MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE Prof. univ. dr. Constantin Năstăsescu Prof. univ. dr. Constantin Niță Membru coresp. al Academiei Române Prof. univ. dr. Ion Chițescu Prof. gr. I Dan Mihalca Prof. univ. dr. Monica Dumitrescu Matematică Trunchi comun și curriculum diferențiat Manual pentru clasa a X - a EDITURA DIDACTICA Șl PEDAGOGICĂ, R.A. O proprietate importantă a compunerii funcțiilor este următoarea: Compunerea funcțiilor este asociativă, adică fiind date funcțiile f'.A-^B, g : B C și h : C —► D, are loc egalitatea: h ° (g °f) = {h °g)°f Funcții pare, funcții impare O mulțime A cz IR se numește simetrică față de origine dacă oricare ar fi x g A, atunci și -x e A. Fie A cz IR o mulțime simetrică față de origine și o funcție/: A -> IR. Funcția f se numește pară dacă/(-x) =f[x) oricare ar fi x g A. Funcția/se numește impară dacă/(-x) = -fix) oricare ar fi x g A. După cum știm din clasa a IX-a, graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy. Dacă f este o funcție impară și 0 g A, atunci /(O) = 0, iar graficul său este simetric față de origine. Funcții numerice monotone Fie f: A —► B o funcție numerică și I a A o submulțime nevidă a Iui A. Spunem că/este crescătoare pe mulțimea I dacă oricare ar fi xb x₂ € 4 astfel încât Xj /x₂). Spunem că /este strict crescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe mul- țimea I dacă oricare ar fi xb x₂ g /, astfel încât X| < x₂, să rezulte J{x\) < f{xf) (respectiv/xj) > /(x₂)). O funcție numerică/: A —> B crescătoare sau descrescătoare (respectiv strict crescătoare sau strict descrescătoare) pe mulțimea I se numește monotonă (respectiv strict montona) pe mulțimea I. Dacă I = A vom spune simplu că funcția/: A B este monotonă (respectiv strict montona). Funcții periodice Fie A IR o mulțime de numere reale. O funcție A -> IR se numește periodică de perioadă 7V 0, dacă pentru orice x g A avem x + T e Ași fpc + T) = fțx). Dacă există o cea mai mică perioadă pozitivă Tf aceasta se numește perioada principală a lui f Este suficient ca studiul unei funcții periodice având perioada principală T > 0 să fie efectuat numai pe un interval de lungime egală cu T. Observație. Noțiunile amintite mai înainte sunt utile în studiul claselor de funcții pre- zentate în acest manual. 4 1.2. Acum vom da noi concepte și rezultate privind funcțiile. Acestea vor fi folosite în continuare în manualele de matematică. Definiție. Fie f: A B o funcție. Vom spune că f este o funcție injectivă sau că este o injecție, dacă pentru oricare două elemente x și y ale lui A, x^y, avem f(x) Faptul că funcția f este injectivă se mai exprimă și astfel: dacă x și y sunt elemente oarecare din A cu proprietatea J\x) =f (y), atunci rezultă că x = y. Din definiție rezultă că o funcție f\ A -> B nu este injectivă dacă există cel puțin două elemente x și y din A, x *y, astfel încât/(x) =f (y). Exemple 1. Funcția f\A->B, asociată diagramei din figura 1 este o funcție injectivă. 2, Funcția g : IN IN, definită prin formula g(x) = x², este injectivă. într-adevăr, să presupunem că g(x) = g(y) unde x, y g IN. Atunci x² = y², de unde (x-y)(x + y) = 0. Din această egalitate rezultă că x - y = 0 sau x + y = 0. Din prima egalitate avem că x = y. Dacă are loc egalitatea x + y = 0, cum x și y sunt numere naturale, obținem că x = y = 0. Oricum, din egalitatea g(x) = g(y) rezultă că x = y și deci g este o funcție injectivă. 3. Funcția h : ÎL -» IN, h(x) = x² nu este o funcție injectivă deoarece /z(-2) = = A(2) = 4. 4. Funcția k : A —> B asociată diagramei din figura 2 nu este injectivă, deoarece kț 1) = /c(4) = c. Definiție. O funcție f\ A B este o funcție surjectivă sau, simplu, este o surjecție dacă pentru orice element b B există cel puțin un element a g A, astfel încât J\aj = b. 5 Rezultă că o funcție f \ A B nu este surjectivă dacă există cel puțin un element b e B, astfel încât pentru orice element x e A, avem f (x) b. Dată fiind funcția f: A -> B, am notat cu f (A) sau Im/submulțimea lui B definită astfel:f(A) = {f (x) | x e A} = {y e B | (3) x e A astfel încât y =f (x)}; f (A) se numește imaginea funcției f Din definiția lui f (A) rezultă că: f este surjectivă dacă și numai dacă f(A) = B. Exemple 1. Funcția/: IR —> IR, definită prin relația /(x) = ax (a * 0) este surjectivă. într-adevăr, fie y e IR. Atunci x = — e IR și avem 2. Funcția g : A -> B, asociată dia- gramei din figura 3 este, de asemenea, surjectivă. Fᵢ ₃ g(l) = a, g(2) = g(3) = b, g(4) = c, g(5) = a. 3, Funcția h : IR -> IR, definită prin formula h(x) = x² nu este surjectivă. într-adevăr, pentru orice x e IR avem h(x) = x² -1. Deci -1 nu este imaginea nici unui element, prin h, din domeniul de definiție. 4. Funcția k : A B asociată diagramei din figura 4 nu este surjectivă. într-adevăr, se vede că elementul 2 e B nu este imaginea prin k a nici unui element din A. Definiție. O funcție f \ A B care este simultan injectivă și surjectivă se numește funcție bijectivă sau, simplu, bijecție. Exemple 1. Funcția/: A —> B, asociată diagramei din figura 5, este bijectivă: f^ = bj{l) = cj^ = aj^ = d. 2. Fie A = {x e IR | x > 0}. Definim funcția g : A -> A prin formula g(x) = x². Funcția g este bijectivă. într-adevăr, trebuie să arătăm că g este injectivă și suijectivă. 6 Funcțiag este injectivă. Fiex^y A astfel încât g(x) = g(y). Atunci x² = y², de unde (x - y)(x + y) = O și deci x - y = O sau x + y = 0. Dacă x - y = O, avem x = y; dacă x + y = O, avem x = -y și cum x, y sunt numere reale pozitive, trebuie ca x=y = 0. Oricum, din egalitatea g(x) = g(y) rezultă x = y. Funcția g este suijectivă. Fie y g A. Cum y > 0, atunci are sens -/y . Cum > 0, atunci IR, f (x) = ax + bᵣ unde a^ b e IR și a 0 este bijectivă. Intr-adevăr, dacă / (xₜ) = / (x₂), atunci ax^ 4- b = ax^ + b, de unde obținem axi = &x₂. Cum a 0, atunci Xj = x₂ și deci f este injectivă. Să arătăm că f este și suijectivă. Fie y g IR. Are sens numărul real x= a a (y Atunci f(x) = ap---------+ b = y , ceea ce arată că f este și suijectivă. 13. Interpretarea geometrică a injectivității și surjectivității unei funcții numerice Fie mulțimile nevide A, B cz IR și funcția f\A-^B. Dacă f este injectivă rezultă, conform definiției, că pentru orice xb x₂ g A astfel încât Xț x₂ are loc relația f (x^) f (x₂), adică orice două puncte de abscise distincte de pe graficul funcției au ordonate distincte. Aceasta înseamnă că dacă o paralelă Ia axa Ox intersectează graficul funcției, atunci îl intersectează într-un singur punct; cu alte cuvinte, dacă f este injectivă, orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct (fig. 6). Dacă există o paralelă la axa Ox care intersectează graficul funcției f în două sau mai multe puncte, funcția f nu este injectivă (fig. 7). în concluzie, funcția f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției în cel mult un punct. Dacă f este suijectivă rezultă, conform definiției, că pentru orice b g B există (cel puțin un) a A astfel încât / (<7) = b, adică orice paralelă la axa Ox dusă prin punctul de coordonate (0, b), h g B, intersectează graficul funcției în 7 cel puțin un punct (fig. 8). Dacă există b g B astfel încât paralela la axa Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b) nu intersectează graficul funcției f funcția nu în concluzie, funcția f: A -> B este surjectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b), b g B, intersectează graficul funcției în cel puțin un punct. Ținând seama de interpretarea geometrică a injectivității și surjectivității unei funcții, pentru o funcție bijectivă avem următorul rezultat: funcția f\ A -> B este bijectivă dacă și numai dacă oricare ar fi b g B paralela la Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b), intersectează graficul funcției într-un singur punct. Avem următorul rezultat: T e o r e ma 1. Dacă f: A -> B este funcție numerică (adică A și B sunt submulțimi ale lui IR) strict monotonă, atunci f este funcție injectivă. Demonstrație. într-adevăr, să presupunem că f este strict crescătoare și fie xₕ x₂ g A astfel încât X| x₂. Atunci avem Xi < x₂ sau Xj > x₂. Dacă presupunem că X] < x₂, rezultă fxf) x₂, rezultă /(xi) > Și deci /(xȚ fxf) și deci f este injectivă. Dacă f este strict descrescătoare, se procedează analog. Observație. Din definiție, rezultă că o funcție periodică nu este funcție injectivă. Fie A o mulțime oarecare. Vom nota cu lj : A —* A funcția definită astfel: lA(a) = a pentru orice a e A. 1A se numește funcția identică a mulțimii A. Teorema 2. Fie A o mulțime și lj funcția sa identică. Atunci: 1° Pentru orice mulțime B și pentru orice funcție f'.A—*B, avem f\A =f T Pentru orice mulțime C și pentru orice funcție g: C —► A, avem lj og = g. Demonstrație. Demonstrăm afirmația 1°. Funcțiile f și f°\A au același domeniu și codomeniu așa că pentru a arăta egalitatea f°\A = f rămâne să dovedim că pentru orice a^ A, (/"o 1^) (d) =fțaj. 8 într-adevăr (fob) (o) =/(h(a)) =/(a). Demonstrăm afirmația 2*’. Funcțiile și g au același domeniu și codomeniu, adică mulțimile C respectiv A. Pentru a arăta egalitatea 1 © g = g rămâne să dovedim că pentru orice e e C avem(lJegXc) = g(c). într-adevăr (lA°g)(c) = lA(g(c)) = g(c). Definiție. O funcție/: A. —* B se numește inversabilă dacă există o funcție g : B —* A astfel încât g°/⁼bși/°g⁼^ „ G) Observăm că funcția g definită de relațiile (1) este unică. Intr-adevăr, dacă g¹: B A este o altă funcție astfel încât g’ ■*/= 1A și/» g' = U (2) atunci obținem: g = b ° g=(g'°f) °g=^° (f°g) = g’° 1»=g", unde s-au utilizat relațiile (1) și (2) precum și asociativitatea compunerii funcțiilor. Dacă / este o funcție inversabilă, atunci funcția g definită de relațiile (1), care este unică, se numește inversa funcției/și se notează /' \ Se pune întrebarea, când este o funcție inversabilă? Răspunsul este dat de următoarea teoremă. Teorema 3. O funcție fzA—*B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Demonstrație. Să presupunem mai întâi că f este inversabilă și să arătăm că f este injectivă și surjectivă. Din faptul că/este inversabilă, rezultă că există / ³ : B -» A astfel încât /,o/=hși/«/' = lB (3) Fie xB, x₂ din A și să presupunem că ^x₃) = f(x₂). Din prima dintre relațiile (3) obținem că x, = 1^) = « l^Xᵢ) =f =/ = {f = x₂. Deci/este injectivă. Fie y e B. Din a doua dintre relațiile (3) se obține: y = l^f) ⁼ (f ° f ^(v) ⁼Âf ³(y))- Dacă se notează x =f ¹¹ (y), Munci y =J(xf ceea ce arată căf este și surjectivă. Reciproc, presupunem că f este bijectivă. Definim funcția g: B -> A în modul următor. Fie y e B. Deoarece f este surjectivă există x e A astfel încât fix) = y. Elementul x este unic determinat cu această proprietate, întrucât/ este injectivă și definim g(y) = x. Să dovedim că g ©/= și f & g = lₛ. Fie x e A. Atunci, notând y =fxf rezultă din definiția lui g că g(y) = x și deci g(f(x)) = x sau (g © f(x) = 1 Ax). Rezultă atunci g ®f= 1A. Să arătăm acum că/© g= 1> Fiey £ B. Din definiția Iui g, g(y) = x, unde x este elementul din A pentru carefx) = y. Atunci (f © g)(y) ⁼fl^y)) ⁼f&) ⁼ y = l^(y), de unde obținem că/© g = 1^. Observație. Din demonstrația teoremei precedente rezultă că dacă f'.A—>B este o funcție bijectivă, atunci funcția sa inversă/ ¹¹ : B A .se definește după următorul procedeu: dacă b ⁱe B^ atunci / ⁴(b) este unicul element a e  astfel încât fa) = b. 9 Exemple L Fie funcția f.A^B asociată diagramei din figura 10. 7C1) = cM = ^X3) = eM = d, J5) = b. Se vede că/este o funcție bijectivă. Atunci există funcția inversăf³ ⁴ :B A. Vom avea:/ '(a) = 2;/ \b) = 5;/ f(e) = 1;/ '(^ = 4;/ '(e) = 3. Funcția/-' are următoarea diagrama (figura 11). Se observă că diagrama funcției f ⁴ se obține din aceea a tai / inversând sensul săgeților. 2. Fie funcția/: IR —> IR, Jțx) = ax + b unde a, b e IR și a # 0. Această funcție este bijectivă, deci putem vorbi de inversa sa. Fie y e IR. Atunci f l(y) = x unde/x) = y. Deci pentru y e IR trebuie să determinăm x e IR astfel încât/x) = y sau ax + b = y. Din ax + b = y obținem pe x = —--= — y —- a a a și deci / *(y) =—y — —. Folosind notația cu x, funcția inversa a tai / este /':IR^IB,/!(x)=1x-^. a a Presupunem că b 0. Considerăm punctele din planul xOyz Pi (O, b); P₇1 , 0 | respectiv (b, 0)„ V a ) qS 0, —— (. Se observă căPj și Qț (respectiv a J P₂ Și 02) sunt simetrice față de prima bisectoare. Cum graficul funcției /este dreapta ce trece prin punctele Pț și P₂„ iar graficul funcției / ¹ este dreapta ce trece prin punctele Q\ Și 02 rezultă că aceste două drepte sunt simetrice față de prima bisectoare așa cum se vede din figura 12. Fîg. 12 3. Fie funcția /: IR -> IR,^(x) = < Sa se arate ca funcția/ (2x—5, dacă x>3 este bijectivă și să se calculeze inversa sa. R: Să arătăm, mai întâi, că/este injectivă. Pentru aceasta, fie x^, x₂ e IR. Distingem cazurile: 1° Xț, x₂ < 3. Dacă/X|i) =/x₂), atunci xț - 3 = x₂ - 3, de undexc = x₂. 10 2° xb x₂ > 3. Dacă/(x]) =/x2), atunci 2xi - 5 = 2x₂ - 5, de unde Xj = x₂. 3° X| < 3, x₂ > 3. Avem Xj x₂, iar/xi) = X| - 2 < 1 și/(x₂) = 2x₂ - 5 > 1, de unde/xi) ^/(x₂). Deci f este funcție injectivă. Să arătăm acum că/este suijectivă. Pentru aceasta, fiey g IR. Distingem cazurile: l°y < 1. Dacă/x) atunci x - 2 = y, de unde x = y + 2 < 3. 2°y > 1. Dacă/x) = y, 2x - 5 = y, de unde x = > 3. Deci oricare ar fi v g IR există x g IR astfel încât y =fix)\ dacă y < 1, atunci y + 5 x = y + 2, iar dacă y > 1, atunci x = —. Atunci inversa funcției/este/ ¹ : IR -> IR, / ’(y) = < y ₊ 5 / + 2, dacă y < 1, , dacă y > 1. I 2 Interpretarea geometrică a inversei unei funcții numerice Am văzut că pentru funcția f: IR —* IR, fix) = ax + b unde a 0 și b 0, graficele funcțiilor/și/ ¹ sunt două drepte simetrice în raport cu prima bisectoare. Vom arăta acest lucru rămâne valabil pentru orice funcție numerică. Fie f : A —* B o funcție numerică in- versabilă și/ ¹ : B —> A funcția inversă a lui/ y / ✓ Fie M(x{), y₀) un punct al graficului func- ției / Atunci y₀ = fixf) și deci x₀ = = f 'Cvo)- Rezultă că punctul M' (yQ, x₀) aparține graficului funcției / ¹ (reprezentat punctat în figura 13). Dar M și M' sunt simetrice față de bisectoarea unghiului xOy (numită prima bisectoare)’. Rezultă că / graficele funcțiilor/și / ¹ sunt simetrice față p. de prima bisectoare. Monotonia funcției numerice inversabile Fie /: A —> B o funcție numerică care este inversabilă. în acest caz putem vorbi de inversa sa f ¹ \ B A. Următorul rezultat caracterizează monotonia unei funcții inversabile. Teorema 4. Presupunem că funcția numerică/: A —> B este inversabilă având inversa/ ¹ : B —► A. Atunci/este strict monotonă dacă și numai dacă f ¹ este strict monotonă. ⁺ într-adevăr, cum OP = OQ și MP = M'Q, rezultă că triunghiurile OPM și OQM sunt congruente. Deci, OM = OM, Pe de altă parte POM = QOM ’ și deci MOR = MOR. în triunghiul MOM’ care este isoscel, OR este bisectoare, deci și mediană. Rezultă că MR = M'R, adică M și M' sunt simetrice față de dreapta OR. Demonstrație. Reamintim că față de compunerea funcțiilor avem egalitățile: f Xof⁼^A^f°f ¹ ⁼ unde lj (respectiv 1#) este funcția identică a mulțimii A (respectiv a mulțimii B). Presupunem că f este strict crescătoare și fie b\, b₂ g B cu b\ < b₂. Punem a\ = f \b\), a₂= f \bi). Avem a\ a₂ deoarece în caz că avem a\ = a₂ ar rezulta /«,) = flf \h})) = a₂. Dacă a\ < a₂, atunci din b\ a₂ atunci, cum funcția / este strict crescătoare, avem că Âa\) >/te)- Dar cum b} = f(ad și b₂ ⁼ÂPi) obținem că b\ > b₂, contradicție. în concluzie avem f \b\) B și g : B —> C obținem o nouă funcție gof: A —> C, numită compunerea funcțiilor/și g. Compunerea funcțiilor este o operație fundamentală în matematică, deoarece se aplică oricărui tip de funcții (să observăm totuși că operația de compunere a funcțiilor este o „operație parțială”, deoarece ca să obținem funcția gof trebuie ca domeniul valorilor lui f să coincidă cu domeniul de definiție al funcției g). Totuși în anumite situații particulare se pot face și alte operații cu funcții, operații ce extind, în general, operațiile de pe mulțimea numerelor reale, și anume adunarea și înmulțirea. în acest caz considerăm A o mulțime nevidă oarecare și vom nota cu ^(A, IR) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe A cu valori în IR, adică {f: A —► IR}. Dacă fg^ ^(A, IR) putem defini funcțiile/+ g și/- g în felul următor: (f+ g)(x) ⁺ g&b oricare ar fî xg IR; (/'• g){x) ⁼J{X)' g(x), oricare ar fi xg IR. Este clar că/+ g și/- g sunt elemente din (A, IR) care se numesc suma (respectiv produsul) funcțiilor/și g. în continuare, o să dăm unele proprietăți pe care le lăsăm ca exerciții. 1. Cu notațiile de mai sus să se arate că au loc următoarele proprietăți: 1)/+ g = g +f oricare ar fi/ g g (A, IR). 2)/- g = g •/ oricare ar fi/ gG y (A, IR). 3) (f + g) + h =f+ (g + h), oricare ar fi fg,h^ (A, IR). 4) (f' g) h =f(g • h), oricare ar fi f g, (A, IR). 5)f(g + h) =f- g+f - h, oricare ar fi f g, he (A, IR). Vom nota cu ® : > IR și H : ?! —> IR următoarele funcții constante definite în felul următor: ®(x) = 0 oricare ar fi x g IR și H(x) = 1, oricare ar fi x g IR. 12 Funcția (D (respectiv H) se numește funcția nulă sau funcția zero pe mulțimea A (respectiv funcția unitate). Observație. Funcția unitate H este diferită de funcția identică .A —► A a mulțimii A. 6) f+ (D =/și f • 11 =f oricare ar fi /g ^(A. IR). Dată o funcție f: A —► IR, notăm cu -f: A —► IR funcția definită astfel: (t/)(x) ⁼ ~ÂX) oricare ar fi x g IR. Funcția -f se numește opusa funcției f T)f+ (-/) = (D (funcția nulă). 8) Dacă f\ A —* IR este o funcție astfel încât fix) * 0 oricare ar fi x g A atunci ¹ ¹ / x ¹ putem defini funcția —: A -> IR, punând — (x)= —, oricare ar fi x g A. 9) Să se arate ca f • — = H. Date două funcții f g g IR) pentru care există funcția — (adică fix) * 0 g 1 oricare ar fi x g A) putem considera funcția — care este prin definiție g • —. Deci — (x) = ■ ; ( oricare ar fi x g A. UJ /M 10) Presupunem acum că A este o submulțime nevidă a mulțimii numerelor reale IR. Fie f: A —* IR o funcție (numerică). Să se arate că f este crescătoare (respectiv strict crescătoare) pe mulțimea A dacă și numai dacă funcția (—f) este descrescătoare (respectiv strict descrescătoare). 11) Funcția f\ A —* IR este pozitivă (respectiv strict pozitivă) pe mulțimea A dacă și numai dacă funcția -f\ A —> IR este negativă (respectiv strict negativă) pe mulțimea A. în continuare să dăm câteva exemple de calcul al sumei și produsului a două funcții. Exemple 1. Fie funcțiile/; g: IR —► IR,/(x) = 2x + 1 și g(x) = 3x - 1. Cum fix) + g(x) = (2x + 1) + (3x - 1) = 5x rezultă că funcția sumă f+ g : IR —► IR este definită prin egalitatea: (f + g)(x) = 5x oricare ar fi x g IR . Cum/(x) • g(x) = (2x + 1) • (3x - 1) = 6x² + x - 1 obținem că funcția produs fg : IR —► IR este definită prin egalitatea: (f- g)(x) = 6x² + x - 1 oricare ar fi x g IR. 2. Fie funcția f.TL-^ IR,/(x) = 2x + 1. Se vede că oricare ar fi x g Z, 2x + 1 0 și deci putem vorbi de funcția -y: TL —> IR care este definită prin egalitatea ^-^^(x) = - - » oricare ar fi x g Z. 13 Să notăm cu A mulțimea oamenilor de pe glob. Definim funcția/: A —>• IR după legea ,/x) = înălțimea lui x“. Este/ injectivă? Dar surjectivă? Notăm cu A mulțimea orașelor țării noastre, iar cu B mulțimea județelor țării noastre. Definim funcția/: A —> B după legea ,/a) = județul pe teritoriul căruia se află a“ și funcția g: B —► A după legea ,,g(b) = orașul care este reședința județului b‘\ i) Să se determine:/(Galați),/(Făgăraș), g(Teleorman) și g(Mehedinți). ii) Să se arăte că/este surjectivă și g este injectivă. iii) Să se arate că/° g = U și g °f * 1A. Fie mulțimea A = {0, 1}. Să se construiască toate funcțiile de la A la A și să se precizeze care sunt injective, surjective sau bijective. Folosindu-se diagrama asociată unei funcții, să se determine numărul funcțiilor injective de la mulțimea A = {1,2} în mulțimea £ = {3, 5, 7}. Există funcții surjective de la A laB? Fie A = {0,1} și B = {2,3,4,5}. Să se scrie toate funcțiile injective de la mulțimea A la mulțimea B și toate funcțiile surjective de la mulțimea B în mulțimea A. Fie A o mulțime finită și/: A A o funcție. Să se arate că: / bijectivă <=>/injectivă <=>/surjectivă. Considerăm funcțiile definite respectiv prin formulele următoare: a) b) c) d) e) 0 /: IN -> IN,/(n) = n + 5; g : IN —> IN, g(n) = n² + 1; h: TL-^TL, h(x) -3x + I; k: IN -> Z, k(x) = y dacă x este par JC “I⁻ 1 ----2— dacă x este impar /: IR —> IR,/(x) = x³ - 2; m : IR -» IR, m(x) = x² dacă x<0 - x dacă x > 0 Să se arate că:/g, h sunt injective și nu sunt surjective; k, l, m sunt funcții bijective Fie funcția/ : IR -> [0, +«),/(x) = x². Să se arate că/ este surjectivă dar nu este injectivă. Considerăm funcțiile A—»B-+C . Să se arate că: i) dacă/și g sunt injective, atunci g of ₑₛte injectivă. ii) dacă /și g sunt surjective, atunci g o / este surjectivă. Să se arate că funcția de gradul al doilea nu este nici injectivă, nici surjectivă Fie/: A -> B o funcție. Să se arate că: a) / este injectivă dacă și numai dacă există funcția g : B -> A astfel încât gof= 1₄; b)/este surjectivă dacă și numai dacă există funcția h : B -> A astfel încât foh = 1/;. Să se construiască de la mulțimea Z a numerelor întregi în ea însăși o funcție injectivă care să nu fie surjectivă și o funcție surjectivă care să nu fie injectivă. Se consideră funcția/: IR - IR, dată prin: /(x)= J, u și 6 fiind numere reale. Să se studieze monotonia funcției/ după valorile lui a și b. 14 Considerăm funcțiile definite respectiv prin formulele: i)/:Z^Z;»=-x + 4; ii)g:Z —Z;g(x) = x + 1; iii)A:Z^Z;A(x) = x²; iv)jl:Z-»lf;A(x)=x². Să se arate că/ g sunt bijective. Cum sunt h și kl Să se determine funcțiile inverse pentru/și g. Fie mulțimile A = {0, C 2} și B = {n, b, c}. Să se determine toate funcțiile bijective de ia A 'în B și apoi să se scrie pentru fiecare inversa sa. Considerăm funcția/: W W, definită astfel: z . fw+ f dacăw este număr par. f{n) = ■{ [n — f daca w este număr impar. Aiătați că/este funcție bijectivă și construiți inversa sa. Fie funcția /(x) = fc + 3 dacă x este par , (x — 3 dacă x este impar Să .se arate că/ este bijectivă și să se determine inversa sa/ L / x (2x, dacăx>0. Fie funcția/: IR IR, /(x) = {3x, dacă x < 0. Să se arate că /este bijectivă și să se determine inversa sa. rr r rn A (2x + l, dacă x < f - (I ₊ ₂ᵢ , >L Să se arate că/este bijectivă și .să se determine inversa sa. Fie funcția/: IR -> E,/(x) = X x ~ ⁰ . [—2xdacă x>0 Să .se arate că/ este bijectivă și să se determine inversa sa/"¹. Fie funcția/: IR lR,/(x) = ⁺ * ^aca x - . (— x + 1 dacă x>0 Să se arate că/ este bijectivă și .să se determine inversa sa/ \ rn A 1 f-x + 3, dacă x < 2, Fie funcția/: IR IR, fix) = ~ (- 2x + nu ^aca x > 2. Să .se determine parametrul real m astfel încât funcția să fie bijectivă și apoi să se găsească inversa sa. x < 0 •Se consideră funcția/: IR IR dată prin: /(x)^ ’ , a și b fiind [bx, x > 0 numere reale. Să .se determine a și b astfel încât / să fie bijectivă și în acest caz să se determine inversa sa. Fie funcțiile/ g : IR —» IR/x) = !|x|| și g(x) = 2x. Să se calculeze: f f g, 15 1.1. Puteri cu exponent natural nenul Fie a un număr real și n un număr natural mai mare sau egal cu 2. Se numește puterea n a numărului a produsul a n numere, fiecare număr fiind egal cu a. Acest număr se notează cu am. Deci: a = a -a ... a. n ori în reprezentarea d\ a se numește baza puterii, iar n exponentul puterii. Convenim să punem a¹ = a. Exemple /.(-2)³ = (-2)-(-2)-(-2) = -8; , (1Y-1.1.1.l-_L-nn675 I 2 J 2222 16 1. Semnul puterii cu exponentul natural Puterea unui număr real pozitiv cu exponent natural nenul este pozitivă. Puterea unui număr real negativ cu exponent natural par este pozitivă, iar cu exponent natural impar este negativă. Intr-adevăr dacă a > 0, atunci am fiind produsul a n numere pozitive este pozitiv. Dacă a < 0T atunci din regula semnelor rezultă că a²", care este produsul unui număr par de numere negative, este pozitiv, iar t?²^¹, care este produsul unui număr impar de numere negative, este negativ. De exemplu (-2/ are semnul (—) iar (—2)¹² are semnul (+). 2. Puterea produsului și a catului a două numere reale Fie a, b două numere reale și n număr natural nenul. Atunci: (ab}m = dV într-adevăr: {ab^ = {a^ (ab^-... - (#&) = (a - a -... - a)-(b ■ b •... - b) - aⁿbm ------------------------------v----* *---V---' ----V---- ra mii ₙ on w ori (am folosit asociativitatea și comutativitatea înmulțirii a două numere reale). / V n a 1 a a a a-a-...-a a De asemenea: — = — -—... — =-----------------= —. UJ b b b b b ^b bⁿ 16 Observație. în calcule, deseori, folosim egalitățile de mai sus sub forma: a"b" = Wși^ = ffY. b \o / n i OY ’Y f³Y ³⁵ ²⁴³ De exemplu: o • — = 0 • — = — = —r = <47 l 47 <27 2⁵ 32 3. înmulțirea puterilor care au aceeași bază Dacă a este un număr real și m, n numere naturale nenule, atunci: am • aⁿ = am⁺ⁿ. într-adevăr am • aⁿ = {a • a •... • ă) • {a • a •... ■ d) = a • a •... • a = am⁺ⁿ \_____V___/ \_____ᵥ<__________ᵥ_____ m ori n ori m=n ori De exemplu: 2³ • 2⁴ = 2⁷ = 128; (-2) • (-2)⁴ = (-2)⁵ = - 32. 4. Ridicarea unei puteri la altă putere Dacă a este un număr real și m, n numere naturale nenule, atunci: (ay = cT. m+m+...+m într-adevăr [a'”)" am ■ am ■ = amⁿ. . n ori (Am folosit proprietatea 3.) De exemplu: (2³)² = 2³’² = 2⁶ = 64; 1 256 * 5. împărțirea a două puteri cu aceeași bază Dacă a este un număr real nenul și m, n numere naturale nenule, astfel încât m> n, atunci: într-adevăr, folosind proprietatea 3, avem: am ¹¹ • a¹ = a{,ⁿ "⁾⁺ⁿ = a\ de unde am rezultă că am " =------. a¹ ni⁽⁾ ₄5 De exemplu: —— = 3I⁽⁾ ⁸ = 3² = 9; —- = 4⁵ ³ = 4² = 16. 3⁸ 4³ 6. Compararea puterilor 1° dacă a și b sunt numere reale pozitive astfel încât a < b și n număr natural nenul, atunci a" < bⁿ. Această proprietate este o consecință imediată a unei proprietății a inega- lităților între numere reale, cunoscută din clasa a IX-a. Exemplu Care dintre numerele 2³⁰ sau 3²⁰ este mai mare? Avem 2³⁰ = 2³¹⁰ = (2³)¹⁰ = 8,⁽⁾; 3²⁰ = 3²’¹⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁽⁾. Deoarece 8 < 9, atunci 8¹⁰ < 9l⁽⁾, adică 2³⁰ < 3²⁰. 2° Fie a un număr real pozitiv și m, n numere naturale nenule, astfel încât m > n. i) Dacă 0 < a < 1, atunci am < aⁿ\ ii) Dacă a > 1, atunci am > a”. într-adevăr, avem m = n + k, cu k număr natural nenul. Deci am = aⁿ⁺k = aⁿ- a. Dacă 0 < a < 1, atunci 0 < ak < 1. Prin urmare, am = a" • a < d\ Dacă a > 1, atunci ak > 1. Prin urmare, am = a¹ • ak > aⁿ. / A⁶⁰ < A³⁰ De exemplu, f y J < f y J ; 5⁶⁰ > 5³⁰. 1.2. Funcția putere Definiție. Fie n un număr natural nenul. Definim funcția /: IR —► IR, fix) = x\ Această funcție se numește funcția putere de gradul n. Observații. 1. Funcția putere este o funcție numerică. 2. Pentru n = 1 se obține funcția de gradul întâi fix) = x, iar pentru n = 2 se obține funcția de gradul al doilea fix) = x². Teorema 1 1° Dacă n este un număr par nenul, atunci funcția fix) = xⁿ este strict descrescătoare pe intervalul (-oo, 0] și strict crescătoare pe intervalul [0, oo). 2° Dacă n este un număr impar atunci funcția fix) = x¹ este strict crescătoare pe IR. Demonstrație. 1° Presupunem că n este par, adică n = 2m și fie xb x₂ g [0, +oo) astfel încât X| < x₂. Folosind proprietatea 6 privind compararea puterilor, avem că xf < x^ unde n este număr natural nenul oarecare. în particular, x²m (-x₂) 0 și deci (-X|)²w > (-x₂)²'" , adică x²m > x^m. Prin urmare /(xi) >/x₂), ceea ce ne arată că f este strict descrescătoare pe intervalul (-oo, 0]. 2° Presupunem acum că n este impar, adică n = 2m + 1 și fie xj < x₂. Dacă 0 X| < x^ la fel ca mai sus avem x²w⁺l < x²w⁺l. Dacă Xj < x₂ < 0, atunci (-x,) > (-x₂) > 0 și deci (-xi)²w⁺¹ > (-x₂)²'"⁴¹, adică -x²w⁺¹ >-x²w⁺¹. Prin urmare, x²w⁺l < x^*¹. Dacă X| < 0 și x₂ > 0, atunci X|²w⁺l este un număr negativ, iar x^¹ > 0 și deci în acest caz avem x²'”⁺l < x²w⁺l. în concluzie, din Xj < x₂ se obține x²m⁺I < x^'"*¹, adică/(^i) B o funcție numerică unde mulțimea A este simetrică. Am amintit în primul capitol că în clasa a IX-a s-a arătat: dacă/ este o funcție pară, atunci y’y este axă de simetrie pentru graficul funcției /, iar dacă /este o funcție impară, atunci originea axelor O este centru de simetrie al graficului funcției/.’ Graficul funcției putere fix) = x pentru n = 3, 4 1. Funcția /(x) = x³. Trasarea graficului funcție /(x) = x³ se face prin „puncte”. Mai exact, funcției/(X) ⁼ i se asociază următorul tabel de valori: x -oo -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +oo /(x) = x³. -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 Reprezentăm într-un sistem de axe xOy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă. în figura 1 este schițat graficul funcției/(x) ⁼ *³- Graficul acestei funcții se numește parabolă, cubică. Parabola cubică are următoarele propri- etăți: 1) Trece prin originea axelor, care este un centru de simetric (deoarece/(X) ⁼ * este funcție impară); 2) Ramura din dreapta a graficului se găsește deasupra axei x'x, iar ramura din Fig. 1 stânga se găsește sub axa x'x. Observație. Graficul funcției^) ⁼ x²",⁺¹ (w > 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcțieiy(x) = x . 2. Funcția fix) = x⁴. Graficul acestei funcții se trasează tot prin „puncte”. Pentru această funcție se ascociază următorul tabel de valori: x -oo -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +oo fx) = x\ 256 81 16 1 O 1 16 81 256 Punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel le reprezentăm într-un sistem rectangular de axe xOy. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă, în figura 2 este schițat graficul funcției fx) = x⁴. 19 Graficul acestei funcții are următoarele proprietăți: 1° Se găsește deasupra axei x'x și trece prin originea axelor. 2° Axa yV este axă de simetrie pentru graficul funcției J\x) = x⁴ (deoarece j\x) = x⁴ este o funcție pară). Observație. Graficul funcției fix) = x²”' (m > 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcției fix) = x⁴. Fig.2 1.3. Puteri cu exponent întreg Am demonstrat că pentru m > n m . n ___________________________ rn~n /_, <7 . CI CI \Cl -/■ 0). Vom căuta să lărgim noțiunea de putere astfel încât am : aⁿ = am~ⁿ (a 0) să aibă loc și pentru cazul când m^n. 1) Exponentul 0. Dacă a 0, prin definiție vom pune a = 1. Dacă m = n, atunci am : a = 1 și am~" = a = 1. Rezultă că formula am : aⁿ = = am~ⁿ are loc și pentru cazul m = n. Observație. Expresia 0° nu are nici un sens. 2) Exponentul negativ. Dacă n este număr natural nenul și a un număr real nenul, prin definiție vom pune a~ⁿ = —. a De exemplu, 2~³ = 2_ = 1 = 0,125; 3'¹ = — = 0,(3). 2’8 3 Dacă m, n sunt numere naturale astfel încât m < n, atunci ---- — ----7--— ------------ — ----- — U — U a a. ’ a • a a Rezultă că formula am : a" = am~ⁿ are loc și pentru cazul m 0 am demonstrat egalitatea 1°. Dacă n = 0, atunci (a • b)° = 1 și a' • b° = 1 • 1 = 1. Deci: (a • b)ⁿ = a" ■ a", are loc și pentru n = 0. Presupunem n < 0. Atunci (ab)” = -—l—. 20 Cum -n > O, atunci -—-— =-------------------=-------------= aⁿ • b". Deci (ab)~" a" • b~ⁿ a~" b~" egalitatea (ab}” = aⁿbⁿ are loc și pentru n < 0. în același fel se verifică egalitatea 2°. Să verificăm egalitatea am-a" = am⁺"(a*0). (1) Deoarece pentru m > 0 și n > 0 egalitatea (1) este adevărată, rămâne de arătat pentru următoarele trei cazuri: 1 Cazul m> 0 și n < 0. Atunci am • aⁿ = am --------= ——. a ⁿ a ⁿ tn Dar cum -n > 0, am văzut că-------= am~^ = a"'*” și deci a”' • a" = am⁺ⁿ. a ⁿ Cazul m <0 și n < 0. Avem am • aⁿ = —-— =-------------. a m a ⁿ a m - a " Cum -m >0 și -n > 0, atunci a~m • a~ⁿ = a~^m⁺ⁿ\ Deci am ■ aⁿ = / . = am⁺ⁿ. Cazul când unul dintre m sau n este zero. Presupunem că n = 0. Atunci a • a — a • a — a • 1 — a și a —a —a . Deci și în acest caz avem am • aⁿ = am⁺ⁿ. Din egalitatea 3° rezultă și egalitatea am : a¹¹ = am~ⁿ (a 0). Să verificăm egalitatea (a.y = amfl (a * 0) (2) Deoarece pentru m > 0 și n > 0 egalitatea (2) este adevărată, rămâne de ^rătat în următoarele cazuri: Cazul m <0 și n> 0. Avem (am )ⁿ = (— \a m 1 Cum -m > 0, atunci (a y = a mⁿ. Deoarece - mn < 0 atunci a""’ = ----------și a deci (am)" = amⁿ. Cazul m> 0 și n<0. Avem (ay = —-— = —-— = am". Deci (am)" = amⁿ. (amY” a~m" Cazul m < 0 și n < 0. Avem (am)ⁿ = J . Din primul caz obținem că (ay = a'¹”" și cum mn > 0, atunci —— = —— = amⁿ. Deci (ₐy = amⁿ. ₐ-m" 1 a Cazul când unul dintre m sau n este zero. Dacă m = 0, atunci a”’ = 1 și deci (ay = 1" = 1. Dar cum aⁿ" = Y = 1, rezultă (ₐy = amⁿ. 21 Dacă n = O, atunci (a”y = (aⁿy = 1 și am” = a = 1. Deci și în acest caz avem (aⁿy = amⁿ. 1.4. Funcția putere de exponent negativ Vom studia funcția:/: IR - {0} —> IR,/(x) = x~”, n g IN*. Vom distinge două cazuri: 1) n = 2/tî; 2) n = Im + 1. 1)/: IR-{0} La punctul 1.2. s-a arătat că dacă 0 < Xj < x^ atunci x²'” < x^m, de unde > J — și deci/este strict descrescătoare pe intervalul (0, +oo). 22 ¹¹ Dacă xj < x₂ < 0, atunci Xjm > x^ⁿ și deci —— < , ceea ce ne arată că/ Xj x₂ este strict crescătoare pe intervalul (-oo, 0). Cum x²'” = (-x)²/ atunci/(x) =/(-x) și deci/este o funcție pară. 2)/:X-{0}-IR,Ax)=p^. Dacă 0 < X] < x₂, atunci 0 < x]m⁺{, de unde 3 , > —r~r și deci f ¹ ¹ ² ’ 2m+l 2/n+l y J X j %2 este strict descrescătoare pe intervalul (0, +oo). Dacă X| < x₂ < 0, atunci x₁²,ⁿ⁺l < x?ⁿ⁺¹ < 0 și deci , ceea ce ¹ ’ ¹ ² y 2™+l 2w+l ’ Xj x₂ ne arată că/ este strict descrescătoare și pe intervalul 0). Cum x²w⁺l = - (-x)²,M⁺l, atunciy(x) = -f(-x) și deci/este o funcție impară. Observație. Deși funcția /este strict descrescătoare pe intervalele (-oo, 0) și (0, +oo) ea nu este strict descrescătoare pe mulțimea IR - {0}. într-adevăr, dacăxj = -1, x₂= 1 atunci*! n);b)x"' (x" -l)-x” (xm -1). Care dintre următoarele numere este mai mare: a) 4² sau 2⁶; b) 27³ sau 9⁶; c) 125² sau 25³; d) 4³⁰⁰ sau 3⁴⁰⁰; 1 ( i V ( i V⁰⁰ (i Ywo (1Y³ e⁾ “isau r 32j; ⁰ ® sau u J ; g⁾ ⁵ ⁶³ sau ⁶'⁶³; h\5 Jsau⁵'⁶³ ? Să se reprezinte grafic funcțiile: a)/; : IR —>• IR,yj(x) = 2x³; b)/₂: IR 1R,/₂(x) =x³ - 1; c)/₃ : IR — IR,/₃(x) = (x - l)³; d)/₄ : IR,/tO-') = (x + 2)⁴; e)4 : IR - 1R,/₅(x) = |Y|; f)/₆ : IR - IR,4« = IO - l)’l- Să se arate că funcția putere f: IR —> IR, fix) = x²'", m e IN, nu este nici injectivă, nici surjectivă. Să se scrie, folosind exponentul negativ: 1 1 3 / । । । । \ i)--------;-------------------------;------------; ( a ,b ,c * 0 ; \a \b ); (a₊b)³ (a² -b² )² «⁵b⁽'c² ii) 0, 0002; iii) 0,000003; 0,00015. Să se efectueze: a) (« ²+ l)(u⁴-n ²+l);(a*0); b)(a ²+ l)²- (« ² - l)², (a * 0); c) a(a + b) ' + fia + b) ' fia + b * 0). 24 Să se calculeze: a) < x + 1 T pentru x = -—; b) —z— --------2x— I , pentru x = —-; 2 (2 + x) J 2 c) pentru x = -4, y = 2 Să se simplifice expresiile: ₐ x"¹ +(y + z)~' x'¹ ~(y + zYl -7-1 — I —7 x- -y~‘ Să se reprezinte grafic funcțiile: a)a)/i :IR-{0}^IR,/(x)=x³+l; b)/₂ : IR-{0}^ E,/₂(x) = x1; 1 1 c)/₃ : IR - {-1}—► IR,^(x) =-- d)f₄ :1R-{1}^IR,/₄(x)=------—; x + 1 (x-1)² Fie n > 2 un număr natural, iar a un număr real. Sa consideram ecuația xw-a = 0. (1) în continuare ne punem problema existenței și a numărului rădăcinilor (soluțiilor) reale ale acestei ecuații. O rădăcină reală a ecuației (1) este un număr real a, astfel încât a” - a = 0. 2.1. Radicalul unui număr pozitiv Fie ca mai sus n 2 un număr natural, a > 0 un număr real pozitiv și ecuația xⁿ - a = 0. Atunci avem Teorema 3. Dacă n 2 este un număr natural și a > 0 un număr real pozitiv atunci ecuația xⁿ-a = Q. (2) are o rădăcină reală pozitivă și numai una. Demonstrația riguroasă a faptului că există o rădăcină pozitivă a ecuației (2) depășește programa clasei a X-a. Ea necesită noțiunea de continuitate și se va face la Analiză matemativă în clasa a Xl-a. Vom indica totuși mai jos pe un 25 exemplu cum poate fi găsită o valoare aproximativa a rădăcinii pozitive a unei astfel de ecuații. Să demonstrăm acum unicitatea. într-adevăr, să presupunem prin absurd, că ecuația (2) ar avea mai multe rădăcini pozitive diferite. Fie atunci X| și x₂, Xj x₂ două astfel de rădăcini, adică Xț| — (4/ Cum xB x₂, atunci unul dintre aceste numere este mai mic decât celălalt. Fie, de exemplu, x₃ < x₂. Atunci din proprietățile puterilor rezultă xf < x^⁷, ceea ce contrazice relația (3). Această contradicție arată că există o singură rădăcină pozitivă a ecuației (2). Cu alte cuvinte, teorema precedentă spune că pentru orice număr real pozitiv a> 0 și orice număr natural n 2, există un unic număr real pozitiv cu proprietatea că puterea a n-a a sa să fie a. Atunci putem da următoarea definiție: Definiție. Dacă a > 0 este un număr real pozitiv și n >2 un număr natural, se numește radical de ordin n din a^ numărul pozitiv a cărui putere a w-a este a. Conform teoremei precedente există un astfel de număr și este unic. Notație. Vom nota radicalul de ordin n din a prin tfâ. Pentru , de obicei, se omite 2 și se scrie, simplu, 4ă. Așadar, este un număr care verifică relațiile: Exemple L ^9 = 3; VÎ25 = 5; = 2; ^32 = 2; ^8? = 3. 2. Să arătăm, acum, cum poate fi găsită o valoare aproximativă a numărului V 2 . Deoarece 1 = F < 2 < 2³ = 8, rezultă că 1 < < 2 și deci 1, respectiv 2 sunt valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui V2", cu o eroare mai mică decât I. Ca să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decât 0,1 ale lui V2", procedăm în modul următor. Scriem șirul de numere 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0. Căutăm în acest șir două numere consecutive, astfel încât cubul primului dintre ele să fie mai mic decât 2, iar cubul celui de-al doilea să fie mai mare decât 2. Pentru aceasta să rădicăm Ia cub numărul din mijloc. ■Obținem 1,5³ = 3,375, care este mai mare decât 2. Deoarece toate numerele de la dreapta lui 1,5 prin ridicare la cub dau numere mai mari decât 2, perechea de numere căutată va fi printre numerele 1,1; 1,2; 1,3; 1,4. Ridicam la cub 1,2 și obținem 1,728 care este mai mic decât 2, și deci cubul iui 1,1 va fi și mai mic. Calculăm atunci cubul lui 1,3 și obținem (1,3)³ = 2,197 care este mai mare decât 2. Deci 1,2 < ^2 < 1,3. Așadar 1,2 respectiv 1,3 vor fi 26 valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos ale lui V2~, cu o eroare mai mică decât 0,1. Dacă vrem să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decât 0,01 ale lui V2~, procedăm ca mai înainte pentru șirul de numere următor: 1,21; 1,22; 1,23; 1,24;...; 1,29. Deoarece (1,25)³ = 1,953125 este mai mic decât 2, o să luăm în considerare numai numerele: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Cum (1,26)³ = 2,00376 este mai mare decât 2, avem 1,25 < 5/2” < 1,26. Așadar 1,25 respectiv 1,26 vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui V2~, cu o eroare mai mică decât 0,01. Continuând procedeul putem găsi valori aproximative ale lui V2", cu o eroare oricât de mică dorini. în general, ecuația x” - a = 0 (a > 0) poate să aibă și alte rădăcini (care evident trebuie să fie negative). De exemplu, ecuația x² - 4 = 0 are rădăcinile X] = -2 < 0 și x₂ = 2 > 0. în acest sens avem în general: 1° Dacă n = 2k + 1, atunci ecuația x²*⁺I- a = 0 {a > 0) nu are rădăcini negative. Această afirmație rezultă ușor observând că oricare ar fi a < 0 avem a²*'¹ < 0 și deci cc²A⁺I a (a > 0). 2° Dacă n = 2k atunci ecuația x²k - a = 0 {a > 0) are o singură rădăcină • • 7 k I negativă și anume - Va . într-adevăr, avem (- ²Vâ~ )²k = (²Vâ”) = ci și deci - ²Vă~ este o rădăcină a ecuației x²k - a = 0. Un raționament analog celui folosit la demonstrarea unicității în teorema precedentă, ne arată că - ²V^" este unica rădăcină negativă. Prin definiție, avem = 0 (n 2, număr natural). Evident, Vo~ = 0 este unica rădăcină a ecuației xⁿ = 0. Observații. 1. în clasele anterioare s-a definit radicalul de ordin doi (rădăcina pătrată) dintr-un număr pozitiv. De asemenea, s-a studiat proprietățile acestuia și operațiile cu radicali de ordinul doi. 2. Având în vedere definiția radicalului, mai precis că radicalul unui număr pozitiv (sau nul) este pozitiv (sau nul) este folositor de remarcat următoarea formulă importantă: r² = x, dacă x > 0, 0, dacă x = 0, - x, dac ă x < 0. Cu alte cuvinte, 27 Exemple L 7(2 - a}¹ = |2 - a\ = 2 - a, dacă O, dacă a - 2, dacă a < 2, a = 2, a > 2. 2. 7U² +1) = I*² + 1 = x² + 1, deoarece pentru orice x, avem x + 1 > 0. 2.2. Funcția radical Definind noțiunea de radical de ordin n, fiecărui număr pozitiv (sau nul) a i s-a asociat un număr bine determinat, pozitiv (sau nul) tfa . Definiție. Fie n 2 un număr natural. Funcția f: [0, +oo) —► [0, ^\fix) = y[x se numește funcție radical. Iată câteva proprietăți ale funcției radical: 1° Funcția radical este strict crescătoare. într-adevăr fie xb x₂ g [0, +°°), astfel încât jq < x₂. Deoarece Xj = și , avem Dar funcția putere fiind strict crescătoare pe [0, +oo) rezultă că adică/(xi) 0, y > 0) rezultă că inversa sa nu este alta decât funcția: g : [0, +oo) -► [0, +oo); g(x) = x. (a nu se confunda funcția g cu funcția putere, ele neavând același domeniu de definiție.) într-adevăr, (g°f)(x) = g(fx)) = g(Vx) = tfx" = x,xe [0, +oo). (f°g)(y) =fg(y)) =fyf = ’4y"=y, y e [0, +oo). 2. Din punctul 1. rezultă că g este inversabilă și, conform teoremei 3 din capitolul 1, este deci bijectivă. 28 Graficul funcției radical fix) = \x pentru n = 2, 3. 1) Funcția f: [O, +oo) —> [O, +°o),/(x) = 4x . Din proprietățile 1° și 2° de mai sus rezultă, în particular, că funcția f este strict crescătoare și bijectivă. Graficul acestei funcții (construit prin ,,puncte“) este reprezentat în figura 5. 2) Funcția f: [0, +oo) —[0, +°o),/(x) = V* . De asemenea, această funcție este strict crescătoare și inversabilă. Graficul său (construit prin „puncte”) este reprezentat în figura 6. Se observă din aceste figuri că graficele celor două funcții radical considerate sunt asemănătoare. în cele două figuri am reprezentat prin linie întreruptă graficul funcției inverse. Cele două grafice (al funcției f și al inversei sale g) sunt simetrice față de prima bisectoare (vezi teorema 4, cap. 1). Fig.5 Fig.6 2.3. Radicalul (de ordin impar) al unui număr negativ Fie n 2 un număr natural, a < 0 un număr real negativ și ecuația xⁿ -a = Q. Atunci avem: Teorema 4. Fie n 2 un număr natural, a < 0 un număr real negativ și ecuația x - a = 0 (1) Atunci: 1° Dacă n = 2k (k 1), ecuația (1) nu are rădăcini reale. 2° Dacă n = 2k + 1 (k 1), ecuația (1) are o rădăcină reală negativă și numai una. Demonstrație. Afirmația 1° rezultă ușor observând că oricare ar fi a e IR avem câk = (o²/ > 0 și deci a²* a (a < 0), adică a²* - a 0. Să demonstrăm acum 2°. Fie pentru aceasta y = -x. Cum = (-x)^¹ = = -x²H¹, ecuația devine - - a = 0 sau încă j²^¹ - (-a) = 0. Cum a < 0 rezultă -a > 0 și după teorema din paragraful 2, rezultă că ecu- ația în y are o rădăcină reală pozitivă unică. Aceasta este tocmai V- a {-a > 0). Dar, atunci este clar că ecuația în x are o rădăcină negativă unică și anume x = - V- a {-a > 0). 29 Având în vedere afirmația 2° a teoremei precedente putem da următoarea definiție: Definiție. Dacă a < 0 este un număr real negativ și n 3 un număr natural impar, se numește radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui putere a n-a este a. Un astfel de număr există și este unic. îl notăm prin . Așadar (a < 0, n 3, impar) este un număr care verifică relațiile: < 0, (Vă")" = a. Din considerațiile anterioare rezultă: Dacă a<0,n = 2k + 1, atunci ⁼ -V- a . Exemple L Ecuațiile x⁴ + 81 = 0 și x¹⁰⁰ + 125 = 0 nu au rădăcini reale. 2. Ecuațiile x⁵ + 32 = 0 și x³ + 125 = 0 au câte o rădăcină reală negativă și anume: V- 32 = -2, respectiv V- 125 = -5. Observație. Pentru un numai' natural impar, n = 2k + 1, am definit radicalul de ordin n din orice număr real (pozitiv, negativ sau zero). Astfel se obține o funcție /: IR —> IR,y(x) = Vx Această funcție este inversabilă, inversa sa fiind funcția putere g: IR IR, g(x) = x \ 2.4. Proprietățile radicalilor în cele ce urmează vom vedea că radicalii au o serie de proprietăți asemănătoare puterilor. Amintim, la început, că dacă x și y sunt numere reale, iar n un număr natural nenul, atunci xⁿyⁿ = (xy)". De asemenea, dacă x, y 0 sunt numere reale, iar n este un număr natural nenul, atunci din xⁿ = yⁿ rezultă x = y. în cele ce urmează m, n, k vor fi numere naturale nenule, iar atunci când ele indică ordinul unui radical, vor fi mai mari sau egale decât 2. 1. Oricare ar fi numerele reale a, 0, atunci: ■ ⁿ4b. (1) într-adevăr, fie x = y[âb și y = y[ăy[b . Atunci x 0, y > 0 și x = (^ăb]’ = ab, r" = W = MW = ab. Decix" = g",de unde x = y, ceea ce trebuia demonstrat. Cerința a 0 și b 0 este esențială numai pentru n par. Dacă n este impar, formula (1) este valabilă pentru orice numere reale a și b (inclusiv negative). „ , V25 • 49 = V25VW = 5 ■ 7 = 35; Exemple V- 125-8 = V- 125 = -5 • 2 = -10. 30 Remarcăm că formula (I) rămâne adevarata pentru orice număr imit de numere ...,a^Q (k^ 2), adică 2. Oricare ar fi numerele reale a 0,. b > 0. atunci (2) (3) într-adevăr, fie Atunci x 0 și j > 0' și xⁿ a . ₙ W = — Șl V = | —F- b ’ {tfb — „Deci x* = de unde x = y ceea ce trebuia demonstrat. Cerința a 0 și b > 0 este esențială numai pentru n număr pan Dacă n este impar formula (3) este valabilă pentru orice număr real a orice număr real și , 5? ^36 6 ^^64 & Exemple J— = -7= = —; %-------= - %— = V49 749 7 ¥ 27 «27 3. Oricare ar fi numărul real a 0, atunci = a într-adevăr, W _ 4 V27 3 (4) Exemple m oii = 4² z = a-a-.„-q = a™. m ©ri 2^ = VF⁵ * ⁷ = 2³ = 8. 4. Oricare ar fi numărul real a 0, atunci: într-adevăr, [^ă]” = Vă - Vă - - • Vă = - - • a = rfcF. m ori m ori Dacă n este impar, formula (5) este valabilă și pentru a < 0. (5) (6) 5. Oricare ar fi numărul a 0, atunci: într-adevăr, fie x = ⁿyla^ și y = . Atunci x = =ⁿ!n^" =am și ya =am. Deci x" = y\ de unde x = y, ceea ce trebuia demonstrat. Exemple y[5 = - 31 6. Oricare ar fi numărul real a 0, atunci: = ⁿ^ă. într-adevăr, fie x = și y = . Atunci x 0 și y 0. După proprietățile 4 și 5 avem y¹ = =y[â. Cum xⁿ = tfâ, după definiția radicalului de ordin n rezultă că y = • Deci y = x, ceea ce trebuia demonstrat. Exemple = VliVV^ = VI- 2.5. Operații cu radicali 1. Scoaterea unui factor de sub semnul radical și introducerea unui factor sub semnul radical. Uneori numărul de sub semnul radical se descompune în factori, caz în care radicalul este ușor de calculat. în aceste cazuri, expresia radicalului devine mai simplă (se simplifică), dacă scoatem acești factori de sub semnul radical. în efectuarea unei astfel de operații, ne bazăm pe proprietățile 1 și 3 ale radicalilor. De exemplu: Vf2 = ^4 - 3 = 44^3 = 2^3*; Vi250 = V625 ■ 2 = V5⁴ -2 = ^^2 = 5^2; V^ZH^lVI. Uneori este folositor să introducem factori sub semnul radical. Pentru efec- tuarea unui astfel de operații ne bazăm pe aceleași proprietăți menționate mai sus. De exemplu: = VV16²-2 = ^2S-2 = = VF = VF = 2 VI. 2. înmulțirea radicalilor. Proprietatea 1 a radicalilor ne dă legea de înmulțire a radicalilor de același ordin: ■... - = ^aₜ ■ a₂ •... • aₖ . (1) Ca să înmulțim radicali de ordine diferite, este necesar să-i aducem la același ordin și, apoi, să-i înmulțim după formula (1). Fie, de exemplu, și ^fb . Folosind proprietatea 5 a radicalilor avem: Vă = Atunci Vă - Vă = "Vă^ - 'Vă'” = ■ b” . De exemplu: VIVI = = Vs³ • 9² = Vs³ ■ 3⁴ = V?" = 3VI. Observăm că se poate lua ca ordin comun al radicalilor și tfb , tocmai cel mai mic multiplu comun al numerelor n și m. De exemplu, putem lua ca ordin comun pentru radicalii V2~ și V32~ pe 12, care este cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6. Atunci avem: VI - V32 = V2³" - ^2“" = = 2'VI. 32 3. împărțirea radicalilor. Proprietatea 2 a radicalilor ne dă legea de împărțire a radicalilor de același ordin. Ca să împărțim radicali de ordine diferite, îi aducem mai întâi la același ordin și apoi îi împărțim după formula (2). VȚ 7V 12⁴ z/— De exemplu: —= ă — = 72. 72 VF V 2³ 4. Raționalizarea numitorilor. înțelegem prin raționalizarea numitorilor, operația de eliminare (prin transformări) a radicalilor de la numitorul unei fracții. Vom clarifica aceasta prin câteva cazuri speciale, pe care le vom prezenta mai jos. Să precizăm mai întâi noțiunea de expresie conjugată. Astfel, o expresie, care conține radicali se numește conjugata unei alte expresii care conține radicali, dacă produsul acestor expresii se poate scrie fără radicali. Atunci cele două expresii se numesc conjugate. în cazurile următoare, raționalizarea numitorului se realizează prin amplificarea fracției cu conjugata numitorului. De aceea vom pune în evidență pentru fiecare caz în parte, conjugatele numitorului. 1° Numitorul este un radical. în acest caz radicalul de la numitor se elimină printr-o amplificare. De exemplu: 2 2^3 2>/3 5 3 (Pț 3 ’ V12 2 6 2° Numitorul este de forma', fa+fb (a, b> 0). Observăm că {44 + 4b\4~â - 4b} = a - b. Expresiile 4~ă + 4b și o” - 4b sunt conjugate. Pentru a raționaliza numitorul amplificăm fracția cu conjugata numitorului. ~ . 73-72 (73-T2)² 3-276 + 2 . ~ r- 73 + 72 (73 + 72)73-72) 3-2 3° Numitorul este de forma'. 44 ± 4b ± 4c (a, b, c > 0). în acest caz, radicalii de la numitor se elimină succesiv, reducând problema la cazul precedent. De exemplu: 4 _ 41(1 + 73)+72} _ 4(1 + 73+72) _ 1 + 73-72 J(1 + 73)-72][(1 + 73)+7^ ₊ " _ 4(1 + 73+72)_ 4(1 + 73 + 72)_ 2(1 + 73 + 72)_ (4 + 277)- 2 2 + 27? 1 + 7^ 2(1+ 7?+,72Ii- 7?). 2(1-7?+7?-3+ 72-76) ” (1 +7^)1-7?) ~ 1-3 = 2-71+77. 33 4° Numitorul este de forma y/a ± yfb sau y/a² ± y/ăb + yjb². Avem: acestea fiind perechi de expresii conjugate. 5-3 2 Cazul 4° se poate da mai general, astfel: 5° Numitorul este de forma tfa - y/b sau y/aⁿ~' + y/a"~²b + ... + ylbⁿ~[ . Avem (- ⁿ-Tb )( a ⁿ~' + a ⁿ~² b + ... + '-Tb^ f a - b acestea fiind deci expresii conjugate. 6° Numitorul este de forma: f^ + fb sauV a"’¹ a"~² babⁿ~² b”'' , unde n = 2k + 1, este impar. Avem: (+ Pb )( a - V a "-² b + ... - ab ⁿ~² + V b } = a + b , (n = 2k + 1) acestea fiind deci conjugate. . ₇. . ~ a + b + c □ / ~ . T Aplicație. Sa se demonstreze ca: ---------> y/abc , unde a, b,c sunt numere reale pozitive oarecare {media aritmetică a trei numere pozitive este mai mare sau egală cu media geometrică a lor). Demonstrație. Se verifică ușor că are loc identitatea: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - xz}, unde x, y, z sunt numere reale oarecare. Deoarece x² + y² + z² -xy- yz-xz- — [(x - yf + (y - zf + (z - x)² j rezultă identitatea x³ + y³ + z³ q ¹ l - 3xyz - — (x + y - y)² +(y- z)² + (z - x)²] în această ultimă identitate punem: x = y - z = și obținem: 34 Deoarece a, b, c sunt numere pozitive, iar pătratul oricărui număr real este nenegativ, rezultă că a + b + c - 3^1 abc > 0, adică a + b + c 3 Inegalitatea dată devine egalitatea dacă și numai dacă a = b = c. Observație. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive oarecare, atunci: a b c (media geometrică a trei numere reale pozitive este mai mare sau egală cu media armonică a lor). Folosind faptul că media aritmetică a numerelor _L _L și J_ este a b c mai mare sau egală cu media lor geometrică, rezultă inegalitatea cerută. 2.6. Ecuații iraționale 1. Se numesc ecuații iraționale, ecuațiile care conțin necunoscuta sub sem- nul radical. Așa, de exemplu, ecuațiile ^/x - 2 =5 + 4x; Jx = 1 - 2x; ^4 - x = ț]x + 10 + 5x sunt ecuații iraționale. Amintim că radicalii de ordin par sunt definiți numai pentru numere nenegative, aceștia fiind de asemenea numere nenegative. Să considerăm, de exemplu, ecuațiile iraționale: 1° y/x - 3 + ^2 - x = 3. Cum radicalii de ordinul doi sunt definiți numai pentru numere nenegative, rezultă că soluțiile ecuației trebuie să verifice sistemul de inecuații: x-3>0,2-x^0. (1) De aici rezultă: x > 3 și x < 2 și deci sistemul (1) evident nu are soluții. Așadar ecuația dată nu are soluții reale. 2° Vx + yj3 - x = - 5 . Cum Vx și ^3 - x sunt nenegative, avem Vx + ^3 - x > 0 pentru x real. însă -5 < 0 și deci ecuația nu are soluții reale. Observație. Cele două exemple precedente ne arată că este necesar ca înainte de a trece la găsirea, prin diferite metode, a soluțiilor unei ecuații iraționale, să ne asigurăm dacă astfel de soluții pot să existe. 2. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale. Calea obișnuită de rezolvare a ecuațiilor iraționale constă în eliminarea radicalilor, prin diferite transformări, reducându-le astfel la ecuații deja studiate (de exemplu, de gradul întâi sau al doilea). Mai jos prezentăm câteva exemple de ecuații iraționale a căror rezolvare se poate efectua prin ridicarea la putere sau înmulțire cu expresii conjugate. 35 Exemple 1. Să se rezolve ecuația: x = ^2 - x, (2) Pentru ca radicalul să existe trebuie ca 2 - x > 0, de unde x < 2. Deci soluțiile ecuației trebuie să verifice această inegalitate. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat și obținem: x = 2 - x, sau x + x - 2 = 0. de unde xj = -2 și x₂ = 1. Cu toate că X] 2 și x₂ ^2, nu putem încă trage concluzia că acestea sunt rădăcini ale ecuației (2). Aceasta pentru că la același rezultat am fi ajuns (prin ridicare la pătrat, membru cu membru) chiar dacă am fi considerat ecuația irațională x = --^2 - x, care evident este diferită de ecuația dată (2). Deci printre rădăcinile ecuației obținute prin ridicare la pătrat (membru cu membru) a ecuației (2) se găsesc și rădăcinile ecuației x = -^2 - x, care pot să nu fie rădăcini ale ecuației (2). De aceea, trebuie să verificăm dacă, într-adevăr, X| = -2 și x₂ = 1 sunt rădăcini ale ecuației iraționale date. Pentru x = -2, membrul stâng al ecuației (2) are valoarea -2, iar cel drept V4 = 2. Cum -2 2, rezultă că -2 nu este rădăcină a ecuației (2). Pentru x = 1, ambii membrii ai ecuației (2) iau valoarea 1. Deci 1 este rădăcină a ecuației iraționale date. 2. Să se rezolve ecuația: 7x - 5 + 710-x = 3. (3) Din condițiile de existență a radicalilor rezultă că soluțiile ecuației trebuie să verifice inegalitatea: 5 0 este egal, de exemplu, cu numărul rațional n km ----, pentru k număr natural nenul, se pune în mod firesc problema de a arăta că kn această definiție este corectă, adică nu depinde de alegerea reprezentanților. . m m' m m — —r Cu alte cuvinte, trebuie arătat că dacă — = — , atunci a ⁿ = aⁿ . n n' într-adevăr, avem — = — dacă și numai dacă mn’= m'n. n ri Atunci folosind proprietatea 5 a radicalilor, avem: m' _________ __________ ___________ _______ m a⁷ = Vă"⁷ = "'^am'm = m'4ă^ = Vă'"” = a~. Obținem astfel noțiunea de putere cu exponent rațional pozitiv. De exemplu: 2 ______ 2_ 9 4 = = V9⁴ • 9 = 9^9 = 9V3; 8³ = = VF" = 4. Din noțiunea de putere cu exponent rațional pozitiv particularizată la numerele naturale n, respectiv la numerele raționale pozitive —, se obține noțiunea de putere n cu exponent natural, respectiv noțiunea de radical pentru numerele pozitive. Observație. Cerința a > 0, din definiție, este esențială deoarece în caz contrar, formula (1) ar putea să nu aibă sens. De exemplu, (- 2)7 după formula (1) ar trebui să fie radical de ordinul 4 din -2, care nu are sens. Proprietăți ale puterilor cu exponent rațional pozitiv - . - m . p . In cele ce urmeaza presupunem ca — și — sunt numere raționale pozi- n q tive. Atunci: m p 'P_₊JL r ~ r a⁷ -ₐq = aⁿ ³" - ” =^r(a °>Ă > °); b” 2” (a • b)n = a" ■ b ” (a, b > 0); m p = a" “ 0); m — mp m d aⁿ 5" Dacă — > A atunci — = a" (a > 0). n q 2L aq 38 Aceste proprietăți se demonstrează ușor folosind proprietățile radicalilor. Să demonstrăm prima proprietate. Avem: m P_ a ⁿ • aq amq yaⁿp amq⁺ⁿp mg + np = m p Lăsăm ca exercițiu, verificarea celorlalte proprietăți. Observație. Proprietatea 1° este adevărată și pentru un număr finit de factori, adică: m₂ mₖ m₂ mₖ n. iu n, n-, ru a { • a ¹ - ... • a k = a x ² k . 1111 1 2 1 1 71 Exemple 5⁵ • 5 ⁵ = 5⁵ ⁵ = 5¹ = 5; a¹ - a⁶ = a¹ ⁶ = a⁴² (a > 0). Pentru a 0, am convenit să punem a° = 1. Expresiei 0° nu i se dă nici un sens. 3.2. Puteri cu exponent rațional negativ Așa cum am definit puterea cu exponent întreg negativ (vezi pct. 1.3), definim și puterea cu exponent rațional negativ. Fie a > 0, un număr real pozitiv și — un număr rațional pozitiv. Atunci n -- 1 prin definiție, a ⁿ - —— a ⁿ De exemplu: 2 5 8" . ¹ -- ¹ . ¹-₂?~ . ¹ ¹ 111 ₈I VF ⁴ ’ ₂₇7 V27⁷ 9>/3 ' Acum știm ce înseamnă puterea cu exponent rațional oarecare a oricărui număr real pozitiv. Puterile cu exponent rațional oarecare au următoarele proprietăți de bază: m P H ₊ JL l°aⁿ ■ aq = aⁿ q (a > 0); m — — 2° (ab) n = aⁿ • b ⁿ (a, b > 0); ’ (o > 0). Am demonstrat în paragraful precedent aceste proprietăți * pentru cazul exponenților raționali pozitivi. Ele se pot demonstra și pentru exponenți rațio- nali oarecare. 39 Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Fie pentru aceasta —și — n q numere raționale. Cazul în care ambele numere sunt pozitive a fost dat la punctul precedent. Rămân atunci de considerat următoarele cazuri: 1° ambii exponenți sunt negativi; 2° unul dintre exponenți este negativ, iar celălalt pozitiv; 3° cel puțin unul dintre exponenți este zero. Să le analizăm pe rând: m P m P 1° Dacă —,— < 0 , atunci---------,---->0. După definiție și aplicând n q n q proprietatea analoagă a puterilor cu exponent rațional pozitiv, avem: 2° în cazul al doilea fie, de exemplu, — > 0 și — < 0; deci-—> 0. n q q Sa prespunem mai întâi ca — > . n q Atunci, după definiție și proprietatea 5° a puterilor cu exponent pozitiv, avem: W Z X m £ m ~ £_| _£ £₊£ a” -a⁹ = a" = a" =aⁿ a “ a ⁹ Dacă --- <--, atunci - - 1 11 n q 9 =an •---!_ = ---!---_ m _ p_ -P. an 'a a 11 a n a 9 p m ( m\ și după situația precedentă, avem: q n \ n) 1 1 ~+- 1 =-----= ---V = an 9. __w _p_ w p_] a m - a q n n l n q J în sfârșit, dacă: a a J m p „ mp m --- = - --- adică --- + --- : m P --- m p n q n q - zy m --1--- = 0, atunci a" - a11 =-----= 1 - a° = an 9. « -P- 40 3° Dacă unul sau ambii exponenți sunt zero proprietatea este evidentă (avem în vedere că a} = 1). Lăsăm ca exercițiu demonstrarea celorlalte proprietăți. Observație. Dacă în cazul puterilor cu exponent rațional pozitiv am putut vorbi despre proprietatea 5, doar pentru — > S-, în acest paragraf (după ce am definit n q puterile cu exponent rațional negativ) ea se poate demonstra și pentru — < JL (când a > 0), de exemplu: n q 2 i r 4 2__A _L / \_____। __L 1 1 -——=16 ⁴ 5 ₌ ₁₆ 20 ₌ 2⁴ " 20 = 2 ⁵ = = 4 \ / 2 ⁵ P) 16^ 2⁵ 3.3. Funcția putere cu exponent rațional 777 Definiție. Fiind dat un număr rațional — , nenul, funcția: n m f:(0, +oo) —> (0, +<£>), fix) = xⁿ , se numește funcție putere cu exponent rațional. Putem presupune n > 0 și atunci f[x) = ^/x^ • Rezultă că funcția putere cu exponent rațional are proprietăți asemănătoare cu ale funcției putere. Astfel: 777 a) dacă — este pozitiv, atunci funcția f este strict crescătoare; n m b) dacă — este negativ, atunci funcția f este strict descrescătoare; n c) funcția f este inversabilă, inversa sa fiind: n g : (0, +oo) —> (0, +oo),/(x) ⁼ x,ⁿ . Să demonstrăm proprietatea a). Fie x₂ E (0, +⁰⁰) cu < x₂. Folosind proprietatea analoagă de monotonie a funcțiilor radical și putere deducem că: ₂ , de unde , adicăX*i) X» + O]⁴; c> VRTTjfi Fără a calcula radicalii, să se găsească care dintre numerele următoare este mai mare: a) 2^3 sau 371; b) 5^/7 sau 8a/3 ; c) 3^4 sau 4V2. Să se simplifice expresiile: a)7 5^625 ;b)^2^4^ ; c) Să se calculeze: a) 750 - 5>/8 + 71 + 7128”; b) VI + V250" - V686 - V16; c) (27I - 371 + 76 )• (76 - 71 - 271) d) (78 - 371 + Tîl)- (71 + 7^6 + 37oj) Să se raționalizeze numitorii fracțiilor: i-VT 1 12 15 VT+VI a)------; b)----------; c)---->------; d)--------; e)-------; i+7T VH - VH" s+TT-TT tfî+iFî iTs-tfî 31 1 1 7 -TT-TT f)------------; g) ; h)----------------; i) ------- . 2 + VI — 76 7 5 + ^1^2 2 — H + VI— W 7 VI + 7 b 42 Să se simplifice expresiile: 2 1 1 2 2 —------(x > O, y > O, x * j). Să se așeze în ordine crescătoare radicalii: a) V2, V3, V?; b)V3,V6,^30; c) 76,^12,^72. Să se rezolve (în IR) ecuațiile: e) ^4 - x + ^5 + x = 3; f) -^7 - x + ^x - 5 =42; g)^2x +1 = 2^/x - ^x-3; h) + xyjx² +24 = x +1;i)y/a + x + ^ja-x = 42cr, j)y/x-3 -y/x+3 = 2 -4^; k) 4X - 1 + y/x - 2 + y]x- 3 + 1 = 0; l)x + ^6 + 4x^ = 0. Să se rezolve (în IR) ecuațiile: a) + 1 + ^/x + 2 + ^/x + 3 = 0; b) ^4x + 3 + ^/13 -4x = 4; c) y]x + 45 - ^/x - 16 = 1. Să se rezolve (în IR) ecuația 797 - Să se arate că ^20 + 14-^2 + ^20-14^2 = 4. Să se rezolve (în IR) inecuațiile: a) 42 —x > x; b) 72 -x < x; c) Vx² -55x + 250 < x -14; d) 7x² -3x4-2 > 2 - x. Să se rezolve (în IR x IR) sistemul de ecuații: a) y]x + y 4- tfx-y = 6, \[x 4- = 4, x4-j/ = 28. Să se construiască graficele funcțiilor: a)/i : [1, +°°) - IR,/(x) = 7T+ ; b)/₂ : IR IR,/₂(x) = ; c)/₃ :IR^IR₎/₃(x)= VT-2. Să se așeze în ordine crescătoare numerele: 43 Să se demonstreze identitățile (formulele radicalilor compuși): unde a, b și cr - b sunt numere reale nenegative. Folosind formulele radicalilor compuși să se transforme expresiile: a) 7 5 + 2/6 ; b) 7 6-/20 ; c) 7 10-2/21 ; d) 7 9-/45 ; e) ] x-7 x ² -= Să se demonstreze că, pentru 1 < x < 2, Să se calculeze: Să se calculeze: pentru x= 5;y = 20. pentru x= l-a ³ Să se calculeze: dacă se dă că: l/x = 3 2 Să se arate că, pentru orice a > 0, b > 0, c > 0 și V abc > 2, are loc identitatea abc + 4 . bc ---------4 a \ a yjabc - 2 Să se arate că funcția putere/: IR —► IR,/x) ⁼ *²”’⁺¹ este bijectivă. Să se arate că funcția/: IR —* IR,/x) ⁼ ax? + bx + c, a / 0 nu este injectivă. Fie funcția/: IR -»IR,/(x) = x²⁰⁰⁰ - 2x + 1. Să se arate că/ nu este injectivă. 2 3 / Fie funcția/: IR -> IR ,/(x) = x '\x . Să se arate că/ este bijectivă și să se determine inversa sa/ u. 44 1.1. Puteri cu exponent real în capitolul precedent s-a definit puterea cu exponent rațional și s-au studiat o serie de proprietăți ale puterilor cu exponent rațional oarecare. în cele ce urmează, vom folosi în special proprietățile date de următoarea teoremă. Teorema 1. 1 ° Dacă a > 1 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent rațional pozitiv ale acestui număr, este mai mare aceea al cărei exponent este mai mare. 2 ° Dacă 0 < a < 1 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent rațional pozitiv ale acestui număr, este mai mare aceea al cărei exponent este mai mic. Demonstrație. 