MINISTERUL EDUCAȚIEI Șl INVĂȚĂMiNTULUI XII Matematică Manual pentru clasa a XIl-a Elemente de analiză matematică EDITURA DIDACTICĂ Șl PEDAGOGICĂ BUCUREȘTI — 1990 MINISTERUL ÎNVĂȚĂMÎNTULUI NICU BOBOC ION COLOJOARĂ Maternii? Manual pentru cl. a XIl-a Elemente de analiză matematică EDITURA DIDACTICĂ $1 PEDAGOGICĂ BUCUREȘTI Manualul a fost elaborat pe baza programei școlare aprobate de Ministerul Învățămîntului cu nr. 39490/1978. Referenți: Prof. univ. dr. O. Stănășilă prof. M. Păltineanu prof. M. Rădulescu prof. S. Rădulescu prof. V. Tomuleanu ISBN 973-30-0643-2 Redarlor: Prof. Valentin Radu Tehnoredactor: Sanda Dumitrașcu Coreei or: Theodor Tugulea Coperta: Nicolae Sîrbu Primitive § 1. PRIMITIVE Fiind dată o funcție f : f -> R (Jun interval Q R), se pun următoarele probleme: (A) Există (și în ce condiții) o funcție F : J -> R a cărei derivată să fie funcția dată f? (B) Cum se poate determina o asemenea funcție F, pornind de la f? în acest capitol vom studia cîteva metode de obținere a funcțiilor F care verifică relația F' — f. Răspunsul la problema (A) este afirmativ pentru o clasă destul de largă de funcții, în particular pentru funcțiile continue. Acest lucru va fi arătat în capitolul II. 1.1 . Definiție. Fie J un interval a R și f : / -> R. Spunem ci / admite primitivă pe J dacă există o funcție F : J -> R astfel incit: 1) F este derivabilă pe J, 2) F\x) = f(x), (V)z G J. Funcția F se numește primitivă a funcției f. Dacă intervalul J este închis la stînga și a este extremitatea sa stîngă, atunci prin derivata lui F în punctul a se subînțelege derivata la dreapta a lui F în a. O convenție analoagă se face cînd J este închis la dreapta. 1.2 . Exemple 1) Fie n G N și f : R -> R funcția definită prin relația f(x) = xⁿ, (V)x G R» Atunci pentru orice număr real fixat c, funcția FM = —~— $ⁿ⁺¹ + c, G R n + 1 este o primitivă a lui f. 2) Funcția F(x) = (sin x)², (V) x G R este o primitivă a funcției f(x) = 2sin x cos x, (V) x G R. 3 3) Dacă a > O, a 1, atunci funcția Fțx^^L, (V)zGK In a este o primitivă a funcției f(x) = ax, (V)zGR. 1.3 ? V r o p o z i ț i e. Fie J un interval c R și f : J -► R. Dacă FX,F₂'.J^ sînt două primitive ale funcției f₉ atunci există o constantă c G R astfel încît F^x) = F₂(x) + c, (V)uG/. Demonstrație. Fₓ și F₂ fiind primitive ale lui f, ele sînt derivabile pe J și verifică relațiile F\{x) = f(x) = F^x),, (V) x EJ, deci = ^j(^) — ^2(^) = 0, (V) x G J- Funcția Fₓ — F^avind derivata nulă pe intervalul J, este constantă pe acest interval, adică există c G R astfel încît Fₓ{x) — F₂(x) = c, (V) x E J- 1.1. Observații: a) Dată fiind o primitivă Fₒ a unei funcții f : J R, atunci orice altă primitivă F a lui /'este do forma F = F. + c, unde c este o funcție constantă pe J. Aceasta înseamnă că dacă o funcție f admite primitivă, atunci f admite o infinitate de primitive. Datorită aces- tui fapt vom spune adeseori: „/' admite primitive⁴⁴ în loc de „f admite primitivă" b) Definiția primitivei, dată la punctul 1.1, s-ar putea extinde și la funcții definite pe reuniuni finite de intervale disjuncte, deoarece condițiile din defi- niția 1.1 au sens și în acest caz mai general. însă nu mai este adevărat că două astfel de primitive diferă printr-o constantă. De exemplu, fie f : R \ {0} -+ R funcția definită prin f(x) = x². Atunci funcțiile F, G : R \ {0} -> R definite prin F(x) = * , WxE R\ {0}, 4 respectiv G(x) = x³ — 1 dacă x < 0. 3 T³ — + 2 dacă x > 0 3 sînt derivabile pe R \ {0} și verifică relațiile F'țx) = f(x) = G'(x), (V) x G R \ {0}. Totuși, diferența G — F nu este o constantă. [ 1 dacă x < 0, G(x) — F(x) = I ₉ j ₙ | 2 daca x > 0. c) O funcție care admite primitive are proprietatea lui Darboux. într-adevăr, dacă f: J -► R admite primitive, atunci există o funcție derivabilă F : J ->R cu proprietatea F’ = f. Se știe însă (vezi, Elemente de analiză matematică, cl. a Xl-a), că derivata oricărei funcții derivabile are proprietatea lui Darboux. Așadar, f are proprie- tatea lui Darboux. ' d) Dacă J interval c R și f : J -> R este o funcție astfel incit mulțimea f(J)-= {f(x) | x G J} (imaginea lui J prin /') nu este interval, atunci funcția f nu admite primitive. într-adevăr, dacă f ar admite primitive, atunci (în baza punctului pre- cedent) f ar avea proprietatea lui Darboux, adică o dată cu două valori ar lua orice valoare intermediară, deci imaginea lui J prin f ar fi un interval. Contradicție cu ipoteza făcută asupra lui f. e) Orice funcție continuă f : [a, b] -* R admite primitive. Demonstrația acestui rezultat va fi dată în capitolul II, teorema 4.8. 1.5. Definiție. Fie f : J -> R {J interval din R) o funcție caro admite primitive. Mulțimea tuturor primitivelor lui f se numește integrala nedefinită a funcției f și se notează prin simbolul țf(x)dx. Operația de calculare a primitivelor unei funcții (care admite primitive) se numește integrare. Menționăm că simbolul \f(x)dx trebuie privit ca o notație indivizibilă, deci părților ( sau dx, luate separat, nu li se atribuie aici nici o semnificație. în cele ce urmează vom defini operațiile de „adunare¹¹ și „înmulțire cu scalari¹⁴ între părți (submulțimi) ale mulțimii funcțiilor cp : J -+ R. Vom face acest lucru în scopul de a da un sens precis notațiilor frecvent utilizate în calculul de primitive: 5 if(x)dx + țg(x)dx, ^fțx)dx, unde \f\x)dx (respectiv j’g(^)da?) înseamnă mulțimea tuturor primitivelor lui f (respectiv g). 1.6. Notații. Fie J un interval din R și * w mulțimea funcțiilor definite pe J cu valori reale. Reamintim că pe mulțimea cF(J) se introduc operațiile „adunarea funcțiilor'''': dcf (f + g)(x) = f(x) 4- g(T), (V) X E J și „înmulțirea funcțiilor cu scalari" def (X/')(z) == ^x), (V) x EJ, X G R. Deci f + g este funcția x -> fțx) -F gțx} care asociază fiecărui x E J numărul real f(x) g(x), iar funcția Xf este funcția x -> \fțx) care asociază fiecărui x E J numărul real \f(x). Dacă & și (Ș sînt părți nevide ale lui și XgR, atunci punem prin definiție dcf (A) & + {f + g I f E & și g E $}, (A) xs^Wl/’e®'}. Dacă & este formată dintr-un singur element f₀, atunci în loc de sau {Ad + $ vom scrie simplu fo + Deci (^3) fo + Ș— {fo + g I g E 1.7. Observație. Notînd cu & mulțimea funcțiilor constante definite pe j cu valon reale Q ■ *- \f : J -> R i f constantă}, se observă că această mulțime are, față de operațiile de „adunare" și „înmul- țirea eu numere reale, diferite de zero", definite pe părțile lui următoa- rele proprietăți: 6 a) W =& (V)X G R, X 0; b) g g £ c) dacă / : 7 -> R este o funcție care admite primitive și dacă F₍₎ este o primitivă a lui f, atunci j f(r)d.r - F„ + & sau ( - F„ + ©. într-adevăr, produsul Ff, dintre o funcție constantă / : 7 -> R și un număr real X fiind tot o funcție constantă, rezultă incluziunea X@ c <§. Reciproc, dacă f este o funcție constantă și X G R, X 0, atunci funcția g=^'f este constantă, deci f = X* G Xg. Așadar, are loc și incluziunea C X^ și deci egalitatea = X(^. Suma a două funcții constante fiind tot o funcție constantă, rezultă inclu- ziunea @ C Reciproc, dacă f este constantă, atunci—/¹ este constantă, deci /=y/•+|fee + «. Așadar, are loc și incluziunea & C & G și deci egalitatea g + g = g. Am văzut (observația 1.4 a)) vă daca F este o primitivă a lui f, atunci orice altă primitivă F a lui f esle de forma F = F^ G c, unde c este o funcție constantă pe J. Deci = {7¹ G ’/:(/) j F = primitivă a lui f] = + c ' c G = F. + 7 1.8. Teoremă. Dacă f, g : J -> 11 sînt funcții care admit primitive și X G R. X / 0, atunci funcțiile f + £ și Xf admit de asemenea primitive și au Ioc relațiile: (a) = f/U)dz + fe(x)dx, (b) M(x)dx = Xf^^drr, (c) ' - jf(x)dx = țf(x)dx + <2. Demonstrație. Dacă F este o primitivă a lui f iar G o primitivă a lui £ atunci F și G sînt derivabile pe J și = f,G' = g. De aici deducem că F + G și \F sînt derivabile pe J și (F + Gy = F' + G' = f + g, ț\Fy = \F' = Xf, adică F -|- G este o primitivă a lui f + g și \F este o primitivă a lui Xf. Funcțiile F, G, F + G, XF fiind primitive ale lui f, g, f g, "Kf respectiv, rezultă (observația 1.7c)) (1) ^f(x)dx = F + @, (2) j g(x)dx = G + (3) j + gW)dx = F + G + ^ (4) j \f(x)dx = XF + Din egalitățile (1), (2), (3) și observația 1.7. b) obținem ( f{x)dx -F C£z(£)d£ = F -ț- -|- G -p F-ț-G-ț-@-ț-@ = I J J = F -f- G d⁻ = = J (/(^) F ^^dx. Analog, folosind egalitățile (1), (4) și observația 1.8a), se obține t x( f{r)dx - \(F + = XF + X<& - XF + 1.9. Observație. în demonstrarea faptului că X/ admite primitive (teo- rema 1.8) nu s-a folosit ipoteza X / 0. Totuși, ipoteza X 0 este esențială în demonstrarea, egalității: [Xfțx^dx = X(/(x)djr. *8 într-adevăr, dacă X = O, atunci ' \f(x) = O, (V) x e /, deci orice funcție constantă este primitivă a lui Xf, în particular funcția constantă 0 este o primitivă a lui If = 0. Așadar (observația 1.7) kf(x)dx = 0 + <2 =ss 6. Pe de altă parte, daca x = 0, atunci Xp(x)dx = X{F | F = primitivă a lui f} = {XF | F = primitivă a lui f} = {0}. Deci, în general, are loc incluziunea ^f\x)dx cJ \f(x)dx, incluziune care este strictă cînd X = 0. 1.10. Exemple de funcții care nu admit primitive. a) Funcția f : R -+ R definită prin fU) = — 1, dacă x < 0 1, dacă x 0 nu admite primitive. într-adevăr, imaginea /'(R), a lui R prin f, este egală cu mulțimea {—1,‘ 1} formată din punctele —1 și 1. Cum această mulțime nu este un interval, rezultă (observația 1.4 d)) că funcția f nu admite primitive. b) Funcția f : R -> R definită prin dcr. f(x) = [z] — max {n G Z | n < x} ([.r] = partea întreagă a lui &■) nu admite primitive. într-adevăr, imaginea f(R) a lui R prin f, fiind egală cu mulțimea Z a numerelor întregi, nu poate fi un interval. Deci observația 1.4 d)) f nu admite primitive. c) Funcția f : R -* R definită prin M = o, i i sin---------- X X dacă x < 0 1 . . cos — » daca x > 0 nu admite primitive. Se observă că funcțiile A: (-00, 0]-R, : (0, oo) -» R definite prin fM = 0, fz(x) = sin -------------------- cos — admit, respectiv, ca primitive funcțiile: ^i(&) — c, E₂(x) = x sin — X 9 Daca funcția /’ar admite o primitivă: F : R -> R, atunci ar rezulta (ob- servația 1.4. a)) că | ( —oe.O] = = & și (0,oo) = F₂ + ^2* Orice primitivă este funcție derivabilă, deci continuă, prin urmare, primitiva F este continuă in origine, deci FIO) = lim F(x) = k, X->0 .-^0 F(0) = lirn F(x) = c₂, x-»0 x>0 de unde k — Așadar, funcția F va fi de forma {k, dacă x < O k, x sⁱⁿ daca x > U. x Observind că F(x) — F(O) . 1 , w. ₙ ——---------— = sin — (V)x > 0 X — II-----X si tinînd seamă de faptul că funcția x —> sin— nu are limită în 0, deducem ’ ’ x că funcția F nu este derivabilă in 0. Contradicție cu derivabiiitatea lui F pe toată mulțimea R. 1.11 Tabel de integrale nedefinite Peste tot în acest tabel J este un interval c R 1. f :R-»R r xn+l f(x) = ®n ; n e N J xnax =--+ €. n + 1 2. f : J -* R; J C (0,co) " xa+l f(x) --- xa\ a e R\ { --- 1} i xadx =---p £. ) a T 1 3. f: R -> R । v . ax . f(x) = ax\ a R+ \ {1} , a dj: = ----- + £. 1 In a 10 4. f : J ---> R; J c R* C 1 M = - i --- dx = In | x | 4- £ . X J x 5. f:J---tR; JcR\{ --- a, a} f(x) =------, {a 0} (--------dx = --- In x --- a + ® x2 --- a2 J x2 --- a2 2a x 4- a 6. f : RR 1 j 1 L X . M = 2 2’’®^° --------da: --- --- arc tg--(-6. x2 4- « j x + a a a 7. f :R^R | sin x dx = --- cos x -f- <2. f(x) = sin x 8. f : R -> R | cos x da: = sin. x 4- <2. f(x) = COS X 9. f-.J^R-, /cR\. (2k 4- 1) - h 6 Z | * 1 fM = 2 1 ------- dx = tg X 4- e. cos x cos X 10. f : J -> RJ J C R\ {kn 1 k e Z} 1 m = -A- ( ---dx = ---ctg x+ S, sinx J sin2x 11. (2k' + 1) - f : J-+R; JcR \ . 2 G z | j tg x da: = --- In | cos x | 4-. 6. f(x) - tg X • 12. f : J-*R, JaR\{kn\k f=Z.} C ctg x dx = In | sin x | 4- f(x) = ctg X 13. f : R -> R f(x) = , 1 ; a =h 0 ( - - - da: = ln(x 4- |/«2 + a2 ) 4" 2. |/ x2 4-a2 J [/ x2 4- a2 14. c 1 8 T J- CM U 3 U 8 t X II --- da: = In | x 4- |/z2 --- a21 4-£- s A A 1 |/ x2 --- a2 15. f : J -* R ; J c ( ---a , a),a > 0, 1 j ■ x t f(x) = !____ , da: = arcsin--1- 6. [/a2 --- x2 ^ \/ a2 --- x2 a Exemplele 13 și 14 nu sînt evidente și sînt mai puțin utilizate decît celelalte exemple. Dăm în continuare justificarea exemplului 13 (exemplul 14 se justifică în mod analog). 11 Denvînd funețio g(®) 4- |/®² + a²’ (g(«) > (V) x e R) obținem x x 4- |/®² + a? . . . g'W = 1 + - = —■ ---= g(x)f(x), |/ x² + o² / ®² + ®² deci ZW (In «W)', g H adică funcția x -> In g(x) = In (x 4- |/$² + «²) este o primitivă a funcției f |/^2^^2 ¹⁴-^ = vr ⁺ W’ 15. f(x) = x\/x 4- 2® ^7², * e (0, oo); x. e (0, oo). II. Să se arate că următoarele funcții nu posedă primitive pe R: 1- = W -x, x^n, unde [®] înseamnă partea întreagă din x. Indicație: Se va folosi același procedeu ca la exemplul 1.10. II, dacă x > 0, 0, dacă x = 0, — 1, dacă x < 0. 3. fțx) = X, dacă x 0, . 1 1 1 , sin-cos— , daca ® > 0. x x ■ x 1.12. Exerciții I. Să se calculeze primitivele următoarelor funcții 1. M = x2 4- 2x 4- 3, x e R; 2. f{x) = x + - , ® ș (0,oo); X 3- M = X 4- ---, x e (---00. o); X 4. f(x) r= a sin x b cos x, ® e R; 1 f 1 14 fW |/1 - 4x2 j 1 «. M 1 (-2,2); /4 x2’ f(x) = • 9 ' 9 x e K | cs sin x cos x 8. f(x) 1 x e fo sin2® cos2® • l 2 J 0. f(x) 1 X e R. x2 4r 4 10. f(x) = J X (= R; 4®2 4- 1 ’ 11. M - 2A> 4- e-v, x e J R; 12. f{x) 1 (-i.i); ®2 --- .1 ’ 13. f{x) 1 (-^,-1); x2__ i 4. f{x) 5. 6- M 7- M 8. f(x) 9. M 10. f(x) 2® sin------cos — , x-----------x j 2 dacă x s R \ {0}, dacă x = 0. x, dacă x g Q, x³, dacă «e R \ Q. | x | , dacă x e Q, x², dacă x e R \ Q. 1 cos__, dacă x e R\{0}, x — , dacă x = 0. 2 1 sin —, dacă x e R\{0}, x — , dacă x = 0. 2 sin® x 0, tg x x -1 III. Ținînd seama de faptul că orice funcție continuă pe un interval 1 are o primi- tivă, să se arate că următoarele funcții au primitive pe R: 12 13 sin x 1- fW = x 1, 2. f(x) = . 1 x sin — , x O , dacă x e R\{0}, dacă x = 0. dacă x e R \ {0}, dacă x = 0. 3. f{x) = sin — , dacă x s R \ {0}> x O , dacă x = 0. 0 1 | cos — , dacă x e R\{0}, 4. f(x) = | % l O , dacă x = 0. 6. f(x) = _ 1 — e A , dacă x e R\{0}> x² O , dacă x = 0. G. f(x) = _ 1 — e x , dacă x e R\{0}, x⁵ O , dacă x = 0. £ ■^ sin — , dacă x e R\{0}, x O , dacă x = 0. IV. 1. Fie f : [a, 6] -► R și ce (a, b). Se presupune că f admite primitive pe [a, c] și pe [c, &]. Să se arate că f admite primitive pe [a, £]. 2. Fie f} : [a, i] —+ R, f₂ ; [a, b] R două funcții care admit primitive. Presupunem că există o mulțime finită A de puncte din [a, b] astfel încît (V) x e [a, b]\A => f^x) = f₂(x}. Să se arate că f^x) = f₂(x) pentru orice x e [a, 6], * 3. Să se arate că dacă f : R -+ R este astfel încît ^(x) = 1 pentru orice x, atunci f are o primitivă dacă și numai dacă f = 1 sau f = — i. 4. Se consideră o funcție / : [— 1, 1] —R care coincide cu funcția sin — dacă x x Să se arate că pentru ca f să posede o primitivă este necesar și suficient ca f(0) II 14 5. Se consideră funcția f :[ — !,!] -* R definită prin (1 1 + sin — , dacă x (0,1], x 0 , dacă x = 0, 1 — 1 4-sin — , dacă 1, 0). x Să se arate că f nu admite primitive. 6. Să se arate că funcția f :[—1,1] -► R definită prin fW = ₂ 1 , ₙ cos² — , x =t= 0, X 0 , x = 0 nu admite primitive. Să se deducă de aici că dacă o funcție f : [a, 6] —> R. admite primitive nu rezultă, în general, că funcția f² admite primitive. 7. Fie [a, 6] un interval din R. Să se construiască o funcție f : [a, 6] -> R care să posede următoarele proprietăți: i) să fie mărginită, ii) să fie continuă în orice punct din intervalul deschis (a, b) si să fie discontinuă în punctele a și b. iii) să posede o primitivă, iv) să fie egală cu zero în punctele a și b. 8. Fie'[a, 6] un interval și A o mulțime finită conținută în [a, 6]. Să se arate că există o funcție f :[a, fe] -> R cu proprietățile: i| să fie mărginită, ii) să fie continuă pe [a, fe] \ A și discontinuă în orice punct din A, iii) să admită primitive, iv) să se anuleze pe A. 9. Fie f :[a, fe]-> R o funcție strict crescătoare care admite primitive și fie F o pri- mitivă a lui f. Să se arate că pentru orice £ e (a, b) există a^, a:₂ e [«, ^1 astfel încît ^(*1) ~ ^(*2) ₌ — ^2 § 2. INTEGRAREA PRIN PĂRȚI în acest paragraf și în următorul admitem următorul rezultat (a cărui demonstrație se va da în capitolul II, teorema 4.8; demonstrație care nu se Bazează pe rezultatele din aceste paragrafe): „Orice funcție continuă f: J -> R admite primitivei Folosind acest rezultat și formula de derivare a produsului a două funcții, obținem următoarea: 2.1. Teoremă. Formula de integrare prin părți. Dacă f, g : sînt funcții derivabile cu derivate continue, atunci funcțiile fg, fg și fg' admit primitive și mulțimile lor de primitive sînt legate prin relația: [f{x)g\x)dx = fg — [g(x)f'(x)dx. 15 Demonstrație.. Se știe că orice funcție derivabilă este continuă, deci din ipoteză rezultă că funcțiile fg și fg' sînt continue, prin urmare și funcția U) (fgY=Tg + fg' este continuă. Atunci, pe baza rezultatului menționat mai sus, funcțiile fg, fg' ȘÎ (fg)' admit primitive. Aplicînd teorema 1.8 (a) egalității (1), obținem: (2) j {fg)\x)dx = j f(x)g{x) dz + j f{x)g'{x)dx. însă (observația 1.7) (3) j {fg)'{x)dx = fg + e. Din (2), (3) și teorema 1.8 (c) rezultă f(x)g'(r)dx = fg -F 6 — țg(x)f(x)dx = fg — {g{x)f{x)dx. 2.2. Exemple 1) j x. cos .r dx = j «(sin x)' d.r = x sin x — j (sin«)#' d« = x sin# — j sin x d« = \ = x sin x + cos x -j- 6. 2) j cos²# d.r = j cos x cos «d« = j cos x (sin «)'d« = = cos x sin x. — j sin x. (cos x)' d.r = = sin x cos x 4- j sin²# d.r = = sin x cos x + j (1 — cos² «)d.r = = sin x cos x + j I d# — j cos²# di = • = sin x cos x 4- .r — j cos².r d.r, deci f cos²# d# = — (« 4- sin x cos x) 4- 6. Analog se arată că ~ 2') i sin²# dx = — (# — sin x cos x) 4- 6. J 2 3) j «² sin x dx = — j r² (cos r)'d« = = — x² cos x 4- j (cos x) {x²)'dx = = — x² cos «4-21# cos x dx = 16 = — x² COS X 4- 2(x sin x 4- COS a: + e) = = — x² cos x 4- 2x sin x 4- 2 cos x 6. în exemplele (4) și (5) funcțiile sînt considerate pe intervale I C (0, .-o). 4) f r f ₓn+i y Pentru n e N, avem \ xⁿ In x dx = \ (In x) I---------- da: = J” J \ n 4- 1 J xn+i i f =--------in x —---------\ xⁿ⁺¹ (In x) dx — n 4- 1 n +1 J 1 f 1 xⁿ⁺¹ In x —---------l xⁿ⁺¹ — dx = —— n 4 1 J x «4-1 ₓn+i xⁿ⁺l xⁿ⁺l -------In x---------—- 4- 6 =------ n 4- 1 (n 4- l)² n 4- 1 L xⁿ da: 4-<2. In x-------•— n 4 1 5) Jcos (In x)dx = j cos (In x)-(x)'dx — ' = x cos (In x) — x(cos (In x))'dx = = x cos (In x) 4- % s>» (In x) — dx -• = x cos (In x) 4- tSin (Jn x)dx. Calculînd sin (In x,)dx = x sin (In x) — i x (sin)ln x))'dx = = x sin (In x) — \ cos (In x)dx și înlocuind în egalitatea de mai sus se obține cos(lnx)dx = — cos (Inx) 4- sin.