MINISTERUL EDUCAȚIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ȘISPORTULUI Vasile Falie Rodica Mihalache Fizică Manual pentru clasa a IX ■ a EDITURA DIDACTICĂ Șl PEDAGOGICĂ, RA Acest manual este proprietatea Ministerului Educației, Tineretului, Cercetării și Sportului. Manualul este aprobat prin Ordinul nr. 3921 din 31.05.2004, în urma licitației organizate de către Ministerul Educației și Cercetării, este realizat în conformitate cu programa analitică aprobată de Ministerul Educației și Cercetării prin Ordinul nr. 3552 din 08.04.2004 și este distribuit gratuit elevilor. ACEST MANUAL A FOST FOLOSIT DE: Anul Numele elevului care a primit manualul Clasa Școala Anul școlar Starea manualului* la primire la returnare 1. 2. 3. 4. * Starea manualului se va înscrie folosind termenii: nou, bun, îngrijit, nesatisfacător, deteriorat. Cadrele didactice vor controla dacă numele elevului este scris corect. Elevii nu trebuie să facă niciun fel de însemnări pe manual. Referenți: conf. dn Diana Norma Moisil prof. gr. / Doina Dumitru ©EDP 2011. Toate drepturile asupra acestei ediții sunt rezervate Editurii Didactice și Pedagogice R.A., București. Orice preluare, parțială sau integrală, a textului sau a materialului grafic din această lucrare se face numai cu acordul scris al editurii. Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a României FĂLIE,VASILE Fizică : manual pentru clasa a IX-a / Vasile Falie, Rodica Mihalache. Ed. a 8-a. - București: Editura Didactică și Pedagogică, 2011 ISBN 978-973-30-2987-8 -DC I. Mihalache, Rodica 53(075.35) EDITURA DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ, R.A. Str. Spiru Haret, nr. 12, sector 1, cod 010176, București Tel.: 021.315.38.20 Tel./fax: 021.312.28.85 e-mail: office@edituradp.ro www.edituradp.ro Librăria E.D.P.: str. Gen. Berthelot, nr. 28-30, sector 1 Comenzile pentru această lucrare se primesc: • prin poștă, pe adresa editurii; • prin e-mail: comenzi@edituradp.ro comercial@edituradp.ro • prin telefon/fax: 021.3 15.73.98 Director general: Dane Kăroly Andrăs Redactor-șef: Dan Dumitru Redactor. Liana Fâcă Tehnoredactor. Anca Melcher Desenator. Aurica Georgescu Coperta1. Elena Drăgulelei Dumitru Nr. plan: 56048. Format: 16/70 x 100 Coli de tipar: 13 Tiparul executat la DON STAR, Galați OPTICA GEOMETRICA Optica geometrică este o parte a fizicii care se ocupă cu studiul propagării luminii prin medii diferite și al fenomenelor care au loc la suprafețele de separare ale acestora. 1.1. Lumina 1.1.1. Lumina face parte din mediul care ne înconjoară. De aceea, orice definiție am da luminii trebuie să facem apel la efectele produse de aceasta asupra noastră. In acest sens putem spune că lumina este un fenomen care, datorită energiei pe care o are, impresionează ochiul uman normal. Ochiul uman percepe lumina albă emisă de diferite surse de lumină. Lumina albă pe care o emit diferite surse de lumină se poate descompune cu ajutorul unui dispozitiv optic într-o mulțime de lumini colorate care se întind continuu de la roșu la violet, acestea constituind spectrul continuu al luminii vizibile. Curcubeul reprezintă un exemplu de descompunere a luminii emise de Soare. în sens mai larg, ca obiect de studiu al fizicii, prin lumină se înțeleg și domeniile adiacente luminii vizibile, radiațiile infraroșii și radiațiile ultraviolete, care sunt invizibile pentru ochiul uman normal, dar care au un rol important în activitatea omului. 1.1.2. Surse de lumină. Principala sursă de lumină pe Pământ este Soarele. Alte surse de lumină sunt: filamentul unui bec electric încălzit la incandescență, becurile fluorescente, dispozitivele laser etc. 1.1.3. Viteza de propagare a luminii. Lumina se propagă în vid ca și în medii optice transparente, cu viteză finită. Viteza de propagare a luminii în vid este o constantă universală și are valoarea c = 2,99792458 • IO8 m/s. în practică se ia valoarea c = 3 • 108 m/s. într-un mediu omogen transparent viteza luminii este mai mică decât în vid, depinzând de natura mediului de propagare; ea are același ordin de mărime. în tabelul 1.1 se dau valori ale vitezei de propagare a luminii în câteva medii optice. Examinând datele din tabelul 1.1 rezultă că viteza luminii în aer este aproximativ egală cu cea în vid. 4 Capitolul I Tabelul 1.1. mediul viteza (ms ’) Indicele de refracție vid 2,99792458 -103 * * * * 8 1 aer 2,99710636-IO8 1,00028 apă 2,25-108 ; 1,33 sticlă 1,7-108 până la 2-108 1,50 până la 1,70 diamant 1,15-108 2,48 Pentru a compara viteza de propagare a luminii intr-un mediu transparent cu cea în vid s-a definit indicele de refracție al mediului respectiv în raport cu vidul, notat cu n, care se mai numește și indicele de refracție absolut al mediului. Indicele de refracție n al unui mediu omogen (care are aceeași compoziție în toate punctele) și transparent este egal cu raportul dintre viteza de propagare a luminii în vid c și viteza de propagare în mediul respectiv v: "=;■ o» Indicele de refracție al unui mediu transparent este întotdeauna mai mare decât 1, și mai mic decât 3. Indicele de refracție al aerului este egal cu 1,00028 (la 0°C). Pentru simplificare îl vom considera egal cu 1. Indicele de refracție al aerului este n = 1,00028. a) Ce concluzie putem trage privitor la viteza luminii în aer? b) Indicele de refracție al apei este na = 1,33. Calculați viteza luminii în apă. Rezolvare, a) Indicele de refracție al aerului este aproximativ egal cu 1, valoarea vitezei luminii în aer este de 300 000 km/s. b) Indicele de refracție al apei fiind 1,33, viteza de propagare a luminii în apă este: 3 • 108 ------= 226000 km/s. 1,33 Probleme propuse 1.1. Calculați viteza, de propagare a luminii într-o sticlă cu indicele de refracție 1,55 și în diamant. 1.2. O lampă care se află la 3 metri de voi se aprinde și luminează peretele din fața voastră, care se află la distanța de 6 m. După cât timp ați constatat că acest perete a fost luminat? Viteza de propagare a luminii este de 3•108 m/s. Optica geometrică 5 1.1.4. Principiul propagării rectilinii a luminii. în vid și într-un mediu omogen transparent lumina se propagă în linie dreaptă și cu viteză constantă. Drumul parcurs de lumină în timp ce se propagă dintr-un loc în altul este reprezentat prin raza de lumina. Razele de lumină nu au o existență fizică reală, ele servesc la explicarea formării imaginilor în instrumentele optice. Spunem că raza de lumină este un model geometric, căci nu se poate izola o rază de lumină. Un model este o reprezentare concretă sau abstractă a unui obiect sau a unui fenomen, care ajută la studierea acestora. Un ansamblu de raze de lumină formează un fascicul de lumină. Fasciculul de lumină poate fi conic convergent (razele de lumină converg într-un punct), conic divergent (razele de lumină pleacă din același punct), sau cilindric (format din raze paralele) (fig. 1.1). Grafic, fasciculele de lumină sunt schematizate prin linii drepte pe care sunt marcate săgeți care indică sensul de propagare a luminii. 1.2. Reflexia și refracția luminii Experiment. Trimitem un fas- cicul cilindric pe suprafața liberă a unui lichid (fig. 1.2). Observăm că: a) O parte din lumina incidență se întoarce în aer urmând o direcție bine determinată: acesta este fasci- culul reflectat. b) O a doua parte din lumina inci- dență se propagă în al doilea mediu urmând o direcție bine determinată care în general nu coincide cu prelun- girea direcției incidente: acesta este fasciculul refractat. Fig. 1.2 6 Capitolul 1 c) O a treia parte din lumină, mai mult sau mai puțin importantă, este răspândită în toate direcțiile în cele două medii (aer și apă): aceasta este lumina difuzată. Vom analiza în detaliu cele trei fenomene observate în experimentul descris mai sus. 1.2.1. Reflexia luminii. Reflexia este fenomenul de schimbare a direcției de propagare a luminii și întoarcere parțială a acesteia în mediul din care a venit, atunci când întâlnește suprafața de separare a două medii. Fig. 1.3 Fig. 1.4 Toate obiectele pe care le vedem reflectă lumina, însă se disting două feluri de reflexie. a) Reflexia produsă de pe o suprafață lucioasă (netedă), spre exemplu de pe o oglindă. Fasciculul incident își păstrează după reflexie caracterul avut inițial. Dacă fasciculul incident a fost cilindric (paralel) acesta se reflectă printr-un fascicul cilindric (fig. 1.3). In acest caz, fasciculul reflectat poate fi văzut numai dacă ochiul se află pe direcția sa. Suprafața reflectorizantă nu poate fi văzută. Dacă fasciculul incident a fost divergent sau convergent, fasciculul reflectat va fi de asemenea divergent sau convergent (fig. 1.4). Acest tip de reflexie se numește reflexie regulată. Fig. 1.5 b) Dacă lumina cade pe o suprafață cu asperități (pe un perete, pe o piatră, pe o țesătură, pe o foaie de hârtie sau pe diferite particule (praf, fum, molecule ale diferitelor substanțe etc.) lumina se reflectă în toate direcțiile (fig. 1.5). Acest tip de reflexie se numește reflexie difuză (sau neregulată'). In cele ce urmează, prin reflexie vom înțelege reflexia regulată, iar prin difuzie vom înțelege reflexia neregulată. 1.2.2. Legile reflexiei Experiment. în acest experiment folosim lampa Reuter (care produce un fascicul cilindric foarte fin) și discul Harți. Acest disc gradat se poate roti în jurul unui ax care trece prin centrul său (fig. 1.6). Fixăm în centrul discului o oglindă plană mică, perpendiculară pe diametrul AW'al discului. Optica geometrica 7 Fig. 1.6 Fig. 1.7 Orientăm discul astfel încât fasciculul de lumină A C, razant cu suprafața discului, să cadă pe oglindă. Numim fasciculul AC fascicul incident. Datorită difuziei suprafeței cadranului, fasciculul incident este vizibil. Unghiul i pe care îl face fasciculul incident cu CN (normala în punctul de incidență) se numește unghi de incidență. In C fasciculul incident este reflectat de către oglindă pe direcția CB. Fasciculul reflectat CB formează cu normala CN unghiul de reflexie, notat r. Figura 1.7 reprezintă o fotografie a discului gradat. In acest experiment se măsoară unghiul de incidență i și unghiul de reflexie corespunzător. Valorile acestor unghiuri se trec într-un tabel, ca cel de mai jos. Tabelul 1.2. z(grade) 0 10 20 30 40 60 r(grade) 0 10 20 30 40. 60 Pentru a enunța legile feno- menului studiat, trebuie să con- siderăm propagarea unei singure raze de lumină AI, care iese din- tr-o sursă punctiformă A. Sursa punctiformă și raza de lumină ne permit să construim un model matematic al propagării luminii. Folosirea acestui model este jus- tificată prin eficacitatea sa în enunțarea legilor fenomenului studiat (fig. 1.8). a) Raza reflectată se află în planul determinat de raza incidență și normala în punctul de incidență, altfel spus: Raza incidență, normala și raza reflectată se află în același plan, b) Unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidență. 8 Capitolul 1 Reflexia și difuzia sunt două fenomene care se pot produce simultan. Aceasta depinde de natura și starea suprafeței pe care cade lumina, pentru ca unul dintre fenomene să fie predominant față de celălalt. Astfel, o folie de aluminiu netedă, care este folosită ca ambalaj alimentar, reflectă predominant lumina. Dacă este șifonată difuzează lumina, în mod predominant. De ce unele corpuri sunt colorate? Un corp alb difuzează toată lumina pe care o primește; un obiect negru practic nu difuzează lumina pe care o primește: el o absoarbe. Spre exemplu, un corp de culoare verde absoarbe o parte din lumina pe care o pri- mește, mai puțin o nuanță de verde pe care o difuzează. De ce este cerul albastru? în atmosferă există particule (molecule ale unor substanțe) care difuzează în mod predominant lumina albastră. Pe Lună nu există atmosferă, lumina primită de la Soare nu poate fi difuzată: cerul Lunii este negru și stelele sunt vizibile „în plină zi”. 1.2.2.1. Oglinda plană. Se numește oglindă plană o suprafață plană lucioasă care reflectă lumina. Să considerăm un punct luminos S, situat în fata oglinzii plane (fig-1.9). Fig. 1.10 Folosind legile reflexiei putem afla modul în care se formează imaginea obiectelor în oglinda plană. Razele care pornesc de la obiect și cad pe oglindă se reflectă. Imaginea ar trebui să se formeze în punctul de intersecție a razelor reflec- tate. Pentru a găsi acest punct va fi suficient să considerăm numai două raze Sf și SI, și să observăm că după reflexie ele continuă să formeze un fascicul divergent, punctul de in- tersecție fiind pe prelungirile lor. Imaginea Sf a punctului S în oglinda plană spunem că este virtuală, deoarece nu se formează la intersecția razelor de lumină reale ci la intersecția pre- lungirilor acestor raze. Deci în oglinda plană se obțin imagini virtuale ale obiectelor reale, așezate la distanță egală cu cea a obiectului față de oglindă, egale ca mărime, drepte și inversate (mâna stângă pare mâna dreaptă în imaginea dată de oglinda plană) (fig. 1.10). Oglinzi sferice. Se numește oglindă sfe- rică o calotă sferică lucioasă care reflectă practic întreg fasciculul incident pe suprafața sa (fig. 1.11). Optica geometrică 9 Dacă suprafața interioară a calotei este reflectantă oglinda este concavă, iar dacă suprafața exterioară este reflec- tantă oglinda este convexă. Polul calotei reprezintă vârful oglinzii. Centrul C și raza OC = R ale oglinzii sunt centrul și raza sferei din care a fost decupată calota. Axa optică principală a oglinzii este dreapta care trece prin punctele O și C. Toate celelalte drepte care trec prin C sunt axe secundare. Focarul principal imagine, F, este un punct de pe axa optică principală, care reprezintă imaginea unui punct obiect situat la infinit. Razele paralele între ele și paralele cu axa optică, izvorâte dintr-un punct obiect situat la infinit, sunt reflectate de oglinda concavă în focar. Din acest motiv această oglindă este numită oglindă convergentă (figura 1.12, a). Razele paralele provenind de la un punct obiect situat la infinit sunt reflectate de oglinda convexă în așa fel încât prelungirile lor trec prin focarul imagine (virtual) aflat în spatele oglinzii (figura 1.12, b). Aceste oglinzi se numesc oglinzi divergente. Focarul principal obiect, F, este un punct obiect situat pe axa principală, a cărui imagine se află la infinit. Distanța dintre vârful oglinzii și focar este aceeași, indiferent de natura focarului, deci distanțele focale: OF = OF1 =f Prin convenție se consideră că distanța focală a oglinzilor concave f< 0, iar aceea a oglinzilor convexe f> 0. Imaginea unui punct obiect aflat la infinit pe direcția unei axe secundare este situată pe axa secundară respectivă și se numește focar secundar. Planul perpendicular pe axa optică principală se numește plan focal al oglinzilor sferice. 10 Capitolul 1 Construcția imaginilor în oglinzile sferice Oglinzi concave (convergente,/< 0). Considerăm un segment mic de dreaptă AB, perpendicular pe axa optică a oglinzii. Este suficient să construim numai imaginea punctului B. Din fasciculul de raze izvorâte din punctul B, și incidente pe suprafața oglinzii, considerăm numai două dintre următoarele raze care au drumurile cunoscute. a) Raza care pornește din punctul B paralel cu axa optică, al cărei drum nu depinde de poziția obiectului; ea se reflectă totdeauna prin focar. b) Raza care cade pe oglindă trecând prin centrul C și care se reflectă pe aceeași direcție. c) Raza care pornește din punctul B, cade pe oglindă trecând prin focar și se reflectă paralel cu axa optică. Punctul imagine B' se află la intersecția razelor reflectate cores- punzătoare. Punctul A' este proiec- ția ortogonală a lui pe axa optică (fig. 1.13). Poziția, natura și orien- tarea imaginii AfBf depind de poziția și orientarea obiectului față de oglin- dă. Imaginea este dreaptă dacă are același sens ca și obiectul, și este răsturnată dacă are sens contrar. Să considerăm următoarele exemple: a) Obiectul este situat între focar și oglindă (figura 1.14). Razele emergente BC și EF sunt divergente, așa că imaginea A'B' se poate forma numai în prelungirea lor. Imaginea este virtuală, dreaptă și mai mare decât obiectul. b) Obiectul este plasat între focarul F și centrul C al oglinzii, imaginea A'B' a obiectului AB se formează între centrul C și minus infinit, și este reală, răsturnată și mai mare decât obiectul (figura 1.15). Optica geometrică 11 Fig. 1.15 Oglinzi divergente. Focarul oglinzilor convexe este virtual. Imaginile unui obiect real date de oglinda convexă sunt formate de prelungirile razelor emergente (fig. 1.16). Aceste imagini sunt totdeauna drepte, virtuale, mai mici decât obiectul. Oglinda convexă poate da o imagine reală numai unui obiect virtual, dacă acesta este situat între oglindă și focarul F. In acest caz imaginea este reală, dreaptă și mai mare decât obiectul. Oglinzile sferice, atât cele convergente cât și cele divergente se folosesc în construcția aparatelor optice sau în alte diferite scopuri. Spre exemplu, oglinda convexă se folosește ca oglindă retrovizoare la automobile. Exemplu Și 2 O persoană, ai cărei ochi se află la înălțimea de 1,7 m de sol, stă în picioare la distanța de 1,2 m de o oglindă verticală. a) La ce înălțime maximă h față de sol trebuie să se afle oglinda pentru ca această persoană să-și vadă pantofii? 12 Capitolul 1 b) înălțimea h depinde de distanța dintre persoana respectivă și oglindă? Rezolvare, a) Pentru ca persoana să-și vadă pantofii trebuie ca o rază de lumină să pară că vine de la imaginea pantofilor și sosește în ochi. Unghiul de incidență i este egal cu unghiul de reflexie i'. Triunghiul AOB este isoscel. Normala la oglindă în O intersectează segmentul AB la jumătatea sa și la înălțimea h față de sol: , AB 1,7 nor h =----= — = 0,85 m. 2 2 b) Această valoare a lui h nu depinde de poziția persoanei în raport cu oglinda, ea nu depinde decât de înălțimea acestei persoane. Exemplul 3 Arătați că dacă o rază de lumină reflectată de către o oglindă plană trece printr-un punct A, prelungirea razei incidente corespunzătoare trece printr-un punct A', simetric cu A în raport cu oglinda. Rezolvare. Direcțiile razelor SI și IR fac cu planul oglinzii Munghiuri egale. Triunghiul IAA’ este isoscel. Dreapta IM este perpendiculară pe latura AA' la jumătatea sa. Punctele A și /('sunt simetrice în raport cu oglinda. Exemplul 4 Două oglinzi plane formează între ele un unghi diedru A. O rază de lumină incidență suferă o primă reflexie în punctul I, de pe una dintre oglinzi, sub unghiul de incidență i, apoi o a doua reflexie în Z'sub unghiul de incidență i', pe cea de a doua oglindă. După aceste două reflexii raza emergentă face cu direcția inițială unghiul D. Determinați relația dintre unghiurile D și A. Rezolvare. Patrulaterul AI'KI are unghiuri drepte în I și I' deci: A + unghiul I'KI = n. (A) Unghiul D este exterior triunghiului 1’ Dl, deci: D = 2i+2i'= 2(i+/'). (B) în triunghiul I'KI avem: i + i' + unghiul I'KI= n. (C) Relațiile (A) și (C) dau i + i'= A. Conform relației (B) rezultă D = 2A. Optica geometrica 13 Probleme propuse 1.3. Vă aflați la 20 cm de o oglindă plană verticală. La ce distanță vedeți imaginea voastră dată de oglindă? Vă îndepărtați de oglindă cu 5 cm. In ce sens se deplasează imaginea voastră și cu cât? 1.4. Considerăm un fascicul de lumină care iese dintr-un punct A reprezentat în figura alăturată. a) Desenați fasciculul reflectat de oglindă. b) Arătati că fasciculul reflectat pare că provine dintr-un punct A' simetric cu punctul A în raport cu planul oglinzii. (Spunem ca A' este imaginea lui A în oglinda plană). 1.5. O persoană are înălțimea de 1,70 m. Distanța dintre ochii săi și sol este de 1,60 m. Ea dorește să monteze, în poziție verticală, pe un perete, o oglindă, în așa fel încât să se vadă în întregime. Care trebuie să fie înălțimea minimă a oglinzii? La ce distanță față de sol trebuie fixată oglinda? 1.6. Două oglinzi plane și O2 fac între ele un unghi diedru egal cu 45°. O rază de lumină care se află în planul perpendicular pe intersecția celor două oglinzi cade pe O{ sub un unghi de incidență i = 22°. Raza reflectată cade pe oglinda Ov care o reflectă din nou, la rândul său. Această ultimă rază reflectată intersectează raza incidență sub unghi D. Calculați unghiul D. 1.7. Considerăm un fascicul de lumină, care pornește dintr-un punct A al flăcării unei lumânări (figura alăturată), și care cade pe o oglindă plană. a) Reprezentați fasciculul reflectat de oglindă. b) Determinați grafic imaginea^' a punc- tului A, dată de oglindă. în ce raport sunt distan- țele punctelor AA'și față de oglindă? 1.2.3. Refracția luminii. Refracția este fenomenul de schimbare bruscă a direcției de propagare a luminii la trecerea dintr-un mediu în altul. Experiment. Fixăm pe discul Harți un corp de sticlă de formă semicilindrică (fig. 1.17, a). Trimitem un fascicul de lumină cilindric pe fața AB a semicilindrului. Observăm o schimbare bruscă a direcției de propagare a luminii la trecerea din aer în sticlă. Fasciculul SI este fasciculul incident, iar fasciculul ID este fasciculul refractat. 14 Capitolul 1 Fig. 1.17, b Fig. 1.17, a Segmentul IO perpendicular pe suprafața AB, de separare dintre aer și sticlă, este normala în punctul I. Notăm unghiul de incidență cu i și unghiul de refracție cu r. Mediile în care se propagă lumina, aerul notat cu 1 și sticla notată cu 2, le considerăm omogene și caracterizate prin indicii de refracție, în raport cu vidul: unde c este viteza luminii în vid, vf respectiv v2 sunt vitezele luminii în cele două medii de propagare. Rotim discul astfel încât în poziția sa inițială direcția fasciculului incident să coincidă cu normala la suprafața de separare a celor două medii. Constatăm că fasciculul incident la suprafața AB nu este deviat. Determinăm unghiurile de refracție r corespunzătoare unghiurilor de incidență /, rotind discul. Valorile acestor unghiuri le trecem într-un tabel ca cel de mai jos (tabelul 1.3). în tabel trecem și sinusurile acestor unghiuri precum și raportul dintre sinusul unghiului de incidență și sinusul unghiului de refracție corespunzător. Tabelul 1.3 l r sin i sm r sin i smr 0° 0° 0 0 - 10° 6°30' 0,17 365 0,11 350 1,53 20° 12°30' 0,34 202 0,21 644 1,58 30° 19° 0,50 000 0,32 557 1,54 40° 25° 0,64 279 0,42 262 1,52 50° 30° 0,76 604 0,50 000 1,53 60° 34°30' 0,86 603 0,56 641 1,53 70° 38° 0,93 969 0,61 566 1,53 Ținând cont de erorile de măsurare, constatăm că există un raport constant între sinusurile unghiurilor de incidență și sinusurile unghiurilor de refracție, pe care îl notăm cu 7721. Luând valoarea medie a rezultatelor obținute, avem: Optica geometrică 15 sini 153s- • sm r 2 Am demonstrat experimental legile refracției, pe care le enunțăm astfel: a) Raza incidență, raza refractată și normala sunt în aceiași plan. b) Raportul dintre sinusul unghiului de incidență și sinusul unghiului de refracție este o constantă caracteristică celor două medii prin care se propagă lumina. sinz «21 =“------ smr (1-3) Mărimea nv este indicele de refracție al mediului al doilea în raport cu primul; (1.4) «1 C/Vy V2 Relația (1.3) se mai poate scrie și astfel: nx sin i = n2 sin r. (1-5) Dacă raza de lumină trece dintr-un mediu cu indicele de refracție mai mic într-un mediu cu indicele de refracție mai mare (n, >n{), raza refractată se apropie de normală (fig. 1.18). Spunem că al doilea mediu este mai refringent decât primul. Fig.l. 18 Spre exemplu, sticla este mai refringentă decât aerul sau decât apa. Dacă raza de lumină trece dintr-un mediu cu indicele de refracție mai mare într-un mediu cu indicele de refracție mai mic (n2 > n{) raza refractată se îndepărtează de normală (fig. 1.19). Mediul al doilea este mai puțin refringent decât primul. 1.2.4. Reflexia totală Primul caz, unghiul limită. Fie o rază de lumină care trece dintr-un mediu mai puțin refringent într-un mediu mai refringent (^ < n^, de exemplu din aer în apă (fig. 1.20). 16 Capitolul 1 Dacă mărim progresiv unghiul de incidență i, constatăm că unghiul de refracție crește odată cu unghiul de incidență, însă mai puțin decât acesta. Când unghiul de incidență tinde către 90° (incidență razantă), unghiul de refracție tinde către o valoare limită i. nx sin 90° = n2 sin l, sau sin l = — • n2 Fig. 1.21 în a! doilea caz se produce reflexia totală. Experiment. Așezăm pe discul Harți o jumătate de cilindru din sticlă, așa cum se vede în figura 1.21. Trimi- tem pe jumătatea de cilindru un fascicul de lumină îngust. Mărim progresiv unghiul de incidență, și măsurăm pentru fiecare valoare a unghiului de incidență valoarea unghiului de refracție. Spre exemplu când unghiul de incidență are valoarea de 20° unghiul de refracție are valoarea de 31°, iar când unghiul de incidență are valoarea de 42°, unghiul de refracție are valoarea de 90°. Când unghiul de incidență are valoarea de 60°, constatăm că nu se mai produce refracție, lumina se reflectă total pe fața plană a jumătății de cilindru. Interpretarea experimentului. în experimentul efectuat lumina trece dintr-un mediu mai refringent într-un mediu mai puțin refringent (n{ > n^ (fig. 1.22). Dacă mărim progresiv unghiul de incidență z, unghiul de refracție crește mai repede decât unghiul de incidență. Optica geometrica 17 Când unghiul de incidență atinge valoarea limită /, raza refractată este tangentă la suprafața de separare a celor două medii (emergență razantă), și r = 90°. Dacă unghiul de incidență este mai mare decât unghiul limită, nu mai există refracție, lumina se reflectă total în mediul din care a venit. Spunem că s-a produs fenomenul de reflexie totală. Dacă i = / și r = 90°, avem: Unghiul limită, pentru două medii transparente în contact, are o valoare bine determinată, el depinde numai de indicii de refracție ai celor două medii. Reflexia totală se produce atunci când sunt îndeplinite condițiile următoare: a) indicele de refracție al mediului de incidență este mai mare decât cel al mediului de refracție, și: b) unghiul de incidență este mai mare decât unghiul limită l. Exemplul 5 O rază de lumină se propagă printr-o sticlă cu indicele de refracție n{= 1,5 lovind suprafața de separare sticlă - aer sub un unghi de incidență ij =50°. Se poate calcula unghiul de refracție r{ în punctul P. Raza incidență se refractă în aer? Rezolvare. Aplicăm legea refracției și obținem: sin rx= — sin ip sin r\ = 1,5 sin 50° = 1,15 > 1. n2 Calculul lui r este imposibil. în punctul I nu se produce refracția luminii ci se produce reflexia totală a razei de lumină. 18 Capitolul 1 Aplicații ale fenomenului de reflexie totală. a) Prisma cu reflexie totală este folosită în construcția binoclurilor și a unor aparate fotografice de tip reflex, deoarece unghiul de incidență (în cazul acestei prisme), de 45°, este mai mare decât unghiul limită al sticlei care este de 42° (fig. 1.23). b) Fibrele optice au următoarea construcție: - o parte externă (mantaua) formată din oxid de siliciu pur (SiO2) cu indicele de refracție n, = 1,5; - o parte centrală numită „inimă”, formată din oxid de siliciu, impurificat cu cantități foarte mici de compuși ai fosforului și germaniului, pentru mărirea indicelui de refracție la valoarea n{ = 1,52. Aceste două straturi care formează fibra optică sunt introduse într-o „cămașă” de protecție formată dintr-un material plastic (fig. 1.24). Fig. 1.24 Propagarea luminii în fibra optică este prezentată schematic în figura 1.25. Deoarece indicele de refracție n, este mai mic decât indicele de refracție n și unghiul de incidență f este mai mare decât unghiul limită, se produce reflexia totală în punctele I, J, K, ... Raza de lumină este canalizată în interiorul fibrei așa cum se vede pe figură. Optica geometrica 19 Fibrele optice se folosesc în medicină, la construcția unui aparat numit endoscop, care permite efectuarea de fotografii în interiorul corpului uman (endoscopie): stomac, colon etc. Cablul introdus în cavitatea care trebuie observată este în general dublu: unul servește la iluminare iar celălalt la transmiterea imaginii. Poate fi folosită o fibră suplimentară, care să transmită o lumină laser care permite să se facă microchirurgie. Fibrele optice se folosesc pe scară largă în telecomunicații: telefonie, televiziunea prin cablu etc. c) Mirajul. în timpul verii, în zilele foarte călduroase, deplasându-ne pe o șosea avem impresia că vedem la orizont o pânză de apă. Totuși, când ne apropiem, în locul apei vedem asfaltul cald. Acesta este mirajul care apare pe șosele și este de aceeași natură cu cel întâlnit în deșert. Acest fenomen ține de faptul că solul, din cauza căldurii intense, provoacă o dilatare a straturilor atmosferice care sunt în contact cu el. Acestea devin mai puțin refringente decât straturile superioare. Dacă mediul ar fi omogen, drumul urmat de lumina care provine de la o regiune albăstruie de pe cer, din jurul unui punct M, până la ochiul unui observator situat în punctul O, ar fi dreapta MO (fig. 1.26). Mediul nefiind omogen, lumina urmează un drum curbat între punctele Mși O, din cauza variației indicelui de refracție al aerului, și suferă o reflexie totală în punctul R. Observatorul vede obiectul în punctul M'. Un observator care primește astfel de raze în ochi vede atunci imaginile răsturnate ale obiectelor (fig. 1.27). Peisajul pare reflectat pe un plan de apă. O plăcuță cu fețele plane paralele, este formată din trei regiuni cu suprafețele plane și paralele cu fețele plăcuței, egale în grosime și având indicii de refracție egali, respectiv cu: = V3, _ n\ n2 n2 - n3 unde k este o constantă. k k 20 Capitolul 1 Mediul înconjurător are un indice de refracție n = 2,5. Care este valoarea lui k, dacă i = 30° o este unghiul minim de incidență pe suprafața superioară a plăcuței, pentru care se produce o reflexie totală pe suprafața plană care separă regiunile 2 și 3? Rezolvare. Se scrie legea refracției: /7()sin i = ^sin r între suprafața superioară și suprafața 1; (1.7) a?!sin r = n2sin / între suprafețele 1 și 2; (1.8) /r2sin / = rosin 90° între suprafețele 2 și 3. (1.9) Din relațiile (1.7) și (1.8) rezultă: ??osin i = n2sin / (1.10) Din relațiile (1.9) și (1.10) rezultă: . . n2 . . nx i I n, , ^3 smz = nv n0 smz = —» nQ smz =— => k = --------------!— =>£= ------------=1,17 k k \ n0 sinz i 2 5 — V ’ 2 1.2.5. Principiul reversibilității razelor de lumină. Dacă inversăm sensul de propagare a luminii, adică raza reflectată IR (fig. 1.28, a și b) și raza refractată R'I devin raze incidente, atunci raza IS devine rază reflectată și raza ISf devine rază refractată, deci legile reflexiei și legile refracției rămân neschimbate. Fig. 1.28 1.2.6. Prisma optică. Prisma optică este un mediu transparent mărginit de două fețe plane, care fac între ele un unghi diedru (fig. 1.29). Dreapta după care se intersectează aceste plane se numește muchia prismei, iar unghiul dintre cele două plane se numește unghi refringent sau, simplu, unghiul prismei. Orice plan perpendicular pe muchia prismei se numește secțiune principală. Optica geometrica 21 în cele ce urmează vom urmări refracția unei raze luminoase într-o astfel de secțiune principală. Fie A unghiul refringent al unei prisme și n indicele de refracție relativ al substanței din care este construită prisma (de obicei, sticlă) în raport cu aerul. O rază de lumină SI, incidență pe fața AX a prismei (fig. 1.30), se refractă în punctul I, apropiindu-se de normală, deoarece vine dintr-un mediu mai puțin refringent (aerul) și intră într-un mediu mai refringent (sticla), în conformitate cu legea refracției: sin i = n sin r. (1.11) întâlnind fața A Y a prismei raza de lumină suferă o a doua refracție în punctul de emergență depărtându-se de normală, după legea: n sin / = sin i'. (1.12) Considerând triunghiul INE, unghiul său exterior a este egal cu (r + r'); pe de altă parte el este egal cu A (unghiuri cu laturile perpendiculare), de unde: r + r' = A. (1.13) Constatăm că raza de lumină care se refractă în 1 suferă o deviație (z - r), și în /' suferă o deviație (/'— r') în același sens, deviația sa totală este: D = i - r + r'= i + i’~ (r + /); D = i + Y -A. (1.14) Putem calcula deviația D, având în vedere că acest unghi este unghi exterior triunghiului IKE, de unde: D = (z - r)+ (/'- r'). (1.15) Condiția de emergență. Emergența este însușirea unui fascicul de lumină sau a unei raze de lumină (numit fascicul emergent sau rază emergentă) de a părăsi un sistem optic. Exemplu: un fascicul emergent dintr-o lentilă sau dintr-o prismă sau o rază de lumină emergentă dintr-o lentilă sau dintr-o prismă. Să căutăm condițiile pentru ca o rază care pătrunde în prismă să poată ieși din ea (adică să nu sufere reflexie totală în punctul E, care poate avea loc, deoarece raza de 22 Capitolul 1 lumină trece dintr-un mediu optic mai refringent în altul mai puțin refringent). Pentru ca aceasta să aibă loc trebuie ca: de unde . , . . 1 sin r < sin z = —, n r' < l, (1-16) (1-17) unde / reprezintă unghiul limită la suprafața de separare AY. în punctul de incidență I, lumina trece dintr-un mediu optic mai puțin refringent în altul mai refringent și refracția are loc întotdeauna (paragraful 1.2.4, primul caz), rezultă că: r < l. (1-18) Din adunarea relațiilor (1.17) și (1.18) rezultă: r'+ r = 21, sau A <21 1.19) Aceasta este deci condiția pentru ca o rază intrată în prismă să mai poată ieși din ea. > Exemplul 7 Razele incidență, SI, și emergentă, l'R, sunt egal înclinate în raport cu fețele prismei, cu secțiunea un triunghi echilateral. Unghiul de incidență este i = 60°. Calculați indicele de refracție al prismei. Rezolvare. Razele incidență și emer- gentă sunt simetrice în raport cu prisma; raza refractată II', datorită acestei simetrii, este normală la bisectoarea unghiului A (unghiul A = 60°). Unghiul r este egal cu r'. A = r + r' = 2r-r = - = 30°. 2 Aplicăm legea refracției în punctul I; sin 60° = n sin 30°, și obținem « = V3 = 1,73. Optica geometrică 23 Exemplu! 8 O rază de lumină este incidență într-un punct I, pe fața unei prisme cu secțiunea echilaterală. Considerăm printre razele incidente posibile, o rază care iese din prismă tangent la suprafața sa. Calculați unghiul de incidență i(}, al acestei raze, știind că unghiul limită este / = 40°. Rezolvare. Unghiul /, corespunzător unei emergente razante la prismă, are ca valoare unghiul limită / (/' = 90°). Unghiul prismei este dat de relația (1.13): A = r + rr => r = A - l, și legea refracției dă: sin i^ = n sin(^ - /); pe de altă parte, 1 1 . . sinG4-/) . . .. știm ca: sin/ = — =>« =----, prin urmare: sinz0=----:-----. Calculul numeric da: n sin l sin l sinz0 = — « 0,532, și i « 32°. 0 sin 40° 0 Probleme propuse 1.8. O rază de lumină cade pe suprafața apei așa cum se vede în figură. a) Să se reprezinte pe un desen unghiul de incidență și unghiul de refracție. b) Precizați dacă în situația prezentată raza de lumină s-ar putea reflecta total și justificați răspunsul. 1.9. O rază de lumină pătrunde într-un cilindru de sticlă, așa cum se vede în desenul alăturat. a) Reprezentați mersul razei de lumină la ieșirea din cilindru. b) Câte refracții suferă raza de lumină incidență până la ieșirea din cilindru? 1.10. Din ce cauză lingurița într-un pahar de ceai ni se pare frântă atunci când privim paharul ținându-1 mai sus de ochi? 1.11. Se consideră o prismă de sticlă. Pe o față a prismei cade o rază de lumină așa cum se vede în desen. Să se reprezinte mersul razei de lumină până la ieșirea din prismă și să se precizeze ce fenomene au loc. 1.12. Un obiect se află dincolo de centrul de curbură al unei oglinzi convexe. Să se construiască imaginea și să se precizeze ce fel de imagine s-a obținut. 