MINISTERUL EDUCAȚIEI $1 INVAȚAMÎNTULUI Matematică Manual pentru clasa a IX-a Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988 MINISTERUL EDUCAȚIEI Șl INVĂȚĂMÎNTULUI C. NĂSTĂSESCU C NITĂ 9 GH. RIZESCU Matematică Algebră________________ Manual pentru clasa a IX-a O EDITURA DIDACTICĂ Șl PEDAGOGICĂ — BUCUREȘTI Manualul a fost elaborat în 1978 pe baza programei școlare aprobate de Ministerul Educației și Învățămîntului cu nr. 39490/1978 și revizuit în 1980. Referenți: Prof. univ. dr. O. STĂNĂȘILĂ Prof. l.V. MAFTEI Redactor: Prof. VIORICA FĂTU Tehnoredactor: ANA ȚIMPĂU Coperta: N. SÎRBU CAPITOLUL I ECUAȚII DE GRADUL ÎNTÎI Șl DE GRADUL AL DOILEA (RECAPITULARE) §1 . ECUAȚII Șl INECUAȚII DE GRADUL ÎNTÎI 1.1. Forma generală a ecuației de gradul întîi este ax 4- b = 0, a 0 (1) a, b fiind numere reale. Observație. în practică vom considera și ecuații a căror rezolvare se reduce la rezol- varea unor ecuații de gradul întîi. Ecuația (1) are rădăcina . ’ a Interpretarea geometrică (fig.I.l). Graficul funcției f : R -> R, f(x) = = ax + b, este o dreaptă care intersectează axa Ox în punctul de abscisă — — C—A fiind rădăcina ecuației ax + b = oj. în figura 1.1 am graficul pentru cazul : a > 0 și b > 0. Exemplu. Să se rezolve ecuația în x, m — x = 1 — m²x. Această ecuație devine (m² — l)x = 1 — m. Dacă mi — 1 0, adică m 1 și m — 1, atunci ecuația (2) este de gradul întîi, avînd rădăcina a construit 1 — m ,. w , adică — m² - 1 i m 4- 1 Dacă m = 1, ecuația (2) devine 0 • x = 0 care este adevărată pentru orice număr real x. Dacă m = —1, se obține O-* = 2, ✓ care nu este verificată pentru nici o valoare lui x. a 3 1.2. Inecuațllle de forma ax + b > 0, ax + b > 0, ax + b < 0 sau ax 4- b < 0, unde a și b sînt numere reale date, iar a 0, se numesc inecuații de gradul întîi. Observație. în practică vom considera orice inecuație care se reduce, folosind pro- prietățile inegalităților, la o inecuație de gradul întîi. 1. Să considerăm inecuația de gradul întîi ax 4- b > 0, - a 0. (3) 1° Dacă a > 0, atunci x > ——, adică x £ ( — — » 4~oo a la 2° Dacă a < 0, atunci x < — —, adică x E ( — oo , — — I. a l a) Grafic, cele două situații sînt reprezen- ^y⁷-^ tate îⁿ ^8ura 1-2, respectiv în figura 1.3, por- țiunile hașurate marcînd mulțimea soluțiilor. 2. Pentru inecuația ax 4- b > 0, avem: Fig. 1.2 X <—~ -i a Fig. 1.3/ 1° Dacă a > 0, atunci x >---------, adică a -----, 4-00 a 2° Dacă a < 0, atunci x < — — , adică Observăm că punctul — — face parte din mulțimea soluțiilor. a Exemple. 1) Să se rezolve inecuația x 4- 4 > —2x 4- 3. Obținem succesiv: x 4- ix > — k + 3, sau 3x > —1, de unde x > —. Deci x e--------, 4- oo I. I 3 J 2 ) Să se rezolve inecuația 4(6 - x} > - 13). Obținem succesiv: 24 — 4x 3® — 39, sau — 4.c — 3x — 39 — 24, de unde — 7x > —63, adică ac < 9. Deci x s ( — 00, 9J. 4 1 .3. Ecuații care conțin necunoscuta în modul Valoarea absolută a unui număr a, notată prin [ a |, se definește astfel: a, dacă a > 0, 0, dacă a — 0, —a, dacă a < 0. De exemplu: | 9 | = 9, = — , | - 30 | = 30, | / 2 | = / 2 etc. Valoarea absolută a numărului a se mai numește modulul numărului a. Rezultă că | x | = max (—x, x) și deci: x < | $|, — x < | x |, (max (—x, x) fiind cel mai mare dintre numerele —a; și x}. Să menționăm proprietățile fundamentale ale modulului. Dacă a și b sînt numere, atunci: 1. | a | > 0; 2. | a | = 0 dacă și numai dacă a = 0; 3. | ab | — | a | • | b |; 4. + * < \a | 4- |&|. Primele trei proprietăți sînt evidente, după definiția modulului. Să o demonstrăm pe ultima. într-adevăr, dacă a = 0 sau b = 0, atunci este clar că | a 4- b | = | a | + \b | . Deci să presupunem a / 0 și b / 0. Să considerăm cele patru cazuri posibile: i) Dacă a > 0 și b >0, atunci a + b >0. Deci | a: 4- b | = | a | + | b |. ii) Dacă a < 0 și b < 0, atunci a 4- b < 0. în acest caz | a | = —a, | b | = — b, | a + b | = — (a + b) și deci | a + b | = | a | 4- | b |. iii) Dacă a> 0 și b <0, atunci | a | = a și | b | = —b. în această situație avem, sau a 4- b >0, sau a 4- b < 0. Dacă a 4- b > 0, atunci | a 4- b | = a 4- b < a — | a | < | a | 4- I b |; iar dacă a 4- b < 0, atunci 1 a 4- b | = —a — b = —a-}-\b\^ | < I a | 4- I b |. iv) Analog, se demonstrează cazul a < 0 și b > 0. în practică este foarte utilă următoarea proprietate: 5. | a | < c dacă și numai dacă — c < a < c. (în aceste relații se poate înlocui semnul < cu semnul < .) De asemenea, avem: 6. hm - IMH Proprietățile 5 și 6 se demonstrează ușor pe baza celor precedente. Demonstrarea lor o lăsăm ca exercițiu. Exemple. 1) Să se rezolve ecuația | x - 3 | = 4. După definiția modulului avem „ . ( x — 3, dacă x — 3 > 0, | x - 3 | = J \ , u | — (x- — 3), daca x — 3 < 0, (4) adică | x - 3 | = x — 3, dacă x > 3, x + 3, dacă x < 3. Așadar, ecuația (4) devine: a) Dacă x > 3 avem x — 3 = 4, de unde x = 7. Cum 7 > 3, rezultă că 7 este o rădăcină a ecuației. b) Dacă x < 3 avem — x 4- 3 = 4, de unde ₓ = — 1. Cum — 1 < 3, rezultă că — 1 este o rădăcină a ecuației. Deci rădăcinile ecuației (4) sînt: a?! = 7, x₂ = — 1. 2) Să se rezolve ecuația | 6 — x | = 2x + 3. (5) . , „ । ( 6 — x, dacă 6 — x 0, Avem | 6 — x | = J ( — 6 4* x, dacă 6 — x < 0. Așadar, ecuația (5) devine: a) Dacă 6 — x 0, adică x < 6, avem 6 — x — 2x 4- 3, de unde x = 1. Cum 1 6, rezultă că 1 este rădăcină a ecuației. b) Dacă 6 — x < 0 adică x >, 6, avem —6 4- x — 2x 4- 3, de unde x = —9. Cum — 9 nu verifică inecuația x > 6, rezultă că —9 nu este rădăcină a ecuației (5). Deci ecua- ția (5) are rădăcina 1. §2. ECUAȚII DE GRADUL AL DOILEA CU RĂDĂCINI REALE 2.1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu rădăcini reale Fie ecuația * - ax² bx c = 0, a / 0, «, b, c, fiind numere reale. O astfel de ecuație se numește ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali. Se numește soluție sau rădăcină reală a ecuației un număr real a astfel incit să avem a^ + ăa + c — 0. 6 Prin rezolvarea ecuației ax² + bx + c = O se înțelege determinarea tuturor soluțiilor (rădăcinilor) acestei ecuații. Ecuația are rădăcini reale dacă și numai dacă b² — bac > 0. Dacă b² — — kac < 0, ecuația nu are rădăcini reale. Existența rădăcinilor reale ale ecuației de gradul al doilea, precum și numărul lor depind de expresia b² — bac. Această expresie se numește discri- minantul ecuației de gradul al doilea și se notează cu A.* . Dacă discriminantul ecuației de gradul al doilea este pozitiv, atunci ecuația are două rădăcini reale diferite între ele -b + /'Â - b - |/~A *1 = ------2^— ’ X* = ---------Ta-----* Dacă discriminantul ecuației de gradul al doilea este egal cu zero, atunci ecuația are două rădăcini reale egale b x. = x* —--------. ¹ ² 2a Exemple: 1) Ecuația 2x² — x — 3 = 0 are discriminantul A = ( — l)² — 4*2 • • ( — 3) = 25 > 0. Deci, ecuația are două rădăcini reale diferite 1-/25 ^2 =------4---= - 1. 2) Ecuația 2x² — kx + 2 = 0 are discriminantul A = ( —4)² — 4 ’ 2 • 2 = 0. Această ebuație are rădăcini reale egale 3) Ecuația 2x² + □■ + 1 = 0 are discriminantul A=l — 4’2 = —7<0. Deci, ecuația nu are rădăcini reale. Dăm acum citeva forme particulare importante ale ecuației de gradul al doilea, care are discriminantul A > 0. ■ 1. Fie ecuația ax² -j- bx + c — 0 și să presupunem că b are forma b — = 2bᵣ (de exemplu, b = 2, b — 4|/^2 etc.). Rădăcinile ecuației ax² + 2b -j- c = 0 sînt - + ]/ bț- ac _ - bₜ - 1/ i। — ac Xl — ---------------- ; x₂-------------------. a a Exemplu. Să se rezolve ecuația 3x² — 10# -f- 3 = 0. * Expresia b* — bac se mai numește realizări tul ecuației. 1 Deoarece coeficientul lui x este —10 — 2 » ( — 5), aplicăm formulele de mai înainte și obținem: 5 ± l/25 - 9 _ 5 ± 4 - 3 3 Deci 1 x, = 3: x₂ = — • 3 2. Forma redusă a ecuației de gradul al doilea. O ecuație de gradul al doilea se numește redusă dacă coeficientul lui x² este egal cu 1. Forma generală a ecuației reduse este: x² + px + q = 0, (3) unde p și q sînt numere reale. Punînd în formula generală a rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: —b ± l/^² — 4 a c ^1^2 = 8 Aceste relații poartă numele de relațiile lui Viete. Exemplu. Ecuația 4 a?² — 3o? — 1 = 0 are discriminantul A = 9 + 16 — 25 > 0. Deci ecuația are două rădăcini reale distincte .rj și x₂, iar } - • . -33 -11 + ^2 = —------= — • ^1^2 = ---- -------• 4 4 4 4 _ 2. Formarea unei ecuații de gradul al doilea cînd se cunosc rădăcinile Dacă și x₂ sînt numere reale, fie 4- x₂ = — p și xₓx₂ = q. Atunci x₁ și’ x₂ sînt rădăcinile ecuației de gradul al doilea x² 4- px 4- q = 0. - , într-adevăr, xj + px± 4- q = x\ — (rrₓ + x₂)xₜ + xₜ x₂ = x% — x% — — x^ + xₜx₂ = 0. Analog, avem xț + px₂ 4- q — 0. Deci xᵣ și x₂ sînț rădă- cinile ecuației x² 4- px + q = 0. Exemplu. Fie X₁ = —5 și x₂ =, 2. Atunci xᵣ + x₂ = —3 = —p, xᵣx₂ = —10 = q și deci p = 3 și q = —10. Ecuația care are rădăcinile — 5 și x₂ = 2 este ,x² + 3x - 10 = 0. 2.3. Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea Fie ecuația de gradul al doilea ax² -\-bx-{-c = 0, a^0 (1) cu A = b² — ^ac 0. Să notăm cu S și P suma, respectiv produsul rădăcinilor x^ x₂ ale ecua- ției (1), adică: o - > b i $ — XY -ț- x₂ =-----; . a D £ P = xᵣx₂ = — . a împărțind ambii membri ai ecuației (1) prin a, se obține o ecuație echi- valentă: x² -----re 4-------- 0 a a sau x² — Sx 4- P = 0. (2) Vom arăta cum, în raport de semnul lui P și 5, se poate stabili dacă rădăcinile ecuației sînt pozitive sau negative, fără a le afla efectiv. Sînt posibile următoarele combinații ale semnelor lui P și 5: , 1° P >0. Deoarece xᵣx₂ = P >0 rezultă că' ambele rădăcini au același semn. Dacă S > 0, atunci x^ x₂ = S > 0 și deci ambele rădăcini sînt pozi- tive. Dacă S < 0, atunci xₜ 4- x₂ = S 0, atunci 4- x₂ = S > 0 și deci rădăcina pozitivă este mai mare decit valoarea absolută a rădăcinii negative. Dacă S < 0, atunci xₓ 4- x₂ = S < 0 și deci valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mare decît rădăcina pozitivă.. ' Rezultatele obținute se pot reprezenta în următorul tabel: p > o £ > 0 > o, x2 > 0 s < 0 Xi < 0, x2 < 0 s > 0 rădăcinile au semne diferite: xx < 0, x2 > 0, 1 1 < C x2 p < 0 s < 0 rădăcinile au semne diferite: xx < 0, x2 > o, 1 Xi | > #2 _ Observații". 1. Fie S = 0. Ecuația are rădăcini reale numai dacă P < 0. în acest caz avem x₁ 4- x₂ — 0, adică xₓ = — x₂. 2. Fie P = 0. Atunci xₜ = 0 și x₂ = S. Exemple. 1) Fie ecuația 2x² — 8x 4- 7 = 0. Avem A = 64 — 56 = 8 > 0. Deci • 7 8 ecuația are două rădăcini diferite. Cum x₁x₂ =— și x, 4- x₂ — — = 4, adică suma și 2 2 produsul rădăcinilor sînt pozitive, rezultă că ambele rădăcini sînt pozitive. 2) Fie ecuația x² 4- 2x — 15 = 0. Avem A = 4 4- 60 = 64 > 0, deci ecuația are două rădăcini diferite. Deoarece xₓx₂ = — 15 și xj 4* z₂ = — 2, rezultă că rădăcinile au semne'diferite și valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mare decît rădăcina pozitivă. 2. 4, Descompunerea trinomului de gradul al doilea în produs de polinoame de gradul întîi Fie polinomul de gradul al doilea aX² 4- bX 4- c, a / 0, în nedetermi- nata* X. Un astfel de polinom se numește trinom de gradul al doilea . 1. Să presupunem că ecuația ax² + bx 4- c = 0 are rădăcini reale, fie acestea x₁ și x₂. Atunci aX² -b bX 4- c = a^X — xj (X — x₂) sau aX² 4- bX 4- c = (aX — axₓ) (X — x₂). Așadar, dacă b² — ^ac 0, atunci trinomul aX² 4- bX 4- c, a / 0, se descompune în produs de factori de gradul întîi cu coeficienți reali. 2. Reciproc, fie trinomul aX² 4- bX 4- c, a 0, și să presupunem că acesta se descompune în produs de factori de gradul întîi cu coeficienți reali, adică aX² 4- bX 4- c = (aₓX 4* bf} (a₂X 4- b.f), (1) - --— — ■ * v * Nedeterminata polinomului se notează, uzual, cu literă mare. J0 unde «i, bₓ, a₂, b₂ sînt numere reale. Atunci rădăcinile ecuației ax² + bx + + c = O sînt reale. într-adevăr, din relația (1), identificînd coeficienții lui X², avem a = aₓa₂. Cum. a / 0, rezultă că aₓ 0 și a₂ 0. Produsul (aₓx + bₓ) • (a₂x 4- b₂) este zero pentru x = — — sau x = — — și deci ecuația ax² + bx-\~ c = 0 are ai rădăcinile reale — — și— —. al «2 Exemple. 1) Să se descompună trinomul 6X² — X — 1, în factori de gradul întîi cu coeficienți reali. Rădăcinile ecuației 6x² — x — 1 = 0 sînt: ^ = — și x₂ =----------------- 2 ' 3 Atunci. 6X² _ x - 1 = 6 X + —] = (2A - 1) (3A4- I). 3 J 2) Deoarece discriminantul ecuației x² + x + 2 = 0 este A = 1 — 8 — —2 < 0, rezultă că trinomul A² 4- X + 2 enți reali. nu se descompune în factori de gradul întîi cu coefici- EXERCIȚII 1. Să se rezolve ecuațiile în x: a) 4x 4- 1 = m; b) mx — m² = 4 x = n — m²x; m - 2 r + 1 1 ----------• e) m = - :² - 4 1 nx nx m; | Jx - 1 | = 21 - 9x; 3x | = | 3 - 2x j)j I * + 1 | + | x - 1 | Ț- | x - 3 | = 2. Să se rezolve inecuațiile; 3 -T- x\ 13, x — 6 < x -|- I2; ax 4- b ax — b . ₙ , c)4-------L— > -------------— (ₐ > 0, b > 0); a — b a -f- b 3. ax 4- b > 3 — 2x; e) jx 4- -----— a 4- 1 — - ax^ | x + 3 | < 5; g) |2x - 1 | < | x - 1 |; h]) | x - 2 | 4- |x - J | > 1. Să se determine valorile lui x pentru care există radicalii următori (în mulțimea nume- relor reale): a) [/8 + 3x; b) l/6 — x\ c) ț/2x +6; d) |/1 — ,3x + |/x. 4. sa se rezolve ecuațiile: 2 - 3 — x 6x² — x — 1 = 0; b) x² — x + 1 = 0; c) — x² 4- 8x — 16 = 0; x — 3 d) 3x - 7 x 4- 5 x 4- 2 ’ _L_₊._L_₌ ₂; x 4- 2 2x 4- 3 11 f) 6 ._____3 2 X² — \ X + 1 x — 1 .5 . 1 10/n , . x — 6 x — 12 5 g)----------------------------= 2 + —------------- ; h) ----—-----------— = - . x + m m — x — x x — 12 x — b b 5. Să se determine ni, astfel încît ecuația x² 4 mx 4- 1 — o; a) să aibă rădăcini egale; b) să aibă rădăcini reale diferite; c) să nu aibă rădăcini reale. 6. Același enunț ca la problema 5,pentru ecuația x² — 2mx 4- w(l 4- w) = 0. y/ 7. Să se determine valorile lui m, știind că ecuațiile x² x 4' m = O și x² F x — w = O au același număr de rădăcini reale. / 8. Să se formeze ecuațiile de gradul al doilea, care au rădăcinile: a) Xi = — 3 și x₂ = 5; b) xₓ = ni 4- n și xₐ = ni — n‘, c) xₓ = 2 4- |/ 3 și x₂ = 2 — - /3"; d) xj = l/l 4- |/“3 și x₂ = |/1 - / 3. - 9. Fie xₓ și x₂ rădăcinile ecuației x² 4- px 4- 7 = 9. Să se formeze ecuațiile de gradul al doilea în y, ale căror rădăcini sînt: a) Vi - — Și yz = — ; b) Vi = Xi 4- — Și y₂ = x₂ + — ; c) = (xₓ + x₂)² și yz = [x-i — x₂)²; d) yᵢ =-\ și y₂ = —. xț x₂ • 10. Fără a rezolva ecuațiile următoare, să se determine semnele rădăcinilor lor: a) x² — x — 6 = 0; b) 6x² — x — 1 = 0; c) —5x² + x — 7 = 0. 11. Să se determine valorile lui m, astfel încît rădăcinile ecuației x² + (1 — m)x — m = 0 să aibă: a) același semn; b) semne diferite. ⁷ 12. Să se descompună în factori de gradul întii trinoamele: a) 6A² - 7X + 2; b) X² - X 4- 1; c) 2A² - ImX 4* 6m². 13. Să se determine valorile lui m, astfel încît ecuațiile x² 4- nix 4- 1 = 0 și x² 4- x 4- m = 0 să aibă o rădăcină comună. Să se studieze semnul rădăcinilor ecuației: mx² 4- 2(m 4- l)x 4- | m — 2 | = 0, ni fiind un parametru real. V15. Fie ecuația 4mx² 4- 4(1 — 2ni)x + 3(m — 1) = 0. Să se determine valorile lui m ' astfel încît să avem: a) ambele rădăcini să fie mai mici decît 1; b) ambele rădăcini să fie mai mari decît 1; c^ o rădăcină mai mică decît 1 și alta mai mare decît 1. X IC. Să se determine valorile parametrului m, astfel încît următoarele ecuații să aibă două rădăcini egale: a) 4x² 4- mx 4- 9 = 0; b) mx² 4- 4x 4- 1 = 0; c) x² — 2(1 4- 3m)x 4- 7(3 4- 2m) = 0. X 17. Descompunînd membrul sting în factori, să se rezolve ecuațiile: a) 4xa 4- 28x² — 9x — 63 = 0; b) 6x³ — x² — 486x + 81 = 0; c) x³ 3x² — 16x — 48 = 0, 12 18. Să se rezolve ecuațiile: . 1 . 2x - 1 1 a)--------------------------------------------- = 0; 5x - 5 12x² + 12x 5x⁸ — 5 . 3x — 5 6a; — 5 3x + 2 b)------------------------------------------= 0, x² — 1 x — x² x³ — x 19. Să se rezolve ecuațiile: a) x⁴ 4- 4x — 1 = 0; b) x⁴ — 4x³ — 1 = 0; • \ V । x 12, c-----------------+ I----------- = m im — 1). lx + 1) (x - 1J Indicație. a) Adunăm la ambii membri ^pe 2x² + 1; se obține ecuația x⁸ 4- 1 , = |/ 2 | x — 1 |. b) Se înlocuiește a; cu — și se obține ecuația de la punctul a), c) Adu- X • . . 2 a:² năm la ambii membri ai ecuației p^---------— și obținem ecuația x² — 1 1xz y² — y — m(m — 1) = 0, unde y =----------. x‘ -¹ ' 20. Fie ecuația x² — | x | = mx(x 4- 1). Să se determine m (m e R) astfel încît această ecuație să aibă trei rădăcini reale. Indicație. Se consideră cazurile: a) x 0, x² — x = mx{x 4- 1); b) x < 0, x² 4~ = mx(x 4- 1). 21. Să se rezolve ecuațiile în x, m fiind un parametru real: a) 3x² — 5mx — 2m² = 0; b) x(2x 4- 5) — m(x 4- 3) = 3. Indicație, a) * A = 49 m² 0. Dacă m 0, atunci x = ----------------—------ , de unde 6 Xi =----— m si x₂ = 2m. Dacă m = 0, atunci xₓ = x₂ — 0. 3 b) A = (m 4- 7)z. Dacă m = — 7, atunci A = 0 și rezultă xₓ = xₐ = —3. Dacă , „ . - a • zn -r- 5 ± | m 4- 7 | , . m 4- 1 m =£ — 7, atunci A > 0 și x = —-------------—----------— > de unde xᵣ =------!--- și 4 2 xₐ = —3. . • CAPITOLUL II - ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ, MULȚIMI, FUNCȚII ♦ §1 . ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ 1.1. Elemente de calculul propozițiilor Noțiunea de propoziție. Se numește propoziție un enunț* despre care știm că este sau adevărat sau fals, însă nu și una și alta simultan. Exemple. Considerăm enunțurile: 1) în orice triunghi suma unghiurilor sale este egală cu 180°; 2) „3 + 2 = 5“; 3)„2 > 5“; 4) „Balena este un mami- fer⁴⁴ ; 5) „Planeta Venus este satelit al Pămîntului“. Toate aceste enunțuri sînt propoziții, deoarece despre fiecare putem să știm dacă este adevărată sau falsă. De exemplu 1), 2) și 4) sînt propoziții adevărate, iar 3) și 5) sînt propoziții false. Observație. O clasă foarte largă de propoziții adevărate o constituie teoremele din matematică. Exemple. Considerăm enunțurile: 1) „x -T 2 = 5“; 2) „x — 1 < 4“; 3) „Deschide ușa!“; 4) „Numărul x divide numărul yu\ 5) „Atomul de aur este galben'⁴. Se observă că 1), 2), 3), 4) și 5) sînt enunțuri pentru care condiția de mai sus (de a fi adevărat sau fals) nu este îndeplinită. Mai exact enunțurile 1 ), 2) și 4) au caracter variabil (vom vedea că ele sînt predicate). Enunțul 3) este o poruncă (ordin) despre care este lipsit de sens să afirmăm că este adevărat sau fals. Enunțul 5) este absurd, deoarece este lipsit de sens să vorbim despre culoarea unui atom. Valoare de adevăr. Dacă o propoziție este adevărată, spunem că ea are valoarea de adevăr „adevărul⁴⁴ și vom nota valoarea de adevăr, în acest caz, prin semnul „1“ (sau ,,a“); cînd propoziția este falsă spunem că ea are valoarea de adevăr „falsul⁴⁴ și vom nota valoarea de adevăr prin semnul „O⁴⁴ (sau ,,f“). Observație. „0“ și „1“ sînt aici simboluri fără înțeles numeric. Vom nota propozițiile cu literele p, q, r,... sau p^ p₂, p₃,.... Acestea se pot compune cu ajutorul așa-numiților conectori logici „non”, „și“, „sau⁴⁴ dînd propoziții din ce în ce mai complexe. Să indicăm, în cele ce urmează, modul de obținere de noi propoziții cu ajutorul conectorilor logici. * Un enunț este un asamblaj de semne cărora li s-a dat un sens. 14 Negația propozițiilor. Negația- propoziției p este propoziția „non p\ care se notează Ip și care este adevărată cînd p este falsă și falsă cînd p este adevărată*, Valoarea de adevăr a propoziției Ip este dată în tabela următoare; P____Ț? 1 0 0 1 • De exemplu, considerăm propoziția p: „Balena este un mamifer'*. Nega- ția Ip este propoziția: „Non" balena este un mamifer sau, în limbajul obișnuit, „Balena nu este un mamifer". în acest exemplu Ip este o propoziție falsă. Conjuncția propozițiilor. Conjuncția propozițiilor p, q este propoziția care se citește „p și q“ (notată p A q) care este adevărată atunci și numai atunci cînd fiecare din propozițiile p, q este adevărată. Valoarea de adevăr a propoziției p /\ q este dată în tabela următoare: P 1 1 0 o q 1 0 1 0 p^q i o o o De exemplu, să considerăm propozițiile p:„2 + 4 = 6“ și q: „Luna este satelit al Pământului". Propoziția p f\ q este „2 + 4 = 6 și Luna este satelit al Pămîntului". în acest .exemplu p A q este o propoziție adevărată, deoarece p, q sînt amîndouă propoziții adevărate. Deseori în loc de p /\ q se mai folo- sește și notația p & q. Disjuncția propozițiilor. Disjuncția propozițiilor p, q este propoziția care se citește „p sau g" (notată p y q) și care este adevărată atunci și numai atunci cînd este adevărată cel puțin una dintre propozițiile p, q. Valoarea de adevăr a propoziției p y q este dată în tabela următoare: p q p \/q 1 i i . 1 0 i 0 i i 0 0 0 De exemplu, să considerăm propozițiile p: „2 >3“ și q: „Balena este un pește". Propoziția p v q‘- „2 >3 sau balena este un pește" este o propoziție falsă, deoarece p, q sînt amîndouă propoziții false. Cu propozițiile p, q, rᵣ.. am construit propozițiile: Ip, p A q, p \j q,... . Din acestea obținem alte propoziții, ca de exemplu: Op)v?t (“Ip v q) A r etc. * Negația propoziției p se mai notează p. 15 Propozițiile care se obțin din propozițiile p, q, r,... (numite propoziții simple}, aplicînd de un număr finit de ori conectorii logici „1, A, \/a, se vor numi propoziții compuse. Calculul propozițiilor studiază propozițiile compuse din punctul de vedere al adevărului sau falsului lor în raport cu valorile logice ale propozițiilor simple care le compun. Implicația propozițiilor. Să considerăm propoziția compusă țip) q a cărei valoare de adevăr rezultă din tabela următoare: p 9 1p> 0?) v? 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Observăm că propoziția compusă țip) v 7 este falsă atunci și numai atunci cind p este adevărată și q falsă, în celelalte cazuri fiind adevărată. Propoziția compusă Op) \j q se notează p -* q și se citește, „dacă p, atunci q“ sau „p implică q“. Ea se numește implicația propozițiilor p, q (în această ordine). în implicația „p -> 7“, p se numește ipoteza sau antecedentul implicației, iar propoziția q se numește concluzia sau consecventul implicației. De exemplu, să considerăm propozițiile p\ „2-2 = 5“ și q'. „Balena este un mamifer¹¹. Propoziția p -* q este „dacă 2-2 = 5, atunci balena este un mamifer¹¹, care este o propoziție adevărată deoarece p este falsă, iar q adevă- rată. Observație. Deseori se întîmplă ca propozițiile compuse pe care le obținem să fie ..bizare" ca în exemplul dat mai sus la implicație. Din punctul de vedere al logicii mate- matice, în studiul propozițiilor compuse ne interesează numai valoarea lor de adevăr. Echivalența propozițiilor. Cu propozițiile p, q putem forma propoziția compusă țp -+ q) A (? P), care se notează p q și se citește „p 'dacă și numai dacă q“.Din -tabela de mai jos se vede că propoziția p q este ade- vărată atunci și numai atunci cînd p și 7 sînt in același timp adevărate sau false. p 9 p -+q q -*p 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Formule echivalente în calculul prepozițional Așa cum în clasele mici cu literele a, b, c, ..., x, y, z,... și simbolurile +, , — , : putem forma expresiile algebrice, așa și în calculul prepozițional cu literele p, q, rᵥ.. pᵣ, p₂,- p₃,...) și cu simbolurile conectorilor logici: V, A, ■«_>. putem să formăm diverse expresii numite formule ale calculului pro- pozițional. Formulele calculului prepozițional le notăm cu literele a, [3, y, S,... 16 Exemple: p\/q, (p\/q}/\r, (p\f q) -+(p/\q), (pV r) -* p, lp -> p sînt formule ale calculului prepozițional. Fiind dată o formulă a = a (p, q, r,...) în scrierea căreia intră literele p, q, r,ori de cîte ori înlocuim literele p, q, r, ... cu diverse propoziții obținem o nouă propoziție (adevărată sau falsă) care se va numi valoarea formulei a pentru propozițiile p, q, r, ... date. Observație. Cititorul poate să facă imediat legătura cu valoarea unei expresii alge- brice pentru diverse valori numerice date literelor ce o compun. O formulă a(p, 7, r,...) care are valoarea o propoziție adevărată indiferent cum sînt propozițiile p, q, r, ... se numește formulă identic adevărată sau tau- tologie. Două formule a și p în scrierea cărora intră literele p, q, r,... se zic echi- valente dacă și numai dacă pentru orice înlocuire a literelor p, q, r, ... cu diverse propoziții, valorile celor două formule sînt propoziții (compuse) care au aceeași valoare de adevăr. Cînd două formule a și p sînt echivalente scriem a = p. Observație. Și aici cititorul poate să-și dea seama imediat că echivalența formulelor în calculul prepozițional este analoagă noțiunii de identitate a două expresii algebrice. Pentru a dovedi că două formule ale calculului prepozițional sînt echiva- lente se folosesc tabelele de adevăr. Exemple. 1). Fie a = l(pV și 3 = (I/j) A("D)- t)in tabela de mai jos rezultă că a = p. p a 1P 1? 3 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 • 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 d 0 0 1 1 1 1 2) Fie Y = l(p/\ q) și 8 = (V)V {lq}. Din tabela de mai jos rezultă că y = 3 P <7 p /\q Y lp 1? 8 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 EvcnriTii 0 0 0 1 1 1 1 Z 1. Să se decidă care din enunțurile următoare sînt propoziții și ce valori de adevăr au: a) 2 ■ 3 = 6; b) (2 + 5) • (3 + 8) = 80; c) | x | > 0 (x număr real); d) Oricare ar fi numărul real x avem |$| > 0; e) închide cartea!; f) Există un număr real x, astfel îneît x² 4- 2z — 3 = 0; g) Dreptele d și d' sînt paralele. 2. Din propozițiile p : „2 = 4“ și q: „3 < 5“ alcătuiți conjuncția, disjunoția, implicația și echivalența celor două propoziții. 3j. Folosind tabelele de adevăr, să se verifice: /ap p V (q A r) = (P V 7) A (P V r); 'b)j p A (q V r) = (p A q) V (p A r) 5 c) p = 1 Op)^d)¹ p q = lq -> lp] p V q = 7 V P ȘÎ p /\q q /\p. . 17 2 — Matematlcâ-algebră. nl e JX-h 4. Să se arate că următoarele propoziții au valoarea de adevăr „1“ indi- ferent de propozițiile simple ce le compun: a) (pV7); <0 (p ACp-*?» d) ((p -* ?) A(? r)) (p -> r); e) (p -> q) -> ((q r) țp r)) ; f) p V Op); 8) ¹⁽

0) este adevărată, deoarece pentru orice număr întreg x₀ avem xo > 0. Echivalența predicatelor. Două predicate p(x, y, z, ...), q(x, y, z, ...) se zic echivalente și scriem p(x, y,z, ...) o q{x, y,z, ...), dacă oricum am alege valorile variabilelor x^, y₀, z₀,..., propozițiile p(x₀, y₀, z₀,...) și q(x₀, yQ, zQ,...) au aceeași valoare de adevăr. Dacă oricum am alege valorile variabilelor x₀, y₀, z₀, ... pentru care propoziția p(x₀, y₀, z₀, ...) este adevărată rezultă că și propoziția 9(^o> ?/o> zo, •••) este adevărată, vom scrie y, z, ...) => q(x, y, z, Se vede că p(x, y, z, ...) o q(x, y, z, ...) atunci și numai atunci eînd p(x, y, z, ...) => q(x, y, z, ...) și q(x, y, z, ...) => p(x, y, z, ...). Exemple. I) Considerăm predicatele p(x): „x < 0“ și q{x): „x > 0“ unde x desem- nează un număr real. Se observă că T/>(z) ** M Și IqM <=> p(x). 2) Considerăm predicatele p(x, y): „x = y“ și qțx, y): „x / ya, unde x, y desem- nează numere reale. Se observă că lp(x, y) o q{x, y). # 3) Considerăm predicatele p{x): „x > 0“ și q(x)‘ „x² > 0“, unde x desemnează un număr real. Se vede că p{x) => q(x), dar nu are loc implicația q{x) => p(x), deoarece pentru xₙ = = —1, propoziția q(— 1): „(— l)² > 0“ este adevărată, pe cînd propoziția p(— 1): 1 > > 0“ este falsă. Reguli de negație. Fie p(x} un predicat unar, unde x desemnează un ele- ment din mulțimea E. Atunci 1) 1((3z) p(x)) = (yx) lp(x), 2) l^x)p(x))^(3x)l(p(x)) (aici semnul,, “ desemnează faptul că cele două propoziții au aceeași va- loare de adevăr). 19 2* Exemple. 1) Să considerăm predicatul p(x}'. „x — 2 — 3“, unde x desemnează un număr întreg. Propoziția (3x) p(x} este adevărată deoarece pentru *₀ = 5, propoziția p{x^'. „5 — 2 = 3“ este adevărată. Atunci propoziția l(3x) p(x) este falsă. Pe de altă parte, predicatul lp(x) este echivalent cu predicatul „x — 2 3“. Propoziția (Vx) (x — - 2 3) este falsă, deoarece pentru x₀ = 5, propoziția „5 — 2 3“ este falsă. Deci am verificat că 1(3*) (* - 2 = 3) = (Vx) 1(* - 2 = 3). 2) Considerăm predicatul p(x): „x > 0“, unde x desemnează un număr întreg. Propoziția (Vx)(x > 0) este falsă, deoarece pentru x₀ = —1, „—1 > 0“ este o propoziție falsă. Atunci, propoziția l((Vx)(x > 0)) este adevărată. Pe de altă parte, lp(x) este echivalent cu predicatul „x 0“. Propoziția (3x) (x 0) este adevărată. Deci am verificat că l((Vx) (x > 0)) = (3*) l(x > 0). Predicate de mai multe variabile. Fie p(x, y) un predicat binar. Folosind cuantificatorii (3) și (V), putem forma predicatele unare: (3$) p(x, y) și (Vz) p(x, y), unde y este variabila acestor două predicate (y se zice variabilă liberă, iar x variabilă legată). Din aceste două predicate unare putem forma propozițiile: „(3?/) (3$) p(x, y), (Vy) (3a;)p(x, y), (3?/) (Yx)p(x, y) și (Yy) {Yx)p(x, y)“. Semnalăm următoarele proprietăți de comutativitate ale cuantificato- rului de același fel: (Va;) (Vy) p(x, y) = (Yy) (Va;) p(x, y) (3a;) (3y) p(x, y) = (3y) (3a;) p (x, y). Din regulile de negație pentru predicatele unare obținem regulile de negație pentru predicatele binare. De exemplu: 3((3a;) (3y) p(x, y)) = (Va;) (Yy) lp(x, y). într-adevăr: l((3a;) (3y) p(x, y)) = (Yx) l((3y) p(x, y)) = (Yx) (Yy) lp(x, y). Considerații analoage se pot face pentru predicate cu 3, 4 sau mai multe va- riabile. • - Observații. 1) Dacă p(x, y, z, ...) și q(x, y, z,...) sînt două predicate, atunci p(x, y, z,q(x, y, z,...) dacă și numai dacă este adevărată propoziția: (Vx) (Vy) (Vz) ... [p(x, y, z, ...) ■*—* q(x, y, z, ...)]. De asemenea, p(x, y, z,...) => q(x, y, z, ...) atunci și numai atunci cînd este adevărată propoziția: (Vx) (Vy) (Vz) ...[p(x, y, z, ...) -► q(x, y, z, ...)]. 2) Multe teoreme se scriu sub forma implicației p(x, y, z, ...) => q(x, y, z, ...). 1° Considerăm teorema: în orice triunghi medianele sînt concurente. Această teo- remă este de forma p(x, y, z) => q(x, y, z), unde p(x, y, z) este predicatul ternar: „x, y, z sînt medianele unui triunghi¹⁴ iar q(x, y, z) este predicatul: „x, y, z sînt concurente". 2° Fie teorema: dacă ABC este un triunghi dreptunghic, atunci BC* = AB² + + AC³. Această teoremă este de forma: p(x, y, z) => q(x, y, z), unde p(x, y, z) este predicatul: „x, y, z sînt laturile unui triunghi dreptunghic < < z) f\(y < z)“, iar q(x, y, z) este predicatul:,,*² = x³ + y²“. 20 3°. Teorema următoare: „între două numere raționale distincte se găsește un număr raționa] diferit de acestea“, se scrie suh forma: p(x, y) Q(x, y), unde ;j(x, y) este predicatul: „(x y\ A < y)“, iar țYy} (3a;) p(x, y) este adevărată. 4. Fie predicatul p(x, y): „x -f- y = 2“ unde a;, y, desemnează numere întregi. Să se spună dacă propoziția (Vy) (3a;) (p(a>, y) -> (3a;) (Yy) p(x, y)) este adevărată sau falsă. 5. Să se determine valoarea de adevăr a propozițiilor: a) (Va;) [(a; >0) V (^ < 0) V =*0)], unde x desemnează un număr real oarecare; b) (3a;) (3?