1 ° într-adevăr, fie > — > 0 două numere raționale pozitive. Avem același ordin: — i— — i— a¹¹ =yam și aq = yjap . Aducem acești radicali Ia radicali de D Cum — > —, rezultă că mq > nn. Dar cum a > 1, rezultă amq > a"p de unde n q 2 ° Demonstrația este analoagă cu cea de la punctul 1 °și, de aceea, o omitem. Exemple 7. Avem 1,21 < 1,22. De aceea 2¹,²¹ < 2¹,²²; 2. >1 . z \(),3 z \0,4 2. Avem 0,3 < 0,4. De aceea (a/J) ’ < (Vs) ’ ; I -4= > -4= In continuare vom defini puterea cu exponent real oarecare de bază pozitivă, astfel încât aceasta să coincidă pentru exponent rațional cu cea introdusă mai înainte. Mai precis, dacă a > 0 este un număr real pozitiv, iar x un număr real oarecare, ne propunem să dăm sens expresiei a\ Amintim, mai întâi, câteva cunoștințe privind aproximările zecimale ale numerelor reale. 45 Fie a: un număr real oarecare reprezentat sub formă de fracție zecimală infinită, adică x = x₍₎, X|X₂x₃ ... xₙ ... . Pentru numărul x, aproximările zecimale cu o eroare mai mică decât IO⁻" sunt: i) prin lipsă: xₙ = x₀, X|X₂x₃ • • • ii) prin adaos: xₙ =Xo, x\x₂x₃ ... xₙ+ IO⁻". Așadar, numărului x i-am asociat aproximările sale zecimale: prin lipsă: x₍₎, xₚ x₂, x₃, ..., prin adaos: x₀, x₁? x₂, x₃, astfel încât x₍₎ < x < x₍₎, Xj < x < X[, x₂ < X < x₂, Observăm că aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos ale unui număr real x sunt întotdeauna numere raționale. 1. Puteri cu exponent real pozitiv Pentru definirea puterii de bază a > 0, cu exponent real, distingem două cazuri, după cum baza este supraunitară sau subunitară: 1 ° a > 1. Fie x > 0 un număr real și să considerăm aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos cu o eroare mai mică decât 10"¹". Atunci, pentru orice n, avem X < X < X . După cum am observat, numerele xₙ, xₙ sunt raționale pozitive și deci conform definiției puterilor cu exponent rațional, au sens puterile ax" și ax", pentru orice n. Mai mult, după punctul 1 °al teoremei 1, rezultă că ax" < ax\ Definiție. Fie a > 1 și x un număr real pozitiv. Se numește puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n, satisface inegalitățile: ax" < y < ax". Se poate demonstra că un astfel de număr real y există și, mai mult, este unic. Demonstrația riguroasă a acestui fapt depășește programa clasei a X-a. Ea necesită noțiunea de limită și se va studia Ia Analiză matematică în clasa a Xl-a. Numărul y dat de definiția precedentă se notează ax și se citește a la puterea, x. Exemplu r r— Să explicăm ce trebuie înțeles prin 3 . Aproximările zecimale ale lui V2 sunt următoarele: prin lipsă: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ..., prin adaos: 2; 1,5; 1,42; 1,415; ...; 46 astfel încât V2 <2, V2 <1,5, 1,41 O este un număr real, avem: xₙ< x< xₙ. După punctul 2 °al teoremei 1, rezultă că aⁿ < aⁿ. Definiție. Fie 0 < a < 1 și x un număr real pozitiv. Se numește puterea x a lui a un număr real j, care, pentru orice număr natural n, satisface inegalitățile: ax" < y < ax". Se poate demonstra că un astfel de număr real j, există și, mai mult, este unic. Exemplu Să explicăm ce trebuie înțeles prin Având în vedere cele de mai înainte, precum și tabelul aproximărilor zecimale ale lui V2 din exemplul precedent, numărul care ne interesează y = îndeplinește inegalitățile: Vom adăuga că, pentru orice număr real x, 1* = 1. 47 în final, trebuie menționată o proprietate importantă a puterilor cu exponent pozitiv, și anume: Oricare ar fi a> 0 fi x> 0, avem ax > 0. într-adevăr, fie xₙ, xₙ aproximările zecimale ale lui x prin lipsă, respectiv prin adaos. Atunci, pentru orice n, avem: 1 ° Dacă a > 1, atunci ax" 0 și ax" >0, pentru orice a > 0. Atunci, evident ax > 0, deoarece este cuprins între două numere pozitive. 2 . Puteri cu exponent real negativ Dacă a > 0 și x este un număr real negativ, atunci prin definiție 0. Exemplu 1 3 Cum a~x = —, rezultă că și pentru x < 0, avem ax > 0. ax Amintim că pentru a * 0, am convenit să punem a = 1. Astfel am definit puterea unui număr pozitiv cu orice exponent real. Puterea unui număr negativ cu exponent real, în general, nu este definită. 3 . Proprietăți ale puterilor cu exponent real Fie a> 0 fib> 0 (numere reale pozitive). Atunci , pentru x și y numere reale, avem: 1. ax-ay=ax⁺y- 3. țab)x=axbx\ 5. țaxfi = axy. -^-7-. Am demonstrat că dacă x > 0, atunci a x > 0. 3J 48 Pe baza definiției puterii cu exponent real dată mai înainte și folosind proprietățile corespunzătoare ale puterii cu exponent rațional, verificarea acestora se face fără dificultate. Lăsăm ca exercițiu demonstrarea lor. Exemple 7V2 ~ 1.2. Funcția exponențială Fie a > 0 un număr real pozitiv. Am văzut în paragraful 1.1. că oricare ar fi numărul real x, avem ax > 0. Definiție. Funcția /: IR -> (0, 00),/ (x) = ax, unde a > 0, se numește funcție exponențială (de bază a). Observație. Pentru a = 1 se obține funcția constantă/: IR -> (0, 00),/(x) = 1 și de aceea acest caz nu prezintă un interes special. Enunțăm în continuare o serie de proprietăți importante ale funcției expo- nențiale. 1. Dacă a> 1, atunci pentru x > 0 avem ctx> f iar pentru x < 0 avem < 1. Dacă a < 1, atunci pentru x > 0 avem ax < 1, iar pentru x < 0 avem ax > 1. Demonstrație. Fie a > 1 și x > 0. Dacă x este rațional, adică x = —, atunci n — 1— /— ax = aⁿ = \am . Cum a > 1, rezultă că și am > 1, dar atunci și \am > 1. Dacăx este un număr real pozitiv oarecare, fie xₙ și xₙ, pentru orice n, aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos ale lui x. Atunci X < X < X . n ~ n Cum a > 1, rezultă că pentru orice n avem ax" < ax < ax". Dar xₙ este rațional pozitiv și, după cum am observat mai înainte, aXⁿ > 1, de unde ax> 1. 49 Dacă x < O, atunci avem ax = Dar -x > 0 și deci a x > 1. Prin urmare, a x ax=-^-<\. a x Cazul în care O < a < 1 se tratează analog; îl lăsăm ca exercițiu. 2. Dacă x = 0, atunci independent de a> 0 avem ax = 1. Aceasta rezultă din definția puterii nule. 3. Pentru a > 1, funcția exponențială f (x) = cf este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1 este strict descrescătoare. Demonstrație. Fie a > 1 și X| 0 astfel încât x₂ = Xi + u. Atunci aX{ - oX¹ = ax' - ax'⁺u = ax> ț\-auf Deoarece u > 0, după proprietatea 1 a funcției exponențiale rezultă au > 1. Așadar, 0 și 1 - au < 0 , de unde aX[ (1 - au} < 0. înseamnă că ax' - aX¹ <0 sau ax' < aX¹ . Deci din xi < x₂ rezultă ax' < aX¹, adică funcția f (x) = ax este strict crescătoare. Analog se demonstrează că pentru 0 < a < 1 funcția f (x) = ax este strict descrescătoare. 4. Funcția exponențială/: IR —> (0, °o),/(x) = cF (a > 0, a 1) este bijectivă. Demonstrație. Să arătăm mai întâi că f este injectivă. Fie, pentru aceasta, Xj, x₂ g IR astfel încât X| x₂. Atunci avem X| < x₂ sau xj > x₂. Să presupunem, de exemplu, că xj < x₂. Atunci, după monotonia funcției exponențiale (proprietatea 3) rezultă: 1. dacă a > 1, atunci f (xi) /(x₂) și deci f(x\) /(x₂). Analog, rezultă pentru xi > x₂. Deci f este injectivă. Demonstrația faptului că funcția exponențială f este surjectivă depășește programa clasei a X-a. Ea necesită noțiunea de continuitate și se va face la Analiză matematică în clasa a Xl-a. Cu alte cuvinte, se poate demonstra că oricare ar fi j/₍₎ > 0 un număr real pozitiv, există un număr real x« astfel încât ax" = y₍₎ (conform injectivității funcției f rezultă căx₀ este unic). 5. Funcția exponențială f(x) = ax este inversabilă. Această proprietate este evidentă, deoarece orice funcție bijectivă este inversabilă. în §2 ne vom ocupa de studiul inversei funcției exponențiale. 1.3. Graficul funcției exponențiale Pe aceeași figură vom reprezenta graficul funcțiilor f (x) = 2A și g(x) = 5\ iar /1 v (] y pe alta al funcțiilor h(x) = I — I și k(x) = I — I . Trasarea fiecărui grafic se face „prin puncte”. Asociem tabelele de valori următoare: X _co -3 -2 -1 0 1 2 3 +00 OO CM ---'!■* ---|oo =(£) OO to toi --- *4- O0|h--- Observăm că pentru x = ±2, ±3 și, în general, pentru x întreg diferit de ±1, valorile funcțiilor g(x) = 5A și k(x) = sunt ori foarte mari, ori foarte mici, deci punctele corespunzătoare sunt greu de figurat pe grafic. De aceea, în acest caz, vom lua pentru x valori fracționare cuprinse între -1 și 1, ca de exemplu: ₓ=-i,-4,-i,-i,o,i, 1,4,1. 4 2 4 4 2 4 Valorile funcțiilor vor fi calculate aproximativ. Astfel: 5° = 1; 54 = ^5 = a/Ă/5 «-72,2360 «1,5; 1 5² = V5 «2,24; 54 =VF = (V5y «3,34; 5' =5; 5 4 =-L ss jL ~ 0,66; ș.a.m.d. g(x) = 5x 0,2 0,3 0,45 0,66 1 1,5 2,24 3,34 5 ⁵ ³,³⁴ ²,²⁴ ¹,⁵ ¹ ⁰,⁶⁶ ⁰,⁴⁵ ⁰,³ ⁰,² Prezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabelele de mai sus. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă. în figura 1 sunt reprezentate graficele funcțiilor f (x) = 2X și g(x) = 5A, iar în figura 2 sunt reprezentate graficele funcțiilor h(x) = 1Y 2) și k(x) = 51 Analizând graficul funcției exponențiale pentru diverse baze, constatăm că el are următoarele proprietăți: 1) Trece prin punctul de coordonate (0, 1) de pe axa Oy. 2) Graficul funcției exponențiale este constituit dintr-o singură ramură care „urcă” pentru baza a > 1 și „coboară” pentru baza 0 < a < 1. 3) Graficul funcție exponențiale este din ce în ce mai „apropiat” de axele Ox și Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 1, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1. Să se afle care număr din perechile de numere următoare este mai mare: 4 5 a) 3⁵ și 3⁶; d) (0,5) ¹³ și 2¹³; g) 5^ și 5^; b₎ 12^ . 2^[ Să se afle mulțimea valorilor lui x pentru care este adevărată inegalitatea: a) 3* > 729; b) 2* <0,25; c) 2A > d) 3X<3; e)(V2f2>|; f) (0,01)² (Vîo)A < 1; 1 128 ’ 52 Să se compare m și n dacă este adevărată inegalitatea: a) (37t)"' > (3ti)"; c) (VI - > (VI - Vi)'; Deduceți care din numerele următoare este mai mare decât 1 și care este mai mic decât 1: b) (Vî)’; d) (V2 - ițF I) (iii) Să se afle care număr din perechile de numere următoare este mai mare: Să se afle x astfel încât ax> — , unde a > 0 este un număr real pozitiv. Să se spună dacă sunt echivalente inegalitățile următoare: / < XX / ț \x-1 a) ax > a⁴ și x > 4; c) I — I > I — I și 2x < x - 1; b) 6A < 6A și x² < x; d) 8A < 4 și 3x² > 2. Să se traseze graficul funcțiilor/: IR —> IR, unde: a)/(x) = 2x²; c)/(x) = 2m; e)/(x) = 2* - 2; b)/(x) = 2Jt⁺²; d)/(x) = 2w; f)/(x) = 2V + 2. Să se traseze graficul funcțiilor/: IR —> IR, unde: /1 y⁻¹ /1 \l*l /1 y a)/(x)=^J ; c)/(x)=^J ;e)/(x)=^J -1; (1Y⁺I ((i Y b)/(x)=^J ; d)/(x)=^j ; +1- 2.1. Definiția logaritmului unui număr pozitiv Fie a > 0 un număr real pozitiv, a * 1. Considerăm ecuația exponențială ax = N, N>Q. (1) 53 Din proprietatea 4 (punctul 1.2.) rezultă că ecuația (1) are o soluție care este unic determinată. Această soluție se notează x=IogX (2) și se numește logaritmul numărului pozitiv N în baza a. Din (1) și (2) obținem egalitatea a'°⁶“N = N (3) care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a (a > 0, a 1) pentru a obține numărul dat. Dacă în (1) facem x = 1, obținem a} = a și deci log^=l. (4) Exemple 1. Să calculăm log₂32. Cum 2⁵ = 32, atunci din definiția logaritmului avem log₂32 = 5. 2. Să determinăm log₂-L. Din egalitatea 2^ = , obținem log₂-^ = -4. 16 16 16 3. Să determinăm logj 27. Să considerăm ecuația exponențială ] =27. 3 \3J (1Y³ 1 Cum I — I = = 27, obținem x = -3 și deci log ₁ 27 = -3. <3? 3 y 4. Să determinăm log₄256. Cum 4⁴ = 256, atunci din definiția logaritmului obținem log₄256 = 4. Observații. 1. în practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc și logaritmi zecimali. Aceștia se notează Ig în loc de log|₍₎; de aceea nu mai este nevoie să se specifice baza. Astfel, vom scrie lgl06 în loc de log io 106 și lg5 în loc de logio5 etc. 2. în matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul irațional, notat cu e, e = 2,718281828... . Folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor formule matematice. Logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor probleme fizice și intră în mod natural în descrierea matematică a unor procese chimice, biologice ș.a. De aceea acești logaritmi se numesc naturali. Logaritmul natural al numărului a se notează Ina. 2.2. Funcția logaritmică Fie a > 0, a * 1 un număr real. La punctul 2.1 am definit noțiunea de logaritm în baza a\ fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat. Definiție. Funcția f: (0, +oo) IR, / (x) = log^x, a > 0, a 1 se numește funcție logaritmică. 54 Iată câteva proprietăți ale funcției logaritmice: now într-adevăr, cum a = 1, rezultă că logₐl = 0 și deci f (1) = 0. 2 ° Funcția logaritmică este monotonă. Mai exact, dacă a> 1, atunci funcția logaritmică este strict crescătoare, iar dacă 0 < a < 1, funcția logaritmică este strict descrescătoare. într-adevăr, să considerăm cazul a > 1 și fie x₍, x₂ g (0, +oo) astfel încât %i < x₂. Cum X[ = 6z'°⁸"X| și x₂ = a,og"A², rezultă că alog"A| < a,og"A². Dar funcția exponențială fiind crescătoare (a se vedea §1) obținem că log^X] < log^₂, adică/(xₜ) log^₂, adică/to) >f(x₂Y 3 °Funcția logaritmică este bijectivă. într-adevăr, dacă x\, x₂ e (0, +oo) astfel încât f (xi) = f (x₂), atunci din log„X| = logₐx₂. Dar din egalitatea (3) din §2 obținem x₍ = alog"A| și x₂ = a⁰*"X¹, adicăx{ = x₂. Deci f este o funcție injectivă. Fie y g IR un număr real oarecare. Notăm x = av. Se vede că x g (0, +oo) și log^x = logₐ av = y. Deci f (x) = y, ceea ce ne arată că f este și surjectivă. Așadar, f este bijectivă. 4° Inversa funcției logaritmice este funcția exponențială. Funcția logaritmică f : (0, +oo) —> IR, f (x) = log.gr, fiind bijectivă, este inversabilă. Inversa ei este funcția exponențială g : IR —> (0, +oo), g(x) = ax. într-adevăr, dacă x g (0, +oo) avem (go/)(x) = g(f (x)) = g(log^x) = alog"x = x și dacă j, g IR, atunci (fog)(y) =f(g(y)) ^fW = logX = y. Graficul funcției logaritmice f (x) = log^x pentru a= 2, 5, y • Considerăm tabelele de valori: X 1 1 1 1 1 2 4 8 16 16 8 4 2 log2x ---4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 log±x 4 ’ 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 2 X I 1 1 1 625 125 25 5 1 5 25 125 625 logsX -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 log±x 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 5 Reprezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabelele de mai sus. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă. în figura 3 sunt reprezentate graficele funcțiilor j{x) = log₂ x și g(x) = log₅ x, iar în figura 4 sunt reprezentate graficele funcțiilor Deoarece funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale, graficele celor două funcții sunt simetrice față de prima bisectoare. în figura 5 am reprezentat grafic funcțiile/(x) = log₅x și g(x) = 5X, iar în figura 6 am reprezentat /1 v grafic funcțiile f (x) = log j x și g(x) ⁼ 4 • 5 Graficul funcției logaritmice are următoarele proprietăți: 1) Trece prin punctul de coordonate (1, 0) de pe axa Ox. 2) Graficul funcției logaritmice este constituit dintr-o singură ramură care „urcă“ dacă baza a > 1 și „coboară“ dacă 0 < a < 1. 56 3) Graficul funcției logaritmice este din ce în ce mai „apropiat“ de axele Ox și Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 1, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 2), atunci logᵤ^ = ^^ n (logaritmul unui radical dintr-un număr este egal cu câtul dintre logaritmul numărului și ordinul radicalului). într-adevăr, proprietatea 4° este un caz particular al proprietății 3°, punând m = —. n Exemple 1. Să calculăm log₃75. Cum log₃75 = log₃(3 • 25) = log₃3 + log₃25 = = 1 + log₃5² = 1 + 21og₃5. 2. Să determinăm log21000 - log2125. Avem log21000 - log2125 = ^gz⁻^^ ⁼ 1°&8 = log22³ = 3. 3. Să calculăm IgO, 18 - Igl 80. Avem lgO,18-lgl8O = lg^| = Ig^ = IglO’³ = -3. 4. Să calculăm k>g₆TV + log₆-^-. Io IZ Avem log₆ + log₆pr = -log₆18 - log₆12 = -( log₆18 + log₆12) = io IZ = -logᵣₜ(18- 12) =-logfᵢ6³ =-3. 5. Să calculăm log₂ W . Avem log₂ ^8 = ț log₂ 8 = log₂ 2³ = -| log₂ 2 = . 6. Să calculăm log₂V8T. Avem log₂ VsT = jlog₂ 81 = ylog₂ 3⁴ = ylog₂ 3. 2.4. Schimbarea bazei logaritmului aceluiași număr Dacă a și b sunt două numere pozitive diferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea: log^ = log,^ • log^ într-adevăr, dacă log« A = x și log/^ = y, atunci avem ax = A și bv = A, de unde obținem ax = bv. Dar atunci logᵤ. Observație. Dacă în egalitatea de mai sus A = a, obținem log,/z = log/,<7 • \ogₐb. Cum logₐa = 1, rezultă că: 10g„6= Ț-l---- logA« Exemple 1. Să se scrie log₂x în funcție de log4X Avem log₂x = log4% • log₂4 = 21og4%. 58 2. Să se arate că expresia E = nu depinde de x. log₅ x într-adevăr, E = -—, ¹ , = log₂ 5. log₂x-log₅2 log₅2 3. Să se arate că log₂6 + log₆2 > 2. Avem log₂6 + log₆2 = log₂6 + -——r . log₂ 6 1 2 Deci trebuie să arătăm că log₂6 + -------- > 2 sau (log₂6) - 2 log₂6 + 1 > O, log ₂ 6 sau încă (log₂6 - l)² >0, inegalitate evidentă deoarece log₂6 1. 2.5. Operația de logaritmare a unei expresii Să considerăm expresia: E = 17³VÎ3r-V92~ ^37-98-23 Vom logaritma expresia într-o anumită bază convenabilă a. Folosind proprietățile logaritmilor, obținem: logₐE = log, (17³ VÎ31 V92)- 10gₐ ^37-98-23 = log, 17³ + log, VÎIT + + log, V92 - M/3^9823) ₌ ₃ ₗₒgₐ j ₇ ₊1 ₗₒgₐ j ₃ j ₊1₁Qgₐ ₉₂ _ -|log,37-|log,98-|log,23. Deci am obținut egalitatea: log,£ = 31og,17+|log,131₊llog,92-|log,37-|log„98-|log,23. în general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri și radicali, putem să-i asociem, exact ca în exemplul de mai sus, o expresie, notată log E, în care apar sume (diferențe) de logaritmi înmulțite eventual cu anumite numere raționale. Operația prin care expresiei E i se asociază expresia log E se numește „operație de logaritmare⁴⁴. Exemple 1. Fie E= a \ab . Prin operația de logaritmare, obținem: log, E = log,(a² ) = log,a² + log,Vă^= 21og,a + y log, a + y log, b. 59 2. Fie E = 4^- . Prin operația de logaritmare, obținem: logc E = log₆. | logc p- = 10ogc a³ - logc b⁵} = |logc a -1 logc b. Adesea în calcule este nevoie să se facă și operația inversă, adică unei expresii în care intervin logaritmi să-i asociem o expresie fără logaritmi. De exemplu, să considerăm expresia log₆. E = 2 logc a - y logc b - 3 logc, 3. Folosind proprietățile logaritmilor, avem: r- 2 2 logc£= \ogca² - logc4b - \ogc3³ = \ogc-^ \Ogc-^- , 2 de unde obținem că E = a 214b ' Să se determine valorile Iui x pentru ca următorii logaritmi să aibă sens: a) log₂( 1 - x); d) log₄(x² + x - 2); g) log₄(log₂x); b) log₂( 1 -x²); e) log₃(-x² + 5x - 6); h) logl (log₃x); c) logl (1 + x²); f) log₅(x²-x+1); i) logl (loglx). Care dintre următoarele numere este mai mare? a) log₂4 sau log₂5; c) log₅ j sau log₅ y; b) 2 sau log₃10; d) 3 sau log₂7. Determinați valorile lui x pentru care au loc inegalitățile: a) log₃x > log₃4; c) log₂x² > log₂ 8; b) logl (2x) > logl 5; d) log₆(x² - 1) < log₆(4x + 4). Pornind de la graficul funcției logaritmice să se construiască graficele urmă- toarelor funcții: a)/: (-1, +oo) IR ,/(*) = log₂(l +x); b)/: (0, +«>) -> IR ,/(x) = log₂x³; c)/: (1, +oo) -> IR ,f(x) = log₅(x- 1); d)/:lR\{0} IR ,/(x) = log₅x²; e)/: (2, +oo) -> IR ,f(x) = logl (x - 2); 2 f)/: IR \ {3} —> IR ,/(x) = log₆|x - 3|. Să se calculeze: 4 a) log₂5 + log₂~; b) log₁₂2 + log!₂72; c) logslOOO - logₛ40; e) Iogoj50-logoj0,5; g) logl 3 - logl 12 + logl 2; d) logfᵢ7 - log ; 3o f) log₄6 + log₄8 - log₄3; h) log₀>|5 + log₍U4 - log₍U2. 60 Știind că Ig 7 p și Ig 5 = q, să se exprime în funcție dep și q\ a) Ig 0,7; b)lgW; c) Ig 35; d) Ig 175; e)lg?V5. Să se arate că expresiile următoare nu depind de x: ₐ₎£.22&4; b₎£. l°g;X + 10g₂^. log₈ X log₃ X + log₃ -ix log^ ' Să se logaritmeze expresiile: a)E = 41² ^41-37⁵ ; c)E = a² VăPc . 17²V23²-29 d)E=23a² V/Ă7 e>E= 7 2(a - b) lg + b . 3(a + 6) Va-b Să se determine expresia lui x astfel încât să avem: a) log,A = logₐ3 + log„4 - logₐ5; b) log„r = 21og„7 + 31ogₐ6 - 41ogₐ5; c) log₂x = 21og₂a + 31og₂(a + b) - 41og₂(a - b\, d) log4X = log₄(a + b) + log₄(a-b) --|log₄(a + b) + -|log₄(26) - -|log₄(2a) 3.1. Ecuații exponențiale Ecuația exponențială este o ecuație în care necunoscuta este exponent sau o ecuație în care este exponent o expresie care conține necunoscuta. Astfel, ecuațiile: 3* = 2'r⁻¹; 5X "⁶ -1 = 0 și 2'v⁺³ + 4x⁺¹ = 320 sunt ecuații exponențiale. în practică, atunci când avem de rezolvat o ecuație exponențială, vom pro- ceda astfel: folosind diverse substituții precum și proprietățile funcției exponen- țiale, vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuații simple, de regulă de gradul întâi sau gradul al doilea. Cele mai multe ecuații exponențiale sunt reductibile la forma af⁽x⁾ = b, cu a. > 0, b > 0, a 1. Datorită injectivității funcției logaritmice, această ecuație este echivalentă cu: /(x) = 10g 0, rezultă că -17 nu poate fi egal cu 2X și deci singura soluție se obține din 2'v = 16, 2X = 2⁴, deci x = 4. 62 în unele situații, substituția efectuată la exercițiul precedent nu se poate face imediat în forma inițială a exercițiului. Să luăm, de exemplu, ecuația 6X +4' = 9A. / (4\v ((n \²a Vom împărți ambii termeni cu 9* și obținem + — ⁼ M T I ⁺ T ~ 1 • \9 J \y) \3) \3) Făcând substituția = y, obținem y² +y -1 =0 și deci yₕ ₂ = ~ ± . Deoarece < 0, rezultă că singura soluție a ecuației o obținem din / w r ig^¹- ⁼ Și decix =------2—. UJ 2 lg| 3.2. Ecuații logaritmice Ecuațiile logaritmice sunt ecuații în care expresiile ce conțin necunoscute apar ca bază sau ca argument al unor logaritmi. De exemplu: logᵥ₊I (x + 2) = 1; lg(x²+x-2) = 3; log A-(5x²+ 3) = lg(2x+3) -1. Folosind injectivitatea funcției exponențiale, avem că rezolvarea unei ecuații de tipul log^A;/(x)= b este echivalentă cu rezolvarea ecuației f(x) = g(x)b. Vom avea însă grijă ca soluțiile obținute să satisfacă f (x) > 0, g(x) > 0, g(x) 1, pentru care expresia logA,^/(x) are sens. La fel ca la ecuațiile exponențiale, în practică atunci când avem de rezolvat o ecuație logaritmică, vom proceda astfel: folosind diverse substituții precum și proprietățile logaritmilor, vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuații simple, de regulă de gradul întâi sau de gradul al doilea. Exemplu Să se rezolve ecuația: logA-(x² - 3x + 9) = 2. Obținem x² - 3x + 9 = x² și deci 3x = 9, x = 3. Deoarece pentru x = 3 > 0, expresia x - 3x + 9 este pozitivă, rezultă că x = 3 este soluție a ecuației. Rezolvarea altor ecuații se bazează pe injectivitatea funcției logaritmice, și anume din log,/ (x) = log„g(x), deducem / (x) = g(x), impunând condițiile: /(x) > 0, g(x) > 0. Exemple 1. Să se rezolve ecuația: lg(x² - 15) = Ig (x - 3). Deducem că x -15 = x -3, deci x² - x - 12 = 0, adică X| = 4, x₂ = -3. Deoarece pentru x₂ = -3 obținem x-3 = -3-3=-6<0, rezultă că x₂ = -3 nu este soluție a ecuației. Deci numai 4 este soluție. 2. Să se rezolve ecuația: 21g(x - 1) = ^-lgx⁵-lgVx. în această ecuație punem de la început condițiile x - 1 > 0, x > 0, pentru a avea sens expresiile lg(x- 1), Ig X⁵, 4x , IgVx . 63 Ecuația se mai scrie 2 lg(x - 1) = Ig x - y Ig x și deci 2 Ig (x -1) = 2 Ig x. Prin urmare, lg(x — 1) = Ig x, de unde obținem x — 1 = x, — 1 =0, contradicție; rezultă deci că ecuația dată nu are soluții. 3. Să se rezolve ecuația: lg(x + 7) + lg(3x + 1) = 2. Punem condițiile de existență a logaritmilor: x + 7 > 0 și 3x + 1 > 0, deci x > - j. Obținem lg(x + 7)(3x + 1) = 2 și deci (x + 7)(3x + 1) = IO² = 100. Rezultă ecuația de gradul al doilea 3x + 22x - 93 = 0, de unde rezultă x, = 3 și x₂ = ——. Deoarece 31 1 < 3 ’ °bținem că 3 este singura soluție a ecuației date. Observație. Ecuația precedentă nu este echivalentă cu ecuația lg(x + 7)(3x + 1) = 2, care 31 are două soluții xț = 3, x₂ = - —, deoarece pentru amândouă aceste valori ale lui x, lg(x + 7)(3x + 1) are sens. 4. Să se rezolve ecuația: log^x - 31og₃x -4 = 0. Avem condiția x > 0 și făcând substituția log₃x = y, obținem y² - 3y - 4 = 0. Deci y{ = 4, y₂ = -l. Din log₃x = 4, obținem x = 3⁴, x = 81, iar din log₃x = -1, obținem x = 3⁻¹, x=l x ₃. In continuare vom rezolva câteva ecuații care nu se pot încadra într-un anumit tip. Astfel, pot apărea ecuații cu logaritmi scriși în diferite baze, ecuații în care apar expresii conținând necunoscute și la exponenți și la logaritmi etc. 5. Să se rezolve ecuația: log₂x + log₃x = 1. Deducem, aplicând formula de schimbare a bazei, yMr + = 1 sau Ig x = ₌ j)ₑcj Ig 2 Ig 3 * Ig 2 + Ig 3 Ig 6 lg 2 Ig 3 x= 10 ,g⁶ . - 6. Să se rezolve ecuația: log₃x + logᵥ3= 2. Deoarece logᵥ3 = —-— , rezultă log₃ x logjx + * = 2. Notând logjx = y, obținem y + y = 2, adică y - 1y + 1 = 0; deci y = 1, adică log₃x = 1. Prin urmare, x = 3. 7. Să se rezolve ecuația: x's*⁺² =1000. Punem condiția de existență a expre- siilor: x > 0. Logaritmând, obținem o ecuație echivalentă lg(x'⁶ ⁷ ⁸ v⁺²)= IglOOO care devine (Ig x + 2)lg x = 3. Notând Ig x = y, avem y² + 2y - 3 = 0 și deci y^ = -3, y₂ = 1. Din lgx = -3, obținemx= 10"³, x = 0,001, iar din lgx= 1, obținemx= 10. 64 3.3. Sisteme de ecuații exponențiale și logaritmice în astfel de sisteme se aplică metodele arătate anterior la ecuațiile de tipul respectiv. Exemple 1. Să se rezolve sistemul: 27²v”' ₌243-3⁴a⁺² 3 • Deoarece 27 = 3³, 81 = 3⁴, f_ o4a+7 (6v-3=4x+7 243 = 3, obținem < . , . Rezultă sistemul echivalent v . . , deci ‘ ₃x₊.y₌₃4x-3 \x + y=4x-3 x = 2, y = 3 și soluția sistemului este perechea (2, 3). ix² + v² = 425 2. Să se rezolve sistemul < ? . Obținem, pe rând sistemele [Ig x + Ig y = 2 x²+/=425 fx² + y²=425 0 x, y > 0 Acest sistem simetric îl putem rezolva pe căile cunoscute din clasa a IX-a: punem s = x + y, p = xy și vom avea 5²-2p = 425 _ f^² = 625 _ p = ±25 Q. . p = 25 <=H . _ <=>i Sistemul < da soluțiile 77 = 100 [77 = 100 1/2 = 100 [77 = 100 (5, 20) și (20, 5) care satisfac și condițiile de existență ale sistemului inițial, x > 0, y > 0. Sistemul s=-25 77 = 100 dă soluțiile (-20, -5), (-5, -20), care nu convin. 3.4. Inecuații exponențiale și logaritmice Rezolvarea inecuațiilor exponențiale și logaritmice se bazează pe proprietă- țile de monotonie ale funcțiilor exponențiale și logaritmice. Am văzut că atât funcția exponențială cât și funcția logaritmică sunt crescătoare dacă baza este supraunitară și descrescătoare dacă baza este subunitară. Exemple 1. Să se rezolve inecuația: 3A > 9. Inecuația se scrie 3A > 3² și deoarece funcția/: IR -> IR ,/(x) = 3Y este crescătoare, rezultă că x > 2. 2. Să se rezolve inecuația: 2A ~⁴a > -i. Deoarece -i = 2⁻³, inecuația se scrie o o 2a ⁻⁴a >2⁻³, care este echivalentă cu x² - 4x > -3. Rezolvarea inecuației x - 4x + 3 > 0 dă pentru x valorile posibile x g (-oo, 1) u (3, +oo). 3. Să se rezolve inecuația: log₁(2x-l)>-3. Avem că -3 = logj 27 și 3 3 inecuația devine log j (2x - 1) > log ₍ 27 . Deoarece baza a logaritmului este subunitară, inecuația devine 2x - 1 < 27, adică x < 14. In același timp, din condiția de existență a logaritmului inițial, avem 2x - 1 > 0, adică x > y. Deci x e 14j . 65 Să se rezolve (în IR) ecuațiile (exercițiile 1-11): a) 5' = 125; b) 4' = 1024; c) 9' = ; d) 25' = 0,2; e) 2rf = 32; f) S' = 16. a⁾ «Pb⁾ (tj W s¹" - ■ a) 5' + 5^' = 3750; b) T - 7' ¹ = 6; c) 3' ¹ + 3' ² + 3'³ = 13; d) T⁺¹ + 4 • T~' = 347; e) + 5- 3'¹ - 7 • 3' + 21 = 0. a) 4^ =64-2^; b) ; c) 16^(0,25)^ = 2^ ; . a) 5²¹-5'-600 = 0; ( 5”) ⁺ Gl) = b)9'-3'-6 = 0; g) 3²l/x-4 3Vx+3 = 0; c) 4' + 2*⁺' = 80; h) 2 • 25' = 10' + 4'; d) 3* + 9* ¹ - 810 = 0; i) 3 • 4'+ 2 • 9' = 5 • 6'; e⁾ ⁴ ⁺ 7TT ⁼ ; j⁾ ^3 + 2^-^3-212^ = |. a) 3 • 2' = 2 • 3A; b) 7 • 2' = 5 • 3'; c) 1 1' = 17'; d) a' = bx (a > 0, 6 > 0, a * b); e) 6²'⁺⁴ = 2⁸⁺x ■ 3³'. a) lgx= Ig2; b) lgx=-Ig2; c) log₂(x-1) = log^-x-16); d) } = i- ’ a) logț_|(x² - 5x + 7) =1; b) log,2 - logᵥ3 = 2; c) logᵥ(x + 3) = logₜ (x² +1). a) 12¹^X ⁼ 3 4^gr’ b⁾ ³¹g²⁽x²⁾“ ’£ x -¹ = °î c> ²IS² (x³) - 3 Ig x - 1 = 0; d)41og^5x-71og₃15x+7 = 0. (L 5ls-Y _ _ ^g*-1 Să se rezolve (în IR * IR) sistemele de ecuații: x⁴ + / = 641, ,. f9'⁺v = 729, b) 5 . 2 Ig x + 2 Ig y = 2; [3^"r"¹ = I; . fx - y = 90, c) 11 1 [lgx + Igy = 3; xv-y' = 0, 2Jt-4v =0; ' Să se rezolve (în IR) inecuațiile: a) lg(x²-3) > lg(x+3); b) Ig²x-2 Igx-8 <0; c) (0,25)'⁴< . * ’ Rezolvați (în IR) inecuațiile: log₂(9 - 2V) > 3- x; b) Ig 2 + lg(4 x ²+ 9) < 1+ lg(2* ² + 1). * Să se rezolve (în IR) inecuația 3' + 4V > 5Y. h - Să se rezolve (în IR) și să se discute după valorile parametrului real a, inecuațiile: a) l°gₐ x - logₐ, x + logₐ< x > ^; b) log,x+log,(x+5)+log,0,02<0. 66 Fiind dat t g IR, presupunem cunoscută definiția numărului cos t și a numă- rului sin t. Funcția /: IR —> [-1, !],/(/) = cos/ se numește funcția cosinus, iar funcția g : IR —> [-1, 1], g(/) = sin/ se numește funcția sinus. Reamintim: * funcțiile cosinus și sinus sunt periodice și au perioada principală 2k; * funcția cosinus este pară, iar funcția sinus este impară. Cu ajutorul cercului trigonometric putem justifica afirmațiile: * pentru orice a e [-1, 1] există / g [0, ti], astfel încât a = cos /. 71 71 * pentru orice b g [-1, 1] există / g [—, — ], astfel încât b = sin /. BU= ctg/ BU= -ctg/ Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Funcția f : IR - {(2k + 1)— | k g TL} -> IR, ff) = tg / = --ⁿ- se numește 2 cos/ cos t funcția tangentă, iar funcția g : IR - {(kn | k g 71}IR, g(t) = ctg t = ——se sin t numește funcția cotangentă. Reamintim: * funcțiile tangentă și cotangentă sunt periodice și au perioada principală k. * funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare. 67 Cu ajutorul cercului trigonometric putem justifica afirmațiile: * pentru orice a g IR există t g (-—, —), astfel încât a = tg t. * pentru orice b g IR există t g (0,7i), astfel încât b = ctg t. Din cele de mai sus rezultă că funcțiile trigonometrice cosinus, sinus, tan- gentă și cotangentă sunt surjective, dar nu sunt injective (fiind periodice), deci nu sunt inversabile. Completări privind funcțiile periodice Propoziția 1. Fie f: D -> IR, D cz IR o funcție periodică. Dacă T este perioadă a lui f atunci kTeste perioadă a lui/ V k g TL. Demonstrație, a) Vom demonstra: T perioadă a lui f => nTperioadă a lui f V n g IN*. Notăm afirmația cu P{n). Evident P(l) este adevărată, iar P(n) implică P(n + 1), deoarece f (x + (n + 1)7) =f (x + nT + T) =fțx + nT) =f(x), V x g D, Conform principiului inducției matematice, rezultă că P{n) este adevărată pentru orice u g IN, n > 1. b) Vom demonstra: Tperioadă a lui/ => -Tperioadă a lui f. Avem f{x-T) = fx -T+ T) =fx), V x g D. în concluzie, dacă T este perioadă, atunci nT este perioadă, iar de aici rezultă că - nT este perioadă, V n g IN*, deci kT este perioadă a lui/ V £ g 2Z. Propoziția 2. Fie/: D —> IR, D c IR o funcție periodică care admite perioadă principală. Dacă T{} este perioada principală a lui / atunci orice perioadă T a lui/ are forma T= kT{}, cu k g TL. Demonstrație. Reamintim că perioada principală a unei funcții, dacă există, este cel mai mic număr strict pozitiv care este perioadă a funcției respective. Fie k gZ partea întreagă a numărului T/T{₎. Avem k < T/T{₎ < k + 1 sau kT₍} < T < kT{} + 7}), de unde 0 < T - kT{} < T{₎. Notăm T - kT₍} = T *, deci T= T * + kT{}. Cum T este perioadă, avem: fțx) =fx + 7) =fx + T * + kT₍) =fix + T*),\fx^D. Dacă T * 0, rezultă că T * este perioadă a lui / și 0 < T * < T₍₎, în contradicție cu faptul că T^ este cea mai mică perioadă strict pozitivă. Rezultă că nu putem avea decât T * = 0, deci T = kT{). Aplicație. Funcția/: IR -> IR,/x) = a sin(6x + c), Unde a 0, b > 0 și c g IR, are perioada principală 2n/b. Demonstrație. Fie T o perioadă a funcției/ deci f(x + T)=f (x), V x g IR, de unde sin(fcr + c + bT) = sin(6x + c), V x g IR. Dacă notăm bx + c = y, avem sin(y + bT) = sin y, V y g IR. Rezultă că bT este perioadă a funcției sinus. Conform propoziției 2, avem bT= 2kn sau T= 2kn/b, k eTL. Pentru k = 1 obținem 2nlb. Se arată imediat că 2n/b este cel mai mic număr strict pozitiv care este perioadă a lui f. în adevăr, dacă t g (0, 2n/b) este perioadă a lui/ se arată analog că t = 2kn/b, k ^TL, ceea ce contrazice ipoteza. Observație. Analog se arată că funcția/: IR -» IR,/x) = acosțbx + c), unde a 0, b > 0, are perioada principală 2n/b. 68 Formule trigonometrice Prezentăm formulele studiate în clasa a IX-a, organizate în șase grupuri. A. Formula de bază [1] cos²/ + sin²/^ 1; ᵣ_.. sin/ cos/ [2]tg/=-----, ctg/=——, tg/ctg/=l; cos/ sin/ [3] l+tg²/= —V, l+ctg²/=— cos t sin t B.Funcțiile trigonometrice ale sumei și diferenței [4] cos(a - b) = cosa cos/? + șina sin/? cos(a + b) = cos# cos/? - sin^z sin/? [5] sin(a + b) = sin# cos/?+ sin/? cosa sin(a -b} = șina cos/? - sin/? cosa r-n . , , M tga + tgb tga - tgb [6] tg(a + b) = ————, tg(a - b) = ———— 1 - tga tg/? 1 + tga tg/? 7T 7T [7] sin( — - /) = cos /, cos(y - 0 ⁼ s^ⁿ * tg(y - t) = ctg t, ctg(y-t) = tgt C. Funcțiile trigonometrice ale argumentului dublu, triplu sau ale Jumătății argumentului [8] sin2/ = 2sin/ cos/ [9] a) cos2/ = cos²/ - sin²/ b) cos2/ = 2cos²/ - 1, cos2/ = 1 - 2sin²/. [10] tg2t = 1-tg²/ ᵣᵢ₁, ₓ 2 l + cos2/ . 2 l-cos2/ [l l] a) cos / =--------, sin / =-------- , ₓ 2 l - COS 2/ b)tg²/=-------- l + cos 2t . sin 2t l - cos 2t c) tg t =--------- =--------- l + cos 2t sin 2t [12] sin3t = 3sint - 4sin³/, cos3t = 4cos³/ - 3cost 69 D. Exprimarea numerelor sin/, cos/, tg/ în funcție de tg — ²tgȚ l-tg²| 2tg| [13]sin/ =------—, cos/=------tg/=----------- 1 + tg² - 1 + tg²- 1-tg²- 2 2 2 E. Formule pentru transformarea sumelor în produse [14] sinp + sin# = 2sin ? cos o • p~q p + q smp - sin# = 2sin—-— cos—-— p + q p-q [ 15] cosp + cos# = 2cos • - - cos £—^— . p + q . p-q cosp cos# = -2sin -------- sin — sin(p + #) sin(n-#) [16] tgp + tg#=----------------, tgp-tgq =----- cos p cos # cos p cos q [17] 1 + cosa = 2cos² — , 1 - cosa = 2sin² — 2 2 [18] sin# + cos# = V2 cos(<7 - —), șina - cosa = V2 sin(« - —) 4 4 F. Formule pentru transformarea produselor în sume [19] sintz cosb = [sin(<7 + b) + sin(^z - /?)] [20] cosa cosb = [cos(# + b) + cos(/z - 6)] [21] sin# sini = [cos(7z -b)- cos(a + /?)] Demonstrați relațiile: ₐ) 5cos<7-4 = 3 + 5sin a . ^0 sin⁶ x + cos⁶ x - 1 ₌ _3 3-5sin<7 4 + 5cos^’ sin⁴ x + cos⁴ x -1 2’ Calculați numerele sin/, cos/, tg/ și ctg/ dacă: a) b)ctg/ = -2,/e(p7r). Dacă tgx = 2, calculați E = —, a ⁿ x—-—. sin J x + cos³ x 70 ⁴ Calculați E = 16siny sin , dacă avem cosa = . 5 Determinați perioada principală a funcției/: IR -> IR, unde: a)7(^) ⁼ sin4x; b)Ax) ⁼ sin(-3x + ); X d)fix) ⁼ -3cos(6x + ); ^)AX)⁼ 2 -r 5cos —; 5 4 x c)Ax) = ^~‘, î)Ax) = cos(nx). în studiul variației funcțiilor trigonometrice intervin în mod esențial proprietățile de periodicitate, paritate sau imparitate, prezentate anterior. Fie o funcție f: D -> IR, D cz IR. Vom considera graficul lui f în raport cu un sistem de coordonate xOy. 1. Prespunem că f este periodică și admite perioadă principală. Fie T > 0 perioada principală a lui f Dacă se cunoaște graficul lui f pe intervalul [0, 7], atunci graficul lui f pe [7, 27] se trasează imediat (vezi fig. 5). Fie a e [0, 7] și punctele M(a,Aa)), ⁺ T\Aa ⁺ D)- Punctul M aparține graficului lui f pe [0, 7]. Cum a + T g [7, 27] și fia ⁺ ⁼ Aa) rezultă că punctul M¹ (a + fi fia)) aparține graficului lui f pe [7, 27]. Constatăm imediat că lungimea segmentului MAE este T, iar dreapta MM' este paralelă cu axa Ox, deoarece yM = y^. Prin urmare, punctul M se obține din punctul M printr-o mișcare de translație, de mărime T, după direcția axei Ox, în sens pozitiv. Prin urmare: graficul 'funcției f pe [7, 27] se obține din graficul funcției f pe [0, 7] printr-o mișcare de translație, de mărime T, după direcția axei Ox, în sens pozitiv. Analog se arată: • graficul funcției f pe [27, 37], [37, 47], ... se obține din graficul fuftcției j pe [0, 7] prin mișcare de translație, de mărime, respectiv 27, 37,..., după direcția axei Ox, în sens pozitiv; 71 • graficul funcției f pe [-T, 0], [-2/ -7], ... se obține din graficul funcției f pe [0, 7] prin mișcare de translație, de mărime, respectiv T, 2T, 3T, ... după direcția axei Ox, în sens negativ. Concluzie: dacă funcția f este periodică și admite perioada principală T> 0, atunci este suficient să studiem variația și să trasăm graficul lui f pe un interval de lungime egală cu T. sau [0, 7]. T_ L 2" 2 Se alege intervalul 2. Dacă funcția f este impară, atunci graficul său admite originea O a coordonatelor, ca centru de simetrie. Dacă funcția f este pară, atunci graficul său admite axa Oy ca axă de simetrie (vezi manualul de clasa a IX-a). 3. Fie un punct a e D. Dacă f(a) = 0, se spune că x = a este un zero al funcției f, iar graficul lui/intersectează axa Ox în punctul (a, 0). Dacă/X) > 0 sauy(/) < 0, punctul (a,J(â)) se află deasupra, respectiv sub axa Ox. 2.1. Funcția sinus Fie f: IR -> IR,/x) ⁼ sin Fiind periodică, de perioadă principală 2k, va fi suficient să studiem funcția sinus pe intervalul [0, 2/|. Semnul și zerourile funcției sinus pe [0, 2k] se află în tabelul: X 0 71 71 371 2n T sinx 0 + + + + 1 + + + 0 - - -----------i----------- - - 0 Sa studiem acum sensul de variație al funcției pe [0, 2ti]. Cu ajutorul unui tabel de variație, constatăm; * dacă argumentul x „crește“ de la 0 la —, atunci valorile corespunzătoare sin x „cresc“ de la 0 la 1: X q 7t 7t 7t 7T 7 4 7 I i V2 77 sin x 0 - --- --- 1 222 * dacă argumentul x „crește“ de la — la — atunci valorile corespunzătoare sin x „scad“ de la 1 la -1: X 71 271 3n 5tt 71 7 ti 5n 4tc 3tt T T T ~6~ T T T sin a: 77 77 1 1 77 77 1 2 2 2 0 -i 72 * dacă argumentul x „crește“ de la — la 2n, atunci valorile corespun- zătoare sin x „cresc⁶⁴ de la -1 la 0. 3n 5n In lin Ott X T T T 6 Vă 1 sin a: -i 0 1T ” ~T ~2 Se poate demonstra: Teoremă. Funcția sinus este strict crescătoare pe intervalele [0, —] și _ 371 _ . . . ᵣ 7t i [ — j 2kj și strict descrescătoare pe intervalul [—, — ]. Graficul funcției sinus se obține astfel: 1) graficul pe intervalul [0, 2n] se obține unind printr-o curbă continuă punctele graficului din tabelul de variație anterior (fig. 6); 2) graficul pe intervalele [2k, 4ti], [4ti, 6k], ... se obține din graficul pe [0, 2tl], prin mișcare de translație, de mărime T, 2T, ... după direcția axei Ox, în sens pozitiv (fig. 7). 3) graficul pe intervalul (-oo, 0] este simetricul graficului pe intervalul [0, oo) în raport cu originea O, deoarece funcția sinus este impară (fig. 7). Graficul funcției sinus este o curbă numită sinusoidă. 7C 71 Propoziție. Funcția sinus este strict crescătoare pe , — ]. 73 Observație. Datorită proprietății de periodicitate, rezultă că funcția sinus este strict 71 71 crescătoare pe [-— + 2£ti, — + 2Att], V k g TL și strict descrescătoare pe [- + 2kn, — + 2A7t], V k e ÎL. 2 2 2.2. Funcția cosinus Fie /: IR IR, J[x) = cosx. Fiind periodică, de perioadă principală 2ti, va fi suficient să studiem funcția cosinus pe intervalul [0, 2ti]. Semnul și zerourile funcției cosinus pe [0, 2ti] sunt date în tabelul: X 0 71 71 3tt 2n 2 T cosx 1+ + + 0 - - --1--- --0 + + + 1 Să studiem acum sensul de variație al funcției pe [0, 2ti]. Cu ajutorul unui tabel de variație constatăm: * dacă argumentul x „crește“ de la 0 la ti, atunci valorile corespunzătoare cosx „scad“ de la 1 la — 1; X 0 O> | a 71 £ | rn 71 2tt 3îr 5 ti 71 4 T T T 1 1 VI VI COS X 1 2 2 2 0 ~2 2 2 -1 * dacă argumentul x „crește“ de la ti la 2ti, atunci valorile corespunzătoare cosx „cresc“ de la -1 la 1; X 71 7n 57t 4tt 3n Ști 7tt 1 Itc 2k 6 4 3 2 3. 4 6 VI 1 1 VI v3 COSX -1 2 2 2 0 2 • 2 V 1 Se poate demonstra: Teoremă. Funcția cosinus este strict descrescătoare pe intervalul [0, ti] și strict crescătoare pe intervalul [tt, 2 ti]. ⁷4 Observație. Datorită proprietății de periodicitate, rezultă că funcția cosinus este strict descrescătoare pe [2hi, ti + 2kn], V k e TL și strict crescătoare pe [71 + 2bi, 2ti + 2£ti], V k e TL. Graficul funcției cosinus se obține astfel: 1) graficul pe intervalul [0, 2ti] se obține unind printr-o curbă continuă punctele graficului din tabelul de variație anterior (fig. 8). 2) graficul pe intervalele [2ti, 4ti], [4ti, 6ti], ... se obține din graficul pe [0, 2tc], prin mișcare de translație, de mărime 7, 2f, ... după direcția axei Ox, în sens pozitiv (fig. 9). 3) graficul pe intervalul (-^o, 0] este simetricul graficului pe intervalul [0, 00) în raport cu axa Oy, deoarece funcția cosinus este pară (fig. 9). 2.3. Funcția tangentă Fie f\E^ IR,y(^) ⁼ tg unde E = IR - {(2k ⁺ 1)~ \k ^TL} este o reuniune de intervale, anume E= ... u (-— ) u (-— —) u ( —— ) u ... 2 2⁷ 2 2 2 2 Fiind periodică, cu perioada principală 71, va fi suficient să studiem funcția 71 7T tangentă pe intervalul (-—, — ). 71 71 Semnul și zerourile funcției tangentă pe (—, — ) sunt în tabelul: X 1 0 - 2 tgx |---00 --- --- --- --- --- --- 0 ~H ~F ~F ■H + -F 00] 7T 71 In jurul punctelor — și funcția tangentă are un comportament special. 7T TU Dacă x se apropie de — prin valori mai mici decât —, constatăm, cu ajutorul axei tangentelor, că tg x are valori din ce în ce mai mari. Vom marca acest lucru scriind +oo lângă bara din dreptul lui — și vom spune că „tg x tinde 7T 71 71 la +00 dacă x tinde la — prin valori mai mici decât — iar dreapta x = — este asimptotă verticală pentru graficul funcției tangentă. Analog, „tg x tinde Ia -00, dacă x tinde la -y prin valori mai mari decât -y “, 71 iar dreapta x = este asimptotă verticală pentru graficul funcției tangentă. Să studiem sensul de variație a funcției tangentă cu ajutorul tabelului: 7T 71 Constatăm că dacă argumentul x „crește" de la la —, atunci valorile corespunzătoare tg x „cresc" (de la -00 la +00). Se poate demonstra: Teoremă. Funcția tangentă este strict crescătoare pe intervalul , y). 7T 7T Cu alte cuvinte, avem: a,b a < b => tg a < tg b. Observație. Datorită proprietății de periodicitate, funcția tangentă este strict crescătoare pe (-^ + kn, ^- + lai), V k ^TL. Reprezentarea grafică a funcției tangentă se obține astfel: 7T TU a) se trasează graficul pe intervalul (-y, y) unind printr-o curbă continuă punctele graficului din tabelul de variație anterior (fig. 10); b) graficul pe intervalul ((2k- l)y, (2k + l)y), k g Z se obține din gra- 7T 71 ficul pe intervalul (-y, — ) prin translație de mărime |^ti după direcția axei Ox, în sens pozitiv pentru k > 0 sau în sens negativ pentru k < 0 (fig. 11). 76 Exercițiu rezolvat Pentru fiecare dintre următoarele funcții/ g : IR -> IR, determinați perioada principală T, studiați variația și trasați graficul pe un interval de lungime T, unde: a)/x) ⁼ 2sin x, g(x) = -2sin x; b)/x) = cos x + 1, g(x) = cos x - 2 71 c)/x) = sin(x - —); d)/x) ⁼ cos3x. R: a) Funcțiile/ g au perioada principală 2ti. Construim tabelul de variație pe [0, 2ti] al funcțiilor sinus,/și g: X 0 ti 1 71 3 ti 2n 2 sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 -2sin x; 0 -2 0 2 0 Graficul funcției fix) = 2sin x și al funcției h(x) = sinx se află în figura 12, iar graficele funcțiilor/ g se află în figura 13. 77 b) Funcțiile f, g au perioada principală 2k. Construim tabelul de variație pe [0, 2k] al funcțiilor cosinus,/ și g. X 0 7T 71 3n 2ti 2 T COS X 1 0 -1 0 1 cosx+ 1 2 1 0 1 2 cos x - 2 -1 -2 -3 -2 -1 Fie h(x) = cos x. Graficele funcțiilor fgșih se află în figura 14. Graficul lui /(x) = cos x + 1 se obține din graficul lui h(x) = cos x prin translație de mărime 1, după direcția Oy, în sens pozitiv. Graficul lui g(x) = cos x - 2 se obține din graficul lui h(x) = cos x prin translație de mărime 2, după direcția Oy, în sens negativ. c) Se știe că funcția x a sin(&r + c), cu b > 0 are perioada principală 2 71 T= — . Rezultă că funcția/ are perioada principală 2k. b Pentru tabloul de variație al lui/vom alegex astfel încâtx- y g {0,—, k, —, 2ti}: 5 2 2 X 71 5 77 4 77 1 177 777 7 7T T 6 3 71 71 371 7 0 7 71 2 277 sin(x - v) 0 1 0 -1 0 1171 _ 6 2tc 3 7tc 0 -1 Fig. 15 3 2 6 sinx sin(x-y) 4tu 3k 3 2 Graficele funcțiilor /x) = = sin(x - y ) și h(x) = sin x se află în figura 15. 7T Graficul lui/x) = sin(x - y) se obține din graficul lui h(x) = sin x 71 prin translație de mărime y, după direcția axei Ox, în sens pozitiv. 78 d) Funcția f are perioada principala —. Pentru tabelul de variație al lui f luăm x astfel încât 3x g {0. —, k, —, 2n}, deci: 2 2 X 0 71 7t 71 2tt 6 3 2 3 3x 0 7U 3tt 2tc N>|a 2 cos 3x 1 0 -I 0 1 Graficele funcțiilor fix) = cos3x și h(x) = cos x se află în figura 16. Reprezentați grafic funcția f : IR IR, pe un interval de lungime egală cu perioada principală, unde: a)/(A') = 3cos x. /(x)= ysinx. 3 d)/(x) = |sin x|. fix) = 2cos x - |cos x |. fix) = , x kn. fix) = sin x + 2. |sinx| fix) = cos x - 1. ■ fix) = 2sin x + 3. 3 fix) = sin(x + ). 6 » jWcos(x-^-). ₙ j(x) = sin2x î₂.Xx) = cosj• B. A) = ân(2x-j). 3. < n gongmctricc in vcrsc Funcțiile F, G și H definite prin F:IR^[-1, 1], F(x) = sinx, G : IR -> [— 1, 1], G(x) = cos x, H(x) = tgx,undeE = IR- {{2k+ 1)^ | k e Z} sunt surjective, dar nu sunt injective, deoarece sunt periodice. Prin urmare, aceste funcții nu sunt bijective, deci nu sunt inversabile. 79 Funcțiile^ g și h definite după cum urmează g: [O, n] -> [-1, 1], g(x) = cosx sunt injective, deoarece sunt strict monotone și sunt surjective, deci sunt bijective. Fiind bijective, funcțiile fgșih sunt inversabile. Funcția arcsinus Inversa funcției f anume f ¹ se notează arcsin. TC TU [-1, 1] —> , — ] se numește arcsinus și Rezultă: 7T 71 • funcția arcsin : [-1, 1] -> [-—, yl verifică egalitățile sin(arcsinx) = x , V x g [-1, 1]; arcsin(sinx) = x , Vx e [““, “]• • graficul funcției arcsin este simetricul graficului funcției f în raport cu dreapta y = x (fig. 17). Observație. Funcția f fiind bijectivă, rezultă: 71 71 pentru orice a e [-1, 1], ecuația sinx = a are soluție unică în intervalul , — ], anume x = arcsrna. Funcția arccosinus Inversa funcției g, anume g ¹ : [-1, 1] -> [0, ti] se numește funcția arccosinus și se notează arccos. Rezultă: • funcția arccos :[-1,1]^ [0, 7l] verifică egalitățile cos(arccosx) =x , V x g [-1, 1]; arccos(cosx) = x , V x g [0, tc] . • graficul funcției arccos este simetricul graficului funcției g în raport cu dreapta y = x (fig. 19). 80 Observație. Funcția g fiind bijectivă, rezultă: pentru orice a g [-1, 1], ecuația cosx = a are soluție unică în intervalul [0, ti], anume x = arccos#. Funcția arctangentă Inversa funcției A, anume h ¹ : IR —> (-y, ~) se numește funcția arctangentă și se notează arctg. 71 71 Rezultă: • funcția arctg : IR -> (“> ~ ) verifică egalitățile tg(arctgx) = x , V x e IR; arctg(tgx) = x , V x e (-p y ). • graficul funcției arctg este simetricul graficului funcției h în raport cu dreapta y = x (fig. 21). Observație. Funcția h fiind bijectivă, rezultă: pentru orice a g IR, ecuația tgx = a are soluție unică în intervalul (- anume x = arctg#. 71 71 2 ’ 2 81 Funcțiile arcsinus, arccosinus și arctangentă se numesc funcții trigonometrice inverse. Pentru a calcula valoarea unei funcții trigonometrice inverse într-un punct din domeniul de definiție, este util să reținem: • • r 71 71 * arcsinx=y <=> x = siny și y g [- — J; * arccosx = y o x = cosy și y g [0, 71]; * arctgr = y ox = tgyșiy e 1 v3 Exemplul 1 Să calculăm: arcsin 1; arccos — ; arctg y. TC TT 71 R: Notăm arcsin 1 = y, deciy g [-y, y] siny ⁼ h adicăy = —. Rezultă arcsin 1 = y (verificare: 1 = sin y ). Analog obținem: arccos y = y (verificare: y = cos y ) VI 71 z . ~ VI ₊ 71 ₓ arctg y = — (verificare: -y = tg — ). Exempluf2 a) Să calculăm arcsin(sinx), dacă x g {y, y, y }. R: Menționăm că expresia arcsin(sinZ) are sens pentru V t g IR, deoarece sin/ g [-1, 1], V t g IR, dar egalitatea arcsin(sinZ) = t are loc numai dacă 71 7T 71 71 t G[-y, y ] • Dacă t £ [-y, y ], atunci arcsin(sinZ) t. * arcsin(sin y) = y, deoarece y g [-y, yj; * arcsin(sin y) = arcsin(sin(7i - y)) = arcsin(sin(y)) = y; * arcsin(sin y) = arcsin(sin(27i - y)) = arcsin(sin(-y)) = -y; b) Să calculăm arccos(cosx), dacă x g {-y ? y^ }. R: Menționăm că expresia arccos(cosZ) are sens, pentru V t g IR, deoarece ^osZ g [-1, 1], V t e IR, dar egalitatea arccos(cosO ⁼ are l°c numai dacă g [0,71]. Dacă t e [0,71], atunci arccos(cosZ) t. 471 471 471 rn i * arccos(cos —) = y , deoarece y g [0,71]; / 23tt . . 3ti . 371 371 * arccos(cos y-) = arccos(cos(47i + y )) = arccos(cos(y )) = y. 82 71 c) Să calculăm arctg(tgx), dacă x e {—, 6}. R: Expresia arctg(tgZ) are sens pentru orice t pentru care tg/ are sens, dar 71 71 arctg(tgt) = t numai pentru t e (-—, —). * arctg(tg j) = j, deoarece j e (-p |); * arctg(tg 6) = arctg(tg(6 - 2tt)) = 6 - 2ti. în continuare vom prezenta relații pe care le verifică funcțiile trigono- metrice inverse. Propoziția 1. Au loc relațiile: a) arcsin(-x) = -arcsinx , V x e [-1, 1]; b) arccos(-x) = tt - arccosx , V x e [-1, 1]; c) arctg(-x) = -arctgx , V x e R. 71 71 Demonstrație, a) Notăm arcsin(-x) = y, deci sin y = -x și y e [-—, — ]. Din siny = -x obținem -siny = x sau sin^) = x (1) unde am folosit imparitatea funcției sinus. Aplicăm funcția arcsin egalității (1) și obținem arcsin(sin(-j/)) = arcsinx, sau -y = arcsinx, deoarece y e [-p y ] => -y e [-p y ] => arcsin(sin(-y)) = -y. Prin urmare -arcsin(-x) = arcsinx, deci arcsin(-x) = -arcsin x. b) Notăm arccos(-x) = y, deci cosy = -x și y e [0,7i]. Din cosjy = -x obținem -cosj = x sau cos(ti - y) = x (2) unde am folosit egalitatea -cos/ = cos(tc - /), V / e R. Aplicăm funcția arccos egalității (2), deci arccos(cos(7i - y)} = arccosx sau n - y = arccosx deoarece y e [0,ti] => ti - y e [0, ti] => arccos(cos(7i -y)) = ti -y. Prin urmare n - arccos(-x) = arccosx, deci arccos(-x) = k - arccos x. c) Se demonstrează analog cu a). ir / * • / • ^2 n Exemple * arcsin(——) = -arcsin-^- = -—; * / V3 7i * arccos(-) = 7i - arccos — = k- 2 2 6 5ti . T’ 71 * arctg(-l) = -arctg 1 = . 83 Propoziția 2. Au loc relațiile: a) sin(arccosA) = 71-a² , V x g [-1, 1]; b) cos(arcsinx) = 71-a² , V x g [-1, 1]; x c) tg(arcsinx) = , , V x g (-1, 1). 71-a² Demonstrație, a) Cum arccosA g [0, n], avem sin(arccosx) > 0, deci sin(arccosx) = 71 - cos²(arccosA) = 71-a² , Vx g [-1, 1]. 71 71 b) Cum aresinx g [-—, — ] avem cos(arcsinx) > 0, deci cos(arcsinx) = 71 -sin²(arcsin a) = 71 - x² , V a g [-1, 1]. ₓ A z • x sin(arcsinA) x c) Avem tg(arcsinx) =---------------= —==. cos(arcsin a) _ %² / * • / ⁵ x 1 2/ 5 25 12 Exemple * sinfarccos — )= Jl-cos (arccos—) = A 1---------------=—; 13 V 13 V 169 13 * / -4 i • 2/ • 4 16 3 * cos(arcsiny) = ^1-sin (arcsin^) = = ț ■ / • ⁴^ 4 sin(arcsm-) * tg(arcsin—)=----------2— = — • — = —. 5 , • 4 5 3 3 cos(arcsin —) Propoziția 3. Are loc relația: 7T aresinx + arccosx = —, V x e [-1, 11. 2 71 71 Demonstrație. Notăm aresinx = a, arccosA = P, deci șina = x, a e [-—, — ] și 7T cosP = x, P g [0, ti]. Prin urmare, sinet = cosp sau sinet = sin( — - P). 7T 7t 71 71 71 Avem a 6 [-—, — ], iar din p e [0,71] rezultă — - P e [-—, — ]. Cum 7T 71 funcția sinus este strict crescătoare, deci injectivă, pe intervalul ]Ț 71 71 șina = sin (— - p), rezultă a = — - P, de unde a + P = — 84 Exerciții rezolvate El. Demonstrați egalitățile: x 1 13 a) arccos------arccos — 7 14 x 2x c) zarctgx + arcsin------ 7t ,. _ . 1 . . 1 . 32 —; b) 2arctg - + arctg - = arctg —; 71, V X G [1, oo). 1 13 1 1 13 R: a) Prin calcul găsim cos(arccos — - arccos —) = — . Cum 0 < — < — < 1 , . . , , 71 1 13 M și funcția arccos este strict descrescătoare, rezultă — > arccos — > arccos— > 0, deci arccos — - arccos — g (0, —) c: [0,7il. 7 14 2⁷ 1 13 1 Fie a = arccos— - arccos—. Avem cosa =— și a g [0, tc], de unde, 7 14 2 1 71 conform definiției funcției arccos, rezultă a = arccos — = -y . 1 1 32 b) Prin calcul găsim tg(2 arctg y + arctg — ) = ~(*) Cum 0 < y < 1 și funcția arctg este strict crescătoare, rezultă 0 < arctg y < 71 1 71 . 1 7T < arctg 1 = —, deci 0 < 2 arctg — < —. Analog obținem 0 < arctg — < —, deci 4 5 2 4 4 2arctg — + arctg — e (0, —); mai mult, ținând cont de relația (*), rezultă 5 4 4 2arctg | + arctg ț g (0, ^). Fie a = 2arctg y + arctg y. Avem tga = yy și a e (0, y) cz (-y, y), de 32 unde, conform definiției funcției arctg, rezultă a = arctg —. 2x c) Prin calcul găsim sin(2arctgx + arcsin----) = 0. Cum 1 < x, avem y = arctg 1 < arctgx < -y sau 2arctgx e [y, ti), iar 2X /ₙ 71 ₓ ₒ . • ²X / ⁷¹ 371 ₓ arcsin------- g (0, —), deci 2arctgx + arcsin - g ( —, —). 1 + x" 2 1 + x 2 2 Fie a = 2arctgx + arcsin - • , deci șina = 0 = sin7i, unde a, tt g (—, —). 1 + x² 2 2 ~ . . ... , 71 3 71 Cum funcția sinus este injectivă pe ( —, —), avem a = n. 85 E2. Rezolvați ecuațiile: a) 2arcsin²x - arcsinx -6 = 0; b) arccos x V? + arccosx = y; c) 2arctg(2x +1) = arccosx. R: a) Notăm arcsinx = t, deci t g Ecuația 2? - t - 6 = 0 are 3 soluțiile = 2, t₂ = -—, deci * arcsinx = 2 (ecuație fără soluție, deoarece 2 [-y, 3 3 3 * arcsinx = — <=> x = sin(—) <=> x = -sin —. 2 2 2 3 Prin urmare, ecuația are soluția x = - sin —. b) Ecuația are sens numai dacă |xV3 | < 1. Din ecuație rezultă cos(arccos xV? + arccosx) = cos y (*) , de unde x4î-x-^\-3x² ■ 71-x² = 0x²73 = 71-4x² + 3x⁴ 4x²= 1. Rezultă x = . Ecuația dată și relația (*) pot fi echivalente sau nu, motiv pentru care verificarea este o etapă obligatorie a rezolvării: 1 z V3 . 1 . ti 71 ₙ 71 71 x = — => arccos(-----) + arccos(— ) = n- — + tu - — = 2tu------. 2 2 2 6 3 2 2 1 V3 , 1 7U , TU 7U x = — => arccos — + arccos — = — + — = —. 2 2 2 6 3 2 Prin urmare, numai x = ^- este soluție a ecuației. c) Ecuația are sens numai dacă |x| < 1. Din ecuație rezultă cos[2arctg(2x + 1)] = x <=> -—ₓ <=> x[2x² + 4x + 3] = 0 <=> x = 0. l + (2x + l)“ Verificarea: x = 0 => 2 arctg 1 = arccos 0 => 2^- = ^ (adevarat). Prin urmare, ecuația are numai soluția x = 0. 86 Fie f\E-+FQ funcție numerică bijectivă și strict monotonă. Considerăm funcția inversă/ ¹ : F -> E. Arătați că: a) dacă f strict crescătoare, atunci / ¹ este strict crescătoare; b) dacă f strict descrescătoare, atunci f ¹ este strict descrescătoare. Aplicație: arătați că funcțiile arcsin și arctg sunt strict crescătoare, iar funcția arccos este strict descrescătoare. Arătați că funcțiile arcsin și arctg sunt impare, iar funcția arccos nu este pară. La exercițiile 3-5, calculați numerele indicate a) arccos(--y); a) arcsin —; 2 d) -arcsin(-l); b) arccos(--y-); c) arccos (—y-); b) arccos yy-; c) arctg 1 + arctg VJ ; e) arctgt(-l). Calculați: a) arcsin(sin(-l, 43)); c) arccos(cos2); b) arcsin(sin^-y^); 17k d) arccos(cos —y- ). Demonstrați relațiile, unde x e IR: Y 1 Y^ a) sin(arctgx) = —==; b) cos(2arctgx) =------------- . vl + x² l ⁺ x Demonstrați relațiile, undex e [-1, 1]: a) sin(2arcsinx) = 2x71 -x² ; b) cos(2arccosx) = 2x² - 1. Calculați: a) sin(2arccos-|-); b)sin(-y -2arctg y). Demonstrați egalitatea: cos(2 arctg y) = sin(4arctg y). Calculați: 3 15 a) sin (arccosy + arccos —); b) tg(arctg2 + arctg3). La exercițiile 11-12, demonstrați egalitățile date. 22 8 3 3tt a) arcsin — - arcsin — = arcsin y; b) arctg2 4- arctg3 = — . 7 1 71 c) arccos •••._ + 2arctg — = —. V50 ³ ⁴ 87 1 71 a) arctgx + arctg — = —, V x g (O, oo); b) arctg ¹ , - arctg ¹ = arctg—V xe [1, ®). 2x - 1 2x + 1 2x Pentru fiecare expresie, determinați valorile lui x pentru care expresia are sens. Q V 1 V 2 2 a) arcsin------; b) arccos------------ ; c) arcsin(x - 3x + 1). 1 + x 1 + x~ Arătați că funcția f este strict monotonă, unde: a) /: [0,1] -+ IR,y(x) = arcsin(2x - 1); b) /: [1, -| ] -> IR,/(x) = arccos(3x - 4). La exercițiile 15 și 16, rezolvați ecuațiile b) arctg²y - 4 arctg y -5 = 0; a) 2arcsin x - 5arcsinx + 2 = 0; \ 6 i , 71 c) — arcsinx = 1 + --------;—. 71 3 arcsin x a) arcsin 6x + arcsinâ 7? x = -^-; c) arctg2x + arctg3x = — ; d) arccos-y = 2arctg(x - 1); e) arcsin2x = 3 arcsinx. 4.1. Ecuații trigonometrice fundamentale Fie un număr real a. Ecuațiile în necunoscuta x sinx = a, x g IR cosx = a, x g IR tgx = a, x g IR - {(2k + l)-y | k e ZZ} se numesc ecuații trigonometrice fundamentale. în legătură cu fiecare dintre ele se pun două probleme: - existența soluției: are ecuația cel puțin o soluție? - mulțimea soluțiilor: dacă ecuația are soluție, care sunt toate soluțiile sale? Ecuația sinx = a Condiția de existență a soluției este: a g [-1, 1] sau |a| < 1. Dacă a g (-oo, -1) u (1, oo), adică |tz| > 1, atunci ecuația nu are soluție. Dacă |a| < 1, știm că ecuația sinx = a are soluție unică în [--y, -y ], anume arcsinx. Cum sin(7i - arcsinx) = sin(arcsimz) = a, rezultă că n - arcsinx este soluție a ecuației. Datorită proprietății de periodicitate a funcției sinus, rezultă că numerele arcsinx + 2kn, n - arcsinx + 2mn sunt soluții, pentru orice k, m g TL. Reciproc, orice soluție a ecuației se află printre numerele puse în evidență anterior. 88 Prin urmare, mulțimea soluțiilor ecuației sinx = a este {arcsinx + 2kn | k g TL} u {k - arcsinx + 2mn | m ^TL} (1) Avem: arcsinx + 2kn = (-l)²/c arcsinx + 2kn n - arcsinx + 2mn = -arcsinx + (2m + 1)ti = (-l)²'”⁺l arcsinx + (2m + 1 )tl Rezultă că reuniunea (1) este egală cu mulțimea {(—1)" arcsinx + nn | n g TL}. Propoziția 1. Dacă |a| < 1, atunci mulțimea soluțiilor ecuației sinx = a este {(-1 /arcsinx + nn | n g TL}. Dacă |a| > 1 ecuația nu are soluție. Se mai scrie: sinx = a <=> x = (-1/ arcsinx + nn, n g TL. în cazurile când a = 1, a = 0 sau a = -1, obținem: Propoziția 2. sinx = 1 ox= + 2nn, n ^TL\ sinx = 0 <=> x = nn, n eTL; n sinx = -1 « x = — + 2nn, n ^TL. 2 Ecuația cosx = a Condiția de existență a soluției este: a g [-1, 1] sau |a| < 1. Dacă a g (-oo, -1) u (1, oo), adică |a| > 1, atunci ecuația nu are soluție. Dacă |tz| < 1, știm că ecuația cosx = a are soluție unică în intervalul [0, 7i], anume arccosx. Cum cos(-arccosa) = cos(arccos<2) = a, rezultă că -arccosx este soluție a ecuației. Datorită proprietății de periodicitate a funcției cosinus, rezultă că numerele arccosx + 2H, - arccosx + 2mn sunt soluții, pentru orice k, m g TL. Reciproc, orice soluție a ecuației se află printre numerele puse în evidență anterior. 89 Prin urmare, mulțimea soluțiilor ecuației cosx = a este {arccos# + 2nk | k g Z} o {-arccos# + 2mn | m g TL} sau {± arccos# + 2^ji | n g TL}. Propoziția 3. Dacă j#| < 1, atunci mulțimea soluțiilor ecuației cosx = a este {± arccos# + 2nn j n g TL}. Dacă |#| > 1, ecuația nu are soluție. Se mai scrie: cosx = a <=> x = ± arccos# + 2mi, n ^TL. în cazurile când # = 1, # = 0 sau a = — 1, obținem: Propoziția 4. cosx = 1 ox = 2mi,n g TL\ cosx = 0<=>x = (2n + l)y, n g Z; cosx = -l <^>x = ii + 2mi, neTL. Ecuația tgx = a Ecuația are soluție pentru orice a g IR, deoarece orice număr real este o valoare a funcției tangentă. Vom scrie mulțimea soluțiilor. Știm ca ecuația tgx = # are soluție unică în intervalul (-—, —), anume arctg#. Datorită proprietății de periodicitate a funcției tangentă, deducem că arctg# + rm este soluție pentru orice n g TL Reciproc, orice soluție a ecuației are această formă. în concluzie: Propoziția 5. Pentru orice # g IR, mulțimea soluțiilor ecuației tgx = # este {arctg# + mt | n g TL}. Se mai scrie: tgx = a <^>x = arctg# + kn, k g TL. La exercițiile 1 - 4, rezolvați (în IR) ecuațiile: a)sinx= ---; b) sinx = ; d) sinZx = -1; 2 e) sin3x = 0; g)sin(4x- j)= -y-i h) sin(3x+ j) = -l a) cosx = ---; b) cosx= -2^- ■ 7 2 2 d) cos4x = ----; e) cos5x = -1; 2 g)cos(3x + y) = 4 5 h)cos(2x- y) = 0; c) smx = — ; 4 f) sin5x = 1; i) sin7x = -7. 7 c) cosx = -y ; f) cos3x = 0; i)COs^=_|. 3 3 90 r 7 a)tgx=V3; b)tgx=y; c)tgx = -l; d)tg(2x+^)=^; e)tg(4x-^) = 0; f)tg3x = -10; 3 j 4 g) ctgx = 2; h) ctg4x = -3. a) 2 sin(x - ^) = 1; b) cos(2x + ^) = 0; c) 3tg(x - ) = - VJ. 3 4 6 Pentru fiecare dintre următoarele ecuații, determinați valorile parametrului real m pentru care ecuația are soluții. a) sin 5x = -3 + 4w; b) cos(3x - v) ⁼ ~ 4 m + 2 c) sin3x = m + —, m 0; d) tg5x = ,m^3. m m - 3 Rezolvați (în IR) ecuațiile, arătând că fiecare este echivalentă cu o ecuație de forma cosy = 0 sau siny = 0: a) sin²x = 1; b) cos²x = 1; c)sin²4x = 1; d)cos²3x=l; e) 2cos²x - 1 = 0; f) 1 - 2sin²x = 0. Arătați că funcțiile cosinus și sinus nu se anulează în aceleași puncte, demon- strând implicația: cos/ = 0 => sin/ 0. Rezolvați ecuațiile: a) flsinx + 6cosx = 0, unde a, b e IR*; b) sinx - cosx = 0; c) sinx + cosx = 0; d) ^3 sinx + cosx = 0. 4.2. Ecuații trigonometrice care se reduc la ecuații fundamentale Nu există o metodă generală pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Există însă diverse procedee particulare, prin care anumite ecuații se reduc la ecuații fundamentale. In cele ce urmează vom prezenta câteva astfel de procedee. Ecuații de forma sin w(x) = sin v(x), cos w(x) = cos v(x) sau tg u(x) = tg v(x) Prin transformarea diferențelor în produse, ecuațiile de acest tip se reduc la sin/ = 0 sau cos/ = 0. Exerciții rezolvate El. Să rezolvăm (în IR) ecuațiile: a) sin5x = sin7x; b) cos 1 Ox = cos5x; c) tg5x = tg3x. 5x—7x 5x + 7x R: a) Avem: sin5x - sin7x = 0 <=> 2sin—-— cos—-— = 0 C2> sin(-x)cos6x = 0 71 C2> sin(-x) = -sinx = 0 sau cos6x = 0 O x = kn sau x = (2n + 1) —, k, n TL. 71 Mulțimea soluțiilor ecuației este S= {kn | k e Z} u {(2n +1) — | n g TL}. 91 15x Sx 1 Sx b) Avem: cos10% - cos5x = 0 o (-2) sinsin— = 0 o sin—= 0 sau . 5x 15% 5x , „ n - k , sin— = 0 <=>-= kn. sau — = nn, kn e 7LC^x = 2k— saux = 2n —, k, n e ÎL. 222 15 5 71 Mulțimea soluțiilor ecuației este 5 = A u B, unde A = {2£— | k g Z}, TU B = {2n— | n e 2Z}. Să observăm că A c B (justificați!), deci A u B = B. In TU concluzie, S= Qn — | n eTL}. c) Condițiile de existență pentru tg5x și tg3x sunt cos5x 0 și cos3x 0, TU TU deci x * (2n + 1)— și x * (2m + 1)—, V n,m &7L. Avem: _ „ sin(5% — 3%) _ . _ _ . n , _ tg5% - tg3x = 0 <=>-------------= 0 o sin2x = 0 O x = k— ,k&7L. cos5%cos3% 2 TU TU Va trebui să excludem, dacă există, valorile lui k pentru care k— = (2n + 1)— sau iy = (2w + 1) adică 5k= 2n + 1 sau 3k= Im + 1 (1). Pentru k impar, 5k este impar (3k este impar), deci există n g TL cu 5k = 2n + 1 (respectiv, există m g TL cu 3k = 2m + 1). Dacă notăm k = 2p + 1, atunci 5k= 10/? + 5 = 10/7 + 4 + 1 = 2(5/7 + 2) 4- 1, deci n = 5p + 2. Pentru k par, ecuațiile (1) nu au soluție. în concluzie, vom exclude valorile TU impare ale lui k, deci 5= I Q £ Z} = {gru | q g TL}. E2. Să rezolvăm ecuațiile: a) sin6x = cos4x; b) sin2x = cos2x; c) tgx = ctg2x. R: a) Pentru a rezolva o ecuație de tipul sin u(x) = cos v(x), avem două variante: TU sin u(x) = cos v(x) O sin u(x) = sin(------------v(x)) TU sin u(x) = cos v(x) <=> cos(-----u(x)) = cosv(x) In cazul nostru alegem prima variantă: sin6x = sin(— - 4x) <=> <=> sin6x - sin(— - 4x) = 0 <=> sin(5x - — )cos(x + —) = 0o5x- — = kn sau 2 444 TU TU x + — = — + «TU, k,n^TL. Prin urmare, mulțimea S a soluțiilor ecuației este: S={— +k- \ ke7Z.}Kj{-+fm\n&7L}. 20 5 4 ¹ 92 b) Ecuația poate fi rezolvată prin metoda indicată la a) sau, mai rapid, astfel (justificați!): sin2x = cos2x <=> tg2x = 1 o2x=-+to, £eZox=- + &—, 4 8 2 k g TL. Să reținem echivalența: tzsinZ + icos/ = 0 <=> tg/ =-, a 0. a 71 c) Condiții de existență: x (2k + 1) — 2x H7U, pentru V k, n g TL. deci x^n — \/ n ^TL. 2 7T 7T 7T tgx = ctg2x O tgx = tg( — - 2x) O tgx — tg(— - 2x) = 0o sin(3x - —) = 0 <=> 3x - = lai, k tgx-tg2x = 1 O cosx*cos2x = sinx-sin2x <=> jr O cos(x + 2x) = 0 C=> cos3x = 0, deci x = (2k 4- 1)— ,k eTL. o Rezolvați (în IR) ecuațiile de la exercițiile 8-13 a) sin3x = sin7x; b) cos8x = cos6x; c) tg5x = tg4x; d) tg7x = tg9x. a) cos(2x - ^) = cos(x + —); b) sin(x - y-) = sin( — - 2x); j 4 6 3 c)tg(x+ j) = tg(y-2x); d)tg(x+^) = tg(2x+£). 