(lnx) 4- 6) Se consideră un interval I din R astfel incit sin x / 0, C / și se cere să se calculeze primitivele funcției x —> ——■, n > 2, n G N. Scriind sinⁿx 1 = sin² x 4- cos² x avem 1 ____ 1 j cos²x sin^x sinM'²x sin^x și deci f 1 . 1 C cosax , l-------dx = i —------d-E _i_ i-----dx. J sinⁿx J sinⁿ⁻²x J sin^x în a doua integrală din membrul drept aplicăm metoda integrării prin părți, obser- vi nd că 2 — Elemente de analiză matematică, el. a Xll-a 17 cos x _ 1 sin”® n — 1 1 sin⁷¹⁻¹# Deci C cos x . i r / i v , i------ax =-----------\ | —------I cos x ax = j sin” a: n — 1 J țsin”’¹® J 1 cos x 1 f 1 . =-----------.------------------l —------• sin x d® = n — 1 sin’¹’¹® n — 1 J sin”’¹® 1 cos x 1 f 1 , — — *—t----- • - 1--------Q37. n — 1 sin”’¹® 7? — 1 J sin”’²® De aici deducem C 1 , n — 2 C 1 , 1 cos x i------d® --------i——-— d®------------- -. _____ . J sin” ® n — 1 Jsin”’²® n — 1 sin”’¹® Notînd, pentru n > 1, In — i ’ d® J sin” x relația de mai sus devine, pentru n 2, . _ n — 2 1 cos® n — 1 n — 1 sin”’¹® < cea ce permite să calculăm Iₙ pentru n par și să reducem calculul lui Iₙ pentru n impar la calculul lui Ii va fi calculată în paragraful următor (exemplul 3.3 (2)). Vom avea r f 1 , COS X , „ z₂ = \ —— d® =----------------------1- e, J sin²® sin ® T C 1 , 2 T 1 cos ® 2 cos x 1 cos ® — i ——— dx = — ^2 — — —«— — —------------------------------------------ J sin⁴® 3 3 sin³® 3 sin x 3 sin³® , 1 f 1 1 cos x h = \ ~ ~ t ’ 2 J sin x 2 sin⁴® T 3 . 1 cos x 3 C 1 , 3 cos r 1 cos x I₅ = — /₃--------------------= — \ ---------d®------------------------. 4 4 sin⁴® 8 j sin x 8 sin²® 4 sin⁴® 7) Să se calculeze j |/z² + a(k, unde funcția x----► ]/ x² + a se consideră definită pe un interval I pe care x² 4- a > 0; a / 0. Avem i . z⁻;— j C x ~r K j C x j । L a j \ 1/ ®² + a d® = i — ■ — — d® = \ — ■ ax + i — — d®. J J |/®² + a J|/®² + a J |/ ®² + a Pentru a calcula integrala 18 vom aplica metoda integrării prin părți. Avem Prin urmare s-a obținut relația și deci ________ । ________ & r ț l/x² + a dx = — x [/x² + a -j------» —:--------dx. 2 2 J / x² + a Întrucît — ■ dx = ln (x + lA² + a) + <2, [/ x² a deducem / |/x² -|- a dx = — x |/x² + a + — In ( x + ț/ x² + a) -p €. 2 2 8) Să se calculeze j [/a² — x² dx, a > 0., unde funcția x —> ]/«² — x² este definită pe un interval I c (—a, a). Avem -_____—. f* ft 2 ^'2 /• 4 f |/a² — x² dx = \ — : dx = a² 1—-------- dx — l— ■— dx. J |/ a² — x² J|/ a² — x² Jl/ a² — x² Pentru a calcula integrala vom aplica metoda integrării prin părți. Avem ₓ2 _________ _____________________ « _________ -,----------------=. dx = — * x ({/ a² — x²Y dx = — x l/ a² — x² 4- l l/ a² — x² dx. |/a² — x² ) y sau Prin urmare s-a obținut relația |/a² — x² dx = — x |/a² — x² -I- — arc sin — 4- S. 2 2 a 2.3. Exerciții. Să se calculeze primitivele următoarelor funcții: 1. f(x) = In x, 2. f(x) = x ln x, 3. f(x) = ln²x, 4. f(x) = x² ln x, x > 0. x > 0. x > 0. x > C 5. f(x) = - ln x, x > 0. • x 6. f(x) = x^ ln. x, x > 0 unde a este un număr real oarecare. 7. fl.r) = ln”x, z o, n număr natural, n > 2. 19 8. f(x) =ț ®³ In²®, x > 0. 9. f(x} = ®a (In x)ⁿ, x > 0, 10. f(x) — x ex, 11. f(x} = (a:² — 2® — 1) ex, x e R. 14. f(x} = x² sin x, x H. 15. f(x) = (x² — x 4- 1) sin x, x e R. 17. f(®) = ex sin ®, x e R. 18. f(x) = ex sin 2x, x e R. 19. f{x} = eax sin (3®, se R; a, p e R. 20. f(x) = eax cos |3®, ® e R; a, Ș e R. 21. f(x} = x ex sin x. x e R. unde a e R iar n este un număr natural. 12. f(x) = (®³ - ® 4- 1) ex, ® e R. 13. f{x) = ®T?e“x, ® e R, unde n este un număr natural și a e R. 16. f(®) = ®ⁿ sin a®, ® e R unde n este un număr natural iar a e R. 22. f(x) = ex (sin x — cos x), x & R. 23. ft®) = sin²®, x e R. 24. f(x) = sin³® 4- 2 cos³®, ® e R. 25. f(x} — 2 sin⁴® 4- 3 cos⁴®, ® e R. 26. f(x) = |/®2 — 4, ® e (2, 4-°°)> 27. f{x) — [/ x² 4- 1, ® e R. 28. f(x) --- ®2|/ X2 4- 1, X e R. 29. f(x) = x3|/ X2 4- 1, X e R. 30. f(x) = ®4(/ ®2 --- 4, x e (2, 4-oo). 31. f(x) = ®5|/ ®2 --- 4, x e (2, 4-oo)’ 32. f(x) = 1/9 - x2, x e (-3, 3). 33. f(x) = ®²(/9 - x², x e (-3, 3). x e R. § 3. PRIMA METODĂ DE SCHIMBARE DE VARIABILĂ In multe exemple, funcția h : I -+ R, pentru care căutăm o primitivă (funcția care vrem să o „integrăm"), poate fi pusă sub forma (1) (^1, unde

J este o funcție derivabilă, iar f : J -* R. Dacă funcția f admite o primitivă F, adică F' = f, atunci,ținînd seamă de regula de derivare a funcțiilor compuse, putem scrie W = ^'(^(i)) • 1. 20 Ținînd seamă că derivata funcției R care are primitive (de exemplu o funcție con tinuă); 21 l>) Se caută două funcții Z—* J—► R astfel încît sa putem sene h(t) = fW)) • 9^) We /; se spune că 9 este funcția care schimbă variabila (l în variabila rr). c) Se caută o primitivă F a lui f, adică j f(x)dx = F 4- g. d) Jn aceste condiții o primitivă H a lui (f o tp) • 9' se obține din. F prin relația H - Fo₉, adică j h(t)dt — j f( (V)x e /, a 4^0, J sin ?(*) (2/f + 1) k e Z > (V) x e 7. 1 COS 0 , sau |/ cp^țx) --- a2 0, 0 (V) t e l ( sau u'(t] < 0 (VI t s /. 24 Dacă u' > > 0, atunci u. este strict crescătoare. însă u nu se anulează nicăieri (ipoteza (a)), deci ( sau u(t) > 0 (V) t e J Vsau u(t) <0 (V) z e 1. Printr-un raționament similar se ajunge la aceeași concluzie și în cazul cînd ii < 0. Luînd funcția M -i ' X definită pe (0, oo) dacă u > 0, sau definită pe ( —oo, 0) dacă u < 0, rezultă că = /MO) ■ «'(/) l e I. «w O primitivă a funcției /' fiind funcția F(x) --- In | x | rezultă, aplicînd teorema 3.1,că funcția (F o u)[l) = In | u(l) | este o primitivă a funcției — . Așadar, u ( ---dz --- ln w + 6. ' “(z) Pe scurt, se poate proceda astfel ( ---111- dz = ( (ln | u (z) I)' dz = ln o u + e. J u(z) J ' r sin 2z dz 3) Să se calculeze ] 4 + sin2, ’ Luăm I = R, J = [1,2] Și definite prin t v def. ( unde Punînd ?(z) = tg t, f{x) = —J= deducem că și deci qp'(Z) = 1 + tg²/ ^|/1 4- tg²/ dz = R „U R, unde . , def. 1 = — Și /2 + a:² avem = ¹ + 4 Și = ^<*> . = ²(d ) + ® = J t]/^ 4- 1 = 1» 6 - — + 1A« 4- X) 4- e = ₗₙ + L 4- e. \ ¹ } t²) t 7) Să se calculeze j \/at² 4- bt 4- c df, a > 0, unde funcția Zi—► |/flZ² 4- bt 4- c este definită pe un interval / pe care at² -H bt 4- c este strict pozitivă. Dacă at² 4- bl 4- c nu are rădăcini reale, atunci / poate fi R, dacă at² 4- bt 4- c are rădăcinile reale a, Ș cu a < P, atunci avem 28 I C (— oo, a) sau I C (3, + oo). Deoarece a > 0,- avem at² + bl + c = -i- [(2at + fe)² + 4 ac — i>²] 4a și deci t I => (2 al 4- b)² > b² — 4 ac. Considerăm acum funcția

R definită prin b² — 4 ac, b² — 4 ac. Deoarece t e I => b² - 4 ac rezultă că f este definită pe intervalul ; avem f( 0. Deoarece a < 0, avem at2 4- bt + c = - - (82 - (2al 4- b)2), ia unde 8 = |/l»2 --- 4 ac. Considerăm acum funcția cp : Z ---> R definită prin < 8² rezultă că f este definită pe intervalul x e--* --- I. 1 2 2 J f TC TC 4 15. f(x) _ sin3.r x e |--, --- 1. COS X 1 2 2 J ( TC TC 4 16. f(x) _ 1 4- tg2* «el--, --- 1. 1 4- tg x [ 4 4 J 17. M l/ X x e (0, 1). l/l - X* ÎS fir} X IO. J(X) 1 -|- X4 *2 19. f{x) 9 x e R. 1 4- 20. f(x) X x e ( --- 1, 1). |/1 - X* 21. f(x) = e* x e ( ---oo, 0). [/1 - ’ 22. f(x) = 1 x e (e, oo). *(1 4- In x) 31 23. f(x) = cos x-sin (sin x) • cos (sin x) , X e R. 24. f(x) = --- sin 2x___, X G (0, n). |/1 --- cos4x 25. fix} --- 1 (0, oo). x(l 4- ln2x) s 26. f(x) = + x2, X e R. 27. f(x) = |/ x2 - 3x + 2, X e (2, oo). 28. f(x) = |/ x2 + x + 1, X G R. 29. f(x) = |/- x2 + 3x - 2 , X e (1, 2). ( 3 3 A 30. f(x) = |/9 --- 4?, X e l 2 ’ 2 ) 4 31. f(x) = xz|/ x2 4" 2x 4- 2, X e R. 32. f(x) = x|/(x - l)3. X e (1, oo). 33. fix} --- 1 l\^l ----> (1, oo). a: 4 / r - 1 „. . arc sin x 34. f(x) =------ , X ; (0,1). X 35. fix} --- 1 - T (0, oo). x|/x4 4- x2 4- 1 §4.. A DOUA METODĂ DE SCHIMBARE DE VARIABILĂ Am văzut că în prima metodă de schimbare de variabilă se căuta să se pună funcția de integrat, A, sub forma și o primitivă H a lui h se obținea compunînd o primitivă F a lui f cu funcția K are loc echivalența: F este primitivă a lui f F o q este o primitivă a lui [f o cp)cp. Cu alte cuvinte: „In ipotezele a'), b'), cele două metode de schimbare de variabilă sînt echivalente^. Implicația de la stînga la dreapta reprezintă prima metodă de schim- bare de variabilă, iar implicația de la dreapta la stînga rezultă din a doua metodă de schimbare de variabilă. Într-adevăr, să presupunem că funcția 7’’o cp este o primitivă a lui țf o și să notăm def. H — F o cp. Atunci, în baza celei de-a doua metode de schimbare de variabilă, funcția 33 3 — Elemente de analiză matematică, el. a Xll-a H o ¹ = F O Q tț ¹ — f este o primitivă a lui f. 4.4. Observație. In a doua metodă de schimbare de variabilă se remarcă următoarele date și etape: a) Se dă o funcție f : J -> R care are primitive (de exemplu o funcție continuă); b) Se caută o funcție cp : I -> J care este derivabilă și cu derivata nenulă. In acest caz, I este funcția care schimbă variabila {x în variabila Oî c) Se caută o primitivă H a funcției (f° adică j = H + g. d) In aceste condiții o primitivă F a lui / se obține din H prin relația adică j f(x)dx = H o R definită prin este continuă. Luăm funcția

R definită prin — |/1 4- t², prin urmare j (focp)(0 -tp'^df = - [/1 + *² + e. Aplicînd teorema 4.1 și ținînd seamă că 0). Funcția f : (—a, a) R₊ definită prin „ fier. ------- f(x) ■— (/ a² — x² este continuă. Funcția?:^—-► (—a, a) definită prin O, unde funcția este definită pe intervalul (—a, a). Funcția —1 —> ( — a, a) 2 J definită prin este bijectivă, derivabilă și cp(t) = a sin t cp'(t) = a cos t =f= 0, Avem (e 2 1 — sin t ----------cos t 1 + sin t a — a sin t a + a sin t cos²t 1 + sin t cos t = a (1 — sin t), = a • a și deci f(cp(t)) ' = « ț (1 — sin :)dr = a (t + cos i) + 2. Deoarece .. , . x 0 și b² — ^ac < 0. Funcția 37 f(x) =l/ax² + bx -|- c este definită și continuă pe R. Considerăm următoarea schimbare de variabilă definită prin Avem T : R-> R ^(a;) = |/ ax + |/ax² + bx + c. 'T(x) = l/ă + ——aX ⁺ O (V)x e R, deci (a) 4* este strict crescătoare. Pe de altă parte, pentru orice x=/=0 avem x(-b - —) - (ax² + bx + c) ₌ (_______x)________ _ |/ax - \/ax² + bx + c ,, / ~ V ax ~\x \ A ₐ ------1---- V XX² -b- — X ⁼ T~------- — J I x 1-1 / , , b C y CL — 1 / CC ~---- x y xx² deci (3) lim 44*1 = - % • oo 2 [/ a Evident 38 (Y) lini = 4- ⁰⁰ ■ Din (a), (3), țy) rezultă că iar funcția def.⁷ ? = 4- 00, satisface condițiile teoremei 4.1. Punînd găsim t = T(x) (t — /a x )² = ax² + bx + c și deci . . t² — c X = R, unde I este un interval din II, se numește rațională dacă există două polinoame P și Q cu coeficienți numere reale, astfel încît 40 (V) xei O și f(x) Q(^) O funcție rațională f'se va numi simplă dacă este de una din următoarele forme: i) f\x) = aₒx” + a^xⁿ~l 4- ... + d^x 4- «ₙ5 ii) f(x) = ———, unde n E N*; (x — a)ⁿ iii) f(x) =----Sx , unde n E N* și b² — ^ac < 0. (ax² + bx + c)ⁿ Se arată că orice funcție rațională se scrie ca o sumă finită de funcții raționale simple și prin aceasta calculul primitivelor unei funcții raționale se reduce la calculul primitivelor funcțiilor raționale simple. Vom da în continuare metode de calcul a primitivelor funcțiilor de tipul ii) și iii) analizînd pe rînd diverse cazuri particulare. 5.2. Dacă funcția rațională f : I -> R este de forma fix) = x — a Și I C (a, oo) sau I C (— oo, a) avem ( —-— da; = In | x — a | + S, J x — a adică ( —-— do; = ln(z — a) 4- € dacă I C (a, oo) J x — a și ( —-— dx = ln(a — x) 4- S dacă I C (—oo, a). J x — a Dacă funcția rațională f : I -+ R este de forma M , «eN, n > 2 (a; — a)ⁿ și I C (a, oo) sau I c (—oo, a), avem 5.3. Dacă funcția rațională f '• I -+ este de tipul 41 Și atunci se știe că M = a /⁰ /cR, ( dx = 1 arc tg - + 6. j x + a? a a Dacă funcția rațională f : 1 -> R (I c R) este de tipul ⁼ wG N’ ⁿ > ² (x + a )ⁿ vom da o formulă de recurență pentru calculul lui înmulțind și împărțind mai întîi cu a², apoi adunînd și scăzînd x² la numărător, obținem 1 f a² i 1 C a² + x² , 1 f x² ___ l ____________________________ Q£ — ______________________ i _!_ a £_i _______ a² ' (x² + a²)ⁿ___________________________________________________________________a² J (x² + a²)n a² J (x² + a.²)ⁿ Primitiva din paranteză se va calcula prin părți X² , 1 1 f / 1 1 , —--------—- dz =-------------. —----------x + \(x) -------------. —---------— dz (x² + a²)ⁿ 2(n — 1) {x² + a²)”’¹ J 2(n — 1) {x² + a²)”*¹ =--------------•-------------1----------I 2(n - 1) (a:² 4- a²)”⁻¹ 2(n - 1) ⁿ p. j ___ 1 I* t _____ ________®। 2n 3 j UeC¹ " a² L 2(« - 1) (a² + a²)"'¹ 2(n - 1) ⁿ⁻¹J ’ înainte de a trece la calcularea primitivelor celorlalte funcții de tipul iii) vom face următoarele observații» Observații-, (a) Funcțiile de tipul iii) pot fi considerate (dacă se dă a factor comun forțat la numitor) ca fiind de forma fțx) — —B'x + c'--------- (x² + px + q)^ cu _ 4? = (Ar _ 4-î. = < o. ța; o. 5.4. Dacă funcția f : I -► R (/ c R) este de tipul M = -—-- x² + px + q atunci folosind observația (p), avem 1 x² + px + q ^>—₂ d* = 1 arc tg a:) + 8² 3 8 (2 = arc tg jA? - p² 2# 4~ p । g |/4^ - p² Dacă funcția rațională f este de tipul fW = ________1_________ {x² + px + q}ⁿ n G N*, n > 2, cu p² — ^q < 0, atunci în baza observației (£), putem scrie 1 unde și 8² = Deci ² ⁴ ( f(x}dx = ( 7-7—-----ț- dx = ( ?—y -1 ■ dx = F o cp -|- <2 J ' J [?²(^) + 8a]ⁿ J H*) + 8²> unde F este o primitivă a funcției 1 u ------------, (u² + 8²)ⁿ al cărei calcul a fost descris în 4.3. Dacă funcția rațională f este de tipul (x² + px 4- q)ⁿ atunci, înmulțind și împărțind întîi cu 2, apoi adunînd și scăzînd p, obținem f a cărui soluție este A1=-1, a₂ = o, a₃=i, ^=1, c = 0. Deci rw = ~ 1 + 4+ X x X x² 4- 1 ( da: 1 l/®² + 1 ¹ , « Prin urmare J = In —----------+ e. 3) Să se calculeze l * +*- ^n—1> %n\ din [a, Z>] astfel încît a = x₀ < Xi < x₂ < ... < x^ < xₙ = b. Uneori vom nota diviziunile astfel: A = (a = xQ < xₜ < ... < xₙ — b) Cea mai mare dintre lungimile intervalelor [z₀, #1], [$1» ^2]» •••» J» se numește norma diviziunii A și se notează: || A ||. Așadar, || A || — max (xî — x^). IC’Cn 1.2. Exemple. Sistemele ,de puncte Ai = (0, 1), A₂ = (o, —. 1], ² (44 J sînt diviziuni ale intervalului [0, 1]. Aceste diviziuni au respectiv normele: II A, || = 1; || A₂1| = 1; || A₃ || = 1. Z O 1.3. Observati,-, a) Dacă [«,^>] este un interval, atunci A = (a, b} este sin- gura diviziune a lui [a, &] de normă egală cu b — a. Orice altă diviziune a intervalului [a, &] va avea norma strict mai mică decît b — a. P) Pentru orice număr real r > 0 există diviziuni A ale intervalului [a,Z>] astfel încît || A || < r. într-adevăr, să notăm cu L lungimea intervalului [a, b]: L = b — a și să luăm un număr natural n astfel încît 51 4* n > r împărțind intervalul [a, &] în n părți egale, obținem diviziunea A=L, a + —,«+2 —, . . . ₜ a + (n - 1) —, b In” n care are norma egală cu —. Deci n II A || = — < r. n 1.4. Exerciții. Determinați normele diviziunilor: £ 2 o, 1, -1 5 3 11 ³ J 2 1 1 1 1 ’ 13 ’ 5 ’ 3 ’ /3’ |/2 A3 — (î> ”•» ®¹¹)1 _1 2⁹ 1.5. Definiți e. Fie • '-'1 (*O> •••, ^n— 1» și "2 (?/o> Vm— li Vraf două diviziuni ale unui interval [a, Se spune că A₂ este mai fină decît AT dacă orice Aj este și punct al diviziunii A₂? adică mulțimea X,!} este inclusă în mulțimea {yo, y\> Dacă A₂ este mai fină decît Aₜ vom scrie Aₓ c A₂. iz iun ii 1.6. Exemplu. Fie ^2 A' - (°- £ 1 1 2² ’ 2 ‘J 52 Fig. II.l. diviziuni ale intervalului [0,1]- Atunci Ai C A₂, A! țt A₃, A₂ A₃. 1.7. Observații, a) Dacă A, A' sînt diviziuni ale intervalului [a, b] astfel încît A c A', atunci II A' ||< || A ||. Deci, prin trecere la o diviziune mai fină, norma diviziunii se micșorează. p) Din 1| A' || < || A |1 nu rezultă, în general, că A c A'. De exemplu, dacă A = Ai = (O, 11 l 2 J A' = A₃ = (o, 1], ³ ( ’ 3 3 J atunci || A' |] = 1 < 1 = || A || O Z și totuși A 0 A'. 1.8. Definiți e. Fie Aj — (a.0, .....r,,' și Ao — (//o’ î/n •••’ //'*<) două diviziuni ale intervalului [a, ă]. Diviziunea formată din mulțimea {x₀, ;rₜ, ..., u {?/ ^n)) △2 = (x/o, 2/1, ym) și Ai U A₂ = (zₐ, Zi,...,zₚ), atunci p < n 4- rn — 1. 1.11. Exerciții, a) Determinați reuniunea perechilor de diviziuni o ¹ ¹ 1 £ 2⁴ ’ 2³ 2² ’ 2 A' = (0, e, e², 10), A" = (0, 1, 2, 3, ... 10). b) Fie p, q două numere naturale și diviziunile 54 A' = f O, — , — , ( pⁿ pⁿ A" = (o, — , — , ț k pn ’ k qn 1 pⁿ 9ⁿ-\ ₜ gri Să se arate că: i) A'c A" op divide pe q\ ii) A' U A" C A unde f 1 2 A = O, ---------------. -------• l (pq)ⁿ (pq)ⁿ k (pq)ⁿ (ps)ⁿ —¹ (pq)ⁿ § 2. FUNCȚII INTEGRABILE 2.1. Definiție. Considerăm următoarele obiecte: 1) un interval închis și mărginit [a, &]; 2) o funcție f : [a, 6] -> R; 3) o diviziune A = ($₀, ..., x„) a intervalului [a, 6]; 4) un sistem de n puncte ^₂,țₙ astfel încît < xₕ (1 < i < n) numit sistem de puncte intermediare asociat diviziunii A. Numărul real £ f^Xi-x^) ?=-■ I se numește suma R i e m a n n asociată funcției f, diviziunii A și punc- telor intermediare £₂,..., ț„. Acest număr va fi notat prin aA (/, sau prin (f, 2.2. Observație. Dacă funcția/este pozitivă, atunci suma Riemann Ci) reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor de bază Xi — x^ și de înălțime (1 < i < n). Deci oA(/, aproximează aria mulțimii din plan, denu- mită subgraficul lui /, rf = {($, y) E \ a x b, 0 y f(x)}, delimitată de axa Ox, graficul funcției f și dreptele paralele la axa Oy care trec prin punctele de coordonate ța, 0), respectiv țb, 0) (fig. II.2). 55 Pînă acum nu ne-am pus problema ce înseamnă că o mulțime mărginită din plan are arie și cum s-ar defini aceasta. Noțiunea de arie va fi studiată în Capitolul III, paragraful 1, unde se va arăta că dacă funcția f este continuă, atunci mulțimea Fy are arie și aria(Fy) = f(x)dx. Ja 2.3. D e f j n i ț i e. O funcție f : [a, 6] -* 11 se ; n t e g • ;i h i 1 ă R i e m a u n (sau, simplu, integrabil ă) dacă < xi tă era înnnfu’ ~eai 1, oricare ar ti e > 0 există > 0 astfel fn^ît M i o ta A - •<„' • -Avalului 6] A|| < . .. . . te interne- x,-! < E| < Xi (1 < i < «;.) I ^(f, C) - If I < E. e integrala sau i i valul [o, b | și se note 2.4. Observații, (a) Pentru un interval fixat [a, 6], numărul If, asociat fie- cărei funcții integrabile f : [a, b] -> R este unic determinat de f. într-adevăr, dacă Jₙ I₂ ar fi două numere care verifică condițiile din defi- niția 2.3, atunci pentru orice e > 0 ar exista 7)ₖₑ > 0 (k = 1, 2) astfel încît pentru orice diviziune A = (x₀, xₗy ..., xᵥ) a lui [a, cu || A || < iq/₍ _ și orice puncte intermediare < Xi (1 < i n) să avem |a< O- A I <|. (k= 1, 2). 