabelul de valori asociat • Proprietăţile graficului: – trece prin originea axelor; – se găseşte deasupra axei Ox; – axa Ox este axă de simetrie (funcţia este pară: (–x)4 = x4); – graficul „ţine apa” (funcţia este convexă). Trasarea graficului funcţiei f (x) = x4 se face prin puncte. Observaţie: Graficul funcţiei f (x) = x2k (k ≥ 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcţiei f (x) = x4. Figura 15 +∞ +∞ O x y –2 –1 1 2 x x4 Figura 16 16 Capitolul 1. Limite de funcţii 145 Comentariu Restricţia f : [0,∞) → [0,∞), f (x) = x4 este o funcţie inversabilă cu funcţia inversă f –1 : [0, ∞) → [0, ∞), f –1 (x) = 4 x numită funcţia radical de ordinul 4. În general, restricţia f : [0,∞) → [0,∞), f (x) = x2k reprezintă o funcţie inversabilă, cu funcţia inversă f –1 : [0, ∞) → [0, ∞), f –1 (x) = 2k x numită funcţia radical de ordinul 2k. Funcţia f : R → R, f (x) = x2k este convexă pe R. Exerciţiu rezolvat Fie f : R → R, f (x) = x4. Să se arate că pentru orice x1, x2 ∈ R avem: ( ) ( ) 2 2 x1 x2 f x1 f x2 f  ≤ +      + . Soluţie: Metoda 1 Inegalitatea se scrie succesiv:  ≤ + ⇔ ( + ) ≤ + ⇔      + 4 2 4 1 4 1 2 4 2 4 1 4 1 2 8 8 2 2 x x x x x x x x ⇔ ( − ) ( + + )≥ ⇔ ⇔ + − − − ≥ ⇔ 7 7 10 0 7 7 6 4 4 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 2 2 1 4 2 4 1 x x x x x x x x x x x x x x ⇔ (x1 − x2 )2(2x12 + 2x22 + 5(x1 + x2 )2 )≥ 0 . Metoda 2 Deoarece funcţia f este convexă, avem: f [tx1 + (1 – t)x2] ≤ tf (x1) + (1 – t)f (x2), ∀x1, x2 ∈ R şi ∀t ∈ [0, 1]. Dacă considerăm 2 t = 1 , obţinem inegalitatea cerută. Figura 17 146 Manual clasa a XI-a Exerciţii propuse 1. Să se studieze şi să se reprezinte grafic următoarele funcţii: a) f : R → R, f (x) = x3 + 1, b) f : R → R, f (x) = (x + 1)3, c) f : R → R, f (x) = x4 – 1, d) f : R → R, f (x) = x3 + 1. 2. Să se arate că funcţiile următoare sunt crescătoare: a) f : R → R, f (x) = x3 + x + 10, b) f : R → R, f (x) = x33 + x3 +3. 3. Fie funcţia f : R → R, f (x) = x3, a) Să se arate că dacă x1, x2 ∈ [0, ∞), atunci: ( ) ( ) 3 2 3 x1 2x2 f x1 f x2 f ≤ +      + . b) Să se arate că dacă x1, x2 ∈ (–∞, 0), atunci: ( ) ( ) 4 3 4 x1 3x2 f x1 f x2 f  ≤ +      + . D. Funcţia radical Definiţie Fie n ∈ N*, n ≥ 2 (n par). Funcţia f : [0, +∞) → [0, +∞) , f (x) = n x , se numeşte funcţie radical de indice par. Proprietăţile funcţiei radical de indice par 1. Funcţia radical este strict crescătoare pe [0, +∞). 2. Funcţia radical este bijectivă, deci este inversabilă şi funcţia inversă f –1 : [0, +∞) → [0, +∞), f (x) = xn.. 3. Mărginirea: [ ) ( ) [ ) inf min ( ) 0 0, 0, = = ∈ +∞ ∈ +∞ f x f x x x şi [ ) ( )= +∞ ∈ +∞ f x x 0, sup . 4. Funcţia este concavă. Definiţie Fie n ∈ N *, n > 2 (n impar). Funcţia f : R → R, f (x) = n x , se numeşte funcţie radical de indice impar. Capitolul 1. Limite de funcţii 147 Proprietăţile funcţiei radical de indice impar 1. Funcţia este strict crescătoare pe R. 2. Funcţia este inversabilă pe R şi funcţia inversă este f –1 : R → R, f (x) = xn (n impar) 3. Funcţia radical de indice impar este nemărginită: ( )= −∞ ∈ f x x R inf şi ( )= +∞ ∈ f x x R sup . 4. Pentru x ∈ (–∞, 0) funcţia este convexă şi pentru x ∈ (0, +∞), concavă. 5. Graficul se face prin puncte, care se unesc printr-o linie continuă. În figura 18 este reprezentat graficul funcţiei ƒ : [0, ∞) → [0, ∞), ƒ(x) = x , iar în figura 19 este reprezentat graficul funcţiei ƒ : R → R, ƒ(x) = 3 x . Figura 18 Figura 19 Test de evaluare Fie funcţiile: ƒ : [0, +∞) → [1, +∞), ƒ(x) = x +1; g : [1, +∞) → [0, +∞), g(x) = x −1 ; h : [–1, +∞) → [–1, +∞), h(x) = x +1 ; (2p) a) Să se reprezinte grafic funcţiile date. (2p) b) Să se studieze paritatea, monotonia şi convexitatea funcţiilor (pe grafic). (2p) c) Care din funcţiile de mai sus sunt injective, surjective, bijective? (2p) d) Calculaţi inversele pentru funcţiile bijective şi construiţi graficele corespun- zătoare. Timp de lucru: 40 de minute. O x y y = x x √x 3 1 1 x x3 148 Manual clasa a XI-a Probleme propuse 1. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f (x)= (x −1)2 + (x + 2)2 şi studiaţi convexitatea funcţiei. 2. Fie funcţiile: f : R → R, ƒ(x) = 3 x +1 ; g : R → R, g(x) = 3 x −1; h : R → R, h (x) = 3 | x| . a) Să se reprezinte grafic funcţiile date. b) Să se studieze paritatea, monotonia şi convexitatea funcţiilor. c) Care din funcţiile de mai sus sunt injective, surjective, bijective? Calculaţi inversele pentru funcţiile bijective şi construiţi graficele corespunzătoare. 3. Să se arate că f : [1, ∞) → [1, ∞), f (x)= x + x2 −1 este bijectivă şi să se determine f –1(x). 4. Fie funcţia f : R → R, f (x) = x2 +1 − x a) Să se studieze semnul funcţiei. b) Să se studieze monotonia funcţiei. 5. Se dau funcţiile: f : R → R şi g : R → R, f (x) = x2 +1 şi g(x) = x2 + 2 . a) Să se compare ƒ B g şi g B ƒ. b) Să se determine intervalele pe care funcţiile sunt bijective şi determinaţi inversele corespunzătoare. 6. Se consideră funcţia f : (1, +∞) → (0, +∞), 1 1 f (x) = xx +− . a) Să se studieze monotonia funcţiei. b) Să se determine intervalele de convexitate (concavitate). c) Să se studieze bijectivitatea funcţiei. E. Funcţia exponenţială Definiţie Fie a ∈ (0, +∞) \ {1}. Funcţia f : R → (0, +∞), f (x) = a x, se numeşte funcţie exponenţială. Capitolul 1. Limite de funcţii 149 Pentru a pune în evidenţă principalele proprietăţi şi graficul funcţiei vom lua în consideraţie existenţa a două cazuri ţinând seama de poziţia lui a faţă de 1. Vom alcătui următoarea schemă centralizatoare. ƒƒƒƒ(x) = ax Cazul 1. a > 1 Cazul 2. 0 < a < 1 1. domeniul de definiţie R = (–∞, +∞) R = (–∞, +∞) 2. mulţimea valorilor f (R) = (0, +∞) f (R) = (0, +∞) 3. semn f (x) > 0, ∀x ∈ R f (x) > 0, ∀x ∈ R 4. monotonie strict crescătoare pe R strict descrescătoare pe R 5. bijectivitate bijectivă pe R bijectivă pe R 6. convexitate, concavitate convexă pe R convexă pe R 7. inversabili- tate ∃ f –1 : (0, +∞) → R, x = f –1(y) = loga y ∃ f –1 : (0, +∞) → R, x = f –1(y) = loga y 8. mărginire 0 < ƒ(x) < +∞ este mărginită inferior, dar nu este mărginită superior: inf ( )= 0 ∈ f x x R şi ( )= +∞ ∈ f x x R sup 0 < f (x) < +∞ este mărginită inferior, dar nu este mărginită superior: inf ( )=0 ∈ f x x R şi ( )= +∞ ∈ f x x R sup 9. periodicitate, paritate nu este periodică, nu este pară şi nici impară nu este periodică, nu este pară şi nici impară 10. Graficul Intersectează axa Oy în punctul A(0, 1) şi se apropie de semiaxa negativă a axei absciselor fără să o atingă. O x y A (0, 1) Intersectează axa Oy în punctul A(0, 1) şi se apropie de semiaxa pozitivă a axei absciselor fără să o atingă. O x y A (0, 1) 150 Manual clasa a XI-a ƒƒƒƒ(x) = ax Cazul 1. a > 1 Cazul 2. 0 < a < 1 11. Graficul funcţiei inverse Intersectează axa Ox în punctul B(1, 0). Se apropie de semiaxa negativă a axei ordonatelor fără să o atingă O x y B (1, 0) A (0, 1) x a loga x y = x Intersectează axa Ox în punctul B(1, 0). Se apropie de semiaxa pozitivă a axei ordonatelor fără să o atingă O x y y = x B (1, 0) A (0, 1) x a loga x C Test de evaluare (2p) 1. Să se construiască graficele următoarelor funcţii: (2p) a) ƒ(x) = 2x+1; b) ƒ(x) = 3x–1; c) ƒ(x) = 1 2 1 −       x . (2p) 2. Să se rezolve următoarele ecuaţii: 2x + 3x = 5x; x x x     + = 6 5 3 1 2 1 . (2p) 3. Să se determine x ∈ R, pentru care are sens 2x −3x . (2p) 4. Să se determine x ∈ R, astfel ca (22x )2x = (4x )4x . Timp de lucru: 40 de minute. F. Funcţia logaritmică Definiţie Fie a ∈ (0, +∞) \ {1}. Funcţia f : (0, +∞) → R, f (x) = loga x, se numeşte funcţie logaritmică de bază a. Capitolul 1. Limite de funcţii 151 Ca şi la funcţia exponenţială vom lua în consideraţie cele două cazuri, ţinând seama de poziţionarea lui a faţă de 1. ƒƒƒƒ(x) = loga x Cazul 1. a > 1 Cazul 2. 0 < a < 1 1. domeniul de definiţie D D = (0, +∞) D = (0, +∞) 2. mulţimea valorilor f (0, +∞) = (–∞, +∞) = R f (0, +∞) = (–∞, +∞) = R 3. semn x ∈ (0, 1) ⇒ f (x) ≤ 0 x > 1 ⇒ f (x) > 0 x ∈ (0, 1) ⇒ f (x) ≥ 0 x > 1 ⇒ f (x) < 0 4. monotonie strict crescătoare strict descrescătoare 5. bijectivitate bijectivă pe (0, +∞) bijectivă pe (0, +∞) 6. convexitate concavă convexă 7. inversabilitate ∃ ƒ–1 : R → (0, ∞), x = ƒ –1(y) = a y ∃ ƒ–1 : R → (0, ∞), x = ƒ –1(y) = a y 8. mărginire nu este mărginită nu este mărginită 9. periodicitate, simetrie, paritate nu este periodică, nu este pară sau impară nu este periodică, nu este pară sau impară 10. Graficul: Intersectează axa Ox în punctul A(1, 0). Se apropie de semiaxa negativă a axei ordonatelor fără să o atingă Intersectează axa Ox în punctul A(1, 0). Se apropie de semiaxa pozitivă a axei ordonatelor fără să o atingă O x y A (1, 0) loga x Test de evaluare (2p) 1. Să se construiască graficele funcţiilor următoare: a) ƒ(x) = log2 x; b) ƒ(x) = x 2 log1 ; c) ƒ(x) = log3 (x + 1). 152 Manual clasa a XI-a (2p) 2. Să se rezolve următoarele ecuaţii: a) log2 x + log3 x = 0; b) log log 0 2 2 x + 1 x = ; c) log3 (log2 x) = 0; d) log log 1 4 2 x + 1 x = . (2p) 3. Să se determine valorile lui x ∈ R, pentru care are sens log2 x + log3 x . (2p) 4. Se consideră funcţia f : (0, +∞) → R, f (x) x x 2 = log2 + log1 . a) Să se studieze monotonia funcţiei; b) Să se studieze mărginirea funcţiei. Timp de lucru: 50 de minute. G. Tabele cu proprietăţile funcţiilor trigonometrice directe şi inverse În tabelul următor vom sintetiza principalele proprietăţi ale funcţiilor sinus şi arcsinus. sin : RRRR →→→→ [–1, 1] arcsin : [–1, 1] →→→→    − 2 π 2 π , 1. domeniul de definiţie D = R D = [–1, 1] 2. periodicitate funcţie periodică de perioadă principală t0 = 2π (poate fi studiată pe intervalul [0, 2π)) funcţia nu este periodică 3. paritate sin (–x) = – sin x (funcţie impară) arcsin (–x) = – arcsin x (funcţie impară) 4. monotonie • pentru x ∈ [0, 2 π ] sau x ∈ ,2 ) 2 3 [ π π , funcţia este strict crescătoare • pentru x ∈ ( 2 π , 2 3π ), funcţia este strict descrescătoare funcţie strict crescătoare 5. convexitate pentru x ∈ [0, π), funcţia este concavă, iar pentru x ∈ [π, 2π), funcţia este convexă pentru x ∈ [–1, 0), funcţia este concavă, iar pentru x ∈ [0, 1], funcţia este convexă 6. semn sin x ≥ 0 pentru x ∈ [0, π] sin x ≤ 0 pentru x ∈ [π, 2π] arcsin x < 0 pentru x ∈ [–1, 0) arcsin x ≥ 0 pentru x ∈ [0, 1] Capitolul 1. Limite de funcţii 153 7. mărginire – 1 ≤ sin x ≤ 1, œx ∈ R 2 π − ≤ arcsin x ≤ 2 π , œ x ∈ [–1, 1] 8. bijectivitate şi inversabilitate pentru x ∈ [– 2 π , 2 π ], funcţia este bijectivă, deci inversabilă pe acest interval funcţie bijectivă, deci inversabilă 9. reprezentare grafică şi simetrii graficul intersectează axa Ox în punctele de abscisă kπ, k ∈ Z, şi este simetric faţă de origine graficul intersectează axa Ox în origine şi este simetric faţă de origine În tabelul următor vom sintetiza principalele proprietăţi ale funcţiilor cosinus şi arccosinus. cos : RRRR →→→→ [–1, 1] arccos : [–1, 1] →→→→ [0, ππππ] 1. domeniul de definiţie D = R D = [–1, 1] 2. periodicitate funcţie periodică de perioadă principală t0 = 2π (poate fi studiată pe intervalul [0, 2π)) funcţia nu este periodică 3. paritate cos (–x) = cos x (funcţie pară) arccos (–x) = π – arccos x funcţia nu este nici pară nici impară 4. monotonie • pentru x ∈ [0,π] funcţia este strict descrescătoare • pentru x ∈ [π, 2π), funcţia este strict crescătoare funcţie strict descrescătoare 5. convexitate pentru x ∈ [0, 2 π ] şi x ∈ [ 2 3π , 2π], funcţia este concavă, iar pentru x ∈ [ 2 π , 2 3π ] funcţia este convexă pentru x ∈ [–1, 0], funcţia este convexă, iar pentru x ∈ [0, 1], funcţia este concavă 154 Manual clasa a XI-a 6. semn cos x ≥ 0 pentru x ∈ [0, 2 π ]∪ [ 32π ,2π ) cos x ≤ 0 pentru x ∈ [ 2 π , 2 3π ] arccos x ≥ 0 pentru x ∈ [–1, 1] 7. mărginire – 1 ≤ cos x ≤ 1, œx ∈ R 0 ≤ arccos x ≤ π , œx ∈ [−1, 1] 8. bijectivitate şi inversabilitate pentru x ∈ [0, π] funcţia este bijectivă, deci inversabilă pe acest interval funcţie bijectivă, deci inversabilă 9. reprezentare grafică şi simetrii graficul intersectează axa Ox în punctele de abscisă (2k+1) 2 π , k ∈ Z, şi este simetric faţă de Oy graficul intersectează axa Oy în B (0, 2 π ) În tabelul următor vom sintetiza principalele proprietăţi ale funcţiilor tangentă şi arctangentă. tg : RRRR \ {(2k + 1) 2 π | k ∈∈∈∈ ZZZZ} →→→→ RRRR arctg : RRRR →→→→ − 2  π 2 π , 1. domeniul de definiţie D = R \ {(2k + 1) 2 π | k ∈ Z}→ R D = R 2. periodicitate funcţie periodică de perioadă principală t0 = π (poate fi studiată pe intervalul −  2 π , 2 π funcţia nu este periodică 3. paritate tg (–x) = – tg x (funcţie impară) arctg (–x) = – arctg x (funcţie impară) 4. monotonie funcţia este strict crescătoare pe      − 2 π , 2 π funcţie strict crescătoare 5. convexitate pentru x ∈ [– 2 π ,0], funcţia este concavă, iar pentru x ∈ [0, 2 π ], funcţia este convexă pentru x ≤ 0, funcţia este convexă, iar pentru x > 0, funcţia este concavă Capitolul 1. Limite de funcţii 155 6. semn tg x ≥ 0 pentru x ∈ [0, 2 π ) tg x < 0 pentru x ∈ [– 2 π , 0) arctg x ≥ 0, pentru x ≥ 0 arctg x < 0, pentru x < 0 7. mărginire funcţie nemărginită – 2 π < arctg x < 2 π , œx ∈ R 8. bijectivitate şi inversabilitate pentru x ∈ − π2 , π2 , funcţia este bijectivă, deci inversabilă pe acest interval funcţie bijectivă, deci inversabilă 9. reprezentare grafică şi simetrii graficul intersectează axa Ox în punctele de abscisă kπ, k ∈ Z, şi axa Oy în origine intersectează axele de coordonate în origine În tabelul următor vom sintetiza principalele proprietăţi ale funcţiilor cotan- gentă şi arccotangentă. ctg : RRRR \ {kππππ | k ∈∈∈∈ ZZZZ} →→→→ RRRR arcctg : RRRR →→→→ (0, ππππ) 1. domeniul de definiţie D = R \ {kπ | k ∈ Z} → R D = R 2. periodicitate funcţie periodică de perioadă principală t0 = π (poate fi studiată pe intervalul (0, π)) funcţia nu este periodică 3. paritate ctg (–x) = – ctg x (funcţie impară) arcctg (–x) = π – arcctg x funcţia nu este nici pară nici impară 4. monotonie pentru x ∈ (0,π) funcţia este strict descrescătoare funcţie strict descrescătoare 5. convexitate pentru x ∈ (0, 2 π ), funcţia este convexă, iar pentru x ∈ [ 2 π ,π), funcţia este concavă pentru x ≤ 0, funcţia este concavă, iar pentru x > 0, funcţia este convexă 156 Manual clasa a XI-a 6. semn ctg x ≥ 0 pentru x ∈ (0, 2 π ] ctg x < 0 pentru x ∈ ( 2 π ,π) arcctg x > 0, œx ∈ R 7. mărginire funcţie nemărginită 0 < arctg x < π, œ x ∈ R 8. bijectivitate şi inversabilitate pentru x ∈ (0, π), funcţia este bijectivă, deci inversabilă pe acest interval funcţie bijectivă, deci inversabilă 9. reprezentare grafică şi simetrii intersectează axa Ox în punctele de abscisă (2k + 1) 2 π , k ∈ Z, şi nu intersectează axa Oy nu intersectează axa Ox, iar axa Oy o intersectează în punctul A (0, 2 π ) _π 2 O π y x Exerciţii propuse 1. Să se alcătuiască un tabel asemănător şi să se pună în evidenţă principalele proprietăţi pentru funcţiile: ƒ : R → [–1, 1], ƒ(x) = – sin x; g : R → [–1, 1], ƒ(x) = – cos x. 2. Să se construiască graficele următoarelor funcţii pe intervalele unde admit perioada principală: ƒ(x) = sin 2x, ƒ(x) = sin 2 x , ƒ(x) = |sin x|, ƒ(x) = cos (x + 4 π ), ƒ(x) = sin (x – 4 π ). 3. Se consideră funcţia ƒ : [0, 2π] → R, ƒ(x) = (sin x −cos x)2 + (sin x +cos x)2 a) Să se construiască graficul funcţiei ƒ. b) Să se pună în evidenţă intervalele de monotonie. Capitolul 1. Limite de funcţii 157 c) Să se studieze mărginirea funcţiei şi în cazul în care admite extreme (maxim sau minim) să se determine coordonatele punctelor de extrem. 4. Să se studieze monotonia următoarelor funcţii: a) ƒ : [0, 2π] → R, ƒ(x) = 2sin x ; b) g : [0, 2π] → R, ƒ(x) = 2– cos x ; c) h : [0, 2π] → R, h(x) = sin x 2 1 −       ; d) l : [0, 2π] → R, l(x) = cos x 2 1       . 5. Să se rezolve pe cale grafică ecuaţiile următoare: a) sin x = x; b) |sin x| = x; c) log2(x + 2) = 2x; d) 5x + 7x = 21–x; e) 15 17 21 x . x x  = +      +      6. Să se rezolve ecuaţiile 2 3 2 2 1 4 4 18; 2 2 2 + + = + = x x x x x . 7. Se consideră funcţia ƒ : R → (0, +∞), ƒ(x) = 2x + . 2 1 x       a) Să se determine intervalele de monotonie. b) Să se rezolve ecuaţia ƒ(x) = ƒ(1) . 8. Să se determine funcţiile ƒ : R → R, pentru fiecare dintre reprezentările grafice de mai jos: a) b) c) d) 3 –2 –1 1 1 2 3 y O x y –1 x –1 –2 O 1 2 3 158 Manual clasa a XI-a 9. Se consideră funcţiile ƒ : A → B şi g : B → C. Să se arate că: a) dacă ƒ şi g sunt bijective, atunci g ) ƒ este bijectivă; b) dacă g ) ƒ este bijectivă, atunci g este surjectivă şi ƒ injectivă; c) dacă funcţia ƒ : R → R are proprietatea că ƒ ) ƒ este bijectivă, atunci ƒ este bijectivă? 10. a) Se consideră o funcţie ƒ : R → R, astfel încât (ƒ ) ƒ)(x) = x. Este funcţia ƒ bijectivă? Dar dacă (ƒ ) ƒ)(x) = x2, atunci ƒ este bijectivă? b) Să se determine o funcţie ƒ : R → R, astfel încât avem (ƒ ) ƒ)(x) = x + 2. 11. Se consideră funcţia ƒ : (0, +∞) → (0, +∞), ƒ(x) = x . a) Să se arate plecând de la definiţia funcţiei, că ƒ este concavă. b) Să se arate că œx1, x2 ∈ (0, +∞), avem 4 ( ) 3 ( ) 4 x1 3x2 f x1 f x2 f ≥ +      + . 12. Să se rezolve ecuaţia 3x + 4x + 5x = 6x. 13. Se consideră funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) =     > − ≤ log , 2 1, 2 2 x x x x a) Să se construiască graficul funcţiei ƒ. b) Să se arate că funcţia ƒ este bijectivă, să se afle funcţia inversă ƒ–1 : R → R şi să se construiască graficul ei. c) Să se rezolve ecuaţia ƒ(x) = 2 – 2x. 14. Se consideră funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) =    ∈ ∈ R Q Q 4 , \ 3 , x x x x . a) Să se arate că funcţia este injectivă. b) Să se arate că funcţia nu este strict monotonă. c) Se poate construi graficul funcţiei ƒ? Capitolul 1. Limite de funcţii 159 1.3. Limita unui şir utilizând vecinătăţi, proprietăţi Definiţia şirurilor Fie k un număr natural. Vom nota cu nk = {n ∈ n | n ≥ k}. Definiţie O funcţie reală definită pe nk, n → an, se numeşte un şir de numere reale, sau, mai simplu, şir. Vom folosi notaţia (an)n≥k, sau pe scurt (an). În general vom considera şiruri (an)n≥1. Scrierea obişnuită a unui şir este: a1, a2, a3, …, an, … Numerele a1, a2, a3, … se numesc termenii şirului, mai precis an este termenul de rang n. Două şiruri (an) şi (bn) sunt egale dacă şi numai dacă termenii corespunzători sunt egali: a1 = b1, a2 = b2,…, an = bn, … Un şir este constant, dacă există a ∈ R, astfel încât an = a, œn ≥ k. Operaţii cu şiruri Fie (an)n≥1 şi (bn)n≥1 două şiruri. Conform definiţiei operaţiilor cu funcţii, se obţin formulele operaţiilor cu şiruri: 1. (an) + (bn) = (an + bn) : a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn, … 2. λ(an) = (λan) : λa1, λa2, …, λan, …, pentru orice λ ∈ R; 3. (an )(bn ) = (anbn ) : a1b1, a2b2 ,…,anbn ,… 4.  … …     =  : , , , , ( ) ( ) 2 2 1 1 n n n n n n b a b a b a b a b a , unde bn ≠ 0 pentru orice n ≥ 1; 5. (an )(bn ) = (anbn ):a1b1 ,a2b2 ,…,anbn ,…, unde an > 0 pentru orice n ≥ 1. Observaţii: 1. Operaţiile de adunare şi înmulţire se pot extinde la un număr finit de şiruri. 2. Pentru λ = –1, obţinem şirul –(an) = (–an) : –a1, –a2, …, –an, … 3. Putem defini şi diferenţa şirurilor (an) şi (bn) prin: (an) – (bn) = (an – bn) : a1 – b1, a2 – b2, …, an – bn, … 160 Manual clasa a XI-a Exemple 1. Fie şirurile (an) şi (bn), definite prin 1, 1 2 = + = n + n b an n n , pentru orice n ≥ 0. Atunci , 1 2 1 1 2 + + = + = + + + n n n n an bn n œn ≥ 0. 2. Fie şirurile (an), (bn) şi (cn) cu termenii generali 1 , 3 , an = n bn = n respectiv cn = n 4 , œn ≥ 1. Avem: i) + − = 1+3− 4 = 0, ∀n ≥1 an bn cn n ; ii) · · 12 , 1 3 = ∀n ≥ n an bn cn ; iii) 12 61 4 4 3 3 1 1 4 4 3 3 + + = 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ n = + + = n n n n a n c c b b a n n n n n n , œn ≥ 1; iv) 2 +3 + 4 = 2+ 9+16 = 27 , ∀n ≥1 an bn cn n n ; v) 3 12 4 11 , 1 2 2 2 2 + − = + − = ∀n ≥ n n n n anbn bncn ancn . Test de evaluare 1. Fie şirurile: (an)n ≥ 1, a1 = 2 1 , a2 = 32 , a3 = 4 3 ,…, şi (bn)n ≥ 1, b1 = 2, b2 = 2 3 , b3 = 3 4 …. (2p) a) Să se determine expresia termenului general pentru fiecare şir în parte. (2p) b) Să se calculeze: an + bn, an − bn, an · bn, . n n b a 2. Fie şirul (an)n ≥ 1, ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 an = ⋅ + ⋅ +…+ n n + . (2p) a) Să se verifice egalitatea 1 1 1 ( 1) 1 k k + = k − k + ; (2p) b) Să se determine expresia termenului general al şirului. Timp de lucru: 20 de minute. Capitolul 1. Limite de funcţii 161 Şiruri mărginite Definiţie • Un şir (an)n≥1 este mărginit inferior (respectiv superior) dacă există m ∈ R (respectiv M ∈ R) astfel încât m ≤ an, (respectiv an ≤ M) pentru orice n ≥ 1. • Un şir (an)n≥1 este mărginit dacă este mărginit inferior şi superior, deci există m, M ∈ R astfel încât m ≤ an ≤ M, pentru orice n ≥ 1. Din definiţia şirurilor mărginite, deducem următorul: Corolar. Un şir (an)n≥1 este mărginit dacă şi numai dacă există un număr real A > 0 astfel încât |an| ≤ A, pentru orice n ≥ 1. Pentru ca un şir să fie mărginit, este suficient ca inegalitatea de mai sus să fie adevărată începând de la un anumit rang n0, adică |an| ≤ A, pentru orice n ≥ n0. Într-adevăr, notând B = max{|a1|, …, | | n0 a , A}, avem |an| ≤ B, pentru orice n ≥ 1. Menţionăm următoarele proprietăţi: i) dacă două şiruri (an) şi (bn) sunt mărginite, atunci şirurile (an + bn), (λan) şi (anbn) sunt de asemenea mărginite (λ ∈ R). ii) dacă şirul (an) este mărginit superior (respectiv inferior), atunci şirul (–an) este mărginit inferior (respectiv superior). iii) dacă şirul (an) cu toţi termenii strict pozitivi este mărginit superior (re- spectiv inferior), atunci şirul       an 1 este mărginit inferior (respectiv superior). Observaţie: Şirul (an)n≥1 este mărginit dacă şi numai dacă mulţimea valorilor sale {an| n ≥ 1} este mărginită. Şirurile care nu sunt mărginite se numesc nemărginite. Deci un şir (an) este nemărginit, dacă şi numai dacă oricare ar fi numărul A > 0, există un termen an astfel încât |an| > A. Echivalent, un şir (an) este nemărginit dacă oricare ar fi numerele reale m < M, există un termen an ∉ (m, M). 162 Manual clasa a XI-a Un şir este nemărginit dacă se realizează una din următoarele situaţii: nu este majorat (exemplu: an = n), nu este minorat (exemplu: an = – n), nu este nici majorat şi nici minorat (exemplu: an = (– l)n+1n). Exerciţii rezolvate Să se studieze mărginirea următoarele şiruri (an)n≥1 , date prin termenul general: 1. = n +1 n an ; 2. 1 2 = n + n an ; 3. an n 1 3 1 2 1 1 = 1 + + +…+ ; 4. an n n 2n 1 2 1 1 1 +…+ = + + + ; 5. 2·4·6 (2 ) 1 3 5 (2 1) n n an = ⋅ ⋅ …… − ; 6. 2 1 2 1 − + = n n an ; 7. an = n +1 − n ; 8. ! 2 a n n n = ; 9. 3 1·2 2·3 ( 1) n n n an = + +…+ + ; 10. n n n n n n C C C a + +…+ + = 0 1 2 1 . Soluţii: 1. 1 0 < n +1 < n , pentru orice n ≥ 1, deci şirul (an) este mărginit. 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 > − + = − + + − + = = + n n n n n n n an , pentru orice n ≥ 1, deci şirul (an) este nemărginit. 3. Dacă n = 2k, atunci . 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 8 1 4 4 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 k a a k k n k k k > + + + +…+ = + + +…+ = +  >      +…+ +  +…+      + + + +     = = + + + − − Prin urmare şirul (an) este nemărginit. 1. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 < < + + + +…+ + = + +…+ < = + +…+ < = + + + n n n n n 4. n n n an n n n Deci şirul (an) este mărginit. 5. Evident 0 < an < 1, pentru orice n ≥ 1, deci şirul (an) este mărginit. Capitolul 1. Limite de funcţii 163 6. Evident an > 1. Pe de altă parte, avem: 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ≤ + = − = + − − + = − + = n n n n n an , œn ≥ 1. Deci şirul (an) este mărginit. 7. (0,1) 1 1 1 ∈ + + = + − = n n an n n , pentru orice n ≥ 1, adică (an) este mărginit. 8. 0 < 2 3 2 2 1 2 3 2 2 2 2 ! 2  2 <    ⋅ ⋅ ⋅…⋅ < ⋅ = n = ⋅ ⋅ ⋅…⋅ n− an n n , pentru orice n > 2, deci şirul (an) este mărginit. 9. Putem scrie 2. 3 3 2 3 3 2 3 2 ( 1)( 2) ( 1) 6 ( 1)(2 1) ( 1) 1 2 2 3 ( 1) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1 2 3 1 3 = + + ≤ + + = = + + = + + + + = = + = + = ⋅ + ⋅ +…+ + = ∑ ∑ ∑ = = = n n n n n n n n n n n n n n n n n k k n k k n n n a n k n k n k n Observăm că 2 3 1 < ≤ an , œn ≥ 1. Deci şirul (an) este mărginit. 10. Se ştie că: Cn0 +Cn1 +…+ Cnn = (1+1)n = 2n . Atunci 0 2 = 2 +1 > n n an . De asemenea, avem , 2 3 2 1 1 2 1 =1+ ≤ + = n n a pentru orice n ≥ 1. Deci şirul (an) este mărginit. Test de evaluare 1. Să se studieze mărginirea următoarelor şiruri: (2p) a) (an)n≥1, ; 3 5 2 1 − = + n n an (2p) b) an = n + 2 − n +1 . 2. Sunt adevărate echivalenţele pentru un şir (an)n≥1: (2p) a) ( an2 ) mărginit ⇔ (an) mărginit; (2p) b) ([an]) mărginit ⇔ (an) mărginit? Timp de lucru: 30 de minute. 164 Manual clasa a XI-a Exerciţii propuse Să se studieze mărginirea următoarelor şiruri date prin termenul general: 1. 3 7 1 + + an = nn ; 2. 2 2 1 2 + = n n an ; 3. 3 1 2 + = n n an ; 4. 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 n an = + + +…+ ; 5. ( 1) 1 2·3 1 1·2 1 an = + +…+ n n + ; 6. a 3 n 1 3 n n = + − ; 7. ! 2 n n an = ; 8. n n n n an + +…+ + + + = 2 2 2 1 2 1 1 1 ; 9. n an 1 2 1 1 = 1 + +…+ ; 10. (1 )(1 2 ) (1 n ) n an + α + α … + α α = , α > 0. Şiruri monotone Definiţia monotoniei unei funcţii implică noţiunea de şir monoton. Definiţie • Un şir (an)n≥1 se numeşte crescător, dacă an ≤ an+1, pentru orice n ≥ 1. • Un şir (an)n≥1 se numeşte descrescător, dacă an ≥ an+1, pentru orice n ≥ 1. • Un şir este monoton, dacă este crescător sau descrescător. Analog definim monotonia strictă. Definiţie • Un şir (an)n≥1 se numeşte strict crescător, dacă an < an+1, pentru orice n ≥ 1. • Un şir (an)n≥1 se numeşte strict descrescător, dacă an > an+1, pentru orice n ≥ 1. • Un şir este strict monoton, dacă este strict crescător sau strict descrescător. Capitolul 1. Limite de funcţii 165 Să observăm că orice şir strict monoton este monoton. Avem următoarele proprietăţi: i) dacă şirurile (an) şi (bn) sunt crescătoare (respectiv strict crescătoare) şi λ > 0, atunci şirurile (an + bn), (λan) sunt crescătoare (respectiv strict crescătoare). ii) dacă şirul (an) este crescător (respectiv strict crescător), atunci şirul (−an) este descrescător (respectiv strict descrescător). iii) dacă şirul de numere strict pozitive (an) este crescător (respectiv strict crescător), atunci şirul ( an 1 ) este descrescător (respectiv strict descrescător). Analog se obţin proprietăţi corespunzătoare pentru şiruri descrescătoare (respectiv strict descrescătoare). Pentru a studia monotonia unui şir (an), vom folosi, în general, urmă- toarele metode: i) Dacă an+1 – an > 0 (respectiv ≥ 0), pentru orice n ≥ 1, atunci şirul (an)n≥1 este strict crescător (respectiv crescător). ii) Dacă an+1– an < 0 (respectiv ≤ 0), pentru orice n ≥ 1, atunci şirul (an)n≥1 este strict descrescător (respectiv descrescător). iii) Dacă an > 0 şi n n a a +1 > 1 (respectiv n n a a +1 ≥ 1), pentru orice n ≥ 1, atunci şirul (an)n≥1 este strict crescător (respectiv crescător). iv) Dacă an > 0 şi n n a a +1 < 1 (respectiv n n a a +1 ≤ 1), pentru orice n ≥ 1, atunci şirul (an)n≥1 este strict descrescător (respectiv descrescător). Observaţie: Există şi şiruri care nu sunt monotone. Exemple: a) şirurile oscilante: an = (–l)n, bn =(–1)n n, cn = 1 + (–l)n, pentru orice n ≥ 1. b) şirurile periodice: an = sin nπ, bn = cos nπ, pentru orice n ≥ 1. 166 Manual clasa a XI-a Exerciţii rezolvate Să se studieze monotonia şirurilor analizate la paragraful şiruri mărginite (pag. 162). Soluţii: 1. Avem = n +1 n an , deci 2 1 1 + + + = n n an şi 0 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) ( 1) ( 2) 2 1 1 2 1 > + + = + + + − + = + − + + + − = n n n n n n n n n n n an an , adică şirul (an) este strict crescător. 2. Avem 1 2 = n + n an , deci 0 ( 1)( 2) 3 1 ( 1)( 2) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1)2 2 3 2 2 1 > + + + + = + + + − + = + − + + + − = n n n n n n n n n n n n n an an , adică şirul (an) este strict crescător. 3. Avem an n 1 2 1 1 = 1 + +…+ , deci 0, 1 1 1 > an+ − an = n + deci şirul (an) este strict crescător. 4. Avem an n n 2n 1 2 1 1 1 +…+ = + + + , de unde , 2 2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 + + an+ = n + + n + +…+ n + n + n deci 0, 1 1 2 2 1 2 1 1 1 > an+ − an = n + + n + − n + adică şirul (an) este strict crescător. 5. Avem 2·4·6· ·(2 ) 1·3·5· ·(2 1) n n an = …… − , deci 2·4·6 2 (2 2) 1·3·5 (2 1)(2 1) 1 … + … − + + = n n n n an şi atunci 1 2 2 1 2 1 < + + + = n n a a n n , adică şirul (an) este strict descrescător. 6. Observăm că an = = − + 2 1 2 1 n n 1 2 1 2 − + n , deci an+1 = 1 2 1 2 1 − + n+ şi an+1 – an 0 (2 1)(2 1) 2 1 1 < − − = − + + n n n , adică şirul (an) este strict descrescător. 7. Observăm că n n an n n + + = + − = 1 1 1 . Atunci Capitolul 1. Limite de funcţii 167 2 1 1 an+1 = n + + n + . Evident an+1 < an, deci şirul (an) este strict descrescător. 8. Avem ! 2 a n n n = şi ( 1)! 2 1 1 = + + a + n n n . Atunci 1 1 2 2 ! ( 1)! 1 2 1 ≤ = + ⋅ = + + + n n a n a n n n n , deci şirul (an) este strict descrescător. 9. Avem 3 1·2· 2·3 ( 1) n n n an = + +…+ + şi s-a arătat că 3 2 ( 1)( 2) n n n an = + + . Atunci 1 3( 1)2 ( 2)( 3) + + + + = n n n an şi 1 ( 1) ( 3) 3 2 1 < + + + = n n n a a n n , deci şirul (an) este strict descrescător. 10. Am văzut că n n n an 2 1 1 2 = 2 +1 = + . Evident a n+1 n n = + +1 < a 2 1 1 , deci şirul (an) este strict descrescător. Test de evaluare 1. Să se studieze monotonia următoarelor şiruri (an)n≥1: (2p) a) 5 7 2 1 + = − n n an ; (2p) b) an = n2 + n − n2 +1 . 2. Sunt adevărate echivalenţele pentru un şir (an)n≥1: (2p) a) (an2 ) strict crescător ⇔ (an) strict crescător; (2p) b) (nan) strict crescător ⇔ (an) strict crescător? Timp de lucru: 40 de minute. Exerciţii propuse Să se studieze monotonia următoarelor şiruri, date prin termenul general: 1. 3 2 2 = n + n an ; 2. 3 1 2 2 2 + = n n an ; 3. ( 1) 1 2·3 1 1·2 1 an = + +…+ n n + ; 4. 4 13 23 3 n n an = + +…+ ; 5. 3 1 2 2 2 + = n n an ; 6. 1 1 1 + = − n n an ; 168 Manual clasa a XI-a 7. ∑ = + + = n k n k k k a 1 2 2 1 ( 1) ( 2) log ; 8. 1 3 5 (2 1) 2 4 6 2 ⋅ ⋅ ⋅…⋅ + ⋅ ⋅ ⋅…⋅ = n n an ; 9. 4 3( 1) 5 2( 1) 10 9 7 7 4 5 + − + − = ⋅ ⋅ ⋅…⋅ n n an . Limita unui şir. Şiruri convergente Vom analiza următoarele exemple: 1. Să considerăm şirul (an)n≥1, cu termenul general an n = 1 . Reprezentăm termenii şirului pe axa numerelor reale. Se observă că pe măsură ce n creşte, termenii şirului se apropie din ce în ce mai mult de 0, iar când rangul n este foarte mare, toţi termenii şirului începând de la acest rang se „îngrămădesc“ de la dreapta la stânga către 0. Vom alege o vecinătate V oarecare a lui 0 care conţine vecinătatea simetrică V ' = (− ε, ε), cu ε > 0. Avem an ∈ (− ε, ε) ⇒ 1 < ε ⇒ n > 1ε n şi nε = 1ε +1 . Începând cu nε, toţi termenii şirului sunt mai mici decât ε, deci an ∈ (0, ε) ⊂ V ' ⊂ V ⇒ an ∈ V. Deci şirul an = n 1 tinde către 0 şi vom scrie lim = lim 1 = 0. →+∞ →+∞ n a n n n 2. Considerăm şirul bn = n1k , unde k ∈ N*este un număr natural diferit de 1. Deoarece bn = ank (din exemplul 1), în orice vecinătate V a lui 0 se găsesc toţi termenii şirului (bn) n≥1, cu excepţia unui număr finit. 3. Considerăm şirul (an)n≥1, cu termenul general n n an = +1 şi reprezentăm termenii şirului pe axa numerelor reale. Intuitiv se observă că pe măsură ce n creşte (rangul creşte), termenii şirului se apropie din ce în ce mai mult de 1, iar atunci când n este suficient de mare, toţi Capitolul 1. Limite de funcţii 169 termenii şirului începând de la acest rang se „îngrămădesc“ de la dreapta la stânga către 1. Vom alege o vecinătate V oricare a lui 1 şi vom arăta că există un rang începând de la care toţi termenii şirului se află în această vecinătate a lui 1. Cunoaştem că în vecinătatea V se află o vecinătate simetrică V ' = (1 − ε, 1 + ε), cu ε > 0. Pe de altă parte, faptul că an ∈ V ' implică an ∈ (1 − ε, 1 + ε) ⇔ |an − 1| < ε ⇔ ⇔ +1 −1 < ε ⇔ 1 > ε ⇔ n > 1ε n n n . Conform axiomei lui Arhimede, există nε = 1 +1 ε natural. Evident, pentru n ≥ nε, avem n > 1ε . Deci rangul căutat este 1 +1 nε = ε . Pentru orice n ≥ nε, avem 1 1 a (1 , 1 ) a V ' V . n > ε ⇒ n < ε ⇒ n ∈ − ε + ε ⇒ n ∈ ⊂ Observaţie: Rangul căutat depinde de alegerea lui ε şi, implicit, de alegerea vecinătăţilor simetrice (1 − ε, 1 + ε) şi de vecinătatea V considerată. Cu cât ε este mai mic, cu atât în afara vecinătăţii V ' se află un număr mai mare de termini ai şirului. Cu cât lungimea intervalului (1 − ε, 1 + ε) este mai mare, cu atât în afara intervalului se va afla un număr mai mic de termeni ai şirului sau intervalul poate să conţină toţi termenii şirului. Exemplu Pentru ε = 2 1 , avem     =  2 3 , 2 1 V ' care conţine toţi termenii şirului în afară de primul, adică 2 1 3 2 1 ≤ + ≤ n n , relaţie care este adevărată pentru n ≥ 2. 170 Manual clasa a XI-a Pentru ε = 10 1 , avem     =  10 11 , 10 9 V ' . Se observă că termenii ' 10 11 , , 2 3 , 2 1 … ∉V , deci în afara vecinătăţii se află primii 10 termeni ai şirului. Din analiza exemplului 3, considerăm că fiecare vecinătate V a lui 1 conţine toţi termenii şirului n n an = +1 de la un anumit rang, cu excepţia (eventual) a unui număr finit de termeni care se află în afara vecinătăţii. Aceasta constituie, în fond, exprimarea matematică riguroasă a faptului că toţi termenii şirului se apropie din ce în ce mai mult de 1, fapt intuit chiar de la început. Din punct de vedere matematic, spunem că şirul (an)n≥1, cu n n an = +1 , are limita 1 sau că an tinde către 1 şi scriem: lim = +1 =1 →+∞ n n an n sau an → 1. 4. Fie şirul de termeni general dn = n. Observăm că pentru orice număr real M > 0, avem dn > M, pentru orice n ≥ [M] + 1. Pornind de la exemplele analizate, vom introduce noţiunea de limită a unui şir. Definiţie • Fie un şir (an) şi a ∈ R. Vom spune că a este limita şirului (an) dacă orice vecinătate a lui a conţine toţi termenii şirului (an ), cu excepţia unui număr finit de termeni. Notaţie: lim an = a sau n→∞ lim an = a sau an → a. • Dacă a este finit, atunci şirul (an) se numeşte convergent. • Un şir care nu este convergent se numeşte divergent. Distingem două clase de şiruri divergente: a) şiruri care au limita ±∞; b) şiruri care nu au limită. Exerciţiu rezolvat Se consideră şirul (an)n≥1, cu 2 +1 = n n an . Să se arate că lim = 0. n→+∞ n a Rezolvare Fie V o vecinătate a lui 0 şi ε > 0 astfel că V ' = (−ε, ε) ⊂ V. Conform axiomei lui Arhimede, există nε ∈ N astfel încât nε > 1ε (vezi exemplele anterioare). Pentru orice n ≥ nε, avem + 1 > n > nε ≥ 1ε n n şi deci ' . 1 1 1 2 2 a V V n n n n < ε ⇒ n ∈ ⊂ + ⇒ > ε + Deci lim = 0. n→+∞ n a Capitolul 1. Limite de funcţii 171 Exemple 1. Şirul an = n 1 este convergent şi n→∞ lim an = 0. 2. Şirul an = nk 1 , cu k ∈ N*, este convergent şi lim a n = 0. 3. Şirul an = n este divergent şi lim an = +∞. 4. Şirul an = (– l)n este divergent şi nu există lim an. Proprietăţi ale limitelor de şiruri Propoziţia 1. Un şir convergent are o singură limită. Demonstraţie Fie (an) un şir convergent cu lim an = a. Dacă a' ≠ a, există o vecinătate V a lui a şi o vecinătate V' a lui a' astfel încât V ∩ V ' = ∅. Deoarece an → a, vecină- tatea V conţine toţi termenii şirului cu excepţia unui număr finit. Deci în vecinătatea V ' a lui a' se află numai un număr finit de termeni ai şirului (an). Prin urmare a' nu poate fi limita şirului ( a n ) . Propoziţia 2. Dacă (an) este un şir convergent, atunci şirul ( | a n | ) este conver- gent şi lim |an| = | lim an|. Observaţie: Reciproca, în general, nu este adevărată. De exemplu: an = (–1)n şi | a n| = 1. Propoziţia 3. Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (an) un şir convergent şi lim an = a. Notând M = |a| + 1, intervalul (– M, M) este o vecinătate a lui a. Din definiţia limitei, rezultă că în afara acestei vecinătăţi se află un număr finit de termeni, adică există n0 ≥ 1 astfel încât |an| ≤ M, pentru orice n ≥ n0. Deci şirul (an) este mărginit. Corolar. Orice şir nemărginit este divergent. 172 Manual clasa a XI-a Propoziţia 4. Dacă şirul (an) este convergent şi există n0 ≥ 1 astfel încât: m ≤ an ≤ M, pentru orice n ≥ n0, atunci m ≤ lim an ≤ M Demonstraţie Fie lim an = a. Făcând acelaşi raţionament ca în demonstraţia propozitiei 3, obţinem ca m ≤ a ≤ M. În particular, avem: Corolar. i) Dacă şirul (an) este convergent şi an ≥ 0, pentru orice n ≥ n0, atunci lim an ≥ 0. ii) Dacă şirul (an) este convergent şi an ≤ 0, pentru orice n ≥ n0, atunci lim an ≤ 0. Observaţie: Dacă în enunţurile precedente termenii şirului verifică inegalităţi stricte, nu rezultă că limitele verifică inegalităţi stricte. Contraexemplu Considerăm şirul an = 1n , pentru n ≥ 1. Observăm că an > 0, dar n→∞ lim an = 0. Exemplu Se consideră şirul (an)n≥1, an = 0. Să se arate că şirul este divergent şi n n a →∞ lim = n n→∞ lim = +∞. Soluţie Vom arăta că nici un număr real nu este limită a acestui şir. Într-adevăr, fie a ∈ R şi =  − , + 12  2 1 Va a a , o vecinătate simetrică lui a de lungime 1. Dacă a > 2 1 , atunci în vecinătatea lui Va se află un singur număr natural, iar dacă a ≤ 2 1 în vecinătatea Va nu se află nici un număr natural şi deci toate numerele naturale se află în afara vecinătăţii Va. Deci a nu este limită a şirului numerelor naturale, iar cum a a fost ales arbitrar, rezultă că nici un număr finit nu poate fi limita şirului numerelor naturale şi deci şirul este divergent şi vom scrie simbolic = +∞ →∞ n n lim (+∞ fiind singurul punct de acumulare a mulţimii numerelor naturale. Capitolul 1. Limite de funcţii 173 1.4. Şiruri convergente: intuitiv, comportarea valorilor unei funcţii cu grafic continuu când argumentul se apropie de o valoare dată, şiruri convergente: exemple semnificative: (an)n, (nα)n, ((1 + 1/n)n)n, operaţii cu şiruri convergente, convergenţa şirurilor utilizând proprietatea Weierstrass. Numărul e; limita şirului ( ) 0 1 1+ →             un n un un ; / În cazul funcţiilor cu grafic continuu, vom analiza mai întâi funcţiile elementare, urmând ca pentru celelalte să se procedeze analog. Funcţia ƒ: R → R, ƒ(x) = ax + b, cu a, b ∈ R, a ≠ 0, are graficul o dreaptă. Fie x0 ∈ R. Dacă avem şirul (xn)n≥1 cu xn ∈ R şi xn → x0, atunci ƒ(xn) = axn + b, iar şirul (ƒ(xn))n∈N este convergent la ax0 + b. Observaţie: • Pentru a putea studia comportarea funcţiei ƒ : D → R în jurul lui x0, trebuie să existe cel puţin un şir (xn)n, cu xn ∈ D, xn ≠ x0, astfel încât lim xn x0 n = →+∞ şi lim f (xn) l. n = →+∞ • Punctul x0 cu această proprietate se numeşte punct de acumulare al mulţimii D. Condiţia de mai sus este îndeplinită dacă domeniul de definiţie D al funcţiei este un interval (care nu se reduce la un punct) mărginit sau nemărginit ori o reuniune finită de astfel de intervale, iar x0 aparţine intervalului sau este o Figura 20 174 Manual clasa a XI-a extremitate a sa. Pentru funcţiile elementare (cu grafic continuu) problema limitei se pune atât în puncte ce aparţin intervalului cât şi în capetele intervalului. Observaţie: În cazul când avem ƒ: N → R, domeniul de definiţie fiind mulţimea numerelor naturale, problema se reduce la compararea valorilor an= f(n) ∈ R, când n se apropie necontenit de x0 = +∞, care este singurul punct de acumulare al lui N, astfel suntem conduşi la studiul limitei şirului (an)n ≥0, an = ƒ(n). Definiţie Pentru orice şir (an)n≥k de numere reale vom numi graficul şirului submulţimea G ⊂ R × R definită prin G = {(n, an) | n ∈ Nk} = = {(n, ƒ(n)) | n ∈ Nk}, unde Nk = {k, k + 1, k + 2, ...},k ∈ N. Pentru a înţelege problema pusă în discuţie să analizăm câteva exemple de funcţii elementare. Exemple 1. Fie funcţia ƒ : R → R, dată prin ƒ(x) = x şi fie x0 = 1. Să studiem comportarea funcţiei în jurul punctului x0 = 1. Considerăm şiruri particulare convergente la 1: de exemplu, (xn)n≥1, cu xn n 1 =1+ , œn ≥ 1, şi (xn' )n≥1 , cu ' 1 1 , xn = − n œn ≥ 1, xn → 1, xn' → 1. Atunci avem: f xn f n n 1 ( ) 1 1  =1+     =  + , iar şirul (ƒ(xn))n≥1 obţinut va fi: + + + ,…, 1+ 1 ,… 3 1 , 1 2 1 , 1 1 1 1 n (fig. 21), care este convergent la 1; f xn n 1 ( ' ) =1− , iar şirul (ƒ (xn'))n≥1 obţinut va fi: n 1 1− 11, 1− 12 , 1− 13 ,…, 1− (fig. 22), care este convergent la 1. Capitolul 1. Limite de funcţii 175 Figura 21 Figura 22 Din figurile 21, 22 se observă că şirurile (ƒ(xn))n≥1 şi (ƒ (xn'))n≥1 converg la 1. În general, dacă vom considera şirul (xn)n≥1, cu xn = 1 + αn, αn ∈ R*, când αn → 0, vom avea că ƒ(xn) = ƒ(1 + αn) → 1, când n → +∞. 2. Fie funcţia ƒ : R → (0, +∞), dată prin ƒ(x) = 2x şi x0 = 0. Să studiem comportarea funcţiei ƒ în jurul punctului 0. Considerăm şirul (xn)n≥1, xn ≠ 0, xn = n 1 şi xn → 0. Atunci ƒ(xn) = n 1 2 , iar şirul (ƒ(xn))n≥1 se prezintă sub forma: 2 , 2 , 2 ,…,2 ,… 1 3 1 2 1 1 1 n (fig. 23). Se poate observa că limita şirului 2, 2, 3 2,…, n 2,… este 1 şi deci lim2 1. 0 = → x x Fie x0 = – ∞ şi fie şirul (xn)n≥1, cu xn = – n. Atunci ƒ(xn) = 2–n, iar şirul (ƒ(xn))n≥1 va fi de forma: 2–1, 2–2, 2–3, …, 2–n, … (fig. 24). Se constată că şirul (ƒ(xn))n≥1 este convergent şi n→+∞ lim ƒ(xn) = 0. Aşadar putem spune că: lim 2 = 0 →−∞ x x . ƒƒƒƒ(x2) 11 xxnn xx33 xx22 xx11 xx x2 x3 xn 1 x 176 Manual clasa a XI-a Figura 23 Figura 24 3. Fie funcţia ƒ : R → [–1, 1], dată prin ƒ(x) = sin x şi x0 = 2 π . Considerăm şirul (xn)n≥1, cu xn ≠ π xn = π + πn 2 , 2 şi xn → 2 π . Atunci f xn f n n n π  =      =  π + π     =  π + π cos ( ) 2 sin 2 . Dând valori lui n ∈ N*; obţinem şirul (ƒ(xn)) n≥1 = 1 cos ≥       π n n de forma: π π π ,…, cos π ,… cos , cos 2 , cos 3 n (fig. 25). Figura 25 Se observă că şirul π π π ,…, cos π ,… cos , cos 2 , cos 3 n se apropie de 1 şi deci lim cos 1 şi lim sin 1. 2 π = = π →+∞ → x n n x xn x3 x2 x1 xn x3 x2 x1 Capitolul 1. Limite de funcţii 177 Exerciţii propuse Să se determine comportarea valorilor următoarelor funcţii când argumentul se apropie de fiecare dintre punctele x0 specificate: 1. ƒ : R → R, cu ƒ(x) = 2–x şi x0 = 1; 2. ƒ : R → R, cu ƒ(x) = cos x şi x0 = 2 π ; 3. ƒ : R → R, cu ƒ(x) = –x3 şi x0 = –1; 4. ƒ : (0, +∞) → R, cu ƒ(x) = log2 x şi x0 = 1; 5. ƒ :       π 0, 2 → R, cu ƒ(x) = tg x şi x0 = 4 π ; 6. ƒ : (–1, 1) →      − π π 2 , 2 , cu ƒ(x) = arcsin x şi x0 = 2 1 . Operaţii cu şiruri convergente Vom arată că proprietatea de convergenţă se păstrează la operaţii cu şiruri. Propoziţia 1. Dacă şirurile (an) şi (bn) sunt convergente şi λ ∈ R, atunci şirurile (an + bn), (λan) şi (anbn) sunt convergente şi avem: i) lim (an + bn) = lim an + lim bn; ii) lim (λan) = λ lim an; iii) lim (anbn) = lim an · lim bn. Demonstraţie Fie lim an = a şi lim bn = b. i) Fie V o vecinătate a lui a + b. Atunci există ε > 0, astfel încât: (a + b – ε , a + b + ε) ⊂ V. Intervalul (a – 2 ε , a + 2 ε ) este o vecinătate a lui a, deci există un rang n 1 astfel încât an ∈ (a – 2 ε , a + 2 ε ), pentru orice n ≥ n 1. Analog există un rang n2, astfel încât bn ∈ (b – 2 ε , b + 2 ε ), pentru orice n ≥ n 2. Atunci an + bn ∈ (a + b – ε, a + b + ε) ⊂ V, pentru orice n ≥ max{n1, n2}. Deci lim (an + bn) = a + b. ii) Dacă λ = 0 este evident. 178 Manual clasa a XI-a Fie λ ≠ 0. Avem λan – λa = λ(an – a ) . Pentru orice vecinătate V a lui λa, există ε > 0, astfel încât (λa – ε, λa + ε) ⊂ V. Intervalul (a – |λ | ε , a + |λ | ε ) este o vecinătate a lui a, deci există un rang n1 astfel încât an ∈ (a − |λ | ε , a + |λ | ε ), pentru orice n ≥ n 1. Atunci, pentru orice n ≥ n1, |λ(an – a)| = |λ||an – a| < | λ | |λ | ε = ε, sau echivalent, λan ∈ (λa – ε, λa + ε) ⊂ V, pentru orice n ≥ n1. iii) Notăm an = a – αn şi bn – b = βn. Şirurile (αn) şi (βn) au limita 0. Putem scrie anbn = ab + αnβn + aβn + bαn. Conform ii), lim aβn = lim bαn = 0. Rămâne să demonstrăm că αnβn → 0. Într-adevăr, fie V o vecinătate a lui 0. Atunci există ε > 0, astfel încât ( – ε , ε ) ⊂ V. Putem presupune ε < 1. Atunci există un rang n0 astfel încât αn, βn ∈ (–ε, ε), pentru orice n ≥ n0. Deci αnβn ∈ (–ε2, ε2) ⊂ (–ε, ε) ⊂ V, pentru orice n≥ n0, adică lim αnβn = 0. Corolar 1. Fie k ≥ 2 un număr natural şi şirurile ( a1n ), ( an2 ), …( ank ). Dacă acestea sunt convergente, atunci şirurile ( a1n + an2 + …+ ank ) şi (a1n an2 … ank ) sunt convergente şi avem: i) lim ( a1n + an2 + ... + ank ) = lim a1n + lim an2 + ... + lim ank ; ii) lim (a1n · an2 ·…· ank ) = lim a1n · lim an2 · … · lim ank . Corolar 2. Dacă şirurile (an) şi (bn) sunt convergente şi an > 0, œn ≥ 1, atunci şirul ( anbn ) este convergent şi avem: lim ( anbn ) = (lim an )limbn Propoziţia 2. Dacă şirurile (an) şi (bn) sunt convergente şi lim bn ≠ 0, atunci şirul       n n b a este convergent şi n n n n b a b a lim lim lim = Capitolul 1. Limite de funcţii 179 Demonstraţie Şirul (bn) este mărginit deoarece este convergent. Cum lim bn ≠ 0, putem alege m < M două numere reale astfel încât 0 ∉ [m, M] şi m ≤ bn ≤ M, pentru orice n ≥ n0. Atunci şi şirul       bn 1 este mărginit. Notând lim bn = b, putem scrie 1 1 1 1 ( n ) n n b − b = b b b −b Şirul (b – bn) → 0, deci bn b 1 1 lim = Pentru a încheia demonstraţia, observăm că b a b a b a b a n n n n = 1 → 1 = . Observaţia 1. Propoziţiile de mai sus au loc şi pentru şiruri care au limită, dacă se fac următoarele convenţii: i) a + (±∞) = ±∞ + a = ±∞, pentru orice a ∈ R; ii) a · ∞ = ∞ · a = ∞, pentru orice a > 0; a · ∞ = ∞ · a = –∞, pentru orice a < 0; a · (–∞) = (–∞) · a = –∞, pentru orice a > 0; a · (–∞) = (–∞) · a = +∞, pentru orice a < 0; iii) ±a∞ = 0, pentru orice a ∈ R; ± ∞ = ±∞ a , pentru orice a > 0; ± ∞ = m∞ a pentru orice a < 0; iv) a +∞ = +∞, pentru orice a > 1; a+∞ = 0, pentru orice a ∈ (0,1); a–∞ = 0, pentru orice a > 1; a–∞ = +∞, pentru orice a ∈ (0,1). Observaţia 2. Cazurile nemenţionate se numesc nedeterminări. Acestea sunt următoarele: i) Cazul 0 0 ; 180 Manual clasa a XI-a Prin această nedeterminare înţelegem: dacă şirurile (an) şi (bn) au limita 0, şirul       n n b a poate avea limită finită, limită infinită sau să nu aibă limită. Exemple a) Fie a ∈ R. Şirurile an = n a şi bn = 1n au limita 0. Evident lim n n b a = a. b) Dacă an = 1n şi bn = 2 1 n , atunci n n b a = n →+∞. c) Dacă an = n (−1)n şi bn = 1n , atunci n n b a = (–1)n nu are limită. ii) Cazul ±± ∞∞ ; iii) Cazul ∞ – ∞; iv) Cazul 0 · (±∞); v) Cazurile 1±∞, 00, (±∞)0. Vom reveni asupra acestora la „Limite de funcţii”. Menţionăm următoarea proprietate de trecere la limită în inegalităţi. Propoziţia 3. Dacă şirurile (an) şi (bn) sunt convergente şi an ≤ bn, pentru orice n ≥ 1, atunci lim an ≤ lim bn. Demonstraţie Notăm lim an = a şi lim bn = b. Şirul (bn – an) este convergent şi are limita b – a. Dar bn – an ≥ 0, deci b – a ≥ 0, adică a ≤ b. Avem următorul criteriu de convergenţă, cunoscut sub numele de Teorema „cleştelui“. Teoremă. Fie şirurile (an), (bn) şi (xn) care îndeplinesc condiţiile an ≤ xn ≤ bn, pentru orice n ≥ 1. Dacă şirurile (an) şi (bn) sunt convergente şi au aceeaşi limită, atunci şirul (xn) este convergent şi are aceeaşi limită ca şirurile (an) şi (bn). Capitolul 1. Limite de funcţii 181 Demonstraţie Din inegalităţile an ≤ xn ≤ bn, pentru orice n ≥ 1, rezultă 0 ≤ xn – an ≤ bn – an → 0. Aplicând definiţia limitei unui şir, rezultă că xn – an → 0, adică există lim xn = lim an. Menţionăm că teorema cleştelui este adevărată şi pentru lim an = lim bn = ±∞: • dacă xn ≥ an, pentru n ≥ 1 şi dacă an → +∞, atunci xn → +∞; • dacă xn ≤ bn, pentru n ≥ 1 şi dacă bn → −∞, atunci xn → −∞. Exerciţii rezolvate Să se determine limitele următoarelor şiruri: 1. (an)n≥1, 2 sin 2 n n an π = ; 2. (an)n≥1, 1 1 an = (−1)n+1 n + ; 3. (an)n≥1, an = n n ; 4. (an)n≥1, ! 2 n n an = . 