MINISTERUL EDUCAȚIEI Șl INVAȚĂM1NTULUI

Matematica

Elemente de algebră superioară

Manual pentru clasa a Xl-a

Editura Didactica și Peddgogicâ, București — 1987


MINISTERUL EDUCAȚIEI Șl INVĂȚĂMINTULUI

C. NĂSTASESCU             C. NIȚA
I. STĂNESCU



Matematică
Manual pentru clasa a Xl-a
Elemente de algebra
superioara





1 UZINA „^AGiO^UL'

Editura Didactica și Pedagogica
Bucureștii

Manualul a fost elaborat în anul 1980, pe baza programei școlare aprobate
de Ministerul Educației și Învățămîntului cu nr. 39490/1978.















Refer enți:

Conf. univ. dr. N. Radu
                                 Cercetător dr. T. Spireu
                                 Prof. I. V. Maltei
                                 Prof. Florina Saon
                                 Prof. Maria Țuțuian
















Redactor: Prof. Valentin Radu
                      Tehnoredactor: Ana Țimpău
                      Coperta: N. Sîrbu

CAPITOLUL I



            Permutări



    Am făcut cunoștință cu noțiunea de permutare a unei mulțimi finite încă >
din clasa a X-a (Algebră, clasa a X-a). Fiind dată o mulțime finită A, avînd n
elemente, ea se poate ordona în diverse moduri, în sensul că fiecărui element
al său i se asociază un anumit număr de la 1 la n, numit rangul elementului.
    Mulțimea A cu o astfel de ordine se numește permutare a acestei mulțimi.
Se arată, de asemenea, că a face o permutare a elementelor mulțimii A este
totuna cu a defini o funcție bijectivă a mulțimii A pe ea însăși (Algebră,
clasa a X-a).
    Să presupunem acum că elementele mulțimii A sînt numerotate de la 1
la n; deci A = {a^ a^ ..., aₙ} (adică mulțimea A este ordonată). în această
mulțime aₓ este primul element, este al doilea element, ..., aₙ este ultimul
element.
    Dacă : A -> A este o funcție bijectivă, atunci putem scrie ^ța^ = a^
(k — 1, 2, ..., n), aik fiind unul dintre elementele a^ ..., aₙ;ᵥdeci 4 este
unul dintre numerele {1, 2, ..., n}. Se observă că în felul acesta funcției bijec-
tive <p i se asociază funcția bijectivă cr : {1, 2, ..., n} -> {1, 2, ..., n} definită
prin egalitatea ațk) = ih-
    Invers, unei funcții bijective a a mulțimii {1, 2, ..., n} pe ea însăși i se
poate asocia o funcție bijectivă a mulțimii A. Din aceste motive în cele ce
urmează vom studia permutările mulțimii {1, 2, ..., 0} sau, ceea ce este același
lucru, funcțiile bijective ale mulțimii {1, 2, ..., n} pe ea însăși.
    1.      Noțiunea de permutare (substituție). Să notăm cu A mulțimea pri-
melor n numere naturale, adică A = {1, 2, ..., n}. O funcție bijectivă
ct : A -+ A se numește permutare (substituție) de gradul n.
    Vom nota mulțimea tuturor permutărilor de gradul n cu Sₙ sau cₙ, iar
elementele din Sₙ le vom nota cu literele mici grecești: cp, O, ..., a, t. Se
obișnuiește ca o permutare a de gradul n să se noteze astfel:
a= f ¹        ²       3    ... re \                     ₍₁₎
\ c(l) a(2)   u(3)    . .. J

3

adică printr-un tablou în care în linia a doua se scot în evidență toate valo-
rile funcției a. Deoarece a este o funcție bijectivă, toate aceste^valori a(l),
a(2), a{n) sînt distincte două cîte două și sînt tot numerele 1, 2, n.

eventual, în altă ordine.
     Cunoaștem din Algebra pentru clasa a X-a că numărul tuturor permută-
rilor de gradul n este ni.
     în mulțimea £„ distingem un element remarcabil și anume funcția iden-
tică 1A : A -+ A, care poartă denumirea de permutare identică, notată cu e.
     Folosind notația (1) pentru permutări, atunci e are scrierea

fi 2 3 ... n ț
                                e —
U 2 3 ... n)
Exemple. 1) Dacă n = 1, atunci are un singur element, acest element este permutarea
             identică (adică, funcția identică a mulțimii A = {!}).
           2)  Dacă n = 2, atunci S₂ are 2! = 2 elemente. Aceste elemente sînt permutările;
                    fl 2)                                  .            H 21
e = I i | (permutarea identică) și permutarea I I.

           3)            Dacă  n = 3, atunciS₃ are 3! = 6 elemente. Aceste elementesînt permutările:
Zi    2  3 A   / 1  2 3 | Z 1    2 3 ),                  / 1 2 3 ) /12 3\ri2 3A
11    2  3 J    12  1 3 ' ! \3   2 1 J *           ți 3 2 J [3 1 2 J’ ț 2 3 1 J
    2.       Produsul (compunerea) permutărilor. Fie a și t două permutări de
gradul n, adică a^Sₙ, x^Sₙ. Cum a : A A și x : A A sînt funcții
bijective ale nțulțimii A pe ea însăși, are sens să vorbim de compunerea cot
a acestor funcții, care este tot o funcție bijectivă (a se vedea manualul de Al-
gebră, clasa a IX-a). Reamintim că a o t : A -► A și este definită prin egali-
tatea:
(a o x)(a) = a(t(a)), oricare ar fi a^A.
     Deci cot este o permutare de gradul n; această permutare poartă de-
numirea de produsul (sau compunerea') permutărilor a și t (în această ordine).
Se notează mai simplu ar. Operația prin care din permutările a și t obținem
permutarea ar poartă denumirea de înmulțirea (sau compunerea) permutărilor.
I?olosind notația (1) pentru permutări, dacă
              fi 2           ... n \ . f 1              2     ... n V
a = I                        | Si T =                         1
              ț a(l) a(2) ... a(n) J ’ ț t(1) t(2) a... x{n) /
atunci produsul av se scrie astfel:
(     1           2 .     ... n )
ax =                                        .                 (2)
\ a(x(l))    ct(t(2))     ... ^x{n))J
Notăm a² = aa; a³ = a² a; a⁴ = a³a; ...; aⁿ⁺¹ = a” a; ... .
Observații. 1) Trebuie observat că nu are sens să vorbim despre produsul a două per-
             mutări de grade diferite.
           2)  Cînd o și t sînt două permutări de același grad, putem face atît produsul ot
              cît și produsul xa.

4

Exemplu.

Să considerăm permutările de gradul 3:
r = ( ¹ ² ³ ] și t = ( ¹ ² ³L Produsul
   <213/ V 1 3 2 J
/■12 3W12 31        ( 1
gt⁼U' d U' 3 iru

ar este permutarea

2 3
3 1 J ’

iar ra =

1 2 3
1^2

Se observă că ax A xa.

H¹ î ’l-F
M 2 1 3 / l 3

2 3 A
1 2 J

Proprietățile înmulțirii (compunerii) permutărilor
     Ținînd cont de proprietățile compunerii funcțiilor (a se vedea Algebra,

clasa a IX-a) avem următoarele proprietăți ale înmulțirii permutărilor:
1° înmulțirea permutărilor este asociativă, adică oricare ar fi permutările cp,
4», 0 din Sₙ, avem
?(4⁰) = M)G-

Această proprietate a înmulțirii ne permite să folosim scrierea:

                       cp(40) =.(cp4)^ =
2° Element neutru. Permutarea identică de gradul n
Zi 2 ... n\
e = I
ți 2 ... n)
este element neutru pentru înmulțirea permutărilor, adică oricare ar fi tpGS-n
avem e<p = <pe = cp.
     Cum orice funcție bijectivă este inversabilă (Algebra, clasa a IX-a), avem
proprietatea
3° Orice permutare are inversă, adică oricare ar fi permutarea <pG*Sₙ, există
o permutare cp^G^n astfel încît
                              cpcp-¹ = cp" ¹<p = e.

Permutarea cp ¹ se numește inversa permutării cp.

Exemplu. Considerăm permutarea <p =


12 3 4
2 4 13

Inversa permutării <peste permu-

           tarea <p⁻¹ = I
                        ( 3 1 4 2
           în exemplul pe care l-am dat mai înainte s-a arătat că dacă a = | * ² ⁶ j și

                 / 1 2 3 1
            t = I I , atunci ax xa.
                 ț 1 3 2 J
Observație. Dacă <p și sînt din Sₙ în general <p<ț 4?» adică înmulțirea permutărilor
           nu este comutativă.
    3.           Transpoziții. Fie i, j G A = {1, 2, ..., n}, i j. Definim funcția

vj : A A prin egalitatea



    a
                                   j dacă k = i,
                                   i dacă k = j,
                                   k dacă k / i, j-

(3)

5

Se vede că este o funcție bijectivă, deci o
astfel de permutare se numește transpoziție și
Folosind scrierea (1) a permutărilor:

permutare de gradul n. O

se notează

simplu = (ij).

ij

i ... k
j - k

...   j     ..
...   i     ..

1
1

2
2

n
n

Se vede că permută efectiv
Să calculăm x^j; dacă k i, j,

numai numerele i și j.
atunci x^țk) = x^țk)) = x^k) = k;

dacă k = i, atunci x²j(i) = x^x^ți)) = ^(j) = i, iar dacă k = j avemxyfj) =
= Vi^M) =            = j- Deci x^(k) = k oricare ar fi k G {1, 2, ..., n}.
Deci xjj = e. De aici obținem că = x^. Deci transpoziția de gradul n,
x^ = (ij) are următoarele proprietăți:
                                     a)  (ij) = (ji),
                                     b)  (ij)-¹ = (ij).
                                     c) (ij)² = e.
Din proprietatea a) rezultă că numărul tuturor transpozițiilor de gradul n
este egal cu numărul perechilor ordonate (i, j) cu 1 < i <j < n, care este
egal cu C². Deci:
     Numărul tuturor transpozițiilor de gradul n este egal cu C².
Exemple. 1) Transpozițiile de gradul 3 sînt următoarele: (12); (13); (23).
            2)            Transpozițiile de gradul 4 sînt următoarele: (12); (13); (14); (23); (24); (34).
    4.       Inversiunile unei permutări. Signatura (semnul) unei permutări.
Fie A = {1, 2, ..., n}. Definim submulțimea M a produsului cartezian
>1² = A X A ca fiind: M = {(i, j) | 1 < i <j n}. Dacă c>€;Sₙ este o
permutare de gradul n, o pereche ordonată (i, j)G M se numește inversiune
a permutării cr dacă a(j) < a(i). Vom nota cu m(o) numărul tuturor inversiu-
nilor permutării a. Se observă că m(o) este cel mult egal cu numărul elemen-
telor mulțimii M, care este egal cu C². Deci
0 < m(a) < C² = ⁿ⁽ⁿ ~        .

     Numărul e(a) = ( —se numește signatură (semnul) permutării a.
Se observă că signatura unei permutări este 4-1 sau —1. Permutarea o se
zice pară, respectiv impară, dacă e(c) = 4-1, respectiv e(o) = — 1.

Exemple. 1) Fie permutarea a =

   / 1 2 3 ) NT X 1 J
=         . Numărul de
   13 2 1J

inversiuni ale acestei per-

mutări este m(a) = 3 și deci signatura permutării a este e(a) = ( —l)³ = —1,
adică a este impară.

2) Fie permutarea a =

1 2 3 4 5
2 4 5 3 1.

j. Numărul de inversiuni ale acestei

permutări este m(a) = 6 și deci e(a) = (-1)³ = +1, adică permutarea o
este pară.
3) Dacă e este permutarea identică (de gradul n), atunci m(e)=0 și decie(e}=
= + 1, adică e este o permutare pară.

6

Teorema 1. Dacă = (y) (i < j) este o transpoziție de gradul n, atunci
              e(rᵢj) = — 1. Cu alte cuvinte, orice transpoziție este impară.
     Demonstrație. Fie k £ {1, 2,               n}. Dacă k < i atunci, deoarece
      = k și = j, rezultă ^(k) < și deci perechea țk, i) nu este
o inversiune a lui Analog, dacă j < k, rezultă că perechea țj, k) nu este
o inversiune a permutării
     Presupunem acum că i < k <j. Cum ^(i) = j și v^ț/c) = k, atunci
ȘÎ deci perechea (i, k) este o inversiune a permutării Analog,
cum xzjțj) = i, atunci r^țj) < x^țk) și deci perechea țk, j) este o inversiune
a lui Ty. Deci toate perechile (i, k) și țk, j) la care se mai adaugă și perechea
(0 j) sînt toate inversiunile permutării în concluzie, numărul total de
inversiuni ale lui este
= 2(j - i - 1) + 1 = 2(j - i) - 1.
Cum m(v₀) este un număr impar, atunci MSj) = —1.
Teorema 2. Dacă o g Sₙ este o permutare de gradul n, atunci are loc egali’
              tatea:                                                      C
= n                  .                          (4)
i - j
      Demonstrație. Produsul J           ——-----— (5) are C$ factori. Să considerăm
i — j
   factorul              ți < j). Dacă notăm ați) = l și ațj) = m, atunci l m și l, m
              i ~ j
   aparțin mulțimii {1, 2, .... n}. înseamnă că ați) — ațj)        simplifică cu numi-
   ,     ,           , ați) — ațm) ₓ ,                   .. ,             , ațm) — ați)
   torul din factorul             dacă l < m, sau cu numitorul din factorul—⁵— ----—
l — m                                               m — l
   dacă m < l. Prin simplificare obținem —1 dacă ți, j) este o inversiune și
   + 1, în caz contrar. Cum orice numărător din produsul (5) se regăsește ca numitor
   în alt factor cu semnul + sau —, atunci produsul (5) după simplificare va fi un produs
   de (+1) și de ( —1); numărul de ( — 1) va fi egal cu numărul de inversiuni ale permutării
   a. în concluzie produsul (5) va fi egal cu eța), adică egalitatea (4k
Teorema 3. Dacă c și t sînt permutări din Sₙ, atunci
ețm) = e(a)e(T)
              (adică signatura produsului a două permutări este egală cu pro-
              dusul signaturilor celor două permutări).
   Demonstrație. Din teorema 2 avem
ₑ(OT) ₌ p (qM(0 - ța^țj) _ p oMQ) - oMj)) ₌
i ~ î iCi<j^n i—j
_ p MMOHlMMj)) . |~J MO - Mj) ,
                                  MO —                   i ~ J
   Exact ca în teorema 2 se poate arată că f~J q(T(0) ~ MMjD ₑₛfₑ egal cu signa-
                                                      t(i) — rțj)
   tura permutării a. Deci e(ot) = e(o)e(t).
      Textul prevăzut cu o bară verticală în marginea paginii este facultativ.

7

Consecința 1. Permutarea ct este pară (respectiv impară) dacă ambele per-
                mutări a și t au același semn (respectiv semne contrare).
în particular, permutările a și a⁻¹ au același semn.

    5.       Descompunerea unei permutări în produs de transpoziții.
Teorema 4. Orice permutare din Sₙ (n > 2) este un produs de transpoziții.
         Demonstrație. Să notăm cu l numărul elementelor i <= {1, 2, n} pentru care
    7^ i. Vom proceda prin inducție după l. Dară t = 0, atunci a este permutarea
    identică e. Dar cum e = (1 2) (1 2), în acest caz afirmația este demonstrată. Presu-
    punem că t 1 și că afirmația este adevărată pentru 1, 2, t — 1. Cum t > 1, există
    un număr 1 < iᵣ < n astfel încît oț/J • iî și iₜ i₂. Considerăm permutarea a' —
    = tct unde t = (i^). Se vede că dacă a(j) — j, atunci j / iₜ și j i₂. în acest caz
    o'(j) =       = t(j) = j. Dacă j = i\, avem = tHiJ) = t(i₂) = iᵥ Deci
    există ce] mult t — 1 numere j cuprinse între 1 și n pentru care a'(j) j. Din ipoteza
    de inducție rezultă că o' este un produs de transpoziții, a' =   ... t* sau to — tjT₂...
    ... t&. înmulțind la stînga cu t obținun că x²a — Tx₁xz...xh- Cum t² = e, atunci

     a = TTᵣ..Tfe.

Exemplu.

           .                    H 2 3 4 5A
Fie permutarea o = I                 și
13 5 1 2 4) ’
Cum a(l) = 3, atunci g(1)       1
„          1   , ,          fi 2 3 4
Facem produsul a = r.a =
1.3 2 1 4

s-o scriem ca produs de transpoziții.

și considerăm transpoziția Tj — (13)
5W1      2 3  4  5 1 H     2 3   4  5)
5)13    5 1 2   4/11      5 3   2  4/'

            Cumo'(2) = 5, atunci a'(2) / 2 și considerăm transpoziția t₂ = (25). Facem pro'
             .   . „        , f1    2  3  4   51/1   2   3  4   51   if 1 2  3  4  5ț
            dusul a" — t₂o = 1                                              1 = 1                = (45).
( 1 5  3   4  2) 11  5   3  2   4)    11  2  3  5   4)

          Deci (45) = x₂n' — t₂TiO = (25) (13)a, de unde obținem că a = (13) (25) (45)

            (Pentru obținerea lui o am înmulțit egalitatea (45) = (25) (13)o, la stînga, cu
            produsul (13) (25j.j

Consecința 2. Orice permutare pară (respectiv impară) este un produs al unui
                 număr par (respectiv impar) de transpoziții.

         Demonstrație. Fie aeSₙ și a = rᵢx₂...xₙ o descompunere a lui a în produs de
    transpoziții. Din teorema 3 avem că e(o) = e(ti) e (t₂)...e(t„)' Din teorema 1 obținem
    că e(o) = ( — 1)ⁿ. Dacă e(a) = 1, atunci n este par; dacă e(q) = — 1, atunci n este
    impar.
     Vom nota cu Aₙ mulțimea permutărilor pare de gradul n. Din conse-
cința 1 rezultă că dacă (r,T^Aₙ, atunci otG^ti ȘÎ a⁻¹ G An- în plus, zl„
conține permutarea identică e.
Consecința 3. Aₙ are — elemente.
G
         Demonstrație. Să notăm cu Iₙ permutările impare de gradul n. Fie t₀ o transpoziție
    de gradul n, fixată. Deci putem defini funcția f : Aₙ —>In, f(^) = ot₀. Funcția f este
    bijectivă. într-adevăr dacă f(a) = /.(o'), atunci ot₀ = a'r₀, de unde (<ttₒ)t'o “
    = (o't₀)t₀ și deci o = o'. Deci f este injectivă. Fie x^Iₙ\ din consecința 1, rezult ă
    căTTₒeAₙ. Darse vede căf(TT₀) — (tt₀)t₀ ='tto = tșî deci f este surjectivă. în concluzie,
    f este bijectivă. Deci Aₙ și Iₙ au același număr de elemente. Cum Sₙ = Aₙ U Iₙ
    și Aₙ D Jₙ = 0 deducem că Aₙ și In au fiecare — elemente.
                                                     2

8

Exerciții

                        (12341.         / 1 2 3 4 1
                                 I și t = I        I . Să se calculeze ax și to.
                         2 4 1 3 J 14123/
2.  Fie permutarea a = f ¹ ² ³ ⁴ L Să se calculeze puterile a, az, o⁸, ... . Să se
             1 2 4 1 3 J
    determine cel mai mic număr natural A- > 0 pentru care a^ = e.
3.  Fie ce Sₙ. Să se arate că există un număr natural p > 0 astfel încît crP = e.
                        f 1 2 3 4 5 1   (123451 ₒₓ . ₓ
4.  Fie permutările a =         , t =              . Să se arate că ar - ra.
                        t 3 1 2 4 5 J (12354/
5.  Să se determine numărul de inversiuni și signatura pentru fiecare dintre permutările
             următoare: 3              3              $             X4            43
/ 1 2 3 A    fi 2 3 4 1 H 2 3 4 1 ( 1 2 3 4 5 1 H 2 3 4 5 6 1          p 2 3 4   5 61
( 2 3 1 / ’ ( 2 4 1 3 / ( 4 1 23/;i53412j’A654231J’                  ( 6 4 5 3  1 2 J
6.  Să se scrie toate transpozițiile de gradul 4.
7.  Fie II  a Sn, II  0 și avînd proprietatea că oricare ar fi a, r e H, atunci ar^H.
    Să se         arate că II conține permutarea identică de gradul n și dacă a^H, atunci
    și o⁻¹ £ H.
                        ( 1 2 3 4 5 1                                            .
                                    . Să se scrie a ca produs de transpoziții. Aceeași
                         31 254/
                                     ( 1 2 3 4 5 61/
     problemă pentru permutarea t= I               •           /
 ¹            h                     1645321/
9.  Să se determine permutarea a e Sₙ care are numărul maxim de inversiuni.
                        (1234567891 „ₓ , .                                       .   ...
10.  Fie permutarea a =                      . Să se determine i șij astfel încît a să
       /                        ( 1 2 7 4 i 5 6 j 9 /
    fie o permutare pară. Există i și j astfel încît a să fie impară?
11.  Fie permutarea a & Szₙ
                      H 2 3 4 .. n n. 4- 1 n + 2 ...          2n 1
°  ( 1 3 5 7 ... 2n — 1 2          4    ...  2n J
    Să se determine numărul inversiunilor permutării a.
  , Să se determine n astfel încît a să fie pară (respectiv impară).
12.  Fie permutarea a&S₂n
p 2 3 4 ... n     n 4~ 1 ⁿ 4* 2 n + 3 ... 2n \
° ~ ( 2 4 6 8 ... 2n 1          3       5    ... 2n - 1 / '
     Să se determine numărul inversiunilor permutării a.
13. Fie a e Sₙ (n > 3) dacă o<p = <pa oricare ar fi <p e Sₙ, să se arate că a = e.