5G Luînd rezultă că pentru orice diviziune A a lui [a, b] cu || A || < >)₆ și orice sistem (ți) de puncte intermediare asociat lui A, avem l^f, și l^f, ț)-!, | deci I A - A I < I A - m + I ^(f, O - /₂1 < | = e. Cum e > 0 a fost arbitrar, rezultă h = A- (Ș) Orice funcție integrabilă f : [a, -> R este mărginită, adică, există o con- stantă M 0 astfel încît într-adevăr, să notăm cu If integrala lui f pe intervalul [«, b] și să luăm e = 1. Din definiția integrabilității lui f, rezultă că există nₑ > 0 astfel încît (1) 1 oricare ar fi diviziunea A = (x₀, xᵥ xₙ), cu || A || < v;, și oricare ar fi punctele inter- mediare ți S [Xi-i, Xj] (1 l Considerînd o diviziune fixată A = (x₀, xₗₜ .... xₙ) cu || A || < 7) este suficient să arătăm că f este mărginită pe fiecare interval [x^-j, X&] al acestei divi- ziuni. în acest scop, considerăm un element arbitrar x s [x/^, x^] și luăm următorul sistem de puncte intermediare f xi, dacă i =f= k ¹²¹ = I X, dacă i - A. Atunci din (1) și (2) rezultă : ) f(x)(xₕ — Xk-1) + - Xi-d - If I < 1 i^h deci I f(x) | < Mₕ unde cu .M/t am notat numărul real pozitiv ---------h + I Ir I + 23 I I (« - • Xk ~ xk-l l J (y) Integrala definită a unei funcții f este un număr real, spre deosebire de integrala nedefinită a lui f care este mulțimea tuturor primitivelor lui f. 57 2.5. Exemple. 1) Fie f : [a, -> R o funcție constantă f(x) = c, (V) x G [a, &]• Vom arăta că f este integrabilă și fb l f(x)dx = c(b — a). Ja Se observă că, oricare ar fi diviziunea A = (#0, Xy, Xₙ) a lui [a, t] și oricare ar fi punctele intermediare »i-i < Si < (1 < i < n), avem n ⁼ 23 ~ x»-i) ~ c(xn~ x₀) = c(b — a). i= 1 Deci, luînd I — c(b — a), avem I ?â(f, S) - I I = 0 < e oricare ar fi e > 0. Prin urmare f este integrabilă și a f{x)dx — c{b — a). Ja 2) Fie a G B și f : [«, &] -> B definită prin f(x) = ax, (V) x G [a, 6] Vom arăta că f este integrabilă și C f(x)dx = -(b² - a²). Ja 2 Pentru orice diviziune A = (£₀> ...» xₙ) a intervalului [a, t] cu norma mai mică ca 7) > 0 și orice puncte intermediare Xf, 1 i n, avem (D «(f, s) = £ - -<-> = £f - "ⁱ-¹ ⁺ +£ PRⁱⁱ -f F ț Aj],xⁱ - i — I L Deoarece f(x) = xx pentru orice x e [a, t], deducem rXj + Xj.i 2 Xj + Sț-l 2 Observînd că ■ ~—— este mijlocul intervalului deducem 2 58 (2) I f(^i) ~ ⁺ I l ² Pe de altă parte avem ₍₃ ₎ £ jș< + ₍X₁ _ i A te +. Xf.,) = ᵢ₌l l 2 J 2 O și obținem pentru orice diviziune A cu diviziunii A. De aici rezultă că f || A || < 7) și orice sistem de puncte intermediare asociat este integrabilă și că f(x) dx — — (b² — a²). 'a 2 3) Să se arate că funcția f(x) = cos x este integrabilă pe orice interval [a, b] c ® și b cos x dx = sin 5 — sin a. 'a Fie A = (a = x₀ < Xi < ... < xₙ = b) o diviziune a intervalului [a, și fie Si e (1 < i < n) puncte intermediare arbitrare. Aplicînd teorema creșterilor finite funcției f(x) = sin x pe fiecare interval [«i-i, a;;] (1 < i < n), obținem punctele Ci e (x{.ᵤ xd astfel încît sin Xi — sin x/.i = (xi — ^d cos q, (1 < i < n). Ținînd seama de aceste egalități putem scrie: n n a^f> Si) = ^C°S — Xi-d = V' COS (Xi — Xi.d + .⁷¹ n n + 2J 5S n = sin b — sin a + (cos Ci — cos Ci) — £$-0. i^A Aplicînd acum teorema creșterilor finite funcției f(x) — cos x pe intervalul [Ci, c/] sau [cj, Ci], obținem un punct 0^ e (Ci, Ci) astfel îneît cosCi — cos = (Ci — sin0₍-, deci | cos Ci - COS Ci K I Ci - Ci I • I sin0i |< || A ||, prin urmare (2) i — COS Cj) (X; — ®i_l) i=0 n < || A || £ (Xᵢ - Xi.J = || A || (b- a). t^l Din (1) și (2) rezultă: (3) I Ci) - (sin 6 - sin a) |< II A || (b - a). Pentru orice e > 0, luăm qₑ astfel îneît Atunci din (3) rezultă că pentru orice diviziune A, cu || A || < qE și pentru orice puncte intermediare Ci are loc inegalitatea |oa(A Ci) — (sin b — sin a) | < e. Aceasta arată că funcția f(x) = cos x este integrabilă pe [a, ă] și । b cosxdx = sin b — sin a. a 2.6. Exemple, de funcții neintegrabile. 1) Vom arăta că funcția lui Dirichlet g : [0, 1] -► R definită prin , , 11, dacă x este rațional, g(x) = { . ’ . (0, dacă x este irațional nu este integrabilă. Fie A — (a₀, xₕ .... xₙ) o diviziune a intervalului [0,1] și fie Ci, Ci [«i-i, 1 < i < n două sisteme de puncte intermediare alese astfel îneît fiecare Ci (1 C ¹C ⁿ) este rațional, iar fiecare Ci (1 C i C ⁿ) este irațional. Atunci g( Ci) = 1 și g( Ci) = 0, (1 < i < deci (1) aâ(g, C') = 1> <7A(g, C") = 0. Dacă g ar fi integrabilă, atunci ar exista / e R care ar verifica condițiile definiției 60 2.3. în particular, pentru O < e < — ar exista /jₑ > O astfel încît pentru orice diviziune A — (#₀, ......xₙ) a lui [O, 1], cu || A || < avem (2) | aA(g, 5') - 7 | < c și | o^g,^") - 7 | < e. Din (1) și (2) rezultă I 1 - / I = I ^(g, V) - I I < e. 11 | = | O - I | = | o^g, V) - / 1 < e, ceea ce conduce la contradicția l=|l-7 + Z|<|l-Z|+|7|<2e <2-1=1. Așadar, funcția g nu este integrabilă. 2) Funcția gₐ:[0, 1]-► R definită prin ga(^) = 1 — , dacă x e 10, 1] xa 0 , dacă x = 0 fiind nemărginită pentru a > 0, rezultă din observația 2.4 (0) că nu este integrabilă. 2.7. O bs er v ație. Dacăf, g’.^ct^ &]->B sînt două funcții cu proprietățile: , (a) f este integrabilă pe [a, fe]; (0) există o parte finită A c [a, fe] astfel încît g{x) = f(x), (V) x E [«, fe] atunci (1) g este integrabilă pe [a, fe] (2) {b g(x)âx = V f(x)dx. Ja Ja Este suficient ca demonstrația să fie dată pentru cazul cînd mulțimea finită A este formată dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obține din acesta prin inducție. Presupunem deci A = {c}. Funcția f fiind integrabilă, este mărginită (observația 2.4(0)), deci există 0 astfel încît I f(x) 1 < A7, (V).r e [a, fe] luînd der M— | g(c) | ) rezultă l f(x) j M (V).r s [a, 6] și | g{x} | < M (V)x e [a, fe] f fiind integrabilă, înseamnă că pentru orice e > 0 există >)ₑ > 0 astfel încît 61 (1) ^i) - ( flrlds J a oricare ar fi diviziunea A — (x₀, xᵣ, ..., xₙ), eu II A j| < t]z, și oricare ar fi punctele intermediare - & g [xi.j, xj](1 < i < n). Luind (ier. . [ ■ nim I r/ₛ £ HM avem t)ₑ £ (2) 4M(]ₑ<-. Dacă c este un punct al diviziunii A, atunci' există 0 j n astfel încît c — Xj. în acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c = xj sînt punctele țj sau £ⱼ₊₁. Deci ținînd seama de faptul că f(x) = g(x) (V) x=^c, obținem (A &) — aA (g, . &) y? f, (- g( &) - xi^) (xj Xj.^) ¹ g( £j + l^ (^.i+i - -0) £ < || A II < <-. Dacă c nu este un punct al diviziunii A, atunci c este conținut într-un interval deschis (xk.i, Xf,). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul țk, prin urmare aA ~ (#’ £(/ui) - g(^))(^i - *i-l) 1 = 1 e (xg — xg^} < ‘IM || A || < 2Mflₑ < — • Din analiza făcută pînă acum rezultă că, oricare ar fi poziția punctului c, are loc ine- galitatea «a (f, - °A te, ^i) e 2 ’ Din inegalitățile (1) și (3) obținem te, ^l) - C f^Wx Jll adică g aste integrabilă și b rb g{x)dx — l f(x)d.x. 'a Ja 2.8. Observație. Observația precedentă arată că dacă f este o funcție integrabilă pe [a, și dacă se modifică valorile funcției f într-o mulțime finită de puncte A = 62 = {aₙ a₂> •••> am} c[a, &], atunci funcția nou-obținută este încă integrabilă și integralele celor două funcții sînt egale. Dacă modificarea valorilor funcției f se face într-o mulțime infinită de puncte, atunci funcția nou-obținută poate să nu mai fie integrabilă. într-adevăr, funcția con- stantă fo(x) = (v)® € [0,1] este integrabilă (exemplul 2.5 (1)). Totuși funcția lui Dirichlet (exemplul 2.6 (1)) , . f 1, dacă x e [0, 1] A Q, 0 | £ ) J | 0, dacă x e [0,1]\Q, care se poate obține prin modificarea funcției f₀ pe mulțimea infinită [0,1] 0 Q nu este integrabilă. 2.0. Teoremă. Pentru o funcție f : [a, 6] -+ II următoarele afirmații sînt echivalente: (a) f este integrabilă; (P) există un număr real [ astfel încît oricare ar fi șirul de diviziuni A„ = (zS, xj,(n £ N) ale intervalului [u, 6] cu lim || A„ || = 0 «->OC și oricare ar fi punctele intermediare Xi-i < (1 < i < kₙ; n E N), șirul sumelor Riemann converge la I. Demonstrație (a) => (P). Presupunem că funcția f este integrabilă și vom arăta că are loc afirmația (P). Fie deci An = ^a = x*, x^, ..., x^¹ = un șir de diviziuni ale intervalului [a, b] astfel încît (1) lim || Aₙ ||=0 71->OC și fie <= (1 i < kₙ) puncte intermediare. Funcția f fiind integrabilă, există // e B cu proprietatea: pentru orice e > 0 există nₑ astfel încît oricare ar fi diviziunea A cu || A || < și oricare ar fi punctele 63 intermediare are ioc inegalitatea (2) . I «a(A Zi) — If |'< e. Din relația (1) rezultă că există un rang nE = »(^E) astfel încît II An II < V)ₑ, (V) n > n£; deci, ținînd seamă de (2) obținem adică lim cs^ (f, există = //. n—x* ⁿ ' (P) => (a). Să presupunem că f verifică condiția (P) și să arătăm că f este integra- bilă, mai precis, numărul / care figurează în condiția (p) este chiar integrala lui f. Dacă numărul J n-ar fi integrala lui f, atunci ar exista e₀ > 0 astfel încît oricare ar fi 7) > 0 există o diviziune A-n = («g. 4 ...» a lui [a, b] cu || A/) || < n și există punctele intermediare «Li < S? < (1 < i < astfel încît |%(A 1 Luînd în particular •/) = — (n = 1, 2, ...), obținem o diviziune n A?₁ = (xg, a lui [«, 6] cu (1) II A„. || < A n x și un sistem de puncte intermediare C < «?, (1 < i < An) astfel încît (2) | e) - / |>e, (n= 1,2, ...). Din inegalitatea (1) rezultă că lim || || = 0, n->ao iar din (2) rezultă că șirul sumelor Riemann ' (A W nu converge la /, ceea ce contrazice ipoteza (P). 2.10. Observație. Condiția (P) din enunțul teoremei 2.9 este echivalentă cu condiția următoare (aparent mai slabă) (P') oricare ar fi șirul de diviziuni A,ₜ = (zg, x", (n e N) 64 ale intervalului [a, cu lim || ăₙ || = O, și oricare ar fi punctele intermediare n->oo 1 < 5” C «P (l (3')- Demonstrația implicației (3') =► (3) revine la a demonstra că toate sumele Riemann {XK "A’dl ⁼ ⁰ au o limită comună. Presupunem că (3') are loc; fie △n = (« = ®o« ®î> xkₙ = b\ (ⁿ e N); △n = (® = ^0» yv •••’ ypₙ = b)> (ⁿ e N) două șiruri de diviziuni ale intervalului [a, cu lim II a; II = lim II a; II = 0 n-><» n->ao și fie punctele intermediare (1 < i < kₙ\ n e N), y^, (1 pₙ; n e N). Considerăm șirul de diviziuni (&n)nGN definit în felul următor def (Aₙ)ₙeN=(A;, a;, a;, a;, .... a;, a;,...), iar punctele intermediare le luăm astfel ndef ( dacă « = impar, 0. =. { ' I dacă n = par. Cu'm lim || Aₙ II = 0, rezultă din ipoteza (30 că șirurile de sume Riemann n-x» {’aJAW}. PaJAti”)}. H sînt convergente; fie I', 1", respectiv I, limitele lor. însă primele două șiruri sînt sub- șiruri ale celui de-al treilea șir, deci (Observația A 15) au aceeași limită. Așadar, I' = I = I". 2.11. Observație. în cursul demonstrației tporemei 2.9 și a observației precedente s-a arătat că dacă este îndeplinită una din cele trei condiții echiva- lente (a), (3), (3'), atunci integrala lui / este obținută astfel: C/(a^d^lim crA Ja ?)->oo ⁿ iar limita nu depinde de șirul de diviziuni Aₙ = (xq, x”,x^ ale intervalului [a, cu lim || Aₙ || = 0 și nici de punctele intermediare n-><» (1 < i < kₙ] n£N). 65 5 — Elemente de analiză matematică, cl. a XJI-a 2.12. Teoremă. (Formula lui Leibniz — Newton). iL Fie f : [a, ftj -> R o funcție integrabilă care admite primitive pe [a,>^]. Atunci pentru orice primitivă F a lui f are loc egalitatea _______________________________________________ ini ( f{x)dx — F{b) — Fța). Ja Demonstrație. Fie △n= -i ^kₙ) un șir de diviziuni ale intervalului [a, &] astfel încît lim || Aₙ || = 0. n->co Aplicînd teorema creșterilor finite funcției F pe intervalul [«?_!, x”], obținem G (z"-n $") cu proprietatea F(^) - F^) = F'(^) însă, prin ipoteză F'(x) = f(x), (V) x G [u, &], deci F^) -F(x^)= (x? - x^). prin urmare kn kn % ⁽x"⁻ = F(b) - F(a), (V) n e N. Atunci (observația 2.11) f(x)dx = limaA (f, $ⁿ) = F(b) — F(a). Ja n-+°o ⁿ ) 2.13. Notație. în loc de F(b] — F(a} se folosește frecvent notația sau și se citește: Fțx) luat între a și b. 2.14. Exemplu, de funcție integrabilă care nu admite primitive. Fie f : [a, b] -> R funcția constantă egală cu 1, fțx) — 1, (V)# e [a, Z>] Și g : [a, 6] -> R definită prin gW= ‘ 1, dacă x 2 — 1, dacă a + b x = ------. 2 66 Atunci (exemplul 2.5 (1)) funcția f este integrabilă, iar funcția g se obține din f, modificînd pe f în punctul a . Prin urmare, în baza observației 2.7 și funcția g este 2 integrabilă. Dacă g ar admite primitive, atunci g ar avea și proprietatea lui Darboux (obser- vația I. 1.4 (c)). Cum g nu se anulează nicăieri, rezultă că g nu are proprietatea lui Darboux. 2.15. Observație. Din exemplul de mai sus rezultă că clasa funcțiilor integrabile care admit primitive, nu coincide cu clasa tuturor funcțiilor integrabile. Funcția f :[—1, 1]-* R definită prin M = 2x .12 1 sin-— cos — , X² X X² dacă x G [-1, 0) U (0, 1]-, 0 , dacă x = 0 fiind nemărginită, nu este integrabilă Se observă că funcția (observația 2.4(3)). ^) = x² sin — , dacă x G [—1, 0) U (0, 1], x² 0, dacă x = 0 este derivabilă și F' = f, adică f admite primitive. Există funcții mărginite care au primitive, dar care nu sînt integrabile. Prezentarea unui astfel de exemplu necesită noțiuni și rezultate care depă- șesc cadrul acestui manual. Vom vedea în paragrafele următoare că mulțimea funcțiilor continue pe un interval [a, J] este conținută atît în mulțimea funcțiilor integrabile pe [a, (teorema 3.12) cît și în mulțimea funcțiilor care admit primitive pe [a, i] (teorema 4.8). 2.16. Propoziție. Dacă f, g : [a, -> R sînt două funcții integrabile, iar X, p G R» atunci V + V-g este integrabilă și ¹ (V($) + ^(^)) dz = X ț⁶ f(z)dz + p C g(z)dz. 'a Ja Ja 67 5* Demonstrație. Fie A„ = (rrg, x^ ..., ^), (n e N) un șir de diviziuni ale lui [a, 6] cu lim || A„ || = O n-*oo și fie punctele intermediare <_! < < x^ (1 < i < kₙ; n G N). Avem (i) + ⁿ H = x£fl!jn(!r?-^₁)4-|x£ga9M-^ x^ (f, + |xO (g, e). i=1 i= 1 Funcțiile f și g fiind integrabile, rezultă (observația 2.11) că membrul drept al egalității (1) converge la cb Cb X \ f(x)dx + p k g{x)dx. ja Ja Prin urmare șirul {ctₐ (Xf + pg, £ⁿ)}ₙG]V este convergent, și X/+ p^este. integrabilă. Trecînd la limită în (1), obținem C (\f(x) + iig(x))dx = \{b f(x)dx 4- pC^dz. Ja Ja. Ja 2.17. Propoziție. Dacă f: [a, Z>] -> R este o funcție integrabilă pozitivă c f(x) > 0, (V) x G [a, *], atunci C f(x)dx > 0. Ja Demonstrație. Fie = (4S 4S x^) n G N un șir de diviziuni ale intervalului [a, Z>] astfel încît lim |1 Aₙ || = 0 n->°o și fie punctele intermediare xⁿi_ᵣ < < x^, (1 < i < n G N). Atunci, f fiind pozitivă, avem ' (A e) = 22 °’ ⁿ i=l 68 deci f f{x) dz = lim (f, țⁿ) > 0. Ja ⁿ 2.18. Consecință. Dacă f, g : [a, 6] -> R sini funcții integrabile astfel încît f(x) < g(x), (V) x G [a, *], atunci rb Cb \ f{x)dx < l g(x)dx. Ja ja Demonstrație. Din ipoteză rezultă că funcția# — f este pozitivă. Deci apli- cînd propozițiile 2.16 și 2.17, obținem t⁶ g(x)dx — C f(x)dx — C țgțx) — f{x)}dx >0, Ja Ja Ja adică rb (b t f(x)dx^ \ g[x)dx. Ja Ja 2.19. Consecință. Dacă f: [a, 6] -> R este integrabilă și m < f(x) < M, (V) x < [a, 6], atunci rb mțb — a) \ f(x)dx < M(b — a). Ja ' Demonstrație. Aplicînd consecința 2.18 funcției f și funcțiilor constante m, M și ținînd seama de exemplul 2.5 (1), obținem m(b — a) = C m d# < C f(x)dx < ( Mdx = Mțb — a). Ja Ja Ja 2.20. Observație. Orice funcție integrabilă fiind mărginită (observația 2.4 (p)), există mi M e 11 astfel încît m f(x) < M, (V)xe [a, 6]. 2.21. Propoziție. Fie f : [a, 6] -* R și c G (a, astfel încît restric- țiile lui f la [a, c] și la [c, 6] sînt integrabile. Atunci f este integrabilă și Cb re rb 1 f(x)dx = \ f(x)dx + 1 f(x)dx. Ja Ja Jc Demonstrație. Notăm cu restricția lui f la [a, c] și cu f₂ restricția lui f la [c, &] Prin ipoteză funcțiile și f₂ sînt integrabile deci (observația 2.4 (3)), mărginite. Rezultă că f este mărginită, deci există M > 0 astfel încît | f{x} | < M, ^}x e [a, &]. 69 Utilizînd din nou integrabilitatea lui și f₂ deducem că pentru e>0 există 7)e > O astfel încît (V) (V) f(x)dx — (fₗₜ ^) a b f(x)dx - (f₂> ț") e 3 ’ e 3 pentru orice diviziuni A' și A" ale intervalelor [a, c] și respectiv [c, i] cu || A' || < 7)ₑ, II II < >)e Și orice sisteme Și de puncte intermediare asociate diviziunilor A' și respectiv A". în plus, putem presupune că, micșorînd eventual pe ț₍E, avem 2M >jₑ < — . 3 Fie acum A = (#o, #1, • Xn) o diviziune a intervalului [a, t] cu || A || < și punctele intermediare Si e [zm, a^], Vom arăta că I ^(f, t) - I | < e, unde rc Cb 1 = l f(x)dx 4- l f(x)dx. Ja Jc într-adevăr, dacă c este un punct al diviziunii A, atunci A' = (Xq, Xy ..., Xv-i, c) este o diviziune a lui [a, c], iar A/z = (c, Xp₊₁, Xn) este o diviziune a lui [c, 6] și avem. T)e- Punînd V = (^, ....^) . avem HA(f, S) = aA, (&, V) + aA, (f₂, și deci din (!') — (1*) rezultă |C f(x)dx -f- rA' (/2> V) - V f{x)dx Jc Dacă c nu este punct al diviziunii A, atunci există p e {1, 2,..., n} astfel încît < ^p* Deducem că A' = ko, ...» Xp-i, c) este o diviziune a lui [a, c], iar A = (c, Xp, ®p+i, Xn) e. 70 este o diviziune a lui [c, b]. Punînd S'= (Si, S" = (c, SP₊₁..................................... Sn), obținem S) = ^f(^ (*i - + faₚ)(xₚ - x^), i^p p-l (fv S') = - x^) + f(c) (c - x^), °4" (A, S") = f( S) (*i - Xi-1) + f(c) (xₚ - c) t=p+l și deci "â(A 5) = lfᵤ H + »ₐ. (f₂, H - fie) (»ₚ - xM). De aici și din relațiile (!') — (1") deducem I ^{f, S) - 11 și deci r c °A' (A, S') - l f(*)dx + (f₂, V) - Ja + I f( Sp) - f(c) I (xₚ - Xyi) £ £ | aA(f, S) - I I < ^ + -J ⁺ ² < e- O o 2.22. Definiție, punem prin definiție Și (P) 2.23. Exerciții. b I f{x)dx 4“ Ic Dacă a b și f : [a, Z>] -> H este integrabilă, atunci C f(x)dx = 0, dacă a = b Ja (u f(x}dx = — f{x)dx. Jb Ja I. Să se calculeze sumele Riemann asociate funcțiilor, diviziunilor A și sistemelor de puncte intermediare specificate mai jos: 1. f : [0,1] -► R, f(x) = ®², 2. f : f(x) = sin x, 71 8. 1] -> R, f(x) = ex, 4. f : [O, 3]-> R, f(x) = x³, 5. f :[1,2]->R, fM = -. X II. ( 11 A = -1, - — , O, — , 1, ( 2 2 £ = (-In 2, O, In 2); A = (O, 1, 2, 3), c ri 3 5i ( 2 2 2J 1. Se consideră o funcție f : [a, i] -> R integrabilă, astfel încît există o constantă a cu proprietatea: pentru orice interval deschis (x', x") d[a,b], există cel puțin un punct C e (x', x") în care funcția f ia valoarea a. Să se arate că f(x)dx = a.