ACAD. ELIE CARAFOLI AERODINAMICA EDITDEA TEHNICĂ C. 66,652. ' 19 5 1" Acad. E. CARAFOLI: Aerodinamica, Ed. 1. Bucureşti. Ed. Tehnică. 1951. 2 + 508 pag. + 231 fig., ft. 250X175 mm ; 600 lei broşat, 700 cartonat. Tipografia „Centrul Poligrafic Nr. 2, Unitatea B*. Dat în lucru la 19.111.951. Bun de tipar 15.VIIl.951. Hârtie semivelinâ 65 g/m2, ft. 70X100/16. Tiraj 1 100. Coli de tipar 32. Coli de editură 33,25. Comanda 241. Pentru bibliotecile mici indicele de clasificare este 532. PREFAŢA Avântul extraordinar pe care aviaţia l-a luat în ultimul timp se dato-reste în cea mai mare parte cercetărilor aerodinamice, teoretice şi expertimentale. Ştiinţa Aerodinamicei, prin amploarea şi diversitatea problemelor pe care le pune şi mai ales prin caracterul aplicaţiilor sale, s'a desprins de Hi-drodinamica clasică şi tinde să devină o disciplină de sine stătătoare. In aceste condiţiuni, Aerodinamica s'a desvoltat într'un mod considerabil în ultimele decenii şi se poate spune că problemele importante dintr^un întins domeniu al ei sunt astăzi rezolvate. Trebue să precizăm dela început că cercetarea aerodinamică se desfăşoară pe căi diverse, după cum este vorba de vitese mai mici decât vitesa sunetului, de vitese apropiate de vitesa sunetului sau de vitese mai mari decât aceea a sunetului. Acest ist interval de vitese necesită metode de cercetări diferite, deoarece în primul caz este vorba de fluide incompresibile, iar în celelalte două domenii, ale viteselor sonice şi supersonice, intervin consideraţii legate de studiul fluidelor compresibile. In lucrarea de faţă vom îmbrăţişa un singur aspect, acela al viteselor curente şi sperăm ca într^o viitoare lucrare să abordăm şi domeniul viteselor mari, sonice şi supersonice. Bazele teoretice vor fi date deci de Mecanica fluidelor incompresibile şi deaceea lucrarea cuprinde o recapitulare a rezultatelor fundamentale din Hidroăinamica clasică. In tratarea subiectului propriu zis, punctul de plecare îl constitue teoria lui Jucovschi, despre care scriam, următoarele în prefaţa lucrării noastre anterioare „TMorie et Traces des profils ă'ailes sustentatrices- publicată în 1928 în colaborare cu prof. Albert Toussaint : „ ...Celelalte încercări făcute până în prezent pentru a explica rezultanta aerodinamică pe aripile sustentatoare sunt în ăesacord cu principiile generale ale Mecanicei Raţionale sau cu cele ale Hidrodinamicei. Teoria lui Jucovschi este singura care constitue o soluţie aerodinamică acceptabilă şi care este susceptibilă în acelaş timp de a fi extinsă la aripa de anvergură finită, ceeace «'a făcut dealtfel cu ajutorul teoriei lui PrandtV\ Desvoltările făcute pe baza acestor teorii de către o pleiadă de iluştri savanţi ca Ceaplâghin, Kârmân, Glauert, Cocin, Villat, Betz, Golubev, Mises, Toussaint, Pistolesi, Birnbaum, Millikan, Necrasov, Milne-Thomson, Sedov, Munk, etc, au fixat solid cadrul Aerodinamicei moderne. Intfun astfel de cadru am expus cele câteva capitole ale lucrării noastre, începând cu teoria aripei de anvergură infinită, unde am tratat, în toată PREFAŢA amploarea şi sub toate aspectele ei, problema profilelor aerodinamice, cu aplicaţii directe în practica aeronautică. Am dat deasemenea o desvoltare cu totul deosebită teoriei aripii de anvergură finită, reuşind totdeodată să soluţionăm în mod explicit o seamă de probleme legate de aplicaţiile curente ale Aeronauticei, lumi ce a fost posibil prin utilizarea unor metode practice şi fecunde. Având în vedere interesul din ce în ce mai mare pe care-l capătă sborul în regim variat, am căutat să prezentăm şi unele aspecte ale micşării variate în jurul aripii de avion. In sfârşit, pentru a ţine seama de desvoltarea care s'a dat cercetărilor aerodinamice'în laboratoare, datorită cărora asistăm de altfel la progresele uimitoare făcute astăzi în aviaţie, ultimul capitol tratează despre influenţa limitării vanei experimentale, prin pereţi rigizi sau suprafeţe libere, asupra rezultatelor încercărilor aerodinamice ale aripilor. In felul acesta, sperăm că am redat în părţile lor esenţiale capitolele importante ale Aerodinamicei. Fără să fi alterat cu nimic rigoarea ştiinţifică, am încercat să aducem în fiecare problemă soluţia corespunzătoare în vederea aplicaţiilor practice si credem că am izbutit în mare măsură să atingem acest scop. In dorinţa de a antrena cât mai multe elemente tinere în cercetarea ştiinţifică, atât dintre cei care cultivă matematicile aplicate, cât şi dintre cei care vor cerceta mai departe aplicarea rezultatelor obţinute, am căutat să adâncim analiza fenomenelor aerodinamice sub toate aspectele, utilizând în fiecare caz şi metode corespunzătoare. Sperăm să fi adus o contribuţie reală în acest sens, în vederea promovării unor studii de utilitate indiscutabilă, atât din punct de vedere teoretic cât şi din cel al aplicaţiilor practice. înainte de a termina, ţin să mulţumesc colaboratorilor mei, T. Oro-veanu, St. Săvulescu, B. Horovitz şi în mod special acesteia din jirmă, pentru concursul pe care mi l-au dat la redactarea lucrării şi la corectarea probelor.. E. Caraîoli » î' CAPITOLUL I RECAPITULAREA PRINCIPIILOR ŞI TEOREMELOR FUNDAMENTALE ALE HIDRODINAMICEI CLASICE înainte de a trece la Teoria arirjilor sustentatoare yom face o scurtă expunere asupra principalelor rezultate ale Hidrqdinamicei clasice şi vom stabili formulele uzuale care au o aplicaţie imediată în problemele de Aerodinamică. 1. ECUAŢII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE 1.1. Consideraţii preliminare Mecanica fluidelor este ştiinţa care se ocupă cu echilibrul şi mişcarea fluidelor, precum şi cu acţiunea acestora asupra pereţilor înconjurători sau asupra corpurilor cufundate în ele. Sub denumirea de fluide cuprindem lichidele şi gazele. Cu toate că acestea prezintă caracteristice deosebite, condiţiile generale ale mişcării sunt identice, cu singura rezervă că pentru gaze trebue să se ţină seamă de compresibilitatea lor, atunci când vitesele curentului sau ale corpurilor cufundate depăşesc anumite limite. Se dau adesea Meca,nicii Fluidelor denumiri distincte. Astfel, de exemplu, Hidrodinamica priveşte fluidele incompresibile; Hidraulica este o denumire şi mai restrânsă şi priveşte în special apa şi aplicaţiile în legătură cu aceasta; A e-rodinamica tratează fenomenele aerului şi acţiunea acestuia asupra corpurilor care evoluează în aer. Lichidele nu se opun deformaţiei şi iau forma vasului care le conţine. Ele sunt practic incompresibile, nu au coeziune şi în interiorul lor nu există decât eforturi de compresiune. Gazele nu au nici o coeziune, sunt perfect compresibile şi umplu întotdeauna rezervorul în care sunt conţinute. In anumite condiţii, când vitesele sunt destul de mici, se poate neglija compresibilitatea şi, în acest caz, gazele în mişcare se comportă ca şi lichidele. ECUAŢII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE Fie. Li- 1.1.1. Caracteristice comune fluidelor. Fluidele au următoarele proprietăţi comune, în ceeace priveşte influenţa lor asupra mişcării: 1. Eforturile interioare sunt compresiuni. 2. Eforturile asupra unei suprafeţe de separaţie sunt perfect normale dacă fluidul este în repaus şi sensibil normale dacă fluidul este în mişcare. In acest din urmă caz, într'adevăr, trebue să se ţină seamă de rezistenţa la alunecare datorită viscozităţii. Ca urmare a acestor caracteristice, acţiunea reciprocă a celor două părţi M[ şi M2 ale unei mase M (fig. 1.1), separate prin suprafaţa a, este o forţă de compresiune ; prin urmare se poate face abstracţie de masa M, faţă de masa M2, dacă se înlocueşte acţiunea celei dintâi cu un sistem de presiuni p, sensibil normale pe er şi îndreptate către interiorul masei M2. Dacă presiunile sunt perfect normale, adică dacă acţiunea tangenţială la suprafaţă este nulă, fluidul este perfect sau ideal. Fluidele reale însă prezintă frecări interne datorite viscozităţii şi acţiunile asupra suprafeţei a au componente tangenţiale, care în general nu sunt neglijabile. In ceeace urmează ne vom ocupa de fluidele perfecte şi incompresibile precum şi de fenomenele reale, legate de ele, care îşi găsesc explicaţia în legile mişcării acestor fluide. 1.1.2. Densitatea. D e n s i t a t e a sau masa specifică este masa conţinută în unitatea de volum. Densitatea variază în mod continuu şi această proprietate ne conduce la principiul continuităţii masei. Totuşi, în cazuri speciale, în anumite puncte ale lichidului apar discontinuităţi care dau naştere la cavitaţiuni. Densitatea se notează în general cu litera grecească p. O altă noţiune, legată de densitate, este greutatea specifică, pe care o vom nota cu litera grecească y şi care este greutatea masei conţinută în unitatea de volum. Dacă g este acceleraţia gravitaţiei, există relaţia : Y = p-#- Pentru lichide, densitatea şi greutatea specifică sunt practic constante ; pentru gaze, trebue să se ţină seama de variaţia lor în funcţie de presiune, dacă aceasta prezintă variaţiuni apreciabile. 1.1.3. Unităţi de măsură. In Mecanica Fluidelor se întrebuinţează în general următoarele unităţi: m = metrul, pentru lungimi, kg = kilogramul, pentru forţă, s = secunda, pentru timp. 0ONSIDERAŢ1UNI PRELIMINARE Densitatea şi greutatea specifică vor fi reprezentate în funcţie de aceste unităţi. Astfel, de exemplu, pentru apă la 4°C şi pentru aer la 15°C si la presiunea atmosferică, vom avea respectiv : 1000 a) pentru apă, y=1000kg/m3, P = b) pentru aer, y = 1,229 kg/m3, p = 9,81 1,229 9,81 * 102 kg • s2/m4 ; 0,125 kg. s2/m4. 1.1.4. Viscozitatea. Acţiunea reciprocă a moleculelor fluide, care alunecă unele fată de celelalte, este o forţă tangenţială, care se numeşte forţă de frecare. Această proprietate a fluidelor reale se numeşte viscozitate. a Toate fluidele reale sunt mai mult sau mai puţin vâscoase. Fluidele lipsite de viscozitate sunt fictive : din această cauză ele se numesc fluide ideale sau perfecte, aşa cum am arătat şi mai sus. 1.1.5. Stare de mişcare. Se spune că un fluid se găseşte în stare de mişcare dacă, la un moment dat, fiecare particulă posedă o vitesă. Pentru a se defini mişcarea, trebue să se identifice şi să se urmărească aceste particule în lungul traiectoriilor lor: aceasta este metoda lui LAGRAJSTGE. Totuşi, adesea este mai comod să se reprezinte mişcarea de-terminându-se vitesele particulelor care trec în fiecare clipă printr'un punct determinat: aceasta este metoda lui EULER. In afară de cazul când se va face menţiune specială, vom întrebuinţa în cele ce urmează această metodă din urmă. 1.2. Ecuaţiile generale Fie V vitesa unei particule fluide, p şi p presiunea şi densitatea care domnesc în jurul acestei particule şi / forţa exterioară raportată la unitatea de masă (fig. 1.2). Considerând mai departe un volum t, limitat prin suprafaţa a, acest volum se găseşte în echilibru dinamic sub acţiunea forţelor următoare : a) rezultanta forţelor de inerţie, i>4 .df, b) rezultanta forţelor exterioare, Fig i2, (1.2) ^P/dT' c) rezultanta presiunilor, care se poate scrie, ţinând seamă de formula lui GAUSS, (1.3) pn da grad p dx, 6 ECUAŢII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE unde n este vectorul unitar normal pe elementul da al suprafeţei, îndreptat spre interiorul fluidului. Pentru echilibru, trebue să scriem, (1.4) [ P — dT = C p / dT — [ grad p dr, de unde rezultă ecuaţia de mişcare dV - 1 (1.5) dt f grad p Luând proiecţiile fiecărui vector pe cele trei axe de coordonate Ox, Oy, Os, se obţin trei ecuaţii de forma următoare : du P dp d7 dx dv P dp dt dy dw P Op dt dz (1.6) unde u, v, w sunt componentele vitesei după aceleaşi axe şi fx, fy, fz, respectiv componentele forţei exterioare. Vom avea deasemenea, remarcând că variaţia masei în unitatea de timp este egală cu fluxul de masă care traversează suprafaţa a şi întrebuinţând relaţia bine cunoscută a lui GAUSS : (1.7) { — di = i pV X nda= Jt dt Ja Jj div (P7) dr, de unde rezultă ecuaţia de continuitate: (1.8) dt + div (pV) = 0 sau mai departe, în notaţia carteziană : (1-9) (1.10) 6p_ dt d(pu) d(pv) d(pw) 0. dx dy dz Dacă densitatea este constantă, se obţine o expresie mai simplă: du . dv , dw dx div V ■■ + dv ^ dy = 0. dz Pentru lichide compresibilitatea este neglijabilă şi densitatea este prin urmare constantă. Pentru gaze, deasemenea, până la o anumită. ECUAŢIILE GENERALE limită a vitesei, se poate considera densitatea constantă; prin urmare, în acest caz se poate pune (1.11) p = et. Dacă vitesele devin mari, presiunile diferă sensibil dintr'un punct într'altul şi densitatea variază deasemenea. Mişcările fiind rapide, legea de transformare este adiabatică: {1.12) JL p* = ct. Această ecuaţie, ca şi (1.11), se numeşte ecuaţia caracteristică sau ecuaţia fizică. 1.2.1. Transformarea eeuaţiilor. Să considerăm vitesa în fiecare punct, ea depinde de timp şi de coordonatele punctului respectiv; prin urmare, se pot scrie pentru' componentele u, v, w ale vitesei relaţiile următoare : da? . ,, u (x, y,z, t), (1.13) u = V = dt dy dt dz v (x,y,z,t), w — — =w(x,y,z,t). dt In timpul deplasării pe traiectorie vitesa particulei variază, pe de o parte în funcţie de timp, iar pe de altă parte în funcţie de noua poziţie în care se găseşte, după trecerea timpului elementar di; componentele acceleraţiei se vor putea deci scrie succesiv, după cum urmează : (1.14) — = - du ~ Ut du dt _d__ dx du du dt dx U2 + V2 -f- w2 u + + w du dy du dz v + du dz dw dx w -.( dv dx du dy şi alte două expresii analoage privind pe v şi w. _ Fie ~î, 77 ~Jc, vectorii unitari după Ox, Oy, Os şi să notăm cu Q, rotorul lui V ; se va putea scrie relaţia cunoscută : (1.15) Q, = rot V = _/' dw dv \ , — f * j Te d d d dx dy ds u V w du dw ) + T —— — - dz dx dv^ dx du dy 8 ECUAŢII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE ECUAŢIILE GENERALE 9 Remarcând mai departe că ultimii doi termeni din membrul al doilea al expresiei (1.14) reprezintă proiecţia pe Ox a produsului vectorial D.AV se poate deduce uşor expresia vectorială a acceleraţiei : (1.16) dV dt et + grad — H + O A 7 Se numeşte vârtej un vector w, care reprezintă rotaţia instantanee a particulei în punctul considerat (după STOKES şi HELMHOLTZ) şi care este egal eu jumătate din rot V (u> = \ Q ); dar pentru a simplifica scrierea, în afară de vreo menţiune specială, vom da aceeaşi denumire rectorului Q. = rot V. Presupunând mai departe că forţele exterioare derivă dintr'o funcţiune de forţe : (1.17) Ţ = grad U şi punând pe de altă parte, după relaţia (1.12), dp x p p x—1 p (1.17 bis) se poate scrie, în cele din urmă, în locul ecuaţiei de mişcare sub forma (1.5), următoarea expresie : (1.18) CV dt -f ~Q~A V + grad ţp + y F2 - C/j = 0, care devine în cazul mişcării permanente: (1.18 bis) Q A V + grad [ P + ~ V2 U 0. 1.2.2. Linie de curent. Linie de vârtej. Linia, a cărei tangentă într'un punct oarecare este paralelă cu vitesa în acelaş p"unct, se numeşte linie de curent. Ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de curent se deduc direct din definiţia lor : (1.19) da? _ dy dz u v w In mod analog se numeşte linie de vârtej, linia care este tangentă în toate punctele sale la vârtejurile corespunzătoare. Notând cu X, [x, y proiecţiile vectorului O ,se pot scrie pentru ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de vârtej următoarele relaţii: (1.20) da? dy dz T .7 Fie (7C o secţiune oarecare; liniile de curent care trec prin această secţiune formează'un tub de curent (fig. 1.3 a). Deasemenea, vârtejurile care trec printr'o secţiune at formează un tub de vârtejuri (fig. 1.3 b). 1.2.3. Mişcare variată şi mişcare permanentă. Vitesa într'un punct oarecare poate'varia în funcţie de timp sau poate fi constantă : în primul caz mişcarea este variată sau n e p e r m a n e n t ă, în al doilea caz mişcarea este permanentă sau staţionară. 1.2.4. Mişcare irotaţională. Potenţial de vitese. Să presupunem că, în fiecare punct al spaţiului fluid, vârtejul este nul: mişcarea se numeşte în acest caz irotaţională şi expresia (1.15) a vârtejului este egală cu zero. scrie prin urmare : (1.21) Vom putea dw dy du dw dz dx dv dz dv dx a) du dy de unde rezultă, notând cu cp (a?, y, z, t) o funcţie oarecare de x, y, z şi t (care se numeşte potenţialul de vitese),relaţiile următoare : u = Ocp _ d + wy) do-, expresia derivatei impulsului după axa Ox: (1.62) — = - P [ udQ =- p{ u («a + v$ + wy) do- = Fx+ Px dt Ja h şi încă două, după axele Oy şi Os, care se obţin foarte uşor : (1.62 bis) dt >[ vdQ ■Fv + P,„ dt Ja 1.7.1. Momentul impulsului. Fie r distanţa volumului elementar dx faţă de origine, pe care o vom nota cu O; impulsul elementar fiind (1.63) d7=fpdT, este uşor de văzut că momentul elementar al impulsului va fi (1.64) dm = r Adl= r A Kp dx şi prin urmare, considerând densitatea constantă {l.,65) = \j r A dl = p ^ t'A^ dx. Momentul forţelor de inerţie este egal cu momentul forţelor exterioare Kf şi cu acel datorit presiunilor care se exercită pe suprafaţa o, Kp; vom scrie, prin urmare, (1.66) a dV P \ r A — dT ,)t di A^L = ^ + kp. dt Pentru a calcula primul membru, vom scrie observând că r nu variază cu timpul : (1.67) 2 Aerodinamica . dV , d(-rA^) a r A —— p dr = ————ip dr di di dm di p dt, 18 ELEMENTE DIN TEORIA VÂRTEJURILOR CÂMPUL DE VITESE DATORIT UNUI SISTEM DE VÂRTEJURI 19 unde am notat cu m, pentru a simplifica scrierea, momentul vitesei faţă de origine : (1.68) m = r [\ V. Ţinând seama de ecuaţia de continuitate, putem scrie mai departe ,-. ™x dm dm dm , dm d (mu) (1.69) - =-u -\--v H--w= v ' d (mv) d (mw) dt dx dy dz dx dy dz şi prin analogie cu cazul precedent, vom putea scrie succesiv (1.70) d*D\l f - A dV , = P \ r A- dx = d* dt ~_PS.[ «- \ m (V x n) dor, 5 (mw) 5 (mu) ^ d (mw) dy dz dx de unde rezultă în cele din urmă, notând din nou (V X n) da = dQ, ecuaţia momentului impulsului: (1.71) dm, dt r A VdQ = KF + KP. Să descompunem momentele Kf şi Kp după cele trei axe : Kp = iLp + JMf + TcNf, KP = iLP + ^Mp + Ic Np, expresia (1.71) se va scrie în notaţii carteziene, după axa Ox, sub forma (1.72) (1.73) dan, dt = ~ P ^ (yw — zv) dQ = Lf + I'p şi alte două asemănătoare, care se obţin prin permutări circulare. 2. ELEMENTE DIN TEORIA VÂRTEJURILOR Aerodinamica aripilor de avion se bazează pe teoria vârtejurilor. Din această cauză, este necesar să expunem mai jos proprietăţile principale ale vârtejurilor şi să punem în evidenţă rezultatele cele mai însemnate care au o aplicaţie imediată la studiul suprafeţelor portante. 2.1. Consideraţiuni generale Am definit în paragraful precedent un vector Q, = rot V, ale cărui proiecţiuni pe axele de referinţă Ox, Oy, Oz sunt respectiv: (2.1) ^ _ dw dv dy oz du dz dw —, dx dv dx au ~dy' Se demonstrează că acest vector este egal cu dublul rotaţiei instantanee a unei particule constituite, în jurul unui punct considerat. Această rotaţie instantanee se numeşte (Buxpt în rusă, tourbillon în fran-W i r b e 1 în germană, v o r t e x în engleză) şi se notează cu ■ di v 4tc^ )s r (2.17) w = - — y dr C 4tt^J h în care suma se extinde asupra tuturor inelelor de vârtej astfel descompuse ; prin" urmare, remarcând mai departe că avem succesiv : (2.18) dr 1 îl ■,- r A dr rot _ = — rot (dr) + grad — A dr = —-- r r r r3 r f\ dr se poate scrie sau mai departe, notând din nou dr • dr = O dx, după (2.16), se obţine formula lui BIOT - SAVAET generalizată : 1 r r A O (2.20) V = — \ dx. 47t ) z ir Să aplicăm formula (2.19 ) la un singur tub de vârtej infinit de subţire de intensitate Y; se obţine (2.21> 47T Js r A dr da- şi vitesa cont r i.b u t i v ă a unui element ds al tubului, _ normală pe planul format de r şi dr, va fi Fig. 2.2. (2.22) dV Să punem (fig. 2.2) r - r A dr 4 7r r3 (2.23) | r A dr j = r sin 6 ds, se obţine în cele din urmă foimula lui BIOT — SAVAET (2.24) d7|= — 4n sin 6 ds Avându-se în vedere desele aplicaţii ale formulei (2.21), sub diferite forme, dăm mai jos proiecţiunile vitesei în notaţii carteziene. Intr'adevăr, dacă remarcăm că se poate scrie (2.25) rAdr= d# J y — 7) dy ic dz 22 ELEMENTE DIN TEORIAA VÂRTEJURILOR unde x, y, z sunt coordonatele unui element al tubului de vârtej infinit de subţire şi 5, t\, ţ, coordonatele punctului P, se obţin uşor vitesele induse ale tubului de vârtej în acest punct: (2.26) u = r (■ 4tt Ic (y — *)) dz - (z - 0 dy [(X - 1? + (y - - t])2 + (z- m™ (z — Z) dx — (x — ţ) dz [(X - IY + (y - - y])2 + (Z - O2]3'2 (x - l) dy — (y — f)) dx [(X - lf + (y- y))2 + (Z-C)2]3'2 2.3. Vitesa indusă de un segment rectiliniu al tubului de vârtej Fie AB segmentul rectiliniu şi d distanţa dela punctul P la linia de vârtej; vitesa indusă de acest segment va fi normală pe planul format de AB şi punctul P şi îndreptată în sens pozitiv faţă de D. (fig. 2.3). Valoarea acestei vitese se deduce uşor din formula (2.24) punând : (2.27) d sin o s =d cot 6 şi integrând ; se obţine astfel formula : (2.28) V = ——— \ sin 0 d6 = —-— (cos « - cos (3), care devine în cazul când cele două extremităţi se întind până la infinit: r 2nd (2.29) V 2.4. Strat de vârtejuri Să considerăm o suprafaţă oarecare o- şi să presupunem că la traversarea acestei suprafeţe vitesele sunt discontinue. In realitate, această variaţie bruscă a viteselor se produce în interiorul unui strat subţire de grosime 8, astfel încât suprafaţa o- ar trebui să fie înlocuită prin alte două paralele, gx şi o-2, a căror distanţă să fie destul de mică pentru ca să se poată considera aceeaşi normală n pe cele două feţe (fig. 2.4). Fie Vx şi V2 vitesele paralele cu aceste două feţe şi situate respectiv pe o-, şi cr2; să punem (2.30) w = v2- vt STRAT DE VÂRTEJURI 23 şi să luăm în considerare o variaţie lineară a vitesei la traversarea stratului subţire; vitesa într'un punct oarecare yj în interiorul stratului va avea ca expresie : (2.31) V = V j + — W. 1 S Inafara acestui strat subţire mişcarea este presupusă irotaţională, dar în interiorul stratului vârtejul nu este nul; intr'adevăr, avem (2,32) rot V = O = — grad rj A W — n A W, 8 Fig. 2.4. de unde rezultă că, stratul subţire este sediul unor vârtejuri perpendiculare pe W şi pe n, deci paralele cu suprafaţa o-. Acest strat se numeşte strat de vârtejuri. Vom considera mai jos câteva cazuri interesante. 2.4.1. Suprafeţe de discontinuitate în spatele obstacolelor. In teoria suprafeţelor de discontinuitate (mişcare plană), vitesa variază dela zero (V, = 0) în interiorul apei moarte până la V2=V0=ct. pe faţa superioară a suprafeţei de discontinuitate. Vârtejul este normal pe V0 şi prin urmare normal pe planul mişcării. 2.4.2. Pereţi fluizi. Să presupunem că interiorul unui corp cufundat este plin eu fluid în stare de repaos şi că pereţii sunt înlocuiţi cu un strat subţire în interiorul căruia vitesa variază dela zero (F]=0) la V2=W, aceasta din urmă fiind vitesa potenţială la suprafaţa corpului (fig' 2.5). Presupunând că variaţia vitesei este lineară pe toată înălţimea stratului, vârtejul se va obţine din relaţia (2.32), de unde se observă că este constant şi egal, în valoare absolută, cu W (2.33) Q=— Pereţii sunt astfel înlocuiţi printr'un strat de vârtejuri. De altfel, suprimând pereţii, întreg spaţiul este plin cu fluid şi putem admite că în tot acest spaţiu constanta lui BERNOTJLLI este aceeaşi. Rezultă 24 ELEMENTE DIN TEOHTA VÂRTEJURILOR de aci că presiunea ar varia la străbaterea stratului de vârtejuri şi echilibrul s'ar strica. Pentru a stabili acest echilibru, este necesar să introducem forţe corespunzătoare care să poată fixa stratul în poziţia sa. Fie q această forţă, raportată la unitatea de volum; ea acţionează asupra fluidului ca o forţă exterioară. Eelaţia (1.18 bis), care reprezintă ecuaţia mişcării permanente, nu este valabilă sub această formă, decât dacă se introduce noua forţă exterioară acţionând asupra fluidului. Acesta nu mai are constrângeri în privinţa corpurilor cufundate, întrucât pereţii au fost suprimaţi. Eezultă de aci o nouă ecuaţie care ţine seama de q : (2.34) Qf\F + grad P H--V2 2 V = 1 — ? ■ P Cum de altfel constanta lui BEENOTJLLI este aceeaşi pe toată întinderea fluidului, se găseşte în cele din urmă : (2.35) Din această valoare absolută, (2.36) g = p Q A 7 =p ~- (« A W) A W o2 expresie se vede că q este normal pe perete şi are ca q = p S2 w2 Pe un element de volum dx efortul elementar va fi q dx îndreptat tot în direcţia normalei. Forţa pe unitatea de suprafaţă a stratului de vâ r t e. juri va fi deasemenea îndreptată în direcţia normalei şi va avea ca expresie, dacă notăm cu y intensitatea de vârtej pe unitatea de suprafaţă (y = Q 8) : (2.37) p = [ gdx = C* q-1 x dr, =— pT72, >| Jo 2 ceeace corespunde tocmai cu presiunea pe peretele unui corp cufundat, cum era de altfel de aşteptat. Se poate scrie relaţia precedentă şi sub altă formă, susceptibilă de a fi utilizată pe urmă mai comod. Pentru aceasta, să notăm cu y intensitatea de vârtej pe unitatea de suprafaţă : - (2.38) y = QB = W şi notând mai departe cu p forţa tot pe unitatea de suprafaţă, v avea : om (2.39) p = p Y A V. 2.4.3. Curenţi paraleli cu vitese diferite. Diferenţa 72 — ^i este paralelă cu aceeaşi direcţie generală şi vârtejul este prin urmare normal pe această direcţie şi paralel cu suprafaţa de separaţie. Presiunile sunt egale pe cele două feţe ale acestei suprafeţe şi pe toată înălţimea stratului, de unde rezultă că valoarea constantei lui BEENOULLI este diferită şi că nu se produce nici o acţiune asupra stratului de vârtejuri. MIŞCAREA PLANĂ 25 Dacă 72 şi Vx sunt egale şi de semne contrarii, valoarea vârtejului, precum şi intensitatea pe unitatea de lăţime a unei făşii de vârtejuri vor fi respectiv : (2.40) Q v9 2V 8 y = OS = 27, 2.4.4. Vitese egale şi de direcţii diferite. Să presupunem că pe cele două feţe ale stratului vitesele sunt egale, dar direcţiunile lor diferite: diferenţa lor W =72—7] este normală pe bisectoarea unghiului format de cele două vitese şi prin urmare vârtejul este paralel cu această bisectoare (fig. 2.6). Direcţia medie a curentului este paralelă cu vitesa care corespunde mijlocului înălţimii stratului de vârtejuri : (2.41) "7 = 7, 17 W Q Fia 2.6. şi este paralelă la rândul ei tot cu această bisectoare. Prin urmare aceste vârtejuri sunt culcate pe direcţia» vântului şi formează o pânză de vârtejuri libere paralelă cu curentul general. Acest gen de strat de vârtejuri se formează în realitate în spatele unei aripi de avion şi are o influenţă considerabilă asupra mişcării în jurul aripe după cum vom vedea mai târziu. 3. MIŞCAREA PLANĂ Desigur că problemele de Aerodinamică aparţin în general mişcării în trei dimensiuni. Dar, printr'o analiză adecuată şi prin ipoteze simplificatoare, majoritatea acestor probleme, chiar cele mai importante, pot fi rezolvate prin aplicarea rezultatelor şi metodelor mişcării plane. Din această cauză, vom face în acest paragraf o expunere succintă a formulelor şi rezultatelor caracteristice ale mişcării plane. Se spune că o mişcare este plană atunci când vitesele sunt continuu paralele cu un plan, numit plan director şi atunci când particulele situate pe o normală la planul director au aceleaşi vitese în fiecare moment. 3.1. Reprezentarea mişcării plane printr'o funcţie de variabilă complexă Fie xOy planul mişcării; componentele vitesei vor fi respectiv u, după axa Ox şi v, după Oy. Vârtejul este normal pe planul director şi valoarea sa se deduce uşor din relaţiile (1.15) sau (2.1) : (3.1) £1, Ox Ou dy 26 MIŞCAREA PLANĂ MIŞCAREA IN JURUL VÂRTEJURILOR 27 Dacă luăm în considerare o mişcare irotaţională, vârtejul este nul şi scurgerea este determinată de un potenţial de vitese 9(0?, y) şi deci u— — , v= — . dx dy Am văzut că ecuaţia de continuitate ne conduce la relaţia : (3.2) (3.3) ou ^ dx dv dy d2f> dx2 + d29 dy* = A

= u dy — v dx = — dy + — da;. dy dx Din această ecuaţie rezultă următoarele relaţii: (3.7) u — d este tot o funcţie armonică. Cele două funcţii armonice 9 şi $ sunt în acelaş timp asociate: ele satisfac relaţiile (3.7), care sunt indentice cu condiţiile de m 0-nogeneitat'e ale lui CAUCHY; rezultă astfel că 9 şi 9 reprezintă respectiv partea reală şi partea imaginară a unei funcţii analitice f(z) de variabila complexă (3.9) z = x 4- iy- Această funcţie se numeşte potenţialul complex.al mişcării şi va fi pusă sub forma : (3.10) f(z) = 9 (x, y) + ii? (x, y). . Derivata acestei funcţii se numeşte vitesa complexă (3.11) w dz dx dtp dx 1 — dx U — IV, a cărei parte reală este proiecţia vitesei pe axa Ox, iar coeficientul părţii imaginare este proiecţia vitesei pe axa Oy, luată în sens negativ. In concluzie, rezultă că orice mişcare irotaţională plană va fi reprezentată printr'o funcţie analitică de variabila complexă z (potenţialul complex), a cărei parte reală este potenţialul propriu zis, iar coeficientul părţii imaginare este funcţia de curent. Şi invers, orice funcţie analitică de z va reprezenta o mişcare irotaţională plană. Acest rezultat este remarcabil şi va fi aplicat la rezolvarea problemelor mişcării plane. Să punem (3.12) = c, <\> = Ie- şi să dăm lui c şi lui Te toate valorile dela — 00 la + 00 ; se obţin liniile echi-potenţiale şi liniile de curent, acestea din urmă reprezentând spectrul hidrodinamic al scurgerii. Este uşor de văzut mai departe că 9 = e şi <\> = Ic formează o reţea ortogonală. Intr'adevăr, cosinusurile directoare ale tangentelor satisfac relaţia dy d<\> dtp d<\> (3.13) —■ ■--1--• — = — u-v + v-u = 0, dx dx dy dy de unde rezultă că tangentele sunt perpendiculare. .3.2. Mişcarea în jurul vârtejurilor Să presupunem că originea O este urma unui tub de vârtej infinit de subţire, de intensitate egală cu T, normal .pe planul mişcării; vitesa indusă la o distanţă r va fi normală pe raza vectoare şi va fi dată de expresia (2.29), în care d va fi înlocuit cu r (fig. 3.1) : - <3.13 bis) V = — • 2îrr Potenţialul complex se deduce succesiv din relaţia (3.11), înlocuind pe urmă Fig. 3.1. ■re cu z : {3.14) w = d^ dz IV — (sin 1 27tt + % cos o) = — - .-- 2tc mai departe, integrând, vom avea intr'adevăr, (3.15) ir 2-k In z- 2tu ir — — m r 2tt 28 MIŞCAREA PLANĂ MIŞCAREA IN JURUL VÂRTEJURILOR 29 Se vede că liniile echipotenţiale sunt raze pornite din origine şi liniile de curent sunt cercuri concentrice (fig. 3.2). Să înlocuim r cu Q şi să înmulţim cei doi membri cu *; se obţine : (3.16) Q_ 2iz In z — 2ti 2-k Liniile echipotenţiale sunt în acest caz cercuri concentrice şi liniile de curent sunt raze pornite din origine ; funcţiile 9 şi 9 s'au inversat deci. Această ultimă mişcare reprezintă o sursă având un debit egal cu Q (fig. 3.3). Să revenim la vârtej şi să remarcăm că un singur vârtej, aşezat într'un fluid în repaos, rămâne nemişcat, din motive de simetrie. Se spune că vitesa vârtejului este nulă. Să presupunem că avem un număr n de tuburi de vârtej, de inten-r„, aşezate respectiv în punctele xl5. . ., xH; potenţialul miş- Fip sităti I\ > - iscării va fi (3.17) f(z)-- 2tz £ TB ln(z-x„) şi vitesa complexă (3.18) w- dl dz n ti % , 1 n 2-k^f z Această expresie este valabilă pentru toate particulele fluide ale spaţiului, înafara punctelor x„..., x„, unde vitesa ar fi infinită. Să notăm cu wj vitesa complexă a unui vârtej T j aşezat în punctul x/; am arătat mai sus că vitesa datorită vârtejului însuşi este nulă, astfel că vitesa wj este aceea i n-d u s ă de celelalte vârtejuri: (3.19) ■ 1 " r„ wj = - -— y -— 2tu z—x, + Fia. 3.3. z — x; Generalizând problema, se găseşte că vitesa unui vârtej este egală cu aceea datorită scurgerii generale îri jurul vârtejului însuşi, abstracţie făcând de influenţa acestuia. Centrul vârtejului apare astfel ca un punct, material transportat de curent. Practic vorbind, nu există un punct de vârtej <;i o secţiune foarte redusă (secţiunea tubului de vârtej), în care vârtejul propriu zis este repartizat după o lege oarecare.Vom numi această secţiune un nucleu de vârtej şi fenomenele care privesc vârtejul se exercită în realitate asupra acestui .nucleu. 3.2.1. Acţiunea unui curent asupra unui vârtej. Am văzut mai sus că nucleul de vârtej pluteşte liber în fluid : nu există deci o acţiune a acestuia din urmă asupra vârtejului. Să presupunem acum că nucleul de vârtej este constrâns să-şi păstreze poziţia; pentru aceasta trebue să introducem o forţă care va reprezenta acţiunea fluidului asupra vârtejului. Fie q această forţă raportată la unitatea de volum; ea joacă rolul unei forţe exterioare şi va fi dedusă din ecuaţia de mişcare (1.18 bis) : (3.20) q = pO'AT7" + p grad (P 72 înafara nucleurilor de vârtej, constanta lui BERNOULLI este aceeaşi şi prin urmare gradientul expresiei dintre paranteze este nul. Dacă notăm cu Ao- secţiunea nucleului şi cu F acţiunea totală a curentului asupra vârtejului, remarcând pe de altă parte că volumul de vârtejuri al unei porţiuni egale cu unitatea de lungime este At = 1 x Ao-, se poate scrie : (3.21) F = q Act = pAcOA^ = P^A^, unde T este intensitatea de vârtej, pe care convenim să o luăm în direcţia vârtejului, normală deci pe planul mişcării şi 7 vitesa în dreptul vârtejului însuşi. Aceasta este teorema lui KUTTA- JUCOVSCHI pe care o vom regăsi adesea în teoria aripilor de avion. 3.2.2. Vârtej în prezenţa unui cerc. Să considerăm două vârtejuri egale şi de semne contrarii, V şi -r, aşezate pe axa absciselor, în 02 (-j- a) şi 01 (— a); pentru potenţialul mişcării vom avea : (3.22) f(z)--—In *^ = — 27T z + a 2n (02- 2-k r, de unde se vede că liniile echipotenţiale 9 = c sunt cercuri care trec prin Ot şi prin 02, iar liniile de curent definite de relaţia (3.23) = fc, 30 MIŞCAREA PLANĂ sunt cercuri ale lui APPOLLCMITJS (fig. 3.4), ale căror raze şi centre vor fi determinate prin formulele următoare : 1 + k* (3.24) Hi. = a- 2fc 1-ft2 xk = a 1 - fc2 Fig. 3. 