4 3 3 0 a) cos3x = sinx; b) sin3x = cos2x; c) cos5x = sinl5x; d) sin(2x ~ ^)= cosx. a) sinx = cosx; b) sinx = -cosx; c) sin4x = cos4x; d) sin3x = -cos3x. a) tgx • tg4x = -1; b) tg3x = ctg4x; c) tg2x = -ctg5x. a) sin6x 4- sin4x = 0; b) sin3x 4- cos3x = 0; c) cos3x 4- sin5x = 0. 93 Ecuații trigonometrice care se reduc la ecuații algebrice Considerăm ecuațiile, unde a, b, c g IR, a 0. «sin²x + bsinx + c = 0 (sinx = t) acos²x + Z?cosx + c = 0 (cosx = i) a\£x + btgx + c = 0 (tgx = 0 Prin introducerea necunoscutei auxilare sinx = t, cosx = t sau tgx = t (indicată în paranteză) fiecare dintre aceste ecuații se reduce la o ecuație de gradul al II-lea în L Exemplu Să rezolvăm ecuațiile a) 2sin²x + sinx -1=0; b) 3cos²x - 5cosx -2 = 0; {S1HX = Z sin x = t o i 1 <=> 2r + 7-1 = 0 / = -l sau t= — l 2 o sinx = -1 sau sinx = —. Mulțimea S a soluțiilor ecuației date este b) 3cos²x - 5cosx - 2 = 0 <=> cos x = t 3/² -57-2 = 0 cos X = t 1 t = —- sau t = 2 l 3 <=> cosx = — sau cosx = 2. Deoarece 2 £ [-1, 1], ecuația cosx = 2 nu are soluții, deci S= {±(ji- arccos-) + 2hi | k g TL}. Observație. Fie a,b,c,d g IR și « ^ 0. Fiecare dintre următoarele ecuații se reduce la o ecuație algebrică, după o transformare trigonometrică simplă, indicată în paranteză: 1) «sin²x + bcosx + c = 0 2) «cos x + Z?sinx + c = 0 3) «tgx + bctgx + c = 0, b 0 2 4) «cos2x + bcos x + c sinx + d = 0 5) «cos2x + Z?sin x + c cosx + d = 0 (sin²x = 1 - cos²x) (cos²x = 1 - sin²x) z 1 n ™ (ctgx =-----, x m — ,m ^TL) tgx 2 (cos²x = 1 - sin²x, cos2x = 1 - 2sin²x) (sin²x = 1 - cos²x, cos2x = 2cos²x - 1) 94 Rezolvați (în IR) ecuațiile de la exercițiile 14-18. a) 4cos²x - 4 cosx +1=0; c) sin²x + sinx -6 = 0; e) 2tg²x - 7 tgx + 3 = 0. a) sin²x - 2 cosx + 2 = 0; c) tgx - 8 ctgx = 2; e) cos2x + 2cosx -5 = 0. a) 3sin²2x + 7cos2x - 3= 0; b) sin²x - 3 sinx +2 = 0; d) 6cos²x + 1 icosx -7 = 0; b) 3 cos²x + sinx +1=0; d) cos2x + 2 cos²x + 4sinx = 0; b) 2 cos²x = 3 sinx; c) 3 cos2x - 8 cos²x + 5 sinx -2 = 0; a) 3cosx + 5sin — + 1 = 0; 2 b) cos4x + 2cos²2x + 4sin2x = 0; c) 2cos2x + 2cos4x + 3sin²2x =1; d) (sin2x + V3 cos2x)² - 5 = cos{^- - 2x); 6 e) cos( y + x) + cos(2k - 2x) + sin(7i - x) + cos(ti + x) = 0. a) cos4x + 2cos²x = 0; c) cos2x - 3 cosx = 4 cos² —; 2 b) cos4x - sin²x = 0; d) sin⁴x + 5 cos2x + 4 = 0. Considerăm ecuațiile de forma a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = d, unde a, b, c, d sunt numere reale date. Scriind ecuația sub forma a sin²x + b sinx cosx + c cos²! = J(sin²x + cos²!) obținem o ecuație de forma 4sin²x + Bsinx cosx + Ccos²x = 0. împărțind cu cos²! sau sin²x se obține o ecuație de gradul al II-lea în tgx, respectiv ctgx. Rezolvați (în IE) ecuațiile: a) 2 sin²x + 3 cosx sinx = 0; b) 4 sinx cosx - 5cos²x = 0; c) 2sin²x - 7sinx cosx+ 3cos²x =0; d) 4 sin²x - 3sinx cosx + 5cos²x = 3. Rezolvați (în IR) ecuațiile de la exercițiile 20 - 22. a) sin²x + 2sinx cosx - 3cos²x = 0; b) 5sin²x + 3 sinx cosx - 5 cos²x = 2; c) 5sin²x + VJ sinx cosx + 6 cos²x = 5. a) 7sin²x - 5cos²x + 2 = 0; c) cos²x - 3sin²x = 0; e) cos(x + cos(x- 1. a) sin2x = 1 - 3cos²x; c) 8sin2x - 3 cos²x = 4; b) tg²x + ctg²x = 2; d) sin²x - 3cos²x = 0; b) cosx(2sinx + 5cosx) = 4; d) cos²x + 3sin²x = 1 - ^3 Determinați soluțiile cuprinse în intervalul (0, ti) ale ecuației 3tg²x + 16cos²x -13 = 0. Fie ecuația sin²2x - 2 sin2x - 2(a + 1) = 0, unde a g IR. Determinați valorile parametrului real a pentru care ecuația are soluții. 95 Rezolvați și discutați ecuațiile, unde m este un parametru real: a) 2(m + 1) sin²* + (m - 3)cosx - m - 3 = 0, b) cos2x + (2m - l)sinx +m -1=0; c) m cos2x + 4(m + 1) sinx - 3m - 4 = 0, m * 0; d) 1 + cos4x = w(sinx - cosx)². Fie ecuația (1 - w)cos4x - 2(5 - 2w)cos2x + 5m + 13 = 0, m g IR. Determinați valorile parametrului m pentru care ecuația are soluții. Ecuații de forma a cosx + b sinx = c Considerăm ecuația în necunoscuta x a cosx + b sinx = c (1) unde a, b, c sunt numere reale date. Vom nota cu 5 mulțimea soluțiilor ecuației. Cazul I: a = 0, b = 0 Acest caz nu este interesant: dacă c = 0, avem 5 = IR, iar dacă c 0, avem S = 0 (ecuația nu are soluții). Cazul II: a = 0, b^0 sau a * 0, b = 0 Q Dacă a = 0, b 0 avem ecuația fundamentală />sinx = c sau sinx = —, care are soluție numai dacă |c| < |/>|. (2) Q Dacă a 0, b = 0, avem ecuația fundamentală acosx = c sau cosx = — , care a are soluție numai dacă |c| < |a|. (3) Cazul III: a și 6 0 în acest caz, vom prezenta două metode de rezolvare a ecuației, numite metoda algebrică și metoda unghiului auxiliar. A. Metoda algebrică Se știe că numerele cosx, sinx se pot exprima în funcție de tg—■ dacă (2k + l)y saux^ (2k + 1)tc, k g TL. x Făcând substituția tg— = t, avem iar ecuația (1) devine o ecuație de grad I sau II în necunoscuta t. Rezolvarea ecuației (1) se desfășoară după următorul algoritm: Pasul 1 Se verifică dacă ecuația (1) are soluții de forma k + 2kn (echivalent, dacă are soluția x = k). Aceasta revine Ia testarea egalității -a = c <=> a + c = 0. (4) 96 Pasul 2 A. Dacă egalitatea a + c = O este adevărată, avem incluziunea {ti + 2kn | k g TL} c S iar ecuația (1) se scrie: &cosx + ftsinx = -a o <7(1 + cosx) + />sinx - 0 C=> 2 x • X X o 2a cos — + 26sm— cos— = 0 <=> 2 2 2 XXX o 2cos— (a cos— + b sin —) = 0 o 2 2 2 x xx x x a <=> cos — = 0 sau a cos — + b sin — = 0 <=> cos — = 0 sau tg — = — . 2 2 2 2 2 b Prin urmare, dacă a + c = 0, soluțiile ecuației (1) sunt: S= {îi + 2/ c² (7) i i b i a" •}- b — c . , 2 .2 ? Avem soluțiile ₂ ⁼ . Cu notația A = a + b - c a + c mulțimea soluțiilor ecuației (1) este: S = {2arctg-—+ 2kn | k e TL} u {2arctg ⁺ + 2nn | n^ TL} (8) a+c a+c Observație. în cazul când egalitatea a + c = 0 este adevărată, ecuația (6) devine o ecuație de gradul I, anume a x a -2bt + c - a = 0 <=> bt = -a <=> t = - — <=> tg — =-. b 2 b De fapt, regăsim soluția (5) și pe această cale. * Examinând condițiile de existență (2), (3) și (7), precum și egalitatea (4), putem formula: Condiția de existență a soluțiilor ecuației (1) exprimată unitar Ecuația a cosx + 6sinx = c are soluții dacă și numai dacă a² + b² > c². 97 Exemplul 1 Să rezolvăm ecuațiile: a) 2 cosx + 2 sinx = 1+ V3 ; b) cosx + 2 sinx = -1; c) cosx + sinx = 2. R: a) Coeficienții a = 2, b = 2 și c = 1 + V? îndeplinesc condiția a¹ + b² > c, deci ecuația are soluții. Pasul 1. Egalitatea a + c = 0 revine la 2 + 1 + VJ = 0, deci este falsă. Prin urmare, ecuația nu are soluții de forma ti + 2An. x Pasul 2. Facem substituția tg — = t și obținem 2^±- + 2^- = 1 + VI <0(3+ VI/-4Z- 1 + VI =0. 1 + Z 1 + Z Ecuația în t are soluțiile t\ = 2=, Z₂ ⁼ 2 - VI. Soluțiile ecuației inițiale se V3 obțin reunind soluțiile ecuațiilor: tg — = —<=> — = arctg —+ kn <=> — = + kn, k e 71; 2 Ti 2 2 6 tg — = 2 - VI o — = arctg(2 - P) + hio — = — + nu, n eTL; 2 2 2 12 (pentru a calcula arctg(2 - VI), notăm arctg(2 - VI) =y și calculăm tg2j/). Prin urmare, S = {+ 2br I k e 2Z} u {-p + 2mt | n e TL}. 3 o b) Coeficienții a = 1, Z? = 2 și c = -1 îndeplinesc condiția a² + b² > c\ deci ecuația are soluții. Pasul 1. Egalitatea a + c = O revine la 1 - 1 = O, deci este adevărată. Prin urmare, ecuația admite soluții de forma x = 7U + 2kn, k e Z, Pasul 2. Ecuația se scrie: (1 + cosx) + 2sinx = O <=> 2cos² — + 4sin — cos— = O O 2 2 2 <=> 2cos —(cos— + 2sin —) = 0. 2 2 2 Obținem: x * cos~ = O <=> x = ti + 2mn, m ^TL (soluțiile de la primul pas). XX X 1 1 * cos — + 2sin— = O o tg— = — o x = -2arctg— + 2kn, k e TL. 2 2 2 2 2 Mulțimea soluțiilor este: S= {ti + 2mn | m e TL} u {-2arctg— + 2kn | k e TL}. 98 X Altfel. Facem substituția tg — = Z și ecuația devine: 1 -Z² 1 + Z² 2Z 1+Z² = -l o 1 +4/ = -l <=>/ = -- 2 2 2 ’ + 2 Luând în considerație și soluțiile de forma ti + 2An, k e Z, aflate la primul pas al rezolvării, obținem aceeași mulțime a soluțiilor. c) Coeficienții a = 1,6 = 1, c = -2 nu îndeplinesc condiția a + b² > c². Obținem inecuația (m - l)² + 9m² > 1 sau 5m² - m > 0, de unde m e (-oo, 0] u [ j, oo). Pasul 1. Să aflăm dacă există valori ale lui m pentru care numerele 71 (2k + 1) —, k e TL sunt soluții. Avem: (m - l)cos(2£+ 1)ti + 3m sin(2£ + 1)îi -1 = 0 <^> -(m - 1) - 1 = 0 <=> m = 0. Pasul 2. Pentru m = 0, ecuația devine cos2x = -1 o x = (2k + 1) , k e TL. Pentru m 0, facem substituția tgx = y și ecuația devine 1-y² 2y ₂ (m 1)--------- + 3m---------— 1=0 sau my - 6my - (m - 2) = 0. 1 + J2 1 + y Am obținut o ecuație de gradul al ILlea îny, cu discriminantul A = 8m(5m - 1) deci A > 0, , 6m±V cu soluțiile ₂ ⁼-------. Im în concluzie, mulțimea soluțiilor ecuației este: 1) dacă m e (- 5 ’ ₍ 6/77-vA ₁ . ᵣ f + S= {arctg + kn | k e Z} u {arctg + mi\n e Z}; 2m----------------------------------------2m 2) dacă m = 0,5= {(2k+ 1)^- | ke Z}; 3) dacă m e (0, y), S= 0. 99 B. Metoda unghiului auxiliar a c împărțind ecuația (1) cu b O, avem: cmx 4- b sinx = c <=> — cosa: + sinx = —. b b Există un unic unghi a g (-p y) astfel încât ț = tga, anume a = arctg ț . . c sin oc . c Ecuația devine: tgcc cosx + sinx = — <=> ----------- cosx + sinx = — <=> b cos oc b c c <=> sinet cosx + sinx cosa = — cosa <=> sin(x + a) = — cosa. (9) i .a , , , a¹ ² 1 i i 2 b² Din relația — = tga deducem 1 + — =-----------— de unde cos a = —------ b b~ cosa a +b |Z>| sau |cosa| = -7=== . Presupunem b >0 (dacă b < 0, înmulțim ecuația cu -1 și ya²+b² 71 71 obținem o ecuație echivalentă) și cum cosa > 0 deoarece a e (—, —), obținem cosa = —. . Ecuația devine sin(x + a) = —f=^== . Dacă Va² + b² ya²+b² c + b² ceea ce este echivalent cu a² + b² > c², atunci x + a = (-1/ arcsin+ hr, Va² +b² k^TL, deci mulțimea soluțiilor este S = {(-1/ arcsin-= c -arctg— + kn | k e TL }. Ja²+b² a * Observație. Folosind metoda unghiului auxiliar putem transforma în produs expresia «cosx + £sinx. Avem: «cosx + bsinx = b( — cosx + sinx) = />(tgoc cosx + sinx) = b . b . b = (sinet cosx + sinx cosa), unde a = arctg — și-= - cos a--------------------------------------------------------a cos a în concluzie: «cosx + Z?sinx = ^la² +b² sin(x + a), V x e IR. Exemplul 3 Folosind metoda unghiului auxiliar, să rezolvăm ecuațiile: a) 2cosx + 2sinx = 1 + V?; b) cosx + 2sinx = -1. R: Menționăm că ecuațiile au fost rezolvate prin metoda algebrică la exemplul 1 din acest paragraf. a) împărțim cu 2 și obținem: 1 + V3 /T 71 1 + V3 . 71 V2+V6 =------<=> v2 sin(x + —) = -- o sin(x + —) =-------. 2 4⁷ 2 4⁷ 4 100 Rezultă că mulțimea soluțiilor este 5 = A u B, unde A = + arcsin — - + 2ht | k g Z}; 4 4 B = + tc - arcsin ⁺—— + 2htt | n g TL}. 4 4 Observație. Se arată că arcsin --²-~—— = . Prin urmare, A = {-^ ⁺ ⁺ ²M^Z} = {ț +²hr|/cGZ}; B = {-y + 7i - yy + 2mi I n g TL} = { y + 2rm | n e Z}, deci mulțimea soluțiilor obținută acum coincide cu cea obținută prin metoda algebrică. b) împărțim cu 2 și avem ycosx + sinx = Scriem — = tga, unde ₊ 1 . /a ⁷¹ a .șina , . 1 a = arctg— și a g (0, —). Obținem ecuația cosx + sinx = — <=> 2 2 cos a-2 1 • / , a -¹ <=> șina cosx + sinx cosa = — cosa o sin(x + a) = —=. ² V5 1 2 1 2 Să explicăm: din -------— = 1 + tg a = 1 + — deducem cosa = —— cos“ a 4 1 . 1.1 2 șina = —j= și a = arctg — = arcsin—-= = arccos-^. v5 ² v5 v5 Prin urmare, mulțimea soluțiilor este S = A u B, unde A = {-a - arcsin—+ 2kn | k e Z} = {-2arcsin—+ 2kn | k g TL }; V5 V5 B = {-a + 71 + arcsin+ 2mi | n g TL} = {ti + 2mt \n g Z }. V5 Observație. Deoarece arcsin —= arctg —, rezultă că mulțimea soluțiilor obținută V5 ² acum coincide cu cea obținută prin metoda algebrică. Folosind metoda algebrică, rezolvați ecuațiile: a) sinx - cosx = 1; b) sinx + 7cosx = 5; c) cosx - 8sinx = 9; d) 2 sinx - cosx = 1. Folosind metoda unghiului auxiliar, rezolvați ecuațiile: a) 3 sinx + 4 cosx = 5; b) cosx + v3 sinx = 2. 101 Rezolvați ecuația VJ cosx + sinx = 1 prin două metode și arătați că se obțin aceleași soluții. Ecuațiile de forma «cos(mx + ri) + ^sin(wx + n) = c, unde a, b, c și m 0, n sunt numere reale date, se reduc la ecuații de forma «cos/ + 6sin/ = c, prin substituția mx + n = t. Rezolvați ecuațiile: a) cos2x + sin2x = b) cos4x - sin4x = 1; c) cos3x -- VJ sin3x = -1; e) sin6x + VJ cos6x = 2; d) sin2x + cos2x = -1; f) cos(4x + n) - sin(4x + n) = 1. Rezolvați și discutați ecuațiile, unde m este un parametru real: a) sinx + m cosx = 2m; b) mcosx - (m + l)sinx = c) (m - 3) sinx - 4 cosx = m - 5. Fie a, b e IR cu a 0 sau b + 0. Arătați că: |«cosx + Z?sinx| < Va² + b² , V x g IR. Rezolvați ecuațiile: a) sinx + cosx - 2 41 ^inx cosx = 0; b) 2sin2x - 3sinx - 3cosx = 0; c) 2 V6 sinx cosx = sinx - cosx; d) sin2x - 5 sinx + 5cosx +5 = 0. Indicație. Fie ecuațiile «(cosx + sinx) + bcosx sinx + c = 0 «(cosx - sinx) + bcosx sinx + c = 0 (1) (2) unde a, b, c e IR. Dacă « = 0 sau b = 0, ecuațiile se rezolvă imediat. Dacă ab + 0, pentru a rezolva (1) introducem necunoscuta auxiliară cosx + sinx = y. Rezultă [v| < V2 și cosx sinx = (y² - 1). înlocuind în (1) obținem by² + lay + 2c-b = Q (T) Dacă A = 4(«² + b² - 2bc) > 0, ecuația (F) are soluțiile y₂, iar soluțiile ecuației (1) sunt reuniunea soluțiile ecuațiilor cosx + sinx = Vi, cosx + sinx = y₂. Pentru a rezolva (2), notăm cosx - sinx = v și procedăm analog. 102 Prin introducerea numerelor reale se pot exprima rezultatele oricăror măsurători, dar problema soluțiilor ecuațiilor de orice tip, cu coeficienți reali, nu este rezolvată. Ecuații simple ca x² + 1 = 0, x² + x + 1 = 0 nu au soluții în mulțimea IR a numerelor reale. De aceea, se pune în mod necesar problema extinderii în continuare a noțiunii de număr. Această extindere conduce la noțiunea de număr complex. Vom arăta în acest capitol că mulțimea numerelor complexe este suficient de largă, încât orice ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali să aibă soluții în această mulțime. Numerele complexe nu reprezintă rezultatul unor măsurători și de aceea teoria numerelor complexe are un caracter mai abstract, mai formal decât teoria numerelor reale. Remarcăm că, în pofida acestui grad de abstractizare a noți- unilor, teoria numerelor complexe, prin implicațiile sale, are multiple aplicații practice (de exemplu: în mecanică, electrotehnică, fizică atomică ș.a.). 1 .1. Definirea numerelor complexe Prezentăm acum construcția mulțimii numerelor complexe, plecând de la nulțimea IR a numerelor reale. Fie produsul cartezian IR x IR = {(a, b) \ a, b g IR}, adică mulțimea perechilor ordonate de numere reale. Precizăm că două perechi (a, b) și (a\ b") sunt egale dacă și numai dacă a = a' și b = b'. Astfel, egalitatea (a, b) = (af, b^ este echivalentă cu două egalități de numere reale: a = a' și b = b'. Definim pe mulțimea IR x IR două operații algebrice: adunarea și înmulțirea. Dacă z = (a, b) și z' = (a', b') aparțin mulțimii IR x IR, atunci definim: z + z'= (a + a', b + b^ (1) Elementul (a + a', b + b') se numește suma dintre z și z\ iar operația prin care oricăror elemente z și z' din mulțimea IR x IR li se asociază suma lor se numește adunare. De asemenea, definim: zz’ = (aa'-bb\ ab’ + a’b). (2) Elementul (aa' - bb', ab' + a'b) se numește produsul dintre z și z\ iar operația prin care oricăror elemente z și z' din mulțimea IR x IR li se asociază produsul lor se numește înmulțire. 103 Exemplu (2,-1)+ (-3,1) = (2-3,-1 + 1) = (-1,0), (2, -l)(-3, 1) = (2 (-3) - (-1)1, 2-1+ (-l)(-3)) = (-6 + 1, 2 + 3) = (-5, 5). Definiție. Fiecare element al mulțimii IR x IR pe care sunt definite cele două operații precedente (1) și (2), se numește număr complex. Se notează cu (C mulțimea numerelor complexe. Fie submulțimea lui (C: R'={ța, 0) | a g IR}. Funcția de la IR la R' definită prin a -> ța, 0) este evident o funcție bijectivă de la mulțimea IR a numerelor reale în submulțimea R’ a lui C. Mai mult, operațiile de adunare și înmulțire a numerelor complexe care aparțin mulțimii 7?' se transcriu astfel: ța, 0) + ța', 0) = (a + a', 0); ța, Q)țaf, 0) = (aa', 0). Aceste relații arată că adunarea și înmulțirea pe A' se fac după aceleași reguli ca adunarea și înmulțirea numerelor reale . Din acest motiv rezultă că R' are aceleași proprietăți aritmetice ca mulțimea IR a numerelor reale. Acest fapt ne permite să identificăm numărul complex ța, 0) cu numărul real a. Practic, această identificare revine la a înlocui numărul complex ța, 0) cu numărul real a și invers. Așadar, punem ța, 0) = a. în particular, numerele complexe (0, 0) și (1, 0) sunt numerele reale 0 și 1. 1 .2. Proprietățile adunării numerelor complexe 1 ° Adunarea este comutativă, adică oricare ar fi z și z' din C, avem z + z' = z' + z. într-adevăr, dacă z = ța, b) și z' =ța', b'), atunci avem z + z' = ța, ty+ța’, br) = = ța + a', b + by Analog, avem z' + z = ța’ + a, b' + b). Cum însă adunarea numerelor reale este comutativă, avem a + a’ = a' + a și b + b' = b' + b. Deci ța + a', b + br) = ța' + a, b' + b), adică z + z' = z' + z. 2 ° Adunarea este asociativă, adică oricare ar fi z, z' și z" din (C, avem țz + z') + z” = z + (z' + z"). într-adevăr, dacă z = (a, b), z'= (a', b") și z" = ța", b,r) atunci avem (z + z') + + z" = [ța, b) + ța', b^] + (a", b") = ța + a', b + b^ + ța", b") = ((a + a^ + a", țb + b^ + b"). Analog, avem z + (z' + z") = ța + ța' + a,r), b + țb' + b")). Cum însă adunarea numerelor reale este asociativă, avem ța + a") + a" = a + ța' + a") și țb + b^ + b” = b + țb' + b"). Deci (z + z^ + z" = z + (z'+ z,r). 104 3°Element neutru. Numărul complex 0 = (0, 0) este element neutru pentru adunare, adică oricare ar fi z din (E avem: z + 0 = 0 + z = z. într-adevăr, dacă z = (a, b), atunci cum 0 este element neutru pentru adu- narea numerelor reale, avem z + 0 = {a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z. Dar, după proprietatea 1 °, avem de asemenea 0 + z = z. 4 ° Orice număr complex are un opus, adică oricare ar fi z din (E, există un număr complex notat cu -z astfel încât z + (-z) = (-z) + z = 0. într-adevăr, dacă z = (a, b) atunci -z = (-a, -b), deoarece z + (-z) = (a, b) + + (-a, -b) = (a + (-d), b + (-b)) = (0, 0) = 0. Conform proprietății 1 ° avem, de asemenea, (-z) + z = 0. Exemple 1. Dacă zₓ = (2, 3), atunci -zj = (-2, -3). 2. Dacăz₂ = (-1, 1), atunci -z₂ = (1, -1). Observație. Dacă z și z' sunt numere complexe, suma z + (-z') se notează, simplu, prin z - z' și se numește diferența dintre z și z'. Operația prin care oricăror elemente z și z' din mulțimea IR x IR se asociază diferența lor se numește scădere. Dacăz = (a, b) și z' = (ar, bf atunci avem formula: z - z' = (a - a', b - b") (3) Exemplu Dacă z = (2, -5) și z' = (-3, 1), atunci z - z' = z + (-z') = (2, -5) + [-(-3, 1)] = = (2,-5) + (3,-1) = (5,-6). 1. 3. Proprietățile înmulțirii numerelor complexe 1 ° înmulțirea 6ste comutativă, adică oricare ar fi z și z' din (E, avem zz' = z'z. într-adevăr, dacă z = (a, b) și z' = (a', bf atunci zz' = (a, b)(a', b’) = (aa’ - - bb’, ab’ + a’b). Analog, avem z’z = (a’a - b’b, a’b + abr). Cum adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative, avem aa’ - bb’ = a’a - b’b și ab’ + a’b = a’b + ab’. Deci zz' = z’z. 2 ° înmulțirea este asociativă, adică oricare ar fi z, z’ și z” din (E, avem (zzfz” = z(z’z”). într-adevăr, dacă z= (a, b), z’ = (a’, b^ și z"= (a", b") atunci (zz^z'^ [(aa- -bb’, ab’+ a’b)] (a”, b”) = ((aa’- bb^a" - (ab’+ a’b)b”, (aa’- bb^b” + a”(ab’+ + a'b))=(aa’a’’- bb’a’’-ab’b’'-a'bb’’, aa’b”-bb’b” + a”ab'+ a’’a’b). Analog, avem z(z’z”) = (aa’a”- ab’b”-ba’b”- ba”b’, aa'b” + aa”b’+ a’a”b - b’b”b). Având în vedere comutativitatea adunării și înmulțirii numerelor reale, rezultă că expresiile lui (zz^z” și z(z’z,r) sunt aceleași. Deci (zz^z'^ z(z'z"). 105 3°Element neutru. Numărul complex 1 = (1, 0) este element neutru pentru înmulțire, adică oricare ar fi z din C avem: z • 1 = 1 • z = z. într-adevăr, dacă z = (a, b), atunci cum 1 este element neutru pentru înmulțirea numerelor reale, avem z ‘ 1 = (a, b) (1, 0) = (a, b) = z. După proprietatea 1 °avem, de asemenea, 1 • z = z. 4° Orice număr complex diferit de 0 are un invers, adică oricare ar fi z 0, există un număr complex notat cu z ¹ astfel încât zz ¹ = z Az =1. Fie z = (a, b) diferit de (0, 0), adică cel puțin una din componentele a sau b este nenulă, altfel spus, a² + b² 0. Dacă (x, y) este un număr complex astfel încât (a, b)(x, y) = (1, 0), atunci (ax - by, bx + ay) = (1, 0). De aici rezultă lax by -1 Rezolvând sistemul, se obține: x = y = ■ ~—r-. \bx + ay = 0 + b² a² + b² Conform proprietății 1 °avem, de asemenea, (x, y)(a, b) = (1, 0). a - b a² + b²’ a² + b² J Deci z ¹ = Observație. în loc de z ¹ (z 0), se folosește uneori notația — . Dacă z' = (a', b') este un alt ' ■ z număr complex, atunci z'z ¹ se notează încă prin — și se numește câtul z împărțirii lui z' la z (z 0). Câtul — este definit de formula: z z' _ | aa'+bb' ab'-a' b [ z \ a + b a + b J Exemple 1. Dacă z = (2, -1), atunci zA = — = ( .2 . - f —■ z <4 + 14 + 1/ <5 5/ 2. Dacăz= (2,-1) și z'= (1,-1), atunci ,^z’ <2-1+ (-!)•(-1) 2-(-l)-l-(-l)W₂ + l -2 + lV_r3 z 4 + 1 ’ 4 + 1 J l 5 ’ 5 J b’ 5 / 5 ° înmulțirea este distributivă față de adunare, adică oricare ar fi z, z’ și z" din (E, au loc relațiile: z(z' + z") = zz'+ zz" și (z + z)z"= zz" + z'z". într-adevăr, dacă z = ța, b), z' = ța', b') și z" = ța", b") atunci zțz' + z") = = ța, b) [ța', b¹) + ța", &")] = ța, b)ța'+ a", b’ + b”) = țața' + a") - bțb'+ b"), ațb' + b") + ța' + a")b) = țaa' + aa" - bb'- bb", ab' + ab” + a'b + a"b). Pe de altă parte, avem zz' + zz" = ța, b)ța', b") + ța, b)ța", b") = țaa' - bb', ab'+ a'b) + + țaa"- bb", ab"+ a"b) = țaa' -bb' + aa"- bb", ab' + a'b + ab" + a"b). Având în vedere comutativitatea adunării numerelor reale, rezultă că expresiile lui z(z'+ z”) și zz'+ zz"sunt aceleași. Deci z(z'+ z") = zz' + zz". Analog se demonstrează cea de-a doua relație, pe care o lăsăm ca exercițiu. 106 Observație. Numărul complex (0, 1) are proprietatea (0, 1) (0, 1) = = (-1, 0) = -1. Rezultă deci că (0, 1) este o rădăcină a ecuației x" + 1 = 0. Așadar, această ecuație are soluții în mulțimea numerelor complexe, ceea ce nu era posibil în mulțimea numerelor reale. 2.1. Notația z = ța, b), introdusă pentru numerele complexe, nu este prea como- dă în calculele cu numere complexe. De aceea, de obicei, se folosește o altă scriere a numerelor complexe. Convenim să notăm numărul complex (0, 1) prin i. Atunci, după regulile de adunare și înmulțire a numerelor complexe, avem: ța, b) = ța, 0) + (0, b) = ța, 0) + țb, 0)(0, 1). Deoarece ța, 0) și țb, 0) se identifică cu a, respectiv b, iar (0, 1) s-a notat cu i, atunci această scriere se reprezintă sub forma (a, b) = a + bi. Această expresie se numește forma algebrică a numărului complex ța, b). Exemple (2,-1) = 2 + (-l)i = 2-i; (1,0) = l+0-i = 1; (0,-5) = 0 + (-5)i =-5i. în continuare vom scrie numerele complexe sub forma lor algebrică. Numărul complex i se numește unitate imaginară. Numerele de forma bi, cu b număr real, se numesc imaginare. Dacă numărul complex z se scrie sub forma z = a + bi, atunci a se numește partea reală, iar bi se numește partea imaginară a numărului z. Numărul b se numește coeficientul părții imaginare. De exemplu, pentru numărul complex 4 + 5i, partea reală este 4, iar partea imaginară este 5i; coeficientul părții imaginare este egal cu 5. Pentru numărul -2i, partea reală este 0, cea imaginară -2i, iar coeficientul părții imaginare este -2. Pentru numărul 3, partea reală este 3, cea imaginară este 0 • i = 0, iar coefi- cientul părții imaginare este egal cu 0. Reluăm mai jos adunarea și înmulțirea a două numere complexe reprezen- tate sub forma lor algebrică. Astfel: (a + 6i) + ța' + b'i) = ța + a^ + țb + b^v, (T) ța + b\)ța’ + b’i) = țaa'-bb^ + (ab'+ a'b)i. (2’) Deci, suma a două numere complexe este un număr complex a cărui parte reală, respectiv imaginară, este suma părților reale, respectiv imaginare, ale numerelor date. Formula (2’) care dă înmulțirea a două numere complexe este mai greu de reținut și chiar de formulat. Observăm însă că, dacă z = a + bi și z’ = a' + b’i sunt numere complexe, atunci având în vedere proprietățile operațiilor pe (E, rezultă: ța + bi^ța’ + b’i\ = aa’+ țab'+ a' b)i + bb'?. Dar, înlocuind i² = -1 în ultima relație, se obține formula (2’). Pentru un număr complex z = a + bi se notează, uneori, a = Re(z), care se citește „real de z” și b = Im(z), care se citește „imaginar de z”. 107 2.2. Numere complexe conjugate Dacă z = a 4- bl este un număr complex, atunci numărul a - bi, notat prin z , (adică z barat) sau a + bi se numește conjugatul său. Evident, conjugatul lui z este z. De aceea, numerele complexe z și z se numesc conjugate. Dacă a este un număr real oarecare, atunci a = a + Oi = a - Oi = â, și deci a este egal cu conjugatul său. Mai mult, dacă a + bi este un număr complex astfel încât a 4- bi = a - bi, atunci b = -b, de unde b = 0. Deci tz + 6i = ^ + 0i = a este un număr real. Astfel, am arătat că: dintre toate numerele complexe, numerele reale (și numai ele) sunt egale cu conjugatele lor. Avem următoarele proprietăți: / °Suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale. într-adevăr, z + z = {a + b\) + {a - &i) = 2a și z z = (a 4- bi){a - bi) = a²+ b². 2 ° Oricare ar fi numerele complexe z și z', avem: z + z' = z + z', zz' -zz'. într-adevăr, dacă z = a + bi și z' = a' 4- b'i, atunci: z 4- z' = {a + a') 4- {b + b')i - (a 4- a')-{b + b')i = {a- bi) 4- {a' - b'i) = z + z'; zz' = {aa' - bb') 4- {ab' 4- 6z7?)i = {aa'-bb’) - {ab' 4- a'b)i -{a- bi){a' - b'i) -zz'. Formulele (3) și (4), aplicate numerelor complexe scrise sub formă alge- brică, dau relațiile: {a 4- b\)-{a' 4- b'i) = {a-a') + {b- b')i (3’) a' 4- b'i _ aa' 4- bb’ , ab' - a'b • a + bi a² + b² a² + b² J Pentru relația (3') se poate da o regulă analoagă celei date pentru adunare. Observăm, de asemenea, că (4’) rezultă dacă amplificăm fracția - - prin a 4- b\ conjugatul numitorului, care este a - bi. în particular, așa se poate proceda și pentru aflarea inversului unui număr complex. într-adevăr, dacă a 4- bi 0, atunci: 1 _ a-bi _ a-bi _ a b : a + bi (a +bi)(a-bî) ₐ² + b² a² + b² a² + b² Exemple j 7-j _ (7-i)(3-i) 21-7i-3i-l 20-10L ₂ •. ' 3 + i (3 + i)(3-i) 9 + 1 10 ₂ 2 + 3i (2 + 3i)(2 -i)_4-2i + 6i + 3 ₌ 7 + 4i ₌ 7 4 •. ' 2 + i (2 + i)(2-i) 4 + 1 5 5 5 ’ , 1 ... 1-i l-i_l 1- ’ 1 + i (l + i)(l-i) 1 + 1 2 2 ’ 108 2.3. Modulul unui număr complex Modulul unui număr complex z = a + bi se definește ca fiind numărul real yja² + b² și se notează prin | z | = | a + bi |. Modulul unui număr complex z = a + bi este întotdeauna pozitiv, el fiind egal cu zero dacă și numai dacă a = b = 0. Exemple | 1 + 3i | = VT+9 = VÎO; = VÎ+î = >/2; 12i| = | 0 + 2i| = 7o+4 =2; 141 = 14 + Oi | = 716 + 0 = 4. Dacă z și z' sunt două numere complexe, atunci: 7 ° | zz' | = | z | | z' |; 2° | z' | - | z | < | z' + z | < | z' | + | z |. Să demonstrăm prima relație. într-adevăr, dacă z = a + bi și z' = a' + b'i, atunci | zz' | = | (aa' - bb') + (ab' + a'b)i | = ^(aa' - bb')² + (ab' + a'b)² = = j(a² + b²)(a’² + b’²) = Ja² + b² Ja’² + b’² = | z 11 z' |. A doua relație o lăsăm ca exercițiu. Noi însă o vom demonstra în paragraful următor, pe cale vectorială. 2.4. Puterile numărului i Conform ultimei observații de la punctul 1.3, avem i² = -1. Atunci se deduce succesiv: i³ = i²i = (-l)i =-i. i⁴ = i³i = (-i)i = 1.' în general, fie n un număr natural oarecare. Atunci numărul n se găsește într-una (și numai una) din următoarele situații: 1. n = Ak (k număr natural) și deci i" = i⁴* = (i⁴/ = 1 = 1; 2. n = 4/ + 1 (/ număr natural) și deci i" = i⁴/⁺l = i⁴/ • i = 1 • i = i; 3. n = Ap + 2 (p număr natural) și deci iⁿ = iAp⁺² = i⁴p - i² = 1 (—1) = — 1. 4. n = Aq + 3 (q număr natural) și deci iⁿ = i⁴ M(a, b) este o funcție bijectivă de la mulțimea numerelor complexe la punctele planului P. Prin această funcție, mulțimii numerelor reale îi corespunde axa Ox, iar mulțimii numerelor imaginare îi corespunde axa Oy. De aceea, axa Ox se numește axa reală, iar axa Oy axa imaginară. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin funcția bijectivă definită mai înainte se numește planul complex. 3.2. Interpretarea geometrică a adunării și scăderii numerelor complexe Numerele complexe au și o altă interpretare geometrică. Să asociem la fiecare punct M al planului P vectorul OM care are originea în O și capătul în punctul M. Această asociere este evident o funcție bijectivă de la mulțimea numerelor complexe în mulțimea vectorilor care au originea în <9(0, 0). Astfel, fiecărui număr complex a + bi poate fi reprezentat geometric ca vectorul OM unde M are coordonatele (a, b). Se spune că (a, b) sunt coordonatele vecto- rului OM. 110 Reprezentarea numerelor complexe cu ajutorul vectorilor ne dă o interpre- tare simplă a adunării numerelor complexe: (a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b^i Este cunoscut că la adunarea vectorilor coordonatele corespunzătoare lor se adună. De aceea, dacă vectorul OM (fig. 3) are coordoonatele (a, b), iar vectorul OM" are coordonatele (a', b'), atunci vectorul OS (S fiind al patrulea vârf al paralelogramului care are celelalte trei vârfuri respectiv M, O și are coordonatele (a + a', b + b^. Acest vector corespunde numărului complex (a + a) + (b + Z^i care este suma dintre a + bi și a' + b'i Exemplu Fie numerele complexe Z\ = 3 + 2i și z₂ = 1 + 3i, reprezentate în plan prin vectorii OMX și OM₂ , unde: M|(3, 2), Af₂(l, 3) (fig. 4). Atunci suma z^ = Z\ + z₂ = (3 + 2i) + (1 + 3i) = 4 + 5i este reprezentată în plan prin vectorul OM-ț unde M₃ este punctul de coordonate (4, 5). Observăm, de asemenea, că opusul numărului a + bi, care este -a - bi este reprezentat prin vectorul OM{, unde Mi este simetricul punctului M(a, b) față de origine (fig. 5). Astfel se deduce ușor interpretarea geometrică a scăderii a două numere complexe. Cum z' - z = z' + {-z), având în vedere interpretarea geometrică a adu- nării numerelor complexe, rezultă că D are coordonatele {a'-a, b'- b) și vectorul OD corespunde diferenței z' - z = = (a' -d) + (b' - b)i Avem OM = | z |, OM' = | z' |, OD = | z'-z | și OS= | z' + z |. 111 Relațiile dintre laturi în triunghiurile OMS și OMM' dau respectiv: MS-0M< OS 0, sunt date de formulele: _ - b ± y/b² - 4ac X|’² 2^ ’ în acest caz, rădăcinile ecuației sunt numere reale. 4.1. Să rezolvăm ecuația ax² + bx + c = 0, a 0, în cazul în care A = b² - 4ac < 0. Știm din clasa a LK-a că ecuația ax² + bx + c = 0 se mai poate scrie sub forma: La? k 2a 7 4ₐ² Cum S = b² - 4ac < 0, atunci -A = 4ac -bL> 0. în mulțimea numerelor complexe ecuația se poate scrie astfel: / \2 / /--\² + =0 < la) [ 2a I sau b 2a iV- A Y v ₊ A _ iV— A ₌ 2a 2a 2a J de unde A ⁺ = 0 sau x + ^-~ 2a 2a 2a Deducem de aici că rădăcinile ecuației ele gradul al doilea sunt, în acest caz: _-b + iy/^ac -b² - _ - b- iyl^ac-b² %l 2a Ș¹ *²" ~ 2a ' Așadar, dacă A < O, rădăcinile ecuației cu coeficienți reali ax² + bx + c = 0, a 0, sunt numere complexe conjugate. Relațiile lui Viete sunt evident aceleași ca în cazul A > 0, adică . b c V| + x₂ =— ,X|X₂ = a a 4.2. Formarea unei ecuații de gradul al doilea când se cunosc rădăcinile Fie X\ și x₂ numere complexe date. Pentru ca ele să fie rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea cu coeficienți reali, trebuie ca Xi și x₂ să fie conjugate. Deci xi = a + bi și x₂ = a - bi. Atunci + x₂ = 2a și X\X₂ = a² + b². Ecuația de gradul al doilea care are ca rădăcini pe x.\ și x₂ va fi x² + px + q = 0, unde -p = xj + x₂ = 2a, iar q = X|X₂ ⁼ + b². Deci ecuația x² - 2ax + a² + b² = 0 are ca rădăcini numerele complexe: a + bi și a. - bi. 4.3. Descompunerea trinomului de gradul al doilea cu coeficienți reali în produs de factori de gradul întâi Fie trinomul ax² + bx + c, a 0, cu a, b, c numere reale. Dacă x{ și x₂ sunt rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0, atunci un raționament analog celui făcut în manualul de matematică pentru clasa a IX-a, pentru cazul b² - ^ac > 0, dă ax² + bx + c = a(x - X|)(x - xj) = (ax - axj)(x - xj). Deci orice trinom de gradul al doilea cu coeficienți reali se descompune în produs de polinoame de gradul I cu coeficienți complecși. Rezultă că în cazul Ir - 4ac > 0 și numai în acest caz, trinomul de gradul al doilea se descompune în produs de factori de gradul întâi cu coeficienți reali. Exemple 1. Să se rezolve ecuațiile: a) x² + x + 1 = 0; b) x² - 2 73 x + 4 = 0. R: a) Deoarece A = 1 - 4 = -3, atunci X| = și x₂ = b) Deoarece A = 12 - 16 = -4 < 0, atunci X| = 73 - i și x₂ = 73 +i. 2. Să se formeze o ecuație de gradul al doilea care are rădăcinile Xj = 7J - i și x₂ = 7J + i. R: Avem X| + x₂ = 2 7J și X|X₂ = 4. Ecuația x - 2 7J x + 4 = 0 are ca rădăcini pe X[ și x₂. 5. Să se descompună în factori de gradul întâi trinomul x² - 2x + 10. R: Rădăcinile ecuației x² - 2x + 10 = 0 sunt: x₍ = 1 + 3i și x₂ = 1 - 3i. Atunci x² + 2x + 10 = (x - 1 - 3i)(x - 1 + 3i). Să se găsească numerele reale x și y din ecuațiile: a) (5x + 3yi) + (2y - xi) = 3 - i; b) (x + 3yi) + y y + 2xi = 4 + 8i; c) 3y + y xi^ - (-8x + 5yi) = -2 + 12i; d) + ¹ -³L 1-1 l+i Să se calculeze: a) (2 + i)(3 - 2i); b) (-6 + i)(5 + 2i); c)(V2-i)(V3 + 2i); d) (V2 + 3i)(3 - V2 i); e) (Vi + 41 i) (VJ -41 i). Să se calculeze: x 2 + 3i. M 2i . x 1 + iV3 . ajb + b^~â\. - 2 - 5i 6 - 7i. «> TT- b> 2^? • '> TTT- — p. a-bi ■ b - ai. V1 + a + iVl -a Vi - a + iVl + a . ' b + ai a + bi’ ^\ + a-\^l\-a Vi - a - iVl + a ’ Să se demonstreze egalitățile: x 6-i ₌ 13 + 41i . ₕx 2 + i ₌ 13 + 4i } 4 + 4i - 25 + 25i ’ ' 3-i 17 - 9i ’ Să se spună care sunt conjugatele numerelor complexe: 1 + i; 2 - 3i; 5; 4i; 0; 2i - 1 și să se interpreteze geometric. Să se calculeze: \ :6 . J6 , -26 , -36 , -46. x 1 1,1 1 . a)i +i +i +i +i ; e) b) (-i)⁸ + (-i)¹⁸ +(-i)²⁸ +(-i)³⁸ +(-i)⁴⁸; f) [i(2 - i)]²; c) i + i² + i³ + i⁴ + ... + i" (n > 4); g) [2i(3 ^li)]²; d) i • i² • i³ • i⁴ • • iI⁽⁾⁰ ; h) i" + i"⁺l + i',⁺² + i"⁺³, n e IN. Să se găsească valorile reale ale lui m astfel încât numărul 3i³ - 2mi² + + (1- m)i + 5 să fie: a) real; b) imaginar; c) nenul. Să se găsească țoate numerele complexe ale căror pătrate să fie: a) i; c)-i; + Să se reprezinte în plan numerele complexe: a) 3 + 5i; b) 4 - i; c) -2 -2i; d) -4i; e) 5i; f)-5 - 5i. Să se dea interpretarea geometrică a formulelor: (1 + 3i) + (1 - 3i) = 2; (3 -5i) + (-1 +3i) = 2-2i. 114 Să se descompună în factori de gradul întâi trinoamele: a)x²-2x + 2; b)4x² + 4x+5; c)x²-14x + 74. Să se găsească ecuații de gradul al doilea cu coeficienți reali, astfel încât una dintre rădăcini să fie: a) (3 - i)(2i - 4); b) c) + 4b i (a, b fiind numere reale și pozitive). Să se arate că dacă două numere complexe sunt conjugate, atunci cuburile lor sunt de asemenea conjugate. Să se rezolve sistemele: ₓ fx+ y = 6, ₁X f2x-3y = l, U = 45; b⁾ U = I; Să se arate că pătratul unui număr complex z = a + bi este real dacă și numai dacă ori a = 0, ori b = 0. Să se găsească numerele reale x și y astfel încât: a)(xi-^)² = 6-8i + (x+yi)²; b) (a,e IR,a*0). x y a x y y Să se determine perechile (x, y) din plan pentru care: a) | ylx² + 4 + yjy-4i | = VTo ; b) | ^2x + y 4- 4^+2yi \= 4Î. Dacă a + bi este un număr complex dat, să se găsească numerele complexe z = x + iy astfel încât z = a + bi. Să se arate că pentru ecuația de gradul al doilea ax² + Px + y = 0, cu coeficienți complecși, rădăcinile sale sunt date de aceeași formulă ca și în cazul ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali. Să se rezolve, în mulțimea numerelor complexe, sistemele de ecuații: A/x⁵ + y⁵=33, [x²+y²=5, fx² - xy = 28; [x + j; = 3; [xj/=2; [j; -xy=-12. Să se determine numerele complexe z care verifică relația z⁴+ 3 - 4i = 0. Fie z = a + bi un număr complex nenul. Am văzut că dacă P este un plan în care s-a fixat un sistem de axe ortogonale xOy, numărului complex z i se asociază un punct M (diferit de origine) având coordonatele (a, b). Numărul complex z poate fi reprezentat geometric prin vectorul OM unde M are coordo- natele (a, b). 115 Modulul numărului complex z = a + b\ este lungimea segmentului (razei vectoare) care unește originea 0(0, 0) cu punctul M(a, b). Măsura unghiului format de raza vectoare cu semiaxa pozitivă a axei absciselor (valoare ce aparține intervalului [0, 2k)) se numește argumentul redus to al numărului, z și se notează cu arg z (fig. 6). Sensul pozitiv de măsurare a argumentului unui număr complex este de la semiaxa pozitivă Ox a absciselor la semiaxa pozitivă Oy a ordonatelor, în sens invers acelor de ceasornic. Observație. Pentru numărul complex 0 argumentul redus nu este definit, neavând nici o semnificație. Dacă z = a + bi este un număr complex nenul (a² + b² 0), componentele sale a și b sunt proiecțiile vectorului OM (ținându-se cont de semn) pe axele de coordonate. Dacă este argumentul redus al numărului complex nenul z = a + bi, iar r = -Ja² + b² este modulul său, atunci din definiția sinusului și a cosinusului unui unghi, rezultă formulele: a = r cos /o, b = r sin to (1) Prin urmare, fiind dat un număr complex nenul z = a + bi, argumentul redus al său se obține din relațiile: cos t = —, sin t = — (2) r r unde r = yla² + b² . Deoarece există un număr unic t g [0, 2îi) care satisface relațiile (2), rezultă că modulul și argumentul redus ale unui număr nenul z sunt unic determinate. Dacă a 0, argumentul redus al numărului z = a + bi se poate determina și din formula tg t = —. a înlocuind componentele numărului complex nenul z = a + bi prin expresiile lor date de formulele (1), obținem: z = r(cos /()+ i sin t{f r = 7a² + b² , t₍} e [0, 2n) (3) Formula (3) se numește forma trigonometrică redusă a numărului complex nenul z. Argumentul redus nu este singurul număr real care verifică relațiile (3). 116 L Orice număr real t, care verifică condițiile cos t = —, sin t = —, ᵣ ᵣ unde r = y/a² + b² se numește argument al numărului complex nenul z = a + b\. Dacă t este un argument al numărului complex z 0, atunci z = r(cos / + i sin t), r = yla² + b² (4) Formula (4) se numește forma trigonometrica a numărului complex nenul z.. Dacă z este un număr complex nenul și Z₍₎ = arg z este argumentul redus, atunci din relațiile (2) rezultă că t este un argument al lui z dacă și numai dacă t = /o + 2kn, k g TL. Observație. Dacă z = 0, modulul este egal cu 0 și pentru argumentul său poate fi luat orice număr real. în final, vom da interpretarea geometrică a numerelor complexe conjugate. Fie numărul complex nenul z = a + bi, b 0, iar z = a-l conjugatul său. Este clar că |F| = | z | = r, iar dacă Zₒ = arg z, atunci arg z = 2îu - Z₍₎ (fig. 7). într-adevăr, z = r (cos Z₍₎ - i sin t^ = r{ cos(2k - Z₍₎) + i sin (2n - tjj), unde 2n - t{} g (0, 2k). Exemple 1. Să se scrie sub formă trigonometrică redusă numărul complex z = 1 + i. R: Dacă z = r (cos t₍} + i sin t^, atunci r = | z | = Vi + 1 = ^2 , iar cos Z₍₎ = -U sin Zo = -X" , de unde Z₍₎ = 4 • Deci z = V2j cos + i sin V2 V2 ⁴ V ⁴ 4 2. Să se scrie sub formă trigonometrică redusă numărul complex z = -2i. R: Dacă z = r (cos Z₍₎ + i sin Zₒ), atunci r = | z | = Vo + 4 = 2. Imaginea numărului z = -2i se găsește pe semiaxa negativă a axei ordonatelor, deci Zo = arg z = -y-. Deci z = 2^cos -y- + i sin -y- 3. Să se scrie sub formă trigonometrică redusă numărul complex z = 1 - - cos oc+ i sin oc, unde a g (0, 2n). R: Avem r = | z | = ^(1 - cos a)² + sin² a = ^2(1 - cos a) = ^4 sin² y = 2 sin-^ 2 Cum -y g (0, n), avem sin-y >0 și deci r = 2sin-y. Acum, 117 2 sin y cos— z x tg / = —sⁱⁿ-- =----------— = ctg -^ = tg . Un argument al număra lui l-cosa oo;„² a 2 <2 2J 2 sin — complex este t = ⁷¹ și deci z se scrie sub formă trigonometrică: z — 2siny ^cos ⁷¹ ~a + isin ⁷⁷. Să scriem pe z sub formă trigonometrică redusă. Din tg t = tg^y-y^, rezultă t=^--^- + kn,ke7L. Distingem cazurile: 1° Dacă a e (0, tc), atunci 0 < y -y < y, arg z = ȘÎ deci z= 2 sin-^ fcos ⁷⁷ Ta + isin- 2 < 2 2 J 2° Dacă a e (n, 2tt), atunci y < y - y + < y^, adică arg z = -^y^f și deci z = 2 sin-^ fcos ³⁷¹7 a + isin . • 2 < 2 2 ) 3° Dacă ct — ti, atunci z = 0 și argumentul său redus nu este deter- minat. Fie zj și z₂ două numere complexe scrise sub formă trigonometrică: Z| = rt(cos t\ + i sin Z|), z₂ = r₂(cos Z₂ + i sin Z₂). înmulțind aceste numere avem zjz₂ = r{r₂ [(cos ti cos t₂ - sin sin t₂) + + i(sin t\ cos t₂ + cos t\ sin Z₂)] = rₓr₂ [cos^ + Z₂) + i sin (Z₁ + z₂)]. Deci ZjZ₂ - rir₂ [cos(/i + t₂) + i sin (ti 4- z₂)] (1) în concluzie, modulul produsului a două numere complexe este egal cu produsul modulelor factorilor, iar un argument al produsului este egal cu suma argumentelor factorilor. Generalizare Să generalizăm formula care dă produsul a două numere complexe. Mai precis, dacă n > 2 este un număr natural oarecare, iar z{ = rj(cos ti + i sin ti), z₂ = ^(cos t₂ + i sin Z₂), ..., zₙ = r,₇(cos tₙ + i sin t^ sunt numere complexe, atunci Z|Z₂.. ,zₙ = rₓr₂.. ,rₙ [cos(^ + Z₂ + ... + Z„) + i sin^j + /₂ + ... + tₙ)] (2) Vom demonstra formula (2) prin metoda inducției matematice. Să notăm cu P(n) egalitatea (2). 1° P(2) este adevărată conform formulei (1). 118 2° Să arătăm că P(k) => P(k +1). Avem: P(k) : Z\Z₂.. .zₖ = r{r₂.. ,rₖ [cos(Z, + t₂ + ...+ tₖ) + i sin(Z, + t₂ + ...+ 4)]; F(M1) : z\z₂...zₖ₊\ = r₁r₂...rJₜ₊i[cos(Z|+ Z₂+...+Z*+i)+ i sin(ti+ Z₂+...+ ZA₊ᵢ)]. Atunci Z\Z₂...zₖ₊[ = (z\Z₂.. ,zₖ)zₖ+\ = r\r₂...rₖ [cos(Z|+ Z₂+...+ tₖ~) + i sin(Z| + + Z₂ + ...+ Zi)] rM (cos tₖ₊ᵢ + i sin tₖ₊ᵢ) = (r,r₂...r0 rH₁[cos((Z|+...+ tₖ)+ tₖ₊ᵢ) + + i sin((Z|+...+ tₖ)+ tₖ₊ᵢ) = r₁r₂...rᵢ₊i[cos(Zi+ Z₂+...+ Z₄₊i)+ i sin(Z,+ Z₂+...+ ZHi)]. Conform metodei inducției matematice, rezultă că P(n) este adevărată pentru orice n > 2. Cu ajutorul scrierii numerelor complexe sub formă trigonometrică, se poate da o interpretare geometrică a produsului numerelor complexe. Fie numerele complexe Z\ = r, (cos Z| + i sin Z,), z₂ = r₂ (cos Z₂ + i sin Z₂) și M\ respectiv M₂ imaginile lor geometrice. Să considerăm, de asemenea, pe axa Ox punctul A(l, 0). Se construiește triunghiul 0M₂P asemenea cu triunghiul OAM\ (fig. 8). Din asemănarea celor . _ . ... OP OM₂ doua triunghiuri rezulta , OMX OA M₂OP = ^OA/^Dar O A = = rb OM₂ = r₂, m(AOMif = tₕ m(A0M₂) = Z₂ și deci OP = r,r₂, m(ÂOP) = Z, + Z₂. în concluzie, punctul P este imaginea geometrică a numărului complex z\z^ Exemplu Să se calculeze modulul și argumentul redus al produsului numerelor com- ZiZ₂ = cos^ + isin^-1, z₂ =1- i =5/2 [ cos^ + isin^ ] și 6 67 <4 47 sf-y + -^) + i sin( + -^ll = 272fcos-^+i sin-^l. (6 4 7 16 4 71 k 12 127 Avem |z₍z₂| = 2V2 și arg z\z₂ = 2371 12 Inversul unui număr complex nenul scris sub formă trigonometrică. Câtul a două numere complexe Fie z = r(cos Z + i sin Z), z 0, un număr complex nenul. Inversul său este z"¹ = — = —-------—- și, amplificând cu cos Z - i sin Z, obținem: z r(cos Z + 1 sin Z) z"¹ = = ț-(cos Z - i sin Z) = y(cos( -Z) + isin( -Z)). Fie acum z\ = r,(cos Zi + i sin Z]) și z₂ = r₂(cos Z₂ + i sin Z₂), z₂ 0, două numere complexe. 119 Ținând cont de cele de mai înainte, rezultă că zₓz^ = = — [cos(Zj - Z₂) + isin(/j - Z₂)]. Z2 r2 In concluzie, modulul câtului a două numere complexe nenule este egal cu câtul modulelor celor două numere, iar un argument al câtului este egal cu diferența dintre un argument al numărătorului și un argument al numitorului. Interpretare geometrică Ca și în cazul produsului nume- relor complexe, să considerăm M\ și M₂ imaginile geometrice ale nume- relor z\ și z₂. Fie, de asemenea, punctul A(l, 0) pe semiaxa Ox. Se construiește triun- ghiul OM\C asemenea cu triunghiul OM₂A (fig. 9). Din asemănarea celor două triunghiuri, rezultă că , COM\ = AOM₂. O A OM₂ Dar OA = 1, OM{ = rₕ OM₂ = r₂, m(A0M\) = Zb m(A0Mi) = t₂ și deci OC = —, m(^OC) = ti- t₂. In concluzie, punctul C este imaginea geometrică a numărului complex —. z₂ Exemplu Să se determine modulul și argumentul redus ale numărului R: Avem z = 2^COS y + i sin yj 2~f cos + i sin <4 4 ) 2⁶(cos 2ti + i sin 2k) 2²(cos 7TL + i sin In) = 2⁴ C⁽⁾S ⁺ * s!ⁿ = 16(co,s 7t + i sin n) = -16. Deci | z 1 = 16 și arg z = n. COS 71 + 1 Sin 71 Ridicarea la putere a unui număr complex Fie z = r(cos t + i sin t) un număr complex și n un număr natural nenul. Folosind formula (2) în cazul z\ = z₂ = ... = zfₗ = z, obținem zⁿ rr...'r cos(Z + t + ... + t) + isin(Z + t + ... + t) \___ᵥ\/ k____ᵥ/ de n ori de n ori de n ori = r ’(cos nt + i sin nt). Deci [r(cos t + i sin Z)Ț = r"(cos nt + i sin nt). 120 în particular, pentru r = 1, obținem formula lui Moivre: (cos Z + i sin Z)" = cos nt + i sin nt. Formula lui Moivre este adevărată și pentru numere întregi negative. într-adevăr, dacă n < 0 este un număr întreg, atunci -n > 0 este număr natural și avem (cos t + i sin Z)" =--------î-------=--------. . —------- = (cos Z + i sin t)~ⁿ cos(-nt) + i sin(-nZ) =--------U-------= = cₒₛ nt + i sin nt. cos nt - i sin nt cos² nt + sin² nt Deci formula lui Moivre este adevărată pentru orice număr întreg nenul. Exemple Să se calculeze cos 3Z, sin 3Z și tg 3Z în funcție de cos Z, sin t și respectiv tg t. R: Conform formulei lui Moivre, avem cos 3Z + i sin 3z = (cos Z + i sin Z)³, de unde, ridicând în membrul drept la puterea a treia, obținem cos 3Z + i sin 3Z = = cos³Z - 3 cos t sin²Z + i(3 cos²Z sin t - sin³Z). Egalând părțile reale și cele imagi- nare din ambii membri, rezultă cos 3Z = cos³Z - 3 cos t sin²1 = 4 cos³ t - 3 cos t și sin 3 t = 3 cos²Z sin t - sin³Z = 3 sin t - 4 sin³Z. . . ₒ 3cos² ZsinZ-sin³ Z . A . ₜ . . Atunci tg 3Z = -----------------— și, împărțind numărătorul și numitorul cos³ Z-3cosZsin²1 prin cos³Z, deducem tg 3Z = . Este clar că în acest mod putem scrie l-3tg²Z funcțiile trigonometrice ale multiplului unui argument ca expresii în care intervin doar funcții trigonometrice ale argumentului inițial. Definiție. Fie z un număr complex și n > 2 un număr natural. Se numește rădăcină de ordinul n a lui z orice număr complex u cu proprietatea că uⁿ = z. Observăm că dacă z = 0, atunci numărul 0 este singura rădăcină de ordin n a lui 0. De aceea, în continuare vom considera cazul z 0. Pentru aflarea rădăci- nilor din numere complexe nenule, folosim forma trigonometrică a acestora. Teoremă. Fie z = r(cos Z + i sin Z) un număr complex nenul și n > 2 un număr natural. Există exact n rădăcini distincte de ordinul n ale lui z, date de formula z,. = cos z-^-²/^ + i sin ? ⁺ ²ht>l, k e {0, 1,2,...,n-l} (1) \ n nj Demonstrație. Fie u un număr complex astfel încât u" = z. Dacă u = 7?(cos T+ i sin T), R > 0, relația uⁿ = z se scrie sub forma 7?"(cos nT + i sin nT) = r(cos t + i sin Z). Această relație este echivalentă cu relațiile: R" = r, nT - t = 2kn, k TL. Deoarece atât numărul r cât și numărul căutat R sunt pozitive, rezultă că R este ।— _|_ 2/c7T unic determinat, și anume R = \r . De asemenea, T = -----------, k e TL. Astfel, n există rădăcini de ordin n ale lui z și toate sunt date de formula 121 Z = cos ¹ ⁺ ²^⁷t + i sin ¹ ⁺ ²^, k e TL. \ n n ) (2) Să arătăm, mai întâi, că formula (2) dă rădăcini distincte pentru k e {0, 1, 2, ..., n - 1}. într-adevăr, să presupunem că zₖ =zₖₗ unde k\ și k₂ sunt numere „ . „ , , . t + 2k~,n t + 2k,n , întregi, 0 < k\ < k₂ < n - 1. Atunci ----------=-------------+ 2/n, / e TL, de unde n n -------------------------------------------------------------------------------Jț l = —--------------------------------------------------------------------------L. Ultima egalitate este imposibilă deoarece / e Z și 0 < —_¹ < n n n — 1 <------ < 1. Rămâne să arătăm că orice rădăcină de ordin n a lui z este egală cu n una dintre rădăcinile z^ zb z^ ..., zₙ_\. într-adevăr, fie zi o rădăcină oarecare de ordin n a lui z, unde l e TL. Dacă q = este partea întreagă a lui —, atunci q < — < n n < q + 1, de unde nq < l < nq + n și deci 0 < l - nq < n -1. Pentru k= l- nq, avem zₗ =^r(co^^+isii^^] \ n n ) ’4r cosp ⁺ ²bl + 2qn\ + isinf-^^- + 2^7?) \ n ) \ n . J = ^cos⁷^ + i sin^⁻¹⁻²^⁷¹1 = zₖ. Deci z, n ) ' = zₖ, unde k & {0, 1, 2,..., n - 1}. Observație. Dacă z = r(cos + i sin este forma trigonometrică redusă a numărului complex nenul z, atunci ^1, —1)^ ₛᵤₙₜ ₐᵣgUₘₑₙțₑiₑ n n ’ n ’ n reduse ale rădăcinilor de ordinul n ale lui z. Interpretare geometrică. Fie xOy un sistem de axe ortogonale. Cu notațiile din teorema precedentă, rădăcinile de ordinul n (n > 3) ale numărului complex nenul z, scris sub formă trigonometrică redusă z = r(cos t{} + i sin t^ sunt z₍₎, zb z₂,Zw_j. Fig. 10 Deoarece | z₀1 = | zj | = | z₂1 = ...= I z^ \ = tfr , rezultă că imaginile geometrice ale rădăcinilor de ordinul n ale numărului z se găsesc pe cercul de centru O și de rază ^r , adică pe cercul ^(O,tfr). Argumentele reduse ale numerelor z₀, zj, z₂, zₙ-\ sunt respectiv: t{} tQ + 2tt /ₒ + 4ti t{₎ +'2In- l)n n n n n Dacă Mo, M\, Mₙ_\ sunt imaginile geome- trice ale numerelor z₍₎, z₁? z₂, ..., z„_} (fig. 10), atunci m(M₍₎0Mi) = m(MiOM₂) = ... = —-**^*- -----* 2 71 = m(M,-₂0M„_i) = = — ₓn Deci măsurile arcelor M\M₂, M„_₂Mₙ_\, sunt egale și prin urmare segmentele MnM\, M\M₂, ..., M„^₂M„^, au aceeași lungime. 122 Astfel, imaginile geometrice ale rădăcinilor de ordin n(n > 3) ale unui număr complex z * 0 sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de centru O și de rază Vr . Exemplu Să se calculeze rădăcinile de ordinul 3 ale numărului i. I I R: Deoarece | i | = 1, arg i = —, numărul i în formă trigonometrică redusă este 71 71 i = cos — + i sin —. Atunci rădăcinile de ordinul 3 ale lui z = i sunt date de formula 2 2 ^ + 2fat y + 2Ă7t zₖ = cos—— ----+ isin-2—$—, k g {0, 1, 2}. , . . - . . 71 J3 . 1 5k Cele trei rădăcini sunt: z$ = cos— + 1 sm—= + r—, z^ = cos— + 6 6 2 2 6 . . 5ti J3 . 1 3tu . . 3ti +1 sin— = —— + i' — ,z₂ = cos — +1 sin— =-1. 6 2 2’ ² 2 2 Rădăcinile de ordin n ale unității Rădăcinile ecuației z = 1 se numesc rădăcinile de ordinul n ale unității. Deoarece 1 = cos 0 + i sin 0, din teorema precedentă rezultă că rădăcinile de ordinul n ale unității 2)^71 2Â:7r sunt date de formula tₖ= cos + i sin , k g {0,1,2,n -1}. n---------------------------------------n Se observă că în cazul rădăcinilor de ordinul n ale unității £b —, imaginile geometrice ale acestora într-un sistem de coordonate xOy sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi, înscris în cercul de centru O și rază 1. Deoarece 8₀ = 1, rezultă că vârful are coordonatele (1,0). Observație. Dacă 8^ este o rădăcină de ordinul n a unității, atunci orice putere a sa este, de asemenea, rădăcină de ordinul n a unității. într-adevăr, din 8^ = 1 rezultă că oricare ar fi numărul întreg m, (s™ ) = ( 8^ = 1™ = 1. 8.1. Ecuații binome O ecuație de forma zⁿ-a = 0, (1) unde a este un număr complex, iar n > 2 un număr natural, se numește ecuație tnnoma. Pentru a rezolva ecuația binomă (1) vom scrie numărul complex a sub formă trigonometrică: a = r(cos t + i sin t) și ecuația (1) este echivalentă cu 123 z = r(cos / + i sin f). Deci rădăcinile ecuației (1) sunt rădăcinile de ordin n ale numărului complex a. Astfel, ecuația dată are n rădăcini distincte, date de zₖ ~cos t⁺ + *s^ⁿ f , k g {0, 1, 2, ..., n - 1}. k \ n n ) Exemplu Să se rezolve ecuațiile binome: a) z - 2 - 2i = 0; b) z⁴ + 1 = 0. R: a) Avem z³ = 2 + 2i = 272[ cos~ + isin^ I. Rădăcinile ecuației sunt: ^ + 2/01 4 • • 4 cos-¹——+i sin-¹—-— 3 3 , k g {0, 1, 2}, adică: z₍₎ 72fcos^- + isin^-\ z₂ = 72fcos^Ș- + i sin^^l = Tîfcos-^-isin-^f <4 4j <12 12) <12 12/ Pentru a calcula z₀ și z₂ avem cos — = și sin 12 _ 7n 1 p3 1^ De asemenea, avem cos— = ——----------- 12 72^2 2j ₗᵢᵣₘQᵣA , _ 73+ K -73-1 , _ , . rădăcinile ecuației date. b) Avem z⁴ = -1 = cos ti + i sin n. . . 771 și sin — 12 i, z₂ = - Rădăcinile ecuației date sunt zₖ = (2£ + 1)ti . (2/c + 1)ti . f . cos¹—-^-+isin-——k g {0, 1, 2, 3}. 4 4 ¹ ; Dând lui k valorile 0, 1, 2 și 3, obținem cele 4 rădăcini ale ecuației binome: z₀= Cos| + isin^ = ^(l + i); z, = cos^ +isin-y. = -^-(-l +i); z₂ = cos + i sin (-1 - i); z₃ = cos -Ș- + i sin -Ș- = (1 - i). 4 4 2 v ’ 4 4 2 v ⁷ 8.2. Ecuații bipătrate Forma generală a ecuațiilor bipătrate este: ax⁴ + bx² + c = 0, a, b, c e (E și a 0. (2) In cazul general, rezolvarea ecuației (2) se face astfel: se face substituția x² = y și obținem ecuația de gradul doi ay² + by + c = 0 (3) Ecuația (3) se numește rezolventa ecuației (2), iar rădăcinile ei sunt: _ -b + ^Ib² -4ac • _-b-ylb² -4ac y'~ 2a Șⁱy²~ 2a 124 Din egalitatea x² = y obținem ecuațiile x² = yi și x² = Ecuația x² = yₗ are -i- • -i i — b + yb²—4ac rădăcinile: x. --------- V la ⁺ ^ac . Ecuația x² = are rădăcinile: x-, =•>/—-—f ^a2; f) | z + i| > | z |; g) 1 < | z + i | < 4. Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația 2z = | z | + 2i. Să se determine mulțimea punctelor din planul xOy ale căror afixe z au proprietatea că numărul z² + z + 1 este real și pozitiv. Scriind numerele complexe Zj = 1 + iV3 , z₂ = 1 + i și z₃ = ~2i sub formă trigonometrică, să se calculeze produsul lor. Folosind formula lui Moivre, să se calculeze: / \6 / / xlO a) | cos-y-+ isin-7-| ; b) | cos-Ș-— isin-7-1 ; c) -cos^-+ isin^-l ; < 4 4j < 6 6) \ 4 4J d)(l+i)²⁵; e) (-1 + i)¹²; f) (Vă - i)\-1 + iVă)¹ 128 Folosind forma trigonometrică a numerelor complexe, să se calculeze: (l-<. n , ;\24 ’ x!8 1-i ] . .1 + iJÎ) a) b) Să se demonstreze că: a) (1 + i)" = 2²^cos^ +isin^^ ; b) (75^ i)" = 2"^cos^ + i^j , unde n este un număr întreg nenul. c_ . O + itgaY 1 + itgmx , Sa se demonstreze ca -—r-⁵— =-—r-²----------, unde oc (2k + 1)—, ^1-itgaJ 1-itgna 2 k e TL și n este un număr natural nenul. Să se calculeze (1 + cos a + i sin a)", n fiind număr natural nenul. Dacă z + — = 2 cos oc, să se calculeze z¹ + — , n fiind număr întreg nenul. zⁿ Să se arate că modulul numărului complex , unde a e IR, este 1. \-a\ Reciproc, să se arate că orice număr complex diferit de -1, de modul 1, poate fi scris în mod unic sub forma precedentă. Dar dacă a g C? 7T • • 71 Fie numerele complexe zₖ = cos —v- + 1 sin —r , unde k g {0, 1, ..., n}. Să se 2 2 calculeze produsul z₍}Z].. .zₙ. Să se calculeze rădăcinile de ordinele 3 și 4 ale numerelor -1, -i, 2 - 2i. Să se calculeze rădăcinile de ordinul 6 ale numerelor * și * ~ . V3+i l + iv3 Să se rezolve ecuațiile binome: a)z⁴-i = 0; b)z⁴-2 + 2i73 = 0 ; c)(2+ i)z³-3 + i = 0; d) (VJ- i)z⁴ -4i = 0. Să se rezolve ecuațiile bipătrate: a) x⁴-10x² + 9 = 0; c) x⁴ - (1+72 )x²+ 72 = 0; e) 6x⁴ - 5x² + 1 = 0; b) x⁴- 17x²+ 16 = 0; d) x⁴ - 4x² + 1 = 0; f) 32x⁴-12x²+1 = 0; Să se rezolve ecuațiile: a)z⁶ - 9z³ + 8 = 0; b) z⁸ - (1 + i)z⁴ + i = 0. Folosind forma trigonometrică a numerelor complexe, să se calculeze sumele: Si = cos t + cos2/ + ...+ cos nt', S₂ = sin / + sin 2t + ...+ sin nt (n e IN*). Să se demonstreze că dacă A\, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ sunt puncte oarecare în plan, âtunci A]A₄’A₂AAy4(, < A^^A^A^AyA^^ A₂A₃’A^A(yA\A₄ H⁻ Ay4₄’A\A(,'A2^5 +AiA₂’A$A₄’A$A6 F “i" AyA^'A^A^'AiA^. Fie zb z₂, z₃ afixele punctelor A\, A₂, A₃ astfel încât |zj = \z₂\ = |z₃| = 1. Să se demonstreze că ^^2^3 este triunghi echilateral dacă și numai dacăzj + z₂ + z₃ = 0. Fie Ai, A₂, A₃ trei puncte distincte având respectiv afixele zb z₂, z₃. Să se demonstreze că punctele A b A₂, A₃ sunt coliniare dacă și numai dacă —-¹ este număr real. z₃-zₓ 129 în practică, adesea, se ajunge la problema de a alege dintr-o mulțime oarecare submulțimi de elemente care posedă anumite proprietăți, de a dispune elementele uneia sau ale mai multor mulțimi într-o anumită ordine ș.a.m.d. De asemenea, poate apărea problema determinării numărului unor submulțimi ale unei mulțimi date. Pentru că în astfel de probleme este vorba de anumite combinații de ele- mente, ele se numesc probleme combinatorii. Domeniul matematicii în care se studiază astfel de probleme se numește combinatorică. Combinatorica poate fî considerată ca o parte a teoriei mulțimilor, orice problemă de combinatorică putând fi redusă la o problemă despre mulțimi finite și aplicații. Această ramură a matematicii are mare importanță pentru teoria probabili- tăților, cibernetică, logica matematică, teoria numerelor, precum și pentru alte ramuri ale științei și tehnicii. O metodă deosebit de utilă în rezolvarea proble- melor de combinatorică este metoda inducției matematice. Propozițiile (în sensul logicii matematice) pot fi clasificate în propoziții generale și propoziții particulare* Astfel, propozițiile: „în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor sale este egală cu 180°”, „Orice număr a cărui ultimă cifră este 0 sau 5 este divizibil cu 5”, care au un caracter general, sunt propoziții generale. însă propozițiile: „Suma măsurilor unghiurilor triunghiului ABC este egală cu 180°”, „Numerele 1980 și 1985 sunt divizibile cu 5” sunt propoziții particulare, respectiv, cazuri particulare ale propozițiilor generale de mai înainte. Procedeul prin care din propoziții generale se obțin propoziții particulare se numește deducție. Una din trăsăturile caracteristice matematicii și altor științe (de exemplu mecanicii teoretice, fizicii teoretice, lingvisticii matematice) este construcția deductivă a teoriei, prin care toate afirmațiile decurg, apelând la deducție, din câteva principii de bază numite axiome. Dar deducția nu este singura metodă de raționament științific. în același timp cu aceasta, în matematică se trece adesea de la propoziții particulare la propoziții generale, adică se fac raționamente inductive. Prin inducție se înțelege o metodă de raționament care conduce de la propoziții particulare la o oarecare propoziție generală. De fapt, după cum se observă din exemplele următoare, propozițiile generale reprezintă propoziții cu variabile (predicate), iar propozițiile particulare sunt propoziții în sensul paragrafului 1 din capitolul de logică matematică din manualul de clasa a IX-a. 130 Să dăm următorul exemplu: Să se calculeze sumele succesive de numere naturale impare: 1, 1 + 3, 1+3+ + 5, 1+3 + 5 +7, 1+3 + 5 + 7 + 9. Obținem, respectiv, numerele 1 = l², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5². Observăm că în toate cazurile considerate suma este egală cu pătratul numărului termenilor sumei. în mod natural, se poate presupune că această proprietate ar putea să aibă loc pentru orice astfel de sumă (având oricât de mulți termeni) Presupunerea (ipoteza) noastră se poate formula astfel: Pentru orice număr natural n 1, are loc egalitatea: 1 +3 + 5+ ... + (2n-l) = n². (1) Astfel cele cinci cazuri particulare ne-au sugerat o ipoteză care, după cum vom arăta în continuare, este adevărată. Aceasta se va demonstra prin metoda de raționament numită inducție matematică. Să notăm cu P{ri) egalitatea (1), pentru numărul natural n. Atunci, faptul că P(l), P(2), P(3), P(4), P(5) sunt adevărate, înseamnă că egalitatea (1) are loc respectiv pentru n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, după cum s-a arătat în paragraful precedent. întrucât P(5) este adevărată: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5², avem 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 5² + 2 • 5 + 1 = (5 + l)² = 6², adică este adevărată P(6). Astfel, am demonstrat că dacă P{5) este adevărată, rezultă că este adevărată P(6). Să demonstrăm, în același mod, că pentru un număr natural oarecare k >1, avem P{k) => P{k +1). Aceasta înseamnă că din egalitatea 1 + 3 + 5 + ... + {2k- 1) = să rezulte egalitatea 1 + 3 + 5+... + (2A:-l) + (2£+!) = (&+I)². într-adevăr, 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)] + + (2k+ l) = kⁱ + 2k + 1 = (k + l)². Astfel, egalitatea P{n) este adevărată pentru n = 1, iar din faptul că ea este adevărată pentru n = k, rezultă că ea este adevărată și pentru n = k + 1. Atunci P(l) => P(2), deoarece 2=1 + 1; P(2) => P{3\ deoarece 3 = 2+ 1; P(3) => P(4), deoarece 4 = 3+ 1; P(4) => P(5), deoarece 5 = 4+1 ș.a.m.d. Pare natural că în modul acesta se poate ajunge până la orice număr n, adică P{ri) este adevărată pentru orice n 1; deci raționamentul făcut pare convin- gător. Acest raționament este riguros din punct de vedere matematic, deoarece este un caz particular al unui principiu de bază al matematicii, numit principiul inducției matematice. Acesta se formulează astfel: Dacă o propoziție P{n), n fiind un număr natural, este adevărată pentru n= 0, și, din aceea că ea este adevărată pentru n = k {unde k este un număr natural oarecare) rezultă că ea este adevărată și pentru numărul natural n = k+ 1, atunci propoziția P(n) este adevărată pentru orice număr natural n. în aritmetică se pune în evidență că principiul inducției matematice constituite una din axiomele de bază ale aritmeticii numerelor naturale, având numeroase aplicații. Acest principiu ne dă metoda de demonstrație numită metoda inducției matematice. 131 Fie Pțn) o propoziție care depinde de un număr natural n m, m fiind un număr natural fixat. Demonstrația prin metoda inducției matematice a propoziției P(n), constă din două etape: 1° Se verifică, mai întâi că P(m) este adevărată. 2° Se presupune că P(k) este adevărată și se demonstrează că. P(k + 7) este adevărată, k fiind un număr natural m (adică P(k) => P(k + 1), k m). Dacă ambele etape ale demonstrației sunt verificate, atunci propoziția P(n) este adevărată pentru orice număr natural n m. Intuitiv, această metodă de demonstrație se justifică astfel: Din P(m) adevărată și P(k) =^> P(k + 7), pentru orice k > m, rezultă Pțm + 1) adevărată (k = m); apoi luând k = m + 1 se obține că P(m + 2) este adevărată ș.a.m.d. Raționând „din aproape în aproape” deducem că propoziția Pțn) este adevărată pentru orice număr natural n ^m. Metoda inducției matematice arată că egalitatea (1) este adevărată pentru orice număr natural n > 1, deoarece ea este adevărată pentru n = 1, și din P(k) rezultă P(k + 1), pentru k > 1. Observații. 1) Dacă se cere să demonstrăm că propoziția Pțn) este adevărată pentru orice n m, m fiind un număr natural fixat, prima etapă a demonstrației prin inducție matematică constă în verificarea faptului că Pțn) este adevărată pentru n = m și nu pentru alt număr natural. Este posibil ca pentru numerele naturale mai mici decât m propoziția să fie falsă, sau să nu aibă sens. 2 ) Cele două etape ale demonstrației prin metoda inducției matematice sunt la fel de importante. Nu înseamnă că prima etapă este mai puțin importantă decât a doua. Iată un exemplu care arată la ce concluzie absurdă se poate ajunge, dacă se omite prima etapă a demonstrației prin inducție matematică. Să considerăm propoziția P(n\. „Orice număr natural n este egal cu succesorul său”. Să presupunem că P(k) este adevărată, k fiind un număr natural, adică k = k + 1. Adunând 1 la fiecare membru al egalității k = k + 1, rezultă k + 1 - k + 2, adică P(k + 1) este adevărată. Etapa a doua a demonstrației a fost efectuată, totuși propoziția nu este adevărată. într-adevăr, pentru n = 0, Pțn) nu este adevărată, deoarece 0 * 1, și deci prima etapă a demonstrației prin inducție matematică ne spune că P(n) este falsă. Metoda inducției matematice are o largă utilizare în matematică. Ea poate fi folosită la calcularea de sume și produse, la demonstrarea unor egalități și inegalități, în probleme de divizibilitate a numerelor. în continuare o vom utiliza doar pentru demonstrarea unor egalități. Exemplu Să se calculeze suma ¹ ¹ ¹ ¹ l-2 ⁺ 2- 3 ⁺ 3- 4⁺'" ⁺ n(n + 1) pentru orice număr natural n 1. Soluție. Notăm această sumă cu Sₙ. Ca să stabilim expresia sumei Sₙ, calculăm suma în câteva cazuri particulare: 5j, S₂, S₃, S₄. Considerând aceste numere formulăm ipoteza și după aceea pentru demonstrarea ei folosim metoda inducției matematice. 