Lei 6,80 s ISBN 973 30-0066-3 Matematica Editura Didactică și Pedagogică, București -1989 MINISTERUL EDUCAȚIEI Șl ÎNVĂȚĂMÎNTULUI ION D. ION A. P. GHIOCA N. 3. NEDITA Matematică Algebră Manual pentru clasa a Xll-a Editura Didacticâ și Pedagogică, București -1989 Manualul a fost elaborat în 1979 și revizuit în 1980 și în 1982 pe baza programei școlare aprobate de Ministerul Educației și Învățămîntului Refereați: Prof. univ. ,Gh. Galbură Prof. univ. O. Stănășilă Prof. Florina Saon Prof. Maria Țuțuian Prof. I. V. Maftei Prezenta ediție a manualului de algebră pentru clasa a XH-a este rezultatul unei substanțiale revizii a celui apărut în anul 1979. S-a redus încărcătura teoretică a manualului, consecință și a restructurării problematicii programei școlare. A sporit numărul exemplelor și cxercițiilor, introducîndu-se și modele de rezolvare pentru tipurile mai semnificative. într-un capitol introductiv s-a realizat recapitularea unor teme despre mulțimi, funcții, matrice și numere, cu intenția de a instala pe cititor în lumea obiectelor matematice care sînt apoi sistematic invocate pentru ilustrarea teoriei structurilor algebrice. Cu statut de lectură facultativă sînt prezentate citcva aplicații ale structurilor algebrice. Exercițiile cu asterisc de la sfîrșitul fiecărui capitol se adresează elevilor cu un interes sporit pentru matematică, rezolvarea lor nefiind necesară pentru parcurgerea manualului. Autorii mulțumesc pe această cale referenților pentru sugestiile făcute, profeso- rilor de matematică din municipiul București, din județei'* Brașov, Brăila, Prahova și Vrancea care au inițiat și realizat un fructuos dialog asupra manualului. ISBN 973-30-0066-3 Redactor : Prof. Cătălin-Petru Nicolescu Tehnoredactor : Ilinea Prosan Coperta : M; Sîrbu Capitolul I ‘ PRELIMINARII § 1. NUMERE Peste tot în acest manual vom nota cu N mulțimea numerelor naturale, N = {0, 1, 2,...,n, ...}. - Referitor la adunarea și înmulțirea numerelor naturale acceptăm pro- prietățile : 1) (* + y) + z = x + (y + z), 2) 0 + x = x + 0 = x, 3) x +.y = y + x, ■ 4) (xy)z = x(yz), 5) 1 ‘X = x-1 = x, 6) x{y 4- z) = xy 4- xz, 7) xy = yx oricare ar fi x, y, z e N. De asemenea, vom nota cu Z, mulțimea numerelor întregi, Z =■ {. ---2, ---1, 0, 1, 2, ..., n, ... Acceptăm ca adevărate pentru adunarea și înmulțirea numerelor întregi proprietățile 1) — 7) precum și proprietatea : 8) x 4- (---x) =-- (---x) 4- x = 0, \/x Z. Vom nota cu Q mulțimea numerelor raționale, Q = {a/b | a, b e Z, b / 0}. Pentru x e Q, .r / 0, x = a/b, notăm cu x⁻¹ numărul rațional b/a. Avem : 9) x.r-1 = x~1x = 1, ' oricare ar fi z e Q, $ / 0. Cu R va fi notată mulțimea numerelor reale, iar cu C mulțimea numerelor complexe, C = {« 4~ ib | a, b e R}. Pentru adunarea și înmulțirea numerelor reale (complexe) acceptăm ca adevărate proprietățile 1) — 9). Avem : N-C z c Q C R C c- Literele folosite mai sus pentru notarea mulțimilor de numere mențio- nate apar în textul manualului culese aldin (gras). Pentru scrierea lor cu 3 mîna (pe hîrtie sau la tablă...) la literele de tipar uzuale se adaugă o linie suplimentară. Aceste convenții de notații sînt consacrate în literatura mate- matică actuală. Se știe că 2 nu este număr rațional. Să reamintim demonstrația. Dacă 5/2 e Q, atunci 5/2 =a/b, cu a, b-^ Z, b / 0. Putem presupune că fracția a/b.este ireductibilă, adică a și b nu admit nici un divizor comun c e Z astfel încît | c | > 1. Cum a² = 2 b² rezultă că a² este par, deci a este par, de unde a =2a₁, cu aᵣ e Z. Avem 4a² = 2b², deci 2a² = b². Rezultă că și b este par, deci a și b admit ca divizor comun pe 2. Contradicție. 1.1. Definiție. Spunem eă un număr întreg d diferit de 0 și 1 este liber de pătrate dacă nu se divide prin pătratul nici unui număr prim. Astfel numerele 6, 2, —15, —1, —3 sînt libere de pătrate. Numerele 108 și —40 nu sînt libere de pătrate căci 108 = 3³-2², —40 — (—5)-2³. Dacă d > 0 atunci prin Jd notăm radicalul aritmetic al lui d, adică unicul număr real a > 0 astfel încît a² = d. Dacă d < 0, atunci y/d = i^/—d, unde i² = — 1. Astfel y/— 3 =1^3. 1.2. Teoremă. Dacă d este un număr întreg liber de pătrate, atunci Q. _ Demonstrație. Dacă d < 0, atunci yj d este număr complex și deci 5/d Q. Rămîne să considerăm cazul d > 1. Dacă atunci ^/d = ațb. a > 0, b > 0 unde a/b este o fracție ireductibilă. Avem db² = a² și dacă a = 1, atunci b²d = 1, deci d = 1. Contradicție. Deci a > 1 și atunci a admite un divizor prim p\ Așadar a = pc, cu c e Z, de unde b²d = p²c². Cum fracția a/b este ireductibilă, p nu divide pe b, deci din egalitatea b²d = = p²c rezultă că p² divide pe d. Contradicție. Numerele de forma a + by/d, cu a, b Q și d întreg liber de pătrate se numesc numere pălratice. Astfel : 1 + J2, + V~³ , —¹ + i V 3 , 4 + 3 J5, 2 - 3i V 2 2 sînt numere pătratice, unde i² = — 1. Dacă h + by/d și a' + b'^d sînt două numere pătratice, atunci : d + b yjd = a + b' y/d <=> a = a' și b — b'. în adevăr, dacă a + by/d = a' + b' y/d și b / b' atunci Contradicție. Deci b = b' și atunci a = a . Dacă d este un întreg liber de pătrate, .atunci notăm cu Q (5/ d) mul- țimea tuturor numerelor pătratice de forma a -ț- by/d, cu a,_b e Q și cu Zf^/d] mulțimea tuturor numerelor pătratice de forma a + by/d cu a, b e Z. 4 Așadar : Q(\/ 1 l⁾ 0} si i z[Vd]={« + b^d\ a, b e Z’. Evident z c zK/d] c o(V“0 c c, iar cînd d > 0, averii chiar d) Q R- Astfel : 0(^2) = {« + ^2 | a. b e Q] C R și Z[i] ;= {a + bi | a, b e Z} Q C. ► f Dacă z ^a-ț-'b^/d este un număr pătratic, atunci numărul pătratic z* = « — b^/d se numește conjugalul lui z. ș 2. MULȚIMI ȘI FUNCȚII (recapitulare) Fie E o mulțime. Vom nota cu ^(E) mulțimea tuturor părților (sub- mulțimilor) lui E. Dacă X, Y e â(E), atunci cu X țj Y și X A Y vom nota reuniunea, respectiv intersecția lui X cu Y, X |J Y = {.r e E | x e X sau .r e Y} respectiv XQ Y = {x e E I x e X și x e Y}. Amintim următoarele proprietăți ale reuniunii și intersecției : i) (xu y)u2 = xu(yuz), (xn y)n= xn(yaz); 0 U X = X U 0 = X. E A X = X n E = X ; 3) X U Y - Y U X, X n Y = YQ x ; 4) X u (y A 2) = (X u Y) A (X U 2), x n ■(y u /) = = (X A Y) U (X A Z) ' oricare ar fi X, Y, Z e ^(E), unde 0 este submulțimea i’idă a lui JJ. Fie E și E două mulțimi. Pentru o funcție / : E —> E vom preciza uneori și acțiunea lui f asupra elementelor .r e J£ prin notația f:E^E, x^f(x) unde .este imaginea lui .r prin f. Fie E o mulțime. Vom nota cu cF(E) mulțimea tuturor funcțiilor f . E —* E. Dacă f, g e ^(E), atunci funcția E--------⁹—------ E h:E E, X -> h(x) f(g(x)) \ \ / \ se notează cu fog și se numește compusa funcției f \ f cu funcția g (v. fig. 1.1). \ Funcția 1A : E E, , 1 E(x) = x, V x e E, se ' f numește aplicația identica a mulțimii E. 2/f. Teorema. Compunerea fum (iilor are pro* Fdg- LL prictățile : 1) (fog)oh = fo(goli) V f, g, h e ^(E), 2) = f ^(E). Demonstrație. Pentru orice .r e E avem : ((/o 7)0/1) (x) = (fog) (h(x)) = f(g(h(x))) și (^(so/O) (x) = f((gOh) (r)) = de unde z ■ (fo-^o/i = fo(goh). De asemenea, pentru orice x e E avem : (U-of) (.r) = ^(.r)) = f(x) = f(\E(x)) = (folE)(x), deci lEof=fo\E = f. 0 funcție f: E F se numește injectivă dacă f(xf) / f(x₂) oricare ar fi Tj, ,r₂ e E, xₜ / .r₂, ceea ce revine la : /■(•D) ^•/'(•D)^ D =-D- Spunem că funcția f: E F¹ este surjectivă dacă : V y F, x e fi astfel încît y = f(x). O funcție f: E F se numește bijectivă dacă este injectivă și surjectivă. 2.2. T e o r c m ă. Fie E o mulțime și f, g e ^(E). Dacă / și g sini funcții injcHivc (uirjecHve, bijeetive) atunci fog este funcție injectivă (respec- tiv surjectivă, bijectivă). Demonstrație. Fie h = fog. Presupunem că f și g sînt injective și fie •D, D e E astfel încît h(Xi) = h(x₂). Rezultă că f(g(xfj) ^figțxz)). Cum f este funcție injectivă rezultă că 7(a) = g(x₂), de unde xᵣ — x₂ căci și g este funcție injectivă. Așadar h = fog este funcție injectivă. 6 Presupunem că f și g sînt funcții surjective și fie z e E. Cum f și g sînt funcții surjective, există y s E astfel încît z = f(y) și există x e E astfel încît y = g(x), de unde z = f(u) = = (fo g) (*) = h(x), deci h —fog este funcție surjectivă. Ultima afirmație este acum evidentă. Dacă E și F sînt două mulțimi, v.om nota cu F\F mulțimea F\F = {x e E | x F} numită diferența dintre E și F (în această ordine). Cu x F vom nola ■ produsul cartezian al lui E cu F, adică mulțimea tuturor perechilor ordonate (x, y), cu x e E și y F, ‘ E x F^ț {(.r, y) | x e E, y e F}. § 3. MATRICE (recapitulare) Notăm cu Af₂(H) mulțimea tuturor matricelor pătratice A de ordin 2 cu coeficienți din R, X =C” ■ M, a„ e K. \^21 ^22/ Vom folosi și scrierea mai condensată : A = (aᵢ})- Dacă A, B M₂(R), A = (au), B = (tu), atunci suma A + B a matri- cei A cu matricea B se definește prin : A + ⁺ b" ⁺ M e W)- W21 4" ^2J ^22 4“ ^22/ De asemenea, produsul AB al matricei A cu matricea B se definește prin : A 7? pCi ^11^12 4" ^12^22) ₑ (R) UCl^ll 4- ^22^21 «21^12 4" «22^22/ Matricele 0, E și —A din M₂(R), 0 f⁰ F₌P °1 _ —«12) \0 Oy (0 1J \—«2i —^22/ se nume,sc respectiv matricea zero, n atrlcea unitate, opusa matricei A. Avem următoarele proprietăți ale adunării și înmulțirii matricelor din M₂(R) : ' ■ ' ■ 1) (A 4- B) + C = A + (B + C), ■ 2) 0 + A = A + 0 = A, 3) A + (-A) =(-A) + A =0, 7 4) A + B = B + A, 5) (AB)C = A(BC), 6)EA=AE=A, 7) A(B + C) = A B + AC ; (B + C)A = BA + CA oricare ar fi A, B, C e M₂(R). După cum se. știe din clasa a XLa, demon- strarea lor se face invocînd proprietăți similare ale Operațiilor cu numere reale. Astfel : A + (-A) =Pⁿ = ^22/ \ ^21 *” ^22/ ₌ f^i + (—«n) «12 + (-«i₂)Ă p OA o \«21 + (—^«21) «22 + (—«22)7 W ()] i și analog, (—A) 4" A = 0. Vom nota cu M₂(Z), M₂(Q), M₂(C) mulțimea matricelor pătratice de ordin 2 cu coeficienți în Z, Q, C, respectiv. în general, pentru n > 1, notăm cu Mₙ(Z), . . . mulțimea matricelor pătratice de ordin n cu coeficienți în Z, Q, . . ., respectiv. Dacă A e M₂(R), A tricei A, = (a a), vom nota cu det(A) determinantul ma- det (A) «11 «21 «12 «22 — «11«22 - «21«12 S R* 34. Teoremă. Oricarear.fi A, B A = (a{j), B = (bij. avem : det(AB) = det (A) det (B). Demonstrație. Avem : . p f«n «i₂Af^n ^12) f^iibn «12^21 ⁼⁼ I ' II I — I \Ct₂l «22/ \^21 ^22/ \«21^11 H⁻ «22^21 «11^12 ~t* «21 b 12 4~” «22 b22 Pe de altă parte, se observă că avem identitatea : («11^11 4“ «12^21) («21^12 4~ «22^22) - («21^11 + «22^21) («11^12 4“ «12^2₂) — = («U«22 — «21«1₂) (^11^22 — b₂₁b₁₂), de unde det (AB) = (A) det (B). Exemplu Dacă A e M₂(R), atunci det (A") = (— 1)" oricare ar fi ii =1,2.......... 8 în adevăr, det (A) = 2x2— 5 x 1 = — 1 și deci afirmația este ade- vărată pentru n = 1. Presupunem că n > 1 și că det (A”⁻¹j =(—1)”“'. Atunci : det (A") = det (A"⁻¹-A) = det (A”"¹) det (A) = (— 1)"-*.(— 1) = (—l)ⁿ. § 4. NUMERE RELATIV PRIMI, (recapitulare) Fie a și b două numere întregi. Un număr d g Z, d 0, se numește cel mai mare di vizor comun (c.m.m.d.c.) al lui a și b dacă : (1) d | a și d | b ; (2) c | a și c | b => c | d. Dacă d' g Z, d' 0, satisface, de asemenea, (1) și (2), atunci avem d' | d și d \-d' de unde d' = d. Așadar, c.m.m.d.c. al numerelor a și b, în caz că există, este unic determinat. Pentru c.m.m.d.c. al lui a și b folosim notația d = (a, b). 4.1. Teoremă. Fie a. b g Z. Alunei c.m.m.d.c. al lui a și b există. Mai mult, dae.ă d, (a b) alunei există h k - 7. iMk'el incit d = ah -j- bk. Demonstrație. Dacă a = b = 0, atunci d =0 și 0 = Oh 0k, unde h, k pot fi luați chiar arbitrar din Z în acest caz. Presupunem că a / 0 sau b 0. Fie d = ah -f- bk cel mai mic număr strict pozitiv printre numerele de forma : ax + by x, y g z “ (arătați că printre ele se găsesc numere strict pozitive !). Dacă c | a și c | b, atunci c divide și pe ah + bk = d, deci d satisface (2) din definiția c.m.m.d.c. Rămîne să mai arătăm că d | a și d | b. Dacă d nu divide pe a, există q, r g Z astfel încît a = dq + r, 0 < r < d. Atunci 0 < r = a — dq = a — (ah + bk)q = a(l — hq) -4- b(—kq) < d, ceea ce con- trazice alegerea lui d. Rămîne adevărat că d | a. Analog se arată că d | b Fie a, b g Z. Vom spune că a este relații) prim cu b dacă (a, b) = 1. Evident, a este relativ prim cu b dacă și numai dacă există h, k Z astfel încît ah + bl: = 1. 4.2. Teoremă. Fie a, b. c g Z. Avem: 1) Dacă [a, b) = 1 și (a. c) î => (a, bc) - 1 ; 2) Dacă (a. b) = i și a | bc a | c 3) Dacă (a, b) = 1, a j c și b j c^ ab ! c. ■ . 9 Demonstrație. 1) Fie h, k, u, v e Z astfel încît 1 = ahbk și 1 = = au + cv. Atunci : 1 = ah + bk(au + cv) = a(h + bku) + bcțkv), de unde (a, bc) =1. 2) Fie h, k e Z astfel încît ah + bk = 1. Atunci c = a(hc) 4~ bck. Cum a | a și a | bc rezultă că a divide numărul a(hc) + bc-k = c. / 3) Fie h, k e Z astfel încît ah + bk = 1. Atunci c = ac-h + bck. Cum a | c și b | c rezultă că ab | ac și ufr| bc, deci ab divide riumărul ac>h -ț- 4- bck = c. Exemple 1. Dacă p > O este un număr prim, atunci : ța, p) = 1 V a e Z, 1 < a < p. în adevăr, p fiind număr prim, singurii săi divizori pozitivi sînt 1 și p. Cum 1 < a < p, p nu poate divide pe a. Rezultă că. singurul divizor comun al lui a și p este 1 și atunci și c.m.m.d.c. al lui a și p este 1. 2. Pentru orice n e N, numărul n³ — n s^ divide prin 6. în adevăr, n³ — n — (n — l)n(n -J- 1), deci n³ — n se divide prin 2 și 3. Cum (2, 3) = 1, rezultă că n³ — n se divide și prin 2x3=6, 3. Dacă p > 0, q > 0 sînt două numere prime distincte, atunci : * (pm, qⁿ) =1 V m, n e N. în adevăr, să presupunem că p < q. Atunci conform cu rezultatul de la Ex. 1 avem (p, q) =1. Presupunem că (p, 7”⁻¹) ⁼ 1- Folosind Teorema 4.2, pct. 1) dfin (p, q) = 1 și (p, qⁿ~A) = 1 rezultă (p, qⁿ) = 1. Acum se fixează n și se demonstrează prin inducție asupra lui m că (pm, qⁿ) =1. r ■ “ । ¹ exerciții rezolvate jR___________5 Fie E o mulțime și f, g e ®(E). Avem : 1) Dacă fog este funcție injectivă (surjectivă) atunci g este funcție injectivă (resp. f este funcție surjectivă) ; 2) Dacă fog = 1£, atunci g este funcție injectivă și f este funcție sur- jectivă ; . 3) Dacă fog = gof = 1E, atunci f și g sînt funcții bijective. Soluție. 1) Presupunem oă f o <7 este funcție injectivă și fie xₙ x₂ e E astfel încît (/(xj = 9(^2)- Atunci (/o g) (x.) = /WJ) = f(g(x₂)) = (fog) (x₂). Cum fog este funcție injectivă, deducem Xj = x₂, deci g este funcție injectivă. Fie z s E. Dacă fog este funcție surjectivă, atunci există x g E astfel încît z = (ÎP 9) (D = f(g(x))- Kezultă că z = f(g), unde y — gțx) s E, deci f este funcție surjectivă. 2) Rezultă din 1) obscryînd că este funcție injectivă și surjectivă. 3) Rezultă din 2). 10 R — 2 Fie E = Z X Z și A = . Definim funcția : ^-1 —2) fA: E E, fA(x) = (2^ + 3x₂, — xᵣ — 2x₂) V x = (xₙ ^₂) e E. Arătati că : 1) fAofA = U 2) fA este funcție bijectivă. Soluție. 1) Pentru orice x e E, x = (xᵢ} x₂) avem (GoG) (x) = fA(fA(x)) = + 3x₂, - Xj - 2r₂)) = = (2(2x₂ + 3x₂) + 3(— xₜ — 2xₐ), — (2x₂ + 3x₂) — 2(— x₂ — 2x₂)) = (xₙ x₂) = x, de unde fAofA.= 1£. 2) Rezultă din Ex« R-l, pct. 2). R—3 Fie U, A & U 2/ țc dj 1) Găsiți o matrice X e M₂(Z) astfel încît UX = E ; 2) Arătați că ecuația AX — E admite o soluție X e M₂(Z) dacă și numai dacă det (A) = 1 și în acest caz avem și XA = E. (x iA ‘ ' I • Cum Z W} ux = (³ (x = (³x + ² ³h «0 . 15 2J [z ioJ \5x + 2z 5y + 2tvJ avem UX = E dacă și numai dacă /3x + z 3y + uA / 1 (H ț5x + 2z .5y + 2iv) ( 0 1 ) ceea ce revine la : • , ₍ . (3x + z = 1 [3y + — 0 a) J si b) J |5x + 2z 0 [5y 4- 2u> = 1. . . ‘ Rczolvînd sistemele de mai sus găsim x = 2, z = —5’, y = —1 și w — 3, deci X = f ² “ g M₂(Z). 5 3/ . . 2) Fie X e M₂(Z) astfel încît AX = E. Atunci 1 = det (E) = det (AX) det (A) det (X) și cum det (A) și det (X) sînt numere întregi, rezultă că det (A) — ± 1. Reciproc, dacă det (A) = ± 1, atunci urmînd calea de rezolvare di la pct. 1) se găsește ; ( d -b\ X = e M₂(Z) dacă ad - cb = 1 ț — c a) și ' X = [ H e M₂(Z) dacă ad — cb = — 1. ț c - a) în ambele cazuri avem și XA — E. 1J jț_________4 Fie mi și m₂ doi.întregi pozitivi relativ primi, m = m₁m₂ și &ₘ = {0, 1, 2, . .., m — 1}, &ₘᵢ = {0, i;. ..,mi- 1}, &ₘ₂ = {0, 1, ... . . ., m₂ — 1}. ....... Dacă a, n e Z, n > 0', atunci notăm cu a mod n restul împărțirii lui a prin n. 1) Arătați că funcția f : ^-m ~ₘ X f(a) = (° ,m°d mₗ} a mod m₂) \f a 3lₘ este bijec- tivă. 2) Enumerați valorile funcției f cînd mₜ = 4 și m₂ = 3. Solufie. 1) Mulțimea are m elemente și mulțimea Slₘᵢ X Sfm₂ are mₜm₂ = m elemente. Este deci suficient să arătăm că funcția f este injectivă. Fie. a, b e astfel încît f(a) — f(b). Atunci (a mod mj, a mod m₂) = (b mod mₗₜ b mod m₂). Rezultă că a mod = t>mdd mₜ și a mod m₂ = b mod m₂. Cum a mod mi = b mod mₗᵣ deducem că a și b dau același rest prin împărțirea cu m^, deci 7nJ(a — b). Analog se deduce că m₂|(a — b). Dar (mₙ m₂) = 1, deci I (a — b). Cum |a — ă| < m, rezultă a — b = O, deci a = b. Așadar, f este funcție injectivă. 2) în acest caz m = 4 x 3 = 12, ^ₗ₂ = {O, 1, 2,..., 11}, = {O, 1, 2, 3} și <&₃ = {O, 1, 2}. Avem : f(0) = (0, 0) ; W = (0, 1); K 8) = (0, 2) ; f(i) = (i, 1); f(5) = (1, 2) ; /•( 9) = (1, 0) ; f(2) = (2, 2) ; f(6) = (2, 0); /■(IO) = (2, 1); f(3) - (3, 0); = (3, 1); /•(ll) = (3, 2). Astfel : * f(7) = (7 mod 4, 7 mod 3) = (3, 1). 1. Fie f: Z - Z, f(x) = 2® + 1, V® e Z. Arătați că : 1) f este funcție injectivă ; 2) f nu este funcție surjectivă. 2. Fie f: N -+ N, f(x) = ® + 1, V® e N .și g : N -> N, g{x) = x — 1, V® s N, ® O și *7(0) ;= 0. Arătați că : 1) f este injectivă și nu este surjectivă ; 2) g este surjectivă și nu este injectivă ; 3) tfof = 1„. 3. Pentru a, b s R. O, definim funcția fₐ> : R -+ II. f₍₍> ₕ(x) = ax + ă, V® e R. Arătați că : fₐ, i- este funcție bijectivă; 2) fₐ. bofc.a = fac.atL+b^d, b, c, d e R. O, c 0. 3) Pentru a, b R, a O, găsiți a, p e R astfel încît Țₐᵢ ₆ o fₐ,p = Ir. 12 (3 IA , £ = Z X Z, F = Q x Q, G : £ -> E', [aM — (3Xi 4- x₂, 4x, + 2x₂) Vx = (x„ x₂) e E, Ia - F -► F, fA(x) = (3Xj + x₂, 4xj + 2x₂) Vx = (x„ x₂) s E. . Arătați că : 1) fA este funcție injectivă și nu este Surjectivă. 2) fA este bijectivă. 5. Fie A e M₂(Q), A = ( . Arătați că: H 1/2 - 1/2/ A² + A + E - O, A³ = E. 6. Pentru orice 0 e R definim matricole : „ /cos 6 — sin 0A _ /cos 0 sin 0 . ^0 = 1 I ’ so = țsin 0 cos 01 (sin 0 —cos 0. Arătați că : 1) P P °] = Șe. P °U^o. (O - 1J (o - 1/ (o - 1J 2) Fq Rq' — Pq+os Rq = So+e'> Sq Rq' = So—0', S© S©' = ^0—0'- 3) Rq R-q = P-oTîo = E, Sq Sq = E. 7. Pentru o matrice A e M₂(R) următoarele afirmații sînt echivalente : 1) Există a e R astfel încît A ~ (a ° țO a 2) AX = XA oricare ar fi X e M₂(R). H 1) Determinați matricele A s M₂(Z) cu proprietățile : A² = E și det (A) = 1. 2) Dacă (a 1 + a\ » a e 1 - a - a) arătați că B* = E și det (B) = - 1. 9. Pentru orice u e R fie matricele Uₐ, Vₒ e M₂(R), Arătați că : V a e R. 1) UₐUb = uₐ₊b, VₐVb = Vₐ₊b, V a, b e R 2) UₐU_ₐ U_ₐUₐ = E, VₐV_ₐ = V_₀Vₐ = E, 10. Dacă A e M₂(R), A = atunci definim matricea AT ₌ Pil «21'j ₑ m₂(R) \a12 a2tJ 13 numită transpusa matricei A. Verificați că : 1) (A + B)T = AT + Br, 2) (AB)r = BrAT 3) (Ar)r = A oricare ar fi A, B e M₂(R). 4), Funcția f: AI.^ -» f(A) = AT, A e M₂(R) este bijectivă. ( ' I (a b 1 1 11. Fie H = Ja e M₂(R) A = , a, b e R, Ol • I I VO 1/ J Arătați : 1) Dacă A, B e II, atunci AB e II. 2) Oricare ar Ii A e H există X e H astfel încît AX = E. Comparați rezultatele acestui exercițiu cu cele de la Ex. 3. 12. Fie a, bₗₜ b₂,..., b„ e Z. Demonstrați : 1) Dacă (a, b^ = 1, 1 < i n, atunci (a, bₜb₂...b^) = 1 ; 2) Dacă pentru orice i j avein (b₍, b.j) — 1 și bₜ | a, 1 i < n, atunci b)b,...bₙ , divide pe a. 13. . Dacă n este impar, arătați că ns — n se divide prin 240. 14. 1) Determinați numerele v«z[/—5], v = a + b^ — 5, a, b e Z, cu proprie- tatea că există z e z[/ — 5] astfel încît vz = 1. 2) Găsiți z e Q (/-5) astfel încît vz = 1, unde v = 3 — /— 5. 15*. Fie E o mulțime și CE : S(E) - S(E), CE(X) = E\X, VX e S(E). Arătați că apli- cația CE are proprietățile : 1) CE(X (JY) = CE(X) O Cₑ(Y) MX, Y e g(E), . 2) CE(X A Y) = CE(X) U Cₑ(Y) _ MX, Y e S(E), 3) CEoCE = Ig'(E), 4) Aplicația CE este bijectivă. 1G*. Fie A e MS(R), A = (0^), E = R x R și G : E E, fĂx) = («n^i + «12^2, «2^1 + «22^’2), Mx = (x,, xₛ) e E. Arătați că următoarele afirmații sînt echivalente : 1 1) fA este bijectivă ; 2) det (A) 0. 17*. Pentru orice A e M₂(R), A = (a₍ₗ) definim aplicația fA ca la Ex. 16*. Arătați că : 0 1) A = B -, •_ 2) fAofE = fAD, VA, BeM₂(R); 3) Folosind asociativitatea compunerii funcțiilor, deduceți că (AB)C = A(BC), M A, B, C e M₂(R). ’ . 18*. Determinați matricelc A e M₂(Z) cu proprietatea : A² = — E. 14 19*. Fie 0₂ = {A e M₂(R) | A⁷’A = E}. Arătați : 1) Dacă A 0,_ 2) Avem A 0. atunci det (A) = 4- 1 și det (A) = 1 3 9 g [o, 2tc) astfel incit A = cos 0 — sin 0 sin 0 cos 0 3) Avem A e O. și det (A) — — 1 o 3 0 e [0, 2nr) astfel incit 'cos 0 sin 0 sin 0 — cos 0 4) Avem A 0₂& A⁷'A = AAT E ; 20*. 5) Dacă A, B 0₂ => AB e o,. Fie X = {A e Af₂(R) | AT = A} și 8 = {A e M₂(R) | AT = Arătați că : . .1) VA, B e X => A + B e X ; 2) VA, B e 8 => A + B e § ; 3)Ae«A?=>A = 0; 4) VA e Af₂(R) există B e x si C & unic determinate cu proprietatea A = B + C. 21*. Dacă numerele a, b, q, r e z satisfac relația a = bq + r, atunci (a, b) — (b, r). , Deduceți că (a, b) este egal cu ultimul rest diferit de 0 din algoritmul lui Euclid pentru a și b: ₒ 22*. Fie a și b două numere întregi nenegative. 1) Arătați că (2“- 1, 2b - 1) = 2(«> b) - 1 ; 2) Deduceți că (2" - 1, 2⁶ - 1) = 1 <=> (a, b) - 1. 23*. Fie q Z, q > 0 astfel încît q — 3 nu se divide prin 5. Dacă mₗ = 2M⁻¹ — 1> m₂ = 2e«+‘ — 1, m₃ = 2”h² - 1, m, = 2M+’ — 1, mₛ = 2⁸î+⁶ - 1, m₈ = 2M+⁷ — 1, atunci' (m₍, n^) = 1 pentru i / ./j Capitolul II LEGI DE COMPOZIȚIE § 1. noțiunea de lege de compoziție, exemple Să trecem mai întîi în revistă cîteva exemple cunoscute care permit degajarea conceptului de lege de compoziție. Pentru moment să ne fixăm atenția asupra mulțimii N = {0, 1, 2, . . ., n, ...} a numerelor naturale. Operația de adunare a numerelor naturale ne permite să definim aplicația

N, (x, y) -* cp(x, y) prin care facem să corespunda la orice pereche ordonată (x, y) de numere naturale un număr natural unic^ determinat cp(x, y) = x + y, numit suma lui x cu- y. Astfel, cp(3, 7) = 3 + 7 = 10, cp(5, 4) = 5 + 4 = 9 etc. Analog,, folosind înmulțirea numerelor naturale, putem defini aplicația | : N X N N, (x, i/) -> țp(x, y) prin care la orice pereche ordonată (x, y) de numere naturale asociem un număr natural unic determinat ^E), (X, Y) — cpțX, Y) = X U Y Și cp : ^(E) x ^(E) -> ^E), (X, Y).-> ^(X, Y) = XQ Y. în viziunea aceasta, cp poartă numele de operație de reuniune, iar cp(X, Y) = = X țj Y se numește reuni unea lui X cu Y ; | poartă numele de operație de intersecție, iar M, (x, y) -> cp(x, y), igriorînd natura elementelor mulțimii M, precum și legea efectivă prin care la orice pereche ordonată (x, y) de elemente din M se asociază un element unic cp(x, y) e M. Se obține astfel noțiunea de lege de compoziție pe mul- țimea M. Mai precis : 11 . Definiție. Fie M o mulțime nexidă. O aplicație