4. Să notăm cu Ck centrul cercului şi să considerăm segmentele 2fc2 (3.25) Ck02 =Xk—a CkOx = Xk + a = a 1 - fc2' " " 1 este uşor de văzut că se obţine relaţia următoare : (3.26) Ck02 x CkOx Admiţând acum că linia de curent reprezentată de conturul cercului, se solidifică brusc, nu se schimbă nimic în mişcarea în jurul cercului considerat. Se poate trage concluzia că expresia(3.22) a potenţialului reprezintă în acelaş timp mişcarea în jurul unui vârtej în prezenţa unui cerc. Luând ca origine centrul Ck al cercului, notând în general raza sa cu B, scriind, după (3.26), (3.27; CkOx = b, Ck02 jR2 b DUBLET 31 şi presupunând că vârtejul exterior aşezat în Ox este pozitiv (-f T), se poate scrie, pentru potenţial, (3.28) f(z) = - — In Z' + h . 2n , , Br unde z' = z — xk este variabila complexă faţă de noul sistem de axe. Dacă dorim ca circulaţia în jurul cercului să fie nulă, trebue să adăugăm în centrul său un vârtej T; vom avea în cele din urmă (3.29) *E In Z' O8' + 1) 3" + * Sub această formă potenţialul va fi întrebuinţat mai târziu în diverse aplicaţii. Să presupunem, mai departe, că vitesa indusă în centrul cercului de către vârtejul aşezat în Ov rămâne mereu constantă (3.30) v = ■ 2izb = ct. şi că distanţa b creşte indefinit; expresia (3.29) devine succesiv, înlocuind z' cu variabila curentă z: (3.31) / (z) = ţT 2tt 2nb "■(i + f)-m(i+f)+m» b->- co z — —) + ct.= z La Urnită, cercul se găseşte într'un curent paralel cu axa Oy, de vitesă v şi ultima formă a expresiei (3.31) reprezintă prin urmare potenţialul scurgerii în jurul unui cerc aşezat într'un curent vertical. 3.3. Dublet Să presupunem că cele două vârtejuri (fig. 3.4) se apropie indefinit, dar că produsul (3.32) m = 2aT, pe care îl vom numi moment, rămâne constant; în acest caz, obţinem un dublet şi expresia (3.22) devine succesiv : (3.33) 2tt *r 2a lnfl-^l_lnfl+^ z im a-H> 2tu z unde B este o constantă reală. 2n 1 .B — = î— ■ z z 32 MIŞCAREA PLANĂ Dacă cele două vârtejuri sunt aşezate pe axa ordonatelor, trebue să înlocuim a cu ih în expresia precedentă şi obţinem în cele din urmă (3.34) /(*) = - A^ z In primul caz, axa dubletului este îndreptată în direcţia negativă a axei Oy; în cazul al doilea, în direcţia pozitivă a axei Ox. Dacă direcţia axei este arbitrară, să presupunem de exemplu că se găseşte în primul cadran (fig. 3.5), se poate scrie (3.35) /(*) = - A + iB Fia Să revenim la dubletul îndreptat după Ox (3.34) şi să presupunem că este aşezat într'un curent paralel tot cu axa Ox, de id vitesa—u; potenţialul mişcării devine succesiv, dacă punem si aci z = re (3.36) f(z) = -u( Z + —■—) = — "K ( Z + — ) V uz) \ z ) = — u cos t r + B2 r iu sin ( r B2 v de unde rezultă că cercul r = B este o linie de curent şi prin urmare această expresie reprezintă mişcarea în jurul unui cerc. Eegăsim astfel aceeaşi scurgere ca în (3.31) rotită cu 90°. 3.3.1. Dublet în prezenţa unui cerc- Pentru aplicaţiile viitoare este interesant să stabilim scurgerea în jurul unui dublet în prezenţa unui cerc. Să considerăm în B, la distanţa b de origine, un dublet a cărui axă face unghiul v ou Ox. Se poate presupune că acest dublet este limita sistemului format de două vârtejuri egale şi de semne contrarii, aşezate respectiv în B' şi B" (fig. 3.6). Imaginile lor faţă de cerc se găsesc în A' şi A". La limită, se obţine un dublet în A, care va fi imaginea primului faţă de cerc. Dreptele B"B' şi A"A' sunt antiparalele şi triunghiurile OAA' şi OB'B sunt asemenea, de unde rezultă (3.37) A'A" * 2AA' OA 2B'B- B2 b2 B'B' ŞIR DE VÂRTEJURI 33 Dacă m este momentul dubletului real aşezat în B, vom putea scrie pentru momentul dubletului-imagine : ( 5.: 3*8) A'A" ■ r B2 -n, „ B2 ar --B B 1 = -m =- b2 b2 B2 m ■ ' Rezultă în cele din urmă, pen- ^'v'-jlrn potenţialul mişcării în jurul J \\ii bietului în prezenţa cercului, expresia următoare : - <3.39) f{z) = m m 2n ii' e b2 Fia\ 3.G. ! - b B2 Şir de vârtejuri Se întrebuinţează adesea şiruri de vârtejuri dispuse convenabil -pentru a se rezolva anumite probleme importante ale Aerodinamicei. In acest scop, având în vedere apli-\ naţiile viitoare, vom stabili mai jos potenţialul mişcării în cazul simplu °r„' al unui şir de vârtejuri egale, aşezate la intervale constante pe axa Ox. Fie Y intensitatea de vârtej şi a distanţa mutuală între două vârtejuri ale •şirului (fig. 3.7). Vârtejul de - ordin n induce într'un punct z vitesa tT 1 (3.40) wn = — -9- na Fia <3.41) .ţi dz şi şirul întreg induce în acelaş punct o vitesă totală 1 iY z, ------_--COt 7t -' tc j^b z ~ na 2a a «are se obţine ţinând seama de relaţia bine cunoscută : V <3.42) COt 7t - = a a -nr. 3 Aerodinamica 34 MIŞCAREA PEANA Integrarea lui (3.41) ne dă potenţialul mişcării: '•r , , z — • ln sin 7t — 2k a (3.43) m = Această mişcare este reprezentată pe figura 3.8. Expresiile (3.41) şi (3.43) ne vor servi pentru a găsi uşor vitesele şi potenţialele oricărei alte dispoziţii de vârtejuri într'unul sau mai multe- şiruri liniare, cum va fi vorba mai V-- târziu. Fig. 3.5. Strat de vârtejuri plan Să considerăm un strat de vârtejuri plan AB, a cărui intensitate pe unitatea de lungime într'un punct x să fie y (fig. 3.9). Să notăm cu us şi ut vitesele orizontale, respectiv pe faţa superioară şi inferioară a stratului, în acelaş punct x; vom putea scrie : (3.44) dx (ui — us ) dx. Cum de altfel mişcarea este irotaţională înafara stratului de vârtejuri, notând cu 9 potenţialul respectiv, mai putem scrie : d'fs (3:45) Y dx dx în care 9/ este valoarea potenţialului pe faţa inferioară şi 9s aceea pe faţa superioară. Circulaţia T, din punctul x până la extremitatea B, va fi dată de expresia (3.46) Jx y d*=9i — 9s. Fig. 3.9. Fie v vitesa verticală în punctul x datorită stratului de vârtejuri; partea contributivă a unui element Y dE al acestui strat va fi (3.47) dv=--■ ■ Yd£ 2tu .£ — x .. şi prin urmare vitesa totală va avea ca expresie : ii , x Această expresie va fi întrebuinţată foarte des mai târziu. (3.48) = _ _1 fBjŢdj 2tu )aI-. NUCLEE DE VÂRTEJURI 35 3.6. Nuclee de vârtejuri a. stratul de vârtejuri nu este în general stabil; el se destramă, se înfăşoară pe el însuşi şi se transformă în nuclee de vârtejuri. Un nucleu de vârtej poate fi conceput ca o masă cilindrică de secţiune circulară care se roteşte în jurul axei cilindrului ca un solid. înafara ci-- -lindânih11* mişcarea este irotaţională şi corespunde cu aceea a unui vârtej 1/ '-aşezat chiar în axa cilindrului; în interior, conform cu ipoteza făcută, vi-' ^'"fiâs» variază linear dela zero, în centru,-la mffl (3.49) V0 = r0co r 2my periferie, dacă notăm cu w vitesa de rotaţie a nucleului cilindric, cu r0 ^raza sa şi cu T circulaţia în jurul cilindrului. Pe întreaga secţiunea nucleului ; ;'i vârtejul este constant; într'adevăr, la distanţa r de centru, care se ia ca ;a ^origine, vitesa, care este normală pe ' * vraza vectoare şi egală cu V = «?•„, VW».' ~afe următoarele componente după Ox ~ şi Oy : < "(3.50) u —— v>y, v = &x, - de unde rezultă valoarea vârtejului, ..-13.nl) Q = -^-^ = 2« = ct. dx dy . In realitate distribuţia vârteju- * ' lui este reprezentată de o curbă şi ' rază nucleului nu este definită în mod •\ precis, deci ipoteza făcută este o apro-ximaţie care reprezintă fenomenul mediu (fig. 3.10). Tot astfel, repartiţia reală a viteselor nu este riguros lineară . "'în interior; ea este reprezentată prin--" tr'o curbă destul de apropiată de linia >'„ dreaptă. -yr In concluzie vom admite pentru vitesa totală V o distribuţie lineară ■l-'--în interior -curba teoretică -----curba rea/ă Fig .10. <Ş.r>2) V • iar în exterior, după relaţia obişnuită; rr -, 2nr02 (3.53) V = 2izr rr0 ".• Energia cinetică a nucleului va fi uşor dedusă din ipoteza făcută; într'adevăr, un calcul elementar ne dă (3.54) Bi Jt 16tu 36 MIŞCAREA PLANĂ SCURGEREA IN JURUL UNUI CONTUR. 37 Deasemenea, pentru domeniul exterior, conţinut într'un cilindru de rază ff, vom avea (3.55) 4- r„ de unde se vede că această energie creşte necontenit cu i?. 3.6.1. Energia cinetică a două nuclee de vârtejuri egale şi de semne contrare. Pentru aplicaţiile viitoare privitoare la nucleele de vârtej, care iau naştere îndărătul aripilor avionului, este important să se stabilească energia cinetică a două nuclee de felul acesta, egale şi de semne contrare. Presupunând că raza r0 a nucleului este foarte mică în raport eu distanţa b dintre centrele lor, se poate neglija influenţa reciprocă şi deformarea nucleelor care rezultă din acest fapt şi se poate scrie pentru potenţialul mişcării în exteriorul acestora, după (3.22) : 6 (3.56) iT In (8* 60- ir ln J.TZ Pentru a calcula energia cinetică pe toată suprafaţa, în exteriorul nucleelor, vom utiliza formula (1.52) unde potenţialul % va fi notat prin 9 şi suprafaţa dublă a' prin cele două feţe BXB2 şi BiB2; (3.5 2 V $9 du- da. Integrala trebue efectuată în sensul pozitiv, dealungul unui contur C format de cercul (1), dealungul căruia integrala este nulă ^ |? =0 ) - segmentul BXB.2, cercul (2), dealungul căruia integrala ' este deasemenea nulă (~ = Oj şi în sfârşit B2BX. r Pe fata superioară avem 9 = -— tt, pe fata inferioară, 9 = ,19 M pe de altă parte punând — =--^ se poate scrie d'v vS Fiii :.!.ii. r (3.58) Ee r rft p ~9 V d = — p T9- , b-p — ln — 2r. r„ Dacă se adaogă energia celor două nuclee de vârtej, după (3.54), vom avea pentru energia totală : m (3.59) E = Ee + 2Ei = p —f ln& ~~ '" 1 Această formulă va fi folosită mai departe pentru a determina raza nucleelor de vârtej care se formează îndărătul aripilor de avion. 3.6.2. Distribuţia de vitese în jurul nucleelor de vârtejuri. înafara nucleelor, vitesele sunt date de expresia : (3.60) dz. ir pe când în interior legea de variaţie este lineară şi nu derivă dintr'un potenţial de vitese. Pe axa absciselor repartiţia viteselor urmează o lege ca aceea indicată Fig. 3.12. în figura 3.12. Intr'ade-* văr, însemnând prin vt şi v2 vitesele date respectiv de nucleele 01 şi 02 vitesa rezultantă v'ra fi suma lor : fi // \ -r ry Nn \~lf~-JZ-*" <~~ (3.61 Fie vY + v.2. \. SCURGEREA IN JURUL UNUI CONTUR 1(z) = 9 (x, y) + ity (x, y) potenţialul complex al mişcării în jurul unui contur închis C, aşezat în tr'un curent de vitesa uniformă 1 pul ea scrie (4.1) (d+)c (i; conturul fiind o linie de curent, se va p. im.(d/)c = 0. Problema constă aşa dar în a găsi o funcţie analitică f(z), astfel încât partea imaginară a diferenţialei să fie tot timpul nulă pe contur. Astfel pusă problema nu este, mai puţin greu de rezolvat, afară de cazul conturului circular, unde calculele pentru găsirea soluţiei sunt simple [2.] De altfel, pentru acelaş contur circular se pot utiliza rezultatele obţinute în paragraful precedent. In cazul contururilor de formă generală, soluţia se obţine cu ajutorul transformării conforme. 4.1. Scurgerea în jurul unui cerc Presupunem că cercul este aşezat într'un curent uniform, paralel cu axa absciselor, de vitesă — YQ, şi admitem pe de altă parte, că există o 38 SCURGEREA IN "JURUL UNUI CONTUR circulaţie F în jurul cercului; dacă se adaogă expresiei (3.36), unde se pune F0 în loc de u şi se notează cu a raza cercului, potenţialul corespunzător unui vârtej, aşezat în centru, se obţine scurgerea generală în jurul cercului, a cărei expresie, în raport cu un sistem 0\r\ (£ = t, + nj), având centrul cercului drept origine, va fi Se deduce uşor potenţialul propriu zis şi funcţia de curent, care vor fi reprezentate în coordonate polare, punând £ = re'®, prin expresiile următoare : (4.3) +7 cos 1 > + —e, r J sin 6 r. --ln» 2tu Fi? Pentru vitese, vom avea deasemenea, însemnând prin iv, vitesa după raza vectoare şi prin vq componenta normală pe raza vectoare, . (4.4) { 5

formate de razele vectoare OA şi OB cu Ox sunt respectiv — v şi tt -4- v, care pot fi deduse, egalând cu zero expresia (4.5) a lui vq : <4-6) sin v = ~I^vV ■ Invers, dacă se cunosc punctele de vitesă nulă definite prin unghiul •v, se poate determina circulaţia F : ii.7) F = 4naV0 sin v. Introducând această valoare a lui F în expresia vitesei tangenţiale, se «obţine <4.8) 2F0 (sin 8 -j- sin v). Pentru aplicaţiile viitoare este util să rapor- 4.1.1. Schimbare de axe. 1ăm mişcarea la un sistem 4)xcxrix, a cărui origine să nu fie aşezată în centrul cercului. Presupunem de altfel, ■eă axa 0]£] face unghiul a cu •direcţia negativă a vitesei •(fig. 4.2) şi fie Mz.r\ un sistem de axe cu M\ paralelă la vitesă şi originea M în centrul •cercului. In raport cu acest sistem, potenţialul mişcării va fi identic cu expresia (4.2). Dacă fi. este afixul centrului, este uşor de văzut mai departe că sistemul M^tj este dedus din sistemul Ox^xy\x printr'o translaţie \l şi o rotaţie — a. Rezultă relaţia următoare care reprezintă această schimbare de axe : •(4.9) S = (£, - [x) e\ Ea va fi înlocuită în expresia (4.2) pentru a obţine în sfârşit, abstracţie făcând de o constantă, potenţialul în raport cu noul sistem: Fi« 4.2. 4.10) /(C)=-F0 a'e~ iF_ 2tu ln (Ci -l*). Considerăm încă un sistem M%t\' paralel cu Ox\{r\x şi fie B punctul unct de pe conturul C un punct dat pe cercul K şi dacă facem să corespundă deasemenea punctele dela infinit : (4.26) dz"\ -oo REPREZENTAREA CONFORMA 43 In aceste condiţiuni, funcţia de transformare, abstracţie făcând de o constantă, ia următoarea formă specială [1] : (4.2Î Z C2 + ... Zn care va fi folosită mai departe pentru trasarea profilelor aerodinamice. Invers, printr'un raţionament analog, ajungem la o funcţie de aceeaşi formă : <4.27 bis) 0 \ Fig. 4.4. Funcţia z = z (Z), respectiv Z = Z (z), este olomorfă si admite punc- dz dZ -tul dela infinit ca pol simplu ; rezultă că , respectiv —, nu se anulează şi d(, dz nu devine infinit în nici un punct dinafară cercului. Dacă conturul C este o curbă analitică regulată, adică dacă O nu posedă unghiuri ascuţite, z = z{Z) poate fi prelungită analitic în interiorul cercului K şi în acest caz desvoltarea (4.26) este valabilă chiar pe cerc şi prin urmare — nu se anulează şi nu devine infinită în niciun punct dinafară cercului sau de pe cerc. JSii se întâmplă acelaş lucru în cazul unui contur cu unghiu ascuţit. Intr'adevăr, fie z0 vârful acestui unghiu şi să transformăm domeniul din .jurul punctului z0 în domeniul din jurul punctului z'Q, situat în planul c' prin relaţia : (4.28) = « Să punem <4.29) = re = r e *9'. » 44 SCURGEREA IN JURUL UNUI CONTUR relaţia precedentă devine : (4.30) rem = r,lz e In jurul punctelor z0 şi z', când 6' variază dela 0 Iau, 9 variază dela 0 la T (fig. 4.5); arcele regulate mz0 şi z0n, care formează un unghiu ascuţitul punctul z0, corespund arcelor m% şi z'0n', care sunt deasemenea regulate, chiar în z'$, unde tangenta este aceeaşi. Fig. 4.5. z'0 = ai(S - Q + ... + a; _ Q » + • • • , Noul contur C", fiind regulat în jurul punctului z0', reprezentarea-planului z' pe planul ţ, în jurul punctului Co (punctul omolog al lui £„)„ este continuă şi uniformă; rezultă că se poate scrie (4.31) z' de unde se vede că — este finită şi diferită de zero în punctul Q0. dX Pe de altă parte avem dz _ dz ds' d£ ~~ dz' dl (4.32; dl de unde se deduce ca dţ este nulă în punctul £3, dacă y > r: şi infinită, dacă Y < 7t. dz Tragem concluzia deci, că derivata ^ nu se anulează şi nu devine dî, infinită în nici un punct înafara cercului sau pe cerc, înafara de un număr finit de puncte de pe cerc, care corespund unui acelaş număr de unghiuri ascuţite de pe contur. ' d~ Invers, să presupunem că derivata ~ se anulează într'un punct C,,, dt, de pe cerc : punctul corespunzător de pe contur va fi vârful unui unghiu Silii r *§SiIB iii f REPREZENTAREA. COXFORMA 45 ascuţit. Intr'adevăr, considerând un număr m (4.27) sub următoarea formă : 2, se poate pune expresia (4.33) z - z0 = |1 care, pentru z şi l — 5D destul de mici, devine (4.34) X " m + 1 unde g (Ka) este o constantă. Rezultă, punând mai departe, (4.35) z - z0 = rei~, ţ relaţia următoare : (4.36) :_ ~ - ('' <"'° Y pe'6, re' î?0 p»'C 0») de unde se vede că, dacă 8 variază dela 0 la tc, c A'ariază dela 8&la 80 -f >«tc şi prin urmare se formează în vârf un diedru de unghiu § dat de relaţia : (4.37) 8 = (: m) tc. Să notăm prin £l9 . Xj rădăcinile derivatei d£ toate aceste rădăcini se găsesc în interiorul cercului, în afară de cele corespunzătoare unghiurilor ascuţite de pe contur. Se poate scrie în general (4.38) dz dC v c şi deoarece, pe de altă parte, funcţia această expresie nu conţine termenul în 1-^ z,(Z) trebue să fie uniformă, , de unde rezultă : (1.39) i 0. 4.2.2. Profile aerodinamice. Se numeşte profil aerodinamic un contur alungit prevăzut în spate cu un vârf a s c u ţ i t, cu un d i e d r u sau ou un vârf rotunjit, contur care este utilizat pentru generarea aripilor de avion sau a elicelor (fig. 5.1). Se poate obţine un astfel de profil prin transformarea cercului cu ajutorul expresiei (4.27), pe care o vom pune sub o formă mai comodă pentru aplicaţiile practice. Pie, intr'adevăr, z' planul profilului şi X' planul cercului, vom putea scrie, după (4.27) : (4.40) z'=ţ' + ÎL + «2. £'2 46 SCURGEREA IX JURUL UXUI CONTUR Să punem q[ = qW1 (4.41) unde q este o cantitate reală şi să efectuăm o schimbare de axe în amândouă planele, definită prin relaţiile : (4.42) z' = zeli înlocuind aceste expresii în (4.40) şi împărţind apoi prin e1* se găseşte în cele din urmă forma căutată : (4.43) unde coeficientul lui _?2 îl X" este real. Sub această formă, expresia (4.43) va fi folosită pentru trasarea profilelor aerodinamice, după cum vom vedea în cele ce urmează. 4.3. Scurgerea în jurul unui profil aerodinamic Fie f(z) potenţialul viteselor în jurul unui profil aerodinamic culcat intr'un curent de vitesă uniformă V0. Această mişcare trebue să satisfacă pe contur condiţia (4.1) şi să admită vitesa V0 la infinit, în valoare, sens şi direcţie. Să considerăm mai departe o funcţie z = z (X) de forma (4.27), care transformă domeniul exterior profilului şi însuşi profilul în domeniul exterior cercului şi în însuşi cercul. Punctele dela infinit se corespund; dacă, pe de altă parte, obligăm ca un punct de pe contur să corespundă unui punct dat de pe cerc, funcţia este bine determinată. Condiţia (4.1) pe care potenţialul f(z) trebue s'o îndeplinească pe contur, devine succesiv : (4.44) p ■ im. [d/ {z)]c = p ■ im. {d/ [z (C)]}c =p • im • [dF (X)]k = 0 ; de unde se vede că această condiţie este identică aceleia pe care funcţia transformată F(X) trebue să o satisfacă pe cerc. După forma transformării, condiţiile la infinit în cele două plane rămân aceleaşi, prin urmare funcţia F(X) satisface condiţiile scurgerii în jurul unui cerc aşezat într'un curent de vitesă V0, identică în valoare, sens şi direcţie cu a vitesei curentului în planul real al profilului. Aşadar, prin reprezentarea conformă a unui plan pe un altul (z pe X), scurgerea în jurul unui profil este reprezentată în planul X, prin mişcarea în jurul cercului. Forma generală a potenţialului în jurul cercului este dată de expresia (4.10), unde este mai comod de pus variabila curentă X, în loc de ^ : (4.45) f&) = - y0 + ir 271 ln (X - U). SCURGEREA IX JURUL UXUI PROFIL AERODINAMIC 47 Dacă, pe de altă parte, putem avea X ca funcţie explicită de z [X — X (z)'\ înlocuind X prin l(z) în expresia potenţialului din jurul cercului, se găseşte o funcţie de z, fie f(z), care va fi potenţialul scurgerii în jurul profilului. Să considerăm liniile «echipotenţiale şi liniile de curent, .(4.46) 9 [x, y) = c, 9 (x, y) =ft; ele devin, după transformare : (4.46 bis) + şi demonstraţia este evidentă. In general, nu este necesar să se stabilească explicit potenţialul în planul mişcării reale, care este planul profilului; caracteristicele scurgerii (vitese, presiuni, linii de curent etc.) vor fi determinate cu ajutorul funcţiei de transformare. Intr'adevăr, punând aceasta sub forma (4.18) = x ty ■*(£) = ®(S, ■*i) + iy(l, 7)), se vede că unui punct X = % + ii, al unei linii oarecare Y (l,r,) = fc din olanul cerouui, n corespunde un punct * = x + iy al liniei respective «W«,Py)Sn planul profilului, şi aşa mai departe pentru toate punctele celor două linii 9 Pentru vitese se poate serie, succesiv (4.4S bis) dX. dC dz dz ax lip unde am notat cu tv = u - iv vitesa complexă din planul profilului si prin Zt7n 'Jlte™comV1^ ă™ Planul cercului. Pe profilul însuşi, vitesa totala tcp va fi egala m valoare, absolută cu , . «k* (4.40) Wk ds ax unde Wfc este vitesa absolută a punctului omolog de pe cerc. 4.4. Transformarea mişcării în jurul unei surse, unui vârtej sau unui dublet Să scriem, succesiv, (4 50) { W a%= udx + v dy -f i(u dy — v dx) = df= d«p + i d'9 \WdX Udl + Vd-q + i( Udrj - Vdţ) =dF = dfc+idY •48 SCURGER'EA IX JURUL UNUI CONTUR partea reală a acestor expresiuni reprezintă lucrul mecanic al vitesei în lungul segmentului elementar ds, în planul z şi în lungul segmentului corespunzător da, în planul X în timp ce partea imaginară reprezintă fluxul (sau debitul) care trece prin aceleaşi segmente ds şi da. Ţinând seama de relaţia (4.48), se observă că lucrul mecanic elementar al vitesei, precum şi fluxul elementar, se conservă şi după transformare : REZULTANTA PRESIUN1LOR (4.51) d, di = (V¥. Să considerăm acum un contur închis C în planul z şi corespondentul său Jt în planul X,; integrarea după .aceste contururi ne dă respectiv, circulaţia r în lungul contururilor şi debitul Q care le traversează : (4.52) ()c = m« = Q- Dacă C şi K reprezintă contururile care înconjoară respectiv două puncte corespondente în planele z şi X, aceste relaţii arată că circulaţia şi debitul din planul X, se reproduc identic în punctele corespunzătoare (puncte omoloage) din planul z. ISu tot astfel se întâmplă şi pentru un dublet; intr'adevăr, un dublet este echivalent cu două surse sau cu două vârtejuri egale şi de semne contrare, infinit apropiate. Fie dz şi d£ distanţele corespunzătoare infinit miei; am văzut că circulaţia şi fluxul se conservă în urma unei transformări, însă momentul unui dublet fiind proporţional cu lungimile dz şi dX, care se corespund, avem relaţiile : (4.53) TdX = (i, Tdz = m, unde [J. este momentul dubletului în valoare complexă în planul X şi »« momentul dubletului în valoare complexă în pianul transformat z; la limită se va putea scrie : (4.o4) m = y. — . ax Prin urmare, momentul dubletului situat într'un punct oarecare din planul z este egal cu momentul dubletului situat în punctul omolog din ds planul X, înmulţit cu derivata — din acelas punct. dX 4.5. Rezultanta presiunilor Fie ds un arc elementar şi p presiunea, normală la acest element, îndreptată spre interiorul conturului. Forţele elementare după Ox şi Oy vor fi respectiv (fig. 4.6) : I di?.Y = — p ds sin a = — p dy, (±.tX>) <. ( dBy = p ds cos a = p dx, care se pot pune sub următoarea formă complexă : (4.56) dB = dBx - i dP>y = - ip (dx - i dy) -- unde z este valoarea conjugată a lui z (z = x — iy). ip dz, •v 49 iv) (u — iv) dz. înlocuind p prin valoarea sa scoasă din formula lui BEEXOULLI, (4.57) p + -i- pF2 = p + -i- p («2 + v2) =ct. şi integrând dealungul conturului, se obţine : (4.58) B = -i- p F2 dz = -i- P ^ (M Conturul este o linie de curent şi satisface prin urmare ecuaţia : (4.59) v dx — u dy = 0 ; în acest caz, rezultă pentru punctele depe contur, relaţia următoare : (4.60) ' (u-\-iv) (dx—idy) — (u — iv) (dx -4- idy) - 'l-fd, dz care va fi introdusă în (4.58), obţinându-se astfel formula lui ELA-SIFS-CIAPLÂGHIÎî : Ei«. -i.G. (4.61) B = Bx — i By = dz. Dacă f(z) nu este exprimată explicit în funcţie de z, însă se cunoaşte funcţia de transformare z = z(X) precum şi potenţialul F(ţ) în planul' X formula precedentă devine : ' (4.62) b=±a («iv.^x, 2 kyaz) dz unde integrala este luata dealungul conturului corespunzător K, transformatul lui C. De altfel, după teoria funcţiilor analitice, se poate extinde a-ceasta integrala m jurul oricărui contur ce înfăşoară pe K. Sa aplicăm expresia precedentă în cazul unui profil aerodinamic, unde mişcarea corespunzătoare din planul cercului va fi reprezentată prin 4 Aerodinamica 50 SCURGEREA IX JURUL UXUI COXTUR potenţialul (4.45) şi funcţia de transformare prin expresia (4.43); termenii de sub semnul integralei vor fi înlocuiţi aşa dar, prin (4.63) -^-1-- = !+*' d2 1 _ oii _ _ „ ^L- fi Şl (4.64) aţ V0 Y0 aH—'« '(S-f-)2 ir şi, ţinând seama de reziduul lui CAUCHY, această integrală devine în cele-din urmă : ■ia ^VJT fia- (4.65) B = Rx-iR,= ^ ■ 0 2iz 2tu = — iprTr0e'a. Acest rezultat este identic cu teorema lui KUTTA-JUCOVSCHI pe care am găsit-o deja în paragraful precedent (3.21). Prin urmare, rezultanta generală este proporţională cu densitatea, cu vitesa şi cu circulaţia; ea este normală pe direcţia curentului la infinit şi prin aceasta, ea este o forţă deviatrice. există deci o componentă paralelă cu vitesa, ceeace este de altfel conform cu paradoxul lui d'ALEMBERT ; există totuşi o forţă paralelă cit vitesa datorită frecării- superficiale şi mişcărilor perturbatoare şi desordonate din spate, de care nu se ţine seama pentru moment în ecuaţiile generale ale mişcării. Această forţă pasivă, pe care o vom numi rezistenţa de formă va fi indicată prin B3. In concluzie deci, prin aplicarea ecuaţiilor generale ale mişcării, se găseşte o singură forţă, normală pe vitesă, care se numeşte portantă sau sustentaţie şi care va fi notată deseori prin P; însă frecarea superficială şi mişcările perturbatoare din spatele profilului dau naştere încă unei alte forţe, paralelă cu vitesa, care este numită rezistenţă de-, f o r m ă. 4.6. Moment rezultant Momentul elementar în raport cu originea (fig. 4.6) poate fi scris (4.66) dilf = p(x dx + y dy) = p.r. (pz dz ) = p.r. (iz dB), de unde rezultă, integrând si ţinând seama de rezultatele precedente, a doua formulă a lui BLASIUS-CÎAPLÂGHIÎJ : (4.67) M = p.r. i \ z dB I = — .ic p.r. [JLC.f* [2}c\dz d^ La fel ca şi pentru rezultanta generală, în cazul când mişcarea nu este-cunoscută explicit în z, însă în schimb se cunoaşte funcţia de transformare z = z (£) şi potenţialul mişcării din plailul C, expresia (4.67) devine : (4.68) M — — p.r [JL( . 2 }k dU. ăz 4 i FORŢA DE ASPIRAŢIE IX JURUL UXUI VÂRF ASCUŢIT 51 Aceste formule, precum şi cele ale rezultantei generale, au marele avantaj de a fi calculate prin metoda reziduurilor şi prin urmare expresia de sub Semnul integralei va fi redusă la termenii în — . Pentru un profil aerodinamic, generat din cerc prin transformarea (4.43), calculele ne conduc la următoarele rezultate succesive : (4.69) M =— p. r = 2-pY'lq2 sin 2a + pY0Tm cos (k -f 8), unde m şi 8 sunt respectiv modulul şi argumentul lui \l, afixul centrului : (4.70) [a = in«tS . 4.7. Forţa de aspiraţie în jurul unui vârf ascuţit Fie ţ3 punctul depe cerc care corespunde unui unghiu ascuţit zn j>e contur. Considerând un număr m^2, dat prin formula (4.37) în funcţie de diedrul 8, şi notând prin Ji(C) o funcţie oarecare, se poate scrie, după (4.33), ^__^ k, (4.71) ^(ţ-g™-1 m, di, care devine pentru valori miei ale lui (£—£a) '• dz dl '~ cu p — m — 1. Să calculăm acum integrala (4.62) pentru un contur cu vârf ascuţit; ~~ pentru aceasta să trasăm în jurul punctului Fl-'-t0 (fig- 4-7) un cerc mic de rază p0, cât mai mică posibilă şi fie x0 semicercul exterior. Să efectuăm integrala menţionată, dealungul conturului circular Ji — x0 şi >c0; după teorema lui CAUCHY, această integrală este egală cu integrala în jurul oricărui alt contur Ki, înconiurâTirl K — v şi x„ A~-x c-~-L-~ - (4.72) (C - C0)m-* h(ţ0) = nu există puncte singulare, 'Supă 5*S SSn^t ctS Kitrr(4d65) rplicând formuia m x^™^^7^ (4.73) b = >0 J Kx ipTYQeix- Să notăm prin £? = !?'- iR' rezultanta presiunilor pe contur m afara regiunn mfmit mică din jurul vârfului; să remarcăm pe de altîmrte că integrala în jurul semicercului x0, pe care o rom nota cnS, înlocuind K Prin valoarea sa mijlocie l9 şi ţinând seama de (1.72), va ii: a . P r idFf 1 dC _ 9jdF\2 J_f (^-CoJ!!! i-P de unde se vede că pentru p0, această integrală este nulă. Deci, în acest caz, diedrul din vârf diferit de«ro,mtegraf> în lungul conturului circular K are un sens şi formulele lui BLAblLb-ClA-PLÂGHUs sunt valabile, cu toate că există un punct singular în l0. Dacă p = 1 (m = 2), adică în cazul unui vârf ascuţit obţinem în vârf o forţă de aspiraţie egală cu (4.75) 8=i 3xo 2 UKk 2 Urj^o' h(Q ir (^-(jl)* 2tc(î:0-ix)-J şi prin urmare rezultanta presiunilor pe contur, în afară de această forţă de aspiraţie, va fi (4.76) s' = - îPrr0e'-«-s. Vom aplica aceste rezultate mai departe, în cazul mişcării în jurul unei plăci subţiri. BIBLIOGRAFIA CAP. I I) BIE HEBBAC [I L. : Uebcr die Konformc Ki-cisabbiUliuijc nalte zu Kreisfftrmigcn Bcreiche Sitmngsbcv. i)it Pr. Akad. d. IV. 192V, S) CAHAFOLI E. : Aărodynamique dos ailes d'avion. Chiron FIditeur. Paris 1928 3) CIAPLAGIUX S. A. : Cut în jurul acestui punct (fig. 5.5). 5.2.1. Determinarea circulaţiei. Să notăm cu wp vitesa într'un punct de pe profil şi Wk vitesa în punctul corespunzător de pe cerc; vom avea relaţia stabilită deja mai sus (4.49) : wp = (5.11) dz La vârful profilului- este zero, prin urmare vitesa devine infinită, ceeace este incompatibil cu condiţiile fizice ale scurgerii. Această scurgere teoretică s'ar prezenta ca în fig. 5.6 a. Pentru ca. vitesa să fie totuşi finită la vârf, este necesar, după cum este uşor de văzut din formula precedentă, ca Wk să fie deasemenea nulă în acelaş punct de pe cerc |unde este nulăj . Rezultă că punctul de pe cerc care corespunde vârfului profilului trebue să fie un punct de vitesă nulă. Fie B acest punct şi B' vârful profilului(fig. 5.5). Vitesa într'un punct de pe cerc este dată de formula (4.5): (5.12) WK = 2V0 sin 6' +• -1— ■ —' 27T a dz dl 4 t t PROPRIETĂŢI AERODINAMICE 57 unde 6' este luat în raport cu un sistem de axe i)f?V, paralel cu curentul şi având drept origine centrul cercului. In punctul B, unde 0S = ~-f oc+t, vitesa este nulă; rezultă deci (5.13) T=— ±naV0 sin 6B = 47raF0 sin (oc+t) i/k 'şi prin urmare, circulaţia este complet determinată. Este tocmai lui JUCOVSCHI, care, prin ipoteza făcută asupra imposibilităţii unei vitese infinite la vârf, ajunge să stabilească expresia circulaţiei în funcţie de i n c i -,denţa a. a profilului, de vitesaY0 a curentului şi de coarda profilului, care este proporţională cu a, după cum vom vedea "în cele ce urmează. Noul aspect al curentului nu prezintă un înconjur la vârf (fig. 5.6 b). Rezultă pentru portantă, expresia următoare: (5.14) P = PFor = = 1-KpaV2 sin (oc+t). formula fizice a Fig. 5.6. a, b. 58 TEORIA PROFIT.ELOR AERODINAMICE Când a = —T ,portanta este nulă. Dreapta BMI paralelă cu această direcţie, se numeşte prima axă a profilului sau axa de portantă nulă. Pentru a = 0, momentul M(Mj în raport cu centrul cercului este nul, după (5.10). Prin analogie cu portanta, această direcţie (a = 0) care este evident direcţia absciselor (Ox, OŞ) se numeşte axă de moment nul sau a doua axă a profilului. 5.2.2. Focarul profilului. Ca şi portanta, momentul variază cu incidenţa. Există totuşi un punct F faţă de care momentul este independent de incidenţă ; acest punct se numeşte focarul profilului. Intr'adevăr, fie MF o dreaptă simetrică cu MI faţă de Mx' şi să luăm (5.15) MF 3L a momentul faţă de F va fi succesiv (fig. 5.5) : (5.16) m = M -P-^ÎF cos (a - = 27:pg2Fg [sin 2a -— 2 sin (or + -r) cos (a — t)] = — 2-apqWS sin 2t, de unde se vede că expresia momentului faţă de jF este independentă de poziţia aripei. Incidenţa pentru portanta nulă este a = — t. Pentru această incidenţă, expresia (5.10) a momentului faţă de M, are aceeaşi valoare ca şi cel în raport cu F ; din această cauză, momentul faţă de focar se numeşte momentul la portantă nulă şi este notat de multe ori prin M0 : 5.1' Mn = M, f^- In practică, pentru încercările din laborator, momentul se măsoară fată de bordul de c, fie el A'. Rezultă imediat : (5.18) M(A') = M(F) - P FA' cos (FA', V0) « Jf0- PFA'. 