(b — a). a 2. Să se arate că funcția f : [0,1] -> R definită prin M = 1 0, dacă 0 x < — , 2 1 1, dacă — 1 2 este integrabilă, dar nu posedă nici o primitivă. Să se calculeze integrala lui f. 8. Se consideră o funcție f : [a, i] —► R integrabilă, astfel încît pentru orice interval deschis (x', x") c[a, Z>], există cel puțin un punct £ e (a/, x") astfel încît = 2^. Să se arate că f(x)dx = b² — a². 'a 4. Se consideră o funcție f : [0, 1] —► R integrabilă, astfel încît pentru orice interval deschis {x', x") c [a, b], există cel puțin un punct £ e (x', x") astfel încît /’(^) — = —-— . Să se arate că I + c ■1 f(x)dx = In 2. I() 5. Se consideră o funcție f : [a, i] —> R astfel, încît în orice interval deschis (x', x") c C [a, i], există două puncte e (x', x"), ț" e (x', x") astfel încît Să se arate că f nu este integrabilă. 6. Se consideră o funcție f : [a, t] -> R pentru care există o diviziune A = (x₀, xᵥ ..., xₙ) a lui [a, fe] astfel încît f este egală cu o constantă pe fiecare interval deschis 72 (xj.i, Xi). Să se arate că f este integrabilă și rb ” \ f(x)dx = 72 «i - xi.i). Ja 7. Să se arate că funcția definită prin f(x) = [ sin x | este integrabilă și să se calculeze integrala sa. 8. Se consideră o funcție f : [0, 2] -► R astfel incit M | x, dacă x e [0, 1], x² + 1, dacă x e (1, 2]. Să se arate că f este integrabilă și să se calculeze integrala sa. 9. Se consideră funcția 1]-R definită prin M = [2’XJ, unde [y] înseamnă partea întreagă din y (adică cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu y), Să se arate că f este integrabilă și să se calculeze integrala sa. 10. Se consideră funcția f : [0, 2 |/’3] -> R definită prin f(x.) = x — [a;]. Să se arate că această funcție este integrabilă și să se calculeze integrala sa. I § 3. INȚEGRABILITATEA FUNCȚIILOR MONOTONE ȘI A FUNCȚIILOR CONTINUE 3.1. Definiție. Fie f :[a, 6] -» R o funcție mărginită și A = (x₀, ..., xₙ) o diviziune a intervalului [a, b]. Notăm (= marginea inferioară a mulțimiix<]); *t:L i-V .^P( = marginea superioară a mulțimii f[x^ xj); (fj^^m^Xi — x^), 73 Si (/■)SVA/ᵢ(.rᵢ fel s&(f) (respectiv ^^f)) se numește suma Darboux inferioară (respectiv superioară) asociată funcției f și diviziunii A. 3.2. Observație. Dacă funcția f este pozitivă, atunci s&(f) (respectiv reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor de bază și înălțime mi (respectiv Deci aria figurii plane mărginite de axa Ox, graficul lui f și dreptele para- lele la axa Oy, care trec prin punctele de coordonate (a, 0), respectiv {b, 0), este aproximată de s&{f) prin lipsă, iar de S^țf) prin adaos. 3.3. Propoziție. Su- mele Darboux ale unei funcții mărginite f :[a, i] -> R au urmă- toarele proprietăți: (i) Ei) (D, (V)& e Oi-i, xd; (ii) dacă A' este mai fină decît A (Ac A'), atunci s^Af) Și (iii) pentru orice pereche de diviziuni Aₙ A₂ ale intervalului [u, b] are loc inegalitatea < s^f). Demonstrație, (i) înmulțind în inegalitățile evidente mi < f( ti) < Mi, (V) ffᵢ], cu Xj — și însumînd după i, obținem: v n n V mi {Xi - x^) < /U,) (Xi — ^m) < Mi{xi — Xi.J, i— 1 i= 1 fel adică sAf)<°Af, (ii) Fie A c A'și să considerăm cazul cel mai simplu: diviziunea A' este obținută din div/ziunea A = (zc₀, xₗₜ .... xj^, xj, ..., xₙ) prin adăugarea unui singur punct de diviziune cj între Xj_ᵣ și xj A' = (a;₀> cj» x;h •••» ^n)- Notînd 74 m.— inf f(x) șl rn ₌jnf f(x) , ^.i-r 51 ^[cr^l rezultă mj m'j și deci n SA(f) = mj(xj - arj-J + mi(xi “ Xi-J ⁼ mĂ(xJ ~ fi) + (c3 ~ + i^i i + - xh) R este o funcție mărginită, atunci: (a) mulțimea {s^{f)}^ a tuturor sumelor Darboux inferioare ale funcției feste majorată (de orice sumă Darboux superioară a Iui f); (P) mulțimea {S^(f)}s a tuturor sumelor Darboux superioare este minorată (de orice sumă Darboux inferioară). 3.6. Observații: (a). Mulțimea {s&(f)} fiind majorată, admite (vezi /1₈) o margine supe- rioară), notăm I(f) această margine superioară dcf 7(f)^sup s^f). A (p) Mulțimea {S&(f)} fiind minorată, are (vezi /1₈) o margine inferioară; notăm cu l(f) această margine inferioară 75 - Urii I(f) = inf S&(f) A (y) Pentru orice diviziune A a intervalului [a, i] au loc inegalitățile 3.7. Teoremă. Fie f : [a, d] -► R o funcție mărginită. Atunci urmă- toarele afirmații silit echivalente: (i) pentru orice e > 0 există ?)£ > 0 astfel încît ^A(f) — SA(f) < E, oricare ar fi diviziunea A a intervalului [a, 6] cu || A || < r/£; (ii) funcția f este integrabilă. Demonstrație, (i) => (ii) Avem inegalitățile (i) deci (V) A. f însă prin ipoteză, pentru orice e > 0 există iqₑ astfel încît (2) W)-«A(f) <£, (V) Acu IIAIX^, deci o < Kf) - Uf) < «W) - «A (f) < e, (V) A CU ))A II < Gₑ. Cum e > 0 a fost arbitrar, rezultă că numerele reale I(f) și î(f) sînt egale; fie l(f) valoarea lor comună. Atunci din (1) obținem (3) (V)A. însă (propoziția 3.3 (i)) pentru orice diviziune A = (x₀, xₗₜ xₙ) a lui [a, fc] și orice puncte intermediare x^ Ci C (1 C X ⁿ)» au l°c inegalitățile, (4) ^)J și oricare ar fi punctele intermediare Aceasta înseam- nă că f este integrabilă și că C f(x)dx= I{f) = l(f). Ja 3.8. Observație. Demonstrația implicației inverse este relativ simplă și se bazează pe următoarele relații dintre sumele Riemann și sumele Darboux: s^(f) = inf {ca(A C) I Ci e [zi-i, xî],' 1 < X n}, = sup C) I Ci e [xj.!, a:/.], 1 < n}. 3.9. Teoremă. Orice funcție lom,tonă f : [a, b] -► R este integrabilă. 76 Demonstrație. Dacă f este constantă, atunci (exemplul 2.5 (1)) feste inte- grabilă. Considerăm acum cazul cînd f nu este constantă; în acest cazi \M~ f(b) | >0. Presupunem că f este crescătoare și pentru orice e>0 să notăm. (1) Fie def - f(a) E A — (^o? ^*1? ”“) ^n) o diviziune a lui [a, Z>] astfel încît (2) II A || < Funcția f fiind crescătoare, avem f(Xi) = Mi = sup f{x). Din (3), (2) și (1) obținem 3 a (f) — să(f) = (Mf — md (Xi — x^) — fțXi^Xi — x^) i=i î=i < II A ||V[/W -A^1)]= II A WW)-f(a)) < i= 1 f(b) - f{a) deci f este integrabilă. Observație'. în demonstrarea unor rezultate importante ca' — integrabilitatea funcțiilor continue, — calculul ariilor (respectiv volumelor) unor mulțimi asociate funcțiilor continue pozitive, se folosește o condiție mai puternică decît condiția de continuitate. Această condiție este îndeplinită de funcțiile continue pe intervale închise și mărginite. Vom admite, deci, fără demonstrație următorul rezultat: 3.10. Orice funcție continuă definită pe un interval închis și mărginit, f : [a, 6] K, verifică condiția: (U) oricare ar fi e > 0, există t)ₑ > 0 astfel încît pentru orice x', x" E [a, cu | x' — x" | < v)ₑ are loc inegalitatea I fțx') - fțz") 1 < e. Funcțiile care îndeplinesc condiția (U) se numesc uniform con- tinue. 77 3.11. Exemplu de funcție continuă, definită pe un interval mărginit neînchis, care nu verifică condiția (U). Fie f : (0, 1] -> R definită prin \ dcf- ¹ fțx) = cos —. x Funcția f este continuă pe (0, 1], deoarece este compunerea funcțiilor continue X -> — Ș] t -> cos t. X Să arătăm acum că funcția /'nu verifică condiția (U). Fie 0 < e < 1. Deoarece șirul |—₇—I converge la zero, rezultă l 2h(2n + i)nJnGN că există nE G N astfel încît 1 -----------< E, 2n(2n + 1)k (V) n nₛ. Luînd un n > nz și 1 1 —> y = —:-----------------, 2n 7r (2n + 1 )k rezultă I x — y | = —— 2n 7t 1 (2n + l)rc 1 2n(2n + 1)tc E. însă | fțx) — f(y) 1 = | cos 2mc — cos (2n + 1)tc | = | 1 — ( — 1) | = 2, ceea ce arată că funcția f nu verifică condiția (U). 3.12. Teoremă. Orice funcție continuă / : [a, &] -> R este integrabilă. Demonstrație. în baza teoremei precedente f este uniform continuă, deci pentru orice e > 0 există 7)ₑ > 0 astfel încît (1) (V) x\ x" G [a, b], cu I X' _ X" I < => I fțx') - fțx") I < * b — a Fie A = ța = xQ, xᵤ ..., xₙ — b) o diviziune a lui [a, &] astfel încît (2) II A || < Cum orice funcție continuă pe un interval închis și mărginit este mărginită și își atinge marginile, rezultă că există 3) ’^i G L^i—1j astfel încît 78 jf (4) fM = mi = inf f(x), xe[xi-v fM = Mi = sup f(x). •^i-r “ii Din (2) și (3) rezultă I Vi I < deci aplicînd (1) pentru x' = Ui și x" = și ținînd seamă de (4), obținepi Mi — mi = | M — fM | < (1 < i < ₙ) b — a. de unde rezultă — sdf) ^yUMi — m^Xi — xM < (x.i — Xi_f) = = ~~ (b — a) = e. b — a Această inegalitate avînd loc pentru orice diviziune A a lui [ B, L 2J fțx) = sin xₜ △1 = (0, 1, 2, 3), A₂ = (0, 2, 3). K f :[1, 2] -> M, x 1 x = 4. f : [0, 3] -► B, x² — x △ 5. 1]_B, 1 1 -1,------, 0, — , 1 2 2 fțx) = a₂ - (-i, o, i). II. Să se arate că următoarele funcții sînt integrabile și să se calculeze integralele lor: 79 1. f(x) = [/ x² — 1, x e [1, 2]. 3. x e (0, 2]. x e [0, a], a > 0, a 0. f(x) = x«, 0, dacă x = 0, 4. f(x) = 3.14. 1. Să Pentru min dacă x e Calculul limitelor unor se arate că ᵥ r t n-><» (0, 2], sume cu ajutorul integralelor. 1 2n a vedea ce funcție trebuie considerată, transformăm suma de mai sus astfel JL____£ 2n n Vom considera deci funcția f : [0, 1] -* R definită prin .. . def 1 M — -------- și, pentru fiecare 1, formăm diviziunea echidistantă «o = O - = 1 TI î de norma ||Aₙ|| — — » iar în fiecare interval [xj.i, Xj] alegem punctul intermediar n - def i ^=.Xi = n Se observă că termenul general al șirului din enunț este chiar suma Riemann asociată funcției f, diviziunii Aₙ și punctelor intermediare (A U - Deci = In (1 + x) = hm n->x> ti n-+°o L« + 1 n + 2 (f, ti) = \ Jo 1 + X 1 = In 2. 0 2. Să se arate că » lim | — n^-oo 4i 1 m² — 1 ₊ * |/4n² - 2² |/ 4n² — n² 1 n + 2 1 1 n + 1 n + 2 1 1 n 1 1 2 n 1 2 1 • n n n n xₙ = 1 K 6 80 Scriind suma de mai sus sub forma se observă că această sumă este suma Riemann asociată funcției f :[0,1] -> R, definită prin fi \ » | |/4na — 1 |/4n²-2² /4n² - n² J 1 dx . x ¹ 1 K — - - = arc sin — = arc sin — = —. Iq j/ 4 — x² 2 0 2 6 3.15. Exerciții. Folosind metoda de calcul de la punctul precedent, să se calculeze limita șirurilor de termen general: 7T r 7t , 2tt , , (n — l)n 4. sₙ = — Li + cos----------F cos------F «v "F cos 2n [ 2n 2n----------2n r i i . i 1 [(n + l)² (» + 2)² (2n)²J * 4. INTEGRAREA FUNCȚIILOR CONȚIN UF 4.1. Observație. In paragraful precedent s-a arătat că orice funcție continuă f : [a, b] -> R este integrabilă.' Deci, toate rezultatele, relative la funcțiile integrabile, obținute în para- graful 3, sînt valabile și pentru funcții continue. Unele rezultate din acest paragraf sînt adevărate numai pentru funcții continue, iar altele se pot demonstra și în cazul general al funcțiilor integra- bile. Totuși, pentru simplitate, peste tot în acest paragraf vom lucra cu funcții continue. 4.2. Teorema de medie. Dacă f : [a, 6] -+ R este o ( . Țc tinuă, atunci există Șg [«, &] astfel încît V — a Ja Demonstrație-. Funcția /“.fiind continuă pe [a, 6], este mărginită și își atinge 81 g — Elemente de analiză matematică, el. a XH-a marginile. Notînd m = inf fțx) și x G [a, 6] există u, v G [«, £] astfel încît f(a) = m și M = sup f(x), x G [«, £] M = M. Cum pentru orice x G [«, avem m < f(x) < M, aplicînd consecința 2.19 obținem m(b — a) f(x)dx < M{b — a), Ja de unde /'(») = m b f(x)t\x M = f(v). a Cum însă f este continuă pe [a, b], f are proprietatea lui Darboux pe [a, ă]; există deci G [«, b] astfel încît O = —¹~ J f(x)dx. " — d Ja Fig. II, 4. 4.3. Observație. Scriind te- orema de medie sub forma f(Z)(b — a) = f\x) da, Ja punem în evidență următoarea interpretare geometrică: Dacă f este o funcție con- tinuă și pozitivă pe [a, b], există un punct £G[«, astfel încît subgraficul lui f (Tf, vezi observația 2.2) are aceeași arie cu dreptunghiul de bază b — a și înălțime f(ț). 1.4. P r o p o z i ț i e. Dacă f '[a. 6| -* R este o funcție continuă, atunci are loc inegalitatea < r | f\r) I da:. I Ja Demonstrație. Întrucît f este continuă rezultă că | f | este continuă. Ținînd seama de inegalitățile — I f(^) I < M < I M I, (V) X G [a, M și aplicînd consecința 2.18, obținem — C I M I dz < C7(.z)da: < C | f(x) | do;, Ja Ja Ja deci 82 rb I Cb ( f{x)dx < \ I /($) I dz. Ja I Ja 4.5. Observație. Rezultatul precedent este adevărat și pentru funcții inte- grabile oarecare. • 4.6. Propoziție. Dacă / : |«, b\ B este o funcție continuă și pozi- tivă iar [c, d] este un interval inclus în \a, b], atunci are loc inegalitatea f(x)dx < ( f(x)dx. J {d f(x)dx. ja Ja Jc jd jc 4.7. U o n s e c i n ț ă. Dară a < b și f : [u, 6] ♦ R este o funcție continuă și pozitivă, neidentic nulă pe (a, b), atunci J f{x)dx>(K Demonstrație. Prin ipoteză există un punct $₀ G («, b*) astfel încît ÎM > 0. Funcția f fiind continuă, rezultă (propoziția A₁₂(P)) că există un interval deschis J astfel încît x₀ E J c [«, £] și M>0, Wx.EJ- Fie [c, d] c J, c < d și m^inffta;). xE[c, d] Atunci există x± E [c, d] astfel încît m = fM. însă xᵥ E [c, d] c J, deci fM > 0, prin urmare m > 0. Aplicînd propoziția precedentă, obținem 0 < m(d — c) f{x)dx < {b f{x)dx. jc Ja 4.8. Teorema de' existență a primitivelor u n e f u n c ț i i c o n 11 n u e. Pentru orice funcție continuă /': [a, b\ — R, furicV F : [a, 6] -> R definită priri r(x)^\VtW^ (V) $ G [a, b\ 83 6* este o primitivă a lui f care se anulează în punctul a. Demonstrație. Fie xQ G [a, b] și xE[a, b] cu x x₀. Atunci (definiția •2.22(Ș) și propoziția 2.21) D{x) • F(xJ = dZ — t'7(OdZ = (* f(t)dt. ja ja Jₓ„ Aplicînd teorema de medie integralei V f(t)dt, obținem țₓ G O₀, x] sau J*o G [ic, £₀L (după cum x₀ < x sau x > z₀) astfel încît Din (1) și (2) rezultă ^(*0) _________________________________ ) X XQ deci lim = lim fi U = f(xj X—>Xq ^0 X—>x₀ (deoarece țₓ este cuprins între x și x^ iar f este continuă). Dacă x₀ = a (respectiv xQ = b), atunci hm _L2------L_L ₌ f(ₐ) x->a x — a x>a f respectiv lim —. x-*b x — b ' x R o funcție continuă și g : [a, 6] -► R o primitivă a lui f care se anulează într-un punct z₀ g [a, d]. Atunci g are forma f(t)dt, (V) x E [a, £]. JXa Demonstrație. Am văzul (teorema 4.8) că funcția (1) F(x) = Ja este o primitivă a lui f. Cum diferența a două primitive ale aceleiași funcții este o constantă (propoziția I. 1.3), rezultă că există k G R astfel încît (2) ?(x) = g(x) + k, (V) x G [a, b]. 84 Insă gM = o, deci (3) k = F(x₀). Din relațiile (2), (3), (1) și propoziția 2.21, rezultă că pentru orice x^ [a, b] avem g(x) = F(x) -k = F(x) - F{x₀) = (7(«)di - ^f^dt = [* Ja Ja Jx₀ 4.10. Teoremă (formula de integrare prin părți). D&t&f. g : [a, b] sînt două funcții derivabile, cu derivate continue, atunci bf(x)g\x)dx = f(x)g(x) b — C g(x)f'(x)dx. a Ja Demonstrație. Formula de derivare a produsului a două funcții derivabile (f * gYW = f'W • g(x) + M ’ g'W, (V) x e [«, &] arată că funcția produs, f- g, este o primitivă a funcției f • g + f’g'-. Deci, aplicînd formula lui Leibniz-Newton (teorema 2.12) și propoziția 2.16, obți- nem: (f ’ g)(b) - (f • gW = (d (f • gY(x)dx = C [f\x)g(x) + f(x)g'(x)]dx = Ja Ja b f\x)g(x)dx + C f(x}g\x)dx, fa Ja adică b f(x)g'(x)dx = (f-g)(x) 'a . 4.11. Exemple. 1) Să se calculeze integrala Avem x²exda; = x²ex o b Cb — \ g(x)f\x)dx. a • Ja i fi f¹ ¹ — Vi ex(«:²)'da: = e — » 2a:exda: = e •-ⁱ-.2a:ex + 0 Jo JO Io f¹ + \ ex(2x)'dx = e - 2e + 2 \ exdx = - e + 2ex Jo Jo 2) Să se calculeze integrala #²cos xdx. o Avem x² cos xdx<= x² sin x i = -e + 2e-2 = e-2. 0 — \ sin xf®²)" dx = —2 1 x sin x dx = o Jo Jo ¹ 2 TJ x^e dx. o 85 — 2x cos a: — 2 t cos x • (x)'dx = — 2k — 2 6 cos xdx = — 2 re — 2 sin x * = — 2re I0 Jo Jo 0 3) Să se calculeze integrala r5 --------- l |/ x² — 9 dx. J4 Utilizînd metoda integrării prin părți (exemplul 2.2 (7), cap I) deducem că o primitivă a funcției r x —> (/a;² — 9, pe intervalul [4, 5], va fi funcția 1. _u Q g(z) = — x]/ a:² — 9 — y In I x + ț/a;² - 9 | și deci 5 4 4) Să se calculeze x² Inzcda;. i Avem ² o X³ x² \n x dx ~ — In a: 1 3 — 4 V (lⁿ = ~ lⁿ ² — — C $² da; == — In 2 - —a;³1² 1 3 Ji 3 3 Ji 3 9 |i 8 . ₒ 8.1 — In 2-4- — 3 9 9 = lln2-2 3 9 5) Să se calculeze 7C [⁴ ztg² xdx. Jo Avem tg²^ (tg² x + 1) — 1 = (tg x)' — 1 TC² 7C 7T² [/ 2 --- — p ]ₙ r, 16-4 32----2 tg² xdx = \ a;(tg a;)'d® Jo ⁿ । 1 =------F In cos x n 0 1 2 4.12. Teoremă. (Formula de schimbare de variabilă) Pie [a, J R (J interval din R) două funcții cu proprietățile: 1) f este continuă pe J, 2)

[c, d] —sini două funcții cu proprietățile: (a) f este continuă pe [c, d], ((3)

R o funcție derivabilă astfel încît (1) P' = fo*. Atunci (formula lui Leibniz-Newton) Cb (2) \j( unde f este continuă, iar

'(«) di = \ |/( j/(® — a) (0 — x) este un caz particular al funcției studiate în exemplul 3.5 (4), capitolul I. însă primitivele găsite acolo nu sînt definite pe întreg intervalul [a, 0]-ci doar pe (a, 0). 6) Să se calculeze integrala 89 y +1/ % Avem f(x) = ']/1 + |/ x (V)z e [1, 4] și luăm

[1, 4] definită prin Atunci [1,2] prin u(s) = s—l. Atunci m'(s) = 1 Și g(u)(s))u'(s) = (s — 1) [/ s = s*¹* - sfⁱ deci f2 z_____ fn(3) p [3 2 1 Z|/14-ZdZ = 2\ g(z)dz = 2 % g(u(z))u'(z)dz = 2 l (s'² — s'²)ds Jl Jn(2) j2 J2 ₌ ₂[-/'d |³ = -(6/"3-/2). L5 3 J |2 15 7) Să se calculeze integrala C sin x V--------------dx • Jo sin x 4- cos x Avem sin x tg a? fW = ----------------------------- sin x 4- cos x tg x 4- 1 și luăm

0 și f : [—d, a] -> R o funcție continuă. Atunci V f(x)dx = [f(x) + f(—x)]dx. J-a JO într-adevăr, aplicînd propoziția 2.21, avem C f(x)dx = (° f(x)dx + V f(x)dx. (1) J— a J— a Jo în baza definiției 2.22 (Ș), are loc relația C f(x)dx = —( ° f(x)dx. J—a Jo (2) Luînd funcția