1.13 .0 rază de lumină aflată în planul secțiunii principale a unei prisme cu indicele de refracție n = 1,5, cade pe una dintre fețele prismei sub un unghi de incidență de 45°. 24 Capitolul 1 Ce valoare ar trebui să aibă unghiul prismei pentru ca raza emergentă să fie perpendiculară pe cealaltă față? 1.14. O rază de lumină pătrunde într-o prismă cu unghiul^ = 48° și cu indicele de refracție n = 1,63, sub o incidență i = 53°20'. Calculați unghiul de deviație. 1.15. Fie o prismă cu unghiul A = 30°. O rază de lumină cade normal pe una din fețele prismei și iese pe fața opusă, fiind deviată cu 30°. Să se calculeze indicele de refracție al prismei. 1.16. Să se aleagă răspunsul corect: Reflexia totală a luminii se produce dacă: A) n2 > și i > / ; B) n2 < n{ și i > /; C) n, > n} și i < /; D) n2 = n{ și i = /. 1.3. Lentile subțiri 1.3.1. Definiție. O lentilă este un mediu transparent limitat prin două suprafețe sferice, sau printr-o suprafață sferică și un plan (fig. 1.31, a și b). După forma lor, lentilele se clasifică astfel: Fig. 1.31 a) Lentile cu marginile subțiri (fig. 1.31, a): convex concave, biconvexe și plan convexe. b) Lentile cu marginile groase (fig. 1.31, b): concav-convexă, biconcavă, plan- concavă. 1.3.2. Axa optică principală. în figura 1.32 se pun în evidență două calote sferice care limitează un mediu optic transparent formând o lentilă. Dreapta care trece prin centrele celor două sfere reprezintă axa optică principală a lentilei. 1.3.3. Lentile subțiri. Spunem că o lentilă este subțire dacă grosimea sa Sfi, = e (fig. 1.32) este mult mai mică decât razele celor două sfere, e < Rr e < R?, e < (Rf - RJ. în cazul lentilelor subțiri punctele St și S. sunt practic confundate; punctul corespunzător se numește centrul optic al lentilei. Optica geometrică 25 Centrul optic al unei lentile este punctul în care axa optică principală traversează lentila. II notăm cu O. Trimitem pe o lentilă un fascicul de lumină cilindric, în așa fel ca să treacă prin centrul optic (fig. 1.33); constatăm că fasciculul traversează lentila fără să fie deviat. Orice rază de lumină care cade pe o lentilă, în centrul său optic, traversează lentila fără să fie deviată. Trimitem pe o lentilă cu marginile subțiri mai multe raze paralele cu axa optică principală (fig. 1.34, a); constatăm că, după ce au traversat lentila, ele converg într-un punct de pe axa principală. Acest punct de pe axa principală, prin care trec toate razele incidente, paralele cu axa principală, se numește focarul principal imagine al lentilei, pe care îl notăm cu F(. Lentilele care au proprietatea de a concentra razele incidente paralele cu axa principală într-un punct, numit focar imagine, se numesc lentile convergente. In figura 1.34, b este reprezentat semnul convențional al lentilelor subțiri convergente. Pe desen s-a figurat și centrul optic și o rază care trece prin acesta nedeviată. Trimitem pe o lentilă cu marginile groase mai multe raze de lumină paralele cu axa optică principală (fig. 1.35, a). Constatăm că după ce fasciculul traversează lentila 26 Capitolul 1 devine divergent. Lentilele care au această proprietate de a transforma un fascicul paralel într-un fascicul divergent se numesc lentile divergente. în figura 1.35, b, este reprezentat semnul convențional al lentilelor divergente. Fig. 1.35, a Fig. 1.35, b 1.3.4. Lentile convergente subțiri. Focarul principal imagine F este punctul de pe axa optică principală în care converg razele emergente (care au traversat lentila) când pe lentilă cade un fascicul cilindric paralel cu axa optică principală (fig. 1.36). Orice rază de lumină incidență paralelă cu axa principală a unei lentile convergente emerge trecând prin focarul său imagine principal Ff. Deoarece după ce au traversat lentila convergentă, razele trec efectiv prin F', spunem că acest focar principal imagine este real. Fig. 1.37 Fig. 1.36 Planul perpendicular pe axa principală în F' se numește plan focal imagine. Luăm un sens pozitiv pe axa principală, pe care îl considerăm ca fiind sensul de propagare a luminii. Distanța de la centrul O al lentilei până la focarul imagine sau până la planul focal imagine o numim distanța focală imagine, pe care o notăm cu f. Focare secundare imagine. în afara axei optice principale, orice dreaptă care trece prin centrul O al lentilei se numește axă secundară. Trimitem pe lentila convergentă Optica geometrică 27 un fascicul de raze paralele cu o axă secundară (fig. 1.37). Constatăm că, după ce au traversat lentila, razele converg într-un punct în planul focal imagine al lentilei pe care îl numim focar secundar imagine și îl notăm F^. Focarul principal obiect. Deplasăm pe axa principală a unei lentile convergente o sursă de lumină punctiformă. (Sursa de lumină emite un fascicul divergent.) Con- statăm că există o poziție a acestei surse astfel încât fasciculul divergent care este tri- mis pe lentilă este transformat în fascicul cilindric paralel cu axa principală (fig. 1.38). Punctul de pe axa principală care este originea fasciculului divergent transformat în fascicul cilindric paralel cu axa principală este focarul principal obiect, pe care îl notăm cu F. Orice rază de lumină care trece prin focalul principal obiect F cd unei lentile convergente emerge paralel cu axa optică principală. Spunem că foc anii principal obiect F al unei lentile convergente este real, deoarece razele de lumină care merg spre lentilă trec efectiv prin acest focar. Planul perpendicular pe axa optică principală în F este planul focal obiect. Distanța de la focarul F la centrul O al lentilei se numește distanță focală obiect, notată cu f Focarele F și F’ sunt simetrice față de centrul optic O al lentilei. Focarele F și F sunt la distanțe egale față de centrul optic al lentilei (fig. 1.39). Distanțele focale sunt egale în valoare absolută dar de semn opus: /7 = f în calcule vom folosi numai una dintre aceste distanțe focale și anume distanța focală imagine /', a cărei valoare este pozitivă:/' > 0. Focare secundare obiect. Punctul luminos considerat în cazul figurii 1.38 îl deplasăm vertical: obținem figura 1.40 unde obiectul punctiform luminos se află în punctul Ft din planul Fig. 1.40 28 Capitolul 1 focal obiect. Fasciculul divergent care pornește din acest punct, după traversarea lentilei este cilindric, dar nu este paralel cu axa principală. Deoarece raza F}O nu este deviată de lentilă, dreapta F p constituie o axă secundară, și fasciculul emergent este paralel cu această axă. Imaginea dată de o lentilă. Condiția obținerii unei imagini nete Dacă imaginea unui obiect, dată de un sistem optic, corespunde obiectului punct cu punct, adică fiecărui punct al obiectului îi corespunde un punct (unul singur) în imagine, se spune că imaginea obiectului este stigmatică. Stigma înseamnă în limba greacă punct. Oglinzile plane dau imagini riguros stigmatice. Cu o lentilă subțire convergentă nu se poate obține un stigmatism riguros ci numai un stigmatism aproximativ, și numai în anumite condiții de aproximație, date de fizicianul și matematicianul german Gauss. a) Fasciculele de lumină, care formează imaginile obiectelor, trebuie să fie foarte înguste și apropiate de axa optica principală. b) Fasciculele de lumină trebuie să fie foarte puțin înclinate față de axa optică principală. Astfel de fascicule se numesc paraxiale. Un fascicul paraxial se obține prin diafragmare. Diafragma este o placă opacă prevăzută cu o deschidere circulară, care poate avea diametru variabil și care are rolul de a limita secțiunea fasciculului de lumină. Fig. 1.41 Se poate observa experimental că o lentilă convergentă subțire dă unui obiect o imagine bună numai în condițiile de stigmatism aproximativ. Experiment Deplasăm în fața unei lentile subțiri convergente un obiect mic luminos A (fig. 1.41). Pentru o anumită poziție a obiectului, se obține pe ecran o pată luminoasă. Constatăm că: a) Atâta timp cât A rămâne depărtat de axa optică principală, aspectul petei luminoase se aseamănă foarte puțin cu obiectul. b) Pe măsură ce A este apropiat de axa optică principală, perpendicular pe aceasta, și dacă lentila este diafragmată, imaginea lui A va fi perpendiculară pe axa optică și mult mai clară. Nu se poate obține niciodată o imagine perfectă. Cu o lentilă convergentă nu se poate obține decât un stigmatism aproximativ., Pentru ca lentilele să dea imagini i iaix trebuie folosite astfel încât să fie. realizate condițiile de stigmatism. agrar ale lai Gauss. Optica geometrica 29 1.3.5. Construcția imaginii unui obiect produsă de o lentilă convergentă Considerăm obiectul AB, perpendicular pe axa optică a lentilei. Pentru a construi imaginea A'B' a acestui obiect dată de lentilă, este suficient să construim imaginea punctului B, extrem al obiectului, în afara axei optice. In acest sens trebuie să găsim punctul de intersecție, după trecerea prin lentilă, a două dintre următoarele raze: a) raza paralelă cu axa optică a lentilei, care trece după refracție prin focarul imagine F'; b) raza care trece prin centrul optic al lentilei, care nu este deviată; c) raza care trece prin focarul obiect F, care iese din lentilă paralel cu axa optică principală. Punctul de intersecție B' al razelor principale după refracția prin lentilă este ima- ginea punctului B. Imaginea punctului A se obține ducând perpendiculara din punctul imagine Bf pe axa optică (fig. 1.42). Dăm câteva exemple de construcție a imaginii unui obiect printr-o lentilă. a) Figura 1.43. Obiectul real AB se află în intervalul dintre focarul obiect și infinit. Imaginea este reală și răsturnată. b) Figura 1.44. Obiectul real este situat între focarul obiect F și lentilă. Imaginea este virtuală, dreaptă și mai mare decât obiectul (cazul lupei sau al lentilelor ochelarilor unui hipermetrop). c) Figura 1.45. Obiectul virtual este situat dincolo de focarul imagine. Imaginea este reală și dreaptă. (Obiectul este dat de un instrument optic situat în fața lentilei.) 30 Capitolul 1 Experiment, Așezați pe o suprafață plană, în linie dreaptă, spre exemplu pe un banc optic, un obiect care emite lumină (spre exemplu o lumânare), o lentilă convergentă și un ecran format fie din sticlă mată fie dintr-o foaie de hârtie albă (fig. 1.46). Fig. 1.46 Așezați lumânarea la o distanță mare de lentilă. Deplasați ecranul până când se formează pe acesta o imagine netă a lumânării. Constatați că această imagine este inversată și mai mică decât obiectul. Apropiati treptat lumânarea de lentilă și determinați, pentru fiecare caz, poziția ecranului pentru care imaginea formată pe acesta este netă. Veți observa că imaginea devine din ce în ce mai mare pe măsură ce lumânarea se apropie de lentilă. De la o anumită distanță este imposibil să se obțină o imagine pe ecran. Nu se mai formează o imagine reală, dar, dacă priviți prin lentilă, observați o imagine virtuală, dreaptă și mai mare decât obiectul. în concluzie, pe ecran se prind numai imaginile reale. Imaginile virtuale nu se prind pe ecran. Rezultatul experimentului experime nt distanța obiect - lentilă distanța imagine - lentilă caracteristica imaginii B 4 A' OA>2f f2f -reală; -răsturnată; -mai mare decât obiectul. HA F\ B' Optica geometrica 31 experiment distanța obiect - lentilă distanța imagine - lentilă caracteristica imaginii o\F' H' OA=f OA' = co -virtuală; -se formează la infinit H F A B’ / W  0\F' H' OA OA -virtuală; -dreaptă; -mai mare decât obiectul; (Lupa) H A’F A Formulele lentilelor convergente. Consi- derăm un obiect liniar AB situat pe axa optică a unei lentile convergente, la o distanță OA > f Construcția geometrică a imaginii este prezentată în figura 1. 47. a) Formula lui Newton. Triunghiurile drep- tunghice FAB și FOJ sunt asemenea. Scriem proporționalitatea laturilor: AB FA ■ ro or' z' a ■ AB FA Fig- 1-47 și FO = OF = / , deci-------= —. & A'B' f Din triunghiurile asemeneaIOF' și F'A'B’ obținem: --- = unde OI = AB și F'O = - OF = -de unde . A’B1 FA' A'B1 FA1 Vom nota FA = x și F'A' = x' și obținem: AB A'B' x - —, de unde: t 7 xx = ~f /2 (1-20) Mărirea liniară este dată de raportul dintre înălțimea imaginii A'B’ și înălțimea AB a obiectului: P = A'B' AB ’ (1-21) 32 Capitolul 1 P > 0: obiectul și imaginea sunt de același sens; P < 0: imaginea este răsturnată în raport cu obiectul; I p | > 1: imaginea este mai mare decât obiectul; | P | < 1: imaginea este mai mică decât obiectul. Expresia mărimii liniare se mai poate scrie și astfel: = L = (1.22) AB x f Formula lui Descartes (formula punctelor conjugate). Vom deduce formula lentilelor stabilită de Descartes, pornind de la formula lui Newton. Pozițiile obiectului și a imaginii le determinăm în raport cu originea O, care este centrul optic al lentilei, astfel: OA = p și OA’ = p'. (1.23) x = FA = FO + OA = f + p, deoarece FO =f; x' = F'A' = F'O + OA' = -/'+ p', deoarece F'O = -f'. xx' =f'2< (f + p\-f'+ p') = -/ '2; xx' = /'2 . După transformări obținem: -pf + p'f'+pp' = 0. împărțim această relație prinpp'fșx obținem formula lenti- lelor subțiri convergente sau formula lui Descartes: P P' f (1-24) Calculăm formula măririi liniare, având în vedere că triunghiurile BAO și B'A'O sunt asemenea: . de unde: AB OA = sau = o-25) AB p o p unde / este mărimea imaginii și o este mărimea obiectului. Observații. Toate mărimile care sunt cu- prinse în formulele de mai sus sunt mărimi algebrice, care pot avea semnul minus sau plus. Distanța focală/' este o mărime pozitivă. Experimente. Folosim bancul optic pre- zentat schematizat în figura 1.48. Acesta se compune dintr-o bară divizată în milimetri, Fig. 1.48 Optica geometrică 33 pe care se montează suporți culisanți. La una dintre extremitățile bancului optic montăm o lampă, în fața căreia așezăm un ecran opac în care s-a practicat o fantă foarte fină, care servește drept obiect luminos. La cealaltă extremitate montăm un ecran de culoare albă, pe care se vor forma imaginile. Primul experimeni. Se deplasează o lentilă convergentă între obiect și ecran până când se obține o imagine netă a obiectului pe ecran. Se măsoară distanțele: p (de la obiect la lentilă) șip' (de la lentilă la imagine). Datele obținute experimental se trec într-un tabel ca cel de mai jos. Se calculează distanța focală cu ajutorul relației obținute Id-p' din formula lentilelor: J ~ rn ;. \P\ + P Tabelul 1.5 H (m) //(m) p + p 0,6 0,2 0,15 Se fac mai multe determinări. Distanța focală se obține ca medie aritmetică a tuturor determinărilor. b) Al doilea experiment. Se deplasează lentila între obiectul luminos și ecran, se constată că se obțin pe ecran două imagini nete ale obiectului pentru două poziții ale lentilei. Se măsoară distanțele: D (dintre obiect și ecran), OA} ^[(distanța între obiect și prima poziție a lentilei), OA2 =p2 (distanța dintre obiect și a doua poziție a lentilei). Datele se trec într-un tabel ca cel de mai jos. Distanța focală se calculează cu ajutorul formulei următoare: D2-d2 J ~ 4d pe care urmează să o demonstrăm (d = p2 - pf Tabelul 1.6 D(m) A(m) /72(m) d = Pi-PxOO D2 J2 . D2 -d2 J = (m) W 1 0,22 0,42 0,2 1 0,04 0,24 Deducerea formulei. Pentru un obiect luminos, liniar, AB, situat la distanța D față de un ecran E, se obțin pe acesta două imagini clare date de o lentilă convergentă așezată în două poziții între care există distanța d. Determinați distanța focală a lentilei. 34 Capitolul 1 Rezolvare. Fie O centrul optic al lentilei. în poziția OA = -p, lentila formează pe ecran imaginea A'B' a obiectului AB (OA' = p'). Distanța dintre obiect și ecran D = AA' = O A + OA' = p' + (-p'~) deci p' = D + p. Scriem formula lentilelor: f 11 1 1 1 -D -----=------, sau — = ——--- de unde: p' p D + p p f p(D + p) p2 + Dp + Df= 0 (A) Dacă este îndeplinită condiția D2 - 4Df> 0, se obțin două imagini reale. Soluțiile ecuației (A) corespund celor două poziții O{ și O2 ale centrului optic O al , . -D + Jd2 - 4Df -D-JD^ĂDf lentilei: 0{A = -Pl =---------J- ;O2A = ~p2 =-------------J-. Distanța O}O2 sau 0}A - O2A, are valoarea d - ^D2 -4Df, de unde: P2-d2 4D (B) Exemplul 9 Un obiect AB cu înălțimea de 2 cm este așezat la 30 cm în fața unei lentile convergente cu distanța focală/' = 10 cm. a) Determinați caracteristicile imaginii. b) Aceeași întrebare, dacă același obiect AB este deplasat acum la 8 cm în fața aceleiași lentile. Rezolvare'. Trebuie de fiecare dată să faceți un desen pe care să marcați sensul de propagare a luminii, luat drept sens pozitiv. a) OA = p < 0; p = - 30 cm;/' = +10 cm. + f ~ + ~ i A; p'= 15 cm și p'= >0. P P f ”30 p 10 Imaginea este situată la 15 cm după lentilă; ea este reală. Verificați printr-o construcție geometrică. P = — = = -0,5; P < 0. Imaginea este răsturnată în raport cu obiectul; p - 30 AB' = 0,5AB= 1 cm (imaginea este mult mai mică decât obiectul), b) OA = p < 0; p = - 8 cm; f = +10 cm. Optica geometrică 35 1 1 _ 1 1 1 _ 1 + —r“"F’“Q+~_7n’/?/= -40 cm Și P' < °- P P f 8 p 10 De această dată imaginea este în fața lentilei: ea este virtuală. Lentila joacă rolul unei lupe. P = — = —— = +5. Imaginea are același sens ca și obiectul, și este mai mare p -8 decât obiectul: A'B' = 5 • AB = 10 cm. 5 Exemplul 10 O lentilă convergentă are distanța focală/'= 15 cm. Imaginea unui obiect este obținută cu această lentilă pe un ecran aflat la distanța de 4,65 m de lentilă. De câte ori este mai mare imaginea de pe ecran decât obiectul? Rezolvare', p' = 4,65 m; /'= +15 cm; - — + — P P' ±•-1 1 = 1 p+ 4,65 0,15' 1 = J_____L = p =£ = ±65:4!5=31 p 4,65 0,15 0,69’ P p 0,69 4,65-4,5 p ” 0,69 1.3.6. Lentile divergente subțiri. Acestea sunt lentile subțiri cu marginile groase. Focare și distanțe focale. Focarul principal imagine. Trimitem, pe o lentilă divergentă, raze de lumină paralele cu axa optică principală. Constatăm că, după refracția prin lentilă, ele urmează niște direcții ca și când ar proveni dintr-un punct de pe axa optică principală situat în fața lentilei (fig. 1.49). Prin acest punct notat cu F' trec prelungirile razelor de lumină. Punctul este focarul principal imagine pentru lentilele divergente, și este virtual. Orice rază de lumină paralelă cu axa optică principală a unei lentile di- vergente emerge ca și când ea ar pro- veni din focarul principal imagine F'. Planul focal imagine este de ase- menea virtual (fig. 1.49). Distanța focală imagine OF' = f, în acest caz, este negativă. Distanța focală imagine f a unei lentile divergente este negativă. 36 Capitolul 1 Focarele secundare imagine. Trimitem pe lentila divergentă un fascicul cilindric de lumină care nu este paralel cu axa optică principală. El emerge ca un fascicul divergent, ca și când ar porni dintr-un punct F/, numit focar secundar imagine (fig. 1.50). Ca și în cazul lentilelor convergente, acest punct se află la intersecția planului focal imagine cu axa secundară (care corespunde acestui fascicul). Focarul principal obiect. Trimitem pe lentila divergentă un fascicul de lumină care în absența lentilei ar converge într-un punct de pe axa optică principală (fig. 1.51). Există un punct pe axa optică principală pentru care fasciculul divergent emerge în fascicul cilindric paralel cu axa optică principală. Acest punct notat cu F este focarul principal obiect și el este virtual deoarece converg în F prelungiri ale razelor de lumină. La fel și planul focal obiect este virtual. Distanța focală OF o valoare pozitivă. Orice rază incidență a cărei prelungire trece prin focarul principal obiect F al unei lentile divergente emerge paralel cu axa optică principală. Focarele F și F' sunt simetrice în raport cu centrul optic O al lentilei subțiri divergente. Fig. 1.52 Focarul secundar obiect. Trimitem pe o lentilă divergentă un fascicul ce ar putea converge într-un punct de pe axa principală, în absența lentilei. Se poate arăta că există un punct particular de pe axa principală pentru care fasciculul emerge în fascicul cilindric paralel cu axa principală (fig. 1.52). Punctul F este focarul principal obiect și este virtual, deoarece în acest punct converg prelungiri ale razelor de lumină. La fel și planul focal obiect este virtual. Distanța focală obiect OF =f este pozitivă. Optica geometrică 37 Orice rază incidență a cărei prelungire trece prin focarul principal obiect F al unei lentile divergente emerge paralel cu axa optică principală. Cele două focare principale F și F' sunt simetrice în raport cu centrul optic al lentilei, și sunt amândouă virtuale (fîg. 1.53). Ca și în cazul lentilelor convergente, cele două distanțe focale sunt de semn opus însă egale în valoare absolută (/= - f). în calcule, se folosește numai distanța focală imagine/7. Construcția imaginii produse de o lentilă divergentă. Considerăm un obiect real AB perpendicular pe axa optică principală. Pentru a construi imaginea acestui obiect vom folosi două dintre următoarele raze: a) raza paralelă cu axa optică a lentilei, a cărei prelungire trece, după refracția razei, prin focarul principal imagine F'; b) raza care trece prin centrul optic al lentilei, nedeviată; c) raza a cărei prelungire trece, după refracția razei, prin focarul obiect F. Să admitem că obiectul real este situat între focarul imagine și infinit. Imaginea este virtuală și dreaptă, mai mică decât obiectul (fig. 1.54). Dacă obiectul real este situat între focarul imagine și lentilă, imaginea este, de asemenea, virtuală, dreaptă și mai mică decât obiectul (fig. 1.55). Fig. 1.54 Considerăm un obiect virtual (produs de un alt sistem optic) situat dincolo de focarul obiect. Imaginea este virtuală, răsturnată și mai mare decât obiectul (fig. 1.56). Formulele lentilelor divergente. Aplicăm aceleași formule ca și în cazul lentilelor convergente însă nu trebuie să uitați că distanța focală imagine f a lentilelor divergente este negativă. 38 Capitolul 1 Exemplu! 11 Formula lui Newton: xxr = —f’~. Formula lui Descartes:---H —- P P O p 1 Un obiect AB este plasat perpendicular pe axa optică a unei lentile divergente cu distanța focală imagine f = - 3 cm. Obiectul are mărimea AB = 2,5 cm, și se află la distanța de 12 cm de lentilă. Determinați poziția imaginii obiectului și mărimea sa. Rezolvare. Lentila este divergentă și focarul său imagine se află în „spațiul obiectului”, adică de aceeași parte cu obiectul, în raport cu lentila. Datele problemei: OA =p = - 12 cm; OF' -f= -3 cm. Aplicăm formula: 111 1 1 1 ta - r . i i i i +- ---H----= —;--------+ — = —. După efectuarea calculelor obtmem: P P' f -12 p' -3 i p' 1 _ 2,4 2 4 p' = -2,4 cm. ’ sau ~ i = A'B' = 2,5 —= 2,5 • 0,2 -- 0,5 cm. op 2,5-12’ 12 Exemplul 12 O lentilă convergentă Lt dă unui obiect AB o imagine reală A }BI cu înălțimea de 1 cm. Se plasează între această imagine și lentila o lentilă divergentă/,, cu distanța focală j2 = 15 cm situată la 10 cm în fața imaginii A{B} a) Construiți imaginea A^ pe care o dă lentila L2 lui A ,5, b) Determinați poziția și mărirea liniară a imaginii A2B2. Rezolvare, a) Figura alăturată răspunde la întrebarea (a). A B este „obiect virtual” pentru L2, O rază de lumină care trece prin focarul obiect al lui L2 este refractată astfel încât ea devine paralelă cu axa optică; ea intersectează în B2 raza, nedeviată, care trece prin centrul optic; A2B2 este o imagine reală. Optica geometrică 39 b) Folosim formula lui Newton: Al este la distanța A{F2 = x de focarul obiect și imaginea A2B2 este la o distanță x' de focarul imagine Flp avem xx'= f* (în valoare f2 absolută). Calcule numerice: x = 5 cm, x = — = 45 cm; x i OA2 OA^ = 30 cm. Mărirea liniară este p = — =----= 3, deci = 3 cm. o OA1 1.3.7. Convergența lentilelor subțiri. Știm că o lentilă convergentă transformă un fascicul de raze incidente paralele cu axa optică principală într-un fascicul de raze emergente care converg în focarul principal imagine F', dar totodată constatăm că fasciculul emergent este cu atât mai convergent cu cât distanța focală a lentilei este mai scurtă, adică mărimea — este mai mare în valoare absolută. /' O lentilă divergentă transformă un fascicul de raze incident paralel cu axa principală într-un fascicul divergent, ca și când acesta ar porni dintr-un focar principal imagine F' și constatăm că fasciculul emergent este cu atât mai divergent cu cât distanța 1 1 focală a lentilei este mai mică, adică raportul — este mai mare. Mărimea C = — f f caracterizează proprietatea unei lentile de a converge (sau diverge) razele de lumină. Spunem că acest raport măsoară convergența unei lentile. Dacă distanța focală a lentilei se măsoară în metri, atunci unitatea de măsură a convergenței în SI este dioptria (notată cu 3). 1 dioptrii r / J metri (1-25) Dioptria este convergența unei lentile care are distanța focală de un metru. Convergența unei lentile convergente este pozitivă, iar convergența unei lentile divergente este negativă. Relația următoare (pe care o dăm Iară demonstrație) ne permite să calculăm fie convergența fie distanța focală a unei lentile. C = J- = (n-l)(3---L) f Rl R2 ’ (1-26) unde n este indicele de refracție al lentilei în raport cu mediul ambiant; R{ este raza feței lentilei prin care pătrunde lumina; R. este raza feței lentilei prin care iese raza de lumină. Semnul algebric al razelor Rl și R2 se determină în raport cu orientarea lor față de centrul optic al lentilei. 40 Capitolul 1 Observație. Pentru a determina prin calcul caracteristicile imaginii unui obiect perpendicular pe axa optică principală a unei lentile trebuie ca: a) Să determinați, mai întâi, sensul de propagare a luminii, și să stabiliți care dintre fețele lentilei este străbătută prima de lumină. b) Să luați un sens pozitiv pe axa principală. Să determinați semnul algebric al razelor fețelor lentilelor și al distanței focale, conform tabelului de mai jos. c) Să luați pe această axă, ca origine a distanțelor, centrul optic O al lentilei. d) Să aplicați relațiile următoare: 1 + A=47^=i=-;c=77=(«-i)(y-~). P P f op’ f R{ R2 (1.27) Nu uitați că trebuie să luați în calcul distanța focală imagine care este pozitivă în cazul lentilelor convergente și negativă în cazul lentilelor divergente, și că mărimile p, pf, R , R2 sunt mărimi algebrice, adică pot avea semnul plus sau minus. Tabelul 1.7 razele de curbură distanța focală lentila >0 >5 A V O o r>o biconvexă $1 /\ $2 R\ infinită R2 <0 r>o plan-convexă S. C2 \s2 O V . CM CM ~ Ls_ O V CD O v |— V A - —' - CM r>o f <0 menise convergent $1 biconcavă C‘ H c2 Optica geometrică 41 razele de curbură distanța focală lentila R\ infinită Ă2>0 /' N /'<0 menise divergent sY\s2 c2 ) ) Exemplul 13 O lentilă biconvexă are cele două raze de curbură egale cu R; ea este de sticlă cu indicele de refracție n = 1,6, și are distanța focală imagine egală cu 12 cm. Determinați raza R. Rezolvare. Fie O centrul optic al lentilei. Folosim relația: 1 iv 1 1 v 1 iv 1 1 a OF’ ^OCX OC^’sau: f (rx R2 ,unde: C;și C, sunt centrele fețelor lentilei 1 și 2 întâlnite succesiv de razele de lumină care traversează lentila; F' este focarul imagine. Lentila este subțire și, din desenele de mai sus, rezultă că: OC, = + R; OC2 = -R, OF' = f. Prin urmare: Făcând înlocuirile numerice și efectuând calculele rezultă R = 114,4 cm. Exemplul 14 O lentilă de ochelari este un menise convergent. Fața cea mai apropiată de ochi are raza R’ = 0,5 m. Calculați raza R a celeilalte fețe, cunoscând convergența lentilei C = 3<5 și că indicele de refracție al sticlei este n = 1,5. 42 Capitolul 1 Rezolvare. OC = + R, OC = +R'= 0,5 m. Convergența C este pozitivă deoarece lentila este convergentă. Lumina întâlnește mai întâi fața de rază R și apoi fața de rază R' = 05 m. Aplicăm formula: C = (n -1)(— “ ^7) sau: 3 - (1,5 -1)(— - —) șj calculele dau R = 0,125 m. Exemplul 15 O lentilă de ochelari este un menise divergent a cărui primă față (aceea care este cea mai depărtată de ochi) are o rază R = 0,5 m. Sticla are indicele de refracție n = 1,52, iar convergența lentilei este C = - 2,5S. Calculați raza R' a celei de a doua fețe a lentilei. Rezolvare. OC = +R = 0,5 m; OC = +R' . Aplicăm formula: C = (n -1)(------~); R R - 2 5 = (1 52 -IV—-----—) și calculele dau ’ ’ 0,5 R' R' = 0,147 m. 1.3.8. Sisteme de lentile subțiri centrate Sistemele optice, în majoritate, sunt formate dintr-un număr mai mare sau mai mic de lentile subțiri. Dacă axele optice ale lentilelor sunt suprapuse, acestea formează un sistem optic centrat. Pentru astfel de sisteme optice, imaginea formată de prima lentilă servește drept obiect pentru a doua lentilă, iar imaginea formată de a doua lentilă servește de obiect pentru a treia lentilă și așa mai departe. Această regulă se aplică atât pentru lentile lipite (acolate) cât și pentru cele nelipite (neacolate). Lentile alipite (acolate). Considerăm cazul simplu a două lentile convergente suficient de subțiri, pentru ca, atunci când le alipim, centrele lor optice să fie aproape confundate. Lentila cu distanța focală/] (figura 1.57, a) folosită singură dă punctului obiect o imagine A{ situată la distanțap{ de centrul optic al lentilei. Aplicăm, în acest caz, formula lentilelor: Optica geometrică 43 Alipim de lentilaL( o a doua lentilăLv Imaginea dată de lentilaĂ, devine obiect virtual pentru lentila Lv care dă punctului A o imagine definitivă A', situată la distanța p' de centrul optic al lentilei (figura 1.57, b), deci: _1_____1_ P’ Pi (1-28) Adunăm relațiile (1.27) și (1.28) și obținem: —-1 = —+ —=—;sauC, + C, = C, (1.29) P’ P r fi f' unde C este convergența sistemului optic format din cele două lentile subțiri acolate (alipite). Generalizând rezultatul (1.29), pentru a se ajunge la concluzia potrivit căreia convergența unui sistem optic centrat format din n lentile subțiri acolate este egală cu suma algebrică a convergențelor lentilelor componente: C — Cj + C2 + ... Cn. (1.30) Mărirea liniară transversală a sistemului format din lentilele subțiri și L2 este: p: p p^pL p P' =PtP2. în general, pentru un sistem optic format din n lentile subțiri acolate: J3 =px /3z-... pn. (1-31) Exemplul 16 Se alipește o lentilă convergentă, cu distanța focală de 20 cm, de o altă lentilă subțire. Sistemul obținut care convergența +15 dioptrii. Determinați distanța focală a celei de a doua lentile. 44 Capii olul 1 Rezolvare. Datele problemei: = 0,20 m, C( = = 53 (dioptrii). Convergența sistemului de lentile: C + C, = 15 3, unde C2 este convergența celei de a doua lentile, pe care o obținem din relațiile date mai sus: C2 =15-^ =15-5 = 10 3=^ /2' = ^ = 0,1 m. ^2 Exemplul 17 Obiectivul unui aparat fotografic este format din două lentile subțiri alipite (acolate), una biconvexă având razele de 1 m și 0,5 m și indicele de refracție 1,5, cealaltă plan-conca- vă, cu raza de 1 m și indice de refracție 1,6. Determinați distanța focală a acestui obiectiv. Rezolvare. Razele de curbură ale lentilelor: lentila biconvexă: = +1 m, R2 = -0,5 m; lentila plan-concavă: R[ = oo (infinită) R^ = +1 m. Calculăm convergența primei lentile: 1 ^2 J /l 1 = 1,5 3. Convergența celei de a doua lentile: — = (1,6-1)1 — --1C2 = - = -0,63. Convergența obiectivului: C = C{ + C2 = 1,5 - 0,6 = 0,9 3, distanța focală: /= — = 1,111 m. Exemplul 18 O lentilă divergentă, cu distanța focală de 100 cm, este acolată (alipită) de o altă lentilă convergentă. Sistemul astfel obținut, presupus subțire, dă unui obiect real, situat la 50 cm de sistem, o imagine reală situată la 50 cm de sistem. Determinați distanța focală a lentilei convergente. Rezolvare. Notăm cu F' distanța focală a sistemului. Din enunț rezultă că sistemul este convergent. Obiectul și imaginea sa sunt echidistante în raport cu lentila (p = p' = 50 cm). în acest caz, și obiectul și imaginea sunt situate la dublul distanței focale față de lentilă, prin urmarep = p' = 2F’. = = = cm- Optica geometrică 45 Distanța focală a lentilei divergente este /2' = -100 cm. Fie distanța focală a lentilei convergente. Avem: 1 1 _ 1 1 _ 1 1 _fî-F’ f, + f, - F„ de unde: f, - p, f, - p,f. Obținem: F'ft _ 25-(-100) f’-F1 ” -100-25 = 20 cm. Probleme propuse 1.17. Care este poziția și natura imaginii Soarelui dată de o lentilă convergentă? Dar aceea dată de o lentilă divergentă? 1.18. Construiți pe cale grafică imaginea unui obiect plasat între focar și dublul distanței focale, în două cazuri: a) într-o lentilă convergentă; b) într-o lentilă divergentă. 1.19. Imaginea unui obiect se află la distanța de 10 cm de lentilă, în planul său fo- cal. înălțimea imaginii este de 2 cm. Determinați poziția obiectului și dimensiunea lui. 1.20. Un obiect este plasat la 1 m de o lentilă convergentă, cu distanța focală de 50 cm. Determinați natura, poziția imaginii și mărirea liniară transversală. 1.21. Se plasează un obiect la distanța de 40 cm de o lentilă divergentă, cu distanța focală de 20 cm. Determinați natura și poziția imaginii obiectului. 1.22. Distanța focală a unei lentile convergente este f = 5 cm. Imaginea unui obiect de 6 m este de 24 mm. La ce distanță de lentilă se află obiectul? 1.23. Pe axa optică a unei lentile subțiri, cu distanța focală de 12 cm, se așazăun obiect la 18 cm în fața lentilei. înălțimea obiectului este de 2 cm. Determinați natura, poziția și mărirea liniară transversală dacă lentila este convergentă sau divergentă. 1.24. Un obiect așezat în fața unei lentile convergente dă o imagine răsturnată, reală, de 5 ori mai mare decât obiectul. Știind că distanța dintre obiect și imagine este d = 50 cm, se cere distanța focală a lentilei. 1.25. Un obiect luminos cu înălțimea de 2 cm este plasat la 50 cm în fața unei lentile convergente cu distanța focală/' = 30 cm. Să se determine dimensiunea imaginii obținute. 1.26. Care va fi valoarea indicelui de refracție al unei lentile biconvexe simetrice, aflată în aer, astfel încât focarele lentilei să coincidă cu centrele de curbură ale acesteia? 1.27. Care este convergența unei lentile menise divergent din sticlă cu indicele de refracție n = 1,5 și ale cărei raze de curbură au 25 cm și respectiv 50 cm? 1.28. O lentilă biconvexă, confecționată din sticlă cu indicele de refracție n = 1,5, are razele de curbură ale celor două fețe egale. Știind că lentila formează o imagine 46 Capitolul 1 reală, de trei ori mai mare, a unui obiect situat la distanța de 40 cm de lentilă, să se calculeze raza de curbură a suprafețelor. 1.29. La distanța de 20 cm de o lentilă convex-concavă, cu distanța focală f= 15 cm și razele R{ = 80 cm și R2 = 10 cm, se află un obiect de înălțime h = 8 cm. Determinați: a) poziția imaginii și mărimea ei; b) indicele de refracție al mediului din care este confecționată lentila. 1.30. O lentilă convergentă cu distanța focală de 20 cm dă unui obiect o imagine reală cu înălțimea de 5 cm, când obiectul este situat la 60 cm de lentilă. Determinați distanța între lentilă și imagine, dacă imaginea este de două ori mai mică decât obiectul. 1.31. Cât este tg/3, p fiind unghiul dintre raza refractată prin lentila din figura alăturată și axa optică principală, dacă se dă 4 1.32. O lentilă plan convexă cu raza de curbură R = 10 cm are indicele de refracție n = 1,5. La distanța de 15 cm în fața lentilei se așază un obiect rectilinia și perpendicular pe axa lentilei, înălțimea lui fiind o = 5 cm. Lentila are fața convexă spre obiect iar fața plană este argintată. Cum este imaginea finală față de obiect? 