cp(x, y) se numește lege de compoziție pe M 16 Elementul unic determinat cp(.r, y) e M care corespunde perechii ordo- nate (x, y) M x M prin aplicația cp se numește compusul lui x cu y prin legea de compoziție cp. O lege de compoziție pe o mulțime M poartă încă numele de operație algebrică pe M sau operație binară pe M. Este clar că adunarea și înmul- țirea numerelor naturale sînt legi de compoziție pe M = N, reuniunea și intersecția sînt legi de compoziție pe mulțimea M = â(E) a tuturor păr- ților unei mulțimi E. Legile de compoziție sînt date în diferite notații. De regulă se folosește fie notația aditivă, fie notația multiplicativă. în notația aditivă punem cp(x, y) = = x + y. Elementul x + y se numește suma lui x cu y, iar legea de com- poziție cp se numește adunare. în notația multiplicativă punem cp(x, y) — xy sau cp(.r, g) = x-y. Elementul xy se numește produsul lui x cu y, iar legea de compoziție cp se numește înmulțire. în unele cazuri, fie obligați de tradiție, fie din necesitatea de a distinge între mai multe operații algebrice, pentru compusul cp(z, y) al lui x cu y se folosesc încă notații ca : xoy, x A y, z \ y, x*y, x ® y, x y, y, x^y etc. Exemple 1. Adunarea și înmulțirea matricelor. Fie M₂(R) mulțimea matricelor pătra- tice de ordin 2 cu coeficienți din R. Asociind fiecărei perechi ordonate (A, B) de matrice din M₂(R) matricea A + B e M₂(R) se obține o lege de compoziție cp pe M₂(R), cp : M₂(R) X M₂(R) -> Mₐ(R), {A, B) -> cp(A, B) = A + B, numită operația de adunare a matricelor. Asociind fiecărei perechi ordonate (A, B) de matrice din AB(R) matricea AB s M₂(R) se obține o lege de compoziție cp pe M₂(R), cp : Af₂(R) x M₂(R) M₂(R), (A, B) - cp(A, B) = AB, numită operația de înmulțire a matricelor. 2. Compunerea funcțiilor. Fie E o mulțime și cF(E) mulțimea tuturor func- țiilor f : E E. Asociind fiecărei perechi ordonate (f, g) de funcții din eF(E) funcția fog ^(E) se obține o lege de compoziție cp pe ^(E), cp : ^(E) X &(E) -+ &{E), (f, g) -> cp(f,# g) = fog, numită operația de compunere a funcțiilor. 3. Adunarea și înmulțirea modula n. Fie Z mulțimea numerelor întregi și n > 0 un număr întreg fixat. Este știut că pentru orice a e Z există q, r e Z unic determinați astfel încît —------- a = nq + r, 0 < r < n. 2 — Matematică—algebră, cl. a Xll-a , q Numărul r de mai sus, cunoscut sub numele de restul împărțirii lui a prin n, va fi notat cu a mod n (se citește „a modulo n“) și se numește încă redusul modulo n al numărului ₓîntreg a. Astfel, dacă n = 5, atunci 13 mod 5=3, (—8) mod 5 = 2, 4 mod 5=4. Dacă a, b e Z atunci definim suma modulo n a lui a cu b, notată cu a © b, și produsul modulo n al lui a cu b, notat cu a ® b, prim: a © b= (a + b) mod n, respectiv a ® b = (ab) mod n. Avem astfel pe Z, alături de adunarea și înmulțirea uzuală Z X Z -> Z, (a, b) -> a + b și Z X Z -> Z, (a, b) -► ab, următoarele două' legi de compoziție : cp : Z X Z -> Z, (a, b) -► cp(«, o) = a © b Și | : Z X Z Z, (a, b) -* ip(a, b) = a ® b numite adunarea modulo n, respectiv înmulțirea modulo n. Astfel, dacă n = 6, atunci 7 © 9 = 4, (—3) 0 5 = 3 deoarece 7 © 9 = (7 + 9) mod 6 = = 16 mod 6 = 4, (-3) 0 5 = ((-3) x 5) mod 6 = (-15) mod 6 = (-3) mod 6 = (0—3} mod 6 = (6 — 3) mod 6 = 3. § 2. PARTE Si ABILA. LEGE DE COMPOZIȚIE INDUSA 2.1. Definiție. Fie M o mulțime pe enre este definită o lege de compoziție O submnlțime H a lui M cu proprietatea : V x, y ® H => x © y &ₙ, x ® y e &w. Dacă n > 1, atunci &ₙ nu este stabilă în raport cu adunarea numerelor întregi, iar dacă n > 2, atunci 3lₙ nu este stabilă în raport cu înmulțirea uzuală a numerelor întregi. 3. Fie E = {1, 2, 3} și H = {f s ^(E) | f(3) = 3}. Atunci H este o parte stabilă a lui cF(B) în raport cu operația de compu- nere. în adevăr, dacă f, g & H, atunci f(3) = 3, ^(3) = 3, deci (foy) (3) = f(g(3)) = f(3) = 3, de unde fog e H. § 3. TABLA UNEI LEGI DE COMPOZIȚIE Fie M o mulțime finită, M = {a₁₍ a₂, .. ., a„}. în acest caz o lege de compoziție pe M, cp : M x M -+ M, poate fi dată prin ceea ce este cunoscut sub numele de tabla operației cp, care constă dintr-un tabel cu n linii și n coloane afectate celor n elemente ale lui M. Tabla legii de compoziție con- ține la intersecția liniei lui aₜ cu coloana lui a} elementul cp(aₜ, a^. ] «2 a, . . . aₙ di •cp(af, a}) 19 Tabla unei operații este utilă în perfectarea calculelor algebrice și, așa cum se va vedea .nai tîrziu, în testarea unor proprietăți ale operației. Tablele operațiilor induse pe Sl₅ = {0, 1, 2, 3, 4} de adunarea și înmul- țirea modulo 5 sînt următoarele : © 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 Ș 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 ? 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 Tabla adunării modulo 5. Tabla înmulțirii modulo 5. Fie acum E = {1, 2, . . ., n}. O funcție f: E —► E se dă uneori cu ajuto- rul unui tabel cu două linii : M 2 ...n \ W) f(2)...f(n)J în prima linie se trec în ordine numerele 1, 2, . . ., n iar în a doua linie se trec imaginile acestora prin f, anume /(l), f(2), . . ., f(n). Astfel, dacă E = = {1, 2}, atunci elementele lui ^(E) sînt : ZI 2\ . ZI 2\ ZI 2) , ZI 2\ e = I , f = I I, g = I, h = | • • U 2j [2 1J ‘ ți U 12 2) Tabla operației de compunere funcțiilor din cF(E) este următoarea : o e f 9 h e e f 9 h f f e h 9 9 9 9 9 h h h h h Astfel, f o h — g. în adevăr (fo^țl) = /W)) =f(2) =1 =0(1) ^/o h\ (2) = f(h(2)) f(2) = 1 = 0(2) de unde foh = g. Rezultă că Ja intersecția liniei lui f cu coloana lui h din tabla operației de compunere a funcțiilor din ^(E) se pune funcția g. Direct din tabla operației de compunere a funcțiilor din ^(E) se deduce că submulțimea H = {e, f] a lui ^(E) este stabilă in raport cu operația de compunere a funcțiilor. * * / * § 4. ASOCIATIVITATE Noțiunea de lege de compoziție prezintă un n are grad de generalitate, în definiția unei legi de compoziție 9 pe o mulțime M se ignoră atît natura elementelor mulțimii M cît și modul efectiv în care

M, (x, g) -+ x*y. , JExpresia x*y se citește : x compus cu y sau x star y sau x stea y. Definițiile și rezultatele vor fi date folosind această notație (notația „star") urmînd să fie făcute precizările ce se impun și în alte notații pentru legea de compoziție. Fie x, y, z e M. Prezența parantezelor în expresia (x*y)*z cere următoarea procedură de calcul : se află întîi compusul lui x cu y și apoi x^y se compune (la dreapta !) cu z, obținîndu se în final elementul (x*y)*z e e M. Prezența parantezelor în expresia x*(ij*z) impune să aflăm întîi y*z și să-l compunem apoi (la stînga !) cu x, obținîndu-se astfel elementul x*(y*z) g M. 4.1. Definiție.. O lege de compoziție M x M —* M, (x, y) —> x*y, se numește asociativă dacă : (x*y)*z = x*(y*z), V x, y, z M. Dacă legea de c mpoziție este dată în notație aditivă (multiplicativă) atunci proprietatea de asociativitate a acesteia se scrie : (x + V) + * = z + (g + 2), V x, y, z s M, respectiv (.rg)z = x(yz), V x, y, z s A/. Dacă folosim notația x _L y pentru compusul lui x cu y, atunci proprie- tatea de asociativitate se scrie : U’ 1 y) ± z = t 1 (y 1 z), -V x, y, z M. 21 Exemple 1. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sînt legi de compoziție asociative pentru că (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz), V x, y, z e R. 2. Adunarea și înmulțirea matricelor din M₂(R) sînt legi de compoziție aso- ciative, deoarece (A + B) + C - A + (B + C), (AB)C = A(BC), V A, B, C e M₂(R). 3. Reuniunea și intersecția părților unei mulțimi E sînt legi de compoziție asociative, deoarece (X U Y) U Z = X U(Y U Z), (X Q Y) Q Z = X Q (Y Q Z) oricare ar fi X, Y, Z e ^.(E). 4. Compunerea funcțiilor unei mulțimi E în ea însăși este o lege de compo- ziție asociativă, deoarece (fog)oh = fo(goh), V f, g, h e ^(E). 5. Pe mulțimea Z a numerelor întregi definim legea de compoziție Z x Z -> Z, (x, y) -> x — y. Cum (3 — 7) — 1 = — 5 / — 3 = 3 — (7 — 1), rezultă că această lege de compoziție nu este asociativă. § 5. CQMUTATIVITATE Proprietatea de asociativitate lărgește mult aria posibilităților în per- fectarea calculului algebric. O altă sursă în acest sens este dată de legile de compoziție pentru care compusul a două elemente oarecare este indepen- dent de ordinea în care se face compunerea acestora. Mai precis : 5.1. Definiție. O lege de compoziție M x M —► M, (x, y) —► x*y se numește comutativă, dacă : x*y = y*x, V x, y e M. Adunarea și înmulțirea numerelor reale, reuniunea și intersecția părților unei mulțimi sînt legi de compoziție comutative. Remarcă. Gomutativitatea unei legi de compoziție dată pe o rrlulțime finită M poate fi verificată pe tabla operației: elementul xy de la intersecția liniei lui x cu coloana lui, y trebuie să fie egal cu elementul yx de la intersecția liniei lui y cu coloana lui x, oricare 22 ar fi x, y e M. Aceasta revine la proprietatea că tabla operației este simetrică în raport cu diagonala principală (fig. II.1). în § 3 au fost date tablele adunării și înmul- țirii modulo 5 pe — {0, 1, 2, 3, 4}. Cum aceste table sînt simetrice în raport cu diagonala princi- pală, rezultă că legile de compoziție menționate sînt comutative. Tot la locul citat a fost dată tabla com- punerii funcțiilor din ^(1?), unde E = {1, 2}. Pe tabla acestei legi de compoziție se constată că hog = h / g — goh, deci această operație nu este comutativă. Numeroase legi de compoziție se defi- nesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operații pot prelua unele pro- prietăți de la cele de plecare prin „mecanismul“ dat chiar de definiția lor. Astfel comutativitatea adunării matricelor din M₂(R) este o consecință a proprietății de comutativitate a adunării numerelor reale. în adevăr, dacă A, B e M₂(R), A = (ciij), B =- (b^), atunci ^12^ fdll 4“ ^11 ^227 1^21 4" b₂₁ ^12 + #22 4~ ^12 ^22 4“ #11 ^12 4" #12^ (bn b₁₂\ Z#ll #12^ ᵣ₎ i u = 1 l=| 4-I = B 4- A. \^21 4- #21 b₂₂ + d-22/ \ b₂₁ b₂₂) \«21 d₂₂J / Să observăm că înmulțirea matricelor din M₂(R) nu este comutativă, cu toate că înmulțirea numerelor reale este comutativă. Aceasta rezultă din exemplul următor : f 1 2W0 _ n p 1 oHl J 10 11 z H 01 /O 7^ I = I U \0 2J ți 21 0/ Exerciții rezolvate R — 1 Pe mulțimea Z a numerelor întregi definim legea de compo- ziție Z X Z -> Z, (x, y) -> xoy = x + y — xy, numită compunerea circulară. Să se arate că legea de compoziție „o“ este asociativă și comutativă. Solufie. Dacă x, y, z e z, atunci : (xoy)oz - (x + y — xy)oz = x + y — xy + z - (x + y - Xy)z = — x + y + z — xy — yz — zx + xyz, xo(yoz) = xo(y + z - yz) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x -f- y + z — xy — yz — zx + xyz, 23 de unde R — 2 (xoy)os = xo(yoz\ De asemenea, pentru x, y e z avem : xoy = x + y — xy = y + x — yx = yox. Fie M și N două mulțimi, o lege de compoziție pe M, „o“ o lege de compoziție pe Ar și f: M -* N o funcție surjectivă astfel încît f(x*y) = Kx)of(y), v y e w. 1) Dacă legea de compoziție este asociativă (comutativă) atunci legea de compoziție „o“ este asociativă (resp. comutativă). 2) Funcția f: Z -> Z, f(x) = 1 — x are proprietatea f(xy) = f(x)of(y), V x, y Z unde xy este produsul uzual în Z iar „o“ este compunerea circulară (v. Ex. R-l). 3) Dați o nouă soluție pentru Ex. R — 1. Soluție. 1) Fie u, w g jv. Cum f este funcție surjectivă, există x, y, z M astfel incit u = f(x), p = Fy), w = f(z). Avem : nou = /■(x)of(y) = f(x * y) = f(y * x) = Ky)of(x) = von Și (uop)o.T = (f(.r)of(y))of(z) = f(x * y)of(z) = f((x * y) * z) = = f(x * (.V * z)) = f(x)of(y *z)= /’(x)o(f(y)o/’(z)) = uo(pow). 2) Oricare ar fi x, y g z avem : f(x)of(y) - f(x) + f(y) - f(x)f(y) 1 - x + 1 - y - (1 - x)(l -- y) = = i - xy = f^y)- ♦ 3) Funcția f este surjectivă iar înmulțirea uzuală a numerelor întregi este asociativă și comutativă. Putem aplica 1). 5.2. Remarcă. Fie

• M o lege de compoziție pe M, II o parte stabilă a lui Af în raport cu

A'l, (x, y) —> x*y, dacă e*x — x*e =. x, V x e AI.. 6.2. Teoremă. Dacă o lege de compoziție are element neutru, atunci acesta este unic. / Demonstrație. Fie e și e' două elemente neutre pentru o lege de compo- ziție M x M-+ Al, (x, y) —> x*y. Avem e*e' — e' căci e este element neutru. De asemenea, e*e' = e căci și e' este element neutru, de unde e = e . Așadar, elementul neutru, în caz că există, este unic determinat. în notație aditivă elementul neutiu se notează, de regulă cu 0 și se nu- mește elementul zero, iar în notația multiplicativă* elementul neutru se notează cu 1 sau chiar cu e și poartă numele de elementul unitate. Avem : . () -p x = x -j- 0 = x, V x AL, respectiv 1 -x = x • 1 = x, V x e AI. Exemple 1. Numărul real 0 este elerfientul neutru al adunării numerelor reale, numă- rul real 1 este dementul neutru al înmulțirii numerelor reale. 2. Aplicația identică lᵣ a mulțimii E este elementul neutru al operației de compunere a funcțiilor din ^(E). 3. Fie E o mulțime. Cum 0 țj X = X IJ 0 = X și E X = X C} E = X oricare ar fi X e S*(E) rezultă că 0 este elementul neutru al operației „țj“, iar E este elementul neutru al operației „0“. 25 4. Mulțimea 2N = {2k | k e N} a numerelor naturale pare este o parte stabilă a lui N în raport cu înmulțirea și legea de compoziție indusă de către aceasta pe 2N nu admite element neutru. § 7. ELEMENTE SIMETRIZ ABILE ' Ca și pînă acum, M este o mulțime nevidă înzestrată cu o lege de com- poziție M x M -> M, (x, y) -* x*y. Vom presupune în plus că această lege de compoziție este asociativă și că admite element neutru, fie acesta e. 7.1. Definiție. Un element x e M se numește simetrizabil în raport cu legea de compoziție (asociativă și eu element neutru) M x M —> M, (x, y) —* —> x*y, dacă există x' e M astfel încît x'*x = x*x' = e. Să observăm că dacă x" e M satisface ca și x condițiile x" *x = x*x" = e, atunci x' ~ x". în adevăr x' = x'*e = x'*(x*x") = țx'*x)*x" = e*x" =x". Dacă x e M este simetrizabil, atunci unicul element x s M cu pro- prietatea x' *x = x^x' = e se numește simetricul lui x (în raport cu ope- rația „*“). ₓ în notația multiplicativă simetricul lui x, în caz că există, se notează de regulă cu x⁻¹ și se numește inversul lui x ; în notația aditivă se notează cu —x și se numește opusul lui x. Așadar, X⁻¹X = XX⁻¹ = 1 , respectiv / (—x) -|- x = x + (—= 0. Exemple 1. Cum e*e = e, rezultă că elementul neutru este simetrizabil și simetricul lui e este tot c. în notație multiplicativă avem l⁻¹ = 1, iar în notație aditivă —0 = 0. /a ZA 2. Matricea ,A M₂(Z), A = I J cu ad — cb =1, este șimetrizabilă (inversabilă) în raport cu operația de înmulțire din M₂(Z) și ( d A⁻¹ = e M^Z). \-c a) 2G 3. Orice număr întreg este simetrizabil în raport cu adunarea numerelor întregi ; numerele întregi simetrizabile față de înmulțire sînt 1 și — 1, l-i = 1, (-l)-i = - 1. 4. Consultînd tabla dată la § 3 pentru compunerea funcțiilor din ^(E), unde # = {h 2}, se observă că eoe =e și fof ^e, deci funcțiile e și f sînt simetrizabile (inversabile) și e⁻¹ = e, f~l = f. 7.2. Tcore m ă. Dacă .r, y e M sînt elemente simetrizabile în raport cu o lege de compoziție M x M —> M, (x, y) —> x*y (asociativă și eu element neutru) atunci x*y și x' sînt simetrizabile. Mai mult : 1) (x*yy = y'*x', 2) (x'Y = x. Demonstrație. Avem : (y'*x')*(x*y) = y'*(x'*(x*y)) = y'*((x'*x)*y) = / f ₜ = y ^{^y) =y *y = e și analog (x*y)*(y' *x') = e. Rezultă că x*y este simetrizabil și (x*y)' = = y'*x'. A doua afirmație este imediată. Proprietățile 1) și 2) din enunțul teoremei precedente se transcriu multi- plicativ astfel : v (xy)⁻¹ = y~¹x~¹, (x⁻¹)⁻¹ = x, iar în notația aditivă — + y) - (— y) + (— x), — (—x) = x. Se face următoarea convenție de notație : def x — y = x + (—y) Exerciții rezolvate R - 1 Să se arate că legea de compoziție Z x Z -> Z, (x, y) -> xoy = x + y — xy 27 are element neutru și să se determine elementele simetrizabile Aceeași pro- blematică pentru legea de compoziție Q X Q Q, (x, y) -> xoy = x y — xy. Soluție. Dacă e eZ este element neutru pentru legea de compoziție .,0", trebuie să avem ' \ --- n /-x --J O’__W «V 4= x = eo x = e + x - ex, V x e Z deci e --- ex, V x e Z și in particular e = e-0 = 0. Pe de altă parte se verifică că 0 o x = x o 0 = x, V x<= Z, deci numărul 0 este elementul neutru al legii de compoziție „o“. Fie a e Z. Pentru ca a să fie simetrizabil în raport cu legea de compoziție „0“ tre- buie să existe, x e Z astfel încît 0 = aox --- a + x --- ax, de unde x(a --- 1) = a. Se observă că această ecuație admite o soluție x e Z dacă și numai dacă a — 0 sau a = 2. Elementele simetrizabile sînt 0 și 2, 0z = 0 și 2' = 2. Cînd Z se înlocuiește cu Q, elementele simetrizabile sînt toate numerele raționale 0 0 4. II — 2 Fie d un număr întreg liber de pătrate și (a db\ H = A A --- , , a, b Q. a 0 sau b / 0?. \b al 1) H este o parte stabilă a lui 7\J₂(Q) în raport cu înmulțirea matricelor. 2) Orice matrice A e H este inversabilă (simelrizabilă) în raport cu operația indusă. (a bd । ța' db'\ Soluție. 1) Fie A, B & II, A = , B - \b a ) \b' a' ) Avem AB = | (aa' + dbb' d(ba' + ub')\ (a" db"\ [ba' + ab' aa' + dbb' / \b" a" j unde a" = .aa' + dbb' e Q, b" --- ba' + ab' e Q. Pentru a avea AB II este suficient să arătăm că a" 0 sau b" 0. Dacă a" = 0 și b" = 0 atunci x = a' și y = b' este 0 soluție nebanală a sistemului omogen : f ax + dby = 0, țbx + ay = 0. Determinantul matțicei acestui sistem este egal cu a² — db². Cum d este liber de pătrate și a 0 sau b 0, rezultă că a² - db² 0 căci altfel |/d e Q Contradicție. Dar din a² — db² 0 0 rezultă că singura soluție a sistemului (*) este x — y = 0. Rămîne adevărat că a" 0 sau b" / 0, deci AB e H. 2) Se observă că matricea unitate E e H și fie A e H. să arătăm -că există o ma- trice X e II. ' (x dy\ , x, y e Q. x 0 sau y / 0 y . x / 28 astfel incit XA = AX = E. Avem : fi Oț db\ (x dy aj\y x , ax + dby bx 4- ay d(bx + ay) ax 4- dby, a b ceea ce este echivalent cu sistemul liniar : fax 4- dby = 1, (**) < [h 4- aj/= 0. Determinantul sistemului (*♦) este a² — db² O și unica soluție este x ~ aj (a² — db²), y = — b/(a² — db²). Cum a 0 sau b / 0, rezultă x / 0 sau y 0. Așadar : /—— a² — db² - b \ a² — db² - db \ a² — db² a a² - db² / e H. Se verifică și egalitatea XA = E, deci A⁻¹ există și A⁻¹ = X e H. § 8. proprietăți ale adunării și înmulțirii MODULO n în capitolul I, § 1, au fost enumerate proprietățile adunării și înmulțirii numerelor întregi. Anume, cu terminologia adoptată în capitolul de față, adunarea numere- Icr întregi, Z x Z - z, (x, y) - x -4- y este asociativă, comutativă, admite pe 0 ca element neutru și orice număr întreg admite opus. De asemenea, înmulțirea numerelor întregi Z X Z -> Z (x, y) -> xy, este asociativă, comutativă și admite pe 1 ca element neutru. în fine, înmulțirea numerelor întregi este distributivă față de adunare : x(y + z) = xy + xz, V x, y, z e Z. Fie n > 0 un număr întreg. Dacă a, b e Z am definit suma modulo n a lui a cu b, notată cu a © b și produsul modulo n al lui a cu b, notat cu a ® b ca fiind restul împărțirii prin n al numărului a + b, respectiv ab : c a © b (a. + b) mod n, a ® b ~ (ab) mod n. S-au obținut ostiei două legi de compoziție pe Z, Z x Z -► Z. (a. b) @ b și Z X Z Z, (a, b) -> a ® b numite adunarea modulo n respectiv înmulțirea modulo n. Ne propunem în continuare să studiem proprietățile acestora. Un rezul- tat util pentru acest studiu este următorul : 29 8.1. Lemă. Fie a, b e Z. Alunei oricare ar fi h, k^ Z avem : (a 4- nh) © (b + nk) = a © b f (a + nh) ® (b nk) = a ® b. Demonstrație. Pentru orice h și k e Z avem : \ (a 4- nh) 4- (b 4- nk) = (« 4~ &) 4~ n(h 4- k) Și (a 4- nh) (b 4- nk) = ab 4- n(ak 4~ bh 4- nhk). Rezultă că numerele (a 4- nh) 4- (b + nk) și a 4- b dau același rest prin împărțirea cu n, deci (a 4- nh) © (b 4- nk) = a © b și, de asemenea, numerele (a 4- nh) (b 4- nk) și ab dau același rest prin împăr- țirea cu n, deci (a 4- nh) ® (ă 4~ nk) = a ® b. 8.2. Teoremă. Operațiile de adunare și înmulțire modulo n au pro- prietățile : 1) (n © 6) © c = a © (b © c), 2) a © b — b © a, 3) (a ® b) ® c — a ® (b ® c), 4) a ® b = b ® a, 5) a ® (b © c) = a ® b © a ® c oricare ar fi a, b, c e Z. ₍ Demonstrație 1) Cum a © b este restul împărțirii lui a 4- b prin n, există e Z astfel încît a 4- b = na 4- (a © b). Din Ierna precedentă rezultă : (a © b) © c = (a 4- b) © c = ((a 4- b) 4- c) mod n. De asemenea : a © (b © c) = a © (b + c) = (a 4- (& + c)) mod n. Dar (o 4- + c = fl + (H 0» de uⁿde (a ® b) ® c = a ® (b ® c). 4) Avem : a ® b = (ab) mod n = (ba) mod n — b ® a. 5) Aplicînd Ierna 8.1 avem : a ® (b © c) = a ® (b + c) = (a(b 4- c)) mod n = (ab + ac) mod n = = ab © oc a ® b © a ® c. 30 Proprietatea 2).se demonstrează ca 4), iar 3) ca 1). Să observăm că adunarea modulo n nu admite element neutru. în ade- văr, să presupunem că 0 e Z este astfel încît 0 © a = a © 0 = «, V « e Z. Dacă a Slₙ ={0,1,2, . . ., n — 1}, atunci 0 © a a pentru că 0 © « s Contradicție. Analog se arată că înmulțirea modulo n nu admite element neutru. Așa cum s-a mai observat, avem : V a, b e &ₙ => a © b e gțₙ, a ® b & &ₙ. Putem deci considera operațiile induse pe Slₙ de către operațiile de adunare și înmulțire modulo n, &ₙ X &ₙ ^n, (a, b) -> a © b respectiv Rₙ X <&», (a, b) -> a ® b. Aceste operații au evident proprietățile 1) —5) din enunțul Teoremei 8.2 (v. Remarca 5.2). Cum : 0©a=a©0=a, l®a=a®l=a. V a e rezultă că numerele 0 și 1 sînt elemente neutre pentru operațiile induse pe de către adunarea modulo n, respectiv înmulțirea modulo n. în fine să mai observăm că a © (n — a) = (n — a) © a = 0, V a e și cum p— o e oricare af fi a e 3lₙ,a 0, rezultă că orice element « e &,ₙ este simetrizabil în raport cu operația indusă pe de către adunarea mo- dulo n, simetricul (opusul) lui a fiind n — a dacă a / 0 și 0 dacă a = 0. Fie n = 6. Tablele operațiilor induse pe = {0, 1 2, 3, 4, 5} de către adunarea și înmulțirea modulo 6 sînt : © 0 1 2 3 4 5 ® 1 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 0 0, 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4 3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 4 4 5 0 1 2 Q 4 0 4 2 0 4 2 5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1 Tabla adunării modulo 6. Tabla înmulțiri modulo 6. Faptul că operația indusă pe de adunarea modulo 6 este comutativă și că admite pe 0 ca element neutru se constată și pe tabla acesteia. Folosind notația aditivă pentru simetric, se constată de asemenea că : — 0=0, —1=5, —2=4, -3=3, —4=2, —5 = 1 31 căci O © O = O, 1 ©• 5 - O, 2 © 4 = O, 3 © 3 = 0. Elementele din &₆ simetrizabile în raport cu operația indusă de înmul- țirea modulo 6 sînt 1 și 5. Folosind în acest caz notația multiplicativă pentru simetric, avem : l"¹ = 1, 5"¹ = 5 ⁽ căci 10 1 =1, 5 ® 5=1. Remarcă. Operația „0“ arc prioritate fată de .,©“ și de aceea intr-o expresie ca (c 0 b) © c parantezele pot fi omise, scriind simplu a 0 b © c. Exerciții rezolvate R — 1 Găsiți soluțiile din ale ecuațiilor : 1) 5 0 x © 2 = 4, 2) 3 0 x © 4 = 4, 3) 2 0 x © 3 = 2, unde „©“ și „0“ sînt simbolurile adunării și înmulțirii modulo 6. Soluție. 1) Cum 50x©2®4=±4©4. iar 2 © 4 = 0 și 4 © 4 = 2, rezultă că 5 0 x = 2. Din tabla înmulțirii modulo 6 rezultă că x = 4. Același rezultat se obține observînd că 5 este, simetrizabil în raport cu „0" și 5⁻¹ — 5. Deducem : x - 1 0 x = (5 0 5) 0 x — 5 0 (5 0 x) — 5 0 2' = 4. 2) Cum 30x © 4 © 2 - 4© 2, rezultă că 3 0 x = 0. Din tabla înmulțirii modulo 6, găsim pentru x valorile x, = 0, x, = 2 și x₃ = 4. (O ecuație de grad 1 admite trei soluții !). 3) Cum 20 x© 3© 3 = 2© 3, rezultă 2 0 x = 5. Din tabla înmulțirii modulo 6 se constată că nu există x e astfel încît 2 0 x = 5. Așadar ecuația 3) nu admite soluții. I R — 2 1) Rezolvați în ecuația 2 0 x © 3 = 2. 4 2) Arătați că ecuația a 0 x © b = 0 cu a, b e a 0, admite o soluție unică în Soluție. 1) Adunind la fiecare termen al ecuației opusul lui 3 în raport cu adunarea modulo 5 pe ^5, se obține : 2 0 x © 3 © 2 - 2 © 2, deci 2 0 x = 4. Din tabla înmulțirii modulo 5 pe se constată tă 2 este simetrizabil și simetricul Iui 2 în raport cu această operație este 3. înmulțind cu 3 ecuația 2 0 x — 4 se obține 3 0 2 0 x =304 și cum 3®2=1, 304 = 2, deducem că x = 2. 32 2) Consultind tablele înmulțirii și adunării modulo 5 pe = {O. 1, 2, 3, 4} (v. § 3) se constată că toate elementele b e sînt simetrizabile în raport cu adunarea modulo 5 și că toate elementele a e ^₅₎ a / 0, sînt simetrizabile în raport cu înmulțirea modulo 5. Așadar etapele de rezolvare de la pct. 1) pot fi parcurse și pe cazul general a 0 r © b = 0, a /O, deci ecuația a 0 x © b = 0 are cel puțin o soluție în <^₅. Fie xₙ x, e astfel încît a 0 Xj © b = 0 și a 0 x₂ © b — 0. Atunci avem : o 0 Xj © b = a 0 x₂ 0 b. Adunînd opusul lui b la fiecare termen al egalității precedente obținem a 0 Xj = a 0 x₂ și ’^mulțind termenii acestei ultime egalități cu simetricul lui a în raport cu înmulțirea mo- dulo 5 se obține Xj = x,. Exerciții 1. Să se alcătuiască tablele operațiilor induse pe = {(), 1, 2, 3} Q Z de adunarea și în- mulțirea modulo 4. 