R o funcție continuă. Atunci f(x)dx = J—a 2 \ f(x)dx, dacă f este pară, Jo 0, dacă feste impară. într-adevăr, dacă feste pară, atunci f(—= f(x), (V) x G [—a, a], deci (observația 4.15) (a f(x)dx = [f(x) + f^ — x^dx = (a 2f(x)dx = 2 f(x). j-a Jo Jo Jo Dacă f este impară, atunci f(^)+f( —= 0» (V)zG[—a, a], deci (observația 4.15) f{x)dx = (a[f(x) + fț—x^dx = 0. J—a Jo 4.18. Exerciții. I. 1. Fie f :[a, fe]-> R o funcție continuă și strict crescătoare. Să se arate că există un singur punct c e [a, fe] astfel încît C f(x)dx — (fe — a)-f(c). Ja 2. . Se consideră funcția f(x) = x², x [1, 3], Să se determine ce (1,3) astfel încît l f{x)dx = 2f(c). Ji 3. Fie f : [o, fe] -> R o funcție continuă neidentic nulă, astfel încît Cb t f(x)dx = 0. Ja Să se arate că există în [a, fe] două puncte x±, x₂, x± < x₂ astfel încît f(xd-f(x₂) < 0. 4. Fie f :[a, fe]-> R o funcție continuă. Se presupune că pentru orice interval deschis (a', b'} c[a, fe] există un interval [a'b fe^] c (a', fe') astfel încît Sfen fțx)dx = 0. «o Să se arate că f este identic nulă. II. Să se verifice egalitățile: . _ 4 n 1. \ sin'¹ x dx = 2. \ coș³ x dx = 0-. Jo 3 Jo 92 r 9 2/9 I 3. i exsin 2x dx = - I e + 1 • Jo 5 \ ’ / K f* • 2 J 7C² o, \ x sin x <1.7; = — . JO 4 /°2 _____ ko 7. \ x²/l + x³dx=^. JO 9 9. [ j/4^²dx = + - • Jo ² 3 4; l x sin x dx = n. jd f 4 1 6. » —=dx = 2. Jl/x , r4 ____________ qq 8. & x |/x² 4~ 9 dx — — . Jo 3 10. k ----------dx = arc tg e--------. Jo ex 4- e'x 4 11. ( -7-^—^- dx = |/2 — 1 + In ([/2-+ 1)- 12. ( --- dx = 2 — 4 In — . Jo |/1 + x³ Jo 2 + Vx 2 III. Să se calculeze integralele: f5 1 1. 1 —~ ~------- —• dx. J2 I/54- 4x — x² TU 3. C ' In (1 4- tg x)dx. Jo 7T 5. ( ⁴ tg³x dx. Jo 7. 1 ¹ sin³x cos²x dx. Jo 9. ( x² arc tg x dx. Jo 11. u x³ exdx. Jo J-i 4x² -p- 4x 4- 5 5tt . fT sin 2x 4. I ---------------— dx. J^ sin*x 4- cos*x rin 2 ________ 6. I |/ex —1 dx. Jo 8. I sin²x cos 2x dx. Jo r 1 10. I e²X sin 3x dx. Jo C2 12. 1 x In (1 + x)dx. Jo .. f2 2® 4- 1 . 14. ft ----------dx. J1 |/ x2 4- 1 15. 1 2x + 1 . . dx. O |/2 - x² 991 Aplicații ale integralei definite și metode de calcul 1. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A INTEGRALEI DEFINITE A UNEI FUNCȚII POZITIVE în acest paragraf vom defini clasa mulțimilor din planul R² care au arie și vom arăta că dacă f : [a, &] -► R₊ este o funcție continuă, atunci mulțimea Hpf r,={(®, y en! l« < «i, o < numită subgraficul lui f, are arie și aria sa este egală cu integrala lui f pe inter- valul [a, d]: aria (IȚ) = C f(x) dx. 1.1. Definiție. O mulțime E din planul R² se numește elemen- tară dacă E = U Dₕ i= J I unde Di sînt dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele do coordonate, iar ori- care două dreptunghiuri diferite Dj au cel mult o latură comună- Punem prin definiție ile* ⁿ aria (E) = aria (DJ. ' l i 1.2. Observații. a) Reprezentarea unei mulțimi elementare E sub forma n E = U Di, i=l nu este unică. b) Reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi elementare sînt tot mulțimi elementare. c) Aria unei mulțimi elementare E nu depinde de scrierea lui E sub forma E = n = (J Di ca în definiția 1.1, adică dacă i=i n m E=UDi și E = □ Gj, i=l j=l sînt două reprezentări ale lui E ca în definiția 1.1, atunci n m yj aria = Saria (GJ- 94 d) Dacă E, F sînt mulțimi elementare disjuncte, sau care au în comun cel mul laturi ale unor dreptunghiuri componente, atunci aria (E U F) = aria (E) + aria (F). e) Dacă E, F sînt mulțimi elementare astfel încît EdF, atunci aria (E) < aria (F) Și aria (F\E) = aria (F) — aria (E). 1.3. Definiție. Fie A o mulțime mărginită din plan. Spunem că mulțimea A are arie, dacă există două șiruri (£ₙ)ₙₑN, (F„)ₙₑN de mulțimi elementare astfel încît: (1) Eₙ c A c Fₙ, (V) n G N, (2) șirurile do numere reale pozitive {aria (£„)}„ gn Ș’ {ar*a (-FJheN sînt convergente și lim aria (Eₙ) = lim aria (F„). n->ao n->oo în acest caz punem aria (4)==lim aria (E'ₙ) = lim aria (F„). n-> c. n->oo 1. 4. Observații. (a) Definiția ariei lui A este corectă; adică dacă luăm (Uₙ)neN, (Fn)neN alte două șiruri de mulțimi elementare care satisfac condițiile (1) și (2) din definiția 1.3, atunci lim aria (Uᵥ) = lim aria (V„) = lim aria (Eₙ) = lim aria (Fn). n—> n->oo n->co (P) Dacă A și B au arie, atunci A U B, A A B și au arie. (y) Dacă A, B a.u arie și A n B 0, atunci aria (A U B) = aria (A) -F aria (B). (8 ) Dacă A, B au arie și BcA, atunci aria (X\Z?) = aria (^4) — aria (B). Nu demonstrăm aici aceste rezultate. 1.5. Exemplu de funcție al cărei subgrafic nu are arie. Fie g:[0, l]—>R₊ funcția lui Dirichlet dₑf j 1, dacă x e [0, 1] A Q, ⁼ 1 0, dacă x e [0,1]\Q Și def rg = {(«» 2/) e R² | 0 < x < 1, 0 < y < g(.r)}. Vom arăta că: (a) dacă E elementară c T^,, atunci aria (E) = 0, (P) dacă F elementară d rg, atunci aria (F) 1. 95 Din faptul că între două numere reale exista întotdeauna un număr irațional, rezultă că orice dreptunghi D cFg are înălțimea egală cu 0, deci aria sa este egală cu 0 aria (D) = 0. Cum orice mulțime elementară E c este alcătuită din dreptunghiuri Dcrg, rezultă afirmația (a). Pătratul Dᵣ = [0, 1] x [0, 1] este cea mai mică mulțime elementară care include pe r^; adică dacă F elementară dP^, atunci Fz>Dₗₜ așadar, aria (F) aria țDJ = 1. Fie acum (Eₙ)neN, (Fₙ)ne^ două șiruri de mulțimi' elementare astfel încît șirurile ariilor lor sînt convergente și En C Tq c Fₙ, (V) n e N. Atunci din (a) rezultă aria (Eₙ) = 0, (V) n s N, iar din (P) se obține aria (Fn) > 1, (V) n e N, deci lim aria (Eₙ) = 0 < 1 < lim aria (Fn). n-^-oo n-> Așadar, mulțimea iy nu are arie. Din cele arătate mai sus se vede că: dacă A este o mulțime care are arie, nu rezultă neapărat că orice submulțime B a lui A are arie. 1.6. Teor em ă. Dacă f : [a, -> R este o funcție continuă pozitivă atunci (a) rᵣ are arie Și (P) aria (Fy) = ( f(x)dx. Ja Demonstrație. Fie = (« = < z\<...<» și să notăm cu mf (respectiv M") marginea inferioară (respectiv superioară) a funcției f pe intervalul închis și mărginit [^_₁? Se știe (vezi Elemente de analiză matematică, cl. a Xl-a) că orice funcție continuă pe un interval închis și mărginit J, își atinge marginile pe J. Deci, în cazul nostru există I uf G [^-i, Și vf G [^_i, zf] 96 astfel încît fW) = ml și f(v\ Fie (fig. III.l) _ def D^=[xf_ᵤ X?] X | G?=[af_i, a?] x [ dreptunghiurile de bază înălțime m?, respectiv mile elementare y^ Fig. III.l ?) = M?. [0, 0, ^'] x’i — <_i și M'i. Mulți- ■= U E?, respectiv Fₙ=^ U G-¹ i=l i=l Eₙ c rᵣ U Fₙ, verifică incluziunile (2) iar ariile lor sînt p (3) aria (Eₙ) = m? (x? — a;^) = f(u?) — x^) = qₐ (/, «?) i—I ?=1 respectiv \ (4) aria (Fₙ) = aAₙ (f, ^‘). Funcția f fiind continuă, este integrabilă (cap. II, teorema 3.12), deci (cap. II, observația 2.11), ținînd seama de relațiile (1), (3) și (4), obținem: (5) ( f (x)dx = lim nAₙ (/>?) = lim aria(£ᵣᵢ) = lim aAₙ (f, a?) = lim aria (Fₙ). Ja n->x> n-*oo n->oo n~>oo Șirurile de mulțimi elementare (Eₙ) și (Fₙ) verificînd relațiile (2) și (5), rezultă că mulțimea Ty are arie și (definiția 1.3) aria (Ty) = f(x) da;. 1.7. Consecință. Dacă f, g: [a, 6] -> R sînt funcții continue astfel încît f(x)< g(x), ' (V) x G [a, &] atunci mulțimea (fig. II 1.2) def = ^)GR² I a^x^b-, f(x)^y ^g(x)}, cuprinsă între graficele funcțiilor f, g și dreptele paralele la Oy care taie axa Ox în punctele a și b respectiv, are arie și aria (rf,₀) = f [#(*) ~ A^)l da. Ja 97 7 — Elemente de analiză matematică, cl. a Xll-a Fig. III.2 Dacă g(x) f(x) > O, (V) x G [«, &], atunci aria (T^^) = aria (fff) — aria (Ff). 1.8. Exemple. 1) Să se calculeze aria mulțimii cuprinse între parabolele de ecuații: (1) • , y² = ax, (2) x² = ay, unde a Rezolvînd acest sistem de ecuații, obținem punctele de intersecție ale acestor* parabole. dx = .2 (g^) ~ dx .= a² ¹ 2 — — a² aria (rᵣ,„) = V Fig. III.4 def f(z) = Observăm că mulțimea A este subgraficul func- ției f :[ — r, r] -► R₊ definite prin (r > 0). 2) Să se calculeze aria mulțimii (fig. IH.4) xz. 98 . def 1 T Am văzut în capitolul I, exemplul 3.5 (2), că funcția * r² arc sin — + x\/ r² — z²j , ( — r x r) este o primitivă a lui f. Deci aria (A) = aria (F/) = ( |/ r² — x² dz = — [r² arc sin — + x]/ r² — x² J-r 2 L । r 1 ᵣ 2 • a 2 ‘ i a xn ' f* [ ț I 2 = — [r arc sin 1 — r arc sin — 1)] = —------------------= — tcf . 2 2 [ 2 ț 2 JJ 2 3) Să se găsească aria mulțimii A (fig. IIL5) cuprinse între cercul de ecuație (I) x² + y² = ^px și parabola de ecuație (II) y² = 2px. Scriind ecuația (I) sub forma (I) , (x - 2p)² ₊ y² = (2p)², se observă că cercul considerat are centrul în punctul (2/?, 0), iar raza sa este 2p.- Pentru a determina punctele în care parabola intersectează cercul, vom rezolva sistemul format din ecuațiile (I) și (II). Dacă se înlocuiește y² din (II) în (I), atunci x² = 2 px, deci se obțin soluțiile x — 0 și x = 2p. înlocuind pe x = 0 (respectiv x = 2p] în ecuația (II), obținem soluțiile y = o și y = ± 2p. Așadar , parabola de ecuație (II) și cercul de ecuație (I) se intersectează în punctele 0(0,0), P(2p,2p), Q(2p,-2p). Este suficient să calculăm aria mulțimii Aᵣ cuprinse între arcul de parabolă OP și arcul de cerc OP, adică aria mulțimii cuprinse între graficele funcțiilor (1) (2) f(x) .== |/2px , (0 h(x)==. [/ ^px — z², ²?). 2^)- Funcțiile f și h fiind pozitive, avem aria (ytₓ) = aria (F/jJ = aria (F/J — aria (Ty), f2p __ aria (Ff) = \ y(z)dz = |/ 2p Jo ’2p Io 2 2 ^\/2p.^- £ 2 2p 2 x² dz = Fig. III.5 (2p,o) 4'- o 99 7* Deși se observă ușor că 1 1 aria (F^) = — aria cercului de rază 2p = — tt (2jj)² = 7rp², 4 4 totuși vom folosi integrala pentru a calcula aria (F/J. Scriind ț/ kpx — x² sub forma |/ x {^p — x), se vede că avem de integrat o funcție de forma |/(x - a) (p — x). Pentru a putea aplica rezultatul obținut în exemplul 4.13 (5), din capitolul II, considerăm funcția definită pe [0, 4p] (și nu numai pe [0, 2/>J cum era definită h), prin aceeași relație (³) h^x) =^l/x{kp — x), (V) x e [0, 4p]. Atunci are loc relația (⁴) aria (Fₕ) = y aria (Fft,), în exemplul 4.13(5) s-a obținut egalitatea (5) l |/ (x — a) (p — x) dx = (p — ₐ)² — . Ja 8 Din (3), (4) și (5) (pentru a = 0 și p= kp), obținem: (6) aria (F/J = — ( ¹ |/x^p — x) dx = — (4/>)² • — = np². 2 Jo 2 8 în sfîrșit din relațiile (1), (2) și (6) rezultă „ aria (A)’ = aria (XJ + aria (X₂) = 2 aria (X₂) = = 2 [aria (F/J — aria (F;)] = 27rja² — — p². 3 1.9. Exerciții I. Să se calculeze aria mulțimii F^.: 1. /(x) = — |/ x , g(x) = |/ x, x e [0, 4], 2. f(x) = x³, g(x) = x², x e [0, 1]. 1 ³- f(x) = » g(x) = X, x e [1, 3]. x² 4. f(x) = j/rx — x², g(x) = [/ r² — x², x e [0, r], 5. f(x) = |/x, g(x) = |/1 — xz , x e [0, ~ ([/ 5 — 1) j. '1 6. f(x) = — , g(ₓ) = —--------, x e [-1, 1]. 2 x² + 1 7. f{x) = x² + 1, g(x) = 3 — x, x e [ — 2, 1]. 8. f(x) = e"x, g(x) = e*, x e [0, 1]. 100 9. f(x) = | x |, g(x) = 1, xe [-1, 1]. \ f X X A 10. f(x) = 0, g(x) — — [ ea + e , x e [0, a], 2 11. f(x) = , g(x) = '^-7 , * e [-2a, 2a], 4a x² -|- 4a² II. 1. Să se calculeze aria mulțimii cuprinsă între parabola de ecuație y² — 4z și dreapta de ecuație y = 2x. 2. Să se calculeze aria mulțimii din semiplanul {(x, y) | y > 0} cuprinsă între hiperbola echilateră de ecuație xy = a², axa Ox și dreptele de ecuații x - a și x = 2a. 3. Interiorul cercului de ecuație x² + y² — 16 este despărțit de parabola de ecuație y² = în două regiuni. Să se găsească aria fiecăreia din ele. ^2 4. Interiorul elipsei de ecuație-------1- y² = 1 este despărțit de hiperbola de ecuație 4 * —---------y² = 1 în trei regiuni. Să se calculeze aria fiecăreia din ele. 5. Să se calculeze aria figurii cuprinsă între parabolele de ecuații y² — 8(2 — x) și y² = 24(2 + x). 6. Interiorul cercului de ecuație x² + y² = 8 este despărțit de parabola de ecuație y² = 2rr în două regiuni. Să se calculeze aria fiecăreia din ele. 7. Fie hiperbola echilateră de ecuație x² — y² — a² și dreapta de ecuație y = = kx (0 < k < 1). Să se calculeze aria mulțimii cuprinsă între semidreapta Ox (x > 0), arcul de hiperbolă x² — y² = a² (y > 0) și dreapta y = kx. 8. Să se calculeze aria mulțimii cuprinsă între parabola de ecuație y² = x și dreapta de ecuație y = 2x — 1. 9. Să se calculeze aria mulțimii cuprinsă între parabolele de ecuație y² = x, x² = 8y. § 2. VOLUMUL CORPURILOR DE ROTAȚIE în acest paragraf vom presupune că cititorul este familiarizat cu calcu- lul volumului unor corpuri uzuale ca: paralelipiped, prismă, piramidă, cilindru, con, trunchi de con. Pornind de la volumul cilindrului, vom defini ce înseamnă că un corp de rotație (corp obținut prin rotirea subgraficului unei funcții pozitive f în jurul axei Ox) are volum și vom deduce o formulă de calcul al volumului unor astfel de corpuri. 101 Cel mai simplu corp de rotație se» obține rotind subgraficul unei funcții constante pozitive: f(x) = r, (V) z g [a, 6] în jurul axei Ox (fig. III.6), Această mulțime (care este un cilindru de rază r și înălțime b — a) poate fi scrisă sub forma Cᵣ = {(x, y, z) E R³11/Z/² + z² < r, a x b} . Volumul acestui cilindru Cᵣ este voi (Cᵣ) = 7tr\b — a). 2.1. Definiție. Fie a, b E R, a < b și f : [a, -> R₊. Mulțimea €[= {($> y, z) G R³1 |/?/² + z² f(x), a x b] se numește corpul de rotație determinat de funcția / sau corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției / în jurul axtâOx (fig. IIL7k 2.2. Observație. Dacă funcția g : [a, -> R₊ este constantă pe porțiuni, adică dacă există o diviziune A = ța = x₀ < < ... <.xₙ = b) a lui [a, b] astfel încît g este constantă pe fiecare interval (xi^, x^: = cv x E Xi), 102 atunci corpul de rotație determinat de f are forma următoare (fig. III.8): adică este o reuniune finită de cilindri. Volumul unui asemenea corp de rotație este i TI voi {Cg) = K^C^Xi — Xi^). i—± Prin analogie cu noțiunea de mulțime elementară introdusă în paragraful precedent, vom numi'mulțime cilindrică elementară, orice mulțime care se obține prin rotirea subgraficului unei funcții constante pe porțiuni în jurul axei Ox. Cel mai mic (respectiv cel mai mare) dintre numerele pozitive q, c₂, •••» cn va fi numit raza minimă (resp. raza maximă) a mulțimii cilindrice⁻elemen- tare C{]). Așa cum am folosit mulțimile elementare pentru a defini aria unei mul- țimi din plan, vom folosi mulțimile cilindrice elementare pentru a defini volu- mul corpurilor de rotație. 2.3. Definiție. Fie f : [a, b] -> R₊ și Cᵣ corpul de rotație determinat de funcția f. Spunem ea Cf are volum dacă există două șiruri {Gₙ)ₙₑx și (/f„)ₙₑN de mulțimi cilindrice elementare (fiecare Gₙ și Hₙ fiind determi- nate de funcțiile constante pe porțiuni gₙ, hₙ : [a, b] -* R) astfel încît (1) GₙcCfcHₙ, (V)neN Și (2) * lim voi (Gₙ) — lim voi (Hₙ). n->oo n->oo în acest caz volumul lui Cf se definește prin voi {Cf) == lim voi {Gₙ) = lim voi (Hₙ). 2.4. Observație. Definiția volumului corpului de rotație Cf nu depinde de șirurile (Gnjnem și [Hₙ)ₙ&x considerate. 103 2.5. Exemplu de corp de rotație care nu are volum. Fie g : [0, 1] -> R₊ funcția lui Dirichlet . . li, dacă x rațional, g(x) = { ’ (O, dacă x irațional. Se observă că (a) orice mulțime cilindrică elementară G c Cg are raza maximă egală cu zero deci, voi (G) = O, ({3) orice mulțime cilindrică elementară Hd Cg are raza minimă > 1, deci VOl (H) > 7T l² • (1 - 0) = Fie acum {Gₙ)n^i\T, (Hn]nEN două șiruri de mulțimi cilindrice elementare astfel încît (!) Gₙ cCgaH₀, (V) n e N, (2) șirurile de numere pozitive (voi (Gₙ))neN și (voi (Hₙ))ₙeN sînt convergente. Atunci din (1), (a) și (P) rezultă voi (Gn) — O și voi (Hₙ) > 7T, (V) n e N, deci (2) lim voi (Gₙ) = O < 7î < lim voi (Hₙ), n->oo de unde rezultă că Cg nu are volum. 2.6. Teoremă.- Dacă f : [a, Z>] -► R₊ este o funcție continuă, atunci (i) corpul de rotație determinat de f are volum și (ii) voi (Cf) = K ( f²(x)dx. . Ja Demonstrație. (Modelată după demonstrația teoremei 1.6). Fie △n = (« = < z" < - < Xpₙ = 6^ (n G N) un șir de diviziuni ale intervalului [a, />] astfel încît (1) lim || Aₙ || = O și să notăm cu m^ (respectiv MȚ) marginea inferioară (respectiv superioară) a funcției f pe intervalul închis și mărginit [^_ₗț af]. Atunci există u?, ^'il astfel încît f(u") = m'- și f(v") = M". Pentru fiecare n G N definim funcțiile constante pe porțiuni ani • [®> ~* ^4- def I m? = dacă x G (x^, x’D, (1 < i pₙ), If^Xi), dacă x = xₕ (O i pₗₓ). z, / \ def dacă x G (^Z-i> dacă x = Xi, Xi)i (O < i < pₙ). 104 Fig. in.o Atunci corpurile de rotație Gₙ și Hₙ determinate de gₙ și hₙ, respectiv, sînt mulțimi cilindrice elementare cu proprietățile: (2) GₙcCfcHₙₗ (V)nGN, pn VO1 (Gₙ) = %£ (x? — (uf², 1=1 (3) voi (Hₙ) = 7t £ W — <-1) = W². \ ț=l Funcția f fiind continuă, rezultă că și funcția nf² este continuă, deci (capitolul II, teorema 3.12) nfz este integrabilă, prin urmare, ținînd seamă de (1) și (3), obținem: n (^(sjda; = lim (k/², u?) = lim voi (Gₙ) = (4) Ja n-><» n->co = lim aAₙ (nf², = lim voi (Hₙ). n-x» n->oo Șirurile de mulțimi cilindrice elementare (Gₙ)ₙₑN și (Hₙ)ₙₑ^ verificînd relațiile (2) și (4), rezultă că C(f) are volum și voi (Cf)=n ( f²(x)dx. Ja 2.7. Exemple a) Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția f : [0, ă]->R₊ definită prin f(x)= 1/ 2ax (paraboloid de rotație; fig. III.10). Avem rb „ voi (Cf) = tc l f²(x)dx = Jo x² |b = 2rca \ x dx = liza — = ttab². Jo 2 Io Fig. III.16 105 p) Să se calculeze corpul de rotație determinat de funcția f: [a, R₊ definită prin f(x) = ]/ x² — a² (hiperboloid de rotație; fig. III.il) voi {Cf)=n f f²{x)Ax = tc ( (x² — a²)da; = Ja Ja y) Să se găsească volumul elipsoidului de rotație, adică volumul corpului obținut prin rotirea mulțimii # = y) e R²1 < 1}, (a, b > 0) în jurul axei Ox (fig. III.12) Datorită simetriei elipsoidului față de planul yOz, este suficient să calculăm numai volumul jumătății situate în partea dreaptă (x > 0) a planului yOz. Fie deci, f : [0, a] -> R₊₎ f{x) = - a Atunci ra „ -n-h² ra . ? voi {Cf) = tc \ f²(x)dx = —— l (a² — z²)da: = Jo a Jo deci » volumul elipsoidului = — ab². 3 Dacă a = b = r, atunci regăsim 4tt volumul sferei de rază a = — a³. 106 S) Fie a > O și astroida de ecuație zs + / = a\ (a > 0). Să se calculeze volumul astro- idului de rotație (corpul obținut prin rotirea mulțimii mărginite de as- troidă, în jurul axeitfz; fig. III.13). Datorită simetriei este suficient să calculăm volumul corpului de rotație determinat de funcția Deci volumul astroidului de rotație este 32 ---na 105 2 2.8. Exerciții ' Să se calculeze volumele corpurilor de rotație determinate de funcțiile: 2 (x — I , x e [a, 6], a, b > 0. a ) \ 2. f(x) = 2a: — x², x e [0, 2], 8. fțx) = sin x, x e[0,K]. ■ 4. f[x) = e⁻x, x e [0, 2]. 5. f(x) = arc sin x, x e j 0, . (1 . fțx} = x In x, x e [1, e]. (x _ e“ + e “ I, x e [0, a], 2 ' 8. f(x) = xex, x e [0, 1]. 107 ⁹- f(x} = f ’ z e [O, a]. 10. f(x) = (|/ a — |/ x)², x e [O, a], 11. fțx} = — |/ ax³ — x*, x e [0, o]. a 12. f[x) =' |/1 — x²i x g [0, 1]. . ₒ > l/ (x — a) (b — x) ᵣ > 13. f(x) =--T-----------— » x g | a, ft], b > a > 0. x 14. ^) = ’• *g[0,3J. § 3. LUNGIMEA GRAFICULUI UNEI FUNCȚII DERIVABILE CU DERIVATA CONTINUĂ’ în acest paragraf vom defini lungimea graficului unei funcții continue f : [u, Ă] -> R și vom arăta că dacă f este derivabilă cu derivata continuă, atunci graficul lui f are lungime finită și lungimea graficului lui f = l |/T -Ț {f'țx^dx. Ja 3.1. Definiție. Pentru orice funcție f : [a, 6] R și orice diviziune A = (a = x₀ < X! < ... < xₙ = bj a intervalului [a, b] definim funcția fa : [a, 6] -> R prin _ Xᵢ ₗ) dacă x E [x^, Xi], (1 i n); Xi — Xi.i fa se numește funcția poligonală asociată lui f și lui A (fig. 111.14). 