132 1-2 2’ 5₂ $3 S₄ ----1----— 5*, h---—----1----— — 1-2 2-3 2-3’2 2-3 3 ----_| _] 2-2-2-3--3-4 -------— 5*3 h — —i 4-5----³ 4-5 4 4-5 4 5’ Cercetând aceste sume observăm că numărătorul este indicele sumei căutate, iar numitorul este succesorul său. în acest mod, formulăm următoarea ipoteză: Pentru orice număr natural n 1, are loc egalitatea: 111 1 n 1-2 2-3 3-4 n\n + 1) n + 1 v ⁷ Să notăm cu P(n) egalitatea (2), pentru numărul n. Demonstrăm că P(n) este adevărată prin metoda inducției matematice. 1° P(l) este adevărată, deoarece 5, = — = —-—. 2 1 + 1 2° Demonstrăm că P(k) => P(k +1): „ _J_ 1 1 1 1 k ⁺ ' l-2 ⁺ 2- 3 ⁺ 3- 4⁺ ⁺ k(k + 1) ⁺ (k + l)(/t + 2) _ 1 _ k 1 _ + + 2£ + 1 _ k ⁺ (k + lX>t + 2) “ k + 1 ⁺ (k + lX>t + 2) ~ (k + lX>t + 2) ~ _ k + 1 _ k + 1 “ k + 2_ (k +1)+r Ambele etape ale demonstrației prin metoda inducției matematice sunt verificate. Prin urmare egalitatea (2) este demonstrată și deci 111 1 n 1-2 2-3 3-4 n(n + 1) n + 1 pentru orice număr natural n 1, Observație. Suma poate fi calculată și în modul următor: Termenul general al sumei este —r care se scrie astfel —r =—------—, k{k + i] k^k + i) k k + 1 unde 1 ^k^n. Dând valori lui k de la 1 la n, avem ! 1 1 1 p p p p p p p 1 "l-2⁺2-3⁺3- 4⁺"⁺ n(n + l)~lj 2/1^2 3J ⁺ ^3 4j⁺" ⁺ ^w n + \) Reducem termenii asemenea și obținem: 1 n+1 n+1 Numărul funcțiilor definite pe o mulțime finită cu valori într-o mulțime finită Fie A o mulțime nevidă. Se spune că A este o mulțime finită dacă există un număr natural n > 1 și o funcție bijectivă de la A la mulțimea {1, 2, ..., n}. Se observă că numărul n este unic determinat de A și se spune că mulțimea A are n elemente. Vom nota prin |^4| numărul elementelor mulțimii A și-1 vom mai numi cardinalul mulțimii A. Convenim să considerăm că mulțimea vidă este finită și are 0 (zero) elemente, adică |0| = 0. Vom determina în continuare numărul funcțiilor de la o mulțime finită A la o mulțime finită B. în acest sens, avem rezultatul următor: Fie A și B mulțimi finite astfel încât /A/ = m și /B/ = n. Atunci numărul funcțiilor de la mulțimea A la mulțimea B este nm. Demonstrație. Demonstrăm prin metoda inducției matematice, după m = |/4|, că numărul funcțiilor de la A la B este nm. Fie P(m) propoziția: Numărul funcțiilor de la o mulțime cu m elemente la o mulțime cu n elemente este nm. 1° P(l) este adevărată deoarece evident de la o mulțime cu un element într-o mulțime cu n elemente sunt n = n{ funcții. 2° Să arătăm că P(k) => P(k + 1). Fie A' o mulțime astfel încât |^j = k + 1. Dacă a e A' și A" = Ar ă {a}, atunci \A' j = k și cum P(k) este adevărată, rezultă că numărul funcțiilor de la A" la B este nk. Dacă f\ A" -> B este o funcție oarecare, atunci pentru orice b e B definim fₕ\ A! —> B, prin fₕ(x) =J(x\ oricare ar fi x g A" și ffd) = b. Cum b e B și |B| = n, rezultă că pentru orice funcție de la A" la B se obțin n funcții de la A’ la B. Mai mult, toate funcțiile de la A’ la B sunt de acest tip. deci numărul funcțiilor de la A' la B este nk • n = nk⁺[. Conform metodei inducției matematice, afirmația este adevărată. Exemplu Fie A o mulțime finită astfel încât |J| = n. Este clar că mulțimea A x A are n • n = n¹ elemente. Conform teoremei precedente, rezultă că numărul funcțiilor definite pe A x A cu valori în A este n"¹. Exerciții Folosind metoda inducției matematice, să se demonstreze că pentru orice număr natural nenul n, sunt adevărate egalitățile: .>1+2 + 3 + ., b) I■ + 2‘ + 3‘ + ... + „■ ■ ⁴ ’X²" ⁺ 6 . .7 n2 /-2 in +\2 1) c) l² + 3² + 5² + ... + (2n- 1) = 3 134 JX 2 /„ „v 4n(2/î - lX2n + 1) d) 2² + 6² + ... + (4/7 - 2)- = —i---------- _ . „ _ „ / ,\ mn + 1X/7 + 2) f) 1 • 2 + 2- 3 +... + n\n + 1) = Să se demonstreze că: ₓ 1 1 1 1 77 1-4 4-7 7-10 (3/7 - 2X3/7 + 1) 3/7 + 1 1 * 1 1 1 /7 1- 5 ⁺5- 9 ⁺ 9- 13 ⁺ ■" ⁺ (4/7 - 3X4/7 + 1) ~4z? + 1’ 1 2² 3² /7² ₌ n(n + 1) C⁾ 1- 3 ⁺ 3- 5 ⁺ 5- 7 ⁺ "■ ⁺ (2/7 - 1X2/7 + 1) " 2/7 + 1 ' Să se demonstreze că: 7 7 7 7 1 1-8 8-15 15-22 (7/7 - 6X7/7 + 1) 7/7 + 1 b) ¹ ¹ 1 1 1 _ 1 4- 8 ⁺ 8- 12 ⁺ 12- 6 ⁺ ⁺ 4n(4n + 4) ⁺ 16(n + 1) “ 16' Se consideră adesea mulțimi ale căror elemente sunt aranjate într-o ordine determinată. De exemplu, alfabetul este o mulțime ale cărei elemente (litere) sunt date într-o anumită ordine. Astfel, cele 31 litere ale alfabetului românesc sunt aranjate, de obicei, în următoarea ordine: a este prima (nu urmează după altă literă), ă este a doua (urmează după prima), â este a treia (urmează după a doua) ș.a.m.d. până la z care este ultima (după care nu mai urmează nici o literă). Elementele aceleiași mulțmi se pot da și într-o altă ordine. De exemplu, este posibil ca literele alfabetului să fie aranjate într-o ordine inversă celei dintâi, astfel: prima literă să fie socotită z, a doua să fiey ș.a.m.d. până la ultima, a 3 l-a literă, a. Sunt, evident, și alte moduri de aranjare a literelor alfabetului. Spunem că o mulțime împreună cu o ordine bine determinată de dispunere a elementelor sale este o mulțime ordonată. Mai precis: Fie A o mulțime (finită) care are n elemente. Mulțimea A se numește ordonată dacă fiecărui element al său i se asociază un anumit număr de la 1 la n, numit rangul elementului, astfel încât la elemente diferite ale lui A corespund numere diferite. Această asociere exprimă, mai exact, tocmai ordinea elementelor mulțimii A. Astfel, ordinea este următoarea: elementul căruia i se asociază numărul 1, elementul căruia i se asociază numărul 2, ..., elementul căruia i se asociază numărul n. 135 Observăm că orice mulțime finită poate deveni o mulțime ordonată, adică se poate ordona. Această ordine se poate da, pur și simplu, numerotând elementele mulțimii. Mulțimea ordonată obținută o notăm cu (ab a₂, ..., a-fi, unde ordinea elementelor este dată de indici. O mulțime ordonată este caracterizată prin elementele din care este formată și prin ordinea în care sunt considerate acestea. în consecință, două mulțimi ordonate sunt diferite dacă ele se deosebesc fie prin elementele din care sunt formate, fie prin ordinea lor. în exemplul de mai sus am considerat, așadar, două mulțimi ordonate diferite. Un alt exemplu de mulțimi ordonate diferite este următorul: (1, 2, 3) și (2, 1, 3). Mulțimile au aceleași elemente, dar ordinea în care acestea sunt dispuse este diferită în cele două mulțimi. Astfel, în prima mulțime 1 este pe primul loc, 2 pe locul al doilea, iar 3 pe locul al treilea, în timp ce, în a doua mulțime 2 este pe primul loc, 1 pe al doilea, iar 3 pe al treilea. Fie A o mulțime (finită) cu n elemente. Această mulțime se poate ordona în mai multe moduri. Se obțin, astfel, mulțimi ordonate diferite, care se deosebesc între ele numai prin ordinea elementelor. Dacă A este o mulțime cu n elemente, fiecare din mulțimile ordonate care se formează cu cele n elemente ale mulțimii A se numește permutare a acestei mulțimi. Se mai spune că este o permutare a elementelor sale sau, încă, o permutare de n elemente. Numărul permutărilor de n elemente se notează cu Pₙ și se citește „permutări de n\ Avem: 1. O mulțime cu un singur element poate fi ordonată într-un singur mod, deci P\ = 1. 2. O mulțime cu două elemente A = {a, b} poate fi ordonată în două moduri. Se obțin două permutări: (a, b) și (b, a). Deci P₂ = 2 = 1 • 2. 3. Fie o mulțime cu trei elemente A = {a, b, c}. Permutările acestei mulțimi sunt: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Rezultă P₃ = 6 = 1 • 2 • 3. Ne propunem, în continuare, să găsim numărul permutărilor unei mulțimi date, adică numărul modurilor în care poate să fie ordonată o mulțime dată. Pentru produsul primelor n numere naturale nenule se folosește, de obicei, notația n\ care se citește „n factorial”: 1 -2-3 • ... -n = n\ în ceea ce privește numărul permutărilor, avem: Teorema 1. Dacă n > 1 este număr natural, atunci Pₙ = n\ (1) 136 Demonstrație. Vom demonstra teorema prin metoda inducției matematice. Să notăm cu P(n) egalitatea (1). 1. P(l) este adevărată, deoarece am observat mai înainte că = 1 = 1!. 2. Să arătăm că P(k) => P(k + 1). Să ordonăm în toate modurile posibile o mulțime cu k + 1 elemente. Oricare din cele k + 1 elemente ale mulțimii poate ocupa ultimul loc, al (k + l)-lea. Se obțin astfel k + 1 moduri diferite de a ocupa ultimul loc. Să considerăm unul din ele, în care un element ales al mulțimii va avea rangul k + 1. Elementele rămase, care sunt în număr de k, trebuie să ocupe primele k locuri, iar aceasta se poate face în Pₖ moduri diferite. Se obțin, așadar, (k + l)/\ moduri de a ordona o mulțime care are k + 1 elemente. Deci Pₖ+\ = (A + 1) Pₖ . Dar cum P(k) este adevărată, avem Pₖ = k\ de unde Pₖ+\ = (k + 1)£! = (k + 1)! Conform metodei inducției matematice, teorema este demonstrată. Convenim să considerăm că mulțimea vidă poate fi ordonată într-un singur mod, adică Pₒ = 1. Deci definim 0! = 1. Exemple 1. Să dăm în tabelul următor valorile lui zd, pentru 1 < n < 10. n n\ n n\ 1 1 6 720 2 2 7 5 040 3 6 8 40 320 4 24 9 362 880 5 120 10 3 628 800 2. Câte numere diferite se pot forma din cifrele: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 astfel încât orice număr să conțină toate cifrele și doar o singură dată fiecare cifră? R: Din numărul mulțimilor ordonate care au ca elemente cele 10 cifre, trebuie să scădem pe cele care au pe primul loc cifra 0. Deci obținem: 10! - 9! = 9 • 9! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9² ³ = 3 2 6 5 9 20 numere. 3. în câte moduri poate fi ordonată mulțimea {1, 2, 3, ..., 2n} astfel încât fiecare număr par să aibă rang par? R: Fiind n locuri de rang par, rezultă că numerele pare de la 1 la 2n, care sunt tot în număr de n, se pot așeza pe locuri de rang par în n\ moduri. Fiecărui astfel de mod de aranjare a numerelor pare îi corespund n\ moduri de aranjare a numerelor impare pe locuri de rang impar. De aceea numărul total al permutărilor de tipul cerut este egal cu n\ • n\ = (h!)². 4.1. Fie dată o mulțime A cu n elemente. Dacă m < n, atunci se pot forma diferite mulțimi ordonate cu câte m elemente fiecare, în care intră numai elemente ale mulțimii A. De exemplu, din elementele mulțimii {a, b, c, d} se pot constitui 12 mulțimi ordonate, având câte două elemente fiecare: (a, b), (a, c\ (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b\ (c, d), (d, afi (d, b\ (d, c). Mulțimile ordonate care se formează cu elementele unei submulțimi oarecare a unei mulțimi finite A se numesc submulțimi ordonate ale lui A sau aranjamente. Mai precis: Dacă A este o mulțime cu n elemente, atunci fiecare submulțime ordonată a lui A, având k elemente, unde 0 < k < n, se numește aranjament de n elemente luate câte k. Observăm că două aranjamente de n elemente luate câte k se deosebesc prin natura elementelor ori prin ordinea lor. Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k se notează Ak și se citește „aranjamente de n luate câte k”. Din exemplul de mai înainte rezultă: 4 = 12- Ne propunem, în continuare, să găsim o formulă pentru calculul numărului Ak. Observăm că A\ = n. într-adevăr, un element din cele n elemente poate fi ales în n moduri, iar cu acest element ales se formează o singură mulțime ordonată. Formula care exprimă Ak în funcție de n și k, este dată de următoarea teoremă: Teorema 2. Dacă n și k sunt numere naturale astfel încât 0 < k < n, atunci: Ak = n(n-V)(n-2) ... (n-k + 1). (1) Demonstrație. Să arătăm mai întâi că Ak⁺{ = (n - k) A* . într-adevăr, ca să repartizăm oricare k + 1 elemente, luate din n elemente date, pe k + 1 locuri, se pot lua mai întâi oricare k elemente și aranja pe primele k locuri. Aceasta se poate face în Ak moduri. în fiecare din aceste cazuri rămân (n - k) elemente. Oricare din aceste elemente se poate pune pe al (k + 1 )-lea loc. Astfel, în fiecare din cele Ak moduri de aranjare a elementelor pe primele k locuri, obținem (n - k) posibilități prin care al (k + l)-lea loc este ocupat de unul din cele (n - k) elemente rămase. Prin urmare, avem Ak⁺[ = (n-k) . 138 Având în vedere că Alₙ = n, deducem succesiv: A^ = n(n—A³ = n(n — l) (n— 2), Ak = n(n—l)(n — 2) ... (n — k + 1). Să dăm o altă formă formulei (1). Produsul n(n - 1) ... (n - k + 1) se poate scrie sub forma: n(n - 1) ... (n - k + 1)(h -k) ... 2-1 (n — k) ...2-1 ⁵ adică sub forma ---. Deci (n - ky Pentru k = 0, formula (2) dă 4=i. Acest lucru este adevărat deoarece orice mulțime conține mulțimea vidă, despre care am convenit s-o considerăm ordonată într-un singur mod. Pentru k= n, formula (2) dă A" = n\ = Pₙ. n n Așadar, formulele (1) și (2) sunt adevărate pentru orice k, astfel încât 0 < k < n. Exemple 1. în câte moduri pot fi așezați 4 elevi pe 25 de locuri? R: Numărul căutat este egal cu: 4₅ = 25 ■ 24 • 23 ■ 22 = 303 600. 2. Câte numere naturale diferite se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, dacă în fiecare astfel de număr orice cifră intră cel mult o dată. R: Cu 5 cifre se pot forma A^ = 5! aranjamente diferite. Dar aranja- mentele care încep cu 0, în număr de A* , dau numere de 4 cifre. Așadar sunt 4~4 = 5-4-3-2 - 1-4-3-2- 1 = 96 numere cu 5 cifre. Numărul numerelor cu 4 cifre care se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, este egal cu A^ , din care scădem numărul aranjamentelor care încep cu 0, care este egal cu 4. Deci numere cu 4 cifre sunt în număr de 4-4 = 5 • 4 • 3 • 2-4 • 3 • 2 = 96. în mod analog, numărul numerelor diferite de 3 cifre, 2 cifre și o cifră va fi, respectiv: Af - A^ = 48, 4“X ⁼ 16 și 4 = 4. Deci se pot forma 260 numere. * 139 4.2. Aplicație la numărul funcțiilor injective și bijective Să notăm Nₘ = {1, 2, ..., m}. Să presupunem că B este o mulțime cu n elemente (m B îi corespunde o submulțime ordonată a lui B, care este formată din elementele b\ = f (1), b^ = f (2), bₘ = f (m) (toate aceste elemente sunt diferite între ele, după injectivitatea funcției f). Invers, fiecare submulțime ordonată, având m elemente, a lui B, definește o funcție injectivă/de la Nₘ la B, prin care/(k) = b^ Este clar că în loc de Nₘ se poate lua orice mulțime A cu m elemente. Astfel, numărul funcțiilor injective definite pe o mulțime A cu m elemente cu valori într-o mulțime B cu n elemente (m < n), este egal cu numărul submulțimilor ordonate, având câte m elemente, ale lui B, adică cu A™. Dacă m = n, adică A și B au același număr n de elemente, atunci orice funcție/: A —> B care este injectivă, este neapărat bijectivă. Rămâne de arătat că f este surjectivă. Să presupunem prin absurd că / nu este surjectivă. Deoarece/este injectivă, adică la elemente diferite din mulțimea A corespund prin/ elemente diferite din mulțimea B, rezultă că mulțimea/(A) = = {/(x) | x e A} are n elemente. Deoarece/nu este surjectivă, există un element b e B astfel încât f (a) b pentru orice a g A. Deci b f (A) și astfel/(A) are mai puțin de n elemente; contradicție. Această contradicție arată că / este neapărat surjectivă. Deci/ este injectivă și surjectivă, adică este bijectivă. Având în vedere cele de mai sus, rezultă că numărul funcțiilor bijective definite pe o mulțime A cu n elemente cu valori într-o mulțime B tot cu n elemente este egal cu A” = Pₙ, adică n\. în particular, dacă A = B, rezultă că numărul funcțiilor bijective definite pe o mulțime cu n elemente cu valori în ea însăși este egal cu numărul permutărilor mulțimii A, adică Pₙ = nL Din acest motiv, de obicei, o funcție bijectivă definită pe q mulțime cu valori în ea însăși se numește permutare a acestei mulțimi. 5.1. Fie mulțimea A = {a, b, c} și să considerăm toare submulțimile sale. Acestea sunt: 1) mulțimea vidă: 0; 2) subnjulțimi având fiecare câte un element: {a}, {b}, {c}; 3) submulțimi având fiecare câte două elemente: {a, b}, {a, c}, {b, c}; 4) mulțimea totală: {a, b, c}. Așadar, mulțimea A = {a, b, c} are opt submulțimi, dintre care: trei submulțimi cu câte un element, trei submulțimi cu câte două elemente, o submulțime cu trei elemente și mulțimea vidă. 140 în continuare vom rezolva următoarea problemă: Fiind dată o mulțime finită cu n elemente, să se calculeze numărul submulțimilor sale având fiecare câte k elemente. Dacă A este o mulțime cu n elemente, atunci fiecare submulțime a lui A având k elemente, unde 0 < k < n, se numește combinare de n elemente luate câte k. Numărul combinărilor de n elemente luate câte k se notează Ck și se citește „combinări de n luate câte k” *. Din exemplul de mai înainte, rezultă: = 1, C] = 3, C] = 3, C} = 1, iar Cf + Cj + Cl + Cl = 8 = 2J (acesta este numărul tuturor submulțimilor mulțimii {a, b, c}). Ne propunem în continuare să găsim o formulă pentru calculul numărului Ck . Observăm că C^ = 1, deoarece fiecare mulțime A are numai o submulțime tară nici un element, și anume mulțimea vidă. Apoi, C[ₙ = n deoarece o mulțime cu n elemente A = {a\, a^, ..., aₙ} are exact n submulțimi cu un singur element, adică submulțimile de forma {a\}, {a₂}, {#„}. Formula care exprimă Ck în funcție de n și k este dată de următoarea teoremă: Teorema 3. Dacă n și k sunt numere naturale astfel încât 0 < k < n, atunci: ck ₌ n\ _n{n-\) ... (n-k + Y) ⁿ k\(n-k}\ k\ ‘ Demonstrație. Fie A o mulțime de n elemente. Să considerăm toate submulțimile mulțimii A care au k elemente. Ordonăm fiecare dintre aceste submulțimi în toate modurile posibile. Obținem astfel toate submulțimile ordo- nate ale lui A care au câte k elemente. Numărul lor, după cum știm, este Ak . Dar cum numărul tuturor submulțimilor lui A având k elemente este egal cu Ck , iar fiecare din acestea se pot ordona în Pₖ moduri, rezultă că A l = Ck • Pₖ. Din k A k această egalitate rezultă că: Cₙ = -2_"_. P k înlocuind în această formulă expresiile Ak„ = -—Pk obținem: (n-k)\ Ck = ” k\(n-k)C . n(n — X) ... (n — k + 1) ceea ce se mai poate scrie Cₙ = —-----—-----------. 95 • 94 • 99 • 99 De exemplu, C₂⁴₅ = ₄ = 25 • 23 • 22 = 12 650. * i k । Numărul C„ se mai notează ⁿ \ n I 141 Exemple 1. în câte moduri se poate alcătui o comisie formată din 5 membri aleși din 9 persoane? R: Pentru a avea toate cazurile posibile, trebuie să considerăm toate submulțimile, formate din 5 elemente, ale unei mulțimi formate din 9 elemente. Numărul căutat este 2. La un turneu de șah au participat n șahiști și fiecare 2 șahiști s-au întâlnit o dată. Câte partide s-au jucat în turneu? R: Numărul partidelor este egal cu numărul submulțimilor formate din câte două elemente ale unei mulțimi cu n elemente, adică ᵣ2 _ n(n - 1) 2 ’ 3. Să se găsească numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi. R: Vârfurile poligonului formează o mulțime de n puncte în plan, necoli- niare câte 3. Numărul diagonalelor și al laturilor poligonului este egal cu numărul submulțimilor formate din câte două elemente ale unei mulțimi cu n elemente, adică C2 = n(n - 1) ⁿ 2 ’ Scăzând cele n laturi din acest număr, obținem: n(n -1) ₌n(n-3) 2 2 ’ care reprezintă numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi. 4. în câte puncte se intersectează diagonalele unui poligon convex cu n laturi, dacă oricare trei dintre ele nu sunt concurente? R: Fiecărui punct de intersecție a două diagonale îi corespund 4 vârfuri ale poligonului, iar la oricare 4 vârfuri ale poligonului le corespunde un punct de intersecție (punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului cu vârfurile în cele 4 puncte). De aceea, numărul tuturor punctelor de intersecție este egal cu numărul posibilităților de a alege 4 vârfuri din cele n vârfuri, adică: ^4 _ n(n - 1)(tî - 2)(h - 3) _ n(n - l)(n - 2)(/7 - 3) ¹¹ ~ 1-2-3-4 " 24 ' 5.2. Câteva proprietăți ale numerelor C* Numerele C„ au o serie de proprietăți importante. Ele exprimă diferite relații între submulțimile unei mulțimi. Aceste proprietăți se pot demonstra direct din formula pentru C* . Mai instructive sunt, însă, demonstrațiile bazate pe raționa- mente cu mulțimi. 142 1° Formula combinărilor complementare. Dacă O < k < n, atunci este adevărată egalitatea: ck = cⁿ-k. (1) Demonstrație. Cu ajutorul formulei pentru Ck , avem: Ck = ⁷⁷ • - - cⁿ~k " kl(n-k)l (n - k)\[n - (n - k)\\ " ' Sensul acestei afirmații este următorul: fie A o mulțime cu n elemente. Fiecărei submulțimi X cu k elemente a lui A îi asociem o submulțime bine determinată, cu (n- k) elemente, a mulțimii A, și anume CX (complementara lui X). Prin această asociere, unei submulțimi cu (n - k) elemente îi corespunde o singură submulțime cu k elemente. Așadar, numărul submulțimilor cu k elemen- te ale lui A este egal cu numărul submulțimilor sale cu (n - k) elemente. Această afirmație se exprimă, de altfel, prin egalitatea (1). 2° Pentru orice număr natural n> 0 este adevărată egalitatea C{^C'ₙ+C^ +...+c;,=2ⁿ. (2) Demonstrație. Suma din membrul stâng al egalității reprezintă tocmai numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente. Egalitatea (2) rezultă din teorema următoare: Teorema 4. Numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi formate din n elemente este egal cu 2". Demonstrație. Vom demonstra prin metoda inducției matematice. Să notăm cu P(ri) afirmația teoremei. 1) Afirmația P(n) este adevărată pentru n = 0, deoarece mulțimea vidă are o singură submulțime, și anume ea însăși; 2) Să demonstrăm că P(k) => P(k + 1), adică din aceea că o mulțime formată din k elemente are 2k submulțimi rezultă că o mulțime formată din k+ 1 elemente are 2*⁺¹ submulțimi. Fie o mulțime B formată din k + 1 elemente: B= {b{, b^ ..., bₖ, bₖ+\} și fie următoarea submulțime a lui B\ B’= {b\,b^ ...,bₖ} Cum P(k) este adevărată, rezultă că B' are 2k submulțimi. Din fiecare sub- mulțime a lui B’ se obține o nouă submulțime a lui B prin adăugarea elementului bₖ+\, deci se obțin astfel încă 2k submulțimi ale lui B. în total sunt deci 2k + 2k = 2k⁺{ submulțimi ale mulțimii B. Conform metodei inducției matematice, teorema este demonstrată. 3° Formula de recurență pentru calculul numărului de combinări Pentru orice n și k astfel încât 0 < k < n, este adevărată egalitatea: (3) 143 Demonstrație. Cu ajutorul formulei pentru , avem: ₌ (^ - 1)! ₌ (n-\y\n-k) ⁿ~} k\(n-k-\y kl(n-ky. ’ ₌ (n-iy ₌ (h-1)!£ "-¹ (k-iy.(n-ky k\(n-ky.' înlocuind aceste valori în partea din dreapta a formulei (3), obținem: r⁷' + = {n-\yțn-k) (n - l)!^ ₌ (n - l)!(n - k + k) ₌ ₙ\ ₌ ck. k\(n-ky k\(n-ky k\(n-ky k\{n-ky Egalitatea (3) este demonstrată. Să dăm o altă demonstrație formulei (3) făcând un raționament cu mulțimi. Să considerăm un element oarecare a al unei mulțimi A formată din n elemente și toate submulțimile mulțimii A, formate din câte k elemente. Numărul acestor submulțimi este egal cu C*. Submulțimile cu k elemente ale lui A le împărțim în două clase (disjuncte): submulțimi care conțin pe a și submulțimi care nu conțin pe a. Numărul submulțimilor din prima clasă este egal cu , deoarece fiecare astfel de submulțime se obține prin adăugarea elementului a. la o submulțime oarecare cu (k -1) elemente, a mulțimii A - {a}. Numărul submulțimilor din a doua clasă este egal cu , deoarece fiecare astfel de submulțime este o submulțime cu k elemen- te, a mulțimii A - {a}. Deci: 4° Triunghiul lui Pascal* Formula (3) a punctului precedent permite să calculăm dₙ, știind și . Cu ajutorul ei se pot calcula succesiv numerele C*, mai întâi pentru n = 0, apoi pentru n = 1, pentru n = 2 ș.a.m.d. Valorile numerelor dₙ le scriem sub forma unui tabel triunghiular care se numește triunghiul lui Pascal'. 1 n = 0 1 1 n = 1 1 2 1 n = 2 1 3 3 1 n = 3 1 4 6 4 1 n = 4 1 5 10 10 5 1 n = 5 în linia a (n + l)-a a tabelului sunt așezate în ordine numerele C^, C\ C²ₙ,...,C’. Avem C^C„=\, iar numerele rămase se calculează cu ajutorul formulei de recurență. * Blaise Pascal (1623-1662), matematician francez. 144 întrucât numerele și Cjj sunt dispuse în acest tabel în linia precedentă celei în care se găsește Cj, la stânga și la dreapta acestuia, atunci pentru a obține C* adunăm numerele din linia precedentă care se găsesc la stânga și la dreapta sa. De exemplu, numărul 10 din linia a șasea se obține adunând numerele 4 și 6 din linia precedentă. 5.3. O interpretare geometrică pentru numerele . Fie numerele naturale n și k astfel încât 0 < k < n. în continuare se va da o interpretare geometrică a numărului . Fie planul xOy și punctul M(k, n - k). Notăm cu M' și M" punctele de coordonate (k, 0), respectiv (0, n - k). Realizăm rețeaua din fig. 1, cu pătrate de latură 1 (adică un caroiaj al dreptunghiului OMMM” cu pătrate de latură 1). Acestea sunt în număr de k- (n- k). Vârfurile celor k - (n-k) pătrate se numesc nodurile rețelei. Numim drum pe rețea o linie frântă care unește două noduri oarecare ale rețelei și este formată din laturi succesive ale pătratelor rețelei. Se pune problema determinării numărului drumurilor pe rețea minimale (cele mai scurte) care unesc punctul <9(0, 0) cu punctul M(k, n - k). Se observă că un drum pe rețea minimal care unește O cu M este format din k + (n - k) = n segmente (de lungime 1), dintre care k segmente orizontale și (n - k) segmente verticale. Drumurile diferă între ele doar prin ordinea de succesiune a segmentelor orizontale și verticale. De aceea, numărul tuturor acestor drumuri este egal cu numărul tuturor posibilităților prin care din n segmente se pot alege k seg- mente orizontale, adică C*. Remarcăm că n este suma coordonatelor punctului M. S-ar putea considera numărul posibilităților de alegere a (n - k) segmente verticale din cele n segmente și atunci obținem numărul C'~k. Astfel, am stabilit geometric formula combinărilor complementare: C?ₙ = Cₙ k. Să demonstrăm în același fel formula de recurență pentru calculul numărului de combinări. Să considerăm rețeaua din figura 2, pe care figurăm punctele M\(k, n-k - 1) și M₂(k - 1, n - k). Rezultă că numărul tuturor drumurilor minimale care unesc 0(0, 0) cu M(k, n-k) este C^. Toate aceste drumuri le împărțim în două clase (disjuncte): drumuri care trec prin punctul M\ și drumuri care trec prin punctul M₂. 145 Cum suma coordonatelor fiecăruia dintre punctele M\ și M₂ este n - 1, rezultă că numărul drumurilor care trec prin M\ este , iar numărul drumurilor care trec prin M₂ este , de unde rezultă: n “ ^n- ,k-\ n-\ ‘ Permutări Din elementele mulțimii A să se formeze toate permutările posibile, dacă: a) ^={2}; c)^ = {a, P,y}; b)^= {4, 5}; d)A={a, b, c, d}. Să se simplifice expresiile: a) 6! +7!; n! d) (n-2)!’ b)9! -8!; e)^; > (n-5)!’ x 213! f)±__L_. C) 210! ’ 7 nl (w + 2)! Să se rezolve ecuațiile: («±2)!_ nl . 12n! . J___1 _ n3 a) „! 7- b) <«-4)! ’ (n-2)!’ ’ nl (n + 1)! (n + 2)!' Să se rezolve inecuațiile: a) < 72; b) —^±2^— < 1 000. ⁷ (n-3)! ⁷ (n + l)(n + 2) în câte moduri se pot așeza pe un raft patru cărți? Un tren de persoane are zece vagoane. în câte moduri pot fi așezate vagoanele pentru formarea trenului? în câte moduri poate fi ordonată mulțimea {1,2, ..., n} astfel încât numerele 1, 2, 3 să stea la rând și în ordine crescătoare? Fie dată o mulțime A cu m elemente și o mulțime B cu n elemente. Să se găsească numărul de permutări al mulțimii A u B, astfel încât primul element al unei astfel de permutări să fie din A, iar ultimul să fie dinB,Ar\B= 0. Câte elemente trebuie să conțină o mulțime, astfel încât numărul permutărilor acestei mulțimi să fie cuprins între 500 și 1 000? Din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5 se formează toate numerele cu șase cifre astfel încât în fiecare număr să nu fie cifre identice. Câte numere se pot obține? în câte moduri pot fi așezate n persoane la o masă circulară? Aranjamente Să se scrie toate aranjamentele de câte 4 elemente ale mulțimii {a, b, c, d, e}. 146 Câte numere naturale nenule diferite se pot forma cu cifrele 0, 1,2, 3, dacă în fiecare astfel de număr orice cifră intră cel mult o dată? O grupă de studenți trebuie să programeze patru examene în timp de 8 zile. In câte moduri se poate face aceasta? Dar dacă ultimul examen se va da în mod obligatoriu în ziua a opta? Cei treizeci de elevi ai unei clase au schimbat fotografii între ei. Câte fotografii au fost necesare? Să se calculeze: A* + A„ . Ak+J + A^ . (2n + 1)!< ’ ^-A^’ } A^-(2n-ky.' Să se afle n, dacă: J 10 J 8 / Q X | a) A5„ = 18 A* 2; b) " ~ " = 109; c) =132 4 4 (”-*)•' Știind că numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k este egal cu de p ori numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k - 2, să se găsească n. Combinări Să se scrie toate submulțimile mulțimii A și să se găsească numărul lor, dacă: a) ^={3,4}; b) A = {a, p,y, 5}. în câte moduri, din 30 elevi, poate fi ales un comitet format din 3 elevi? Fiind date n puncte, astfel încât oricare trei dintre ele nu sunt coliniare, să se găsească numărul dreptelor care se pot duce unind punctele două câte două. Câte numere de câte patru cifre se pot forma astfel încât în fiecare număr o cifră să fie mai mare decât precedenta? Dar dacă fiecare cifră este mai mică decât precedenta? în plan sunt date n puncte din care, în afară de k puncte care sunt situate pe aceeași dreaptă, oricare trei puncte nu sunt coliniare. Să se determine: a) Prin câte drepte se pot uni aceste puncte? b) Câte triunghiuri diferite, cu vârfurile în aceste puncte, există? în câte moduri se pot forma echipe de câte 4 elevi și un profesor, dacă sunt 20 elevi și 3 profesori? La 9 clase trebuie repartizați 3 profesori de matematică, fiecăruia repar-tizându- i-se câte 3 clase. în câte moduri se poate face repartizarea? Să se calculeze: a) 0 C^; 0 Ckn^, b) j\ ziO ^99 , f) c9 + c8 a7 c 100 + c100> V ^1() -1- e1(). Să se afle n, dacă: r4 _ 5n(n - 3). X ^4(/î+l) _y3 ) 6 ^4/7+9 - J7i4n+1 b)C>C^=«(«-2); d)C-3 = 543+fi. Se dă o mulțime A care are n elemente. împărțim toate submulțimile lui A în clase (disjuncte), punând în aceeași clasă toate submulțimile lui A care au același număr de elemente. Care din aceste clase este cea mai numeroasă? Să se rezolve inecuațiile: a) c)C₂V<^₍₁; b) c>c;; d)C²Ct₂ + 2Ctl + Ct-₂²; b) C* = + 3C^ + 3Ct₃² + Cî; x Ar) . X'lV C/ c₉ + C|₍₎ + Cj , + + C20 — C₂| . Din 11 persoane, dintre care 7 bărbați și 4 femei, se formează o delegație alcătuită din 5 persoane, dintre care cel puțin două femei. în câte moduri se poate forma această delegație? 6.1. Binomul lui Newton Dacă a și b sunt numere, sunt bine cunoscute formulele: (a + b)] = a + b (a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)³ = a³ +3a²b +3ab² + b³ De asemenea, se calculează fără dificultate (a. + d)⁴ = {a + b)² (a + b)² și (a + b)⁵ = (a + b)² (a + b)³ și se obține (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³/? + 6a² b² + 4a/?³ + b⁴, (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³/?² + 10a²/)³ + 5ab⁴ + b⁵. Coeficienții membrilor din dreapta ai acestor formule sunt egali cu nume- rele din linia corespunzătoare a triunghiului lui Pascal (vezi §4). Vom arăta că pentru orice număr natural n este adevărată formula (a + b)” = C^a" + C^a^'b + ... +C”’aⁿ~’”b'ⁿ + ... + C"b", (1) care se numește formula lui Newton. Membrul drept al egalității (1) se numește dezvoltarea binomului la. putere. 148 Vom demonstra formula (1) prin metoda inducției matematice. Notăm cu Pfi) egalitatea (1), pentru un n dat. 1) P(l) este adevărată, deoarece (a + b)' = a + b = C"a + C\b . 2) Rămâne să arătăm că pentru orice număr natural k > 1, avem P(k) => P(k + 1). Fie deci adevărată Pffifi adică: (a + b) — Cₖa + Cₖa b+ ... + Cₖa b + ... + Cₖb . Să arătăm că este adevărată P(k+ 1). într-adevăr, avem (a + bf’ = (a+ b)k(a + b) = (Cₖa + C'ₖak~'b + ... + Cₖak-mbm + ... +Ckbk)(a+ b) = = Cₖak⁺' +C'ₖakb+ ... +Cr^~mbm^ + ... +Ckₖabk+^akb + ... + C^ak-mbm⁺[ + ...+ + Ck-'a^ + Cₖbk⁺' =Cₖak⁺l +(Cf + Cₖ)^b+ ... +(Cₖ +Cₖ^~mb"^ + + (Ct⁻¹ +Ckₖ)abk +CₖbM. Deoarece CiO , ___ w+1 /^k ik s^k+\]k + \ (a+b) - Cₖ₊ₗa +Cₖ₊ₗabi...+Cₖ₊ₗa b + ...+CMab +Cₖ₊fi . Folosind metoda inducției matematice, urmează că P(ri) este adevărată pentru orice număr natural n. Formula lui Newton este astfel demonstrată. Exemplu (a + by = C^a⁶ + C^b + C²ab² + C^b³ + C⁴a²b⁴ + C³ab⁵ + C^b⁶ R: Avem: 4' = 1 = C:; C^=| = 6; C²=^ = 15, Cl=^ = 20. = C^ =15 (fiind combinări complementare). =C^ =6 (fiind combinări complementare). Deci: (a + b)⁶ = a + 6a⁵ b + 15a⁴b² + 20aW + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶. Coeficienții C^, C^, C^, ..., C" din formula lui Newton se numesc coeficienți binomiali. Aceștia sunt, evident, în număr de n + 1. Asupra formulei lui Newton facem câteva observații de bază. 1) în dezvoltarea (a + bfi după formula lui Newton, sunt n + 1 termeni (numărul termenilor fiind egal cu numărul coeficienților binomiali C^, C,’, C^, ..., C'⁷). 2) în formula lui Newton, exponenții puterilor lui a descresc de la n la 0, iar exponenții puterilor lui b cresc de la 0 la n. Suma exponenților puterilor lui a și lui b în orice termen al dezvoltării este egală cu n, adică este egală cu exponentul puterii binomului. 149 3) Coeficienții binomiali din dezvoltare egal depărtați de termenii extremi ai dezvoltării sunt egali între ei, deoarece C™ =C"~m (fiind combinări comple- mentare). 4) Dacă n este un număr par (adică n = 2k) atunci coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltării (adică Ck) este cel mai mare. Dacă n este impar (adică n = 2k + 1), atunci coeficienții binomiali ai celor doi termeni de Ia mijloc sunt egali între ei (adică C* = C*⁺¹) și sunt cei mai mari. 5) Termenul C^aⁿ~kbk, adică al (k + l)-lea termen din egalitatea (1), se numește termenul de rang (k + 1) și se notează cu Tₖ+ b Așadar, TM = Cka”~kb\ k=Q, 1,2, ...,h (2) Termenul 7^₊i se mai numește termenul general al dezvoltării, deoarece dând lui k valori de la 0 la n, găsim toți termenii dezvoltării. De exemplu, T\ = C/z" este primul termen, T₂ = C\aⁿ~}b este al doilea termen, T₃ = C²aⁿ~²b² este al treilea termen etc. Se poate stabili și o relație de recurență între termenii succesivi ai dezvoltării (1). Având în vedere că ^+i _ n-k pk k + \ rezultă că r _n-k n-kik b _n-k b " £ + 1 a £ + 1 a *⁺l Deci, Observație. Să se facă distincție între coeficientul unui termen al dezvoltării după formula lui Newton și coeficientul binomial al aceluiași termen. De exemplu, în dezvoltarea (a + 2b)⁴ = a⁴ + 8a³/? + 24a² b² + 32 ab³+ 16b⁴ coeficientul celui de-al patrulea termen al dezvoltării este 32, iar coeficientul său binomial este = 4. Exemple 1. Să se găsească termenul al cincilea al dezvoltării / r~ o I-------------------------------\IO R: Termenul căutat îl găsim folosind formula (2): i₅=Cₗ{}\x/xj Nx I =210x Vx . 150 2. Să se găsească rangul termenului general care conține pe x din dezvol- / /— 1 ^\¹² (32 1 /] tarea I vx ⁺yxi • R: Termenul căutat îl găsim folosind formula (2): Punem condiția ca în 7*₊i să apară x⁷, adică m x⁷. Deci 2(12—A) k 9/19 __ jL\ i x ³ x² = x⁷, de unde —-—-—- + = 7, care dă k= 6. / \Z7 3. Să se determine al 12-lea termen al dezvoltării x—X- , coeficientul \ v5x) binomial al celui de-al treilea termen fiind egal cu 105. R: Coeficientul binomial al termenului al treilea este C^. Avem = 105, adică - 105 , de unde n\ = 15 și n₂ = -14. Cum n este pozitiv, rezultă că n = 15. Deci T _( - r⁴yH ¹ - t⁵⁴4-1342 1 9_ 273 9 ²,² V ^15* - ci5* ₅2ₓ2- T2-3-4 5² 5 4. Să se găsească rangul celui mai mare termen în dezvoltarea (1 + O,l)¹⁽⁾o. R: După formula (3) rezultă = = -77. Avem că Tₖ₊ᵢ k +1 1 10(A +1) ~ 1 dacă și numai dacă k < 8 . Deci pentru k < 8, rezultă > 1, 10 (k + 1) 11 7^₊₁ T iar pentru k > 9, rezultă -7^ < 1. Așadar, termenii dezvoltării cresc până la h+\ și după aceea descresc, adică Tio este cel mai mare termen al dezvoltării. 6.2. Aplicații. Identități în calculul cu combinări Numerele C* , 0 < k < n, au o serie de proprietăți interesante. Indicăm mai jos câteva dintre acestea și stabilim o serie de identități pe care le verifică coeficienții binomiali. Amintim mai întâi următoarele formule: (i) C^C^C^, (2) C>C>...+C>2", (3) care au fost stabilite în paragraful 4 din acest capitol. 151 Observăm că egalitatea (3) se obține, evident, și din formula binomului lui Newton, + by = cy + c'y-'b + cy-y +... + cy pentru a = b= 1. Dacă în formula binomului lui Newton se pune a = 1, b = -1, se obține egalitatea: c«-^ ₊ c^-...+(-i)ⁿc;=o. (4) Pe baza egalităților (3) și (4) rezultă cycycy...=cycycy...^^ (5) Deci, suma coeficienților binomiali ai termenilor de rang impar este egală cu suma coeficienților binomiali ai termenilor de rang par. Vom stabili în continuare alte câteva formule combinatorii importante. Uneori, pentru demonstrația anumitor egalități este util să se aibă în vedere interpretarea geometrică a numărului Ck , care a fost dată în paragraful 4 din acest capitol. 1. Să se demonstreze că cyc^+ckₙ:y-+cy (6) Demonstrație. Folosind egalitatea (2), scriem șirul următor de egalități: cycy+cy /^k _^k , ftk-\ Cn-I ⁻Cn-2 ⁺ Cn-2’ cL^+cr, ck=c^ (=1). Adunând membru cu membru aceste egalități, după reducerea termenilor asemenea, obținem egalitatea (6). 2. Să se demonstreze că c{]ck + clck~l + + ckc⁽⁾ = ck cd Demonstrația 1. Toate submulțimile cu k elemente ale mulțimii 4 — {a i, ..., aₙ, a,₁₊ ], ..., aₙ+ₘ}, al căror număr este Ck₊ₘ, le împărțim în k + 1 clase 7], T₂, Tₖ₊[ astfel: f este formată din toate submulțimile lui A cu k elemente, în componența cărora intră exact i elemente cu indici < n. Fiecare submulțime din clasa f se poate obține reunind o submulțime oarecare cu i elemente ale mulțimii {t/ț, ..., aₜₗ} cu o submulțime oarecare cu (k - i) elemente ale mulțimii {aₙ₊[, ..., aₙ₊ₘ}. Deci f este formată din ClₙCk~l submulțimi. Cum Tfi ..., 7^₊ₗ sunt disjuncte două câte două, iar reuniunea tuturor este totalitatea submulțimilor cu k elemente ale mulțimii A, rezultă: k ck =S'cⁱck~ⁱ i=() 152 Demonstrația 2. Să considerăm egalitatea: (1 + x)"(l =(1 + x)ⁿ⁺m Folosind formula binomului lui Newton, deducem coeficientul lui x din membrul drept al acestei egalități care este 1 . . z^Zr z^O Cum coeficienții lui xk din cei doi membri ai relației precedente sunt egali, rezultă egalitatea (7). Dacă în (7) punem k = n = m și ținem seama de formula (1), rezultă (c;;)¹ ₊ (cJ₊... + (c;), = c;'„. (8> 3. Să se demonstreze că C: + C>C‘+... = |[> + 2cos^. (9) Demonstrație. Fie o rădăcină cubică complexă a unității. Avem deci s³ = 1 și 8² + 8 + 1 = 0. Punând în formula binomului lui Newton a = 1,6 = 1, apoi a = 1, b = 8 și, în sfârșit, a = 1, b = 8², obținem: 2" =C>C,',+C>C>C,f + ..„ (1 + 8)" = C" + zC\ + s+'² + Cl + zCl + (1 + s²)" = C" + z²C\ + zCl + Cl + z²Cl + ... . Adunând termen cu termen aceste trei egalități și împărțind la 3, obținem în membrul drept C" + C³ + + ..., iar în membrul stâng |[2"+(l+8)"+(l+8²)"l Ținând seama de faptul că . 1 . V3 k . n . 1 + 8 = — +1-= cos — + 1 sin — și 2 2 3 3 1 2 l • V3 f f K 2 2 3J <3 obținem | [2" + (1 + 8)" + (1 + 8²)"] = | [2" + 2 COS-y de unde rezultă egalitatea (9). 153 Lăsăm ca exercițiu demonstrarea următoarelor două egalități: c>c⁴₊c,; + 1 . (/7-2)7t - 2 +2cos--------— 3|_ 3 C²+C>C> 1 _ (w-4)7T - 2 +2cos-------— 3L 3 (9') (9") 4. Fie u e IN* și formula lui Moivre (cosZ + isinZ)" = cosnZ + i sinnZ. Dezvoltând membrul întâi după formula binomului lui Newton, obținem (cosZ + isinZ)" = cos"Z + i C', cos"“'z sinZ + i² cos"~²Z sin²Z + ... + i” C" sin"Z. Având în vedere puterile numărului i, putem scrie (cosZ + i sinZ)" = cos"Z - cos""²Zsin²Z + cos""⁴Zsin⁴Z + ... + + i(C'^ cos" 'zsinZ - cos" ³Zsin³Z + cos" ⁵Zsin⁵Z - ...) Atunci din formula lui Moivre, obținem cosnZ = cos"z - C; cos""²Zsin²Z + C⁴ cos"*⁴Zsin⁴Z - ... sinwZ = cos" ¹ ZsinZ - cos" ³Zsin³Z + cos" ⁵Zsin⁵Z - ... (10) De aici, rezultă C'ₙ cos""¹ ZsinZ —C³ cos" ³ Zsin³ t + C^ cos""⁵ Zsin⁵ Z-... cos" Z - cos"⁻² Zsin² Z - C⁴ cos""⁴ Zsin⁴ Z -... sau împărțind și numărătorul și numitorul fracției din membrul al doilea cu cos"Z, tg»Z = C,',tgZ-C³tg³Z ₊ Qg⁵Z-... l-^tg^ + C^tg⁴/-... (11) De asemenea, din formula (10) se obține ctgnZ = ctg"Z-C²ctg"-²Z + C⁴ctg""⁴Z-... C,l,ctgⁿlZ-C³ctg"’³Z + C⁵ctgⁿ~⁵Z... (12) Formulele (10), (11) și (12) dau funcțiile trigonometrice ale unghiului nt ca expresii în care intervin funcțiile trigonometrice ale unghiului t. De exemplu, să scriem funcțiile trigonometrice ale unghiului 5Z ca expresii în care să intervină doar funcțiile trigonometrice ale unghiului t. sin5z = 5cos⁴ZdinZ - 10cos²Zsin³Z + sin⁵Z, cos5Z = cos⁵Z - 10cos³Zsin²Z + 5cosZsin⁴Z, 154 5tgz-10tg³r + tg⁵/ g 1 — 10tg²/+ 5tg⁴Z ’ cₜ ₅z₌ ctg⁵f-10ctg³/-5ctgr 5ctgsZ - lOctg²/ + 1 5. Mica teoremă a lui Fermat Dacă p este un număr natural prim, iar n un număr natural oarecare, atunci np -n se divide cup. Demonstrație. într-adevăr, pentru n = 0, afirmația este adevărată. Să presupunem kp -k divizibil cup și să demonstrăm că numărul (k + 1/- (k+ 1) este divizibil cu p. Pentru aceasta, considerăm diferența (k + 1/-(k+ 1)-(kp -k). Dezvoltând după formula lui Newton (k + l)p, avem: (k + \y-{k+\')-{kp -k)=(k + iy-kp-\ = C'ₚkp~ⁱ +Cₚkp^² +... + Cpy'k. (1) însă pentru 1 1 un număr natural și să notăm cu Sₖ =1* +2* + 3k + ... + nk. în cele ce urmează, ne propunem să evaluăm această sumă. Mai întâi vom calcula câteva sume particulare, cum sunt S₂, S₃, care ne oferă o idee de calcul pentru cazul general. 155 1. Se verifică ușor prin inducție matematică următoarea formulă care dă suma primelor n numere naturale, adică „ , Zî(/7 + 1) Si = 1 + 2 + 3 + ... + « =------. ¹ 2 2. Să calculăm acum 5₂=l² +2² +3² +... + +, adică suma pătratelor primelor n numere naturale. Să considerăm formula (a + l)³ = a³ + 3a² + 3a + 1. Făcând succesiv pe a egal cu 1,2, 3,..., n -1, n, obținem: 2³ = l³ + 3 • l² + 3 ■ 1 + 1, 3³ = 2³ + 3-2² + 3-2 + 1, 4³ = 3³ + 3-3² + 3-3 + 1, n³ = (n - l)³ + 3(n -1)² + 3(n - 1) + 1, (n + l)³ = n³ + 3n² + 3n + 1. Adunând aceste relații, membru cu membru, după reducerea termenilor ase- menea, se obține: (n + 1)³ = 1 + 3(1² + 2² + 3² +... + n²) + 3(1 + 2 + 3 +... + n) + n • 1 sau (n + l)³ = 1 + 35₂ + 35, + n , de unde 35₂ = (n + l)³ - 35, - (n + 1). Această formulă ne dă pe 5₂ în funcție de 5,. Dar dacă înlocuim 5, dat de formula (1), după efectuarea calculelor se obține ₛ n(n + l)(2w + 1) 6 3. Pentru a afla pe 5₃, 5₃ = l³ + 2³ + 3³ + ... + n³ (suma cuburilor primelor n numere naturale nenule) considerăm formula {a + l)⁴ = a⁴ + 4n³ + 6a² + 4a +1. Făcând succesiv pe a egal cu 1, 2, 3,..., n - 1, n, obținem 2⁴ = l⁴ + 4 • l³ + 6 • l² + 4 • 1 + 1, 3⁴ = 2⁴ + 4-2³ + 6-2² + 4 -2 + 1, 4⁴ = 3⁴ + 4 • 3³ + 6 • 3² + 4 • 3 + 1, n⁴ = (n - l)⁴ + 4(n - l)³ + 6(n - l)² + 4(n - 1) + 1, (n + l)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1. Adunând aceste relații, membru cu membru, după reducerea termenilor ase- menea, se obține: (n + l)⁴ = 1 + 45₃ + 65₂ + 45, + n, 156 de unde 45₃ = (n + l)⁴-65₂ -45, -(n + l). Această formulă ne dă pe S₃ în funcție de S| și S^. înlocuind Si și S₂ date de formulele (1) și (2), după efectuarea calculelor se obține k = (3) Observăm că S₃ = Sf. 4. Calea prin care am găsit pe S₂ și S₃ a fost aceeași. Ea poate fi urmată pentru găsirea lui S*, în general. Folosim formula (a + l/⁺¹ =aM ₊ C'ₖ₊ₜak ₊C^ak-'₊... + C^a ₊ C^. Făcând succesiv pe a egal cu 1,2, 3, ..., n - 1, n, obținem ₂a₊I ₌ ₁A₊₁₊clJ-'₊...₊CkMl+C^ 3k⁺' = 2k⁺' +CL.2k +Ch2k~' +...+cL,2 + C±l> 4*⁺l = 3*⁺l +d₊ₗ3* + Cₖ .3k~' +...+CL3 + C^‘ ₙk⁺l =(/7-i/⁺¹ +<^07-1/ + -1/-'₊...+ctₗ(«-i)+ct⁺ₗl, W⁺' = ₊C'Mnk ₊Ct{nk-{₊...^ Adunând aceste relații membru cu membru, după reducerea termenilor ase- menea, se obține: (n + l)ⁱ⁺¹ = 1 + C'MSₖ + C^Sₖ_{ +... + CkM5, + n , (4) Această este o formulă de recurență care dă pe Sₖ în funcție de toate sumele precedente Si, S₂,..., Sₖ_\, Să determinăm, de exemplu, pe S₄. Pentru k= 4, găsim: (n + l)⁵ = 1 + Cj5₄ + C²₅S₃ + ClS₂ + C⁴5, + n, Dacă înlocuim pe Si, S₂, S₃, date de formulele (1), (2), (3) după efectuarea calculelor se obține n(n + l)(2n + Y)(3n² +3/7-1) ... o d —-----------—-------------. (5) Să se dezvolte după formula lui Newton binoamele la putere: a)(x²-tf)⁶; c) (Va-Vî)⁴; e) (Vîx + Jy )⁷; b)(#-6)⁵; d)(x + 2)⁷; f) (3V7 - 2y[x )\ Să se determine: / ₉ ₁V' a) termenul al optulea al dezvoltării ,x²-; k xj b) termenul al cincilea al dezvoltării {42a — 4~ăb} ; c) termenul din mijloc al dezvoltării {4x — 4~y) ; d) cei doi termeni din mijloc ai dezvoltării Să se determine: a) termenul din dezvoltarea 9 care îl conține pe xJ ; \ 13 y a 3 1 4 b) termenul din dezvoltarea-----F care îl conține pe a ; l ³ 4a ) c) termenul în care nu apare x din dezvoltarea Să se determine rangul termenului din dezvoltarea , în care 21 x și y au puteri egale. Să se determine n, dacă în dezvoltarea (14- x)ⁿ coeficienții lui x⁵ și x¹² sunt egali. Câți termeni raționali conține dezvoltarea (V2 + V3)¹⁰⁰? în dezvoltarea atfă 4- —£=- , suma coeficienților binomiali de rang par este \ 4a J egală cu 128. Să se găsească termenul care conține pe a³. / ₙᵢ j y Să se determine m, n, p astfel încât în dezvoltarea x™ 4--, termenii de rang 12 și 24 să conțină pe x, respectiv x⁵ și, mai mult, această dezvoltare să aibă termen liber’ Să se găsească suma coeficienților dezvoltării (7x² — 6y³ )⁹. Să se găsească rangul celui mai mare termen din dezvoltarea: 100 100 Să se demonstreze egalitățile: a) C® +-C! +... + ——C" 2 n + 1 " , ec' k³C* k b) k + -—- +----- + ... + — 2 3 c) C'„+2C^ + ... + nC”ₙ =n2 2”⁺l -1 n + 1 ’C; (£ + l)"⁺¹ -1 n +1 n 4-1 d) C,'-20^+... + (—=0; e) 1 4- C\ cosa + Cj cos2a 4-... 4- C" coswa = 2" cos" -y cos-^y-, f) C\ sin a 4- C* sin 2a 4-... 4- C" sin na = 2" cos" -y sin -y^-. 158 Ideea care stă la baza geometriei analitice plane este următoarea: un punct din plan este identificat cu o pereche de numere reale, numite coordonatele punctului. în acest fel, proprietățile geometrice ale mulțimilor de puncte devin proprietăți calculatorii, adică relații între numere reale. De exemplu, faptul că punctele din plan Mi (de coordonate (xb jₜ)) și (de coordonate (x₂, yfi) se află la distanța d> 0 se exprimă astfel: 7(*i -x₂y +{yₓ -y^¹ = d. De asemenea, anumite figuri geometrice (adică mulțimi de puncte din plan) au anumite ecuații. De exemplu, faptul că punctele M (de coordonate (x, y)) se află pe o dreaptă d se exprimă prin aceea că există trei numere reale a, b, c (dintre care a * 0 sau 6^0) astfel încât coordonatele x,y satisfac ecuația dreptei d: ax + by + c = 0. Putem face geometrie analitică și pe o dreaptă (identificând punctele cu numere, după cum vom vedea) sau în spațiu (identificând punctele cu triplete de numere). * Istoria matematicii îl recunoaște ca fondator al geometriei analitice, bazată pe metoda coordonatelor, pe matematicianul și filosoful francez Rene Descartes (1596-1650). Coordonatele punctelor se mai numesc și coordonate carteziene în onoarea lui Descartes, care scria în limba latină (așa cum era obiceiul timpului) și semna Renatus Cartesius. Același comentariu se poate face referitor la denumirea de produs cartezian a două mulțimi. 1.1. Noțiuni fundamentale Fie d o dreaptă fixată (acesta este spațiul în care vom lucra). Considerăm două puncte distincte A și B pe d. Presupunem că știm (în mod intuitiv) ce înseamnă că un punct M e d se află între A și B. Notăm (AB) = {M g d\M este între A și B, M A, M B} și numim (AB) segmentul deschis de extremități A și B. Mai notăm \AB] = (AB) o {A, B} = segmentul închis de extremități A și B. [AB) = (AB) u {A}, (AB] = (AB) u (B). 159 Dacă A = B, extindem definițiile de mai sus astfel: [AA] = {A}, (AA) = [AA) = (AA] = 0 * Pentru a putea face geometrie analitică pe dreapta d, trebuie să definim un sens și o unitate de măsură. Definirea sensului. Vom considera un punct fixat O pe d, numit origine (fig. 1). El împarte dreapta d în două semidrepte, anume [Ox (notată pentru comoditate cu Ox) și [Oxf (notată pentru comoditate Ox'). -----------1-------|> x O A x Fig.l Facem o alegere între cele două semidrepte și numim pe Ox semidreapta pozitivă (de obicei se alege ca semidreaptă pozitivă pe cea care este „la dreapta⁴⁶ pe desen). Spunem că am ales un sens pe dreapta d în momentul când am ales semidreapta pozitivă Ox. Definirea unității de măsură. Pe semidreapta pozitivă Ox considerăm un punct fixat A O. Unitatea de măsură pe d este lungimea segmentului [OA] (și această definiție este intuitivă, pentru că ea presupune că știm ce înseamnă să măsurăm lungimea unui segment). Definiție. O dreaptă d, pe care s-a ales un sens și o unitate de măsură se numește axă. de coordonate sau dreaptă carteziană. O dreaptă carteziană se poate pune în corespondență bijectivă cu mulțimea numerelor reale IR. Vom arăta cum oricărui punct M al dreptei d îi corespunde un singur număr real xM, adică vom defini o funcție bijectivă h : d -> IR, h(M) = xM, M Med. în primul rând, h(O) = 0 (adică xₒ = 0). Apoi, dacă O, vom avea xM > 0 dacă M g Ox sau xM <0 dacă M g Ox'. -----1-------1------1-------1----1-------► N O A MP Fig. 2 Dacă M g Ox, vom defini xM = lungimea segmentului [OM], iar dacă N g Ox' vom defini xN = - lungimea segmentului [M?]. în mod intuitiv, lungimea lui [OM] înseamnă „de câte ori se cuprinde unitatea de măsură [OA] în [OAY]“. 160 Acest mod de definire poate fi extins și la cazul lungimilor iraționale, în figura 3 segmentele OA și AB au lungimea 1 și sunt perpendiculare. Rezultă că ipotenuza OB are lungimea V2 . Purtând pe Ox un segment OU de lungime egală cu OB, vom avea Xu = V2 . Fig. ³ Definiție. Dacă punctului M e d îi corespunde numărul real h(M) = xM vom spune că xM este coordonata carteziană a lui M pe dreapta carteziană d și vom nota M(xₘ). Folosind bijecția h, vom identifica un punct M g d cu coordonata sa, numărul real xM. în acest fel, practic, identificăm o dreaptă carteziană cu mulțimea numerelor reale IR. De asemenea, observăm că M se află între A și B dacă și numai dacă numărul xM este cuprins între numerele xA și xB (de exemplu, dacă xA < xB trebuie să avem xA xA (cazul xB < xA se tratează analog). Se știe că mijlocul segmentului [AB} este unicul punct M e d pentru care \MA\ = \MB\. Se arată că: * dacă M este mijlocul lui [^5] atunci xM = (xA + xB); * reciproc, dacă M g d are coordonata xM = (xA + xB) atunci M este mijlocul lui [AB} (se arată că \MA\ = \MB\ = (xB-xA)). Exemple 1. Fie punctele ^(2) și B(6). Mijlocul segmentului [AB} este punctul M de coordonată xM = = 4, deci M(4). 2. Fie punctele A(-3) și E(5) și B simetricul lui A în raport cu E. Care este coordonata punctului Bl Avem 2xE = xA + xB, de unde xB = 2xB -xA = 10 + 3 = 13. Raportul a două segmente Definiție. Fie punctele A B pe dreapta d și M e d, M B. Se numește \MA\ raportul segmentelor MA și MB numărul . Dacă A și B sunt fixate, iar M parcuge mulțimea d - {B}, raportul poate lua orice valoare din mulțimea [0, +oo), fiind egal cu 0 dacă și numai dacă M= A. Mai precis, avem următoarea: Propoziție. Fie două puncte A B pe d și t un număr strict pozitiv. Se consideră egalitatea = t (*). 1) Dacă t = 1, există un punct M unic (anume, M este_mijlocul segmentului AB) pentru care avem (*) . 2) Dacă t * 1, există exact două puncte M pentru care avem (*). Rezultatul din propoziția anterioară ne spune că există două puncte, M\ între A și B, în afara segmentului [AB}, care „împart segmentul [AB} în același raport“: M.A M?A —— = —— = t* 1. MJB M₂B 162 Se spune că punctele M{ și M₂ sunt conjugate armonic față de punctele A și B (vezi ex. 8). Exemplu Fie A(0), B(3) și t = 2. Există punctele A/ț(2) și M₂(6) astfel încât ⁼ B M^ B 1.2. Lungimi orientate. Rapoarte de lungimi orientate în cele ce urmează vom considera o axă de coordonate d. Definiție. Fie A și B două puncte pe dreapta d. Se numește lungimea orientată a segmentului AB numărul notat AB și definit prin AB = xB-xA. Atenție! Lucrăm cu puncte ale unei axe de coordonate fixate d, iar notația AB nu trebuie confundată cu notația folosită în clasa a LY-a pentru segmente orientate. Observație. Numărul AB , care depinde de unitatea de măsură, ne indică atât lungimea segmentului AB (anume, \AB\ = |x/; - xzₗ|), cât și sensul segmentului AB. în figura 5a segmentul AB este orientat pozitiv (avem xB > xA\ iar în figura 5b segmentul AB este orientat negativ (avem xB < xA). ----1------1------1 ► 1-1--1---ₖ O A B---------------------------------------------------O B A Fig. 5a Fig. 5b Propoziție (relațiile lui Chasles pe dreaptă) 1) Dacă punctele M, A și 5 sunt pe d, avem: AB = MB - MA . 2) Dacă punctele A^A₂, sunt pe d, avem: A A + A A + ••• + A-A, + A X ⁼⁰- Aceste egalități se demonstrează imediat prin calcul. Definiție. Fie punctele A B pe dreapta d și M e d, M B. Se numește raportul lungimilor orientate MA si MB numărul . ___ MB Prin urmare, avem = = —-------—. Notam -— = t. Numărul t nu depin- MB xH - xM MB de de unitatea de măsură și poate lua orice valoare reală, cu excepția valorii t = 1. Avem: *t = 0^M = A * Z > 0 <=> MA și MB au același sens, adică M este în afara segmentului [A5] (fig. 6a și fig. 6b). 163 * t < O <=> MA și MB au sensuri contrare, adică M este intre A și B (fig. 7). ----1----1-------1----► ----1-------1----1-----► ----1—i----1------► M A B B A M A M B Fig. 6a Fig. 6b Fig. 7 în particular, dacă M este mijlocul segmentului AB, avem t = - 1. Teoremă. Fie punctele A * B pe dreapta d și t g IR - {1}. Atunci există un unic punct M g d cu proprietatea că = t și avem MB Demonstrație. Notăm xM = x și avem —-------= t <=> x = ————-. xH - x 1 -1 Observație, Dacă M este mijlocul segmentului AB, ceea ce este echivalent cu MA = -1, MB avem xM = — (xA + xD, după cum am am arătat deja. Desenați pe axă punctele A, B și calculați dacă: a) xA = 2, xB = 4; b) xA = 2, xB = 2; c) xA = 1, xB = -^3 . Calculați mijlocul segmentului în fiecare dintre cazurile de la exercițiul anterior. Fie A(3) și M(-3). Determinați simetricul lui A față de M. Dacă A, B și C sunt puncte pe d, arătați că: a) \AB | = 0 o A = B; b) \AB\ = \BA[, c) țAQ < \AB\ + |^C|. în ce caz avem egalitate? a) Dacă A și B sunt puncte distincte pe o dreaptă d, arătați că există un unic punct AR M între A și B cu proprietatea (spunem că M împarte pe AB în medie și extrema rație}. b) în condițiile de mai sus, arătați că (numărul p = se numește numărul de aur și nu depinde de A, B}. Fie zi(3) și B(-5) pe dreapta d. Determinați pe d punctul M astfel încât = 3. MB 164 Se dau pe d punctele A, B cu proprietatea că fABf = l > 0. Fie s t două numere reale, diferite de 1, și fie M. N puncte pe d astfel încât -44^- = s, = t. Arătați că MB NB Se consideră patru puncte distincte A, B, U și V pe o dreaptă carteziană d. Se UA VA spune că U și V sunt conjugate armonic față de A și B dacă = = -=. Să se arate că U UB VB și V sunt conjugate armonic față de A și B dacă și numai dacă avem (xA + x^xy + xD = = 2(xₐXk + X(jxj). Considerăm un plan fixat (acesta este spațiul în care vom lucra). Folosind noțiunea de dreapta carteziană, prezentată în paragraful anterior, vom introduce conceptul fundamental al geometriei analitice în plan - reperul cartezian în plan. Definiție. Se numește reper cartezian (sau sistem de axe de coordonate) în o pereche de drepte carteziene perpendiculare din care au originea comună situată în punctul lor de intersecție O și au unitatea de măsură comună (adică unitatea de măsură este aceeași pe ambele axe). Prin urmare, pe prima dreaptă avem punctul O și semidreapta pozitivă Ox, iar pe a doua dreaptă avem punctul O și semidreapta pozitiva Oy. Vom numi prima dreaptă axa. absciselor (sau axa Ox, sau axa xx'), iar a doua dreaptă axa ordonatelor (sau axa Oy sau axayy’). Definiție. Vom numi plan cartezian un plan & împreună cu un reper cartezian. în figura 8 avem un reper cartezian, unde OI= OJ= 1. în continuare vom arăta cum se stabilește o corespondență între punctele planului cartezian și perechile ordonate de numere reale. 1) Considerăm un punct oarecare M în planul Vom asocia lui M o pereche de numere (x^, yM) e IR x IR = IR² după cum urmează. Ducem prin M două drepte perpendiculare (fig. 9). Fig. 8 Fig. 9 165 - prima dreaptă este paralelă cu Oy și intersectează Ox în A(xM), unde xM este coordonata lui A pe dreapta carteziană Ox; - a doua dreaptă este paralelă cu Ox și intersectează Oy în B(yM), unde yM este coordonata lui B pe dreapta carteziană Oy; în acest fel, am asociat punctului M perechea (xM,yM) e IR²- De fapt, am obținut funcția F : F/* —> IR², definită prin F(M) = (xM, yM), V M e 2) Invers, vom arăta cum oricărei perechi de numere reale (x, y) g IR² îi corespunde un punct M din planul Să considerăm deci o pereche (x, y) e IR². Atunci: - numărului real x îi corespunde pe dreapta carteziană Ox punctul de coor- donată x, pe care îl notăm A; - numărului real y îi corespunde pe dreapta carteziană Oy punctul de coor- donată y, pe care îl notăm B. B (y)-----------, M (x, y) । । । । । । v o Xw F y' Fig. io Prin A ducem o paralelă la Oy, iar prin B ducem o paralelă la Ox.Aceste două drepte se întâlnesc într-un punct M e FA Dacă x = 0 punctul M este pe Oy, dacă y = 0 punctul M este pe Ox, iar dacă x = y = 0 obținem M= O. Dacă M este legat de x și y în modul descris mai sus, vom scrie M(x, y) și vom spune că x și y sunt coordonatele carteziene ale punctului M, anume x este abscisa lui M, y este ordonata lui M. De fapt, am obținut funcția G : IR² -> definită prin G(x, y) = M, unde M se obține prin procedeul dat mai sus (cititorul va remarca faptul că am scris G(x, y) = M în loc de G((x, y)) = M, adică am omis o pereche de paranteze; acest mod de scriere este unanim folosit). Se poate observa că funcțiile F și G sunt bijective și inverse una alteia, deci G = F'șiF=G ¹ . în acest mod se identifică cu IR² (adică identificăm FțF^ cu .h^și G(IR²) cu IR²), înainte de a trece mai departe, vom face câteva observații care clarifică, sperăm, „comportamentul geometric⁴⁴ al funcției G definită mai sus. Observații cu privire la semnul coordonatelor Vom discuta poziția unui punct M(x, y) din planul cartezian, în funcție de semnele coordonatelor sale x și y. 166 * Situațiile posibile în cazul x = 0 sau y = 0 se află în figura 11. y* y* •M(Q,y),y>Q y* M (x, 0), x < 0 _ 0 _ 0 M(x,0),x>Q x <9=jW(0, 0) x X •M(Q,y),y 0, y > 0, spunem că M se află în cadranul I (dreapta, sus) Dacă x < 0, y > 0, spunem că M se află în cadranul II (stânga, sus) M (x, y) Dacă x < 0, y < 0, spunem că M se află în cadranul III (stânga, jos) M(x,y) Dacă x > 0, y < 0, spunem că M se află în cadranul IV (dreapta, jos) Fig. 12 Folosind identificarea lui cu IR², prezentată anterior, putem scrie fiecare dintre cele patru cadrane ca produsul cartezian a două mulțimi de numere reale: cadranul I cadranul II cadranul III cadranul IV = (0, oo) x (0, oo) = (^o, 0) x (0, oo) = (-oo, 0) x 0) = (0, oo) x (-oo, 0) Reprezentarea geometrică a produselor carteziene de intervale După cum am văzut, cadranele planului cartezian reprezintă produse carteziene de intervale nemărginite. 167 Fie produsul cartezian P = [-1, 2] x [2, 4], P cz IR². [-1, 2] x [2, 4] = {(x, y) e IR²1 -1 < x < 2 și 2 0, c > 0. în figura 18, Ox = AB și axa Oy este o perpendiculară pe AB. Coordonatele vârfurilor se scriu astfel: A(a, 0), B(b, 0) și C(a, d), unde b > a > 0 și d > 0. în figura 19, am ales Ox = BC, iar Oy este dreapta care trece prin A și este perpendiculară pe BC. în acest caz, coordonatele se pot scrie sub forma B(b, 0), C(c, 0) și A(0, h) unde b < 0, c > 0 și h² = -bc. 2. Cum alegem sistemul de axe într-o problemă în care intervine un triunghi isoscel ABC, cu AB = ACI în general, în alegerea sistemului de axe trebuie să ținem cont de două reguli simple: Fig. 20 * cât mai multe coordonate să fie nule; * să valorificăm proprietățile de simetrie ale figurii (dacă ele există). Ținând cont de aceste reguli, cea mai natu- rală alegere a axelor este următoarea: originea se alege în mijlocul bazei BC, Ox = BC și Oy este mediatoarea segmentului BC. Cu aceaste axe, coordonatele vârfurilor se pot scrie sub forma B(-a, 0), C(a, 0) și A(0, /z), unde a > 0, h > 0. 169 Reprezentați grafic următoarele mulțimi: a) [-1, 3] x [-2, 4]; b)[l,3]xIR; d) {1} X [0,2]; e) [0, 2] x {1}; g)IRx{2}; h) {0} x IR; c)IRx [-1, 1]; 0(0, °°) x {2}; i) {0} x [0, oo). Fie un dreptunghi ABCD. Realizați două variante de alegere a unui reper cartezian și scrieți coordonatele vârfurilor dreptunghiului în fiecare reper. Aceeași cerință ca la exercițiul anterior, pentru un triunghi echilateral ABC. 3.1. Coordonatele unui vector din planul cartezian Fie un plan cartezian CC cu reperul cartezian Ox, Oy și punctele /(l, 0) și J(0, 1). Considerăm vectorii i = OI și j = OJ. Vectorul i este un versor al axei Ox, iar j este un versor al axei Oy (se numește versor al dreptei d un vector de lungime 1 care are aceeași direcție cu dreapta d). Considerăm un vector u din plan. Fig. 21 Cum i și j sunt necoliniari (nu au aceeași direcție), conform teoremei de descompunere a unui vector după doi vectori necoliniari (vezi manualul de clasa a LY-a) există o unică pereche de numere reale (x, y) astfel încât u = xi + yj. Definiție. Fie Ox, Oy un reper cartezian în plan. Dacă u = xi + yj,x,y e IR., spunem că (x, y) este perechea de coordonate a. vectorului u în reperul dat și notăm u{x,y). Exemple * Dacă v = 4z -7 j, atunci vectorul v are coordonatele (4, -7) în reperul dat și notăm v (4, -7). * Scrierea u (-3, 2) are semnificația: vectorul u are coordonatele (-3, 2) în reperul dat, adică u = -3 i + 2j. Fie un punct oarecare M(x, y) în plan. Definiție. în reperul cartezian Ox, Oy vectorul OM se numește vectorul de poziție al punctului M. 170 Propoziția 1. Fie planul cartezian cu reperul Ox, Oy. a) Vectorul de poziție al punctului M(x, y) este OM = xi + yj. b) Dacă M are vectorul de poziție OM = xi + yj, atunci M are coordo- natele (x, y). Demonstrație: a) Perpendiculara din M pe Ox intersectează Ox în punctul U(x, 0), iar perpendiculara din M pe Oy intersectează Oy în punctul K(0, y). Avem OU =xi și OV = yj. Conform regulii paralelogramului, ~OM = OU + OV =xl + yj. Fig. 23 b) Fie M astfel încât OM = xi + yj. Notăm cu (x’, y') coordonatele lui M. Conform cu punctul a) avem OM =x’i +yj. Prin urmare xi +yj =x'i +/y,de unde x =x',y = y', deoarece vectorii i, j sunt necoliniari. Rețineți! Fie M un punct în planul cartezian. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) punctul M are coordonatele (x, yy, b) are loc egalitatea OM =xi +yj c) vectorul OM are coordonatele (x, y). Pe scurt, aceste echivalențe se scriu M(x,y) o OM = xi +yj « OM(x,y) Exemple 1. Considerăm în plan punctele A, B, C și D (fig. 24). Să scriem coordona- tele și vectorul de poziție al fiecăruia dintre aceste puncte: A(3,4)<^ OA = 3i +4j; 5(-2, 3) « OB =-2? + 3j\ C(3,-5)« OC = 3/ -5J; D(-4,-3)^ OD - 3j. 171 2. Fiind dat vectorul de poziție pentru fiecare dintre punctele E. F și G. să aflăm coordonatele punctului respectiv: OE = 37-2} «£(3,-2); OF = 47 +2} <=>£(4,2); OG = -27 - 4 J « G(-2, -4). 3. 2. Operații cu vectori dați prin coordonate Considerăm în planul cartezian cu reperul Ox. Oy. doi vectori u (x. y) și v (x, y), deci w =xi +yj, v= x'i + y' j. Cum i . j sunt vectori necoliniari, avem: u = v <=> x i + yj = x' i + y' j o (x-x')i + (y -y') j = Q o x = x' 'șiy = y’ Să calculăm coordonatele sumei și diferenței vectorilor u . v, precum și ale vectorului au . unde a e IR. Avem: « + v = (xi +yj) + (x'i + y' j) = (x + x')i + (y +y)j u -v = (xi +yj)-(x’i +y'j) = (x-x')i + (y -y')j au = a(xi + yj) = axi + ayj Propoziția 2. Fie vectorii u (x. y) și v (/, /). Atunci: * u = v dacă și numai dacă x = x' și y = y’ * vectorul u + v are coordonatele (x + x’,y + y') * vectorul u - v are coordonatele (x -x’. y-y’) * vectorul au are coordonatele (ocr, ay) în condițiile propoziției 2, vectorul au + pv, unde a. P g IR are coor- donatele (ocx + py. ay + py). 172 Exemplu Fie vectorii u(-1, 3), v(2, -5). Coordonatele vectorului u + v sunt (-1 4- 2, 3 — 5) — (1, -2), ale lui u - v sunt (-1 -2, 3 -(-5)) = (-3, 8), iar ale lui 2 u + 4v sunt (2(-l) + 4 • 2, 2 - 3 4- 4(-5)) = (6, -14). Identificarea unui vector de poziție cu perechea formată de coordonatele sale Echivalența M(x, y) » OM = xi + yj ne arată că putem stabili o cores- pondență bijectivă între vectorii de poziție ai punctelor din și elementele lui IR². Notăm { OM | M g ^}. Aplicația H: IR², H( OM) = (x, y), dacă OM =xl +yj este bijectivă. Prin intermediul aplicației H identificăm vectorul OM e cu perechea (x, y) a coordonatelor sale. Cele două operații pe adunarea vectorilor și înmulțirea cu scalari a vectorilor, ne conduc, prin intermediul lui H, la definirea a două operații în IR². 1) Fie perechile ordonate (a, b), (a', b') g IR². Considerăm punctele M(a, b), N(aj b') care au vectorii de poziție OM = ai +bj, ON = a’ i + b' j, Fie punctul P astfel încât OM +ON= OP (fig. 25), deci OP = (a 4- a') i + (b + b') j. Adunarea vectorilor ne permite să asociem vectorilor OM (a, b) și ON (aj b’} vectorul OP (a + aj b + bf). în felul acesta asociem perechilor (a, b) și (aj b'} perechea (a + a', b + b'). Vom spune că perechea (a 4- aj b + b¹) este suma perechilor (a, b) și (a', b) și vom nota: (a, b) + (aj b') = (a + aj b + b') (se face suma „pe componente"). Operația care asociază oricăror două elemente din IR² suma lor se numește adunarea în IR². 2) Fie perechea ordonată (a, b) g IR² și numărul real X g IR (Ă se numește „scalar" spre deosebire de (a, £>)care este „vector“). Considerăm punctul M(a, b) care are vectorul de poziție OM = ai + b j. 173 Fie punctul Q astfel încât OQ = XOM (fig. 26), deci OQ = Xai + Xb j. înmulțirea vectorilor cu numere reale ne permite să asociem vectorului OM (a, b) și numărului real X vectorul OQ (Xa, Xb). în felul acesta asociem perechii (a, b) și numărului X perechea (Xa, Xb). Spunem că perechea (Xa, Xb) este produsul dintre perechea (a, b) și numărul X și notăm X(a, b) = (Xa, Xb) (se face produsul „pe componente“). Operația care asociază oricărui număr X g IR și oricărui element din IR² produsul lor se numește înmulțirea perechilor cu numere reale. * Cititorul este invitat să verifice următoarele proprietăți: 1) (a, b) + (u, v) = (u, v) + (a, b) 2) (a, b) + ((u, v) + (w, z)) = ((a, b) + (u, v)) + (w, z) 3) (a, b) + (0, 0) = (a, b) 4) (a, b) + (-a, -b) = (0, 0) 5) a(b(u, v) = ab(u, v) 6) \(u, v) = (u, v) 7) a(u, v) = (0, 0) <=> a = 0 sau u = v = 0 8) a((u, v) + (w, z)) = a(u, v) + a(yv, z) 9) (a + b)(u, v) = a(u, v) + b(u, v) 10)(w, v) = w(l,0) + v(0, 1) Propoziția 3. Fie în plan punctele M(xₘ, yM) și A(xₐ, yA), B(xb, yB). Următoarele afirmații sunt echivalente: a) OM = a OA + p OB, unde a, P e IR; b)xM=axA + Px^ șiyM=ayA + $yB. Demonstrație. Propoziția este o consecință directă a identificării dintre un vector de poziție și perechea sa de coordonate precum și a operațiilor cu perechi ordonate, definite mai sus. Astfel, relația vectorială OM = a OA + $OB este echivalentă cu relația între perechi ordonate: (xM, yM) = a(xA, yA) + P^, yₛ). Suma din membrul drept se scrie: (axA, ayA) + (Px^, Pyfᵢ) = (axA + $xₐ, ayA + Pyfₗ ) = = (axA + Pxₐ, ayA + Pyₐ). Prin urmare, avem: (xM, yM) = (axA + pxfᵢ, ayj + p^) ceea ce este echivalent cu xM = axA + PxB șiyM= ayA + Py₀ . 174 Altfel. OM = aOA + (50B « <=> xM i + yMj = a(xj i + yA j) + P(xₐ i + yBj ) o oxMi + yMj = (ax₄ + Pxc)' + («Xj + Pja )j « <=> xM = axA + px/j și yM = ayA + Pyₐ. Coordonatele punctului care împarte un segment într-un raport dat Propoziția 4. Fie A(xₐ, yA) și B(xb, yB) două puncte distincte în planul cartezian și numărul t g IR, t* 1. Coordonatele carteziene ale unicului punct M de pe dreapta AB pentru x.-txR yA~tyR care = t sunt xM = , yM = ------ (M este punctul care MB ¹ -1 1 -1 împarte segmentul orientat AB în raportul t). Demonstrație. Prin definiție, avem MA = t MB, de unde, conform unei teoreme din clasa a IX-a, rezultă OM = -p-y (OA - tOB). 1 Aplicând propoziția 3 pentru oc = P = y~ și Y ⁼ 0 obținem ceea ce trebuia demonstrat. Observație. Dacă M este mijlocul segmentu- lui AB, atunci t = -1 și obținem ᵣ ᵥ _yA+yB xm-------—, yM------— • Invers, dacă punctele A, B, M sunt coliniare și M * B, atunci raportul în care M împarte segmentul AB poate fi exprimat după cum urmează: J MA d^xA^xB,yA *yB, = MB xa~*m ₌ yA-yM . xb~xm yB-yM ’ . MA • dacăyj = yB, = MB A MĂ • dacă xA = xB, - MB XA~XM XB ~XM yA -yM yB -yM Exemple L Fie punctele A(-3, 5) și B(2, 1). Coordonatele punctului M, care împarte 2 segmentul AB în raportul —, sunt: 175 ^=-Ly(x/₁-(-|w={(-3+| • 2)=| •(-{) = -! j । Z 3 3 3 3 3 3 1 / z ² \ \ 3 , 2 3 17 _ 17 y“‘ ^2 -(-yW y<5 + - ■ 1)-? ■ y - y. ⁺ 3 2. Fie punctele 4(4, -3) și 5(2, -5). Mijlocul M al segmentului AB are coordonatele _ x A % b _ 4 + 3 _ 7 XM 2 2“ ~ 2’ yu = = -3-5 2 yA + y, 2 deci -4). Coordonatele unor puncte importante din triunghi Teoremă. în planul cartezian fie triunghiul ABC, astfel încât A(xₐ, yA), B(xb, yB) și C(xc, yc). a) Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci: *g = xₐ+xb+xc „_yA+yH+yc 3 3 b) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci: Xn = ctgB ctgC • xA + ctgC ctg?l • xB + ctgzl ctg5 • xc\ yₙ = ctg5 ctgC yA + ctgC ctgA yB + ctgzl ctg5 • yc. c) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC și lungimile latu- rilor sunt a = BC, b = CA, c = AB, atunci _ axA + bxH + cxc _ ay A + byB + cyc xi ----------7----------, yi------------7--------• a + b + c a + b + c d) Dacă Q este centrul cercului circumscris lui ABC, atunci: _ 1 - ctg5 ctgC 1 - ctgC ctgA ₗ 1 - ctgA ctgB x& 2------xa + -------2-------Xb ⁺--------2------ Xc 1 - ctg5 ctgC 1 - ctgC ctgzl 1 - ctgzl ctg5 ----------------yA + --------z-------yn +----------------y^ Demonstrație. Se aplică propoziția 3, ținând cont de următoarele formule din manualul de clasa a DCa: ~OG = ^(OA + OB + OC), OÎ =----!---- (aOA + bOB + cOC~), a + b + c OH = ctg5 ctgC OA + ctgC ctg4 OB + ctg4 ctg5 OC, — l-c^tșC ₊ l^etgCytg^ — 55. 176 O condiție de coliniaritate a doi vectori Fie vectorii u(x, y) și v(x', y'). Se știe că avem echivalența: ii, v sunt coliniari <=> există t e IR astfel încât v = tu. Cum tu are coordonatele {tx, ty), aplicând propoziția 1, rezultă v = t u <=> x' = tx și y’ = ty. Vom demonstra: Propoziția 5. Fie a, b și a’, b' numere reale cu proprietatea: sau 6 ^*0) și (a’ * 0 sau b' * 0). Sunt echivalente afirmațiile: (i) există un număr real t * 0, astfel încât a' = ta, b’ = tb; (ii) avem egalitatea ab’ - a’b = 0. Demonstrație. Implicația (i) => (ii) este evidentă. Vom demonstra implicația (ii) => (z). Fie, de exemplu a 0. Notăm — = t, deci a’ = ta. Atunci: ab’ - a’b = 0 => b’ - — /> = ()=> b’ = tb. a Propoziția 6. Fie vectorii u (x, y) și v(x’, y’). Următoarele afirmații sunt echivalente: a) vectorii îi și v sunt coliniari; b) are loc egalitatea xy’ - x’y = 0. Demonstrație, a) => b) Cazul u = 0 sau v = 0 (când u și v sunt automat coliniari, deoarece vectorul nul este coliniar cu orice vector) este banal: avem x = y = 0 (dacă u = 0) sau x’ = y’ = 0 (dacă v = 0). Dacă u * 0 și v 0, rezultă existența unui număr real t 0 astfel încât v = t u , deci x’ = tx, y’ = ty și am ajuns la implicația (i) => (ii) din propoziția anterioară. b) => a) Dacă unul dintre vectori este nul, rezultă că ei sunt automat coliniari. Dacă ambii sunt nenuli, avem: (x 0 sau y 0) și (x' 0 sau y’ 0); aplicând implicația (ii) => (i) din propoziția 5 rezultă că există t 0 astfel încât x'= tx, y’ = ty deci v = tu , adică u și v sunt coliniari. Exemple 1) Vectorii îi {4, -3) și v(12, -9) sunt coliniari, deoarece coordonatele lor îndeplinesc condiția xy’ - x’y = 4(-9) - 12(-3) = 0. De altfel, u = 4i - 3 j și v = 12i - 9 j, deci v = 3(4Z - 3 j) adică v = 3 u . 2) Se arată imediat că u (5, 0) și v(3, 0) sunt coliniari (fiecare este coliniar cu vectorul i (1, 0). (De asemenea, u (0, -6) și v(0, 4) sunt coliniari (fiecare este coliniar cu j (0, 1)). 3) Fie u (5, -1) și v(-4, 3). Deoarece xy’ - x’y = 15 - 4 = 11 0, vectorii u și v nu sunt coliniari. Coordonatele vectorului AB în funcție de coordonatele punctelor A și B Fie punctele A(xₐ, yA) și B(xb, yB) (fig. 27). Să determinăm coordonatele vectorului AB. Avem AB = OB - OA și cum OA =xAi + yAj, OB = xBi + yBj, rezultă AB =(xB -xA)i + (yB-yA)j. Propoziția 7. Vectorul AB, unde A(xₐ, yA) și B(xb, yB), are coordona- tele (xB -xA\yB-yA\ Se constată că AB este vectorul de poziție al punctului M(xB - xA ; yB - yA). în adevăr, se arată imediat că OM = AB. Prin identificarea unui vector de poziție cu coordonatele sale, rezultă: * vectorul AB se identifică cu perechea -xA;yₑ-yA) * vectorul AB + CD se identifică cu perechea (xB +xD-xA- xc-, (ya+yo-yA- yc) * vectorul t AB se identifică cu perechea -xA-,yB-yA) = (txB Exemplu Fie punctele A(î, 4) și B(5,1), repre- zentate în figura 28. Vectorul AB are coordonatele (5 - 1, 7 - 4) = (4, 3), deci ĂB (4, 3). AB este vectorul de poziție al punctului 4/(4, 3), deci OM = AB. Exerciții rezolvate El. Să se arate că: a) punctele ^(-2,3), 5(-8,12) și C(2, -3) sunt coliniare; b) punctele A(0, -6), 5(7, -1) și C(-10, -13) nu sunt coliniare. R: Reamintim: punctele A, B, C coliniare vectorii AB, BC sunt coliniari. a) Avem AE (-6,9) și BC (10, -15), iar xy' - x'y = (-6) • (-15) - 9 • 10 = 0. Prin urmare AB și BC sunt coliniari, deci punctele A, B și C sunt coliniare. 178 Raportul în care punctul C împarte segmentul AB este = = —----------- = —. CB xB - xc 5 b) Avem AB (J, 5), BC (-17, -12), iar xy' - x’y = - 84 + 85 = 1 0. Rezultă că vectorii AB și BC nu sunt coliniari, deci punctele A, B și C nu sunt coliniare. 3 S E2. Fiind date punctele A(2, -3), B(5, 4), C(0, -1) și Z>( —, —să se arate că dreptele AB și CD sunt paralele. R: Reamintim: AB || CD « vectorii AB, CD sunt coliniari și AB CD. Deoarece punctul C nu aparține dreptei AB (echivalent, punctele A, B și C nu sunt coliniare), rezultă AB CD. —* —* 3 7 71 71 Avem AB (3,7) și CD(—, —), iar xy’ - x’y = —------------— = 0, deci cei doi vectori sunt coliniari. Coliniaritatea vectorilor AB, CD implică AB || CD sau AB = CD. Cum avem AB CD, rezultă AB || CD. E3. Fie punctele A(3, 7), B(-5, 2) și C(8, —4). Să se afle coordonatele punctului D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. R: Fie E, F mijloacele diagonalelor AC, BD. Patrulaterul ABCD este paralelogram <=> punctele E, F coincid. Fie D(a, b), a,b g IR. Punctul E are coordonatele xE= y (3 + 8) = , yE = y (7 - 4) = , deci E( —, -), iarF( ⁵O⁺ a , v 2 2 2 2 ⁷ Cum E = F, obținem . a = -U și ~, de unde a = 16, b = 1. Altfel. Patrulaterul ABCD este paralelogram <=> AB = DC . Avem AB (-8, -5), DC (8 - a,-4 - b). Rezultă -8 = 8 - a și -5 = -4 - b, deci a = 16, b = 1. Considerăm planul cartezian cu un reper Ox, Oy. Scrieți sub forma ai 4- bj, unde a, b g IR, fiecare dintre următorii vectori: u ț(-4, 0), u ₂(0, 3), w ₃(5, -2), u ₄(-3, 6). Care sunt coordonatele vectorului w , dacă avem: a) u = li -(i + j) + 4i + 5 j; b) u = -3i + 4(-z + 3y ) + 7z - 6j; c) u = 5 i - 1 j + 2(-3 i + 2 j) + 3 y . Determinați a, b g IR astfel încât u = v, unde: a) w (3, -4), v (a, 2b); b) w (2, -3), v (3a - 2b, a + 2b); c) «(5,3-6), v (a- l,bF). 179 Fiind dați vectorii u (3, 2) și v (-4, 1), calculați coordonatele vectorilor a = u + v, b = î - v, c = -3 î + 4v. Fiind dați vectorii w(-3, 2), v (6, 5) și w (4, 0) determinați coordonatele vectorilor a = î + v ~ w și b = 5z/-2v + 3w. Arătați că vectorii îi și v sunt coliniari și găsiți r astfel încât v = ru , unde: a) u (2,-1), v (4,-2); b) u (|, -3), v (2, -9); c) u (-|, 1), v (|,). Determinați a g IR astfel încât vectorii î și v să fie coliniari, unde: a) îi (3, -4), v(a, 8); b) v (-4, a); c) u (-1, 2), v (a-1,3a). Fie punctele 4(0, 3), B(l, -3) și C(2, 4). Calculați coordonatele vectorilor AB, BC , CA . Verificați relația AB + BC + CA = 0. Fie punctele A(4, -1), ^(0, 1) și C(7, 5). Aflați coordonatele vectorilor: a)-2BC ;b)3AC -2AB. Fie punctele A (-3, 4), ^(1, -2) și C(0, -4). Care sunt coordonatele punctelor Af, N și P, definite prin relațiile: a) ~BM = ĂC; b) Ă/V = 4C -3~BC ; a) PC =2AC -3AB . Care sunt coordonatele punctului Af dacă: = 27b -3ĂC , unde4(4, 2), B(-2, 1) și C(-3, 5); ----► 3 —► 2 —► b) AM = - AB + - AC , unde 4(-5, -3), B{2, -1) și C( 1, -2). Fie punctele 4(1, 2), ^(-1, -1) și C(4, -3) și G centrul de greutate al triunghiului ABC. a) Aflați coordonatele lui G și apoi verificați GA + GB + GC = 0 . b) Reciproc, dacă punctul Tverifică relația TA + TB + TC = 0 , arătați că T= G. Fie punctele 4(-l, 2), B(-3, 1), C(2, 1) și M(a, b) un punct oarecare din plan. Aflați coordonatele vectorului îi, unde: a) îi = 1^ + 2^ -3MC ; b) îi = 3~MA + 2~MB -5~MC . Arătați că punctele 4, B și C sunt coliniare și calculați raportul în care punctul C împarte segmentul AB, unde: a) 4(1,-1), £(--2, 1), C(-5, 3); b)4(2, 1), B(l,-3), C(3, 5); c)4(-l,3),^(-l,0), C(-l,-2). Fie punctele A(-2, 1) și B(3, -3). a) Fie un punct M(a, b). Ce relație trebuie să existe între a și b astfel încât punctul M să aparțină dreptei AB? b) Care dintre punctele C(5, -1), D(C 3) aparține dreptei AB? 180 în acest capitol vom considera un plan cartezian cu reperul cartezian Ox, Oy. A face geometrie analitică în înseamnă a folosi regula de identificare între punctele planului și perechile ordonate de numere reale, descrisă în capitolul precedent: punctul P(x, y) g este identic cu perechea ordonată (x, y) g IR². Mai precis, înseamnă că o figură geometrică din planul (adică o mulțime de puncte din se identifică cu o mulțime de perechi ordonate din IR². De asemenea, proprietățile geometrice (paralelism, coliniaritate, concurență etc.) se traduc în relații algebrice. De exemplu, pentru a demonstra că două drepte sunt paralele, vom arăta că anumite numere reale verifică o relație algebrică. Vom aplica acest punct de vedere pentru cele mai simple figuri geometrice ale planului anume dreptele. * După poziția față de axele Ox și Oy, vom împărți dreptele planului în clase distincte: drepte verticale, drepte orizontale și drepte oblice, dreaptă verticală d || Oy sau d = Oy dreaptă oblică dreaptă oblica Fig.l dreaptă orizontală d || Ox sau d= Ox Vom spune că două drepte date d și d' au aceeași direcție (sau sunt paralele in sens generalizat) dacă ele coincid sau sunt paralele. Definție. Fie o dreaptă d în planul Spunem că: * d este verticală, dacă d are aceeași direcție cu axa Oy * d este orizontală dacă d are aceeași direcție cu axa Ox * d este oblică, dacă d nu are aceeași direcție nici cu Ox, nici cu Oy. 181 Scopul principal al acestui paragraf este de a demonstra următoarea: Teoremă (ecuația carteziană generală a dreptei). Fie d cz o mulțime nevidă. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) Mulțimea d este o dreaptă. b) Există numerele reale a, b,c,cua^0 sau astfel încât d= {(x,y) g IR²1 ax + by + c = 0}. Completări si denumiri în condițiile teoremei, egalitatea ax + by + c = 0 se numește ecuația carteziană generală, a dreptei d și se notează d : ax + by + c = 0. Dacă d are ecuația ax + by + c = 0, avem echivalența M(xₘ,yM) e do axM + byM + c = 0. Cu alte cuvinte, punctul (x^, Ja/) aparține dreptei d dacă și numai dacă (x^, yM) verifică ecuația ax + by + c = 0. Vom demonstra teorema considerând, separat, cazul unei drepte care are aceeași direcție cu una dintre axele Ox, Oy și, apoi, cazul unei drepte oblice. 1. Dreapta care are aceeași direcție cu una dintre axele Ox, Oy Fig. 2 Dacă dreapta d are aceeași direcție cu Oy și trece prin țp, 0) atunci d = {(x, y) e IR² | x = p, y e IR} = {(p, y) | y e IR} deci d are ecuația d : x = p (aici a = 1, 6 = 0, c = -p). în particular, axa Oy are ecuația Oy : x = 0. Reciproc, orice egalitate de forma x = p este ecuația unei drepte care are aceeași direcție cu Oy. Dacă dreapta d are aceeași direcție cu Ox și trece prin (0, q) atunci d ⁼ {(x, y) e IR² | x g IR, y =q} = {(x, q) | x e IR}, deci d are ecuația d : y = q (aici a = 0, b= 1, c = -q). în particular, axa Ox are ecuația Ox : y = 0. Reciproc, orice egalitate de forma y = q este ecuația unei drepte care are aceeași direcție cu Ox. Observație. Fie două puncte distincte M\(x\, j/j) și M₂(x₂, y₂)^ Notăm cu M\M₂ dreapta care trece prin M\ și M₂. 182 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Au loc următoarele proprietăți: * y\ ⁼ V2 <=> M\M₂ este dreaptă orizontală (fig. 3); * Xi = x₂ <=> M\M₂ este dreaptă verticală (fig. 4); * %i ^x₂ și yi^yi^ M\M₂ este dreaptă oblică (fig. 5). 2. Dreapta oblică în cazul unei drepte oblice, condiția „a 0 sau b * 0“ trebuie înlocuită cu condiția „a * 0 și b 0“ Vom demonstra următoarea proprietate, care este „inclusă“ în teorema anterioară. Propoziție (ecuația carteziană generală a dreptei oblice) Fie d a o mulțime nevidă. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) Mulțimea d este o dreaptă oblică. b) Există trei numere reale a, b, c, cu a 0 și b 0, astfel încât <7 = {fey) IR²1 + by + c = 0}. Demonstrație, b) => a). Fie numerele a 0, b 0, c și mulțimea d. Vom arăta, în mai multe etape, că d este o dreaptă oblică. Fie și M₂(x₂, y₂) două puncte distincte din d, deci axi + by\ + c = 0, ax₂ + by₂ + c = 0. Notăm prin M\M₂ dreapta care trece prin M\ și M₂. I. Vom demonstra incluziunea M\M₂ cz d. Fie M(x, y) un punct al dreptei M\M₂, deci M, M\ și M₂ sunt coliniare. Conform unei proprietăți demonstrate în clasa a IX-a, rezultă că există un număr real t astfel încât ~OM =(1 -t) OM} + tOM₂, adică x = (1 - t)X\ + tx₂ și y = (1 - + ty₂, Prin urmare: ax + by + c = (1 - t)(axi + by\ + c) + t(ax₂ + by₂ + c) = 0. în concluzie, coordonatele lui M verifică ecuația ax + by + c = 0, adică Med. Am demonstrat că M e M\M₂ implică Med, deci M\M₂ a d. II. Coordonatele punctelor M\, M₂ au proprietatea Xi ^x₂ și 71 y₂. într-adevăr, cum M\ M₂ rezultă (xi, y 1) (x₂, y₂), deci X| x₂ sau yₓ * y₂. 183 Dacă avem X| x₂, atunci Vj y₂, deoarece b 0 și a c ac La fel se arată căyj *y₂ implică X| x₂, (folosim faptul că a 0). III. Vom demonstra incluziunea d cz M\M₂. Fie un punct M(x, y) g d. Vom arăta că M e M\M₂, sau că punctele M, Mₕ și M₂ sunt coliniare, adică vom găsi t g IR astfel încât OM=(1-0 7jM{ + tOM₂, (1) ceea ce este echivalent cu ” X = (1 - f)X\ + tX₂ = X] + Z(x₂ -X|) ■« _ y = (1 -f)yt + ty₂ = y, + (2) Avem relațiile: ax\ + by\ + c = 0 tfx₂ + by₂ + c = 0 (3) ax + by + c = 0 Din (3) deducem, prin scăderi a(x-Xi) + £>(y-j>i) = 0=> -—— = -— y- y, a a(x - x₂) + b(y - y₂) = 0 => ——— = y-y₂ a a(x₂ - a-,) + b(y₂-y^) = Q=> ——Z_ = _ A y₂ -yₜ a de unde, ținând cont de proprietatea de la II, avem x~x> = y~y^ ₍₄₎ *₂ - v y₂ - yi Relația (4) este fundamentală! Vom reveni asupra ei în paragraful următor, x — x v — V Conform cu (4) luăm t =------— =---------— și obținem (2) . •*2-*! y₂-y\ IV. La I am demonstrat incluziunea M\M₂ a d, iar la III am demonstrat incluziunea contrară d cz M\M₂. în concluzie d = M\M₂, deci d este o dreaptă. V. în final, vom demonstra că dreapta d este oblică, arătând că fiecare dintre intersecțiile d n Ox și d n Oy are câte un punct. Avem: (x, y) g d n Ox <=> ax + by + c = 0 și y = 0 <=> (x, y) = (-— , 0). (x, y) g d n Oy <=> ax + bv + c = 0 și x = 0 <=> (x, y) = (0, -)• b în concluzie, dr^Ox={ (-— , 0)}, dn Oy = { (0, ~t)}- a b 184 în cazul particular c = O, avem d n Ox = d n Oy = {(0, 0)} (în acest caz, dreapta d trece prin originea (0, 0) și nu se confundă cu nici una dintre axe). Observație. Fie două puncte yO și M₂(x₂, yA, astfel încât M\M₂ este o dreaptă oblică. Rezultă xj x₂ și yₓ y₂. Din demonstrația anterioară rezultă: x — x. y — y, M(x, v) g M\M-) <=> (x, y) verifică relația----------- = -------. x₂-x, y₂-y} a) => b) Fie d a o dreaptă oblică. Vom demonstra că există trei numere reale a + 0, b + 0 și c astfel încât d = {(x,y) e IR²1 ax + by + c = 0}. Fie M\(x\, Vi) + M₂(x₂, y₂), puncte ale dreptei d, deci d = M\M₂. Rezultă că M\M₂ este o dreaptă oblică, de unde avem: * X] x₂ (în caz contrar, rezultă că d are aceeași direcție cu Oy)\ * Vi y₂ (în caz contrar, rezultă că d are aceeași direcție cu Ox). Avem M(x, y) edo M(x, y) e M\M₂ și, conform observației anterioare, x — x v — V M(x, y) e M}M₂ <=>------— =--------L « (y₂ -yi)x + (x, - x₂)y + xyyi -xₜy₂ = 0. *₂-*i ^2-^1 Prin urmare, d = {(x, y) g IR² | (y₂ -.Fi)^ + (*i -*z)y + -*1+2 ⁼ 0}, adică putem lua a = y₂ - yi 0, b = Xj - x₂ + 0 și c = x^yi - xₜy₂. Demonstrația s-a încheiat. Exerciții rezolvate El. Fie dreapta d : 7x-y + 4 = 0. a) Arătați că punctul A(-l, -3)aparține dreptei d, iar punctul 5(2, -5) nu aparține dreptei d. b) Determinați punctul de pe dreapta d care are abscisa 2 precum și punctul de pe dreapta d care are ordonata -10. c) Determinați punctele de intersecție ale dreptei d cu axele de coordonate. R: Fie un punct A(xₐ, yA) și dreapta d : ax + by + c = 0. Știm că punctul A aparține dreptei d dacă și numai dacă perechea sa de coordonate verifică ecuația dreptei, adică A(xₐ, yA) e d o axA + byA + c = 0. în consecință, dacă axA + byA + c + 0, atunci A nu aparține dreptei d (sau dreapta d nu trece prin punctul A). Dacă A(xₐ, yA) g d și xA = a, putem calcula^, dacă b * 0: ' । , . ₙ , — c - aa xA = a aa + byA + c = 0 => y A=------------. b Analog, dacă A(xₐ, yA) e d și yA = P, atunci xA = —-——, dacă a^0. a) înlocuind x = -1, y = -3 în ecuația lui d, obținem -7 - (-3) + 4 = 0, deci ^(-1,-3) g d. 185 înlocuind x = 2, y = -5 în ecuația lui d obținem 14 - (-5) + 4 = 23 0, deci 5(2, -5) g d. b) înlocuind x = 2 în ecuația lui d avem 14-j^ + 4 = 0<=>j = 18, deci punctul de abscisă 2 este C(2, 18). înlocuind y = -10 în ecuația lui d avem Ix + 10 + 4 <=> x = -2, deci punctul de ordonată -10 este D(-2, -10). c) Dreapta d este oblică, deci intersectează fiecare axă în câte un punct. Pentru a afla d n Ox rezolvăm sistemul: 4 y = 0 și Ix-y + 4 = 0<^>j = 0și7x + 4 = 0<=>x = , y = 0. Pentru a afla d n Oy rezolvăm sistemul: x = 0 și 7x-y + 4 = 0 <=> x = 0 și -y + 4 = 0 <=> x = 0, y = 4. Prin urmare dnOx = {^(-y, 0)}, d Oy = {5(0, 4)}. Calculele pot fi aranjate în următoarea schemă: X » 4 y 4 0 E2. Reprezentați grafic dreapta d, unde d are ecuația: a) x - 2y = 0; b) x - 2y - 4 = 0; c)x + 3j/ - 6 = 0. R: Pentru a reprezenta grafic, dreapta d : ax + by + c = 0, cu a 0 și b 0, este suficient să determinăm două puncte ale dreptei d. * Dacă c = 0, atunci originea 0(0, 0) aparține dreptei d. Al doilea punct se obține astfel: înlocuim x = oc în ecuația dreptei și găsim aa + by = 0, de unde y = - v oc, deci A(a-^- oc) e d, b b Schema de calcul este: X 0 a y O 1 p * Daca c 0, se determină punctele de intersecție ale dreptei d cu axele de coordonate, anume A{~— , 0) și 5(0, -Ș-). a b Schema de calcul este: X o -- a y o l Dâcă punctele A, B sunt prea apropiate putem alege orice altă pereche de puncte distincte ale dreptei d. 186 Condiția ca două drepte să coincidă Teoremă. Fie numerele reale a, b, c (unde a 0 sau b 0) și a⁹, b⁹, cf (unde a⁹ * 0 sau b⁹ * 0). Considerăm dreptele d : ax + by + c = 0, d⁹ : a⁹x + b'y + c⁹ = 0. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) Avem egalitatea d = d⁹', b) Numerele a, b, c și a⁹, b⁹, c⁹ sunt proporționale, adică există un număr real Ă 0 astfel încât a⁹ = Xa, b⁹ = Xb, c⁹ = Xc. Demonstrație, a) => b) 1. Dacă a = 0, rezultă b * 0 și d are aceeași direcție cu Ox. Cum d = d⁹ trebuie să avem a⁹ = 0 și b⁹ 0, deci: d\ by + c = Q<^>y = , d⁹ : b'y + c⁹ = 0 <^> y = . b b ce b Deoarece d= d', trebuie să avem . Dacă luăm X = —, obținem b b b c⁹ = Xc și b⁹ = Xb. La fel se tratează și cazul b= 0. 2. Dacă a * 0 și b 0 rezultă că d este dreaptă oblică. Prin urmare și d⁹ este dreaptă oblică, deci a⁹ 0 și b⁹ 0. Fie două puncte distincte M\(x\, yj) și M₂{x₂, yi) pe dreapta d, deci și pe dreapta d⁹. Cum M\,M₂ e d, avem: ori + by\ + c = 0, ax₂ + by₂ + c = 0 => fl(x₂-x{) + b(y₂ -yi) = 0 => ————y- . x₂ -X! b Analog, cum M\, M₂ g d⁹ avem ——— = . Rezultă -—= sau x₂ - Xj b b b — = —, Notăm — = X, deci X 0 și avem relațiile a⁹ = Xa, b⁹ = Xb. Rezultă a b a d⁹ : Xax + Xby + c⁹ = 0. Dreapta d și dreapta d⁹ intersectează axa Ox în același punct, deci (—0) = (—-, 0), de unde — = — , adică c⁹ = Xc. Aa Xa 187 b) => a). Avem: (x, y) e d <=> ax + by + c = O <=> dax + Xby + Xc = O o <=> a'x + b'y + d = 0 <=> (x, y) g d'. Rezultă că mulțimile d și d' au aceleași elemente, deci d = dr. Separarea planului în regiuni de către o dreaptă Fie în planul cartezian dd o dreaptă d : ax + by + c = 0. Știm că dreapta d determină două semiplane (deschise) care sunt mulțimi disjuncte, având reuniunea egală cu dd-d. Dacă (x, y) este un punct din plan, atunci avem: (x, y) g d <=> ax + by + c = 0. Prin urmare, (x, y) d este echivalent cu ax + by + c 0. Se demonstrează următoarea: Teoremă. Expresia ax + by + c, unde a^Q sau b 0, împarte planul în trei regiuni: • mulțimea d = {(x, y) g IR²1 ax + by + c = 0} este o dreaptă; • mulțimea 5+ = {(x, y) g IR²1 ax + by + c > 0} este un semiplan deschis, limitat de dreapta d (semiplanul pozitiv față de d); • mulțimea S = {(x, y) g IR²1 ax + by + c < 0} este un semiplan deschis, limitat de dreapta d (semiplanul negativ față de d). Notăm P(x, y) = ax + by + c. Fie Afi(xb yi) și M₂(x₂, yi) două puncte din plan. Din teorema anterioară rezultă: • P(xi, yO • P(x₂, y₂) > 0 « punctele Mj, M₂ se află în același semiplan determinat de dreapta d\ • P(x\, j2j) • P(x₂, j₂) < 0 <=> punctele Mț, M₂ se află în semiplane opuse determinate de dreapta d\ Exemplu Fie dreapta d : x + y - 2 = 0. în figura alăturată se află semiplanele în care dreapta d împarte planul P. Fie P(x, y) = x + y - 2. Pentru a identifica S+ și S este suficient să considerăm un punct din 5₊ sau 5 . De exemplu, P(0, 0) = -2 < 0, deci semiplanul care conține originea este semiplanul 5 = {(x,y) g IR²1 x + y- 2 < 0}. Raportul în care o dreaptă împarte un segment Se consideră în planul cartezian dreapta d : ax + by + c = 0 și două puncte distincte M\(x\, j/j) și M₂(x₂, yi) care nu se află pe d și care au proprietatea că dreptele M\M₂ și d sunt concurente într-un punct M. 188 Prin urmare, punctele M, M\ și M₂ sunt distincte și putem calcula raportul X în care M împarte M\M₂, adică X = , numit raportul în care dreapta d MM2 împarte segmentul M\M₂. jc AzX Punctul M are coordonatele xM = — -, yM = — —. Cum Med, 1-X------------------------------------------------1-X • x. —Xxₙ y, — Xy₂ rezultă a------- + b------+ c = 0 sau axj + by\ + c - X(ax₂ + by₂ + c) = 0, deci 1 —X 1—X MM\ _ ax,+by,+c MM 2 ax₂ +by₂+c Dacă valoarea obținută la (1) este pozitivă, punctele Mₕ M₂ sunt în același semiplan, iar dacă valoarea este negativă, punctele sunt în semiplane diferite în raport cu dreapta d. Exemplu Dreapta d : x + y - 2 = 0 împarte segmentul M\M₂. unde (3, 2) și M₂(0, 0), în raportul MM\ ₌ 3 + 2-2 ₌ _ 2 MM 2 0 + 0-2 2* 6 4 Cititorul poate verifica direct că — SINTEZĂ (rezumatul paragrafului 1) 1. O mulțime d a dd este o dreaptă dacă și numai dacă există trei numere reale a, b și c, cu a * 0 sau b^O, astfel încât d= {(x,^) e IR²1 ax + by + c = 0} (1) Dacă are loc (1) spunem că d este dreapta de ecuație ax + by + c = 0 și scriem d : ax + by + c = 0. 2. Despre dreapta d : ax + by + c = 0 afirmăm: * d are aceeași direcție cu Ox (este orizontală) o a = 0; * d arc aceeași direcție cu Oy (este verticală) o b = 0; * d este oblică O a + 0 și b 0. 3. Dreptele d : ax + by + c = 0 și d' : a'x + b'y + d = 0 coincid dacă și numai dacă există un număr real X + 0 astfel încât a' = Xa, b' = X£, d = Xc. 189 Reprezentați grafic dreapta d, unde d are ecuația: a) x = 3; b) 2x = 3; c) 4y- 2 = 0; d) 3y = -4. Determinați următoarele figuri geometrice: .,76 = {(x,y) e IR² |xy+ x = 0}, „7Z= {(x,y) g IR² \xy-bx-ay + ab = 0}, unde a, b sunt numere reale date. Fie mulțimile de puncte din plan A = {(x, y) g IR² \ xy - x - y + 1 = 0}, B = {(x, y) g IR² | xy - 2x - 2y + 4 = 0}, C = [1, 2] x [1, 2]. Determinați figura geometrica ^= (A u B) C. Fie dreapta d : 2x - y - 7 = 0. Dintre punctele A(l, -6), B(2, -3), C(-l, -9), D(2,1), E(0, -7), F(5, 3) și G(3, 4), aflați pe cele care aparțin dreptei d. Fie dreapta d : x + 2y -4 = 0. Găsiți punctul de pe dreapta d care are abscisa: 1,3,-2, 0. Fie dreapta d : Ix + 2y - 5 = 0. Găsiți punctul de pe dreapta d care are ordonata: 2, 1,0,-3, 4. Aflați valoarea parametrului c g IR pentru care dreapta de ecuație 2x -3y + c = 0 trece prin punctul A(6, 3). Determinați m, n e IR astfel încât dreapta mx - 3y + n = 0 să treacă prin punctele A(-3, 5)și B(4, -2). Arătați că relația (w + 2)x + (m² - 9)y + 3m² - 8m + 5 = 0, m g IR, este ecuația unei drepte dₘ , pentru orice m e IR. Determinați valorile lui m pentru care: a) dₘ || Ox; b) dₘ || Oy ; c) dₘ trece prin origine. Fie o dreaptă d și două puncte A, B g d. Calculați coordonatele indicate și apoi reprezentați grafic dreapta d, unde: a) d : 7x -y + 4 = 0, A(2, yA), B(xIₕ -4); b) d: 3x + 5y - 10 = 0, A(0, yA), B(xb, Arătați că dreptele d și d' coincid, unde: a) d : 3x + 5y - 4 = 0, d' : 6x + lOy -8 = 0; b) d : x-y ^2 =0, d' : x^2 - 2y = 0. Determinați pșiq astfel încât ecuațiile (3+ p)x - 5y + 4 = 0, 5x - (4 - q)y -5 = 0 să reprezinte aceeași dreaptă. Fie m g IR. Pot coincide dreptele d și d' având ecuațiile: a) d : 2x - 3y + 1 = 0, d' : - 4x + 5y + m = 0; b) d : mx + y + m = 0, d' : x - my +1=0; c) d : 2x - 3y = 0, d' : x + my = 0. Reprezentați grafic mulțimea .,76, definită prin: a) .,76 = {(x, y) g. IR²1 x² - 4xy + 4j,² = 0}; b) .,66= {(x,y) g IR² | 9x² - 6xy +/ = 4}; c) .,76 = {(x,y) g IR²1 x² - 5xy + 6y² = 0}; d) .,76= {(x,y) g IR²1 (x - l)² + (y + 2)² = 0}. 190 2.1. Ecuația carteziană explicită a dreptei 1. Fie dreapta d : Ax + By + C = O, unde A O sau B 0. Dacă B O, adică A C d nu are aceeași direcție cu Oy, avem Ax + By + C = O <=> y = —-x —-, de B B unde, dacă notăm —- = m, —- = n, obținem ecuația y = mx + n. B B 2. Reciproc, m și n fiind numere reale date, ecuația y = mx + n este ecuația unei drepte care nu are aceeași direcție cu Oy. într-adevăr, avem y = mx + n <=> mx - y + n = 0 ax + by + c = 0, cu a = m, b = -1 și c = n. Conform teoremei ecuației generale a dreptei (§1), rezultă că există o dreaptă care are ecuația y = mx + n. Cum b ± 0, această dreaptă nu are aceeași direcție cu Oy. Definiție. Vom spune că y = mx + n, unde m, n e IR, este ecuația carteziană explicită a dreptei în plan. Dacă dreapta d are ecuațiay = mx + n, atunci: * numărul m se numește panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d\ * numărul n se numește ordonata la origine a dreptei d. Observație. Numai dreptele care nu sunt verticale pot fi reprezentate printr-o ecuație explicită. Exemple 2 5 * dreapta d : 2x + 3y - 5 = 0 are ecuația explicită^ = -y x + —; * dreapta d : 2y + 10 = 0 are ecuația explicită y = -5; * dreapta d : 2x - 7 = 0 este verticală (este paralela cu Oy), deci nu are ecuație explicită; * dreapta d : y= -Ax + 7 are ecuația generală 4x + y - 7 = 0. Următoarea propoziție ne arată că panta unei drepte care nu este verticală se poate calcula cunoscând două puncte ale dreptei. Propoziția 1. Dacă m este panta unei drepte care nu este verticală și care trece prin punctele A(xₐ, yA), B(xb, yB), atunci - yA ~y» m-----------. x^ — xH Demonstrație. Deoarece nu este verticală, dreapta d = AB poate fi reprezen- tată de ecuația explicită y = mx + n. De asemenea, avem xA^xB. Cum A,B g d, avem yA = mxA + n,yB = mxB + n, deci yA ~yB ₌ mxA +n-mxₗᵢ-n ₌ m(xA -xB) Xj - Xo x, - xR x, - XR /i D /t D /i D Observație. Panta dreptei d se notează md. 191 Exemple Ne referim la punctele din fig. 9. Avem: ^MN “ y^ - yN XM ~ XN ^1=2. 2-3 Măsura unghiului dintre o dreaptă și axa Ox Fie d o dreaptă oarecare din plan. Fig. 10 Se numește măsura unghiului dintre dreapta, d și axa Ox și se notează cu 0 un număr real definit după cum urmează: 71 1. Dacă d este verticală, atunci 0 = —. 2 2. Dacă d este orizontală, atunci 0 = 0. 3. Dacă d : y = mx + n este o dreaptă oblică (deci m 0) consideram unghiul xR, iar Q g d astfel încât QP ± Ox, deci Xq = xP și y₍j= mxP + n. Punctul Q se 192 află „deasupra lui Ox“ dacă m > O sau „sub axa Ox“ dacă m < O (dacă m > O, yo = mxn+n = mxP + n > O deoarece xP > xR =-). m în acest caz, 0 se definește astfel: * dacă m > O, 0 = m(0, avem tg0 - tg( m = m’ * dș\d sunt paralele <=> m = m' și d * d Condiția de paralelism a două drepte va fi reluată în ultimul paragraf al acestui capitol. Calculați panta dreptei AB, unde: a) ^(0, 3), £(-2, 3); b) ^(-2, 0), £(0, 6); c) ^(0, 0), £(8, 4); d) J(2, -2), B(4, 2). Fie punctele A(3, 5), £(5, 7) și C(-l, 2). Aflați panta pentru fiecare dintre dreptele AB, BC și AC. Aflați, dacă există, panta dreptei d, unde d are ecuația: a)9x + 3y-l=0; b)x-2y+5=0; c)2x-3y = 0; d) x + 9 = 0; e) 3y - 11 = 0. Scrieți ecuația dreptei care face unghiul ot cu axa Ox și trece prin origine, dacă: a)a=^-; b)a=—; c)a=—; d)a = -—. 6 3 4 4 Fie dreapta d : 5x - 3y + 10 = 0 și punctele A(l, 3) și M(a, a - 1), unde a g IR. Determinați valoarea lui a astfel încât dreapta AM să fie paralelă cu dreapta d. 194 Fie dreapta d : y = mx + n, unde m, n e IR. Care este poziția dreptei d în fiecare dintre următoarele cazuri: a) m = 1 și n g (2, 3); b) m = 2 și n e U; c) m g (0,1) și n = 2; d) m g (1, 4Î) și n = 2. Fie punctele M(-4, 6), ML D Ml -2). a) Calculați pantele dreptelor MN și NP. b) Arătați că punctele M, N și P sunt coliniare. Fie punctele J(l, 4), B(3, 2), C(4, 6) și D(2, 8). Calculând pantele dreptelor AB, BC, CD și DA arătați că patrulaterul ABCD este paralelogram. Fie m, n și n' trei numere reale strict pozitive și dreptele d : y = mx + n, d' : y = -mx + n'. a) Arătați că dreptele d, d’ și Ox sunt concurente două câte două și se intersectează în trei puncte distincte d n d'= {U}, d Ox = {V},d' o Ox = {K}. b) Arătați că triunghiul UW este isoscel. 2.2. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Fie în plan un punct A(xₐ, yA) și o dreaptă d care trece prin A. Dacă d este verticală, atunci are ecuația d : x = xA. Dacă d nu este verticală, atunci scriem ecuația lui d sub formă explicită, anume y = mx + n, unde m, n e IR. Cum Aed, avem yA = mxA + n, deci n = yA - mxA. Astfel obținem y = mx + yA - mxA sau y -yA = m(x - xAy Propoziția 3. Ecuația unei drepte din mulțimea dreptelor care trec prin punctul A(xₐ, yA) este x = xA sau y-yA = m(x-xA), unde m e IR. Exemple L O dreaptă care trece prin punctul ^(-1, 4) are ecuația x = -1 sau y- 4 = m(x + Y),m e IR. Dând lui m diverse valori, obținem drepte din mulțimea dreptelor care trec prin A. De exemplu, m= 1 => y - 4 = x + 1 sau x - y + 5 = 0 (dreapta paralelă cu dreapta y = x) m = -1 =>y - 4 = -(x + 1) sau x+y - 3 = 0 (dreapta paralelă cu dreaptay = -x) ^ = 0^>y-4 = 0 sau y = 4 (dreapta orizontală). 2. Ecuația unei drepte care trece prin origine estey = mx, m e IR sau x = 0. Observație. Ecuația unei drepte care trece prin punctul A(xₐ, yA) se poate scrie, în mod unitar, sub forma a(x - xA) + b(y - yA) = 0, unde a 0 sau b * 0. Ecuația dreptei care trece printr-un punct dat și are panta dată In mulțimea dreptelor care trec printr-un punct A, există o singură dreaptă care are panta egală cu un număr real dat m. Propoziția 4. Ecuația dreptei d care trece prin punctul A(xₐ, yA) și are panta dată m este d : y - yA = m(x - xA). 195 Exemple 1. Ecuația dreptei care trece prin A(-l, 4) și are panta m = 2 este y - 4 = 2(x + 1) sau y = 2x + 6. 2. Ecuația dreptei care trece prin originea 0(0,0) și are panta m = -5 este y=-5x. 2. 3. Ecuația dreptei care trece prin două puncte date Fie A(xₐ, yA) și B(xb, yB) două puncte distincte în planul cartezian Prin aceste puncte trece o singură dreaptă d =AB. Ne propunem să scriem ecuația carteziană a acestei drepte. Există două cazuri, după cum xA = xB sau xA^xB. * Cazul xA = xB (rezultă ^yA- Avem AB :x = xA (fig. 12) * Cazul xA * xB. în acest caz, dreapta oblică sau orizontală AB (fig. 13 și 14) are panta mAB = ———. Putem considera că AB este dreapta care trece prin A Xf] -xA și are panta mAB deci: AB : y -yA = ——— (x - xA). XH ~XA în particular, dacă xA * xB și yA = yB, ecuația este AB : y = yB. Propoziția 5. Ecuația dreptei care trece prin punctele distincte A(xₐ, yA) și B(xb, yB) este: * AB : x = xA, dacă xA = xB *AB:y-yA = ——— (x - x^, dacă xA xB XB “ XA Două metode pentru a scrie ecuația dreptei AB în cazul xA * xB₎ ecuația y -yA = ——— (x - x^) se poate obține prin două XB “ X A metode: Metoda 1. Scriem ecuația unei drepte care trece prin A, anume y - Va = m(x- xₐ) (1) unde m este necunoscut. Din condiția ca dreapta (1) să treacă prin B obținem yB - yA ⁼ - xA), de unde m = ——— XB — XA 196 Metoda 2. Dreapta AB nu este verticală, deci putem scrie ecuația sub forma y = mx + n (2), unde m, n sunt necunoscute. Punând condiția ca dreapta (2) să treacă prin A și B, obținem un sistem în necunoscutele m și n, yA = mxA + n, yB = mxB + n. Forma unitară a ecuației dreptei AB Ecuația dreptei AB se poate scrie în mod unitar sub forma (x - xA) (yB - yA} = (y- yA) (xB - xA). Această egalitate exprimă faptul că M(x, y) g AB dacă și numai dacă vectorii AB (xB - xA, yB -yA ) și AM (x-xA, y -yA ) sunt coliniari. Exerciții rezolvate E3. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele M, A unde: a) M(-3, 4), M-3, 1); b) M(2, 2), N(-l, 2); c)M(l, 2) și N(3, 5). R: a) Avem xM = xN = -3, deci MN || Oy și MN: x = -3. b) Avem yM = yN = 2 deci MN || Ox și MN: y = 2. c) Constatam imediat că AfVeste dreaptă oblică. Metoda 1. MN : y - yM = m(x - xM) sau MN : y - 2 = m(x - 1), unde m se află punând condiția ca dreapta să treacă prin A(3, 5), deci 5 - 2 = m(3 - 1) « 3 3 m = — . Obținem^ - 2 = — (x- 1) sau 3x- 2y + 1 = 0. Metoda 2. MN: y = mx + n. Coordonatele punctelor M, N trebuie să verifice (2 = m + n 3 i 3 i această ecuație, deci < . Rezultă m = —, n = —, deci y = — x + — sau 5 = 3m + n 2 2 '2 2 3x - 2y + 1 = 0. E4. Scrieți ecuația dreptei care conține punctele A(l, 2) și B(a, 4), unde a g IR este parametru. R: Dacă a = 1, atunci AB : x = 1. Dacă a * 1, AB : y - 2 = m(x - 1) (1) Calculăm m punând condiția ca B(a, 4) să verifice ecuația (1) și obținem 2 4 - 2 = m(a - 1) <=> m =------. Prin urmare, AB are ecuația a 1 o y - 2 =------- (x - 1) <^> 2x + (1 - a)y + 2a - 4 = 0. a -1 E5. Fie triunghiul ASCunde A(3, 3), 5(1, 0), C(0, 2). a) Să determinăm coordonatele centrului de greutate G(xg, yG) și ale centrului cercului înscris /(x;, y^. b) Să scriem ecuația medianei din A și a bisectoarei din A. 197 3 Fig. 15 R: a) Cu formulele generale _ *A + xK + xc _ 3 ₊1 _ 4 _ yA + yH + yc _ 3 + 2 _ 5 3 3 3’ yc Pentru determinarea lui I(xₕ y/) trebuie să calculăm mai întâi lungimile a = BC, b = CA și c = AB. Aplicând teorema lui Pitagora (fig. 15) avem: BC² = OB² + OC² = 1 + 4 => BC=B = a-, AB² = BE² + AE² = 4 + 9 AB = Ci = c; AC² = CF² + AF² = 1 +9 => AC=Bo= b. Atunci, cu formulele generale _ axA + bx„ 4- exc x i i a + b + c _ _ ayA+ by, + cy₍. _ 3^/5 + 2a/13 a + b + c V5+710 + V13 b) Mediana din A trece prin punctele A și G, deci are ecuația y ~yA = ——— (x-xA) adică^- 3 = -Lx - 3). - *a ⁵ Bisectoarea din A trece prin punctele A și I, deci are ecuația y - yA = ——— (x - adică y - 3 = ⁺ _ 3) XI~XA ' 2V10+3-V13 Observații. 1. Lungimile laturilor BC, CA, AB au fost calculate folosind axele. Vom da mai târziu formula generală pentru calculul distanței dintre două puncte. 2. Vom reveni mai târziu asupra triunghiului din exercițiul de mai sus, când vom calcula coordonatele ortocentrului și centrului cercului circumscris. 3. Cititorul este invitat să calculeze coordonatele ortocentrului (și apoi ale cercului circumscris triunghiului) în care intervin numerele tgzl, tg5, tgC după cum urmează: * se calculează cosA (cu teorema cosinusului); * se calculează tg/t cu formula 1 + tg²^ = —; cos² A * la fel, pentru calculul lui tg5 și tgC (triunghiul nu este dreptunghic). Ecuația prin tăieturi a dreptei Fie d o dreaptă care nu trece prin origine și intersectează Ox în punctul Ața, 0) și axa Oy în 5(0, b), deci a 0 și 6^0 (fig. 16). Scriem ecuația lui d sub forma ecuației dreptei care trece prin punctele A și B. Obținem: d: - + = 1. a b Aceasta formă a ecuației lui d se numește ecuația prin tăieturi a dreptei d. 198 Exemple 1. Ecuația dreptei cu „tăieturile" 5(2, 0) și 5(0, 3) este - + = 1 o3x+2y-6 = 0. 2 3 2, Fie d : 2x - 5y + 10 = 0. Ecuația prin tăieturi a lui d se obține astfel: 2x-5y = -10o = 1 » = 1. z -10 -10 -5 2 Rezultă că „tăieturile” dreptei d sunt A(-5, 0) și 5(0, 2). Condiția de coliniaritate a trei puncte Teoremă. Punctele distincte A(xₐ, yA) și B(xb, yB) și C(x& y$ sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația (^ yu - yA xb) + (xB yc - yB xA + (xc yA - yc x^ = 0 (1) Demonstrație. Vom folosi echivalența: punctele A, B și C sunt coliniare o C aparține dreptei AB. Scriem ecuația lui AB în mod unitar: (x - xA)(yB -yA) = (y -yA)(xB - xA) Atunci: C e AB o (xc - xA)(yB - yA) = (xB - xA)(yc - yA) ^xA(yB- yd + XB(yc - yA) + xc(yA -yB) = 0^ <=> (xA yB - yA xB) + (xB yc - yB xc) + (xc yA-ycxA) = 0. Observație. Dacă xA = xB atunci yA * yB și AB || Oy, AB : x = xA, iar condiția C e AB este echivalentă cu xA = xB = xc. Dacă yA = yB atunci xA * xB și AB || Ox, AB : y = yA, iar condiția C g AB este echivalentă cu yA = yB = yc. Regulă de memorare. Condiția de coliniaritate se reține astfel: se egalează cu zero suma a trei termeni de forma xM yN - yM xN, unde (M, N) se înlocuiește, pe rând, cu (A, B), (B, C) și (C, A). Exerciții rezolvate E6. Să se cerceteze dacă punctele P, Q și R sunt coliniare, unde: a) 5(1, 2), 0(2, -1), 5(3, -3); b) P(-l, 4), Q(0, 5), 5(2, -3) R: Condiția de coliniaritate se scrie {xPyQ -ypx^ + (xy yK - y^xp) + (xK yP -yR xP) = 0. a) Avem (1 • (-|)-2 ■ 2) + (2 ■ (-3)- (-|) • 3) + (3 • 2-(-3) l) = 0, deci punctele sunt coliniare. b) Avem ((-1) • 5 - 0) + (0 - 5 ■ 2) + (2 • 4) - (-3) • (-1) = -10 0, deci punctele nu sunt coliniare. 199 Observație. Fie trei puncte distincte P, Q și R. Dacă dreptele PQ și QR nu sunt verticale, avem: P, Q și R sunt coliniare <=> dreptele PQ și QR au pante egale Astfel, rezolvarea constă în testarea egalității mPQ = mQP (care este echivalentă cu condiția de coliniaritate scrisă mai sus). E7. Fie punctele 4(4, 2), 5(3, -3) și C(m, m + 1), unde m g IR. Aflați valoarea lui m astfel încât punctele A, B și C să fie coliniare. R: Se constată imediat că punctele sunt distincte, V m e IR. înlocuind în condiția de coliniaritate, avem: (4(-3) - 2 • 3) + (3(m + 1) - (-3m)) + (2m - 4(m + 1)) = 0 <=> 4m - 19 = 0. Prin urmare, punctele sunt coliniare <=> m = 19 4 ’ Scrieți ecuația dreptei care trece prin A și are panta m\ a) 4(2, 5), m = 3 ; b) 4(0, 0), m = -2; Scrieți ecuația dreptei d care trece prin punctul A, iar unghiul dintre d și axa Ox are măsura oc, unde; a) ^(-3, 4), a = y; b) A(2, 3), a = y; c) J(0, 0), a = -y. Scrieți ecuația unei drepte d care are panta m = -3 și intersectează axa Oy într- un punct situat la distanța 2 față de origine. Scrieți ecuația unei drepte d care intersectează, axa Oy într-un punct situat la distanța 5 față de origine și unghiul dintre d și axa Ox are măsura: a) 60°; b) - 45°; c) 0°. Scrieți ecuația dreptei AB, unde: a)^(-3, 1), 5(1,2); b) 4(0, 2), 5(-l, 0); c) 4(2, 1), 5(2, -5); d) AQ, -3), 5(3, -3). Scrieți ecuația medianei vârfului C în triunghiul ABC, unde A(5,0), 5(1,2) și C(-3, -2). Scrieți ecuațiile medianelor triunghiului ABC, unde: a) 4(5, 3), 5(-4, 1) și C(2, -4); b) 4(3, 2), 5(5, -2) și C(l, 0). Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul 4(-5, 3) și intersectează axa Ox într-un punct situat la distanța 3 față de originea O. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Dacă 5(3, -1) C(l, 4) și G(0, 2), scrieți ecuațiile dreptelor AB, BC și AC. Dreapta d : 3x - 4y -12 = 0 intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B. Aflați perimetrul și aria triunghiului AOB. Fie dreapta d : ax + by + c = 0, unde a, b, c e IR*. Arătați că dreapta d inter- sectează axa Ox într-un punct A * O și axa Oy într-un punct 5 0 și calculați aria S a triunghiului AOB. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul 4(3, 2) și intersectează axa Ox în B și axa Oy în C astfel încât distanțele OB și OC să fie egale. y Fie dreapta d : — + — = 1. Scrieți ecuația simetricei dreptei d în raport cu: a) axa Ox; b) axa Oy; c) originea O. 200 Arătați că punctele A, B și C sunt coliniare, unde: a) A(0, -3), 5(1, 1), C(|; 3); b) A(l, -2), 5(-3, 7), C(3, -10). Determinați p e IR astfel încât punctele A, B și C să fie coliniare, unde: a)/t(l,-2),/?(2, 4), C(p,p\ b) A(p, 2), B(2p + 1, -1), C(3p + 2, 3); c) A(2, p - 5), B(5, -1), C(-3, -1). Fie punctele A(Z, 0), B(3, 6) și C(0, 3). Dreapta BC intersectează axa Ox în D, iar dreapta AB intersectează axa Oy în E. Arătați că mijloacele segmentelor [O^], [AC] și [DE] sunt coliniare. 3.1. Reprezentarea vectorială a unei drepte Considerăm un punct A g 0^ și un vector nenul u în & Există o singură dreaptă d care are proprietatea că trece prin A și are aceeași direcție cu u (adică d este paralelă sau confundată cu dreapta suport a unui segment orientat AB g u ). 1. Considerăm un punct oarecare M e d. Deoarece vectorii AM și ii sunt coliniari, rezultă existența unui număr real unic determinat t = t(M), cu proprietatea AM = tu => OM - OA = tu OM = OA + tu. Am demonstrat incluziunea da {OA + tu 11 g IR}. 2. Reciproc, dacă M g X? este un punct care are proprietatea că vectorul său de poziție se exprimă sub forma OM = OA + tu, unde t g IR va rezulta că AM = OM - OA = tu, adică ^Afare aceeași direcție cu u. înseamnă că M e d, deci avem și incluziunea { OA + tu 11 e IR} cz d. Astfel am demonstrat: Teoremă. Fie un punct A g CP și u un vector nenul din & Fie d unica dreaptă care trece prin A și are aceeași direcție ca u. Atunci, avem egalitatea d= (OA + tu 11 e IR}. Definiție. în condițiile teoremei: * vectorul u se numește vector director al dreptei d', * egalitatea OM = OA + t ii, t g IR se numește ecuația vectorială a dreptei d care trece prin punctul A și are direcția dată de ii. 201 Observații: 1. O dreaptă d ca mai sus are o infinitate de vectori directori. într-adevăr, dacă u este vector director al dreptei d, atunci ru este vector al lui d, pentru orice re IR*, deoarece t u = — (ru). r 2. Dacă U, V sunt două puncte distincte ale dreptei d, atunci UV este vector director al lui d. într-adevăr, cum U, V d există t, s g IR, Z s, astfel încât avem OU = OA +t îi, OV = OA+s w,deci UV = OV - OU = (s - t)d . * Pe baza acestor observații, dăm următoarea: Definiție. Direcția unei drepte d este direcția unui vector director u al lui d (adică mulțimea tuturor vectorilor nenuli coliniari cu u). Spunem că direcția dreptei d este dată de u sau că d are aceeași direcție cu orice vector director u al său. * Să transcriem în coordonate carteziene egalitatea din teorema de mai sus. Să presupunem că punctul A g este dat prin A(xₐ, yA), iar vectorul u este dat prin u (oc, P), adică adică OA = xAi + yAj, u = ai + Pj . Cum îi este nenul, avem oc 0 sau p 0. Fie M(x,y) un punct din planul deci OM =xi +yj. Avem:OM = OA + tu. Relația vectorială OM = OA + tu este echivalentă cu egalitatea de perechi (x, y) = (xA + ta, yA + zP) care, la rândul ei, este echivalentă cu două relații „scalare“: x = xA + toc și y = yA + zp. Am demonstrat echivalența: (x, y) e d <=> x = Xj + toc și y = yA + zp. (1) Din (1) rezultă că putem scrie dreapta d în coordonate carteziene astfel: d = {(x, y) | x = xA + toc și y = yA + zp, t e IR} sau d = {(xA + toc, yA + ZP) | te IR} (2) Egalitatea (2) se scrie mai comod astfel: (x = x₄ +ta 1 , / e IR. [y = y, + 'P 202 3.2. Reprezentarea parametrică a unei drepte Să considerăm numerele reale p, 7 și oc, P, cu a 0 sau p 0. Cu ajutorul lor definim mulțimea d = {(x, y) | x = p + ta și y = q + zp, t g IR} (3) Atunci este evident, folosind (2), că d este o dreaptă, anume dreapta care trece prin punctul A(p, q) și are direcția dată de vectorul u (a, p). Definiție. Spunem că perechea de egalități x = p + ta și y = q + zp, t e IR reprezintă ecuațiile parametrice ale dreptei d. Numerele a, P se numesc coefi- cienții directori ai dreptei d sau parametrii directori ai dreptei d. Dacă dreapta d are ecuațiile parametrice de mai sus vom scrie (x = p + ta d \ < , Z g IR. ly=q + 'P Caz particular. în cazul unei drepte date sub forma explicită d : y = mx + n, [x = t reprezentarea parametrică este imediată d : < , Z g IR. [ y = n + mt Parametrii directori sunt (1, iar dreapta trece prin punctul (p, q) = (0, n ). Exemple 1. Dreapta d care trece prin A(-3, 5) și are u (3,2) ca vector director, are ecua- f x = -3 + 3Z țiile parametrice d : | , Z g IR. Graficul lui d se află în figura 18. Dând lui t diverse valori, obținem puncte care aparțin lui d. De exemplu, pentru Z = -1 avem 5(-6, 3), iar pentru t = 1 avem C(0, 7) Punctul A se obține pentru t = 0. Ecuația vectorială a dreptei d este OM = OA + tu , adică xi +yj ⁼-3z+5 j+t(3i + 2j), Z g IR. Fig. 18 2. în exemplele care urmează, fiind date ecuațiile parametrice ale unei drepte d, se obțin un punct A g d și un vector u care dă direcția lui d, iar apoi se reprezintă grafic dreapta. 203 f x = 2 + 5/ d: < , Z g IR [^ = 4 —3Z J(2,4), «(5,-3) (x — 2 d : < , t g IR [y = 4 + 6Z ^(2,4), z7(0, 6) fx = 2 + d: < , Z g IR. b = 4 >1(2,4), w (3, 0) Observație. Ecuațiile parametrice ale dreptei care trece prin punctele A(xₐ, yA) B(xₛ, y^) sunt: (x = X Ă +t(xₙ ~X Ă) AB : J A v B AJ ,t g IR. 1^ = ^ +t(yB -yA) 3.3. Relații între diferite tipuri de reprezentări ale dreptelor Reprezentarea parametrică - reprezentarea vectorială Echivalența între aceste reprezentări este aproape evidentă. 1. Considerăm reprezentarea parametrică a dreptei d [x = p + ta d: 1 , Z g IR. Ir = 4 + 'P (1) Observăm că pentru Z = 0 obținem (p, q) g d, iar vectorul u (a, p) este nenul. De aici rezultă că reprezentarea vectorială a lui d este d\~OM = ~OA+tu (2) unde A(p, q) g d, iar w este vector director. Dreapta d astfel reprezentată trece prin A și are direcția dată de u. 2. Invers, dacă avem dreapta d care trece prin A(p, q) și are direcția dată de vectorul u (a, p), obținem pentru d reprezentarea vectorială de la (1). Reprezentarea carteziană generală - reprezentarea parametrică (reprezentarea vectorială) 1. Fie dreapta d : ax + by + c = 0 (3) • Dacă a = 0 obținem dreapta orizontală d : y = care trece prin b c A(p;-—) și are direcția dată de u = i , undep este arbitrar. b Obținem ecuația vectorială d : OM = OA + ti și, echivalent, reprezentarea parametrică d: < x = p + t c ,t^^ (parametrii directori (1, 0)). y⁼~b 204 • Dacă b = O obținem dreapta verticală d : x = care trece prin A(-— , q) a a și are direcția dată de u = j unde q este arbitrar. Obținem ecuația vectorială d : OM = OA + t j și, echivalent, reprezentarea parametrică d : < a , î e IR (y=q+t (parametrii directori (0, 1)). • Dacă a * 0 și b 0, procedăm după cum urmează. Considerăm un punct oarecare A(p, q) g d și reprezentăm parametric pe d astfel: [x = p — tb d : < , Z g IR (parametrii directori (-b, a)) (4) [y = q + ta [x = p + tb d \ < , t g IR (parametrii directori (b, -a)) (4') [y = q - ta De obicei se ia (p, q) = (0; -Ș-) sau (p, q) = (-— ; 0). b a De exemplu, vom considera (4) și vom obține ecuația carteziană de la (3). în acest scop eliminăm parametrul t între ecuațiile (4), adică obținem o relație între x și y în care nu mai apare t, după cum urmează: *-p ₌ y-q -b a <=> ax + by - ap - bq = 0 <=> ax + by + c = 0, deoarece A(p, q) g d, adică ap + bq + c = 0. Am obținut dreapta de ecuație carteziană generală A : ax + by + c = 0. Faptul că A = d rezultă astfel: știm că d (dată de (4)) și A reprezintă drepte, în plus, d cz A deoarece orice punct M(t) g d unde M(t) are coordonatele (p - bt, q + ai), ceea ce se vede prin verificare imediată: a(p - bi) + b{q + at) + c = ap + bq + c + t(-ab + ab) = 0. Din (4) și (4') obținem ecuația vectorială a lui d d : OM — O A + tu unde A(p, q) d ca mai sus și u (-b, a) este vector director (puteam lua și iz (b, -a), conform cu (4')). Observație. Din cele de mai sus rezultă că dreapta ax + by +c = 0 admite u (-b, d) ca vector director. în particular, dreapta y = mx + n admite w (1, m) ca vector director. De asemenea, dacă dreapta y = mx +n admite v(a, p) ca vector director, atunci a 0. Cum vectorii u (1, m) și v(a, P) sunt coliniari, rezultă m = —. a 2. Invers, să considerăm dreapta d dată prin reprezentarea parametrică [x = p + ta ------ —- d : < , / g IR. Evident, d se poate da vectorial prin d: OM = OA + tu , b = q + 'P unde A(p q) și u(a, Ș). Vom obține reprezentarea carteziană generală a lui d după cum urmează. 205 Dacă a = O, atunci d || Oy sau d = Oy, deci d : x -p = 0. Dacă P = O, atunci d || Ox sau d = Ox, deci d : y - q = 0. x — p Dacă cc * O și p O, cele două relații se scriu---------------= Z și = t ceea ce ne permite să eliminăm parametrul t: p ₌ y-q oc P <=> y - q = — (x -p) «o P% - ocy + aq - p/? = 0. oc Exemple 1. (trecerea de la ecuația generală la ecuațiile parametrice) * Dreapta d : x - 3 = 0 trece prin ^(3, 0) și u (0, 1) este vector director, deci [x = 3 d : < , t e IR. [y = t * Dreapta d : y - 5 = 0 trece prin A(0, 5) și u (1, 0) este vector director, deci {x-t d: < , Z e IR. 1^ = 5 * Fie dreapta d : 3x -y + 6 = 0. Pentru x = 0 avem y = 6, deci ^(0, 6) e d, \x-t iar u (1, 3) este vector director. Prin urmare d\ < , Z e IR. [y = 6 + 3t Pentru y = 0 avem x = -2, deci altă reprezentare parametrică a aceleiași drepte este d: x = -2 +1 y = 3t , Z e IR. 2. (trecerea de la ecuațiile parametrice la ecuația generală) * Dreapta d : < trece prin A{-3, 5) și u(3, 2) este un vector [j, = 5 + 2z director al lui d. Pentru a scrie ecuația generală, avem -p- = Z și ⁼ deci ᵥ + 3 y-.5 2 = «y-5=-(x + 3)«2^-3j^ + 21=0. [x = 2 * Dreapta d : < are ecuația generală x - 2 = 0. [j/ = 4 + 6z * Dreapta d: < are ecuația generală y - 4 = 0. ^ = 4 206 Scrieți un vector director al dreptei d, unde d are ecuația: a) 5x + 4y-3 = 0; b)^=7x-3; c)3x-2 = 0; d)5^=3. Dacă u (cc, P) este un vector director al unei drepte d, aflați măsura unghiului dintre d și axa Ox, unde: a)w(l, 71); b)w(2,-2); c) w(-V3,L); d) u (0,4); e)w(5,0). Scrieți ecuațiile parametrice ale dreptei d, definită astfel: a) d trece prin 4(1, 2) și are u (3, -1) ca vector director; b) d trece prin originea O și are u (3, 4) ca vector director; c) d trece prin A(l, 7) și este paralelă cu axa Oy; d) d trece prin punctele 4(-l, 5) și £(2, -4). fx = 1 -4/ Fie dreapta d : < , unde t g IR și - -4/, 3 + t) un punct al dreptei d. [j^ = 3 + / a) Se cer coordonatele punctelor M \ , Mo și b) Pentru ce valori ale lui t se obțin punctele de intersecție ale lui d cu axele de coordonate? c) Care dintre punctele A (-3,4), B(l, 1), C(9, 1), D(3, 8) aparține dreptei dl d) Care este punctul comun al dreptelor d și d : x - y + 2 = 0? Găsiți ecuația generală a dreptei d, unde: f x = 1 + t f x = 2 f x = 5 + / a) d : < b) d : < c) d : < [y = 1 - 3/ [j/ = 2 +t b⁷ ⁼ 1 Găsiți ecuațiile parametrice ale dreptei d, unde: a)y=2x-3; b)5x-y=0; c) y + y = 1; d) = X|2;e)2r-3 = 0. 4.1. Drepte date prin ecuația carteziană generală Se consideră dreptele d : ax + by + c = 0, d : a'x + b'y + d = 0. După cum se știe, aceste două drepte pot fi în următoarele situații una față de cealaltă: I) concurente; II) paralele; III) confundate. Situația III) a fost caracterizată astfel: d = d « există t 0 astfel încât a' = ta, b' = tb, d = tc. în continuare, ne vom ocupa de situațiile I) și II). Pentru comoditatea exprimării, vom spune că dreptele d și d sunt în relația (P) dacă există / / 0 cu proprietatea d =ta și b' = tb. Prin urmare, avem echivalența: d= d <=> d și d' sunt în relația (P) și, în plus, d = tc. Propoziția 1. Dacă dreptele d și d sunt în relația (P) și d d, atunci d și d sunt paralele. 207 Demonstrație. Prin ipoteză există t 0 astfel încât a' = ta, b' = tb și, în plus, c' tc. într-adevăr, dacă am avea c' = tc ar rezulta d= d'. Prin urmare, d: ax + by + c = 0 (1) și d' : a'x + b'y + c' = 0 o tax + tby + c' = 0 ax + by+ =Q (2) Dacă d și d' nu ar fi paralele, ar rezulta că există un element (x₀, y₀) e do d'. Din (1) și (2) ar rezulta ax» + by» + c = 0 și ax» + by» + y- = 0. Prin scădere c> obținem c —— = 0, ceea ce este fals. * Vom folosi, un rezultat demonstrat anterior, anume propoziția 5 de la paragraful 3, cap.7. O consecință a acestui rezultat este: Propoziția 2. Dreptele d: ax + by + c = 0 și d' : a'x + b’y + c' = 0 sunt în relația (P) dacă și numai dacă ab’ - a’b = 0. în sfârșit, vom demonstra: Propoziția 3. Dacă dreptele d și d’ nu sunt în relația (P), atunci d și d’ sunt concurente. Demonstrație. Avem de arătat că dacă d și d’ nu sunt în relația (P), atunci \ax + by + c = Q intersecția d n d’ are un singur punct. Cu alte cuvinte, sistemul < [a'x + b 'y + c' = Q are soluție unică. Să presupunem, de exemplu, că a 0. Atunci ax + by + c = 0 — y — — a a Sistemul este echivalent cu: b c x =—y — a a >( b c\ u , ₐ a\--y---\ + by + c =0 \ a aj x = -—y a < ab'-a'b c a _ a'c-ac a a Conform propoziției 2, avem ——— 0. Sistemul nostru este echivalent a cu sistemul < b c x⁼~~y~~ care are soluție unică. La fel se tratează cazul b^Q. _ a'c-ac' ab'-a'b 208 Am demonstrat: Teoremă (poziția relativă a două drepte în plan) Fie dreptele d: ax + by + c = 0 și d’ : a’x + b'y + c' = 0. I) d și d' sunt concurente <=> ab’- a' b^O; II) d și dr sunt paralele o există t g IR* astfel încât a' = ta, b' = tb și c' te; III) d și d' sunt confundate <^> există t g IR* astfel încât a' = ta, b' = tb și d = tc. Observații. în condițiile teoremei, rezultă: a) d și d' sunt paralele dacă și numai dacă ab' - a’b = 0 și avem ac' - a'c^O sau bc' - b'c 0; b) d și d' sunt confundate dacă și numai dacă ab' - a'b = 0, ac' - a'c = 0 și bc' - b'c = 0. De exemplu, dacă c c', atunci dreptele ax + by + c = 0 și ax + by + c' = 0 sunt paralele. Studiul poziției a două drepte d și d' poate fi prezentat ca discuție a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute. [ax + by + c = 0 Atașăm dreptelor d și d' sistemul (5) = < f . Pentru sistemul [ax + bfy + c = 0 (5) avem trei posibilități, fiecare fiind echivalentă cu o anumită poziție a dreptelor d și d'. I) (5) este compatibil și determinat (adică are soluția unică (x₍₎, yo)) <=> d și d' sunt concurente (în punctul M(x₀, ^«). II) (S) este incompatibil (adică nu are soluție) o d și d' sunt paralele. III) (5) este compatibil nedeterminat (adică are cel puțin două soluții, deci o infinitate de soluții) <=> d și d' sunt confundate. 209 Condiția de concurență a trei drepte date prin ecuația carteziană generală Teoremă. Considerăm dreptele d\. d₂ și d₃ date prin ecuațiile d\ : a\X + + Ci = 0 d₂ : a₂x + by? + c₂ = 0 d₃ : a₃x + b₃y + c₃ = 0 Dreptele d\, d₂ și d₃ sunt concurente dacă și numai dacă se îndeplinesc simultan următoarele două condiții: a) a.\b₂ - a₂b\ 0 și a₂b₃ - a₃b₂ 0 și - aₓb₃ 0; b) a।țb₂c₃ - bic₂) + a₂(b₃Ci - bic₃) + a₃(b|C₂ - b₂C[) = 0. Demonstrație. Dreptele d\, d₂ și d₃ sunt concurente dacă și numai dacă se îndeplinesc două condiții: 1) dreptele sunt două câte două concurente; 2) punctul de intersecție a două dintre ele (de exemplu di și d^ se găsește pe a treia dreapta (aici d^. Conform teoremei privind pozițiile a două drepte date prin ecuații generale, deducem că prima condiție este exact condiția a) din enunț. Să vedem la ce revine a două condiție. Intersectăm dreptelq di și d₂ bținând • x i + b\y + —0 . _ b{c₂ ~ ^2^1 ^2^1 ^1^2 sistemul < cu soluția unica xM = , yM = ------------ \a₂x + b₂y + c₂ = 0 D D unde D = aib₂ - a₂b{ * 0. Prin urmare, M{xₘ, yM) trebuie să satisfacă ecuația lui d₃ ceea ce revine la a₃xM + b₃yM + c₃ = 0, adică ^1(^3 - b₃c₂) + a₂(b₃ci - bic^ + a₃(bic₂ - b₂Ci) = 0 Regulă de memorare Scriem ai(b c-bc) + a₂{bc - b c) + a₃(b c - b c) = 0 și completăm indicii inferiori ai literelor b, c astfel: în prima paranteză (2, 3) și (3, 2), în a două paranteză (3, 1) și (1, 3), iar în ultima paranteză (1, 2) și (2, 1). Exercițiu rezolvat Arătați că dreptele di : x + y - 1 = 0, d₂ : tx - y - t = 0, d₃ : 3x + ty - 3 = 0, unde t g IR, sunt concurente dacă și numai dacă t g IR \ {-1, 3}. R: Trebuie să verificam condițiile a) și b) din teorema anterioară. Avem: a{b₂ - a₂bi = -1 - t 0 <=> t -1; a₂b₃ - a₃b₂ = ? + 3 0 (evident); <2₃6| - (7i/?₃ = 3 t^3. 210 A doua condiție este <71(^3 - ^2) + <72(^1 - 6iC₃) + ^₃(/?iC2 - 6₂Ci) = = (3 + z²) + t(-t + 3) + 3(-Z - 1) = 0, pentru orice t g IR Punctul de intersecție rezultă din rezolvarea sistemului (intersecția dreptelor d\ și di) „x + y -1 = 0 și tx - y - t = 0“. Obținem soluția (x, y) = (1, 0) deci cele trei drepte trec prin punctul M(l, 0). 4.2. Drepte date sub formă explicită Să particularizăm cele discutate până acum în cazul dreptelor date sub formă explicită. Teoremă. Fie dreptele d : y = mx + n și d' : y = m'x + n'. I) d și d' sunt concurente <=> m m'\ II) d și d' sunt paralele <=> m = ni și n n'\ III) d și d' sunt confundate <=> m = m' și n = n'. 