1.4. Ochiul Ochiul uman este constituit din globul ocular, nervul optic și organele anexe. Părțile componente ale ochiului sunt arătate schematizat în figura 1.58. Din punct de vedere optic, ochiul uman posedă diferite medii transparente, care favorizează pătrunderea razelor de lumină, făcând posibilă vederea. Aceste medii sunt corneea, cristalinul, umoarea apoasă și umoarea sticloasă. Corneea transparentă - este principala lentilă a ochiului, ea asigură 80% din lumina refractată care pătrunde în ochi. Optica geometrică 47 Cristalinul - este o lentilă auxiliară, convergentă, biconvexă și nesimetrică. Cristalinul este format din medii transparente care se suprapun unele peste altele ca și foile de ceapă, în jurul unui nucleu dur. Cristalinul își poate varia curbura, deci și distanța focală (și convergența), sub acțiunea mușchilor ciliari. Procesul de modificare a convergenței cristalinului se numește acomodare. Straturile transparente din care este format cristalinul au indici de refracție diferiți. Indicele de refracție mediu al cristalinului este de 1,545. Irisul - este o diafragmă opacă prevăzută cu o deschidere numită pupilă, prin care trec razele de lumină către cristalin. Irisul are pigmenți care dau culoarea ochilor (ochi albaștri, căprui, verzi). Umoarea apoasă - este un lichid limpede care are fluiditatea apei, umple cavitatea oculară dintre cornee și iris; ea are indicele de refracție 1,332. Umoarea sticloasă - este un mediu transparent, semilichid care umple cavitatea oculară din spatele cristalinului. Imaginea vizuală se formează pe retină, care este singura parte a globului ocular care are origine neurală - spunem că este o prelungire a creierului. In principiu, retina este constituită din două feluri de celule nervoase (două feluri de neuroni): a) bastonașele - care au o formă alungită; acestea au o sensibilitate mare la lumină, asigurând vederea în timp de noapte; b) conurile - care au sensibilitate slabă la lumină, dar asigură percepția detaliilor și a culorilor. Cea mai sensibilă parte a retinei este pata galbenă, care posedă numai celule în formă de conuri, esențiale pentru percepția vizuală diurnă și a culorilor. Acomodarea. Din punct de vedere optic ochiul se poate reduce la un sistem optic convergent (format din asocierea a două lentile: corneea și cristalinul) - cu distanța focală variabilă. Acest sistem produce imagini reale, răsturnate și mai mici decât obiectul. Ochiul normal, în stare de repaus, are focarul situat pe retină, din acest motiv poate forma imagini ale obiectelor aflate la infinit (distanță mai mare de 15 m) fără nici un efort de modificare a distanței focale a cristalinului (fig. 1.59). Se numeștepunctum remotum punctul R, de pe axa optică a ochiului, pentru care imaginea sa se formează pe retină fără efortul de acomodare a ochiului. Imaginile obiectelor situate în intervalul de 15 cm și 15 m se formează în spatele retinei. Pentru ca aceste imagini să se formeze pe retină, cristalinul trebuie să-și mărească convergența. Acest proces poartă numele de acomodare. Punctul R a cănii imagine se formează pe retină cu efort maxim de acomodare, se numește punctum proximum. Distanța de la ochi la punctul P este distanța minimă a vederii clare. Câmpul vederii se întinde de la punctul R la punctul P. Ochiul normal. Punctum remotum este la infinit (1.59). Amplitudinea dioptrică este de aproximativ 6,6 5; putem vedea net orice obiect aflat la o distanță mai mare de 0,15 m. 48 Capitolul 1 Acomodarea este fenomenul de schimbare a convergenței cristalinului ochiului în scopul percepției clare a obiectelor aflate în intervalul de distanțe de 0,15 m (numit punctam proximum) și 15 m (numit punctam remotum). Pentru a percepe obiectele aflate la o distanță de ochi mai mică de 15 cm, ochiul nu se poate acomoda, iar pentru a percepe obiecte aflate la o distanță mai mare de 15 m nu mai este necesară acomodarea. Defecte de vedere a) Ochiul miop este foarte convergent: pentru acesta, punctum remotum se află la distanță finită. Razele de lumină paralele care vin de la infinit, paralel cu axa optică, formează o imagine în fața retinei (fig. 1.60, a și b). Miopii nu văd bine obiectele depărtate, dar văd bine obiectele apropiate, chiar dacă acestea se află la o distanță mai mică de 15 cm, în acest caz, punctum proximum ajungând la aproximativ 5 cm, iar punctum remotum este sub I m (aproximativ 36 cm). Pentru a micșora convergența ochiului miop, se folosesc ochelari cu lentile divergente, care să ducă punctum remotum la infinit. b) Hipermetropia. Ochiul hipermetrop are o convergență prea mică. Razele de lumină, care vin de la infinit paralele cu axa optică, se întâlnesc în spatele retinei (fig. 1.61, a și b). Hipermetropul nu poate vedea clar obiectele depărtate, iar obiectele apropiate nu le distinge clar. Prin urmare, punctum proximum se deplasează la distanțe mai mari decât distanța vederii optime, iar punctum remotum poate deveni virtual. Acest defect se corectează cu ochelari cu lentile convergente. Optica geometrică 49 c) Ochiul prezbit. Cu vârsta, cristalinul devine din ce în ce mai rigid, de aici dificultatea de acomodare. Cristalinul îmbătrânit poate deveni opac, această boală se numește cataractă. In acest caz, prin operație, se poate înlocui cristalinul cu unul artificial. Prezbitismul se corectează cu ochelari cu lentile care corectează capacitatea redusă a cristalinului de a realiza acomodarea. Exemplul 19 Un miop are vederea corectată cu lentile divergente cu convergența de -2,5 dioptrii. Calculați distanța maximă a vederii sale clare. Rezolvare. Distanța focală a lentilei corectoare este: 1 -2,5 =-0,4 m. Miopul nu poate vedea clar obiectele, fără ochelari, la o distanță mai mare de 40 cm. X Probleme propuse 1.33. Un om în vârstă, când citește, trebuie să țină cartea la distanța d= 40 cm de ochi. Pentru a corecta această defecțiune, se folosește o lentilă. Care este convergența lentilei? 1.34. Ce lentile sunt necesare pentru a corecta defecțiunea de miopie? 1.35. Un ochi miop are punctum remotum la distanța Dm = 1 m, iar punctum proximum la distanța dm = 10 cm. Să se calculeze convergența unei lentile care trebuie folosită la distanța l = 2 cm față de centrul optic al ochiului, pentru ca ochiul să poată vedea normal. Care este în acest caz distanța minimă a vederii clare? 1.36. Limitele vederii clare pentru o persoană sunt 11 cm și 101 cm. Cât vor fi aceste limite atunci când persoana folosește ochelari, plasați la 1 cm de ochi, ai căror lentile au o convergență de -1 dioptrie? 1.5. Instrumente optice 1.5.1. Aparatul fotografic. Este un dispozitiv optic folosit pentru a obține imagini ale obiectelor pe o peliculă. Imaginea obținută este reală, mai mică decât obiectul și răsturnată. Părțile importante ale aparatului de fotografiat sunt: Obiectivul - este un sistem optic convergent, format dintr-o asociație de lentile, în descrierea aparatului îl putem asimila cu o lentilă convergentă care formează imagini nete pe pelicula fotosensibilă. Caseta (cutia aparatului) - în care se găsește pelicula fotosensibilă; aceasta este o cameră obscură. 50 Capitolul 1 Obturatorul - care este închis, când nu se lucrează cu aparatul; se deschide când se fac fotografii. Deschiderea este provocată de un declanșator. Durata deschiderii este scurtă și, în general, reglabilă. Diafragma - care delimitează lărgimea fasciculului de lumină ce pătrunde în aparat. Vizorul- pentru limitarea zonei de fotografiat și pentru punerea la punct a imaginii. In afară de aparatele de fotografiat obișnuite, se construiesc și aparate pentru scopuri speciale - sau în concordanță cu dezvoltarea tehnicii. Exemple: aparate automate, panoramice, stereoscopice, digitale etc. Reglarea aparatului pentru obținerea unei imagini nete se realizează prin deplasarea obiectivului în raport cu pelicula. Pozițiile obiectului și imaginii - în raport cu obiectivul - se obțin aplicând formula lentilelor: - — + — = —, undep = OA șip' = OA'. p p' f în figura 1.62, se prezintă cazul când obiectul AB se află la o distanță foarte mare pe care o putem considera o distanță infinită, imaginea sa/('5' formându-se în planul focal imagine al obiectivului. Distanța dintre centrul optic O al obiectivului și pelicula fotografică este/' = OF', care este distanța focală a obiectivului. în figura 1.63 se arată construcția imaginii A'B' a unui obiect AB situat la o distanță finită. Optica geometrică 51 Exemplul 20 Obiectivul unui aparat fotografic modern, cu distanța focală f'= 50 mm, poate avea, în fața peliculei, toate pozițiile posibile cuprinse între 50 mm și 56,25 mm. între ce distanțe poate fi plasat obiectul pe care îl putem fotografia cu acest aparat? Rezolvare. Când obiectivul este la 50 mm în fața peliculei, aceasta este situată în planul focal imagine al obiectivului și obiectul fotografiat se află la infinit. Acesta este cazul prezentat în figura 1.62. Determinăm acum poziția obiectului, a cărui imagine reală se formează pe peliculă la distanța de 56,25 mm, în raport cu obiectivul. Suntem în cazul figurii 1.63: - — + — = —, undep' = OA' = 56,25 mm,/- 50 mm. P P' /' Facem calculele luând ca unitate de măsură pentru lungimi milimetrul: - = — 2 = _2--------L = -2 22 • IO'3 mm^ p = -4,5 • IO2 mm, deci p p' f p 56,25 50 p = - 45 cm. Cu acest aparat se pot fotografia toate obiectele aflate în fața lui, cuprinse între infinit și distanța de 45 cm. 1.5.2. Microscopul. Microscopul este un instrument care permite observarea obiectelor de dimensiuni foarte mici, pe care omul nu le poate vedea nici măcar cu lupa. Microscopul se compune în principal din două sisteme optice: obiectivul și ocularul. Obiectivul - este plasat foarte aproape de obiectul care trebuie examinat. Distanța focală a obiec- tivului este foarte mică, de câțiva milimetri. El dă o imagine mărită a obiectului. Ocularul - este sistemul optic prin care ochiul privește imaginea formată de obiectiv. Părțile componente ale mi- croscopului (fig. 1.64). Obiectul care trebuie observat se așază între două lamele de sticlă plasate pe placa 1. Această placă are un orificiu prin care pătrunde lumina Fig. 1.64 52 Capitolul 1 la preparatul dintre lamelele de sticlă. Lumina este transmisă pe lamele de către condensorul 2 și oglinda concavă 3. Obiectivul (5) este situat foarte aproape de obiect (preparat). Ocularul (6) este în apropierea ochiului observatorului. Distanța dintre ocular și obiectiv poate fi variată prin intermediul a două butoane de reglaj, unul (7) permite un reglaj rapid, celălalt (8), realizează un reglaj fin. în general, orice microscop este prevăzut cu un set multiplu de obiective și oculare, care se folosesc în funcție de necesități. Mersul razelor de lumină prin microscop este prezentat în figura 1.65. Mărimi caracteristice microscopului a) Intervalul optic al microscopului A = distanța dintre focarul imagine F( al obiectivului și focarul obiect F2 al ocularului. b) Puterea ocularului (numită și putere intrinsecă) Poc = — (se exprimă în dioptrii); fi este distanța focală a ocularului. A' B' c) Mărirea liniară a obiectivului R =---, unde A'B' este mărimea imaginii AB obiectului AB dată de obiectiv. Când punerea la punct este realizată pentru infinit, adică ochiul „se acomodează la infinit”, mărirea liniară a obiectivului este dată de relația P - —, unde este distanța focală a obiectivului. /i d) Puterea microscopului este dată de relația P = P0C ■ P- Când punerea la punct se face la infinit puterea microscopului este dată de relația P = . Optica geometrică 53 e) Grosismentul microscopului se exprimă prin relația G = P * d , unde d este distanța minimă a vederii clare. Exemplul 21 Un microscop este format din două sisteme optice convergente, obiectivul notat cu , cu distanța focală f{ = 1 cm și ocularul notat cu Lv cu distanța focală/2 = 2 cm. Distanța O{O2 = 13 cm. a) Un obiect AB cu dimensiunea liniarăyf = 0,1 mm este așezat în fața obiectivului LJ la distanța 0}A = 1,1 cm =pr Să se precizeze poziția, natura și dimensiunea imaginii A[B[=y2, dată de Lv b) Pentru L2, A[B{ joacă rolul unui obiect real. Să se precizeze poziția și natura imaginii finalei’B'. Rezolvare'. a) Datele problemei: = - 1,1 cm,/j = 1 cm; — = 100 8 . Aplicând formula lentilelor convergente: —--------— = — => — = — + J_; Pl' Pi fi p'i Pi fi 1 1 1 -1 + 1,1 0,1 1 , ,, p[ 1,1 1 1,1 1,1 11 1 A[ se află în focarul Fț al ocularului Lr p = — = — = —= -10; mărirea liniară este negativă, imaginea este răsturnată. ?i Pi -u 54 Capitolul 1 b) A[B{ formându-se în focarul obiect al lentilei imaginea sa virtuală AfB', observată de ochiul așezat în spatele ocularului L , este formată la o distanță foarte mare pe care o putem considera o distanță infinită. Imaginea finală este răsturnată în raport cu AB. TEST DE EVALUARE J Precizați care afirmații sunt adevărate și care sunt false. 1. Dacă o rază de lumină cade pe o oglindă plană, unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie deoarece imaginea obținută în oglinda plană este simetrică cu obiectul față de oglindă. 2. Dacă obiectul se află dincolo de centrul de curbură al oglinzii convexe, atunci imaginea este: A) reală, dreaptă și mai mare decât obiectul; B) virtuală, dreaptă și mai mică decât obiectul; C) virtuală, dreaptă și mai mare decât obiectul; D) virtuală, răsturnată și mai mare decât obiectul; E) virtuală, răsturnată și mai mică decât obiectul. 3. Un obiect se află în fața unei lentile convergente, dincolo de dublul distanței focale. Imaginea este: A) reală, răsturnată și mai mare ca obiectul; B) reală, răsturnată și se formează întotdeauna în spatele lentilei, între focar și dublul distanței focale; C) reală, răsturnată și mai mică decât obiectul; D) reală, răsturnată și se formează în spatele lentilei, dincolo de dublul distanței focale; E) virtuală, dreaptă și mai mare decât obiectul. 4. O lentilă biconvexă nu poate fi niciodată divergentă deoarece distanța focală a unei lentile biconvexe este întotdeauna pozitivă. 5. Rotind cu 30° un obiect în fața unei oglinzi plane, imaginea se rotește cu: A) 30°; B) 60°; C) 45°; D) 15°; E) 90°. 6. O lentilă biconvexă simetrică din sticlă, cu indicele de refracție n și raza de curbură a fețelor R, este plasată în vid și are o față argintată. Văzută din partea opusă a feței argintate, lentila se comportă ca un sistem optic cu convergența egală cu: 2(2n-l) 3(n-l) 2n-l n-1 n-1 R ’ R ’ R ’ R ’E) 2R ' 7. Distanța minimă a unui hipermetrop este d = 1 m. Ce convergență (exprimată în dioptrii) trebuie să aibă o lentilă corectoare de contact (deci aplicată direct pe comee), pentru ca omul să poată citi la o distanță de 25 cm? A) 15; B) 25; C) 35; D) 45; E) 55.’ PRINCIPII Șl LEGI ÎN MECANICA NEWTONIANĂ 2 2.1. Mișcare și repaus Lumea fizică în care trăim este în permanentă mișcare și transformare. Este suficient să privim în junii nostru și constatăm că mișcarea este prezentă pretutindeni. Cea mai simplă formă de mișcare este deplasarea, unele față de altele, a corpurilor de dimensiuni uzuale. Această formă de mișcare o studiază mecanica. Mecanica descrie și explică mișcările în spațiu și timp, precum și echilibrul corpurilor. In funcție de caracterul problemelor studiate mecanica se împarte în următoarele părți importante: Cinematica studiază mișcările mecanice din punct de vedere al proprietăților geometrice fără să se preocupe de eventualele cauze ale mișcărilor. Dinamica studiază legile de mișcare a corpurilor sub acțiunea forțelor exterioare. Statica studiază legile de compunere a forțelor și condițiile de echilibru al corpurilor sub acțiunea forțelor. Fig. 2.1 2.1.1. Sistem fizic în primul rând vom defini obiectul pe care urmează să-1 studiem. Acest obiect îl numim sistem fizic sau, simplu, sistem. Sistemul poate fi alcătuit dintr-un singur obiect sau din mai multe obiecte; toate celelalte corpuri care nu fac parte din sistem formează mediul exterior, care reprezintă restul Universului. în cadrul studiului mișcărilor vom numi sistemul de studiat „mobil”. Sistemele sunt de diferite tipuri: Solid rigid. Acesta este un sistem nedeformabil, ale cărui părți componente sunt fixe. Spre exemplu o cără- midă, un scaun care nu posedă părți mobile sau sistemul din figura 2.1. Sistem deformabil. Acesta poate fi un solid elastic (fig. 2.2), sau moale, un lichid, un ansamblu de corpuri solide care nu sunt legate rigid. Spre exemplu, o persoană care merge pe bicicletă, o scară dublă, motorul unui automobil, o pasăre care zboară. 56 Capitolul 2 Fig. 2.2 Punctul material. în anumite situații sistemul poate avea dimensiuni foarte mici care pot fi neglijate în raport cu alte dimensiuni care intervin în problema de studiat, și poate fi considerat punctiform, adică asimilat cu un punct. în acest caz sistemul se numește punct material. Punctul material este caracterizat numai prin masa sa. Exemple de sisteme care pot fi considerate puncte materiale: Pământul care se rotește în junii Soarelui, o navă cosmică ce se află la mare înălțime în spațiu față de un observator de pe Pământ, un avion față de turnul de control, numai când zboară la mare înălțime (când se află pe aeroport nu mai poate fi considerat punct material). Punctul material nu are o existență reală, spunem că este un model. Ce este un model? Pentru a studia un anumit fenomen, în funcție de obiectivul urmărit, se renunță la o serie de proprietăți ale corpurilor care nu prezintă importanță în studiul respectiv și se păstrează numai acele proprietăți esențiale care au importanță în fenomenul cercetat. Cel mai simplu model este punctul material, folosit la studiul mișcării corpurilor. în mișcarea corpurilor, în anumite situații, nu ne interesează forma și dimensiunile cor- purilor; cu atât mai mult nu ne interesează natura materialului din care este alcătuit corpul. Singura proprietate esențială care trebuie luată în seamă este masa corpului. 2.1.2. Mișcarea. Caracterul relativ al mișcării Un corp se află în mișcare dacă își schimbă continuu poziția față de un alt corp considerat fix, numit corp de referință. Un corp se află în repaus dacă poziția lui față de corpul de referință nu se schimbă în timp. Mișcarea mecanică și repausul sunt relative - deoarece în natură nu putem găsi corpuri fixe. Mișcarea mecanică și repausul se raportează la corpuri presupuse fixe, care în realitate sunt și ele în mișcare față de alte corpuri. Caracterul fundamental al mișcării este relativitatea sa. Dacă un corp ar fi singur în spațiu nu ar exista corpuri de referință și noțiunea de mișcare nu ar avea sens. Un călător care se află într-un vagon de tren este așezat pe locul său. Pentru acest călător măsuța care se află în fața sa este în repaus. Pentru un om aflat la marginea căii ferate și care privește trenul, măsuța se află în mișcare (fig. 2.3). Cei doi observatori văd într-un mod diferit același eveniment. Această diferență se datorează faptului că mișcarea obiectului studiat este raportată la corpuri de referință diferite: vagonul în primul caz și solul în al doilea caz. Pentru a descrie mișcarea trebuie precizat corpul de referință în raport cu care se studiază mișcarea. Cea mai mare parte a mișcărilor sunt studiate în raport cu un corp de referință legat de Pământ. Dăm câteva exemple: a) mișcarea unui tren în raport cu șinele de cale ferată legate de Pământ; Principii și legi în mecanica newtoniană Să Fig. 2.3 b) mișcarea unui avion față de turnul de control legat de Pământ; c) alergarea unui atlet într-o competiție sportivă, în raport cu linia de start legată de Pământ. Corpul care efectuează mișcarea îl numim mobil. Drept model al mobilului vom lua punctul material. 2.1.3. Traiectoria Se numește traiectorie a unui mobil mulțimea pozițiilor ocupate succe- siv de mobil în timpul mișcării sale, într-un sistem de referință dat. Vârful minei de creion descrie o curbă pe foaia de hârtie (fig. 2.4). Această curbă este traiectoria vârfului de mină considerat punct material. în figura 2.5 este prezentată o porțiune dintr-o șosea, care poate fi considerată o traiectorie rectilinie pentru auto- mobilul în mișcare de translație. Dacă traiectoria este o porțiune de dreaptă, mișcarea este rectilinie', dacă traiectoria este un cerc - mișcarea este circulară', în cazul general, dacă traiectoria este o curbă oarecare, mișcarea este curbilinie. 58 Capitolul 2 2.1.4. Translația liniară Un corp este în mișcare de translație liniară atunci când o dreaptă ce unește două puncte ale sale rămâne paralelă cu ea însăși tot timpul mișcării. In acest caz, toate punctele corpului execută mișcări identice. în cazul unui corp în mișcare de translație rectilinie toate punctele sale descriu traiectorii rectilinii paralele. Exemple: mișcarea unui patinator care se mișcă în linie dreaptă pe gheață (fig. 2.6), un tren care se mișcă pe o linie ferată rectilinie, cabina unui ascensor etc. Fig. 2.6 în acest caz pentru a studia mișcarea unui solid în mișcare de translație liniară este suficient să considerăm mișcarea unui singur punct al său, mișcarea de translație a unui corp reducându-se la mișcarea unui punct material. 2.1.5. Sistem de referință Pentru ca descrierea unei mișcări să fie completă trebuie să se cunoască în fiecare moment poziția mobilului. în acest scop, corpului de referință i se atașează un sistem de axe de coordonate și un ceasornic (sau un cronometru) pentru a măsura timpul. Sistemul astfel obținut se numește sistem de referință sau referențial (fig. 2.7). Sistemul de axe de coordonate permite să se cunoască poziția mobilului în fiecare punct în timpul mișcării sale. Cronometru! (ceasornicul) permite să se determine momentul la care mobilul se află într-un anumit punct în timpul mișcării sale. Vom considera că în fiecare sistem de referință se află un observator. Cuvântul observator este folosit pentru a desemna un personaj fictiv, legat de un sistem de referință, care studiază fenomenele ce se petrec în sistemul de referință respectiv. Principii și legi în mecanica newtoniană 59 2.1.6. Relativitatea traiectoriei. Am văzut că noțiunile de repaus sau de mișcare nu au sens decât relativ la un sistem de referință. Același lucru este valabil și pentru traiectorie, adică forma traiectoriei depinde de sistemul de referință ales. Pentru exemplificare să consi- derăm un avion care zboară la înălțime, cu viteză constantă. Din avion este lăsat să cadă un obiect. Obiectul fiind în avion, viteza sa este egală cu aceea a avionului, în momentul când obiectul este lă- sat liber, acest lucru este echi- valent cu aruncarea lui pe ori- zontală cu o viteză egală cu aceea a avionului. Din acest moment obiectul descrie două mișcări: una 2 $ pe orizontală, cu o viteză egală cu aceea avionului, și o mișcare verticală în jos. Avionul este pe aceeași verticală cu obiectul, deoarece au aceeași viteză pe orizontală. Pentru aviator traiectoria este rectilinie pe verticală, iar pentru un observator de pe sol traiectoria este curbilinie (fig. 2.8). Cele două traiectorii sunt diferite, pentru că cei doi observatori sunt în sisteme de referință diferite. 2.1.7. Determinarea poziției mobilului. Mișcarea rectilinie Alegem o axă de coordonate Ox, care să coincidă cu traiectoria, și orientată în sensul mișcării. Originea O a axei de coordonate corespunde cu poziția corpului de referință în raport cu care se studiază mișcarea. Alegem originea timpului O* (tQ = 0), care corespunde cu începutul mișcării (momentul inițial). în raport cu originea timpului se determină momentul în care mobilul ocupă o anumită poziție pe traiectorie. Ecuația mișcării. Pentru exemplificare, considerăm un ciclist care participă la o cursă contracronometm, deplasându-se pe o traiectorie rectilinie și orizontală. Diferitele puncte ale cadrului bicicletei descriu traiectorii rectilinii paralele. Vom considera că una dintre aceste traiectorii coincide cu axa de coordonate Ox (fig. 2.9). 60 Capitolul 2 Mișcarea ciclistului este cronometrată. Cronometru! s-a pus în funcțiune în momen- tul pornirii în cursă (momentul inițial). Poziția mobilului (ciclistului) pe traiectorie o determinăm prin coordonata sax în raport cu originea O a axei de coordonate, la momentul t, măsurat în raport cu momentul inițial (originea timpului): x = x(t). (2.1) Coordonata mobilului dată de relația (2.1) variază în funcție de timp și ea se numește legea de mișcare a mobilului pe traiectorie. Cu ajutorul ei putem să determinăm poziția mobilului pe traiectorie în orice moment. Poziția unui mobil (punct material în mișcare) este determinată: a) prin coordonata sa într-un sistem de coordonate bine precizat; b) prin momentul la care el ocupă această poziție în raport cu momentul inițial, bine precizat. Mișcarea plană. Dacă un mobil M se deplasează într-un plan, sunt necesare două coordonate x și y pentru a-i fixa poziția (fig. 2.10). Dar x și y sunt funcții de timp: x = x(t), y = X0- (2.2) Funcțiile (2.2) reprezintă legile de mișcare ale mobilului. 2.1.8 Viteza unui mobil Viteza medie. Considerăm un mobil în mișcare rectilinie. Originea spațiului O corespunde momentului inițial. Fie^4 și B pozițiile mobilului pe traiectorie la momentele tv respectiv tv raportate la momentul inițial (fig. 2.11). în intervalul de timp Az = Z2 - Zp mobilul parcurge distanța Ax = x2 - xp între pozițiile A și B. 0 A(X[) B(x2) X • * h F Viteza medie a unui mobil este egală cu raportul dintre lungimea Ax a drumului parcurs de mobil, în sistemul de referință dat, și intervalul de timp A/, corespunzător parcurgerii drumului respectiv. Unitatea de măsură pentru viteză în SI este metrul pe secundă (m/s). în practică este folosită des unitatea kilometru pe oră (km/h), 1 m/s = 3,6 km/h. Principii și legi în mecanica newtoniană 61 Viteza momentană sau instantanee. Să presupunem că am urmărit mișcarea unui ciclist și că am măsurat diferite distanțe (raportate la originea spațiului O de coordonată x0 = 0) parcurse de acesta în diferite intervale de timp raportate la momentul inițial = 0) (fig. 2.12). Astfel, distanța AB{ = xl - x() = Ay, = 10 m a parcurs-o în intervalul de timp AZ] = Zj - Zo = 1 s, distanța AB2 = x2 - x0 = Ay2 = 26 m a parcurs-o în intervalul de timp Azn = t2 - t^ = 2 s, distanța AB3 = - x0 = Ax3 = 36 m parcursă în intervalul de timp Az = t3 - Zo . Vitezele medii corespunzătoare traseelor respective sunt: v, = 10 m/s, v. = 13 m/s, v. = 12 m/s. Constatăm că viteza medie are întotdeauna o valoare bine determinată pentru fiecare interval de timp, dar care variază de la un interval de timp la altul. Dar viteza medie a unui mobil, în raport cu un sistem de referință dat, este insuficientă pentru a descrie complet mișcarea unui mobil. Este necesar să definim viteza instantanee a mobilului, adică viteza la un moment dat t. Fig. 2.12 Dacă am avea posibilitatea să măsurăm diferite distanțe parcurse de un mobil, pe o traiectorie rectilinie între punctele A și B, în intervale de timp (raportate la momentul inițial) din ce în ce mai scurte, am obține valori bine determinate ale vitezei medii, pentru fiecare interval de timp, oricât de mic ar fi acesta. Cu ajutorul unei instalații speciale s-a urmărit mișcarea unui glonț și s-a constatat că acesta a parcurs o distanță AB = &x = 0,000656 m= 6,56 -10~5m în intervalul de timp At = 0,00000218 s = 2,18 • 10'7s. Viteza medie a glonțului în intervalul AB este: m A^6:io:5^ A? 2,18-10~7 s Dacă intervalele de timp, măsurate în raport cu momentul inițial, devin din ce în ce mai mici, descrescând către zero, atunci valoarea vitezei medii nu mai variază practic de la un interval de timp la altul, și viteza medie tinde către o valoare care reprezintă viteza la momentul t, pe care o vom numi viteză momentană sau viteză instantanee. Viteza instantanee la momentul t se determină tot cu ajutorul relației (2.3), aceasta fiind considerată ca o viteză medie calculată pentru un interval de timp AZ foarte scurt în jurul momentului t care ne interesează și împărțită la acest interval. 62 Capitolul 2 Ax kt x2 - *i Z2 - tx (2.4) când Ar tinde către zero, momentele și t2 încadrează momentul t. Viteza instantanee v(r) a unui mobil la momentul t corespunde vitezei medii a acestui mobil calculată pentru un interval de timp foarte scurt în jurul momentului care ne interesează. Fig. 2.13 Vectorul viteză. Ni se spune: un avion se deplasează cu viteza de 180 km/h. Această informație nu este suficient de precisă pentru caracterizarea mișcării avi- onului. Nu s-au precizat direcția și sensul de mișcare ale mobilului (avionului). Deci, mărimea vitezei momentane este in- suficientă pentru a caracteriza mișcarea unui mobil la un moment /; trebuie să i se cunoască direcția și sensul. Este necesar să definim vectorul viteză v(t) al unui mobil. Vectorul viteză v(t) al unui punct material Mare următoarele caracteristici: • în cazul mișcării rectilinii, vectorul viteză y(z) are direcția și sensul mișcării. • în cazul mișcării curbilinii (fig. 2.13): - are direcția tangentei la traiectorie în punctul în care se află M la momentul /; - are sensul mișcării la momentul respectiv. Exemplul 2 Poziția unui mobil s-a înregistrat la in- tervale de timp succesive egale, de 10 ms (10 • IO-3 s). Calculați mărimea vitezei instantanee a mobilului la momentul /3 (în poziția A3\ dacă se cunoaște distanța /42y44, AZ = 2 cm. Rezolvare. Practic, mărimea vitezei instantanee la momentul t se determină ca o viteză medie calculată pe un interval de timp mic, care încadrează momentul t. v(/) = 2\t Principii și legi în mecanica newtoniană 63 Vom calcula viteza instantanee v, a mobilului în momentul trecerii prin punctul Ar Lungimea porțiunii de traiectorie întreg și A* este sensibil egală cu distanța j , A2A. 2 10~2 , . deci: v3 = =-------- = 1 m/s. 2A/ 2-IO"2 2.1.9. Accelerația Să urmărim mai întâi discuția dintre doi elevi. - Te-am întrebat, ^tii ce este accelerația? - Bineînțeles... este o creștere a vitezei. - Este adevărat, dar nu este complet. Vezi cele două automobile care sunt parcate în fața noastră? Ambele, când pornesc din repaus trec de la 0 km/h la 60 km/h, primul în 6 secunde iar cel de al doilea în 12 secunde. Ambele au efectuat aceeași creștere a vitezei, dar au ele aceeași accelerație? - Evident că nu; cel care a ajuns la viteza de 60 km/h în 12 secunde are accelerația mai mică... Trebuie să ținem cont și de timp... ca și în cazul vitezei... - ...? - Ei da, viteza reprezintă variația distanței parcurse de mobil în unitatea de timp. Accelerația nu va fi oare variația vitezei în unitatea de timp? - Este adevărat. Accelerația reprezintă variația vitezei în unitatea de timp. *** Trebuie să facem câteva precizări. Viteza este o mărime vectorială caracterizată prin modul, direcție și sens. în general, vectorul viteză se schimbă în timpul mișcării, atât în modul - dacă mobilul merge mai repede sau mai încet pe traiectoria sa -, cât și ca direcție - dacă traiectoria este curbilinie. în cazul mișcării curbilinii viteza își schimbă încontinuu direcția, ceea ce constituie o variație a vitezei, dar poate varia și modulul vitezei. Aceeași variație a vitezei se poate produce într-un timp mai lung sau mai scurt. Pentru a compara neuniformitatea diferitelor mișcări trebuie să calculăm variația vitezei în același interval de timp, adică în unitatea de timp. în cazul mișcării rectilinii, accelerația medie în intervalul de timp At este dată de relația: _________________________ Av v2 - v, am =--- =------ At t2~tx (2.5) Accelerația poate fi pozitivă sau negativă, după semnul lui Av. Unitatea de măsură în SI pentru accelerație este metrul pe secundă la pătrat: m/s2. Accelerația medie caracterizează variația globală a vitezei într-un interval de timp Av At. Pentru a calcula accelerația la un moment dat t, vom calcula raportul — pentru 64 Capitolul 2 intervale de timp din ce în ce mai mici, tinzând către zero, și vom obține astfel accelerația momentană: a = Aii, când Ar tinde către zero. Ar Vectorul accelerație Accelerația este o mărime vectorială. Prin definiție, vectorul accelerație medie am reprezintă raportul dintre variația vectorului viteză momentană Av = v2 - și intervalul de timp Ar = r2 s (26) Vectorul accelerație momentană este egal cu variația în timp a vectorului viteză, pentru un interval de timp foarte scurt în jurul momentului care ne interesează: a = — , când Ar tinde către zero. (2.7) Ar Concluzii^ Orice mobil în mișcare curbilinie, la un moment dat, este caracterizat pe traiectorie prin două mărimi vectoriale: 1) vectorul viteză v care este întotdeauna tangent la traiectorie și orientat în sensul mișcării; 2) vectorul accelerație 5, a cărui direcție este impusă de modul în care se desfășoară mișcarea mobilului. Vectorul accelerație este orientat spre partea concavă a traiectoriei și are sensul vitezei, dacă mișcarea este accelerată, și sens opus vitezei, dacă mișcarea este încetinită (fig. 2.14). Fig. 2.14 Principii și legi în mecanica newtoniană 65 Exemplul 3 Un automobil care se deplasează, pe o traiectorie rectilinie, cu viteza de 72 km/h, la un moment dat este frânat și, în timp de A/ = 20 secunde, viteza lui scade la 18 km/h. Să se calculeze accelerația medie a automobilului pe intervalul de timp kt. Rezolvare. Datele problemei: v( = 72 km/h = 20 m/s, v2 = 18 km/h = 5 m/s. Mișcarea automobilului în intervalul de timp dat este încetinită, viteza și accelerația au semne opuse. Accelerația medie este dată de relația: Probleme propuse V2 Az 5-20 20 = -0,75 m/s. a m 2.1. Alegeți răspunsul corect. Pe cine vede mișcându-se mai repede călătorul dintr-un vehicul? A) pe pietonul care merge în același sens cu el; B) pe pietonul care merge în sens contrar; C) nu se poate aprecia; D) nu are sens întrebarea. 2.2. Un tren merge cu viteza de 15 m/s, iar o motocicletă merge cu viteza de 54 km/h. Care dintre cele două vehicule merge mai repede? 2.3. Exprimați vitezele următoare în km/h: = 250 m/s; v2 = 8 000 m/s; v = 42 m/s; v. = 10 m/s. 2.4. Un automobil Dacia Super Nova trece de la viteza de 60 km/h la viteza de 90 km/h în timp de 4,15 s. Să se calculeze accelerația acestui automobil. 