/) [(a; / 0) /\ (y / 0) -> (xy = 0)], unde a;, y sînt numere oarecare. • § 2. MULȚIMI 2.1. Noțiunea de mulțime Noțiunile de mulțime și de element al unei mulțimi fac parte din categoria acelor noțiuni matematice care nu pot fi definite, dar sînt impuse de numeroase exemple: 1) mulțimea cuvintelor din limba română; 2) mulțimea elevilor dintr-o clasă; 3) mulțimea numerelor naturale: 0, 1, 2, 3, ... etc. Așa cum scria Cantor, creatorul teoriei mulțimilor, o mulțime este „o colecție de obiecte (numite elementele mulțimii) de natură oarecare, bine deter- minate și bine distincte¹''. Nora nota cu litere mari mulțimile, cu litere mici elementele lor. Dacă .4 este o mulțime și x un element al său, vom scrie a;EA și vom citi „x apar- ține lui A“. Dacă x nu se găsește în A, atunci vom scrie x £ A și vom citi „x nu aparține lui A“. Așa cum rezultă din fraza de mai sus, elementele unei mulțimi sînt dis- tincte, adică un același element nu se poate repeta de mai multe ori. De aseme- nea, elementele unei mulțimi trebuie să fie bine determinate. Există două moduri de definire (de-determinare) a unei mulțimi: 21 a) Numind individual elementele sale. In acest caz mulțimea se specifică scriind între acolade elementele sale: {x, y, z,...}. De exemplu: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adică mulțimea formată din primele șase numere naturale; 5 = {a, 0, y, S), adică mulțimea formată din primele patru litere mici ale alfabetului grec. b) Specificînd o proprietate pe care o au elementele sale și nu o au alte elemente. Mai precis, dată o proprietate, se poate vorbi de mulțimea acelor obiecte pentru care proprietatea respectivă are loc. Mulțimile definite în acest mod se vor nota prin A — {x j P(x)}, adică mulțimea acelor obiecte x, pentru care are loc P^xf Exemple. 1). Considerăm proprietatea: „este număr prim pâr“. în acest caz mul- țimea este {2}. 2) Dacă considerăm proprietatea: „număr natural par“ în acest caz A este mul- țimea numerelor naturale pare. O mulțime definită după primul mod se zice că este dată sintetic, iar o mulțime definită în al doilea mod se zice că este dată analitic. O mulțime care are un număr finit de elemente se zice finită. în caz contrar se numește infinită. De exemplu: mulțimea elevilor dintr-o clasă, mulțimea oamenilor de pe glob, sînt mulțimi finite. Mulțimea numerelor naturale, mulțimea numerelor naturale pare, sînt mulțimi infinite. în teoria mulțimilor se admite existența unei mulțimi care nu are nici un element; aceasta se numește mulțimea vidă și se notează cu simbolul 0. Notații. Cu N vom nota mulțimea numerelor naturale: N = {0, 1, 2, 3,...}; cu Z mulțimea numerelor întregi; cu Q mulțimea numerelor rațio- nale, iar cu R mulțimea numerelor reale. Dacă a și b sînt două numere reale cu a < b, vom nota cu: [a, = {z | ₓ e R, a < x < b}, numit interval închis cu extremitățile a și b; [a, b) = {x | x e R, a x < b}, numit interval închis la stingă și deschis la dreapta-, (a, 6] — {x | x e R, a < x b}, numit interval deschis la stingă și închis la dreapta. Dacă a e R, notăm cu: [a,oo) = {a: | x e R, a a:}, (respectiv (a,oo) = {x | x e R, a < a:}), numit interval închis la stingă și nemărginit la dreapta (respectiv interval deschis la stingă și nemărginit la dreapta ). De asemenea notăm cu: (— oo, a] = {x I x 6 R, x < a} (respectiv (— oo, a) = {a; | x e R, x < a}), numit inter- val închis la dreapta și nemărginit la stingă (respectiv interval deschis la dreapta și nemăr- ginit la stingă). Se observă că toate aceste mulțimi sînt definite analitic. 2.2. Mulțimi egale Se spune că mulțimea A este egală cu o mulțime B dacă orice element al lui A aparține lui B și reciproc. Notăm faptul că mulțimile A și B sînt egale astfel: A = B. 22 Exemple: I) {I, 2. 3. 4, 5} = {4, 3, 2, 5, I }. 2) Mulțimea {2} este egala cu mulțimea numerelor naturale pare care sînt prime. 3) Mulțimile {2, 3, 4} și {2, 3, 7, 10} nu sînt egale. » •• Relația de egalitate între mulțimi are. următoarele proprietăți; i) este reflexivă, adică A = A; ii) este simetrică: dacă A = B, atunci B = A ; iii) este tranzitivă: dacă A = B și B = C, atunci A = C. 2.3. Relația de incluziune Se spune că o mulțime A este inclusă în mulțimea B dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Se notează A cz B sau B A. Dacă A nu este inclusă in B se scrie A <£ B. Altfel spus, A (A B înseamnă că există x £ A astfel încît x & B. Cînd A este inclusă în B se mai spune că B conține pe A sau că A este o submulțime (sau parte) a lui B. Exemple. 1) {I, 2, 3} este inclusă în {1, 2, 3, 5, 7}, adică {1, 2, 3} C {1,2, 3, 5, 7}. 2) Mulțimea numerelor naturale pare este inclusă în*mulțimea numerelor naturale. 3) NcZcQcR. 4) Se face convenția că pentru orice mulțime A, mulțimea vidă este inclusă în A, adică 0 c A. 5) Mulțimea {1, 2, 3} nu este inclusă în mulțimea {2, 3. 5. 7} deoarece I {2.-3. 5, 7}. Fie A o mulțime și o proprietate P(x)\ mulțimea elementelor din A care au proprietatea P(x) se notează: B = {x £ A | P(x)}: ■ Exemple. 1) Mulțimea numerelor naturale care se divid cu 5 se notează A = = {x e N | 5 divide x}. 2) Mulțimea numerelor. întregi x cu proprietatea 7x + 8 =' —6 se scrie A — = {x e Z | 7x + 8 = —6}. Se vede că A = { — 2}. Din definiția relației de incluziune rezultă că aceasta are următoarele proprietăți. a) este reflexivă, adică A c A; b) este antisimetrică, adică dacă A c B și B c A, atunci A = B ; c) este tranzitivă, adică din A c B și B c C rezultă A c C. Proprietatea b) se utilizează în practică în sensul că pentru a dovedi că A = B se probează incluziunile A C B și B C A. Dacă A este o mulțime, atunci mulțimea care are ca elemente toate sub- mulțimile lui A, se numește mulțimea părților lui A și se notează cu xEA sau xEBGC => xEA sau (xEB și xEC) => => (xeA sau xEB) și (xEA sau xEC) => xEA U B și xEAUC=> => xE(AV 7î)A(AU C). Deci A U (B A C) c (A U B) A (A U C). Fie ze(AU£)A(AUC). Avem: xE(A U 5) A (A U C) => xeA U B și xeA U C => (xeA sau xEB) și [xeA sau x-EC) => xeA sau (xEB și xEC) => xeA sau xEBC\C => => xeAU (BQC). Deci (A U B) A (A U C) c A U (B A C). Din cele două incluziuni rezultă că AU(5AC) = (A U B) A (A U C). Observație. Ca exercițiu, să formalizăm în termeni logici cîteva din definițiile din acest paragraf. De exemplu: 1) relația da incluziune, Ac B, se scrie: Ac B (x e A => x e B}\ 2) relația A B se scrie; A B<^(3x) ((x e A) A(x^ B)). Folosind legile de negație din calculul cu predicate, se poate verifica ușor că propoziția (3x) ((x e A) /\(x B)) este echivalentă cu propoziția l((Va?) (x A => x B))ₜ 3) definiția reuniunii A U B, se scrie i x A O B (x e A) \/ (x B) ■, 4) definiția intersecției A n B, se scrie x^Ar\B<*(x^ A) A(x e B)-, 5) definiția complementarei CEA, se scrie x e CₑA (x e E) /\ (x A); 6) definiția diferenței A — B, se scrie x^A — B<^>(x^ A) /\(x B). Propunem cititorului să formalizeze și alte definiții întîlnite. EXERCIȚII 1. Să se verifice egalitățile: a) {x g N | x² - kx + 3 = 0} = {1, 3}; b) {x e N | x² + x - 2 0} = {1}; 27 {x e Z | 2x² - + 1 = 0} = {J}; d) {x e Q | 2x² - 3x + 1 = 0} = 11, 11; e) {x e Z | | x - 1 | = 2} = {-1, 3}. 2. Să se determine mulțimea: {x e Z | mx² — {in² 4- l)x 4- m = 0}. Discuție. 3. Să se arate că oricare din condițiile: A c B, A D B = A și A U Ii — Bₜ pentru sub- mulțimile A și B ale mulțimii X, implică celelalte două. 4. Care dintre următoarele propoziții sînt adevărate sau false: a) {a, 6, c} = {&, a, c}; b) {4, 5, 6} = {6, 4, 5}; c) {8 + 1, 5} = {5, 9}; d) 3 e {3}; 1») 3 & {3}; f) 3C {3};g) {3} = {4}; h) {3} = {{3}}; ■ i) 0C {l};^ 0 e {1}. 5. Să se descrie mulțimile: *'2({i})) Și . Să se determine mulțimile- a) A = / x e N I x = ——— , n e N L l I n + 2 J b) B = L e Z x - ⁶” ⁺ ⁷ . n e Z l; 1 3n 4- 1 ] \ l w + 4n 4- 2 „ ) c) C = J x e N x =-------------------, n g N l. 1 n² + 1 J Fie A = {1, 2, 3, 4}, B — {2, 3, 7, 11}. Să se determine mulțimile A U B, A D B, A — B. Dacă E = A U B, să se determine C#/! și CeB. 8. Fie A = {1, 3, 5, 7}. B = {3, 7,9}, C = {3,5, 7, 9}. Să se arate că A U R = A U C. 9. Dacă X, B, C sînt trei mulțimi astfel încît 4US = i4UCși A 1} B — A C\ C, atunci B = C. l .OjȘă se determine m astfel încît: {x e R | x² — 4x + ni — 0} A {.r e R | x² — 3x + 2 = 0} 0. 11 ./Să se determine ni astfel încît: {x s R | x² — 3x 4- m = 0} A {xeR | x² — 5x + 4 = 0} = 0. 12JSă se determine m astfel încît: {x e R | x² + mx — 1 = 0}— J — 2, —1=0. I 2 J 13. Să se arate că mulțimea {x e R | x² + mx 4- 1 = 0} U {x e R | x² 4- ^x 4" m² = G} are două elemente oricare ar fi m s R. 14. Să se arate că: X G R g² ⁺ ⁺ ¹ , a s rI = (-oo, —3] U [1, -ț oo). fi 4- 1 J 15. Fie A = {x e R | x² 4- mx 4- m² 4- 1 = 0}. Să se calculeze C ^4. 16. ^terminați toate submulțimile următoarelor mulțimi: A = {I, 2, 3}, B =.{a, b, c, d}, C = {x, y, z, u, p}. 17. Fie a un număr natural. Vom nota cu D(a) mulțimea D(a) = {x e N | x divide a}. i) Dovediți că D(a) are cel puțin două elemente (a > 1). ii) Pentru care numere naturale a, D(a) are exact două elemente. iii) Pentru care numere naturale a, D(a) are exact patru elemente. iv) Determinați mulțimile: D(8), 79(160), 71(120), ■ 28 18. Să se determine m astfel îneît mulțimea A = {x e R | x² — mx 4- 2 = 0} U {x e R | 2x² — mx 4-1 = 0} să conțină 3 elemente. Poate aveaJ^4,2 elemente? 19. Fie rₜ <. r₂ < ... < rₙ < ... numere naturale. Fiejde asemenea, a un număr natural. Pentru orice număr natural k notăm: Ak = {a + r^m j m = 1, 2, ..,}. Dovediți că nu există nici un element comun tuturor mulțimilor ^4^(7»- > I). 20. Fie A, B două mulțimi. Notăm cu AAB = (A — B) U (B — A) (Mulțimea AAB se numește diferența simetrică a mulțimilor A și B). Dovediți că: a) Pentru orice Irei mulțimi A, B, C are loc egalitatea (AAB) AC = AA(BAC)\ b) AA0 — 0AA ~ A; c) AAB = BAA; d) AAA = 0. 21. Fie un număr natural. Definim mulțimea A = {a₀, Oj, a₂,...,aₙ, ...} unde «i = [/ qq 4- b «n+i = 1/ a» 4- h • Arătați că mulțimea A — Q / 0. 22. Dacă M este o mulțime finită, vom nota prin n(M) numărul elementelor sale. Fie A, B, C trei mulțimi. Dovediți că: n(A U B U C) = n(A) 4- n(B) 4-’ n(C) - [n(A A B) 4- n(A A C) 4- n(B CI C)] + 4- n(A A B A C). 23. Fie Aₗₜ A₂> ..., Aₙ, n mulțimi (n 2). Dovediți că pentru oricare două numere na- turale i, j (l i n, 1 < j < n), avem: (A A A₂ A ... A _4i) A (Aᵢ₊₁ A ... A Aₙ) = (A A A₂ A ... A Aj) A (Aj₊₁ A ... A Aₙ) = = A^ A A2 A ... A" An și (Aj U A₂ U ... U AJ U (Aᵢ₊₁ U ... U Aₙ) = (A u A₂ U ... U Aj) U (Aj₊₁ U ... U Aₙ). De asemenea, dacă A i₂,..., iₙ sint numerele 1, 2, ..., n scrise într-o altă ordine, atunci " A₁0...CAₙ = Aᵢₗ U ...UA<ₙ, A₁ A ... A Aₙ = A^ A ... A Ajₙ- 24. Fie A = {1, 2, 3} și B = {I, 3, 4}. Să se determine mulțimile A x A, A x B, B x A, B x B și apoi să se reprezinte grafic într-un plan de coor- donate xOy. 25. Fie mulțimea A = [1, 2] U [3, 4]. Să se determine A x A și apoi să se reprezinte grafic într-un plan de coordonate xOy. 26. Fie mulțimea B = [1, 2] U {3, 4}. Să se determine mulțimea B x B și apoi să se reprezinte grafic într-un plan de coordonate x()y. § 3. FUNCȚII Cuvîntul „funcție“ este adesea utilizat în vorbirea curentă. Se spune, de exemplu, că recoltatul griului se face în funcție de starea vremii. Se spune, de asemenea, că nota pe care o obține un elev, atunci cînd este ascultat, este în funcție de răspunsurile pe care le dă. Ca și în viața de toate zilele, conceptul de funcție joacă un rol imens în toată matematica și chiar în toată știința, în continuare ne vom ocupa de studiul conceptului matematic de funcție. 3.1. Noțiunea de funcție Definiție. Fie 4 și B două mulțimi. Prin funcție definită pe mulțimea A, cu valori în mulțimea B se înțelege orice lege (procedeu sau convenție etc.) f, în baza căreia oricărui element a £ A i se asociază un unic element, notat f(a), din B. । 29 Definiția funcției presupune de fapt existența a trei elemente-. 1° O mulțime A, pe care este definită funcția și care se numește domeniul de definiție al funcției. 2° O a doua mulțime B, în care ia valori funcția și care se numește dome- niul valorilor funcției sau codomeniul funcției. 3° O lege (procedeu, convenție etc.) f. Pentru a simboliza faptul că aceste trei elemente A, B, f sînt elementele •onstituante ale unei funcții definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B e scrie simplu: f : A -> B sau A B și se citește „f definită pe A cu valori în B“. Dacă a^A, atunci elementul f(a) ^B se numește imaginea lui a prin funcția respectivă, sau valoarea lui f în a. O funcție f : A B se mai numește și aplicație de la A la B. f Observații. 1) Deși în definiția unei funcții AB apar în mod necesar trei ele- mente, totuși, uneori pent.ru simplificarea limbajului, se spune că „f este o funcție", urmînd ca celelalte două'elemente să rezulte din context. 2) Dacă A și B sînt două mulțimi oarecare, atunci, în general, există mai multe funcții definite pe A cu valori în B. 3) Două funcții f : A -> B și g : A' -» B' se numesc egale dacă A = A', B = B' și în plus, pentru orice element a <= A, avem f(a) = g(a). Dacă există cel puțin un element a e A pentru care f(a) g(a), atunci funcțiile f și g nu sînt egale. Cînd funcțiile f și g sînt egale notăm f = g-, în cazul cînd nu sînt egale notăm, f / g. 4) Fie f : A -> B o funcție. Dacă x desemnează un element oarecare din A, iar y desemnează elementul f{x), atunci vom scrie: y = f(x). Această egalitate poartă numele de dependență funcțională asociată funcției f, iar x se numește variabilă sau argument. Ori de cîte ori ne este clar cine este domeniul și codomeniul funcției f, putem să indicăm pentru această funcție numai dependența funcțională y — f(x). Exemple. 1) Fie mulțimile A — {a, b, c, d} și B = {1, 2, 3, 4, 5}. Definim funcția f : A -+ B după „legea": lui a i se asociază 1; lui b i se asociază 2; lui c i se asociază 2; lui d i se asociază 5. Pentru această funcție avem: f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) — 2 și f(d) — 5. De asemenea, de la A la B putem defini funcția g \ A B după legea: oricărui element x din A i se asociază numărul I. Pentru funcția g avem: g{a) = g{b) = g(c) — g(d) = 1. Se vede că funcțiile f și g nu sînt egale. 2) Fie A mulțimea tuturor țărilor de pe glob, iar B mulțimea tuturor orașelor de pe glob. Definim funcția f : A B după legea: unei țări i se asociază capitala sa. Pentru această funcție avem de exemplu: f (România) = București, f (Italia) = = Roma etc. 3) Fie Z mulțimea numerelor întregi. Definim' funcția f : Z Z după legea: lui a e Z i se .asociază pătratul său, adică f(a) = a². 3.2. Moduri de a defini o funcție Cînd definim o funcție trebuie să precizăm cele trei elemente ce o carac- terizează: domeniul de definiție, domeniul valorilor și legea de asociere. Vom distinge două moduri de a defini o funcție. 30 a) Funcții definite sintetic. în multe cazuri o funcție f : A -+ B poate fi definită, numind pentru fiecare element în parte din A elementul ce i se asociază din mulțimea B“. > Exemplu. F\e A = {1, 2, 3, 4} și B — {1, 7, 9}. Definim f : A -> B punînd: f(l) = 1; f(2) = 7; f(3) = 1 și jf(4) = 9. Legea de asociere a funcției f-.A—>B poate- fi reprezentată grafic printr-o diagramă (fig. II.6) sau printr-un. tabel (fig. II.7). (în figura II.6 săge-. țile indică legea de definire a funcției de la mulțimea A la B. în tabelul din figura II.7 în prima linie sînt trecute elementele mulțimii pe care este definită funcția, iar în linia a doua elementele din mulțime unde funcția x | 1 2 ia 3 117 1 Fig. II.7 valori). 4 9 Pentru orice funcție definită sintetic se poate asocia o diagramă ca în figura H.6 sau un tabel (numit tabelul de valori al funcției), ca în figura II.7. De multe ori este preferabil și suges- tiv să indicăm diagrama sau tabelul de valori pentru a defini funcția respectivă. De exemplu, să considerăm diagrama din figura 11.8. Funcția asociată este: f : A -+ B unde Ba) = -1; f(b). = -1; f(c) = 2 și f(d) = 4. Sau să consideram tabelul din figura II.9. X a b c d 1 7 10 13 Fig. II.9 Funcția asociată este f : {a, b, c, d} —> {1, 7, 10, 13}, unde f(a) = 1; f(b) = 7; f(c) = 10 și f(d) = 13. b) Funcții definite analitic. O funcție f : A B poate fi definită specifi- cind o proprietate (sau relațiile) ce leagă un element arbitrar a £ A de elementul f(a) din B. Exemple. 1) Fie A mulțimea tuturor oamenilor din România, iar N mulțimea numerelor naturale. Definim funcția: f : A -> N astfel: f(x) este egală cu vîrsta (în ani) a lui x în momentul de fața. 31 2) Fie B mulțimea orașelor din România iar C mulțimea județelor țării. Definim funcția f : B -> C astfel: f(x) = județul căruia îi aparține orașul x. 3) Dîndu-se o formulă (sau expresie algebrică) Ețx}, putem să-i asociem o funcție sau mai multe funcții. (întotdeauna aceste funcții vor avea domeniul și codomeniul, submulțimi ale mulțimii numerelor reale.) De exemplu, considerăm expresia E(x) = x² 4- 1. Putem defini funcția f : R -* R astfel încît f(x) — x² 4- 1. Aceleiași expresii E(x) = x² 4- 1 putem să-i asociem și funcția g : Z .-> R; g(®) = — x² 4- 1. Este evident că funcțiile f și g sînt diferite deoarece domeniul de definiție al lui f este R, iar al lui g este Z. Reținem faptul că unei expresii sau formule i se pot asocia mai multe funcții. De asemenea, cînd definim o funcție cu ajutorul unei expresii algebrice trebuie să avem în vedere dacă acea expresie are sens pentru elementele din domeniul de definiție. De exemplu, să considerăm expresia: ₜ £(®) = ------r • x — 1 X “I⁻ 1 Acestei expresii nu-i putem asocia o fuhcție h : R-> R, h(x) =-------------, deoarece \ x — 1 expresia E(x) nu are sens pentru x = 1. 4) Dîndu-se mai multe expresii algebrice putem să definim o funcție sau mai multe funcții. ț Să considerăm expresiile: = x 4- 2, Ez(x) = x² și E₃(x) = —. B x Definim funcția: f : R -> R astfel ■ x 4- 2, dacă x < 0, /r² HnrtiS 0 C v — , dacă x > 1. x Acelorași expresii putem să le asociem și funcția g : R -> R dată în felul următor: x 4- 2, dacă -1, g(x) = ‘ x-, dacă dacă x > 2. C x Se observă imediat că avem /(2) = — , iar g(2) = 4, deci / și g sînt funcții distincte, într-un mod asemănător putem defini o funcție prin patru, cinci sau chiar un număr mai mare de formule. 32 Trebuie să remarcăm faptul că, dacă funcția / : A -* B este definită prin mai multe formule, atunci fiecare din formule este valabilă pentru o anumită submulțime a lui X, iar două din formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginii unuia și aceluiași- element. 5) Geometria ne furnizează o gamă variată de funcții definite analitic. Iată citeva exemple: 1° Simetria in raport cu un punct. Fie AL un punct fixai din planul P. ,Nolam sm: P P funcția definită astfel: sᵤ(Aj simetric.nl lui A’ față de 31. Funcția se numește simetria față de punctul Ai. 2° Simetria in raport cu o dreaptă. Fie (d) o dreaptă din planul P. Definim funcția sd : P -> P, astfel: sd(X) = simetricul lui A față de dreapta (d). Funcția sa se numește simetria, față de dreapta (d). 3° Fie O un punct fix în planul P. Vom defini funcția d : P -> R astfel: d(A) = = lungimea segmentului OA. 4° Fie A mulțimea tri unghiurilor din planul P. Vom defini funcția a : A —* R. astfel a(T) = aria triunghiului T. 3.3. Graficul unei funcții Fie f : A B o funcție. Prin graficul acestei funcții înțelegem submul- țimea Gf a produsului cartezian A X B formată din toate perechile («, /’(«)), cu a G A. ’ Deci: Gᵣ= {(«, f(a» |a 6 a}... . Exemplu. Să considerăm funcția asociată următoarei diagrame (fig. II.10): fW = 2, fW = 1, f(c) = 2, f(d) = 5. în acest caz graficul Gf este mul- țimea : Gf = {(a, 2), (b, 1), (c, 2), (d,5 )}. 3.4. Funcții numerice și reprezentarea geometrică a graficului lor Se numește funcție numerică o funcție f : A -* B, pentru care atît dome- niul de definiție A cît și domeniul valorilor B sînt submulțimi ale mulțimii numerelor reale. * Exemple. Următoarele funcții: I) f : R —> R, fțx) = 2x + J, 2) g: [0, 2] -> [0, 4], g(x) = x¹ sînt funcții numerice. Graficul unei funcții numerice are o particularitate deosebită, care constă în aceea că el se poate reprezenta ca o submulțime de puncte din plan. Fie f : A -> B o funcție numerică și Gf graficul său. Fie xOy un sistem de axe perpendiculare din plan. Dacă (a, b) este un element din Gf, atunci îi asociem punctul P(a, b) din plan (a este abscisa, iar b este ordonata.punc- tului P). Mulțimea de puncte din plan de coordonate x și y unde (;r, y) este un element oarecare din mulțimea Gf se numește reprezentarea geometrică a graficului funcției f. Dacă nu este pericol de confuzie, pentru simplificarea limbajului, vom numi, simplu, această reprezentare geometrică graficul funcției f. Fig. II.10 3 — Matematică-algebră, cl. a IX-a 33 Exemple. 1) Fie funcția f : J-1, O, - , 31-* 1, 2} asociată țftbeluluj , „ ¹ a? — 10 — 3 2 f(x). 1 2 -|/1 Graficul funcției feste: Gf = /(—1, — [/!), (0, 1), f-i , 2 j, (3, — l/^l. ( t 2 j J Reprezentarea geometrică a mulțimii Gț este mulțimea punctelor P» P₂, P₃, P^ (fig. II.11). 4 '^.2) -J ' 3_______ "^1 ‘ PJ3.-W Fig. II.11 PP^ K⁻ Fig. 11.12 2) Fie funcția de gradul întîi f : R -> R, f(x) = mx + n unde m, n e R și m / 0. Graficul acestei funcții este mulțimea ■ Gf = {(a, f(a)) | a e R} = {(a, ma + n) | a e R}. * Reprezentarea geometrică a graficului funcției de gradul întîifțx) = mx 4- n, m 0, f 11 \ este o dreaptă care taie axele în punctele P^, n) și P₂ ____________— , ° (fig- II.12). - * I m J Fig. 11.13 3) Fie funcția modul f : R -+ R, f(x) = | x | unde x, dacă x > 0, 0, dacă x = 0, — x, dacă x < 0. Graficul acestei funcții este constituit din două semidrepte d și d' (fig. 11.13) unde d este bisectoarea unghiului xOy, iar d' este bisectoarea unghiului x'Oy. z Observație. Cînd avem o funcție numerică, o problemă care se pune este de a trasa graficul acestei funcții, adică de a vedea ce figură geometrică reprezintă acest grafic în plan. Acest lucru va fi făcut pentru fiecare caz în parte, 34 3.5, Funcții Injectlve, surjective, bijective Definiție. Fie f : A -> B o funcție. Vom spune că f este o funcție injectivă sau că este o injecție, dacă pentru oricare două elemente x și y ale lui A, x y, avem f(x) f(y). Faptul că funcția feste injectivă se mai exprimă și astfel: dacă x și y sînt elemente oarecare din A cu proprietatea ^{x} = f(y), atunci rezultă x — y. Din definiție rezultă că o funcție f: A -*B nu este injectivă dacă există cel puțin două elemente x și y din A, x y, astfel incit f{x) = f(y). Exemple de funcții injective 1) Funcția f : A B, asociată diagramei din figura 11,14 este o funcție injectivă. 2) Funcția g : N -* N, definită prin formula g(x) = x², este injectivă. într-adevăr să presupunem că g(x) — g(y) unde x, y e N. Atunci x² = y² de unde {x — y) (x + y) — 0. Din această egalitate rezultă că x — y = 0 sau x + y — 0. Din prima egalitate avem că x = y. Dacă are loc egalitatea x + y — 0, cum x și y sînt numere naturale, obținem că x = y = 0. Oricum, din egalitatea gțx) = g(y) rezultă că x — y și deci g este o funcție injectivă. 3) Funcția h : Z -> N, h(x) = x² nu este o funcție injectivă deoarece h{—2) = = hl2) = 4. 4) Funcția k : A B asociată diagramei din figura 11.15 nu este injectivă, deoa- rece k( 1) = k(k) = c. Definiție. O funcție f : A -+ B este o funcție surjectivă sau, simplu, este o surjecție dacă pentru orice element b£.B există cel puțin un element aț^A, astfel incit f(a) = b. Rezultă că o funcție f : A -+ B nu este surjectivă dacă există cel puțin un element b^B, astfel încît pentru orice element x^A avem f(x) b. Exemple de funcții surjective 1) Funcția f : R -» R definită prin relația fțx) = ax, a 0, este surjectivă. într-adevăr, fie y e R. Atunci x = — e R și avem f I — | = a ț a j y = ₌ y, a 2) Funcția g : A -* B asociată diagramei din figura 11,16 este de asemenea surjectivă. g(l) = a, g(2) = g(3) = b, g(4) = c, g(5) = a. 35 3» 3) Funcția h : R -* R definită prin formula h(x) = x² nu este surjectivă. într-ade. văr pentru orice x <5 R avem h(x) = x² — 1, Deci — 1 ₓnu este imaginea nici unui element, prin A, din domeniul de definiție, 4) Funcția k \ A -* B asociată diagramei din figura 11.17 nu este surjectivă. într-adevăr se vede că elementul 2 e B nu este imaginea prin k a nici unui element din A. Definiție. O funcție f: A -> B care este simultan injectivă și surjectivă se numește funcție bijectivă sau, simplu, bijecție. Exemple de funcții bijeclive 1) Funcția f : A -+ B asociată diagramei din figura 11.18 este bijectivă: /(l) = b, /(2) = c, /(3) = a, g d. 2) Fie A = {x e R | x 0}. Definim funcția g : A -> A prin formula: g(x) = x². Funcția g este bijectivă. într-adevăr, trebuie să arătăm că g este injectivă și surjectivă. Funcția g este injectivă. Fie x, y e A astfel încît g(x) = g(y). Atunci x² = y², de unde (x — y) (x + y) — 0 și deci.x — y = 0 sau x + y = 0. Dacă x — y = 0, avem x = y ; dacă x + y = 0, avem x — — y și cum x, y sînt numere reale > 0 trebuie ca x = y = o. Oricum, din egalitatea g(x) — g(y) rezultă x = y. Funcția g este surjectivă. Fie y e A. Cum y 0, atunci are sens |/y. Cum [/y 0, atunci /y e A. Se vede că g(\/ y) = ([/ y)² = y și deci g este surjectivă. 3) Funcția f : R -> R, /(x) = ax + b, unde a, & eR și a 0 este bijectivă. într-adevăr, dacă /(xj = /(x₂), atunci axj b = ax₂ 4- b, de unde obținem axₜ = = ax₂. Cum a 0, atunci xₓ = xₐ. Deci / este injectivă. Să arătăm că / este și surjectivă. Fie y s R. Are sens numărul real x = —----------— . Atunci /(x) = a --------— ] + b = y, a a \ cT a) ceea ce arată că / este și surjectivă. 3.6. Compunerea funcțiilor Fie funcțiile / : A^ B și g : B -> C. Observăm, că domeniul de definiție al funcției g coincide cu codomeniul funcției /. Această situație particulară ne permite să'facem următoarele considerații. Fie atunci elementul f(a) găsindu-se în B putem vorbi de imaginea sa prin g, adică de elementul #(/(«)) din C. Observăm că astfel putem asocia oricărui element a^A un element unic din mulțimea C, anume elementul g(f(af). în felul acesta am definit o funcție h al cărei domeniu de definiție este cel al funcției /, iar co- domeniul este cel al funcției g. Deci hz A C unde h(a) = g(f(af) pentru 36 orice a^A- De obicei funcția h astfel defi- nită se .notează g o f (sau gf) și se numește compunerea funcției g cu funcția f. (în figura 11.19 este reprezentat modul de defi- nire al funcției g o f.) Exemple. 1) Considerăm funcțiile f: A -> B și g : B -> C definite respectiv prin diagramele din figura 11.20. în acest caz avem (g o f) (1) = g{f(i)) = = g(3) = f- (gof) (2) = g(fW) '= g(6) = t- (go/)(3)=3(/(3))=g(l)^^^ . , Fig. 11.19 = g(4) = m. Funcția g o f : A -+ C poate fi reprezentată prin diagrama din figura 11.21. 2) Fie f : R -+ R și g : R R funcțiile definite respectiv prin formulele:' f (x) = x² — 1; g(x) = 1 + x². Funcția g o f : R -* R are sens. Pentru orice x e R avem: (g o f) (x) = g(f(A) = g(x² - 1) = 1 + (x² - l)² = x⁴ - 2x² + 2. Deci funcția compusă g o f este dată de formula: (g o /) (x) = x⁴ — 2xa -p 2. Se observă că are sens să vorbim și de compunerea lui f cu g. Pentru orice xe R avem (fo g) (x) = f(g(x)) = /(I + x²) = (1 + x²)² — 1 = x⁴ + 2x². Deci funcția f o g : R -> R este dată de formula: (/ o g) = x⁴ + 2x². Observații. 1) Dacă f : A -> B și g : C -> D sînt două funcții', are sens să vorbim de compunerea funcției g cu funcția f numai atunci cînd B = C. 2) Dacă f : A -> B și g . B A sînt două funcții are sens gof : A A și fog:B-+B. Așa cum rezultă și din exemplul 2) în general go// fog, adică compunerea, nu este comutativă. Teoremă. Fie f : A -> B, g : B -* C și h:C -+D trei funcții. Atunci fiecare din funcțiile h o (g o f), (h o g) o f are sens și există egali- tatea: h o [g o f) = (h o g) o f. Demonstrație. Codomeniul funcției g o f este mulțimea C. Cum domeniul de definiție a lui h este tot C, atunci are sens compunerea h o (g o f). Analog, domeniul de definiție al funcției’ h o g este B, iar codomeniul lui f fiirtd tot B 37/ are sens compunerea (h o g) o f. Funcțiile h o (g o f) și (h o g) o f au același domeniu de definiție (mulțimea 4) și același codomeniu (mulțimea D). Pentru a arăta egalitatea h o (gof) = (h og) o f rămîne să dovedim că pentru orice x £ A avem (ho (gof)) (#) = ((hog)of) (x). într-adevăr (h o (g o f)) (x) = h((g o f) (x)) = h(g(f(x))), iar ((h °g)of) (x) = = (ho g) (f(x)) = h(g(f(x))). • Comparînd, obținem egalitatea cerută. Observație. Proprietatea demonstrată în teorema de mai sus se numește asociativi' tatea compunerii funcțiilor. Această proprietate ne permite să folosim scrierea ho (gof) = (h o g) o f = ho gof. 3.7. Funcția inversă Fie A o mulțime oarecare. Vom nota cu 1A : A -> A funcția definită astfel: -1A(«) = a pentru orice a A. 1A se numește funcția identică a mul- țimii A. Propoziție. Fie A o mulțime și 1A funcția sa identică. Atunci: 1° Pentru orice mulțime B și pentru orice funcție f : A -> B, avem foiA — f. 2° Pentru orice mulțime C și pentru orice funcție g- C ^A, avem Demonstrație. Demonstrăm afirmația 1°. Funcțiile f și fo 1A au același domeniu și codomeniu așa că pentru a arăta egalitatea fo = f rămîne să dovedim că pentru orice (fo 1A) (a) = f(a). într-adevăr (fo 1A) (a) = f(iA(a)) = f(a). Demonstrăm afirmația 2°. Funcțiile 1A o g și g au același domeniu și codomeniu, adică mulțimile C respectiv A. Pentru a arăta egalitatea iAog==g rămîne să dovedim că pentru orice ceC avem (1A o g) ,(c) = g(c). într-adevăr (1A o g) (c) = lA(g(c)) = g(c). Definiție. O funcție f: A -> B se numește inversabilă dacă există o funcție g-. B -+ A astfel încît gof = Ia Și f°g = Observăm că funcția g definită de relațiile (1) este unică. într-adevăr, dacă g' : B -> A este o altă funcție astfel încît g'°f = Ia ‘Și f°g' = 1b, (2) atunci obținem: g = Ia ° g = (g' ° f) o g = g' o (fo g) = g' o 1B = g', unde s-au utilizat relațiile (1) și (2) precum și asociativitatea compunerii func- țiilor. 38 Dacă f este o funcție inversabilă, atunci funcția g definită de relațiile (1), care este unică, se numește inversa funcției /și se notează f"¹. Se pune întrebarea, cînd este o funcție inversabilă? Răspunsul este dat de următoarea toeremă. Teoremă. O funcție f :A -> B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Demonstrație. Să presupunem mai întîi că. f este inversabilă și să arătăm că f este injectivă și surjectivă. Din faptul că f este inversabilă rezultă că există f~x:B A astfel încît f-^f= U Și = (3) Fie x₂ din A și să presupunem că f{xf) = Din prima dintre relațiile (3) obținem că xₜ = Ia^i) = (Z"¹ o f^xj = f"¹ (fM) = f'¹ (fM) = (f^of) (^₂) = — ^(^2) = ^2* Deci f este injectivă. Fie yE.B. Din a doua dintre relațiile (3) se obține: y = iB(y} = (y) — fif^yff Dacă se notează x = f^iy), atunci y = /($), ceea ce arată că f este și surjectivă. Reciproc, presupunem că f este bijectivă. Definim funcția g : B A în modul următor. Fie yE:B. Deoarece/este surjectivă există $G A astfel încît fțx) = y. Elementul x este unic determinat cu această proprietate, întrucît / este injectivă și definim g(y) = x. Să dovedim că go f = 1A și fog — 1B. Fiez^A. Atunci, notînd y = f(x), rezultă din definiția lui g că g(y) = rr’și deci g(f(x)} = x sau (gof}(x) = 1a(^)- Rezultă atunci g o / = 1A. Să arătăm acum că /o g = 1B. Fie y G B. Din definiția lui g, g(y) = x, unde x este elementul din A pentru care f(x) — y. Atunci (/o g) (y) = f(g(y)) = f(x) = y = de unde obținem că fog = 1B. Observație. Din demonstrația teoremei precedente rezultă că dacă f : A —► B este o funcție bijectivă, atunci funcția sa inversă f-¹ : B -> A se definește după următorul pro- cedeu: dacă b e B, atunci este unicul element a e A, astfel incit f(a) = b. Exemple: 1) Fie funcția f : AB asociată diagramei din figura 11.22: /(l) = C;7(2) = a, f(3) = e, f^ = d, /(5) = b. Se vede că f este o funcție bijectivă. Atunci există funcția inversă f-¹ : B -> A. Vom avea: f^ia) = 2; = 5; /⁻¹(c) = 1; f~*(d) = 4; f^e) = 3. Funcția f-¹ are diagrama reprezentată în figura 11.23. Se observă că diagrama funcției f~l se obține din aceea a lui f, inversînd sensul săgeților. 