CAPITOLUL II



            Matrice



     Considerăm un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute:
                     ^11^1 + «12^2 + ••• + am xn = ^i?
                     «21^1 + «22^2 + ••• + a2nxn ~ ^2i


^ml^l + «m2 $2 + ... + aₘₙXₙ = bw
unde a^^ < i < m, 1 < j < n) și b^ b₂, ..., bₘ sînt numere (reale sau com-
plexe). Numerele «^(1 < i < m, 1 < j < n) poartă denumirea de coefi-
cienți ai necunoscutelor, iar numerele b^ b₂, •••, b^ se numesc termeni liberi.
     A rezolva sistemul (1) înseamnă a determina toate sistemele ordonate
de numere (a₁? a₂, ..., aₙ) astfel încît înlocuind în sistem necunoscutele Xi,
x₂, ..., xₙ respectiv cu numerele a₁₅ a₂, ..., aₙ fiecare dintre ecuațiile sistemu-
lui este verificată. Se știe că un astfel de sistem pentru cazul m = n = 2
sau m = n = 3 se rezolvă folosind metoda reducerii sau metoda substituției.
Cum practica impune rezolvarea unor sisteme (1) care au un număr mare de
ecuații și necunoscute, metodele învățate în clasele anterioare sînt, în general,
ineficiente. Din aceste motive se impune un studiu mai atent al sistemelor,
de ecuații liniare. în acest studiu un rol important îl au următoarele două
tablouri:

      «21 «12     ••      
A =       «22 •   ^2n     
    < aml am2 • • • • amn 
    / «u  «12 ••    «m bl
Ă =   «21 «22 ••   «2n ^2
    t aml am2 •  • ^mn bm

Primul tablou, respectiv al doilea, se numește matricea, respectiv matricea
extinsă a sistemului (1). în capitolul IV se va vedea clar importanța acestor
două matrice în studiul sistemelor de ecuații liniare.
     în cele ce urmează vom face un studiu sistematic al matricelor, al opera-
țiilor cu matrice ețc.
     Un alt motiv care, a impus introducerea noțiunii de matrice și a calculului
cu matrice a fost „algebrizarea noțiunii de transformare geometrică". Mai
precis, unei transformări geometrice i se asociază o matrice, reducînd astfel
studiul transformărilor geometrice la studiul unor matrice de un anumit tip.

10

Manualul de față nu ne permite să prezentăm acest aspect al folosirii calcu-
lului matriceal.
        Noțiunea de matrice. Vom nota cu C, așa cum am obișnuit, mulțimea
numerelor complexe.
     Fie M = {1, 2, ..., m}, N = {1, 2, ..., n} mulțimea primelor m,
respectiv n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m, n)
o funcție A CM X N -> C. Dacă notăm A(i, j) = G C, i E M, j E N, vom
nota pe A sub forma
/ «ₙ ' a₁₂ ...   aₗₙ
_ «₂1 «22 •••        «2n                          ₘ


                       X aml am2 amn '
adică printr-un tablou cu m linii și n coloane ce cuprinde valorile funcției A.
Datorită notației (1), în loc de matrice de tipul (m, n) se mai spune matrice
cu m linii și n coloane. Numerele a^ se numesc elementele matricei A. De
multe ori pentru matricea A sefmai folosește notația prescurtată:
A = (a{j) i^i^m sau A = (a^ = 4,2       m
X                                       j = 1,2.n
Se observă că o matrice de tipul (m, n) are mn elemente.
Cazuri particulare'. I) Dacă n = 1, o matrice de tipul (m, 1) se numește ma-
trice coloană și este de forma
< «11
A = a²¹       .

X aml J
II)  Dacă m = 1, o matrice de tipul (1, n) se numește matrice-linie și este de
forma ¹
             x               A = («ij «12         «in)*
IU) Dacă m = n, o matrice de tipul (n, n} se numește matrice pătratică de
ordinul n.
Dacă                           • f an «12     ••• am
«21 a22 •••      a2n
  A                          A =     ..................
                                  \ aₙᵢ aₙ₂ ••• aₙₙ j
este o matrice pătratică de ordinul n, sistemul ordonat de elemente («u,
«22» «33, •••» «nn) se numește diagonala principală a matricei A, iar sistemul
ordonat de elemente (aₗₙ, a₂ₙ_i, ..., aₙᵢ) se numește diagonala secundară
a matricei.
     Vom nota cu                  mulțimea tuturor matricelor de tipul (m, n) avînd
elementele numere complexe. în cazul că m = n, vom nota în loc de
mai simplu ^Zₙ(C). (^„(C) este mulțimea matricelor pătratice de ordinul n.)
Elementele mulțimii               le vom nota cu literele mari ale alfabetului
latin: A, B, C, ... sau A', B', C\ ... .

11

     In mulțimea                 distingem cîteva submulțimi importante, și anume:
            care reprezintă mulțimea matricelor de tip (m, n) cu elemente
numere reale;              care reprezintă mulțimea matricelor de tip (m, n)
cu elemente numere raționale; ^ₘ,ₙ(Z), care reprezintă mulțimea matricelor
de tip (m, n) cu elemente numere întregi.
     Este clar că avem incluziunile:

^m.n(Z) C ^„UQ) C         C

Exemple.

,               /-I 0 2ț
1)  Matricea A — I         I e8te o matrice de tipul (2, 3) cu elemente
          numere întregi; deci A e ^₂,3(Z). Elementele acestei matrice sînt:

             ®n —                   1 > «13 — 0 > «13 — 2 ; Ogi —        1, g₂₂ — t; g₂₃ — 3.

2 ) Matricea B =

este o matrice pătratică de ordinul

3 cu

            elemente numere raționale; deci B e j^₃(Q).
Observație. Uneori pentru o matrice A de tipul (m, n) se mai folosește și notația:

Gn  «12            «m
a21 «22 • ■       «2n
ami «m2           «mn

unde ajj(i = 1, 2...m; j = 1, 2,..., r) sînt elementele matricei.
Egalitatea matricelor. Fie A și B două matrjce de tipul (m, n) adică A, BE
EJHₘ,n^Y Cum A și B sînt funcții A : M X N Q și B M X N
matricele A și B sînt egale dacă și numai dacă sînt egale ca funcții. Deci

A = B țiacă și numai dacă oricare ar fi
    Folosind notația (1) și presupunînd

A =

i E M și j G N,
că

j) = B(i, j).

«11   «12
«21   «22

«in >
a2n

și

^11    ^12
^21    ^22

b2n

B =

«ml «m2    "• «mn /

\ bml bm2 ••• bmn

atunci A = B dacă și numai dacă a^ = oricare ar fi i = 1, 2, m și
/ = 1, 2, ..., n.
         Operații cu matrice. 0) Adunarea matricelor. Fie A și B două matrice
de tipul {m, ri), adică A, B E                 Presupunem că
— («ij)lCi^nt ȘÎ B =

Definim matricea C =                  ale cărei elemente sînt date de egalitățile

CU = aH + bir oricare ar fi i = 1, 2, m și j = 1, 2, n. Matricea C
se numește suma dintre matricele A și B și se notează C = A ■+■ B.

12

    Operația prin care oricăror două elemente A, B din Mₘ>ₙ(C) li se aso

ciază suma lor se numește adunare.

Exemple. 1) Dacă A = i $ și j

             fO 1 1 21
             este A + B =            *
                            țO 0 0 OJ
                         / -1     2
          2) Dacă A =                 0 ~   1 și B =
                         \ 1    -3
/ ⁰
A + B = 1
\2
Observație. Are sens să vorbim de suma a
același tip.
Proprietățile adunării matricelor
1° Adunarea este comutativă, adică orice

    /1       1 -2 — 21
’ = I              | » atunci suma lor
    (2 -1         3 bj


/I ~²\
 1     1  , atunci suma lor este
Vl 17
   0\
 2     • r
-2/               ,
două matrice numai dacă ele sînt de


re ar fi A, B E           avem A -p

+ B = B + A.
   într-adevăr, dacă A =                 B = MiciCm
   atunci A + B = (a^ +                  ȘÎ B A A =. (b^ +
                                                           iCj^n
   Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem
       + bij = ba -|- an, oricare ar fi i = 1, 2, .... m și j = 1, 2, ..., n. Deci A -P B -
   = B + A.
2° Adunarea este asociativă, adică oricare ar fi A, B și C din ^w>ₙ(C) avem
(X + B) C = A + (B -p C).
   într-adevăr, dacă A =                 . B = j)jc =                       atuⁿcl A -F
l^j^n            K.i<»
   A B = (an 4-               ȘÎ deci (A -p B) + C = ((aj + ba) + qjli^n■ Analog,
1C J'C”                                          ¹
    obținem că A + (B + C) = (^j + (b^ +               Cum °PeraUa de adunare a
    numerelor complexe este asociativă, avem (a{j + ba) + c,j = «ij + (bjj + Cij) pentru
   orice i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n. Deci (A A B) A C = A A (B + C).
3° Element neutru. Matricea de tipul (m, n) ale cărei elemente sint toate egale
cu 0 se notează 0₇ₙ>ₙ și se numește matricea zero. Matricea 0ₘ,„ este element
neutru pentru adunarea matricelor, în sensul că oricare ar fi A E

avem

+ ®m.n — ^m>n 4“ A — A.

Verificarea acestei proprietăți este evidentă;
4° Orice matrice are un opus, adică oricare ar fi A E                     există o
matrice notată cu — d, astfel încît
A -p (—A) = ( — A) -]- A = Djn.n-

I

13

într-adevăr, dacă A = (#<1)1^5™ , atunci — A = (—#y)i^m deoarece
A + (—.4) = (oy 4- (—               = (O^Kicm = 0ₘ,n- Conform proprietă-
ții 1° avem și (—A) + A = 0ₘ,ₙ.
„     1 a /-¹             ² 3    -4)        .        M -2 -3 4\
Exemplu, fie A = I                  1; atunci — A = I               I*
                  ( 0 -5 1 -2J’                      (o 5 -1 2)
Observație. Dacă A și B sînt din JUram (0), suma X + (—B) se notează simplu A — B
și se numește diferența dintre A și B. Operația prin care oricăror două matrice A și B
li se asociază diferența lor se numește scădere.
     TA           1 J X .        f-¹    ²       • r,            ¹   ~⁴1
     De exemplu, dacă A = I                     I și B = I              >
                            ( 0 -2 -5JV (-2 -3 —2)
                  (0 1    1\
atunci A — B =               •
                  12 1 -3)
   înmulțirea matricelor. Fie A =                    o matrice de tipul țm, n) și
B ⁼               ⁰ matrice de tipul (n, p). Definim matricea C =
de tipul (m, p) ale cărei elemente sînt date de egalitățile:

71
Cik = #H&lfc + aᵢ₂b2k + ••• + Uinbnk = aijbjk                   (1)
                                                          j=l
oricare ar fi i = 1, 2, m și k = 1, 2, p.
     Matricea C se numește produsul dintre A și B (în această ordine) și se
notează C = AB. Operația prin care oricărui element A G ^m.n(^)
oricărui element B £              se asociază produsul lor se numește înmulțire.
     Așadar, pentru a obține elementul din matricea AB de pe linia i și co-
loana k se face suma produselor elementelor corespunzătoare de pe linia i a
matricei A cu cele de pe coloana k a matricei B. Mai pe scurt, se spune că
„se înmulțesc liniile cu coloanele". Să explicităm mai pe larg modul cum se
înmulțesc două matrice. Fie

    #21  #12 . ain >   /&U  &12  ..  • ^ip1  
A =      #22 •    #2n  &21    ă22 •• •   ^2p 
    ^^ml am% •• #mn;   k^ni bnz •    • • bnpj
Dacă     <cn  C12      C1PS
     C = C21  C22 •     ^2p
         ^Cml cm2 • cmp/   

este produsul lor, atunci

                  Cn =        -J- #12^21 4" ••• 4" #m^ni>
                  c12 = #11^12 4" #12^22 4“  4" #m^n2Î

C1P --- #ll^ip 4" #12&2p 4" • •• 4“ #m^np j
Cgi = «2i&ii   + #22^21 4~ •• • 4“ #2n^nlj 
c2p ~ #21^ip   4“ #22&2p 4“ • •• 4" a2nbnpj

^mp ®ml^lp 4“ #m2^2p 4” ••• 4" ^mnbnp-

14

    Să facem cîteva observații necesare înțelegerii înmulțirii matricelor:
1) Trebuie să reținem că are sens să vorbim de produsul matricei A cu
matricea B (în această ordine) numai dacă numărul de coloane ale lui A este
egal cu numărul de linii ale lui B.                       ț ;
2) Trebuie să subliniem că înmulțirea matricelor nu este în general o operație
definită pe mulțimea tuturor matricelor, așa cum rezultă și din observația 1);
ea este asemănătoare compunerii funcțiilor.
3) Dacă AG^n(^)și                atunci are sens să facem produsul ABE
E Și în acest caz înmulțirea matricelor, este o operație definită pe mul-
țimea a matricelor. Trebuie să observăm că în cazul matricelor pătra-
tice (de ordinul n) are sens să facem atît produsul AB cît și produsul BA.
4) Se pune întrebarea de ce definiip, produsul matricelor A și B înmulțind
liniile lui A cu coloanele lui B. Această definiție, care la prima vedere pare
arbitrară, are de fapt justificări profunde, care sînt greu de explicat la nive-
lul clasei a Xl-a. Totuși, vom spune în mare cum stau lucrurile: fiecărei trans-
formări geometrice i se asociază o matrice. Matricea asociată compunerii a
două transformări geometrice este exact produsul matricelor asociate fiecărei
transformări în parte.
                            )/ 1 4 \
                                   I *   1
, B = I 0 0 •
                                       \ —i 17
        Cum A este de tipul (2, 3) și B este de tipul (3, 2), are sens să facem produsul
        lor, care va fi o matrice de tipul (2, 2). Să presupunem că C = AB, .deci C este

                     (Cu cisl i
                              , unde
                      C21 C22'
           cₙ = I .1 + (-1) -0 + 2 • (-1) = -1; c₁₂ = 1 -4 + (-1) - 0 + 2-1 = 6;
           c₂₁ = 0 • 1 + 4 • 0 + (-3)(-1) = 3; c₂₂ = 0 • 4 + 4 • 0 + (-3) • 1 = -3.

           Deci AB = I
                       l 3 — 3)
                       fi — 11         fl —1 01
      2)            Fie A =           , B =
            '                      (² 3J (2 — 2 1J

         Cum A este de tipul (2, 2) și B este de tipul (2, 3), are sens să facem produsul
         AB, care va fi o matrice de tipul (2, 3). Să presupunem că produsul este de

          forma C = P*¹ H Atunci
                    t^21            C22 C23j
          cₙ = 1 • 1 + (-1)-2 = -1; c₁₂ = 1 • (-1) + ( —1)( —2) = 1; c₁₃ = 1 • 0 +
3-2 = 8; c₂₂ = 2 • (-1) + 3 • (-2) = -8;


1
-8     3/


1° înmulțirea este asociativă în sensul următor: dacă A EJÎLₘcrJS>Y ^E
și C EJÎlp^Y atunci are loc egalitatea

          + (-1) - 1 = — 1; c₂₁ = 2-l +
         c₂₃ = 2 • 0 + 3 • 1 = 3.
         Deci
f-1
                            AB =
t 8
Proprietățile înmulțirii matricelor

țAB)C = AțBC}.

15

   Să observăm mai întîi că are sens să facem produsele (AB)C și A(BC).
   Fie A =                   ⁼ (bjk)i^j&i 1   ⁼ l^k^p-

   Să notăm AB =                  care este o matrice de tipul (m,p) și (AB)C = (e^
l^T^p                                   ’           KKg
                                                    n                P
   care este o matrice de tipul (ni, q). Atunci = Y^ aijbjh și eu = ^2dᵢₕchi- Deci
                                                   j=l                                                                k-t
          pin                     \     p n

    eu = 72 (72 aⁱjbjk rhl ⁼ 72 72

   Fie BC = (d'jz)i^Xn ?* A(BC) = (e
                 p                             n
   Atunci d'^ = bjkckl și e'u = ajjd^
                     n p                               n p                p n
Deci e'n = 72ao72         = 72 72 aⁱjbikCkl ⁼ 72 73 aiibjkchl-
j=i ft = i       j=l h^i          k—\j=\
   Să observăm căeᵢz = e'ᵢₜ, oricare ar fi 1 = 1, 2, .... m; l = 1, 2, ..., q și prin urmare
   (AB)C = A(BC).
2° înmulțirea este distributivă la stingă față de adunare în sensul următor:
dacă A E               B, C E Jîlₙ,pW, atunci
A(B + C) = AB + AC.
   într-adevăr, dacă A = (aa )₁<ᵢ<ᵣₙ, B =               C = (cjk)^^, atunci B +
                 ,           l^Kn             lCk<P            l<k^P
   + C=(tyt+cjA)₁<ⱼ<ₙ . Dacă notăm A(B + C) cu D, unde D = (dik)
                 i^k^P
                 n
   atunci dih — aij(bjk -f- cjk).
                j=i
   Dacă notăm AB cu D' și AC cu D", unde D' — (d'ik)j^j^ₘ ?i D* =
JC^^p                  IC^^p
                 n                   n
   atunci d'ik = aijbjk și d"ik = abc^'
                                    j=i
   Rezultă că AB + AC = D' + D" — (d'ik + d"ik •
   JCk<s:P
   n .                                  n         n
   Deoarece d'ik + d"ik = 72 a’jfyfe +            ~ 7? aij^bik + f^<) — dih, rezultă că
P . j=i                j=i
   A(B + C) = AB + AC.
2'° înmulțirea este distributivă la dreapta față de adunare în sensul următor:
dacă A, B E               și C E Jftn,p^} atunci
(A + B)C = AC + BC.
     Demonstrația acestei proprietăți se face exact ca cea de la 2°.
     în cazul matricelor pătratice are loc următoarea proprietate importantă:
3° In mulțimea JHₙ^ există un element neutru față de înmulțire. Matricea
pătratică de ordinul n
                                  /I 0 0 ...       0\
,    10,1     0 ...    0


    \o o o ... 1/


16

care are pe diagonala principală numerele 1 iar restul elementelor sînt 0 are
proprietatea că oricare ar fi A G ^ₙ(C),
A/ₙ = /ₙA = A.
   într-adevăr, dacă introducem notația,
                                         ( 1 dacă i = j,
S’ *_ \
                                      [O dacă i j
   (8ij se numește simbolul lui Kronecker),
   atunci 7ₙ = (Sj)^^ . Fie A =                  ⁰ matrice pătratică de ordinul n. Dacă
                                               n
    notăm AIₙ cu B = (^ij)^^ > atunci bțj = a^kj = ajj. Deci AIₙ = A. în mod
   analog se arată că lₙA — A.
Observație. Am văzut că dacă A, B e ^ₙ(C), atunci are sens să facem produsele AB
și BA. în general, cele două matrice sînt distincte, adică AB BA. într-adevăr,
fi Oț . fl 11                                 (1 1|    . J f² „ V
fie A = I I și B = I ; atunci AB = | și BA — I . Se observa
         (1 oj ⁷ (o OJ                                 ți 1J              țO OJ
că AB BA.
o
   înmulțirea cu scalari a matricelor. Fie A =                     o matrice de tipul
                                                         l«j<n
(m, n) și a un număr complex. Definim matricea B =                        de tipul
                                                                     l<j<n
( t, n) ale cărei elemente sînt date de egalitățile: b^ = aa^ oricare ar fi
i = 1, 2,     m și j = 1, 2,       n. Matricea B se numește produsul dintre
numărul a (sau scalarul a) și matricea A și se notează B = aA. Operația
prin care oricărui element a G C și oricărui element A G             li se asociază
produsul aA se numește înmulțirea cu scalari (la stînga).

Observații. 1) Se numește înmulțirea cu scalari la stînga deoarece produsul dintre a e C
           și matricea A se notează aA, adică a se scrie la stînga lui A.
          2) Observăm că dacă a e C și A este o matrice de tipul (m, n), atunci aA
          este de tipul (m, n).
                  fi —2 01
Fie a■ = 3 și A = I         I care este o matrice de tipul (2, 3). Avem
-6 01
-3 9/
                   /

Proprietățile înmulțirii cu scalari a matricelor

Exemplu.

      f3
aA = I

1° Dacă A G ^»i,n(C), atunci 1 • A = A.
2° Dacă A E            și a, b G C, atunci {a + b}A = aA + bA.
3° Dacă A G            ȘÎ 6 G C, atunci țab}A = afbA').
4° Dacă A, B E            și a G C, atunci ațA -ț- B) = aA aB.
5° Dacă A E               B G ^n,P(C) și « G C, atunci a(AB) = (aA)B =
= A(aB).
     Cele cinci proprietăți se demonstrează fără nici o dificultate; verificarea
lor o lăsăm ca exercițiu. ।

2 — Matematică — Elemente de algebră superioară cl. a XIJa

17

     Qb) Transpusa unei matrice. Fie A =                      o matrice de tipul (m, n).
Matricea ‘A = (*«*/) unde                        pentru orice k = 1, 2, n;
l = 1, 2, m se numește transpusa matricei A.
      Se observă că *A este o matrice de tipul (n, m) și se obține din A luind
liniile, respectiv coloanele, lui A drept coloane, respectiv linii, pentru {A
(mai precis prima linie a matricei lA este prima coloană a matricei A, a
doua linie a lui *A este a doua coloană a lui A ș.a.m.d.).
      în particular, dacă A este o matrice pătratică de ordinul n, atunci trans-
pusa sa L4 este de asemenea o matrice pătratică de ordinul n. Dacă k = l
atunci = akic și deci diagonala principală a matricei *A este aceeași *
cu diagonala principală a matricei A.
                        / 1 2 3t
Exemple. 1) Fie 4 = 1 Q I ; matricea A este de tipul (2, 3). Transpusa

/¹
           acestei matrice este L4 = I 2               0 I •                 ।

                        ,1 2    3\                                      /I    0 1\
          2)             Dacă A =  I 0 1 —11 atunci transpusa tA este matricea M = î 2 1 2 j •
                        \1 2   —2 /                                     \3 —1 —2 /
           Următoarele proprietăți se verifică fără nici o dificultate. Demonstrarea lor o
           lăsăm ca exercițiu:
           1° Dacă A, B e JHm,n (C), atunci
t(A iB] = tA+ tB.
           2° Dacă A e                      și B e ^ₙ,P(C), atunci t(AB) = tB^A.
           3° Dacă A e JHₘₜn (C) și a e C, atunci
<(a4) = a^A.






            / -!    4\      ,   0 8\
1.  Fie 4 = 1 5     7 I; B — I 6 2 I. Să se calculeze A 4- B.
            V 6 —2 '        \ —4 2/
            /—1   4      1\     , 2 0  1\
2.  Fie .z4 = | 0 3    1 I; B = I 1 0  2 I. Să se calculeze:
            V-2   2    -1 '      Vl 1   17
a)  A + B, AB și BA.
b)  A³, B³ și A³ - B³.
c)  AB - BA.

