MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE Şl CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE Prof. univ. dr. Constantin Năstăsescu Prof. univ. dr. Constantin Niţă Membru coresp. al Academiei Române Prof. univ. dr. Ion Chiţescu Prof. gr. I Dan Mihalca Prof. univ. dr. Monica Dumitrescu Trunchi comun Manual pentru clasa a X - a EDITURA DIDACTICĂ Şl PEDAGOGICĂ, R.A. Acest manual este proprietatea Ministerului Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice. Manualul este aprobat prin Ordinul ministrului Educaţiei şi Cercetării nr. 3787 din 05.04.2005, în urma licitaţiei organizate de către Ministerul Educaţiei şi Cercetării, este realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordinul ministrului Educaţiei şi Cercetării nr. 4598 din 31.08.2004 şi este distribuit gratuit elevilor. ACEST MANUAL A FOST FOLOSIT DE: Anul Numele elevului care a primit manualul Clasa Şcoala Anul şcolar Starea manualului* la primire la returnare 1. 2. 3. 4. * Starea manualului se va înscrie folosind termenii: nou, bun, îngrijit, nesatisfacător, deteriorat. Cadrele didactice vor controla dacă numele elevului este scris corect. Elevii nu trebuie să facă nici un fel de însemnări pe manual. Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematică: trunchi comun : manual pentru clasa a X-a / prof. univ. dr. Constantin Năstăsescu, prof. univ. dr. Constantin Niţă, prof. univ. dr. Ion Chiţescu, ... - Ed. a 11-a.- Bucureşti : Editura Didactică şi Pedagogică, 2016 Bibliogr. ISBN 978-606-31-0226-4 I. Năstăsescu, Constantin II. Niţă, Constantin III. Chiţescu, Ion 517.5(075) © EDP 2016. Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate Editurii Didactice şi Pedagogice R.A., Bucureşti. Orice preluare, parţială sau integrală, a textului sau a materialului grafic din această lucrare se face numai cu acordul scris al editurii. EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ, R.A. Str. Spiru Haret nr. 12, sector 1, cod 010176, Bucureşti Tel./fax: 021.312.28.85; 021.315.73.98 e-mail: office@edituradp.ro www.edituradp.ro Librăria EDP: Str. Gen. Berthelot nr. 28-30, sect. 1 Referenţi: prof. univ. dr. C. Vraciu prof. univ. dr. S. lanuş Redactor-şef: Redactor: Tehnoredactare: Coperta: Dan Dumitru DeliaAnghel Cati-Narcizia Lupu Elena Drăgulelei Dumitru Comenzile pentru această lucrare se primesc: • prin poştă: pe adresa editurii • prin e-mail: comenzi@edituradp.ro comercial@edituradp.ro •prin tel./fax: 021.315.73.98 Număr de plan: 61037/2016 Format: 16/70 x 100 Tiparul executat la Imprimeria ALUTUS, Miercurea-Ciuc i , - 9\$ î* O :;k c.OrT^i' 1.1. In clasa a IX-a s-a definit noţiunea de funcţie şi s-au evidenţiat câteva aspecte teoretice legate de acest concept. Vom reaminti unele dintre cunoştinţele învăţate şi apoi vom da o serie de noţiuni şi rezultate noi. Definiţia funcţiei Fie A şi B două mulţimi. Prin funcţie definită pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie etc.) f prin care oricărui element ae A i se asociază un unic element, notat fa), din B. Definiţia funcţiei presupune de fapt existenţa a trei elemente'. - o mulţime A, pe care este definită funcţia şi care se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei; - o mulţime 5, în care ia valori funcţia şi care se numeşte domeniul valorilor funcţiei sau codomeniul funcţiei; - o lege (procedeu, convenţie etc.) f Funcţia /definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B se notează prin: / /: A —► B sau A —> B. Uneori cuvântul „funcţie44 se înlocuieşte prin „aplicaţie44. O funcţie/: A —> B pentru care atât domeniul de definiţei A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimii IR a numerelor reale se numeşte funcţie numerică. Graficul unei funcţii Fie f:A—+B o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea Gf a produsului cartezian Ax B formată din toate perechile (a,f (a)), cu a e A. Deci: Gf= {(a, fa)) \ a e A}. Fie /: A —► B o funcţie numerică şi Gf graficul său. Fie xOy un sistem de axe perpendiculare din plan. Mulţimea punctelor din planul de coordonate x şi y unde (x, y) este un element oarecare al mulţimii Gf se numeşte reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f. Pentru simplificarea limbajului, această reprezentare geometrică se numeşte, simplu, graficul funcţiei f. Imaginea unei funcţii Dacăf: A —► B este o funcţie oarecare se numeşte imaginea funcţiei f şi se notează prin fA) sau Im/submulţimea lui B definită astfel: Imif= {f[x) | x e A} = {y e B |3 x e A astfel încât y =fx)j Funcţii pare, funcţii impare O mulţime A cz IR se numeşte simetrică faţă de origine dacă oricare ar fi x e A, atunci şi -x e A. Fie A c= IR o mulţime simetrică faţă de origine şi o funcţie f: A —>1R. Funcţia/ se numeşte pară dacă j{-x) =/(x) oricare ar fi x /x2). Spunem că /este strict crescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe mulţimea I dacă oricare ar fi x\, x2 e 7, astfel încât xi < x2, să rezulte /xi) < /x2) (respectiv/xi) O funcţie numerică/: A —► 5 crescătoare sau descrescătoare (respectiv strict crescătoare sau strict descrescătoare) pe mulţimea / se numeşte monotonă (respectiv strict montonă) pe mulţimea 7. Dacă I = A vom spune simplu că funcţia/: A —► B este monotonă (respectiv strict montonă). Observaţie, Noţiunile amintite mai înainte sunt utile în studiul claselor de funcţii prezentate în acest manual. 1.2. Compunerea funcţiilor Fie funcţiile /: A —» B şi g : B —> C. Observăm că domeniul de definiţie al funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei / Această situaţie particulară ne permite să facem următoarele consideraţii. Fie x e A; atunci elementul fa), găsindu-se în B, putem vorbi de imaginea sa prin g, adică elementul gifa)) din C. Observăm că astfel putem asocia oricărui element ae^lun element unic din mulţimea C, anume elementul g(j{a)). în felul acesta am definit o funcţie h al cărei domeniu de definiţie este cel al funcţiei/ iar codomeniul este cel al funcţiei g. Deci h : A —► C unde h(a) = g(j{a)) pentru orice a e A. De obicei funcţia h astfel definită se notează g o / şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f (în figura 1 este reprezentat modul de definire al funcţiei &r>. Fig-1 4 Exemple 1. Considerăm funcţiile /: A —► B şi g : B —► C definite respectiv prin diagramele din figura 2. în acest caz avem (g°/)(l) = g(/(l)) = g(3) = t; (g°/) (2) = g(f{2)) = g(6) = t; (g°f)(3) = #(/(3)) = g(l) = q; (g°/)(4) = g(/(4)) = g(4) = m. Funcţia g°f:A—>C poate fi reprezentată prin diagrama din figura 3. 2) Fie/:IR—>IRşig:IR—>H£ funcţiile definite respectiv prin formulele: f[x) = x2- 1; g(x)=l+x2. Funcţia g ° / : IR —> IR are sens. Pentru orice x e IR avem: = g(Ax)) = g(x2 - 1) = 1 + (x2 - 1 )2 = / - 2x2 + 2. Deci funcţia compusă g°/'este dată de formula: (g°/)(^) = x4 - 2x2 + 2. Se observă că are sens să vorbim şi de compunerea lui / şi g. Pentru orice x e IR avem (f°g)(x) =M.X)) =/l + x2) = (1 + x2)2 - 1 = x4 + 2x2. Deci funcţia fog: IR —► IR este dată de formula: (f°g)(x) = X4 + 2x2. 1. Dacă/: A —► B şi g : C —► D sunt două funcţii, are sens să vorbim de compunerea funcţiei g cu funcţia/numai atunci când B = C. 2. Dacă/: A —► B şi g : B —► A sunt două funcţii, are sens gof: A —► A şi fig : B —► B. Aşa cum rezultă şi din exemplul 2), în general gof ± fog (compunerea funcţiilor nu este comutativă). Teorema 1. Fie/: A —► B, g : B —> C şi h : C —»D trei funcţii. Atunci fiecare J j din funcţiile /î°(gc/), (/zog) B nu este injectivă dacă există cel puţin două elemente x şi y din A, x ^ y, astfel încât/(x) = f(y). (Exemple) 1. Funcţia f:A-^B, asociată diagramei din figura 4 este o funcţie injectivă. 2. Funcţia g : IN —» IN, definită prin formula g(x) = x2, este injectivă. într-adevăr, să presupunem că g(x) = g(y) unde x, y e IN. Atunci x2 = y2, de unde (x - y)(x + y) = 0. Din această egalitate rezultă că x - y = 0 sau x + y = 0. Din prima egalitate avem că x = y. Dacă are loc egalitatea x + >> = 0, cum x şi y sunt numere naturale, obţinem că x = y = 0. Oricum, din egalitatea g(x) = g(y) rezultă că x = y şi deci g este o funcţie injectivă. =B 5 Fig. 4 e Fig. 5 3. Funcţia h : TL —> IN, h(x) = x2 nu este o funcţie injectivă deoarece h(-2) = = h{ 2) = 4. Funcţia k : A -> B asociată diagramei din figura 5 nu este injectivă, deoarece /c(l) = k(4) = c. Definiţie. O funcţie/: A —» 5 este o funcţie surjectivă sau, simplu, este o surjecţie dacă pentru orice element b g B există cel puţin un element a B nu este surjectivă dacă există cel puţin un element b g 5, astfel încât pentru orice element x g A, avem /(x) ^ 6. Dată fiind funcţia f:A^>B, am notat cu /(^) sau Im/ submulţimea lui B definită astfel:/(A) = {f (x) \ x g A} = {y g B \ 3 x g A astfel încâty = f (x)}; f(A) se numeşte imaginea funcţiei/ Din definiţia lui/(A) rezultă că: / este surjectivă dacă şi numai daca/(A) = B. Exemple j L Funcţia /: IR —» IR, definită prin relaţia /(x) = ax (a ^ 0) este surjectivă. într-adevăr, fie y g IR. Atunci x = — g IR şi avem / y y- —» B, asociată dia-este, de asemenea, \=B a J a 2. Funcţia g : gramei din figura surjectivă. g(l) = a, g(2) = g(3) = b, g(4) = c, g(5) = a. 3. Funcţia /i : IR —> IR, definită prin formula h(x) = x2 nu este surjectivă. într-adevăr, pentru orice x e IR avem h(x) = x2 * -1. Deci -1 nu este imaginea nici unui element, prin h, din domeniul de definiţie. 4. Funcţia k : A —> B asociată diagramei din figura 7 nu este surjectivă. într-adevăr, se vede că elementul 2 e B nu este imaginea prin k a nici unui element din A. Ijgfj Definiţie. O funcţie /: A -> B care este simultan injectivă şi surjectivă se numeştc funcţie bijectivă sau, simplu, bijecţie. 1 Exemple,> 1. Funcţia asociată diagramei din figura 8, este bijectivă: f(\) = bj(2) = cj(3) = aj(4) = d. 2. Fie A = {x e IR | x > 0}. Definim funcţia g : A —> A prin formula g(x) = x. Funcţia g este bijectivă. într-adevăr, trebuie să arătăm că g este injectivă şi suijectivă. Funcţia g este injectivă. Fie x,yeA astfel încât g(x) = g(y). Atunci x2 = y2, de unde (x -y)(x + y) = 0 şi deci x-y = 0 sau x + y = 0. Dacă x-y- 0, avem x=y; dacă x + y = 0, avem x = -y şi cum x, y sunt numere reale pozitive, trebuie ca x = y = 0. Oricum, din egalitatea g(x) = g(y) rezultă x=y. Funcţia g este surjectivă. Fie y e A. Cum y > 0, atunci are sens-y/y • Cum yfy > 0, atunci 7y e A. Se vede că g(4y) = (4y)2 =y şi deci g este surjectivă. 3. Funcţia/: IR —> IR,/(x) = ax + b, unde a, b e IR şi a ^ 0 este bijectivă. într-adevăr, dacă / (xj) =/ (x2), atunci axj + b = ax2 + 6, de unde obţinem axi = ax2. Cum a ^ 0, atunci xi = x2 şi deci/este injectivă. Să arătăm că/este şi surjectivă. Fiey g IR. Are sens numărul real x = ^ 6 a* Atunci f(x)= a\^~~\ + b = y, ceea ce arată că / este şi surjectivă. 2.2. Interpretarea geometrică a injectivităţii şi surjectivităţii unei funcţii numerice Fie mulţimile nevide A, B cz IR şi funcţia/: A -> B. Dacă/este injectivă rezultă, conform definiţiei, că pentru orice xi, x2 e A astfel încât x\ ^ x2 are loc relaţia/(xi) ^/(x2), adică orice două puncte de abscise distincte de pe graficul funcţiei au ordonate distincte. Aceasta înseamnă că dacă o paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei, atunci îl intersectează într-un singur punct; cu alte cuvinte, dacă / este injectivă, orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei/ în cel mult un punct (fig. 9). Dacă există o paralelă la axa Ox care intersectează graficul funcţiei / în două sau mai multe puncte, funcţia/ nu este injectivă (fig. 10). Fig. 9 Fig. 10 în concluzie, funcţia f este injectivă dacă şi numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. Dacă / este surjectivă rezultă, conform definiţiei, că pentru orice b e B există (cel puţin un) a e A astfel încât / {a) = b, adică orice paralelă la axa Ox dusă prin punctul de coordonate (0, &), b e 5, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct (fig. 11). Dacă există b e B astfel încât paralela la axa Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b) nu intersectează graficul funcţiei/ funcţia nu este surjectivă (fig. 12). în concluzie, funcţia f: A —> B este surjectivă dacă şi numai dacă orice paralelă la axa Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b), b e B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct. Ţinând seama de interpretarea geometrică a injectivităţii şi surjectivităţii unei funcţii, pentru o funcţie bijectivă avem următorul rezultat: funcţia/: A —» B este bijectivă dacă şi numai dacă oricare ar fi b s B paralela la Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b), intersectează graficul funcţiei într-un singur punct. Avem următorul rezultat: Teorema 2. Dacă /: A —» B este funcţie numerică (adică A şi B sunt i submulţimi ale lui IR) strict monotonă, atunci/este funcţie injectivă. I Demonstraţie. într-adevăr, să presupunem că / este strict crescătoare şi fie x\9 x2 e A astfel încât x\ ^ x2. Atunci avem x\ < x2 sau x\ > x2. Dacă presupunem că x\ < x2, rezultă/xi) x2, rezultă f{xi) > f{x2) şi deci fx\) ^ fx2) şi deci / este injectivă. Dacă / este strict descrescătoare, se procedează analog. în finalul paragrafului, vom defini următoarea noţiune: Mulţime finită Fie A o mulţime nevidă. Se spune că A este o mulţime finită dacă există un număr natural n > 1 şi o funcţie bijectivă de la A la mulţimea {1, 2, ..., n}. Se observă că numărul n este unic determinat de A şi se spune că mulţimea A are n elemente. Vom nota prin \A\ numărul elementelor mulţimii A şi-l vom mai numi cardinalul mulţimii A. Convenim să considerăm că mulţimea vidă este finită şi are 0 (zero) elemente, adică |0| = 0. 3„ Funcţii inversabile. inversa unei funcţii Fie A o mulţime oarecare. Vom nota cu 1A : A —> A funcţia definită astfel: \a(o) = a pentru orice a e A. \A se numeşte funcţia identică a mulţimii A. ^Teorema 3. Fie A o mulţime şi lA funcţia sa identică. Atunci: | | 1° Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A-+B, avemfilA =f j ^ 2° Pentru orice mulţime Cşi pentru orice funcţieg : C—> A, avem 1 a °g = g• J Demonstraţie. Demonstrăm afirmaţia 1°. Funcţiile/ş\filA au acelaşi domeniu şi codomeniu aşa că pentru a arăta egalitatea fi lA = f rămâne să dovedim că pentru orice ae A, (f ol A) (a) =fa). Intr-adevăr (f ol A) (a) =f (\A(a)) =f[a). Demonstrăm afirmaţia 2°. Funcţiile l^og şi g au acelaşi domeniu şi codomeniu, adică mulţimile C respectiv A. Pentru a arăta egalitatea \A ° g = g rămâne să dovedim că pentru orice c e C avem(li4og)(c) = g(c). într-adevăr (l„og)(c) = l,/(g(c)) = g(c). 1111 Definiţie. O funcţie/: A B se numeşte inversabilă dacă există o funcţie g : B —> A astfel încât g°f= Ia şi/°g = lfl- ^ (1) Observăm că funcţia g definită de relaţiile (1) este unică. Intr-adevăr, dacă g' : B —> A este o altă funcţie astfel încât gf°f = 1A şif°g'= lfl, (2) atunci obţinem: g=^A°g= (g'°/) ° g = g'° (/°g) = g'° Ib = g\ unde s-au utilizat relaţiile (1) şi (2) precum şi asociativitatea compunerii funcţiilor. Dacă / este o funcţie inversabilă, atunci funcţia g definită de relaţiile (1), care este unică, se numeşte inversa funcţiei f şi se notează f~\ Se pune întrebarea, când este o funcţie inversabilă? Răspunsul este dat de următoarea teoremă. [ Teorema 4. O funcţie /: A —> B este inversabilă dacă şi numai dacă ) [ este bijectivă. J Demonstraţie. Să presupunem mai întâi că / este inversabilă şi să arătăm că / este injectivă şi surjectivă. Din faptul că / este inversabilă, rezultă că există f~l : B —> A astfel încât r'°f = uşif°rl = h (3) Fie xi, x2 din A şi să presupunem că/xi) =f[x2). Din prima dintre relaţiile (3) obţinem că xt = l^x,) = (T'°/)Oi) =/“'(X^i)) =jiAxA) = 2) = Ia(x2) = x2. Deci/este injectivă. Fie y e B. Din a doua dintre relaţiile (3) se obţine: y = 1 B(y) = = (fo f~])(y) =flf~x(y))- Dacă se notează x =f~x(y), atunci y=fx), ceea ce arată că /este şi surjectivă. Reciproc, presupunem că/este bijectivă. Definim funcţia g : B A în modul următor. Fie y e B. Deoarece / este surjectivă există x e A astfel încât f[x) = y. Elementul x este unic determinat cu această proprietate, întrucât/este injectivă şi definim g(y) = x. 10 Să dovedim că g °f= lA şi/° g = 1 z?. Fie x e A. Atunci, notând y = /(x), rezultă din definiţia lui g că g(y) = x şi deci g(J(x)) = x sau (g ° /)(x) = l^ţx). Rezultă atunci g °/= 1^. Să arătăm acum că/° g = 1B. Fiey e B. Din definiţia lui g, g(y) = x, unde x este elementul din A pentru care fix) = y. Atunci (f ° g)(y) =f{g(y)) =/(x) = =y= 1 s(y), de unde obţinem că/° g = lB. Din demonstraţia teoremei precedente rezultă că dacă/: A —» B este o funcţie bijectivă, atunci funcţia sa inversă/-1 : B —> A se defineşte după unnătorul procedeu: dacă b e B, atunci f~\b) este unicul element a e A astfel încât ./(>') = b. Exemple ..'ITfie funcţia/: A —► B asociată diagramei din figura 10. ' XI) = c,/(2) = a,A3) = e,X4) = /,./(5) = 6. Se vede că/este o funcţie bijectivă. Atunci există funcţia inversă/ 1 : B —» A. Vom avea:/ '(a) = 2;/ '(6) = 5;/~'(c) = 1;/ '(/) = 4;/-l(■ IR, /x) = ax + b unde a, b e IR şi a ± 0. Această funcţie este bijectivă, deci putem vorbi de inversa sa. Fie y e IR. Atunci f~'(y) = x unde /(x) = y. Deci pentru >’ e IR trebuie să determinăm x e IR astfel încât/x) = y sau ax + b=y. Din ax + b = y obţinem pe x = a a a şi deci f ‘(y) = — y - —. Folosind notaţia a a cu x, funcţia inversă a lui / este / 1 : IR —»IR, / '(x) = — x - — . Q Q Presupunem că b ^ 0. Considerăm punctele din planul xOy: f b ^ P^{O- b); P, 0 a respectiv Q{ (b, 0), 02 . Se observă că Pi şi Q\ (respectiv V a) Pi şi Qi) sunt simetrice faţă de prima bisectoare. Cum graficul funcţiei /este dreapta ce trece prin punctele Pi şi P2, iar graficul funcţiei/"' este dreapta ce trece prin punctele Q\ şi Qi rezultă că aceste două drepte sunt simetrice faţă de prima bisectoare aşa cum se vede din figura 15. 11 3. Fie funcţia /: IR —» IR,/(x) = x — 2, dacă x < 3, Să se arate că funcţia / 2x-5, dacă x > 3 este bijectivă şi să se calculeze inversa sa. R: Să arătăm, mai întâi, că/este injectivă. Pentru aceasta, fie xl5 x2 e IR. Distingem cazurile: 1° xi, x2 < 3. Dacă/xi) =/(x2), atunci x\ - 3 = x2 - 3, de unde x\ = x2. 2° xi, x2 > 3. Dacă/xi) =//>), atunci 2xi - 5 = 2x? - 5, de unde X[ = x2 3° x\ < 3, x2 > 3. Avem x\ ^ x2, iar f[x\) = x\ - 2 < 1 şiy(xc2) = 2x? - 5 > 1, de unde/x,) *flx2). Deci/ este funcţie injectivă. Să arătăm acum că/este suijectivă. Pentru aceasta, fie^ e IR. Distingem cazurile: 1°^ < 1. Dacă/(x) =y, atunci x - 2 =y, de undex = y + 2 < 3. 2°y> 1. Dacă/x) = jy, 2x - 5 = y, de unde x = > 3. Deci oricare ar fi y e IR există x e IR astfel încât y =/(x): dacăj^ < 1, atunci x =y + 2, iar dacă;; > 1, atuncix = Atunci inversa funcţiei/este/ 1 : IR —» IR, f [(y) r-1/ / + 2, dacă y < 1, —, daca y> 1. Interpretarea geometrică a inversei unei funcţii numerice Am văzut că pentru funcţia /: IR —> IR, f[x) = ax + b unde a ± 0 şi b ± 0, graficele funcţiilor / şi f~x sunt două drepte simetrice în raport cu prima bisectoare. Vom arăta că acest lucru rămâne valabil pentru orice funcţie numerică. Fie / : A —► B o funcţie numerică in-versabilă şi/-1 : B —»A funcţia inversă a lui/ Fie M(x0, >>o) un punct al graficului funcţiei / Atunci = Ax o) şi deci x0 = = / _1(yo)- Rezultă că punctul M' (yo, x0) aparţine graficului funcţiei / -I (reprezentat punctat în figura 16). Dar M şi M' sunt simetrice faţă de bisectoarea unghiului xOy (numită prima bisectoare)*. Rezultă că graficele funcţiilor /şi /_1 sunt simetrice faţă de prima bisectoare. Fig. 16 * într-adevăr, cum OP = OQ şi MP = M’Q, rezultă că triunghiurile OPM şi OQM sunt congruente. Deci, OM = OM, Pe de altă parte POM = QOM ’ şi deci MOR = MOR. în triunghiul MOM’ care este isoscel, OR este bisectoare, deci şi mediană. Rezultă că MR = M’R, adică M şi M’ sunt simetrice faţă de dreapata OR. 12 Monotonia funcţiei numerice inversabile Fie /: A —► B o funcţie numerică care este inversabilă. în acest caz putem vorbi de inversa sa /-1 : B —► A. Următorul rezultat caracterizează monotonia unei funcţii inversabile. Teorema 5. Presupunem că funcţia numerică f: A B este inversabilă având inversa /-1 : B —► A Atunci/este strict monotonă dacă şi numai dacă /-1 este strict monotonă. Demonstraţie. Reamintim că faţă de compunerea funcţiilor avem egalităţile: f~[o f= lA şi/o/_l = \B unde lA (respectiv U) este funcţia identică a mulţimii A (respectiv a mulţimii B). Presupunem că/este strict crescătoare şi fie b\, b2 a2. Dacă a{ < a2, atunci din b\ a2 atunci, cum funcţia / este strict crescătoare, avem că f(ai) >f{a2). Dar cum b\ =j{a\) şi b2 =j{ai) obţinem că b\ > b2, contradicţie. în concluzie avem f~\b\) < f~\b2) oricare ar fi b\, b2 e B cu b\ < b2 şi deci f~[ este strict crescătoare. Analog, dacă/este strict descrescătoare se arată că f 'x este strict descrescătoare. Cum/este inversa funcţiei/-1 rezultă şi reciproca propoziţiei date. Am văzut în paragraful 1 al acestui capitol că date două funcţii/: A —> B şi g : B —► C obţinem o nouă funcţie gof: A —► C, numită compunerea funcţiilor/şi g. Compunerea funcţiilor este o operaţie fundamentală în matematică, deoarece se aplică oricărui tip de funcţii (să observăm totuşi că operaţia de compunere a funcţiilor este o „operaţie parţială”, deoarece ca să obţinem funcţia go/trebuie ca domeniul valorilor lui/să coincidă cu domeniul de definiţie al funcţiei g). Totuşi în anumite situaţii particulare se pot face şi alte operaţii cu funcţii, operaţii ce extind, în general, operaţiile de pe mulţimea numerelor reale, şi anume adunarea şi înmulţirea. în acest caz considerăm A o mulţime nevidă oarecare şi vom nota cu ^(A, IR) mulţimea tuturor funcţiilor definite pe A cu valori în IR, adică {f: A —> IR}. Dacă/ g e IR) putem defini funcţiile/+ g şi/* g în felul următor: (f + g)(x) =f(x) + g(x), oricare ar fi xe IR (f‘ g)(x) =AX) ’ IR şi IL : ^4 —> IR următoarele funcţii constante definite în felul următor: ®(x) = 0 oricare ar fi x e IR şi ll(x) = 1, oricare ar fi xe IR. Funcţia ® (respectiv 11) se numeşte funcţia nulă sau funcţia zero pe mulţimea A (respectiv funcţia unitate). OtiseiVafiiL Funcţia unitate H este diferită de funcţia identică \A :A —► A a mulţimii A. 6) /+ ® = f şi/ • H = f oricare ar fi /e IR funcţia definită astfel: (■-j)(x) = -fix) oricare ar fi x g IR. Funcţia -/se numeşte opusa funcţiei f 7) /+ (-/) = © (funcţia nulă) 8) Dacă/: ^4 —> IR este o funcţie astfel încât fix) ± 0 oricare ar fi x e A atunci 1 putem defini funcţia —: A —> IR, punând 1 7 oricare ar fi x e A. 9) Să se arate că / • — = 11. / i Date două funcţii/ g e IR) pentru care există funcţia — (adică fix) ± 0 onoare ar f, x « a<) patern constdera &„ot.a j care este pn„ def,„.„e g±. Deci V / J fx) = —-iX-l oricare ar fi x e A. /W 10) Presupunem acum că A este o submulţime nevidă a mulţimii numerelor reale IR. Fie/: A —> IR o funcţie (numerică). Să se arate că/este crescătoare (respectiv strict crescătoare) pe mulţimea A dacă şi numai dacă funcţia (/) este descrescătoare (respectiv strict descrescătoare). 11) Funcţia/: A —> IR este pozitivă (respectiv strict pozitivă) pe mulţimea A dacă şi numai dacă funcţia -/: A —► IR este negativă (respectiv strict negativă) pe mulţimea A. In continuare să dăm câteva exemple de calcul al sumei şi produsului a două funcţii. Exemple 1. Fie funcţiile/; g : IR —► IR,/x) = 2x + 1 şi g(x) = 3x - 1. 14 R: Cum f(x) + g(x) = (2x + 1) + (3x - 1) = 5x rezultă că funcţia sumă /+ g : IR —► IR este definită prin egalitatea: (f'+ g)(x) = 5x oricare ar fi x e IR. Cum/x) • g(x) = (2x + 1) • (3x - 1) = 6x + x - 1 obţinem că funcţia produs fg : IR —► IR este definită prin egalitatea: (/’• g)(x) = 6x2 + x - 1 oricare ar fi x e IR. 2. Fie funcţia/: TL —► IR,/(x) = 2x + 1. R: Se vede că oricare ar fi x e Z, 2x + 1 =/= 0 şi deci putem vorbi de funcţia — :TL f IR care este definită prin egalitatea iA / (*)= \j j i 2x +1 oricare ar fi x e TL. Să notăm cu A mulţimea oamenilor de pe glob. Definim funcţia /: A —► IR după legea ,,/(x) = înălţimea lui x“. Este/ injectivă? Dar surjectivă? 2, Notăm cu A mulţimea oraşelor ţării noastre, iar cu B mulţimea judeţelor ţării noastre. Definim funcţia/: A —> B după legea ,/( 1 /: IR^IR,/(x): Şi g(x) = - x + 3, dacă x < 2, x-1, dacă x > 2 Să se deteimine g °/ şi/ ° g. 8. Considerăm funcţiile definite respectiv prin formulele următoare: a)/: IN —> IN,/(n) = /? + 5; b)g: IN ^ IN, g(/?) =/?2 + 1; c) /?: TL -> Z, h(x) = 3x + 1; d) k : IR IR, l(x) = x3 - 2; e) /: IR IR, l(x) = / dacă x- 0 . l-x dacă x >0 Să se arate că:/ g, h sunt injective şi nu sunt surjective; k, l sunt funcţii bijective. 9, Fie funcţia/ : IR —> [0, +oo),/(x) = x2. Să se arate că/ este surjectivă dar nu este injectivă. / 8 !IL Considerăm funcţiile A^B^C . Să se arate că: i) dacă/şi g sunt injective, atunci g o/este injectivă. ii) dacă/şi g sunt surjective, atunci g of este surjectivă. I L Să se arate că funcţia de gradul al doilea nu este nici injectivă, nici surjectivă. 15 ii 2. Considerăm funcţiile definite respectiv prin formulele: i)/: 2Z -► Z;/x) = -x + 4; ii) g : TL -► Z; g(x) = x + 1; iii) /z: Z —► 2; h(x) = x2; iv) k : 2Z —► IN; £(x) = x2. Să se arate că f g sunt bijective. Cum sunt h şi kl Să se determine funcţiile inverse pentru/şi g. Fie mulţimile A = {0, 1,2} şi B = {a, b, c}. Să se determine toate funcţiile bijective de la ,4 în B şi apoi să se scrie pentru fiecare inversa sa. Considerăm funcţia/: IN —> IN, definită astfel: / \ \n+ 1, dacă n este număr par. j\n) = \ [/i - 1, dacă n este număr impar. Arătaţi că/este funcţie bijectivă şi construiţi inversa sa. 15. Fie funcţia/: IR —> IR, /(x) 2x, dacă x > 0, 3x, dacă x < 0. Fie funcţia/: IR —> IR, /(x) = Să se arate că/este bijectivă şi să se determine inversa sa. [2x + l, dacă x < 1, [x + 2, dacă x > 1. Să se arate că/este bijectivă şi să se determine inversa sa. Să se determine parametrul real m astfel încât funcţia să fie bijectivă şi apoi să se găsească inversa sa. Fie funcţiile/ g : IR —> IRJ[x) = |x| şi g(x) = 2x. Să se calculeze:/+ g, /• g, /2-/•./; /-/•/•/ 16 Vi ^'i v jff v "* !rr<\ V v'^.fc\ -4 b r • '■ r: ; : v- ■ .■ ':i ?>. , ' : '' ■ 'r - 7 *\ . / * * /'V- 1.1. Puteri cu exponent natural nenul Fie a un număr real şi n un număr natural mai mare sau egal cu 2. Se numeşte puterea n a numărului a produsul a n numere, fiecare număr fiind egal cu a. Acest număr se notează cu d\ Deci: an - a 'a ... a. n ori în reprezentarea a!\ a se numeşte baza puterii, iar n exponentul puterii. Convenim să punem a1 = a. Exemple /. (-)3 'o4 2. v ^ J : (_2) * (-2) • (-2) = -8; -111 1-_L ” 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ~ 16 0,0625. 