4.3. Drepte care trec prin puncte date și au direcții date, reprezentate vectorial Fie d : v + Z w , Z g IR, d' \ v ' + su \ s g IR două drepte date astfel: * d trece prin punctul A(p, q) cu vectorul de poziție OA = v = pi + qj și are direcția data de vectorul director u = ai + Py , unde u 0. * d' trece prin punctul A(pf, qf) cu vectorul de poziție OA ' = v' =p'i + q' j și are direcția data de vectorul director u ' = ar i + P'y, unde u ' 0. Teoremă. în condițiile de mai sus: I) d și d' sunt concurente o vectorii directori u și u' nu sunt coliniari (adică sunt liniar independenți). II) d și d' sunt paralele <=> vectorii directori u și u' sunt coliniari și vectorii v - v', u nu sunt coliniari. III) d și d' sunt confundate <=> vectorii directori u și u f sunt coliniari și vectorii v - vr, u sunt coliniari. 4.4. Drepte reprezentate parametric Teoremă. Fie dreptele reprezentate parametric x = p + ta (x = p' + sa' și d' : < , Z, 5 g IR y=q+t$ ly = q + ^p' I) d și d* sunt concurente <=> aP' - a'P 0; II) d și d' sunt paralele <=> aP' - a'P = 0 și (p -/>')P -{q- q')ct 0; III) d și d' sunt confundate <=> aP' - a'P = 0 și (p -//)P - (q - g')a = 0. 211 Exerciții rezolvate El. Scrieți ecuația dreptei d care trece prin punctul A(-1, 3) și este paralelă cu dreapta A, unde A este reprezentată prin: [x = 4- 3t a)3x+3 = 0; b)2y=5; c)2x-4v+5=0; d) (j/ = -l + 2/ R: a) Cum A || Oy, rezultă d : x = -1. b) Cum A || Ox, rezultă d : y = 3. c) Cum d este o dreaptă oblică (fiind paralelă cu dreapta oblică A) ce trece prin A, avem d : y - 3 = m(x + 1), unde m = md este panta dreptei d. Cum d || A rezultă md = m^. Pentru a afla observăm că A are ecuația explicită y = |, deci • Prin urmare, ecuația dreptei d este y-3 = “ (x ⁺ l)<=>x-2y + 7 = 0. Altfel. Ecuația unei drepte care este paralelă cu d : 2x - 4y + 5 = 0 se poate scrie sub forma 2x - 4y + c = 0, c g IR (1). Punând condiția ca dreapta (1) să treacă prin A, avem -2 -12+ c = 0, deci c = 14. Rezultă că A are ecuația 2x - 4v + 14 = 0 <=> x - 2j/ + 7 = 0. d) Dreapta A trece prin punctul B(4, -1) și ii (-3, 2) este vector director al lui A. Rezultă că A are panta m^= —. Dreapta d trece prin punctul A(-l, 3) și are panta md = , deci are ecuația y - 3 = — (x + 1) « 2x + 3j/ - 7 = 0. E2. Stabiliți poziția relativă a dreptelor d și d’, unde: a) d : x - 3y - 2 = 0, d : 2x + y -1 = 0 b) d : x + 3y -1 = 0, d'\ 2 - 2x - 6y = 0 c) d : -x - y - 3 = 0, d : 3x + 3j, + 1 = 0 f x = 1 + 2/ (x = 2- s d) d : < , d : < , unde t, s g IR = 1 -1 (j/ = 2 + 5 rx = l + 2r [x = 3-4s e) d : < , d' : < , unde t, s g IR [7 = -5 - 3t = -8 + 6s R: La punctele a), b) și c) avem drepte oblice, deci putem aduce fiecare ecuație la forma explicită. 1 2 1 a) d : y = — x-------, d : y = -2x + 1 deci m = —, m' = -2. Cum m m' rezultă că d și d sunt concurente. Notăm d n d = {A} și rezolvând sistemu 5 3 format de cele două ecuații, rezultă A(—, \fd\y = —x+ —, d\y = —x + —, deci d= d. 3 3 3 3 c) d : y = -x -3, d' : y = -x - Cum m = m’ și n’ rezultă că dreptele d și d sunt paralele. d) Dreapta d are u (2, -1) ca vector director și panta m = , iar dreapta d are v(-1,1) ca vector director și panta m’ = -1. Cum m m' rezultă că d și d sunt concurente. Fie dr\d' = {A}. Să aflăm coordonatele punctului de concurență A. Metoda 1. Trecând la ecuația generală, avem d : x + 2y - 3 = 0 și d : x + y - 4 = 0. Rezolvând sistemul format de aceste ecuații găsim (x, y) = (5, -1), deci A(5, -1). Metoda 2. Cum A(xₐ, yA) g d n d rezultă că există t, s g IR astfel încât fx. =1 + 2/ fx, =2-s f 1 + 2t - 2 - 5 fs + 2r = l 1 Și 1 , deci < « < [7^=1-/ (yA=2 + s [l-t = 2 + s |^ + r = -l Obținem t = 2 și s = -3. Rezultă, de exemplu pe dreapta d, xA = 1 + 4 = 5 și yA=l-2 = -L e) Vectorul u (2, -3) este vector director lui d, iar v(-4, 6) este vector director 3 6 3 al lui d. Rezultă că pantele celor două drepte sunt m = și m' = . Cum m = m' rezultă că d și d au aceeași direcție. Dreapta d trece prin A(l, -5). Studiem dacă A aparține dreptei d. Avem: A(l, -5) g d <=> există s g IR astfel încât 3 - 4$ = 1 și -8 + 6s = -5 <=> 5 = . Prin urmare d, d au aceeași direcție și un punct comun deci coincid, adică d = d. 4.5. Familie de drepte Considerăm mulțimea dreptelor având ecuații de forma dₜ: (at + d}x + (bt + b'}y + ct + c' = 0, t g IR (1) O astfel de mulțime se numește familie de drepte. Discutarea proprietăților unei familii de drepte de acest tip se face după cum urmează. Pasul /.Se elimină valorile parametrului t pentru care avem simultan at + d = 0 și bt + b' = 0, pentru ca ecuația (1) să reprezinte efectiv o dreaptă. Pasul 2. Se grupează în funcție de t, scriind ecuația (1) sub forma echiva- lentă dₜ : (dx + b'y + c') + t(ax + by + c) = 0 (1') Dacă ecuațiile „coeficient⁴⁴ a'x + b'y + c' = 0 și ax + by + c = 0 reprezintă drepte, atunci mulțimea dreptelor de forma dₜ va fi sau o mulțime de drepte care trec printr-un punct fix, sau o mulțime de drepte paralele cu o direcție dată, sau o dreaptă fixă. 213 Exerciții rezolvate El. Se consideră mulțimea dreptelor dₜ: (t + 3)x + (Z - 2)y - 2/ -1 = 0, unde / g IR. a) Arătați că toate dreptele dₜ trec printr-un punct fix A. b) Arătați că pentru orice dreaptă A care trece prin A, cu excepția uneia singure, există un număr real Z(A) cu proprietatea că A = d^. R: Enunțul admite în mod tacit că d₍ sunt drepte veritabile. într-adevăr, nu putem avea simultan Z4-3 = 0șiZ-2~0. a) Grupăm în funcție de t, adică scriem: dₜ: (3x - 2y - 1) + t(x + y - 2) = 0. [3x-2j/-l = 0 Sistemul 4 are soluția unică (x, v) = (1, 1), prin urmare toate (x + y - 2 = 0 dreptele dₜ trec prin punctul A(l, 1). b) Invers, fie A o dreapta care trece prin A(l, 1). Dacă A este verticală, adică A : x - 1 = 0 vom lua Z(A) = 2, deci A = d₂. Dacă A nu este verticală, putem scrie A sub forma y - 1 = m(x -1) sau mx - y + 1 - m = 0, unde m este un parametru real. Vom arăta că pentru orice m -1, există u g IR* cu proprietatea că putem găsi t g IR astfel încât 3 + t = um, -2 + t = -w, —1 — 2Z = w(l - m). într-adevăr, din primele două relații rezultă 5 P 777 — 3 um -3=-u + 2^>u =-------------- => t = —u + 2 =----—, m + \ m 4-1 iar relația ultimă, -1 - 2t = w(l - m) se verifică. Pentru m = -1, avem dreapta x 4- y - 2 = 0, care nu poate fi scrisă sub forma dₜ. E2. Se consideră mulțimea dreptelor dₜ\ (Z + l)x + (Z 4-l)j? 4- 1 =0, unde Z g IR \{-1}. a) Arătați că toate dreptele dₜ sunt paralele cu o dreaptă fixă d (spunem că dreptele dₜ au aceeași direcție). b) Arătați că pentru orice dreaptă A paralelă cu d, cu excepția uneia singure, există un număr real Z(A) -1 cu proprietatea că A = d^. R: a) Scriem dₜ sub forma dₜ: x + y 4- —= 0 (1) Z4-1 Se vede imediat că orice dreaptă dₜ este paralelă cu dreapta având ecuația d : x 4- y = 0. b) Invers, fie A o dreaptă paralelă cu d. Atunci putem scrie ecuația lui A sub forma ux 4- uy 4- v =0, unde u 0, v 0 sunt date. Vom arăta că există Z g IR, Z -1 astfel încât A = dₕ adică există s g IR, s 0 astfel încât 5-1 = u, s • —— = v. Z4-1 Rezultă că putem lua chiar s = u,t = -—- = — - 1 -1. v v Dacă ar exista Z g IR astfel încât d = dₕ ar rezulta —= 0, ceea ce nu este posibil. 214 Aflați poziția relativă a dreptelor d și d', unde: a) d : x + y - 3 = 0, d' : 2x + 3y - 8 = 0; b) d : y = x + 5, d' : 2x - 2j/ + 3 = 0; c) d : 2y = x + 4, d' : + y - 1 = 0. Arătați că dreptele d și d' sunt concurente și calculați coordonatele punctului de concurență, unde: a) d : x + 5y - 35 = 0, d' : 3x + 2y -27 = 0; b) d\ 14x - 9y-24 = 0, : 7x-2y- 17 = 0; c) d : 3x + 5 = 0, d' : y - 2 = 0. Dintre următoarele perechi de drepte, care reprezintă drepte paralele și care reprezintă drepte confundate? a) 3x + 5y- 4 = 0, 6x + lOy + 7 = 0; b) 3x + 5y - 4 = 0, 6x + 10y - 8 = 0; c) 2x -4y + 3 = 0, x - 2j/ =0; d) x -y^2 = 0, x^2 -2y = 0; e) y + 3 = 0, 5y - 7 = 0. Determinați a, b g IR astfel încât dreptele: d: ax + 3y - 8 = 0, d': 4x + by + 20 = 0 să fie: a) confundate; b) paralele. Fie dreptele d : ax - 2y -1 = 0, d’ : 6x - 4y - b = 0, a, b e IR. Determinați a și b astfel încât dreptele d și d' să fie: a) concurente; b)paralele; c) confundate. Fie dreptele d : mx + 8y + n = 0, d': 2x + my -1 = 0, m, n g IR. Discutați, în funcție de parametrii m și n, poziția relativă a dreptelor d și d'. {X — 1 + 2/ (x — — 4 5 și < unde t, s g IR sunt concurente y = t [y = 2 + 5 și determinați punctul de intersecție. [x = l + 2/ \x = 6as Fie a g IR și dreptele d : < și d’ : < unde t, s g IR. Să se [y = -\ + at [y = 4 + 3^ studieze pozițiile relative ale celor două drepte în funcție de valorile parametrului a. Discutați, în funcție de parametrul real m, poziția relativă a dreptelor d și d unde: a) d : (m + 2)x + 4y = 8 - 3m, d' :2x+ (m + 4)y = 8; b) d : 3mx + (3m + 2)y = m, d' : (m + l)x + 2my = m - 1. Fie punctele J(1, 0), #(-l, 3), C(4, 5), D(6, 7) și M(3, 4), A(4, 3) Considerăm dreptele d și d', unde d este dreapta care trece prin M și este paralelă cu AB, iar d' este dreapta care trece prin N și este paralelă cu CD. Arătați că cele două drepte sunt concurente și aflați punctul lor de intersecție. Arătați că ecuația dreptei care trece prin punctul M(xu, y₀) și este paralelă cu dreapta ax + by + c = 0 este a(x - x₍₎) + b(y - y₀) ⁼ 0. 215 Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul A/(2, -3) și este paralelă cu dreapta d, având ecuația: a)3x-7y + 3 = 0; b) 16x - 24y - 7 = 0; c) 2x + 3 = 0; d) 3y- 1 = 0. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul M(-3, 4)și este paralelă cu dreapta d, dată prin reprezentarea: x = 3 + t y = ^-lt a) —- - — J 2 3 b) t g IR. în triunghul ABC fie A', B’, C' mijloacele laturilor BC, CA, AB. Știind că A'(2, 3), Bf(-1, 2), C'(4, 5) scrieți ecuațiile laturilor triunghiului ABC. Două laturi ale unui paralelogram au ecuațiile x + y - 2 = 0 și 2x - y + 4 = 0, iar punctul 7(3, 1) este intersecția diagonalelor. Scrieți ecuațiile celorlalte două laturi ale paralelogramului. Fie familia de drepte dₘ : mx + (2m + 7)y - 5m + 2 = 0, m g IR. Aflați valoarea parametrului m pentru care: a) dreapta dₙᵢ are panta egală cu -1; b) dreapta dₙ₎ intersectează axa Ox în punctul A (-5, 0). Fie familia de drepte dₘ : (m - l)x + (2m - l)j/ = m - 5, m g IR. a) Arătați că dreptele dₘ trec printr-un punct fur. Aflați valoarea lui m pentru care dreapta dₘ are proprietatea: b) este paralelă cu Ox, c) este paralelă cu Oy\ d) trece prin origine; e) este paralelă cu dreapta A : 2x - 3y - 1 = 0. Pentru orice m g IR consideram egalitatea dₘ : (m + 2)x + (m- 2)y - 3m + 6 = 0 a) Arătați că dₘ reprezintă o dreaptă, pentru orice m g IR.. b) Reprezentați grafic dreptele d₍}, d^ și d₂ c) Arătați că toate dreptele dₘ trec printr-un punct fix A. d) Fie M(a, b) un punct din plan. Discutați, după valorile reale a și b, numărul dreptelor dₘ care trec prin M. e) Aflați valoarea lui m pentru care dₘ este paralelă cu dreapta de ecuație 3x + y - 3 = 0. Se consideră mulțimea dreptelor dₜ : (1 + 2t)x + (1 - 3t)y - 5 = 0, t g IR (se va verifica faptul că dₜ este o dreaptă, pentru orice t g IR). a) Arătați că toate dreptele df trec printr-un punct fix M. b) Arătați că pentru orice dreaptă A care trece prin M, cu excepția uneia singure, există un număr real Z(A) cu proprietatea că A = d,^. 216 Pentru orice t g IR considerăm ecuația dₜ: (7 - 3)x + (2/ - 6)y +3 = 0. a) Pentru ce valori ale lui t, ecuația dₜ reprezintă o dreaptă? b) Să se studieze familia dreptelor dₕ t e IR \ {-3}. Trec ele printr-un punct fix? Sunt paralele între ele? Există o dreaptă paralelă cu dreapta A : x + 2y = 0 care nu este de forma dp Arătați că toate dreptele familiei dₙ,: (t?7² + 6m + 3)x - (2m² + 18t?7 + 1)^ - 3m + 2 = 0, m g IR. trec printr-un punct fix. Să se studieze dacă următoarele trei drepte, date prin ecuațiile generale, sunt concurente: a) 2x + 3y - 1 = 0, 4x - 5y + 5 = 0, 3x - y + 2 = 0; b) 3x - y + 3 = 0, 5x + 3y - 7 = 0, x - 2y - 4 = 0; c) 2x -y + 1=0, x + 2y- 17 = 0, x + 2y - 3 = 0. Aflați valoarea m g IR pentru care sunt concurente dreptele: a) 2x -y + 3 + 0, x + y + 3 = 0, mx + y-13 = 0; b) 2x + my + 1 = 0, x -y + 7 = 0, x + y -1 = 0. Arătați că dreptele d\ : x - my = -1, d₂ 2x + y= m, d₃: 3x + (m - V)y = 1 -m,m g IR, sunt concurente dacă și numai dacă m g {-1, 1}. 217 Vom reaminti definiția și câteva proprietăți ale produsului scalar a doi vectori, care au fost studiate în clasa a IX-a. 1° Fie doi vectori î și v. Se numește produsul scalar al vectorilor u , v un număr real notat u • v definit astfel: * dacă, î și v sunt nenuli și unghiul vectorilor u, v are măsura a u • v = | u | • | v| cosa * dacă cel puțin unul dintre u , v este nul, atunci u • v = 0. 2° Vectorii nenuli u , v sunt perpendiculari (sau ortogonali) dacă și numai dacă produsul scalar al lor este nul, adică: u ± v <=> u • v = 0. 3° Produsul scalar u • u se numește pătratul scalar al vectorului îi și se notează u ², deci u • îi = u². Avem u² = u • îi = | î | • | u | cosO = | u |², adică u² = | u |², de unde obținem lungimea vectorului u , care este numărul | w | = . 4° Pentru orice vectori îi, v, w și orice X, p g IR au loc următoarele egalități, care exprimă proprietățile produsului scalar: 1) îi • v = v • îi; 2) u ‘ (v + w) = îl ' v + îi ' w, (îi + v) • w = îi • w + v • w; 3) îi • (XÎ) = X(îi • V); 4 ) (Ăw) ’ (pv) = Ă,p(w • v); 5) îi • (v — w) = îi • v - u • w. * Fie planul cartezian cu reperul Ox, Oy. Versorii i și j ai axelor sunt vectori ortogonali de lungime 1, deci | i | = 1, \J\ = 1 Și Z • 7 = 0. Fie în plan doi vectori ii (x, y) și v(x',y'), adică îi =xi + yj, v = x'i + y’ j. Să calculăm produsul scalar îi • v în funcție de coordonatele vectorilor u și v, aplicând proprietățile produsului scalar: u- V = (xi + yj) • (x'] +y'J) = xx'i² + xy’i • j +yx'j ■ i +yy'j². 218 Deoarece i ² = \i |² = 1, j² = |j |² = 1 și i • j = j-i = 0, rezultă î • v = xx' + yy'. Teoremă (expresia analitică a produsului scalar). în planul cartezian, produsul scalar al vectorilor u (x,y) și v(x',/) este u • v = xx' + yy'. Vom da în continuare câteva consecințe importante ale acestei teoreme. O condiție de perpendicularitate a doi vectori. Fie vectorii u (x, y) și v(x', y'}. Știm că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă au produsul scalar nul, deci u ± v <=> xx' + yy' = 0. Lungimea (norma) unui vector. Fiind dat un vector u (x, y), știm că lungimea lui îi este | u | = JH², unde u² = u • u = + y², deci | u | = ^x² + y² . Măsura unghiului a doi vectori. Fie u (x, y) și v(x', y') doi vectori nenuli și oc g [0, 7i] sau a g [0°, 180°] măsura unghiului acestor vectori. Avem îi • v = = | u | • | v| cosa, deci cosa = p: Prin urmare, cosinusul unghiului vectorilor îi (x,y), v(x',/) este dat de formula cosa = xx' + yy' Exerciții rezolvate El. Fie vectorii u (2,1) și v(l, -1). Arătați că există un vector w astfel încât w - u să fie perpendicular pe îi, iar w - v să fie perpendicular pe v. R: Fie (x, y) coordonatele vectorului w, deci (w - w)(x - 2, y - 1), iar (w - v)(x - 1, y + 1). Din relația (w - îi) ± îi rezultă 2(x - 2) + y - 1 = 0, iar din (w-v ) ± v rezultă (x - 1) - (y + 1) = 0. Rezolvând sistemul format de aceste 7 1 7 1 ecuații, obținem x= — ,y = — , deci w (y, —). E2. Calculați măsura unghiului vectorilor îi (3, 5) și v (-2, 1). u * v R: Avem cosa = , unde a este măsura unghiului ^(u, vY Calculăm u ■ v = 3(-2) + 5 • 1 = -1, |m| = V9 + 25= ^34 , |v| = ^4+7= ^5 , deci cosa = _. Unghiul <(u, v) are măsura a = arccos ~. VI70 l VI702 219 Calculați produsul scalar al vectorilor u, v unde: a) w(2,-1), v(l, 4); b) m (3,-1), v(0,2); c) w(|,2), v(-l,3). Determinați m g IR pentru care vectorii u , v sunt perpendiculari: a) u (2, m - 1), v(m +1,1); b) u (m, 1), v (m - 1, m - 4); c) u (m - 1, m), v(m + 2, 2m - 1). Calculați lungimea vectorului u unde: a) u (2, 7); b) u (-1, VI); c) u , 1). Fie a este măsura în radiani a unghiului vectorilor u și v. Calculați cosa, dacă: a) u (2, -6), v(-3, -4); b) u (3,4), F(-l, 1); c) u (1, 0), v(-l, 1); d) u (0, -1), F(-l, 1). Fie vectorii u (7, -2), v(2, 7) și w (21, -6). Aratați ca vectorii u și v sunt per- pendiculari, iar u și w sunt coliniari. Fie u (5, 4), v(7, -1) și w (-4, -11). Arătați că vectorii u + v și v + w sunt perpendiculari. Fiind dat u (2, -1), determinați un vector v astfel încât av=3și|v| = 3. Fiind dat u (4, 8), determinați un vector v astfel încăt u și v să fie perpen- diculari, iar (u + V2 v) • (u - 42 v) = 60. Teoremă (formula distanței dintre două puncte). Fie două puncte 4(%j, yA) și B(xb, yB). Distanța AB este AB = 0. Aflați valoarea lui m astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel. R: Triunghiul ABC este isoscel dacă AB = BC sau BC = AC sau AB = AC. 220 Avem AB¹ = m², BC² = 1 + (2m + l)² și AC² = (m - l)² + (2m + l)². Să studiem pe rând cele trei cazuri: AB² = BC² o m² = 1 + (2m + l)² <=> 3m² + 4m 4- 2 = O (imposibil). BC² = AC² <=> 1 = (m - l)² <=> 1 = |w -1| « 1 = m - 1 sau 1 = -m + 1. Reținem numai valoarea m = 2, deoarece în ipoteză avem m > 0. AB² = AC² <^> m² = {m- l)² + (2m + l)² <=> 2m² + m + 1 = 0 (imposibil). In concluzie, valoarea cerută este m = 2. E2. Fie triunghiul ABC, unde A(3, -5), B{-3, 3) și C(-l, -2). Calculați lungimea bisectoarei interioare a unghiului A. R: Fie D e [BQ piciorul bisectoarei interioare a unghiului A. Conform . . ᵤ. , BD AB ii- teoremei bisectoarei, avem —— = ——. Sa calculam: DC AC AB= 7(-3-3)² + (3 + 5)² = 10, AC = 7(~1-3)² + (-2 + 5)² = 5. Prin urmare, = y = 2, deci DB = (-2) DC. Coordonatele lui D sunt: ¹ r r oa a -3 + 2(-l) 5 Xd⁼ i_/_₉a (Xb ~ ⁼-----;---⁼ -7 > 1 z z ~ x 3 + 2(-2) I yr⁾⁼ T~(-^ ⁻ =-----;---= -, » 1 ț ZJ 3 J deci D(~, ). Prin urmare, AD = ^(~^3)C(^+5y = y 77. E3. Fie punctele A(-l, 6), 5(1, —2) și C(5, 2). Determinați măsura unghiului aa’ + bb’ = 0; b) Dacă d : y = mx + n, d’ : y = m’x + n’, atunci: d și d’ sunt perpendiculare <=> m • m’ = -1; I y = n 4- tei I y — r)f 4- vcyr c) Dacă d : < , d' \ \ , unde t, s g IR, atunci: (y = q + 'P Lr^' + ^P' d și d’ sunt perpendiculare <=> aa' + pp' = 0. Demonstrație. Fie u (e, f) un vector director al dreptei d și v(e’, f) un vector director al dreptei d'. Demonstrația se bazează pe echivalențele: d Ld' & u Lv o îi • v = 0 o ee’ + ff = 0, unde u și v sunt: a) u (-b, a), v(-b’, a’); b) w (1, m), v(l, mf, c) u (a, P), v(a', P'). Observație. Fie dreapta d : ax + by + c = 0 și u (-b, a) Un vector director al ei. Vectorul n (a, b) este perpendicular pe u, deoarece n • u = a{-b) + ba = 0, și se numește vector normal al dreptei d. Exerciții rezolvate El. {ecuația dreptei care trece printr-un punct și este perpendiculară pe o dreaptă data) Scrieți ecuația dreptei d care trece prin punctul 4(-3, 4) și este perpen- diculară pe dreapta A, unde A este reprezentată prin Y_i y 4-3 \x = 3 + t a) x - 2y + 5 = 0; b) ; c) < 2 3 J\y = A-7t R: La a) și b) dreapta A este oblică, și cum d ± A, rezultă că d este oblică. 222 Prin urmare d are o ecuație de forma y - 4 = m(x + 3), unde m = md este panta lui d și va fi determinată din condiția md • = -1. a) Avem y = J-x + deci de unde md = —- = -2, deci 2 2 2 m. y - 4 = -2(x + 3) c=> 2x + y + 2 = 0. 3 3 — 1 2 b) Avem y + 3 = — (x - 1), deci = — de unde md = -- = —, deci 2 2 3 2 y-4 = -j(x + 3)<=> x+3₌y~4 -3 2 c) Fie v(a, p) un vector director al lui d. Cum u (1, -7) este vector director al lui A, rezultă u • v = 0 <=> a - 7P = 0. Luăm a = 7 și p = 1, deci d trece prin fx = -3 + 7/ /((-3, 4) și are direcția v(7, 1). Prin urmare, d\ \ [y = 4 + / E2. (ecuația mediatoarei unui segment) Fie punctele A(-2, 1) și 5(3, -1). Scrieți ecuația mediatoarei segmentului AB, prin două metode, folosind faptul că mediatoarea unui segment este: a) dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui; b) mulțimea punctelor egal depărtate de capetele segmentului. R: Fie d mediatoarea lui [AB] (vezi fig. 5). a) Fie C mijlocul lui [AB], deci C(^-, 0). Ecuația dreptei d are forma y - 0 = m(x ~ y), unde m este panta lui d. Cum d ± AB, avem m • mAB = -1, unde m - yH ~ yA - deci w mAB ~ --------------ueci m — —. xB - xA 5 2 V/ (x. j?) Fig- 5 în final d: y = (x - y), adică d: 1 Ox - 4_y - 5 = 0. b)M(x,y) e d o MA = MB o MA¹ = MB¹ <=> (x + 2)² + (y-l)² = (x-3)² + + (y + l)² <=> Ax + 4 - 1y + 1 = -6x + 9 + 2y + lo lOx - Ay - 5 = 0. E3. (simetricul unui punct față de o dreaptă) Fie punctul A(l, 2) și dreapta d : 3x-y + 9 = 0. Se cer: a) coordonatele proiecției lui A pe dreapta d. b) coordonatele simetricului lui A față de dreapta d. R: a) Notăm cu P proiecția lui A pe dreapta d (fig. 6). Metoda 1. Fie P(a, b). Avem: Ped=>3a-b + 9 = 0, PA Ld^> mPA • md = -1 => -—7-3 = -1 => 3b - 6 = -a + 1 => a + 3b = 7. Rezolvând sistemul „3a -b + 9 = 0 a-\ și a+ 3b = 7“ obținem (a, b) = (-2, 3). 223 Metoda 2. Se scriu ecuațiile para- metrice ale dreptei AP. Vectorul normal al dreptei d, anume n (3, -1) este vector [x = 1 + 3/ director al lui AP, deci AP : < 13² ~ 2 - / Există t g IR astfel încât 5(1 + 3< 2 - t}. Cum P e d, avem 3(1 + 3/)- (2 -1} +9 = 0 O / = -1, deci P(-2, 3). Metoda 3. Se scrie ecuația dreptei AP ca fiind dreapta care trece prin A și este perpendiculară pe d, anume x + 3y = 7, și apoi se rezolvă sistemul „3x - y + 9 = 0 șix + 3^=7“. b) Notăm cu A!(d, b') simetricul lui A față de dreapta d. Punctul A' este simetricul lui A(l, 2) față de P(-2, 3), proiecția lui A pe d. Prin urmare, avem 2xₚ = a + a', 2yₚ= b + b', de unde a' = 2xₚ -a = -4 - 1 = -5 și b' = 2yₚ - b = 6 - 2 = 4. E4. Fie triunghiul ABC, unde A(3, 3), 5(1, 0), C(0, 2). Să se afle ortocentrul H și centrul cercului circumscris Q al triunghiului ABC. R: Fie A', B' picioarele înălțimilor din A, B, deci {H} = AA' n BB', unde 2 AA' : y - 3 = -2(x - 3), BB' : y = —(x - 1). Rezolvând sistemul format de <29 7^i <29 7^ ecuațiile dreptelor AA' și BB' obținem soluția (x, y) = —, — , deci . \ 8 4/ \ o 4/ Centrul Q al cercului circumscris se află, de exemplu, la intersecția mediatoarelor laturilor BC și AC, care au ecuațiile y — 1 = ~(x _ “X 5 3 3 — = (x ~ ”)• Rezolvând sistemul format de aceste ecuații, obținem 7 7 soluția (x,y) = (2, ț), deci Q(2, — ). Scrieți ecuația perpendicularei duse din punctul 4(-2, 1) pe dreapta d, dacă d are ecuația: a)v=3x-2; b)y + x=-l; c)2v-3x = 5; d)x + 2j/=0. Arătați că dreapta care trece prin punctul A(x₍₎, y₍₎) și este perpendiculară pe dreapta ax + by + c= 0 are ecuația b(x - x₀) - a(y - y^ = 0. Scrieți ecuația mediatoarei segmentului AB, unde: a) A(3, -1), 5(5, 4); b) A(4, 2), 5(4, -6); c) A(-4, 2), 5(6, 2). Fie punctele A(l, 1) și 5(3, 7). Găsiți un punct M pe Ox și un punct N pe Oy, astfel încât MA = MB, NA = NB. 224 Fie Q centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Se știe ca punctul Q are proprietățile: * este punctul de intersecție al mediatoarelor triunghiului; * este egal depărtat de vârfurile triunghiului. Folosind aceste proprietăți aflați prin două metode punctul Q dacă vârfurile triun- ghiului au coordonatele: a) A(0, 1), 5(1,-1), C(2, 0); b)A(2, 1), 5(-3, 2), C(-l, 1). Arătați ca triunghiul ABC este dreptunghic și aflați centrul Q și raza R a cercului circumscris triunghiului, dacă: a) A(2, 2), 5(-5, 1), C(3, -5); b) J(-l, 3), 5(3, 1), C(l, -3). Aflați ortocentrul triunghiului ABC, unde: a) A(l, 5), 5(-4, 3), C(2, 9); b) A(5, 6), 5(-l, 12), C(l, 0). Fie punctele H(l, 2) și A(-6, 2), 5(2, -2). Să se determine punctul C astfel încât H să fie ortocentrul triunghiului ABC. Scrieți ecuațiile laturilor triunghiului cu un vârf in punctul A (3, -4), știind că doua dintre înălțimile sale au ecuațiile lx-2y- 1 = 0, 2x - ly - 6 = 0. Dacă o latură a unui triunghi se află pe dreapta 2x - 3y + 6 = 0, iar 2x + y - 2 = 0, x + 3y - 12 = 0 sunt ecuațiile a două dintre înălțimile triunghiului, să se scrie ecuațiile celorlalte laturi. Aflați proiecția punctului A pe dreapta d, unde: a) A(-2, 3), d : 3x -y - 3 = 0; b) A(-6, 4), d : 4x - 5y + 3 = 0. Aflați simetricul punctului A față de dreapta d, unde: a) A(-2, 9), d : 2x - 3y + 18 = 0; b) A(5, 2), d : 3x + 2y - 6 = 0. Fiind date ecuațiile a două laturi ale unui dreptunghi, anume 2x - 3y + 5 = ' 3x + 2y —7 = 0 și un vârf al său A(2, -3), scrieți ecuațiile celorlalte două laturi. Fiind date ecuațiile a două laturi ale unui dreptunghi, anume x - 2y = 0, x - 2y + 15 = 0 și ecuația unei diagonale, Ix + y -15 = 0, aflați vârfurile dreptunghiului. Aflați vârfurile unui pătrat care are un vârf în punctul A(3, -2) și centrul în punctul 7(1,1). Fie în plan dreapta h : ax + by = 0 și punctul A(xₐ, yA). Fie punctul 5^, y₃) g h astfel încât AB ± h (punctul B este proiecția ortogonală a punctului A pe dreapta h). Lungi- mea segmentului AB se numește distanța de la punctul A la dreapta h și se notează d(4, A). Ne propunem să găsim o formulă care să exprime d(4, h). Vom scrie ecuațiile parametrice ale drep- tei d = AB. Fig. 7 Știm că u (-b, a) este un vector director al dreptei h. Considerăm n (a, b) și constatăm că u • n = 0. Prin urmare n ± u, deci n este un vector director al 225 .A- — l dreptei d = AB, deci d : < , cu t g IR. Cum B g d, există Z₍₎ g IR astfel încât *13⁼ *a + yu ⁼ Va + hb, iar cum B g h, avem a(xA + + b(yA + tfi) + c = O, de unde a xA + b yA + c = -t^ + b¹} O Z₍₎ = - axA^by a+c . a~ +b~ Aplicând formula distanței dintre două puncte avem: d(A, h) = AB = ^(xH -xAy +(yH -yA)² = IM Ja² +b² de unde d(/l, h) = +byA+c a² + b² a² + b² . Astfel am obținut: Teoremă. Distanța de la punctul A(xₐ, yA) la dreapta h : ax + by + c = 0 este dată de formula d(,4, h) = |ax + byA + c| Ja² +b² Exemplu Distanța de la punctul A(2, 4) d(A, h) = |^₊2^-l| _ |2 + 8-l| VT+7 V? la dreapta h : x + 2j^ - 1 = 0 este 9 Verificare: calculăm distanța de la A la h pe altă cale, anume calculăm AA', 1 2 unde A' este proiecția lui A pe dreapta h. Coordonatele lui A sunt ț)? deci AA = Exerciții rezolvate El. Scrieți ecuația unei drepte d care este paralelă cu dreapta d' : 3x - 4y - 2 = 0 și se află la distanța 1 față de această dreaptă. R: Dreapta d fiind paralelă cu d', scriem ecuația lui d sub forma 3x - 4y + c = 0, unde c g IR va fi determinat. Aflăm un punct al dreptei d, de exemplu , 0) I— c — 2| și punem condiția ca d(J, d') = 1. Rezultă: j¹ = 1<=>|c + 2| = 5oc + 2 = 5 sau c + 2 = -5 <=> c = 3 sau c = -7. Prin urmare, există două drepte paralele cu d' și situate la distanța 1 față de d', anume 3x - 4y + 3 = 0, 3x - 4y - 7 = 0. E2. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul A(-l, 5) și se află Ia distanțe egale față de punctele B(3,1), C(l, -1). R: Metoda 1. Ecuația unei drepte care trece prin A(-1, 5) este x = -1 sau h : y - 5 = m(x + 1), m g IR. Distanțele punctelor B și Cla dreapta x = -1 nu sunt egale. Să aflăm m astfel încât d(5, h) = d(C, h): 226 |3m - 7 + m + 5| _ \m + 1 + m + 5| Vm² +1 m² +\ O \4m - 2| = |2/7? + 6| O <=> |2m - 11 = \m + 3| C=> Im - 1 = m + 3 sau 2m - 1 = -m - 3 <=> A 2 <=> m = 4 sau m = — . 3 Prin urmare, există două drepte care trec prin A și sunt egal depărtate de B și C, anume 4x-y + 9= 0 și 2x + 3y -13 = 0. Metoda 2. Constatăm că A, B și C nu sunt coliniare. Considerăm dreapta d} care trece prin A și este paralelă cu BC, și dreapta d₂ care trece prin A și prin mijlocul lui [5CȚ Constatăm că dreptele di și d₂ îndeplinesc condițiile problemei. Ecuațiile bisectoarelor unghiurilor formate de două drepte concurente Fie dreptele concurente h : ax + by + + c = 0 și h' : a'x + b'y + c' = 0. Dreptele h și h' formează patru unghiuri, opuse la vârf (și congruente) două câte două. Cele patru bisectoare ale acestor unghiuri formează două drepte perpendiculare d\, d₂. Să scriem ecuațiile acestor drepte. Fie M(x{}, Vo) un punct din plan. Avem echivalențele: M e d{ u d₂ <=> «d₍M, *) - d₍M, /o » - Ja^+b² de unde rezultă axQ + byQ + c 'la² + b² ± a'xQ + b'yQ + c' ^a’² + b'² Prin urmare, ecuațiile bisectoarelor unghiurilor formate de cele două drepte sunt: ax + by + c _ a’x + b'y + c' 'la² + b² 'la'² + b'² Exemplu Ecuațiile bisectoarelor unghiurilor formate de dreptele x + 2y = 0 și 2x - 1 ly + 30 = 0 sunt = ± 11—' ⁺ ? ᵤₙ₍jₑ obținem x + 7y - 10 = 0 V5 V125 și 7x -v + 30 = 0. Pentru a putea deosebi cele două bisectoare, se face apel la elemente suplimentare, de exemplu intersecția cu axele. 227 Aria unui triunghi în funcție de coordonatele vârfurilor Fie punctele A(xĂ, yA), B(xb, yB) și C(xc, ycf Presupunem că aceste puncte nu sunt coliniare și notăm cu 5 aria triunghiului ABC. Putem calcula S aplicând formula S = unde d(^, BC) este distanța de la punctul A la dreapta BC, cu alte cuvinte înălțimea triunghiului ABC. Scriem forma unitară a ecuației dreptei BC\ Fig. 9 (x - xB)(yc -yB) = (y- yB)(xc - *b) sau x(yc ~ yn) ~ y(xc - xB) - xB yc + yB xc = o Prin urmare, d(A, BQ - h(yc - ~ ~ _ y](xc -X^)² +(yc -yKy Numitorul expresiei anterioare este char distanța BC. Am demonstrat astfel: Teoremă. Aria S a triunghiului cu vârfurile A(xₐ, yA), B(xb, yB) și C(xc, yc) este dată de formula S= y K^ys-yA xₑ) + (xuyc-ynxc) + (xcyA-ycxAy Observație. Dacă punctele A, B și C sunt coliniare, atunci, conform condiției de colini- aritate a trei puncte, rezultă S= 0. Calculați distanta de la punctul A la dreapta h, unde: a)^(2,-l), h : 4 + 3y+10 = 0; b) A(Q, -3), h : 5x - 12y - 23 = 0; c)A(-2, 3),h :x=5; d) J(-2, 3), h :y = -1. Calculați distanța de la punctul A(l, -2) la dreapta h, unde h are ecuația: a) 4x - 3y-15 = 0; b) 4x - 3y - 10= 0; c)4x-3y=0. Arătați că distanțele punctelor A(-5, 7), B(0, -10) și C(8, -3) la dreapta h : 6x + 8y - 15 = 0 sunt numere în progresie aritmetică. în triunghiul ABC, unde A(—, 1), B(l, y) și C(3, 3), calculați lungimea înălțimii vârfului C. Calculați lungimile înălțimilor triunghiului ABC, unde A(2, 5), £(1,3) și C(7, 0). Fie mulțimea dreptelor d,ₙ : (m - l)x - (2w - 3)y - 4m + 1 = 0, m g IR și punctul A(4, 6). Determinați parametrul m astfel încât distanța de la?! la dreapta dₘ să fie egală cu 3. Găsiți distanța dintre dreptele paralele d și d', unde: a) 5x - I2y + 26 = 0, 5x - 12y -13 = 0; b) 12x - 16y - 48 = 0, 3x - 4y + 43 = 0. 228 Găsiți distanța dintre dreptele paralele d și d', unde d : ax + by + c = O, d' : ax + by + d = O, unde c d. Două laturi ale unui pătrat se află pe dreptele având ecuațiile 5x - 12y - 65 = O, 5x - 12y + 26 = 0. Aflați aria pătratului. Două laturi ale unui dreptunghi se află pe dreptele având ecuațiile 3x - 2y - 5 = 0 și 2x + 3y + 7 = 0, iar ^(-2, 1) este unul dintre vârfuri. Calculați aria dreptunghiului. Scrieți ecuațiile dreptelor paralele cu dreapta -2x + y + 5 = 0 și care se află la distanța V20 de punctul A(l, -2). Un triunghi are două vârfuri în punctele /1(1, 2) și ^(5, -1), iar al treilea vârf într-un punct C al axei Ox, astfel încât aria triunghiului să fie egală cu 4. Aflați punctul C. Aflați un punct A al dreptei 2x - 3y + 4 = 0 care se află la distanța 2 față de dreapta 3y - 4x = 0. Fie dreapta h : 5x + 12y - 1 = 0. Aflați mulțimea punctelor M din plan cu propietatea că d(Af, h) =5. Determinați pe axa Ox un punct A egal depărtat de originea O și dreapta 5x- 12y- 16 = 0. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin A(3, 5) și este egal depărtată de B(-7, 3) și C(11,-15). Calculați aria triunghiului ABC, unde: a) A(-l, 3), B(4, -1), C(3, 3); b) A(2, 5), BQ, -2), C(-A, 1); c) AQ,-2:), B(-4, 1), C(-l,0). Fie punctele A(l, -2), B(5, 4) și C(-2, 0). Scrieți ecuațiile bisectoareior unghiurilor formate de dreptele AB și AC. Metoda analitică este o metodă generală de abordare a problemelor de geometrie. Aplicarea ei presupune realizarea următoarelor etape succesive: 1) alegerea reperului, adică a originii și a axelor de coordonate (am discutat acest aspect la finalul cap.7, paragraful 2); 2) atribuirea de coordonate punctelor (fixe sau mobile) care intervin în problemă; 3) scrierea ecuațiilor care reprezintă analitic figurile geometrice din enunțul problemei, transpunerea proprietăților geometrice în relații algebrice; 4) efectuarea calculelor algebrice pe care le presupune rezolvarea problemei și transpunerea rezultatului în limbaj geometric. Vom ilustra metoda analitică prin rezolvarea unor probleme de geometrie referitoare la puncte și drepte din plan. Exerciții rezolvate El. Să se arate că suma distanțelor unui punct de pe baza unui triunghi isoscel la laturile congruente este constantă. R: Metoda 1 (analitică) Fie ABC un triunghi, isoscel, cu AB = AC. Dacă M este un punct punct mobil pe baza [5C] vom arăta că suma distanțelor lui M la laturile AB și AC este constantă (fig. 10). 229 Alegerea reperului: O = mijlocul lui [BC], Ox = BC, iar Oy = mediatoarea lui [BC]. Coordonatele punctelor se aleg astfel; * punctele fixe sunt C(c, 0), B(-c, 0) și A((), b), unde c > 0, b > 0; * punctul mobil M(fi, 0) unde X este un parametru, supus condiției X g [-c; c] deoarece M g [BC]. Rezolvarea problemei constă în a ^(-^0)/ 0) arăta că suma d(M, AC) + d(M, AB) este o M (Ă, 0) constantă, adică nu depinde de X. fig. io Scriem ecuația prin tăieturi a dreptelor AB și AC: AC : — + — - 1 = 0 sau bx + cy - bc = 0. c b AB : + — - 1 = 0 sau bx - cy + bc = 0. Atunci d(M, AC) = ? — cb b² + c² y b² + c² d(M, AB) = ⁺ . deoarece b > 0, |X| < c deci |X - c| = c - Ă, iar 4b² + c² Jb²+c² 2hc |X + c| = c + X. Prin urmare, d(M, AC) + d(M AB) = . = constant (1). Pentru 4b²+c² Qbc X = -c, avem M = B, iar (1) se scrie d(B, AC) = ■ ...■, ceea ce ne arată că valoarea W^² constantă a sumei este chiar înălțimea asociată unui vârf al bazei triunghiului isoscel. Metoda 2 (sintetică) Notăm aria unui triunghi MNP prin ,/^[MNP]. Avem , /d[ABC] = , /^[AMB] + + . A[AMC]. Notăm AB = AC = a și d(B, AC) = d(C, AB) = h. Cu aceste notații, avem: d(M, AB) • a + d(M, AC) • a = ^ha sau d(M, AB) + d(M, AC) = h = const. E2. Se consideră, în planul cartezian două puncte fixe B C și o dreaptă d cu proprietatea d BC. Să se determine locul geometric al punctelor G care sunt centrele de greutate (baricentrele) ale tuturor triunghiurilor ABC, formate atunci când punctul A parcurge dreapta d. R: Metoda 1 (analitică) Noțiunea de loc geometric poate fi considerată, din două puncte de vedere. 1. Din punct de vedere static (punctul de vedere al teoriei mulțimilor) numim loc geometric mulțimea punctelor din plan care au o anumită proprietate comună. Pentru a arăta că locul geometric al punctelor care au proprietatea A este figura geometrică F trebuie să arătăm că sunt îndeplinite două condiții: * orice punct cu proprietatea A se află pe figura F; * orice punct al figurii F are proprietatea A. Aici proprietatea punctelor G care formează mulțimea loc geometric F este aceea de a fi baricentrul unui triunghi ABC cu A g d: F= {G e AP\G este baricentru pentru AABC, Aed}. 230 2. Din punct de vedere cinematic, numim loc geometric traiectoria descrisă de anumite puncte mobile în .^care sunt obținute cu ajutorul altor puncte mobile, printr-un procedeu precis determinat. Aici, un punct mobil A(t), care are ca traiectorie dreapta d, generează la fiecare moment t triunghiul A(t)BC. Locul geometric F este tocmai, traiectoria lui G(t), când t parcurge axa timpului IR: F= {Gₜ g | G(t) este baricentru pentru &A(t)BC, când A(b) parcurge d}. în rezolvarea problemei de față vom adopta punctul de vedere cine- matic. Alegerea reperului (fig. 11): O = mijlocul lui [FC], Ox = BC, Oy = media- toarea lui [FC]. Scriem ecuația dreptei d = + at sub formă parametrică: < , ly=yo+^ t g IR. Trebuie să avem d BC deci y₀ 0 sau b 0. De asemenea, triunghiul A{t)BC degenerează în trei puncte coliniare dacă A(t) g Ox, adică dacă y =y₍} + bt = Q, iar punctele corespunzătoare acestei situații nu aparțin locului geometric. Știm că centrul de greutate G(t) are coordonatele x(f), y(t)\ ^(0 = ^(^i+^ + ^c)= z-(xo+at), y(t)= + 7c) ⁼ ^(yu + bt). j 3 j 3 Cazul b = 0. în acest caz y(t) = -j/o și 0. Am arătat că F cz A, unde 3 A : y = De fapt, avem chiar F = A, deorece dacă luăm un punct G e A, dreapta OG va intersecta dreapta d (care în acest caz este paralela y = y₍₎ la dreapta Ox) într-un punct A și G va fi baricentrul triunghiului ABC. Cazul b 0. Avem y(t) = -(y₀ + bt), de unde t = — (3y(0 - y₍₎), deci 3 b ~ ' x(î) = — (xo + — (3v(0 - Vo)). Scriind x(t) = x, v(t) = y, am obținut relația următoare între 3 b x și y, care este ecuația carteziană generală a unei drepte A: 3bx - 3ay - bx{} + ay ₍₎= 0. Prin urmare, am arătat că F cz A. De fapt avem F = 4\ ;0}. într-adevăr, luând un punct G e A, An Ox, vom putea scrie G(^- (x₍₎ + at), 3 — (Vo + bt)) cu t y₍₎. Se vede atunci că OG n d 0 deoarece OG nu este 3 b ’ paralelă cu d. Deci, fie OG r>d= {A}. Prin calcul se va obține A(x{} + at, y₍₎ + bt). în triunghiul ABC va rezulta că G este baricentru. în concluzie, locul geometric este o dreaptă paralelă cu d, mai puțin un punct. 231 Metoda 2 (sintetică) Dacă d || BC, atunci pentru orice A e d, există triunghiul ABC. Dacă dn BC= {Ay}, atunci B, C și A y sunt coliniare. Cazul d || BC. Fie un punct Ao e d și G» = baricentrul AA^BC. Considerăm un punct A e d, A * A» și G = baricentrul 2sABC. Avem , 3°^ = —, GA 2 GₒAₒ 2 deci . Conform teoremei lui Thales, rezultă G^G || d. GA GqAq Fie d' dreapta care trece prin G₍₎ și d’ || d. Am demonstrat: 1) dacă G este baricentrul unui kABC mAed, atunci G e df-, Reciproc, fie G d. Avem OGr\d^0ș\ notăm OGnd= {A}. Avem GGo || d , . ᵣ , • i i GO G.O . G.O 1 GO 1 deci, conform teoremei lui Thales, —— = ■■■ și cum , = —, avem —— = —. ’ ’ GA G₀A₀ ⁹ G₀A₀ 2 GA 2 Rezultă că G este centrul de greutate al AABC. Am demonstrat: 2) dacă G e d, atunci există Aed astfel încât G este baricentrul &ABC. Din 1) și 2) rezultă că locul geometric al lui G este o paralelă la dreapta d. Cazul d n BC 0. Notăm d r\ BC = {Ai}. Fie un punct Ao g d, Aₒ A{ și Go = baricentrul AAJ3C. Considerăm dreapta d' care trece prin Ao și d || d. Notăm d n BC = Analog cu cazul anterior se arată că locul geometric al lui G este d - { A(}. Observație. Dacă d este mediatoarea segmentului BC, atunci locul geometric este d- {O}. E3. Fie un triunghi ABC. Să se arate că locul geometric al punctelor M din plan care îndeplinesc condiția MB² + MC² = 2MA² este o dreaptă perpendiculară pe mediana din A R: Metoda 1 (analitică) Alegerea reperului (fig. 12): O = mijlo- cul lui [5C], Ox = BC, iar Oy = mediatoarea ui [5C]. Coordonatele punctelor: C(c, 0), B(-c, 0) și A(a, b\ unde b 0. Fie M(x, y) un punct din plan. Avem echivalențele: M are proprietatea MB² + MC² = 2MA² o (x + c)² + + y² + (x - c)² + y² = 2(x - a)² + 2(y - b)² O 2ax + 2by + c² - a² - b² = 0 (1) Conform teoremei, ecuației carteziene generale a dreptei, știm că ecuația (1) repre- zintă o dreaptă. Fie d dreapta de ecuație 2ax + 2by + c² - a² - b² geometric al punctelor cu proprietatea dată este dreapta d. = 0. Rezultă că locul Să observam că u (~b, a) este vector director al dreptei d. Mediana OA are OA = v ca vector director, deci v(a, b). Cum u • v = (~b)a + ab = 0, rezultă u 1 v, deci d este perpendiculară pe mediana din A. 232 Metoda 2 (sintetică) Fie M g un punct cu proprietatea MB¹ + MC? = 2MA². Cum MO este mediană în M3MC, conform teoremei medianei avem ^MC? = 2(MB² + MC?) - BC?, deci MB² + MC? = 2MC? + . Rezultă că punctul M verifică relația 2MO² + -y— = 2MA? sau MA² - MC? = = K (constant). Cum A și O sunt fixe iar MA² - MC? = constant, rezultă că locul geometric al lui M este o dreaptă perpendiculară pe OA. E4. în triunghiul ABC fie punctele M g [AC] și N e [AB] astfel. încât MN să fie paralelă cu BC. Notăm BM n CN = = {D}. Arătați că punctul D aparține medianei vârfului A în triunghiul ABC. R: Metoda 1 (analitică) Alegerea reperului și atribuirea co- - ordonatelor se realizează ca în figura 13. Fie MN : y = X, unde X g (0, a). Scriem ecuațiile prin tăieturi ale dreptelor AC și AB: AC : - + Z - 1= 0, AB : ț + Z c a ba - 1= 0. Rezultă M f X V a N(b(a-V l X . Scriem ecuațiile parametrice ale dreptelor BM și CN BM: X = b + t( b~^—^ V a CN: s,t e IR. .y = y = Pentru a afla coordonatele lui D rezolvăm sistemul , (, c(a-X)\ ( b{a-X)\ b + t\ b —-----L = c + 5 c -------- < V a ) V a ) t(-X) = s(-X) și găsim t = s = a , deci xD = (b +c) N? = N) X-2a X-2a X-2a Eliminăm pe X din relațiile (1) astfel (presupunem b + c 0): — b - ^- = + = 1. Rezultă că punctul D aparține dreptei + 1 a X-2a b+c a b+c a ( b -j- c i care are „tăieturile⁴⁴ I ——, 01 și (0, a\ adică este chiar mediana vârfului A. (1) X-a X-2a " 233 Metoda 2 (sintetică) Fie AD cy BC = {P}. Vom arăta că P este mijlocul lui [BC]. Aplicăm teorema lui Menelaus în &ABP pentru transversala N, D, C și în &ACP pentru transversala M, D₇ B: CP^NB^DA₌[ BP . MC . ZM _ ₜ zₙ CB NA DP ’ BC MA DP ' Conform teoremei lui Thales, MN II BC implică iar din C) “ v NA MA f rezultă 7—7 ⁼ -7^77 <=> CP = BP₇ deci P este mijlocul lui [BC]. Metoda 3 (sintetică) Fie P mijlocul lui [BC]. Vom arăta că punctele A, D, P sunt coliniare. în &BNCavem ’^7=4^' 4S ⁼ ¹ ■ Conform teoremei lui AB PC DN AB NM AB AN Menelaus, rezultă că punctele A, D, P sunt coliniare. E5. în paralelogramul ABCD fie punctele M g {AD), N g (BQ astfel încât A® ⁼ AB ⁼ & > că dreptele DN și BM sunt paralele. R: Metoda 1 (analitică) Alegem reperul ca în figura 14. Coordonatele sunt D(0, 0), A{a₇ 0) și C{c₇ d). Pentru B, ținem cont că ABCD este paralelogram, deci avem xB + 0 = xA + xc și yB + 0 = yA -r yc, de unde B{a + c, d). Avem M{ a ₇ 0), N{C^ j) deci MB {a + c - - -a---, d), iar 1 -F k 1 -F a 1 + k 1 + k , d). Rezulta ca MB =DN , deci MB și DN sunt paralele (în condițiile date, MB # DN). Metoda 2 (vectorială) Avem = (~k)MD de unde MA = (-k)( MA + AD), deci MA =^- AD . l + k Analog, din NC = {-k}NB rezultă ~NC = gA- CB sau CN = ~BC. Prin 1 + « 1 + k urmare, MA = CN. Aplicând relația lui Chasles, avem: DN = DC + CN = ĂB+M = MA+AB = MB. Cum DN = MB, rezultă că dreptele distincte DN și MB au aceeași direcție, deci sunt paralele. 234 E6. în triunghiul isoscel ABC, unde AB =AC, fie D mijlocul laturii BC, E proiecția lui D pe AC, iar F mijlocul segmentului DE. Arătați că dreptele AF și BE sunt perpendiculare. R: Alegem reperul și coordonatele ca în figura 15. Avem mAC = ———= , XC ~XA C Q iar din mOE • mAC = -1 rezultă mOE = —. a Ecuațiile dreptelor AC și OE sunt: AC: y = x + a, OE : y= —x. c a Rezolvând sistemul format cu aceste ecuații obținem e[ \a~ + c' a Rezultă imediat coordonatele lui F, anume xE = — xE, yE= —yE. ~yi; _ ac _ _ yA ~y/- _ Avem mBE----------—-------, mAI.------- xH—xₜ- 2a'+c xa~xf 2a² + c~ ac Prin urmare, mAE • mBE = -1, deci dreptele AF și BE sunt perpendiculare. E7. în triunghiul ABC, fie punctele D g [AB], E e [AC] astfel încât DE să fie paralela cu BC și punctele G, F g [5C] astfel încât DG ± BC și EF ± BC. Considerăm mijlocul P al laturii BC, mijlocul M al înălțimii din A și centrul N al dreptunghiului DEFG. Arătați că punctele M, N și P sunt coliniare. R: Alegem reperul și coordo- natele ca în figura 16. Rezultă 0) și A/(0, y). Scriem ecuațiile prin tăieturi ale dreptelor AB și AC: AB : f ~ - 1 = 0; b a AC: - + - 1 =0 c a Ecuația dreptei DE este DE ,.y='k, unde X g (0, a). Rezolvând două sisteme simple găsim D( b(a-k) a , Ă), E(C⁽-a X⁾, X), de a unde rezultă F{^———, 0). Punctul N este mijlocul lui [Z>F], deci obținem N( (a - X)(b + c) X 2a ’ 2 Avem echivalențele: M, N și P sunt coliniare o N g MP <=> coordonatele lui N verifică ecuația dreptei MP. x y i Scriind ecuația prin tăieturi, avem MP : + — = — (dacă b + c 0). (a-Wb + c) X *n , y» Cum xN =----------- ,Vn⁼ — rezulta --+-----= 2a ~ 2 b + c a a-k ₊ X ₌ J_ 2a 2a 2 în cazul b + c = 0, rezultă că B, C sunt simetrice în raport cu O și triunghiul ABC este isoscel, iar M, N și P se află pe înălțimea din A, deci sunt coliniare. E8. Fie ABCD un pătrat de latură a. Prin vârful C considerăm o dreaptă variabilă d care intersectează dreapta AB în M și dreapta AD în N, cu condiția M + N. Fie d' perpendiculara din A pe dreapta d. Arătați că dreptele NB, MD și d' sunt concurente. R: Metoda 1 (analitică) Alegem reperul ca în figura 17. Cum d intersectează ambele axe, rezultă că d este oblică, deci d.y-a = m(x - a), unde m g IR \ {0, 1}. Obținem imediat Af(a(l - —), 0), MO, a(l - m). Scriind m ecuațiile prin tăieturi, obținem MD: ™x + - = 1, a(m -1) a Fig. 17 NB: - + J = 1. a a(l - m) Dreapta d' care trece prin O și este perpendiculară pe d, are ecuația d' : x + my = 0. Se verifică imediat că dreptele NB, MD și d' sunt două câte două concurente. Fie NB n d' = {Q}, unde xq = am(m -1) m² - m + 1 y<> = a(l — m) m² -m + \ mxₙ Rezultă -----— a(m — 1) yp _ m² ! 1 -m a m²-m + \ m²—m + \ = 1, ceea ce ne arată că intersecția dreptelor NB și d' aparține dreptei MD. Metoda 2 (sintetică) Fie A' piciorul perpendicularei din A pe d. Conform teoremei lui Ceva, dreptele NB, MD și A A' sunt concurente dacă și numai dacă = 1 (1) ? BM A N DA v ⁷ Relația (1) este succesiv echivalentă cu: - = 1 o o * ⁷ AN BM AN DN AM² AN² BM AM ₌ BM_ DN AN AM AN DN AM ₌ BC_ AN AN • (adevărat). Prin urmare, relația (1) este adevărată, deci dreptele NB, MD și d' sunt concurente. 236 Pentru rezolvarea problemei E9 vom face o precizare și vom demonstra o propoziție care se referă la rapoarte de segmente orientate. Precizare privind semnificația raportului de segmente orientate . (1) MB Fie, în planul cartezian un reper cartezian xOy și punctele M, A, B pe axa Ox, M^ B. Putem calcula raportul de segmente orientate (1) în sensul definit în clasa a IX-a și să presupunem că obținem = t. MB Atunci am văzut că xM = {xA-txB)^yM= -^(yA-tyff) Deoarece M(xₘ, 0), A(xₐ, 0), BțxB, 0), rezultă că XM=(xA-txB) (2) Acum să considerăm aceleași puncte M, A, B pe dreapta carteziană Ox, deci A(xₐ), B(xb). Formăm, în spiritul geometriei analitice pe dreaptă raportul MA ₌ xA _ț, MB xB— x^ Atunci, din relația (2) obținem că t’ = t. Cu alte cuvinte, raportul (1) calculat pentru segmente orientate în plan sau pentru segmente orientate pe o dreaptă carteziană este același, ceea ce justifică folosirea aceleiași notații pentru ambele situații. Un rezultat similar se obține pentru puncte situate pe axa Oy. Propoziție. Se consideră în planul două drepte distincte d și d' și punctele M, A, B pe d, M B. Prin punctele M, A, B se duc trei drepte paralele între ele, respectiv dM, dA, dB care intersectează pe d' în punctele M*, A', B' respectiv. Atunci M¹ B' și avem MĂ ₌ MW MB M'B' (rapoartele se conservă prin paralelism). Demonstrație. Deoarece dM || dB, avem M¹ ^B’. Dacă notăm = t, ceea ce echivalează cu MB *u = y^y (xA-txAș\yM= Ț~(yA-tyB) (1) avem de arătat că x^ = ~y -z șî ⁼ yzy (y* -{y?) (²) unde A(xₐ, yA), A’(xₐ-, yA) etc. 237 în planul alegem un reper cartezian xOy astfel încât d' = Ox (fig. 18). Atunci A'(xA) 0), B'^x^ 0) și M¹ (xm, 0), deci a doua egalitate din (2) este în mod evident adevărată. Dreptele dA, dB, dM au parametrii directori (u, v) cu v 0, deoarece aceste drepte nu sunt paralele cu Ox. Reprezentarea parametrică este: X ⁼ XM ⁺ t\U y = yM ⁺ty Am : X = xA + t₂u Aa • S [y = yA⁺t2v x — xH+ t₃u y = yB⁺ⁱ3v AB : Intersecțiile M¹, A', B' ale acestor drepte cu d' = Ox de ecuație y = 0 se obțin astfel: y^ = o = yu + t\v => fi = —— V y# = o = yA + hv ^t₂ = V yff = Q=yB + t₃v^>t₃ = de unde rezultă XM ” XM + hu ” XM---yM V । . U *A' = *a + hu = xA--yA V , u xir = xB+t₃u = xB —yB v Folosind (1) obținem -j- (xA- -1 [fe -txB)~- (yA -1JB)] = l-z l-z v = XM - -yM = xM-, adică (2). V E9. Se consideră în planul două drepte (nu neapărat distincte) d și d'. Pe d se consideră punctele distincte M, A, B, iar pe d' se consideră punctele M\ A', Br astfel încât -^1 = A . Prin M, A, B se duc dreptele paralele între ele dM, MB M'B' dA, respectiv dB, iar prin M", A\ B‘ se duc dreptele paralele între ele d^, dA' respectiv dB> care se intersectează după cum urmează: dM și d^ în punctul m, dA și dA> în punctul a, dB și dB> în punctul b. Atunci punctele m₇ a, b sunt distincte, coliniare și avem ma ₌ MA M’A' ~mb ~MB k -MB* 238 R: Punctele m, a, b sunt distincte, fiind situate pe drepte paralele. Notând -^7 = / (1) totul revine la a arăta că (notații evidente) MB —(xₐ -1 xₕ) și yM = -J- (xₐ -1 xₕ) 1-/ 1-/ (2) Raportăm la un reper cartezian xOy cu Ox = d. Trebuie să considerăm următoarele două cazuri posibile: Cazul I: dreptele d^, dA>. d& nu sunt paralele cu Ox. Cazul II: dreptele d^, dA*, d^ sunt paralele cu Ox. Fîg. 19 Fig. 20 Cazul I. Aplicăm propoziția anterioara dreptelor d și d = Ox, tăiate de paralelele dA‘, d^, d m și obținem ₌ m⁹£ ₌ MA ₌ ₜ M'Bf MB unde Ai este intersecția lui dA- cu Ox, Bi este intersecția lui d& cu Ox și Mi este intersecția lui dAf, cu Ox. Avem reprezentările parametrice (cu notații evidente): dM • ) dA: x — xA + y = t₂v d^: x = + t₃u y = t₃v d w : x ⁼ x^ ⁺t^T y = ry (x = xA+t₁u X = Xi, ⁺T3r Observăm că avem v * 0 și V 0 (deoarece dreptele dᵤ, dA, dB și d’^, d'A’, d'& nu sunt paralele cu Ox). De asemenea, avem și uv’ - u'v 0 deoarece dM și d'br sunt concurente (la fel dA și dB și 239 Punctele de intersecție rezultă rezolvând sistemele următoare: m : R/ +t[U=XMᵢ + 7^' cu soluția Atunci și, similar xm{ ⁺ “ xm ⁺ ,u * ₜ _ V'^XM ~XM^ _VCXM~XM^ h----;------------;----f— uv -uv uv - uv u'v uv' Xm = XM ⁺ t\U = -----------7XM-------f------7X^ uv -uv uv - uv vv ------;{xm ~xm7> liv- uv ll'v uv' ‘a =~---------7XA------------7XAₓ uv -uv uv -uv vv' u'v - uv ~{XA ~XA,) și Xb = yₕ = u'v uv' ~ 7xb ; 7xbₓ uv -uv uv-uv vv' u’v - uv ya = = Din (3) avem f 1 z XM = —^XA-tXlA < 1 / yM = —fi* ~‘y^ Folosind aceste ultime relații, obținem egalitățile de la (2), grupând conve- nabil și dând factori comuni. Cazul II. Notăm intersecțiile lui d'A>, d'B>, d'M> cu Oy prin A\, B[y M\ și aplicând din nou propoziția anterioară,avem (v. (1)): ₌ M'A’ MW 1 / yM, = — (4) XM} = XAₜ = X8X = ⁰ în acest caz avem reprezentările parametrice dM: x = XM y = + t(U . \x = xA+t₂u dA ■ [y = t₂v x = xB + t.u dB : < - t₃v A>. X - T2 y = yA. d’ B’ x = t₃ y = yB. a M’ • S 1/ = yM{ cu v / 0 (deoarece dM, dA, dB nu sunt paralele cu Ox). 240 XM +t,U^T, = yMₗ Obținem punctul de intersecție m din sistemul V u +-yMₗ V Așadar xₘ = xM+ - yM și yₘ = yM v și similar . u . u xₐ = xA+ - yA Șl yₐ = yA; xₕ = xB+ - yB și yb = yB v ¹ ¹ V A doua relație din (2) este chiar (4). Deoarece avem și (v. (1)): xM = (xA -1 xB) rezultă prin grupare și prima relație din (4). Comentariu. Rezolvările precedente arată că alegerea axelor este de o importanță fundamentală. înainte de a trece la rezolvarea problemei următoare, vom aminti următorul rezultat: Un patrulater plan este convex dacă și numai dacă diagonalele sale se intersectează într-un punct interior celor două diagonale. Se vede atunci că cele patru vârfuri ale patrulaterului convex sunt distincte și oricare trei dintre ele sunt necoliniare. în enunțul care urmează se consideră că mijlocul unui segment degenerat (redus la un punct) coincide cu acel punct. E10. Fie ABCD un patrulater în planul & Următoarele afirmații sunt echivalente: a) ABCD este paralelogram; b) Pentru orice punct P g UP are loc următoarea proprietate de închidere: i) Notăm P = M\. Fie simetricul lui față de A, M₃ simetricul lui M₂ față de 5, = simetricul lui M₃ față de C, M₅ = simetricul lui față de D. Atunci M₅ = M[. c) Există un patrulater convex cu următoarea proprietate: A, B, C, D sunt respectiv mijloacele laturilor M₃M^ și R: a) => b). Paralelogramul ABCD poate fi dreptunghi sau nu. Fie P(u, v) un punct oarecare în 241 Cazul I. ABCD nu este dreptunghi (fig. 21). Fig. 21 Luăm axele astfel: Ox = AB, A = O, B(a, 0) cu a > 0. Apoi AD are ecuația y = mx. Putem considera că m > 0 alegând convenabil unghiul ascuțit al parale- logramului în A. Atunci, fie b > 0 astfel încât D = (b, mb). Deoarece BC are ecuația y = m(x - a) (fiind paralelă cu AD) vom avea C(a + b, mb). Considerând succesiv mijloacele laturilor, obținem 2^ - ₊ xMᵢ <=>0 = z/ + xMᵢ_ <=> xMᵢ = -u = yM[ + y^₂ <=>⁰ =v + yM₁ <=> y^ = deci M₂{-u, -v). Cu aceeași metodă: 2xR = xM + xM ' ^M₃(2a + u,v) ^y» = yM₁ + yM. 2xᵣ = x.ₜ + xᵤ < ³ ⁴ => MA^b - u, 2mb - v) ²yc =yM, +yMᵢ 2xₙ = xM + xᵤ < ⁴ ⁵ => M$(u, v) = M[(u, v) =yM ⁺y^₅ Cazul II. ABCD este dreptunghi (fig. 22). 242 Din nou luăm Ox = AB, A = 0, B(a, 0) cu a > 0. Putem scrie în continuare C(a, b) și D(0, b) cu b > 0. Pornind cu P(u, v) e PP arbitrar se obține în final din nou M₅ = M\, exact ca la cazul I. Observație. Cititorul va observa că dacă luăm P(u, v) e AB, în ambele situații, se obțin cazuri de degenerare (de exemplu, studiați cazul P = A ...). b) => c). Cazul I: ABCD nu este dreptunghi (fig. 23). Fig. 23 Axele se aleg ca la cazul I de la a) => b). Vom considera un număr t > 0 astfel încât t < ma și t < mb. Lucrăm ca la a) => b) cu u = 0 și v = t. Pornim cu M\ (0, t) și facem în continuare construcția de la a) => b) obți- nând â/2(0, -t), M₃(2a, t), M₄(2b, 2mb - t). Evident A, B, C, D sunt mijloacele laturilor MiM₂, M₂M₃, M₃M₄ și M₄M\. A rămas să arătăm că M\M₂M₃M₄ este patrulater convex. Vom calcula intersecția diagonalelor M\M₃, M₂M₄. Ecuațiile acestor drepte sunt: M\M₃\y = t (1) M₂M₄ : y + t = mx (2) Intersecția lor este obținută raportând sistemul format de (1) și (2), cu soluția 2/ x = —, y = t. Așadar, diagonalele M\M₃ și M₂M₄ se intersectează în punctul m -- x -x I(—,t). Rezultă IMd- --------L=-----^_ =--1— < o? deci / ₑₛtₑ între Mi și M₃. m IM3 ^m.-Xj 2a~— n™-¹ m — _ 0- — —— = ------^_=----f— < o, deci I este între M₂ și M₄. Cum MiM₃ și IM 4 x^-x, ₂b_2i mb-t m M₂M₄ se intersectează în punctul interior I, rezultă că M\M₂M₃M₄ este patrulater convex. 243 Cazul II: ABCD este dreptunghi (fig. 24). ^4 Dacă I este centrul dreptunghiului ABCD (intersecția diagonalelor sale) con- struim rombul M}MiM₃Mₐ cu proprietatea cerută , unde M\ = simetricul lui I față de AD, M₃ = simetricul lui I față de BC, Mi simetricul lui I față de AB și = si- M₂ Fig. 24 metricul lui I față de CD. c) => a). Demonstrația sintetică este cea indicată în acest caz. Folosind figurile 23 și 24 observăm că AD || || BC (deoarece AD este linie mijlocie în triunghiul și BC este linie mijlocie în triunghiul M^M^M^), La fel, avem și AB || CD. Deci ABCD este paralelogram. Eli. Se consideră în planul VAun triunghi ABC. Se cere locul geometric al punctelor M CA care are proprietatea că ariile triunghiu- rilor MAB și MAC sunt egale. R: Este natural să alegem Ox = BC și anume O = mijlocul lui BC, deci putem scrie B(-a, 0), C(a, 0), unde a > 0 (fig. 25). Atunci vom putea scrie A(u, v) cu v > 0. Cu formulele pe care le-am prezentat, avem pentru M(x, y) e AA, M £ AB, M £ AC (pentru ca triunghiurile MAB și MBC să nu fie degenerate): • • aria lui ABM= |vx - ay + av - uy[, • aria lui ACM= |vx + ay - av - i/y|. Să notăm cu L locul geometric căutat. Avem succesiv, pentru un punct M(x,y) eCA, MtAB,Mt AC: M(x, y) eLc> ^\vx- ay + av- uy\ = ^\vx + ay- av- uy\ « « (vx - ay + av - uy = vx + ay - av - uy) sau (vx - ay + av-uy = -vx- ay + av + uy) <=> (2oy - 2tzv = 0) sau (2vx - 2uy = 0) <^> (y = v) sau (vx = uy) <=> (M(x, y) g d) sau (M(x,y) g Dr) <=>M(x,y)edu d’. Aici: d este dreapta de ecuațiey = v, deci d este paralela la BC care trece prin A; , d' este dreapta de ecuație vx = uy. Dacă u = 0, rezultă că A g Oy deci triunghiul ABC este isoscel. în acest caz ecuația lui d’ devine x = 0, adică d' este Oy. 244 Dacă u O, rezultă că ecuația lui d se poate scrie y = —x, deci d este u dreapta care trece prin A și prin mijlocul O al lui BC. Ținând seama că un punct M g L nu poate fi pe AB sau pe AC, obținem că logul geometric căutat este (în toate cazurile) L = (dud'}\{A} unde d este dreapta care trece prin A și prin mijlocul lui BC. E12. Se consideră în planul două drepte perpendiculare d și d. Pe dreapta d (respectiv d} se consideră un punct M{} (respectiv Md}. Din punctul M₍} (respectiv Md} pornește un punct mobil M (respectiv M'} care se mișcă rectiliniu și uniform pe dreapta d (respectiv d} cu viteza a > 0 (respectiv b > 0). Să se studieze mișcarea punctului mobil T, care este mijlocul segmentului MM, la fiecare moment. R: Alegem în mod natural axele astfel: Ox = d și Oy = d. Atunci, la-mo- mentul t = 0, punctul M se află în punctul M₍}(x{}, 0), iar punctul M se află în punctul M'(0, j7₀). La momentul t > 0, punctul M a ajuns în poziția M(t} = M(xo + at, 0), iar punctul MT a ajuns în poziția M^t} = M(0, y{} + bt} (fig. 26). Fig. 26 X V Atunci vom avea la momentul t = 0 mobilul studiat în poziția ,^-}, • 1 1 ZA 1-11- • • x. +at yₙ +bt ₓ iar la momentul t > 0 mobilul in poziția T (—’ Egalitățile x = ^- + -z ■ ² ² (1) y = — +—t r 2 2 reprezintă parametric o dreaptă 5 care trece prin punctul și are parametrii directori Prin urmare, punctul mobil M se mișcă pe dreapta 5. Acestă dreaptă are ecuația carteziană 8 : 2bx - lay + ay^ - bx^ = 0 (2) obținută prin eliminarea lui t\ ₓ= ₊ 2x-x₀ ₌ )^₊b. 2x-x₀ 2 2 a 2 2a 245 Prin urmare, ținând seama de (1) și (2) putem trage următoarele concluzii: 1) Punctul M se mișcă pe traiectoria L c definită astfel: L={(x,y) e .^\x= ⁼ y ⁺ yZ; / > 0}. 2) Avem incluziunea L c A (3), unde A este semidreapta de origine , —) dată astfel: 2 2 A = {(x,y) e 8 |x> ?fy>y₀}. 3) Traiectoria L este parcursă de punctul mobil M rectiliniu și uniform, cu vectorul viteză constant (v. (1)) a r , b -t v = — i + — j, 2 2 iar mărimea vitezei este 4) De fapt, traiectoria L coincide cu A, adică avem £ = A. (4) Pentru a arăta (4), a mai rămas de arătat (v. (3)) că A c L (5) într-adevar, fie M(y, y) e A. AȘₐdar (a, y) satisface ec^ia (2) Ș. a > |, Tn y > —. Definim atunci 2 D ?X~X t = ⁰ > 0. (6) 0 Deducem că ;r=^-+-Z. (7) 2 2 Din (2) rezultă ₌ 2bx + ay₀-bx₀ ₌ y^ ₊ b_ₜ ₍₈₎ y 2a 2 2' V ⁷ Din (6), (7) și (8) rezultă că M(x, y) g L. Reformulare geometrică. Studiul cinematic făcut mai sus și concluziile sale pot fi reformulate astfel: Locul geometric al punctelor T obținute ca în enunț este semidreapta A. 246 Generalizare (temă de studiu). Cititorul poate încerca să generalizeze rezultatele de mai sus astfel: a) Dreptele d și d' pot face un unghi oarecare (deci nu sunt neapărat perpen- diculare). b) Punctul T poate fi supus la restricția mai generală TM TM' ’ unde t g IR \ {1} este un număr fixat (în problema noastră am avut t = -1). Arătați că suma distanțelor unui punct din interiorul unui triunghi, echilateral la cele trei laturi ale sale este constantă. Fie un triunghi ABC, Arătați că locul geometric al punctelor M din plan care îndeplinesc condiția 2MB ²+ 2MC ² = 5MA ² este o dreaptă. X Fie în plan două puncte distincte A și B și un număr real k. Aflați locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea MA² - MB² = k. Dacă A, B și M sunt coliniare și M e [AB], arătați că pentru orice punct P din plan avem PA² • MB + PB² - MA = PM² -AB + AB • MA • MB (relația lui Stewart). în triunghiul ABC fie înălțimea AD, D g BC și A', B', C mijloacele laturilor BC, AC, AB. Arătați că A’B’CD este trapez isoscel. într-un patrulater oarecare, arătați că: a) mijloacele laturilor sunt vârfurile unui paralelogram. b) dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse și dreapta care unește mijloacele diagonalelor sunt concurente. - PĂ NC în triunghiul ABC, fie punctele P e [AB] și N g [AC] astfel încât^-= Arătați că mijlocul segmentului PN se află pe mediana vârfului A. în triunghiul ABC fie M, N mijloacele laturilor AC, AB. Arătați că MN este paralelă cu BC și MN= BC (teorema liniei mijlocii a triunghiului). în paralelogramul ABCD fie punctele M g (AD), N g (BC) și P g (CD) astfel 3 3 2 încât AM= — AD, BN= CP = — CD. Arătați că dreptele BM și NP sunt paralele. în pătratul ABCD fie M, N mijloacele laturilor BC, CD. Arătați că dreptele AM și BN sunt perpendiculare. Fie un pătrat ABCD. Considerăm dreptunghiul APQR, unde P g [AB], R g [AD] astfel încât AP = DR. Arătați că dreptele CQ și RP sunt perpendiculare. 247 în dreptunghiul ABCD, bisectoarea unghiului | -y₂)y - x² - y² + x\ + y² = 0. (Coordonatele simetricului unui punct față de o dreaptă) Se consideră dreapta d \ ax + by + c = Q și punctul M\(X\, y{) £ d. Atunci, dacă M₂(x₂, y₂) este simetricul lui M\ față de d, avem formulele *2 = *1---(ax{ + byₓ + c); a + b 2b z yi= yi —z—- (^i + + c). a² + b² 248 Viața publică sau cea privată impun foarte frecvent luarea unor decizii, iar acestea sunt cu atât mai corecte cu cât informația de care dispune decidentul este mai bună, mai adecvată. Informația privind un anumit fenomen poate fi completă, parțială, sau estimativă. Desigur, informația completă reprezintă situația ideală, foarte rar întâlnită în practică. De cele mai multe ori, protesul de luare a unei decizii se desfășoară în prezența unei incertitudini. Există două surse majore de incertitudine: lipsa unor cunoștințe despre fenomen (informație incompletă), sau caracterul aleator al acestuia (informația se obține printr-un experiment probabilist). Fenomenele din lumea reală înconjurătoare sunt de două tipuri: • fenomene deterministe, generatoare de mărimi cu valori unice. Așa este, de exemplu, câștigul pe care îl obține o persoană care depune la bancă o anumită sumă de bani, pentru un anumit timp (acest câștig, exprimat prin dobândă, este stabilit chiar la momentul încheierii contractului dintre bancă și deponent); • fenomene aleatoare, generatoare de mărimi ale căror valori pot varia în funcție de factori necontrolabili care reprezintă „hazardul⁴⁴, Așa este, de exemplu, câștigul pe care îl poate obține o persoană care joacă o anumită sumă de bani la o loterie. Observarea fenomenelor din lumea reală oferă informații sub forma unor mărimi cantitative sau calitative. Termenul de „date statistice“ se utilizează în două accepțiuni total diferite: • ca date obținute prin investigarea exhaustivă a unei mulțimi finite, Q, ale cărei elemente se numesc „unități“; • ca date obținute prin investigarea unui eșantion de unități, e cz O, construit printr-o metoda probabilistă. De exemplu, mulțimea Q este formată din elevii unui liceu, iar la sfârșitul anului școlar se cunoaște situația școlară a fiecărui elev. Dăm elevilor indicativele 1, 2, ..., N, începând de la prima clasa a LK-a și până la ultima clasă a Xll-a. Astfel se pot identifica „datele statistice⁶⁴ care exprimă mediile tuturor elevilor la fiecare dintre disciplinele de studiu și acestea pot fi reprezentate într-un tabel de forma următoare: 1b. română matematică geografie sport elev 1 8,30 9,20 9,75 10 elev 2 7,50 6,75 9,20 8,50 elev N 9,50 8,90 8,70 10 249 Acestea sunt date statistice obținute prin investigarea exhaustivă a mulțimii Q. „Incertitudinea"" poate să apară dacă ne lipsesc date, adică informația este incompletă. Având în vedere aceste elemente, vom folosi denumirea de „date statistice de proveniență deterministă"⁴. Pe de altă parte, să presupunem că la nivelul orașului se face o investigație privind modul în care privesc elevii de liceu orele de sport. în cadrai unui chestionar, se formulează întrebarea „Cum apreciați rolul orelor de sport pentru sănătatea dumneavoastră?