     Dacă A, B e jn,ₙ (c) Ș* = SA să se arate că are loc egalitatea:
         Ak - Bk = (A - B)(Ak-' + Ak~*B +                       ₊ ... ₊ ABh-^ + Bk"¹),
     oricare ar fi k > 0.
              ZI —1\
 4.     Fie A =          e           Să se determine toate matricele X c ^Z?.(Q) astfel
              \2 —2/
, încît: AX = XA.
              (cos <p —sin qA
I . Să se calculeze Aⁿ(n >1).
                sin <p cos <p/
                 fa b\
,;6. Dacă 4 = 1 I e j^₂(C), atunci A verifică ecuația:
                 \c d)                                >

                      x² — (o d)x 4- (ad — bc]I% — 0.
\            , 1    °    2 \
     Fie A = 2           1 -l e ^₃(Q)- Dacă f(x) = x² + 3x + J₃ să se calculeze f(A).
              \3 -1      3/
              MO.
  8.     Fie A = | e jn,. (Z), să se determine Aⁿ(n > 1).
f            V 1/                              *
-/O. Dacă A, B e ^ₙ(C) să se arate că egalitatea AB - BA - Iₙ este imposibilă.

10. Să se determine
⁷

A e ^₂(R) astfel încît:

    b) A* = 0.
11 .) Să se determine

             (x

-3
12 . Să se determine

x, y, z, u, v, w, dacă se cunoaște    că avem egalitatea:
  — 2y 3z\           /I —2        2 \      /5 —2   18\
I + 3 I               I = |
2 —1 /         \u v       —3wJ       \3 —5  —11/
matricea X din ecuația:

       / ²
3X + -1
       ' 2

-3\           ( 1 3\   /-3 6'
   2 j = 2    7 4    + -9 3  
-3 )       (---2 6 J   \ 3 0 
13. Să se determine x și yt dacă avem:        
/ 1 2    3 -4>              .       /-!    2  
              x -1 3 -2   2 1 + 2/    1 ~2    
'31-4 c~l,                  /        \ 2     1

Să se calculeze suma:

7c 7c²

2 3

o 1 \ / 1
1 3=1-1 5
2 1/  \ 13 5

7c³   \

   +         o


3x -10
-4 6y
— 4y —1

15. Dacă ti> este o rădăcină a ecuației x² + x + 1 = 0, să se calculeze suma:



16.  Să se determine valorile lui x e R pentru care avem:

                              (2 sin² x sin² 2x\    /I

                                  tg x cos 2x/      \1 0/
17.  Să se rezolve ecuația:
             / 1 121
             X² = I.
             \-4                                                 1/
    X fiind o matrice pătrată de ordinul doi cu elemente numere reale.

                        /O                                                              ,
18.  Se consideră A — I I Se cere Aⁿ.
             ța 0 /                               \
19  Fie A o matrice pătratică de ordinul doi. Dacă /l² = 0, atunci suma elementelor de
             pe diagonala principală a matricei A este egală cu zero.

                                                          (a b\
                                                                I care verifică egalitatea
                                                           c d)
    yP = I₂ și a, b, c, d e Z.

                                                                    (a b\
                                                                          I unde a, b^R.
                                                                     b aj
     Definim funcția
                                                      (a b\
                                                              P
    ■'-b a)
    Să se arate că: a) f este bijectivă;
b) oricare ar fi z, z' e C au loc egalitățile
        ,                            ^(z+^) = /-(z)+f(z'),
f(zz') = f(z)f(z').
                          f a b\
22.  Fie matricea A = j I astfel încît 0 a² 4- b* < 1.
                          \ — b aj
                                                    (an bn\
                                                               I ■
                                                       bn anJ
    b) Să se demonstreze că șirurile aₙ și bᵤ sînt convergente și au limita zero.
23.  Să notăm cu JH mulțimea tuturor matricelor de tipul (m, n} în care toate elementele
                 sînt numerele 4-1 sau —1 și astfel încît produsul numerelor din fiecare linie și din
                 fiecare coloană să fie —1. Să se calculeze numărul elementelor mulțimii JH.
24.  Să se calculeze suma
                 n /cos Aa sin AaA
ftZ^țcos² Zra sin² ka.)

CAPITOLUL III


            Determinanți



    1.       Determinanți de ordinul 2 și 3. Fie sistemul de două ecuații liniare cu
două necunoscute
                             1^11^1 + «12^2 —                                ...
(1)
^21^1 “F «22^2 — ^2-
Să notăm cu A matricea coeficienților sistemului (1), adică
'A = (aⁿ
\«21  «22/
A este o matrice pătratică de ordinul doi.
Rezolvarea sistemului (1) este bine cunoscută. Aplicînd metoda reducerii
obținem sistemul echivalent
                       (d 11022 — ^12a21)^l ⁼ ^1«22 — «12^21
                       («U«22 — a12a21)^2 ⁼ «11^2 — &1«21«
Presupunem că «11^22 —- «i2«2i      0; atunci soluția sistemului (1) este
                      >   ^1«22 “ °12^2  „   _ a11^2 ~ ^la21                 /Q\
                  ^1 — ---------------, X₂-------------------•               (2)
®11®22 “* ®12®21       ®11®22 — ®12°21

Se observă că numitorul din egalitățile (2) se exprimă simplu: el este egal cu
produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei A din care se
scade- produsul elementelor de pe diagonala secundară a matricei A.
     Acest număr îl notăm cu det A și îl numim determinantul matricei A, sau
încă, determinant de ordinul doi (deoarece matricea A este de ordinul doi).
Acest număr se notează de obicei și astfel:
«11    «12
«21    «22
Deci avem egalitatea

au

«12

«21

«22

«n«22 — «i2«2i*

Produsele 0^22^ «i2«₂i se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

Exemplu. Fie matricea A

. Avem det A =

1 2
4 5

= 1 - 5 - 4 t 2 = -3.

21

    Să revenim la formulele (2) care dau soluțiile sistemului (1). Se observă
că numărătorul formulei care dă valoarea lui xₜ este tot un determinant de
ordinul doi, și anume determinantul matricei

«12^
\bz 0-22)
Această matrice se obține din A înlocuind prima coloană a matricei A pu
coloana formată din elementele și b₂. Analog, numărătorul formulei care
dă valoarea lui x₂ este un determinant de ordinul doi, și anume determinantul
matricei
A —(aU M
\ «21 «2/
Deci formulele (2) se pot rescrie sub forma

        61    «12          «11 61  
        62    «22 ‘T,. --- «21 62  
•^1 --- «n  ' «12 , x2     «n  «12  
        «21   «22          «21 «22  

(3)

Formulele (3) poartă denumirea de formulele lui Cramer.
Să considerăm acum un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

«11^1 4" «12^2 4" «13^3 — bi,
«21^1 4* ^22^2 4- «23^3 ~ ^2)                       (^)
. «31^1 4" «32^2 4~ «33^3 — 63
și să notăm cu A matricea coeficienților, adică

                                   («11    «12 «13 |
«21   «22 «23 I '
«31   «32    «33/
Rezolvarea sistemului (4) o vom face prin metoda reducerii. Dacă înmulțim
prima ecuație din (4) cu «₂₃ și a doua cu —«13 și le adunăm, obținem ecuația
(«H«₂3 — «21«is)^l 4- («12«23 — «22«13)^2 ⁼ ^1«23                 ^2«13-        (5)
Analog, înmulțind prima ecuație cu «₃₃ și a treia cu —«13 și apoi adunînd,
obținem ecuația
            («11«33 — «31«13)^1 4" («12«33 — «32«13)^2 — ^1«33    ^3«13-        ($)
Cu ecuațiile (5) și (6) formăm sistemul
           ((«11«23‘ — «21«13)^1 4“ («12«23 — «22«is)^2 ⁼ ^1«23 — &2<Z13-
           («11«33 — «31«13)^1 4- («12«33 — «32«13)^2 ⁼ ^1«33     ^3«13»
care este un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Dacă în sistemul (7)
înmulțim prima ecuație cu «13033 — «₃₂«i3 și a doua cu — («i2«23 — «22«is)
și apoi le adunăm obținem
[(«11«23 — «21«13) («12«33 — «32«13) — («11«33 — «31«ia) («12«23 — «22«13)]^1 =
= (^1«23 — ^2«13)(«12«33 — «32«is) — (&1«33 — &3«13)(«12«23 — «22«13)-

22

Desfăcînd parantezele, avem

   («U«22«33 + «12«23«31 + «13«2l«32 — «13«22«31 — «12«21«33 — «11«23«32)^1 =
    = ^j«22«33 “F «12«23^3 “F «13^2«32 — «13«22^3 — «I2^2«33 — ^1«23«32-               (8)
      Numărul care este coeficientul lui xᵣ în ecuația (8) îl notăm cu det A
și îl numim determinantul matricei A, sau încă, determinant de ordinul trei
(deoarece matricea A este o matrice de ordinul trei). Acest număr se notează
de obicei și astfel:

Deci avem egalitatea

«11
«21
^31

«12
«22
«32

«13
«23
«33

«11 «12  «V
«21 «22 «23
«31 «32 «33

— «U«22«33 + «12«23«31 "F «13«21«32 —
— «13«22«31 — «12«21«33 — «U«23«32-


(9)

Din (9) se vede că formula care dă valoarea determinantului de ordinul trei
are șase termeni, numiți termenii determinantului de ordinul trei.
Exemplu. Fie matricea
/-I    2   3\
A =    4   1 -1 (.
\ 4    2   3 /
           Aplicînd formula (9), avem: det A = ( —1) • 1 • 3 + 4 • 2 ■ 3 + 4 • 2 • ( — t) —
           -4-1-3- (-1) • 2 • (-1) -4 - 2 - 3 = -3 + 24 - 8 12 - 2 - 24 = -25.
Observăm că formula (9) care dă valoarea determinantului de ordinul trei
este greu de ținut minte. Pentru aceasta se'stabilește o regulă simplă pentru
calculul determinantului de ordinul trei. Se formează următorul tablou: se

scriu mai întîi liniile matricei A și apoi dedesubt se scrie mai întîi prima
linie și apoi’a doua linie a matricei A. în felul acesta se obține un tablou cu
cinci linii

Termenii cu semnul ( + ) în dezvoltarea determinantului de ordinul trei sînt
cei care se obțin prin înmulțirea elementelor în sensul săgeților continui,
adică: «u«22«33, «2i«32«i3> «3i«i2«23 iar termenii cu semnul (—) sînt cei care
se obțin prin înmulțirea elementelor în sensul săgeților punctate, adică:
«31«22«13, «H«32«23» «21«12«33-
   Regula expusă mai înainte după care se face dezvoltarea determinantului
de ordinul trei se numește regula lui Sarrus.

23

Exemplu. Să considerăm matricea

Formăm tabloul pentru aplicarea regulii lui Sarrus

        Deci det A = (-1) • 1 • 3 + 2 • 3 • 1 + 4 • 1 • O - 4 • 1 • 1 - (-1) -3-O-
        - 2 • 1 • 3 = - 3 + 6 — 4 - 6 = - 7.
    Să ne reîntoarcem la ecuația (8) care dă valoarea lui Se observă ca
membrul doi este tot un determinant de ordinul trei și anume este determi-
nantul matricei de ordinul trei care se obține din matricea A, matricea coefi-

cienților, prin înlocuirea primei

sistemul (4) Deci formula (8)

se

coloane cu
poate scrie

coloana termenilor liberi din
astfel:

Procedind exact

I «11
I
• «21
I «3

«12
«22
«32

«13
«23
«33

Xi =

bl
b2
^3

«12
«22
«32

«13
«23
«33

um am

ecuațiile care dau valorile Ini

făcut pentru

obținerea ecuației (8),

avem și

Dacă

z₂ și

£3:

«11 «12 «13       «11 ^1 
«21 «22 «23 1’2 = «21 b2 
«31 «32 «33       «31 b3 
«11 «12 «13       «11 «12
«21 «22 «23 ^3    «21 «22
«31 «32 «33       «31 «32
        «11 «12 a 13     

«21
«31

«23
«33

«13
«23
«33

«22

«32

■bl
62
b3



atunci valorile

Zj =

bl
^2
b3

«11
«21
«31

«12
a 22
«32

«12
«22
«32

lui Zj z2 și Z3 sînt:                                  
«13             «U    bi    «13           «11    «12   
«23             «21    b2    «23 ,           «21    «22
«33             «31 b3        1   _       «31    «32   
       » ---                                           
«13             «11   «12   «13            «11   «12   
«23             «21   «22   «23            «21   «22   
«33             «31   «32   «33           «31   «32    

«13
«23
«33

bi
b2
b3

• (10)

24

    Formulele (10) se numesc, de asemenea, formulele lui Cramcr de rezolvare
a sistemelor de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.
    2.      Definiția determinantului do ordinul n. în cele ce urmează vom căuta
să dăm definiția determinantului unei matrice pătratice de ordinul n în așa
fel încît pentru n = 2 și n = 3 să obținem determinanții de ordinul 2 și 3.
    în definirea determinanților de ordinul 2 și 3 am utilizat rezolvarea
sistemelor de ecuații liniare. Acest procedeu este greu de folosit pentru cazul
general, datorită calculelor laborioase care intervin. Noi vom utiliza altă
metodă: analizînd formulele care dau determinanții de ordinul 2 și 3, vom
deduce o lege generală prin caro vom defini determinantul de ordinul n. în /
capitolul următor vom arăta că formula determinantului de ordinul n, așa
cum o dăm mai jos, ne va permite obținerea unor formule de tip Cramcr
pentru rezolvarea sistemelor de n ecuații liniare cu n necunoscute.
    Să reamintim formulele determinanților de ordinul 2 și 3:

an
#21

#12

#22

— #U#22 — #12#21»

#11     #12  #13
#21     #22  #23
#31     #32  #33

— #11#22#33 4~ #12#23#31 4“ #13#21#32 — #13#22#31 —
— #12#21#33 — #11#23#32-

Constatăm că termenii determinanților de ordinul 2 și 3 sînt produse de
elemente aparținînd la linii și coloane distincte. în plus, orice astfel de produs
(adică din elemente aparținînd la linii și coloane distincte) este termen în
formula determinantului respectiv.
     Să considerăm acum o matrice pătratică de ordinul n

A =

^#11 #12   • • ’    #]n
#21  #22   • • •    #2n
     1                 
^#nl an2 • •       #nn/

U G < (C).

Vom forma toate produsele posibile de n elemente aparținînd la linii și coloane
distincte. Un astfel de produs este de forma

#ii, #2i, - #mₙ,                              (1)
unde i₂, ..., iₙ sînt toate elementele mulțimii {1, 2, ..., n}, eveătual,'
în altă ordine. înseamnă că putem considera permutarea de gradul n

H¹ ² - 1
                               Ui ^2 • • • Ini
și deci produsul (1) se scrie
#1î,#2»2 ’ * ‘ #n*n ⁼ #lo(l)#2a(2) ■ • ■ #na(n)-
     Numărul total al produselor de forma (1) este egal cu numărul tuturor
permutărilor de grad n, deci nl.

     Ținînd cont de formulele determinantilor de ordinul 2 și 3, în mod natural
formula determinantului de ordinul n trebuie să conțină toate produsele

                             ®lo(l)a2o(2) • • • Gna(n),
unde a parcurge tpate permutările lui Sₙ. Mai rămîne de aflat semnul cu care
apare produsul «iO(i)«2O(2) • • • «nO(n)-
     Să revenim din nou la formulele determinanților de ordinul 2 și 3. Să
luăm de exemplu din formula determinantului de ordinul 3 termenii cu semnul
(+) •’ «n^22«33> «12^23^31» «i3«2i®32- Se observă că permutările asociate acestor
termeni:
                   /I  2   31        /I   2  3\        fi   2   3ț
                   U   2   3;        12   3  1/        13   1   2)
sînt permutări pare, deci semnul lor este 4-1.
     Dacă luăm acum termenii cu semnul (—) :                    «i2«2i«33₅ ^ii«23fl32>
permutările asociate acestor termeni:
                   fi  2     31      fi   2    31      fi   2  31
             ^4 —' 0        r ?  OPe - |      j 9  ^g -- |      I
                   12  1     3;      11   3    2/      13   2  1/
sînt permutări impare, deci au signatura (semnul) — 1.
     Aceste observații ne sugerează că în definiția determinantului de' or-
dinul n, produsul «iO(i)«2O(> )••• «no(n) trebuie să aibă semnul (4-) sau (—)
după cum permutarea a are signatura (semnul) 4- 1 sau —1.
     Acum sîntem in măsură să definim determinantul de ordinul n.
         ■ Numărul det A = V;                             • • • ^no(n),              (2)
                               °^sn
            unde Sₙ este mulțimea tuturor permutărilor¹ de gradul n și e(cr) este
           ■^natura permutării a se numește determinantul matricei A sau,
              a simplu, determinant de ordinul n și se notează de obicei astfel:

         au  «12    • aln
det A ,= «21 «22    " a2n
         anl «n2  • • «nn

     Produsul 6tiO(i)a2a(2) • • - «n₀(n) se numește termen al determinantului de
ordinul n.
     Șe obișnuiește să se spună despre elementele, liniile și coloanele matricei A
că sînt elementele, liniile, respectiv coloanele determinantului det A. Uneori
numărul det A se mai notează prescurtat și | A | sau | «ol₁₎SᵢCₙ«
i<JCn
Observații. 1) Noțiunea de determinant al unei matrice are sens numai pentru matrice
          pătratice. Este deosebire între matrice și determinantul său: matricea este o
          funcție, iar determinantul matricei este un număr.
           2)   în formula determinantului unei matrice există n! termeni dintre care
     nl  . , , . . n!                   , , ,
          — au semnul (4-), iar — au semnul ( —).



2b

           3)  Dacă A e ^»(R) (respectiv A e ^„(Q), respectiv .4 e ^ₙ(Z)), atunci det A este un
     număr real (respectiv rațional, respectiv întreg),
           4)  Definiția determinantului se aplică și matricelor de ordinul 1, cînd A = (aᵤ). în acest
     caz det A. — «u*
           5)  Așa cum a fost definit determinantul de ordinul n, pentru n = 2 și n = 3 obținem deter-
     minantul de ordinul 2 respectiv 3.
    3.       Proprietățile detenninanților. Formula determinantului de ordinul 2
este simplă, formula determinantului de ordinul 3 este deja complicată. Aici
avem avantajul că avem.o regulă simplă, regula lui Sarrus, care ne permite
să calculăm destul de ușor un determinant de ordinul 3. Dacă în schimb avem
de calculat determinanți de ordinul n > 4, formula prin care este definit
determinantul de ordinul n, în general este aproape imposibil de aplicat,
datorită calculelor laborioase ce apar. De exemplu, pentru un determinant
de ordinul 4 avem 4! = 24 termeni în formula sa, pentru n = 5 avem 51=120
termeni de calculat, iar pentru n = 10 avem 10! = 3 628 800 termeni de
calculat. Din aceste motive se caută să se scoată în evidență o serie de pro-
prietăți ale determinanților de ordinul n, care simplifică de multe ori calculul
determinantilor.
                                                            t
Proprietatea 1. Determinantul unei matrice coincide cu determinanta v
                   tricei transpuse. Adică dacă A E atunci det A = det \
         Demonstrație. Fie A —                       Ș*                 matricea transpusă a lui A.

   Deci taij = aj^ oricare ar fi i = 1, 2, n; j = 1, 2, n. Avem:
det A =       £(a)aiO(i)a2a(2) • • ♦ ana(n)'                U)
^sn
          det lA = E (T)⁽alT(l)ta2T(2) •,,tanx(n) ~ E(T)aa(l)l ar(2)2 ar(n)n« (²)
                   xeSₙ                                       ^Sₙ
   Dacă notăm a(i) = ki, atunci i = șt deci produsul
              E(°)al₀(l)a2a(2) • • • ano(n) = E      ,“0—• • • aₒ-^hₙ)kₙ ⁼
\ =e                       • • • aa~l^n)kn
   deoarece e(«) = eicr-¹). Cum numerele kᵢₜ k₂, kₙ sînt numerele 1, 2, ..., n eventual
   în altă ordine, iar înmulțirea numerelor este comutativă, atunci
E(°)ala(l)a2o(2) ‘ ' ano(n) “ E(° ¹)aa-’(l)l°a-«(2)2 ' ' * aa-'(n)n
   și deci orice termen din suma (1) se regăsește ca termen în suma (2) și invers. Deci
   det A = det 04.
Observații. 1) Propietatea 1 se scrie și astfel:

«u  a12   • . a^n     an  a21      
a21 a22     • a2n --- °I2 «22 •  ^2
«m  Unt     ann        Om azn • «nn

          2) Proprietatea 1 arată că ori de cîte ori avem o proprietate adevărată referi-
          toare la liniile unui determinant, aceeași proprietate este adevărată și pentru
          coloanele determinantului.

27

Proprietatea 2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice
                sînt nule, atunci determinantul matricei este nul.

I Demonstrație. Să presupunem că toate elementele de pe linia i sînt nule. Cum
fiecare termen al determinantului este un produs de elemente printre care se găsește și
un element de pe linia i, atunci acest termen este zero. Deci determinantul este zero.
Exemplu, Fie matricea
                                    (1  2   -lx
0   0    0 •
                   3  4     7/

          Deoarece linia a 2-a a matricei A are toate elementele nule, det A = 0.
PropwMw -i Dftt’ă într-o matrice schimbăm două linii (dau coloane) între
                Ph’ obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul
                determinantului matricei inițiale.

Demonstrație. Fie matricea

A '=

/ Oii 012 . • Oin \  
ah    Oj2 ■ ojn (0  
aii   Oj2 . ojn  (J)
\ ani am  ann       

Prin schimbarea liniilor i și j între ele obținem matricea

     o»  O12 • • o,n    
A' = Ojl Oj2   • ajn    
     Oii Oj2   . ain (j)
     Om  On2   • Unn    

    Avem det A' — 52 £(0)010(1)020(2) • • • ojₒ(i) ... oiO(j) . .. ono(n)- Să
                       oeSₙ
transpoziția r = (ij) deci t(i) = j, x(j) = i și t(A) = k dacă k i,

considerăm

j. Atunci

det A' = 52 EfoJaioijiaicfa)

                 = 52 e(°)oi(oT)(i)O2(<rr)(2)
                 aeSn
Cum e(o~) = E(a)e(r) = — e(c), avem
det A


• • • oja(î) . . . a.(j(j) . . . Ono(n) —

. • • Oj(oT)(j) • • • Oi(ar)(i) • • • On(oT)(n).

• Oj(oi)(i) ••• Oj(ax)(j) ••• O7i(OT)(n).

Cînd a parcurge toate permutările lui Sₙ atunci și ot parcurge toate permutările lui
Sₙ; deci dacă notăm or = a' avem
det A' = — 52 e(a )aio'(i)a2o'(2) • • • aₙₐ>(ₙ)
                                      o &Sₙ
și deci det A' = —det A.