2. Arătați că mulțimea' II = {0, 1, 2, 3, 4} Q Z este stabilă față de legea de compoziție Z x Z —* Z, (x, y) —» | x — y | și să se alcătuiască tabla operației induse. 3. Arătati '’ă orice submulțime H ± 0 a lui R este stabilă în raport cu fiecare din legile de compoziție al p = max {a, ^}; aT P = min {a, Ș}, Va, pe R. / Alcătuiți tablele operațiilor induse pe H = {a, p, y}, unde a = p = V 1 + 1^2, Y = V 3 + 4. Fie 77 = {a e X | a | 12}. Arătați că II este o parte stabilă a lui N în raport cu fiecare din legile de compoziție : def . , def a J_o-=rc.m.m.d.c. {a, b}, a Ț b = c.m.m.m.c. {a, o}, V a, b e N. Alcătuiți tablele operațiilor induse. 5. Pentru care valori ale parametrului real X intervalul (2, oo) este o parte stabilă a lui R în raport cu legea de compoziție x*y==xy — 2x 2y © X, V x, y e R. «. Fie E = R\{—^3/3, ^3/3} și A : E -» E, 1 i < 3, definite astfel : M*) = (x © J-3)/(l - x /3), /^x) = (x - / 3)/(l + x/3), V x s /•;. Arătați că 77 = {[,, f₂, f₃} este stabilă in raport cu operația de compunere a funcțiilor și alcătuiți tabla operației induse. 7. Pe R definim legea de compoziție R x R —> R, (x, y) —♦ x*y, unde x*y-=x + y + xy. Arătați că această lege de compoziție este asociativă, comutativă și cu element neutru. Intervalul [ -1, oo) este o parte stabilă a lui R în raport cu legea de compoziție 8, Arătați că legile de compoziție de la ex. 3 sînt asociative și comutative. Studiați exis- tența elementului neutru pentru operațiile induse pe intervalele [a, />], [ R, (x, y) —> x*y^=xy + 2ax + by. Determinați a și b astfel încît legea, de compoziție să fie comutativă și psociativă. 15. Pe R se' definește legea de compoziție def R X R —> R (x, y) —> x*y=xy — x — y 2. Cercetați existența elementului neutru. 1G. Fie M mulțimea matricelor A e M₂(R), ZO a\ A — I , a, b ce K \0 b) Arătați: 1) A, B e M=> AB e M; 2) Nu există U e M astfel încît UA = A, VA e M ; 3) Există o infinitate de matrice V e Al astfel încît AV = A, VA e M. 34 Admite element neutrii operația indusă pe Al de înmulțirea matricelor ? 17. Pe R* — {a e R| a > 0} definim legile de compoziție : , de fa + b a1 b =-- (media aritmetică) 2 a T (media geometrică) def 2ab a A b ---.---- (media armonică) a + b V a, b e R* Arătați. că aceste legi de compoziție sînt comutative și nu sînt asociative. Admit element neutru ? , 18. Pe M₂(R) se definește legea de compoziție A*B= AB + BA, VA, B e M₂(R). Studiați dacă legea de compoziție este asociativă (comutativă). Admite ele- ment neutru ? 11). Determinați părțile stabile finite ale lui Z în raport cu înmulțirea. Este R\Q parte sta- bilă a lui II în raport cu adunarea și (înmulțirea)? 20. Fie H mulțimea numerelor reale de forma a + ă/2, a, b e Q ce satisfac condiția a² — — 2b² — 1. Arătați că H este o parte stabilă a lui R în raport cu înmulțirea și că toate numerele din H sînt simetrizabile în raport cu operația indusă. 21. Fie Al mulțimea matricelor A e M₂(R), Ia °\ A = |, a, b, c e R. Ic b / 4 1) Dacă A, B e AI, atunci AB AI. 2) Care sînt elementele simetrizabile ale lui AI în raport cu operația indusă ? 22. Determinați elementele simetrizabile în raport cu înmulțirea modulo 12 din cft₁₂. 23. Examinînd tabla înmulțirii modulo 8, deduceți că pentru ecuația a 0 x © b = 0, cu a, b e ^₈₎ a / 0, sînt posibile numai cazurile : 1) nu are nici o soluție în <&₈; 2) are o singură soluție în ; 3) are două soluții în ; 4) are patru soluții în <&₈. Dați cite un exemplu de astfel de ecuație pentru fiecare tip. 24 Găsiți toate soluțiile din ^|₂ ale sistemului de ecuații liniare 3 0 x © 4 0 y = 11, 4 0 x © 9 0 y = 10. * * * 25. Fie n > 0 un număr întreg și M — {(a, b) | a, b e Z, (a, n) = 1}. 1) Dacă-(a, b), (c, d) e AI => (ac, ad 4- bc) e AI ; 2) Legea de compoziție „*“ definită prin AI prin : (a, b)*(c, d) = (ac, ad + bc) este comutativă și asociativă. 3) Determinați elementul neutru și elementele simetrizabile. 35 26*. Pe o mulțime M se dă o lege de compoziție asociativă M x M —♦ M, (x, ij) —► xy. Presupunem că 3a e M astfel incit y e aMa = {ara | x e Af}, Vy e M. Arătați că o asemenea lege de compoziție admite clement neutru. 27*. Fie „T“ Și «±“ două legi de compoziție pe mulțimea M, cu clemente neutre e respec- tiv e'. Dacă oricare ar fi x, y, u, v e M avem : (x T y) ± (» T «0 = ± u) T (y ± f), atunci : 1) e = e', 2) x T y = x ± y. Vx, y s M. 3) X ± y = y ± X, Vx, y e M. 28*. Fie M o mulțime cu trei elemente. 1) Cite legi de compoziție se pot defini pe M ? 2) Cîte dintre acestea sînt comutative ? 3} Cite admit element neutru ? Generalizare. 29*. Pe mulțimea punctelor unui plan II definim legea de compoziție cp : II X II —> II def x*y dacă sînt satisfăcute următoarele axiome : (x*y)*z =x*țy*z), V x, y, z M ; M₂) 3 e e M astfel încît e*x = x*c = x, V x e M. Dacă pentru legea de compoziție cp a monoidului se folosește una din notațiile etc. ațunci în loc de (M, cp) scriem (M, *),(M, +), (M, •) etc. Adesea cuplul (M, cp) se notează tot cu M ; în acest caz M se interpre- tează fie ca fiind cuplul (M, cp), fie ca fiind mulțimea suport (subiacentă) a structurii de monoid. Ansamblul de condiții Mₗₜ M₂ poartă numele de axiomele monoidului. Elementul c e M care satisface axioma M₂ este unic determinat (v. Teo- rema 6.2. Cap. II) și se numește elementul neutru al monoidului M. Vom nota cu U(M) mulțimea elementelor lui M simetrizabile în raport cu operația acestuia. Cind M este dat în notație multiplicativă, elementele din U(M) se mai numesc încă și unități ale monoidului M. Spunem că monoidul M este comutația dacă operația acestuia satisface și axioma : ^3) x*y = y^x. V X, y^ M 37 Exemple 1. Adunarea numerelor este asociativă, comutativă și admite pe 0 că ele- ment neutru. Rezultă că (N, +) este monoid comutativ, numit monoidul aditiv al numerelor naturale. De asemenea, (N, •) este monoid comutativ, numit monoidul multiplicativ al numerelor naturale. 2. Fie E o mulțime și Q(E) mulțimea tuturor părților lui E. Cum : mj (xu nuz = xu(yu^)> m₂) 0 U X = X U 0 = X, m₃) x u y = Y U X, rezultă că (^(E), 0) este monoid comutativ. Analog, (^(E), Q) este monoid comutativ. V X, Y, Z S(E) V X e S(E) V X, Y, Z e ^E) 3. Fie E o mulțime și &(E) mulțimea tuturor funcțiilor f: E E. Cum Mₓ) V f, g, h e ^(E) M₂) 1 E°f = folE =f, ^(E) rezultă că eF(E) formează monoid în raport cu operația de compunere. Dacă E are cel puțin două elemente, atunci (cF(E), °) nu este monoid comutativ (v. tabla operației lui &(E) cînd E = {1, 2} ; Cap. II, § 3). Să observăm că într-un monoid M sînt adevărate toate rezultatele obținute în Cap. II în legătură cu elementele simetrizabile. Dacă a M definim inductiv puterile lui a cu exponenți numere naturale astfel : a° = e, a¹ = a, a² = aa, a³ = a²a.............aⁿ = aⁿ~la, .... sau mai condensat prin Ie dacă n =0, > aⁿ~l-a dacă n > 0. 1.2. Teoremă. Oricare ar fi numerele naturale m și n avem : am’aⁿ — am^ⁿ, (am)ⁿ — amⁿ Demonstrație. Este suficient să arătăm că pentru m fixat afirmațiile din enunț sînt adevăr?! e oricare ar fi n £ N. Cum am-ct° ₌ ₐ».ₑ ₌ Și = e = a° = a"'-⁰, afirmațiile din enunț sînt adevărate pentru n = 0. 38 Presupunem că n > O și că afirmațiile din enunț sînt adevărate pentru n — 1. Atunci : amaⁿ = aV*"¹'») = țam-aⁿ~^a = aⁿ⁺ⁿ~xa = am+ⁿ Și — (am')ⁿ~¹ ‘ am = ^mn Analog, dacă legea de compoziție a monoidului M este dată aditiv, definim multiplii na ai lui a, cu n e N, astfel : dcf | O dacă n = O a | (n — l)a -p a dacă n > 0. Rezultatul din teorema precedentă se transcrie aditiv astfel : ma 4- na = (m + n)a, n(ma) = (nm)a V m, n e N Exerciții rezolvate R - î Fie 3/ mulțimea tuturor matricelor A e M₂(Z) de forma : A = r C \ , a, b, c Z. \0 b) lz) Să se arate că M este o parte stabilă a lui M₂(Z) în raport cu înmul- țirea matricelor și că formează monoid în raport cu operația indusă. 2) Determinați clementele simetrizabile ale monoidului M. Soluție. 1) Fie A, B e Af₂(Z). Avem : (a e'k fu izA (au aw + cv\ 0 M țo vj țo bl) J Rezultă că M este o parte stabilă a lui M₂(Z) în raport cu înmulțirea matricelor. Cum rezultă că operația indusă pe îl admite element neutru, anume pe E. Operația indusă este și asociativă căci înmulțirea matricelor este asociativă. Rezultă că (M, ♦) este monoid. ii) Picsupunem că A Atunci există B e M astfel încît AB = BA = E. Cu m 1 = de^E) -= dct(AB) = det(A) det(B) și de.t(A), det(B) sînt numere întregi, rezultă I a ab = |0 ca det(A) — ±1, deci b 39 Cum a, b e Z rezultă că ab - l dacă a = 1, b = 1 sau a — — 1, b — — 1 și ab = - 1 dacă a — ->1, b — 1 sau a — 1, b = l. Așadar, dacă A •= (J(M) atunci A este egală cu una din matricele : ¹ C1 ( ¹ O 1J ’ ( O Reciproc, inatricele din lista precedentă sînt elemente inversabile ale monoidului M, inversele lor fiind respectiv matricele : /I că ( — l—c\ / - 1 că fi că (o ij ț o — t) (o ij v’ -V după cuin ușor se poate verifica. R — 2 Fie E o mulțime nevidă f e ^(E). Următoarele afirmații sînt echivalente : a) f este element simetrizabil al monoidului (&(E), o) ; b) /' este funcție bijectivă. Enumerați elementele simetrizabile ale monoidului °), unde E = {1, 2, 3}. Soluție, a) => b). Cum f este element simetrizabil, există g'e ^(E) astfel încît : f°(i — U°f — Rezultă că f este funcție bijectivă (v. Ex. R — 1, Cap. 1). b) => a). Cum f: E-* E este funcție bijectivă, pentru orice y e E ex’stă x e E unic determinat astfel încît y = f(x). Definim g : E —* E prin : def y(y) = *K*) = y, ^y E. Avem : (W)(y) = f(!7(y)) = ÎW = y = ^e(y), v y e și (yofXx) = = g(y) = x = l£(x), V x e E, de unde f°y = a°f = i/? deci /' este element simetrizabil al monoidului ($(E), °). Presupunem că E = {1, 2, 3} și f e &(E). Cu convenția de la § 3, cap. II, funcția fsc poate da prin : ( 1 2 3 ă ¹ ⁼ l fW . ) Evident, ^(E) are 3 x 3 x 3 = 27 elemente, f fiind simetrizabil (= bijectiv) dacă și numai dacă valorile sale /(l), /(2), f(3) reproduc, intr-o ordine arbitrară, numerele 1, 2, 3- Avem deci 3 ! = 6 elemente simetrizabile, anume : Așadar U($(E)) = {c, o, tc, a, p, yj. 40 § 2. DEFINIȚIA GRUPULlA. EXEMPLE Noțiunea de grup ocupă un Ioc central printre structurile algebrice. Teoria grupurilor are în esență o sursă unică : studiul, in raport cu operația de compunere, al funcțiilor bijective ale unei mulțimi în ea însăși. Definiția noțiunii de grup se dă imediat cu ajutorul celei de monoid : un monoid G cu proprietatea că orice element .r e G este simetrizabil (în raport cu operația acestuia) se numește grup. Mai precis : 2.1. Definiție. Un cuplu (G, *) format cu o mulțime nevidă G și cu o lege de compoziție pe G, G X G -* G, (x, y) -+ x*y se numește grup dacă sînt satisfăcute următoarele axiome : Gₜ) (x«y)*z = x*(y*z), V x, y, z G ; G₂) 3 e G astfel încît e*x = x*e = x, V x s G ; Gj) V x G, Bx' G astfel încît x'*x = x*x = e. Elementul e e G, a cărui existență este asigurată de axioma G₂. este unic determinat (v. Teorema 6.2, Cap. TI) și se numește elementul neutru al grupului G. Elementul xr a cărui existență este asigurată de axioma G^ pentru orice x e G, este unic determinat (v. § 7, Cap. II) și se numește sime- tricul lui x ; în notația multiplicativă punem x = x⁻¹, iar în notația aditivă punem x = — x, numit inversul, respectiv opusul lui x. Ansamblul de condiții Gₗₜ G₂ și G₃ poartă numele de axiomele grupului. Dacă în plus este satisfăcută și axioma : • I Gj) x^y = y#x, V z, y e G, atunci cuplul (G, *) se numește grup comutativ sau grup abelian. Exemple 1. Grupul permutărilor. Fie E = {1,2, 3}. Să notăm cu ®₃ mulțimea tuturor funcțiilor bijective de la E Ia E. Folosind convenția de la § 3, Cap. fi, acestea pot fi descrise astfel : (1 2 3) li 2 ID (1 2 3\ 1 . = ? , a = j _ ți 2 3/ (2 3 1/ 3 1 2/ H 2 3\ ᵣ p 2 3\ fi 2 3A « = • 3 ~ Y = u 3 2J \3 2 1/ V2 ¹ 3/ deci G₃ = {e, a, tc, a, 0, yj. 41 Gum compusa a două funcții bijective este o funcție bijectivă (v. Teorema 2.2, Gap. 1) rezultă că S₃ este o parte stabilă a lui cF(t<) în raport cu compunerea funcțiilor. Să alcătuim tabla operației induse pe S₃ de către compunerea funcțiilor, operație numită compunerea permutărilor de trei obiecte. 0 e a 7t a 3 Y e e a K a P Y a a tc e Y a P K ■k e a P Y a a a 0 Y e a 7C P P Y a e a Y Y a P a Tt e Tabla grupului <5 »• Avem, de exemplu, a°a = y. în adevăr, W ( 1) = a(a(l)) = a(i) = 2 = y(î) (aoa) (2) = a(a(2)) = a(3) = 1 = Y(2) (a°a) ( 3) = a(a(3)) --- a(2) = 3 = Y(3) de unde tra = y. Gum compunerea funcțiilor este asociativă și 1 e rezultă că (l și E={1, 2, . . ., n} atunci mulțimea a func- țiilor bijective de la E la E formează grup în raport cu operația de com- punere a funcțiilor ; (<5„, o) se numește grupul permutărilor de n obiecte sau grupul simetric de grad n. 2. Grupul lui Klein. Fie E = R x R și cK {lᵢ;, u, unde a, u și. w sînt următoarele funcții de la E la E (v. fig UU) ; u : E -> E. u(x) = (ay, — u : E -> E, v(x) = ( —x,, x₂h tv. E -> E, w(x) = (—.xt — x₂), oricare ar fi .r — (,rj, ,r₂) e E = R X R. 42 Dacă compunem două funcții din cK se obține tot o funcție din X De exemplu, avem uoy = w. îₙ adevăr, pentru orice x e E, x =(xₗₜ x₂), avem : (x) = u(v(x)) = «((—x₂)) = (—x₁₍ -x₂) = w(x\ de unde u°u = w. Să alcătuim tabla operației indusă pe cK de către com- punerea funcțiilor din S(E). O 1 E u V w 1 E u V IV u U 1 E IV V V V IV 1 E u w w V u 1E Tabla grupuhi i Klein. Cum compunerea funcțiilor este asociativă și 1E e X rezultă că o) este monoid. Se observă pe tabla operației lui 3£ că orice element din cJC este simetrizabil, anume : 1 ~e — 1 e> u"¹ = u, y⁻¹ = v, w~x iv. Așadar (3C, c) este grup, numit yrupul lui Klein. Din tabla operației, se deduce că grupul lui Klein este comutativ. Să observăm că elementele grupului -3C sînt funcții bijective. Aceasta se poate verifica direct sau observînd că nou — 1E, im = 1 ivoiv — 1 £ și. aplicînd apoi rezultatul de la Ex. R—1, Cap. I. Grupul (Rₙ, ©) al resturilor modulo n. Fie n = 4 și = {0, 1, 2, 3}. Se știe că 5i₄ este o parte stabilă a lui Z în raport cu adunarea modulo 4. 43 Să alcătuim tabla operației induse. 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Tabla grupului (^4, ®). Operația indusă pe. b — c . Demonstrație. Presupunem că pentru a, b, c e G avem a*b = a*c și fie a' simetricul elementului a. Avem : b = e^b = (a'#a)*b = a'*(a*b) — a'*(a*c) = (a'*a)*c = e*c — c, deci b = c, de unde rezultă că este adevărată regula de simplificare la stingă. Analog se demonstrează regula de simplificare la dreapta. 3.2. Teoremă. Fie (G, *) un grup. Oricare ar fi a, b e G, ecuațiile : a*x = b și y*a — b an soluții unice în G, anume x = a'*b, respectiv y = b*a', unde a' este sime- tricul lui a. Demonstrație. Dacă xₜ și x₂ sînt soluții din G ale ecuației a*x = b, atunci a*xₜ = b = a«x₂, deci d*xₗ = a*x₂ și folosind .regula de simplificare la stînga obținem xₜ = x₂. Așadar, ecuația a*x = b are cel mult o soluție în G. Fie x — a'*b, unde a este simetricul lui a. kNem : ' a*x = a* (a* b) = (a*a')*b — e*b — b, de unde rezultă că x = a'*b este soluție (din G) a ecuației a*x = b, unică conform primei părți a demonstrației. Analog se arată că ecuația y*a =.b admite soluție unică, y = b*a . Dacă grupul G este dat în notația aditivă (multiplicativă) atunci rezul- tatele din teoremele precedente se transcriu astfel : a -ț-'b = a + c sau b^-a=c-\~a^>b=c, a-\-x = b=>x=( —a) + b, y+a = b=>y — b+( —a) = b — a, respectiv ab = ac sau ba — ca => b = c, ax = b => x = a~¹b, ya = b => y = ba~\ 45 Cum operația unui grup este asociativă și cu element neutru, toate rezul- tatele din § 1 sînt adevărate și în cazul grupurilor. Astfel, dacă G este grup multiplicativ, a e G și n e N, atunci punînd Ic dacă n = 0 a" ¹u dacă n > 0 avem : amaⁿ = am⁺ⁿ, (am)ⁿ = amⁿ, V m, n e N. Pentru elementele unui grup putem defini și puteri ale acestora cu expo- nenți numere întregi negative, după cum urmează. Dacă a e G șin eZ, n <0, atunci — n > 0, deci are sens a~ⁿ precum și inversul acestuia, anume Punem deci : aⁿ=(a-ⁿy\ Vn^Z, n<0 și avem : amaⁿ=am⁺ⁿ, (am)ⁿ =amⁿ, Vm,n<=Z O cale de demonstrație a acestei afirmații este reducerea la cazul expo- nenților nenegitivi, care a fost deja demonstrat (v. § 1). Astfel, dacă m < 0 și n < 0 avem : amaⁿ = = («-«.a-*”)-¹ = = am⁺ⁿ. Presupunem că m > 0, n < 0. Dacă m > | n | există r > 0 astfel încît m = —n + r și atunci amaⁿ = ar⁺⁽⁻ⁿ⁾a” = ara~ⁿ(a-ⁿyx = ar = am⁺ⁿ ș.a.m.d. Dacă grupul G este dat în notație aditivă, atunci cele de mai sus devin proprietăți pentru multiplii întregi ai elementelor lui G : mo nu = (m + n)a, n(md) = (nm)a, V m, n Z Cum pentru orice a e G și n e Z avem aⁿa~ⁿ = aⁿ⁺⁽~ⁿ} = a° = e — a{~ⁿ}aⁿ rezultă că : (aⁿ)~x = a~ⁿ, V a e G, n e Z j Analog, în notație aditivă avem : —(nâ) = (— n)a, V a e G, n^Z 46 Exerciții rezolvate R — 1 Fie e =---------------------$—F —e C- Arătați că ₑn3-n₊l ₌ ₑ> ᵥ ₙ ₑ Z c . ᵣ ₙ 2n . 2tc Soluție. Gum e = cos F i sin , avem : 3------------------------------------3 e³ = cos 2n -F i sin 2?r = 1. Observînd că n³ — n = (n — l)n(n + 1), rezultă că /i³ — n se divide cu 3, deci n³ — n = 3q, cu q e z. Dar e este element al grupului (C*, •) și folosind regulile de calcukcu puterile întregi ale unui element dintr-un grup multiplicativ, avem : ₑn»-ₙ ₊ l _ £3«+l _ ₑ3,.ₑₗ _ (ₑ3)7ₑl — pₑ ₌ g. R —2 Arătați că în orice linie (coloană) a tablei operației unui grup G cu un număr finit de elemente, fiecare element al lui G apare o dată și numai o singură dată. Soluție. Presupunem că operația grupului G este notată multiplicativ și că G = {a,, «2, •••> «»}> cu a, / pentru i ^J. Fie a^G. în linia lui a din tabla operației grupului G apar elementele : aa,, aa₂, . . ., aaₕ . . ., aaₙ. Dacă i j, atunci aa,- aa}. în adevăr, dacă aa,- = aaₕ prin simplificare cu a se obține — Oj. Contradicție. Rezultă că elementele aa,, aa₂, . .., aa„ sînt distincte, și mai puțin or- dinea, coincid cu a,, a₂, ..., aₙ. R — 3 Fie G un grup multiplicativ cu patru elemente, G = {e, a, b, c}, unde e este elementul neutru., Alcătuiți tabla operației grupului G dacă se știe că a² = e și c² = e. Soluție. Cunoscînd că e este element neutru și că a² = c² = e, în tabla operației lui (z- se pot completa următoarele poziții: \ e a b c -------------------------------- f e e a-b c a a e ? ? b b ? ? ? c c ? ? e Ca să nu avem repetiții în linia lui a și în coloana lui b, la intersecția acestora, nu putem pune a, e sau b, deci ab = c. Analog se arată apoi succesiv că ac = b, bc = a, bb = c, ba = c, ca = b, cb = a. • e a b c --------------------f_ e e a b c a a e c b b b c e a c c ba e ir | R - 4 Fie (G, •) un grup cu n elemente și e elementul neutru al lui G. 1) Demonstrați în cazul cînd G este comutativ că u" = e, V a G G. 2) Verificați această proprietate în cazul grupului (5₃. Soluție. 1) Fie aₗₜ a₂, ..., a„ elementele grupului G și fie a un element arbitrar din G. Conform cu Ex. R—2, elementele aaₗₜ aa₂, .... aaₙ coincid, mai puțin ordinea, cu a₂, ..., aₙ și cum G este comutativ avem : a₂a₂ . ,a„ = aa₂aa₂.. .aa„ = aa. . .aa₂a₂.. ,aₙ = aⁿa₂a₂. . .a„.. n ori Așadar : e(a„-aₐ,-. = a"(a,,-a₂,-. . .,-a„) și prin simplificare se obține e = a”. 2) Grupul (5a are 6 elemente, deci n = G. Păstrînd notațiile folosite la § 2, pentru elementele grupului Q₃ și folosind tabla ope- rației grupului (J₃ se obține o³ = e, tc³ — c, a² = e, P² = e,y² = c. Astfel din tabla operației grupului 0₃ deducem : a⁸ — aoa = tc, o³ = o²og = tc°g — e. Avem : / o⁸ = a³X² = (o³)² = e² = e ; a⁹ = a²X³ = (a²)³ = e³ = e etc. Remarcă. Se poate demonstra că rezultatul de la pct. 1) este adevărat și pentru grupuri necomutative, așa cum de altfel s-a verificat pentru grupul (Sa* § 4. SUBGRUP. EXEMPLE Fizionomia unui grup G se descrie în esență cu ajutorul subgrupurilor sale : submulțimi nevide H ale lui G cărora operația lui G le conferă, de ase- menea, o structură de grup. Mai precis : 4.1. Definiție. Fie (G, *) un grup. O Submulțime ne vidă H a lui G se numește subgrup al lui G dacă sînt satisfăcute următoarele condiții : 1) V x, y e H => x*y e H ; 2) V x e H => x e H, unde x' este simetricul lui x (în raport eu operația lui G). Dacă grupul G este dat în notația aditivă, atunci condițiile 1) și 2) din definiția subgrupului se transcriu astfel : ¹ 1) V x, y e H => x y e H ; 2) v x e H => -;r e H. 48 4.2. T'eoremă. Fie (G, *) un grup, e elementul neutru al Iui G și II un sugrup al lui G, Atunci : 1) e e H, 2) H este grup în raport cu operația indusă pe II de către operația grupu- lui G. Demonstrație. 1) Cum H 0 putem alege un element x e H. Din 2) rezultă că și x e H și acum din 1) rezultă că e — x *x H. 2) Să notăm cu 9 operația grupului G, 9 : G X G -> G. Din 1) rezultă că H este o parte stabilă a lui G în raport cu operația 9. Fie 9' legea de com- poziție indusă pe H de 9, 9' : H x H -► H, (x, y) -► 9'(z, y) 9(x, y). I Evident 9' este asociativă (căci 9 este asociativă) și admite ca element neutru pe c e H. Dacă x & H, atunci simetricul său x' în raport cu 9 se găsește în H, deci este simetric al lui x și în raport cu 9'. Rezultă ca (H. 9') este grup. Exemple 1. Fie (G, *) un grup, e elementul său neutru și E = {e}. Atunci E este sub- grup al lui G, numit subgrupul unitate. în adevăr, dacă x, y e E, atunci x = y = e, deci . - x*y = e*e — e E, x' — e' — e E. Dacă G este dat în notație aditivă', atunci 0 = {0} este subgrup al Iui ^^numit subgrupul zero. 2. Fie 6₃ grupul permutărilor de trei obiecte, S₃ = {e, cr, k, a, p, y}. Următoarele submulțimi ale hi: S₃ : E = {e}, ~ {e, o, k}, H₂ = {e, a], =- [e, £}, - {e, y} sînt subgrupuri ale Iui o₃. Să facem verificare pentru H\. Din tabla ope- rației grupului S₃ se deduce că elementele lui se compun conform tablei următoare 7t 7t e a Se observă pe această tablă că Hₜ este o parte stabilă a lui G₃ în raport cu compunerea precum și cu operația de trecere Ia invers, deci II ₜ este subgrup al lui G₃. 4 — Matematică—algebră, el. a xn-a 49 3. Fie n O un număr întreg și nZ mulțimea tuturor multiplilor lui n, nZ ±Lf. '{n/z | /z e Z}. Atunci nZ este subgrup al grupului (Z, -F). în adevăr, dacă jc. y e nZ, există h, k 7. astfel încît r = nh, y = nk. Rezultă că ,i -i-. i = nh + nk = n(h -p k) e nZ, —a = — (nh) = n(—h) e nZ, deci nT. este subgru; al lui (Z. +). Fie (6, •) un grup, c G și n > 0. Spunem că a este element de ordin n ai grupului G dac? F = e și ah / e, h - 1, 2............n — 1. Exerciții rezolvate 1 R — î i Să se determine ordinul pentru fiecare element al grupului S₃ Solufie Pentru elementele iui (5s păstrăm notațiile de la § 3. Folosind tabla operației grupului aven:/ = GOCT = 7ț 6, Q* = CTaoa = TZOCS deci a este element de ordin 3, Analog se arată că n este element de ordin 3. Cum a¹ = a. a* — aoa — e, rezultă că a este element de ordin 2. Analog se arată că p și y sînt elemente de ordin 2. In fine, să observăm că într-un grup G eieinentul neutru este singurul element ordin 3 de R — 2| Fie a un element de ordin n al unui grup (G, 1) Arătați că Hₐ^l {e, a, a*, lui G ; , aⁿ ¹} este subgrup cu elemente al 2tc 2k 2) Dacă < £ = cos-*F i sin—, atunci £ este element de ordin n al n n n grupului (C*. •) 3) Dacă U„ = \z & C | zⁿ = 1}, atunci Uₙ este subgrup cu elemente al lui (C , •), numit grupul rădăcinilor de ordin n ale unității ; 4) Reprezenta ți geometric elementele grupului U₃ (resp. Uᵢₜ n Soluție. 1) Fie x, ți e II, x = a¹, y - n. Fie q, r astfel încît i + i = nq 4- r, 0 zi. Avem : xț/ = a‘ j. Deducem că elementele lui IIH sînt distincte. 2) Fie h e N, O < /i < ₙ. Folosind formula Iui Moivre, avem: ( 2n . 2tt \ h 2/itc 2/ik Q = COS--------F isin--- = cos ------4 isin------ • V n n / n n Deducem că 1 pentru h = 1, 2, ..., n — 1 și £" = 1, deci £ este element de ordin n al grupului (C*, •). 3) Este suficient să arătăm că U„ = Hț = {1, £, £², £ⁿ⁻'}> unde £ — cos— + n 2k 4- i sin---. Dacă z e Hț , atunci z — țr, 0 r < n, de unde z" = (^")r = lr = 1, deci : n z e Uₙ. Așadar Hț £ Uₙ. Fie acum z = cos cp 4- i sin