2.5. Un automobil se deplasează pe un drum orizontal. Automobilul este frânat și viteza lui scade de la 54 km/h la 18 km/h în timp de 10 s. Determinați accelerația medie a automobilului. Conținuturi facultative 2.1.10. Mișcarea rectilinie uniformă. Caracteristici generale în cazul mișcării rectilinii uniforme traiectoria este un segment de dreaptă. Alegem o axă de coordonate pe suportul geometric al traiectoriei, care ne permite să determinăm poziția punctului material pe traiectorie, prin coordonata sax, în raport cu originea O. Originea O coincide cu poziția corpului de referință, în raport cu care se studiază mișcarea (fig. 2.15). Studiul mișcării punctului material necesită nu numai reperarea poziției sale pe 0 M Fig. 2.15 66 Capitolul 2 traiectorie, ci și momentul la care el ocupă această poziție în raport cu originea O' a timpului (Z() = 0). Concluzii'. Poziția unui punct material este determinată, pe traiectorie: a) prin coordonata sa x =ft), în raport cu sistemul de referință precizat; b) prin momentul t la care el ocupă această poziție, în raport cu originea timpului (momentul inițial). Momentul inițial și poziția inițială se definesc astfel: a) momentul inițial este momentul de la care începem să studiem mișcarea mobilului; b)poziția inițială, poziția ocupată de punctul material la momentul inițial. Momentul inițial coincide cu originea timpului. Definiția mișcării rectilinii uniforme Un punct material descrie o mișcare rectilinie și uniformă dacă parcurge, pe aceeași dreaptă, tot timpul în același sens, distanțe egale în intervale de timp egale. Definiția este valabilă și pentru un corp care efectuează o mișcare de translație rectilinie. In figura 2.16 sunt prezentate diferitele poziții ale unui punct material M, care se succed la intervale de timp egale, cu viteze egale. Fig. 2.16 Fig. 2.17 în figura 2.17 este reprezentat un automobil în mișcare de translație uniformă. Astfel, el parcurge distanțe egale în intervale de timp egale. în mișcarea rectilinie uniformă, vectorul viteză este constant: v = const. în acest caz viteza medie este egală cu viteza instantanee. Ax _ x - x0 AZ t - f (2.8) Principii și legi în mecanica newtoniană 67 unde x este coordonata mobilului la momentul t, x0 este coordonata la momentul t, v este viteza mobilului, care este pozitivă dacă mobilul se mișcă în sensul pozitiv al axei Ox, și negativă dacă se mișcă în sens opus. Dacă tQ = 0, din relația (2.8) obținem: |Ax = vt; saux = + vt j (2.9) Relația (2.9) se numește ecuația mișcării rectilinii uniforme. Reprezentarea grafică în funcție de timp a mărimilor fizice, accelerație, viteză și spațiu: a(t) = 0; v(t) = const.; x = xQ + vt. a) pentru v > 0 (fig. 2.18); b) pentru v < 0 (fig. 2.19). Distanța Ax = vt, parcursă de mobil în intervalul de timp [/(), t], se poate obține folosind graficul vitezei în funcție de timp. în figura 2.18, b, aria suprafeței de sub graficul vitezei, în intervalul de timp [/0, r] (care este un dreptunghi), este egală numeric cu distanța parcursă de mobil în intervalul de timp respectiv. S = v • At, dacă tQ = 0, S = Ax = vt. Fig. 2.19 68 Capitolul 2 Exemplul 4 Doi pietoni se află în două puncte Mși Ade pe o șosea rectilinie, aflate la o distanță de 27 km. Unul dintre pietoni pleacă din punctul M, la ora 8, pentru a ajunge în punctul N, mergând cu viteza constantă de 4 km/h. Celălalt pieton pleacă din 77 la aceeași oră, cu viteza constantă de 5 km/h, pentru a ajunge în M. Determinați ora la care se întâlnesc pietonii și poziția ocupată de pietoni în acest moment. Rezolvare. 1) Alegem un sens pozitiv pe traiectorie: de la Mspre 77; un punct origine, M; un moment inițial, ora 8 (figura de mai jos). Luăm ca unitate pentru lungimi kilometrul și unitate de timp ora. Fiecare dintre pietoni efectuează o mișcare rectilinie uniformă. Ecuația de mișcare este de forma: X = XQ + vt. 2) Ecuația de mișcare a primului pieton. Primul pieton se află în Mia momentul ini- țial; deci x{) = 0. El se deplasează în sens pozitiv; viteza sa este pozitivă și egală cu 4 km/h. Ecuația mișcării este: x = ^t. (A) 3) Ecuația de mișcare a celui de al doilea pieton. Cel de al doilea pieton se află în 771a momentul inițial; deci x0 = 27 km. El merge în sens negativ; viteza sa este negativă și egală cu -5 km/h. Ecuația sa de mișcare este: x = 27 - 5/. (B) 4) Rezolvând sistemul de ecuații (A) și (B), obținem: t = 3 (ore) și x = 12 (km). întâlnirea are loc la ora 11, și la 12 km de M. Probleme propuse 2.6. Un tren are lungimea de 150 m și se deplasează cu viteza de 54 km/h. Determinați timpul în care străbate un tunel lung de 300 m. 2.7. Soarele se află la o distanță de 150 milioane de kilometri față de Pământ. Viteza luminii în vid și în aer este de 300 000 de km/s. în cât timp ajunge lumina de la Soare la Pământ? Principii și legi în mecanica newtoniană 69 2.8. Un avion cu reacție are o mișcare rectilinie și uniformă. Viteza sa este de 80 km/h. în cât timp va parcurge distanța de 50 km dintre două localități A și B? La ce distanță se va afla de B, după 10 minute, după ce a trecut pe deasupra localității B? 2.9. Doi pietoni pleacă la ora 12 din două puncte A și B, aflate la distanța de 5 km unul față de altul. Ei merg în sensul AB. Cel care pleacă din A are o viteză constantă de 4 km/h; cel care pleacă din B are o viteză constantă de 2 km/h. Determinați ora de întâlnire și distanța parcursă de fiecare mobil până în acest moment. 2.10. Două automobile A și B pleacă din același punct pe un drum rectiliniu, în același sens: A pleacă la ora 12 și B la ora 13. A are o viteză de 40 km/h și B de 80 km/h. Determinați ora de întâlnire și distanța la care se află ei față de punctul de pornire. 2.11. într-un vagon în mișcare rectilinie uniformă cade un obiect de la o anumită înălțime. Cum va arăta traiectoria obiectului în sistemul de referință legat de vagon? Dar într-un sistem de referință legat de Pământ? 2.12. Ecuațiile de mișcare a două mobile sunt: x{ = 1 +t, %2 = 2 + 2t. Determinați locul și momentul întâlnirii. Comentați rezultatul obținut. 2.13. Ecuațiile de mișcare a doi bicicliști sunt: = 8/ și x2 = 200 + 12r. Determinați locul și momentul întâlnii lor. 2.14. Alegeți răspunsul corect. în mișcarea rectilinie uniformă: A) vectorul accelerație este diferit de zero; B) vectorul viteză variază în funcție de timp; C) vectorul viteză este constant; D) viteza inițială este nulă. 2.1.11. Mișcarea rectilinie uniform variată Definiție. Un punct material efectuează o mișcare rectilinie uniform variată atunci când traiectoria sa este o dreaptă și vectorul său accelerație este constant Din definiția accelerației rezultă: unde v este viteza la momentul t, v() este viteza la momentul t^, a este accelerația constantă a mobilului. Putem lua: tQ = 0 și obținem: v = v() + at. (2.12) Relația (2.12) reprezintă legea vitezei unui punct material aflat în mișcare rectilinie uniform variată. Discuție a) Dacă accelerația este pozitivă, a > 0, viteza crește: v = v0 + at. b) Dacă accelerația este negativă, a < 0, viteza descrește: v = v0 - \a\t. Graficele funcțiilor a(f) = const., și v = v0 + at, în intervalul de timp |70, t], sunt reprezentate în figura 2.20. 70 Capitolul 2 Distanța parcursă de mobil. Din relația vitezei medii rezultă: Ar = v At, saux-x. = v (t-/„), (2.13) m ’ O O7’ v 7 unde x este coordonata mobilului la momentul t, x() este coordonata mobilului la momentul tQ, vm este viteza medie a mobilului în intervalul de timp [r, /]. Distanța parcursă de mobil se poate determina și grafic. Distanța Ax este egală cu aria suprafeței limitate de graficul vitezei în intervalul de timp [Zo, /] (fig. 2.20, b). Suprafața este un trapez. Prin urmare: 5 = Ax = ^^Ar 2 Comparând relațiile (2.13) și (2.14) rezultă că: v =—------• m 2 Pentru = 0 și v = v0 + at, relația (2.14) are forma: Ax = vat + — at 0 2 ’ (2-14) (2.15) (2.16) (2.17) sau: 1 2 x = Xq + vQt + — at Relația 2.17 se numește ecuația mișcării rectilinii uniform-accelerate. Relația lui Galilei Obținem relația lui Galilei, eliminând timpul între relațiile (2.12) și (2.16). Principii și legi în mecanica newtoniană Prima metodă. Scoatem timpul din relația (2.12), ț = 1pe care îl introducem a în relația (2.16). După transformări obținem relația lui Galilei. v2 = Vq + 2a&x- (2-18) Metoda a doua. Ridicăm la pătrat ambii membri ai relației (2.12), și obținem: v2 =Vq +2vșat + a1t\ Dăm în factor comun forțat pe 2a, între ultimii doi termeni din membrul al doilea, în relația de mai sus, și obținem: v2 =Vq + 2a(yQt + — at2\ de unde rezultă: v2 = v2 + 2a/\x- Ecuațiile mișcării uniform încetinite: v = v0 -\a\t; (2.19) Ax = (2.20) v2 = Vq - 2| v2 > v prin urmare și accelerațiile Av 1 scad (ci = —). Concluzie: a ~ —. Ar m Principii și legi în mecanica newtoniană 81 Fig. 2.31 B) Intervalul de timp de mișcare a camionului este constant, viteza constantă, deci și accelerația constantă. Masa camionului crește (deci și inerția camionului crește): m{ < m2< m3 (fig. 2.31, b). Pentru a menține viteza constantă, forța de tracțiune a camionului trebuie să crească: Ft care produce o deformare A/ = l -10 = x. Conside- răm că axa de coordonate Ox are direcția și sensul forței deformatoare și originea în capătul resortului nedeformat. în cazul alungirii, x > 0, iar în cazul comprimării, x < 0. Vectorul forță Fd este dat de relația: Fd=kx- (2.34) Fig. 2.40 jn țjmpUi acțiunii forței deformatoare, în resort ia naștere o forță care se opune deformării acestuia. Această forță se numește forță elastică sau forță de revenire. Forța elastică are aceeași direcție și același modul ca și forța deformatoare, dar are sensul opus acesteia, deci: F = -kx. (2.35) Efort unitar și deformare relativă Conceptele de efort unitar și deformare relativă ne permit să enunțăm legea Iui Hooke sub o formă generală. Efortul unitar este legat de forța care produce deformarea. Deformarea relativă este legată de deformarea produsă. Fie o tijă elastică, de lungime inițială /0 și cu aria secțiunii transversale S. Dacă o forță F acționează asupra tijei produce o alungire a acesteia egală cu A/ = / - l. F Efortul unitar este definit ca fiind forța pe unitatea de suprafață: cr =—, Dacă tija este uniformă, efortul este distribuit în mod egal pe toată secțiunea. Deformarea relativă se definește ca fiind variația lungimii A/ pe unitatea de lungime: A/ £ ----- /o Legea lui Hooke se enunță astfel: efortul unitar este proporțional cu deformarea relativă. g=E£\ (2.36) Constanta de proporționalitate E este o caracteristică a substanței din care este alcătuit corpul elastic. Relația (2.36) se mai poate scrie și astfel: Principii și legi în mecanica newtoniană 89 F Iq~e' SQ’ (2.37) care reprezintă o altă formă a legii lui Hooke. Constanta E se numește modul de elasticitate longitudinal sau modulul lui Young. Unitatea de măsură pentru modulul de elasticitate longitudinal este newton pe metru pătrat (simbol: N/m2). Fig. 2.41 Graficul efortului unitar în funcție de alungirea relativă Graficul funcției cr = /(s)are forme diferite unele de altele, depin- zând de natura materialului pentru care au fost trasate. în figura 2.41 prezentăm graficul efort unitar - alungire relativă pentru un metal ductil (care poate fi tras în fire, cum ar fi aurul, argintul, cuprul, aluminiul etc). Să analizăm graficul. în prima porțiune a graficului, de la O la a, efortul unitar și alungirea relativă sunt proporționale; pentru această porțiune se aplică legea lui Hooke. în porțiunea de la a la b efortul unitar și alungirea relativă nu mai sunt proporționale. Totuși dacă în punctul b se întrerupe acțiunea deformatoare, corpul va reveni la forma inițială. Pe porțiunea Ob, materialul este elastic și punctul b se numește limita de elasticitate. Dacă materialul este acționat în continuare, deformarea relativă crește repede. în cazul în care încetează acțiunea deformatoare dincolo de b, spre exemplu în c, materialul nu mai revine la forma inițială. în acest caz lungimea corpului (după încetarea acțiunii deformatoare) nu mai este egală cu lungimea inițială, se spune că materialul are o deformare remanentă, O creștere suplimentară a acțiunii deformatoare dincolo de c produce o creștere mare a deformării relative până când se atinge punctul d, în care are loc ruperea. Se spune că din punctul b până în punctul d materialul are o deformare plastică. Dacă între limita de elasticitate și punctul de rupere are loc o deformare plastică mare se spune că materialul este ductil. Dacă ruperea are loc imediat după depășirea limitei de elasticitate, se spune că materialul estefragil. Graficul din figura 2.42 caracterizează cauciucul vulcanizat, care a fost întins cu o lungime de șapte ori mai mare decât lungimea inițială. în nici o porțiune a graficului, efortul unitar nu este proporțional cu alungirea relativă. Totuși cauciucul este elastic, în sensul că, dacă încetează acțiunea deformatoare, cauciucul revine la lungimea inițială. 90 Capitolul 2 Dacă acțiunea deformatoare se micșorează treptat, curba efort unitar - alungire relativă nu mai coincide cu cea trasată inițial, ci ur- mează traseul punctat din fig. 2.42. Faptul că la creșterea și la micșorarea forței deforma- toare curbele nu coincid este cunoscut sub denumirea de histerezis mecanic. Observatii a) Legea lui Hooke este folosită numai pentru forțe deformatoare foarte mici. b) Comparând relațiile (2.33) și (2.37) ob- ținem o expresie a constantei elastice, pentru un corp elastic: _E-S0 (2.38) Exemplul 7 Să se calculeze lungimea unui resort, cu constanta elastică k = 20 N/m și lungimea inițială L = 25 cm, când este acționat de o forță deformatoare F,= 4 N. F, 4 Rezolvare. Fd = k(l - lQ)=^ l = 1 h-• l = 0,25 H-= 0,45 m. d 0 0 k ’ 20 Exemplul 8 Două resorturi și R„ care au aceeași lungime inițială și constantele elastice k{ = 100 N/m și k2 = 200 N/m, sunt fixate pe un suport, în paralel, ca în figura alăturată. Prin intermediul unei tije de masă neglijabilă se suspendă de extremitățile libere ale suporturilor un corp A cu masa m = 3 kg în așa fel ca resorturile să aibă aceeași alungire x. Să se determine alungireax. Se consideră g= 10 m/s2. Rezolvare. Forțele elastice Fx și F2 din resorturi sunt paralele, verticale și dirijate în sus. Ele sunt echilibrate de greutatea corpului yf - mg F{+ F^ = G; F = kx; F = k,x\ (k + k ) = mg ---------- 1 - 1 1 2 i 27 6 k. + k. 310 100 + 200 300 10 30 1 — = — m = 10cm Principii și legi în mecanica newtoniană 91 2.5.3. Tensiunea din fire Fixăm un fir de un suport B (fig. 2.43, a). De cealaltă extremitate A a firului prindem un corp C cu masa cunoscută, în punctul A corpul acționează asupra firului, cu o forță egală cu greutatea sa. Conform principiului acțiunii și reacțiunii, firul acționează asupra corpului o forță Tp numită tensiune în fir. Se constată că T\ = G și Tx =-G. Prin tensiune într-un fir se înțelege forța care întinde firul. Tensiunea din fir este o forță elastică ce apare la deformarea (alungirea) elastică a firului. Dacă deformarea este nulă, atunci și tensiunea este nulă. în punctul B, se transmite prin fir o forță T2 egală în modul cu T{. Rezultă că mărimea tensiunii dintr-un fir de masă neglijabilă este transmisă în toate punctele firului. Deci, și f = -T2. în punctul B acționează tensiunea T2 și reacțiunea suportului, R. Aceste două forțe sunt egale și de sens opus. în punctul A acționează tensiunea T{ și greutatea G a corpului (fig. 2.43, b). Fig. 2.43 2.5.4. Reacțiunea suporturilor. Așezăm pe o masă plană și orizontală un corp. Corpul exercită asupra mesei o forță de apăsare F (fig. 2.44). Modulul forței este egal cu cel al greutății corpului și putem scrie: F = G. Conform principiului acțiunii și reacțiunii, masa reacționează cu o forță (fig. 2.44, b), egală și de sens opus cu forța F: F = -R^ sau R = -G. 92 Capitolul 2 Forța R este dirijată în lungul perpendicularei (normalei) dusă pe cele două suprafețe în contact, și de aceea o vom numi reacțiune normală și o vom nota cu N (fig. 2.45). Când una dintre suprafețele în contact se reduce la un punct, reacțiunea normală este orientată în lungul normalei la cealaltă suprafață (fig. 2.45). Proiecția unei forțe pe o axă Se duc, din extremitățile A și B ale mărimii vectoriale, perpendiculare pe axa respectivă (Ox). Mărimea segmentului A'B1 reprezintă proiecția mărimii vectoriale pe axa respectivă (vezi desenul din figura de mai jos). Dacă se cunoaște unghiul dintre direcția vectorului F și axa de coordonate, proiecția are valoarea: Fx =Fcosa. Dacă a = 0, Fx = F (desenul b din figură); a = 90°(^ /2), F = 0 (desenul c din figură); — < a < F < 0. 2 2* Proiecția unei forțe pe o axă este o mărime algebrică; ea poate avea semnul plus, dacă forța are sensul axei, și semnul minus, dacă are sensul opus axei. Exemplul 9 Pe un plan orizontal alunecă un corp B de masă = 1 kg, tras de un fir trecut peste un scripete și care susține la cealaltă extremitate un corp de masă = 0,2 kg. Se consideră g = 10 m/s2. Determinați accelerațiile corpurilor și tensiunea din fir. Rezolvare. 1. Se pun în evidență, pe un desen, forțele care acționează asupra părților sistemului. Considerăm că cele două părți ale sistemului ar fi independente (figurile b și c). Principii și legi în mecanica newtoniană 93 Corpul A este acționat de forțele: tensiunea din fir f și greutatea Gr (G, = m ,g). Corpul B este acționat de forțele: G2,N2 și T2. 2. Aplicăm relația fundamentală a mecanicii pentru mișcările celor două corpuri. Suma vectorială a forțelor care acționează asupra unui corp este egală cu produsul dintre masa și accelerația corpului. CorpuM: Tx+Gx=mxăv (A) Corpul 5: f2+N2 + G2 = m2ă2- (B) Deoarece cele două corpuri sunt legate printr-un fir inextensibil (care nu se deformează) accelerațiile lor sunt egale, deci cp = â2. 3. Proiectăm relațiile vectoriale (A) și (B) pe axele de coordonate. Proiectăm pe direcția mișcărilor relațiile vectoriale (A) și (B): Relația (A): - 7) + = m{a. (C) Relația (B): ^ + 0 + 0 = m2a~, (unde T\ = TJ. (D) 4. Calculul accelerației: Adunând relațiile (C) și (D), obținem: m.g = (m. + mAa => a-------------------- ’ ’ 1 ' mx+m2 a = 0,2-10 1 + 0,2 = 1,67 m/s2. 5. Calculul tensiunii din fir: T= m.a =1------= 1,67 N. 2 1,2 94 Capitolul 2 Probleme propuse 2.26. Un corp suspendat de un fir este ridicat cu accelerația a. în fir apare o tensiune egală cu jumătate din tensiunea de rupere. Pentru ce valoare a accelerației se rupe firul? 2.27. Două resorturi de mase neglijabile, R{ de constantă elastică k{ = 40 N/m și de constantă elastică A, = 50 N/m, sunt legate unul după altul (în serie). Unul dintre capetele acestui ansamblu de resorturi se prinde de un suport, iar de capătul liber se prinde un corp M, de masă m = 0,2 kg. Se dă g = 10 m/s2. Determinați: a) alungirile celor două resorturi, și xv b) constanta elastică k a resortului echivalent celor două resorturi R} și Rv care suportă același corp de masă m și suferă o alungire x = + x2. 2.28. Un resort cu constanta elastică k = 18 N/m are 48 spire. Acest resort se scurtează cu 12 spire. Să se determine constanta elastică a resortului rezultat prin scurtarea resortului inițial. Se știe că lungimea resortului este proporțională cu numărul de spire. Având în vedere distanța dintre spire, se folosește relația l = c-N. 2.29. Alegeți răspunsul corect. Legea deformărilor elastice are forma: A) = B) C) A/ = ^-; D) A/ = ^L; E) AZ = ^. ’ El FE ' Fl0 S0E J SQ 2.6, Legile frecării la alunecare 2.6.1. Forța de frecare. Se lansează o carte pe suprafața unei mese plane și orizontale. Cartea își micșorează treptat viteza oprindu-se. Frânarea cărții este produsă de frecare. Cauzele frecării. Una dintre cauzele frecării se datorează faptului că suprafețele corpurilor, aparent - netede, au asperități mai mult sau mai puțin pronunțate. Pe figura 2.46 se prezintă forma mult mărită a asperităților. în timpul mișcării corpurilor ele vin în contact unele cu altele și asperitățile se „ciocnesc” și se opun mișcării corpurilor. O altă cauză a frecării o constituie _______ atracția moleculelor celor două corpuri în contact, în mod deosebit când acestea sunt perfect șlefuite. Putem să micșorăm foarte mult frecările prin lubrifierea (ungerea) suprafețelor corpurilor care se Fig. 2.46 freacă. Stratul de lubrifiant separă suprafețele care se Principii și legi in mecanica newtoniană 95 freacă și le împiedică să vină în contact. Ca lubrifianți se folosesc diferite sorturi de ulei. Un efect al lubrifierii este alunecarea patinelor pe gheață. Datorită alunecării patinelor pe gheață apare un strat subțire de apă care joacă rolul unui lubrifiant. în exemplul dat inițial, frânarea cărții se datorează apariției în planul de contact al celor două corpuri a unor forțe care se opun mișcării relative a corpurilor, numite forțe de frecare. Acest fenomen este general și putem afirma: Frecarea este fenomenul fizic ce se produce la contactul suprafețelor a două corpuri solide și care constă în apariția unor forțe rezistente, numite forțe de frecare, care se opun mișcării sau tendinței de mișcare. Forța de frecare o notăm cu Ff. Se disting mai multe forme de frecare după modul cum interacționează corpurile care se freacă. a) Frecarea statică, care se manifestă când forța de tracțiune care tinde să depla- seze un corp este prea mică încât să-l pună în mișcare. Notăm forța de frecare statică cu Ffs. b) Frecarea la alunecare, care se produce când un corp alunecă pe suprafața altui corp cum ar fi de exemplu alunecarea unei sănii pe zăpadă. Forța de frecare la alunecare o notăm cu Ff. Când mișcarea corpului este rectilinie uniformă, forța de tracțiune este egală cu forța de frecare. c) Frecarea la rostogolire, care a- pare la rostogolirea unui corp pe o supra- față; de exemplu, rostogolirea roților unui vehicul pe un drum oarecare (fig. 2.47). Fig. 2.47 2.6.2. Legile frecării la alunecare Experiment Aparatul experimental folosit pentru studiul legilor frecării se numește tribometru (fig. 2.48). El se compune din: a) o planșetă lucioasă așezată pe o masă orizontală, ce se poate înclina față de suprafața mesei; b) trei corpuri paralelipipedice iden- tice din lemn, cu greutățile cunoscute: (G = 1,5 N); de asemenea sunt cu- noscute și ariile fețelor corpului. Una din- tre fețe are aria 5] = 60 cm2, iar fața mai mică are aria S2 = 40 cm2. Fig. 2.48 96 Capitolul 2 Pe unele dintre fețele corpurilor sunt fixate plăci din materiale di- ferite: plastic, metal, glaspapir etc. Așezăm pe masa de laborator corpurile, așezate succesiv, în com- binațiile arătate în fig. 2.49, mai întâi sprijinite pe fața mai mare, = 60 cm2, și apoi sprijinite pe fața mai mică, S2 = 40 cm2. Acționăm corpurile din fiecare combinație, punând treptat pe pla- tanul P corpuri marcate, și de fiecare dată ciocănim ușor planșeta pentru a imprima corpurilor o mișcare rectilinie uniformă. Astfel, determinăm forța minimă F necesară, pentru care corpul este pus în mișcare. Atâta timp cât F Ff=pN. (2.39) în tabelul de mai jos se dau câteva exemple de coeficienți de frecare la alunecare. Natura suprafețelor în contact Coeficient de frecare static ps Coeficient de frecare la alunecare p Lemn pe lemn (uscat) 0,62 0,48 Lemn pe lemn (lubrifiat) 0,44 0,20 Oțel pe lemn (uscat) 0,62 0,50 Oțel pe lemn (lubrifiat) 0,12 0,08 Oțel pe oțel (lubrifiat) 0,03 Piele pe metal uscat 0,56 Piele pe metal (lubrifiat) 0,36 Cauciuc pe beton (uscat) 0,50 Cauciuc pe gheață 0,10 98 Capitolul 2 Constatăm de asemenea că raportul dintre forța de frecare și forța de apăsare normală pe suprafețele în contact este constant, independent de variația modulului forței de apăsare. Acest raport depinde de natura materialelor din care sunt făcute corpurile puse în contact și de gradul lor de prelucrare. Coeficientul de frecare static. Așezăm un corp paralelipipedic din lemn pe o masă orizontală și-l acționăm prin intermediul unui dinamometru (fig. 2.50). Chiar înainte de a începe alunecarea apar forțe de frecare între solide, numite forțe de frecare statică sau de aderență. Forța de tracțiune este echilibrată în permanență de forța de frecare, care ia naștere în planul de contact. Dacă mărim treptat forța de tracțiune trăgând de dinamometru, la un moment dat, pentru o anumită foită de tracțiune F corpul începe să alunece. în acest moment forța F este egală cu forța maximă de frecare statică. Odată ce corpul începe să alunece, dacă acționăm în continuare cu aceeași forță F, corpul se mișcă accelerat. Reducând forța de tracțiune în mod convenabil, se poate obține o mișcare uniformă pentru o anumită forță de tracțiune F = F,., mai mică decât F. Fig. 2.50 Raportul dintre forța maximă de frecare F și forța de apăsare normală pe suprafețele în contact se numește coeficient de frecare statică și se notează cu ps=^^Fs=^s,N^ (2.40) unde F > Ff și > p. Experiment, Acționăm un corp paralelipipedic, așezat pe masă, prin intermediul unui dinamometru (fig. 2.51, a) și determinăm forța de frecare. Așezăm același corp pe două bare cilindrice din material plastic (fig. 2.51, b), și determinăm și în acest caz forța de frecare. Constatăm că forța de frecare la alunecare este mult mai mare decât forța de frecare la rostogolire. Forța de frecare la rostogolire este mai mică decât forța de frecare la alunecare. Principii și legi în mecanica newtoniană 99 Fig. 2.51 Efectele forțelor de frecare în natură cât și în tehnică frecarea poate fi utilă, dar poate avea și efecte nedorite. Vom da câteva exemple în acest sens: 1. Frecările dintre piesele mobile, aflate în contact, ale unor dispozitive sau mașini folosite în practică, pot duce la unele efecte nedorite. Astfel, învingerea forțelor de frecare necesită un consum mare de energie, iar piesele aflate în contact se uzează cu atât mai repede cu cât frecarea este mai mare. Pentru a micșora frecarea la alunecare, piesele în contact se ung cu uleiuri sau cu vaselină, iar acolo unde este posibil, se transformă frecarea la alunecare în frecare la rostogolire. Frecarea la rostogolire este mult mai mică decât frecarea la alunecare iar în practică se folosesc rulmenți. a) Frecările dintre roți și axele (sau osiile) pe care acestea se rotesc. Pentru a micșora frecarea dintre roată și axă, se unge cu ulei axul, sau se înlocuiește frecarea la alunecare cu frecarea la rostogolire, folosind rulmenți (fig. 2.52). b) Frecarea dintre pistoanele și cilindrii motoarelor de automobil. Pentru a micșora frecarea în acest caz, pereții cilindrilor se îmbracă pe interior cu un strat dintr-un material cu coeficient de frecare mic, numit cămașa cilindrului. în plus, suprafețele în contact ale pistonului și cămășii cilindrului se ung cu uleiuri speciale. c) în cazul în care este necesară deplasarea unui corp greu pe o suprafață cu asperități, pentru a micșora frecarea între corpul greu și suprafața suport se pun role din lemn sau metal. 100 Capitolul 2 2. Oamenii sau animalele nu ar putea merge dacă nu ar exista frecare între tălpile picioarelor și suprafața pe care se mișcă. Se știe că deplasarea pe gheață este foarte dificilă. în figura 2.53 se pune în evidență forța de frecare pentru a putea merge. în cazul mersului oamenilor forța de frecare asupra tălpii acționează înainte: noi împingem Pământul înapoi și Pământul ne împinge înainte. 3. Deplasarea vehiculelor pe șosele este posibilă datorită forțelor de frecare dintre cauciucurile roților și asfaltul de pe șosele. Un vehicul are două feluri de roți: roți motoare, cele antrenate de motorul vehiculului, și roți independente. în cazul roților motoare, forța de frecare asupra roții este orientată înainte (roata împinge Pământul înapoi și Pământul împinge roata înainte, așa cum se vede în figura 2.54). Această forță de frecare reprezintă tocmai forța de tracțiune dezvoltată de motor. Fig. 2.54 Exemplul 10 Fig. 2.53 Un mobil cu masa m = 30 kg pornește din repaus pe o traiectorie rectilinie, acționat de o forță F = 30 N. Determinați viteza mobilului după 5 secunde de la pornire. Rezolvare 1. Se pun în evidență, pe un desen, forțele care acționează asupra mobilului, precum și vectorul accelerație. Principii și legi în mecanica newtoniană 101 2. Scriem relația fundamentală a dinamicii: suma vectorială a forțelor care acționează asupra mobilului este egală cu produsul dintre masa și accelerația mobilului. F + N + G = mă- (A) 3. Transformăm relația vectorială (A) într-o relație scalară, pentru a putea fi folosită în calcule numerice. în acest scop o proiectăm pe direcția mișcării. Proiectăm relația (A) pe direcția mișcării (pe axa Ox). Proiecția lui F: F* = F; proiecția lui N și cea a lui G: N* = 0 și G* = 0; proiecția lui 5: ax = a. Deci proiecția relației (A) pe axa Ox este: F + 0 + 0 = ma, sau F = ma. 4. Calculăm accelerația: F 30 1 . 2 a = — =— = lm/s . m 30 5. Calculul vitezei. Deoarece mobilul pornește din repaus v0 = 0, atunci: v = at; v = 1 m/s2 5 s = 5 m/s Un mobil cu masa m = 10 kg este lansat pe o suprafață plană orizontală cu viteza inițială = 3 m/s. Coeficientul de frecare la alunecare dintre corp și plan este p = 0,3. Determinați accelerația mobilului. Se va luag= 10 m/s2. Rezolvare 1. Pe un desen punem în evidență forțele care acționează asupra mobilului precum și accelerația acestuia. 2. Scriem relația fundamentală a dinamicii: N + Ff+G = ma. (A) 3. Proiectăm relația vectorială (A) pe direcția mișcării (pe axa Ox\. 0 - Ff + 0 = ma, sau - Ff = ma. (B) Fj- -p N =p G=p mg; (G = N); G este greutatea corpului, adică forța cu care corpul este atras de Pământ; g este accelerația gravitațională, deci G = mg. 4. Calculul accelerației mobilului; din relația (B) obținem: 102 Capitolul 2 m 10 3 m/s2. Mișcarea este uniform încetinită. Corpul este frânat de forța de frecare. Exemplul 12 Un corp cu masa m = 10 kg se deplasează pe o suprafață plană orizontală sub acțiunea unei forte F, a cărei direcție face unghiul a cu direcția deplasării, și care imprimă corpului o accelerație a = 3,4 m/s2 3. Coeficientul de frecare la alunecare este p = 0,2 Determinați mărimea forței. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare 1. Se pun în evidență forțele care acționează asupra mobilului așa cum se vede în figura a. 2. Relația fundamentală a dinamicii: F + N + Fj + G = ma. (A) 3. Vom proiecta mai întâi forța F pe axele de coordonate Oxy, ca în figura b. F = F cos a, , F = F sin a . .v y Pentru a determina accelerația mobilului este necesar să cunoaștem mărimea reacțiunii normale. De aceea este necesar să proiectăm relația vectorială (A) pe ambele axe de coordonate. Proiecția pe axa Ox: 0 - Ff+ 0 + F = ma, sau -Ff+ F cos oc = ma, unde F .= pN, deci: -pN + Fcosa = ma. (B) Proiecția pe axa Oy: N + 0 - G + F sin a = 0, unde G = mg, prin urmare: N = mg - F sin a. (C) Principii și legi în mecanica newtoniană 103 Din relațiile (B) și (C) obținem: m(a+pg) -umg +//Fsina + Fcosa =ma => F =------;-- - 56,25 N. cosa+/isma Exemplul 13 Un corp cu masa m coboară fără frecare pe un plan înclinat cu unghiul a = 30° în raport cu planul orizontal. Determinați accelerația corpului. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare 1. Punem în evidență forțele care acțio- nează asupra corpului. 2. Relația fundamentală a mecanicii: N + G = mă. (A) 3. Proiectăm relația (A) pe axele de coordonate. Deoarece corpul se mișcă fără frecare, nu este necesar să proiectăm pe axa Oy. 0 +mg șina = ma => a = g șina; a = 10 -0,5 = 5 m/s2. Exemplul 14 Un corp cu masa m coboară, cu frecare, p = 0,3, pe un plan înclinat de unghi a = 30° în raport cu planul orizontal. Determinați accelerația corpului. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare 1. Se pun în evidență forțele care acțio- nează asupra corpului. 2. Scriem relația fundamentală: N + Ff+G = ma. (A) 3. Proiectăm relația (A) pe axele de coordonate: Proiecția pe axa Ox: 0 - F + mg sin a = ma. (B) Proiecția pe axa Oy. N + 0 - mg cos a = 0 (C) Din relația (C) obținem modulul reacțiunii normale: N = mg cos a; Ff = pN = p mg cos a. (D) 104 Capitolul 2 Din relațiile (B) și (D) obținem: a = g(sin a - p cos a); a = 10(0,5 - 0,3 0,866) = 2,4 m/s2. Probleme propuse 2.30. Un tren cu masa de 588 t pornește dintr-o stație și are accelerația de 0,2 m/s2. Coeficientul de frecare dintre roți și șine este de 0,005. Să se determine forța de tracțiune. 2.31. Cum sunt direcția și sensul forței de frecare? Alegeți răspunsul corect: A) direcția forței de frecare coincide cu direcția mișcării, iar sensul este identic cu cel al forței de tracțiune; B) direcția forței de frecare nu coincide cu direcția mișcării iar sensul este identic cu cel al forței de tracțiune; C) direcția forței de frecare coincide cu direcția de alunecare iar sensul este opus sensului de alunecare; D) direcția forței de frecare nu coincide cu direcția mișcării iar sensul este opus sensului de mișcare. 2.32. Coeficientul de frecare se exprimă în: A) —; B) —7; C) nu are unităti; D) . mm s 2.33. Alegeți răspunsul corect: Mărimea forțelor de frecare depinde de: A) mărimea suprafețelor aflate în contact; B) mărimea forței de apăsare normală; C) natura suprafețelor aflate în contact; D) mărimea forței de tracțiune. 2.34. Un corp alunecă rectiliniu uniform pe un plan orizontal. Coeficientul de frecare între corp și plan este p = 0,1. Forța de tracțiune care acționează asupra corpului este F = 10N. Să se calculeze: a) forța de apăsare normală pe suprafețele în contact; b) masa corpului. 2.35. O sanie coboară pe un derdeluș pe o lungime de 10 m, de la o înălțime de 5 m. Sub acțiunea forțelor care acționează asupra săniuței, aceasta coboară cu o accelerație de 0,2 m/s2. Masa săniuței împreună cu copilul aflat pe ea este de 18 kg. Să se calculeze: a) coeficientul de frecare la alunecare; b) forța de frecare (se va lua g = 10 m/s2). Principii și legi în mecanica newtoniană 105 2.7. Legea atracției universale Pentru a studia fenomenele gravitaționale este interesant să cunoaștem evoluția concepției pe care omul și-a facut-o despre Universul carc-1 înconjoară. 2.7.1. Evoluția istorică a ideilor despre Univers Observarea aștrilor și studiul mișcării lor a preocupat gândirea umană de milenii. S-a născut știința, numită astronomie, care studiază toate corpurile exterioare Pământului (numite aștri), sau mai general, întreg spațiul în care se află aceste corpuri, numit Univers. Astronomia studiază pozițiile, mișcările, structurile, compozițiile, interacțiunile și evoluția aștrilor, structura sistemelor de aștri și a Universului. Numeroasele stele pe care le vedem pe cer și mai ales puzderia de stele din Calea Lactee formează un sistem uriaș, numit Galaxie. în Galaxia noastră există peste 150 miliarde de stele printre care și Soarele nostru. Dincolo de Galaxia noastră există un număr foarte mare de galaxii dintre cele mai variate. Cu ajutorul unor instrumente astronomice perfecționate, au fost observate peste un miliard de galaxii. Legile de mișcare a aștrilor au fost descoperite progresiv, studiindu-se mai întâi o mică parte din Univers, numită sistem solar, compusă din Soare, un număr mic de corpuri care se rotesc în jurul Soarelui numite planete, comete, corpuri meteorice, gazul și pulberea interplanetare. Lumea antică, avidă de cunoaștere, a făcut observații astronomice sistematice, cu 2 000 de ani î. H. Grecii au făcut observații astronomice. De la aceștia au rămas unele concepții corecte despre forma Pământului și natura mișcării acestuia cât și despre modul de dispunere a planetelor și a stelelor în Univers, numit sistemul lumii. Astfel, astronomul Aristarh din Samos, care a trăit cu trei secole înaintea lui Isus Hristos, a susținut că Pământul este rotund și se mișcă în jurul axei sale cât și în jurul Soarelui. Dar, de la astronomii greci au rămas și unele concepții greșite, care au constituit un regres pentru știință. Concepția astronomului grec Ptolemeu (secolul al II-lea al erei noastre, între anii 100- 170) susținea că sistemul lumii este alcătuit astfel: în centrul Universului se află Pământul, imobil, iar în jurul lui se rotesc Soarele, planetele și stelele. Aceasta este concepția geocentrică asupra sistemului lumii, concepție răspândită până târziu în Evul Mediu. Astronomul polonez N. Copernic (1473 - 1543) a demonstrat, contrar ideilor admise până atunci, că Soarele se găsește în centrul sistemului planetar, Pământul și celelalte planete rotindu-se în jurul său. Astfel, Copernic a fundamentat sistemul heliocentric al lumii. Sistemul heliocentric a fost susținut de Galileo Galilei. Astronomia câștigă noi poziții avansate prin epocalele descoperiri ale lui Galilei printre care și luneta care-i poartă numele. Galilei, cu luneta construită de el, verifică - în practică - concluziile deduse matematic de Copernic. 