28

                     (1      2
— 1   3
2   1
/ 2
obț.inem matricea A' = I —1
' l 1
Conform proprietății 3, avem <
folosind regula lui Sarrus.

-2 \
                   4  . Dacă schimbăm liniile 1 și 3 între ?le
  0 /
,1   0\
3    4 .
2 -2/
st A’ = —det A, fapt ce se poate verifica și


Proprietatea 4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci
               determinantul său este nul.


         Demonstrare. Fie A =                       ⁰ mau'*ce/ pătratică de ordinul n în care
   ........ A             .            iCJCn
   liniile i și j sînt identice. Aceasta înseamnă că a^ = ajk pentru orice k = 1, 2, ..., n.
   Dacă schimbăm-liniile i și j între ele obținem o matrice A' egală cu A. Aplicînd pro
   prietatea 3, avem că det A' = —det A. Cum A — A' avem det A = det A' și atunci
   det A — — det X; deci det >1 = 0.

                               (1      5     1\

— 2    6 —2

4-24/
           care are două coloane identice (coloana 1 și coloana 3). Deci conform proprietății
           4 avem det >1 = 0.
Proprietatea 5. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei ma-
                  trice sînt înmulțite cu un număr a obținem o matrice al cărei
                  determinant este egal cu a înmulțit cu determinantul ma-
                  tricei inițiale.

         Demonstrație. Fie matricea A =                    Ș‘ fⁱe A' =           matricea care

   se obține din A prin înmulțirea liniei i cu numărul a. Deci avem a'ᵣj = aᵣj pentru r i
   și j = 1, 2, .... n și a/^ = aa,j oricare ar fi j — 1, 2, n. Deci
                     det A' ⁼ Z3 e<CT)°'10(1)0'20(2) • • • «'ta(i) .. • a'ₙₐ₍ₙ) =
                               aeSn
⁼     e(CT)aio(i)«2o(2) ; • • (aaio(i)) • • • ^nₐ(n) =
                         aeSₙ
= a y_.Xo)aio(i)a2a(2) • • • Oia(i) • • • aₙₐ(ₙ) = a det A.

       . Deci det A' = a det A.

Observație. Proprietatea 5 se transcrie și astfel (pentru linii):

r-c M  °12     R K        «n  «12 3 3    
O Q • * a22    w «        «21 a22        
              a ta                       
aaii  ®«Î2       ®ain = a «il ai2 • ain •
am     ana  - • • ann     anj an2   «nn  

Exemplu. Fie matricea
                          (4     3 -1\
— 2  6 - —2 |
4-2 îl

29

      Dacă înmulțim linia a 2-a cu numărul a — 1/2 obținem matricea
                                     / 4                                          3-1
A' =       -1         3 -1
                                     V 4            -2 1
      Aplicînd proprietatea 5 avem det A' = — det A, lucru ce se poate verifica și direct
     aplicînd regula lui Sarrus. Avem det A = 10 și det A' = 5.
                               ; ii Io a două linii (sau coloane) ale unei matrice!
                        p . porționale, atunci determinantul matricei este nul.
         Demonstrație. Fie matricea A =                    îⁿ care liniile i și j sînt proporționale,
   adică există un număr a astfel încît ați = a.au oricare ar fi l = 1, 2, n. Apli.
   cînd proprietatea 5 rezultă că det A este produsul dintre numărul a și determinantul
   unei matrice care are două linii egale. Aplicînd proprietatea 4 rezultă că det A este zero.
Exemplu. Fie matricea
4                                         2-1
-3    7   -9
                             A =                i
                                     2    1-----
                                                 2
                                     5    8     9

           Cum linia 1 și linia a 3-a a matricei A sînt proporționale aplicînd proprietatea 6
           avem det A = 0.
     . ; Z ~                                    o matrice pătratică de ordinul n. Presu-
                   punem că elementele liniei i sînt de îorma
                   ci.. ■= a] 4- oricare ar fi j = 1, 2, n.
                  J k A’, respectiv A", este matricea care se obține din A
                  4 antele de pe linia i cu elementele (respectiv
                  a^), j 1, 2, n, atunci
det A = det A' + det A".            \

I         Demonstrație. Avem:
     det A = e(CT)aia(i)U2o(2) • • • aia(i) • • • ana(n) ⁼        e(°)ala(l)a2a(2) • • •  4
               csSₙ                                      oeSₙ
                + aia(i)) • ' • ana(n) =  e(c)aw(i)«2G(2) • • • ai₀(i) * • • ana(n) +
                                     a^snₑ
                 4 e(cr)aₗₒ(₁)aEₜ,{₂) • • • ai^i) • • • ana(n) — det A' 4 det A”.


-3
1
£
" 2
10

     Observații. 1) Proprietatea 7 se transcrie și astfel:

      2)  Folosind proprietatea 1 obținem pentru proprietatea 7 și varianta pe coloane,
        adică egalitatea:

«11 «12 •• «1/4-«1/ • •      «in
«21 «22 • • «2/ 4- «2/ • •   «2n
«ni «n2 • anj 4" Qnj       • «nn
«11 «12 . . a^j       «in    «u  «ia • . . +/ . . . «in
«21 «22 . . a2j . •   «2n 4- «21 «22    • «2/       «2n
«ni «na • anj       • «nn    «ni «na      anj ---   «nn

     Fie A =                   o matrice pătratică. Vom spune că linia i a ma-
tricei A este o combinație liniară de celelalte linii, dacă există numerele

aj, j — 1, 2, i — 1, î + 1, n, astfel încît

       aij = al«lj + «2«2j + ••• +                     + ai+lai+l,j + ••• +
oricare,ar fi j — 1, 2, n. Asupra numerelor aj nu se pune nici o condiție,
în sensul că unele dintre ele pot fi zero. Analog se poate defini ce înseamnă
că o coloană j a matricei A este combinație liniară de celelalte coloane.

Exemplu. Fie matricea

          Linia a 2-a a matricei A este combinație liniară de celelalte două linii. într-a-
         devăr, dacă considerăm numerele aj = — 1 și a₃ = 1 se observă că:
         -3 = (-1) «14-1- (-2); 3 = (-1) -2 + 1-5; -10 = ( — 1) • 4 + 1 • (-6).
Proprietatea,8. Dacă o linie (sau o coloană) a unei matrice pătratie< este
                combinație liniară de celelalte linii (sau coloane), ai» .
                determinantul matricei este zero.


b Demonstrare. Presupunem că linia i a matricei A este o combinație liniară de
   celelalte linii. Utilizthd proprietatea 7, determinantul matricei A este o sumă de deter-
   minanți care au două linii proporționale, deci, după proprietatea 6, stnt zero toți acești
I determinanți. Prin urmare și determinantul matricei A este zero.

Exemplu. Să considerăm din nou matricea de mai sus

                                  (1      2   4

-3    3 -10

-2    5  -6


          Cum linia a 2-a este o combinație liniară de celelalte două linii, rezultă că
          det A = 0.

Proprietatea 9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm l < »
                 altei linii (sau coloane) înmulțite cu același num;
                 această matrice are același determinant ca și mab /


31

         Demonstrație. Să presupunem eă A —                            și că la linia i adunăm ele.
    mentele liniei j înmulțite cu numărul a. Obținem astfel o matrice A' care are aceleași
   linii ca matricea A, în afară de linia i, ale cărei elemente sînt
   aiᵣ + aajᵣ, r = 1, 2, n.                                          ᵥ
    Folosind proprietatea 7, determinantul matricei A' este suma a doi determinanți
   dintre care unul este determinantul matricei A și al doilea determinant este deter-
   minantul unei matrice care are două linii proporționale. Conform proprietății, 6 acest
   al doilea determinant este nul. Prin urmare, det A' = det A.

Observație. Proprietatea 9 se transcrie astfel (pentru linii):

    «11       «12         . .      «m          «n «12       «in
w   au + aajx «12 4" aaj2 • . ain -f- aajn    «11 «12       «in
                                         1 4-                  
(j) «ji       aj2         • •        ajn      «ji aj2 . . . ajn
                          ......i..... .                       
    am        ana         ■ •      ann        «ni ana - • • «nn

Observație. Se poate constata că proprietatea 8 extinde proprietatea 6 și că proprietățile 4
            și 2 sînt cazuri particulare ale proprietății 6. Dar le-am dat datorită importanței
            lor și pentru o reținere mai bună.
Aplicație. Fie A = («ij)^^ o matrice pătratică. Matricea A se numește antisimetrică
dacă aij = — ați oricare ar fi t = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n. Dacă i = j obținem
că au = — au și deci au = 0. Rezultă că elementele de pe diagonala principală a unei
matrice antisimetrice sînt toate zero.
      Să arătăm că dacă A este antisimetrică și n este număr impar, atunci det J. = 0.
      Matricea A se poate scrie astfel:

                                  0    «12       aₗg . . . a!ₙ'
~”«12    0        023 ’ • • «2n
                                  «13  “«23    0    ... aᵢₙ

' ain    a2n     —asn • • • b /

Înmulțind fiecare linie cu —1, obținem transpusa matricei A. Aplicînd proprietatea 1 și
proprietatea 5 rezultă că

Fig. 1

det A = ( —l)ⁿ det A.
Cum n este impar, atunci
                det A — — det A
și deci
                      det A = 0.
      4.       Interpretarea geometrică a determinan-
        tului de ordinul 3. Fie u, v, t trei vectori
        necoplanari cu originea în punctul O (fig. 1)₆
        Volumul paralelipipedului construit pe vectorii
        u, v, t este egal cu valoarea absolută a expresiei
        (u X v) ■ t numită produs mixt.

32

Fie uₓ, uy, uz — componentele scalare ale vectorului w,
—►
wₓ, vv> vz ” componentele scalare ale vectorului v,
iₓ, tz — componentele scalare ale vectorului t.
Avem
—► —>                   —>              —>               —>
     u X v = (uᵥvz — uzvᵥ)a + (u^ₓ — uₓvz)b -j- (uₓvᵥ — uᵥvₓ)c
și deci
—► —> —>
     (u X v) • t = tₓ(uyVz — UzVy) 4- ty(uzVₓ — UXVZ) + tz(uₓVy — UyVₓY
Ținînd cont de formula determinantului de ordinul 3, putem scrie:

(uX v) • t —

tx
^x
VX

Vz

ty
Uy
Vy

Deci volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori este egal cu va-
loarea absolută a determinantului

                                   ^x ty ^z
                                   nₓ uy ^z
VX Vy Vz

     Ceea ce este interesant, este că fiecare proprietate a determinanților are
o interpretare geometrică. Să presupunem că unul dintre vectorii u, v sau t
este multiplicat cu un număr a; atunci volumul paralelipipedului se multi-
plică cu | a |. Această proprietate este corespondentul proprietății 5 de la
determinanți. Sau, să presupunem că există un număr a astfel încît v — ctu.
în acest caz vectorii u și v se suprapun și deci volumul paralelipipedului este
zero, ceea ce rezultă pe de altă parte folosind proprietatea 6.
     Dacă unul dintre vectorii u, v, t este zero, atunci volumul paralelipipe-
dului este zero. Această proprietate geometrică este corespondentul pro-
prietății 2 a determinanților.
     Căutați să interpretați geometric și celelalte proprietăți ale determinan-
ților.
      5.      Calculul determinanților. în cele ce urmează vom da un procedeu
        prin care calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unui
        anumit număr de determinanți de ordinul n — 1.

«ₙ «12 ... aₗₙ
j «21      ^22   ••• «2n


                           ®nl ®n2  ••• ^nn
un determinant de ordinul n. Determinantul de ordinul n — 1 care se obține
suprimînd linia i și coloana j din determinantul d se numește minorul ele-
mentului și se notează cu d^. Numărul
| aᵤ = (-1)^ |
se numește complementul algebric al elementului in determinantul d.



3 — Matematică — Elemente de algebră superioară cl. a XI-a

33

    Evident, unui determinant de ordinul n i se pot asocia n² minori de
ordinul n — 1 și respectiv n² complementi algebrici.

Exemplu. Fie determinantul de ordinul 3
1

d =

1_

2

-1

3

1

Minorii elementelor din d sînt în număr

4
de

  5
9. Aceștia sînt următorii:

^81 —

-3
4

-1
4

-1
-3

= -19; d₁₂

= —13; d₂₂ =


    £

o
1
o
2

dᵤ
2    ¹³

= 5;

^23 —

1
2
0
1
0
-1

-3

4
-1 I
4

= 2;

= 4;

— 0, d₃₃

-3

Complemenții algebrici ai
Sₙ = (-i)i₊M₁₁ ₌ _₁₉;

elementelor

din d sînt:

5
812 = (-IJ^ia = - -

S₂₂ = (-i)²⁺²^₂ = 5 ;
832 = (-l)²*²^ = 0;


§23 = (-1)^23 = - 4;

833 = ( l)³⁺³^33 =   —•

1
5

2
5

2
1

— 5>       —

S₂₁ = (-l)«%ₓ = 13;
8„ = (-l)²⁺¹^i = 5;

0

1
£
2

1

1

5
2
5

1
£
2

£
2

Sn = (- 1)j⁺M₁₃ = 2;

Teorema 1. Fie determinantul de ordinul n, d = |   |      • Atunci pentru

              orice 1 i n, are loc egalitatea:

(1)

d — A ai2^i2 H •” ^in^in"

Egalitatea (1) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după linia i.

         Demonstrație. Vom nota cu S suma

«S =        4- OiZ8i₃ 4- ... 4- Uiₙ%iₙ.

(2)

   Să considerăm termenul = { — i)ⁱ⁺iaijdij din suma (2). Să presupunem mai întîi
   că i — j — 1. în acest caz un termen oarecare din dezvoltarea determinantului d^ de
   ordinul n — 1 este deforma a^a^ ... aₙkₙ unde/c₂, k₃,..., kₙ sînt numerele 2, 3,...,n,
   eventual în altă ordine. Rezultă că termenul 0^*0^ ... este un termen al de-
   terminantului d. Semnul termenului         ... aₙhₙ provenit din dezvoltarea deter-
   minantului dₙ este egal cu (—ip unde l este numărul de inversiuni ale permutării

h:.
Deci semnul termenului aₙa₂fₜ a₃ₖ

3 ...
k₃
"• anhₙ

n 1
   J
provenit din produsul aₙ8ₙ este

          Pe de altă parte, semnul termenului                            ... aₙₕₙ în dezvoltarea deter-
    minantului d este egal cu ( — l)r unde r este numărul de inversiuni ale permutării
7 1 2 3 ... n
t 1 kz k₃ ... kn I

34

   Cum k₂ >1, k₃ > 1, kₙ > 1, permutările a și r auacelași număr de inversiuni;
   deci r = l. Prin urmare termenul a^a^ ... aₙkₙ, provenit din produsul
   are același'semn cu cel provenit din dezvoltarea determinantului d.
         Trecem la cazul general. Vom proceda în modul următor: vom schimba liniile și
   coloanele în așa fel încît elementul aa să vină în locul elementului aₙ și minorul
   să rămînă neschimbat. în acest fel linia i și coloana j devin linia 1 respectiv coloana 1;
   linia 1 devine linia 2, linia 2 devine linia 3, .... linia i — 1 devine linia i; coloana 1
   devine coloana 2, coloana 2 devine coloana 3, ..., coloana j — 1 devine coloana j.
         Determinantul obținut prin aceste schimbări îl notăm cu d'. Aplicînd proprie-
   tatea 3 a determinanților, avem
d = (-IJi+jcT.                                  (3)
   în plus dn = dij. Dacă           ...               ...aₙkₙ este un termen oarecare din
   dezvoltarea determinantului d^, din egalitatea (3) și ținînd seamă de prima parte a de-
   monstrației, rezultă că semnul termenului ( —             ... ai_₁kᵢ_₁aijai₊₁kᵢ₊₁ ankₙ
   provenit din produsul este același cu cel dat de dezvoltarea determinantului d.
   în concluzie, fiecare termen din produsul aijSij luat cu semnul său este un termen cu
   același semn, al determinantului d. Cum produsul aijdțj conține (n — 1)1 termeni,
   atunci toți termenii care apar în suma (2) sînt în număr de (n — l)!n = ni. Deci în
   suma (2) se găsesc toți termenii (inclusiv semnul) determinantului d. Deci are loc egali-
   tatea d — S.
Consecința 1. Fie d = |        | i^ₙ un determinant de ordinul n. Pentru orieo
                j i are loc egalitatea
-ț"        4~   4" ain^jn = 0.

Demonstrație. Considerăm determinantul

     au  «13 ..   «m       
d' = aii ai2 •• ain    (•■)
     «ii ai2       ain (jj 
     am  ana ..    ann     

   care s-a obținut din d prin înlocuirea liniei j cu linia i. Cum d' are două linii egale,
   aplicînd proprietatea 4 a determinanților, avem d' = 0. Dezvoltînd determinantul d'
   după linia j (conform teoremei 1) obținem egalitatea căutată.
Din proprietatea 1 a determinanților și teorema 1 obținem
Teorema 2. Fio determinantul de ordinul n, d = | a^ li^n- Atunci pentru
             orice 1 < j n are loc egalitatea
d —       4" aZj^Zj + ••• 4“ anj^nj •                 (- )
Egalitatea (!') poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după co-
loana j.
Consecința 2. Fie d = | a^ [ i^ₙun determinant de ordinul n. Pentru orice
              i j are loc egalitatea
+ aZj^2i 4"    4" Uniuni = 0.

35

3*

  Demonstrație. Se aplică proprietatea 1 a determinanților și consecința 1.
   După cum se observă, teorema 1 cît și teorema 2 dau procedee prin care
calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unui anumit
număr de determinanți de ordinul n — 1. Pentru a simplifica calculele, în
aplicații, vom face dezvoltarea ănui determinant după acea linie sau coloană
caro are cel mai mare număr de elemente egale cu zero. Din aceste motive,
la calculul unui determinant vom aplica sistematic cele 9 proprietăți ale
determinanților pentru ca, pe o anumită linie sau coloană, să obținem cît
mai multe elemente egale cu zero.
Exemple. 1) Să calculăm determinantul de ordinul 4:
12-14
,   314-5
2   0   1-1
6-5     4-4

Cum linia a treia conține un

element nul vom face dezvoltarea determinantului

după linia a treia:

+

Calculăm primul determinant de ordinul 3:

 2-1    4
 1   4-5
-5  4 — 4

-3   3  0
1  4 -5
-5   4 -4

-3
1
-5

  0
  5
-1

0
-5
-4

= -3

-5
-4

75.

5
—1

         La calculul acestui determinant am procedat astfel: mai întîi am adunat linia 3
        la linia 1 și apoi am adunat coloana 1 la coloana 2. în final am dezvoltat deter-
        minantul după prima linie.
        Calculăm al doilea determinant
    ¹            ²    ⁴     7 -3     0         , _₅         ₃ _₅
    3            1-5 = 3         1-5=7 ₑ ,             4- 3        =
    6            -5 -4      6 -5 -4            5   4        | 6  4
= 7 • (-29) 4- 3 * 18 = -149.
         La calculul acestui determinant am adunat mai întîi linia 3 la linia 1 și apoi
        am făcut dezvoltarea după linia 1.
        Calculăm al treilea determinant:

1 2
3 1
6 -5

-1
  4
  4

1 2
3 1
6 -5

0    10 0
7 = 3 -5 7
10  6 -17 10

-5
-17

7
10

= -504-119 = 69.

36

La calculul acestui determinant am procedat astfel: mai întîi am adunat
coloana 1 la coloana 3, apoi am înmulțit prima coloană cu —2 și am adunat-o
la coloana a doua. în final, am dezvoltat determinantul după prima linie,
Deci valoarea determinantului d este:

             d = 2 • 75 - 149 + 69 = 70.
2) Să calculăm determinantul de ordinul 4:
                  -2   5   0 -1
                   10     3  7
             d =
                   3-1    0  5
                   2    6-4  1

Cum coloana a treia conține două elemente egale
după această coloană:

cu zero vom face dezvoltarea

-2

5 -1

d = ( — 1)2+3 . 3

-1   5

+ (-l)^

■ (-4)

  5 — 1
  0     7
-1     5

6     1

1
3

Calculăm primul determinant de ordinul 3:

  —2    5—1  0 11 0
   3 -1    5=3—15
   2    6  1 2  6 1


3
2

5
1

-11

= 77.

La calculul acestui determinant am adunat linia 3 la prima linie și apoi am
dezvoltat determinantul obținut după prima linie.
Calculăm al doilea determinant:

13

+ 13

0
-1

= 80— 13 = 67.

7
5

La calculul acestui determinant am înmulțit linia a 2-a cu 2 și apoi am adunat-o
la prima. în final, am făcut dezvoltarea după prima linie. Valoarea determinan-

tului d este

       d = (— 1)2+3 . 3 . ₇₇ ₊ (_!)«+» - ( — 4) . 67 = -231 + 268 = 37.
3)  Să calculăm determinantul

«n  0   0   .. 0     
®21 a22 0   ..    0  
    ®32 a33 .. 0     
    ana ana • • • ann

Facem dezvoltarea după prima linie și obținem

                             a₂₂    0      0     ...    0
                             a32    a83    0     ...    0
                    — C11

Gna ............ ann

37

d — «11«22

             în continuare facem dezvoltarea tot după prima linie și obținem
                                         «33  0      ...     0
«48  «44           0

                                         «na   «714  •••   ann
             Continuînd procedeul ca mai sus obținem în final că
d = «ii«22«sa • • • ann-





Exerciți


4.   Să se calculeze determinanții de ordinul doi:

a)

-1

7

¹ L
8 ’

b)

-2
-5

1
-1 ’

c)

a
-b

b

a

    cos a
d) .
    sin a

—sin a

cos a

sin
sin

a
P

cos a

       ; f)
COS P'l

1
1 - i

1

2

2

logₐ6
logdC

logLd
logba

j)

>8

(O

k)

2a

  2-1/5
]/~2 - ț/'3
  23

2-3 2“«

1

—

-1 W

6²

ab

2ab

a-

a²



-0

b²

a‘

ab

b²

a²

2ab

        I ab
8. Cu ce semn

b²

a²

2ab

b²

a'

vor

apărea în

determinantul

de ordinul 5 termenii:

    a) «14«23«31®45°52 ) b) «12«25a33a41°M ’ C) a13«25«S4a41aS2 ?
4.  în determinantul de ordinul 4, se găsesc termenii următori:
   a) «13« 4«33«42 > b) «14«23«33«41»    $) «ț2«21«34«44 ?
5.  Cu ce semn apare, în determinantul de ordinul n, produsul elementelor de pe diagonala
   principală?