P sr numește izpmorfism de grupuri dacă este și un morfism de grupuri, adică: , „ / „ , ¹ V x, y e G. Spunem că un grup G este izomorf cu un grup T, și scriem G ~ T, dacă există cel puțin un izomorfism f: G —> T. în caz contrar spunem că grupul G nu este izomorf cu grupul f și scriem G P Cu alți termeni, grupul (G, *) este izomorf cu grupul (T, °) dacă există o aplicație bijectivă f • G -> r astfel încît oricare ar fi x, y G imaginea f(x*y) a compusului x*y prin f este egală cu compusul f(x)°f(y) al imaginilor prin [ ale lui x și y (v. fig. III.3) ; pe scurt : imaginea compusului este egală cu compusul imaginilor. Dacă G și r sînt grupuri finite cu cîte n elemente, G = {aₜ, a₂> . . ., r = {bᵥ b₂, ..., Z>„}, iar f: G -♦ f este aplicația bijectivă definită prin /W = ¹ < i < " atunci f este izomorfism dacă și numai dacă pentru orice i și j, 1 < i, / < n, imaginea prin f a elementului a^aj de la intersecția liniei lui a, cu coloana lui Oj din tabla operației lui G coincide cu elementul b^bj de la intersecția liniei lui b{ = [(a,) cu coloana lui b} = f(af) din tabla operației lui F (v. fig. III.4). Spunem'în acest caz că tablele operațiilor celor două grupuri sînt la fel structurate (relativ la f). 5.2. Teoremă. Fie (G, *) și (T, două grupuri. Dacă f: G T este izomorfism, atunci și : T G este izomorfism. Demonstrație. Fie u, v e r. Cum f este aplicație bijectivă există x, y e G unic determinați astfel încît f(x) = u si f(y) = v. Conform definiției aplica- ției f-¹ avem f^țu) = x și = y. Dar ₗₗₒV =f(ₓ)cf(y) =>f(x*y), 52 de unde f \u°v) = ₓ*y - f \u)*f \y) și cum p¹ este aplicație bijectivă, rezultă că f'¹ este izomorfism. Exemple 1. (R, 4-) ~ (R*ₕ, •)• Grupul aditiv (R, -p) al numerelor reale este izomorf cu grupul multiplicativ (Rl, •) al numerelor reale strict pozitive. In adevăr, fie a e R, a > O, a / 1 și f : R -» IVj., f(x) = a r, V x e R. Cum f este aplicație bijectivă și f(x + y) = ax⁺v = axay = f(x) f(y), V .r, y R, rezultă că f este izomorfism. Să observăm în acest caz că inversul izomorfismului f este aplicația f-¹ : R*₊ - R, y-i(ᵣ) ₌ l₀gₒ V.r^Rl și avem : - log, x + log, y - /-'(.r) +. V x, y^ R*_. între două grupuri pot exista mai multe izomorfisme. în cazul de față chiar o infinitate (la orice a > 0, a / 1, corespunde un izomorfism). 2. (Q- —) (Q*. •)• Grupul aditiv (Q, -p) al numerelor raționale nu este izomorf cu grupul multiplicativ (Q^, •) al numerelor raționale strict pozitive- în ăTlevăr, dacă f: 0 - Q* > este un izomorfism între aceste două grupuri, există r e Q astfel încît f(r) = 2. Cum f{rl2) e Q și rezultă că ^2 e Q, Contradicție. 3. Dacă (G, *) și (T, °) sini două grupuri cu cile trei elemente, atunci G ~ r. Cu alte cuvinte, există un singur tip de grup cu trei elemente. în adevăr, fie G = {e, a, b}, r = {0, u, p} unde e și 9 sînt elemen- tele neutre ale lui G și r respectiv. Pentru că e și 9 sînt elemente neutre, în tablele operațiilor celor două grupuri putem completa următoarele poziții : * e a b e e a b a a ? ? b b ? ? o | 9 u v 9 0 u v u u 2 'l v v 7 53 Avem a*a = b. în adevăr, nu putem avea a*a = a căci a s-ar repeta în linia sa. De asemenea, nu putem avea a*a = e căci atunci, ca să evităm repetarea lui a și e în linia lui a, am fi obligați să punem a*b = b, ceea ce produce o repetare a lui b în coloana acestuia. Cum a* a = b, pentru a evita repetarea elementelor lui G, în liniile și coloanele tablei operației acestuia, trebuie să avem a*b = e, b*a = e, b*b = a. Analog, se completează tabla operației lui T. * e a b o 0 u V e e a b , e 0 ll V a a b e u u V 0 b b e a V V 0 u Definind f: G -> F prin f(e) = 6, f(a) = u și f(b) = v, rezultă ca f este izomorfism de grupuri căci /' este aplicație bijectivă și tablele operațiilor celor două grupuri sînt la fel structurate (relativ la f). Renunțînd la condiția de bijectivitate din definiția izomorfismului se obține noțiunea mai generală de morfism (omomorfism) de grupuri, anume: 5.3. Definiție. Fie (G, >) și (T, o) două grupuri. O aplicație f:G~* T se numește morfism de grupuri dacă f(^y) = v x, ij e g. Evident, orice izomorfism de grupuri este morfism de grupuri. Aplicația f :Z -» 31^ de la grupul (Z, +) la grupul ©), f(a) = a mod 4, ’ V a Z este un morfism de grupuri. în adevăr, dacă a, b e Z, fie aᵣ = a mod 4, bi = b mod 4. Există h, k e Z astfel încît : a = 4 h + aᵣ, b = 4 k © b^ —t și conform Lemei 8.1 Gap. II avem : a & b = Qj © bₜ. Rezultă că : f(a + b) = (a © b) mod 4 = a © b = © b} = f(a) © f(b), V a, b e Z, deci f este morfism de grupuri. Se observă că f este morfism surjectiv dar nu este injectiv. Astfel : f(7) = 7 mod 4 =3 =19 mod 4 = f(19). . 5.4.; Teoremă. Fie (G, *) și (T, o) două grupuri, e și 0 elemeityelc neutre ale lui G și T respectiv. Dacă f: G -+ V este un morfism de grupuri, atunci : » l) f(e) = 6; 2) f(x') = V x G, unde x' este simetricul lui x iar (/{x))' este simetricul lui f(x). 54 Demonstrație. 1) Avem: =f(e) =f(e^ = f(e)*f(e) și prin simplificare cu f(e) se obține 0 — f(e). 2) Pentru orice x G avem : G =, f(e) = f(x*x') = deci 9 = f(x)ofțx') și analog f(x')°f(x) =0, de unde = f(x'). Fie G un grup. Gn izomorfism (morfism) f: G -* G se numește automor- fism (resp. endomorfism) al grupului G. Exerciții rezolvate R—1 Fie (G, *) un grup cu patru elemente astfel încît x² = e, V x ^G, unde e este elementul neutru. 1) Arătați că G ~ SIC, unde X este grupul lui Klein (v. § 3). 2) Arătați că grupul (G, *) nu este izomorf cu grupul (<^₄, ©X Soluție. 1) Fie G = {e, a, b, c}. Tablele operațiilor grupurilor G și SC sînt (v. § 3 și Ex. R-3, § 4) : * e a b c O 1 u V w e e a b c Ir Ir u V w a a e c b u ii IV V b b c e a V V w Ie u c c b a e IV w V u Aplicația f: G —► SIC definită prin f(e) = 1#;, ((a) = n, f(b) = v, f(c) — w este izomorfism căci tablele operațiilor celor două grupuri sînt la fel de structurate (relativ la f). 2) în adevăr, să presupunem că există un izomorfism f: G —♦ Slt și fie x e G astfel incit f(x) = 3. Atunci : 0 = f(e) = f(x*x) = /-(x) © f(x) = 3 © 3 = 2. Contradicție. R —2 Arătați că aplicația f : Z -> C*, f(h) — cos -p i sm , V h e Z n-----------------------n • este un morfism de la grupul (Z, -p) la grupul (C*, •). Determinați numerele x e Z astfel încît f(x) = 1. Soluție. Pentru orice h, k e Z avem : ' 2(/i + k)n . . 2(A + k)n l f(h 4- k) = cos----------------h i sm------- = |cos n nț (2/ctc . . 2kit\ cos-----H sin 1 = l(h)[(k) n-------n. I și deci f este morfism de la grupul (Z, +) la grupui (C*, •). 2/ik 2/itc \ -------h i sin------i a n } 55 ’Se observă că pentru x <= Z avem f(x) = 1 dacă și numai dacă 2X7C 2Z7t cos 1-1 sin = 1 n-------------------n ceea ce este posibil dacă și numai dacă R—3 Rezultă că f(x) = 1 dacă și numai dacă x — nk, Ie <= Z, deci f(x) = 1 dacă și numai dacă n | x. Pentru orice a e R, definim iₐ î R -+ R, tₐ(x) = x a, V xe R. Arătați că : 1) Mulțimea SF(7?) = {tₐ | a e R} este grup în raport cu compunerea fu ncțiilor. 2) Grupul (R, +) este izomorf cu grupul (^(R), °). Soluție. 1) Pentru a, b s R, avem t„otb = tₐ₊ₜ>. în adevăr, oricare ar fi x e R avem: (^o/fₜ)(x) = /ₐ(f₆(x)) = tₐ(x + b) = x + b + a t„₊b(x), de unde tₐof b = tₐ₊b, deci compunerea fuhcțiilor induce o lege de compoziție pe eF(R) evident asociativă și cu element neutru, egal cu\lD= t₀ e gF(R). Cum ^a + (—a) J f(—a)4-a — Gₒ°^a> V O R, rezultă că = t_ₐ, V a e R, deci (SF(R), o) este grup. 2) Funcția f: R —♦ eF(R), f(a) = tₐ, este bijectivă și f(« + b) = tₐ,b = tₐo(b = f(a)of(b), V a, b e R. Exerciții 1. Fie M = Z[i] = {a + M| a, b e Z}. 1) Arătați că M este o parte stabilă a lui C în raport cu înmulțirea și că formează monoid comutativ în raport cu operația indusă. 2) Determinați elementele simetriz.abile ale monoidului (M, •). def 2. Arătați că corespondența (x, y) —♦ x*y=(x -f- y) / (1 + xy) este o lege de compoziție , pe intervalul G = (—1, 1) și că (G, ♦) este grup abelian. 3. Fie s = -1/2 + i/3/î și G = {1, e, e²}C C. 1) Arătați că G este o parte stabilă a lui C în raport cu înmulțirea și alcăluiți tabla operației induse. 2) Deduceți că (G, •) este grup abelian. 4. Fie E = R \ {0} și A : E -> E, 1 i < 4, = x, f.țx) = — - , f₃(x) = — x, fₜ(x) = — , V x e E. x x 1) Arătați că mulțimea G — {f\, f₂, f₃, fₜ} este stabilă în raport cu compunerea funcțiilor și alcătuiți tabla operației induse. 2) Deduceți că (G, o) este grup abelian. 56 5. Eie E = R\{0, 1} și f₍ : E -+ E 1 < i 6, 1 T’ _ 1 -1 G(x) = X, AW = —;--------, f₃(x) = ------, /\(x) =----- , f₅(x) — 1 — x, 1 — X X X f₉(x) = ———, v x e E. x — 1 1) Arătați că mulțimea G = {f„ fₜ, fᵢₜ fₛ, [„} ₑₛtₑ stabilă în raport cu compu- nerea funcțiilor și alcătuiți tabla operației induse. 2) Deduceți că (G, o) este grup necomutativ. 6. Fie G = '(0, oo)\{l}. Arătați că corespondența . . def , (x, y) —» x*y= xlⁿ v este o lege de compoziție pe G și că (G, *) este grup comutativ. 7. Fie G = [—1, oo), r = (—1, oo) și următoarea lege de compoziție pe R, . . def (x, y) -c x^y —x + y + xy. 1) Arătați că G și T sînt părți stabile ale lui R în raport cu legea de compoziție 2) Dacă „T“, și „X“ sînt legile de compoziție induse pe G respectiv T, de atunci (G, Ț) și (r, X) sînt monoizi comutativi. 3) Care dintre monoizii (G, T) și (P, X) este grup? 8. Pe Z se. definește legea de compoziție def Z X Z —> Z, (x, y) -> x X x + y — 1. Arătați că (Z, X) este grup abelian. 9. Fie (G, *) un grup comutativ și a e G. Pe G se definește legea de compoziție / ‘ ar G x G —> G, (x, y) —> x | y=: x*y*a. Arătați că (G, X) este grup. 10. Fie (G, •) un grup cu proprietatea : (xy)¹ = x²y², V x, y e G. Arătați că G este grup abelian. 11. Fie (G, •) un grup cu proprietatea : x² = e, V x e G. Arătați că G este grup abelian. 12. Fie (G, X) Și (G, T) două structuri de grup definite pe aceeași mulțime. Dacă legile de compoziție „X“ și »T“ au același element neutru și ® X y = T x) T (x T y), V. x. y e G atunci : '/• v 7 y ■' ••• x y e G, z ³| y = I⁴ ² ³| 3 J Ț L I 3/ Să se găsească astfel incit y. i) x x y >■ T X// - y 1 13. Fie o. YeS₃. i - | 57 14. Fie a, ne 2 4 2 3 3 3 4 e 1) Arătați că a' și k³ = e, unde e este permutarea identică. 2) Rezolvați în ecuațiile : a¹²⁰ox = n¹⁰¹ și yocj²⁰⁷ = n⁶³. 15. Fie (G, •) un grup și a, b s G astfel încît ab = ba. Să se arate că : ahbk = bka\ V h, k e Z. 1G. Fie (G, •) un grup și e elementul său neutru. Dacă elementele a, b e G satisfac condițiile be = e, ab — b*a atunci b³ = e și ab = ba. 17. Fie (G, *) un grup și a e G. Arătați că funcțiile : • fi g -+ G, f(x) = a*x, y x <= G . g : G -» G, g(x) = x*a, V x e G sînt bijective. {I C* . A e M₂(Z) A = V și [() b'J Hₜ = |a e Mₜ(Z) | A = , a, b, c, d e z|. 1) Arătați că M₂(Z) este grup în raport cu adunarea matricelor. 2) și H₂ sînt subgrupuri ale grupului (M₂(Z), + ).' 19. 1) Dacă H,. și H₂ sînt subgrupuri ale unui grup G, atunci Hₜ Cl H₂ este subgrup al lui G. 2) Arătați că pentru subgnrpurile 3Z și 4Z ale grupului (Z, +) avem : 3Z C| 4Z = 12Z. 20. Fie f: R -> R o funcție reală cu proprietatea că există cel puțin un număr T e R* astfel încît (*) + T) = f(x), V x e R. 1) Arătați că mulțimea H a numerelor reale T cu proprietatea (*) este subgrup al grupului (R, +). 2) Determinați acest subgrup cînd a) /’(x) = sin 2tcx, V x e R ; fl, X e Q b) W = { [0, x e R\Q. 21. Arătați că grupul (G, •) de la Ex. 3 este izomorf cu grupul (^₃, ©). 22. Arătați că grupul lui Klein este izomorf cu grupul (G, o) de la Ex. 4. 23. Arătați că grupul (<5₃, o) este izomorf cu grupul (G, o) de la Ex. 5. 24. Arătați că funcția f : (0, oc) —» (— 1, 1), « x — 1 f(x) -■ ------, V xe(0, oo) । x + 1 este un izomorfism de la grupul (R£, •) la grupul (G, *) de la Ex. 2. 58 25. Fie G = I — , —I si pentru orice x, y e G fie ( 2 2 I def x*y =arctg(tg x + tg y). Arătați că (G, *) este grup și că (G, ♦) ~ (R, + ). 26. Fie Bq = [C°S ⁹ ⁻Sm⁹) , 6eR (ᵥ. Ex. 6, Cap. I) (sin 0 cosO; și G = {E, A, B, C}, unde E = Bₒ, A = Bₙ/ᵢ, B = B„ și C = B₃ₙ/ᵢ. 1) Arătați că G este o parte stabilă a lui Af₂(R) în raport cu înmulțirea și alcătuiți tabla operației induse. 2) Deduceți că (G, •) este grup și arătați că (G, •) ~ (31 <, ©). 27. Arătați Că funcția f :Z Q, f(k) = ( —1)*, 'ik Z, este inorfisni de la grupul (Z, +) la grupul (Q*, •)• 2B. Fie E o mulțime cu două elemente, E — (a, b}. Pe mulțimea S(E) definim legea de com- poziție „A“, numită diferența simetrică a două mulțimi. X&Y = (X\ Y) |J ( Y\X), V X, Y e S(E). 1) Alcătuiți tabla legii de compoziție „A“ ; 2) Comparați tabla operației „A“ cu tabla grupului 3C al lui Klein (v. § 3) și indi- cați o funcție bijectivă f: 3C S(E) astfel încît : ᵣ f(xoy) = f(x)kf(y), V x, y <= 3) Deduceți că (S(E), A) este grup. 29. Fie E = R x R. Pentru orice t e B fie funcția ft : E - E, y) = | x + ty 4-y , y + fj, v (x, y) e e. Arătați că : 1) — fl+l'f fo — lff> f~\ = f-f 2) Mulțimea G — {fₜ : | t e R} este grup în raport cu operația de compunere a funcțiilor. . o) 2J (R, +)• t?- ia f cos 0 - sin 0' 30*. Fie Bq = I (sin 0 cos 0. 0 ⁶⁵ R(v. Ex. 6, E - Bo, A = Bₛ₁ₜ/ₐ * * * (cos 0 sin 0> I’ sin 0 —cos Q) Cap. I) și G = {E, A, B, U, V, B ⁼ > Cl = Sₐ, V — Sₜn/₃, 0 ft> e fi ck ft. e a1- ot ft X- e țj ft ol bt ft e fi (3 ft ■ W} unde ■ ft 5 'ÎL e W = S3n/3‘ cu înmulțirea și alcătuiți 1) Arătați că G este parte stabilă a lui M₂(R) în raport tabla operației induse. 2) Deduceți că G este grup și că (G, •) ~ (3₃, o). 31*. Fie (G, lente : •) un grup și H o submulțime finită a lui G. Următoarele afirmații sînt echiva- 1) V x, y e H => xy e H ; 2) H este subgrup al lui G. 59 32*. Fie G o mulțime și G x G -+ G, (x, y)—^ xy o lege de compoziție asociativă. Următoarele afirmații sînt echivalente : 1) (G, •) este grup ; 2) V a, b e G există x, y & G astfel încît ax = b și ya = b. 33*. Fie H o submulțime nevidă a lui Z. Următoarele afirmații sînt echivalente : 1) H este subgrup al lui Z ; 2) 3 n > 0 astfel încît II = nZ. 34*. Fie z e 'C. Arătați că există n. !> 0 astfel încît zⁿ = 1 dacă și numai dacă z = cos 2rn + -f- i sin 2rz, cu r e Q.ₖ 35*. Fie II un subgrup cu n elemente al grupului (C*, Arătați că II = Uₙ, unde UH este grupul rădăcinilor dc ordin n ale unității. 36*. Determinați automorfismele grupului (Z, +)• Capitolul IV INELE ȘI CORPURI § 1. DEFINIȚIA INELULUI. EXEMPLE Vom studia în continuare o nouă structură algebrică — structura de inel. Noțiunea de inel s-a degajat inițial în cadrul teoriei numerelor, unde a apărut sub numele de inel de numere, prototipul fiind Z luat împreună cu operațiile de adunare și înmulțire a numerelor întregi, Z X Z — Z, (x, y) — x + y, resp ectiv Z x Z -> Z, (x, y) -+ xy. Ulterior, noțiunea de inel a avut numeroase aplicații în diferite domenii ale Algebrei (inele de polinoame, inele de matrice) în Analiză (inele de funcții) în Logică (inele booleene) etc. 1.1. Definiție. O mulțime nevidă A, luată împreună cu două legi de compoziție (adunarea și înmulțirea) A X A -* A, (x, y) -* x U Și A x A -* A, (x, y) -> xy, se numește inel dacă : G) (A, +) este grup abelian, M) (A, •) este monoid, D) înmulțirea este distributivă față de adunare, anume : x(y + ^) = xy + xz, (y 4^ z)x = yx 4- zx >1 x, y, z A, Afirmația că (A, 4-) este grup abelian revine la faptul că adunarea inelului satisface axiomele : Gi) (x 4- y) V z = x + (y H- z) V x, y, z A, G₂) 3 0 e A astfel încît 0 4* x = x 4- 0 = x V x A, G₃) V x A, 3x'=A astfel încît x 4- x = x 4- x =0, G₄). x + y = y 4- X VX, y e A. Afirmația că (A. •) este moncid revine la faptul că înmulțirea inelului satisface axiomele : M^ (xy)z ^xțyz) Vx, y, z e A, M₂ 3 1 e A. astfel încît 1 -x — X'l ~ x Vx e. A. Vom spune că (A, 4-) este grupul aditiv al inelului A. Ansamblul de condiții G^ — Gᵢf Mₗₜ și D poartă numele de axiomele inelului. Elemen- 61 tele O și 1 sînt unic determinate și se numesc elementul zero, respectiv ele- mentul unitate al inelului A. Inelul A se numește finit dacă A are doar un număr finit de elemente. Elementele x e A simetrizabile în raport cu înmul- țirea lui A se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului A. Dacă înmulțirea inelului satisface încă și axioma : M₄) xy = xy V x, y A spunem că A este inel comutativ. Spunem că A este inel fără divizori ai lui zero dacă x 0 și y / 0 => xy 0. Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește domeniu de integritate. . ■ . • • • Exemple L Inelul Z al întregilor raționali. Din .proprietățile adunării și înmulțirii numerelor întregi, enumerate în Gap. I, § 1, rezultă că (Z, -J-, •) este inel comutativ, numit inelul întregilor raționali. 2. Inelul Z[iJ al întregilor lui Gauss. Fie Z[i] mulțimea tuturor numerelor complexe de forma a 4- bi, cu a, b e Z, numite întregi ai lui Gauss. Dacă a + bi și c 4- di sînt din Z[i], atunci ța + bi) + (c + di) = ța 4- c) + (^ + d)i Z[iJ și ța + bi)țc 4- di) = țac — bd) 4- țad 4- bc)i Z[i]. Rezultă că Z[i] este o parte stabilă a lui C în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Evident, operațiile induse verifică axiomele Gₗf G₄, Mₓ, M₃ și D. Gum 0 =0 4-0«i și 1 =1 4~0*i, rezultă că aceste operații verifică și axiomele G₂ și M₂. în fine, pentru orice z e Z[i], z = a A- ib, avem —z = ț—a) 4*(— b)i e Z[i], deci este verificată și axioma G₂. Așadar Z[i] este inel comutativ în raport cu operațiile induse pe Z[i] de adunarea și înmulțirea numerelor complexe, numit inelul întregilor lui Gauss. 3. Inelul ț&ₙ, ©, ®) al resturilor modulo n. Fie n un număr întreg pozitiv și &ₙ = {0, 1,2, . . ., n — 1} C Z. Operațiile induse pe &ₙ de adunarea și înmulțirea modulo n satisfac axiomele inelului comutativ (v. § 8, . Gap. II). Așadar, Rₙ este inel comutativ în raport cu adunarea și înmul- țirea modulo n, numit inelul resturilor modulo n. Un interes aparte, prin aplicațiile pe care le are în diferite domenii ale tehnicii (aritmetica calculatoarelor, teoria codurilor) îl prezintă inelul ț^ ©, ®) © 0 1 ®1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Tablele operațiilor inelului &₂ = {0, 1} = 62 în inelul avem 2 ® 3 = O, 4 ® 3 = O, deci (&₆, ®) este inel cu divizori ai lui zero. (Q, +, •)» (R> +» •) Și (C, +, ’) sînt inele comutative (v. Cap. I, § 1). •Să observăm că pentru orice x / 0 din Q, R sau C există y 0 din Q, R respectiv C, astfel încît jrz/ =1. Inelele cu această proprietate supli- mentară vor fi studiate mai tîrziu. 5. Inelul matricelor pălratice. Fie A un inel. Inelul A poate fi oricare din inelele Z, Z[i], Slₙ, Q etc. Notăm cu M₂(A) mulțimea tuturor matricelor U pătratice de ordin 2 cu coeficienți din A, rr Mll «12^ „ _ . U = , nț) e A. \«21 «22/ Dacă U, V e M₂(A), definim matricele U + V și UV prin U + v= ⁺ b «21 + ^21 ⁰,¹ ⁺ M e Mₜ(A) a22 4~ ^22/ Uy 4" «12^21 «11^12 + “,²M * \«21^11 + «22^21 «21^12 4“ a22^22/ Matricele O, E și — U din M₂(A),- O =(0 E=(l — U=( ⁰¹¹ k⁰ °7 W îJ l—«21 —«22/ se numesc respectiv matricea zero, matricea unitate, opusa matricei U. Am amintit o serie de proprietăți ale adunării și înmulțirii matricelor din M₂(R). Demonstrațiile multora dintre ele se fac invocînd proprietăți ale adunării și înmulțirii numerelor reale, care sînt de asemenea adevărate pentru adunarea și înmulțirea oricărui inel A. Din acest motiv, asemenea demonstrații pot fi reproduse și pentru matricele din M₂(A). Pe această cale se poate demonstra : Gi) (U + V) + W = U + (V + W), G₂) o + U = U + O = U, . ' ₛ g₃) u ^(-U) + U =0, g₄) Ii + v = v + u, M.) (UV)W = U(VW), M₂) EU = UE U, D) U(V + W) = UV + UW ; (V + W)U =VU +WU oricare ar fi U, V, W e M₂(A). 63 Rezultă că adunarea și înmulțirea matricelor conferă lui M^A) o struc- tură de inel. La fel se organizează ca inel mulțimea Mₙ(A) a matricelor pătratice de ordin n cu coeficienți din A. Gînd n > 1, inelul Mₙ(A) nu este comutativ și are divizori ai lui zero. Astfel, dacă U, V 3\ /3 0\ I V= j | 3J’ ț3 2J atunci ³W³ fi ®³®3®3 l®0©3®2\ (0 0^ ț3 3j(3 2J U®3©3®3 3®0©3®2; (o W deci inelul M₂(^c) are divizori ai lui zero. § 2. REGULI DE CALCUL ÎNTR-UN INEL O Calculul algebric cu elementele unui inel beneficiază de toate regulile date pentru grupuri și monoizi dacă sînt implicate separat adunarea, respectiv înmulțirea inelului. în afară de acestea, într-un inel avem o serie de reguli de calcul specifice, care se referă la ansamblul celor două operații ale inelului. 1. Pentru orice x e A avem : xO =0x =0. în adevăr, fie y — xO. Cum xO = x(0 -f-0) = xO 4- xO, avem y = y 4- y. Atunci : o = y 4- (~y) = (y + y) + (-y) = y + (y + (-y)) = y 4-o - y = xo și analog, Ox =0. 2. într-un inel A c." cel puțin două elemente avem 1 / 0. în adevăr, dacă 1=0, atunci x = ’.r ='0x =0, de unde A = (0). Contradicție ! 3. (regula semnelor). Oricare ar fi x, y A. avem : (~x)y — xf—y) = = —xy și (—x) (— y) =xy. în adevăr, 0 = Oy = ((—x) 4- x)y = (-x)y 4ⁱ xy = xy 4- (-x)y, -de , unde rezultă că (~x)y este opusul lui xy, deci (— x)y = —xy. Analog, x(—y) = — xy. în fine, (— x) (— y) = — (x( — y)) = — (— xy) =xy. 4. (distributivitatea înmulțirii față de scădere). Oricare ar fi x, y, z avem : x(y — z) = xy — xz șl [y — z)x — yx — zx. Reamintim că y + (—^) se notează cu y — z. Avem • . i x{ij — 2) = x(y 4- (—2)} xy 4“ x( —z) = xy — xz și analog (y — z)x = yx — zx. 64 5. într-un inel A fără divizori ai lui zero, din xy — xz sau yx = zx, cu x / O, rezultă y = z. în adevăr, dacă xy = xz, atunci x(y — z) = xy — xz = xy — xy = O și cum x / O rezultă că y — z = O, deci y = z. Analog, din yx = zx rezultă y — z. R — 1 Arătați că într-un inel comutativ A avem : 1) (a + b) (a — b) = a² — b², Va, b & A 2) (a b)² = a² + 2ab -p b², Va, b A, unde 2ab = ab 4- ab (v. Cap; III, § 1). Soluție. Folosind distributivitatea înmulțirii față de. adunare și apoi față de scădere avem : (a + b)(a — b) = a(a —■ b) 4- b(a — b) = aa — ab 4- ba — bb = =a* — ab -f- ab — b* = a³ — b³. 2) Conform definiției puterilor unui element și distributivității înmulțirii față de adu- nare, avem : (a -|- b)³ = (a 4 b)(a 4 6) = (a 4 b)a 4- (a 4- b)b = a* 4- ba 4- ab 4- b³ = = a¹ 4- ab 4- ab -|- b³ — a* 4- 2a b 4- b*. R — 2 Fie A un inel comutativ cu proprietatea : (a) a + a -f- a = 0, Va A. 1) Arătați că (a + &)’ = a³ + b³, Va, b e A ; 2) Arătați că inelele &₃ și Af₂(^₃) au proprietatea (a). Soluție. 1) Să arătăm la început că într-un inel comutativ este adevărată formula (a 4- b)³ = a* 4- 3a³b 4- 3ab³ 4- b³, Va, b e A. în adevăr, folosind rezultatul de la exercițiul precedent, avem : (a 4" — (a 4* ^)’(a 4- b) = (a* 4* 2a6 4* b³)^ 4- b) — = (a* 4- 2ab 4- b³)a 4- (a* 4- 2ab 4- b³)b = a³ 4- 2a³b 4- b³a 4- a³b 4- 2ab³ 4- b* = — a³ 4- 3a³b 4- 3ab³ 4- b³. Dar 3a³b = a³b 4- a³b 4- a³b = 0 și analog Șab³ = 0, de unde (a 4- b)³ = a³ + b³. 5 — Matematică—algebră, cl. a XH-a 65 2) în inelul Sl₃ avem : 0®0®0 = (0®0)®0 = 0©0 = o, 1©1®1 = (1®1)®1 = 2®1 = O, 2®2©2 = (2©2)©2 = 1©2 = O, de unde a®a®a = 0, V a e Fie U e U = cu a, b, c, d e în inelul avem : u®u®u = (a®a®a °| =0. U®c®c d®d@d) țO 0/ § 3. INELUL CLASELOR DE RESTURI MODULO n Fie n >0 un număr întreg. Conform teoremei împărțirii cu rest, pentru orice a e Z există q, r e Z unic determinați astfel încît . a = nq + r, 0 < r < n. Numărul unic determinat r din relația precedentă, numit restul împăr- țirii lui a prin n, s-a notat cu a mod n și s-a numit încă redusul modulo n al lui a (v. Cap. II, § 1). Ga rezultat al împărțirii numerelor întregi prin n > 0 sînt posibile res- turile : 0, 1, ..., r, ..., n — 1. Prin împărțirea lui a la n se obține restul r dacă și numai dacă a este de forma nh r, cu h e Z. Mulțimile de numere c₀, .... cᵣ, ..., cₙ_ₗₜ unde Cₒ = {a e Z | a mod n = 0} = {nh | h e Z} = nZ = {« e Z | a mod n = 1} =’ {nh + 1 | h g Z} = nZ + 1 Cᵣ = {a e Z | a mod n = r] = {nh + r\ h<^Z]=nZ-\-r Cₙ_L = {a e Z | a mod n = n — 1} = {nh + n — 1 | h Z} = = nZ -|- n — 1 se numesc clase de resturi modulo n. Așadar, un număr întreg a aparține clasei Cᵣ dacă și numai dacă a îm- părțit la n dă restul r, a Cᵣ a mod n = r. fi în particular r Cᵣ pentru r =0, 1, n — 1. Clasa de resturi Cᵣ se notează de regulă cu r. Așadar r =Cᵣ = nZ + r, r^ {0, 1, .... n-1}. 