106 Capitolul 2 în apărarea noilor teorii despre alcătuirea Universului se alătură și filosoful italian Giordano Bruno (1550 - 1600). Acesta a declarat că Universul este infinit și că în cuprinsul său se găsesc multe alte sisteme, în jurul cărora se învârtesc planete asemănătoare celor din sistemul nostru solar. Folosindu-se de observațiile astronomului danez Tycho Brahe (1546 - 1601), astronomul german Johannes Kepler (1571 - 1630) a stabilit legile mișcării planetelor. Din cele discutate până aici, rezultă că s-au precizat tot mai mult natura, structura și întinderea sistemului solar și s-au descoperit legile fundamentale ale mișcării sistemului solar. Nu s-a precizat nimic în legătură cu interacțiunile dintre corpurile care alcătuiesc sistemul solar. Nu s-a arătat cum este asigurată stabilitatea sistemului solar și care sunt cauzele mișcărilor planetelor în junii Soarelui. Savantului englez Isaac Newton îi datorăm descoperirea adevărului, din care să rezulte cauzele căderii libere a corpurilor pe suprafața Pământului, ale mișcării planetelor în jurul Soarelui, ale formării mareelor, ale formării galaxiilor. Aceste fenomene, aparent de naturi diferite, sunt manifestări ale aceleiași legi: - legea gravitației universale - descoperită în anul 1666, de Isaac Newton. Potrivit legii gravitației (atracției) universale, toate corpurile din Univers interac- onează prin forțe de atracție, fie că este vorba despre particule de nisip, despre blocuri de piatră sau despre aștri. Interacțiunea gravitațională este universală, acționând în același mod asupra tuturor corpurilor - și nu există niciun mijloc de a sustrage un corp de la acțiunea sa. Legea gravitației universale a dat răspunsuri la toate problemele importante legate de mișcarea corpurilor cerești. Având în vedere dimensiunile mici ale aștrilor față de distanțele dintre ele, Newton le-a considerat puncte materiale. Newton reduce sfera la un punct material, obiect fără dimensiuni, a cărui singură proprietate este masa. Aceasta este prima concepție modernă asupra particulei. Pornind de la modelul punctului material, Newton a elaborat o teorie matematică a gravitației universale, care descrie cu un aparat matematic minimal - și cu o surprinzătoare precizie - mișcarea corpurilor cerești. în felul acesta Newton a pus bazele mecanicii cerești, dând o imagine nouă a Universului. Legile lui Kepler sunt simple consecințe ale legii gravitației universale. Ceea ce determină o planetă să se rotească în jurul Soarelui - este forța de atracție dintre Soare și planetă. Pe de o parte atracția exercitată de Soare reține planeta în jurul acestuia, împiedicând-o să se îndepărteze în spațiul cosmic, iar pe de altă parte, datorită inerției, planeta tinde mereu să se miște rectiliniu uniform, deci să se îndepărteze de Soare. Planeta este obligată în felul acesta să se deplaseze pe traiectoria sa. La fel se întâmplă și cu Luna, care se mișcă în jurul Pământului și odată cu acesta în junii Soarelui; împreună cu sistemul solar, se mișcă în Galaxie datorită aceleiași legi a gravitației universale. Prin descoperirea gravitației universale, Newton a arătat care sunt cauzele stabilității sistemului solar. Principii și legi în mecanica newtoniană 107 2.7.2. Interacțiunea gravitațională între două puncte materiale. Legea atracției gravitaționale w* A ^2 ^21 B . L____________r ... J Considerăm două corpuri punctiforme de mase și m. plasate în punctele A și B aflate la distanța r unul de celălalt (fig. 2.55). Se consideră că cele două puncte se atrag reciproc. Punctul material din B exercită asupra punctului material din^4 o forță F21 și punctul material din?t exercită asupra celui din B o forță Fn. Aceste forțe se numesc forțe de interacțiune gravitațională. Conform principiului acțiunii și reacțiunii, forțele F21 și F12 au aceeași dreaptă suport, același modul și sensurile opuse: F21 = -Fw cu modulele F^ = Fn. (2.41) Fig. 2.55 Legea atracției gravitaționale a lui Newton: Două corpuri punctiforme plasate în punctele A și B, de mase mx și exercită unul asupra celuilalt forțe de atracție de sensuri opuse, dirijate de-a lungul dreptei AB, și al căror modul este proporțional cu produsul maselor celor două corpuri și invers proporțional cu pătratul distanței dintre ele: Fn ^m.-m Fn (2.42) Forța de interacțiune gravitațională nu depinde de compoziția chimică a corpurilor, de sarcinile lor electrice sau de starea lor de agregare, ci depinde doar de masa corpurilor și de distanța dintre ele. Constanta gravitațională universală Factorul de proporționalitate din relația (2.42) se numește constanta gravitațională universală, care are valoarea: Â: = 6)67-10-I1Nm2kg‘2. (2-43) Valoarea foarte mică a constantei gravitaționale universale arată că atracția gravitațională devine apreciabilă numai în cazul corpurilor cu masă foarte mare. Forța gravitațională dintre Pământ și Lună are modulul FPL = 2-1020 N; iar forța de interacțiune gravitațională dintre două corpuri, fiecare cu masa de 1000 kg, aflate la distanța de 1 m unul față de altul, are modulul: F12 = 6,7 • 10"5N- 108 Capitolul 2 Forma vectorială a legii atracției universale Notăm cu u vectorul unitar (versorul) al dreptei AB, orientat de la/1 laB (fig. 2.55). Forțele de interacțiune gravitațională au expresiile: Fn = -^>1 = ~k r2 u, (2.44) unde: u = cu r = = AB. r 1 1 Se obține astfel expresia forței de interacțiune gravitațională dintre două corpuri punctiforme: $ $ j AB Fn=~Fn =~k—2------ Fig. 2.56 2.7.3. Noțiunea de câmp Conceptul de câmp a fost introdus de către fizicianul englez Michael Faraday (1791 - 1867). în cazul gravitației, Faraday punea problema în felul următor: Dacă într-un loc din spațiu se află un corp și dacă se aduce într-un punct M, la distanța r de acest corp, un alt corp Cv apare o forță de atracție (fig. 2.56). De ce oare apare o astfel de forță atunci când în această regiune din spațiu nu există nimic altceva decât corpul în concepția lui Faraday, în spațiul din jurul corpului Cj ar trebui să existe o anumită „stare” sau „o condiție necesară ca să se producă atracția”. Acestei stări existente în spațiul din jurul corpului Cv Faraday i-a dat numele de câmp. Spațiul este modificat prin prezența corpului în regiunea în care se află, modificare pe care cel de al doilea corp o resimte sub forma unei forțe F. Un câmp este o regiune din spa- țiu ale cărei proprietăți au fost mo- dificate prin prezența unui corp, în această regiune, numit sursă de câmp. Această modificare se poate pune în evidență atunci când un al doilea corp foarte mic, numit corp de probă, este introdus în această regiune din spațiu și asupra lui se produce o acțiune mecanică, cu condiția ca și corpul de probă să producă un câmp de aceeași natură. Principii p legi în mecanica newtoniană 109 2.7.4. Câmpul gravitațional Orice corp creează în jurul său un câmp gravitațional și de asemenea suferă acțiunea câmpului gravitațional creat de alte corpuri. Considerăm un corp A de masă M, care constituie o sursă de câmp gravitațional (fig. 2.57). Se poate asocia fiecărui punct P, din spațiu, un vector F, astfel încât forța gravitațională ce se exercită asupra unei mase oarecare m să se obțină înmulțind această masă cu T, adică: F = m-f (2.45) Vectorul r se numește intensitatea câmpului gravitațional. Intensitatea câmpului gravitațional într-un punct P reprezintă forța ce se exercită asupra unității de masă situată în punctul P. f = —. (2.46) m Câmpul gravitațional terestru Se numește câmp gravitațional terestru câmpul generat de masa Pământului. Pământul acționează asupra tuturor corpurilor de la suprafața sa. Pentru a aplica legea atracției universale și forței cu care Pământul (care nu este o masă puncti- formă) acționează asupra maselor de la suprafața sa trebuie să facem următoarele aproximații simplificatoare: a) Pământul să fie considerat un corp sferic de centru O, de rază R și de masă M, concentrată în centrul său. b) Să se neglijeze efectele produse de mișcarea anuală a Pământului -- mișcarea de revoluție în jurul Soarelui - și de mișcarea sa diurnă - rotația în jurul axei polilor. Pământul creează un câmp gravitațional care are intensitatea, în orice punct P situat la distanța PO = r, r> 2R, dată de expresia: r = k-Țu. (2.47) Forța de atracție gravitațională exercitată de Pământ asupra unui punct material m, situat în P, este: F = mV. (2.48) Conform principiului al doilea al mecanicii, greutatea unui corp de masă m, aflat într-un punct P din apropierea Pământului, este definită prin relația: G = mg, de unde g = —, (2.49) m 110 Capitolul 2 unde g reprezintă în același timp accelerația gravitațională și intensitatea câmpului gravitațional al Pământului în locul considerat. Se pune întrebarea: greutatea G și forța F de atracție gravitațională sunt una și aceeași forță? Dacă se fac aproximațiile simplificatoare pe care le-am pomenit mai sus, greutatea și forța de atracție gravitațională se confundă. Deci: mV = mg, de unde F = g. (2.50) Având în vedere relația 2.47, obținem expresia: g=r = k^- (2.51) r într-un punct situat pe suprafața Pământului (la nivelul mării) unde r = R , g are valoarea: <2-52) R In urma calculelor, pentru accelerația gravitațională la nivelul mării s-a obținut valoarea: ga = 9,8 m/s2. Comparând relațiile (2.51) și (2.52) obținem: g R2 r2 , sau g = g0 — (2.53) go r2 r Variația accelerației gravitaționale cu altitudinea Fie un punct P la altitudinea PA = h față de suprafața Pământului, și la distanța PO = r = (R+h) față de centrul O al Pământului (fig. 2.58). Conform relației (2.53) obținem pentru g următoarea expresie: R^ <2-54) Din relația (2.54) se vede că accelerația gravitațională g scade pe măsură ce altitudinea h crește. Variația accelerației gravitaționale cu latitudinea Deoarece Pământul nu este riguros sferic, g variază și cu latitudinea - Exemplul 1 Un om deplasează un corp pe o supra- față orizontală cu viteza v = 0,8 m/s. Coe- ficientul de frecare dintre corp și suprafața orizontală este p = 0,1. Să se calculeze lu- crul mecanic al fiecărei forte care acționea- ză asupra corpului, precum și lucrul mecanic efectuat de om asupra corpului. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare. Determinăm, mai întâi, mărimile forțelor F și Ff. Viteza corpului fiind constantă, accelerația sa este nulă {a = 0). Greutatea corpului este echilibrată de reacțiunea normală: G = -N (G + N = 0). Scriem relația fundamentală a dinamicii Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 117 pentru mișcarea corpului: F + Ff + G + N = Rezultă că F = -Ff și F = Ff = piN = =mg, (N= G = mg). Forțele G și N nu efectuează lucru mecanic, fiind perpendiculare pe direcția deplasării. Lucrul mecanic al forței F este luciu mecanic motor, este pozitiv și are valoarea L = F • d = mgd. Forța de frecare este o forță rezistentă, ea efectuează un lucru mecanic rezistent, negativ, L2 = - mgd. Lucml mecanic rezultant este L\ + L = mgd - /a mgd = 0. 3.1.2. Lucrul mecanic al unei forțe constante care face un unghi cu direcția deplasării Să considerăm situația următoare: un om acționează asupra unei sănii cu o forță F care face unghiul 0 cu direcția deplasării (fig. 3.3). Și în acest caz putem calcula lucrul mecanic al forței F, folosind relația (3.1). înlocuim forța F cu componentele sale: una pe direcția deplasării Fd și cealaltă perpendiculară pe direcția deplasării Fn'- F = Fd + Fn, Forța Fn nu efectuează lucru mecanic, fiind perpendiculară pe deplasare. Lucrul mecanic este efectuat de componenta Fd. L = Fd- d, unde Fd = Fcos0, prin urmare: L = Fd cos 6. (3.2) Fig. 3.3 118 Capitolul 3 Discuție. Pentru ~ y < — (fig. 3.4, a), forța F contribuie la deplasarea corpului, este o forță motoare și efectuează lucru mecanic motor: cos0 = cos(-0) > 0. n a 3zr - Pentru — < 0 < — (fig. 3,4, b), forța F se opune deplasării, este forță rezistentă și efectuează un lucru mecanic rezistent L= Fd cos0 < 0, (cos0 < 0). Pentru 0 = zr, cos0 = -!,£=-Fd. Pentru 0 = — sau 0 = cos 0 = 0 și L = 0 (fig. 3.4, c). Exemplul 2 Un om împinge o sanie cu masa m = 25 kg cu o forță F care face cu direcția deplasării un unghi 0, imprimându-i o accelerație a = 1 m/s2. Să se determine lucrul mecanic efectuat de om asupra săniei pe distanța d = 4 m, dacă forța de frecare dintre sanie și zăpadă este Ff = 5 N. Rezolvare, a) Calculăm forța Fd = F cos0 care produce lucrul mecanic, aplicând relația fundamentală a dinamicii la mișcarea săniei: Ff + F + N + mg = md. (3.3) Proiectând relația (3.3) pe direcția mișcării ob- ținem: - Ff + F cos 0 = ma, F cos 0 - ma +Ff. b) Lucrul mecanic este dat de relația L = (F cos 0) • d. Valoarea numerică: L = (25 kg • 1 m/s2 + 5 N) • 4 m = 120 J. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 119 Exemplul 3 Un elev aruncă o minge cu masa m = 200 g pe verticală în sus și o prinde în punctul din care a fost aruncată. Mingea atinge înălțimea maximă h = 5 m. Să se calculeze lucrul mecanic al ’ m greutății în timpul urcării mingii până la înălțimea h , la coborârea mingii pe aceeași distanță și pe toată distanța parcursă de minge. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare a) Lucrul mecanic al greutății mingii, în timpul urcării acesteia, este un lucru mecanic rezistent, dat de relația: Li( = - mgh = - 10 J. b) în timpul coborârii mingii, greutatea acesteia efectuează un lucru mecanic motor: L = mgh = 10 J. c) Luciul mecanic al greutății pe tot parcursul este: L =L + L =-16 J+ 10 J = 0. u c Ca urmare a rezolvării acestui exercițiu putem desprinde o concluzie foarte interesantă. Mingea parcurge un drum închis, deoarece poziția inițială a acesteia coincide cu poziția sa finală. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 121 Lucrul mecanic al greutății pe un drum închis este nul. Prin urmare, lucrul mecanic al forțelor conservative pe un drum închis este nul. 3.1.5. Lucrul mecanic efectuat de forța elastică Am studiat lucrul mecanic al forțelor constante, însă în practică întâlnim foarte des forțe care variază în funcție de poziția corpului asupra căruia ele acționează. Un exemplu de astfel de forță este forța elastică, care ia naștere într-un resort (fig. 3.7) și care se exprimă prin relația: F = -tâ, (3.6) unde k este constanta elastică a resor- tului, iar x este deformarea acestuia. Forța elastică este egală și de sens opus forței deformatoare: F^kx- (3.7) în timpul deformării resortului, se deplasează pe distanța x atât punctul de aplicație al forței deformatoare cât și cel al forței elastice; ambele efectuează lucru mecanic. La întindere sau comprimare, lucrul mecanic al forței deformatoare F este un lucru mecanic motor, pe când cel al forței elastice F este un lucru mecanic rezistent. Aceste două lucruri mecanice sunt egale și de semn contrar. Experiment. Așezați pe o suprafață orizontală un corp paralelipipedic și fixați-1 de capătul unui resort, cealaltă extremitate a resortului fixați-o de un suport. Prindeți de corp un dinamometru. Exercitați o forță orizontală F asupra corpului. Pe măsură ce se alungește resortul, crește și mărimea forței care se exercită asupra corpului. în tabelul de mai jos se dau valorile forței în funcție de deformarea resortului, de deplasarea corpului. Forța F(N) 18 36 54 72 Deplasarea x(m) 0,1 0,2 0,3 0,4 Calculați: a) Lucrul mecanic al forței elastice pentru deplasarea cutiei de la x() = 0 m la x? = 0,2 m. b) Lucrul mecanic pentru deplasarea corpului de lax7 = 0,2 m la x4 = 0,4 m. 122 Capitolul 3 Rezolvare. Pentru calculul lucrului mecanic folosim metoda grafică. Reprezentăm grafic variația modulului forței deformatoare F în funcție de deplasarea x. Graficul este o dreaptă (fig. 3.8). Modulul forței F variind proporțional cu deformarea x a resortului, expresia forței este de forma F = kx. a) Lucrul mecanic al forței F pentru deplasarea corpului de la x() = 0 la x7 = 0,2 m este numeric egal cu aria triunghiului OB.A _ OB2' B2A2 _ 0,2 • 36 _ g j 1 2 2 ’ ' Lucrul mecanic al foitei defor- matoare este egal și de semn opus cu cel al forței elastice. Luciul me- canic al foitei elastice fiind rezistent, îi atribuim semnul minus. L= - 3,6 J. b) Lucrul mecanic pentru de- plasarea Ax = x4 - x2, este numeric egal cu aria trapezului B2A2B4A4: r B2A2+B4A4 F2+F4 36 + 72 1AQT Ă2 ~ .. " ~*2) ~ U4 ~x2) =-----------------= 10,8 J. Lucrul mecanic al forței elastice: L2 = - 10,8 J. Din relația de mai sus rezultă că lucrul mecanic al unei forțe variabile de forma F~kx poate fi calculat înmulțind media aritmetică a valorilor inițială și finală ale forței cu deplasarea punctului de aplicație al forței pentru intervalul în care variază forța. Exemplul 4 O forță, care acționează asupra unui corp, variază cu distanța, după legea F = lOx, unde F este exprimată în newtoni și x în metri. Calculați luciul mecanic efectuat de forță între două puncte A și B de coordonate xA = 0,2 m și x = 0,6 m. Rezolvare. Deoarece mărimea forței variază după legea F = Ax, valoarea luciului mecanic efectuat de forța F este egală cu valoarea medie a modulului foliei pe intervalul AB înmulțită cu distanța parcursă de punctul de aplicație al forței între punctele A și B: L = Fm-^x = Fa^Fb-(xb-xa). Fa = 10 • 0,2 = 2 N, Fb =10 • 0,6 = 6 N, Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 123 2 + 6 ăoc = 0,6 - 0,2 = 0,4 m; L =---------0,4 = 1,6 J. 2 ^Exemplul 5 O forță F ce se exercită asupra unui corp variază în funcție de deplasarea punctului său de aplicație după cum se arată în graficul din figura alăturată. Ce lucru mecanic efectuează forța pe intervalul x() = 0 m, xD = 4 m? Rezolvare. Lucrul mecanic al forței F este egal cu aria suprafeței OABCDO. Observăm că această suprafață se compune din dreptunghiul OABEO și trapezul EBCDE. Valoarea lucrului mecanic căutat este egală cu suma ariilor dreptunghiului și trapezului, deci: L = OA• OE + + • ED-, L = 6N-2m+ 6N+2N • 2m = 20J. 2 2 3.1.6. Puterea în considerațiile pe care le-am făcut până acum nu am ținut seama de timpul în care o forță efectuează lucru mecanic. Forța care produce lucrul mecanic se poate datora unui motor sau unei instalații. în activitatea practică, timpul în care o instalație sau un motor efectuează un anumit lucru mecanic prezintă o deosebită importanță. Spre exemplu, să presupunem că o macara ridică o sarcină de 5 000 N la 2 metri înălțime în 50 secunde, iar alta ridică o sarcină de 8 000 N la 3 metri înălțime în 60 secunde. Se pune întrebarea care dintre cele două macarale este mai productivă? Prima efectuează un lucru mecanic = 5000 N • 2 m = 10 000 J, iar într-o secundă produce lucrul mecanic de 200 J/s. A doua macara produce lucrul mecanic = 8000 N • 3 m = 24000 J, iar pe secundă lucrul mecanic de 400 J/s. A doua macara este mai productivă deoarece produce un lucru mecanic mai mare în timp de o secundă, deci ea este mai puternică decât prima. Puterea este o mărime care caracterizează viteza cu care se efectuează un lucru mecanic. Prin definiție, puterea medie într-un interval de timp &t este egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat și timpul necesar producerii acestui lucru mecanic. A/ (3-8) 124 Capitolul 3 Am definit puterea medie deoarece, în general, lucrul mecanic nu se efectuează în mod uniform în timp. în cazul când puterea este constantă, ea este dată de relația: P = |. (3.9) Puterea mecanică se poate determina și în funcție de forța care efectuează lucrul mecanic și de viteza medie cu care se deplasează corpul în cauză. în cazul când corpul are o viteză constantă, relația (3.10) devine: P = F -v. (3.11) Unitatea pentru putere în SI. Dacă în relația (3.9) vom lua L = 1 joule și t = 1 s, obținem unitatea pentru putere, numită watt, cu simbolul: W. , 1 joule 1J 1 watt = —----- adică 1W = —. 1 secundă Îs 3.1.7. Randamentul unei mașini Prin randamentul unei mașini se înțelege raportul dintre puterea utilă și cea cheltuită de mașină. Notând randamentul cu 77, puterea utilă cu Pit și puterea cheltuită cu Pc., randamentul este definit prin relația: 77=^. (3.12) Pc Randamentul este o caracteristică importantă a unei mașini (sau a unei instalații); el se mai poate exprima prin raportul dintre lucrul mecanic pe care îl furnizează mașina și lucrul mecanic pe care îl consumă mașina respectivă, în timpul funcționării ei. Dacă în relația (3.12) înmulțim numărătorul și numitorul cu t, obținem o nouă relație pentru randament: 77 = Z(util) L (consumat) (3.13) Considerăm o mașină care furnizează un lucru mecanic util, pe care îl notăm cu L". Mașina a consumat următorul lucru mecanici., care se compune din: lucrul mecanic util, lucrul mecanic necesar punerii în funcțiune a părții mobile a mașinii L și lucrul mecanic pentru învingerea forțelor de frecare Lv Randamentul mașinii este dat de relația: I j L L / u m f Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 125 Concluzie Randamentul este întotdeauna mai mic decât unitatea r| < 1. Randamentul unei mașini simple. O mașină simplă este un dispozitiv folosit pentru a amplifica efectul unei forțe sau pentru a o face mai comod de aplicat. Din categoria mașinilor simple face parte și planul înclinat. Considerăm că trebuie ridicat un corp cu masa m la înălțimea h (fig.3.9). Lucrul mecanic util este lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa corpul, pe verti- cală, de la sol până la înălțimea h. Forța F care acționează asupra corpului trebuie să învingă greutatea corpului. Lucrul mecanic este rezistent, și are valoarea: Lu = - mgh. Este mai comod să se ridice corpul la înălțimea h, pe planul înclinat. Forța F va trebui să învingă componenta pe planul înclinat a greutății și forța de frecare Fj = ți mg cos oc. Lucrul mecanic consumat va fi: Lc = - F ' l = - mgl(sin a + ți cos a), unde / este lungimea planului înclinat. Randamentul (mașinii simple) planului înclinat (având în vedere că A = l sin a) este dat de relația: Lu _ -mgl șina _ șina _ șina Lc - wgZ(sina +/ll cosa) (șina+//cosa) sina(l +ți ctga) ’ 1 1 + ctga în cazul planului înclinat randamentul depinde de gradul de șlefuire a suprafețelor în contact și de înclinarea planului, în raport cu planul orizontal. 126 Capitolul 3 , Exemplul 6 O macara ridică la înălțimea de 10 m un corp cu masa de 600 kg într-un minut. Puterea consumată de macara este de 1429 W. Determinați randamentul macaralei. Rezolvare. Puterea utilă furnizată de macara este: = 60040-10 = 100QW " t l 60 Randamentul este: n = Pc ^ = 0^ 1429 77 = 70%. 3.2. Teorema variației energiei cinetice a punctului material 3.2.1. Energia Cuvântul energie este foarte des întâlnit în viața de toate zilele. Cu el se denumesc sursele de energie, care pot fi substanțe (cărbunii, petrolul, corpurile radioactive, ...) sau fenomene (căderile de apă, vântul, ...), care dau posibilitatea să se obțină căldură și lucru mecanic. La acest nivel lucrurile sunt clare pentru toată lumea, iar noțiunea de energie pare foarte simplă. Din punct de vedere științific trebuie făcute câteva precizări și nuanțări. în primul rând trebuie să precizăm că energia unui sistem nu poate fi măsurată experimental. Ea poate fi cunoscută până la o constantă aditivă. Se poate determina doar partea de energie transferată de la un sistem la altul, deci se pot măsura variațiile de energie. Una din formele prin care se face schimb de energie este lucrul mecanic. Exemplul 7 Un om împinge un automobil rămas în pană și-l deplasează pe o anumită distanță, efectuând un lucru mecanic, așa cum se vede în figura alăturată. Omul a obosit, semn că a cedat o parte din energia sa automobilului, care și-a schimbat starea de mișcare. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 127 Spunem că un sistem care are energie este capabil să o schimbe cu mediul exterior. Altfel spus: Energia unui sistem este o mărime fizică scalară, de stare, a cărei variație este egală cu lucrul mecanic efectuat de sistem în timpul acestei variații a energiei. Lucrul mecanic caracterizează procesul de transfer al energiei de la un sistem la altul, deci lucrul mecanic este o mărime de proces. Energia, ca și lucrul mecanic, se măsoară în jouli (J). 3.2.2. Energia cinetică. Teorema variației energiei cinetice Experiment. Pe suprafața unei mese plane și orizontale se află o bilă și un corp paralelipipedic (fig. 3.10). Odată lansată bila pe suprafața mesei, ea ciocnește corpul paralelipipedic, pe care îl deplasează. Bila în mișcare a efectuat un lucru mecanic, deci posedă energie. Energia pe care o are un corp datorită mișcării sale (în raport cu un sistem de referință dat) se numește energie cinetică. Iată câteva corpuri care au energie cinetică: vântul, care reprezintă mișcarea unor mase de aer; prin acțiunea sa poate pune în mișcare o moară de vânt, o navă cu vele, poate smulge copaci din pământ sau poate avaria clădiri, când viteza sa depășește o anumită valoare; un ciocan în mișcare, care lovește un cui și îl introduce într-un material oarecare (fig. 3.11); o apă curgătoare (apa unui râu) care poate transporta pe suprafața sa plute făcute din trunchiuri de copac. Pentru a pune în evidență și a defini energia cinetică a unui corp mai prezentăm un exemplu. Fig. 3.11 128 Capitolul 3 Considerăm o sanie pe care se află un corp cu masa m. Sania se află pe suprafața gheții, unde frecarea este neglijabilă. Un om care poartă ghete cu crampoane din metal împinge sania cu o forță orizontală constantă F (fig. 3.12). Greutatea săniei este echilibrată de reacțiunea gheții. Forța F este forța rezultantă care acționează asupra săniei. Viteza săniei variază pe distanța d, dintre două puncte A și B de pe traiectorie, de la v1 la v2. Legătura dintre cele două viteze este dată de formula lui Galilei: vl-vl=2ad. (3.15) Fig. 3.12 înlocuind în (3.15) accelerația a dată de relația fundamentală a dinamicii, obținem: 2 2 (3.16) 2 2 V 7 Termenul Fd reprezintă lucrul mecanic al forței F pe distanța d, deci: T -mV2 AB 2 mvf ~~2~ (3.17) Mișcării săniei i se poate aplica modelul punctului material, deoarece efectuează o mișcare de translație liniară. Din relația (3.17) rezultă că lucrul mecanic efectuat de forța F care acționează asupra săniei a contribuit la variația mărimii: 1 2 E = — mv , c 2 (3.18) numită prin definiție energia cinetică a unui punct material. Energia cinetică a unui corp de masă m, care se află în mișcare de translație cu viteza v, în raport cu un sistem de referință inerțial, este egală cu semi- produsul dintre masa corpului și pătratul vitezei acestuia. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 129 Relația (3.17) reprezintă teorema variației energiei cinetice, pe care o enunțăm: Variația energiei cinetice a unui punct material, care se deplasează în raport cu un sistem de referință inerțial, este egală cu lucrul mecanic efectuat de forța rezultantă care acționează asupra punctului material în timpul acestei variații. Energia cinetică a punctului material este o mărime care caracterizează starea sa de mișcare. Fiecărei stări de mișcare a punctului material îi corespunde o energie cinetică. De aceea se spune că energia cinetică este o mărime de stare. în fiecare moment energia E are o valoare care caracterizează corpul. Modificarea stării de mișcare a punctului material se datorează forței rezultante care acționează asupra lui. înseamnă că lucrul mecanic L al forței rezultante este o măsură a procesului de modificare a stării de mișcare. Exemplul 8 Un automobil cu masa de 1 000 kg pornește din repaus și ajunge la viteza de 30 m/s după ce parcurge 500 m, pe un drum orizontal. Să se calculeze forța de tracțiune a motorului, dacă forța de frecare este de 200 N. Rezolvare. Asupra automobilului acționează forțele: greutatea G, reacțiunea normală N, forța de tracțiune F și forța de frecare Ff. Suma algebrică a lucrurilor mecanice ale forțelor ce acționează asupra automobilului, pe distanța d, este: L(F) + L(Ff) = Fd-Ffd. Acest lucru mecanic fiind diferit de zero, el este folosit pentru accelerarea automobilului. Aplicând teorema variației energiei cinetice obținem: ^mv2 -Q = (F-Ff)d, de unde: mv2 F = —- + Ff = 1100N. 2d f Exemplul 9 Un vagon de cale ferată, cu masa m = 10 tone, supus acțiunii unei forțe de frânare constante, coboară pe un plan înclinat de unghi a în raport cu planul orizontal (sin a = 0,05). Vagonul, pornind din repaus, atinge o viteză v = 12 m/s după ce a parcurs distanța d = 200 m. Calculați forța de frânare. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare. Asupra vagonului acționează forțele următoare: greutatea G, reacțiunea normală N și forța de frânare Ff. 130 Capitolul 3 La capătul drumului de lungime d, vagonul a coborât de la înălțimea h = d sin a și lucrul mecanic al greutății este: = mgh = mgd sin Lucrul mecanic al forței de frânare este rezistent și este: L2 = Ffd. Lucrul mecanic al reacțiunii normale este nul, deoarece aceasta este perpendiculară pe drum. Teorema de variație a energiei cinetice se scrie: 1 2 — mv - 0 = mgd șina - Ffd, mv2 v2 de unde: Ff = mgd șina------= m(g șina------). 2d 2d înlocuind în relația de mai sus valorile numerice obținem Ff = 1300 N. Exemplul 10 Un automobil, cu masa m = 800 kg, coboară cu viteza inițială v0 = 60 km/h pe o pantă înclinată de unghi a în raport cu planul orizontal (sin a = 0,04). Forța de tracțiune a motorului F rămânând tot timpul constantă, automobilul ajunge la baza pantei cu viteza V] = 90 km/h, după ce a parcurs distanța d = 200 m. Forța de frecare are valoarea Ff = 1 000 N. Să se calculeze forța F. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare Pe distanța d lucrurile mecanice ale forțelor F, F^ și q sunt: = +Fd, L2 = -Ffd, L3 = +mgd șina. Lucrul mecanic al reacțiunii normale este nul. Teorema variației energiei cinetice se scrie astfel: v2-v2}^F-Ff+mgsina^ de unde: F = —— + Ff - mgșina. 2d f * înlocuind cu v0 = —m/s2, v. = 25 m/s, se obține: F= 1400 N. 3 1 Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 131 Exemplul 11 Un automobil cu masa m = 900 kg se deplasează pe un drum orizontal cu viteza v = 90 km/h. Un obstacol îl obligă pe șofer să frâneze. Automobilul parcurge de la începutul frânării până la oprire distanța d = 90 m, sub acțiunea unei forțe de frânare constante. Să se determine: a) valoarea forței de frânare; b) accelerația automobilului pe perioada frânării; c) durata frânării. Rezolvare. a) Pe perioada frânării, asupra automobilului acționează forțele: greutatea auto- mobilului G, reacțiunea normală N și forța de frânare Ff. Aplicăm teorema variației energiei cinetice: L(G) + L(N) + L(Ff ) -1 mv2 -1 mv2, de unde: 0 + 0-Ffd = Q--mv2 =>Ff = —= 3125N. f 2 f 2d b) Folosim relația lui Galilei: 2 v,2 - v2 = 2ad, 0-v2 = 2ad => a = , a = -3,3 m/s2. 1 2d x i . Vi - v 0 - 2,5 c) Folosim relația vitezei: vt = v 4- at => t = —-=--= 7,5 s. 1 a -3,3 3.3. Energia potențială gravitațională și cea *elastică 3.3.1. Energia potențială gravitațională Un sistem posedă energie potențială dacă: a) părțile componente ale sistemului interacționează prin forțe conservative; b) pozițiile relative ale părților sistemului sunt variabile, adică sistemul este deformabil. Considerăm un punct material de masă m plasat într-un punct A din câmpul gravitațional al Pământului, considerat uniform (fig. 3.13). Punctul material și Pământul, care interacționează prin câmpul gravitațional, alcătuiesc un sistem fizic deformabil în cadrul căruia acționează forțe conservative (forțele de greutate). Constatăm că starea sistemului (configurația sistemului) este determinată de înălțimea h a punctului material față de un plan orizontal P de la suprafața Pământului, luat ca nivel de referință. 132 Capitolul 3 A G~ mg Fig. 3.13 ^0 h " G- mg Spunem că înălțimea h este un parametru de stare al sistemului. Lăsăm punctul material să cadă liber din punctul A în punctul Ao, aflat la înălțimea Ao. Lucrul mecanic efectuat de greutatea punctului material pe distanța (A - Ao) este: L = mg(h -hQ) . (3.19) Astfel, punctul material apropiindu-se de Pământ efectuează un lucru mecanic. Din acest motiv spunem că sistemul alcătuit din Pământ și punctul material - sistem deformabil (cu interacțiune gravitațională) - posedă energie. Această energie, care depinde de poziția punctului material față de Pământ, se numește energie de poziție sau energie potențiala gravitațională. Cu toate că energia potențială caracterizează starea sistemului (Pământ - punct material), datorită unei comodități de exprimare se spune adesea: energia potențială gravitațională a punctului material, lăsând impresia că se face abstracție de rolul esențial al Pământului care generează câmpul gravitațional. Fiecărei stări (configurații) a sistemului îi corespunde o energie potențială#, iar modificarea configurației sistemului determină variația energiei potențiale. Astfel, dacă punctul material se deplasează din poziția A, de altitudine h, în poziția^0, de altitudine A0(fig. 3. 13), energia potențială suferă variația: AEp=EpQ-Ep, (3.20) Energiei potențiale nu i se poate da o valoare absolută, deoarece aceasta nu ar avea o semnificație experimentală, însă i se poate da o valoare relativă în raport cu o stare de referință aleasă în mod convențional, și a cărei energie potențială, prin definiție, se consideră nulă. Se pot măsura variațiile energiei potențiale prin lucrul mecanic efectuat de forțele de greutate. Prin convenție, variația energiei potențiale între două stări (configurații) date este egală și de semn contrar cu lucrul mecanic al forțelor de greutate, exercitate asupra punctului material, între aceste stări, deci: = epq ~Ep= ~mg(h - ho \ £p0 ~EP = mghQ ~ mgh. Dacă se alege drept stare de referință starea căreia îi corespunde parametrul hQ = 0, și căreia i se atribuie energia potențială #p0 = 0, se obține pentru energia poten- țială a sistemului (punct material - Pământ) expresia: Ep = mgh. (3.21) Alegerea stării (configurației) de referință pentru energia potențială este cu totul arbitrară. In cazul rezolvării problemelor se ia drept configurație de referință acea configurație care convine cel mai bine situației date. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 133 Exemplul 12 Un obiect cu masa m = 3 kg cade liber de la înălțimea h = 5 m. Calculați energia cinetică a obiectului și energia potențială a sistemului (obiect - Pământ), când obiectul se află la înălțimea h{ = 2 m deasupra solului. Se va lua g = 10 m/s2. Rezolvare Energia cinetică la înălțimea h} este: 1 2 E = — mvx, Folosim relația lui Galilei: 2 vj2 - Vq = 2g(A ” W Cum vo = 0 ’ rezultă că: Ec = mg(h - = 90 J. Energia potențială este dată de relația (se consideră suprafața Pământului drept suprafață de referință): Ep = mghx = 60 J. Exemplul 13 în figura a se prezintă o porțiune a câmpului gravitațional din apropierea unei planete. Se indică, de asemenea, valoarea energiei potențiale a câmpului gravitațional din apropierea planetei, pentru diferite configurații ale sistemului alcătuit dintr-un corp cu masa m = 2 kg și planetă (sistemul corp - planetă cu interacțiune gravitațională). Calculați: a) lucrul mecanic necesar deplasării corpului din punctul^ în punctul B, cu viteză constantă; b) lucrul mecanic al greutății când corpul cade liber din punctul Cpână la suprafața planetei; c) lucrul mecanic al greutății, efectuat în timpul deplasării corpului, cu viteză constantă, din punctul A în punctul D. 134 Capitolul 3 Rezolvare a) Lucrul mecanic efectuat de forța externă sistemului, care deplasează corpul din A în B, este egal și de semn contrar cu lucrul mecanic al greutății, care la rândul său este egal și de semn contrar cu diferența dintre energiile potențiale din stările B și J dprr Pentru deplasarea corpului din A în B s-a efectuat un lucru mecanic egal cu 6 J, iar energia potențială a sistemului a crescut cu 6 J. b) Lucrul mecanic al greutății pe distanța CO este egal și de semn contrar cu diferența energiilor din stările O (sol) și C, deci: Lnrm = - (E n - E A = - (0 - 8 J) = 8 J. G{CO} v pO pC7 v 7 Prin deplasarea corpului din C în O. energia potențială a sistemului a scăzut cu 8 J. c) Putem deplasa corpul din A în D, pe drumurile notate de la 1 la 4 pe figura b. Greutatea fiind o forță conservativă, lucrul său mecanic nu depinde de drum. Indiferent ce drum am urma, pentru deplasarea corpului din A în D, lucrul mecanic al greutății este același. Alegând drumul 1, adică drumul ABD, lucrul mecanic este: ^G{AD) LG(AB) + LG(BD) 6J + 0 6J 3.3.2. *Energia potențială elastică Experiment. Comprimăm un resort și așezăm apoi pe el un corp (fig. 3.14). Când resortul este lăsat liber, el se destinde și se lansează corpul efectuând un lucru mecanic. Resortul comprimat (același lucru și pentru resortul întins) are energie potențială elastică. Variația energiei potențiale a resortului este egală și de semn contrar cu lucrul mecanic Fig. 3.14 al forțelor elastice. In paragraful 3.1.5 am calculat lu- crul mecanic al forței elastice. Reluăm raționamentul, referitor la calculul aces- tui lucru mecanic. Forța elastică se opune deformării resortului și are valoarea algebrică dată de relația: F = ~ kx. Graficul funcției F = f(x) într-un sistem de coordonate FOx este o dreaptă (fig. 3.15). Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 135 Cu ajutorul acestui grafic calculăm lucrul mecanic al forței elastice în intervalul [^(xj), 5(x2 )]• în acest interval lucrul mecanic este egal cu aria suprafeței limitată de axa Ox și de graficul forței în intervalul considerat. Suprafața este un trapez. Aria trapezului este numeric egală cu lucrul mecanic al forței elastice în intervalul considerat. = + OX2 “xi) = -^(x2 + xi)(x2 ~xi); L = ~k{x2-x2y (3.22) Energia potențială elastică este dată de relația: Ep=^k(x2-x2). (3.23) Dacă alegem poziția A(xJ, drept poziție de referință, rezultă: E P =“^(x2 “xi )• (3-24) 3.4. Legea conservării energiei mecanice 3.4.1. Energia mecanică Fie un sistem deformabil alcătuit dintr-un corp de masă m (de dimensiuni neglijabile) și Pământ (fig. 3.16). Pământul este considerat fix. Viteza Pământului și energia sa cinetică sunt nule (yp = 0; EcP = 0). Sistemul este studiat în sistemul de referință terestru. Energia cinetică a sistemului (Pământ - punct material) este egală cu energia cinetică a corpului (punct material): 136 Capitolul 3 Fig. 3.16 77 1 2 Ec = — mv . c 2 Sistemul interacționează prin forțe conservative în câmpul gravitațional terestru. Energia potențială a sistemului este: Ep= mgh. Prin definiție, energia mecanică E a unui sistem (Pământ - punct material), în sistemul de referință terestru, este su- ma energiilor lor cinetice și potențiale. E = Ec + Ep. (3.25) Pentru un solid de masă m, în mișcare de translație cu viteza v, la înălțimea A, energia mecanică este: E = (l/2)mv2 + mgh. (3.26) Conservarea energiei mecanice. Presupunem că asupra sistemului (Pământ - punct material) nu acționează și forțe provenite de la alte sisteme, adică sistemul este izolat. Când sistemul este izolat, mărimea E, numită energie mecanică a sistemului, are o valoare constantă pentru orice configurație (stare) a sistemului: £* — + Ep{ — E c2 + Epl — const., (3.27) sau: 1 2 1 o E = — mvi + mgh{ = — mv2 + mgh2 = const. (3.28) Relațiile (3.27) și (3.28) reprezintă legea conservării energiei mecanice pentru forțe conservative: Energia mecanică E = Ec + Ep , a unui sistem izolat în care acționează forțe conservative, este constantă, deci energia mecanică a sistemului se conservă. Condiția necesară ca să se conserve energia mecanică este ca asupra punctului material (mobilului), respectiv în sistem, să nu acționeze nici o forță neconservativă. Aceasta înseamnă ca forțele de frecare să fie nule, iar sistemul să nu conțină mașini termice sau mașini electrice. Să considerăm evoluția sistemului (Pământ - punct material), în sistemul de referință terestru, unde Pământul este considerat fix și energia cinetică a sistemului este egală Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 137 cu aceea a mobilului (punctului material). Energia mecanică a sistemului fiind constantă, E = Ec + E, atunci la momentele tv respectiv tv obținem: E , + E =E,+ E„ cl p\ cl pV sau, după ce izolăm energiile cinetice și potențiale în cei doi termeni: = (3-29) Variația energiei cinetice este egală și de semn opus cu variația energiei potențiale. Conservarea energiei mecanice în mișcarea de cădere liberă Un mobil este în cădere liberă atunci când asupra lui nu mai acționează nici o forță în afară de greutatea sa (forță conservativă). în acest caz se aplică legea conservării energiei mecanice pentru sistemul (Pământ - mobil). Fie un punct material de masă m, plasat într-un punct A din câmpul gravitațional uniform al Pământului. Considerăm sistemul (Pământ - mobil) izolat (fig. 3.17). Energia mecanică a sistemului (Pământ - mobil) se conservă și, conform relației (3.28), obținem: Fig. 3.17 1 2 1 2 E = 0 + mgh = — mvB +mg(h-x) = — mvc +0 = const. Exemplul 14 O piatră cu masa m = 20 g este aruncată pe verticală în sus cu viteza v = 4 m/s, dintr-un punct A, aflat la înălțimea hA = 1,6 m față de suprafața Pământului. Se va lua g = 9,8 m/s1 2. Calculați: a) Energia cinetică, energia potențială și energia mecanică a pietrei în punctul de lansare A. b) înălțimea maximă hm la care ajunge piatra. Rezolvare. Considerăm sistemul (Pământ - piatră) izolat, evoluând în sistemul de referință terestru. a) Energia cinetică a pietrei este: Ec = -wv3 =-20-10‘3 c 2 2 16 = 0,16 J. 138 Capitolul 3 Energia potențială: Ep = mghA =20-10 3 • 9,8 • 1,6 = 0,31J. Energia mecanică: E = Ec. + = 0,16 + 0,31 =0,47 J. b) Piatra ajunge într-un punct Mt la înălțimea maximă, cu viteza nulă, vM = 0. Piatra mișcându-se pe verticală numai sub acțiunea greutății, energia mecanică a sistemului (Pământ - piatră) se conservă; conform relației (3.28) obținem: 1 v 16 ~mvA +mghA = 0 + mghM. hM=hA+~y hM = 1,6 + —— = 2,4m. 2 ^g ' -'jO Exemplul 15 Un punct material de masă m alunecă fără frecare pe o suprafață curbă (figura alăturată). Să se determine viteza punctului material în punctul B, dacă mișcarea se face fără viteză inițială (vA = 0). Rezolvare Sistemul alcătuit din punctul material și Pământ (inter- acționează prin câmpul gravitațional terestru) este acționat numai de forte conservative. Energia mecanică a sistemului în A este egală cu energia mecanică a sistemului în B. Alegem ca nivel de referință pentru energia potențială nivelul B. Prin definiție energia potențială a nivelului de referință este nulă (E/)B = 0). Conform relației (3.27) sau relației (3.28), obținem: 1 ? I--- 0 + mgh = — mvB +0 , deci: vB =y]2gh Sistem fizic neizolat. Spre exemplu, ridicăm de la sol un geamantan pe care îl depunem pe portbagajul unui automobil. în acest caz sistemul (Pământ - geamantan) nu mai este izolat, deoarece un operator exterior acționează asupra acestui sistem. Energia totală a sistemului crește datorită luciului mecanic efectuat de operatorul exterior asupra sistemului (Pământ - geamantan). în acest caz putem enunța următoarea teoremă a variației energiei mecanice: Variația energiei mecanice a unui sistem este egală cu lucrul mecanic efectuat de rezultanta forțelor exterioare neconservative, care acționează asupra sistemului în timpul acestei variații. kE = E2 -Ex =L(Fy (3.30) unde F este rezultanta forțelor neconservative care acționează asupra sistemului dat. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 139 Probleme propuse 3.1. Un corp se deplasează pe un drum orizontal cu viteză constantă. Forța rezultantă care acționează asupra corpului este nulă. Se efectuează lucru mecanic asupra corpului? Justificați răspunsul. 3.2. A) Care este expresia lucrului mecanic al unei forțe constante F efectuat în timpul unei deplasări d a punctului de aplicație al acesteia, paralel cu direcția forței: a) în același sens; b) în sens contrar. B) Ce valoare are lucrul mecanic al unei forțe F al cărei punct de aplicație se deplasează pe o direcție perpendiculară pe direcția forței? 3.3. Un copil aruncă o minge cu masa m = 0,10 kg, care se urcă la înălțimea h = 20 m. Calculați lucrul mecanic al greutății mingii. Se va luag = 10 m/s2. 3.4. Se scoate apă dintr-o fântână cu ajutorul unei găleți. Fântâna are adâncimea de 10 m, iar găleata cu apă are greutatea de 200 N. Calculați lucrul mecanic al greutății găleții. 3.5. Un sac de ciment, cu masa m = 50 kg, cade liber de la înălțimea de 3 m, fără viteză inițială. Calculați lucrul mecanic al greutății sacului. 3.6. Vântul exercită asupra unui automobil o forță de apăsare de 200 N, în permanență perpendiculară pe deplasarea vehiculului. Calculați lucrul mecanic al acestei forțe pentru o deplasare de 100 m. 3.7. Un om împinge un automobil rămas în pană și îl deplasează pe distanța de 20 m pe un drum orizontal. El exercită asupra automobilului o forță constantăF= 300 N, pe direcția și în sensul deplasării. Forța de frecare are valoarea F = 200 N. a) Calculați lucrul mecanic al celor două forțe. b) Energia cinetică a automobilului, pe timpul deplasării lui, crește sau scade? 3.8. In timp ce un alpinist escaladează peretele vertical al unui munte, un turist de aceeași greutate ca și alpinistul urcă în vârful muntelui pe o cărare în serpentină și ajunge în același loc ca și alpinistul. Care dintre cei doi a efectuat un lucru mecanic mai mare împotriva gravitației? 3.9. Ce lucru mecanic trebuie efectuat pentru a întinde un resort cu AZ = 0,5 cm, cunoscând constanta elastică, k = 40 kN/m? 3.10. Pentru a întinde un resort cu △Z1 = 4 mm, trebuie să se efectueze un lucru mecanic = 0,02 J. Ce lucru mecanic trebuie efectuat pentru a întinde resortul cu A/2 = 4 cm? 140 Capitolul 3 3.11. în figurile de mai jos, a, b, c și d, sunt reprezentate dependențele de distanță ale forței F care acționează asupra unui corp. Calculați lucrul mecanic al forței în fiecare caz. 3.12. Un motor cu puterea P = 10 kW este folosit pentru a ridica o sarcină cu masa m = 500 kg la înălțimea h = 40 m. în cât timp va ridica motorul sarcina respectivă? (g = 10 m/s2). 3.13. Să se calculeze puterea minimă a unui automobil necesară pentru a se deplasa cu viteza constantă v = 100 km/h, dacă forța de frecare care acționează asupra automobilului este F= 1,8 • 103N. 3.14. Punctul de aplicație al unei forțe F= 2,35 N se deplasează, cu viteza constantă, v = 0,456 m/s, pe direcția forței. Care este puterea pusă în joc în această deplasare? 3.15. Depinde energia cinetică de sistemul de referință în raport cu care se calculează? 3.16. Un om stă pe o bancă într-un autobuz care se deplasează cu viteza v = 15 m/s. Masa omului este m = 70 kg. Care este energia cinetică a omului în raport cu ceilalți pasageri? Dar în raport cu Pământul? 3.17. Un corp cu masa m = 0,5 kg este aruncat vertical în sus cu viteza v0 = 4 m/s. Să se calculeze lucrul mecanic al greutății, variația energiei potențiale și variația energiei cinetice la urcarea corpului până la înălțimea maximă. 3.18. O piatră cade liber de la o anumită înălțime. Considerăm sistemul (Pământ - piatră), pe care îl studiem în sistemul de referință terestru. a) De ce energia cinetică a Pământului este nulă? Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 14] b) Care este energia cinetică a sistemului (Pământ - piatră)? c) Care este energia potențială a sistemului (Pământ - piatră)? d) Care este energia mecanică a sistemului (Pământ - piatră)? 3.19. Un corp cu masa m = 2 kg se deplasează din punctul în punctul P în câmpul gravitațional uniform, în care g este constant și egal cu 10 m/s2 (figura de mai jos). a) Calculați lucrul mecanic al greutății pe traiectoriile P{AP2 și PXBPV b) Dacă se presupune energia poten- țială a sistemului (Pământ - corp) nulă în Pv care va fi valoarea sa în P^. c) Ce valoare are lucrul mecanic efec- tuat de greutatea corpului pe traiectoria P^PJ d) Care este valoarea energiei poten- țiale în punctul de coordonate x = 1 m și y = 3 m? 3.20. Un automobil cu masa m = 2 300 kg se deplasează pe un drum orizontal cu viteza de 180 km/h. Calculați energia cinetică a automobilului. 3.21. O piatră cu masa m = 0,25 kg, în cădere liberă, posedă o energie cinetică de 12,5 J. Calculați: a) viteza pietrei; b) înălțimea de la care a căzut, știind că viteza sa inițială este nulă. 3.22. Un deltaplan, cu masa de 150 kg, efectuează o mișcare de translație la altitudinea de 120 m deasupra solului. Viteza sa în raport cu solul este de 10 m/s. Calculați valoarea energiei mecanice a sistemului (deltaplan - Pământ) în sistemul de referință terestru. 3.23. Un automobil, cu masa m = 932 kg, are o mișcare de translație rectilinie orizontală cu viteza v = 160 km/h pe o pistă de încercare orizontală. Calculați: a) energia cinetică a automobilului; b) valoarea energiei mecanice a sistemului (Pământ - automobil) în sistemul de referință terestru. 3.24. Energia mecanică a unui sistem (Pământ - piatră) este E = 0,049 J. Masa pietrei este m = 10 g. 1) a) Calculați energia cinetică a pietrei în sistemul de referință terestru, dacă energia potențială gravitațională a sistemului este E = 0,029 J. b) Care este atunci viteza bilei? 2) Calculați energia potențială gravitațională a sistemului atunci când viteza bilei este 3,13 m/s, energia mecanică a sistemului rămânând constantă. 3.25. Un obiect cu masa m = 1,5 kg cade liber de la înălțimea de 24 m. Calculați energia cinetică și viteza obiectului în momentul atingerii solului. Se va luag = 10 m/s2. 142 Capitolul 3 3.26. Cu cât trebuie alungit un resort cu constanta elastică k = 20 N/m pentru ca energia înmagazinată în resort să fie E? = 14,4 J? 3.27. Un corp cu masa m = 2 kg alunecă pe o suprafață orizontală, fără frecare. Corpul ciocnește un resort pe care-1 comprimă cu x = 0,5 m, înainte de a se opri. Constanta elastică a resortului este k = 20 N/m. Care este viteza corpului înainte de ciocnire? 3.28. La comprimarea cux = 5 cm a resortului unui pistol jucărie s-a acționat cu o forță maximă F = 20 N. Calculați energia potențială a resortului comprimat. 3.29. Un pistol jucărie este prevăzut cu un resort cu constanta elastică k= 800 N/m. La încărcarea pistolului, resortul a fost comprimat cu x = 5 cm. Cu ce viteză este lansat glonțul cu masa m = 20 g pe direcția orizontală? Q TEST DE EVALUAREA J Alegeți răspunsul corect: 1. Unitatea de măsură pentru putere este: J A) Joule; B) J• s; C) watt; D) -; E) N • s. s 2. Energia potențială elastică se exprimă prin relația: £A/2 MZ 2k A) —; —; C) D) E) MZ. Precizați care propoziții sunt adevărate și care sunt false: 3. Lucrul mecanic al greutății nu depinde de drum deoarece greutatea corpului este o forță conservativă. 4. Energia este o mărime de stare deoarece energia se măsoară în watt. 5. Lucrul mecanic este o mărime scalară ce se exprimă prin relația L = F -d N deoarece el se măsoară în —7. m Alegeți răspunsul corect. 6. Un corp este aruncat vertical în sus cu viteza inițială v0 = 16—. La ce înălțime, s energia sa cinetică va fi egală cu energia sa potențială? A) 6,5 m; B) 6 m; C) 5,5 m; D) 5 m; E) 4,5 m. 7. Un lift, de masă m = 400 kg, urcă la o înălțime h = 2 m cu accelerația a = 2,2 m/s2. Ce lucim mecanic util dezvoltă motorul? A) 5,7 kJ; B) 9,6 kJ; C) 9,6 J; D) 4,8 kJ; E) 3,5 kJ. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 143 3.5. ^Teorema variației impulsului 3.5.1. Impulsul forței Așezăm pe o suprafață plană orizontală două corpuri, unul A cu masa m 1 și un al doilea B cu masa m (unde m2> m^ și încercăm să le punem în mișcare cu aceeași viteză, acționând asupra fiecăruia cu câte o forță constantă F într-un interval de timp Az. Corpurile, între starea inițială și starea finală vor avea aceeași variație a vitezei Av. Legătura dintre variația vitezei și forța care o produce este dată de legea a doua a mecanicii: -* _ Av - _ F = ma = m—; FAZ = mAv. (3.31) AZ Masa corpului B fiind mult mai mare decât aceea a corpului A, pentru a scoate din repaus corpul B și pentru a-i imprima aceeași viteză finală cu aceea a corpului A, trebuie să acționăm cu o forță mai mare sau un timp mai lung. Ceea ce determină schimbarea stării de mișcare este produsul FAt, numit impulsul forței. Prin definiție, mărimea fizică impulsul forței (H) este egală cu produsul dintre forța F și intervalul de timp AZ: H = F^t (3.32) 3.5.2. Impulsul punctului material Experiment Așezăm pe o suprafață orizontală o mică bilă de oțel și o lovim puternic, cu un ciocan (fig. 3.18). în acest caz, când o forță acționează într-un timp foarte scurt, procesul de accelerare nu poate fi studiat. Accesibile măsurătorilor sunt numai viteza inițială v0 și viteza finală v. Relația 3.31 poate fi scrisă și astfel: FAz = A(mv), (3.33) unde: A(mv) = m(v-v0). Fig. 3.18 144 Capitolul 3 Cunoscând masa corpului, impulsul forței poate fi determinat de variația mărimii mv. Mărimea mv se numește impulsul corpului. în cazul corpurilor cu dimensiuni neglijabile sau aflate în mișcare de translație (când putem aplica modelul punctului material) îl numim impulsul punctului material. Unitatea de măsură a impulsului în i ni SI este kg— sau Ns. s Impulsul punctului material este o mărime vectorială care are simbolul pși este reprezentată prin relația: p = mv. (3.34) Impulsul punctului material are direcția și sensul vitezei. Considerăm două corpuri sferice, unul A cu masa m^ și altul B cu masa mQ (cu mg > mA\ amândouă inițial în repaus. Aplicăm ambelor corpuri același impuls. Corpurile, inițial fiind în repaus, impulsurile lor inițiale sunt nule. Impulsurile finale vor fi egale pentru ambele corpuri: mA vB ^AVA=mBVB^ — = —- mB Va Deoarece masa corpului B este mult mai mare decât masa corpului A, viteza corpului B este mai mică decât aceea a corpului A. Se poate spune că produsul mv este o măsură a mișcării corpului. De remarcat că impulsul corpului nu depinde de modul în care s-a produs mișcarea. Relația p = mv nu conține decât masa și viteza corpului. 3.5.3. Teorema variației impulsului punctului material Impulsul punctului material este legat de impulsul forței prin relația (3.33): FAt = A(wv) = mv - mvQ, unde mv = p și mvQ = p0, deci: FAz = p - Pq = Ap. (3.35) Relația (3.35) reprezintă teorema variației impulsului punctului material: Variația impulsului punctului material este egală cu impulsul forței aplicate punctului material. Relația (3.35) se mai scrie și astfel: <3-36’ Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 145 unde forța F este rezultanta sistemului de forțe care acționează asupra punctului material, deci: Viteza de variație în timp a impulsului punctului material este egală cu rezultanta forțelor care acționează asupra punctului material. Exemplul 16 Un corp în mișcare de translație liniară are energia cinetică Ec = 9 J și impulsul p = 3 Ns. Calculați masa și viteza corpului. Rezolvare Expresiile energiei cinetice și a impulsului corpului sunt: 1 2 Ec~ — mv și p = mv. Impărțim aceste două relații membru cu membru și obținem: Ec v E — = -=> v = — p 2 2p 9 . c / v =----= 1,5 m/s. 2-3 Masa corpului se obține din relația impulsului: = ~ = ~ = 2kg v 1,5 Exemplul 17 Un corp cu masa m = 2 kg se deplasează într-o mișcare de translație liniară, cu viteza inițială v0 = 2 m/s și cu accelerația a = 0,6 m/s2. Scrieți expresia impulsului în funcție de timp. Rezolvare Expresia impulsului estep = mv. Expresia vitezei este v = v0 + at, deci: p = m(y0 +af) = 2(2+0,6t); p = 4 + 1,2/. Exemplul 18 Un automobil cu masa m = 840 kg se deplasează pe un drum plan, orizontal, cu viteza vQ = 72 km/h. Automobilul este frânat și se oprește în timpul kt = 20 s. Calculați forța de frânare. Rezolvare Scriem relația care exprimă teorema de variație a impulsului: FEt = m(y -v0); 146 Capitolul 3 Avem în vedere că viteza finală este nulă. Obținem: FAt = -mvQ- Proiectăm această relație vectorială pe direcția mișcării, de unde: - FM = -mv0, deci F = ^ = 84°'2° = 840 N. 0 M 20 3.5.4. Impulsul unui sistem de puncte materiale Fie două corpuri solide S) de masă și S2 de masă m2 care interacționează prin forțele interne f și 721 (fig. 3.19). Asupra celor două corpuri acționează și forțele externe Fj ?i respectiv F2. Vitezele centrelor de masă Ct și C2 ale celor două corpuri sunt vp respectiv v2, și impulsurile lor sunt pt = și respectiv p2 = m2v2. Fig. 3.19 Scriem teorema impulsului pentru fiecare corp solid: (/; + f2l)M = A^Vj) Și (F2 + /12)At = A(w2v2)- Adunăm membru cu membru relațiile (3.37) și obținem: (Fj + F2 + /12 + 72i )At = Mjn^ + (3.37) (3.38) Forțele interne sunt două câte două egale și de semn opus, deci: /12 + /2i = 0- Rezultanta forțelor externe este: f = f1+f2. Relația (3.38) devine: FM = ^(tn^ + m^)- (3.39) Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 147 Măr,mea p - P, + p,= reprezintă lmpulsul total al sistemulul format dm cele doua corpuri solide. Putem enunța teorema de variație a impulsului unui sistem de puncte materiale- Impulsul rezultantei forțelor externe care se exercită asupra sistemului format din două corpuri este egal cu variația impuisuhli total al sistemului. 3.6. *Legea conservării impulsului Cazul punctului material. Dacă forța rezultantă aplicată punctului material este nulă, sau dacă punctul material este izolat, variația impulsului este nulă- F=^ = o; &p = p-p^, At sau: mv-mv0 =0, = =const q 40) Cazul sistemului de puncte materiale. Dacă rezultanta forțelor externe este permanent zero sau dacă sistemul este izolat, adică nu interactionează cu mediul exterior, impulsul total se conservă (rămâne constant) FAt = AOjV! + m2vf = A^ + pj = 0> sau: w1v1+w2v2=w1v1' + w2v'=const . (3 41) Pi + P2 = Pi +PÎ = const. (3-42) Forțele interne nu pot modifica impulsul total al unui sistem. Dăm câteva exemple, a) Efectul de recul. Considerăm că o armă și glontul • f , 9 șanțul constituie un singur sistem. Forța de presiune exercitată de gazul care se produce în urma arderii prafului de pușcă este o forță internă. Această forță nu poate modifica impulsul total al sistemului, insă gazul degajat prin arderea prafului de pușcă acționează asupra glonțului comunicându-i un impuls dirijat spre ieșirea din țeava armei. Deoarece impulsul se conservă, arma va căpăta un impuls egal și de sens opus. Acesta produce o mișcare a armei spre înapoi care se numește recul. b) Propulsarea cu jet de gaz. într-o rachetă, gazele degajate prin arderea carburantului sunt expulzate cu o viteză foarte mare prin orificii aflate în spatele rachetei. Forțele de presiune care se exercită asupra gazelor sunt forte interne care nu pot modifica impulsul total al sistemului, însă gazele evacuate au un impuls dirijat spre spatele rachetei și racheta va căpăta un impuls de sens opus. Datorită acestui impuls racheta este pusă în mișcare. Avioanele cu reacție funcționează de asemenea pe acest principiu 148 Capitolul 3 în figura 3.20 este prezentat cosmonautul care s-a deplasat liber în spațiu în jurul navei cosmice, așezat pe un „fotoliu zburător” prevăzut cu 24 de propulsoare cu azot. Fig. 3.20 Exemplul 19 Cu un pistol de masă M, este tras un glonț cu masa m, pe direcția orizontală, cu viteza v. Calculați viteza de recul. Se dau: M= 1 kg; m = 3 • IO-3 kg; v = 4 • IO2 m/s. Rezolvare Sistemul (glonț - pistol) este izolat. Acționează asupra sistemului numai forțele interne, care nu modifică impulsul total. Impulsul total se conservă. Impulsul înainte de tragere, p = 0, este egal cu impulsul de după tragere, p' = Mvr 4- mv. Deci: P’ = P- _ _ 772 — înlocuind, se obține: 0 = Mvr + mv, de unde vr =----v. Modulul vitezei de recul M este: ii ^ii 3*10 . ,a2 , * / v = — v =-----------4-IO2 = 1,2 m/s. 1 1 M 1 Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 149 > Exemplul 20 O barcă cu masa M = 140 kg stă nemișcată pe suprafața unei ape liniștite. în barcă se află o persoană cu masa m = 60 kg, care se deplasează de la un capăt la altul al bărcii. Dacă lungimea bărcii este l = 2 m și se neglijează rezistența ei la înaintare, să se calculeze cu cât se deplasează barca față de poziția inițială. Rezolvare. Barca și omul din barcă se mișcă în același timp t. Considerăm că mărimea vitezei omului este v și notăm cu u mărimea vitezei bărcii. Atât omul cât și barca se mișcă uniform: Am notat cu x distanța pe care se deplasează barca. Sistemul (barcă - om) este izolat. Viteza inițială a bărcii este zero. Impulsul la momentul inițial este: p0 =M • 0 + mv. Impulsul final are valoarea: p = mu + Mu. Omul a ajuns la capătul bărcii și se deplasează împreună cu barca Sistemul fiind izolat, impulsul se conservă: p(} = p\ mv = mu + Mu. Din relația (B) rezultă că viteza bărcii are valoarea: mv u =---------------------------------- m + M' înlocuim acest rezultat în relația (A): l _ x _ x(M + m) v mv mv m + M (B) (Q m + M 140 + 60 Exemplul 21 Un automobil, cu masa M= 1 500 kg, pleacă din repaus, pe un drum rectiliniu, orizontal, într-o mișcare uniform accelerată și atinge viteza v = 72 km/h în 25 secunde. Calculați forța dezvoltată de motor, dacă forța de frecare are valoarea 7^ = 300 N. 150 Capitolul 3 Rezolvare Impulsul forței rezultante este egal cu variația impulsului automobilului, în mișcare de translație rectilinie: (F + Ff)Et = MEv, unde Av = v - v0, dar v0 = 0 și prin urmare: (F + Ff)Et-Mv. Proiectăm această relație pe axa Ox paralelă cu drumul și obținem: Mv (F-Ff)M = Mv^F = Ff +—; Probleme propuse 3.30. într-o barcă cu pânze se află un dispozitiv care poate sufla un jet puternic de aer. Dacă dispozitivul ar sufla aerul spre pânze s-ar putea pune în mișcare barca? Dar dacă jetul de aer ar fi orientat în afara bărcii? 3.31. Umflați cu aer un balon de cauciuc și, fără a-1 lega, dați-i drumul cu orificiul în jos. Cum se va deplasa balonul? 3.32. Unitatea pentru impuls este: A) kg-s2; B) N-s2; C) kg-—; D) N -m. s Alegeți răspunsul corect. 3.33. Un punct material are impulsul p = 3 N s și energia cinetică Ec = 9 J. Masa punctului material este: A) 0,5 kg; B) Ikg; C) 1,5 kg; D) 0,75 kg. Alegeți răspunsul corect. 3.34. Legea de mișcare a unui punct material cu masa m = 0,2 kg este x = 2 -1 + t2 (x exprimat în metri). Impulsul corpului la momentul t = 5 s este: A)p = 2 Ns; B) p = -2 Ns; C)p = 0 N s; D) p = 1,8 Ns. Alegeți răspunsul corect. 3.35. Forțele interne ale unui sistem de două puncte materiale: A) modifică impulsul total al sistemului; B) au rezultanta diferită de zero; Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 151 C) nu modifică impulsul total al sistemului; D) sunt întotdeauna forțe conservative. Alegeți răspunsul corect. 3.36. Variația impulsului total al unui sistem de două puncte materiale în intervalul de timp Ar este egală cu: A) lucrul mecanic al forțelor din interiorul sistemului, efectuat în intervalul de timp considerat; B) impulsul rezultantei forțelor externe ce acționează asupra sistemului în intervalul de timp considerat; C) rezultanta forțelor externe ce acționează asupra sistemului în intervalul de timp considerat; D) variația energiei cinetice a sistemului în intervalul de timp considerat. Alegeți răspunsul corect. Conținuturi facultative 3.7. Ciocniri Se definește ciocnirea dintre două corpuri ca o interacțiune de contact dintre corpuri, care se produce într-un interval de timp &t scurt. în timpul ciocnirii apar forțe de interacțiune mari în comparație cu forțele externe care acționează asupra corpurilor, cum ar fi greutatea și forța de frecare. Aceste forțe externe sunt neglijabile în timpul ciocnirii, în comparație cu forțele mari de interacțiune de ciocnire. Ca rezultat, variația impulsului unui corp în timpul unei ciocniri determinată de o forță externă este neglijabilă în comparație cu variația impulsului acelui corp determinată de forțe interne de ciocnire. De aceea, putem aplica legea conservării impulsului total în timpul ciocnirilor, dacă timpul de ciocnire este suficient de scurt. Putem admite că suma vectorială a impulsurilor corpurilor imediat înainte de ciocnire este egală cu suma vectorială a impulsurilor corpurilor imediat după ciocnire. în cazul a două corpuri A și 5, care au masele mv respectiv mv și vitezele înainte de ciocnire vp respectiv v2, iar după ciocnire v'v respectiv v2, legea conservării impulsului total este dată de expresia: P\ + Pi =P[+Pv sau: 152 Capitolul 3 mxvx + m2v2 =miv[ + m2v2. (3.43) Ciocnirile sunt clasificate de obicei după cum energia cinetică se conservă sau nu în timpul ciocnirii. Dacă energia cinetică se conservă, ciocnirea se numește elastică. Dacă energia cinetică nu se conservă, ciocnirea se numește neelastică sau plastică. 3.7.1. Ciocnirea plastică Ciocnirea neelastică, sau plastică, este un caz particular al ciocnirilor. Cele două particule care participă la ciocnire, prin ciocnire se lipesc și își continuă mișcarea cu o viteză comună. Dăm câteva exemple de ciocniri plastice: aruncarea unui obiect într-un vehicul aflat în mișcare, urcarea din mers într-un vehicul, căderea pe podea a unei bucăți de plastilină. Procesul invers ciocnirii plastice este explozia, adică descompunerea unui sistem în mai multe părți. Exemple: aruncarea unui obiect dintr-un vehicul, explozia unui obuz. Atât în cazul ciocnirii plastice, cât și în cel al exploziei, se aplică legea conservării impulsului total. Fie două corpuri A și B cu masele respectiv mv și vitezele înainte de interacțiune respectiv v2, iar viteza după interacțiune v. Aplicând legea conservării impulsului total, se poate scrie că: impulsul total înainte de interacțiune este egal cu impulsul total după interacțiune, adică: m{vx + m2v2 = + m2)v. (3.44) In cazul deplasării pe o singură direcție, obținem: mxvx + m2v2 = (mx +m2)v și: v=mxvx+m2v2 mx + m2 (3-45) Energia cinetică a corpurilor înainte de ciocnire are valoarea următoare: 77 1 2 । 1 2 Ec =2miVl +~m2V2, iar energia cinetică a corpurilor după ciocnire este: E' c 1 , A 2 -(/Mi+w2)v = (mxvi+m2v2)1 2(mx +m2) Energia E'c < Ec. Diferența dintre aceste două energii este: \Ec =EC - Ef și are expresia: AE, = >,v, + 2 2(mx+m2) 2 mx+m2 (3-46) Mărimea (v, - v2) reprezintă viteza relativă a corpurilor înainte de ciocnire. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 153 Variația energiei cinetice AF. depinde întotdeauna de masa redusă a sistemului de m m corpuri care se ciocnesc,-----——, și de viteza lor relativă înainte de ciocnire. mx + m2 Exemplul 22 într-un depou de cale ferată o locomotivă cu masa M= 100 tone în mișcare cu viteza Vj = 6 km/h ciocnește un vagon cu masa m = 30 tone, care staționa. 1) Locomotiva și vagonul se cuplează și mișcarea continuă. Calculați mărimea v a vitezei imediat după ciocnire. 2) Aceeași cerință dacă vagonul se afla inițial în mișcare cu viteza v = 2 km/h, în același sens cu cel al locomotivei. 3) Aceeași cerință dacă vagonul se afla inițial în mișcare cu viteza v,= 3 km/h, în sens opus celui al locomotivei. Rezolvare 1) Sistemul (locomotivă - vagon) este considerat izolat. Impulsul total al sistemului se conservă. Impulsul total: înainte de ciocnire: px = M + 0; după ciocnire: p2=(M + m)v. Impulsul total înainte de ciocnire este egal cu impulsul total după ciocnire: p{ = p2 => M = {m + M)v, v are aceeași direcție și sens ca și vP în urma proiecției pe axa Ox, care are direcția și sensul mișcării locomotivei, obținem (facem calculul numeric al vitezei v; păstrăm unitatea pentru masă tona, și km/h pentru viteză): M 100, „ v =-----Vi =----6 = 5km/h. M + m 1 120 2) Impulsul total: înainte de ciocnire: px =Mvx +mv2. După ciocnire: p2 = (M + m)v px = p2 :=> M vx + mv2 = (m + M)v. 154 Capitolul 3 în urma proiecției relației de mai sus pe axa Ox, care are direcția și sensul mișcării locomotivei, obținem: Mv, + mv. v =--------- m + M Facem calculele numerice păstrând masa în tone și viteza în km/h: 100-6 + 20-2 640 „ v =-----------. =----= 5,33km/h 20 + 100 120 3) Impulsul total: înainte de ciocnire: px = M + mv2. După ciocnire: p2 = (M + m)v p{ = p2 => Mvx + mv2 = (m + M}v. în urma proiecției relației de mai sus pe axa Ox, care are direcția și sensul mișcării locomotivei, având în vedere că viteza v2 are sensul opus mișcării locomotivei, obținem: Mv, - mv. v = —*------- m + M Facem calculele numerice păstrând masa în tone și viteza în km/h: ^ 100-6-20-3 V“ 20 + 100 540 120 = 4,5 km/h. * Exemplul 23 O rocă de masă M= 60 kg, inițial se află în repaus. Se provoacă explozia rocii, care se sparge în trei bucăți, cu masele respective: = 10 kg, = 20 kg și m3 = 30 kg. Prima bucată (masa pleacă cu viteza care are aceeași direcție și același sens cu axa GQx și al cărei modul este v1 = 4 m/s. Al doilea fragment (masa are o viteză v2, cu direcția și sensul axei G^, și cu modulul v2 =1,5 m/s. a) Calculați impulsurile primelor două bucăți de rocă. b) Determinați impulsul rocii înainte de explozie. Determinați relația vectorială între p^Py c) Determinați modulul vectorului p3 precum și viteza celei de a treia bucăți de rocă. Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 155 Rezolvare a) Mărimile impulsurilor primelor bucăți de rocă sunt date de relațiile următoare: px = m{v} = 10 -4 = 40 kg m/s; p2 = m^v2 = 20 • 1,5 = 30 kg m/s. b) roca formează un sistem izolat al cărui impuls se conservă. înainte de explozie: p = 0. După explozie: P' = P\ + P1+P3- Impulsul total înainte de explozie este egal cu impulsul total după explozie: Pi +P2 +P3 = °- c) Din relația de mai sus obținem: ~(Pi +P2) = Py Vectorii px și p2 sunt perpendiculari. Vectorul p3 este vectorul rezultant al vectorilor px și p2. Modulul vectorului este dat de relația: 2 2 2 Pi ~ P\ + Pl^ p3 = a/402+302 = V2500 = 50 kg m/s- Viteza celei de a treia bucăți de rocă o obținem din relația: 9 > 9 p3 50 , „ . p3 = m3v3 => v3 - —- = — = 1,67 m/s 30 3.7.2. Ciocnirea perfect elastică Ciocnirea a două corpuri A și B este perfect elastică dacă energia cinetică totală a corpurilor se conservă în timpul ciocnirii. Ciocnirea perfect elastică dintre două corpuri macroscopice, pe care o descriem în acest paragraf, este un model. în realitate nu există riguros o ciocnire perfect elastică 156 Capitolul 3 între corpuri. în anumite cazuri se poate admite că, în timpul ciocnirii dintre corpurile elastice, se conservă energia cinetică totală. De exemplu: ciocnirea dintre bilele de biliard făcute din fildeș, sau ciocnirea dintre două bile de oțel. Două corpuri solidei șiB se ciocnesc elastic. Fie Vj și v2 vitezele corpurilor^ și B înainte de ciocnire, și v/ și v2 vitezele acelorași corpuri după ciocnire. Ciocnirea corpurilor fiind perfect elastică se aplică atât legea conservării impulsului total cât și legea conservării energiei cinetice totale: + m2v2 = m}v( + m2v2. (3.47) 1 2 1 2 1 /2 1 t2 +“^2V2. (3-48) Am obținut un sistem de ecuații care ne permit să determinăm vitezele și cunoscând vitezele și v2 și direcțiile vitezelor după ciocnire. Să presupunem că cele două corpuri A și B sunt două bile elastice. Vom analiza ciocnirea perfect elastică a celor două bile în cazul unidimensional, când, atât înainte de ciocnire cât și după ciocnire, bilele se află pe aceeași dreaptă (fig. 3.21). Fig. 3.21 Bilele fiind elastice, în timpul interacțiunii ele se deformează. Modelul ciocnirii acestor două bile elastice este prezentat în figura 3.21, a. în timpul contactului bilelor (fig. 3.21, b), modulele forțelor de interacțiune dintre cele două bile și F, cresc Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 157 odată cu deformarea bilelor, până în momentul în care vitezele celor două bile devin egale (fig. 3.21, c). în acest moment deformatii le ating valori maxime, apoi ele încep să descrească, forțele elastice îndepărtând bilele, până când acestea se despart (fig. 3.21, d) și vor avea vitezele v[ și v^. După aceea bilele se vor deplasa cu vitezele v/ și v2 (fig. 3.21, e). în prima parte a ciocnirii perfect elastice energia cinetică a bilelor se transformă în energie potențială elastică și, pe durata celei de a doua părți a ciocnirii, energia potențială se transformă integral în energie cinetică. în cazul ciocnirii unidimensionale a celor două bile, putem scrie: m^ + m2v2 = + m2v2, (3.49) 1 2 1 2 1 /2 /2 -m^ +-m2v2 = -mivi + -m2v2. (3.50) Ecuațiile (3.49) și (3.50) ne permit să determinăm vitezele v/ și v2 ale celor două corpuri. Numai două soluții ale ecuațiilor (3.49) și (3.50) au sens fizic. Aceste soluții le vom determina scriind ecuațiile (3.49) și (3.50) în forma următoare: mi(vi ~vi) = w2(v2 -v2) ?i: (3-51) (v2 -v1'2) = mi2(v22 -v2)- (3.52) Făcând raportul ecuației (3.52) prin (3.51), obținem: V! + = v2 + v2. (3.53) Obținem astfel sistemul de ecuații: vf - v2 = v2 - Vp (3.54) + m2v2 = + m2v2. Rezolvând sistemul de ecuații cu necunoscutele și obținem relațiile: ,,, _ o wivi + m2v2 „ ^2 — V2 m[ +m2 (3.56) 158 Capitolul 3 Cazuri particulare a) Ciocnirea bilei A, de un corp B cu masa foarte mare împărțim ambii membri ai relațiilor (3.55) și (3.56) la m2 și obținem: m, ------------V! +V2 vî=2^------Vi; (3.57) ^- + 1 m2 V2=2^------v2. (3.58) m2 TYl Deoarece » m , raportul —- este foarte mic și îl putem neglija. Atunci m2 formulele de mai sus devin: = 2v2 - V! și v2 = V2' (3.59) Exemplul 24 b) Ciocnirea frontală de un perete în acest caz, v2 = v2 = 0 și = -Vj (fig. 3.22). Bila se va deplasa pe aceeași direcție în sens opus. Un jucător de tenis în timpul unui antrenament lovește cu mingea frontal un perete. Mingea are masa m = 0,2 kg și viteza v = 30 m/s. Dacă se estimează durata ciocnirii At = 10-3 s, calculați forța care apare între minge și perete în timpul ciocnirii. Rezolvare Considerăm că mingea are o mișcare de translație liniară. Aplicăm pentru minge legea variației impulsului: FAt-m^v'-vY și cum v' = -v, rezultă: Teoreme de variație și legi de conservare în mecanică 159 . j - mv FAt = -2mv, de unde F = -2—. Ar Proiectând această relație pe o axă Ox care are direcția și sensul mișcării mingii obținem: Ar 2-2-10"1 -30 ----------„1200 N. IO"3 Probleme propuse 3.37. Un cărucior cu masa de 30 kg se deplasează cu viteza de 5 m/s. în el cade un pachet cu masa de 5 kg. Cu ce viteză se va deplasa în final căruciorul? 