1. Semnul puterii cu exponentul natural Puterea unui număr real pozitiv cu exponent natural nenul este pozitivă. Puterea unui număr real negativ cu exponent natural par este pozitivă, iar cu exponent natural impar este negativă. într-adevăr dacă a > 0, atunci an fiind produsul a n numere pozitive este pozitiv. Dacă a < 0, atunci din regula semnelor rezultă că a2,\ care este produsul unui număr par de numere negative, este pozitiv, iar a2m+\ care este produsul unui număr impar de numere negative, este negativ. De exemplu (-2)9 are semnul (-) iar (-2)12 are semnul (+). 2. Puterea produsului şi a câtului a două numere reale Fie a, b două numere reale şi n număr natural nenul. Atunci: (ab)n = anbn r a^n V ° J = —(b* o). b” într-adevăr: (ab)" = (ab)• (ab)•... • (ab) = (a ■ a ■... ■ a) ■ (b • b ■... ■ b) = a"b" n ori n ori n ori (am folosit asociativitatea şi comutativitatea înmulţirii a două numere reale). a-a-...-a De asemenea: a ' \bj a a TT a ~b b-b-...-b a V 17 în calcule, deseori, folosim egalităţile de mai sus sub forma: n in ( i V' • d a b = \ab) şi — De exemplu: 65 6- li 25 243 32 ' 3. înmulţirea puterilor care au aceeaşi bază Dacă a este un număr real şi m, n numere naturale nenule, atunci: am ■ an = am+n. Intr-adevăr am • a" — (a • a ■... ■ a) • (a ■ a •... ■ a) = a - a •... ■ a = am+n m ori n ori m-n ori De exemplu: 23 • 24 = 27 = 128; (-2) • (-2)4 = (-2)5 = - 32. 4. Ridicarea unei puteri la altă putere Dacă a este un număr real şi m, n numere naturale nenule, atunci: (amy = amn. m+m+...+m într-adevăr (am)" = am ■am = am". . n ori (Am folosit proprietatea 3.) De exemplu: (23)2 = 23'2 = 26 = 64; . p4 v 1 256 ’ 5. împărţirea a două puteri cu aceeaşi bază Dacă a este un număr real nenul şi m, n numere naturale nenule, astfel încât m> n, atunci: într-adevăr, folosind proprietatea 3, avem: am n • an = a{m n)+n = am, de unde m rezultă că am-” = —. an ,|0 4 5 De exemplu: = 310-8 = 32 = 9; Ar- = 45^3 = 42 = 16. 38 43 6. Compararea puterilor 1° dacă a şi b sunt numere reale pozitive astfel încât a < b şi n număr natural nenul, atunci a'7 < b\ Această proprietate este o consecinţă imediată a unei proprietăţii a inegalităţilor între numere reale, cunoscută din clasa a IX-a. (Exemplu) Care dintre numerele 230 sau 320 este mai mare? Avem 230 - 23'10 = (23)10 = 810; 320 = 32'10 = (32)10 = 910. 18 Deoarece 8 < 9, atunci 810 < 910, adică 230 < 320. 2° Fie a un număr real pozitiv şi m, n numere naturale nenule, astfel încât m > n. i) Dacă 0 < a < 1, atunci am < a\ ii) Dacă a > 1, atunci am > a}\ într-adevăr, avem m = n + k, cu k număr natural nenul. Deci am = an+k = an • ak. Dacă 0 < a < 1, atunci 0 1, atunci ak> 1. Prin urmare, cT = an • ak > d\ f ! ^60 fi \30 De exemplu, J_ < 560 > 5 30 1.2. Funcţia putere Fie n un număr natural nenul. Definim funcţia /: IR —► IR, f[x) = xn. Această funcţie se numeşte funcţia putere de gradul n. Observaţii.: 1. Funcţia putere este o funcţie numerică. 2. Pentru n = 1 se obţine funcţia de gradul întâi f{x) = x, iar pentru n = 2 se obţine funcţia de gradul al doilea/(x) = x2. Teorema 1. 1° Dacă n este un număr par nenul, atunci funcţia /(x) = xn este strict descrescătoare pe intervalul (-oo, 0] şi strict crescătoare pe intervalul [0, oo). f 2° Dacă n este un număr impar atunci funcţia fix) = xn este strict crescătoare pe IR. Demonstraţie. 1° Presupunem că n este par, adică n = 2m şi fie x\, x2 e [0, +oo) astfel încât x\ < x2. Folosind proprietatea 6 privind compararea puterilor, avem că x[J < x^ unde n este număr natural nenul oarecare. în particular, X\’n < x2m > adică/(xi) (-x2) ^ 0 şi deci {-x\)2m > (-x2)2m , adică x2m > x2fl. Prin urmare fixi) >fix2), ceea ce ne arată că/ este strict descrescătoare pe intervalul (-oo, 0]. 2° Presupunem acum că n este impar, adică n = 2m + 1 şi fie x\ < x2. Dacă 0 < x\ < x2, la fel ca mai sus avem x12w+1 < x2f^x. Dacă x\ < x2 < 0, atunci (-x0 > (—x2) ^ 0 şi deci (-x,)2w+1 > (-jc2)2w+1, adică -x2m+1 > -x2,?,+1. Prin urmare, x2m+1 < x2m+l. Dacă xi < 0 şi x2 > 0, atunci x2m+1 este un număr negativ, iar xlm+{ > 0 şi deci în acest caz avem x2,"+1 < xl"l+[. în concluzie, din x\ < x2 se obţine xfm+l < xlm+{, adică/xi) 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcţiei fţx) = x3. 2. Funcţia fix) = x4. Graficul acestei funcţii se trasează tot prin „puncte”. Pentru această funcţie se ascociază următorul tabel de valori: X -oo —4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +oo § II 256 81 16 1 0 1 16 81 256 Punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel le reprezentăm într-un sistem rectangular de axe xOy. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă, în figura 2 este schiţat graficul funcţiei^) = *4- 20 Graficul acestei funcţii are următoarele proprietăţi: 1° Se găseşte deasupra axei x'x şi trece prin originea axelor. 2° Axa y'y este axă de simetrie pentru graficul funcţiei fix) = x4 (deoarece fix) = x4 este o funcţie pară). Observaţie. Graficul funcţiei fix) = x2m {m ^ 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcţiei fix) = x4. 1.3. Puteri cu exponent întreg Am demonstrat că pentru m > n am : a" = a'”"'7 (a * 0). Vom căuta să lărgim noţiunea de putere astfel încât am : an = am~n (a ± 0) să aibă loc şi pentru cazul când m^n. 1) Exponentul 0. Dacă a± 0, prin definiţie vom pune a° = 1. Dacă m = n, atunci a” : an = 1 şi am~n = a° = 1. Rezultă că formula am : an = = am~n are loc şi pentru cazul m- n. Observaţie. Expresia 0° nu are nici un sens. 2) Exponentul negativ. Dacă n este număr natural nenul şi a un număr real nenul, prin definiţie vom pune a~n = — De exemplu, 2"3 = —= — = 0,125; 3"1 = — = 0,(3). 2 8 3 Dacă m, n sunt numere naturale astfel încât m0am demonstrat egalitatea 1°. Dacă n = 0, atunci (a ■ bf = 1 şi a° ■ b° = 1 • 1 = 1. Deci: (a ■ b)" = a" • a", are loc şi pentru n = 0. Presupunem n < 0. Atunci (abf = -—-. \ab) 21 Cum -n > O, atunci -—\— =---------------------= —— —— = a" • b". Deci [ab) a • b a b egalitatea (abf = anbn are loc şi pentru n < 0. în acelaşi fel se verifică egalitatea 2°. Să verificăm egalitatea am • an = am+n (a ± 0). (1) Deoarece pentru m > 0 şi n > 0 egalitatea (1) este adevărată, rămâne de arătat pentru următoarele trei cazuri: 1 Q,m Cazul m > 0 şi n < 0. Atunci am • an - am---------=-------. * — n — n Dar cum -n > 0, am văzut că = a = am+" şi deci am ■ an = a” Cazul m < 0 şi n < 0. Avem am • an 1 1 1 Cum -m > 0 şi -n > 0, atunci a 1 - aT" = Deci am • a” = -(»! + «) Cazul când unul dintre m sau n este zero. Presupunem că n = 0. Atunci a 'a — a 'a — a *1 — a şi# — a — a . Deci şi în acest caz avem a"' ■ a” = am+". Din egalitatea 3° rezultă şi egalitatea am : a" = am~n (a ± 0). Să verificăm egalitatea (a'")" = amn (a * 0) (2) Deoarece pentru m > 0 şi n > 0 egalitatea (2) este adevărată, rămâne de arătat în următoarele cazuri: Cazul m < 0 şi n > 0. Avem (a"')" = 1 V" 1 \a J (-m)n Cum -m > 0, atunci (a = a mn. Deoarece - mn< 0 atunci a"m = —-— şi 7 v / ~mn T a deci (amŢ = amn. Cazul m > 0 şi n < 0. Avem (a'f = —-— = —— = am". Deci (a"Ţ = am’\ (,amy" a~m" Cazul m < 0 şi n < 0. Avem (am)n = —-—. Din primul caz obţinem că (amyn (am)~n = a~m" şi cum mn > 0, atunci —= —— = amn. Deci (a"l)n = amn. v 7 T ~mn 1 v 7 a 1 Cazul când unul dintre m sau n este zero. Dacă m = 0, atunci am = 1 şi deci (amf = 1" = 1. Dar cum amn = a° = 1, rezultă (am)n = amn. 22 Dacă n = O, atunci (a"1)" = (a'")° = 1 şi dT = a° avem (amŢ = amn. Cpxemph?) 1. 3“6 • 38 = 3“6+8 = 32 = 9; 2. (42)~2 = 4~4 = / v 7 44 1 256 ’ 3. V3 j -|3 [(-l)-2]3 =(32)3 = 36 =729. 1. Deci şi în acest caz 1.4. Funcţia putere de exponent negativ Vom studia funcţia:/: IR - {0} —► IR,/x) = x~f\ n e IN*. Vom distinge două cazuri: 1) n = 2m\ 2) n = + 1. 1) /:IR-{0}-.IR)/x)=/r. La punctul 1.2. s-a arătat că dacă 0 < < x2, atunci xfm < x\m, de unde —şi deci/este strict descrescătoare pe intervalul (0, +oo). X ţ X2 2 2 11 Dacă jci < x2 < 0, atunci x} m > x2m şi deci —— < —— , ceea ce ne arată că/ 1 z 2m 2m X\ x2 este strict crescătoare pe intervalul (-00, 0). Cum x2m = (- x)2m, atunci/x) =/- x) şi deci/este o funcţie pară. 2) /: IR-{0}-IR,/*)=//. Dacă 0 < X| < x2, atunci 0 şi deci/ X i X2 este strict descrescătoare pe intervalul (0, +oo). Dacă x\ } , , ceea ce 1 Z T 2/77 + 1 2w+l JC j JC2 ne arată că/ este strict descrescătoare şi pe intervalul (-oo, 0). Cum x2m+{ = - (~x)2m+\ atunci J(x) = -J{-x) şi deci/este o funcţie impară. I Deşi funcţia / este strict descrescătoare pe intervalele (-00, 0) şi (0, +00) ea nu este strict descrescătoare pe mulţimea IR - {0}. într-adevăr, dacă x\ = -1, 1 x2 = 1 atunci x\ < x2. Dar, f(xx) = /(-1) = (-1)2 -1 şi M) =7(1)= Îşi decizi) V4e) ; b) 53 • 152 • 253- M '3 125 (-3) \0 17 \5 T _i_ 15 ; f) ; c) 6-4 \0 n-2 2» Să se efectueze: a) (-2x)6 - (~8x3)2 - R2x)2]3 - [2 • (-x)3]2; b) (-2x)10 - (-13x5)2 - [-(2x)2]5 - [2 • (-x)5]2. 3. In raport cu valorile lui m să se determine semnul expresiilor: a) (1 - m)13; b) (2 - 3m)125; c) (4 - 2m)102. 4, Să se calculeze: a) (xyy : (.xy)\ (x, y ± 0); b) [aâ + + 3ab (a + b)Ţ : (ct + bl+ 2ab)\ (a + b± 0); c)(10”-4"): (5" - 2"). _32 ,32 a - b a - b 5, Să se arate că: (a + bfa2 + b2\a4 + b4\as + b*\a16 + 616) = 6 Să se descompună în produs de doi factori: a) x2m +xmw +x^n +l(m>n);b)xm (xn -l)-x" [xm -l). Care dintre următoarele numere este mai mare: a) 42 sau 26; b) 273 sau 96; c) 1252 sau 253; d) 4300 sau 3400; e)----sau 8 _1_ 32 \3 ;f) j A100 16/ 1 sau | — | ; g) 5‘63 sau 6'63; h) sau5 -63 , Să se reprezinte grafic funcţiile: a )f C)/3 e)/s IR -> IR,yi(x) = 2x3; IR-IR,/3(x) = (x-1)3; IR ^ IR,/5(x) = |x3|; Să se arate că funcţia putere/: IR nici surjectivă. H). Să se scrie, folosind exponentul negativ: 1 1 o (a+b)3 (a2 -b2 )2 ii) 0, 0002; iii) 0,000003; 0,00015. Să se efectueze: a) (a1 + l) (a4 - uf2+l); (a * 0); b) (a“2+ l)2- (a2- l)2,(a*0); c) a{a + b) 1 + b(a + 6) ', (a + b =£ 0). b)/2:IR-IR,/2(x)=x3-l; d)/4 :IR-IR,/4(x) = (x + 2)4; f)/6 :IR^IR,/6(x) = |(x-1)3|. IR,/x) = x2"', w e IN, nu este nici injectivă, -; (a ,b ,c*0; | a| *| b |); , pentru x = - - 1 b) 1 2 (2 + x) --2x“'-l , pentru x = - —. 25 Să se simplifice expresiile: a) x 1 + (y + z)~ -(y + z)~ 1 + 2yz y + z — x j x 2y 1 + x V 9_? b)---------------+ x3(x' - 2xy + y~) 2. x -y 14. Să se reprezinte grafic funcţiile: a) a)/, :E-{0}—m,/,(jc)=x-3+l; b)/2: IR - {0}—>- IR,/2(x) = x“2 - 1; 1 m . 1 c)/3 : IR - {-1}—*• IR,./3W ; x + 1 d)/4 :E-{1}-*1R,/4(x) = (x-1)2 ’ 2- Radicali. Funcţia radical Fie 2 un număr natural, iar a un număr real. Să considerăm ecuaţia xn-a = 0. (1) în continuare ne punem problema existenţei şi a numărului rădăcinilor (soluţiilor) reale ale acestei ecuaţii. O rădăcină reală a ecuaţiei (1) este un număr real a, astfel încât an - a = 0. 2.1. Radicalul unui număr pozitiv Fie ca mai sus n > 2 un număr natural, a > 0 un număr real pozitiv şi ecuaţia x" - a = 0. Atunci avem i Teorema 3. Dacă n > 2 este un număr natural şi a > 0 un număr real j pozitiv atunci ecuaţia j x11 - a = 0. (2) ; ţ are o rădăcină reală pozitivă şi numai una. j Demonstraţia riguroasă a faptului că există o rădăcină pozitivă a ecuaţiei (2) depăşeşte programa clasei a X-a. Ea necesită noţiunea de continuitate şi se va face la Analiză matematică în clasa a Xl-a. Vom indica totuşi mai jos pe un exemplu cum poate fi găsită o valoare aproximativă a rădăcinii pozitive a unei astfel de ecuaţii. Să demonstrăm acum unicitatea. într-adevăr, să presupunem prin absurd, că ecuaţia (2) ar avea mai multe rădăcini pozitive diferite. Fie atunci x\ şi x2, x\ =£ x2 două astfel de rădăcini, adică x," = x" = a. (3) Cum x\ =£ x2, atunci unul dintre aceste numere este mai mic decât celălalt. Fie, de exemplu, xi < x2. Atunci din proprietăţile puterilor rezultă x[7 < x\, ceea ce contrazice relaţia (3). Această contradicţie arată că există o singură rădăcină pozitivă a ecuaţiei (2). Cu alte cuvinte, teorema precedentă spune că pentru orice număr real pozitiv a > 0 şi orice număr natural n^ 2, există un unic număr real pozitiv cu proprietatea că puterea a n-a a sa să fie a. 26 Atunci putem da următoarea definiţie: . Definiţie. Dacă a > 0 este un număr real pozitiv şi n ^2 un număr natural, se numeşte radical de ordin n din a, numărul pozitiv a cărui putere a n-a este a. Conform teoremei precedente există un astfel de număr şi este unic. Notaţie. Vom nota radicalul de ordin n din a prin '-ifă. Pentru \[ă, de obicei, se omite 2 şi se scrie, simplu, Va . Aşadar, fţ[â este un număr care verifică relaţiile: Vă > 0,(Vă)" = a (a> 0). Exemple^ 1. 79= 3; VÎ25 = 5; i[Î6 = 2; V32 = 2; V^T = 3. 2. Să arătăm, acum, cum poate fi găsită o valoare aproximativă a numărului \[2 . Deoarece 1 = l3 < 2 < 23 = 8, rezultă că 1 < l/l < 2 şi deci 1, respectiv 2 sunt valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui \fl , cu o eroare mai mică decât 1. Ca să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decât 0,1 ale lui , procedăm în modul următor. Scriem şirul de numere 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0. Căutăm în acest şir două numere consecutive, astfel încât cubul primului dintre ele să fie mai mic decât 2, iar cubul celui de-al doilea să fie mai mare decât 2. Pentru aceasta să rădicăm la cub numărul din mijloc. Obţinem 1,53 = 3,375, care este mai mare decât 2. Deoarece toate numerele de la dreapta lui 1,5 prin ridicare la cub dau numere mai mari decât 2, perechea de numere căutată va fi printre numerele U; 1,2; 1,3; 1,4. Ridicăm la cub 1,2 şi obţinem 1,728 care este mai mic decât 2, şi deci cubul lui 1,1 va fi şi mai mic. Calculăm atunci cubul lui 1,3 şi obţinem (1,3)3 = 2,197 care este mai mare decât 2. Deci 1 ,2< V2 <1,3. Aşadar 1,2 respectiv 1,3 vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos ale lui , cu o eroare mai mică decât 0,1. Dacă vrem să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decât 0,01 ale lui ifî , procedăm ca mai înainte pentru şirul de numere următor: 1,21; 1,22; 1,23; 1,24;...; 1,29. Deoarece (1,25)3 = 1,953125 este mai mic decât 2, o să luăm în considerare numai numerele: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Cum (1,26)3 = 2,00376 este mai mare decât 2, avem 1,25 < < 1,26. Aşadar 1,25 respectiv 1,26 vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui l/l , cu o eroare mai mică decât 0,01. 27 Continuând procedeul putem găsi valori aproximative ale lui ifl , cu o eroare oricât de mică dorim. în general, ecuaţia xn - a = 0 (a > 0) poate să aibă şi alte rădăcini (care evident trebuie să fie negative). De exemplu, ecuaţia x2 - 4 = 0 are rădăcinile x\ = -2 < 0 şi X2 = 2 > 0. în acest sens avem în general: 1° Dacă n = 2k + 1, atunci ecuaţia x2*+1- a = 0 (a > 0) nu are rădăcini negative. Această afirmaţie rezultă uşor observând că oricare ar fi a < 0 avem a2k+l < 0 şi deci a2k+l ±a(a> 0). 2° Dacă n = 2k atunci ecuaţia x2k - a = 0 (a > 0) are o singură rădăcină negativă şi anume - 2tfă . într-adevăr, avem (- 2tfâ )2k = ) = a şi deci - 2tfâ este o rădăcină a ecuaţiei x2k - a = 0. Un raţionament analog celui folosit la demonstrarea unicităţii în teorema precedentă, ne arată că - 2tfă este unica rădăcină negativă. Prin definiţie, avem ^ = 0 (yi > 2, număr natural). Evident, 0~ = 0 este unica rădăcină a ecuaţiei x - 0. 1. în clasele anterioare s-a definit radicalul de ordin doi (rădăcina pătrată) dintr-un număr pozitiv. De asemenea, s-a studiat proprietăţile acestuia şi operaţiile cu radicali de ordinul doi. 2. Având în vedere definiţia radicalului, mai precis că radicalul unui număr pozitiv (sau nul) este pozitiv (sau nul) este folositor de remarcat următoarea formulă importantă: x, dacă x > 0, 0, dacă x = 0, - x, dacă x < 0. Cu alte cuvinte, Exemple 1. V(2 - af = |2 - a\ 2-a, dac ă a < 2, < 0, dacă a = 2, a - 2, dacă a > 2. 2. -\j(x2 + l) = \x2 + l| = x2 + 1, deoarece pentru orice x, avem x2 + 1 > 0. 2.2. Funcţia radical Fie n > 2 un număr natural. Definind noţiunea de radical de ordin n, fiecărui număr pozitiv (sau nul) a i s-a asociat un număr bine determinat, pozitiv (sau nul) 'l[a . 28 Astfel am obţinut o funcţie/: [0, +oo) —► [0, +oo),/x) = '-{[x . Această funcţie se numeşte funcţie radical. Iată câteva proprietăţi ale funcţiei radical: 1° Funcţia radical este strict crescătoare. într-adevăr fie x\9 x2 e [0, +oo), astfel încât x\ < x2. Deoarece x\ = (^/x^) şi , avem fes? < fes? . Dar funcţia putere fiind strict crescătoare pe [0, +oo) rezultă că adică/xi) 0). Dar, atunci este clar că ecuaţia în x are o rădăcină negativă unică şi anume x = - a/- a (-a > 0). Având în vedere afirmaţia 2° a teoremei precedente putem da următoarea definiţie: Definiţie. Dacă a < 0 este un număr real negativ şi n ^ 3 un număr natural impar, se numeşte radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui putere a n-& este a. Un astfel de număr există şi este unic. îl notăm prin yfă . Aşadar yfâ ( 0 şi b > 0 este esenţială numai pentru n par. Dacă n este impar, formula (1) este valabilă pentru orice numere reale a şi b (inclusiv negative). V25 49 = 4l5 44) =5-7 = 35; hxemple V- 125 • 8 = V- 125 4s = -5 • 2 = -10. Remarcăm că formula (1) rămâne adevărată pentru orice număr finit de numere a\, a2, ..., a/{ > 0 (k ^ 2), adică '4a{a2...ak = 44'44 ■■■'44 ■ (2) 2. Oricare ar fi numerele reale a > 0, b > 0, atunci (3) într-adevăr, fie '4b ’ "4 x = VT> y = r~ ■ b 4b \n Şl y & j Atunci x ^ 0 şi y > 0 şi = —. Deci x" = v", de unde x = y b ceea ce trebuia demonstrat. Cerinţa a ^ 0 şi b > 0 este esenţială numai pentru n număr par. 31 Dacă n este impar formula (3) este valabilă pentru orice număr real a şi orice număr real b ± 0. , (36 V36 6 I-64 (64 V64 4 Exemple - /— = —= = —: 3/------= - 3 49 ^49 71 27 V 27 V27 3' 3. Oricare ar fi numărul real a > 0, atunci nlmn m. sa = a într-adevăr, n l nm n u „n \n Sa =f^{a ) (4) \m nln nln /î/ /? „ „ „ m ' ~sa •sa -...-sa = a-a-...-a = a . Exemple = ^4^ = 42 = 16; Vz17 = ^2^ = 23 = 8. 4. Oricare ar fi numărul real a ^ 0, atunci: a I = sam Intr-adevăr, (a/<2 } = * ’-yfă • ... • rfă = ’■{/a • a - ... - a = '-{Jam . (5) m ori m ori Dacă >7 este impar, formula (5) este valabilă şi pentru a < 0. Exemple> (ţ/3)3 = ^ = V27; i^jvsj = V212 = 22 = 4; (V1^)5 =V(-2 )5 = V-32. 5. Oricare ar fi numărul <2 > 0, atunci: Vă*" = "Vă™*-. (6) într-adevăr, fie x = Samk Şi f = • Atunci x > 0, > 0 şi x" = a..j = Sa{nk)m = am şi y" = (Vă")" = am. Deci x" = /, de unde x = y, ceea ce trebuia demonstrat. Exemple ; = I^5^~; 2^a10 = ^[a^. 6. Oricare ar fi numărul real a ^ 0, atunci: într-adevăr, fie x = ’lj'tfâ şi r - Sa . Atunci x > 0 şi y ^ 0. După proprietăţile 4 şi 5 avem y" = (n'4ă)" = m4cS-r4a . Cum x" = rfă, după definiţia radicalului de ordin n rezultă că y = ’lftfa . Deci y = x, ceea ce trebuia demonstrat. Exemple \[W = = xff. — I nk mk 2.5. Operaţii cu radicali 1. Scoaterea unui factor de sub semnul radical şi introducerea unui factor sub semnul radical. 32 Uneori numărul de sub semnul radical se descompune în factori, caz în care radicalul este uşor de calculat. în aceste cazuri, expresia radicalului devine mai simplă (se simplifică), dacă scoatem aceşti factori de sub semnul radical. în efectuarea unei astfel de operaţii, ne bazăm pe proprietăţile 1 şi 3 ale radicalilor. De exemplu: 4Î2 = V4 • 3 = = 2V3~; Vl250 = V625 • 2 = V54 • 2 = 4^42 = 5^2; = | a3 | V2. Uneori este folositor să introducem factori sub semnul radical. Pentm efectuarea unui astfel de operaţii ne bazăm pe aceleaşi proprietăţi menţionate mai sus. De exemplu: VWÎ = VVl62 - 2 = a/Ă/2^2 = = 4^ = 4? = 2^2. 2. înmulţirea radicalilor. Proprietatea 1 a radicalilor ne dă legea de înmulţire a radicalilor de acelaşi ordin: '44 • 44 • - • 44 = ' a2 ' - • ak ■ (!) Ca să înmulţim radicali de ordine diferite, este necesar să-i aducem la acelaşi ordin şi, apoi, să-i înmulţim după formula (1). Fie, de exemplu, yfă şi yfb . Folosind proprietatea 5 a radicalilor avem: Atunci Vfl -n4b = "44 ■ "4b" = "'4 a'" ■ b". De exemplu: 4$49 = 4444 = a/33 • 92 = a/33 • 34 = a/V = 3^3. Observăm că se poate lua ca ordin comun al radicalilor 4a şi '4b , tocmai cel mai mic multiplu comun al numerelor n şi m. De exemplu, putem lua ca ordin comun pentru radicalii V2~ şi ^32~ pe 12, care este cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 6. Atunci avem: 4î ■ 44 = l44 • l44~ = l44~ = 2'4î. 3. împărţirea radicalilor. Proprietatea 2 a radicalilor ne dă legea de împărţire a radicalilor de acelaşi ordin. Ca să împărţim radicali de ordine diferite, îi aducem mai întâi la acelaşi ordin şi apoi îi împărţim după formula (2). De exemplu: ^ = 4 = îfi. 4î 44 v 23 4. Raţionalizarea numitorilor. înţelegem prin raţionalizarea numitorilor, operaţia de eliminare (prin transformări) a radicalilor de la numitorul unei fracţii. Vom clarifica aceasta prin câteva cazuri speciale, pe care le vom prezenta mai jos. Să precizăm mai întâi noţiunea de expresie conjugată. Astfel, o expresie, care conţine radicali se numeşte conjugata unei alte expresii care conţine 33 radicali, dacă produsul acestor expresii se poate scrie fără radicali. Atunci cele două expresii se numesc conjugate. în cazurile următoare, raţionalizarea numitorului se realizează prin amplificarea fracţiei cu conjugata numitorului. De aceea vom pune în evidenţă pentru fiecare caz în parte, conjugatele numitorului. 1° Numitorul este un radical. în acest caz radicalul de la numitor se elimină printr-o amplificare. „ , 2 2V3 2V3 5 De exemplu: —j=- = 5V2■32 51/Î8 S (Sf 3 ' Vl2 6 2° Numitorul este de forma\ Vă" ± Vă" {a, b > 0). Observăm că [fi + Vă"|Vă" - Vă") = a - b. Expresiile Vă" + 4b şi 44 - 4b sunt conjugate. Pentru a raţionaliza numitorul amplificăm fracţia cu conjugata numitorului. „ , V3-V2 (s-jî'f 3-2V6+21, £ De exemplu: -5- ««■ 3° Numitorul este de forma: Vă" ± Vă" ± Vă" {a, b, c > 0). în acest caz, radicalii de la numitor se elimină succesiv, reducând problema la cazul precedent. De exemplu: 4 4|(i + 4î)+ 421 4(1 + 73 + 72) l + Vî-VÎ _|l + V3)-V2][(l + V3)+V2]_(1 + i/jpp)2 “ 4(1 + VJ + 77) 4(1 + 71+ 77) 2(1 + 71+ 77) (4 + 277)- 2 2 + 273 1 + 73" _ 2(1 + Ţş + 77)(i - Tă) 2(1 - 77 + 77- 3 + 44- 77) (i + 77)(i-77) 1-3 = 2 - 72" + 77. 4° Numitorul este de forma 44 ± 4b sau 44^ ± 44b + 7^. Avem: (V~ă" + V~ă" ) ^ V a 2 - V ab + V b 2 j = a + 6 şi (V~ă" - V~ă" \l a2 + V ab + \f~b~z acestea fiind perechi de expresii conjugate. = a - b (Exemplu} 44 44 f 5 2 +75-3 + 7 3 2 j 44-44 (VT-VT)f 7s2 +115-3+44 4 3-5 2 +7 3 2 -5 +7 3 3 3 + 745 +775 5-3 34 Aplicaţie. Să se demonstreze că: a + b + c > ifăbc , unde a, b, c sunt numere reale pozitive oarecare {media aritmetică a trei numere pozitive este mai mare sau egală cu media geometrică a lor). Demonstraţie. Se verifică uşor că are loc identitatea: 3 3 3 / u ?22 i x + y + z - 3x>>z = (x + y + z ){x~ + y + z - xy - yz - xz), unde x, y, z sunt numere reale oarecare. (x - yf +(y- zf + (z - x)2 J rezultă Deoarece x2 +y2 -hz2 -xy-yz-xz = -^ identitatea x3 + y2 + z3 - 3xyz = (x + y + z) (x - yf +(y- zf + (z - x)2] în această ultimă identitate punem: x = ifă, y - yfb, z = \fc şi obţinem: a + b + c - 3\labc = i^fă + ifb + \[c ] l^fă - ifb) + i^fb - l[c) + (a/c - Vâ) Deoarece a, b, c sunt numere pozitive, iar pătratul oricărui număr real este nenegativ, rezultă că a + b + c - 3\[ăbc > 0, adică 3 Inegalitatea dată devine egalitatea dacă şi numai dacă a = b = c. dbseîvâţfelDacă a, b, c sunt numere reale pozitive oarecare, atunci: 1 i i a b c {media geometrică a trei numere reale pozitive este mai mare sau egală cu media armonică a lor). Folosind faptul că media aritmetică a numerelor J_ _L şi _L este a' b c mai mare sau egală cu media lor geometrică, rezultă inegalitatea cerută. 2.6. Ecuaţii iraţionale 1. Se numesc ecuaţii iraţionale, ecuaţiile care conţin necunoscuta sub semnul radical. Aşa, de exemplu, ecuaţiile ■yjx — 2 =5 + Vx; Vx = 1 - 2x; \j4 - x = -yjx + 10 + 5x sunt ecuaţii iraţionale. Amintim că radicalii de ordin par sunt definiţi numai pentru numere nenegative, aceştia fiind de asemenea numere nenegative. Să considerăm, de exemplu, ecuaţiile iraţionale: 1° a/x-3+^2-x=3. Cum radicalii de ordinul doi sunt definiţi numai pentru numere nenegative, rezultă că soluţiile ecuaţiei trebuie să verifice sistemul de inecuaţii: x - 3 > 0, 2 —x ^ 0. (1) 35 De aici rezultă: x > 3 şi x ^ 2 şi deci sistemul (1) evident nu are soluţii. Aşadar ecuaţia dată nu are soluţii reale. 2° Vx + ^3 - x = - 5 . Cum 4x şi ^3 - x sunt nenegative, avem •x/x + s]3 - x > 0 pentru x real. însă -5 < 0 şi deci ecuaţia nu are soluţii reale. Observaţie* Cele două exemple precedente ne arată că este necesar ca înainte de a trece la găsirea, prin diferite metode, a soluţiilor unei ecuaţii iraţionale, să ne asigurăm dacă astfel de soluţii pot să existe. 2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale. Calea obişnuită de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale constă în eliminarea radicalilor, prin diferite transformări, reducându-le astfel la ecuaţii deja studiate (de exemplu, de gradul întâi sau al doilea). Mai jos prezentăm câteva exemple de ecuaţii iraţionale a căror rezolvare se poate efectua prin ridicarea la putere sau înmulţire cu expresii conjugate. Exemplej L Să se rezolve ecuaţia: x = ^2 - x, (2) Pentru ca radicalul să existe trebuie ca 2 - x > 0, de unde x < 2. Deci soluţiile ecuaţiei trebuie să verifice această inegalitate. Ridicăm ambii membri ai ecuaţiei la pătrat şi obţinem: x = 2 - x, sau x2 + x - 2 = 0. de unde x\ = -2 şi x2 = 1. Cu toate că xi < 2 şi x2 <2, nu putem încă trage concluzia că acestea sunt rădăcini ale ecuaţiei (2). Aceasta pentru că la acelaşi rezultat am fi ajuns (prin ridicare la pătrat, membru cu membru) chiar dacă am fi considerat ecuaţia iraţională x = -^2 x, care evident este diferită de ecuaţia dată (2). Deci printre rădăcinile ecuaţiei obţinute prin ridicare la pătrat (membru cu membru) a ecuaţiei (2) se găsesc şi rădăcinile ecuaţiei x = -^2 - x, care pot să nu fie rădăcini ale ecuaţiei (2). De aceea, trebuie să verificăm dacă, într-adevăr, x\ = -2 şi x2 = 1 sunt rădăcini ale ecuaţiei iraţionale date. Pentru x = -2, membrul stâng al ecuaţiei (2) are valoarea -2, iar cel drept V4 = 2. Cum -2 2, rezultă că -2 nu este rădăcină a ecuaţiei (2). Pentru x = 1, ambii membrii ai ecuaţiei (2) iau valoarea 1. Deci 1 este rădăcină a ecuaţiei iraţionale date. 2. Să se rezolve ecuaţia: ■yjx — 5 + 10 - x = 3. (3) Din condiţiile de existenţă a radicalilor rezultă că soluţiile ecuaţiei trebuie să verifice inegalitatea: 5 < x < 10. Prin ridicare la pătrat se obţine: x - 5 + 2-yj(x - 5)(l0 - x) + 10 - x =9, sau 2V(*-5XlO-x) = 4, sau V(x - 5X10 -x) = 2. Printr-o nouă ridicare la pătrat se obţine: (x- 5)(10 -x) = 4, sau -x2 + 15x- 50 = 4, sau încăx2 - 15x + 54 = 0. 