5. (an)n≥1, n n n n an + +…+ + + + = 2 2 2 1 2 1 1 1 ; 6. (an)n≥1, n n n n n an + +…+ + + + = 2 2 2 sin 2 sin2 1 sin1 ; 7. (an)n≥1, n n n n n n an + + +…+ + + + + + = 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1 1 1 ; Soluţii: 1. Cum 1 sin 2 ≤ π n pentru œn ∈ N, atunci |an| = 2 1 0 sin 2 2 ≤ → π n n n 2. |an| = 0 1 1 1 1 ( 1) 1 → − n+ n + = n + 3. Notând bn = n n −1, avem n n = 1 + bn şi n = (1 + bn)n, de unde n =1+ Cn1bn + Cn2bn2 +…; obţinem 1 2 bn < n − , œn ≥ 2. Dar lim = 0 n→∞ n b şi deci lim ( −1)= 0, deci lim =1 →∞ →∞ n n n n n n . 4. ! 1·2·3 ( 1)( 2) 2 2 2 = … < n n − n − n n n n n , œn ≥ 3. 182 Manual clasa a XI-a Dar 0 lim ( 1)( 2) 2 = →∞ n n − n − n n şi deci lim = 0 n→∞ n a . 5. 2 2 +1 ≤ ≤ + n n a n n n n . Avem 1, 1 lim lim 2 2 = + = →∞ + →∞ n n n n n n n şi deci conform teoremei „cleştelui“ avem lim =1 n→∞ n a . 6. Cum 2 2 2 1 sin 1 n k n k n ≤ + − ≤ . atunci 2 n2 n a n n − ≤ n ≤ . Deci, conform teoremei „cleştelui“ avem lim = 0. n→∞ n a 7. Cum 3 2 3 2 3 2 n k k n k k k n n k k ≤ + + + ≤ + + , atunci ( ) 3 1 2 3 1 ( 2 ) n k k a n n k k n k n n k ∑ ∑ = = + ≤ ≤ + + . Deoarece ( ) ( ) 3 1 lim lim 3 1 2 1 3 2 = + = + ∑ + ∑= →∞ = →∞ n k k n n k k n n k n k n , avem . 3 1 lim = n→∞ n a Test de evaluare Dacă şirurile (an)n≥1, (bn)n≥1 îndeplinesc condiţiile specificate, să se verifice dacă sunt adevărate următoarele implicaţii: (2p) a) (an + bn) convergent şi (an − bn) convergent ⇒ (an) şi (bn) convergent; (2p) b) (an + bn) convergent şi (an · bn) convergent ⇒ (an) şi (bn) convergent; (2p) c) ( an2 ) convergent ⇒ ( an3 ) convergent şi (an) convergent; (2p) d) (nan) convergent ⇒ (an) convergent. Timp de lucru: 30 de minute. Exerciţii propuse I. Să se calculeze limitele următoarelor şiruri de numere reale (n ∈ N*): 1. an = ( 1) ( 1)2 ( 1)2 2 + + + − + n n n n n ; 2. an = 1 (1 2 ) 3 + + +…+ n n n ; 3. an = 1 (1 2 ) 4 2 2 2 + + +…+ n n n ; 4. an = 1 2 ( 1) 1 1 2 2 3 ( 1) ⋅ + ⋅ − +…+ ⋅ ⋅ + ⋅ +…+ + n n n n n ; Capitolul 1. Limite de funcţii 183 5. an = 2 3 2 2 2 2 1·2 2·3 ( 1) 1 ·2 2 ·3 ( 1) + +…+ + + +…+ + n n n n ; 6. an = n n n n − − + + 2 2 2 2 ; 7. an = n n n n n n n n + − + − − − + + 2 ·3 3 ·2 2 ·3 3 ·2 1 1 ; 8. an = ( 1)! 1 1! 2 2! ! + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ n n n ; 9. an = 2 1 0 1 + + +…+ n n Cn Cn Cn ; 10. an = n n y y y x x x + + +…+ + + +…+ 2 2 1 1 ; 11. an = 0,99…9 ; 12. an = 3! ( 1)! 2 2! 1 + +…+ n + n 13. an = 1 2 3 4 · 4 · 1 n n n n n + + + ; 14. an = 2 2 2 2 2 2 1 3 (2 1) 2 4 (2 ) + +…+ − + +…+ n n 15. an =      ⋅…⋅ −     ⋅ −      − 2 2 2 1 1 3 1 1 2 1 1 n sau ∏ =      = n  − k n k a 1 2 1 1 ; 16. an = 3·5 (2 1)(2 1) 2 1·3 12 2 2 + +…+ n − n + n sau ∑ = − + = n k n k k k a 1 2 (2 1)(2 1) ; 17. an = ∏ = + n − k k k 2 3 3 1 1 ; 18. an = ∏ = + n + − k k k k k 2 2 ( 1) 2 ; 19. an = ∑ = + n + + k k k k k 1 3 3 2 ( 1) 3 3 1 ; 20. an = ∑ = n − + k k k k 1 2 2 4 3 1 ; 21. an = ∑ = + + + n k 1k k 1 (k 1) k 1 ; 22. an = ∑ = − n k k k 1 2·3 1 ; 23. an = ( 1)( 2) 1 2·3·4 1 1·2·3 1 + +…+ n n + n + ; 24. an = ∑= n k k k 1 2 2 ; 25. an =             +…+ + −      + +     1 1+ 1 2 1 2 2 1 1 2 n n n n n . n cifre 184 Manual clasa a XI-a II. Să se calculeze limita următoarelor şiruri de numere reale (n ∈ N*): 1. an = n + 2 − n ; 2. 4 1 5 2 3 2 + − + = n n n an ; 3. 4 5 3 + + + + = n n n an ; 4. an = n2 + n +1 − n2 − n +1 ; 5. an = n(n − n2 + k ), k fixat; 6. n n n n n an = 2 + +1 − 2 2 − +1 ; 7. 2 1 2 1 + + + = n n n an ; 8. 3 [3 2 3 2 ] 1 an = n (n +1) − (n −1) ; 9. an = n +1 + 2 n + 2 −3 n +3 ; 10. an = n( n +1 − n ); 11. an = 3 n( n + n − n − n ); 12.      a = n3 n3 + n4 +1 − n 2 n ; 13. an = n n( n +1 + n −1 − 2 n ). III. 1. Să se determine a ∈ R, astfel încât ( ) 2 1 lim 2 + +1 + = →∞ n n an n . 2. Să se determine a, b, c ∈ R, astfel încât n(n an bn c) n − + + →∞ lim 2 să fie finită. 3. Să se calculeze: lim( +1 + + 2 + + 3) →∞ a n b n c n n , a, b, c ∈ R. 4. Să se determine x, y ∈ R astfel încât lim ( − −3 3 −1)= 0 →∞ xn y n n . 5. Să se determine α ∈ R astfel încât       + + α ++ − →∞ 5 1 2 5 lim n n n n n n ∈ R. 6. Să se calculeze lim ( +1 − 2 + + 2) →∞ a n n b n x ; discuţie după a, b ∈ R. Capitolul 1. Limite de funcţii 185 IV. Să se calculeze limita următoarelor şiruri de numere reale (n ∈ N*): 1. n n n n an 2 ln + + = ; 2. an = sin2π n2 +1 ; 3. ∑ + + + = n k n k k k a 1 2 2 1 ( 1) ( 2) log ; 4. = ∑  − +  = ( 1) 2 log 1 2 3 a 1 k k n k n ; 5. an = ln n − ln(n +1) ; 6. n n n e e a 2 1 = ; 7. an = sin2 π n2 + 4 ; 8. ln( 1) ln( 1) 2 + + = n n n e e a ; 9. 2 1 1 arcsin + − + + − = n n n n an ; 10. 1 arccos + + = n n n an ; 11. ln( 1) ln( 2) 2 2 + + + + = n n n n an ; 12. b an a bn an ln ln + + = , a, b > 0; 13. ∑ ∑ = = π = n k k n k k n e a 1 1 ; 14. n n n an = sin( 3 + 2 +1) ; 15. n n n n n a −    =  2 ++11 ; 16. n n n n n a −       + + = 1 2 1 ; 17. ln(1 3 5 ) ln(1 2 3 4 ) 5 7 2 3 n n n n n n e e e e e a + + = + + + ; 18. ! 2 n n an = ; 19. ( 0) ! α > α = a n n n ; 20. (2 )! 1! 2! ! n n an = + +…+ ; 21. [ ] [2 ] [ ]; 4 3 3 n x x n x an = + +…+ 22. an = nαn, | α | < 1; 23. n n n n n a       ⋅ ⋅ … ⋅ ⋅ … − ⋅ = 2 4 6 2 1 3 5 (2 1) ; 24. n n n n n an + + + + + + = 3 3 3 sin 2 sin 2 1 sin1 L ; 25. an n n n n 1 2 1 2 1 1 1  ⋅      +…+ + + + = ; 26. ∑ →∞ = + n + n k n k k k 1 3 2 lim ; 186 Manual clasa a XI-a 27. 2 1 ln 2 cos ( 1) 1 sin 2( 1) + + π + + π = − + ⋅ n n an n n n ; 28. n n a a a a a 2 cos 2 cos = cos cos 2 2 L , a fixat; 29.       + +  −      +  −     =  − 2 2 2 1 ln 1 3 1 ln 1 2 1 ln 1 n an L . Convergenţa şirurilor utilizând proprietatea lui Weierstrass Considerăm că un criteriu puternic de convergenţă este următoarea proprietate, datorată lui Weierstrass. Teoremă. Orice şir monoton şi mărginit este convergent. Demonstraţie Fie (an) un şir monoton şi mărginit. Pentru a face o alegere, presupunem că (an) este crescător. Notăm sup {an | n ≥ 1} = a. Vom demonstra că există lim an = a. Fie V o vecinătate a lui a. Atunci există λ ∈ R, astfel încât λ < a şi (λ, a) ⊂ V. Cum λ < a, rezultă că λ nu este majorant al mulţimii {an |n ≥ 1}, deci există nV > 1 astfel încât λ < nV a . Dar (an) este crescător, prin urmare λ < an < a, pentru orice n ≥ nV. În concluzie, an ∈ V, pentru orice n ≥ nV, adică lim an = a. Observaţie: Menţionăm că teorema lui Weierstrass furnizează o condiţie suficientă de convergenţă. Evident această condiţie nu este necesară. De exemplu, şirul cu termenul general a n n n = (−1) este convergent, dar nu este monoton. Folosind rezultatele demonstrate până acum putem trage următoarele concluzii: – dacă un şir este convergent, atunci el este mărginit; – un şir convergent nu este obligatoriu monoton; – un şir monoton are întotdeauna limită (finită sau infinită); – un şir monoton şi mărginit este convergent (are limită finită); Capitolul 1. Limite de funcţii 187 – un şir crescător şi nemărginit este divergent la +∞, iar un şir descrescător şi nemărginit este divergent la –∞. Teoremă Orice şir mărginit conţine un subşir convergent. Sau altfel spus: din orice şir mărginit se poate extrage un subşir convergent. Demonstraţie (facultativ) Fie un şir mărginit (xn). Atunci există a, b ∈ R astfel încât toţi termenii şirului (xn) se află în intervalul [a, b]. Considerăm intervalele     + , 2 a b a şi     + a b , b 2 . În cel puţin unul din ele, notat I1, se află o infinitate de termeni ai şirului (xn). Evident lungimea intervalului I1 este 2 b − a . Apoi împărţim intervalul I1 în 2 subintervale închise de lungime 2 b − a . Notăm cu I2 acel subinterval care conţine o infinitate de termeni ai şirului (xn). Prin inducţie construim un şir de intervale închise In = [an, bn] astfel încât In conţine o infinitate de termeni ai şirului (xn) şi bn – an = n b a 2 − . Şirul (an) este crescător şi şirul (bn) este descrescător. Atunci există lim an = lim bn = c. Pentru orice număr natural n, există un termen al şirului (xn), notat kn x , astfel încât kn x ∈ In. Aplicând teorema cleştelui, obţinem că subşirul ( ) kn x este convergent către c. Ca aplicaţii la proprietatea lui Weierstrass, vom calcula limitele unor şiruri semnificative. Exemple (de şiruri semnificative) 1. Şirul xn = an, a > 0. Fie a > 0 un număr real strict pozitiv. Considerăm şirul (xn), definit prin xn = an. Atunci:     ∞ > = < < = , 1 1, 1 0, 0 1 lim a a a an Soluţie: Dacă a = 1, este evident. (Cesàro) 188 Manual clasa a XI-a Fie 0 < a < 1. Şirul cu termenul general xn = an este strict descrescător şi mărginit, deci convergent (adică are o limită unică l). Fie l = lim xn. Trecând la limită în relaţia de recurenţă xn = axn–1, rezultă l = al, sau echivalent, l = 0. Dacă a > 1, fie b = 1 ∈(0,1) a . Conform cazului anterior, lim b n = 0. În plus, bn > 0, pentru orice n ≥ 1, deci an = → +∞ bn 1 . 2. Şirul xn = na, a ∈∈∈∈ RRRR Fie a ∈ R un număr real şi şirul (xn), definit prin xn = na. Avem:     ∞ > = < = , 0 1, 0 0, 0 lim a a a na . Soluţie Dacă a = 0, este evident. Pentru a > 0, şirul na este strict crescător şi nemărginit, deci lim na = +∞. Dacă a < 0, fie b = – a > 0. Conform cazului anterior, nb → +∞. Atunci = 1 → 0. b a n n 3. Fie şirul (xn) cu termenul general q q q q p p p p n b n b n b n b a n a n a n a x + +…+ + + +…+ + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 unde p, q ∈ N*, a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 şi b0nq +b1nq−1 +…+bq−1n +bq ≠ 0. Atunci:         < −∞ > < + ∞ > > = = p q p q a b p q a b p q b a xn 0, , , 0 , , 0 , lim 0 0 0 0 0 0 . Soluţie Prelucrăm convenabil termenul general şi obţinem q q q q p p p p p q q q q q q p p p p p n n b n b n b b n a n a n a a n n b n b n b n b n a n a n a n a x + +…+ + + +…+ + =       + +…+ +       + +…+ + = − − − − − − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Capitolul 1. Limite de funcţii 189 Folosind operaţiile cu şiruri care au limită, găsim p q n b n a lim x = lim − 0 0 . Cu ajutorul exemplului anterior, deducem: 1. dacă p = q, atunci np–q = 1; 2. dacă p > q, atunci lim np–q= +∞; 3. dacă p < q, atunci lim np–q = 0. În concluzie, găsim         < −∞ > < + ∞ > > = = p q p q a b p q a b p q b a xn 0, , , 0 , , 0 , lim 0 0 0 0 0 0 4. Numărul e Şirul n n x n     = 1+ 1 este convergent. Soluţia 1 (facultativ): Dezvoltând după binomul lui Newton, avem: , 2. ! 1 3! 1 2! 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 2 1 3! 2 1 1 1 1 2! 1 1 1 1 1 1 · ! 1 ( 1) 1 · 3! 1 ( 1)( 2) · 2! ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 < + + + +…+ ∀ ≥  <     … − − = + +  −  +  −  −  +…+  −  −  = + + − + − − +…+ − ⋅…⋅ =  = + + +…+ = =  +  n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n C n C n C n n n n n n n n n Deoarece n! ≥ 2n–1, pentru orice n ≥ 2, putem scrie 2 ≤ an ≤ 1 + (1 + 2 1 + 22 1 + ... + 2n 1 ) < 3 2 1 1 1 1 = − + , deci an ∈ [2, 3), œn ≥ 2, adică şirul (an) este mărginit. 190 Manual clasa a XI-a Conform calculului anterior, avem: , deci . ! 1 1 1 1 1 2 1 3! 2 1 1 2! 1 1 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3! 1 1 2 1 1 1 1 2! 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n a a a n n n n n n n n n n n n a n n n  = >     … − − …+  −  −   +… …+  − +  − +  ⋅…⋅ − +  + > + +  −  +  −   +…       +  − +  − +   = + +  − + + + adică şirul (an) este strict crescător. Aplicând proprietatea lui Weierstrass, rezultă că şirul (xn) este convergent. Limita sa se notează cu e. Evident 2 < e < 3. Soluţia 2 (facultativ). Considerăm şirul 1 1 1 +      =  + n bn n , pentru n > 1. Folosind inegalitatea (1 + t)n > 1 + nt, pentru orice t > – 1, t ≠ 0, şi n ∈ N*, n ≠ 1, obţinem: ( ) 1, ( 2) ( 2) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 > + + + = + ⋅ +      + > + + > +  ⋅ +    + =  + +  ⋅ +      + = +     + +       + = + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b n n n n n n deci şirul (bn) este strict descrescător. Cum (bn) este şi mărginit (0 < bn < b1), deducem că bn este convergent. Evident avem 0 1 1  1 < ≤ 1 → 0.     < − =  + n b n b b a n n n n n n Prin urmare lim an = lim bn. Observaţie: Numărul e este iraţional. Valoarea sa aproximativă este 2,7182818... Mai mult, se poate arăta că e este un număr transcendent. Corolar. Dacă şirul (un) este convergent şi are limita 0, atunci + un un = e 1 lim (1 ) . Capitolul 1. Limite de funcţii 191 Demonstraţie Observăm ca un ≠ 0, pentru orice n ≥ 1 (în caz contrar nu are sens şirul în discuţie). Întâi presupunem că un > 0, pentru orice n ≥ 1 (eventual cu excepţia unui număr finit de termeni ai şirului). Notăm cu n vn u = 1 şi zn =[vn ](partea întreagă a lui vn), n ≥ 1. Evident avem zn ≤ vn < zn + 1, sau echivalent n n n z u z 1 1 1 < ≤ + , deoarece un > 0 şi zn > 0. Atunci 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1 1 + +       < + ≤ + < + ≤  +      + + n n un n n z n z n n z n z n z u u u z Evident zn → +∞. Folosind un rezultat demonstrat anterior, avem lim 1 1 . 1 1 lim 1 1 e z z n zn n n z n n  =      =  +      + + + →∞ →∞ Aplicând teorema cleştelui, obţinem lim (1 ) . 1 + un un = e Cazul un < 0, pentru orice n ≥ 1 (eventual cu excepţia unui număr finit de termeni ai şirului) se tratează analog. Pentru un şir arbitrar un → 0, se aplică raţionamentul de mai sus, pentru subşirurile cu termeni pozitivi, respectiv negativi. Exerciţii rezolvate I. Să se studieze convergenţa următoarelor şiruri (care au fost analizate la şiruri monotone şi la şiruri mărginite): 1. (an)n≥1, = n +1 n an Soluţie: Şirul este monoton crescător şi mărginit superior, deci şirul este convergent şi lim =1 n→∞ n a . 192 Manual clasa a XI-a 2. (an)n≥1, 1 2 = n + n an . Soluţie: Şirul este monoton crescător şi nemărginit superior, deci nu este convergent, adică este divergent şi = +∞ n→∞ n lim a . 3. (an)n≥1, an n 1 2 1 1 = 1 + +…+ . Soluţie: Şirul este monoton crescător, nemărginit superior, deci este divergent şi = +∞ n→∞ n lim a . 4. (an)n≥1, an n n 2n 1 2 1 1 1 +…+ = + + + . Soluţie: Şirul este strict crescător şi mărginit superior de 1, deci este convergent. 5. (an)n≥1, an 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) n n ⋅ ⋅ ⋅…⋅ = ⋅ ⋅ ⋅…⋅ − . Soluţie Şirul este strict descrescător, mărginit şi deci este convergent. Pentru a calcula n n a →∞ lim , utilizăm inegalitatea 2 1 1 2 4 6 2 1 3 5 (2 1) + < ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ ⋅ ⋅…⋅ − n n n şi evident lim = 0 n→∞ n a . 6. (an)n≥1, an 2 1 2 1 − = + n n . Soluţie: Şirul este strict descrescător şi mărginit inferior de 1, deci este convergent. 1 2 1 1 2 1 1 lim 2 1 2 1 lim lim = − + = − + = →∞ →∞ →∞ n n n n n n n n a . 7. (an)n≥1, an = n +1 − n . Soluţie: Şirul este mărginit an ∈ (0, 1) şi strict descrescător, deci este convergent. ( ) 0. 1 1 lim 1 lim = + + + − = →∞ →∞ n n n n n n Capitolul 1. Limite de funcţii 193 8. (an)n≥1, an ! 2 n n = . Soluţie: Şirul este mărginit: an ∈ (0, 2] şi strict descrescător, deci este convergent; lim 0 3 2 2 1 2  ⇒ =    <  →∞ − n n n an a . 9. (an)n≥1, an 3 1·2· 2·3 ( 1) n + +…+ n n + = . Soluţie: Şirul este mărginit an ∈     , 2 3 1 şi monoton descrescător. 3 1 3 ( 1)( 2) lim lim 1·2· 2·3 ( 1) lim 3 2 = + +…+ + = + + = →∞ →∞ →∞ n n n n n n a n n n n . 10. ( ) n n n n n n n n n n C C C a a 2 2 1 2 1 ≥1, = 0 + 1 ++…+ = + . Soluţie: Şirul este descrescător, mărginit (1 ≤ an ≤ 2), deci este convergent. 1 2 2 1 lim + = →∞ n n n II. Să se calculeze următoarele limite: 1. lim ( 3 −1) →∞ n n n . Soluţie: Avem nedeterminarea ∞ · 0. Prelucrăm şi obţinem: n n n n n n n n n n n n 1 3 1 lim ( 3 1) lim 1 3 1 ( 3 1) 3 1 1 1 1 −  = − ⇒ − =     − =  − →∞ →∞ . Notăm 3n −1 = xn 1 . Atunci n 1 3 =1 + xn ⇒ ln n 1 3 = ln (1 + xn) ⇒ ln3 1 ln(1 xn) n + = . 194 Manual clasa a XI-a Cum n → ∞, atunci xn → 3 1 0 1 ∞ − = . Înlocuind în limita iniţială, obţinem: ln3. ln 1 ln3 ln lim(1 ) 1 ln3 lim ln(1 ) 1 ln3 1 ln(1 ) 1 ln3 ln3 lim 1 lim ln(1 ) 3 1 lim 1 1 1 = ⋅ = + = ⋅ = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ = + − →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ e x x x x x x n n xn n x n n n n n n n n n n n 2. lim (1 1 ) +3 →∞ + + − n n n n . Soluţie: Notăm n n xn n n + + = + − = 1 1 1 ; evident xn → 0. Atunci ( ) ( ) . 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 lim 1 3 1 3 1 3 1 3 e e e n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n = = = =               + + ⇒ + + − = + ⇒               + + + + − = + + + + →∞ + + + + + →∞ + →∞ + + + + + + 3. n n n n n − →∞     + + 2 1 2 lim . Soluţie: Avem nedeterminarea 1∞. Prelucrăm în mod convenabil şi obţinem: . 1 1 lim 1 1 2 lim 1 1 1 1 2 1 2 2 1 lim 2 1 1 2 2 2 1 e e n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n  = n =          = + +  =      + +  ⇒           = + +     + + + + −+ − →∞ − →∞ + − − + → Capitolul 1. Limite de funcţii 195 4. n n n n a a      + →∞ 2 lim 1 2 , unde a1, a2 > 0. Soluţie: Deoarece lim 1 = lim 2 =1 →∞ →∞ n n n n a a , avem nedeterminarea 1∞. Prelucrăm convenabil şirul dat şi obţinem: n n n n a n a n n a n a (1 ) 2 2 1 2 1 2 1 2  = + α      + −  = +      + , unde n n n n n n n n e a a α ⇒ + α = →∞ + − α 1 2 (1 ) lim 2 2 . Calculăm separat [ln ln ] ln , 2 1 1 1 lim 1 1 lim 2 1 2 1 1 1 1 1 lim 2 2 lim lim 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 a a a a n a n a n a n a a a n n n n n n n n n n n n n n = + =           − = − + =           − α = + − = − + →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ iar valoarea limitei este: eln a1a2 = a1a2 . Notă: Exerciţiul se poate generaliza sub forma: n n k n n n k a a a      + +…+ →∞ lim 1 2 = k a1a2…ak , unde ak > 0 şi k ∈ N*. 5. n n n n       + →∞ ln ln( 1) lim . Soluţie: Prelucrăm convenabil termenul şirului şi obţinem: . ln 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 ln ln( 1) n n n n n n n n n n                 + = +                 +  =      + 196 Manual clasa a XI-a Fie xn n n ln 1 ln 1       + = şi observăm că lim = 0. n→∞ n x Atunci lim(1 ) ln 0 1. 1 ln 1 lim lim + = = = =   +  →∞ →∞ →∞ x e e n e n n n n nx n n n n 6. n k k n n b n b n b n a n a n a     + + … + + + … + →∞ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) lim 1 2 1 2 . Prelucrăm termenul general al şirului şi obţinem: n k k n n n k k n b n a n b n a n b n a n b n b n b n a n a n a     + +  ⋅ ⋅      + +  ⋅      + + =     + + … + + + … + K 2 2 1 1 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) . Calculăm lim 1 . lim lim 1 lim 1 β α β (α β) β lim (α β) + − + − − α−β +β →∞ →∞ →∞ →∞ = =               + β = + α − β  =      + β  = + α − β      + β  = + + α − − β      + β + α e →∞ e n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Atunci limita şirului este e(a1+a2 +…+ak )−(b1+b2 +…+bk ). 7. n n n x n      + →∞ 2 1 lim 1 , unde . (2 1)(2 1) 1 1 = ∑= − + n k xn k k Soluţie: Calculăm 2 1 2 1 1 2 1 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 +  =    = ∑=  − − +  =  − + − +…+ − − + n n x k k n n n k n ; . 2(2 1) 1 2 1 n xn = n + Înlocuind obţinem: . 2(2 1 1 lim 1 2 1 lim 1 4 4 2(2 1) 2(2 1) 1 e e n x n n n n n n n n  = =           +  = + + + + →∞ →∞ 8.       + + + +…+ →∞ ! 1 3! 1 2! 1 1! 1 lim 1 n n . Capitolul 1. Limite de funcţii 197 Soluţie Considerăm şirurile (an) şi (xn), definite prin n n a n     = 1+ 1 şi , 1. ! 1 3! 1 2! 1 1! 1 =1+ + + +…+ ∀n ≥ xn n Evident şirul (xn) este strict crescător. Am demonstrat anterior că an < xn, pentru orice n ≥ 2. Pe de altă parte, pentru orice numere naturale k ≥ 2 fixat şi n > k, avem: 1 . ! 1 ( 1) ( 1) 2! 1 ( 1) 1 2 k n a k n n n n k n n n n n < − … − + + ⋅ + − +…+ Trecând la limită după n → ∞, găsim . ! 1 2! 1 1! 1 1 e k xk = + + +…+ ≤ Deci şirul (xn) este şi mărginit, deci convergent, şi avem an < xn < e. Aplicând teorema cleştelui, rezultă n→∞ lim xn = e. 9. Să se arate că şirul (cn), definit prin n cn n 1 ln 3 1 2 1 =1+ + +…+ − , pentru orice n ≥ 1, este convergent. Soluţie: Am văzut că 1 1 1 1 , 1. 1  ∀ ≥      < <  +      + + n n e n n n Logaritmând, găsim ln 1 1 1 ( 1)ln 1 1 ,      < < +  +      + n n n n (*) sau echivalent, ln( 1) ln 1 , 1. 1 1 < + − < ∀ ≥ n + n n n n Atunci însumând termenii dublei inegalităţi după k ∈ N*, obţinem: ∑ ∑ ∑ = = = < + − < + n k n k n k k k k 1k 1 1 [ln( 1) ln ] 1 . 1 1 198 Manual clasa a XI-a Deci ∑ ∑ = = < + < + n k n k k n 1k 1 ln( 1) 1 . 1 1 Prin urmare 0 < ln(n + 1) – ln n < ∑ = − n k n 1k 1 ln = cn < 1, adică şirul (cn) este mărginit. Pe de altă parte, din prima inegalitate (*), avem [ln( 1) ln ] 0, 1, 1 1 1 − + − < ∀ ≥ + + − = n n n cn cn n adică şirul (cn) este strict crescător. În concluzie, şirul (cn) este convergent şi limita sa, notată c ∈ (0, 1). Numărul c se numeşte constanta lui Euler. Observaţie: Nu se cunoaşte dacă c este raţional, algebric sau transcendent. Se poate arăta că c ≈ 0,5772156619... Aplicaţii 1. 1 ln 1 2 1 1 lim = + +…+ →∞ n n n Soluţie: 1 1. ln ln ln 1 ln 2 1 1 ln 1 2 1 1 + = + ∞ + → + +…+ − = + +…+ c n n n n n n n 2. 1 ln , 2 2 1 1 1 lim  = ∀ ≥      +…+ n→∞ n + + n + kn k k , k ∈ N. Capitolul 1. Limite de funcţii 199 Soluţie: Putem scrie 1 ln ln ln ln . 2 1 1 1 ln 2 1 1 1 2 1 1 1 n k c c k k n kn n n kn kn  + → − + =     − + +…+ − −     +…+ =  + +…+ − + + + III. Să se studieze convergenţa următoarelor şiruri date prin relaţii de recurenţă: 1. (an)n≥1, an +1 = αan, unde condiţia iniţială este a1 = 1, 0 < α < 1. Soluţie: Monotonia: +1 = α <1 n n a a , deci şirul este descrescător. Mărginirea: Din relaţia de recurenţă deducem an = αn – 1 · a1 = αn – 1şi cum 0 < α < 1 ⇒ 0 < αn– 1 < 1, şirul este mărginit. Deoarece şirul este monoton şi mărginit, el este convergent, deci se poate trece la limită în relaţia de recurenţă. În relaţia an+1 = αan, trecem la limită şi obţinem: n n n n n n a a a →∞ + →∞ →∞ lim 1 = lim(α ) = α lim . Cum şirul este convergent, limita sa nu se modifică, dacă adunăm sau dacă scădem un număr finit de termeni. Astfel a an l n n n = = →∞ + →∞ lim 1 lim şi deci avem l(1 – α) = 0 ⇒ l = 0 ⇒ lim = 0 n→∞ n a . 2. (an)n≥0, 0 = 2, −1 − = (n +1)! n a an an . Soluţie: Din relaţia de recurenţă rezultă ( 1)! 1 1 1 ( 1)! 1 0 − = + + an = a + n + n . 200 Manual clasa a XI-a Monotonia: ( 2)! 1 an+1 =1+ n + ; an+1 < an, deci şirul este monoton descrescător. Mărginirea: Deoarece an > 1, şirul este mărginit inferior. Deci este convergent. 1 ( 1)! 1 lim lim 1  =      = + + →∞ →∞ n a n n n . 3. (an)n≥1, a1 = 2, an+1 = 2+ an , œn ≥ 1. Soluţie: Mărginirea: Evident an > 0, œn ≥1 şi se demonstrează prin inducţie folosind relaţia an + 1 = 2+ an că an < 2, œn ≥ 1. Deci 0 < an < 2. Monotonia: 0, 2 ( 2)( 1) 2 2 2 2 2 2 2 1 > + + − + = − + + − − = − = + + + − + − = + − = n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a deci şirul este monoton crescător; rezultă că şirul este convergent. Fie lim a 1 lim an l. n n n = = →∞ + →∞ Trecând la limită în relaţia de recurenţă, obţinem ecuaţia: l = 2+l ⇒ l1 = 2, l2 = −1. Deoarece toţi termenii sunt pozitivi şi limita este unică, rezultă lim = 2. n→∞ n a 4. (an)n≥1, a1 = 1, an+1 = 1+ an2 , œn ∈ N*. Soluţie: Din relaţia de recurenţă se deduce uşor că an = n , care este un şir crescător, nemărginit superior, cu limita +∞. 5. (an)n≥1, a1 = 1 şi 2an+1 – 2an = 1. Soluţie: Din relaţia de recurenţă va rezulta cu uşurinţă că 2 a = n +1 n ; evident şirul este crescător şi nemărginit superior, deci lim = +∞. n→∞ n a Capitolul 1. Limite de funcţii 201 6. (xn)n≥0, x0 = 0, xn+1 = − 12 xn +1, œn ≥ 0. Soluţie: Din relaţia de recurenţă obţinem formula pentru termenul general al şirului: 3 2 3 2 2 1  +      ⋅−     = − n xn , œn ≥ 0, şi evident 3 2 lim = n→∞ n x . 7. (xn)n ≥ 1, x1 = 1, xn+1 = xn2 − 2xn + 2 . Soluţie: Mărginirea: xn+1 = (xn −1)2 +1≥1. Pornind de la egalitatea: xn+1 – 2 = xn(xn – 2), se arată prin inducţie că xn < 2, pentru orice n ≥ 1. Deci şirul este mărginit: xn ∈ [1, 2]. Monotonia: xn+1 − xn = xn2 − 2xn + 2− xn = xn2 −3xn + 2 = (xn −1)(xn − 2) < 0, deci şirul este strict descrescător. Din faptul că şirul este strict descrescător şi mărginit inferior, deducem că el este convergent, deci admite o limită unică; trecând la limită în relaţia de recurenţă, avem: l = l2 − 2l + 2 ⇒ l2 −3l + 2 = 0. Soluţia convenabilă este l = 1. 8. Să se studieze natura şirului (xn)n≥0, x0 > 0, , 0. 2 1 1  >     + =  + a x a x x n n n Soluţie Se observă foarte uşor ca toţi termenii şirului sunt pozitivi. Observăm că a x a x x a x x n n n n n ≥ ⋅ =     + =  + 2 1 1 ((xn) este mărginit inferior). Deoarece: 0 2 ( )( ) 2 1 2 1 2 1 < + −  − = ⋅ − =     + − =  + n n n n n n n n n n x a x a x x a x x x a x x x deducem că şirul este strict descrescător şi mărginit inferior, deci este convergent. Notăm xn l n = →∞ lim şi trecem la limită în relaţia de recurenţă obţinând: 202 Manual clasa a XI-a      =  + l a l l 2 1 . Soluţia acceptată este l = a . 9. (xn)n≥0, x0 = 1, x a ax x n n n + = + 2 1 , unde a > 1. Soluţie: Mărginirea: Din faptul că x0 = 1 şi a > 0 rezultă că toţi termenii sunt pozitivi. Pornind de la egalitatea x a x a x a a n n n + − +1 − = , se arată prin inducţie că xn < a, œn ≥ 0. Deci şirul este mărginit: 0 < xn < a. Monotonia: x a a x x x a ax x x a ax x ax x x a ax x x n n n n n n n n n n n n n n n + − = + − = + − − − = + − = + 2 2 1 2 2 . Deoarece xn < a, deducem xn+1 – xn > 0, deci şirul este strict crescător. Fiind strict crescător şi mărginit superior, rezultă că este convergent. Fie n n l x →∞ = lim . Trecând la limită în relaţia de recurenţă se obţine: l al al l al l a l a al l ⇒ + = ⇒ = ⇒ = = + 2 2 2 2 sau l = 0. Cum toţi termenii şirului sunt strict pozitivi, iar (xn) este crescător, rezultă că l = a. 10. Să se studieze convergenţa şirului (xn)n≥0, x0∈(0, 1), xn+1 = xn (1 – xn). Soluţie: Mărginirea: Se demonstrează prin inducţie că xn ∈ (0, 1). Monotonia: xn+1 − xn = −xn2 < 0 ⇒ xn+1 < xn , deci şirul este strict descrescător. Fiind mărginit şi monoton este convergent. Trecând la limită în relaţia de recurenţă, rezultă: l = l(1 – l) ⇒ l = 0. 11. Să se studieze convergenţa şirului (xn)n≥1, x1 > 1, 1 2 +1 = n − n n x x x Soluţie: Mărginirea: x1 > 1, x2 > 1, …, xn > 1 ⇒ 0 1 1 1 1 1 2 2 1 > − − + − = + − = − n n n n n n x x x x x x . Monotonia: 0 1 1 2 1 > + − = − − = n − n n n n n n x x x x x x x , deci şirul este strict crescător. Convergenţa: şirul este strict crescător, dar nu are limită finită şi deci = +∞ n→∞ n lim x . Capitolul 1. Limite de funcţii 203 Exerciţii propuse 1. Se consideră şirul (an)n≥1 dat de relaţia de recurenţă: 1 1 1 1 1 1 1 = − − n+ an+ − n an , pentru n ≥ 2 şi de condiţia iniţială a1 = 2. Să se determine n n a →∞ lim . 2. Să se calculeze limita şirului (an)n≥1, ∑ = + + = n k n k k a 1 2 1 1 arctg . 3. Dacă (2 + 3)n = an + bn 3 , n ∈ N*, să se calculeze: n n n b a →∞ lim . 4. Să se studieze convergenţa şirului (an)n≥1, dat de relaţia de recurenţă: n n n n a a a a +1 = 2 − +1 şi de condiţia iniţială 2 3 a1 = . 5. Se consideră şirul (an)n≥0, dat de relaţia de recurenţă: an+2 = an ⋅an+1 şi de condiţiile iniţiale a0 = 1 şi a1 = 2. Să se studieze convergenţa şirului. 6. Să se studieze convergenţa şirului (an)n≥0, dat prin relaţia de recurenţă: 1 2 n+1 = an +n a a şi de condiţia iniţială a0 = 1. 7. Să se calculeze limita şirului (an)n≥2, 1 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3 3 + − ⋅…⋅ + − ⋅ + − = n n an . 204 Manual clasa a XI-a 8. Să se determine limita şirului (xn)n≥2, unde xn = n(n a ⋅n+1 b −1), unde a, b > 0. 9. Să se determine lim ( ln −1) →∞ n n n n . 10. Să se calculeze ∑ →∞ =       + − n n k n k 1 2 lim 1 1 . 11. Să se calculeze: i)      … +      +       + →∞ 2 2 2 lim 1 1 1 2 1 n n n n n ; ii)       … +       +     + →∞ 3 2 3 2 3 2 lim 1 1 1 2 1 n n n n n . 12. Să se calculeze ∑ →∞ = + − − n + + n k k k k k n 1 2 2 4 13 4 1 lim . 13. Să se calculeze ∑ →∞ = + + + n n k 1k k 1 (k 1) k 1 lim , n ∈ N*. 14. Fie numerele reale a1, a2,…, ak. Să se calculeze: (a n a n ak n k ) n ∞ + + + +…+ + → lim 1 1 2 2 . 15. Se consideră şirul cu termen general 8 1 8 3 + − = n n an şi se formează şirul bn = a1 · a2 ·…· an. Să se calculeze n n b →∞ lim . 16. Se consideră şirul (xn)n≥0, dat prin relaţia de recurenţă: xn = nxn−2, n ≥ 2 şi de condiţiile iniţiale x0 = 1, x1 = 2. Să se studieze convergenţa şirului. 17. Să se calculeze limita şirului (xn)n≥1 = + ( + ) 2 + ( + + 2 ) 3 +…+ ( + +…+ n ) n+1 xn ac a ab c a ab ab c a ab ab c , unde a, b, c sunt numere reale astfel încât |c| < 1, b ≠ 1 şi bc < 1. Capitolul 1. Limite de funcţii 205 18. Fie şirul (an)n≥1 dat prin relaţia: an (2n 1)2n 1 3 4 1 1 2 1 = ⋅ + ⋅ +…+ − a) Să se studieze monotonia şi mărginirea şirului. b) Să se calculeze n n a →∞ lim 19. Fie a ∈ N şi şirul (an)n≥0, n n n na a n a =  +  ! ( )! , a < n. a) Să se calculeze limita şirului (an)n≥0. b) Dacă notăm ƒ(a) n n a →∞ = lim , să se demonstreze că: ƒ(1) · ƒ(2)…ƒ(a) = 3 [ f (a)]a+2 . 20. Se consideră şirul (xn)n≥0, definit prin relaţiile: x0 = a > 1, xn+1 = e−1+xn . a) Să se arate că şirul este monoton crescător. b) Să se calculeze n n x →∞ lim . 21. Fie (xn)n≥0 un şir de numere reale care verifică relaţia de recurenţă: xn+1 = xn − xn2 + xn3 − xn4, 0 < x0 <1. a) Să se studieze convergenţa şirului; b) Să se calculeze n n x →∞ lim . 22. Fie a < b două numere reale. Se consideră şirul (xn)n≥1 pentru care sunt îndeplinite următoarele condiţii: a) a < xn < b, œn ∈ N*; b) , 4 ( ) (b − xn )(xn+1 − a) ≥ b − a 2 œn ∈ N. i) Să se arate că şirul este convergent. ii) Să se calculeze n n x →∞ lim . 23. Să se calculeze lim sin2 π 3 3 + 2 + +1 →∞ n n n n . 206 Manual clasa a XI-a 24. Fie şirul (an)n≥1 cu a1 = M > 0 şi     + = + 1 2 2 3 1 n n n a M a a , œn ∈ N*. Calculaţi: n n a →∞ lim . 25. Să se calculeze , 1 1 lim 1 1 1            − + +    α  + →∞ n n n n n n α ∈ R. 26. Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: { } { } c) lim{(2 3) } ; d) lim sin(2 !) . a) 2 ; b) 2 3 ; n en a n n a n n n n n n n + π = + = + →∞ →∞ 27. Se consideră şirul (an)n≥0, 2 3 +1 = 2 − +1 şi a1 = a a a a n n n n . a) Să se arate că şirul este mărginit şi monoton descrescător. b) Să se calculeze n n a →∞ lim . 28. Fie (an)n≥1 un şir de numere reale astfel încât an+1 + an−1 = 2 ⋅ an , œn∈N*. Să se arate că şirul nu este convergent. 29. Să se demonstreze că dacă şirul de numere reale (an)n≥1 verifică condi- ţiile: an2+1 < an2 şi an+1 + an > 0, œn ∈ N, atunci şirul este convergent. Test de aprofundare 1. Fie x0 ∈ R. Se consideră şirul (xn)n∈N definit prin recurenţă:   ∉ + = + ∈ Q Q n n n n x x x x 0, 1 , 1 . Să se arate că şirul (xn)n≥1 este mărginit. 2. Să se arate că şirul an = n|sin n| nu are limită. 3. Se consideră şirul (an)n≥1, definit prin relaţia de recurenţă: an · an+1 = n, œn ∈ N*. Capitolul 1. Limite de funcţii 207 Să se arate că = +∞ n→∞ n lim a . 4. Se consideră şirul (an)n≥1, pentru care an+1 – 2an + an–1 = a, œn ∈ N, n ≥ 2 şi a ∈ R. Să se studieze convergenţa şirului bn = nan2 . 5. Şirul (an)n≥1, este dat prin relaţia de recurenţă: an+1 = ( 2)an şi a1 = 2 . a) Să se studieze convergenţa şirului (an)n≥1. b) Ştiind că limita sa este un număr întreg, să se calculeze n n a →∞ lim . 6. Se dă ak = ak(k+1) şi ∏ = = > n k bn ak a 1 , 1. a) Să se studieze convergenţa şirului (bn)n≥1. b) Să se calculeze n n b →∞ lim . 7. Se dă şirul (an)n≥0 definit prin relaţia: an = an−1 + k, (a0 > 0, k > 0) a) Să se arate că şirul (an)n≥1 este convergent. b) Să se calculeze n n a →∞ lim . 8. Să se arate că un şir (an)n≥0 de numere reale care verifică relaţia: (n + 1)xn+2 – nxn+1 – xn = 0, œn ≥ 0 este convergent. 9. Fie şirul (an)n≥1, dat de an = a1 + (n – 1)r, unde n ∈ N* şi a1 > 0, r > 0 sunt fixate. Să se calculeze: a)       ⋅…⋅ −       ⋅ −      − →∞ + 2 1 2 2 3 2 2 2 2 lim 1 1 1 n an r a r a r . b) 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 lim 2 a r a r a r a r a r a r n n n + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + − + + →∞ K . 208 Manual clasa a XI-a 1.5. Limite de funcţii. Interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, calculul limitelor laterale Puncte de acumulare Definiţie Un punct x0 ∈ R se numeşte punct de acumulare al mulţimii D dacă orice vecinătate V a lui x0 conţine cel puţin un punct din D diferit de x0, adică V ∩ D \ {x0} ≠ ∅. Observăm că x0 nu aparţine neapărat lui D. Mai mult, x0 poate fi + ∞ sau –∞. Definiţie Un punct din mulţimea D care nu este punct de acumulare al lui D se numeşte punct izolat al lui D. Evident toate punctele unei mulţimi finite sunt izolate. Remarcăm că x0 este punct de acumulare al mulţimii D, dacă şi numai dacă există un şir cu elemente din D \ {x0} cu limita x0. Dacă mulţimea D nu este majorată, ea are punctul +∞ ca punct de acumulare, deci putem studia comportarea lui ƒ în jurul lui +∞. Analog, dacă D nu este minorată, putem studia comportarea lui ƒ în jurul lui – ∞. Dacă D este o submulţime a lui R, vom nota cu D' mulţimea punctelor de acumulare ale lui D şi cu D0 mulţimea punctelor izolate ale lui D. Exemple 1. Fie mulţimea D = [0, 1]. Orice punct x0 ∈ [0, 1] este punct de acumulare al mulţimii D şi D' = [0, 1]. Capitolul 1. Limite de funcţii 209 2. Fie mulţimea D = (0, 1). Orice punct x0 ∈ [0, 1] este punct de acumulare al mulţimii D şi D' = [0, 1]. 3. Fie mulţimea D = (–∞, 1) ∪ (1, +∞). Orice punct x0 ∈ D este punct de acumulare al mulţimii D; D' = R = [–∞, +∞]. 4. Dacă D =N, atunci D' = {+∞}. Dacă D = Z, atunci D' = {–∞, +∞}. 5. Dacă D = Q sau D = R, atunci D'= R. 6. Dacă D = {0, 1, 2, 3}, atunci D' = ∅. Evident, orice mulţime finită nu are puncte de acumulare. 7. Pentru mulţimea D = (1, 2) ∪ {5}, punctul x0 = 5 este punct izolat. 8. Pentru mulţimea D = (2, 7) ∪ {0, 9, 10}, punctele 0, 9 şi 10 sunt puncte izolate. Noţiunea de limită a unei funcţii într-un punct Considerăm următoarea problemă: fie ƒ : D → R o funcţie reală de variabilă reală şi vrem să studiem comportarea sa în jurul unui punct x0. Mai precis, ce putem spune despre valorile funcţiei ƒ(x) când variabila x se apropie de x0? Există un număr l (finit sau infinit) astfel încât ƒ(x) să fie situat în vecinătatea lui l când x se află în vecinătatea lui x0? Comportarea funcţiei ƒ în jurul lui x0 se referă la valorile ƒ(x) pentru x ≠ x0 în vecinătatea lui x0. Deoarece valoarea funcţiei ƒ(x0) în punctul x0 nu ne interesează, nu este necesar ca funcţia să fie definită în punctul x0. Dar funcţia trebuie să fie definită pentru puncte suficient de apropiate de x0, adică x0 trebuie să fie un punct de acumulare al mulţimii D. Suntem astfel conduşi la definiţia noţiunii de limită a unei funcţii într-un punct de acumulare. Definiţie Fie D ⊂ R, x0 ∈ R un punct de acumulare al mulţimii D şi ƒ : D → R o funcţie reală definită pe D. Atunci funcţia ƒ are limita l ∈ R în punctul x0, dacă pentru orice vecinătate V a lui l, există o vecinătate U a lui x0, astfel încât ƒ(x) ∈ V, pentru orice x ∈ U ∩ D \ {x0}. Numărul l se numeşte limita funcţiei ƒ în punctul x0 şi se notează cu lim ( ) 0 f x x→x (mai putem scrie ƒ(x) → l când x → x0). 210 Manual clasa a XI-a Observaţie: Folosind definiţia limitei unui şir, putem formula o condiţie echiva- lentă (datorată lui Heine) cu definiţia limitei unei funcţii într-un punct de acumulare. Teoremă. Funcţia ƒ : D → R are limita l ∈ R în punctul de acumulare x0 al mulţimii D, dacă şi numai dacă pentru orice şir xn → x0, xn ∈ D, xn ≠ x0, şirul ƒ (xn) → l. Demonstraţie Presupunem că lim ( ) 0 f x x→x = l. Fie V o vecinătate arbitrară a lui l. Atunci există o vecinătate U a lui x0, astfel încât ƒ (x) ∈ V, pentru orice x ∈ U ∩ D \ {x0}. Fie (xn) un şir din D, cu xn ≠ x0 şi xn → x0. Din definiţia limitei unui şir, rezultă că există un număr natural n0 astfel încât xn ∈ U, pentru orice n ≥ n0. Atunci ƒ (xn) ∈ V, pentru orice n ≥ n0. Prin urmare lim ƒ (xn) = l. Reciproc, presupunem că pentru orice şir xn → x0, xn ∈ D, xn ≠ x0, şirul ƒ(xn) → l. Folosind metoda reducerii la absurd, presupunem că l nu ar fi lim ( ) 0 f x x→x . Aceasta implică existenţa unei vecinătăţi V0 a lui l, cu proprietatea că oricare ar fi vecinătatea U a lui x0, există un punct xU ∈ U ∩ D, xU ≠ x0, astfel încât f (xU )∉V0 . După natura punctului x0 putem considera un şir de vecinătăţi (Un) ale lui x0 convenabil alese, de forma: a)      =  − + Un x n x n 1 0 1 , 0 , dacă x0 ∈ R; œn ∈ N* b) Un = (n, +∞), dacă x0 = +∞; œn ∈ N* c) Un = (–∞, − n), dacă x0 = –∞. œn ∈ N* Deci în orice vecinătate Un există un punct xn ∈ D, xn ≠ x0, astfel încât ƒ (xn) ∉ V0, pentru orice n ≥ 1. Am obţinut astfel un şir (xn) de puncte din D \ {x0} cu limita x0. Faptul că ƒ(xn) ∉ V0 contrazice ipoteza (ƒ(xn) → l). Observaţie: Datorită echivalenţei este mai convenabil să utilizăm, atât în demonstraţii, cât şi în aplicaţii, definiţia limitei cu ajutorul şirurilor, care au fost studiate anterior. Capitolul 1. Limite de funcţii 211 Ilustrăm grafic toate cazurile posibile pentru punctul de acumulare x0 şi lim ( ) 0 f x x→x . Cazul I: x0 ∈ R, = ∈ R → f x l x x lim ( ) 0 . Cazul II: x0 = +∞, = ∈ R →+∞ f x l x lim ( ) . Cazul III: x0 = –∞, = ∈ R →−∞ f x l x lim ( ) . Cazul IV: x0 ∈ R, = +∞ → lim ( ) 0 f x x x . y V l = f (x0) O x0 x U y V O x0 x U 212 Manual clasa a XI-a Cazul V: x0 ∈ R, = −∞ → lim ( ) 0 f x x x . Cazul VI: x0 = +∞, = +∞ →+∞ lim f (x) x . Cazul VII: x0 = +∞, = −∞ →+∞ lim f (x) x . Cazul VIII: x0 = –∞, = −∞ →−∞ lim f (x) x . Cazul IX: x0 = –∞, = +∞ →−∞ lim f (x) x . Cu ajutorul teoremei lui Heine şi utilizând proprietăţile şirurilor care au limită, putem calcula limitele unor funcţii elementare studiate. y V O x U y V O x0 x U y V O x U y V O x U y V O x U Capitolul 1. Limite de funcţii 213 Exemple 1. Fie funcţia constantă f : R → R, f (x) = c ∈ R şi x0 ∈ R. Avem f x c x x = → lim ( ) 0 . 2. Fie funcţia identitate f : R → R, f (x) = x. Vom arăta că: lim ( ) 0 0 f x x x x = → , unde x0 ∈ R. Soluţie: Fie x0 ∈ R şi V o vecinătate a lui f (x0) = x0. Evident, pentru orice x ∈ V, f (x) = x ∈ V (fig. 26). Deci lim ( ) 0 f x x→x = x0 = f (x0). Figura 26 Observaţie: Printr-un raţionament asemănător se arată că: = +∞ →∞ lim f (x) x şi = −∞ →−∞ lim f (x) x 3. Fie funcţia f : R → R, f (x) = xk, k ∈ N* şi x0 ∈ R. Atunci k x x lim f (x) x0 0 = → . Vom ilustra cazul k = 2 (fig. 27). Fie x0 ∈ R şi V o vecinătate a lui f (x0) = x02 . Atunci există ε ∈ (0, 1), astfel încât ( x02 – ε, x02 + ε) ⊂ V. Alegem 1+ 2 x0 δ = ε şi U = (x0 – δ, x0 + δ). y O x0 x U = V x0 = f(x0) V 214 Manual clasa a XI-a Figura 27 Atunci, pentru orice x ∈ U, avem f (x)− f (x0 ) = x2 − x02 = x − x0 x + x0 < δ( x + x0 ) ≤ δ(2 x0 + δ) < δ(1+ 2 x0 ) = ε , adică f (x) ∈ V. 4. Fie funcţia f : R \ {0} → R, f (x) = 2 1 x . Să arătăm cu ajutorul vecinătăţilor că lim ( ) 0 f x x→ = + ∞. Soluţie: Fie V +∞ o vecinătate oarecare a lui +∞ şi ε > 0 astfel încât (ε, +∞) ⊂ V+∞. Fie       ε ε U0 = − 1 , 1 o vecinătate a lui 0. Să arătăm că dacă x ∈ U0, x ≠ 0 atunci f (x) ∈ V+∞. Din ⇒ = > ε ⇒  ⇒ < ε     ε ε ∈ − 1 , 1 1 1 ( ) 2 2 f x x x x f (x) ∈ V+∞. Observaţie: Printr-un raţionament asemănător se arată că, dacă x0 ≠ 0, atunci lim ( ) 0 f x x→x = 2 0 1 x . 2 x0 + ε x0 – δ x0 + δ x0 2 x0 – ε 2 x0 = f (x0) U O x y Capitolul 1. Limite de funcţii 215 Calculul limitelor laterale Definiţie Fie ƒ : D → R o funcţie reală definită pe D. • Dacă x0 ∈ R este un punct de acumulare al mulţimii D ∩ (– ∞ , x0), atunci funcţia ƒ are limită la stânga în punctul x0 egală cu ls ∈ R, dacă pentru orice vecinătate V a lui ls există o vecinătate U a lui x0 astfel încât ƒ(x) ∈ V, pentru orice x < x0 din U ∩ D. • Dacă x0 este un punct de acumulare al mulţimii D ∩ (x0, + ∞), atunci funcţia ƒ are limită la dreapta în punctul x0 egală cu ld ∈ R, dacă pentru orice vecinătate V a lui ld, există o vecinătate U a lui x0 astfel încât ƒ(x) ∈ V, pentru orice x > x0 din U ∩ D. Se folosesc notaţiile: lim ( ) ( 0 0) 0 0 = = − < → l f x f x x x s x x şi lim ( ) ( 0 0). 0 0 = = + > → l f x f x x x d x x Cele două tipuri de limite definite mai sus (limita la stânga şi limita la dreapta) se numesc limite laterale. Avem următoarele condiţii echivalente: Propoziţie. Funcţia f : D → R are limită la stânga în punctul x0 egală cu ls ∈ R dacă şi numai dacă pentru orice şir xn → x0, xn ∈ D, xn < x0, şirul f(xn) → ls. Funcţia f : D → R are limita la dreapta în punctul x0 egală cu ld ∈ R dacă şi numai dacă pentru orice şir xn → x0, xn ∈ D, xn > x0, şirul f(xn) → ld. Demonstraţie Presupunem că s x x x x f x = l < → lim ( ) 0 0 . Fie V o vecinătate arbitrară a lui ls. Atunci există U o vecinătate a lui x0 astfel încât ƒ(x) ∈ V, pentru orice x ∈ D ∩ U, x < x0. Fie (xn) un şir din D, cu xn < x0 şi xn → x0. Deci există un număr natural n0 astfel încât xn ∈ U, pentru orice n ≥ n0. Atunci ƒ(xn) ∈ V, œn ≥ n0. Prin urmare lim ƒ(xn) = ls. Reciproc se demonstrează prin reducere la absurd, analog cu demonstraţia teoremei lui Heine. Pentru limită la dreapta se procedează similar. 216 Manual clasa a XI-a Legătura dintre limita într-un punct şi limitele laterale în acel punct este dată de următoarea: Teoremă. Funcţia f : D → R are limită în punctul x0 dacă şi numai dacă are limite laterale egale în x0. În acest caz lim ( ) ( 0 0) ( 0 0). 0 = − = + → f x f x f x x x Demonstraţie Dacă există f x l x x = → lim ( ) 0 , atunci evident există limitele laterale şi ƒ(x0 –0) = = ƒ(x0 + 0) = l. Reciproc, presupunem că ƒ are limite laterale egale în x0, ƒ(x0 – 0) = ƒ(x0 + 0) = l. Fie V o vecinătate a lui l. Faptul că ƒ(x0 – 0) = l, implică existenţa unei vecinătăţi U1 a lui x0 astfel încât ƒ(x) ∈ V pentru orice x ∈ D ∩ U1 şi x < x0. Analog, ƒ(x0 + 0) = l implică existenţa unei vecinătăţi U2 a lui x0, astfel încât ƒ(x) ∈ V, pentru orice x ∈ D ∩ U2 şi x > x0. Notăm U = U1 ∩ U2. Pentru orice x ∈ U ∩ D \{x0}, avem ƒ(x) ∈ V. Prin urmare există lim ( ) . 0 f x l x x = → Observaţie: Există funcţii care nu au limite laterale în nici un punct; de exemplu, funcţia lui Dirichlet definită pe R prin    ∈ ∈ = R Q Q 0, \ 1, ( ) x x f x . Într-adevăr, fie x0 ∈ R şi două şiruri (xn) şi (yn) convergente la x0 cu xn ∈ Q, yn ∈ R \ Q şi xn, yn < x0. Atunci ƒ (xn) = 1 şi ƒ(yn) = 0, pentru orice n ≥ 1. Deci ƒ nu are limită la stânga în x0. Analog ƒ nu are nici limită la dreapta în x0. Capitolul 1. Limite de funcţii 217 O condiţie suficientă pentru existenţa limitelor laterale este dată de urmă- toarea propoziţie: Propoziţie. O funcţie monotonă f : D → R are limite laterale în orice punct de acumulare al mulţimii D. Demonstraţie Presupunem că ƒ este crescătoare pe D. Fie x0 un punct de acumulare al mulţimii D ∩ (–∞, x0). Vom demonstra că există ƒ (x0 – 0). Fie un şir (xn), cu xn → x0 şi xn < x0. Schimbând eventual ordinea termenilor, putem presupune că şirul (xn) este crescător. Rezultă că şirul (f(xn)) este de asemenea crescător, deci are limita ls (finită sau infinită). Evident ls nu depinde de şirul (xn). În concluzie f (x0 – 0) = ls. Analog se arată că există f (x0 + 0). Cazul în care funcţia f este descrescătoare se demonstrează analog. Limitele de funcţii au unele proprietăţi asemănătoare cu limitele de şiruri, care sunt des utilizate în aplicaţii. Propoziţii • Dacă există limita funcţiei f în punctul x0, atunci ea este unică. • Dacă funcţiile f, g : D → R au limite în punctul x0 şi f(x) ≤ g(x), pentru orice x ≠ x0 într-o vecinătate U a lui x0, atunci f (x) g(x) x x0 x x0 lim lim → → ≤ . • Dacă funcţiile f, h : D → R au limite egale în punctul x0 şi dacă există o vecinătate U a lui x0 astfel încât f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), pentru orice x ≠ x0 din U ∩ D, atunci funcţia g : D → R are limită în x0 şi f (x) g(x) h(x) x x0 x x0 x x0 lim lim lim → → → = = . 218 Manual clasa a XI-a 1.6. Calculul limitelor pentru funcţiile studiate 1. Fie α > 0 şi funcţia f : [0, +∞) → R, f (x) = xα. Avem α α → = 0 0 lim x x x x . De asemenea, pentru funcţia f : (0, +∞) → R, f (x) = α x 1 , avem: lim 1 1 , 0 0 x→x xα = xα x0 ∈ R \ {0}. În plus, avem lim 1α = 0 x→∞ x şi . 2. Fie a > 0 şi funcţia f : R → R, f (x) = ax. Avem 0 0 lim x x x x a = a → . În particular, lim 1 0 = → x x a şi ax a x = →1 lim . De asemenea, avem: i) dacă a > 1, lim = 0 →−∞ x x a şi = +∞ →+∞ x x lim a ; ii) dacă 0 < a < 1, = +∞ →−∞ x x lim a şi lim = 0 →+∞ x x a . 3. Pentru a > 0 şi a ≠ 1, fie funcţia f : (0, +∞) → R, f (x) = logax. Avem lim log log 0 0 a x a x x x = → , x0 ∈ (0, ∞) În particular, lim log =1 → a x x a şi limlog 0 1 = → a x x . În plus, avem: i) dacă a > 1, = −∞ → a x x lim log 0 şi = +∞ →+∞ a x x lim log ; ii) dacă 0 < a < 1, = +∞ → a x x lim log 0 şi = −∞ →+∞ a x x lim log . Capitolul 1. Limite de funcţii 219 4. Fie funcţia f : (–∞, –1) ∪ (0, +∞) → R, definită prin f (x) = x x     1+ 1 . Avem e x x x x x x  =      =  +      + →+∞ →−∞ 1 lim 1 1 lim 1 . 5. Fie f : R →[–1, 1], f (x) = sin x şi x0 ∈ R. Avem , 2sin 2 2 2 sin sin 2cos 2 sin 2 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x ≤ − ≤ − = − − = + − ≤ deci lim sin sin 0 0 x x x x = → . 6. Fie ƒ : R → [–1, 1], ƒ(x) = cos x şi x0 ∈ R. Avem: sin 2 0 cos 0 lim cos lim sin 2 sin lim0 2 0 0 x x x x x x x x x x x  =      =  π −            =  π −     =  π − → → → , deci lim cos cos 0 0 x x x x = → . Observaţie: Funcţiile sinus şi cosinus nu au limită la ±∞. Justificarea este următoarea: considerând şirul 2 π xn = n → +∞, şirul (sin xn) este 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, …, 1, 0, –1, 0, … care fiind un şir oscilant nu are limită. Exerciţii rezolvate Să se determine punctele în care următoarele funcţii admit limită şi în aceste puncte să se calculeze limita. 1. f : R \ {0, 1}→ R, f (x) = ( 1) 1 x x − . 2. f : (1, 2) ∪ {3}→R, f (x) = (1− x)(2 − x) . 3. f : R → R, f(x) = 1+ x2 . 220 Manual clasa a XI-a 4. f : R → R, f(x) =     − ∈ ∈ R Q Q , \ , x x x x . 5. f : R → R, f(x) =     − > − ≤ 1 , 1 2 1, 1 x x x x . Soluţii 1. D ' = R; a) x0 finit, x0 ∉ {0, 1}. Deci ( 1) 1 lim ( ) 0 0 0 − = → x x f x x x . b) x0 = 1. Fie şirurile xn n 1 ' =1+ şi xn n 1 '' =1− . Atunci ( )= ( − ) = + ⋅ − − = − + ⋅ = − + ⇒ ( )= −∞ →∞ ' 2 ' ' ' lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n f x n n n n n n x x f x . ( )= + ⇒ ( )= +∞ →∞ '' 2 '' lim n n 1 n f xn n f x . Nu există limita funcţiei în punctul de acumulare x0 = 1. c) x0 = 0; se arată analog că funcţia f nu admite limită în punctul de acumulare x0 = 0. d) x0 = +∞; fie ( ) 0 ( 1) ' ' 1 → xn → ∞ ⇒ f xn = xn xn − şi lim ( ) = 0 →∞ f x x . e) x0 = –∞; fie ( ) 0 ( 1) '' '' 1 → xn → −∞ ⇒ f xn = − xn xn − şi lim ( ) = 0 →−∞ f x x . 2. Punctul x = 3 este izolat; D' = [1, 2]. x0 ∈ [1, 2] ⇒ lim ( ) (1 0 )(2 0 ) 0 f x x x x x = − − → . 3. D' = R; = + = +∞ = +∞ → →+∞ →−∞ lim ( ) 1 02 , lim ( ) , lim ( ) 0 f x x f x f x x x x x . 4. Fie x0 ∈ R un punct de acumulare fixat (x0 ∈ Q sau x0 ∈ R \ Q). Considerăm un şir (xn')n≥0, xn' ∈ Q cu xn' → x0 şi un şir (xn'')n≥0 , xn'' ∈R\ Q, cu xn'' → x0 . ( ) 0 ( ) 0 lim f x' x' x , lim f x'' x'' x n n n n n n = → = − → − →∞ →∞ . Capitolul 1. Limite de funcţii 221 Funcţia admite limită în x0, dacă x0 = – x0 ⇒ x0 = 0, deci singurul punct de acumulare în care funcţia admite limită este x0 = 0. 5. D' = R şi avem: = = −∞ = +∞ → →+∞ →−∞ lim ( ) 0, lim ( ) , lim ( ) 1 f x f x f x x x x . 1.7. Operaţii cu limite de funcţii; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii 0 0 ; ∞ ∞ ; ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00 Teoremă. Fie D ⊂ R, x0 un punct de acumulare al mulţimii D şi două funcţii f, g : D → R care au limite (finite sau infinite) în punctul x0. Atunci: i) dacă suma limitelor are sens, funcţia f + g are limită în x0 şi ( f (x) g(x)) f (x) g(x) x x0 x x0 x x0 lim lim lim → → → + = + ; ii) pentru orice λ ∈ R, funcţia λf are limita în x0 şi ( ) ( )     λ = λ λ ≠ λ = → → 0, 0; lim , 0, lim 0 0 f x f x x x x x iii) dacă produsul limitelor are sens, funcţia f g are limită în x0 şi f (x) g(x) f (x) g(x) x x0 x x0 x x0 lim lim lim → → → ⋅ = ⋅ ; iv) dacă câtul limitelor are sens, funcţia g f are limită în x0 şi ( ) ( ) ( ) g(x) f x g x f x x x x x x x 0 0 0 lim lim lim → → → = ; v) dacă f > 0 şi are sens ( ) g(x) x x x x f x 0 0 lim lim →       → , funcţia f g are limită în x0 şi [ ( )] ( ) ( ) g(x) x x g x x x x x f x f x 0 0 0 lim lim lim →      =  → → . 