3.38. Două bile de mase m{ = 1 kg și m2 = 3 kg se mișcă una către cealaltă cu vitezele v( = 0,5 m/s și v = - 3 m/s. Care este viteza lor după ciocnire? 3.39. O particulă de masă m^ lovește o altă particulă de masă m2 = m} aflată în repaus. Să se afle ce fracțiune din energia cinetică a particulei 1 este transferată particulei 2, dacă ciocnirea este perfect elastică unidimensională. 3.40. Un cosmonaut, care a ieșit din nava cosmică, constată că sistemul de propulsare individuală s-a defectat. El are asupra sa o trusă de scule. Cum poate folosi sculele din trusă ca să ajungă la navă? 3.41. De ce, când atingem solul după o săritură, trebuie să ne mai ghemuim, îndoind puțin picioarele? Dar dacă am sta țeapăn? 3.42. Un corp cu masa m = 0,2 kg a căzut pe o suprafață orizontală având în momentul ciocnirii viteza v = 15 m/s. Estimând durata ciocnirii la A/ = 10 ms, calculați forța de lovire în cazul ciocnirii elastice și în cazul ciocnirii plastice. 160 Capitolul 3 TEST DE EVALUAR^J 1. Care dintre afirmațiile următoare, referitoare la impulsul unui sistem mecanic, sunt adevărate? A) impulsul unui punct material care execută o mișcare rectilinie sinusoidală este constant; B) impulsul unui punct material se exprimă prin relația: p = mv; C) un sistem mecanic este supus acțiunii unui ansamblu de forțe externe cu rezultanta R = 0 și acțiunii unui ansamblu de forțe interne cu rezultanta R. ^0. Vectorul impuls al acestui sistem este constant; D) variația impulsului punctului material este egală cu forța care acționează asupra acelui punct material. 2. Precizați care sunt unitățile pentru masă, impuls și energie în SI. A) kg, kgm, J; B) g, kgm-1, J; C) kg, kgms, J; D) tonă, kgms-1, J; E) kg, kg ms'1, J. 3. Două automobile se deplasează cu aceeași viteză v0 = 25 m/s unul după altul. Distanța dintre automobile este d = 4,5 m. La un moment dat în fața lor apare un obstacol. Șoferii încep să frâneze în același moment. Primul automobil își încetinește mișcarea cu o accelerație constantă de modul ax = 8 m/s2, pe când cel de-al doilea, din cauza frânelor automobilului mai puțin eficiente, are accelerația de modul a = 7 m/s2. a) După cât timp automobilele se vor tampona? b) Care este viteza automobilelor imediat după ciocnire? 4. Intr-o mișcare rectilinie uniform-variată, energia cinetică a mobilului crește cu 10 J și impulsul cu 5 kgms-1, în timp ce străbate o distanță de 2 m. Care a fost timpul necesar? A) 0,5 s; B) 1,5 s; C) 2 s; D) 1 s; E) 2,5 s. Alegeți răspunsul corect. 5. Un obuz care se mișcă cu viteză constantă explodează și se separă în două fragmente. Referitor la acest proces, care dintre afirmațiile următoare este corectă? A) nu se conservă impulsul total; B) impulsul total și energia totală se conservă; C) impulsul total și energia cinetică totală se conservă; D) numai energia totală se conservă; E) numai energia cinetică totală se conservă. 6. Ecuația de mișcare a unui punct material de masă m = 0,2 kg este: x = 4 - t + 2f~. Să se scrie legea de variație a impulsului. 7. Două bile de mase mx = 1 kg și m2 = 2 kg se mișcă una spre cealaltă cu vitezele Vj = 1 m/s și v2 = -2 m/s. Să se afle pierderea de energie cinetică prin ciocnirea lor plastică. ELEMENTE DE STATICA 4/1 EchiHbrtd de translație 4.1.1. Echilibrul punctului material supus acțiunii forțelor Corpurile din natură acționează unele asupra altora reciproc. Aceste interacțiuni sunt caracterizate prin forțe. Asupra unui corp acționează de obicei mai multe forțe simultan. Totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp formează un sistem de forțe. Dacă sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică, aceasta se numește rezultanta sistemului de forte, care produce același efect asupra corpului ca și sistemul de forțe. Punctul material fiind considerat un corp cu dimensiuni neglijabile, nu poate efectua mișcări de rotație în jurul unei axe trecând prin corp. Sub acțiunea unui sistem de forțe punctul material poate efectua numai mișcări de translație. Să considerăm un punct material asupra căruia se exercită de un sistem de forțe F\,F2> ...,Fn. Dacă rezultanta forțelor care acționează asupra punctului material este nulă, - - - - _ Av R = F + ... + Fn = ma = m — = 0, Ar (4.1) (unde Av = v - v0 = 0, v = v0 = const,), atunci punctul material rămâne în repaus sau se mișcă cu viteză constantă; spunem că punctul material este în echilibru. Echilibrul punctului material este static - când el rămâne în repaus. In cazul când punctul material se mișcă (cu viteză constantă) rectiliniu și uniform, față de un sistem de referință inerțial dat, el se află în echilibru dinamic. Alegând convenabil sistemul de referință, echilibrul dinamic poate fi privit ca echilibru static. 162 Capitolul 4 Se spune că un punct material este în echilibru dacă nu~și schimbă starea de mișcare în care se află în decursul timpului (dacă este în repaus rămâne în repaus, dacă este în mișcare rămâne în mișcare rectilinie uniformă). Condiția necesară și suficientă ca un punct material să fie în echilibru este ca rezultanta forțelor ce acționează asupra Iui să fie nulă. Această condiție de echilibru se exprimă prin relația 4.1. Ea este valabilă și pentru corpuri cu dimensiuni finite care efectuează mișcări de translație. Echilibrul acestor corpuri se numește echilibru de translație. 4.1.2. Echilibrul de translație al unui solid supus acțiunii a două forțe Experiment, Corpul studiat este un inel foar- te ușor, asimilat cu un punct material. Greutatea inelului se neglijează în raport cu forțele care acționează asupra lui. De inel se leagă două fire, care sunt trecute peste doi scripeți ficși. La extremitățile firelor se leagă niște cârlige suport pentru discuri crestate (fig. 4.1). Se pun discuri crestate pe cele două cârlige și se constată că echilibrul a fost realizat numai dacă discurile crestate puse pe cele două inele sunt în număr egal. Odată echilibrul realizat, se constată că firele legate de inel se întind în linie dreaptă, iar inelul rămâne în repaus în orice poziție l-am deplasa. Interpretarea experimentului. Asupra inelului acționează două forțe F\ și Fv care au aceeași dreaptă suport, modulele egale și sensurile opuse: Fx=~Fv Fx+F2 = ^ Rezultanta forțelor este egală cu zero: R = Fx + F2 = Q, Cele două forțe se echilibrează. Concluzie Un punct material supus acțiunii a două forțe este în echilibru dacă cele două forțe au același suport, același modul și sensurile opuse. Această concluzie este valabilă și pentru un solid asupra căruia acționează două forțe egale și opuse. Elemente de statică 163 Exemplul 1 în figura alăturată este reprezentat un solid cu masa m = 3 kg suspendat într-un punct B, de un fir. Firul este fixat într-un punct A, de un suport fix. a) Reprezentați toate forțele aplicate sistemului (fir - solid). b) Calculați mărimile tensiunilor din fir. c) Calculați mărimea forței exercitată de fir asupra suportului în A. Se va lua g =10 m/s2. Rezolvare a) Asupra solidului acționează două forțe opuse: greutatea G a solidului și tensiunea din fir T. Firul având masa neglijabilă tensiunea este constantă de-a lungul firului. b) Solidul suspendat de fir este în echilibru. Forțele care îl acționează sunt egale și de sens opus: G = -T> modulul greutății este egal cu modulul tensiunii din fir: T = G = mg = 30 N. c) în punctul A firul acționează asupra suportului cu o forță de tensiune: r=-f; Exempiul 2 Fie două resorturi și Rv care au caracteristicile următoare: Resortul R{\ constanta elastică, k{ = 50 N/m, și lungimea când este nedeformat (lungimea naturală), /01 = 20 cm. Resortul R2: constanta elastică, kv necunoscută, și lungimea naturală, /02 = 25 cm. Pentru a determina constanta kv se folosește un inel mic de masă neglijabilă pe care îl menținem în echilibru cu dispozitivul realizat cum se arată în figura (a). Lungimile resorturilor sunt în acest caz: l{ = 22 cm și l2 = 30 cm. Calculați valoarea constantei k2. 164 Capitolul 4 Rezolvare Deoarece masa inelului este neglijabilă, el este supus numai acțiunii celor două resorturi. Forțele care se aplică asupra inelului sunt tensiunile și T2 ale celor două resorturi (forțele elastice din resorturi) (fig. b). Deoarece inelul este în echilibru, avem:. T{ = -f2 sau = T2 (în modul). Notăm cu x{ și x2 alungirile celor două resorturi: =2 cm; X2^l2~ = 5 Cmi T2 = X T\ = kxxx = k2x2 k2 = k^—. x2 2 k2 = 50- — = 20 N/m. 2 5 Fie două resorturi de mase neglijabile: de constantă elastică k^ și R2 de constantă elastică k2. Le legăm capăt la capăt (în serie), așa cum se arată în figura alăturată, și se prinde de extremitatea liberă C un solid S de masă m. Determinați alungirile respectiv x2 ale celor două resorturi. Se dau: k{ = 40 N/m; k2 = 60 N/m; m = 0,2 kg; g = 9,8 m/s2. Rezolvare a) Izolăm solidul S. El este acționat de două forțe: greutatea sa G și forța elastică F2 din partea resortului R^, El este în echilibru, deci G = -F2 și: Elemente de statică 165 G = F2 =>mg = k2x2 =>x2 = —; ' ^2 j i 0,2-9,8 .. in_2 i x. =-------= 3,3-10 m = 3,3cm 2 60 ; î Punctul A de legătură dintre cele două J resorturi este în echilibru sub acțiunea forței j elastice F} din partea resortului R{ și a forței j elastice F^ din partea resortului R2, deci: ’ ^=-E- I Forța elastică echivalentă cu tensiunea este I constantă în lungul unui resort de masă negli- jabilă (ca și în cazul unui fir), deci:F2 = -F2 și F2 = F2-Atunci: i F} = F2 =F2^ k^ = k2x2 = mg, de unde: mg _ 0,2 • 9,8 40 = 4,9-10 2 m = 4,9cm 4.1.3. Echilibrul unui solid supus acțiunii a trei forțe Cazul a trei forțe concurente. Numim forțe concurente forțele ale căror drepte suport se intersectează în același punct. Noi ne limităm la cazul simplu a trei forțe concurente situate în același plan, numite forțe coplanare. Se folosește dispozitivul experimental din figura 4.2. î Corpul de studiat este un inel ușor, asimilat cu un punct material. De acest inel se leagă trei fire, dintre care două se trec peste doi scripeți ai dispozitivului. De unul dintre firele trecute peste ■ scripeți se suspendă, spre exemplu, patru discuri j crestate, iar de celălalt trei discuri crestate. Lăsat ! liber inelul nu mai rămâne în echilibru și, pentru J a-1 echilibra, se suspendă de al treilea fir un număr ț de discuri crestate, până se obține echilibrul : inelului; în cazul studiat s-au suspendat cinci discuri crestate. 166 Capitolul 4 Rezultate și interpretarea datelor experimentale. Cele trei forțe aplicate corpului sunt tensiunile din firele de legătură: F^ F2, Fr Direcțiile forțelor coincid cu direcțiile firelor de legătură. Cele trei forțe sunt concurente și coplanare. Corpul fiind în echilibru, rezultanta forțelor care acționează asupra lui este nulă: F\+F2+F3=0^F3=-(F1+F2y Rezultanta a două dintre forțe este egală cu a treia și de sens opus. Experimentul prezentat permite să se verifice faptul că: rezultanta a două forțe F și F2 concurente într-un punctă este definită ca direcție, sens și modul prin diagonala care pleacă din A, a paralelogramului care are ca laturi cele două forțe. Forțele sunt reprezentate pe figura 4.3. în expe- rimentul realizat s-au folosit masele: m} = 0,3 kg (G, = m{g = F, = 3 N); m, = 0,4 kg (F, = 4 N); m3 = 0,5 kg (F3 = 5 N). Se măsoară unghiurile dintre direcțiile firelor și se constată că, în acest caz, unghiurile sunt de 90°. Se compun forțele F Și F2, folosind regula paralelo- gramului. în cazul de față paralelogramul este un dreptunghi. Deci mărimea rezultantei celor două forțe este egală cu diagonala dreptunghiului, care se determină folosind teorema lui Pitagora: F3 = ^F? +F2 = V32 +42 = V25 = 5N- Concluzie Condiția necesară și suficientă ca un punct material supus acțiunii a trei forțe concurente să fie în echilibru este ca rezultanta ioi să fie egală cu zero: R — F{ + F2 + — 0* Această condiție de echilibru se aplică și unui solid cu dimensiuni finite. Elemente de statică 167 O căldare are greutatea de 400 N. Ea este suspendată de un cablu prin intermediul unui inel. O persoană trage de punctul de suspensie al căldării prin intermediul unui al doilea cablu, cu o forță de 300 N. Calculați tensiunea din cablul prin care este suspendată căldarea. Rezolvare Figura a reprezintă situația reală, figura b pune în evidență forțele care acționează asupra inelului, iar figura c este legată de rezolvarea problemei. Inelul de legătură dintre cabluri și căldare fiind în echilibru, rezultanta forțelor care acționează asupra lui este egală cu zero: G + F + f = 0, f = -(G + F). Tensiunea din fir este egală și de sens opus cu rezultanta dintre greutatea căldării și forța F. Rezultanta forțelor F și G este egală în modul cu diagonala dreptunghiului care are drept laturi forțele, deci: R = Jf2+G2 = a/3002 +4002 = 500 N. Tensiunea din fir are modulul T = 500 N, direcția rezultantei forțelor și sensul opus acestei rezultante. 4.1.4. Echilibrul unui punct material supus la legături Experiment. Fixați de un suport un dinamometru, în poziție verticală (fig. 4.4). De cârligul dinamometrului agățați un inel ușor. Agățați de inel un al doilea dinamometru în poziție inversă față de primul. Acționați asupra celui de al doilea 168 Capitolul 4 Fig. 4.4 dinamometru cu o forță F trăgând de cârlig, până când inelul rămâne în echilibru. Citiți care este valoarea forțelor indicate de cele două dinamometre. în ce raport sunt modulele celor două forțe |f| și |f |? Care este orientarea (direcția și sensul) celor două forțe? Enunțați care este condiția de echilibru. Observație Forța indicată de dinamometrul de deasupra, notat cu (1), este forța cu care reacționează inelul care este legat prin intermediul acestui dinamometru, în momentul în care asupra lui se aplică forța F prin intermediul celui de al doilea dinamometru, notat cu (2). Această forță de reacțiune se numește forță de legătură și am notat-o cu T. Sc numește legătură - orice cauză care limitează mișcarea unm punct material sau a unui corp oarecare în spalm. Dăm câteva exemple de legături: a) legăturile realizate prin fire, care dau naștere unor reacțiuni, numite tensiuni în fire; b) legăturile realizate prin anumite suprafețe plane sau curbe, pe care sunt așezate corpurile (fig. 4.5). Acestea dau naștere unor reacțiuni N, Fig. 4.5 Elemente de statică 169 în concluzie, legăturile pot fi înlocuite prin forțele de legătură (reacțiunile). Atunci când eliberăm un punct material de o legătură, trebuie să aplicăm asupra sa o forță de legătură. Astfel, înlocuim legăturile cu un sistem de forțe de legătură. i emdpv? poet sr. £<■ np p cfutor m wpus la legături să fie în echilibru > b r< apărare (kvțele date) asupra corpului și a Un corp solid 51 este așezat pe un plan orizontal (figura de mai jos). Prin intermediul unui scripete, el este legat de un al doilea corp solid S2 care atârnă în jos vertical. între solidul Sj și suprafața orizontală există frecări. Forța de frecare are valoarea F=2K Determinați greutatea solidului S2 pentru care sistemul rămâne în echilibru. Rezolvare Forțele aplicate celor două corpuri Sj și S2 sunt puse în evidență pe figura b. Pentru solidul iSj: se observă pe desen cele patru forte care acționează asupra lui. Scriem condiția de echilibru: + N + 7] + Fj- = 0. Prin proiecție pe direcția orizontalei obținem: T^Ff. Pentru solidul S7 scriem condiția de echilibru pentru cele două forte: ^2 = ~^2’ 170 Capitolul 4 sau prin proiecție pe direcția verticalei, obținem: G2 = T2. Tensiunea este constantă de-a lungul firului: T{ = T2. Deci: G2 = Ff = 2N. Un solid iS* de greutate G = 100 N este așezat pe un plan înclinat așa cum se vede în figura de mai jos. Planul înclinat face cu orizontala unghiul a = 30°. Nu sunt forțe de frecare între solidul 5 și planul înclinat. Solidul 5 este menținut în echilibru de resortul R care are constanta elastică, k = 500 N/m. a) Scrieți condiția de echilibru și proiectați această relație pe axele de coordonate. b) Determinați modulul reacțiunii normale a planului asupra solidului S și modulul foiței elastice din resort. Calculați alungirea resortului. Rezolvare a) Asupra solidului acționează forțele: - greutatea sa G , care are direcția verticalei; - reacțiunea N a planului înclinat care este perpendiculară pe plan; - forța elastică (tensiunea) din resort T care este paralelă cu planul înclinat. Condiția de echilibru este: G + N + f = 0- (A) Elemente de statică 171 Proiectăm relația (A) pe axele de coordonate. Proiecția pe axa Ox: - G} + 0 + T = 0; = G sin a. T = G sin a. Proiecția pe axa Oy: - G2 + N + 0 = 0; G2 = G cos a. N = G cos a. b) Calculul lui N: N = G cosa =100- cos 30° = 86,6 N. Calculul lui T: T = Gsina =100-sin30° = 50N. T 50 Calculul alungirii resortului :T = kx, x~~^~ = 0,1 m = 10 cm. Temă ceperîmeHtală Montați pe un stativ un scripete fix. Treceți prin șanțul scripetelui o sfoară. La unul dintre capetele sforii legați un corp sferic, pe care l-ați cântărit în prealabil cu balanța. De celălalt capăt al sforii agățați un dinamometru. Trageți de cârligul dinamometrului cu o forță F, așa cum se vede în figura 4.6, până când se realizează echilibrul. Citiți valoarea forței indicată de dinamometru. Rezultatele măsurătorilor le treceți într-un tabel: w(kg) G = mg (N) F(N) Observații Am notat în tabel cu R rezultanta forțelor care acționează asupra bilei de masă m, în ultima rubrică a tabelului veți răspunde la următoarele cerințe: a) Precizați care sunt forțele care acționează asupra bilei de masă m. b) Determinați rezultanta forțelor care acționează asupra ei, notată în tabel cu R. c) Scrieți condiția de echilibru și verificați dacă ea este îndeplinită în acest experi- ment, analizând datele experimentale obținute. 172 Capitolul 4 4.2, Echilibru? de rotație 4.2.1. Efectul forțelor la rotația unui solid rigid Până în prezent nu am ținut cont de importanța poziției punctului de aplicație al forței, în timpul acțiunii acesteia asupra unui corp, pentru că de obicei corpul considerat a fost punct material. Sunt situații în care corpurile nu mai pot fi considerate puncte materiale. Experiența cotidiană arată că punctul de aplicație poate influența acțiunea forței asupra unui corp. Vom da câteva exemple. 1. Pentru a strânge o piuliță, se folosește o cheie manevrată așa cum se arată în figura 4.7. Mâna operatorului exercită asupra cheii o forță F pe care o presupunem aplicată în punctul A. Capătul cheii antrenează piulița care se rotește în jurul axei xx Cu cât punctul A este mai îndepărtat de axa xx \ cu atât acțiunea mâinii asupra cheii este mai eficientă. Situația reală din figura 4.7 o înlocuim cu imaginea simplificată din figura 4.8. în planul figurii, axaxx ’ este proiectată în O iar reprezentantul AB al forței F se află de asemenea în acest plan. Distanța OH= d, dintre punctul O și suportul forței, se numește brațul forței în raport cu axa xx Cu cât brațul forței este mai mare cu atât acțiunea forței este mai eficientă. Fig. 4.8 2. Un alt exemplu îl constituie închiderea unei porți. Se acționează cu aceeași forță F, perpendicular pe poartă, în diferite puncte ale portii. în figura 4.9, a și 5, punctul de aplicație al forței este mai aproape de balamale. Efectul de rotație asupra porții produs de forța F este relativ mic. în acest caz brațul forței față de axa de rotație a porții este d{, relativ mic. în figura 4.10, a și b, punctul de aplicație al forței este aproape de mânerul clanței și brațul forței în raport cu axa de rotație este d2> d^ efectul de rotație fiind mult mai mare, adică ușa se deschide mai ușor. Elemente de statică 173 în figura 4.11, a și b, brațul forței este d = 0. Se acționează asupra porții cu o forță perpendiculară pe axa de rotație. în acest caz forța nu produce efect de rotație, în cazul ilustrat în figura 4.12, forța acționează paralel cu axa de rotație și nici în acest caz forța nu produce efect de rotație. Aceste constatări ne conduc la definirea unei mărimi fizice numită momentul Fig. 4.9 Fig. 4.10 Fig. 4.11 Fig. 4.12 4.2.2. Momentul forței Considerăm un corp solid care se poate roti în jurul unei axei A sub acțiunea forței F. Momentul forței fața de axa de rotație A este mărimea fizică ce măsoară efectul de rotație în jurul axei A, a unui corp solid rigid, sub acțiunea forței,, (fig. 4.13) Momentul forței este o mărime vectorială. Direcția vectorului moment coincide cu direcția axei A în jurul căreia se rotește corpul sub acțiunea forței F. Modulul vectorului moment al forței este dat de relația: ' M=F-d, ’ (4.9) unde am notat, cu d, brațul forței, adică distanța dintre dreapta suport a forței și axa de rotație. Pe figura 4.13 brațul forței este reprezentat prin distanța OH = d. Momentul forței în raport cu axa A rămâne neschimbat atunci când forța alunecă pe suportul său, păstrând sensul și modulul, deoarece brațul forței și modulul forței rămân neschimbate. 174 Capitolul 4 Unitatea de măsură pentru momentul forței este N-m (newton metru). Sensul momentului forței se stabilește prin convenție în modul următor: Se alege un sens pozitiv arbitrar. - Dacă forța tinde să rotească solidul în sensul pozitiv ales, momentul forței este pozitiv. - Dacă forța tinde să rotească solidul în sens contrar sensului pozitiv ales, momentul forței este negativ. De exemplu, în figura 4.14, momentele Mx și M2 au semnele următoare, ținând cont de sensul pozitiv ales: Mx < 0, deoarece forța F} tinde să rotească solidul în sens opus sensului pozitiv ales; M2 > 0, deoarece forța F2 tinde să rotească solidul în sensul pozitiv ales. Fig. 4.14 Concluzii Un corp solid rigid efectuează o mișcare de rotație în junii unei axe fixe dacă toate punctele sale descriu cercuri cu centrele pe o dreaptă fixă, perpendiculară pe planul traiectoriilor, numită axă de rotație. Elemente de statică 175 Axa de rotație conține mulțimea punctelor solidului care rămân în repaus în timpul mișcării acestuia. O forță produce efect de rotație asupra unui solid, mobil în jurul unei axe fixe, dacă dreapta suport a forței: a) nu este paralelă cu axa de rotație (ca în cazul forței F" din figura 4.13); b) nu intersectează axa de rotație (ca în cazul forței F' din figura 4.13). Exemplul 7 Un solid, reprezentat în figura de mai jos, este supus acțiunii a cinci forțe, F\,F\, ...F5, care au modulele următoare: F, = 10N;F2= 15 N; F^ = 20 N; F< = 20 N; F5= ION; Se cunosc unghiurile a = 45° și P = 30°; /= 10 cm. Calculați momentul fiecăreia dintre forțe și suma momentelor aplicate solidului 5: 1) în raport cu o axă A perpendiculară în A pe planul figurii. 2) în raport cu o axă A' perpendiculară în B pe planul figurii. Se vor considera pozitive momentele forțelor care antrenează solidul S în sensul pozitiv indicat pe desen. 176 Capitolul 4 Rezolvare Momentele forțelor în raport cu axa A (fig. a\. M(#1) = 0, M(F2) = 0, M(F4) = 0 deoarece forțele F15F2 și F4 intersectează axa A. Momentul forței F3- M(F3) < 0; deoarece F3 antrenează corpul într-o mișcare de rotație în sens invers sensului pozitiv. M(F3} = -F3 -AB = -F3l = -20• 0,1 = -2N• m- M(F5) > 0 deoarece Fs antrenează corpul într-o mișcare de rotație în sens pozitiv. M(F5) = F5l sin/3 = 10 • 0,1 • sin 30° = +0,5 N • m- Suma algebrică a momentelor: M(F3) + M(F5) = -2 + 0,5 = -l,5Nm. Momentul rezultant în raport cu axa A' (fig. b): M(F3) = o; M(FJ = o; M(F5) = 0; M(F1)<0, M(F2)> 0, M(F2) = +F2 • BK = T^Zsina = 1,06Nm- Suma algebrică a momentelor are valoarea 6,1 • 10"2 Nm. 4.2.3. Cuplul de forțe Un solid rigid poate să execute o mișcare de rotație atunci când asupra sa acționează un cuplu de forțe. Cuplul de forțe este un sistem de două forțe paralele, de sensuri opuse, cu aceiași modul, aplicate aceluiași corp, având ca efect rotirea corpului. Distanța dintre dreptele suport ale celor două forțe se numește brațul cuplului. Dăm câteva exemple: a) în figura 4.15 se reprezintă acțiunea mâinii asupra unei chei tubulare. Rezultanta forțelor Fx și F2 care formează cuplul de forțe este zero. Aceasta înseamnă că nu există mișcare de translație. Totuși, cheia tubulară se rotește în jurul unei axe perpendiculare pe planul celor două forte ce formează cuplul. Distanța d reprezentată pe figura 4.15 este tocmai brațul cuplului. b) Acul magnetic din figura 4.16 se rotește sub acțiunea cuplului forțelor magnetice ș’ C Elemente de statică 177 Fig. 4.15 Fig. 4.16 c) Acțiunea tijei unei șurubelnițe asupra crestăturii unui șurub este un alt exemplu. Modulul momentului unui cuplu de forte este egal cu produsul dintre modulul F comun celor două forțe (F} = F2 = F) și brațul cuplului: M = F ■ b. c (4.10) 4.2.4. Echilibrul de rotație al corpului rigid Se folosește un dispozitiv format dintr-un disc metalic cu orificii, care se fixează pe un suport. Așa cum se vede în figura 4.17, prin intermediul unor fire de legătură se pot agăța diverse mase marcate, în diferite poziții. Distanțele se citesc pe rigla gradată atașată dispozitivului. 178 Capitolul 4 Datele experimentale obținute se observă în tabelul de mai jos: Masa corpurilor w(kg) Tensiunile din fire F(N) Brațul forțelor d(rF) Momentul forțelor F-d^m) 0,3 3 0,4 + 1,2 0,2 2 0,2 +0,4 0,4 4 0,4 -1,6 Suma algebrică a momentelor: Mi + Mi + M* = 1,2 + 0,4 - 1,6 = 0. Suspendați mai întâi în punctul A un corp cu masa Greutatea acestui corp dă naștere unei tensiuni F{, în firul de legătură. Momentul acestei forțe = + F^ pune în mișcare de rotație discul în jurul axei care trece prin O, dezechilibrându-L încercați să echilibrați discul, suspendând în punctul C un al doilea corp, astfel încât tensiunea F din firul de legătură al acestui corp să producă un efect de rotație opus aceluia produs de forța F. M^-F3-dy Dacă echilibrul nu este realizat, suspendați un al treilea corp, de masă mv tatonând punctul de suspensie al acestui corp astfel încât echilibrul să fie realizat. Rezultate Constatăm că discul a fost echilibrat când momentul rezultant al forțelor aplicate discului este nul. Elemente de statică 179 Concluzie < ’ U < i. * c H . £ i 11 t l i * / ' 1^1 f^ic !H L ‘/? O i j S l . 1) «£i / ' f H _ d forțelor, dacă suma algebrică a momentelor forțelor în raport cu axa este nulă. hXeU4juî! 8 Considerăm o tijă cu lungimea de 60 cm și masa M= 200 g și două corpuri A și B de masă, respectiv, = 60 g și m2 = 50 g. Realizăm echilibrul sistemului reprezentat în figura de mai jos, când tija este orizontală, folosind un resort/? cu constanta elastică, k = 20 N/m. Calculați, la echilibru, forța elastică ce se produce în resort și alungirea resortului. Se ia g = 9,8 m/s2. Rezolvare Tija are tendința să se rotească în jurul unei axe perpendiculare în O pe planul figurii. Asupra tijei acționează 4 forțe: Reacțiunea R în punctul O de sprijin, greutățile corpurilor A și B, Gx =m{g și G2 = m2g, greutatea tijei G = Mg și forța elastică F din resort. m{g • 0,2 + Mg • 0,3 + m2g • 0,4 = F • 0,6; g(0,06 • 0,2 + 0,2 • 0,3 + 0,05 • 0,4) -F • 0,6 = 0. Efectuând calculele obținem: ’ 9,8 • 0,092 = F - 0,6. Rezultă: F= 1,5 N. F 15 o F = kx^x = X = —= 7 5-10-2m = 7,5cm. k 20 180 Capitolul 4 Fie o tijă cu lungimea de 60 cm și masa M= 200 g. Unul dintre capetele tijei se sprijină într-un punct O, iar de capătul celălalt al tijei este prins un fir care trece peste un scripete fix și care susține la capătul liber un corp cu masa mv necunoscută. Echilibrul tijei se realizează când se prinde de tijă un corp cu masa = 60 g (figura de mai jos). Firul prins în^ face cu orizontala un unghi cc = 60°. Determinați valoarea masei m2 în cazul când este realizat echilibrul sistemului format din tijă și din corpurile fixate pe acesta. Rezolvare Asupra tijei acționează trei forțe: reacțiunea suportului din punctul O, greutatea tijei de modul G = Mg, greutatea corpului B, de modul G2 = m2g, și tensiunea din firul prins în/1. în momentul când echilibrul este realizat, suma algebrică a momentelor forțelor care acționează asupra tijei este egală cu zero. Mg • 0,2 + m{g • 0,4 - m2g • 0,6 • cosoc = 0. După efectuarea calculelor rezultă: m2 = 280 g. O tijă omogenă AB, de lungimea / și de greutate G = 10N, este articulată în A într-un perete vertical. Determinați poziția de echilibru în cazul când tija formează unghiul oc cu peretele vertical. Echilibrul tijei este realizat când în punctul B se aplică o forță F: 1) cu direcția orizontală și de modul Fj = 3 N; 2) perpendiculară în B pe tijă și de modul F2 = F{ = 3 N. Rezolvare Forțele aplicate tijei sunt: - greutatea sa G aplicată la mijlocul tijei; Elemente de statică 181 - forța F sau Fv după caz; - reacțiunea R a peretelui, care este necunoscută. Pentru a elimina reacțiunea R care este necunoscută, calculăm momentul rezultant al forțelor care acționează asupra tijei în raport cu punctul A. și punem condiția: Primul caz (fig. b), când forța este orizontală. M(G)+M(FX) = O-, (A) M(G) = -GAH = -G^sina- M(Fl) = +Fi ■ AK = +Fxlcosa- Făcând înlocuirile în relația A obținem: -G —șina + 7Gcosa =0- 2 1 2.R de unde: tga = —- = 0,6; as31°. 182 Capitolul 4 Al doilea caz (fig. c) când forța F2 este perpendiculară pe tijă. Af(G) + M(F2) = 0; M(G) = -G • AH = -G l-sinet; M(F1') = +F1-AB = +F1V, G — sma -FA- 2 2 ’ 2F sinet = —- = 0,6, a = 37°. G Exemplu! 11 Fie o tijă rigidă și omogenă AB de lungime / = 30 cm și de greutate G = 2 N, articulată în A de un suport. Realizăm echilibrul tijei în poziție orizontală folosind un 2 resort R prins de tijă în punctul C, astfel ca AC = — l. Alungirea resortului este x = 5 cm. Calculați constanta elastică a resortului. Rezolvare Asupra tijei acționează două forțe: greutatea sa G și forța elastică F a resortului (în articulația A acționează reacțiunea R, pe care o eliminăm calculând momentul rezultant în raport cu zi). M(G) + M(F) = 0. De aici rezultă F - — -G—, 3 2 de unde: F = kx = - G, Rezultă: k = — = 30 N/m. 4 4x Elemente de statică 183 4.2.5. Echilibrul corpurilor sub acțiunea greutății Experiment Luați o bilă metalică grea cu un volum redus și așezați-o pe fundul unui vas de formă concavă (asemenea unei farfurii adânci) (fig. 4.18, a). Ce forțe acționează asupra bilei aflată în punctul P,? Care este rezultanta forțelor ce acționează asupra bilei? Este îndeplinită condiția de echilibru? Scrieți expresia energiei potențiale a bilei știind că se află la înălțimea h de suprafața orizontală a mesei. îndepărtați bila din punctul Px într-un alt punct P (fig. 4.18, b). Cele două forțe G și N nu se mai anulează, ele dau o rezultantă R care deplasează bila spre punctul inițial, deci spre punctul Pr Fig. 4.18 Acum bila se află la înălțimea h' > h față de suprafața mesei. Precizați care este energia potențială a bilei în punctul P și comparați-o cu energia potențială în punctul P{. în acest al doilea caz ilustrat în figura 4.18, b, bila mai este în echilibru? Care este condiția de echilibru? în primul caz (fig. 4.18, a), în punctul Pv bila este într-un echilibru stabil și energia potențială este minimă {Ep^ în comparație cu valorile din pozițiile vecine. Bila este supusă acțiunii unor forțe conservative (forțe de greutate). în al doilea caz (fig. 4.18, b\ în punctul P, bila este într-un echilibru instabil și energia potențială (Ep ) are o valoare mai mare: Ep > Epv Acum își fac echilibrul forțele N și Gn iar componenta Gt a foitei de greutate aduce bila în starea inițială de echilibru. Concluzie Un punct material supus acțiunii forțelor conservative se află în echilibru stabil în poziția care corespunde minimului de energie potențială în comparație cu pozițiile vecine. 184 Capitolul 4 4.1. Dacă rezultanta unui sistem de forțe concurente este zero, demonstrați că și momentul rezultant al acestor forțe în raport cu un punct oarecare este zero. 4.2. Demonstrați că un cuplu nu poate fi echilibrat decât de un alt cuplu. 4.3. Să se determine rezultanta a trei forte coplanare și concurente care au mărimile F, = F, = F3 = 40 N și care fac între ele unghiuri de 120°. 4.4. De un fir fixat într-un punct A, se suspendă un corp cu masa m = 2 kg. Un al doilea fir este legat de primul în B (figura de mai jos). Asupra firului al doilea se exer- cită o forță orizontală F. Care trebuie să fie mărimea forței F, pentru ca unghiul a dintre AB și verticală să fie egal cu 45° (g = 10 m/s2)? 4.5. Să se calculeze tensiunile din firele A, B și C din montajele reprezentate în figura alăturată. Se dă G = 80 N. 4.6. Un solid este acționat de două forțe concurente F, = 5 N și F, = 10 N care fac între ele un unghi de 120°. Să se determine forța Fp concurentă cu primele două, ce trebuie aplicată solidului pentru ca acesta să fie în echilibru. 4.7. Un corp A, cu masa m = 500 g, este așezat pe un plan înclinat (figura următoare). Ce masă trebuie să aibă corpul B, suspendat la extremitatea firului care trece peste scripetele S, pentru a menține corpul A în echilibru? Se neglijează frecările. Elemente de statică 185 4.8. O forță F = 100 N, orizontală, menține în echilibru static un corp așezat pe un plan înclinat cu unghiul oc = 45° față de orizontală (figura alăturată). Frecările sunt neglijabile. Să se calculeze greutatea corpului și reacțiunea planului înclinat. 4.9. Să se calculeze momentul greutății corpului suspendat în B (figura alăturată), în raport cu punctele A, B și C, dacă CB = 1 m, oc = 30° și masa corpului m = 4 kg. 4.10. Un muncitor ține o scândură de un capăt, astfel încât scândura să facă un unghi oc = 30° cu orizontala (figura alăturată). Masa scândurii este m = 40 kg. Să se calculeze mărimea forței cu care muncitorul susține scândura, dacă direcția forței este perpendiculară pe scândură. 