36 Această ecuaţie are rădăcinile: x\ = 6, x2 = 9, deci cuprinse între 5 şi 10. Verificarea arată că atât 6 cât şi 9 sunt rădăcini ale ecuaţiei date. 3. Să se rezolve ecuaţia: V* + 7 + Jx “ 1 = 4. (4) Din condiţiile de existenţă a radicalilor rezultă x ^ 1. Să rezolvăm această ecuaţie prin înmulţirea ambilor membri cu expresia conjugată a membrului stâng, adică cu yjx + 7 - y]x - 1. Astfel obţinem: (/x + 7 + ^/x - lj^x + 7 - ^/x — 1) = 4^x + 7 - yjx de unde (x + 7) - (x- l) = 4(7* + 7 - 7*-l). De aici, avem ■yj X 1 — -yjX — \ =2. (5) Adunând membru cu membru ecuaţiile (4) şi (5) se obţine 2^/x + 7 =6 , de unde x + 7 = 9, adică x = 2. Prin verificare, se obţine că 2 este o rădăcină a ecuaţiei date. 4. Să se rezolve ecuaţia: ijlx - 1 + \]x - 1= 1 Fiind de ordin 3, radicalii există pentru orice x real. Pentru rezolvarea ecuaţiei folosim identitatea (# + b^j — a + b + 3ab(a + b^j. Ridicând la puterea a treia ambii membri ai ecuaţiei (6), obţinem: 2x - 1 + x - 1 + 3^2x -U]x-l 2x - 1 + l, (6) sau 1 ^/x - 1 (-y2x - 1 3x - 2 + 3 ^/(2x - lX* - l) -1 = 1, sau încă 3 ^/(2x - l)(x - l) = 3(l - x). Atunci \l(2x - l)(x - l) = 1 - x şi printr-o nouă ridicare la puterea treia, obţinem (2x - lX-^ - l) = (l - x)3, sau (2x - lX* - l) - (l - x)3 = 0, adică (2x - lX^ - l) + (x -1)3 = 0. Scoţând factor comun pe x -1, rezultă (x - l)[(2x-l) + (x- l)2 =0, sau (x - l)x2 = 0, de unde x{ = 1 şi x2 = 0. Verificarea arată că x\ = 1 este rădăcină a ecuaţiei (6) (pentru x = 1 ambii membri ai ecuaţiei sunt egali cu 1), iar x2 = 0 nu este rădăcină (pentru x = 0, membrul stâng al ecuaţiei (6) ia valoarea -2, iar membrul drept este 1 şi avem -2± 1). Deci 1 este singura rădăcină a ecuaţiei date. Prin metodele de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale, indicate în exemplele de mai sus, nu se pot pierde rădăcini ale ecuaţiei iraţionale date. Dimpotrivă, ecuaţia (fără radicali), la care se ajunge prin transformări ale ecuaţiei iraţionale date, poate avea rădăcini în plus faţă de ecuaţia iniţială. De aceea remarcăm încă o dată necesitatea de a verifica dacă rădăcinile ecuaţiei obţinute (prin transfonnări) sunt rădăcini ale ecuaţiei iraţionale date (în forma iniţială), această etapă făcând parte din însăşi rezolvarea ecuaţiilor iraţionale. 37 3. Puteri eu exponent raţional în acest paragraf vom prezenta o extindere a noţiunii de putere, care cuprinde în particular, atât noţiunea de putere cu exponent întreg, cât şi cea de radical. 3.1. Puteri cu exponent raţional pozitiv Definiţie. Fie a l pozitiv, atunci definim ■ ffl Definiţie. Fie a > 0 un număr real nenegativ şi — un număr raţional n >JI am (1) m (citim a la puterea —). n Observăm că în această definiţie intervin numerele naturale m şi n care definesc numărul raţional dat. m km kn Cum numărul raţional — >0 este egal, de exemplu, cu numărul raţional n , pentru k număr natural nenul, se pune în mod firesc problema de a arăta că această definiţie este corectă, adică nu depinde de alegerea reprezentanţilor. Cu alte cuvinte, trebuie arătat că dacă , atunci a n n n ~ mm Intr-adevăr, avem — = — dacă şi numai dacă mn' = m'n. n n’ Atunci folosind proprietatea 5 a radicalilor, avem: ^ n* ni n'mlm'm m'ni an — va = s a — se Obţinem astfel noţiunea de putere cu exponent raţional pozitiv. _5 ______ 2 De exemplu: 94 = îjf = V94 -9 = 94S = W3; 83 = = F? = 4. Din noţiunea de putere cu exponent raţional pozitiv particularizată la numerele naturale n, respectiv la numerele raţionale pozitive —, se obţine noţiunea de putere n cu exponent natural, respectiv noţiunea de radical pentru numerele pozitive. Cerinţa a ^ 0, din definiţie, este esenţială deoarece în caz contrar, formula (1) ar putea să nu aibă sens. De exemplu, (- 2) 4 după formula (1) ar trebui să fie radical de ordinul 4 din -2, care nu are sens. Proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional pozitiv în cele ce urmează presupunem că — şi — sunt numere raţionale pozi- n q tive. Atunci: 38 m p 1° a» -aq =an q (a > 0); m m 2° (a • b)n = a" • b 11 (a, b > 0); 4° ( a ^ p f m\-an V J - (a > O, b > O); bn m p = an q (a> 0); c0T^ ~ m p . a 5 Daca — > —, atunci — n q a m p oa > 0). Aceste proprietăţi se demonstrează uşor folosind proprietăţile radicalilor. Să demonstrăm prima proprietate. Avem: m_ P_ ___ _____ _________ _____ ____________ mq + np P_+P_ u7 -aq = = ia"ul+np = a Lăsăm ca exerciţiu, verificarea celorlalte proprietăţi. nq - a n q OhserVaţie*; Proprietatea 1° este adevărată şi pentru un număr finit de factori, adică: Hh_ !]h_ 1!1l + !!!2-+ | mk a"k =a"' ”2 a 1 • a I 1 14 Exemple,\ 55 • 55 =5 71 6_ 5_ 5 .O - O 5 _cl_c. n 7 . n 6 — /7 7 + 6 — 42 | 6_ 5_ _ _ __ 51 = 5; a1 •a6 = a1 6 = a42 (a > 0). Pentru a ± 0, am convenit să punem a° = 1. Expresiei 0° nu i se dă nici un sens. 3.2. Puteri cu exponent raţional negativ Aşa cum am definit puterea cu exponent întreg negativ (vezi pct. 1.3), definim şi puterea cu exponent raţional negativ. jfi Fie a > 0, un număr real pozitiv şi — un număr raţional pozitiv. Atunci n a n prin definiţie, a n -De exemplu: 8"î = _L = _L = _L 27_» =__________!_ =_____!__=_____!__= —!— = —L_ 8| VF 4 ’ 27f frf 77 Wî Acum ştim ce înseamnă puterea cu exponent raţional oarecare a oricărui număr real pozitiv. Puterile cu exponent raţional oarecare au următoarele proprietăţi de bază: 39 ni p 1° an -aq = a" q (a > 0); ni m 3° 4° f]” =^rM>°); bn ( m \ 2° (iab) n - a n • bn (a, b > 0); m 5° — = ^(a > 0). a n \ J m p = an “ (a > 0); m p J Am demonstrat în paragraful precedent aceste proprietăţi pentru cazul exponenţilor raţionali pozitivi. Ele se pot demonstra şi pentru exponenţi raţionali oarecare. 171 p Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Fie pentru aceasta —şi — n q numere raţionale. Cazul în care ambele numere sunt pozitive a fost dat la punctul precedent. Rămân atunci de considerat următoarele cazuri: 1° ambii exponenţi sunt negativi; 2° unul dintre exponenţi este negativ, iar celălalt pozitiv; 3° cel puţin unul dintre exponenţi este zero. Să le analizăm pe rând: m P m P 1° Dacă —,— < 0 , atunci------------,--->0. După definiţie şi aplicând n q n q proprietatea analoagă a puterilor cu exponent raţional pozitiv, avem: 1 1 1 1 a 1 a m + p r n V a n 1 „ n /v ^ a 2° In cazul al doilea fie, de exemplu, n q — > 0 şi — < 0; deci - — > 0 . n q q ^ ^ „ iii ls Sa prespunem mai întâi ca — > - — . n q Atunci, după definiţie şi proprietatea 5° a puterilor cu exponent pozitiv, avem: Dacă - i m a" • a ‘ _Z5Î <7 £ _£ a q a q m £ m n -aq = an £ (■1 £ q 1 1 m a £ q 40 ~ p m Dar - f \ n) 1 şi după situaţia precedentă, avem: m p a m • a în sfârşit, dacă: m p — + — n q m p i • ~ m p A — = - — adica — + — = O, n q n q = 1 = a" = a m p — + — = n « 3° Dacă unul sau ambii exponenţi sunt zero proprietatea este evidentă (avem în vedere că a° = 1). Lăsăm ca exerciţiu demonstrarea celorlalte proprietăţi. rvaţie. Dacă în cazul puterilor cu exponent raţional pozitiv am putut vorbi despre proprietatea 5, doar pentru m n P î, q , în acest paragraf (după ce am definit puterile cu exponent raţional negativ) ea se poate demonstra şi pentru — < JL (când n q 3 a > 0), de exemplu: 164 4 167 = 164 5 = 16 L Să se găsească radicalii: a) ^(x-1)2; b) ij{x + 5)2; c) 2x2 - 3x 4-1)2 ; d) -\](-3x2 + x - l)2 . 2. Să se găsească valorile lui x, pentru care sunt definite expresiile: a) -yjx - 2; b) \jx- 2; c) ^3 - x + ij5x - 5; d) ilx2 + 1. e) \l x2 -x +1 . 3. Să se calculeze: a) V1732 — 522 ; b) \l373 2 - 2522;c) 7(242,5)2 -(46,5)2 Să se simplifice expresiile: a/?"; l-^(-5)4; J——; ^/(a/7-2) . V 256 5. Să se simplifice expresiile: a) %J(x-2)4 ;b) ^/[(x - l)(* + l)]4 ; c) - l)(x2 +1)]4 . 6. Fără a calcula radicalii, să se găsească care dintre numerele următoare este mai mare: a) 2V3 sau 3V2; b) 5V7 sau 8a/3; c) 3^4 sau 4V2. 41 7, Să se calculeze: a) V50” -5V8~ + 4Î + VÎ28"; b) V3 + V250~ - V686~ - l[\6\ c) (2V3" - 3a/2" + V6") - (a/6" - V2" - 2 Vă") d) (V8~- 3VT + VÎO")- (V2" + VÎ6* + 3VM) 8. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor: 1-V2 1 12 15 VT+TT a)-------; b)----------; c)-----------; d)---------; e)--------; i+a/T V25-V24 3+VT-VT VT+VT VT-VT Să se simplifice expresiile: _2 a1 .. 3y[â T^/- a1 3a0 / _\ ... x-v 1)----+ a64a —= [a>0y9 n) - r - Y_- « 24a 4a 4x~4y x-y 10. Să se aşeze în ordine crescătoare radicalii: a) V2, V3, V4; b)Vă,V6,V30; c) V6,Vl2,V72. !!, Să se rezolve ecuaţiile: a) ^/x + 1 = 2 b) -yjx-3 =x-3; c) ^/x -1 + \ = ^x + t]4c + 8 ; d) ^l-^[x-3 =2; e) ^4 - x + yj5 + x = 3; f) yjl - x + /2 = 4. 14. Să se rezolve sistemul de ecuaţii: |a3+3+a3-3=6> . b fV3+V3=4, (Vf+3) 3^(x~y)2 = 8 |x + _y = 28. 15. Să se construiască graficele funcţiilor: a)/i : [1, +00) - E,/,(x) = V77 ; b)/2: IE - IR,/2(x) = V^T ; c)/3 : IR —> IR,/i(x) = V2-2. 16. Să se aşeze în ordine crescătoare numerele: ~^—{x > 0, y > 0,x * y). a) 4v (49v r 16^ 4, (9^0,1 rn^0,2 ; b) 3)6 16 ) {49 J 14, unde a, b şi a1 - b sunt numere reale nenegative. 173 Să se demonstreze că, pentru 1 < x < 2, ^x + 2yj~x^\ + t]x- 2-s/x-^i = 2. 42 18. Să se calculeze: f i '^2 x2 +y2 (x“‘ + y'l)+ f i 1 V x2 +y2 x 2 + y 2 , dacă se dă că: x = fiS) -1 f— 9 J > y = vV3, Să se calculeze: x +a Jx 43 2 ( 4 23 2 ( 2> 3 + —2 o i a +a Jx J pentru x = l-a 3 J l J v 3 20. Să se arate că, pentru orice a > 0, b > 0, c > 0 şi V abc > 2, are loc identitatea V 1 •yjabc - 2 4ă 21, Să se arate că funcţia putere/: IR —► IR,/x) = x2/"+1 este bijectivă. 22, Să se arate că funcţia/: IR —► IR,/x) = ax4 + bx + c, a ^ 0 nu este injectivă. 23, Fie funcţia/: IR —> IR ,/(x) = x2 • Vx . Să se arate că/ este bijectivă şi să se determine inversa sa/-1. 43 £ (Ş-!' V !■ 3Ţ> 1.1. Puteri cu exponent real în capitolul precedent s-a definit puterea cu exponent raţional şi s-au studiat 0 serie de proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional oarecare. în cele ce urmează, vom folosi în special proprietăţile date de următoarea teoremă. /Teorema 1. 1° Dacă a > 1 este un număr real, atunci dintre două puteri i 1 cu exponent raţional pozitiv ale acestui număr, este mai mare aceea al cărei i: \ exponent este mai mare. I ) 2 ° Dacă 0 < a < 1 este un număr real, atunci dintre două ■ i; puteri cu exponent raţional pozitiv ale acestui număr, este mai mare aceea al I cărei exponent este mai mic. Demonstraţie. 1 ° într-adevăr, fie — > — > 0 două numere raţionale n q m_ pozitive. Avem an acelaşi ordin: ^ şi p_ ______ aq =c{lap . Aducem aceşti radicali la radicali de Cum — > —, rezultă că mq > np. Dar cum a > 1, rezultă amq > anp, de unde n q sau an > a q 2 ° Demonstraţia este analoagă cu cea de la punctul 1 °şi, de aceea, o Exemple 1. Avem 1,21 < 1,22. De aceea 21’21 < 21'22; Q 2. Avem 0,3 < 0,4. De aceea (VJ) < (VJ) ; i Y-3 IVăJ 1,22 I î Y’4 vV3y omitem. în continuare vom defini puterea cu exponent real oarecare de bază pozitivă, astfel încât aceasta să coincidă pentru exponent raţional cu cea introdusă mai înainte. Mai precis, dacă a > 0 este un număr real pozitiv, iar r un număr real oarecare, ne propunem să dăm sens expresiei ax. Amintim, mai întâi, câteva cunoştinţe privind aproximările zecimale ale numerelor reale. 44 Fie x un număr real oarecare reprezentat sub formă de fracţie zecimală infinită, adică x = x0, xix2x3 ... xn ... . Pentru numărul x, aproximările zecimale cu o eroare mai mică decât IO-" sunt: i) prin lipsă: xn = x0, xix2x3 ... x„; ii) prin adaos: xn =x0, xix2x3 ... xn+ IO-". Aşadar, numărului x i-am asociat aproximările sale zecimale: prin lipsă: x0, xl5 x2, x3, ..., astfel încât prin adaos: x0, x1? x2, x3, ..., X0 < X < x0, Xj < X < Xj, x2 < X < x2, Observăm că aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos ale unui număr real x sunt întotdeauna numere raţionale. 1. Puteri cu exponent real pozitiv Pentru definirea puterii de bază a > 0, cu exponent real, distingem două cazuri, după cum baza este supraunitară sau subunitară: 1 ° a > 1. Fie x > 0 un număr real şi să considerăm aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos cu o eroare mai mică decât 10-". Atunci, pentru orice n, avem x' < X < x”. După cum am observat, numerele x„, xn sunt raţionale pozitive şi deci conform definiţiei puterilor cu exponent raţional, au sens puterile ax" şi ax", pentru orice n. Mai mult, după punctul 1 °al teoremei 1, rezultă că ax" < ax". Definiţie. Fie a > 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a uri număr real y care, pentru orice număr natural n, satisface inegalităţile: ax" < y < ax". Se poate demonstra că un astfel de număr real y există şi, mai mult, este unic. Demonstraţia riguroasă a acestui fapt depăşeşte programa clasei a X-a. Ea necesită noţiunea de limită şi se va studia la Analiză matematică în clasa a Xl-a. Numărul y dat de definiţia precedentă se notează ax şi se citeşte a la puterea x. Exemplu Să explicăm ce trebuie înţeles prin 3^ . Aproximările zecimale ale lui sunt următoarele: prin lipsă: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ..., prin adaos: 2; 1,5; 1,42; 1,415; ...; 45 astfel încât i < V2 <2, 1,4 < V2 < 1,5, 1,41 < V2 < 1,42, 1,414 < V2 <1,415, Numărul care ne interesează y = ,V2 îndeplineşte inegalităţile: 3' < y <32, 31'4 <^<3I>5, 3I,41 < ^<3U42, 31’414 < ^O1'415, 2° 0 < a < 1. Dacă x > 0 este un număr real, avem: xn < x < xn. După punctul 2° al teoremei 1, rezultă că a" < a". Definiţie. Fie 0 < a < 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n, satisface inegalităţile: ax,t < y < ax". Se poate demonstra că un astfel de număr real y există şi, mai mult, este unic. Exemplu Să explicăm ce trebuie înţeles prin . Având în vedere cele de mai înainte, precum şi tabelul aproximărilor zecimale ale lui din exemplul ,_fi^ precedent, numărul care ne interesează y = (] îndeplineşte inegalităţile: 1,5 1,4 3; 0 şi x > 0, avem ax > 0. Intr-adevăr, fie xn, xn aproximările zecimale ale lui x prin lipsă, respectiv prin adaos. Atunci, pentru orice n, avem: 1 ° Dacă a > 1, atunci 2 ° Dacă 0 < a < 1, atunci a " < ax < a'". ax" < ax 0 şi ax" >0, pentru orice a > 0. Atunci, evident ax > 0, deoarece este cuprins între două numere pozitive. 2. Puteri cu exponent real negativ Dacă a > 0 şi x este un număr real negativ, atunci prin definiţie ax=-zr (1) a ' Deoarece numărul -x este pozitiv, ax a fost definit la punctul 1. Mai mult, am demonstrat că ax * 0, pentru -x > 0. Exemplufi = —U; f 4* ] = —• Am demonstrat că dacă x > 0, atunci ax > 0. 3V5 ^J5 Cum ax = —, rezultă că şi pentru x < 0, avem ax > 0. ax Amintim că pentru a^ 0, am convenit să punem a° = 1. Astfel am definit puterea unui număr pozitiv cu orice exponent real. Puterea unui număr negativ cu exponent real, în general, nu este definită. 3. Proprietăţi ale puterilor cu exponent real Fie a > 0 şi b > 0 (numere reale pozitive). Atunci, pentru x şi y numere reale, avem: 1. A' V X + V . a ■ a~ — a , 3. (abf = axl X / YY X 2. II «1 4. ItI _ CI ay \b) bx 5. (ax)y=axy Pe baza definiţiei puterii cu exponent real dată mai înainte şi folosind proprietăţile corespunzătoare ale puterii cu exponent raţional, verificarea acestora se face fără dificultate. Lăsăm ca exerciţiu demonstrarea lor. 47 /. =(2-lys = 2'f\ 2. fi' -V27 -VsT :(2-1)-9 = 29 = 512. ^ jfi ^ _ jfi 7V2 “ ” ~~ 1.2. Funcţia exponenţială Fie a > 0 un număr real pozitiv. Am văzut în paragraful 1.1. că oricare ar fi numărul real x, avem ax > 0. Aşadar, putem defini funcţia următoare: /: E->(0, cx>)J(x) = ax. j Pentru a = 1 se obţine funcţia constantă/: IR —» (0, 00),/(x ) = 1 şi de aceea acest caz nu prezintă un interes special. O funcţie /: IR —» (0, 00), / (x) = ax, unde a > 0 şi a ^ 1, se numeşte funcţie exponenţială (de bază a). Enunţăm în continuare o serie de proprietăţi importante ale funcţiei exponenţiale. 1. Dacă a > 1, atunci pentru x > 0 avem ax > 1, iar pentru x < 0 avem ax < 1. Dacă a < 1, atunci pentru x > 0 avem ax < \, iar pentru x < 0 avem ax > 1. Demonstraţie. Fie a > 1 şi x > 0. Dacă x este raţional, adică x = — , atunci n — 1— 1— ax -an =vam . Cum a > 1, rezultă că şi am > 1, dar atunci şi v/ > 1. Dacă x este un număr real pozitiv oarecare, fie xn şi xn, pentru orice n, aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos ale lui x. Atunci X < X < X . Cum a > 1, rezultă că pentru orice n avem ax" < ax < ax". Dar xn este raţional pozitiv şi, după cum am observat mai înainte, ax" > 1, de unde ax> 1. Dacă x < 0, atunci avem ax = —ţr • Dar -x > 0 şi deci a~x> 1. Prin urmare, a ' 48 I Cazul în care O < a < 1 se tratează analog; îl lăsăm ca exerciţiu. 2. Dacă x = 0, atunci independent de a> 0 avem ax = 1. Aceasta rezultă din definţia puterii nule. 3. Pentru a > 1, funcţia exponenţială f (x) = a este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1 este strict descrescătoare. Demonstraţie. Fie a > 1 şi x\ < x2. Să arătăm că aX[ < aXl . într-adevăr, din x\ < x2 rezultă că există u > 0 astfel încât x2 = x\ + u. Atunci ax' -a2 = aX[ - ax'+u = ax'{\ - a11). Deoarece u > 0, după proprietatea 1 a funcţiei exponenţiale rezultă a11 > 1. Aşadar, aXx > 0 şi 1 - alt < 0 , de unde aX{ (1 -au)< 0. înseamnă că aX] - aXl- < 0 sau aX[ < aXl. Deci din x\ < x2 rezultă aX{ < aXl, adică funcţia / (x) = ax este strict crescătoare. Analog se demonstrează că pentru 0 < a < 1 funcţia / (x) = ax este strict descrescătoare. 4. Funcţia exponenţială f: IR —> (0, oo),/(x) = a (a>0,a^l) este bijectivă. Demonstraţie. Să arătăm mai întâi că/ este injectivă. Fie, pentru aceasta, xi, x2 e IR astfel încât x\ ^ x2. Atunci avem x\ < x2 sau x\ > x2. Să presupunem, de exemplu, că x\ 1, atunci/(xi) f (x2) şi deci/(xi) ^/(x2). Analog, rezultă pentru x\ > x2. Deci / este injectivă. Demonstraţia faptului că funcţia exponenţială / este suijectivă depăşeşte programa clasei a X-a. Ea necesită noţiunea de continuitate şi se va face la Analiză matematică în clasa a Xl-a. Cu alte cuvinte, se poate demonstra că oricare ar fi y0 > 0 un număr real pozitiv, există un număr real x0 astfel încât ax° = y0 (conform injectivităţii funcţiei / rezultă că x0 este unic). 5. Funcţia exponenţială f(x) = ax este inversabilă. Această proprietate este evidentă, deoarece orice funcţie bijectivă este inversabilă. în §2 ne vom ocupa de studiul inversei funcţiei exponenţiale. 1.3. Graficul funcţiei exponenţiale Pe aceeaşi figură vom reprezenta graficul funcţiilor/(x) = 2X şi g(x) = 5Y, iar pe alta al funcţiilor h(x) = Q-j şi k{x) = Q-j . Trasarea fiecărui grafic se face „prin puncte”. Asociem tabelele de valori următoare: 49 X —oo —3 -2 -1 0 1 2 3 +oo f(x) = r i 8 1 4 1 2 1 2 4 8 II 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 Observăm că pentru x = ±2, ±3 şi, în general, pentru x întreg diferit de ±1, valorile funcţiilor g(x) = 5V şi k(x) = \ — sunt ori foarte mari, ori foarte mici, deci punctele corespunzătoare sunt greu de figurat pe grafic. De aceea, în acest caz, vom lua pentru x valori fracţionare cuprinse între -1 şi 1, ca de exemplu: x = -l .1.1 -loii^l ’ 4’ 2’ 4’ ’ 4’ 2’ 4’ Valorile funcţiilor vor fi calculate aproximativ. Astfel: - i— - 5° =1; 54 =V5=VV5 «7^2360 *1,5; 52 =75^2,24; 2 54 = 7^ = î 3,34; 5 =5; 5 4 = — * — *0,66; ş.a.m.d. 1 1,5 54 X —00 —1 3 1 1 0 1 1 T 1 +0° 4 2 4 4 2 4 "Cn II 0,2 0,3 0,45 0,66 1 1,5 2,24 3,34 5 II 5 3,34 2,24 1,5 1 0,66 0,45 0,3 0,2 Prezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabelele de mai sus. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă, în figura 1 sunt reprezentate graficele funcţiilor/(x) = 2V şi g(x) = 5Y, iar în figura 2 sunt reprezentate graficele funcţiilor h(x) = f 1 şi k(x) = f 50 Analizând graficul funcţiei exponenţiale pentru diverse baze, constatăm că el are următoarele proprietăţi: 1) Trece prin punctul de coordonate (0, 1) de pe axa Oy. 2) Graficul funcţiei exponenţiale este constituit dintr-o singură ramură care „urcă” pentru baza a > 1 şi „coboară” pentru baza 0 < a < 1. 3) Graficul funcţiei exponenţiale este din ce în ce mai „apropiat” de axele Ox şi Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 1, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1. L Să se afle care număr din perechile de numere următoare este mai mare: 4 5 r i— -13 rV3 • cfi,5 . a) 35 şi 36 ; b) ^ Şi d) (0,5) şi 2 ; g) 5 şi 5V f) şi 2~S. c)(!)2 şi (! .. Să se aducă la forma cea mai simplă expresiile: v 13 V3 / \ V27 a)liJ '42 w b) 12V48 2 (IJ 27 Vf •163; ^Vios" ^V27" ’ c) d) 5J (Vsf -325 26 26 Să se afle mulţimea valorilor lui x pentru care este adevărată inegalitatea: a) 3A >729; d)3v<3; b) 2'v < 0,25; e) h) l C) 2' > T28 ; 6 (0,°1 )2 (^)' < 1; i} 32(^)' > °’25 • 4, Să se compare m şi n dacă este adevărată inegalitatea: a) (371)'" > (37i)''; c) (fi - fi)'' > (fi - fi)'; 5. Deduceţi care din numerele următoare este mai mare decât 1 şi care este mai mic decât 1: 3 e) b) (fi)> ; ; d) (fi-lji; 6 -22 71 + 1 51 Să se afle care număr din perechile de numere următoare este mai mare: a) *r2 şi (* //^\1+V6 / ~ vdl +45 c) (!) şi (!) ; J , unde a > 0 este un număr real pozitiv. Să se spună dacă sunt echivalente inegalităţile următoare: a) a > a* şi x > 4; c) j > ^-0 şi 2x < x - 1; b) 6v < 6X şi x2 < x; d) 8A < 4 şi 3x2 > 2. Să se traseze graficul funcţiilor/: IR —> IR, unde: a) /(*) = 2'-2; c)/(x) = 2w; b) f(x) = 2*+2; d)/ (x) = 2-1'1; Să se traseze graficul funcţiilor/: IR —> IR, unde: V -V — 1 a)f(x) = | j b)f(x)=\j X +1 c )f(x) = d)/(x) = e) /(x) = 2V - 2; f) /(x) = 2* + 2. e)/W=/l -1: f)/to = [ ^ I + 1 • 2.1. Definiţia logaritmului unui număr pozitiv Fie a > 0 un număr real pozitiv, a 1. Considerăm ecuaţia exponenţială ax = N, //> 0. (1) Din proprietatea 4 (punctul 1.2.) rezultă că ecuaţia (1) are o soluţie care este unic determinată. Această soluţie se notează x = \ogaN (2) şi se numeşte logaritmul numărului pozitiv N în baza a. Din (1) şi (2) obţinem egalitatea a'og"N =N (3) care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a (a> 0, a ^ 1) pentru a obţine numărul dat. Dacă în (1) facem x = 1, obţinem a{ = a şi deci \ogcla=\. (4) 52 Exemple j 1. Să calculăm log232. Cum 25 = 32, atunci din definiţia logaritmului avem log232 = 5. 2. Să determinăm log2-^. Din egalitatea 2 4 = 5 obţinem log2y^- = -4. 1 16 16 16 3. Să determinăm log, 27. Să considerăm ecuaţia exponenţială =27. Cum = 27, obţinem x = -3 şi deci log, 27 = -3. 4. Să determinăm log4256. Cum 44 = 256, atunci din definiţia logaritmului obţinem log4256 = 4. 1. în practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc şi logaritmi zecimali. Aceştia se notează lg în loc de logio; de aceea nu mai este nevoie să se specifice baza. Astfel, vom scrie lgl 06 în loc de logio 106 Şi lg5 în loc de logi05 etc. 2. în matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul iraţional, notat cu e,e = 2,718281828... . Folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor fonnule matematice. Logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor probleme fizice şi intră în mod natural în descrierea matematică a unor procese chimice, biologice ş.a. De aceea aceşti logaritmi se numesc naturali. Logaritmul natural al numărului a se notează In a. 2.2. Funcţia iogaritmică Fie a > 0, a * 1 un număr real. La punctul 2.1 am definit noţiunea de logaritm în baza a\ fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat. Acest lucru ne permite să definim o funcţie /: (0, +oo) -> IR ,/(x) = \ogax numită funcţie Iogaritmică. Iată câteva proprietăţi ale funcţiei logaritmice: l°f (i) = o. într-adevăr, cum a° = 1, rezultă că log^l = 0 şi deci/(l) = 0. 2 ° Funcţia Iogaritmică este monotonă. Mai exact, dacă a > 1, atunci funcţia Iogaritmică este strict crescătoare, iar dacă 0 < a < 1, funcţia Iogaritmică este strict descrescătoare. într-adevăr, să considerăm cazul a > 1 şi fie xi, x2 e (0, +oo) astfel încât x\ logax2, adică/(x,) >/(x2). 53 3 °Funcţia logaritmică este bijectivă. într-adevăr, dacă xi, x2 e (O, +oo) astfel încât / (xj) = / (x2), atunci din log^i = \ogax2. Dar din egalitatea (3) din §2 obţinem x\ = 1 şi „coboară46 dacă 0 < a < 1. 3) Graficul funcţiei logaritmice este din ce în ce mai „apropiat44 de axele Ox şi Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 1, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1. 4) Graficul funcţiei logaritmice este simetricul graficului funcţiei exponenţiale faţă de bisectoarea unghiului xOy. 2.3. Proprietăţile logaritmilor Folosind proprietăţile puterilor cu exponenţi reali obţinem următoarele proprietăţi pentru logaritmi: 1 °Dacă A şi B sunt două numere pozitive, atunci \ogu(AE) = log UA + log aB (logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere). într-adevăr, dacă logaA = x şi log„5 = y, atunci ax = A şi a* = B. Cum ax+y = = ax • a\ obţinem ax+y = A-Bşi deci loga(AB) = x + j; = log^ + log„5. Observaţie. Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A i, A2, ..An, adică lo ga (-41 Ai ... A A = log aA \ + log„T2 + ... + log aA„. 55 2 ° Dacă A şi B sunt două numere pozitive, atunci log" = l°gaA ~ l0g“B (logaritmul câtului a două numere este egal cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului şi cel al numitorului). într-adevăr, ţinând cont de proprietatea 1°, avem logaA = log„^--i?j = = log„^ + log„5, de unde rezultă că logf, = \ogaA - loguB. Dacă punem A 1 şi ţinem cont că log„l = 0, obţinem egalitatea: lega—= -lo gaB 3 °Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar, atunci logaAm = m logaA (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului). într-adevăr, dacă loga,4 = x, atunci ax = A. Dar atunci Am = ( 2), atunci n (logaritmul unui radical dintr-un număr este egal cu câtul dintre logaritmul numărului şi ordinul radicalului). Intr-adevăr, proprietatea 4° este un caz particular al proprietăţii 3°, punând m = —. n 1. Să calculăm log375. Cum log375 = log3(3 • 25) = log33 + log325 = = 1 + log352 = 1 + 21og35. 2. Să determinăm Iog2l000 - log2l25. Avem log21000 - log2125 = log2^Ş = log28 = log223 = 3. 125 3. Să calculăm lgO, 18 - lgl80. Avem lg0,18 - lgl80 = lg-y||- = lg 4, Să calculăm log6 ^ + log6 . 1 _ lglO”3 = -3. 1000 Avem log6jT + log6^- = -log618 - log612 = -( log618 + log612) = = -log6(18 • 12) = -log663 = -3. 5. Să calculăm log2 V8 . Avem log2 V8 = -t log2 8 = -t-log2 23 = ^log2 2 = . 6. Să calculăm log2 V8Î. Avem log2^8Î = -t log2 81 = -t log2 34 5 6 = y log2 3. 56 2.4. Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr Dacă a şi b sunt două numere pozitive diferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea: loga A = log^4 • logab într-adevăr, dacă logaA = x şi log/^4 = y, atunci avem ax = A şi bv = A, de unde obţinem ax = Dar atunci logfl 2. Avem log26 + log62 = log26 + log26 Deci trebuie să arătăm că log26 + 1 log26 > 2 sau (log26)2 - 2 log26 + 1 > 0, sau încă (log26 - l)2 >0, inegalitate evidentă deoarece log26 ± 1. 2.5. Operaţia de logaritmare a unei expresii Să considerăm expresia: ^37-98-23 Vom logaritma expresia într-o anumită bază convenabilă a. Folosind proprietăţile logaritmilor, obţinem: logaE= logfl (l73 VbT V92)- log„ ^37-98-23 = log,, 173 + loga Vm + = 31og„17-filoga131 + ţloga92- -Ilog,,37-Iloga98-Ilog„23. 