6.  Cu ce semn apare, în determinantul de ordinul n, produsul elementelor de pe diagonala
   secundară?

7.   Să se scrie toți termenii care apar în determinantul de ordinul 6 și care sînt de forma
   «i6a84aah₃a4ioik₆«42 •

38

8. Folosind numai definiția determinanților

determinanți:

de ordin n, să se calculeze următorii

a)

o ■ b)

0    0...          0    1
0   0    ...  0    2    0
O   O    ...  3    O    O

0      0       0      ... n

n O              0   0

1    0
0    2
0    0

0
0

9.  Fie d = |          unde aa sînt numere complexe. Dacă a^j = ă# oricare ar fi i = l,

    2,      ..., n și j = 1, 2, ..., n, să se arate că d este un număr real.

10. Să se calculeze

determinanții

g)

a)

d)

O
-1
-2
-3

2
1
1
1

1
2
1
1

1
1
2
1

1
1
1
1

1
2
3
4

2
3
4
1

3
4
1
2

4
1
2
3

c)

-1
-1
  O
  4

2
4
2
3

4
1
1
2

  5
2
-2
  1

-1
  2
  5
  2

O
-1
-1
—2

1
3
1
4

2
4
1
1

1
1
2
3

1
2
3
4

1
3
4
5

1
4
5
6

2
1
O
O

1
2
1
O

O
1
2
1

O
O
1
2

. 1
O
-3
—4

  2
  3
  O
-5

3
4
5
O

h)

—a
-b
—c

  a
O
-d

i -4
O

-i
o

  1
  3
-3
-1
  4

2
O
1
3
O

-2
  1
-3
-1
  2

1
-5
  1
O
5

11.  Să se verifice

egalitățile:

a)

b)

d)

a b
a* 4- b²
a⁹ + b»
a — b —

b + c
b* + c»
i³ + c»

c’

c⁸

a²
a⁸

= 2abc(a — b){b — c)(c — a);

x‘

yz

a’

a¹

2b

2c

zx

3a⁸

2a

2a

b - c-

2b

= (a + b + c)⁸;

2c

Z‘

xy

= {xy + yz + zx)(x — y){y — z)(z — x);

3a

a* + 2a
2a + 1
3

2a + 1

= (a - l)⁸.

; b)

; e)

o

b
d
O

c

5

c

c

a

x

y

z

—e

e
f
O

a

c — a — b

c)

V

1

a

1

1
1

1

; f)

3

39
12, Să se rezolve ecuația:                                     
            o2 --- x            ab                ac           
               ba                  b2 --- x       bc           
 ca                                   cb       C2 --- X    • 0.
13, Să se rezolve ecuația:                                     
 X                              0    -1        1   0           
 1                              x    --- 1     1   0           
 1                              0 x ---1       0   1  = 0.     
 0                              1 -1           x 1             
 0                              1 -1           0 x             
14. Să se rezolve ecuația:                                     
                                x a a          a               
                                axa            a               
                                                     0.        
                                a a x          a               
                                a a a          X               
15. Să se calculeze determinantul de ordinul   n:              
                                         L a a       a         
                                 a --- 1    a        a         
                                i   a ---1     ...   a   •     
                                        a a a        -1        
16. Să se calculeze determinantul                              

X₂ ^8
X₂ X₃ Xj
X₃ Xi x₂

                știind că xₙ x₂, x₃ sînt rădăcinile ecuației x³ — 2x⁸ 4- 2x 4- 17 = 0.
             17» Să se calculeze determinantul

xx X2    x4
x2    x4 xt
x3 *4 XX ^2
«4 X1 *2 X8

                 știind că xₓ, xₐ, x₃, x₄ sînt rădăcinile ecuației x⁴ 4- pxa 4- qx 4- r = 0.
            18.  Să se demonstreze prin inducție după n că determinantul

1    1   1   
«1   a2      
     02  an  
     n-1     
«l-1 02  an-1

               este egal cu            (a, — aj).

40

CAPITOLUL IV



            Rangul unei matrice.
            Matrice inversabile



    1.     Rangul unei matrice. Să considerăm o matrice A cu m linii și n coloane
cu elemente numere complexe,

®12  •••  ^ln
^21   ^22  '*■  ®2n

x&Tnl ••• ^mn.



iar k un număr natural, astfel incit 1 < k < min (w, n) (prin min (m, n)
înțelegem cel mai mic dintre numerele m și n).
     Dacă în A alegem k linii: i^ i₂, ..., in și & coloane: j₂, elemen-
tele care se găsesc la intersecția acestor linii și coloane formează o matrice
pătratică de ordin k:

fahh           • aidk '          
I aWi             • aWk E ^ft(C),
      aikh ' •    aikiJ          

al cărei determinant se numește minor de ordin k al matricei A-
    Observăm că din matricea A se pot obține             minori de ordinul k
ai matricei A.
    în continuare ne va interesa să aflăm ordinele minorilor nenuli ai ma-
tricei A și în special ordinul cel mai mare al acestor minori (nenuli).
    Să considerăm A 0ₘ,ₙ o matrice cu m linii și n coloane. Cum matri-
cea A are elemente nenule, există minori nenuli de un anumit ordin k > 1.
Dar mulțimea minorilor matricei A fiind finită este evident că există un
număr natural r, 1 min. (m, n), astfel încît să avem cel puțin un minor de
ordin r nenul, iar toți minorii de ordin mai mare decît r (dacă există) să fie nuli.
Definiție. Fie A E J^ₘ,n (C) o matrice nenulă. Spunem că matricea A are rangul
r, și scriem rang A = r, dacă A are un minor nenul de ordin r,
iar toți minorii lui A de ordin mai mare decît r (dacă există)
sînt nuli.
    Dacă A este matricea nulă, convenim să spunem că matricea are rangul 0,
adică rang = 0.

Pentru calculul rangului unei matrice este utilă teorema următoare.
Teorema 1. Fie A / 0ₘ>ₙ o matrice. Numărul natural r este rangul matricei
A dacă și numai dacă există un minor de ordinul r al lui A,
nenul, iar toți minorii de ordinul r + 1 (dacă există) sînt nuli.
      Demonstrație. Dacă r este rangul matricei A, atunci toți minorii de ordin mai
  mare decît r sînt nuli; deci și cei de ordin r + 1 sînt nuli. Pentru a demonstra reciproca,
  este suficient să observăm că dacă, toți minorii de un anumit ordin 7c ai matricei A
  sînt nuli, atunci sînt nuli și minorii de ordin 7c + 1 ai matricei. într-adevăr, dezvoltînd
  un minor de ordin 7c + 1 după elementele unei linii (sau unei coloane) obținem o sumă
  de produse, în fiecare produs fiind ca factor un minor de ordinul 7c al matricei. Aceștia
  fiind nuli rezultă că suma este nulă, adică minorul de ordin 7c + 1 este nul.
Exemple. 1) Să calculăm, rangul matricei
                        (32-5          4\
3-1      3    -3 •
3    5 -13    117

         Calculăm minorii de ordinul al treilea ai matricei A și găsim că toți sînt nuli:

3 2   -5      3    2      4       3     -5    4                   2-5  4
3 -1    3 =   3 -1  -3         3          3  -3         =    -1    3  -3
3 5 -13       3    5    11        3    -13   11              5 -13    11
  Deoarece există minori de   ordinul  al doilea nenuli,  ca de exemplu:

= 0.

          rezultă că rang A = 2.
          2) Să calculăm rangul matricei

Calculînd minorii de ordinul

al patrulea, găsim că minorul

1 1 1   1      
1 2 3   4      
1 3 6  10 = l#0
1 4 10 20      

          este nenul și nu există minori de ordin mai mare (matricea avînd patru linii).
         Deci rang B = i.
     Calculul în acest mod al rangului unei matrice este în general anevo-
ios. Vom da ulterior un mod de calcul mult mai simplu al rangului.
     Vom expune acum un rezultat util pentru unele considerații asupra
rangului produsului a două matrice.
Teorema 2. Fie A E            Și # G două matrice. Atunci orice minor
             de ordin A, 1 < k < min (m, 5), al produsului de matrice AB
             se poate scrie ca o combinație liniară de minori de ordinul k ai
             matricei A (sau, că o combinație liniară de minori de ordinul k
             ai matricei B).

42

      Demonstrație. Fie A = {aij)^^ și B = [bij] ^.^cele două matrice, Atunci

l<j<n

i^s

produsul lor se scrie:

i n           n             n
53 aihbhi 53 aihbh2 53 aihbhs
h=l            h=l

             AB =


amh^hi ^3 ^h^ha • • • ^~^amh^hs


Să considerăm un minor 8 de ordin k al matricei AB, situat la intersecția liniilor
4, i₂, ..., ik, și coloanelor jᵤ j₂, •••> jk-

    n         n               n           
    53 ai^bhj, ai^bhj, ...                
    fel      fel                          
    53 ai^bhj, 53 ai^bhj, ..  TI          
8 = h=l       fel             23 ^hj      
                              fel A       
    n          n              n           
    53             aikhbhjt • ■ 53 aihhbhi
                                  fel     

3

A

lui 8 este suma a n termeni, 8 se poate descompune,
într-o sumă de n^ minori deforma:

Deoarece fiecare element al
folosind proprietatea 7 din
aijiibhij.

Cap. III, pct.
aî^^hj,
aijh^hJ,

^'A
“^A

ai^tiᵢbhₛj₁

a\hkhkh I

= bhyj^h^ ... bₕjₖ

             a^h.
a^h,  ai,h.    ii
ajaA,       ..   
      ^i.h       
aikh^  fl   - a‘A

Deci 8 este o combinație liniară de minori de ordinul k ai matricei A.
     Analog se arată că 8 este o combinație liniară de minori de ordinul k ai matricei B.
Din această teoremă se deduce următoarea:
Consecință. Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal cu
            rangul fiecărei matrice.

      Demonstrație. Intr-adevăr, fie A și B două matrice astfel încît să putem efectua
produsul AB, și să presupunem că toți minorii de ordin k ai lui A (sau ai lui B)
sînt nuli. Conform teoremei precedente rezultă că minorii de ordin 7c ai matricei AB,
care sînt combinații liniare de minorii de ordin 7c ai matricei A (sau ai matricei B)
sînt, de asemenea, nuli. După definiția rangului unei matrice, rezultă deci că:
rang {AB\ rang A și rang (AB) rang B.
Observație. Nu există o relație bine determinată între rangurile factorilor și rangul pro-
            dusului de matrice, după cum se poate vedea din exemplele următoare:
                              70    O'j  /2  OA   _  fO  OA
(4    Oj   (o  oj   “  ț8 OJ
                              72     OA  70  OA    70    OA
                              (O     oj  (4  oj   “  (o Oj’
            în aceste două exemple în care se înmulțesc matrice de rang 1, produsul
            este, în primul caz, de rang 1, iar în cazul al doilea de rang 0.

43

    2.      Matrice inversabile. O matrice pătratică se numește singulară (sau
degenerată) dacă determinantul său este nul, și se numește nesingulară (sau
nedegenerată) dacă determinantul său este nenul.
    Amintim că am notat cu Iₙ matricea unitate de ordin n, adică matricea

pătratică cu n linii și n coloane:   
        /I 0 ..       ■             
4=             0 1 .. . 0           

\0 0 ... 1/
     Matricea Iₙ comută cu orice matrice A de același ordin cu ea; mai mult:
AIₙ = IₙA = A.                                (1)
Definiție. Fie A o matrice pătratică de ordin n. Se spune că A este inversabilă
           dacă există o matrice B pătratică de ordin n astfel încît
AB = BA = Iₙ.
     Matricea B se numește inversa matricei A.
     Observăm, de asemenea, că și A este inversa lui B.
Teorema 1. Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică.
        Demonstrație. Fie A o matrice pătratică de ordin n. Să presupunem că B și B'
   sînt două matrice de ordin n, astfel încît
AB = BA = Iₙ și AB' = B'A = Iₙ.
        Folosind asociativitatea produsului de matrice, avem
B' = B'Iₙ = B'(AB) = {B'A)B = IₙB - B-
   deci B — B'
     Notație. Inversa matricei A, dacă există, se notează cu A⁻¹.
     Din relația
                              A A-¹ = A-¹ A = Jₙ,
rezultă că (A”¹)"¹ = A.
     în continuare vom studia problema existenței inversei unei matrice
pătratice date. Mai întîi demonstrăm următoarea
Teorema 2. Fie A o matrice pătratică de o,rdin n cu coeficienți numere com-
             plexe. Atunci matricea A este inversabilă dacă și numai dacă
             det A este nenul (adică A este nesingulară).
     Demonstrație. Să presupunem că A este o matrice inversabilă de ordin n;
atunci există A⁻¹ astfel încît:
= I„                                 (2)
(Jₙ este matricea unitate de ordin n).
     Este evident că rang Iₙ = n. Conform consecinței din paragraful pre-
cedent avem că rang (AA⁻¹) < rang A. Cum rang (AA"¹) = rang Iₙ= n,
rezultă că n rang A și deci rang A = n. Așadar, ordinul celui mai mare
minor nenul al lui A este n, acesta fiind tocmai det A. Deci det A / 0, adică
A este nesingulară.
     Reciproc, dacă A este o matrice nesingulară, adică d = det A 0,
demonstrăm că ea este inversabilă, construind efectiv inversa sa.

44

Definim mai întîi o

matrice ajutătoare. Dacă A este matricea de ordin n:

atunci matricea

A =

A* =

      «12   ••    «In
«21   «22   •• •  «2n
A «nl «n2  •     «nn/
Ai    Al •         Al
A12    A22 •       A2
An    ^2n •    • ^nn 

al cărei element aparținînd liniei j și coloanei i este complementul algebric
al elementului din matricea A, se numește matricea adjunctă matricei A.
    Să calculăm produsele AA* și A*A. Folosind formula de dezvoltare a
unui determinant după elementele uneia dintre linii (sau coloane), cît și faptul
că suma produselor dintre elementele unei linii (sau coloane) a unui deter-
minant și complemenții algebrici ai elementelor corespunzătoare ale altei linii
(sau coloane) este nulă (vezi, Cap. III, pct. 5, consecința 1), obținem:

AA*=A* A =

,d 0 0

0\
o

(3)

\0 0 0

d)

0 d 0

unde d este determinantul matricei A.
obține:

împărțind prin d egalitățile (3), se

fi A i 1   1   1
M7 A⁼ 17 A* p = 7

fd    0      0      ...     0>
0    d      0      ...     0

/I 0 0
0 1 0

0\
0

\0 0 0 ... d)

\0 0 0

V

Așadar, A (7-      A =          In și deci A este inversabilă.
Avem A-1  " d A*, sau explicit                                
                        An          An     Ani 1              
                        d           d      d                  
              A'1-     A12         A 22     Anz   0           
                        d           d        d                
                   Am              Ajn     Ann                
                   i d              d      dl                 

    Deci inversa unei matrice nesingulare A se obține împărțind elementele
matricei adjuncte A* prin d = det A.

45

Observații. 1) Dacă A este o matrice nesingulară, deci inversabilă, atunci X”¹ este, de
            asemenea, inversabilă ((/4~ ¹)~¹ = Z) și deci nesingulară.
          2) Dacă A este o matrice nesingulară, atunci matricea sa adjunctă A* este
          nesingulară.
            într-adevăr, dacă A este o matrice de ordin n, nesingulară, avem relația

AA* = A*A

/d 0 0 ...                0\
0 d 0 ...               0

\0 0 0 ... d/

          unde d = det A și A* este matricea adjunctă.
              Este suficient să observăm că rangul matricei din dreapta egalităților (4)
          este n și, ca în teorema precedentă, rezultă că rang A* = n, adică det A* 0.
          3) Dacă A e ^ₙ(Q) (respectiv ^ₙ(R)) cu det A 0, atunci A~x
          (respectiv ^ₙ(R)).
Exemplu. Fie matricea
                               (223

1 -1   1
-1    2  1

Calculăm determinantul său și obținem

  2
  1
-1

-1 1
2 1

2 3

= - 7 / 0.



Determinantul său fiind nenul, matricea A este inversabilă. Avem

                               (Aₙ            \
                                 •^12 ^22 ^32 | •
^12  ^22 ^33 /

ș.a.m.d.

Deci

Să calculăm Aij, 1 < i, j < 3. De exemplu,


    ⁵ \

  1 | și astfel
-4 /

7       7
     2             5
     7            ”7
     2.            £
i 7            7


5/
' 7

    £

' 7
4

46

Observații. 1) în exemplul precedent matricea X e ^₃(Z) are ca elemente numere
           întregi, iar elementele lui A⁻¹ nu sînt numere întregi, adică A nu este inver-
           sabilă în
                 Este evident că, dacă Xe^ₙ(Z) și det A — ± 1, atunci A~leJ[ (Z),
           adică A ește inversabilă în ^^(Z).
            2) Fie A și B două matrice pătratice de ordin n astfel încît A să fie nesingulară
            (deci există Să considerăm ecuațiile matriceale:
AX = B, YA — B.                                     (5)
            înmulțind prima ecuație la .stînga cu A~l și pe a doua la dreapta cu A~\
           se obține:
A-^AX) = A^B, (YA)A-¹ = BA⁻¹.
           Folosind asociativitatea înmulțirii matricelor, rezultă
X = A^B și Y = BA-¹.
                 în general, soluțiile ecuațiilor (5) sînt matrice distincte, deoarece înmul-
           țirea matricelor nu este comutativă.
           De exemplu, fie matricele

           Matricea A este nesingulară, avînd determinantul 1.
           Deci există matricea A-¹, care este

Soluțiile ecuațiilor matriceale:



Să se calculeze rangurile matricelor:

2
6

a)

5
15

-1
2

2. a) 4
\3

8. a)

/3
4

2
<3

-1
  1

c)

a e C.

a

4

2

-1

0

10

1
3

3

0

0
0

c.

3\
0

2
0/

1

2

5

1

2

1

3

2

8

6

0

2

3
2

47

4. a)


        7

5.


    / 3           2 0

     -1            5 2

       6          — 12 3

      10            2 7

   1 1
         a₂
    2        2
  ai       02

\  ai   02


  1
  3
-7
1

10 7       \3

  ⁴
  0
-1
  4

  2    2  3
  3 -3    1
-1 ⁴ -1
  3 -2 -9.

unde m n, iar a₁} a₂, .... aₘ sînt numere diferite

⁴ \         /5

între ele două cîte două.
6. Să se afle valorile posibile
/O
/ O

O

ale rangului matricei
  0       ...    0       aᵢₙ   \
  0       ...    0       a₂ₙ

                               0     ...   0       aₘ,n-i
                               amz   •••   am>n~i amn    '
  unde aiₙ(l < i < m) și aₘj(l < j < n) sînt numere oarecare.
7.  Să se afle valorile lui aeC, pentru care matricea
                                      1    1    3\
                                      2-1       4
                                      3    5-3
-5     3   1/
  are rangul minim.
8.  Să se calculeze rangul matricei
                               2    a -2        2
                               ⁴    —1 2a 5
                               2    10 -12      1

   pentru diferite valori ale lui a e C.
9.  Să se demonstreze că rangul unei matrice nu se schimbă dacă:
  a)    se transpune matricea;
  b)     se înmulțesc elementele unei linii sau unei coloane cu un număr nenul;
  c)    se permută între ele două linii (coloane);
  d)   se adaugă la elementele unei linii (coloane) elementele corespunzătoare ale altei linii
  (coloane) înmulțite cu un număr oarecare.
   Să se afle dacă matricele următoare sînt inversabile și în caz afirmativ să se găsească
   inversele lor:

fi
10.  a)
        l 3

( d

11-  a)

l c

c)

cosa
șina

— sin a’
cos a,

b) I I, unde a, b, c, d e R.
  \—b al

  2 3X
-1   0
  2 a)

unde a s R.

48

2
1

14. a)

15.

(1

*

1


z¹
1

-1

Fie matricele:

  1
-1

-1

1
0;

Să se calculeze:

  1
-1

-1
  1

î b)

-1

b)

— Iz
2

-5

-3
1>

-2

, unde X e C.

Ș>

  3
-3
  O

1
1

1
O

1

\1

~1

1
O

1

1

1

o
o

O

O

1

o

1
1

1

1

1
O

0

1

A

1

2

4

1'

1
1
O

1
1

X

1

1

1

1
O

c) ¹ X

1

1

1
1
X

3

0

2

— 5

1

3

1

B =

O
2

4
5

2z4 - 2B; AB\ B~x\ B + B~l.

16.

17.

Să se afle cum se modifică inversa A~x a matricei A, dacă asupra lui A se efectuează
una dintre transformările:
a)  se permută între ele două linii (coloane);
b)  se înmulțesc elemf ițele unei linii (coloane) cu un număr nenul;
c)  se adaugă la elementele unei linii (coloane) elementele corespunzătoare ale altei
linii (coloane) înmulțite cu un număr oarecare.
Fie A și B matrice inversabile de același ordin. Să se arate că următoarele egalități
sînt echivalente:

Să se

       AB = BA-, AB~X = B-¹ A; A~x B = BA~X; A~x B~x - B~x A~x.
rezolve următoarele ecuații matriceale:

18.

-1
5

7-2
8

19.

-1
-3

20.

2’
1

-1
  2

' 8
.-4
5

13


3\

-1

21.

z¹
o
o

-1

-3

1
1
O
o

1
1
1
O

1
o
o
o

ii
2
1
0
0

-5

3
2
1
O

4
3
2
1

-1

-1

1
3

1

O

2

1
1

2

2

3

2

1

1

3

1

2

— 3
2

O

1

22.