5.2.3. Parabolă metaeentrieă. Am văzut că rezultanta presiunilor pe profil este normală pe direcţia curentului şi trece'printr'un punct F (focarul profilului),' faţă de care momentul este egal cu'' M0 = — 2r:pqW2 sin 2t. Pentru aceeaşi poziţie a aripei, există întotdeauna o dreaptă D, faţă de punctele căreia momentul rămâne nul. Această'dreaptă este normală la vitesă şi situată la o distanţă d de F, definită prin relaţia (5.19) d Mn - 27tpg2Fg sin2T inpaV20 sin (a + t a sm sin (a + t) PROPRIETĂŢI AERODINAMICE 59 Prin urmare, momentul este nul faţă de toate punctele dreptei I) şi 7>resiunile se reduc la portanta (P), care'intersectează astfel coarda B'Â' a profilului în punctul C. Acest punct se numeşte centru d e împi n-gcre. Să revenim la expresia* (5.20) şi să remarcăm că proiecţia lui d pe o normală la axa de portantă nulă, fie XH, este constantă (fig. 5.7) : (5.21) d sin (a -f- t) — MF sin2T XF xs dn Această proprietate geometrică a dreptelor B ne arată că înfăşură-loarea lor este o parabolă cu focarul în F, având axa de portantă nulă MM drept directoare şi mijlocul lui FX, fie 8, drept vârf. Pe de altă parte, axa x, doua trecând prin J/ (.1/ //) este tangentă la-această parabolă. Intr'a-devăr, notând cu d2 = MF sin t distanţa dela focar la a doua axă şi observând că unghiul de incidenţă este — , această distanţă satisface aceeaşi condiţie (5.20) : 60 TEORIA PROFILELOR AERODINAMICE 5.3. Coeficienţi unitari Caracteristicele aerodinamice ale profilelor sunt în general folosite sub forma coeficienţilor fără dimensiuni. (coeficienţi unitar i), care vor fi definiţi după cum urmează, dacă însemnăm prin c profu n-z i m e a sau coarda profilului şi prin c x 1 = c suprafaţa unei lungimi de aripă egală cu unitatea : a) Coeficient unitar de portantă,. (5.23) C — k, z-- Tic = Stc— sin (a c b) Coeficient unitar de rezistenţă la înaintare. Am găsit că pentru fluidele perfecte, rezistenţa la înaintare (forţă paralelă cu curentul) este nulă. Cu toate acestea; pentru fluidele reale, din cauza frecării pereţilor şi a desprinderilor de pe extrados, în spate, rezultă o rezistenţă, care e numită rezistenţă de formă sau r e-z i s t e n ţ ă d e 'p r o f i 1 şi care este notată cu R0. Coeficientul unitar respectiv va fi: (5.24) V% c Coeficienţii unitari ai momentului (5.25) Cr. = — 4tt sm: Vlcc «2 FA' 4ti sin 2t -^-Ct Aceste expresiuni pot fi simplificate observând că unghiurile k şi t s.unt foarte mici, abia de câteva grade, că profunzimea c=A'B' a aripei, după cum vom vedea din cele ce urmează, este aproximativ egală cu ,c * iq= ia (1 — e), unde s variază între 0 şi 7 % pentru profilele curente şi că FA' « 0,25 c. Introducând aceste simplificări, coeficienţii unitari vor avea în cele din urmă următoarele expresii: ( Gz (1 + z) (a + *0 , (5.26) { Cm0 « - t = - 0,0275 t», Cm0 -0,25 Cz k 4 m 8 5A. Profile cu vârf rotunjit (profile Carafoli) *). Am văzut mai sus că teoria lui JUCOVSCHI cn privire la determinarea circulaţiei în jurul unui profil este bazată pe existenţa unui vârf propriu zis, la bordul de fugă. Cu toate acestea, existenţa circulaţiei în jurul oricărui contur alungit, cu sau fără A'ârf ascuţit, este o proprietate generală şi este necesar în practică să determinăm această circulaţie, cel puţin pentru anumite profile folosite în mod curent. Astfel, de exemplu, pentru profilele utilizate la construcţia palelor ■elicei (în special pentru elicele de lemn), sau chiar pentru profilele de aripă în anumite puncte ale anvergurei aripei, raţiuni de ordin constructiv impun un vârf rotunjit. Deaceea, apare necesar de analizat mai de aproape caracteristicele scurgerii în jurul unui vârf rotunjit şi de dedus condiţiile de echilibru pentru a determina punctul.de vitesă nulă de pe profil şi de pe cerc şi, prin aceasta însăşi circulaţia. Fie pentru aceasta un profil cu vârf rotunjit, care nu diferă deloc de profilul teoretic al lui JUCOVSCHI cu vârf ascuţit, decât prin însuşi vârful. Este evident că derivata (5.27; dz dî = 11 1" nu se anulează în niciun punct dinafară cercului şi că, prin urmare, toate rădăcinile £2, . . . , £„, se găsesc în interior. Pentru ca profilul să aibă totuşi un vârf de ieşire subţiat, este necesar ca una din rădăcini, fie să fie foarte apropiată de conturul circular, distanţa R\B (luată pe prelungirea razei MRA), trebuind să fie foarte mică în raport cu raza cercului (fig. 5.8). ■*) Această denumire a fost introdusă de diverşi autori{19) 62 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA FROFILELOR PROFILE JUCOVSCHI 63 Vitesa pe profil va fi dată tot de wp Wg dz - si fie B punctul unde — dz ' dC dl devine minimum. Notând cu rx, r2, . . . , rn, distanţa dela un punct oarecare de pe cerc la rădăcinile B\, î?2, . . ., Bn şi prin r distanţa dela acelaş punct la originea axelor, se poate pune (5.28) dz ~dţ~ şi deoarece, r2,. .., rn, r păstrează sensibil o valoare constantă în jurul punctului B, se poate admite că minimul expresiei (5.28) are loc pentru rx minimum,, adică pentru punctul B, intersecţia cercului cu raza MBXB. Punctul corespunzător de pe profil este B'; acest punct ar reprezenta într'un fel, vârful rotunjit propriu zis, al profilului. Să presupunem mai departe că punctul de vitesă nulă de pe cerc ar fi în Q, corespunzător punctului Q' de pe profil. Vitesa trece dela o foarte mare valoare în B', la valoarea zero în Q'. Această variaţie bruscă a vitesei determină desprinderea *) curentului şi echilibrul nu se stabileşte decât atunci când punctul de vitesă nulă este chiar în vârf, în B', şi prin urmare în B pe cerc. Prin aceasta, circulaţia este bine determinată, după cum am arătat în lucrările noastre anterioare [3] : (5.29) T = l~aV0 sin (oc -j- r), în aşa fel că, pentru un profil rotunjit, problema constă în determinarea punctului B, care se găseşte pe axa MBX. Celelalte caracteristice sunt aceleaşi ca acele ale profilelor cu vârf propriu zis. Aceste profile fiind utilizate curent în practică, vom face mai departe^ un studiu aprofundat, privind în special trasarea lor. 6. CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR Cu ajutorul transformărilor (4.27) sau (4.43) se pot obţine formele-de profile susceptibile de a fi utilizate în practică. După forma pe care 6 are bordul de ieşire, profilele pot fi, cu v â r f ascuţit, cu d i e d r u sau cu vârf rotunjit. După numărul termenilor funcţiei de transformare sau după metoda prin care se determină coeficienţii, qx, q2,..., qn, vom considera câteva clase mari de profile aerodinamice, studiul acestora fiindu-ne util pentru aplicaţiile în aviaţie. *) Analiza desprinderii va fi făcută nai desvoltat în studiul despre STRATUL LIMITĂ-., care se formează Ja peretele corpului, ca urmare a frecării particulelor fluide datorită vis-cozităţii. 6.1. Profile Jucovschi Acestea sunt profilele caracterizate prin transformarea, simplă unde q este o constantă reală. Centrul cercului generator este aşezat în 21, în primul cadran (fig. 6.1). Să presupunem că vârful profilului corespunde dz -pe cerc punctului B, l = — q, unde derivata- se anulează; se vede, prin dl aplicarea relaţiilor (4.71) şi (4.37), că diedrul din vârf este nul. Aceasta este o caracteristică a profilelor JUCOVSCHI. înainte de a trata acest caz general, să trecem în revistă câteva cazuri particulare interesante, care au devenit clasice. 6.1.1 Placa subţire. Dacă centrul cercului generator este în origine şi q2 = a2, a fiind raza cercului, se obţine placa subţire (fig. 6.2). Intr'adevăr, pentru punctele cercului (l = ae'9), vom avea : (6.2) 1 + ae + ae 2a.cos 6 sau mea {6.2 bis) 2a cos 6, y 0. Grosimea este nulă. Când 8 variază dela 0 la -n, x variază dela 2a la—2a, «oarda fiind egală, prin urmare, cire= 4a. Semicercul ACB este reprezentat pe partea superioară a plăcii, A'B', pe când semicercul ADB pe partea inferioară a plăcii. Prima axase suprapune pe axa Ox (t = 0), această axă fiind, în acelaş timp a doua axă a profilului. Rezultă caracteristicele următoare : focarul este în A, la un sfert din coardă, pornind dela bordul de atac : (6.3) A'A 0,25 c. Avem mai departe (6.4) Cz = 2 tt sin oc ~ 2rac, O mo — 0, Cm(A') — — 0,25 Gz. Se vede deci că centrul de împingere este fix în A. 6.1.2. Aspiraţia dela bordul de atac al plăcii subţiri. In conformitate cu rezultatul general, care se aplică deasemenea şi plăcii subţiri, rezultanta este normală pe curent şi egală cu pFor. Cu toate acestea, conform ipotezelor admise, abstracţie făcând de frecare, presiunile sunt normale pe placă şi rezultanta ar trebui să fie deasemenea normală pe placă. Nu este însă astfel 64 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA FROFILELOR PROFILE JUCOVSCHI 65 I din cauza aspiraţiei dela bordul de atac. Intr'adevăr, remarcând că avem, după- (6.1), (6.o — = (Z — a)-- v ' ăZ C2 şi că bordul de atac corespunde lui Za vom avea deasemenea a şi prin urmare, după (4.72), (6.0) (6.7) * (So) = ăl L2 16F2 sin2 a, ,se găseşte la vârful din faţă al plăcii, o forţă de aspiraţie, care are următoarea valoare dedusă din (4.75) : (6.8) 8 = 47rp72 a sin2 a = = pF0 r sin a. De aci urmează că rezultanta R' (abstracţie făcând de aspiraţie) este o forţă normală pe placă şi are următoarea expresie după (4.76) : (6.9) R' — R'x — iR'y = - ipVroeix — S=— iţ>V0T cosa, ceea ce ar corespunde realităţii fizice dacă placa ar putea fi perfect subtile. In realitate însă bordul de atac nu este un vârf perfect ajfouţit şi placa are întotdeauna o grosime finită; pe de altă parte, este posil|u să se producă o "scurgere asemănătoare celeia reprezentată în fig. 6.3, astfel că placa subţire se poate asemăna cu un profil având bordul de atac gros şi rotunjit. Desprinderea locală, care ar lua astfel naştere la extradosul vârfului din faţă, completează această imagine. 6.1.3. Arc de cere. Dacă centrul se găseşte pe axa ordonatelor, în M, se obţine un arc de cerc (fig. 6.4). Fie m=OM şi q = OB, puaetul B (Z = — q) corespunde vârfului B' ai profilului [z = — 2q); puncjbul simetric A (Z = q) corespunde bordului de atac A' (z = + 2q), care este deasemenea un vârf ascuţit. Profunzimea sau coarda, fie c, este egală cu 4q. Pentru raza cercului, vom avea (6.10) m- 1 + q\l 1 m2 Aerodinamica 66 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR Deoarece m este mic în raport cu q, se poate considera a ~ q. Focarul este aproximativ în A jîntr'adevăr, după (5.15), vom avea succesiv : • (6.11) a a m2 = a 1 - — a2 MA- Pentru a demonstra că profilul este un arc de cerc, vom remarca mat întâi că funcţia de transformare (6.1) poate fi pusă sub forma (6.12) z-2q__ i^-zJt z + 2q Iţ+Tf' Fie. .G.i. In acest caz, pentru un punct P de pe cerc, corespunzător unui punct P' de pe-profil, se va putea scrie de unde rezultă (6.13 bis) sx — s2=2 («j,—(72)v s = 2(7. • Prin urmare unghiul *, sub care se vede segmentul A'B', este constant. a ffinX™ea fonstant; rezultă că arcul A'O'B' este un arc de cerc, având * = OC' drept săgeată, a cărei valoare va fi dedusa uşor, dupa cum urmează : (6.1t) it = i-0&=i-OC + ■OC i a + m — a + m 2im. , Prima axă a profilului sau axa de portantă nulă face un unghiu eu coarda A'B' (sau axa Ox), definit prin relaţia: (6.15) tg T m 2 0C 2t -, ■ Deasemenea, raza profilului va fi legată de săgeată prin expresia, (6.16) #■-,(«-•/)*-; Uf, de unde se poate scoate explicit raza sau săgeata : (6.17) R _ţl+i«!, t = R~R][i- 2t r 4g2 R2 8R PROI-'lLE .H'COVSCHI 67 In sfârşit, putem stabili următoarele caracteristici aerodinamice [ Cz =27.— Sin (« + t) « 271 (oc + t), I • 3 ] „ * ^ 1 (6.18) C, mo- sin 2i 57,3 | Cm —Cm0 — 0,25 Cz- 6.1.4. Cazul general al profilului Jucovschi. Centrul cercului generator se găseşte în primul cadran, în M, de afix me®, unde m — OM (fig.6.1). Dreapta BM, care face unghiul ţ cu Ox, este axa de portantă nulă. Fie M intersecţia lui BM cu Oy şi să punem m0 = OM0-, vom avea (6.19) tg ~ = <1 Aceeaşi valoare corespunde pentru arcul de cerc B'A'0 transformatul cercului K0, de rază a0 = BM0. Este interesant de văzut că punctele cuprinse între cercurile K0 şi K corespund punctelor cuprinse între conturul C al profilului şi arcul C0. Acest arc este numit scheletul profilului JLTCOVSCHI. Punctele A' şi B', extremităţile coardei, corespund respectiv punctelor A (^=g+2wcos 8) şi B (C = — q) de pe cerc, în aşa fel încât coarda totală c = A'B' va avea următoarea valoare : (6.20) c = (C + -tt I = q. + 2w cos 8 + X> ) b q -f- 2m cos 6 + 22 w 4g 1 + — cos2.8 | « 4ff. (6.21) Eaza cercului generator se deduce succesiv, precum urmează : a — BM — y q2 -f- m2 + 2gw cos 8 == = q i i o m S> 1 + 2 — cos o - q ¥ q + w cos 8. Focarul se găseşte pe dreapta MF, făcând unghiul 2t cu BMI, la distanţa MF de ilf : (6.22) MF = x q[ 1 - ^Cos8+— cos28 (6.23) a \ q q* In raport cu bordul de ieşire, focarul se găseşte la distanţa B'F x 2q + m cos 8 -f q — m cos 8 + m2 cos28 _ 3 / „ 2m2 + q ——— ~— c 1---cos2 8 S2 4 1 3«2 68 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR iar în raport cu bordul de atac, la distanţa (6.23 bis) i { q2 Dacă centrul J£ se găseşte pe axa absciselor, este uşor de văzut că profilul ce rezultă este b i c o n v e x simetric. Fig. 0.5. Să însemnăm mai departe cu ja *) un coeficient definit astfel încât (6.24) .)/„.!/ = [xq^ ™ cos 8 5 în acest caz, rezultatele precedente vor putea fi puse în funcţie de ja : c = iq(l + n2) * iq, a~q(l + p), (6.25) MF = q{l-\L + H2) * fl( 1- ti), I. J.'J= — (1 4 0,,'!> C 4 Despre grosimea maximă a profilului şi poziţia secţiunii frontale maxime vom vorbi mai târziu, dintr'un punct de vedere mai general. Vom da totuşi rezultatele principale ale acestui studiu. Astfel, de exemplu, grosimea relativă maximă este dată de formula următoare (pe care o vom stabili, de altfel, mai departe (8.39) : (6.26) «±.= 1.3^1- 3 *) Să nu se confunde aecst coeficient cu afixul centrului M. pe care noi l-am notat deasemenea cu [x şi care a fost introdus in expresia potenţialului (5.0.). PROFILE JL'COVSCfII 69 de unde se scoate ;a în funcţie de zm : (6.27) ^«_2-IL±!L_ 1-0,6 zm Poziţia secţiunii frontale maxime rămâne aproximativ invariabilă, la un sfert de coardă, începând dela bordul de atac. Aceasta este o caracteristică generală a profilelor JUCOVSCHI. In sfârşit, se poate conclude că proprietăţile geometrice ale profilului depind de următorii parametri: OM0 tg t = / defineşte curbura, M,M = [a defineşte grosimea maximă relativă. Rezultă în funcţie de aceşti parametri caracteristicele aerodinamice corespunzătoare : (6.28) i Cz 2tz — sin (a + t) « 2~ (1 + ja) (k + t) , 1 Aii Cm = Ci m0 -i- Sin 2~ x--- (1 — 2(a2) t c2 2 0,25. (1 + 2[a2) Cz. 6.1.5. Trasarea profilelor Jucovschi. Metoda grafică de trasare datorită lui TREFFTZ ne permite să construim foarte uşor profilele JUCOVSCHI. Această metodă este bazată pe o transformare intermediară, şi a-nume, aceea a inversiunii cercului. Intr'adevăr, transformarea (6.29) 31, care este numită inversiune , face să corespundă cercului generator K un alt cerc Jl,, trecând prin punctul B (C = — q), cu centrul în Mu punct de intersecţie al dreptei OMu simetrică dreptei OM faţă de Oy, cu dreapta BM (fig. 6. l).Raza J/^a cercului transformat, fie va fi dată de formula q2 q a, . (6.30) MxB = o,: m- q + 2m cos 8 1 + 2[a Demonstraţia va fi făcută mai târziu pentru cazul general (6.69), la care exemplul de faţă constitue un caz particular. 70 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR - PROFILE JUCOVSCHI 71 Unui punct P de pe cercul X îi corespunde un punct P, de pe cercul Ki (fig. 6.1 şi 6.5), situat pe o dreaptă OPx, simetrică cu dreapta OP faţă de Ox; se găseşte, Intr'adevăr : (6.31) Si X OPV = OPx Să revenim la transformarea (6.1) şi să remarcăm că punctul P' de pe conturul transformat este suma geometrică OP şi OP, : <2 (6.32) z = Z + K. OP - +OP.-'e—«0 = OP' ■ Aşadar, trasarea unui profil JUCOVSCHI devine foarte simplă, de îndată ce s'au fixat caracteristicele geometrice ce trebue obţinute : curbura definită prin / = OM, OB si grosimea maximă relativă care ne permite să calculăm M0M: 0,77 zm M0M 1 — 0,60 s„ Se ia deci OM0 pe Oy, se duce dreapta BM0M, se ia MQM pe această dreaptă şi se fixează astfel centrul M al cercului generator. Se duce apoi dreapta OMx, simetrică cu dreapta OM faţă de Oy, şi se găseşte centrul Mx al cercului auxiliar Kx. Din acest moment, construcţia profilului este imediată; se formează paralelogramul POPxP' şi se găseşte astfel punctul P' al profilului, omologul punctului P de pe cerc. Pentru a construi normala în acelaş punct P', trebue observat întâi că raza vectoare OP din planul cercului se transformă într'o iperbolă în planul profilului; intr'adevăr, pentru un punct oarecare al razei vectoare (X = re®), vom avea, aplicând (6.1), (6.33) x -f iy = re® + o—id cos 6 % r de unde rezultă iperbolele omofocale, cu focarele în B' (OB' J'0(O,l'„ 2//): (6.34) f__fL_V_f^__r = l. sin 6, 2q) şi 2q cos l 2q sin 0 Normala dusă la cerc în punctul P face unghiul v cu raza vectoare. Acest unghiu se păstrează prin transformare în planul profilului, între normala dusă în P' la profil şi iperbolă dedusă prin transformarea razei vectoare OP. Normala dusă la iperbolă în acelaşi punct este dreapta ppx p şi px fiind pe dreptele OP şiOPj, cu Op = 2 OP şi Opx =2 0PX. 6.1.6. Distribuţia de vitese pe profil. O altă problemă importantă, •care se pune tot timpul în practică, este distribuţia presiunilor pe profil. Pentru aceasta, este necesar să se cunoască distribuţia viteselor. Am văzut că vitesa wP de pe profil se deduce din vitesa Wk de' pe cerc după formula <4.49) : - Wk (6.35) Wp j ds;' 1 d5 1 unde Wk poate fi determinată grafic după cum urmează (fig. 6.6). Intr'adevăr, indicând prin Y0, vitesa dela infinit şi prin PX, distanţa dela punctul P (omolog punctului P' de pe profil) la dreapta BX, paralelă cu vitesa F0, prin aplicarea formulei (4.12), se obţine relaţia următoare : .(6.36) Wk = 2Y0 [sin (6' + a) + sin (a + t)] = 2T r Pi? -f RX PX Se găseşte deasemenea şi pentru simplă : •(6.37) 1 — = 1 dX d ax o construcţie grafică foarte 1^ 31 X OP Urmează mai departe •(6.38) = 2 FN a OP o « PP, de unde rezultă distribuţia presiunilor pe profil: <6.39) Wp Ţ72" Cp = = 1 P-Po 1 - Y 2 PX a OP P,P 6.2. Profile cu diedru la vârf (profile Kârmân-Trefftz) Am văzut mai sus că profilele JUCOVSCHI, care pot fi puse sub iorma (6.12) 2q 'au un diedru nul la vârf. z + 2q 72 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFIL ELOR PROFILE CU DIEDRU LA VÂRF 73 Să considerăm acum, prin analogie ou această expresie, o transformare puţin modificată : (6.40) - y.q + i. care trebue să satisfacă condit iţia |^ = 1, pentru ca cele două domenii d^ Joo să se suprapună la infinit şi ca transformarea să fie de tipul (5.5). Această condiţie este îndeplinită dacă x = Ic; intr'adevăr, pentru c, respectiv destul de mari, se poate scrie succesiv : (6.41) lk + (l + g)* + - q)k (l + q)k - (X ~~ q)k Yk 1 ^( ^ ^ 1-2 lk k (Ic - 1) (le Q3 — + sau mea: (6.42) de unde se vede că coeficienţii x şi li sunt egali. Prin urmare, profilele KAE-MAN-TBEFFTZ cu diedru la vârf vor fi reprezentate prin transformarea- v.q (6-43) ~ ^ ,rx z + y-q v X + pe care o vom aplica mai jos la câteva cazuri particulare. 6.2.1. Profil în semilună. Să presupunem că transformarea (6.43) se aplică unui cerc, având centrul pe axa Oy, în .1/. Rezultă uşor relaţiile următoare (fig. 6.7) : (6.44) rxeiSi r0eiSi r2V*' P2e >v (6.49) de unde rezultă centrul M al cercului şi axa de portanta nulă a profilului. Figura 6.9 reprezintă im profil lentifornî, care este susceptibil de a fi folosit pentru vitesele mari supersonice, pentru avantajele pe care le prezintă în ceeace priveşte rezistenţa la vitesele mari. 6.2.2. Caz general. In cazul general, centrul cercului generator se găseşte în M, în primul cadran (fig. 6.10). Vom avea, prin aplicarea transformării (6.43), (6.50) H = Jc = (-£l)x , s = y.a, nsă trebue remarcat că c nu mai este constant şi prin urmare nici s. Pentru a trasa profilul, vom pune funcţia de transformare sub forma : * = (K+gr + a-qr _U+g (b"0l) Xg (S+gJ'-K-g)* ^ (S-giX 1 + Jc eis 1 - Jc eis de unde rezultă coordonatele profilului : x 1 -Jc2 <(6.52) xg V 1 + Jc2 — 2Jc coss 2 Jc sin s Jc2 — 2Jc coss Extremităţile B' şi A' ale coardei, corespunzătoare punctelor £ =— g şi X — g+ 2m cos 8 de pe cercul generator, vor fi determinate aplicând relaţia (6.51); aceasta ne a-a permite mai departe să calculăm coarda : 1 H--cos»| <6.53) xg -f- xg 2xg 1 + m \v. — COS 6 9 m ^\y- / m ^ \x 1 -\--cos 81 — — cos ^> ■ « ) u [LV. (i + v-Y 2xg (1 + -j.2 Am pus m cos 8 = \iq şi am considerat în acelaş timp un diedru normal ■8 = (2—x)tc dela 0° la 18°, ceeace dă pentru v. o valoare variind între 2 şi 1,9. 0 76 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA. PROFILELOR Focarul profilului rezultă din expresia generală, unde coeficientul — q2, după (6.42), şi în loc de a se va pune lui — va fi înlocuit prin — .2(1 + (6.54) Fig. 6.10. 6.2.3. Caracteristice aerodinamice. Cu aceste rezultate este uşor de-stabilit mai departe caracteristicile aerodinamice ale profilului, ţinând x2 — i ■ i seama în acelas timp de coeficientul-qA al termenului ■—care 3 . . X intră în expresia momentului, după cum, de altfel, am făcut mai sus pentru focar. Vom avea prin urmare : (6.55) Otc-^- sin (oc + t) ~ 2tî— (1 -f- (x) (a. + -r), c x C'mo— — 4t: x2 - 1 q2 sin 2i 3 4x2g2(l + ii.2)2 y-2 -1 ... . .,, re Cm - C, mO J.'j1 2 8 --Cz ~ Cm0 - 0,25 (.1 +-----h 3fx2)Cz . ■"ii f PROFILE DIVERSE 77 6.2.4. Distribuţia viteselor. Am văzut că vitesa irp într un punct al profilului este dată de expresia : Wp II ,, j- : ' i dz i unde Wk, vitesa în punctul omolog de pe cerc, va fi dedusă din formula -(6.36) şi—" va fi determinată jdeeand dela expresia (6.43) dz z - y.q (X - qY z + y.q si derivând-o'. Vom avea succesiv (6.56) dr dl. 2xg -,2\y- — i .q şi prin urmare, raportându-ne la figura (6.10), vom găsi în cele din urmă : (z - xg) (z + xg) j = _ (ţ-q)(ţ+q) \ Pl?2 (6.571 dz ax ■6.3. Profile diverse Profilele JUCOVSCHI au caracteristici geometrice precise, cum ar fi de exemplu : bordul de ieşire foarte subţiat, distribuţia grosimii invariabi 1 situată spre bordul de atac, scheletul totdeauna în arc de cerc, etc. Diedrul profilelor KÂRMAN TREFFTZ îngroaşă bordul de eşire, în timp ce metoda lui MISES, pe care o vom expune pe scurt mai jos, aduce o soluţie cu privire la distribuţia grosimii şi la modificarea formei scheletului şi prin aceasta aplicaţia în practică este lărgită. dz Punctul de plecare al acestei metode este derivata — , care poate dX fi pusă, după cum am văzut (4.38), sub forma : unde £ = X este un punct de pe cerc, care corespunde vârfului profilului, şi X,,X2,. . ., An, alte n rădăcini cuprinse toate în interiorul cercului (fig. 6.11). Funcţia z va fi de forma (4.27) {6.59) z = X + ^ + ^ XX2 de unde rezultă relaţiile următoare : (6.60) X + £ Ây=0, «i = x S N + — X) N h tf*iw = - Ă2 >=i - j=i - S £ 78 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR '7 —*\ FiL'. G.ll Aşa dar, suma geometrică a rădăcinilor este nulă şi metoda constă tocmai in aşezarea punctelor LVL2. . . ., L„, care reprezintă rădăcinile respective din interiorul cercului, astfel încât suma afixelor respective să fie egală cu — X. Ne putem da seama că avem astfel o multiplă infinitate de posibilităţi pentru a acoperi tot câmpul aplicaţiilor practice. Sub această formă, deşi de un mare interes pentru studiul profilelor, este totuşi foarte greu de determinat caracteristicile geometrice ale profilului (formă, curbură, distribuţia groşi mei, etc.) cu ajutorul unor parametri precişi şi simpli care să poată fi variaţi după dorinţă. De asemenea, vom trece peste detaliile trasării, remarcând pe de altă parte că coeficientul lui— poate fi pus sub forma qx = q2 e2/r şi printr'o schimbare de axe (z=z'el", Z—Z'eK'K expresia (6.59) poate fi pusă sub forma (5.5), unde coeficientul o2 al lui — este real. Z Insă, în acest caz, cădem pe metoda tratată mai jos, care elimină inconvenientele semnalate şi care face ca trasarea să fie făcută mult mai uşor. 6.3.1. Alte metode. înainte de a expune această din urmă metodă, semnalăm alte metode diferite, datorite lui GBCKELEE, lui MULLER [21] şi cea a lui GIRAULT [10], care este destul de originală. In aceeaşi ordine de idei, trebue să semnalăm lucrările lui S.A.CIAPLÂGHIN tratând despre diversele forme de profile obţinute pe o cale cu totul diferită. Astfel, de exemplu, în lucrarea sa :,,Despre presiunea exercitată de un curent paralel asupra unui corp cufundat" publicată în 1910 la Moscova, autorul indică o familie de profile obţinute prin inversiunea parabolei. Cu tot interesul pe care-1 prezintă acste profile, metoda folosită este mai puţin simplă decât aceea indicată de JUCOVSCHI, care a devenit clasică între timp şi care este unanim adoptată în tratatele de specialitate. Intr'o altă lucrare CIAPLÂGHLN [8] indică şi alte forme de profile şi în special profile cu vârf rotunjit. 6.4. Profile de formă generalizată Am menţionat mai sus caracteristicile geometrice ale profilelor JUCOVSCHI şi KÂRMÂN- TREFFTZ. Cu privire la profilele MISES, care extind, e drept, câmpul de aplicare, ele au totuşi o trasare foarte anevoioasă şi variaţia caracteristicilor lor nu este determinată de parametri precişi şi simpli. De aceea, am stabilit o metodă, mai simplă, care generalizează celelalte metode şi acoperă toate formele profilelor utilizate în practică [3]. Ea se bazează pe următoarele puncte : a) interpretarea geometrică a funcţiei de transformare ; PROFILE DE FORMĂ GENERALIZATĂ 79 b) determinarea parametrilor care să influenţeze variaţia caracteristicilor geometrice şi aerodinamice ale profilului; c) găsirea formelor simnle care să poată acoperi tot câmpul aplicaţiilor. Să plecăm mai întâi dela expresia generală (5.5) a lui z, care poate-fi pusă sub forma : (6.61) = C + Jl__l~ £ £ " Z n=2 m=0 (Z — Xm unde q2 este o constantă reală şi X0, X,,.. . ,Xm afixele punctelor L0, Lu... ,Lm, aşezate în interiorul cercului. Această formă este întotdeauna posibilă dacă, dz bine înţeles, rădăcinile lui — sunt de asemenea toate în interiorul cer- dX cuini, în afară de una singură, Z = Zb de exemplu, care este în B, pe cerc şi care corespunde vârfului profilului. Pentru ca această condiţie să fie îndepinită, este necesar să avem în punctul B următoarea condiţie: (6.62) sau (6.63) ^) =1-4 Z% n m nqm,t q nqmn Zb lB Zb ? ? (&-Xm)« fts-Xm) Să observăm acum că inversiunea (6.64) z aplicată cercului generator K reprezintă cercul auxiliar Kx (fig. 6.12), a cărui trasare va fi definită precum urmează. Fie pentru aceasta me'iS afixul centrului (M) şi a = QM raza cercului generator; ecuaţia acestuia faţă de tm sistem 0\f\ va fi: (6.65) Punând Z = forma următoare (l — m cos â)2 -f (t) — m sin ă)2 = a2. it] şi Z = \ — ii], această ecuaţie poate fi scrisă sub (6.66) ^-(UOcosS +i(Z -Să punem, după (6.64), (6.67) X = ţ-, Z Z) m sin 8 = a2 r **1 80 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR şi să introducem aceste expresiuni în (6.66); se obţine, după câteva transformări şi simplificări, următoarea relaţie : (6.68) m cos 8 + pi a- — or — vi- ni sin o = "T^-,1 a'2 = ai2' a- — m-l care este ecuaţia cercului Kx, de rază a,, egală cu (6.69) a, = -; a, având ca afix al centrului, mle'^1 dat de expresia (6.70) a- — m- Se vede că centrul Mx al cercului transformat se găseşte pe dreapta 03/,, simetrica lui OM faţă de Or,. Fie Q intersecţia cercului K cu partea negativă a axei O; şi Q„ intersecţia aceleiaşi axe cu iv, ; vom avea, după (6.64) : (6.71) OQ, X OQ = •„,)" (Zb - X„ B^Bc'G PROFILE DE FORMĂ OENERALIzATA 81 şi prin urmare, condiţia necesară peatru ca punctul t? „s ^. - « fulul £' al profilului rezultă imediat, si anume ,1 ţi Sa coresPun(Ja varJ a segmentelor e' Mima geometrica (6.76) hqjh _ _. OBe-i» = (_!)'. tyjti-OB-e—'t 7ft trebue să fie egală cu BxBe^ (fig.6.12 Fig. 0.12. Scoatem în acelaş timp şi coeficientul qJh . (6.77) unde qjh = (-lfHL. W^l e*(°A + ^ + v, ) h OB 6.78) 6 Aerodinamica V; = T; + p. 82 CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR Fără a dăuna, în niciun fel, extinderea aplicaţiilor practice, se poate reduce suma dublă din membrul al doilea al expresiei (6.61) la un singur termen : (6.79) Imn In si transformarea care rezultă, (6.80) X (X - h)" este suficientă pentru a acoperi un întreg câmp de aplicaţii al aerotehnicei-Din cele ce preced, deducem coeficientul celui de al treilea termen: (6.81) n OB şi astfel transformarea este perfect determinată. Ne putem da seama uşor că poziţia punctului Lj ne oferă o infinitate de familii de profile. Există, totuşi două poziţii speciale, care simplifică trasarea profilului, după cum vom vedea în cele ce urmează. Aceste două poziţii sunt următoarele : originea (Xy = 0) şi centrul M al cercului generator (Xy = OM • e's -= me'8). Vom putea scrie pentru primul caz : (6.82) şi respectiv : (6.83) IV Pentru cazul al doilea, vom avea deasemenea: (6.84 ) z = X + V X, ' (X- me*)n unde coeficientul termenului al treilea, dacă însemnăm cu a raza cercului generator, va avea expresia : (6.85) 1 v n OB TRASAREA ŞI STUDIUL PROFILELOR DE FORMĂ GENERALĂ 83 7. TRASAREA ŞI STUDIUL SISTEMATIC AL PROFILELOR DE FORMĂ GENERALA 7.1. Trasarea profilului de bază şi determinarea parametrilor geometrici Să considerăm transformarea (6.80) şi fie K cercul generator pe care vrem_ să-1 transformăm. Să luăm drept lungime de referinţă segmentul OQ, care determină, într'un fel oarecare, scara epurei, OQ fiind aproximativ egal cu un sfert din coarda profilului. Remarcăm, dela început, că transformarea precedentă depinde de un număr de parametri, a căror variaţie ne dă tot atâtea familii de profile. Vrem să interpretăm aceşti parametri într'un mod geometric. Să punem pentru aceasta (7.1) OQ = l şi fie x, / şi \x trei coeficienţi numerici, definiţi precum urmează (7. QQi = y-l OMQ = fl, M0M = [xi. Să notăm mai departe prin Xy = OLje'Sj t, unghiul făcut de axa de portantă nulă (BM) cu axa absciselor, poziţia punctului Lj şi n, gradul termenului al treilea. Toţi aceşti parametri independenţi : x, /, \x, x, Xy, n influenţează forma şi caracteristicile geometrice, şi aerodinamice ale profilelor. Este uşor de văzut, în acest caz, cât de multe familii de profile şi ce diversitate de forme se pot obţine prin variaţia acestor parametri. înainte de a stabili influenţa fiecăruia, vom da metoda trasării unui profil de formă gererilă, luând pentru fiecare parametru o valoare cunoscută a priori, dedusă din caracteristicile profilului ce vrem să-1 obţinem. Vom indica mai jos operaţiile succesive ale trasării. Să luăm mai întâi OQ = = l drept unitate de măsură, aşa după cum am menţionat mai sus, şi fie M0 un punct pe axa ordonatelor, astfel încât să avem OMQ = fl. Pe dreapta QM0 vom lua deasemenea un segment M0M = -xl, M fiind centrul cercului generator. Să însemnăm cu Qx un punct de pe axa» absciselor în partea pozitivă sau negativă faţă de Q, astfel încât OQ x X OQi = q% şi fie QQX = v.1. Cercul Klf inversul lui K, trece prin acest punct (#,) şi are centrul în Mu intersecţia dreptei QXMX, paralelă cu QM şi OMu simetrică lui OM faţă de axa ordonatelor. Cu aceste date se pot calcula afixele ce rezultă din primii doi termeni: (7.3) z = X+±- = X + V (l-x) X Astfel, de exemplu, punctul P de pe cercul generator va fi transformat în punctul P[ şi aşa mai departe pentru toate punctele cercului. Prim această transformare obţinem un contur CX pe care-1 vom numi conturul sau profilul de bază, având forma determinată de cei trei parametri : /, y. şi x. 84 TRASAREA ŞI STUDIUL PROFILELOR DE FORMĂ GENERALĂ 7.2. Profile eu vârf ascuţit Pentru a completa profilul, trebue determinat al treilea termen din expresia (6.80). Pentru aceasta, trebue să fixăm întâi punctul B de vitesă nulă. Acest punct va fi determinat prin consideraţii de ordin aerodinamic. Intr'adevăr, unghiul t pe care-1 face dreapta BM cu axa absciselor determină momentul la portantă nulă sau coeficientul iz unitar Cm-, ~--t. 2 Deoarece pentru profilele moderne acest coeficient variază între 0 şi 0,5, unghiul t nu trece de două grade, astfel încât punctul B va fi determinat uşor, luând dinainte o valoare convenabilă pentru Cmo- In aceasta rezidă de altfel avantajul profilelor de formă generală. Dreapta BM este în acelaş timp axa de portantă nulă a profilului. Punctul Bu omologul lui B pe cercul Kx, ne determină segmentul BXB, care face unghiul a cu axa absciselor. Rezultă astfel valoarea tar-menului al treilea : (7.4) = (-D" ^ BLj \n BLj i((j-(-»~y PLj ) OB care trebue adăugat la P[, pentru a obţine punctul P' al profilului (fig. 6.12). Noul termen, care este numit corecţia conturului de bază, are deci drept modul şi argument respectiv : (7.5) P\P' =(-!)" BXB { BLj \ n BLj n PLj OB n=2F0^-- a PT Dacă Lj este în origine (Xy=0), se vede din expresia (7.10) că segmentul ST este nul şi prin urmare : (7.12) wP = 2V0 PN OP a PS 7.2.2. Exemplu de trasare. Considerând transformarea Z Z" şi făcând să varieze parametrii u, x, t şi n, obţinem profile foarte variate ca forme geometrice şi caracteristice aerodinamice. Astfel, de exemplu, făcând să varieze /, păstrând însă ceilalţi parametri constanţi: iy- = me&; vom avea 2 (7.14) o= («V» ~ Z + 2m cos B + -?—■- + * 1 + 2m cos o n OB l n OB PROFILE CU VÂRF ASCUŢIT ■*f sau încă, înlocuind q2 prin q2 = l2 (l—y-), (7.15) c 31 + 2i±l - Iv. + î(l - 2 [x + 4 [x2) (l-x) - ' cf. Rezultatul în cazul general (Xy oarecare) ar fi aproximativ ct» fiind dat că, pentru profilele curente, |Xy j este foarte mic faţă de q 90 TRASAREA ŞI STUDIUL PROFILELOR DE FORMĂ GENERALĂ Pentru poziţia focarului vom găsi (7.17) a 1 + fi. 1(1 — x — [x + [xx + [x2) şi prin urmare, însemnând prin B' bordul de ieşire şi prin A' bordul de atac : f | (7.i8) B'F =1 + 1 {l-x) +— + y.l + l---î n 1 + V- l (3 - 2x + — + jj.x+ [x2), n A'F=c~B'F=l\ l + 3;x2 + ixx-(~1)nx n Caracteristicile aerodinamice rezultă imediat : Cz = 2tt— sin (a + t) « 2rt (1 + {!)(« + r), c C (7.19) ' —11 —IX2 2) Cm — Cmo [XX = —4tc—sin 2t « c2 [l-(-l)"](l + [x) 2» Xl Tt Cz Ci mo 0,25 1 + — + 2|x2+ 2 + [XX 1+3 (-1)" (1 + fx) x Cz « Cm3 - 0,25 Cz 2 4n 7.3. Profile generale eu vârf rotunjit Metoda pe care am expus-o mai sus poate fi extinsă la profilele cu vârf rotunjit. Intr'adevăr, fie C un punct situat la o mică distanţă CB de cercul generator (fig. 7.5); să presupunem că în. acest punct derivata lui z se anulează o singură dată. Am văzut că, în acest caz, punctul B corespunde vârfului rotunjit B' al profilului. Primii doi termeni ai funcţiei de transformare (7.20) z = Z + Qn = «i + Qn ne dau, ca şi pentru profilele cu vârf ascuţit, acelaş contur de bază. Al treilea termen va fi determinat într'un mod analog, observând că derivata se anulează în punctul C: ■ (7.21) ( dz \ _ Ic (k-X/V + l o, PROFILE GENERALE CU VÂRF ROTUNJIT 91 de unde rezultă relaţia care ne dă pe qn' (OC e®-\j)n+l (7.22) CCle^=(-ir ^3n °°J— = (-1)nJ^V}L e-'W+V) 1 rezultă că z. se anulează de 2 S ori în punctul B şi prin urmare noul profil în planul 2, va avea un diedru de unghiu S la vârf. Dacă originea sistemului de axe din planul cercului generator este chiar în centrul acestui cerc, fie M ir, acest sistem paralel cu cel iniţial de referinţă (fig. 7.7) şi dacă a este raza cercului, se obţine o formă puţin diferită, aşa cum am indicat în lucrările noastre anterioare [3] : (7.29) 1 + ac Această formă are avantajul de a simplifica calculele trasării. Intr'adevăr, fie z = re:(? afixul unui.punct al profilului iniţial M zt = -\\e'^ acela al noului profil; vom avea, punând X = ae'®, relaţiile următoare : (7.30) unde (7.31) ÎV'91 re cos 7c r 2 cos• 8 71 > o, = 9 + — (6-t) 2tt 8 2tz Vom observa că t este foarte mic (dela 0° la 2°), deci practic neglijabil în formulele precedente. 