4.11. Un corp de formă cubică, cu latura / = 0,4 m și cu masa m = 40 kg, se află pe o suprafață orizontală. în fața corpului se află un mic prag B. La ce înălțime h trebuie aplicată o forță F= 400 N pentru ca reacțiunea normală în punctul A să fie nulă (figura alăturată). (Indicație: reacțiunea normală în A este nulă când corpul începe să se ridice în A, deci când momentele forțelor G și F în raport cu punctul B vor fi egale). TEST DE EVALUARE 1. Un corp se află în echilibru pe un plan înclinat, așa cum se vede în figură. Coeficientul de frecare dintre corp și plan este p, iar unghiul planului este a. Scrieți condiția de echilibru pentru acest corp. 2. O pârghie are brațul forței active de 12 cm și i se aplică forța F = 100 N. Care este valoarea forței rezistente pentru ca pârghia să rămână în echilibru, dacă brațul forței rezistente este de 20 cm? ’ A) 80 N; B) 75 N; C) 70 N; D) 65 N; E) 60 N. Alegeți răspunsul corect. 3. în figura de mai jos sunt reprezentate trei corpuri, care se află, fiecare, în două poziții diferite. în ce fel de echilibru se află fiecare din cele trei corpuri? 4. Alegeți răspunsul corect. Unitatea de măsură pentru momentul forței este: A) N-s; B)N-m-2; QN-nr1; D) N-m; E)N-s-1. 5. Se înclină un plan până când corpul aflat pe acesta începe să alunece cu o mișcare uniformă. Care este coeficientul de frecare dintre corp și plan, dacă lungimea planului este / și înălțimea la care s-a ridicat un capăt al planului este h? 6. Explicați de ce nu putem desface șuruburile mai ușor cu o șurubelniță care are mânerul gros, decât cu o șurubelniță cu mâner subțire. 187 ERORI DE MĂSURARE Metode de măsurare Prin măsurarea unei mărimi fizice oarecare înțelegem compararea mărimii respective cu o altă mărime de aceeași natură cu prima, adoptată ca unitate de măsură. Cu ajutorul măsurărilor putem stabili valorile diferitelor mărimi fizice, precum și ale unor constante, cum ar fi viteza de propagare a luminii, distanța focală a unei lentile, determinarea coeficientului de frecare etc. Scopul oricărei măsurări este determinarea, cu o precizie cât mai mare, a valorii mărimii măsurate. Toate metodele de măsurare se bazează pe un fenomen fizic ce determină principiul de măsurare. De exemplu, pentru măsurarea forțelor cu dinamometrele, se folosesc resorturi elastice prevăzute cu rigle pentru măsurarea alungirilor și se ține seama de faptul că alungirea resortului este proporțională cu forța aplicată. Metodele de măsurare pot fi clasificate după mai multe criterii. Din punct de vedere al modului de obținere a valorii măsurate, deosebim: - metode de măsurare directă; - metode de măsurare indirectă. a) Metoda de măsurare directă reprezintă metoda de măsurare prin care valoarea măsurată a unei mărimi fizice se obține direct, fără a mai fi nevoie de calcule suplimen- tare. De exemplu: măsurarea temperaturii cu un termometru; măsurarea unei lungimi cu o riglă sau cu un șubler. b) Metoda măsurării indirecte reprezintă metoda de măsurare prin care se determină valoarea unei mărimi fizice pe baza măsurărilor efectuate prin metoda de măsurare directă asupra altor mărimi fizice, care sunt legate de mărimea de măsurat printr-o relație cunoscută. De exemplu, constanta elastică, k, se determină măsurând direct forța de deformare Fd și alungirea x a resortului. Mărimile măsurate sunt legate p prin relația: k = —. x Erori de măsurare Eroarea absolută. Când se efectuează o măsurare, rezultatul nu se poate obține decât cu o precizie limitată, măsurarea fiind afectată întotdeauna de o eroare. Prin eroare absolută a unei măsurări înțelegem diferența dintre valoarea individuală x a unei mărimi și valoarea adevărată x{) a mărimii respective: t\x = x-x^ (1) 188 Valoarea x a mărimii de măsurat nu este accesibilă și deci această valoare trebuie substituită cu o valoare convenabil adecvată, care reprezintă valoarea de măsurat ce diferă neglijabil de valoarea adevărată. De cele mai multe ori se utilizează, în locul erorii absolute (1), valoarea absolută a erorii de măsurare: | Ax| = |x - x0|- (2) Estimarea valorii adevărate x0. Pentru a obține o valoare cât mai apropiată de valoarea adevărată a unei mărimi fizice X, nu trebuie să ne limităm la efectuarea unei singure măsurări a mărimii respective, ci trebuie să repetăm de mai multe ori operația de măsurare. Astfel, vom obține pentru o mărime Xvalorile: xv x ,.... x . Valoarea convențional adevărată a mărimii de măsurat, care aproximează cel mai bine valoarea adevăratăx0, este valoarea medie aritmetică a setului de valori individuale: +*2 + ... + %„ n Trebuie subliniat că X reprezintă valoarea cea mai probabilă a mărimii măsurate, adică valoarea care se poate considera cea mai bună, cea mai justă, cea mai apropiată de valoarea adevărată x^ dar nu coincide cu valoarea adevărată x^. Spre exemplu, s-a făcut o serie de n măsurări ale lungimii L a unui obiect și s-au obținut n valori pentru lungimea respectivă, cuprinse între valorile extreme: Lmjn = 244,5 mm și = 245,5 mm. Lungimea obiectului va fi cuprinsă în intervalul: 244,5 mm < L < 245,5 mm. Pentru lungimea L se poate lua orice valoare cuprinsă între cele două valori extreme, însă valoarea cea mai apropiată de valoarea adevărată este media aritmetică a setului de valori individuale: L = 245,0 mm. Diferențele dintre valorile extreme și valoarea medie ne dau informații relative la erorile absolute de măsurare: £max -1 = 245,5 - 245,0 = +0,5mm; Imin - L = 244,5 - 245,0 = -0,5mm. Rezultatul măsurării poate fi dat de egalitatea: L = 245,0 ±0,5 mm, care pune în evidență: - valoarea cea mai probabilă a lungimii L: 245,0 mm; - eroarea absolută de măsurare: 0,5 mm. 189 Eroarea relativă. Este evident că o eroare absolută de 1 mm nu are aceeași importanță când aceasta se referă la o lungime de 10 m sau se referă la o lungime de 10 cm. Din acest motiv vom defini eroarea relativa care caracterizează precizia măsurării. Eroarea relativă de măsurare este raportul dintre valoarea absolută a erorii de măsurare și valoarea adevărată xQ. (4) Astfel, în cazul exemplului precedent, eroarea relativă are valoarea: 0,5 _ 1 ~ 1 _ 2 245 ” 490 = 500 ” 1000’ Vom spune că precizia măsurării este de sau 0,2%. Lucrare de laborator care poate fi efectuată pe grupe. Scopul lucrării. Determinarea constantei elastice a unui resort. Materiale necesare 1. Suport universal de laborator. 2. Resort elastic. 3. Corpuri marcate cu cârlige de prindere. 4. Riglă gradată. Realizarea montajului. Se reali- zează montajul prezentat schematizat în figura alăturată. Efectuarea experimentului. Se suspendă succesiv de resort corpurile marcate și se măsoară deformările resortului. Datele obținute experi- mental se trec în coloanele 1,2 și 3 ale unui tabel, întocmit după modelul tabelului din pagina următoare. 190 Prelucrarea datelor obținute experimental. Folosind datele obținute F experimental se calculează valorile constantei elastice k = — și se trec în coloana a 4-a a tabelului. Nr. crt /(cm) A/(cm) w ^(N/m) abateri (£ - £) (N/m) 0 1 2 3 4 5 0 12,9 0,0 0,0 - - 1 13,6 0,8 0,2 25 +0,7 2 14,6 1,7 0,4 23,5 -0,8 3 15,5 2,6 0,6 23 -1,3 4 16,3 3,4 0,8 23,5 -0,8 5 17,0 4,1 1,0 24,4 +0,1 6 17,7 4,8 1,2 25 +0,7 7 18,5 5,7 1,4 24,6 +0,3 8 19,3 6,4 1,6 25 +0,7 Valori medii 24,3 0,68 Se calculează media aritmetică a valorilor constantei k: - 25 + 23,5 + 23 + 23,5 + 24,4 + 25 + 24,6 + 25 o, , XT/ k =------------------------------------------= 24,3 N/m. 8 Se calculează abaterile de la valoarea medie (k -k) și se trec în coloana a 5-a a tabelului de mai sus. Apoi se calculează media aritmetică a abaterilor (ignorând semnele minus): - 0,7 + 0,8 +1,3 + 0,8 + 0,1 + 0,7 + 0,3 + 0,8 A XT, Ak =-----------------------------------------= 0,68 N/m 8 Valoarea constantei elastice a resortului este: k = k ± , sau numeric: k = 24,3 ± 0,68 N/m. 191 rZ ) PROBLEME RECAPITULATIVE j OPTICA 1. Alegeți răspunsul corect. Indicele de refracție al unui mediu este: A) întotdeauna mai mare sau egal cu unitatea; B) întotdeauna mai mic decât unitatea; C) mai mare, egal sau mai mic decât unitatea în funcție de mediu; E) un număr care arată de câte ori viteza luminii în mediul respectiv este mai mare decât în vid. 2. Alegeți răspunsul corect. Se dă o prismă optică a cărei secțiune este un triunghi echilateral. Pe fața AB a prismei, aflată în apă, cade o radiație monocromatică, astfel încât raza de lumină se propagă paralel cu baza BC. Să se calculeze valoarea indicelui de refracție al materialului din care este confecționată prisma, știind că unghiul format de prelungirea razei incidente cu raza emergentă este egal cu 30°, iar indicele de refracție al apei este egal cu 4/3. A) 1,5; B) 1,53; C) 1,68; D) 1,88; E) 1,4. 3. Alegeți răspunsurile corecte. Puterea optică a microscopului are următoarele proprietăți: A) este direct proporțională cu intervalul optic; B) este invers proporțională cu grosismentul; C) este invers proporțională cu produsul distanțelor focale ale obiectivului și ocularului; D) este direct proporțională cu distanța focală a obiectivului. 4. Imaginea unui obiect real într-o oglindă concavă este egală cu obiectul, când acesta se află: A) în focar; B) între focar și oglindă; C) în centrul de curbură al oglinzii; D) între centrul de curbură și focar; E) dincolo de centrul de curbură. Alegeți răspunsul corect. 192 5. Unghiul de deviație minimă al razelor care străbat o prismă optică este: A) D =r + r';B)D . = i + i'; C) D = 2i - A; A mm 7 7 nun 7 J min 7 D) D . = r-r'; E) D . = 2A. 7 mm 7 7 nun 6. O prismă cu unghiul A = 50° are unghiul de deviație minimă Dmin = 35°. Cât devine unghiul de deviație minimă, dacă prisma se introduce în apă? Se cunoaște indicele de refracție al apei, n . ’ 7 apa 4 3’ A) 20°; B) 11°; C) 32°; D) 5°; E) 30°. Alegeți răspunsul corect. 7.0 lentilă menise mai groasă la mijloc și mai subțire la margini, având indicele de refracție n, se găsește într-un mediu cu indicele de refracție Convergența lentilei este: A) întotdeauna pozitivă; B) întotdeauna negativă; C) pozitivă când n > și negativă când n < n}; D) pozitivă când n < și negativă când n > n \ E) uneori negativă. Alegeți răspunsul corect. 8. Imaginea unui punct luminos aflat în centrul unei sfere de sticlă plasate în vid se formează: A) în centrul sferei; B) între centrul și suprafața sferei; C) în afara sferei, la distanță finită de suprafața ei; D) pe suprafața sferei; E) la infinit. Alegeți răspunsul corect. 9. Dacă o radiație monocromatică traversează o prismă cu indicele de refracție n și unghiul refringent^, la deviația minimă sunt adevărate următoarele proprietăți: A) Dmjn = 2A - r; B) mersul razelor în prismă este simetric; sin^ 1 Q n “ ZhTn ; D)r - arcsin E) « = ___2 . A sm — 2 MECANICĂ 1. O sanie alunecă pe o pârtie foarte înclinată care are înălțimea de 80 m. Ce viteză finală atinge sania? (Frecarea fiind foarte mică, se neglijează.) 2. Un automobil are viteza de 90 km/h. La un moment dat șoferul frânează brusc. Variația energiei cinetice a vehiculului în timpul frânării este egală cu lucrul mecanic de frânare. Cât este de lungă dâra lăsată de roți pe asfalt când coeficientul de frecare p = 0,8? După un astfel de raționament, agentul de circulație poate să afle cu ce viteză s-a deplasat un autovehicul, măsurând dâra lăsată de roți? 3. Dacă o persoană încearcă să miște o barcă numai prin mișcările corpului său, fără să vâslească, va reuși? Alegeți răspunsul corect: A) Da; 5) nu; C) se va mișca puțin. 4. Impulsul unui corp este produsul dintre: A) masa corpului și pătratul vitezei sale; 5) masa și viteza sa; Q masa și accelerația sa; D) forță și viteză; E) forță și deplasare. Alegeți răspunsul corect: 5. Un dinamometru este intercalat între două corpuri de masă m = 1 kg și M= 10 kg. Se aplică sistemului două forțe F} = 10 N și F = 43 N (figura de mai jos). Ce forță va indica dinamometrul? 6. Două bile sferice, care au același volum, cad liber. în momentul atingerii solului ele au aceeași viteză. Se neglijează frecarea cu aerul. Una dintre bile este din oțel iar cealaltă din aluminiu. Cele două bile au aceeași energie cinetică la atingerea solului? Justificați răspunsul. 194 7. Două sfere de masă mx = 1 kg și m2 = 2 kg, legate printr-o bară rigidă, cad liber (figura de mai jos). Se neglijează rezistența aerului. Care este tensiunea din bară? Alegeți răspunsul corect: A) 0 N; 5) 2 N; Q 4 N; D) 10N;£)20N. 8. Un corp cu masa m = 2 kg se află pe un plan înclinat cu a = 45° (vezi figura). Coeficientul de frecare dintre corp și plan este p = 0,2. Care este valoarea forței F pentru care corpul urcă uniform pe plan? 9. Acționând cu o forță constantă F = 20 N asupra unui corp, acesta se ridică la înălțimea h = 10 m. Ce lucru mecanic a efectuat forța în acest caz dacă viteza corpului a fost constantă? Alegeți răspunsul corect: A) 100 J; B) 200 J; C) 150 J; D) 300 J; E = 350 J. 10. Forța F = 0,5 N acționează asupra unui corp cu masa m = 1 kg în timpul t0 = 2 s. Dacă energia cinetică inițială a corpului este nulă, care va fi energia cinetică finală a acestuia? 195 11. Un camion se deplasează pe un drum orizontal. La un moment dat viteza este Vj = 5 m/s iar după un interval de timp A/ ea devine 20 m/s. In acest interval de timp rezultanta forțelor care acționează asupra camionului efectuează un lucru mecanic L = 375 kJ. Care este masa camionului? 12. Un corp cu masa m = 1 kg cade de Ia înălțimea h = 1,1 m și comprimă un arc având constanta k = 200 N/m. Cu cât se comprimă arcul? Alegeți răspunsul corect: A) 12,42 cm; 5) 12,34 cm; Q 38,54 cm; D) 11 cm; E) 12,32 cm. 13. Care este impulsul unui vagon cu masa de IO4 kg, a cărui viteză este de 20 m/s? Ce viteză trebuie să atingă un vagon cu masa de 5 t pentru a avea: â) același impuls; b) aceeași energie cinetică. 14. Un automobil rulează pe o șosea cu viteza de 80 km/h. în momentul în care șoferul dorește să oprească mașina într-un anumit loc, începe să micșoreze treptat viteza până în acel loc. De ce este necesar ca șoferul să procedeze în acest mod? 15. Exprimați în unitățile din Sistemul Internațional: d) v = 72 km/h; b) a = 15 m/min; c) M= 25 N-cm; d)p= 150 g-cm/s. e) K=950 cm3? 16. Două bărci merg una spre alta pe drumuri paralele (figura de mai jos). Când se află una în dreptul celeilalte se schimbă din fiecare barcă în cealaltă câte un sac de 50 kg. 196 După această operație, prima barcă se oprește, iar a doua merge cu 8,5 m/s în același sens. Ce viteze aveau bărcile înaintea schimbului de saci, dacă prima are, împreună cu încărcătura, masa de 500 kg, iar a doua de 1000 kg? 17. Pe o gheață lucie se află o sanie pe care stă un copil, care are lângă el o grămadă de pietre. Copilul aruncă repede una după alta pietre în urma săniei. Ce se va întâmpla? După aruncarea fiecărei pietre, masa sistemului sanie-copil-pietre scade. Ce influență are acest fapt? 18. Un om, care are masa 70 kg, sare cu viteza de 5 m/s într-o barcă cu masa de 105 kg, aflată în repaus. Cu ce viteză se mișcă sistemul, dacă se neglijează frecarea? 19. Un corp cu greutatea de 4 410 N este atârnat de un fir de oțel lung de 5 cm cu secțiunea de 0,0625 cm2, obținându-se o alungire a firului de 0,018 cm. Să se calculeze: a) efortul unitar; b) alungirea relativă; c) modulul de elasticitate Young pentru oțel. 20. Ce masă minimă trebuie să aibă o locomotivă pentru a putea produce o forță de tracțiune de 2 • 105 N, când coeficientul de frecare este pi = 0,15 ? Alegeți răspunsul corect: A) 186 t; 5) 150 t; Q 121 t; D) 136,1 t. 21. 0 sferă cu masa de 4 kg și viteza de 6 m/s se ciocnește elastic, central, cu o a doua sferă cu masa de 10 kg, astfel încât sfera mai ușoară se oprește după ciocnire. Să se determine: a) viteza celei de a doua sfere înainte de ciocnire; b) viteza celei de a doua sfere după ciocnire. 22. Un corp este ridicat prin intermediul unui fir. Tensiunea din fir este de n ori mai mare decât greutatea corpului. Se cunoaște accelerația gravitaționalăg. Să se calculeze accelerația cu care este ridicat firul. A)|;B)|;C)g;D)|g;E)g(n-l). Alegeți răspunsul corect. 23. Asupra unui corp de masă m = 1 kg, așezat pe un plan orizontal, acționează o TC forță F având o direcție care face un unghi a = — rad cu direcția orizontală. 197 Coeficientul de frecare dintre corp și planul orizontal are valoarea p = — și g = 10 m/s2. Care este valoarea maximă a forței F pentru care corpul mai rămâne în repaus. 24. Un corp poate fi menținut în echilibru pe un plan înclinat cu o forță de loVÎ N paralelă cu planul, sau cu o forță orizontală de 20 N. Frecările se neglijează. Greutatea corpului este: A) 15 N; B) 20 N; C) 2,5 N; D) 30 N; E) 40 N; F) 20^2. Alegeți răspunsul corect. 25. La deplasarea unui corp cu masa m = 2 kg pe un plan orizontal sub acțiunea unei forțe, are loc o variație a vitezei cuplului de la v( = 5 m/s la v2 = 10 m/s. Să se afle lucrul mecanic efectuat de forța sub acțiunea căreia corpul s-a deplasat. 26. Se realizează un pendul gravitațional așa cum se vede în figură, care poate oscila de-o parte și de alta a poziției verticale de echilibru, sub acțiunea componentei forței de greutate. Se neglijează forțele de frecare dintre pendul și aer. Sistemul fizic (pendul - Pământ) se află în câmpul de forțe conservativ (gravitațional) și este izolat. Analizați sistemul și precizați următoarele: a) Ce fel de energie are sistemul în starea J? b) Ce fel de energie are sistemul în starea Bl c) Ce fel de energie are sistemul în starea C? d) Ce puteți spune despre energia mecanică totală a sistemului în stările A, B, C, în condițiile date? e) Explicați cum se modifică cele două forme de energie (potențială și cinetică) atunci când bila pendulului trece din poziția^ în pozițiaB. 198 27. Montați dispozitivul reprezentat în figura de mai jos. Trageți pe verticală cu mâna de resort și lăsați-1 să oscileze liber. Priviți cu atenție mișcarea resortului și a corpului atârnat de resort. Reprezentați schematic pozițiile prin care trece resortul în timpul unei oscilații. Precizați, pentru fiecare poziție, ce fel de energie are acest sistem. Ce condiție trebuie să se realizeze pentru ca energia mecanică să se conserve? 28. în figura de mai jos sunt reprezentate diagramele spațiu-timp ale mișcării a trei oameni A, B, C. Urmăriți diagramele și răspundeți la următoarele întrebări: a) Care om se mișcă mai repede? b) Se găsesc vreodată toți cei trei oameni în același punct pe drum? 29. Să se reprezinte grafic viteza în funcție de timp pentru un vehicul care se deplasează pe o șosea, știind că mișcarea este uniformă și modulul vitezei este 3 m/s (cu indicarea scării de proporționalitate). 30. Să se construiască graficul spațiului în mișcările ale căror ecuații sunt: 1 x = 3Z; x = —t. 2 199 31. Un corp este pus în mișcare rectilinie și uniformă de-a lungul unui plan orizontal sub acțiunea unei forțe, măsurate cu ajutorul unui dinamometru. Dinamometrul va indica o forță: A) mai mare decât greutatea sa; B) mai mică decât greutatea; Q egală cu greutatea; Alegeți răspunsul corect. 32. Un corp se deplasează uniform pe o suprafață orizontală tras prin intermediul unui fir orizontal pe care s-a intercalat un dinamometru. Dacă dinamometrul indică o forță de 1 N, aceasta reprezintă: A) greutatea corpului; B) forța de tracțiune; Q forța de frecare; D) forța de reacțiune a planului. Alegeți răspunsurile corecte. 33. Un automobil în care se află două persoane rulează pe șosea cu o viteză de 80 km/h. în spatele acestuia, la 10 m distanță se află un autoturism identic, care rulează tot cu 80 km/h, dar în el se află patru persoane. Presupunem că în același (timp) moment se blochează roțile automobilelor. Care automobil se va opri mai repede? Alegeți răspunsul corect: A) primul automobil; B) al doilea automobil; Q amândouă în același timp; D) nici unul nu se va opri. 34. Un tren merge rectiliniu și uniform. Toate vagoanele au aceeași greutate. Care dintre dispozitivele de legătură dintre vagoane sunt mai solicitate? Alegeți răspunsul corect: A) cele dintre ultimele două vagoane; 5) cele dintre primele două vagoane; Q cele de la mijlocul trenului; D) toate la fel. 200 Răspunsuri Capitolul 1 1.1. 1,94 IO'8 m/s; 1,2 -IO’8 m/s; 1.2. t = 10’8 s, practic instantaneu; 1.3. 20 cm în spatele oglinzii; în spatele oglinzii cu 5 cm; 1.5. h = 80 cm; 1.6. 90°; 1.7. Punctul A' este simetricul punctului A în raport cu oglinda. Toate razele reflectate par să vină din A'; 1.8. z = 60°, r = 40,6°; 1.9. r = 30°, / = 53,1° unghiul limită / = 38,6°. Cu unghiul de incidență de 60° se produc reflexii totale multiple; 1.10. datorită refracției luminii; 1.11. raza de lumină iese pe o direcție perpendiculară cu direcția inițială; 1.12. imaginea virtuală răsturnată și mai mică decât obiectul; 1.13. A = = 28,13°; 1.14. 36,31°; 1.15. 1,73; 1.16. B. 1.20. imaginea reală răsturnată p'= 1 m, p = - 1; 1.21. imaginea dreaptă virtuală p = 13,3 cm; 1.22. 12,5 m; 1.23. Pentru lentila divergentă imaginea dreaptă virtuală la 7,2 cm în fața lentilei p = + 4. Pentru lentila convergentă imaginea este reală, răsturnată, la 36 cm; 1.25. 3 cm; 1.26. 1,5; 1.27. - 15; 1.28. R = 30 cm; 1.29. /?' = 60 cm, i' =-24 cm, n = 1,76; 1.30. |p| = £ P = 0,5, p' = + 30 cm; 1.31. 2; 1.32. imaginea reală răsturnată și i = 20 (de două ori mai mare decât obiectul); 1.33. 1,55; 1.34. lentile divergente; 1.35. - 1,02 5, 10,71 cm: 1.36. 12,3 cm; 101 cm. Capitolul 2 2.1. B; 2.2. au aceeași viteză; 2.3. v, = 900 km/h; v2 = 28800 km/h; v3 = 1512 km/h; v4 = 36 km/h; 2.4. 2 m/s2; 2.5. - 1,5 m/s2. 2.6. 30 s; 2.7. 8 minute și 20 secunde. 2.8. 3 minute și 45 s, 133 km; 2.9. 2,5 h, 10 km; 2.10. 14 h; 80 km; 2.12. x = 0, t = - 1 h; 2.13. t = - 50 s, x = - 400 m; 2.14. C. 2.15. C; 2.16. B; 2.17. - 10 m/s2; 2.18. 12 m; 2.19. a) 31,25 s, b) 390,6 m; 2.20. C; 2.21. -^- = 0,8; 2.22. a= — = = a^Ro)1 =200 m/s2; T2 2.23. R. = RcosL, v. =—, v. = 731 m/s.; 1 1 1 rad 2.25. u = 6 s"1; co = 2nu = 37,7 —, v = Ăco = 15 m/s. s 2.26. a = g + 2(7; 2.27. x} = = 4,9 cm, x2 = —— = 3,3 cm, 201 F = k(x, + x,) = mg, - = — + —; 2.28. k = — = l = Nc, k = 1 - 5 k k, k2 AZ Zo 0 Nc k{=^,ki=k^- = 24N/m. NyC 2.30. F-F = ma, F = m(a + pg), F = 147 000 N; 2.31. D; 2.32. C; 2.33. B; 2.34. F-F= ma = 0, F = ytN = 10 N, N = — = 100 N, 1 " 0,1 h N = mg, m = 10 kg; 2.35. Ff= m^gsma. - a'), șina = — = 0,5; Ff = 86,4 N; Ff F = umg cosa, F =---------— 0,55. 1 mg cosa ( R V 2.37. 4,78 ■ IO16 kg; 2.38. g = g0 -- ; 2.39. mai mică; 2.40. 33,5 N; \R + zJ 2.41. 9,8 m/s2; 2.42. D. Capitolul 3 3.2. a) = + Fd, b) L2 = - Fd, B) Ly = 0; 3.3. L = mgh = 20 J; 3.4. 2000 J; 3.5. 1500 J; 3.6. L = 0; 3.7. a) L(F) = 6000 J, L(F) = 4000 J, b) crește; k\l2 3.8. efectuează același lucra mecanic; 3.9. L =------= 0,5 J; 3.10. L, = F.| AZ, = 2 J. 3.11. a) 180 J, b) 60 J, c) 150 J, d) 2,5 J; 3.12. f = ^ = 20s; 3.13. P = Frv = 5 • IO4 W; 3.14. P = F • v = 1,07 W; P J 3.15. da; 3.16. E, = 0, E, =7 875 J; ’ Ic ’ 2c ’ 2 3.17. L(G) =---2— = 4 J; AF = 4 J, AF = - 4 J. 2 p c mv1 3.18. a) Pământul se consideră fix. b) Energia cinetică a pietrei Ec =-. c) Ep = mgh. d) E = ——F mgh. 3.19. a) = - 40 J, Ă2 = - 40 J, b) Ep = 40 J, c) L = - 40 J, d) Ep - 40 J; 2 1017 A 3.20. Ec = —= 28-75-105 J; 3.21. a) v = J—=10 m/s, b) h = —c- = 5 m; c 2 \ m mg 3.22. 183,9 kJ; 3.23. a) 0,92 MJ; b) 0,92 MJ; 3.24. a) 0,02 J, b) 2 m/s, 2) 0 J; 202 3.25. E = 360 J; v = = 21,9 m/s.; 3.26. x = = 1,2 m; c \ m \ k 3.27. v - xj— = 1,58 m/s; 3.28. E — — = — - 0,3 J; 3.29. v = xj— = 10 m/s. Vm p 2 2 \m P2 9 3.30. nu, da; 3.31. se va ridica; 3.32. C; 3.33. A m = —— =----= 0,5 kg; 2EC 2-9 3.34. D; 3.35. C; 3.36. B. 3.37. v, = 4,29 m/s; 3.38. v = 2,43 m/s; 3.39. cedează toată energia; 3.40. aruncă obiectele din trusă în sens opus; 2mv 3.41. pentru a micșora forța de impact (ciocnirea) mărind durata ciocnirii r = 2mv 3.42. ciocnirea elastică Ap = 2 mv; F, = —— = 100 N, ciocnirea plastică Ap = mv; F2= — = 50 N; 2 At Capitolul 4 4.3 R = 0; 4.4. F = Ctga = 20 N; 4.5. a) = 50 N, T, = 72 N, = 80 N, b) r, = 80 N, r2 = 113 N, Ty = 80 N; 4.6. F^ = 8,66 N;'perpendiculară pe Fv 4.7. mB = 250 g; 4.8. G = 100 N, N = 100^2 N; 4.9. 20V3 N/m, 0 N/m, 20^3 N/m; 4.10. F = mg cosa/2 = 173; 4.11. h = — = 0,2 m. 2F 203 Tabel cu date referitoare la Pământ Accelerația gravitațională la nivelul mării și la paralela 45° 9,806 m/s2 Raza medie a Pământului 6 371 km Volumul Pământului 1,09 • IO21 m3 Masa Pământului 5,983 • IO24 kg Densitatea Pământului 5 520 kg/m3 Viteza orbitală medie de rotație a Pământului 29,7 m/s Distanța Pământ-Lună 384,4 • 103 km Distanța Pământ-Soare 149,5 • IO6 km Tabel cu valori pentru modulul de elasticitate al lui Young (E) Materialul E aluminiu 7- 1010 N/m2 argint 8,25 • IO10 N/m2 aur 7,8 • 1010 N/m2 cupru 13 • 1010 N/m2 fier 21,2 • 1010 N/m2 plumb 1,6- 1010 N/m2 oțel 21 • 1010 N/m2 sticlă 5,8 • 1010 N/m2 cuarț 11,5 • 1010 N/m2 cauciuc 3 • 1010 N/m2 gheață 0,3 ■ 1010 N/m2 lemn 1-1,2- 1010 N/m2 mase plastice 0,2 • 1010 N/m2 204 Bibliografie S. P. Strelkov, I. A. Elțin, I. A. lakovlev, Culegere ele probleme de fizică generală, voi. I, Editura tehnică, București, 1962. Yvan Chasse, Michel de Celles, Louis - Mărie Tremblay, Mecanique, Centre Educatif et Culturel INC Montreal, Canada, 1971. Jean Godin, Physique, Les Editions HRW LTEE, Montreal, Canada, 1974. Jacques Desandels, Pierre - Leon Trempe, La physique par la redecouverte dirigee, Editions Science et Culture INC, Montreal, Canda, 1973. Dicționar de fizică, Editura Enciclopedică română, 1972. D. Halliday, R. Resnick, Fizică, voi. I, Editura Didactică și Pedagogică, 1975. S. Târg, Elements de mecanique rationelle, Editions Mir, Moscow, 1975. E. Kiss, V. Kiss, Culegere de probleme de fizică, Societatea de științe fizice și chimice, 1979. V. S. Wolkenstein, Problems in general physics, Mir Publishers, Moscow, 1980. Maria-Ana Popovici, Culegere de probleme de fizică-mecanică, Editura Sigma, 1992. C. Mantea, Fizică - Culegerea Mantea 7, Editura Mira, 1993. A. Galbură, O. Rusu, Fizică-mecanică, Editura Niculescu, București, 1994. Dima N. Vasile, Complemente de mecanică fizică și acustică, Editura Universității din București, 1996. O. Radu, Probleme de fizică pentru liceu - mecanică, Editura Corint, 1997. Rober L. Weber, Kenneth V. Manning, Marsh W. White, Physique Generale, Mc. Grawhill - Editeurs, Montreal, Canada, 1980. Hpp Concept du mouvement, Hoit, Rinena Rt et Winston-Limitee, Montreal, 1979. Rodica Mihalache, Vasile Fălie, Fizică Teste-grilă cu rezolvări - Bacalaureat și admitere în învățământ superior, Editura Bogdana, București, 2003. Constantin Corega, Viorel Săndulache, Viorica Pop, Teste grilă de fizică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993. 205 CUPRINS Capitolul 1 OPTICA GEOMETRICĂ 1.1. Lumina.......................................................... 3 1.1.2. Surse de lumină............................................ 3 1.1.3. Viteza de propagare a luminii.............................. 3 Probleme propuse............................................. 4 1.1.4. Principiul propagării rectilinii a luminii................. 5 1.2. Reflexia și refracția luminii..................................... 5 1.2.1. Reflexia luminii........................................... 6 1.2.2. Legile reflexiei .......................................... 6 Probleme propuse............................................ 13 1.2.3. Refracția luminii......................................... 13 1.2.4. Reflexia totală........................................... 15 1.2.5. Principiul reversibilității razelor de lumină............. 20 1.2.6. Prisma optică............................................. 20 Probleme propuse............................................ 23 1.3. Lentile subțiri...................................................24 1.3.1. Definiție................................................. 24 1.3.2. Axa optică principală..................................... 24 1.3.3. Lentile subțiri........................................... 24 1.3.4. Lentile convergente subțiri............................... 26 1.3.5. Construcția imaginii unui obiect produsă de o lentilă convergentă................................ 29 1.3.6. Lentile divergente subțiri................................ 35 1.3.7. Convergența lentilelor subțiri............................ 39 1.3.8. Sistem de lentile subțiri centrate........................ 42 Probleme propuse............................................ 45 1.4. Ochiul.......................................................... 46 1.5. Instrumente optice................................................49 1.5.1. Aparatul fotografic....................................... 49 1.5.2. Microscopul............................................... 51 Test de evaluare............................................ 54 206 Capitolul 2 PRINCIPII ȘI LEGI ÎN MECANICA NEWTONIANĂ 2.1. Mișcare și repaus.................................................... 55 2.1.1. Sistem fizic................................................... 55 2.1.2. Mișcarea. Caracterul relativ al mișcării....................... 56 2.1.3. Traiectoria.................................................... 57 2.1.4. Translația liniară............................................. 58 2.1.5. Sistem de referință............................................ 58 2.1.6. Relativitatea traiectoriei..................................... 59 2.1.7. Determinarea poziției mobilului. Mișcarea rectilinie........... 59 2.1.8. Viteza unui mobil.............................................. 60 2.1.9. Accelerația.................................................... 63 Probleme propuse................................................ 65 Conținuturi facultative 2.1.10. Mișcarea rectilinie uniformă. Caracteristici generale......... 65 2.1.11. Mișcarea rectilinie uniform variată........................... 69 Probleme propuse................................................ 73 2.1.12. Mișcarea circulară uniformă................................... 73 Probleme propuse................................................ 75 2.2. Principiul I al mecanicii newtoniene................................. 76 2.2.1. Inerția........................................................ 77 2.3. Principiul al II-lea al mecanicii newtoniene..........................78 2.3.1. Interacțiuni................................................... 78 2.3.2. Enunțul principiului al II-lea al mecanicii newtoniene......... 80 2.4. Principiul al III-lea al mecanicii newtoniene........................ 83 2.4.1. Interacțiuni de contact........................................ 83 2.4.2. Enunțul principiului al III-lea al mecanicii newtoniene. Principiul acțiunii și reacțiunii...................................... 85 2.5. Legea lui Hooke. Tensiunea în fire................................... 86 2.5.1. Elasticitatea.................................................. 86 2.5.2. Legea lui Hooke................................................ 86 2.5.3. Tensiunea în fire.............................................. 91 2.5.4. Reacțiunea suporturilor........................................ 91 Probleme propuse................................................ 94 207 2.6. Legile frecării la alunecare...................................... 94 2.6.1. Forța de frecare............................................ 94 2.6.2. Legile frecării la alunecare................................ 95 Probleme propuse..............................................104 2.7. Legea atracției universale........................................105 2.7.1. Evoluția istorică a ideilor despre Univers..................105 2.7.2. Interacțiunea gravitațională între două puncte materiale. Legea atracției gravitaționale...................................107 2.7.3. Noțiunea de câmp............................................108 2.7.4. Câmpul gravitațional........................................109 Probleme propuse..............................................113 Test de evaluare..............................................114 Capitolul 3 TEOREME DE VARIAȚIE ȘI LEGI DE CONSERVARE ÎN MECANICĂ 3.1. Lucrul mecanic. Puterea...........................................115 3.1.1. Definirea lucrului mecanic..................................115 3.1.2. Lucrul mecanic al unei forțe constante care face un unghi cu direcția deplasării...................................117 3.1.3. Interpretarea geometrică a lucrului mecanic.................119 3.1.4. Lucrul mecanic efectuat de greutate.........................119 3.1.5. Luciul mecanic efectuat de forța elastică...................121 3.1.6. Puterea.....................................................123 3.1.7. Randamentul unei mașini.....................................124 3.2. Teorema variației energiei cinetice a punctului material..................................................126 3.2.1. Energia.....................................................126 3.2.2. Energia cinetică. Teorema variației energiei cinetice.......................127 3.3. Energia potențială gravitațională și cea *elastică................131 3.3.1. Energia potențială gravitațională...........................131 3.3.2. *Energia potențială elastică................................134 208 3.4. Legea conservării energiei mecanice...............................135 3.4.1. Energia mecanică...........................................135 Probleme propuse.............................................139 Test de evaluare.............................................142 3.5. *Teorema variației impulsului.....................................143 3.5.1. Impulsul forței............................................143 3.5.2. Impulsul punctului material................................143 3.5.3. Teorema variației impulsului punctului material............144 3.5.4. Impulsul unui sistem de puncte materiale...................146 3.6. *Legea conservării impulsului.....................................147 Probleme propuse.............................................150 Conținuturi facultative 3.7. Ciocniri..........................................................151 3.7.1. Ciocnirea plastică.........................................152 3.7.2. Ciocnirea perfect elastică.................................155 Probleme propuse.............................................159 Test de evaluare.............................................160 Capitolul 4 ELEMENTE DE STATICĂ 4.1. Echilibrul de translație............................................161 4.1.1. Echilibrul punctului material supus acțiunii forțelor........161 4.1.2. Echilibrul de translație al unui solid supus acțiunii a două forțe.162 4.1.3. Echilibrul unui solid supus acțiunii a trei forțe............165 4.1.4. Echilibrul unui punct material supus la legături.............167 Temă experimentală..............................................171 4.2. Echilibrul de rotație...............................................172 4.2.1. Efectul forțelor la rotația unui solid rigid.................172 4.2.2. Momentul forței..............................................173 4.2.3. Cuplul de forțe..............................................176 4.2.4. Echilibrul de rotație al corpului rigid......................177 4.2.5. Echilibrul corpurilor sub acțiunea greutății.................183 Probleme propuse................................................184 Test de evaluare................................................186 Erori de măsurare.........................................................187 Probleme recapitulative.........................................191 Răspunsuri......................................................199