    -1

1

O

1

o

O

     -4



1
1

1

O

2

1

o

o

o

4 — Matematică — Elemente de algebră superioară cl. a Xl-a


49

CAPITOLUL V



            Sisteme de ecuații liniare



    1.      Noțiuni generale. în acest capitol ne vom ocupa de sistemele de ecuații
algebrice de gradul întîi cu mai multe necunoscute sau, așa cum li se mai
spune de obicei, sistemele de ecuații liniare.
     Studiul acestora este foarte important pentru matematică. Spre deose-
bire de clasele anterioare, vom studia acum sistemele cu un număr oarecare
de ecuații și de necunoscute, chiar și cazurile cînd numărul de ecuații ale
sistemului nu va fi egal cu numărul necunoscutelor.
     Fie dat un sistem de m ecuații cu n necunoscute. Convenim să notăm
necunoscutele prin:     Xz, ..., xₙ, coeficientul cu care apare necunoscuta Xj
din ecuația a i-a prin: a^ iar membrul al doilea (numit termenul liber) din
ecuația a i-a prin bᵥ Cu aceste notații, sistemul de ecuații liniare se scrie
sub forma generală:
                      «11^1 + «12^2 +       + dlnxn = ^1,
                      «21^1 + «22^2 + ••• + «2n£n = ^2,
                    ' ................................... (1)

                     «ml^l 4“ «7n2^2 4“ ••• 4“ ^mA ⁼
     Sistemul (1) poate fi scris condensat sub forma:
                           n
£ a^ =        1 < i < m.                        (!')
                          3= 1
Coeficienții necunoscutelor formează o matrice cu m linii și n coloane:

    K «ii «12  • «In^
A = «21   «22 •   «2n
    \ «ml «m2 • ^mn' 

(2)

numită matricea coeficienților sistemului sau, simplu, matricea sistemului.
Matricea cu m linii și n 4- 1 coloane
<«11   «12   ••• «In &i>
___  «21    «22  •••  «2n    ^2

\«jni am2 amn

50

câre se obține adăugind la coloanele matricei A coloana termenilor liberi
              se numește matricea extinsă a sistemului.
     Un sistem de numere oq, a₂, ...,aₙ se numește soluție a sistemului (1),
dacă înlocuind necunoscutele xₜ, x₂, ..., xₙ respectiv prin aceste numere,
toate ecuațiile acestui sistem sînt verificate, adică
n
                              a^a-j = l^i^m.

     Un sistem de. ecuații care nu are soluții se numește incompatibil.
Așa este, de exemplu, sistemul:
                             |3^i -j- 5^2 ⁼⁼ 2,
3$i + 5^2 = 9.
Deoarece primii membri ai celor două ecuații ale sistemului sînt aceiași,
iar membrii ai doilea sînt diferiți între ei, este evident că nici un sistem de
valori ce înlocuiesc necunoscutele Xi, x₂ nu poate satisface simultan ambele
ecuații.
     Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește com-
patibil. Un sistem compatibil se numește determinat dacă are o singură soluție,
și se numește nedeterminat dacă are mai mult decît o soluție.
Astfel, sistemul
                              I^i + 3^2 = 7,
Xi + x₂ =5
este determinat, deoarece are soluția xₜ = 4, x₂ — 1 și aceasta este singura
soluție a sistemului.
     Sistemul
                              I2xi — x₂ = 1,
^Xi — 2x₂ = 2
este nedeterminat, deoarece are mai multe soluții (chiar o mulțime infinită
de soluții) xₓ = k, x₂ = 2k — 1 , k fiind un număr arbitrar.            (3)
     Observăm că soluțiile care se obțin din formulele (3) ne dau întreaga
mulțime de soluții a sistemului.
     în legătură cu sistemele de ecuații liniare ne punem problema stabilirii
unor metode care să ne permită să decidem dacă un sistem de ecuații dat
este compatibil sau nu, iar în cazul în care este compatibil, să putem spune
dacă este determinat sau nu, și să dăm procedee de găsire a tuturor soluțiilor
sale.
    2.     Regula lui Cramer. La început vom relua rezolvarea unui sistem de
ecuații liniare de trei ecuații cu trei necunoscute, expusă în cap. III, pct. 1.
     Să considerăm sistemul:
| ^11^1 + ^12^2 + «13^3 = bi,
                       îi «21^1 + ^22^2 3“ ^23^3 ~ b₂,                  (1)
( «31^1 4~ «32^2 + O33X3 = b₂.

51

4*

Matricea sistemului este:

                                  (#11     #12   #13 A
                                     #21   #22 #23 I  •
                                     #31   #32   #33 /

     Să presupunem că determinantul d = det A al matricei A este nenul.
     Numărul d = det A se numește determinantul sistemului.
     Să notăm prin X respectiv B, coloana necunoscutelor, respectiv a
termenilor liberi, adică

                               (xî\
X = j 3^2 I , 5 = I Z>2 I *
\x₃J               \b₃)
     Numărul coloanelor matricei A fiind egal cu acela al liniilor matricei X,
produsul AX se poate efectua și este egal cu coloana primilor membri ai
ecuațiilor (1). Astfel, sistemul (1) se poate scrie sub forma unei ecuații ma-
triceale:

AX = B.                                    (2)
     Matricea A fiind nesingulară, există inversa sa A~\ înmulțind la stingă
ambii membri ai ecuației (2) cu A⁻¹, obținem A⁻¹(AX) = A⁻¹ B, sau (A⁻¹ A)X =
= A⁻¹ 5, adică I₃X = A⁻¹ 5, unde I₃ este matricea unitate de ordin 3.
     în final, obținem:
X = A-'B.
     Ținînd seama de notațiile de mai înainte și de faptul că

                                            A21   A₃₁
                                             d d
                                            A22   A₃₂
                                             d    d

A 23  A33
d     d



obținem:

xi


x₂


x₃

A21   A ₃₁
d d

d    d

A 23  A₃₃
d    d

            T 4" ^21^2 + A31&3)
           d

  b₂ = (A 12^1 + A 22^2 4“ A 32^3)

           1
  r         — (A13&1 4" A23^2 4- A₃₃b₃)
\b3    d

Din egalitatea

matricelor rezultă că:

                         #1 — — Un&i 4" A2162 4" A31&3),
                               d

                              1
                        X₃ = —■ (A12&1 4" ^22^2
                              d

4 A32&3),

52

                        £3 = — M1361 4~ A 2362 + A 33^3),
                              d
ceea ce putem scrie condensat:
. ³
                                                    2, 3.
                          ³ d fa

               3
Dar expresia yț A^ = Aijbi 4- A 2^2 + A₃jb₃ reprezintă tocmai dezvol-
              i=l
tarea, după elementele coloanei j, a determinantului care se obține din. deter-
minantul d, înlocuind în el coloana j prin coloana B a termenilor liberi. Vom
nota acest determinant prin dj. Atunci:

d

61
62
63

«12 «13

au

«22 #23 ,    ^2 — #21 b

«32 #33

'1
*2
*3

#31 6;

#13
#23
#33

d₃ =

«u
#21
#31

#12
#22
#32

*1
62
63

Prin urmare, soluția sistemului (1) este:
d,        dn
                         21 = — ,   2₂ = — ,
d         d

d₃
^3 = -7
d

(3)

Observăm că formulele (3) sînt tocmai formulele obținute în cap.

III, pct. 1.

    în concluzie, am obținut pe altă cale că, un sistem de 3 ecuații cu 3 necu-
noscute, care are determinantul matricei sistemului, nenul, este compatibil și
determinat, iar soluția sa este dată de formulele (3), cunoscute sub numele de
formulele lui Cramer.
    Vom generaliza acest rezultat pentru sistemele de ecuații liniare de n
ecuații cu n necunoscute (care au determinantul sistemului nenul).
    Fie sistemul

#11^1 4" #12^2 4" ••     + #m^n = 61,
#21^1 4" #22^2 4"    • 4“ a2nXn = 62,
#nl^l + #n2^2 + •    •• 4* #nn^n ”   

(4)

unde aᵢ} și b^ 1 < i, j < n, sînt numere complexe.
     Făcînd notații analoage celor de mai înainte, anume:

A =

#11 «12 • #ln'   Xi '
#21 «22 •   #2n  Xz  
#m  #n2 • #nn/       

B =

Ol
^2

b.

sistemul (4) se poate rescrie sub forma unei ecuații matriceale:
                               AX = B.
     Fie d = det A determinantul sistemului și dj, 1 < j < n, determinantul
care se obține din d prin înlocuirea coloanei j prin coloana B.

53

    De exemplu,

     bi ®12 «13 •• «in  
dl = bz «22 «23 ••   «2n
     bn «n2 «n3    • «nn
       «11 bi «13    • «In  
d^ --- «21 bz «23    •   «2n
       «nl bn «n3  • •• «nn 

ș.a.m.d.

Teoremă (Regula lui Cramer). Cu notațiile de mai înainte, dacă d..= det A
este nenul, atunci sistemul (4) are o soluție unică, anume:

di
Zi = ~ , Z₂
d

      Demonstrație. Ca și în exemplul considerat mai înainte, sistemul (4) poate fi scris
sub forma unei ecuații matriceale:

AX = B.

(5)

      Cum A este nesingulară există inversa A⁻¹; înmulțim la stînga ambii membri ai
ecuației (5) cu A⁻¹ și obținem

X = A~'B.

Dar

Am Anₙ
J d d
și cu notațiile precedente obținem
                      Au    A₂₁     Ani
                       d     d      d
x2 A₁₂ a₂₂            a»₂
                   —   d     d       d

Ann
d ₍

xnl

Am A₂n Aₙₙ
d d ' d I

1 ⁿ
de unde xj = — Aijbi, 1 j n.
CL A 4
2 = 1

              n
Dar, avem Aijbi = dj și deci
fel

xⁱ=7

n.

(6)

dț „ —
a              d

54

    în concluzie, un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, al cărui
determinant este nenul, este compatibil determinat, iar soluția sa este dată
de formulele (6), numite formulele lui Cramer.

Observație. Dacă sistemul (4) are coeficienți numere raționale (respectiv numere reale),
             atunci soluțiile sale sînt raționale (respectiv reale).

Exemple. 1) Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare

                           3-1 4" X₂ 4"      — 1>
                           ax₄ 4- bx₂ + cx₃ — t, (a b, b c, a c).
                           a²#! + b²x₂ + c²x₃ = Z².

Determinantul      1    1 1                                               
       d =         a    b c    = (b --- a)(c --- a){c --- b)              
                   a2   b2 c2                                             
al acestui sistem  este nenul, soluția este dată de formulele lui Cramer.  
Avem               1    1 1                                               
și deci            t    b c                                               
        di ---     t2   b2 c2  = (b-t)(c-t)(c-b)                          
                   ®i   _ dx _ (b --- t)(c --- t)                         
                        d      (b --- a)(c --- a)                         

x₂ și x₃ se deduc analog.
2) Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare

2xₜ — x₂ + x₃ — x₄ = 1,
x₂ ~_           — 2,
                             3#! — x₃ + x₄ = — 3,
                             2x! 4- 2x₂ — 2x₃ 4- §x₄ = —6.

            Determinantul

2-1  1-1
2-1  0-3
3  0-11
2  2-2 5

             al acestui sistem fiind nenul, soluția este dată de formulele lui Cramer.

Valorile necunoscutelor vor avea la

numărător determinanții:

di —

1  -1 1  --- 1             2  1  1 -1       
2  -1 0  -3    --- 0; d2 = 2  2  0 -3 = - 18
-3 0  -1 1                 3 -3 -1  1       
-6 2  -2 5                 2 -6 -2  5       

55

da

2-1  1
2-1  2
3  0-3
2  2-6

2
2
3
2

_i i
-1   0
 0 -1
 2 -2

  1
  2
-3
-6

= 12.

5             4
      Astfel, «i = 0, x₂ = 2, x₃ = — , x₄ -------------------

este soluția sistemului nostru; mai mult, aceasta este unica soluție.

    3.     Calculul rangului unei matrice. Am observat în cap. IV, pct. 1 că
metoda de calcul a rangului unei matrice (bazată pe definiția rangului) nece-
sită, în general, calculul unui număr destul de mare de minori. în cele ce
urmează vom arăta cum se poate simplifica considerabil acest calcul.
     Am arătat în cap. III, pct. 3, ce înțelegem prin faptul că o coloană (res-
pectiv linie) a unei matrice este combinație liniară de celelalte coloane (res-
pectiv linii) ale matricei.
     Fie acum D — | a^, 1 < i, j < n, un determinant, iar A matricea (a^),
1 < i» j < Dacă o coloană (respectiv linie) a matricei A este combinație
liniară de celelalte coloane (respectiv linii) ale sale, se obișnuiește să se spună:
coloana (respectiv linia) determinantului este combinație liniară de celelalte
coloane (respectiv linii) ale sale.
Teoremă. Dacă d = | a.^, 1 < i, j < k — 1, este un determinant de ordin
          k — 1, nenul, iar determinantul D = | tz₀|, 1 < i, j < k, care se
          obține prin adăugarea unei linii și a unei coloane (a k — a) la d este
          nul, atunci ultima (a k — a), adică cea adăugată, coloană (respectiv
          linie) a lui D este combinație liniară de celelalte coloane (respectiv
          linii).


        Demonstrație. Să considerăm sistemul de ecuații liniare:
        anxi d⁻ «i2a:2 d“ d⁻ ai>k-ixk—i — aik>
        a21xl 4“ U22®2 4“ ••• 4" a2,k—lxk— i ⁼ a2kt
        ' ........................................................... (1)
                        a/c—d" ak—i,zx2 4“ ••• 4* ak—i'k—ixk—i ~ak—i,k
   de k — 1 ecuații cu k — 1 necunoscute. Deoarece determinantul sistemului, care este
   tocmai d, este nenul, rezultă că sistemul este compatibil determinat.
         Există deci numerele a₁₉ a₂, ..., astfel încît:


                            anai d⁻ ai2«2 d- ... d“ ai,k^k-i — aiki
                            a21al 4" «22a2 d- ••• d~ a2>fc-la&-l — a2k>


(2)

. ak-i,i«.i d" ®A-i₅2a2 d- ••• d* ak-i>k-i&k-i — ak-i,k

Scădem din ultima coloană a Jui D combinația liniară a primelor k — 1 coloane cu
coeficienții a₁? a₂,           și rezultă:

    C11        ®12        • • •         alik---i            0     
    ®21       ^22        • • •        a^k---l           0         
D = ak-i,i     ak-i,z              ak-i,k-i        0          = 0.
    fe-1                                                          
    aki        Qkz      •••        akyk---\ akk ---               
    i = 1                                                         

56

   Dezvoltăm determinantul după elementele ultimei coloane și obținem:
                                           Â-l
D = d(a^ — akja.j) = 0.

   Cum d/0, rezultă:
                          k-1
                    Ukk = “kM = a^cti 4? cifc₂a₂ 4- ... +
                          J=1
   Această relație, împreună cu relațiile (2) exprimă faptul că ultima coloană din D este
   o combinație liniară a celorlalte k — 1 coloane ale lui D, cu coeficienții:
“1, «2, «fc-l-
     Coeficienții aₗț a₂, ...» ai combinației liniare din teorema precedentă
sînt independenți de linia k, după cum rezultă din formulele lui Cramer.
     Operația prin care adăugăm unui determinant o linie și o coloană se nu-
mește, de obicei, bordarea determinantului.
     Așadar, dacă bordăm determinantul d de ordin k —■ 1 din teorema pre-
cedentă cu o altă linie și coloană, astfel încît determinantul de ordinul k ob-
ținut să fie nul, atunci, și în acest caz, ultima coloană (respectiv linie) a acestui
determinant este combinație liniară de celelalte coloane (respectiv linii).
     Am demonstrat în cap. III, pct. 3 (proprietatea 8) faptul că un determi-
nant care are proprietatea că o coloană (respectiv linie) a sa este combinație
liniară de celelalte coloane (respectiv linii) este nul.
     Teorema precedentă ne arată că este adevărată și afirmația reciprocă.
Deci:
Consecința 1. Un determinant este nul dacă și numai dacă una dintre coloa-
                nele (respectiv liniile) sale este combinație liniară do celelalte
                coloane (respectiv linii).
Consecința 2. Rangul r al unei matrice A este egal cu Jiumărul maxim de
                coloane (respectiv linii) caro so pot alege dintre coloanele
                (respectiv liniile) matricei A, astfel încît nici una dintre ele
                să nu fie combinație liniară a celorlalte.
     Astfel, dacă rangul unei matrice A cu m linii și n coloane este r, iar Dᵣ
este un minor de ordinul r, nenul, coloanele (respectiv liniile) matricei A
cuprinse în Dᵣ au proprietatea că nici una dintre ele nu este combinație liniară
de celelalte. Mai mult, după cum rezultă din observația precedentă, fiecare
dintre celelalte n — r coloane (respectiv m — r linii) este combinație liniară
a coloanelor (respectiv liniilor) lui Dᵣ.
     Deci numărul r, care reprezintă rangul matricei A, poate fi găsit după
procedeul prip care arătăm că acele coloane (respectiv linii) ale matricei A
care sînt cuprinse în Dᵣ au proprietatea indicată în consecința 2.
     Or, în demonstrație am folosit numai faptul că toți minorii de ordinul
r -j- 1, care se obțin prin bordarea lui Dᵣ cu una dintre liniile și cu una dintre
coloanele rămase, sînt nuli. Nu am folosit faptul că toți minorii de ordin r + 1
sînt nuli.

57

     Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să trecem în mod iterativ
de la un minor la cei de ordin mai mare, obținuți prin bordarea cu linii și
'coloane dintre cele rămase în afara minorului considerat.
     Astfel, rangul unei matrice se poate calcula în modul următor:
     Fiind dată o matrice nenulă, aceasta are neapărat un minor de ordinul
întîi nenul (putem lua orice element nenul al matricei).
     Dacă am găsit un minor de ordinul k nenul, îl bordăm pe rînd cu elementele
corespunzătoare ale uneia dintre liniile și uneia dintre coloanele rămase, obținînd
astfel toți minorii de ordinul k + 1 care-l conțin. Dacă toți acești minori sînt
nuli, rangul matricei este r = k.
     Dacă însă cel puțin unul dintre aceștia (de ordinul k + 1) este nenul,
atunci reținem unul dintre ei și continuăm procedeul.
     Numărul minorilor de ordin r + 1 care trebuie considerați este {m — r) •
• (n — r) (în loc de C'⁺¹), reducîndu-se în mod substanțial numărul lor.
Observație. în general, numărul (m — r)(n — r) al minorilor de ordin r + 1 ce trebuie cal-
culați pentru a stabili că o matrice are rangul r nu mai poate fi micșorat.
Totuși numărul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate
reduce în diverșe cazuri particulare.

Exemplu. Să calculăm rangul matricei

           Minorul de ordinul 2, care se găsește la intersecția primelor două linii și a pri-
           melor două coloane, este nul.
           Totuși, matricea A are minori de ordinul 2 nenuli, de exemplu:

= -1^0.

          Minorul de ordinul 3


2

= 4^0,

cei doi minori de ordinul 4 care

1
2
1

care încadrează minorul d este nenul. Dar

încadrează pe d' sînt nuli:           
 2    -1 1 3         2 -1 1    4     
 2    -1 2 1    = o, 2 -1 2 1 1  = 0.
 2    -3 1 2         2 -3 1          
 0    2  2 ---3      0  2 2 ---6     

Deci rangul matricei A este 3.

58

     k. Sisteme de ecuații liniare. Ne vom ocupa în acest paragraf de studiul
unui sistem oarecare de ecuații liniare, fără a impune ca numărul necunoscu-
telor să fie egal cu numărul ecuațiilor. Rezultatele obținute vor fi valabile
și în cazul în care numărul ecuațiilor este egal cu numărul necunoscutelor,
iar determinantul sistemului este nul, caz care nu a fost studiat pînă acum.
     Fie un sistem de ecuații liniare, cu m ecuații și n necunoscute:


                        «11^1 4" ^12^2 + ••• Hr ain^n — bi,
                 <221^1 4“ ^22^2 4" ••• 4" ^277^77 = ^2»                    ...
(1)

                        ^Tni^l 4“ ®7n2^² 4“ ••• 4“ ^mn-^n ⁼ bₘ.
      Ne punem mai întîi problema compatibilității sistemului (1). Pentru
aceasta, să analizăm matricea A a coeficienților sistemului și matricea ex-
tinsă Ji, care se obține din A completind coloanele sale cu coloana termenilor
liberi ai sistemului (1),

               («ii «12      ••• OiTi                   ai2 ••• am
        #21    #22   •••           7 ___ ] 0₂l fl22 •••   #271  ^2
,    — I

                ^7771 ^7772                     '^Tnl ^tti2 •” ^mn bₘ/

      Este evident că rang (A) < rang (Â), deoarece minorii matricei A se gă-
sesc printre minorii matricei A.
      Problema compatibilității sistemelor de ecuații liniare este rezolvată
de următoarea teoremă:
      Teorema lui Kronecker-Cappelli. Un sistem de ecuații liniare (1) este
compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului A este egal cu
rangul matricei extinse 4.


          Demonstrație. Să presupunem, mai întîi, că sistemul (1) este compatibil; fie
          a₂, aₙ o soluție a sa. Deci avem relațiile:
n
                                   J A a*JaJ ~ b<> 1 < i < m.                                   (2)
                                   j=l
    Dacă rang A — r, am observat mai înainte că r rang Ă. Pentru a demonstra că
    avem egalitatea rangurilor, este suficient să arătăm că orice minor dᵣ₊₁, de ordin
    r + 1, al matricei Ă este nul. Dacă ăᵣ₊₁ nu conține coloana termenilor liberi, atunci
    este un minor al matricei A și prin urmare este nul, deoarece rang A = r. Dacă, însă,
    dᵣ₊₁ conține coloana termenilor liberi, atunci este de forma:

aⁱih             • • •    aⁱijr     bⁱi
5     _   aⁱ2h    aⁱ2^2    • « •    “tir     bⁱ2
                         aᵣ+i —

                                   a’r+Pi   a‘r+iJa • • •    aⁱr+i^r   bⁱr+i

59

    Din relațiile (2) obținem:


        % ⁼ £ aW'¹ * k r ⁺ r (³)
J=1
        înlocuind pe biₖ, 1 k < r + 1, în 3ᵣ₊₁, se observă că dᵣ₊₁ se poate scrie
   ca o sumă de n minori de forma:

aiAl   ailh      . . Oi2jr ai2j^j    a<14    ailh      a*Pr     ai^3  
^231   a^2                        ca                   ai23r          
aiT+lh a*r+lJ2 • • air+Vr air+iW     air+l3i ^r+lh • • • a<r+Pr air+ii

    Dar acești minori de ordin r + 1 ai lui A sînt toți nuli, deoarece rang A — r, și deci
   suma lor este zero, adică dᵣ₊₁ = 0.
          Reciproc, fie rang A = rang A = r. Există deci un minor de rang r, nenul, al
   matricei A astfel încît toți minorii de rang r + 1 sînt nuli. Putem presupune că acesta
   este la intersecția primelor r linii și primelor r coloane ale matricei A, adică

aM a12         ••• alT



                                                 • • • apr
   (această situație este totdeauna realizabilă, deoarece putem renumerota convenabil
   ecuațiile și necunoscutele).
        Deoarece rang A = r, rezultă că orice minor de ordin r + 1 care se obține din
   acesta prin bordarea sa cu elementele corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi și
   cele ale uneia dintre liniile rămase este nul. Procedînd ca la calculul rangului unei ma-
   trice (vezi pct. 2), rezultă că există aₙ a₂, ..., aᵣ astfel încît coloana termenilor liberi a
   matricei A să fie combinație liniară de coloanele matricei corespunzătoare minorului
   ales, cu coeficienții a₁₅ 02, ..., aᵣ. Deci au loc relațiile:
                              T
ai^ = bi, 1 < i < m.                           (4)

        Relațiile (4) arată că aₓ, a₂> ..., ar, 0, ..., 0 este o soluție a sistemului (1), adică
   sistemul este compatibil.
     Utilizarea acestei teoreme, în exemple concrete, necesită, înainte de toate,
calculul rangului matricei A. Pentru aceasta trebuie să găsim un minor nenul
al lui A, fie acesta d, astfel încît toți minorii care conțin pe d să fie nuli.
Orice minor de acest fel îl vom numi minor principal. Apoi, este suficient să
verificăm că orice minor al matricei Â, care conține pe d și care nu este minor
al lui A, este de asemenea nul. Orice astfel de minor de ordin r + 1, obținut
prin bordarea unui minor principal cu elementele corespunzătoare ale coloanei
termenilor liberi, precum și cu cele ale uneia dintre liniile rămase, se numește
minor caracteristic.
     Astfel, teorema lui Kronecker-Capelli se poate enunța și sub forma ur-
mătoare:
      Teorema lui Rouche. Un sistem de ecuații (1) este compatibil dacă și nu-
mai dacă toți minorii caracteristici sînt nuli.