66 Să notăm cu Z„ mulțimea claselor de resturi modulo n Z„ = {6, î, 2,..., n — 1}. Dacă a, b e zₙ, definim suma a + b și produsul a b prin : A A a-]-b==a©b, ab=.a®b. Se definesc astfel pe Zₙ, două legi de compoziție : Z„ X Z„ -+ Z„, (a, b) -+ a + b Și Zₙ X z„ -> Z„, (a, d) -> a b, numite adunarea, respectiv înmulțirea claselor de resturi modulo n. Astfel, pentru n = 6 avem Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} și tablele adunării și înmulțirii claselor de resturi modulo 6 sînt : 6 î 5 3 2 4 6 î 2 3 4 5 6 6 î 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 0 4 5 0 1 5 6 î 2 6 12 3 12 3 4 1 2 3 4 2 3 5 0 4 5 6 6 6 3 4 5 0 2 4 3 0 3 0 4 2 3 2 î 3.3 Teoremă. Adunarea și înmulțirea claselor de resturi modulo n conferă mulțimii Zₙ ° structură de inel comutativ, numit inelul claselor d^ resturi modulo n. Demonstrație. Să verificăm axiomele inelului comutativ. în esență de- monstrația se fundamentează pe faptul că = {0, 1, 2,..., n— 1} are o structură de inel comutativ în raport cu operațiile induse pe Slₙ de adu- narea și înmulțirea modulo n (v. ex. 3, § 1). De exemplu, axioma D se verifică astfel : a(b + c) = ab ® c = a®(b®c) = a®b®a ® c = a®b-[-a®c = = a b + a c și la fel se arată că Gₗₜ G^, M, și M₃ sînt verificate de adunarea și înmul- țirea claselor de resturi modulo n. 67 Cum O^a=O@a=«, la=l®a-a, Vd e Zₙ, rezultă că și axiomele G₂ și M₂ sînt verificate în fine, avem a + n — a = a © (n — a) =0, Va e Z„, cu a / O deci orice clasă a e Zₙ este simetrizabilă în raport cu adunarea claselor de resturi modulo n —a = n — a, Va e Z„, a O și —0 = 0. 3.4 , Remarcă. Clasele de resturi modulo n au fost notate cu 0, 1,..n — 1. Numerele 0,1,..n — 1 se numesc reprezentanții canonici ai claselor de resturi 0, 1, ..,, n — 1 respectiv, în aplicații este adesea preferabil să descriem clasele de resturi și cu alte numere care aparțin acestora. în acest sens, pentru orice x e z, se notează cu x clasa de resturi Cᵣ, 0 r < n astfel încît x & Cᵣ; x se numește clasa lui x modulo n. Așadar, prin definiție avem : Adef (a) x = x mod n, Vx e Z. Astfel, dacă n = 5, atunci 32 = 32 mod 5 = (6 «5 4- 2)mod 5 = 6-5 mod 5 -|- 2 mod 5 = 2 e Z₅, — 7 = (-7)mod 5 = (-2) mod 5 = (0-2) mod 5 = (5- 2)mod 5 = 3 e Z₅, 25 = 25 mod 5 = 0 e z. Spunem că numărul Întreg x este congruent cu y modulo n, și scriem x=y (mod n) dacă și numai x — u daca n | x — y sau altfel scris ------- g Z. n Din definiția (a) rezultă că pentru orice x, y e z avem : (P) x = y x mod n = y mod n o n | x — y <=> x = y (mod n). Să mai observăm că operațiile cu clase de resturi date prin reprezentanți arbitrari so pot efectua după regulile : • 69 Așadar, adunînd pe 2y la fiecare termen al ecuației a doua se obține 5a = 2y de unde, prin înmulțire cu (5)⁻¹ = 5 deducem 5 (5a) = 5 (2y) deci (5-5)a = (5 • 2)y și în definitiv a = 4y. înlocuind în prima ecuație pe a cu 4y aceasta devine 5y — 1 deci y = 5 și atunci a = 4y = 4-5 = 2. Analog se rezolvă sistemul b) și se obține p = 5, 8 = 3, deci (2 5 e Mₜ(Z.). 5 3 / Cum (2 5 V 3 5 ^2.3 + 5-5 2 • 5 + 5 • 4 ( î A H A A AA AA A A = A 5 3/\ 5 4 A \ 5- 3 + 3- 5 5-5 + 3-4 / \ 0 0 î avem XU = E.-Analog UX = E, deci U este clement invcrsabil al inelului Mₐ(Z₆) și U-¹ = R — 2 1) Fie a e Z„. Arătați că 2 5 5 \ 3 J a este element inversabil al ine- lului Zn dacă și numai dacă a este relativ prim cu n ; 2) Determinați elementele inversabile ale inelului Z₉ și rezolvați în inelul Z₉ ecuația 7x + 3 = 2. Soluție. 1) Presupunem că a este inversabilă în inelul Z„. Atunci există b e Z„ astfel încît a b = 1. Cum ab = a b = 1 avem ab =1 și din proprietatea (P) rezultă că numărul ab — 1 se divide prin n. Există deci k e z astfel încît ab — 1 = nk. Așadar a-b -^n{—k) = 1, de unde (a, n) = 1, (v. § 4, Cap. I). Reciproc, dacă (a, n) = 1, există h, k e Z astfel încît ah + nk = 1 (v. § 4, Cap. I)- Cuin 1 = ah + nk = ah + nk = ah + 0 = ah rezultă că a este element invcrsabil al inelului Zₙ și (a)'¹ = h. 70 2) Elementele inelului Z, sînt O, 1, 2,..8‘. Dintre numerele O, 1, 2,..., 8 sînt relativ prime cu 9 numerele 1, 2, 4, 5, 7 și 8, ddci ele- mentele invcrsabile ale inelului Z₉ sînt 1, 2, 4, 5, 7 și 8. Din tabla înmulțirii inelului Z, se pot determina inversele acestor clase. Se constată că : (1)“‘ = î, (2)“‘ = 5, (4)-» = 7, (5)"‘ = 2 și (7)^* = 4. Ecuația dată se rezolvă astfel : 7x = 2 + (-3) = 2 + 0^3 = 2 + 9*^3 = 2 + 6 = = 8 și atunci x = (7)⁻¹8 = 4-8 = 4/Î8 = 32 = 3-9 + 5 = 3 «9-1-5 = 3-0+5 = 5. Pentru a determina inversele acestor clase mai putem proceda : A A 2a — 1 A A fie 2 ¹ = a e Z₉ <=> 2a = 1 (mod 9) <=>--------- e Z <=> a = 5 (mod 9), deci 2⁻¹ = 5 ; 9 A_ A 4/; _ 1 A A fie 4 ¹ = b e Z₉ <=> 4& = l(inod 9) <=>--------- e Z <=> b = 7 (mod 9), deci 4⁻¹ — 7 î A a __ 1 A A fie 5⁻¹ = c e Z₉ 5c = 1 (mod 9) <=> —-----------e Z c = 2 (mod 9), deci 5⁻¹ = 2 ; fie 7-1 = d e Z₉ o 1d = 1 (mod 9) <=> L ₑ z d = 4 (mod 9), deci 7~i = 4. 9 Un cadru ideal pentru perfectarea calculelor algebrice este dat de ine- lele cu proprietatea că orice element diferit de 0 este simetrizabil în raport cu înmulțirea. Asemenea inele sînt cunoscute sub numele de corpuri. Mai precis : 4.1. Definiție. Un inel K se numește corp dacă 0 1 și orice element x G K, x 0, este simetrizabil în raport eu înmulțirea : ^x K, x 0 => 3x“i e K astfel încît x⁻¹x = xx~l = 1. Un corp K se numește comutativ dacă înmulțirea sa este comutativă. Proprietăți 1. Corpurile nu au divizori ai lui zero. în adevăr, dacă x, y e K, x 0 și y 0, atunci xy / 0 căci dacă xy = 0 deducem y = 1 -y — țx^x^y = x^țxy) = x⁻¹0 = 0, deci y = 0. Contradicție. 2. Elementele diferite de zero dintr-un corp formează grup față de înmulțire. în adevăr, fie K un corp și K* = K\{0}. Din proprietatea 1) rezultă că K* este o parte stabilă a lui K în raport cu înmulțirea. Cum 1/0, rezultă că 1 e K*. Deducem că operația indusă pe K* de înmulțirea lui K este asociativă și admite pe 1 ca element neutru Fie x e K*. Atunci x / 0 și fie x⁻¹ inversul său în raport cu înmulțirea lui K. Cum x~'x = 1/0, rezultă că x~l / 0, deci s K*. Evident, x⁻¹ este inversul lui x și în raport cu operația indusă. Deci (X*, •) este grup, numit grupul multiplicativ al corpului K. 71 1. Corpurile Q, R și C. Din proprietățile adunării și înmulțirii numerelor (v. § 1, Gap. I) rezultă că (Q, +, •), (R, 4-, •) și (C, 4-, •) sînt corpuri comutative, numite respectiv corpul numerelor raționale, corpul numerelor reale, corpul numerelor complexe. 2. Corpurile de numere pătratice Q(^/d). Fie d un întreg liber de pătrate și Q(Vd) = {a + bjd | a, b^ Q}. Dacă z, w e z — a + bjd, iv = u v^/d cu a, b, u, v s Q, atunci z 4- iu = (a + u) + (b + v)y/d e Q(y/d), zu> = (au + dbu) 4- (au 4- bu)'/d e Q(J d) deci Q(y/d) este o parte stabilă a lui C în raport cu adunarea și înmul- țirea. Observînd că 0 = 0 4-0'7rf eQ(V^), î ⁼ 4-0-^d s Q(^/d) se deduce ușor că Q(y/d) este inel comutativ în raport cu operațiile induse pe Q(y/d) de adunarea și înmulțirea lui C. Pentru a dovedi că Q(Jd) este corp mai rămîne să arătăm că pentru orice z e QG/^), z = a + 4- b^Jd, z 0, există z e QG/d) astfel încît zz =1. Dacă z 0 0, atunci a 0 0 sau b 0 0. Rezultă că a² — db² 0 0 (dacă a² _ _ o și b = 0 deducem și a = 0, iar dacă a² — db² = 0 și b 0 0 deducem y/d s Q, ambele situații fiind contradictorii, Fie •¹ ⁼ 7"'^ _ —77 e Q(V<0 u² — db- a² — db² și avem : zz' = 1. Rezultă că QG/d) formează corp față de operațiile induse de adu- narea și înmulțirea din C, numit corp de numere pătratice. Astfel QG/2), oo), o(V —5) etc. sînt corpuri de numere pătratice. 3. Inelele (Z, 4-, •) și (Z₆, 4-, •) nu sînt corpuri. în adevăr, 2x 0 1 oricare ar fi x e Z, deci 2 nu este inversabil în raport cu înmulțirea lui Z. în inelul Z₆ avem 3-4=0 și cum corpurile nu au divizori ai lui zero rezultă că (Z₆, 4-, •) nu este corp. 4. Corpul Zp al claselor de resturi modulo p. Fie p > 0 un număr prim. Atunci inelul Z,, este corp. în adevăr, elementele lui Zₚ sînt 0, î, 2,..., p^l. Pentru orice a e Z, 1 a < p avem (a, p) = 1. în adevăr, p fiind prim, singurii divizori pozitivi ai lui p sînt 1 și p. 72 Cum 1 < a < p, p nu divide pe a, deci a și p admit un singur divizor comun pozitiv, anume pe 1. Atunci și c.m.m.d.c. al lui a și p este egal cu 1, deci (a, p) = 1. Aplicînd acum rezultatul de la Ex. R—2, § 3, de- ducem că orice clasă a G Z^, a 0, este inversabilă în raport cu înmul- țirea, deci Zₚ este corp. în particular Z₅ este corp. Faptul că orice clasă a e Z₅, « 0, este inversabilă în raport cu înmulțirea se jpbservă și pe tabla înmulțirii lui Z₆ : (l)⁻¹ =1, (2)⁻¹ =3, (3)⁻¹ =2, (4)⁻¹ = 4. A + 6 1 2 3 4 • 6 î 2 3A _4 0 6 î 2 3 4 d 6 6 6 d 6 î î 2 3 4 0 î 0 î 2 3 4 2 2 3 4 6 î 2 6 2 4 î 3 3 3 4 d î 2 3 6 3 î 4 2 4 4 d î 2 3 4 0 F 3 2 î Tabla adunării lui z5. Tabla înmulțirii lui Z6 Exerciții rezolvate | R — 1 Un corp cu patru elemente. Fie K = {0, 1, a, 6} unde 0, 1, «, b e M₂(Z₂), f 6 d A (î (o H H 0 = I 1,1=1 , a = I 1. & = I A • \6 d J \o î/ \î î J \î 6 J Arătați : 1. K este o parte stabilă a lui M₂(Z₂) în raport cu adunarea și înmul- țirea matricelor și alcătuiți tablele operațiilor induse. 2. Operațiile induse conferă lui K o structură de corp comutativ. Soluție. 1) Conform definiției operațiilor cu matrice, avem : 1 4- a — 0 1 / ți 1/ V 0 4- 1 0 î W î î^ fo-î + î- î î î J ț î 0 / \î • î +î -î 0 + î ( î î \ 1 = 1 1 + 1/ \ î 0 / 0 •î + î -0 (1 o' A A A A = L A ⁼ 1 S K î • î + î • o lo î , ș.a.m.d. 73 Așadar K este o parte stabilă a lu! M^Zt) în raport cu operațiile de adunare șl înmulțire, tablele operațiilor induse fiind : + 1 0 1 a b 0 0 1 a b 0 0 1 a b 0 0 0 0 0 1. 1 0 b a 1 0 1 a b a a b 0 1 a 0 a b 1 b b a 1 0 b 0 b 1 a 2) Cum adunarea și înmulțirea matricelor sînt operații asociative, la fel vor fi șl opera- țiile induse pe K. Din același motiv operația indusă de înmulțire este distributivă în raport cu operația indusă de adunare. , Pe tabla adunării lui K se observă că această operație este comutativă, admite pe 0 ca element neutru și orice element din K are opus. Pe tabla înmulțirii lui K se observă că această operație este comutativă, admite pe 1 ca element neutru și orice element din K diferit de 0 are invers. Așadar (K, +, •) este corp comutativ. R — 2 1) Teorema lui Fermat. Fie a, p G Z, cu p > 0 număr prim care nu divide pe a. Arătați că : (mod p). 2) Fie a=149¹²⁸. Calculați a mod 7. Soluție. Fie Z* = Zₚ\{0}. Cum (Zj» •) este un grup comutativ, din Ex. R —2, Cap. III, § 3, rezultă : («p-* = î, v® z;. Dar cum P nu divide pe a rezultă că a mod p / 0, deci a = a mod p 0. Peducem\ă a e Z*, deci 1 = (a)p-i = de unde av~l = 1 (mod p). 2) în corpul Z„ avem 149 = 149‘"mod' 7 = (2bT+2)mod7 = 2. Cum 7 nu divide pe 2, conform teoremei lui Fermat avem 2* = 1 (mod 7). Atunci în corpul Z₇ avem : 1 = 2‘ = (2)#, deci (2)f = 1. Dar 128 = 6-21 + 2, deci 149118 _ (i49)i» = (2)‘« = (2)«-«+» = ((2)')“-(2)* = 2⁴ = 4, de unde a mod 7 = 4. 74 § 5. MORFISME DE INELE ȘI CORPQRI Ca și în cazul grupurilor, noțiunea de izomorfism de inele (corpuri) constituie un criteriu de clasificare a inelelor (respectiv corpurilor), un cri- teriu de identificare a inelelor (respectiv corpurilor) cu aceleași proprietăți algebrice. 5.1. Definiție. Fie A și A" două inele. O aplicație bijectivă f: A —* A' se numește izomorfism de inele dacă Î) 4- y) = f(x) + f(y), 2) f(xy) = f(x)f(y) oricare ar fi, x, y e A. ’ Vom spune că inelul A este izomorf cu inelul A', și scriem A — A', dacă există cel puțin un izpmorfism f: A -> A'. Să observăm că dacă f: A Aî este un izomorfism de inele, atunci /"(l) = r. în adevăr, acest lucru decurge din surjectivitatea lui f căci dacă x' e A' atunci x' = f(x) cu x e A, deci : f(î)xf = f(l)f(x) = f(Vx) = f(x) = x' = x'f(l), de unde /(l) = Renunțînd la condiția de bijectivitate asupra lui f în definiția de mai sus și adăugind cerința : 3) m = r se obține noțiunea de morfism (omomorfism) de inăle. Dacă f: A A' este morfism de inele, atunci din 1) rezultă că f este morfism de la grupul (A, +) la grupul (A', +). Conform rezultatelor ob- ținute pentru morfisme de grupuri, rezultă că : m = 0' f(—x) = — f(x) Vx e A. Cu un argument asemănător celui folosit la grupuri, se arată că dacă x e A este inversabil, atunci f(x) este element inversabil al lui A' și K*-*) = Vom spune că o aplicație f: K -* K' de la un corp K la un corp K' este izomorfism (morfism) de corpuri dacă f este izomorfism (respectiv mor- fism) de inele de la K la K'. Orice morfism de corpuri f: K -► K' este injectiv. în adevăr, fie xₗf x₂ & K astfel încît f(xf) — f(x₂) și să notăm x = xₜ — x₂. Avem : ÎW - + (-x₂)) = fW + f(- *₂)= ^0 + (- f(X₂)) = f(x₁) + + =0'. 75 Dacă .r # O, atunci putem scrie i' =f(i) = f(^"¹) = f(^-¹) =07(x-0 = o\ Contradicție, căci 1' 0'. Rămîne adevărat că x =0, deci xₜ = x₂, de unde rezultă că f este injectiv. Dacă A este un inel, atunci ca și în cazul grupurilor, un izomorfism (morfism) f: A -* A se numește automorfism (resp. endomorfism) al inelului A. Aceeași terminologie se folosește și pentru corpuri. 1. Aplicația f: Z -♦ Af₂(Z), f(«) =(" °k Vq ^Z 10 a) este un morfism injectiv de inele. în adevăr, pentru orice a, b Z avem : ᵣ₍ₙ₊^p+⁶ » °W)₊w ț 0 a 4- b) \0 a) țO b) f⁼\ₙ J⁼n n , \0 ab) \0 a)\0 b) Injectivitatea lui f este evidentă. 2. Pentru orice z e C, z = a + ti cu a, b e R, notăm cu z = a — bi con- jugatul lui z. Aplicația /•:C - C, f(z) = z, Vz e C este un automofism al corpului C. în adevăr f(z 4- w) = Z + w = z + w = f(z) + f(tv), f(zw) = ZU) = zw = f(z)f(w) oricare ar fi z, iu e C. Cum z = z — f(z), rezultă că f este surjectiv și cum orice morfism de corpuri este injectiv, deducem că f este automorfism al corpului C. Exerciți.! rezolvate^ R—1 Fie K = {0, 1, a, b} corpul cu patru elemente de la Ex. R—l, §4. Arătați că : i) (ₓ 4- yy = x⁸ 4- y², W² = y k. 76 2) Aplicația f: K -* K, f(x) = xa, Vx e K este automorfism al corpului Kși/^lₓ. 3) Dacă g 0 1K este automorfism al lui K, atunci g — f. Soluție. 1) Din tabla adunării corpului K (v. § 4) rezultă că : 2x = x 4- x = 0, Vx e K. Cum corpul K este comutativ, pentru orice x, y K, avem : (x + y)» = (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = x* + xy + yx + y* = } = x’ 4- xy 4- xy 4- y» = x» 4- (x + x)y 4- y’ = x’ 4- Oy 4- y’ = x» 4- y* (xy)* = (xy)(xy) = x(y(xy)) = x(Qjx)y) = x((xy)y) = x(x(yy)) = x(xy’) = (xx)y’ = x’y’. 2) Folosind pct. 1, pentru orice x, y e K, avem : 4- y) = (x 4- y)¹ = x» 4- y* = f(x) 4- f(y) Ș> /•(xy) = (xy)’ = x’y* = f(x)f(y). Rămîne să arătăm că f este bijectiv. Folosind tabla înmulțirii corpului K (v. § 4) valo- rile aplicației f pot fi date prin tabelul următor : x 0 1 a b f(x),= x* 0 1 b a Se observă astfel că f și că f este aplicație bijectivă. 3) Cum y este morfism de corpuri avem y(0) = 0 și y(l) = 1. Atunci, pentru ca g trebuie ca g(a) = b și g(b) = a, de unde g = f. R — 2 Fie K mulțimea tuturor matricelor U e M₂(R) de forma - ᵣT [ a b\ , _ U = [ | , a, b e R. ' \ — b a) 1) Arătați că mulțimea K este o parte stabilă a lui M₂(R) în raport cu adunarea și înmulțirea matricelor și că operațiile induse conferă lui K o structură de corp. 2) C ~ K. Soluție. 1) Fie U, V e K, v^( “ T v=( c d) ( — b aj ț—d c) Avem : ( a b\ ( c d\ f a + c b + d\ U 4- V = , + | = | e K ț — b a} ț—d c) ț — (b + d) a + c] J ¹ . . Și (a b\ f c d\ ( ac — bd ad 4- bc\ i II 1 = 1 I e A. — b aj \—d c) ț — (ad 4* bc) ac — bdj \ . 77 Se mai observă că și acum este limpede că operațiile induse satisfac axiomele inelului. Fie U e K, U / 0, U = Gum U / 0, avem’ a / 0 sau b 0, deci a’ + A» 0. Fie / a ~f> \ a’ + b* a* + A’ b a ^a¹ + b* a» + b¹/ O verificare imediată arată că U'U = UU' = E, deci U este inversabilă și U ¹ = U'. Așadar, K este corp. 2) Fie z e C, z = a 4- Ai cu a, b e B. Definim ( a b\ f(z) = e K. ț —A a) Dacă z, w g C, z = a + Ai, w = c 4- dl, atunci z + w = (a + c) 4- (A + d)i, zw = (ac — bd) -|- (ad 4- Ac)i deci (a 4- c b + d\ ( a b\ [ c d\ I = A ⁺ =^)+^) — (b 4- d) a + cj ț —A a) ț — a c) (ac — bd ad 4- AcY¹ ( a b\( c d\ 1=1 II | = f(z)f(w). -(ad 4- Ac) ac — bd) (-A aj[-d c) Se mai observă că f este aplicație bijectivă. deci f este izomorfism, de unde § 6. POLINOAME CU COEFICIENȚI INTR-UN INEL COMUTATIV în clasa a X-a s-a dat o construcție pentru polinoamele cu coeficienți complecși. Sub forma zisă algebrică un polinom f cu coeficienți complecși, intr-o nedeterminată X, este o expresie de forma f = a. + ₀₁X + o.X² +...+ aₙX\ unde «₍ e C și n > 0. S-a notat cu C[X] mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți com- plecși în nedeterminata X. Dacă f, g e C[X], f = a₀ + djX 4- a₂X² 4- ..., g = b₀ 4- bₜX + ^X² +. . . s-a definit egalitatea, suma și produsul după cum urmează : f = g o aₜ = bᵢₜ i =0, 1,2,... f4- g = (a₀ 4- b₀) 4- («1 + &i)X 4- («ₐ + MX² +... fg = aₒbₒ 4~ (aₒbi 4- a^^X 4~ (,G₀b₂ + «i&j + a₂b₀)X² +. . . 78 Din lista proprietăților adunării și înmulțirii polinoamelor cu coeficienți complecși, stabilite în clasa a X-a, rezultă : C[X] este inel comutativ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire a polinoamelor. în construcția lui C[X], precum și în demonstrațiile proprietăților ope- rațiilor cu polinoame, a intervenit, în mod esențial, faptul că adunarea și înmulțirea numerelor complexe satisfac axiomele inelului comutativ. Din acest motiv putem înlocui pe C cu un inel comutativ oarecare A. Se obține inelul comutativ A[X] al polinoamelor cu coeficienți în A. Inelul A poate fi : inelul Z al întregilor raționali, inelul Zₙ al claselor de resturi modulo n etc. în particular A poate fi un corp comutativ, de exemplu Q, R, C, Zₚ, p număr prim. Obținem astfel inelele de polinoame Z[X], Z„[X], Q[X], R[X], C[X], Z^X] cu coeficienți în Z, Zₙ, Q, R, C, ZP respectiv. Fie f e A[X], f = a₀ + aᵣX + . .. + a^ +... . Elementul a{ A se numește coeficientul de rang i al polinomului f. Dacă aₜ =0, atunci ter- menul 0X* poate fi omis, iar dacă at = 1, atunci termenul 1 X* poate fi scris simplu X¹. Dacă f este diferit de polinomul 0, atunci există n > 0 astfel încît aₙ / 0 și a₍ =0, Vi > n. în aceste condiții f va fi scris de re- gulă după cum urmează : f = a₀ + OₗX+...+ aₙXⁿ. Numărul n = max {i|«f / 0} se numește gradul polinomului f, notat cu grad f, iar'aₙ se numește coeficientul dominant al lui f. Prin definiție, poli- nomul 0 are gradul — oo. Fie f, g A[X] f = a₀ + a.X +... + aₙXⁿ, g =■- &₀ + ^X + .. . + bₘXm cu aₙ 0, bₘ / 0. Pentru a face o alegere, presupunem că n > m. Atunci f+ 9 - («o + b₀) + (fₗₗ + MX +...+ (aₘ + bₘ)Xm + + awXm^ + ...+ aₙXⁿ Și fg - aₒb₀ + (a^ + a^JX + ..• + ( X a^X* + . .. + aₙbₘXm™, de unde gradțf + g) < max {grad f, grad Și grad (fg) < grad f + grad g. Formulele de mai sus rămîn adevărate și atunci cînd f = 0 sau g = 0. Dacă n = m și aₙ = — bₙ, atunci în prima formulă avem inegalitatea strictă. Dacă f / 0 și g 0, iar A este inel fără divizori ai lui zero, atunci fg 0 căci din aₙ 0 0 și bₘ 0 deducem că aₙbₘ 0. Mai mult, în acest caz grad (fg) = grad f+grad g. 79 Așadar : ■ 6.1, Teoremă. Dacă A este domeniu de integritate, atunci A[X] este domeniu de integritate și grad(^) = grad f 4- grad g, Vf, g e A[XJ. Fie A un inel comutativ, f A[X], f= a₀ -1~ o^X -1- ... 4~ u„Xⁿ și x^A. Elementul f(x) e A, f(x) = a₀ 4- c^x + ... + aₙx se numește valoarea polinomului f în punctul x. 6.2. Teoremă. Valoarea sumei (produsului) a două pcimoame f, g A[X] într-un punct x este egală eu suma (respectiv produsul), val&* rilor polinoameJor f și g în punctul x : (/' 4- gKx) = /(*) 4- = Kx)9^')- Demonstrație. Dacă f —a₀ -4- ^X 4- a₂X² + ..., g= b₀ 4- ăₓX 4- b₂X² 4- 4- ..., atunci pentru orice x e A avem : f(x) 4- g(x) = (a₀ + aₓx 4- a₂*⁸ 4- • • •) 4- (^o 4- M + + • • •) = = («o 4- ^o) 4" (ai 4- ^i)* 4~ (°2 4- b^)x² + • • • — (f 4- g)(x) Și fț^gțx) = (a₀ 4- «i* 4- a₂*² 4- • • - )(*o 4- ^x 4- b₂x² + ...) = — ao^o 4- («0^1 4" ^iM* 4~ (flo^2 4- «A 4~ g₂Mx² 4- • • • = Fie f e A[X]. Asociind fiecărui element x ^ A valoarea f(x) a polino- mului f în punctul x se obține o funcție f : A -* A, f(x) = f(x), Vx e A, numită funcția polinomială asociată lui f. Zerourile funcției polinomiale f : A -» A asociată polinomului f e A[X] se numesc rădăcini (din A) ale lui f. Cu alte cuvinte, un element a e A se numește rădăcină (din A) a polinomului f A[X] dacă valoarea lui f în punctul a este egală cu 0, deci f(a) =0. Exemple 1. Fie f G R[X], f = 7 — 6X 4- X², atunci funcția polinomială asociată lui f este funcția reală de o variabilă reală f : R -> R, /(x) = f(x) = 7 — 6x 4- x², Vx e R. Rădăcinile (din R) ale polinomului f sînt *i,₂ = 3 ± ^3² -7 = 3 ± ^2. Funcțiile polinomiale asociate polinoamelor cu coeficienți reali sînt studiate în Analiză. 80 2. Dacă f, g Z₃[X], f = X³ + 2X² + X + 1, g = 2X² + 2X 4- 1 (coefi- cienții nespecificați sînt egali cu 1) atunci funcțiile polinorniale asociate / : Z₃ -* Z₃, g : Z₃ -* Z₃ pot fi descrise prin valorile lor în orice x e Z₃ folosind tabelele : x 6 î 2 x 6 î 2 f(x) 12 1 g(x) 12 1 Se vede în acest caz că f g și totuși f — g. Să mai observăm că polinoamele f și g nu au rădăcini în Z₃. 3. Polinomul f — 2X — 7 e Z[X] nu are rădăcini în Z. în adevăr, dacă pentru a e Z avem f(d) =0, atunci 2a — 7 =0, deci 2a = 7. Dar 2a este par și 7 este impar. Contradicție. 4. Orice polinom f de grad 1 cu coeficienți dintr-un corp comutativ ZCadmite o rădăcină în K. în adevăr, fie f e K[X], f = a + bX, unde a, b e K, b / 0. Fie c = —b^a¹^ K. Atunci f(c) = a 4- bc = a 4- b(—b ¹a) = a — bb = a — a = 0. 5. Rădăcinile în Z₅ ale polinomului f Z₅[X], [ — Xa 4- 1 sînt 2 și 3. în adevăr, funcția polinomială asociată, / : Z₅ -> Z₅ ia valorile date în tabelul : x 6 12 3 4 f(x) 1 2 0 0 2 Fie K un corp comutativ. Corpul K poate fi de exemplu C, R, Q, Zₚ, număr prim. Teorema de mai jos a fost demonstrată în clasa a X-a - în cazul K = C și demonstrația s-a bazat în esență pe faptul că orice număr complex z / O are invers față de > înmulțire. Din acest motiv rezultatul rămîne adevărat dacă în loc de C luăm un corp comutativ K oarecare. Așadar : Ț c o r e ni ă. Fie K un corp comutai' și j & K[XJ, g 0. Oricare ar i’i'pjolinomul [ e K[X], există polinoamele q, r s K[X] unic determinate astfel încît f = gq 4- r, grad r < grad g. Polinoamele q și r se numesc citul respectiv restul împărțirii lui / prin g. Exemplu Fie f, g Z₅[X], f = 3X⁵ + 4X⁴4- 3X³ 4- 3X² 4- 2X 4- 2, g = 2X² 4- 4-3X 4-1- Să se afle cîtul și restul împărțirii lui f prin g. Coeficientul dominant al citului este elementul a e Z₅ care înmulțit cu coeficientul dominant al lui g dă coeficientul dominant al lui f. Deci «•2 =3, de unde a —4. 6 —• Matematică—algebră, cl. a XII-a 81 Folosind tablele operațiilor corpului Zₛ și organizarea uzuală a calculelor din algoritmul împărțirii polinoamelor, avem : 3X⁵ + 4X⁴ + 3X³ + 3X² + 2X + 2 2X² + 3X + 1 3X⁵ + 2X⁴ + 4X³ 4X³ + X² + 3X + 4 / 2X⁴ + 4X³ + 3X² + 2X + 2 _ J / -r ÎXS + X⁸ va + 2X' + 2X + 2 + 4X² + 3X / 3X² + 4X + 2 3X² + 2X + 4 / 2X + 3 Rezultă că q = 4X³ + X² + 3X + 4 și r = 2X + 3. Avem : . gq + r = (2X² + 3X + î) (4X³ + X² +.3X + 4) + 2X + 3 = = 3X⁵ + 4X⁴ + 3X³ + 3X² + 2X + 2= f. Fie f, g e x[X]. Vom spune că polinomul g divide polinomul f și scriem g\f, dacă există q e K[X] astfel încît f = gq. Se mai spune în acest caz că g este divizor sau factor al lui f în inelul X[X] sau că f este multiplu al lui g în inelul K[X], Calculul valorii /(a) a unui polinom f e K[X] într-un punct a K poate fi făcut cu algoritmul împărțirii polinoamelor. în adevăr: 6.4. Teorema testul u i. Fie K un corp comutativ, f e 4x1 și a e K. Atunci valoarea f(a) a polinomului f în punctul a este.egală eu restul împărțirii lui f prin X — a. Demonstrafie. Fie q, r X[X] astfel încît /(x) = (X — ă)q 4- grad r < grad (X — «) -=1. Rezultă că r g K și deci f(a) - ((X — a)q + r) («) = (« — a)q(a) + r(a) = r(a) = r. . Tot.ca o consecință a Teoremei 6.3 putem obține o caracterizare a di- ‘vizorilof de grad 1- ai un> i polinom, anume: 6.5. Teorema factorului. (Bezout). Me K nu corp coniutativ, \ f € X[X] și a K. Atunci polinomul X — a divide pe f dacă și Uumai dacă / . 