57 Deci am obţinut egalitatea: lo&,£ = 31ogu17+Ilogfl131+|loa,92-Ilogtt37-ilog(,98-Iloga23. în general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem, exact ca în exemplul de mai sus, o expresie, notată log E, în care apar sume (diferenţe) de logaritmi înmulţite eventual cu anumite numere raţionale. Operaţia prin care expresiei E i se asociază expresia log E se numeşte „operaţie de logaritmare". Exemple L Fie E = a2 \lab6 . Prin operaţia de logaritmare, obţinem: logc. E = logc(a2 \lab6 ) = logca2 + logc ylab6 = 21ogca + -y logc a + -y logc b. 2. Fie E = . Prin operaţia de logaritmare, obţinem: logc E = logc ^ J logf (lo8c - logc ) = -f lo8c a - f logcb■ Adesea în calcule este nevoie să se facă şi operaţia inversă, adică unei expresii în care intervin logaritmi să-i asociem o expresie fără logaritmi. De exemplu, să considerăm expresia logc E = 2 logc a - ^ logc b- 3 logc 3. Folosind proprietăţile logaritmilor, avem: ^ o logc E = logc. a2 - logc. 4b - log,,33 = logc 4b ■ y = logc 2l4b de unde obţinem că E = 2l4b Să se detennine valorile lui x pentru ca următorii logaritmi să aibă sens: a) log2( 1 -x); d) log4(x2 +x-2); g) log4(log2x); b) log2(l -x2); e)log3(-x2 + 5x-6); c) logl (1 + x2); f) log5(x2 - x + 1); Care dintre următoarele numere este mai mare? h) logi (log3x); i) logl (logix). a) log24 sau log25; c) log5 j sau log5 y b) 2 sau log310; d) 3 sau log27. Determinaţi valorile lui x pentru care au loc inegalităţile: a) log3x > log34; c) log2x2 > log2 8; b) logl (2x) > logl 5; d) log6(x2 - 1) < log6(4x + 4). 58 4. Pornind de la graficul funcţiei logaritmice să se construiască graficele următoarelor funcţii: a)/ (-1,+oo)->E ,/(*) = = log2( 1 ■ 4-x); b )/ (0,+»),/(*) = log2x3; c )f (l,+co)->E ,/(*) = log5(x - i); d)/ IR\{0} —> IE ,f(x) = log5x2; e)/ (2, +CO) IR J{x) = logi(x- -2); f)/: IR\ {3} ,/(*) = = iog6k - 3|. Să se calculeze: a) log25 + log2 j; b) log!22 + logi272; c) log51000 - log540; d) logj - log6 ; e) log0,i50 - log0,|0,5; f) log46 + log48 - log43; g) logi 3 - logi 12 + logi 2; h) log0.|5 + log0,i4 - log0,i2. Ştiind că lg 7 =p şi lg 5 = q, să se exprime în funcţie de p şi cp a) lg 0,7; b)lgV7; c) lg 35; d) lg 175; c)\glp5 . Să se arate că expresiile următoare nu depind de x: i)£.!2!z4; b)E. loe^ + iofeVŢ. 0)jB_ işg^; log8 X log3 X + log3 VX lo§A ' Să se logaritmeze expresiile: a)£ = 412 ; b)E= ^ ^ . c) E = a2 \lab3c . 1 n2 3h'i2. oo d)£ = 23a2#7; e)£=^J; f)E = 9s Să se detemiine expresia lui x astfel încât să avem: a) logf/x = log„3 + log„4 - logfl5; b) logjc = 21og„7 + c) log2x = 21og2c/ + 31og2(a + b) - 41og2(a - b). 3 31ogfl6-41ogfl5; 3.1. Ecuaţii exponenţiale Ecuaţia exponenţială este o ecuaţie în care necunoscuta este exponent sau o ecuaţie în care este exponent o expresie care conţine necunoscuta. Astfel, ecuaţiile: 3Y = 2V_1; 5A “6-1 = 0 şi 2Y+3 + 4Y+1 = 320 sunt ecuaţii exponenţiale. în practică, atunci când avem de rezolvat o ecuaţie exponenţială, vom proceda astfel: folosind diverse substituţii precum şi proprietăţile funcţiei exponenţiale, vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuaţii simple, de regulă de gradul întâi sau gradul al doilea. Cele mai multe ecuaţii exponenţiale sunt reductibile la forma a!(x) = b, cu a > 0, b > 0, a ^ 1. 59 Datorită injectivităţii funcţiei logaritmice, această ecuaţie este echivalentă cu: m=iog „b=M. în aplicaţiile practice, în aceste ecuaţii b se poate exprima, de obicei, ca putere a lui a,b = aa, de unde rezultă ecuaţia f(x) = a. Exemplu Să se rezolve ecuaţiile 22a = 64; 32 =81; 5A ”A~2 = 625 . Vom avea 22a = 26, de unde rezultă 2x = 6, adică x = 3. Din ecuaţia 32 = 81, 32 = 34 , deducem 2A = 4, 2V = 22 şi deci x = 2. Pentru ultima ecuaţie, obţinem 5A ~A~2 = 54, deci x2 - x - 2 = 4, de unde rezultă x2 - x - 6 = 0. Avem, în final, x\ = 3 şi x2 = -2. Unele ecuaţii exponenţiale se aduc la forma mai generală af(x) = as(x). Din această ecuaţie ţinând cont de injectivitatea funcţiei exponenţiale, deducem că f(x) = g(x)> care aP°i se rezolvă. Exemple 1. Să se rezolve ecuaţia 3A_6= 315'2a. Obţinem x - 6 = 15 - 2x, deci 3x = 21, x = 7. 2. Să se rezolve ecuaţia 49A = I 7 Obţinem l2x = 7 A , deci 2x = -x2, de unde deducem x\ = 0, x? = -2. Există ecuaţii exponenţiale care nu se pot reduce la nici una dintre formele discutate. Exemple 1. 2X = 32a+1. Ţinând cont de injectivitatea funcţiei logaritmice, obţinem prin logaritmare ecuaţia echivalentă x lg 2 = (2x + 1) lg 3 şi deci x(2 lg 3 - - Ig 2) - - le3' Jr-21g"3-lg2- 2. 57 = 75 . Logaritmând, deducem T lg 5 = 5X lg 7; logaritmând din nou, obţinem x lg7 + lg lg 5 = x lg 5 + lg lg 7 şi deci jc = ^ 'L—^ ^ . 3. 32x •52x~i =7v“i-4v+3_ Deducem că 2x lg 3 + (2x - 3) lg 5 = (x - 1) lg 7 + (x + 3) lg 4, prin urmare x(2 lg 3 + 2 lg 5 - lg 7 - lg 4) = 3 lg 5 - lg 7 + 3 lg 4. în final, avem: , 125-64 3 lg 5 - lg 7 + 3 lg 4 = lg 7 X 2 lg 3 + 2 lg 5 - lg 7 - lg 4 .225_ ’ s 28 60 4. Să considerăm în cele ce urmează ecuaţia 4X + 2V = 272. Pentru a rezolva ecuaţii de acest tip vom observa mai întâi că putem scrie 22-v + 2X _272 = 0 şi deci făcând substituţia 2X = y, obţinem: y2 + y - 272 = 0, deci y i = 16,72 = -17. Deoarece 2' > 0, rezultă că -17 nu poate fi egal cu 2V şi deci singura soluţie se obţine din 2X = 16, 2X = 24, deci x = 4. în unele situaţii, substituţia efectuată la exerciţiul precedent nu se poate face imediat în forma iniţială a exerciţiului. Să luăm, de exemplu, ecuaţia 6X +4l = 9'. Vom împărţi ambii termeni cu 9' şi obţinem /j + = 1, 0-J + = 1. Făcând substituţia fyj = y, obţinem y2 + y -1 = 0 şi deci v i, 2 = — Deoarece 1-VJ < 0, rezultă că singura soluţie a ecuaţiei o obţinem din -1 + Js şi deci x = lg V5-1 3.2. Ecuaţii logaritmice Ecuaţiile logaritmice sunt ecuaţii în care expresiile ce conţin necunoscute apar ca bază sau ca argument al unor logaritmi. De exemplu: logA+i (x + 2) = 1; lg(x2+x-2) = 3; log A-(5x2+ 3) = lg(2x+3) -1. Folosind injectivitatea funcţiei exponenţiale, avem că rezolvarea unei ecuaţii de tipul \ogg(x)f(x)= b este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei/(x) = g(x)/;. Vom avea însă grijă ca soluţiile obţinute să satisfacă/(x) > 0, g(x) > 0, g(x) ^ 1, pentru care expresia logg^/(x) are sens. La fel ca la ecuaţiile exponenţiale, în practică atunci când avem de rezolvat o ecuaţie logaritmică, vom proceda astfel: folosind diverse substituţii precum şi proprietăţile logaritmilor, vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuaţii simple, de regulă de gradul întâi sau de gradul al doilea. c Exemplu Să se rezolve ecuaţia: logv(x2 - 3x + 9) = 2. Obţinem x2 - 3x + 9 = x2 şi deci 3x = 9, x = 3. Deoarece pentru x = 3 > 0, expresia x2 - 3x + 9 este pozitivă, rezultă că x = 3 este soluţie a ecuaţiei. Rezolvarea altor ecuaţii se bazează pe injectivitatea funcţiei logaritmice, şi anume din log,/ (x) = logflg(x), deducem / (x) = g(x), impunând condiţiile: /(x) > 0, g(x) > 0. 61 Exemple> 1. Să se rezolve ecuaţia: lg(x2 - 15) = lg (x - 3). Deducem că x2 -15 = x -3, deci x2 - x - 12 = 0, adică x\ = 4, x2 = -3. Deoarece pentru x2 = -3 obţinem x - 3 -3-3=-6<0, rezultă că x2 = -3 nu este soluţie a ecuaţiei. Deci numai 4 este soluţie. 2. Să se rezolve ecuaţia: 21g(x - 1) = ylgx5 -lgVx . în această ecuaţie punem de la început condiţiile x - 1 > 0, x > 0, pentru a avea sens expresiile lg(x- 1), lgx5, Vx , lg W . Ecuaţia se mai scrie 2 lg(x - 1) = lg x - lg x şi deci 2 lg (x -1) = 2 lg x. Prin urmare, lg(x - 1) = lg x, de unde obţinem x - 1 = x, -1 = 0, contradicţie; rezultă deci că ecuaţia dată nu are soluţii. 3. Să se rezolve ecuaţia: lg(x + 7) + lg(3x + 1) = 2. Punem condiţiile de existenţă a logaritmilor: x + 7 > 0 şi 3x + 1 > 0, deci x > . Obţinem lg(x + 7)(3x + 1) = 2 şi deci (x + 7)(3x + 1) = IO2 = 100. Rezultă ecuaţia de gradul al doilea 3x“ + 22x - 93 = 0, de unde rezultă xţ = 3 şi x2 = —— . Deoarece 31 1 -y- < --j , obţinem că 3 este singura soluţie a ecuaţiei date. Observaţie. Ecuaţia precedentă nu este echivalentă cu ecuaţia lg(x + 7)(3x + 1) = 2, care are două soluţii xţ = 3, x2 = --y-, deoarece pentru amândouă aceste valori ale lui x, lg(x + 7)(3x + 1) are sens. 4. Să se rezolve ecuaţia: log2 x - 31og3X -4 = 0. Avem condiţia x > 0 şi făcând substituţia log3X = y, obţinem y2 - 3y - 4 = 0. Deci y\ = 4, _y2 = -1. Din log3X = 4, obţinem x = 34, x = 81, iar din log3X = -1, obţinem x = 3-1, x = -i . în continuare vom rezolva câteva ecuaţii care nu se pot încadra într-un anumit tip. Astfel, pot apărea ecuaţii cu logaritmi scrişi în diferite baze, ecuaţii în care apar expresii conţinând necunoscute şi la exponenţi şi la logaritmi etc. 5. Să se rezolve ecuaţia: log2x + log3x = 1. Deducem, aplicând formula de schimbare a bazei, = 1 sau lg x = ^ ^ ^ ^ ^ . Deci lg 2 lg 3 6 lg 2 + lg 3 lg 6 lg 2 lg 3 x = 10 lg6 62 6. Să se rezolve ecuaţia: log3x + logv3= 2. Deoarece logv3 = 1 log3x , rezultă logyc + 1 1 , =2. Notând logjx = y, obţinem y + — =2, adicăy2 - 2y + 1 = 0: deci log3 x y y = 1, adică log3x = 1. Prin urinare, x = 3. 7. Să se rezolve ecuaţia: xlg t+2 = 1000. Punem condiţia de existenţă a expresiilor: x > 0. Logaritmând, obţinem o ecuaţie echivalentă lg(xlgv+2)= lglOOO care devine (lg x + 2)lg x = 3. Notând lg x = y, avem y2 + 2y - 3 = 0 şi deci y, = -3, y2 = 1. Din lgx = -3, obţinem x= 10“3, x = 0,001, iar din lgx= 1, obţinem x= 10. 3.3. Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice în astfel de sisteme se aplică metodele arătate anterior la ecuaţiile de tipul respectiv. Exemple 1. Să se rezolve sistemul: 272-1’-1 = 243-3 4.v+2 |3 • 3x+y = V812 v _ 1 . Deoarece 27 = 33, 81 = 34 6 v-3 _ q4.v+7 243 = 3\ obţinem 0 <=> < x2 + y2 = 425 xy = 100 x,y > 0 . Acest sistem simetric îl putem rezolva pe căile cunoscute din clasa a IX-a: punem s = x + y, p = xy şi vom avea s2“,2r425«P=,^5«|î = tnl Sistemul 1 = 25 0, y > 0. Sistemul _ j qq dă soluţiile (-20, -5), (-5, -20), care nu convin. 3.4. Inecuaţii exponenţiale şi logaritmice Rezolvarea inecuaţiilor exponenţiale şi logaritmice se bazează pe proprietăţile de monotonie ale funcţiilor exponenţiale şi logaritmice. Am văzut că atât funcţia exponenţială cât şi funcţia logaritmică sunt crescătoare dacă baza este supraunitară şi descrescătoare dacă baza este subunitară. 63 Exemple - 1. Să se rezolve inecuaţia: 3X > 9. Inecuaţia se scrie 3X > 32 şi deoarece funcţia/: IR —» IR ,f(x) = 3X este crescătoare, rezultă că x > 2. 2. Să se rezolve inecuaţia: 2X ~4x > —. Deoarece -i = 2"3, inecuaţia se scrie o o 2x~4x>2~3, care este echivalentă cu x2 - 4x > -3. Rezolvarea inecuaţiei x2 - 4x + 3 > 0 dă pentru x valorile posibile x e (-oo, 1) u (2, +oo). 3. Să se rezolve inecuaţia: log {(2x -1) > - 3. Avem că -3 = log x 21 şi 3 3 inecuaţia devine log x (2x -1) > log 1 27 . Deoarece baza a logaritmului este 3 3 ^ subunitară (funcţia g : (0, oo) —> IR, g(x) = log x x este descrescătoare), inecuaţia 3 devine 2x - 1 < 27, adică x < 14. în acelaşi timp, din condiţia de existenţă a logaritmului iniţial, avem 2x - 1 > 0, adică x > -i. Deci obţinem pentru x valorile posibile x e Q-, 14 Y Să se rezolve ecuaţiile (exerciţiile 1-10): 1 a) 5" = 125; b) 4X = 1024; c) 9" = ; d) 25" = 0,2; e) 2"+3 = 32; f) 8" = 16. d) 7 x+2 a) 5X + 5V+I = 3750; b) T = ||; c) 32ţ_l = 81; d) 2A'2~6'l~2’5 - T-[ = 6; c) 3A_1 + 3A“2 + 4 • 7X~' = 347; e) 3A+1 + 5- 3A“' - 7 • 3A + 21 = 0. = \&E. 3A“3 = 13; a) 4Va+î=64-2Va7‘: b) 2-x c) 16V(0,25)5"4 =2 4 _ oV^+T . 5. a) 5Z' - 5X - 600 = 0; b) 9r - 3A -6 = 0; c) 4A + 2x+> = 80; d) 3* + 9'v~' -810 = 0; 6. a) 3 • 2" = 2 • 3A; c) 11" = 17A; f) 324x -4-34x + 3 = 0; g) 2 • 25A = 10A + 4A; h) 3 • 4A + 2 • 9X = 5 • 6A. b) 7 ■ 2A = 5 • 3X; d) 62a+4 = 28+A • 33a. 64 a) lg x = lg 2; b) lg x = -lg 2; c) log2(x - 1) = log2(x2 - x -16); d) ^^-4) = 1' . a) logţ_!(x2 - 5x + 7) =1; b) logv2 - logv3 = 2; c) logt(x + 3) = log, (x2 +1). a) 12lg2 X = 3 " 4lgr’ b) 31g2(*2)- [gX~l= °; C) 21g2 ~ 3 te * " 1 = °' 5lsA' _ 3lgA'_I — 31sx+1 _ 5IgA_1 Să se rezolve sistemele de ecuaţii: a) (--♦/= Ml. b)f9-=729,r,-, = 90, [21gx + 21g^ = 2; [3V_V_1 = 1; |lgx+lgy = 3; [2t-4-,'=0. Să se rezolve inecuaţiile: a) lg(x2- 3) > lg(x + 3); b) lg2x-2 lgx-8 < 0; c) (0,25)^ < . Rezolvaţi inecuaţiile: a) log2(9 - 2V) > 3-x; b) lg 2 + lg(4 x~2+ 9) < 1+ lg(2"2 + 1). Să se rezolve şi să se discute după valorile parametrului a, inecuaţiile: a) log„ x - logfl2 x + logfl4 x > ^; b) log, x + log,(x+5)+log, 0,02 < 0. 65 în practică, adesea, se ajunge la problema de a alege dintr-o mulţime oarecare submulţimi de elemente care posedă anumite proprietăţi, de a dispune elementele uneia sau ale mai multor mulţimi într-o anumită ordine ş.a.m.d. De asemenea, poate apărea problema determinării numărului tuturor submulţimilor unei mulţimi, constituite după anumite reguli. Pentru că în astfel de probleme este vorba de anumite combinaţii de elemente, ele se numesc probleme combinatorii. Domeniul matematicii în care se studiază astfel de probleme se numeşte combinatorică. Combinatorica poate fi considerată ca o parte a teoriei mulţimilor, orice problemă de combinatorică putând fi redusă la o problemă despre mulţimi finite şi aplicaţii. Această ramură a matematicii are mare importanţă pentru teoria probabilităţilor, cibernetică, logica matematică, teoria numerelor, precum şi pentru alte ramuri ale ştiinţei şi tehnicii. în continuare, vom prezenta unele probleme simple de combinatorică. în cuprinsul acestui capitol avem de-a face numai cu mulţimi finite. Se consideră adesea mulţimi ale căror elemente sunt aranjate într-o ordine determinată. De exemplu, alfabetul este o mulţime ale cărei elemente (litere) sunt date într-o anumită ordine. Astfel, cele 31 litere ale alfabetului românesc sunt aranjate, de obicei, în următoarea ordine: a este prima (nu urmează după altă literă), ă este a doua (urmează după prima), â este a treia (urmează după a doua) ş.a.m.d. până laz care este ultima (după care nu mai urmează nici o literă). Elementele aceleiaşi mulţmi se pot da şi într-o altă ordine. De exemplu, este posibil ca literele alfabetului să fie aranjate într-o ordine inversă celei dintâi, astfel: prima literă să fie socotită z, a doua să fie y ş.a.m.d. până la ultima, a 31-a literă, a. Sunt, evident, şi alte moduri de aranjare a literelor alfabetului. Spunem că o mulţime împreună cu o ordine bine determinată de dispunere a elementelor sale este o mulţime ordonată. Mai precis: Fie A o mulţime (finită) care are n elemente. Mulţimea A se numeşte ordonată dacă fiecărui element al său i se asociază un anumit număr de la 1 la n, numit rangul elementului, astfel încât la elemente diferite ale lui A corespund numere diferite. Această asociere exprimă, mai exact, tocmai ordinea elementelor mulţimii A. Astfel, ordinea este următoarea: elementul căruia i se asociază numărul 1, elementul căruia i se asociază numărul 2, ..., elementul căruia i se asociază numărul n. 66 Observăm că orice mulţime finită poate deveni o mulţime ordonată, adică se poate ordona. Această ordine se poate da, pur şi simplu, numerotând elementele mulţimii. Mulţimea ordonată obţinută o notăm cu (ai, a2, a,f unde ordinea elementelor este dată de indici. O mulţime ordonată este caracterizată prin elementele din care este formată şi prin ordinea în care sunt considerate acestea. în consecinţă, două mulţimi ordonate sunt diferite dacă ele se deosebesc fie prin elementele din care sunt formate, fie prin ordinea lor. în exemplul de mai sus am considerat, aşadar, două mulţimi ordonate diferite. Un alt exemplu de mulţimi ordonate diferite este următorul: (1, 2, 3) şi (2, 1, 3). Mulţimile au aceleaşi elemente, dar ordinea în care acestea sunt dispuse este diferită în cele două mulţimi. Astfel, în prima mulţime 1 este pe primul loc, 2 pe locul al doilea, iar 3 pe locul al treilea, în timp ce, în a doua mulţime 2 este pe primul loc, 1 pe al doilea, iar 3 pe al treilea. Fie A o mulţime (finită) cu n elemente. Această mulţime se poate ordona în mai multe moduri. Se obţin, astfel, mulţimi ordonate diferite, care se deosebesc între ele numai prin ordinea elementelor. Dacă A este o mulţime cu n elemente, fiecare din mulţimile ordonate care se formează cu cele n elemente ale mulţimii A se numeşte permutare a acestei mulţimi. Se mai spune că este o permutare a elementelor sale sau, încă, o permutare de n elemente. Numărul permutărilor de n elemente se notează cu Pn şi se citeşte „permutări de n \ Avem: * 1. O mulţime cu un singur element poate fi ordonată într-un singur mod, deci P\ = 1. 2. O mulţime cu două elemente A = {a, b} poate fi ordonată în două moduri. Se obţin două permutări: (a, b) şi (b, a). Deci P2 = 2 = 1 • 2. 3. Fie o mulţime cu trei elemente A = {a, b, c}. Permutările acestei mulţimi sunt: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Rezultă P2 = 6 = 1 • 2 • 3. Ne propunem, în continuare, să găsim numărul permutărilor unei mulţimi date, adică numărul modurilor în care poate să fie ordonată o mulţime dată. Pentru produsul primelor n numere naturale nenule se foloseşte, de obicei, notaţia n\ care se citeşte factorial”: 1 • 2 • 3 • ... • n = n\ în ceea ce priveşte numărul permutărilor, avem: f Teorema 1. Dacă n > 1 este număr natural, atunci Pn= n\ (1) 67 Demonstraţie. Să ordonăm în toate modurile posibile o mulţime cu n elemente. Oricare dintre cele n elemente ale mulţimii poate fi pus pe primul loc; prin urmare, „ocupantul44 primului loc poate fi ales în n moduri. Dacă pe primul loc este pus elementul a, pe locul al doilea putem pune oricare dintre elementele mulţimii, diferite de a. Prin urmare, „ocupantele44 locului al doilea pot fi alese în n - 1 moduri. Rezultă că „ocupantele44 primelor două locuri pot fi alese în n(n -1) moduri. Raţionând analog, rezultă că „ocupantele44 primelor trei locuri pot fi alese în n(n - 1 ){n - 2) moduri şi, în general, „ocupantele44 primelor k locuri pot fi alese în n(n - l)(/7 — 2) ... (n - k + 1) moduri. Pentru k = n, numărul de moduri de ocupare pentru toate cele n locuri. în final, deducem că pentru k = n, numărul de moduri de ocupare pentru toate cele n locuri este n(n - \){n-2) ... (n-k + 1 ) = n\. Convenim să considerăm că mulţimea vidă poate fi ordonată într-un singur mod, adică Po = 1. Deci definim 0! = 1. Exemple 1. Să dăm în tabelul următor valorile lui /?!, pentru 1 < n < 10. n n! n n\ i i 6 720 2 2 7 5 040 3 6 8 40 320 4 24 9 362 880 5 120 10 3 628 800 2. Câte numere diferite se pot forma din cifrele: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 astfel încât orice număr să conţină toate cifrele şi doar o singură dată fiecare cifră? R: Din numărul mulţimilor ordonate care au ca elemente cele 10 cifre, trebuie să scădem pe cele care au pe primul loc cifra 0. Deci obţinem: 10! - 9! = 9 • 9! = 1 • 2 ■ 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 92 - 3 265 920 numere. 3. în câte moduri poate fi ordonată mulţimea {1, 2, 3, ..., 2n) astfel încât fiecare număr par să aibă rang par? R: Fiind n locuri de rang par, rezultă că numerele pare de la 1 la 2n, care sunt tot în număr de n, se pot aşeza pe locuri de rang par în n\ moduri. Fiecărui astfel de mod de aranjare a numerelor pare îi corespund n\ moduri de aranjare a numerelor impare pe locuri de rang impar. De aceea numărul total al permutărilor de tipul cerut este egal cu n! - n! = (n!)2. 3.1. Fie dată o mulţime A cu n elemente. Dacă m < n, atunci se pot forma diferite mulţimi ordonate cu câte m elemente fiecare, în care intră numai elemente ale mulţimii A. De exemplu, din elementele mulţimii {a, b, c, d} se pot constitui 12 mulţimi ordonate, având câte două elemente fiecare: 68 {a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (6, c), (b, d), (c, a), (c, 6), (c, rf), (af, a), (rf, 6), (rf, c). Mulţimile ordonate care se formează cu elementele unei submulţimi oarecare a unei mulţimi finite A se numesc submulţimi ordonate ale lui A sau aranjamente. Mai precis: Dacă A este o mulţime cu n elemente, atunci fiecare submulţime ordonată i a lui A, având k elemente, unde 0 < k < n, se numeşte aranjament de n î elemente luate câte k. Observăm că două aranjamente de n elemente luate câte k se deosebesc prin natura elementelor ori prin ordinea lor. Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k se notează Ak şi se citeşte „aranjamente de n luate câte k”. Din exemplul de mai înainte rezultă: 4 = 12- Ne propunem, în continuare, să găsim o formulă pentru calculul numărului Akn . Observăm că %A\ = n. într-adevăr, un element din cele n elemente poate fi ales în n moduri, iar cu acest element ales se formează o singură mulţime ordonată. Formula care exprimă Ak în funcţie de n şi k, este dată de următoarea teoremă: Teorema 2. Dacă nşik sunt numere naturale astfel încât 0C„7; c) CkJ 0 se exprimă astfel: De asemenea, anumite figuri geometrice (adică mulţimi de puncte din plan) au anumite ecuaţii. De exemplu, faptul că punctele M (de coordonate (x, y)) se află pe o dreaptă d se exprimă prin aceea că există trei numere reale a, b, c (dintre care a ^ 0 sau b ^ 0) astfel încât coordonatele x, y satisfac ecuaţia dreptei d: Putem face geometrie analitică şi pe o dreaptă (identificând punctele cu numere, după cum vom vedea) sau în spaţiu (identificând punctele cu triplete de numere). Istoria matematicii îl recunoaşte ca fondator al geometriei analitice, bazată pe metoda coordonatelor, pe matematicianul şi filosoful francez Rene Descartes (1596 -1650). Coordonatele punctelor se mai numesc şi coordonate carteziene în onoarea lui Descartes, care scria în limba latină (aşa cum era obiceiul timpului) şi semna Renatus Cartesius. Acelaşi comentariu se poate face referitor la denumirea de produs cartezian a două mulţimi. 1.1. Noţiuni fundamentale Fie d o dreaptă fixată (acesta este spaţiul în care vom lucra). Considerăm două puncte distincte A şi B pe d. Presupunem că ştim (în mod intuitiv) ce înseamnă că un punct M d se află între A şi B. Notăm (AB) = {M e d\ M este între A şi 5, M> A, M ^ B) şi numim (AB) segmentul deschis de extremităţi A şi B. Mai notăm [AB] = (AB) u {A, B} = segmentul închis de extremităţi A şi B. [AB) = (AB) u {A}, (AB] = (AB) u (B). Dacă A = B, extindem definiţiile de mai sus astfel: ax + by + c = 0. [AA] = {A}, (AA) = [AA) = (AA] = 0. * Pentru a putea face geometrie analitică pe dreapta d, trebuie să definim un sens şi o unitate de măsură. Definirea sensului. Vom considera un punct fixat O pe d, numit origine (fig. 1). El împarte dreapta d în două semidrepte, anume [Ox (notată pentru comoditate cu Ox) şi [Ox' (notată pentru comoditate Oxf). ------------1------1- x9 O A Fig- 1 Facem o alegere între cele două semidrepte şi numim pe Ox semidreapta pozitivă (de obicei se alege ca semidreaptă pozitivă pe cea care este „la dreapta44 pe desen). Spunem că am ales un sens pe dreapta d în momentul când am ales semidreapta pozitivă Ox. Definirea unităţii de măsură. Pe semidreapta pozitivă Ox considerăm un punct fixat A ^ O. Unitatea de măsură pe d este lungimea segmentului [OA] (şi această definiţie este intuitivă, pentru că ea presupune că ştim ce înseamnă să măsurăm lungimea unui segment). Definiţie. O dreaptă d, pe care s-a ales un sens şi o unitate de măsură se numeşte axă de coordonate sau dreaptă carteziană. O dreaptă carteziană se poate pune în corespondenţă bijectivă cu mulţimea numerelor reale IR. Vom arăta cum oricărui punct M al dreptei d îi corespunde un singur număr real xM, adică vom defini o funcţie bijectivă h : d -> IR, h(M) = xM-> V M e d. în primul rând, h(0) = 0 (adică x0 = 0). Apoi, dacă M ^ O, vom avea xM > 0 dacă M e Ox sau xM < 0 dacă M e Ox'. ------1---------1------1-------1------1-------► NO A MP Fig. 2 Dacă M e Ox, vom defini xM = lungimea segmentului [OM], iar dacă N e Ox' vom defini xN = - lungimea segmentului [NO]. în mod intuitiv, lungimea lui [OM] înseamnă „de câte ori se cuprinde unitatea de măsură [OA] în [OM]44. în figura 2, avem xM = 2, x^ = -1 şi xP = ^ . Acest mod de definire poate fi extins şi la cazul lungimilor iraţionale. în figura 3 segmentele OA şi AB au lungimea 1 şi sunt perpendiculare. Rezultă că ipotenuza OB are lungimea 4Î. Purtând pe Ox un segment OU de lungime egală cu 05, vom avea xy = Pi. 78 ; Definiţie. Dacă punctului M e d îi corespunde numărul real h(M) = xM vom spune că xM este coordonata carteziană a lui M pe dreapta carteziană d şi vom nota M(xm)- Folosind bijecţia h, vom identifica un punct Med cu coordonata sa, numărul real xM. în acest fel, practic, identificăm o dreaptă carteziană cu mulţimea numerelor reale IR. De asemenea, observăm că M se află între A şi B dacă şi numai dacă numărul xM este cuprins între numerele xA şi xB (de exemplu, dacă xA < xB trebuie să avem xA < xM < xB ). Distanţa dintre două puncte Definiţie. Fie A şi B două puncte pe dreapta d. Se numeşte distanţa dintre punctele A şi B lungimea segmentului [AB\ Vom nota distanţa dintre A şi B prin \AB\ sau, simplu, AB. Avem, în mod evident \AB\ = 0 o A = B. Teoremă. Dacă A şi B sunt pe d, distanţa dintre A şi B este | \AB\ = \xB-xA\ j i In particular, distanţa dintre A şi O este \AO\ = \xA\. I Exemple Ne vom referi la punctele din figura 4. ----1------1------1-------1-------1-----1-------1-----► S P R O Q M N Fig. 4 \MN\ =xN-xM = \xN -xM\, \RQ\ = 0| + \OQ\ = I xR I + I xQ I = - XR + Xq = Xq - xR = I Xq - xR I, \SP\ = |OS| — \OP\ = | Xs| — | Xp\ = — x$ — (—Xp) = Xp — Xs = | Xp — xs|. Mijlocul unui segment Fie punctele A * B pe dreapta d. Presupunem xB > xA (cazul xB < xA se tratează analog). Se ştie că mijlocul segmentului [AB] este unicul punct Med pentru care \MA\ = \MB\. Se arată că: * dacă M este mijlocul lui [AB] atunci xM = — (xA + xB); reciproc, dacă mijlocul lui [AB] (se arată că \MA\ \MB\ = ±(xb-xa)). 79 \ Exemple} 1. Fie punctele A(2) şi 5(6). Mijlocul segmentului [AB] este punctul M de 2 + 6 coordonată xM - —— = deci 2. Fie punctele A(-3) şi E(5) şi 5 simetricul lui A în raport cu E. Care este coordonata punctului Bl Avem 2xE = xA + x^, de unde xB = 2xE -xA= 10 + 3 = 13. Raportul a două segmente Definiţie. Fie punctele A ^ B pe dreapta d şi M 0 M(x, 0),*<0 9 ^ 0 x 0 M (0, y), y < 0 M (x, 0), x > 0 x Fig. 8 82 Situaţiile posibile în cazul x ^ 0 şi y ^ 0 se află în figura 9. O M (x, y) M(x,y) O Dacă x > 0, y > 0, spunem că M Dacă x < 0, y > 0, spunem că M se află în cadranul I (dreapta, sus) se află în cadranul II (stânga, sus) y* O w X M (x, y) yk w. o x w M{x,y) Dacă x < 0, y < 0, spunem că M Dacă x > 0, y < 0, spunem că M se află în cadranul III (stânga, jos) se află în cadranul IV (dreapta, jos) Fig. 9 3.1. Coordonatele unui vector din planul cartezian Fie un plan cartezian ^ cu reperul cartezian Ox, VJ k Oy şi punctele 7(1, 0) şi J(0, 1). Considerăm vectorii Ji i = OI şi j = OJ . Vectorul / este un versor al axei i Ox, iar j este un versor al axei Oy (se numeşte versor al dreptei d un vector de lungime 1 care are aceeaşi O / X direcţie cu dreapta d). Considerăm un vector u din plan. Fig. 10 Cum / şi j sunt necoliniari (nu au aceeaşi direcţie), conform teoremei de descompunere a unui vector după doi vectori necoliniari (vezi manualul de clasa a IX-a) există o unică pereche de numere reale (x, y) astfel încât u =xi + yj. 7 Definiţie. Fie Ox, Oy un reper cartezian în plan. Dacă ti =xi +yj,x,ye IR., spunem că (x, y) este perechea de coordonate a vectorului u în reperul dat şi notăm u {x,y). 