39 2) Fie funcția f : R -> R, f(ₓ) = ax + b unde a, b e R și « Această funcție este bijectivă, deci putem vorbi de inversa sa. Fie R unde f-^x) = — x----------------- . * a a Interpretarea geometrică a inversei unei funcții numerice Fie f: A -> B o funcție numerică inver- sabilă și f⁻¹: B -> A funcția inversă a lui f. Fie M(x₀, y₀) un punct al graficului funcției f (fig. 11.24). Atunc- y₀ = f(x₀) și deci x₀ = f^yo)- Rezultă că punctul Mz(?/₀, $o) aparține graficului funcției f'¹ (reprezentat punctat în figura 11.24) Dar M și M' sînt simetrice față de bisectoarea unghiului xOy (numită prima bisectoare)*. Rezultă că graficele funcții lor f și f~r sînt simetrice față de prima bisectoare. Observație. Ca exercițiu, să formalizăm în termeni logici cîteva din definițiile date în acest paragraf. 1) Definiția funcției injective, / : A -+ B, se scrie: (/ injectivă) <=> (Vx) (Yy) y) =* (f(x) ^/(y))], unde literele x, y desemnează elemente din A. Faptul că f nu este injectivă se formalizează astfel: (f nu este injectivă) (3x) (3y) [(x =# y) A (f(x) = /(y))]. 2) Definiția funcției surjective, / : A -+ B, se scrie: surjectivă) o (Vy) (3x) [y = f(x)], unde y desemnează un element oarecare din B, iar x desemnează un element oarecare din A. Faptul că f nu este surjectivă se formalizează astfel: (f nu este surjectivă) <=> (3y) (Vx) [y =£ f(ₓ)], unde y desemnează un element din B, iar x desemnează un element oarecare din A. Propunem cititorului să formalizeze și alte definiții întîlnite. EXERCIȚII 1. Fie funcția / : R -+ R definită astfel 3x - 4, dacă x < - 1, - 7, dacă ---1 x < 3. , — 3x + 2, dacă x 3. Să se determine f{ — 2), /( —1), /(2), /(4). * într-adevăr, cum (OP) = (OQ) și (MP) = (J/'Q) rezultă că &OPM = &OQM' deci (OM) = (OM'). Pe de altă parte m(POM) = m(QOM') și deci MOB = 'M'OR). în ^MOM' care este isoscel, dreapta OR este bisectoare deci și mediană. Rezultă că MR = = M'R, adică M și M' sînt simetrice față de dreapta OR. 40 2, Fie funcția / : {1, 2, 3, 4} -> {1, 3, 5, 7} definită astfel: f(l) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5 și f(4j = 7 * și funcția g : {1, 2, 3, 4} -> {1, 3, 5, 7} definită astfel: g(x) — 2x — 1. Să se arate că f = S- . ' X 3, Se poate asocia expresiei E = —---------- o funcție f : R -► R, astfel încît /(z) = X =------------- pentru orice z e R? . x² - 1 4. Folosindu-se diagrama asociată unei funcții, să se determine numărul tuturor funcțiilor definite pe mulțimea {1, 2} cu valori în mulțimea {3, 5}. 5. Fie funcția / : Z-> {0, 1, 2, 3, 4, 5} definită după legea: f{x) este restul împărțirii lui x la 6. Să se determine /( —12), f{ —9), /(3), /(9), /'(272). 6. Există un număr întreg m astfel încît să existe o funcție f : {1, 2, 3}-* {1, 2, 3} defi- nită după formula f(x) = x² + m? 1. Fie funcția f: {1, 2, 3, 4}-* {2, 4, 6} definită astfel: f(l) = 4; f(2) = 2; f(3) = 2; f(4) = 6. Să se traseze graficul acestei funcții. 8. Folosind faptul că graficul funcției de gradul întîi este o dreaptă să se traseze grafi- cele următoarelor funcții: a) : R —> R; fi(x) b) /a : R -+ R; f₂{x) 2z — 1, dacă x — 1, — 5, dacă x > — 1; J 2z — 3, dacă x 0, [ 7z, dacă x > 0; c) /₃ : 1, oo) -► R; /Jz) 2, dacă x 1, 3x. — 1, dacă x > 1; d) : R -> R; f^x) = — 2z 4- 3, dacă z — 1, 5, dacă — 1 < z < 3, 7 — z — 2, dacă z > 3; 3 e) /₆: N -> N, /₅(n) = 2n -f- 1; f) /₆: Z-> Z, f₆(x) = 3z - 2. 9. Să notăm cu A mulțimea oamenilor de pe glob. Definim funcția f : A -* R după legea ,/(z) = înălțimea lui z“. Este f injectivă? Dar surjectivă? 10. Să se arate că funcția din exercițiul 5) este surjectivă, dar nu este injectivă. 11. Fie mulțimea A = {0, 1}. Să se construiască toate funcțiile de la A la A și să se precizeze care sînt injective, surjective sau bijective. 12. Folosindu-se diagrama asociată unei funcții să se determine numărul funcțiilor injec- tive.de la mulțimea A = {1, 2} în mulțimea B = {3, 5, 7}. Există funcții surjective de la A la Bl 18. Care dintre funcțiile de la exercițiul 8) sînt injective? Dar surjective? 14. Notăm cu A mulțimea orașelor .țării noastre, iar B mulțimea județelor țării noastre. Definim funcția f : A —> B după legea ,,/(a) = județul pe teritoriul căreia se află a“ și funcția g : B -> A după legea „g(b) = orașul care este reședința județului b 41 i) Cine este /(Galați) și /(Făgăraș)? Cine este g(Teleorman) și g(Mehedinți)? ii) Să se arate că / este surjectivă și g injectivă, iii) Să se arate că /o g = 1b și g o / / Ia- 15. Se consideră funcțiile / : R -> R ; g : R -> R definite respectiv prin formulele: f(x) = x² + x — 1; g(y) = y² — y + 1. Să se determine g o / și / o g. 16. Considerăm funcțiile / ; R-> R; /(x) = J ²x ³’ ^aca x ⁰ ( 7x, dacă x > 0 . r> « /i f x², dacă x —2, și g: R-> R; g(x) = J ’ l 2x — 1, dacă x > —2. Să se determine go / și /og. 17. Fie A o mulțime finită și / : A -+ A o funcție. Să se arate că: / bijectivă / injec- tivă <=> / surjectivă. 18. Considerăm funcțiile A -X B —> C. Să se arate că: i) dacă / și g sînt injective, atunci go/ este injectivă. ii) dacă / și g sînt surjective, atunci go / este surjectivă. , 19. Să se determine numărul funcțiilor bijective de la mulțimea {1, 2, 3} în mulțimea {1, 2, 3}. 20. Fie / ; N —► N funcția definită astfel: /(O) = 1; dacă n 1 atunci /(n) este ultima cifră a numărului 7ⁿ. i) Calculați /(l), /(2), ..., /(7). r- ii) Să se arate că f(n -f- ^) = /(n) pentru orice n 1. iii) Trasați graficul funcției /. 21. Arătați că două funcții f : A -+ B și g : A -+ B sînt egale dacă și numai dacă gra- ficele lor sînt egale. /^22. Considerăm funcțiile definite respectiv prin formulele: i) / : Z -> Z; f(x) = — x + 4; ii) g : Z -> Z;. g(x) = x + 1; iii) h : Z -> Z; h(x) = x²\ s ' iv) k : Z -+ N; k(x) = x². Să se arate că /, g sînt bijective. Cum sînt h și k? Să se determine funcțiile inverse pentru / și g. X 23. Considerăm funcția / : N -> N, definită astfel: J n + 1, dacă n este număr par, | n — 1, dacă n este număr impar. Arătați că / este o bijecție și construiți inversa sa. 24. Fie funcția / : R -> R, ... ( 2x. dacă x 0, f\x) = { - ( 3®, dacă x < 0. •/ Să se arate că / este bijectivă și Să se determine inversa sa. 42 CAPITOLUL III NUMERE REALE §1 . REPREZENTAREA'NUMERELOR RAȚIONALE SUB FORMĂ DE, “FRACȚII ZECIMALE (PERIODICE) 1.1. Noțiuni preliminarii în practică se folosește, de obicei, reprezentarea (scrierea) numerelor raționale sub formă de fracții zecimale. Așa cum este cunoscut din aritmetică, cu ajutorul algoritmului de îm- părțire orice număr rațional nenegativ — (m > 0, n > 0) se reprezintă sub ’ n forma unei fracții zecimale finite sau infinite (adică, cu o infinitate de zeci- 1 5 male). Astfel în loc de — se scrie 0,25; în loc de — se scrie 0,625; în loc de — se scrie 0,333.... Deoarece avem de-a face atît cu fracții zecimale finite, cît si 3 ’ cu fracții zecimale infinite, pentru uniformizare, se pot adăuga la dreapta fracției zecimale finite o infinitate de zerouri. ¹ 5 De exemplu:^ = 0,25000...;-^- = 0,625000... . Astfel putem spune că toate fracțiile zecimale sînt infinite. Numerele întregi se reprezintă, evident, ca fracții zecimale cu. o infi- nitate de zerouri după virgulă. De exemplu: 5 = 5,000...; 13 = 13,000.... Așadar, orice număr rațional nenegativ —, poate fi reprezentat sub n forma unei fracții zecimale infinite: m n Numărul a₀ se numește partea întreagă a lui —, iar n 0, a₁a₂«₃... partea fracționară a sa. Numerele a^ a^ a^... sînt cuprinse între 0 și 9, adică 0 < a^ <9, pentru i = 1, 2, 3,... . 43 Observăm acum că si numerele raționale negative au p astfel de repre» zentare. Vom nota partea întreagă a unui număr negativ cu semnul minus deasupra. Astfel numărul _ — = — 3+ySe poate scrie sub forma.3,5000... . Analog, -0,321=1,679000...; -25 - = - 25,666... = -26 + - = 26,333... . 3 3 în acest mod, orice număr rațional (negativ, pozitiv sau zero) se repre- zintă sub forma unei fracții infinite:' — ⁼ «0, n unde a₀ este partea întreagă a lui — , iar n » 0, este partea fracționară (zecimală) a sa (a₀ este un număr întreg, iar a₂, a₃,... sînt numere cuprinse între 0 și 9). Partea fracționară 0, din reprezentarea (1) a oricărui număr rațional este un număr pozitiv mai mic decît 1. Reprezentarea numerelor raționale negative sub formă de fracție zecimală, infinită, cu partea întreagă număr negativ (iar partea fracționară un număr pozitiv) o vom face cu scopul de a uniformiza în continuarea acestui capitol studiul numerelor reale (pozi- tive și negative). Observație. Scrierea numerelor negative sub forma indicată mai înainte se întîlnește în practică la calculul cu logaritmi. 1.2. Fracții zecimale periodice Să vedem acum care sînt fracțiile zecimale prin care se reprezintă nume- rele raționale. Mai întîi, să definim fracția zecimală periodică. Definiție. O fracție zecimală infinită se numește periodică, dacă există numerele naturale k și p astfel încît aₙ₊ₚ = aₙ, pentru orice n k. O fracție zecimală periodică se notează, pe scurt, prin Mulțimea cifrelor scrise (în această ordine) în paranteză se numește perioada fracției zecimale. Dacă k = 1, adică perioada începe imediat după virgulă, avem de-a face cu o fracție zecimală periodică simplă', în caz contrar avem de-a face cu o fracție zecimală periodică mixtă. în exemplele numerice de mai înainte fracțiile zecimale sînt periodice. Astfel, pentru 0,333... avem k = 1, p = 1 și aₙ+i — an = 3, pentru orice n > 1. Scriem 0,333... = 0,(3), aceasta, fiind b fracție zecimală periodică 44 simplă. Fracțiile zecimale finite, care după cum am observat pot fi consi- derate ca fracții zecimale infinite (prin adăugare de zerouri) sînt periodice. De exemplu, pentru 0,25000... avem k = 3, p = 1 și aₙ₊₁ = aₙ = 0, pentru orice n 3; iar pentru 0,625000... avem k = 4, p = 1, aₙ₊₁ = tzₙ = 0, pentru orice n > 4. Deci 0,25000... = 0,25(0), iar 0,625000... = 0,625(0). Așadar acestea sînt fracții zecimale periodice mixte. în sfîrșit, fracția 15,723 434... este periodică și se scrie, pe scurt, 15,72(34).- Am observat că reprezentarea unui număr rațional sub formă de fracție zecimală se obține cu ajutorul algoritmului de împărțire. Să considerăm, de X 5 19 exemplu, numerele — ₛj —. Avem: - 33 * 55 5 33 19 '55 50 0,15... * 190 0,345.. 33 165 170 250 165 220 5 300 275 25 Exemplul 1. Exemplul 2. Fiecare număr de după virgulă se obține printr-o împărțire parțială. 50 33 170 33 33 1 165 5; 17 5 Exemplul 1. 190 55 250 55 300 55 165 3 220 T 275 T 25 30 ' "25” Exemplul 2. Fiecare deîmpărțit parțial se deduce din restul precedent prin adăugarea unui zero la dreapta sa, adică mărindu-1 de zece ori. Resturile parțiale sînt toate mai mici decît împărțitorul. După un număr finit de operații parțiale se regă- sește deci, ori deîmpărțitul inițial (exemplul 1), ori un ^est deja întîlnit (exemplul 2). De la acest pas putem să nu mai continuăm împărțirea, deoarece în citul împărțirii lui 5 la 33, respectiv în cîtul împărțirii lui 19 la 55, cifrele se vor repeta. De aceea 0,(15); ^ = 0,3(45). DO DO în general, avem: Teorema 1. Orice număr rațional se reprezintă sub formă de fracție zeci- mală infinită periodică, care mi are perioada, (9). Demonstrație. Dacă a este un număr rațional oarecare, atunci a = a₀ + a', unde a₀ este un număr întreg (partea întreagă a lui a), iar a' este un număr rațional nenegativ mai mic decît 1. Dacă a' se reprezintă sub formă de fracție zecimală periodică, care n u are perioada (9), atunci și a se reprezintă sub formă de fracție zecimală periodică care nu are Textele însemnate cu o bară la marginea paginii sînt facultative 45 perioada (9), în care partea întreagă este a₀, iar partea fracționară îl reprezintă pe a . Așadar, pentru demonstrația teoremei este suficient să considerăm numai numere rațio- m m m nale —» astfel încît 0 <—< 1. Fie deci— (m 0, n > 0) un astfel de număr n n n rațional. Prin algoritmul de împărțire a lui m la n sînt posibile resturile: 0, 1, 2, n — 1. Deoarece resturile iau cel mult n valori, rezultă că după cel mult n pași ai algoritmului se repetă unul din ele. Deci va rezulta o fracție zecimală periodică. Se arată că nu este posibil ca fracția zecimală periodică asociată unui număr rațio- nal, să aibă perioada (9). Să presupunem, prin absurd, că fracția ar avea perioada (9). Atunci, prin algoritmul de împărțire, ajungem la un moment dat la un rest r astfel încît înmulțindu-1 cu 10, și împărțindu-1 la n, să se obțină un cît egal cu 9 și restul să fie, de asemenea, r. Deci după teorema împărțirii cu rest, avem: 10r = n • 9 + r, cu r < n. De aici se obține 9r = 9n, de unde r — n, ceea ce este în contradicție cu ipoteza r < n. Observație. Fracțiile zecimale finite (adipă de perioadă (0)), se obțin atunci cînd prin algoritmul de împărțire se obține la un moment dat un rest egal cu zero. După aceasta toate resturile vor fi egale cu zero. împărțirile parțiale din exemplele precedente se scriu astfel: Exemplul 1. 50 = 33 • 1 + 17; 170 = 33-5 + 5. înmulțind cu 10 prima relație, și folosind pe a doua avem, 500 = (33 • 1 + + 17) • 10 = 33 • 10 + 170 = 33 • 10 + (33 • 5 + 5) = 33 • 15 + 5. Deci 100 • 5 = 33 • 15 + 5, adică 15 este citul împărțirii lui 100 • 5 la 33. Exemplul 2. 190 = 55 • 3 + 25; 250 = '55 • 4 + 30; 300 = 55 • 5 + 25. înmulțind cu 100 prima relație și folosind pe următoarele două avem 19000 = = (55’• 3 + 25) • 100 = 55 • 300’ + 250 • 10 = 55 • 300 + (55 • 4 + 30) • 10 = = 55 • 300 + 55 • 40 + 300 = 55-340 + 55-5 + 25 = 55 • 345 + 25. Deci, 1 000 ■ 19 = 55 • 345 + 25 și 10 • 19 = 55 ■ 3 + 25, adică 345 este cîtul împărțirii lui,1000 • 19 la 55, iar 3 este citul împărțirii lui 10 • 19 la 55. în continuare vom observa că reciproca teoremei precedente este, de ase- menea, adevărată. Să dăm mai întîi două exemple: 1) Fie 0,(43) o fracție zecimală periodică simplă. Dacă există un număr rațional —, astfel încît fracția dată să se obțină din acesta prin algoritmul n de împărțire, atunci 43 este cîtul întreg al împărțirii lui 100 m la n; mai mult, din motive de periodicitate, restul acestei împărțiri este egal cu m. Deci 100 m = n • 43 + m de unde 99 m = n • 48. 46 Numărul rațional căutat este — = —. n 99 Verificare. Este suficient să aplicăm algoritmul de împărțire pentru a vedea că numărul rațional — se reprezintă sub forma fracției zecimale 0.(43). 2) Fie 0,41(23) o fracție zecimală periodică mixtă. Dacă există un număr rațional —, astfel încît fracția dată să se obțină din acesta prin algoritmul n . de împărțire, atunci: 4123 este cîtul întreg al împărțirii lui 10 000 mia n, iar 41 este cîtul întreg al împărțirii lui 100 m la n. Mai mult, din motive de periodicitate, cele două resturi obținute sînt egale. Deci 10 000 m = n • 4 123 + r 100 m = n • 41 -|- r și prin scădere se obține: 9 900 m = n • (4 123 - 41). , Numărul rațional căutat este: m 4 123 — 41 4 082 n ~ 9 900 ~ 9 900 ' Verificare. Este suficient să aplicăm algoritmul de împărțire pentru a * 4 082 vedea că numărul rațional ---------- se reprezintă sub forma fracției zecimale ’ 9 900 0,41(23). în general, avem: Teorema 2. Orice fracție zecimală periodică, care are perioada diferită de (9), reprezintă un anumit număr rațional, din care se obține prin algoritmul de împărțire. Fie «0, ala2-"ah-l(ahak+V‘ak+P-l) O) ’ o fracție zecimală periodică, care nu are perioada (9). Trebuie să arătăm că există un număr rațional, astfel încît fracția dată (1) să se obțină din acesta prin algoritmul de împărțire. Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme. Observăm însă că cele două exemple de mai înainte ne sugerează reguli de găsire, în general, a numărului rațional căutat. Astfel: 1°. Dacă k = 1, adică fracția este periodică simplă, avem: a₀, (a^... aₚ) = a₀ + y y ... y p ori (în partea din dreapta a egalității de mai sus a₁a₂...aₚ reprezintă numărul, na- tural avînd cifrele aL, uₐ,..., aₚ). XI 2°. Dacă k > 1, adică fracția este periodică mixtă, avem: a. Exemple. 1) 3,9014 ... < 4,1735 ..., deoarece a₀ = 3 < 4 = bQ. 2) 3,45170 ... < 3,45181 ..., deoarece a₀ = b₀ — 3, aₓ — = 4, az — b₂ = 5, a₃ = = b₃ = 1, a, 3,165 ..., deoarece a₀ — b₀ = 3, aᵣ = bₜ = 1 și a₂ > b₂ (7 > 6). 5) 4,232 ... > 4,193 ..., deoarece a₀ = b₀ = — 4, aₓ > bₜ (2 > 1). Dacă a < 0 se spune că numărul real a este negativ, iar dacă a > 0 atunci a se numește pozitiv. Este clar că un număr real a = aQ, a^a^.. este negativ dacă și numai dacă partea sa întreagă a₀ este număr negativ. De- exemplu, 1,372 ... < 0,000... = 0, deoarece a₀ = —1 < 0. Observație. Pentru numerele raționale, definiția inegalităților dala mai înainte este tccmai cea pe care o cunoaștem din clasele anterioare. Astfel: 1 51 0,5000... <0,51000... dacă și numai dacă— < ---» ’ s 2 100 1 334 0,3000... < 0,334000... dacă și numai dacă— <----• 3 900 Este adevărată următoarea proprietate numită legea de tricotomie'. Dacă a și b sînt două numere reale, atunci este adevărată una și numai una din relațiile: a > b, a = b, a < b. Definiție. Se spune că numărul real a este mai mic sau egal cu numărul real ă, și scriem a < b dacă a < b sau a = b. Relația „ < “ are următoarele proprietăți: . l) a < a, oricare ar fi a din R (reflexivitatea), 2) dacă a < b și b < a atunci a — b (antisimetria), 3) dacă a < b și b. < c atunci a < c (tranzitivitatea). Această relație se numește relația de ordine pe mulțimea numerelor reale. 51 4* Observăm că proprietatea de tranzitivitate o posedă și relația „<“, adică dacă a < b și b < c, atunci a < c. Revenim cu alte proprietăți ale inegalităților în § 5. §4 . APROXIMĂRI ZECIMALE ALE NUMERELOR REALE în practică, aproape niciodată nu se cunosc valorile exacte ale mărimilor. Orice instrument sau aparat nu arată cu exactitate absolută mărimile. Orice termometru indică temperatura cu o oarecare eroare, nici un ampermetru nu poate indica intensitatea exactă a curentului etc. O anumită eroare se face chiar la citirea rezultatelor măsurătorilor pe aparate. De aceea în loc să operăm cu valorile exacte ale mărimilor, sîntem obligați să operăm cu valorile lor aproximative. în general, o mărime se reprezintă printr-o fracție zecimală infinită, dar un aparat nu poate indica, practic, decît un număr finit dintre zecimale, adică o valoare aproximativă a mărimii. Fie a un număr real oarecare reprezentat sub formă de fracție zecimală infinită. Aproximările (valorile aproximative) .zecimale prin lipsă ale numă- rului a se definesc ca fiind numerele care se obțin prin înlăturarea succesivă a tuturor cifrelor sale care stau după virgulă, începînd cu prima cifră, apoi cu cea de-a doua, după aceea cu cea de-a treia ș.a.m.d. • De exemplu, pentru numărul a = 2,173256..., aproximările zecimale prin lipsă vor fi: 2; 2,1; 2,17; 2,173; 2,1732; 2,17325;'.. Dacă la ultimul număr de după virgulă al fiecărei aproximări zecimale prin lipsă a numărului a se adaugă 1, atunci se obțin aproximările (valorile aproxi- mative ) zecimale prin adaos ale numărului a. De exemplu, pentru numărul 2,173256..., astfel de aproximări zecimale vor fi: 3; 2,2; 2,18; 2,174;“2,1733; 2,17326;... . • Avînd în vedere relația de ordine pe mulțimea numerelor reale, introdusă în §3, primele cinci aproximări zecimale ale lui a se pot ilustra în următorul tabel: 2 < a < 3 2,1 < a < 2,2 . 2,17 < a < 2,18 '2,173 < a < 2,174 2,1732 < a < 2,1733. Cum numărul a = 2,173256... este cuprins intre: 1) 2 și 3 și 3 - 2 - 1; 2) 2.1 și 2,2 și 2,2 - 2,1 = 0,1; 3) 2,17 și 2,18 și 2,18 - 2,17 = 0,01 ș.a.m.d. aceste aproximări zecimale sînt. respectiv, cu o amare mai mică decît 1: 0.1 = 10“»; 0,01 = IO"² ș.a.m.d. 52 în general, pentru numărul a = a^ aₓa₂a₃...a₁ₗ... aproximările zecimale cu o eroare mai mică decît 10~ⁿ, sînt: i) prin lipsă: aₙ = a₀,tt₁a₂a₃...an, ii) prin adaos: dₙ = + IO⁻”. Observații. 1) Dacă numărul a este reprezentat de o fracție periodică cu perioada (o), atunci începînd cu un anumit rang, aproximările zecimale prin lipsă ale sale sînt egale cu numărul însuși. De exemplu, pentru numărul 1,52 = 1.52000..., avem: 1; 1,5; 1,52; 1,520; 1,5200:... . De aceea, pentru a cuprinde toate cazurile, în tabelul cu aproximațiile zecimale ale unui număr real, inegalitatea din stînga o scriem 2) Scrierea valorilor aproximative și a", o vom face sub formă de fracție zeci- mală finită, fără a mai adăuga la dreapta o infinitate de zerouri. După definiție (vezi i) și ii)), precum și observația precedentă, pct. 1) rezultă că numărul a este mai mare sau egal cu orice aproximare zecimală prin lipsă a sa și mai mic decît orice aproximare zecimală prin adaos a sa. Așadar, unui număr real a i se asociază aproximările sale zecimale: prin lipsă: dQ, a\, d₂, d₂,... > prin adaos: a'^ a], d₂, d^... astfel încît a'ₒ < a < (cu o eroare mai mică decît 1) a{ < a < a\ (cu o eroare mai mică decît 0,1) a₂ < a_< a₂ (cu o eroare mai mică decît 0,01) Observație. Este foarte important de semnalat pentru cele ce urmează că aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos ale unui număr real a, sînt întotdeauna nufnere raționale. §5. ADUNAREA Șl ÎNMULȚIREA NUMERELOR REALE - 5.1. Vom defini adunarea și înmulțirea numerelor reale, folosind repre- zentarea lor zecimală, astfel încît aceste operații să coincidă pentru numerele raționale cu adunarea și înmulțirea deja introduse în clasele anterioare. Fie date două numere reale a și b și să considerăm aproximările zecimale prin lipsă și adaos cu o eroare'mai mică decît 10⁻ⁿ. Atunci pentru orice n. avem: «„ < a < «Ț bₙ^b< După cum am observat la sfîrșitul paragrafului precedent, numerele aₙ. bₙ, b’ᵤ sînt raționale și deci, de la adunarea numerelor i&ționalc, au sens sumele aₙ 4- bₙ și dₙ A b’ₙ, pentru orice n. 53 Definiție. Se numește suma numerelor reale a și b un număr real c, care pentru orice număr natural n, satisface inegalitățile: 7" bₙ c < aₙ -|- bₙ. Se poate demonstra că un astfel de număr real c există și, mai mult, este unic. Demonstrația riguroasă a acestui fapt depășește programa clasei a IX-a. Ea necesită noțiunea de limită și se va face la Analiză matematică în clasa a Xl-a. în exemplele de mai jos vom arăta cum această definiție a sumei ne permite să găsim valoarea aproximativă a ei, cu o eroare oricît de mică dorim. Exemple. 1) Să găsim primele patru cifre după virgulă pentru suma numerelor « = |/ 2 Și b - |/3. Avem: 1 < |/2 < 2 2 sg |/5 < 1,4 < |/2 <. 1,5 2,2 ig /5 < : 2,3 1,41 < 1/ 2 < 1,42 2,23 sg |/5 < g 2,24 1,414 < 1/ 2 < 1,415 2,236 < 1/5 < g 2,237 1,4142 < : |Z 2 < 1,4143 2,2360 sg [/3 < g 2,2361 1,41421 sg : /2 < 1,41422 2,23606 < :|/5< - 2,23607 Deci a, + b' = a. + K = 5 ’ 5 3,65027 < |/2 + |/3 < 5 5 3,65029 de unde j/l + |/ 5 = 3,6502... . * 2) Să găsim primele patru cifre după virgulă pentru suma numerelor a = 3,12714... și b = 2,42731... (celelalte cifre după virgulă care ar urma după cele scrise nu au impor- tanță, pentru problema pusă). Avem + b'^ — 7,55445 ii a + b < a”b + b$ = 1,55447. Astfel, putem scrie patru cifre după virgulă pentru suma a. -j- b = 1,5544... = —0,4456.... 3) Fie numerele a = 2,23751... și b = 3,76248... . Atunci + b'₅ = 5,99999, iar a" -p = 6,00001. Deci, 6,00000 este o valoare aproximativă a sumei a + b, cu o eroare mai mică decît 10~&. Analog, se definește produsul numerelor reale nenegative. Observăm mai întîi, ca și pentru sumă, că deoarece aₙ, a"ₙ, b'ₙ, b’ₙ sînt numere raționale, produsele a’ₙb’ₙ și dₙb“ₙ au sens și sînt produse de numere raționale. Definiție. Se numește produsul numerelor reale nenegative a și b, un număr real d, care pentru orice număr natural n, satisface inegalitățile: ^n^fi' d aₙbₙ* Se poate demonstra că un astfel de număr real d există și este unic. Dacă unul sau ambele numere sînt negative, atunci se înmulțesc valorile lor absolute și apoi se ține seamă de cunoscuta regulă a semnelor și anume: 54 1° produsul este pozitiv dacă ambii factori au același semn și atunci: ab = | a | | b |; 2° produsul este negativ dacă semnele factorilor sînt diferite și atunci: ab = — | a | | b |. Exemple. 1) Să se calculeze pătratul numărului a = 1,4142.... Avem a^ = 1,4142 și a" = 1,4143. Atunci: a? = 1,99996164 a² < a?² = 2,00024449. Se observă că pătratul numărului a este foarte aproape de numărul 2. 2) Să se găsească trei cifre după virgulă pentru produsul numerelor a = — 3 și b = |/2. Avem a = 0,33333... și |/2 = 1,41421... Atunci 0 a < i 1 1 < b < : 2 0,3 a < C 0,4 1,4 b < C 1,5 0,33 a < C 0,34 1,41 < b < C 1,42 0,333 a < C 0,334 1,414 b < : 1,415 0,3333 a < : 0,3334 1,4142 b < : 1,4143. Deci 0 < ab < 2 0,42 < ab < 0,6 0,4653 < ab < 0,4828 0,47062 < ab < 0,47261 0,47135286 < ai) < 0,47152762. Astfel am obținut: ab = 0,471... . 5.2. Proprietățile adunării și înmulțirii numerelor reale. Proprietățile inegalităților Menționăm în continuare proprietățile operațiilor de adunare și înmul- țire a numerelor reale, precum și unele proprietăți ale inegalităților. Pe baza definițiilor operațiilor de adunare și înmulțire date mai înainte și folosind proprietățile corespunzătoare ale adunării și înmulțirii numerelor raționale, verificarea acestora se face fără dificultate. Lăsăm ca exercițiu demonstra- rea lor. Adunarea pe mulțimea R a numerelor reale are proprietățile’. 1° este comutativă, adică oricare ar fi a și b din R, avem a _|- b —— b -ț* a. 2° este asociativă, adică oricare ar fi a, b și c din R, avem (a + b) + c = a + (b + c). 55 3° numărul O este element neutru pentru adunare, adică oricare ar fi a din R, avem a 4- O — O + g = o. 4° orice număr real a are un opus, care este - g, adică ' a 4* (—a) = (—a) 4~ « = 0. Ca de obicei, în loc de a + ( —b) vom scrie a — b. Înmulțirea numerelor reale are proprietățile: 1. este comutativă, adică oricare ar fi a și b din R, avem ab = ba\ 2. este asociativă, adică oricare ar fi a, b și c din R, avem ,(«&)c = ațbc}; 3. numărul 1 este element neutru pentru înmulțire, adică oricare ar fi a din R, avem al — la = a; orice număr real a diferit de zero are un invers, adică există un nurnăr real, notat cu ar¹, astfel încît aa'¹ = a^a = 1; 5. este distributivă față de adunare, adică oricare ar fi a, b, c din R au loc egalitățile: a(b 4- c) = ab 4- ac, * ța 4- b)c = ac 4- bc. Ca-de obicei, în loc de ab^țb 0), vom scrie a : b sau —. b Am dat în § 3 unele proprietăți ale inegalităților pe mulțimea numerelor reale. Dăm mai jos și alte proprietăți ale lor legate de operațiile de adunare și înmulțire. Astfel: . 1° dacă a < b, iar c este un număr real oarecare, atunci a 4* c < b 4- c, * 2C dacă a < b și c >0, atunci ac < bc, 3° dacă a < b și c < 0, atunci ac > bc. De aici rezultă ușor că: 4° dacă a < b și c < d atunci a 4- c < A 4- d și a — d M(a) j' O=M(O) U=M(1) M(2) ---------------1--------------------l- l l-l I H„l I I I--------------— / \ . M(1,6) M(17) Fig. III.4 * / EXERCIȚII 1< Să se scrie sub formă de fracție zecimală infinită, numerele: . „ , . 15 . 1 „ . 1 ,. 2 . 29 , . 123 a) 3;b) —, c) Țⱼ d) o;e) g) - h) - —. 58 2. Pentru fracțiile zecimale pericdice următoare, să se găsească numărul rațional pe care-1 reprezintă și să se verifice apoi prin algoritmul de împărțire că se obține, fracția zecimală inițială: - a) 1,33(4); b) 0,(7); c) -0,(14); d) 2,073(83); e) -0,01(023); f) -2,001(7). 3, Să se arate care dintre numerele de mai jos sînt raționale: -1,3; 3,75; [/’3; j/5; |/'6; 0,34344344434444344444... (după primul 3 urmează un 4; după al doilea 3 urmează doi de 4 ș.a.m.d.-); 0,12345678910111213... (după virgulă se scriu în ordine toate numerele naturale). 4. Să se indice cîteva numere naturale n astfel încît a) |/n este rațional; b) /n nu este rațional. I 5. Să se arate că nu există numere raționale — astfel încît. n \ / m A³ , . f m A³ „ . ( m A³ „ a) — = 2; b) — = 3; c) — = 6. \ n ) [ n j \ n J 6. Să se spună care numere din perechile de numere următoare este mai mare și care este mai mic: a) 3,43479... și 3,43497...; b) 15,25... și —: c) — și 0,(5); d) -—și -0,375...; 4 9' 8 9 e) -5,4833... și -5,5829...; f) 0,(6) și —; g) 0 și -0,00011; h) -1,1 și -1,1(01). x7, i) Să se găsească aproximările zecimale cu o eroare mai mică decît 0,1, prin lipsă și adaos, pentru numerele; a) /5; b) - |/5; c) —■ ; d) - — ; e) /7; f) -/7; g) —- ; h) |/11; ✓ / Io ii) Să se găsească apoi pentru aceleași numere primele trei aproximări zecimale prin \ lipsă și adaos. 8. Fie x = 2,7154... și y — 1,4287.... Să se găsească primele trei cifre după virgulă ‘ ale sumei x + y. 9. Fie x = 2,1468... și y = 1,5431.... Să se găsească primele două cifre după virgulă ale produsului lui x cu y. 10. Să se găsească primele patru cifre după virgulă ale sumelor: a) y + /3; b) /2 + /3; c) / 5 + |/7; d) |/3 + (-/?); e) (-/₃) +|/7. 11. Să se găsească primele trei cifre după virgulă ale produselor: a)4‘/î; b) I/2-/7; c) /3-|/5; d) • (- l/l); e) l-/2-|/3. z z 12. a) Să se construiască cu rigla și compasul segmentele de lungime: (/ 3, |/ 5, [/ 6, j/10, și apoi să se figureze pe axă. b) Să se figureze pe axa reală punctele care au abscisele: \ -/3"; /î; - |/'5; ț/i^ - |/7; |/'6; - t/10; l/Î0. Indicație, Se folosește teorema lui Pitagora. 18. Să se arate că numerele [/ 2 -f- / 3 și ț/ 2 — ț/ 3 sînt iraționale. 59 14. Fie a și b numere reale astfel încît a + b șl a - b să fie numere raționale, Sînt nume- rele a, b și a • b raționale? 15. Fie a și b numere raționale. Să se demonstreze că dacă a 4-^1/2^0, atunci și a - 41 0. 16. Fie a un număr. Este posibil oare ca primele 10 puteri ale numărului a • I a, a², a³, .a¹⁰ să fie iraționale, iar următoarele 10 puteri: . a¹¹, a¹², a¹³, a²⁰ să fie raționale? 17. Dați exemple de ecuații de gradul al doilea cu coeficienți întregi ale căror rădăcini să fie iraționale. 18. Să se demonstreze că ecuația x³ — px 4- 1 = 0, pentru p e N, p > 2, nu are rădăcini raționale. ♦ Indicație. Dacă a — — este o rădăcină a ecuației, atunci se arată că m și n sînt n 4-1 sau —1; deci a este egal cu 1 sau —1, dar aceste numere nu sînt, evident, rădăcini ale ecuației. CAPITOLUL IV FUNCȚIA DE GRADUL AL DOILEA §1 . DEFINIȚI FUNCȚIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE Definiție. Fiind date numerele reale, a, b, c cu a / 0, funcția f : R -> R definită prin formula: f(x) = ax² + bx 4- c, se numește funcție de gradul al doilea cu coeficienții a^ b, c. Observații 1) Domeniul și codomeniul funcției de gradul al doilea este mulțimea nume- relor reale. Deci funcția de gradul al doilea este o funcție numerică. 