222 Manual clasa a XI-a Demonstraţie Fie x0 un punct de acumulare al mulţimii D şi notăm ( ) 1 0 lim f x l x x = → şi ( ) 2 0 lim g x l x x = → . Fie (xn) un şir de elemente din D \ {x0} cu xn → x0. Atunci f (xn) → l1; g (xn) → l2 şi avem: i) f ((xn) + g (xn)) → l1 + l2, deci ( ( ) ( )) 1 2 0 lim f x g x l l x x + = + → . ii) λf (xn) → λl1, deci ( ) 1 0 lim f x l x x λ = λ → . iii) (f (xn) g (xn)) → l1l2, deci ( ( ) ( )) 1 2 0 lim f x g x l l x x = → . iv) ( ) ( ) 2 1 l l g x f x n n  →      , deci ( ) ( ) 2 1 0 lim l l g xx f x x = → . Observăm că lim ( ) 0 0 ≠ → g x x x implică existenţa unei vecinătăţi V a lui x0, astfel încât g(x) ≠ 0 pe D ∩ V \ {x0}. v) ([ f (xn )]g(xn ) )→l1l2 , deci [ ( )] ( ) 2 0 lim 1 g x l x x f x = l → . Rezultatele i) şi iii) se pot extinde la un număr finit de funcţii: Fie f1, f2, …, fk : D → R care au limită în punctul de acumulare x0 a lui D. Avem: a) ( ( )+ ( )+…+ ( )) = ( )+ ( )+…+ → → → f x f x f x f x f x x x0 1 2 k x x0 1 x x0 2 lim lim lim fk (x) x x0 lim → sau ∑ ∑ → = = →       =       k i i x x k i i x x f x f x 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 ; b) ( ( )⋅ ( )⋅…⋅ ( )) = ( )⋅ ( )⋅…⋅ → → → f x f x f x f x f x x x0 1 2 k x x0 1 x x0 2 lim lim lim fk (x) x x0 lim → sau ∏ ∏ → = = →       =       k i i x x k i i x x f x f x 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 . Capitolul 1. Limite de funcţii 223 Cazurile exceptate (de teorema de mai sus) 1. Cazul + ∞ – ∞ ( f (x) g(x)) x x + → 0 lim , când ( ) = +∞ ( ) = −∞ → → f x g x x x0 x x0 lim , lim . 2. Cazul 0 ⋅ (±∞) f (x)g(x) x x0 lim → , când ( ) = ( ) = +∞ → → f x g x x x0 x x0 lim 0, lim . 3. Cazul 0 0 ( ) g(x) f x x x0 lim → , când lim ( ) lim ( ) 0 0 0 = = → → f x g x x x x x . 4. Cazul ± ∞ ± ∞ , ( ) g(x) f x x x0 lim → , când ( ) = ( ) = +∞ → → f x g x x x0 x x0 lim lim . 5. Cazul 1∞ ( ) g(x) x x f x 0 lim → , când ( ) = ( ) = +∞ → → f x g x x x0 x x0 lim 1, lim . 6. Cazul (±∞)0 [ ( )]g(x) x x f x 0 lim → , când lim ( ) , lim ( ) 0 0 0 = +∞ = → → f x g x x x x x . 7. Cazul 00 [ ( )]g(x) x x f x 0 lim → , când lim ( ) lim ( ) 0 0 0 = = → → f x g x x x x x . Calculul unor anumite limite de funcţii în cazurile de nedeterminare constituie probleme dificile de Analiză Matematică, pentru care nu există algoritmi de calcul, ci doar unele metode posibile, pe care le vom detalia mai târziu. 224 Manual clasa a XI-a În continuare vom calcula limitele unor funcţii elementare într-un punct x0 ∈ R. 1. Funcţia polinomială P : R → R, P(x) = a0xn + a1xn–1 + … + an. Funcţia are limită în orice x0 ∈ Rşi avem: ( ) ( 0 ) 0 lim P x P x x x = → , x0 ∈ R. ( )     − ∞ < + ∞ > = →+∞ , 0. , 0, lim 0 0 a a P x x ( )         + ∞ < = −∞ < = −∞ > = + ∞ > = = →−∞ , 0, impar. , 0, par, , 0, impar, , 0, par, lim 0 0 0 0 a n a n a n a n P x x 2. Funcţia raţională ( ) ( ) Q(x) P x R x = Caz 1 x0 ∈ R, Q(x0) ≠ 0 ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 lim Q x P x Q x P x x x = → . Caz 2 x0 = ±∞ Dacă P(x) = a0xn + a1xn–1 + … + an şi Q(x) = b0xm + b1xm–1 + … bm, atunci: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a) lim = lim = →+∞ →−∞ Q x P x Q x P x x x , dacă n < m. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 b) lim lim Q x ab P x Q x P x x x = = →+∞ →−∞ , dacă n = m. ( ) ( ) ∞    =  →+∞ 0 0 c) lim sgn b a Q x P x x , dacă n > m. d) ( ) ( ) ∞    = − −  →−∞ 0 lim ( 1) sgn 0 b a Q x P x n m x , dacă n > m, unde funcţia sgn : R* → R este dată de     − < > = 1, 0. 1, 0, sgn x x x Capitolul 1. Limite de funcţii 225 Caz 3 x0 ∈ R, Q(x0) = 0 Dacă x0 este o rădăcină a polinomului Q(x), simplificând eventual cu o putere a lui x – x0, putem presupune că P(x0) ≠ 0 şi Q(x) = (x – x0)kQ1(x), cu Q1(x0) ≠ 0. • Dacă k este par, atunci ( ) ( ) ( ) ( )    = +∞⋅  → 1 0 lim sgn 0 0 Q x P x Q x P x x x , • Dacă k este impar, avem ( ) ( ) ( ) ( )    = −∞⋅  < → 1 0 lim sgn 0 0 0 Q x P x Q x P x x x x x , ( ) ( ) ( ) ( )    = +∞⋅  > → 1 0 lim sgn 0 0 0 Q x P x Q x P x x x x x . Deci în acest caz funcţia Q P nu are limită în x0. 3. Fie funcţia f : R \    kπ+ π k ∈Z 2 → R, ƒ(x) = tg x Caz 1 x0 ∈ R \    kπ+ π k ∈Z 2 lim tg tg 0 . 0 x x x x = → Caz 2 x0 = kπ + 2 π , k ∈ Z = +∞ = −∞ > → < → x x x x x x x x x x lim tg ; lim tg 0 0 0 0 ; Caz 3 În punctele de acumulare + ∞ şi – ∞ funcţia tangentă nu are limită. Într-adevăr, şirul xn = n π2 + π4 → +∞ , dar şirul (tg xn)n≥1 nu are limită, deoarece este un şir oscilant. 226 Manual clasa a XI-a Calculul limitei unei funcţii compuse Teoremă. Fie ƒ : D → E şi g : E → F două funcţii reale de variabilă reală, ϕ = g B f : D → F şi x0 un punct de acumulare al lui D. Dacă 0 lim x→x ƒ(x) = l1, f(x) ≠ l1, pentru x ≠ x0 într-o vecinătate a lui x0, l1 este punct de acumulare al lui E şi 1 lim y→l g(x) = l2, atunci există 0 lim x→x ϕ(x) = l2. Demonstraţie Fie xn → x0 un şir de puncte din D cu xn ≠ x0. Deoarece ƒ are limită în x0, rezultă că ƒ (xn) → l1. Notăm yn = ƒ (xn). Faptul că lim ( ) 1 g y y→l = l2 implică g(yn) → l2, sau echivalent ϕ(xn) → l2. Prin urmare, 0 lim x→x ϕ(x) = l2. Teoremă Fie f : D → E şi g : E → F două funcţii reale de variabilă reală, ϕ = g B f : D → F şi x0 un punct de acumulare al lui D. Dacă lim ( ) 0 f x x→x = l, l este punct de acumulare al lui E şi lim g(y) y→l = g(l), atunci lim ( ( )) ( lim ( )) 0 0 g f x g f x x→x x→x = . Calculul unor limite importante I. lim sin 1 0 = → x x x . Demonstraţie Fie un cerc de rază 1 şi unghiul la centru AOM de măsură      ∈ π x 0, 2 . Capitolul 1. Limite de funcţii 227 Figura 28 Evident avem A ΔAOM < A sector AOM < A ΔAOT. Deci sin x 12 x 12 tg x 2 1 < < ⇒ sin x ≤ x ≤ tg x ; pentru orice      ∈ π x 0, 2 . Împărţind cu sin x, găsim x x x cos 1 1< sin < , sau echivalent,      < < ∀ ∈ π 1, 0, 2 sin cos x x x x . Aceste inegalităţi au loc şi pentru      ∈− π , 0 x 2 , deoarece funcţiile de mai sus sunt pare. Deci      < < ∀ ∈− π π 1, 2 , 2 sin cos x x x x \ {0}. Cum lim cos 1 0 = → x x , rezultă lim sin 1 0 = → x x x . 228 Manual clasa a XI-a Aplicaţii 1. 1 lim0 sin = → x x x ; 2. lim tg 1 0 = → x x x ; 3. lim arcsin 1 0 = → x x x ; 4. lim arctg 1 0 = → x x x . Demonstraţii 1. Folosim relaţia x x x x sin 1 sin = . 2. Avem 1 cos 1 cos lim sin lim sin lim tg lim 0 0 0 0 = = ⋅ = → → → x → x x x x x x x x x x x . 3. Notăm arcsin x = y. Atunci x = sin y şi 1 lim sin arcsin lim 0 0 = = → → y y x x x y . 4. Notăm arctg x = y. Atunci x = tg y şi 1 lim tg arctg lim 0 0 = = → → y y x x x y . II. x x e x + = → 1 0 lim(1 ) şi ( u(x)) u(x) e x x + = → 1 lim 1 0 , dacă lim ( ) 0 0 = → u x x x . Aplicaţii 1. lim ln(1 ) 1 0 + = → x x x ; 2. lim 1 1 0 − = → x ex x . 3. a x ax x lim 1 ln 0 − = → , a > 0; 4. + α − = α → x x x (1 ) 1 lim 0 , α ∈ R. Soluţii: 1. Aplicând teorema de mai sus, avem ln(1 ) lim ln(1 ) ln lim(1 ) ln 1 lim 1 0 1 0 0 + = + = + = = → → → x x e x x x x x x x . Capitolul 1. Limite de funcţii 229 2. Notând ex – 1 = t, avem x = ln(1 + t). Atunci ( ) ln 1 1 lnlim(1 ) 1 ln(1 ) 1 lim 1ln(1 ) 1 lim lim ln 1 1 lim 1 0 0 0 0 0 1 = = + = + = + = − = + → → → → → e t t t t t t x e t t t t t t x x . 3. Dacă a > 0, atunci a = eln a şi a a x a e x a x a x x x ln ln ln 1 lim 1 lim ln 0 0 − = − ⋅ = → → . 4. Notând 1 + x = ey, avem ( ) ⋅α = α − α − = − − + − = α → α → α → y e y e e e x x y y y y y x y 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 0 0 0 . Exerciţii rezolvate A. Limite de funcţii raţionale Să se calculeze următoarele limite: 1. x x x x x − + → 2 2 0 lim ; 2. 4 3 3 2 lim 2 2 1 − + − + → x x x x x ; 3. ( )2 3 1 1 1 lim − − → x x x ; 4.       − − − < → 2 1 1 1 1 1 1 lim x x x x ; 5. , , * 1 1 lim 1 α β∈N − − β α → x x x ; 6. 3 2 1 lim 3 3 2 1 − + − − + → x x x x x x ; 7. ( ) ( ) , * 1 1 1 lim 1 2 ∈N − − − − → n x xn n x x ; 8.       − − − < → 4 4 2 1 lim 2 2 2 x x x x ; 9. ( )( ) ( x)( x) x x x x 1 1 2 lim 1 2 + + − − →+∞ ; 10. ( )( ) ( x)( x) x x x x + − − + →−∞ 1 2 1 2 lim . 230 Manual clasa a XI-a Soluţii: 1. Avem nedeterminarea 0 0 : 1 1 1 lim ( 1) ( 1) lim lim 2 0 0 2 0 = − − = + − = + − + → → → x x x x x x x x x x x x x ; 2. Avem nedeterminarea 0 0 : ( )( ) ( − )( − ) = = − − − + − + → → 1 3 1 2 lim 4 3 3 2 lim1 xx22 xx x 1 xx xx x 2 1 1 3 1 2 3 2 lim 1 = − − = − − → x x x . 3. ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 − + + = − − + + = − − x x x x x x x x x , deci ( ) 1 1 lim 1 1 lim 2 2 1 3 1 − + + = − − → → x x x x x x x , limită care nu există. 4. = +∞ − = +∞ − < → < → 2 1 1 1 1 1 1 ; lim 1 1 lim x x x x x x . Avem nedeterminarea ∞ –∞. Efectuând calculele obţinem: 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x − = − = + − − − − (x ≠ ±1). Atunci = +∞ −  =      − − − < → < → 2 1 2 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim x x x x x x x x . 5. Avem nedeterminarea 0 0 : ( )( ) ( 1)( 1) . 1 1 lim 1 1 lim β 1 β 22 α 1 α β 1 α 1 β = α − + +…+ + = − + +…+ + − − − − − − → → x x x x x x x x x x x x 6. Avem cazul de nedeterminare 0 0 , x = 1 reprezintă o rădăcină comună pentru funcţiile polinomiale de la numărător şi numitor. Descompunem separat: x3 – x2 – x + 1 = x2(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x2 – 1) = (x – 1)2(x + 1) şi x3 – 3x + 2 = x3 – x – 2x + 2 = x(x2 – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x2 + x – 2) = = (x – 1)2(x + 2). Capitolul 1. Limite de funcţii 231 Înlocuind, obţinem: ( ) ( ) ( 1) ( 2) 1 1 3 2 1 2 2 3 3 2 − + − + = − + − − + x x x x x x x x x ; x ≠ 1, x ≠ – 2 şi 3 2 2 1 lim 3 2 1 lim 3 1 3 2 1 = + + = − + − − + → → x x x x x x x x x . Se observă că s-au efectuat toate calculele, apoi pe forma ireductibilă a expresiei iniţiale, am calculat limita. 7. Avem nedeterminarea 0 0 . Descompunem numărătorul şi obţinem: xn – 1 – n(x – 1) = (x – 1)(xn–1 + xn–2 + … + x – n) = = (x – 1)[(xn–1 – 1) + (xn–2 – 1) + … + (x – 1)] = = (x – 1)2[xn–2 + 2xn–3 + … + (n – 1)]. ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 − − + +…+ − = − − − − − − x x x x n x xn n x n n . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 lim 1 1 1 lim 2 3 1 2 1 − = + +…+ − = − − − − − − → → x x n n n x x n x n n x n x . 8. = −∞ − = −∞ − < → < → 4 4 ; lim 2 1 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x . Avem nedeterminarea ∞ –∞. Efectuăm calculele şi obţinem: ( )( ) 2 1 2 2 2 4 2 4 4 4 2 1 2 2 + = − + = − − = + − − − − x x x x x x x x (x ≠ ±2) şi 4 1 2 1 lim 4 4 2 1 lim 2 2 2 2 =  = +     − − − < → x x → x x x x . 9. ( )( ) ( + )( + ) = +∞ − − →+∞ 1 2 1 1 2 lim x x x x x x . 10. ( )( ) ( + )( − ) = −∞ − + →−∞ x x x x x x 1 2 1 2 lim . 232 Manual clasa a XI-a B. Limite de funcţii iraţionale Să se calculeze: 1. 1 1 lim 2 − + →+∞ x x x ; 2. 1 1 lim 2 − + + →−∞ x x x ; 3. 4 1 lim 2 2 + + →+∞ x x x ; 4. ( x x) x + − →+∞ lim 2 1 ; 5. ( x x) x + + →−∞ lim 2 1 , 6. 2 4 1 lim 2 2 + + + + →+∞ x x x x x ; 7. ( x x x ) x + − + + →+∞ lim 2 2 1 ; 8. lim (3 x 1 3 x ) x + − →+∞ ; 9. lim (3 x2 4 x3 ) x − →+∞ ; 10. 1 1 lim 3 4 3 3 2 + + + + →+∞ x x x x x ; 11. 1 1 lim 1 3 − − → x x x ; 12. 1 2 lim 3 1 − + − → x x x x ; 13. ( ) ( ) 3 3 2 0 1 1 1 1 lim − − + + − + → x x x x x ; 14.       − − →> − 1 1 1 1 lim 2 1 1 x x x x ; 15. 1 1 1 3 lim 2 2 1 − + − + + − → x x x x x ; 16. 1 1 lim 1 − − → n m x x x . Soluţii: 1. Avem nedeterminarea ∞∞ . Prelucrăm şi obţinem: x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 − + =       − + = =       + = − + şi 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 2 2 = − + = − + →+∞ →+∞ x x x x x x . Capitolul 1. Limite de funcţii 233 2. Avem nedeterminarea ∞∞ . Pentru x < 0, avem:      − + − + =      − + + = − + + x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 şi 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 2 2 = − + − + = − + + →−∞ →−∞ x x x x x x . 3. Avem nedeterminarea ∞∞ . Prelucrăm fracţia şi obţinem: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 x x x x x x x x x x + + =   +   =  +  + + şi 1 4 1 1 1 lim 4 1 lim 2 2 2 2 = + + = + + →+∞ →+∞ x x x x x x . 4. Avem nedeterminarea ∞ – ∞. Amplificăm cu conjugata şi obţinem: x x x x x x x x + + = + + + − = + − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 şi 0 1 1 1 lim 2 = = ∞ x→+∞ x + + x . 5. Analog ca la 4). 6. Avem nedeterminarea ∞∞ . 2 4 1 lim 2 2 + + + + →+∞ x x x x x = 2 1 1 2 4 1 1 1 lim 2 2 =       + +       + + →∞ x x x x x . 7. x + 2 − 2 x +1 + x = ( x + 2 − x +1)− ( x +1 − x )= 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 → + + − + + + = + + − + − + + + = + − − x x x x x x x x x x x x , când x → +∞. 8. Avem nedeterminarea ∞ – ∞. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 → + + + + = + + + + + − = + − x x x x x x x x x x x x 9. Avem nedeterminarea ∞ – ∞. → −∞          = −      − = − = − −1 1 1 12 1 4 3 12 1 4 3 4 3 3 2 3 2 4 3 x x x x x x x x , când x → +∞. 234 Manual clasa a XI-a 10. Avem nedeterminarea ∞∞ . Notăm 12 x = t , deci x = t12 şi când x → + ∞ şi t → ∞. Obţinem 0 1 1 lim 4 9 6 8 = + + + + →∞ t t t t t (gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului). 11. Avem nedeterminarea 0 0 . 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 − ⋅ + + + = − − − x x x x x x x ; 2 3 1 1 lim 1 1 lim 3 2 3 1 3 1 = + + + = − − → → x x x x x x x . 12. Avem nedeterminarea 0 0 . Efectuăm schimbarea de variabilă 6 x = t, unde cel mai mic multiplu comun al indicilor radicalilor este 6. Cum x → 1, atunci t → 1. Astfel obţinem că: . 3 5 1 2 2 lim ( 1)( 1) ( 1)( 2 2) lim 1 2 lim 1 2 lim 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 3 1 = + + = + + = − + + = − + + − = + − − + − → → → → t t t t t t t t t t t t t x x x t x t t 13. Avem nedeterminarea 0 0 . Amplificând cu conjugatele obţinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − ) − ( + ) = ⋅ − + − + + + + + + = + − + − − + + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + + )( − + − − − ) =   + + − −  − + − + + + = 1 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( 2 3 3)(1 1) 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 2 − + − + + +    − + − + + + = x x x x x x x x x x ; deci ( ) ( ) 3 3 2 0 1 1 1 1 lim − − + + − + → x x x x x = –1. Capitolul 1. Limite de funcţii 235 14. = +∞ − = +∞ →> − →> 1 1 ; lim 1 1 lim 11 2 1 1 x x x x x x , avem nedeterminarea ∞ – ∞. Se aduc fracţiile la acelaşi numitor şi se obţine: → +∞ − = + − − − − 1 1 1 1 1 1 1 2 x2 x x x . 15. = − + − − + + ⋅ + + + + + − = − + − + + − 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x ( ) ( )( )( ) ( )( ) 3 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 → − + + + − + − + + = + + + ⋅ − + + − = + − x x x x x x x x x x x x x x x x , când x → 1. 16. Fie mn x = t . Atunci x → 1 ⇒ t → 1 şi obţinem: m n t t m n t = − − → 1 1 lim 1 . C. Limite de funcţii exponenţiale şi logaritmice Să se calculeze următoarele limite: 1. 2 lim x ex x→+∞ ; 2. (ex x) x − →+∞ lim ; 3. x x x x x e e e e − − →+∞ + + 3 2 lim ; 4. 1 1 lim 0 2 − − → x x x e e ; 5. x x x x x e e e e 2 2 3 3 lim + − →+∞ ; 6. e e x e e x x x x x x + ⋅ − ⋅ − − →−∞ lim ; 7. x eax ebx x − →0 lim ; 8. x x ax bx x e e e e → α − β − 0 lim (α ≠ β); 9. lim −− ( > 0) → a x a xx aa x a ; 10. x a xa aa x a − − → lim ; 11. a a x a x a x a x a − − → lim ; 12. ( x ) x x e− →∞ lim ln 1+ ; 13. ( ) (e b) e a x x x + + →∞ ln ln lim ; 14. ( ) ln( 1) ln 1 lim 2 2 − + + + →∞ x x x x x ; 15. ( ) x x x x ln 1 2 lim + + →∞ ; 16. x x x       →∞ 1 lim 17. ( x )x x e x 1 0 lim + → 18. x x x x 1 0 0 lim > → . 236 Manual clasa a XI-a Soluţii: 1. Vom calcula a x x x e →+∞ lim (a > 0). Folosind graficele funcţiilor ƒ(x) = ex şi g(x) = x avem că ex > x pentru orice x > 0, vom avea:  → +∞     >  ⋅           ≥           =             = a a a a x a a a x a x x x a a x x e x e x e 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 , când x → + ∞. Deci = +∞ →+∞ 2 lim x ex x . 2. ∞∞∞∞ −−−− ∞∞∞∞; ex − x =  → +∞      − x x e x e 1 , când x → + ∞. 3. ∞∞ ; 1 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 →   +   =  +  + = + + + − − x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e , când x → + ∞. 4. 0 0 ; 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 − ⋅ → − = − − x e x e e e x x x x , când x → 0. 5. −∞∞ ; x x x x x e e e e 2 2 3 3 lim + − →+∞ = 1 3 3 1 3 1 3 lim 2 2 = − = −   +    −  →+∞ x x x x x e e e e . 6. +− ∞∞ ; 1 ( ) ( ) lim lim 22 = − + − = + ⋅ − ⋅ − − − →−∞ − →−∞ e e x e e x e e x e e x x x x x x x x x x x . 7. 0 0 ; ( ) x(a b) (a b) a b e e x eax ebx bx x a b ⋅ − → − − − − = ⋅ − 1 , când x → 0. 8. 0 0 ; α −β − → − − = − − α β α β a b x e e x e e e e e e x x ax bx x x ax bx , când x → 0. Capitolul 1. Limite de funcţii 237 9. 0 0 ; x a e e x a xx aa x x a a − = − − − ln ln = − ⋅ − − = ⋅ − − x a x x a a x x a a e ea a x x a a ln ln ln ln ln ln 1 ln x a x x a x a x a a − = ln − ln + ln − ln ( ) = − + − − = − x a x a a x a x a ln x ln ln x a x a = ln x + a ln −− ln . Avem de calculat 1 ln 1 lim 1 ln lim ln ln lim − = ⋅   −  = − − → → → a x a x a a x a a x x a x a x a x a x a . Fie t a x = ; x → a ⇒ t → 1. Obţinem [ ( )] 1 1 ln 1 1 lim 1 ln lim 1 1 = − = + − → − → t t t t t t . Atunci x a a x a x a ln ln 1 lim −− = → . În final obţinem: lim 1 lna. x a xx aa x a = + − − → 10. 0 0 ; 1 1 lim 1 1 lim lim 1  −       −      = ⋅     −           −      = − − → − → → a x a x a a x a a x x x a x a a x a a a a x a a a x a . Dacă t a x = , x → a ⇒ t → 1şi avem = α − α − → 1 1 lim 1 t t t ; deci lim a. a a x a a x a x a = − − → 11. 0 0 ; x a x a x a x a x a x a a a x a a a x a x a x a − − − − = − − → → lim lim şi folosim rezultatele de la exerciţiile 9 şi 10. 12. ∞ · 0; ln(1 ) ln 1 1 = lim = 0              + =  + →∞ − x x e x x x e x e e x x e x . 13. ∞∞ ; ( ) ( )  =     +  +      +  + =      +  +      +  + = + + x x x x x x x x e b x e a x e b e e a e e b e a ln 1 ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln ln 238 Manual clasa a XI-a 1 ln 1 1 ln 1 1 →               + +               + + = x e b x x e a x x x , deoarece 0. ln 1 lim =   +  →+∞ x e a x x 14. ∞∞ ; ( ) ( )  =      − +       + + = − + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 x x x x x x x x x x 1 ln 1 1 ln 1 ln 2 ln 1 1 ln 1 ln 2 1 1 2ln ln 1 1 1 2ln ln 1 2 2 2 2 →               − + +               + + + =  +  − +   = +  + +  x x x x x x x x x x x x x x , când x → +∞. 15. Se procedează ca la exerciţiul 14. 16. 00 ; lim 1 lim 0 1 0 0  = =      > →+∞ → t t t x x t x 17. 1∞; ( ) [ ( )] =         + = + + − + − + − → → x e x x e x x x x x x e x e x x 1 1 1 0 1 0 lim lim 1 1 eL. L lim 1 lim 1 1 2, 0 0  =     = + − =  − + → → x e x e x x x x x deci ( )1 2 0 lim ex x x e x + = → . 18. 00 ; x x e x ln x 1 1 = = −∞ > → x x x x ln lim 0 0 şi lim 0 1 0 = → x x x . Capitolul 1. Limite de funcţii 239 D. Limite de funcţii trigonometrice directe şi inverse Să se calculeze următoarele limite: 1. 0 2 1 cos lim x x x − → ; 2. 2 0 cos cos2 lim x x x x − → ; 3. 0 2 1 cos lim x x x − → ; 4. x x x 01 cos2 1 cos lim − − → ; 5. x x x x x tg cos cos lim 0 − → ; 6. 2 cos lim 2 π − π → x x x ; 7. x x x 1 ctg 1 tg lim 4 − − π → ; 8. x x x x x 1 ctg tg 1 tg ctg lim 4 − − π → ; 9. ( ) 3 2 sin 1 lim 2 2 1 − + − → x x x x ; 10. ( ) sin( 1) sin 1 lim 2 3 1 − − → x x x ; 11. x e x x 1 lim sin 0 − → ; 12. x e x x tg 1 lim sin 0 − → ; 13. 1 1 lim 3tg 2sin 0 − − → x x x e e ; 14. ( ) 2 1 lim cos 0 x x x→ ; 15. ( x ) x x e x sin 1 0 lim + → ; 16. ( ) x x x ctg 0 lim 1+ tg → ; 17. ( ) x x x tg2 4 lim tg → π ; 18. a) ( ) ( x) x x tg tg sin sin lim →0 ; b) ( ) 1 arcsin 1 lim 1 2 − − → x x x ; c) ( ) arcsin( 3 2) arcsin 5 4 lim 2 2 1 − + − + → x x x x x ; 19. a) 1 lim arcsin 2 1 1 − − π < → x x x x ; b) x x x x x arcsin3 arcsin4 arcsin arcsin2 lim0 − − → ; c) ( )x x x lim sin x 0 0 > → ; 20. a); 2 1 0 cos cos 2 lim x x x x       → ; b) ( ) 2 1 lim 1 tg sin 0 0 x x x x x + + > → . Soluţii: Pentru fiecare exerciţiu se va înlătura nedeterminarea şi se vor utiliza următoarele limite fundamentale cunoscute: dacă lim ( ) 0 0 = → u x x x , atunci ( ) u(x) u x x x sin lim → 0 = 1; ( ) ( ) 1 1 lim 0 − = → u x eu x x x ; ( ) ( ) 1 arcsin lim 0 = → u x u x x x . 240 Manual clasa a XI-a 1. 0 0 ; ⋅ ⇒         = ⋅ − = = 2 1 2 sin 2 2 4 1 cos 2sin 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x 2 1 2 lim sin 2 2 1 cos 1 lim 2 0 2 0 =           ⇒ − = ⋅ → → x x x x x x . 2. 0 0 ; 2 3 4 3 2 3 2 3 sin 2 2 2 sin 2 3 sin cos cos2 2sin 2 2 2 ⋅ →        ⋅         − = = x x x x x x x x x x , când x→0. 3. 0 0 ; ( ) ( ) ⇒ + = ⋅ + = + − = − x x x x x x x x x x x 1 cos 1 4 4 2sin 2 1 cos 2sin 2 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 2 2 2 4 1 2 1 1 2 1 1 cos 1 lim 2 lim sin 2 2 1 cos 1 lim 0 2 0 2 0 = ⋅ ⋅ = + ⋅           ⇒ − = → → x → x x x x x x x . 4. 0 0 ; ⇒ + = ⋅ + + ⋅ + − = − − − x x x x x x x x x x 1 cos 1 cos sin 2sin 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 cos lim 4sin 2 cos 2 lim 2sin 2 1 cos 1 cos lim 2 2 2 0 2 0 2 0 = + = ⋅ + − ⇒ − → → → x x x x x x x x x x . 5. 0 0 ; ( ) ( ) ( + ) = = − + − = − x x x x x x x x x x x x x x x x tg cos cos cos cos 1 tg cos cos cos cos tg cos cos 2 = + = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ x x x x x x x x x x x x x cos cos 1 tg sin 2 2 cos sin 2 cos cos 1 tg cos 2sin 2 2 4 1 cos cos cos 2sin 2 cos 2 sin 2 2 cos sin 2 → − + ⋅ ⋅         = − ⋅ x x x x x x x x x , când x → 0. Capitolul 1. Limite de funcţii 241 6. 0 0 ; ⇒       π −       π − = − π −       π − = π − x x x x x x 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 1 2 sin 2 lim 2 cos lim 2 2 = −      −  π −   −  π = ⇒ → π − π → π x x x x x x . 7. 0 0 ; 1 1 ctg 1 tg tg lim tg 1 1 tg tg tg 1 1 1 tg 1 ctg 1 tg 4 = − − = − ⇒ − − = ⋅ − − = − − − → π x x x x x x x x x x x . 8. 0 0 ; 1 tg 1 1 1 tg 1 ctg 1 tg 1 ctg tg 1 tg ctg 1 ctg tg 1 tg ctg 2 2 → − − − = − − = − ⋅ − ⋅ = − − x x x x x x x x x x x x , când x → . 4 π 9. 0 0 ; ( ) ( ) = − + ⋅ − − = − − + − 3 2 1 1 sin 1 3 2 sin 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x = ( ) (( ))(( )) ( 1, 2) 1 2 1 1 1 sin 1 2 2 ≠ ≠ − − − + ⋅ − − x x x x x x x x . ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 lim 1 sin 1 lim 3 2 sin 1 lim 2 1 2 2 1 2 1 = − − = ⋅ − ⋅ + − = − − + − → → → x x x x x x x x x x . 10. Analog ca la exerciţiul 9). 11. 0 0 ; − = − ⋅ ⇒ x x x e x e x x sin sin sin 1 sin 1 lim sin 1 sin 1 lim 1 lim 0 sin 0 sin 0 − = − ⋅ = → → → x x x e x e x x x x x . 12. 0 0 ; cos 1 sin 1 tg sin sin 1 tg sin −1 = sin − ⋅ = sin − ⋅ x → x e x x x e x e x x x . 13. 0 0 ; 3 2 3tg 3tg 1 2sin 2sin 1 1 1 3tg 2sin 3tg 2sin → − ⋅ − ⋅ = − − x x e x x e e e x x x x , când x → 0. 14. 1∞; ( ) [ ( )] 2 cos 1 cos 1 1 2 1 cos 1 cos 1 x x x x x x − −         = + − 242 Manual clasa a XI-a ⇒ ( ) e x e e x e x x x x x lim cos x lim x 2 1 2 1 2sin cos 1 lim 0 0 2 2 2 0 2 1 = = = = − → − − → → . 15. 1∞; ( ) [ ( )] ⇒         + = + + − + − + − x ex x ex x ex x x ex x sin 1 1 1 sin 1 1 1 ⇒ ( ) 2 0 1 sin lim0sin 1 0 lim sin 1 lim e x e e e x x x x e x x x x ex x x x x x + = = =       − + ⋅ → + − → → . 16. 1∞; ( x) x ( x) x e x x + = + = → → tg 1 ctg lim 1 tg lim 1 tg 0 0 . 17. 1∞; ( ) [ ( )] ⇒    tgx tg2x =  1+ tgx −1 tgx1−1 (tg x−1)tg 2x ⇒ ( ) ( ) ( ) x e e e x x x x x x x x x 1 lim tg tg 1 2 1 tg 2tg 4 lim 4 lim tg 1 tg2 tg2 4 = = = − π → π − → − → π . 18. a) 0 0 ; ( ) ( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ⇒ x x x x x x x x tg sin tg tg tg sin sin sin tg tg sin sin ⇒ ( ) ( ) tg 1 sin lim tg tg sin sin lim 0 0 = = → → x x x x x x . b) 0 0 ; ( ) ( ) ⇒ − ⋅ + = − − − 1 1 1 arcsin 1 1 arcsin 1 2 x x x x x ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 12 1 lim 1 1 arcsin lim 1 arcsin 1 lim 1 2 1 1 = − ⋅ + = − − − → → x → x x x x x x x . c) 0 0 ; (( ) ) ( ) ( ) ( )⋅( − + ) ⇒ − + − + ⋅ − + − + − + = − + − + 3 2 3 2 arcsin 3 2 5 4 5 4 arcsin 5 4 arcsin 3 2 arcsin 5 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇒ ( )( ) ( 2)( 1) 3 1 4 lim 3 2 5 4 lim 2 1 2 1 = − − − − = − + − + → → x x x x x x x x x x . Capitolul 1. Limite de funcţii 243 19. a) 0 0 ; Fie y = arcsin x – 2 π ⇒ arcsin x = y + 2 π ⇒ x = sin       + π y 2 , pentru x → 1, avem y → 0. Astfel, limita iniţială devine echivalentă cu: 2 1 lim 1 2 1 ( ) . 2 sin 2 lim 4 2sin 2 lim lim cos 1 1 sin 2 lim 2 0 0 2 2 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ −∞ = +∞ = − = − ⋅ = −  −      + π < → < → < → < → < → y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y b) 0 0 ; ⇒ − − = − − x x x x x x x x x x x x arcsin3 arcsin4 arcsin arcsin2 arcsin3 arcsin4 arcsin arcsin2 ⇒ 1 3 4 1 2 arcsin3 arcsin4 arcsin arcsin2 lim 0 = − = − − − → x x x x x . c) 00; (sin x)x = exlnsin x ; vom calcula x x x lim lnsin →0 . Cum ln α < α, œα ∈ (1, +∞) şi |sin x |≤ x, atunci | xln(sin x)|<| x·sin x |<| x | . Folosim teorema cleştelui şi obţinem că lim ln(sin ) 0 0 = → x x x , deci valoarea limitei iniţiale este e0 = 1. 20. a) 1∞; ⇒           =  + −  − − 2 2 cos2 cos cos2 cos 1 cos 1 cos cos2 1 cos cos2 x x x x x x x x x x x ⇒ 2 1 lim cos2 cos 3 0 2 0 2 cos cos2 lim − − →  = =      e → e x x x xx x x x (vezi exerciţiul 2). b) 1∞; [ ( )] ⇒ ( + + ) =         + + > → + + 2 1 2 tg sin 1 1 tg sin lim 1 tg sin 0 0 tg sin x x x x x x x x x x x x = = = = ∞ = ∞           ⋅ ⋅ − + ⋅ > → > → > → e e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2sin 2 cos sin 1 lim cos 1 1 sin lim tg sin lim 2 0 0 0 2 0 0 0 . 244 Manual clasa a XI-a 1.8. Asimptotele graficelor funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice Fie D ⊂ R o reuniune de intervale şi f : D → R o funcţie reală definită pe D. Dacă funcţia f este nemărginită sau domeniul său de definiţie D este nemărginit, graficul său este o mulţime nemărginită. Dacă o ramură nemărginită a graficului se apropie de o anumită dreaptă, vom numi această dreaptă asimptotă la graficul lui f . Asimptotele sunt de două tipuri: verticale (paralele cu axa Oy) şi oblice (neparalele cu axa Oy). I. Asimptote verticale. Acestea se definesc pentru funcţii nemărginite, chiar dacă domeniul de definiţie este mărginit. Definiţie Dacă x0 este un punct de acumulare finit al mulţimii D şi cel puţin o limită laterală f (x0 – 0) sau f (x0 + 0) există şi este infinită, atunci dreapta x = x0 se numeşte asimptotă verticală la graficul funcţiei f . Exemple 1. Funcţia f : R* → R, definită prin f (x) = x 1 , are asimptota verticală x = 0, deoarece f (0 – 0) = – ∞ şi f (0 + 0) = + ∞. 2. Funcţia f : R \ {kπ + 2 π | k ∈ Z} → R, f (x) = tg x are asimptota verticală x = 2 π , deoarece  = −∞      = +∞  π +      π 0 f 2 – 0 , f 2 . 3. Funcţia f : (0,+ ∞) → R, f (x) = ln x are asimptota verticală x = 0, pentru că f (0 + 0) = – ∞. Capitolul 1. Limite de funcţii 245 4. Funcţia ƒ : R \ {0} → R, ƒ(x) 12 x = , admite dreapta de ecuaţie x = 0 asimptotă verticală şi la stânga şi la dreapta (fig. 29), deoarece: = = +∞ < → > → 2 0 2 0 0 0 1 lim 1 lim x x x x x x . II. Asimptote oblice. Acestea se definesc pentru funcţii definite pe mulţimi nemărginite. Dacă mulţimea D este nemărginită la dreapta (nemajorată), atunci + ∞ este punct de acumulare al mulţimii D. În acest caz, dreapta y = mx + n se numeşte asimptotă oblică spre + ∞ dacă lim [ ( )− − ]= 0 →+∞ f x mx n x . Analog, dacă mulţimea D este nemărginită la stânga (neminorată), atunci dreapta y = mx + n se numeşte asimptotă oblică spre – ∞ dacă lim [ ( )− − ] = 0 →−∞ f x mx n x (fig. 30). Dacă dreapta y = mx + n este asimptotă oblică spre + ∞, avem n [ f (x) mx] x = − →+∞ lim (fig. 31). y ′ x ′ y O x y = mx + n – ∞ y ′ x ′ y O x y = mx + n + ∞ Gf y y ′ x ′ O x Figura 29 Figura 30 Figura 31 246 Manual clasa a XI-a De asemenea putem scrie ( ) ( ) lim 0 lim  −  = lim − = = →+∞ →+∞ →+∞ x n x f x mx m x f x x x x . Prin urmare, ( ) x f x m x→+∞ = lim . Reciproc, dacă m şi n sunt date de formulele de mai sus, rezultă că lim [ ( )− − ] = 0 →+∞ f x mx n x , adică dreapta y = mx + n este asimptotă spre + ∞. Analog, dreapta y = mx + n este asimptotă oblică spre − ∞ dacă şi numai dacă lim ( ) , n lim [ f (x) mx] x f x m x x = = − →−∞ →−∞ . Observaţii: 1. Dacă cel puţin una din limitele ( ) x f x x→+∞ lim sau [ f x mx] x − →+∞ lim ( ) nu există sau este infinită, atunci graficul funcţiei f nu are asimptotă oblică spre + ∞. 2. i) Dacă f (x) a x = →+∞ lim există şi este finită, atunci dreapta y = a este asimptotă spre + ∞, paralelă cu axa Ox (se mai numeşte asimptotă orizontală) (fig. 32). Figura 32 ii) Dacă f (x) b x = →−∞ lim există şi este finită, atunci dreapta de ecuaţie y = b este asimptotă orizontală spre − ∞ (fig. 33). x ′ x y y ′ O y = a (+ ∞) a Gf Capitolul 1. Limite de funcţii 247 Figura 33 3. Dacă f (x) x→+∞ lim nu există (nici finită, nici infinită), atunci graficul funcţiei f nu are asimptotă oblică spre + ∞. 4. Afirmaţiile 1 − 3 sunt adevărate şi pentru asimptote oblice spre − ∞. 5. Nu are sens să se studieze existenţa asimptotelor orizontale şi oblice dacă domeniul de definiţie al funcţiei este o mulţime mărginită. Exerciţii rezolvate Să se determine asimptotele pentru graficele următoarelor funcţii: 1. ƒ : R → R, ƒ(x) 1 2 2 3 + = x x ; 2. ƒ : R \ {1}→ R, ƒ(x) 1 1 − = + x x ; 3. ƒ : R \ {− 1, 0}→ R, ƒ(x) e x x x2 1 = +1⋅ ; 4. ƒ : R → R, ƒ(x) = 33 x2 − 2x . Soluţie 1. = lim ( ) = 2, = lim ( ( ) − 2 ) = 0 →+∞ →+∞ n f x x x f x m x x , dreapta de ecuaţie y = 2x este asimptotă oblică la +∞. Se arată că dreapta y = 2x este asimptotă oblică la −∞. Nu mai avem alte tipuri de asimptote. x ′ x y y ′ O (– ∞) y = b b Gf 248 Manual clasa a XI-a 2. a) = −∞ = +∞ > → < → lim ( ) şi lim ( ) 1 1 1 1 f x f x x x x x . Rezultă că dreapta de ecuaţie x = 1 este asimptotă verticală. b) 1 lim 11 lim −11 = = + − + →+∞ →−∞ x x x x x x . Dreapta de ecuaţie y = 1 este asimptotă orizontală la +∞ şi − ∞. c) Deoarece există asimptotă orizontală nu există asimptote oblice. 3. a) Dreapta de ecuaţie x = −1 este asimptotă verticală la stânga şi la dreapta. b) Dreapta x = 0 este asimptotă verticală la dreapta şi nu există asimptotă verticală la stânga. 1 1 lim 1 1 1 lim( 1) 0. 1 lim 1 1, lim 1 lim 1 ( ) c) lim 0 0 0 2 1 2 1  = − =      ⋅ + − − = − + =  =      −  = +      − = = = + → → → →+∞ →+∞ →+∞ y y y y y y x x x x x e y y e y y e y e x x e x x x n x f x m Rezultă că dreapta de ecuaţie y = x este asimptotă oblică spre + ∞. Un calcul analog ne va arăta că y = x este asimptotă oblică spre − ∞. 4. Nu există nici un fel de asimptote. Exerciţii propuse I. Să se determine mulţimea punctelor de acumulare A' pentru domeniile de definiţie ale funcţiilor următoare: 1. f : R → R, 1 1 ( ) 2 − = x f x ; 2. f : R → R, f (x) = (x −1)1(x + 2) ; 3. f : R → R,     − > − ≤ = 3 6, 2 2 4, 2 ( ) x x x x f x ; 4. f : R → R, f (x) = 1− cosx ; 5. f : R → R,     − ∈ + ∈ = R Q Q 1 , \ 1 , ( ) x x x x f x ; 6. f : R → R, f (x) = 1−sin x . 7. f : (2, 3) ∪ {5}, f (x) = (x − 2)(x + 2) . Capitolul 1. Limite de funcţii 249 II. 1. Să se determine asimptotele graficelor pentru următoarele funcţii: a) f : R \ {1} → R, ( ) 1 2 = x − x f x ; b) f : R → R, ( ) 1 1 2 2 + = − x x f x ; c) f : R \ {0} → R, ( ) x x f x = 2 +1 ; d) f : R → R, f (x) = 1+ x2 − x ; e) f : R \ {0} → R, f x e x 1 ( ) = ; f) f : R → R, f (x) = 3 x3 +1 ; g) f : (0, + ∞) \ {e} → R, ( ) ln 1 ln − = x x f x ; h) f : R \ {0} → R, ( ) x x f x = 3 3 −1 . 2. Să se determine asimptotele graficelor pentru următoarele funcţii: a) f : R → R, f (x) = sin x; b) ƒ : R → R, f (x) = cos x; c) f : R \ {kπ} → R, f (x) = ctg x; d) f : R →       π π − 2 , 2 , f (x) = arctg x; e) f : R → (0, π), f (x) = arcctg x. 3. Să se determine a ∈ R, astfel încât graficul funcţiei f : D → R, ( ) 1 1 2 + + = x ax f x i) să admită o singură asimptotă; ii) să admită două asimptote verticale; iii) să nu admită asimptotă verticală. 4. Să se determine a, b ∈ R, astfel ca graficul funcţiei f : R \ {0} → R, ( ) x ax bx f x = 2 + +1 să admită ca asimptotă oblică dreapta de ecuaţie y = x + 1. 5. Să se determine a ∈ R, astfel ca dreapta de ecuaţie x = 1 să fie asimptotă verticală la graficul funcţiei f : R → R, ( ) ax x a x f x + + = 2 . Mai admite şi alte tipuri de asimptote graficul funcţiei? 250 Manual clasa a XI-a Test de aprofundare Să se calculeze următoarele limite: 1.   +  + … +  →∞ 2 2 2 lim 1 1 1 2 1 n n n n n ; 2.   +  + … +  →∞ n n n n n 2 2 1 2 2 1 2 1 lim 1 ; 3. x x x x x sin cos 1 lim(2 tg ctg ) 4 − − → π ; 4. a) x x x x 1 1 1 2 lim 1       − − + →∞ ; b) Pentru ce numere naturale n există n x x 1 x 1 x 2 lim 3 3 0 + + − − → ; 5. 2 1 1 cos cos2 cos lim x x x nx x − ⋅ … → ; 6. 1 ( 1)2 ( 1) ( 1) lim − − − − → x nx xm mx xn x ; 7. tg(1 ) tg(1 ) acrtg(1 ) arctg(1 ) lim0 x x x x x + − − + − − → ; 8. a) 3 3 sin lim x x x x π − <π →π ; b)       − + →∞ 1 1 1 lim 3 x x x x e e ; 9.   +…+       +      → 2 2 2 2 0 1 2 lim x k x x x x , k ∈ N* fixat; 10. 2 2 0 1 cos cos 2 cos lim x x x k kx x − ⋅ … → , k ∈ N*, fixat. Capitolul 2 CONTINUITATE 2.1. Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii; studiul continuităţii pentru funcţiile studiate; operaţii cu funcţii continue Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii În capitolul precedent am studiat comportarea unei funcţii f în jurul unui punct de acumulare x0 al domeniului de definiţie D al lui f, care nu aparţine în mod necesar lui D. În acest paragraf, considerăm o funcţie f : D → R şi x0 un punct din D. Vom studia dacă f(x) se apropie de f(x0), când x se apropie de x0. Exemple Se consideră funcţiile: 1. f : R → R, f(x) = 2 0 , 0 ; 0 , 0 x x x x x  ≥  =  < ; 2. f : R → R, f(x) = 0 2 , 0 1 ; 0 , 0 2 x x x x x  ≥    =   <   ; 3. f : R → R, f(x) = 0 1, 0 0, 0; 0 1 , 0 x x x x x x  + >  = =  − <  ; 4. f : R → R, f(x) = 0 1, 1 , 1; 1 x x x x x  − ≤  > =  . 252 Manual clasa a XI-a şi se cere: a) să se reprezinte grafic fiecare funcţie în parte; b) să se studieze existenţa limitei în punctele specificate; c) să se compare valoarea limitei cu valoarea funcţiei în punctul specificat; d) să se decidă intuitiv în care puncte graficul fiecărei funcţii admite sau nu întreruperi; e) să se ilustreze acest lucru cu ajutorul vecinătăţilor. Răspunsuri 1. a) Graficul se prezintă în figura alăturată; b) lim ( ) 0; 0 0 = < → f x x x c) lim ( ) (0) 0; 0 0 = = > → f x f x x d) graficul în punctul x0 = 0 nu admite între- rupere; e) se observă intuitiv (pe grafic) că oricare ar fi V0 o vecinătate a lui f (0) = 0, există o vecinătate U0 a lui x0 = 0, astfel că œ x ∈ U0 ⇒ƒ(x) ∈ V0. 2. a) Graficul se prezintă în figura alăturată; b) lim ( ) 1; 0 0 = < → f x x x c) lim ( ) (0) 1; 0 0 = = > → f x f x x d) graficul în punctul x0 = 0 nu admite întrerupere; e) se observă intuitiv (pe grafic) că oricare ar fi V1 o vecinătate a lui f (0) = 1, există o vecinătate U0 a lui x0 = 0, astfel încât œ x ∈ U0 ⇒ f (x) ∈ V1. O y y ′ x ′ x y = x y = x2 O y y ′ x ′ x y = 2x 1 1 –2 x Figura 1 Figura 2 Capitolul 2. Continuitate 253 3. a) Graficul se prezintă în figura alăturată; b) 0 lim ( ) 1 (exist x f x → = ; c) 0 lim ( ) (0) 0; x f x f → ≠ = d) graficul, în punctul x0 = 0, are între- rupere; e) se observă intuitiv (pe grafic) că pentru V0 =      − 2 , 1 2 1 o vecinătate a lui ƒ(0) = 0, nu există nici o vecinătate U0 a lui 0, astfel încât œ x ∈ U0 ⇒ ƒ(x) ∈ V0. 4. a) Graficul se prezintă în figura alătu- rată; lim ( ) 1 b) lim ( ) 0 1 1 1 1 = = > → < → f x f x x x x x c) f (1) = 0; d) graficul prezintă întrerupere în punctul de abscisă x = 1; e) se observă intuitiv (pe grafic) că pentru vecinătatea      = − 2 , 1 2 1 V1 a lui ƒ(1), nu există nici o vecinătate U1 a lui x0 = 1, astfel încât œ x ∈ U1 ⇒ƒ(x) ∈ V1. Din exemplele analizate desprindem următoarea: Definiţie Funcţia f : D → R se numeşte continuă în punctul x0 ∈ D dacă pentru orice vecinătate V a lui f(x0), există o vecinătate U a lui x0 astfel încât f(x) ∈ V, pentru orice x ∈ U ∩ D. Dacă f este continuă în x0, vom spune că x0 este punct de continuitate al funcţiei f. Problema continuităţii nu se pune în punctele în care funcţia f nu este definită. În particular nu putem vorbi de continuitate la ± ∞. Interpretare grafică: intuitiv, graficul unei funcţii continue se poate trasa fără a ridica creionul de pe hârtie. Cu excepţia punctelor izolate din domeniul de definiţie, aceasta înseamnă că pentru orice două puncte x1 şi x2 din domeniul de (nu există lim ( )) 1 f x x→ ; Figura 3 Figura 4 254 Manual clasa a XI-a definiţie, orice punct situat între imaginile acestora este imaginea unui punct din domeniul de definiţie, adică în intervalul de extremităţi x1 şi x2. Astfel, prin metoda grafică, am exemplificat (intuitiv) noţiunea de funcţie continuă într-un punct. Figura 5 Propoziţia 1. O funcţie f : D → R este continuă în orice punct izolat al domeniului de definiţie. Demonstraţie: Fie x0 un punct izolat. Atunci există o vecinătate U a lui x0 astfel încât U ∩ D = {x0}. Pentru orice x ∈ U ∩ D, avem ƒ(x) = ƒ(x0), deci f este continuă în x0. O funcţie reală definită pe o mulţime finită sau numărabilă (în particular, un şir de numere reale) este continuă pe tot domeniul de definiţie. Stabilim o condiţie echivalentă cu definiţia continuităţii. Propoziţia 2. Funcţia f : D → R este continuă în punctul x0 ∈ D dacă şi numai dacă pentru orice şir xn → x0, xn ∈ D, şirul f(xn) → f(x0). Demonstraţie: Dacă x0 este un punct izolat, rezultatul este evident. În caz contrar, x0 este un punct de acumulare. Se reface demonstraţia teoremei corespunzătoare de la limite de funcţii, înlocuind l cu f(x0). Propoziţia 3. O funcţie f : D → R este continuă într-un punct de acumulare x0 ∈ D, dacă şi numai dacă funcţia are limită în x0 şi 0 xlimx f (x) f (x0 ). → = x ′ y ′ O y x1 f(x1) f(x2) x2 γ ξ γ = f (ξ) x Capitolul 2. Continuitate 255 Demonstraţie Presupunem că f este continuă în punctul de acumulare x0. Atunci pentru orice xn → x0, xn ∈ D, avem f(xn) → f(x0). În particular, pentru orice şir xn → x0, xn ∈ D, cu xn ≠ x0, avem f(xn) → f(x0). În concluzie f are limită în x0 şi 0 xlimx f (x) f (x0 ). → = Reciproc, dacă 0 xlimx f (x) f (x0 ), → = evident funcţia f este continuă în x0. • Vom spune că o funcţie reală de variabilă reală f : D → R este continuă pe o submulţime A ⊂ D, dacă este continuă în orice punct x ∈ A. • Dacă f este continuă pe tot domeniul său de definiţie, vom spune că f este continuă. • Dacă funcţia f nu este continuă în punctul x0, se spune că f este discontinuă în x0, iar x0 se numeşte punct de discontinuitate al lui f. Propoziţia 1 implică faptul că un punct de discontinuitate al funcţiei f este în mod necesar un punct de acumulare al domeniului de definiţie al funcţiei f. Stabilim următoarele condiţii echivalente de discontinuitate a unei funcţii într-un punct de abscisă x0. Propoziţia 4. Fie f : D → R şi x0 ∈ D. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) funcţia f este discontinuă în x0; ii) există o vecinătate V a lui f(x0) astfel încât pentru orice vecinătate U a lui x0, există x ∈ U ∩ D, cu f(x) ∉ V; iii) există un şir xn → x0 de puncte din D astfel încât şirul (f(xn)) să nu aibă limita f(x0); iv) nu există lim ( ) 0 f x x→x sau există 0 xlimx f (x) f (x0 ). → ≠ Observaţie: Condiţia iii) se realizează dacă şirul (f(xn)) nu are limită sau, dacă are limită, aceasta este diferită de f(x0). Vom defini şi noţiunea de continuitate laterală. Definiţie Fie f : D → R şi x0 ∈ D. Atunci: a) funcţia f se numeşte continuă la stânga în x0 dacă restricţia sa la mulţimea {x ∈ D | x ≤ x0} este continuă în x0. b) funcţia f se numeşte continuă la dreapta în x0 dacă restricţia sa la mulţimea {x ∈ D | x ≥ x0} este continuă în x0. 256 Manual clasa a XI-a Corolar 1. Fie f : D → R o funcţie şi x0 ∈ D. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) funcţia f este continuă la stânga în x0; ii) pentru orice şir xn → x0 de puncte din D cu xn ≤ x0, şirul (f(xn)) are limita f(x0); iii) dacă x0 este un punct de acumulare al mulţimii{x ∈ D | x ≤ x0}, atunci există limita laterală la stânga f(x0 – 0) = f(x0). Corolar 2. Fie f : D → R o funcţie şi x0 ∈ D. Atunci sunt echivalente: i) funcţia f este continuă la dreapta în x0; ii) pentru orice şir xn → x0 de puncte din D cu xn ≥ x0, şirul (f(xn)) are limita f(x0); iii) dacă x0 este un punct de acumulare al mulţimii{x ∈ D | x ≥ x0}, atunci există limita laterală la dreapta f(x0 + 0) = f(x0). Corolar 3. Funcţia f : D → R este continuă în punctul x0 ∈ D, dacă şi numai dacă este continuă la stânga şi la dreapta în x0. Clasificarea discontinuităţilor unei funcţii într-un punct Definiţie O funcţie este discontinuă în punctul x0 ∈ D dacă nu este continuă în acest punct. Discontinuităţile unei funcţii într-un punct x0 pot fi de două tipuri: a) discontinuităţi de prima speţă, când funcţia admite limite laterale finite în x0; b) discontinuităţi de speţa a doua, în caz contrar. Considerăm funcţia ƒ : [−1, 4] → R, definită în modul următor:      < ≤ = − < < − − ≤ ≤ = 1, dacă 3 4 2, dacă 3 1 , dacă 1 3 1, dacă 1 1 ( ) x x x x x x f x Funcţia este definită pe un interval. Capitolul 2. Continuitate 257 Graficul acestei funcţii este prezentat în figura următoare. Figura 6 Observăm că acest grafic se întrerupe în dreptul punctului de abscisă 3 din domeniul de definiţie. Considerăm punctul  −  2 , 1 2 1 A situat pe grafic. În acest punct, graficul nu se întrerupe, fiind o linie continuă. Calculăm limita funcţiei în punctul 2 1 . Într-o vecinătate a punctului 2 1 , funcţia are expresia ƒ(x) = x − 1. Deci 2 lim ( ) lim ( 1) 1 2 1 2 1 = − = − → → f x x x x . Din modul în care s-a definit funcţia ƒ, rezultă că valoarea sa în punctul 2 1 este: 2 1 1 2 1 2 1  = − = −     f  . Prin urmare, funcţia are limită în punctul 2 1 şi limita este egală cu valoarea funcţiei în acest punct: 2 1 2 lim ( ) 1 2 1 =   = − → f x f x . Matematicianul P. L. Dirichlet (1805-1859) a dat exemplu de funcţie al cărui grafic nu se poate realiza şi care este discontinuă în orice punct al domeniului de definiţie. Această funcţie se numeşte funcţia lui Dirichlet şi este de forma: ƒ : R → R,     ∈ ∈ = R Q Q 0, \ 1, ( ) x x f x . 258 Manual clasa a XI-a Am văzut în capitolul anterior că funcţia lui Dirichlet nu are limite laterale în nici un punct din R. Prin urmare toate punctele din R sunt puncte de discontinuitate de speţa a doua. Un alt exemplu celebru este funcţia lui Riemann (1826-1866), definită astfel: ƒ : [0, 1] → R, ( )     = ∈ = ∈ ∪ = 1 , , , *, ( , ) 1. 0, [0,1] \ {0}, ( ) p q p q q p x q x f x N Q Vom arăta că: a) ƒ este continuă în 0 şi în orice x ∈ [0, 1] \ Q; b) ƒ este discontinuă în orice punct din Q \ {0}. Soluţie* Fie a, b ∈ R, cu a < b fixaţi. Atunci œ q ∈ N*, există cel mult un număr finit de numere raţionale ireductibile q p astfel încât b q p a < < , deoarece există cel mult un număr finit de numere întregi p cu aq < p < bq. Fie x0 ∈ R. Vom demonstra că lim ( ) 0. 0 = → f x x x Fie V o vecinătate a lui 0. Atunci ∃ ε > 0 astfel încât (–ε, ε) ⊂ V. Fie nε ≥ 1 maxim, astfel încât 1 < ε. nε Pentru orice q ∈ {1, …, nε}, alegem Uq un interval deschis cu centrul în x0, astfel încât Uq nu conţine nici un număr raţional ireductibil q p , cu excepţia eventual a lui x0. Atunci I ε = = n q U Uq 1 este un interval deschis cu centrul în x0 cu proprietatea că œ r ∈ U ∩ Q \ {x0}, q p r = ireductibil, cu q > nε. Deci ƒ(r) = 1 < 1 < ε. q nε Pe de altă parte, ƒ(x) = 0, œ x ∈ (U \ Q) ∪ {0}. * Se recomandă pentru clasele de excelenţă sau cercurile de elevi. Capitolul 2. Continuitate 259 În concluzie, ƒ(x) < ε, œ x ∈ U \ {x0}, deci lim ( ) 0. 0 = → f x x x Prin urmare lim ( ) ( 0 ) 0 f x f x x x = → , œ x0 ∈ ([0, 1] \ Q) ∪ {0}, sau echivalent, ƒ este continuă pe ([0, 1] \ Q) ∪ {0}, respectiv lim ( ) ( 0) 0 f x f x x x ≠ → , œ x0 ∈ Q \ {0}, deci ƒ este discontinuă pe Q \ {0}. Exerciţii rezolvate Să se cerceteze tipurile de discontinuităţi ale următoarelor funcţii, în punctele specificate: 1. f : R → R, f(x) = 0 , 0 1, 0 0; , 0 x x x în x x x  <  = =  − >  2. f : R → R, f(x) =     = − > = < în 0; 1, 0 0, 0 1, 0 x0 x x x 3. f : R → R, f(x)= 0 1 , 0 0; 1, 0 x x în x x  >  =   = 4. f : R → R, f(x) = 3 0 2 1 , 0 0, 0 0; 1 , 0 x x x în x x x  >    = =   <  5. f : R → R, f(x) = 0 1 , ( ,0) (0, ) 0; 1, 0 x x în x x  ∈ −∞ ∪ +∞  =   = în în în în 260 Manual clasa a XI-a 6. f : R →R, f(x) = 0 1 sin , 0 0; 0, 0 x x în x x  ≠  =   = 7. f : R →R, f(x) = 0 1 cos , 0 0. 0, 0 x x în x x  ≠  =   = Răspunsuri: 1. În punctul x0 = 0, ƒ este discontinuă de speţa întâi; 2. În punctul x0 = 0, ƒ este discontinuă de speţa întâi (există limite laterale şi sunt diferite); 3. 0 0 lim x x → > ƒ (0) = + ∞, deci funcţia admite discontinuitate de speţa a doua în punctul de abscisă x0 = 0; 4. 0 0 lim x x → > ƒ (x) = + ∞, 0 0 lim x x → < ƒ (x) = + ∞, deci funcţia admite discontinuitate de speţa a doua în punctul x0 = 0; 5. Nu există limite laterale finite în punctul de abscisă 0, deci funcţia este discontinuă de speţa a doua; 6. şi 7. Funcţiile nu admit limite laterale în punctul de abscisă x = 0, deci admit discontinuităţi de speţa a doua. Test de evaluare Să se reprezinte grafic şi să se analizeze continuitatea următoarelor funcţii: (2p) 1. ƒ : [0, 2] → R, [ ] ( ] 1, 0, 1 : 0,2 , ( ) ; , 1, 2 x f f x x x  ∈ → =   ∈  în în Capitolul 2. Continuitate 261 (2p) 2. ƒ : [–1, 1] → R, [ ] 2 ( ] 1 , 1, 0 : 1,1 , ( ) ; 1 , 0, 1 x x f f x x x  + ∈ − − → =   − ∈ (2p) 3. ƒ : [–1, +∞] → R, [ ] ( ] 2 , 1, 1 : 1, , ( ) ; 1, 1, x x f f x x  ∈ − − +∞ → =  − ∈ + ∞ (2p) 4. f : R → R, ƒ(x) = ( ) [ ] ( ] , ,0 1 , 0,1 ; 1, 1, ex x x x x  ∈ −∞   − ∈   ∈ + ∞ Timp de lucru: 30 de minute. Exerciţii propuse Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii: 1. f : R → R, ƒ(x) =     − ∈ +∞ π ∈ | 1|, | | (1, ) , | | [0,1] cos 2 x x x x ; 2. f : R → R, ƒ(x) =  ∈ π ∈ R Q Q 0, \ sin , x x x ; 3. f : R → R, f(x) =     = ≠ 0, 0 2 sin 1 , 0 x x x x ; 4. ƒ : [0, π] → R, ƒ (x) = min (sin x, cos x); 5. ƒ : 0, 2  π    → R, ƒ (x) = max (sin x, cos2 x); 6. f : [0, π2 ]→ R, ƒ(x) = 1 , 0 0, 0 x x x x       ≠  = ; 262 Manual clasa a XI-a 7. f : R → R, ƒ(x) = 2 ( ] [ ) 2 2 4 arcsin 2 , , 1 1, 1 (2 1) sin , ( 1,1) 1 x x x x x x  ∈ −∞ − ∪ +∞  +   − π ∈ −  − ; 8. f : R → R, ƒ(x) = max (xn, xn + 1, x), n fixat, n ∈ n*; 9. f : R → R, ƒ(x) = ( 1) 1 nx nx x e e− + + ; 10. f : R → R, ƒ(x) = 1 1 1, 1 , 1 x x e x x x − x  + − ≤    > ; 11. f : R →R, f(x) = sin 1 , 0 0, 0 ex x x x  ≠   = ; 12. f : R →R, f(x) =     ∈ ∈ R Q Q 1 , \ 2, x x x x ; 13. f : R →R, f(x) =     = ≠     1, 0 2 1 , 0 x x x x ; 14. f : R →R, f(x) = arctg1 __ , 1 1, 0 x x x  π ≠   = ; 15. i) f : [0, 1]→ R, ƒ(x) = lim n→∞ (xn + 1) ; ii) ƒ : R →R, f(x) = lim ; 1 n nx n nx x xe →∞ e + + iii) ƒ : [0,1] →R, f(x) = n→∞ lim 1+ xnx+ x2n . 