⁴⁴, cu răspunsurile posibile „nici un rol / rol foarte mic / rol mic/ rol mare / rol foarte mare⁴⁴. Cei care organizează investigația extrag un eșantion de n elevi dintre cei N ai liceului nostru. Să notăm cu ..., 4 indicativele elevilor care au fost selectați în mod aleator și să notam cu „P" varianta de răspuns aleasă de fiecare dintre ei și cu „O⁴⁴ variantele care nu au fost alese. Răspunsurile la întrebarea formulată reprezintă date statistice, care se pot înregistra de asemenea într-un tabel de forma: nici un rol rol f. mic rol mic rol mare rol f. mare elev 4 0 0 1 0 0 elev h 0 0 0 0 1 ... ( elev 4 0 I 0 0 0 Acestea sunt date statistice obținute prin investigarea unui eșantion construit prin metode probabiliste. „Incertitudinea” apare datorită caracterului aleator al modului în care a fost construit eșantionul de elevi (știm că numărul modurilor în care se poate extrage o submulțime de n unități distincte dintr-o mulțime de N unități distincte este egal cu C" ). Având în vedere aceste elemen- te, vom folosi, denumirea de „date statistice de proveniență aleatoare”. Datele statistice furnizează informație despre un fenomen. Dar este important ca, în fiecare situație practică, să identificăm cu ce fel de date statistice avem de-a face, căci prelucrarea, matematică și interpretarea acestor date depinde în mod esen- țial de natura lor, de sursa de incertitudine care a fost implicată în culegerea datelor. Matematicile financiare cuprind metode matematice speciale, utilizate pentru modelarea și măsurarea unor fenomene economice. Principalii indicatori financiari au definiții deterministe și se calculează utilizând date statistice de proveniență deterministă. Dacă însă se utilizează date statistice de proveniență aleatoare, atunci și acești indicatori pot căpăta un caracter aleator. Finanțele se concretizează în transferuri bănești între părți, cu prilejul formării sau utilizării diverselor fonduri. Părțile implicate sunt: bugetul de stat, agenții economici, instituții, sau persoane fizice. Relațiile financiare reprezintă transferuri definitive de fonduri, fără contraprestație directă și imediată. Așa sunt finanțările de la bugetul de stat, finanțările din fonduri proprii, taxele plătite către bugetul de stat. 250 Relațiile de credit sunt transferuri de fonduri pe perioadă determinată, totdeauna rambursabile la scadență și purtătoare de dobândă. Creditul are la bază două principii: să fie garantat de debitor și să fie rambursat la scadență. Creditul bancar este forma cea mai extinsă de credit. El este acordat de bancă pentru a acoperi un scop al debitorului, în condițiile stabilite de bancă. Există o mare varietate de credite bancare care se deosebesc între ele după obiectul creditului, după garanția oferită, după sezonalitate și alte criterii. în activitatea de creditare, băncile folosesc nu numai fondurile lor proprii, ci și un însemnat volum de fonduri atrase de la terți, cum sunt depunerile (sau plasamentele) bancare. Aceste depuneri sunt modalități prin care clientul credi- tează banca, urmând ca aceasta să-i ramburseze, la scadență, depunerea plus dobânda aferentă. Vom prezenta în continuare câțiva indicatori financiari care sunt utilizați pentru definirea și caracterizarea unor noțiuni cum sunt: - plasamentele bancare purtătoare de dobândă, - creditele bancare și rambursarea lor, - metodele de finanțare la care poate apela un agent economic, - taxele pe care le plătește un agent economic, - întocmirea unui buget. 2.1. Dobânda Modalitățile de definire a dobânzii sunt cel mai ușor de ilustrat în cazul plasamentelor bancare. Dobânda pentru un plasament este suma de bani plătită de bancă și primită de client pentru un capital pe care clientul l-a depus la bancă. Ea este direct proporțională cu capitalul plasat și depinde de durata plasamentului. Dobânda simplă se calculează asupra unei sume, pe toată durata contrac- tului de plasament. Dacă notăm cu 5» suma depusă exprimată în unități bancare (lei, euro, dolari), cu t durata contractului exprimată în unități de timp (ani sau luni), cu /?/100 dobândă care se plătește pentru o unitate bancară pe unitatea de timp, atunci dobânda simplă se calculează după formula Notând dobânda unitară cu i, i = /VIOO, expresia lui D devine D ⁼ Sq * i * t. Suma sau valoarea finală ridicată de client este Sₜ ⁼ S(} + D ⁼ + it). Spunem că o sumă este plasată cu dobândă compusă când, la sfârșitul primei unități de timp, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la suma plasată pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare și așa mai departe. Expresia sumei finale obținute pe baza dobânzii compuse se poate deduce ușor cu ajutorul următorului tabel: 251 unitatea de suma plasată dobânda suma la sfârșitul timp unității de timp 1 • i 5] = So(l + i) 2 Sx S\ ' i S2 = So(l + 02 t S,^ i ’ l S^S^+i)1 Deci, în acest caz suma finală este: 5>So(l+z)'. Depozitele la care scadența t este un multiplu întreg de unități de timp se numesc „depozite la termen“. In practica bancară există însă și așa numitele „depozite la vedere“, pentru care timpul / nu este un multiplu întreg de unități, deponentul putând să-și ridice capitalul plus dobânda aferentă în orice moment. Și în această situație se folosește o dobândă compusă, iar calculul sumei finale este prezentat în continuare. Presupunem că retragerea se face după o perioadă egală cu un număr n de ani și un număr z de zile. Atunci putem scrie: '~t = n + ~ 365 Conform calculului ce utilizează dobânda compusă, după n ani suma era: S„ = 5₍₎( 1 + 0". Acestei sume i se adauga dobânda simplă D pentru cele z zile, dată de expresia: D ⁼ S"'ⁱ' ⁼ ⁺ 365 365 Astfel, suma finală retrasă de client este: sₗ = sₙ + D = s^ + iy,(\ + i- 365 Exemplul 1 Un client vine la bancă având intenția de a face un plasament de 1 000 unități bancare. Banca oferă o dobândă unitară de 1% pentru „depozitele la vedere“ și de 3% pentru „depozitele la termen“. Să se calculeze ce sumă ar ridica deponentul după 3 ani în cazul unui depozit la termen și ce sumă ar ridica după o perioadă de 3 ani și 50 de zile în cazul unui depozit la vedere. R: Dacă depozitul la termen se face în varianta dobânzii simple, pentru S₍₎ = 1000, i = 0,03 și t = 3, suma finală este: S₃ = 1 000(1 +0,03 -3) = 1090. Dacă depozitul la termen se face în varianta dobânzii compuse, suma finală este S₃ = 1 000(1 + 0,03)³ = 1092,7. Dacă clientul alege un depozit la vedere cu dobânda unitară i = 0,01 și menține depozitul timp de 3 ani și 50 de zile, suma finală pe care o ridică este: Sₜ = 1 000(1 + 0,01/(1+0,01 • ^)= 1031,3. 365 252 Exemplul 2 Un client depune anual la bancă o sumă de 1 000 unități bancare, în regim de depozite la termen (cu dobândă compusă), la o dobânda unitară de 3% oferită de bancă. Să se determine de ce sumă dispune clientul după 10 ani (respectiv după 10 depuneri consecutive). R: Notăm 5» suma depusă anual (de exemplu la datele de 1.02.1995, 1.02.1996 și așa mai departe, până Ia data de 1.02.2004) și cu i dobânda unitară anuală. valoarea finală a primei depuneri 5<>(1 + z)10 valoarea finală a celei de-a doua depuneri So(l + i)9 valoarea finală a celei de-a treia depuneri 5<>(1 + valoarea finală a celei de-a noua depuneri So(l+O2 valoarea finală a celei de-a zecea depuneri 5o(l + i) Astfel, valoarea finală pe care clientul o ridică după 10 ani de la prima depunere (la data de 1.02.2005) este de: 5io = 1 + z) + 5₀(l + z)² + ... + 5o( 1 + z)¹⁰ Utilizând formula de calcul a sumei termenilor unei progresii geometrice, obținem: 5₁₀ = 5₀(l + zy Valoarea numerică obținută pentru 5₍₎= 1 000 și i = 0,03 este: (1 + 0 03)¹⁰ -1 5₁₍₎= 1000(1 +0,03)------------ = 11 808, deci, pentru depunerile cumulate de 10 000, clientul primește o dobândă de D = 11808 - 10 000 = 1 808 unități bancare. 2.2. Credit, anuitate și amortisment în cazul creditelor bancare pe care le ia un client, acesta este cel care plătește o dobândă băncii creditoare, simultan cu rambursarea sumei împru- mutate. Restituirea creditului se numește rambursare, iar termenul până la care trebuie rambursat creditul se numește scadență. Rambursarea unui credit se poate face într-o singură tranșă (pentru creditele pe termen scurt) sau eșalonat (pentru credite pe termen mijlociu sau lung). Rambursarea creditului într-o singura tranșă Să presupunem că un client ia un credit de T{} unități bancare cu o scadență la z zile ( z < 365), iar banca percepe o dobândă unitară anuală i. Suma totală datorată la scadență este: T= Tₒ + D= Tₒ + Tₒ -i-^= W + 4^)- 25Q Rambursarea creditului în mai multe tranșe Să presupunem acum că un client ia un credit de Tq unități bancare, pentru un termen de t unități de timp. Prin contractul de creditare, banca percepe o dobândă anuală pentru suma împrumutată. împrumutul plus dobânda vor fi rambursate prin plăți anuale numite anuități. O parte din suma pe care o plătește efectiv clientul în fiecare an va acoperi împrumutul inițial. Această fracțiune a anuității se numește amortisment. Presupunem că anuitățile sunt constante și se plătesc la sfârșitul fiecărui an. Mecanismul de rambursare a unui credit r₀, luat pentru t ani, la care banca per- cepe o dobândă unitară anuală i este prezentat în următorul „tabel de amortizare^'. Suma datorată Dobânda datorată Suma datorată An la începutul la începutul Anuități Amortisment la sfârșitul anului anului (constante) anului 1 r» Do = Toi t 2i =A-Do ^ = 70-2! 2 T, A = Tti A_ Q2=A-D{ T2=T,-Q2 t /- 1 rl2 D /- 2 = T, 2i r0(i+Q Qt i = A -Df 2 T,i = T,2-Qn t t Tti Dt \ = Ti \i t Qt = A - D t j O observație se impune imediat: termenul de rambursare a creditului, t, nu poate fi oricât de mare. Impunând condiția Q\ > 0, obținem: r₀(i+/-//) / respectiv Ultima sumă datorată este Tₜ și ea se plătește integral, având proprietatea Tₜ < A. De asemenea, au loc următoarele proprietăți: • Suma totală datorată de client este egală cu suma anuităților plătite, T₀(l+fW'. • Suma totală plătită de client este de A • t + Tₜ. • Dacă anuitățile sunt egale, amortismentele succesive formează o progresie geometrică crescătoare, cu primul termen Q\ și rația (1 + î). într-adevar, făcând diferența dintre două anuități consecutive de la momen- tele k și k + 1, obținem 0 = A -A = (2A₊₁ + Tₖi) - (Qₖ + Tₖ d\ de unde rezultă Qk+i + (Țₖ i - Qₖ)i - Qₖ - Tₖ. \i = 0, adică Qk+x -a(i+o=o. 254 Rezultă că Qk^Qkd^i\k= 1,2,...,£-I, deci Qₖ^Q^^if,k= 1,2,. • Dacă anuitățile sunt constante, atunci diferențele dobânzilor pentru ani consecutivi formează o progresie geometrică crescătoare, cu primul termen Q^î și cu rația (1 + /). într-adevăr. făcând diferența dintre dobânzile pentru doi ani consecutivi obținem: dₖ = Dₖᵢ-Dₖ = (A- Qₖ) -(A- QᵢH) = g,(i + if - 5,(1 + if adică Exemplul 3 O persoană ia de la bancă un credit de 1 000 de unități bancare, pe un termen de 5 ani, cu o dobândă de 5%. Să se alcătuiască tabelul de amortizare corespunzător. Notam = 1 000, t = 5, i = 0,05. Rezultă că anuitatea este de A = 210 unități bancare și se obține următorul tabel de amortizare: Suma datorată Dobânda datorată Suma datorată An la începutul la începutul Anuități Amortisment Ia sfârșitul anului anului (constante) anului 1 1000 = 50 210 0a = 160 = 840 2 840 D, = 42 210 Q2= 168 n=672 3 672 D2 = 33,6 210 03 - 176,4 r3 = 495,6 4 495,6 D} = 24,78 210 04 = 185,22 7*4 = 310,38 5 310,38 D4= 15,519 210 05= 194,48 7*5= 115,9 Suma totală plătită de client este de (5 • 210 + 115,9) = 1 165,9 unități bancare. Diferența dintre suma retumată de client și creditul luat este de (1 165,9 - 1 000) = 165,9 unități bancare. Să admitem, într-o variantă foarte simplificatoare, că banca efectuează doar două tipuri de activități: administrarea plasamentelor și acordarea de credite. Pentru a-și justifica existența, banca trebuie să realizeze un câștig. Diferența dintre contraprestația directă și imediată pe care o încasează pentru credite și contraprestația directă și imediată pe care o plătește pentru plasamente reprezintă profitul băncii. Exemplul 4 Să presupunem că banca acordă unui client un credit de 1000 unități bancare, pentru 2 ani, cu o dobândă unitară de 6%. Simultan, banca primește un plasament de 1 000 unități bancare, tot pentru 2 ani, pentru care acordă o dobândă unitară de 4%, în regim de depozit cu dobândă compusă. Să evaluăm profitul băncii în urma acestor două operațiuni. 255 Tabelul de amortizare pentru creditul acordat este următorul: Suma datorată Dobânda datorată Suma datorată An la începutul la începutul Anuități Amortisment la sfârșitul anului anului (constante) anului 1 1 000 D{) = 60 530 & =470 Tx = 530 2 530 A = 31,8 530 02=498,2 T2= 31,8 Așadar, banca încasează suma de 530 + 530 + 31,8 = 1 091,8 unități bancare și obține un câștig de 91,8 unități bancare. Pe de altă parte, suma finală pe care o încasează deponentul este S₂= 1 000(1 +0,04)²= 1 081,6. Așadar, banca plătește clientului o dobândă de 81,6. Rezultă ca profitul băncii realizat în urma celor două operațiuni este /? = 91?8 - 81,6 = 10,2. 2.3. Finanțele întreprinderii Finanțele întreprinderii sunt organizate pentru a satisface realizarea obiec- tului activității acesteia, în condiții de rentabilitate. Ansamblul de măsuri și activități financiare implicate trebuie să asigure un echilibru corect între fluxu- rile de intrare (diverse forme de finanțare) și fluxurile de ieșire (rambursări de credite, plata furnizorilor, impozite și taxe etc.). De asemenea, activitatea trebuie organizată în așa fel încât întreprinderea să fie profitabilă. Metode de finanțare Procurarea fondurilor se poate realiza fie din surse interne (de exemplu, profitul reinvestit, creșteri de capital), fie din surse externe (de exemplu, credite bancare, subvenții de la bugetul statului). O importantă sursă internă de finanțare o reprezintă fondul de amortizare. Prin amortizarea capitalului fix al întreprinderii se înțelege procesul de recuperare treptată a valorii capitalului fix investit inițial (construcții, utilaje, mașini, instalații, echipamente etc.). Timpul necesar recuperării integrale a valorii capitalului fix se numește termen de amortizare. Amortizarea anuală este partea din valoarea capitalului fix recuperată într-un an. Fondul de amortizare este constituit din amortizările anuale consecutive. Notând cu V valoarea capitalului fix, cu T termenul de amortizare, cu A amortizarea anuală și cu a rata anuală de amortizare (procentul din valoarea capitalului fix reprezentat de amortizarea anuală), putem scrie următoarele relații: a=f 100(%). 256 Costul de producție Costul reprezintă totalitatea cheltuielilor efectuate de întreprindere pentru realizarea de produse destinate vânzării. După natura cheltuielilor, costurile sunt de două tipuri: costuri materiale și costuri salariale. După dependența lor de mărimea producției, costurile sunt de două tipuri: costuri fixe (care nu depind de volumul producției) și costuri variabile (care depind de volumul producției). Prețul unui produs și profitul realizat Prin profit se înțelege venitul obținut de întreprindere și acesta este egal cu diferența dintre încasări și cheltuieli. Astfel, prețul P al unui produs va fi calculat ca suma următoarelor componente: cheltuielile pentru producerea și desfacerea produsului (Cₚᵣₒdᵤc₍ᵢₑ, respectiv Cdₑₛ₍ₗₗcₑᵢfi și profitul p preconizat a fi obținut P ~ C + p ~ {Cproducte Cdesfacere) + P' Impozite și taxe, taxa pe valoarea adăugată (TVA) Orice agent economic are o serie de obligații fiscale față de bugetul de stat. Acestea sunt: • impozitul pe profit; • impozitul pe salarii; • taxe vamale; • taxe asupra terenurilor proprietate de stat; • taxa pe valoarea adăugată (TVA). Valoarea adăugată, ca indicator pentru analiza activității economico-finan- ciare, reprezintă diferența dintre producție și consum. Ea este un instrument care arată bogăția creată de întreprindere. Taxa, pe valoarea adăugată este o taxă generală de consum, care cuprinde toate fazele circuitului economic: producție, servicii, distribuție până la vânzarea mărfurilor către consumatorii finali. Pentru bugetul statului, TVA reprezintă un impozit indirect, cuprins în prețuri și tarife, iar statul este cel care fixează cota TVA. Pentru întreprindere, TVA este egală cu diferența dintre taxa calculată asupra vânzării produselor și taxa aferentă cumpărării materiilor prime, mate- rialelor, combustibilului etc. Să notam cu Ci prețul de vânzare al produsului, cu C₂ prețul de cumpărare al materiilor prime, materialelor, combustibilului și cu t cota TVA percepută de stat (exprimată procentual). Atunci: TVA aferentă vânzării produsului este C| • t TVA aferentă consumului este C₂ • t Valoarea adăugată este C\ - C₂ TVA este (Ci - C₂)t =C{d-C₂-t Exemplul 5 Dacă un produs se vinde cu 750 000 tei, costul materiilor prime, materia- lelor, combustibilului este de 420 000 tei, iar cota TVA este de 18%, taxa pe valoarea adăugată se calculează de întreprindere astfel: 257 TVA aferentă vânzării produsului: 750 000 • ⁼ 135 000;’ TVA aferentă consumului: 420 000 • 75 600; TVA aferentă fabricației și vânzării: 135 000 - 75 600 = 59 400. Se observă ca TVA aferentă fabricației și vânzării reprezintă aplicarea taxei de 18% asupra valorii adaugate. Astfel, prin sistemul TVA se evită „dubla impozitare⁴⁴. Exemplul 6 Să presupunem că o întreprindere consumă 2 milioane de lei pentru fabri- carea unui produs. Prin procesul de producție se obține un produs care valorează 3 milioane. Produsul finit este vândut unei societăți comerciale angrosiste care, la rândul ei, ambalează produsul și îl livrează unei societăți comerciale cu amă- nuntul la prețul de 3,5 milioane. Societatea cu amănuntul practică un adaos comercial de 10%, iar cota unică TVA este de 18%. Prețul final al produsului, cu TVA inclus se calculează în modul următor: Valoarea adăugată la producător: 3 000 000 - 2 000 000 = 1 000 000. TVA datorată de producător: 1 000 000 - = 180 000. 100 Valoarea adăugată la societatea angrosistă: 3 500 000 - 3 000 000 = 500000. TVA datorată de societatea angrosistă: 500 000 -^7 =90 000. 100 Valoarea adăugată la societatea cu amănuntul: 3 500 000 • (1+10/100) - 3 500 000 = 3 850 000 - 3 500 000 = 350 000. TVA datorată de societatea cu amănuntul: 350 000-^-=63 000. 100 Valoarea adăugată totală: 1 000 000 + 500 000 + 350 000 = 1 850 000. TVA total de plată: 180 000 + 90 000 + 63 000 = 333 000. Prețul produsului, cu TVA inclus: 2 000 000 + 1 850 000 + 333 000 = 4 183 000. 258 Bugetul de venituri și cheltuieli Agenții economici întocmesc anual un buget de venituri și cheltuieli ca instrument de lucru și de conducere a întregii activități economico-financiare. Prin intermediul bugetului sunt cunoscute și ținute sub control toate intrările și ieșirile de fonduri bănești, se asigură capacitatea de plată. Veniturile și cheltu- ielile prevăzute trebuie să reflecte operațiunile economice pe care-și propune să le realizeze întreprinderea, să exprime posibilități reale de obținere. Fluxurile de intrare cuprind: - venituri proprii din încasări; - încasări de la bugetul de stat; - credite bancare; - alte încasări. Fluxurile de ieșire cuprind: - plăți pentru salarii și alte drepturi pentru salariați; - rambursarea creditelor, inclusiv plata dobânzilor; - cheltuieli suportate direct din venituri (cheltuieli pentru pregătirea profesională a angajaților, pentru cercetare, pentru publicitate și protocol, donații etc.); - vărsăminte la bugetul de stat (impozite și taxe); - dividende ce se plătesc deținătorilor de acțiuni. 2.4. Valori medii și reprezentări grafice La încheierea unui an financiar, orice agent economic dispune de o infor- mație completă asupra operațiunilor financiare pe care Ie-a realizat. Aceste date statistice, de proveniență deterministă, pot fi mai ușor valo- rificate și interpretate dacă se utilizează indicatori sintetici și reprezentări grafice. Cei mai utilizați indicatori sintetici sunt valorile medii, care evidențiază caracteristici generale ale unităților de la care provine informația. Să considerăm că se urmărește o anumită componentă a finanțelor întreprin- derii pe parcusul întregului an financiar sau pe parcursul unui alt interval format din n perioade de timp. Notăm cu xb x₂, *n valorile numerice înregistrate. Media aritmetică a valorilor xb x₂, ..., xₙ se definește prin relația 1 ⁿ x = . n ,=i Ea este un indicator intern, în sensul că min xy < x < maxr, \js² . Dispersia de selecție și abaterea standard de selecție măsoară variabilitatea datelor față de media de selecție. Comentariu. Dar dacă ne interesau „abaterile de la medie” (xi - x), (x₂ - x ),..., (xₙ - x ), de ce nu am folosit pur și simplu suma lor? Răspunsul este foarte simplu: pentru că suma acestor valori este egala cu zero, (Xj - x ) + ... + (xₙ - x ) = (xi + ... + x^ - n • x = 0. Pentru a evita acest neajuns, se utilizează valorile (xi - x)², (x₂ - x)², ..., (x/? X ) . Pentru a putea compara două seturi diferite de date - din punctul de vedere al variabilității lor - avem nevoie de un coeficient adimensional. Acesta este coeficientul de variație, exprimat procentual și definit prin raportul dintre abaterea standard de selecție și media de selecție, cv= ± • 100 (%). Amplitudinea de selecție este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică observație ^max Xmin' 268 Exemplul 4 Se face un studiu statistic privind înălțimea copiilor între 13 și 14 ani. Se fac observații independente asupra a 100 de băieți și a 100 de fete. Notăm cu măsurătorile pentru băieți și cu yi măsurătorile pentru fete. Se obțin următoarele repartiții de frecvențe: înălțime băieți (cm): x. 136 140 148 150 153 156 160 frecvențe 8/100 10/100 25/100 20/100 18/100 13/100 6/100 înălțime fete (cm): y. 144 148 152 160 164 166 frecvențe 11/100 9/100 18/100 26/100 26/100 10/100 Să se compare înălțimea medie a băieților cu cea a fetelor. Să se compare apoi variabilitatea datelor obținute pentru băieți, respectiv pentru fete. Pentru datele statistice {xb ...,X|oo} obținem: x = 149,3; s² = 38,49; sₓ = 6,204; cvₓ = 4,15%. Pentru datele statistice {yₕ ...,yioo} obținem: y = 157,36; s²y = 53,43; sy = 7,309; cvy = 4,64%. Se observă că înălțimea medie a fetelor este mai mare decât cea a băieților, iar variabilitatea celor două seturi de date (pentru băieți și pentru fete) este aproape aceeași. Exemplul 5 Revenim la problema evaluării adaosului comercial mediu pe care îl practică agenții comerciali care acționează în domeniul vânzărilor de aparate de aer condiționat, care a fost introdusă în exemplul 2. Datele statistice obținute pentru un eșantion aleator de volum 20 au condus la repartiția de frecvențe adaos comercial 7% 10% 15% 18% frecvență 6 8 5 1 20 20 20 20 Adaosul comercial mediu este ă = 10,75%, iar celelalte caracteristici de poziție și de împrăștiere sunt: Me = 10, Mo = 10 ? = 11,587, 5 = 3,404, cv = 31,665% Se efectuează un studiu de piața printre clienții unui anumit supermarket. Pentru un eșantion de volum n = 500, se adresează următoarele întrebări: - De obicei, cumpărați produse cosmetice din magazinul nostru? (răspunsuri posibile: da / nu); 269 - Dacă da, ați cumpărat măcar o dată pastă de dinți marca „A“? (răspunsuri posibile: da / nu); - Dacă da, ați fost mulțumit de calitatea aceastei paste de dinți? (răspunsuri posibile: da / nu). 400 persoane răspund „da“ la prima întrebare, dintre aceștia 150 răspund „da“ la a doua întrebare, iar dintre aceștia din urmă 60 răspund „da“ la a treia întrebare. Să se reprezinte printr-o diagramă rezultatele anchetei. Să se estimeze proporția cumpărătorilor care au cumpărat măcar o dată pastă de dinți marca „A“ și proporția celor care au fost mulțumiți de calitatea acesteia. 2. Se face un studiu statistic privind numărul copiilor cu vârsta cuprinsă între 6 și 10 ani care locuiesc în București pentru a vedea evoluția populației școlare din ciclul primar. Se aleg, la întâmplare, 12 școli și se numără elevii aparținând acestor clase de vârstă. Datele obținute sunt prezentate în tabelul următor: vârsta 6-7 7-8 8-9 9-10 nr. băieți 5831 6074 5906 6472 nr fete 5733 5579 5950 6264 total 11564 11653 11856 12736 Să se reprezinte grafic repartițiile de frecvențe, pe grupe de vârste și pe sexe. 3. Se face un studiu privind valoarea creditelor acordate de bănci întreprinderilor mici și mijlocii (IMM). Pentru datele statistice rezultate dintr-un eșantion aleator de 200 IMM-uri se obține următoarea repartiție de frecvențe: 160 162 165 169 170 171 172 174 176 178 180 182 185 186 190 n 2 1 7 5 10 25 19 16 57 33 13 7 2 2 1 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 Să se reprezinte repartiția de frecvențe utilizând poligonul frecvențelor și să se con- struiască o histogramă cu 5 clase de amplitudini egale. Să se calculeze valoarea medie a creditelor acordate și celelalte caracteristici numerice de selecție. 4. Se studiază caracteristica „durabilitate⁴* pentru un tip de burghiu elicoidal cu diametrul de 6 mm și cu miez îngroșat. Se fac încercări pe același material pentru 15 burghie și se înregistrează duratele lor de funcționare (până la rupere), exprimate în minute. Datele obținute sunt: 16,10; 19,25; 22,44; 19,18; 26,50; 32,18; 22,58; 27,22; 39,56; 24,58; 36,58; 30,26; 33,58; 23,20; 17,34. Să se reprezinte repartiția de frecvențe utilizând o histogramă cu 5 clase de amplitudini egale și să se calculeze caracteristicile numerice de selecție. 5. Se cercetează timpul de combustie pentru 100 probe de bumbac. Notând cu x; durata combustiei (exprimată în secunde), se obține următoarea repartiție de frecvențe: 85 86 87 88 ■ 89 90 91 92 93 94 H- l 2 6 14 21 23 16 10 5 2 n 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 270 Să se reprezinte grafic repartiția de frecvențe, utilizând o reprezentare în batoane și poligonul frecvențelor. Să se calculeze caracteristicile numerice de selecție corespun- zătoare. 6. Se face un studiu antropometric privind greutatea corporală a băieților și a fetelor de 18 ani. Se lac măsurători pe un eșantion de 200 de băieți și pe un eșantion de 200 de fete. Notăm cu x^ măsurătorile pentru băieți și cu y{ măsurătorile pentru fete. Se obțin următoarele repartiții de frecvențe: Xi (kg) 65 70 76 78 80 85 88 92 frecvențe 5 35 50 45 30 9 24 2 200 200 200 200 200 200 200 200 y; (kg) 50 52 54 56 60 65 68 frecvențe 32 28 45 50 45 15 5 200 200 200 200 200 200 200 Să se compare greutatea corporală medie a băieților cu cea a fetelor. Să se compare apoi variabilitatea datelor obținute pentru băieți, respectiv pentru fete. Calculul probabilităților este știința care își propune să modeleze și să studieze mărimile și fenomenele aleatoare. Modelul este construit așa încât să cuprindă cât mai bine trăsăturile fenomenului real. Principalele noțiuni mate- matice care modelează fenomenele aleatoare sunt câmpul de probabilitate asociat unui experiment aleator, evenimentele și variabilele aleatoare. 4.1. Experimente aleatoare și evenimente asociate în capitolul Elemente de Combinatorică ne-am pus problema de a număra toate mulțimile ordonate care se pot forma cu n elemente date, de a număra submulțimile de k obiecte distincte care se pot forma dintr-o mulțime de n obiecte etc. în fapt, suntem în fața unor experimente: - plasarea a n obiecte pe n poziții fixe, - formarea unui grup de k obiecte alese din n obiecte disponibile. Dacă procedăm la o efectuare practică a acestor experimente, constatăm că fiecare dintre ele are mai multe rezultate posibile. Definiții a) Un experiment aleator (notat este o acțiune ale cărei rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine. O efectuare a unui experiment se numește probă. b) Un rezultat obținut prin efectuarea experimentului aleator se numește eveniment elementar și este modelat printr-o mulțime formată dintr-un singur element {e}. c) Mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleator se numește eveniment sigur sau mulțime totală și se notează cu E. 271 d) Părțile mulțimii totale se numesc evenimente și ele sunt reprezentări ale unor situații care pot rezulta dintr-un experiment aleator. Familia tuturor evenimentelor asociate unui experiment aleator se notează cu e) Prin analogie cu teoria mulțimilor, mulțimea vidă reprezintă un eveniment ce nu se poate realiza într-o probă. El se numește evenimentul imposibil și se notează cu 0. Exemplul 1 Considerăm experimentul aleator care constă în aruncarea simultană a două zaruri, unul alb și unul negru. Evenimentele elementare ale acestui experiment sunt în număr de 36, și anume {(ij)}, i ⁼ 1, = 1, .... 6, unde i reprezintă numărul de puncte de pe zarul alb și j numărul de puncte de pe zarul negru. Evenimentul sigur este {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}. Evenimentul „suma punctelor obținute pe cele două zaruri este egală cu 5” se scrie ca {5= 5} = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4,1)}, iar evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este par și al celor de pe zarul negru este impar” este {(par, impar)} = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4,1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6,3), (6, 5)}. 4.2. Operații cu evenimente Operațiile cu evenimente au o semnificație probabilistă clară, iar pentru ele se folosește o notație analoagă cu cea din teoria mulțimilor. Definiții a) Pentru două evenimente date A, B e ^E), definim următoarele operații: - evenimentul sau B“, care constă în realizarea evenimentului A sau a evenimentului B și se notează cu A u B; - evenimentul și B“, care constă în realizarea simultană a evenimentelor A și B și se notează cu A n B\ - evenimentul contrar lui A, notat Ac, revine la nerealizarea evenimentului A. El este dat de complementara mulțimii A, în raport cu mulțimea totală E. Aceasta înseamnă că A n Ac = 0 și A u Ac = E. b) Două evenimente A și B pentru care A n B = 0 se numesc incompatibile, iar două evenimente A și B pentru care A n B 0 se numesc compatibile. Exemplul 2 Considerăm experimentul aleator de la exemplul precedent. Evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este mai mic decât cel de pe zarul negru” este format din 15 evenimente elementare: A = {(1, 2), ... (1, 6), (2, 3), ... (2, 6), (3, 4), ... (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}. Evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este mai mare decât cel de pe zarul negru” este format din alte 15 evenimente elementare: B = {(2, 1), ... (6, 1), (3, 2), ... (6, 2), (4, 3), ... (6, 3), (5, 4), (6, 4), (6, 5)} 272 Observăm că cele două evenimente sunt incompatibile căci A n B = 0, iar A'-jB = {(ij) | i,j= 1, 6, i^j}. De asemenea, observăm că (A u B)c = {(i, i), i = 1, ..6} = A c n Bc. 4.3. Probabilitatea unui eveniment. Probabilitate condiționată Pentru a introduce noțiunea de „probabilitate⁴⁴ facem o ipoteză esențială: experimentul aleator are proprietatea că toate evenimentele sale elementare au aceeași șansă de a se realiza. Pentru exemplul discutat, aceasta înseamnă că cele două zaruri sunt „corecte⁴⁴. Să presupunem că aruncăm un zar de 10 ori. Valorile obținute sunt {2, 6> 1, 2, 5, 4, 3, 2, 5, 6}, deci frecvențele celor 6 numere sunt njn = 0,1, n^n = 0,3, n^/n = 0,1, njn = 0,1, n₅/n = 0,2 și njn = 0,2. Dacă, însă, aruncăm zarul de 1000 de ori, de 10 000 de ori, de 100 000 ori,vom constata că frecvențele se apropie tot mai mult de valorile njn = 1/6 pentru toți i = 1,2, ..., 6. Probabilitatea unui eveniment aleator poate fi astfel definită pornind de la forma evenimentului sigur și impunând condiția . ca toate evenimentele elementare să fie de probabilități egale. Definiții Fie E = {eb ..., eN} evenimentul sigur asociat unui experiment aleator. a) Probabilitatea unui eveniment elementar {e^} este definită prin b) Probabilitatea unui eveniment A g ^E) se definește ca raportul dintre numărul evenimentelor elementare care îl formează pe A și numărul total N al evenimentelor elementare. Definiția generală a probabilității Se numește probabilitate o funcție P : ;^E) -> IR cu următoarele proprietăți: 1) P(A) > 0, \/A g ^E); 2)P(E) = 1; 3) P(A uB) = P(A) + P(B\ dacă A n B = 0. Exemplul 3 Considerăm din nou experimentul aleator de la exemplul 1, constând în aruncarea simultană a două zaruri de culori diferite și evenimentele A și B introduse la exemplul 2. Atunci P({(i, = Vz, j = 1, P([S = 5}) = , P(A) = P(B) = ||, P(A u B) = ||, P(A n B) = 0. 273 Definiție. Asociem unui experiment aleator tripletul (E, .d'XE), P) pe care îl numim câmp de probabilitate, unde E este evenimentul sigur, (E) este mulțimea evenimentelor asociate experimentului, iar P: :^(E) —> IR este o probabilitate. Probabilitatea evenimentului contrar lui A Conform definiției evenimentului Ac și conform axiomelor probabilității, rezultă P(AC) = 1 - P(A). Probabilitatea evenimentului „A sau C” când A și C sunt compatibile în exemplul aruncării celor două zaruri, notăm cu A evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este mai mic decât cel de pe zarul negru“ și cu C evenimentul ca „suma punctelor obținute să fie un număr mai mic sau egal cu 4“. Atunci C= {(1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2, 2)}, AuC= {(1, 1), (1,2), ... (1,6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), ... (2, 6), (3, 4),... (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)} și A nC= {(1,2), (1,3)}. Observăm că P (A u Q = ||, P(A) + P(C) -P(Ar^Q = 41 • 36 36 36 Formula generală de calcul a probabilității evenimentului sau C“ când A și C sunt compatibile este P (A u Q = P(A) + P(C) - P(A n Q. Definiție. Două evenimente A, B g se numesc independente dacă P(A n B) = P(A) ■ P(B). Exemplul 4 Considerăm din nou experimentul aleator de la exemplul. 1, constând în aruncarea simultană a două zaruri de culori diferite și notăm de această dată cu Mi evenimentul „apariția numărului 2 pe primul zar” și cu N₃ apariția numărului 3 pe al doilea zar”. Atunci M₂ = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, Nt = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}, M₂r^N₃ = {(2, 3)}, P(M₂) • P(N1) =^--^- = ±=P(M₂n N₃), 36 36 36 deci cele două evenimente sunt independente. Definiție. Fie două evenimente A, B g așa încât P(A) > 0. Definim probabilitatea lui B condiționată de A, notată P(B | A), prin raportul Rezultă de aici formula P(A n B) = P(A) P(B | A) cu următoarea interpretare: probabilitatea să se realizeze A și B este egală cu probabilitatea să se realizeze A înmulțită cu probabilitatea lui B știind că s-a realizat A. 274 Exemplul 5 Pentru experimentul aleator constând în aruncarea simultană a două zaruri de culori diferite, notăm cu A evenimentul „numărul obținut pe primul zar este mai mic decât cel obținut pe al doilea zar“ și cu B evenimentul „suma punctelor obținute pe cele două zaruri este mai mică sau egală cu 5“. Atunci An B = {(1,2), (1,3), (1,4), (2, 3)}, 4 P(A) = ||, P(B) = P(A nB) = . P(B \A) = ^- = 4- 3o 3o jo 1 j 1j 36 Exemplul 6 O urnă conține 5 bile albe și 2 bile roșii. Se extrag pe rând 2 bile din urnă și se așează pe masă. Care este probabilitatea de a avea pe masă o bilă albă și una roșie - în această ordine? Notăm cu A\ evenimentul de a obține o bilă albă la prima extragere și cu A₂ evenimentul de a obține o bilă roșie la a doua extragere. Atunci P(A, n A₂) = P(A i) P(A₂1A,) = | | . / o 21 4.4. Variabile aleatoare. Caracteristici numerice asociate Variabila aleatoare este corespondentul noțiunii de funcție - în cazul unui câmp de probabilitate. Exemplul 7 Fie (E, c^(E), P) câmpul de probabilitate asociat experimentului de arun- care a unei perechi de zaruri. Construim funcția care asociază unui eveniment elementar suma punctelor obținute pe cele două zaruri: S:E^{2,3,..., 11, 12} Observăm că cele 11 valori posibile ale acestei funcții se obțin pentru anumite evenimente aleatoare și deci ele apar cu anumite probabilități: P({5=2}) = P((1,1))=^, 3o P({5=3}) = P((1,2), (2, D)=^> 3o .............................? P({5= 12}) = P((6, 6))=^, JO Este adevărată relațiaP({5= 2}) + P({5= 3}) + ... + P({5 = 12})= 1. 275 Definiții a) Se numește variabilă aleatoare o funcție definită pe mulțimea totală asociată unui experiment aleator, care ia o mulțime finită de valori, X: E-> {%i, ...,xᵣ} și pentru care se cunosc probabilitățile fiecărei valori posibile P(X= = pₕ i= 1, ... r așa încât pi > 0, i = 1, ... r P\ + ... 1. b) Mulțimea de numere {P(X = x^) = pₕ i = 1, 2, ... r} definite mai sus se numește repartiția de probabilitate a variabilei X. Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri: calitative sau cantitative. Variabile aleatoare calitative au, de obicei, un număr mic de valori dis- tincte. Iată câteva exemple: - Unele întrebări din sondajele de opinie cum ar fi: întrebarea „Urmăriți emisiunea A?“, cu răspunsurile „Da/ Nu“, sau întrebarea „Sunteți mulțumit de calitatea emisiunii A?“, cu răspunsurile „Foarte nemulțumit / Nemulțumit / Mulțumit / Foarte mulțumit / Nu știu“; - Calitatea pieselor dintr-un lot de produse supus controlului - exprimată prin „Piesă bună / Rebut”; - Nivelul efectului curativ pe care îl are un nou medicament supus testării - exprimat prin „Nici un efect / Efect mic / Efect moderat / Efect mare A Observăm că pentru a lucra cu asemenea variabile calitative este necesară o codificare a valorilor ce pot să apară. Astfel, răspunsurile „Da / Nu“ se codifică de obicei prin 1/0, iar răspunsurile „Foarte nemulțumit / Nemulțumit / Mulțu- mit / Foarte mulțumit / Nu știu“ pot fi codificate prin literele a\/ a₂! a^laj a₅. Variabilele aleatoare cantitative sunt mărimi măsurabile, cum ar fi numărul de rebuturi dintr-un lot supus controlului, numărul de defecțiuni care se identifică la controlul unui aparat electronic, înălțimea unor plante, greutatea corporală a unor oameni, sumele depuse de clienți la o bancă etc. Pentru variabilele cantitative, numărul valorilor distincte ce pot să apară este mare sau foarte mare, adesea toate valorile sunt distincte și sunt cuprinse între o limită inferioară și una superioară. De exemplu, sumele depuse de diferiți clienți în anul 2000 la banca B sunt cuprinse între 100.000 lei (depozitul minim) și 10 miliarde de lei (cel mai mare depozit existent la momentul respectiv). O variabilă aleatoare Xeste dată deci prin valorile sale și prin probabilitățile acestor valori. Pentru a face o legătură între aceste elemente, se definesc caracteristicile numerice ale variabilei X, care pun în evidență ce valori apar cel mai frecvent, cum sunt poziționate valorile unele față de altele, cât de mare este vâri abilitatea valorilor lui X etc. Caracteristicile numerice pot fi calculate fie pentru variabilele aleatoare cantitative, fie pentru cele calitative ale căror valori sunt codificate prin numere reale. 276 Definiții a) Caracteristici de poziție ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X = x^) = pi, i= 1, ..., r. • Media este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula M(X) = x{pi + x?p2 + ... + x ᵣpᵣ. • Mediana este o valoare numerică notată Me(X), care împarte valorile lui X în două grupe de probabilități aproximativ egale. Ea se definește astfel: Se consideră valorile variabilei ordonate crescător, X| < x₂< ... < xᵣ. Mediana este acea valoare a variabilei Xcare satisface proprietățile P{X< Me(X)) < |, P(X< Me(X)) > |. • Mod-ul (sau dominanta), notat Mo{X), este valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai mare de apariție. b) Caracteristici de împrăștiere ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X= x^ =pₕ i= 1, ..., r. • Dispersia este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula D\X) = (x, - M(X))²Pᵢ + ... + (xᵣ - M(X))²pᵣ. Observăm eă D²(X) = (x²pₜ + ... + x²pᵣ) - (M(X))². • Abaterea medie standard este egală cu rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei, D(X)=^(X). • Amplitudinea este egală cu diferența dintre cea mai mare și cea mai mică dintre valoarile variabilei X A(X) = max{xi, ...,xᵣ} -min{%i, ...,xᵣ}. Dispersia și abaterea medie standard măsoară deviația valorilor variabilei X de la media M(X), adică variabilitatea valorilor lui X. Există situații când o variabilitate mare este benefică (de exemplu, în unele fenomene biologice). Cel mai adesea, însă, este preferabilă o variabilitate mică, respectiv valori cât mai omogene pentru variabila X. Exemplul 8 Să se calculeze caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare S = „suma punctelor obținute la aruncarea a două zaruri”, care a fost construită în exemplul 7. M(S)=2i + 3^+4^+5A ₊ 6A ₊ 7A₊₈A ₊ 9A ₊ ioA ₊ iiA ₊ i2±=7; 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 Me{X) = 1 c^iP(Xr; 30 2 30 2 Mo(S) = 7, deci valoarea cea mai probabilă este S = 7; b²(S)= f 2² +3² £+... +II² 12² ^X(7)²=^—49 = 5,83; \ 36 36 36 36) 36 D{S) = 2,41; A(S) = 12 - 2 = 10. 277 4.5. Probleme rezolvate 1. într-un liceu există patru clase a IX-a, trei clase a X-a, cinci clase a Xl-a și patru clase a Xll-a, fiecare clasă având câte 30 de elevi. Alegem la întâmplare un elev din liceu. a) Să se construiască câmpul de probabilitate asociat acestui experiment. b) Să se calculeze probabilitatea ca elevul ales să fie din clasa a X-a. c) Presupunem că vârstele elevilor sunt, respectiv, de 15, 16, 17 și 18 ani. Să se construiască variabila aleatoare care descrie vârsta unui elev ales la întâm- plare din liceu. Să se calculeze caracteristicile numerice ale acestei variabile. R: a) Câmpul de probabilitate (E, ^(E), P) este dat de mulțimea totală E probabilitatea P: E= {eₗ} £120, e|21, ^210, ^211, •••, ^360, ^361, •••, ^480} p-P({eJ)=^L V/=l,...,480. b) Evenimentul A = „elevul ales este din clasa a X-a” este A = {ei₂i, • • •, ^210}, ,6 c) Variabila aleatoare cerută este X: E —> {15,16,17,18}, cu P(X=15)=^-,P(X=\6) = -L,P(X=1T)=^,P(X=W)=±, io lo lo lo iar caracteristicile sale numerice sunt: A/(A) = 154- + 16-^ + 17-^ + 18^ = 16,56; Mo(X) = Me(X) = 17; lo lo 16 16 D²(X) = fl5²+16²-^+17²-^+18²^1-(16,56)² = 1,2461; \ 16 16 16 16/ D(X) = 1,1163; A(X)= 18-15 = 3. 2. Se aruncă de trei ori o monedă de 50 de cenți și notăm cu „50“ valoarea și cu „0“ efigia. a) Să se construiască câmpul de probabilitate asociat acestui experiment. b) Să se calculeze probabilitatea de a obține de fiecare dată valoarea. c) Atribuind efigiei valoarea zero, să se construiască variabila aleatoare care dă suma valorilor obținute în cele trei aruncări. Să se calculeze caracteristicile numerice ale acestei variabile. R: a) Câmpul de probabilitate (E, ^E), P) este dat de mulțimea totală E și probabilitatea P: E={(iJ,k)\iJ,kt {0, 50}}. Numărul de elemente ale mulțimii E este Cf + C\ + C₃² + C₃³ = 8 . Rezultă că probabilitatea P este P : :^E) -> [0, 1], P k))=± V(z, j, k) e E. O 278 b) Evenimentul de a obține de trei ori valoarea (50) este A = (50, 50, 50) și O c) Variabila aleatoare cerută este V: E -> {0, 50, 100, 150}, cu P(X= 0) = |, P{X= 50) = |, P(X= 100) = |, P(X= 150) = |. O O O O Calculam caracteristicile numerice ale acestei variabile. 13 3 1 M(X) = 0 • - + 50 • - + 100 • - + 150 • - = 75. 8 8 8 8 Mo^X) = 50; Mo₂(V)=100; Me(X) = 50; D²(V)= 1875; D(V) = 43,3; A(X) = 150. Observăm că dominanta variabilei nu este unică. 3. Se formează la întâmplare un număr din patru cifre distincte, cifrele utilizate fiind 1,2,3,4. a) Să se construiască câmpul de probabilitate asociat acestui experiment. b) Să se calculeze probabilitatea ca suma primelor două cifre ale numărului să fie cel mult 4. c) Să se construiască variabila aleatoare ce dă suma primelor două cifre ale numărului format și să se calculeze caracteristicile numerice ale acestei variabile. R: a) Câmpul de probabilitate (E, PP{E), P) este dat de mulțimea totală E și probabilitatea P: E= | h, h, 6, k e {1, 2, 3, 4}, iₖ pentru j ^k}. Numărul evenimentelor elementare este 4!. Rezultă că probabilitatea P este P : ?P(E) -> [0, 1], P ((hiM) = |, VCziZzZsM) e E. b) Evenimentul ca suma primelor două cifre ale numărului să fie cel mult 4 este A = {(1234), (1243), (2134), (2143), (1324), 1342), (3124), (3142)} Ș¹ 24 ⁼ 3 ’ c) Variabila aleatoare cerută este X: E {3,4,5,6,7}, cu P{X= 3) = P(X= 4) = P(X= 6) = P(X= 7) = 4, P(X= 5) = , și cu caracteristicile numerice: M(X) = 5; Mo(X) = 5; Me(X) = 5; D²(X) ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ 25 = 1,66; D(X) = 1,29; A(X) = 4. v ’ (24 24 24 24 24 J > ’ \ \ ; 279 4.6. Modele probabiliste (Schema Bernoulli, Schema Poisson, Schema hipergeometrică) 4.6,1. Schema Bernoulli (Schema extragerilor cu revenire) a) Experimentul aleator, câmpul de probabilitate și formula binomială Experimentul aleator care este modelul acestei scheme este următorul: considerăm o urnă care conține a bile albe și b bile negre. Se fac m extrageri succesive, cu revenirea bilei extrase înapoi în urnă. 1) Să construim câmpul de probabilitate asociat acestui experiment. . Notăm cu U mulțimea celor ța + b) bile albe și negre din urnă. Câmpul de probabilitate (E, ^E), P) este dat de mulțimea totală E și probabilitatea P: E= {(eₗ?...,ew) | ei g U, i = 1, ..., m}. Numărul evenimentelor elementare este (a + b)m. P : ^E) -> [ 0, 1], = —L—, V(eₕ .... eₘ) e E. ța + b) 2) Să calculăm acum probabilitatea de a obține k bile albe și (m - E) bile negre în acest experiment. Notăm cu 4, iₖ evenimentul ca bilele de pe pozițiile să fie albe, iar celelalte negre. Numărul evenimentelor elemen- tare care îl compun pe Aᵢ{ ᵢₖ este ak 'bm~k . Atunci k im-k / 7 \m-k p^ ,)=—:— '' (a + b)"' \a + b) \a + b) Notând 2 ⁼ P ? Patern scrie Pț ᵢₖ )=pkțl -p)m~k. Fie A evenimentul care constă în obținerea a k bile albe și țm - E) bile negre, indiferent de poziții. Atunci ~ U A, A ’ reuniunea facându-se după toate submulțimile de k indici diferiți ce se pot forma din {1, ..., m}. Cum elementele reuniunii sunt evenimente incompatibile (disjuncte) și de probabilități egale, rezultă PțA) = Ckₗpk(l - p)m~k . Aceasta se numește formula binomială. b) Variabila aleatoare care dă numărul de bile albe ce pot fi obținute în acest experiment este X:E->{0, l,...,m} cu P(X= k) = Ckₘpk (1 - p)m~k , k= 0, 1, ... m. Conform dezvoltării binomului lui Newton, avem m m _ =k} = YckₘPk(\ - Py-k + a - p)]'" = i. k=0 k=0 280 Spunem că variabila aleatoare astfel construită este o variabilă cu repartiție binomială B(m,p). 1) Media acestei variabile aleatoare este M(X) = mp. într-adevăr, MW = Q^\-Pr înlocuind combinările cu raportul de factoriale și simplificând, obținem M (X) = mp{\ - p)”-' + ^²(1 - p)m~² + ... + (k-iy.(m-ky.p ⁽¹ •" p ' = M(i - pVx + c;_₁₇2(i - Py~²"+ ... ... + ckₘ-\Pk-\\ - +... + c^p-¹J sau M(X) = mp - [p + (1 -p)]m l = mp. 2) Dispersia variabilei X este D²(X) = mp{\ - p). Pentru a obține acest rezultat, folosim formula de calcul D²(X) = M(X²) - (M(X))². M(x²)=\y (i - pr+1 ■ cxi - py~' +... ... + k²Ck„pk(1 - ₚy-k +... + nrcymx - ^“J. înlocuind combinările cu raportul de factoriale și simplificând, obținem M{X²) - [mp (1 - pY~' + 2^-^ p²{\ - Py~² + ... + ⁺ k(l nu-------^*⁽¹ ~ py"~k ⁺ -⁺ m²p"^ (k - l)!(m - k)l M(X²) = mp [(1 - Py-' + (1 + 1)0 - l)p(l - p}"-² + ... -⁺ a + - py"~k ⁺ -⁺⁽¹ ⁺ (k - \y\m - k)\ M(x²} = ₘₚ[{\ - Py~' + ...+ c(i- Py~k + .„•+ c:y + m(m -1)^²[(1 - py-² +... + ckₘyPk-²(\ - ₚy-k + c::²p-²], M(X²) = mp\p + (1 -p)] m~' + m(m - \)p²\p + (1 -p)f². de unde rezultă D²{X} = mp + m(m - 1)p² - m²p² = mp(\ -p). Interpretare. Considerăm un experiment care constă în efectuarea a m probe independente, identice, care pot da fiecare ca rezultat un „succes“ sau un „insucces⁴⁴. Presupunem că probabilitatea de a obține un „succes⁴⁴ într-o probă este p, O < p < 1. Atunci probabilitatea de a obține k succese în m probe independente este Ckₘpk(\ - p)m~k, iar variabila aleatoare care dă numărul de „succese⁴⁴ în cele m probe este o variabilă cu repartiție binomială B(m, p). 281 Observație importantă. Repartiția binomială B(l, p) se numește repartiție Bernoulli de parametru p, 0 < p < 1. O variabilă aleatoare cu repartiție Bernoulli de parametru p este modelul unei caracteristici calitative cu două valori posibile (Da / Nu, Succes / Insucces, Piesă bună / Rebut etc.). 4.6.2. Schema Poisson (Schema celor m urne) Experimentul aleator care este modelul acestei scheme este următorul: considerăm m urne, conținând bile albe și negre. Urna i conține aₜ bile albe și bi bile negre, i =1,..., m. Se extrage la întâmplare câte o bilă din fiecare urnă. a) Să construim câmpul de probabilitate asociat acestui experiment. Notăm cu Ui mulțimea celor (ai + b) bile albe și negre din urna i. Câmpul de probabilitate (E, P) este dat de mulțimea totală E și probabilitatea P\ E= {(e,, eₘ) | et e Uₕ i= 1, m} Numărul evenimentelor elementare este + b\){a2 + bi)...(aₘ + bₘ). P : PP(E) -> [0, 1] P((e,,..., eₘ)) = ----------ț-r— -----, V(e.,..., eₘ) g E. v m” (aₓ + b^{a₂+b₁)...(,aₘ + bₘ) b) Să calculăm acum probabilitatea de a obține k bile albe și (m - k) bile negre în acest experiment. Notăm cu Aᵢₕ ᵢₖ evenimentul ca bilele extrase din urnele să fie albe, iar celelalte negre. Atunci O: O- ...O: b: ...bi Ai i ) = ------------------------------. (p} + b^)(p₂ + b₂) ...(aₙₜ + bₘ) Notând a, / + bj) = pj, putem scrie p( 4,...ᵢₖ) = p:ᵢ - pᵢₜ (1 - pᵢₖ„ )-(i - Pi„, )• Fie A evenimentul care constă în obținerea a k bile albe și (m - k) bile negre, indiferent de proveniență. Atunci “ U A.--A ’ reuniunea facându-se după toate submulțimile de k indici diferiți ce se pot forma din {1, ..., m}. Cum elementele reuniunii sunt evenimente incompatibile (disjuncte), rezultă P(A) = £ P(Aᵢ} ,.*). Suma obținută este egală cu coeficientul lui xk 6.-Pk din polinomulp(x) = (pi* + 1 -p{) (p₂x + 1 -pi) ... (p^ + 1 -pₘ). Exemplul 9 Pe masă se află 4 cutii de chibrituri. Prima cutie conține 50 de chibrituri dintre care 5 sunt defecte, a doua cutie conține 48 de chibrituri dintre care 4 sunt defecte, a treia cutie conține 47 de chibrituri dintre care 5 sunt defecte, a patra cutie conține 51 de chibrituri dintre care 6 sunt defecte. O persoană scoate câte un chibrit din fiecare cutie. Notăm cu X variabila aleatoare care dă numărul de chibrituri de- fecte ce pot să rezulte în acest experiment. Vom scrie explicit valorile acestei varia- bile și probabilitățile acestora și vom calcula media și dispersia acestei variabile. 282 Problema se înscrie în schema Poisson, cu m = 4,/?j = ,p₂ = Pi⁼ , 50 4o x 4/ p₄ = . Scriem polinomul asociat acestei scheme: p(x) = (0,lx + 0,9)(0,083x + 0,917)(0,106x + 0,894)(0,l 17x + 0,883) sau p(x) = 0,0001/ + 0,0038x³ + 0,0497x² + 0,2949x + 0,6515. Obținem probabilitățile evenimentelor cerute: - nici un chibrit defect: P{X= 0) = 0,6515; - un chibrit defect: P(X= 1) = 0,2949; - două chibrite defecte: P(X = 2) = 0,0497; - trei chibrite defecte: P(X= 3) = 0,0038; - patru chibrite defecte: P(X= 4) = 0,0001. Media și dispersia variabilei Xsunt: M(X) = 0 • 0,6515+1 • 0,2949 + 2- 0,0497 + 3 • 0,0038+ 4 • 0,0001 = 0,4061; E?(X) = (0 • 0,6515 + 1 ■ 0,2949 + 2² • 0,0497 + 3² • 0,0038 + 4² • 0,0001) - -0,4061²= 0,5295²-0,4061² = 0,11545. Celelalte caracteristici numerice sunt: Mo(X) = 0; Me(X) - 0; D(X) = 0,33978; A(X) - 4. Se remarcă gruparea (poziționarea) valorilor lui X cu predilecție către 0 și 1 (repartiția de probabilitate este puternic asimetrică). 4.6.3. Schema hipergeometrică (Schema extragerilor fără revenire) a) Experimentul aleator, câmpul de probabilitate și formula extragerilor fără revenire. Experimentul aleator care este modelul acestei scheme este următorul: Considerăm o urnă care conține a bile albe și b bile negre. Se fac m extrageri fără revenirea bilei extrase înapoi în urnă, așa încât m < a și m < b. 1) Să construim câmpul de probabilitate asociat acestui experiment. Notăm cu U mulțimea celor (a + b) bile albe și negre din urnă și presupunem că bilele se extrag succesiv, fără revenire. Atunci E= {(ei,..., eₘ) | eₓ e U, e₂ e U- {ej,..., eₘ e U- {eₕ ..., e^}}. Numărul elementelor lui E este A™₊b. Probabilitatea P : ?P(E) —> [0, 1] este dată de P(Oi, eₘ)) = -f-, VOi, eₘ) e E. ^a+b 2) Să calculăm acum probabilitatea de a obține k bile albe și (m - k) bile negre în acest experiment. Notăm cu A^^ evenimentul ca bilele de la extra- gerile i\,..., iₖ să fie albe, iar celelalte negre. Atunci \ — a______________b______ ‘k ' A ni a + h 283 Fie A evenimentul care constă în obținerea a k bile albe și (m - k) bile negre, indiferent de poziții. Atunci A = A^ , reuniunea facându-se după toate submulțimile de k Ak • Am~k indici diferiți ce se pot forma din {1, ...,m}, de unde rezultă P(A) = C* —a ₘh—. ^a+b _ . . . ... .. ml al bl (a + b - m)l Prin calcul se obține P(A) = ------r-----,, ---------y-r-----rj,sau kl • (m - k)l (a - k)\ (b - m + k)l (a + 6)! ^k Qim-k P(A) = ——. Aceasta se numește formula extragerilor fără revenire. Ca+h Observație importantă. Remarcăm faptul că se obține aceeași valoare pentru P(A) dacă se presupune că cele m bile se extrag simultan din urnă. Atunci E= {(eb eₘ) | eₖ e U,i= 1,m, ej pentru i * j}. Numărul elementelor acestei mulțimi este C™₊ₕ, probabilitatea unui eveniment țjk Qm-k elementar este —— și se obține direct formula P(A) ⁼ a ₘh—• Deci ^a + b ^a+b probabilitatea de a obține k bile albe și {m - k) bile negre în acest experiment nu depinde de modul în care se fac cele m extrageri fără revenire (succesiv sau simultan). b) Variabila aleatoare care dă numărul de bile albe ce pot fi obținute în acest experiment este ^k ^m-k cu P(X=k)= a^h ,k=0,l,...m ^a+b Faptul că P{X = 0) + P(X= 1) + ... + P(X= m) = 1 rezultă din egalitatea m combinatorială cunoscută 'C™~k = C™₊ₕ • k=u Spunem că variabila aleatoare astfel construită este o variabilă cu repartiție hipergeometrică H(m\ a, b). întâlnim asemenea variabile aleatoare în practică, de exemplu în controlul de calitate (se controlează un lot ce conține a piese bune și b rebuturi, prin verificarea calității a m piese extrase aleator din lot). 1) Media acestei variabile aleatoare se calculează astfel: xil rim~ 1 xiw M(X) = 0 • ■ a h + 1 • a h + ... + m ■ “ h . ^a+b ^a+b ^a+b Printr-un calcul combinatoria!, obținem M(X) = ■ Notând p = —, putem scrie M(X) = mp. a + b 284 Observație. în experimentul de mai sus am presupus că m < a și m < b. Dacă renunțăm la aceste ipoteze, variabila aleatoare care dă numărul de bile albe ce pot fi obținute în acest experiment,este X\ E {max(0, m - b), max(0, m-b)+ 1,min(«, m)} min(«, m) ^k ^m-k —U m ----⁼ £=max(O, m-b) ^a+b Exemplul 10 Se cercetează calitatea unui lot de 500 piese. Fabricantul spune că probabilitatea apariției unei piese defecte în procesul de fabricație este de 0,01, adică numărul de piese defecte din lot ar fi de 5. Beneficiarul decide să contro- leze 5 piese alese la întâmplare din acest lot. Variabila aleatoare care dă ndmărul de piese defecte găsite în cadrul controlului este o variabilă cu repartiție hiper- geometrică H(5;5,495). Valorile acestei variabile sunt {0, 1, 2, 3,4, 5} și probabilitățile acestora sunt P(X= k) = , k=0, 1,..5. ^500 de unde obținem probabilitățile evenimentelor cerute. k 0 1 2 3 4 5 P(X=k) 0,95 0,048 7,87 • 10-4 2,395 • IO-6 1,94 ■ IO-9 0,39- 10-ii Numărul mediu de piese defecte este M(X) = 5 x 5/500 = 0,05. O persoană urmează să dea trei telefoane la trei numere diferite. Fiecare număr este format o singură dată. Notăm cu Ai evenimentul ca la apelul i să nu primească răspuns (i = 1, 2, 3). Să se scrie evenimentele: „primește răspuns la toate apelurile⁴⁴, „la cel mult un apel nu primește răspuns⁴⁴, „la cel puțin un apel nu primește răspuns⁴⁴, „la un singur apel nu primește răspuns⁴⁴. într-o urnă sunt bile de trei culori: albe, negre și galbene. Se extrag din urnă 3 bile, tară a pune înapoi bila extrasă. Notând cu A,N,G obținerea unei bile albe / negre / galbene (respectiv), să se scrie evenimentele: ,^se extrage câte o bilă de fiecare culoare⁴⁴, • „se extrag cel puțin două bile albe⁴⁴, „se extrag cel mult trei bile negre⁴⁴, „se extrag trei bile de aceeași culoare⁴⁴. Se consideră experimentul aleator care constă în aruncarea simultană a doua monede diferite, pentru care notăm cu E\, respectiv E₂ apariția efigiei pe prima (a doua) monedă și cu respectiv V₂ apariția valorii corespunzătoare fiecărei monede. Să se scrie evenimentele elementare asociate acestui experiment și să se construiască evenimentele: „apariția a cel puțin uneia dintre valori⁴⁴, „apariția a cel mult uneia dintre valori⁴⁴. Se consideră experimentul aleator care constă în aruncarea simultană a două zaruri. Fie zl evenimentul „numărul punctelor de pe al doilea zar este egal cu de două ori numărul punctelor de pe primul zar⁴⁴ și fie B evenimentul „pe primul zar se obține numărul 2⁴⁴. Să se arate că (A n B)c = Ac u Bc. 285 Se consideră un circuit electric conținând o sursă și 4 becuri montate în paralel. Notăm cu Ai evenimentul ca becul i să fie ars. Să se scrie evenimentele: „prin circuit trece curent electric“, „două becuri sunt aise“, „cel puțin trei becuri sunt arse“. Se consideră experimentul aleator ce constă în ordonarea mulțimii {i, 2, n}, adică plasarea numerelor 1, 2, ..., n pe n poziții consecutive. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului și să se calculeze probabilitatea ca numerele 1, 2, 3 să stea la rând și în ordine crescătoare. Se consideră o mulțime formată din m băieți și n fete care se așează în mod aleator pe (m + ri) scaune puse într-un șir. Să se construiască câmpul de probabilitate asociat experimentului și să se calculeze probabilitatea ca pe primul scaun să se așeze o fată, iar pe ultimul scaun un băiat. Se dau în plan trei puncte coliniare M], M₂, și încă patru puncte M₄, M₅, așa încât singurele puncte coliniare să fie M^, M₂, M₃ (exceptând coliniaritatea oricăror două puncte). Se construiesc triunghiuri cu vârfurile în aceste puncte. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului. Se repartizează trei profesori de matematică la nouă clase (3 clase a IX-a, 3 clase a X-a, 3 clase a Xl-a), dându-se fiecăruia câte trei clase. Care este probabilitatea ca un profesor să primească numai clase a X-a? Se consideră două loterii diferite, cu numerele 1, 2, ..., n, Cum trebuie să fie n pentru ca probabilitatea de a extrage 5 numere la prima loterie să fie mai mică decât probabilitatea de a extrage 7 numere la a doua loterie? Se consideră două urne: U\ - conținând 2 bile albe și 3 bile negre și U₂ - con- ținând 3 bile albe și 4 bile negre. Se extrage câte o bilă din fiecare urnă. Să se scrie evenimentele elementare ale acestui experiment aleator și să se determine probabilitățile lor. Se notează cu A evenimentul „din prima urnă se obține o bilă albă“ și cu B evenimentul „din a doua urnă se obține o bilă neagră“. Să se arate că A și B sunt evenimente independente. într-un lot format din 1 000 de servicii de cafea există 5 servicii cu defecte și anume: 2 servicii au câte o cană ciobită și 3 servicii au câte o farfuriuță ciobită. Se controlează la întâmplare un serviciu din lot. Să se scrie evenimentele elementare ale acestui experiment aleator și să se determine probabilitățile lor. Știind că s-a găsit un serviciu defect, care e probabilitatea ca el să conțină o cană ciobită? Doi trăgători trag simultan asupra unei ținte. Probabilitățile ca ei să nimerească ținta sunt, respectiv, 0,7 și 0,85. Să se calculeze-probabilitatea ca ținta să fie atinsă de cel puțin un trăgător. O urnă conține n bile numerotate 1, 2,..., n. Din această urnă se extrage o bilă. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului. Să se calculeze probabilitatea ca numărul bilei extrase să fie un pătrat perfect. Să se calculeze probabilitatea ca numărul bilei extrase să dea restul 2 la împărțirea cu 3. Se administrează același tratament la 10 pacienți, probabilitatea de a obține o ameliorare fiind de 1/3. Să se calculeze probabilitatea de a obține o ameliorare la cel puțin 7 pacienți. Pe masă sunt trei cutii conținând bomboane roșii și verzi. în prima cutie există 2 bomboane verzi, în a doua o bomboană verde, iar în a treia 3 bomboane verzi. Un copil scoate din fiecare cutie câte o bomboană. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului și să se calculeze probabilitatea de a obține cel puțin două bomboane roșii. 286 Se aruncă un zar de 10 ori. Care este probabilitatea obținerii de 6 ori a unei fețe cu un număr mai mic sau egal cu 3? La o loterie sunt așezate îh urnă toate numerele întregi de la 1 la 45. Din urnă se extreg pe rând 6 numere care sunt declarate „câștigătoare⁴⁴. Să se calculeze probabilitatea ca trei dintre numerele {1, 22, 14, 37, 19, 40} aflate pe un bilet de loterie să fie declarate câștigătoare. Din cifrele 0, 1, 2, 3 se scriu numere naturale nenule astfel încât în fiecare astfel de număr orice cifră să intre cel mult o dată. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului. Să se construiască variabila aleatoare „suma cifrelor numărului format⁴⁴ și să se calculeze media sa. Un grup de 20 de elevi și 3 profesori au plecat într-o excursie. Ajunși la munte, -se hotărăsc să joace o partidă de fotbal cu colegii lor din liceul local. Excursioniștii își formează echipa în mod aleator. Să se construiască variabila aleatoare ce dă numărul de profesori ce pot să apară în echipa oaspeților și să se calculeze media ei. O mie de persoane răspund în scris la o întrebare cu caracter publicitar, iar dintre acestea 890 de persoane răspund corect. La tragerea la sorți organizată de agentul publicitar se extrag 5 scrisori, se verifică corectitudinea răspunsurilor, iar expeditorul este declarat câștigător dacă răspunsul conținut în scrisoare este corect. Să se stabilească valorile și repartiția de probabilitate a variabilei aleatoare X care dă numărul persoanelor care pot fi declarate câștigătoare (al scrisorilor extrase care conțin răspunsul corect la întrebare). Să se calculeze probabilitatea ca cel mult 2 dintre cele 5 scrisori extrase să fie câștigătoare. Se consideră experimentul aleator al aruncării a două zaruri de culori diferite. Notăm cu i numărul obținut pe primul zar, cu j numărul obținut pe al doilea zar și cu X variabila aleatoare care ia valorile | i -j |, i, j = 1, ..., 6. Să se stabilească valorile și repartiția de probabilitate ale variabilei aleatoare X. De-a lungul unei străzi sunt trei chioșcuri de ziare. Probabilitatea ca o persoană să găsească ziarul dorit este aceeași pentru fiecare chioșc - și anume p = 0,7. Notăm cu {X = 1} evenimentul ca clientul să găsească ziarul la primul chioșc, cu {X = 2} evenimentul să-l găsească la al doilea chioșc, cu {X= 3} evenimentul să-l găsească la al treilea chioșc și cu {X= 0} evenimentul ca clientul să nu găsească ziarul dorit la niciunul dintre cele trei chioșcuri. Să se stabilească repartiția de probabilitate a variabilei aleatoare Xastfel construite. Statistica matematică este acea ramură a matematicii care se ocupă cu analiza și interpretarea datelor statistice de proveniență aleatoare, esențial fiind faptul că se pornește de la un model matematic, probabilist al fenomenului care a generat datele. 287 5.1. Colectarea datelor statistice în paragraful 3 am prezentat modalități de descriere a datelor statistice, fără a evidenția de unde a provenit caracterul aleator al acestora. în continuare, luăm în discuție două modele, matematice pentru obținerea datelor statistice cu caracter aleator: variabilele aleatoare și eșantioanele aleatoare. 5.7.7. Obținerea datelor statistice prin observarea variabilei aleatoare de interes FieXo variabilă aleatoare cu mulțimea valorilor posibile {aj, aᵣ} și cu repartiția de probabilitate necunoscută {P(X = a^ i = 1, r}. Se fac n obser- vații independente asupra acestei variabile și se obțin datele statistice {xb ..., xₙ}, cu repartiția de frecvente {zz/zz, i = 1, ..., r}. Frecvențele njn, i = 1,..., r sunt estimații ale repartiției de probabilitate a lui X. valori ar rep. de prob. P{X= a.) P(x= rep. de frecv. njn nr/n Exemplul 1 Considerăm din nou problema eficienței unui nou tratament. Răspunsul unui bolnav la acest nou tratament poate fi modelat printr-o variabilă aleatoare cu valorile tZ| = „ameliorat⁴, a₂ = „staționar⁴⁴, a₃ = „înrăutățit⁴⁴ și cu repartiția de probabilitate necunoscută, {P(X= a), z = 1, 2, 3 1 = 1 }. i=\ Se fac observații asupra a 100 de bolnavi tratați în mod independent, înregistrându-se 80 de ameliorări, 15 situații în care starea bolnavului a rămas staționară și 5 cazuri în care starea bolnavului s-a înrăutățit. Repartiția de frecvența obținută este răspuns ai ^2 a3 frecvența 0,80 0,15 0,05 Pe baza datelor statistice, estimăm repartiția de probabilitate astfel: P(X= 6z,) = 0,80; P(X= a₂) = 0,15; P(X= a₃) - 0,05. 5.1.2. Obținerea datelor statistice prin observarea unui eșantion aleator Populația este o mulțime finită de unități, Q = {u\, ..., uN}, numărul N al unităților fiind foarte mare. Din această populație se extrage în mod aleator un eșantion de volum n, notat (wb ..., uₙ). Construcția eșantionului poate fi făcută în mai multe moduri, în funcție de aceasta putându-se calcula probabilitatea de obținere a eșantioanelor n - dimensionale. • Pentru o alegere secvențială a celor n unități, un eșantion (ub ..., se obține astfel: Se alege, la întâmplare, unitatea u\ din populația Q, apoi se alege, 288 la întâmplare, unitatea u₂ din populația rămasă fi - {w,} și așa mai departe. Rezultă că probabilitatea de a obține un asemenea eșantion este P((“i’'’'’U'^ ⁼ N(N -n + \) ⁼ • Pentru o alegere simultana a celor n unități, se obține un eșantion (wb uj) format din unități distincte alese la întâmplare, în același moment, din populația Q (adică u, uₖ pentru j k}. Probabilitatea de a obține un asemenea eșantion este Caracteristica de interes a populației este o funcție care poate lua r valori distincte X : Q -> {a.\, ..., a^ și notăm cu N-ₜ numărul unităților populației cu proprietatea căX(u) = aₕ i= 1,..., r. Valorile {N\, N₂,Nᵣ} sunt necunoscute. Se observă că ^₌₁ N{=N. Evaluând caracteristica X pentru toate unitățile selectate obținem mulțimea observațiilor, notată {xj, ...,xₙ}₉ undexj = X(u\) ₉,..,xₙ = X(uₙ). N otăm cu ni numărul de apariții ale valorii a{ în această mulțime, i = 1, ..., r. Apare astfel o repartiție de frecvențe pentru eșantionul de sondaj, ¹ n ’ n n n Frecventele h/h, i = 1,..., r sunt estimații ale frecvențelor necunoscute Ni/N, i= 1,..., r corespunzătoare întregii populați Q . 5.2. Estimarea unei proporții printr-un sondaj statistic Considerăm o populație finita Q = {u\, ..., uN} și o caracteristică de interes X care poate lua doar două valori, codificate prin 1 și 0, așa încât V-Q-> {1,0}, iar numărul unităților lui Q pentru care X(ti) = 1 este și numărul unităților lui Q pentru care X(u) = 0 este N- N(}. Parametrul de interes este proporția unităților care dau valoarea 1, N ’ Mulțimea eșantioanelor aleatoare de volum n extrase din Q prin alegerea simultană a n unități distincte dintre cele Vale populației este E = {(uj, ..., uₙ | Ui g Q, i = 1, ..., n, uₜ * pentru i j}, iar probabilitatea de obținere a unui eșantion este Notam cu Xₕ i = 1, n variabilele aleatoare care dau valorile lui X pentru unitățile din eșantion: fl, dacă T(m,) = 1 X= < , i= 1, [0, dacă X^u^ = 0 289 Variabila aleatoare ^₌₁ dă numărul unităților din eșantion pentru care se obține valoarea 1 și ea are o repartiție hipergeometrică Htn^N^N - Nq). Rezultă că repartiția sa de probabilitate este dată de: ,«0 = 0,1, iar media sa este de unde rezulta că Dacă numărul de unități din eșantion pentru care se obține valoarea 1 este egal cu n{}, atunci estimația lui P este P= — • n Spunem că estimația aceasta este nedeplasată, căci media sa este egală cu P, parametrul ce trebuia estimat. Exemplul 2 Se face un studiu statistic pentru estimarea proporției firmelor din București care raportează profit pe o anumită lună. Să presupunem că în București există 400 000 de firme, dintre care 4 000 se aleg în mod simultan pentru a forma un eșantion aleator. Dintre firmele selectate, 3 500 raportează că au obținut profit, iar 500 raportează „profit zero“ sau chiar pierderi. O estimație a proporției firmelor din București care raportează profit este ₌ 3500 ₌ 7 P 4000 8 ’ Aceasta înseamnă că numărul total, estimat, al firmelor din București care raportează profit este egal cu 400 000 • 7/8 = 350 000. Probleme rezolvate 1. Se face o evaluare statistică a riscului de infarct de miocard la femeile de vârstă cuprinsă între 50 și 59 de ani, care locuiesc în București. a) Care este modelul probabilist care poate fi folosit pentru a descrie apariția sau neapariția infarctului la o persoană, într-un interval de un an? b) Descrieți o modalitate de culegere a datelor statistice și prezentați metoda de estimare a probabilității de apariție a unui infarct de miocard la o persoană, într-un interval de un an. c) Utilizând modelul construit, evaluați probabilitatea ca cel mult 3 din 1000 de femei de vârstă cuprinsă între 50 și 59 de ani să facă un infarct într-o perioadă de 5 ani. R: Modelul probabilist care descrie apariția sau neapariția infarctului la o persoană într-un interval de un an este dat de o variabilă aleatoare X, cu repartiție 290 Bernoulli, 5(1; p). Evenimentul {X= 1} revine la faptul că persoana face infarct, iar evenimentul {X = 0} înseamnă că persoana nu a face infarct. Avem P(X= l)=p, P(X=0)=\-p. Valoarea necunoscută p trebuie estimată din date statistice. Se aleg, la întâmplare, n medici de familie și se înregistrează numărul femeilor de vârstă cuprinsă între 50 și 59 de ani înscrise la acești medici și numărul celor care au făcut infarct în ultimul an. De exemplu, se aleg 6 medici de familie, câte unul din fiecare sector al Bucureștiului, iar datele se înregistreză în următorul tabel: medic 1 2 3 4 5 6 total nr. persoane 175 200 185 130 180 130 1000 nr. infarcturi 0 1 0 0 1 0 2 Repartiția de frecvențe pentru apariția sau neapariția infarctului la o persoană este dată de valorile = 0,002; = 0,998. n 1000 n 1000 Rezultă că putem să-1 estimăm pe p prin 2/1000 = 0,002, deci modeîul considerat este dat de variabila aleatoare Xcu repartiție Bernoulli, 5(1; 0,002). în continuare ne interesează o nouă variabilă aleatoare, care descrie apariția sau neapariția infarctului la o persoană într-un interval de 5 ani. O notăm cu Y și identificăm repartiția ei ca fiind 5(1; 0,01). Variabila aleatoare Z care descrie numărul de infarcte ce pot să apară într- un lot de 1000 de femei de vârstă cuprinsă între 50 și 59 de ani într-o perioadă de 5 ani are o repartiție binomială 5(1000; 0,01). Evenimentul ca cel mult 3 din 1000 de femei de vârstă cuprinsă între 50 și 59 de ani să facă un infarct într-o perioadă de 5 ani se scrie ca {Z < 3} = {Z= 0} o {Z= 1} u {Z= 2} u {Z= 3}, iar probabilitatea sa este P{z< 3} = tcL (mk(0,99)mm-k. Utilizând funcția BINOMDIST din EXCEL, obținem valoarea numerică P(Z<3) = 0,01. 2. Directorul unei maternități vrea să înființeze un salon pentru nou-născuții subponderali (cu greutate între 1800 grame și 2500 grame) și vrea să știe câte paturi ar trebui să aloce acestui salon. Din experiența medicală se știe că un nou- născut subponderal trebuie supravegheat în spital timp de 4 zile. a) Care este modelul probabilist care poate fi folosit pentru a descrie variabila „numărul de nou-născuți subponderali, într-un interval de 4 zile“? b) Descrieți o modalitate de culegere a datelor statistice și prezentați metoda de estimare a parametrilor modelului. c) Care este cel mai mic număr x de paturi necesare, așa încât proba- bilitatea ca numărul nou-născuților subponderali dintr-un interval de 4 zile să depășească numărul paturilor să fie mai mică sau egală cu 0,05? 291 R: Notăm cu p probabilitatea de apariție a unui nou-născut subponderal, 0