3.2. Observație. Funcția fa se obține, pe fiecare interval [a;^, rcj, scriind ecuația dreptei care trece prin punctele din plan ¹ 108 Distanța dintre punctele A^ și Af este (aplicînd teorema lui Pitagora): d^A^ Ai) = |/ (xi — ^_i)² + (A^i) — f(3;i_i))²- 3.3. Definiție. Numărul pozitiv I se numește lungimea graficului funcției poligonale f^. 3.4. Observație. Dacă A, A' sînt diviziuni ale intervalului [a, &] și Ac A', atunci %) < KM- Ținînd seama că orice diviziune A' mai fină ca A se obține prin adăuga- rea la A a noi puncte de diviziune, este suficient să considerăm cazul în care A' se obține din A prin adăugarea unui singur punct c G (#j-i, Zj): A = (a = x₀ < ... < Xj_ₜ < Xj < ... <-xₙ = b), iar A' = ța = x₀ < ... < x^ < c < Xj < ... < xₙ = b). Notînd cu B punctul de coordonate (c, f(c)) avem (fig. III.15): dțAj^ Aj) < dțA^, B) + d{B, Aj), deci l(M = AJ + d(AM, 4,) < 1=1 < î)d(4ⱼ_₁, + d(A,_ₗₜ B) + d(B, AJ = /(/;.). i=l t 3.5. Definiție. Spunem că graficul unei funcții continui f : [a, b] -> R are lungime finită dacă există o constantă M 0 astfel încît Kh) < M, * pentru orice diviziune A a intervalului [a, &]. în acest caz marginea superioară a mulțimii {tțf^ | A diviziune a lui [a, 6]} este < oo. Numărul real pozitiv def Z(/a) — sup{Z(/a) I A diviziune a lui [a, &]} se numește lungimea graficului funcției f. Fig. ni.15 109 3.6. Observație. Dacă graficul lui f are lungime finită, atunci există un șir de diviziuni (Aₙ)ₙₑjv ale intervalului [a, b] astfel incit (1) lim||Aₙ|| = O n->oo ?> (2) limZ(/'A„) = Z(f). n->oo într-adevăr, pentru orice n 1 avem 1 Uf)-------< l(f) = cel mai mic majorant al mulțimii {/(/△)}△, n 1 deci l(f)-----nu este majorant pentru această mulțime, adică există o diviziune » a n lui [a, b] astfel îneît <») W--< n \ n/ (a doua inegalitate rezultînd din faptul că l(f) este majorant pentru mulțimea Din (3) rezultă W Z(fl - lim Z(fi ). Luînd, pentru fiecare 1, o diviziune Aₙ cu proprietățile △n C Aₙ II An II C — , n rezultă (observația 3.4) că: (⁵) KW) Și (1) lim || Anii = 0. n->oo Din (4) și (5) rezultă că șirul este convergent Și (2) lim l If) = Uf). n->oo v ⁷¹' 3.7. Teoremă. Dacă funcția f : [a, 6] -> R este derivabilă, cu derivata continuă, atunci 1) graficul lui f are lungime finită și 2) \/l 110 Demonstrație. Din ipoteză rezultă că funcția x -> j/1 + (f'(x))² este continuă, deci mărginită, adică există M 0 astfel incit |/1 + (f'(x))² M , (V) x e [a, 6], Fie A = (a = x₀ < xₜ < ... < xₙ = b) o diviziune oarecare a lui [a, &]. Aplicînd teorema creșterilor finite lui f, pe fiecare interval xj, (1 obținem un e [xj.i, xj] astfel încît f(^i) ~ f(Xi-i) = — Xi.j), deci W = g 1/ - X^)² ₊ - f (x^))² = = £ / ¹ + (/W)² • (*i - ^i) C M B = M^b - i=l ** oricare ar fi diviziunea A a intervalului [a, 6], în concluzie, graficul lui f are lungime finită. Fie acum A» — (a = Xo < xi < ... < Xpₙ = b) , n e N, un șir de diviziuni ale intervalului [a, i] cu proprietățile (vezi observația 3.6) Hm || △„ || = 0 n~>qo Și (1) limZ(f ) = /(f). n->oo x Aplicînd, ca mai sus, teorema creșterilor finite lui f pe fiecare interval [x”_i, x"], obținem un £" e [x?_i, x?] astfel încît (2) f (x") — f (xi-J = f' ($") (x" — x”_i). Notînd , ^2 , Zpₙ) și ținînd seamă de (2), obținem 1=1 (3) =2 ¹ + (/"(O² • (x’ - xLx) = aAₙ (|/1 + (H² , C») . 1=1 Funcția |/1 4- (f')² fiind continuă, este integrabilă (teorema 11.3.12), deci (obser- vația* II. 2.11) (4) lim aA (|/1 + (f')² , = C |/1 + (f'(x))² dx. n^oo ⁿ Ja Din egalitățile (1), (3) și (4) obținem rb ________________ = \ |/1 + (Hx))²dx. Ja , 111 3.8. Exemple a) Să se calculeze lungimea gra- ficului funcției (fig. IIL16) f(x) = x², x G [—1, 1]. Datorită simetriei este suficient să calculăm lungimea graficului restricției f₀ a lui f la [0,1]. ^vem Uf) = 2/(/o) = 2 C l/l + (f'(x))* dx = Jo * = 2 C l/l + (2a;)² dx, Jo deci aplicînd exercițiul 2.2 (7) din capitolul I, obținem l(f) = 2 U- 2x l/l + 4z² + - In ( 2x + |/1 + 4a;²] 1 T = 2 / 5 + In (2 + / 5). L 2 2 ț J J Io P) Să se calculeze lungimea graficului funcției f(x) ⁼ )² — In J/ a;, x E [1, e]. Avem f'(x) = ^ — £ 2 1 1 ( IA — = — I x I , x 2 v x j deci y) Să se calculeze lungimea astroidei (fig. III.17) de ecuație 2 2 £ »’ + yⁱ = a‘, (a > 0). Prima bisectoare (y = x) intersectează (în primul cadran) astroida în punctul [ _ 3 -Al Afl.2 ² a, 2 ² aj. Datorită simetriei avem egalitățile: z—«. i - /-----s i lungimea arcului (AM) = — lungimea arcului (t17J/5) = — lungimea astroidei, 2 8 deci este suficient să calculăm lungimea graficului funcției (i. r 3 i . I "3 3 12 - v f(x) = \a — x J , x e L2 a, aJ 112 Derivînd funcția f, obținem deci prin urmare f« 1 f “ _ 1 Uf) = \ 3 Z¹ + (H*))²*^ = °³ \ 3 x ³ dz = J2 ² a J2 ² a Așadar, lungimea astroidei este.. 8l(f) = 6 a. I 3.9. Exerciții. Să se calculeze lungimile graficelor următoarelor funcții: 1. f(x) = In x, x (= [|/ 3 , |/ 8] . 2. f(x) = ln(l - x²), 1 2 8 — Elemente de analiză matematică, ci. a XU-a 113 3. f(x) = A (e* + e-*), ₓ e [o, 1]. 4. /(*) = |/x , x e [1, 2]. 1 . 1 5. f(x) = — x²--In xₜ x e [1, e], 6. f[x) = In cos x, x e |O, — 1. L 4 J 7. f(.x) = In —A—, se Io, A], 1 — x L 3 J 8. f(x) = ex, x e [0 ,1]. § 4. ARIA SUPRAFEȚELOR DE ROTAȚIE 4.1. Definiți e. Bacă, / : [«, b] -> E₊ est© o funcție continuă,, atunci mulțimea y, z) G R³| \/y² -H² = (V)&G[a, &]} se numește suprafața de rotație determinată d ©funcția f (fig. 111.18) sau suprafața obținută prin rotirea graficului funcției f în jurul axei Ox. Am văzut în paragraful precedent, cum se asociază lui Ț și fiecărei divi- ziuni A = (a = $₀ < < ... < ₌ ₐ intervalului [a, Z»] o funcție poligo- n«lă ț\. Considerăm acum suprafața de rotație S(f^) determinată de funcția 4.2. Observație. Presupunînd cunoscut faptul că aria laterală a unui trunchi de con de raze r₂ și generatoare g (fig. III.19) este dată de relația + r₂)g, putem calcula aria laterală a suprafeței de rotație S(fₛ) determinată de funcția poligonală /△. 114 într-adevăr, aria laterală a trunchiului de con Ti (fig. III.20) de raze generatoare AJ (distanța dintre A^ și AJ fiind + fM) • d^A^, AJ, rezultă că aria laterală a suprafeței S(f^) este A(f&) = 7t £ + fM) \/ (Xi — z,_J² + — f^~^. i=l După această observație putem defini ce înseamnă că o suprafață de rota- ție are arie, precum și aria laterală a unei astfel de suprafețe. 4.3. Definiție. Fie f : [a, b] -> R₊ o funcție continuă. Spunem că suprafața de rotație S(f) are arie, dacă oricare ar fi șirul de diviziuni (A„)ₙₑN ale intervalului [a, 6] astfel încît lim || Aₙ || = .0, • n-x» șirul . ' (WAₙ))n€N al ariilor laterale ale suprafețelor de rotație S(f&ₙ) (ngN) este convergent în R. în acest caz numărul real pozitiv (lot A(n = hm A(/ₐ,J \ -71-><» I _ se numește aria laterală a suprafeței de rotație S(f). 4.4. Observație. Numărul real pozitiv A{f) este corect definit, adică nu depinde de șirul de diviziuni (Aₙ)nGN considerat. într-adevăr, fie (Aₙ)nGN și (△n)neN două șiruri de diviziuni ale intervalului [a, 6] astfel încît lim || || = 0 = lim || A„ ||. 115 8* Atunci șirul de diviziuni (An)neN J=(Ao, Ao, Ai, Ai , , A„, A», ...) verifică condiția lim |! Aₙ || = 0 deci, suprafața de rotație S(f) avînd arie, rezultă că șirurile fimnGN ’ (x(A-„)) » SN ’ FIM)neN sînt convergente; fie I, 1', 1" limitele lor. Din modul cum a fost construit șirul (An)ncN, se vede că șirurile (A«)ncN și ((Aₙ)ncN sînt subșiruri ale lui (An)neN , deci șirurile FIMIne" șⁱ (A (M)»eN sînt subșiruri ale lui (A (fă„))Tᵢₑⱼy și prin urmare l' = / și l" /, adică ' ? = 1". 4.5. Teoremă. Dacă f : [a, Z»] -> K₊ este o funcție derivabilă, cu deri- vata continuă, atunci (a) suprafața de rotație determinată de f are arie și (P) A(f) = 2îu f(x) |/1 + (f'(x))²dx. Ja Demonstrație: Funcția f fiind continuă pe intervalul închis și mărginit [a, b], verifică (vezi, cap. II, 3.10) condiția (U), adică pentru orice e> 0 există qE > 0 astfel îneît f¹) (V) x', x" e [a, 6] cu | x' - x" | < qE => | f(x') - f(x") | < —-— , ° Wf) unde l(f) este lungimea graficului lui f. Fie acum — xq < X] < ... < xpₙ = bj (n e N) un șir de diviziuni ale intervalului [a, FI astfel îneît lim || Aₙ || = 0. Atunci există un nE e N astfel îneît n-><» II An || < qE, (V) n > n£ Aplicînd teorema creșterilor finite lui f pe fiecare interval [zr-Ln a??], obținem un e , a:”) cu proprietatea (2) f = r (5?). (4 - 41,). Atunci lⁱm (/■ l/l + (D², = C f(T) |/l + dx, Ja deci există n" e N astfel îneît (3) %|(/'l/i + (D² oricare ar fi n n" . e 2 1/1 + (f'(x.Wd.r Ja 116 Deși aria laterală a Iui 5(Mₙ) A (K) = ” D + f ¹ +ₙ„ 2kZ(A Folosind inegalitatea (4), obținem , ^„(241/1 + 0. C?)| = _________ - E (f (4-i) + H4) - 2f(4)) 1/1 +(f(4))²(4 - 4-1) i=l Pn ₜ < K £ I f W-i) + f (4) -2 f (4) I l/TTvW (4 - 4-1) < Pn < ' (^ₙ) £ 2 E 2/(f) (V) n > nE. Din această inegalitate și inegalitatea (3) rezultă că, pentru orice n > n£, avem Cb z______________ A - 2n \ f(z) |/1 + (f(x^ dx ja + (2itf |/1 + (f'Y, C f(x) |/1 + (f'(x))> dx I < I ⁿ Ja 2 2 (^)n > n, 117 deci lim a. (2^/1 4- (f'(x)^ , n-+<*> ⁿ există și este egală cu rb ___________________ 2* \ f(®)|/l + (f'(x))*dx. Ja Cum aceasta are loc pentru orice șir de diviziuni (Aₙ)neN ale lui [a, t] de normă tinzînd la zero, rezultă (definiția 4.3) că su- prafața de rotație determinată de f are arie Și ^) = 2n b ____________ /•(x)i/i + (f'(x)ydx. a 4.6. Observație. Considerînd parabola de ecuație y² = lax, (a > 0) se observă că panta tangentei la parabolă în origine esteinfinită (fig. 111.21), adică funcția , f(x) = |/ 2ax x [0, oo) nu este derivabilă în 0. Ținînd seamă de această observație și de faptul că integrala b g(a;)dx a a fost definită pentru funcții g definite pe întregul interval [a,6], rezultă că^în cazul con- siderat, nu se poate vorbi de •b Io f(x)l/l 4- (fM)² d*. Totuși, se observă (intuitiv) că această suprafață de rotație are arie. în observația care urmează vom încerca să arătăm că au arie și suprafețele de rotație determinate de funcții f care nu sînt neapărat derivabile la capetele intervalului [a, d], dar pentru care funcția f[/l 4- (f')² are limită finită în punctele a și b. 4.7. Observație. Să considerăm funcția f : [a, 6]R₊ cu prăprietățile: (c^ f este derivabilă, cu derivata continuă pe (a,b), (c₂) funcția f |/1 4- (f')² are limite finite în punctele a și b. în acest caz funcția f |/1 4- (f')² poate fi prelungită la o funcție continuă h :[a, Z>]-> R₊. într-adevăr, dacă yₐ (respectiv yb) este limita funcției f |/1 4- (f)² în punctul a (res- pectiv b), atunci definim funcția h :[a,b] -> R₊ prin egalitatea ya, dacă x = a, h(x) fW |/1 4- (f'W)2, dacă x e (a, b), 1 yb> dacă x = b. Funcția h are următoarele proprietăți: (a) restricția lui h la {a, b) coincide cu f |/t 4-- (f')²; (0) lim h(x) = yₐ = h(a)- .v >a (y) lim h(x) = y = h(b}. x-^b u 118 Din (P) și (y) rezultă că h este continuă în punctele a și b, iar din ipoteza (q) și proprietatea (a) rezultă continuitatea lui h pe (a, b); deci h este continuă pe întregul interval închis [a, &], prin urmare h este integrabilă pe [a, &]. Observăm că, în cursul demonstrației teoremei 4.5, nu s-a utilizat nicăieri nici f'(a) și nici f'(b), ci numai f'(ți), unde $ e («{Li, x™) C (a, b) au fost obținuți aplicînd teo- rema creșterilor finite. Pe de altă pârte, ținînd seama de proprietatea (a) a lui f, rezultă că pentru acești w7l Si, avem ₊ (fyₜ ₌ oAₙ(2nh, deci se obține inegalitatea (cu notațiile din demonstrația teoremei 4.5) I ~ | < f ’ (V) n > nₑ. ² I însă „ Cb lim a/±(2nh, = 2tt \ h(x)dx, n->oo ⁿx ' Jₐ deci rb lim există = 2k l A(ar)d®. n-><» \ Jₐ / Așadar, putem formula următorul rezultat: I' 4.8. Teoremă. Dacă f : [a, 6] -► R₊ este o funcție derivabilă, cu / derivata continuă pe (a, b) astfel încît funcția f |/1 + (f)² are limite finite în punctele a și b, atunci suprafața de rotație determinată de f are arie și A(f) = 2tv C h(x)dx, Ja unde h este prelungirea (prin continuitate) a lui f J/l + (f')^ la intervalul închis [a, £]. 4.9. Exemple. a) Să se calculeze aria suprafeței de rotație determinată de funcția f(x) sin x, rr G [O, %), (fig. III.22). 119 Funcția x -> sin x este derivabilă, cu derivata continuă pe toată mulțimea R, deci f satisface condițiile teoremei 4,5. Datorită simetriei, este suficient să se calculeze aria suprafeței determinate de restricția f₀ a Iui f la intervalul 0, — . L 2 J Deci TT A(f) = 2/1 (/₀) = 47c\²sin x |/1 4- cos²xda:. JO, • Făcînd schimbarea de variabilă / \ def Fn TC1 u = 0) ¹ (paraboloid de rotație). Funcția x -+ |/x nefiind derivabilă în origine, nu putem aplica teorema 4.5 (vezi observația 4.6). Totuși f este derivabilă, cu derivata continuă pe (0, ă], iar funcția |/1 + (f(®))² = |/â /2x 4- a, (V) ® e (0, b] are limită finită în punctul 0 lim f{x) |/1 + (f(x))² = a, x->0 120 deci funcția h : [O, d]-> R₊ definită prin Ia, dacă x = O, f(x) [/1 + (f'(x))², dacă x e (O, 6] este continuă pe [O, 6], ' Aplicînd teorema 4.8, rezultă că suprafața de rotație determinată de funcția '= j/2ax, x e [0, /;] are arie Cb /- Cb /---------- A(f) = 2tc i /?(a;)da: — 2n y a l |/2z + a d.r =. Jo Jo .1 • A 1 3 ib “ ‘ 2 b (2x 4- a) * (2x 4- a)zdx = n |/a al — ii 3 ' o 2 = [(° + ²⁶) ' ~ a ' ] y) Să se calculeze aria suprafeței (fig.III.23) obținute prin rotirea în jurul axei Ox a elipsei de ecuație ^ + p ⁼ ¹’ («>^>0) Deci se cere să se calculeze aria suprafeței de rotație determinată de funcția \ |/a² — (ex)² fiind pară, avem (vezi cap. II, observația 4.16) ^Uf) = f l/a² — (ex)² dx = f A / f—] — x² dx. a Jo a Jo y { e J Se știe (vezi cap. 1, exemplul 3.5 (2)) că o primitiva a funcției x este funcția F(x) = — D arc sin — 4 x j/ă² — x²l. 2 L a Deci Observăm că dacă b tinde către a, atunci excentricitatea elipsei tinde la zero și elipsa devine un cerc de rază a. în acest caz .. arcsin e li m------------= 1 e->0 e Și Aria sferei de rază a este 47ra². 4.10. Exerciții. Să se găsească ariile suprafețelor de rotație determinate de funcțiile: 1. f(x) = X e [0, 1]. O X— 2. f{x) = y (ex + e"x), x e [0, 1], 8. f(x) = cos x, x e k ' 2 J 4. f(x) = ex, x s [0,1]. 122 6. f(x) = b + |/a⁸ —x², x G f— — , — [22 6. f(x) = 2 |/1 7. f(x) = — [/1 — x², x e [O, 1]. 4 8. f(x) = x g [O, 3a]. § 5. CALCULUL APROXIMATIV AL INTEGRALELOR DEFINITE Am văzut în capitolul II (teorema 2.12) că dacă f : [a, 6] -+ R este o funcție integrabilă, care admite primitive, atunci integrala definită a lui f poate fi calculată cu ajutorul formulei lui Leibniz-Newton: [bf(x)dx = F(b) — F(a), ja unde F este o primitivă a lui f. în cazul funcțiilor integrabile care nu au primitive (astfel de funcții există, vezi exemplul 11.2.13), sau al funcțiilor care au primitive, dar acestea sînt greu de calculat (de exemplu: nu se pot exprima cu ajutorul unor funcții elementare cunoscute), nu putem utiliza formula Leibniz-Newton. în ase- menea situații trebuie recurs la alte metode. De obicei se folosesc metode de aproximare a integralei prin anumite sume o(f, A) asociate unor diviziuni particulare A ale intervalului [a, £]. Atunci cînd folosim o anumită metodă de aproximare a integralei ( f(x)dx, ja trebuie să cunoaștem, în funcție de diviziunea aleasă A, cît de mare poate fi diferența (în valoare absolută) dintre integrala f(x)dx și suma A) aso- , Ja ciată diviziunii A. Dacă se lucrează cu diviziuni echidistante, adică diviziuni: / I , △n = (« = S₀ < *1 < - < = *0 la care distanța dintre oricare două puncte consecutive este aceeași b — a ᵥ Xi — , (1 < i C n), n atunci problema de mai sus poate fi reformulată astfel: „Dat fiind un e > 0, cît de mare trebuie să fie n pentru ca eroarea care o facem, atunci cînd luăm în loc de C f(x)dx, să fie mai mică decît e?“ i Ja- I 5.1. Metoda dreptunghiurilor. Fie f : [a, 6] -► R o funcție integrabilă, Aₙ = (a = x₀ < #j < ... < xₙ = b) o diviziune echidistantă a intervalului [a, fr] și drept puncte „intermediare¹* luăm punctele xₗₜ x₂, ..., xₙ, adică în 123 fiecare interval [a^, zj, drept punct „intermediar" luăm extremitatea din dreapta a acestui interval. Atunci (1) ^„(f, Xᵢ) = £ (xi — *i-i) = + ... + f(xₙ)]. Întrucît această sumă depinde numai de f și de n, o vom nota simplu prin Dₙ(f). ' . în cazul particular, cînd f este pozitivă, suma Dₙ(f) reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor D₂,..., Dₙ, unde (fig. III.24) def A = x [0, = {(x, y) G R² | x^ X x^ 0 < y < fkx^y Așadar, cînd f este pozitivă, aria W- 1=1 Din acest motiv, metoda de aproximare a integralei definite a unei funcții integrabile prin suma Dₙ(f) se numește metoda dreptunghiurilor. o 5.2. Estimarea erorii în metoda dreptunghiurilor. Dacă f : [a, 6] —► R este o funcție derivabilă, cu derivata continuă, atunci f f(x)dx - Dₙ (f) I < imn, Ja I n unde = sup | f\x) |. x£[a, bj Demonstrație. Fie ca mai sus △ₙ = (a = < ^1 < ••• < xn = b), b — a . . xi ~ xi-i = ----» (V) i = 1, ..., n n Ș‘ dm = E i=l n i=i 124 Nolînd, ca de obicei, mi = inf { f(x) | x e [a^i, zj}, def Mi — sup {f(x) I X €= [Zj.1, Z,]} și ținînd seamă că funcția f este continuă (fiind derivabilă), rezultă că f este mărginită și își atinge marginile pe intervalul închis și mărginit [zj.H zj. Deci există uj, Vi e e [zi.j, zîJ astfel încît (1) . mi = fM, Mi = f(vi). Aplicînd teorema creșterilor finite lui f, obținem un punct cuprins între ui și Vi astfel încît (2) f(vi) - f(ui) = f'^iHvi ~ Avînd mi^f^i)^ Mi rezultă * _!L ⁿ ⁿ (3) 22 "lⁱ^Xⁱ ~ Xⁱ-') 22 f^Mxi _ xi-i) £ M^xi ~ i=l " adică (vezi cap. II, propoziția 3.3 (i)). (4) (f) < Dₙ(f) < (f). Ținînd seamă de relațiile (1) — (4) și de inegalitatea I — uj | < xi — Xi.