16. Să se determine valorile parametrului real a, astfel încât următoarele funcţii să fie continue: f : R →R, f(x) = 2 2 2 2 , 1 ; 2 1, 1 ax x a x ax x  − <    − + ≥ Capitolul 2. Continuitate 263 1 , 0 , 0 x x x a x  ⋅   ≠     = ; sin5 sin 7 , 0 , 0 x x x x a x  −  ≠   = ; 2 3 2 ( 1) tg , 0 1 1 sin( 1) , 1 2 1 a x x x x x x  −  ≤ ≤  −  −  ≤ ≤ − . Operaţii cu funcţii continue Avem următoarele proprietăţi ale continuităţii: Propoziţie. Fie D ⊂ R, x0 ∈ D şi f, g : D → R două funcţii reale. Atunci: i) dacă f şi g sunt continue în x0 (respectiv continue pe D), atunci funcţia f ± g este continuă în x0 (respectiv continuă pe D); ii) dacă f şi g sunt continue în x0 (respectiv continue pe D), atunci funcţia fg este continuă în x0 (respectiv continuă pe D). iii) dacă f şi g sunt continue în x0 şi g(x0) ≠ 0 (respectiv continue pe D şi g(x) ≠ 0, œx ∈ D), atunci funcţia f g este continuă în x0 (res- pectiv continuă pe D). iv dacă f şi g sunt continue în x0 şi f(x0) > 0 (respectiv continue pe D şi f(x) > 0, pentru orice x ∈ D), atunci funcţia f g este continuă în x0 (respectiv continuă pe D). Demonstraţia este analoagă cu demonstraţia rezultatelor corespunzătoare de la limite de funcţii. Corolar. Dacă funcţia ƒ : D → R este continuă în x0 ∈ D (respectiv este continuă pe D), atunci funcţia | f | este continuă în x0 (respectiv este continuă pe D). b) ƒ : R →R, f(x) = c) ƒ : R →R, f(x) = d) ƒ : [0, 2] →R, f(x) = 264 Manual clasa a XI-a Reciproca nu este adevărată. Într-adevăr, fie ƒ : R →R, definită prin 1, x ∈ Q, –1, x ∈ R \ Q. Funcţia ƒ este discontinuă în orice punct x ∈ R, în schimb funcţia |ƒ| este continuă pe R. Proprietăţi locale ale funcţiilor continue Propoziţie. Dacă funcţia f : D → R este continuă într-un punct x0 ∈ D şi α < f(x0) < β, atunci există o vecinătate U a lui x0, astfel încât α < f(x) < β, pentru orice x ∈ U ∩ D. Demonstraţie Intervalul (α, β) este o vecinătate a lui ƒ(x0). Deoarece funcţia ƒ este continuă în x0, există o vecinătate U a lui x0, astfel încât ƒ(x) ∈ V, pentru orice x ∈ U ∩ D, sau echivalent, α < ƒ(x) < β. Corolar 1. Dacă f : D → R este continuă în x0 ∈ D, atunci există U o veci- nătate a lui x0 pe care funcţia f este mărginită. Corolar 2. Dacă f : D → R este continuă în x0 ∈ D şi ƒ(x0) > 0, atunci există o vecinătate U a lui x0, astfel încât f(x) > 0, pentru orice x ∈ U ∩ D. Corolar 3. Dacă f : D → R este continuă în x0 ∈ D şi ƒ(x0) < 0, atunci există o vecinătate U a lui x0, astfel încât f(x) < 0, pentru orice x ∈ U ∩ D. Corolar 4. Dacă f : D → R este continuă în x0 ∈ D şi ƒ(x0) ≠ 0, atunci există o vecinătate U a lui x0, astfel încât f(x) ≠ 0, pentru orice x ∈ U ∩ D. Observaţie: Funcţiile elementare sunt definite pe intervale sau pe reuniuni de inter- vale, deci domeniile lor de definiţie conţin numai puncte de acumulare. Pentru funcţiile elementare, avem 0 lim x→x f(x) = f(x0) (vezi tabelul din capitolul precedent). În concluzie funcţiile elementare sunt continue pe tot domeniul lor de definiţie. ƒ(x) = Capitolul 2. Continuitate 265 2.2. Semnul unei funcţii continue pe un interval. Proprietatea lui Darboux. Studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în R Proprietatea lui Darboux Funcţiile continue pe un interval au proprietatea importantă că nu pot trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare. Această proprietate este cunoscută ca proprietatea lui Darboux. Definiţie O funcţie ƒ definită pe un interval I are proprietatea lui Darboux, dacă oricare ar fi punctele a, b ∈ I, a < b şi oricare ar fi numărul γ cuprins între f(a) şi f(b), există cel puţin un punct c ∈ (a, b), astfel încât ƒ(c) = γ. Exemple 1. Considerăm funcţia ƒ : [0, 2] → R, dată prin:   − + < ≤ = ≤ ≤ 2, 1 2 ( ) 2, 0 1 x x f x x x . Graficul funcţiei ƒ este prezentat în figura alăturată. Observăm că pentru punctele arbitrare a, b ∈ [0, 2], cu a < b, şi λ un punct cuprins între ƒ(a) şi ƒ(b), găsim un punct c ∈ (a, b), astfel încât ƒ(c) = λ. Mai mult, observăm că funcţia ƒ transformă intervalul [0, 2] în intervalul [0, 1]. 2. Să considerăm funcţia g : (−2, 2) → R, definită prin: { . 1, 0 20 ( ) 1, 2 + < <≤ = − − < g x x xx Graficul funcţiei g este prezentat în figura alăturată. Observăm că în x = − 1 valoarea funcţiei este g(−1) = −1, iar punctul x = 1 este g(1) = 2. Figura 7 Figura 8 266 Manual clasa a XI-a Când x parcurge intervalul [−2, 2], funcţia g nu ia toate valorile intermediare. De exemplu, nu există x ∈ [−1,1] pentru care g(x) = 2 1 , adică g nu ia niciodată valoarea 2 1 . Mai mult, nici un număr din intervalul (−1, 1) nu este în imaginea lui g. Prin urmare, funcţia ƒ nu are proprietatea lui Darboux. Funcţiile continue pe un interval constituie o clasă importantă de funcţii cu proprietatea lui Darboux. Teorema 1. Orice funcţie continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux. Demonstraţie Dacă ƒ(a) = ƒ(b), este evident. Presupunem că ƒ(a) < ƒ(b). Notăm cu: A = {x ∈ [a, b] | f(x) ≤ γ}. Evident a ∈ A ⊂ [ a, b], deci A este mulţime nevidă şi mărginită. Fie c = sup A. Vom demonstra că ƒ(c) = γ. Într-adevăr, există un şir xn → c, cu xn ∈ A. Deoarece f este continuă, rezultă că ƒ(xn) →ƒ(c). Prin urmare ƒ(c) ≤ γ. Pe de altă parte,ƒ(b) > γ implică c < b. Fie y ∈ (c, b). Atunci ƒ(y) > γ. Considerând un şir yn → c, cu yn ∈ (c, b), continuitatea lui f implică ƒ(yn) → ƒ(c). Prin trecere la limită obţinem ƒ(c) ≥ γ. În concluzie, ƒ(c) = γ. Cazul ƒ(a) > ƒ(b) se demonstrează analog. Condiţia ca funcţia ƒ să fie definită pe un interval este esenţială. Contraexemplu. Funcţia ƒ : R*→ R, definită prin ƒ(x) , | | x x = pentru orice x ∈ R*, este continuă şi imaginea lui ƒ este mulţimea {–1, 1}. Observaţie: Proprietatea lui Darboux nu este caracteristică numai funcţiilor continue. Un exemplu de funcţie discontinuă care are proprietatea lui Darboux este dat de ƒ : R → R, definită prin cos 1 , 0 . 0, 0 x x x ≠ = ƒ(x) = Capitolul 2. Continuitate 267 Soluţie: Evident ƒ este continuă pe R \{0}, deci are proprietatea lui Darboux pe (–∞, 0) şi pe (0, +∞). Deci este suficient să demonstrăm că pentru orice l ∈ [–1,1], există un şir xn → 0 astfel încât ƒ(xn) = l. Definim şirurile (yn) şi (xn) astfel: yn = arccos l + 2nπ, pentru orice n ≥ 1 şi xn 1 yn = , pentru orice n ≥ 1. Evident xn → 0 şi ƒ(xn) 1 cos cos n . n = x = y = l Menţionăm că există şi funcţii definite pe un interval care nu au proprietatea lui Darboux. Un exemplu simplu este funcţia lui Dirichlet, ƒ : R → R,   ∈ = ∈ R Q Q 0. \ 1, ( ) x x f x . Punctul 1 2 este situat între ƒ(0) = 1 şi ƒ( 2 ) = 0, dar nu există nici un punct c ∈ (0, 2 ), cu ƒ(c) = 1 2 . Faptul că funcţiile continue au proprietatea lui Darboux are aplicaţii importante: existenţa soluţiilor unor ecuaţii pe R şi semnul unei funcţii continue. Semnul unei funcţii continue pe un interval Corolar 1. Fie a < b două numere reale şi funcţia f : [a, b] → R continuă. Dacă ƒ(a) ƒ(b) < 0, atunci există cel puţin un punct c în intervalul (a, b) în care funcţia f se anulează, adică f(c) = 0. Figura 9 Cauchy- Balzano y O x A (a, f (a)) B (b, f (b)) f (a) f (b)<0 a c b 268 Manual clasa a XI-a Demonstraţie Punctul 0 este situat între ƒ(a) şi ƒ(b). Atunci există c ∈ (a, b) astfel încât ƒ(c) = 0. În fig. 10, există punctele c1, c2, c3 ∈ (a, b) în care funcţia se anulează. Figura 10 Corolar 2. Dacă funcţia f : I → R continuă pe intervalul I nu se anulează în nici un punct din I, atunci f are semn constant pe intervalul I. Demonstraţie Presupunem că există a, b ∈ I, astfel încât ƒ(a) şi ƒ(b) au semne contrare. Corolarul 1 implică existenţa unui punct c ∈ I, în care funcţia ƒ se anulează, ceea ce este o contradicţie. Corolar. 3. O funcţie f : I → R, continuă pe intervalul I, transformă orice interval J ⊂ I într-un interval f(J). Corolar 4. Dacă funcţia injectivă f : I → R, este continuă pe intervalul I, atunci f este strict monotonă. Demonstraţie Presupunem prin absurd că funcţia ƒ nu este strict monotonă. Atunci există punctele x1 < x2 < x3 din I astfel încât ƒ(x2) nu este cuprins între ƒ(x1) şi ƒ(x3). Pentru a face o alegere, presupunem că ƒ(x2) < ƒ(x1) < ƒ(x3). Funcţia ƒ fiind continuă, are proprietatea lui Darboux. Deci există un punct c ∈ (x2, x3) astfel încât ƒ(c) = ƒ(x1), ceea ce contrazice injectivitatea lui ƒ. Celelalte cazuri se tratează analog. Studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în RRRR Fie ƒ : [a, b] → R o funcţie continuă. Am văzut că dacă ƒ(a) ƒ(b) < 0, atunci există cel puţin un punct c ∈ (a, b) astfel încât ƒ(c) = 0. În particular, dacă ƒ este strict monotonă pe [a, b], atunci c este soluţie unică a ecuaţiei ƒ(x) = 0 pe [a, b]. O y A (a, f (a)) f (a) f (b)<0 B (b, f (b)) a c1 c2 c3 b x Capitolul 2. Continuitate 269 Exemple 1. Existenţa radicalului: Fie a ≥ 0 şi n ≥ 2 un număr natural. Vom arăta că ecuaţia xn = a admite o soluţie pozitivă unică. Soluţie Dacă a = 0, avem soluţia unică 0. Presupunem a > 0. Considerăm funcţia: ƒ : [0, +∞) → R, definită prin ƒ(x) = xn – a. Evident ƒ(0) = – a < 0. Pe de altă parte, lim x→+∞ ƒ(x) = + ∞. Dacă ƒ(x) < 0, pentru orice x ∈ [0, +∞), atunci lim x→+∞ ƒ(x) ≤ 0; contradicţie. Deci există b ∈ (0, +∞) astfel încât ƒ(b) > 0. Atunci ƒ(a) ƒ(b) < 0, prin urmare există c > 0 astfel încât ƒ(c) = 0. Punctul c este unic, deoarece funcţia ƒ este strict crescătoare. 2. Analog se demonstrează existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei ax = b, pentru orice a, b > 0 şi a ≠ 1. Soluţie Considerăm funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = ax – b. i) Dacă a > 1, atunci: − →−∞ f x = −b < ⇒ ∃c∈R x lim ( ) 0 , astfel încât ƒ(c) < 0; + →∞ f x = +∞ ⇒ ∃d ∈R x lim ( ) , astfel încât ƒ(d) > 0; Deci ƒ(c) · ƒ(d) < 0 ⇒ ∃ x0 ∈ (c, d), astfel încât ƒ(x0) = 0. Punctul x0 este unic deoarece ƒ este strict crescătoare. ii) Dacă 0 < a < 1, atunci: − →−∞ f x = +∞ ⇒ ∃c∈R x lim ( ) , astfel încât ƒ(c) > 0; + →+∞ f x = −b < ⇒ ∃d ∈R x lim ( ) 0 , astfel încât ƒ(d) < 0; Deci ƒ(c) · ƒ(d) < 0 ⇒ ∃ x0 ∈ (c, d), astfel încât ƒ(x0) = 0. Punctul x0 este unic deoarece ƒ este strict descrescătoare. 270 Manual clasa a XI-a Exerciţii rezolvate 1. Să se precizeze care din funcţiile următoare au proprietatea lui Darboux. a) ; b) ; c) ; d) . Soluţie: a) ƒ[–1, 1] = {–1, 0, 1}, care nu este interval, deci ƒ nu are proprietatea lui Darboux; b)    ∪    = −         ∪     = −    − ,1 2 1 , 0 2 1 2 1 , 0 0, 2 1 2 1 , 2 f 1 f , care nu este inter- val, deci ƒ nu are proprietatea lui Darboux; c) ƒ[0,1] = {0,1}, care nu este interval, deci ƒ nu are proprietatea lui Darboux;    ∩ = ⊂     ∩ = ⊂     =  8 1 , 27 1 şi [ ( \ )] 2 1 , 3 1 ; [ ] 2 1 , 3 1 d) Fie I f I Q A f I R Q B ; ƒ(I) = A ∪ B care nu este interval, deci ƒ nu are proprietatea lui Darboux. Lemă. Suma sau produsul dintre o funcţie care are proprietatea lui Darboux şi o funcţie constantă are proprietatea lui Darboux. Observaţie: Se va reţine (fără demonstraţie) că rezultatul compunerii a două funcţii cu proprietatea Darboux este o funcţie cu proprietatea lui Darboux. 2. Se dă funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = sin2 1 , 0 . , 0 x x x ≠ α = Să se arate că funcţia ƒ are proprietatea lui Darboux dacă şi numai dacă α ∈ [0,1]. ƒ : R →R, f(x) = sgn(x), unde sgn (x) = –1, x < 0 0, x = 0 1, x > 0 x, x ≤ 0 1 – x, x > 0 0, x ∈ Q 1, x ∈ R \ Q x, x ∈ Q x3, x ∈ R \ Q ƒ : R →R, f(x) = ƒ : R →R, f(x) = ƒ : [0, 1] →R, f(x) = Capitolul 2. Continuitate 271 Soluţie: Funcţia 1 1 2 2 ( ) 2 2 cos , 0 cos , 0 , 0 1 2 , 0 x x x f x x x a x  − ≠  ≠ =  =   α =  − = poate fi scrisă sub forma: ( ) 2 1 f (x) = + g x , unde . Funcţia g are proprietatea lui Darboux dacă şi numai dacă 0 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 1 2 1  ⇒ − ≤α− ≤ ⇒ ≤α ≤    α− ∈− Deci α ∈ [0, 1]. 3. Să se arate că următoarele funcţii nu au proprietatea lui Darboux: a) ƒ : R → R, ƒ(x) =     = ≠ 0, 0 sin , 0 x x x x ; b) f : R → R, f(x) = ; 0, 0 tg , 0     = ≠ x x x x c) ƒ : R → R, ƒ(x) =     = ≠ 2, 0 cos 1 , 0 x x x ; d) ƒ : R → Z, ƒ(x) = [x]. Soluţie: a) ƒ(x) = . 1, 0 0, 0 1, 0 sin , 0 2 1 1442443 14243 f f x x x x x x     − = ≠ +     = ≠ Se observă că ƒ1 este continuă şi deci are proprietatea lui Darboux, iar ƒ2 nu are proprietatea lui Darboux; atunci funcţia ƒ nu are proprietatea lui Darboux. b) Se procedează ca la punctul a). c) ƒ(x) = =      = ≠ + 2, 0 , 0 2 2 1 cos x x x . 2, 0 , 0 2 1 0, 0 cos 2 , 0 2 1 1 2 1442443 14243 f f x x x x x     = ≠ +     = ≠ Se observă că ƒ1 are proprietatea lui Darboux, iar ƒ2 nu are proprietatea lui Darboux ⇒ ƒ nu are proprietatea lui Darboux. d) Imaginea funcţiei nu este un interval. g : R →R, g(x) = – 1 2 cos 2x , x ≠ 0 α – 1 2 , x = 0 272 Manual clasa a XI-a Test de evaluare Care din următoarele funcţii au proprietatea lui Darboux? (2p) 1. ƒ : R → R, ƒ(x) = x + 2| x |; (2p) 2. ƒ : R → R, ƒ(x) = x − 2[x]; (2p) 3. ƒ : (0, 2) → R, ƒ(x) =     + ∈ − ∈ , [1, 2] 2 1, (0,1) x2 x x x x ; (2p) 4. ƒ : R → R, ƒ(x) =     = ≠ 0, 0 cos2 1 , 0 x x x . Timp de lucru: 30 de minute. Continuitatea compusei a două funcţii continue Propoziţia 1. Fie f : D → E şi g : E → F două funcţii reale de variabilă reală şi ϕ = g ) f : D → F. Dacă funcţia f este continuă într-un punct x0 ∈ D şi funcţia g este continuă în f(x0), atunci ϕ este continuă în x0. Demonstraţie Fie xn → x0 un şir de numere din D. Deoarece ƒ este continuă în x0, rezultă că ƒ(xn) → ƒ(x0). Notăm yn = f(xn) şi y0 = f(x0). Din continuitatea funcţiei g în y0, rezultă că g(yn) → g(y0), sau echivalent, ϕ (xn) → ϕ (x0). Prin urmare, funcţia ϕ este continuă în x0. Corolar. Dacă funcţiile f : D → E şi g : E → F sunt continue, atunci funcţia ϕ = g ) f : D → F este continuă, unde D, E, F ⊂ R. Inversa unei funcţii continue Pentru a demonstra continuitatea funcţiei inverse, vom enunţa următoarea: Lemă. Fie f : I → R o funcţie monotonă astfel încât I ⊂ R şi f(I) este un interval. Atunci funcţia f este continuă. Capitolul 2. Continuitate 273 Demonstraţie Considerăm cazul când funcţia ƒ este crescătoare pe I. Fie x0 ∈ I, y0 = ƒ(x0) şi V o vecinătate a lui y0. Distingem următoarele cazuri: i) y0 este punct interior al intervalului ƒ(I). Atunci există un interval închis şi mărginit [α, β] ⊂ ƒ (I) ⊂ V, cu y0 ∈ [α, β]. Deci există, α, β ∈ I astfel încât ƒ(a) = α şi ƒ(b) = β. Funcţia ƒ fiind crescătoare, avem x0 ∈ (a, b), deci U = (a, b) este o vecinătate a lui x0. Pentru orice x ∈ U, avem α = f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) = β, deci f(x) ∈ [α, β] ⊂ V. Prin urmare funcţia ƒ este continuă în x0. ii) y0 este extremitatea stângă a lui f(I), deci y0 ≤ f(x), pentru orice x ∈ I. Deoarece f este o funcţie crescătoare, pentru orice x ∈ I, x < x0, avem f (x) ≤ f(x0) = y0, deci f(x) = y0. Fie β ∈ ƒ(I) ∩ V, cu y0 < β. Există b ∈ I astfel încât ƒ(b) = β. Deoarece ƒ este o funcţie crescătoare, rezultă x0 < b. Pentru orice a < x0, intervalul U = (a, b) este o vecinătate a lui x0. Prin urmare, oricare ar fi x ∈ U, y0 ≤ ƒ(x) ≤ β, deci ƒ(x) ∈ V. În concluzie, funcţia ƒ este continuă în x0. iii) Dacă y0 este extremitatea dreaptă a intervalului ƒ(I) demonstraţia se face în mod analog. În plus, dacă ƒ este o funcţie descrescătoare, atunci –ƒ este o funcţie crescătoare. Conform raţionamentului de mai sus, –ƒ este continuă, deci ƒ = – (–ƒ) este o funcţie continuă. Propoziţia 2. Fie I ⊂ R un interval şi f : I → R o funcţie continuă şi injectivă pe I. Atunci funcţia inversă ƒ–1 : ƒ(I) → I este continuă. Demonstraţie Conform corolarului 4, ƒ este o funcţie strict monotonă. Atunci inversa sa ƒ–1 : ƒ(I) → I este de asemenea strict monotonă. Lema de mai sus încheie demonstraţia. Aplicaţii: Funcţiile trigonometrice inverse: arcsin : [–1, 1] → − π, π2 2 ; arccos : [ –1, 1] → [0, π]; arctg : R →      − π π 2 , 2 ; arcctg : R → (0, π), sunt continue. 274 Manual clasa a XI-a Proprietăţi de mărginire ale funcţiilor continue (facultativ) Funcţiile continue pe intervale compacte au proprietatea lui Weierstrass. Proprietatea lui Weierstrass afirmă că orice funcţie continuă f are un minim m şi un maxim M pe orice interval închis şi mărginit [a, b]. Observaţie: Proprietatea de mai sus nu este adevărată dacă intervalul I nu este compact. Contraexemplu: Fie ƒ : (0, 1) → R, ƒ(x) = x. Teorema 2. Fie a < b două numere reale şi f : [a, b] → R o funcţie continuă. Atunci f este mărginită şi îşi atinge marginile. Demonstraţie I. Vom arăta că ƒ este mărginită. Presupunem prin absurd că ƒ nu ar fi o funcţie mărginită. Dacă f nu este mărginită superior, atunci există un şir (xn) de puncte din intervalul [a, b] astfel încât ƒ(xn) → + ∞. Şirul (xn) este mărginit. Aplicând lema lui Cesàro, rezultă că există un subşir convergent (xk n ). Notăm lim k n n x →∞ = x0 ∈ [a, b]. Funcţia ƒ fiind continuă în x0, avem n→∞ lim ƒ(xk n ) = ƒ(x0), ceea ce este o contradicţie, şirul ( f (xk n )) fiind un subşir al şirului (ƒ(xn)), deci având limita + ∞. Dacă ƒ nu este o funcţie mărginită inferior, aplicăm cazul precedent funcţiei continue –ƒ. II. Vom arăta că funcţia ƒ îşi atinge marginile. Fie m = inf{ƒ(x)|x ∈ [a, b]} şi M = sup{ƒ(x)| x ∈ [a, b]}. Vom demonstra că există c ∈ [a, b] astfel încât ƒ (c) = M. În caz contrar, considerăm funcţia g : [a, b] → R, definită prin g(x) = 1 . M − f (x) Evident ƒ este continuă şi pozitivă pe [a, b]. Conform demonstraţiei de mai sus, funcţia g este mărginită, deci există A ∈ R astfel încât 0 < g(x) ≤ A, pentru orice x ∈ [a, b] . Capitolul 2. Continuitate 275 Deducem că: 0 < 1 M − f (x) ≤ A, œx ∈ [a, b]. Atunci ƒ(x) ≤ M – 1 A , pentru orice x ∈ [a, b], ceea ce contrazice faptul că M = sup{ƒ(x)| x ∈ [a, b]}. Analog se arată că există c' ∈ [a, b], astfel încât f(c') = m. Sinteză. Aplicaţiile continuităţii În încheierea acestui capitol, vom sintetiza aplicaţii importante ale conti- nuităţii în rezolvarea unor probleme de matematică. a) Rezolvarea unor ecuaţii pe R Am văzut că o funcţie continuă f : [a, b] → R care are valori de semne contrare la capetele intervalului, adică f(a)f(b) < 0, se anulează cel puţin într-un punct c ∈ (a, b). Deci ecuaţia ƒ(x) = 0 are cel puţin o soluţie în intervalul (a, b). Pentru evaluarea soluţiei, căutăm un şir (an) strict crescător cu a1 = a şi un şir strict descrescător (bn) cu b1 = b, astfel încât f(an)f(bn) < 0, pentru orice n ≥ 1. Soluţia ecuaţiei f(x) = 0 se va afla în intervalul (an, bn), pentru orice n ≥ 1. b) Semnul unei funcţii continue Dacă f : I → R este o funcţie continuă pe un interval I şi nu se anulează în nici un punct din I, atunci f are semn constant pe I. A studia semnul funcţiei f înseamnă a determina intervalele pe care f este pozitivă, respectiv negativă. Fie f : I → R o funcţie continuă pe intervalul I. Presupunem că toate soluţiile (reale) ale ecuaţiei ƒ(x) = 0 sunt a1 < a2 < … < an < … (în număr finit sau infinit). Atunci pe orice interval (ai, ai+1) funcţia f are semn constant. Deci pentru a afla semnul funcţiei pe intervalul (ai, ai+1) este suficient să determinăm semnul funcţiei într-un singur punct din acest interval. c) Ecuaţii funcţionale 1. Să se determine toate funcţiile continue ƒ : R → R care verifică ecuaţia funcţională f(x + y) = f(x) + f(y), pentru orice x, y ∈ R. 276 Manual clasa a XI-a Soluţie Dacă x = y = 0, obţinem f(0) = 2f(0), deci f(0) = 0. Dacă luăm y = – x, avem 0 = f(0) = f(x – x) = f(x) + f(–x) ⇔ f(–x) = – f(x), œx ∈ R, deci ƒ este o funcţie impară. Notăm f(1) = a ∈ R. Pentru x = y = 1, avem f(2) = 2f(1) = 2a. Prin inducţie obţinem că f(n) = an, pentru orice n ∈ n. Ţinând cont de imparitatea funcţiei f, obţinem f(m) = am, pentru orice m ∈ z. Fie p q ∈Q, cu p, q > 0 şi (p, q) = 1. Avem (1) 1 1 1 1 ,      =      = =  + +…+ a f f q q q qf q deci f 1 a şi q q   =     1 f p pf a p . q q q   =   =         Folosind imparitatea funcţiei f deducem că f(r) = ar, pentru orice număr raţional r. Fie acum α un număr iraţional. Alegem un şir (xn) de numere raţionale convergent la α. Funcţia f fiind continuă, putem scrie ( ) lim  = lim ( ) = lim = α.     α =  →+∞ →+∞ →+∞ f f x f x axn a n n n n n În concluzie f(x) = ax, pentru orice x ∈ R. 2. Să se determine toate funcţiile continue f : R → R care verifică ecuaţia funcţională f(x + y) = f(x) · f(y), pentru orice x, y ∈ R. Soluţie Dacă ƒ nu este identic nulă, considerăm funcţia g : R → R, definită prin g(x) = ln ƒ(x). Evident g este continuă şi satisface ecuaţia funcţională g(x + y) = ln f(x + y) = ln f(x) f(y) = ln f(x) + ln f(y) = g(x) + g(y), œx, y ∈ R. Conform aplicaţiei anterioare, există c ∈ R astfel încât g(x) = cx, pentru orice x ∈ R. Atunci: f(x) = eln f (x) = eg(x) = ecx = (ec)x = ax, œx ∈ R, unde am notat a = ec. de q ori Capitolul 2. Continuitate 277 3. Să se determine toate funcţiile continue f : (0, + ∞) → R, care verifică ecuaţia funcţională f(xy) = f(x) + f(y), pentru orice x, y ∈ (0, + ∞). Soluţie Considerăm funcţia g : R → R, definită prin g(t) = f(et), pentru orice t ∈ R. Avem g(t + s) = f(et + s) = f(et · es) = f(et) + f(es) = g(t) + g(s), œt, s ∈ R. Conform exerciţiului 1, rezultă că există c ∈ R astfel încât g(t) = ct, pentru orice t ∈ R. Atunci: f(x) = g(ln x) = c ln x, œx ∈ (0, + ∞). Evident, dacă c = 0, f(x) = 0, pentru orice x ∈ (0, + ∞). Dacă c ≠ 0, notând a = 1 ec , avem f(x) = loga x, pentru orice x ∈ (0, + ∞). Exerciţii rezolvate I. 1. Fie funcţia           > = < = , 0 1 cos 0, 0 tg ·sin 1 , 0 1 x e x x x x x x Să se cerceteze continuitatea funcţiei pe R. 2. Să se determine a, b ∈ R astfel ca funcţia:   →  −∞ π f : , 2 R, f(x) =        + ∈ π − + ≤ sin cos , 0, 2 2 1, 0 a x b x x x x x , să fie tot continuă pe domeniul de definiţie. f : R → R, f(x) 278 Manual clasa a XI-a 3. Se dă funcţia f : R →R, f(x) = Să se determine a ∈ R, astfel încât funcţia să fie continuă pe R. 4. Să se studieze continuitatea funcţiei: ( ) lim nx nx n nx nx e e f x e e − →∞ − = − + 5. Să se determine mulţimea punctelor în care funcţiile următoare sunt continue: ƒ(x) = g(x) = 6. Fie o funcţie continuă f : [a, b]→ R. Să se arate că există c ∈ (a, b) astfel încât f(c) = a 1 c 1 b c + − − . 7. Fie funcţiile continue f, g : [a, b]→ R pentru care f(a) = g(b) = 0, f(b) g(a) > 0 şi k > 0. Atunci există c ∈ (a, b) astfel ca f(c) = kg(c). 8. Fie o funcţie continuă f : [0, + ∞) → R, pentru care f(2x) = f(3x), œ x ∈ R. Să se arate că funcţia f este constantă. 9. Fie funcţia f : R→ R pentru care f(x) = f 2 2 1 x x      +  , œ x ∈ R. Să se arate că funcţia f este constantă. 2 1 sin , 0 . , 0 x x x a x − ≠ = x3 – 3x2, x ∈ Q – 2x, x ∈ R \ Q; 2, x ∈ Q x2, x ∈ R \ Q. Capitolul 2. Continuitate 279 10. Să se determine funcţiile continue f : R → R, pentru care f(2x) = f(x) + x, œ x ∈ R. Soluţii: 0, (0) 0. 1 cos lim ( ) lim tg sin 1 0; lim ( ) lim 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = = = > → > → < → < → f e f x x f x x x xx xx xx xx x 1. Funcţia este continuă pe R. 2 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1; lim ( ) lim( sin cos ) , (0) 1. x x x x x x x x f x x x f x a x b x b f → → → → < < > > = − + = = + = = 2. Funcţia este continuă pentru b = 1 şi pentru orice a ∈ R. 3. 0 0 0( ) 0 0 1 lim ( ) lim ( ) lim 1 sin 1; (0) 1 . x x x x x f x f x x x f a → → → < > = = − = = = 4. i) Pentru x < 0 obţinem că lim ( ) lim lim 1 0 0 0 0 = − + = − − − →∞ < → < → nx nx nx nx n x x x x e e e e f x . ii) Pentru x > 0 obţinem că lim ( ) lim lim 1 0 0 0 0 = + = − − − →∞ < → > → nx nx nx nx n x x x x e e e e f x . iii) Pentru x = 0 obţinem că ƒ(0) = 0. Funcţia nu este continuă în punctul x = 0. 5. i) Funcţia este continuă în punctele care reprezintă soluţiile ecuaţiei x3 – 3x2 = – 2x ⇔ x ∈ {0, 1, 2}. ii) Funcţia este continuă în punctele ± 2 . 6. Fie funcţia g(x) = (a – x)(b – x)f(x) – a – b + 2x, x ∈ [a, b]. Avem că: g(a)g(b) = – (a – b)2 < 0, deci există cel puţin un punct c ∈ (a, b) astfel ca g(c) = 0. 280 Manual clasa a XI-a 7. Fie funcţia h(x) = f(x) – kg(x), x ∈ [a, b]. Efectuăm calculele şi obţinem că: h(a) = f(a) – kg(a) şi h(b) = f(b) – kg(b) şi h(a) h(b) = – kg(a)g(b) < 0. 8. i) Fie 0 < x < 1. Construim şirul x1 = x, xn + 1 = 3 log2 xn . Vom obţine că: f(xn + 1) = f( 3 log2 xn ) = f(xn), n ∈ n* ⇒ f(xn) = f(x) ⇒ f(x) = f(0), œ x ∈ [0, 1] ii) Fie x > 1. Construim şirul x1 = x, xn + 1 = 2 log3 xn , n ∈ n*. Vom obţine că: f(xn + 1) = f ( 2 log3 xn ) = f(xn) ⇒ f(xn) = f(x) ⇒ f(x) = f(1); f(0) = f(1) ⇒ f constantă. 9. Se observă că pentru x ∈ R*, f (1x) = f(x). Putem presupune fără a restrânge generalitatea că x ∈ (–1, 1). Definim şirul x1 = x, xn + 1 = 1 2 2 + n n x x , n ∈ n*. Se observă că f(xn + 1) = f      1+ 2 2 n n x x = f(xn) ⇒ f(xn) = f(x). Şirul (xn)n ≥ 1 este mărginit. Astfel obţinem următoarele cazuri: – pentru x ∈ (–1, 0) avem că f(xn) = f(x) = f(–1). – pentru x ∈ (0, 1) avem că f(xn) = f(1). Cum f(–1) = f(0) = f(1) = k, obţinem că f(x) = k, œ x ∈ R. 10. Înlocuind x cu 2 x succesiv, se obţine    =   +  −      ⇒ =       +  −     =  n n n→∞ n n→∞ n f x f x x f x f x x 2 1 lim 1 2 ( ) lim 2 1 1 2 ( ) = f (0) + x ⇒ f (x) = k + x. Verificăm ecuaţia: f(2n) = 2x + 2k, f(x) = k + x şi obţinem: 2x + 2k = k + x + 2x ⇒ k = 0 şi f(x) = x este funcţia căutată. Capitolul 2. Continuitate 281 II. Să se arate că următoarele ecuaţii au cel puţin o rădăcină reală, în inter- valul specificat: 1. x4 – 4x3 + x2 + 1 = 0, x ∈ [0, 1]; 2. 2ex + x3 = 0, x ∈ [–1, 0]; 3. x ln x – 1 = 0, x ∈ [1, 3]; 4. 2(sin3 x + cos3 x) – 1 = 0, x ∈ [– 4 π , 4 π ]; 5. x + ln x = 0, x ∈( 1,1 e ); 6. sin3 x + x cos x = 0, x ∈ [– 2 π , 2 π ]; 7. cos3 x + x sin x = 0, x ∈ [0, π]; 8. (x – 1) · ex + x = 0, x ∈ [0, 1]. Soluţii: 1. Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = x4 – 4x3 + x2 + 1, este continuă şi ƒ(0) · ƒ(1) < 0, deci există x0 ∈ (0, 1) astfel încât ƒ(x0) = 0 2. Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = 2ex + x3, este continuă şi ƒ(–1) · ƒ(0) = ( 2 −1 e ) · 2 < 0, deci există x0 ∈ (–1, 0) astfel încât ƒ(x0) = 0. 3. Funcţia ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) = x ln x – 1, este continuă şi ƒ(1) · ƒ(3) = – 1 (3 ln 3 – 1) < 0, deci există x0 ∈ (1, 3) astfel încât ƒ(x0) = 0. 4. Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = 2(sin3 x + cos3 x) – 1, este continuă şi ƒ(– 4 π ) · ƒ( 4 π ) = – 1 · ( 2 – 1) < 0, deci există x0 ∈ (– 4 π , 4 π ) astfel încât ƒ(x0) = 0. 5. Funcţia ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) = x + ln x, este continuă şi ƒ( e 1 ) · ƒ(1) = ( e 1 – 1) · 1 < 0, deci există x0 ∈ ( e 1 ,1) astfel încât ƒ(x0) = 0. 6. Funcţia ƒ : R→ R, ƒ(x) = sin3 x + x cos x, este continuă şi ƒ(– 2 π ) · ƒ( 2 π ) = (–1) · 1 < 0, deci există x0 ∈ (– 2 π , 2 π ) astfel încât ƒ(x0) = 0; evident x0 = 0. 282 Manual clasa a XI-a 7. Funcţia ƒ : R→ R, ƒ(x) = cos3 x + x sin x, este continuă şi ƒ(0) · ƒ(π) = 1 · (–1) < 0, deci există x0 ∈ (0, π) astfel încât ƒ(x0) = 0. 8. Funcţia ƒ : R→ R, ƒ(x) = (x – 1) · ex + x, este continuă şi ƒ(0) · ƒ(1) = (–1) · 1 < 0, deci există x0 ∈ (0, 1) astfel încât ƒ(x0) = 0. III. Să se rezolve următoarele inecuaţii: 1. x(x – 1) (x – 2) (x – 3) < 0; 2. 0 ( 3)( 4) ( 1)( 2) ≤ − − − − x x x x ; 3. (ln ) ( 1) 0 5 3 3 − ≥ x x x ; 4. 0 2 2 1 1 ≤ − + − + x x ; 5. 0 1 log 1 log 9 3 ≥ − − x x ; 6. sin x · ln x · (x2 – 3x + 2) ≤ 0, x ∈ (0, 2 π]; 7. (sin2 x – 3 sin x + 2)3 · (cos2 x – 3 cos x + 2)3 ≤ 0, x ∈ [0, 2π]; 8. (x2 – 7x + 12) · ln(x – 2) · (22x– 12 · 2x + 32) ≤ 0. Soluţii: 1. Fie funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = x(x – 1) (x – 2) (x – 3), ƒ(x) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1, 2, 3}. Intervalele pe care funcţia păstrează semn constant sunt: (–∞, 0), (1, 2), (2, 3) şi (3, +∞). Realizăm următorul tabel de semne, dând o valoare particulară lui x în fiecare interval. x –∞ 0 1 2 3 +∞ ƒ(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + x ∈ (0, 1) ∪ (2, 3) 2. [ − − ] ≤ ⇒ − − − − = − − − − 0 ( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 3)( 4) ( 1)( 2) x x 2 x x x x x x x x ⇒ (x −1)(x − 2)(x −3)(x − 4) ≤ 0 . Evident x ≠ 3 şi x ≠ 4. Capitolul 2. Continuitate 283 Realizăm următorul tabel de semne: x −∞ 1 2 3 4 +∞ ƒ(x) + 0 – 0 + | – | + Procedăm ca la exerciţiul 1 şi obţinem: x ∈ [1, 2] ∪ (3, 4). 3. Fie funcţia ƒ : (0, +∞) → R, = ⋅ ⋅ − + + = − = ⋅ ⋅ − = x x x x x x x x x x x x x x x f x 4 3 2 2 4 2 5 (ln )3( 3 1) (ln ) (ln ) ( 1) (ln ) ln ( 1)( 1) ( ) x x x (ln x) (x x 1) ln 4 2 2 = + + ⋅ . Semnul funcţiei ƒ se reduce la semnul funcţiei g : (0, +∞) → R, g(x) x = ln x ; g(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ (1, +∞). 4. Fie funcţia ƒ : [–1, +∞] \{2}→R, (2 2)2 (1 1)(2 2) 2 2 1 1 ( ) − + − + − + = − + − + = x x x x x f x . Funcţia este continuă şi alcătuim următorul tabel de semne pe intervalele: (–1, 0), (0, 2), (2, +∞). x –1 0 2 +∞ ƒ(x) + 0 – | + Deci x ∈ [0, 2). 5. Fie funcţia ƒ : (0, +∞) \{9} → R, ƒ(x) = 2 9 3 9 9 3 (1 log ) (1 log )(1 log ) 1 log 1 log x x x x x − − − = − − . A studia semnul funcţiei ƒ se reduce la a studia semnul funcţiei g : (0, +∞) → R, g(x) = (1 – log 3 x)(1 – log9 x). Alcătuim următorul tabel de semne pentru funcţia g pe intervalele: (0, 3), (3, 9), (9, +∞). x 0 3 9 +∞ f(x) + 0 – 0 + Pentru funcţia ƒ avem ƒ(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ (0, 3] ∪ (9, + ∞). 284 Manual clasa a XI-a 6. Considerăm funcţia ƒ : (0, 2π] → R, ƒ(x) = sin x · ln x · (x2 – 3x + 2). Alcătuim următorul tabel de semne: x 0 1 2 π 2π ƒ(x) | – 0 – 0 + 0 – 0 ƒ(x) ≤ 0 ⇒ x ∈ (0, 2] ∪ [π, 2π]. 7. Considerăm funcţia ƒ : [0, 2π] → R, ƒ(x) = (sin2 x – 3 sin x + 2)3 · (cos2 x – 3 cos x + 2)3 = = (sin2 x – 3 sin x + 2)2(cos2 x – 3 cos x + 2)2(sin2 x – 3 sin x + 2) (cos2 x – 3 cos x + 2) = = (sin2 x – 3 sin x + 2)2(cos2x – 3 cos x + 2)2 (sin x – 1)(sin x – 2)(cos x – 1)(cos x – 2). Evident sin x – 2 < 0 şi cos x – 2 < 0. Inecuaţia se reduce la studiul semnului funcţiei g : R → R, g(x) = (sin x – 1)(cos x – 1). x 0 2 π 2π +∞ f(x) 0 + 0 + 0 + Deci x ∈ {0, 2 π , 2π} şi ƒ(x) = 0. 8. Considerăm funcţia continuă ƒ : (2, +∞) → R, ƒ(x) = (x2 – 7x + 12) ln(x – 2) · (22x – 12 · 2x + 32) pentru care realizăm următorul tabel de semne: x 2 3 4 +∞ f(x) | + 0 – 0 + Deci x ∈ [3, 4]. Exerciţii propuse I. Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii: 1. f : R →R, f(x) = 11 1 , 1 1 2 . 0, 1 x x x + ≠ − + = − Capitolul 2. Continuitate 285 2. f : R →R, f(x) = 3. f : R →R, f(x) = ( ) . 1, 0 , 0 1 = + ≠ x x e x x x 4. f : R →R, f(x) = 5. f : R →R, f(x) = 6. f : R →R, f(x) = unde 1x reprezintă partea întreagă a numărului x 1 . II. 1. Se consideră funcţia f : R → R, f(x) = i) Să se arate că funcţia are cel mult două puncte de continuitate ii) Construiţi o funcţie f : R → R continuă numai în punctele de abscise x = 1 şi x = 2. 2. Fie f : [a, b] → R o funcţie continuă şi α, β > 0. Să se arate că există c ∈ [a, b] cu proprietatea αf(a) + βf(b) = (α + β) · f(c). 3. Să se determine toate funcţiile f : R → R continue, care verifică ecuaţia funcţională f(x + y) = ( ) ( ) , 1 ( ) ( ) f x f y f x f y + − ⋅ œ x, y ∈ R. 1 , 0 1, 0 xn e x x − ≠ = sin 1 , 2 2 1, 2 x x x x − ≠ π − π = π 3 2 1 3 , 3 1, 3 x x x x − − ≠ − = 1 , 0 1, 0 x x x x   ≠   = x2 + ax + b, x ∈ Q 0, x ∈ R \ Q . . . . . 286 Manual clasa a XI-a 4. Să se determine funcţiile continue f : R → R pentru care f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy – 1, œ x, y ∈ R. 5. Să se determine funcţia continuă f : R → R, pentru care avem: i) f(x) – f(ax) = x, œ x ∈ R şi a ∈ (0, 1) fixat. ii) f(0) = 0. Test de aprofundare 1. Să se construiască: a) două funcţii care nu au proprietatea lui Darboux şi suma lor să fie o funcţie care are proprietatea lui Darboux; b) două funcţii în care una are proprietatea lui Darboux şi cealaltă nu are proprietatea lui Darboux şi suma lor să îndeplinească condiţia: i) să aibă proprietatea lui Darboux; ii) să nu aibă proprietatea lui Darboux; c) două funcţii care au proprietatea lui Darboux şi funcţia produs să nu aibă proprietatea lui Darboux; 2. Dacă funcţia ƒ : R → R are proprietatea că ƒ 2 este o funcţie continuă pe R, rezultă că funcţia ƒ este continuă pe R? 3. Să se construiască două funcţii care nu sunt continue pe R, dar care au suma şi produsul funcţii continue pe R. Capitolul 3 DERIVABILITATE 3.1. Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordinul I şi al II-lea pentru funcţiile studiate Tangenta la o curbă Fie I ⊂ R un interval şi f : I → R o funcţie continuă. Vom nota cu Gf graficul funcţiei f, adică Gf = {(x, f(x)|x ∈ I }. Dacă x0 ∈ I, fie punctul M0 de coordonate (x0, f(x0)) ∈ Gf. Pentru un punct oarecare x ∈ I, x ≠ x0, considerăm punctul M(x, f(x)) aparţinând graficului funcţiei. Panta dreptei M0M este tg α = 0 0 f (x) f (x ) x x − − (fig. 1) Figura 1 Pentru diferite poziţii ale lui x, obţinem secante diferite M0M. Pentru x suficient de aproape de x0, punctul M se apropie de M0. 288 Manual clasa a XI-a Panta secantei M0M devine 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) f xx −− xf x . Dacă această limită există şi este finită, vom spune că graficul Gf admite tangentă în punctul de abscisă x0. Tangenta are panta: tg α0 = 0 lim x→x 0 0 f (x) f (x ) x x − − (fig. 1) Dacă limita de mai sus există şi este infinită, vom spune de asemenea că Gf admite tangentă în punctul de abscisă x0, aceasta fiind paralelă cu axa Oy (fig. 2). O y x M0 M T Figura 2 Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile Fie I un interval, f o funcţie reală definită pe I şi x0 un punct din interiorul lui I. Definiţie • Funcţia f : I → R se numeşte derivabilă în punctul x0, dacă 0 lim x→x 0 0 f (x) f (x ) x x − − există şi este finită. Această limită se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0 şi se notează f ' (x0). • Dacă funcţia f este derivabilă în orice punct x ∈ I, vom spune că f este derivabilă (pe I). Dacă limita de mai sus este infinită (+ ∞ sau – ∞), vom spune că f are derivata în punctul x0, notată tot cu f ' (x0). Observăm că dacă funcţia f are derivată în punctul x0, atunci graficul său admite tangentă în punctul M0(x0, f(x0)), panta acesteia fiind f ' (x0). Ecuaţia tangentei în punctul (x0, f(x0)) la graficul funcţiei f are ecuaţia y – f(x0) = f ' (x0)(x – x0). Capitolul 3. Derivabilitate 289 În particular, dacă f ' (x0) = ± ∞, tangenta la grafic este paralelă cu axa Oy. Observaţie: • Noţiunea de derivată poate fi definită şi pentru funcţii reale de variabilă reală f : D → R, cu mulţimea D ⊂ R nu neapărat un interval. În cazul general, x0 ∈ D trebuie să fie punct de acumu- lare al lui D. De exemplu, funcţia ƒ : R \{0} → R, ƒ(x) = |x|, este derivabilă pe D = R \ {0}. • Ne-am restrâns la cazul când domeniul de definiţie este un interval al dreptei reale deoarece în toate aplicaţiile din acest manual domeniul de definiţie este un interval sau, mai general, o reuniune de intervale. Vom arăta că orice funcţie derivabilă este continuă. Propoziţie. Dacă funcţia f : I → R este derivabilă în punctul x0 ∈ I, atunci f este continuă în x0. Demonstraţie Fie x ∈ I, x ≠ x0. Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ). 0 0 0 x x x x f x f x f x f x − − − = + Trecând la limită în egalitatea de mai sus rezultă că: ( ) '( ) 0 ( ), lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x x x x x f x f x f x f x x x x x x x = + ⋅ = ⋅ − = − = + − → → → adică f este continuă în x0. Corolar. Orice funcţie derivabilă f : I → R este continuă. Observaţia 1. Dacă f '(x0) = ± ∞, nu rezultă că f este continuă în x0. De exemplu, funcţia ƒ : R → R, definită prin ƒ(x) = 1 , 0 , 0 x x x x  + ≥   − < , este discontinuă în 0, dar ƒ '(0) = + ∞. 290 Manual clasa a XI-a Într-adevăr, avem: lim 1 , 0 ( ) (0) lim lim , 0 ( ) (0) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 = − − = +∞ − − = = +∞ − − < → < → > → > → x x x f x f x x x f x f x x x x x x x x deci , 0 ( ) (0) lim 0 = +∞ − − → x f x f x adică ƒ '(0) = +∞. Observaţia 2. Reciproca nu este adevărată. De exemplu, funcţia ƒ : R → R, definită prin ƒ(x) = |x|, este conti- nuă pe R, dar nu este derivabilă în 0. Exerciţii rezolvate Să se calculeze, plecând de la definiţie, derivatele următoarele funcţii în punctele specificate şi să se scrie ecuaţiile tangentelor la graficele funcţiilor în punctele respective: . f : R → R, f(x) = x2, x0 = 1; 2. f : (0, + ∞) → R, f(x) = x , x0 = 4; 3. f : R → R, f(x) = ex , x0 = 0; 4. f : R → R, f(x) = 3 x, x0 = 27; 5. f : R → R, f(x) = x2 +1 , x0 = 0; 6. f : R → R, f(x) = sin x, x0 = 0. 7. Să se calculeze viteza unui mobil la momentul t = t0, ştiind că legea de mişcare este dată de S(t) = t3 + 2t, œt ≥ 0. 8. Legea de mişcare a unui mobil pe o axă este S(t) = t2 − 2t + 1, œt ≥ 0. Să se calculeze viteza şi acceleraţia mobilului la momentul t = 1. Cum se explică rezultatul obţinut? 9. Presupunem că la fiecare moment t cantitatea de electricitate scursă printr-un conductor este Q(t) = 2 cos πt. Să se determine intensitatea curentului electric. Capitolul 3. Derivabilitate 291 Soluţii: 1. 2; ( 1) ( 1)( 1) lim 1 1 lim 1 ( ) (1) '(1) lim 1 2 1 1 = − − + = − − = − − = → → → x x x x x x f x f f x x x x0 = 1, y0 = 12 = 1, iar M0 (1, 1); Ecuaţia tangentei: y – y0 = f '(1)(x – x0) ⇒ y – 1 = 2(x – 1) ⇒ 2x – y – 1 = 0. 2. ; 4 1 ( 4)( 2) ( 4) lim 4 2 lim 4 ( ) (4) '(4) lim 4 4 4 = − + − = − − = − − = → → → x x x x x x f x f f x x x x0 = 4 , y0 = 2 , iar M0(4, 2); Ecuaţia tangentei în punctul M0 (4, 2) este: y – y0 = f '(4)(x – x0) ⇒ y – 2 = 1 ( 4) 4 x − ⇒ 4y – 8 = x – 4 ⇒ x – 4y + 4 = 0. 3. '(0) lim 0 0 = − = → x e e f x x lim 1 1; 0 − = → x ex x x0 = 0 ⇒ y0 = ex0 = e0 = 1, iar M0 (0, 1); Ecuaţia tangentei: y – y0 = f '(0)(x – x0) ⇒ y – 1 = 1 · x ⇒ x – y + 1 = 0. ( ) 27 ; 1 ( 27) 3 9 ( 27) lim 27 3 lim 27 ( ) (27) '(27) lim 27 3 2 3 3 27 27 = − + + = − = − = − − = − → → → x x x x x x x f x f f x x x 4. x0 = 27, y0 = 3 27 = 3, iar M0 (27, 3); Ecuaţia tangentei: y – 3 = f '(27)(x – 27) ⇒ y – 3 = 1 27 (x – 27) . 5. 0; ( 1 1) 1 1 '(0) lim ( ) (0) lim 1 1 lim 2 2 0 2 0 0 = + − + − = − = + − = → → → x x x x x x f x f f x x x x0 = 0, y0 = 1, iar M0 (0, 1); Ecuaţia tangentei: y – y0 = f '(0)(x – x0) ⇒ y – 1 = 0 · x ⇒ y = 1. 6. '(0) lim sin sin 0 lim sin 1; 0 0 = − = = → → x x x x f x x x0 = 0, y0 = sin 0 = 0, iar M0 (0, 0). Ecuaţia tangentei în punctul M0 este: 292 Manual clasa a XI-a y – y0 = f '(0)(x – x0) ⇒ y – 0 = 1(x – 0) ⇒ y = x. 7. Viteza la momentul t0 (viteza instantanee) este prin definiţie: lim ( ) ( ) '( 0 ) 3 02 2. 0 0 0 = = + − − → t t S t t S t S t t t 8. V = S '(1) = 0; a (1) = V ' (1) = 2. Mişcarea mobilului este uniform accelerată. 9. Avem I(t)  Q '(t) = − 2 π sin πt. Exerciţii propuse Plecând de la definiţia derivatei unei funcţii într-un punct, să se calculeze derivatele funcţiilor următoare, în punctele specificate şi să se scrie ecuaţiile tangentelor la graficele funcţiilor în aceste puncte. 1. f : R → R, f(x) = x3, x0 = 1; 2. f : R → R, f(x) = 2 1 x x + , x0 = 0; 3. f : R → R, f(x) = 2 ex , x 0 = 0; 4. f : R → R, f(x) = ln (1 + x2), x0 = 0; 5. f : R → R, f(x) = x sin x, x0 = 2 π ; 6. f : (– 1, 1)→ R, f(x) = arcsin x, x0 = 0; 7. f : R → R, f(x) = 1+ x + x2 , x0 = 1; 8. f : R → R, f(x) = x · ex, x0 = 1; 9. f : (–1, 1) → R, f(x) = 2 arcsin , 1 x − x x0 = 0; 10. f : R → R, f(x) = cos x2, x0 = 0. 11. Legea de mişcare a unui mobil pe axă este S(t) = t3 − 12t2 + 4. La ce moment acceleraţia sa este nulă? 12. Două mobile M1 şi M2 se mişcă pe axa OX plecând în acelaşi timp din punctul 0. Spaţiul parcurs de cele două mobile în funcţie de timpul t sunt: S1(t) = t3 − 6t2 + 20t; S2(t) = 2t + 6t2 − t3. Să se determine viteza cu care au plecat şi vitezele pe care le vor avea cele două mobile când se vor întâlni din nou. Capitolul 3. Derivabilitate 293 13. Latura unui hexagon regulat este de 20 cm şi ea creşte dintr-o anumită cauză cu 2,5 cm pe oră. Cu ce viteză creşte aria hexagonului? 14. O sferă metalică se dilată sub influenţa căldurii astfel încât raza ei creşte uniform cu 0,0009 cm/sec. Cu ce viteză creşte volumul acestei sfere dacă raza ei este de 3 cm? Derivate laterale Exemplul de la paragraful precedent ne arată că este posibil ca funcţia F : I \ {x0} → R, F(x) = 0 0 f (x) f (x ) x x − − să nu aibă limită în punctul x0, dar să aibă limite laterale în acest punct. Definiţie i) Vom spune că funcţia f : I → R este derivabilă la stânga în punctul x0 dacă 0 ( ) ( 0 ) lim 0 0 x x f x f x x x x x − − < → există şi este finită. Această limită se numeşte derivata la stânga a funcţieiƒ în x0 şi se notează cu fs'(x0 ) . ii) Vom spune că funcţia f : I → R este derivabilă la dreapta în punctul x0 dacă 0 ( ) ( 0 ) lim 0 0 x x f x f x x x x x − − > → există şi este finită. Această limită se numeşte derivata la dreapta a funcţiei ƒ în x0 şi se notează cu fd' (x0 ). Observaţie: Dacă limitele de mai sus sunt infinite, vom spune că funcţia ƒ are derivată la stânga fs' (x0 ) (respectiv la dreapta fd' (x0 )) în punctul x0 şi vom scrie fs'(x0 ) = ± ∞ (respectiv fd' (x0 ) = ± ∞). Corolar 1. Fie f : I → R şi x0 un punct din interiorul lui I. Atunci f are derivată în x0 dacă şi numai dacă există fs'(x0 ) şi fd' (x0 ) şi sunt egale. 294 Manual clasa a XI-a Demonstraţie Conform definiţiei, f are derivata în x0 dacă şi numai dacă există 0 0 0 ( ) ( ) lim . x x f x f x → x x − − Existenţa acestei limite este echivalentă cu existenţa limitelor laterale şi egalitatea lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 x x f x f x x x f x f x x x x x x x x x − − = − − > → < → sau echivalent, există fs' (x0 ) şi fd' (x0 ) şi avem fs' (x0 ) = fd' (x0 ) . Definiţie Fie a, b ∈ R, a < b. Pentru o funcţie reală ƒ definită pe intervalul compact [a, b], vom spune că: i) ƒ are derivată în punctul a, dacă şi numai dacă are derivată la dreapta în a şi vom nota ƒ '(a) = fd' (a) . ii) ƒ are derivată în punctul b, dacă şi numai dacă are derivată la stânga în b şi vom nota ƒ '(b) = fs' (b) . Corolar 2. i) Derivata funcţiei în punctul a este egală cu derivata laterală la dreapta în punctul a. ii) Derivata funcţiei în punctul b este egală cu derivata laterală la stânga în punctul b. iii) Dacă f este derivabilă la stânga şi la dreapta în x0, atunci f este continuă în x0. Dacă funcţia ƒ este continuă într-un punct x0 şi fd' (x0 ) = +∞ şi fs' (x0 ) = −∞ (sau invers), atunci punctul x0 se numeşte punct de întoarcere al graficului lui ƒ (fig. 3, 4). Figura 3 Figura 4 Capitolul 3. Derivabilitate 295 Dacă funcţia ƒ este continuă într-un punct x0 şi admite derivate laterale diferite în acest punct din care cel puţin una este finită, atunci x0 se numeşte punct unghiular al graficului lui ƒ (fig. 5, 6). Figura 5 Figura 6 Într-un punct unghiular cele două semitangente formează un unghi de măsură α ∈ (0, π). Propunem ca exerciţiu, să se dea şi alte exemple de grafice de funcţii care admit puncte unghiulare. Exerciţii rezolvate Să se studieze continuitatea şi derivabilitatea următoarelor funcţii, în punctele specificate: 1. f : R → R, f(x) = |x|, x0 = 0; 2. f : R → R, f(x) = x|x|, x0 = 0; 3. f : R → R, f(x) =     = − < ≤ , 0; 1 , 0 , 0 x0 x x ex x 4. f : R → R, f(x) = |x2 – x|, x0 = 0, x0 = 1; 5. f : R → R, f(x) = 2 0 1 sin , 0 , 0; 0, 0 x x x x x  ≠   =  = 296 Manual clasa a XI-a 6. f : R → R, f(x) = −x,xx,∈x∈ \ , x0 = 0;  Q R Q 7. f : R → R, f(x) = ln(xx,+1x),≤x0> 0, x0 = 0;  8. f : R → R, f(x) = |1− x2 |, x0 = −1, x0 =1. Soluţii: 1. f : R → R, f(x) = , 0 , 0 x x x x − ≤   > În punctul x0 = 0 funcţia este continuă. Derivabilitatea în punctul x0 = 0 se studiază cu ajutorul derivatelor laterale: ' 0 0 0 0 ( ) (0) (0) lim lim 1; s x 0 x x x f x f x f → x → x < < − − = = = − − ' 0 0 0 0 ( ) (0) (0) lim lim 1; d x 0 x x x f x f x f → x → x > > − = = = − Cum fs' (0) ≠ fd' (0) , funcţia nu este derivabilă în x0 = 0. 2. f : R → R, f(x) = 2 2 0 , 0 , 0 , 0 x x x x x − ≤  =  > În punctul x0 = 0 funcţia este continuă; (0) lim lim( ) 0; 0 0 2 0 0 ' = − = − = < → < → x x x f x x x s x (0) lim lim 0; 0 0 2 0 0 ' = = = > → > → x x x f x x x d x Cum fs'(0) = fd' (0) = 0, funcţia este derivabilă în x0 = 0 şi ƒ '(0) = 0. 3. În punctul x0 = 0 funcţia este continuă; ⇒       = − − = − = − = < → < → (0) lim1 1 1 (0) lim 1 1; 0 0 0 0 ' ' x x f x e f x d x x x s x funcţia nu este derivabilă în x0 = 0. Capitolul 3. Derivabilitate 297 . , (1, ) , [0,1] , ( ,0) ( ) , , ( ,0) (1, ) , [0,1] ( ) , 0 ( ), 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2     − ∈ +∞ − ∈ − ∈ −∞ =   − ∈ −∞ ∪ +∞ = − ∈   − − > = − − − ≤ x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x 4. f x i) x0 = 0 Funcţia este continuă în x0 = 0. 2 ' 0 0 0 0 0 0 ( ) (0) ( 1) s (0) lim lim lim 1 x x x x x x f x f x x x x f → x → x → x < < < − − − = = = = − ; 2 ' 0 0 0 0 (1 ) d (0) lim lim 1 x x x x x x x x f → x → x > < − − = = = − ; Cum fs' (0) ≠ fd' (0) , funcţia nu este derivabilă în x0 = 0. ii) x0 = 1 Funcţia este continuă în x0 = 1. (1) (1) (1) lim lim ( 1) 1; 1; 1 (1 ) (1) lim lim ' 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ' ' ' s d x x x d x x x x s x f f x x x x x x f x x x x x x f ≠ = − = − = = − − − = − = > → > → < → < → 5. lim ( ) lim 2 sin 1 0 (0) 0 0 = = = → → f f x x x x x , deci funcţia este continuă în punctul x0 = 0. lim sin 1 0, sin 1 0 '(0) lim 0 2 0 = = − = → → x x x f x x x x deci funcţia este derivabilă în punctul x0 = 0 Cum , funcţia nu este derivabilă în x0 = 1. sau echivalent adică 298 Manual clasa a XI-a 6. Funcţia este continuă în punctul x0 = 0. Studiem derivabilitatea cu ajutorul şirurilor de numere raţionale şi respectiv iraţionale. Dacă xn ∈ Q, xn → 0, atunci ( ) (0) 0 (0) lim n lim n lim n 1 n n n n n n f x f x x →∞ x →∞ x →∞ x − − = = = = . Dacă , atunci Deci funcţia nu este derivabilă în punctul x0 = 0. 7. Funcţia este continuă în punctul x0 = 0: (0) lim 0 1; 0 0 ' = − = < → x x f x s x (0) lim ln( 1) 1. 0 0 ' = + = > → x x f x d x Cum fs' (0) = fd' (0) =1,⇒funcţia este derivabilă în x0 = 0.     − ∈ + ∞ − ∈ − − ∈ −∞ − =     ⇔ − ∈ − = − ∈ −∞ − ∪ +∞ . 1, (1, ) 1 , [ 1,1] 1, ( , 1) ( ) 1 , [ 1,1] 1, ( , 1) (1, ) ( ) 2 2 2 2 2 x x x x x x f x x x x x 8. f x i) x0 = – 1. Funcţia este continuă în punctul x0 = –1; 2 ' 1 1 1 1 2 ' 1 1 1 1 1 1 b) ( 1) lim 1 lim 1 ; 1 1 ( 1) lim 1 lim 1 . s x x x x d x x x x x x f x x x x f x x →− →− < − < − →− →− > − > − − − − = + = + = +∞ − − − = + = + = +∞ Funcţia admite derivată în punctul x0 = –1, dar nu este derivabilă în acest punct. ii) Se procedează în mod analog ca în cazul precedent, pentru x0 = 1 (exerciţiu). 1. ' ' lim ' ( ' ) (0) lim ' \ , ' 0 − = − = − ∈ → →∞ n n n n n n n x x x f x f x R Q x . Capitolul 3. Derivabilitate 299 Exerciţii propuse Să se studieze continuitatea şi derivabilitatea funcţiilor următoare în punctele specificate. 