94 TRASAREA ŞI STUDIUL PROFILELOR DE FORMĂ GENERALĂ Aşa dar, prin aplicarea acestor formule, putem trece dela un profil oarecare, cu diedru nul, trasat după o metodă precedentă, la un profil cu diedru S dat a priori. Caracteristicile geometrice şi aerodinamice ale profilului astfel transformat, în raport cu cele ale profilului iniţial, se obţin deasemenea din aceleaşi formule. Astfel, de exemplu, vom avea succesiv : «) Coarda profilului nou, corespunzând aproximativ la 6, = 0, va fi dată de relaţia (7.32) --c (2) 1-0,7 — ■jt Fig. 7.7. şi prin urmare portanta unitară va fi 1 + îx + 0,7— j (oc+t). b) Pentru a calcula Cm3, vom pune mai întâi 8 (7.34) 1 + oue ~x~ PROFILE GENERALE CU DIEDRU 95 şi înlocuind X' din expresia (7.26) prin X' = X + me% unde mer>' este afixul centrului, obţinem * (7.35) z = X + me* — b + --h • . • 4- ■ g" - X xn Dacă desvoltăm după aceea expresia lui z1 (7.28), găsim pentru coefi- cientul lui — succesiv X (7.36) S îi2 = t + — {me* — b) aeiT « Sf ... . n-1 Tl . -xt ae'T ■■ qz —| mer{ + 21 — n de unde rezultă <2 —I n 71 ' 1-2 -L(i + i,5-,+l±ix V 2w. «2 C'mo = — 4tc sin 2t = 1-2- tu cî (7.37) § \2 1 - 0,7—] 7t G mo 0,7 — C, "no c) F o c a r u 1 va fi aşezat în F, la distanţa MF de M (7.38) MF = JL a l 1 - x Distanţa dela focar la bordul de atac rezultă din relaţia următoare (7.39) 11- n tt Aceasta ne permite să scriem mai departe (7-40) C'm = Cm,-Iñ Cz* C mo 0,25 1 + 1+3 (-1)" 4n de unde se vede că momentul în raport cu bordul de atac are aceeaşi expresie ca şi pentru profilul iniţial. Pentru a pune în evidentă influenta die-drulm asupra formei, dăm o serie de profile cu diedre variind dela 0° 'la 25° (fig. 7.8). Trebue să remarcăm că, pentru a conserva grosimea maximă relativa, este necesar să variem şi jx, grosimea fiind funcţie de \±, x si 8, asa cum 96 TKAS AREA SI STUDIUL PROFILELOR DR FORMA GENERALA vom vedea mai jos. Ceilalţi parametri sunt tgT = 0,015, n = 3, X/ = 0. următorii: v. = 0, / — 0,06, â=0° S =20° Fis. 7.8. 7 Al. Distribuţia viteselor. Determinarea viteselor este mai complicată, ea se deduce derivând relaţia (7.29) : (7.41) j£i_ ăl = 1 ae ăz ăl l sau încă, referindu-ne la fig. 7. 9, se poate scrie : ITl i OP e (7.42)--, i ăl ■ &zi I = 12 cos- fi' re ae 2 cos----- 2 PROFILE CU DIEDRU 97 Practic, unghiul t poate fi neglijat fiind foarte mic. Făcând încă unele operaţiuni simple, putem scrie în cele din urmă : (7.43) ăz ăl 2 cos * \ tp ^— OP 271 co4- a co + 9' Fig. 7.9. Construcţia grafică este evidentă. Intr'adevăr, fie (7.44) ăz ăl tp op rezultatul referitor la profilul iniţial fără diedru şi să punem ■ $ r op (7.45) 27Z COS— a pu, op 7 Aerodinamica 98 DISTRIBUŢIA GROSIMII direcţia PU face unghiul | 9--^- 6 j cu raza vectoare OP; rezultă (7.46) dzx as 0 ^— - TU 2cos — 1T.-=-2 OP ceeace ne permite să calculăm vitesa după formula cunoscută. 8. DISTRIBUŢIA GROSIMII DEALUNGUL PROFILULUI ŞI POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME Această problemă are o foarte mare importanţă, în special pentru vitesele avioanelor moderne. Deaceea, am găsit că este foarte util de a trata aceste chestiuni într'un mod mai profund, pentru a putea face astfel aplicaţii la profilele moderne corespunzătoare viteselor mari. 8.1. Variaţia grosimii Pentru a simplifica scrierea, vom lua funcţia de transformare sub forma (6.82) (8.1) care devine, punând l = rei9 şi înlocuind qn prin valoarea sa scoasă din (6.83) : (8.1 bis) z = x + iy=rem + £ e~iQ+(~Dn ^[^\ q* -m , , 1 ^ BBX (OB )n p i (a-nP-«8) r n \ r Pentru cazul general Xy =}= 0 ultimul termen va fi puţin diferit, însă modulul lui Xy este mic pentru profilele curente, punctul Lj fiind situat în jurul originei, astfel încât, pentru scopul pe care-1 urmărim, rezultatul va fi aproape identic eu acela care corespunde lui Xy=0, rezultat pe care l-am considerat mai sus. Să revenim la expresia (8.1 bis); putem scrie : (8.2) = ţ r + -ţ-jcos e+(-l)" ^-{~~]n^m (o-n-3- «8), y.= r — -ţ-lsine +(-1)" B.B OB sin (o — n(3 — nft). n \ r îfotând cu a raza cercului generator, vom putea pune (fig. 6.12) (8.3) a2 = r2 + m2 — 2mr cos (9 — 8), de unde rezultă 1--g sin2 (6 — 8) -f m cos (6—ă) a+m cos 8 cos 6 -f +m sin 8 sin 6 « QM0 + M0M + M0M cos 0+ OM0 sin6, VARIAŢIA GROSIMII 99 sau încă, împărţind prin l şi ţinând seama de relaţiile (7.2) : r (8.5) l 1 + V- (1 + cos 6) +/ sin 0. punem mai departe (8.6) ' q2 = OQ x OQi = l2 (1 - x), OB ^ OQ şi să observăm, pe de altă parte, că avem respectiv, (8.7) B\B cos (ct - n$) « -QQl = - xl, BXB sin (ct — »p) » 2 (/ — 1) l, unde l, x, t au semnificaţiile bine cunoscute; vom putea scrie pentru abscise : (8.8) — =2 cos 0—x (1 — (z—fi, cos 0— / sin 0) cos 0 — (— 1)" — (— | cos »0-f- l n \ r ) + (_ i)«2 (/ - TY_g_]w gin n8> n \ r ) Pentru punctele de pe intrados 0 se schimbă în — 0. Rezultatul este puţin diferit de jcel precedent, însă diferenţa fiind foarte mică, se poate lua o abscisă medie. Neglijând, pe de altă parte, termenii de ordinul al doilea, această abscisă medie va avea în cele din urmă expresia următoare : x l (8.9) —= (2 — x) cos 1 ( — 1)" -—cos «6 n In practică, abscisele sunt definite în raport cu coarda profilului, începând dela bordul de atac şi fie X acest raport; drept urmare, vom pune expresia (8.9) în funcţie de X. Am văzut că profunzimea este dată de expresia (7.16) : (8.10) c de unde rezultă 41)1- — l 2 1 - (-1)" ■l (8.11) x 1_ 4 x) (1 - cos 6)-(—1)»_(1 — cos w0) n 2 1- (-1)" 2n «- 0,5 (1 - cos 0). Cu privire la ordonate, se găseşte în mod analog JL l = 1 -f jj. + [x cos 0 -f / sin l 1 + [i -f (j. cos 0 + / sin 6 sin6 -f- (8.12) + (- 1)" —JH"J"I sin («f - »P) cos «8 - -(-1)» B,B s, r J cos (ct — w[3) sin n%, 100 POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME sau încă, desvoltând şi neglijând termenii de ordinul al doilea (8.13) l = (jx + y. cos 8 -4- / sin 8) + xsin8+ (— 1) 2 (/■ 2 — x — (jx 4- [xcos 8 4- / sin 6) sin 04- 11 q V1 cos n0 4- (— 1)'! — (— I sinH0. 11 Admiţând o abscisă medie pentru punctele de pe extrados şi intrados, aşa precum am presupus mai sus, notând cu ye şi yt, respectiv, ordonatele ' extradosului şi intradosului, grosimea profilului va putea fi exprimată prin expresia : (8.14) ye - yt i 4[x 1 _ ±1(1 +COS0)-- 2 2 2x 4- 2xsin0 4- (— 1)"— (1 n 11{X sin 0 (1 +cos 0) n-x cos0) sin«0. Aceasta este formula generală a grosimii într'un punct al profilului. 8.2. Grosimea maximă şi poziţia secţiunii de grosime maximă Sub forma (8.14), expresia grosimii prezintă dificultăţi.cu privire la găsirea grosimii maxime ; deaceea, vom neglija termenii de ordinul al doilea şi vom obţine o expresie mai simplă, 2x (8.15) — = 4jx (1 4- cos 8) sin 8 + 2x sin 8 4- (- 1)" — sin nQ, l - n a cărei derivată, egalată cu zero, ne dă soluţia problemei: (8.16) — de d0 (4(x 4- 2x) cos 0 4- 4[x cos 20 4- (— 1)"" 2x cos n% = 0. Această ecuaţie ne dă, intr'adevăr, valoarea unghiului 0, fie 6m, care corespunde poziţiei secţiunii de grosime maximă şi care va fi introdusă în (8.14) pentru a obţine. grosimea maximă propriu zisă. Pentru n = 0 (rezultă x = 0, ceeace" corespunde profilelor JUCOVSCHI), n = 2, n = 4, găsim cos 0m = — ; se vede, după (8.11), 2 «că secţiunea frontală maximă se găseşte aproximativ la un sfert din coardă. Se poate trage concluzia că pentru profilele JUCOVSCHI şi profilele cu n = 2 şi n = 4 poziţia secţiunii de grosime maximă rămâne invariabilă. Este interesant de calculat grosimea maximă pentru n = 2, aplicând formula (8.14). Se găseşte astfel, observând că profunzimea, după (8.10), este (8.17) u 1 ! 1 nu GROSIMEA MAXIMA 101 o expresie simplă _ sm — C (8.18) 1,3 3 Ax ~r H— 4 / 2 1 + ~ Pentru profilele JUCOVSCHI (x = 0, n = 0) această expresie devine (8-19) sffl = 1,3 [x (1 - 0,75 (x), de unde rezultă [x în funcţie de zm : (8.20) [x « °'77 Sm -, 1 - 0,6 zm formulă pe care am admis-o deja mai sus, anticipând rezultatul acesta. 8.2.1. Profile cu n = 3. Profilele cu n > 4 nu prezintă o formă practic utilizabilă, din cauza ondulaţiilor dela bordul de ieşire (fig. 7.3), astfel că nu.rămân decât profilele cu n = 3, singurele care au o poziţie variabilă a» grosimei maxime. Intr'adevăr, în acest caz, ecuaţia (8.16) devine (8.21) ((x 4- 2x) cos 8 4- 2(x cos2 8 - 2x cos3 8 - jx = = (14- cos 6) [2 ([x 4- x) cos 8 - 2x cos2 8 - [x] = 0, de unde se vede mai întâi, după primul factor al acestei expresii, că la vârful profilului (0 = 7t) grosimea este minimă, rezultat evident a priori, chiar sub forma iniţială a ecuaţiei (8.16) cu n oarecare. Celălalt factor al ecuaţiei (8.21) are câteva particularităţi interesante : a) dacă x = 0 (punctele Q şi Q{ confundate sau profile JUCOVSCHI), cos6m=—-> prin urmare secţiunea de grosime maximă este la un sfert din coardă şi grosimea propriu zisă este dată de formula (8.19) găsită mai sus; b) dacă (x = 0, cos 0m = 0, secţiunea frontală «maximă este la mijlocul profilului; remarcând că în acest caz coarda are expresia ■ (8.22) , e=4Z|J 1 - - rezultă o grosime maximă relativă dată de formula o (8.23) XI i.--— 3 V 3 In cazul general, rădăcina celui de al doilea factor din (8.21) este (8.24) cos 0n. - [f±!L7- Vi^T^5" 2x Această valoare a lui cos 0m (respectiv sin 0m) va fi înlocuită în expresia grosimii relative, care pentru n = 3 (singurul caz considerat) devine : ,00-> - em ^. sin 8m (1 +cos6m)f (8.2o) = — ~-----^-^-| [x 1 - 0,33 x x cos 20m __ 2 COS 8n; (1 4- cos 0m) 4- 102 POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME Pentru acelaş caz(w = 3), aplicând formula (8.11) şi remarcând pe de altă parte că cos 6m variază între 0 şi poziţia secţiunii de grosime maximă va fi dată de o expresie mai simplă : 1 1 — 0,33 x - (1 — x) cos 6m -O^x cos^Off, ^ 2 (8.26) Xm — — 0,33 x —[1 - (1 - X) COS 6m]. 2 Având în vedere importanţa grosimii maxime relative şi a poziţiei ei în lungul profilului pentru pro'iilele utilizate la vitesele mari, vom face un studiu aprofundat despre acest subiect. Pentru x = 0, am văzut că poziţia secţiunii de grosime maximă este la un sfert din coardă, în timp ce pentru -x '= 0, această grosime maximă este situată la mijlocul coardei. Problema principală constă în trasarea unui profil care să aibă o grosime maximă dată şi poziţia ei în lungul profilului, deasemenea dată dinainte. Intr'adevăr, cercetările teoretice şi experimentale făcute asupra profilelor aerodinamice destinate pentru vitese mari subsonice*) au arătat că desvoltarea stratului limită laminar*) sau turbulent*) pe conturul profilului, precum şi fenomenele perturbatoare datorite viteselor supersonice*) care apar în anumite puncte ale profilului, conduc la modificări esenţiale ale formei profilelor curente şi în special modificarea poziţiei secţiunii de grosime maximă, care trebue împinsă spre spate pentru a obţine anumite calităţi aerodinamice. Distingem trei cazuri: a) Profile teoretice curente, care au poziţia secţiunii de grosime maximă în jurul lui lm=-~ ; pentru aceste profile x este mic faţă de (x şi vom avea în acest caz, respectiv: ( I (8.27) { I l cos 0„ in 2 (1 - 0,33 x) 2 1,3 nil ,1_ 4 2 [x 3 Aceste formule sunt perfect valabile pentru + 0,44 x. = 2 b) Profile mijlocii, obţinute cu valori ale lui x şi jx de acelaş ordin de mărime, fie 1 2 4_ 3 *) Toate aceste noţiuni vor fi explicate pe larg, mai târziu, intr'o alta lucrare. PROFILE LAMINARE CU VÂRF ROTUNJIT 103 Pentru aceste profile se aplică direct relaţiile (8.24), (8.25) şi (8.26). In acest ceez Xm variază în jurul cifrei de 0,35 : între 0,31 şi 0,375.'Această ultimă poziţie ar putea fi trecută de altfel în categoria următoare. c) Profile laminare, cu secţiune frontală maximă împinsă spre spate, numite astfel din cauza scurgerii laminare care persistă în stratul limită pe o mare întindere a conturului; ele sunt cele mai interesante pentru aplicaţiile din aviaţia actuală, la vitesele mari subsonice, din cauză că prezintă o rezistenţă redusă, datorită frecării laminare. ix 3 Pentru un raport — —■, expresia lui cos 0m se poate pune sub forma x 4 (8.28) cos 0„ [X + X x^ 2 x JlL. 2x X 1 f*3 2x + [x (8.29 Se deduce valoarea coeficientului jx, 2 cos 6m [X = (8.30) 1 — cos 0m pe care o introducem în expresia grosimii (8.25) şi obţinem, după ce am neglijat termenii de ordinul al doilea, următoarea formulă simplă : 2x_ sin 0m (1 4- cos 8m) (1 + cos 0m — 3 x cos 8m) ^ 3 (1 - 0,33 x) (1 - cos 6m) * (1 + cos 8m )3 3 ' l-0,33x Această formulă permite să trasăm uşor profilele laminare. Intr'adevăr, fie de trasat un profil de o grosime maximă zm şi o poziţie ^_2 x ' ' Xm date; se găseşte cos 0m =-- şi expresiile (8.30) si (8.29) ne dau 1 — x succesiv x şi jx. Profilul este astfel perfect determinat. Ca exemplu de aplicaţii, am trasat profilul din figura 8.1 cu următoarele date : em = 0,115, Xm = 0,455 şi prin urmare cos 8m == 0,10. Parametrii ce rezultă sunt: x = 0,126 şi jx = 0,028 ; ceilalţi parametri daţi sunt: / = 0,02, x = 0. Observaţie. Trebue remarcat că, pentru jx = 0, avem un vârf la bordul de atac ; acest caz nu este deci interesant. Din această cauză, pentru aplicaţiile practice, este necesar să luăm [x 6 0,10 x. ceeace corespunde la cos 0m g 0,0475 şi Am =0,48. 8.3. Profile laminare cu vârf rotunjit Termenul adiţional M-3-ieste proporţional cuC^C şi prin urmare, punând (8.31) CCj cos a' (x - 21c), 104 POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME unde Jc reprezintă gradul de rotunjire (7.25), se poate scrie pentru abscise (8.32) — = (2 - x) cos 6 +--— cos 30. I ' 3 Pentru poziţia secţiunii de grosime maximă, observând că expresia coardei profilului cu vârf rotunjit este (8.33) o' = 4Z [1 - 0,33 (x + Jc)] Fig. 8.1 şi aducând câteva simplificări analoage cazului precedent al profilului cui vârf ascuţit, vom putea scrie în cele din urmă : (8.34) X = — 2 1 — (1 — x + Jc) COS Este uşor de văzut, mai departe, că ecuaţia (8.21) referitoare la profilele cu vârf ascuţit este uşor modificată pentru vârful rotunjit : (8.35) (4;x + 2x) cos 6 -f 4(x cos 26 — 2 (x — 2Jc) cos 36 « « (1 + cos 6) [2 (u. + x — 1,5 Jc) - 2 (y. - 1,5 Jc) cos26 - ;x] = 0. Intr'adevăr, punând x' = x — 1,5 Jc, soluţia are aproximativ aceeaşi formă ca şi pentru cazul precedent: (8.36) COS 6„ jx 4- x' -]/[x2 + x'2 Se vede din această formulă că, pentru aceeaşi valoare a lui x, rotunjirea determină deplasarea secţiunii de grosime maximă către bordul de atac. Dacă vrem să păstrăm aproximativ aceeaşi poziţie ca şi pentru profilul cu vârf ascuţit, trebue să mărim pe x astfel încât să obţinem pentru x'=x — 1,5 Jc'o valoare constantă, de unde rezultă şi pentru cos Qm deasemenea o valoare constantă. Trebue văzut în acest caz dacă grosimea îşi păstrează valoarea sa iniţială. In acest scop, să revenim la expresia (8.14) a grosimii şi să remarcăm că influenţa vârfului rotunjit afectează numai ultimul termen, în care 2x trebue înlocuit prin 2 (x — 2Jc). PROFILE LAMINARE CU DIEDRU 105 Desvoltând calculele pentru n = 3, găsim expresia (8.37 ii sin 6^(1 -f cos Qn 1 - 0,33 (x 4- Jc)\ 4- J-(x - 2fc) (1 - cos 8'm) + cos um) + (x- 2&)cos26/; Jc sin 6 ' cos 6 ' ] 4- 1 - 0,33 (x 4- Jc) \ t , _ Se vede că grosimea păstrează aproximativ aceeaşi valoare, dacă x — x ~~ 1>5.^ = (y- — 2&) 4- 0,5 Jc are deasemenea aceeaşi'valoare, ceeace corespunde şi cu condiţia precedentă, întru cât putem'neglija termenul 0,5 Jc. Să presupunem, prin urmare, că am păstra valoarea lui x' (mărind -Am = 0,44- Fis ■ x); trebue să avem în acelaş timp fx mic faţă de x' pentru ca poziţia secţiuni? de grosime maximă să fie convenabil împinsă spre spate. Vom avea atunci, ca şi pentru cazul precedent, (8.38) cos6' - ^ --. 2 C0S6'* - 2x' — jx' de unde rezultă aproximativ : 2 (x - 2Jc) (8.39) (* + &) (1 4- cosO'„ 1 — cos %'m Jc sin Qm cos %'m 1 - 0,33 (x 4- Jc) Astfel se dă prin urmare cos 6„[sau X'm, după (8.36)] şi grosimea maximă relativă, se deduce x presupunând cunoscut, bine înţeles, gradul de rotunjire, se calculează apoi jx şi profilul este perfect determinat. Ca exemplu de trasare, figura 8.2 reprezintă un profil cu vârf rotunjit, având următoarele caracteristici : Jc = 0,02, cos 6'm= 0,128, X'OT = 0,44, x = 0,126, [x = 0,028, / = 0,02 şi t = 0. Grosimea rămâne aceeaşi, ca şi în cazul precedent: sm = 0,115. Remarcă. Dară valoarea lui x' = x— l.ofc se micşorează din cauza rotunjirii şi devine mai mică decât [x. vom avea cos9'm = -I * — —I , iar secţiunea de grosime 2 [ 2(xj . maximă va ti aproximativ la un sfert din coarda. Regăsim astfel proprietatea caracteristică a profilelor curente. 8.4. Profile laminare cu diedru într'un punct oarecare al coardei, grosimea profilului va fi dată de următoarea formulă (fig. 7.7) : * (8.40) 6l = ^ 6 6, 1 + 0,7 r_ _8_ c - 106 POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME Profilul fiind relativ subţire, r se poate confunda cu proiecţia lui, care va fi dată de relaţia următoare : (8.41) r r cos 9 î 2_x + — + (2 - x) cos 6 +— cos 36 1 = 3 3 J 21 1---1_ (i _ X) cos 6 +— x cos3 6 3 3 unde 6 este unghiul definit în figura 7.7. Dacă neglijăm termenii de ordinul al doilea, obţinem următoarea expresie pentru grosimea relativă : A o 1 (8.42) 1 + 0,7 £ + 1+(1 — x) cos< Să observăm mai întâi că cos 6 este foarte mic şi că putem pune prin urmare (8.43) 6?*^--cos9' sin8«l; e, devine maximum pentru o valoarea lui 6, care anulează expresia deri- vatei, (8.44) — + A — r- 0,57 + 1,57 x + 2 (1 -x) cos 6] = 0. d6 2 7i Putem scrie mai departe (8.45) - 0,57 + 1,57 x.+ 2 (1 - x cos 6) » « ( 1+cos 0) [- 0,57 + 1,57 x + (2,57 - 3,57 x) cos 6-(2,57— 3,57x) cos26] şi dacă ţinem seama de (8.16) şi (8.21), ecuaţia (8.44) devine: (8.46) x + —(0,64 - 0,87 x) cos2 6 + y.+ x -|--(0,64 - 0,87 x) cos 6 - -x--(0,12 - 0,4 x) = 0. Deducem imediat, punând pentru simplificare (8.47) x, = x + (0,64 - 0,87 x)—, iz valoarea lui cos 6lm : (8.48) \x + xx cos olm = (ji.2 + y2 _ (o>24 _ 0,8 x) x, 2x. PROFILE LAMINARE CU DIEDRU 1U7 Am făcut ipoteza, dela început, că profilele sunt laminare, deci cos 6im este mic şi prin urmare \xx trebue să fie deasemenea mic în raport cu xx. Deasemenea, putem considera termenul [x2 — (0,24 — 0,8x) Xj —• 7u foarte mic în raport cu x2, astfel încât să putem desvolta expresia de sub radical şi să obţinem în cele din urmă : (8.49) de unde rezultă (8.50) cos«im = 2x. (jl a? 2x, (0,12 — 0,4 x)- 2x, 8 2x, cos 6lm - (0,12-0,4 x) 1- cos6im + (0,12 - 0,4x)- In ceeace priveşte poziţia secţiunii de grosime maximă, asimilând rx cu proiecţia sa xu se poate scrie S (8.51) X Avem însă (8.52) cos — c\ 2 cos 8 S S jt = (2) 2* (1 -f cos 6) 2* 1-0,5 —cos 6 I; 1 + 0,35 dacă se înlocueşte mai departe r şi c şi dacă se neglijează termenii de al doilea ordin, se obţine în cele din urmă : ' __S_ (8.53) X =1-—( cos —^ * 1 ~ °'33 X (1 ~ x) cos 9 + °'66 x COs2 9 1 2 [ 2 1 — x—0,5—I cos -0,175 0,33x S X - 0,175—. tu Prin urmare, poziţia secţiunii de grosime maximă se deplasează spre bordul de atac. Formulele stabilite mai sus ne permit să trasăm profilul cu Xim dat. Intr'adevăr, fie 8 diedrul profilului, formula (8.53) în care luăm pentru x o valoare medie, ne dă cos 8 (respectiv cos 6im) şi aplicând relaţia (8.50,) 108 POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME obţinem şi fi în funcţie de x, respectiv xx = x -f (0,64 — 0,8v] —. Valoarea lui x Ara fi scoasă din expresia următoare : [x (,M) .^^,1^^^^.^^ im) x cos 26lm 4- —- x (1—cos 6m) 1 3 [1+ (!-*) COsOim] — -— COS 6 \ si profilul este astfel perfect determinat. Cu titlu de exemplu, dăm în fi-gura (8.3) un profil cu următoarele caracteristici : — = 0,10, sxm = 0,11, cos 6im = 0,04, Xlm = 0,46 ; rezultă x = 0,06, ţx = — 0,018. Ceilalţi parametri sunt identici cu cei corespunzători cazurilor precedente : / = 0,02, t = 0. Fig. 8.3. 8.4.1. Variaţia lui fi. Pentru profilele cu vârf ascuţit sau cu vârf rotunjit, am arătat că [x este pozitiv. Altfel profilul ar prezenta o buclă la bordul de atac şi condiţiile transformării conforme n'ar fi îndeplinite. Nu se întâmplă acelaş lucru pentru profilele cu diedru. Intr'adevăr, e posibil de construit un profil cu fx negativ, însă această valoare negativă are o limită. Pentru a calcula această limită, să considerăm cazul simplu al unui profil JUCOVSCHI raportat la un sistem de axe având vârful drept origină : z = l+ 2q + £ = ^1 + JL\\ (8.55) şi fie mai departe (8.56) *, = 1 8 7t 1+ ^ _8 71 r profilul corespunzător, eu diedru ; vom avea 8 (8.57) ăz di 1 + I — 1 - 1 - de unde se vede că a doua rădăcină a derivatei se găseşte într'un punct Ax, de abscisă OAx =|1--q. Axa absciselor taie cercul în A, de abscisă ARIPI MONOPLANE DE ANVERGURĂ INFINITĂ 109 o A = q — 2\±q = q (1 — 2jx). Pentru ca Ax să fie în interiorul cercului, este necesar să avem (8.58) sau încă (8.59) «1- 8 q (1 -2fx), ^ 1 8 Admiţând deci că fx poate lua ca valoare limita sa inferioară, prin aplicarea formulei (8.49), se va putea pune aproximativ q 2 x, (8.60) cos6im şi prin urmare (8.61) xlm « — [ i + _M . i. 2 \ x, iz 0,2 iz 0,175 y m ¥ \ \ ^ o jâ,Jâ ' Fig. 8 .4. 0,50 tz M._0>175U x, / tz de unde se vede că secţiunea de grosime maximă ar putea fi împinsă dincolo de centrul profilului, către bordul de ieşire. 9? VERIFICĂRI EXPERIMENTALE ASUPRA ARIPILOR MONOPLANE DE ANVERGURA INFINITĂ Teoria aripilor de anvergură infinită sau, ceeace revine la acelaş lucru, teoria profilelor aerodinamice este bazată pe fundamentele Mecanicei Fluidelor şi atât timp cât ipotezele făcute sunt valabile, ea trebue să fie verificată de experienţă. In acest scop s'au întreprins numeroase cercetări în diferite laboratoare aerodinamice pentru a verifica până la ce punct această teorie este aplicabilă. Şi noi am făcut deasemenea o serie de cercetări la Institutul Aerotehnic dela Saint-Cyr pe baza următoarelor considera-tiuni: a) alegerea unei funcţii de transformare cu trei termeni: (9.1) b) alegerea următorilor parametri ai trasării: / = 0,10, jx = 0,10, x = 0,05, t = 2°; 110 ARIPI MONOPLANE DE ANVERGURĂ INFINITĂ c) realizarea unui curent plan paralel; N d) măsurări globale ale portantei şi momentului şi e) aflarea distribuţiei presiunilor pe conturul profilului. Trebue observat dela început că, deşi parametrii au fost aleşi în mod special pentru a se obţine un profil de o formă mai generală, un profil cu curbură dublă, de exemplu, cu o săgeată destul de importantă (fig. 9.1); Fig. 9.1. cu toate acestea, rezultatele sunt foarte interesante, concordanţa între presiunile teoretice şi cele experimentale este destul de bună (fig. 9.2, a, b, c, d), ca de altfel şi pentru portantă (fig. 9.3). In ceeace priveşte curba momentelor în raport cu Cz, ea este în concordanţă aproape perfectă cu curba teoretică (fig. 9.4). 100 Cz = 19,65 Fig. 9.2 a. Eeamintim că coeficientul unitar al presiunilor CP depinde de vitesa wP într'un punct al profilului: (9.2) V 2 o V2 ' 1 Vi VERIFICĂRI EXPERIMENTALE 100 Cz = 46,5 — curba teoretică ■°— -»•- experim. i I Fig. 9.2 b. 100 Cz = 10? -- curba teoretică — -"- experim. 111 Fig. 9.2 c. 112 ARIPI MONOPLANE DE ANVERGURĂ INFINITĂ •_;__:_ i_ VERIFICĂRI EXPERIMENTALE 113 Atât pentru portantă, cât şi pentru presiuni, există desigur o" abatere între curbele experimentale şi cele teoretice, însă abaterea este sistematică şi ar putea fi explicată prin aceea că am considerat un fluid perfect, lipsit de viscozitate şi de fenomenele perturbatoare ce dâcurg din acest fapt: fre- 100 Cz = 129,5 -----curba teoretică —-o— -».- experim. Fig. 9.2 d. ■ care, strat de vârtej în apropierea imediată a conturului, desprinderea fi-leurilor fluide la extradosul profilului, etc. etc. Vom explica mai târziu toate aceste fenomene într'altă lucrare. In altă ordine de idei, este interesant de constatat că ipoteza pe care am făcut-o asupra profilelor cu vârf r o t un ji t şi rezultatele teoretica pe care le-am obţinut se găsesc confirmate deasemenea de experienţă. Intr'adevăr, asupra unui astfel de profil (fig. 9.5), construit pe baza următorilor parametri: / = 0,094, ,ja = 0,094, x = 0,121 şi a gradului de rotunjire & = 0,0625, prevederile teoretice ar fi putut să fie destul 100 Cz t „d>___ > i / / r — idls înn / / ' y X -jULr on / / > s OQ-cn / / / / / / / — ou-/ / ✓ . f f '—^— ----curba teoretică. —o— -»- experim, > jr jf * f/ -»-o( r f ,0 Q 7° - 2° 1 Fie 9.3. 100 Cz 120 -o-- exper. — teor. / A 1 ^ L/V V 1 1 15 20 2 5 a0 - 1 100 Cm. Fig. 9.4. 8 Aerodinamica 114 ARIPI MONOPLANE DE ANVERGURĂ INFINITĂ Fig. 9.5. I00CZ=56 Fig. 9.6 b. Fig. 9.6 a. 100 Qz ■■ 100 Cp curba teoretică -„- experimentată Jt' 0,60 0,60 0,40 h 0.20 0 -0,20 -0.40 -0,60 -0,80 -/ -1,20 -1,40 -1,60 -1,80 r -2 Fig. 9.6 C de îndepărtate de rezultatele experimentale din cauza exagerării impuse a unora dintre aceşti parametri şi în special a gradului de rotunjire. Cu toate acestea, rezultatele experimentale sunt în concordanţă cu teoria, după cum se constată din figurile 9.6, a, b, c, care reprezintă distribuţia presiunilor dealungul conturului. Importanţa acestor rezultate este evidentă, dacă considerăm în sp'ecial palele elicelor aeriene, unde este frecventă folosirea profilelor cu vârf rotunjit. 10. TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT (Profile cmpiriee) Problema profilelor aşa cum a fost tratată până acum este întemeiată pe studiul unei anumite funcţii de transformare, ai cărei coeficienţi şi sistem de referinţă au fost convenabil variaţi, spre a putea găsi astfel o serie multiplă de familii de profile care să cuprindă tot câmpul de aplicaţii. Aceasta este problema indirectă care este foarte simplă de tratat şi este în acelaş timp suficientă pentru practică. Cu toate acestea, se prezintă des cazul unor profile date, numite profile empirice, ale căror funcţii de transformare şi caracteristici aerodinamice nu ne sunt cunoscute dinainte. Această problemă directă prezintă dificultăţi foarte serioase pentru găsirea unei soluţii explicite privitoare la distribuţia presiunilor, axa de portantă nulă, momentul de portantă nulă, etc. Vom indica totuşi mai jos, metode mai mult sau mai puţin laborioase, care rezolvă problema. 10.1. Metode utilizând o transformare cunoscută Metoda aceasta datorită lui W. MULLER şi desvoltată de KÂEMÂlSr-BUEGEES constă în aplicarea unei transformări cunoscute, (10.1) cu x dedus din formula (10.2) z — xg z + xq (S' + 8)x x = 2 - _8_ unde 8 este diedrul din vârful profilului şi q este scos din relaţia (10.3)' 2xg = ÎJ7Z', - B'A' fiind aproape egală cu coarda (A' este în interiorul profilului, în apropierea bordului de atac). După aceea, conturul profilului se poate transforma, punct cu punct, într'un contur quasi-circular K, utilizând relaţiile cunoscute (6.50) : (10.4) Ei — [ST- <&=xcp'( 116 TEORIA PROPILELOR CU CONTUR DAT Să presupunem că punctai B corespunde vârfului profilului şi să ducem o normală BM, la conturul K' (fig. 10.1), care face unghiul a cu axa absciselor. Să trasăm acum un cerc K, tangent în B, de aceeaşi arie cu conturul K' si fie M centrul său si a raza. A/ A* V \ c V ~j~—- 1 Fig. 10.1. Un punct depe conturul quasi-circular va avea drept modul (10.5) r' = a [1 + s(6)], unde s(8) este o funcţie de 6, a cărei valoare este* foarte mică în raport cu unitatea şi satisface relaţia (10.6) CUtz V e(8) d6 = 0. Să transformăm conturul K' în cercul K şi fie (10.7) , ţ' = ţ [1 +f(Ql funcţia de transformare, unde f(Q este deasemenea foarte mică în raport cu unitatea, ceeace ne permite să scriem: (10.8) In C « In K + f(Q. METODE UTILIZÂND O TRANSFORMARE CUNOSCUTĂ 117 Rezultă mai departe, punând £' = r'e1®' şi ^ = aeiB, (10.9) lnr' = In a + p.re. /(£) , 0' = 6 + p.im. / (£) şi prin urmare, după (10.5), (10.10) e(6) =p.re. /(£). ' Avem deci o problemă DIRICHLET : să se găsească o funcţie /(£) a cărei parte reală să ia pe cerc valori determinate e (6); fiind olomorfă în exteriorul cercului şi anulându-se la infinit, / (£) poate fi pusă deci sub forma (10.11) /(?) = Sb+ţŞ- = flb + S (an+ibn) (cos »6-t sin n6), unde am înlocuit €[n prin (10.12) qn = an{aa + ibn) . Vom avea mai departe (10.13) e (6) p.re. /(C) = £ {an cos n8 + &„ sin »8), î partea reală a coeficientului g0 = + ib0 fiind nulă după (10.6); vom avea •2tz (10.14) aa = — f ^ s (6) cos «0 d6, JO t Jo s(6) sin »8 d6. Diferenţa de unghiuri dintre razele vectoare ale punctelor omoloage P şi P' rezultă imediat din (10.9) şi (10.11) : . (10.15) 8' — 6 = p (6) = b0 + ^] (b„ cos «8 — «„ sin »6). Cele două contururi şi X' se corespund prin ipoteză în punctul B, deci 6' = 6=tc şi r'±=r=a. Din (10.5) şi (10.13) rezultă relaţiile următoare : K + £ (-!)"&» (10.16) (-l)»a„ = 0, i î Observând mai departe că avem succesiv : ' 2tc 0. (10.17) n 1 C 2tc T " V (-!)"&« - -- \ s(8) 5] (-lf sin «6 1 r 2tc 6 = - —V E(8)tg— .de, 271 jo. 8 2 de = constanta g0 = ibQ va fi determinată printr'o integrală simplă. 10.1. 1. Caracteristicile profilului Caracteristicile aerodinamice ale profilului sunt determinate astfel: a) axa de portantă nulă face unghiul a cu coarda considerată iniţial; 118 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT b) coeficientul lui ~ din desvoltarea z = z(X), care defineşte momentul la portantă nulă, rezultă uşor, observând mai întâi că avem, după (6.42), (10.18) z = l' + x2 —1 3 X' înlocuind pe urmă X' prin X [1 + / (X)], se găseşte în cele din urmă (10.19). = 5(1+^+ £|]+^<|f 1-^-5^1 + de unde rezultă coeficientul lui- METODA DIRECTĂ 119 urmare, neglijând * p(9) ds de , modulul lui — nu se modifică sen-dX sibil şi se poate scrie deci în cele din urmă : (10.25) ' vom putea pune (10.26.) dŞ dX' 1+ e + de as 1 de Wp — Wk 1— e--- — 1 d0 j Bx Această formulă ne permite să calculăm distribuţia presiunilor dealungul conturului. (10.20) q2(l-ib0) + q2 (l-ib0)q2 + + a2(a2 + ib2) « q'2 e2^ Axa a doua a profilului face unghiul y cu axa iniţială de construcţie (fig. 10.1) şi coeficientul Cmo va fi proporţional cu sin 2t = = sin 2 (a—y), în conformitate cu teoria generală expusă în paragrafele precedente, observând bine înţeles că avem : (10.21) t = prin aceasta am dat o rotaţie vechiului sistem, în aşa fel încât, axa absciselor Oxx să corespundă axei de portantă nulă. In raport cu noul sistem Oxxyx, funcţia de transformare va avea forma : (10.28) zx = X' + q0e-*+ ^-+•••+ * X' X'» Fie un cerc Kx concentric cu K, de rază ax = — şi să punem 4 (10.29) a = (1 + y)ai = (! + {*) 120 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT relaţia (10.30) K' = (1 + a)?,, care este o simplă omotetie, transformă cercul K în cercul Kl şi expresia (10.28) devine : (10.31) «, = (1 + \l) Kt + q0e~i° + ^~- • —+■ 1 + Ki + ,—i(»+l)o (i.+ v-r aceasta face să corespundă cercului Kt profilul dat. Fig. 10.2. Să considerăm mai departe transformarea acestui cerc Kx în seg mentul rectiliniu B[A[ prin funcţia : (10.32) şi fie (10.33) unde *=Ki + f A«, =*,-«i = vKi +Q0 + y- + - Ki Qn (10.34) Q0 = q0e-™, Qt = qxe- 1 + (i ,Qn = (=1 (1 + ■P Hm I METODA DIRECTĂ 121 Pentru punctele cercului Kl vom pune Ki=aieiQ şi, înlocuind QQ, Qu . . Qn, prin (10.35) Qn = (^» + t£„) vom putea scrie în loc de (10.33) următoarea relaţie : (10.36) ■= [x + ^o+^o + (A, + iBJe-M +. (J.n +*j5«)e- de unde rezultă (10.37) -- = fX COS 0 + J.0 -f- ^TJ (^-n cos n® + -B« sm [x sin 0 + B0 + ^" (-Bn cos «0 + An sin n8). Să considerăm acum că abscisele profilului, pentru unO determinat, corespund aproximativ absciselor segmentului rectiliniu (10.38) x1 «* x[ = 2al cos 6 ; se neglijează prin urmare variaţia lui Aa?j. Există totuşi o condiţie de îndeplinit : coarda profilului trebue să fie egală cu lungimea segmentului (c = 4«j). Această condiţie este satisfăcută, dacă avem : (10.39) rezultă (10.40) l, + A0 + flA„ î sau încă (10.40 bis) y. + Ax +A3 + Ah (A*i)0 — (A*i)« = 0 ; - [x + A0 +fj (-îyAn = 0 , + A2p+l + . . . = 0. Această relaţie ne va permite în cele ce urmează să determinăm pe jx. Pentru calculul coeficienţilor An, Bn, este uşor de văzut că avem (fig. 10.2) : (10.41) A2/i « y — 2a~ax cos 6 şi prin urmare se deduc, din expresia a doua (10.37), următoarele relaţii : 1 ("2* y sm o d« , — An = :— ~'h .'o [x - A1 1 f2rc 1 f2ic -\ y sin 6 d0 , — An = :-\ i/sin«0d0, toi, J0 rai, Jo (10.42) { B0 = —— (27r y d0, 2a + ^ = y cos 6 d0 , 2nal Jo Tcaj J0 1 C2n Bn =-\ y cos nu d8. 122 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT METODA DIRECTĂ 123 10.2.1. Proprietăţi aerodinamice. Pentru determinarea lui ct, se observă mai întâi că în vârful Bx, care corespunde vârfului B' al profilului, derivata lui zx în raport cu lx este nulă : (10.43) dz. dz\ d(A^i) 4, nQn 0: dţx dlx dlx este suficient apoi să înlocuim 8 prin n, (10.44) |i + 2} (n (An + iBn) = 0 şi să obţinem astfel: (10.45) n+y(-l)»»in = 0 Prima relaţie este o identitate. Intr'adevăr, remarcând că se poate pune succesiv : n ( —y cos nv \2TC _^ t«i l » Jo £{-l)a nB„ = 0. — nAn-- -V y sin nv d8 = «i Jo 1 f27I -\--\ cos nu dy,*) ™l Jo (10.46) [x -Ax + 2A2-3A3 + 4A4 cos «8 Jo L - y (-1)" cos %8 = —î—(——--1--^— dy, -'6| ~ 2 se obţine în cele din urmă verificarea primei ecuaţii (10.45)*) : 1 f2t (10.45 bis) [i + 2 ( - !)" nA« 1 f2n 2TO, Jo dy = 0. Din a doua ecuaţie (10.45) se obţine ct. Vom avea ca mai sus : '27T (10.47) nBn na -V y cos nQ d8 = 1 f2* sin %6 dy; înlocuind apoi 2% sin nQ prin (e+'ree — e-'"9 ), ţinând seama de (10.42) şi făcând reducerile necesare, se găseşte : (10.48) 1 f2* y (-1)" nBn=--\ [ S (-1)" sin w8] dy + 2a "ffli .'o 1 f2n 6 =-\ tg —dy + 2a = 0. 2rra. V -* 2 * I »>0 *) Limitele integralelor se referă numai la variabila 6. Astfel, unghiul a, pe care axa de portantă nulă îl face cu axa iniţială Ox a profilului, va fi dat de următoarea formulă : (10.49) -4% ™ Jo tic \ 1 + cos 6 -d8, unde c = 4 ax reprezintă coarda profilului. Cu toate acestea, în cazul în care numărul coeficienţilor Bn este limitat la 3 — 5 şi calculul este uşor, este preferabil de aplicat a doua formulă <10.45) sub forma ei iniţială : (10.50) B, 2B2 + 3B3 - 4B4 +. . . ■= 0, •care conţine pe 2a în expresia ei. Pentru coeficientul fx dat de relaţia (10.40), dacă AX,A3,A5 nu sunt determinaţi, se poate găsi deasemenea o formulă analoagă cu (10.49); •observând că se poate scrie succesiv: 1 f27t <10.51) [x + Ax + A3 + A5 +. . . + (fx - Ax) =-V y sin 6 d8, ■Ka,. !