2) Deoarece domeniul și codomeniul funcției de gradul al doilea este R vom indica această funcție astfel: ■ f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx 4- c. 1 3) O funcție de gradul al doilea f :R R, f(x) = ax² 4- bx 4- ceste perfect determi- nată cînd se cunosc numerele reale a, b, c (a b). A) Trebuie să observăm că în definiția funcției de gradul al doilea condiția « =£ 0 este -esențială în sensul că ipoteza a = .0 conduce la funcția de gradul întîi, studiată în clasa a VUI-a. 5) Denumirea de funcție de gradul al doileă provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² 4- bX +. c. Exemple de funcții, de gradul al doilea 1) fdi) = 7x² — 9x J- 10, (a = 7, b = —9. c = 10); 2) fz(x) = [/2x² + [/2x + 1, (a = |/2, b = / 2, c = 1); , • 3) f₃(x) = 0,51x² — 2x, (a = 0,51, b — —2, c = 0);- 4) f^x) = x² + 0,31, {a = 1, b = 0, c = 0,31); 5) /₅(x) = -x² - bx - 0,31, > (a - -1, b = -Ș„c = -0,31). Probleme care conduc la funcția de gradul al doilea Există numeroase exemple concrete care au impus studiul sistematic al funcției de gradul al doilea: 1) Aria A a unui pătrat este funcție de lungimea lai urii sale x. Mai precis, această dependență funcțională este dată de relația: 4 - x². 61 2) Aria A a unui cerc este funcție de lungimea razei sale .r; această dependență funcțională se exprimă astfel: A — nx\ unde 7t este o constantă aproximativ egală cu 3,14. 3) în fizică se arată că în căderea liberă a unui corp în vid, sub acțiunea forței gravitaționale, spațiul s(0 parcurs de corp în timpul / este dat de formula: 2 unde g este o constantă aproximativ egală cu 9,8 m/s². 4) Dintr-un turn de înălțime h₀ se aruncă o piatră pe verticală în sus cu viteza ini- ială înălțimea h(t) la care ea ajunge la.momentul t este dată de formula: b(t) = + eₒi — “ *²- 5) în mișcarea uniform accelerată spațiul s(0 parcurs de un mobil în timpul i este dat de formula: • . (L „ «(0 = - t*, unde a este accelerația mobilului. §2. GRAFICUL FUNCȚIEI DE GRADUL AL DOILEA Ne propunem să construim graficul funcției f(x) = «x² 4- bx T c, a 0. Aceasta o facem cu scopul de a pune în' evidență elementele principale ale grafi- cului funcției de gradul al doilea și de a avea posibilitatea ca atunci cînd studiem funcția de gradul al doilea să interpretăm din punct de vedere geometric proprietățile obținute. Graficul funcției de gradul al doilea îl vom face în mai multe etape. 1. Graficul funcției f(x) = x² (Legea de asociere a acestei funcții se poate exprima foarte simplu și în cuvinte: „fiecărui număr real i se asociază pătratul său“.) Trasarea graficului f(x) = x² se face prin „puncte". Mai precis se asociază următorul tabel de valori funcției f(x) = x²: X ... -3 -2 -1 “4 0 12 3 ... f(x) = X2 ... 9 4 1 1/4 0 1/4 1 4 9 ... Reprezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sînt valorile din tabel. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă ca în figura IV. 1. (Facem observația că punctele reprezentate nu se unesc cu segmente ca în fig. IV.2. ) Curba obținută se numește parabolă. Pentru a obține o construcție cît mai exactă a acestei parabole, trebuie să reprezentăm cît mai multe puncte 62 ale graficului. Parabola funcției f(x) = x² are următoarele, proprietăți impor- tante : 1° ea se găsește deasupra axei x'x; trece prin originea axelor și, punctul O are cea mai mică ordonată (egală cu zero) dintre toate punctele de pe para- bolă. Punctul O se numește virful parabolei; 2° axa y'y este axă de simetrie pentru parabolă. într-adevăr, dacă P(a, a²) este un punct al graficului, cum a² = (—a)², atunci și P'(—a, a²) aparține graficului. Dar punctele P și P' sînt simetrice față de y'y. 1'. Graficul funcției f(x) = — x² (Legea de asociere a funcției f se poate exprima și în cuvinte: „fiecărui număr real i se asociază opusul pătratului său".) în figura IV.3 am reprezentat punctat graficul funcției f^x) = x². Graficul funcției f(x) = —x² se poate obține prin simetria față de axa x'x, a graficului funcției f^x) = x². într-adevăr dacă P(a, a²) este un punct al graficului funcției f^x) = x², atunci simetricul său față, de axa x'x este punctul P'{a., — a²). Cum /(a) = —a², atunci P' se găsește pe gra- ficul funcției f(x) = — x². Graficul funcției f(x) = — £² se numește,de asemenea, parabolă. Ea se găsește sub axa x’x. Axa y'y este axă de simetrie, iar O are cea mai mare ordonată dintre toate punctele graficului f(x) = —x². Punctul O se numește, de ase- menea, vîrful parabolei funcției f(x) = ~x². în practică construcția graficului funcției f(x) = — x² se face tot prin „puncte", ca la func- ția f^x) = x². 2. Graficul funcției f(x) = ax² (a 0) Graficul acestei funcții se construiește ca și în cazul funcției f^x) = x² tot prin „puncte". 4P(ctdf) / Fig. IV. 3 63 Curba obținută se numește, de asemenea, parabolă. Să vedem care este poziția graficu- lui funcției f{x) = ax² în raport cu graficele funcțiilor f^x) = x² și fz(x) = —x². (Func- țiile f^x) = x² și f₂{x) = —x² sînt cazuri particulare ale funcției f{x) = ax², cînd a = 1 și respectiv a = —1.) Cazul a > 0. în figura IV.4 am repre- zentat punctat graficul funcției fY(x) = re². (Fie P(a, a²) un punct de pe acest grafic. Dacă a > 1, atunci punctul Pj(a , aa²) apar- ține graficului funcției f(x) = ax² și cum «a² > a², atunci ramurile parabolei funcției f{x) = ax² se găsesc între • ramurile parabolei f^x) = re². Dacă 0 < a < 1 atunci punctul «a²) aparține graficului funcției f(x) = ax² și cum a² >aa², atunci ramurile parabolei funcției fțx) = ax² se găsesc sub ramurile parabolei f^x) = x². Cu cît a este mai mare ramurile parabolei f(x) = ax² se depărtează mai lent de axa y'y care este axă de simetrie. Originea O are cea mai mică ordonată dintre toate punctele graficului funcției fțx) = ax². Acest punct se va numi, de asemenea, vîrful parabolei acestei funcții. Cazul a < 0. Graficul funcției f(x) = ax² este simetricul față de axa x'x al graficului funcției f'(x) = — ax², unde —a > 0. Diversele poziții ale gra- ficului funcției f(x) = ax² se obțin din cazul precedent (fig. IV.5). Axa y’y rămîne axă de simetrie, iar punctul O care are cea mai mare ordonată dintre toate punctele graficului funcției f{x) = ax² se va numi vîrful graficului. 3. Graficul funcției f(x) = ax² -J- c(a 0) Vom considera funcția g(x) = ax². Fie P(x₀, y₀) un punct al graficului funcției f(x) = ax² + c (fig. IV. 6). Atunci y₀ = ax² + c de unde y₀ — c = ax^ sau y₀ — c = g(z₀)‘ Deci punctul P'(x₀, y₀ — c) aparține graficului funcției g(x) = ax², repre- zentat punctat în figura IV.6. 64 Fig. IV.7 Rezultă că graficul fțx) = ax² 4- c se obține din graficul funcției g(x) = = ax², printr-o translație de-a lungul axei y'y, cu o cantitate egală cu c (dacă c > O, translația se face în sus, iar daca c < O, translația se face în jos). Axa y'y este axă de simetrie a graficului funcției fțx) = ax² 4~ c- Gra- ficul funcției fțx) = ax² + c se numește parabolă, iar punctul 7(0, c) se nu- mește vîrful parabolei. în figura IV.7 sînt date diferitele poziții ale graficului funcției fțx} = = arr² 4~ c în raport cu valorile numerelor a și c. 4. Graficul funcției f(x) = ax² 4- bx + c ța 0) ax² -ț- bx 4- c se poate scrie sub forma: , , , , ( । b V i² - f . b \2 - A ¹ ț 2a) ka 1 2a) ka unde am notat cu A = b² — bac (A este discriminantul ecuației ax² + + 4 - c = 0). Este clar că pentru orice număr real x E R avem ■ f(x)' = afx 4- 4- (1) t 2a) 4a 5 — Matematicâ-algebra. el. a IX-a 65 Fig. IV.8 Egalitatea (1) se numește forma cano- nică a funcției f. Trecem acum la construirea graficului funcției f(x) = ax² + bx + c. Considerăm funcția de gradul al doilea g(x) = ax² 4- —- . 4a în figura IV. 8 am reprezentat punctat graficul funcției g, avînd pe y'y ca axă de simetrie si cu vîrful în V' (o, —-1. Fie l 4a J yo) uⁿ punct pe graficul funcției f(x) = = ax² + bx + c. Din egalitatea (1) se obține Vo = /'W = + — P 4-------- sau y₀ = g ] • Rezultă că punctul ț 2aJ ka ț 2a) P'^₀ + — , yₒj aparține graficului funcției g. Se observă că P se obține din P' făcînd o translație paralelă cu axa x'x cu o cantitate egală cu —b 2a Deci graficul funcției f(x) = ax² + bx 4- c se obține din graficul funcției g{x) — ax² 4------ printr-o translație paralelă cu axa x'x, cu o cantitate egală ka cu — | dacă —- > 0, translația se face spre dreapta, iar dacă —- < 0, trans- 2a ț 2a 2a lația se face spre stînga Cum y'y este axă de simetrie pentru graficul funcției g, atunci dreapta __ x =-----este axă de simetrie pentru graficul funcției f(x) = ax² 4- bx 4- c. Graficul funcției f(x) = ax² + bx + c se numește parabolă, iar punctul r —b _ m V — >-------se numește virfal parabolei. Graficul funcției f(x) = ax² 4- bx + c \ 2a ka ) ’ ’ intersectează axa y'y în punctul A(0, f(0)), unde /(O) = c. Urmărind figura IV.9 obținem diferite poziții ale graficului funcției f(x) = ax² 4- bx 4- c în raport de valorile lui a și A. în figura IV.9, punctat, am reprezentat graficul funcției g(x) = ax² 4- 4a Exemplu. Să construim graficul funcției f(x} = 2xⁱ — 8a: 4- 9. Cum A = i² — 4ac = 64 — 72 = —8 și — = —- = —2 rezultă că forma canonică a 2a 4 funcției este px) = 2{x — 2)a + 1. Graficul funcției îl construim astfel: 1) Prin puncte construim graficul funcției gțx) — 2aA 2) Translatăm parabola funcției g(x) = 2x² de-a lungul axei y'y cu cantitatea 1. Aceasta este graficul funcției h{x) = 2x² 4- 1 (a se vedea figura IV-10). 66 rig. iv.9 B7 3) Facem o translație paralelă cu axa x'x, cu cantitatea 2, a graficului funcției h(x) = = 2x² + 1 și obținem graficul funcției f(x) = = 2x² — 8x + 9. Vîrful acestui grafic este punctul p(2, 1), iar axa sa de simetrie este dreapta x = 2 (a se vedea figura IV.10). Interpretarea geometrică a rezolvării ecuației de gradul al doilea ax² + bx 4- c = O, {a 0) . Din figura IV.9 rezultă următoarele: 1° Graficul funcției fțx) = ax² -J- 4- bx 4- c intersectează axa^'z în două puncte distincte dacă și numai dacă A = b² — ^ac > 0. Punctele de inter- secție ale acestui grafic cu axa x’x sînt punctele de coordonate B^x-^ 0) și #2(^2, 0), unde xₓ și x₂ sînt rădăcinile ecuației ax² 4- bx 4- c = 0. Reamintim că aceste rădăcini sînt date de formulele Ti — b — 4ac . — t —|/6² — bae U Șl ^2 = — • x I - x b * Cum A -f- t₂ =--------•, atunci —------— =--------. Rezultă că axa de simetrie a 2 2a a graficului funcției f(x) = ax² bx c trece prin punctul de coordonate f + *2 L 2 ” /■ 2° Graficul funcției f(x) — ax² bx c intersectează axa x'x într-un singur punct (spunem în acest caz că axa x'x este tangentă la grafic) dacă și numai dacă A = b² — ^ac = 0. Punctul de intersecție al graficului cu axa x'x este V , oj, care este și vîrful graficului. Ecuația ax² 4- bx 4- c = 0 are în acest caz două rădăcini reale egale: -b Xi — x₂ —------• 2a 3° Graficul funcției f(x) = ax² 4- bx 4- c nu intersectează axa x'x dacă și numai dacă A = b² — ^ac < 0, ceea ce este echivalent cu faptul că ecuația nu are nici o rădăcină reală. §3. MAXIMUL SAU M'INIMUL FUNCȚIEI DE GRADUL AL DOILEA Considerăm funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx 4* e, a 0. x 4- ^1 + • 2a J ba Cazul a > 0. Cum Ix 4- -M² > 0, atunci și a (x + — |² > 0, de unde ’ 2a) ț 2a' prin adunarea cantității constante — obținem că a(x 4- — V + ~ > —•— • ba 1 2a) ba ba 68 Deci f(x) > —- , oricare ar fi £ G R. ’ (1) 4a Cum egalitatea =0 are loc numai cind x = , atunci pentru x = — avem f{—] =—— . Inegalitatea (1) arată că f\ — ] = —— este 2a V 2a J 4a l 2a J ka cea mai mică dintre valorile funcției f. Numărul real —- se numește minimul ka funcției f, iar valoarea este valoarea argumentului x în care se realizează acest minim. Cazul a < 0. Cum (x 4- —V >0 si a < 0, rezultă a (x + — V < 0, 1 2a J ’ [ 2a J , _ . f I) (2 de unde prin, adunarea cantității constante — obținem că « p + — + 4a t 2a ) d------. Deci putem scrie 4a 4a f (x) < , oricare ar fi x £ R. (2) 4a Am văzut mai înainte că f[— 1 = —- care, împrebnă cu inegalitatea (2), * ț 2a j ka arată că f — I = —- este cea mai mare dintre valorile funcției f. Cantitatea \2a) ka se numește maximul funcției f, iar —- este valoarea argumentului x în 4a ■ 2a care se realizează acest maxim. Concluzii. 1) Dacă a >0', funcția f(x) = ax² bx + c are uⁿ minim , — △ . • ₇. - * — b esal cu ----, minim ce se realizează pentru x = —. 4a 2a _ A 2) Dacă a < 0, funcția f(x) = ax² + bx + c are un maxim egal maxim ce • se realizează pentru x = . Interpretarea geometrică In cazul a > 0, parabola funcției f{x) = ax² + bx + c are ramurile îndreptate în sus (spre y pozitiv). în acest caz minimul funcției este egal cu ordonata vîrfului graficului, iar valoarea lui x în care se realizează acest minim este abscisa vîrfului graficului (fig. IV.ll). în cazul a < 0, parabola are ramurile îndreptate în jos (spre y negativ), în acest caz maximul funcției este, de asemenea, egal cu ordonata.vîrfului graficului, iar valoarea lui x unde se realizează acest maxim este, de asemenea, egală cu abscisa vîrfului graficului (fig. IV.12). 69 Exemple. 1) Fie funcția /(re) = x² - 4x 4 1- Cum a = 1 > O, această funcție are un minim egal cu —— =----------—------— = —3. Acest minim se realizează pentru x — 4a 4 \ = = A = 2a 2 2)________Fie funcția f(x) = —2x² + 2x + 1- Cum a = —2 < 0, funcția f are un maxim __________4 । g j 2 3 _j । egal cu =-— — — — . Acest maxim se realizează pentru x = — = — . 4a -8 8 2 2a 2 §4. INTERVALE DE MONOTONIE PENTRU FUNCȚIA DE GRADUL AL DOILEA Definiție. Fio f : A -+ B o funcție numerică (adică A și B sînt sub- mulțimi ale lui R). Spunem că f este crescătoare pe o mulțime I c A, dacă oricare ar fi x₂ G /, astfel încît x₁ < x₂, avem f(^) < f(x₂). Funcția / se zice descrescătoare pe mulțimea 1 c A, dacă oricare ar fi x₂ E I, astfel încît xₜ < x₂, avem fțxj f(x₂). Vom spune că f este strict crescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe mulțimea J dacă oricare ar fi xᵥ x₂ G T astfel încît xₓ < x₂, să rezulte f(xₓ) < < f(x₂) (respectiv oricare ar fi 24, x₂ G I, cu x} < x₂, să rezulte /(xj > ^x^'). O funcție numerică f : A -+ B crescătoare sau descrescătoare pe o submulțime I C A se zice monotonă pe I. Exemplu.. Funcția de gradul întîi / : R -> R, /(x) = mx + n (m 0) este strict crescătoare dacă m > 0' și strict descrescătoare dacă m < 0. într-adevăr fie xᵣ < x₂. Dacă m > 0, atuncimx₁ < mx₂ și deci și mx₁ 4- n < mx₂ 4- n ceea ce înseamnă că /(xₓ) < < fM- Dacă m < 0, atunci din inegalitatea xₓ < x₂ obținem mxₓ > mx₂ de unde mxₓ 4- + n > mx₂ -f- n, ceea ce înseamnă că /(xj > /(x₂). Relativ Ia funoția de gradul al doilea, vom demonstra: Teorema. Fie funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx -|- c, a 0 1° Dacă a >0, funcția / este strict descrescătoare pe inter- valul | — oo, —] și strict crescătoare pe intervalul f—, +®o]. I 2a J [2a J 70 2° Dacă a < O, funcția f este strict crescătoare pe intervalul —oo, — și strict descrescătoare pe intervalul —, +©o • 2a J L2a ) (intervalele (—oo, —1 si , +ool se numesc intervale ( l 2a J ’ [2a ) de monotonie ale funcției Demonstrație 1° Vom presupune că a > 0. Pornim tot de la forma s 2 _A $ H—I 4--------• Fie ^2 două numere reale 2a J ia (—61 — —oo, — , astfel incit x₁ < x₂. Deci putem scrie -b ** < * Ta de unde prin adunarea cantității , obținem: ^1 + ₉- < ^2 + °- 2a 2a Prin ridicare la pătrat se deduce că f < ( b\2 ~ > P² + T • ț 2a) ț 2a) Prin înmulțire cu numărul pozitiv a, obținem: ț 2aJ ț 2a) •r Adunînd cantitatea-----obținem: 4a ( ₜ bV, -h f .6 V A ( ¹ 2aJ 4a ( 2a) 4a sau, altfel scris: >f(x₂), ceea ce ne arată că funcția f este strict descres- cătoare pe intervalul (—00, . Presupunem acum că numerele xₗf x₂ se găsesc în intervalul (— , 4-ooj , astfel încît xₓ < x₂. Deci putem scrie de unde prin adunarea cantității^, obținem: Prin ridicare la pătrat obținem: Prin înmulțire cu a >0 și adunarea cantității —- obținem; 4a sau f^Xj) < f(x₂\ ceea ce înseamnă că f este strict crescătoare pe intervalul r-& । 1 — i T°° . [2a ) 2° Presupunem că a < 0. Fie xₙ x₂ numere reale din intervalul —oo, — astfel încît x, < 2a J ¹ Am văzut la pct. 1° că x₂. care, prin înmulțirea cu numărul a negativ, ne conduce la inegalitatea ( t f । b\² a!x₁ d----< a | d--------. ( 2aJ [ 2a) _ △ • * Adunînd cantitatea --------- obținem: 4a 4“ ₉ 4- , < a I ^2 + ~ 4- — 1 2a) ka V 2aJ 4a sau altfel scris: cew ce ne arată că funcția f este strict cres- cătoare pe intervalul (—oo, —-1. I 2a J Presupunem acum că numerele x^ x₂ sînt în intervalul , 4-°°j așa încît < x₂. Am văzut la pct. 1° că avem f ₜ b\² f . b\² pi-4- — < $2 4- — > ț 2a) ț 2a) din care, prin înmulțire cu numărul negativ se obține: Adunînd cantitatea—— rezultă: 4a 72 Deci, f este strict descrescătoare pe intervalul f—, +00L Este foarte su- [2a J gestiv a se transpune afirmațiile 1° și 2° din teorema de mai sus în următoa- rele tabele; -b X --- oo --- 4-oo 2a 4a j . . X --- oo -b -j-oo 2a 7 --- A 4a maxim în ambele tabele, înclinația săgeților indică intervalul pe care funcția este strict descrescătoare sau strict crescătoare. Interpretare geometrică Cazul a > 0. Parabola funcției f(x) = ax² + bx + c are ramurile în sus (fig. IV.13). Fie P(£ₒ> ?/o) un punct arbitrar pe parabolă avînd proiecția pe axa x'x în Q. Cînd Q se apropie de la stînga la dreapta de punctul A (—, ol, (2a ) atunci punctul P coboară. Cînd punctul <2 se îndepărtează de punctul A Spre dreapta, punctul P urcă pe ramura din dreapta a parabolei. Cazul a < 0. Parabola funcției f^x} = ax² + bx + c are ramurile în joc (fig. IV. 14). Cînd Q se apropie de punctul A de la stînga la dreapta, punc- tul P urcă pe ramura din stînga a parabolei, iar cînd Q se îndepărtează de A spre dreapta, punctul P coboară pe ramura din dreapta a parabolei. 73 Exemple. 1) Fie funcția f(x) — 2xz — x 4~ 1. Cum a 2 și -— , funcția este strict descrescătoare pe intervalul j —oo, — și strict crescătoare pe intervalul — , +«? , l 4 J L 4 / Tabelul asociat este următorul: x — oo — + oo 4 /(x) = 2x² — x + 1 \ / minim 2) Fie funcția f(x) = —x² + 2. Cum a = — 1 < O și — = O, funcția este strict 2a crescătoare pe intervalul ( —oo, 0] și strict descrescătoare pe intervalul [O, 4-oo). Tabelul asociat este următorul: " x — oo O +oo /(x) = —x² 4-2 Z 2 \ maxim §5. TABELUL DE VARIAȚIE Șl TRASAREA GRAFICULUI FUNCȚIEI DE GRADUL AL DOILEA * Am văzut că graficul funcției f(x) = ax² 4- bx Ț- c se poate construi în mai multe etape pornind de la funcții simple al căror grafic îl construim prin „puncte“ și apoi se fac una sau două translații. Dar în practică se con- struiește graficul prin „puncte¹⁴, adică se reprezintă un număr cît mai mare de puncte ale graficului care apoi se unesc între ele cu linii continue, iar figura geometrică ce se obține constituie o reprezentare aproximativă a parabolei funcției f. Pentru a obține o reprezentare cît mai bună a graficului funcției date, alegerea punctelor care se reprezintă nu se face la întîmplare. Se pro- cedează astfel: Se face un tabel numit tabelul de variație al funcției fin care se trec urmă- toarele date: 1) Valoarea z=0 și valoarea f(ty. Punctul A (O, AO)) reprezintă inter- secția graficului cu axa y'y. 2) Rădăcinile xᵥ x₂ ale ecuației ax² + bx Ț- c = O cînd acestea există. Punctele Bₓ{xᵥ 0) și B₂(x₂, 0) reprezintă intersecția graficului cu axă x’x. 3) Valoarea re = — si valoarea f[—1 . Punctul vf— , —-1 ' 2a ’ ț2a J ka ț 2a ka J reprezintă vîrful graficului. în tabel se mai specifică dacă—— este un minim 4 a sau un maxim. (La trasarea graficului se are in vedere că dreapta x — ~ este axă de simetrie. 74 i 4) Se indică prin săgeți intervalele de monotonie ale funcției. 5) Pentru a obține o reprezentare cit mai exactă a graficului, in tabel se trec eventual și alte valori ale lui x, precum și valorile corespunzătoare f(x). Exemplu. Să se reprezinte graficul funcției /(z) = x² + 2x — 3 Tabelul de variație al funcției este: x | —oo • —3 —1 O 1 +oo /(x) = x² -f- 2x — 3 | \ O \ —4 Z — 3 Z O Z minim Punctul X(0, —3) este la intersecția grafi- cului cu axa y'y. Punctele — 3, 0) și B₂(l, 0) sînt intersec- țiile graficului, cu axa x'x, iar F( —1, —4) este vîrful parabolei. Graficul funcției f(x) = x² -f- + 2x — 3 este redat în figura IV. 15. Fig. 1V.15 §6 . SEMNUL FUNCȚIEI DE GRADUL AL DOILEA A studia semnul funcției de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c, a / O, înseamnă a determina valorile lui x- pentru care f(x) este un număr pozitiv și valorile lui x pentru care f(x) este negativ. în studiul semnului funcției f(x) — = ax² + bx + c, un rol important îl joacă discriminantul A = b² — ^ac. Vom avea următoarele cazuri: (b V X -------+ 2a J -]-—. Cum | x -|- — 1 este pătrat perfect atunci (x + — 1 > 0. Dacă 4a ț 2a) { 2a) a > 0, atunci a(x + —V > 0 si —— >0 care, adunate, dau ’ ț 2a) , ’ 4a Deci, în acest caz, pentru orice x G R, avem A^) > Dacă a < 0, atunci ( l b V / A • - △ / A a ix H0 si ----------- < 0 ț 2a) ’ ia care, adunate, ne dau: — <0. 4a Deci, în acest caz, pentru orice $ G R, f(x) < 0. Putem enunța regula: Dacă & < 0, atunci f(x) are același semn ca al lui a, oricare ar fi x G R« 75 Acest rezultat se trece într-un tabel în felul următor: f(x) [ semnul lui a 2. Cazul A = 0. în acest caz, pentru orice 2 G R avem f x) = ( l $ ț² TA z ~+ ■ ( I M z A • i ■ ( I $ V A = a I x H— . Daca x , atunci a; d— O si deci I x d---------------->0. ( 2a) . 2a {2a) t 2a) Rezultă că pentru orice x — semnul lui f(x) este același cu al lui a. Dacă x = — , atunci f(x) = 0. Putem enunța regula: 2a Dacă & = 0, atunci f(x) are același semn cu al lui a, oricare ar fi x £ R, cu excepția lui x — —- , unde f ia valoarea zero. Acest rezultat se trece în r’ 2a tabelul următor: x —oo — 4-°° 2a = 0-------------------------------------------------------------------- f(x) semnul lui a 0 semnul lui a Grafic tabelul este transpus în figura IV. 17. 76 3. Cazul & >0. în acest caz ecuația ax² + bx + c — O are două rădă- cini reale xₜ și x₂, distincte. Mai mult, trinomul aX² 4- bX + c se descompune în factori de gradul întîi: aX² + bX ^c = a(X - (X - x₂f Deci, pentru orice z £ R, avem f(x) = a(x — xj (x — x₂). Cum xₓ x₂ putem presupune că x± < x₂. Dacă numărul real x nu aparține intervalului £2]» atunci x < x± sau x₂ < x. Presupunem că x < x±, atunci și x < x₂. Deci x — xₜ < 0 și x — x₂ < 0 de unde rezultă că (x — xₜ) (x — x₂) > 0. în situația x₂ < x avem x± < x și deci x — xₓ > 0 și x — x₂ > 0, de unde rezultă că (x — xf) (x — x₂) > 0. Deci, cînd x nu aparține intervalului rr₂], obținem (x — xf) (x — — x₂) >0 și deci semnul lui f(x) este același cu semnul lui a. Dacă x se găsește între rădăcini, adică xₓ < x < x₂, atunci (x — xf (x — — x₂) < 0 și deci semnul lui f(x) este contrar semnului lui a. Cînd x — xₓ sau x — x₂, f(x) = 0. Putem enunța regula: Dacă A > 0, atunci f(x) are semnul lui a în afara rădăcinilor și are semn contrar lui a în intervalul dintre rădăcini, cu excepția lui x — xₓ și x — x₂, unde f ia valoarea zero. {xₓ, x₂ sînt rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0.) Acest rezultat se reprezintă în tabelul următor: a; I —00 xT x₂ 4-00 A > 0 —---------------------------------------------------------------------- f(x) । semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a Grafic tabelul este transpus în figura IV. 18. Exemple. 1) Fie funcția /(a:) = rr² + 2a- + 3. Cum A — 4 — 12 = — 8 < 0, ne găsim în primul caz. Cum a = 1 > 0, tabelul semnului funcției este următorul: a I —00 +00 Tgî+ 2a + 31 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ + 77 2) Fie funcția f(x) = —x² — 2x — 1, Cum A = 4 — șl «=?—!, tabelul eu semnul funcției f este următorul: x — oo ■— '= — 1 4-00 2a f(x) = —x² — 2x — 1 _____ Q ______ 3) Fie funcția f(x) = x² — 3a; 4- 2. Cum A = 9 — 8 = 1 > O, atunci ecuația x² — — 3x + 2 = O are rădăcini reale și distincte. Acestea sînt = 1 și xₐ = 2. Tabelul sem- nului funcției este următorul: x —oo 1 2 4-00 f(x) = x² 3x 4- 2 4- 4- -F 4* O — — — O 4- 4- 4- 4- 4- -F §7. APLICAȚII ALE SEMNULUI FUNCȚIEI DE GRADUL AL DOILEA 1. Inecuații de gradul al doilea Inecuațiile de forma ax² + bx + c >0, ax² + bx + c > O, + bx 4- c < O și ax² + bx + c < O, unde a, b, c sînt numere reale date, a O, se numesc inecuații de gradul al doilea. Observație. în practică vom considera orice inecuație care se reduce, folosind proprie- tățile inegalităților, la o inecuație de gradul al doilea. Rezolvarea inecuațiilor de gradul al doilea este o consecință imediată a studiului semnului funcției f(x) = ax² + bx + Exemple. 1) Să se rezolve inecuația x² — 3x 4- 2 > 0. Se vede că A = 9 — 8 = = 1 > 0. Rădăcinile ecuației x² — 3a: 4- 2 = O, sînt xₓ = 1 și x₂ = 2. Tabelul semnului funcției f(x) = x² — 3a: 4- 2 este următorul: x —oo 1 2 4-oo fi®) 4- 4- 4* 4- ’ O ____ o 4- 4- 4- 4- Din acest tabel rezultă că mulțimea soluțiilor inecuației date este ( —oo, 1) U (2, 4-00). 2) Să se rezolve inecuația 2a;² 4- x < 1. Această inecuație este echivalentă cu inecuația 2a;² 4- x — 1 0. Se vede că A = 14-8 = 9>0și rădăcinile ecuației 2a:² 4- 4- x — 1 = O sînt a^ = — 1 și x₂ = — . Tabelul semnului funcției f(x) — 2a:² 4- x — l este următorul: . 1 x —00 “1 — -koâ 2 4-4-4- o — — — o -F 4~ 4': d d Mulțimea soluțiilor inecuației date este 78 3) Să se rezolve inecuația x² < 2x — 3. Această inecuație este echivalentă cu ine- cuația x² — 2x + 3 < 0. Cum A = 4 — 12 = — 8<0, atunci semnul funcției f(x) = = x² — 2x + 3 este următorul: x —oo +oo f(x) + + + + + + + + + Din acest tabel, rezultă că mulțimea soluțiilor inecuației date este mulțimea vidă, adică nu există nici un număr real care să verifice inecuația x² < 2x — 3. .4) Să se rezolve inecuația (x — l)² > 2x — 3. Această inecuație este echivalentă cu inecuația x² — 2x + 1 > 2x — 3 care este echivalentă la rîndul său cu inecuația x⁸ — — 4x + 4 > O.Avem A = 16 — 16 = 0. Rădăcinile ecuației x² — 4x + 4 = O, sîntx₁ = — x₂ = 2. Tabelul semnului funcției /(x) = x² — 4x + 4 este următorul x j —oo 2 -f⁻oo f(x) | + + + O + + + Din acest tabel rezultă că mulțimea soluțiilor inecuației date este R — {2}. 2. Sisteme de inecuații de gradul al doilea Prin sistem de inecuații de gradul al doilea se înțelege un sistem de inecuații în care cel puțin una dintre inecuații este de gradul al doilea, iar celelalte ine- cuații ce compun sistemul sînt de gradul întîi sau gradul al doilea. Observație. în practică vom considera orice sistem de inecuații care se reduce, folosind proprietățile inegalităților, la un sistem de inecuații de gradul al doilea. Exemple. 1) Să se rezolve sistemul de inecuații x + 5 4x + 3, 2x + 1 > 3x — 1, x² + 2x — 3 0. Sistemul (£) este echivalent cu sistemul de inecuații de gradul al doilea — 3x + 2 > O, - x + 2 > O, x² + 2x — 3 0. Mulțimea soluțiilor inecuației — 3x 4-2^0 este Mₓ = oo, — Mulțimea soluțiilor inecuației — x + 2 > O este M₂ = ( —oo, 2). Mulțimea soluțiilor inecuației x² + 2x — 3 > O este Mₐ = ( —oo, —3] U [1, + oo). Atunci mulțimea soluțiilor sistemului (£) este M = n Mz 0 M₃ = (—oo, —3], 3) Să se rezolve sistemul de inecuații (5) x² + 2x + 3 > O, x² - 2x - 3 > O, 2x + 1 < 2 — x. Folosind proprietățile inegalităților sistemul (5) este echivalent cu sistemul de gra- dul doi xa + 2x + 3 > 0, x² — 2x — 3 O, 3x — 1 < 0. i 79 Mulțimea soluțiilor inecuației x² 4- 2x 4- 3 > 0, este = B. Mulțimea soluțiilor inecuației x² — 2x — 3 0 este M₂ = (—oo, — 1] U [3, +oo). Mulțimea soluțiilor inecuației 3x — 1 < 0 este M₃ = — oo, • Atunci, mulțimea soluțiilor sistemului (5) este M — Ci M₂ D M₃ = ( —oo, — 1]. 3. Semnul expresiei E = unde b^ a₂, b₂, c₂ sînt a₂xz + b₂x + c₃ numere reale date. A determina semnul expresiei E, revine la a determina pentru ce valori reale ale lui x expresia este pozitivă și pentru ce valori reale ale lui x expresia este negativă. Se știe că: 1° o fracție este pozitivă dacă și numai dacă numărătorul și numitorul au același semn și 2° ea este negativă dacă numărătorul și numitorul sînt de semne contrarii. Rezultă că pentru a determina semnul expresiei E, vom determina sem- nele funcțiilor f^x) = apr² + bpe + cᵣ și f₂(x) = a₂x² + b₂x + c₂, care se trec într-un tabel. Ținînd cont de 1° și 2° se obține semnul expresiei E. Exemplu. Să se determine semnul expresiei E = ------------------------ . Considerăm x — 1 funcțiile f^x) = x² — 5x + 6 și f₂(x) = x — 1. Rădăcinile ecuației x² — 5x 4- 6 = 0 sînt xᵣ = 2 și xₐ — 3, iar rădăcina ecuației x — 1 este 1. Facem următorul tabel cu semnele funcțiilor h și X --- oo 1 2 3 -f-00 + + + + + 4-4- o ---0 4- 4- + + 4- ----o + + + + + + 4- + + + E -----1 + + + o ---0 4- 4- 4- 4- Din tabel rezultă că expresia £ este pozitivă pentru x (1, 2) U (3, -(-oo), negativă pentru x e ( —oo, 1) U (2, 3) și este egală cu zero pentru x = 2 și x = 3. Expresia E nu are sens pentru x = 1. Studiul semnului expresiei de forma E = —------------------------ ne ajută la re- a₂x~ + b₂x 4- c₂ zolvarea inecuațiilor de forma E > 0, E > 0, E < 0 și E < 0. Exemple. 1) Să se rezolve inecuația x² - 1 _₁ x² — 4 ₓ2 ___ J Inecuația dată este echivalentă cu inecuația----------------(- 1 > 0*, care este echi- . x² — 4 valență cu inecuația —------• > 0. Vom determina semnul expresiei E = —-----------. x² — 4 x² — 4 * Este greșit de scris xa — 1 ;> — 4), deoarece xa — 4 poate fi pozitiv sau negativ. 80 Facem tabelul Din acest tabel rezultă că mulțimea soluțiilor inecuației date este ( — 00, —2) U 2) Să se rezolve inecuația x² — x + 1 < • x² 4- x 4- 1 3*2 — 1 j _2^ Această inecuație este echivalentă cu inecuația ---------—----I 0 <=>--------------0. X² 4 X + 1 X² X + 1 ________________________________________________________________________________________ Determinăm semnul expresiei E —____________. Facem tabelul: x² + x + 1 X --- co 0 4-00 --- 2x 4- + 4- 4- 0 --- x2 + x + 1 • 4- + 4- 4- 4- + 4- 4- 4- 4-' + E + 4- 4- 4- 0 --- Din acest tabel rezultă că mulțimea soluțiilor inecuației date este [0, +00). 4. Inecuații cu modul 1) Să se rezolve inecuația: |z² — x — 2| < 1. Rezolvarea acestei inecuații este echivalentă cu rezolvarea inecuației — 1 < x² — x — 2 < 1, care la rîndul său este echivalentă cu rezolvarea sistemului de inecuații f x² — x — 2 < 1 [ x² — x — 2 —1. Mulțimea soluțiilor inecuației x² — x — 2< 1 este Mᵣ = [-—¹ Mulțimea soluțiilor inecuației x² — x — 2 > —1 este ( 1 — |/ 5 1 . . r 1 + |/”5 1 [-00,------00) • Mulțimea soluțiilor inecuației date este M = M. n M, = ^l]u 1+0]. fi — Matematică-algebră, cl. a rx- < 81 2) Să se rezolve inecuația |$² — 3x 4- 2| < x + 7. Ecuația, x² — 3x 4- 2 = 0 are rădăcinile xᵣ = 1 și x₂ — 2. Rezultă că pentru x G [1, 2] 'avem ■ x² — 3x + 2 < 0 și pentru x E E (—oo? 1] U [2, oo) avem x² — 3x 4- 2 > 0. 1° Considerăm cazul cind x E (—°°, 1] U [2, oo). Inecuația dată se scrie in acest caz, astfel: x² — 3x + 2 < x + 7 care are soluții, mulțimea = [— 1, 5]. Rezultă că pentru x E [ — 1) 1] U [2, 5] inecuația | x² — 3x — 2| < x 4- 7 este verificată. 