83 Exemple * Dacă v = 4/ - 1 j, atunci vectoml v are coordonatele (4, -7) în reperul dat şi notăm v (4, -7). * Scrierea w (-3, 2) are semnificaţia: vectoml u are coordonatele (-3, 2) în reperul dat, adică u = -3 i +2 j. Fie un punct oarecare M(x, y) în plan. Definiţie. în repeml cartezian Ox, Oy vectoml OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. Propoziţia 1. Fie planul cartezian cu repeml Ox, Oy. a) Vectoml de poziţie al punctului M(x,y) este OM =xi +yj. b) Dacă M are vectoml de poziţie OM = xi + yj, atunci M are coordonatele (x, y). Demonstraţie: a) Perpendiculara din M pe Ox intersectează Ox în punctul U(x, 0), iar perpendiculara din M pe Oy intersectează Oy în punctul V(0, y). Avem OU =xi şi OV =yj. Conform regulii paralelogramului, OM = OU + OV — xi + yj. b) Fie M astfel încât OM = xi + yj. Notăm cu (x', /) coordonatele lui M. Conform cu punctul a) avem OM =x' i + / j. Prin urmare xi +yj =xfi + / j, de unde x =x',y=y', deoarece vectorii i, j sunt necoliniari. 84 Reţineţi! Fie M un punct în planul cartezian. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: jj a) punctul M are coordonatele (x, v); j b) are loc egalitatea OM =xi +yj ) c) vectorul OM are coordonatele (x, y). Pe scurt, aceste echivalenţe se scriu M{x,y)<^> OM =xi +yj o OM(x,y) Exemple 1. Considerăm în plan punctele A, B, C şi D (fig. 13). Să scriem coordonatele şi vectorul de poziţie al fiecăruia dintre aceste puncte: A(3,4)<=> OA =3/ + 4j; fl(-2, 3) o OB =-2i + 3j; C(3,-5) o OC =3/ -5 j; D(-4,-3)<=> OD =-4/ -3 j. Fig. 13 2. Fiind dat vectorul de poziţie pentru fiecare dintre punctele E, F şi G, să aflăm coordonatele punctului respectiv: OE =3i -2j o£(3,-2); OF =4î +2j «F(4, 2); OG =-27 -4)oC(-2,-4). 3.2. Operaţii cu vectori daţi prin coordonate Considerăm în planul cartezian cu reperul Ox, Oy, doi vectori ii (x, y) şi v (x, y), deci u = xi + yj, v = x'i + y' j. Cum i , j sunt vectori necoliniari, avem: u = v <^>xi +yj=x'i +y'j <=> (x-x')i' + (y -y')j = 0 <»x = x' şi^ = y 85 Să calculăm coordonatele sumei şi diferenţei vectorilor w, v, precum şi ale vectorului a ii, unde a e IR. Avem: u +v = (xi +yj) + (x'i +y' j) = {x + x')i + (y +y')j îi -v = (xi +yj)-(x'i +y,j) = {x-x')i + (y -y')j a u = a(x i + y j) = ax i + ayj ...."........."... ••"••• .........." ...........- ....-■ ... | Propoziţia 2. Fie vectorii u (x, y) şi v (x', yr). Atunci: | * îi = v dacă şi numai dacă x= x’ şi y=y' l î * vectorul îi + v are coordonatele (x + x', y+y') j * vectorul îi - v are coordonatele (x - x', y-y') ' * vectorul a îi are coordonatele (ax, a>>) în condiţiile propoziţiei 2, vectorul a îi + Pv, unde a, p e IR are coordonatele (oue + Px', ay + Py'). Exemplu Fie vectorii u(-1, 3), v(2, -5). Coordonatele vectorului îi + v sunt (-1 + 2, 3 - 5) = (1, -2), ale lui u - v sunt (-1 -2, 3 -(-5)) = (-3, 8), iar ale lui 2 îi + 4 v sunt (2(-l) + 4 • 2, 2 - 3 + 4(-5)) = (6, -14). Identificarea unui vector de poziţie cu perechea formată de coordonatele sale Echivalenţa M(x, y) <=> OM = xi + yj ne arată că putem stabili o corespondenţă bijectivă între vectorii de poziţie ai punctelor din .fP şi elementele lui IR2. Notăm 7 = { OM \ M e .fF). Aplicaţia H: IR2, //(~OM) = (x, y), dacă OM =xJ + y] este bijectivă. Prin intermediul aplicaţiei H identificăm vectorul OM e cu perechea (x, y) a coordonatelor sale. Cele două operaţii pe ^ ’ adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari a vectorilor, ne conduc, prin intermediul lui //, la definirea a două operaţii în IR2. 1) Fie perechile ordonate (a, b), (a\ br) e IR2. Considerăm punctele M(a, b), N(a\ bf) care au vectorii de poziţie OM =ai +bj, ON = ari + bfj9 Fie punctul P astfel încât OM + ON = OP (fig. 14), deci OP =(a+ a’)i + (& + £') j. 86 Adunarea vectorilor ne permite să asociem vectorilor OM ( (ii) este evidentă. t Vom demonstra implicaţia (ii) ==> (i). Fie, de exemplu a + 0. Notăm — = t, a deci a' = ta. Atunci: ab’ - a'b = 0 =$ b' - — b = 0 => b' = tb. a Propoziţia 6. Fie vectorii ît (x, y) şi v(x', /). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1 a) vectorii u şi v sunt coliniari; b) are loc egalitatea xy' - x'y = 0. Demonstraţie, a) b) Cazul u = 0 sau v = 0 (când w şi v sunt automat coliniari, deoarece vectorul nul este coliniar cu orice vector) este banal: avem x = y = 0 (dacă îi = 0) sau x' = y' = 0 (dacă v = 0). 89 Dacă u ^ O şi v ^ O, rezultă existenţa unui număr real t ± O astfel încât v = tu , deci x1 = tx,y = ty şi am ajuns la implicaţia (i) => (ii) din propoziţia anterioară. b) => a) Dacă unul dintre vectori este nul, rezultă că ei sunt automat coliniari. Dacă ambii sunt nenuli, avem: (x ^ 0 sau y ^ 0) şi (x' ^ 0 sau / ^ 0); aplicând implicaţia (ii) => (i) din propoziţia 5 rezultă că există t ^ 0 astfel încât x/= tx, / = ty deci v = tu , adică u şi v sunt coliniari. Exemple 1) Vectorii £7 (4, -3) şi v(12, -9) sunt coliniari, deoarece coordonatele lor îndeplinesc condiţia xy' - x'y = 4(-9) - 12(—3) = 0. De altfel, u =4/ -3 j şi v = 12/ - 9 j, deci v = 3(4/ -3 j) adică v = 3 u . 2) Se arată imediat că u (5, 0) şi v(3, 0) sunt coliniari (fiecare este coliniar cu vectorul / (1, 0). (De asemenea, u (0, -6) şi v(0, 4) sunt coliniari (fiecare este coliniar cu j (0, 1)) . 3) Fie îi (5, -1) şi v(-4, 3). Deoarece xy' - x'y = 15 - 4 = 11 ^0, vectorii u şi v nu sunt coliniari. Coordonatele vectorului AB în funcţie de coordonatele punctelor A şi B Fie punctele A(xa, yA) şi B(xb, yB) (fig. 27). Să determinăm coordonatele vectorului AB. Avem AB = OB - OA şi cum OA =xAi +yAj, OB =xBi + yBj, rezultă AB = (xB - xA) i +(yB- yA)j. î Propoziţia 7. Vectorul AB, unde A(xĂ, yA) şi B(xb, yB), are coordona- f : tele (xB -xA;yB-yA). Se constată că AB este vectorul de poziţie al punctului M(xB - xA; yB-yA). în adevăr, se arată imediat că OM = AB. Prin identificarea unui vector de poziţie cu coordonatele sale, rezultă: * vectorul AB se identifică cu perechea (xB -xA;yB-yA) * vectorul AB + CD se identifică cu perechea (xB +xD-xA-xc; yB +yD-yA-yc) * vectorul t AB se identifică cu perechea t(xB - xA ; yB-yA) = (txB - txA ; tyB - tyA) 90 Exemplu Fie punctele A( 1,4) şi B(5, 7), reprezentate în figura 17. Vectorul AB are coordonatele (5 - 1, 7 - 4) = (4, 3), deci ~AB (4, 3). AB este vectorul de poziţie al punctului M(4, 3), deci OM = AB. Exerciţii rezolvate El. Să se arate că: a) punctele ,4(-2,3), £(-8,12) şi C(2, -3) sunt coliniare; b) punctele A(0, -6), 5(7, -1) şi C(-10, -13) nu sunt coliniare. R: Reamintim: punctele ,4, 5, C coliniare <=> vectorii AB, BC sunt coliniari. a) Avem AB{-6, 9) şi BC (10, -15), iar xy' - x'y = (-6) ■ (-15) - 9 -10 = 0. Prin urmare AB şi BC sunt coliniari, deci punctele A, B şi C sunt coliniare. CA x — x 4 Raportul în care punctul C împarte segmentul AB este = = —----------— = —. CB xB - xc 5 b) Avem AB (7, 5), BC (-17, -12), iar xy' - x'y = - 84 + 85 = 1 ^ 0. Rezultă că vectorii AB şi BC nu sunt coliniari, deci punctele A, B şi C nu sunt coliniare. E2. Fiind date punctele A(2, -3), B(5, 4), C(0, -1) şi D( ^să se arate că dreptele AB şi CD sunt paralele. R: Reamintim: AB || CD <=> vectorii AB, CD sunt coliniari şi AB * CD. Deoarece punctul C nu aparţine dreptei AB (echivalent, punctele A, B şi C nu sunt coliniare), rezultă AB -£ CD. Avem AB (3,7) şi CD iar xy' - x'y = -y- - -y- = 0, deci cei doi vectori sunt coliniari. Coliniaritatea vectorilor AB, CD implică AB || CD sau AB = CD. Cum avem AB ^ CD, rezultă AB || CD. E3. Fie punctele A(3, 7), B(-5, 2) şi C(8, -4). Să se afle coordonatele punctului D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. R: Fie E, F mijloacele diagonalelor AC, BD. Patrulaterul ABCD este paralelogram <=> punctele E, F coincid. Fie D(a, b), a, b e IR. 91 Punctul E are coordonatele xE = (3 + 8) = , yE = 7 (7 - 4) = ^, deci rv 11 3 \ . r-y — 5 + a 2 + 6 \ Cum £ = /■', obţinem —a = :>| ^ ^ ^ = ^ , de unde u = 16, 6 = 1. 46/6/. Patrulaterul 46CD este paralelogram <=> AB = DC. Avem AB (-8, -5), DC (8 - a, -4 - 6). Rezultă -8 = 8 - a şi -5 = -4 - 6, deci a = 16,6= 1. Considerăm planul cartezian cu un reper Ox, Oy. L Scrieţi sub forma ai + bj, unde a, b e IR, fiecare dintre următorii vectori: u i(—4, 0), u 2(0, 3), u 3(5, -2), u 4(-3, 6). Care sunt coordonatele vectorului u , dacă avem: a) u = 2 i -(i + j) + 4/ + 5 j; b) w = —3 z + 4(-i + 3 j) + 7/ - 6 j; c) w = 5 i -1 j + 2(-3 i + 2j) + 3 j. .3o Determinaţi a, b e IR astfel încât w = v, unde: a) 5 (3, -4), v (a, 26); b) 6 (2, -3), v (3a - 26, a + 26); c) ii (5,3-b), v (a - 1, b4î). 4. Fiind daţi vectorii 6 (3, 2) şi v (-4, 1), calculaţi coordonatele vectorilor a = u + v, b = u - v,c =-3 u + 4 v. : Fiind daţi vectorii 6 (-3, 2), v (6, 5) şi w (4, 0) determinaţi coordonatele vectorilor a=u+v-w şi b = 5w-2v + 3w. 6. Arătaţi că vectorii u şi v sunt coliniari şi găsiţi r astfel încât v =ru , unde: a) 5 (2,-1), v (4, -2); b) u (| ,-3), v (2, -9); c) 1), v (1,-1). 7 Determinaţi a e IR astfel încât vectorii u şi v să fie coliniari, unde: a) u (3, -4), v 0a, 8); b) u (a, -1), v (-4, a); c) 5 (-1, 2), v (a - 1, 3a). Fie punctele 4(0, 3), 6(1, -3) şi C(2, 4). Calculaţi coordonatele vectorilor 46, 6C , CA . Verificaţi relaţia 46 + 6C + C4 = 0. 9, Fie punctele 4(4, -1), 6(0, 1) şi C(7, 5). Aflaţi coordonatele vectorilor: a) -2 6C ; b) 3 4C - 2 46 . 1 (1. Fie punctele 4(-3, 4), 6(1, -2) şi C(0, -4). Care sunt coordonatele punctelor M, N şi 6, definite prin relaţiile: st) BM = AC; b) ĂJV = AC - 3^C ; a)6C=24C-346 . 92 în acest capitol vom considera un plan cartezian f/ţ cu reperul cartezian Ox, Oy. A face geometrie analitică în ^ înseamnă a folosi regula de identificare între punctele planului şi perechile ordonate de numere reale, descrisă în capitolul precedent: punctul P(x,y) e ,-jP este identic cu perechea ordonată (x,y) g IR2. Mai precis, înseamnă că o figură geometrică din planul 'fjP (adică o mulţime de puncte din fP) se identifică cu o mulţime de perechi ordonate din IR2. De asemenea, proprietăţile geometrice (paralelism, coliniaritate, concurenţă etc.) se traduc în relaţii algebrice. De exemplu, pentru a demonstra că două drepte sunt paralele, vom arăta că anumite numere reale verifică o relaţie algebrică. Vom aplica acest punct de vedere pentru cele mai simple figuri geometrice ale planului s/ţ anume dreptele. * După poziţia faţă de axele Ox şi Oy, vom împărţi dreptele planului fP în clase distincte: drepte verticale, drepte orizontale şi drepte oblice, r d L k. 0 w X dreaptă verticală dreaptă oblică dreaptă oblică d || Oy sau d= Oy Fig.l dreaptă orizontală d || Ox sau d= Ox Vom spune că două drepte date d şi d' au aceeaşi direcţie (sau sunt paralele in sens generalizat) dacă ele coincid sau sunt paralele. Definţie. Fie o dreaptă d în planul fP Spunem că: * d este verticală, dacă d are aceeaşi direcţie cu axa Oy * d este orizontală dacă d are aceeaşi direcţie cu axa Ox * d este oblică dacă d nu are aceeaşi direcţie nici cu Ox, nici cu Oy. 93 Scopul principal al acestui paragraf este de a demonstra următoarea: Teoremă (ecuaţia carteziană generală a dreptei). Fie d a ^ o mulţime nevidă. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Mulţimea d este o dreaptă. b) Există numerele reale a, b, c, cu a ^ 0 sau b ^ 0, astfel încât d = {(x, v) axM + byM + c = 0. Cu alte cuvinte, punctul (x/V/, aparţine dreptei d dacă şi numai dacă (x,v/, JU/) verifică ecuaţia ax + by + c = 0. în cazul unei drepte oblice, condiţia „a ^ 0 sau 6^0“ trebuie înlocuită cu condiţia „a ^ 0 şi 6 ^ 0“. Următoarea proprietate este „inclusă44 în teorema anterioară. Propoziţie (ecuaţia carteziană generală a dreptei oblice) Fie d a dP o mulţime nevidă. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Mulţimea d este o dreaptă oblică. b) Există trei numere reale a, b, c, cu a ^ 0 şi b ^ 0, astfel încât d= {(x,y) g IR21 ax + by + c = 0}. Exerciţii rezolvate El. Fie dreapta d : 7x -y + 4 = 0. a) Arătaţi că punctul A(-1, -3)aparţine dreptei d, iar punctul 5(2, -5) nu aparţine dreptei d. b) Determinaţi punctul de pe dreapta d care are abscisa 2 precum şi punctul de pe dreapta d care are ordonata -10. c) Determinaţi punctele de intersecţie ale dreptei d cu axele de coordonate. R: Fie un punct A(xa, yA) şi dreapta d : ax + by + c = 0. Ştim că punctul A aparţine dreptei d dacă şi numai dacă perechea sa de coordonate verifică ecuaţia dreptei, adică A(xa, yA) g d <=> axA + byA + c = 0. în consecinţă, dacă ax^ + byA + c ^ 0, atunci ^ nu aparţine dreptei d (sau dreapta d nu trece prin punctul A). Dacă A(x/h yA) g d şi xA = a, putem calcula^, dacă b * 0: xA = a => aa + byA + c = 0 => yA=----------. b 94 Analog, dacă A(xa, yA) e d şi yA = |3, atunci xA = —-——, dacă a ^ 0. a) înlocuind x = -1, = -3 în ecuaţia lui d, obţinem -7 - (-3) + 4 = 0, deci ^(-1,-3) e d. înlocuind x = 2, y = -5 în ecuaţia lui d obţinem 14 - (-5) + 4 = 23 + 0, deci 5(2,-5)^ d. b) înlocuind x = 2 în ecuaţia lui d avem \4-y + 4 = 0oy = 18, deci punctul de abscisă 2 este C(2, 18). înlocuind y = -10 în ecuaţia lui d avem 7x+ 10 + 4<=>x = -2, deci punctul de ordonată -10 este D{-2, -10). c) Dreapta 5 este oblică, deci intersectează fiecare axă în câte un punct. Pentru a afla d n Ox rezolvăm sistemul: y = 0şi7x-j; + 4 = 0<=>j; = 0şi7x + 4 = 0<^>x = -^,y= 0. Pentru a afla d n Oy rezolvăm sistemul: x = 0şi7x-7 + 4 = 0ox = 0şi-j/ + 4 = 0<^>x = 0,jy = 4. Prin urmare d n Ox= {^(--y, 0)}, dnOy= {5(0, 4)}. Calculele pot fi aranjate în următoarea schemă: 0 4 X 7 y 4 0 E2. Reprezentaţi grafic dreapta 5, unde d are ecuaţia: a) x - 2y = 0; b) x - 2y - 4 = 0; c)x + 3y - 6 = 0. R: Pentru a reprezenta grafic, dreapta d : ax + by + c = 0, cu a + 0 şi b * 0, este suficient să determinăm două puncte ale dreptei d. * Dacă c = 0, atunci originea 0(0, 0) aparţine dreptei d. Al doilea punct se obţine astfel: înlocuim x = a în ecuaţia dreptei şi găsim aa + by = 0, de unde y = -y- a, deci A(a,-y a) e d. b b Schema de calcul este: X 0 a y 0 a -ba * Dacă c + 0, se determină punctele de intersecţie ale dreptei d cu axele de c c coordonate, anume A(— , 0) şi 5(0, -—). a b Schema de calcul este: X o a y o 1 95 Dacă punctele A, B sunt prea apropiate putem alege orice altă pereche de puncte distincte ale dreptei d. a) x 0 î b) x 0 4 c) X 0 6 y 0 2 y -2 0 y 2 0 Condiţia ca două drepte să coincidă Teoremă. Fie numerele reale a, b, c (unde a ^ 0 sau b ^ 0) şi ab\ d (unde a! ^ 0 sau b' ^ 0). Considerăm dreptele d : ax + by+ c = 0, d' : a'x + Z/>> + c' = 0. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Avem egalitatea d = d!\ b) Numerele a, b, c şi a', Z/, c' sunt proporţionale, adică există un număr real X * 0 astfel încât a' = A,0, br = Xb, d = SINTEZĂ (rezumatul paragrafului 1) 1. O mulţime dcz dd este o dreaptă dacă şi numai dacă există trei numere reale a, b şi c, cu a ^ 0 sau b d- 0, astfel încât d= {(x,y) e IR21 ax + by + c = 0} (1) Dacă are loc (1) spunem că d este dreapta de ecuaţie ax + by + c = 0 şi scriem d : ax + by + c = 0. 2. Despre dreapta d : ax + by + c = 0 afirmăm: * d are aceeaşi direcţie cu Ox (este orizontală) o a = 0; * d are aceeaşi direcţie cu Oy (este verticală) ob = 0; * d este oblică o a ^ 0 şi b ^ 0. 3. Dreptele d : ax + by + c = 0 şi d' : a'x + bfy + d = 0 coincid dacă şi numai dacă există un număr real X ^ 0 astfel încât a! = Xa, bf = Xb, c' = Xc. 96 Reprezentaţi grafic dreapta d, unde d are ecuaţia: a) x = 3; b) 2x = 3; c) 4y - 2 = 0; d) 3y = -4. Determinaţi următoarele figuri geometrice: y/fj = {(x, y) e IR21 xy + x = 0}, ,,Y= {(x, 7) e IR21 xy- bx - ay + ab = 0}, unde a, b sunt numere reale date. 3. Fie mulţimile de puncte din plan A = {(x, y) e IR2 | xy - x - y + 1 = 0}, B = {(x, y) e IR2 | xy - 2x - 2y + 4 = 0}, C = [1, 2] x [1, 2]. Determinaţi figura geometrica = (A u B) n C. , Fie dreapta d : 2x - y - 1 = 0. Dintre punctele 4(1, -6), £(2, -3), C(-1, -9), D(2,1), £(0, -7), F(5, 3) şi G(3, 4), aflaţi pe cele care aparţin dreptei d. .4 Fie dreapta : x + 2y -4 = 0. Găsiţi punctul de pe dreapta d care are abscisa: 1, 3, -2, 0. 4 Fie dreapta d : 7x + 2y - 5 = 0. Găsiţi punctul de pe dreapta d care are ordonata: 2, 1,0, -3,4. 7 Aflaţi valoarea parametrului c e IR pentru care dreapta de ecuaţie 2x -3y + c = 0 trece prin punctul 4(6, 3). 8. Determinaţi m, n e IR astfel încât dreapta mx - 3j + n = 0 să treacă prin punctele 4(-3, 5)şi B(4, -2). Arătaţi că relaţia (w + 2)x + (m2 - 9)y + 3m2 - Sm + 5 = 0, m e IR, este ecuaţia unei drepte dm, pentru orice m e IR. Determinaţi valorile lui m pentru care: a) dm || Ox\ b) dm || Oy ; c) dm trece prin origine. Fie o dreaptă d şi două puncte 4, B e d. Calculaţi coordonatele indicate şi apoi reprezentaţi grafic dreapta d, unde: a) d : 7x —y + 4 = 0, A(2,yĂ), B(xb, -4); b) : 3x + 5y - 10 = 0, A(0,yA), B{xb, --j). I!. Arătaţi că dreptele d şi d’ coincid, unde: a) d : 3x + 5^ - 4 = 0, dr : 6x + 10y - 8 = 0; b) d : x-y-y/2 =0, d' : xa/2 - 2^ = 0. 12, Determinaţip şi q astfel încât ecuaţiile (3+ p)x - 5_y + 4 = 0, 5x - (4 - q)y -5 = 0 să reprezinte aceeaşi dreaptă. ! 4 Fie ni e IR. Pot coincide dreptele d şi d’ având ecuaţiile: a) d : 2x - 3y + 1 = 0, d' : - 4x + 5y + m = 0; b) d : mx + y + m = 0, d! \ x-my +1=0; Q)d\2x-2>y= 0, d' : x + my = 0. ,? iLX-en? aîc dreptei 2.1. Ecuaţia carteziană explicită a dreptei 1. Fie dreapta d : Ax + By + C = 0, unde 4^0 sau 5^0. Dacă B ^ 0, adică 4 C d nu are aceeaşi direcţie cu Oy, avem Ax + By + C = 0 <=> y = ——x —— , de B B A C unde, dacă notăm —— = m, —— —n, obţinem ecuaţia y = mx + n. 97 2. Reciproc, m şi n fiind numere reale date, ecuaţia;; = mx + n este ecuaţia unei drepte care nu are aceeaşi direcţie cu Oy. într-adevăr, avem y = mx + nomx-y + n = Ooax+by+c = 0, cu a = m,b = -1 şi c = n. Conform teoremei ecuaţiei generale a dreptei (§1), rezultă că există o dreaptă care are ecuaţia;; = inx + n. Cum b ^ 0, această dreaptă nu are aceeaşi direcţie cu Oy. Definiţie. Vom spune căy = mx + n, unde m, n e IR, este ecuaţia carteziană explicită a dreptei în plan. Dacă dreapta d are ecuaţiay = mx + n, atunci: * numărul m se numeşte panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d; * numărul n se numeşte ordonata la origine a dreptei d. Observaţie? Numai dreptele care nu sunt verticale pot fi reprezentate printr-o ecuaţie explicită. Exemple * dreapta d : 2x + 3y - 5 = 0 are ecuaţia explicită y = -—x + 5 . 3 ’ * dreapta d : 2y + 10 = 0 are ecuaţia explicită;; = -5; * dreapta d : 2x - 7 = 0 este verticală (este paralela cu Oy), deci nu are ecuaţie explicită; * dreapta d : y= -Ax + 7 are ecuaţia generală 4x + y - 7 = 0. Următoarea propoziţie ne arată că panta unei drepte care nu este verticală se poate calcula cunoscând două puncte ale dreptei. Propoziţia 1. Dacă m este panta unei drepte care nu este verticală şi care trece prin punctele A(xa, yA), B(xb, yB)9 atunci XB Demonstraţie. Deoarece nu este verticală, dreapta d = AB poate fi reprezentată de ecuaţia explicită^ = mx + n. De asemenea, avem xA ^ xB. Cum A, B e d, avem yA = mxA + n,yB = mxB + n, deci yA - yB = mxA +n-mxB-n = m(xA -xB) XA - XB XA ~ XB XA ~ X B Observaţie. Panta dreptei d se notează md. Exemple Ne referim la punctele din fig. 5. Avem: WImn yM ~ yN XM ~ XN 2-4 2-3 = 2, mPQ = y,> -yQ XP ~XQ 4- 2 5- 8 2 3’ mRS = y,< - y s xR -xs o -2 = 0. 98 Măsura unghiului dintre o dreaptă şi axa Ox Fie d o dreaptă oarecare din plan. Fig. 6 Se numeşte măsura unghiului dintre dreapta d şi axa Ox şi se notează cu 9 un număr real definit după cum urmează: 71 1. Dacă d este verticală, atunci 0 = —. 2 2. Dacă d este orizontală, atunci 9 = 0. 3. Dacă d :y = mx + n este o dreaptă oblică (deci m ^ 0) consideram unghiul Yl xR, iar Q e d astfel încât QP _L Ox, deci xQ = xP şi yQ= mxP + n. Punctul Q se află „deasupra lui Ox“ dacă m > 0 sau „sub axa Ox“ dacă m < 0 (dacă m > 0, n y0 = mxn + n = mxP + n > 0 deoarecexP> xR =--). m în acest caz, 0 se defineşte astfel: * dacă m > 0, 0 = m( 0, avem tg0 = tg{ 0 y * k 0 W X 9 = 0 şi m = tg0 = 0 Fig. 7 Dreapta d intersectează axa Oy în punctul 5(0, ri), iar m = tg0 unde 0 este măsura unghiului dintre d şi axa Ox, deci: * panta sau coeficientul unghiular m este tangenta trigonometrică a lui 0, unde 0 este măsura unghiului dintre d şi Ox. * ordonata la origine n este ordonata punctului în care d intersectează axa Oy. Exerciţii rezolvate 71 71 El. Fie punctul A(xo,yo) şi 0 e —). Scrieţi ecuaţia dreptei d care face cu axa Ox un unghi de măsură 9 şi trece prin punctul A. 71 R: Deoarece 0 ^ , rezultă că d nu este verticală. Prin urmare, d are o 2 ecuaţie de forma y = mx + «, unde m = tgO, iar n se află din condiţia Aed, adică 7o = ^otg0 + deci d :y = x tg0 + yo~xo tgO sau d : y-yo = tg9(x -x0). 71 De exemplu, ecuaţia dreptei care trece prin A( 1, 1) şi face unghiul cu axa Ox este y = -x + 2. 100 E2. Aflaţi măsura unghiului dintre dreapta d\ ax + by + c = O şi ara Ox. R: Fie 0 măsura unghiului dintre d şi Ox. Dacă b= O (d este verticală) avem 0 = —. Dacă b ^ O, atunci d este oblică sau orizontală şi d : y = x , deci 2 ba are panta md = -Ş-. Prin urmare, tg0 = de unde obţinem 0 = arctg(--^). b b b Observaţii; Fie d şi d' două drepte care nu sunt verticale d :y = mx +n, d' :y = m!x + n!. Folosind semnificaţia geometrică a pantei, rezultă: * d şi d’ au aceeaşi direcţie o m = m' * d şi d’ sunt paralele <=> m = m! şi d ^ dr Condiţia de paralelism a două drepte va fi reluată în ultimul paragraf al acestui capitol. Exerciţii Calculaţi panta dreptei AB, unde: a) A(0, 3), B(-2, 3); b) A(-2, 0), 5(0, 6); c) A(0, 0), B(8, 4); d) A(2, -2), B(4, 2). Fie punctele A(3, 5), 5(5, 7) şi C(-l, 2). Aflaţi panta pentru fiecare dintre dreptele AB, BC şi AC. 3. Aflaţi, dacă există, panta dreptei d, unde d are ecuaţia: a) 9x + 3y -1 = 0; b) x -2y + 5= 0; c) 2x-3y = 0; d) x + 9 = 0; e) 3j/ - 11 = 0. 4. Scrieţi ecuaţia dreptei care face unghiul a cu axa Ox şi trece prin origine, dacă: a)a-|; b)a=|; c)a=-|; d)a = ~J. 5. Fie dreapta d : 5x - 3y + 10 = 0 şi punctele A( 1, 3) şi M(a, a - 1), unde a e IR. Determinaţi valoarea lui a astfel încât dreapta AM să fie paralelă cu dreapta d. 6. Fie dreapta d : y = mx + n, unde m, n e IR. Care este poziţia dreptei d în fiecare dintre următoarele cazuri: a) m = 1 şi n e (2, 3); b) m = 2 şi n e 11; c) m g (0,1) şi n = 2; d) m e (1, V3 ) şi n = 2. 7. Fie punctele M(-4, 6), 7V(1, 1) şi 5(4, -2). a) Calculaţi pantele dreptelor MTV şi NP. b) Arătaţi că punctele M, N şi P sunt coliniare. 2.2. Ecuaţia unei drepte care trece printr-un punct dat Fie în plan un punct A(xa, yA) şi o dreaptă d care trece prin A. Dacă d este verticală, atunci are ecuaţia d : x = xA. Dacă d nu este verticală, atunci scriem ecuaţia lui d sub formă explicită, anume y = mx + n, unde m, n e IR. Cum Aed, avem yA = mxA + n, deci n = yA - mxA. Astfel obţinem y = mx + yA - mxA sau y-yA = m(x-xA). 101 : Propoziţia 3. Ecuaţia unei drepte din mulţimea dreptelor care trec I prin punctul A(xa, yA) este x = xA sau y - yA = m(x - xA), unde m e IR. Exemple L O dreaptă care trece prin punctul A(-1, 4) are ecuaţia x = -l sau y- 4 = m(x + 1), m e IR. Dând lui m diverse valori, obţinem drepte din mulţimea dreptelor care trec prin A. De exemplu, m = \ -=> y - 4 = x + 1 sau x-y + 5 = 0 (dreapta paralelă cu dreapta y = x) m = -1 =>y-4 = -(x + 1) saux + y- 3 = 0 (dreapta paralelă cu dreaptajy = -x) m = 0=>y-4 = 0 sau y = 4 (dreapta orizontală). 2. Ecuaţia unei drepte care trece prin origine este y = mx, m e IR sau x = 0. Observaţie. Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A(xa, yA) se poate scrie, în mod unitar, sub forma ci(x - xA) + b(y-yA) = 0, unde a* 0 sau b * 0. Ecuaţia dreptei care trece printr-un punct dat şi are panta dată în mulţimea dreptelor care trec printr-un punct A, există o singură dreaptă care are panta egală cu un număr real dat m. Propoziţia 4. Ecuaţia dreptei d care trece prin punctul A(xa, yA) şi are panta dată m este d : y-yA = m{x - xA). Exemple L Ecuaţia dreptei care trece prin A(-1, 4) şi are panta m = 2 este y - 4 = 2(x + 1) sau y = 2x + 6. 2. Ecuaţia dreptei care trece prin originea 0(0, 0) şi are panta m = -5 este y = -5x. 2.3. Ecuaţia dreptei care trece prin două puncte date Fie A(xa, yA) şi B(xb, yB) două puncte distincte în planul cartezian Prin aceste puncte trece o singură dreaptă d =AB. Ne propunem să scriem ecuaţia carteziană a acestei drepte. Există două cazuri, după cum xA = xB sau xA^xB. y‘ i. >’a= -vb A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 fc. 0 XA XB W X Fig. 10 * Cazul xA = xB (rezultă yA ^ yB). Avem AB : x = xA (fig. 8). 102 * Cazul xA -t- xB . în acest caz, dreapta oblică sau orizontală AB (fig. 9 şi 10) are panta mAB = ———. Putem considera că AB este dreapta care trece prin A şi are XB ~ XA panta mAB deci: AB :y-yA= ——— (x -xA). X B ~ XA În particular, dacă xA ^ xB şi yA = ys, ecuaţia este AB : y = yB. Propoziţia 5. Ecuaţia dreptei care trece prin punctele distincte A(xa, yA) şi B(xb, yB) este: * AB : x = xA, dacă xA = xB * AB : y-yA = ——— (x - xA), dacă xA * xB XB ~ XA Două metode pentru a scrie ecuaţia dreptei AB în cazul xA ^ xB, ecuaţia y - yA = ——— (x - xA) se poate obţine prin două XB ~XA metode: Metoda L Scriem ecuaţia unei drepte care trece prin A, anume y - yA = m(x - xA) (1) unde m este necunoscut. Din condiţia ca dreapta (1) să treacă prin B obţinem yB~yA = m(xB - xA), de unde m = ——— XB ~XA Metoda 2. Dreapta AB nu este verticală, deci putem scrie ecuaţia sub fonna y = mx + n (2), unde m, n sunt necunoscute. Punând condiţia ca dreapta (2) să treacă prin A şi 5, obţinem un sistem în necunoscutele m şi n, yA = mxA + n9 yB = mxB + n. Forma unitară a ecuaţiei dreptei AB Ecuaţia dreptei AB se poate scrie în mod unitar sub forma (x - xA) (yB - yA) = (y- yA) (xB - xA). Această egalitate exprimă faptul că M(x, y) g AB dacă şi numai dacă vectorii AB(xb-xa, yB -yA ) şi AM (x-xA, y -yA ) sunt coliniari. Exerciţii rezolvate E3. Scrieţi ecuaţia dreptei care trece prin punctele M, A unde: a) M(-3, 4), N(-3, 1); b) M(2, 2), N(-1, 2); c) M( 1, 2) şi N(3, 5). R: a) Avem xM =xN = -3, deci MN || Oy şi MN: x = -3. b) Avem yM=yN = 2 deci MN || Ox şi MN :y = 2. c) Constatăm imediat că MN este dreaptă oblică. 103 Metoda 1. MN : y - y^ = m(x xm) sau MN : y - 2 = m(x - 1), unde m se află punând condiţia ca dreapta să treacă prin N(3, 5), deci 5 - 2 = m{3 - 1) <=> 3 3 o m = — . Obţinem y- 2= — (x - 1) sau 3x - 2y + 1 = 0. Metoda 2. MN: y = mx + n. Coordonatele punctelor M, N trebuie să verifice (2 = m + n 3 i 3 1 această ecuaţie, deci < . Rezultă m= — , n = —, deci y = — x + — sau [5 = 3 m + n 2’ 2’ ^ 2 2 3x - 2y + 1 = 0. E4. Scrieţi ecuaţia dreptei care conţine punctele A( 1, 2) şi B(a, 4), unde a g IR este parametru. R: Dacă a= 1, atunci AB :x = 1. Dacă a * 1, : j; - 2 = m(x - 1) (1) Calculăm m punând condiţia ca B(a, 4) să verifice ecuaţia (1) şi obţinem 2 4 - 2 = m(a - 1) <=> /w = J^-2 = a-1 . Prin urmare, AB are ecuaţia a -1 (x - 1) <=> 2x + (1 — a)y + 2a - 4 = 0. Ecuaţia prin tăieturi a dreptei Fie d o dreaptă care nu trece prin origine şi intersectează Ox în punctul A(a, 0) şi axa Oy în 5(0, b), deci a ^ 0 şi 6*0(fig. 11). Scriem ecuaţia lui d sub forma ecuaţiei dreptei care trece prin punctele A şi B. Obţinem: d : — + ^ = 1. a b Aceasta formă a ecuaţiei lui d se numeşte ecuaţia prin tăieturi a dreptei d. (^Exemple} 1. Ecuaţia dreptei cu „tăieturile44 A(2, 0) şi 5(0, 3) este - + ^ = 1 o3x + 2y-6 = 0. 