„ 1 .0 sau (10.52) 2[x == —A-( * y (sin 6 + sin 38 + sin 59 +...) d6 = ___ Jo ll 2na, ,2i6 şi în sfârşit (10.53) _ j_ C27T ™ )o sin 8 -d8. Acest rezultat va fi utilizat dacă y este exprimat printr'o curbă analitică sau dacă este nevoie de făcut o integrare grafică. Astfel, dacă [x şi o- sunt calculaţi, portanta unitară va avea expresia : <10.54) Cg = 8tc — (oc + ct) e 2tc (1 -f jx) ( a + ct). Un alt invariant al profilului este coeficientul momentului la portanta nulă şi eventual focarul. In raport cu axa de portantă nulă (Oxt), vom avea, ţinând seama de (10.28) şi de (10.34). : <10.55) îi e (1 + v.) («î-j-Gi) = (1 + H.)oî'(l + At + iBJ = = (1 + 1*)<*Î(1 + e) e2il unde Ax şi Bx vor fi daţi de primele ecuaţii (10.42) şi respectiv : <10.56) tg 2y Bt 1+AX « Bx & 2y , e « Ax + Al + ^' « A,. 2 124 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT METODA DIRECTĂ 125 Dacă vrem ca termenul (10.55) să fie real, sistemul de axe trebue rotit cu un unghiu y> m acest caz, unghiul dintre noua axă a absciselor şi a două axă a profilului şi prin urmare unghiul pe care axa de portantă nulă îl face cu aceasta din urmă este egal cu — T. In tot ce precede, am însemnat întotdeauna acest unghiu prin t, deci: (10.57) t = — y şi prin aplicarea primei formule (5.25) vom avea : (10.58) Cmo = 47r- (1 + [*) a\ (1 + £-) 16 cl\ sin 2Y —(1 + [x + Ax) Y- Pentru a găsi focarul, trebue să efectuăm o translaţie a profilului egală, cu %e~lc!, noua variabilă fiind definită prin (10.59) zt =% + , astfel încât, funcţia de transformare (10.28) să nu aibă termen constant-Prin urmare centrul cercului generator este deplasat cu valoarea q0e~i<:!, egală după (10.34) şi (10.35) cu (10.60) q0 e~ia = Q0 = a, (A0 + iB0), unde vom avea, prin aplicarea formulelor (10.42) : (10.61) 1 f2* 2tto, Jo yd%. In ceea ce priveşte A0, el va fi determinat presupunând că expresia (10.37) a lui--J-este nulă pentru 6 = 7t: al (10.62) A0 = V- + A1 -A2 +A3 ^At+...= - (A? + Ai + Aii + ...). In cazul în care desvoltarea în serie FOUEIBE este nelimitată, observând că avem succesiv: (10.63) sin 2»8 = — — e 2 — — cot 1 - „2i6 0—2i6 se găseşte pentru A0 următoarea integrală : (10.64) A0 = -^A2P = y (2 sin 2P9 ] d6 = _L-£" y cot 6 d9. Fie deci G, centrul astfel deplasat, cu afixul Q0=ai {A0 + iB0); focarul se-găseşte pe CF, simetrică la axa Ox\, în raport cu o dreaptă trecând prin G şi paralelă la O JZ(axa a doua, fig. 10.2) la distanţa (10.65) CF (1 + [x) (1 + e)a,a (1 + A^ ^ , ceeace corespunde la o distanţă: (10.66) OF * (1 + A,) a, + A^ în raport cu originea. 10.2.2. Calculul viteselor. Pentru distribuţia de vitese, trebue să fie cunoscuţi toţi coeficienţii Au.. .,An, Bu...,Bn. Este vorba, într'adevăr, să dz calculăm modulul derivatei — : dl (10.67) dz dţ dz dz, ăzt d& dQ' 1 d? 1 dZy 1' dC 1 + (x (10.68) sau încă (10.69) Avem pe de altă parte : ds, dz[ dS, 4-a V UQn 1 ( Y dz[ f V J dzi d^ + i [x cos 6- Y n{An cos n8 -j- Bn sin n%) + I i n (2 + fx) sin 6 — Y n(Bn cos nd — AnsmnQ) (10.70) Formula vitesei devine în acest caz (1 + (x) Wk. Wn = dz. ■dC, 10.2.3. l'erifieare. Pentru a verifica metoda pe care am expus-o mai sus, să luăm ca exemplu un profil JUCOVSCHI, având următoarele caracteristici, după (6.25) : coarda : c = 4a, = 4g, raza cercului generator : a = q + m cos S = q (1 -f (i0), coeficientul de curbură (săgeata): /„. Transformarea bine cunoscută a unui astfel de profil, raportat la sistemul obişnuit de axe (fig. 6.1), va avea ca expresie : * = V + şi în raport cu un alt sistem paralel cu cel dintâi şi având originea în centrul cercului generator, observând că putem scrie (10.71) V = £ + 2 (ft> + ifoh 126 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT această expresie -devine, succesiv : (10.72) z = l + q(ii0 + »/„) + ■ S + 2(fa +*/«)+■ g (fa +ffo) 3*(h» + */0). şi prin urmare, pentru punctele cercului [ţ = q(l + fi0)e'9], vom avea : (10.73) z q Rezultă = (1 + ^)&» + (ft + if0) + (1 - (A,) e-'e - (o,, + t/o) e-^. (10.74) -^-= 2 [x0 sin 6 + jx,, sin 20 - /„ cos 20 /o. de unde se deduce : (10.75) [x - Ai = 2^, A2 =— fa> -Bi = — 2 a — U = T > tocmai caracteristicile profilului JUCOVSCHI. Avem pe de altă parte : 2y = Bx 2a, z = Ax = — (Xo, J-o fa- in general, ordonatele unui profil oarecare nu sunt exprimate printr'o expresie analitică simplă; de aceea, pentru a determina caracteristicile aerodinamice este nevoie de integrări grafice mai mult sau mai puţin simple. Se mai poate face să treacă prin diferite puncte ale conturului o curbă analitică regulată, foarte apropiată de conturul real (extradosul de o parte şi intradosul de altă parte) şi să se calculeze uşor integralele (10.40), (10.42) şi (10.53) pentru determinarea lui a, (x, Q0 = ax(A0 -f iB0) şi Qx = = a\ (Ax + %BX) 10.3. Aplicaţie la profile empirice subţiri Aplicaţiile metodei precedente la profilele empirice subţiri conduc la rezultate foarte interesante. Intr'adevăr, un profil subţire ar putea fi confundat cu linia sa medie pe care am numit-o schelet (fig. 10.3). Ordonatele profilului pentru +6 şi — 6 fiind egale, desvoltarea lui y în polinom trigonometric nu conţine decât termenii în cos nQ : (10.77) 4«L c -- % + p, cos 0 + P2 cos 20 + p3 cos 30 + . APLICAŢIE LA PROFILE EMPIRICE SUBŢIRI 127 Pentru ca y sase anuleze la cele două extremităţi, A (0=0) si 5(0=7tL coeficienţii (3„ trebue să satisfacă relaţiile următoare': (10.78) de unde rezultă (10.79) şi (10.80) f Po + P2 + P4 +•• •= 0, \ Pi + h + Ps + ■ • • = 0 , (x = Ax = A2 =. . . = An = 0 Bx=$x-2a, B2 = p2,...,J5B = pn. Aceste ultime rezultate, înlocuite în (10.50), ne dau valoarea lui a. Fig. 10.3. In cazul când nu se cunoaşte desvoltarea (10.77), este suficient să se aplice formulele (10.42) şi (10.49) într'o formă puţin diferită : 1 T2tt Bi = — \ y cos 0 d0 Toi Jo 0 (10.81) 2 \tg ~dy Jo 2 8 Bn = — \ y cos nQ d0 jo 2a = 2 f* 8 rn TO J 0 Joi TO 2/ + COS 0 y cos 0 d6, de, De multe ori este preferabil să trecem prin punctele conturului o curbă analitică regulată cât mai apropiată posibil de conturul real şi să determinăm apoi, după transformare, coeficienţii definiţi de (10.81). Astfel, de exemplu, profilul subţire din fig. 10.4 (483, Got. Ergeb.) ar putea fi reprezentat într'un mod aproape riguros prin curba regulată: (10.82) 4 = 0,2324 + 0,137 -^L - 0,2228 c g 2x \- 0,1274 ( 2X 128 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT care devine înlocuind x după (10.38), prin—- cos 6 : 2l (10.83) 4 JL = 0,125 - 0,0414 cos 6 - 0,1114 cos 26 + 0,03184 cos 30. 0,0°-W -0.8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,3 _ 1,0 C Fig. 10.4. Se poate scrie deci : (10.84) B1 = - 0,0414 - 2a, B2 = - 0,1114, Bs = 0,03184 şi prin urmare, după (10.50), se obţine : (10.85) ° = 0,1385 = 8» Pentru momentul unitar la portantă nulă, se calculează y din relaţia (10.56) : (10.86) tg 2Y = Bi = - 0,3184, sin 2y = - 0,305 = - sin2T şi se găseşte astfel: (10.87) ' Cmo = — sin 2t = - 0,305 — 4 4 (10.88) Invers, se poate pleca dela o expresie în cos w6 (10.77) sau în g _ 2x c cum ar fi, de exemplu, (10.89) 4 şi să se varieze coeficienţii a/, respectiv Şi din (10.77), astfel încât să se obţină o serie de profile cu curbură simplă sau dublă (fig. 5.4 a, b). In acest ultim caz, profilul ar putea fi reprezentat printr'o ecuaţie simplă : (10.90) 4-^- = fc (£-1) (5 + 1) (5+ e), o PROFILE DEFORMATE 129 unde s va fi determinat în aşa fel, încât să putem obţine un coeficient Cm0 dat. 10.4. Profile deformate Una din aplicaţiile cele mai interesante ale teoriei profilelor empirice este fără îndoială deformaţia conturului unui profil. Intr'adevăr, un profil oarecare, fie el profil teoretic sau cu caracteristici aerodinamice perfect determinate, devine un profil empiric de îndată ce i se deformează într'un mod oarecare conturul. Astfel de exemplu, aripioarele la aripi, voleţii de intrados, pereţii elastici ee îmbracă bordul de atac al aripilor contra jivrajului, etc, sunt tot atâtea moduri de a deforma conturul iniţial al unui profil. Fig. 10.5. Pentru a determina influenţa acestor deformaţii, se pot aplica metodele precedente, considerând abscisele profilului iniţial şi cele ale profilului deformat aproximativ egale. Să raportăm deci profilul deformat la un sistem de axe Ox'y' unde Ox' este cMar coarda acestui profil (fig. 10.5). Să indicăm prin y ordonatele profilului nedeformat în raport cu axa sa de referinţă şi să presupunem că, coarda profilului. deformat face unghiul v cu această axă iniţială de referinţă; prin Ai/, în raport cu aceeaşi axă să notăm deformâţiile pe care.le suferă conturul. Vom avea însemnând tot prin c coarda profilului deformat pe care o presupunem egală cu aceea a profilului iniţial: (10.91) 4v + 4 M c 4 — — 2v cos I c + — A y + b0 . c 9 Aerodinamica 130 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT (10.92 4 C-k — \ A y sin nQ ■ d6 Aplicarea formulelor (10.42), ne dau soluţia : fi' — |x (41 — = — ^""Ay sin 0 de, 7tc jo -U'„ —An) = B[ — B1 = — 2v + A (27tA2/ cos e d6 — 2 (a' — a) , 7îC jo £„' — 5,, = —[~nAy cos «e d6. iv jo însemnând prin A diferenţele între caracteristicile profilului deformat şi cele ale profilului iniţial nedeformat, vom stabili mai jos principalele formule pe care le vom utiliza mai târziu : A(x + Al, + AA3 + A45 + . . . = 0 , ABX - 2AB2 + 3A-B3 - 4 A -B4 + . . . = 0 , * i r>n A[x= — \ A y de, to J o sm (10.93) j lfte 0 1 A CT = - 2 2 Fig. 10.7. si noul profil va fi aproximativ un profil JUCOVSCHI 2 reprezentat prin aceeaşi funcţie z = 1+ ~-, însă cercul generator K' (fig. 10.7) va avea drept rază (10.108) iar centrul său, 31', va avea ca afix (10.109) q (i + n') = g. 11 + OM' = q(y' + if) = q + i ^) ' 2. O aplicaţie interesantă este cea privitoare la profilele laminare. Să presupunem, Intr'adevăr, că multiplicatorul X este de forma (10.110) X = fc0 + ~kx cos 6 ; ordonatele noului profil vor fi: (10.111) y' = yX = \y + kxy cos 6. 134 TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT Deformaţiile suferite de profilul iniţial vor fi definite de expresia : (10.112) Ay = y' - y = (k0 - 1) y + *, y cos 6, de unde rezultă, aplicând formulele (10.92) şi (10.93), modificările corespunzătoare caracteristicelor noului profil, a cărui axă se suprapune axei profilului iniţial (v = 0) (10.113) A (|x - At) = (k0 - 1) (fx AJ+ ~ A2, A A„ = (k0 - 1) An + ^ {An^ + An+l)j A (2a + B{) = (k0 - 1) (2a + Bt) + A B2, ^Bn = (\ - 1) + — (#„-1 + Bn + 11 A [x = (fc0 - 1) (i + As = (S;(l-i1-l) ct, +0' unde A0 este dat de integrala (10.64). Să luăm drept exemplu un profil deforma generală, trasat după metoda generală expusă mai sus (§ 7.1), cu următoarele valori numerice ale parametrilor : (10.114) \i = 0,107, x = 0,07, t = 0,015, / = 0,06 . profilul astfel definit este reprezentat în fig. (10.8 a). Fie mai departe expresia multiplicatorului: (10JL15) X = 1,12 - 0,56 cos profilul obţinut are secţiunea maximă împinsă spre spate (fig. 10.9 b). Astfel, prin urmare, plecând dela un profil iniţial oarecare şi variind coeficienţii multiplicatorului, se Obţin profile cu calităţi laminare. Grosimea maximă relativă şi poziţia secţiunii maxime depind de coeficienţii k0 şi 3. Drept al treilea exemplu, să luăm cazul unui multiplicator cu variaţie parabolică, (10.116) X = k0 -K&, cos Q + k2 cos 26, şi să presupunem că este pozitiv în intervalul 0 =0 şi 6 = tc. Se deduce: (10.117) Ay = y' - y = (K — 1) y + h y cos 8 + k2 y cos 26 APLICAŢII LA PROFILE LAMINARE 135 şi procedând într'un mod analog cazului precedent, se găseşte : A([i - A,) = (k0 - 1) (fx - A,) + ^A2 +~ (A3- A,), k k AAn = (ft» — 1) An + -1 (An~\ + + -f(An-Z + Aa+2), A(2a + £,) = (k0 - 1) (2a + Bx) + ^-B2 +^ (B, +B3), ABn = (k0 - 1) Bn+^-(Bn-l + Bn +,) +-^- (B„_2 + Sn+2), A[x = (fc0 + k2 - 1) [x + YA°~ j4" Act = (fc0 - fc, + fca - 1) a + (10.118) -0233c Fig. 10.8 a, b, c. Luând acelaş profil ca mai sus şi utilizând următorul multiplicator cu coeficienţii cunoscuţi: (10.119) X = 1,3 - 0,77 cos 6 + 0,29 cos 26, obţinem un profil cu secţiune maximă împinsă şi mai spre spate (fig. 10.9 c). Trebue observat că cele trei profile din fig. 10.8 au aceeaşi grosime relativă : em = 0,15. 136 TEORIA TURBIONARĂ A PROFILELOR SUBŢIRI 10.6.1. Grosimea maximă şi poziţia secţiunii frontale maxime. Pentru a evita calcule dificile ne vom limita numai la formulele principale. Astfel de exemplu, poziţia secţiunii de grosime maximă va fi dată de relaţia (10.120) d (y'e — y't) = ţ£ = x | c dX da? da? dx dx = 0. însemnând prin xn (respectiv 8„, en) soluţia acestei ecuaţii, se va putea-scrie următoarea relaţie pentru grosimea relativă maximă : (10.121) ye - yt Ve - yt _y 6n —Ă-n--> C unde e'm reprezintă grosimea maximă a noului profil. Se poate obţine o soluţie aproximativă a ecuaţiei (10.120) luând pentru e din termenul al doilea, o valoare medie. 11. TEORIA TURBIONARĂ A PROFILELOR SUBŢIRI Să considerăm un profil subţire oarecare, care poate fi asimilat cu linia sa mijlocie (scheletul) şi fie resii ca şi cele găsite anterior, (10.99) şi (10.104), dacă se înlocueşte 9 prin valoarea sa în funcţie de Cj scoasă din (11.35). 11.3. Forţa şi momentul de şarnieră pe partea mobilă Este de un mare interes pentru aplicaţii cunoaşterea forţei rezultante şi a momentului de şarnieră ce lucrează asupra părţii mobile. Forţele elementare sunt normale pe vitesă în dreptul fiecărui element şi se poate 1 I admite, prin urmare, că forţa rezultantă este normală pe suprafaţa părţii mobile şi sensibil normală pe vitesa F0 a curentului la infinit. Ea este dată de integrala (11.41) P, = P V0 [°\ăx = Jo L A0 (1 - cos 6) +£An sin h6 sin 6 d6 = = pcFo a0 (9 - sin 9) +— şşa* sin (n — 1)9 sin (n + 1) 9 » — 1 -n- + 1 Dacă partea mobilă este bracată de un unghiu B, coeficienţii A„, Ax,: ■ ., An, ai acestor expresii vor fi înlocuiţi, respectiv, prin A'0,A[, . . .,A„ şi forţa rezultantă devine : (11.42) P\ = P, + pcFoTc *i 3. tc2 Se vede astfel că, creşterea forţei în funcţie de bracaj este reprezentată printr'o expresie foarte simplă. Prin analogie cu coeficientul de portantă unitară, se poate scrie, împărţind ambii termeni ai formulei (11.42) prin (11.43) Cz\ = Cz cp2 2tc —l— B. Se vede, sub această formă, că dacă tot profilul (9 = tc) se roteşte în jurul bordului de atac de un unghiu B, creşterea 2tcB corespunde relaţiei bine cunoscute care leagă Cz de incidenţă. In mod analog, vom avea pentru momentul de şarnieră : II, P V0 01 (c, — x)t dx - P^-F0^(cose- -COS9) y da;: Pi —cos 9 2 cos 0,0'A •« '9 P 2 "» \ A0 (cos 6 - cos2 6) + (11.44) — - £ .1,, sin nu sin 26 4--cos 9 V An 1 1 2 ( d6 =~pc2r0 j A0 (9 — sin 9) cos 9 + sin (n — 1)9 sin (n + 1)9 n 4- 1 A0 sin 9 - — V An 4 n — 1 -L _ -l 2 9 4 sin (îi — 2) 9 sin (n + 2) 9 sin 29 n 2 n 2 144 TEORIA TURBIONARĂ A PROFILELOR SUBŢIRI Iar pentru un bracaj p vom obţine deasemenea : (11.45) M'\ = Mi + — Pc27«( + B cos »cp. Constantele A şi B vor fi determinate ţinând seama de (11.52,10 = 0) şi (11.54, IY = tc) ; vom găsi astfel: (11.63) B = 0, A de unde se deduce, în cele din urmă : sin 6 TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE 147 12. TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE, AVÂND PRESIUNI DATE DEALUNGUL CONTURULUI Pentru a păstra caracterul general al problemei, să considerăm un profil de.formă generală cu vârf rotunjit, a cărui coardă BA = c să fie aproximativ normală atât la bordul de atac, cât şi la bordul de ieşire, în punctele de curbură maximă, care presupunem că sunt A şi B (fig. 12.1). In toată rigoarea, a-ceastă condiţie nu poate fi îndeplinită decât în cazul profilelor biconvexe simetrice. Insă pentru consideraţiile ce urmează, această aproximaţie este suficientă, unghiul coardei cu normalele reale în punctele A şi B fiind foarte mic. Să luăm drept origine a axelor, centrul coardei şi să punem (12.1) x = — — c cos 6, Fig. 12.1 rezultă' că ordonat^13 conturului precum şi tangenta vor fi funcţie de 6 (12.2) y = cf1(%- ^ ax 12.1. Relaţii fundamentale dy Să desvoltăm — în serie FOURIER ; observând că tangenta la dx cele două extremităţi este în general infinită, după cum am presupus de altfel prii* ipoteză încă dela început, desvoltarea va fi de forma [2] 10 16" " a a tg — + — tricot — + G0 + An cos n6 4- yjP„ sin n6, 2 2 2 1 1 (12.3) dy dx 2 unde aa şi ab sunt doi coeficienţi care sunt legaţi respectiv de razele de curbură Pa Şi Pb «le bordului de atac şi bordului de ieşire prin formulele următoare : (12.4) 2 rsi c 2 £*- Aceste formule sunt deduse din expresia razei de curbură 148 TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE REPREZENTAREA VITKt-ELOR DIN JURUL CERCULUI 149 care este uşor de calculat, punând mai întâi formă : 1 dx 1 — . — = — sm 6 d6 2 dx de si dy de sub următoarea (12.6) dy de cos 6) -f —- ab (1 + cos 6) + | C0 sin 6 + sin 6 £ An cos nd -f sin 6 £ Bn sin «6 j şi înlocuind apoi 6 prin 0 pentru pa şi prin - pentru pb . Să observăm mai departe că coeficienţii aa şi ab trebue să îndeplinească condiţia următoare : (12.7) \A ăy ffa — ob 0. Fie acum un punct P de pe profil (fig. 12.1); dacă notăm cu u şi v vitesele adiţionale, componentele vitesei totale în acelaş punct vor fi: (12.8) U = — V0 cos (x. -\- 11, V = V0 sin a -f- v. Direcţia acestei vitese este paralelă cu tangenta în punctul P; observând mai departe că incidenţa a, precum şi vitesele u şi v sunt foarte mici, vom putea scrie (12.9) dy dx V V0 sin a -f- v U — V0 cos a -f • u y Această expresie este diferită de cea precedentă (11.9) cu privire la semne, fiindcă pentru v am luat mai sus sensul pozitiv, pe când v din formula (11.9) este considerat de sus în jos (în sensul negativ). Am presupus că vitesele u şi v sunt foarte mici faţă de Y0, ceeace este perfect adevărat pentru profilele de grosime mijlocie şi pentru unghiurile de incidenţă mici. Să observăm totuşi că la bordul de atac şi în special în punctul de vitesă nulă, unde u = V0 cos a £zY0, această ipoteză nu este îndeplinită şi relaţia (12.9) nu mai este valabilă. Insă această regiune de excepţie este foarte redusă şi incertitudinea asupra viteselor şi a fenomenelor ce rezultă nu influenţează în mod sensibil rezultatul total. Din această cauză vom face această ipoteză simplificatoare, considerând u şi v foarte mici şi neglijând pătratele acestor vitese. In acest caz, înlocuind vitesa prin expresiile (12.8) şi observând că incidenţele sunt mici, ecuaţia presiunii într'un punct P se reduce la relaţia următoare : (12.10) p-p0 = ( —F0cos a+w)2+(F0 sin a.-\-v)2 -V2 py0u, sau mea (12.11) 2(P - Po) ? I o y0 Trebue observat că semnul va fi pozitiv când CP este dirijat spre interiorul profilului. Problema constă acum în a trasa un profil a cărui presiune p, deci u după (12.10), să fie cunoscută dealungul conturului (în funcţie de 6 eventual). Ecuaţia (12.9) poate fi pusă, ţinând seama de desvoltarea tangentei — (12.3), sub următoarea formă : da; (12.12) — =- dy dx 1 * 6 -abcot- — JTJ J.nCOS nd ~Yi^n COS vd —a. 1 1 Dacă se cunoaşte v dealungul conturului, această ecuaţie ne deter-dit mină pe — şi chestiunea este rezolvată. Pentru a calcula v, u fiind cu-dx noscută, vom observa mai întâi că şi una şi cealaltă reprezintă valorile pe contur ale vitesei complexe adiţionale (12.13) w = u — iv, care este o funcţie analitică de z. Problema revine deci la o chestiune de frontieră : de a găsi o funcţie analitică w (z) olomorfă în tot spaţiul din exteriorul profilului, a cărei parte reală să ia valori determinate pe contur. Aceasta este o problemă a lui DIEICHLET. 12.2. Reprezentarea viteselor din jurul cercului Pentru a rezolva problema, facem o transformare a planului z (planul profilului) în domeniul exterior al unui cerc de rază a — — 4 şi căutăm apoi funcţia ic în acest domeniu. Pentru aceasta, vom face o aproximaţie, asimilând profilul cu o placă subţire de coardă c. In acest caz, funcţia de transformare este bine cunoscută : (12.14) X. + 1_ 16 ' X, şi punctele cercului vor avea drept afix : (12.15) 4 Aproximaţia făcută este perfect valabilă, observând că, prin transformarea (12.14), profilul real este transformat într'o curbă quasi-circulară, care 150 TRASAREA PRO PILELOR DE GROSIME MIJLOCIE este foarte apropiată de cea a cercului şi prin acest fapt, distribuţia viteselor în jurul acestei curbe ar putea fi considerată aproximativ egală cu distribuţia din jurul cercului. Prin transformarea efectuată, vitesa complexă adiţională din planul cercului devine (12.16) W iY = W şi vom avea prin urmare, notând în mod general prin ic(z) vitesa complexă într'un punct oarecare din planul real, (12.17) w{z) = u — iv = W dZ dz WCC) Z2 = w(Z) 16 Funcţia w (Z) este olomorfă în tot spaţiul din afara cercului, se anulează la infinit şi devine infinită în punctele Z = ± —. Ea poate fi desvol-tată, în acest caz, sub forma următoare : (12.18) w (Z) = : - c 1 Z" z 4 ^ 1 4 în care putem pune : (12.19) O, = a, + iS,, C2 = a2 + i^, Qn = an ibn. înlocuind pe Zprine'fi, desvoltând şi separând partea reală de cea imaginară, se obţine : (12.20) w = u - iv = 2(a, +_ a2) 26. 2ŞS cot ■--f- o " n bn 1 sin «o — — i 2(B, + 62) i-tg- 2a, cot bn cos «6 4- aa sin w im CARACTERISTICELE PROF1LULUI REZULTANT 151 Să egalăm această expresie a lui v cu cea dată de relaţia (12.12); se găseşte :■ ' [ 2 (3, + 3,) = o (Cu + a)F0, 2a, = ^aY0, 2 o funcţie impară de 6 şi Cpe, o funcţie pară de 6 : ( (12.30) j Cps=2 (A + a) tg ■--f- 2 £ An sin n%, [ ; 1 ! Cpe = <*a + °b — 2 Y Bn cos n®- I 1 Eezulţă, pă prin Cps se vor putea calcula coeficienţii An..., An ai liniei medii (a scheletului) şi prin Cpf, coeficienţii B{,. . ., Bn ai grosimii. Astfel, de exemplu, dacă avem o distribuţie oarecare a presiunii dealungul iconturului (fig. 12.2), este uşor de văzut că linia medie va reprezenta- (12.31) iar diferenţa (12.32) c. ps o 1_ o CP(Q) + Cp (-8) ^ (8) - CP (-6) Desvoltând aceste două funcţii în serie FOUBIEE, printr'o metodă grafică sau analitică, se determină coeficienţii An, Bn şi problema este rezolvată. Să punem mai departe (12.33) c Jb 'A dx-- n oc + A Cm= — [A Cpl—-x)ăx= — (Al+A9)- — ca Jb V 2 j 4 "4 Cz vom deduce pe de o parte Cz şi Cm în funcţie de Cp, iar pe de altă parte unghiul de portantă nulă şi CmQ în funcţie de coeficienţii A, Av A2 : (12.33 bis) g=A + ~Au Cmo= - -j(At + AS). 12.4. Exemplu de trasare Exemplul următor referitor la un profil cu scurgere laminară îl vom lua din lucrarea lui BEENNAX Fig. 12.3 şi STEVESSON (2}. De altfel interesul acestei metode constă tocmai în trasarea profilelor laminare. Fie deci coeficientul de presiune CpS distribuit pe contur la extrados, după cum indică fig. 12.3. (12.34) f ( '--ps -Cps cPa(i CPQ, cos 0), dela 0 la — 2 dela— la tz. 2 Să observăm din nou că semnul va fi pozitiv când CpS este dirijat spre exteriorul profilului, ceeace se întâmplă la extrados. La intrados, Cps are aceleaşi valori, însă negative, presiunea este deci dirijată spre interioruL profilului şi efectul se adaogă celui dela extrados. '■■ Vom avea mai departe (12.31 bis) Cz = 2 ^C2 Cps dx = — o J_.c_ 2 C, po 154 TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE şi să remarcăm astfel că trasarea profilului după condiţiile impuse corespunde unui Cz determinat, pe care-1 vom alege pe bază de consideraţiuni practice şi anume : portanta pentru care dorim să păstrăm calităţile laminare ale profilului. Pentru a simplifica problema,să luăm drept axă de referinţă, o dreaptă care face unghiul A (12.29) cu axa considerată la început. In acest caz, notând cu \j şi x' noile coordonate, avem (12.35) y y Ax iar prima ecuaţie (12.25), unde C'0 va fi înlocuit prin A, devine : (12.36) dx £ An cos -ii6. însemnând prin a' incidenţa faţă de noua axă, (12.37) oc' = A + a, se poate scrie.în locul primei ecuaţii (12.30), următoarea relaţie : (12.38) 6 Cp* = 2a' tg--h 2 yV4n sin «6, •de unde se vede că primul termen corespunde distribuţiei presiunii pe o placă subţire de incidenţă a'. Ceilalţi termeni aditivi ai lui Cp, reprezintă influenţa arcuirii profilului. Dacă «.' = A + a = 0, presiunea este finită în toate punctele plăcii. Din această cauză, A se numeşte incidenţa ideal ă. Comparând cele două expresii (12.36) şi (12.38), este uşor de văzut că prima reprezintă variaţia scheletului în raport cu placa subţire, iar termenii aditivi ai celei de a doua, influenţa acestei variaţii. Prin urmare, se pot determina coeficienţii Au. . ., An, cu ajutorul expresiei {12.39) C"Ps = Cps - 2a' tg 2 A «-«in «6, de unde rezultă pentru exemplul ales, luând în considerare distribuţia presiunii (fig. 12.3) faţă de noua axă, aşa cum am definit-o mai sus, următoarea relaţie : , (12.40) Aa=— lj* Cps sin «6 d6 = (J2 (1_cos e) sin r& d6 + ^po ^_ sin n e de. I i EXEMPLE DE TRASARE 155 In sfârşit, înlocuind pe Cp0 prin expresia lui (12.34), găsim '12.41) An = Ax= — Cz, (-1)"-1 j_ 1 sm 1 MU 1 1 2 11 + 1 n — 1 Odată ce coeficienţii Ax,...,An, sunt cunoscuţi, se poate integra ecuaţia (12.36) şi se găseşte astfel y's desvoltat în serie trigonometrică ■destul de dificilă. Pentru'simplificare să punem (19J n . " f e® = t, V. An cos n6 = p.r. V Antn, (— 3)" tn i oc = - ln (i+t), Yi ~ = ^iu(i t). (12.42) ! ——= -4- ln (1 - /)-!, V -J—=-tln (1-0, ii+l t ^1 «-1 î i sin n— V1 sin n— t" 1 1 rezultă, presupunând că în desvoltarea lui C'ps în serie FOUEIEE n tinde eătre infinit, <12.43) 2" Cz Ant" = \ 1--1 2t ln (l-t) - ln (14-*) -± + ±(t+ -1| in(l + f2). 2 4 \ t Să punem mai departe e o e 1 — t = e ~ le ~ — e = — ie 2 + 4— ; c <12.44) 0 _ l+(=e'Tjf2-ll;l+^ -e -4—, e 156 TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE vom putea scrie, ţinând seama şi de (12.30), ăy's dy* , (12.45) dx dx 3tt 1+2— lnf2 + 4^ ln 2—4 1 - — lnl6 Vom putea obţine în cele din urmă, prin integrare, (12.46) — ys = A—+ — c c 3- 1 x% •1 cz ln 4 1 x li c 1+1 x 2 x ln 1+2 c J \ c + ct. Pentru a determina constanta de integrare, observând că avem ys = 0 pentru x = ±—, rezultă : C (12.47; ct. = — ln 2, 3t. C A = -i£ 6tt tiv (12.48) Unghiul de portantă nulă şi momentul la portantă nulă rov fi respec- a = + + 1-A1=— Cz = -2A, 2 6- (A + ^ 36 Pentru <72 = 0,8, se obţine profilul subţire din fig. (12.4) în jurul căruia rămâne de adăugat grosimea. Pentru aceasta, raportându-ne tot la diagrama din fig. (12.3), se găseşte pentru Cpe : (12.49) { Cpe = m — d cos 6, dela 0 la — , I o. pe in e cos 6, dela — la Ol Fiii'. 1-2.4. Aceste valori, valabile pentru extrados, sunt egale şi de semne contrare la intrados. SP I Uf »- v EXEMPLU DE TRASARE 157 Din ecuaţia a doua (12.30) se constată că aa + ab, Bx. . ., Bn sunt •coeficienţii desvoltării în serie FOUEIEB a lui Cpe; vom avea prin urmare •succesiv : 412-50) oh = m--(d + e) sin (h + 1) - Bn = t-±-(d + e)" (.7 - e), sin (» — 1) <12.51) n + 1 » — 1 Ţinând seama de relaţia (12.7), se găseşte pe de altă parte 1 ct£> de unde rezultă ca şi ab şi prin acestea razele de curbură (12.52) ( Ga 2 o m — — (<7 1 (d-e) -pa, m (d + e) - — (d-e) 7t 4 Pentru a găsi funcţia grosimii, dată de a doua ecuaţie (12.25), se procedează în acelaş mod ca mai sus, punând i (12.53) £ Bn sin «8 = p.i. £ Bntn î şi observând că avem succesiv : 00 sin (n +1)4 (12.54) -tn î 5 7 JjS, sin (n-1)6 2 m- - 1 3 ~" 5 ln(l+*i)-ln(l-rt) Rezultă (12.55) (7+e = x cos 8 ln Bn t" 1 . , 1 — # — * ln- 2 14- -rt -L+^lln-1 ?7 >t 12 j 1 + # 1 + sin 8 — 7 sin 8 1 — sin 8 + i cos 8 158 TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE BIBLIOGRAFIE 159 sau mea (12.56) Bn sin „8 = icos 6 mi±^i d + ef 2 1 (12.57 — sin 0 Ţinând seama de a doua ecuaţie din (12.25), se poate serie 1 di/e _ 1 dl/e dx d8 d—e 16 dx 1 ( d+e" — = — m---1 cos ( d6 1 Te cos 26+^- sin 0 cos 6 ln JL±JÎ5_ care devine, prin integrare, ye 1 ( d —= — m-- c 4 { d + e (12.58) sin 0 — 1 — sin 6 d—e 16 TZ cos26 ln 32 1 + sin 6 1 — sin 0 sin 20 — Constanta de integrare este nulă, ceeace este uşor de altfel de demonstrat, observând că ye=0 pentru 9=0 şi 6=7:. Este interesant de^văzut că, dacă d = e = 0, adică dacă presiunea este constantă dealungul1, conturului, vom'găsi: (12.59) ye - m sin 0, x 4 2 de unde rezultă că profilul este redus la o elipsă sin 6, Fig. 12.5 Trasarea obţinută de BEEISTNAIS" si STEVEISfSOîvr, reprezentată în iig.i.. a corespunde la m = 0,40, d = 0,625, e=0,075iiar razele de curbură ce rezulta sunt respectiv : Pa == 0,0124 c, pb = 0,0002 c. w Grosimea relativă maximă este 0,15 si poziţia secţiunii maxime se găseşte la 0,05 c faţă de centru. Fig, 12.ii. Dacă se combină mai departe scheletul cu grosimea, se obţin în cele din urmă profile de forma celui reprezentat în fig. 12.6. 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) IC) 17) 18) 10) 20) 21) 22) BIBLIOGRAFIA CAP. II BJRNBAIM A'.: Die tragende Wirhftlfltt-ho als Hilfsmittel zur Bchandlung des ebenrn PruW'.'ins di:r Tragîliigeltheorie, Zeit. I. angew. Math. u. Meeh. 192:.:. BRENNAN M. I. and STEVENSON A. C. : Simplified Two-Dimcnsional Acrofoil Theory, Aireraft Engineering, XVIII (H»46). CARAFUL1 E. : a) Methode generale pour le trace des profils d'aviation, C.R.A.S. de Paris t. 185. b) Sur Ies profils aerodynamiques de forme generale, C.R.A.S. dc Paris t. 185, 1927. 0) Trace general des profils avec diedre â la poiiite, t. 186. CARAFOLÎ E. : Recherehes experirnentales sur Ies Aiies Monoplaues, Publications- Seientifiques et Tochniques da Ministere de l'Air, Gauthier-Villars, Paris 1928. CARAFOLÎ E. : Despre teoria profilelor cu contur dat, comunicare la Academia R. P.R., Buletin Ştiinţific Nr. 5 din Aprilie 1949. C Ah AVO LI E. : Iuftuenee des ailerons sur ies proprietes aerodynamiques des surfaees sustentatrices, Centre de Documentation Aeronautiquc International de l'Aero-Club de France, Paris, 1929. CEAPLÂGIUN S. A. : Despre presiunea curentului de aer planparalel asupra corpurilor obstacole. Culegere de opere, voi. II, 1933. CKAPLÂGMN S. A.: Asupra teoriei generale a aripilor monoplanului. Culegere do- opere, voi. II. 1933. OECKELER : Zeit. f. Flug. u. Motorluft, 1922. 01RAULT : Methode geometrique de traces do profils d'ailes et de corps fuseles. Publiea- tions seientifiques du Ministere de l'Air. Xr. 4, Paris, 193L O LAI' hi RT II. : The Elements - of Aerofoil and Airscrcw Tlicory, Cambridge, Universtly Pvoss, 1926. GOLVBEV V-. V. : Teoria aripei aeroplanului. în curent planparalel. GTTI, 1938. GOLVBEV V. V. : Despre aplicarea formulei Schwartz-Cristoffel la construirea profilelor aerodinamice. Lucrările Institutului Central de Aerodinamică Nr. 493, 1940. GOLVBEV V. V. : Lecţiuni din teoria aripei, Gosudarstvenic izdatelistvo, Moscova, Leningrad, 1949. JUCOVSCHI N. E. : Aerodynamique, 2-e edition, Gauthier-Yiilars, Paris, 1931. JUCOVSCHI N. E. : Cercetări geometrice asupra scurgerii Kutta. Culegere de opere, voi. V. 1937. JUCOVSCHI N. E. : Determinarea presiunii curentului planparalel de fluid asupra unui contur care la limită trece într'un segment de dreaptă. Culegere de opere, voi. V, Moscova, 1937. KARMAN-BURGERS : Aerodynamic Theory, voi. II, Durând-Editor Julius Springer, Berlin, 1935. MILNE- THOMSON L. M. : Thcoretical Acrodynamies, Mac Millan and Co. Limited, Loii-dou, 1948. MISES R. : Zur Theorie des Tragflăchenauftriebs, Zeit. t. Flug. u. Motorlult., Nr. 8, 1917. MULLER W. : Konstruktion von Tragflăchenprofilcn, Zeit. I. angew. Math. u. Mcch.,. 1924, pag. 218. TOUSSAINT et CARAFOLÎ : Theorie et Traces des profils d'ailes sustentatrices, Li-brairie Chiron Editeur, Paris 1928. BIPLAN IN TANDEM 161 CAPITOLUL III TEORIA BIPLANULUI DE ANVERGURA INFINITA In capitolul precedent, am desvoltat teoria monoplanului de anvergură infinită, drept studiu de bază al aripilor monoplane, reale, de anvergură finită. In practicase utilizează adesea şi celulelebiplane (şi foarte rar celule multiplane). Pentru stabilirea caracteristicilor biplanelor reale de anvergură finită, este necesar să expunem într'un mod analog problema biplanelor de anvergură infinită, aşa cum o vom face de altfel mai jos. 13. BIPLANE SUBŢIRI AVÂND COARDELE ŞI INCIDENŢELE EGALE Am văzut că prin reprezentarea conformă se pot rezolva toate problemele mişcării plane. Insă rezultatele găsite până acum nu se mai pot aplica şi la domeniile cu conexitate multiplă, cum este de exemplu cazul biplanului de anvergură infinită. Reprezentarea domeniului unui biplan pe o coroană circulară, după metoda lui H. VILLAT, ar putea da o soluţie riguroasă a problemei, însă comportă dificultăţi serioase în determinarea explicită a rezultatelor; de aceea ne vom limita la metode aproximative şi la câteva cazuri particulare care ne vor permite să studiem aplicaţiile problemei biplanului la cazurile practice ale aerotehnicei. 13.1. Mişcarea în jurul plăcii subţiri. Să considerăm mai întâi mişcarea în jurul unei plăci subţiri, aşezată într'un curent de vitesă V0 la infinit, făcând unghiul « cu placa. Fie (13.1) V V0 cos ol, V V0 sin a componentele vitesei, după o direcţie paralelă la placă şi respectiv după normala la aceasta. Prima componentă nu este perturbată de prezenţa plăcii; mişcarea datorită celei de a doua, modifică total aspectul scurgerii în jurul plăcii subţiri. Se poate stabili direct potenţialul mişcării considerând potenţialul general din jurul cercului : (13.2) f(ţ) = - V0+ - ~ ln ţ = - V0 cos ce ^ + - _t70«n«(ţ-^)-£ln?: şi înlocuind £ prin valoarea sa scoasă din funcţia de transformare a cercului în segment linear : (13.3) z = X, + ia2 , X, - ~ = \ z2 - 4a2, unde a = — 4 (13.4) c fiind profunzimea plăcii. Obţinem uşor f(z) =