2° Considerăm cazul cind x E (1, 2). în acest caz inecuația dată se scrie, astfel: — (x² — 3x 4- 2) < x 4- 7. care este echivalentă cu inecuația: x² — 2x 4- 9 > 0. Această inecuație are ca soluții mulțimea M₂ = R. Rezultă că pentru x G (1, 2) inecuația | x² — 3x — 2 | < x 4- 7 este verificată. în concluzie mulțimea soluțiilor inecuației date este: ' M = 1]U[2, 5]U(1, 2) =[-l, 5].. §8 . APLICAȚII PRACTICE ALE STUDIULUI FUNCȚIEI • DE GRADUL AL DOILEA Așa cum am spus și în § 1, există numeroase exemple practice care .au impus stu- diul funcției de gradul al doilea. în continuare vom prezenta cîteva dintre ele. 1) Dintr-un turn de înălțime h₀ se aruncă o piatră pe verticală in sus cu viteza - inițială a₀. Să se afle: i) la ce înălțime maximă ajunge piatra; ii) după cît timp piatra ajunge pe pămînt. Caz numeric: h₀ = 30 m, v₀ = 20 m/s. Soluție, i) înălțimea h(t) la care ajunge piatra la momentul t este dată de formula*. h(t) = h₀ + vₒt — y t², unde g = 9,8 m/s². Pentru a calcula înălțimea maximă ămax la care ajunge piatra determinăm maximul funcției h(t) care este ii) Pentru a determina după cît timp piatra ajunge pe pămînt trebuie să deter- minăm pe t astfel încît h(t) = 0. Deci avem de determinat rădăcinile ecuației: ă₀ 4- — — t² = 0. 2 82 Rezolvînd această ecuație găsim soluțiile: . _ v₀ ± ]/ vq + 2gk₀ £ 1>2 — ----------------- g Deoarece v₀ < \/ vq + 2gA₀, atunci timpul după care ajunge piatra pe pămint este egal cu . _ V vo + 2gA₀ ‘O — — • g g Dacă h₀ = 30 m și v₀ = 20 m/s, atunci /imax ~ 50 m și t₀ « 5,5 s. 2) Din apropierea unui turn avînd înălțimea h₀ este aruncată o piatră vertical în sus de la suprafața pămîntului cu viteza inițială v₀. i) Cît trebuie să fie v₀ pentru ca piatra să depășească înălțimea turnului? ii) în ipoteza că piatra depășește înălțimea turnului să se determine cît timp rămîne deasupra lui. Caz numeric: h₀ = 20 m, w₀ — 25 m/s. Soluție, i) La momentul t, piatra se va găsi la înălțimea h(t) dată de formula h(t) = vₒt----— gt², unde g = 9,8 m/s². 2 * Pentru ca piatra să depășească înălțimea turnului trebuie ca h(t) > h₀, pentru un i > 0. Avem inecuația de gradul al doilea în t i - — gt² > /i₀ 2 sau gt² — 2vₒt 4- 2/i₀ < 0. (1) Cum g este pozitiv trebuie ca discriminantul A = 4«o — 8gh₀ să fie pozitiv, adică 4wo — ^gh₀ > 0 de unde v₀ > |/2g/i₀. Deci ca piatra să se ridice deasupra turnului viteza sa î'₍₎ trebuie să fie mai mare ca|/2g/<₀. ii) Să presupunem acum că v₀ > [/2g7<₀. Rezolvînd inecuația (1) obținem că v₀ — ]/ ~ 2g/j₀ < ₜ < + 1/ ~ 2gA₀ g g _ ᵥ ... v₀ — ]/ t'o — 2gh₀ «O + 1/ yo — 2gÂ₀ , Dacă notăm = —⁰-------------------- ■, t₂ = —²---------²-----⁵-²- se observa ca g g > 0 și t₂ > 0, iar intervalul Z₂) este intervalul de timp în decursul căruia piatra se găsește deasupra turnului. Deci piatra se găsește deasupra turnului un timp egal cu , , 2 1/ vo - 2g6₀ £2 ~ <1 ~ • g Caz numeric. Deoarece l/2gh₀ = (/2 * 9,8 • 20 « 20, atunci a₀ > 20/ Deci piatra, prin aruncare, depășește înălțimea turnului. Timpul cît ea se găsește deasupra turnului este egal cu 2 |/ vp - 2gh₀ _ 2 |/625 - 2-9,8-20 _ ₃g ~g ” 9,8 83 6* 3) Dintr-o sîrmă cu lungimea de 10 m se confecționează un dreptunghi. Cum tre* buie să fie acest dreptunghi pentru ca aria sa să fie maximă? Soluție. Dacă x și y sînt laturile dreptunghiului, atunci 2x + 2y = 10 adică x 4- y = 5. Aria dreptunghiului este S = xy = x(5 — re) = 5x — x². Pentru a determina maximul lui £ vom determina maximul funcției de gradul al doilea f(x) = 5x — x², A 25 5 care este-------= — și se realizează pentru x = — = 2,5. Deci laturile ' dreptunghiului 4a--------------4 2 pentru care aria sa este maximă sînt: x = 2,5 m și y — 2,5 m. Deci dreptunghiul trebuie să fie un pătrat, iar aria sa maximă este £max = 6,25 m². 4) Din două orașe A și B situate pe două șosele perpendiculare- pleacă în același moment două ve- hicule cu vitezele constante v₂ și v₂, în direcția punctului O de intersecție a celor două drumuri (fig. IV.19). Distanțele orașelor A și B față de punctul de intersecție fiind a, respectiv b, să se determine dis- tanța cea mai mică dintre cele două vehicule. Gaz numeric: v₁ = 80 km/h, v₂ = 60 km/h; a = 120km și b = 100 km. Soluție. Presupunem că după timpiil t primul vehicul ajunge în A' iar al doilea vehicul în B'. Avem = v^t, BB' = v₂t și deci OA' = a — OB' = b — v₂t. Din teorema lui Pitagora avem. A'B'² = OA'² 4- OB’², de unde A'B'² = (a - v^)² + (b - v₂t)² = (w, 4- vl)t² - + bv^i + a² + b² și deci A'B' ----- ]/ (vj + — 2(avₜ 4- bv₂)t + a² + b². Este clar că distanța dintre cele două vehicule este minimă cînd expresia de sub radical este minimă. Deci vom determina minimul funcției de gradul al doilea /(4 ⁼ (^1 4“ u2)^² — 2(avₜ 4~ bv₂)l -f- a² 4* b². Minimul funcției / este _ A ₌ 4[(a^ + bv₂}² - (v² + tj) (a² 4- &a)] ₌ ⁴a 4(v| 4- vi) (v² 4- dl) te² '4- ^²) — (a^i + bv₂}² (av₂ — bv^² —-------------------------------------------------------- 2 , 2 2,2 4" v2 U1 4“ '*'2 * । i- . , av, 4- bv₂ și este realizat pentru t — —|---- + ^2 Deci minimul distanței este dat de A'B' = । Q^² . 84 ’ t , . , . , D/ | 120-60 — 100-80 | .• 800 . in cazul numeric, minimul distantei, A B — —-----------, ------- =------= 8 km' j/80² 4- 60z 100 Aceasta are loc după un timp egal cu 120 - 80 + 100 - 60 t = ----------!-------= 1,5 ore, 80² + 60² 5) Fie o fereastră avînd forma din figura IV.20, la bază fiind dreptunghiulară iar în partea de sus fiind un semicerc. Pentru ce lungime totală de toc de fereastră avem lumina maximă a ferestrei? Soluție. Fie 2r lungimea bazei ferestrei care este egală cu diametrul semicercului și h înălțimea ei (fig. IV.20) Vom nota cu p lungimea totală a tocului de fereastră și £ aria totală a ferestrei. Avem p — 2r + 2h + ^r, S = 2rh + • + r(p — 2r — nr) = + rp — 2r² — 7tr² — — K r² + rp. 2 2 2 2 Maximul lui £ este egal cu maximul funcției de gradul al doilea f{x) = — ——— x² + px. Acest maxim este deci Smax — — ~ 2(tc + 4) și este realizat cînd x =-----—-----. tc + 4 Deci trebuie ca r = —-— și prin urmare din egalitatea 7ț + 4 p = 2r + 2h + nr obținem că r = h. 6) Să se taie dintr-o bucată de metal de formă sferică un cilindru avînd aria late- rală maximă. Soluție. Să notăm cu R raza sferei (care este dată), cu r și h, raza, respectiv înălțimea cilindrului care este tăiat din sfera de metal (fig. IV.21). Dacă S este aria laterală a cilindrului, atunci zS¹ = 2nrh. în triunghiul dreptunghic OAM avem OA = R, OM = y și AM = 85 Din teorema Ini Pitagora obținem: f h \³ OA² = OM² + MA² sau R² = r² + — , de unde l ² J h² = ^R² - kr². Atunci S² — tm²r²h² — kt^r^R² — 4r²). Este clar că £ este maximă dacă și numai dacă S² este maximă. Deoarece 4tcz este un număr, atunci A² este maximă cînd cantitatea r²(4Jβ — 4r²) este maximă. Notînd r² = x, avem că r²(47î² — 4r²) este maximă cînd x(4J?² — 4x) este maximă. Deci totul revine la a determina maximul funcției de gradul al doilea Acest maxim este egal cu f(x) = — 4x² + iiR²x. — = Rⁱ 4a și se realizează pentru x = — R². Deci Sₘₐₓ = 2nR² și r² = — R², adică r = ² R. 2 ’ 2 2 în concluzie, ca cilindrul tăiat din sfera de metal să aibă aria laterală maximă trebuie ca raza cilindrului să fie r = ² R. 2 §9. REZOLVAREA CÎTORVA SISTEME DE ECUAȚII CU COEFICIENȚI REALI în acest paragraf avem în vedere cîteva tipuri de sisteme de ecuații cu coeficienți reali a căror rezolvare se reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea. Trebuie să remarcăm că ori de cîte ori rezolvăm un sistem de ecuații avem în vedere numai soluțiile reale ale acestui sistem. Vom indica în continuare modul de rezolvare a următoarelor tipuri de sisteme de ecuații: 1. Sisteme formate dintr-o ecuație de gradul al doilea și una de gradul întii. Aceste sisteme sînt de forma: ^S) [ax + by + c = ’ | a^² + b&y + cₓy² + dₓx + eᵣy + fᵣ = 0. Rezolvarea acestui tip de sisteme se face prin metoda substituției. în prima ecuație putem presupune că, sau a 0 0 sau b / 0 (cazul cînd a = b = 0 ne-ar duce la dispariția primei ecuații). Presupunînd că b / 0, atunci ecuația ax by c = 0 este echivalentă cu ecuația y = —-—~ = — — x ——, ’ b b b Dacă substituim pe y în cea de-a doua ecuație a sistemului (5), atunci (5) este echivalent cu sistemul: 86 Efectuînd calculele în ecuația a doua a sistemului (S') obținem în general o ecuație de gradul al doilea care, rezolvată, ne dă valorile lui x. Apoi, înlocu- indu-le în prima ecuație din sistemul (S') obținem valorile lui y. Discuție. 1) Dacă ecuația a doua a sistemului (6") are două rădăcini reale, atunci sistemul (5) are două soluții reale. 2) Dacă ecuația a doua din sistemul (5') are două rădăcini egale, sau, în cazul cînd aceasta este o ecuație de gradul întîi, atunci sistemul (5) are o soluție reală. 3) Dacă ecuația a doua din sistemul (<$') nu are nici o rădăcină reală, atunci sistemul (S) nu are soluții reale. Exemple. 1) Să se rezolve sistemul (5,) f ₊ y = 1, I y² = X² — 3x + 3 Cum ecuația 2x + y — 1 este echivalentă cu ecuația y = 1 — 2x, sistemul (6"i) este echivalent cu sistemul (£1): (4) p⁼ ¹ ■²x’ 1(1 - 2x)» = x² —’3x + 3. Ecuația a doua a sistemului (^i) se reduce la ecuația de gradul al doilea 3x² — x — 2 = 0, care are rădăcinile x< = 1 și x₂ =-----------. 3 Pentru xₓ = 1 obținem y^ = — I, iar pentru x₂ =---------obținem y₂ = <— . și sînt soluțiile sistemului (^j). - 7 ^ = 7 2) Să se rezolve sistemul x — y — 1 = 0, x² — xy — y² + x — 3 = 0. Ecuația x — y — 1 = 0 este echivalentă cu ecuația y = x — 1. înlocuind în ecuația a doua pe y obținem că (S₂) este echivalent cu |x² — x(x — 1) — (x — l)² -|. — 3 = 0. Ecuația a doua a sistemului ț^), după efectuarea calculelor, se reduce la ecuația de gradul al doilea x² — 4x + 4 = 0, care are o rădăcină dublă Xj = x₂ = 2. Din y = x — 1 obținem yₓ = y₂ = 1. Deci perechea (2, 1) este o soluție dublă a sistemului (S₂). 3) Să se rezolve sistemul f y — 1 — x = 0j I y — — x² -Ț- 14x — 50, 87 Sistemul (^3) este echivalent cu sistemul f V = 1 + ³ | 1 + x — —x⁸ 4- 14x — 50. Ecuația a doua a sistemului (£3) se reduce la ecuația de gradul al doilea x² — I3x 4 + 51 = 0. Cum △ = bz — 4ac = 169 — 204 — —35 < 0, atunci sistemul (Sₐ) nu are nici o soluție reală. Interpretarea geometrică a rezolvării sistemului de ecuații de forma [ ax + by + c= 0, I y = a^ 4- bᵣx + unde a, b, c, b^ cᵣ sînt numere reale date cu aᵣ 0. Să notăm cu A mulțimea soluțiilor ecuației ax + by + c = 0, iar cu B mulțimea soluțiilor ecuației y = a^² + bᵣx + cᵥ Mulțimea A reprezintă în planul de coordonate xOy o dreaptă. Mai precis, dacă b 0, atunci A repre- zintă graficul funcției de gradul întîi: f(x) = — — x — —. Dacă b = 0, b a atunci ecuația ax + by + c = 0 este echivalentă cu ecuația x — —-. în acest caz A reprezintă dreapta paralelă cu axa y'y, care trece prin punctul de coordonatei------- , 0|. ț a J Mulțimea B reprezintă în planul xOy graficul funcției g(x) = a^ + + bₜx + «i, care este o parabolă. Cum mulțimea soluțiilor sistemului (5) este egală cu A A B, atunci solu- țiile sistemului (5) reprezintă în planul xOy punctele de intersecție ale drep- tei A cu parabola B. Discuție. 1) Sistemul (5) are două soluții distincte dacă dreapta A inter- sectează parabola B în două puncte distincte. 2) Sistemul (£) are o singură soluție dacă dreapta A intersectează para- bola B într-un singur punct. Trebuie să observăm că în cazul cînd b = 0, dreapta A intersectează întotdeauna parabola B într-un singur punct. 3) Sistemul (5) nu are nici o soluție dacă dreapta A nu intersectează parabola B. 88 Exemplu. Să se rezolve sistemul de ecuații f 2x + y — 4 = 0, ^■L = J_3*. ₊ 2. Din ecuația 2x + y — 4 = 0 obținem y = 4 — 2x. înlocuind pe y în ecuația a doua obținem: 4 — 2x = x² — 3x + 2, sau x² — x — 2 = 0. Această ecuație are rădăcinile Xi = — 1 și x₂ = 2. Atunci avem y^ = 4 — 2xₓ = 4 + 2 = 6 și y₂^ h — 2x% ~ — 4 = 0. Sistemul (SJ are soluțiile: ( x, = — 1 . f x₂ = 2 » Și { l Vi = 6 (2/2=0. Interpretare geometrică. în figura IV.23 dreapta A ce trece prin punctele de coor- donate (0, 4) și (2, 0) reprezintă graficul funcției f(x) = 4 — 2x, iar parabola B repre- zintă graficul funcției g(x) = x² — 3x + 2. Dreapta A intersectează parabola B în punc- tele de coordonate ( — 1, 6) și (2, 0), care sînt soluțiile sistemului (SJ. 2) Să se rezolve sistemul de ecuații Din x — y — 5 = 0 obținem y '= x — 5. înlocuind pe y în cea de-a doua ecuație a sis- temului obținem ecuația x — 5 = z² — 3x — 1, sau x² — 4x + 4 = 0. Această ecuație are soluția dublă x — 2. Atunci y = x — 5 = 2 — 5 = —3. Deci sistemul (5₂) are ca soluție dublă perechea (2, —3). Interpretare geometrică. în figura IV.24 dreapta A reprezintă graficul funcției ^{x} = = x — 5, iar parabola B reprezintă graficul funcției g(x) = x² — 3z — 1. Dreapta A intersectează parabola B în punctul de coordonate (2, —3) care reprezintă soluția siste- mului (S₂). 3) Să se rezolve sistemul -de ecuații , ( 2x + y + 1 = 0, ( y = x² — ox + 4. Din 2x + y + 1 = 0 obținem y = —2x — 1. înlocuind în ecuația a doua a sistemului (^a) obținem ecuația de gradul al doilea x² — 3® + 5 = 0. Cum discriminantul acestei ecuații este A = b² — 4ac = —11 < 0, rezultă că sistemul (£3) nu are nici o soluție reală. 89 Fig. IV.25 Interpretare geometrică. în figura IV.25 dreapta A este graficul funcției f(x) = —2x — 1, iar para- bola B este graficul funcției g(x) = x² — 5x 4- 4. Dreapta A nu intersectează parabola B în nici un punct. 2. Sisteme de ecuații omogene Un astfel de sistem este de forma: (5) I ⁺ b±Xy ⁺ ⁼ d¹' ' | a₂x² + b₂xy + c₂y² = d₂. Sistemul (S) se numește omogen deoarece polinoamele a₁X² + bₓXY 4- c^Y² și a₂X² + - -ț- b₂XY 4- c₂Y² sînt omogene în sensul că toate monoamele care apar în scrierea lor au același grad. Presupunem mai întîi că dᵣ 0 și d₂ Y 0. Există în acest caz numerele reale a și 0 diferite de zero astfel încît o.dₓ + 0d₂ — 0 [de exemplu a = 1 și 0 = — —1. Se înmulțește prima ecuație cu a și cea 1 ^21 de-a doua cu 0 și apoi se adună. Se obține sistemul echivalent: (Sf) a^² + bᵣxy + c^² = d^ - (aay + 0 V v v — j -|-----• = 0, care are rădăcinile : — = 0 ; — = — 1, x J x------XX Rădăcina — = — 1 este comună și deci perechea (a, —a) unde a e R, este soluție a sis- x ternului (S₂). Deci sistemul are o infinitate de soluții. 3) Să se rezolve sistemul te \ f ²x² + 3xy + y² = 0, l x² — xy + y² = 0. . Dacă x = 0, atunci din prima ecuație trebuie ca y = 0. Presupunem x 0. împărțim cu x² ecuația a doua și obținem ecuația în — ; x (v v A — I — — I + 1 = 0, care nu are nici o soluție reală. x J l x J Rezultă că sistemul (S₂) are ca singură soluție perechea (0, 0) 91 3. Sisteme cu ecuații simetrice O ecuație în două necunoscute se zice simetrică dacă înlocuind x cu y și y cu x, ecuația nu se schimbă. Exemple. 1) Ecuația 2x² - 3xy + 2y² —10 = 0 este simetrică. într-adevăr, înlo- cuind x cu y și y cu x obținem ecuația 2y² — 3xy + 2a² — 10 = 0, care este identică cu cea inițială. 2) Ecuația x — j/ f 5 = 0 nu este simetrică. Un sistem de ecuații format din ecuații simetrice se numește simetric. Deoarece ecuațiile unui sistem simetric nu se schimbă dacă înlocuim pe x cu y și y cu x, rezultă că dacă x = a, y = b este o soluție a sistemului de ecuații, atunci și x = b, y = a este soluție a aceluiași sistem de ecuații. Rezolvarea sistemelor de ecuații simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare 5 și p date de relațiile: x• + y = s și xy = p. Prin introducerea acestor noi necunoscute s și p, în foarte multe cazuri siste- mul simetric se reduce la un sistem de ecuații format dintr-o ecuație de gradul întîi și o ecuație de gradul al doilea în necunoscutele s și p. Pentru a face aceste substituții se va ține seama de identitățile: re² + V² = + yY — 2xy = s² — 2p, x³ + y³ = (x + y)³ — 3xy(x + y) = s³ — 3sp, x* y* = {x² + y²}² — 2x²y² = (s² — 2p)² — 2p². Exemple. 1) Să se rezolve sistemul (S) J xy + x ⁺ y ⁼ ⁴’ ( au/ — 2(x² + y²) = 23. Sistemul (5) este simetric. Făcînd substituțiile x ■}- y — s xy = p obținem sis- temul: m p+f = ⁴' [ - 2s² + 5p = 23. înlocuind pe p = 4 — s în ecuația a doua, obținem ecuația O 2s² 5s + 3 = 0, care are soluțiile: s, = — 1; s₂ =------. 2 Atunci pi = 4 — = 5 și p₂ = 4 — s₂ = . Deci, rezolvarea sistemului (£) se reduce la rezolvarea sistemelor: ® + y =-------, [ x -j- y = — 1, . 2 1 \ Ș¹ ' ( au/ = 5 ₙ T’ care nu au nici o soluție reală. Rezultă că sistemul (£) nu are nici o soluție. 92 2) Să se rezolve sistemul de ecuații x² + y² — 5 xy = 2. Făcînd substituțiile x + y = s și xy = p obținem sistemul: (S') = s² — 2p = 5, P = ². care are soluțiile: Sj = 3 Pi = ² ’ s₂ — 3 Pz = 2. Pentru «j = 3 și Pi = 2 obținem sistemul de ecuații: x + y = 3, xy = 2, care, rezolvat, ne dă soluțiile: xₓ = 2 Z/i = l’ x₂ — 1 2/2=2. . Pentru s₂ = — 3 și p₂ = 2 obținem sistemul de ecuații: x + y = -3, xy = 2, care, rezolvat, ne dă soluțiile: x₂ = —2, . 2/3 = -1 x₄ — — 1, 2/d = — 2. Deci sistemul («S) are patru soluții. EXERCIȚII Furicția de gradul al doilea 1. Fie /(x) = a^x² 4- bₓx 4- Cj și g(x} = a₂x² 4- bzx + c₂ două funcții de gradul al doilea. Să se arate că / = g <=> «j = a₂, bᵣ = b₂ și c₄ = c₂. 2. Să se aducă la forma canonică următoarele funcții de gradul al doilea: a) f(x) = x² — x 4- 11; c) /(x) = 3x² — 2x + 1; e) f(x) = — x²---------— x 4- — • 2 3 4 b) f(x) = -2x² - 7x + 1; d) /(x) = 0,51x² — 0,lx 4- 1; 1 2 f) /(x) = — — x²----------x + 1. 3 5 3. Să se construiască graficul următoarelor funcții (folosind metoda prin puncte și efec- tuînd una sau două translații): a) /(#) = —2x² +1; b) /(x) = x® — x + 11; c) f(x) = — 3x² + 8x + 3; d) f(x) = 3x² — 2x + 1; e) f(x) = x² + x — 2; f) f(x) = —x² + 3x — 2. 4. Să se stabilească maximul sau minimul următoarelor funcții: a) 'f(x) = x² — 2x + 10; b) f(x) = —x² + 2x — 12; c) f(x) = x² — 5; d) /(x) = — 12x² + 31x — 1; e) /(x) = —x² — 2x + 1; f) f(x) = 0,5x² + 0,7x — 0,31. 5. Să se stabilească intervalele de monotonie pentru următoarele funcții de gradul al doilea: a) f(x) = x² — 2x — 1; b) f(x) = x² — 2x + 1; c) f(x) — 0,5x² — 7x; —? d) f(x) = —0,3x² x — 0,5. 6. Să se stabilească semnul următoarelor funcții: a) f(x) = x² —-2x — 3; b) f(x) = 0,3x² — x + 0,1; f(x) = 0,5x² — 7x; dj f(x) = —2x² -f- x + 1. 93 7. Să se facă tabelul de variație și apoi să se traseze graficul la următoarele funcții: a) f(x) = x² — kx + 3; = —2x² 4- 3x — 1; c) f(x) = z² — 2x — 4; d) f(x) = x² — 0,5a:; e) f(x) = x² — x + 10; f) f(x) = x² — 2x + 1. 8. Să se arate că orice funcție de gradul al doilea nu este nici injectivă și nici surjectivă. 3. Să se determine funcția “de gradul al doilea f(x) = ax² 4- bx 4- c, astfel încît graficul acestei funcții să treacă prin punctele ^4(1, —8), B( — 1, —10) și să taie axa y'y în punctul C(0, —10). \ 10. Să se determine funcția de gradul al doilea f(x) = ax² 4- bx 4- c astfel încît graficul acestei funcții să aibă vîrful în punctul F (1, 2) și să taie axa y'y în punctul 5(0, —3). \ 11. Fie familia de funcții‘de gradul al doilea fₘ(x] = x² — 2(m — l)x 4- m — 2, unde m este parametru real. Să se arate că vîrfurile parabolelor asoeiate acestor funcții se găsesc pe o parabolă. 12. Să se determine funcția de gradul al doilea /(x) = ax² 4- bx 4- c, știind că admite un minim egal cu 9 și graficul funcției trece prin punctele A( — 1, 13) și 5(2, 10). Inecualii de gradul al doilea. Sisteme de inecuatii de gradul al doilea 13. Să se rezolve inecuațiile: a) 2x2 - 3x 4- 1 > 0; b) x2 --- 3x 4- 4 3x 4- 2; c) 2x2 --- 2x < --- 1 d) --- x2 --- 3x 4- 5 < x2 - 1 2 ’ e) x2 4- x 4- 7 < 0; f) ---x2 4- 2x > x 4 , x 4- 1 2x — 1 g) ----------------->------------; h) x 4- 2 x — 2 i) | x2 - 3x 4- 2 | < + 2 |; j) x2 --- 5x 4- 4 1 x2 --- 4 | , . x2 --- 6x --- 16 k) -------- > 0; 1) -1 < x2 + 3x 4- 2 < 2 -x2 4- 8x - 12 x2 --- 4x 4“ 3 14. Pentru ce valori reale ale lui m următoarea inecuație este verificată pentru orice x e R (m — l)x² — (m 4- l)x + (m 4- 1) > 0. 15. Să se determine valorile lui m așa încît inecuația mx² 4- (m — l)x — (m — 2) > 0 să nu aibă nici o soluție. 16. Să se determine valorile lui m astfel încît ecuația (m — 3)x² — 2(3/« — 4)x 4- Im — 6 = 0 să aibă rădăcini reale. 17. Fie fracția 5 = x _ + m_+ .2 , Să se determine m astei încît fracția E x² 4- x + să aibă sens și să fie pozitivă pentru orice x e R. 94 - X > 18. Să se rezolve sistemele de inecuații: j x² — 3x > —2, 1 X² + X < 12; b) x² — 6x + 5 d) < o, — 3x² - 2x - 7 x² 16; e) — 3x² - 2x - 7 19. Fie f) — x² — x < — G, 9 2 le-¹⁷ 2x“ — 1 — x; 3 (x - 1) (x - 3) >(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3) < (x + 2) (xH-3) x²~ 3z + 2^0; | x² — 4x -|- 3 | -|- x — 2 > 0, x² < 25. 19. Fie familia de funcții de gradul al doilea fm(x) = ™x² + 2(m 4- l)x 4- w 4- 2, unde m e R\{0}_ (1) a) Să se arate că vîrfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta y = x 4- 1. b) Fie A, B punctele de intersecție ale unei parabole oarecare cu x'x și F proiecția vîrlului V al parabolei pe x'x. Să se arate că oricare ar fi m, AB — 2 FV. c) Să se arate că toate parabolele definite prin (1) trec printr-un punct fix. 20. Dacă f : A -+ B este o funcție oarecare, vom numi imaginea ei mulțimea notată Im f și definită astfel * Im / — {f(x) | x e A} = {y e B | 3x e A, y — f(x)}. Să se determine Im f pentru următoarele funcții: a) / : R -> R, f (x) = | x - 1 |, b) /: R ->R, f (x) = x² 4- 1, c) f: R ->R, f{x) = = d> ⁺ ° ■ <0 M\(l)- B./M = x² 4- x 4” 1 x² — 2x 4- 2 = f) f : R R f(ₓ) ₌ X2 ₊ ₓ ₊ ₗ_ X² - 2x 4- 1 Sisteme de ecuații. Aplicații practice 21. Să se rezolve sistemele de ecuații: (xs — xy — y = 5, (2x — 3y = 3; x² 4- ^xy — x — y = — y 7; 4- 2x - 5y = -64, - ^y = 1, — xy 4- 5y² = 7; — xy + 1 x — y f) 2x 4- 3y = 7; xz — y² — 6y = —k, 2x 4- y = 3; x² — xy 4- 1 --------------= x — y, x 4- y x 4* — 4. 95 22, Să se rezolve sistemele omogene : . ( x² - 5y² = -1, a) J * l x² + xy = 6; . | 2x² — 3xy — 19j/² = 25, C | x² - 6y² = 250; 7x² — 6xy + 12?/² = 108, e) 5 7 x²-----------------xy + — y² = 18; 6 3 (a:² - 3xy + y² = - 1, b) s l 3x² — xy + 3y² = 13; 2y² — 3z² = -19, xy = -6; | 2x² — Zxy + 2y² = 5. | x² — xy — y² — —2. 28. Să se rezolve sistemele de ecuații simetrice: I x + xy + y = 11, | ₓ _ Xy 4- y ₌ 1 ; b) xy + y + x = n, x²y + yzx = 30; x² + y² = 8, J x² 4- y³ = 1, l x + y = 1; J 5a;² — 6xy 5y² = 29, | 7x² — 8xy + 7y² = 43; Q f xy + x + y = 7, 1 xy — 3(x + y) = —9. 24. Fie O un cerc avînd diametrul AB = 2a. Pe acest diametru considerăm un punct variabil M. Construim două cercuri Oₓ și O₂ avînd segmentele [AM] și [BM] ca dia- metre. Să se determine punctul M astfel încît aria cuprinsă între cele trei cercuri să fie maximă. 25. Fie ABC un triunghi drept unghie in vîrlul .4, avînd catetele AB = a și 46’ = B. Se înscrie în acest triunghiu^n dreptunghi M^PQ avînd virfurile P și Q pe ipotenuza triunghiului, M pe (AB) și 7V pe (46). Să se determine laturile acestui dreptunghi astfel încît aria sa să fie maximă. 26. Un călător merge cu automobilul pe o șosea rectilinie AB din orașul A pînă într-un punct C, de unde pleacă mai departe pe jos peste cîmp într-un sat D. Se știe că viteza auto- mobilului este vₓ km/h, iar pe jos călătorul face v₂ km/h. Cum trebuie ales punctul C astfel ca tot drumul să se facă în timpul minim? 27. Să se găsească maximul ariei unui dreptunghi înscris într-un cerc dat. 28. Să se găsească minimul perimetrului unui trapez isoscel circumscris unui cerc dat. 29. Să se calculeze catetele unui triunghi dreptunghic cunoscînd ipotenuza a și înălțimea h. Discuție. 80. Să se calculeze laturile unui triunghi dreptunghic cunoscînd perimetrul 2p și înălțimea h. Discuție. 31. tntr-un semicerc de rază R să se înscrie un trapez isoscel de perimetru dat 2p. Discuție. 32. Să se circumscrie unui cerc de rază R un trapez iscscel de arie dată 4Jβ. Discuție. 96 33. într-un patrulater ABCD care are unghiurile din vîrfurile din A și C de 90°, se dau laturile AB = a, BC = b și aria egală cu k². Să se calculeze celelalte două laturi ale patrulaterului. Discuție. 34. Două brigăzi trebuiau să execute o lucrare. La început prima brigadă a întrebuințat pentru lucrare o treime din timpul pe care l-ar fi întrebuințat cealaltă brigadă pentru executarea întregii lucrări; după aceea, a doua brigadă a lucrat o treime din timpul pe care prima brigadă l-ar fi întrebuințat pentru întreaga lucrare. După aceasta s-a con- 13 statat că s-a executat — din întreaga lucrare. Să se afle în cît timp ar fi terminat 18 lucrul fiecare brigadă în parte, dacă împreună aceste brigăzi pot să-l execute în o ³ 3 — ore. 5 35. Un dreptunghi este înscris într-un cerc cu raza de 50 m. Să se determine laturile sale știind că diferența lor este egală cu 20 m. 7 — Matematică-algebră, cl. a IX-a CAPITOLUL V PUTERI Șl RADICALI §1 . PUTERI Pe parcursul acestui capitol vom nota cu N* mulțimea numerelor natu- rale nenule: N* = {1, 2, 3,... }. 1.1. Puteri cu exponent natural nenul Fie a un număr real și n un număr natural mai mare sau egal cu 2. Se numește puterea n a numărului a produsul a n numere, fiecare număr fiind egal cu a. Acest număr se notează cu aⁿ. Deci: a⁷¹ = a • a ... a. n ori în reprezentarea aⁿ, a se numește baza puterii, iar n exponentul puterii. Convenim să punem a¹ = a. Exemple: 1) ( —2)³ = ( — 2) • ( — 2) • (—2) = —8; ₂₎ m⁴ ₌ 2.2.i.i ₌ ± ₌ ₀ᵢ₀₆₂₅. 1 2 J 2222 16 1. Semnul puterii cu exponent natural Puterea unui număr real pozitiv cu exponent natural nenul este pozi- tivă. -Puterea unui număr real negativ cu exponent natural par este pozitivă, iar cu exponent natural impar este negativă. Intr-adevăr dacă ă >0,. atunci aⁿ fiind produsul a n numere pozitive este pozitiv. Dacă a<0, atunci din regula semnelor rezultă că a²ⁿ, care este produsul unui număr par de numere negative, este pozitiv, iar «²>ⁿ⁺¹, care este produsul unui număr impar de numere negative, este negativ. De exemplu (—2)° are semnul ( —) iar (—2)¹² are semnul (-p). 2. Puterea produsului și a citului a două numere reale Fie a, b, două numere reale și n G N*. Atunci (ab)ⁿ = aⁿbⁿ - * 0). 98 (am folosit asociativitatea, reale). ( a \ⁿ a a De asemenea: — = — . — . zJ b b într-adevăr: {ah)” = {ab) • {ab){ab) ~ {a • a ... a) ; {b • b ... b) =. dⁿbⁿ- n ori n ori n ori și cojn.uta.tivita.tea produsului a două numere a a • a ... a aⁿ "~b ~ b-b ... b ~ bⁿ ' Observație: în calcule, deseori,folosim egalitățile de mai sus sub forma; aⁿbⁿ = {ab)ⁿ . aⁿ Șl — ’ bⁿ a b ,n f H fz.1V / 3 V 3⁶ 243 De exemplu: 6⁵ • I — .= 6 • — = — = — = — • V 4 J V 4 j 1 2 J 2⁸ 32 3. înmulțirea puterilor care au aceeași bază Dacă a este un număr real și m, n G N* atunci am • aⁿ = am⁺ⁿ. într-adevăr am • aⁿ = {a - a ... a) - {a-a ... a) — a ■ a ... a — amXⁿ. m ori n ori (m+n) ori De exemplu: 1) 2³ • 2⁴ = 2⁷ = 128; 2) (-2) • (-2)⁴ = (-2)⁵ = -32. 4. Ridicarea unei puteri la altă putere Dacă a este un număr real și m, n G N*, atunci {am)ⁿ = amⁿ. m+m+ ... + m într-adevăr. (a”¹)⁷¹ = am‘am ... am = a ⁿ ⁰¹¹ = arⁿⁿ. n (Am folosit proprietatea 3.) rr i vi2 r i \8 ( De exemplu: (2³)² = 2³ • ² = 2⁰ = 64; I-= I — —| . Lt 2 1 J \ 2 J 256 5. împărțirea a două puteri cu aceeași bază. Dacă a este un număr real nenul și m, n G N*, astfel incit m > n, atunci am — = am~ⁿ-. aⁿ într-adevăr, folosind proprietatea 3, avem: • a” == a R, f{x) = xⁿ. Această funcție se numește funcția putere de gradul n. 99 1* Observații: 1) Funcția putere este o funcție numerică. 2) Pentru n = 1 se obține funcția de gradul întîi f(x) =• x, iar pentru n — 2 se obține funcția de gradul al doilea f(x) = x². Teorema 1. 1° Dacă n este un număr par, atunci funcția f(x) = xⁿ este strict descrescătoare pe intervalul ( — oo, 0] și strict crescătoare pe intervalul [0, oo). 2° Dacă n este un număr impar atunci funcția f(x) = xⁿ este strict crescătoare pe R. Demonstrație. Vom arăta mai întîi egalitatea aⁿ - bⁿ = (a - b) + dⁿ~²b 4- ... 4- abⁿ~² + b"-'). într-adevăr, (a — b) (a”-¹ 4- aⁿ~²b 4- ... + abⁿ~² 4- b^) J a” 4- a^b +:... ...4- a²b^~² 4- ab*-¹ - a^b — a^~²b² - ... - ab*-¹ - bⁿ = aⁿ - 6”. Sa demonstrăm acum afirmația 1° din teoremă. Presupunem că n este par, adică n = = 2ni. Fie Xj, x₂ e [0, oo) astfel încît xₓ < x₂. Din egalitatea: x²m - xțm = (xₓ - x₂) (x²^¹ + x^m~²x₂ 4- ... 4- x^ⁿ~² + x^¹}, . cum 0 < Xj < xg, atunci x₁ — x₂ < 0 și xj”¹⁻¹ + x^^Xjj + ... + > 0, de unde obținem xj’'¹- — x²m < 0, deci f(xj) < f(x₂). Rezultă că funcția /(x) = x²m este strict crescătoare pe intervalul [0, oo). Presupunem acum că x₁₅ x₂ e( —oo, 0] astfel încît xₜ < x₂. Cum x₁ < x₂ 0, atunci ( — xj > > (—x₂) 0 și deci (—xₓ)²m > (—x₂)²m, adică x²m > x^m. Prin urmare /(xₓ) > /(x₂), ceea ce ne arată că / este strict descrescătoare pe intervalul (— co, 0], 2° Presupunem acum că n este impar, adică n = 2m 4- 1 și fie xₓ < x₂. Dacă 0 < xₓ < x₂, Ia fel ca mai sus avem că xî"l⁺¹ < X2m⁺¹. Dacă x₁ (-x₂) > 0 și deci (-xjw > ț-x₂)²™+i, adică -xf'ⁿ⁺¹ > —xf'^¹ și deci xim⁺¹ < xa’ⁿ⁺¹- j Dacă xₓ < 0 și x₂ > 0, atunci xi'”⁺leste un număr negativ, iar X2W⁺¹^0și deci în . acest caz avem xf’"⁺¹ < x^”¹¹¹. în concluzie, din xₓ < x₂ se obține x²m⁺¹ < X2,ⁿ⁺¹₅ adică /(xₓ) < f{x₂), adică funcția /(x) = x²”^¹ este strict crescătoare pe R. Definiție. O submulțime A a Iui R se zice simetrică dacă pentru orice x G A avem și — x G A. Exemple. 1) Mulțimile R, R — {0}, [—1, 1] sînt simetrice. 2) Mulțimile [0. 00), [0, 1], [— .1, 2] nu sînt simetrice. Definiție. Fie A o mulțime simetrică și f: J. -> B o funcție numerică Funcția f se zice pară dacă pentru orice x G A avem f(— x) = = fțx). Funcția f se zice impară dacă pentru orice x E A avem f\— x) — — f(x). Teorema 2. Dacă n este un număr par, funcția putere f{x) = xⁿ este o funcție pară. Dacă n este un număr impar, funcția putere f(x) = xⁿ este impară. Demonstrație. Dacă n = 2m, atunci f(—x) = (—x)²m = x²m = fțx) și deci funcția f(x) = x²m este pară. Dacă n = 2m + 1, atunci f(—x) = _ _ ^2w+i _ _ șj dₑci fᵤₙcțiₐ = x²m⁺¹ este impară. ' 100 Interpretarea, geometrică. Fie f : A -> B o funcție numerică unde mulți- mea A este simetrică. Dacă / este o funcție pară, atunci y'y este axă de simetrie pentru graficul funcției f. într-adevăr dacă M (z₀, yo) este un punct al grafi- cului funcției /, atunci din egalitatea y₀ = f(x₀) = /( —x₀) rezultă că și punctul M'(—x₀, y₀) este un punct al graficului. Dar M' este simetricul lui M față de y'y. Dacă / este o funcție impară atunci originea axelor O este centru de simetrie al graficului funcției /. într-adevăr, dacă M{xQ, y^ este un punct al graficului, din egalitatea yQ — — xo) rezultă că și punctul M' ( — x₀, — y₀) aparține graficului. Dar M' este simetricul lui M față de originea axelor. Graficul funcției, putere f(x) = xⁿ pentru n = 3, 4 1. Funcția fțx) — x³. Trasarea graficului funcției f{x) = x³ se face prin „puncte". Mai exact, funcției f^x) = x³ i se asociază următorul tabel de valori: —oo —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 —|—oo f(x) = x³ -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 Reprezentăm intr-un sistem de axe xOy, punctele ale căror coordonate sint valorile din tabel. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă. în figura V.l este schițat graficul funcției f(x) = x³. Graficul acestei funcții se numește parabolă cubică. Parabola cubică are următoarele proprietăți: 1) trece prin originea axelor, care este un centru de simetrie (deoarece fțx) = x³ este funcție impară); 2) ramura din dreapta a graficului se găsește deasupra axei x'x, iar ramura din stingă se găsește sub axa x'x. Observație. Graficii! funcției- fțx) = 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcției f(x) = x³. 2. Funcția fțx) = x*. Graficul acestei funcții se trasează tot prin „puncte“. Pentru . această funcție se asociază următorul tabel de valori: , Fig. V.l x —oo —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 -|-oo ~fțx) = x* 256 8? 16 1 0 1 16 ~81—256 Punctele ale căror coordonate sînt valorile din tabel le reprezentăm intr-un sistem rectangular de axe xOy. Punctele obținute le unim printr-o linie continuă. în figura V.2 este schițat graficul funcției f(x} = x*. 101 Graficul acestei funcții are următoarele proprietăți: 1° Se găsește deasupra axei x'x și trece prin originea axelor. 2° Axa y’y este axă de simetrie pentru graficul funcției f(x) = x* (deoarece f(x) = x^ este o funcție pară). Observație. Graficul funcției f(x) — xtm(m 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcției f(x) = o:⁴. 1.3. Puterea cu exponent întreg Am demonstrat că pentru m > n am : aⁿ = am~ⁿ (a 0). Vom căuta să lărgim noțiunea de putere astfel încît formula am : aⁿ = = am~ⁿ (a ¥ 0) să aibă loc și pentru cazul cînd m < n. 1) Exponentul 0. Dacă a / 0, prin definiție vom pune a° = 1. Dacă m = n, atunci am : aⁿ = 1 și am~ⁿ — a° = 1. Rezultă că formula am : aⁿ= _ ₐm-n ₐᵣₑ ]ₒc și pentru cazul m = n. , Observație. Expresia 0° nu are nici un sens. 2) Exponent negativ. Dacă n E N*.și a este un număr real nenul, prin definiție vom pune a~ⁿ = —. aⁿ De exemplu, 2“³ = ^ = -^- = 0,125; 3⁻¹ = = 0,(3). Dacă m, n E N astfel încît m < n, atunci — = ——--------------= ——— — ₐn ₐm+(n-m) ₐm . ₐn-m = —V = = am"ⁿ. a"-™ Rezultă că formula am : aⁿ = am~ⁿ are loc și pentru cazul m < n. 3) Exponent întreg. în urma definirii puterilor cu exponent 0 și nega- tiv expresia aⁿ, a G R, n G Z este bine precizată exceptînd cazul a = 0. Vom arăta că proprietățile puterilor cu exponent natural se păstrează și pentru exponent întreg: 1° {ₐ • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ ; 3° am • aⁿ = am⁺ⁿ; 5° am : a¹¹ = am~ⁿ. (n \n — = — ; 4' (am)ⁿ = amⁿ. b J bⁿ ' Să verificăm 1°. Pentru exponent n > 0 am demonstrat egalitatea 1°. Dacă n = 0, atunci (a • b)° = 1 și a° • b° = 1 • 1= 1. Deci (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ, are loc și pentru n = 0. 102 Presupunem n < O, Atunci (ab)ⁿ = -—-—. (abrⁿ Cum — n >0, atunci—-— =--------------= -i-= aⁿ • bⁿ. Deci egalitatea (ab)~ⁿ a~n • b~ⁿ a~ⁿ b~ⁿ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ are loc și pentru n < 0. în același fel se verifică egalitatea 2°. Să verificăm egalitatea am • aⁿ = am⁺ⁿ (a 0). (1) Deoarece pentru m > 0 și n > 0 egalitatea (1) este adevărată, rămîne de arătat pentru următoarele trei cazuri: 1 am Cazul m >0 si n <. 0. Atunci am • aⁿ — am-------------- • a~ⁿ a~ⁿ Dar cum —n > 0, am văzut că = am⁺ⁿ și deci am • aⁿ = ă^¹^. a'ⁿ Cazul m < 0 și n < 0. Avem am • dⁿ = — . — =---------------• a~m a~ⁿ a~m • a~ⁿ Cum —m >0 și — n >0, atunci a~m • a~ⁿ = a⁻^^. Deci am • aⁿ = — ------= am⁺ⁿ. a—dn+n) Cazul cînd unul dintre m sau n este zero. Presupunem că n = 0. Atunci am • aⁿ = am • a° = am • 1 = am șî am⁺ⁿ = a m⁺⁰ = am. Deci și în acest caz avem am • aⁿ = am⁺ⁿ. Din egalitatea 3° rezultă și egalitatea am : aⁿ = am~ⁿ (a 0). Să verificam egalitatea (am)ⁿ = amⁿ (a 0). (2) Deoarece pentru m > 0 și n > 0 egalitatea (2) este adevărată, rămîne de arătat în următoarele cazuri: Cazul m < 0 și n >0. Avem (am}ⁿ = [—1 = ¹ —. Cum — m > 0,- atunci (a~m)ⁿ = a~mⁿ. Deoarece —mn < 0 atunci amⁿ = = —-— si deci (am)ⁿ = amⁿ. a~mⁿ ' Cazul m > 0si n < 0. Avem ~— = —— = amⁿ. Deci {am}ⁿ = a^. (am)~ⁿ a~mⁿ Cazul m <0 și n <0. Avem (am)ⁿ — u~mⁿ și cum mn >0, atunci = —-— . Din (am)~ⁿ 1_______1_ ₐ-nm ~ 1 primul caz obținem că amⁿ. Deci {am}ⁿ = amⁿ dmⁿ Cazul cînd unul dintre m sau n este zero. Dacă m = 0, atunci am = 1 și deci lⁿ = 1. Dar cum amⁿ = a° = 1, rezultă (am)ⁿ = amⁿ. Dacă n = 0, atunci (am)ⁿ = (am)° = 1 și amⁿ = a? = 1. Deci și in acest caz avem (a,ⁿ)ⁿ = amⁿ. 103 Exemple: 1) 3-’ • 3® = 3-⁸⁺B = 3² = 9; 1.4. Funcția putere de exponent negativ Vom studia funcția f : R — {0} -* R, f(x) = x~ⁿ, n e N*. Vom distinge două cazuri: 1) n = 2m; 2) n — 2m 4- 1. 1) f : R - {0} R, f(x) = — . ' ¹ în § 2 s-a arătat că dacă 0 < xᵣ < x₂, atunci xț™ < ₓ2m, de unde -----> —— si deci f este strict descrescătoare pe intervalul (0, oo). ₓ2m ₓ 2m ’ 12 . 1 . 1 Dacă xᵣ < x» < 0, atunci z?»n > x^ si deci --------<------- , ¹ ² ¹ xjm x2m ceea ce ne arată că f este strict crescătoare pe intervalul ( —oo, 0). Cum xZm = (— ■—-— și deci f este 1 2 \ X2m+1 ₓ2m+i y ' strict descrescătoare pe intervalul (0, oo). Dacă xₓ < x₂ < 0, atunci z^¹ < ₓ2m₊i < o și deci —¹— > —-— , ceea ce arată $27714-1 £ 2771 "bl că f este strict descrescătoare și pe intervalul (—oo, 0). Cum z²^¹ = — (—z)²^¹, atunci /(z) = —/(—z) și deci f este o funcție impară. Observație. Deși funcția f este strict descrescătoare pe intervalele (— oo, 0) și (0, oo) ea nu este strict descrescătoare pe mulțimea R — {0}. într-adevăr dacă xₜ = — 1, x₂ = 1 atunci z. < z₂. Dar /(z,) = /( — !) =--------------= /(^i) < f(x₂). Graficul funcției putere f(x) = xⁿ, pentru n = —1 Funcția f : R — {0} -> R, f(ₓ} = z⁻¹. Trasarea graficului se face prin „puncte". Pentru valori: — 1 și /(z₂) = /(!) = ! și deci și n = —2. aceasta asociem următorul tabel de -oo -100 -10 —2 -1-----------------— J------L 1 1 2 10 100 4-oo 2 10 100 100 10 2 f[x} = z“’ ■--------L _ .1 - 1 - 2 - 10 - 100 100 10 2 11AJ- 100 10 2 2 10 100 104. în acest tabel se vfcde că pentru valori din ce în ce mai mari ale lui | x |, f(x) se „apropie" de zero, iar pentru valori din ce în ce mai mici ale lui | x |, f{x) ia valori din ce în ce mai marL(în valoare absolută). Graficul funcției f(x) = x⁻¹ este schițat în figura V.3. Acest grafic se numește hiperbolă. El este constituit din două ramuri simetrice față de originea axelor (deoarece funcția /(x) = x”¹ este o funcție impară), Funcția f : R — {0} -> R, f(x) = x~². Pentru trasarea graficului, acestei funcții îi asociem următorul tabel’de valori: — oo - 100 — 10 — 2 - 1 —------L_L±1121O 100 +oo 2 10 100 100 10 2 f(x) = x⁻² —¹— — — 1 4 100 ;o 000 10 000 100 4 1 -¹— 10 000 100 4 4 100 10 000 Din acest tabel se vede că pentru valori ale lui x din ce în ce mai apropiate de 0 (pozitive sau negative) funcția f ia valori din ce în ce mai mari. Pentru valori ale lui | x | din ce în ce mai mari, funcția f ia valori din ce în ce mai mici. Graficul funcției f(x) = x⁻² este schițat în figura V.4. Acest grafic este constituit din două ramuri simetrice față de axa y'y (deoarece funcția f{x) — x⁻² este pară) situate deasupra axei x'x. EXERCIȚII 2. în raport cu valorile lui „m“ să se determine semnul expresiilor: a) (1 - zn)¹³; b) (2 - 3zn)¹²⁵; c) (4 - 2m)¹»². 3. Să se calculeze: a) (xs?/³)²: (x³y)², (x, y 0); b) [a³ Ț- b³ + 3ab(a + &)]⁴ : (a² i² + + 2abY, (a + b 0); c) (10ⁿ - 4ⁿ) : (5ⁿ - 2ⁿ). 4. Să se arate că: a²ⁿ+¹ + b²ⁿ+x = {a + b) {a²ⁿ — a^^b + a²ⁿ~²b² + ... — ab²¹¹-¹ +b²ⁿ). A32 5. Să se arate că: (a + b) (a² + b²)^ + b^a⁸ -ț- b⁸)^¹⁶ + fe¹B) = -__________— (a b). a — b 6. Să se descompună în produs de doi factori- a)x²"¹ + xm+ⁿ + xm~ⁿ + l(m > n); b) xm (x^) - x^x™-*}. 105 7. Care dintre următoarele numere este mai mare: a) 4²sau 2°; b) 27³ sau 9⁸; c) 125²sau 25³; d) 4³⁰⁰ sau 3⁴⁰⁰; e)—- sau (--------—Y; 8 ( 32 J (1 *1100 r 1 *1500 ( \ \03 —j sau lyl ; g) 5⁻⁶³ sau 6⁻⁸³; h)l—I sau 5⁻⁸³? 8. Să se reprezinte grafic funcțiile: a) : R -► R, f^x) = 2z³; b) f₂ : R 4 R, f₂(x) = x³ - 1; c) A : R R, M - l)³; d) A : R -> R, f^x) = {x + 2)⁴; e) /₆:R-.R,/₅^) = 1^1; 0/₈ :R^R,/₀(x) = | (x - l)³ |. 9. Să se arate că funcția putere f: R-*R, f(x) = x²m nu este nici injectivă, nici siir- jectivă. 10. Să se arate că funcția putere / : R -> R, f(x) = a;²^¹ este injectivă. 11. Să se scrie, folosind exponentul negativ a) — a³^ __________1 (a + b)³(a² - b²)² 9 (a^ c \ a \ \ b aWc² b) 0,0002; 0,000003; 0,0015. 12. Să se efectueze: a) (a~² 4- l)(a⁴ — ar² + 1) (a 0); b) (a~² + l)² — (a~² — l)², (a 0), c) a(a + b)-* + b(a + b)~\ (a + b 0). 13. Să se reprezinte grafic funcțiile: a) A :R- {OJ^R,^) = ar³ + 1; b) /₂ : R - {0} -> R, f₂(x) = x~² - 1; c)f₃:R- {-l)-R,/₃(x) = ; d)/₄ : R — {1}-> R,= -J-- x + 1 (x —l)² §2. RADICALI Fie n > 2 un număr natural, iar a un număr real. Să considerăm ecuația xⁿ — a = 0. (1) în continuare ne punem problema existenței și a numărului rădăcinilor (soluțiilor) reale ale acestei ecuații. Amintim că o rădăcină reală a ecuației (1) este un număr real a, astfel încît — a = 0. 2.1. Radicalul unui număr pozitiv 1. Fie ca mai sus n > 2 un număr natural, a >0 un număr real pozitiv și ecuația xⁿ — a = 0. Atunci avem Teoremă. Ecuația xⁿ — a = 0 (n E N, n 2; a G a > 0) (2) are o rădăcină reală pozitivă și numai una. 10B Demonstrația riguroasă a faptului că există o rădăcină pozitivă a ecua- ției (2) depășește programa clasei a IX-a. Ea necesită noțiunea de conti- nuitate și se va face la Analiză matematică în clasa a Xl-a. Vom indica totuși mai jos pe un exemplu (exemplul 2) cum poate fi găsită o valoare aproxi- mativă a rădăcinii pozitive a unei astfel de ecuații. Să demonstrăm acum unicitatea. într-adevăr, să presupunem prin absurd, că ecuația (2) ar avea mai multe rădăcini pozitive diferite. Fie atunci și. x₂, x₁ x₂ două astfel de rădăcini, adică ⁼ ^2 ⁼ a- Cum xᵣ / x₂, atunci unul dintre aceste numere este mai mic decît celălalt. Fie, de exemplu, x± < x₂. Dar funcția putere fiind strict crescătoare pe [0, oo) (după cum am arătat în § 2) rezultă că x" < x₂, ceea ce contrazice relația (3). Această contradicție arată că există 6 singură rădăcină jiozitivă a ecuației (2). Cu alte cuvinte, teorema precedentă spune că pentru, orice număr real pozitiv a > 0 și orice număr natural n 2, există un unic număr real pozitiv cu proprietatea că puterea a n-a a sa să fie a. Atunci putem da următoarea definiție: Definiție. Dacă a > 0, n £ N, n 2, se numește radical de ordin n din a, numărul pozitiv a cărui putere a n-a este a. Conform teoremei precedente există un astfel de număr și este unic. Notație'. Vom nota radicalul de ordin n din a prin ]Xă. Pentru a,, de obicei, se omite 2 și se scrie, simplu, ]/a. Așadar, a este un număr care verifică relațiile: a >0, (|Z a')ⁿ = a (a > 0). Exemple-. 1) |/9* = 3; ^125 = 5; ^Î6 = 2; ⁶/32 = 2; ^81 = 3. 2) Să arătăm, acum, cum poate fi găsită o valoare aproximativă a numărului ^2 . Deoarece 1 = l³ < 2 < 2³ = 8, rezultă că 1 < 2 < 2 și deci 1, respectiv 2 sînt valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui ^2, cu o eroare mai mică decît 1. Ga să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decît 0,1 ale lui 2, procedăm în modul următor. Scriem șirul de numere 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0. Căutăm în acest șir două numere consecutive, astfel încît cubul primului dintre ele să fie mai mic decît 2, iar cubul celui de-al doilea să fie mai mare decît 2. Pentru aceasta să ridicăm la cub numărul din mijloc. Obținem 1,5³ = 3,375, care este mai mare decît 2. Deoarece toate numerele de la dreapta lui 1,5 prin ridicare la cub dau numere mai mari decît 2, perechea de numere cău- tată va fi printre numerele 1,1; 1,2; 1,3; 1,4. Ridicăm la cub pe 1,2 și obținem 1,728 care este mai mic decît 2, și deci cubul lui 1,1 va îi și mai inie. Calculăm atunci cubul lui 1,3 și obținem (1,3)³ = 2,197 care este mai < 107 mare decît 2. Deci 1,2 < ^2 < 1,3, Așadar 1,2 respectiv 1,3, vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos ale lui cu o eroare mai mică decît 0,1, Dacă vrem să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decît 0,01 ale lui ^2, procedăm ca mai înainte pentru șirul de numere următor: 1,21; 1,22; 1,23; 1,24; ...; 1,29, Deoarece (1,25)³ = 1,953125 este mai mic decît 2, o să luăm în considerare numai numerele: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Cum (1,26)³ = 2,00376 este mai mare decît 2, avem 1,25 < ^2 < 1,26. Așadar 1,25 respectiv 1,26 vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui ^2, cu o eroare mai mică decît 0,01. Continuînd procedeul putem găsi valori aproximative ale lui ^2, cu o eroare oricît de mică dorim. In general, ecuația xⁿ — a — 0 (a > 0) poate să aibă și alte rădăcini (care evident trebuie să fie negative). De exemplu, ecuația x² — 4 = 0 are rădăcinile xL = — 2 < 0 și. x₂ = 2 > 0. în acest sens avem în general: 1° Dacă n — + 1, atunci ecuația a;²,l⁺¹ — a — 0 (a >0) nu are ră- dăcini negative. Această afirmație rezultă ușor observind că oricare ar fi a < 0 avem ₐ2k+i < 0 și deci a²/l⁺¹ a {a >0). 2° Dacă n = 1k atunci ecuația x²h — a = 0 (a > 0) are o’; singură rădăcină negativă și anume — ²\/~â. într-adevăr, avem (— a)²k = = « și deci — ’\/ a este o rădăcină a ecuației x²h — a = 0. Un raționament analog celui folosit la de- monstrarea unicității în teorema precedentă, ne arată că — este unica rădăcină negativă. Prin definiție, avem 1XO = 0 (n 2, număr natural). Evident, J/^0 = 0 este unica rădăcină a ecuației xⁿ = 0. Observație. Avînd în vedere definiția radicalului, mai precis că radicalul unui număr pozitiv (sau nul) este pozitiv (sau nul) este folositor de remarcat următoarea formulă impor- tantă: x, dacă x > 0; 0, dacă x — 0; — x, dacă x < 0. Cu alte cuvinte, |/;r² — | x |. Exemple: 1) |/(2 — a)² = | 2 — a | = 2 — a, dacă a < 2; 0, dacă a — 2; a — 2, dacă a > 2. 2) |/(x² + l)² = | x² + 1 | = x² -p 1, deoarece pentru orice x, avem x² -f- 1 > 0. 108 2. Funcția radical. Fie o 2 un număr natural. în paragraful precedent definind noțiunea de radical de ordin n, fiecărui număr pozitiv (sau nul) a i s-a asociat un număr bine determinat, pozitiv (sau nul) a. Astfel am obținut o funcție f;[0, oo)[0, oo), = Această funcție se numește funcție radical. lata oiteva proprietăți ale funcției radical: 1° Funcția radical este strici crescătoare. Intr-adevăr fie x^ x₂ G [0, oo), astfel încît xₜ < x₂. Deoarece xₜ = = ([X xf)ⁿ și x₂ = ({% ^₂)ⁿ» avem (1% x^ⁿ < (|% Dar funcția putere fiind strict crescătoare pe [0, 00) (după cum am văzut în § 1.2) rezultă că < 1%adică f^) < f(x₂). 2° Funcția radical este bijectivă. Deoarece funcția radical este strict crescătoare (proprietatea 1°) rezultă că ea este injectivă. Intr-adevăr, fie x\, x₂ G [0, 00), astfel încît xₜ x₂. Atunci avem x± < x₂ sau xₜ > x₂. Dacă presupunem, de exemplu, că xₓ < x₂, rezultă fțx^ < f(x₂) și deci f^x^ /(^J- Analog, dacă xᵣ > x₂. Deci f este injectivă. Fie, acum, ?/G[0,oo) atunci/’(?/") = ^yⁿ=y- Deci f este surjectivă. Observa[ii. 1) Deoarece funcția radical { : [0, 00) —> [0, 00), f(x) = ]/F~x este Injectivă (propriețatea 2°), rezultă (vezi teorema, § 3.7, din cap. II) că ea este inver- sabilă. Din relațiile: pGi' = x și = y (x 0, 7/^0) rezultă că inversa sa nu este alta decît funcția g : [0, co) —> [0, co); g(x) = xⁿ (a nu se confunda funcția g cu funcția putere, ele neavînd același domeniu de definiție). Intr-adevăr, (g o f)(x) = g(f (x)) = g (j/ = (P^ ^)ⁿ = x, x & [0, 00). (/° g) (y) = f(g(y)) = f(y”) = ^yⁿ = y, y e [0, 00). 2) Din pct. 1) rezultă că g este inversabilă și conform teoremei din § 3.7, cap. II, este deci bijectivă. 3. Graficul funcției radical f(x) = $''x pentru n — 2, 3. 1) Funcția f: [0, 00) -> [0, 00), f(x) = = ]/x. Din proprietățile 1° și 2° de mai. sus rezultă, în particular, că funcția f este strict crescătoare și bijectivă. Graficul aces- tei funcții (construit prin ,,puncte“) este reprezentat în figura V.5. 109 2) Funcția f : [O, oo) -> [0, oo), fțx) = = x. De asemenea, această funcție este strict crescătoare și bijectivă. Graficul său (construit prin ,,puncte“) este reprezentat în fig. V.6. Se observă din aceste figuri că graficele celor două funcții radical considerate sînt asemănătoare. în cele două figuri am reprezentat prin linie întreruptă graficul funcției inverse. Cele două grafice (al funcției f și al inversei sale g) sînt simetrice față de prima bisec- toare (vezi § 3.7, cap. II). 2.2. Radicalul (de ordin impar) al unui număr negativ Fie n > 2 un număr natural, a < 0 un număr real negativ și ecuația xⁿ — — a = 0. Atunci avem: / Teoremă. Fiind dată ecuația: xⁿ — a = 0 țn £ N, n 2; a £ R, a < 0) (1) avem: 1° Dacă n = 27c țk 1), ecuația (1) nu are rădăcini reale. 2° Dacă n = 2k 4- 1 țk > 1), ecuația (1) are o rădăcină reală negativă și numai una. Demonstrație. Afirmația 1° rezultă ușor observînd că, oricare ar fi a£R avem a.²h = ța²)h > 0 și deci x²k^a. ța < 0), adică a²* — «^0. Să demonstrăm acum 2°. Fie pentru aceasta y = — x. Cum ?/²fe⁺¹ = ț—x)²^¹ = = _ ₑcᵤₐțiₐ devine —^2h+i — ₐ _ o, sau încă î/²ft⁺¹ — ț—a) = 0. Cum a < 0 rezultă —a > 0 și după teorema din § 2.1, rezultă că ecuația în y are o rădăcină reală pozitivă unică. Aceasta este tocmai —a ț—a > 0). Dar, atunci este clar că ecuația în x are o rădăcină negativă unică și anume x = — [Z—a ț—a > 0). Avînd în vedere afirmația 2° a teoremei precedente putem da următoarea definiție: Definiție. Dacă a <0, n £ N și n > 3 este un număr impar, se numește radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui puterea n-a este a. Un astfel de număr există și este unic. îl notăm prin a. Așadar a ța < 0, n & 3, impar) este un număr care verifică relațiile: a < 0, = a. 110 Din considerațiile anterioare rezultă: Dacă a <0, n — 1k + 1, atunci a = — a> , Exemple-. 1) Ecuațiile x* + 81 = 0 și x¹⁽!⁰ + 125 = 0 nu au rădăcini reale. 2) Ecuațiile x⁵ + 32 = 0 și z³ + 125 = 0 au cîte o singură rădăcină reală negativă și anume: p/ —32 = —2, respectiv ^—125 = —5. Observație. Pentru un număr natural impar, n — 2k + 1, am definit radicalul de ordin n din orice număr real a fără a pune condiția ca a > 0. Astfel se obține o funcție f : R -+ R, f(x) = Această funcție este inversabilă, inversa sa fiind funcția putere g : R -> R, g(x) = xⁿ. 2.3. Proprietățile radicalilor în cele ce urinează vom vedea că radicalii au o serie de proprietăți ase- mănătoare puterilor. Amintim, la început, că dacă x și y sînt numere reale, iar n un număr natural nenul, atunci xⁿyⁿ = (xy}ⁿ. De asemenea, dacă x, y^O sînt numere reale, iar n este un număr natural nenul, atunci din xⁿ = yⁿ rezultă x — y (vezi, de exemplu, observația din § 2.1 pct. 2). în cele ce urmează m, n, k vor fi numere naturale nenule, iar atunci cînd ele indică ordinul unui radical, vor fi mai mari sau egale decît 2. 1. Oricare ar fi numerele reale a, b 0, atunci ab = a ^/l). (1) într-adevăr, fie x = \/~ăb și y = a ^/b. Atunci x > 0, y 0 și xⁿ = = ([Ză^)ⁿ = ab, yⁿ = (1%a b)ⁿ = a)ⁿ (|% b)ⁿ = ab. Deci xⁿ = yⁿ, de unde x = y, ceea ce trebuia demonstrat. Cerința a > 0 și 6 > 0 este esențială numai pentru n par. Dacă n este impar, formula (1) este valabilă pentru orice numere reale a și b (inclusiv negative). Exemple-. |/25 • 49 = |/25 /49 = 5 • 7 = 35; ^-125 -8 = ^-125 = -5 • 2 = -10. Remarcăm că formula (1) rămîne adevărată pentru orice număr finit de numere a₂, ..., aₕ 0 (k 2), adică aₕ = aₕ. (2) 2. Oricare ar fi numerele reale a > 0, b > 0, atunci — n/— - = . (3) b V~b 111 n r— ⁿ/— într-adevăr, fie x = î — > y = —- . Atunci V b r* x > O, y > O și x” = — . Deci xⁿ = yⁿ, de unde x = y^ b ceea ce trebuia demonstrat. Cerința a > 0 și b > O este esențială numai pentru n număr par. Dacă n este impar formula (3) este valabilă pentru orice număr real a și orice număr real b 0. 3. Oricare ar fi numărul real a 0, atunci într-adevăr, = iZă" • |7a” • ... • iZâ" = a -a ■ ... • a = am. m ori m ori Exemple: ^4« = = 4² = 16; = 2³ = 8. 4. Oricare ar fi numărul real a > 0, atunci (^)m= (5) într-adevăr m ori m ori Dacă n este impar, formula (4) este valabilă și pentru a < 0. Exemple: (^l)³ = = ^27 5 (B^Tg)³ = /I*² = 2² = 4; (^<=2)⁵ = ^(-2)⁵ = ^32. 5. Oricare ar fi numărul real a > 0, atunci: într-adevăr, fie x =amh și y = am. Atunci x 0, y 0 și xⁿ = = = ⁿyₐWm = am și yⁿ = = am. Deci xⁿ = yⁿ, de unde x — y^ ceea ce trebuia demonstrat. Exemple: |/ 5 = / 5³; y a¹⁰ = y a². 6. Oricare ar fi numărul real a > 0, atunci I y CL = y d • 112 Intr-adevăr, fie x = V Va ¥ V ⁼ a' Atunci x > O și y 0. După proprietățile. 4 și 5 avem yⁿ = a" — Cum x” după definiția radicalului de ordin n rezultă că y = ]/ a. Deci y — x, ceea ce trebuia demonstrat. Exemple'. 2; Z ⁷ — ?• 2.4. Operații cu radicali 1. Scoaterea unui factor de sub semnul radical și introducerea unui factor sub semnul radical. Uneori numărul de sub semnul radical se descompune în factori, pentru care radicalul este ușor de calculat. în aceste cazuri,expresia radicalului devine mai simplă (se simplifică)?dacă scoatem acești factori de sub semnul radical, în efectuarea unei astfel de operații, ne bazăm pe proprietățile 1 și 3 ale radicalilor. De exemplu,: |/12 = |/4 • 3 = |/ 4 |/ 3 = 2 [/Că; i/Î250 = /625 • 2 = ^5⁴ • 2 = j/5* Z 2 = 5 / 2; = | a³ | 2. Uneori este folositor să introducem factori sub semnul radical. Pentru efectuarea unei astfel de operații ne bazăm pe aceleași proprietăți mențio- nate mai sus. De exemplu: ^16/2 = ]/|/î^-2 = iZ/^ = = Z^ = 2. înmulțirea radicalilor. Proprietatea 1 a radicalilor ne dă legea de înmulțire a radicalilor de același ordin: IZaᵣ • |Z«₂ • ... • aₕ = I/tii • «₂ ' ••• • ah- (1) Ca să înmulțim radicali de ordine diferite, este necesar să-i aducem la același ordin și, apoi, să-i înmulțim după formula (1). Fie, de exemplu, f/~a și ^1). Folosind proprietatea 5 a radicalilor avem: ^b = ⁿm/V‘. Atunci 17^ • ^ = ⁿⁿ^-• ⁿm^ = ⁿⁿ^ ■ bⁿ. ' . De exemplu: Z^ ^9 = Z^ Z^⁷ = = Z^T⁴ ~ Z>F = 3^3. Observăm că se poate lua ca ordin comun al radicalilor |%~» și "/Z tocmai cel mai mic multiplu comun al numerelor n și m. 113 8 — Matematicâ-aigebrâ. CI. ă iX-a De exemplu, putem lua ca ordin comun pentru radicalii j/~2 și J/32 pe 12, care este ce) mai⁻mic multiplu comun, al numerelor 4 și 6. Atunci avem: l/I ■ =‘V? • Vw = = 2,²/T. 3. împărțirea radicalilor. Proprietatea 2 a radicalilor ne dă legea de împărțire a radicalilor de același ordin: Ca să impărțim radicali de ordine diferite, îi aducem mai întîi la același ordin și apoi îi împărțim după formula (2). ^4 _ _ ₆/~ De exemplu; ~ ,__— A/— — / 2. / 2 j/ 2³ V 2³ 4. Raționalizarea numitorilor. înțelegem prin raționalizarea numitorilor, operația de eliminare (prin transformări) a radicalilor de la numitorul unei fracții. Vom clarifica aceasta prin cîteva cazuri speciale, pe care le vom pre- zenta mai jos. Să precizăm mai întîi noțiunea de expresie conjugată. Astfel, o expresie care conține radicali se .numește conjugata unei alte expresii care conține radicali, dacă produsul acestor expresii se poate scrie fără radicali. Atunci cele două expresii se numesc conjugate. în cazurile următoare, raționalizarea numitorului se realizează prin amplificarea fracției cu conjugata numitorului. De aceea vom pune în evi- dență^ pentru fiecare caz în parte, conjugatele numitorului. 1° Numitorul este un radical. în acest caz radicalul de la numitor se elimină printr-o amplificare. ' De exemplu: 1 ₌ 2E2 = ; ⁵ ₌ ₌ 5^ |/ 3 ([/T3)² 3 ’ ^12 ^2³ • 3³ 6 2° Numitorul este de forma'. ]/a i (a, 6 >0). Observăm că (|/a+|/&)(|/a — b) = a — b. Expresiile [/a + V b și |/a — ]/ b sînt conjugate. Pentru a raționaliza numitorul amplificăm fracția cu conjugata numitorului. Dn exemplu : 1/3 - |/2 ₌ ([/ 3 — |/2)²__________ 3 - 2 |/ 6 + 2 + / 2 (/"3 + |/2) ([/“3 - |/2) 3-2 3° Numitorul este de forma [/a i ± ]/~c (a, 6, c > 0). în acest caz, radicalii de la numitor se elimină succesiv, reducînd problema la cazul precedent. 114 De exemplu; 4 _ 4[(1 + |/3) + |/2]₌ 4 (1 + |/3 + ț/~2) l [(1 4- /l) ~/2][(l + /l) + /2] (I +/’3)²- (l/2)² — ⁴ O + /^ + 1/2) _ 4 (1 4- ț/~3 + /1) _ 2 (.1 + |/~3 + 1/1) _ (4 + 2 |/1) -2 2 + 2 |/ 3 1+1/3 — ² + /I + l/2) (1 - |/3) _ 2(1 - |/3 + 1/1 - 3 + j/2 - / 6) _ (1 + /l) (1 - |/3) 1-3 = 2 - |/2 + /l. 4° Numitorul este de forma f/ a ± Xb sau X^ ± ^ăb 4- X^- Avem: . (fra + ^bH^âî-^ăb + ^) = a-\-b și - ^b)(^ + + ^b²) = a-b acestea fiind perechi de expresii conjugate. ___XT______ ^3(^+ ^5 • 3 + XF______ hxernplu. XD _p XFT + ^F) Cazul 4° se poate da mai general, astfel: 5° Numitorul este de forma Xa ~ 1% 6 sau X4" Xaⁿ~²b 4- ... 4- X^- Avem. (X# — Xb)(^aⁿ~l 4- aⁿ~²b 4- + X^ⁿ⁻¹) — a — b acestea fiind deci expresii conjugate. 6° Numitorul este de forma Xa 4- X b sau ^aⁿ~x — Xaⁿ~^b 4~ ••• ... — X«6ⁿ-²4-X^ⁿ-¹, unde n = 4- 1, este impar. Avem: (Xa + X^) (Xfl”⁻¹ ~ Xaⁿ~²b 4- ... — Xabⁿ~² 4- Xbⁿ~ⁱ) = a 4- b^n — 2k 4-1) acestea fiind deci conjugate. • , 2.5. Ecuații iraționale 1. Se numesc ecuații iraționale, ecuațiile care conțin necunoscuta sub semnul radical. Așa, de exemplu, ecuațiile X^ — 2 = 54- X^î X^ ~ X4 — x = X^ 4 ș.a. s* 119 Amintim că radicalii de ordin par sînt definiți numai pentru numere nenega’ tive, aceștia fiind de asemenea numere nenegative. Să considerăm, de exem.’ piu, ecuațiile iraționale: 1° ]/ x — 3 + |/2 — 2 = 3. Cum radicalii de ordinul doi sînt definiți numai pentru numere nenegative, rezultă că soluțiile ecuației trebuie să verifice sistemul de inecuații: 2-3^0; 2 — x > 0. , (1) De aici rezultă: 2 > 3 și 2 < 2 și deci sistemul (1) evident nu are solu- ții. Așadar, ecuația dată ,nu are soluții reale. 2° /2 + ]/3 - 2 = —5. Cum I/2 și |/3 — 2 sînt nenegative, avem 1/x + |/ 3 — 2 > 0 pentru 2 real. Insă —5 <0 și deci ecuația nu are soluții reale. Observație. Cele două exemple precedente ne arată că este necesar ca înainte de a trece la găsirea, prin diferite metode, a soluțiilor unei ecuații iraționale, să ne asigurăm dacă astfel de soluții pot să existe. 2. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale. Calea obișnuită de rezolvare a ecuațiilor iraționale constă în eliminarea radicalilor, prin diferite transfor- mări, reducîndu-le astfel la ecuații deja studiate (de exemplu, de gradul întîi sau al doilea). Mai jos prezentăm cîteva exemple de ecuații iraționale a căror rezolvare se poate efectua prin ridicarea la putere sau înmulțire cu expresii conjugate. Exemplul 1. Să se rezolve ecuația: x = |/2 — x. (2) Pentru ca radicalul să existe trebuie ca 2 — x 0, de unde x 2. Deci soluțiile ecuației trebuie să verifice această inegalitate. Ridicăm acum ambii membri ai ecuației la pătrat și obținem: x² = 2 — x sau x² + x — 2 = 0, de unde xₜ = — 2 și x₂ = 1. Cu toate că xₓ < 2 și xₐ < 2, nu putem trage încă concluzia că acestea sînt rădăcini ale ecuației (2). Aceasta pentru că la același rezultat am fi ajuns'(prin ridicare la pătrat, membru cu membru) chiar dacă am fi considerat ecuația irațională x = — |/2 — x, care evident este diferită de ecuația dată (2). Deci printre rădăcinile ecuației obținute prin ridicare la pătrat (membru cu membru) a ecuației (2) se găsesc și rădăcinile ecuației x = — |/2 — x, care pot să nu fie rădăcini ale ecuației (2). De aceea, trebuie să verificăm dacă, într-ade- văr, xₜ = —2 și x₂ = 1 sînt rădăcini ale ecuației iraționale date. Pentru x = —2, mem- brul stîng al ecuației (2) are valoarea —2, iar cel drept |/ 4 = 2. Cum —2 2, rezultă că —2 nu este rădăcină a ecuației (2). Pentru x = 1, ambii membri ai ecuației (2) iau valoarea 1. Deci 1 este rădăcină a ecuației iraționale date. Exemplul 2. Să se rezolve ecuația: |/x - 5 + |/10 - x = 3. (3) Din condițiile de existență a radicalilor rezultă că soluțiile ecuației verifică inegali- tatea 5 x < 10. Prin ridicare la pătrat se obține: x — 5 + 2 |/(x — 5) (10 — x) -f- 10 — x = 9, sau 2 |/(x — 5) (10 — x) = 4, sau j/(x — 5) (10 — x) = 2 116 Printr-o nouă ridicare la pătrat se obține: (a: - 5) (10 - z) = 4 sau -a:² + 15a: - 50 = 4 sau a:² - 15a: + 54 = 0. Această ecuație are rădăcinile: xz = 6, x₂ — 9, deci cuprinse între 5 și 10. Veri- ficarea arată că atît 6 cît și 9 sînt rădăcini ale ecuației date. Exemplul 3. Să se rezolve ecuația: |/a: + 7 + A - 1 = 4. (4) Din condițiile de existență a radicalilor rezultă x~^ 1. Să rezolvăm această ecuație prin înmulțirea ambilor membri cu expresia conjugată a membrului stîng, adică cu|/aT+ 7 — [/□: — 1. Astfel obținem: (A + 7 + /x^l) (A~+"7 - |/a: - 1) = 4 (|/F+~7 - |/7^1), de unde {x + 7) - (x - 1) = k (|/ₓ + 7 - A - 1)- De aici, avem |/x + 7 — \fx — 1 = 2. (5) Adunînd membru cu membru ecuațiile (4) și (5) se obține 2 [/a: + 7 = 6, de unde x + 7 = 9, adică x = 2. Prin verificare, se obține că 2 este o rădăcină a ecuației date. Observație. Prin metodele de rezolvare a ecuațiilor iraționale, indicate în exemplele de mai sus, nu se pot pierde rădăcini ale ecuației iraționale date. Dimpotrivă, ecuația (fără radicali) la care se ajunge prin transformări ale ecuației iraționale date, poate avea și alte rădăcini. De aceea remarcăm din nou necesitatea de a verifica dacă rădăcinile ecuației obținute (prin transformări) sînt rădăcini ale ecdației iraționale date. (în forma inițială) această etapă făcînd parte din însăși rezolvarea ecuațiilor iraționale. 2.6. Puteri cu exponent rațional z în acest paragraf vom prezenta o extindere a noțiunii de putere, care cuprinde în particular, atît noțiunea de putere cu exponent întreg, cît și cea de radical. 1. Puteri cu exponent rațional pozitiv Definiție. Fie « > 0 un număr real nenegativ și — un număr rațional n pozitiv, atunci definim m - = fi) | citim a la puterea — |. Observăm că în această definiție intervin numerele naturale m și n care definesc numărul rațional dat. Cum numărul rațional — > 0 este egal, de exemplu, cu numărul rațio- n nai , pentru k număr natural nenul, se pune în mod firesc problema de a kn arăta că această definiție este corectă, adică nu depinde de alegerea repre- zentanților. 117 m ni' Cu alte cuvinte, trebuie arătat că dacă — = , atunci a¹¹ — aⁿ . n n' într-adevăr, avem — = — dacă și numai dacă mn' = m'n. n n' Atunci folosind proprietatea 5 a radicalilor, avem m' ™ a ⁿ' = = ₐ ⁿ ’ Obținem astfel noțiunea de putere cu exponent rațional pozitiv. De exemplu: A 1 9⁴ = 9⁴ • 9 = 9 ^9 = 9 /T; 8³ = = 4. Din noțiunea de putere cu exponent rațional pozitiv, particularizată la numerele naturale n, respectiv la numerele raționale pozitive — , se obține n noțiunea de putere cu exponent natural, respectiv noțiunea de radical, pentru numerele pozitive. Observație. Cerința a.;j>0,din definiție, este esențială deoarece, în caz contrar, formula (1) ar putea să nu aibă sens. De exemplu, ( — 2)¹ după formula (1) ar trebui să fie radical de ordinul 4 din —2, care nu are sens. Proprietăți ale puterilor cu exponent rațional pozitiv în'cele ce urmează presupunem că — și — sînt numere raționale pozi- n q tive. Atunci: m p m p 1° aⁿ -aq ^(a > 0); m mm 2° (a-b)” = a” • b* (a, b > 0); m m 3° Pf țₐ > o, b >0); . ț b J OL bⁿ ( ?