2 3 2. Fie d : 2x - 5y + 10 = 0. Ecuaţia prin tăieturi a lui d se obţine astfel: 2x 2x- 5y = -\0 <=> 10 Rezultă că „tăieturile” dreptei d sunt A(-5, 0) şi 5(0, 2). Condiţia de coliniaritate a trei puncte Teoremă. Punctele distincte A(xa, yA) şi 5(x5, yB) şi C(xc, yc) sunt | coliniare dacă şi numai dacă are loc relaţia jj (xAyB-yAXB) + {XByC-yBXc) + (xCyA-ycXA) = 0 (1) i 104 Demonstraţie. Vom folosi echivalenţa: punctele A, B şi C sunt coliniare <=> C aparţine dreptei AB. Scriem ecuaţia lui AB în mod unitar: (x - xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB - xA) Atunci: C e AB o (xc - xA)(yB - yA) = (xB - xA)(yc ~ yA) <=> <=> xA(yB - yc) + xB(yc - yA) + xc(yA -yB) = 0<=> <=> (xA yB - yA xB) + (xB yc - yB xc) + {xc yA -ycxA) = 0. Exerciţii rezolvate E6. Să se cerceteze dacă punctele P,QşiR sunt coliniare, unde: a) P(l, 2), 0(2, -I), R(3, -3); b) P(-l, 4), 0(0, 5), R(2, -3) R: Condiţia de coliniaritate se scrie (xpy<2-ypxQ) + (xQyR-yQxR) + (xRyP-yR xP) = 0. a) Avem (1 • (-1) - 2 • 2) + (2 • (-3) - (-|) • 3) + (3 • 2 - (-3) 1) = 0, deci punctele sunt coliniare. b) Avem ((-1) • 5 - 0) + (0 - 5 • 2) + (2 • 4) - (-3) • (-1) = -10 * 0, deci punctele nu sunt coliniare. Observaţie. Fie trei puncte distincte P, Q şi R. Dacă dreptele PQ şi QR nu sunt verticale, avem: P, Q şi R sunt coliniare o dreptele PQ şi QR au pante egale Astfel, rezolvarea constă în testarea egalităţii mPQ = mgR (care este echivalentă cu condiţia de coliniaritate scrisă mai sus). E7. Fie punctele A(4, 2), 5(3, -3) şi C(m, m + 1), unde m e IR. Aflaţi valoarea lui m astfel încât punctele A, B şi C să fie coliniare. R: Se constată imediat că punctele sunt distincte, V m e IR. înlocuind în condiţia de coliniaritate, avem: (4(—3) — 2 • 3) + (3(m + 1) — (—3m)) + (2m — 4(m + l)) = 0o 4m — 19 = 0. 19 Prin urmare, punctele sunt coliniare <=> m = — . Scrieţi ecuaţia dreptei care trece prin A şi are panta m: a) A(2, 5), m = 3 ; b) A(0, 0), m = -2; Scrieţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul A, iar unghiul dintre d şi axa Ox are măsura a, unde; a) A(-3, 4), a = |; b) 4(2, 3), a =-|; c) 4(0, 0), a = - j. 3 Scrieţi ecuaţia unei drepte d care are panta m = -3 şi intersectează axa Oy într-un punct situat la distanţa 2 faţă de origine. 105 k Scrieţi ecuaţia unei drepte d care intersectează, axa Oy într-un punct situat la distanţa 5 faţă de origine şi unghiul dintre d şi axa Ox are măsura: a) 60°; b) - 45°; c) 0°. Scrieţi ecuaţia dreptei AB, unde: a) >4 (-3, 1), 5(1, 2); b) >4(0, 2), 5(-l, 0); c)A(2, l),B(2,-5); d) >4(1, -3), B(3, -3). Scrieţi ecuaţia medianei vârfului Cîn triunghiul ABC, unde A(5,0), B( 1,2) şi C(-3, -2). 7. Scrieţi ecuaţiile medianelor triunghiului ABC, unde: a) >4(5, 3), 5(-4, 1) şi C(2, -4); b) >4(3, 2), 5(5, -2) şi C( 1, 0). Scrieţi ecuaţia unei drepte care trece prin punctul >4(-5, 3) şi intersectează axa Ox într-un punct situat la distanţa 3 faţă de originea O. 9, Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Dacă 5(3, -1) C( 1, 4) şi G(0, 2), scrieţi ecuaţiile dreptelor >45, BC şi AC. 3.1. Reprezentarea vectorială a unei drepte Considerăm un punct A e şi un vector nenul îi în C/3 Există o singură dreaptă c.^ care are proprietatea că trece prin A şi are aceeaşi direcţie cu u (adică d este paralelă sau confundată cu dreapta suport a unui segment orientat AB e ii). 1. Considerăm un punct oarecare Med. Fig. 12 Deoarece vectorii AM şi u sunt coliniari, rezultă existenţa unui număr real unic determinat t = t(M), cu proprietatea AM — tu => OM — O A = tu => OM = O// + 7w. Am demonstrat incluziunea d cz { O A + tu 11 e IR}. 2. Reciproc, dacă M e ^ este un punct care are proprietatea că vectorul său de poziţie se exprimă sub forma OM = O A + tu, unde t e IR va rezulta că AM = OM - O A = tu, adică AM are aceeaşi direcţie cu 5. înseamnă că Med, deci avem şi incluziunea { OA + tu 11 e IR} c= d. Astfel am demonstrat: Teoremă. Fie un punct A e şi u un vector nenul din c/1 Fie d unica dreaptă care trece prin A şi are aceeaşi direcţie ca u. Atunci, avem egalitatea d= (OA + tu | te IR}. ] 106 Definiţie. în condiţiile teoremei: * vectorul u se numeşte vector director al dreptei d\ * egalitatea OM = O A + tu , t e IR se numeşte ecuaţia vectorială a dreptei d care trece prin punctul A şi are direcţia dată de u . Observaţii: 1. O dreaptă d ca mai sus are o infinitate de vectori directori. într-adevăr, dacă u este vector director al dreptei d, atunci ru este vector al lui d, pentru orice r e IR* , deoarece tu = — {ru ). r 2. Dacă U, V sunt două puncte distincte ale dreptei d, atunci UV este vector director al lui d. într-adevăr, cum U, V e d există t, s e IR, t ^ s9 astfel încât avem OU = OA +1 îi, OV = OA + s u, deci UV = OV - OU ={s -t)u. * Pe baza acestor observaţii, dăm următoarea: Definiţie. Direcţia unei drepte d este direcţia unui vector director u al lui d (adică mulţimea tuturor vectorilor nenuli coliniari cu u). Spunem că direcţia dreptei d este dată de u sau că d are aceeaşi direcţie cu orice vector director u al său. * Să transcriem în coordonate carteziene egalitatea din teorema de mai sus. Să presupunem că punctul A e .d? este dat prin A(xa, yA), iar vectorul u este dat prin u (a, P), adică adică OA =xAi + yAj, u = ai + Py . Cum u este nenul, avem a * 0 sau p ^ 0. Fie M(x, y) un punct din planul s/ţ deci OM =xi + yj. Avem: M e d <=> OM = OA + tu. Relaţia vectorială OM = OA + tu este echivalentă cu egalitatea de perechi (x, y) = (xA + ta, yA + ^P) care, la rândul ei, este echivalentă cu două relaţii „scalare44: x = xA + ta şi y = yA + Am demonstrat echivalenţa: (x, y) g d <=> x — xA + toc şi y = yA + ^p. (1) Din (1) rezultă că putem scrie dreapta d în coordonate carteziene astfel: d= {(x, y) | x = xA + ta şi y = yA + t e IR} sau d= {(%A yA + $) | t g IR} (2) 107 Egalitatea (2) se scrie mai comod astfel: x = xA +t a y = yA+t$' t E IR. 3.2. Reprezentarea parametrică a unei drepte Să considerăm numerele reale p, q şi a, |3, cu a ^ 0 sau |3 ^ 0. Cu ajutorul lor definim mulţimea d= {(x,y) | x = p + ta şiy = q + /p, t e IR} (3) Atunci este evident, folosind (2), ca d este o dreaptă, anume dreapta care £rccc prin punctul A(p, q) şi are direcţia dată de vectorul Ti (a, |3). Ipll Definiţie. Spunem că perechea de egalităţi x =p + ta şiy = q + $, t e IR reprezintă ecuaţiile parametrice ale dreptei d. Numerele a, (3 se numesc coeficienţii directori ai dreptei d sau parametrii directori ai dreptei d. Dacă dreapta d are ecuaţiile parametrice de mai sus vom scrie f x = p + ta d : < , t e IR. [y = există t ^ 0 astfel încât a' = ta, b' = tb, c1 = tc. în continuare, ne vom ocupa de situaţiile I) şi II). Teoremă (poziţia relativă a două drepte în plan) Fie dreptele d: ax + by + c = 0 şi d’ : a!x + b'y + d - 0. I) d şi d' sunt concurente o ab'~ a' b^0; j II) d şi d' sunt paralele o există t e IR* astfel încât a' = ta, b' = tb şi c' ^ tc\ III) d şi d! sunt confundate o există t e IR* astfel încât a' = ta, b' = tb şi c' = tc. 109 Observaţii. în condiţiile teoremei, rezultă: a) d şi df sunt paralele dacă şi numai dacă ab' - a'b = 0 şi avem ac' -a'c^O sau bc' - b'c * 0; b) d şi d! sunt confundate dacă şi numai dacă ab' - a'b = 0, ac' - a'c = 0 şi bc' - b'c = 0. De exemplu, dacă c * c', atunci dreptele ax + by + c = 0 şi ax + by + c' = 0 sunt paralele. Studiul poziţiei a două drepte d şi d' poate fi prezentat ca discuţie a unui sistem de două ecuaţii de gradul I cu două necunoscute. Ataşăm dreptelor d şi d’ sistemul (S) = < . Pentru sistemul [a'x + b'y + c' = 0 (.S) avem trei posibilităţi, fiecare fiind echivalentă cu o anumită poziţie a dreptelor d şi d\ I) (5) este compatibil şi determinat (adică are soluţia unică (x0, yo)) d şi d' sunt concurente (în punctul M(x0, jPo)- II) (S) este incompatibil (adică nu are soluţie) <=> d şi d' sunt paralele. III) (jS) este compatibil nedeterminat (adică are cel puţin două soluţii, deci o infinitate de soluţii) <=> d şi d’ sunt confundate. Fig. 17 Fig. 18 d= d' Fig. 19 4.2. Drepte date sub formă explicită Să particularizăm cele discutate până acum în cazul dreptelor date sub formă explicită. Teoremă. Fie dreptele d : y = mx + n şi d! : y = m'x + n'. I) d şi d' sunt concurente o m ^ m'\ II) d şi d! sunt paralele <=> m = m’ şi n ^ nf; III) d şi d' sunt confundate m = m’ şi n = n'. 110 Exerciţii rezolvate El. Scrieţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul A(-1, 3) şi este paralelă cu dreapta A, unde A este reprezentată prin: a) 3x + 3 = 0; b)2y = 5; c) 2x - 4y + 5= 0. R: a) Cum A || Oy, rezultă d:x = -1. b) Cum A || Ox, rezultă d : y = 3. c) Cum d este o dreaptă oblică (fiind paralelă cu dreapta oblică A) ce trece prin A, avem d : y - 3 = m(x + 1), unde m = md este panta dreptei d. Cum d || A rezultă md = mA. Pentru a afla mA observăm că A are ecuaţia explicită;; Prin urmare, ecuaţia dreptei d este - 3-(x + 1)<=>x-2j; + 7 = 0. Altfel Ecuaţia unei drepte care este paralelă cu d : 2x - 4y + 5 = 0 se poate scrie sub forma 2x - 4y + c = 0, c e IR (1)- Punând condiţia ca dreapta (1) să treacă prin A, avem -2 -12+ c = 0, deci c = 14. Rezultă că A are ecuaţia 2x - 4y + 14 = 0«x-2;; + 7 = 0. E2. Stabiliţi poziţia relativă a dreptelor d şi d\ unde: a) d : x - 2y - 2 = 0, d : 2x + y -1=0 b) rf:x + 3j;-l = 0, d: 2-2x-6y = 0 c) d : —x — y — 3 = 0, d' : 3x + 3y + 1 = 0 R: La punctele a), b) şi c) avem drepte oblice, deci putem aduce fiecare ecuaţie la forma explicită. 12 .1 a) d \ y - —x----, d’ : y = -2x + 1 deci m = —, m' = -2. Cum m + m' 3 3 3 rezultă că d şi df sunt concurente. Notăm d n d' = {A} şi rezolvând sistemul 5 3 format de cele două ecuaţii, rezultă A{ —, ). b) d : v = -—x + —, d \ y — x + —, deci d = d. c) d : y = -x -3, d : y = -x - Cum m = m' ş\ n' rezultă că dreptele şi d sunt paralele. -Al' ‘ Spuneţi care este poziţia relativă a dreptelor d şi d\ unde: a) d : x + y - 3 = 0, d : 2x + 3y - 8 = 0; b) d : y = x + 5, d' : 2x - 2y + 3 = 0; c) d : 2y = x + 4, d’ : ^ -1=0. -4 2 111 2. Arătaţi că dreptele d şi d! sunt concurente şi calculaţi coordonatele punc-tului de concurenţă, unde: a) d : x + 5y - 35 = 0, d' : 3x + 2y -27 = 0; b) d: 14x-9y-24 = 0, d! : Ix - 2y - 17 = 0; c) d : 3x + 5 = 0, d : y - 2 = 0. 3. Dintre următoarele perechi de drepte, care reprezintă drepte paralele şi care reprezintă drepte confundate? a) 3x + 5y - 4 = 0, 6x + lOy + 7 = 0; b) 3x + 5y - 4 = 0, 6x + lOy - 8 = 0; c) 2x - 4y + 3 = 0, x - 2y =0; d) x -y V2 = 0, x4l - 2y = 0; e) y + 3 = 0, 5y -7 = 0. 4. Determinaţi a, b e IR astfel încât dreptele: d\ax+ 3y-8 = 0, : 4x + + 20 = 0 să fie: a) confundate; b) paralele. Fie dreptele d : ax - 2y -1 = 0, d1 : 6x - 4y - b = 0, a, b e IR. Determinaţi a şi b astfel încât dreptele d şi d' să fie: a) concurente; b)paralele; c) confundate. 6> Fie dreptele d : mx + + n = 0, d': 2x + my -1 = 0, m, n e IR. Discutaţi, în funcţie de parametrii m şi n, poziţia relativă a dreptelor d şi d\ 7. Discutaţi, în funcţie de parametrul real m, poziţia relativă a dreptelor dşid\ unde: a) d : (m + 2)x + 4y = 8 - 3m, d! : 2x + (m + 4)y = 8; b) d : 3mx + (3m + 2)y = m, d! : (m + 1 )x + 2my = m - 1. 8. Fie punctele A( 1, 0), 5(-l, 3), C(4, 5), D(6, 7) şi M(3, 4), 7V(4, 3) Considerăm dreptele d şi d', unde d este dreapta care trece prin M şi este paralelă cu AB, iar d' este dreapta care trece prin N şi este paralelă cu CD. Arătaţi că cele două drepte sunt concurente şi aflaţi punctul lor de intersecţie. 9, Arătaţi că ecuaţia dreptei care trece prin punctul M(x0, y0) şi este paralelă cu dreapta ax + by + c = 0 este a(x - x0) + b(y-y0) = 0. HL Scrieţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul M(2, -3) şi este paralelă cu dreapta d, având ecuaţia: a)3x-7y + 3 = 0; b) 16x - 24j; - 7 = 0; c) 2x + 3; d) 3j/ - 1 = 0. în triunghul ABC fie A\ B\ C mijloacele laturilor BC, CA, AB. Ştiind că A\2, 3), B\-\, 2), C(4, 5) scrieţi ecuaţiile laturilor triunghiului ABC. 12o Două laturi ale unui paralelogram au ecuaţiile x + y - 2 = 0 şi 2x - y + 4 = 0, iar punctul 1(3, 1) este intersecţia diagonalelor. Scrieţi ecuaţiile celorlalte două laturi ale paralelogramului. 112 L Expresia analitică a produsului scalar a doi vectori Vom reaminti definiţia şi câteva proprietăţi ale produsului scalar a doi vectori, care au fost studiate în clasa a IX-a. 1° Fie doi vectori u şi v. Se numeşte produsul scalar al vectorilor u , v un număr real notat î • v definit astfel: * dacă, u şi v sunt nenuli şi unghiul vectorilor u, v are măsura a u • v = |î |•|v| cosa * dacă cel puţin unul dintre u , v este nul, atunci u • v = 0. 2° Vectorii nenuli u , v sunt perpendiculari (sau ortogonali) dacă şi numai dacă produsul scalar al lor este nul, adică: ii 1 v o w ■ v = 0. 3° Produsul scalar u * u se numeşte pătratul scalar al vectorului u şi se notează u2, deci u • î = î2. Avem u2 = îi • îi = | w | • | îi \ cosO = | 12, adică u2 = | îi |2, de unde obţinem lungimea vectorului îi, care este numărul \u\— -du2 . 4° Pentru orice vectori m, v, w şi orice X, p e IR au loc următoarele egalităţi, care exprimă proprietăţile produsului scalar: 1) u • v = v • î; 2) îi - (v + w)= î • v + î * w, (w+v)'M>=w*w+v-w; 3) 5 • (X,v) = A,(îî • v); 4) (ku) • (pv) = A,p(w • v); 5) ă • (v — w)= u ‘ v — îi * w . * Fie planul cartezian cu reperul Ox, Oy. Versorii i şi j ai axelor sunt vectori ortogonali de lungime 1, deci |z| = 1, l7l = 1 şi / • j =0. Fie în plan doi vectori u(x, y) şi v(x',/), adică u = xi + yj, v=x'i + y' j. Să calculăm produsul scalar u • v în funcţie de coordonatele vectorilor u şi v, aplicând proprietăţile produsului scalar: «• v = (xi +yj) ■ (x1 i +y'j)=xx'i2 + xy'i ■ j + yx'j ■ i +yy'j2. 113 Deoarece /2 = |/12 = 1, j2 = \j|2 = 1 şi / ■ j = j-i =0, rezultă u ■ v = xx' + yy'. ...... “ ' " ! — Teoremă (expresia analitică a produsului scalar). In planul cartezian, j ^ produsul scalar al vectorilor u (x, y) şi v(x', /) este u • v = xx' + yy'. \ Vom da în continuare câteva consecinţe importante ale acestei teoreme. O condiţie de perpendicularitate a doi vectori. Fie vectorii w(x, y) şi v(x', /). Ştim că doi vectori sunt perpendiculari dacă şi numai dacă au produsul scalar nul, deci îi _L v <=> xx' +yyf = 0. Lungimea (norma) unui vector. Fiind dat un vector u (x, y), ştim că lungimea lui u este \ u\= V^7 , unde u2 = u • u = x2 + y2, Măsura unghiului a doi vectori. Fie u (x, y) şi v(x', /) doi vectori nenuli şi a e [0, 7i] sau a e [0°, 180°] măsura unghiului acestor vectori. Avem u • v = = | Ti | • | v| cosa, deci cosa = ,5. . \u\ • |v| Prin urmare, cosinusul unghiului vectorilor u (x,y), v(x',/) este dat de formula xx' + yy' cosa = , —. . / ? i r~> i~> \/x~ + y~ • yx “ + y “ Exerciţii rezolvate El. Fie vectorii u (2,1) şi v(l, -1). Arătaţi că există un vector w astfel încât w - îi să fie perpendicular pe u , iar w - v să fie perpendicular pe v. R: Fie (x, y) coordonatele vectorului w, deci (w - u){x - 2, y - 1), iar ( w - v)(x -1,^+1). Din relaţia (w - îi) _L îi rezultă 2(x - 2) + y - 1 = 0, iar din (w -v ) _L v rezultă (x- l)-(y + 1) = 0. Rezolvând sistemul format de aceste 7 1 7 i ecuaţii, obţinem * = J ^ = 3 ’ deci w ^ ^ )• E2. Calculaţi măsura unghiului vectorilor u (3, 5) şi v (-2, 1). U “ V R: Avem cosa = , unde a este măsura unghiului <{u , v). Calculăm \u\ -|v| î, ■ V = 3(-2) + 5 • 1 = -1, |îi | = V9 + 25 = V34, |v| = V4+I= Vs, deci -1 cosa = Vl70 Unghiul <(u , v) are măsura a = arccos ^ -1' VÎ70 114 Exerciţii 1. Calculaţi produsul scalar al vectorilor Ti, v unde: a) u (2, -1), v(l, 4); b) z7 (3, -1), v(0, 2); c) m (1,2), v(-1,3). 2. Determinaţi m e IR pentru care vectorii u , v sunt perpendiculari: a) u (2, m - 1), v(m +1,1); b) u (m, 1), v (m - 1, m - 4); c) u (m - 1, m), v(m + 2, 2m - 1). 3. Calculaţi lungimea vectorului u unde: a) U (2, 7); b) u (-1, VI); o) S (-^-, j). 4. Fie a este măsura în radiani a unghiului vectorilor u şi 5. Calculaţi cosa, dacă: a) u(2,-6), v(-3, -4); b) m(3,4), v(-1, 1); c) 5(1, 0), v(-l, 1); d) u (0, -1), v(— 1, 1). 5. Fie vectorii u (7, -2), v(2, 7) şi w (21, -6). Arataţi ca vectorii w şi v sunt per- pendiculari, iar u şi w sunt coliniari. 2. Distanţa dintre două puncte ( Teoremă (formula distanţei dintre două puncte). Fie două puncte' j A(xa, yA) şi B(xb, yB)- Distanţa AB este 1 ab = ~xa)2 +(yB -yA)2 V Demonsfraţie. Vectorul AB are coordonatele (xB - xA, yB - yA) deoarece AB = AO + OB = OB — O A = (xB i + yBj) ~(xAi +yAj) = = (xB -xA)i +(yB -yA)j. Cum distanţa dintre A şi B este egală cu lungimea vectorului AB, adică AB = | AB |, obţinem formula din enunţ. Exerciţii rezolvate El. Fie punctele A( 1, 1), B(m + 1, 1) şi C(m, 2m + 2), unde m > 0. Aflaţi valoarea lui m astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel. R: Triunghiul ABC este isoscel dacă AB = BC sau BC = AC sau AB = AC. Avem AB2 = m2, BC2 = 1 + (2m + l)2 şi AC2 = (m - l)2 + (2m + l)2. Să studiem pe rând cele trei cazuri: AB2 = BC2 o m2 = 1 + (2m + l)2 o 3m2 + 4m + 2 = 0 (imposibil). BC2 = AC2 o 1 = (m - if 1 = \m -1| o 1 = m - 1 sau 1 = -m + 1. Reţinem numai valoarea m = 2, deoarece în ipoteză avem m > 0. AB2 = AC2 om2 = (m- l)2 + (2 m + l)2 o 2 m2 + m+ 1=0 (imposibil), în concluzie, valoarea cerută este m = 2. 115 E2. Fie punctele A(-1, 6), 5(1, -2) şi C(5,2). Determinaţi măsura unghiului ABAC. R: Unghiul aa! + bb' = 0; b) Dacă d : y = mx + n, d : y = rrix + n\ atunci: d şi d’ sunt perpendiculare o m - m' = -1; / Demonstraţie. Fie u(e9f) un vector director al dreptei d şi v{e\f'} un vector director al dreptei d\ Demonstraţia se bazează pe echivalenţele: d _L d <^> ii _L v <=> u • v = 0 <=> ee’ +ff = 0, unde îi şi v sunt: a) u (-b, a), v(-b\ a')\ b) îi (1, m\ v(l, m’)\ c) u (a, P), v(a', P')« 116 Exerciţii rezolvate El. (ecuaţia dreptei care trece printr-un punct şi este perpendiculară pe o dreaptă dată) Scrieţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul A{-3, 4) şi este perpendiculară pe dreapta A, unde A este reprezentată prin a) x - 2y + 5 = 0; b) . R: La a) şi b) dreapta A este oblică, şi cum d J_ A, rezultă că d este oblică. Prin urmare d are o ecuaţie de forma y - 4 = m(x + 3), unde m = md este panta lui d şi va fi determinată din condiţia md • mA = -1. a) Avem y = \x + ^, deci mA = \ de unde md = —- = -2, deci 2 2 2 mA y-4 = -2(x + 3) <^> 2x + y + 2 = 0. b) Avem y + 3 = — {x 3 -1 1), deci mA = — de unde md = --- 2 mA y-4 -|(x + 3)o x + 3 = y-4 -3 2 ' E2. {ecuaţia mediatoarei unui segment) Fie punctele A(-2, 1) şi 5(3, -1). Scrieţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB, prin două metode, folosind faptul că mediatoarea unui segment este: a) dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui; b) mulţimea punctelor egal depărtate de capetele segmentului. a) Fie C mijlocul lui [AB}, deci C(-^, 0). Ecuaţia dreptei d are forma y - 0 = m(x - ), unde m este panta lui d. Cum d _L AB, avem m • mAB = -1, unde mAB = ——— = —| deci m = ^. xB - xA 5 2 în final d: y = ^ (x - -t), adică d: 1 Ox - 4y - 5 = 0. b) M(x,y) & do MA = MB o MA2 = MB2 o (x + 2)2 + (y-l)2 = (x-3)2 + + (y + l)2 o 4x + 4 - 2y + 1 = -6x + 9 + 2y + 1 <=> 10* - 4y - 5 = 0. Fig.5 E3. {simetricul unui punct faţă de o dreaptă) Fie punctul ^(1,2) şi dreapta d : 3x -y + 9 = 0. Se cer: a) coordonatele proiecţiei lui A pe dreapta d. b) coordonatele simetricului lui A faţă de dreapta d. 117 R: a) Notăm cu P proiecţia lui A pe dreapta d (fig. 6). Metoda 1. Fie P(a, ti). Avem: P e d => 3a - b + 9 = 0, PA -Ld~- • rnPA * md = -1 b-2 a-1 3 = -1 => 3b - 6 = -a + 1 => a + 3b = 7. Rezolvând sistemul „3a -6 + 9 = 0 şi a+ 36 = 7“ obţinem (a, 6) = (-2, 3). Metoda 2. Se scriu ecuaţiile parametrice ale dreptei AP. Vectorul normal al dreptei d, anume n(3, -1) este vector [x = 1 + 3t director al lui AP, deci AP : < \y = 2-t Există t e IR astfel încât P{ 1 + 3f, 2 - f). Cum P e d, avem 3(1 + 3f)- (2 -1) +9 = 0 <=> / = -1, deci P(-2,3). Metoda 3. Se scrie ecuaţia dreptei ca fiind dreapta care trece prin A şi este perpendiculară pe d, anume x + 3y = 7, şi apoi se rezolvă sistemul „3x ->> + 9 = 0 şi x + 3y = 7“. b) Notăm cu , 6') simetricul lui A faţă de dreapta d. Punctul A' este simetricul lui A( 1, 2) faţă de P(-2, 3), proiecţia lui ,4 pe d. Prin urmare, avem 2xp = a+ a\ 2yp= 6 + 6', de unde a' = 2xp -a = -4 - 1 = -5 şi ti = 2yp - 6 = 6 - 2 = 4. Exerciţii h Scrieţi ecuaţia perpendicularei duse din punctul A(-2, 1) pe dreapta d, dacă d are ecuaţia: a)j; = 3x-2; b)j> + x = -l; c)2j;-3x = 5; d)x + 2^ = 0. 2. Arătaţi că dreapta care trece prin punctul A(x0, 3^0) şi este perpendiculară pe dreapta ax + by+c= 0 are ecuaţia 6(x - x0) - a(y-yQ) = 0. 3. Scrieţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB, unde: a) A(3, -1), 6(5, 4); b) A(4, 2), 6(4, -6); c) A(-4, 2), 6(6, 2). 4. Fie punctele z((l, 1) şi 6(3, 7). Găsiţi un punct M pe Ox şi un punct N pe Oy, astfel încât MA = MB, = A6. 5. Fie Q centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Se ştie ca punctul Q. are proprietăţile: * este punctul de intersecţie al mediatoarelor triunghiului; * este egal depărtat de vârfurile triunghiului. Folosind aceste proprietăţi aflaţi prin două metode punctul Q dacă vârfurile triunghiului au coordonatele: a) A(0, 1), 6(1, -1), C(2, 0); b) A(2, 1), 6(-3, 2), C(-l, 1). 6. Aflaţi ortocentrul triunghiului ABC, unde: a) ,4(1, 5), 6(-4, 3), C(2, 9); b) A(5, 6), 6(-l, 12), C(l, 0). 7. Fie punctele H( 1,2) şi A(-6, 2), 6(2, -2). Să se determine punctul C astfel încât H să fie ortocentrul triunghiului ABC. 118 4. Distanţa de Ia un punct Sa o dreaptă Fie în plan dreapta h : ax + by +c = 0 şi punctul A(xa, yA). Fie punctul B(xb, e h astfel încât AB _L h (punctul B este proiecţia ortogonală a punctului A pe dreapta h). Lungimea segmentului AB se numeşte distanţa de la punctul A la dreapta h şi se notează d(A, h). Ne propunem să găsim o formulă care să exprime d(A, h). Vom scrie ecuaţiile parametrice ale drep-tei d = AB. Ştim că îi (-b, a) este un vector director al dreptei h. Considerăm n (a, b) şi constatăm că îi • n =0. Prin urmare /i i ii, deci n este un vector director al x = xA +ta dreptei d = AB, deci d : \ ” , cu / e IR. Cum B e d, există t0 e IR astfel încât [y=y,,+tb xB = xA + t(,a, yB = yA + t0b, iar cum B e h, avem a(xA + t0a) + b(yA + t0b) + c = 0, , , , 2 , 2n _ ax i +byA +c de unde a xA + o yA + c = -to{a + b ) <=> to-----— • a~ +b~ Aplicând formula distanţei dintre două puncte avem: de unde d(A, h) d(A, h) = AB = ^(xB-xAf +{yB-yA)2 = |t0| îî2+b2 • Va2 + b2 . Astfel am obţinut: ax A + byA + c a2 +b2 } Teoremă. Distanţa de la punctul A(xAf yA) la dreapta h : ax + by + c = 0 | axA + byA + c\ | este dată de formula d(A, h) = d(A,h) = Va2 +b2 Distanţa de la punctul A(2, 4) la dreapta h : x + 2y - 1 = 0 este *„+2^-l| _ |2 + 8-l| _ 9 " Vs' JÎ+4 Verificare: calculăm distanţa de la A la h pe altă cale, anume calculăm AA\ 1 ? unde A1 este proiecţia lui A pe dreapta h. Coordonatele lui A’ sunt A'(-, ), deci +l4-f AA'=J\ 2-j Exerciţii rezolvate El. Scrieţi ecuaţia unei drepte d care este paralelă cu dreapta d': 3x - 4y - 2 = 0 şi se află la distanţa 1 faţă de această dreaptă. 119 R: Dreapta d fiind paralelă cu d\ scriem ecuaţia lui d sub forma 3x - 4y + c = 0, unde c e IR va fi determinat. Aflăm un punct al dreptei d, de exemplu > 0) |-c-2| şi punem condiţia ca d (A, c + 2 = 5 sau c + 2 = -5oc = 3 sau c = - 7. Prin urmare, există două drepte paralele cu d! şi situate la distanţa 1 faţă de d’, anume 3x - 4y + 3 = 0, 3x - 4y - 7 = 0. E2. Scrieţi ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A(-1, 5) şi se află la distanţe egale faţă de punctele 5(3, 7), C(l, -1). R: Metoda 1. Ecuaţia unei drepte care trece prin A(-1, 5) este x = -1 sau h : y - 5 = m(x + 1), m e IR. Distanţele punctelor 5 şi C la dreapta x = -1 nu sunt egale. Să aflăm m astfel încât d(5, h) = d(C, h): |3m - 7 + m + 5| |w + l + m + 5| 7 w2 + 1 7 m1 +1 o \Am - 2| = |2m + 6| <^> <^> |2m - l| = |m + 3|<^>2m-l=m + 3 sau 2m - 1 = -m - 3 <=> . 2 <=> = 4 sau m = — . 3 Prin urmare, există două drepte care trec prin A şi sunt egal depărtate de B şi C, anume 4x-y + 9= 0 şi 2x + 3y -13 = 0. Metoda 2. Constatăm că A, B şi C nu sunt coliniare. Considerăm dreapta d\ care trece prin A şi este paralelă cu 5C, şi dreapta d2 care trece prin A şi prin mijlocul lui [BC]. Constatăm că dreptele d\ şi d2 îndeplinesc condiţiile problemei. Aria unui triunghi în funcţie de coordonatele vârfurilor Fie punctele A{xa, yA), B(xb, yB) şi C(xc, yc)- Presupunem că aceste puncte nu sunt coliniare şi notăm cu S aria triunghiului ABC. Putem calcula S aplicând formula S = • d(A, BC) unde d(A, BC) este distanţa de la punctul A la dreapta BC, cu alte cuvinte înălţimea triunghiului ABC. Scriem forma unitară a ecuaţiei dreptei BC: Fig. 8 (x - xB)(yc -yB) = (y- yB)(xc ~ xB) sau x(yc - yB) - y(*c - xB)-xByc + yBxc = 0 Prin urmare, d(A, BC) = \xA(yc -ys)-yA(xc -xB)-xByc+yBxc\ V(xc -xB)2 +{yc -yB)2 120 Numitorul expresiei anterioare este char distanţa BC. Am demonstrat astfel: f Teoremă. Aria S a triunghiului cu vârfurile A{xa, yA)? B(xb, yB) şi ^ 1 C{xc, yc) este dată de formula j S = - \(xAyB-yA *B) + (xByc-yBxc) + (xcyA ~ycxA)|. i Dacă punctele A, B şi C sunt coliniare, atunci, conform aritate a trei puncte, rezultă 5=0. condiţiei de colini- 1, Calculaţi distanta de la punctul A la dreapta h, unde: a) A(2, -l), h : 4 + 3j/+10 = 0; b) A(0, -3), h : 5jc - I2y - 23 = 0; c)A(-2,3),h:x = 5; d) A(-2, 3), h : y = -1. 2, Calculaţi distanţa de la punctul A( 1, -2) la dreapta h, unde h are ecuaţia: a) 4x - 3y -15 = 0; b) 4x - 3y - 10 = 0; c) 4x - 3y = 0. 3 Arătaţi că distanţele punctelor A(-5, 7), 5(0, -10) şi C(8, -3) la dreapta h : 6x + 8y- 15 = 0 sunt numere în progresie aritmetică. 