82 Demonstrație. Evident X — a divide f dacă și numai dacă restul r al împărțirii este 0. Afirmația rezultă din faptul că r = f(a). împărțirea unui polinom f e K[X] prin X — a (deci și calculul valorii f(a)) se poate face cu schema lui Horner. Exerciții rezolvate 1^ *—t ș Să se determine două polinoame f, g e z[X] astfel încît fS ~ 1 — 12X² + 8X³, grad f — 1 și grad g = 2. Soluție. Conform condițiilor din enunț avem f = a₀ 4- aₜX, g — b₀ 4- b,X 4- b₂X* unde a₍, b} e z, aₓ 0 și b₂ 0. Avem : fg = 4- (aₒbₓ 4- aₗb₀)X 4- (a₀b₂ 4- a^X* 4- a^X' = — 1 + 6X — 12X’ 4- 8X³, de unde, conform definiției egalității polinoamelor, deducem : «0^0 = — 1, aₒbₓ + Mo = 6, ' . " aₒbₜ 4- aₓbₜ — — 12 aₓb₂ = 8. Dar, din aₐb₀ = - 1 cu a₉, b ce Z rezultă a₀ = 1,, b₀ » - 1 sau a₀ = - 1, b₀ = 1. Cind a₀ = 1, b₀ = — 1, avem : \ bₓ — aₓ — 6, ' bz 4- = — 12, aₓb₂ = 8, de unde a, = — 2„ b} = 4, b₂ = - 4, deci f = 1 — 2X și g — — 1 4- 4X - 4X». Cînd a₀ = — 1, bg = 1 se găsește f —14- 2X și = 1 — 4X + 4X’. R ~ 2 Determinați toate, polinoamele f e Z₄[X] astfel încît / ' P — 0 și grad f = 1. Aceeași problemă pentru polinoamele inelului Z₅{X], Soluție-. Fie f = a 4- bX e Z₄[X], b 0. Cum f* = U rezultă că d = p = (a 4- bX)(a bX) = a* + 2abX+ b'X» , r și deci, prin identificarea coeficienților, avem : (S) a* = 0, AA A 2ab = 0, b* = 0. Dar Z₄ = {0, î, 2, 3} șl 0« = 0, î» = î, 2’ = 0, 3* = î. 83 Rezultă că soluțiile sistemului (S) sînt (0, 0), (0, 2), (2, 0) și (2, 2). Cum b 0, deducem că polinoamele căutate sînt 2X și 2 + 2X. Observăm că ZB este corp, deci inelul ZB[X] nu are divizori ai lui zero și atunci din p =0 rezultă f = 0. R—3 Fie f e Z₅[X], f = X³ + 3X +4. Să se afle citul și restul împărțirii lui f prin polinomul X +3. Soluție. Avem 3 = —2 deoarece —2 ='^-2' = O**—\ = S⁷—2 = 3, deci X + 3 = X —2 și folosind schema lui Horner î 0 3 4 | î 2 2 3 | 2 deducem că q — X* + 2X 4-2 și r = 3 = f(2). R —4 Fie f e Z₂[X], f = a₀ + aᵣX + ... + aₙXⁿ. Arătați că f se divide prin X 4- 1 dacă și numai dacă f are un număr par de coeficienți at 0. Soluție. Cum 14-1=0, avem X 4- 1 = X — 1. Dar f(l) — a₀ 4- «i 4" • • • 4" an și cum 14-1=0, rezultă că f(l) = 0 dacă și numai dacă numărul coeficienților a{ / 0 este par. Se aplică apoi teorema factorului. \ R —5 Fie K un corp comutativ, f e K[X] și a, b e K, a b. 1) Arătați că restul împărțirii polinomului f prin (X — d) (X — b) este M - f(b) ₓ af(b) - bf(a) . a — b a — b 2) Dacă X -a\f, X - b\f și a * b, atunci (X - a) (X - b) | f. Soluție. 1) Cum gradul polinomului (X — a)(X — b) este egal cu 2, restul împărțirii lui f prin g este de forma cX + d, cu c, d e K. Fie q e K[X] astfel încît f = (X - a)(X - b)q + cX + d. Deducem că f(a) = ca 4- d și f(b) = cb 4- d și cum a b avem : c = (a — bj^țfța) — f(b)) și d = (a — b)~'(af(b) - bf(a)). 2) Dacă X — a | f și X — b\ f, atunci f(a) = f(b) = 0. Se deduce că c = d = 0, deci f ₌ (X - a)(X - b), 84 § 7. POLINOAME IREDUCTIBILE. DESCOMPUNEREA PC MELOR ÎN PRODUS DE FACTORI IREDUCTIBILI Fie K un corp comutativ și K[X) inelul polinoamelor în nedetermi- nata X cu coeficienți în K. Vom arăta că aritmetica inelului K[X] este în esență aceeași cu cea a inelului Z al întregilor raționali. Se știe că pentru orice număr întreg a > 1 există numerele prime p» > 0, 1 i < n, unic deter- iminate astfel încît a = PiP₂, pₙ, rezultat cunoscut sub numele de teo- rema fundamentală a aritmeticii. Un rezultat asemănător este adevărat și pentru polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ K, locul numerelor prime fiind luat de către polinoamele ireductibile (v. Teorema 7.2) 7A Definiție. Fie K un corp comutativ și f e KfX] un ;olinom de grad n > 0. Spunem că f este polinom reductibil peste corpul K dacă există două polinoame g, h e K[X] de grad strict mai mic ea n astfel încît f=gh. în caz contrar, spihiem că f este polinom ireductibil peste cor K. Exemple 1. Orice polinom de grad 1 din K[X] este ireductibil peste K. în adevăr, fie f = aX + b, a 0, un polinom de grad 1 din K[XJ. Dacă f este reduc- tibil peste K există g, h K[X], astfel încît f = gh, grad g < 1, grad h < 1. Evident g / 0 și h / 0, de unde grad g = grad h =0. Obținem 1 = grad f = grad (gh) = grad g 4- grad h =0 + 0 — 0. Contradicție. Deci f este ireductibil peste K. 2. ’ Dacă un polinom f^K[X] de grad n > 1 este ireductibil peste K, atunci f nu admite rădăcini în K. Reciproc, dacă un polinom f K[X] de grad 2 sau 3 nu admite rădăcini în K, atunci f este ireductibil peste K. în adevăr, dacă grad f = n > 1 și a e K este rădăcină a lui f, atunci conform teoremei factorului X — a | f, deci există q e K[X] astfel încît f = (X - a)q. Cum X — a, q K[X] și grad (X — a) = 1 < n, grad q — n — 1 < n rezultă că f este reductibil peste K. Reciproc, presupunem că gradul lui f este 2 sau 3. Dacă f este reduc- tibil peste K, atunci f admite o rădăcină în K. în adevăr, fie g, h e K(XJ astfel încît f = gh, grad g < grad f, grad h < grad f. Cum grad f = grad g 4- grad h, iar grad f este 2 sau 3, rezultă grad g = 1 sau grad h = 1. Presupunem că grad g = 1. Atunci = aX + b KțX], a / 0. Fie c = —a^b e K. Avem f(c) = g(c)h(c) = (a(-a~'b) + b)h(c» = 0^) =0. 8b Astfel, polinomul f = X² — 2 e Q[X] este ireductibil peste Q. în adevăr, în caz contrar există a Q astfel încît. O — /’(«) = a² — 2, de unde 72 = a e Q. Contradicție. Să observăm că același polinom f = X² — 2 este reductibil peste R căci f = (X -72) (X + ,/2) Și X -^2, X +72 £ R[X]. Polinomul f = X³ + 2X² + X + 1 e Z₃[X] este ireductibil peste corpul Z₃. în adevăr,,grad f = 3 și f(0) =1/0, fț!) =2 /O, f(2) = 1 /O. 3. Polinoarnele de grad 1 din C[X] sînt singurele polinoame ireductibile peste corpul C. în adevăr, din Exp. 1 rezultă că polinoarnele de grad 1 din C[X] sînt ireductibile peste C. Fie acum f e C[X], astfel încît grad f > 1. Să arătăm că f este reductibil peste C. Conform teoremei fundamentale a algebrei (d’ Alembert-Gauss) există z e C astfel încît f(z) =0. Din Exp. 2 rezultă că f este reductibil peste C. 4 Polinoarnele de grad 1 și polinoarnele de grad 2 fără rădăcini reale din R[X] sînt singurele polinoame ireductibile peste corpul R. Este suficient să arătăm că orice polinom f e R[X| ireductibil peste R și de grad n > 1 este polinom de grad 2 fără rădăcini reale (v. Exp. 1 și 2). Conform teoremei fundamentale a algebrei există z = a + ib e C astfel încît f(z) = 0. Avem b / O căci în caz contrar z = a e R și atunci f ar fi reductibil peste R (v. Exp. 2). Cum polinomul f are coeficienți reali, avem și f(z) = O, unde z = ' = a-ib. Deoarece R[X] C C[X], avem f e C[X], f(z) = O, f(z) - O, deci în inelul C[X] polinomul f se divide prin X — z și X — z. Dar b / O, deci z / z și atunci (v. Ex. R—5, § 6) deducem că polinomtrF^ (X — z) (X— z) = X² — 2oX + a² + b² R[X] divide pe f. Deducem că există q e R[X] astfel încît (*) f = (X² - 2aX + a² + b²)q. Dacă n > 2, atunci din (*) rezultă că f este reductibil peste R, contrar ipotezei. Așadar, n = 2, q G R, q O, de unde rezultă că f este un polinom de grad 2 fără rădăcini reale. Fie f, g e K[X]. Spunem că f este asociat în divizibilitate cu g și scriem f ~ g, dacă există a e K, a O, astfel încît f = ag. Putem acum enunța următorul rezultat care generalizează la polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ teorema fundamentală a aritmeticii : 7.2. Teoremă. Fie K un corp comutativ și f e K[X] un polinom de grad mai marc ca O. Atunci : 1) f se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K. 86 2) Dacă f — fifz> • • fₘ = fifz-• ■ Im sînt două descompuneri aîe polino- mutai / în produs finit de polinoame ireductibile, atunci m = m' și există o permutare a e astfel încît fi ~ f'ₒ₍ₗ₎, 1 < i < m. Demonstrație. Vom demonstra numai afirmația 1). Fie n = grad f. Dacă n = 1, atunci f este ireductibil peste K și deci 1) este adevărat (printre produsele finite acceptăm și produsele cu un singăr factor). Presupunem că n > 1 și că afirmația 1) este adevărată pentru poli- ⁷ noame de grad ngtai mic ca n. Dacă f este ireductibil atunci 1) este adevărat, în caz contrar există g, h^K [X] astfel încît f— gh, grad 'g < n, grad h < n. Conform ipotezei inducției g și h sînt produse finite de polinoame ireduc- tibile peste K. deci și f = gh este un produs finit de polinoame ireductibile peste K. 7.3. Consecință. Orice polinom f e C[X] de grad mai mare ea 0 se repre- zintă ca produs ftait de polinoame de grad 1 din C(X], unic determinate mai puțin ordinea și o asociere în divizibilitate a factorilor. ' Demonstrație. Rezultă din Teorema 7.2 și Exp. 4. 7.4. Consecință. Orice polinom f e R[X] de grad mai mare ea 0 se repre- zintă ca produs finit de polinoame din R(X1 de grad 1 sau de grad 2 fără rădă- cini reale, unie determinate mai puțin ordinea și o asociere în divizibilitate a factorilor.^ Demonstrație. Rezultă din Teorema 7.2 și Exp. 4. Exerciții rezolvate R—1 Să se descompună în factori ireductibili peste Q, R și C poli- nomul f — X⁴ + X³ — X² — 2X — 2 știind că admite rădăcina z =------------------H Solufie. Polinomul f avînd coeficienții reali, admite și rădăcina z =--------------------------— deci /' se divide prin polinomul (X — r)(X — z) — X’ 4- X 4- 1 (v. Ex. R -5, § 6). Obținem : (1) f = (X² - 2)(X* + X + 1). Cum rădăcinile polinomului X¹ + X + 1 sînt complexe rezultă că X² + X + 1 este ireductibil peste R și cu atît mai mult peste Q. Am observat că X² — 2 este ireductibil peste Q (v. Exp. 2). Așadar, (1) este descompunerea lui f în factori ireductibili peste Q. Descom- punerile lui f în factori ireductibili peste R și C sînt: f = (X - V2)(X + V2)(X² + X + 1). respectiv f = (X - fyx + ^2) (x + 1 - i-Aj^X + 1 + i • 87 R —2 Să se descompună în factori ireductibili peste corpul Z₃ poli- nomul f = X³ + 2X² 4- X + 2 *= Z₃[X], Soluție. Pentru a valorifica observațiile făcute la Exp. 2, să cercetăm valorile f(x), x e Z₃. Avem : x 10 1 2 f(x) 12 0 2 deci f se divide prin X — 1 = X + 2. Folosind schema lui Horner 12 12 , î 0 î 0 î obținem f = (X — 1)(X⁸ + 1). Cum X⁸ + 1 nu are rădăcini în Z₃ rezultă că este ireductibil peste Z₃. Descompunerea căutată este f = (X — 1)(X⁸ + 1) = (X + 2)(X² + 1). R—3 1) Cîte polinoame de grad cel mult 4 sînt în inelul Z₂[X] ? 2) Să se găsească toate polinoamele de grad cel mult 4 ireductibile peste corpul Z₂. ₓ Soluție. 1) Dacă J ZJX] are gradul cel mult 4, atunci f = a„ + aₜX + a₂X» + a,X³ + a₄X⁴ («₍ e Z₂). Cum pentru fiecare coeficient a, avem două posibilități, 0 sau 1, din definiția egalități»^ polinoamelor rezultă că avem 2S = 32 polinoame de grad cel mult 4, 2) Singurele polinoame de grad 1 sînt X, 1 + X și acestea sînt ireductibile peste Z₂ (v. Exp. 1). Un polinom ireductibil peste Z₂ de grad 2, 3 sau 4 are termenul liber egal cu 1 căci altfel admite ca rădăcină pe 0 e Z₂ și deci ar fi reductibil peste Z₂. De asemenea, numărul coeficien- ților 0 ai unui asemenea polinom este impar căci altfel ar admite pe 1 e z₂ ca rădăcină (v. Ex. R—4, § t) și deci ar fi reductibil peste Z₂. Singurele polinoame de grad 2 sau 3 care satisfac ambele condiții sînt 1 -f- X + X*, 1 4- X + X³, 1 + X⁸ -|- X³ și conform cu obser- vațiile de la Exp. 2 ele sînt ireductibile peste Z₂. în fine, singurele polinoame de grad 4 care satisfac cele două condiții sînt 1 + X + X⁴, î + X⁸ + X‘, î + X³ + X⁴. î + X + X⁸ X³ + X⁴ și fie f unul dintre ele. Dacă f este reductibil, descompunerea sa în factori ireductibili nu poate conține factori de gradul 1 căci atunci /'(O) = O sau f(l) — 0. ceea ce am exclus. Acum este clar că descompunerea lui f nu poate conține nici factori ireductibili de grad 3 (căci atunci ar conține și unul de grad 1). Atunci descompunerea lui f conține numai factori ireductibili de grad 2. Cum 1 + X + X⁸ este singurul polinom ireductibil de grad 2, iar grad f = 4, rezultă că / I = (1 + X 4- X⁸)⁸ = 1 + X⁸ + X‘. 88 Așadar, polinoainele ireductibile de grad 4 sînt 1 + X + X*, 1 + X³ + X⁴si t + X + X⁸ {■ + X³ + XL Remarcă. Polinoamele ireductibile peste corpul Z₂ au aplicații în teoria codurilor (v. § 8, pot. 2). § 8. APLICAȚII ALE CORPURILOR FINITE (facultativ) / 1. PĂTRATE LATINE Să presupunem că într-o anumită zonă agricolă trebuie să comparăm productivitatea a patru hibrizi de porumb : A, B, C și D. Pentru testarea acestora dispunem de un teren în formă de pătrat. Se pune problema să organizăm de așa natură experimentul încît să reducem erorile care pot fi introduse de variațiile de fertilitate a terenului. Putem compensa erorile carc apar' datorită variațiilor de fertilitate împărțind terenul în 16 parcele egale (v. fig. IV.l, a) și cultivînd apoi în fiecare parcelă cîte unul din hibrizii de porumb astfel încît în fiecare linie și în fiecare coloană de parcele, fiecare hibrid de porumb să fie cultivat o dată si numai o singură dată. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a + 0 1 a b 0 0 1 a b 1 1 0 b a a a b 0 1 b b a 1 0 b Fig. IV.l. A B C D B A D C C D A B D C B A c Este posibilă o asemenea organizare a experimentului ? Să ne amintim că în tabla ope- rației unui grup orice element al grupului apare, pe fiecare linie și fiecare coloană, o dată și numai o singură dată (v. Ex. R—2, Cap. III, § 3). Acum răspunsul la întrebarea pusă este evident. Considerăm tabla operației unui grup cu patru elemente, de exemplu tabla adunării grupului aditiv al corpului de Ia Ex. R —1, § 4, pe care am reprodus-o în fig. IV.l, b. Pe pozi- țiile ocupate în tablă de elementele 0, 1, a și b punem A, B, C și D respectiv și obținem organi- zarea dorită pentru experimentul nostru (v. fig. IV.l, c). Să ridicăm acum gradul de dificultate a problemei noastre. Anume, să presupunem că avem și patru tipuri de erbicide, a, p, y și 8, pe care vrem să le folosim pe cele 16 parcele astfel încît fiecare hibrid de porumb să fie cuplat o dată și numai o singură dată cu fiecare tip de erbicid. , Aa. sp Cy D8 By A8 Da cp C8 Dy Ap Ba nș Ca B8 Ay b Fig. IV.2. 89 Dacă erbicidele sînt folosite pe cele 16 parcele ca în figura IV.2, a, atunci cerința pusă este satisfăcută (v. fig. IV.2, b). Rămîne să explicăm cum am stabilit modul de folosire a erbi- cidelor ca să fie satisfăcută condiția pusă. Să dăm mai întîi două definiții. - Fie M o mulțime cu n elemente. Un tablou L cu n linii și n coloane de elemente din M se numește pătrat latin de ordin n peste mulțimea M dacă fiecare element al lui M apare o dată și numai o dată în fiecare linie și în fiecare coloană. Astfel, tabloul de la figura IV.l, c este pătrat latin de ordin 4 peste mulțimea M — — {A,B, C, D}, iar tabloul de la figura IV.2, a este pătrat latin de ordin 4 peste mulțimea N = = {a, p, y, S}. Tabla operației unui grup G cu n elemente este un pătrat latin de ordin n peste G. Evident, pentru a forma un pătratda|in de ordin n peste o mulțime M cu n elemente avem nevoie de zi „copii" ale fiecărui element din M. Două pătrate latine de ordin n se numesc ortogonale dacă prin suprapunere fiecare ele- ment al primului pătrat latin se cuplează o dată și numai o singură dată cu fiecare element al celui de al doilea pătrat latin. Pătratul latin de la figura IV.l, c este ortogonal cu cel de la figura IV.2, a, altfel spus, prin suprapunere obținem elementele produsului cartezian M x N (v. fig. IV.2, b). Dacă avem un corp cu n elemente, atunci sîntem asigurați că există n — 1 pătrate latine orțogbnale două cîte două. Mai precis : Teoremă. Fie K = {x₀, ..., xₙ ₗ} un corp cu n elemente, unde elementul 0 s-a notat cu x₀ și elementul 1 s-a notat cu xP Fie u e K\{0}. Notăm eu Lᵤ tabloul cu n linii și n coloane care la intersecția liniei i cu coloana j conține elementul def x'b = uxₜ + Xj, 0 < i, j < n. 1) Lᵤ este pătrat latin de ordin n peste. K. 2) Dacă u, v e /<\{0}, u v, atunci Lᵤ și Lᵥ sînt pătrate latine ortogonale. Demonstrație 1) Fie x^ și x“z două elemente de linia i a lui L,„ unde j t. Dacă x"} — xuᵢₜ, atunci uXi -f- x} = uxₛ + xₜ. Rezultă că Xj = xₜ, deci j = t. Contradicție. Rămîne adevărat că pe linia i a lui Lᵤ avem n elemente distincte din K. Cum |I<| ^n deducem că fiecare element al lui K apare o dată și numai o singură dată pe linia i, 0 ^‘î < n*. i Fie acum x'jj și x"y două elemente de pe coloana j a lui Lᵤ, unde i s. Dacă x^ atunci ux₍ + x} = uxₛ + xf. Rezultă ux₍ = uxₛ și cum u 0, avem x₍ = xₛ, deci i —^s^ Contradicție. Se deduce că pe coloana j a lui Lᵤ fiecare clement al lui K apare o dată și numai o singură dată. 2) Presupunem că Lᵤ și Lₒ nu sînt ortogonale. Atunci există două poziții distincte (i, j) și (s, t) unde după suprapunerea lui Lᵤ și Lᵥ obținem același cuplu de elemente din K, adică (x"ₚ = (x“₍, x,,). Așadar x"j = x“₍ și x^ = x^, adică ux₍ + x} = uxₛ + xₜ și i?x₄ + H- xₜ = vxₛ + xₜ. Scăzînd termen cu termen ultimele două egalități, obținem (u — v)(x₍ — — x,) = 0. Cum u v și K este corp, deducem xₜ = x,, deci i = s. Acum din ux, + xf = = ux, + xₜ și i = s, deducem că avem și j — t, deci (i, j) ~ (s, f). Contradicție. Să considerăm din nou tablele operațiilor corpului K cu patru elemente de la Ex. R-l, § 4. + 0 1 a b 1 o 1 a b 0 " 0 1 a b 0 0 0 0 0 î 1 0 b a 1 0 1 a b a a b 0 1 a 0 a b 1 b b a 1 0 b 0 b a ♦ Se notează cu |M| numărul elementelor mulțimii M. 90 Cum K are trei elemente diferite de O, anume 1, a șl b, cu construcția de la teorema pre- cedentă obținem trei pătrate latine Lₐ și Lb de ordin 4 peste K, ortogonale două clte două, anume: 0 1 a b 0 1 a b 0 1 a b 1 0 b a , La = a b 0 1 » Lb --- b a 1 0 a b 0 1 b a 1 a 1 0 b a b a 1 0 1 0 b a a b 0 1 Cum x}} = l-x₍ -|- xf = xₜ + Xj, rezultă că Li provine direct din tabla adunării corpului K. Și pătratele latine Lₐ și Lb pot fi completate folosind tabelele operațiilor corpului K. Astfel, pentru a completa linia a 3-a a lui Lₐ să observăm că x^ = ax₂ + xj — a'a + xj. Din tabla înmulțirii lui K rezultă că a-a = b, deci xₜJ = b + x}, 0 < j < 4. Așadar, linia a 3-a a lui Lₐ coincide cu linia lui b din tabla adunării lui K. Să observăm acum că înlocuind în Lₐ elementele 0, 1, a și b cu a, p, y și 8 respectiv, se obține pătratul latin de la figura IV.2, a care este ortogonal cu cel de la figură IV.l, c, care la rîndul său se obține din Lₜ înlocuind pe 0, 1, a și b cu A, B, C și D respectiv. într-o problemă datînd din 1779 L. Euler a conjecturat că este imposibil să fie aranjați la o paradă 36 de ofițeri de șase grade diferite și provenind din șase regimente într-un careu cu 6 linii și 6' coloane, astfel încît în fiecare linie și în fiecare coloană să fie reprezentat fiecare grad și fiecare regiment. Evident, aceasta revine Ia a găsi două pătrate latine de ordin 6 ortogonale. Abia în 1899 s-a demonstrat că nu există două pătrate latine de ordin 6 orto- gonale. 2. CODIFICAREA MESAJELOR Fie A o mulțime cu două elemente, anume simbolurile 0 și 1. Mulțimea A va fi nu- ' mită alfabet, iar simbolurile 0 și 1 sînt numite literele alfabetului A. Cu ajutorul literelor alfabetului A putem forma 2" secvențe diferite cu cîte n termeni, (a< e A) numite, cuvinte de lungime n peste alfabetul A. Notăm cu D„ mulțimea tuturor cuvintelor de lungime n peste alfabetul A. Dacă x, y Dₙ, x = aₒaₜ,..., aₙ_ᵤ y = &₀&i,..., bₙ_ᵤ atunci numărul de indici i pentru care a₍ b₍ se numește distanța Hamming dintre cuvin- tele x și y șl va fi notată cu d(x, y). Se verifică ușor că d(x, y) < d(x, z) + d(z, y), V x, y, z e Dₙ. Avem 2³ = 8 cuvinte de lungime 3 peste alfabetul A = {0, 1}, anume D₃ = {000, 100, 010, 001, 110, oii, 101, 111}. Dacă x = 110 și y = 101, atunci d(x, y) = 2. Cu- vintele din D, pot fi puse în corespondență biuni- voca cu vîrfurile unui cub ca în figura IV.3, distanța Hamming dintre două vîrfuri vecine fiind egală cu 1. Să presupunem că dispunem de un canal de transmisie care constă dintr-un sistem care permite să se vehiculeze secvențe de două semnale, mate- rializate în două nivele ale unui fenomen fizic (de exemplu tensiunea unei surse electrice), nivele pe care le punem în corespondență cu simbolurile 0 și 1. 91 Datorită „zgomotului" canalului de transmisie, cauzat de instabilitatea celor două nivele ale fenomenului fizic folosit, se poate recepționa 0 în loc de 1 sau 1 în loc de 0. Dacă în transmisia unui cuvînt x Dₙ se fac r erori, a,tunci cuvîntul recepționat y e Dₙ se află la distanța Hamming r de cuvîntul x (în r poziții s-a recepționat 0 în loc de 1 sau 1 în loc de 0). Se pune problema detectării cuvintelor recepționate y care conțin erori și, dacă este posibil, să corec- tăm erorile conținute. O asemenea problematică face obiectul unei discipline relativ recente, cunoscută sub. numele de teoria codurilor. Folosindu-se rezultate din teoria corpurilor finite au fost concepute numeroase coduri detectoare și coduri corectoare de erori. Pentru a simplifica prezentarea, să presupunem că trebuie să transmitem un mesaj x dintr-o mulțime de 2m mesaje date prin cuvintele de lungime m peste alfabetul A = {0, 1}. Dacă cuvîntul recepționat y e Dₘ conține erori, avem x / y și deci y corespunde la un mesaj diferit de cel pe care am dorit să-1 transmitem. O modalitate de a înlătura acest inconvenient este descrisă mai jos. Să presupunem că pentru un număr n > m se poate găsi o submulțime C a lui Dₙ astfel încît | C | = 2m și d(u, p) > f + 1, V u, o e C, u / v. Cum | C | = 2m putem alege o bijecție c: Dₘ -* C prin care codificăm mesajele date prin cu- vintele din Dₘ cu cuvinte de lungime n din C. Mulțimea C se numește cod, iar elementele sale cuvinte-cod. Fie x e C un cuvînt cod și fie y Dₙ cuvîntul recepționat corespunzător. Dacă în transmisia lui x s-au făcut cel mult t erori, atunci d(x, y) t. Avem y $ C și deci y poate fi detectat. în adevăr, dacă y C atunci t 4- 1 < d(x, y) < t. Contradicție. Mai mult, dacă d(u, v) 2t 4- 1, V u, v e c, u / v, atunci y poate fi chiar corectat, în adevăr, în aceste condiții x este unicul cuvînt-cod care satisface d(x, y) < t, căci dacă pentru x' e C, x' x, avem de asemenea d(x', y) < t, atunci 2t 1 < d(x, x') < d(x, y) 4- d(y, x') t + t = 2t. Contradicție. în cazul codurilor polinomiale codificarea mesajelor precum și recunoașterea cuvinte- lor-cod se realizează prin prelucrări algebrice simple ale cuvintelor peste alfabetul A = Pentru a simplifica scrierea, vom nota elementele corpului Z, cu 0 și 1. Cu această con- venție de notație, operațiile corpului Zₐ sînt + 0 1 0 1 0 0 1 , 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Se observă că a 4- a = 0, V a e Za, de unde rezultă căf4-f=0, Za[X], Să notăm cu Pn mulțimea tuturor polinoamelor f e ZJX] de grad mai mic ca n. f = ao + + • • • + an-l^” S (a( e Z,). Evident, | P„ | = 2" iar aplicația (♦) Dₙ —♦ P„, aₒai, ..., aH_i —► a₀ 4- c^X 4- ... 4“ este bijectivă. Fie m e N, 0 < m < n și fie pe Zₐ[X] un polinom de grad n — m. Deoarece un polinom f Pₙ se divide prin p dacă și numai dacă există un polinom q e pₘ astfel încît f = pq, rezultă că pentru mulțimea € a polinoamelor din Pₙ care se divid prin p avem | 6 | = 2m. Submulțimea C a lui Dₙ, formată cu cuvintele din Dₙ care prin bijecția (♦) corespund polinoamelor din 6 se numește (n, m) — codul polinoamelor generat de p. Dacă f d, atunci f se numește polinom-cod. 92 Așa cum s-a observat, capacitatea unui cod de a detecta și corecta erori este dată de distanța minimă dintre cuvintele-cod. Prin alegerea adecvată a polinomului p pot fi obținute coduri polinomiale cu bune performanțe in detectarea și corectarea erorilor. Fie, de asemenea, bijecția (**) • • •> bₘ_1 * 4" bₜX + • • • + bₐ_ ₁Xm~'. Dacă g e pₘ, atunci g este numit polinom-mesaj. Există q, r e Z₂[X] unic determinați astfel încît Xⁿ~mg = pq + r, r e Pₙ_ₘ. /Presupunem că r = c₀ + CiX 4- ... 4- cₙ_ₘ_ₜ c₍ e Z₂, și fie f = r + X™g = c₀ 4- C₁X + ... + ^X--' 4- b₉X*~” 4- ... + b^X^. Avem f e C. în adevăr, cum r + r = 0, rezultă f — r + Xⁿ~mg = r + pq + r = pq. Se observă că corespondența P„, —t Q, g f realizată mai sus este bijectivă. Așadar, de la mesaje la cuvintele-cod se trece astfel: mesajul b^i....trece prin bijecția (♦♦) în polinomul-mesaj g = b₀ 4- bₓX 4- ... 