x) pentru x = 0, 1, ..., oprindu-ne la acea valoare x pentru care P(X > x) < 0,05. P(X> 0) = 1 -P(X= 0) = 1 - Ck, (0,l)°(0,9)²⁵ = 0,928; P(X> 1) = 1 -P(X< 1) = 1 - tc* (0,l/(0,9)²⁵-k = 0,729; k=0 P{X> 2) = 1 -P(X< 2) = 1 - Jc*₅ (0,1/(0,9)²⁵~k = 0,463; k=0 P(X> 3) = 1 -P(X< 3) = 1 - £c‘ₛ (0,1/(0,9)²⁵-k = 0,236; k=0 P(X> 4) = 1 -P(X< 4) = 1 - ic*₅ (0,l/(0,9)²⁵ ~k = 0,098; k=Q P(X> 5) = 1 -P(X< 5) = 1 - Jc*₅ (0,1/(0,9)²⁵ ~'k = 0,033. k=0 Rezultă că cel mai mic număr de paturi necesare este x = 5. 292 1. Fie funcția/: IR IR, definită prin/(x) = 3x - 2, dacă x < 2 < . Să se x², dacă x > 2 arate că/este bijectivă și să se calculeze inversa sa. 2. Să se arate că dacă n și k sunt numere naturale cu n > k + 3, atunci coeficienții binomiali Ckₙ , Ck^, Ck⁺², Ck"'² nu pot fi termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. 3. Dacă a + b = 2ti, arătați că sin« + sin/? = 0 și apoi calculați ₒ . k . 2k . 70k . 71tu 5= sin— + sin— + ... + sin + sin , 36 36 36-36 i ti 2ti 70ti 71k „ ... unde —, — , ..., ---------,--- sunt numere in progresie aritmetica. 36 36 36 36 4. Două laturi ale unui dreptunghi se află pe dreptele de ecuații 3x - 2y - 5 = 0, 2x + 3y + 7 = 0 și unul dintre vârfuri se află în punctul A(-2, 1). Calculați aria dreptunghiului. 5. O persoană depune anual la bancă o sumă de Sₒ unități bancare în regim de depozite la termen (cu dobândă compusă) și ridică după 2 ani o sumă egală cu m unități bancare. Care este valoarea dobânzii unitare (discuție după Cât a fost dobânda unitară oferită de bancă în cazul Sₒ =100 unități bancare și m = 231 unități bancare? 1. Fie funcția: IR -> IR, definită prin fₘ(x) = - x² + mx + 1, dacă x < 0 x + 1, dacă x > 0 unde m este un parametru real. Să se determine valorile lui m pentru care funcția /₃₁ este surjectivă, injectivă, respectiv inversabilă. în cazul în care fₘ este inversabilă să se determine inversa sa. 2. Să se arate că numărul complex z = ₐᵣₑ modulul egal cu 1, dar nu 2-i este rădăcină de ordinul n a unității pentru nici un număr natural n. 3. a) Fie /: IR IR, /x) = sin3x + cos9x. Aflați perioada principală a funcției / b) Dacă sin'⁷x + cos"x = 1, oricare ar fi x e IR, arătați că n = 2. 293 4. în planul cartezian fie punctele ^(1,3) și 5(4, 2). Fie A! simetricul lui A față de Ox și B' simetricul lui B față de Oy. Dreapta A'B' întâlnește pe Ox în M și pe Oy în N. Arătați că dreptele AM și BN sunt paralele. 5. O persoană rambursează un credit T₍} = 10 000 unități bancare, pe care l-a contractat cu o dobândă unitară i = 10%. Știind că anuitățile sunt egale și că al 5-lea amortisment este de 732,05 unități bancare, să se calculeze termenul pentru care a fost contractat creditul. 1. Fie A o mulțime nevidă și finită de numere reale. Dacă A —> A este o funcție strict crescătoare (respectiv strict descrescătoare), să se arate că f= Im. 2. Să se rezolve sistemul de ecuații: 's<³=Ayy zcy = scy 3. a) Fie funcția f: IR —> IR,/(^) ⁼ sinx ⁺ cosocx, oc g IR. Dacă f este funcție periodică, arătați că oc g ®. b) Rezolvați și discutați în funcție de a g IR ecuația a cos3x + sin2x sinx - cosx = 0. 4. Fie A un punct în primul cadran al sistemului de axe xOy și A\, A₂ proiecțiile lui A pe Ox, Oy. Presupunem că punctul A este mobil astfel încât dreptunghiul să aibă perimetrul constant 2a, a > 0. Să se arate că perpendiculara din A pe diagonala A {A₂ trece printr-un punct fix. 5. Un client vine la bancă având intenția de a face un plasament de 1000 unități bancare. Banca oferă o dobândă unitară de 4% pentru depozitele la vedere și de 9% pentru depozitele la termen cu dobândă compusă. Să se calculeze ce sumă ar ridica deponentul după 4 ani în cazul unui depozit la termen și ce sumă ar ridica după o perioadă de 4 ani și 150 zile în cazul unui depozit la vedere. Să se calculeze raportul procentual al celor două sume. 1. Să se rezolve în IR ecuația: yjx + 1 + 4^1 x -3 + yjx + \- 4^/x- 3 = 4. 2. Să se calculeze: (Cn¹ ² + (C;)²+... + (G²)². 294 71 TC 3. a) Fie două numere reale x, y. Știind că există a, b g (—, —) astfel încât x = tgtz, y = tg£, demonstrați inegalitatea O - Jp(l + xy) (1 + *²)(! + /) b) Fie funcția/: IR IR,/(x) = arcsin(sinx) și a g [~^ “]• Calculați suma 5 =J{d) + f{a + 7i) +fla + 2ti) +J[a + 3k). 4. Arătați că prin punctul 5(2, 7) putem duce două drepte astfel încât distanța dintre fiecare dreaptă și punctul Q(l, 2) să fie egală cu 5. 5. Un lot de produse fabricate de o întreprindere este distribuit spre desfacere ia 3 agenți comerciali. Producătorul vinde o unitate de produs la prețul de 100 unități bancare. Cei trei agenți comerciali percep adaosuri comerciale diferite, respectiv de 2%, 4%, 7%. Cota TVA este de 18%. Să se calculeze prețul mediu al produsului și media taxelor pe valoarea adăugată aferente vânzării pentru cei 3 agenți comerciali. 1. Să se rezolve ecuația: V97-x + V9 + x = 8. 2tu 2 ti 2. Știind că 8 = cos — ⁺ i sin — să Se ca^cu^eze Pr°dusul: (1 + e)(l + e²) ... (1 + 8²⁰⁰⁵). 3. Fie ecuația 2(2a + 1) cos²x + 3 cosx + (1 - a) = 0, unde a g IR. Deter- 71 minați valorile lui a astfel încât ecuația să admită soluții în intervalul [0, ^]. 4. Fie punctele A(a, 0), C(c, 0) și 5(0, b\ unde a, b, c sunt strict pozitive și distincte. Perpendiculara din C pe AB intersectează Oy în D. Arătați că AD și BC sunt perpendiculare. 5. Se face o evaluare statistică a adaosului comercial pe care îl practică agenții care comercializează computere. Se aleg în mod aleator 100 de agenți comerciali și se înregistrează adaosurile comerciale practicate, obținându-se următoarea repartiție de frecvențe: adaos comercial 8% 10% 14% 18% 20 50 25 5 frecvența 100 100 100 100 Să se calculeze adaosul comercial mediu și coeficientul de variație. 295 1. Să se rezolve ecuația: (a + x)²ⁿ + 4(a - x)²/³ - 5(u¹ ² * * * * - x²)²/³ = 0. 2. Dacă z + — = 2sina, să se calculeze z⁷ + —, « fiind un număr natural z z” nenul. 3 jr S jr 3. a) Arătați că funcția f\ [~h 1],//) ⁼ sin* este inversabilă și aflați/ '. b) Arătați că inegalitatea (3 + 2cos# - 2sin#)x² - 2(cosa + sin^)x + 1 > 0 este adevărată pentru orice x g IR și orice a g IR. 4. Fie dreptele d\ : 3ax - + 13 = 0, : (a + l)x - 2ay - 21 = 0, a g IR. Să se determine parametrul a astfel încât dreptele d\, d^ să fie: a) paralele; b) perpendiculare. 5. Să se compare variabilitatea următoarelor două seturi de date statistice privind adaosurile comerciale practicate de agenții care comercializează produse alimentare și cei care comercializează produse cosmetice: adaosuri comerciale, produse alimentare x^ 2% 2,5% 3% 4% 4,5% frecvențe 0,30 0,25 0,25 0,15 0,05 adaosuri comerciale, produse cosmetice yi 7% 9% 15% 20% frecvențe 0,25 0,25 0,25 0,25 1. Să se rezolve ecuația: V# + V* + yja-Jx = \[b . 2. Se consideră ecuația (m - 2)4* + (2m - 3)2x⁺ ¹ + 5m - 6 = 0, unde 77? g IR \ {2}. Să se arate că: i) ecuația are o singură rădăcină reală dacă și numai dacă m g (-|, 2); ii) nu există valori ale lui m astfel încât ecuația să aibă două rădăcini reale distincte. 296 3. Arătați că funcția f: [—, — ] -> [-1, l],7(x) = sinx, este inversabilă și aflați / ’. 4. In planul cartezian cu reperul Ox, Oy considerăm triunghiul OAB unde A(a, 0), B(0, a), a > 0. Pe dreapta AB se consideră un punct P & {A, B}. Fie Q proiecția lui P pe Ox și R proiecția lui P pe Oy. Să se arate că perpendiculara din P pe RQ trece printr-un punct fix. 5. O urnă conține 5 bile albe și 7 bile roșii. Se extrag, pe rând, 3 bile din urnă și se așază pe masă. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experi- mentului. Să se scrie evenimentul „pe masă există trei bile de aceeași culoare⁴⁴ și să se calculeze probabilitatea acestui eveniment. 1. Să se determine valorile reale ale lui a pentru care inegalitatea log^(x² + 3)>l <7+1 este adevărată pentru orice x real. 2. Să se determine coeficientul lui x⁴ din dezvoltarea (1 + 2x + 3x²)¹⁰. 3 tu 2ti 3ti 3. a) Avem sin-— = sin—, deoarece — + — = n. Plecând de la această 5 5 5 5 egalitate, arătați că numărul cosy este soluție a ecuației 4<² - 2t - 1 = 0 și deduceți cos y 1 V5-1 ' b) Arătați că funcția /: (1, oo) —> IR, fix) = cos —------==— este strict % Vx -1 crescătoare. 7T 1 Aplicație: determinați n e IN astfel încât cos— = —j=— n Jn-l 4. Fie ABC un triunghi cu toate unghiurile ascuțite în care înălțimea AD, D e [BC] are aceeași lungime cu latura [BC], Se construiește pătratul CDEF și pătratul BDGH, unde E, G sunt de aceeași parte a lui BC ca și A. Să se arate că dreptele BF și CH sunt înălțimi în triunghiul ABC. 5. Se consideră un joc în care la aruncarea unei monede de 50 cenți se acor- dă 0 puncte pentru apariția efigiei și 50 puncte pentru apariția valorii. Presu- punem că jocul constă în aruncarea simultană a trei monede de câte 50 cenți. Să se scrie variabila aleatoare care exprimă numărul de puncte ce se pot obține în acest joc și să se calculeze media sa. 297 1. Să se rezolve inecuația: logᵥ(x + 2) > logᵥ ₊ ₂x. x I-* 2. Să se determine n și x dacă în dezvoltarea (3 ² + 3 ² )" suma coeficienților binomiali ai primilor trei termeni este egală cu 22, iar suma dintre termenul al treilea și termenul al cincilea este 420. 3. Dacă n numere reale astfel încât < 1, a₂ < 1, .... aₙ < 1 îndeplinesc condiția + a₂ + ... + aₙ ⁼ arătați că ai = 1, a₂ = 1, aₙ = 1. Aplicație: arătați că ecuația sin2x + sin3x + sin4x = 3 nu are soluții. 4. Fie un paralelogram ABCD și M un punct în plan. Considerăm punctele N, P, Q astfel: TVeste simetricul lui M față de A, P este simetricul lui vVfață de D, iar Q este simetricul lui P față de C. Arătați că punctul Q este simetricul lui M față de B. 5. O urnă conține 4 bile albe și 6 bile negre. Se fac trei extrageri, cu revenirea bilei extrase înapoi în urnă. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului și să se calculeze probabilitatea de a obține cel mult două bile albe. 1. i) Fie a. b, c e (0, 1) u (1, +oo). Să se arate că alogcZ> = £log‘-a. ii) Să se rezolve ecuația (x+ l)log²⁽v‘²⁾ + 2(X - 2)¹O⁸²⁽J⁺I⁾ = 3x² + 6x + 3. 2. Fie n g IN, > 2 și h + 1 numere în progresie aritmetică aₕ a₂, .... aₙ₊\. Să se calculeze suma k=\ 3. a) Arătați că ecuația = 0 nu are soluții. cos9x - cosx b) Rezolvați ecuația 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0. 4. în triunghiul ABC avem 0, pentru x = avem /(x) ⁼ y, deci f este surjectivă; / (-1) = /(l) = 1, deci /nu este injectivă. 12. Funcția / : Z —* Z, /(x) = 2x este injectivă și nu este surjectivă; funcția g \ TL TL, g^ = —, dacă x este par ₍ 2 x -1 ■, dacă x este impar este surjectivă și nu este injectivă. 13. Se poate folosi reprezentarea grafică a funcției/în plan. 14. h și k nu sunt nici injective, nici surjective. Avem / Z —> Z, / ’(x) = 4 -x și g Z —► Z, g ’(x) = x -1. 16. Se verifică că / ° / ¹ = In și deci / = f 17. / ¹ = / 18. Inversa este: f~' :IR—>IR, /-'(x) = — x,x > 0, 2 — x,x < 0. .3 i i ——dacă x < 3, 19./ : IR -> IR, / (x) = 2 ’ x - 2, dacă x > 3. 20. f \x) = - 4x, dacă x > 0 - , dacă x < 0 21 ./ l(x) = 22 . m = 5. în 1 - x, dacă x < 1 acest caz inversa este/ ¹ : IR -> IR,/”¹(x) = -----, dacă x< 1, T.. .. .. J 2 23. Distingem cazurile: 3-x, dacă x>l. i) a > 0, b > 0, funcția / nu este inversabilă; ii) a > 0, b < 0, funcția / este inversabilă, — x, dacă x < 0, b I— iii) a < 0, b > 0, funcția / este inversabilă, J—, dacă x > 0. -J—, dacă x < 0, * a iv) a < 0, b < 0, funcția /nu este inversabilă, 1 — x, dacă x > 0. b 24./+g)(x) = x, dacă x < 0, . . . . ₙ ;(/’ g)W = 3x, daca x > 0. - 2x², dacă x < 0, 2x², dacă x > 0. ;/(%) = ?,/(%) = |x|³. 299 1. a) 2⁴; b) 15³; c) -j-; d) -2-; e) 15⁵; f) 2- 2. a) 60?; b) 1875?° 3. a) m < 1, 3 ' 5 2² 2 . . .2 este pozitivă; m = 1, este zero; m > 1, este negativă; b) m < — , este pozitivă; m = —, este 2 zero; m > —, este negativă; c) este pozitivă oricare ar fi m 2. Pentru m = 2, este zero. 4. a) xy³; b) (a + b)²; c) 5" + 2". 5, Se calculează membrul drept. 6. Se descompune în factori a³² - Z>³² = (a¹⁶)² - (6¹⁶)². 7. a) (x",⁺" + 1) (x"”" + 1); b) Dacă m < n, se descompune în (x - 1) (x" ¹ + ... + x”); dacă m = n, este 0; dacă m > n se descompune în (1 - x) (xra ¹ + ...+ x"). 8. a) 2k; b) 9⁶; c) sunt egale; d) 4³⁰⁰ = (4³)¹⁰⁰ și 3⁴⁰⁰ = (3⁴)¹⁰⁰, z . y / yoo 4³ < 3⁴, 3⁴⁰⁰ este mai mare; e) J ’ suⁿ^ e^e’ Dacă cc g IR a 0, atunci oc -oc, iar/(a) = oc²,⁷î =/(-oc). Oricare ar fi x e IR,/(x) = x²m > 0, deci dacă y < 0, atunci y Im f 11. i) a ³ b ⁴; (a + b) ⁵ {a - b}²; 3a^b bc²; ii) 2 • 10 ⁴; 2 iii) 3 • 10 ⁶; 15 • IO⁴. 12. a) a ⁴(1 + a²) (ab + a² - 1); b) 4a ²; c) 1. 13. a) 2; b) —; o) 6 14. a) ; b) . 2^ y ;y 1. a) |x -1|; b) | x + 5 |; d) | -3X² + x - 11 = 3X²-x + 1. 2. a) x > 2; b) mulțimea tuturor numerelor reale; c) x > 1; d), e) mulțimea tuturor numerelor reale. 3. a) 165; b) 275; c) 238. 4. —; ^77-2JV2-1;^V3-Vă; ^4 - VI ;VVI -1. 5. a) b) c) ^|x-l|(x² + l). 6. 3VI > 2 VI; 8VI > 5VI;4VI > 3^4. 7. a) 5V?;b)²7P"; c)J² ⁺ ~/l; d)J—. 8. a) -1271; b) -3VI; c)4Vă*-8VI; V2-V2 Va-1 d) 8. 9. a) -3 + 2 VI; b) 5 VI + 2 Vlă” + 4 VI; c)2(-I + 2VI-VI + Vîo) d) |(V9-Vn+ V49); e) 4 + V75+V45; 1)^(14-72+73); g) z x yla-bNa-yjb\ ,— h) - 2+V2+73+76J i)------*-----10. i) Vă-Va⁵; ii)-2—- 11. a) V2=V4jx - 1 + 1= = k/x — 1 + 1F. Analog, se procedează cu x - . 23. 0,1. 24. . 25. 27. Funcția putere de grad impar este strict crescătoare deci f este injectivă. Cum există radical de ordin impar din orice număr real, rezultă că f este surjectivă. 28. Se observă că ecuația f(x) - c = 0 are două rădăcini reale distincte. 29./(0) =/( ‘"^2 ) = 1. 30./ ¹ : IR -> IR,/ ¹ (x) = Vx⁷. 1, a) 3⁶; b)‘^6^; c) ; d) egale; e) egale; f) 2 ³ 1)5-^; h)^ 2. a) 2⁻,⁻⁷J;b) (3■ 2²⁰) \ c)5 ⁵;d) 2 ⁴ . 3. a)x> 6; b)x<-2; c)x>-7; d)x< 1; e)x>-8; t) x < 8; h) x < -10; i) x > -21. 4. a) m > n\ b) m > /?; c) m < n; d) m > n. 5. Mai mari decât 1: b); d); e); mai mici decât 1: a); c); f). 6. a) ; b) ; c) ; d) . 7. Dacă 0 < a < 1, atunci x < 0; dacă a > 1, atunci x > 0. 8. a) Pentru a > 1, da; pentru 0 < a < 1, nu; b) da; c) da; d) nu. 1. a) x < 1; b) -1 < x < 1; c) x g IR; d) x g (-oo, -2) u (1, +oo); e) x g (2, 3); f) x g IR; g) x > 1; h) x > 1; i) 0 < x < 1. 2. a) log₂5; b) log₃10; c) log₅|; d) 3. 3. a) x > 4; b) 0 < x < < |; c) x e (-oo, -2V2 ] o [2a/2 , +00); d) x e (1, 5], 5. a) 2; b) 2; c) 2; d) 2; e) -2; f) 2; g) 1; h) -1. 7. a) E = log₇8; b) E = log₂3; c) |. 8. a) log„E = 21og„41 + jy (log„41 + + 51og„37); b) log„E = 31og„31 + y (log„41+ 41og„33) - 21ogJ7 - |(2 log„23 + + log„29); c) logₐE= 21ogₐa + f (logₐa + 31ogₐ6 + logₐc). 9. a) x = ; b) x = ⁷ / ; 1. a) 3; b) 5; c) -3; d) ; e) 2; f) |. 2. a) |; b) 3; c) |; d) x, = 7, x₂ = -1. 3. a) 4; b) 1; c) 3; d) 1; e) 2. 4. a) 35; c) 24. 5. a) 2; b) 1; c) 3; d) 4; 301 7 e) xj = log₅3, x₂ = 1 - log₅4; f) 0; g) X| = 0, xj = 1; h) 0; i) xi = 0, x₂ = 1. 6. a) 1; b) log^ t; 2 c) 0; d) 0; e) 4. 7. a) 2; b) 2.; c) 5; d) 4. 8. a) 4; b) ; c) 2. 9. a) Xj = 10, x₂ = IO'⁴; _ , 1 _1 ■ , 2 1 b)x,= V10,x₂= ^=;c)X]= IO³ ,x₂ = 10 ⁶ ;d)x, = y,x₂= 3⁴.10.100.11.x,= 2⁴ , x₂ = 2⁴. 12. a) X| = 5, vi = 2 sau x₂ = 2, y₂ = 5; b) (2, 1); c) (100, 10); d) (4, 2); e) xₓ = 4, = 10 sau x₂ = 10, y₂ = 4; f) (i, 1). 13. a) x g (-3, -2) u- (3, +oo); 0,01 < x < 10 000; c) x < -4. 14. a) 0 < x < 3; b) 2 < x < 4. 15. împărțind cu 5X, obținem inecuația: +^yj >^’ ^uⁿc^a/W ⁼ ⁺ eSte Str^Ct ^escrescaloare deci / (x) > 1 pentru x < 2. 16. a) pentru 0 < a < 1, 0 < x < «; pentru a > 1, x > «; b) pentru 0 < « < 1, x > 5; pentru a > 1, 0 < x < 5. 2. a) sin/ = , cos/ = -y ; b) sin/ = -^y-, cos/ = - -y^-. 3. E = |ț . 4. E = 5. 5. a) 7= -; b) 7= c) T= IOk; d) T= e) T= 8ti; f) T= 2. 2 3 3 3. a) ^;b) Ș ;c) Ș.5.a₎-₁,43;b₎-^;C₎2;d) ; e); 1). 8. a) j46 3 5532 7 74 R4 b) — .9. Se arată că fiecare membru este egal cu — . 10. a) —; b) -1; 13. a) IR; b) IR; 25 25 85 c) [0, 1] u [2, 3]. 15. a) x = siny ; b) x = —3tgl; c) x = -y, x = . 16. a) x = -y- ; b) x = y; c) x = 1; d) x = E ; e) x = 0, x = ± 2-. 4. a) -£+ (-1/^+ An, k e Z; b) £+ k^-, k e Z; c) kn, k e Z. 5. a) m e [f; 1]; j 6 8 2 2 b) m g [-— ; 1]; c) Avem |/?7 + — | > 2, V m g IR*, deci m g 0; d) m g IR - {3}. 6. Se 2 m aplică formulele: 1 - sin²/ = cos²/, 1 - cos²/ = sin²/, 2cos²/ - 1 = cos2/, 1 - 2 sin²/ = cos2/. 7. cos/ = 0 .=> sin/ = 1 => sin/ 0. în concluzie, cos/ = 0 => sin/ 0, deci numerele (2k + l)y nu sunt soluții ale ecuației «sinx + /jcosx = 0. Rezultă echivalențele: «sinx + b cosx = 0 «sinx+£cosx ₌ $ cosx «tgx + b = 0 <=> tgx = , deci x = arctg(-—) + kn, k g TL. a a 8. a) Avem sin²-^- = — (1 - cos — ) = = —(3 - V?), de unde sin— = — ⁷ 10 2 v 5 ⁷ 8V ⁷ 10 2V2 2^2 3-2 2 -----. b) De la a) rezultă arcsin-^—— = —-, deci 4----⁷ ⁷ 4 10 x = (-1/ -7- + kn, k g TL, adică x e { — + 2kn \k tTL} u { — + 2nn \n ^TL}. v ⁷ 10 ¹ 10 ¹ ⁷ ¹ 10 ¹ J 302 9. a) — + 2kn, — + 2n-, k, n e TL -, b) - + 2k 4, -^4 - k> ⁿ e ZZ; ⁷ 12 36 3 ⁷ 6 3 6 c) + k k e TL-, d) 0. 10. a) (4/c + 1)-, (4/c- 1)4, k, n e TL-, b) ^-+2k^,k e Z; 36 3 8 4 10 5 c) — + k—, — + n —,k,neTL',â) - +2k-, — +2nn,k,n eTL. 13.a)/c^-, - + nn, ⁷ 40 10 20 5 4 3 4 5 2 k, n e Z; b) - — + k-, k e TL. 14. — + k-, — + n-, k, n e TL-, b) 4 + 2k-, 2/m, 12 3 16 2 24 3 6 3 k, n e Z; d) (2k + l)y, (2n + l)y, k, n e TL-, e) + 2k y, + 2nn, k, n e TL. 14. a) ± — + 2Att, ie Z;b) — + 2/ot; c) 0; d) ±4 + 2kn, k e Z; e) tgx = 3 sau tgx = E 3 2 6 3 15. 2/171, n e Z; b) -4 + 2/cn, k e TL-, c) tgx = -2 sau tgx = 4; d) (-1)',⁺¹ 4 + kn, k e Z; 2 6 e) 2kn, k e TL. 16. a) | +/c|, 1 e Z; b) (-1/y + An, k e Z; c) y + 2An, k e TL. 17. a) (-1)"⁺¹ - + 2nn, n e Z; b) (-1 )"⁺l — + n-, n e TL-, c) (2n + 1)4, n e Z; 3 12 2 4 d) ⁺ G e) ⁺ ⁿ G ^ocu^m COS4X ⁼ 2 cos²2x -1, 2cos²x = 1 + cos2x și obținem 2cos²2x + cos2x = 0; b) 4cos²2x + cos2x -3 = 0; c) 2cos²x - 5cosx + 3 = 0; d) sin⁴x - 10sin²x + 9 = 0. 19. a) sinx = 0 sau tgx = ; b) cosx = 0 sau tgx = ; c) 2tg²x - 7tgx + 3 = 0; d) tg²x - 3tgx + + 2 = 0. 20. a) tg²x + 2tgx - 3 = 0 => => tgx = 1 sau tgx = -3; b) 3tgx + 3tgx - 5 = 0 => tgx = — (-3 ±^69 ); c) + /oi, + nn, k, n g TL. 21. a) + /cn, k e TL; b) ±- + kn, k g TL; c) ±- + kn, k g TL; d) ±- + kn; 6 4 6 3 e) Se obține cos²x = <=> £2^±1= 2. 22. a) tgx =1+ V3 ; b) tgx = ~(^5 ± 1); c) tgx = -J- sau tgx = ; d) sinx = 0, tgx = -VJ. 23. . 24. Notăm 2 2 6 3 j 6 sin2x = /. Ecuația /² - 2/ - 2(a + 1) = 0 are A = 2a + 3, iar pentru 2a + 3 > 0, t] = 1 +V26Z + 3 , t₂ = 1 - y/2a + 3 . Ecuația are soluții numai dacă: 2a + 3 > 0 și |1 - >12a + 3 | < 1 <=> a g , — ]. 25. a) cosx = —- , cosx = ——- ; b) sinx = —-, 2 2 2 m +1 2 sinx = m; c) sinx = 1, sinx = W---- ; d) sin2x = 1, sin2x = 27. a) — + 2/ai, k g TL; m m 2 b) 2arctg 7- + 2lcn, -2arctg^- + 2/771, k, n g TL; c) 0; d) (2k + 1)ti, 2arctg2 + 2nn, k, n g TL. 2 3 28. a) Avem 4 cosx + sinx = sau sin(x + a) = -|cosoc, unde tgoc = 4 , a g (0, —) și 3 3 j 3 2 3 4 n cosa = —. Ecuația devine sin(x + a) = 1, deci are soluțiile x = -arctg y + — +2/at, k g TL; b) -4 + - + 2/ot, k e Z. 30. a) 4 ± 4 + k e TL-, b) k -, + n k, n eTL-, ⁷62 ⁷ 8 6 ⁷ 2 8 2 303 c) 2L₊ (-l)^ + , n g Z; d) + H, y + mi, k, /? g Z; e) ^- + k ^,k g Z. 31. a) Avem a² + b² > c² m g , —— ] = I. Dacă m = 0, sinx = 0; dacă m g I\ {0}, 3 3 'gț - —; b) Condiția 3m a² + b² > c² are loc pentru V m g IR. Dacă m = 0, sinx = 0. Dacă m 0, tg— = _Z!L±1 c) Avem a² + b² > c~ <=> <=> m > 0. Pentru 2 m m g [0, 9] u (9, oo), soluțiile sunt x = 2arctg m~^~+ 2kn, k g Z; pentru m = 9, m-9 x = (2k + 1)k sau x = 2arctgy + 2kn, k g Z. 33. a) + 2kn, (-l)”’hl ---+ nn, k, n e TL-, b) - ± — + 2nn, n eTL ; c) - + (-l)aⁱ — +kn, - + (-1)" arcsin-^ + mt, ⁷ 4 3 ’ ' 4 v ⁷ 3 ’ 4 3 k, n g Z; d) sinx - cosx = 1. 112 2 1. a) x = —, y = ; b) x = /, y = — (4-/), unde t este un număr real oarecare; c) x = ~^j~^ ~ S d) x = 0, y = 7. 2. a) 8 - i; b) -32 - 7i; c) (2 + V6) + (2V2-V3)i; d) 6^2+7!; 3. a) -y + yi; b) -| + i; c) -y + ^i; d) i; e) -ț|-+ ^-i ; 0 -1 - i; g) h) 1. 6. a) -1; b) i; c) 0, dacă n = 4/c; i dacă n = ^k+ 1; i - 1, dacă n = ^k + 2; -1, dacă n = ^k + 3; d) - 1; f) 4i - 3. 7. a) m = -2; b) m = c) m g IR. 8. a) ±4=0 +i); b) 11. a) (x - 1 - i)(x - 1 + i); 12 b) (2x + 1 -2i)(2x + 1 + 2i); c) (x - 7 - 5i)(x - 7 + 5i). 12. m(x² + 20x + 200) = 0, m e IR*; b) m(2x² - 14x + 205) = 0, m e IR*; c) m(x² - 2 Va x + a + b) = 0, m e IR*. 13. Dacă z = a + bi, atunci z = a-bi. Avem z³ = (a³ - lab²) + (3a²b- b³)i, z³ = (a³ - 3ab²) - (3a²b - 6³)i. Deci z³=z³. 14. a) {(3 - 6i, 3 + 6i), (3 + 6i, 3 - 6i)}; b) {(-1, -1), (3/2, 2/3)}. 16. a) = 1, yi = 2 și x₂ = -1, y2 ⁼ -2; b) Pentru b = 1 sau b = 2 nu se obțin soluții; pentru b 1 și b 2, x = y = a(b - 2). 17. a) {(x, y) | y = -x² + 10, -Vâ < x 0, găsim două soluții: X\ = Ja⁺^a ⁺— ₇ + b2 -a . ^a2 +b2-a . , . . Va2 _________ ci = +b2 I iar HAHini Ă3 /2 ), (-1,-i 72 ), (-2, i), (-2, -i)}; c) {(7, 3), (-7, -3)}. 21. Se noteazăz² = y și se aplicăex. 18. 1. a) cos 71 + i sin k; b) cos 71 + i sin 71; c) V2^cos ^- +i sin ; 3^ . . ( 3Y -arccos^ l+i sini-arccos—I ; g) V29 (cos oc + i sin oc), unde a = arccos—; h) I72+V6] cos^+isim-r 2. a) +2ăji , J70 x \ 12 12y 3 d) 2| cos ^- + i sin -Ș- <3 3, + i sin k g Z, b) -J + 2U k g TL, ; c) ^ + 2kn,k g TL, d) ^ + 2kn,k g TL, 4. a) Semiaxa pozitivă Ox, inclusiv originea; b) raza plecând din origine (fără punctul O) care face cu semiaxa pozitivă Ox un unghi egal cu ; c) interiorul cercului cu centrul în origine și de rază 2; e) mulțimea punctelor exterioare cercului de rază 1 și cu centrul în punctul ’ o)' 5’ Z ⁼ + i • 6. Axa absciselor și punctele (x, y) ale căror coordonate satisfac condițiile: x = < y ■ 7. | z, | = 2, | z₂ | = 41, | z₃ | = 2, arg zₜ = y, arg zi~ , arg z₃ = tt; atunci ZjZ₂z₃ = ^41f cos + i sin . 8. a) -i; b) -y + i^y-; i \ 1 £ IZ// Z, Z, c) -1; d) 4096(1 + i); e) -64. 9. a) i; b) 1 + i Vă. 12. 2"cos "^fcos-^ + isin^Y 2 2 V 2 2 2 13. Din z + — = 2cos oc, rezultă z\ ₂ = cos oc ± sin oc. Avem z\ +— = z^ + — = 2cos oc. Z ’ Zj z₂ 14. Dacă z =------, a g IR, se vede ușor că | z | = 1. Reciproc, fie z e (E și x =---. Atunci 1 - ai 1 - ai z-1 _ _1 _ a = --------- și a este unic. Cum | z | = 1, adică zz = 1, rezultă z = — . Obținem a = a și i(z + l) z /Q//+1 _ 1 X deci a e IR. 15. z^.. .z„= = cos oc + i sin oc, unde oc = ----------. 16. Rădăcinile de ordinul 2/7 3din 2 - 2i sunt: V2^cos + i sin -^--^7)?£ g {0, 1, 2}, iar rădăcinile de ordinul 4 din 2 - 2i sunt: Vsfcos₊ iₛjₙ(Y⁺Y)Y ,ₑ {q, 1,2,3}. 18. a) cos -Ș- + isin ~ , lo lo ) o 8 COS-Ș-+ +isin^-, COS-Ș- +isin-Ș-, cos+ isin; b) ±L/3 + 1-(V3 -l)i], o oooo o 2 L J 305 ±[>/3-l + (V3 + l)i]; c) Ș[72-76+i(72+76)], -^(1 + i), ^p6+72-i(V6-V2)]; d) ±^(A/3+i), . 19. a) ±3, ±1; b) ±4, ±1; c) ±1; ±^2; d) + 76+72.. ₊ .76 -.72.. ₑ) ±^;±^Ș-; f) ±l;±-2_. 20. a) 1, , 2, -1 ±iTÎ ; b) ± 1, ± i, 72-71 ± iTi—?2 )■ 21. Se calculează 5| + LS^-și se aplică formula lui nt + IR • hZ • IR sin cos v } sin —- sin -——— Moivre. Obținem 5 =----2------2— ? _----2-------2----22. Demonstrație ana- • t ² . t slⁿ ₂ sin - loagă cu cea a relației (3) din demonstrația teoremei lui Pompeiu, prezentată în manual. 1. a) (2); b) (4, 5), (5, 4); c) (a, p, y), (a, y, P), (p, a, y), (P, y, a), (y, a, P), 2 (y, P, a). 2. a) 5 760; b) 322 560; d) n(n - 1); e) (n - 3)(n - 4); f) "Z³”*¹ ■ (n + 2)! 3. a) n = 7; b) n = 6; c) n = 2. 4. a) n g {3, 4, ..., 9}; b) n g {0, 1, 2, ..., 6}. 5. 4! = 24. 6. 10! = 3 628 800. 8. Numărul permutărilor este mn(m + n - 2)!. 9. Dacă n este numărul de elemente al mulțimii; atunci 500 < n! < 1 000, de unde n = 6. 10. 6! -5! = 600. 11. (n - 1)! 13. 48. 14. A# = 1 680 moduri; dacă unul din examene trebuie dat în ziua a 8-a, atunci avem 4 • A² = 840 moduri. 15. t4₃²₍₎ = 30 • 29 = 870. 16. a) (zi - 4)²; b) n(n - 1); c) 2n . 17. a) n e {9, 10}; b) 19; c) n = 10. 18. Trebuie să avem A„ = p A^~² . Rezultă că problema este posibilă dacă numărulp este produsul a două numere naturale consecutive, adică p = m(m +1). Apoi, se deduce că77 = A:4-/7î-l. 19. a) 0, {3}, {4}, {3,4}. 20. C^= 4 060. 21. C² =^^-.22. C₉= 126; C⁴ₒ=21O. 23. a) C²-C² +1; b) C³ -Q³. 24. C?ₒ C] = 14 535. 25. C₉³ -C₆³ C] = 1 680. 26. a) 5; b) 560, c) Cw₊₁ - b₂ ₍£ ₊ f) > d) 101, e) - X.^ₖ ₊ X₎ “ ’ f) 55. 27. a) 6; b) 5; c) 4; d) 17. 28. O clasă oarecare conține C* submulțimi. Așadar se cere să determinăm care dintre numerele este cel mai mare. Dacă n = Im este număr par, atunci este cel mai mare dintre numerele . Dacă n = 2m + 1 este un număr impar, atunci C^₊₁ = este cel mai mare. 29. a) n > 11; b) 7 < n < 12; c) 1 < k < 10; d) 9 < k < 16. 32. C₇³C₄² + C₇²C₄³ + C]C₄⁴. 306 1. a) x¹² - 6ax"’ + I5a²xx - 20a³x⁶ + 15a⁴x⁴ - 6a⁵x² + a⁶; b) a⁵ - 5a⁴ b + + 10a³6² - 10a²&³ + 5ab⁴ - b³; c) a² - 4a Jab + bab - 4b Jab + b\ d) x⁷ * + 14x⁶ + + 84x⁵ + 280x⁴ + 560x³ + 672x² + 448x + 128. 2. a) -330x; b) '1Qjîaⁱb²JJ, c) -20xy Jxy ; d) \2ba²b Jâ Jb , -I2biîb JJ .3. a) /c = 3; b) a⁴; c) k = 6. 4. k= 9. 5. n = 17. 6. 26. 7. 70a³. 8. Din dezvoltare, avem nm - (m + p)k = 0, nm - 1 1(?tî + p) = 1, nm - 23(m + p) = 5. Scăzând prima ecuație din celelalte două și făcând câtul, se obține 1 8 k = 8. Apoi, m + p = -—, n = și, deoarece n este întreg pozitiv, avem n = 8/, cu / întreg pozitiv ș.a.m.d. 9. Punem x = y = 1. Atunci, dezvoltând după formula binomului lui Newton și înlocuind x² și y³ prin 1, obținem suma căutată a coeficienților. Astfel, suma coefi- cienților este egală cu (7 - 6)⁹ = 1. 10. a) 51; b) 26. 11. a) Se folosește relația =C⁷t₊⁺i'; b) în dezvoltarea (1 + x)"⁺¹ = 1 + C'„₊ₗx + C²₊₂x² +... + C^xⁿ⁺' care se Zc ~H 1 zi \?i+i _ i r*¹ c² Cⁿ poate scrie: ----------------= C^x + ^7- x² + -37- x³ +... + —— xⁿ⁺}, pentru x = 1 se obține: a) și n +1 2 3 1 + n pentru x = k se obține b); c) Se folosește egalitatea: k(^ₙ = nC*~}; d) Se folosește aceeași ega- litate ca la punctul c); e) Dacă Si este prima sumă, iar S₂ cea de-a doua, se calculează Si + iS₂. Se aplică formula lui Moivre. 2. a) îi (5, 4); b) u (0, 6); c) u (-1, 0). 3. a) a = 3, b = -2; b) a = , b = . 4 8 6. a) r = 2; b) r = 3; c) r = . 7. a) a = -6; b) a = -2, a = 2; c) a = |. 9. a) (-14, -8); b) (17, 14). 10. a) M(4, 10); b) N(3, 2); c) P(b, -6). 13. a) w(-13, 1); b) w(-19, 3); 15. a) 4a + 5b - 15 = 0; b) C e AB, D £ AB. 3. Fiqura .J^este formată cu punctele situate pe laturile pătratului ABCD, unde A(l, 1), B(2, 1), C(2, 2) și D(l, 2). 4. Numai punctele B, C, E și F aparțin dreptei d. 5- (1, |), (3, y), (-2, 3), (0, 2). 6. A, 2), (|, 1), (|, 0), (^, -3), (-|, 4). 7. c = -3. 8. m = -3, n = 6. 9. O ecuație de forma ax + by + c = 0 este ecuația unei drepte numai dacă a^Q sau b * 0. în cazul nostru a = m + 2 și b = m² - 9, m g IR. Cum m + 2 și m² - 9 nu se anulează simultan, condiția „a * 0 sau b * 0“ este îndeplinită, a) m = -2; b) m = 3 sau m = -3; c) m = 1 sau m = y. 12. p = -7, q = . 13. a) nu; b) nu; c) da. 14. a) este 307 dreapta x - 2y = 0; b) M este reuniunea dreptelor 3x - y + 2 = 0, 3x - y - 2 = 0; c) , 76 este reuniunea dreptelor x - 2y = 0, x - 3y = 0; d)se reduce la punctul (1, -2). 3 5 12 2. mAB = 1, mAC = —, mBC = -. 3. a) -3 ; b) = —; c) -; d) nu există; e) 0. 4 o 2 j 4. a) y = b) y ⁼ x ; c) y = x; d) y = -x. 5. Cum A £ d, avem AM || d <=> 4 5 7 <=> mAM = md <=> a~ = — <=> a = . 8. Se arată că mAB = mDC și AB DC, de unde a-\ 3 2 rezultă AB || DC (AB * DC <=> A, B, C nu sunt coliniare <=> mAB Analog se arată că AD || BC. 10. a) y = 3x - 1; b) y = -2r. 11. a) y - 4 = Vi (x + 3); b) y - 3 = x - 2; c) y = -B x. 12. Există două drepte paralele care îndeplinesc condițiile date anume dreptele care trec prin B(0, 2) și B'(0, -2) și au panta -3, deci d : y = -3x + 2 sau d : y = -3x - 2. 13. a) y - V3 x ± 5; b) y = -x ± 5; c) y = ± 5. 14. a) x - Ay + 7 = 0; b) 2x - y + 2 = 0; c) x =2; d) y = -3. 15. Două metode: 1) se scrie ecuația dreptei AA’, unde A’ este mijlocul laturii BC\ 2) se scrie ecuația dreptei AG, unde G este centrul de greutate al lui ABC. Ecuația medianei: 2y = x - 1. 16. a) 4y - x + 3 = 0, 5y + x - 1 = 0, y + 4x - 4 = 0; b) x - 3 = 0, x + y - 3 - 0, y - 0. 17. 3x + 8y - 9 = 0, 3x + 2y + 9 = 0. 18. Se obține A(-A, 3) și 5x + 2y -13 = 0, x - 5y + 19 = 0, 4x + ly - 5 = 0. 19. Perimetrul este 12, iar aria 6. 20. 2\ab\S = c¹ ². 21. „Tăieturile⁴⁴ dreptei d sunt (a, 0) și (0, d) sau (a, 0) și (0, -a). Se scrie ecuația prin tăieturi a lui d și cum A e d, rezultă a = 1 și a = 5. Deci problema g are două soluții. 24. a) p = y; b) p = -1; c) p = 4. 1. a) u (4, -5); b) u (1, 7) ; c) u (0, 3) sau v = y u , adică v(0, 1); d) u (-5, 0) sau v = u , adică v(l, 0). 2. Fie 0 măsura unghiului dintre dreapta d și axa Ox. Dacă a = 0, avem o dreaptă verticală, deci 0 = y. Dacă oc 0, d nu este verticală și are panta m = —, deci tg0 = —, de unde 0 = arctg —. Obținem: a) ; b) ; c) ; d) y; e) 0. 3. a) x = 1 + 3t, y = 2 - /; b) x = 3t, y = 4/; c) x = 1, y = 7+ /; d) x = -1 + 3z, y = 5 - 9z. 4. b) tₓ = -3, tᵥ= ț ; c) Numai A și C aparțin lui d; d) înlocuind x = 1 - At și y = 3 + t în ecuația lui d’ găsim (1 - 4z) - (3 + /) + 2 = 0 de unde t = 0, deci intersecția d n d’ este E(l,3). 5. a) 3x + j - 4 = 0 ; b) x - 2 = 0; c) y - 1 = 0. 6. a) x = 2 +/, j; = 1 + 2/; b) x =/, y = 5/; c) x = 2 - 2t, y = 3t; d) x = 3 + 4/, y = -5 + 2Z; e) x = y , y = t. 1. a) concurente; b) paralele; c) confundate. 2. a) (5, 6); b) (3, 2); c) ; 2). 3. Sunt 8 15 8 paralele: a), c) și e). Sunt confundate: b) și d). 4. a) a = , b = —— ; b) ab = 12 și a -y sau b *. 5. a) a g IR \ {3}, b g IR; b) a = 3, b g IR \ {2}; c) a = 3, b = 2. 6. a) d și d concurente o m e IR \ {-4, 4}; b) d || d’ « m = -4 și n g IR \ {2} sau m = 4 și n g IR \ {-2}; 308 10 7 c) d = d' <=> m = -4 și n = 2, sau m = 4 și n = -2. 7. (— ; —). 9. a) d și d' sunt concurente <=> 3 6 ab' - a'b = (m + 2)(m + 4) - 8 0 <=> m g IR \ {-6, 0}; dacă m = 0, avem d = d'; dacă m = - 6, avem d || d'\ b) d și d' sunt concurente <=> m e IR \ {-—, 2}; dacă m = avem d || d'; 3 J dacă m = 2 avem d = d'. 13. a) * ⁺ = ———; b) < , t g IR. 14. 3x - 5y + 9 = 0, 2 3 [j? = 4 - 7/ x - y + 3 = 0, x - 3y + 11 =0. 15. x + y - 6 = 0, 2x -y - 14 = 0. 16. a) m = -7; 1 17 1 b) m = 17. a) 4(9, -4); b) m = 1; c) m = —; d) m = 5; e) m = y. 21. 4(-l, ). 22. a) da; b) nu; c) nu. 23. a) m = -7; b) m = . 7. V|(0, 3), v₂(y, |). 8. vₓ(14i ,-41 ), v,(-2V2 , V2 ). 1. a) 5; b) 4^2 ; c) 14Î. 2. Avem AB = 5, BC = 5^2 , AC = 5, deci AB = AC și AB² + AC² = BC². 4. ABDE este paralelogram, BCE este dreptunghic în C, iar ACE este triunghi isoscel cu vârful în E. 5. 4Î, 5^2, ^65. 6. Patru puncte: (0, 4), (0,-12), (6 + 2 V2T, 0), (6-2^2?, 0). 1. a) 3y + x = 1; b) y - x = 3; c) 3y + 2x = 5; d) y - 2x = 5. 4. 4/(14, 0), N(Q, ). Problema se poate rezolva și fără a scrie ecuația mediatoarei lui [AB]. Fie M(a, 0) astfel că MA = MB <=> MA² = MB² o (1 - a)² + 1 = (3 - a)²+ 49 o a = 14. 5. a) (|, f); 6 6 b) (6. a) Se constată că mAₗᵢ - mAc~l, deci A = 90°. Rezultă că Q este mijlocul ipo- tenuzei BC, deci Q(-l, -2), iar R = QA = 5. 7. Ecuația înălțimii din A este a) x + y - 6 = 0; b) 2x + 3y - 2 = 0. 8. C(2, 4). 9. 2x + ly + 22 = 0, 7x + 2y - 13 = 0, x - y + 2 = 0. 10. 3x-y+2 = 0, 3x-6;y + 14 = 0. ll.a)(|, |); b) (-2, -1). 12. a) (2, 3); b) (-1,-2). 13. 3x + 2y = 0, 2x - 3y - 13 = 0. 14. (2, 1), (4, 2), (-1, 7), (1, 8). 1. a) 3; b) l;c)4. 2. a) l;b)0;c)2. 4. Avem AB : 4x + 3y - 9 = 0 și d(C, AB) = y. 5. 3^5 , | 41 , V?. 6.m, = l,m₂= 4- 7. a) r/= 3; b) rZ= 11. 8. -j^L. 9. Pătratul ² ¹¹ da²+b² 7 are aria 49. 10. Dreptunghiul are aria 6. 11. y = 2x + 6, y = 2x - 14. 12. Ci(5, 0), , 0). 2 13. A ।(7, 6), A2 (-3, ). 14. Mulțimea căutată este reuniunea a două drepte paralele cu h, 5x + 12^ - 66 = 0 și 5x + 12y + 64 = 0. 15. A^-2, 0), J₂(|, 0). 16. x + y - 8 = 0, llx-y-28 = 0.17. a) 5= 8; b) 5= 23; c) 5= 1. 18. 5x + y-3 = 0,x - 5y - 11 =0. 309 3. Locul geometric este o dreaptă perpendiculara pe AB. în cazul k = 0 se obține mediatoarea lui [zl^]. 4. Alegem O = piciorul perpendicularei din P pe AB, Ox = AB și Oy = OP. Coordonatele sunt A(a, 0), M(m, 0), B(b, 0) cu a < m < b și P(0, q) cu q > 0. 5. Alegem O = D, Ox = BC și Oy = AD. 6. Fie un patrulater ABCD în planul raportat la un reper oarecare, unde A(x]₉ yi), B(x₂, C(x₃, yi) și D(x$, y₄). Fie M, N, P, Q mijloa- cele laturilor AB, BC, CD, DA. a) Se arată, de exemplu, MN = QP . b) Fie E, F mijloacele diagonalelor z/C, BD și R mijlocul lui [FF]. Se arată că R coincide cu mijlocul lui MP și - cu mijlocul lui NQ. 11. Alegem reperul astfel: O = A, Ox = AB, Oy = AD. Dacă notăm AB = a și AP = DR = h, avem P(h, 0), Ă(0, a - h), Q(h, a - h) și C(a, d). Vectorii Q2 (h - a, -h) și PR (-h, a - A) au produsul scalar nul, deci sunt perpendiculari. 13. Alegerea reperului: O = A, Ox = AB, Oy = AD. Punctele D, E și F au coordonatele D(0, a), ₁₅ Sₑ ₐₗₑgₑ ᵣₑₚₑᵣᵤₗ O - A, Ox = AB, Oy = AD, deci B(b, 0), C(b, d), D(Q, d). Se consideră M(xq, e BD, unde Xq e (0, b), yo g (0, d). 17. Dacă m este mediatoarea lui M\M₂, avem M(x,y) g m o MM² = MM* <=> =>(x-x,)² + (y-yi)² = (x-x₂)² + (y-y₂)²<=>2(xj ~x₂)r + 2(y!-y₂)v- x² -yf + x² +y₂ = 0. 18. Folosim formula de la ex. 17 și scriem ecuația mediatoarei segmentului M\M₂, unde 4(ax. + by. + c) Mj(x₂, y₂) este dat ca în enunț. Obținem ---------------(ax + by + c) = 0, ceea ce este a² + b² echivalent cu ecuația lui d: ax + by + c = 0 deoarece ax\ + by i + c * 0, pentru că M\ £ d. Așadar, mediatoarea lui M\M₂ coincide cu d, deci M₂ este simetricul lui M\ față de d. 1. 12 625 unități bancare. 2. 14,8 unități bancare. 3. 4,88%. 5. 10 986 unități bancare. 6. 108 unități bancare. 7. 288 000 lei. 8. 1 050 unități bancare. 9. 2,5263 ani. 10. V= 20 milioane, T= 10 ani. 6. P((i\, ..., Q) = pentru orice permutare (zj, ..., O a mulțimii (1, ..., ri). Fie A n! — 2)6/7 — 3V 1 evenimentul dorit. P(A) = ---------------— = —-----—. 7. Fie A = „Pe primul scaun se n\ n(n-i) așeaza o tata, iar pe ultimul un baiat . P(A) = --------------------=------------------. (m + n)\ (m+n)(m + n-\) 8. Numărul evenimentelor elementare este 0^-0^= 34. 10. Se rezolvă inegalitatea C„ IR, f (x) = < 3 .2. Cei patru coeficienți sunt în Vx, dacă x > 4 progresie aritmetică dacă și numai dacă 2C*⁺I =C^ + C^⁺² și 2C^⁺²= C^⁺l+C^⁺³. Aceste egalități sunt echivalente, respectiv, cu n² + ^k² + - Ank - 5n + 2 = 0(1) și n² + 4£² + \6k- ^nk -9n + 14 = 0 (2). Scăzând (1) și (2) se obține n = 2k + 3 care, în- locuit în (1) ne dă k = -2, care nu este număr natural. 3. a = 2ti - b => șina = sin(27i - b) = 71 TT Ă77T = sin(-Z?) => șina + sin/? = 0. Termenul general este aₙ = + (n - l)r = — + (n - 1) — = —. 36 36 36 Progresia are 71 de numere și a\ + a₇I = a₂ + a-^ = = a₃S + a₃₇ = — + = 2k, iar 36 36 : ... = 0 și sin#36 = sinîi = 0. In con- a₃₆ = ti. Rezultă sin — + sin = sin — + sin = 36 36 36 36 cluzie, S = 0. 4. Fie d\ : 3x - 2y - 5 = 0, d₂ : 2x + 3y + 7. Constatăm că d\ ± d₂ și A d\ d₂. Avem d(A, d\) = yf\3 , d(A, d₂) = deci aria dreptunghiului este 6. V¹³ 5. Formula utilizată pentru calculul sumei încasate după 2 ani este S₂ = *S() (1 + î) + 5₀(l + i)² = = iSoO + 0(2 + 0- Dobânda unitară i este soluție a ecuației So • i² + 25₀ • i + (25₀ -m) = 0. Se observă că natura financiară a problemei impune condițiile 5₍₎ > 0, m > 0, m > 2S₀. Dintre cele două rădăcini reale ale ecuației doar una satisface aceste condiții, și anu- 3 1 me i = — + —-={S₍) + 4m). In cazul Sₒ = 100 și m = 231, rezolvând ecuația 2^S₀ 100(1 + z)(2 + 0 ⁼ 231 se obține soluția i' = , deci i = 10%. Testul 2 1. fₘ este surjectivă pentru orice m g IR, fₘ este injectivă pentru orice m > 0. Pentru m > 0, fₙ este inversabilă și fₘ ¹: IR —> IR, /w ¹ (x) = * m-Jm² +4(l-x) ----------------, dacă x < 1 2 x -1, dacă x > 1 2. Evident, |z| = 1. Să presupunem prin absurd că există un număr natural n cu z¹ = 1. 311 Atunci (2 - i)" = (2 + i)". Avem (2 - i)" = [(2 + i) - 2i]" = (2 - i)'' + C„'(2 - i)" ¹ 2i + ... + + C„" '(2 - i)(2i)" ¹ + (2i)”, de unde (2i)" = (-2 + i)[C„'(2 - i)"'² • 2i + ... + + C„" ‘(2i)" '] = (2 - i)(p + ^i), cu p, q e Z. Deci |2i|" = |2 - i||p + ^i|, adică 2" = 5(p² + q²), ceea ce este imposibil. 3. a) Fie T o perioadă a funcției f, deci fix + T) = J(x), V x g IR (1). înlocuind x = 0 și x = -T în relația (1), rezultă sin3T + cos9T= 1 și -sin3T + cos9T= 1, de unde sin3r= 0 și cos9T = l. Prin urmare, avem: 3T = kn și 9T = 2nn => — = => 3^= 2n, unde k, n g TL. Constatăm că n = 3 3 9 și k = 2 verifică ecuația 3k= 2n, deci T= —. Se arată că — este cea mai mică perioadă strict 3 3 pozitivă, deci T{₎ = b) Pentru x obținem (^)" + (““)” ⁼ h ecuație exponențială cu soluția n = 2. 4. Avem ?f(l, -3), ^'(-4, 2) și A'B' : y + 3 = = 2 + 3 _ p ₛₐᵤ y ₊ 3 ₌ _ₓ ₊ । ₓ ₊ y ₊ 2 = o. Rezultă M(-2, 0), A(0, -2) și -4-1 mAM ⁼ ~~ ⁼ h mBN = ~⁼ 1- Cum mAM = mₗᵢN și AM/ BN (deoarece A B), 1+2 4-0 rezultă AM || BN. 5. Știm că dacă anuitățile sunt egale, amortismentele succesive formează o progresie geometrică crescătoare, cu primul termen Q\ și rația (1 + î). Putem scrie 732,05 = 0|(1 + 0,l)⁴, de unde rezultă valoarea primului amortisment Q\ = 500. Utilizăm acum formula Q\ = A - Do = Tₒi- ⁺-^ și obținem t = . înlocuind t TJ-Qi valorile numerice obținem / = 22. Testul 3 1. Putem scrie A = {xb x₂, • •x,J cu xj < x₂ < ... A, atunci/xi),/x₂), ...,/xₙ) g {xb x₂, ..., xₙ} și deci xj 1 oarecare, avem Xj cosx [(2a - l)cos2x - a] = 0. Avem a 2a-\ < 1 <=> a g (-co, — ] u [1, co), iar soluțiile sunt: 1) a g (-oo, — ] u [1, oo) => x = ± — arccos —-— + kn, x = (2H 1) — ,£g TL',!) a g (—, 1) => x = (2n + 1) — ,n ^TL. 2 2(7-1 2 3 2 4. Fie Ai(k, 0), A₂(0, a - X) și A(k, a - X) unde 0 < X < a. Fie d perpendiculara din A pe diagonala A}A₂. Cum mAA = —— , avem și d : y - (a - X) = ■ - (x - X) ¹ ² X a-k a-k 312 I a i y \j sau -ay + a~ + X(x + y - 2a) = 0. Sistemul < are soluția (x, y) = (a, a). In y) = 0 concluzie, dreapta d trece prin punctul fix (a, a). 5. Dacă clientul alege depozitul la termen, suma finală este S₄ = 1000(1 + 0,09)⁴ = 1411,6 unități bancare. Dacă clientul alege un depozit la vedere, suma finală pe care o ridică este S₍ = 1000(1 + 0,04)⁴(l + 0,04- ) = 1189,1 unități 365 5 bancare. Raportul procentual al celor două sume este — 100% = 84,238%, respectiv $4 Ș4 • 100% = 118,71%. Testul 4 n 1. Oricare x g [3, 7] este soluție a ecuației date. 2. Suma se scrie ^(C^)² = 1 n , 1 n 1 n n = — ^k^ - — + — ^k~ și ținem cont că ^k~ = 4 k=2 ° A 2 k=2 4 k=2 k=\ n(n +1) 2 *=1 l 2 ) A₌| ₄ _ A7(/7 + l)(2/7 + l)(3z7² +3/7 + 1) 30 (vezi manual, cap. 6, pct. 5.3). 3. a) Expresia din interiorul modulului devine sin2(a - b), deci sin2(^ - b)\ < y . b) Avem sin(a + kn) = (-l)Asina = sin[(-1 )aa], V k g IN, deci arcsin(sin(<7 + kn)) = = (- A)ka, deoarece a g [-—, => (-l)Â6z g 1, -|]. Prin urmare S=a-a + a- a = Q. 4. Ecuația unei drepte prin P(2, 7) este x = 2 sau h : y -1 = m(x - 2), unde m g IR. Dis- tanța dintre Q și dreapta x = 2 este egală cu 1. Să aflăm m astfel încât d(Q, h) = 5 <=> 1/77 -2 + 7 -2w| J. ¹ = 5 <=> |-/77 24/77“ + 10/77 = 0. Obținem m\ = 0 și m₂ = - , deci dreptele cerute sunt y - 7 = 0, 5x + 12y - 94 = 0. 5. Cei 3 agenți comer- ciali practică următoarele prețuri: pₓ = 102, p₂ = 104, p₃ = 107, iar prețul mediu al produsului este "p = 104,33. Valorile TVA aferente vânzării pentru cei 3 agenți comerciali sunt: T{ = (102 - 100) = 0,36; T₂ = (104 - 100) = 0,72; = (107 - 100)- — = 1,26; valoarea medie a TVA este T = 0,78. 100 Testul 5 1. Condițiile de existență ne dau x g [-9, 97]. Notând u = ^97 -x > 0 și y--- |W+V = 8, v = V9 + x > 0, obținem sistemul < A . Rezolvând sistemul, obținem u = 3, k/⁴+v²=106 313 v = 5, de unde x = 16. 2. Avem 8³ = 1 și 8² + 8 + 1 = 0. Deci 1 + 8Ă = < - 8², dacă k = 3q + 1 - 8, dacă k = 3q + 2 2, dacă k =3q și, prin urmare, pentru orice k > 1 avem (1 + sĂ)(l+ sH¹)(l + eH²) = 2. Cum 2005 = 668 -3 + 1, rezultă (1 + 8)(1 + 8²) ... (1 + 8²⁰⁰⁵) = 2⁶⁶K(1 + s) = -2⁶⁶²(-8²) = 2⁶⁶¹(1 + iV?) 3. Notăm cosx = Z; ecuația 2(2a + 1) Z² + 3t + (1 - a) = 0 are A = (4a - l)² și Zj = - 2 2 ’ a-\ 2a + l Pentru cosx = — , rezultă x £ [0, — ], deci dacă x este o soluție a ecuației din [0, — ] atunci cosx =———. Funcția cosinus este strict descrescătoare pe [0, ti], deci 4 2a + l ₙ ⁷¹ a-1 r 4 + 3^2 0 < x < — implica cosO > cosx > cos — sau -----< -------- < 1 o a e----------------2], 4 42 2a+l 2 4. Avem mAB = , deci mCD ⁼ , iar CD y= — (x- c\ deci D(0, ). Se arată că a b b b muc ' mAD = -1. 5. Adaosul comercial mediu este â= 11%. Dispersia de selecție este / 7 5² = 7, iar coeficientul de variație este cv = -țț- • 100% = 24,052%. Testul 6 1. Dacă x = a, se obține a = 0 și deci x = 0. Dacă x a, ecuația se scrie 2 1 1 pztx |³ _ 5| |³ ₊ 4 = q Notând Z = | * |³ , obținem t = 1 și t = 4. Pentru t = 1 \a-x) \a-x) \a-x) rezultă x = 0, iar pentru Z = 4 rezultă x = — a. Deci X[ = 0, x₂ = — a. 2. 2cos n\ — - a | . 65 65 \ 2 ) _ 3. a) Avem — = 2ti - —, — = 2n + —. Fie I Vom arăta că f este bijec- 2 2 2 2 2 2 tivă, adică Vy g [-1, 1], ecuațiay= sinx are soluție unică înL Fiey g [-1, 1]; știm că există și este unic x' g , ~ ] încât y = sinx', anume x' = arcsiny. Rezultă că x' + 2k g I și sin(x' + 2tc) = sinx - y, deci luămx = arcsiny + 2ti. Funcția inversă este/ ¹ : [-1, 1] —> 2 2 f '(x) = aresinx + 2tl b) Inegalitatea Ax + Bx+ C > 0 este adevărată pentru orice x g IR dacă și numai dacă A = B² - ^AC < 0 și A > 0. Avem A = 4(cosa + șina)² - 4(3 + 2cosa - 2sina) = = 8(cosa + l)(sina - 1) < 0 deoarece cosa > -1 și șina < 1, V a g IR. De asemenea, A = 3 - 272 sin(a - ^-) > 3 - 2 ^2 > 0. 4. a) || d₂ 3a(-2a) - (-8)(a + 1) = 0. Obținem 3a² - 4a - 4 = 0, deci aₜ = 2, a₂ = ; b) d\ 1 d₂ <=> 3a(a + 1) + (-8)(-2a) = 0. 2 19 Obținem 3a + 19a = 0, deci aj = 0, a₂ = . 5. Compararea variabilității celor două seturi de date statistice se face prin compararea coeficienților de variație, care sunt indicatori adimensionali. Avem: x= 2,8; s² = 0,585; cvₓ = 27,316%; y= 12,75; s ² = 26,188; cvy= 40,137%. 314 Testul 7 1 . Dacă b = O și a = O, mulțimea soluțiilor ecuației date este [0, +<»]; dacă b = 0 și (i 'y \ 2 a 0 ecuația nu are soluții reale; dacă b 0 și a²------------— > 0, ecuația are soluția 21b 2 (b-2d)² „ , . 2 (b-2a)² . ... . ~ x = a - ---------—; daca b * 0 și a - ---------— < 0, ecuația nu are soluții reale. 2. rie 21b 21b y = 2A > 0 și obținem (m - 2)y² + 2(2m - 3)y + 5m - 6 = 0 (1). Avem A = 4(-m² + 4/77 - 3). i) Ecuația dată are o singură rădăcină reală <=> ecuația (1) are o singură rădăcină pozitivă <=> A > 0 și P = < 0 <=> m g ( —, 2). ii) Ecuația dată are două rădăcini reale m -2 5 2(2m- 3) distincte o ecuația (1) are două rădăcini distincte pozitive A > 0, 5 =------------> 0, m-2 P = $m-6 > o. Sistemul de inecuații obținut nu are soluții. 3. Avem — = 3tc - —, m-2 * 2 2 ^-= 3k + ^. Fie J= Vom arăta că/este bijectivă, adică Vy g [-1, 1] ecuația y = sinx are soluție unică în J. Fie y g [-1, 1]; știm că există și este unic / g ~] astfel încât y = sinx', anume x’ = arcsiny. Rezultă că 3k - x' g J și sin(37i - x') = sinx' = y, deci luăm x = 3tt - arcsiny Funcția inversă este / : [-1, 1] —> [^- , — ], f (x) = ci ctk = 3tt - arcsinx. 4. Fie X raportul în care P împarte segmentul AB, deci P(----;------). 1 — X 1 — X Prin urmare, Q( ; 0 ) și R( 0; —), de unde = ——— = X. Dreapta care trece 1 - X 1 - X x₀ - xR prin P și este perpendiculară pe QR are ecuația y + = —-(x4——) sau 1—X X 1 — X x - a + X(y - â), deci trece prin punctul fix C(a, a). 5. Evenimentul sigur este E = {x, y, z) | x g U, y g U- {x}, 2 g U- {x, y}}, iar probabilitatea unui eveniment elementar e = (x, y, z) este P({e}) = , V e g E. Notăm cu M evenimentul ca cele trei bile extrase să fie de aceeași culoare și cu Mₐ, Mᵣ evenimentele ca cele trei bile extrase să fie albe, res-pectiv roșii. Avem M= Mₐ o Mᵣ, iar cele două evenimente sunt 5’43 7’6’5 ?70 Q incompatibile. Rezultă P(M) = M(M^ + P(Mₜ) = ⁺ ⁼ p20 ⁼ 44 ’ Testul 8 1. Se consideră separat cazurile: 1° ——-> 1 și 2° 0 < ——- < 1. în cazul 1°, inega- 47 +1 a + \ litatea devine x² > pentru orice x real. Deci —— < 0, de unde a g (-00, -2]. în 67+1 47 + 1 cazul 2°, inegalitatea devine x² + 3 < -. Cum x² + 3 > 0, iar - < 1, nu se obține a +1 47 + 1 315 nici o valoare pentru a. Deci a g (-00, -2], 2. Avem (1 + 2x + 3x²)¹⁰ = [(1 + 2x) + 3x²]¹⁰ = 10 = ECio (1 + 2x)¹⁽⁾ Â(3x²/ = (1 + 2x),⁽⁾ + Cj₀ (1 + 2x)⁹3x² + (1 + 2x)⁸(3x²)² + Pțx) k=() unde P(x) nu conține x⁴. Coeficientul lui x⁴ este C⁴₀-2⁴ + C^-C^-2² • 3 +C₁²₀ • 3² = 8 085. 3. b) n = 5. 4. Alegem axele astfel: O = D\ Ox = BC, Oy = AD. Avem D(0, 0), C(c, 0), B(-b, 0), A(0, b + c) și F(c, c), E(0, c), H(-b, b), G(0, b). Se arată că mw ' ™ac = -1 și meu ■ = 5. Evenimentul sigur este E = {x, y, z) | x, y, z g {0, 50}}, iar probabilitatea unui eveniment elementar e = (x, y, z) este P({e}) = —, V e e E. Variabila aleatoare care dă 8 suma punctelor obținute este X: E -> {0, 50, 100, 150}, Ațe) = x + y + z, cu P(X= 0) = P(X= 150) = —, P(X- 50) = P(X = 100) = -. Rezultă M(X) = 75. 8 8 Testul 9 1. Trebuie ca x > 0 și x 1. Inecuația se scrie logᵥ₊?x - ---------< 0, adică logᵣ₊₂ X logL?x-l (log ₉ x — l)(log ₉ x +1) ~ . —— < 0 sau -——-----------------— < 0. Cum log,Y₊₂ x - 1 < 0, oricare ar fi x, obți- lo^X logY₊2 X nem ecuația echivalentă '°^⁺²X⁺* > o care, rezolvată, ne dăx g (0, -^2 -1) u (1, +oo). >O&₊2* 2. Din C„° + C,,¹ + C„²= 22 rezultă n = 6. Pentru n = 6 din Ti + T^ = 420 rezultă = -1, x₂ ⁼ 2. 3. Avem - 1) + (a₂ - 1) + ... + (aₙ - 1) = 0 și a\ - 1 < 0, a₂ -1 <0, ..., aₙ - 1 < 0. O sumă nulă cu termenii negativi are toți termenii nuli. Rezultă a\ = 1, a₂ = 1, ..., aₙ = 1. Aplicație: dacă sin2x + sin3x + sin4x = 3 avem sin2x = 1, 71 71 sin3x = Iși sin4x = 1. Din sin2x = 1 obținem x = — + kn, dar sin3(— + kn) * 1. 4 4 4. Alegem O = A, Ox = AB, Oy = perpendiculara în A pe AB, iar A(0, 0), B(b, 0), D(e, d) și C(b + e, d). 5. Evenimentul sigur este E = {x, y, z) | x, y, z g U}, iar probabilitatea unui eveniment elementar e = (x, y, z) este P{{e}) = , V e e E. Notăm cu Mi evenimentul de a obține exact i bile albe, i = 0, 1, 2, 3 și cu B evenimentul de a obține cel mult două bile albe. Atunci putem scrie B = u M\ M₂ = MȘ. Rezultă P(B) = 1 - P(Mi), iar P(Mi) se calculează conform schemei lui Bemoulli, P(B) = 1 - P(M₃) = \10jU0j 25 125 316 Testul 10 1. ii) Trebuie ca x > 2. Conform cu i), avem (x - 2) log2fv⁺0 = (ₓ + p ,⁰^(v“²) deci ecuația devine 3(x + 1) Iog²(A⁻²⁾ = 3(ₓ + l)² sau (x + 1) log2('Y⁻²F² = ț Avem log2(x - 2) = 2, de unde x = 6. 2. Fie r rația progresiei. Avem S =^(-1/Ckₙ (a\ + kr) = k=\ = a{ YS-tfC* + r±(-\)kkCl . Dar £(-l/C* = -C„° = -1, iar £(-l)*kCkₙ = 0 k=\ k=\ k=\ k=\ (aici folosim egalitatea kCfk = nC^ ) și deci S = a\(-1) + r • 0 = -a.\. 3. a) Ecuația este echivalentă cu sin7x + sin3x = 0 și cos9x - cosa: 0, adică siri5x cos2x = 0 și sin5x sin4x 0 <=> sin5x 0 și sin4x 0. De aici rezultă că nu putem avea nici sin5x = 0, nici cos2x = 0 (cos2x = 0 => sin4x = 2sin2x cos2x = 0). b) Cum 1 + sin2x = (sinx + cosx) , ecuația se scrie: sinx + cosx + (sinx + cosx)² + (cos²x - sin²x) = 0 <=> (sinx + cosx)(l + + 2cosx) = 0. 4. Notăm = x(grade), deci B = 180° - (60° + x) = 120° - x. Aplicând teorema sinusurilor, deducem--------—------- = R (1). Fie A' piciorul înălțimii 2sin(120°-x) din A, deci AA' = AC sinx. Cum AA’ = , avem R = 2AAr = 2AC sinx (2). Din (1), (2) AC 1 deducem ----------------- = 2AC sinx <=> sinx • sin(120° -x) = — <=> cos(2x - 120°) = 0 2sin(120°-x) 4 <=> 2x - 120° = 90° + k-180°, k e7L Pentru k = -1 rezultă x = 15°, iar pentru k = 0 rezultă x = 105°. Pentru orice alte valori ale lui k, obținem că x £ (0, 180°). 5. Evenimentul sigur este E = {(x, y, z) | x e U\, y e U2, z g U^}, iar probabilitatea unui eveniment elementar e = (x, y, z) este P({e}} = —-—, V e e E. Notăm cu M; z 2000 evenimentul de a obține exact i bile albe, i = 0, 1, 2, 3 și cu B evenimentul de a obține cel puțindouă bile albe. Atunci putem scrie B = M2 u cele două evenimente fiind incompatibile. Rezultă P(B) = P(MA + P(M^). Probabilitățile P(Mih P{^A se calcu- lează conform schemei lui Poisson. Polinomul asociat schemei este p(x) = (0,4x + + 0,6) (0,6x + 0,4)(0,25x + 0,75) = 0,06? + 0,31? + 0,45x + 0,18. Rezultă că P(M₂) = 0,31, P(My) = 0,06 și P(B) = 0,37. 317 1. D. Mihalca, I. Chițescu, M. Chiriță, Geometrici patrulaterului, Editura Teora, 1998. 2. C. Năstăsescu, C. Niță, M. Brandiburu, D. Joița, Exerciții și probleme de algebră, clasele IX-XII, Editura Didactică și Pedagogică, București 1992. 3. C. Năstăsescu, C. Niță, Gh. Andrei, M. Răduțiu, FL Vornicescu, N. Vornicescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a - Ml și M2, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1999. 4. C. Năstăsescu, C. Niță, M. Dumitrescu, N. Soare, D. Nițescu, Matematică - Ml, manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică și Pedagogică, București 2000. 5. C. Năstăsescu, C. Niță, I. Chițescu, D. Mihalca, Matematică, trunchi comun și curriculum diferențiat, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică și Pedagogică, București 2004. 6. Gh. D. Simionescu, Noțiuni de algebră vectorială și aplicații în geometrie, Editura Tehnică, 1982. 7. Gh. D. Simionescu, Geometrie analitică, manual pentru clasa a Xl-a, Editura Didactică și Pedagogică, București 1976. 8. G. Țițeica, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, 1981. 318 Capitolul 1. Funcții................................................... 3 1. Funcții injective, surjective, bijective...........................3 2. Funcții inversabile. Inversa unei funcții..........................8 3. Operații cu funcții...............................................12 Capitolul 2. Puteri și radicali. Funcția putere și funcția radical........16 1. Puteri. Funcția putere............................................16 2. Radicali. Funcția radical.........................................25 3. Puteri cu exponent rațional.......................................37 Capitolul 3. Funcția exponențială și funcția logaritmică..................45 1. Funcția exponențială..............................................45 2. Logaritmi.........................................................53 3. Ecuații și inecuații exponențiale și logaritmice................61 Capitolul 4. Funcții trigonometrice.......................................67 1. Recapitulare și completări........................................67 2. Studiul de variație și reprezentarea grafică......................71 3. Funcții trigonometrice inverse....................................79 4. Ecuații trigonometrice............................................88 Capitolul 5. Numere complexe.............................................103 1. Mulțimea numerelor complexe......................................103 2. Forma algebrică a numerelor complexe ............................107 3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe....................109 4. Rezolvarea ecuației de gradul al Il-lea cu coeficienți reali.....112 5. Forma trigonometrică a unui număr complex........................115 6. înmulțirea numerelor complexe scrise sub formă trigonometrică....118 7. Rădăcina de ordinul n dintr-un număr complex.....................121 8. Ecuații binome. Ecuații bipătrate................................123 9. Aplicații ale numerelor complexe în geometrie....................126 Capitolul 6. Elemente de combinatorică...................................130 1.Inducția matematică................................................130 2. Mulțimi finite ordonate..........................................135 3. Permutări........................................................136 4. Aranjamente......................................................138 5. Combinări........................................................140 6. Binomul lui Newton...............................................148 319 Capitolul 7. Metoda coordonatelor carteziene (geometrie analitică).........159 1. Coordonate carteziene pe dreaptă...................................159 2. Coordonate carteziene în plan......................................165 3. Vectori și coordonate în planul cartezian..........................170 Capitolul 8. Reprezentarea analitică a dreptei în plan.....................181 1. Ecuația carteziană generală a dreptei..............................182 2. Ecuații carteziene particulare ale dreptei.........................191 3. Dreapta care trece printr-un punct și are direcția dată............201 4. Pozițiile relative a două drepte în plan...........................207 Capitolul 9. Distanțe în planul cartezian..................................218 1. Expresia analitică a produsului scalar a doi vectori....,..........218 2. Distanța dintre două puncte........................................220 3. Condiții de perpendicularitate a două drepte ......................222 4. Distanța de la un punct la o dreaptă...............................225 5. Rezolvarea problemelor de geometrie prin metoda analitică ........229 Capitolul 10. Matematici financiare, probabilități, statistică.............249 1. Informație și incertitudine........................................249 2. Noțiuni de matematici financiare...................................250 3. Statistică descriptivă.............................................263 4. Elemente de calculul probabilităților..............................271 5. Elemente de statistică matematică..................................287 Teste de verificare........................................................293 Răspunsuri și indicații....................................................299 Bibliografie...............................................................318 320