60

Observație. Pentru un sistem de m ecuații cu n necunoscute, cu matricea sistemului de
          rang r, există minori caracteristici numai dacă m> r, iar numărul lor este
          egal cu m — r.
     Să presupunem acum că sistemul (1) este compatibil. Teorema lui Kro-
necker-Gapelli ne permite să decidem dacă sistemul este compatibil sau nu,
dar nu ne dă un mijloc practic de aflare a tuturor soluțiilor sistemului dat.
     De această problemă ne vom ocupa în continuare.
     Fie deci un sistem de ecuații liniare (1) compatibil. Să presupunem că
rang A = rang Ă = r și că un minor principal al sistemului se găsește la
intersecția primelor linii și a primelor r coloane, adică

«11 «12 • air   
«21 «22 . a2r o.
«ri «r2 . «rr   

      După cum am observat la pct. 2 (consecința 2) orice linie a matricelor A
și Ă este combinație liniară de primele.r linii. De aici rezultă că orice ecuație
a sistemului (1) este o combinație liniară de primele r ecuații ale sistemului
(1), cu anumiți coeficienți. De aceea, orice soluție a primelor r ecuații satisface
toate ecuațiile sistemului (1). Este suficient deci să rezolvăm sistemul
^11^1 4" ^12^2 4" ••• 4" alnxn = bl,
«21^1 4“ ^22^2 4“ ••• 4" a2nxn — ^2»


^ri^l 4“ ®T2$² 4"   4“ ^rn^n —
care este echivalent cu sistemul (1).
     Matricea coeficienților sistemului (5) are un minor nenul de ordin r
(format din primele r coloane) și deci are rangul egal cu r, unde r < n. Dis-
tingem două cazuri:
    1.      Dacă r = n, sistemul (5) are același număr de ecuații și de necunoscute,
iar determinantul său este nenul. în acest caz, acest sistem are o unică soluție,
pe care o putem calcula cu formulele lui Cramer. Aceasta este și soluția sis-
temului (1).
    2.      Fie r < n. Pentru a fixa ideile, vom presupune ca mai înainte, că
minorul format din coeficienții primelor r necunoscute este nenul, adică prin-
cipal. Necunoscutele x₂, ..., xᵣ se numesc principale. Trecem în membrul
drept al ecuațiilor (5) toți termenii care conțin necunoscutele (secundare):
a;ᵣ₊₁, ..., xₙ\ le atribuim valori arbitrare, respectiv Xr₊₁, ..., \ₙ. Obținem
un sistem de r ecuații cu r  necunoscute: Xi, x₂, ..., xᵣ.
         aUxl 4" <^12^2 4- •••        4“ Gir^r ~ bi — «i, ᵣ₊₁Xᵣ₊₁ — ... — d-in^n,
         (^21X1 4" ^22^2 4“ •••       4“      = &2  — a2, r+l^r+l —            ••• a2n^n,

         «Pl^l 4“               4” ••• 4~                  T+l^r+l             ••• ^rn^n’

61

Se rezolvă acest sistem cu formulele lui Cramer; el are o soluție unică X₁?
X₂, Xᵣ. Numerele Xb X₂, Xᵣ, Xᵣ₊₁, Xₙ formează o soluție a siste-
mului (5), care este și soluție a sistemului (1). Cum valorile Xᵣ₊₁, Xₙ
ale necunoscutelor secundare 27₊₁,          xₙ sînt alese arbitrar, obținem în
acest mod o infinitate de soluții distincte ale sistemului (5), care constituie
mulțimea soluțiilor sistemului (1).
     Pe de altă parte, orice soluție a sistemului (5) poate fi obținută prin
acest procedeu.
     în concluzie, fiind dat un sistem de ecuații liniare (1) a cărui rezolvare
se cere, procedăm în modul următor:
    1.      Studiem dacă sistemul este compatibil. Pentru aceasta găsim un minor
principal al matricei A a sistemului, apoi calculăm minorii caracteristici.
    1° Dacă există cel puțin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul
este incompatibil.
     2° Dacă toți minorii caracteristici sînt nuli, atunci sistemul este compatibil.
    2.      Pentru găsirea soluțiilor unpi sistem compatibil (1), procedăm astfel:
Păstrăm din sistemul (1) ecuațiile care corespund liniilor minorului prin-
cipal. în aceste ecuații, trecem în membrul drept termenii care conțin necunoscu-
tele secundare, în membrul sting păstrînd numai termenii care conțin necunoscu-
tele principale. Atribuim necunoscutelor secundare valori arbitrare, apoi calculăm
cu ajutorul formulelor lui Cramer valorile necunoscutelor principale, obținînd
astfel toate soluțiile sistemului (1).
     Pentru ca sistemul compatibil (1) să aibă soluție unică, este necesar și
suficient ca rangul matricei sistemului să fie egal cu numărul necunoscutelor.

Exemple. 1) Să rezolvăm sistemul:

— IX?, 4- x₃ + xₜ = 1,
• x± — 2xz + x₃ — x₄ = — 1,
xₜ — 2x₂ + x₃ + 5z₄ = 6.
           Să scriem matricele:

           (1-21     1\       zi -2 1  1 1>.
            1 -2 1   -1 și A = 1 -2 1 -1   -1 »
1. -2 1  5/    \1 —2  1  5   6/

Deoarece avem

= — 2 / 0, iar

-2
-2
— 2

și 1

  1
-1
  5

= 0, rezultă că rangul matricei A este 2,

iar minorul

1
-1

este

1

1

1
1
1

1
1

principal.

62

       Calculăm minorii caracteristici. Avem doar un singur minor caracteristic
și anume:

1

1

1

1

-1

-1

= -2/0.

1

5

6

Deoarece acesta este nenul, sistemul este incompatibil.
           2)  Să rezolvăm sistemul:

                                  Xi + 2'xₐ =
                                  6a?! — 8xz
                                  5^+ 2rrₐ

1

1

3.

       Matricea coeficienților are rangul 2, un minor principal al său fiind, de
exemplu:

1   2
6 -8

= -20 / 0.

Există un singur minor caracteristic și anume


1

2

1

6

                    -8


0.

1

2

3

5

Acesta fiind nul, sistemul este compatibil și are soluție unică. Pentru găsirea
soluției, rezolvăm sistemul:
                           Ja?! + 2xₐ = 1,
   (Oxi — 8o:ₐ = 1.
   1 1
   Obținem soluția:           x₂ = — .

       Se verifică cu ușurință că aceste valori satisfac și ecuația a treia a siste-
mului inițial.
           3)  Să rezolvăm sistemul:
                    2xi + x₂ — x₃ — x^ 4- x₆ = 1,
                   '          H⁻ "P ^4             0,
,3Xi *4“ ^^2        ^^4 4- ^^5 ~ 2.
Matricea coeficienților are rangul 2, un minor principal al său fiind

2   1
1 -1

= -3/0.

Există doar un singur minor caracteristic



1

2

1

1

-1



= 0

0

2

3

3

care fiind nul, sistemul este compatibil.
      Rezolvăm sistemul format de prima și a doua ecuație a sistemului inițial;
trecem în membrul drept necunoscutele secundare x₃, x^ x₃\ atribuindu-le
valori numerice: x₃ = a, xₜ = 0, x₆ = y;                                  (7)
J2Xi + x₂ = l + a+ p-Y,
(a?! — x₂ = — a — 0 4- 2y.



63

                  Aplicînd formulele lui Cramer, găsim valorile necunoscutelor principale
            Xi și x₂:
_ 1 4- Y
¹ ~ »
³                                           (8)
1 + 3a + 30 - 5y
                                                 3
            unde a, 0, y sînt numere oarecare.
                  Egalitățile (7) și (8) dau soluția generală a sistemului considerat; necunos-
            cutele secundare putînd lua valori numerice arbitrare, obținem astfel toate
            soluțiile sistemului dat.
           4)              Să rezolvăm sistemul:
                                         2x₂ — 3x₃    ^4 ⁼⁼    4,
3-1 4" 3? 2  3-3            8,
—      4* 3x₂ 4-       3-4 ⁼   1»
xi — 7^2 4- 3x₂        = — 3.
                  Calculăm determinantul sistemului și obținem:

4  2  -3 -1     
1  1  -1  0 = 0.
-3 3  0   1     
1  -7 3   0     

             Cu toate că numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, nu se pot
             folosi direct formulele lui Cramer, deoarece determinantul sistemului este nul.
             Matricea coeficienților este de rang 3 un minor principal fiind, de exemplu:

2 -3 -1        
1 -1  0 = -200.
3 0   1        

             Există un singur minor caracteristic:

2 -g -1  -4    
1-1  0-3    = 0
3  0  11       
 -7  3  0-3    

            care fiind nul sistemul este compatibil.
                  Considerăm primele trei ecuații cu necunoscutele principale x₂, x₃,
            Dacă 3^ = a fiind necunoscută secundară, găsim:
x₂ = 3 4- a, = 6 4- 2a,         = —8.
           5)              Să rezolvăm sistemul:
                               + ax₂ 4- 2a;₃ = 1,
' 2xₜ 4- 2x₂ + x₃= — 1,         a, 0 e C.
                               4* x₂ — x₉ = 0.
            Discuție.

64

      Calculăm determinăriiul sistemului:



a    2
2    1

l

d -

2

                                                - 3(a - 1).



I

1 —1

     1.       Dacă a 1, atunci d O și sistemul are o unică soluție dată de formulele lui
Cramer. Avem dₓ = ap — a — 4p — 5, = 3(p -} 2), dₐ — (1 — a)(2p + 1) și deci în
acest caz:

ap - a - 4p - 5                 P + 2          _     20 + 1
               X, —------------------------ —,               ’    -^3 —
3(a — 1)                   a-1                       3
     2.              Dacă a = 1. avem d = 0 și un minor principal¹ este




Există un minor caracteristic:



I              2         I
2               1        - ț
1              1       P

                                                                     30 + 2).



     1° Dacă p / — 2, minorul caracteristic este nenul, deci sistemul este incompatibil.
     2° Dacă p = —2, minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil. Pentru
aflarea soluțiilor rezolvăm sistemul:

Xg T 2Xy -------- 1 X^
2ar₂ 4- x₃ = — 1 — 2x₃.

Dacă xₓ — x, avem:

®₂ = — 1 — X, x₃ — 1; X fiind arbitrar.
     5. Sisteme de ecuații liniare omogene. Un sistem de ecuații liniare- se
numește omogen dacă termenul liber al fiecărei ecuații este nul (adică fiecare
ecuație este omogenă). Așadar, forma generală a unui sistem omogen de
ecuații liniare este


+ «12^2 + • • • + amxn — O’
«21^1 H" #22^2 + • • • + aznxn ⁼ 0,

^ml^l H” A • • • H⁻ ^mn^n ⁼ 0.
     Aplicăm rezultatele paragrafului precedent unui sistem omogen. în
legătură cu sistemele omogene, observăm următoarele:
    1.      Un sistem omogen este întotdeauna compatibil. într-adevăr, termenii
liberi fiind nuli, rezultă că adăugind la coloanele matricei sistemului coloana
nulă a termenilor liberi rangul nu se schimbă. Deci, conform teoremei Kro-
necker-Capelli, sistemul este compatibil.
     De altfel, aceasta se vede direct, întrucît un astfel de sistem admite
soluția nulă: O, O, ..., 0.



5 — Matematică — Elemente de algebră superioară el. a Xl-a


65

     Să presupunem că matricea A a coeficienților este de rang r.
    1.       Dacă r = n (numărul necunoscutelor), atunci soluția nulă este sin-
gura soluție a sistemului (1).
    2.       Dacă r < n (numărul necunoscutelor), atunci sistemul (1) are și
soluții nenule. Pentru a găsi soluțiile, se utilizează același procedeu ca în
cazul sistemelor arbitrare.

Observații. 1) Remarcăm că un sistem de n ecuații liniare omogene cu n necunoscute are
          soluții nenule dacă și numai dacă determinantul său este nul.
          2)  Dacă un sistem de ecuații liniare omogene are numărul ecuațiilor mai mic
          decît cel al necunoscutelor, sistemul are soluții nenule.

Exemple. 1) Să determinăm valorile parametrului X pentru care sistemul de ecuații
                                   f ĂX} + 3a?ₐ 0,
                                   ]                                      + Xxₐ = 0
          are soluții nenule.
               Determinantul sistemului este

X
1

           Acesta este nul pentru X — |/ 3 sau X = — {/ 3; în aceste cazuri sistemul are
           soluții nenule.
          2)             Să rezolvăm sistemul omogen:
                                xₜ + 2x₂   +  4£₃ —   3^4  = 0,
3x4 4~ 5xₐ   +   6^3 ~   4x₄ = 0,
                                 4-  5xₐ — 2a;₃ +   8x4  = 0,
3a?! -f- 8®ₐ + 24a;₃ — 19a:₄ = 0.
                 Calculăm mai întîi, determinantul sistemului, care este nul. Deoarece




           și toți minorii de ordinul trei care se obțin prin bordarea acestuia cu una dintre
           coloanele și una dintre liniile rămase sînt nuli, rezultă căacesta.este un xninor
           principal.
                Pentru a obține soluțiile, dăm necunoscutelor x₃ și x* valori arbitrare a,
           respectiv 3, și deducem valorile necunoscutelor xₓ și x₃ din sistemul:


(       + 2a:₂ = — 4a -p 3(3,
1 3^ 4- 5xₐ = — 6a 4-

           Rezultă: Xi = 8a — 73> ^2 — — 6a 4- 53,                     = a, xA = 3î a Ș* 3 fiind numere
           oarecare.

66

Exerciții

Să se rezolve următoarele sisteme

de ecuații cu ajutorul regulii lui Cramer:

2Xj Xₐ X₃ — 2,
xₜ + 4x₂ — 2x₃ = 10,
Xj — 2xₐ + 2^3 = 10.

2.

xₜ + xₐ — x₃ = 0,
3Xj 2x₂ "I" 2x₃ —■ 5,
2xₜ 4~Vț — 2a₈ = 2.

    +3x^


12Xj ~~ X₂ 4" 3X₈ —   9,
     x^ “4" 2 x 2   4x₃ ⁼⁼⁼ —2,
   — 3^! + 4x₂ + £3 = 13.

4.

Xj 4- 2xₐ — 2x₃ = 1,
—4xj 4- x₂ + 2xₐ = 2,
2trj "• x₂ 4- 3x₃ ⁼— 3.

2xₜ + 2xₐ + 2x₃ — xₜ = 0,
4Xj + 3xₐ 4- 2x₃ — 2xₜ = 0,
8xₜ + 5xₐ + 6x3 — 4x₄ = 0,
3xₓ + 3xₐ + ix₃ — 2xₜ = 0.

xₜ — 2x₂ 4- 3x₃ 4- 4x₄ = 22,
— 4xj 4- xₐ 4- 2x₃ 4- 3x₄ = 6,
3xₓ 4- 4xₐ — x₃ 4- 2x₄ = —4,
2&i 4- 3xₐ 4- 4xₐ — x₄ =  6.

6a: 4- 41/ 4- z 4- 2i =  3,
6x 4“   ^y 4~ 3z 4- 5t = 6,
12x 4-   8y 4”   z 5t — 8,
6x 4~   5y 4" 3z 4" 7t = 8.

x 4-   21/ 4- 3z 4- 4t  = 0,
x 4~     y 4" 2z 4- 3«  = 0,
® 4-   3i/ 4-  z 4- 2t  = 0,
x +     ^y 4- 3z 4- 2«  = 0.

2x 4-    y +  z +     =   1,
3x —    2y — 5z 4- 4« = —30,
® 4-  31/ 4- 2z — 3i =  17,
x —     y +  z —   t =   2.

x 4" y 4- z4"^ ⁼ 2a,
           2x 4- 2z 4- t = 2a,  .
(a e R).
—2x 4- 2y    — t = 2a,
3x 4- y — z =0.




                                 11.  Să se rezolve sistemul:

       ’ ax 4- by 4- cz 4- dt = 0,
       bx — ay 4- dz — ct — 0,
       cx — dy — az bt — 0,
       , dx 4- cy — bz — ai = 0,


unde a, b, c, d sînt numere reale, cel puțin



unul dintre ele fiind nenul.

5*


67

12. Să se rezolve sistemul:

                                ® 4- y + z 4- t = 1,
ax + by + cz + dt = m,
a²x + b²y + c²z + d²t = m²,
a³x + b³y 4- c³z + d³t = m³,
unde a, b, c, d sînt numere diferite între ele, două cîte două.

13. Să se determine rangurile matricelor:

(12-1
 4 5   3
 2 1 -3

14.

16.

18.

20.

22.

24.

Să se rezolve sistemele:

2® — 3?/ + z — 1,
— 4® + &y + 2z = 3.

x 4- y 4- « 4- ¹ = 1,
x + y-\-z — t = 0,
sr 4- V — z + * = 2.

2x — y z + 2t = 1,
x + y + 2z+ t = 2,
3x — 2y + z 4- 3« = 1.
      /
2® — 3y 4* z = —1,
x + 2y — 3z = 0,
x — \2y 4- Hz = — 1,
4:® — 15?/ + $z =    0.

5® 4- ^y — Hz = 13,
4® — by 4; 4z = 18,
3x - I3y 4- 19z = 22.

2®j 4- H⁻ ^3 —          ^5
3®x    2'®₃ 4- ^3 ⁼⁼⁼  2,
4®ₓ — 2®2 — ®3 = —3,
4- ®2 +           =    ⁶.
®1 4- 3®2 — 2®₃ =     1.

17.

19.

23.

25.

x 4- 2y 4- 3z = 1,
2® + 3y 4- 6z = 2.

® 4- y 4- z — 2« = 5,
2x 4” y ~~ 2z 4- t = 1,
2® - 3y + z 4- 2t = 3.

x — 3y 4- z 4- * = 1»
x — 3y 4- z — 2t = —1,
x — 3y 4- z 4- 5t = 6.

x 4- y 4- z =       2,
2x — y — 2z = —2,
x 4- ky 4* 5z =     8,
2® — 5y 4- ^z =     10.

  2®i 4- 3®₂    — x₃ 4-   «4 =   5,
—   x₂  + 2®3 —  2®₄ = —5,
  3®i 4-       +  2®₃ —  2®₄ = — 3,
— 3®j —   ®₂ — 2®₃ 4-  2®₄ = 3.

®₄ 4~ 2x 2 4- S®₃ ®₄ — 1,
  3®j 4- 2®2 4- ^3 *^4 ⁼⁼ 1,
< 2®ₓ 4- 3®₂ 4- ^4-^ = 1,
2®ₓ 4- 2®₂ 4- 2®₃ — ®₄ = 1,
5®ₓ 4- 5®₂ 4* 2x₃  = 2.

68

  26. Să se arate că sistemul

                                         pa 4- ay = y,
                                       ya 4- «z = 3,
                                       , yy 4- Pz = a
      are soluție unică, dacă și numai dacă aPy^fcO. în acest caz să se rezolve sistemul.

/ '27. Să se determine a și p astfel încît sistemele următoare să fie compatibile

x

a)

2a — y 4- z 4-
2a 4~ 2i/ 4~ 4z 4-
3a — 2y 4- z 4-

2/ =

2l =

3Z =

1,

a,

3a
2a

- 3y =
4- ^y =

-2,
3,

- y =
4- y =

a,
0.

b)7 >

i;'

  28. Să se determine a, p și y astfel încît sistemele următoare să fie compatibile, iar. matri-
      cea sistemului să aibă rangul 2:

2x-

a₄ =    1,

a)

29.

31.

33.

Xi 4- x₂ 4- aa₃ 4- a₄ = —1,
+ ^3 + Px4 = Yi

Să se rezolve sistemele următoare.

5a — 3y 4- 2z 4-
4a — 2y 4- 3z 4-
8a — 6y — z —
7a — 3y 4- 7z 4-

4/ =

5t =
m =

9,
s

ax

ay

az

= 1.

aaₓ

4- xz 4-
4- P^2 4-

a₃ = 1,
Y^3 =

■ a²a₄ + P²a₂ + y²^ = ^²-

aa 4- pi/ 4- 2z = 1,
aa 4- (2p — 1)?/ 4- 3z = 1,
aa 4- Py 4- (P 4- 3)z = 2p —

2xt 3a2     4- 4a3 
a4  4- 9a2  4- aa3 
5ax --- 6a2 +  10a3

- a₄ =
4- 3a₄ =
4- P³^ =

Discuție, după parametrii

30.

32.

34.

36.

1.

reali

-i,
3,

2x — y + 3z +
kx — 2y + 5z +
&x — 3y + Iz 4-
Xa — 4?/ + 9z 4-

4/ =

6/ =

8/ =
10/ =

5,
7,
9,
11.

(1 4- X)a 4- y 4- z = 1,
a 4- (1 4- ^}y 4- z = X,
x 4- y 4- (1 4- X)z =« X².

aa

ax

4-2/4-
4- Pl/ 4-
4-3/4-

yz

= 1.