4- bₘ_ₓXm~' căruia îi corespunde polinomul-cod f = c₀ + ^X •+ ... + cB_ₘ_iXⁿ⁻m⁻¹ 4- b₀Xⁿ~m 4- ... 4- b^X—, unde r = c₀ 4- c.X 4-... ... 4- c„_ₘ_ₜXⁿ~m~t este restul împărțirii lui X"~mg prin p. în fine, polinomul-cod f trece prin inversa bijecției (*) în cuvîntul-cod cₐcₓ ... cₙ_ₘ_ibₐbᵤ ..., bₘ_ₓ. Evident, un cuvînt x g Dₙ, x = aₒaₓ .... aₙ_ₜ este în C dacă și numai dacă polinomul a₀ 4- aₓX 4- ... 4- a^X""¹ se divide prin p. Exercițiu. Fie C (6, 3) — codul polinomului generat de polinomul p=l + X+X³^ e Z₂[X]. 1) Să se codifice mesajul 110 ; 2) Care dintre cuvintele 111001 și 110011 sînt cuvinte-cod ? 3) Arătați că orice cuvînt recepționat y care conține cel mult două erori poate fi detectat și poate fi corectat dacă conține numai o eroare.. Soluție. 1) Mesajului 110 îi corespunde prin (**) polinomul-mesaj g = 1 4- X, deci Xⁿ~mg — X⁸'³(l -f- X) = X* 4- X*. Făcînd împărțirea cu rest a polinomului X³ 4- X⁴ prin polinomul p = 1 4- X 4- X³ în inelul ZₐfX] se obține restul r = 1 4- X³. Așadar, polinomul-cod corespunzător lui g = 1 4- X este f = r 4- X³g = 1 4- X² 4- X³ -4- X*. căruia îi corespunde cuvîntul-cod 101110. 2) Cuvîntului 111001 din Dₐ îi corespunde prin (*) polinomul f=14-X4-X’ + X*. Se constată că p divide f, deci 111001 este cuvînt-cod. Cuvîntului 110011 îi corespunde prin (*) polinomul f = 1 4- X 4- X⁴ 4- Xs care împărțit la p dă restul X. Așadar, p nu divide f, deci 110011 nu este cuvînt-cod. 3) Mesajele în (6, 3)-codul polinomial sînt cuvintele din D₃, deci 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111. Procedînd ca la pct. 1) cuvintele-cod corespunzătoare sînt 000000, 110100 011010, 111001, 101110, 001101, 100011, 010111. Cum | C| = 8 prin CJ = 28 verificări directe se constată că d(u, v) > 3 = 2 x 1 4- 1, Vu, v C, u v. Exerciții lO Pe mulțimea A — Z x Z definim legile de compoziție : de f (a, b) 4- (c, d) = (a + c, b + d) de f (a, b) (c, d) = (ac 4- ^bd, ad 4- bc). 93 Arătați că aceste legi de compoziție conferă mulțimii A o structură de inel comutativ și fără divizori ai lui zero. 2. Pe mulțimea Z a numerelor întregi definim legile de compoziție : de f x ± y — x + y + 3, V x, y e Z def x T y = xy + 3x + 3y + 6, V x, y e z. Arătați că : O (Z, _L) este grup abclian. 2) (Z, T) este monoid comutativ. 3) xT(y±z) = (xTy)l(xTz>, V x, y, z e z. Deduceți că (Z, _L, T) este inel comutativ fără divizori ai im zero Determinați elementele inversabile ale acestui inel 3. Fie a e Z șj /': Z -♦ Z, f(x) = x — a, V X « Z. 1) Arătați că se pot defini în mod unic două legi de compoziție „j_“ și „T “ pe Z astfel încît : f(x + y) = ((x)±f(y), V x, y e z /■(xy) = f(x)T f(y), V x, y e z. 2) Arătați că (Z, J_, T) este inel comutativ și fără divizori ai lui zero, elementele sale inversabile fiind 1 — a, — 1 — a. 3) Cînd a = 3, comparați rezultatul cu cel de la Ex. 2. 4. Fie Arătați că A este o parte stabilă a lui Mₐ(Z) în raport cu adunarea și înmulțirea matri- celor și că formează inel comutativ și fără divizori ai lui zero în raport cu operațiile induse. ,• 5. Pe mulțimea A = Z x Z definim legile de compoziție : (a, b) + (c, d) = (a + c,. b + d), def ■ i (a, b) (c, d) = (ac, bd). Arătați că aceste legi de compoziție conferă mulțimii A o structură de inel comutativ cu divizori ai lui zero. Care sînt elementele inversabile ale acestui inel ? fi. Fie Aj și A₂ două inele. Pe mulțimea A = A, x A₂ definim legile de compoziție : de f («i> a₂) + (bi, b₂) = (a₂ + bi, a₂ + b₂), dc f * (aᵤ a₂) (bi, bf) = (a^, aₜbₜ). 1) Arătați că A are o structură de inel în raport cu aceste legi de compoziție (A este numit produsub direct al lui Aₜ cu Aₐ). 2) Arătați că A este comutativ dacă și numai dacă A, și A, sînt inele comutative. J. Fie ) inelul resturilor modulo 9 și A =$₉ x Z produsul direct al inelului cu inelul Z (v. Ex. 6). 1) Enumerați elementele inversabile ale inelului A. 2) Cum pot fi caracterizate elementele invcrsabil-.. ale produsului direct a două inele? 8. Fie (<&₂, 0) inelul resturilor modulo 2 șl B = ^ₐ x ^ₐ produsul direct al inelului ^Jₐ cu ^₂. 1) Alcătuiți tabla adunării și tabla înmulțirii inelului B. 2) Deduceți că x + x = 0 și x² = x, Vx = (xₙ x₂) e B. 94 9. Fie B un inel astfel încît x² = x, Vx e R. Arătați că : 1) x + x = O, V x e B. 2) xy — yx, V x, y e B. 10. Arătați că într-un inel comutativ A avem : a» - b" = (a - b)(aⁿ~l + a"~²& + ...+ b"-‘), Va, b e A. 11. Arătați că într-un inel comutativ A este valabilă formula binomului lui Newton 11 (a -f- b)ⁿ — y C* a”-kbk. Va, b e A. 12 Fie (^ₛ, 0) inelul resturilor module 1) erificați că — 0 Ve Vi 2) Deduceți, folosind formula binomului lui Newton, că (a^b^ — a⁵®&⁵ Va, b e ^₅. 13. Fie IJ e Mₐ(R), 0 a b\ 0 0 o I a, b, ce R. 0 0 0/ 1) Pentru ce numere a, b, c e avem D² = 0 ? 2) Dacă Ul — 0, atunci E — U este inversabilă șî (E — U^¹ = E + U. 14. Fie Z₁₂ inelul claselor de resturi modulo 12 și G mulțimea elementelor inversabilc ale acestui inel. 1) Determinați elementele lui G și arătați că G este o parte stabilă în raport cu în- mulțirea lui ZJ₂. 2) Alcătuiți tabla operației induse și deduceți că (G, •) este grup izomorf cu grupul lui Klein. 15. Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare cil coeficienți în inelul Z₁₂: 3x + 2y — 4, > " < 2x + 3y = 1. (a b\ A AA AA ₐ I și e = ad — c b~ det (U). c d) 1) Arătați că matricea U este element invcrsabil al inelului Af₂(Z₁₂) dacă și numai dacă det (U) este egal cu 1, 5, 7 sau 11 și 95 î/. Pe mulțimea K = Q X ’J definim legile de compoziție: (a, b) + (c, d) ~(a 4- c, b 4- d), (a, b)(c, d) = (ac — bd, ad + bc + bd). Arătați că aceste operații conferă lui K o structură de corp comutativ. 18. Pe mulțimea K = R x R definim legile de compoziție : (a, b) 4- (c, d) = (a + c, b 4- d), (a, b)(c, d) = (ac — bd, ad 4- bc). Arătați că aceste operații conferă mulțimii A' o structură de corp comutativ. 19. Pe intervalul K — (0, 00) definim legile de compoziție : x | y = xy, V x, y e A, x T y = x"¹ v, V x, y e K. Arătați că tripletul (K, J_, T) este un corp comutativ. 1) Arătați că xJ 4- y² 0, V x, y e Z₃, x 0 sau y 0. 2) Arătați că L este o parte stabilă a luî Af₈(Z₃) în raport cu adunarea și înmulțirea și că formează corp comutativ cu 9 elemente față de operațiile induse. 21. Pe mulțimea A = Z x Z definim legile de compoziție : (a, b) 4- (c, d) = (a 4- c, b 4- d), (a, b)(c, d) = (ac — bd, ad 4- bc). 1) Arătați că A are o structură de inel comutativ în raport cu aceste legi de compoziției 2) Determinați elementele inversabile ale inelului A. 3) Arătați că A ~ Z[iț. 22. Arătați că funcția f: 3 ) —+ K f(z) = (a — b, 2b), z eQ(/ — 3 ), z = a 4- b /— 3 cu a, b Q este un izomorfism de la corpul Q(|/ — 3) la corpul K de la Ex. 17. 23. Arătați că corpul C este izomorf cu corpul A de la Ex. 18. 24. Arătați că corpul R este izomorf cu corpul A de la Ex. 19. 25. Fie K a. b e Q t. 1) Arătați că mulțimea A este o parte stabilă a lui M^Q) în raport cu adunarea și înmul- țirea și că formează corp în raport cu operațiile induse. 2) Arătați că Q (/ 2 ) ~ A. 28. Fie a, b, c e R. Pe R definim legile de compoziție : x y = ax + by — 2, V x, y e R, ? x T y — xy — 2x — 2y 4- c, V x, y e R. 1) Determinați a, b, c astfel încît (R, ±, T) să fie corp. 96 2) Determinați apoi a; P e R astfel încît funcția : f: R -+ R, f(x) — ax + V x e R să stabilească un izomorfism de la corpul (R, 4-, •) al numerelor reale la corpul (R. _L, T). 27. Fie f, g e Z₅[X], f = 2X³ + 4X² 4- 3X + î și g = 3X³ 4 2X! 4 X 4 3, Calculați f + 9 Și f9- 28. Fie f, g Z₆[X], f = 3X² + 3X + 3, g = 2X³ +4X + 2. Calculați fg. 29. Fie f e Z₃[X], f = X³ 4 2X² 4 X f 1. Determinați toate polinoarnele g = a X³ 4- 4- bX² 4- cX 4- d e Z,₃[X] cu proprietatea : g = f. 30. Enumerați rădăcinile din ZB ale polinomului /’ — 3X² 4- 3X e Z₀[X]. 31. Să se determine două polinoame f și g de grad 1, f, g e Q[XJ, astfel încît f² 4- g* = X² + 1, f(2)g(2) = 2. 32. Determinați gradul polinomului f s R[X], f = (X² 4- 3X + 2)X³ 4- (X² 4- 4X 4- 3)X² + (X² - 1)X 4- 1, unde X este un parametru real. 33. Să se determine două polinoame [ și g de grad 1, f, g e Z[X], astfel încît (X² 4-2X4- 2)f 4- (X² 4-3X4- Vg = 1. 34. Fie K un corp comutativ și fₜ, f₂, f₉ e K[X], grad = i, 1 < i < 3. Arătați că egali- tatea ajt + + a₃f₃ = 0 (af.e K) este posibilă numai în cazul aₜ = a₃ = a₃ = 0. Generalizare. 35. Fie f e R[X], grad f < 2. Dacă există trei numere reale diferite a₁₍ a₂, a₃ astfel încît. f(a₍) = 0, i = 1, 2, 3, atunci f este egal cu polinomul zero. Generalizare. 36. Fie f, g e Z₅{X], f = 3X⁵ 4 X³ 4 2X 4 4, g = 2X³ 4- 3X² 4- î. Aflați cîtul și restul împărțirii lui f prin g. 37. Fie f, g s Q[X), f — 2X⁴ — 3X² 4- aX 4- b, g = X² — 2X 4- 3. Să se determine a și b astfel încît g | f. 33. Fie f «= Z[XJ, f — a₀ 4- aLX 4- a₂X² 4- a₃X³. Determinați coeficienții polinomului /* dacă /•(l) 4- f(2) + ;.. 4- f(n) = V n > 0 39. Fie f e C[X], f = a + bX 4- X². Determinați a și b astfel încît f să dividă polinomul X^ 4- 1. 40. Fie f Q[X], f = X⁵ — 5X⁴ 4- 18X³ — 15X² 4- X 4- 4. Folosind schema lui Horner, calculați f(3). 4L Calculați cu schema lui Horner cîtul și restul împărțirii polinomului f e Z,[X], f - 5X< 4- 3X² 4- X 4- 2, prin X 4- 5. 42. Dacă polinomul f e Z[X] admite două rădăcini întregi de parități diferite, atunci este par, \/ k, e z. 43. Să se descompună în factori ireductibili peste R și peste C polinoarnele X*+ 4, X⁶ -p 27. 7— Matematică—algebră, el. a Xll-a 97 44. Să se descompună în factori ireductibili peste Z₅ polinomul f = X‘ + X³ + 2X² + X 4- î. 45. Fie f e Q[X], f = X³ - 2. 1) Arătați că f este ireductibil peste Q. 2) Descompuneți în factori ireductibili polinomul f peste R și peste C. 46*. Fie A = {0, 1, a, b} un inel cu 4 elemente. Arătați că : 1) Funcția f: A —♦ A, f(x) = 1 + x, V x g a este bijectivă. 2) Sf(x) = 1 + a + b și l + l + l + l= 0- xe A 3) Dacă. A este corp, atunci 1 + 1=0 47*. Fie A = {0, 1, a, b) un inel cu patru elemente. Afirmațiile următoare sînt echivalente ; i) A este corp : ii) Există x e A astfel încît 1 4- x = x². 48*. Fie A un inel astfel încît x® = x, Vx g a. Arătați că x² = x, Vx g A. 48*’. Fie A mulțimea tuturor funcțiilor continue f: [0, 1] —► R. 1) Arătați că A este inel comutativ în raport cu adunarea și înmulțirea funcțiilor reale de variabilă reală ; 2) Pentru f g A, f 0 există g g A, g / 0 astfel încît fg = 0, dacă și numai dacă mulțimea (x | f(x) = 0} conține un interval : 3) Determinați funcțiile din A cu proprietatea f² = f. 50*. Dacă f: Q-* C este un morfism de corpuri, atunci f(x) = x, Vx g Q. Determinați apoi automorfismcle corpului 0(^/2). 51*. Fie II corpul numerelor reale și f: R —+ 11 un morfism de corpuri. Arătați că f = Ir. 52*. Fie f, g g Z[X], h = fg și p > 0 un număr prim. Dacă toți coeficienții lui k se divid prin p atunci cel puțin unul din polinoamele f, g are toți coeficienții divizibili prin p. 53*. Descompuneți în produs de polinoame ireductibile peste corpul Z₂ polinoamele de grad <4 din Z₂[X]. 54*. Fie L și L' două pătrate latine ortogonale de ordin n peste mulțimea M = {0, 1, 2, ... .... n — 1} astfel încît suma numerelor de pe fiecare diagonală a lui L și fiecare dia- gonală a lui L' este n(n — l)/2. Fie = lfⱼn + l'₍₎ + 1, unde este numărul de la intersecția liniei i cu coloana i din L (resp. L'). Arătați că matricea U (a^) M„(Z) este „magică", adică conține numerele de la 1 la n² și suma numerelor de pe fiecare linie (coloană, diagonală) este aceeași, anume n(n² + l)/2. 55*. Construiți cîte o matrice „magică" ( = careu magic) de ordin 3, 4 și 5, folosind corpuri cu 3, 4 și 5 elemente respectiv. Capitolul V SPAȚII VECTORIALE _ § 1. LEGI DE COMPOZIȚIE EXTERNE Legile de compoziție studiate în capitolele anterioare sînt aplicații de tipul cp : M X M -+ M, (x, y) -* V, (x, y) x + y, numită adunarea geometrică a vectorilor de poziție. Procedeul descris mai sus de aflare a sumei geometrice a doi vectori de poziție este cu- noscut sub numele Q Fig. V.l. de „regula paralelogramului". Considerații geometrice simple arată că (V, 4-) este grup abelian ; elemen- tul neutru al acestui grup este vectorul de poziție al originii O, iar opusul lui x este vectorul de po- ziție al simetricului lui P în raport cu O (v. fig. V.l). Dacă a este un număr real, iar x este vecto- rul de poziție al punctului P, atunci produsul lui a cu x, notat cu ax, este prin definiție vec- torul de poziție al punctului P" determinat prin condițiile : 100 1) lungimea lui OP este egală cu produsul dintre] a| si lungimea lui OP; 2) P" se găsește pe dreapta determinată de O și P de aceeași parte cu P față de O dacă a > 0, în partea opusă cînd a < 0. Se obține astfel o lege de compoziție externă pe V cu operatori în R, R X V -► V, (a, x) -► ax, numită înmulțirea vectorilor de poziție cu scalari. Această lege de compoziție are proprietățile : SJ (a + — ax fix, S₂) a(x + y) = ax 4- ay, S₃) a(fix) = (a£)x, S₄) 1 -x — x oricare ar fi a, [3 e R și x, y s V. § 2. DEFINIȚIA SPAȚIULUI VECTORIAL 2.1. Definiție. Fie K un corp. Se numește spațiu vectorial (peste corpul K) un grup abelian (V, 4') pe care este dată o lege de compoziție externă cu operatori în K, K X V -> V, (a, u) au, care satisface axiomele : SJ (a 4- [3)u = au 4- (3u, ✓ S₂) a(u 4 p) =au 4 av, S₃) a(pu) = (a{3)u, S₄) 1 • u — u oricare ar fi a, $ e A u, v G V. Se folosește următoarea terminologie : — elementele lui V se numesc vectori, iar operația grupului (V, 4-) se nu- mește adunarea vectorilor ; — elementele lui K se numesc scalari, iar legea de compoziție externă K X V -► V se numește înmulțirea vectorilor cu scalari ; — elementul neutru al grupului (V, 4-) se numește vectorul zero, notat cu 0, ca și scalarul zero ; — cînd K = R sau K = C se spune că V este spațiul vectorial real, respectiv complex ; — spațiile vectoriale se numesc încă spații liniare. 101 Să observăm că Si și S₂ consemnează faptul că înmulțirea vectorilor cu scalari este distributivă față de adunarea scalarilor, respectiv adunarea vectorilor, iar S₃ descrie o lege de asociativitate care angajează atît înmul- țirea vectorilor cu scalari cît și înmulțirea scalarilor. Notă. Inițial noțiunea de vector a apărut în mecanică și fizică, avînd ca model geome- tric segmentul orientat și fiind folosit pentru a descrie mărimi caracterizate prin valoare nume- rică, direcție și sens. Ulterior, aria de aplicabilitate a noțiunii de vector s-a lărgit considerabil. Definiția dată mai sus spațiului vectorial dă posibilitatea de a pune în „postura“ de vector obiecte de natură variată. De exemplu : matrice, funcții și polinoame în matematică, secvențe finite de 0 și 1 în teoria codurilor, sisteme ordonate (xₓ, x₂, ..., xₙ) de numere reale în eco- nomie. Exemple 1. Spațiul vectorial Rⁿ. Fie n > 1 un număr natural. Se notează cu R* mul- țimea tuturor sistemelor ordonate de n numere reale, x = (aₗf a₂, ..., aₙ), (a^ e R). Dacă a ® R și x, y s Rⁿ, x = (a^ a₂, ..., aₙ), y = (&ₙ b₂, ..bₙ) atunci : def x = y o aₜ = bi; 1 < i < n, + y = (ai 4- 6p a2 b₂,..., aₙ + b.^, ax = (a.aᵥ a.a₂,..., a.aₙ). O verificare directă arată că legea de compoziție internă R* X R” Rⁿ, (x, y) -4 x + y este asociativă și comutativă. Dacă 0 = (0, 0,..., 0), atunci oricare ar fi x e R”, x = («p a₂,..., aₙ) avem 0 + x = (0 + aᵥ 0 + a₂,..., 0 + aₙ) = («p a₂,..., aₙ) = x = x + 0, iar dacă punem -x = (-a^ -a₂, ..., -aₙ) avem și * + (-x) = («t + (-«i), a₂ + (—a₂), ..., aₙ + (~aₙ)) = 0 = (—x) + x. Rezultă că (R”. +) este grup abelian. De asemenea, se verifică că legea de compoziție externă R X R” -♦ R”, (a, x) - ax satisface axiomele Si—S₄ din definiția spațiului vectorial. Astfel, Va e R și x, y e Rⁿ, x = (aₗₜ a₂, ..., aₙ), y = (6i, b₂, ..., bₙ) 102 avem : a(* + y) = a(ai + b^ a₂ -f- b₂........aₙ + bₙ) = (a(aₜ + b^, a(a₂ -f- b₂), • ‘ . a(aₙ + bₙ)) = (acfi 4- a^, aa₂ + a&₂. • • • > aaₙ + a^n) = (««i, a«₂> • • • .... aaₙ) + («&i, aZ>₂, • • • > a^») = ax + ag, deci axioma S₂ este verificată. Elementele lui Rⁿ se numesc vectori (linie) n-dimensionali iar R" se numește spațiul aritmetic real de dimensiune n, sau spațiul vectorilor linie n-dimensionali. Dacă x e R”, x = (aₗₜ a₂, . .., a^, atunci a₍ se numește componenta de rang i a lui x, 1 < i < n. în unele aplicații este avantajos să dăm vectorii lui Rⁿ sub formă de coloane, în acest caz Rⁿ va fi numit spațiul vectorilor coloană n-dimensionali. Analog, se introduce spațiul aritmetic C" și de asemenea spațiul vectorial * Kⁿ, K corp oarecare. 2. Mulțimea M₂(R) a matricelor pătratice de ordin 2 cu coeficienți reali formează spațiul vectorial peste corpul R în raport cu adunarea și înmul- țirea matricelor cu scalari. în adevăr, (M₂(R), +) este grup abelian, iar înmulțirea matricelor cu scalari satisface axiomele Si— S₄ (v. § 1). 3. Mulțimea R[X] a polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți reali formează spațiu vectorial peste corpul R în raport cu adunarea și înmul- țirea polinoamelor cu scalari (v. § 1). 4. Mulțimea V a vectorilor de poziție ai punctelor dintr-un plan cu originea într-un punct O a planului formează spațiul vectorial peste corpul R în raport cu adunarea și înmulțirea cu scalari (v. § 1). 5. Spațiul vectorial 0. Fie K un corp. Pe grupul abelian zero, 0 = {0}, in- troducem legea de compoziție externă K XO -.0, (a, 0) - a-0 =0. Se conferă astfel grupului abelian 0 o structură de spațiu vectorial peste K, numit spațiul vectorial zero. Fie V un spațiu vectorial peste corpul K. Gum (V, +) este grup abelian, pentru adunarea vectorilor sînt valabile regulile de calcul din- tr-un grup abelian. Să adaugăm la acestea următoarele proprietăți spe- cifice ale operațiilor cu vectori : a) Fie a s K și x e V. Atunci : ax = 0 <=> a = 0 sau x — 0 103 în adevăr, fie a = O și y = O«x. Atunci y — Ox — (O 4- 0)# = O.r 4-0^’ — y 4- y, de unde y = y 4- o = y 4- (y 4- (-y)) - (y 4- y) 4- (-y) = y 4- (-y) = O, deci Ot = O și analog se arată că ax =0. Reciproc, presupunem că ax =0. Dacă a O, atunci x = 1 'X = (a⁻¹a)x = a⁻¹(ax) = a⁻¹0 = 0. b) Oricare ar fi a & K și x e V, avem : ( — a)x = a( — x) = — ax, (—a) ( — x) = ax . în adevăr, 0 = aO — a(x 4- ( — x)) = ax 4- a(— x), de unde rezultă că a(— x) este opusul vectorului a.r deci a(—x) = — ax. Analog se arată că ( — a)x = —ax și atunci (—a) ( — x) = — (a( — x)) = —(—ax) — ax. c) Oricare ar fi a, P e K și X, y V avem : (a — ^)x — ax — (ta, a(x — y) = ax — ay . în adevăr, * (a — ft)x = (a 4" (’-p))^ = ax 4- (—P)x = a.r — [ta și la fel se demonstrează a doua regulă de distributivitate. § 3. DEPENDENȚA independența uniara, BOA. COORDONATE 1. Bază, a) Fie V spațiql vectorilor de poziție dintr-un plan euclidian. de poziție diferiți de zero și necoliniari (v. fig. V.2). Fie și p₂ doi vectori Sistemul de vectori B format cu și n₂ B = (wj, v₂) are proprietățile : 1) Vr e y, , ^2 e R astfel încît x = — Xi^t 4~ ^2^2» 2) Dacă a^i 4- a₂a₂ =0, cu a₂ e R, atunci aₜ = a₂ = 0. în adevăr, paralelele duse prin extremita- tea Qa vectorului x la dreptele definite de vₜ și v₂ determină pe acestea punctele și Q₂ respectiv. Există X₁₍ X₂ e R astfel încît QQi = și 104 QQz — ^2y2- Din construcție rezultă că suma geometrică a vectorilor de poziție și X₂p₂ este egală cu x, deci z = Xț/^ 4~ X₂p₂ și 1) este astfel verificat. Dacă 2) nu este adevărat, există aₗₜ a₂ e R, aₜ 0 sau a₂ 0, astfel încît a^j “I⁻ ^2 ^2 ⁼ 0. Presupunem că aₜ / 0. Atunci deducem că = — a⁻¹a₂p₂, deci z\ și y₂ sînt coliniari, contrar ipotezei. b) în spațiul vectorial R³ să considerăm vectorii vᵤ v₂, p₃, unde — = (1, 1, 1), p₂ = (0, 1, 1) și p₃ = (0, 0, 1) Fie B sistemul format cu b\, v₂, v₃, B = (Pp p₂, z/₃). Vectorul zero al spațiului R³ este (0, 0, 0) și va fi notat cu 0 ca și scalarul zero. Sistemul de vectori B are proprietățile : 1) Vz e R³, BXj, X₂, X₃ e R astfel încît x = X^ 4~ X₂zz₂ + X₃v₃. 2) Dacă 4- a₂zz₂ 4- a₃zz₃ = 0, cu aₓ, a₂, a₃ e R, atunci aₓ = a₂ — = a₃ =0. în adevăr, fie x e R³, ₓ = (aₗₜ a₂, a₃). Pentru a arăta că 1) este adevărat trebuie să determinăm X^ X₂, X₃ e R astfel încît a: = X^ + X₂zz₂ X₃p₃. Avem : (#1> #2» G3) = X = XjZ^ -p X₂V₂ 4- ^-3y3 — ^1(1, î> 1) 4“ X₂(0, î> 1) + 4~ X₃(0, 0, 1) = (Xj, Xₙ Xj) 4- (0, X₂, X₂) 4- (0, 0, X₃) = (Xj, X| 4- X₂, Xₓ 4“ . 4- Ă ₂ 4- ^3) de unde Xₓ = aₗₜ ' 4- Ă₂ = «₂, ^•1 4- ^2 4- ^3 = a3- Rezultă că Xₓ = aₗf X₂ = a₂ — aₗₜ X₃ = zz₃ — a₂ și 1) este verificat. Fie acum a₁₍ a₂, a₃ <= R astfel încît 4- a2^2 4- ^3^3 ~ • Deducem că (aₗₜ aₓ 4- cț₂, ai 4- «2 4- a₃) = (0, 0, 0), deci aₓ = 0, • aₓ 4- a₂ = 0 al 4- a8 4- a3 ⁼ 0» de unde aₓ = a₂ = a₃ = 0. 105 Exemple ca cele de mai sus justifică introducerea următorului concept : 3.1. Definiție. Fie V un spațiu vectorial peste corpul K. Un sistem B = (ei, e₂, . . e„) de vectori eₜ e V, 1 < i < n, se numește bază a Iui V dacă : 1) Vx e V, SXk X₂, . . ., X„ e K astfel încît x —• Xi^i 4- X₂c₂ + ... + ; 2) Dacă + a₂e₂ + • ■ • + az»en = 0, cu aₙ a₂, .. ., aₙ e K, atunci aₓ = a₂ = . . . = a„ = 0. Din cele de mai sus rezultă că orice sistem B = (pₙ u₂) format cu doi vectori diferiți de zero necoliniari formează o bază a spațiului V al vecto- rului de poziție dintr-un plan euclidian. Sistemul B = v₂, v₃), unde = (1, 1, 1), v₂ =(0,1, 1), v₃ = (0, 0,1) formează o bază a spațiului vectorial R³. 2. Dependență și independență liniară. Strîns legate de noțiunea de bază a unui spațiu vectorial V peste un corp K sînt conceptele următoare : i) Dacă v₂, ..., vₘ V, atunci un vector de forma “1“ ^2^2 4" • • • + e K) se numește combinație liniară (cu coeficienți în K) de vectorii vₗf i)₂, ,. ., vₘ ; scalarii Xₙ X₂, se numesc coeficienții combinației liniare. ii) Spunem că un vector x e V este combinație liniară (cu coeficienți în K) de vectorii vₗₜ v₂, . .., vₘ dacă există Xₙ X₂, . . ., \ₘ K astfel încît 7H X = Xi^x + \₂V₂ + • • • + ^mvm — i=l Spunem Că vectorii vₗₜ v₂, ..., vₘ formează un sistem de generatori pentru spațiul vectorial V dacă orice vector x e V se poate reprezenta ca o combinație liniară de vₗf v₂, .vₘ : m Vx e V, 3x₁} X₂, ..., Xₘ e K astfel încît x = S i=l iii) Spunem că sistemul de vectori uₗf v₂, ..., vₘ este liniar independent (peste K) dacă ai^i + &2V2 + • • • + = 0 =* aₓ = a₂ = . .. = aTO — 0. în caz contrar spunem că vectorii v₂, . . ., vₘ sînt liniar dependenți ) (peste K). .Așadar, vectorii vₗf v₂, ..., vₘ sînt liniar dependenți (peste K) dacă există ax, a₂, ..., aₘ e K, nu toți nuli, astfel încît aiyi -f- a₂p₂ + ... -j- ctₘvₘ = 0. O egalitate de forma : alyl 4“ a2y2 + • • • 4“ a‘mvm — 0, (a,- G K) se numește relație de dependență liniară a vectorilor vₗf v₂, ..., uₘ ; daca cel puțin unul dintre scalarii aᵤ a₂, ..., aTO este diferit de zero spunem că avem o relație de dependență liniar nebanală. 10b Așadar, vectorii pₗₜ p₂, vH sînt liniar independenți dacă și numai dacă singura relație de dependență liniară a lor este cea banală. De asemenea, un sistem de vectori B este bază a lui V dacă și numai dacă B este sistem de generatori liniar independent. Fie B = («i, e₂, ..., eₙ) o bază a spațiului vectorial V peste corpul K. Dacă x V, atunci există Xₙ \₂, . . . , \ₙ K astfel încît m x = X^ + X₂e₂ + ... + Xₙeᵣₑ = X^. f=i Să observăm că scalarii Xᵤ X₂, . . ., X„ sînt unic determinați de vectorul x și baza B. în adevăr, dacă pentruxXj, X₂, ..., X„ e K avem de asemenea /i x .