1. f : R → R, f(x) = 2 0 3 , 0 , 0; , 0 x x x x x  ≤  = − > 2. f : R → R, f(x) = x2 | x |, x0 = 0; 3. f : R → R, f(x) = 0 , 0 , 0; 1, 0 ex x x x x  ≥  =  + < 4. f : R → R, f(x) = 2 0 1 , 0 , 0; 1, 0 x x x x  + ≤  =  < 5. f : R → R, f(x) = 2 0 ln( 1), 0 , 0; 2 , 0 x x x x x  + ≥  =  < 6. f : R → R, f(x) = max (x, x3), x0 = 0, x0 = 1, x0 = –1; 7. f : R → R, f(x) = min (x, x2), x0 = 0, x0 = 1; 8. f : R → R, f(x) = max       +1 1 1, x2 , x0 = 0; 9. f : R → R, f(x) = , 1, \ 2 ,     ∈ ∈ R Q Q x x x x0 = – 1, x0 = 0, x0 =1; 10. f : R → R, f(x) = 2 0 1 cos , 0 , 0; , 0 x x x x x x  ≥  =  ≤ 11. f : R → R, f(x) = |x3 – x|, x0 = 0, x0 = 1, x0 = –1. > 300 Manual clasa a XI-a Operaţii cu funcţii care admit derivate Teorema 1. Fie I ⊂ R un interval, un punct x0 ∈ I şi f, g : I → R două funcţii derivabile în x0. Atunci: i) f + g este derivabilă în x0 şi (f + g)'(x0)= f'(x0) + g'(x0); ii)Pentru orice λ ∈ R, funcţia λf este derivabilă în x0 şi (λf)'(x0) = λf'(x0). iii) fg este derivabilă în x0 şi (fg)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) iv) Dacă g(x0) ≠ 0, atunci f g este derivabilă în x0 şi ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) 0 2 0 0 0 0 0 g x f x g x f x g x x g f ′ = ⋅ − ⋅       Demonstraţie i) Evident avem: ( ) ( 0 0 ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x f x g x g x . x x x x x x + − + − − = + − − − Trecând la limită (x → x0) obţinem: (ƒ + g)'(x0) = ƒ '(x0) + g'(x0). ii) Egalitatea ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x f x f x x x f x f x − − = λ − λ − λ implică (λf )'(x0 ) = λf '(x0 ). iii) Putem scrie 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x f x g(x) f (x ) g x g x . x x x x x x − − − = + − − − Trecând la limita cu x → x0, obţinem rezultatul iii). iv) Deoarece funcţia g este continuă şi g(x0) ≠ 0, există o vecinătate V a lui x0, astfel încât g(x) ≠ 0 pe V. Notăm g f h = . Capitolul 3. Derivabilitate 301 Atunci 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , f x f x h x h x g x g x f x g x f x g x x x x x x x g x g x f x f x g x g x g x f x g x g x x x x x − − − = = = − − −  − −  =  −   − −  de unde rezultă formula iv). În particular, dacă g : I → R este derivabilă în x0 şi g(x0) ≠ 0, atunci funcţia 1 g este derivabilă în x0 şi 0 0 2 0 1 '( ) ( ) . ( ) ' g x x g g x   = −     Observaţie: Teorema 1 este adevărată şi pentru funcţii care admit derivate, cu excepţia cazurilor de nedeterminare. Corolar 1. Fie I ⊂ R un interval, un punct x0 ∈ I, k ≥ 2 un număr natural şi funcţiile f1, f2, …, fk : I → R derivabile în x0. Atunci: i) f1 + f2 + … + fk este derivabilă în x0 şi (f1 + f2 + … + fk)'(x0) = f1'(x0 ) + f2' (x0 ) +K+ fk' (x0 ). ii) f1 · f2 · …· fk este derivabilă în x0 şi ( f1 · f2 · …· fk) '(x0) = 1 0 1 ( ) k i f x = ∑ ·…· fi–1(x0) · fi' (x0) · fi+1(x0) ·…· fk(x0). Corolar 2. Fie I ⊂ R un interval şi f, g : I → R două funcţii derivabile. Atunci: i) ƒ + g este derivabilă şi (ƒ + g)' = f ' + g'. ii) pentru orice λ ∈ R, funcţia λf este derivabilă şi (λf)' = λf'. iii) f g este derivabilă şi (f g)'= f ' g + f g'. iv) dacă g nu se anulează în nici un punct, atunci f g este derivabilă şi ' ' . g2 f g fg g f ′ = −       302 Manual clasa a XI-a În continuare vom studia derivabilitatea funcţiilor compuse. Teorema 2. Fie I şi J două intervale şi funcţii f : I → J şi g : J → R. Dacă x0 ∈ I, f este derivabilă în x0 şi g este derivabilă în f(x0), atunci funcţia ϕ = g ) f : I → R este derivabilă în x0 şi ϕ'(x0) = g'(f(x0)) · f '(x0). Demonstraţie Fie x0 ∈ I, y0 = ƒ(x0) şi funcţia α : J → R, definită prin 0 0 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) . '( ), g y g y y y y y y g y y y  − ≠  − α =   =  Deoarece g este derivabilă, rezultă că α este continuă şi g(y) – g(y0) = α(y)(y – y0), œy ∈ J. Deci, pentru orice x ∈ I, avem g(f(x)) – g(f(x0)) = α(f(x))(f(x) – f(x0)). Prin urmare ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) . 0 0 0 0 0 0 x x f x f x f x x x g f x g f x x x x x − − = α ⋅ − − = − ϕ − ϕ Întrucât funcţia ƒ este derivabilă, avem: lim ( ) ( ) ( ( 0 )) '( 0 ) '( ( 0 )) '( 0 ). 0 0 0 f x f x g f x f x x x x x x x = α ⋅ = ⋅ − ϕ − ϕ → Corolar. Fie I şi J două intervale şi funcţiile derivabile f : I → J şi g : J → R. Atunci funcţia ϕ = g B f : I → R este derivabilă şi ϕ' (x) = g'(ƒ(x)) · ƒ '(x), œx ∈ I. Inversa unei funcţii bijective derivabile, cu derivata nenulă, este de asemenea o funcţie derivabilă. Teorema 3. Fie I, J, ⊂ R două intervale, x0 un punct din interiorul lui I şi f : I → J o funcţie continuă şi bijectivă. Dacă f este derivabilă în x0 şi f '(x0) ≠ 0, atunci funcţia f –1 : J → I este derivabilă în f(x0) şi avem: (f–1)'(f(x0)) = 0 1 . f '(x ) Capitolul 3. Derivabilitate 303 Demonstraţie Funcţia ƒ este continuă şi bijectivă. Rezultă că funcţia ƒ–1 este continuă. Notând ƒ(x) = y şi ƒ(x0) = y0, avem 1 1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , \{ }. f y f y y y f x f x x I x x x − − − = ∀ ∈ − − − Deci 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 lim lim , y y x x ( ) ( ) '( ) f y f y y y f x f x f x x x − − → → − = = − − − adică ƒ–1 este derivabilă şi (ƒ–1)'(y0) = 0 1 . f '(x ) Definiţie Fie ƒ : I → R o funcţie derivabilă şi x0 ∈ I. Dacă funcţia ƒ ' este derivabilă în x0 (respectiv are derivată în x0), vom spune că ƒ este de două ori derivabilă în x0 (respectiv are derivata de ordin 2 în x0) şi vom nota ƒ"(x0)  (ƒ')'(x0). Inductiv, putem defini ƒ(n)(x0)  (ƒ(n–1))'(x0), œn ∈ n*. Calculul derivatelor de ordin I şi II ale funcţiilor elementare studiate Am văzut că funcţiile elementare sunt continue. Vom arăta că sunt şi derivabile şi vom calcula derivatele lor. 1. Fie c un număr real şi ƒ : R → R, ƒ(x) = c. Atunci, pentru orice x, x0 ∈ R, cu x ≠ x0, avem ( ) ( ) 0, 0 0 0 = − = − − − x x c c x x f x f x deci ƒ este derivabilă şi ƒ '(x) = 0, pentru orice x ∈ R, adică c' = 0. 2. Fie n un număr natural şi f : R → R, f(x) = xn. Avem . ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 − − − − − − = + +…+ = − − + +…+ = − − = − − n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x 304 Manual clasa a XI-a Trecând la limită (x → x0) rezultă că ƒ este derivabilă şi ƒ '(x0) = n x0n−1. Deci (xn)' = nxn–1, pentru orice x ∈ R. 3. Fie ƒ : [0, +∞) → R, ƒ(x) = x. Avem 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 f x f x x x . x x x x x x − − = = − − + Trecând la limită (x → x0), cu x0 ≠ 0, obţinem . 2 1 '( ) x0 f x = Deci ( )' 1 , 2 x x = pentru orice x > 0. Observăm că ƒ nu este derivabilă în 0, dar are derivată în 0 egală cu +∞. 4. Fie f : (0, +∞) → R, f(x) = ln x. Avem 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ln ln 1 1 ln ln 1 . x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x − −  −  − = = =  +  − − −   Trecând la limită (x → x0), 0 0 0 1 lim , obţinem f '(x ) . x = Deci (ln x)' = 1 , x pentru orice x > 0. 5. Fie f : R → R, f(x) = sin x. Atunci 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) sin sin sin cos 2 2 2 . x x x x f x f x x x x x x x x x − + − − = = − − − = cos 2 2 sin 2 0 0 0 x x x x x x + ⋅ − − = . Trecând la limită (x → x0), obţinem că ƒ este derivabilă şi ƒ '(x0) = cos x0. Am obţinut (sin x)' = cos x, pentru orice x ∈ R. De asemenea, avem (cos x)' = [sin ( 2 π –x)]' = – cos( 2 π – x) = – sin x, pentru orice x ∈ R. Capitolul 3. Derivabilitate 305 6. Fie ƒ : R \ {kπ + 2 π | k ∈ Z} → R, ƒ(x) = tg x. Atunci ƒ este derivabilă şi avem 2 2 2 2 2 (tg )' sin (sin )'cos sin (cos )' cos cos cos sin 1 , cos cos x x x x x x x x x x x x  ′ − =   = =   + = = pentru orice x ∈ R \ { | 2 kπ + π k ∈ Z}. Analog (ctg x)' = – 2 1 , sin x pentru orice x ∈ R \{ kπ | k ∈ Z }. 7. Fie f : R →(0, ∞), f(x) = ex. Se ştie că ƒ este bijectivă şi f –1 : (0, ∞) → R, ƒ –1(y) = ln y. Notăm y = ex şi aplicăm teorema 3: (ln )' 1 (ex )'= y = y = ex, pentru orice x ∈ R. Mai general, pentru orice a > 0, a ≠ 1, avem (ax)' = (elna x )' = (ex ln a)' = (ln a)ex ln a = ax ln a, pentru orice x ∈ R. 8. Fie α un număr real şi f : (0, +∞)→ R, f(x) = xα. Putem scrie ƒ(x) = xα = xα eln = eα ln x. Atunci ƒ'(x) = (eα ln x)' = eα ln x(α ln x)' = eln a x α 1x = αxα–1. Dacă α > 1, atunci ƒ este derivabilă şi în 0 şi ƒ '(0) = 0. Dacă 0 < α < 1, atunci ƒ are derivată în 0 şi ƒ '(0) = +∞. Cazul α = 1 este banal. Avem ƒ(x) = x şi ƒ '(x) = 1, pentru orice x ∈ R. 9. Dacă funcţiile ƒ, g : I → R sunt derivabile pe un interval I şi ƒ(x) > 0, pentru orice x ∈ I, atunci funcţia ƒ g este derivabilă pe I şi avem (ƒ g)' = g · f g–1 · f ' + f g · ln f · g'. 306 Manual clasa a XI-a Într-adevăr (ƒ g)' = (eln f g )' = (eg ln f)' = eg ln f(g ln ƒ)' = eg ln f(g' ln f + g ff ') = = f g(g' ln f + g f ') f = f g ln f · g' + g f g–1 f '. 10. Funcţia ƒ : [–1, 1] →      − π π 2 , 2 , ƒ(x) = arcsin x, este derivabilă pe (–1,1). Inversa sa este funcţia ƒ –1(y) = sin y. Notând ƒ(x) = y, avem ƒ '(x) = ( 1 ) 2 2 1 1 1 1 cos . f − (y) y 1 sin y 1 x = = = ′ − − În plus, avem ƒ '(–1) = ƒ '(1) = + ∞. Analog se demonstrează că (arccos x )' = 2 1 , ( 1, 1), 1 x x − ∀ ∈ − − 11. Funcţia ƒ : R →      − π π 2 , 2 , ƒ(x) = arctg x, este derivabilă pe R. Inversa este funcţia ƒ –1 (y) = tg y, y ∈ (– 2 π , 2 π ). Notând ƒ(x) = y, avem: , 1 1 1 tg 1 cos 1 1 ( )'( ) 1 '( ) 2 2 2 1 y x y f y f x = − = = + = + deci (arctg x) ' = , 1 1 + x2 pentru orice x ∈ R. Cu ajutorul formulelor stabilite mai sus, putem rezuma într-un tabel deriva- tele de ordin I şi II ale funcţiilor elementare studiate. Funcţia Domeniul de derivabilitate Derivata I Derivata a II-a c, c ∈ R R 0 0 x R 1 0 xn, n ∈ n* \ {1} R nxn –1 n(n – 1)xn – 2 xα, α ∈ R (0, +∞) αxα – 1 α(α – 1)xα – 2 1 x R * 12 x − 3 2 x Capitolul 3. Derivabilitate 307 x (0, +∞) 1 2 x 3 1 4 x − n x, n ∈ N*\{1} R (0, ∞) – n par \ {0} – n impar nn xn 1 1 − n x n n n 2 1 1 − − ex R ex ex ax, a > 0, a ≠ 1 R ax ln a ax ln2 a ln x (0, +∞) 1 x 2 1 x − logax, a > 0, a ≠ 1 (0, + ∞) xlna 1 x lna 1 2 − sin x R cos x – sin x cos x R – sin x – cos x tg x R \ {kπ + 2 π | k ∈ Z} 2 1 cos x 3 2 sin cos x x ctg x R \ {kπ | k ∈ Z} 12 sin x − 3 2 cos sin x x arcsin x (–1, 1) 2 1 1− x (1 2 )23 x − x arccos x (–1, 1) 2 1 1 x − − (1 2 )23 x x − − arctg x R 2 1 1+ x ( 2 )2 2 1 x x − + arcctg x R 2 1 1 x − + ( 2 )2 2 1 x + x De asemenea, utilizând teorema 2 de derivare a funcţiilor compuse din tabelul de mai sus, obţinem următorul tabel cu derivatele funcţiilor compuse. 308 Manual clasa a XI-a Funcţia Derivata Condiţii u u' un, n ∈ n* \ {1} nun – 1u' uα, α ∈ R αuα – 1u' u > 0 1 u 2 1 u ' u − u ≠ 0 u 1 ' 2 u u u > 0 n u, n ∈ N* \ {1} n n un u 1 ' − u > 0 eu euu' au, a > 0, a ≠ 1 au · u '· ln a ln u 1 u ' u u > 0 loga u, a > 0, a ≠ 1 u a u ln ' u > 0 sin u cos u · u' cos u – sin u · u' tg u 12 ' cos u u cos u ≠ 0 ctg u 12 ' sin u u − sin u ≠ 0 arcsin u 2 1 ' 1 u − u u2 < 1 arccos u 2 1 ' 1 u u − − u2 < 1 arctg u 1 2 ' 1 u + u arcctg u 1 2 ' 1 u u − + Capitolul 3. Derivabilitate 309 Exerciţii rezolvate Aplicând operaţii cu funcţii derivabile, să se calculeze derivatele următoa- relor funcţii, determinând şi domeniul de derivabilitate: I. 1. f : R → R, f(x) = 4 3 2 4 3 2 1; x x x + − − x + 2. f : R \ {−1}→ R, f(x) = ; 1 x x + 3. f : R → R, f(x) = 2 ; 1 x x + 4. f : R → R, f(x) = 2 2 2 ; 1 x x + + 5. f : R → R, f(x) = 2 2 1 ; 1 x x x x − + + + 6. f : R* → R, f(x) = 2 3 1 1 1 x . x x + + II. 1. f : R → R, f(x) = 5 x3 ; 2. f : R+ → R, f(x) = 1+ 2x ; 3. f : [0, +∞) → R, f(x) = x3 x + x − 2 x ; 4. f : R → R, f(x) = 1+ x2 − x ; 5. f : (–1, 1)→ R, f(x) = 1 1 x x x − + ; 6. f : (1, 1)→ R, f(x) = 1− x2 ; 7. f : R → R, f(x) = x + 1+ x2 ; 8. f : R → R, f(x) = 2 1 x x + ; 9. f : [1, +∞)→ R, f(x) = 2 1 x + x − x ; 10. f : R → R, f(x) = 3 x2 +1 . 310 Manual clasa a XI-a III. 1. f : R → R, f(x) = (x + 1) ex; 2. f : R → R, f(x) = x x e ; 3. f : R → R, f(x) = e−x 2 + x+1 ; 4. f : (0, +∞)→ R, f(x) = ln x x ; 5. f : R → R, f(x) = ln(x + x2 +1); 6. f : R→ R, f(x) = 1 1 x x e e − + ; 7. f : (–1, 1) → R, f(x) = 2 2 1 ln 1 x x − + ; 8. f : R → R, ƒ(x) = 1 1 x x xe xe − + ; 9. f : (0, +∞) → R, f(x) = ln x x ; 10. f : R \ {0} → R, f(x) = 1 xex . IV. 1. f : (0, 2 π ) → R, ƒ(x) = 1 sin x ; 2. f : R → R, f(x) = sin x + sin 3x; 3. ƒ : [0, 2 π ) → R, ƒ(x) = 1 cos x ; 4. f : (0, 2 π ) → R, f(x) = tg x – ctg x; 5. f : (0, +∞)→ R, ƒ(x) = sin (ln x); 6. f : (0, +∞)→ R, ƒ(x) = cos x + sin (ln x) ; 7. a) ƒ(x) = cos (cos x); b) ƒ(x) = sin(sin x); c) ƒ(x) = sin x ; d) ƒ(x) = cos x . 8. ƒ(x) = cos x · arccos (2x2 –1); 9. ƒ(x) = tg x + tg3x + 53 tg5x + 12 tg7 x ; Capitolul 3. Derivabilitate 311 10. ƒ(x) = sin 2cos cos sin x x x x x − + ; 11. f(x) = sin3 x + cos3 x; 12. ƒ(x) = arcsin 1x arccos 1 − x ; 13. a) ƒ(x) = arcsin (sin x); b) ƒ(x) = arccos (cos x); 14. ƒ : R* → R, ƒ(x) = x2sin 1 x + 2x cos x – 2 sin x; 15. ƒ : R \ (–1, 1) → R , ƒ(x) = arctg 2 1 x x − . Soluţii: Vom nota cu Dd mulţimea pe care funcţia este derivabilă (Dd se mai numeşte domeniu de derivabilitate). I. 1. ƒ '(x) = 3 2 3 2 4 3 2 4x + 3x − 2x +1 = x + x − x +1; Dd = R. 2. ƒ '(x) = 2 ( 1)2 1 ( 1)' 1 ( 1) '( 1) ( 1)' 1 + = + + − = + + − + = ′     + x x x x x x x x x x x ; Dd = R \ {–1}. 3. ƒ '(x) = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 ( 1) 1 2 ( 1) '( 1) ( 1)' 1 x x x x x x x x x x x x + − = + + − = + + − +  =      + ; Dd = R. 4. ƒ '(x) = 2 2 2 2 1 1 2 1 ; 1 1 ( 1) x x x x  ′  ′ −  +  =   =  +   +  + Dd = R. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 5) ) '( ) 1 1 1 1 (2 1) 2 ( 1) 1 2 1 ; ( 1) ( 1) x x x a f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  − + ′  ′ =   =  −  =  + +   + +   + + − +  = −   =  + +  + + − − − = = + + + + Dd = R. 5. 312 Manual clasa a XI-a 6. 2 2 2 4 6 2 3 4 4 1 2 3 2 3 f '(x) x x x x ; x x x x x x x = − − − = − 1 − 2 − 3 = − 2 3 ; 4 2 2 3 4 x x x x x x − − − = − + + Dd = R*. II. 1. 3 3 2 1 5 5 5 5 2 3 3 3 1 '( ) ; f x x 5 x 5 x 5 x − −  ′ =   = = =     Dd = R \ {0}. 2. '( ) ( 1 2 ) (1 2 )' 1 ; 2 1 2 1 2 x f x x x x ′ + = + = = + + Dd =(– 2 1 , +∞). 1 1 ; 2 1 7 1 2 7 2 1 1 2· 2 7 '( ) 2 2 2 2 5 1 2 1 1 2 7 2 1 2 7 2 1 2 1 3 x x x x x x x f x x x x x x x x = + − = + − = + − = ′       = + − ′       = + − − − 3. Dd = (0, +∞). ( 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4) a) '( ) 1 1 1 1 1 1 ; ( 1 ) 1 1 ( 1 ) x x x f x x x x x x x x x x x x x ′ − + = + − = − = = + + − − = = − + + + + + + Dd = R. 2 1 1 1 5) a) '( ) 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 1 2 1 x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  − ′ −  − ′ =   = +   =  +  +  +   − ′ −  +  − + = + = − = + − + + − + Dd = (–1, 1).      1+ 2 ⋅ + 1+ 2 1 x x x ; 5. 4. ; (1 ) 1 1 (1 ) 1 1 2 2 x x x x x x x x + − − − = + + − Capitolul 3. Derivabilitate 313 6. 2 2 2 2 (1 )' 2 '( ) ; 2 1 2 1 1 x x x f x x x x − − = = = − − − Dd = (–1,1). 7. ( ) 2 2 2 2 1 '( ) 1 1 ; 1 1 f x x x x x x x x ′ + + = = + = + = + + Dd = R. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8) a) '( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 ; ( 1) 1 x x x x x x f x x x x x x x  ′ + − = = + = + −   =  +  + + + = + + Dd = R. Dd = (–∞, 0) ∪ (1, ∞). ( ) ( ) 1 1 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 3 3 2 2 1 10) a) '( ) 1 1 3 ( 1) 2( 1)' 1 2 1 ( 1) 2 ; 3 3 ( 1) f x x x x x x x x x − − ′  ′ = + =  +  = + + =   = + = + Dd = R. 9. f '(x) = ( + − ) = − − + = − ′       + − 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x ; 2 1 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x − = − + − ⋅ − = − + − − – 10. 8. + · 314 Manual clasa a XI-a III. 1. f '(x) = ( x +1)ex  = (x +1)ex + ex = (x + 2)ex; Dd = R. 2. 2 ' (1 ) 1 '( ) x x x ; x x x x f x x x e xe e x x e e e e  ′ − − − =   = = =   (1 ) 1 ; 2x x x e x e e − x = − Dd = R. 3. f '(x) = (e−x2 + x+1 ) = e−x2 + x+1 ⋅(−2x +1); Dd = R. 4. ƒ '(x) = 2 2 2 1 (ln )' ln ' ln 1 ln ; x x x x x x x x x x x ⋅ − ⋅ − − = = Dd = (0,+∞). 5. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 '( ) ln 1 ; 1 1 x x f x x x x x x ′ ′ + + = + + = = + + + Dd = R. 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 6) a) '( ) 1 ( 1) 2 ; ( 1) (1 ) x x x x x x x x x x x x x x e e e e e f x e e e e e e e e e  − ′ + − − =   = =  +  + + − + = = + + Dd = R. ( ) ; 1 4 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 '( ) ln(1 ) ln(1 ) '( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x f x x x f x  = − − = − −   = −  − + + = − − + 7. = − − + ′ ⇒ = − Dd = (–1, 1). ' ' 6. Capitolul 3. Derivabilitate 315 2 2 2 2 1 ( 1)'( 1) ( 1)( 1) 8) a) '( ) 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1 1) 2( 1) ; ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe xe xe xe xe f x xe xe e x xe xe e x xe e x xe xe x e xe xe  − ′ − + − − + =   = =  +  + + + − − + = = + + + − + + = = + + Dd = R. 9. ƒ' (x) = ; 2 2 2 ln 1 ln 2 1 1 ln ln x x x x x x x x x x x x x x ′ = ⋅ − ⋅ = − = −       Dd = (0, +∞). 10. 1 1 1 1 1 2 1 1 1 '( ) x x x x 1 x ; x f x xe e xe e x x e x  ′     − =   = +  −  =  −  =       Dd = R \ {0}. IV. 1. ƒ ' 2 2 (sin )' cos ( ) ; sin sin x x x x x = − = − Dd =(0, 2 π ). 2. f '(x) = (sin x + sin 3x)'= (sin x)' + (sin 3x)'= cos x + cos 3x · 3 = = cos x + 3(4 cos3 x – 3 cos x) = cos x + 12 cos3 x – 9 cos x = = 12 cos3 x – 8cos x = 4 cos x(3 cos2 x – 2); Dd = R. 3. 2 2 1 (cos )' sin '( ) ; cos cos cos f x x x x x x  ′ =   = − =   Dd = [0, 2 π ). 2 2 2 2 2 4) a) '( ) (tg ctg )' (tg )' (ctg )' 1 1 1 4 ; cos sin sin cos sin 2 f x x x x x x x x x x = − = − = = + = = Dd = (0, 2 π ). ' 8. 4. 316 Manual clasa a XI-a 5. f '(x) = [sin(ln x)]' = cos(ln x)(ln x) '− 1 cos(ln x); x = Dd = (0,+∞) [ ] ( ) ; 2 sin 2cos(ln ) 1 cos(ln ) 2 sin '( ) cos sin(ln ) sin cos(ln )(ln )' x x x x x x x x f x x x x x x x = − + = − + 6. = + ′= − ′ + = Dd = (0, +∞) 7. a) f '(x) = −sin(cos x)(−sin x) = sin(cos x)sin x ; b) f '(x) = [sin(sin x)]' = cos(sin x)(sin x)' = cos(sin x)cos x ; c) ( sin )' cos ; d) ( cos )' sin 2 sin 2 cos x x x x x x = = − . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 (2 1)' 4 8) a) '( ) 1 (2 1) 1 4 4 1 2 , 0 4 4 1 4 (1 ) 2 | | 1 2 , 0 1 x x f x x x x x x x x x x x x x x − = = − = − − − + −  <  − = − = − =  − −   > − b) Dd = (–1,1) \{0}. 3 5 7 2 4 6 2 2 2 2 2 4 6 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 6 8 3 1 9) a) '( ) (tg tg 5 tg 7 tg )' 1 1 3 1 1 1 3tg 5tg 7 tg cos cos 5 cos 7 cos 1 (1 3tg tg tg ) cos 1 3tg (1 tg ) (1 tg )(1 tg tg ) cos 1 1 1 1 (1 tg ) cos cos cos cos x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + + = = + + + = = + + + = =  + + + − +  = = + = = Dd = R \ {(2k + 1) 2 π | k ∈ Z.}. 8. (1+ 3tg + 3tg + tg ) = cos 1 2 4 6 2 x x x x ; 3 9. , 0 1 2 2 > − − x x ; ' ⋅ + = x x x x 2 6 2 4 cos 1 tg 7 1 7 cos 1 5tg 5 3 Capitolul 3. Derivabilitate 317 = ′       + = − x x x x x x f x cos sin sin cos 10. '( ) . (cos sin ) (cos sin ) sin cos sin sin cos cos (cos sin ) sin (cos sin ) cos (sin cos ) (cos sin ) (sin cos )'(cos sin ) (sin cos )(cos sin )' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + + − + = = + + − − = = + = − + − − + 3sin cos 3cos ( sin ) 3sin cos (sin cos ); '( ) (sin cos )' 3sin (sin )' 3cos (cos )' 2 2 3 3 2 2 x x x x x x x x f x x x x x x x = + − = − 11. = + = + = b) Dd = R. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 12) a) '( ) arcsin arccos 2 2arccos 1 1 2 | | 1 2 1 1 1 2 , (1, ) 2 | | 1 1 1 2 , ( , 1) 1 f x x x x x x x x x x x x x x x x x x  ′  π ′ =  −  =  −  =     = +  −  =  −  =   −   − − ∈ +∞  − = − ⋅ =  −   ∈ −∞ − − = − = − = = x x x x f x x ' 2 1 sin2 cos 1 sin (sin )' 13. a) '( ) [arcsin(sin )]          ∪ π π      − ∈ π π     ∪ π π ∈ π      = − < > = = ; 2 3 , , 1, 2 ,2 2 3 1, 0, 2 1, cos 0 1, cos 0 |cos | cos x x x x x x Dd : [0, 2π] \ { , 3 } 2 2 π π . 12.  =     − −  =     − − = 2 2 2 2 1 1 1 2 | | 1 1 1 2 x x x x x . 318 Manual clasa a XI-a 2 2 (cos )' sin sin 13) ii) '( ) [arccos(cos )]' 1 cos 1 cos | sin | 1, 0, , 2 2 2 3 3 1, , ,2 2 2 x f x x x x x x x x x = = = = = − −   π   π   ∈  ∪  π =        π   π  − ∈ π  ∪  π     Dd = (0, 2π) \ {π}. 2 2 2 1 14) a) '( ) sin 2 cos 2sin 1 1 1 2 sin cos 2(cos sin ) 2cos 1 1 2 sin cos 2cos 2 sin 2cos 1 1 2 sin cos 2 sin f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  ′ =  + −  =   = +  −  + − − =   = − + − − = = − − Dd = R \ {0}. ; 1(2 1) 1 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 '( ) arctg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − = − = − ⋅ − − − = − − + − − − − − = =       − + ′       = − ′       − = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 15. f x Dd = (–∞, –1) ∪ (1,+∞). 14. ; b) cos2x ; x 1 sin Capitolul 3. Derivabilitate 319 Exerciţii propuse I. Să se calculeze derivatele următoarelor funcţii: 1. f : R → R, f(x) = 43 x4 − 13 x3 + 12 x2 + x +1; 2. f : R → R, f(x) = sin x – cos x + x; 3. f : R → R, f(x) = (x – 1)(x2 – 1); 4. f : R → R, f(x) = (x – 1)2(x + 1); 5. f : R → R, f(x) = (x2 + x + 1)2; 6. f : R → R, f(x) = sin x − 13 sin3 x ; 7. f : R → R, f(x) = sin3 x cos x; 8. f : R → R, f(x) = x ln(x2 + 1); 9. f : R → R, f(x) = x2ex; 10. f : (0, 2 π ) → R, f(x) = tg 1 tg3 x + 3 x ; 11. f : (0, 2 π ) → R, f(x) = tg x – tg3x + 3 tg5 1 tg7 5 x + 7 x ; 12. f : R \ {–1} → R, f(x) = ; 1 1 + − x x 13. f : R → R, f(x) = 2 2 1 1 x x x x + + − + ; 14. f : R → R, f(x) = 2 2 3 2 2 x x x x − + − + ; 15. f : R \ {– π + kπ 4 }→ R, f(x) = sin 1 tg x + x ; 16. f : (0, 2 π )→ R, f(x) = 1 cos x ; 17. f : (–1, 1) \ {0} → R, f(x) = 1 x2 x − ; 18. f : (−1, 1) → R, f(x) = ln 1 1 x x − + ; − 320 Manual clasa a XI-a 19. f : R → R, f(x) = 1 1 x x e e − + ; 20. f : R \ {0}→ R, f(x) = 1 ex ; 21. f : (0, +∞) → R, f(x) = ln 2 1 x x + ; 22. f : (0, +∞) → R, f(x) = ln 2 2 1 1 1 1 x x e e + − + + ; II. Pentru următoarele funcţii să se determine domeniul de definiţie, domeniul de derivabilitate şi apoi să se calculeze derivatele lor. 1. a) f : D → R, f(x) = 14 ln xx +−11 − 12 arctg x ; b) f : D → R, f(x) = ln 1 tg 1 tg x x − + ; c) f : D → R, f(x) = ln 1 sin 1 sin x x − + ; d) f : D → R, f(x) = 2 arcsin 1 1+ x ; e) f : D → R, f(x) = 2 2 1 arccos 1 x x − + ; f) f : D → R, f(x) = arcsin 2x 1− x2 ; g) f : D → R, f(x) = arcsin(3x − 4x3) ; h) f : D → R, f(x) = arccos(4x3 − 3x) ; 2. f : D → R, f(x) = arctg 1 cos ln 1 cos 1 cos 1 sin x x x x − − + + + ; 3. f : D → R, f(x) = ln ln 1 x x − ; 4. f : D → R, f(x) = ln cos cos sin x x x x x x − + ; 5. a) f : D → R, f(x) = x x 1 ; Capitolul 3. Derivabilitate 321 b) f : D → R, f(x) = ( x) x ; c) f : D → R, f(x) = x ln x; d) f : D → R, f(x) = x x 1 (1+ ) ; e) f : D → R, f(x) = 1 1 x x  +      ; f) f : D → R, f(x) = (ln)x; 6. f : D → R, f(x) = ln (ln x); 7. a) f : D → R, f(x) = arcsin(cos x); b) f : D → R, f(x) = arccos(sin x); c) f : D → R, f(x) = x + x + x . III. Să se determine parametrii reali a şi b astfel ca următoarele funcţii să fie derivabile în punctele specificate. 1. f : R → R, f(x) = 0 sin , 0 , 0 cos , 0 a x b x x x x  + ≤  =  > . 2. f : R → R, f(x) = 0 sin , 0 , 0 , 0 x x x ax b x  ≥  =  + < . 3. f : R → R, f(x) = 2 0 , 1 , 1 , 1 x ax b x x bx a x  + + ≤  =  + > . 4. f : R → R, f(x) = , ln(1 ), 0 2, 0 4 4     + + ≥ + + < b x x x ax x x0 = 0. 5. f : (0, 2 π ) → R, f(x) =     π < ≤ π ≤ ≤ π 4 2 sin , cos , 0 4 b x x a x x , x0 = 4 π . 322 Manual clasa a XI-a 6. f : R → R, f(x) = 1 cos , 0 , 0 , 0 a x x b x  ≠   = x0 = 0. 7. f : R → R, f(x) = 2 0 1 ( )sin , 0 , ?? , 0 x a x x x b x  + ≠  =  = . IV. 1. Să se determine ecuaţiile tangentelor la graficele următoarelor funcţii în punctele specificate: a) f : R → R, f(x) = x3, x0 = 1; b) f : R → R, f(x) = ex2 , x0 = 0; c) f : R → R, f(x) = 2 , 1 x x + x0 = 1; d) f : R → R, f(x) = e x + e− x , x0 = 0; e) f : R → R, f(x) = ln(1 + x2), x0 = 0; f) f : R → R, f(x) = sin x + cos x, x0 = 0; g) f : R → R, f(x) = x · ex, x0 = 0. 2. Să se determine a ∈ R, astfel încât tangenta la graficul funcţiei f : R → R, f(x) = x3 + ax în punctul A(1,1) să fie paralelă cu prima bisectoare. 3. Să se determine a ∈ R, astfel încât tangenta la graficul funcţiei f : R → R, f(x) = ln(a + x2) în punctul de abscisă x = 0 să fie paralelă cu axa Ox. 4. Să se determine punctele unghiulare şi punctele de întoarcere ale graficelor următoarelor funcţii. a) f : R → R, f(x) = | x | ; b) f : R → R, f(x) = x | x −1| ; c) f : R → R, f(x) = | 2 4 | 1 x x − − ; d) f : R → R, f(x) = |1− x2 | . 5. Să se arate că graficele următoarelor perechi de funcţii sunt tangente în punctele specificate: a) f : R → R, f(x) = x2 şi g : R → R, g(x) = – x2 + 4x – 2, x0 = 1; 0. Capitolul 3. Derivabilitate 323 b) f : R → R, f(x) = ex şi g : R → R, g(x) = xe, x0 = 0; c) f : R → R, f(x) = ex şi g : R → R, g(x) = e·x, x0 = 1; d) f : R → R, f(x) = x + x sin x + cos x şi g : R → R, g(x) = 2 1 1 x x + + , x0 = 1. 6. Se consideră funcţia: f : R → R, f(x) = |x2 – 1|. Se cere: a) Să se studieze derivabilitatea funcţiei, precizând domeniul de derivabilitate. b) Să se determine punctele unghiulare şi să se scrie ecuaţiile semitangentelor la grafic în aceste puncte. c) Să se determine tangenta unghiului format de aceste semitangente. d) Există puncte pe graficul funcţiei în care tangenta la grafic este: i) paralelă cu prima bisectoare a axelor de coordonate; ii) paralelă cu a doua bisectoare a axelor de coordonate; iii) paralelă cu axele de coordonate? e) Există valori ale lui a, b ∈ R, astfel încât graficul funcţiei g : R → R, g(x) = ax2 + b să fie tangent graficului funcţiei ƒ în semiplanul x ≥ 1? Calculul derivatei de ordinul al doilea Exerciţii rezolvate I. Să se calculeze derivata de ordinul doi şi să se pună în evidenţă domeniul de derivabilitate pentru următoarele funcţii: 1. f : R → R, f(x) = x3 + x2 + x + 1; 2. f : R \ {0} → R, f(x) = 5 4 2 4 5 4 3 2 1 1; x x x ⋅ − ⋅ + ⋅ − x + 3. f : R → R, f(x) = 2 1 ; x x + 4. f : R → R, f(x) = 2 ; 1 x x + 5. f : R → R, f(x) = x ex; 324 Manual clasa a XI-a 6. f : R → R, f(x) = e−x2 ; 7. f : (0, +∞) → R, f(x) = x; 8. f : R → R, f(x) = x2 +1; 9. f : (0, ∞) → R, f(x) = ln x + 1 ; x 10. f : (0, +∞) → R, f(x) = e x + e− x ; 11. f : R → R, f(x) = 2 2 , ; , \ x x x x  ∈  − ∈ Q R Q 12. f : R → R, f(x) =     > ≤ ; , 0 2 , 0 x x x x 13. i) f : R → R, f(x) = sin x2; ii) f : R → R, f(x) = cos x2; iii) f : R → R, f(x) = sin x + cos x; iv) f : [− 1, 1] → R, f(x) = arcsin x – arccos x. 14. f : R \ {–1,1}→ R, f(x) = 2 1 ; x −1 15. f : R → R, f(x) = 2 1 , 0 0, 0 e x x x  −  ≠   =  ; 16. f : R → R, f(x) = 3 , 0 arctg , 0 x x x x x  + ≤   > ; II. 1. Să se cerceteze existenţa derivatelor de ordinul al doilea pentru urmă- toarele funcţii, în punctele specificate: a) f : R → R, f(x) = 2 0 , 0 1 , 0 , 0 x x x x x x  <  + =   ≥  ; Capitolul 3. Derivabilitate 325 b) f : R → R, f(x) = 2 0 2 ln ( 2), 0 , 3 ( 3) , 0 x x x x x  − ≥  =  − < . 2. Să se determine a, b, c ∈ R astfel încât funcţia: f : R → R, f(x) = 3 2 , 2 , arctg( 2), 2 x ax bx c x x x  + + + <   − ≥ să fie de două ori derivabilă pe R. 3. Să se determine a, b, c ∈ R astfel încât funcţia: f : R → R, f(x) = 3 2 3 1, 2 , , 2 x x a x ax bx c x  + + − ≤   + + > să fie de două ori derivabilă pe R. 4. Să se determine funcţia polinomială P de grad minim, astfel încât funcţia f : R → R, f(x) =   ≥ < − , 0 ( ), 0 2 e x P x x x , să fie derivabilă de două ori pe R. Soluţii 1. ƒ '(x) = 3x2 + 2x şi ƒ"(x) = 6x + 2; Dd" = R. 2. ƒ '(x) = 1 şi "( ) 1; . 4 3 3 2 " 4 3 x − x + x − f x = x − x + Dd = R 3. ƒ (x) = 2 3 1 1 2 x x f '(x) 1 şi f "(x) ; D"d \ {0} x x + ⇒ = − = Dd" ==R \{0}. ; ( 1) 2 (3 ) ( 1) 2 ( 1)[( 1) 2(1 )] ( 1) 2 ( 1) (1 ) 2 ( 1) 2 ; "( ) ( 1) 1 '( ) 2 3 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 + = − − + = − + + + − = + − ⋅ + − − ⋅ ⋅ + ⋅ = + = − x x x x x x x x x x x x x f x x x 4. f x 55). f '(x) = ex (x +1); f "(x) = ex (x + 2); D"d = ; Dd" = R. Dd" = R. I. 326 Manual clasa a XI-a [ ] 2 [1 2 ]; " . '( ) 2 ; "( ) 2 · ( 2 ) 2 2 2 2 2 = − − = R = − = − + − = − − − d x x x x e x D f x xe f x e x e x " . ; 4 2 1 1 · 2 ( )' 1 · 2 1 ; "( ) 2 1 '( ) * = + = = − = = − Dd R x x x x x x f x x 7. f x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 1 8) '( ) ; "( ) 1 1 1 1 1 ; " ( 1) 1 ( 1) 1 x x x x x x f x f x x x x x D d x x x x + − = = + = + + + − = = = + + + + R 2 2 3 3 1 1 1 2 2 9) f '(x) ; f "(x) x ; "d R \{0} x x x x x − = − = − + = D = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 10) '( ) ( ); 2 2 2 1 1 1 "( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 4 1 1 ; " (0, ) x x x x x x x x x x x x x x f x e e e e x x x f x e e e e x x e e e e x x x x e e D d x x x − − − − − − − = ⋅ − ⋅ = −  ′  =   − + −  =    = − − + ⋅ −  =   =   −  +  +  = = ∞          11. Funcţia este continuă în x0 = 0. Analizăm derivabilitatea funcţiei în x0 = 0. Pentru orice şir (xn) de numere raţionale cu xn → 0, avem: lim ( ) − (0) = lim 2 − 0 = lim = 0 →∞ →∞ n n→∞ n n n n n n x x x x f x f . 6. 8. Dd" = R. 9. Dd" = R \{0}. 10. ' Dd" = (0,∞). Capitolul 3. Derivabilitate 327 Pentru orice şir (xn' ) de numere iraţionale cu xn' → 0, avem: lim ( ) (0) lim 0 lim ' 0 ' ' ' ' 2 − = − − = − = →∞ →∞ n n→∞ n n n n n n x x x x f x f . Fie (an) un şir arbitrar de numere reale cu an → 0. Dacă (an) conţine un subşir de numere raţionale ( ) kn a , atunci: 0, ( ) (0) lim = − →∞ n n k k n a f a f conform (1). Dacă (an) conţine un subşir de numere iraţionale ( ) wn a , atunci: 0, ( ) (0) lim = − →∞ n n w w n a f a f conform (2). În concluzie, pentru orice şir de numere reale (an) cu an → 0, avem: lim ( ) − (0) = 0, →∞ n n n a f a f deci funcţia este derivabilă în x0 = 0 şi ƒ '(0) = 0. Funcţia nu este derivabilă de ordin doi, deoarece x0 = 0 nu este punct de acumulare al mulţimii {0} pe care ƒ este derivabilă, deci nu se pune problema ca funcţia să fie derivabilă de ordinul doi în x0 = 0. 12. Funcţia este continuă în x0 = 0. (0) lim 0 0; (0) lim 0 1 0 0 2 0 0 ' = − = ' = − = < → < → x x f x x f x d x x s x , funcţia nu este derivabilă în punctul x0 = 0. Atunci avem 2 , 0 2, 0 '( ) şi "( ) 1, 0 0, 0 x x x f x f x x x  <  < =  =   >  > ; [ ] 2[cos 2 sin ]; i) '( ) 2 cos ; "( ) 2 'cos (cos )' 2 2 2 2 2 2 x x x f x x x f x x x x x = − 13. = = + = Dd" = R. 328 Manual clasa a XI-a [ ] ; 1 2 2arccos ; '( ) iv) ( ) 2 iii) '( ) cos sin ; "( ) sin cos (sin cos ); 2(sin 2 cos ); ii) '( ) 2 sin ; "( ) 2 'sin (sin )' 2 2 2 2 2 2 2 x f x x f x f x x x f x x x x x x x x f x x x f x x x x x − = π − = = − = − − = − + = − + = − = − + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 "( ) 2 ; " ( 1,1) 1 1 1 x x f x D d x x x ′ − − = = = − − − − Dd" = (−1,1). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 4 3 2 3 1 2 14) '( ) ; 1 1 1 ( 1) 2 1 4 1 "( ) 2 1 1 2 1 1 4 2(1 3 ) ; " \{ 1,1} 1 1 x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x D d x x − ′ − = − = − − − −  − ′ −  − − −      = − = = − − − − − − + = = = − − − R 15. Funcţia este continuă în punctul x0 = 0; 2 1 ' ' 0 (0) (0) lim 0 0. x s d x e f f x − → = = − = Funcţia este derivabilă în x0 = 0 (deci este derivabilă pe R) şi ƒ'(0) = 0. 2 2 1 1 2 3 1 2 , 0 , 0 '( ) 0, 0 0, 0 e x x e x x f x x x x x  ′ −  − −  ⋅ ≠  ⋅ ≠ =   =     =  = . Funcţia ƒ ' este continuă în x0 = 0. Cercetăm, plecând de la definiţie, derivabili- tăţii funcţiei ƒ ' în punctul x0 = 0: f "(0) = 2 2 1 1 3 0 0 0 4 2 '( ) '(0) lim lim lim 2 0. x x x x x e f x f x e x x x − − → → → − = = = [ ]= − − − − − 2 4 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 4( 1) x x x x Dd" = R\{−1,1}. 14. Capitolul 3. Derivabilitate 329 Funcţia ƒ ' este derivabilă în x0 = 0 şi ƒ "(0) = 0. În aceste condiţii funcţia este derivabilă de ordinul doi pe R şi 2 2 1 1 3 3 2 2 , 0 "( ) 0, 0 e x e x x f x x x x − −  ′  ′   +   ≠    =       = ⇒ 2 1 4 6 6 4 "( ) , 0 0, 0 e x x f x x x x   − − +  ⋅ ≠ =     = . Comentariu 1. Dacă se continuă procedeul de derivare vom constata că funcţia este derivabilă pe R de ordinul trei, patru, ş.a.m.d. În acest caz spunem că funcţia admite derivate de orice ordin pe R sau altfel spus este indefinit derivabilă pe R. 2. În general funcţiile elementare sunt indefinit derivabile pe domeniul de definiţie şi în acest caz există posibilitatea de a defini derivata de ordin n pentru orice n ∈ n* şi a găsi formule generale. De exemplu: a) funcţia f : R → R, f(x) = sin x, are derivata de ordinul n:      =  + π ( ) sin 2 f (n) x x n ; b) funcţia f : R → R, f(x) = cos x, are derivata de ordinul n: . ( ) cos 2 ( )      f n x =  x + nπ Aceste formule se pot demonstra prin inducţie matematică, plecând de la faptul că: f (k ) (x) f [f (k−1f)((x)1)]′;; ∀k ∈N*, k ≥ 2. 3. Derivatele de ordin superior sunt foarte importante în studiul determinării rădăcinilor multiple şi în dezvoltarea unei funcţii polinomiale cu ajutorul formulei lui Taylor (matematician englez, unul din fondatorii calculului diferenţial). Formula lui Taylor: Fie funcţia f : R →R: f(x) = anxn +an–1xn–1… a0, ai ∈ R, i = 0,n . Dacă α ∈ R şi f (k) (α) este valoarea derivatei de ordinul k în punctul α, atunci avem: ( ) . ! ( ) ( ) 2! "( ) ( ) 1! '( ) ( ) ( ) 2 (k) x n n f f x = f α + f α x − a + f α x − α +…+ α − α Formula se poate extinde şi pentru alte tipuri de funcţii. 330 Manual clasa a XI-a Exerciţiu: Să se verifice formula în cazul funcţiilor polinomiale de gradul doi şi trei pentru α = 1. 16. Se procedează ca în cazul exerciţiului 12. II. 1. Se procedează ca în cazul exerciţiului I. 12 2. i) Din condiţia ca funcţia să fie continuă în punctul x0 = 2 rezultă 8 + 4a + 2b + c = 0. ii) Din condiţia ca funcţia să fie derivabilă de ordinul întâi în punctul x0 = 2 rezultă 3 2 3 2 ' 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 0 8 4 2 (2) lim lim 2 2 ( 8) ( 4) ( 2) ( 2) 2 4 ( 2) lim lim 2 2 4 4 4 12 4 . arctg( 2) (2) lim 1. 2 s x x x x x x x x d x x x ax bx c x ax bx a b f x x x a x b x x x x a x b x x a b a b x f x → → < < → → < < → < + + + − + + − − − = = = − − − + − + − −  + + + + +  = − = − = = + + + = + + − = = − Pentru ca funcţia să fie derivabilă în punctul x0 = 1, am obţinut următoarele condiţii:     + + = + + = − 12 4 1 4 2 8 a b a b c . În acest caz funcţia este derivabilă pe R şi: 2 2, 2 3 2 2 '( ) 1 , 2 1 ( 2) x ax b x f x x x  + + <  =   ≥  + − . În continuare se impune condiţia ca funcţia ƒ ' să fie derivabilă în punctul x0 = 2: 2 " 2 2 2 2 " 2 2 2 2 2 '( ) '(2) 3 2 1 (2) lim 2 2 1 1 1 ( 2) ( 2) (2) lim 2 lim 0 ( 2) 1 ( 2) s x x d x x x x f x f x ax b f x x x x f x x x → < → → < < − + + − = = − − − + − − − = − = = −  + −  = 4 + 4 + 4 + 4a + b = 12 + 4a + b. , fs'(2) fd'(2) Capitolul 3. Derivabilitate 331 Pentru ca funcţia ƒ ' să fie derivabilă în punctul x0 = 2 este necesar ca: 2 2 3 2 1 lim 2 0. x x ax b → x + + − − = De aici rezultă că 33x2 + 2a +b – 1= 3(x – 2)2 ⇒ x + 20x + b −1= 3(x − 2) ⇒ a = −6 şi b =13. Înlocuind în condiţia 8 + 4a + 2b + c = 0, obţinem c = –10. Înlocuim şi obţinem funcţia: f : R → R, f(x) = , arctg( 2), 2 3 6 2 13 10, 2     − ≥ − + − < x x x x x x care este derivabilă de ordinul doi pe R şi derivata ƒ "(x) este: 2 2 6 12, 2 "( ) 2( 2) , 2 1 ( 2) x x f x x x x  − <  =  − − ≥   + −  . 3. Se procedează ca la exerciţiul 2. 4. Se arată că funcţia polinomială de grad minim este P(x) = 2x2 – 2x + 1. Exerciţii propuse 1. Să se calculeze derivata de ordinul al doilea pentru următoarele funcţii: a) f : R → R, f(x) = x ex; b) f : (0, +∞) →R, f(x) = x ln x; c) f : R → R, f(x) = ex2 ; d) f : R →R, f(x) = esin x cos x; e) f : R → R, f(x) = ex+ e –x. 2. Să se calculeze derivata de ordinul al doilea pentru următoarele funcţii: a) f : R \ {0,1}→R, f(x) = 2 1 x − x ; b) f : R \ {–1,1}→R, f(x) = 2 1 x −1 ; c) f : R \{–1,1}→ R, f(x) = 3 2 1 x x − ; d) f : R →R, f(x) = x2 + x +1 . 332 Manual clasa a XI-a 3. Să se calculeze derivata de ordinul al doilea pentru următoarele funcţii: a) f : R →R, f(x) = 3, , \ x x x x  ∈   ∈ Q R Q ; b) f : R →R, f(x) = 2 1, 0 2x , 0 x x x x  + + ≤   > ; c) f : R →R, f(x) =     + ∈ + ∞ + ∈ . 1, (1, ) ln( 2 ), (0, 1] 2 2 x x x x x 4. Să se determine a, b, c ∈ R astfel încât următoarele funcţii să fie de două ori derivabile pe întreg domeniul de definiţie: i) f : R →R, f(x) = 2 2 3 1, 2 , 2 x x a x ax bx c x  + + − ≤   + + > ; ii) f : R →R, f(x) = 2 3 2 3 , (0, ) , (1, ) x e x ax bx c x  − −  ∈ +∞   + + ∈ +∞ . 5. Să se arate că următoarele funcţii verifică identităţile specificate în dreptul fiecăreia: a) f : R →R, f(x) = xe2x ; f "(x) − 4 f '(x) + 4 f (x) = 0, ∀x ∈R; b) f : R →R, f(x) = e2x sin3x; f "(x) − 4 f '(x) +13 f (x) = 0, ∀x ∈R; c) f : R→ R, f (x) = e2x (3 + 4x); f "(x) − 2 f '(x) + f (x) = e2x (4x +11), ∀x∈R; d) f : (1,+∞) →R, f(x) = (x + x2 −1)α ; (x2 −1) f "(x) + x f '(x) −α2 f (x) = 0 ; e) f : (0, +∞) → R, f(x) = (α + + α )α 1 x 1 2 x2 , α > 0; (1+ α2x2 ) f "(x)+ α2x f '(x) − f (x) = 0, œx ∈ (0, ∞); f) f : (–1, 1) →R, f(x) = ; 1 sin(2arccos ) x2 x − (x2 −1) f "(x)+3xf '(x) −3 f (x) = 0. (–∞, 1) [1, +∞) Capitolul 3. Derivabilitate 333 3.2. Funcţii derivabile pe un interval, puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi consecinţele acesteia Puncte de extrem ale unei funcţii Vom prezenta teoremele fundamentale asupra funcţiilor derivabile pe un interval dat. Definiţii Fie I ⊂ R un interval ƒ : I → R o funcţie şi x0 ∈ I. • Vom spune că x0 este un punct de maxim local al funcţiei ƒ, dacă există o vecinătate V a lui x0 astfel încât ƒ(x) ≤ ƒ(x0) , œx ∈ I ∩ V. • Vom spune că x0 este un punct de minim local al funcţiei ƒ dacă există o vecinătate V a lui x0 astfel încât ƒ(x) ≥ƒ(x0) , œx ∈ I ∩ V . • Punctele de maxim local şi punctele de minim local se numesc puncte de extrem local ale funcţiei ƒ. • Dacă x0 este un punct de maxim local al funcţiei ƒ, atunci ƒ(x0) se numeşte maxim local al lui ƒ. • Dacă x0 este un punct de minim local al funcţiei ƒ, atunci ƒ(x0) se numeşte minim local al lui ƒ. • Maximele şi minimele locale ale funcţiei ƒ se numesc extreme locale. Un punct x0 ∈ I se numeşte punct de maxim global (absolut) al funcţiei ƒ dacă ƒ(x) ≤ ƒ(x0), œx ∈ I. Un punct x0 ∈ I se numeşte punct de minim global (absolut) al funcţiei ƒ dacă ƒ(x) ≥ ƒ(x0), œx ∈ I. Un punct x0 ∈ I se numeşte punct de extrem global (absolut) al funcţiei ƒ dacă x0 este punct de maxim global sau de minim global. 334 Manual clasa a XI-a Teorema lui Fermat O condiţie necesară pentru ca un punct să fie de extrem local este dată de teorema lui Fermat. Teoremă Fie I ⊂ R un interval. Dacă funcţia f : I → R are derivată într-un punct de extrem local x0 interior intervalului I, atunci f '(x0) = 0. Demonstraţie Fie x0 un punct de maxim local pentru ƒ, situat în interiorul intervalului I. Atunci există o vecinătate V a lui x0 astfel încât ƒ(x) ≤ƒ( x0) , œx ∈ I ∩ V. Figura 7 Figura 8 Din ipoteză, ƒ are derivată în x0, deci f '(x0) = fs' (x0) = fd' (x0). Evident avem: 0 0 0 0 ' 0 0 0 ' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0, ( ) ( ) ( ) lim 0. s x x x x d x x x x f x f x f x x x f x f x f x x x → < → > − = − ≥ − = − ≤ Prin urmare ƒ ' (x0) = 0. Cazul în care x0 este punct de minim local se tratează în mod analog. Observaţii: 1. Teorema nu este adevărată dacă x0 nu este punct interior. 2. Funcţia ƒ poate avea un extrem local într-un punct x0 în care nu are derivată. 3. Reciproca teoremei lui Fermat nu este adevărată. (Fermat) Capitolul 3. Derivabilitate 335 Contraexemple 1. Fie f : [0,1]→ R, f(x) = x. În acest caz x0 = 0 este punct de minim, dar ƒ ' (0) = 1. 2. Fie f : R → R, f(x) = |x|. Evident 0 este punct de minim, dar ƒ nu are derivată în x0 = 0. 3. Considerăm funcţia f : R → R, definită prin ƒ(x) = x3. Deşi ƒ ' (0) = 0, x0 = 0 nu este punct de extrem local (fig. 9), funcţia fiind strict crescătoare pe R. Figura 9 Fie ƒ : I → R o funcţie derivabilă. Punctele în care se anulează derivata ƒ ' se numesc puncte critice ale funcţiei ƒ. Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem din interiorul lui I sunt puncte critice. Contraexemplul 3) dovedeşte că există puncte critice care nu sunt puncte de extrem. Interpretare geometrică Dacă graficul unei funcţii ƒ are tangentă într-un punct de extrem din interiorul domeniului său de definiţie, atunci tangenta în acest punct este paralelă cu axa Ox (fig. 10). O y xM xm x Figura 10 336 Manual clasa a XI-a Teorema lui Rolle Teorema lui Fermat furnizează condiţii suficiente ca derivata unei funcţii să se anuleze într-un punct. De asemenea, teorema lui Rolle furnizează condiţii suficiente ca derivata unei funcţii să fie nulă într-un punct. Teoremă Fie I ⊂ R un interval, a, b ∈ I, a < b şi f : I → R o funcţie care verifică condiţiile: i) f este continuă pe [a, b]; ii) f este derivabilă pe (a, b); iii) f(a) = f(b). Atunci, există cel puţin un punct ξ ∈ (a, b) , astfel încât f ' (ξ) = 0. Demonstraţie Dacă funcţia ƒ este constantă pe [a, b], atunci ƒ ' (x) = 0, pentru orice x ∈ (a, b). Presupunem că ƒ nu este constantă. Atunci, conform teoremei lui Weierstrass, funcţia ƒ |[a, b] este mărginită şi îşi atinge marginile. Deci există xm, xM ∈ [a, b], astfel încât f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ), ∀x∈[a,b]. 1. Dacă ƒ(xm) =ƒ(xM), atunci funcţia este constantă. 2. Dacă ƒ(xm) < ƒ(xM) şi xm ∈ (a, b), teorema lui Fermat implică ƒ ' (xm) = 0. În caz contrar, xm = a sau xm = b. Dacă xm = a sau xm = b, avem ƒ(a) = ƒ(b) = ƒ(xm) < ƒ(xM). Atunci xM ∈ (a, b). Teorema lui Fermat implică f ' (xM) = 0. Interpretare geometrică Dacă graficul funcţiei ƒ admite derivată în fiecare punct şi dreapta ce uneşte extremităţile graficului este paralelă cu axa Ox, atunci există cel puţin un punct de pe grafic în care tangenta este paralelă cu axa Ox (fig. 11). O y a b x f (a) = f (b) Figura 11 Observaţie: Toate condiţiile i) – iii) sunt esenţiale. (Rolle) Capitolul 3. Derivabilitate 337 Contraexemple 1. Fie f : [1, 2]→ R, f(x) = x2. Atunci ƒ '(x) ≠ 0, pentru orice x ∈ [1, 2]. În acest caz, condiţia iii) nu este verificată (ƒ(1) ≠ ƒ(2)). 2. Fie f : [–1, 1]→ R, f(x) = | x |. Evident ƒ verifică condiţiile i) şi iii), dar nu este derivabilă în x0 = 0. Concluzia teoremei lui Rolle nu este adevărată. 3. Fie f : [0, 1]→ R, definită prin , 0 1 ( ) 0, 1 x x f x x  ≤ < =   = . Evident ƒ nu este continuă în x0 = 1 şi verifică condiţiile ii) şi iii). Derivata ƒ ' nu se anulează în nici un punct din interiorul intervalului (0, 1). Corolar 1. Fie f : [a, b]→ R o funcţie derivabilă. Dacă f(a) = f(b) = 0, atunci există cel puţin un punct ξ ∈ (a, b), astfel încât f '(ξ) = 0. Corolar 2. Fie f : [a, b]→ R o funcţie derivabilă. Dacă f '(a) = f '(b) = 0 şi f '(x) ≠ 0, œ x ∈ (a, b), atunci există cel mult un punct ξ ∈ (a, b), astfel încât f (ξ) = 0. Demonstraţie Presupunem că există a < ξ1 < ξ2 < b, astfel încât f (ξ1) = ƒ (ξ2) = 0. Atunci teorema lui Rolle implică existenţa unui punct η ∈ (ξ1, ξ2) ⊂ (a, b), astfel încât ƒ '(η) = 0 – contradicţie. Corolar 3. Fie ƒ : I → R o funcţie derivabilă şi x1 şi x2 două soluţii consecutive ale ecuaţiei f '(x) = 0. a) Dacă ƒ(x1) · ƒ(x2) < 0, atunci există o singură soluţie x0 ∈ (x1, x2) astfel încât f(x0) = 0. b) Dacă ƒ(x1) · ƒ(x2) ≥ 0, atunci funcţia ƒ are semn constant pentru orice x ∈ (x1, x2) şi deci ecuaţia f(x) = 0 nu admite nici o rădăcină în intervalul (x1, x2). Corolarul 3 ne este util pentru a determina intervalele în care sunt situate soluţiile reale ale unei ecuaţii şi implicit determinarea numărului de soluţii reale ale unei ecuaţii algebrice sau transcendente. 338 Manual clasa a XI-a Facem observaţia că studierea soluţiilor funcţiei ƒ se poate face pe orice interval în care funcţia ƒ este derivabilă. Metoda care se aplică conţine următoarele etape: 1. Se verifică că funcţia ƒ : [a, b] → R este derivabilă pe (a, b). 2. Se rezolvă ecuaţia ƒ '(x) = 0 şi se aranjează soluţiile în ordine crescătoare. Fie x1, < x2 < … < xn, soluţiile ecuaţiei ƒ '(x) = 0. 3. Se determină semnul lui ƒ(xk), k ∈ {1, 2, …, n}şi lim f (a) şi lim f (x) x b x b x a x a < → > → . Toate aceste rezultate se organizează într-un tablou care se prezintă astfel: x a x1 x2 … xn b f(x) lim f (x) x a x a > → f(x1) f(x2) … f(xn) lim f (x) x b x b > → semn ± ± ± … ± ± Acest tablou se numeşte şirul lui Rolle, ataşat ecuaţiei ƒ(x) = 0. Numărul schimbărilor de semn din şirul lui Rolle este egal cu numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei ƒ(x) = 0. Observaţie: Şirul lui Rolle se aplică cu succes atunci când ecuaţia ƒ '(x) = 0 este uşor de rezolvat; de aceea metoda şirului lui Rolle are un caracter restrictiv. Exerciţii rezolvate 1. Să se determine numărul soluţiilor reale şi intervalele în care sunt situate, pentru următoarele ecuaţii: a) x3 – 3x + 1 = 0; b) x4 – 2x2 – 1 = 0; c) x2 + x – ln x = 0; d) 3 sin x + 2 cos3 x = 0, x ∈ [0, 2π]. Soluţii a) Intervalul I = (–∞, +∞); ƒ '(x) = 0 ⇒ x ∈{–1, 1}, lim f (x) x→−∞ = – ∞ şi lim f (x) x→+∞ = +∞. Capitolul 3. Derivabilitate 339 Şirul lui Rolle se prezintă astfel: x –∞ –1 1 +∞ f(x) xlim f (x) →−∞ f(–1) ƒ(1) lim f (x) x→+∞ semn – + – +∞ Concluzie Şirul lui Rolle are trei schimbări de semn, deci trei rădăcini reale, iar rădăci- nile x1, x2, x3 sunt situate în intervalele: x1 ∈ (–∞, –1), x2 ∈ (–1, 1), x3 ∈ (1, +∞). b) Intervalul I = (–∞, +∞); ƒ '(x) = 0 ⇒ x ∈{–1, 0, 1}, lim f (x) x→−∞ = +∞ şi lim f (x) x→+∞ = +∞. Şirul lui Rolle se prezintă astfel: x –∞ –1 0 1 +∞ f(x) xlim f (x) →−∞ f(–1) f(0) ƒ(1) lim f (x) x→+∞ semn + – – – +∞ Concluzie Avem două schimbări de semn, două rădăcini reale x1 ∈ (–∞, −1) şi x2 ∈ (1, +∞). c) Intervalul I = (0, +∞); ƒ '(x) = 0 ⇒ 2 1 x1 = ∈(0, +∞). lim ( ) 0 0 f x x x > → = +∞; lim f (x) x→+∞ = +∞. Şirul lui Rolle se prezintă astfel: x 0 2 1 +∞ f(x) lim ( ) 0 0 f x x x > → ƒ( 2 1 ) xlim f (x) →+∞ semn + + + Concluzie Nu avem schimbări de semn, deci nu există rădăcini reale d) I = [0, 2π]; ƒ '(x) = 0 ⇒ 3 cos x + 3 · 2 cos2x(–sinx) = 0 ⇒ ⇒ x ∈ { 4 π , 2 π , 2 3π } ƒ(0) = 2 > 0 şi ƒ(2π) = 2 > 0. 340 Manual clasa a XI-a Şirul lui Rolle se prezintă astfel: x 0 4 π 2 π 2 3π 2π f(x) f(0) f( 4 π ) f( 2 π ) f( 2 3π ) f(2π) semn + + + + + Nu admite rădăcini în intervalul [0, 2π]. 2. Să se discute după valorile parametrului real m numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei: x3 – 27x + m = 0. Soluţie Rezultatele aplicării şirului lui Rolle se găsesc în următorul tabel: x –∞ –3 3 +∞ f(x) m –∞ m + 54 m – 54 +∞ Concluzii privind rădăcinile ecuaţiei ƒ(x) = 0 m < –54 – – – + O singură rădăcină reală x1 ∈ (3, +∞) m = – 54 – 0 – + Trei rădăcini reale x1 = x2 = – 3, x3 ∈ (3, +∞) −54 < m < 54 – + + + O singură rădăcină reală x1 ∈ (–∞, –3) m = 54 – + 0 + Trei rădăcini reale x1 ∈ (− ∞, − 3), x2 = x3 = 3 m > 54 – + + + O singură rădăcină reală x1 ∈ (–∞, –3) Exerciţii propuse 1. Să se determine numărul de rădăcini reale şi intervalele unde sunt situate pentru următoarele ecuaţii: a) x3 + 3x – 15 = 0; x ∈ R; b) x4 + 4x + 10 = 0; x ∈ R; c) x3 + 1– 3 ln x = 0; x ∈ (0, +∞); Capitolul 3. Derivabilitate 341 d) 3 cos x + 2 sin3 x = 0; pentru I = [0, 2π]; I = [–2π, 0]; I = [–π, π]. 2. Să se discute după valorile parametrului m ∈ R numărul rădăcinilor reale pentru ecuaţiile următoare: a) x4 – 4x + m = 0; b) x3 + m – 3 ln x = 0; c) sin x + cos x + m = 0. Teorema lui Lagrange Cu ajutorul teoremei lui Rolle vom demonstra teorema lui Lagrange (sau teorema creşterilor finite). Teoremă Fie a, b ∈ R, a < b şi f : I → R o funcţie continuă pe [a, b] şi deriva- bilă pe (a, b). Atunci există cel puţin un punct ξ ∈ (a, b), astfel încât f(b) – f(a) = (b – a) f '(ξ). Demonstraţie Considerăm funcţia h : [a, b] → R, definită prin ( ) ( ) h(x) = f (x) − f bb −− af a x, ∀x∈[a,b]. Evident funcţia h verifică ipotezele teoremei lui Rolle. Atunci există cel puţin un punct ξ ∈ (a, b), astfel încât h' (ξ) = 0, sau echivalent, f (b) − f (a) = (b − a) f '(ξ). Interpretare geometrică Dacă graficul unei funcţii admite tangentă în fiecare punct, atunci există cel puţin un punct de pe grafic (diferit de extremităţi), în care tangenta este paralelă cu coarda care uneşte extremităţile (fig. 12). O y a b x Figura 12 (Lagrange) 342 Manual clasa a XI-a Observaţii: 1) Teorema lui Rolle poate fi considerată un caz particular al teoremei lui Lagrange. 