= — V0 cos a ■ z — iV0 sin a • ]j z2 — 4 a2 ir ln z + ][z2 ±a2 dl dz --u—iv 2-k V0cos a _iŢ_ _ 27T ' fi i V0 sin a*- z2 - ia2 4a2 Din forma acestor expresii, se constată că pentru y = 0 şi —2a = — V0 cos a. z — iV0 sin a p2) (z2 — q2 m2)dz 0Y(z2-p2) (z2-q2 ir (z — n) dz 2tz )0]/(z2 — p2) (z2 - q2) ' Termenii acestei mişcări sunt, într'un fel oarecare, analogi cu cei ai monoplanului (13.4) şi această analogie ne-a ajutat, de altfel, la stabilirea expresiei vitesei complexe. Pentru determinarea constantelor m, n şi a circulaţiei T, să observăm mai întâi că, dacă mişcarea este lipsită de circulaţiB, este'necesar ca aceasta din urmă să fie identic nulă în jurul fiecărui plan : F = F' = 0. Urmează : f-» (z2 — m2)dz _ r« (z2 — m2)dz J_p ]/(z2 — v2) Iz2 — a2) ~ V sau încă : "p (13.6) sau î: (13.7) m* 2 — p2) (z2 — q2) dz ,p y (z* — p2) (z2-q2 o, z2dz , ]/(z2 - p2) (z2 - q2) Dacă punem mai departe (13.8) Jc = -^-, V = KF--T2, 1 V Jq \ (z2 — p2) (z2 — q2) = (1 - lc2) t2 = Tc'H2, .1- 4. BIPLAN IN TANDEM 163 relaţia precedentă devine în cele din urmă di (13.9) Jo 1/'(1 - t2) (1 - ¥H2) P' 1 - Jc'H2 dt. t2 Primul membru este o integrală eliptică de prima speţă pe care o notăm cu K', al doilea membru este o integrală eliptică de a doua speţă pe care o notăm cu E'; cu aceste notaţii, vom putea scrie mai simplu : (13.10) w5 pi K' Valorile lui E' şi K' corespunzătoare modulului ~k' vor fi scoase din tabelele curente ale integralelor eliptice definite. 13.2.1. Circulaţia. Să considerăm acum mişcarea completă cu circulaţie şi să determinăm această circulaţie şi constanta n, astfel încât la vârfurile din spate ale celor două plane [z = q şi z = — p) vitesa să fie finită; vom avea r | V0 sin a (q2 — m2) -\--(q — n) = 0, (13.11) 1 l V0 sin a (p2 — m2) — de unde rezultă : (13.12) r = 2kV0{p - q) sin a, n 27C (P + n) = 0, P Ic W_ K' 1 — l exact valoarea circulaţiei unui monoplan având coarda dublă : (13.13) cm = 2(p — q) = 2c. înlocuind aceste valori în expresia vitesei (13.5), se obţine o formă mult mai simplă : *L = - V0 cos a - iV0 Sin a 1 A* + P) (* - g) . dz |/ (z + q) (z - p) Să observăm mai departe că pentru o valoare mare a lui z se poate (13.14) scrie (13.15) (z+p)(z-q) (z+q){z-p) P pi 1 + l+2i+2i-+... i _20- + 2^-+. z z2 ){ z z2 ZJL + i. ~ + şi prin urmare vitesa ar putea fi desvoltată după puterile lui (13.16) io - V0 cos a —i V0 sin a 1 + P 1 + {P- 2z2 164 BIPLANE SUBŢIRI AVÂND COARDELE ŞI INCIDENŢELE EGALE 13.2.2. Forţe şi moment. Integralele BLASIUS-CIAPLÂGHIN, extinse pe un contur C de rază mare, ne dau rezultanta aerodinamică şi momentul rezultant : f (13.17) { R = Rx-iRy = —ip[ ^df=-i2n9V0eia(p-q)sma, 2 ,'c ds M-- dublă. - P-r- ~r P [ » ~ d/ = -ţ- pVKp - q)> sin 2a. 2 Jc dz 2' Se obţin aceleaşi rezultate ca şi pentru un monoplan de coardă totală Să calculăm acum rezultantele R' = R'r — iR'y şi R" = R'^ iR'1 respectiv a planului anterior şi a celui posterior ; pentru aceasta, integralele BLASIXTS- CIAPLÂGHFln trebue extinse pe contururile C" şi C" ce înconjoară fiecare plan : (13.18) R'^i^df^iÂ^df, B»=ifLC ^d/^pP^d/. 2 Ud» L dz 2 Udz ' L_ dz Să observăm mai întâi că, raportându-ne la expresia pătratului vitesei: (13.19) = V 2 cos2 a -f 2i V2 sin a cos a — F0 sin2 a (z + P) '(g + p)(g-g) (« + 9)(«-p) 9) (« + g) {z - p) avem pe de o parte, (13.20) (s + PH8-g)=i + 2P--g + 2 9 P ~g P (s: + g) (2 — p) V + q z~V q p + q z — p iar pe de altă parte, ţinând seama de relaţiile (13.8), avem următoarea expresie (13.21) (z + p)(z- q)dz _f(g~p)Vl~fc'2*2+P (l~fc'2*2) (z + q) (z-p) ■2 V(i -1*) (i - fc'2 «2) df. Integralele precedente se găsesc în al doilea şi al treilea termen al lui w2. Pentru acesta din urmă, ţinând seama de (13.20) şi observând că conturul C conţine polul£=p (fig.13.1), vom lua drept reziduu al lui CAL7CHY şi respectiv, pentru conturul C", vom lua coeficientul termenului în — z — p coeficientul termenului în -—:— , singurul pol pe care-1 conţine fiind z + q tip- ■81 BIPLAN SUPRAPUS 165 — q. Se obţin valori reale pentru R' şi R". respectiv : (13.22) R'x = 27tpFo sin% P (P -5) R"x = 27rp F0 sin2a 72 .„.«(P-î) P + q " p + şi T potenţialul şi funcţia de curent a mişcării din planul s datorită unui curent vertical'de vitesă egală cu unitatea, astfel că dreptele Y = ct., reprezintă liniile de curent Y = ct. : (13.30) Y = Y. Astfel de exemplu, axa Oy (x = 0) este reprezentată prin axa OX 0), liniile particulare Tm şi -Tffl, din care fac parte cele două plane tei-- p BIPLAN SUPRAPUS 167 în tandem, devin liniile orizontale Y = ±Tm, care conţin cele două plane suprapuse. ( „ Punctele de vitesă nulă mt şi we>j respectiv m,- şi me corespund extremităţilor biplanului suprapus, în Mt şi Me, respectiv Mt şi Me. Ne puteam aştepta de altfel la aceasta, dat fiind că — se anulează pentru z = + m şi prin urmare punctele omoloage din planul Z corespund la vârfuri ascuţite. Din cauza simetriei, punctele p', q', respectiv p", q , corespund punctelor P',Q', respectiv P",Q" (fig. 13.2). Pentru determinarea caracteristicilor geometrice ale b i p 1 a n u 1 u i real în raport cu b i p 1 a n u 1 în tandem, vom observa mai întâi că avem : •2 \ m2) ăz Jo (13.31) )0 V"(s3-P2)(«2-g2) c . h _ .f m'i (f — to2) dz (z2 - to2) d? \j(z2-p2) (z2-«2) ' (02 — mi) ăz J o Jo Jp yj{z2-p2){z2-q2) (z2 — to2) dg Punem tot to2 = p2 ^ ; dacă se notează mai departe prin K şi E integralele eliptice de prima şi a doua speţă în raport cu modulul Ic=-j^ , fie (13.32) K = Jo dt V(i-*2) (î-w)' prima integrală (13.31) ne dă h în funcţie de p - TcH2 t2 ăt, (13.33) 2p K. K' Pentru ultima integrală (13.31), ţinând seama de relaţiile (13.8) şi observând că avem t = 0 pentru z = p şi (13.34) pentru 22 = m2 = 1 - ir j Vi-fc2 ir 168 BIPLANE SUBŢIRI AVÂND COARDELE ŞI INCIDENŢELE EGALE BIPLAN SUPRAPUS 169 se găseşte în cele clin urmă ăt K Jo _ăţ_ V(l—*2){l~fc'2<2) ' incomplete vor unde valorile celor două integrale eliptice fi căutate în tabelele curente. Să revenim acum la mişcarea în planul Z pe care vrem s'o cunoaştem si să observăm că avem : (13.36) dZ d/ ăz ăz ăZ = _ i V (*2 - P2) (*2 - g2) d/ z* — un ăz unde /(«) reprezintă potenţialul mişcării în planul z (13.5); rezultă pentru vitesa din planul Z următoarea expresie : (13.37) ~ = — Vn sin oc -f- i V0 cos a • V [z2 - p2) (a2 - q2) 22 — m2 2ji- z — 11 Se vede din această expresie că mişcarea în planul real Z (biplanul suprapus) se descompune în trei părţi datorite, respectiv : 1) unei vitese orizontale (— Vn sin a), care nu suferă nici o perturbaţie prin prezenţa biplanului; 2) unei vitese verticale descendente (— V0 cos a) al cărei potenţial este dat de termenul al doilea, din membrul doi; 3) unei circulaţii totale T. Să notăm prin Ş, unghiul de incidenţă al biplanului suprapus (planul Z) şi prin U0 vitesa curentului la infinit (fig. 13.2); vom avea — U0 cos P, componenta paralelă cu OX, Z7o sin (3, „ „ „ OY. Aplicând cele stabilite mai sus, vitesa va avea următoarea formă în funcţie de U0 şi B : (13.38) W = d/ ăZ U0 cos S iU0 sin B r J(* p2) (z2 — q2) z* — m" n 2-k Se regăseşte, pentru un z foarte mare, curentul dela infinit : (13.39) W = - U0 cos B - iU0 sinB = - U0e^ . Se vede că, pentru z — ± m (vârfurile din aval ale celor două plane), vitesa devine infinită; pentru a evita acest lucru, este necesar ca numitorul din (13.38) să fie deasemenea nul. Eezultă, observând că m \m2 — p2 = ± i\ p2 — m2 şi că semnul pozitiv corespunde planului superior^ = 4- m) şi semnul negativ, planului inferior (z — — m) : (13.40) iU0 sin B]/ (p2 — m2) (m2 — q2) (± *) — -(±, in şi prin urmare : 11 = 0, r = 2nU0 sin S j/'(p2 - m2) (m^jff = (13.41) =^.*>py(4--i) (4--*-) • Pentru a calcula portanta totală, este suficient să aplicăm teorema lui KUTTA- JUCOVSCHI; se poate face însă direct, aplicând integralele BLASIUS-CIAPLÂGHIISf pe un contur foarte mare, în punctele căruia vitesa va lua următoarea formă : (13.42) W = - U0 e*P = - U0eQ - 2tc iV 2tc + Z + ceeace conduce la rezultatul cunoscut (13.43) B = Rx-iRy = ip Z70re'l Comparând acest rezultat cu cel obţinut pentru un monoplan de a-ceeaşisuprafaţă totală, deci de coardă cm=2c şi de circulaţie rm=2noll0 sin B, (raportul circulaţiilor va avea următoarea expresie : 13.44) Ţinând seama de relaţiile (13.33) şi (13.35), acest raport se poate ex-1% prima în funcţie de— Din cauza simetriei, circulaţiile V şi T" din jurul c fiecărui plan sunt egale. Pe o cale analoagă cu cazul precedent, se pot calcula rezultantele R', R" pe fiecare plan; calculele sunt destul de grele şi lipsite de altfel de interes, acest caz ideal fiind rar întâlnit în practică. Insă interesul calitativ al studiului precedent este evident şi vom avea ocazia să aplicăm rezultatele obţinute, la alte probleme. 170 TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL U. TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL Problema biplanului în cazul general este foarte complicată şi soluţiile date de către diferiţi autori sunt aproximative. Principiul metodelor utilizate constă, în general, în a înlocui influenţa unei aripi asupra celeilalte prin singularităţi definite, reprezentând efectul principal al primei aripi, pe care o vom denumi aripa activă. Astfel de exemplu, o primă ideie, datorită lui PRANDTL, este aceia de a înlocui această aripă printr'un vârtej de aceiaşi circulaţie ca şi cea din jurul aripii însăşi. Alţi autori, ca de pildă BETZ şi PISTOLESI, au desvoltat această ideie, găsind rezultate concrete şi interesante. O ameliorare a acestor cercetări a fost adusă de către A. TOUSSAUSTT şi C. B. MILLIKAN, care au ajuns la rezultate confirmate de experienţă. A. TOUSSAINT a pus în evidenţă într'un mod remarcabil influenţa grosimii. Alte cercetări, bazate pe transformarea a două cercuri în două profile, au fost întreprinse de către diferiţi alţi autori, printre cari vom cita pe DUPONT şi FERRARI. într'un studiu recent N. F. SACCHARNAI utilizează metoda profilelor subţiri şi aduce soluţii concrete la problema biplanului cu aripi subţiri. Vom expune mai jos o soluţie aproximativă a problemei bazată pe găsirea punctelor singulare ce vor înlocui aripa activă, precum au făcut şi o parte din autorii eitaţi mai sus. H.l. Singularităţi ce înlocuesc aripa activă Să considerăm de exemplu una din aripile biplanului; influenţa pe care aceasta o exercită asupra celeilalte se traduce printr'un câmp de vitese suplimentare pe care scurgerea din jurul primului plan îl produce în dreptul celuilalt. Vom presupune că mişcarea în jurul primului plan este cea datorită curentului de vitesă V0 dela infinit şi circulaţiei r, în care am inclus şi cota respectivă datorită influenţei aripei vecine. Notând cu a raza cercului generator, cu v afixul centrului, cu a incidenţa curentului cu Ox, expresia potenţialului (4.10) va fi pusă sub forma următoare: iT 2tc (14.1) ln (£ - v) + ir 2_ 2Wo' T a-'v e 5S ir 2lZ ln X,. Vom utiliza mai jos această ultimă expresie, însă este necesar să facem mai întâi câteva consideraţiuni asupra caracteristicelor geometrice ale profilului. " SINGULARITĂŢI CE ÎNLOCUESC ARIPA ACTIVĂ 171 14.1.1. Conturul de bază al profilului. Să presupunem că funcţia de transformare, care reprezintă conform profilul aripei active pe cercul generator K, este de forma generală studiată mai înainte, (14.2) X,' T'n unde q'2 este real; să admitem pe de altă parte că, caracteristicile geometrice principale ale profilului şi anume : grosimea, curbura, poziţia secţiunii de grosime maximă, etc. sunt în funcţie de parametrii definiţi anterior (7.2) : ul, x, /. Să notăm cu c coarda profilului ; putem scrie : (14.3) Z = 0,25 c, a = 1(1 + fx), q'2 = l2 (1 _ x), v = l (y. + i /). Să admitem, într'o primă aproximaţie, că influenţa datorită caracteristicilor geometrice ale profilului se reduce la cea a' conturului de bază (7.3) : «'2 {14.4) z' = C X,' Intr'adevăr, această expresie este suficientă pentru a exprima în mărimi de primul ordin, grosimea, curbura şi aproximativ, poziţia secţiunii maxime. Vom neglija, într'un fel, influenţa termenilor secundari asupra caracteristicilor geometrice ale profilului. Pentru a simplifica expunerea, vom admite că axa absciselor sistemului de referinţă este. paralelă cu axa de portantă nulă. Fie, într'adevăr, Ox'y' (planul z') sistemul de axe de construcţie a profilului şi t unghiul pe care axa de portantă nulă îl face cu Ox'; dacă sistemul se roteşte de un unghiu t, astfel ca axa absciselor să fie paralelă cu axa de portantă nulă, vom avea z = ze (14.5) şi vom putea scrie succesiv : (14.5 bis) a 2 5' + It = q'2e~ ■2ix X = ze Deoarece t este foarte mic, pentru profilele moderne abia atinge un grad, se poate admite în cele din urmă c2 (14.6) q'2 = l2 (1 - y.) 16 se neglijează prin urmare efectul unghiului t sau, ceeace revine la acelaş lucru, efectul momentului unitar la portanta nulă Cmo %--— t ) In concluzie deci, vom admite că forma geometrică a profilului, astfel definită prin conturul de bază, va avea un efect aerodinamic asupra 172 TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL planului vecin, aproximativ egal, cu cel al conturului exact. In aeesă caz, este preferabil pentru a defini mai bine conturul, să punem în evident t grosimea maximă relativă şi poziţia secţiunii de grosime maximă (Xm)*). După (8.15), neglijând termenii, de'ordinul al doilea, notând cu 8m unghiul corespunzător poziţiei secţiunii maxime (acest unghiu este dedus din formula (8.11) : Xm«» 6,5 (1 — cos 6m), şi cu em grosimea maximă relativă, se poate scrie : (14.7) sin 0„ (i + cos em) + Pe de altă parte, după (8.16), putem obţine (14.8) (2y + x) cos 6m + 2y cos 20m = 0, de unde vom scoate în cele din urmă : X COS 20m _ COS 0m — = — - Em i H — - 2 (14.9) Sin3 0„ sin3 6„ Astfel, prin urmare, y şi x definesc grosimea maximă relativă şi poziţia secţiunii de grosime maximă. Aceste rezultate se aplică deasemenea şi la profilele empirice, unde sm, Xm pot fi măsurate uşor. In cazul profilelor JUCOVSCHI (x = 0), y va fi dedus mai exact din formula (14.10) 0,77 1 - 0,6 em Să revenim la conturul de b a z ă şi să punem X, în funcţie de . 14.11) ^ 2 1 2 z — - q 2 Dacă distanta între cele două plane este destul de mare, se vor putea . . , . 1 . neglija termenii superiori lui — şi se va putea scrie : z (14.12) X, = z « z — Această aproximaţie este perfect valabilă, chiar pentru aripile foarte apropiate. H.1.2. Determinarea şi poziţia singularităţilor. Să revenim la potenţialul (14.1) din planul X,; ţinând seama de (14.3), punând pe de altă parte (14.13) T = 47ta70a, a2 + q2 « 2al, 2al \ y + *) Xm reprezintă poziţia secţiunii de grosime maximă faţă de bordul do atac al profilului, în fracţiune din coardă. CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE BIPLANULUI 173 unde l reprezintă un sfert din coardă şi neglijând termenii de al doilea ordin, se poate scrie succesiv : (14.14) f(z) = _ Vo X ew + -34- + q2e + a _|_ 2iava 2«/>.*-* «pve ir 2tz X InX - + - rn (a2 — q2) cos a — * (a2 + q2 — 2q2y) sin a a've q2 zi — q-(1 + V) — ln g2 " 2tz z qi F0zeîa - z2 — q2 V0zem - -ta. 2tc ln z. l\.2.. Caracteristicile geometrice ale biplanului Fie aripile (1) şi (2), raportate fiecare la un sistem Oxxxyx, respectiv 02x2y2, având centrele drept origine iar axele Oxxx şi 02x.2 paralele cu axele de portantă nulă (fig. 14.1). Fie mai departe W c, = 4Z, şi c2 = 4Z2, coardele profilelor biplanului, a] şi a2 incidenţele, co = a2 — oc, inter-inclinaţia planului inferior în raport cu planul superior. Distanţa între cele două plane, fie h, se numeşte înălţimea biplanului sau interplan. Din cauza inter-in-clinaţiei co, se obţin două înălţimi diferite, hx şi h2, după cum se duce o perpendiculară OxHx pe 02 x\ sau 02H2 pe Ox x2; deaceea, se poate lua pentru li înălţimea medie : Fig. li.! (14.15) & = + n2). 2 Totuşi, în aplicaţiile curente, vom pune (14.16) h = hx, .aşa cum vom face de altfel dese ori în cele ce urmează ■mmm 174 TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL Dacă se unesc cele două centre, dreapta Ox02 face unghiul [i cu nor mala OxHx la 02xx; distanţa s = 02Hi biplanului şi este legat de unghiul (3, care decalaj, prin următoarea formulă : __î*- 09H2 se numeşte decalajul se numeşte unghiu de (14.17; S = îl tg p . Punctele de vitesă nulă de pe cercurile generatoare, care corespund cu vârfurile profilelor, vor avea drept afixe, după (14.3) si (14.4), respectiv : (14.18) -j _ ' - O 8 = ~ T şi vor fi notate prin Bx şi B2. Vom defini printre caracteristicile geometrice ale biplanului, distanţa 0, 02 şi valoarea ei în funcţie de înălţimea h şi de decalajul s : (14.19) oxo: D2 = 7i2+s2, tg (S+o)=— = cot (3. Aceste date geometrice vor fi folosite, mai departe, în calculul circulaţiei şi a forţelor ce lucrează asupra aripilor biplanului. M.3. Determinarea circulaţiei pe aripa inferioară Am văzut mai sus, că influenţa unei aripi asupra celeilalte se traduce prin acţiunea unui sistem de vârtej şi dublet, ce înlocueşte aripa activă, acţiune care se exercită asupra scurgerii în jurul aripei influenţate. In raport cu scurgerea în jurul aripei singure, izolate, aripa influenţată suferă modificări în ceeace priveşte distribuţia viteselor în lungul conturului său ; prin urmare, condiţiile de scurgere la vârf sunt deasemenea modificate. Vitesa trebuind să fie întotdeauna finită la vârf, circulaţia, care pentru aripa izolată ar fi V, devine T + AT, diferenţa fiind datorită acţiunii singularităţilor care înlocuesc aripa activă. Să considerăm planul aripei influenţate (2), pe care-1 vom indica prin z2 = x2 -f iy2 şi să efectuăm o transformare definită de expresia precedentă (14.12) : (14.20) ?2 — Z2 — 11 pentru a reveni în planul cercului generator, definit prin £2 = \2 + *yj2 (fig. 14.2); centrul Ox al aripei active, care este sediul singularităţilor definite mai sus, ajunge în 01; după această transformare. In planul £2, scurgerea suplimentară, în afară de cea datorită curentului V0, va fi dată de sistemul format din vârtej şi dublet aşezat în Q,. Pentru a determina acţiunea lor, să observăm mai întâi că în punctul B2 (52=— l2), care corespunde A^ârfului profilului, vitesa Av2, care rezultă din '.F DETERMINAREA CIRCULAŢIEI PE ARIPILE INFERIOARE 175 această scurgere suplimentară, este egală şi de semn contrar cu v0, dată de circulaţia suplimentară AT2 ce se naşte de pe urma acestei scurgeri: AF (14.21) Avn = - v0 = --. 27i:a2 Această vitesă, care trebue să fie tangentă la cerc, în B2, este prin urmare paralelă cu 02 y2. Este suficient deci să calculăm Av2 pentru a deduce circulaţia suplimentară Ar2:este tocmai ceeace vom face mai jos. 14.3.1. Influenţa vârtejului. Fie T, vârtejul izolat aşezat în Cîlt de afix _Reîp (fig. 14.2). Expresia potenţialului în raport cu un sistem de axe trecând prin centrul M2 al cercului generator va fi dată de relaţia (3.29). Pentru a simplifica calculele, se poate, admite că centrul este în origine. A-ceastă aproximaţie nu aduce o eroare sensibilă, astfel că se poate scrie pentru potenţial şi pentru vitesă, respectiv (14.22) /(&) = «r, ln X* (ţ2 - Re*) 2tc w 21 «Ti /l l R 6 1 2 R In punctul B2{ţ2 = — a2), vitesa va avea valoarea (14.23) w2X — 2iza0 1 + 1 + — 6*1 a, 1 + ^ e* rezultă, după (14.21), 2 (a2 + J?cosp) (14.24) r# 2n a2 v21 «2 + R2 + 2a2 R cos p Pj cosx iT, ■ 2 cos x 2nK 4:Tza0 K — — l-Ka2V21 cos x, unde 721 este vitesa totală indusă de vârtej în punctul B2 şi V21 cos x componenta ei verticală. Rămâne de definit acum poziţia punctului Q.X în raport cu punctul omolog O, din domeniul real (domeniul biplanului). Proiecţiile vectorului 0,0, se deduc uşor din relaţia următoare (fig. 14.2) : (14.25) As + iAh = — — = s -\~ih + ¥ (s-ih) K2 16 _D2 176 TEORTA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL de unde rezultă pentru K şi tgx, următoarele relaţii K2 = 4 + M1 16 D2 + 7i2 1 + 16 D2 (14.26) • li 1 tg x 16 D2 + 8 1 i_ 4_ 16 D2 14.3.2. Influenţa dubletului şi generalizarea problemei. Am văzut că determinarea circulaţiei suplimentare r2'l datorită vârtejului aşezat în O, se reduce la calculul componentei verticale indusă de acest vârtej în punctul B2 (fig. 14.2). Calcule ana-loage, privitoare la o sursă de un debit egal cu Qu ne conduc la un rezultat asemănător : (14.27) If/ =2mi2v2l = Qx sin x 2tc K = — 47Tffl2F2i sin x, unde Vn' sin x este compo-Fig. 14.2. nenta verticală indusă de sursă în punctul B2. La fel se întâmplă pentru un dublet, care este format din două surse sau două vârtejuri egale şi de semne contrare, infinit apropiate; de altfel, ca şi pentru un curent paralel, care ar putea fi considerat ca rezultând dintr'o sursă dusă la infinit. Rezultatul este deci general: circulaţia în jurul profilului este egală cu de ina2 ori componenta după 02y2 a vitesei generale din punctul B2. Totuşi, trebue văzut cum se reproduc toate aceste singularităţi din planul real în planul cercului. Centrul Ol al aripei active (1) ajunge în Qj, punctul său omolog şi am văzut, pe de altă parte, că circulaţia precum şi debitul, se conservă. în ceeace priveşte însă dubletul, momentul său va fi multiplicat cu valoarea derivatei [- ^2 \ din punctul 0V aşa cum am arătat dz2 . la început (4.54). Avem astfel, după (14.20) (14.28) 1 + = 1 +■ ft2 2)0\ {li 2 + s -2 2^2 2hs 16 (Zf2 + s2) k2 + s2 16 (îi2 + s2) h2 + s2 i . DETERMINAREA CIRCULAŢIEI PE ARIPA INFERIOARĂ 177 Dacă se neglijează s în raport cu h, se obţine o expresie mai simplă â.~___1 _. ~ 16 ' D2 (14.29) dz2 ) ' -l-^ -Bl2 X2 14.3.3. Circulaţia suplimentară în jurul aripei superioare. Pentru determinarea circulaţiei suplimentare în jurul aripei (1), datorită aripei (2), vom observa mai întâi că centrul acesteia din urmă, ajunge în Oa, a cărui afix M'eip' (fig. 14.3), va fi determinat aplicând punctului 02 transformarea (14.38) ^ = »i ti Vom găsi, punând 8' = rz + S + co, în care se poate neglija interin-clinaţia to (S' « ix -\- 8) : (14.39) JBVP = — (s + + s -f i/i 1 c' fe2+ s2 (s - î'A) = 16 #2 ife 1 + 16 Z?2)' de unde rezultă (fig. 14.3) (14.40) lt + R'e1?' = Aeir Ae care va înlocui Kem din expresiile precedente. Vom avea astfel, pentru circulaţia suplimentară datorită vârtejului, relaţia (14.41) r2 cosx 2tz A unde A şi X vor fi date de expresiile următoare c, . _ 1_ £|_^ (14.42) { A2 tgX s 16 D2j + h2 i + i^l' 16 Z>2J 1 16 D2 16 D2 (14.43) Punând mai departe P2 = 16 X>2 «2 = 2V0l\ 1 c? 1 +---L ^ 16 D2 V0 K2 180 TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL de unde se scoate T, şi T2. Pentru aceasta, să punem 0i2 c2 cos X c, cos v. e,, = — o; 2 x sin2X (14 .46) { 1 + A2 16 D2 «ai 8 sin 2x. cos2X "12 1 r2 16 D2 A2 ^91 - 1_ 1 + K2 ' 16 D2 c? cos 2y, 16 D2 ecuaţiile precedente devin în acest caz (14.47) ' k^V» 1 2 ^2C2^0 «1 — 012 = a2 - 021 + *12a2 — e12 (1 4- jx2) fj.. r, Rezolvarea acestor ecuaţii este uşoară. Intr'adevăr, notând prin sm grosimea relativă maximă, se poate scrie, după (14.9) şi (14.10), (14.48) (1 + fx.) hi, + -1 = v),emI , (l + (i8)U + Y., unde yj,, respectiv t)2, variază dela 0,8 la 1; vom admite, de altfel, pentru simplificare, (14.49) (1 + I*) + yj «(1 + 0,8 sm) • 0,8 zm. Ţinând seama de cele de mai sus (14.47), rezultă în cele din urmă ecuaţiile: Ti = 1 — 012«2I a + «12 ~ 012 g . e12y)2£mi! -fgla^l^l5'»!. V0 1 - 012021 * 1 - 018021 2 1 - 012021 (14.50) 1 — 021«12 „ i «21 ~ 021 «2 + fc2c2F0 1 - gl2g2l 2 ^ 1 - 02i*'i2' 0i2e2i> 02iei2' ceeace ne conduce la următoarele relaţii simple : (14.51) r, k2c2V0 ;K1 + («12 — 012) a2 — el2n2tm2, ;oc2 4- (*2, — g2l) 04 + e21v),emi. SIMPLIFICAREA PROBLEMEI IN CAZUL ARIPILOR SUBŢIRI 181 14.4. Simplificarea problemei în cazul aripilor subţiri Dacă aripile biplanului sunt subţiri (considerând tot timpul un moment tu unitar la portanta nulă, redus : Om =--t« 0), se poate folosi o metodă mai simplă, înlocuind vârtejul şi dubletul aşezaţi în centrul aripei active printr'un singur vârtej aşezat în centrul de gravitate al circulaţiei, noţiune pe care o vom defini mai jos. 14.-5.1. Centrul de gravitate al circulaţiei. Să presupunem că suprimăm pereţii aripilor, înlocuindu-i printr'un strat de vârtejuri; acţiunea unei aripi asupra celeilalte este identică cu acţiunea stratului de vârtejuri răspândit pe tot conturul. Dacă aripa este moderat apropiată, se poate admite că acţiunea stratului de vârtejuri este echivalentă .cu un tub de vârtej infinit subţire, de aceeaşi intensitate totală, aşezat în centrul de gravitate al circulaţiei [8] şi cu un dublet având un moment proporţional cu grosimea profilului. Intr'adevăr, să notăm prin C conturul profilului, prin y circulaţia pe unitatea de lungime şi prin V vitesa tangenţială într'un punct al conturului; se poate scrie, observând că funcţia de curent este constantă pe contur : (14.52) r \ Tds Jc Vds [ ^ds = [ (d

12 12 2ttP P2 | u2l - iv12 = ri • * Pi sin 8 — 2ttP D2 cos 8 -2ttP P2 —— cos 8--i1- 2ttP P2 i FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPILE BIPLANULUI 189 Ca deobicei, am însemnat prin P distanţa Ox02 = \h2 4- s2. Se deduce pentru portantă, ţinând seama, de acţiunea reciprocă între vârtejul unei aripi şi dubletul celeilalte, (14.82) { | p2 = PF0r2|i de unde rezultă : ( 14.83) sin 8 P sin 8 + P I>2 2nV0 P P2 r,p2 - r2p, p2 (14.84) p = p, + p2 = P70 (i\ 4-r2) Pentru rezistenta la înaintare, se obţine deasemenea, indicând prin de Rol şi R02 rezistenţele de formă ale fiecărei aripi, P1 = R„ = + P 2ttP cos 8 r r ■Kn2 — P - 1 2 cos 8 4- p de unde deducem (14.85) R + R2 = — Ro riÎ2 - r2Îl P2 riÎ2 - r2îx P2 Rn,, rezultat la care trebuia să ne aşteptăm. Să înlocuim 8 prin S,' 4- «i, respectiv S2 4- a2, după (14.80), şi să observăm că incidenţa a.l este mică; vom avea f (14.86) { I I sin 8 P sin 8 _ P P2 P2 * cos 8 PcosS s — oc, Ti P ~ P2 ~ - P2 01M2 4- «2S P2 0,P9 P2 Aceste expresii vor fi înlocuite în (14.82) şi (14.84). Dacă aripile sunt subţiri (pr = p2 0), se vede din (14.48) şi (14.50) că circulaţia depinde numai de incidenţă siva fi determinată cu ajutorul formulelor (14.50) sau încă, mai simplu, va fi scoasă din formulele (14.62). In acest caz, T, şi T2 nu diferă decât foarte puţin şi al treilea termen al rezistenţei (14.84) precum şi al doilea termen al portantei (14.82) sunt nuli. (2 h 3 \ — ■< — < — I , coeficienţii e12, e2l (14.46) devin mici şi termenii circulaţiei datoraţi grosimii devin deasemenea neglijabili. Pentru aripile groase şi pentru interplanele mici (fr<0,6 c), este necesar de ţinut seama de termenii datoraţi influenţei grosimii, pe care îi vom pune totuşi sub o formă curentă mai accesibilă. 190 TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPILE BIPLANULUI 191 Să revenim pentru aceasta la expresiile (14.50) ale circulaţiei şi să punem a2 = <*! -j- to în prima formulă şi a, = a, — «j în a doua. Se va putea scrie (14.87) r, Ai (ax —t,) =Ala.'l, Mi^o ' ' ^ ViVo unde Ai şi A2 vor fi daţi de relaţiile J.2,(oc2+t2) = A2cr.'2 (14.88) Ai = 1 - 9l2 (! + *2l) +* 12 4, 9i2 9n 1 - 92i (1 + in) + *2i 1 - 912 921 iar Tj şi t2, pe care îi vom numi unghiuri de circulaţie-nul ă, vor fi daţi de expresiile : (14.89) ei2"-l2£'"2 + ffl2e2]7U£ml — (%2 — 9l2) M 1-012 (1 + *2l) + *12 g2l7?lg/ni + gaiel27)2g"2 ~ (% — 92l) to 1—921 (1+*12) + *21 Dacă introducem aceste relaţii în formulele portantei (14.82) şi ale rezistenţei (14.84), punând pentru termenii secundari ftj = fc2 = -k, vom obţine următoarele expresii pentru coeficienţii unitari: (14.90) Cz ■^-2K2 J Kî + + -■t)2£m2A1a.i — D2 Z>2 7], em] .A2oc2 Czo — 21c oA o 1 /.. sin 8 c, . , 1 , , —^ v]2 emi ^,a, - —- WmiAiPi pentru portantă şi (14.91) Cx\ = Cxoi + nAiA2 cos Soc', a2 - 7u 4 1 J)2 1 2 2 D a2 ri _ fi v X2 ^ X02 7tJ.j^l2 ~ cos 8 Kj oc2 + Ol &} -\--Li, -J-2- a' a _ J —L_ a' a 4 l D2 D2 pentru rezistenţă. Aceste formule pot fi simplificate. Astfel de exemplu, pentru biplanul cu aripi egale, fără decalaj, fără interinclinaţie, vom avea : C2 = c, «! = a2 = oc, yjj = 7)2 = Y), emi 2 \ h I c tg X=tgx = 4—|l c A2 = Jf2 = — -f /i211 + 16 l 18 7i 2 — °m > 2 \ 9i2=92l=9: (14.92) de unde rezultă 21 c cos X i 6o, - C- cos2 X 1 + 1 16 ' /i2 16 /i2j sin 2X X2 1 +- A2 A = 16 /i2 1 - 0 (1 + t) + * 1 + f I (14.93) j I l 2TcA CZ2 = 2TcA 1-92 (1 + g)erjzm (1-flf) (1+i) ' 1 + — — A (ol 2 h 1 c 1 + 9 0c—t. V.L 1 c2 T)| (a —T)---7]SmT 4 fe2 1 c2 --J. (a — t) (a+t)-f--y)£mt 2 ) 4 /*2 pentru portanta unitară şi f I (14.94) j o2 A2 l X2 pentru rezistenţa unitară. 14.5.2. Calculul momentelor. Stabilirea scurgerii potenţiale în jurul aripei influenţate este foarte grea ; aplicarea formulelor teoretice în calculul momentelor devine încă mai dificilă şi complicată. Metoda aproximativă bazată pe curbura curentului nu este în bun acord cu experienţa, care arată mai degrabă o neînsemnată variaţie a momentului la portantă nulă şi o deplasare insensibilă a centrului de împingere. Astfel că se poate considera fără prea mare eroare, acelaş moment ca şi pentru aripa izolată. 192 TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL BIBLIOGRAFIA GAP. III [ 1) BETZ A. : Rereclmung der Luftkrălte auf eine Doppeldeckerzelle aus den, entspreehenden Werte.n fur Eindeckertragflăchen, Technische Berichte, I. 1926. 2) CEAPLÂGH1N S.A.: Teoria schematică a aripei segmentate, Culegere de opere, voi. II, 1933. 3) DU PONT: Theorie du biplan indefini. Comptes Rendus du III e Congres International de Mecanique Appliquee, Stockholm 1930. * 4) FERRARI: Sulla determinazione delle caratteristische aerodinamiche di un biplano indefi- l nito constituito da due profile alari dati. Memorie della R. Ace. delle Scienze di Torino, | 1931. \ o) GOLUBEV V.V: Cercetări în domeniul teoriei aripei segmentate, partea I-a, Lucrările ŢAGHI, Nr. 147, 1933; partea Il-a, ŢAGHI, Nr. 306, 1937. 6) GOLUBEV V.V.: Scurgerea în jurul unui cilindru în prezenţa unui sistem de vârtejuri fixe. '< Scrieri ştiinţifice, MGU. voi. VII, 1937. | 7) M1LL1KAN C.B.: An Extended Theory of Thin Airofoils and its Application to the Biplane Problem, Nat. Advis Comm. for Aeronautics (Washington) Rep. Nr. 326 (1930). 8) PISTOLESI E. : Aerodinamica, Unione Tipografico-Editrice, Torinese, Torino, 1942. 9) SAHARNAI N.F.: Scurgerea fără cavităţii în jurul unui sistem format de două arce de formă dată, Buletinul de Matematică şi Mecanică Aplicată, Institutul de Mecanică, Academia de Ştiinţe U.R.S.S. t. 5III, B. 4,1949. 10) TOUSSAINT A.: Theorie approchee des cellules sustentatrices biplanes d'envergure infinie. Publications seientifiques et tehniques du Ministere de l'Air, Nr. 53, Gauthier-Villars. Paris 1934 CAPITOLUL IV TEORIA ARIPILOR MONOPLANE DE ANVERGURĂ FINITĂ Am considerat până" în prezent o aripă cilindrică nelimitată, a cărei mişcare după o direcţie normală pe generatoarele sale dă naştere unei scurgeri plan paralele. Această ipoteză este o pură ficţiune, căci în realitate aripile nu sunt nici cilindrice, nici nelimitate : ele sunt de anvergură limitată, iar profilele variază pe de altă parte, dela o secţiune la alta. Aceste secţiuni sunt paralele cu planul median, normal pe generatoarele părţii centrale ale aripii; aceasta este în general simetrică şi prin urmare planul median este un plan de simetrie. Scurgerea care ia naştere în jurul aripii este o mişcare în trei dimensiuni, a cărei abatere dela mişcarea plană depinde de extremităţile aripii precum şi de profilele corespunzătoare fiecărei secţiuni în parte. Problema astfel concepută n'ar putea fi rezolvată cu mijloacele pe care le avem astăzi; de aceea, este necesar să facem ipoteze simplificatoare, care vor reduce problema la cazurile simple pe care le-am studiat. Tocmai acest lucru îl vom face în cele ce urmează. 