+ (a + 1)3/ 4- (a + 2)z = a + 3,

Pa + (P 4- 1)3/ + (P 4- 2)z = P 4- 3,
X 4- yy 4- Y²z = Y⁸-

7/ =

a, 3,

3

1

X

x



y

y

z

z

= 1

= 1

x

z

z

= 1

= 1

   87. Să se determine a astfel încît sistemul următor să aibă soluții nenule și, în acest caz,
      să se rezolve:

a— ^y 4-
2a — y 4-

3z -

t = 0.

3t = 0;

z —

a 4- y z 4- / = 0,
2a 4- (a •— 1)?/ 4- 2z 4- a/ = 0.


69



38. Să se rezolve și să se discute după valorile parametrului X, sistemul de ecuații liniare:

’ (3 + 2X)x + (1 + 31)y + Xz + (X - l)i = 3,   
3Xx + (3 + 2\)y + Xz + (X - 1)Z = 1,           
3Xx    +     3Xt/ + 3z + (X - 1)* = 1,        
3Xx    +     3Xi/ + Xs + (X --- l)r = 1.      

89. Să se afle inversele matricelor de ordin n:

          zl  1  1  ...  lx               zO  1  1  ... h
/1  0  1  ...  1-           ; b) 1  0  1   ...  1 |      
a)     | 1   1   0   ...  1      1    1    0    . . .   1
kl 1 1 ... oJ                               11 1 1 ... 0/

(vezi exercițiul 14, cap. IV).

4.0. Să se rezolve ecuațiile

matriceale:

a)

O 1
O O

1
1

. 1
. 1
. 1

o
o

2 3
1 2
O 1

n
n — 1
n — 2

\0 O

0

1

b)

o
o

1
1
o

1
1
1

1
1

\o o

fl
- o

0

1
2
1

o
1
2

1

o
o

\0 O O .

(vezi exercițiul 21, cap. IV).

\0 0 0

o

Indicații. Răspunsuri





Cap. I

1 . ax =

12 3 4
3 2 4 1

12 3 4
13 4 2

. 2. a²

³ ⁴)
2 ir

;3 =

12 3 4
3 14 2

e.

', ta =

1 2
4 3

Deci k — 4. 3. Considerăm șirul {ct, o², ah, ...}
șir este finit. Deci există k / l astfel încît ah = al

Cum Sₙ este o mulțime finită acest
Dacă k > l atunci notînd p = k — l

obținem aP = e. m{a) = 2,        = +1; m(a) — 3; e(a) = —1; m{a) — 3, e(o) = — 1,
m(a) = 8, e(o) = +1, m(a) = 14, e(a) = + 1, m(a) = 13, e(ct) = —1. 6. (12); (13); (14);
(23); (24); (34). 7. H = {oi, a₂, ..., oₚ} și fie a e H. Considerăm produsele gctₓ, aa₂, ..., aaₚ
care sînt elemente distincte două cîte două. Deci H = {aa!, aa₂, ..., aaₚ}. Deci a e
e {tXTi, aa₂, aCTₚ}; a = aajc => qi₍ = e; e e H => e = aa? => a~l = aᵣ. 8. Fie transpoziția

1 2
1 3
2

4 5
5 4
3

3
2

ai ~ (13)- o' = a^ =

(35); (45). 9. a =

= (23) (45) și deci o= (13); (23); (45), r = (16); (24);


. . n

n n — 1 n — 2 . .. 1

10.  Pentru i = 8, j — 3, a este pară.


Pentru i — 3, j = 8, a este impară. 11.   = ——% - —; a este pară dacă n =



n = 4Ă- + 1 și cr este impară dacă n = ^k + 2 sau n = kk 4- 3. 12 m(a) =----------%----.

18.  Presupunem că a(i) = j, i j. Cum n 3, există numerele k, l e- {1, 2, ..., n} astfel
                        încît k l și i k, i / l. Din ipoteză avem în particular (jk)a = a(jk) și {jl)a = a(jl).
                        Din aceste două egalități obținem k = j și l = j deci k = l contradicție. Deci a = e.




Cap. II



3.   Din AB = BA rezultă că ArBs = BsAr oricare ar fi numerele naturale r și s și apoi se
                        aplică în produsul (A — B)^^¹ + Ak~² B + ... -f- ABk~² 4- Bk-¹). 4. Dacă X = (a
Ic a!

din egalitatea AX — XA se obține că c = —26, d = a 4- 36 unde a, 6 e Q. 5. Aⁿ =

7 11
rcos rup  —sin n(p\     ₐ ,, ,,     1
• f(A) = 7
sin rup cos nepj                    I
\19

-2     14\
I „ fi Oi .                   *
6   —3 I «8. Aⁿ = I .9. Se arată că
U 1 /
-7     26 /


71

suma elementelor de pe diagonala principală a matricei AB — BA este zero.


10.   a) A = ± Zₐ sau A = (a ^1, unde az — 1 — fcc.b) A = (a unde a² = —bc.
                        (c — aj                                                                   [c —a)
.<■
                                                                        (' -1 5\
2 3 I. 13. x = 3, y = 2.

-1 5/

14.

n(n + 1)
2

2n


n(n + 1) (2n + 1)
6

3n

4

n(n + 1) (n + 2)

3

     0 0 3p\ , „                  (    a w² 3p + 1) , ₓ o , a (                “1 — 1 3p       + 21
                daca   n = 3p; |                 I dacă    n = 3p 4? 1; I            r I
     3p 0 0 /                     (3/> + 1 <o w² J                          [3p + 2 -1 -1 J

dacă n=3p +-2. 16. x = — 4- kn, k s Z. 17. X = [ ² ³1 și X = ( ²       ³
4                      (-1 2j           (1   -2.

/ [1 + (-l)ⁿkⁿ
2

[1 - (-l)H]qn

A^=

18.

\        2

[1 - ( —l^a™ \
      2                           (a b\
. 19. Dacă A = | L din ^4² = 0 obținem
[1 + (~l)n]ₐn               țc d)
2      /

a² + bc = 0; b(a + d) = 0; c(q 4- d) = 0; cb 4- d² = 0; dacă a 4- d 0, atunci b = c =
= 0 și deci a = d = 0, contradicție. Deci a 4- d = 0. 20. O soluție este b = 1, c = 1 —
— q², d = — a unde a e Z. 22. Se scrie a — r cos a, b = r sin a, unde |r | < 1. Se obține
aₙ = rⁿ cos na; bₙ = rⁿ sin na. 23. Dacă 2 nu divide pe m — n atunci numărul căutat
este zero. Dacă 2 divide pe m — n atunci numărul căutat este 2(m~¹)(ⁿ-¹).

24.

sin — cos
2

(n + l)a
2

. na . (n + l)a
sin — sin ---------—
2          2

. a
sin —
2

. a
sin —
- 2

sin na cos (n + l)a
sin a

sin na cos(n + l)a
n — -----------¹-----—
sin a

Cap. III

1.   a) -15; b) 7; c) a² 4-   ă²; d) 1; e)  sin(a 4- P); f)  0; g) 0; h)  0; i) -1; j)  2a²;   k) 0
2.   a) -9; b) -50; c)    2;  d)  a³ 4- 2fe³ - 3a&²; e) -3 -  6a>; f)   (a³ - Z>³)²;  g) (a³ 4- fc³)²*
                      (1  2    3  4    5\
| are 6 inversiuni. Deci semnul termenului este 4-;
4  3    1  5   2/                                                           ’

72

b) Semnul termenului este ( —); c) Semnul este ( —). 4. Termenii de la a), b) și c) nu se
găsesc în determinantul de ordinul 4. 5. Semnul este ( + ). 6. Produsul elementelor de pe
diagonala secundară este aᵢₙaₐₙ_₁a₃ₙ_₂j.. am- Acest produs are semnul egal cu seninul
(12                         3         n \
                                         I. Această permutare are semnul egal cu
              n n — 1 n — 2 ... 1 J
     n(n—l)
(-1) ₇ₒ Trebuie ca {k₃, k₅} = {3, 6}. Deci k₃ = 3 și k₆ - 6 sau kₐ = 6 și k₃ = 3.
                     n(n~1)
8.  a) n!; b) n! ( —1) ² .9. Dacă d* este determinantul matricei transpuse se observă
                        folosind definiția determinantului că d* = d. Cum d* = d, atunci d = d și deci d este
                        un număr real. 10. a) 1; b) 160; c) —231; d) 1; e) 0; f) 5; g) 30; h) (af — bc 4- cd)²;
                        i) —1 069. 12. 0, 0, a² + b² + c². 13. Se obține ecuația (x + l)^² — x + l)² = 0.
                        14. Se obține o ecuație de gradul 4 care are rădăcinile a, a, a, —3a. 15. Se scade linia
                        1 din fiecare celelalte linii; apoi se adună la coloana 1 suma celorlalte coloane. Se obține
                        ( —1 — a)'¹⁻¹ (n — l)a — 1. 16. d = 4. 17. d = 0.






Cap. IV





1.  a) 1; b) 2; c) Dacă a = —6 rangul este 1, iar dacă a / — 6 rangul este 2. 2. a) 2;
b)  2; c) Pentru a = —21 rangul este 2, iar dacă a —21, rangul este 3. 3. a) 4; b)  4;
c)  3. 4. a) 4; b) 4. 5. m. 6. 0; 1; 2. 7. Pentru a = —45/4 matricea are rangul minim
și  anume 3. 8. Pentru a = 3 rangul  este egal cu 2, iar pentru a 3 acesta este     3.



9. Se folosesc proprietățile

/-2
determinanților. 10. a) I 3
V 2

inversabilă, dacă ad bc

c)

cos a

—sm a

sin a
cos a

. 11. a) Dacă ad = bc, matricea nu este

matricea este inversabilă, inversa sa fiind    
        >                                              ad — bc

-b

; b) Pentru a = b = 0

matricea nu este inversabilă; în caz contrar, matricea este

inversabilă, inversa sa fiind

------       . 12. a) -3
a² + b²a)    I
k 1
matricea nu este inversabilă;

       / —a 2(3 — a) 3\
1      I               I
------I —a  2a + 3    3 1.
3 — 4a I
       k 1            -6 -4/

-3   1\       / ' 2
5 —2 |; b) — -4
            ¹⁰
—2    1/ k 2

pentru a/ — este

/I
¹ I ¹
13. a) -I
4,1

 1 1
 1 -1
-1 1
-1 -1

1 -5\
       I                          3
3    5 I; c) Pentru a = —
       I
1    5/

inversabilă, inversa sa fiind

 Ix  /I -2
— 1 0  1
  ; b)
-10 o
 1/ ko o

5
-2
1
0

d

—c

a

1

73

/-2

14. a)

  1    1
-1   O
  O   -1
  o    o

  o

  o
-1/

  1
-2
  1
  1

  1     1\
  1     1 I
         j; c) Pentru X e { — 2, 1}
-2     1 |
  1    -2/

matricea nu este inversabilă; în caz contrar,

matricea este inversabilă, inversa sa fiind

1

1
1

           (X + 1 -1

            -1 x + 1

            -1    -1


  -1\
  -1
x+ 1J

15. Avem A⁻¹ = ~

15 15 -15
-6 -6  -6
-8 12  -8

15.  a) Dacă în matricea A se permută între ele liniile i și j, atunci în matricea X⁻¹ se


permută între ele coloanele i și j; b) Dacă se înmulțește linia i cu X 0, atunci în A~*


se înmulțește coloana i cu — ; c) Dacă la linia i se adaugă linia j înmulțită cu X, atunci
                            X

în A"¹, coloana i înmulțită cu X se scade din coloana j. 18. a) înmulțim la stînga ambii

membri ai ecuației cu inversa matricei

1
care este —
4

3
-2

-n .
   I și obținem

2    1
2    3

X = — I ; b) înmulțim la dreapta ambii termeni ai ecuației cu inversa matricei
      4 12         4/

,r-i -2
l 5     8

.. x ¹
, adică cu —
2

-1

21       .          1
I și obținem X = —

46
-^9

12'
-11

. 19. înmulțim

la stînga cu inversa matricei

-1
-3

x       ¹
adică cu — —

2 [3

-2
-1

la dreapta cu inversa

matricei

6)    a- X
   , adică
8/

1
cu —
2

8  -6A
-5 4J ’

¹
și obținem X = — —

-7
-3

20
8

20. Avem

-1

3\ / 1

-1

-1

-3

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-5

-4

-4

4—8

-9

16 - 1

21.   X =

-4

24 — 16;

-1

-1

-1

-3\-l

22. Avem X =

-1

-1

2

1

0

0

o

o

1

4
5

2

5

1

4

8
5

2

0

1

—57 V—i

_1
4

2

2

2

3

1

0

2
8

3

2

1

O

0

1

o

8

, Și

£
4

2

1

1

0

5

3

4

1

1

4

1

4

1

0

0
<0

2

1

1

1

0
0

2

1

1

1

1

1
0

1
1

74

Cap. V




1.  xᵣ =6, x₂ = k, x₃ = 6. 2. xj = 1, x₂ = 2, x₃ = 3. 3. xₓ = 2, x₂ — 4, x₃ — 3.
          5                   16        13
4.  x, = —, x₂ = —, x₃ = —. 5. xₓ= x₂ = x₃ = z₄ = f. 6. xₓ =1, x₂ = —2,
       11                  11       11
x₃ = 3, x₄ = 2. 7. x = —1, y 2, z = — 1, t = i. 8. x = y = z = t = 0. 9. x = — 1,
y = 2, z = 3, t — —2. 10. x = —2a, y = 2a, z = —4a, t = 6a. 11. Determinantul
sistemului este -^*(a² + b² + c² + d²)²    0, deci soluția este x = y = z = t = 0.
                                 12.  Sistemul are soluția unică:

                  {d — m)(c — m)(b — m)             (d — m)(c — m)(m — a)
            x =     —--------- 9 y — ——-----------------------------------——
(d — a)(c — a)(b — a)            (d — b){c — b){b — a)

{d — mUm — a)(m — b) , (m — a)(m — b)(m — c)
            z —-------------------------, £ =______________________________•
(d — c)(c — a)(c — b)            (d — a)(d — b)(d — c)

         *                                          2
                                 13.  a) 3; b) 3; c) Pentru a — 15 și £ = — rangul matricei este 1; pentru a / 15 sau
                                         5
             2                                1 2X 5
pentru M - rangul este 2. 14. x = X, y =------------I--, z = — , unde X este un număr
F             5                               12    3       4           /
oarecare. 15. x = 1 — 3X, y = 0, z = X, X fiind un număr oarecare. 16. x — X, y = 1 — X,
        1               1
z -------, t = — , Xfiind un număr oarecare. 17. x — 2, y = 1 + X, z = 2 + X, < = X,
   2               2
X fiind un număr oarecare. 18. x f= 1 — X — p, y — 1 — X, z = X, t = p, X șj p fiind
numere oarecare. 19. Sistemul este incompatibil. 20. Sistemul este incompatibil.

21.  x = — , y = ⁶ ~ --- , z — X, X fiind un număr arbitrar. 22. Sistemul este incompati-
        3                   3
bil. 23. xₓ = —2 — a — p, x₂ = 3 + a + P, x₃ = a, x₄ = —p, a și p fiind numere oarecare.
«k       1 + 5X         1 - 7X          1 + 5X         ■ ,
24.  x. = 1, x₂ = 2, x₃ = 3. 25. xₓ =---î-----, x₂= --------, x₃=----------, x₄= Xunde
6             6               6
X este un număr oarecare. 26. Determinantul sistemului este —2apY și totul rezultă
  .           , . _           p² + Y² — a²          a² + y² — P²           a² 4' 3² ~ Y²
din regula lui Cramer: x = ----------------, y =-------!, z = ------------------------.
                                 2pY                   2aY                    2aP
27.  a) a = 4. b) a = 2, p = 3. 28. a) a = -1, p = -1, Y = D b) a = 2, p = -2,
        Y = — 2. 29. Pentru X / 0 sistemul este incompatibil; pentru X = 0 sistemul este com-
        -5a-13p-’3                           -7a-19p-7                     D               „ . .
patibil: x = -----:, y =----------------------------, z = a, t = p, unde a și P sînt
                      2                       2
numere oarecare. 30. Pentru X = 8 soluția sistemului este: x = a, j/ = 4 + 2a — 2p,-
z = 3 — 2p, t — p, unde a și p sînt numere oarecare; pentru X^8 soluția sistemului
este x = 0, y = 4 — 2p, z = 3 — 2p, t = p, unde p este un număr oarecare; 31. Dacă a / 1
                                                         1
și a —2 sistemul are soluție unică x = y — z = ------------- ; dacă a = 1 soluția este
                                                      a + 2
x = 1 — X — p, unde X și p sînt numere oarecare; dacă a= —2 sistemul este
                  .                                                           2 ___ X²
incompatibil. 32. Dacă X 0 și X —3 sistemul are soluție unică x — -----------------— ,
X(X + 3)
       21   1                 X³ I 2 X²   X   1
y = ----------/ z =-----—--------------- ; dacă X = 0 sau X = — 3 sistemul este incom-
      X(X + 3)                   X(X + 3)

I

75

patibil. 33. Dacă a,  p, y sînt diferite între ele două cîte două, atunci sistemul are soluție
unică:        - JP ~     ~     , x, = <» ~          ~ Ă> ,       x, = (» ~ M» - X)  . dₐcă
(P -  a)(r - a)          (a - P) (X-p)              (a - y)(p - y)
a = P,  a / y, X =   a sau X = y, soluțiile depind de    un   număr arbitrar; dacă  a = y,
a / p, X = a sau X = £, soluțiile depind de un număr arbitrar; dacă p = y, a p, X = a
sau X = p, soluțiile depind de un număr arbitrar; în celelalte cazuri, sistemul este incom-
patibil. 34. Determinantul sistemului este d = «Py — a — p — y + 2. Dacă d / 0
sistemul are soluție unică: x = — —— — , y = (a ~             ---D ₍ z ₌  ~ .
d                    d                    d

dacă d = 0, atunci distingem situațiile: 1° două dintre numerele a, p, y sînt egale cu 1,
atunci soluția sistemului depinde de un număr arbitrar; 2° a — p = y = 1, soluția
sistemului depinde de două numere arbitrare; 3° a, p, y sînt toate diferite de 1, sistemul
este incompatibil. Cazul în care d = 0 și unul singur dintre numerele a, p, y să fie egal
cu 1 este imposibil. 35. Determinantul sistemului este d = a(pa — 1). Dacă a 0 și
P    ± 1 sistemul are soluție unică dată de formulele lui Cramer. Dacă a = 0, p = 5,
           1       4
avem x — y ---------------, z = — , cu X arbitrar; dacă a = 0, p 1 și p 5, sistemul
           3       3
este incompatibil; dacă p = 1, avem x = X, y = 1 — ax, z = 0 cu X arbitrar; dacă
P = —1, sistemul este incompatibil. 36. Determinantul sistemului este d = (y — l)²(a—P);
dacă y 1 și a 7^ P sistemul are soluție unică: z = y, y = — 2y — 1, z=y + 2; dacă
a = p și y^l sistemul este compatibil nedeterminat; dacă a = p și y = 1 sistemul
este compatibil determinat; dacă a 3 și y = 1 sistemul este compatibil nedetprminat.
37. Sistemul are soluții nenule pentru a — 0. 38. Pentru X 1 și X 3, sistemul are
2                                                     2 ___ 7
o unică soluție: x = ---------, y - z ■ 0, t =---------------- ----; pentru X = 1, sistemul
           3  - X                     (X - 1)(3 - X)
17   1        2
este incompatibil, iar pentru X = 3, soluția este: x =--------------------a-------p, y — 2,
9    3        9
z — a, t = p, unde a și p sînt numere oarecare.

39. a)

/2 - n      1     1 . . .  11
    1          -1     0 ...  ¹  0
    1           0    -1 . . .     0 :

1     0    0 . . . -1/

40. a)

/1 1 1 ...  1
0 1  1 ... 1
ooi... i ;

z¹
1
o

i0 0       0 ...        1/

o
o

           /2 --- n 1 1 ....    
           1        2-n   1     
           1                    
   1                1    2-n ...
b) n --- 1                      
           1        1 1         
-1 -1      0 . .    .0 0 0   0  
1  -1      -1 . .   .0 0 0   0  
1  1       -1 . .   .000, 0     
                               o
0  0       0 ..     .011-1      
0  0       0 . .    .011  2:    

   1
   1
   1

2 — n/


76

                 Bibliografie

1. Fadeev D. K. și Sominski I. S., Culegere de probleme de
  algebră superioară, Editura Tehnică, 1954.
2.  K u r o ș A. G., Curs de algebră superioară, Editura Tehnică, 1950.
3.  Stamate I. și St oi an I., Culegere de exerciții și probleme
  de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, 1979.


CUPRINS



Capitolul I. Permutări ........................................................... 3
  1.       Noțiunea de permutare.................................................... 3
  2.       Produsul (compunerea) permutărilor....................................... 4
  3.       Transpoziții ............................................................ 5
  4.       Inversiunile unei permutări. Signatura (semnul) dnei permutări........... 6
  5.       Descompunerea unei permutări în produs de transpoziții................... 8
        Exerciții ........................................................................ ⁹
Capitolul II. Matrice ........................................................... io
 1.       Noțiunea de matrice ...................................................  11
 2.       Operații cu matrice ..................................................   12
 3.       Transpusa unei matrice................................................   18
        Exerciții ....................................................................... 18
Capitolul III. Determinanți ..................................................... 21
  1.       Determinanți de ordinul 2 și 3.........................................  21
  2.       Definiția determinantului de ordinul  n................................. 25
  3.       Proprietățile determinanților .......................................... 27
  4.       Interpretarea geometrică a determinantului de ordinul 3................. 32
  5.       Calculul determinanților ............................................... 33
        Exerciții * ..................................................................... 38
Capitolul IV. Rangul unei matrice. Matrice inversările .......................... 41
 1.       Rangul unei matrice .................................................... 41
 2.       Matrice inversabile .................................................... 44
        Exerciții ..................................................................... ⁴ 7
Capitolul V. Sisteme de ecuații liniare ......................................... 50
  1.       Noțiuni generale .....................................................   50
  2.       Regula lui Cramer ...................................................... 51
  3.       Calculul rangului unei matrice.......................................... 56
  4.       Sisteme de ecuații liniare.............................................. 59
  5.       Sisteme de ecuații liniare omogene...................................... 65
        Exerciții ....................................................................... 67
Indicații. Răspunsuri ........................................................... 71

79

Nr. colilor de tipar : 5
Bun de 11par : 11.01.1987


Corn. nr. 60 566/33 123
Combinatul Poligrafic
„CASA SClNTEII“
București — R.S.R.