2) Punctul ξ depinde atât de funcţia ƒ cât şi de punctele a şi b din domeniul de definiţie. Consecinţe ale teoremei lui Lagrange Corolar 1. Dacă funcţia f : I → R, are derivata nulă pe intervalul I, atunci este constantă pe acest interval şi reciproc. Demonstraţie Presupunem că ƒ ' (x) = 0, pentru orice x ∈ I. Fie a şi b două puncte distincte din I. Aplicând teorema lui Lagrange, există cel puţin un punct ξ situat între a şi b astfel încât: f (b) − f (a) = (b − a) f '(ξ) = 0, deci ƒ(a) = ƒ(b). Cum punctele a şi b au fost alese arbitrar, rezultă că ƒ este constantă. Reciproc este evident. Observaţie: Dacă domeniul de definiţie al funcţiei ƒ nu este un interval, atunci rezultatul de mai sus nu mai este adevărat. Contraexemplu Fie f : R* → R, definită prin ƒ(x) = | xx | , ∀x∈R*. Evident ƒ ' (x) = 0, œx ∈ R*, dar ƒ nu este constantă pe întreg domeniul de definiţie. Corolar 2. Dacă funcţiile f, g : I → R au derivate egale pe intervalul I, atunci diferenţa lor este constantă pe acest interval (altfel spus, funcţiile diferă printr-o constantă). Capitolul 3. Derivabilitate 343 Demonstraţie Aplicăm corolarul 1 funcţiei f – g. Observaţie: Dacă domeniul de definiţie al funcţiilor f, g nu este un interval, atunci rezultatul de mai sus nu mai este adevărat. Contraexemplu Fie ƒ, g : (0, π) –    π 2 →R definite prin ƒ (x) = tg x, tg 1, 0, 2 ( ) tg 1, 2 , x x g x x x  + ∈ π       =    π   − ∈ π   . Evident 2 1 '( ) '( ) , (0, ) { }, cos f x g x x x = = ∀ ∈ π −    π 2 dar f – g nu este constantă pe tot domeniul de definiţie. Cu ajutorul semnului derivatei, putem stabili monotonia unei funcţii derivabile pe un interval. Propoziţia 1. Fie f : I→ R, o funcţie derivabilă pe intervalul I. i) Dacă f ' este strict pozitivă pe I, atunci f este strict crescătoare pe I. ii) Dacă f ' este strict negativă pe I, atunci f este strict decrescătoare pe I. Demonstraţie Fie x1 < x2 două puncte din intervalul I. Aplicând teorema lui Lagrange funcţiei ƒ pe intervalul [x1, x2], rezultă că există cel puţin un punct ξ ∈ (x1, x2) astfel încât ƒ(x2) – ƒ(x1) = (x2 – x1)ƒ '(ξ). Dacă ƒ ' este strict pozitivă, rezultă că ƒ(x2) > ƒ(x1), adică ƒ este strict crescă- toare pe I. Dacă ƒ ' este strict negativă, rezultă că ƒ(x2) < ƒ(x1), adică ƒ este strict descrescă- toare pe I. 344 Manual clasa a XI-a Corolar 3. Fie f : I → R o funcţie derivabilă pe intervalul I. Atunci: i) Funcţia ƒ ' este pozitivă pe I dacă şi numai dacă f este crescătoare pe I. ii) Funcţia ƒ ' este negativă pe I dacă şi numai dacă f este descrescătoare pe I. Demonstraţie Implicaţia „⇒” rezultă din demonstraţia propoziţiei 1. Implicaţia „⇐” rezultă din definiţia derivatei. Propoziţia 2. Fie f : I → R o funcţie continuă pe un interval I şi x0 ∈ I. Dacă f este derivabilă pe I \ {x0} şi derivata sa f ' are limită în punctul x0, atunci există f ' (x0) şi 0 '( 0 ) lim '( ). x x f x f x → = Demonstraţie Notăm 0 lim '( ) . x x f x l → = Fie (xn)n ≥ 1 un şir de numere din I, xn ≠ x0 şi lim xn x0. n = →∞ Pentru orice n ∈ n*, aplicăm teorema lui Lagrange funcţiei ƒ pe intervalul [x0, xn], dacă x0 < xn, (respectiv [xn, x0], dacă xn < x0). Atunci există un punct ξn astfel încât f (xn ) − f (x0 ) = (xn − x0 ) f '(ξn ). Din alegerea punctelor ξn avem lim n x0 n ξ = →∞ şi ξn ≠ x0 Conform ipotezei, rezultă →∞ →∞ = − − n n n n x x f x f x lim ( ) ( ) lim 0 0 ƒ ' (ξ n) = l. Cum şirul (xn)n ≥ 1 a fost ales arbitrar, rezultă că există ƒ '(x0) = l. Capitolul 3. Derivabilitate 345 Exemplu Fie funcţia ƒ : R → R,     + > ≤ = ln , 1 , 1 ( ) 2 x x x x x f x . Pentru orice x ≠ 1, avem     + > < = 1 1, 1 2 , 1 '( ) x x x x f x . lim '( ) lim '( ) 2 1 1 1 1 = = > → < → f x f x x x x x , deci ƒ este derivabilă în x0 = 1 şi ƒ '(1) = 2. Observaţie: Propoziţia 2 exprimă o condiţie suficientă ca funcţia ƒ să fie deri- vabilă în xo. Dar această condiţie nu este şi necesară. De exemplu funcţia ƒ : R → R, ƒ(x)     = ≠ = 0, 0 2 sin 1 , 0 x x x x , este derivabilă în punctul x0 = 0, dar lim '( ) 0 f x x→ nu există (acest fapt se verifică cu uşurinţă). Teorema lui Cauchy O generalizare a teoremei lui Lagrange este următoarea: Teoremă Fie a, b, ∈ R, a < b şi f, g : [a, b] → R două funcţii continue pe [a, b] şi derivabile pe (a, b), cu g' (x) ≠ 0, pentru orice x ∈ (a, b). Atunci g(a) ≠ g(b) şi există cel puţin un punct ξ ∈ (a, b) astfel încât: ( ) ( ) '( ) gf(bb) −− gf(aa) = gf '(ξξ) . Demonstraţie Observăm că g(a) ≠ g(b). În caz contrar, teorema lui Rolle implică faptul că derivata g' se anulează într-un punct din intervalul (a, b) – contradicţie. Considerăm funcţia h : [a, b] → R, definită prin ( ) ( ) h(x) = f (x) − gf(bb) −− gf(aa) gx(,x∀), x ∈œx[a∈,b[]a., b]. (Cauchy) 346 Manual clasa a XI-a Evident funcţia h verifică ipotezele teoriei lui Rolle. Atunci există cel puţin un punct ξ ∈ (a, b) astfel încât h ' (ξ) = 0, sau echivalent, ( ) ( ) '( ) gf(bb) −− gf(aa) = gf '(ξξ) . Teorema lui Darboux În capitolul precedent am demonstrat că funcţiile continue au proprietatea lui Darboux. De asemenea am observat că există şi funcţii discontinue care au proprietatea lui Darboux. În continuare vom arăta că şi funcţiile derivate au proprietatea lui Darboux, adică transformă orice interval tot într-un interval. Teoremă Fie I ⊂ R un interval şi ƒ: I → R o funcţie derivabilă. Atunci funcţia derivată f ' are proprietatea lui Darboux. Demonstraţie Fie a, b∈ I cu a < b şi f(a) ≠ ƒ(b); fie ξ un punct situat între f '(a) şi f '(b). Presupunem că f'(a) < ξ < f '(b). Ne propunem să arătăm că există c ∈ (a, b) astfel încât f '(c) = ξ. Pentru aceasta consideram funcţia h : I → R, definită prin h(x) = f(x) – ξx, œx ∈ I. Evident h este derivabilă şi h'(x) = f '(x) – ξ, pentru orice x ∈ I. Funcţia h este derivabilă, deci, în particular, continuă. Prin urmare ea este mărginită şi îşi atinge marginile pe intervalul compact [a, b]. Inegalităţile f'(a) < ξ < f'(b) implică h'(a) < 0 < h'(b). Deoarece h'(a) < 0, rezultă că există o vecinătate V a lui a astfel încât ( ) ( ) < 0, − − x a h x h a œx ∈ V ∩ I. Dacă x ∈ V ∩ [a, b], avem x > a; deci h(x) < h(a), pentru orice x ∈ V ∩ [a, b]. Prin urmare h îşi atinge marginea inferioară pe [a, b] într-un punct c diferit de a. (Darboux) Capitolul 3. Derivabilitate 347 Analog, h'(b) > 0 implică existenţa unei vecinătăţi W a lui b astfel încât: ( ) ( ) > 0, − − x b h x h b œx ∈ W ∩ I. Dacă x ∈ W ∩ [a, b], avem x < b; deci h(x) < h(b), pentru orice x ∈ W ∩ [a, b]. Prin urmare punctul c de minim absolut pe [a, b] este diferit de b. În concluzie c ∈ (a, b). Aplicând teorema lui Fermat restricţiei funcţiei h la intervalul [a, b], rezultă că h'(c) = 0, sau echivalent, f'(c) = ξ, ceea ce trebuia demonstrat. Exerciţii rezolvate I. Să se determine punctele critice pentru funcţiile următoare, unde D ⊂ R este domeniul maxim de definiţie: 1. f : D → R, f(x) = x3 – 3x2; 2. f : D → R, f(x) = x ex; 3. f : D → R, f(x) =ln (x2 – x + 1); 4. f : D → R, f(x) = e2x + e−2x ; 5. f : D → R, f(x) = sin x + cos x; 6. f : D → R, f(x) = arcsin x – arccos x; 7. f : D → R, f(x) = arctg 1. x Soluţii: 1. ƒ '(x) = 3x2 – 6x, ƒ '(x) = 0 ⇒ 3x(x – 2) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2; x1, x2 ∈ D = R; 2. ƒ '(x) = ex(x + 1), ƒ '(x) = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 ∈ D = R; 3. ƒ '(x) = 2 2 1 , '( ) 0 2 1 1 1 2 x f x x D x x − = ⇒ − = = − + ∈ D = R; 4. ƒ '(x) = 2 e2x – 2 e –2x = 2(e2x – e –2x) = 0 ⇒ x0 = 0 ∈ D = R; 348 Manual clasa a XI-a 5. ƒ '(x) = cos x – sin x, ƒ '(x) = 0 ⇒ sin x = cos x ⇒ tg x = 1 ⇒ x ∈{ π4 + kπ | k ∈ Z}; 6. ƒ '(x) = 2 2 2 1 1 2 1 x 1 x 1 x + = − − − ; ƒ nu admite puncte critice; 7. ƒ '(x) = ' 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x   = ⋅ −   = −     + + −     ; ƒ nu admite puncte critice. II. Să se determine punctele de extrem local pentru următoarele funcţii şi să se precizeze natura punctelor de extrem pentru fiecare dintre următoarele funcţii: 1. f : R → R, f(x) = x2 – 3x +2; 2. f : R → R, f(x) = x4 – 4x3; 3. f : R \ {0}→ R, f(x) = x 1 x + ; 4. f : R → R, f(x) = x2 ex; 5. f : R → R, f(x) = x x e ; 6. f : (0,+∞)→ R, f(x) = lnxx ; 7. f : R → R, f(x) = |x2 – 1|; 8. f : R → R, f(x) = e−x2 +x . Soluţii: Pentru uşurinţă, vom realiza un tabel cu semnele derivatei de ordinul întâi pentru fiecare funcţie. 1. ƒ '(x) = 2x – 3; ƒ'(x) = 0 ⇒ x = 2 3 ; x – ∞ 2 3 + ∞ ƒ '(x) – 0 + ƒ(x) + ∞       2 3 f + ∞ Deci x0 = 2 3 este abscisa punctului de minim. + Capitolul 3. Derivabilitate 349 2. ƒ '(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2(x – 3); ƒ'(x) = 0 ⇒ x ∈ {0, 3}; x – ∞ 0 3 + ∞ ƒ '(x) – – – 0 – 0 + + + ƒ(x) + ∞ 0 ƒ(3) + ∞ Deci x0 = 3 este abscisa punctului de minim. 3. D ' = R \{0}: ƒ '(x) = 2 2 ( 1) 1 x x x x − + = − ; funcţia ƒ ' nu se anulează şi păstrează tot timpul semnul minus. 4. ƒ '(x) = 2xex + x2ex = xex(x + 2); ƒ '(x) = 0 ⇒ x ∈{–2, 0}; x – ∞ –2 0 + ∞ ƒ '(x) + 0 – 0 + ƒ(x) 0 ƒ(–2) ƒ(0) + ∞ Deci x0 = –2 este abscisa punctului de maxim şi x0 = 0 este abscisa punctului de minim. 5. ƒ '(x) = 2 1 x x ; '( ) 0 1 x x x x e xe x f x x e e e   − −   = = = ⇒ =   x = 1; x –∞ 1 +∞ ƒ '(x) + + + 0 – – – ƒ(x) –∞ ƒ (1) = 1 e 0 Deci x0 = 1 este abscisa punctului de maxim. 6. ƒ '(x) = 2 2 1 x ln x 1 ln x x x x − − = ; ƒ'(x) = 0 ⇒ ln x = 1 ⇒ x = e. x 0 e +∞ ƒ '(x) + + + 0 – – – ƒ(x) –∞ f(e) = e 1 0 Deci x0 = e este abscisa punctului de maxim. ' 350 Manual clasa a XI-a 7. 2 2 1, ( , 1] [1, ) ( ) 1 , ( 1,1) x x f x x x  − ∈ −∞ − ∪ +∞ =   − ∈ − ; Funcţia nu este derivabilă în punctele x1 = –1 şi x2 = 1. Graficul funcţiei este prezentat în figura de mai jos. Figura 13 Se observă pe grafic că funcţia admite un punct de extrem local x0 = 0, care este punct de maxim. ƒ '(x) =     − ∈ − ∈ −∞ − ∪ + ∞ 2 , ( 1,1) 2 , ( , 1) (1, ) x x x x ; ƒ'(x) = 0 ⇒ x = 0. Tabelul pentru semnul derivatei este următorul: x – ∞ –1 0 1 + ∞ ƒ '(x) – – – | + + 0 – – – | + + + ƒ(x) + ∞ 0 1 0 + ∞ Deci x0 = 0 este abscisa punctului de maxim local, iar x1 = − 1, x2 = 1 sunt abscisele punctelor de minim local. 8. f '(x) = e−x2 +x (−2x +1) ; f '(x) = 0 ⇒ − 2x +1 = 0 ⇒ xx == . 2 1 ; 1 O y x ′ –1 1 x y ′ Capitolul 3. Derivabilitate 351 x –∞ 2 1 + ∞ ƒ '(x) – – 0 + + ƒ(x) + ∞       2 1 f + ∞ Deci x0 = 1 2 este abscisa punctului de minim. Exerciţii propuse 1. Să se determine punctele critice pentru următoarele funcţii: a) f : R → R, f(x) = ex – 1; b) f : R \ {0} → R, f(x) = 1 x ; c) f : R \ {0}→ R, f(x) = ex x ; d) f : R \ {–1, 1} → R, f(x) = 3 2 1 x x x + − ; e) f : (–∞, – 1] ∪ [1, ∞) → R, f(x) = 1 2 1 2 x − ; f) f : R → R, f(x) = e−x2 ; g) f : (–1, 1)→ R, f(x) = ln (1 – x2); h) f : R \ {0} → R, f(x) = 2 1 e x − . 2. Să se determine punctele de extrem pentru următoarele funcţii: a) f : R → R, f(x) = 2 1 2 3 3 3 2 x − x + x + ; 352 Manual clasa a XI-a b) f : R → R, f(x) = 1 2 1 + x ; c) f : R → R, f(x) = ex – x + 1; d) f : R → R, f(x) = 3 x3 +1 ; e) f : R → R, f(x) = 1 x2 x + ; f) f : (–∞,1] ∪ [2, +∞), f(x) = x2 −3x + 2 ; g) f : R → R, f(x) = 1 1 + − x x e e ; h) f : (0,+∞) \ { 1e }→ R, f(x) = x x 1 ln ln + ; k) f : (–1,1]→ R, f(x) = x x + − 1 1 ; l) f : (0, +∞) \ {1}→ R, f(x) = x x ln ; m) i) f : [0, 2π] → R, f(x) = esin x · cos x; ii) f : [0, 2π] → R, f(x) = ecos x · sin x; n) f : [0, 2π]→ R, f(x) = sin x + cos x; p) f : (0, +∞) → R, f(x) = ln x – 2 arctg x; q) f : R → R, f(x) = 1 2 2 arcsin x x + ; r) f : R → R, f(x) = 2 2 1 1 arccos x x + − ; s) f : (0,+∞) \ {1}→ R, f(x) = 1 arcsin x − x . 3. a) Să se precizeze coordonatele punctelor de extrem pentru funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = |x2 – 3x – 10| şi să se studieze valabilitatea teoremei lui Fermat pe următoarele intervale: i) I1 = [–5, 0]; ii) I2 = [ ,10 2 3 ]. Capitolul 3. Derivabilitate 353 b) Să se determine a ∈ (0, +∞), astfel încât ax + 1 ≥ 5x + 7x, œx ∈ R. c) Fie a1, a2, … an ∈ (0, +∞), astfel încât a1x + a2x + K+anx ≥ n, (∀)x∈R. Să se arate că a1 · a2 · … · an = 1. d) Se consideră numerele a1, a2, … an ∈ (0, +∞) şi b1, b2, … bn ∈ R astfel ca b1 ⋅a1x +b2 ⋅a2x +K+bn ⋅anx ≥ b1 +b2 +K+bn , œ x ∈ R. Să se arate că a1b1 ⋅a2b2 ⋅K⋅anbn =1. 4. a) Să se determine o funcţie polinomială de grad cât mai mic posibil, ştiind că funcţia admite un maxim local egal cu –1 pentru x = 1 şi un minim local egal cu – 2 pentru x = 2. b) Se consideră funcţia f : R → R, f(x) = ax (x – a)(x – b), a, b ∈ R. Să se determine a şi b, astfel ca funcţia f să admită un punct de minim pentru 3 x = 4 şi un maxim egal cu 6 pentru x = 6. c) Se consideră funcţia f : D → R, ∈R + + + + = a b c d x cx d x ax b f x , unde , , , 2 2 ( ) 2 2 . Să se determine a, b, c, d astfel ca funcţia să admită pentru x = 1 un maxim egal cu 2, iar pentru x = 1 un minim egal cu 4. d) Fie funcţia f : R → R, f(x) = x b x a + + 2 (a > 0, b > 0). Notând cu m şi M minimul şi respectiv maximul funcţiei, să se determine relaţia dintre a şi b astfel încât să avem 2m + M = 0. e) Se consideră funcţia f : D → R, f(x) = , x2 kx k2 x a + + + unde a şi k > 0. Să se determine valorile parametrului k în funcţie de a, astfel ca între ordonatele y1 şi y2 ale punctelor de extrem ale funcţiei să existe relaţia 1 1 0. 1 2 + = y y 354 Manual clasa a XI-a f) Se dă funcţia f : D → R (D ⊂ R), . 3 ( ) x2 x k2 ax f x + + = Să se determine valorile parametrilor reali a şi k astfel încât punctele de extrem ale funcţiei să aibă ordonatele –1, respectiv –2. Exerciţii rezolvate I. Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru următoarele funcţii: 1. f : [–3, 3] → R, f(x) = |x2 – 9|; 2. f : [–1, 2 π ] → R, f(x) =        − ∈ π + ∈ − 1 2sin , 0, 2 2 1, [ 1, 0) x x x x ; 3. f : [0, 1]→ R, f(x) =     = π ∈ 0, 0 sin , (0,1] x x x x ; 4. f : [–1, 1]→ R, f(x) = |x|; 5. f : [–1, 1]→ R, f(x) = | x| ; 6. f : [–1, 1]→ R, f(x) =     + ∈ + ∈ − 1, (0,1] 2 1, [ 1, 0] x x x x ; 7. Să se determine parametrii a, b, c ∈ R astfel încât funcţiei: ƒ : [0, 2] → R, ƒ(x) =     + ∈ + + ∈ 1, (1, 2] 2 3 , [0,1] bx x cx x a x , să i se poată aplica teorema lui Rolle. Soluţii: 1. ƒ(–3) = ƒ(3) = 0; funcţia este continuă pe [–3, 3], nu este derivabilă în punctele x1 = –3 şi x2 = 3 şi este derivabilă pe (–3, 3), deci verifică condiţiile din teorema lui Rolle. ƒ(x) = 9 – x2 ⇒ ƒ '(x) = – 2x ⇒ f '(x) = 0 ⇒ c = 0, c ∈ (–3, 3). Capitolul 3. Derivabilitate 355 2. ƒ(–1) = ƒ ( 2 π ) = –1; funcţia este continuă în x0 = 0, deci funcţia este continuă pe [–1, 2 π ]. Studiem derivabilitatea în x0 = 0, cu ajutorul derivatelor laterale. (0) lim 2 1 1 2; (0) lim1 2sin 1 2 0 0 0 0 ' = + − = ' = − − = − > → < → x x f x x f x d x x s x , deci funcţia nu este derivabilă în punctul x0 = 0 şi deci nu este derivabilă pe (–1, 2 π ). Astfel, funcţia nu verifică condiţiile din teorema lui Rolle. 3. ƒ(0) = ƒ(1) = 0; funcţia este continuă în punctul x0 = 0. Deoarece π = = > → lim sin 0 (0) 0 0 f x x x x , rezultă că funcţia este continuă pe [0, 1]. Funcţia este deri- vabilă pe intervalul (0, 1). Funcţia ƒ verifică condiţiile din teorema lui Rolle. ƒ ' (x) = (x sin x π )' = sin x π + x cos x π (– x2 π ) = = sin x π – x π cos x π , œx ∈(0, 1), deci există c ∈ (0, 1) astfel încât să avem: sin c π – c π cos c π = 0 ⇒ tg c π = c π . Se observă că c π este o soluţie a ecuaţiei: tg x = x. 4. ƒ(–1) = ƒ(1) = 1; funcţia este continuă în x0 = 0, dar nu este derivabilă în acest punct, deci nu i se poate aplica teorema lui Rolle. 5. ƒ(x) =     ∈ − ∈ − , [0,1] , [ 1, 0) x x x x ; Funcţia verifică condiţia ƒ(–1) = ƒ(1) = 1, este continuă pe intervalul [–1, 1], nu este derivabilă în punctul x0 = 0 şi deci nu este derivabilă pe (–1, 1). Nu se poate aplica teorema lui Rolle. 6. ƒ(–1) = ƒ(1) = 2; (0) 0; (0) lim 1 1 1 0 0 ' ' = + − = = > → x x f f x s d x , deci funcţia nu este derivabilă în x0 = 0 şi nu i se poate aplica teorema lui Rolle. 356 Manual clasa a XI-a 7. ƒ(0) = ƒ(2) ⇒ a = 2b + 1: Punând condiţia de continuitate în punctul x0 = 1, deducem c + 3 + a = b + 1. Punând condiţia de derivabilitate în punctul x0 = 1, deducem 2c + 3 = b. Din condiţiile     + = + − = − = + c b c a b a b 2 3 2 2 1 , se determină a = –1, b = –1, c = –2. Înlocuind, obţinem funcţia ƒ : [0, 2] → R: ƒ(x) =     − + ∈ − + − ∈ 1, (1, 2] 2 2 3 1, [0,1] x x x x x . Avem: ƒ '(x) =     − ∈ − + ∈ 1, (1, 2) 4 3, (0,1] x x x ; ƒ '(x) = 0 ⇒ x = 4 3 ⇒ c = 4 3 ∈(0, 1]. II. Să se analizeze pentru care din funcţiile de la (I) se poate aplica teorema lui Lagrange şi în caz afirmativ să se determine punctul intermediar c. Soluţii: 1. Funcţia ƒ : [–3, 3], ƒ(x) = 9 – x2 verifică condiţiile din teorema lui Lagrange: ƒ(3) – ƒ(–3) = (3 – (– 3)) · ƒ '(c) ⇒ 0 = – 2c ⇒ c = 0. 2. Funcţia nu este derivabilă pe (–1, 2 π ), deci nu se poate aplica teorema lui Lagrange. 3. Se poate aplica teorema lui Lagrange. ƒ(1) –ƒ(0) = (1 – 0) ƒ '(c) ⇒ƒ '(c) = 0 ⇒ c este rădăcină a ecuaţiei tg x = x. 4. Nu verifică condiţiile din teorema lui Lagrange (funcţia nu este derivabilă în punctual x0 = 0). 5. Nu verifică condiţiile din teorema lui Lagrange (funcţia nu este derivabilă în punctul x0 = 0). 6. Nu verifică condiţiile din teorema lui Lagrange (funcţia nu este derivabilă în punctual x0 = 0). 7. Verifică condiţiile din teorema lui Lagrange: ƒ(2) – ƒ(0) = ƒ '(c)(2 – 0) ⇒ –1 – (–1) = ƒ '(c)(2 – 0) ⇒ ƒ '(c) = 0 ⇒ c = 1. Capitolul 3. Derivabilitate 357 III. 1. Să se studieze derivabilitatea funcţiei: f : (0, +∞)→ R, f(x) =     − ∈ + ∞ ∈ 3 2, [ , ) (ln )3, (0, ) x x e e x x e . 2. Să se demonstreze că arccos = + − 2 2 1 1 x x 2 arctg x, (œ) x ∈ [0, + ∞). 3. Se consideră funcţiile ƒ, g : R → R, ƒ(x) = arcsin 2 2(1 ) 1 x2 x + − , g(x) = arctg x. Să se arate că: i) ƒ(x) – g(x) = – 4 3π , œx ∈ (–∞, –1]; ii) ƒ(x) + g(x) = – 4 π , œx ∈ [–1, +∞). 4. Să se arate că: a) cos2 x + sin2 x = 1, œx ∈ R; b) arctg x + arctg x 1 =      − π < π > , 0 2 , 0 2 x x ; c) arcsin (3x – 4 x3) = 3 arcsin x, œx ∈ − , 12 2 1 ; d) arcsin 1− x2 + arccos x = π, œx ∈ [–1, 0]. 5. Să se arate că: ex > ex, œ x > 1. 6. Fie 0 < a < b < 2 π . Să se demonstreze inegalitatea: b b a a b a b a 2 sin2 ctg ctg sin − − < − < . 7. Să se demonstreze inegalităţile: a) 1 1 n + < ln(n + 1) – ln n < n 1 , œn ∈ n*; b) ln ln(n + 1) – ln ln n < nlnn 1 , œ n ∈ n, n ≥ 3. 358 Manual clasa a XI-a 8. Să se arate că există inegalitatea: 3 2 + 3 5 < 3 3 + 3 4 . 9. Pentru 1 ≤ a < b şi n ∈ n*, să se arate că: 1 1 1 + − − < + + n b a n bn an n n . 10. Folosind corolarul teoremei lui Langrage, să se calculeze derivatele laterale ale următoarelor funcţii, în punctele specificate: a) f : R → R, f(x) =     = > + ≤ − , 0 3 , 0 1, 0 0 2 x x x x x ; b) f : R → R, f(x) =     = + > ≤ , 0 ln , 1 , 1 0 2 x x x x x x ; c) f : R → R, f(x) = | x| , x0 = 0; d) f : R → R, f(x) =     = > = − < , 0 1, 0 0, 0 1, 0 x0 x x x ; e) f : R → R, f(x) =     = = ≠ , 0 0, 0 cos 1 , 0 0 2 x x x x x . 11. Să se determine a, b ∈ R astfel încât funcţia ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) =     + ∈ +∞ ∈ , ( , ) ln3 , (0, ] ax b x e x x e să fie derivabilă pe tot domeniul de definiţie. Soluţii: 1. lim f (x) 1; lim f (x) 1 f (e) x e x e x e x e = = = > → < → , rezultă că funcţia ƒ este continuă în punctul x0 = e. Funcţia ƒ este derivabilă pe fiecare din intervalele deschise (0, e) şi (e, +∞) şi avem: Capitolul 3. Derivabilitate 359 ƒ '(x) =      ∈ ∈ 3, ( ,0) 3ln2 , (0, ) x e e x e x x ; f x e f x e x e x e x e x e 3 lim '( ) = 3; lim '( ) = > → < → . Conform corolarului teoremei lui Lagrange funcţia este derivabilă în x0 = e, deci implicit este derivabilă pe (0, +∞) şi       ∈ +∞ ∈ = 3, [ , ) 3ln , (0, ) '( ) 2 x e e x e x x f x . 2. Fie f : [0, +∞) → R, f(x) = arccos 2 2 1 1 x x + − – 2 arctg x; după calcule obţinem: ƒ '(x) =     ∈ −∞ + − ∈ +∞ , ( ,0) 1 4 0, (0, ) 2 x x x . Se observă că pe intervalul (0, +∞) funcţia derivată este nulă, deci ƒ(x) = c (constant), œ x ∈ [0, +∞) ⇒ c = 0 0 lim > → x x ƒ(x) = ƒ(0), deci ƒ(x) = 0, œ x ∈ [0, +∞). 3. Avem ƒ '(x) = 2 2 2 1 1 , '( ) , ( 1, ) 1 1 , ( , 1) 1 1 x g x x x x x +       = ∈ − +∞ + ∈ −∞ − + − , œx ∈ R. Atunci există λ ∈ R astfel încât ƒ(x) – g(x) = λ, œx ∈ (–1, +∞) şi există µ ∈ R astfel încât ƒ(x) + g(x) = µ, œ x ∈ (–∞, –1). Trecând la limită, avem: , ( ) ( , 1]. 4 3 lim ( ( ) ( )) lim ( ( ) ( )) 2 4 4 1 1 1 1 µ = + = π ∀ ∈ −∞ − π λ = − = − π + π = − <− →− >− →− f x g x x f x g x x x x x şi 360 Manual clasa a XI-a 4. Se va proceda ca şi în cazul exerciţiului 3. 5. Fie intervalul [1, x] şi funcţia ƒ : [1, x] →R, ƒ (t) = et – et. Aplicând teorema lui Lagrange, vom avea: ƒ(x) – ƒ(1) = ƒ '(c)(x – 1) ⇒ ex – ex = (ec– e)(x – 1) ⇒ ex – ex > 0 ⇒ ex > ex, œx > 1. 6. Fie intervalul [a, b] ⊂       π 0, 2 şi funcţia ƒ : [a, b] → R, ƒ(x) = ctg x. Aplicăm teorema lui Lagrange şi obţinem: ctg a – ctg b = ( ), sin 1 2 a b c − − a < c < b ⇒ sin2 c a b b a ctg −ctg − Cum funcţia sinus este strict crescătoare pe       π 0, 2 , din relaţia a < c < b, obţinem: sin a < sin c < sin b ⇒ sin2 a < sin2 c < sin2 b. Înlocuind pe sin2 c cu expresia de mai sus obţinem: b b a a b a b a sin2 ctg ctg sin2 − < − < − . 7. a) Pe intervalul [n, n + 1], se aplică teorema lui Lagrange funcţiei ƒ(x) = ln x. b) Pe intervalul [ln n, ln(n + 1)], se aplică, teorema lui Lagrange funcţiei ƒ(x) = ln x 8. Pe intervalul [2, 3], se aplică teorema lui Lagrange funcţiei: ƒ(x) = 3 x −3 7 − x . 9. Pe intervalul [n, n + 1], se aplică teorema lui Lagrange funcţiei: ƒ(x) = x bx − ax şi obţinem: n b a n b a n b n a f c n c n bn an n n n n > n − n + − − − = > < < + ⇒ + + − + + + 1 '( ) 0 pentru 1 1 1 1 1 1 10. a) ƒ'(x)     − > < = − 3 ln3, 0 2 , 0 x x x x ,  ⇒       = = > → < → lim '( ) 0; lim '( ) 0 0 0 0 0 f x f x x x x x ƒ '(0) = 0. Capitolul 3. Derivabilitate 361 b)     + > ≤ = 1 1, 1 2 , 1 '( ) x x x x f x ,  ⇒       = = > → < → lim ( ) 2; lim ( ) 2 1 1 1 1 f x f x x x x x ƒ '(1) = 2. c) Funcţia nu este derivabilă în punctul x0 = 0. d) Funcţia nu este continuă în punctul x0 = 0. e) Pentru x ≠ 0 '( ) 2 cos 1 sin 1 , f x = x x + x deci lim '( ) 0 f x x→ nu există. Observaţii: 1. Nu putem aplica corolarul teoremei lui Lagrange. Derivata funcţiei ƒ în punctul x0 se calculează plecând de la definiţia derivatei într-un punct. Astfel lim cos 1 0 1 cos '(0) lim 0 2 0 = = = → → x x x f x x x x , deci funcţia este derivabilă în punctul zero. 2. O funcţie poate să admită derivată într-un punct fără ca funcţia să fie continuă în acel punct. De exemplu, funcţia ƒ : R → R,     = = − ≠ 0, 0 1, 0 ( ) 2 x x x e f x x este discontinuă în x0 = 0, dar ƒ'(0) = +∞ (verificarea se face imediat). 11. Din condiţia de continuitate în x0 = e obţinem: 1 = ae + b, şi din condiţia de derivabilitate (în x0 = e) obţinem a = 3; în final a = 3, b = 1 – 3e. Exerciţii propuse I. Să se verifice aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru următoarele funcţii şi în caz afirmativ, să se aplice efectiv această teoremă: 1. a) ƒ : [0, 3] → R, ƒ(x) =     − ∈ ∈ 2 , [1, 3] 2 , [0,1] x x x x ; b) ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) =     ∈ ∈ − , [0,1] , [ 1, 0] 2 4 x x x x ; c) ƒ : [– 1, 1] → R, ƒ(x) = |x3 – x|; 362 Manual clasa a XI-a d) ƒ : [0, 4 π ] → R, ƒ(x) =      π π ∈ π ∈ ] 2 , 4 ctg , [ ) tg , [0, 4 x x x x ; e) ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) =     + ∈ + ∈ − 1, (0,1] 2 1, [ 1, 0] x x x x ; f) ƒ : [0, 2 π ] → R, ƒ(x) =      π π ∈ π ∈ ] 2 , 4 sin , ( ] cos , [0, 4 x x x x . 2. a) Fie funcţia ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) =     + + ∈ + + ∈ − 4 4, [0,1] , [ 1, 0] 2 2 px x x x mx n x . Să se determine parametrii reali m, n, p astfel încât funcţiei ƒ să i se poată aplica teorema lui Rolle. b) Să se determine a, b, c ∈ R, astfel încât funcţiei ƒ : [–2, e – 2] → R, ƒ(x) =     + ∈ − − − + + ∈ − − ln( 2), [ 1, 2] ( 1) 2 , [ 2, 1) x x e a x bx c x să i se poată aplica teorema lui Rolle. c) Există valori ale parametrilor m, n ∈ R, astfel încât funcţiei ƒ : [0, 2] → R, ƒ(x) =     − + ∈ − + ∈ − 4 , [ 1, 2] ln(1 ), [0, 1) x2 x n x e m x x e să i se poată aplica teorema lui Rolle? II. 1. Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru următoarele funcţii: a) ƒ : [0, 2] → R, ƒ(x) =     − ∈ ∈ 2 1, (1, 2] 2 , [0,1] x x x x ; b) ƒ : [1, 3] → R, ƒ(x) =     ∈ ∈ , [ , 3] ln , [1, ] x e e x x x e ; Capitolul 3. Derivabilitate 363 c) ƒ : [–3, –1] → R, ƒ(x) =     + + ∈ − − + + ∈ − − 3 1, [ 2, 1] 4 9, [ 3, 2) 3 2 2 x x x x x x ; d) ƒ : [–4, 3] → R, ƒ(x) =      + ∈ + ∈ − 1, (0, 3] 1, [ 4, 0] 2 x x x x . 2. Să se determine valorile parametrilor p şi q ∈ R, astfel încât să se poată aplica teorema lui Lagrange următoarelor funcţii: a) ƒ : [–1, 3] → R, ƒ(x) =     + + + ∈ − + ∈ − − ( 1) , [ 2, 3] ln3( 2), [ 1, 2) p x p q x e x x e ; b) ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) =     < ≤ + − ≤ ≤ ( ) , 0 1 , 1 0 2 2 qx x x p x x ; c) ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) =     + + ∈ ∈ − sin2 ( 1)cos3 , (0,1] 2 , [ 1, 0] x q x x pe x x . III. 1. Să se calculeze valoarea punctului intermediar din teorema lui Lagrange pentru următoarele funcţii: a) ƒ : [1,2] → R, ƒ(x) = x3 – x; b) ƒ : [1, 2] → R, ƒ(x) = x + x 1 ; c) ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) = arcos x; d) ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) = arctg x; 2. Aplicând teorema lui Lagrange, să se demonstreze următoarele inegalităţi: a) nan–1 < b a bn an − − < nbn–1, b > a ≥ 0, œn ∈ n*; b) ln , a b a a b b b − a < < − 0 < a < b; c) sin x > x π 2 , 0 < x < 2 π ; 364 Manual clasa a XI-a d) cos x ≥ 1 – 2 x2 , œx ≥ 0; e) a b a cos2 − < tg b – tg a < b b a cos2 − , 0 ≤ a < b < 2 π ; f) b b a sin2 − < ctg b – ctg a < a b a sin2 − , 2 π ≤ a < b <π; g) 2 2 a b ea eb e ≤ + + , (œ) a, b ∈ R; h) arcsin x > x – 3! x3 , – 1 ≤ x ≤ 1; i) ex > x + 1, (œ)x ∈ R; j) 1 1 1 1 1 +       <  +      + x x x x , œx ∈ (0, +∞). 3. Utilizând consecinţe ale teoremei lui Lagrange, să se demonstreze: a) arcsin x + arccos x = 2 π , (œ)x ∈ [–1, 1] ; b) arctg x + arcctg x = 2 π ; c) arctg x + arctg      π ∈ + ∞ − π ∈ −∞ = , [0, ) 2 , ( , 0) 1 2 x x x ; d) arcsin     π ≥ − π ≤ − + = + , 1 , 1 2arctg 1 2 2 x x x x x ; e) arctg x + arcctg      π ∈ −∞ − π ∈ − + ∞ = + − , ( , 1] 4 3 , ( 1, ) 4 1 1 x x x x ; f) arccos 2 2 1 1 x x + − + 2 sgn x · arctg x = 0, œx ∈ R; g) 2arctg x + arcsin     π ∈ + ∞ − π ∈ −∞ − = + , [1, ) , ( , 1] 1 2 2 x x x x . Capitolul 3. Derivabilitate 365 4. Să se arate că următoarele funcţii diferă printr-o constantă pe anumite intervale. Se vor preciza intervalele şi constantele respective. a) ƒ, g : R* → R, ƒ(x) = 2 x2 , g(x) =       + > + < 2, 0 2 1, 0 2 2 2 x x x x ; b) ƒ, g : R \ {1} → R, ƒ(x) =     − > − < ln( 1), 1 ln(1 ), 1 x x x x , g(x) =     − > − + < ln( 1), 1 ln(1 ) 2, 1 x x x x ; c) ƒ(x) = arcsin x 1− x2 , g(x) = 2 arcsin x; d) ƒ(x) = arcsin(3x – 4x3), g(x) = 3 arcsin x; e) ƒ(x) = arcsin 1 2 2 x x + , g(x) = 2 arctg x. 5. a) Să se determine punctul cn din teorema lui Lagrange, aplicată funcţiei ƒ : [0, 1] → R, ƒ(x) = xn şi să se calculeze lim n. n c →∞ b) i) Să se dea un exemplu de funcţie ƒ : [a, b] → R, pentru care punctul c din teorema lui Lagrange nu este unic. ii) Să se precizeze o condiţie suficientă pentru ca punctul c intermediar, din teorema lui Lagrange, să fie unic. c) Să se deducă inegalităţile: i) ex ≥ 1 + x, œx > –1; ii) x > sin x > x – 6 x3 , œx > 0; iii) e– x < 1 – 1! 2! x x2 + , œx < 0; iv) ex > 1 + 1! 2! ! 2 n x + x +K+ xn , œx > 0. 366 Manual clasa a XI-a d) Să se stabilească monotonia următoarelor funcţii: i) ƒ : (0, + ∞) → (0, + ∞), ƒ(x) = (1 + αx) x 1 , α > 1; ii) ƒ : (0, + ∞) → (0, + ∞), ƒ(x) = (ax + bx) x 1 a ≠ 1, a > 0, b ≠ 1, b > 0. e) Să se rezolve următoarele ecuaţii: i) 2x + 3x = 5x + 6x; ii) 10x + 6x + 4x = 8x + 7x + 5x; iii) 9x + 1 = 2x + 8x. f) Să se calculeze următoarele limite: α1)        − + →∞ 1 1 1 lim 2 n n n n e e ; α2)       − + + →∞ n e n e n n n n 1 lim 1 ; α3)       + + + n→∞ n 1 2 1 lim 1 K ; α4) n n n n n (n 1) 1 lim + →∞ + . 6. Să se aplice teorema lui Cauchy pentru următoarele perechi de funcţii, aflând şi punctul c corespunzător: a) ƒ, g : [1, e] → R, ƒ(x) = ln x, g(x) = 2x – 1; b) ƒ, g : π π 6 , 3 → R, ƒ(x) = sin x, g(x) = cos x; c) ƒ, g : [1, e] → R, ƒ(x) = ln x, g(x) = x e ; d) ƒ, g : [ 2 , 2] → R, ƒ(x) = ln x, g(x) = x2. Test de aprofundare 1. Să se arate că œ x ∈ R, | x | ≤ 2 2 , avem: arcsin x + 3 arccos x + 2 arcsin 2x 2 3 1− x2 = π . Capitolul 3. Derivabilitate 367 2. Să se arate că: ƒ : (−1, 1) → R, ƒ(x) = x x x x − + + + − 1 1 arctg 1 1 arctg este o constantă, œ x ∈ (−1, 1). 3. arctg x < 3 5 x3 x5 x − + , œ x > 0. 4. Să se demonstreze inegalitatea: ( 1) 1 ln( 1) ln 2 1 2 + < + − < x + x x x x . 5. Să se arate că dacă funcţia ƒ : R → R, este derivabilă pe R şi periodică cu perioada T, atunci şi derivata sa ƒ ' este periodică cu perioada T. 6. Să se deducă inegalitatea: 2 1 1 2 + 2 < −  +  < x + e x e x x e x . 7. Fie funcţia: ƒ : [a, b] → R, ƒ(x) x, 0 ≤ a < b . Să se arate că există un singur punct c ∈       + , 2 a b ab care verifică teorema lui Lagrange. 8. Să se arate că au loc relaţiile: a) 3! sin 3! 5! x3 x5 x − x < x < x − + , œ x ∈ R; b) 1 2! cos 1 2! 4! 2 x2 x4 − x < x < − + , œ x ∈ R; c) 2 ln(1 ) x2 + x < x − , œ x ∈ (−1, 0). 9. Dacă a1, a2, …, an ∈ (0, 1) şi a1 + a2 + … + an = 1, să se arate că avem: (1 + a1)(1 + a2) … (1 + an) n n  ≥  + 2  1 1 , œ n ∈ N. 3.3. Regulile lui l'Hospital În cazurile de nedeterminare, calculul limitelor de funcţii este în general dificil. O metodă puternică de calcul a acestor limite o constituie regulile lui l'Hospital. 368 Manual clasa a XI-a I. Cazul 0 0 Teorema 1. Fie I ⊂ R un interval, x0 un punct de acumulare al lui I şi f, g : I \ {x0}→R două funcţii derivabile verificând următoarele condiţii: i) lim ( ) lim ( ) 0; 0 0 = = → → f x g x x x x x ii) g'(x) ≠ 0, pentru orice x ≠ x0 din I; iii) există 0 lim x→x = l ∈R g x f x '( ) '( ) . Atunci a) g(x) ≠ 0, pentru orice x ∈ I \{x0}; b) funcţia g f are limită în x0 şi . '( ) '( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x→x x→x = Demonstraţie 1. Fie x0 finit. Deoarece g'(x) ≠ 0 pe I \ {x0}, rezultă că g' are semn constant pe {x ∈ I | x < x0} şi respectiv pe {x ∈ I | x > x0}. Deci g este strict monotonă pe fiecare din aceste mulţimi. Atunci g(x) ≠ lim ( ) 0, 0 = → g x x x pentru orice x ∈ I, x ≠ x0. Definim funcţiile ~f, g~ : I → R, prin formulele:     = ≠ = 0 0 0, ( ), ~( ) x x f x x x f x ,     = ≠ = 0 0 0, ( ), ~( ) x x g x x x g x . Evident funcţiile ~f şi g~ sunt continue în x0 şi derivabile pe I \{x0}. Avem: ~f'(x) = f '(x), g~'(x) = g'(x) ≠ 0, ∀x∈ I \ {x0} . Capitolul 3. Derivabilitate 369 Aplicăm teorema lui Cauchy funcţiilor ~f şi g~ şi obţinem: '( ) '( ) ~( ) ~( ) ~( ) ~( ) 0 0 ξ ξ = − − g f g x g x f x f x , sau echivalent, '( ) '( ) ( ) ( ) ξ = ξ g f g x f x , cu ξ în intervalul deschis de extremităţi x0 şi x. Trecând la limită (x → x0), obţinem: '( ) '( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x→x x→x = . 2. Dacă x0 = + ∞, putem presupune I = (a, +∞), cu a > 0. Definim funcţiile ~f şi g~ pe intervalul       a 1 0, , prin       ∈       =      = f y f y g y g y y a 1 ~( ) 1 , ~( ) 1 , 0, . Evident funcţiile ~f şi g~ verifică ipotezele teoremei pentru y0 = 0. Conform demonstraţiei din cazul precedent, rezultă ~'( ) ~'( ) lim ~( ) ~( ) lim 0 0 g y f y g y f y y→ y→ = , sau echivalent, '( ) '( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x→∞ x→∞ = . 3. Cazul x0 = –∞ se tratează analog. Observaţii: 1. Condiţia ii) din teorema 1 este esenţială. 2. Reciproca nu este adevărată. Contraexemple 1. Fie ƒ, g : R → R, definite prin ƒ(x) = e–2x (cos x + 2 sin x), g(x) = e–x(cos x + sin x). Evident lim f (x) x→∞ = lim ( ) = 0 →∞ g x x şi = →∞ '( ) '( ) lim gf xx x 0 2 5 lim − = →∞ x x e . 370 Manual clasa a XI-a În schimb, funcţia x x e g x f x x 1 tg 1 2 tg ( ) ( ) + + = − nu are limită când x → ∞. 2. Fie funcţiile ƒ, g : \{0} 2 , 2     − π π , definite prin ƒ(x) = x2 sin x 1 , g(x) = sin x. Prin calcul sin 1 0 sin lim sin 1 sin lim ( ) ( ) lim 0 2 0 0 = = ⋅ = → → → x x x x x x x g x f x x x x . Pe de altă parte x x x x x g x f x cos 1 cos cos 1 sin 2 '( ) '( ) = − . Nu există '( ) '( ) lim 0 g x f x x→ , deoarece 0 cos 1 sin lim 0 = → x x x x şi nu există x x 1 lim cos →0 . II. Cazul Se poate folosi o regulă a lui l'Hospital şi în acest caz. Vom da un enunţ mai general (nu este necesar să verificăm că = ±∞ → lim ( ) 0 f x x x . Teorema 2. Fie I ⊂ R un interval, x0 un punct de acumulare al lui I şi f, g : I \ {x0}→ R două funcţii derivabile verificând următoarele condiţii: i) 0 lim x→x | g(x) | = +∞; ±∞∞∞∞ ±∞∞∞∞ Capitolul 3. Derivabilitate 371 ii) g'(x) ≠ 0, pentru orice x ≠ x0 din I; iii) există = ∈R → l g x f x x x '( ) '( ) lim 0 ; Atunci funcţia g f are limită în x0 şi '( ) '( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x→x x→x = . Ca şi în cazul 0 0 , condiţia ii) este esenţială şi reciproca nu este adevărată. Observaţie: Cazul ±± ∞∞ poate fi redus la cazul 0 0 , procedând astfel: ( ) 1 ( ) 1 lim ( ) ( ) lim 0 0 f x g x g x f x x→x x→x = . Ultima limită este o nedeterminare de tipul 0 0 . Putem rezolva şi celelalte cazuri de nedeterminări folosind regulile lui l'Hospital. III. Cazul 0 · ±∞∞∞∞ Aceasta înseamnă că 0 lim x→x ƒ(x) = 0 şi 0 lim x→x | g(x) | = + ∞. Atunci putem scrie: 0 lim x→x ƒ(x)g(x) = ( ) 1 ( ) lim 0 g x f x x→x , cu 0 lim x→x ƒ(x) = 0 ( ) 1 lim 0 = x→x g x , deci suntem în cazul 0 0 . 372 Manual clasa a XI-a IV. Cazul ∞∞∞∞ – ∞∞∞∞ Aceasta înseamnă că 0 lim x→x ƒ(x) = 0 lim x→x g(x) = + ∞. Atunci 0 lim x→x (ƒ(x) – g(x)) = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 lim 0 f x g x x x g x f x      − → , deci suntem în cazul 0 · ∞. V. Cazul 1±∞∞∞∞ Dacă funcţiile ƒ, g : I → R verifică 0 lim x→x ƒ(x) = 1 şi 0 lim x→x g(x) = + ∞, atunci există V o vecinătate a lui x0 astfel încât ƒ(x) > 0 şi g(x) > 0 pe V ∩ I \{x0}. Notăm h(x) = [ƒ(x)]g(x). Avem h(x) = eln h(x) şi ( ) 1 ln ( ) ln ( ) ( )ln ( ) g x f x h x = g x f x = . Deoarece 0 lim x→x lnƒ(x) = 0, lim ln ( ) ( ) 1 lim 0 0 h x g x x→x x→x = este de tipul 0 0 . VI. Raţionamente analoage se fac şi în cazurile 00 şi ∞0. Exerciţii rezolvate 1. Fie f şi g două funcţii definite astfel: f : R → R, f(x) = 2 , , : (0, 2) , tg( ) tg 0, \ x x g x x x  ∈ π  → =  ∈ Q R R Q g(x) = tg x. a) Să se calculeze 0 ( ) lim . x ( ) f x → g x b) Se poate aplica regula lui l'Hospital? 2. Se consideră funcţiile f : (0, 2 π ) → R, f(x) =x2 sin 1 x şi g : (0, 2 π ) → R, g(x) = sin 2x. Să se arate că: Capitolul 3. Derivabilitate 373 a) există ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x ; b) nu există '( ) '( ) lim 0 g x f x x→x 3. a) Să se calculeze x x x x x sin sin lim +− →∞ ; b) Se poate aplica regula lui l'Hospital? 4. a) Să se calculeze x x x x 9 5 7sin lim + →∞ ; b) Se poate aplica regula lui l'Hospital? 5. a) Să se calculeze ln(1 ) 1 sin lim 2 0 x x x x + + → b) Se poate aplica regula lui l'Hospital? 6. a) Să se calculeze x x x x x e e e e − − →∞ + − lim b) Este indicat să se aplice regula lui l'Hospital? Soluţii 1. a) Vom folosi definiţia limitei unei funcţii cu ajutorul şirurilor. Fie şirul (xn )n∈N, xn ∈ Q şi xn → 0. Atunci 2 0 ( ) lim lim ( ) tg n x n n f x x → g x →∞ x = . Dar 0. ( ) lim lim tg ( ) 1şiva rezulta lim lim tg 0 = = ⋅ = →∞ → n n n n x n n x x x g x f x x x b) Nu se poate aplica regula lui l'Hospital deoarece funcţia ƒ nu este derivabilă în orice vecinătate a punctului x0 = 0 cu excepţia punctului x0 = 0. 2. a) sin 1 0 sin 2 lim sin lim 2cos 1 sin lim 0 0 2 0 = ⋅ = → → → x x x x x x x x x x x ; ; 2cos2 1 cos 1 2 sin lim 2cos2 1 cos 1 1 2 sin lim '( ) '( ) b)lim 0 2 2 0 0 x x x x x x x x x x g x f x x x x − + = =  +     − = → → → această limită nu există deoarece nu există lim cos 1 . 0      − x→ x 374 Manual clasa a XI-a 3. a) sin 1 sin lim sin lim sin 1. x x 1 x x x x x x x x x x →∞ →∞  +  +   =  = −    −    b) lim ( sin )' lim 1 cos (care nu exist x ( sin )' x 1 cos x x x →∞ x x →∞ x + + ⇒ − = − ( sin )' 1 cos lim lim (care nu există). x ( sin )' x 1 cos x x x →∞ x x →∞ x + + ⇒ − − Observaţie: Funcţiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă şi cotangentă nu au limită în –∞ sau +∞. 4. a) lim 5 7sin 5 . x 9 9 x x →∞ x + = 9 5 ·0 9 7 9 sin 5 lim 9 + 7 = + = →∞ x x x . b) 0 (5 7sin )' 5 7cos lim lim , limită care nu există. x (9 )' x 9 x x x →∞ x → + + = 5. a) 2 0 0 0 1 sin 1 lim ln(1 ) lim ln(1 ) lim sin 0. x x x x x x x x x x → → → + = + ⋅ = b) 2 0 0 1 1 1 sin cos 2 sin lim [ln(1 )]' lim 1 , 1 x x x x x x x x x → →  ′   − +   = + + ; această limită nu există deoarece nu există 0 1 lim cos . x→ x 6. a) Evident lim =1 + − − − →∞ x x x x x e e e e (metode elementare). b) ( ) ( + )′ − ′ − − →∞ x x x x x e e e e lim ( )' lim lim ( )' x x x x x x x x x x e e e e e e e e − →∞ →∞ − − = + + − Deci, nu este eficient să mai aplicăm regula lui l'Hospital, întrucât, aşa cum s-a arătat la punctul a), limita se calculează direct prin metode elementare. x→ ∞ Capitolul 3. Derivabilitate 375 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 sin sin 7) a) lim lim lim sin sin sin sin (sin )' lim lim lim lim sin ( )' sin cos 1 sin lim 2 lim sin lim 2 lim sin ). x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → → → → →   −  −   −  = =  ⋅  =     − − = = ⋅ = − − = = ⋅ = Din exemplele analizate se desprind următoarele observaţii: 1. Dacă ajungem la nedeterminările 0 sau 0 ±∞ ±∞ este foarte important să se verifice dacă se respectă condiţiile din regulile lui l'Hospital. 2. Dacă nu putem calcula 0 lim x→x 0 '( ) lim '( ) f x g x este recomandabil să verificăm dacă funcţiile ƒ ' şi g' verifică condiţiile din regula lui l'Hospital şi în caz afirmativ calcu- lăm "( ) "( ) lim 0 g x f x x→x , procedeu care se poate repeta calculând 0 lim x→x ( ) 0 ( ) ( ) lim . ( ) n n f x g x 3. Pentru a simplifica calculele este recomandabil să aplicăm combinat atât metodele elementare cât şi regula lui l'Hospital. 4. Cazurile de nedeterminare se pot reduce, transformând convenabil funcţia a cărei limită dorim să o calculăm, la cazurile de bază: 0 sau 0 ±∞ ±∞ . 5. Nu întotdeauna aplicarea corectă a regulii lui l'Hospital conduce la un rezultat favorabil. De exemplu, aplicarea regulii pentru lim 1 , 1 lim 2 2 = + … →±∞ + →±∞ x x x x x x conduce la o buclă infinită, iar valoarea limitei nu se poate calcula. Dar cu ajutorul metodelor elementare, limita se calculează imediat astfel: 1. 1 lim | | | | 1 lim 1 lim 2 2 = = ± + = →±∞ + →±∞ →±∞ x x x x x x x x x x l'Hospital l'Hospital (∞–∞) 7. 0. 376 Manual clasa a XI-a II. Ţinând seama de observaţiile de mai înainte, să se calculeze următoarele limite: lim ; lim 1 ctg . limln( )(ln 1); lim ctg 1 ; lim 1 ; ; sin sin cos lim ln ( ) ( 1); lim ; lim ; sin sin ; lim ln ( 0); lim 2sin 1 lim 2 0 0 2 tg 0 0 0 2 3 2 2 2 2 0 0       −        − −  −  + ≥ − + − α > − → → → → > → →∞ →+∞ α → → →∞ α → x x x x e x x x x x x x x x x x e n x x x x e x x x e x x x e x x x x x x x e x e x x x n x x x x x x x 10. 11. 7. 8. 9. 4. 5. 6. 1. 2. 3. Soluţii: 1. Fie funcţiile ƒ, g : (– 2 π , 2 π ), ƒ(x) = ex – 1 şi g(x) = 2 sin x. Suntem în cazul 0 0 şi observăm că sunt îndeplinite condiţiile din regula lui l'Hospital (exerciţiu independent), deci 0 0 lim 1 lim 1 2sin 2cos 2 x x x x e e → x → x − = = . 2. Suntem în cazul şi lim ln lim (ln )' lim 1 0 x x ( )' x x x →+∞ xα →+∞ xα →+∞ xα ∞ ∞ = = = α . 3. Cazul 2 2 0 2 0 2 0 sin sin cos 2 0 0 : lim lim 1 0 sin cos 2 x x x x x x x x x x x e x x x x e xe → x x e → x x e xe − + − − = = = + + + . 4 lim 1 0. 1 4 lim ln 4 lim 1 4ln lim ln ( ) lim 1 2 1 2 2 = = = = = ⋅ = →+∞ − →+∞ →+∞ →+∞ − →+∞ x n x n x n x n x n nx n x x n x x nx n x x x x 4. ,unde 1 . ( 1) ( 1) 1 lim ( 1) lim lim lim 1 2 x e n n n x e x e x e n x x x x x x x x ⋅ = +∞ − < α ≤ = α α − α − + = α α − = α = −α →+∞ →+∞ α →+∞ α− →+∞ α− K 5. K (α > 0); Capitolul 3. Derivabilitate 377 . 4 1 2 2sin cos sin 1 lim sin 1 cos lim sin ( sin ) lim sin (1 cos ) lim sin sin cos lim 0 0 2 3 0 2 2 0 0 2 2 = = ⋅ + = + = ⋅ − + = − + − → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6. 7. Suntem în cazul ∞ · 0. Aducem la cazul 0 0 şi obţinem: ln( ) 1 (ln 1) ln( )(ln 1) x e x x e x − − − − = şi 0. ( ) 1 1 2 lim 1 ln( ) 2 lim ( ) 1 1 2ln( ) 1 lim 1 ln ( ) lim ( )ln ( ) 1 lim ( )ln ( 2) 1 1 lim ln( ) 1 [(ln 1)] lim( )(ln 1) lim 2 2 2 (0 ) 2 2 = − = − − = − = − − − = − = − = − − − = − − = − − ′ = −     − − ′ − − = > → > → > → > → ⋅ ∞ > → > → > → > → x e x e e x e x e e x e x e x e e x e x e x e x e x e x e x x x e x x e x x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e Observaţie: Să se încerce să se facă şi o altă aranjare a funcţiei şi să se aplice regula lui l'Hospital, apoi să se compare cele două metode de rezolvare. 0. 2 0 cos sin 1 2sin cos lim sin cos cos 1 lim cos tg cos 1 1 lim tg tg lim ctg ctg 1 lim ctg 1 lim 0 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 = = − + = − + = − = + − = − = −  =      − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 378 Manual clasa a XI-a 1 ;lim 1 lim ; ( ) tg ln 1 : 1 tg ln 0 tg 0 0 1 tg tg ln x e x e f x x x x x x x x x x x  = =      =  → ∞ → 9. lim sin 0 lim 1 1. cos tg 1 1 lim tg 1 1 ln lim ( ) lim tg ln 1 lim 0 tg 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0  = =     = = ⇒  = − − = = = → → → → → → e x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x ; lim lim ln ; ( ) ln ; 0 0 x e ln x ex x f x x x x x x x = x x = = → → 10. 0 0 0 0 0 2 1 ln lim ( ) lim ln lim 1 lim 1 0 x x x x x x x f x x x x x → → → → > = = = = − . 11. Indicaţie: 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 tg tg tg tg ctg tg tg tg tg tg tg tg tg tg x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + − − = − = ⋅ = ⋅ ⋅ = + − = ⋅ ⋅ ⋅ Evident 1 tg 2 şi lim tg tg lim 0 0 + = = → → x x x x x x x . Apoi 3 tg 1 lim 0 3 − = → x x x x cu ajutorul regulii lui L'Hpspital. Exerciţii propuse I. Cazul 0 0 Să se calculeze următoarele limite: ; 1 3 2 lim 2 2 1 − − + → x x x x 1. ; 1 1 lim 3 5 1 − − → x x x 2. notăm notăm . x2 x Capitolul 3. Derivabilitate 379 lim 1 1 ; 2 2 0 x x x x + − − → 3. lim 1 2 1 2 ; 3 0 x x x x + − − → 4. lim cos cos3 ; 0 x2 x x x − → 5. ; sin3 1 1 lim 3 3 0 x x x + − → 6. ; sin lim sin 0 x x ex e x x − − → 7. lim sin ; 0 x3 x x x − → 8. ( , ); 1 1 lim * 1 ∈R − − → a b x x b a x 9. ; lim (1 cos ) arctg 0 x x ex e x x − − → 10. ; 1 1 lim 0 x e x x x  −      + → 11. lim 1 cos lncos ; 0 x2 x x x − − → 12. lim ln( 1) ; 0 x2 x x x − + → 13. lim 2 ; 0 x3 ex e x x x − − − → 14. ; 1 2 1 lim 3 2 0 x ex x x x − − − → 15. 0 2 sin lim + → − n n n x x x x 16. ; discuţie după n ∈ N; ; ln 1 lim 1 x xx x − → 17. x x x β α → lncos lncos lim 0 18. ; discuţie după α, β ∈R+* ; ; 3 arctg( 4 3) lim 2 3 − − + → x x x x 19. cos2 4cos 3 sin lim 2 0 − + − → x x x x x x 20. ; lim tg3 tg 3 , x 0 xn x − x → 21. n ∈ N; m n n x x x sin x lim 0 − → 22. , m, n ∈ N. 380 Manual clasa a XI-a II. Cazul Să se calculeze următoarele limite: 1. ; ( 1)( 2) 3 2 lim 3 + + − + →∞ x x x x x 2. xx x β α → lnsin lnsin lim 0 , discuţie după α, β ∈ R; ( , 0). ln tg lntg ; lim tg(2 1) tg(2 1) lim ; lim ln ; ln(1 ) ln(1 ) lim ; ln( 1) ln( 1) ; lim 2 1 lim ; 2 3ln ln lim ( ); lim 0 0 2 4 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 * α β > β α + + + + + + − + + + + + + + + + + ∈ > π → → →+∞ →∞ →+∞ →+∞ →∞ →∞ x x p x n x x x x x e x x e x x x x e x x x x x x x x k e x x x x x x x x x x x x x k x 9. 10. 7. 8. 5. 6. 3. N 4. III. Cazul 0 · (± ∞∞∞∞) Să se calculeze următoarele limite: 1. 1 1 lim > → x x (1 – x) ln(x – 1); 2. x→+∞ lim x · e–x; 3. 0 lim x→ x ctg x; 4. 2 lim π x→ (tg x – 1)       − 1 tg 2 x ; 5. lim( 1) 1; 1 1 1 − < → − ⋅ x x x x e 6. 2 2 lim π < π → x x (1– sin x) · etg x; 7. 0 0 lim > → x x sin x · ln tg x; 8.        − + →∞ 1 1 1 lim 2 x x x x e e ; 9.        −      + →∞ e x x x x 1 lim 1 ; 10. lim ln ln(ln ). 1 1 x x x x ⋅ > → ∞∞∞∞ ∞∞∞∞ Capitolul 3. Derivabilitate 381 IV. Cazul ∞∞∞∞ – ∞∞∞∞ Să se calculeze următoarele limite: 1. ; ln 1 2 2 1 lim 1 2      − + − + → x x x x x x 2. ; sin 1 1 lim 2 0       − x→ x x x 3. 1 ; ln(1 ) 1 lim 0   − x→ + x x 4. ; lim  2 ln1 1   −  + →+∞ x x x x 5. lim 2 cos 1 cos 2 ;      − →∞ x x x x 6. arctg ; lim 2       π − →∞ x x x x 7. ; lim 4 arctg 1       − + π →∞ x x x x 8. ; 1 1 arctg lim arctg 1       + − − →∞ + x x x x x x 9.  −  → x x n x n lim 1 ctg 0 , n∈ N*; 10. lim 12 (2 2 2) 0 + − − → x x x x . V. Cazurile 1∞∞∞∞, ∞∞∞∞0, 00 Să se calculeze următoarele limite: 1. lim ; x x x x x x e e e e      + − − − →∞ 2. 0 lim x→ (cos x) 2 1 x ; 3. x x x x ctg 0 sin lim       → ; 4. sin 2 1 0 tg lim x x x x       → ; 5. lim arcsin ; 1 0 x x x x       → 6. lim( sin ) 12 ; 0 x x x e + x → 7. lim(cos sin ) , 0; 1 0 + λ λ > → x x x x 8. lim( sin tg ) ; 2 1 0 x x x e + x + x → 9. ; cos cos lim 2 1 0 x x x x       αβ → 10. lim(1 ln ) ; ( 1)2 1 1 − → + x x x 11. 0 0 lim > → x x (sin x)sin x; 12. 0 0 lim > → x x (tg x)sin x; 13. ctg ; 3 1 lim ctg 6 6 x x x      →π 14. x x x tg 0 2 1 lim       → ; 15. x p x x 0 lim → ; 16. lim(2 tg ctg )sin 2 ; 1 4 x x x x − →π 17. ln(1 ) 0 0 lim(ln ) x x x x − > → ; 18. 1 lim x→ (ln ex) 1 1 x− . 382 Manual clasa a XI-a 19. ; lim tg 4 tg 2 0 x x x π →       π 20. ; lim tg 4 tg 2 1 x x x π →       π 21. 0 lim x→ [1 + ln(x + 1) + ln(2x + 1) + …+ln(nx + 1)] x 1 ; 22.         + + + + →∞ → 3 3 3 2 2 2 0 lim lim(1 sin sin 2 sin )n x n x x x K nx . 3.4. Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte de extrem, monotonia funcţiilor Fie D o reuniune (finită sau infinită) de intervale şi ƒ : D → R o funcţie reală definită pe D. Presupunem că ƒ este derivabilă pe D cu excepţia unei mulţimi finite de puncte din D. Notăm cu D' mulţimea pe care ƒ este derivabilă. Evident D' este de asemenea o reuniune (finită sau infinită) de intervale. Teorema lui Lagrange are următoarele consecinţe: Teoremă. i) Dacă derivata f ' este strict pozitivă pe un interval I ⊂ D', atunci funcţia este strict crescătoare pe I. ii) Dacă derivata f ' este strict negativă pe un interval I ⊂ D', atunci funcţia este strict descrescătoare pe I. iii) Dacă derivata f ' nu se anulează pe un interval I ⊂ D', atunci funcţia f este strict monotonă pe I. În concluzie, funcţia ƒ este strict monotonă pe intervalele pe care derivata ƒ ' nu se anulează. Pentru studiul monotoniei funcţiei ƒ vom proceda în modul următor: 1. Se determină mulţimea D ' ⊂ D pe care funcţia ƒ este derivabilă şi se calcu- lează derivata ƒ '. 2. Se rezolvă ecuaţia ƒ '(x) = 0 pe D '. 3. Se descompune mulţimea D ' într-o reuniune de intervale disjuncte pe care derivata ƒ ' nu se anulează. Capitolul 3. Derivabilitate 383 4. Se determină semnul derivatei ƒ ' pe fiecare interval I din descompunerea de mai sus. Deoarece ƒ ' nu se anulează pe I, ea are semn constant pe I, deci este suficient să calculăm valoarea lui ƒ ' într-un singur punct din I. 5. Monotonia funcţiei ƒ pe I este dată de semnul derivatei ƒ ' pe I. Dacă ƒ ' > 0 (respectiv ƒ ' < 0) pe I, atunci ƒ este strict crescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe I. Astfel vom determina şi punctele de extrem ale funcţieiƒ. Distingem următoarele cazuri: a) x0 este un punct interior al mulţimii D. Fie I ⊂ D' intervalul care îl conţine pe x0 astfel încât derivata ƒ ' nu se anulează pe I, cu excepţia eventual a lui x0. 1. Dacă funcţia ƒ este strict crescătoare pe {x ∈ I | x < x0}şi strict descrescă- toare pe {x ∈ I | x > x0}, atunci x0 este un punct de maxim. Echivalent, dacă derivata ƒ ' > 0 pe {x ∈ I | x < x0} şi ƒ ' < 0 pe {x ∈ I | x > x0}, atunci x0 este un punct de maxim. 2. Dacă funcţia ƒ este strict descrescătoare pe {x ∈ I | x < x0}şi strict crescă- toare pe {x ∈ I | x > x0}, atunci x0 este un punct de minim. Echivalent, dacă derivata ƒ ' < 0 pe {x ∈ I | x < x0} şi ƒ ' > 0 pe {x ∈ I | x > x0}, atunci x0 este un punct de minim. b) x0 este extremitatea stângă a unui interval I ⊂ D' în interiorul căruia derivata ƒ ' nu se anulează. 1. Dacă ƒ ' < 0 pe I, atunci x0 este un punct de maxim. 2. Dacă ƒ ' > 0 pe I, atunci x0 este un punct de minim. c) x0 este extremitatea dreaptă a unui interval I ⊂ D' în interiorul căruia derivata ƒ ' nu se mai anulează. Atunci: 1. Dacă ƒ ' < 0 pe I, atunci x0 este un punct de minim. 2. Dacă ƒ ' > 0 pe I, atunci x0 este un punct de maxim. Exerciţii rezolvate Să se determine intervalele de monotonie şi punctele de extrem pentru funcţiile următoare: 1. ƒ : R → R, ƒ(x) = x3 – 9x; 384 Manual clasa a XI-a 2. ƒ : R \ {0}→ R, ƒ(x) x = 2x −1 ; 3. ƒ : (–∞, –1] ∪ [1, +∞) → R, ƒ(x) = x x2 −1 ; 4. ƒ : [0, +∞) → R, ƒ(x) = e x + e− x ; 5. ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) = x · ln x; 6. ƒ : R → R, ƒ(x) = x2 · e–x. Soluţii: 1. D ' = R, ƒ '(x) = 3(x2 – 3) Tabelul este: x –∞ – 3 3 +∞ ƒ'(x) + 0 – 0 + ƒ(x) –∞ 6 3 −6 3 +∞ Concluzii a) pentru x ∈ (–∞, – 3 ) şi x ∈ ( 3 , +∞), funcţia este strict crescătoare; b) x = – 3 este punct de maxim şi max ƒ = ƒ(– 3 ); x = 3 , este punct de minim şi min ƒ = ƒ( 3 ). 2. D' = R \ {0}, ƒ '(x) = 2 1 x . Tabelul este următorul: x –∞ 0 +∞ ƒ'(x) + + ƒ(x) 2 +∞ –∞ 2 Capitolul 3. Derivabilitate 385 Concluzii a) funcţia este strict crescătoare pe (–∞, 0) şi respectiv (0, +∞); b) funcţia nu admite puncte de extrem. 