15. CONDIŢIILE DE MIŞCARE IN JURUL UNEI ARIPI DE ANVERGURĂ FINITĂ (TEORIA LUI PRANDTL) 15.1. Vârtejuri libere şi vârtejuri legate Să imaginăm mai întâi o porţiune de aripă de anvergură infinită ; sus-tentaţia rezultă din suprapresiunile care se exercită pe intrados şi din depresiunile care se exercită pe exi': dos (fig. 15.1) Acelaş fenomen apare şi pe aripa de anvergură finită, însă. extremităţile fiind libere, suprapresiunea dela intrados alungă particulele fluide către depresiunea dela extrados şi astfel ia naştere un curent paralel cu anvergura, din centru spre extremităţi, la intrados şi dela extremităţi spre centru, la extrados (fig. 15.2). Acest curent persistă departe în spatele aripii şi se formează astfel o pânză plană de grosime foarte redusă prin care vitesa trece dela + v pe faţa inferioară, la — v, pe faţa superioară. Am văzut în primul 13 Aerodinamica 194 TEORIA LUI PRAXDTL VÂRTEJURI LIBERE ŞI VÂRTEJURI LEGATE 195 capitol al acestei lucrări (§ 2.3, fig. 2.6) că se poate înlocui această s u p r a-faţă de discontinuitate printr'un strat de vârtejuri, paralel cu direcţia curentului general. Prin urmare, în dosul aripii apare un sistem de vârtejuri, paralel cu vitesa generală, în formă de şuviţe nelimitate libere, care se desprind dela bordul de B Fie 15.1. fugă al aripei şi se întind în aval, până la infinit. După legile vârtejurilor, aceste fileuri de vârtej nu rămân izolate, ci se leagă între ele prin. vârtejurile localizate pe aripă, care sunt denumite din această cauză vârtejuri legate. Ihtr'adevăr, am văzut că pereţii aripei ar putea fi suprimaţi, cu condiţia de a fi înlocuiţi printr'un strat de vârtejuri obligaţi să păstreze întotdeauna aceeaşi poziţie (§ 2.3). Fie o secţiune de aripă paralelă cu direcţia generală a curentului (fig. 15.3); se poate presupune că vitesele sunt conţinute aproximativ în această secţiune, dacă neglijăm bine înţeles curentul transversal,, despre care am vorbit mai sus şi a cărui valoare este foarte mică faţă de curentul general. Să presupunem mai departe că în interiorul aripei este acelaş fluid, însă în repaus, care comunică cu exteriorul printr'o fisură practicată în punctul de vitesă nulă A. Presiunea din interior corespunde prin urmare cu cea din punctul A[U]. f A Fig. 15.2. Fig. 15.3. însemnând prin p'0 şi V0 presiunea şi curentul la infinit, prin pa presiunea din A, unde vitesa este nulă, şi prin p şi V presiunea şi vitesa într'un punct oarecare, dacă facem abstracţie de forţele exterioare care sunt neglijabile, formula lui BERNOIJLLI se va scrie : (15.1) 2 Po + -~ VI = pA ct. Mişcarea fiind irotaţională în tot domeniul exterior aripei, constanta lui BERNOULLI este aceeaşi peste tot. Suprimând pereţii, aceştia vor fi înlocuiţi printr'un strat de vârtejuri AAXBXB şi AA2B2B de grosime 8, astfel încât pe suprafaţa exterioară, pe AXBX şi Ă2B2, vitesa V să fie cea potenţială, iar pe suprafaţa interioară AB vitesa să fie nulă. Feţele exterioare ale stratului sunt linii de curent care se prelungesc dincolo de punctele AXA2, la infinit amonte, şi dincolo de punctele BXB2 la infinit aval. Acest strat este obligat să-şi păstreze poziţia deci este supus unor forţe exterioare care ţin în echilibru diferenţa de presiune dintre cele două feţe. Prin suprimarea pereţilor, spaţiul devine simplu conex şi putem aplica ecuaţiile mişcării pe toată întinderea, fără nici o restricţie de frontieră datorită peretelui, cu condiţia însă de a introduce forţe exterioare care să acţioneze asupra stratului de vârtej, pentru ca acesta să-şi poată menţine aceeaşi poziţie. Să însemnăm prin q această forţă exterioară raportată la unitatea de volum; ecuaţiile mişcării trebue să ţină seama de această nouă forţă şi putem scrie în acest caz (2.35), notând prin u vitesa într'un punct oarecare al spaţiului sau al stratului de vârtejuri, (15.2) rot u /\u + grad P -f- \ 2 u = SL Am spus mai sus că constanta lui BERNOULLI este aceeaşi în tot domeniul din afara aripei. Ea are aceeaşi valoare în interiorul aripei, unde au loc condiţiile punctului A, deci pe toată întinderea, fără nici o restricţie, chiar în interiorul stratului de vârtejuri, unde, pe faţa interioară, ea este egală cu p\ (u = 0), conform cu relaţia (15.1). Presiunea variază dela pa la p, după o lege, care depinde de variaţia vitesei din stratul de vârtejuri. Acesta fiind foarte subţire, se poate admite o variaţie lineară a vitesei în funcţie de înălţime (fig. 15.3) : (15.3) *1 u — — V. Am presupus că forţele exterioare datorite greutăţii sunt neglijabile ( ÎJsbO) şi că fluidul este incompresibil (p = ct.); am văzut că în acest caz formula lui BEBNOULLI se reduce la forma (15.1) : (15.4) P -= ct. ii 196 TEORIA LUI PRANDTL şi ca urmare ecuaţia (15.2) devine : (15.5) q = p (rot s)A« = p^A«, unde s'a notat cu O, vectorul rot u pe care l-am numit tot v â r t e j, ca şi pentru co = ~ D., pentru a simplifica limbajul. Din relaţia (15.3), însemnând prin n vectorul unitar normal pe suprafaţa stratului, se scoate : (15.6) rot u = O A V,0 _F 8 ' de unde se vede că vârtejul este constant pe toată înălţimea stratului, tangent la suprafaţă şi normal pe vitesa F, deci aproximativ paralel cu direcţia generală a anvergurii, dacă bine înţeles aripa este aproximativ dreaptă. Dacă se consideră înălţimea totală 8, intensitatea de vârtej pe unitatea de lungime a stratului va fi dată de : (15.7) = QxS V. Revenind la relaţia (15.5), se constată că forţa pe unitatea de volum este normală pe u şi O, este prin urmare normală la suprafaţa profilului. Valoarea absolută este egală cu V (15.8) q = Pu—- o şi dacă se face integrarea pe toată înălţimea se obţine forţa pe unitatea de suprafaţă: (15.9) fS 7 fS o \ qd~q = p — V u df] = — V2 = pa — p, Jo 8 Jo 2 care est egală, după cum era de aşteptat, cu diferenţa de presiune ce se exercită pe cele două feţe ale stratului. Dincolo de B1B2, în aval, presiunile px şi -p2 sunt egale, pentru a realiza echilibrul, căci nu există nicio condiţie care ar permite o variaţie de presiune. In condiţiile generale de mişcare, se impune de altfel o presiune continuă în toate punctele înafara aripei. Urmează că vitesele Vx şi F2 sunt egale şi nu diferă decât prin orientările datorite viteselor transversale, v pe faţa inferioară şi —v pe faţa superioară (fig. 15.2). Proiectând aceste vitese pe un plan paralel eu aripa şi cu curentul general şi luând Oy (fig. 15.4) după direcţia anvergurii, vitesele variază pe toată înălţimea stratului de vârtejuri libere dela V1 în Bx, la Fs valori intermediare : în P2, cu următoarele (15.10) REZULTANTA AERODINAMICĂ 197 de unde rezultă (15.11) — — ti — O = rot u = —rA v, o Astfel deci, vârtejul liber, care se desprinde dela bordul de ieşire al aripii, este paralel cu direcţia generală a curentului V din punctele considerate (fig. 15.4). Pe toată înălţimea vom avea : (15.12) y = 2SQ = 2n A v, y = 2SO = 2v; aceasta este intensitatea de vârtej pe unitatea de lungime transversală a pânzei de vârtejuri libere. Rezultă în acelaş timp, după cum ne aşteptam de altfel, că aceste vârtejuri libere nu sunt supuse la nicio forţă exterioară. Intr'adevăr, luând două câte două, vârtejurile în punctele % şi v)2 = — tj,, vom avea succesiv : (15.13) î,tîî = pQA(«it«,) = = 2 PQ A V = 0, (O || V). Se poate conchide în cele din urmă că aripa de anvergură finită este echivalentă cu două sisteme de vârtejuri : a) un sistem de vârtejuri legate, fie Qa, localizate pe suprafaţa superioară şi inferioară a aripii, având o direcţie aproximativ paralelă cu anvergura; b) un sistem de v â r-tejuri libere, fie O;, care se desprind dela bordul de ieşire şi se întind paralel cu vitesa generală a curentului, formând o pânză de vârtejuri până la infinit aval. 15.2. Rezultanta aerodinamică Imaginea pe care ne-am făcut-o despre aripa de anvergură finită şi rezultatele obţinute mai sus ne permit să calculăm rezultanta presiunilor ce se exercită pe aripă. Intr'adevăr, forţa elementară care se exercită pe un element dT de volum este qdz. Această forţă elementară este egală şi de semn contrar cu forţa ce se exercită pe aripă. Forţa totală, care este numită rezultanta aerodinamică, va fi prin urmare. (15-14) Q= - JT«dT = - P Jj Q A« dx, unde integrala se extinde pe întregul volum x de vârtejuri. 198 TEORTA LUI PRANDTL Insă această integrală este identic nulă pe volumul corespunzător vârtejurilor libere, încât expresia precedentă se reduce la : (15.15) Q Oa A h d~, unde Oa înseamnă vârtejul legat şi tq reprezintă volumul ocupat de acesta. Pentru a desvolta mai departe această integrală, să descompunem vitesa u în trei componente : prima, vitesa V0 a curentului general, care este constantă, a doua, vitesa w indusă de sistemul de vârtejuri libere şi a treia, vitesa w' datorită sistemului de vârtejuri legate; vom avea prin urmare (15.16) u = V0 + w + w', unde expresiile lui w şi w' vor fi scoase din formula (2.21) : (15.17) w 4TC jTa r A Oa dT, 4tuJt, r A Qi Se găseşte astfel pentru rezultantă expresia următoare : pF0 A \ dx JTa (15.18) Q sau încă : (15.19) Q = pF0 A \ ĂfldT \ Qa A w' dr — o \ flaAw dr, 9_ 4tt d- p 4t7 rA^/ dT. Prima integrală are o semnificaţie simplă. Să raportăm mai întâi aripa la un sistem de axe Oxyz, unde Oy este dirijat după anvergură, Ox după direcţia generală a curentului şi Oz după normala la planul xOy (fig. 15.8): Intr'o secţiune oarecare, paralelă cu planul median xOz, aşa cum este indicată în fig. 15.3, stratul de vârtejuri, care înlocu-eşte profilul în acest punct al anvergurii, are o suprafaţă totală aa; se poate scrie în acest caz, însemnând cu F circulaţia în jurul acestei secţiuni a aripii, (15.20) de unde rezultă : (15.21) j Oq dT = Qa cra dy= f dy, PF„A i OadT = P70 A^ rdy, JTa jb = ?Va [A Tdy. jb REZULTANTA AERODINAMICĂ 199 Aceasta este formida lui KUTTA-JUCOVSCHI, sub o formă generalizată. Ea reprezintă o forţă normală pe curent şi pe direcţia generală a anvergurii şi se numeşte portantă sau sus tentaţie. Să revenim la expresia rezultantei şi să observăm că a doua integrală (15.18) este nulă dacă vârtejurile Oa sunt toate paralele cu anvergura. Intr'adevăr, să considerăm două astfel de vârtejuri Ot, fi2 şi fie dax şi dcr2 secţiunile elementare ale tuburilor de vârtej corespunzătoare (fig. 15.5); intensităţile turbionare sunt res- =Q2dc72, pectiv : dri=Q1dcr1 şi dT2 iar vitesa elementară di'21 datorită elementului dsu în dreptul elementului ds2, precum şi dt'l2 datorită elementului ds2, în dreptul lui ds,, vor fi respectiv, după legea lui BIOT-SAVART (2.25) : (15.22) dr, • ds, dv.2l =--——— sin v, dr12 4tc r2 dr, ■ ds 4tc r2 -sm v. Via. l.î.o. Rezultă, astfel, pentru forţele elementare ce se exercită pe aceste două elemente : q{ ■ dT, = qx ■ de, • ds, = pO, • dvl2 ■ da, • ds, = dr, • dP, • ds, ■ ds., . ■(15.23) = P • { 4-Ttr sm v, I q2 ■ di2 = q2 ■ da2 ■ ds2 = p Q2 ■ d?;21 • d în loc de V0 (fig. 15.9). Din acest fapt decurg două consecinţe importante pentru o porţiune' elementară de aripă situată în punctul y al anvergurii. 1. Condiţiile de scurgere în jurul acestei porţiuni sunt acelea ale unui curent plan de vitesă Vq ; rezultanta aerodinamică elementară dQ este normală pe direcţia acestei vitese şi egală cu (15.33) dQ = PT V'0. Fig, 13.9. însemnând prin * unghiul pe care-1 face această nouă direcţie a vitesei cu direcţia iniţială V0 şi care se numeşte unghiu i n d u s, vom putea scrie pentru proiecţiile lui dQ după V0 şi după normala la lr0 : f dP = dQ cos i = pTVy dy cos i = pTV0dy, (15.31) \ ' w { ăR = dQ sini = pTV^ dy sin i = pVw dy = — dP, unde w este luat în valoarea sa absolută. PROBLEME SPECIALE PRIVITOARE LA ARIPILE DE ANVERGURĂ FINITĂ 203 In realitate deci, nu există o rezistenţă propriu zisă, fiindcă rezultanta .generală este normală la vitesa rezultantă V'n. Rezistenţa indusă nu este decât proiecţia rezultantei generale pe direcţia iniţială a vitesei. Trebue observat dela început că vitesa indusă w este mică faţă de F„, astfel încât unghiul indus i este deasemenea mic, prin urmare se poate scrie : (15.35) tg i 2. Circulaţia în jurul profilului rezultă deasemenea din noile condiţii de scurgere. Intr'adevăr, vitesa reală nu mai face unghiul a cu axa de portantă nulă (I) a profilului, ci unghiul efectiv ae (fig. 15.9). Am văzut (5.13) că circulaţia în jurul unei aripi de anvergură infinită, dacă notăm cu a raza cercului generator şi cu c coarda profilului, are expresia : (15.36) 4TcaF0sin a ia n:— F0a = tc (1 4- e) cF0a = JccV0cn. Experienţa ne arată însă că această valoare a circulaţiei este micşorată în raportul 0,85 până la 0,90 ; astfel că este mai exact să înlocuim ir (1 -f s), cum am făcut mai sus, printr'un coeficient practic k, care va fi dat de experienţă. Pentru circulaţia corespunzătoare porţiunii considerate a aripii de anvergură finită vom avea aceeaşi formulă, însă incidenţa a va fi înlocuită prin incidenţa efectivă '. ăy Flg' J61' Scurgerea în jurul pânzei plane de vârtejuri este o mişcare plană irotaţională, reprezentată printr'un potenţial de vitese 9vom avea prin urmare : (16.3) w' = 2w = dz v = <99 dy' de unde se vede că derivata lui 9 în raport cu y suferă o discontinuitate la traversarea lui BA : (16.4) d<ţ> dy 59 dy Fie un contur C având extremităţile în P1 şi P2 şi înconjurând toate fâşiile de vârtejuri din punctul y, până în punctul A ■ circulaţia din jurul acestui contur este egală cu V căci intensitatea fâşiilor înconjurate are o valoare totală egală'cu intensitatea care corespunde circulaţiei totale din jurul aripii în punctul y al anvergurii. Ţinând seama de (1.35) şi (1.36), se obţine următoarea relaţie importantă : (16.5) r = \ (v'ăy + w'ăz) = -ii dy ăy dz ăz d9 = 9-!-% = J:-\ (; în acest caz, valoarea lui w va fi dată de expresia (15.32) ,AdT dy _ V0 f71 £«, A„ cos nd (16.10) w 1 cait dy ^ yr, 4:Tt)Bdy -q-y tt )0 4-!z)Bdy y]—y tt J0 cos 6—cos 9 Am văzut însă mai sus (11.22) că putem avea cos nd ,„ sin n<\i ae. (16.11) de unde rezultă (16.12) Jo cos 6 — cos <\> d9 sin w ■ — -——- Y\ n An sin w]>. sin 9 1 Prin urmare, dacă, w este dat dealungul anvergurii, (fig. 16.2), vom desvolta w sin 9 în serie FOURIER : (16.13) w ') sin i — F0 Y Ba sin nty şi coeficienţii Ax, A2, An ai lui T vor fi respectiv : (16.14) Ax = Bx, A, Bţ A^ Bn 16.3.1. Exemple de aplicaţie. Să presupunem că vitesa indusă variază dealungul anvergurii după o lege parabolică (16.15) w = lcVn 1 + k70(l + cos2v) = TcV0 (1,5 + 0,5 cos 2^); rezultă numai decât (16.16) w sin 9 = VQ (1,25 Tt sini + 0,25 Ic sin 36) şi prin urmare : 0,25 fc (16.17) Ax = 1,25 Tc, A. A, = A, = A* = . . . = An = 0. (16.1.8) Circulaţia T va avea ca expresie în acest caz : 0,25 r = 2bV0 (1,25 Ic sin Ic sin 3<\>). Dacă vitesa indusă este constantă, fie w — w0 = kV0= ct., seva putea pune (16.19) w sin ib = VQ — sin <\i, de unde rezultă o variaţie eliptică pentru circulaţie: w (16.20) r = 2bV0 sin 9 = 2bw0 1 - pu2 b 1 2t)]2 16.4. Aripa de rezistenţă indusă minimă Este de foarte mare importanţă de găsit felul cum variază circulaţia dealungul anvergurii pentru ca rezistenţa indusă a aripei, pentru o portantă totală dată, să fie minimă. Vom da mai jos o demonstraţie elementară datorită lui A. BETZ. Fie P şi R, portanta şi rezistenţa unei aripi: (16.21) P = ?VĂ Tdy = ct., P=p^k wT dy; JB .'B trebue să găsim, pentru o portantă totală dată, variaţia lui F, care să, ducă la o rezistenţă minimă. 208 PROBLEME SPEC. PRIVITOARE LA ARIPILE DE ANVERGURĂ FINITĂ Să presupunem că cunoaştem a priori această circulaţie optimă şi fie SPj un element portant suplimentar pe care-1 adăugăm într'un punct yx. Pentru ca portanta totală se păstreze aceeaşi valoare dată, este necesar de adăugat încă un element portant §P2în punctul y2, egal şi de semn contrar cu primul: (16.22) 8P, + 8P2 = 0. Prin adăugarea acestor două elemente, distribuţia viteselor induse foarte departe în aval, în dreptul punctelor yx şi y2, nu este schimbată, mai bine spus, variaţia vitesei induse este de ordinul al doilea şi deci o putem neglija; prin urmare, dacă notăm cu u\ şi iv2 vitesele induse respective, rezultă o rezistenţă suplimentară, a cărei valoare, după (15.34), va fi (16.23) w, 8R = — Sp w0 8P2 = iv, 8P,. Insă am făcut, a priori, ipoteza că distribuţia circulaţiei este optimă şi că ea corespunde prin urmare la o rezistenţă minimă. Urmează că orice variaţie elementară a rezistenţei induse în jurul acestei poziţii minime este nulă (8R = 0), de unde rezultă : (16.24) ct, Am obţinut astfel un rezultat remarcabil: rezistenţa indusă a unei aripi va fi minimă, dacă vitesa indusă este constantă pe toată anvergura, Rezultă, după cele stabilite mai sus (16.20), că variaţia lui Y este eliptică : (16.25) [2JL 2bwn %>2 b Din această expresie se deduce circulaţia din centrul aripii, sau vitesa indusă în funcţie de această circulaţie : 16.26) Să considerăm acum ecuaţia (15.37) şi fie e0 coarda centrală a aripii: vom avea. (16.27) şi.prin urmare v0 fcCn 2bV, (16.28) i + 2b 2b ARIPA DE REZISTENŢĂ INDUSĂ MINIMĂ 209 Notând prin cm coarda medie, prin S suprafaţa şi prin X alungirea aripii definită de raportul: (16.29) şi punând mai departe (16.30) x _ A - A Cm bcm A 8 2b o s 1 X se poate scrie în cele din urmă, ţinând seama şi de (16.7), formulele circulaţiei sub diferite forme : r (16.31) j I 1 - 2jr2 = T0 sin 6 = AJÎA sin 6 , r = 2bVnAx sin6 = 2bV 1 + >«o [X00c 1 + U-o sm Din aceste formule, se vede că putejn obţine o circulaţie cu variaţie eliptică în diferite moduri : fie luând o aripă cu contur eliptic (c — c0 sin 0), având incidenţa constantă; fie luând o aripă dreptunghiulară (c = c0) având însă incidenţa variabilă, a' = a sin 0 ; fie, în sfârşit, luând o aripă de contur si incidenţă oarecare, unde avem însă : (16.32) ca c0a sin 6 Primul caz este cel mai important şi prezintă un mare interes pentru aplicaţii. Deaceea, vom studia acest caz mai desvoltat şi vom stabili în acelaş timp şi formulele fundamentale utilizate în tehnica aeronautică. 16.4.1. Analogic cu scurgerea în jurul unei plăci aşezată normal pe curent. Se poate demonstra pe o cale directă că, dacă vitesa indusă este constantă dealungul anvergurii ( — w0 ), distribuţia circulaţiei este eliptică. Intr'adevăr, să ne aşezăm la infinit aval unde vitesa indusă va fi — 2w0 şi să presupunem că tot fluidul este animat de o vitesă egală şi de semn contrar, fie 2w0; în acest caz, mişcarea în jurul stratului de vârtej este identică cu mişcarea în jurul unei plăci subţiri aşezată într'un curent normal de vitesă 2w0. Am văzut că potenţialul mişcării, în lipsa unei vitese orizontale şi a circulaţiei, va fi dată, după (13.4), de următoarea expresie : (16.33) f(x) = - 2iw0 \ (y + iz)* - — 2iwn — unde x este în acest caz variabila complexă (16.34) x = y + iz, 14 „Aerodinamica" 210 PROBLEME SPECIALE PRIVITOARE LA ARIPILE DE ANVERGURĂ FINITĂ Oy fiind axa absciselor şi Oz axa ordonatelor. Vitesa complexă devine (16.35) ^ = v — iw = 2iw0 x dx şi ia pentru 0 = 0 următoarele valori: (16.36) - — oy - x* 4 2w0y Eezultă, după (16.2), (16.37) Y dr dy = 2v = iw0y 4 şi prin urmare regăsim aceeaşi distribuţie eliptică r (16.38) 4wn — r 2w0b 1-l^f 16.5 Caracteristicile aerodinamice ale aripilor eliptice Să considerăm o aripă cu contur eliptic (c = c0 sin 6) având incidenţa « constantă dealungul anvergurii. Această incidenţă este luată în raport cu axa de portantă nulă, precum am menţionat mai sus. Luând pentru circulaţie a treia expresie din (16.31) şi înlocuind y în funcţie de 6 (16.7), putem calcula uşor portanta şi rezistenţa indusă, după (15.21) şi (15.28) : fA jt- Xvy P = PV0\ Tdy = P--bT0V0 = PV2S -Jb 4 1 (16.39) E = 9w0 dy = ^P = V IS 2ka. *2 2k \1 + Ho. înlocuind w0 prin expresia sa (16.26) şi T0 în funcţie de portantă, (16.39), se poate obţine o altă formulă pentru rezistenţă : (16.40) V0 2bV0 „ P 2 Iar pentru coeficienţii unitari rezultă formulele respective P Ti (16.41) Cz = -3-= 2--= 2k\ a, Cx = 987l B • Jp2 \ psvi ( j- PSV2 ] tt ii 8 Ci TtX ■ ■ÎS®! CARACTERISTICILE AERODINAMICE ALE ARIPILOR ELIPTICE 211 (16.42) (16.43) Pentru o aripă eliptică vom avea, după (16.30) kc0 _ k c0b 1 2k 2 b ~~ 2 £ X ~X putem scrie prin urmare : 2Jc _ „ C|_ TtX Cz = 1 + 1T X 2 fcx a, Cx te, o 9*. TtX Legea de variaţie a portantei unitare este lineară, ca şi pentru aripa de anvergură infinită, însă panta 2 kx depinde de alungire : (16.44) k, = 1 +■ TtX Am văzut mai sus că valoarea teoretică a coeficientului k, fie kt, este egală cu 4 — tc — tc (1 -f e), unde £ variază între 0% şi 10%. Valoarea ■ c experimentală sau reală, fie ke, este aproximativ 0,87% din valoarea teoretică, însă se poate admite în mod general: (16.45) 0,9 n, sau se poate lua direct valoarea sa experimentală, ori de câte ori este posibil. Variaţia rezistenţei unitare induse Cx în funcţie de Cz este parabolică; de aceea, se şi numeşte parabolă indusă. Dacă se adaugă lui rezistenţa deforma sau de profil (5.24), vom avea formula rezistentei unitare totale : CI (16.46) Gx — Cxo -\- TtX Curba Cx = / (Cz) se numeşte polara aripii şi formula precedentă (10.46) ne permite să trecem dela o polară corespunzătoare unei aripi de alungire X,, la o altă polară corespunzătoare unei alungiri X2. Intr'adevăr, pentru o aceeaşi portantă unitară Cz, observând că Cxa are aceeaşi valoare pentru amândouă aripile, putem calcula diferenţa de rezistenţă indusă : (16.47) CX1-CX2=—Z 11 1 tu In mod analog se poate stabili legea incidenţelor : dacă pentru o aripă de anvergură infinită incidenţa a0 corespunde unei portante unitare Cz dată, pentru aripa de alungire X incidenţa necesară pentru a produce aceeaşi portantă va fi mărită faţă de va fi dată de formula dr dy (17.4) 4tc Jb dy v] — y = V0 £ nAn 11 An cos no Vo _ \ j_ o cos 6 — cos <\> tc sin ii<\> sin <\i d0 Introducând din nou variabila curentă 6 în locul lui cos 28 + ... + 2(32m cos 2md, ■ c sau (17.12) sin 8 Im Coarda c a aripii, fiind simetrică în raport cu originea |y = 0, 6 =—j, coeficienţii (32m, pe care îi vom numi coeficienţi de formă, au indice par, condiţie necesară pentru obţinerea aceloraşi valori, pentru 6 şi tc — 8. Expresia lui F(d) = — sin 6 introdusă în ecuaţia (17.5), ne dă : c l±0 Y nAn sin nd + % V 2P2m cos2m8 p£ An sin nd = (17.13) i v i j i = [A0a sin 8. Dacă a variază dealungul anvergurii, vom pune : (17.14) - a sin 6 = sin 6 + a2 sin 26 + ... + an sin nd. Eemareând mai departe că putem scrie (17.15) 2 sin nd cos 2m6 = sin (n + 2m) 6 + sin (n — 2m) 6 şi că, coeficienţii lui sin nd din primul şi al doilea membru sunt egali, se obţine o ecuaţie cu diferenţe finite de grad 4m : (17.16) (njio-r-poUn+Pu (A„_2+A„+2)+ . . . + $m (An-2m 216 METODE PENTRU CALCULUL ARIPILOR DE CONTUR DAT SOLUŢIA APROXIMATIVĂ A PROBLEMEI GENERALE 217 Această ecuaţie simetrică nu este omogenă, însă poate fi transforma-,, tă într'una omogenă dacă unghiul de incidenţă a este constant dealungul anvergurii. In acest caz putem scrie (17.17) («II» + Po) An + P2 (An-2 +An+2) ■ P2m (Art_2m +An+2m) — 0 sau, adăugând 2m la fiecare indice, pentru a aduce ecuaţia la forma obişnuită * (17.18) P2mA„ + . . . + p2An_2+2m + Oft> + (2to(x0 + %)lAn+2m + Âr^^An + 2 +2m + • • • + hm-An- im o, obţinem o ecuaţie omogenă cu coeficienţi variabili, de gradul im, care se poate reduce la gradul 2m, după cum vom vedea imediat. Se vede de altfel, după forma acestei ecuaţii, că termenii pari se separă de termenii impari şi se obţin astfel două ecuaţii diferite. Este dificil de rezolvat această ecuaţie prin mijloace obişnuite, în afară de cazul m = 1. Intr'adevăr, în acest caz, expresia (17.17) se reduce la o ecuaţie cilindrică : (17.19) («k, + Po) Aa + P2 (A„_2 + A„+2) = 0, a cărei soluţie va fi dată de o integrală a lui LAPLACE de forma An =^ f(t)ăt. (17.20) J p Pentru aripile simetrice, circulaţia trebuind să fie aceeaşi pentru 9 şi tc — 8, termenii sunt impari: n = 2p — 1 şi integrala lui LAPLACE devine : (17.21) An —A-2p_i — 2f^ J 8: ' P+--1 Si/T_J_\ V-, \ T /dx dx, cu (17.22) a P2 2a t17.23) 2(j.0 a -Z[l0 Soluţia acestei integrale este dată de o funcţie BESSEL : 1_ a An = A 2P- care se poate exprima printr'o serie convergentă co C (17.21) An — A2p - c ( - 2a): ■■2 m = 0 (-1)" (—2a°)T(p+- (ia2)mm\ r(p+^-+m+l) _(-l)m__ '0 (4a2)>"m! (p + —+!)■■■ (p+-ţ-+m) unde T este funcţia Gamma iar C o constantă ce va fi determinată de prima ecuaţie neomogenă : (17.25) (h) + Po) Ai + p2 (A3 —Ax) = (j^a. Din expresia (17.24), se vede că termenii descresc rapid, ceea ce ne permite să limităm numărul termenilor la 3 sau cel mult 4. Insă această expresie transcendentă este departe de a prezenta avantajele unei expresii algebrice, a cărei analiză să fie posibilă prin mijloace elementare. Dacă am vrea să rezolvăm cazurile mai complicate, de un grad mai mare, dificultăţile ar fi foarte mari şi eventualele soluţii n'ar prezenta nici un avantaj în ceeace priveşte aplicaţia lor practică. Deaceea, în cele ce urmează vom da o metodă aproximativă elementară pentru rezolvarea ecuaţiei cu diferenţe finite (17.17). 17.5. Soluţia aproximativă a problemei generale Exemplul precedent tratat cu ajutorul funcţiilor BESSEL ne arată natura coeficienţilor Ax, . . ., An şi ne dă aspectul variaţiei lor. Aceşti coeficienţi descresc mai mult sau mai puţin repede. Exemplul tratat nu este decât un caz particular şi nu reprezintă decât o categorie restrânsă de contururi de aripi (formă în plan) reprezentate în diagramele din figura (17.1), unde coarda într'un punct al aripii, în raport cu aceea a secţiunii mediane, este dată de relaţia : (17.26) sin 6 P0 + 2P2 cos 26 De îndată ce este vorba de o altă formă în plan utilizată în aviaţie, ca de exemplu : aripi dreptunghiulare, trapezoidale, dublu-trapezoidale, quasi-eliptice, contururi regulat deformate, etc, trebue să recurgem la soluţii aproximative. ' Penr.ru aceasta, vom remarca dela început şi vom demonstra mai târziu, că toate aceste forme sunt susceptibile de a fi reprezentate prin poli-nomul trigonometric : (17.27) —sin 6 = po + 2P2 cos 20 + 2p4 cos 46 + 2P6 cos 66'. 1 1 '218 METODE PENTRU CALCULUL ARIPILOR DE CONTUR DAT In acest caz sistemul (17.17) devine : («E^o + Po) An + $2(An-2+An+2) + ?>4(An-4+An+4) + ?>6(An-6+An+(i) = 0, [(%+2)[x0 + po]A„i2 + P2 {An + A„+i) + MA„_ji+Att+6) + + % (An^+An+8)=0, [(n+4)[i0 + %]An+i + ?2(An+2+An+6) + %(An+An+8) + + $6(An-2+An+l0) = 0, [(w+6)[i0+?0]A„+6+?2(A„+4+^+8) + $4{An+2+An+10) + + $6(An+An+12)=0, (17.28)-, Fi". 17.1 Dela un anumit indice n + 2, coeficienţii An+2, An+4,. . . sunt suficient de mici pentru a putea neglija, în a doua ecuaţie (17.28), coeficientul An+i în raport cu An, An+6 în raport cu An-2, An+8 în raport cu An+4, etc. şi a putea scrie în cele din urmă : (17.29) { ( [ (n + 2) ţi0 + B0 ]i„+2 + $2An + (M„_2 + M«-4 = 0, I [ (n + 4) iX0 +P0 Un+i + M "+2 + M« + M»-2 = 0, | E (n + 6) [x0 + B0 ]An+6+ j32An+4 + B4A„+2+ M« = 0, |----------------------- m "Vi- Hi SOLUŢIA APROXIMATIVĂ A PROBLEMEI GENERALE 219 Dacă înlocuim pe A „+2 din ecuaţia a doua prin valoarea sa scoasă din prima, ca şi An+2 şi An+4 din a treia ecuaţie prin valorile respective scoase din prima şi a doua ecuaţie, putem exprima An+2, An+4, An+S, în funcţie de An, An^2 si An_4. Aceste valori ale luLA«+2, An+4, An+e, introduse în prima ecuaţie generală a sistemului (17.28), ne conduc la o formulă de recurenţă pentru termenul An : (17.30) hnAn + byiAn-l + b4nAn^ + b6nAn^Q = 0. Să punem mai departe •(17.31) ~N i = (n + t)tio + B0, coeficienţii bon, b2n, b\n, b%n sunt daţi de expresiile următoare : V = „„ + B PI & B26 , B2264 P2B466 V2 V4 A7,, Ar2Ar4 + ■ N2N6 N2N4N6 <17-32) { 6* = P2 PA 1 hn N4 PA + P2P4 + V4 ' V2iY4 V2V4A^6 NtNeNsNt p2p4B6 B22S62 B4S:r V2 V4 A^4AT6 W2N4 Vom vedea mai departe că, pentru cazurile practice, expresiile precedente sunt simple, însă am dat forma (17.32) pentru a conserva generalitatea problemei. Aplicând formula de recurenţă (17.30) pentru n = 1, 3, 5, se constată că primele trei ecuaţii nu au aceiaşi formă. Intr'adevăr, dacă observăm că ~AV A. -A„, A-* ——A^, obţinem (17.33) (17.34) A3 ^01^—1 ^21-^-1 — ^41^-3 — ^61^-5 — Hfl*' b03A3 + &23A1 - b43Ax — b63A3 = 0, Din a doua şi a treia ecuaţie, se scoate uşor: b23 — b4s 665A, = 0. ^03" &63 Au ^5 = - b 4î — &65 _ ^25 ^23— &43 &05 &05 &03 63 J Au 220 STUDIUL ARIPILOR ÎNTREBUINŢATE IN AVIAŢIE Introducând aceste expresii în prima ecuaţie (17.33), obţinem coeficientul A,, ceeace ne permite să scriem mai departe : (17.35) hi - b& + hi hz - &43 °61 . ^03 — ^63 7l ^45 ~ ^65 ^-1=W b„o — b 43 ^63 (&03 - b63)As + (b23 - bm)Ax = 0, b05A5 + b25A3 + (bi5 — b65)Ax = 0, bon An + bin An—2 + bţn An—\ + b§nAn- 0. Aceste formule reprezintă soluţia generală a problemei, care se poate aplica, dacă se cunosc coeficienţii de formă: %, (32, j34, (3g. Totuşi determinarea circulaţiei (determinarea coeficienţilor An) este extrem de grea dacă se aplică formulele (17.35) sub această formă. Deaceea, am făcut mai jos o analiză mai profundă a formelor de aripi utilizate în practică şi am dedus pentru fiecare categorie formule simplificate. 18. STUDIUL ARIPILOR INTRERUINŢATE IN AVIAŢIE Aripile întrebuinţate în tehnica aeronautică au forme în plan, care se- încadrează aproape riguros în desfăşurarea cu patru termeni, dată de expresia (17.27). După numărul termenilor, vom distinge patru categorii mai importante de forme utilizate în mod obişnuit în aviaţie : forme simple cu doi termeni, aripi dreptunghiulare şi trapezoidale, aripi dublu-trape-zoidale şi aripi de formă oarecare, 18.1. Contur cu doi termeni Aceste forme sunt definite de relaţiile : sin 0 (18.1) c Cn % + 2(32 cos 26 Cn sm % + 2P4 cos 46 în care variaţia lui (32, respectiv (34, ne dă diferitele forme ale conturului, astfel cum sunt indicate pe diagramele din figurile 17.1 şi 18.1. Dacă se pune p2 = 0, respectiv p4 = 0, şi po = 1, se obţine conturul eliptic pe care l-am studiat deja în paragraful precedent. Se poate vedea de altfel direct, din expresiile (17.16) şi (17.17), că a-15 = ... = An = 0 şi că nu ne rămâne decât un singur ter- vem A3 men : (18.2) 1 + CONTUR CU DOI TERMENI Vom avea mai departe, aplicând relaţiile (17.32) şi (17.35) şi neglijând termenii de al doilea ordin : (18.3) IA) + Po ~■ P2 PI + Po Ax = {i0x, ny-o + Po PI (n + 2) (i^.-f % A„ + P2A„_2=0 18. pentru aripile reprezentate de diagramele din figura 17.1 şi respectiv : (18.4) < + Po— 3fJ.0 + P0 — PI P42 3^ + Po >ft) + Po A\ — [J-oaj> ti 7^o + -j A3 - Mi = o> ?^o + Po — ti ( n + 4) a0 + P -lini M»-4 = 0 '0 i pentru aripile reprezentate de diagramele din figura 18.1. Forma acestei categorii de aripi are un domeniu de aplicaţii mai restrâns, între forma dreptunghiulară şi o formă quasi-eliptică turtită la extremităţi. 222 STUDIUL ARIPILOR ÎNTREBUINŢATE IN AVIAŢIE ARIPI DREPTUNGHIULARE ŞI TRAPEZOIDALE 223 18.2. Aripi dreptunghiulare şi trapezoidale Studiul aripilor dreptunghiulare şi trapezoidale este cel mai important prin faptul că aceste aripi sunt cele mai întrebuinţate în tehnica aeronautică. Ele sunt reprezentate aproape perfect printr'un polinom trigonometric cu trei termeni de forma (17.11), în care coeficienţii de formă depind de raportul între coarda extremală şi coarda mediană. Formulele care dau coeficienţii An sunt foarte simple dacă se neglijează, în prealabil, termenii de ordinul al doilea : (18.5) \h + Po — P2 3ft) + Po (P2 -PJ2 3ft> + Po A, = P24 + Po - + P2 5h) + Po 7[Xo + P0 ~Pi îJ-00t' A„ 5(^o + Po A,=0 P! (n + 2) {i0 + p0 P4 (n + 2)1x0 + P0 (» + 4) f*o + Po ;A„.2+ P4A„.4=0. An + Dat fiind câmpul lor de aplicaţie, vom face o analiză mai profundă a acestei categorii de aripi. Să remarcăm dela început că desfăşurarea în polinom trigonometric a expre- siei — sin 6 pentru conturul tra-c pezoidal şi rectangular este foarte uşoară şi trei termeni sunt suficienţi pentru a obţine o aproximaţie foarte bună *). In consecinţă, luând trei puncte convenabil alese pe semi-anver-gura aripei, fiecare trebuind să satisfacă relaţia Fig. 18.2. (18.6) -°- sin 6 = p0 + P2 cos 26 + 2p4 cos 46, obţinem cele trei ecuaţii necesare pentru determinarea coeficienţilor de formă. Cele mai bune rezultate vor fi obţinute dacă alegem următoarele puncte : by (18.7) { = 0,924, ! 6= 22° 30' 0,707, - 45° 0,383 67° 30'. *) Aceasta este o coincidenţă fericită care ne permite astfel să obţinem o soluţie simplă şi riguroasă a problemei aripilor dreptunghiulare şi trapezoidale. 1 X Dacă însemnăm cu _ (fig. 18.2) raportul coardei extremale fată de cea centrală şi prin q un coeficient egal cu (18.8) i = l coeficienţii de formă %, (32, (34, rezultând din aceste trei ecuaţii, vor fi daţi de expresiile : (18.9) Po = 0,5 2(32 = 0,707 2p4 = 0,5 0,383 0,924 ^ - 0,924# 1 0,383 0,383§j' 0,924 ^ 1 — 0,924^ 1 - 0,383gj' 0,383 , 0,924 ^ 0,707 1 - 0,924^ 1 - Q,383q) 1 - 0,707 0 0 1 0 ? a 3 0. 4 a s a s a 7 a a as t 2y b i m Fig. 18.3 e. Am exprimat alungirea în funcţie de coeficientul k 2 (18.12) k da care depinde, după toare unei aripi de egală cu 2tc (1 + s), se reduce practic la lele numerice se va (16.45) : (18.13) cum se vede, de panta portantei unitare corespunză-anvergură infinită. Această pantă, care va fi teoretic după cum am demonstrat în capitolele precedente, 0,85 — 0,90 din această valoare. Astfel, pentru calcu-lua pentru k valoarea aproximativă dată de relaţia k « 0,90 tc, în afară de cazurile când se cunoaşte panta experimentală (reală) a profilului care generează aripa de anvergură infinită. Aceasta ne permite să scriem alungirile alese în funcţie de k. Coeficienţii de formă ai unei aripi dreptunghiulare sunt: B0 = 0,6535, 2B2 == — 0,384^ 2B4 = — 0,0536. Introducând aceşti coeficienţi în expresiile (18.5) se obţin valorile indicate în tabela 18.1, care concordă bine cu rezultatele obţinute de alţi autori. Pentru a împinge comparaţia şi mai departe, am calculat deasemenea şi coeficienţii aripilor trapezoidale având următoarele caracteristici : q = 0,25; 0,50; 0,75 ; 1 pentru X = 2k. _ARIPI DREPTUNGHIULARE Şl TRAPEZOIDALE Rezultă pentru fx0, care poate fi pus în funcţie de q, 227 (18.14) (i. = A _i j_ = JL cjl 2 8 X 4 8 2(2~q) -10 c c. — M -as -0.4 0 ?=/ fir un lft=+f,7fO -02 0 m o. ? a i a < a s a s 0. 7 a d 0. \ 3 1. 2y b 00 valorile respective : Fig. 18.4. J_.J_.jL. i 3,5 3 ' 2,5 ' 2 Tabela 18.1 1 Ax A3 A1 t S Ho R)a 2 0,750 0,0585 0,0100 0,00086 0,100 0,023 3 0,S59 0,0881 0,0177 0.00196 0,138 0,036 4 0,929 0,113 0,0250 0,00336 0,171 0,049 5 0,976 0,134 0,0324 0,00490 0,203 0,061 6 1,001 0,151 0,0393 0,00655 0,232 0,072 7 1,037 0,167 0,0489 0,00867 0,260 0,082 Rezultatele sunt indicate în tabela 18.11, unde se pot compara cu cele calculate de alţi autori: Se constată un bun acord, ceeace ne permit j 228 STUDIUL ARIPILOR ÎNTREBUINŢATE IN AVIAŢIE să conchidem că formulele (18.5) au un caracter general şi dau soluţia generală a problemei aripilor dreptunghiulare şi trapezoidale. Tabela 18. II Ai a 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 0,2323 0,2342 0,2366 0,2377 0,2298 0,02825 0,02045 0,00924 -0,00957 -0,04310 An 0,00625 0,00765 0.00810 0,00849 0,00331 0,000840 0,000893 0,000624 - 0,000240 0,000150 0,17100 0,12341 0.08141 0.06841 0.20891 0 ,04900 0,02562 0,00974 0,01146 0,10807 18.3. Contur quasi-eliptic Trebue să remarcăm că o anumită categorie de forme continui şi quasi-eliptic e este reprezentată, deasemenea, printr'un polinom cu trei termeni, (18.15) F(d) = p0 4- 2 P2 cos 26 + 2p4 cos 46, în care coeficienţii de formă sunt daţi de expresiile : p0 = 0,1915 ^- + 0,462 ^- , c3 o, (18.16) 0,707 Po - 0,924- 2P4 = Po - 0,707 -5- şi unde c0 este coarda mediană, iar c,, c2, c3 sunt respectiv coardele de abscise 2!-= 0,383; 0,707; 0,924; b Qo = 67°30'; 45°; 22°,30'; Vom reveni asupra acestui subiect în paragraful următor, care tratează cazul general. 18.4. Aripi dublu-trapezoidale Aceste aripi, folosite curent în aviaţie, sunt reprezentate în general -prin patru termeni: (18.17) F (6) = P0 + 2p2 cos 26 4- 2p4 cos 46 + 2p6 cos 66 cu coeficienţi de formă convenabil aleşi. iii*. rffşftf. ARIPI DUBLU-TRAPEZOIDALE 229 In general p6 este mic, după cum se va putea constata din exemplele considerate ; acelaş lucru se poate spune şi despre p4. Aducând simplificările obişnuite şi neglijând termenii de al doilea ordin, se obţin următoarele formule generale : (18.18) { h) + Po - P2 (P2 ~ P4)2 , a Pi - Pe , x 3[^o + Po Pi + p 3u.