ₜ b — a n obținem (5) n (0 - M 2 {Mi - mi) (xi - ^,.0 = =—E [« - fM) = —- E - u‘> < n i=\ n ~ b — a „ (b — a)² (b — a)² n i=i n n Pe de altă parte (vezi cap. II, relația (3) din demonstrația teoremei 3.7) (6) «a, (/■)< C «*)<■%, (f)- Din (4), (5) și (6) obținem | rb I (b — a\² l f(x)dx - Dₙ (f) < S. (f) - s. (f) ). I Jo- I fl 5.3. Metoda trapezelor. Această metodă constă în aproximarea integralei (b f(x)dx prin suma Ja =|E [/■(«) + fw + E 2 ” 2n L j=i J 1 t ' cînd Xi — x^ = —(b — a), (1 < i n). n 125 Dacă funcția / este pozitivă (f(x) > 0, (V) x E [a, b]), atunci această problemă revine la aproximarea ariei mulțimii rr = {(^ f(x)} (cuprinse între axa Ox, graficul lui f și dreptele paralele la Oy, care taie axa Ox în punctele a și b respectiv) prin suma ariilor trapezelor Ti (fig. III.25) aria T^) = A^f^) + (x, - 2 2n Deci, dacă f este pozitivă, atunci • n (f) = £ aria (TJ = [f(a) + f(b) + 2 £ . i=l 2n L " 5.4. Estimarea erorii în metoda trapezelor Dacă f : [a, &] -> R este o funcție de două ori derivabilă, cu derivata a doua f" continuă, atunci \b f(x)dx - rₙ(f) Ja 12zr unde w)=suP m®) |. xe[a, b] Demonstrație. Pentru orice a, 3 e [a, b], cu a < p, definim funcția g : R—► R prin egalitatea 0) gW = | (< - «)(< - «■ Atunci (2) (3) W g(a) = g(P) = 0, g-(0 =i[2f- («+ PJ], e'M = | (« - B, «'(P) = | (P - «). 8’(l) = 1. 126 Aplicînd de două ori formula de integrare prin părți și ținînd seamă de relațiile (1) — (4), obținem: rp rp P ip rp f(i)di = k f(t)g"(t)dt = f(t)g'(t) ~f'(t)g(t) -M f"(t)gWt = Ja , Ja a a Ja 1 1 1 fP = ± (P - ₐ) - fa) ± (ₐ - p) ₊ ± L p)d/ = 2 2 2 Ja 1 i rn = V [M + m (P ~ «) + M m {t ~ a) 0 ~ 0)■)]. însă 1 + e = 3,7282818, e⁽⁰’⁵⁾’ 1,2840254, eC⁰»¹)’ = 1,0100502, e<⁰’⁶⁾’ = 1,4333294, ₑ(°’²⁾’ = 1,0408108, ₑ(°>7)² = 1,6323162, ₑ(0,3)’ _ 1,0941743, ₑ(°>8)’ ₌ 1,8964809, e<°’⁴)² = 1,1735109, e⁽⁰’⁹⁾² = 2,247908, deci . 1 29,3434494 7\o (ex ) = [3,71822818 + 25,6251676] =--------—------ = 1,46717247 Zv Z U pz) Estimarea erorilor. Funcția pozitivă f (x) = 2(1 4- 2a;²)e^, x G [0, 1] fiind crescătoare, va avea maximul în punctul 1, deci M(f") = 6e g — Elemente de analiză matematică, cl. a Xll-a 129 Se știe (vezi 5.4) că | C f(x)dx - Tₙ(f) I < M(f") |ja | 12n² deci «nl - ⁶e « | y, e» dx - T,(e« ) | < — = ᵣ— = - = 0,15101, (' v. T,«| «» « Jo o* dx - T₄P ) | < — = — - - = 0,08493, f¹ , «I Wl ⁶e * V d* ~ T„( _ - — - 0,01359. Așadar, avem evaluarea ri 1,45358= Tiofe^) - 0,01359 < \ ex’dx < T₁₀(ev’) + 0,01359 = 1,48076. Observație. Calculele numerice de mai sus au fost efectuate cu un calculator de buzunar. P") Determinarea numărului minim, n, de puncte de diviziune, astfel incit: ! D„(vx:) ~ C ev’ da; ! < —---------------------------- I Jo J 1 ooo Funcția f'{x) = 2xex' (O-Cx-^l) fiind strict crescătoare, va avea maximul în punctul 1, deci , M(f') = 2e. Se cere, deci, să determinăm n 1 astfel încît M(f') < —L_ , n 1 000 adică, în cazul nostru ¹ » ¹ — 2e < -------, n 1 000 sau n > 2 000 ea 5436. » Așadar, pentru a calcula, prin metoda dreptunghiurilor, integrala ( ex’ dx, » • Jo . ' 1 cu o eroare mai mică decît --------, este nevoie să se ia cel puțin 5 437 puncte de 1 000 diviziune. P") Determinarea numărului minim n de puncte de diviziune astfel încît Jo 1 1 000 Se cere să determinăm n 1 astfel încît (b - a)³ 12n² i 1 000 130 în cazul nostru b — a = 1, iar M(f") = 6e. Deci 6e 1 12n² 1 000 ’ de unde n > |/500e = 10 /ăe 36,86. Așadar, pentru a calcula, prin metoda trapezelor, integrala ( e*² da; Jo 1 . . . . cu o eroare mai mică decît——, sini, suficiente 37 puncte de diviziune. i 000 în exemplele prezentate mai sus se arată că metoda dreptunghi urilor apare mai puțin „economică¹⁴ decît metoda trapezelor, în sensul că pentru a obține o evaluare dată a integralei, numărul de operații necesare în prima metodă este mult mai mare decît cel din a doua metodă. 5.6. Exerciții. Să se calculeze suma n if\ îl£Î ® fi \ Dₙ(f) =--------- respectiv Tn{f} = — f/(a) + f(l>) + 2 V , L J prin metoda dreptunghiurilor(respectiv metoda trapezelor) de aproximare a integralei rb \ f(x)(\x Ja și să se evalueze eroarea pentru funcțiile: 1. M = x2 + 3x, a; e [0, 4]; n = 4; n = 8. 2. f(x) = x3 + 1, x e [0, 2]; n = 4; n = 6. 1 3. f(x) = -------■, x e [0, 11; n = 3; n = 5. x2 + 1 4. M = ---, x e [1, 2]; n = 3; n = 5. X § 6. CENTRE DE GREUTATE în cele ce urmează vor fi considerate numai plăci plane atît de subțiri încît, din punct de vedere practic, grosimea lor să poată fi neglijată. In aceste condiții vom identifica plăcile plane cu mulțimi din plan. Deoarece în practică este nevoie adeseori să se calculeze aria plăcilor plane, vom identifica plăcile plane cu mulțimi din R² care au arie. , 13’i 9* Nu vom intra în considerații fizice privind definiția masei unui corp, în particular a unei plăci plane. Vom spune totuși că masa este o măsură a canti- tății de materie dintr-un corp. Cu identificarea de mai sus, masa reprezintă o funcție A -> m(A), care asociază fiecărei plăci plane (pe care o identificăm cu o mulțime care are arie) A, un număr real pozitiv m(A), numit masa lui A. Această funcție trebuie să satisfacă, în cadrul mecanicii clasice, următoarele condiții: (MJ dacă placa A se descompune în n plăci plane disjuncte Aₙ A₂, ... Aₙ, atunci m(A) = m(Ai) + m(A₂) + ... + m(Aₙ), (M₂) masa m(A) a unei plăci plane A rămîne constantă în timpul mișcării. O placă A se numește omogenă dacă există o constantă k > 0,astfel încît m(B) = k • aria(^), pentru orice parte B (care are arie) a lui A. Dacă D = [a, 6] x [c, d]este o placă dreptunghiulară omogenă (fig. III.26), atunci există o constantă k 0,astfel încît m{D) = k aria(D) = k(b — a){d — c). Pentru o astfel de placă de masă nenulă, centrul de greutate se definește ca fiind punctul (x, y) G R² de coordonate def 1 .r I \ 3 = — (b A- a). ‘ 2 Să considerăm acum o placă E formată dintr-un număr finit de plăci dreptunghiulare D₂,..., Dₙ cu laturile paralele cu axele de coordonate și astfel încît fiecare două plăci Di, Dj (i / j) au în comun cel mult o latură. Aceasta înseamnă că mulțimea din R² cu care se identifică E este elementară (vezi cap. III, definiția 1.1). Pentru comoditate, astfel de plăci vor fi numite elementare. Fie E o placă elementară formată din plăcile dreptunghiulare D₂, ..., Dₙ Fig. IIL26 132 de mase ..., m(Dₙ) și ale căror centre de greutate sînt respectiv punctele ($1> (^2, ^2)» •••> (^nf Pn)’ Atunci centrul de greutate al lui E va fi, prin definiție, punctul (^, de coor- donate 5^ ^dcf 7^1 --------------- i = 1 „def t=l 9=—-------- V m(D{) m(E) Dacă placa E este omogenă, atunci există o constantă k > 0, astfel încît m(B) = k aria(B), oricare ar fi partea B (care are arie) a lui E\ în particular, m(Di) = k aria(A), (V) i = 1, 2, n. Deci putem exprima coordonatele centrului de greutate numai în funcție de ariile și centrele de greutate ale dreptunghiurilor Di aria (PJ^i ----------- aria (P,) n aria P = ------------ aria (P,) Fie f, g : [a, &] -> R două funcții continue astfel încît f(x) < g(x), (V) x G [a> £]• Să considerăm mulțimea rM= {(*, V) G K² I a < x < b; f(x) < y < g(x)} cuprinsă între graficele funcțiilor f, g și dreptele paralele la Oy care taie axa Ox în punctele a și b respectiv. în cele ce urmează vom defini centrele de greutate ale plăcilor plane care se identifică cu mulțimi din plan de forma rf₎g. Fie deci A = (a = x₀ < xᵣ < ... < xₙ = b) o diviziune a intervalului [a, Z>], mijlocul intervalului [${_!, «»] = X (Xi + Xi-j), (1 < i < n) 133 și dreptunghiul (fig. 111.28) Dx = z,] X [f( Ci), g( Ci)] a cărui arie este aria(A) = (^i — ' (g( &) — f( U)« Dacă norma diviziunii A este suficient de mică, atunci mulțimea Ti = {(z, y) G R² | zM < z < Xi\ f(x) < y < #(z)} (delimitată de graficele lui f, g și de dreptele paralele laOy care taie axa Ox în punctele x^ și xₕ respectiv) se aproximează cu dreptunghiul deci centrul de greutate al lui I\ se aproximează cu centrul de greutate al lui D^ prin urmare centrul de greutate al lui F/⁻,» — U i=l se aproximează cu centrul de greutate al mulțimii elementare „ def ⁿ ' Eă — (J Di. i— 1 Coordonatele centrului de greutate al lui Di fiind = +f(W, rezultă că centrul de greutate al lui va avea coordonatele: aria (Dj)$i Za = aria (Dj) 71 gusia-riai-ta-^) glefel-fiai-ta-^-i) 54 = ^aria {Dₜ)Si n aria (A) ² 1^1„ 134 Aceste considerații conduc la următoarea: 6.1. Definiție. Dacă A ' este o placă plană Care se identifică cu o mulțime de forma r^, unde f, g : [a, Z>] -> R sînt funcții continue, atunci centrul de greutate al lui A este, prin definiție, punctul ($A, pA) £ R² ale cărui coordonate sînt p , cu \ 4g(a-) - /’(*)]dx \ xfg(x) - /»]dx 11 Ja Ja _ C [fM - /W* a'ⁱa ⁽r^⁾. Ja i C b 4 Cb — \ isV) - ^(^Jdx —\ [g²(x) - f²(x)]da; def 2 Ja _ 2 ,1» Pᵣ / \ ti vu aria \ fd*) -f(«)]dx ' haⁱ Ja Dacă f(x) = 0 și g($) > 0 (V) x G [a, &], atunci b Cb xg(x)dx \ g\x)dx ----------, yA = 1 . aria (F^) 2 aria (F^) 6.2. Exemple, a) Fie <2 > 0 și o placă plană omogenă de forma A = {(z, y} G R² I 0 < x < a; y² < ax} (porțiunea din plan cuprinsă între parabola de ecuație y² — ax și dreapta paralelă la Oy care taie axa Ox în punctul a; fig. 111.29). Pentru a calcula centrul de greutate al lui A considerăm funcțiile f, g : [0, a] -> R₊definite prin f(x)= — ]/ax, g(x)™]/ax. Atunci coordonatele centrului de — greutate al lui A sînt a ______ __________ , x[[/ax — (— |/a.r)]dx Ca _____ __________ [\/ax — (— |/ax)]dz 2 i xl/ ax d« Jo a - x² dx o 1 ¹ r x⁴ dx o 5^ 3a² 3 5a ² i _________ 2 1 [/ ax dx Jo T b — (— /ax)²]dx yA = 11^------------------------₌ ------®-----= 0. ra .__ Ca __ 2 \ / ax dx \ |/ ax dx 135 Fig. III.29 Deci centrul de greutate se află pe axa Ox, care este și axă de simetrie a mul- țimii A. 0) Să se determine centrul de greutate al unei plăci plane omogene de forma A = {(x, y) G R² | 0 unde a > 1 (fig. III.30). Luînd f, g : [0, 1] -> R definite prin . dcî 9 = x², rezultă < x < 1; x² < y < ax}, def — ax, r 1 f* i f 2 3'ii aria (X) = l [g(z) — f(x)]dx = \ (ax — x²)dx = la —--------------------— I JO Jo ( 2 3 J |o a 1 3a — 2 “ 2 ~~ 3 “ 6 ’ deci (ax² — x³)dx = 0 6 fa 1) ^(^a — 3) 4a — 3 3a — 2 ( 3 ij (3a—2p 12 “ 2(3a — 2) ’ ( (a²x² — x⁴)da: 2 Jo = ------------------- = aria (A) = ⁶ 1 {^111 _ 3(5a² - 3) _ 5a² - 3 (3a - 2) 2 l 3 5 J “ 15(3a - 2) “ 5(3a - 2)' în cazul particular cînd a = 1 (fig. III.31), / 1 2 A centrul de greutate va fi situat în punctul I — , — I. 12 5 J y) Să se determine centrul de greutate ăl unei plăci plane omogene de forma unui triunghi. 136 Pentru simplitate vom considera cazul unei plăci triunghiulare în care două din vîrfuri B și C sînt situate pe axa Ox, iar al treilea A esle situat pe axa Oy (fig. 111.32). Așadar, vom avea A(0,a}, B(b,O), C(r,O).. Vom presupune, de asemenea b <0 < c. Ecuația dreptei ce trece prin J și B va fi y = - ” - b), b iar ecuația dreptei ce trece prin .1 și (' va fi a H =------ Notăm cu g:[6,c]-*R funcția definită prin — " (x — b), dacă x e [/;, 0), b gk) — • — " (x — c) dacă x e. [0, cj c și cu f :[b, c] —> R funcția identic nulă. Mulțimea I’/.g va fi ABC și deci aria sa va fi egală cu a(c — b). •) interiorul triunghiului Abscisa centrului de greutate al mulțimii T'/.y va fi \ .rg(.r)dx Jb_____ aria (r/ₗf,) Avem Ordonata centrului de greutate a mulțimii ly.p va fi 1 fC 2/ , i 2 Jb________ aria (T^.) 137 1 Avem f c r o \ g²(x)dx = \ Jb Jb _ a² (x - b)² “ 6² 3 și deci C c g²{x)dx + \ g²(x)dx = Jo O . a² (x — c)³ c b c² 3 d a² f° ₉ a² Cc ~ \ ~ b) dx + ~ \ i² Jb c² Jo 1 a² ₃ 1 a² 3 — — --------------------c³ = 3 b² 3 c² (x — c)²dx = — a² (c — b) 3 — a(c — b) Așadar, centrul de greutate va fi punctul de coordonate cee^ ce reprezintă punctul de intersecție al medianelor triunghiului ABC. G.8. Exerciții. Să se găsească centrele de greutate ale următoarelor plăci plane omogene: 1. A = {(x, y) | O <; y I — x², — 1 -C x 1}. 2. A = {(x, y) | O < y < [/1 - x², O.< x < 1}. 3. A = {(x, y) | 0 < y < 2 |/ 1 - x², -1 < x < 1}. 4. A = {(x, y) | O y sin x, O x n}. 5. zl = {(x, y) | — x ^.-y x, O x ^4}. § 7. LUCRU MECANIC Considerăm o particulă P care se mișcă pe un interval 7 c R sub acțiunea unei forțe F, de direcție Ox. Forța F avind în fiecare punct tQ J o valoare F(/) care acționează în direcția axei Ox, vom identifica F(t) cu un număr real; acest număr va fi considerat pozitiv dacă forța F (t) acționează de Za stingă la dreapta^ și negativ dacă acționează (le la dreapta la stingă. în această situație, forța F poate fi considerată ca o funcție F : J -» R. in cazul cînd forța F este constantă /'(/)'= ^)t e J, lucrul mecanic, efectuat de forța F pentru a deplasa particula P din punctul a £ J in punctul b G •/, este, prin definiție, numărul real La,b(W ' (b — <0- Dacă forța F nu este constantă, atunci un raționament similar cu cel folosit în definiția integralei va conduce la definiția lucrului mecanic în cazul general. 138 Fie a, bE J, u < b și A = (a = x₀ < xₓ < ... < xₙ = b) o diviziune a intervalului [«, 6|. Particula P, mișcîndu-se de la a la b trece prin punctele a?ₗf x₂, ..., xₙ_ₓ, deci, conform a ceea ce se admite în fizică, Fₐ.b(F) = ^0-vl + ••• + ^x„^ₓ.Xₙ(F). Dacă || A || (norma diviziunii A) este suficient de mică, atunci forța A se aproximează, pe fiecare interval [a;^, rrj, prin forța (constantă pe [rrf_ₗț #,]) (V)®6[®ₕ, xj, unde £ [^i—n este un punct fixat. Deci, lucrul mecanic efectuat de *—• • forța F pentru a deplasa particula P din punctul x^ i în punctul xₕ se aproxi- mează prin Așadar, lucrul mecanic efectuat de forța F pentru a deplasa particula P de la a la b se aproximează cu ^F(Zi){Xi — xₓ_ₓ). i = l Aceste considerații sugerează următoarea 7.1. Definiție. Fie J un interval c R, F : J -> R o forță care este considerată ca o funcție continuă și P o particulă care se mișcă în intervalul J sub acțiunea forței F. Atunci lucrul mecanic efectuat de forța F pentru deplasarea particulei P din punctul a £ J în punctul b J este, prin definiție, numărul real Lₐ,b(F)^^ F(x)dx. 1(1 7.2. Exemple, a) Fie PQ, P două particule de mase m₀, respectiv m, situate pe axa Ox în punctele z₀, respectiv x. Considerăm particula Pₒ fixă și situată la stînga față de particula P (fig. II 1.33). Atunci, conform legii atracției universale, forța care acționează asupra lui P (de la dreapta spre stînga) este unde k este o constantă. în acest caz, lucrul mecanic efectuat de forța F pentru deplasarea particulei P dintr-un punct > Xq) în alt punct £₂( > zj este LXJ, X₂(F) = —kmmQ C² ——— = km.m₀ ( [-----------------—| dx = JX₁ (x — XQ)² Jxj I x — xQ ; > 1 ₇ r 1 11 kmm 0 depinde de resort). Deci, lucrul mecanic necesar pentru a întinde resortul pînă la lun- gimea l + Xq (x₀ > 0) este T fX» 7 1 7 X² ko k Lₓ = l kxax = k — = — ⁰ Jo 2 Io 2 Constanta k poate fi determinată din relația F(x) = k x, dacă se cunosc unele date suplimentare despre resortul considerat. Astfel, dacă se știe că pentru a întinde resortul cu 1 cm este nevoie de o forță de 5N, atunci deci k = 500 Așadar, în cazul considerat ^xo ⁼ —^o ⁼ 250 x² în Jouli. 7.3. Exerciții 1. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat pentru întinderea unui resort elastic cu 2 m, știind că pentru a-1 întinde cu 1 m este necesară o forță de 100 N. 2. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat pentru întinderea unui resort, elastic cu 5 cm, știind că pentru a-1 întinde cu 1 m este necesară o forță de 10 N. 3. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat pentru a ridica un corp cu masa de 5 kg la înăl- țimea de 100’ m. 4. O picătură de apă avînd masa inițială M cade sub acțiunea greutății sale și se evaporă uniform, pierzînd prin aceasta în fiecare secundă o masă m. Să se găsească lucrul mecanic efectuat de forța de greutate a picăturii, din momentul începerii căderii sale pînă în momentul evaporării totale. Se va neglija rezistența aerului. ANEXĂ 1n această anexă sînt date unele definiții și rezultate care sînt folosite în acest manual. Toate acestea și-ar găsi mai bine locul în manualul de Elemente de analiză matema- tică de clasa a Xl-a, cu atît mai mult cu cît unele noțiuni au fost deja utilizate în clasa a Xl-a. Aᵣ Definiție. Fie E C R, E^0. Un număr real a se numește minorant al mul- țimii E dacă (V) x e E => a x. J Un număr real p se numește majorant al mulțimii E dacă (V) x e E => x p. O mulțime EcR, E=fz0 se zice minorată (respectiv majorată) dacă există mino- ranți (respectiv majoranți) ai lui E. Dacă E este minorată și majorată, atunci E se . M • • W ' numește mărginită. A ₂. Observație. Un minorant (respectiv majorant) al unei mulțimi E nu aparține neapărat mulțimii E. A₃. Exemple-. (l).~Dacă E = [0, 1), atunci: — orice număr real a 0 este un minorant al mulțimii E, în particular 0 este minorant al mulțimii E’, — orice număr real p^ 1 este un majorant al mulțimii E; — nici un majorant al mulțimii lui E nu aparține lui E. (2) Mulțimea (— oo, 0] nu are minoranți. (3) Mulțimea N a numerelor naturale nu are majoranți. A₄. Definiție. Fie £■ C R, E=fz0. Un număr real a se numește cel mai mic element al lui E dacă 1) a. este minorant al lui E, 2) a e E. Un număr real p se numește cel mai mare element al lui E dacă i) p este majorant al lui E ii) p e E. A₅. Observație, (a) Dacă a este cel mai mic element al lui E, atunci a este unicul element cu această proprietate. într-adevăr, dacă a.' este un alt număr cu proprietățile: 1') a' este minorant al lui E, 2') a' e E, atunci din 1) și 2') rezultă a a.', 141 iar din 1') și 2) rezultă a' a, deci Ot ' CC • (b) in mod analog se arată unicitatea celui mai mare element (dacă există) al unei mulțimi. (c) în exemplul (1) din (A₃), am văzut că: — mulțimea minoranților lui [0, 1] este intervalul (— oo, 0], — mulțimea majoranților lui [0, 1) este intervalul [1, oo), deci 0 = cel mai mare element al mulțimii (— oo, 0] Și 1 = cei mai mic element al mulțimii [1, oo), .cu alte cuvinte . ; 0 = cel mai mare minorant al lui [0, 1) Ș‘ 1 = cel mai mic majorant al lui [0, 1). Aceste observații sugerează următoarea Afₗ. Definiție. Fie E c R, mulțime nevidă minorată. Un număr real m se numește marginea inferioară a lui E dacă m este cel mai mare minorant al lui E, adică: 1 ) m este minorant al lui E Și > • 2 ) m este cel mai mare element al mulțimii minoranților lui E. Fie E c R o mulțime nevidă majorată. Un număr real M se numește marginea superioară a lui E dacă M este ce) mai mic majorant al lui E, adică i) M este un majorant al lui E, ii) M este cel mai mic element al mulțimii majoranților lui E. Marginea inferioară (respectiv superioară) a unei mulțimi E se notează inf E (respectiv sup E). A₇. Observație. Marginea inferioară (respectiv superioară), a unei mulțimi, atunci cînd există, este unică. Aceasta rezultă din definiția (Aₙ) și observația (A₅). Admitem, fără demonstrație, următorul rezultat: Afₗ. Orice parte nevidă minorată (respectiv majorată) a lui R are margine inferioară (respectiv superioară). A₉. Exemple. (1) Marginea inferioară (respectiv superioară) a mulțimii [0, 1) este numărul real 0 (respectiv 1). '(2) Marginea inferioară a mulțimii 3 este — . 