= X^ + X₂e₂ + ... + X„eₙ = £ Xfef, 1 = 1 atunci ic n (Xi — x;)eₓ + (X₂ — X₂)e₂ + ... + (X„ — X'ₙ)eₙ = £ — S = x — x = 0 f=i i=i și cum sistemul de vectori e₂, ..., eₙ este liniar independent, rezultă că Xj — Xj - - X₂ — X₂ = .. . = Xₙ — Xᵣₜ = o, deci Xj - Xp 1 < z < n. 4.2. Definiție. Fie V un spațiu vectorial peste corpul K, B = (ei, e₂, ... .... eₙ) o bază a lui V și x un vector din V. Scalarii unic determinați Xi, X₂,.. . .... Xₙ K astfel încît X = XjCi 4" ^2e2 + • • • + Kien se numesc coordonatele vectorului x în baza B. Exemplu Coordonatele în baza canonică a lui R". în spațiul vectorial R³ să consi- derăm vectorii eᵣ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1). Dacă x e R», x = (a₁₉ a₂, a₃), atunci : x = (a^ 0, 0) + (0, a₂, 0) + (0, 0, a₃) = ^(1, 0, 0) + a₂(0, 1,0) + + a₃(0, 0, 1) = a^ + a₂e₂ 4- a₃e₃, deci B = (cj, e₂, e₃) este un sistem de generatori pentru R³. Dacă pentru aₓ, a₂, aₛ e R avem a^i + a₂e₂ + a₃e₃ = 0, atu nci (a₂, a₂, a₃) = (0, 0, 0), 107 de unde aₜ = a₂ = a₃ =0. Așadar sistemul de vectori B este și liniar inde- pendent, deci bază a spațiului vectorial R³, numită baza canonică a lui R³. Cum pentru orice x e R³, x = (aL, a₂, a₃) avem .r = a^ + a₂e₂ + a₃e₃, rezultă că coordonatele în baza canonică ale unui vector x e R³ coincid cu componentele-acestuia. Să observăm că coordonatele unui vector diferă de la o bază Ia alta. Astfel, dacă v = (3, —2, 5) e R³, cum v — 3eₜ — 2e₂ + 5e₃ coordonatele lui v în baza canonică a lui R³ sînt 3, —2, 5 (egale cu compo- nentele Iui v). Pe de altă parte, vectorii = (— 1, 1, 1), v₂ = (1, —1, 1), v₃ — (1, 1, —1), formează, de asemenea, o bază a lui R³ (v. Ex. R—1) și coordonatele lui v = (3, —2, 5) în baza vₗₜ v₂, 3 ■ 1 v₃ sînt —, 4, — pentru ca 2 2 3 V - — Vi 2 , 1 + 4p₂ + — ^₃. Analog, în spațiul vectorial Rⁿ torii (sau chiar în Kⁿ, K corp oarecare) vec- ^=(1,0, ..., 0), e₂ = (0, 1, ..., 0), ..., eₙ = (0, 0, ..., 1) formează o bază a lui R” (resp. Kⁿ) numită baza canonică a lui Rⁿ (resp. Kⁿ). Mai mult pentru orice x = (aₗf a₂, ..., u„) avem % — a^ -|- a₂e₂ + ... + aₙeₙ, deci coordonatele lui x în baza canonică coincid cu componentele sale, anume dj, a₂, aₙ. Exercițiu rezolvat R — 1 în spațiul vectorial R³ considerăm vectorii vₓ = (a, 1, 1), y2 =(1, a, 1), v₃ =(1, 1, a), unde a este parametru real. 1) Arătați că sistemul de vectori p₁₍ v₂, v₃ este liniar dependent dacă și numai dacă a — 1 sau a = —2. 2) Dacă a / 1 și a —2, atunci B = (pₙ v₂, v₃) este bază a lui V. Cînd a = — 1, găsiți coordonatele vectorului v = (3, 2, 5) în baza B. Soluție. 1) Fie a,, a₂, a₃ e R astfel încît + a₃w₃ = 0. Atunci (aaₓ + a₃ + a,; «! + aa₂ + a, ; a₃ + a, + aa₃) = (0, 0, 0), 108 ceea ce este echivalent cu : (Sₒ) a«i + «! + a₃ = O, ai + aa₃ 4- a₃ = O, «i + a2 4- n«ₛ = 0. Sistemul omogen (Sₒ) în necunoscutele^, a₂, a₃ admite soluții nebanale dacă și numai dacă a 1 1 A = 1 a 1 = 0 1 1 a deci dacă și numai dacă (a + 2)(a — l)² = 0. Rezultă că vectorii vₐ, v₃ sînt liniar depen- denți dacă și numai dacă a = —2 sau a = 1. 2) Fie x s R^ x = (âₙ a₂, a₃). Să arătăm că se pot determina scalarii Xᵤ X», X₃ e R astfel încît x = X₁vₗ + X₂«₂ + Ă₃w₃. Trebuie să avem (aXₜ + X₂ + Ă₃, Ăi + uX₂ + Ă₃, Ăi 4* Ă₂ 4" aX₃) = (aₗₜ a₂, a₃) ceea ce este echivalent cu : (S) «Xj 4- Ă₂ 4~ Ă₃ = aₙ Ăi 4- aĂ₂ + Ă₃ = .a₂, Ăi 4- Ă₂ 4“ qă₃ = o₃. Cum a / 1 și a / —2 determinantul A al sistemului (S) este diferit de zero. A = (a + 2)(a - l)² / 0. în acest caz sistemul (S) admite soluție (chiar unică). Conform regulii lui Cramer aceasta este Ăl = a2 1 ai 4- 1 --- a 1 a «3, A A a2 4- A Ă2 --- 1 A a «i + a2 A 1 4- 1 A a a3, Ă3 --- 1 a <*1 4- 1 a a2 4- as ! ___________ 1 a3. A A A Cînd a = — 1 și a₂ = 3, a₂ = —2, a₃ — 5 avem A — 4 și aplicînd formulele de mai sus găsim Ăi = 3/2, X₂ = 4, Ă₃ = 1/2, deci 3 1 v = (3, —2, 5) =------ Pi 4- 4p₂4---w₃. 2 2 Exerciții 1. Verificați proprietățile S₂ și pentru înmulțirea matricelor cu scalari. 2. Verificați proprietățile S₂, S₃ și S₄ pentru înmulțirea polinoamelor cu scalari. 3. Fie M o mulțime nevidă și mulțimea tuturor funcțiilor f: M —♦ M. Pe M definim legea de compoziție externă cu operatori în cF(M). X M -+ M, (f, x) -► f*x=f(x) e M. 109 Arătați că : 1) VA 9 e &(M)> x e M; 1) l^x = x, Vx s M. 4. Fie V = R* = {x *= R | x > 0}. Arătați că V este spațiu vectorial peste corpul R în raport cu legile de compoziție. def def „ „ x I y= xy, a T x— xa, Va R, x e V. 5. Fie V mulțimea tuturor șirurilor f de numere reale, f = («o, «i, «», ...,) («( e «)• Dacă a e R și f, g e V, f — (a₀, aₜ......a„, ...), g — ( b₀, bᵤ ..., bₙ, ...) atunci punem def f + g⁼⁼ («o + al + • • • > an + ^n, • • • ) def a f=- (aa₀, aaₙ ■ •• > a«ₙ, .. .)• Arătați că V este spațiu vectorial peste corpul R în raport cu legile de compoziție : v x V -> V, (f, g)-> f + g R X V —> V, ' (a, f)-af 6. Fie K = Z₂ = {0, 1}. Enumera ți toți vectorii spațiului vectorial K³. Care este numărul vectorilor spațiului vectorial K" ? 7. Arătați că pentru oricare două numere naturale p, n, cu p prim, există un spațiu vectorial V cu p" vectori. 8. Fie V 0 un spațiu vectorial peste corpul R. Arătați că E are o infinitate de vectori. 8. Fie V un spațiu vectorial peste corpul Zₚ, p număr prim. Arătați că 0 = x + x + ... 4- x(p ori), Vx e V. 10. Fie V un spațiu vectorial peste corpul K. Demonstrați prin inducție că a(Vi + Wj + . . . + vₙ) = a!\ + a^₂ + • • • + ayn Și (aₜ + a₂ + ... + aₘ)v = «.,1) + a₂f + . . . + aₗₙP oricare ar fi a, aᵣ, ..., a.ₘ K, v, vₗₜ ..., v„ s V. 11. Fie vectorii = (1, 1, 0), w₂ = (0, 1, 1), v₃ = (1, 0, 1) din spațiul vectorial R³. 1) Arătați că sistemul de vectori B = (pᵤ v₂, w₃) este o bază a lui R³. 2) Reprezentați vectorul v = (2, —3, 5) ca o combinație liniară de vectorii bazei B. 12. în spațiul vectorial' V = M₂(R) se consideră matricele 1) Arătați ca B = (Eₙ Eᵢₜ E₃, E«) este o bază a lui V. 2) Reprezentați matricea A ca o combinație liniară de vectorii bazei B. 13. Fie A, f₂, f₃ e R[X], A = (X-b)(X - c), f₂ = (X - c)(X - a), f₃ = (X - a)(X - b). 1) Arătați că polinoamele A> A, A sîⁿt liniar independente peste R dacă și numai dacă (a — b)(b — c)(c — a) 0. 110 2) Arătați că pentru orice polinom f e R[X] cu grad f < 2, există Xₙ X„ X₃ R unic determinați astfel încît f ⁼ ^ifi + Xifi + X₃f₃. 3) Determinați Xₙ Xₜ, X₃ cînd f = 1 + 2X — X», a = 1, b = 2, c = 3. 14. Arătați că fiecare din sistemele de polinoame din R[X], B = (1, X, X³, X³), B' = (1 + X³, X + X¹, X’, X’ + X>) B" = (1, X - 1, (X - l)«/2 I, (X - l)’/3 I) sînt liniar independente peste R și reprezentați polinomul f = X³ — X’— X + 1 ca o combinație liniară cu coeficienți din R de polinoamele din B (resp. B', fi"). 15. Fie V un spațiu vectorial peste corpul K și y₂, v₃ un sistem de vectori liniar indepen- denți. Arătați că vectorii v₃ -|- v₂, v₂ + p₃, w₃ 4- sînt, de asemenea, liniar independenții 1G. Fie vₜ, o₂, y₃ un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial V peste corpul K. Arătați că aplicația f: K³ - V, f(x) = X,^ + X₃w₃ + X₃»₃ Vx = (X„ X₂, X₃) e R este injectivă (surjectivă, bijectivă) dacă și numai dacă v₂, v₃ este un sistem liniar inde- pendent (resp. sistem de generatori ai lui V, bază a lui V). Generalizare. INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI CAPITOLUL I 3. 1) Pentru orice x e R avem (fₐ, bofc, d(x)) = fₐ> ₐ(x)) = acx + ad + b = = fac, ad+b(x) ; 2) a = a-\ P = a^b. 4. Pentru orice x e z x Z, fA(x) are a 2-a componentă pară, deci fA nu este surjectivă ; pentru orice y s Q x Q, y = (yₙ y₂), sistemul de ecuații 3xₜ + x₂ = yₗₜ 4x₃ -f- 2x₂ = y₂ are soluție unică, deci fA este bijectivă. 6. Primele egalități prin verificare directă. Apoi se poate continua astfel : (1 OA „ fi 01 I = ^e+e' I I = Se+O' etc. 0 -1/ țo -1/ 7. Puneți condiția ca A să comute cu matricele U | | și se obține ț0 OJ (1 0) că 2) => 1). 12. Inducție după n (v. Teorema 4.2). 13. Avem n⁵ — n = (n — l)n(n + l)-(n³ + 1) și 240 — 2‘ X 3 X 5 și se arată că n⁶ — n se divide prin 2⁴, 3 și 5. 1G. Se aplică refula lui Cramer. 111 17. Fie Cj = (1, 0), e₂ = (0, 1) . Cum = f^e,) rezultă că (aₗₜ, a₂ₗ) = (bₙ, b₂ₗ) iar din fj(e₂) = fₙ(ej rezultă (a₁₂, a₂₂) — (bₗ₂, b₂₂), deci A = B etc. b, c e a² + bc 4- 1 — 0. De (a c\ (a b\ |. Atunci AT = i I și din ATA — E rezultă : b di Ic dl 1 = det(E) = det(AT)det(A) = (ad - bc)², % (1 01 Ar A (a (a fa² + ăz ac + bd\ 0 1» (c dj (ă dj (ca + db c² + d²J deci ad — bc = ±1, a² + b² = 1, ac + bd = 0, c² + d² — 1. Dacă ad — bc = 1, atunci c = — b, a = d. Cum a² 4- b² — 1, există 0 e [o, 2tc) astfel încît a = cos 6 și b = sin 9 etc. 20. 4) B = — (A + AT), C = — (A - AT). 2 2 21. Există n astfel încît a = bq₀ 4- r₀, b = rₒqₜ + rₙ r₀ — i\q₂ 4- r₂, r„_ₛ = = Tn-dln + rₙ, = rₙq„₊ₗ + 0, cu 0 < r„ < r„_ₜ < ... < r₀ < b (algoritmul lui Euclid pentru a șl b). Atunci : rₙ = (r,„ 0) = (rₙ_ₙ r„) = (r„_₃, rₙ_₂) = . . . = (r₀, rj = (b, r₀) = (a, b). 22. Fie q, r e N astfel încît a — bq 4- r, 0 r < b. Avem : 2“ — 1 = 2⁶<ⁱ⁴-r — 1 = (2b« - l)2r + 2r - 1 =.(2* - 1)Q + 2r - 1, unde Q= (2¹ >4- 2ⁱ,<⁸⁻²⁾ 4- ... + 2" + 1) și 2r — 1 < 2& — 1. Deci dacă r este restul împărțirii lui a prin b, atunci 2r — 1 este restul împărțirii lui 2“ — 1 prin 2* — 1. în particular, dacă d este ultimul rest diferit de zero din algoritmul lui Euclid pentru a și b, atunci 2a — 1 este ul- timul rest diferit de zero din algoritmul lui Euclid pentru 2° — 1 și 2⁶ — 1, de unde (2“ — 1, 2* — 1) = 2⁽a' b⁾ — 1. 23. Conform Ex. 22 este suficient să arătăm că numerele Gq — 1, Gq 4-1, Gq + 2, Gq + 3, Gq + 5, Gq + 7 sînt relativ prime în perechi. Dacă un număr prim p divide două din ele, atunci divide și diferența lor în valoare absolută. Diferențele în valoare absolută posibile sînt 2, 3, 4, 6, 8, 1, 5, deci p poate fi 2, 3 sau 5. Se observă că 2 divide doar pe Gq + 2 iar 3 doar pe Gq 4- 3. Singura complicație poate apărea cînd 5 divide pe Gq + 2 și Gq 4- 7, ceea ce se exclude prin ipoteza a 3 (mod 5). CAPITOLUL II 1. Vezi Tablele II-1 și II-2. 2. Vezi Tabla II-3. 3. Vezi Tablele II-4 și II-5. 4. Vezi Tablele H-6 și II-7. 5. Dacă x, y e (2, co) atunci x - 2 > 0, y - 2 > 0, deci xy - 2(x 4- y) 4- 4 = — (x — 2)(y — 2) > 0. Cum x*y = xy — 2(x 4- y) 4- 4 4- X — 4, trebuie ca X > 6. 112 6. Vezi Tabla II-8. © 0 12 3 0 0 12 3 1 12 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Tabla II-l _L a 0 Y a a a a 0 a 0 Y Y a Y Y Tabla II-4 -L 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 3 1 4 1 2 1 4 6 1 2 3 2 12 1 -2 3 4 Tabla II-6 0 0 1 2 3 0 0 0 C 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Tabla II-2 t| a 3 Y a a 3 Y 0 0 0 0 Y Y 0 Y Tabla II-5 6 12 T 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 4 4 6 6 6 6 6 12 12 12 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 0 1 2 3 2 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 4 4 3 2 1 0 Tabla II-3 * | A A f₃ fi fi fi r, A A A A A . A A A Tabla 11-8 2 3 4 6 12 2 3 4 6 12 2 6 4 6 12 6 3 12 6 12 4 12 4 12 12 6 6 12 6 12 12 12 12 12 12 Tabla II-7 7. Elementul neutru este 0. Dacă, x, y e [ — 1, oo) atunci x + 1 > 0, y + 1 > 0, deci x + U + XU + 1■ = (u + l)(x + 1) > 0, de unde x*y e [—1, oo). 8. Operația „_L“ admite ca element neutru pe b cînd H este [a, Z»] sau (a, ă] iar ope- rația „T" admite ca element neutru pe a cînd H este [a, fc] sau [a, b). 9. Operația „T“ admite ca eleipent neutru pe 1. Operația „J_“ nu admite element neu- tru, iar cea indusă pe H de „J_“ admite ca element neutru pe 12. 12. Dacă e e z este element neutru, puneți condițiile e*0 = 0 și e*l = 1. 13. (1, n, p), (ni, n, 1), (m, 2, 2) ; 14. a = 0, b - 0, sau a = — , b = 1. 2 15. e = 2. (0 c\ cu c e R. 0 1J 18. Operația nu este asociativă și admite element neutru matricea — E, unde 2 E este matricea unitate. 20. Fie x, y^H, x = a + b /2, y = c + d /2, atunci xy — (ac + 2bd) + iad + bc) y 2 și (ac + 2bd)² — 2(ad + bc)² = a²(c² — 2d²) — 2bⁱ(ct — 2d²) = 1, deci xy e H. Cum (a -ț- + Z>/2)(a — b]/2)ț= a² — 2b² — 1, avem x⁻¹ = a — b^. 21. 2) A este simetrizabil dacă și numai dacă a 0 și b 0 și avem f a"¹ 0 ț — ca~lb~l b⁻¹ 8 — Matematică—algebră, cl. a Xn-a 113 24. x = 1, y = 2. 25. Elementul neutru este (1, 0), elementele simetrizabile sînt (1, b) și ( — 1, b) cu b e Z. 26. Fie b e M astfel încît a = aba. Fie e = ab și f — ba. Avem ey = abaxa = axa = y și yf = axaba = axa = y, V y e M. în particular e = ef = f. 27. Luîhd x arbitrar, y = e, u = c și v = e' se obține x — x J_ e. Luînd x = e', y = e', u — e și v arbitrar se obține v = e I v, de unde e= e'. Acum avem x J_ y = (x T e) J_ I (e T y) = (x _L e) T (e I y) = x T y, V x, y e M. De asemenea, 11 y = (eT 1 ± (y 1 e) = (el y) T _L e) = y T x = y 1 x. 28. 1) 3⁹ ; 2) 3⁸ ; 3) 3S. în general, pentru o mulțime cu n elemente, avem : n” , nⁿ⁽”⁺¹⁾ , ;ₗ(n-i)+i respectiv. 30. Orice cuvînt a e M se poate scrie sub formă a = a'a", unde a' este secvența for- mată cu primele 5 litere ale lui a ; a" este secvența formată cu următoarele 3 litere ale lui a. Dacă a, [3, y s M, a = a'a", p = P'P", Y = yY*» atunci (a*P)*Y = (a.'^''Y(YY) = ^'Y' = (a'a") *(P'y") = a*(P*Y)- CAPITOLUL III 1. ±1, ±i- 2. Dacă x, y e (_ 1, 1), atunci (x + y)l(x. + xy) e ( — 1, 1). Elementul neutru este 0 iar simetricul lui x este — x. 3. Vezi tabla III-l. 4. Vezi Tabla III-2. 5. Vezi Tabla III-3. • 1 'e e2 O fa fa fa O fi fa fa fa fo fo 1 1 € e2 A fi fa fa fa fi fi fa fa fa fo fo e e e2 1 A fa fi fa fa fa fa fa fi fo fa fo e2 e2 1 e fa fa fa fi fa fa fa fi fa fo fo fa Tabla III-l f* fa fa fa. fi fi fa fa fo fi fa fa Tabla II1-2 fa fs fo fa fa fi fa fo fo fa fo fa fa' fa Tabla II1-3 10. Avem xyxy = xxyy. înmulțind la stingă cu x⁻¹ și la dreapta cu y¹, rezultă xy = yx. 11. Avem (xy)² = e= ee — x²y² și se aplică Ex. 10. 12. Pentru x arbitrar și y = e rezultă x = (x T x) T x. Deci xȚ x = e, de unde x I y = = x T y. Aplicînd Ex. 11, deducem și x I y = y I x. . r H 2 31 „ fl 2 3 41 fi 2 3 41 13. £ = I | • 14. x= , y = I (1 3 2J ^3 4 2 ‘1J |1 3 2 4/ 15. Cînd h 0 și k 0 demonstrație prin inducție. Dacă h < 0 și k < 0, atunci ahbk — (a~h)~l(b~k)~ⁱ = (b~ka~hY¹ = (a^hb~k)~l — (b~k)~¹(a~h)~¹ = bkah etc. 16. Din ab = b*a rezultă că bl = aba~J. Atunci b² = b²ba = bW — aba~²aba~l = ab²d~l, de unde b²a — ab². Atunci ab³ = b²ab = b²bla = a, de unde b³ — e. înmulțind la stingă și dreapta cu b egalitatea b²a = ab² rezultă ab = ba. 17. Vezi Teoremele 4.1 și 4.2, Cap. III, §4. 114 19. Evident 12Z S 3Z Q 4Z. Dacă a s 3Z Q 4Z, atunci 3 | a și 4 | a și cum (3, 4) = = 1 rezultă că 3 X 4 = 12 divide a, deci a e 12Z. 20. a) H = (Z, +) ; b) II = (Q, + ). 24. Se observă că f(x) e (—1, 1), Vx e (0, oo) și f(xy) = 25. Funcția f: G —► R, f(x) = tg(x), Vx e G este un izomorfism de la (G, *) la (R, + ). 26. 1) Vezi Tabla III-4. 2) Definiți f: 3C-* G prin f(c) = E, f(u) = A, f(v) = B și fW = E. •1 E A B c 0 {«} P} {a- E E A B c 0 0 {«} {»} {a, A A E C B {«} {«} 0 {a» i} {b} B B C E A {»} {*} {a, ă} 0 {«} C C B A E {a, ă} {a, b} {*} {«} 0 Tabla III-4 Tabla II1-5 28. Vezi Tabla III-5 ; 2) f(e) = 0, f(u) = {a}, f(0 = {ă}, f(iv)= {a, b}. 31. 1) => 2). Fie a e H. Cum H este mulțime finită, aplicația f : II —* H, f(x) = ax, este bijectivă. Există deci b II astfel încît ab = a. Atunci b = e, deci e e H. Există a' e // astfel încît aa' — e. Dar a⁻¹ - a’ s H și deci H este subgrup. 32. 2) => 1). Există e e G astfel încît ae = a. Pentru b e G avem be — yae — ya — b. Analog există e' G astfel încît e'b = 6, V b G. Evident, e = e'. Dacă a G, există a', a" e G astfel încît a'a = e = aa" și cum a' = a'c = a'(aa") — (a'a)a" — ea" — a" se deduce că a⁻¹ există. 33. 1) => 2). Dacă II = 0 = {0} se ia n = 0.. Dacă H 0 fie x e H, x / 0. Cum și —x e H rezultă că H conține numere întregi strict pozitive și fie n > 0 cel mai mic număr strict pozitiv din H. Avem nZ £ H și folosind teorema împărțirii (prin n) cu rest se arată și H £ ₙZ. 34. Fie z = cos

0, astfel încît r = hln și atunci z" = 1 dacă z = cos 2m + i sin2r7i:. 35. Notăm elementele 1, z₁; z₂, ..z„_ₜ ale lui H astfel încît argumentele lor să satisfacă 0 < 0, rezultă că - _ a² — a, V u, v Z. Elementul zero este —a, elementul unitate este 1 — a. 5. Elementul zero este (0, 0) iar (1, 1) este elementul unitate al lui A. Elementele inver- sabile sînt (1, 1), (1, —1), (—1, 1) și (—1,-1). 7. 1) (1, 1), (1, -1), (2, 1), (2, -1), (4, 1), (4, -1), (5, 1), (5, -1), (7, 1), (7, -1), (8, 1), (8, -1). 8. Vezi Tablele IV.l și IV.2. + (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) • (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (1, 0) (0, 0) (1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0) (1, 0) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) (1, 1) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (0, I) (1,1) (1,1) (0, 1) (1, 0) (0, 0) (1,1) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1,1) Tabla IV. 1. Tabla IV. 2. 9. x + x = (x + x)² = (x + x)(x + x) = x² + x² + x² + x² = x + x + x + x, de unde x + x = 0 și deci x= — x, V x e B. De asemenea, x + y = (x + y)* = (x + y)(x + y) = x² 4- yx 4- xy + y² = x + yx + xy + y, de unde yx + 4- xy = 0, deci yx = —xy= xy. 10. 1) 16 ; 3) Există 6 elemente inversabile. 12. 1) a©a©a©a©a= (1 © 1 © 1 © 1 © 1)® a = 0 0 a = 0. 2) Se observă că 5 | Cț, 0 < k < 5 și se aplică 1) și Ex. 11. 13. 1) Oricare ar fi a, b, c e R cu ac = 0 ; 2) (E — U)(E + U) — E. 14. Vezi tabla IV.3. 15. x = 2, y = 11. î 5 7 11 î î 5 7 11 5 5 î 11 7 7 7 11 î 5 11 11 5 7 î Tabla IV. 3. 21. 2) (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1) ; 2) Aplicația f: Z[i] -»• A. f(z) = (a, b), \ z e-Z[i], z = a © ib, este izomorfism. 23. Aplicația f: C-» K, f(z) = (a, b), z e C, z = a + ib este izomorfism. 24. Aplicația f: K —♦ R, f(x) = In x,’V x e K, este un izomorfism. Aplicația f: —> K, f(z) = 0(^2), z = a + b^2 este izo- morfism. 26. 1) a = b = 1, c = 6 ; 2) a = 1, 0=2. 116 27. f+ g = X² + 4X + 4, fg = X⁸ + Xs + 4X⁴ 4- 4X³ + 2X + 3. 28. fg = 0. 29. 2X³ + 2X⁸ + î, X³ + 2X» + X + î, 2X² 4- 2X 4- î. 30. 0, î, 2, 3, 4, 5. 31. Fie f = ax + b, g = cX + d. Punînd condiția f² + g² = X² + 1 rezultă a² + c² = 1, b² + d² — 1, ab + cd = 0. De asemenea, (2a 4- b)² 4- (2c 4- d) = 5, (2a 4- b)(2c 4- d) = 2. Deci 2a 4- b și 2c 4- d sînt rădăcinile ecuației Z² — 5Z + 2 = 0. Se găseste f= — X + — , 5 5 3 4 g = — X-------etc. 5 5 32. grad f este 0 dacă X = 1 ; 2 dacă X = 2 ; 3 dacă X / 2 și X / 1. 33. f= X + 2, g = -X - 1. 36. q = 4X² + 4X + 2, r = 3X + 2. 37. a = 14, b = -3. 38. f = -1 4- 4X - GX² 4- 4X³. 39. a = ±i, b = 0 ; a = 1, b = i/f; a = -1, b = i/2? 40. f(3) = 196. 41. q = 5X³ 4- 3X² 4- 2X 4- 5, r = 5. 42, Fie a, b Z, a — 2s, b = 21 1, astfel încît f(a) = f(b) = 0. Cum a 0 b, poli- nomul (X — a)(X — b) divide pe f, deci există q e Z[X] astfel încît f = (X — 2s)(X — 2t — — l)^. Se observă că pentru orice k e Z unul din numerele k — 2$, k — 21 — 1 este par. 43. X⁴ 4- 4 = (X² 4- 2X 4- 2) (X² - 2X + 2) = (X 4- 1 - i) (X 4- 1 4- D (X - 1 4-i) (X - 1 - i), X° 4- 27 = (X² 4- 3) (X² 4-3X +3) (X² - 3X 4- 3) = (X 4- W³) (X - i^S) (X 4- z) (X 4- z) (X — z) (X — z), unde z = (3 4-i 7³)/2. 44. f= (X + 2)(X 4- 3)(X» + X 4- î). 45. 1) v. Ex. 2, § 7 ; 2) f= (X - ^2)(X² 4- ^2X 4- ^47 = (X - ^(X - ^e) (X - \/2e⁸), unde e = (- 1 4- i;’7/2. 46. Cum A este mulțime finită este suficient să arătăm că feste funcție injectivă. Dacă /■(®i) = f(x2), atunci 1 4- 14 = 1 4- x₂, de unde xₜ = x₂, căci (4, 4-) este grup. Așadar A = {f(0), f(l), f(a), f(b)}, deci f(0) 4- f(l) 4- f(a) f(b) = 0 4- 1 4- a 4- b, ceea ce în grupul (A, 4-) atrage 14-14-14-1=0. Dacă A este corp și 1 4- 1 / 0, atunci 0 (1 4- 1)! = = 14-14-14-1=0. Contradicție. 48. Cum 1 = (— l)⁸ = — 1, avem 1 4- 1 = 0, deci a 4- a = a(l 4- 1) = a>0 = 0, 6 Va e A. Avem : 1 4- x = (1 4- s:)⁶ = S Cj z* = x 4- z¹ 4- x² 4- 1, de unde x* = — x² = x². k=0 în fine, x = x’ = x‘-x² = x² >x² = x⁴ = x². 117 50. Avem f(l) = 1, f(2) = f(l + 1) = f(l) + fW =1 + 1=2, f(-2) = -f(2) = -2, în general, f(n) = n, V n e Z. Dacă r e Q, atunci r = mn⁻¹, cu m, n e Z, de unde f(r) = = (fmrr¹) = = f(m)(f(n))⁻¹ = mn⁻¹ = r. Fie g un automorfism al lui Q(72). Evi- dent g(r) = r, V r e Q. Dacă x = a + b^2, cu a, b e Q, atunci g(z) = g(a) + g(b)g(^2) = = a + bg(.y/2). Dar 2 = g(2) = g(^' ⁼ 9^^g^2) = (g(^2)Y ; deducem că g{^2) = = ±*J2. Dacă g(-^2) = ^2, atunci g este automorfismul identic, iar dacă g(42)= — ^2, atunci g este automorfismul cu acțiune a + b^2 —> a — bfâ. 51. Se observă că f(t) = r, V r e Q (v. Etc. 50). Dacă x e R, x > 6, atunci f(x) > 0. în adevăr, fie y £ R, y > 0 astfel încît y* = x. Atunci f(x) = f(y*) = (f(y))² > 0. Fie x e R, ₑ > 0 și rₙ r₂ e Q, x — e < r, < x < r₂ < x + e. Atunci f(x — e) < < f(ri) < f(x) < f(rz) < f(x + e)» decⁱ ri < f(x) < r2» de uⁿde 1 f(x) — x | < e. Rezultă că f(x) = x, V c e R. CAPITOLUL V 3. Avem ^(g*x) = /‘♦(y(x)) = f(y(x)) = (J°g\x) = (f°y)*x ; 1M *x = 1M (x) = x. G. Kⁿ are 2" vectori. 7. Kⁿ, unde K = Z„. 8. Fie v e V, p 0. Atunci aplicația R —> V, a -+ av este injectivă. 9. ₓ + x + ... + x - îx + îx + ... + Ix = (1 +1 + ... + l)x = px = Ox = 0. 11. V = (—3)Pj + 0 -p₂ + 5p₃. 12. A = -5Eₜ - E₂ + 6E₃’- 2Eᵥ 13. f= 3A - 9f₂ + 5f₃. 14. f= 1 + (-l)X + (-l)X» + X’ = D(l+ XO + (-1)(X + X») + (-2)X* + 1. •(X³ + X») = 04 + 0(X - 1)/1 ! + 4(X - l)²/2 ! + 6(X - l)’/3 !. CUPRINS Cap. I: PRELIMINARII 1. Numere.............................................................................. 3 2. Mulțimi și funcții (recapitulare)................................................... 5 3. Matrice (recapitulare)............................................................. 7 4. Numere relativ prime (recapitulare)................................................. 9 Exerciții.............................................................................. 12 Cap. II. LEGI DE COMPOZIȚIE . , 1. Noțiunea de lege de compoziție. Exemple............................................ 16 2. Parte stabilă. Lege de compoziție indusă........................................... 18 3. Tabla unei legi de compoziție...................................................... 19 4. Asociativitate .................................................................... 21 5. Comutativitate ................................................................... 22 6. Element neutru ........................................................... 25 7. Elemente simetrizabile ........................................................ 26 8. Proprietăți ale adunării și înmulțirii modulo n ................................... 29 Exerciții............................................................................. 33 Cap. III. GRUPURI 1. Monoizi.......................................................................... 37 2. Definiția grupului. Exemple....................................................... 41 3. Reguli de calcul într-un grup..................................................... 44 4. Subgrup. Exemple................................................................... 48 5. Morfisme dc grupuri............................................•................... 51 Exerciții........................................................................... 56 Cap. IV. INELE ȘI CORPURI 1. Definiția inelului. Exemple ..................................................... 61 2. Reguli de calcul îrjtr-un inel ................................................ 64 3. Inelul claselor de resturi modulo n................................................ 66 4. Corpuri .................................................;......................... 71 5. Morfisme de inele și corpuri....................................................... 75 119 6. Polinoame cu coeficienți într-un inel comutativ ...................................... 78 7. Polinoame ireductibile. Descompunerea polinoamelor în produs de factori ireduc- tibili ................................................................................... 85 8. Aplicații ale corpurilor finite (facultativ).......................................... 89 Exerciții............................................................................... 93 Cap. V. SPAȚII VECTORIALE 1. Legi de compoziție externe....................*....................................... 99 2. Definiția spațiului vectorial..................................................... 101 3. Dependența și independența liniară. Bază. Coordonate................................. 104 Exerciții *........................................................................... 109 Indicații și răspunsuri ................................................................. 111 s Coli de tipar 7,5. R.T. 11.04.1989. Format 16/70X 100. Apărut 1989. I. P. „Oltenia" Craiova . str. Mi hai Viteazul, nr. 4 Republica Socialistă România Plan 34120/342/1988.