3 5 k In triunghiul ABC, unde A(-, 1), 5(1, -) şi C(3, 3), calculaţi lungimea înălţimii vârfului C. 5c Calculaţi lungimile înălţimilor triunghiului ABC, unde A(2, 5), 5(1, 3) şi C(7, 0). ^ ;'kk!; vki 5ele geok''Mvuik pri.o niktocla analitică Metoda analitică este o metodă generală de abordare a problemelor de geometrie. Aplicarea ei presupune realizarea următoarelor etape succesive: 1) alegerea reperului, adică a originii şi a axelor de coordonate; 2) atribuirea de coordonate punctelor (fixe sau mobile) care intervin în problemă; 3) scrierea ecuaţiilor care reprezintă analitic figurile geometrice din enunţul problemei, transpunerea proprietăţilor geometrice în relaţii algebrice; 4) efectuarea calculelor algebrice pe care le presupune rezolvarea problemei şi transpunerea rezultatului în limbaj geometric. Vom ilustra metoda analitică prin rezolvarea unor probleme de geometrie referitoare la puncte şi drepte din plan. Exerciţii rezolvate El. Să se arate că suma distanţelor unui punct de pe baza unui triunghi isoscel la laturile congruente este constantă. R: Fie ABC un triunghi isoscel, cu AB = AC. Dacă M este un punct punct mobil pe baza [5C] vom arăta că suma distanţelor lui M la laturile AB şi AC este constantă (fig. 10). Alegerea reperului: O = mijlocul lui [5C], Ox = BC, iar Oy = mediatoarea lui [5C]. Coordonatele punctelor se aleg astfel; 121 * punctele fixe sunt C(c, 0), B(-c, 0) şi A(0, b), unde c> 0,b> 0; * punctul mobil M(A, 0) unde A este un parametru, supus condiţiei X e \-c. c] deoarece M e [BC\. Rezolvarea problemei constă în a arăta că suma d(M, AC) + d(M, ^5) este constantă, adică nu depinde de A,. Scriem ecuaţia prin tăieturi a dreptelor ,45 şi ,4C: ,4C : — + — - 1 = 0 sau bx + cy - bc = 0. c b AB : ---+ — - 1 = 0 sau bx - cy + bc = 0. Atunci d(M, AC) -c b 4b2 Fig. 9 l# \bX-bc\ _ b{c-X) V? V2 + 0, |A| < c deci |A - c| = c - X, iar “ + |A + c| = c + A,. Prin unnare, d(M, AC) + d(M, AB) = 2bc Jb2 = constant (1). Pentru +c" A, = -c, avem M = B, iar (1) se scrie d(5, AC) = 2bc Jb2 ceea ce ne arată că valoarea +c constantă a sumei este chiar înălţimea asociată unui vârf al bazei triunghiului isoscel. E2. în triunghiul ABC fie punctele M e [AC] şi Ne [AB\ astfel încât MN să fie paralelă cu BC. Notăm BM n CN= {£>}. Arătaţi că punctul D aparţine medianei vârfului A în triunghiul ABC. R: Alegerea reperului şi atribuirea coordonatelor se realizează ca în figura 10. Fie MN : y = X, unde A, s (0, a). Scriem ecuaţiile prin tăieturi ale dreptelor AC şi AB: AC : - + X 1=0, AB : £ + X - i= o. Rezultă M b a c(a-X) ,X . Scriem ecuaţiile parametrice ale dreptelor BM şi CN. BM: x-b + î^b- c{a-X) CN: ^ x = c + s^c- y = s(-X) b(a - X) s.ts IR. Pentru a afla coordonatele lui D rezolvăm sistemul c(o —X)^_ f b(a-X) b + t b ■ C + S\ C t(-X) = s(-X) 122 şi găsim t = s = a X-2 a , deci xD = (b + c) ^ , yD ■■ -aX X-2 a (1) Eliminăm pe X din relaţiile (1) astfel (presupunem b + c + 0): D = ~a-, b + c X-2 a + — = 1. Rezultă că punctul D aparţine dreptei -^- + —= 1 b+c a b+c a -X Zo =____. ci X-2 a care are „tăieturile44 b + c 0 şi (0, a), adică este chiar mediana vârfului A. E3. în paralelogramul ABCD fie punctele M e (AD), N e (.BC) astfel încât = = ^ k > 0- Arătaţi că dreptele DN şi BM sunt paralele. R: Alegem reperul ca în figura 11. Coordonatele sunt D{0, 0), A(a, 0) şi C(c, d). Fig. H Pentru 5, ţinem cont că ABCD este paralelogram, deci avem xB + 0 = xA + xc şi yB + 0 = yA + yc, de unde B(a + c, d). ^ a Avem M{ a , 0), N( ° + + - , d) deci MB {a + c DN ( 1 + k c + k(a + c) d), iar l + k 9 ' v 1 + k , d). Rezultă că MB =DN, deci MB şi DN sunt paralele (în l + k condiţiile date, MB ^ DN). E4. în triunghiul isoscel ABC, unde AB =AC, fie D mijlocul laturii BC, E proiecţia lui D pe AC, iar F mijlocul segmentului DE. Arătaţi că dreptele AF şi BE sunt perpendiculare. R: Alegem reperul şi coordonatele ca - yc-y a _ _a v-x, c ’ în figura 12. Avem mAC iar din m0e ’ Mac = -1 rezultă m0E = — • a Ecuaţiile dreptelor ,4 C şi OE sunt: ^(C: v = x + a, OE : y = — x. c a Rezolvând sistemul format cu aceste ecuaţii obţinem / 2 9 a"c ac" a + c~ a" + c" Rezultă imediat coordonatele lui F, anume xF = — x£ vy = — Vf. 2 2 123 Avem mBE = yB ~ y e ac 2 a2 + . ™afz yA~yF _ 2a2+c2 ac Prin urmare, mAF ■ mBE = -1, deci dreptele AF şi BE sunt perpendiculare. Exerciţii !. Arătaţi că suma distanţelor unui punct din interiorul unui triunghi, echilateral la cele trei laturi ale sale este constantă. 2. Dacă A, B şi M sunt coliniare şi M e [AB], arătaţi că pentru orice punct P din plan avem PA2 • MB + PB2 • MA = PM2 •AB + AB • MA • MB (relaţia lui Stewart). 3. în triunghiul ABC fie înălţimea AD, D e BC şi A', B’, C mijloacele laturilor BC, AC, AB. Arătaţi caA'B'C'D este trapez isoscel. 4. într-un patrulater oarecare, arătaţi că: a) mijloacele laturilor sunt vârfurile unui paralelogram. b) dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse şi dreapta care uneşte mijloacele diagonalelor sunt concurente. 5. în triunghiul ABC, fie punctele P e [AB] şi N e [AC] astfel încât~~= ~~ • Arătaţi că mijlocul segmentului PN se află pe mediana vârfului A. 6. în triunghiul ABC fie M, N mijloacele laturilor AC, AB. Arătaţi că MN este paralelă cu BC şi MN= BC (teorema liniei mijlocii a triunghiului). 7. în paralelogramul ABCD fie punctele M e {AD), N e (BC) şi Pe {CD) astfel 3 3 2 încât AM = — AD, BN = — BC, CP = — CD. Arătaţi că dreptele BM şi NP sunt paralele. 8. în pătratul ABCD fie M, N mijloacele laturilor BC, CD. Arătaţi că dreptele AM şi BN sunt perpendiculare. 124 \ A ,\ | . \ v y o i / 1 \ ' / * \ '' l Finanţele se concretizează în transferuri băneşti între părţi, cu prilejul formării sau utilizării diverselor fonduri. Părţile implicate sunt: bugetul de stat, agenţii economici, instituţii, sau persoane fizice. Relaţiile financiare reprezintă transferuri definitive de fonduri, fără contraprestaţie directă şi imediată. Aşa sunt finanţările de la bugetul de stat, finanţările din fonduri proprii, taxele plătite către bugetul de stat. Relaţiile de credit sunt transferuri de fonduri pe perioadă determinată, totdeauna rambursabile la scadenţă şi purtătoare de dobândă. Creditul are la bază două principii: să fie garantat de debitor şi să fie rambursat la scadenţă. Creditul bancar este forma cea mai extinsă de credit. El este acordat de bancă pentru a acoperi un scop al debitorului, în condiţiile stabilite de bancă. Există o mare varietate de credite bancare care se deosebesc între ele după obiectul creditului, după garanţia oferită, după sezonalitate şi alte criterii. în activitatea de creditare, băncile folosesc nu numai fondurile lor proprii, ci şi un însemnat volum de fonduri atrase de la terţi, cum sunt depunerile (sau plasamentele) bancare. Aceste depuneri sunt modalităţi prin care clientul creditează banca, urmând ca aceasta să-i ramburseze, la scadenţă, depunerea plus dobânda aferentă. Vom prezenta în continuare câţiva indicatori financiari care sunt utilizaţi pentru definirea şi caracterizarea unor noţiuni cum sunt: - plasamentele bancare purtătoare de dobândă, - creditele bancare şi rambursarea lor, - metodele de finanţare la care poate apela un agent economic, - taxele pe care le plăteşte un agent economic, - întocmirea unui buget. 1.1. Dobânda Modalităţile de definire a dobânzii sunt cel mai uşor de ilustrat în cazul plasamentelor bancare. Dobânda pentru un plasament este suma de bani plătită de bancă şi primită de client pentru un capital pe care clientul l-a depus la bancă. Ea este direct proporţională cu capitalul plasat şi depinde de durata plasamentului. Dobânda simplă se calculează asupra unei sume, pe toată durata contractului de plasament. Dacă notăm cu S0 suma depusă exprimată în unităţi bancare (lei, euro, dolari), cu t durata contractului exprimată în unităţi de timp (ani sau luni), cu pl 100 dobândă care se plăteşte pentru o unitate bancară pe unitatea de timp, atunci dobânda simplă se calculează după formula D = S0 P 100 125 Notând dobânda unitară cu /, i= pl 100, expresia lui D devine D = So • i • t. Suma sau valoarea finală ridicată de client este St = So + D = So (l + it). Spunem că o sumă este plasată cu dobândă compusă când, la sfârşitul primei unităţi de timp, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la suma plasată pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare şi aşa mai departe. Expresia sumei finale obţinute pe baza dobânzii compuse se poate deduce uşor cu ajutorul următorului tabel: unitatea de timp suma plasată dobânda suma la sfârşitul unităţii de timp 1 So S0 ■ i S\ = So(l + i) 2 Si S\ • i Si = So( 1 0“ t S,-, St-1 • i S, = So(l+i)' Deci, în acest caz suma finală este: st=s0(i + iy. Depozitele la care scadenţa t este un multiplu întreg de unităţi de timp se numesc „depozite la termen44. în practica bancară există însă şi aşa numitele „depozite la vedere44, pentru care timpul t nu este un multiplu întreg de unităţi, deponentul putând să-şi ridice capitalul plus dobânda aferentă în orice moment. Şi în această situaţie se foloseşte o dobândă compusă, iar calculul sumei finale este prezentat în continuare. Presupunem că retragerea se face după o perioadă egală cu un număr n de ani şi un număr z de zile. Atunci putem scrie: ‘=n+w$ Conform calculului ce utilizează dobânda compusă, după n ani suma era: S„ = S0(l+iŢ. Acestei sume i se adauga dobânda simplă D pentru cele z zile, dată de expresia: D = Sn 365 :50(l + iT-«- Astfel, suma finală retrasă de client este: z 365 Sl = Sl, + D = So(l + i)'X\ + /• ^§-). JOJ ^xempluTT} Un client vine la bancă având intenţia de a face un plasament de 1 000 unităţi bancare. Banca oferă o dobândă unitară de 1% pentru „depozitele la vedere“ şi de 3% pentru „depozitele la termen“. Să se calculeze ce sumă ar ridica deponentul după 3 ani în cazul unui depozit la termen şi ce sumă ar ridica după o perioadă de 3 ani şi 50 de zile în cazul unui depozit la vedere. 126 R: Dacă depozitul la termen se face în varianta dobânzii simple, pentru So = 1000, i = 0,03 şi t = 3, suma finală este: S3 = 1 000(1 +0,03 -3) = 1090. Dacă depozitul la termen se face în varianta dobânzii compuse, suma finală este aS*3 = 1 000(1 + 0,03)3 = 1092,7. Dacă clientul alege un depozit la vedere cu dobânda unitară i = 0,01 şi menţine depozitul timp de 3 ani şi 50 de zile, suma finală pe care o ridică este: S,= 1 000(1 + 0,Ol)3 (1 +0,01 • ^jrz)= 1031,3. Un client depune anual la bancă o sumă de 1 000 unităţi bancare, în regim de depozite la termen (cu dobândă compusă), la o dobânda unitară de 3% oferită de bancă. Să se determine de ce sumă dispune clientul după 10 ani (respectiv după 10 depuneri consecutive). R: Notăm S0 suma depusă anual (de exemplu la datele de 1.02.1995, 1.02.1996 şi aşa mai departe, până la data de 1.02.2004) şi cu i dobânda unitară anuală. valoarea finală a primei depuneri So(l+/)'0 valoarea finală a celei de-a doua depuneri Sb(l+ if valoarea finală a celei de-a treia depuneri 50(1 + îf valoarea finală a celei de-a noua depuneri So(l +02 valoarea finală a celei de-a zecea depuneri So(l+0 Astfel, valoarea finală pe care clientul o ridică după 10 ani de la prima depunere (la data de 1.02.2005) este de: «Si o = *So(l + 0 + 5o(l + i)2 + ... + 5o(l + O'0-Utilizând formula de calcul a sumei termenilor unei progresii geometrice, obţinem: s10 = So(i + o- (1+f.l°~1- Valoarea numerică obţinută pentru So= 1 000 şi i = 0,03 este: 510= 1000(1 +0,03) (1 + 0,03)10 -1 0,03 = 11 808, deci, pentru depunerile cumulate de 10 000, clientul primeşte o dobândă de D = 11808 - 10 000 = 1 808 unităţi bancare. 1.2. Credit, anuitate şi amortisment în cazul creditelor bancare pe care le ia un client, acesta este cel care plăteşte o dobândă băncii creditoare, simultan cu rambursarea sumei împrumutate. Restituirea creditului se numeşte rambursare, iar termenul până la care trebuie rambursat creditul se numeşte scadenţă. Rambursarea unui credit se poate face într-o singură tranşă (pentru creditele pe termen scurt) sau eşalonat (pentru credite pe termen mijlociu sau lung). 127 Rambursarea creditului într-o singura tranşă Să presupunem că un client ia un credit de T0 unităţi bancare cu o scadenţă la z zile ( z < 365), iar banca percepe o dobândă unitară anuală i. Suma totală datorată la scadenţă este: T=T0 + D = T0 + T0-i- -§- =7o(l + £=). Rambursarea creditului în mai multe tranşe Să presupunem acum că un client ia un credit de 70 unităţi bancare, pentru un termen de t unităţi de timp. Prin contractul de creditare, banca percepe o dobândă anuală pentru suma împrumutată. împrumutul plus dobânda vor fi rambursate prin plăţi anuale numite anuităţi. O parte din suma pe care o plăteşte efectiv clientul în fiecare an va acoperi împrumutul iniţial. Această fracţiune a anuităţii se numeşte amortisment. Presupunem că anuităţile sunt constante şi se plătesc la sfârşitul fiecărui an. Mecanismul de rambursare a unui credit 70, luat pentru t ani, la care banca percepe o dobândă unitară anuală i este prezentat în următorul „tabel de amortizare An Suma datorată la începutul anului Dobânda datorată la începutul anului Anuităţi (constante) Amortisment Suma datorată la sfârşitul anului 1 T0 Dq = Toi A _ Ul + i) t Q\ = A - Dq O) I II ^7 2 Ti D\ = T\i + t 'K* H Q2 = A-D\ T2=Ti-Q2 t- 1 T<- 2 Dt-i = T t_2i A- T0( 1 + 0 t Qt-\ — A - D t_2 7/_i = 7,_2 - Qt-1 t T,-t D t-\ = T ,_i / A _ Ul + i) t Qt = A- D t_\ li 1 ţP O observaţie se impune imediat: termenul de rambursare a creditului, t, nu poate fi oricât de mare. Impunând condiţia Q\ > 0, obţinem: T0(\ + i-it) > q respectiv t< 1 + 1 Ultima sumă datorată este Tt şi ea se plăteşte integral, având proprietatea Tt< A. De asemenea, au loc următoarele proprietăţi: • Suma totală datorată de client este egală cu suma anuităţilor plătite, 7q( 1 + /) = A • t. • Suma totală plătită de client este de A • t + Tt. • Dacă anuităţile sunt egale, amortismentele succesive formează o progresie geometrică crescătoare, cu primul termen Q\ şi raţia (1 + /). 128 într-adevăr, făcând diferenţa dintre două anuităţi consecutive de la momentele kş\k+ 1, obţinem 0 = A- A = (Qk+i + Tkî) - (Qk + Tk-\i\ de unde rezultă Qk+1 + (Ţk-i - Qk)i~Qk~ Tk-\i = 0, adică Qk+1 - Qk{ 1 + 0 = 0. Rezultă că Qk+\ = Qk( 1 + 0, k= 1, 2, t- 1, deci fi*+1 = G,(l+0U=l,2, r- 1. • Dacă anuităţile sunt constante, atunci diferenţele dobânzilor pentru ani consecutivi formează o progresie geometrică crescătoare, cu primul termen Q\i şi cu raţia (1 + /). într-adevăr, făcând diferenţa dintre dobânzile pentru doi ani consecutivi obţinem: dk = £>*_, - Dk = (A - Qk) -(A- Qk+[) = 0,(1 + if - Q,(l + i)k'\ adică dk = Q\i{\ +if~\k= 1, 1. kjfxempluljf) ^^Dpersoană ia de la bancă un credit de 1 000 de unităţi bancare, pe un termen de 5 ani, cu o dobândă de 5%. Să se alcătuiască tabelul de amortizare corespunzător. Notam T0 = 1 000, t = 5, i = 0,05. Rezultă că anuitatea este de A = 210 unităţi bancare şi se obţine următorul tabel de amortizare: An Suma datorată la începutul anului Dobânda datorată la începutul anului Anuităţi (constante) Amortisment Suma datorată la sfârşitul anului 1 1000 o II o iQ L 210 0 SO II 01 7î = 840 2 840 £>, =42 210 02=168 T2=672 3 672 D2 = 33,6 210 03=176,4 T3 = 495,6 4 495,6 D3 = 24,78 210 Q4= 185,22 T4 = 310,38 5 310,38 D4= 15,519 210 05= 194,48 T5= 115,9 Suma totală plătită de client este de (5 • 210 + 115,9) = 1 165,9 unităţi bancare. Diferenţa dintre suma retumată de client şi creditul luat este de (1 165,9- 1 000) =165,9 unităţi bancare. Să admitem, într-o variantă foarte simplificatoare, că banca efectuează doar două tipuri de activităţi: administrarea plasamentelor şi acordarea de credite. Pentru a-şi justifica existenţa, banca trebuie să realizeze un câştig. Diferenţa dintre contraprestaţia directă şi imediată pe care o încasează pentru credite şi contraprestaţia directă şi imediată pe care o plăteşte pentru plasamente reprezintă profitul băncii. ^ Qţxemplul 4j Să presupunem că banca acordă unui client un credit de 1000 unităţi bancare, pentru 2 ani, cu o dobândă unitară de 6%. Simultan, banca primeşte un plasament de 1 000 unităţi bancare, tot pentru 2 ani, pentru care acordă o dobândă unitară de 4%, în regim de depozit cu dobândă compusă. Să evaluăm profitul băncii în urma acestor două operaţiuni. 129 Tabelul de amortizare pentru creditul acordat este următorul: An Suma datorată la începutul anului Dobânda datorată la începutul anului Anuităţi (constante) Amortisment Suma datorată la sfârşitul anului 1 1 000 o II o Q 530 Q.\ = 470 T, = 530 2 530 D, =31,8 530 02 = 498,2 7*2=31,8 Aşadar, banca încasează suma de 530 + 530 + 31,8 = 1 091,8 unităţi bancare şi obţine un câştig de 91,8 unităţi bancare. Pe de altă parte, suma finală pe care o încasează deponentul este S2 = 1 000(1 + 0,04)2 = 1 081,6. Aşadar, banca plăteşte clientului o dobândă de 81,6. Rezultă ca profitul băncii realizat în urma celor două operaţiuni este /? = 91,8-81,6 = 10,2. 1.3. Impozite şi taxe, taxa pe valoarea adăugată (TVA) Orice agent economic are o serie de obligaţii fiscale faţă de bugetul de stat. Acestea sunt: • impozitul pe profit; • impozitul pe salarii; • taxe vamale; • taxe asupra terenurilor proprietate de stat; • taxa pe valoarea adăugată (TVA). Valoarea adăugată, ca indicator pentru analiza activităţii economico-finan-ciare, reprezintă diferenţa dintre producţie şi consum. Ea este un instrument care arată bogăţia creată de întreprindere. Taxa pe valoarea adăugată este o taxă generală de consum, care cuprinde toate fazele circuitului economic: producţie, servicii, distribuţie până la vânzarea mărfurilor către consumatorii finali. Pentru bugetul statului, TVA reprezintă un impozit indirect, cuprins în preţuri şi tarife, iar statul este cel care fixează cota TVA. Pentru întreprindere, TVA este egală cu diferenţa dintre taxa calculată asupra vânzării produselor şi taxa aferentă cumpărării materiilor prime, materialelor, combustibilului etc. Să notam cu C{ preţul de vânzare al produsului, cu C? preţul de cumpărare al materiilor prime, materialelor, combustibilului şi cu t cota TVA percepută de stat (exprimată procentual). Atunci: TVA aferentă vânzării produsului este Ci • t TVA aferentă consumului este C2 • t Valoarea adăugată este C\-C2 TVA este (Ci — C2)£ — Ci %t — C2 * t Dacă un produs se vinde cu 750 000 lei, costul materiilor prime, materialelor, combustibilului este de 420 000 lei, iar cota TVA este de 18%, taxa pe valoarea adăugată se calculează de întreprindere astfel: TVA aferentă vânzării produsului: 750 000 • -^- = 135 000; 130 1 8 TVA aferentă consumului: 420 000 • Jqq = 75 600; TVA aferentă fabricaţiei şi vânzării: 135 000 - 75 600 = 59 400. Se observă ca TVA aferentă fabricaţiei şi vânzării reprezintă aplicarea taxei de 18% asupra valorii adaugate. Astfel, prin sistemul TVA se evită „dubla impozitare46. ^^emphd^0 ^'"^^F^resupunem că o întreprindere consumă 2 milioane de lei pentru fabricarea unui produs. Prin procesul de producţie se obţine un produs care valorează 3 milioane. Produsul finit este vândut unei societăţi comerciale angrosiste care, la rândul ei, ambalează produsul şi îl livrează unei societăţi comerciale cu amănuntul la preţul de 3,5 milioane. Societatea cu amănuntul practică un adaos comercial de 10%, iar cota unică TVA este de 18%. Preţul final al produsului, cu TVA inclus se calculează în modul următor: Valoarea adăugată la producător: 3 000 000 - 2 000 000 = 1 000 000. TVA datorată de producător: 1 000 000- ^ = 180 000. Valoarea adăugată la societatea angrosistă: 3 500 000 - 3 000 000 = 500000. TVA datorată de societatea angrosistă: 500 000 -^=90 000. Valoarea adăugată la societatea cu amănuntul: 3 500 000 • (1+10/100) - 3 500 000 = 3 850 000 - 3 500 000 = 350 000. TVA datorată de societatea cu amănuntul: 350 000-^=63 000. Valoarea adăugată totală: 1 000 000 + 500 000 + 350 000 = 1 850 000. TVA total de plată: 180 000 + 90 000 + 63 000 = 333 000. Preţul produsului, cu TVA inclus: 2 000 000 + 1 850 000 + 333 000 = 4 183 000. 1.4. Valori medii şi reprezentări grafice La încheierea unui an financiar, orice agent economic dispune de o informaţie completă asupra operaţiunilor financiare pe care le-a realizat. Aceste date statistice, de provenienţă deterministă, pot fi mai uşor valorificate şi interpretate dacă se utilizează indicatori sintetici şi reprezentări 131 grafice. Cei mai utilizaţi indicatori sintetici sunt valorile medii, care evidenţiază caracteristici generale ale unităţilor de la care provine informaţia. Să considerăm că se urmăreşte o anumită componentă a finanţelor întreprinderii pe parcusul întregului an financiar sau pe parcursul unui alt interval format din n perioade de timp. Notăm cu x\,x2,..., x„ valorile numerice înregistrate. Media aritmetică a valorilor x\, x2,..., x„ se defineşte prin relaţia Ea este un indicator intern, în sensul că min x, n n, ’ n t5- ,=i n 1} se numeşte repartiţie de frecvenţe. Reprezentări grafice ale repartiţiilor de frecvenţe a) Orice repartiţe de frecvenţe poate fi reprezentată grafic cu ajutorul diagramelor. Exprimând procentual frecvenţele valorilor distincte observate, putem concepe o figură geometrică plană sau în spaţiu care ar urma să reprezinte totalul de 100%. Figura plană sau corpul sunt împărţite în părţi cu ariile sau volumele proporţionale cu frecvenţele înregistrate. Se utilizează dreptunghiuri sau paralelipipede având înălţimile proporţionale cu frecvenţele; se utilizează sectoare de cerc cu unghiurile la centru proporţionale cu frecvenţele. Cele mai frumoase diagrame sunt cele „în felii de tort“, în care se construiesc părţi detaşate ale unui cilindru, având unghiurile la centru proporţionale cu frecvenţele. Qi'xemplulT^ Considerăm problema eficienţei unui nou tratament. Răspunsul unui bolnav la acest nou tratament poate fi a\ = „ameliorat44, a2 = „staţionar44, a3 = „înrăutăţit44. Se fac observaţii asupra a 100 de bolnavi trataţi în mod independent, înregistrându-se 80 de ameliorări, 15 situaţii în care starea bolnavului a rămas staţionară şi 5 cazuri în care starea bolnavului s-a înrăutăţit. Repartiţia de frecvenţe obţinută este răspuns a\ a2 «3 frecvenţă 0,80 0,15 0,05 Repartiţia obţinută poate fi reprezentată printr-o diagramă circulară de forma următoare: 136 0.15 0.05 Fig. 2 b) Pentru caracteristicile cantitative cu un număr mic de valori distincte se utilizează reprezentarea în batoane şi poligonul frecvenţelor. Reprezentarea în batoane. Se consideră un sistem rectangular de axe de coordonate. Pe abscisă se înscriu în ordine crescătoare valorile distincte observate (a \ ^ a2 ^ ••• ^ pe ordonată se înscriu frecvenţele acestor valori («,/«, n2ln, ..., n,Jn). în dreptul fiecărei observaţii se trasează o linie verticală (baton), de lungime egală cu frecvenţa valorii respective. Poligonul frecvenţelor. Se consideră sistemul de axe ca la reprezentarea în batoane. Se reprezintă în plan punctele de coordonate \ f = 1, -.., r şi se unesc apoi aceste puncte printr-o linie poligonală. Această linie poligonală se numeşte poligon al frecvenţelor. fExemplulTf —considerăm problema evaluării adaosului comercial mediu pe care îl practică agenţii comerciali care acţionează în domeniul vânzărilor de aparate de aer condiţionat. Se construieşte un eşantion aleator format din 20 de agenţi comer-ciali dintre cei 2 000 existenţi şi se înregistrează adaosul comercial pe care îl practică. adaos comercial 7% 10% 15% 18% 6 8 H 5 1 frecvenţă 20 20 20 20 Repartiţia de frecvenţe obţinută poate fi reprezentată prin batoane sau prin poligonul frecvenţelor, ca în figura următoare: Fig. 3 c) Pentru caracteristicile cantitative cu un număr mare de valori distincte observate, ca şi pentru cele care pot lua orice valoare reală într-un anumit interval, este necesar ca observaţiile să fie grupate în „clase“ - înainte de a fi reprezentate grafic. Histograma este o reprezentare grafică a repartiţiei de frecvenţe prin dreptunghiuri care au ariile proporţionale cu suma frecvenţelor observaţiilor care aparţin fiecăreia dintre clasele considerate (frecvenţele cumulate). Observaţiile distincte, aşezate în ordine crescătoare, x\ < x2 < ... xn9 sunt grupate în clase de amplitudini egale. Aceste clase se reprezintă prin segmente egale pe axa Ox. Corespunzător fiecărei clase, se construieşte un dreptunghi cu înălţimea proporţională cu frecvenţa cumulată a observaţiilor ce intră în clasa respectivă. La fel se procedează şi în cazul când clasele se obţin prin împărţirea în subintervale de lungimi egale a intervalului în care se încadrează observaţiile. Prin histogramă se pun foarte clar în evidenţă variaţiile frecvenţelor cumulate ale diferitelor clase. Dacă datele se grupează în mod firesc în clase de amplitudini neegale (de exemplu, grupele de vârstă „adolescenţi/ tineri/ maturi/ persoane în vârstă46), dreptunghiurile ce formează histograma trebuie să aibă ariile proporţionale cu frecvenţele cumulate ale claselor considerate. Considerăm problema evaluării numărului de contribuabili care au depus declaraţia anuală de venit global, până la data de 1 mai. Se construieşte un eşantion aleator format din 20 de unităţi de administraţie financiară dintre cele 1 000 existente în ţara şi se face numărarea contribuabililor care au depus declaraţia anuală de venit global la aceste unităţi până la data de 1 mai. Valorile obţinute, aşezate în ordine crescătoare sunt: {1000, 1120, 1140, 1150, 1170, 1180, 1190, 1250, 1260, 1280, 1300, 1310, 1350, 1370, 1400, 1420, 1440, 1450, 1460, 1490}. Grupăm valorile observate în 4 clase: clasa ri000, 1200) [1200, 1300) [1300, 1400) [1400, 1500) 7 3 4 6 frecvenţa 20 20 20 20 Repartiţia de frecvenţe obţinută poate fi reprezentată printr-o histogramă, ca în figura următoare: Fig. 4 138 2.2. Analiza statistică a datelor cantitative Fie {xi, ..., xn} c= IR datele statistice de care dispunem, înregistrându-se r valori reale distincte, notate şi fie n n nr n X\ (kg) 50 52 54 56 60 65 68 32 28 45 50 45 15 5 frecvenţe 200 200 200 200 200 200 200 Să se compare greutatea corporală medie a băieţilor cu cea a fetelor. Să se compare apoi variabilitatea datelor obţinute pentru băieţi, respectiv pentru fete. 142 3. Elemente de calculul probabilităţilor Calculul probabilităţilor este ştiinţa care îşi propune să modeleze şi să studieze mărimile şi fenomenele aleatoare. Modelul este construit aşa încât să cuprindă cât mai bine trăsăturile fenomenului real. Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare sunt câmpul de probabilitate asociat unui experiment aleator, evenimentele şi variabilele aleatoare. 