3. D' = (–∞, –1) ∪ (1, +∞), ƒ '(x) 1 2 1 2 2 − − = x x . Tabelul este următorul: x –∞ –1 0 1 +∞ ƒ'(x) + + ƒ(x) –∞ 0 0 +∞ Concluzii a) punctele în care ƒ '(x) = 0 sunt ± 22 ∉ D '; b) ƒ(x) ≥ 0, œx ∈ [1, +∞) şi ƒ(x) ≤ 0, œx ∈ [–∞, –1] . 4. D' = (0, +∞); ƒ '(x) (e x e x ) x = − − 2 1 Tabelul este următorul: x 0 +∞ ƒ'(x) + + ƒ(x) 2 +∞ Concluzii a) ƒ '(x) = 0 ⇒ x = 0 ∉ D'; b) funcţia este strict crescătoare; c) œx ∈ [0, +∞) ⇒ ƒ(x) ≥ 2 (valoarea minimă se atinge într-un punct în care funcţia nu este derivabilă). 386 Manual clasa a XI-a 5. D' = (0, +∞); ƒ'(x) = ln x + 1; Tabelul este următorul: x 0 e 1 +∞ ƒ'(x) – 0 + ƒ(x) – e 1 +∞ Concluzii a) x = e 1 este punct de minim; ƒ(x) ≥ – e 1 , œx ∈ (0, +∞); b) pentru x ∈ (0, e 1 ], funcţia este descrescătoare; pentru x ∈ [ e 1 , +∞), funcţia este crescătoare. 6. D' = R, ƒ'(x) = e–x(2x – x2) Tabelul este următorul: x –∞ 0 2 +∞ ƒ'(x) − – 0 + 0 – – ƒ(x) +∞ 0 42 e 0 Concluzii a) x = 0 este punct de minim şi min ƒ = 0; b) x = 2 este punct de maxim şi max ƒ = 2 4 e ; c) pentru x ∈ (–∞, 0) şi respectiv x ∈ (2, +∞) funcţia este strict descrescă- toare; pentru x ∈ (0, 2), funcţia este strict crescătoare. Capitolul 3. Derivabilitate 387 Exerciţii propuse Să se determine intervalele de monotonie şi punctele de extrem pentru urmă- toarele funcţii: 1. ƒ : R → R, ƒ(x) = x3 – 81 x; 2. ƒ : R → R, ƒ(x) 2 +1 = x x ; 3. ƒ : R → R, ƒ(x) = x x2 +1 ; 4. ƒ : R \ {0}→ R, ƒ(x) = x x2 +1 ; 5. ƒ : R → R, ƒ(x) 3 x 3 x = e + e− ; 6. ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) 1 ln 2 + = x x ; 7. ƒ : R \ {2kπ | k ∈ Z}→ R, ƒ(x) x x 1 cos sin = − ; 8. ƒ : R → R, ƒ(x) 1 2 2 arccos x x + = ; 9. ƒ : R → R, ƒ(x) = sin x + sin2x 2 1 ; 10. ƒ : R → R, ƒ(x) = 1 – |1− x2 | . Probleme de maxim şi minim cu caracter interdisciplinar Una dintre aplicaţiile cel mai des întâlnite ale derivatei întâi, o reprezintă utilizarea ei în problemele de maxim şi minim. Exerciţii rezolvate 1. Să se arate că dintre toate dreptunghiurile care au aceeaşi arie, pătratul are perimetrul cel mai mic. 388 Manual clasa a XI-a 2. Să se arate că dintre toate dreptunghiurile care au acelaşi perimetru, pătratul are aria maximă. 3. Fie o sferă de rază R. Să se arate că volumul maxim al unui con înscris în sferă este max 3 81 32 V = π R . 4. Să se determine sub ce unghi faţă de orizontală trebuie tras un proiectil cu viteză iniţială v0, astfel încât să atingă în cădere orizontala la distanţa cea mai mare. 5. Dintr-un râu de lăţime a porneşte un canal de lăţime b, formând cu râul un unghi drept. Care este lungimea maximă a unui vas care poate să intre pe canal? (se neglijează lăţimea vasului). 6. Două localităţi A şi B sunt aşezate la distanţele a şi b faţă de şosea. Unde trebuie să fie situată o localitate C pe şosea, astfel încât lungimea traseului A – C – B să fie minim (localităţile sunt de aceeaşi parte faţă de şosea). 7. Să se determine cilindrul de volum maxim înscris într-o sferă de rază R. 8. Să se determine cilindrul de arie totală maximă înscris într-o sferă de rază R. 9. Presupunem că la fiecare moment t cantitatea de electricitate scursă printr-un conductor este Q(t) = 3 cos πt. La ce momente de timp intensitatea este maximă? Dar minimă? 10. Un amestec de gaze este format din oxid de azot şi oxigen. Se cere să se determine concentraţia oxigenului pentru care oxidul de azot conţinut în amestec se oxidează cu viteză maximă. 11. Să se determine înălţimea de suspendare a unei surse luminoase punctiforme şi uniforme S astfel încât iluminarea unui punct din planul orizontal să fie maximă. Soluţii: 1. Fie k2 aria dreptunghiurilor şi x şi y lungimile laturilor dreptunghiurilor. Condiţiile din ipoteză sunt: xy = k2 şi perimetrul p(x, y) = 2(x + y). Din x k y 2 = rezultă       = + x k p x x 2 ( ) 2 . Ataşăm funcţia p : (0, +∞) → R,       = + x k p x x 2 ( ) 2 ,  =  − 2  2 '( ) 2 1 x k p x . Capitolul 3. Derivabilitate 389 Tabelul de variaţie este următorul: x 0 k +∞ p'(x) – 0 + p(x) 4 k +∞ Concluzie: pentru x = k şi k k k y = = 2 , adică pentru un pătrat cu latura k, perimetrul este cel mai mic şi este egal cu 4k. 2. Fie 2a(a > 0) perimetrul dreptunghiurilor şi x şi y lungimile laturilor dreptunghiurilor. Condiţiile din ipoteză sunt: 2x + 2y = 2a ⇒ x + y = a şi S = xy = x(a – x). Ataşăm funcţia S : (0, +∞) → R, S(x) = x(a – x); S '(x) = a – 2x. Tabelul de variaţie este următorul: x 0 2 a +∞ S '(x) + 0 – S(x) 4 a2 +∞ Concluzie Pentru x = 2 a şi y = a – 2 a = 2 a , adică pătratul de latură 2 a , aria este maximă şi este egală cu 4 a2 . 3. Raţionamentul se face urmărind figura alăturată. Notăm cu x înălţimea variabilă a conurilor înscrise în sfera de rază R. Din consideraţii geometrice rezultă AS2 = x(2R − x) . Volumele conurilor sunt V (x) = π3 x2 (2R − x). Funcţia ataşată este V : (0, 2R) → [0, +∞), V (x) = π3 x2 (2R − x) cu derivata V '(x) = π3 x(4R − 3x) . Procedând ca în cazul exerciţiilor anterioare va rezulta că pentru x = 3 4R , Vmax = 81 3 32 R π . 390 Manual clasa a XI-a 4. Raţionamentul se va face urmărind figura de mai jos. Se ştie din fizică că sub acţiunea forţei gravitaţionale, proiectilul va descrie o parabolă de ecuaţie (α) = sin 2α 2 0 g v R . Aceasta rezultă din ecuaţia α − ⋅ α α = 2 2 0 2 2 cos 1 cos sin ( ) v x y x x g , unde pentru y = 0 (punctul de impact cu orizontala) rezultă = sin 2α 2 0 g v x . Ataşăm funcţia R : 0, π2 → R, R(α) = sin2α 2 0 g v cu derivata R '(α) = 2 02 cos2α g v . Se observă că pentru α = 4 π , R       π 4 este maxim, deci pentru a avea distanţa maximă, proiectilul trebuie tras sub un unghi de 45° faţă de orizontală. 5. Se exprimă lungimea l a vasului, în poziţia în care acesta se sprijină cu o extremitate pe malul râului, iar cu cealaltă pe peretele canalului, în funcţie de unghiul α format de direcţia vasului cu malul râului şi se obţine: (α) = sinα + cosα a b l ; pentru α = arctg b a se obţine max 2 3 3 2 3 2       l = a + b . (calculele şi verificările se recomandă ca temă pentru acasă). 6. Fie MN = l. Raţionamentul se face urmărind figura de mai jos. Notând MC = x, avem AC = a2 + x2 şi BC = b2 + (l − x)2 . Funcţia ataşată este L : [0, l] → R, L(x) = a2 + x2 + b2 + (l − x)2 cu derivata 2 2 2 ( )2 '( ) b l x l x a x x L x + − − − + = . Se verifică că a b al L'(x) = 0 ⇒ x = + (verificarea se recomandă ca exerciţiu), şi ( )2 2 (a b)2 l2 (a b)2 l2 a b b a b l a b a a b al L + + = + +  = + + + + +     + . Capitolul 3. Derivabilitate 391 Observaţie: Rezolvarea se poate face şi fără a folosi analiza matematică, numai din consideraţii geometrice. Astfel se observă că dacă A' este simetricul lui A faţă de MN, atunci drumul minim A – C – B este A' – C – B, adică lungimea segmentului A'B, care se determină imediat considerând triunghiurile asemenea MCA şi NCB (calculele se propun ca exerciţiu). 7. Cu notaţiile din figura alăturată avem: MB = R sin α, MM ' = R(1 + cos α). Volumul cilindrului este: V = πR3 sin2 α(1 + cos α). Funcţia ataşată este:      =  π V 0, 2 → R, V(α) = πR 3 sin2 α(1 + cos α) şi V '(α) = πR3 sin α [3 cos2 α + 2 cosα – 1]. Soluţia acceptabilă pentru V '(α) = 0 este cos α = 13 şi max 27 3 32 V = πR . Observaţie: Se recomandă ca temă rezolvarea completă şi verificarea faptului că pentru cosα = 13 , volumul este maxim. 8. Vom utiliza aceleaşi notaţii ca la problema 7 şi avem că aria totală este A(α) = 2πR2sin 2α. Funcţia ataşată este       π A: 0, 2 → R, A(α) = 2πR 2 sin 2α cu derivata A'(α) = 4πR2 cos 2α; A'(α) = 0 ⇒ α = π4 şi Amax = 2πR2. Observaţie: Se constată cu uşurinţă că A(α) este maxim când sin 2α = 1, adică 2α = π2 şi α = π4 . 9. Se calculează Q'(t) şi se determină zerourile ecuaţiei Q'(t) = 0. 10. Se ştie din chimie că viteza reacţiei 2NO + O2 = 2NO2 este dată de formula V = kx2 · y în care x este concentraţia oxidului de azot la un moment oarecare şi y concentraţia oxigenului, k constanţa vitezei de reacţie. Din faptul că y = 100 − x obţinem V = kx2 (100 − x) ⇒ x = 33,33% şi y = 66,67%. 392 Manual clasa a XI-a 11. Fie OP = d şi I intensitatea luminoasă a sursei S. Din fizică avem formula 2 3 ( 2 2 ) ( ) h d h Ep h I + = ⋅ , h > 0. Din faptul că h = dctg α obţinem Ep (α) = dI2 sin2 α ⋅cosα , α ∈       π 0, 2 ; E'p(α) = 0 ⇒ α = arctg 2 şi 2 h = d ⋅ 2 . Observaţie: Încercaţi pentru anumite probleme să rezolvaţi fără ajutorul derivatei de ordinul unu (folosind formule şi relaţii geometrice şi trigono- metrice). Probleme propuse 1. Să se arate că dintre toate triunghiurile dreptunghice în care suma catetelor este aceeaşi, triunghiul dreptunghic isoscel are aria maximă. 2. Ce unghi trebuie să formeze un acoperiş cu orizontala, pentru ca apa să se scurgă într-un timp minim? 3. Un triunghi dreptunghic are vârful unghiului drept fix şi celelalte două vârfuri pe două drepte paralele fixe. Există un triunghi cu aria cea mai mare? Dar cea mai mică? 4. Un punct M se mişcă pe latura BC a triunghiului ABC presupus fix. Există poziţii ale punctului M astfel ca MA2 + MB2 + MC2 să fie maximă? Dar minimă? 5. Se consideră unghiul xOy şi punctul P fix situat în interiorul său. O secantă mobilă dusă prin P intersectează pe Ox şi Oy în M respectiv N. Să se determine minimul ariei triunghiului OMN. 6. Un copil trage o săniuţă de masă m (inclusiv încărcătura) cu o forţă de tracţiune care face cu direcţia de deplasare (orizontală) un unghi α. Să se determine α pentru care copilul trage sania, într-o mişcare uniformă cu cel mai mic efort. 7. Un corp este aruncat în vid cu viteza V0, a cărei direcţie face unghiul α cu orizontala. Se cere să se determine timpul necesar corpului pentru a ajunge până în poziţia cea mai de sus a traiectoriei sale, precum şi viteza lui în această poziţie. Capitolul 3. Derivabilitate 393 8. Într-o emisferă de rază R, să se înscrie paralelipipedul dreptunghic de volum maxim, având baza un pătrat. 9. Să se înscrie într-un con dat un cilindru de volum maxim (se presupune că bazele cilindrului şi conului se află în acelaşi plan). 10. Să se determine trapezul dreptunghic de arie maximă, care are baza mare egală cu a şi perimetrul egal cu 4a. 3.5. Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune Monotonia unei funcţii nu este suficientă pentru trasarea graficului unei funcţii. Vom defini noţiunile de convexitate şi concavitate a unei funcţii şi vom caracteriza aceste proprietăţi cu ajutorul derivatei a II-a. Fie ƒ : I → R o funcţie derivabilă pe intervalul I şi x0 un punct din I. Tangenta la graficul funcţiei ƒ în punctul M0(x0, ƒ(x0)) are ecuaţia y = ƒ(x0) + ƒ '(x0)(x – x0). O y x O y x Figura 14 Figura 15 Definiţie i) Funcţia ƒ este convexă dacă pentru orice interval a, b ∈ I şi orice λ ∈ [0, 1], avem: ƒ((1 – λ)a + λb) ≤ (1 – λ)ƒ(a) + λƒ(b). ii) Funcţia ƒ se numeşte concavă dacă (– ƒ) este convexă, sau echi- valent, pentru orice a, b ∈ I şi orice λ ∈ [0, 1], avem: ƒ((1 – λ)a + λb) ≥ (1 – λ)ƒ(a) + λƒ(b). Funcţie convexă Funcţie concavă 394 Manual clasa a XI-a Interpretare geometrică: Funcţia ƒ este convexă (respectiv concavă) dacă pentru orice a, b ∈ I, a < b, segmentul determinat de punctele A(a, ƒ(a)) şi B(b, ƒ(b)) se află deasupra grafi- cului (respectiv sub graficul) funcţiei ƒ pe intervalul [a, b] (fig. 16, 17). O y x f (a) f (b) A B a b Figura 16 Figura 17 Teoremă. Fie f : I → R o funcţie de două ori derivabilă pe un interval I ⊂ R Atunci: i) Funcţia f este convexă pe I dacă şi numai dacă f "(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ I. ii) Funcţia f este concavă pe I dacă şi numai dacă f "(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ I. Demonstraţie Presupunem că ƒ"(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ I. Atunci funcţia ƒ ' : I → R este crescătoare. Fie a, b ∈ I, a < b şi λ ∈ (0, 1). Notăm: c = (1 – λ) a + λb, c ∈ (a, b) Aplicând teorema lui Lagrange funcţiei ƒ pe intervalele [a, c] şi [c, b], găsim punctele ξ ∈ (a, c) şi η ∈ (c, b) astfel încât ( ) ( ) = '(ξ), ( ) −− ( ) = '(η). − − f b c f b f c f c a f c f a Funcţia ƒ ' fiind crescătoare şi ξ < η, deducem că ( ) ( ) ( ) ( ). b c f b f c c a f c f a − − ≤ − − Capitolul 3. Derivabilitate 395 Înlocuind expresia lui c în relaţia de mai sus, rezultă ƒ((1 – λ)a + λb) ≤ (1 – λ)ƒ(a) + λƒ(b), deci funcţia ƒ este convexă. Reciproc, presupunem că funcţia ƒ este convexă pe I. Fie a, b ∈ I, a < b. Pentru orice s, t ∈ (a, b) şi s < t, există λ ∈ (0, 1) astfel încât s = (1 – λ)a + λt. Conform raţionamentului de mai sus, inegalitatea ƒ((1 – λ)a + λt) ≤ (1 – λ)ƒ(a) + λƒ(t), este echivalentă cu ( ) ( ) ( ) ( ). t s f t f s s a f s f a − − ≤ − − Analog obţinem: ( ) ( ) ( ) ( ). b t f b f t t s f t f s − − ≤ − − Deci ( ) ( ) ( ) ( ). b t f b f t s a f s f a − − ≤ − − Trecând la limită (s → a), avem ƒ '(a) = lim ( ) ( ) ( ) ( ). b t f b f t s a f s f a s a − − ≤ − − → Apoi trecem la limită (t → b), avem ƒ '(a) ≤ lim ( ) ( ) f '(b). b t f b f t t b = − − → Deci funcţia ƒ ' este crescătoare. Prin urmare, ƒ" ≥ 0, ceea ce trebuia demonstrat. Vom defini noţiunea de punct de inflexiune al unei funcţii derivabile. Definiţie Fie I ⊂ R un interval şi ƒ : I → R o funcţie reală. Un punct x0 interior lui I se numeşte punct de inflexiune dacă ƒ are derivată în x0 şi există δ > 0 astfel încât (x0 – δ, x0 + δ) ⊂ I şi ƒ este convexă pe (x0 – δ, x0) şi concavă pe (x0, x0 + δ) sau invers sau, altfel spus, în punctul x0 funcţia îşi schimbă concavitatea. 396 Manual clasa a XI-a O y x0 x Figura 18 Figura 19 Aplicând teorema de mai sus, obţinem următoarea proprietate a punctelor de inflexiune. Corolar. Fie f : → R o funcţie de două ori derivabilă pe un interval I ⊂ R şi x0 un punct interior lui I. Dacă x0 este un punct de inflexiune, atunci f"(x0) = 0. Observaţie: Reciproca nu este adevărată. Într-adevăr, considerăm funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = x4. Evident ƒ este convexă şi ƒ "(0) = 0 (deşi 0 nu este punct de inflexiune deoarece ƒ"(x) ≥ 0, x ∈ R, adică derivata de ordin doi păstrează un semn constant la dreapta şi la stânga punctului 0). Din cele analizate mai sus, deducem că, în cazul unei funcţii de două ori derivabile pe I, condiţia suficientă ca un punct x0 să fie punct de inflexiune este: ƒ"(x0) = 0 şi ƒ"(x) îşi schimbă semnul în jurul punctului x0. Observaţie: Există puncte de inflexiune fără ca funcţia să fie derivabilă în aceste puncte. Capitolul 3. Derivabilitate 397 Exemplu Funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = 3 x a cărei reprezen- tare grafică este în figura 20 admite x0 = 0 ca punct de inflexiune, deoarece, îşi schimbă concavitatea (de la convex la concav), dar în x0 funcţia nu este derivabilă. Pentru studiul concavităţii (convexităţii) şi determinarea punctelor de inflexiune ale unei funcţii, vom proceda în modul următor: a) Se determină submulţimea D" ⊂ D pe care funcţia este de două ori derivabilă şi se calculează derivata de ordinul doi. b) Se descompune mulţimea D" într-o reuniune de intervale disjuncte pe care ƒ" nu se anulează şi se determină semnul lui ƒ" pe fiecare din aceste subintervale. c) Intervalele de concavitate (convexitate) sunt date de semnul lui ƒ". Dacă ƒ"(x) > 0 (respectiv ƒ"(x) < 0) atunci ƒ este strict convexă (respectiv strict concavă). Punctele x0 ∈ D" în care ƒ"(x) = 0 şi ƒ"(x) îşi schimbă semnul sunt puncte de inflexiune. Rezultatele se pot încadra într-un tabel, unde prin semnul ∪ vom indica că funcţia este convexă şi prin semnul ∩ vom indica că funcţia este concavă. Pot apărea două situaţii: x x0 ƒ"(x) + 0 – ƒ(x) ƒ(x0) M(x0ƒ(x0)) este punct de inflexiune cu următoarea interpretare grafică (fig.21). Figura 21 Caz 1 Figura 20 398 Manual clasa a XI-a x x0 ƒ"(x) – 0 + ƒ(x) ƒ(x0) M(x0ƒ(x0)) este punct de inflexiune cu următoarea interpretare grafică (fig. 22). Figura 22 Exerciţii rezolvate Să se determine intervalele de convexitate (concavitate) şi punctele de inflexiune (dacă există) pentru următoarele funcţii: 1. ƒ : R → R, ƒ(x) = x3 – 1; 2. ƒ : R \ {–1}→ R, ƒ(x) = x +1 x ; 3. ƒ : R → R, ƒ(x) = x2 +1 ; 4. ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) = x – ln x; 5. ƒ : R → R, ƒ(x) = x · x2 e− ; 6. ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) = x · ln x. Soluţii 1. D" = R, ƒ"(x) = 6x. Rezultatele se prezintă în tabelul următor: x –∞ 0 +∞ ƒ"(x) – 0 + ƒ(x) –1 Caz 2 Capitolul 3. Derivabilitate 399 Concluzie Punctul M(0, –1) este punct de inflexiune; pentru x ∈ (–∞, 0) funcţia este concavă şi pentru x ∈ [0, +∞) funcţia este convexă. 2. D" = R \ {–1}, ƒ "(x) ( 1)3 2 + = − x . Tabelul este următorul: x –∞ − 1 +∞ ƒ"(x) + – ƒ(x) Concluzie Funcţia nu admite puncte de inflexiune. Pentru x ∈ (–∞, –1) funcţia este convexă, iar pentru x ∈ (–1, +∞) funcţia este concavă. 3. D" = R, ƒ "(x) ( 1) 1 1 2 + 2 + = x x Tabelul este următorul: x –∞ +∞ ƒ"(x) + + + ƒ(x) Concluzie a) funcţia nu admite puncte de inflexiune; b) funcţia este convexă pe R. 4. D" = (0, +∞), ƒ "(x) = 2 1 x Tabelul este următorul: x 0 +∞ ƒ"(x) + + + ƒ(x) Concluzie a) funcţia nu admite puncte de inflexiune; b) funcţia este convexă pe (0, +∞). 400 Manual clasa a XI-a 5. D" = R, ƒ "(x) = – 2x(2x2 – 3) x2 e− . Tabelul este următorul: x –∞ – 23 0 2 3 +∞ ƒ"(x) + 0 – 0 + 0 – ƒ(x) ƒ       − 23 0 ƒ       2 3 Concluzie a) funcţia admite trei puncte de inflexiune: x1 = 0; x2 = − 32 ; x3 = 2 3 . b) pentru x ∈       − ∞,− 23 , funcţia este convexă; pentru x ∈       − 23 , 0 , funcţia este concavă; pentru x ∈       2 3 0, , funcţia este convexă; pentru x ∈       , + ∞ 2 3 , funcţia este concavă. 6. D" = (0, +∞), ƒ "(x) = x 1 Tabelul este următorul: x 0 +∞ ƒ"(x) + + + ƒ(x) Concluzie a) funcţia nu admite puncte de inflexiune; b) pentru x ∈ (0, +∞) funcţia este convexă. Capitolul 3. Derivabilitate 401 Exerciţii propuse I. Să se determine intervalele de convexitate (concavitate) şi punctele de inflexiune pentru funcţiile următoare: 1. f : R → R, f(x) = x3 +1; 2. f : R → R, f(x) = xn + 1, n ∈ n*; 3. f : R → R, f(x) = x3 –3x + 2; 4. f : R → R, f(x) = ; 1 1 x2 + 5. f : R → R, f(x) = x2 e ; 6. f : (0, +∞)→ R, f(x) = x + ln x; 7. f : R \ {–1, 1}→ R, f(x) = ; 1 ( 1) 2 2 − + x x x 8. f : R → R, f(x) = ; x2 e− 9. f : (–1, 1)→ R, f(x) = ln(1 – x2); 10. f : R → R, f(x) = x2 − x +1; 11. f : (–1, 1)→ R, f(x) = arcsin x – arccos x; 12. f : R → R, f(x) = arcsin ; 2( 1) 1 2 + − x x 13. f : R → R, f(x) = arccos ; 1 1 2 2 x x + − 14. f : R → R, f(x) = x – sin x; 15. f : R → R, f(x) = ln(x + 1+ x2 ); 16. f : (0, +∞)→ R, f(x) = ln . x x II. 1. Se consideră funcţia ƒ : D → R, ƒ(x) = x x a x 2 − + 2 , a ∈ R*. Să se determine valorile parametrului a ∈ R, astfel încât funcţia să admită trei puncte de inflexiune. 402 Manual clasa a XI-a 2. Să se determine punctele de inflexiune ale funcţiei: ƒ : R → R, ƒ(x) = x3+ 3ax + 2 ştiind că ƒ "(1) = 1. 3. Se consideră funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = ax + b arctg x. Să se determine intervalele de convexitate (concavitate) pentru funcţia ƒ în ipoteza când ƒ '(1) = 1; ƒ '(–1) = –1. 4. Să se determine punctele de extrem şi punctele de inflexiune ale funcţiei ƒ : R → R, ƒ(x) = x3 + ax2 + 2x + 1, ştiind că ƒ "(–1) = – 1. 5. Să se arate că pentru orice a, b ∈ R, punctele de inflexiune ale graficului funcţiei ƒ(x) = 3x5 –10x3 +ax + b sunt situate pe aceeaşi dreaptă a cărei ecuaţie se cere. 6. Se consideră funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = (ax + b)ex. Să se determine funcţia ƒ ştiind că ƒ(0) = 0 şi x = 0 este abscisa punctului de inflexiune. III. 1. a) Să se arate că pentru orice x ∈[0, +∞), avem: x arctg x ≥ ln(1 + x2); b) Să se arate că pentru orice x ∈[0, +∞), avem: 2 x2 + x ≥ ln x; c) Să se arate că pentru orice x ∈[0, +∞), avem: ex ≥ 1+ ; 1! 2! 3! x x2 x3 + + d) Să se arate că pentru orice x ∈[0, +∞), avem: cos x ≤ ; 2! 4! 1 x2 x4 − + e) Să se arate că pentru orice x ∈ (0, +∞), avem: ln x < 3! 5! x3 x5 x − + . 2. Să se demonstreze inegalităţile următoare: a) dacă xi ≥0, œi ∈ {1, 2, …, n}, atunci: n n n x x x n x + x +…+ x ≥ ⋅ ⋅K⋅ 1 2 1 2 (inegalitatea mediilor). b) i) dacă x, y ∈ R+ şi n ∈ n, atunci: ; 2 2 x y n xn + yn  ≤      + ii) dacă x, y ∈ R*+ , atunci: ln ln . ln 2 x y y y x x y x y x < + + + + Capitolul 3. Derivabilitate 403 c) dacă x1, x2, … , xn ∈ (0, 1) şi x1 + x2 + …+ xn = 1, atunci: . 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 − ≥ − + − +…+ − n n x x xn d) dacă a1, a2 … an ∈ (0, 1) şi s = a1 + a2 + … + an, atunci: n s ns a a a a a a n n 1− + 1− 2 +…+ 1− ≥ − 2 1 1 ; e) dacă a1, a2 … an ∈ [0, 1] şi a1 + a2 + … + an = 1, atunci: 1 1 (1 1)(1 2 ) (1 ) 2 n n a a a n  ≤ + + … +      + . 3. Să se demonstreze că între elementele unui triunghi oarecare ABC avem următoarele inegalităţi: i) utilizând inegalităţile lui Jensen; ii) utilizând cunoştinţele de trigonometrie din clasa a X-a. a) sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 ; b) cos A · cos B · cos C 8 ≤ 1 ; c) cos A + cos B + cos C ≤ 2 3 ; d) 8 3 3 cos 2 cos 2 cos 2 ≤ A B C ; e) 8 1 sin 2 sin 2 sin 2 ≤ A B C . 4. Să se demonstreze că între lungimile laturilor unui triunghi avem următoarele inegalităţi: a) ≥ 3 + − + + − + a +b −c c a c b b b c a a ; b) a b c a b c c a c b b b c a a ≥ + + + − + + − + + − 2 2 2 ; c) 27(b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ (a + b + c)3. 404 Manual clasa a XI-a Test de aprofundare 1. Să se obţină prin derivare următoarele identităţi: a) x + 2x2 + 3 x3 + … + nxn = 2 2 1 ( 1) ( 1) − + − + + + x nxn n xn x , œx ≠ 1. b) Cn1 + 2Cn2 +…+ nCnn xn−1 = n(1+ x)n−1. 2. Utilizând concavitatea funcţiei logaritmice, să se stabilească inegalitatea mediilor. 3. Fie a, b > 0, p, q > 1 şi 1 + 1 =1 p q . Să se stabilească inegalitatea: q b p a ab p a < + (variantă examen bacalaureat). 4. Fie I ⊂ R un interval şi o funcţie ƒ : I → R de două ori derivabilă. Să se arate că pentru orice a, x ∈ I există un punct α între a şi x pentru care avem: "( ) 2! ( ) '( ) ( ) ( ) 1! 2 f x = f a + x − a f a + x − a f α . 5. Se dă funcţia ƒ : R \ {0} → R, ƒ(x) = e x 1 . Să se verifice relaţia: x2ƒ(n+1)(x) + (2nx + 1)ƒ(n)(x) + n(n − 1) ƒ(n−1)(x) = 0, œ n ∈ N. 6. Să se determine funcţiile derivabile ƒ : [0, 2a], a > 0 fixat, care îndeplinesc condiţia: (a − ƒ(x))ƒ '(x) = 2af (x) − f 2 (x) . 7. Se consideră funcţia: ƒ : [0, h] → R, ƒ(x) = x − sin2 x. Ştiind că ƒ(h) − ƒ(0) = hƒ(a · h), să se arate că 0 < a < 1 şi să se calculeze a h 0 lim → . 8. Să se determine funcţiile ƒ : R → R derivabile pe R cu proprietatea că: ƒ '(x) = ƒ(x) +ƒ(1 − x), œ x ∈ R. Capitolul 4 REPREZENTAREA GRAFICĂ A FUNCŢIILOR 4.1. Grafice de funcţii Ne propunem să reprezentăm grafic o funcţie ƒ de două ori derivabilă pe domeniul său de definiţie (eventual cu excepţia unui număr finit de puncte). Sunt necesari următorii paşi: 1. Determinarea domeniului de definiţie: • în cazul expresiilor raţionale, numitorul trebuie să fie diferit de 0; • expresia de sub un radical de ordin par trebuie să fie pozitivă; • baza unei funcţii exponenţiale trebuie să fie strict pozitivă; • baza unei funcţii logaritmice trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de 1, iar argumentul trebuie să fie strict pozitiv; • funcţiile arcsin şi arccos trebuie definite pe intervalul [–1, 1]. 2. Explicitarea funcţiilor: modul, maxim, minim, parte întreagă etc. 3. Simetrii ale graficului: • paritatea sau imparitatea funcţiei. a) Dacă funcţia ƒ este pară, adică ƒ(x) = ƒ(–x), pentru orice x din domeniul de definiţie, atunci graficul lui ƒ este simetric faţă de axa ordonatelor Oy. b) Dacă funcţia ƒ este impară, adică ƒ(x) = – ƒ(–x), pentru orice x din domeniul de definiţie, atunci graficul lui ƒ este simetric faţă de originea O a sistemului de coordonate. • periodicitatea funcţiei. Dacă funcţia ƒ are perioada T > 0, se trasează graficul pe intervalul [0, T] şi apoi se extinde graficul pe tot domeniul de definiţie. Ca exemplu de funcţii periodice, menţionăm funcţiile trigonometrice. 406 Manual clasa a XI-a 4. Intersecţia cu axele de coordonate: a) Rezolvăm ecuaţia ƒ(x) = 0. Fie x1, x2, …, xk soluţiile reale distincte din domeniul de definiţie al funcţiei ƒ. Atunci Gf ∩ Ox = {(x1, 0), (x2, 0), …, (xk, 0)}. Menţionăm că intersecţia poate fi şi mulţimea vidă (dacă ecuaţia ƒ(x) = 0 nu are soluţii în domeniul de definiţie al lui ƒ). b) Dacă 0 aparţine domeniului de definiţie al funcţiei ƒ, atunci Gf ∩ Oy = {(0, ƒ(0)}. În caz contrar, intersecţia graficului cu axa Oy este mulţimea vidă. 5. Limite la ± ∞. a) Dacă domeniul de definiţie nu este majorat, se studiază existenţa limitei la + ∞. b) Dacă domeniul de definiţie nu este minorat, se studiază existenţa limitei la – ∞. 6. Asimptote: a) verticale Se studiază în punctele de discontinuitate (în particular în punctele în care funcţia ƒ nu este definită) ale funcţiilor nemărginite (chiar dacă acestea sunt definite pe mulţimi mărginite). Fie x0 un punct de discontinuitate al funcţiei ƒ. i) Dacă 0 0 lim x x x x < → ƒ(x) = ± ∞, atunci dreapta x = x0 este asimptotă verticală la stânga. ii) Dacă 0 0 lim x x x x > → ƒ(x) = ± ∞, atunci dreapta x = x0 este asimptotă verticală la dreapta. b) orizontale Se studiază pentru funcţiile definite pe mulţimi nemărginite. i) Dacă există x→+∞ lim ƒ(x) = l ∈ R, atunci dreapta y = l este asimptotă orizon- tală spre + ∞. ii) Dacă există x→−∞ lim ƒ(x) = l ∈ R, atunci dreapta y = l este asimptotă orizon- tală spre – ∞. c) oblice Capitolul 4. Reprezentări grafice 407 i) Dacă există x→+∞ lim f (xx) = m ∈ R şi x→+∞ lim [ƒ(x) – mx] = n ∈ R, atunci dreapta y = mx + n este asimptotă oblică spre + ∞. ii) Dacă există x→−∞ lim x f (x) = m ∈ R şi x→−∞ lim [ƒ(x) – mx] = n ∈ R, atunci dreapta y = mx + n este asimptotă oblică spre – ∞. Observaţie: Existenţa unei asimptote orizontale (spre + ∞ sau – ∞) exclude existenţa unei asimptote oblice în aceeaşi direcţie. În schimb, o funcţie poate admite asimptotă orizontală spre + ∞ (respectiv – ∞) şi asimptota oblică spre – ∞ (respectiv +∞). Este posibil ca o funcţie ƒ să nu admită nici o asimptotă. 7. Studiul derivatei întâi: a) Se determină mulţimea E ⊂ D pe care ƒ este derivabilă şi se calculează ƒ '(x), x ∈ E. b) Se rezolvă ecuaţia ƒ '(x) = 0. Soluţiile acestei ecuaţii, numite puncte critice ale lui ƒ, pot fi puncte de extrem local ale lui ƒ (în funcţie de monotonia lui ƒ). c) Se determină intervalele pe care ƒ ' are semn constant. i) Dacă ƒ ' > 0 pe intervalul I1 ⊂ E, atunci ƒ este strict crescătoare pe I1. ii) Dacă ƒ ' < 0 pe intervalul I2 ⊂ E, atunci ƒ este strict descrescătoare pe I2. Dacă funcţia ƒ este continuă în punctul x0, dar nu este derivabilă în x0, distingem următoarele cazuri: i) dacă ƒ are derivate laterale infinite de semn contrar, atunci punctul M0(x0, ƒ(x0)) este punct de întoarcere al graficului; ii) dacă ƒ are derivate laterale diferite şi cel puţin una este finită, atunci punctual M0(x0, ƒ(x0)) este punct unghiular al graficului. 8. Studiul derivatei a doua: a) Se determină mulţimea F ⊂ E ⊂ D pe care ƒ este de două ori derivabilă şi se calculează f "(x), x ∈ F. b) Se rezolvă ecuaţia f "(x) = 0. Unele din soluţiile acestei ecuaţii sunt puncte de inflexiune. 408 Manual clasa a XI-a c) Se determină intervalele pe care f " are semn constant: i) dacă f " > 0 pe intervalul I1 ⊂ F, atunci ƒ este convexă pe I1; ii) dacă f " < 0 pe intervalul I2 ⊂ F, atunci ƒ este concavă pe I2. Punctul x0 ∈ F este punct de inflexiune dacă f "(x0) = 0 şi funcţia ƒ îşi schimbă concavitatea la trecerea prin x0. 9. Vom sistematiza rezultatele obţinute mai sus într-un tabel de variaţie. x ƒ '(x) ƒ(x) ƒ"(x) 10) Trasarea graficului: Conform tabelului de variaţie al funcţiei ƒ, vom trasa graficul acestei funcţii, raportat la un sistem de coordonate ortogonale. Exerciţii rezolvate I. Să se traseze graficele următoarelor funcţii: 1. ƒ(x) = –x3 + 3x2; D = R. Intersecţia graficului cu Ox : x2(– x + 3) = 0, x1 = 0, x2 = 3; ƒ(x) ≤ 0 pentru x ∈ [3, ∞), ƒ(x) > 0 pentru x ∈ (– ∞, 3); lim ( ) = +∞; →−∞ f x x lim ( ) = −∞. →∞ f x x Funcţia nu admite asimptote. ƒ '(x) = – 3x2 + 6x, ƒ '(x) = 0 ⇒ –3x(x –2) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2; ƒ "(x) = – 6x + 6, ƒ"(x) = 0 ⇒ x = 1; ƒ(1) = 2. Graficul funcţiei este prezentat în figura următoare. +∞∞∞∞ Capitolul 4. Reprezentări grafice 409 Figura 1 2. ƒ(x) = x4 – 8x2, D = R. Intersecţia graficului cu axa Ox : ƒ(x) = 0 ⇒ x2(x2 – 8) = 0, x1 = 0, x2,3 = ± 2 2. Intersecţia graficului cu axa Oy : ƒ(0) = 0. ƒ(–x) = ƒ(x), œx ∈ R; funcţia este pară. lim ( ) = +∞; →±∞ f x x funcţia nu admite asimptote. ƒ '(x) = 4x3 – 16x, ƒ '(x) = 0 ⇒ 4x(x2 – 4) = 0, x1 = 0, x2,3 = ± 2, ƒ(±2) = – 16. ƒ"(x) = 12x2 – 16, ƒ"(x) = 0 ⇒ 3 2 3 x1,2 = ± ; Graficul funcţiei este prezentat în figura următoare. Figura 2 410 Manual clasa a XI-a II. Să se traseze graficele următoarelor funcţii: 1. ƒ(x) = 1 2 x2 + x , D = R. Intersecţia graficului cu axa Ox : ƒ(x) = 0 ⇒ x = 0. ƒ(x) ≤ 0 pentru x ≤ 0, ƒ(x) > 0 pentru x > 0. ƒ(–x) = – ƒ(x), funcţia este impară; ƒ(0) = 0, ƒ(1) = 1. lim ( ) = 0; →±∞ f x x dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre –∞ şi spre +∞. ƒ '(x) = , ( 1) 2(1 ) 2 2 2 + − x x ƒ'(x) = 0 ⇒ x 1,2 = ±1; ƒ"(x) = , ( 1) 4 ( 3) 2 3 2 + − x x x ƒ"(x) = 0 ⇒ x 1 = 0 şi x2,3 = ± 2 3 . Graficul funcţiei este prezentat în figura următoare. Figura 3 2. ƒ(x) = 2 3 7 20 2 2 + − + x x x x , D = R \ {–3, 1}. Intersecţia graficului cu axa Ox : ƒ(x) = 0 ⇒ x(7x + 20) = 0 ⇒ ⇒ x1 = 0, x2 7 − 20 = Capitolul 4. Reprezentări grafice 411 ƒ(x) ≥ 0 pentru x ∈ (–∞, –3) ∪ [ ,0 7 − 20 ] ∪ (1, ∞); ƒ(x) < 0 pentru x ∈ (–3, 7 − 20 ) ∪ (0, 1); ls(–3) = +∞; ld(–3) = –∞; ls(1) = –∞; ld(1) = +∞ Dreptele x = –3 şi x = 1 sunt asimptote verticale. x→±∞ lim ƒ(x) = 7; dreapta y = 7 este asimptotă orizontală spre –∞ şi spre +∞. ; ( 2 3) 6( 7 10) ( 2 3) 6 42 60 '( ) 2 2 2 2 2 2 + − − + + = + − − − − = x x x x x x x x f x ƒ '(x) = 0 ⇒ x1 −5; x2 = − 2. Graficul funcţiei este prezentat în figura de mai jos. Figura 4 - - −−−− 412 Manual clasa a XI-a 3. | | 1 2 | | 3 f (x) = xx +− ; D = R. Funcţia ƒ este funcţie pară. y = 2 asimptotă orizontală la ± ∞. x – ∞ 2 − 3 0 2 3 +∞ f '(x) – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + f"(x) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – f(x) 2 0 –3 0 2 III. Să se reprezinte grafic următoarele funcţii: 1. ƒ(x) = 1 ln x − x ; D = (0,∞) \ {1}. Graficul funcţiei nu intersectează axele de coordonate. ; , 0 1 2 3 , 0 1 2 3 ( )     ≥ + − < − + = x x x x x x f x ; , (0, ) ( 1) 5 , ( ,0) ( 1) 5 '( ) 2 2      ∈ +∞ + ∈ −∞ − − = x x x x f x . 0 ( 1) 10 , 0 ( 1) 10 "( ) 3, 3      > − + < = − x x x x f x Figura 5 –3 y = 2 2 y –3 –3 x 2 2 Capitolul 4. Reprezentări grafice 413 0. 1 1 lim ( ) ; lim ( ) lim 0 0 = +∞ = = →∞ →∞ > → f x f x x x x x x Dreapta x = 0 este asimptotă verticală, iar dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre + ∞. . ( 1) 1 ln ( 1) 1 ( 1) ln '( ) 1. 1 1 1; (1) lim 1 1 lim 1 ln (1) lim 2 2 1 1 1 1 1 1 − − − = − − − = = = = = = − > → < → < → x x x x x x x x f x x x l x x x l x d x x x x s x Graficul funcţiei este prezentat în fig. 6. Figura 6 2. ƒ(x) = (x2 + x)e–x; D = R. Intersecţia graficului cu axa Ox : ƒ(x) = 0 ⇒ x2 + x = 0 ⇒ x1 = – 1, x2 = 0. lim ( ) lim 0. 2 = + = x→∞ x→∞ ex x x f x Dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞. y 1 x 1 414 Manual clasa a XI-a . 2 1 5 , 2 1 5 '( ) 0 1 0 '( ) (2 1) ( ) ( 1). 2 2 2 + = ⇒ − + + = ⇒ α = − β = = + − − + − = − − + + f x x x f x x e x x x e x e x x x Graficul funcţiei este prezentat în fig. 7. Figura 7 3. ƒ(x) = 2 ln(x2 + 4); D = R. lim ( ) = lim ( ) = ∞. →∞ →−∞ f x f x x x 4 4 4 2 '( ) 2 2 2 + = + = ⋅ x x x x f x 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) 4 4 ( 4) 4 2 4 4 "( ) 4 + = ⋅ − + ′ = ⋅ + −       + = ⋅ x x x x x x x f x ƒ "(x) = 0 ⇒ x = ± 2. Capitolul 4. Reprezentări grafice 415 x – ∞ –2 0 2 +∞ f '(x) – – – – – 0 + + + + + + + + f"(x) – – – 0 + + + + + 0 – – – – – – f(x) +∞ 6 ln 2 4 ln 2 6 ln 2 +∞ IV. Să se traseze graficele următoarelor funcţii iraţionale: 1. ƒ(x) = x x − 2 ; D = [2, ∞) lim ( ) = +∞; ( ) = 0 ⇒ = 2. →∞ f x f x x x ; 2 2 3 4 2 2 2( 2) 2 2 1 '( ) 2 − − = − − + = − = − + x x x x x x f x x x ƒ'(x) = 0 ⇒ 3x – 4 = 0 ⇒ x = 43 ∉[2,∞). ( 2) 2 3 8 4 1 ( 2) 2 6 3 4 12 2 2 1 "( ) ; 2( 2) 2 6( 2) 3 4 2 1 2 2 2 3 4 3 2 2 1 "( ) − − − = ⋅ − − − + − ⋅ = ⋅ − − − − + = ⋅ − − − − − = ⋅ x x x x x x x f x x x x x x x x x f x ƒ"(x) = 0 ⇒ 3x – 8 = 0 ⇒ x [2, ). 3 = 8 ∈ ∞ Figura 8 6ln2 416 Manual clasa a XI-a x 2 3 8 +∞ f '(x) + + + + + + + + + + + + + + + f"(x) – – – – – – – – 0 + + + + + + + f(x) 0 +∞ Figura 9 2. 1 1 f (x) = xx +− , D = (–∞, –1) ∪ [1, ∞); ƒ(x) = 0 ⇒ x = 1. , lim ( ) 1 1 1 lim 1 1 = +∞ = + − →±∞ <− →− f x x x x x x ; dreapta y = 1 este asimptotă orizontală spre –∞ şi spre + ∞. 0. ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 '( ) 2 > ⋅ + + − ′ =      + − ⋅ + − = x x x x x x x f x Graficul funcţiei este prezentat în fig. 10. Figura 10 Capitolul 4. Reprezentări grafice 417 3. 1 1 ( ) 2 + = + x x f x , D = R; ƒ(x) = 0 ⇒ x = – 1; ƒ(0) = 1. x→∞ lim ƒ(x) = 1; dreapta y = 1 este asimptotă orizontală spre + ∞. x→−∞ lim ƒ(x) = – 1; dreapta y = – 1 este asimptotă orizontală spre – ∞. . ( 1) 1 1 1 1 ( 1) '( ) 2 3 2 2 2 2 + = − + + + − + ⋅ = x x x x x x x f x Graficul funcţiei este prezentat în fig. 11. Figura 11 4. f (x) = 3 x3 − 3x + 2 , D = r. ƒ(x) = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 2; 0. ( 3 2) 3 2 3 2 lim [ ( ) ] lim lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 1; 3 3 2 3 3 2 3 3 = + + + − + + − + − − = = −∞ = +∞ = →±∞ →±∞ →−∞ →+∞ →±∞ x x x x x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x Dreapta y = x este asimptotă oblică spre – ∞ şi spre + ∞. ; '( ) 0 1, ( 1) 4. ( 1)( 2) 1 '( ) 3 3 2 = ⇒ = − − = − + + = f x x f x x x f x Deoarece = −∞ < → lim '( ) 1 1 f x x x şi, = +∞ > → lim '( ) 1 1 f x x x rezultă că x = 1 este punct de întoarcere. 418 Manual clasa a XI-a Graficul funcţiei este prezentat în fig. 12. Figura 12 V. 1. Să se reprezinte grafic funcţia: ƒ : [–1, 1] → R, ƒ(x) = arcsin x − x 1− x2 . Avem ƒ(–1) = – 2 π , ƒ(0) = 0 şi ƒ(1) = 2 π . Derivata întâi ƒ'(x) 2 2 1 2 x x − = se anulează în x = 0. Avem = +∞ →± lim ( ) 1 f x x . Derivata a doua este 2 3 2 (1 ) 2 (2 ) "( ) x x x f x − − = , x ∈ (–1, 1). Ea se anulează în x = 0 (punct de inflexiune). Punctele x" = ± 2 ∉ [−1, 1]. Tabelul de variaţie: Capitolul 4. Reprezentări grafice 419 Figura 13 2. Să se reprezinte grafic funcţia: ƒ : R → R, ƒ(x) = x x 2 cos sin − Funcţia este definită pentru orice x ∈ R, are perioada 2π şi este simetrică faţă de origine, pentru că ƒ(x) = –ƒ(–x). O vom studia pentru x ∈ (0, π). Derivata întâi (2 cos )2 2cos 1 '( ) x x f x − − = se anulează pentru x ∈ [0, π] în 3 π x = . Acesta este un punct de maxim, iar        =      π 3 3 f 3 . Derivata a doua este: 0 (2 cos ) 2sin (1 cos ) "( ) 3 < − − + = x x x f x , pentru x ∈ (0, π), deci ƒ este concavă pe (0, π). Observaţie: Punctele xk = kπ, k ∈ Z sunt puncte de inflexiune. Tabelul de variaţie al funcţiei studiate anterior este: 2 1 3 3 0 420 Manual clasa a XI-a Lăsăm în seama cititorului trasarea graficului pe intervalul (− π, 0). În π graficul intersectează axa orizontală. 3. Să se reprezinte grafic funcţia: ƒ : R → R, ƒ(x) = cos 3 x – 3 cos x + 2. Funcţia ƒ este definită pe R. Cum ƒ(x) = ƒ(–x) (deci funcţia este simetrică faţă de Oy) şi are perioada 2π, vom studia funcţia doar pe intervalul [0, π]. Avem ƒ'(x) = – 3 cos2 x · sin x +3 sin x = 3 sin3 x, deci pe intervalul [0, π] funcţia ƒ este crescătoare. Apoi ƒ'(x) = 0 ⇒ x = 0 şi x = π, când ƒ(0) = 0 şi ƒ(π) = 4. Derivata a doua ƒ"(x) = 9 sin 2 x · cos x se anulează pentru x ∈ (0, π) în 2 π x = . Punctul I       π ,2 2 de pe grafic este punct de inflexiune. Panta tangentei în acest punct este 3 ' 2  =     π f . Avem 2. 2  =     π f Tabelul de variaţie şi graficul sunt prezentate mai jos: y O _π 2 π_ 2 π π 4 2 – – x I Figura 15 Figura 14 Capitolul 4. Reprezentări grafice 421 4.2. Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de rădăcini reale ale unei ecuaţii În capitolul despre derivabilitate, a fost prezentat şirul lui Rolle ca metodă de stabilire a numărului de rădăcini reale ale ecuaţiei ƒ(x) = 0, unde ƒ : I → R era o funcţie derivabilă pe intervalul I. Există însă şi altă cale pentru determinarea numărului de rădăcini reale ale unei ecuaţii, aceea oferită de reprezentarea grafică a funcţiilor, numită metoda grafică. Fie ecuaţia g(x) = h(x), unde g, h : E → R sunt funcţii derivabile. Se repre- zintă grafic funcţiile g şi h şi se intersectează cele două grafice. Abscisele punctelor de intersecţie reprezintă soluţiile ecuaţiei. Dacă graficele Gg şi Gh nu se intersectează, ecuaţia g(x) = h(x) nu are soluţii. Echivalent, ecuaţia g(x) = h(x) se poate scrie ƒ(x) = 0, unde: ƒ : E → R, ƒ = g − h. Se reprezintă grafic funcţia ƒ, se consideră graficul Gf şi intersecţia acestuia cu axa Ox (y = 0). Soluţiile ecuaţiei ƒ(x) = 0 sunt abscisele punctelor de intersecţie. În particular, dacă h(x) = m ∈ R este o funcţie constantă, se reprezintă grafic funcţia g şi se consideră intersecţia graficului Gg cu dreapta de ecuaţie y = m. Evident, dacă dreapta y = m nu intersectează Gg ecuaţia g(x) = m nu are soluţii reale. 422 Manual clasa a XI-a Ecuaţii fără parametri Determinăm numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei următoare, stabilind cu aproximaţie şi intervalele în care se află aceste rădăcini. Vrem să determinăm numărul rădăcinilor ecuaţiei: x3 − 4x − ln | x | = 0, x ≠ 0. Ecuaţia este echivalentă cu: x3 − 4x = ln | x |. Se reprezintă grafic funcţiile g : R → R, g(x) = x3 − 4x, şi h : R* → R, h(x) = ln | x |. După parcurgerea etapelor de studiu, se obţin următoarele tabele de variaţie: Graficele funcţiilor g şi h sunt redate în fig. 17. Figura 17 y Gg Gh C x1 x3 x A – 2 – 1 1 2 O B 16√3 9 √3 – 2 √3 2 x2 Capitolul 4. Reprezentări grafice 423 Există trei puncte de intersecţie ale graficelor, deci ecuaţia are trei rădăcini reale şi diferite: x1 ∈ (−2, −1), x2 ∈ (0, 1) şi x3 ∈ (2, +∞). Ecuaţii care conţin parametri În exerciţiile următoare, vom discuta numărul rădăcinilor unor ecuaţii care conţin parametri şi intervalele în care sunt situate aceste rădăcini. 1. Să se determine numărul de rădăcini ale ecuaţiei: x3 − (m + 2)x2 − 3m − 1 = 0, m ∈ R, în funcţie de parametrul real m. Soluţie Ecuaţia se scrie ƒ(x) = m, unde ƒ : R → R, ƒ(x) 3 2 1 2 3 2 + = − − x x x şi se obţine următorul tabel de variaţie: Graficul funcţiei admite dreapta y = x − 2 ca asimptotă oblică spre +∞ şi − ∞. Graficul este redat în fig. 18. Figura 18 –1 –2 1 y O 3–1 2 – 1 ––2 x0 y = m y = x – 2 x 424 Manual clasa a XI-a Dreapta y = m intersectează graficul funcţiei în unul, două sau trei puncte, obţinându-se următorul tabel: 2. Să se determine numărul rădăcinilor ecuaţiei ax2 + 1 − ln | x | = 0, x ≠ 0, a ∈ R, în funcţie de parametrul real a. Soluţie Ecuaţia se scrie: ln | 2| 1 a. x x − = Se studiază funcţia pară: ƒ : R* → R, ƒ(x) = ln | 2| 1 x x − şi se obţine următorul tabel de variaţie: Graficul funcţiei ƒ este redat în figura următoare. Figura 19 y 1 2e 3 O e 2 x 3 e 2 3 –e e – y = a Numărul de rădăcini reale Capitolul 4. Reprezentări grafice 425 Discuţie în funcţie de parametrul real a: • dacă a < 0, atunci x1 ∈ (−e, 0), x2 ∈ (0, e); • dacă a = 0, atunci x1 = −e, x2 = e; • dacă 0 < a < 21e3 , atunci , , , , , 2 , 3 2 3 3 2 2 3 1        ∈       ∈ − −      x ∈ − ∞ − e x e e x e e       ∈ 2 , + ∞ 3 x4 e ; • dacă a = 21e3 , atunci 2 3 x1 = −e , x2 = 2 3 e ; • dacă a > 21e3 , atunci ecuaţia nu are rădăcini reale. Exerciţii propuse 1. Folosind metoda grafică, să se determine numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiilor următoare şi intervalele cărora aparţin aceste rădăcini: a) ln (x2 + 1) − x4 + 1 = 0, x ∈ R; b) sin x − (x + 1)cos x + x = 0, x ∈ [0, 4π]; c) xe−x + 1 − x = 0, x ∈ R; d) 3arctg 0, ( 1, 1) 1 1 ln +− xx − x = x∈ − ; e) 2x + x2 − 2 = 0, x ∈ R; f) 2 − x2 − arctg x = 0, x ∈ R. 2. Să se discute, după valorile parametrului m, numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiilor (folosind metoda grafică): a) x3 − mx2 − 3x + 2 = 0, x ∈ R; b) m(x + 1) − xex = 0, x ∈ R; c) 2(x + 2) 0 1 1 − 3ln xx −+ = m = , x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞); d) 4 0, [ 2, 2] 2 4 arcsin x − x ⋅ − x2 − m = x ∈ − ; e) ex − mx3 = 0, x ∈ R. 426 Manual clasa a XI-a 3. Să se discute, după valorile parametrului real m, numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiilor (folosind metoda grafică şi şirul lui Rolle): a) x2 − 4x − 6 ln(x − 2) + m = 0, x ∈ (1, +∞); b) e−x + mx = 0, x ∈ R; c) 2 shx + chx + m = 0, x ∈ R. 4.3. Reprezentarea grafică a conicelor În această secţiune, vom defini cercul, elipsa, hiperbola, parabola (numite conice) prin consideraţii de ordin geometric (ca loc geometric), vom determina ecuaţiile carteziene corespunzătoare sub formă implicită, aşa cum sunt studiate în geometria analitică, vom obţine ecuaţii explicite şi funcţiile corespunzătoare ataşate, pe care le vom reprezenta grafic respectând etapele necesare construirii graficului unei funcţii. Cercul Definiţie Cercul este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit centru. Fie date un punct fix M0(x0, y0) şi un număr real r > 0. Locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea că se află la distanţa r faţă de M0 este cercul cu centrul în punctul M0(x0, y0) şi de rază r, notat cu C(M0, r). Propoziţie. Punctele M(x, y) sunt situate pe cercul de centru M0(x0, y0) şi rază r dacă şi numai dacă verifică ecuaţia (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2, numită ecuaţia carteziană implicită a cercului. Capitolul 4. Reprezentări grafice 427 Demonstraţie În raport cu sistemul de axe de coordonate carteziene xOy, se consideră punctele M(x, y) şi M0(x0, y0), ca în figura de mai jos. Figura 20 Aplicând formula care exprimă distanţa dintre două puncte din plan, obţinem: M0M2 = (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2. Deci M(x, y) ∈ C(M0, r) verifică ecuaţia: (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2 şi reciproc. Dacă M(x, y) verifică ecuaţia (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2, se deduce succesiv: (y − y0)2 = r2 − (x − x0)2 ⇒ y − y0 = ε r2 − (x − xo )2 , unde ε ∈ {−1, 1} ⇒ y = y0 + ε r2 − (x − xo )2 . Pentru ε = 1, obţinem y = y0 + r2 − (x − xo)2 ; funcţia ataşată este: ƒ : [x0 − r, x0 + r] → R, ƒ(x) = y0 + r2 − (x − xo)2 . Construim graficul acestei funcţii. Avem de parcurs următoarele etape: 1. Pentru x = x0, rezultă ƒ(x0) = x0 + r; ƒ(x) = y0 implică x = x0 − r sau x = x0 + r. 2. Derivata de ordinul întâi este: ( ) 2 ( 0 )2 0 r x x x x f x − − ′ = − − , œx ∈ (x 0 − r, x0 + r). Ecuaţia ƒ '(x) = 0 are soluţia x = x0 ∈[x0 − r, x0 + r]. O M0 (x0, y0) M (x, y) x y r 428 Manual clasa a XI-a Avem ƒ '(x) > 0, œx ∈ (x0 − r, x0) şi ƒ '(x) < 0, œx ∈ (x0, x0 + r). 3. Derivata de ordinul doi este: ( ) [ 2 ( 0 )2 ] 2 ( 0 )2 2 r x x r x x r f x − − − − ′′ = − . Avem ƒ "(x) < 0, œx ∈ (x0 − r, x0 + r), deci ƒ este concavă. 4. Tabelul de variaţie: 5. Graficul este semicercul superior reprezentat în figura 21. Pentru ε = − 1, funcţia f− :[x0 − r, x0 + r]→ R, f−(x) = y0 − r2−(x − x0 )2 . Vom observa că graficul funcţiei ƒ− este cel din fig. 21, simetric faţă de graficul funcţiei f în raport cu dreapta y = y0 . Funcţiile ataşate cercului C (M 0 , r) sunt: i) f :[x0 − r, x0 + r]→ R, f (x) = y0 + r2 − (x − x0 )2 , pentru semicercul superior; ii) f− :[x0 − r, x0 + r]→ R, f−(x) = y0 − r2 − (x − x0 )2 , pentru semicercul inferior. ƒ(x) O M0 (x0, y0) x0 – r y0 x0 + r x y y0+r y0 Gf Figura 21 Gf− x0 Capitolul 4. Reprezentări grafice 429 Exemple 1. Considerăm f :[− 3, 3]→ R, f (x) = 2 + − x2 + 2x + 3 . Fie y = 2 + − x2 + 2x + 3 . Avem y − 2 = − x2 + 2x + 3 ⇒ (y − 2)2 = − x2 + 2x + 3 ⇒ x2 − 2x + (y − 2)2 = 3 ⇒ (x −1)2 + (y − 2)2 = 4, care reprezintă ecuaţia cercului având centrul în punctul M 0 (1, 2) şi raza r = 2. 2. Dacă M0(x0, y0) = O(0, 0), atunci x0 = 0 şi y0 = 0. Ecuaţia cercului C(O(0, 0), r) este: x2 + y 2 = r 2 . Obţinem y = ε r 2 − x2 , cu ε ∈ {− 1, 1}. Funcţiile ataşate ecuaţiei cercului sunt: f :[− r, r]→ R, f (x) = r 2 − x2 , pentru ε = 1 şi − f :[− r, r]→ R, − f (x) = − r 2 − x2 , pentru ε = − 1. Pentru construirea graficului funcţiei ataşate ecuaţiei cercului pentru ε = 1, avem tabelul de variaţie alăturat. În punctul B (0, r) , funcţia admite un maxim M = r. Observaţie: Deoarece ′( ) = −∞ →− f x x r lim şi ′( ) = −∞ → f x x r lim , rezultă că tangentele la curbă în punctele A (r, 0) , A′ (−r, 0) sunt paralele cu axa Oy. 430 Manual clasa a XI-a 2. Trasarea graficului Graficul funcţiei ƒ este semicercul 6 A′MA situat în semiplanul y ≥ 0 , ca în fig. 22. Pentru ε = −1, avem − f :[− r, r]→ R, − f (x) = − r 2 − x2 , care este simetrica faţă de Ox a funcţiei obţinute pentru ε = 1. Datorită acestei simetrii, se obţine semicercul 6 A′M ' A situat în semiplanul y ≤ 0 . Cele două semicercuri reunite reprezintă graficul cercului. Ecuaţia tangentei într-un punct L(α, β) situat pe cerc este y − y0 = ƒ'(x0)(x − x0). Înlocuind valoarea lui ƒ '(x0) şi făcând toate calculele se obţine în final formula: (x − x0 )(α − x0 ) + (y − y0 ) (β − y0 ) − r 2 = 0 . Observaţie: Pentru a se reţine uşor formula se aplică regula de dedublare: scriem ecuaţia cercului sub forma (x − x0)(x − x0) + (x − y0) (x − y0) = r2. Se înlocuieşte în primul produs într-un factor x cu α şi în al doilea produs într-un factor y cu β şi se obţine: (x − x0)(α − x0) + (x − y0) (β − y0) − r2 = 0. Exerciţii rezolvate 1. Fie cercul de ecuaţie x2 + y2 = 1. Să se scrie ecuaţiile tangentelor în punctele de pe cerc cu abscisa 2 1 . 2. Să se scrie ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie (x − 1) + y2 = 1 în punctele de pe cerc cu ordonata 2 1 . A ′(– r, 0) O A(r, 0) x y Gf G–f M M ′ r T2 T2 Figura 22 Capitolul 4. Reprezentări grafice 431 Soluţii: 1. Dreapta de ecuaţie 2 x = 1 intersectează cercul în două puncte       2 , 3 2 1 L şi       − 2 , 3 2 L' 1 . Ecuaţiile tangentelor sunt: t : x + y 3 − 2 = 0; t' : x − y 3 − 2 = 0. 2. Cercul este C(1, 0): Dreapta de ecuaţie y = 2 1 intersectează cercul în punctele       −       + 2 , 1 2 : ' 2 3 2 , 1 2 2 3 L L . Aplicând formula obţinem ecuaţiile celor două tangente: i) (x − 1)(x0 − 1) + y · y0 = 1, unde x0 2 ; 1 2 = 2 + 3 y0 = ; ii) (x − 1)(x0 − 1) + y · y0 = 1, unde 2 ; 1 2 x0' = 2 − 3 y0 = . Exerciţii propuse Să se scrie ecuaţiile tangentelor la cercurile date de următoarele ecuaţii, în punctele precizate: a) 2 x2 + y2 = 1, x0 = − 1 ; b) 2 1 x2 + y2 − 2x = 0, y0 = ; c) x2 + y2 − 2x − 2y = 0, x0 = 0 . Elipsa Definiţie Elipsa este locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanţelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă. Fie c > 0 un număr real pozitiv. Alegem un sistem de coordonate carteziene xOy astfel încât focarele elipsei sunt punctele F(c, 0) şi F ′(− c, 0). Punctele M (x, y) care se află pe elipsă verifică relaţia: MF + MF′ = 2a , unde 2a este lungimea axei mari a elipsei, a > c (fig. 23). 