ⁿ 1p w p 4° (aⁿlq = aⁿ 'q(a 0); m — m p 5° Dacă — > — , atunci —— = aⁿ q (a > 0). n q p_ Aceste proprietăți se demonstrează ușor folosind proprietățile radica- lilor. Să demonstrăm prima proprietate. Avem m P mg + np m p aⁿ ‘ aq = ^~aP ⁿg/aPP = ⁿya^⁺f}i> = ₐ ⁿq ~ ' 118 Lăsăm ca exercițiu, verificarea celorlalte proprietăți. Observație. Proprietatea J9 este adevărată și pentru un număr finit do faci cri, adică: 7771 77, a 1 ⁴ Exemple: 5' • 5 =5 nₜ a 5 5 wh a H vrii m₂ n. n. mh ⁿk = 5¹ = _6 7 a ■ a 5; ⁺ 4 71 = a⁴² (a > 0). Pentru a / 0, am convenit să punem a° = 1. Expresiei 0° nici un sens. 2. Puteri cu exponent rațional negativ. Așa cum am definit nu i se dă puterea cu exponent întreg negativ (vezi § 1.3), definim și puterea cu exponent rațional negativ. Fie a > 0, un număr real pozitiv și — un număr rațional pozitiv. Atunci n prin definiție, 1 m n a De exemplu: 2 8⁻r = -L 2 8³ 5_ j/27⁵ 27⁶ Acum știm ce înseamnă puterea cu exponent rațional oarecare a oricărui număr real pozitiv. Puterile cu exponent rațional oarecare au următoarele proprietăți 1) a" de bază: m ₊ p = a™ q'(a m 2) (ab)^ m r „ \ n 3) m m = a* • b" (a, b > m = b >0); bⁿ m p 4) 5) PI p n « p a* A *1 6 7 = a a ; 27 ⁶ = a m 1 1 t _ _1_ ~ 9 / 3 P • a ³ «n p „ ⁿ a m a 119 Am demonstrat în paragraful precedent aceste proprietăți pentru cazul exponenților raționali pozitivi. Ele se pot demonstra și pentru exponenți raționali oarecare. Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Fie pentru aceasta — n și y numere raționale. Cazul în care ambele numere sînt pozitive a fost dat în paragraful precedent. Rămîn atunci de considerat următoarele cazuri: 1° ambii exponenți sînt negativi; 2° unul dintre exponenți este năgativ, iar celălalt pozitiv; 3° cel puțin unul dintre exponenți este zero. Să le analizăm pe rînd: » 1° Dacă —, ~ < 0, atunci — — , — — >0. După definiție și aplicînd proprietatea analoagă a puterilor cu exponent rațional pozitiv, avem: m a” p - aq = 1 m n a 1 _ p 7 a 1 - — + n a m p 1 • H -----= a q 2° în cazul al doilea fie, de exemplu, — n Să presupunem mai întîi că — > — —. Atunci, n q 0 si — 4 0 I adică după definiție și proprie- tatea 5° a puterilor cu exponent pozitiv, ni a ⁿ avem: m n. q a • Dacă — n. P_ 4 m n a Q atunci 1 — — 7 a 1 m n a 1 _ E. 7 a Dar — — 4 ni si după situația precedentă, avem: m a p 7 • a n a • a P Q a 1 7 a = a = a 1 _ m p n u a -a 2^ ₊ 1 1 9 — a n a m _ p Q a în sfîrșit, dacă — = n. — L adică — + — = 0, atunci 4 n q m aⁿ - a VI n a _ P 7 a P q _ m p 120 3° Dacă unul sau ambii exponenți sînt zero proprietatea este evidentă (avem în vedere că a° = 1). Lăsăm ca exercițiu demonstrarea celorlalte proprietăți. Observație. Dacă în cazul puterilor cu exponent rațional pozitiv am putut vorbi des- pre proprietatea 5, doar pentru — > — , în acest paragraf (după ce am definit puterile n q cu exponent rațional negativ) ea se poate demonstra și pentru — < — (cînd a > 0). n q De exemplu; T ■ £_ ⁴ L _ A _1 2i_₌₁₆⁴ * ₌ ₁₄ “ ₌ ₍₂.) “=2 * = ± = -L-. li 1 5/ 9 16K 3. Funcția putere cu exponent rațional. Fiind dat un număr rațional — , nenul, TI putem defini o funcție n 7)1 f : (0, oo) —> (0, oc), f(x) = x , numită funcție putere cu exponent rațional. Deoarece f(x) = x)m, rezultă că funcția putere cu exponent rațional are pro- prietăți asemănătoare cu ale funcției putere. Astfel: a) Dacă — este pozitiv, atunci funcția f este strict crescătoare. n b) Dacă — este negativ, atunci funcția / este str.ict descrescătoare. n c) Funcția f este inversabilă, inversa sa fiind m g : (0, oo) -> (0, oo), g(x) = xⁿ . Să demonstrăm a). Fie x₂ e (0, oo) cu xᵣ < x₂. Folosind proprietatea analoagă de monotonie a funcțiilor radical și putere deducem că V~xᵣ < de unde < < adică /(xj < f(x₂). Analog se demonstrează b). Să arătăm în sfîrșit proprietatea c). Dacă x e (0, oc), alunei g(f(x\ ym J ⁿ = y. Deci g o f și fog sînt egale cu'funcția identică a lui (0, oo,). Așadar, f este inversabilă, g fiind inversa sa. Mai mult, fiind inversabilă, funcția putere cu exponent rațional este bijectivă (vezi § 3.7 din cap. II). în figura V.7 am reprezentat graficul func- 1 *2 ției f : (0, oo) —► (0, oo), f('x) = x (construit prin „puncte"). Cu linie întreruptă am reprezentat graficul funcției inverse g : (0, oc) -> (0, oo), g(x) ■= x~². Fig y 7 121 EXERCIȚII . 1, Să se găsească radicalii: a) /(Ț^lp; b) /(TTăp; c) /(2x³ - 3x + l)²; d) /(-3x² + x - lp. 2. Să se efectueze suma: /(x - 2)² + /(5 - ap. 3, Să se construiască graficul funcției / :R-+R, f(x) = [/^ 2p + /(T^p. 4, Să se găsească valorile lui x, pentru care sînt definite expresiile: . a) f(x) = ]/x — 2; b) /(x) = /x — 2; c) f(x) = /3x² 4- 5x — 2 ; d) f(x) = /3 — x + /5x — 5; e) f(x) = /x² — x + î. 5. Să se calculeze: a) /173² - 52²; b) /373² - 252²; c) /(242,5)² - (46,5)². 6. Să se simplifice expresiile: '"/î¹; ; lZ(/ 7 - 2)³ ; 1/(1 l^)s; V(/3-4)²; (1 - l/T>)²- 7. Să se simplifice expresiile: a) /[(x - 1) (x + 1)P; b) /(x^T+lp. 8. Fără a calcula radicalii,să se găsească care dintre numerele următoare este mai mare: a) 2/3 sau 3 / 2; b) 5/7 sau 8/3; c) 3/4 sau 4/2. 9, Să se simplifice expresiile: a) d) 1/ 5/625; b) ]/ 2 1X 4 / 8; c) 2 4-/2 / 2 - / 2 2-/2 V 2 + / 2 a 4“ 1 "i / a — 1 a — 1 V « + 1 10. Să se calculeze: ^a) /50 - 5/1 + /I 4- /128; b) /2 4- /250 - /686 - /16; c) (2/3-3/24- / 6) • (/6 - / 2 - 2 /l); d) (/8 - 3 / 2 4- /To) • • (/2 4- /1?6 4- 3/0^). 11. Să se raționalizeze numitorii fracțiilor: . 1 - /2 , . 1 . 12 15 a) ---; b) ——---— ; c) -------- ; d) --— ; 1 4-/2 /25 -/24 3+/2-/5 /34-/7 . 31 .. 1 . 1 ’ e) ■ — •,--— ; f) . z - -—1 s)-—-z----z ; 2 +/2 -/6 / 5 4-/ 2 2-/24-/3 -/6 h) X/q~/, V /â + / 122 12. Să se simplifice expresiile: 3 3 2 9 “) "77=—77=— ------------ (^ > °» y > y)- 1/ x - V y x - y 13. Să se rezolve ecuațiile: a) |/ x 4- 1 = 2; b) [/ x — 3 =.x — 3; c) |/ x — î + 1 = \/ x 4- [/ x 4- 8; d) j/ 7 -|/^3 = 2; e) |/T^x 4-/T+x = 3; f) / 2x 4- 1 = 21/x - / x - 3;, g) ]/ 1 + x / x² + 24 = x + 1; h) |/ a 4- x 4- }/~a- x = |/2^; i) /T^3 - |/’x+“3 = 2 - |/10; j) l71 -k ax — x -j- l/1 — ax; k) ^x + 45 — x — 16 = 1; 1) |/®-l+|/x-24-/x-3 + l = 0; m) x 4- 1/ 6 4- |/x² = 0. 14. Să se construiască graficele funcțiilor: , a) /^[l, oo)-*• R; f^x) = b) f₂ :R->R, f₂(x) = ^77^2‘ c) f₃ : R-> R, f(x) = ^x - 2. 15. Să se așeze în ordine crescătoare numerele: c) 1; |/ 2; ^3; ^4. / 16. Să se demonstreze identitățile (formulele radicalilor compuși): /a₊|/î= 1/° ⁺ ^a‘-b ₊ ~1 f 2 j 2 |/«^% = 1/ _ -J a-V^Xț, y 2 y 2 unde a, o și a² — b sînt numere reale nenegative. 17. Folosind formulele radicalilor compuși să se transforme expresiile: a) ]/5 4- 2|/’6; b) ]/6 - |/20; c) ]/10 - 2 |/2Î ; d) ]/ 9 - |/45; e) x — |/x² — y². 18. Să se demonstreze că, pentru 1 < x < 2, jX x4“2ț/x — 1 + x — 21/ x — 1 — 2. 123 19, Să se. calculeze: 21. Să se arate că, pentru orice a > 0, 6 > 0, c > 0 și \/abc > 2, are loc identitatea CAPITOLUL VI . NUMERE COMPLEXE Prin introducerea numerelor reale se pot exprima rezultatele oricăror măsurători, dar problema soluțiilor ecuațiilor de orice tip, cu coeficienți reali, nu este rezolvată. Ecuații simple ca x² + 1 = 0, x² + x + 1 = 0 nu au soluții în mulțimea R a numerelor reale. De aceea, se pune în mod necesar problema extinderii în continuare a noțiunii de număr. Această extindere conduce la noțiunea de număr complex. Vom arăta la sfîrșitul acestui capi- tol că mulțimea numerelor complexe este suficient de largă, încît orice ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali să aibă soluții în această mulțime. Numerele complexe nu reprezintă rezultatul unor măsurători și de aceea teoria numerelor complexe are un caracter mai abstract, mai formal decît teoria numerelor reale. Remarcăm că în pofida acestui grad de abstractizare a noțiunilor, teoria numerelor complexe, prin implicațiile sale, are multiple 'aplicații practice (de exemplu, în: mecanică, electrotehnică, fizică atomică ș.a.). §1 .. MULȚIMEA NUMERELOR COMPLEXE 1.1. Definirea numerelor complexe Prezentăm acum construcția mulțimii numerelor complexe, plecînd de la mulțimea R a numerelor reale. Fie produsul cartezian R X R = {(a, b) | a, b G R}, adică mulțimea perechilor ordonate de numere reale. Precizăm că, două perechi (a, b) și (a', b') sînt egale dacă și numai dacă a = a' și b = b'. Astfel egalitatea (a, b} — (a', b') este echivalentă cu două egalități de numere reale: a = a' și b = b'. Definim pe mulțimea R X R două operații algebrice: adunarea și înmul- țirea. 125 Dacă z = (a, b) și z' = (a', b') aparțin mulțimii R x R, atunci definim: z + z' = (« + a', b + b’). (1) Elementul (a + a', b + b') se numește suma dintre z și z', iar operația prin care oricăror elemente z și z' clin mulțimea R X R se asociază suma lor, se numește adunare. De asemenea, definim: zz' = țaa' — bb', ab' + a'b). (2) Elementul țaa' — bb', ab' 4- a'b] se numește produsul dintre z și z', iar ope- rația prin care oricăror elemente z și z' din mulțimea R X R se asociază pro- dusul lor, se numește înmulțire. De exemplu : (2, -1) + (-3, 1) = (2 - 3, -1 + 1) = (-1, 0), (2, -1) (-3,1) = (2 • (-3) - (-1) • 1,2 •. 1 + (-1) (-3)) = (—6 + 1,2 + 3) = ‘ . =(~5,5). Definiție. Fiecare element al mulțimii R x R, pe care sînt definite cele două operații precedente (1) și (2), se numește număr complex. Se notează cu C mulțimea numerelor complexe. Fie submulțimea lui C: R' = {țₐ, 0) | a e R}- Funcția de la R la R' definită prin . a -* ța, 0) este evident o funcție bijectivă de la mulțimea R a numerelor reale în sub- mulțimea R' a lui C. Maiᵥmult, operațiile de adunare și înmulțire a numerelor complexe care aparțin mulțimii R' se transcriu astfel: ța, 0) + ța', 0) = ța + a', 0); ța, O)ța', 0) = țaa', 0). Aceste relații arată că adunarea și înmulțirea pe R' se fac după aceleași reguli ca adunarea și înmulțirea numerelor reale. Din acest motiv rezultă că R' are aceleași proprietăți aritmetice ca mulțimea R a numerelor reale. Acest fapt, permite să identificăm numărul complex ța, 0) cu numărul real a. Practic, această identificare revine la a înlocui numărul complex ța, 0) cu numărul real a și invers. Așadar punem (a, 0) = a. în particular, numerele complexe (0, 0) și (1,0) sînt numerele reale 0 și 1. I 126 1.2. Proprietățile adunării numerelor complexe 1° Adunarea este comutativă, adică oricare ar fi z și z' din C, avem z + z' = z' + z. . ț într-adevăr, dacăz — (a, b) și z' = (a', b'), atunci avem z 4- z' — (a, b) + (a', b') = = (a + a', b + b'). Analog avem z' 4- z = (a' 4- a, b' 4- b). Cum însă adunarea numerelor reale este comutativă avem a + a' = a' 4- a și b 4- b' = b' 4- b. Deci (a + ă', b 4- b') = (a' 4- a, b' 4- b}, adică z z' — z' z. 2° Adunarea este asociativă, adică oricare ar fi z, z' și z" din C, avem (z + z') + z" = z + (2' 4- z").. într-adevăr, dacă z = (a, b}, z' = (a', b') și z" = (a", b"}, atunci avem (z 4- z') 4- + z" = [(a, b} 4- (a', i')] 4- (a", b") = (a + a', b + b') 4- « b") = ((a 4-a') 4- a", (b 4- b') 4- b"). Analog avem z 4- (z' 4- z") = (a 4- (a' 4- a"), b 4- (b' 4- b")). Cum însă adunarea numerelor reale este asociativă avem (a 4- a') 4- a" = a 4- (a' 4- a") Ș’ (b 4- b') 4- b" = b 4- (b' 4- b"). Deci (z 4- z') 4- z" — z 4- (z' 4- z")- 3° Element neutru. Numărul complex 0 = (0, 0) este element neutru pentru adunare adică oricare ar fi z din C avem z + 0 = 0+ z = z. într-adevăr, dacă z— (a, b), atunci cum 0 este element neutru pentru adu- narea numerelor reale, avem z 4- 0 = (a, b) 4- (0, 0) = (a 4- 0,6 + 0) = (a, b) = z. Dar după proprietatea 1°, avem de asemenea 0 4- z — z. 4° Orice număr complex are un opus, adică oricare ar fi z din C există un număr complex, notat cu — z, astfel încît z + (—2) = (—2) + z = 0. într-adevăr, dacă z — (a, b), atunci —z = (—a, —b), deoarece z 4- (—z) = (a, b) 4- — b) = (a 4- ( — a), b 4- (-b)) = (0, 0) = 0. Conform proprietății 1° avem, de asemenea, ( —z) 4- z = 0. De exemplu: dacă zₜ = (2, 3), atunci — zₜ = ( — 2, —3), dacă z₂ = ( — 1, 1), atunci — z₂ = (1, —1). Observație. Dacă z și z' sînt numere complexe, suma z 4- (—z') se notează, simplii prin z — z' și se numește diferența dintre z și z'. Operația prin care oricăror două numere complexe z și z' se asociază diferența lor se numește scădere. Dacă z = (a, b) și z = (a', b'), atunci avem formula; z — z' — (a. a', b — b'). (3) De exemplu: dacă z = (2, —5) și z' ;= ( -3, 1), atunci z z' 3 4- (—-z') - = (2, -5) -r l-ț-3, 1)] = (2, -5) + (3, -1) - (5. -6).. , 127 I 1.3. Proprietățile înmulțirii numerelor complexe 1° înmulțirea este comutativă, adică oricare ar fi z si z' din C, avem: zz' = z'z. într-adevăr, dacă z = (a, b) și z' = (a', b'), atunci zz — (a, b) (a', b') = (aa' — bb', ab' + a'b). Analog, avem z'z = (a'a — b'b, ab -p ab'). Cum adunarea și înmulțirea numerelor reale sînt operații comutative, avem aa' — bb' = a'a — b'b și ab' -p a'b = = a'b ab'. Deci zz' = z'z. 2°. înmulțirea este asociativă, adică oricare ar fi z, z' și z" din C, avem (zz')z" = z(z'z"). ' într-adevăr, dacă z = (a, b), z' = (a', b') și z" = (a", b"), atunci (zz') z" — [(aa' — - bb', ab' + a'fe)] (a"> b") = ((aa' - bb')a" - (ab' + a'b)b", (aa' - bb')b" + a"(ab' + + a'b)) = (aa'a" - bb'a" - ab'b" - a'bb", aa'b" - bb'b" + a"ab' + a"a'b). Analog, avem z(z'z") — (aa'a" — ab'b" — ba'b" — ba"b', aa'b" -p aa"b' -p a'a"b — b'b"b). Avînd în vedere comutativitatea adunării și înmulțirii numerelor reale, rezultă că expresiile lui (zz')z" și z(z'z") sînt aceleași; deci (zz')z" = z(z'z"). 3° Element neutru. Numărul complex 1 = (1, 0) este element neutru pentru înmulțire, adică oricare ar fi z din C avem z • 1 = 1 • z = z. într-adevăr, dacă z = (a, b) atunci cum 1 este element neutru pentru înmulțirea numerelor reale, avem z • 1 = (a, b) (1, 0) = (a, b) = z. După proprietatea 1° avem, de asemenea, 1 • z = z. 4° Orice număr complex diferit de 0 are un invers, adică oricare ar fi z 0 există un număr complex, notat cu z⁻¹, astfel încît zz⁻¹ = z^z = 1. Fie z — (a, b) diferit de (0, 0), adică cel puțin upa din componentele a sau b este nenulă, altfel spus/ a² + i² 0. Dacă (x, y) este un număr complex astfel încît (a, b) (x, y) = (1, 0), atunci (ax — by, bx -j- ay) = (1, 0). De aici rezultă: ’ . ax — by = 1, bx -p ay = 0. Rezolvînd sistemul, se obține: a —b x • - x ---------, y =----------. a² -p b² a² -p b² După proprietatea lb avem, de asemenea, (x, y) (a, b) (1, 0), 128 Deci 1 A _ p 4 + 1 J — 1,5 ’ 5 ( a ~b ( o² + i² a² + b² Observația 1. în loc de z⁻¹ (z 0), se folosește uneori notația — . Dacă z' = (af, b') z z' este un alt număr complex, atunci z'z-¹ se notează încă prin — și se numește citul îm- z părțirii lui z' la z (z 0). Cîtul — este definit de formula: z z' / aa' + bb' ab' — a'b z { a² + b² a² + b² Exemple: 1 C 2 1) dacă z = (2, —1) atunci z⁻¹ = — = I-----, z ( 4 + 1 2) dacă z = (2, —1) și z' = (1, —1), atunci = £ ₌ f²'¹ +(~i) f 2-(-l) - 1 - (—D z ( 4+1 ’ 4+1 _ f² + ¹ —² + M _ P —: 5 ’ 5/(5’5 5°. înmulțirea este distributivă față de adunare, adică oricare ar fi z, z' și z" din C, au loc relațiile: z(z' + z") = zz’ + zz" (z + z')z" ,— zz" + z'z". într-adevăr, dacă z = (a, b), z' = (a', b') și z" = (a", b”), atunci z(z' + z”) = (a, b)- ■[(a', b') + (a”, i")] = (a, b) (a' + a", b' + b") — (a(a' + a”) — b(b' + b”), a(b'-ț-b”) + + (a' + a”)b) — (aa' + aa” — bb' — bb”, ab' + ab” + a'b + a”b). Pe de altă parte, avem zz' + zz” = (a, b) (a', b') + (a, b) (a”, b”) = (aa' — bb', ab' + a'b) + (aa” — bb”, ab” + a”b) = (aa' — bb' + aa” — bb”, ab' + a'b + ab” + a”b). Avînd în vedere comu- tativitatea adunării numerelor reale,rezultă că expresiile lui z(z' + z”) și zz' + zz” sînt aceleași; deci z(z' + z”) = zz' + zz”. Analog, se demonstrează cea de a doua relație pe care o lăsăm ca exercițiu. Observația 2. Să observăm că numărul complex (0, 1) are proprietatea (0, 1) (0, 1) = = ( — 1, 0) = —1. Rezultă deci că (0,1) este o rădăcină a ecuației xz + 1 = 0. Așadar, această ecuație are soluții în mulțimea numerelor complexe, ceea ce nu era posibil în mul- țimea numerelor reale. §2. FORMA ALGEBRICĂ A NUMERELOR COMPLEXE 2.1. Notația z = (a, b), introdusă pentru numerele complexe, nu este prea comodă în calculele cu numere complexe. De aceea, de obicei, se folo- sește o altă scriere a numerelor complexe. Convenim să notăm numărul com- 9 — Matematică-algebră, ci. a IX-a 129 plex (O, 1) prin i. Atunci, după regulile de adunare și înmulțire a numerelor complexe, avem: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (ă, 0) (0, 1). Deoarece (a, 0) și (b, 0) se identifică cu a respectiv b, iar (0, 1) s-a notat cu i, atunci această scriere se reprezintă sub forma. (a, b) = a + ăi. Această expresie se numește forma algebrică a numărului complex (a, b). De exemplu: (2, -1) = 2 + (-l)i = 2 — i; (1, 0) = 1 4- 0 -i = 1; (0, -5) = 0 + (-5)i = —5i. în continuare vom scrie numerele complexe sub forma lor algebrică. Numărul complex i se numește unitate imaginară. Numerele de forma bi, cu b număr real, se numesc imaginare. Dacă numărul complex z se scrie sub forma z = a + ăi, atunci a se numește partea reală, iar bxpartea imaginară a numărului z. Numărul b se numește coeficientul părții imaginare*. De exemplu, pentru numărul complex 4 4- 5i, partea reală este 4, iar partea imagi- nară 5i; coeficientul părții imaginare este egal cu 5. Pentru numărul —2i, partea reală este 0, cea imaginară —2i, iar coeficientul părții imaginare este —2. Pentru numă- rul 3, partea reală este 3, cea imaginară este 0 • i = 0, iar coeficientul părții imaginare este egal cu 0. Reluăm mai jos adunarea și înmulțirea a două numere complexe repre- zentate sub forma lor algebrică. Astfel: (a 4" ăi) + (a' 4- ă'i) = (a 4- a') 4“ (ă 4" ă')i; (R) (a + ăi) (a¹ + ă'i) = (aa' — ăă') 4- (ab' + a’b)i. (2') Deci, suma a două numere complexe este un număr complex a cărui parte reală, respectiv imaginară, este suma părților reale, respectiv imaginare, ale numerelor date. Formula (2') care dă înmulțirea a două număre complexe este mai greu de reținut și chiar de formulat. Observăm însă că, dacă z = a 4- ăi și z' — = a' ă'i sînt numere complexe, atunci avînd în vedere proprietățile opera- țiilor pe C rezultă: (a 4- ăi) (a' 4- ă'i) = aa' 4* (ab' 4- a'b)i 4" ăă'i². Dar, înlocuind i² = — 1 în ultima relație, se obține formula (2'). Pentru un număr complex z = a 4- bi se notează, uneori, a = Re(z), care se citește „real de z“ și b = Im(z), care se citește „imaginar de z“. 130 2.2. Numere complexe conjugate Dacă z = a + 6i este un număr complex, atunci numărul a — bi, notat prin 2 (adică z barat) sau a + bi se numește conjugatul său. Evident, conju- gatul lui 2 este z. De aceea, numerele complexe z și z se numesc conjugate. Dacă a este un număr real oarecare, atunci a = a + Oi = a — Oi = â, și deci a este egal cu conjugatul său. Mai mult, dacă a 4- bi este un număr complex, astfel încît a 4- bi = a — bi, atunci b = — b, de unde b — Q. Deci a4-Z>i = «4-0i = a este un număr real. Astfel, am arătat că: dintre toate numerele complexe, numerele reale (și numai ele) sînt egale cu conjugatele lor. Avem următoarele proprietăți: 1° Suma și produsul a două numere complexe conjugate sînt numere reale. într-adevăr, z 4- z = (a 4- bi) 4- (a — bi) = 2a și zz = (a 4- bi) (a — bi) = a² 4- b². 2° Oricare ar fi numerele complexe z și z' avem ♦ Z + z' = Z + z', zz' = zz'. într-adevăr, dacă z = a 4- bi și z' = a' + b'i, atunci z 4- z' = (a 4- a') 4- (b 4- b')i = (a 4~ a') — (b 4- b')i = = (a — bi) 4- («' — b'i) = z + z'; zz' = (aa' — bb') 4- (ab' 4- a'b)i = (aa' — bb') — (ab' 4- a'b)i = = (a — bi) (a' — b'i) = zz'. Formulele (3) și (4), aplicate numerelor complexe scrise sub formă alge- brică, dau relațiile: (a 4- bi) — (a' 4-^'i) = (a — a') 4- (b — b')i (3') a' + b'i aa' + bb' . ab' — a'b . .. —-— =---------—-------1--------i. (4 ) a + bi a² b² a² + b² Pentru relația (3') se poate da o regulă analoagă celei date pentru adu- nare. Observăm, de asemenea, că (4Z) rezultă dacă amplificăm fracția LL¹ a 4- ii prin conjugatul numitorului, care este a — bi. în particular, așa se poate proceda și pentru aflarea inversului unui număr complex. într-adevăr, dacă a' b'i = i și a 4- bi 0, atunci 1 a — bi a — bi a b . ------------------------= ------ —-----------------b a 4- ti (abi) (a — bi) a² 4- b² a²-\-b² a² 4- b² 131 9* Exemple-. , 7 - i _ (7 - i) (3 - i) ₌ 21 — 7i —3i — 1 ₌ 20- IQi ₌ ₂ _ ? 3 + i “ (3 + i) (3 - i) 9 + 1 10 2) ² + ³ⁱ ₌ <² + ³ⁱ) <² ~ ₌ 4 - 2i + 6i + 3 ₌ 7+_4i T_ 4 .. 2 + i ⁼ (2 + i) (2 - i) 4 + 1 . 5 5 ⁺ 5 ’ 1 1 - i 1 — i 1 1 . 3) =------------------=------ =---------i. 1 + i (1 + O U — O 1 + 1 ² ² 2.3. Modulul unui număr complex Modulul unui număr complex z = a 4- bi se definește ca fiind numărul real \/a²-\- b² și se notează prin | z | = | a + bi |. Modulul unui număr complex z = a 4- bi este întotdeauna pozitiv, el fiind bgal cu zero dacă și numai dacă a = b = 0. Exemple: 11 + 3i | = |/F+9 = /Î0, | — 1 — i | = |/1 + 1 = |/2^ | 2i | = | 0 + 2i | = |/o“+4 = 2„ | 4 | = | 4 + Oi | = |/Î6'+0 = 4. Dacă z și z' sînt două numere complexe, atunci 1° | zz' | = | z | | z' |; 2° | 2' | - | Z | < I 2' + z I < | z' | + | Z f. Să demonstrăm prima relație. într-adevăr dacă z = a + bi și z' = a' 4- b'i, atunci | zz' | = | {aa' — bb') 4- (ab' 4" «^)i I = = ]/&a' - bb')² 4- (ab' 4- a'b)² = /(a² + b²) (a'² 4- b'²) = = l/a² + b²]/a'²+b'²= | z | | z' |. A doua relație o lăsăm ca exercițiu. Noi însă o vom demonstra în para- graful următor pe cale vectorială. 2.4. Puterile numărului I Conform observației 2 din paragraful 1.3 avem i² = — 1. Atunci se deduce succesiv: o i³ = i²i = (—l)i = —i. i⁴ = i³i = (—i)i = 1. în general, fie n un număr natural oarecare. Atunci numărul n se găsește într-una (și numai într-una) din următoarele situații: 1° n — ^k (k, număr natural) și deci iⁿ = i⁴ft = (i⁴)fe = lk = 1; 2° n = 4Z 4“ 1 (£, număr natural) și deci iⁿ = i⁴l⁺¹ = i⁴Z • i = 1 • i = i; 3° n=4p4-2 (j7, număr natural) și deci iⁿ=i⁴p⁺²=i⁴p • i²=l(—1) = —1; 4° n = kq 4- 3 (7, număr natural) și deci iⁿ= i⁴9+³=i⁴« • i³ = 1(—i) = — i. Așadar, puterile cu exponent natural ale lui i sînt elementele mulțimii {—1, 1, —i, i}. 132 De exemplu, j25 _ j4.0+l — (j4)0 . j _ i . i _ iⱼ j« ₌ j4 4+2 ₌ (i4)4 .j2 ₌ ] . (_j) ₌ j31 ₌ i4.7₊3 ₌ (j4)7 43 ₌ ! . (_i) ₌ _j. §3. REPREZENTAREA GEOMETRICĂ A NUMERELOR COMPLEXE 3.1. Amintim că numerele reale sₒe pot reprezenta prin punctele unei axe. Mai precis, fie d o axă pe care fixăm o origine O și o unitate de măsură. Dacă asociem fiecărui punct al dreptei d abscisa sa, se obține o funcție bijec- tivă de la punctele acestei drepte în mulțimea numerelor reale. Un număr complex,.z = a -j- b\, este determinat prin două numere reale a și b. De aceea este natural ca să reprezentăm geometric numerele complexe prin punctele unui plan. Fie pentru aceasta un plan 7v în care ne fixăm un sistem de axe ortogo- nale xOy. Fiecărui număr complex z = a + 6i, i se asociază punctul M de coordonate (a, b] (fig. VI.1). Punctul M se numește imaginea geometrică-^ numărului complex a 4- b\, iar numărul a -|- bi se numește afixul punctului M. Din teorema lui Pitagora, aplicată în triunghiul dreptunghic OMM', se deduce că OM =]/ OM'² + MM'² = ]/ a² + b² = | z |. Această egalitate ne arată că lungimea segmentului [OM] este modulul numărului complex z = a + di. Exemple. Numerelor complexe 1 4 3i, — 1 -|-i, 2i = 0 4- 2i, 3 = 3 + Oi, li se aso- ciază respectiv punctele Mi(l, 3), M₂( — 1, 1), M₃(0, 2), 0) (fig. VI.2). Avem OM, = | 1 + 3i | = |/10, OM₂ = | - 1 -i | = [/^ OM, = | 2i | = 2, OM, = | 3 | - 3. Asocierea z = a + bi -> M(a, b) este o funcție bijectivă de la mulțimea numerelor complexe la punctele pla- nului x. Prin această funcție, mulțimii numerelor reale îi corespunde axa x'x, 133 iar mulțimii numerelor imaginare îi corespunde axa y'y. De aceea axa x'x se numește axa reală, iar axa y'y axa imaginară. Planul ale cărui puncte se iden- tifică cu numerele complexe prin funcția bijectivă definită mai înainte se numește planul complex. 3.2. Interpretarea geometrică a adunării și scăderii numerelor complexe Numerele complexe au și o altă interpretare geometrică. Să asociem fiecărui punct M al planului 7t vectorul OM, care are originea în O și capătul in punctul M. Această asociere este evident o funcție bijectivă de la mulțimea numerelor complexe în mulțimea vectorilor care au originea în (2(0, 0). Astfel fiecare număr complex a + bi poate fi reprezentat geometric ca vectorul O M unde M are coordonatele (a, b). Se spune că (a, b) sînt coordonatele vectorului OM. Reprezentarea numerelor complexe cu ajutorul vectorilor ne dă o inter- pretare simplă a adunării numerelor complexe: (a -j- bi) + (a' + b'i) = {a + a') + (^ + b')i. Este cunoscut că la adunarea vectorilor coordonatele corespunzătoare lor se adună. De aceea dacă vectorul OM (fig. VI.3) are coordonatele {a, b), iar vectorul OM' are coordonatele (a', b'), atunci vectorul OS (S fiind al patru- lea vîrf al paralelogramului, care are celelalte trei vîrfuri respectiv M, O și M') are coordonatele {a + a', b + b'). Acest vector corespunde numărului com- plex (a + #') + (b + b')i care este suma dintre a + bi și a' + b'i. Fig. VI.4 Exemplu. Fie numerele complexe =* 3 2i și z₂ = 1 4- 3i, reprezentate în plan prin vectorii OM, și OM₂ unde: 2) și M₂(l, 3) (fig. VI.4). Atunci suma z₂ — Zj 4- 4- z₂ = (3 4- 2i) 4- (1 + 3i) = 4 4- 5i este reprezentată în plan prin vectorul OM^ unde Af₃ este punctul de coordonate (4, 5). 134 Observăm, de asemenea, că opusul numărului a + 6i, care este —a —b\, este reprezentat prin vectorul OM^ unde Mₜ este simetricul punctului M(a, b) față de origine (fig. VL5). Astfel se deduce ușor interpretarea geome- trică a scăderii a două numere complexe. Cum z' — z = z' + (— z), avînd în vedere interpretarea geometrică a adunării numerelor complexe,rezultă că D are coordonatele (a' — a, b' — b) și vectorul OD corespunde diferenței z' — z = (a' — a) -|- (b' — b)i. Avem OM = | z |, OM' = | z' |, OD = | z' - z | și OS = | z' + z |. Relațiile dintre laturi în triunghiurile O MS și O MM' dau respectiv: MS - OM OS MS + OM, OM' - OM MM' < OM' + OM. Dar cum MS = OM' și MM' — ODy rezultă: I*' I — I < \z' I < \z' I + \z I, I*' I — M < |z' — Z | < \z' | + \Z |. Observație. Definiția produsului numerelor complexe are o interpretare geometrică mai puțin simplă. Aceasta se va face la geometrie.cu ajutorul reprezentării trigonometrice a numerelor complexe. 3.3. Interpretarea geometrică a numerelor complexe conjugate Dacă M este imaginea geometrică a numărului complex a bi (fig. VI.6), atunci simetricul M' al lui M față de axa reală este imaginea geometrică a conjugatului său, a — bi. 135 Observăm, de asemenea, că numerele complexe de modul egal cu r se reprezintă în plan prin punctele cercului cu centrul în origine și de rază egală cu r. l/T , l/2 . |/1 De exemplu, numerele: modul este egal cu 1 se găsesc pe cercul cu centrul în origine și de rază unitate (punctele M₂, M₃, Mă (fig. VI.7). §4. REZOLVAREA ECUAȚIEI DE GRADUL AL DOILEA CU COEFICIENȚI REALI în capitolul I, am rezolvat ecuația de gradul al doilea cu coeficienți ieali, în cazul în care discriminantul său este pozitiv sau nul. Am arătat astfel că rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0, a 0, pentru A = b² — ^ac 0, sînt date de formulele: —b ± {/b² — ^ac • $1’2 ⁼ 2a ’ în acest caz rădăcinile ecuației sînt numere reale. 1. Să rezolvăm acum ecuația ax² + bx + c = 0, a 0, în cazul în care A = b² — bac < 0. Știm că ecuația ax² + bx + c = 0 se mai poate scrie și sub forma: ( । b V b² — 4ac ₙ a; 4--I---------------- 0. ț 2a ) ka² Cum A = b² — bac < 0, atunci — A = 4ac — b² >0. în mulțimea numerelor complexe ecuația se poate scrie astfel: f i v r •, /—r 2 sau ( . b . . b il/^ț A L + 2-a + -2^-J L ⁺ 2a-----j = °' de unde . b , i |/ — A ₙ . b i |/ — △ A ³¹ + =Osau + 2^-------2^ = °' Deducem de aici că, în acest caz, rădăcinile ecuației de gradul al doilea sînt: —b + i l/4ac — b² . —b — i |/4ac — b² $1 =----~2^------- -----2a------ 136 A.șadar, dacă A < O rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0, a O sînt numere complexe conjugate. Relațiile lui Viete sînt evident aceleași ca în cazul cînd △ > 0, adică . & A 4" $2 —---------------------------------’ a ■ c x&₂ = — . a 2. Formarea ecuației de gradul al doilea cînd se cunosc rădăcinile. Fie x₁ și x₂ numere complexe date. Pentru ca ele să fie rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea cu coeficienți reali, trebuie ca xₓ și x₂ să fie conju- gate. Deci x₁ = a bi și x₂ = a — bi. Atunci X₁-\- x₂ = 2a și xᵣx₂ = a² + b². Ecuația de gradul al doilea care are ca rădăcini pe xₓ și x₂ va fi x² + px -|- + q = 0, unde — p — xᵣ-\- x₂~ 2a, iar q = xᵣx₂ = a² + b². Deci, ecuația x² — 2ax -j- a² + b² = 0 are ca rădăcini numerele com- plexe: a -f- bi și a — bi. 3. Descompunerea trinomului de gradul al doilea cu coeficienți reali în produs de polinoame de gradul întîi. Fie trinomul aX² + bX + c, a 0 0, cu a, b, c numere reale. Dacă xₜ și x₂ sînt rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0, atunci un raționament analog celui făcut în cap. I, § 2.4, pentru cazul b² — ^ac 0, dă aX² bX + c = ațX — xfj țX — x₂) = (aX — axf) (X — x₂). Deci orice trinom de gradul al doilea cu coeficienți reali se descompune în produs de polinoame de gradul întîi cu coeficienți complecși. Din pap. I, § 2.4 rezultă că în cazul b² — kac > 0 și numai în acest caz, trinomul de gra- dul al doilea se descompune în produs de factori de gradul întîi cu coeficienți reali. Exemple. 1) Să se rezolve ecuația: x² + x + 1 = 0. Avem △ = 1 — 4 = — 3 < 0. Atunci xₓ = ~ * (/"3 și — — 1 — i [/ 3 _ 2 2 2) Să se găsească ecuația de gradul al doilea care are rădăcinile xₓ = f/ 3 — i și x₂ = = [/ 3 + i. Avem Xj 4- x₂ = 2 |/ 3 și = 4. Deci ecuația căutată este x² — 2 |/ 3x 4- 4-4 = 0. 3) Să se descompună în factori de gradul întîi trinomul X² — 2X 4- 10. Rădăcinile ecuației xz — 2x 4- 10 = 0 sînt: xₓ = 1 4- 3i și x₂ = 1 — 3i. Atunci X² - 2A 4- 10 = (X - i - 3i) (X - 1 4- 3i). Aplicație. Descompunerea trinomului în factori de gradul întîi se folosește la simpli- ficarea fracțiilor. Dacă printre factorii numărătorului și ai numitorului sînt trinoame de gradul al doilea, le descompunem în factori de gradul întîi ca la pct. 3 și apoi factorii co- muni la numărător și la numitor se pot simplifica. 137 Exemple. 1) Să se simplifice fracția: + 1°^----LL -5A? + 72:-2 Descompunînd în factori numărătorul și numitorul, obținem: x² 4- io* - ii _ (x-1) (x + ii) _ x + ii -5Z²+7X-2 (X-l) (-5X + 2) -5X+2’ 2) Să se simplifice fracția ¹. X³ + (1 - i)X² - iX Avem X³ + X² + X 4- 1 ₌ (X + D(* + i) (X - i) ₌ X + i X³ + (1 - i) X² - iX X{X + 1) (X - i) X ‘ , )• EXERCIȚII 1. Să se găsească numerele reale x și y din ecuațiile: a) (5x + 3yi) 4- (2y - xi) = 3 - i; 3 b) (x + 3yi) 4----' y + 2xi = 4 4- 8i; c) - 3y 4- ~ xi 8x 4- 5i/i) = —2 4- 12i; a) rL -².^- y~ ³ 1 - i 1 4- i 2. Să se calculeze: = 1 - 3i. a) (2 4-i) (3 — 2i); b) (-6 4- i) (5 4-2i); c) (/ 2- i) (j/ 3 4- 2i); d) (|/2 4- 3i) (3 -/li); e) (/l 4- / 2i) (|/“3 - |/1 i). 3. Să se calculeze: . 2 4- 3i , < 2i 1 4- i |/"3 a\/~b 4- fc|/ă i . —2 -5i 6 - 7i a) —¹— • b)-------c) —¹—ₜ d) _ —-——— • e)---------------------- l-i' 2-i' 1 — i |/3' b^a-a^bC 4 4-i 4-i' 4. Să se demonstreze egalitățile a) ⁶ ~ ¹ ₌ ¹³ + ⁴¹ⁱ . b₎ ² + i _ 13 4- 4i 3 4- 4i —25 4- 25i 3 — i 17 — 9î 5. Să se spună care sînt conjugatele numerelor complexe: 1 4- i, 2 — 3i; 5; 4i; 0, 2i — 1 și să se interpreteze geometric. 