3.1. Experimente aleatoare şi evenimente asociate în capitolul Elemente de Combinatorică ne-am pus problema de a număra toate mulţimile ordonate care se pot forma cu n elemente date, de a număra submulţimile de k obiecte distincte care se pot forma dintr-o mulţime de n obiecte etc. în fapt, suntem în faţa unor experimente: - plasarea a n obiecte pe n poziţii fixe, - formarea unui grup de k obiecte alese din n obiecte disponibile. Dacă procedăm la o efectuare practică a acestor experimente, constatăm că fiecare dintre ele are mai multe rezultate posibile. (pB Definiţii a) Un experiment aleator (notat f) este o acţiune ale cărei rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine. O efectuare a unui experiment se numeşte probă. b) Un rezultat obţinut prin efectuarea experimentului aleator se numeşte eveniment elementar şi este modelat printr-o mulţime formată dintr-un singur element {e}. c) Mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleator se numeşte eveniment sigur sau mulţime totală şi se notează cu E. d) Părţile mulţimii totale se numesc evenimente şi ele sunt reprezentări ale unor situaţii care pot rezulta dintr-un experiment aleator. Familia tuturor evenimentelor asociate unui experiment aleator se notează cu J\E). e) Prin analogie cu teoria mulţimilor, mulţimea vidă reprezintă un eveniment ce nu se poate realiza într-o probă. El se numeşte evenimentul imposibil şi se notează cu 0. ^^ConslSSrâm experimentul aleator care constă în aruncarea simultană a două zaruri, unul alb şi unul negru. Evenimentele elementare ale acestui experiment sunt în număr de 36, şi anume {(f,y)}, f = U 6, j= 1, 6, unde i reprezintă numărul de puncte de pe zarul alb şi j numărul de puncte de pe zarul negru. Evenimentul sigur este {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}. Evenimentul „suma punctelor obţinute pe cele două zaruri este egală cu 5” se scrie ca {5 = 5} = {(1,4), (2, 3), (3,2), (4,1)}, iar evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este par şi al celor de pe zarul negru este impar” este {{par, impar)} = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4,1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6,3), (6, 5)}. 143 3.2. Operaţii cu evenimente Operaţiile cu evenimente au o semnificaţie probabilistă clară, iar pentru ele se foloseşte o notaţie analoagă cu cea din teoria mulţimilor. 1B@ Definiţii BSft^MpfeMBBasgsMaaaniiirunirfltTwi.rr.111 ursa a) Pentru două evenimente date A, B e definim următoarele operaţii: - evenimentul 99A sau /?“, care constă în realizarea evenimentului A sau a evenimentului B şi se notează cu A u B\ - evenimentul 99A şi B“, care constă în realizarea simultană a evenimentelor A şi B şi se notează cu A r\B\ - evenimentul contrar lui A, notat Ac, revine la nerealizarea evenimentului A. El este dat de complementara mulţimii A, în raport cu mulţimea totală E. Aceasta înseamnă că A n Ac = 0 şi A u Ac = E. b) Două evenimente A şi B pentru care A nB = 0 se numesc incompatibile, iar două evenimente A şi B pentru care A nB^0 se numesc compatibile. Considerăm experimentul aleator de la exemplul precedent. Evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este mai mic decât cel de pe zarul negru” este format din 15 evenimente elementare: Evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este mai mare decât cel de pe zarul negru” este format din alte 15 evenimente elementare: Observăm că cele două evenimente sunt incompatibile căci A n B = 0, iar AuB= {(i,j) | ij= 1, ..., 6, i*j}. De asemenea, observăm că (A u B)c = {(/, i\i= 1, ..., 6} = A c n Bc. 3.3. Probabilitatea unui eveniment. Probabilitate condiţionată Pentru a introduce noţiunea de „probabilitate46 facem o ipoteză esenţială: experimentul aleator are proprietatea că toate evenimentele sale elementare au aceeaşi şansă de a se realiza. Pentru exemplul discutat, aceasta înseamnă că cele două zaruri sunt „corecte44. Să presupunem că aruncăm un zar de 10 ori. Valorile obţinute sunt {2, 6, 1, 2, 5, 4, 3, 2, 5, 6}, deci frecvenţele celor 6 numere sunt n\ln = 0,1, n^n = 0,3, n^/n = 0,1, nâjn = 0,1, n$ln = 0,2 şi njn = 0,2. Dacă, însă, aruncăm zarul de 1000 de ori, de 10 000 de ori, de 100 000 ori, vom constata că frecvenţele se apropie tot mai mult de valorile njn = 1/6 pentru toţi i= 1,2, ..., 6. Probabilitatea unui eveniment aleator poate fi astfel definită pornind de la forma evenimentului sigur şi impunând condiţia ca toate evenimentele elementare să fie de probabilităţi egale. A = {(1, 2), ... (1, 6), (2, 3), ... (2, 6), (3, 4), ... (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}. B = {(2, 1), ... (6, 1), (3, 2), ... (6, 2), (4, 3), ... (6, 3), (5, 4), (6, 4), (6, 5)} 144 1811 Definiţii Fie E = {e\, ..eN) evenimentul sigur asociat unui experiment aleator. a) Probabilitatea unui eveniment elementar {0, VA e 2) P(E)= 1; 3) P(A uB) = P(A) + P(B), dacă A nB = 0. Considerăm din nou experimentul aleator de la exemplul 1, constând în aruncarea simultană a două zaruri de culori diferite şi evenimentele A şi B introduse la exemplul 2. Atunci P({(i, j)}) = j£, V/,y' = 1, ...,6. P({S = 5)) = ^,P(A) = P(B): P(A nB) = 0. 1111 Definiţie. Asociem unui experiment aleator W tripletul (E, 9\E), P) pe care îl numim câmp de probabilitate, unde E este evenimentul sigur, (E) este mulţimea evenimentelor asociate experimentului, iar P: ■ EXE) —»IR este o probabilitate. Probabilitatea evenimentului contrar lui A Conform definiţiei evenimentului Ac şi conform axiomelor probabilităţii, rezultă P(AC)= 1 ~P(A). Probabilitatea evenimentului „A sau C” când A şi C sunt compatibile în exemplul aruncării celor două zaruri, notăm cu A evenimentul „numărul punctelor de pe zarul alb este mai mic decât cel de pe zarul negru" şi cu C evenimentul ca „suma punctelor obţinute să fie un număr mai mic sau egal cu 4“. Atunci C= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2,1), (2, 2)}, A u C= {(1, 1), (1, 2), ... (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), ... (2, 6), (3,4), ...(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5,6)} şi AnC= {(1,2), (1,3)}. 145 Observăm că P (A u Q = %, P(A) + P(Q - P(A n Q = (15+5 2) = i| 36 36 36 Formula generală de calcul a probabilităţii evenimentului ,A sau C“ când A şi C sunt compatibile este P(AuQ = P(A) + P(C) -P(A n Q. Definiţie. Două evenimente A, B e .PAE) se numesc independente dacă P(A n 5) = P(A) ■ P(B). kjbxemplul4j 'Considerăm din nou experimentul aleator de la exemplul 1, constând în aruncarea simultană a două zaruri de culori diferite şi notăm de această dată cu Mi evenimentul „apariţia numărului 2 pe primul zar” şi cu N3 apariţia numărului 3 pe al doilea zar”. Atunci M2 = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, N3 = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}, M2nN3 = {(2, 3)}, P(Mi) ■ P(N3) = a. . A = _L = p{m2 n /c3), deci cele două evenimente sunt independente. 111 Definiţie. Fie două evenimente A, B <= AP(E) aşa încât P(A) > 0. Definim probabilitatea lui B condiţionată de A, notată P(B \ A), prin raportul P(B IA)- P(AnB) 1 A) P(A) Rezultă de aici formula P(A nB) = P(A) P(B \ A) cu următoarea interpretare: probabilitatea să se realizeze A şi B este egală cu probabilitatea să se realizeze A înmulţită cu probabilitatea lui B ştiind că s-a realizat A. Pentru experimentul aleator constând în aruncarea simultană a două zaruri de culori diferite, notăm cu A evenimentul „numărul obţinut pe primul zar este mai mic decât cel obţinut pe al doilea zar“ şi cu B evenimentul „suma punctelor obţinute pe cele două zaruri este mai mică sau egală cu 5“. Atunci AnB= {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3)}, _4_ 36 QExem^uT^^ O urnă conţine 5 bile albe şi 2 bile roşii. Se extrag pe rând 2 bile din urnă şi se aşează pe masă. Care este probabilitatea de a avea pe masă o bilă albă şi una roşie - în această ordine? Notăm cu A\ evenimentul de a obţine o bilă albă la prima extragere şi cu A2 evenimentul de a obţine o bilă roşie la a doua extragere. Atunci P(A, n A2) = P(A,) P(A2 \A,) = Şj ■ | = Ij- . 146 Probleme L O persoană urmează să dea trei telefoane la trei numere diferite. Fiecare număr este format o singură dată. Notăm cu evenimentul ca la apelul i să nu primească răspuns (/ = 1, 2, 3). Să se scrie evenimentele: „primeşte răspuns la toate apelurile44, „la cel mult un apel nu primeşte răspuns44, „la cel puţin un apel nu primeşte răspuns“, „la un singur apel nu primeşte răspuns44. 2» într-o urnă sunt bile de trei culori: albe, negre şi galbene. Se extrag din urnă 3 bile, fără a pune înapoi bila extrasă. Notând cu A,N,G obţinerea unei bile albe / negre / galbene (respectiv), să se scrie evenimentele: „se extrage câte o bilă de fiecare culoare44, „se extrag cel puţin două bile albe44, „se extrag cel mult trei bile negre44, „se extrag trei bile de aceeaşi culoare44. 3. Se consideră experimentul aleator care constă în aruncarea simultană a două zaruri. Fie A evenimentul „numărul punctelor de pe al doilea zar este egal cu de două ori numărul punctelor de pe primul zar44 şi fie B evenimentul „pe primul zar se obţine numărul 2 44. Să se arate că (A n B)c = Acu Bc. 4. Se consideră un circuit electric conţinând o sursă şi 4 becuri montate în paralel. Notăm cu Ai evenimentul ca becul i să fie ars. Să se scrie evenimentele: „prin circuit trece curent electric44, „două becuri sunt arse44, „cel puţin trei becuri sunt arse44. 5. Se consideră experimentul aleator ce constă în ordonarea mulţimii {1,2, ..., «}, adică plasarea numerelor 1, 2, ..., n pe n poziţii consecutive. Să se scrie câmpul de probabilitate asociat experimentului şi să se calculeze probabilitatea ca numerele 1, 2, 3 să stea la rând şi în ordine crescătoare. 6. Se repartizează trei profesori de matematică la nouă clase (3 clase a IX-a, 3 clase a X-a, 3 clase a Xl-a), dându-se fiecăruia câte trei clase. Care este probabilitatea ca un profesor să primească numai clase a X-a? 7 Se consideră două loterii diferite, cu numerele 1, 2, ..., n. Cum trebuie să fie n pentru ca probabilitatea de a extrage 5 numere la prima loterie să fie mai mică decât probabilitatea de a extrage 7 numere la a doua loterie? 8. Se consideră două urne: U\ - conţinând 2 bile albe şi 3 bile negre şi U2 - conţinând 3 bile albe şi 4 bile negre. Se extrage câte o bilă din fiecare urnă. Să se scrie evenimentele elementare ale acestui experiment aleator şi să se determine probabilităţile lor. Se notează cu A evenimentul „din prima urnă se obţine o bilă albă44 şi cu B evenimentul „din a doua urnă se obţine o bilă neagră44. Să se arate că A şi B sunt evenimente independente. 9. într-un lot format din 1 000 de servicii de cafea există 5 servicii cu defecte şi anume: 2 servicii au câte o cană ciobită şi 3 servicii au câte o farfuriuţă ciobită. Se controlează la întâmplare un serviciu din lot. Să se scrie evenimentele elementare ale acestui experiment aleator şi să se determine probabilităţile lor. Ştiind că s-a găsit un serviciu defect, care e probabilitatea ca el să conţină o cană ciobită? KL Doi trăgători trag simultan asupra unei ţinte. Probabilităţile ca ei să nimerească ţinta sunt, respectiv, 0,7 şi 0,85. Să se calculeze probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de cel puţin un trăgător. 147 TESTE DE VERIFICARE Testul 1 1. Să se calculeze: [1,5(* -!)]-' [3(x-y)]-2 pentru x = -4 ,y = 2 2. Să se rezolve: 41og2x + l = 21og2 y, < log, x2 1 I ^dacă x 0, pentru x= avem / (x) = >>, deci / este [x, dacă x > 2 surjectivă; /(-1)=/(1) = 1, deci / nu este injectivă. 12. h şi k nu sunt nici injective, nici surjective. Avem f~l: 2Z —► 2Z,/_1(x) = 4-xşi g-1: Z —► Z, g _1(x) = x-1. 14. Se verifică 1 că/° / 1 = Iin şi deci / 1 =/ 15. Inversa este: / 1 : IR -> IR, / 1 (x) = x,x > 0, x,x < 0. fx-1 16. / 1 : IR -> m,f\x) = 2 / -' : E -> IR, / ~\x) = -2x2, dacă x < 0, , dacă x < 3, 17. m = 5. în acest caz inversa este x-2, dacă x > 3. 5 - x , dacă x< 1, lfi (r, Jx, dacăx<0, 2 !*• 0/ (/'■ g)(x) = 2x, dacă x > 0. 3-x, dacă x>l. ;f\x)=x2,f\x)= |x|3 Capitolul 2. Puteri şi radicali. Funcţia putere şi funcţia radical 1.1. a) 2 ; b) 15J; c) —; d) e) 153; f) —. 2. a) 60/; b) 1875xlu. 3. a) m < 1, 3 io ^3 2^ 2 2 este pozitivă; m = 1, este zero; m > 1, este negativă; b) m < —, este pozitivă; m = este 2 zero; m > —, este negativă; c) este pozitivă oricare ar fi m =£ 2. Pentru m = 2, este zero. 4. a) xy3; b) (a + bf \ c) 5” + T. 5. Se descompune în factori a32 - b32 = (a16)2 - (b[6)2. 6. a) (x'”+,? + 1) (xm~n + 1); b) Dacă m n se descompune în (1 - x) (x'”_l + ...+ xn). 7. a) 28; b) 96; c) sunt egale; d) 4300 = (43)100 şi 3400 = (34)100, 43 < 34, 3400 este mai mare; 151 ( i y (i v00 e)------;f) — ; g) 5 63; h) sunt egale. 9. Dacă a e IR a * O, atunci a * -a, iar /(d) V 32) U6J = a2m = /( a). Oricare ar fi x e IR, fix) = x1'" > 0, deci dacă v < 0, atunci y Im /' 10. i) a 3 b“4; (a + bf5 (a - bf2; 3a5b~6c~2\ ii) 2 • IO-4; iii) 3 • IO-6; 15 • IO"4. 11. a) a\ 1 + a2) (a6 + a2 - 1); b) 4a“2; c) 1. 12. a) 2; b) / 13. a) (x + y + z> • 2yz b) 3x2y-3xy2 + y3 (x-y)4 2. 1. a) |x-l|; b) \x + 5 |; d) \-3x? +x - 11 = 3x? -x+ 1. 2. a)x^2; b) mulţimea tuturor numerelor reale; c) x > 1; d), e) mulţimea tuturor numerelor reale. 3. a) 165; b) 275; 2^ ________ ___________________ _____________ c) 238. 4. —; VV7-2. 5. a) ^-2|; b).Jx2-l|; c) J*-l|(x2 + l). 6. 3V2 > 2a/3; 8V3 > 5-\/7 ;4^2 > 3^4. 7. a) -12^2; b) -3\p2 ; c)4V6 -8>/3; d) 8. 8. a) -3 +2^/2; b) 5^5 + 2^15"+ 4V9; c)2(-1 + 2V2 - VJ + Vîo) d) —(V9 — V2T + V49)/ e) 4 + V75" + V45"; 9. i) 2V ; Vjc+VJ 10. a) V2=V4<^3; b) V3 <^30 ( 49 ") 7 f9^ ■ f — < - < ; b) U9j KV 116 J UJ UJ { 9)°’2 — ; 17. Se scrie x + 2Vx-1 sub 4 J forma x - 1 + 2 Vx- 1 + 1= = (Vx-l +1)2. Analog, se procedează cu x - 2 Vx- 1 1 18. —. 19. 243 3/ 2 ay] a A/fl2 -1 . 21. Funcţia putere de grad impar este strict crescătoare deci / este injectivă. Cum există radical de ordin impar din orice număr real, rezultă că /este surjectivă. 22. Se observă că ecuaţia fix) - c = 0 are două rădăcini reale distincte. 23./"1 : IR IR,/_l(x) = V?. Capitolul 3. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică 1.1. a) 36; b)‘Vă7 * * 10; c) A-A v5y 2; d) egale; e) egale; f) 2 A -fi 8)5^; h41 38 2.a) 2"1_V3;b) (3-220) 3; c)5'5;d) 2 4 ,3.a)^>6;b)x<-2;c)x>-7;d)x< l;e)jc>-8; f) x < 8; h) x < -10; i) x > -21. 4. a) m > n; b) m > n; c) m < n\ d) m > n. 5. Mai mari 152 decât 1: b); d); e); mai mici decât 1: a); c); f). 6. a) ; b) ; c) ; d) (Vsf‘2 . 7. Dacă O < a < 1, atunci x < 0; dacă a > 1, atunci x > 0. 8. a) Pentru a > 1, da; pentru O < a < 1, nu; b) da; c) da; d) nu. 2. 1. a) x < 1; b) -1 < x < 1; c) x e IR; d) x e (-^o, -2) u (1, -hx>); e) x e (2, 3); f) x e IR; g) x > 1; h) x > 1; i) 0 < x < 1. 2. a) log25; b) log310; c) log5-^-; d) 3. 3. a) x > 4; b) 0 < x < < |; c)x e (-«>, -2V2 ] u [2a/2 , +00); d) x e (1, 5]. 5. a) 2; b) 2; c) 2; d) 2; e) -2; f) 2; g) 1; h) -1. 7. a) E = log78; b) E = log23; c) j. 8. a) loga£ = 21oga41 + -C(k>ga41 + + 51og„37); b) logaE = 31oga31 + j(loga41+ 41oga33) - 21ogfl17 - |(2 logtI23 + 1 19 l2 *63 + loga29); c) loga£ = 21ogaa + ^(logaa + 31oga6 + logac). 9. a) x = y ; b) x = ; c)x = a2 (a + bf {a-bf 3.1.a) 3;b)5;c)-3;d)-i;e)2;f)|.2.a)|;b)3;c)|;d)x1 = 7,x2 = -1.3.a)4; b) 1; c) 3; d) 1; e) 2. 4. a) 35; c) 24. 5. a) 2; b) 1; c) 3; d) 4; e) 0; f) jc, = 0, x, = 1; g) 0; h) x, = 0, x2 = 1. 6. a) 1; b) log^; c) 0; d) 4. 7. a) 2; b) ±; c) 5. 8. a) 4; b) Jj;c)2. I _! 9. a)xi = 10,x2= 10^;b)xi = VTo ,x2= ~7/= '■> c)xj = IO3 ,x2 = 10 6.10. 100.11. a)xi = 5, vlO y\= 2 sau x2 = 2, ^2 = 5; b) (2, 1); c) (100, 10); d) (4, 2). 12. a) x e (-3, -2) u (3, +oo); 0,01 < x < 10 000; c) x < -A. 13. a) 0 < x < 3; b) 2 < x < 4. 14. a) pentru 0 < a < 1, 0 1, x > a; b) pentru 0 < a < 1, x > 5; pentru a > 1, 0 11; b) 7 < n < 12; c) 1 < k < 10; d) 9 < k < 16. 24. a) x = 10, y = 4; b) x = y = 5. 25. Se foloseşte formula C* = C*_, + Cfj,1. 26. C7C4+C72C4+CjC4. Capitolul 5, Metoda coordonatelor carteziene 3. 2. a) u (5, 4); b) w (0, 6); c) u (-1, 0). 3. a) a = 3, b = -2; b) a = --ţ, b = ~. 4 8 6. a) r = 2; b) r = 3; c) r = . 7. a) a = -6; b) a = -2, a = 2; c) a = |. 9. a) (-14, -8); b) (17,14). 10. a) M(4,10); b) N( 3,2); c) P{ 6, -6). Capitolul 60 Reprezentarea analitică a dreptei în plan !. 3. Fiqura este formată cu punctele situate pe laturile pătratului ABCD, unde /4(1, 1), £(2, 1), C(2, 2) şi Z)(l, 2). 4. Numai punctele C, E şi F aparţin dreptei d. 5. (1, |), (3, I), (-2, 3), (0, 2). 6. (i, 2), (|, 1), (j, 0), (^ -3), (~y , 4). 7. c = -3. 8. m = -3, n = 6. 9. O ecuaţie de forma ax + by + c = 0 este ecuaţia unei drepte numai dacă a ^ 0 sau 0. în cazul nostru a = m + 2 şi b = m2 - 9, m e IR. Cum m + 2 şi m1 - 9 nu se anulează simultan, condiţia „a ^ 0 sau b ^ 0“ este îndeplinită, a) m = -2; b) m = 3 5 41 sau m = -3; c) m = 1 sau m = —. 12./? = -7, # = — . 13. a) nu; b) nu; c) da. 3 5 12 2. 2. = 1, = —, wbc = — . 3. a) -3 ; b) = —; c) —; d) nu există; e) 0. 4 6 2 3 V3 r 4. a) 7 = -^-x; b) = V3 x ; c) ^ = x; d) y = -x. 5. Cum A <£ d, avem AM || d <=> <=> mAM = o -—j = o a = -C 8. a) y = 3x - 1; b) y = -2x. 9. a) y - 4 = a-1 3 2 = V3 (x + 3); b) y - 3 = x - 2; c) y = - V3 x. 10. Există două drepte paralele care îndeplinesc condiţiile date anume dreptele care trec prin B(0, 2) şi B'(0, -2) şi au panta -3, deci d : y = -3x + 2 sau d : y = -3x - 2. 11. a) jy -V3 x ± 5; b) = -x ± 5; c) y = ± 5. 12. a) x - 4y + 1 = 0; b) 2x-y + 2 = 0; c) x =2; d) = -3. 13. Două metode: 1) se scrie ecuaţia dreptei AA\ unde Af este mijlocul laturii BC\ 2) se scrie ecuaţia dreptei AG, unde G este centrul de greutate al lui ABC. Ecuaţia medianei: 2y = x- 1. 14. a) 4y - x + 3 = 0, 5y + x - 1 = 0, y + 4x - 4 = 0; b) x - 3 = 0, x + y - 3 - 0, y = 0. 15. 3x + Sy - 9 = 0, 3x + 2y + 9 = 0.16. Se obţine A(-4, 3) şi 5x + 2y -13 = 0, x - 5y + 19 = 0,4x + ly - 5 = 0. 4. 1. a) concurente; b) paralele; c) confundate. 2. a) (5, 6); b) (3, 2); c) (--|; 2). 3. Sunt 8 15 8 paralele: a), c) şi e). Sunt confundate: b) şi d). 4. a) a = , b = —— ; b) ab = 12 şi a * - — sau b ^ . 5. a) a e IR \ {3}, b e IR; b) a = 3, b e IR \ {2}; c) a = 3, b = 2. 6. a) d şi d 154 concurente <=> zw e IR \ {-4, 4}; b) d || d <=> m = -4 şi n e IR \ {2} sau m = 4 şi n e IR \ {-2}; c) d = d m — —4 şi /? — 2, sau m = 4 şi n = -2. 7. a) d şi d sunt concurente <=> ab' - db = = (m + 2)(m + 4)-8^0<^>m e IR\ {-6,0}; dacăm = 0, avemd = d\ dacăm = -6, avemd|| d\ b) dşi d sunt concurente <=> m e IR\ {-■j, 2}; dacă m = -y avem || + * = 1; b) _y - x = 3; c) 3_y + 2x = 5; d) jr - 2x = 5. 4. M(14, 0), N(0, y). Problema se poate rezolva şi fără a scrie ecuaţia mediatoarei lui [AB]. Fie M(a, 0) astfel că MA = MB <î=> M42 = MB2 <=> (1 - a)2 + 1 = (3 - a)2 + 49 <=> a = 14. 5. a) (|, ^); 6 6 b) ("2 ’ ^)‘ Ecuaţia înălţimii din A este a) x+y-6 = 0; b) 2x + 3y - 2 = 0. 7. C(2, 4). 4. 1. a) 3; b) 1; c) 4. 2. a) 1; b) 0; c) 2. 4. Avem^P : 4x + 3y- 9 = 0 şi d(C, AB) = -y-. 5.3V5,14i, V5. 5. 2. Alegem O = piciorul perpendicularei din P pe AB, Ox = x4P şi (9y = OP. Coordonatele sunt A(a, 0), M(m, 0), B(b, 0) cu a < m < b şi P(0, q) cu q > 0. 3. Alegem O = O, Ox = BC şi Oy = AD. 4. Fie un patrulater ABCD în planul raportat la un reper oarecare, unde A(x 1, y 1), P(x2, 72), C(x3, 73) şi D(x4, _y4). Fie M, A, P, 0 mijloacele laturilor AB, PC, CD, DA a) Se arată, de exemplu, MN = 0P. b) Fie P, P mijloacele diagonalelor AC, PD şi P mijlocul lui [PP]. Se arată că R coincide cu mijlocul lui MP şi cu mijlocul lui NQ. Capitolul 8. Matematici financiare, probabilităţi, statistică LI. 12 625 unităţi bancare. 2. 14,8 unităţi bancare. 3. 4,88%. 5. 10 986 unităţi bancare. 6. 108 unităţi bancare. 7. 288 000 lei. 3. 5. P((/[, ..., /„)) = pentru orice permutare (zj, ..., z„) a mulţimii (1, ..., n). Fie A n! evenimentul dorit. P(A) = ——: . 7. Se rezolvă inegalitatea C* < . n\ n(n — 1) 8. P(A) = -j, P(P) = y, P(A n B) = -jş . 9. Se aplică formula probabilităţii condiţionate. 10. Se aplică formula de la independenţă. 155 TESTE DE VERIFICARE Testul 1 1. 6. 2. Din inecuaţie rezultă x2 > y, de unde log2x2 > log-y sau 21og2x > log^y. Atunci din ecuaţie obţinem 4 \og22x + 1 = 21og2y < 41og2x de unde 4 log^x - 41og2x + 1 < 0 sau (21og2x - l)2 < 0. Deci 21og2x = 1, de unde x = V2 şi apoi y = 1. Avem x = , y = 1.3. Z)(l, 3). 4. l.Utilizăm formula S2 = S0(l+i) + 50(l+02- Dobânda unitară i este soluţie a ecuaţiei 100 (1+/) (2+0 =231. Se obţine i= 1/10, deci i = 10%. Testul 2 f2x + 5, dacă x < -1 1. / ° g : IR IR, (/" ° g)(x) = Şl g o /: m -> m, x + 2x + 4, daca x > -1 2x + 4, dacă x < 0 x2 + 4, dacă x > 0 2.x = 12,y = 7.3. a) Avem d\ n <73 ^ 0. Notăm<7| n t/3 = {M} şi găsim M( 1, 1). Se arată imediat că M e d2; b) S = —. 4. Dacă anuităţile sunt egale, amortismentele succesive formează o progresie geometrică crescătoare cu primul termen Q\ şi raţia (1+z). Din 732,05 = Q\(\ + 0,1)4 rezultă Q\ - 500. Din formula Q\ = A - Do = = ——■ rezultă t = + ^ . t T0i-Q\ înlocuind valorile numerice obţinem t = 22. Testul 3 1. —. 2. Se observă că x = 2 este soluţie a ecuaţiei. Vom arăta că este 243 unica soluţie. Avem 3X + 4X = 5* <=> (-j f + (j f = 1. Cum funcţia J[x) = (+ )'r + 3 ( — )x este strict descrescătoare, rezultă că este injectivă şi deci x = 2 este unica soluţie a ecuaţiei. 3. a) 5x - 3y + 7 = 0; b) 5x - 3y - 1 =0; c) 3x + 5y - 33 = 0. 4. Suma finală pentru depozitul la termen este S4 = 1000(1 + 0,09)4 = 1411,6, iar cea pentru depozitul la vedere este St = 1000( 1 + 0,04)4( ^ + ^ = 1189,1. 365 Testul 4 2 1. împărţind ambii membri ai ecuaţiei cu 6V şi punând y = (— )A > 0 se obţine ? 3 2 ecuaţia în y, 6y~ - 13y + 6 = 0. Obţinem y\ = — şi y2 = — , de unde xţ = -1, x2 = 1. 2. Se 5 3 foloseşte formula C„k = C*_,+ Ck~_\ . 3. B(—, ). 4. Cei 3 agenţi practică preţurile 156 p\ = 102, p2 = 104, pi = 107, iar preţul mediu al produsului este p = 104,33. Valorile (102 - 100 )-18 TVA aferente vânzării pentru cei 3 agenţi sunt T\ 100 0,36; ^ (104 - 100)-18 ^ (107 -100)-18 ^ T2 = --------------- = 0,72, Ti = -------------- = 1,26, iar valoarea medie a TVA 100 este T = 0,78. 100 Testul 5 1. Se impune condiţia x > 0. Cum log315x = 1 + log35x ecuaţia este echivalentă cu 2 7 4 log3 5x - 7 log35x = 0 sau log35x(41og35x - 7) = 0. Deci log35x = 0 sau log35x = — , de V27 . 2. Condiţia este x e IR. Cum \!x +1 + \jx + 2 = -\[x + 3 , unde x\ = ^ şi x2 ridicând la puterea a treia ambii membri, obţinem x+l+x+2+3 \Jx +1 \jx + 2 (\jx +1 + + \jx + 2 ) = -(x + 3) sau 2x + 3 + 3 ljx +1 \/x + 2 (-V* + 3 ) = -x - 3 sau, încă, ^/(x + l)(x + 2)(x + 3) = x + 2. Ridicăm din nou la puterea a treia şi obţinem în final x = -2. 3. Obţinem A(2, 1), B(-1, 3) şi C(7, 5). Punctul O se află la intersecţia mediatoarei laturii [AB] cu mediatoarea laturii [BC], având ecuaţiile 4y = 6x + 5, y = -Ax + 16. Obţinem 0(g,^). 4. Adaosul comercial mediu este a- 11%. Dispersia de selecţie este 2 4î s - 7, iar coeficientul de variaţie este cv = -ţj-100% = 24,052%. Testul 6 î./-1 :m->m,/-,(x) = x-l dacă y 1 2 ’ ’. 2. Oricare x e [3,7] este soluţie a 1 - x, dacă x < 1 ecuaţiei date. 3. b) Distanţa este 2 V2 . 4. Evenimentul sigur este E = {(x, y, z) \ x e t/, y e U - {x}, z e U - {x, y}}, iar probabilitatea unui eveniment elementar e = (x, 7, z) este P({e}) = 1 1320 , oricare ar fi e e £. Notăm cu M evenimentul ca cele trei bile extrase să fie de aceeaşi culoare şi cu Ma, Mr evenimentele ca cele trei bile extrase să fie albe, respectiv roşii. Avem M = Ma u M,., iar cele două evenimente sunt incompatibile. _9_ 1320 1320 44 ' Rezultă P(M) =P(Ma) + P(Mr) = + 7’6 5 157 1. D. Mihalca, I. Chiţescu, M. Chiriţă, Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998. 2. C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Brandiburu, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebră, clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1992. 3. C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Andrei, M. Răduţiu, FI. Vornicescu, N. Vornicescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a - Ml şi M2, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999. 4. C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. Niţescu, Matematică - Ml, manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 2000. 5. C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. R. Popescu, D. Niţescu, Matematică - M2, manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 2000. 6. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică, trunchi comun şi curriculum diferenţiat, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 2004. 7. Gh. D. Simionescu, Noţiuni de algebră vectorială şi aplicaţii în geometrie, Editura Tehnică, 1982. 8. Gh. D. Simionescu, Geometrie analitică, manual pentru clasa a Xl-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1976. 9. G. Ţiţeica, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, 1981. 158 Capitolul 1. Funcţii.......................................................3 1. Recapitulare şi completări.........................................3 2. Funcţii injective, surjective, bijective.........................6 3. Funcţii inversabile. Inversa unei funcţii........................10 4. Operaţii cu funcţii..............................................13 Capitolul 2. Puteri şi radicali. Funcţia putere şi funcţia radical........17 1. Puteri. Funcţia putere............................................17 2. Radicali. Funcţia radical........................................26 3. Puteri cu exponent raţional......................................38 Capitolul 3. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică..................44 1. Funcţia exponenţială..............................................44 2. Logaritmi........................................................52 3. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice.................59 Capitolul 4. Elemente de combinatorică....................................66 1. Mulţimi finite ordonate...........................................66 2. Permutări........................................................67 3. Aranjamente......................................................68 4. Combinări........................................................70 Capitolul 5. Metoda coordonatelor carteziene (geometrie analitică)........77 1. Coordonate carteziene pe dreaptă..................................77 2. Coordonate carteziene în plan....................................81 3. Vectori şi coordonate în planul cartezian........................83 Capitolul 6. Reprezentarea analitică a dreptei în plan....................93 1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei.............................94 2. Ecuaţii carteziene particulare ale dreptei.......................97 3. Dreapta care trece printr-un punct şi are direcţia dată.........106 4. Poziţiile relative a două drepte în plan........................109 159 Capitolul 7. Distanţe în planul cartezian..................................113 1. Expresia analitică a produsului scalar a doi vectori..............113 2. Distanţa dintre două puncte........................................115 3. Condiţii de perpendicularitate a două drepte.......................116 4. Distanţa de la un punct la o dreaptă..............................119 5. Rezolvarea problemelor de geometrie prin metoda analitică.........121 Capitolul 8. Matematici financiare, probabilităţi, statistică...............125 1. Noţiuni de matematici financiare...................................125 2. Elemente de statistică descriptivă.................................135 3. Elemente de calculul probabilităţilor..............................143 Teste de verificare.........................................................148 Răspunsuri şi indicaţii ....................................................151 Bibliografie................................................................158