432 Manual clasa a XI-a Stabilirea ecuaţiei elipsei Propoziţie. Punctele M (x, y) sunt situate pe elipsa de focare F (c, 0) şi F' (−c, 0) şi axă mare de lungime 2a , cu a > c , dacă şi numai dacă verifică ecuaţia: 1 0 2 2 2 2 + − = b y a x , (1) unde b2 = a2 − c2 . Ecuaţia (1) este ecuaţia carteziană sub formă implicită a elipsei, iar 2a reprezintă lungimea axei mari a elipsei şi 2b reprezintă lungimea axei mici a elipsei. Demonstraţie În raport cu sistemul de axe de coordonate carteziene xOy, considerăm punctele fixe F(c, 0) şi F(− c, 0), c > 0, şi punctul M(x, y) astfel încât MF + MF ' = 2a, a > c. Folosind formula distanţei dintre două puncte şi ridicând succesiv la pătrat, obţinem: (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a ⇒ x2 (a2 − c2 )+ y2 a2 = a2 (a2 − c2 ). Împărţim egalitatea cu a2 (a2 − c2 )≠ 0 şi obţinem: 1 2 2 2 2 2 = − + a c y a x . Notând b2 = a2 − c2 > 0, rezultă 1 0 2 2 2 2 + − = b y a x , adică ecuaţia (1). Exprimând pe y din (1), obţinem ecuaţia carteziană sub formă explicită a elipsei: a2 x2 a b y = ε − , unde ε ∈ {− 1, 1} şi x ∈ [−a, a]. Figura 23 Capitolul 4. Reprezentări grafice 433 Din ecuaţia (1), se observă că graficul corespunzător este simetric faţă de axele de coordonate şi faţă de origine. De aceea, este suficient să se construiască graficul funcţiei f :[− a, a]→ R, ( ) a2 x2 a b f x = − , (pentru ε = 1). Avem: ( ) x ( a a) a a x bx f x , , 2 2 ∀ ∈ − − ′ = − , şi ( ) ( a2 x2 ) a2 x2 ab f x − − ′′ = − . Deoarece funcţia este definită pe un interval închis şi mărginit (care este o mulţime compactă), funcţia nu admite asimptote orizontale sau oblice. Se constată că nu admite nici asimptote verticale. Tabelul de variaţie al funcţiei ƒ este cel alăturat. Din analiza tabelului de variaţie al funcţiei, rezultă următoarele proprietăţi geometrice: 1. Graficul funcţiei intersectează axele de coordonate în punctele: A (a, 0), A′(− a, 0) ∈Ox şi B(0, b)∈Oy . 2. În punctele x = a şi x = −a, funcţia nu este derivabilă şi tangentele la grafic în A (a, 0), A′(− a, 0) sunt paralele cu axa Oy. 3. Funcţia ƒ este concavă pentru orice x ∈ (−a, a). 4. Punctul B(0, b) este punct de maxim. Bazându-ne pe aceste informaţii, trecem la trasarea graficului funcţiei ƒ (fig. 24). Ţinând seama de simetria elipsei faţă de axa Ox obţinem forma din fig. 25 (se propune ca exerciţiu trasarea graficului funcţiei − ƒ). O x y y = b x = – a x = a A ′(– a, 0) F ′(– c, 0) F (c, 0) A (a, 0) T2 T1 Gf Figura 24 O x y y = b y = – b x = – a x = a A ′(– a, 0) F ′(– c, 0) F (c, 0) A (a, 0) T2 T1 Gf G–f Figura 25 434 Manual clasa a XI-a Observaţii: 1. Pentru a = b, se obţine cercul cu centrul în origine şi raza egală cu a, de ecuaţie x2 + y2 = a2. 2. Pentru diferite valori ale lui a şi b, a > b, se obţin ecuaţii care vor reprezenta elipse raportate la axele de coordonate cu centrul de simetrie în originea sistemului de axe de coordonate. Ecuaţia tangentei la elipsa de ecuaţie 1 0 2 2 2 2 + − = b y a x într-un punct M 0(x0, y0) situat pe elipsă. Dacă folosim pentru ecuaţia tangentei formula y − y0 = ƒ '(x0)(x − x0) obţinem în final ecuaţia 1 0 2 0 2 0 − = ⋅ + ⋅ b y y a x x , cu condiţia 2 2 0 0 2 2 1 0 x y a + b − = . Pentru a reţine, se aplică regula de dedublare. Se scrie ecuaţia elipsei sub forma: ⋅2 + ⋅2 −1 = 0 b y y a x x şi se înlocuieşte un x cu x0 şi un y cu y0. Exerciţii rezolvate 1. Să se reprezinte grafic elipsa de ecuaţie 1 0 16 9 2 2 x + y − = . Rezolvare Avem a = 4, b = 3 şi c2 = 9 − 4 = 5. Punctele de intersecţie cu axele de coordonate: A(4, 0), A'(−4, 0) ∈ Ox şi B(0, 3), B'(0, −3) ∈ Oy. Focarele: F( 5, 0) şi F(− 5, 0). Funcţiile asociate ecuaţiei elipsei sunt: f :[− 4, 4]→ R, ( ) 16 2 4 3 f x = − x , şi − f :[− 4, 4]→ R, ( ) 16 2 4 3 − f x = − − x (fig. 26). O x y y = 3 x = – 4 x = 4 A ′(– 4, 0) F ′ F A (4, 0) Figura 26 Capitolul 4. Reprezentări grafice 435 2. Să se scrie ecuaţia tangentei la elipsa: 1 0 4 2 2 x + y − = , în punctul       2 L 1, 3 . Aplicând formula obţinem: 1 0 1 2 3 4 x ⋅1 + y ⋅ − = ⇒ x + 2 3y − 4 = 0. Exerciţii propuse 1. a) Să se construiască graficul elipsei de ecuaţie: 16x2 + 25y2 − 400 = 0 . b) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la elipsa de ecuaţie: 1 0 25 16 2 2 x + y − = în punctul de abscisă x0 = 5 . 2. a) Să se construiască graficul funcţiei: ƒ : [0, +∞) → R, ( ) 2 2 5 4 , 1 2 , 0 1 x x f x x x  − ≥ =   − ≤ < . b) Să se calculeze tangenta unghiului ascuţit format de semitangentele la graficul funcţiei ƒ în punctul x = 1. Hiperbola Definiţie Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care diferenţa, în valoare absolută, a distanţelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă. Fie c > 0 un număr real pozitiv. Alegem un sistem de coordonate carte- ziene xOy astfel încât focarele hiper- bolei sunt punctele F(c, 0) şi F '(− c, 0). Punctele M(x, y) care se află pe hiperbolă conform definiţiei verifică M(x, y) F(c, 0) A'(− a, 0) F'(− c, 0) y O A(a, 0) Figura 27 436 Manual clasa a XI-a relaţia: MF − MF ′ = 2a , unde 2a este distanţa dintre cele două vârfuri ale hiperbolei, a < c (fig. 27). Stabilirea ecuaţiei hiperbolei Propoziţie. Punctele M(x, y) sunt situate pe hiperbola de focare F(c, 0) şi F '(− c, 0) şi distanţa dintre vârfuri 2a, 0 < a < c, dacă şi numai dacă verifică ecuaţia: 2 2 2 2 1 0 x y a − b − = , (1) unde b2 = c2 − a2 (a < c). Ecuaţia (1) este ecuaţia carteziană sub formă implicită a hiperbolei. În sistemul de axe de coordonate xOy, fie două puncte fixe F(c, 0) şi F'(− c, 0), c > 0, şi M(x, y) un punct mobil în plan astfel încât MF − MF ′ = 2a , 0 < a < c . Folosind formula distanţei dintre două puncte şi ridicând succesiv la pătrat, obţinem: (x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 = 2a ⇒ x2 (c2 − a2 )− y2 − a2 (c2 − a2 )= 0 Împărţim egalitatea cu a2 (c2 − a2 )≠ 0 şi obţinem: 2 2 1 0 2 2 2 − = − − c a y a x . Notând b2 = c2 − a2 > 0 , rezultă: 2 2 2 2 1 0 x y a − b − = . Scoţând pe y din (1), obţinem ecuaţia carteziană sub formă explicită a hiperbolei: y = ε x2 a2 a b − , unde ε ∈ {− 1, 1}. Din ecuaţia (1), se observă că graficul corespunzător este simetric faţă de axele de coordonate şi faţă de origine. Hiperbola este reuniunea graficelor funcţiilor opuse: ƒ : (−∞, −a] ∪ [a, +∞) → R, ( ) x2 a2 a b f x = − (pentru ε = 1) şi −ƒ : (−∞, −a] ∪ [a, +∞) → R, ( ) x2 a2 a b − f x = − − (pentru ε = −1). De aceea, este suficient să construim graficul funcţiei ƒ, urmând ca graficul pentru − ƒ să se traseze prin simetrie. Pentru reprezentarea grafică a funcţiei ƒ avem următoarele etape: 1. Domeniul de definiţie: x ∈ (−∞, − a] ∪ [a, +∞). Capitolul 4. Reprezentări grafice 437 2. Intersecţia cu axele de coordonate: A(a, 0) şi A'(−a, 0), numite vârfurile hiperbolei. 3. Asimptote: Graficul nu admite asimptote verticale sau orizontale. Studiem existenţa asimptotelor oblice spre −∞ şi +∞. ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 lim lim lim lim x x x x a a x x f x b x a b x b x b m →−∞ x a →−∞ x a →−∞ x a →−∞ x a − − − − = = = = = − , ( ) ( 2 2 ) 2 2 2 lim lim lim 0 x x x b b a n f x mx a x a x a x a x →−∞ →−∞ →−∞ − =  −  = − + = = − + . Deci, dreapta de ecuaţie x a b y = − este asimptotă oblică spre −−−− ∞∞∞∞. Analog avem lim ( ) x f x b m = →+∞ x = a şi lim ( ) 0 x b n f x a x →+∞ =  −  =   . Deci, dreapta de ecuaţie x a b y = este asimptotă oblică spre +∞∞∞∞. 4. Studiul continuităţii: Avem: ( 0) lim ( ) lim 2 2 0 x a x a x a x a b f a f x x a − − = <→−− = a ⋅ <→−− − = şi ( 0) lim 1 ( ) lim 2 2 0 x a x a x a x a b f a f x x a a → → < < + = = ⋅ − = , deci ƒ este continuă pe (−∞, −a] ∪ [a, +∞). 5. Derivata de ordinul întâi: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b x a bx f x a x a a x a − ′ ′ = = − − . Avem ƒ '(x) < 0, œx ∈ (− ∞, − a) şi ƒ '(x) > 0, œx ∈ (a, +∞). 6. Derivata de ordinul doi: ( ) 2 2 (x2 a2 ) x2 a2 ab x a x a b f x − − = − ′       − ′′ = ⋅ . Observăm că derivata de ordinul doi nu se anulează, deci nu există puncte de inflexiune. Avem ƒ"(x) < 0, œx ∈ (− ∞ − a) ∪ (∞, +∞), deci ƒ este concavă. − 438 Manual clasa a XI-a Tabelul de variaţie al funcţiei ƒ este cel de mai jos. Observaţie: În punctele x = −a şi x = a , funcţia f nu este derivabilă, însă admite derivate laterale infinite. În aceste puncte, tangentele la grafic sunt paralele cu axa Oy . 7. Graficul funcţiei ƒ este reprezentat în fig. 28. Graficul hiperbolei de ecuaţie 2 2 2 2 1 0 x y a − b − = va fi format din reuniunea graficelor funcţiilor f şi − f şi va arăta ca în fig. 29 Figura 28 Figura 29 Cazuri particulare 1. Dacă a = b , atunci ecuaţia carteziană sub formă implicită a hiperbolei este: x2 − y 2 = a2 . Hiperbola care are această ecuaţie se numeşte hiperbolă echilateră şi admite ca asimptote oblice dreptele de ecuaţii: y = x şi y = − x (bisectoarele axelor de coordonate). În acest caz, focarele hiperbolei sunt F (a 2, 0) şi F′(−a 2, 0) . Graficul este reprezentat în fig. 30. F ′(– c, 0) A ′(– a, 0) F (c, 0) M (x, y) A (a, 0) x y O a y =– –b x a y=–bx x = – a x = a F ′(– c, 0) A ′(– a, 0) F (c, 0) M (x, y) A (a, 0) x y O a y =– –b x y=–abx x = – a x = a F ′(– a√2 , 0) A ′ A x y O – x y = x y = x = – a x = a F(a √ 2, 0 ) Figura 30 Capitolul 4. Reprezentări grafice 439 2. Un alt tip de hiperbolă echilateră, cu aplicaţii în fizică (legea lui Boyle-Mariotte: p · v = constant la temperaturi constante), în geometrie etc. are ecuaţia implicită: x · y = k2, k ∈ R, k ≠ 0. Reprezentând grafic funcţia g : R \ {0}→R, g(x) kx 2 = , se obţine graficul hiperbolei echilatere de ecuaţie x · y = k2, care admite ca asimptote axele de coor- donate (fig. 31). Figura 31 Tangenta la hiperbola de ecuaţie 2 2 2 2 1 0 x y a − b − = , într-un punct M(x0, y0) situat pe hiperbolă. Ca şi în cazul elipsei, vom scrie ecuaţia tangentei utilizând formula y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) , unde ( ) x2 a2 a b y = f x = − (cazul ε = 1). Înlocuind şi efectuând toate calculele se obţine formula: 0 0 2 2 1 0 x x y y a b ⋅ ⋅ − − = (regulă de dedublare) cu condiţia 2 2 0 0 2 2 1 0 x y a − b − = (fig. 33). Observaţie: Regula de dedublare se aplică astfel: scriem ecuaţia hiperbolei sub forma ⋅2 − ⋅2 −1 = 0 b y y a x x . Apoi se înlocuieşte un x cu x0 şi un y cu y0. Observaţie: În mod asemănător se procedează şi pentru cazul ε = − 1. (Se propune ca temă). Exerciţiu rezolvat Se dă hiperbola de ecuaţie 2 2 1 0 8 6 x − y − = . 1. Să se determine elementele hiperbolei şi să se construiască graficul său. 2. Să se determine coordonatele punctelor unde paralela prin unul dintre focare la axa Oy intersectează hiperbola şi să se scrie ecuaţia tangentelor la hiper- bolă în aceste puncte. F ′(– k√ , – k√ ) F ′(– k√ , – k√ ) A′(– k, – k) y x O A (k, k) 2 2 2 2 440 Manual clasa a XI-a 3. Să se arate că cele două tangente la hiperbolă se intersectează pe axa Ox. Rezolvare: 1. Elementele hiperbolei sunt: a2 = 8 ⇒ a = 2 2; b2 = 6 ⇒ b = 6; a2 + b2 =100 ⇒ c =10 . a) Coordonatele vârfurilor sunt: A(− 2 2, 0) şi A′(2 2, 0). b) Coordonatele focarelor sunt: F(10, 0) şi F ′(−10, 0) . c) Ecuaţiile asimptotelor sunt: y x 2 = 3 şi y x 2 = − 3 . 2. Rezolvând sistemul:      − − = = 1 0 8 6 10 x2 y2 x , se obţin punctele: M (10, 69 ) şi M ′(10, − 69 ) . Ecuaţiile tangentelor sunt: 15x − 2 69y −12 = 0 şi 15x + 2 69y −12 = 0 . 3. Se observă că punctul de intersecţie a celor două tangente este 4 , 0 P 5   ∈     Ox. Probleme propuse 1. Să se construiască graficul funcţiei ƒ : (0, +∞) → R, ( )      − < < − ≥ = 1 1, 0 1 2 1, 1 x x x x f x . 2. Să se determine ecuaţiile tangentelor la următoarele hiperbole în punctele indicate: a) 1 0; 5 4 9 0 2 2 x − y − = x = , y0 2 = 3 ; b) 1 0; 3 2, 2 9 4 0 0 2 2 x − y − = x = − y = . Capitolul 4. Reprezentări grafice 441 Parabola Definiţie Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit focar, şi o dreaptă fixă, numită directoare. Fie p > 0 un număr real dat. Alegem un sistem de coordonate carteziene xOy astfel încât focarul parabolei este punctul de coordo- nate       ,0 2 p F , iar dreapta directoare are ecua- ţia 2 p x = − . Figura 32 Punctele M(x, y) care se află pe parabolă verifică relaţia: MF = ML unde ML este distanţa de la punctul M la dreapta d (fig. 32). Stabilirea ecuaţiei parabolei Propoziţie. Punctele M(x, y) sunt situate pe parabola de focar       , 0 2 p F , p > 0, şi directoare 2 p x = − dacă şi numai dacă verifică ecuaţia: y2 = 2 px (1) şi reciproc, numită ecuaţia carteziană sub formă implicită a parabolei. Demonstraţie În raport cu sistemul de axe de coordonate, se consideră punctul fix       , 0 2 p F şi dreapta d de ecuaţie: 2 p x = − şi M (x, y) un punct mobil în plan astfel încât MF = ML , unde ML este distanţa de la punctul M (x, y) la dreapta d. Deoarece M (x, y) este pe parabolă, condiţia geometrică MF = ML se transformă în ecuaţia: y2 = 2 px , p > 0 . O F ( , 0) M (x, y) x y L (– –p , 0) 2 – – – – – p p p 2 2 2 d x= 442 Manual clasa a XI-a Vrem să reprezentăm grafic curba de ecuaţie y2 = 2 px , p > 0 . Evident x ≥ 0 şi explicitând pe y din (1), obţinem ecuaţia carteziană sub formă explicită a parabolei: y = ε 2 p x , unde ε ∈ {−1, 1}. Parabola va fi reuniunea graficelor funcţiilor: ƒ : [0, +∞) → R, f (x) = 2 p x şi −ƒ : [0, +∞) → R, − f (x) = − 2 p x . Reprezentăm grafic funcţia ƒ, parcurgând etapele următoare: 1. Domeniul de definiţie: x ∈ [0, +∞). 2. Intersecţia cu axele de coordonate: Graficul funcţiei ƒ trece prin originea axelor de coordonate. 3. Funcţia ƒ nu admite asimptote. 4. Derivata de ordinul întâi: ( ) x p x f x p 1 2 2 1 ′ = 2 ⋅ = ⋅ ; ƒ'(x) > 0, œ x ∈ (0, +∞). 5. Derivata de ordinul doi: ( ) 1 '' 2 2 2 2 f x p x p x x  ′ − = ⋅  =   ⋅ . Derivata de ordinul doi nu se anulează; ƒ nu are puncte de inflexiune. ƒ"(x) < 0, œx ∈ (0, +∞). 6. Tabelul de variaţie al funcţiei ƒ este cel de mai jos: 7. Graficul funcţiei f este reprezentat în figura 33. În punctul x = 0 , funcţia nu este derivabilă, fd′ (0) = + ∞ şi tangenta este axa Oy . Parabola este reuniunea dintre graficul funcţiei f şi al funcţiei − f şi se reprezintă grafic ca în figura 34. 0 | | Capitolul 4. Reprezentări grafice 443 Figura 33 Figura 34 Observaţie Elementele parabolei de ecuaţie y2 = 2 px sunt: coordonatele focarului şi ecuaţiile directoarei la parabolă. Este suficient să se cunoască o singură condiţie pentru determinarea parametrului p şi, implicit, pentru determinarea ecuaţiei parabolei. Pentru stabilirea ecuaţiei tangentei la parabola y2 = 2px, p > 0 într-un punct M(x0, y0) se utilizează formula pentru ecuaţia tangentei y − y0 = ƒ '(x0)(x − x0), unde y = f ( x) = 2 p x . După înlocuire şi efectuarea tuturor calculelor se ajunge la formula: y ⋅ y0 = p(x + x0 ) cu condiţia y02 = 2px0 (se aplică regula de dedublare: y · y = p(x + x) ⇒ y · y0 = p(x + x0)). Figura 35 444 Manual clasa a XI-a Exerciţii propuse I. 1. Să se construiască graficele funcţiilor: f :[0, + ∞ ) → R, f (x) = 5x şi g : ( − ∞ ,0) → R, g(x) = − 5x . 2. Se dă parabola de ecuaţie y 2 = 9x . Să se construiască graficul tangentei la parabolă în punctul x0 =1 şi y0 > 0. 3. a) Să se construiască graficul funcţiei f :[0, + ∞ ) → R, ( ) 2 2 , (0, 1) , 1 x x f x x x  − ∈ =   ≥ . b) Să se construiască graficele funcţiilor f :[− 2, 2]→ R, ( ) 4 2 2 3 f x = − x şi g :[0, + ∞ ) → R, g(x) = 3x şi să se determine coordonatele punctelor de intersecţie ale acestora. II. Să se reprezinte grafic următoarele funcţii ƒ : D → R, unde D este domeniul de definiţie corespunzător fiecărei funcţii (urmând a fi determinat). 1. 2 2 1 4 ( ) 2 − + − = x x x f x . 2. ( ) 1 | x | x f x = + . 3. ƒ(x) = 4x3 – 3x. 4. ƒ(x) = | (x + | x |)2 – x2 · | x ||. 5. ( 2) | | · ( 1) ·| 1| f (x) = x xx+ x ++ x x + . 6. 2 ( ) 3 2 2 x f x = x + . 7. f (x) =| x | + | 2x − x2 | . 8. f x x x 1 ( ) =| −1| + . 9. f x x x 1 1 ( ) 3 = − . 10. 1 1 ( ) 2 2 + − = x x f x . 11. 2 ( 1)2 · ( 2) ( ) x x x f x = − + . 12. 3 2 2( 1) ( ) 2 − + − = x x x f x . 13. 2 1 2 ( ) 2 4 + + = x x f x . 14. x x f (x) = 3 +1 . x ∈ [0, 1) Capitolul 4. Reprezentări grafice 445 15. | | | | 1 ( ) · x x f x = x − . 16. f (x) = x2 − x2 − 2x +1 . 17. f (x) = x + |1− x2 | . 18. ( ) 1 · 2 2 2 = − x + x x f x . 19. f (x) = (x +1) · x + 2 . 20. f (x) = x2 + 4x + 29 − x2 − 2x + 2 . 21. f (x) = x − 9+ 6x −3x2 . 22. f (x) = x + 4x − 4 x − x + 9 − 6 x . 23. ( ) 3 a3 x3 a b f x = − , unde 0 < b <2a. 24. f x ln x 1 ( ) = . 25. ƒ(x) = 2 ln |x + 2|. 26. x x x x f x + +− − = 1 1 ln 1 2 ( ) 2 . 27. 2 1 f (x) = ln ex + . 28. x x e e f x + + = 1 2 ( ) . 29. ƒ(x) = x – 2 – 2 ln | x |. 30. 2( 2 2) ( ) arcsin 2 + + = x x x f x . 31. f (x) = arcsin x − x · 1− x2 . 32. x x f x 2 cos sin ( ) = − . 33. (cos sin )(cos sin ) 1 cos ( ) 2 x x x x x f x − + − = . 34.      = π ≠ π = x k x k x x f x 0, , sin sin3 ( ) . 35. x x f x cos2 cos ( ) = . 36. x x f x 1 cos 1 sin ( ) = −− . 446 Manual clasa a XI-a Exerciţii recapitulative Test 1 1. Să se calculeze: 4 [1 22 ] [2 32 ] [ ( 1)2 ] lim an a a n n a n ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +…+ + ⋅ →∞ , a > 0, unde [x] reprezintă partea întreagă a numărului real x. 2. Să se arate că următoarele funcţii sunt periodice şi să se indice pentru fiecare funcţie perioada principală: a) ƒ : R → R, ƒ(x) = cos2 x – 3 sin x cos x; b) ƒ : R → R, ƒ(x) = 2x – [2x]. Demonstraţi că funcţiile menţionate nu admit asimptote. 3. Se consideră funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) =     + − ∈ +∞ + + ∈ −∞ ln( 2), dacă [3, ) , dacă ( ,3) 3 1 2 3 ax b x x x bx a x . Să se determine a, b ∈ R, ştiind că funcţia este derivabilă pe R. Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei în P(3, ƒ(3)). 4. a) Să se reprezinte grafic ƒ : (0, +∞) → R, ƒ(x) = 2 2ln 1 x x − . b) Folosind şirul lui Rolle sau metoda grafică, să se discute ecuaţia: mx2 = 2ln x − 1, m ∈ R. Test 2 1. Aplicând criteriul majorării şirului (an)n≥1, de termen general 8 14 (6 2) 5 11 (6 1) ⋅ ⋅…⋅ + = ⋅ ⋅…⋅ − n n an , să se calculeze n n a →∞ lim . 2. Stabiliţi care dintre funcţiile următoare au proprietatea lui Darboux pe domeniul maxim de definiţie: a)     + > − ≤ ≤ = 2 2, 1 3 , 0 1 ( ) x x x x f x ; b) ƒ(x) = min (2x, x2 − 3). 3. Fie funcţia ƒ : [a, b] → R, 0 < a < b, continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b). Să se arate că există c ∈ (a, b) astfel încât Exerciţii recapitulative 447 ( ) '( ) ( ) ( ) 1 f c cf c f a f b a b a − b = − . 4. Să se reprezinte grafic funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = 3−2 x e|x+1| . Test 3 1. Fie şirul (xn)n≥0 astfel încât x0 = a ∈ [2, 3], xn+1 = xn2 − 4n + 6 , pentru orice n ∈ N. a) Să se demonstreze că şirul este convergent şi să se calculeze n n x →∞ lim . b) Să se stabilească forma termenului general xn. 2. Se consideră funcţia ƒ : [a, b] → [a, b], continuă pe [a, b]. Să se demonstreze că există cel puţin un punct u ∈ [a, b] astfel încât ƒ(u) = u. 3. Se consideră funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) = max(x2 +3x + 2, − x2 + 6x + 7), x ∈ R. Să se studieze continuitatea şi derivabilitatea funcţiei pe R şi apoi să se indice punctele de extrem. 4. Se consideră funcţia ƒ : R \ {−1, 3}→ R, ƒ(x) = 2 2 3 2 − − + x x ax bx ; a, b ∈ R. a) Să se determine a şi b ştiind că funcţia admite un singur punct de extrem, şi anume P       4 1 1, . b) Pentru a = 1, b = − 2 să se reprezinte grafic funcţia. c) Să se discute ecuaţia m (x2 − 2x − 3) = x2 − 2x, m ∈ R. Test 4 1. Fie şirul (an)n≥1 astfel încât ∑ = = = + n k Sn ak n n 1 2 2 3 . a) Să se calculeze: 3 lim 1 n k a n k k n ∑ = →∞ ⋅ ; b) Să se calculeze: ∑ →∞ =      + − n n k 1 k (2 1)2 4 lim ln 1 . 2. Să se arate că ecuaţia cu coeficienţi reali a0x2n + a1x2n–1 +…+ a2n–1x + a2n = 0 admite cel puţin o rădăcină în (−1, 1) dacă este verificată relaţia: 0. 2 1 2 1 2 3 12 0 2 4 +…+ = + + − + − a n n a n a n a 448 Manual clasa a XI-a 3. Să se calculeze parametrii reali a şi b astfel încât graficul funcţiei ƒ : R → R, ƒ(x) = 3 ax3 +bx2 să admită dreapta de ecuaţie 3 1 y = 2x − ca asimptotă oblică (spre −∞ şi spre +∞). 4. Se consideră funcţia ƒ : D → R, ƒ(x) = 2( 1) 1 arcsin 2 + − x x , D fiind domeniul maxim de definiţie. a) Să se determine mulţimea D. b) Să se calculeze ƒ' , ƒ" şi asimptotele funcţiei. Test 5 1. Să se calculeze: a) lim( 3 +1 + 3 + 2 + 3 +3) ←∞ a n b n c n n , dacă a, b, c ∈ R. Discuţie după a, b, c ∈ R. b)       + − + + + →∞ 4 3 2 1 lim n n n n nk n , discuţie după k ∈ N. 2. Folosind proprietăţile funcţiilor continue pe intervale, să se rezolve inecuaţiile pe [0, 2π]: a) 2 cos x − 1 ≤ 0; b) sin 2x − cos 2x ≥ 0. 3. Să se calculeze derivatele de ordinul n pentru următoarele funcţii definite pe domeniul maxim: a) 2 2 3 ( ) 2 + − = − x x x f x ; b) ƒ(x) = (x2 − x + 1)e–x; 4. Să se arate că oricare ar fi x ∈ [0, + ∞) are loc inegalitatea: 1 3 9 1 1 3 + x − x2 ≤ 3 + x ≤ + x . Test 6 1. Se consideră şirul (xn)n≥1 pentru care x0 = 2 a , 0 < a ≤ 1, 2 2 2 xn = a + xn−1 , oricare ar fi n ≥ 2. Să se demonstreze că şirul este convergent şi să se determine n n x →∞ lim . 2. Să se calculeze: a) 2 0 (sin ) lim + → − n n n x x x x , n ∈ N*; b) x x x e x + − → 1 0 (1 ) lim ; 3. Se consideră funcţia ƒ : [a, b] → R continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b). Să se arate că există cel puţin un punct c ∈ (a, b) astfel încât Exerciţii recapitulative 449 c b f a f c f '(c) = ( )−− ( ) . 4. a) Să se reprezinte funcţia ƒ : R \ {−2} → R, 2| 2| 4 4 f (x) = x2 −x +x + . b) Să se determine valorile parametrului a ∈ R, astfel încât mulţimea A = {x ∈ R | x2 − 4x + 4 = 2a |x + 2|} să conţină trei elemente. Test 7 1. Fie (an)n≥0 un şir de numere reale astfel încât an+1 = an − an3 , oricare ar fi n ≥ 0. Să se arate că dacă 0 < a0 < 1, atunci lim = 0 n→∞ n a şi apoi să se calculeze lim n2 . n na →∞ 2. Să se demonstreze că funcţia ƒ : (1, +∞) → R, ƒ(x) = x x     1+ 1 este crescătoare, iar funcţia g : (1, +∞) → R, g(x) 1 1 1 +  =  +  x x este descrescătoare. 3. Să se calculeze: a) x x x x x cos 1 cos cos2 lim 3 0 − ⋅ → ; b) lim (2sin2 2 3cos ) 3 2 x x x − → π ; 4. Să se reprezinte grafic funcţia ƒ : (0, +∞) → R definită prin: ( 1) ln ( 8) ( ) lim 2 + + − = →∞ n n n x x x x x f x . Test 8 1. Să se calculeze limita şirului (xn)n≥1 pentru care n n n a a a a a x 2 4 2 2 1 (1 ) + + +…+ + +…+ = (discuţie după a ∈ R+). 2. Să se demonstreze că dacă ƒ : R → R este o funcţie continuă pe R şi ( ) 2 3 f x = f x      , oricare ar fi x ∈ R, atunci ƒ este constantă pe R. 3. Fie funcţia ƒ : R → R, ƒ(x) =     − ≥ + + + < arctg ( 1), 1 3 2 , 1 x x x ax bx c x . Ştiind că ƒ este de două ori derivabilă pe R, să se determine a, b, c. 4. Să se demonstreze inegalitatea: 3 4 2(3 2) ln(3x +3) ≥ xx++ , oricare ar fi . x ≥ − 23 450 Manual clasa a XI-a Test 9 1. a) Fie (an)n≥0 un şir de numere reale astfel încât a0 = 1 şi 2 1 4 an+1 = 3 an + , oricare ar fi n ∈ N. Să se demonstreze că şirul este convergent şi să se calculeze n n a →∞ lim b) Să se arate că şirul (bn)n≥1, bn = an − 2 constituie o progresie geometrică şi apoi să se determine an în funcţie de n. 2. a) Să se cerceteze continuitatea funcţiei ƒ : R → R, nx nx n e x x e f x + + − = →∞ 1 1 (2 ) ( ) lim 2 , oricare ar fi x ∈ R. b) Reprezentaţi grafic funcţia ƒ. 3. Fie funcţia ƒ : (−∞, 4) → R, ƒ(x) = ln(4 − x). a) Calculaţi ƒ (n)(x), n ∈ N*. b) Determinaţi ∑ = ⋅ = − n k k n k f k S 1 ( ) (3), ( 1)! n ∈ N*. c) Calculaţi lim 1 . n 2 n S →∞ n 4. Se consideră funcţia ƒ : (−1, +∞) → R, ƒ(x) = − x2 + x − ln(x + 1). a) Să se reprezinte grafic funcţia. b) Să se discute rădăcinile reale ale ecuaţiei: x2 − x + ln(x + 1) + m = 0, m ∈ R. Probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori 1. Se consideră funcţia f : R → R, f (x) = x2ex. a) Să se calculeze f '(x), x ∈ R. b) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că f (n)(x) = ex · (x2 + 2nx + n(n – 1)), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R. c) Să se arate că ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1⋅ 2 + 2 ⋅3 +K+ n −1 ⋅ n = n − ⋅ n⋅ n + , ∀ n ∈ N, n ≥ 2. d) Să se calculeze ( ) ( ) ( )( ) 3 ' 0 '' 0 0 lim n f f f n n + + + →∞ K . Exerciţii recapitulative 451 2. Se consideră funcţiile f , g : R → R, f (x) = arctg x, g (x) = arctg x – x şi şirul (an)n ∈ N*, definit prin a0 = 1 şi an+1 = f (an), ∀ n ∈ N. a) Să se calculeze f '(x) şi g '(x), x ∈ R. b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe R şi că funcţia g este strict descrescătoare pe R. c) Să se arate că g (x) = 0 dacă şi numai dacă x = 0. d) Să se arate că şirul (an)n ∈ N* este strict descrescător şi mărginit. e) Să se calculeze n n a →∞ lim . f) Să se calculeze n n n a a 1 lim + →∞ . 3. Se consideră funcţiile f : (– 1, ∞) → R, f (x) = ln(1 + x) – x şi g : (– 1, ∞) → R, ( ) ( ) 2 ln 1 x2 g x = + x − x + . a) Să se verifice că ( ) x x f x + − = 1 ' şi ( ) x x g x + = 1 ' 2 , ∀ x > –1. b) Să se calculeze f '(0) şi g'(0). c) Să se arate că f (x) < 0 < g (x), ∀ x > 0. d) Să se arate că 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2, ∀ n ∈ N*. e) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că ( ) ( ) 3 4 1 1 3 5 2 1 2 2 + 2 + 2 +K n − 2 = n n − , ∀ n ∈ N*. f) Să se calculeze             −  + + +       + +      + →∞ 2 2 2 2 1 lim ln 1 1 ln 1 3 ln 1 n n n n n K . 4. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → R, f (x) = xlna – alnx, unde a ∈ R, a > 0. a) Să se calculeze f '(x), x > 0. b) Să se calculeze f (a) şi f '(a). c) Utilizând teorema lui Fermat să se determine a > 0 cu f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0, ∞). d) Să se arate că ex ≥ xe, ∀ x ∈ (0, ∞). e) Să se arate că pentru x > 0, avem ex = xe dacă şi numai dacă x = e. f) Să se determine numerele reale c, b > 0, cu cx + bx ≥ xc + xb, ∀ x ∈ (0, ∞). 5. Se consideră funcţiile f : R → R, ( ) 3 arctg x3 f x = x − x + , g : R → R, ( ) ( ) 5 x5 g x = f x − , h : R → R, h(x) = arctg x. a) Să se calculeze f '(x), x ∈ R. 452 Manual clasa a XI-a b) Să se calculeze ( ) 0 5 lim x f x x→ . c) Să se calculeze g'(x), x ∈ R. d) Să se verifice că f '(0) = g'(0) = 0. e) Să se arate că 3 5 arctg 3 3 x3 x5 x − x < x < x − + , ∀ x > 0. 6. Se consideră funcţia f : [0, ∞) → R f (x) = xα – αx, unde α ∈ (0, 1). a) Să se calculeze f '(x), x > 0. b) Să se arate că f '(x) > 0, ∀ x ∈ (0, 1) şi f '(x) < 0, ∀ x ∈ (1, ∞). c) Să se deducă inegalitatea xα – αx ≤ 1 – α, ∀ x > 0. d) Alegând b a x = , a, b > 0 şi notând β = 1 – α, să se arate că aαbβ ≤ αa + βb, ∀ α, β > 0 cu α + β = 1. e) Să se arate că q t p s st p q ≤ + , ∀ t > 0 şi ∀ p, q > 1 cu 1 + 1 = 1 p q . f) Utilizând inegalitatea de la punctul e), să se arate că, dacă a1, ..., an şi b1, ..., bn sunt numere reale strict pozitive şi p, q > 1 cu 1 + 1 = 1 p q , atunci a1b1 +K+ anbn ≤ (a1p +K+ anp )1p ⋅(b1q +K+ bnq )1q . 7. Se consideră şirurile ( ) ∈ = + + + 1 − ln + 23  2 1 an n N, an 1 K n n , ∀ n ∈ N*, ( ) ∈ = + + + 1 − ln + 12  2 1 bn n N, bn 1 K n n , ∀ n ∈ N* şi funcţiile f : (0, ∞) → R şi g : (0, ∞) → R,        + +      − + + = 2 1 ln 2 3 ln 1 1 ( ) x x x f x ,        + +      − + + = 3 2 ln 3 5 ln 1 1 ( ) x x x g x . a) Să se calculeze f '(x) şi g '(x), x > 0. b) Să se arate că lim ( ) = 0 →∞ f x x şi lim ( ) = 0 →∞ g x x . c) Să se verifice că f '(x) > 0, ∀ x > 0 şi g '(x) < 0, ∀ x > 0. d) Utilizând rezultatele de la punctele b) şi c), să se arate că f (x) < 0 < g (x), ∀ x > 0. e) Să se arate că şirul (an)n∈N* este strict crescător şi şirul (bn)n∈N* este strict descrescător. f) Să se arate că n bn an 6 1 0 < − < , ∀n ∈ N*. Exerciţii recapitulative 453 8. Se consideră funcţiile: f, g : R → R, 6 120 ( ) sin x3 x5 f x = x − x + − şi g (x) = sin x2. a) Să se calculeze f (5)(x), x ∈ R. b) Să se verifice că f (0) = f '(0) = ... = f (5)(0) = 0. c) Să se calculeze 0 7 ( ) lim x f x x→ . d) Să se arate că f (5)(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R. e) Să se arate că 6 120 sin 6 3 x3 x5 x − x ≤ x ≤ x − + , ∀ x ≥ 0. 9. Se consideră şirurile (an)n∈N* şi (bn)n∈N*, 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 n an = + + +K+ şi 2 2 2 1 bn = an + n⋅ n , ∀ n ∈ N*. a) Să se arate că şirul (an) n∈N* este strict crescător. b) Să se arate că şirul (bn)n∈N* este strict descrescător. c) Să se arate că şirurile (an)n∈N* şi (bn)n∈N* sunt mărginite. d) Să se arate că şirurile (an)n∈N* şi (bn)n∈N* sunt convergente şi au aceeaşi limită. e) Notăm cu a ∈ R limita şirului (an)n∈N*. Să se arate că numărul a este iraţional. 10. Se consideră şirurile (an)n ≥ 1 şi (bn)n ≥ 1, definite prin ! 1 2! 1 1! 1 1 n an = + + +K+ şi n n bn an ⋅ = + ! 1 , ∀ n ∈ N*. Admitem cunoscut că şirul (an)n ≥ 1 este convergent către e. a) Să se verifice că şirul (an)n ≥ 1 este strict crescător. b) Să se arate că şirul (bn)n ≥ 1 este strict descrescător. c) Să se arate că an+1 < e < bn, ∀ n ∈ N*. d) Utilizând inegalităţile de la punctul c) să se arate că (n ) e an n!n 1 1 ! 1 < − < + , ∀ n ∈ N*. e) Utilizând inegalităţile de la punctul d) să se arate că numărul e este iraţional. 454 Manual clasa a XI-a Răspunsuri Algebră Cap. 1. Cap. 1. Cap. 1. Cap. 1. Permutări Pag. 9 1. a) impară; b) impară; c) pară. 3. a) 1 2 1 2 ; b) 2 3 13 1 2 ; 3 4 1 2 1 2 3 4 ; d) 2 3 5 4 8 7 6 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . Cap. 2. Cap. 2. Cap. 2. Cap. 2. Matrice Pag. 25 1. În general răspunsul este negativ. Dacă A este inversabilă, atunci afirmaţia este adevărată. 2. a) t (A⋅ tA)= t( t A) ⋅ tA = A ⋅ tA. t (A+ tA)= tA + t( t A) = tA+ A = A+ t A. b) t (A− t A) = t A− t( t A) = t A− A = −(A− t A). 3. A = B + C, unde ( ). 2 1 ( ) , 2 1 B = A+ t A C = A− t A 4. A · B = (0 0 0) = O1×3. 5. t(Ak) = t(A…A) = (tA)k . k-ori 9. A = I3 + B, unde        = 0 0 0 0 0 3 0 2 0 B . Atunci B3 = O3. Pentru k ∈ N*, Ak =(I3 + B)k = I3 + kB + Ck2B2 . Analog pentru k < 0. 10. B = 2 1 (A + tA), C = 2 1 (A – tA). 12. Răspunsul este negativ. 14. [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = (AB – BA)C – C(AB – BA) + + (BC – CB)A – A(BC – CB) + (CA – AC)B – B(CA – AC) = = ABC – BAC – CAB + CBA + BCA – CBA – ABC + ACB + + CAB – ACB – BCA + BAC = 0. Răspunsuri 455 Ca Ca Ca Cap. 3. p. 3. p. 3. p. 3. Determinanţi Pag. 32 1. a) 2 12 a a − ; b) 1; c) = –3; d) 0; e) 0; f) 1 – 2x2; g) x – 1; h) 4011. 2. c) (b – a)(c – a)(c − b); d) a; e) 0; g) sin (z – y) − 2 sin (z − x) + 3 sin (y − x). Pag. 49 1. Alegem un sistem cartezian de coordonate, astfel încât, A(0, a), B(b, 0), C(c, 0). 2. Două drepte paralele cu AB. 3. A[ABCD] = A[ABD] + A[ADC]. Se foloseşte formula ariei unui triunghi. 7. . 3 11 , 3 a = 1 b = − Cap. 4. Cap. 4. Cap. 4. Cap. 4. Sisteme de ecuaţii Pag. 54 1. A, B inversabile, C neinversabilă. D este neinversabilă ⇔ a, b, c, d sunt distincte. 7. A–1 = BC ⇒ (BC)A = A–1A = In. C–1 = AB ⇒ C(AB) = In. 9. det (AB–1C–1A–1BC) = (det A)(det B)–1 · (det C)–1 · (det A)–1 · (det B) · (det C) = 1. 10. A este inversabilă ⇔ det A ≠ 0 ⇔ (1 – m)x2 + 2x − 2m + 3 ≠ 0, œx ∈ R. Soluţia este m ∈ (−∞, 2 1 ) ∪ (2, +∞). Pag. 69 1. a) . 23 65 , 23 x = 6 y = j) x = 0, y = 1. 2. x = y = z = 1. 3. Se logaritmează în baza 10 şi se obţine un sistem liniar cu 3 necunoscute de tip Cramer. 4. Se foloseşte determinantul Vandermonde. Pag. 96 1. α = 2, β = 3, x = y =1. 2. Dacă α ∈ R \ {1, − 2}, sistemul este de tip Cramer. Dacă α = 1, distingem două cazuri: • β = 0 ⇒ x = − λ − µ, y = α, z = µ; α, µ ∈ R. • β ≠ 0 ⇒ sistem incompatibil. Dacă α = − 2, β = 0 ⇒ x = y = z = λ ∈ R. Dacă α = − 2, β ≠ 0 ⇒ sistem incompatibil. 3. Se foloseşte calculul determinantului Vandermonde. 11. Adunând toate ecuaţiile, obţinem x1 = x2 = x3 = x4 = 0. 456 Manual clasa a XI-a Analiză matematică Cap. 1. Cap. 1. Cap. 1. Cap. 1. Limite de funcţii Pag. 203 1. an → e; 2. 4 π ; 3. → 3 n n b a ; 4. 1; 5. an → e; 6. 1; 7. 3 2 ; 8. an →ln ab ; 9. +∞; 10. se amplifică cu conjugata; 11. se aplică 1 ln 1 lim 2 2  =     + →∞ n k n k n ; 13. 1; 14. i) a1 + a2 + … + ak > 0 ⇒ ⇒ +∞; ii) a1 + a2 + … + ak = 0; iii) a1 + a2 + … + ak < 0 ⇒ −∞; 15. bn < 8 1 5 n + , bn → 0; 16. +∞; 17. lim (1 bc)(1 c) ac xn n − − = →∞ ; 18. lim = ln 2 n→∞ n a ; 19. a) 2 ( +1) → a a an e ; b) 3 2 [ ( )] a+ f a ; 20. 1; 21. xn ste monoton descrescător şi xn → 0; 22. xn → a +2 b ; 23. 4 3 ; 25. xn → 0; 26. a) an → 2 1 ; b) 2 1 ; c) 2 1 ; d) 2 π ; 28. şirul an este periodic; 29. an + 1 < a. Pag. 206 1. şirul este periodic, deci este mărginit; 2. Se arată că şirul (an)n≥1, conţine un subşir cu limita +∞; 3. şirul conţine două subşiruri cu limita +∞; 4. 2 a ; 5. 2; 6. bn → ±∞; 7. an → 2k +1+2 4k +1 . Cap. 2. Cap. 2. Cap. 2. Cap. 2. Continuitate Pag. 284 II. i) Fie x0 ∈ R. Pentru ca funcţia să fie continuă în punctul x0 trebuie să avem 2 x0 + ax0 + b = 0, care poate admite cel mult două rădăcini distincte şi deci cel mult două puncte de discontinuitate. ii) ƒ : R → R, ƒ(x) =   ∈ − − ∈ R\Q Q x x x x 0, ( 1)( 2), . 2. Considerăm funcţia g : [a, b] → R, g(x) = αα+β[ f (a)− f (x)]+ αβ+β[ f (b)− f (x)] . Răspunsuri 457 Evident g(a) · g(b) < 0. 3. Pentru y = 0 ⇒ ƒ(x) = 1−f(fx()x+)⋅ff((00)) ⇒ ƒ(0) = 0. Pentru y = x ⇒ ƒ(2x) 1 ( ) 2 ( ) f 2 x f x − = , ƒ(x) ≠ ±1 ⇒ ƒ(x) ∈ (–1, 1), œ x ∈ R, şi |ƒ(2x)| > 2|ƒ(x)| şi prin inducţie |ƒ(2nx)| > 2n|ƒ(x)| ⇒ |ƒ(x)| → 0 ⇒ ƒ(x) = 0, œ x ∈ R. 4. Fie ƒ şi g două funcţii care verifică condiţia dată. Scăzând cele două relaţii obţinem: ƒ(x + y) − g(x + y) = ƒ(x) − g(x) + ƒ(y) − g(y). Fie h : R → R, h(x) = ƒ(x) − g(x), atunci obţinem ecuaţia funcţională h(x + y) = h(x) + h(y), ecuaţie funcţională de tip Cauchy, cu soluţia h(x) = kx, k ∈ R, œ x ∈ R. În final funcţia ƒ este de forma: ƒ : R → R, ƒ(x) = x2 + kx + 1, k ∈ R, œ x ∈ R. 5. Putem scrie următoarele relaţii: ƒ(x) – ƒ(ax) = x, ƒ(ax) − ƒ(a2x) = ax, …, ƒ(an–1x) − ƒ(anx) = an–1 · x. Adunând relaţiile obţinem: ƒ(x) − ƒ(anx) = x(1 + a + a2 + … + an) ⇒ prin trecere la limită se obţine: ƒ(x) = ƒ(0) + , 1 1 1 2 a a a x a x a a x − = − + − = + − œ x ∈ R. Cap. 3. Cap. 3. Cap. 3. Cap. 3. Derivabilitate Pag. 361 I. 1. a) nu este derivabilă în x = 1; b) se poate aplica teorema; c) funcţia nu este derivabilă în x = 0; d) nu este derivabilă în x = π4 ; e) se poate aplica teorema; f) nu este derivabilă în x = π4 . 2. b) a = c = 3; b = 5; c) nu există valori pentru m şi n. II. 1. a) se poate aplica teorema; b) da; c) da; d) da. 2. a) p = q = e 3−e ; b) q ∈ (0, +∞), p = 1; c) p = 1, q = 0. III. 1. a) = ; b) = 2; c) = ππ−4 3 7 2 c c c . 2. Se aplică teorema lui Lagrange următoarelor funcţii: a) ƒ : [a, b] → R, ƒ(t) = tn (n fixat) b) ƒ : [a, b] → R, ƒ(x) = ln x c) Fie α > 0 şi [α, 2 π ] un interval ƒ : [α, 2 π ] → R, ƒ(x) = sinx x 458 Manual clasa a XI-a d) [0, x], ƒ : [0, x] → R, ƒ(t) cos 2 t2 = t + e) ƒ : [a, b] → R, ƒ(x) = tg x f) ƒ : [a, b] → R, ƒ(x) = ctg x g) 2 2 a b ea eb ea eb e + + ≥ ⋅ = h) ƒ : [0, x] ⊂ [0, 1], ƒ(t) = arcsin t – t + 3! t3 i) ƒ : [0, x] → R, ƒ(t) = et – t – 1; ƒ : [x, 0] → R, ƒ(t) = et – t –1 j) se verifică imediat. 3. a) ƒ : [−1, 1] → R, ƒ(x) = arcsin x + arcos x ⇒ ƒ '(x) = 0 ⇒ƒ(x) = 2 π , œx ∈ [−1, 1]; b) ƒ : R → R, ƒ(x) = arctg x + arcctg x ⇒ ƒ '(x) = 0 ⇒ƒ(x) = 2 π , œx ∈ R; c) ƒ , g : R \ {0} → R, ƒ(x) = arctg x, g(x) = x 1 −arctg ⇒ ƒ ' = g', œ x ∈ R \ {0} ⇒ ƒ(x) − g(x) =  > < , 0 , 0 2 1 k x k x , x ≠ 0, x = 1 ⇒ k1 = 2 π şi x = 1 ⇒ k2 = 2 π ƒ : R \ [−1, 1] → R, ƒ(x) x x x 2arctg 1 2 arcsin 2 + + = ⇒ ƒ'(x) = 0 ⇒   ≥ ≤ − = , 1 , 1 ( ) 2 1 k x k x f x ⇒ k1 = − π şi k2 = π. e) ƒ(x) = 0 ⇒ ƒ(x) 4 , 4 3 şi , 1 , 1 1 2 2 1 = π = π  = kk xx <> −− k k 4. a) g(x) − ƒ(x) = 12,, xx <> 00 ; c) f'(x) − g'(x) 2 2 1 2 + + = x x , œ x R \ {– 2 1 } ⇒ ∃ k1, k2 ∈ R astfel ca ƒ(x) – g(x) =     > − < − 2 1 , 2 1 , 2 1 k x k x e) ƒ '(x) = g'(x) ⇒ œx ∈ R (− ∞, − 1) ∪ (1, +∞) ⇒ ƒ − g =  ≥ ≤ − , 1 , 1 2 1 k x k x ⇒ k1 = π, k2 = − π. 5. a) lim = 0 n→+∞ n c ; b) i) ƒ : [0, 2π] → R ⇒ c1 = 2 π şi c2 = 2 3π ; ii) ƒ : [0, b] → R să fie convexă sau concavă pe [a, b]. Răspunsuri 459 c) i) Se consideră funcţia ƒ : [0, x]→ R, ƒ(t) = et − t − 1, x > 0 şi g : [0, x] → R, g(t) = et − t − 1 (x < 0) şi se aplică teorema lui Lagrange. ii) Se consideră funcţiile: ƒ : [0, x] → R, ƒ(t) = t − sin t (x > 0) şi g : [0, x] → R, g(t) = sin t − t + 6 t3 (x > 0) şi se aplică teorema lui Lagrange de două ori. iv) Se consideră funcţia ƒ(t) = ! 1 1! 2! 2 n t t t e n t − − − −…− , x > 0, şi se aplică teorema lui Lagrange. Apoi se aplică succesiv teorema lui Lagrange pe intervale şi funcţii alese în mod convenabil. Notă: Scriind formula lui Taylor cu restul din formula lui Lagrange, obţinem: x n n e x n x n x x x e θ + =1+ 1! + 2! +…+ ! + ( +1)! 2 1 , θ ∈ [0, 1] œn ∈ N ⇒ ! 1 1! 2! 2 n x x x e n x > + + +…+ e) iii) 99−−88 = 22−−11 x x x . Se aplică teorema lui Lagrange şi se obţine: x = 0, x = 1. Exerciţii recapitulative Pag. 446 Test 1 1. 4 1 ; 2. a) π; b) 2 1 ; 3. , 2 a = 3 b = 1; 20x – 2y – 33 = 0. Test 2 1. an 6 5 5 + < n → 0; 2. a) Funcţia ƒ admite puncte de discontinuitate de speţa întâi, deci nu admite pe D proprietatea lui Darboux; b) Funcţia ƒ este continuă pe D, deci admite proprietatea lui Darboux; 3. Se aplică teorema lui Cauchy funcţiilor u, v : [a, b] → R, u(x) = f (xx) şi v(x) = 1x . 460 Manual clasa a XI-a Test 3 1. Relaţia de recurenţă se scrie xn+1 = (xn − 2)2, œ n ∈ N. Prin metoda inducţiei se demonstrează că xn = (a − 2)2n + 2 , iar lim = 2 n→∞ n x ; 3. Ţinem seama că max(a, b) = = a + b +2| a − b | ; 4. a = 1, b = −2. Test 4 1. a) Putem scrie ak = Sk − Sk−1 = 4k + 1, iar limita este 3 4 ; 3. a = 8, b = −4; 4. Rezolvăm inecuaţiile 1 2 1 1 1 2 ≤ + − ≤ − x x în Dmax = R. Test 5 3. a) 1 2 3 8 1 1 3 1 ( ) − ⋅ + f x = − ⋅ x − x ; b) Folosim formula lui Leibnitz. Test 6 1. xn a n = − − →∞ lim 1 1 ; 2. a) 6 π ; b) − 2e ; 3. Construim funcţia g : [a, b] → R, g(x) = [ƒ(x) − ƒ(a)](x − b) şi aplicăm teorema lui Rolle; 4. b) a = 8. Test 7 1. Se foloseşte metoda inducţiei matematice. Şirul este convergent şi lim = 0 n→∞ n a ; 2. a) Se aplică teorema lui Lagrange funcţie: h : (0, +∞) → r , h (x) = ln x pe [a, a + 1], a ≥ 1. Test 8 1. Dacă a ∈ (−1, 1), lim = 0 →∞ n n a şi xn a a n − = + →∞ 1 1 lim . Dacă a ∈ R \ [−1, 1], atunci lim 1 = 0 n→∞ an şi lim = +−11 →∞ a a xn n ; 3. a = − 3, b = 4, c = −2. Test 9 1. n an     = −  4 3 2 , œ n ∈ N; 3. b) ; c) 12 2 S = − n(n +1) − n . Bibliografie 461 Bibliografie selectivă Alexandrescu, P., Maftei, I. V. − Exerciţii şi problema de analiză matematică, Editura Alcomi, 1992 Aramă, L., Morozan, T. − Probleme de calcul diferenţial şi integral, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978 Bătineţu, D. M., Maftei, I. V., Stancu, M. − Exerciţii şi probleme de analiză matematică pentru clasele XI-XII, Editura Didactică şi Pedagogică 1981 Bătineţu, D. M. − Probleme de matematică pentru treapta a II-a de liceu, Editura Albatros, Bucureşti, 1979 Bătineţu, D. M., Tomescu, I., Maftei, I. V. şi colectiv − Olimpiadele naţionale de matematică 1950-2003, Editura Enciclopedică, Bucureşti, 2005 Berman, G. − Problèmes d'analyse mathématique, Editions Mir, Moscou, 1977 Buşneag, D., Maftei, I. V. − Teme pentru cercurile şi concursurile de matematică ale elevilor, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1983 Coşniţă, C., Turtoiu, F. − Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1962 Démidovitch, B., Maro, I. − Éléments de calcul numérique, Èditions Mir, Moscou, 1974 Démidovitch, B. şi colectiv − Recueil d'exercices et de problèmes d'analyse mathématique, Èditions Mir, Moscou, 1971 Donciu, N., Flondor, D. − Culegere de probleme de algebră şi analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964 Fabry, E. − Problèmes d'analyse mathématique, Paris, Hermann et fils Giurgiu, I., Turtoiu, F. − Culegere de probleme de matematică pentru treapta a doua de liceu, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 Goursat, E. − Cours d'analyse mathématique, vol. I, Gauthier-Villars, Paris Ion, I. D., Radu, N., Niţă, C., Popescu, D. − Probleme de algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 462 Manual clasa a XI-a Ionescu-Ţiu, C., Pârşan, L. − Calcul diferenţial şi integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, Bucureşti, 1975 Kurosh, A. G. − Higher Algebra, Mir Publ. Moscow, 1975 Nicolescu, C. P. − Teste de analiză matematică, Editura Albatros, Bucureşti, 1984 Nicolescu, C. P. − Analiză matematică. Aplicaţii, Editura Albatros, Bucureşti, 1987 Nicolescu, C. P. − Teste recapitulative de matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989 Nicolescu, C. P. − Sinteze de matematică, Editura Albatros, Bucureşti, 1990 Nicolescu, C. P. − 100 lecţii de matematică fără meditator, Editura ICAR, Bucureşti, 1990-1991 Nicolescu, M. G. Nicolescu, C. P., − Teste de analiză matematică pentru elevii claselor a XI-a şi a XII-a, Editura UNIVERSAL PAN, Bucureşti, 2000 Nicolescu, M. G. Nicolescu, C. P., − Analiză matematică. Exerciţii şi probleme pentru elevii claselor XI-XII. Subiecte pregătitoare pentru examenul de bacalaureat, concursul de admitere în învăţământul superior, Editura UNIVERSAL PAN, Bucureşti, 2005 Nicolescu, M., Dinculescu, N., Marcus, S. şi colab. − Manual de analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971 Năstăsescu, C., Niţă, C., Brandiburu, M., Joiţa, D. − Exerciţii şi probleme de algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1992 Panaitopol, I., Ottescu, C. − Probleme date la olimpiadele de matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977 Pârşan, L. − 500 probleme pregătitoare de algebră şi analiză matematică pentru candidaţii la admiterea în învăţământul superior economic, Editura PAN GENERAL, Bucureşti, 1994 Rivaud, J. − Exercices d'analyse, tome I, Libraire Vuibert, Paris, 1966 Roşculeţ, M., Popescu O. − Probleme de analiză matematică pentru concursurile de admitere în învăţământul superior, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971 Manuale şcolare alternative − 2002-2006 *** − Gazeta Matematică (1965-2005) Cuprins Algebră Capitolul 1 Permutări .......................................................................................................................4 1.1. Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi .......................................................4 1.2. Inversiuni. Semnul unei permutări ......................................................................6 Capitolul 2 Matrice .........................................................................................................................10 2.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice .........................................10 2.2. Operaţii cu matrice: adunarea a două matrice, înmulţirea unei matrice cu un scalar, produsul a două matrice, proprietăţi ......................15 2.3. Matrice inversabile. Inversa unei matrice ..........................................................22 Capitolul 3 Determinanţi ................................................................................................................27 3.1. Determinant de ordin n, proprietăţi ...................................................................27 3.2. Proprietăţile determinanţilor .............................................................................33 3.3. Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte; aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan .....................45 Capitolul 4 Sisteme de ecuaţii liniare .............................................................................................50 4.1. Matrice inversabile din Mn(C), n ≤ 4 .................................................................50 4.2. Ecuaţii matriceale ..............................................................................................55 4.3. Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer.....................58 4.4. Rangul unei matrice ..........................................................................................70 4.5. Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kronecker – Capelli, proprietatea Rouché, metoda Gauss ........... 74 Exerciţii recapitulative ....................................................................................................... 99 Probleme date la examenele de bacalaureat în anii anteriori .........................................103 Analiză matematică Capitolul 1 Limite de funcţii .........................................................................................................108 1.1. Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile + ∞ şi –∞ .....................................................................................108 1.2. Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinominală, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse ........................................................126 1.3. Limita unui şir utilizând vecinătăţi, proprietăţi .............................................159 464 Manual clasa a XI-a 1.4. Şiruri convergente: intuitiv, comportarea valorilor unei funcţii cu grafic continuu când argumentul se apropie de o valoare dată, şiruri convergente, exemple semnificative: (an)n, (nα)n, ((1+1/n)n)n ; operaţii cu şiruri convergente, convergenţa şirurilor utilizând proprietatea Weierstrass. Numărul e, limita şirului ((1+un )1/ un ),un → 0 .........................173 1.5. Limite de funcţii. Interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, calculul limitelor laterale ...............................................208 1.6. Calculul limitelor pentru funcţiile studiate ....................................................218 1.7. Operaţii cu limite de funcţii; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii .........................................................................................221 1.8. Asimptotele graficelor funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice ...........244 Capitolul 2 Continuitate.................................................................................................................251 2.1. Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii. studiul continuităţii pentru funcţiile studiate; operaţii cu funcţii continue .....................................251 2.2. Semnul unei funcţii continue pe un interval. Proprietatea lui Darboux. Studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în R ................................................265 Capitolul 3 Derivabilitate ..............................................................................................................287 3.1. Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordinul I şi al II-lea pentru funcţiile studiate .............................................287 3.2. Funcţii derivabile pe un interval, puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi consecinţele acesteia................................................................................... 333 3.3. Regulile lui l'Hospital .....................................................................................367 3.4. Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte de extrem, monotonia funcţiilor .......................................................................................382 3.5. Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune ....................................................................................... 393 Capitolul 4 Reprezentarea grafică a funcţiilor .......................................................................... 405 4.1. Grafice de funcţii............................................................................................405 4.2. Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de rădăcini reale ale unei ecuaţii.......421 4.3. Reprezentarea grafică a conicelor...................................................................426 Exerciţii recapitulative .....................................................................................................446 Probleme date la examenele de bacalaureat în anii anteriori .........................................450 Răspunsuri ........................................................................................................................454 Bibliografie........................................................................................................................461