6. Să se calculeze: a) i⁶ 4- ilfl 4- ia<¹ 4- i³⁶ + i⁴⁰; b) (—i)³ 4- (-i)¹³ 4- (-i)²³ 4- (-i)³³ 4- (—i)⁴³; c) i 4- i² 4- i³ 4- i⁴ 4- ■ 4- iⁿ (n > 4); d) i • i² • i³ • i⁴ •• i¹⁰.°; e) ------------------/ — 7^; jll j?5 |243 f) [i(2 - i)]’; g) [2i(3 - 4i)]²; h) iⁿ 4- iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² 4- iⁿ+³, n e N. 138 1, Să se găsească valorile reale ale lui m astfel încît numărul 3i³ — 2zni⁸ + (1 — m)i 4- 4- 5 să fie; a) real; b) imaginar; c) nenul. 8, Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie: a) i; b) 2_ —K ³ i; c) —i; d) — -L. ³ i. 2 2 2 ¹ 2 9. Să se reprezinte în plan numerele complexe: a) 3 4- 5i; b) 4 — i; c) —2 — 2i; dj — 4i; e) 5i; f) —5 —5i. 10. Să se dea interpretarea geometrică a formulelor: (1 4- 3i) 4- (1 - 3i) = 2; (3 - 5i) 4- (-1 4- 3i) = 2 — 2i. 11. Să se descompună în factori de gradul întîi trinoamele: a) X² - 2 X 4- 2; b) 4X² 4- 4X 4- 5; c) X² - 14X 4- 74. 12. Să se rezolve sistemele: [ x 4- y = 6, | 2x — 3y = !, a) < b) < ( xy = 45; [ xy = 1. 13. Să se simplifice fracțiile: , 15X² - 4- m² , , 12X² - X - 1 . X³ - 2Z² - X 4- 2 12Z² - mX - m² ‘dX² + 5X - 2 X³ - 3Z² + 2X ^4-1 x X² - X + 1 ₙ X² 4- 3iAT - 2 CI) ------------zz--------ț C)------------; I) ---------------- * X² 4- X 1/ 2 4- 1 X⁴ 4- x² 4- 1 J? 4- iz 4- 2 14. Să se găsească ecuațiile de gradul al doilea cu coeficienți reali, astfel încît una dintre rădăcini să fie: no ___ ; _ ______ a) (3 — i) (2i — 4);b) ----------; c) |/ a + / b i (a, b fiind numere reale și pozitive). 1 — 3i 15. Să se rezolve ecuațiile: a) x³ = 27; b) x³ = - 27; c) 3x³ = 2; d) x³ = -5; e) x⁴ = 16; f) x⁴ - - 16; g) x⁴ = - 3; h) 3x⁴ = 5. 16. Să se găsească suma tuturor rădăcinilor ecuațiilor: a) x³ = —4; b) x⁴ = 4. 17. Să se găsească produsul tuturor rădăcinilor ecuațiilor: a) x³ = 6; b) x⁴ = — 7. 18. Să se arate că pătratul unui număr complex z — a 4- bi este real dacă și numai dacă ori a = 0, ori b = 0. 19. Să se găsească numerele reale x și y astfel încît a) (xi — y)² = 6 — 8i 4- (x 4- yi)²; i i * 1 1 1 fci b) - 4------F — =------------F - (a și b fiind numerele reale cu a 0). x y a x y y 20. Să se determine perechile (x, y) din plan pentru care: a) | |/x² 4- 4 4- i I = |/Î0; > 4 b) ||/,2x4-y4-|/® + 2yi| = |/3; 2x4-y^0,x4-2y^0. 139 21. Să se rezolve sistemele de ecuații: f x⁵ + y* = 33 [ x² -J- y* — 5 ( x² — xw = 28 a) •{ ; b ) { » c) < ( x 4- y = 3 [ xy² = 2 [ y² — xy = — 12. 22. Dacă a 4- ti este un număr complex dat, să se găsească numerele complexe z = x + 4- iy, astfel încît z² = a 4- ti. 23. Să se determine numerele complexe 2, care verifică relația: z⁴ 4- 3 - 4i = 0. 24. Să se arate că pentru ecuația de gradul al doilea ax² 4- px 4- Ț = 0, cu coeficienți complecși, rădăcinile sale sînt date de aceeași for- mulă ca și în cazul ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali. CAPITOLUL VII PROBLEME RECAPITULATIVE 1. Dacă x și y satisfac relația ax² + 2b xy 4- cy² = 0, să se determine - (?/ / 0). y 2. Dacă a, 6, c sînt laturile unui triunghi oarecare, să se arate că ecuația b²x² + (b² -ț- c² — a²)x + c² = 0 nu are rădăcini reale. 3. Să se determine valorile parametrului m, astfel încît ecuația x² — 6x + + m = 0 să aibă două rădăcini reale dintre care una să fie dublul celeilalte. 4. Să se determine două numere nenule, astfel încît suma, produsul și diferența pătratelor lor să fie egale. 5. Să se determine legătura dintre rădăcinile ecuațiilor: ax² bx c = 0 și cx² + bx + a = 0. 6. Fără a rezolva ecuația, să se găsească suma pătratelor rădăcinilor ecuației: {x² + 2x}² — 5(z² + 2x) + 3 = 0. Indicație. Se notează y = x² + 1x. 7. Să se determine mulțimile A și B și numerele reale p și q știind că: A = {x £ R | x² + x + p = 0} B = {x E R I x² + qx - 4 = 0}, A U B = {-2, -1, 1,4}. Indicație. Se folosesc relațiile dintre rădăcini și coeficienți. 8. Să se determine parametrul real m, astfel încît {x E R I mx² + (m — 1)# + m + 2 = 0} fi [0, 1] / 0. ₓ___] Indicație. Punem z =------------, unde Oși 1 sînt capetele intervalului j obținem ecuația x — 0 în z: (m + 2)z² — 3(m 4- l)z 4- 3m 4- 1 = 0. Fie zr₂ rădăcinile ecuației în x. și z^ z₂ rădăcinile ecuației în z. Avem: a) Xi e (0, 1) dacă și numai dacă zj < 0, i. = I, 2. b) X{ (0, 1) dacă și numai dacă Zj > 0, i = 1, 2. Deci problema se reduce la studiul semnelor rădăcinilor ecuației în z. 141 9. Să se determine parametrul real m, astfel, încît {s G R | mx² + (w + 1)# + w + 2 = 0} n [ — 1, 1] 0. 10. Să se determine numerele reale a și b astfel încît {z G R | + 2ax + b = 0}\ {x G Z | x² + 2bx -|- a — 0} = 0. 11. Se consideră mulțimile A = ^GZl șiB- x € Z x G ₑ zl. Si² J se arate că A = B. e z ■ Să 12. Să se arate că funcția f : R -> R, f(x) = ax⁴ + bx + c, a / 0 nu este injectivă. Indicație. Se observă că ecuația /(x) — c = 0 are două rădăcini distincte. 13. Să se arate că dacă ecuațiile x² + ax 4- b = 0 și x² + cx + d = 0, (a, b, c, d G Z), au o rădăcină irațională comună, atunci a = c și b = d. I ,14. Să se arate că numărul |/ 2 + j/ 3 + [/ 5 este irațional. 15. Să se arate că numerele raționale — si —» unde m și n sînt prime între n ’ n ele, au același număr de cifre în perioadă. Indicație. Fie (n, 10) = 1. Dacă k este cel mai mic exponent pentru care 10^ = n-l -J- 1, unde Z e N, atunci k este numărul cifrelor din perioada fracției zecimale sub care se reprezintă numărul — . Din 10^ = n • l + 1, rezultă m 40^ = mnl + m și reciproc. n 16. Să se arate că orice număr prim cu 10, are un multiplu scris numai cu cifra 9. Indicație. Fie (n, 10) = 1. Numărul — se reprezintă sub forma unei fracții zecimale • , n 1 P periodice simple. Notînd cu P numărul reprezentat de perioada sa avem — =-------------------, n 99 ... 9 de unde n • P = 99 ... 9. Deducem de aici că dacă n este prim și cu 9, atunci el admite un multiplu scris numai cu cifra 1. 17. Să se arate că un număr rațional —, astfel încît n este prim cu m și cu 9, se reprezintă sub forma unei fracții zecimale a, cărei perioadă reprezintă un număr multiplu de 9. 77?, Indicație. Fie — , un astfel de număr rațional, care se reprezintă sub forma unei fracții n • hi P zecimale periodice simple: — =---------------------. Cum n este prim cu 9, rezultă că P se divide n 99... 9 cu 9. Dacă — se reprezintă sub formă de fracție zecimală mixtă, avem 10ⁿ — = k J- n n p H------------------, unde k este întreg, iar n este numărul cifrelor dinaintea perioadei. 142 18. Să se arate că fracțiile i) 0,a₁00a₂0000 m, astfel încît aₙ 0, reprezintă numere iraționale. 19. Să se găsească numerele raționale — și —, a căror sumă este egală cu x ' y 0,(00.43992). 11 1 20. Să se arate că oricare ar fi numărul întreg n, suma------I- ■-----1------- & n n +' 1 n + 2 se reprezintă printr-o fracție periodică mixtă. La fel,pentru— ₂ ——. ᵣ . 1 . 1 । 1 3(n + l)² — 1 xx •+ i Indicație-----------f- .------------=--------—:. Se observa ca numitorul n n + 1 • n + 2 n{n + 1) (« + 2) fracției este multiplu de 3, pe cînd numărătorul nu este multiplu de 3. Numitorul fracției adusă la forma ireductibilă are factorii 2 și 3, de unde rezultă că fracția se reprezintă printr-o fracție periodică mixtă. ■^21. Fie ecuația \/ m x — ]/~n (m, n G N). Să se arate dacă: i) ecuația poate avea rădăcină irațională; ii) ecuația poate avea rădăcină rațională. 22. Fie a, &, c numere raționale. Să se arate că a + b 2 -|- <4 = 0 dacă și numai dacă a = b = c = 0. 23. Dacă a, b, c sînt numere reale, să se arate că: max(, c)) = max(min(a, b), min («, c)). ^24. Să se determine minimul expresiilor i) E(a, b) = 2a² + 2&² + kb — 1; ii) E(a, b) = ab + a²b² 4- 2, unde a, J G R- 25. Să se reprezinte grafic funcțiile: / i) : R R, f^x) = | x² — kx 4- 1 |; ii) : R R, f^x} = | — x² — 4x + 5 |. 26. Fie familia de funcții de gradul al doilea fₘ(x) = mx² 4- 2(m 4- l)x 4- m — 1. i) Să se arate că vîrfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta y = x — 2. ii) Ce porțiune din această dreaptă cuprinde vîrfurile parabolelor cu ramurile în sus. 143 1 27. Fie f : R -> R și g : R -> R două funcții. Definim funcțiile : R R și A₂ : R -> R, prin: hM = max^x), g(x)) și k₂(x) = min^z), g(x)). i) Să se arate că dacă f si g sînt strict crescătoare (respectiv strict descres- cătoare) pe mulțimea 4CR, atunci hₓ și h₂ sînt strict crescătoare (respec- tiv strict descrescătoare) pe aceeași mulțime. ii) Să se reprezinte grafic funcțiile hᵣ și h₂, dacă: a) f(x) = 2x + 1 și g(x) = x —• 3; b) f(x) = | 2x — 1 | și g(x) = | x 4- 3 |; c) f(x) — x² — 2x — 3 și g(x) = x + 3. 28. Să se rezolve ecuațiile: Indicație, a) După definiția părții întregi a unui număr avem x ~ 1 < x — < x — ¹ +1 2^3 2 X __ 1 Din inegalitățile de mai sus,rezultă x g ( — 1,5]. Cum-- s Z, avem x e {1, 3, 5}. 2 b) La fel ca mai sus,avem: 15x - 7 < 5 4- 6x < 15x - 7 ₁ 5^8 5 15x - 7 „ ------e Z. 5 f 7 4 ] Rezultă x e J . — > • 115 5 J 29. Să se construiască de la mulțimea Z a numerelor întregi în ea însăși o funcție injectivă care să nu fie surjectivă și o funcție surjectivă care să nu fie injectivă. 30. Fie N* mulțimea numerelor naturale nenule. Să se dea exemplu de două funcții f și g de la N* la N* astfel încît fg = In*, dar gf In*. 31. Să se determine numerele naturale x, y care verifică relația ^2 _ _ 135 32. Să se găsească rădăcinile întregi ale ecuației + y⁴ + 2 = ^xy. Indicație. Ecuația devine (x² — y²)² 4- %(xy — l)² = 0, de unde x² — y² = 0, xy = 1. 144 33, Se consideră funcția f: R -+ R, da.tă prin f(^) = ax, x < 1 bx, x > 1 a și 6 fiind numere reale. Să se studieze monotonia funcției /' după valorile lui a si b. 34, Se consideră funcția f: R -+ R dată prin a și b fiind numere reale. Să se determine a și b astfel încît / să fie bijectivă și în acest caz să se determine inversa. 35. Cîte soluții în numere întregi nenegative are ecuația 1/z + V~y = J/196O? 36. Să se scrie în ordine crescătoare numerele: 1/3, ^6, |Z30. 37. Să se scrie în ordine descrescătoare numerele: 1/6, 1/12, ^72. 38. Să se rezolve ecuațiile: a) 18x 4 b) x² + Qx + ]/ x² 4- Qx = 20; c) x² + 4 |/6 + x² + 1 = 0; d) — + — = 10 — A 3 x² (3 x yl 8 x . x -f- 2 ’ Indicație, a) Se notează y = b) Se notează [/ r² -p Gx - y, c) Se notează j/6 + x² = y; d) Se notează y = —-------- . 3 x 39. Să se rezolve ecuațiile: a) /z + /z = 12; b) 16z⁴ - 625 = 0; c) x(x + 1) (x + 2) (Z+ 3) = 24; d) 9z³ - 13 x - 6 = 0; e) (x + a) (x + 2a) (x + 3a) (x + 4a) = b*. Indicație, a) Se notează y = x; c) Avem (x² -p 3x) (x² + 3x + 2) = 24; punem !/ = x* + 3x; d) 9x³ — 4x = 9x + 6, x(3x — 2) (3x -f- 2) = 3(3.r 4 2); (3x + 2) (3x² + 2x — 3) = 0 etc.; e) Se notează x — a = y. 10 — Matematică-algebră, ci. a IX-a 145 40. Să se rezolve ecuația: < x² - 8(xe + 3) ]/^l + 22x - 7 = 0. Indicație x 1. Ecuația devine (x + 3 — 4 /z — l)² = 0. 41. Să se rezolve ecuațiile: â 2 L i) (a + x)³ + 4(a - x)³ - 5(«² - z²)³ = 0; ii) ț/a -|- ]/x + ]/ a, — ]/ x = iii) 1^97 — x 4- x = 5; iv) ]/ (x — 2)² + ]/ (x — 4)² = 2. Indicație, iii) Se notează a — /97 x, v = x și obținem sistemul f u + w = 5, { = 97. 42. Să se arate că ^20 + 14 |/2 + ^20 - 14 ]/2 = 4. 43. Să se rezolve inecuațiile: a) |/2 — x > x; b) ]/ 2 — x < x. 44. Să se arate că juburile a două numere complexe conjugate sînt de ase- menea conjugate. 45. Să se arate că produsul oricăror două rădăcini ale ecuației x³ — 1 = 0, este de asemenea o rădăcină a acestei ecuații. 46. Să se arate că modulul numărului complex ———, pentru a număr 1 — ai real, este 1. Reciproc, să se arate că orice număr complex de modul 1, poate fi scris în mod unic sub forma precedentă. Dar dacă a este număr complex? 47. Să se determine x și y, numere întregi, astfel încît !x — y = 48, 48. Să se rezolve sistemul de ecuații: ||a: —l|+|y —5| = 1, 1 y = 5 + | x'— 11. Indicație. Se folosește y 5, după cum rezultă din a doua ecuație. 146 49. Să se rezolve sistemele de ecuații: ₐ\ I % + y + l/zy = 14, | x² + y² + xy = 84; b) Vx+y + tyx— y = ț^x + y)* (x — y)² = 8; + Ky = 4, d) i l/y 3 c) 1 x + y = 28; |/ X yx = = 9; x + y -+^ = a + -. p^ ’ _|_ ^2 4- ^4 = 133, xy x 4- y a 1 X2 --- xy + y2 = 7; x~ y + xy = + lo Indicație, b) Se notează u = xy x --- y b \/x 4- y, ) = ^x --- y\ e) Se folosește a;4 + x2y2 + y* = (xa 4- xy + y2) (x2 --- xy + y2}\ f) Se notează u = * + y xy v = >e rezolve sistemele: 50. Să x ]/ yz = 4, x(x 4- y 4- z) = 20, x 4- y - z a) y ]/ xz = 9, b) < y(x + y + z)-- = 30, cj • x2 -\-y2 --- z }/xy = 50; i x + y 4- z --- a, u 4- v =: 2 x3 -^y3 --- d) । x ey t2z = b, z{x + y -\-z) = ax 4- vy --- 1 [ x 4- &2y zz = c, e) ‘ ux2 4- vy2 = -l, (unde 1 + e + e2 = 1 3);. ux3 4- vy3 = - 5. relația x — y ------> xy = 7, z² = 37, z³ = l; RĂSPUNSURI Șl INDICAȚII Capitolul I 1. a)'-—— > b) Dacă m / —2, atunci x — —’ Peⁿ^ru m = “2, nu are rădăcini; d) Dacă m / 1 și m , atunci x = -~ ; pentru m= 1 si 4 ni — 1 3 —.nu 4 m = are rădăcini; e) Dacă n = 0 și m = 1, atunci x este oarecare; dacă n = 0 si m / 1, nu are rădăcini; pentru w 0 si m —1, x =------------------; n(m 4* 1) pentru n / 0 și m = —1, nu are rădăcini; h) —2, ; i) x G (—00, —10]; j) x G [1, 3]; k) —14, 14. 2. c) Dacă a > b, atunci x G ( — 1, 00); dacă a < b, atunci x G (-00, — 1). d) Dacă a > — 2, atunci x > — —; dacă a < —2, atunci x > ³ ~ ; dacă a = — 2 și a + 2 a + 2 b > 3, atunci x este oarecare; pentru a = —2 și b < 3, nu are soluții. 2 2 e) Dacă a > —1, atunci x >-----------; dacă a < —1, atunci x <-------------. (a+1)² (a + l)² 3. a) Trebuie ca 8 + 3;r > 0, de unde x d) z G 4. a) xₓ = 1 2 1 • 1 ; Xț = — — ; b) nu are rădăcini reale; d) 34 = 1; z₂ = — ; f) 2; g) Pentru 3 3 m = — — nu are rădăcini; pentru m , x — 3 4- m. 5. A = m² —4. Dacă | m\ = 2, atunci A = 0 și în acest caz ecuația are o rădăcină; dacă | m | >2, atunci A > 0 și în acest caz ecuația are două rădăcini distincte; dacă | m | < 2, nu are rădăcini. 6. m = 0; m < 0; m > 0. 7. | w.| < — . 148 9. a) Avem ₊ ₊ + ₌ ^2 U/j vi/jvi/2 >* 1^2 7 y^z — 1- Ecuația este m \y² — (-------------2] y + 11 = 0, m fiind un număr real • L { q J J oarecare, nenul. 11. a) m < 0; b) m > 0. 12. c) (2X — 3m) (X — 2 m). 13. m — —2. 15. Punem z = x — 1 și obținem ecuația în z’. 4m^² + 4z — — {m — 1) = 0. Fie a^, x₂ rădăcinile ecuației în x și z^ z₂ rădăcinile ecuației în z. Avem că: a) xᵥ x₂ < 1 dacă și numai dacă z±, z₂ <0; b) xᵤ x₂ > 1 dacă și numai dacă z^ z₂ >0; c) xₜ < 1 și x₂ > 1, dacă și numai dacă z± < 0 și z₂ >0. Deci problema se reduce la studiul semnelor rădăcinilor ecuației în z. 16. a) Trebuie ea A = 0, adică m² — 144 = 0; de unde mₓ = —12, m₂ = 12. 17. a) (x 4- 7) (2x + 3) (2x - 3) = 0; b) (6x - 1Hz - 9 (z + 9) = 0; c) (x + 3) (x - 4) (x + 4) - 0. Capitolul II § 2. Mulțimi 4. a) adevărată; b) adevărată; c) adevărată; d) adevărată; e) falsă; f) falsă; g) falsă; h) falsă; i) adevărată; j) falsă. 6. a) A = {0, 2, 3 }; = {1, 7}; c) C = {2, 4}. 7. A U B = {1, 2, 3, 4, 7, 11}; A n B = {2, 3}; A - B = = {1, 4}. 10. m = 3, m = 4. 11. m G R - {-4, 2}. 12. m = -|. 15. C^A = R. 16. Submulțimile lui A = {1, 2, 3}) sînt: 0, {!}, {2}, {3}, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. 17. i) 1, a E D(«); ii) a = număr prim; iii) dacă a este de forma a = p³, unde p este număr prim sau de forma pq, unde p și q sînt numere prime diferite; iv) D(8) = {1, 2, 4, 8}, D(160) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80, 160}. 18. m = G 3. A are 2 elemente cînd m = ± 2 J/2. 19. Dacă x E Aₕ, oricare ar fi & > 1, atunci x = a + ^‘i^i — a E Wi = « + r₃m₃ = ... Se obține > m₂ >m₃..., contradicție cu faptul că există doar un număr finit de numere naturale mai mici ca § 3. Funcții 1. f(—2) = —10; f(—1) = f(2) = —7; ^(4) = —10, 2. Se verifică faptul că: #(i) = A¹),^²) = A²), #(3) = A³), ^(4) = A4)‘ 3. Nu. 4. Se pot defini patru funcții. 5. A-*²) = 0, A“⁹) = ³, A³) = ³, A⁹) = ³, A²⁷²) ~ ²- Trebuie 149 ca numerele 1 + w, 4 + m, 9 + w să aparțină mulțimii {1, 2, 3}. Nu există nici un număr întreg m. 9. Funcția nu este nici injectivă și nici surjectivă. 12. Există 6 funcții injective. Nu există funcții surjective. 13. f₂ₗ f₅, sînt injective; nici una din funcțiile date nu este surjectivă. 14. Galați) = = Galați, /'(Făgăraș) = Brașov, ^(Teleorman) = Alexandria, ^(Mehedinți) = = Drobota Turnu-Severin. 15. (g°f) (a;) = a;⁴ + 2a;³ — 2a;² — 3a; + 3; (f°g) = a:⁴ — 2rc³ + 4a;² — 3x -j- !• 16- Pentru x < 0, avem f(x) < - 2 și deci (g°f)(x) = g(f^)) = [fM² = (2a; — 3)². Pentru x >0, avem f(x) >0 și deci = g(M) = 1 = 14a; — 1- Pentru x < —2, avem g(x) = = x² >0 și deci (f o g)(x) = f(g(x)) = 7g(x) = 7 x². Pentru x E 2, yj, avem g(x) = 2x — 1 < 0 și deci (fog)(x) = f(g(x)) = 2g(x) —3 = 2(2x —1) — —3 = 4a; — 5. Pentru x >y , avem g(x) >0 și deci (fo g)(x) = f(g(x)) = = 7g(x) = 7(2a; — 1) = 14a; — 7. Deci /7a;², dacă x < —2, (g°fW j (2x — 3)², dacă x < 0, | 14a; — 1, dacă x > 0; 4a;—5, dacă —2 < x < — , 2 14a; — 7, dacă x > —. - 2 19. 6 funcții bijective. 20. /*(!) = 7, f(2) = 9, ^H) = 3, f(4) = 1, f(5) = 7, f(6) = 9, fW = 3. în general, f(4A) = 1, f^k + 1) = 7, f(^k + 2) = 9, f(^k + 3) = 3. 22. h și k nu sînt nici injective și nici surjective; f^x) = = —x + 4; g-Xx} = x — 1. 23. Se verifică că fof~x= 1N și deci /⁻¹ = f. 24. Inversa este Capitolul III 1. a) 3,000...; c) 0,25000...; d) 0,000...; e) 1,75000...; g) 3,(36). 2. a)-~; b) — . 3. —1,3 = — — = ——; 3,75 — ³—. Celelalte numere sînt iratio- ' 9 io 10 100 nale; pentru demonstrație a se vedea § 2. 4. a) 4; 9; 144; 1 024. b) 2; 3; 7; 1001. 6. a) 3,43479... < 3,43497 ...; e) - 5,4833... >-5,5829 .... 150 7. i) a) 2,2 < 1/5 < 2,3; b) -2,3 < - ]/ 5 < -2,2; c) 1,5 < y < 1,6; d) -1,6 < y < —1,5. ii) a) 2 < |/5 < 3; 2,2 /5 <2,3; 2,23 < / 5 < <2,24; c) l rezultă că și |/ 2 — ]/3 este irațional. 14. Avem a = / ⁺ , £ — + b) ~(a ț bV , ₐb _ (« + ^) — a b . Cum a -f- b și a — b sînt ra- 2 2 ționale rezultă că și a, b și ab s'înt raționale. 15. Dacă unul din a+b |/2 sau a — b |/ 2 sînt egale cu zero, atunci (a -|-b^ta-b /2) = — I b J = 2. Cum — este rațional această relație nu este posibilă. Altă soluție poate fi dată observînd că a G Q, iar b ]/ 2 & Q, și deci suma lor nu poate fi număr rațional. 16. Nu 17. De exemplu, x² — 2x — 1 = 0, x² — x — 1 = 0. Capitolul IV 1. Dacă/= ^, atunci/'(O) =g(0),/’(l) (1), /(—1) = ^(-1); de unde (1 I² 43 f 7 A² X —Yj ’ b) ~ + yj + 57 + — d) 0,51 151 \ a f ¹ V l ² . c)3a — + y , V - / - j / 3 \ 2 28 /) o I ⁼ $5 b) Umax = ~ 11 ț C) ymțn — “ 5: o \ D J ZO d) Umax — ' 5 e) Umax ⁼ 2j f) y-min — ^qq * $• a) Pentru X (— OO, 1], funcția este strict descrescătoare, iar pentru x G [1, oo) funcția este strict (5 1 —oo, — , funcția este strict crescătoare, iar 3 J ’ [5 1 — , oo funcția este strict descrescătoare. 6. a) a;£(—oo, —1] U 3 J U [3, oo) => f(x) > 0; x E (—1, 3) => f(x) <0; d) x E — —1 U l 2 J U [1, oo) => f(x) < 0; x E , lj $e fotosește reprezenta- rea grafică a funcției. 9. f(x) = x² + x — 10. 10. f(x) = —5a;² + 10a; — 3. 11. Vîrful parabolelor, V(x, y)ᵣ are coordonatele: x = m — 1, y = —m² + + 3m — 3. Eliminînd pe m se obține y = —x² + x — 1. 12. Se rezolvă sistemul : a — b + c = 13, 4a + 26 + c = 10, hac — b² = 36a. Se obțin funcțiile: f(x) =^- x²-^x-\- ~~ , f(x) = a;² —2a;+ 10. 13. a) a;£^—oo, — ju U(l, oo); b) ze (-oo, 3 - 1/7] U [3+ 1/7, oo); d) zef-oo, < \ 4 J (______q _i_ 1/v; A ( 5 A r 81 u [ 4 v î e) x g R; h) x E |2, ; i) a;£(0, 4); j) xE [o, yju ..P 1 n ¹¹-1/^05) 11 fu + |/To5 1 L 2 ’ ⁰⁰J’ 1) ^Gl—°°,-----------2----M-------2----’ ⁰⁰1’ 14. Se pun condițiile: (5 A - , oo). 15. Se pun condițiile: m <0 și △ < 0.16. Se rezolvă inecuația A = b² — 4ac > 0.17. Pentru ca fracția E să aibă sens pentru orice x real, trebuie ca discriminantul ecuației x² + x + m — 0 să fie negativ,adică 1 — 4m<0. Apoi din condiția ca x² + (m+l)a; + m + 2>0, oricare ar fi a; real, se obține camG^. 1 + 2 |/2j. 18.a) a;G[—4,1)U(2,3]; b) xe(2,3]-f) ®e[-5, tp-J u [—p-, 5]. 19. a) Xᵥ=-^, yᵥ=-—~ ■ de unde — mxᵥ = m + 1, sau m =----------------— , deci yᵥ=xᵥ + 1; b) AB = 1 + = | x₂ - xₓ | = , FV . Deci AB = 2 FV-, I m | m | m | c) Punctul fix este (—1,0). 20. a) +00); b) Im/’=[1, +00); , T „ f9 - 2|/2Î 9 + 2|/2Î]. x , F f ± p FA , 1 c) Im/ = |----—]’ e) lmf= |~— ₈ , +00J, f) Im/= , + ooj- 152 21. a){(3,l);{— 4,-^1; b) {(2,9);{-¹-⁰.^l; c){(2,l); -²’ -gH. 22. a) |(Urt (^’ (-1, -2); (1, 2); (-2, -1)}; o) {(20, 5); (-20, -5)}; d) {(-3, 2); (3, ^2)}. 23. a) {(1, 5); (5, 1)}; b) {(1, 5); (5, 1); (2, 3); (3, 2)}; c) {(2, 2); (- 1 ± |/3, - 1 ± 1/3)}; d) {(0, 1); (1, 0)}; e) {(2, 3); (- 2, -3); (3, 2); (-3, -2)}; f) {(3, 1); (1, 3)}. 24. Dacă se notează AM — x și cu S aria cuprinsă între cele trei cercuri se obține 5 = 2 (— x² 4- f^ax). Maximul lui S are loc cînd x = a. 25. Notăm NP = = MQ = x și cu S aria dreptunghiului. Dacă [AD] este înălțimea din A pe ipotenuză, atunci din asemănarea triunghiurilor AMN și ABC obținem — ₌ ^-x Cᵤₘ AJ₎ . BC ₌ AB. AC ₐₜᵤₙcᵢ AD ₌ și deci BC AD ■ l/at + b* MN = (AD - x) = -±. - a;l. Dar S = MN • x = AD ab (l/a^b² J _ a + -----M ₓ gₑ ₒbtine o funcție de gradul al doilea ab \\/a* + b² J în x. 26. Notăm AD = a, AC = x, DC = y. Dacă E este proiecția lui D pe [AB], vom nota DE = b. Avem x == ]/ra² — b² — [/i/² — b². i + + i ai o wiw. . . x . y \/a²~b² \/y² — b² . y Timpul total pe care il face calatorul este --F — = -------— ------F— * Timpul este minim dacă cantitatea m = — — — — este minimă. Elimi- ^2 V1 nînd radicalul obținem ecuația de gradul al doilea în y: (v²—v²}y²—2v²V2myM + (v²m² 4- b²)v² = 0. Se pune condiția ca discriminantul acestei ecuații să fie ■, • • i, • „ b M — ^2 • a- i • • , |/ oa— b² . pozitiv și se obține ca m > — --J---Deci timpul minim este----------=— 4~ W1V₂ Vi b 1/ v² 4~———------—. 27. Dacă x si y sînt laturile dreptunghiului iar R raza ^1^2 cercului atunci x² 4- y² — 4B². Dacă S este aria dreptunghiului avem 5 = xy. S este maxim cînd S² — x²y² = x² (4B² — x²) este minimă. Notînd x² = z se obține o funcție de gradul al doilea. 28. Dacă R este raza cercului și x, y 153 semibazele trapezului avem că perimetrul este ^x + y). Se arată că xy = R² și deci avem minim pentru perimetru cind x = y = R. 29. Fie x, y pro- iecțiile catetelor pe ipotenuză. Avem sistemul de ecuații x + y = a și xy = h². 30. Fie x, y catetele triunghiului. Avem sistemul de ecuații x-\-y + + ]/x² + y² = 2p și xy = h ]/x² + y². 31. Se ia ca necunoscută semibaza inferioară. înălțimea trapezului este \/R² — x². Laturile neparalele ale tra- pezului au lungimile egale cu ]/2R² — 2Rx. Se obține ecuația 2x + 2R + -f- 2 2R² — 2Rx = 2p. 32. Se iau ca necunoscute x, y semibazele trape- zului. Se obține sistemul xy — R², R(x + y) = 2R². 33. Fie AD = x, DC~ y- Se obține sistemul ax + by = 2k\ x² a² = y² + b². 34. Dacă x, y reprezintă numărul de ore necesare primei brigăzi, respectiv celei de-a doua brigăzi, pentru terminarea întregii lucrări, obținem sistemul — + —. = —; 3 y 3 x 18 lg r i i > —------1---= 1. Se obține x = 9, y — 6. 35. Laturile dreptunghiului sînt 5 1 x y j 80 m și 60 m. Capitolul V § 1. Puteri 1. a) 16; b) 15’; c) Uf \ o J d)-----—. 2. a) m < 1, este pozitivă; m = 1, este 2 . 2 zero; m> 1, este negativă;b) m < —, este pozitivă; —, este zero; m 3 3 £ 3 • . , 1 1 este negativă; c) este pozitivă oricare ar fi m / — . Pentru m = — , este zero. 1 ² . ² 3. a) xy³\ b) (a 4- b)²\ c) 2ⁿ. 4. se calculează membrul drept. 5. Se descompune în factori a²² - 6³² = (a¹⁶)² - (&¹⁶)2. 6. a) (xm⁺ⁿ + 1) (^-ⁿ+ 1); b) 0. 7. a) 2⁸; b) 9°; c) sînt egale; d) 4³⁰⁰ = (4³)¹⁰⁰ și 3⁴⁰⁰ = (3⁴)¹⁰⁰, 4³ < 3⁴, 3⁴⁰⁰ este mai mare; e) —“V ’ 0 (—Se folosește reprezentarea grafică. 10. Este 32 / strict crescătoare. 11; a) a“³Zr⁴; {a -p b)~\a — b)~²\ 3a~⁵b~⁶c~²; b) 2 • 10“⁴; 3 • 10“⁶; 15 • IO"⁴; 12. a) a“⁴(l + a²) • (a« + a² - 1); b) 4a“²; c) 1. 154 • § 2. Radicali 1. a) | x — 1 | ; d) | — 3a:² 4- x — 1 | = 3a;² — x 4- 1. 2. 7 — 2x pentru x G (—oo, 2); 3 pentru x G [2, 5]; 2x — 7 pentru x G (5, oo). 3. Conform problemei precedente, avem f(x) = 7 — 2x, a;G(—oo, 2); f(x) = 3, x£[2, 5]; f(x) — 2x — 7, a;G(5, oo). 4. a) xE[%, oo); b) mulțimea tuturor numerelor reale; c) x G (—oo, —2) U R-, oo] ; d) x E [1, oo). 7. a) ]/ | a;² — 11 ; L o j b) ]/ a;² - a; + 1. 8. a) 3 /2>2 }/3; c) 4 |^2 > 3 |X4.9. b) ²⁰/T⁷ ; 4 /-------- d) c) 4]/6-8]/3; d) 8. 11. c) 2 (2 ]/2 4-/ÎO - ]/5 - 1) ; d) - (|X9 - ^2Î + |/49). 12. i) IA-²/^; ii) - . 13. b) 3, 4; ² /^ + /T d) 12; e) 4, -5; f) 4; g) 0, 5; h) -a, a; i) 7. 15. c) 1 < /2 = ]/4 < |/3. 17. a) |/ 3 4- 1/2; c) |/7 — |/3. 18. Se scrie x 4- 2 |/ a; — 1 sub forma $ ~ 1 4" 2 ]/x — 1 4- 1 = (|/ a; — 1 4- 1)²« Analog, se procedează cu x - 2 |/a; —1. 19. 0,1, 20. —. 243 Capitolul VI 11 2 2 1. a) x = — , y — — — ; b) x = t, y = — (4 — Z), unde t este un număr 92 194 real oarecare; c) x = — — , y — ; d) x = 0, y = 7. 2. a) 8 — i; d) 6 1/2 + 7i; e) 5. 3. c) ' ¹-; d) i; f) -1 -i; g) 2a; h) 1. 6. c) 0, dacă n — 4k; i, dacă zz = 4A: 4- 1; î — 1, dacă n = 4R 4- 2; —1, dacă n = = 4A 4~ 3; d) —1; f) 4i — 3. 7. a) m = —2; b) m = — ; c) m —2 sau - - S. a)±~ (1 4. i); b) ± . 11. a) (X - 1 - i) (X - ² |/2 2 - 1 4- i); b) (2X + 1 - 2i) (2X 4- 1 4- 2i). 12. a) xᵣ = 3 - 6i, ^=3 4- 4-6i; a;₂ = 3 4-6i, ?/₂ = 3 — 6i. 14. a) m(a;² 4- 20a; 4- 200) = 0, m E R; b) m(2x² — 14a; 4- 205) = 0. 15. a) Scriem a;³ — 27 = (a; — 3) (a;² 4- 3a; 4- 4- 9) = 0 și se obțin rădăcinile: 3, — / (1 |/3 i). Avem x³ 4- 27 = = (x 4- 3) (^² — 3a; 4- 9) = 0; se obțin rădăcinile: — 3, y (1 4^ 1/3i); 155 d) — 5, (1 i |/3i). e) Scriem x⁴ — 16 = (x + 2) (x — 2) (a;² + 4), de z unde rezultă rădăcinile: —2, 2, — 2i, 2i; f) Avem x⁴ + 16 = (x² + 4)² — — 8z² = (x² + 2 ]/2x + 4) (x² — 2 |/2$ + 4) = 0. Rădăcinile ecuației sînt: - ]/2 + l/2i, - / 2 - l/2i, ]/2 - |/2i, /2 + /2i; g) - . '/12(l ± i) a) 0; b) 0. 17. a) x^x^ = 6; b) = 7. 20. a) Punctele se află pe parabola y — — x² +. 10; b) Punctele se află pe dreapta y = = 1 - X. 21. b) {(1, 1/2), (1, - 1/2), (2,1), (2, - 1)}. c) {(7, 3), (-7, -3)}. oo n + z. n I • ifi/« + |/«² + ^²| • -I /—« + |/az + fc²1 . 22. Pentru b > 0, x + y\ = ± I y —~ ₂ ~-------------F i y----------------|, x i a । • । fi /a + l/a² + b² . -s I— a + |/a² + bz\ cₙ pentru b < 0, x + yi = ± I y —¹------------i y----------------—I. 23. Se notează z² — y și se are în vedere problema precedentă. BIBLIOGRAFIE 1. M. Becheanu, V. Căzănescu, C. Năstăsescu, S. Rudeanu: Logică matematică și teoria mulțimilor (manual pentru anul II liceu, clase speciale de matematică), Editura Didac- tică și Pedagogică, București, 1972. 2. Algebră și elemente de analiză (manual pentru cl. a IX-a, școli medii, din U.R.S.S., sub redacția A.N. Kolmogorov), Moscova, 1976. 3. Gh. Dumitrescu, Manual de algebră, pentru cl. a IX-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1963. 4. l.S. Gradstein, Teorema directă și reciprocă. Editura Tehnică, 1960 (traducere din 1b. rusă). 5. Ion loncscu. Maxime și minime geometrice, Editura Tehnică, București, 1955. 6. F. Speranza, Relații și structuri, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1975 (traducere din 1b. italiană). 6. I. Stamate și I. Stoian, Culegere de probleme de Algebră (pentru licee), Editura Didac- tică și Pedagogică, București, 1979. CUPRINS I. Ecuații de gradul întîi și de gradul al doilea (recapitulare).................... 3 1. Ecuații și inecuații de gradul întîi......................................... 3 2. Ecuații de gradul al doilea cu rădăcini reale................................ 6 Exerciții ............................... -.......................................... 11 II. Elemente de logică matematică, mulțimi, Juneții................................ 14 1. Elemente de logică matematică............................................... 14 Exerciții ........................................................................ . . 21 2. Mulțimi .................................................................. 21 Exerciții ........................................................................... 27 3. Funcții .................................................................... 29 Exerciții ........................................................................... 40 III. Numere reale................................................................. 43 1. Reprezentarea numerelor raționale sub formă de fracții zecimale (perio- dice) ......................................................................... 43 2. Numere reale ca fracții zecimale infinite................................... 49 3. Ordonarea numerelor reale .................................................. 50 4. Aproximări zecimale ale numerelor reale..................................... 52 5. Adunarea și înmulțirea numerelor reale.................................... 53 6. Interpretarea geometrică a numerelor reale.................................. 57 Exerciții .................----------------------.................................... 58 IV. Funcția de gradul ai doilea---------------—................................. 61 1. Definiția funcției de gradul al doilea. Exemple............................. 61 2. Graficul funcției de gradul al doilea........................... .......... 62 3. Maximul sau minimul funcției de gradul al doilea----------------...------ 68 4. Intervale de monotonie pentru funcția de gradul al doilea................... 70 5. Tabelul de variație și trasarea graficului funcției de gradul al doilea...— 74 6. Semnul funcției de gradul al doilea........................................ 75 7. Aplicații ale semnului funcției de gradul ăl doilea.......................- 78 8. Aplicații practice ale studiului funcției de gradul al doilea .......... 82 9. Rezolvarea cîtorva sisteme de ecuații cu coeficienți reali—............... 86 Exerciții ........................................................................ 93 158 V. Puteri și radicali ............................................................. 98 1. Puteri ..................................................................... 98 Exerciții .......................................................................... 105 2. Radicali .................................................................. 106 Exerciții ...................................................................... 122 VI. Numere complexe .............................................................. 125 1. Mulțimea numerelor complexe ........................................ 125 2. Forma algebrică a numerelor complexe.................................... 129 3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.............................. 133 4. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali............... 136 Exerciții ...........-.............................................’ 138 VII. Probleme recapitulative............................................... 141 Răspunsuri și indicații ............................................................ 148 Bibliografie ....................................................................... 157 Coli de tipar : 10 Bun de tipar : 28.XII.1987 Com. nr. 70 362, 34 029 Combinatul poligrafic „CASA SCÎNTEII“ București — R.S.R.