2 (3) Marginea inferioară (respectiv superioară) a mulțimii E - {?ex² | 0 < x < a} este 0 (respectiv aaeⁿ²). 142 A₁₀. Definiție. O mulțime A dreptunghi care să o conțină, adică din plan se numește mărginită dacă există un dacă există două puncte (aₗₜ a₂) e R² și (b^ b₂) e R², astfel încît (V) (;r, y) A => Ș* a2 y b₂ «i < bi în mod analog se definesc mulțimile mărginite în spațiu. Aₙ. Propoziție. Fie A C R, A =f= 0 o mulțime minorată (respectiv majorată) și fie m = inf A (respectiv M = sup ^4). Atunci există un șir (aₙ)neN C A (respectiv (bₙ)n&i C/l) astfel Incit m = lim aₙ (respectiv M = lim bₙ). n-x» n->*> Demonstrație i Dacă M = sup A, atunci 1 (V) n > 1, M-------< M — cel mai mic majorant al lui A, n deci , ' 1 M nu este majorant al lui A, , n ceea ce înseamnă că există bₙ e A astfel încît M - < bₙ < M, n de unde rezultă că lim bₙ există = M. n-x* în mod analog se arată existența unui șir (aₙ)c/l care converge la m. în propoziția care urmează sînt demonstrate două proprietăți ale funcțiilor continue. A₁₂- Propoziție. Fie I un interval C.H și f : l —> R o funcție continuă într-un punet a & I. Atunci (a) pentru orice e > 0 există 8ₑ > 0 astfel incit (V ) x e I cu | x — a | < 8ₑ => | f(x) — f(a) | < e; (P) dacă f(a) > 0, există un interval deschis J s a, astfel încît (V) x e J A 1 => f(x) > 0. Demonstrație (a). Presupunem, prin absurd, că (a) nu are loc. Aceasta înseamnă că există e₀ > 0 astfel încît pentru orice 8 > 0 există xg e I cu proprietățile: I — « I < * Ș> I fM ~ f(a} I > Eo- 143 t . 1 In particular, pentru 8 = — există xₙ e I cu proprietățile: n (1) |:rn — a | < — n Și (2) I f(xₙ) - f(a) | > e₀. . Din (1) rezultă că lim xₙ = a, n->oo iar din (2) se vede că șirul (f{xₙ))ₙ&n nu converge la f{a}. Contradicție cu continuitatea lui f în a. (3) . Presupunem că f(a) > 0, atunci există eₓ astfel încît 0 < < f(a), deci (3) f(a) — Ej > 0. Funcția f fiind continuă în a, are proprietatea (a), deci pentru £ₓ > 0 de mai sus există Si > 0 astfel încît (V) x e I cu | x — a | < Sₓ =* 1 f[x} — f(a) | < eᵥ Această proprietate mai poate fi scrisă și astfel (V) x e I D (a - 8ₗₜ a + =► f(a) - E₁ < f(x) < f(a) + Eᵣ Punînd J = (a — 8^ a + 8J și ținînd seamă de (3), avem (V) x e I O J => f(x) > f(a] — eₓ > 0. A₁₃. Observații, (i) Orice funcție care are proprietatea (a) este continuă în a. Dec* funcție f este continuă în punctul a dacă și numai dacă are proprietatea (a) din pro- poziția /1₁₂. (ii) Proprietatea (3) din propoziția ^₁₂ s-a folosit la demonstrarea consecinței 4.7 din capitolul II, care afirmă că dacă f este o funcție continuă, pozitivă și neidentic nulă, atunci rb 4 f(x)dx > 0. Ja A₁₄. Definiție. Fie (zn)neN un șir de numere reale. Pentru orice șir crescător de numere naturale < nₓ < n₂ < ... < njₗ₊ₗ < .. șirul de numere reale XnQ, Xnᵥ Xn₂, ..., Xₙₕ, xₙₖ₊ₗ, ..., notat prin se numește subșir al șirului (xₙ)ₙ^. A₁₅. Observație. Dacă, (xnjn&i este un șir convergent de numere reale, atunci orice subșir al său (xₙ^k&^ este convergent și lim xₙ. = lim xₙ. 1. ——b x² + 3x 4* 6; 2. ——b In® + €; 8. ——b ln(— a:) + S; 4,. — a cos x 4- 3 2 2 1 X + b sin x + 6; 5. — arc sin 2x 4- 6; 6. arc sin b 6; 7.-2 ctg x 4- tg x + 2 ' 2 1 x 1 2X 8. . — 2 ctg 2x + S; 9. — arctg — + 6; * 10» — arctg 2x 4- (2; 11. - 4- e® 4-6; 2 2 2 In 2 12. — In ¹ + 6; 18. —In 4- S; 14. 2|/z 4- 3^ + 6; 15.— x²|/^ 4- 2 1 4- x 2 x 4- 1 5 4“ X² ^x² 4- 6. 1 .12. n 1. Dacă f ar avea primitive, atunci și funcția f(x) 4- x = [x] ar avea primitive. Contradicție cu exemplul 1.10 (b). 2. Se observă că /(R) = { — 1, 0,1} adică f(R) nu este interval. Deci (observația 1.4(d)) f nu admite primitive 3. O primitivă a lui f| ( —oo, 0) (respectiv f | (0, oo) este funcția v + C¹ 2 resp. f₂(x) = x sin — 4- c₂ x Deci o primitivă a lui f, dacă ar exista, ar fi de forma ----b c, dacă x 0 2 F(x) = x sin — , dacă x > 0. x Cum funcția F(x) - F(0) x — 0 dacă 0 dacă x > 0 nu are limită în zero, rezultă că F nu este derivabilă în zero. Deci F nu poate fi o primitivă pe R. 10 — Elemente de analiză matematică, cl. a XH-a 145 4. Considerînd funcția H(x) = x² sin A , (V) x o, se observă dă 7/| (.,», ₀) x (resp. H |(₀, ₐ₀)) este o primitivă a lui f | (_ₐₒ, ₒ₎ (resp. f | ₍ₒ, *)). Dacă ar exista o primi- tivă F : R -> R a 1ui f, atunci I (-oo> o) H | (-oq, o) 4" Și F I (o, oo) ⁼ I (o, oo) + C2 F este continuă (fiind derivabilă) pe R, deci ^(O) = lim F(x) = Cj x->0 x<0 ' ' = c = lim F{x) = c₂ x—>0 Atunci: .. F(z)-F(0) H(x) ₊ c-F(0) H(x) F (0) = hm----------------= hm -------------------— = hm —— = x->0 x 0 x—>0 & x—^0 £ = lim x sin — = — = /‘(O) x->0 x 2 deci F nu poate fi primitivă a lui f. 5. Imaginea intervalului (|/ 3, (/ 5) prin funcția f nu este un interval, deoarece 3 3 A/ 3) = 3*< 8 < 5* = f(|/’5) iar ⁸ f\x) (V) x e (|/^, l/”5) Deci (observația 1.4(d)) f nu admite primitive. G. Analog cu 5), imaginea intervalului (|/15, ț/1?) prin funcția /’ nu este un interval, deci f nu admite primitive. 7. Notînd cu G o primitivă a funcției continue x sin — , dacă x =f= O x 0, dacă x = 0 și cu H(x) = — x² sin-------1-2G(rr), dacă x 0, x 2G(0) dacă x = (I se observă că H |₍_OO₎ ₀₎ (resp. II |₍₀> este o primitivă a lui f |₍_₀₆₎ ₀₎ (resp ^0, Dacă F ar fi o primitivă a lui f, atunci !(-«>, 0) ⁼ | (-oo, 0) + f'l 9* |(0, oo) ⁼ | (0, oc) +' C2 F fiind derivabilă, este continuă, deci 146 F(0) = lim F(x) = cₓ 4- 2 G(0) x->0 . x<0 = lim F(x) = c₂ + 2 Gₒ x->0 x<0 prin urmare F ar fi.de forma F(x) = = c + 2 Gₒ — x² sin — 4- 2G(a:) + c, dacă x 0, x 2G(0) + c, dacă x = 0 Și F (0) = lim ——-------------—- x->0 x — 0 — x“ sin — 4" 2G(x) 4~ — 2G(O) — c = lim---------------------------------------- x->0 x — 0 = — lim x sin — 4- 2 lim —---------------------- = 2G'(0) = 2g(0) = 0 x->0 x x->0 x — 0 însă /'(O) = —, deci F'(ty adică F nu este primitivă a lui f. 2 8. Se raționează ca în exercițiul precedent luînd g(x) = Și 1 rr² cos — — 2G(x), — 2G(0) , dacă x =£ 0 , dacă x = 0. 9. Cum lim f(x) = 1, rezultă că pentru orice 0 < e < 1. există o vecinătate VE a lui x->0 zero astfel îneît e < f(x) < 1 (V)x e A (0, oo) , dacă x =/= 0 , dacă x = 0 = Vₑ fiind vecinătate a lui 0, există a e R astfeJ îneît (0, a) c Kₑ A (0, do). Atunci /■(0) = 0 < e < f(a) și f(x) > e (Y)x e (0, a). Așadar, imaginea intervalului (0, a) prin f nu este un interval. Deci f nu admite primitive. 10. Se rezolvă un mod analog cu 9), utilizînd faptul că i- te x hm -------— 1. x->0 x 1. 12. III 1. f este continuă; 2. f este continuă; 8. Fie G o primitivă a funcției continue 147 g(x) = 1 x cos — , x 0 x Atunci F(x) = O, x — 0. x² cos------%G(x), x=^0b x - 2G(0), x = 0 este o primitivă continuă continuă. a funcției date; 4. Analog cu exercițiul 3; 5,, 7, f este 1. 12. IV 1. Dacă F (resp. G) este o primitivă a lui f |[O₎ c] (resp. jf | [c, b]) astfel încît #(c) = = G(c), atunci funcția ₌ I FW> dacă x e c] 1 dacă x e [c, 4] este o primitivă a lui f pe [a, b]. ²' Funcția g = fₗ-fᵢ ₐᵣe proprietatea ¹ Darboux și g(x) = 0 (V)?e=[a,fc])\A. Deci g(x) = 0 (V)rr e [a, 6], adică = f₂. 3. Notînd cu = {x e B| f(x) = ± 1}, rezultă A₊ U A. = R și A₊ A A. = 0>. Dacă A₊ =£ O și A. =£ n²a Q. 4. 1 ₐᵣc tg / x⁴ 4- 2x² 4- <2j 2/2 1/2 — 1/14- sin²x 2 5. l/x _L £___ xj/x 4- ! __ ln(|/x 4- / a + 1) 4- e; 2______________2 2 l/l . l/2 (x² 4- 1) - x . . (x³ , arctg x x² , 8, _ r_ in Jz-1---!—Z------1_ e; 7. arc tg x I — — x 4- ---- -------1- 4 |/2 (x² 4- 1) + x 13 2 J 6 ₊ A In /1+^ + e- 8. In ₊ ₑ. 3 / x⁸ 4 ®4 1 4 ® + 1 5.9. 1. —= arctg ,/ 2 4- e; 2. X 4- 2 ln(l - x) 4- 6; 8. - 2 ln(l - x) 4- —-------1- ln(x² — x 4- 1) + - I)² 4. 5 In 28 3 |/"3 2 , 2x — 1 arctg ——— 3 x — 1 4- 6; (x 4- l)² 3 (A 5. — in 2 4-6; 3 2 1 3 5 2 x - 1 ---------F 6; 1 4 \3 1 X — 2 8 2x — 1 —----------4-----—, arc tg-----=— 4- 6; x² — x 4- 1 31/ 3 |/ 3 3x² r² 3x² 1 7. £_ 4. 4. 6x — 3 in x 4- — 4“ 3 2 x 6. 151 3 1 1 1 4- 13 ln(l — x)---------------------------F e; 8. — ln x — ln(x 4- 1) 4------ln(x 4- 2) 4- f. x - 1 (x - l)² 2 2 0. A in x - A ]ₙ (ₓ ₊ i) _|_ 1 ln (x + 2) - A ]ₙ(ₓ ₊ 3) ₊ g; 6 2 2 6 10. ₓ 4. — 1 ln (x² — l/lx -|-1)4- (l/ 2 — 1) arctg(|/ 2x — 1) 4- 6; 2 4 4 4 . V T _ 1 11. — ln (x 4- 1)------ln(x² — x 4- 1) -|—7= arctg >--------------F 6; 3 6 / 3 (/ 3 12. —7= In —-------—¹ H-----------7= arc tg [arctg (l/ 2 x 4- 1) 4- arctg (|/2 x — 1)1 4-6; re² + l/ 2 a; 4- 1------------------J 13. x — 2 ln(x² 4- 4x 4- 5) 4- S.; 14. — A in(x 4- 1) 4- A ln(x² 4- 3) 4- 4 8 + arctg + V 16. In x - 1 ln(1 W) + | Ț77 + * y O -6 1 «Xz 5.10. 1 . In (x 4- 1 4- |/x² 4- 2x 4- 2) -4-------— 4-6« x 4- 2 4- 1/ x² + 2x + 2 2 .-2 arctg x* ~ a ~ ¹ ₊ 6; 3. 2 In (|/x² + 2x 4- 4 - x) - 3 ____________ o d ----In ([/ x²4-2x-F4 — x— 1) — — . ~ ------------------------F 6; 2 2 l/x² 4- 2x -F 4 - x — 1 4. 2 ln(x 4- |/x² — x 4- 1)--— In (2x - 1 4- 2 |/x² - x 4- 1) - 2 1, |/1 — 2x — x²4~£— 1, . l/l — 2x — x²— 1 6. — In 2-----1- 4- arctg --------------F 6. |/1 — 2x — x²— 1 x VI -F x 1 , 2 -F l/2(l - x²) 1 . l/2(l - x²) , „ -------------— In — — - —^2-------— arctg -— ------------ 4- <3 1 - x 21/ 2 2 — |/2(1 - x²) |/2 — 2x __________ O j 8. x — 2 In(l 4- x 4- [/1 -F x 4- x²) + — -------- -----------—}- 2 1 -F 2x -F 2/1 4- x -F x² 3 -(- — In (1 4- 2x 4- 2 [/1 4- x -F x²) 4-6; 9. — 3AA (— x²4- 4x-F 5)² -4- 2 12 — (x — 2) |/ — x² 4- 4x 4- 5 -F arc sin --------------------- 8 8 3 4- 6; 10. — |/ —x² 4- 4x 4- 5 — V5 _ ₓ ____F 6- 6 152 5.10.11. 1. 4. tg — 12 1 —y= arc tg-+ S; 2. —— arc / 2 |/ 2 / 2 — In tg — — In (1 — tg —] —— 3 2 | 2/3 5 tg - + 1 9 tg ([/2 tg x) + e; 8. arc tg-----H 3-lg- + G; 5. ® +-------------F 6; l 2 / * . x , . 6. — — cos x (cos x + sin a) + — In (sin x -F cos x) + 6; 7. In (tg²x + 2) + 4 4 + -^= arctg-^- + e. 8.------------1- 2 tg X + + e; / 2 / 2 tg X (3 (1 4- a²)tg — + 2a 10. 2 arc tg -------------------------(- 6. 1 — a² CAPITOLUL II 1.4. 1 o ____ l/"? 1 II II = y ; II A₂ II =------; II A₃ II = e¹⁰(e - 1); || A₄ || = y o 2 1.11. (1) A'U A* = (1, --, — . - . — , 11 ( 2⁴ 2³ 3 2 ' (2) A' U A" = (0,1, 2, e, 3, 4, 5, 6, 7, e², 8,9, 10) b) 1) dacă A'c A", atunci p divide q, 2) dacă p divide q, atunci A'C A". (p divide pq => A' C A I > => A' U A" C A . q divide pq => A" C A I 2.23.1. 1- 5)= ; 2- »a(A ?) = 4f⁸ + + 24 12 \ 5 2 ) O .. p. 9 . .. ... 153 _ 1889 4 8 2880 153 2.23.11 1. f fiind integrabilă, pentru orice șir de diviziuni cu || Aₙ || —>0 și orice alegere a pune- n->oo telor intermediare £?, șirul sumelor Riemann converge. Alegem în particular punctele intermediare astfel încît = a. Atunci ^?) = Ș a(xi ~ ®?-l) = “ ^-1) = “ (6 - «)> deci: ’⁼¹ ¹⁼¹ lim %‘) = - a) = C f(x)dx. n-+°° Jₐ 2. Calculăm oăₙ(f, ț?): lim cAₙ(A 5") = — , oricare ar fi (Aₙ) încît [J Aₙ II -> 0 și oricare ar fi e [a^_ₗ, a^]. f nu posedă primitivă, deoarece f nu are proprietatea Darboux. f([0, 1]) = {0,1} nu este interval. 8. Dacă f integrabilă atunci pentru (y) șir de diviziuni (An)neN astfel încît || Aₙ || —► 0 și orice e lim o^ₙ(f, ty) există = rb • = l f{x)dx. Se aleg punctele 5? astfel încît = 2 aₛ (f, ^) = 2 23 (x"—x^ Ja 1 = 0 Funcția g : [a, 6] -» R, g(x) = 2x este integrabilă. hn rb asₙ fa 5?) = 2 23 (^ - • lim^ (£> 5?) = lⁱm $?) = \ = i-1 . Ja = b² — a² => ( f(x)dx = b² — a²; Ja 4. Se aleg punctele intermediare 5? astfel încît i ⁿ ( i \ r² ⁼ /S - *i-i)--------------- ’ lim 23 fa - -----T = \ - 1+5? 7^1 11+5?/ Ji 1 5. Dacă f ar fi integrabilă, atunci pentru orice alegere a șirului de II || —► 0 și orice alegere a punctelor șirul sumelor Riemann ---- dx = In 2. + x diviziuni (Aₙ) cu are limită = rb = 4 f{x)dx. Alegem în particular astfel încît f(^ⁿ\ = ?,'>ⁿ și 5-'ⁿ, astfel Ja ' i ¹ încît /■(= 2^'»ⁿ. Avem kn kn a^n ^ⁿ) = ^(xi ~ x^) 5'^ și oSₙ(f, = 23 (** ~ ^-1)25/’”, i=l 7^1 3 C% deci lim a* (f, El.») ₌ 1 xdx= — și lim a. (f, = \ 2zdx = 3 n^-co 2 ⁿ' ¹ ' Ji Așadar f nu este integrabilă; 6. Fie fi : [x^, xf] -> R, fi(x) = f(x) (V)x e (xi.ᵤ xj, Sᵢ : [xm, xj -► R, gi(x) = V)a: e G Oi-i, XiJ.gi sînt integrabile (ca funcții constante), deci fi sînt integrabile (diferă de gi în punctele Xi.i și x^. Dar fi este restricția lui f la [xj.ₗf xj. Din propoziția 2.21 rezultă că f este integrabilă și b CXi rx, rb n f(x)dx = l fi(x)dx + \ f₂(x)dx + ... 4- \ fₙ{x)dx= 23 ~ ai-i)» a Ja jXi J^n-i t=l 7. fi(x) = —sin x (V)x e F — —, ol; f₂(x) = sin x( V)x e [o, — 1. fᵥ f₂ sînt integra- 154 bile; ele sînt restricții ale funcției f la intervalele | , Oj , respectiv | O, — j. tc r 7 r ° Conform propoziției 2.21. f este integrabilă și % f(x)dx =\ —sin xdx + J TC J—TC “2 TC r, + l sin x dx = 2. 8. Funcțiile f^x) = x pentru x e [0,1], g(x) = x² + 1 pentru J<» x e [1, 2], sînt integrabile pe [0,1], respectiv pe [1, 2]. f₂(x) = x² + 1 pentru x e (1, 2] și f₂(i) = 1 este integrabilă pe [1, 2] (deoarece diferă.degîn punctul x = 1), prin urmare f este integrabilă și l f(x)dx = — ; 9. Explicităm funcția f(x) = [2⁵x] = [32 x] astfel Jo 6 Deci există o diviziune A = f(x) = 0, - , 32 o, X G P, - L 32. 1, x e ri : [32* 3 r3 2, x e --- > - [32 3 [A - 1 A-l, X G [ 32 rși 31 X (= L32 ’ 2 3 * ■ a ----- a 32 32 32 321 — I a intervalului [0,1] astfel 32] încît f este constantă pe fiecare interval S32 32 f(x)dx = V 0 i = l deschis (xm, xi), (1 < i < 32). Conform exer- 32 1 31 ₌ _ (1 _l 2 4- ... + 32) = —; 10. Se scrie explicit funcția 32 2 x, x e [0,1] x — 1, x e [1, 2) x — 2, x e [2, 3) x - 3, x s [3, 2 |/3]• Conform propoziției 2.21, f este integrabilă și i f(x)dx = 12 — 6ț/3. J o 3.13.1, i m_⁵ e/^_¹⁴ /n ¹⁴³ c/a _ ⁷ a m _ ⁴³⁹ c/A - . 1. W) - -, - — . s₂(f) - - ; 3. .,(/) _ — , S₂(f) - ₃₉₀, 4. »,!<)= 4 sM = 2, ^(f) = 43: 5. 3,(f) = A (e’> + e ² + 3 3 2 155 i_ -1 +• 1 + e²), = 1 (e ² 2 £ <> + ez + e + 1), S₂(f) = 1 + e, s₂(f) = e’⁷ + 1. 1. |/3 _ lⁿ (² + |/3); 4|/2 . a™ . ’ 3 ’ * a + 1 3.15. 1. ₂; 2. - 3. 2; 4. 1; 5. 1 * o Z * . fo 1. In baza teoremei de medie există c e [a, Z>] cu f(c) • (b — a) = l f(x)dx. Dacă ar Ja exista și un c' c cu aceeași proprietate, atunci ar rezulta f(c') = f(c). Aceasta nu poate avea loc, deoarece f, fiind strict crescătoare, este injectivă; 2. V 3 3. Dacă, prin absurd, f nu își schimbă semnul pe nici un interval [xf, x"] C [a, fc], atunci sau —0 pe [a, 6], Aplicînd propoziția 4.7 lui f sau — f, se obține C f(x)dx>0 , Ja rb sau — i f(x)dx > 0. Contradicție; Ja 4. Dacă ar exista c e [a, fej cu f(c) =p 0, să admitem f(c) > 0; atunci (X₁₂(0)) ar exista r > astfel încît f(x) >0, Vx e (c — r, c + r), prin urmare (propoziția 4.7) r c+r l f(x)dx > 0. Contradicție. Jc—r 1 ⁷⁷ n f A 5 , .11 „7rln2 . 7T 1/^2 1 , 4 — 7T K T '• 2- T (arctg-₊ arctg ; 3. —— ; 4. ; 5. In — ₊ - ; 3. ; 2 TC *1 7T A 1 7. —; 8.-----; 9. —-----1 + In 2 ; 10. — [e² (2 sin 3 - 3 cos 3) + 31; 15 4 6 ( 2 J 13 11. 2(e² + 3); 12.2 In 3; 13.1 ln ₂; 14. 2(/5 - |/2) - In (|/2 + 1) + In (2 + /ă); 2 4 15. 2 |/2 - 2 y. 156 CAPITOLUL 111 1.9. 1. —; 2.2; 3.— 3 12 3 _3 —1)² 12|/2 . 7TF² 4. —: 8 6. - 2 6. 1 — arcsin 10. 2 1 e-------- e 11, 4a² 1 ~ 3 ’ 7T 1 2 3 7.2 2 8. e + — — 2; 9. 1; e 1.9.II 1 2. 2. A = a² ln 2; 3. Aᵣ = — (|/3 + 4n). 3 3 a₂ = -^ -1/3); 3 4. Aᵣ = /1₂ = — ² arc siⁿ ■ ln 3, A₃ = 2tc — 2^; _  321/ 6 5. A = —-—: 3 6. A, = 2 +0 = 6^------— ; 7. ² 3 ’ 8 9 In v — V 1 2 — ; 8.^ = -. 9. A = ~ 2.8 7 7 6. b² ți 3 a 5e³ — (&³-a³).ț; 2. 16 7T 15 k² ; 4. ,3 .2 27 12. —. 18. 5 7. 2 (ₑ2 + 4 - e-«); 8. — (e² - 1): 9. — ; 10. 8 4 4 14. 7C 7rn' 7ra³ 20 2 - k; 3 î 0 - O — ; 11. 6 3.9. 1. 1 + In l/l ; 2. -2 ₊ ln 3; 3. --—; 4.2 (3/2 - / 5) - V 2 2 2 2 _ j_ ₗₙ (3-2 1/2) (/'ș 4- 2), 8 (3 + 2/2) (|/5 -2)' 1 _2 5. — (e² 4- 1); 6. ln(/2 + 1); 7. In 5 - ~ î 8 . /1 + ez — /2 + 1 ₗₙ (/ ¹ + e² ~ *)² 2 ⁿ ₑ2(|/l - l)ă ’ 157 4.10. 1. (21/ 2 — 1) — ; 2. — (e² — e'² + 4); 8. 7t [/ 2 + In (/ 2 + 1)]; 9 4 4. k (e |/1 + e² — |/ 2 + In e + e j. g. 27ra( — + ol; \ 1 + / 2 / U J *• ^[/2₊ln(i ₊ /2)]; 7. ;pU^ ₊ Iₙ5^. ₈ₒ 5.6. 1. = 60, T^f) = 46. D^) = 52,5, T₉(f) = 45,5, Eo^f) = 14,6667, ETᵢ(f) = 0,6667, EDₛ(f) = 7,1667, ETₛ(f) = 0,1667; 2. D^f} = 6,25, TM) = 6,25, Dₐ(f) = 7,444, Tₐ(f) = 6,111, ED^(f) = -1, ET*(f) = 0,25 , EDᵢ(f) = 0,4444, ET₍ᵢ(f) = 0,111; O 8. Dₐ{f) = 0,6973, Tₐ(f) = 0,7807, Dₛ(f) = 0,7377, T₅(f) = 0,7867, ED₃(f) = 0,088, ET₃(f) = 0,0046, EDb(f) = 0,0486, E^f) = 0,0014; 4. D₃(f) = 0,6166, r₃{f) = 0,7054, D₅(f) = 0,6455, Tₛ(f) = 0,6956; ED₃(f) = 0,0765; ^(f) = 0,0065, EDb(f) = 0,0475, Er₅(f) = 0,0025. 6.3. 1. x = 0, y = — ; 2. x = y = — ; 3. x = 0, y = — ; 4. x — —, y = — ♦ 3tc 3k ■ 3tc 2 8 P 8 5. x = — , y = 0. 7.3. i - 1. L = 20 J; 2. L = 0,125 J; 3. L = 4900 J; 4. L = — g² — . 6 m² CUPRINS. I. Primitive ........................................................................ ³ § 1. Primitive- ............................................................... 3 § 2. Integrarea prin părți..................................................... 15 § 3. Prima metodă de schimbare de variabilă ................................. § 4. A doua metodă de schimbare de variabilă ................................ ³- § 5. Jntegraroa funcțiilor raționale ......................................... ‘l⁰ / II. ancțH i Agrabl’e ............................................................ § 1. Diviziuni .......................................................\« 55 § 2. Funcții integrabile...................................................... ’ § 3. Integrabilitalea funcțiilor monotone și a funcțiilor continue.......... § 4. Integrarea funcțiilor continue........................................... M III. Aplicații ale Integralei definite și metode de calcul.................> ■ •• • • * ’ § 1. Interpretarea geometrică a integralei definite a unei funcții § 2. Volumul corpurilor de rotație..........................................• • § 3. Lungimea graficului unei funcții derivabile cu derivata continua:’.:' § 4. Aria suprafețelor de rotație .........................................''• • • ' § 5. Calculul aproximativ al integralelor definite ...................,.•<«* § 6. Centre de greutate.....................'.............................." § 7. Lucru mecanic ....................................................... * '• 94 94 10< it*' 123 131 138 ANEXĂ .................................... INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI ...................• Nr, colilor de tipar : 10 Bun de tipar : 4.XII.1989 Corn, nr. 90 422/36 422 Combinatul Poligrafic București ROMÂNIA