„ + po - p6 ?ft> + Po. Pi ti 9ft> + Po 5^o + Po - 5^0 + Po A3 + 6 5(io + Po A[ = ^0ai Pi P2 5^0 + Pi ti P2 p4 7ft> +Poi 7(x0 + p0 P2(P4-P6) ti ti 5Ma + Po . P^ 7>o + Po 9ft> + Po Ut^o+Po. P2 P4 7'h, + PoJ A, p4-P6 P2Pe 7ft> + Po At =0, A, = 0, mo + Po ti Pi P24 n + 2) ^0 + p0 (n + 4) [Xo + p0 P (n + 6) (i0 + p0 + An + P2 P2 Pe (w + 2) no + Po (n + 2) ^ + p0 A„_4 + P6 An-6 = 0. An-2 + Dela caz la caz, aceste formule se mai pot simplifica neglijând termenii foarte mici. Intr'adevăr, pentru cazurile normale, p4 şi p6 fiind foarte mici, se neglijează pi, pi, precum şi produsul lor p4P6. Dacă notăm cu (18.19) raportul între partea centrală dreptunghiulară şi anvergura aripii (fig. 18.5) şi prin q aceeaşi relaţie ca şi mai sus (18.8) i Ce 3 = 1- —, 230 STUDIUL ARIPILOR ÎNTREBUINŢATE IN AVIAŢIE se va putea serie pentru coarda dintr'un punct al porţiunii trapezoidale : — = 1 — (cos 0 -x) ■ c0 l—y. (18.20) Această relaţie este valabilă pentru porţiunea trapezoidală, iar u pentru porţiunea dreptun- 1 ' n ghiulară raportul este egal cu unitatea. Notând cu e inversul Fig. 18.5. 1 — •/. — (cos 6 — y.)q coeficienţii de formă vor fi daţi de următoarele formule : S0 = 0,0637 ex + 0>347 e2 + 0,0935 e3 + 0,1467 e4, 232 = -0,449 ex - 0,201 e3 + 0,2508 e4, 2S4 = 0,0637 ex + 0,347 e2 - 0,614 e3 + 0,1467 e4, (18.22) ■ I I 2B6 -0,539^+ 0,815 e2 — 0,334 e3 + 0,0434 et, în care ej, e2, e3, e4 sunt scoşi din expresia (18.21), luând pentru 0 şi cos 9 respectiv : 6 =84°; 67°30'; 45°; 20°; 2_ b (18.23) cos 6 = 0,105 ; 0,383 ; 0,707 ; 0,940. Pentru punctele care cad în porţiunea drepbuagh hilară, v.ilorile corespuns v toare ale lui e„ e2 sunt egale cu unitatea. Aphcând formulele (18.22), am trasat diagramele reprezentate prin figurile 18.6 a, b, c, d, e, f, respectiv pentru x = 0,2, 0,4, 0,8. Se observă un acord foarte bun între formale reale şi cele trasate cu coeficienţii de formă scoşi din expresiile (18.22). Aceste expresii au deci un caracter general şi se pot aplica pentru orice contur dublu-trapezoidal, precum şi pentru aripile de formă generală pe care le vom trata mai jos. Totuşi, pentru valorile lui x situate în jurul punctului x = 0,6 este preferabil să se aleagă alte puncte pe anvergură şi anume : ( (18.24) \ I 2y = 0,105 ; 0,500; 0,707 ; 0,924 6 = 84°; 60°; 45' 22°30'. 5^- ARIPI DUBLU-TRAPEZOIDALE Fig. 18.6 a. Fig. 18.6 b. 231 c c 1 iw 0.8 1 x = 0.20 090 * •» t fi,= 1.S00 2fi= +0585 2p,= -0,0513 2J3S= -0.0325 I u.2 vS \ x 0 a / 0. 2 a j a 4 a 5 0. s a 7 0. 8 as wo Ol i I I c Co - Sâ -as n s """""" x = Q = 0.20 0.50 \ \ \ VH P n ft= 0.863 2fr= -0273 2jă,= -0.171 2p,= -0,0272 1 \ Ud. 0 0) 02 OJ 04 05 Q 9 0 7 0.8 0.3 100 | — 'i' 1 1 " . * 1 234 STUDIUL ARIPILOR. ÎNTREBUINŢATE IN AVIAŢIE Coeficienţii de formă vor fi daţi în acest caz de următoarele formule puţin diferite de cele precedente : (30 = + 0,1304 ex + 0,4085 e2 — 0,0792 e3 + 0,1972 eA, I 2p2 = — 0,502 e, + 0 175 e, — 0,397 e3 + 0,330 + % unde am înlocuit pe Ax prin valoarea sa scoasă din ecuaţiile (18.5), care repre-_;ntă aripile dreptunghiulare, trapezoidale sau quasi-eliptice, cele mai folosite în practică. Deaceea le vom folosi curent pentru problemele ce le vom trata şi vom face o menţiune specială dacă va fi vorba de alte forme. Astfel de exemplu, dacă vom avea de a face cu aripi dublu-trapezoidale sau de •contur oarecare, coeficientul Ax va fi dat de ecuaţiile generale (18.18). Cele două valori nu diferă decât prin termeni de al doilea ordin. înlocuind pe prin valoarea sa stabilită precedent (16.30), h cnb 1 19.5 !V=--~--. 0 2 S X vom putea scrie în cele din urmă o relaţie foarte importantă care ne va servi la trasarea variaţiei lui Cz în funcţie de unghiul de incidenţă : hx _ tc c0b 1 <19.6) T =TJ ~7l " (s2 - W1" ' W> + Po - B2-----—" 3h> + Po ^978 238 FORŢE ŞI MOMENTE AERODINAMICE Unghiul indus diferă în fiecare secţiune. Pentru aripa eliptică unghiul indus este constant. Prin analogie, vom defini un unghiu indus mijlociu al aripii, unghiul i, care trebue să fie scăzut din valoarea unghiului geometric a pentru a obţine un unghiu efectiv : (19.7) *e = a - *. Aeesta corespunde pentru o aripă de anvergură infinită aceluiaş Cz obţinut pentru o aripă de alungire X : (19.8) Cz = 2Jcx oc Vom avea prin urmare : Cz Gz 27c 2la.e lli (a - i). (19.10) % = a 2h tcX 9 1 G_z TcX tcx Această relaţie fundamentală se scrie în general sub forma a = «e + (1 + t) — ' TcX unde t va fi definit prin relaţia următoare : (19.11) (19.12) 1+t = sau (19.13) t 2 t _1_ ft) tc c0b 3ft, + P0 4 y Po - P2 - 3ft) + Po tc e0o Această expresie a lui t este foarte importantă, deoarece ea permite să se stabilească curba Cz a unei aripi de alungire X' în funcţie de cea a unei aripi de alungire X. Intr'adevăr, diferenţa dintre incidenţele geometrice a' — a ale celor două aripi, pentru aceeaşi portantă unitară Cz, se scrie : (19.14) a — a = Cz(l+t' X' X In cazul general, dacă observăm că p6 este suficient de mare, i se poate da lui t o expresie mai generală, care ţine seamă de coeficientul At scos din prima ecuaţie (18.18): (19.15) ft) Po - P2 " (P2 - P4)2 Pe (P4 - Pe) 3|* + Po Pa2 tc c0b 5ft> + Po *) 7ft> + Po 4 S *) Pentru aripile trapezoidale, se poate Înlocui c„ b prin expresia (18.18). 2-q 5ftj + Po , q fiind definit prin .A . f~, PORTANTA 239 Am calculat pe t pentru aripile dreptunghiulare şi trapezoidale (tabelele 18.1 şi 18.11 pag. 227, 228), aplicând formula (19.13). O altă formulă care se foloseşte adesea este următoarea : (19.16) 4X» 4 ftjK 1 tc Ax [l0 ft) rft) Po ft) + Po- P: (P2 - P4) P2- 3ft, + Po (P2 - 3ft> + Po Pentru aripa dreptunghiulară, formula devine 4Xa , , 1,08 0,035 (19.17) -—= 1,273 4- ^ ft, 1,273 ft) (3ft, + °>65) 1,0265 0,0535 ft) ft, + 0,22 şi pentru a o pune sub o formă indicată în anumite lucrări de specialitate, vom pune termenul al treilea (de altfel neglijabil), al celui de al doilea membru luând pentru \ig o valoare mijlocie 0,25, sub forma : (19.18) 0,0535 0,02675 0,0275 ^ + 0'22 ^fl+^2] + 0,22 fl+«] l 0,25 J l 0,22 j 0,014 fto + 0,057 şi vom obţine astfel formula 4Xa (19.19) Cz = 1,33 4 1,04 ft, Deasemenea, este necesar câteodată să se stabilească valoarea raportului -— pentru aripa dreptunghiulară, scoasă uşor din formula (19.4) (19.20) sau mea, (19.21) 0,8043 0,0422 ft, + 0,22 X A+ 1,025A+ ^ „ A tc Ic [ia + 0,22 tc 1,05 240 FORTE ŞI MOMENTE AERODINAMICE 19.2. Rezistenţa Dacă se notează cu w vitesa indusă, se poate scrie pentru rezistenţa indusă, pe care o vom nota cu Bi: b_ (19.22) Bi = p ^2 w Tdy = p&a73 ^ *"(__. nAn sin «8 ) (£ A„ sin »8)d6 = 2 2 ; A\ sau, pentru rezistenţa- indusă unitară : (19.23) Ş A\ = (1 + 8) AL -x coeficientul (1 + 8) fiind dat de expresia n ™ A 2 (19.24) i + S = £^. i Aj Se vede, sub această formă, că rezistenţa minimă pentru o portantă dată corespunde aripii eliptice. Relaţia precedentă (19.24) poate fi scrisă încă : (19.25) n w A 2 2 A\ Vom observa că, pentru aripile simetrice, coeficienţii de indice par sunt i 2 . nuli şi că, dela un număr n oarecare, coeficienţii An sunt neglijabili, astfel d seam h - Pâ că expresia lui 8 devine ţinând seama de (18.18) : P2(P4 ~ K (19.26) §=3 ______+ 80 + 5 3ft) + Bo—P6— 5(^0 + Po 5h) + P0. + P4 - Pe- PA + Po "f^o + Po 3^+Po-Pe P22 5^ + Po 5f*o + Po Pentru aripile dreptunghiulare şi trapezoidale, neglijând termenii de al doilea ordin, vom avea o expresie mai simplă : (19.27) S == 3 f-£±) +5 v 3^0 + Po P2 P2 - P4 P4 5[^o + Po 3[Ao + P0 5^ + Po t f REZISTENŢA 241 Aphcând această ultimă formulă, obţinem rezultatele indicate în tabelele 18.1 şi 18.11, pag. 227, 228. 19.2.1. Aripa trapezoidală optimă. Este interesant să stabilim care este trapezul de rezistenţă minimă. Pentru aceasta trebue să egalăm cu zero derivata ecuaţiei (19.27). Trebue să remarcăm mai întâi că valoarea minimă a lui 8, după această expresie, se găseşte în ju- rai raportului Ce pentru •77 care p.>«P4. Din expresiile lui" P2 şi p4 (18.9), se poate găsi uşor că în acest caz avem B, = B4 = —0,105 şi p0 = 1,07." Dacă punem pe 8 în funcţie de e: Fi" 19 i (19.28) E = p, -p4, vom avea, presupunând că se ia în consideraţie mimai variaţia lui e, "12 (19.29) de unde (19.30) (3h> + Po) sp2 d8 ds 6s + (3(*o + Po) (5h> + Po lOp,_ (3^ + Po)2 (3^ + Po) (5^ + p0) P4 5 h, + Po -eP2_ (3(x0 + P0) (5^ + Po) + Po = 0 si în consecinţă (19.31) 10 3fa + Po 6 (5^ + Po)2 P2P4 « 0,0183 3fa + 1,07 (5fXo + l,07)2 unde, pentru o 'valoare corespunzătoare unei alungiri mijlocii X = 2k Jc 1 "\ = — • — = 0,25 ), înlocuind pe în expresia precedentă, se găseşte în cele din urmă : (19.32) = P-2 — s4 = 0,00623. Ce Este uşor de calculat, din relaţiile (18.9), raportul — care să satis-facă la această condiţie. Se găseşte astfel valoarea optimă a acestui raport : (19.33) — 0,35. 16 Aerodinamica FORŢE ŞI MOMENTE AERODINAMICE 19.2.2. Rezistenţa totală. Pentru a obţine rezistenţa totală, trebue să adăugăm la rezistenţa' indusă şi rezistenţa de formă sau rezistenţa de profil, datorită frecării şi perturbaţiilor de pe extrados (19.34) R0=-f SV$Cxo astfel încât, vom putea scrie pentru expresia rezistenţei totale (19.35) R = R0 + Rt = ^SV*Cx, 2 în care coeficientul unitar de rezistenţă se va pune sub forma : Ci (19.36) Gy = O,,, + (1 + 8) tc X Astfel, de exemplu, dacă vrem să stabilim rezistenţa Cx a unei aripi de alungire" X' în funcţie deaceea a unei aripi asemănătoare de alungire X, este uşor de văzut că putem scrie : (19.37) Cx Cx = CI (1 + 8' X' Această formulă ne permite să trecem dela o aripă de alungire X la o aripă de alungire X'. Formulele (19.14) şi (19.37) sunt formulele fundamentale ale aripilor monoplane de anvergură finită şi diferă foarte puţin de formulele practice (16.47) şi (16.49) pe care le-am stabilit mai înainte. 19.3. Momente aerodinamice Dacă aripa este raportată la un sistem drept Oxyz (fig. 19.1) având axa Ox paralelă cu axa logitudinală a avionului, Oz normală pe această axă (axă verticală) şi Oy paralelă cu anvergura, momentele aerodinamice L, M şi N în raport cu aceste axe vor fi stabilite după cum urmează : 19.3.1. Momentul în jurul axei Ox : L. Acest moment, care se numeşte moment de ruliu, este dat de integrala : b_ re (19.38) L = pV0[2 yTdy=--^-V$bs ^ (2A„ sin%6) sinecos6d9 = 2 4 '•^ f. MOMENTE AERODINAMICE 243 Notând cu cm coarda mijlocie, momentul unitar are o expresie foarte simplă : (19.39) Ki Cm Ti =--r-^2 A, p£F02c0 Vom aplica aceste formule mai departe ; trebue să remarcăm numai că pentru aripile simetrice acest moment este nul (A2 = 0). 19.3.2. Momentul în jurul axei Oy: M. Axa în raport cu care se exprimă momentul 31, numit moment de tangaj sau picaj, este paralelă cu anvergura. Să luăm ca punct de reper focarul profilului din secţiunea mediană. Momentul de portantă nulă M0 sau coeficientul unitar Kmo este dat de integrala următoare, unde s'a notat cu Cmo momentul unitar al profilului din fiecare secţiune : (19.40) Kmo = M° = -H* Cmo 4=C, [ C ^ dy 2 s mo c Y» dy c0 ) b Dacă profilele sunt geometric asemenea (Gmz= ct) şi dacă punem c y c0 b vom avea (19.41) (19.42) Kmo — Ct mo Cpb S { T2 dvj. In ceeace priveşte focarul Fa al aripii, el este în planul său de simetrie la o distanţă fa de focarul secţiunii mediane, dată de expresia : | tc (19.43) faP = V f dP=PF0 C / Tdy=PV~b2 \ pi„ sin n6) sin 9 dO, J b J b " în care / reprezintă distanţa focarului F al fiecărei secţiuni (F se află aproximativ la o distanţă egală cu 0,25 din coardă începând dela bordul de atac) la o dreaptă.paralelă cu Oy şi trecând prin focarul secţiunii mediane^. Se vede că focarul Fa este centrul de greutate al liniei focarelor având r drept densitate în fiecare punct. Expresia. (19.43) se mai poate pune sub forma următoare : (19.44) 2X ~Cz /(SA„sin«6) sin 6 d6 o 244 FORŢE Şt MOMENTE AElîOl"(INAMICE şi dacă presupunem că linia focarelor este o dreaptă care face unghiul v cu axa F0y (aripa trapezoidală sau aripa dreptunghiulară în săgeată, etc.) se poate pune (19.45) • / = y tgv = - — tg v cos 6 şi integrala precedentă devine : (19.46) 2A&tgv (A Cz { 3 2b tg v 3- 21 45 5 3[x0 + S0 Astfel, prin urmare, momentul unitar de tangaj Km {p0) în raport cu axa de referinţă (trecând prin focarul secţiunii mediane) este dată de expresia : (19.47) Km (f0) = Km+^ Cz = K cQ { 3 ^ 5 ~ 21 45 3 c0 r. 3 s2-e4 5 3;i0 + Sw_ în care cm este coarda medie. 19.3.3. Moment în jurul axei Oz : AT. într'un mod analog se calculează momentul în jurul axei Oz; acest moment se numeşte moment de gi-raţie şi este dat de formula următoare : (19.48) N = p\ wTydy=-?- V2b* \ (Sn^nsin«6) (SA„ sinw6)cos6 de. = ~tvlb3 lh{2p + 1)ApAp+i-p=i In general, expresia momentului de giraţie se pune sub forma următoare n—l (19.49) ~ ^y (3p+ i) ApAp+i = 3Ai + 5Aa + 4i(7^s + 9As) + A., p=i (1la6 + 13A7) + . Pentru aripile simetrice momentul A7 este nul, ca şi L de altfel; nu este tot astfel pentru aripile deformate de aripioare pentru care formulele precedente găsesc o aplicaţie directă. In general, pentru orice perturbaţia sau fenomen care face ca mişcarea să fie asimetrică, momentele L şi AT sunt diferite de zero şi vor fi date de formulele (19.48) şi (19.49). t if VERIFICĂRI ASUPRA ARIPILOR UE ANVERGURĂ FINITĂ 245 20. VERIFICĂRI EXPERIMENTALE ASUPRA ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ Formulele teoretice pe care le-am stabilit în paragrafele precedente sunt în foarte bun acord cu experienţa, după cum vom vedea mai jos, comparând rezultatele experimentale cu rezultatele teoretice. Astfel, de exemplu, referindu-ne la cercetările experimentale pe care le-am executat la Institutul Aerotehnic dela Saint-Cyr [i] vom compara diferitele formule teoretice referitoare la distribuţia portantei dealungul anvergurii, variaţia presiunii în funcţie de alungire, portantă, rezistenţă indusă, momente, etc, cu rezultatele corespunzătoare experimentale. 20.1. Distribuţia portantei Aripa eliptică, după cum am văzut mai sus, prezintă un interes deosebit, atât practic cât şi teoretic ; deaceea, am considerat ca foarte important să verificăm dacă distribuţia circulaţiei este eliptică, după cum o arată riguros teoria. Pentru a evita influenţa micşorării portantei experimentale faţă de cea teoretică a unei aripi de alungire infinită, care a fost pusă în evidenţă de altfel în paragraful 9, se consideră portanta totală experimentală şi se compară distribuţia teoretică a acestei portante cu cea reală. Avem în fiecare secţiune, notând cu Te circulaţia experimentală : (20.1) dP dy ?V0Te, dP unde ----- se poate determina prin integrarea grafică a presiunilor. Pentru dy a obţine coeficienţi fără dimensiuni, vom pune (20.2) dP dy ' relaţie care exprimă variaţia experimentală a portantei unitare. Se poate constata pe fig. 20.1 că există un acord foarte bun între curbele teoretice şi cele experimentale. 246 VERIFICĂRI ASUPRA ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ Fig. 20,2 a. 2,"5 5° 7.'5 10° 12°5 15° 17°5 22?5 25° Punctul'J Fig. 20.2 b. : ist ss . a» VARIAŢIA PRESIUNII IN FUNCŢIE DE ALUNGIRE 247 20.2. Variaţia presiunii în funcţie de alungire Să considerăm o secţiune oarecare a unei aripi dreptunghiulare de a lungire X, fie de exemplu secţiunea mediană, şi să trasăm variaţia presiunii într'un punct al conturului în funcţie de unghiul de incidenţă. Această variaţie depinde de alungire. Intr'adevăr, luând acelaş profil arătat în fig. 9.1 şi presiunile în punctele 2 şi 3 pe extrados, se vede (fig. 20.2 a,b), că variaţia coeficientului unitar de presiune : (20.3) P - Pa -fpVo = 1 - V2 în funcţie de unghiul de incidenţă a, este diferită pentru fiecare alungire' Dacă se trasează aceleaşi presiuni (adică coeficientul unitar Cp) în funcţie de unghiul de incidenţă efectiv ae = a — i, în care incidenţa indusă diferă dela o alungire la alta, punctele se regrupează aproximativ în jurul unei aceleaşi curbe, ceeace este conform cu teoria. 20.3. Portanta globală In fig. 20.3 sunt reprezentate diagramele Gz = / (oc) pentru aripile dreptunghiulare de diferite alungiri, dela X = 2 până la X = co . Aplicând Fig. 20.3. 248 OBSERVAŢIE FINALĂ VERIFICĂRI ASUPRA ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ 249 y o 9- □ + „ < -o i 4 °» - WJ- * < d • < O o -# < l< << K 0 a l^j-- < >-_ .3 o • >- - a-«>- □ — •a 3 o <3 □>-»+• 11 ) li I! n II (I II <<'<'<<<<<<<< o» •tul C8 0 01 tb _I Xn N \ N \ S X N» \ \ X \ X N. X S< \° v X s \ No \ ^ X N s •> s x O • \ \ X v \ X VX s\ > o îi 250 OBSERVAŢIE FINALĂ VERIFICĂRI ASUPRA ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ 251 S .9 0} 0 < □ + ® >- © ii ii it ii ii ii ii ii << << k < k K i< i \ 0 \ 1 ~~~O | ( 3 \ 5 s 8 i 8 î + • 0 c c j 5' 3 i£- • 0 < □ -g tst n * (<. < < K c + 9 >■• ~nt- 0 e ♦ 0 1 ... Jp V. m formula (19.14), punctele experimentale corespunzătoare acestor diverse alungiri se reduc la valorile respective ale alungirii X == 5 (fig. 20.4 b). Se constată un acord foarte bun între teorie şi experienţă, de unde rezultă că formulele teoretice pot fi aplicate riguros la toate problemele practice ale tehnicei aeronautice. O altă verificare interesantă este formula (19.21) (20.4) — =—+1,05- Tc\ rc Jc Panta experimentală Jce dedusă din măsurile globale Cz = f (a) pe o aripă de anvergură infinită (fig. 19.1) este egală cu 3,01, aproximativ 0,86 din cea teoretică. Luând deci Jce = 3,01 iar pentru Jcx panta care rezultă din curbele experimentale, valorile — găsite, puse în funcţie de —, cad ri- h lCe guros pe curba teoretică (fig. 20.5). 20.4. Rezistenţa indusă Curbele Cz = f(Cx), care se numesc polare, sunt reprezentate în fig. 20.6. Cu ajutorul formulei (19.37), punctele experimentale se reduc în jurul unei curbe corespunzătoare alungirii X = 5 (fig. 20.7). Şi aici acordul este foarte satisfăcător, iar formulele teoretice stabilite sunt perfect valabile pentru aplicaţiile practice. 20.5. Momentul M După formula (19.40), momentul unitar Kmo al aripii este egal cu momentul Cmo al profilului pentru toate alungirile. Pentru aripile dreptunghiulare drepte focarul Fa al aripii se suprapune pe cel al secţiunii mediane F0, astfel că momentul unitar Cmo are aceeaşi expresie, Cm=Om0+0,25 Cz, pentru toate alungirile. Aceasta este de altfel confirmat de experienţă (fig. 20.8). 20.6. Observaţie finală Concordanţa teoriei aripilor de anvergură finită cu experienţa este foarte bună pentru incidenţele obişnuite. Totuşi, substituirea unei linii portante în locul unei suprafeţe portante este o aproximaţie destul de îndrăzneaţă. Experienţele arată totuşi că pentru alungirile X 2 influenţa profunzimii este neglijabilă, această ipoteză este deci apropiată de fenomenul real. Pentru X < 2 ipoteza n'ar fi valabilă şi aproximaţia făcută ar putea fi prohibitivă, după cum vom vedea mai jos la tratarea problemei alungi-rilor mici. 252 CAMP DE VITESE INDUSE îl. CÂMP DE VITESE INDUSE ŞI 1)1 FLECŢIUNEA CURENTULUI IN AVAL Pentru diversele aplicaţii, ca de exemplu pentru biplanul de anvergură finită sau pentru studiul scurgerii în dreptul ampenajelor, este necesar să cunoaştem câmpul de vitese induse produs de sistemul de vârtejuri legate şi libere. Pentru aceasta vom stabili câteva formule privitoare la această problemă, tratând diversele cazuri care se prezintă în practică. Trebue să remarcăm, dela început, că sistemul de vârtejuri legate şi libere este foarte complex şi că simplificările pe care le-am adus, considerând un filet turbionar portant (ipoteza liniei portante) şi o pânză plană de vârtejuri în spatele aripii, nu reprezintă decât o primă aproximaţie a problemei, care duce la o soluţie tot aproximativă, însă suficientă pentru aplicaţiile practice. Această aproximaţie va fi utilizată curent pentru a stabili câmpul de vitese în jurul aripii. Se mai poate aduce încă o aproximaţie, considerând două nuclee marginale de vârtejuri, care înlocuesc pânza de vârtejuri. Această ultimă aproximaţie este bazată pe un fenomen real pe care îl vom studia mai jos. 21.1. Transformarea pânzei de vârtejuri libere în două nuclee turbionare marginale. Vârtejurile libere care formează teoretic o pânză plană nu rămân în echilibru stabil; pânza se destramă, se înfăşoară în jurul ei însăşi şi la o distanţă mică în spatele -Vo aripii se transformă în două nuclee turbionare (fig.21.1). La o distanţă mare în aval, mişcarea într'un plan normal la axele vârtejurilor este aceea studiată anterior (§3.6); în consecinţă, câmpul de vitese este uşor de.stabilit atâta timp cât distanţa este suficient de mare pentru a neglija in-Fis- 21-1- fluenţa vârtejurilor legate. In planul aripii fenomenul poate fi reprezentat schematic ca în fig. 21.2, unde distanţa între axele nucleelor va fi dată printr'un raţionament simplu. Intr'adevăr, intensitatea turbionară a unui nucleu este egală cu circulaţia secţiunii mediane, T0. Se poate deci asimila aripa cu un filet turbionar de intensitate constantă şi egală cu ro dealungul anvergurii reduse b', de unde rezultă pentru portantă (21.1) p=Pvnr0b' =PvÂTay } D 1 *: Kt ■ r NUCLEE TURBIONAR E 253 Mai departe, înlocuind pe ro prin valoarea sa scoasă din expresia (17.2), unde 6 = ~~ , (2i-2) r0 = '>rob (A{ - A 3+As-A7+...), obţinem următorul raport între anvergura redusă V şi anvergura reală b : b 4 A, - A3 + A5-Aj+.. (21.3) v. = Aşa dar, pentru a determina câmpul de vitese în jurul unei aripi, putem asimila sistemul de 4 vârtejuri libere legate cu un filet turbionar în formă de potcoavă de anvergură egală cu b' şi intensitate T0, egală cu circulaţia din secţiunea mediană (fig. 21.3). Pentru problemele speciale totuşi, pe care le vom menţiona când va fi cazul, potcoava va avea b ca anvergură şi Vm ca intensitate turbionară;' această B'A„ (21.6 bis) = 0,157. de unde rezultă A, în funcţie de ro, pe care îl înlocuim în expresia (21.4) pentru a obţine în cele din urmă : (21.6) lnfx A _ i] + — = 4x* (1 + â). V »o / 4 Să aplicăm această formulă la aripa eliptică, unde x = — şi S = 0 ; 4 vom avea, notând cu d = 2r0 diametrul nucleului : d _ 7t 1 b ~ 2 10 Observând că coeficientul x corespunzător altor forme de aripi variază foarte puţin în jurul lui ----- si că 8 este neglijabil, formula (21.6) poate 4 fi considerată ca valabilă pentru orice aripă simetrică de anvergură finită. 21.2. Vitese induse în cazul unei circulaţii uniform repartizate pe anvergură Dacă circulaţia este uniformă dealungul anvergurii, am văzut că sistemul se reduce la o potcoavă, formată de aripă şi de două vârtejuri marginale de aceeaşi intensitate turbionară. In general vom nota cu T circulaţia şi cu b anvergura; vom face menţiune specială când va fi vorba de circulaţia mediană r0 şi de anvergura redusă b'. Să considerăm acum un punct P de coordonate x, y, st; vom scrie relaţiile următoare (fig. 21.4) : tgYi xl 4- z2 tg Ta = / r2 ar + zi (21.7) . tg Ys = tg ct, = b V I 2 — —y\ + z2 z x x tg<*2 = tg Y4 = • b \ 2 — +y\ +z2 2 tgcr3 i 4 mm CIRCULAŢIA UNIFORM REPARTIZATĂ PE ANVERGURĂ 255 Să aplicăm acum formula lui BIOT-SAVART fiecărui vârtej rectiliniu BA, AA', BB': vom avea : (21.8) 4tc f x* + z' îndreptată după normala la planul PA B, _ _r (21.9) (cos y, + cos y2) V2 = 4n |/ |A_^2 + ,2 (1 + cos y3) îndreptată după normala la planul PA A' şi r,=-E- (21.10) 4tc — + y)2 + * (1 4- cos y4) îndreptată după normala la planul PBB'. Să notăm cu u, v, w componentele vitesei totale (V=Vl + V2+Vz) după axele Ox, Oy, Oz; vom avea (fig. 21.4) respectiv (21.11) u=Yx sincr,, v = — V2 sin a2 + F3 sin er3, w = — Vx cose,— — V2 cos o2 — Vs cos ct3. Se pot înlocui funcţiile trigonometrice prin relaţiile precedente (21.7) şi obţinem astfel pentru componentele vitesei totale (u, v, w) expresii în funcţie de x, y, z. Dacă punctul P se află pe planul Oxy, avem u = v = 0 şi vitesa totală se reduce la o singură componentă w : (21.12) r 4rc r ( , ^2 / b / / V 2 1 1± ' i+ J2 1± 1-f- 256 CÂMP UE VITESE INDUSE DISTRIBUŢIE ELIPTICĂ A CIRCULAŢIEI 257 unde semnul plus corespunde unui x pozitiv iar semnul minus unui x negativ. Dacă punctul P se găseşte chiar pe axa Ox (y = 0), formula precedentă devine : (21.13) w Tzb 1 ± 1 ± r i Aceste formule ne vor servi pentru determinarea deflecţiunii curentului în spatele aripii. Foarte departe în aval influenţa vârtejului legat este neglijabilă şi mişcarea plană care rezultă este aceea datorită a două vârtejuri indefinite. In acest caz, notând cu x = y + iz variabila complexă, se poate scrie expresia bine cunoscută a vitesei complexe : (21.14) ăx I IC x — ir 2tt ir b y-- y + — I + iz 'iz ' + 7 iz ±1 +* y (» + 4-T + -j de unde se deduce uşor v şi w : r V = 2?r -j + y\ (21.15) w = — 2tc — y •2 y\ +z2 ( b y Aceste formule vor fi folosite la studiul biplanului. Trebue să observăm că vitesa indusă în planul Oyz (fig. 21.4) este jumătate din valoarea precedentă. 21.3. Vitese induse în cazul unei distribuţii eliptice a circulaţiei. Este foarte greu să se stabilească o formulă generală pentru vitesa indusă într'un punct oarecare; această problemă este însă foarte simplă m dacă punctul se găseşte departe în spatele aripii. In acest caz influenţa vârtejului legat este neglijabilă şi mişcarea devine plană. Potenţialul mişcării este identic cu acela al unei plăci subţiri normală pe curentul 2w0, însă trebue să scădem potenţialul datorit acestei vitese însăşi: (21.16) f{x) =- i2w0 ! x2 -f- i2w0x = — i2w0 fx2- A- x de unde rezultă (21.17) d/ ăx = v — iw = — i2wn x" 4 r (y + iz)2 Să punem (fig. 21.5) (21.18) x=y + ix = reiM , vom putea scrie, astfel * - — = rxemi , x + -Ţ- = r2 eA ; (21.19) v — iw = — i2wn re - 1 'r,r, . e 2 imc, cos 6 — 1 2 +2w„-j7 r sin 'V2 Pe AB avem 6 2 2 - 1 + ± — si în cosecintă w= — 2wn, 2 2 ' ceeace este în concordanţă cu punctul de plecare. Pentru a pune expresia vitesei în funcţie de circulaţia centrală, se a-plică relaţia (16.26) (21.20) 17 Aerodinamica 2b 258 DEFLECŢ1UNEA CURENTULUI IN AVAL In afară de AB, însă tot pe Oy, vom avea v = 0 şi (21.21) IV = JWn r n Fig. 21.5. fi J\9±^ 21 A. Deflecţiunea curentului în dreptul am-A 1 penajelor Este de mare importanţă pentru Mecanica Avionului să cunoaştem acţiunea curentului asupra ampenajelor. Acestea se găsesc într'un câmp de vitese datorit vârtejurilor legate şi libere ale aripii aşezate în faţă. Problema, constă deci în a stabili influenţa acestor vitese induse, în afară bine înţeles de curentul general V0. Fie u, v, w, aceste vitese induse pe care le presupunem foarte miei faţă de F0; mărirea pe care ele o aduc curentului general este neglijabilă chiar pentru u care este paralelă cu F0. Vitesa laterală v nu dă decât o deviaţie laterală, care n'are nici o influenţă asupra am/penajului orizontal; deasemenea. nu are nici o influenţă asupra ampenajului vertical dacă el este aşezat în centru, deoarece v = 0 în acest punct, şi dă o mică incidenţă laterală, dacă el este aşezat lateral, la o oarecare distanţă. Cât despre vitesa indusă verticală w, care nu joacă niciun rol pentru ampenajele verticale, ea are o influenţă directă şi foarte importantă asupra ampenajelor orizontale. Intr'adevăr, vitesa w abate în jos curentul V0 cu un unghiu § care se numeşte unghiu de deflecţiune, (21.22) w Pentru a calcula acest unghiu, vom trata problema în două ipoteze : a) Prima constă în a presupune că vârtejurile libere formează o pânză turbionară în spatele aripii, astfel cum am considerat până acum în problemele precedente. b) A doua se bazează pe faptul că pânza de vârtejuri, din cauza instabilităţii, se desface în două şi fiecare parte se înfăşoară în jurul ei însăşi formând' astfel două nuclee de vârtejuri marginale, pe care le-am studiat îa început (21.1). 21.4.1. Deflecţiunea eurentului în ipoteza unei pânze plane de vârtejuri. Astfel, după cum am mai arătat, se formează în spatele aripii o pânză de vârtejuri care se desprinde dela bordul de fugă şi se îndreaptă paralel cu curentul înspre infinit aval. Presupunem că ampenajul se găseşte într'un punct E; să calculăm componenta w a vitesei induse în acest punct. In general problema este foarte complicată, pe de o parte fiindcă distribuţia circulaţiei dealungul anvergurii este oarecare şi pe de altă parte, din cauză că distanţa ampenajului în spatele aripii nu poate fi considerată suficient de mare pentru a admite o scurgere plană în jurul pânzei de vârtejuri DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN DREPTUL AMPENAJELOR 259 In cazul însă când ampenajul se găseşte chiar pe axa pânzei, calculele duc la rezultate explicite. Intr'adevăr, să considerăm o făşie dr la distanţa y de centru şi fie D distanţa la punctul B în spatele aripii (fig. 21.6); vitesa indusă normală pe planul pânzei este dată de formula cunoscută : (21.23) 1 f-4l tt'i = ~ \ ~ cos y dr. y Vârtejul legat ne dă o vitesă indusă de aceeaşi direcţie cu cea precedentă şi egală cu (21.24) 1 f/rcosY, 1 (a t a — y —-l &y = -y i cos v dY, 4tc )B r* ircB-X unde y este unghiul făcut de dreapta care uneşte punctul E cu punctul y de pe anvergură şi de BO. Aripa este materializată prin linia portantă reprezentând vârtejul T. Prin ipoteză, se va lua ca linie portantă locul geometric al centrelor de presiune. Această linie variază după forma aripii şi după unghiul de incidenţă; pentru a simplifica problema, este necesar să se stabilească o linie mijlocie rectilinie, paralelă cu anvergura (normală la planul de simetrie) şi trecând prin centrul de greutate al liniei portante a aripii reale, la aproximativ o treime dela bordul de atac al secţiunii mediane. Astfel, prin urmare, distanţa D nu are sens decât dela bordul de ieşire al secţiunii mediane *) Fig. 21.6. D0 pentru o aripă normală de alungire X unde valoarea 6 va fi aproximativ : sa (21.25) — — = — b 3 X ~~ 9 6) Vom calcula mai jos pe o altă cale vitesa inclusă in apropiere de aripă. I 'l ii i 260 DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN AVAL Cu această remarcă să revenim la vitesa indusă şi să observăm că ea imprimă curentului în aval o deflecţiune 8 : (21.26) 8 « F F F Pentru calculul viteselor wx şi w2, înlocuind T prin expresia sa (17.2), vom avea respeetivS : wx n — 1 = Ax - 3A3 + oAs - . . . + ( — 1) 2 nA„ (21.27) { f^cosydr = » (_ i)V nAn + 1d 11 , 1 f^cosy^ " 4tcF0 )b y T 1 2 >lJ.n COS M0 dO 'o cos 6 &2 4D3 cos2 6 7„ 1 CA . 1T, 1 b2 cos8S«AnCosmO -\ sin y dr =--V -. d9 47rDF0 3b tu 4D2 i+^cos2 e. Unghiul total de deflecţiune, punând 2D (21.28) va avea expresia n — 1 2 (21.29 8 = 2(—1) nA 1 '0 l 1 + cos 2 tt\ 2 cos n8 cos d6. Remarcând mai departe că numărul n este impar (n = 2p -f 1 pentru aripile simetrice), vom avea f cos ^6 cos (2p+l)6 . fi -=-^-i—1—— = 2 [cos 2»6 — cos (2«—2)8 -f (21.30) { cos8 cos 8 + cos(2p — 4)0 — .. .], de unde rezultă (21.31) S nAn = (Ax - 3A3 + 5A5 - 7At + . . .) + cos 8 + 2(3JL3 — 5JL5 + 7A7 - . . .) cos 20 + 2(5A5 - 7A7 + +9A9 -. ..) cos 40 + 2{7A7 — 9A9 + . ..) cos 60 + • • ■ t îi' : "î îlPl" ■ i - îi DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN DREPTUL AMPENAJELOR 261 Desfăşurând pe de altă parte în serie FOURIER expresia de sub semnul radical (21.29), (21.32) cos2 Q\2 1 \2 1 COS 26 V2 = i1 + 2^j [1+rT2^ 1 \~2 m = f1 + 22) ŞC2mCOs2w6' vom avea în definitiv (21.33) S = AI{(i_34-3 + 54-5-7T+ •••! + H Ax Ax Ax 1 + 2e2 1 -3—3 + A, + 5^-7^+..>o + f34î-54S+^ A, A_ 1 G2 + sau mea (21.34) 8 = A, Ai 1 _ 3 + 5 A5 A, C„ (C0-C2) + 5-^(C0-G2 + C4) 7ăl (Co _ 02 + C4 - C6) + . A, A A Să observăm mai departe că 5 —5, 7 —1, etc, sunt mici şi că ter- Ax Ax menii C4, C6, C8, etc, devin de asemenea din ce în ce mai mici aşa că se poate înlocui a doua paranteză prin 1 _ 3^ + 5 f5 - ^ Wo - + C2 J.j ^Ij şi se poate obţine (21.35) 8 = TtX 1 _ 3 4? + 5^5 _ 7; ^-5 _ rjAj Ax Ax X X + '1 + ^)2^ 262 DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN AVAL Este uşor de văzut că coeficienţii C0 şi G2 sunt daţi de expresiile următoare : 1-1- (21.36) . 1_ _eŞ_ 2_ _ 1_ 4 ' 22 ' 1 2 J_ 1 • 3 ■ 5 ■ 7 • 9 e6 2 4 • 6 • 8 • 10 • 12 ' 26 1-3-5 4 3 4-6-8 2* 1-2 6-5-4-3 . 1-2-3-4 1 11-3 — e -\--- 2 2 4-6 4 • 3 + 23 1-2 1-3-5-7 e5 6-5-4-3 4-6-810 25 1-2-3-4 unde (21.37) 6 = 1 + 2s2 Valoarea maximă a lui e, după (21.25), este b2 1 i e I /)' 1 + 2z2 4D2 = 0,91 b şi cum pe de altă parte valorile practice ale lui -sunt foarte apropiate 21) de unitate şi în consecinţă e «—, se poate pune pentru C0 şi C2, respectiv : 3 (21.38) C0-l--, <7t_- înlocuind mai departe coeficienţii Ax, . .., An prin valorile lor stabilite anterior, se obţine în cele din urmă relaţia următoare: (21.39) 8 = — 7îX ]/ 2 £ 2 1 4- 2z2 16 (1 + 2s2)2 1 \ a 4- 2 l'' 2 £ j'l + 2£2 J ' DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN DREPTUL AM PENAJELOR. 263 unde a este egal cu expresia de mai jos : AK (21.40) =1 + a = l- 3^ + 5-s Ax A ft 3 + P2 - P4 3f*o + Po 5ftj + Po P4 5p-0 + Po 5 + 7 5 + 7 P2 Po 7ft> + Po P4 7h> + Po 7h> + Po Pentru cazul când variaţia circulaţiei este eliptică, această expresie se reduce la (21.41) 1 + /l 1. 2s2 V 16 (1 + 2e2)2 Cz ( ]f 1 -^l1+P + 27 Tabela 2II. tcX Coeficient ele deflecţiune : ■— Cz -s £ q = 1 q — 0,75 q = 0,50 q = 0,25 q =0 elipsă 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 00 a 6,2062 4,3192 3,7949 3,5763 3,4682 3,4028 3,3632 3,3344 3,3153 3,0077 3,2366 1,6183 5,3303 3,6288 3,1439 2,9373 2,8331 2,7698 2,7308 2,7028 2,6840 2,6697 2,6066 1,3033 4,6119 3,0627 3.6101 2.4133 2,3122 2,2504 2,2122 2,1849 2,1664 2,1523 2,0700 1,0450 4,1331 2,6853 2,2542 2,0639 1.9650 1,9043 1,8664 1,8397 1.8213 1,8074 1,7456 0,8728 3,8016 2.4241 2,0079 1,8221 1,7246 1,6647 1,6271 1,6007 1,5824 1,5687 1,5072 0,7536 4,4868 2,9641 2,5171 2,3220 2,2215 2,1600 2,1218 2,0947 2,0762 2,0622 2 1 Ca aplicaţie a formulelor precedente, s'au calculat valorile lui 8 pentru cazul aripilor dreptunghiulare, eliptice şi trapezoidale. Rezultatele obţinute s'au trecut în tabela 21.1 şi sunt indicate în diagramele din fig. 21.7. Trebue să remarcăm totuşi că, pentru a determina pe a (expresia 21.40), este necesar să aducem o aproximaţie luând pentru X o valoare mijlocie egală cu 2tt. Influenţa alungirii este destul de mică pentru valorile acesteia utilizate în practică, astfel încât eroarea este neglijabilă. 21.4.2. Deflecţiunea curentului în ipoteza vârtejurilor marginale. După cum am spus mai sus, pânza de vârtejuri nu rămâne plană şi identică cu ea 261 DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN AVAL DEFLECŢIUNEA CURENTULUI TN DREPTUL AMPENA.TELOR 265 însăşi până la infinit aval, ci se desface la mijloc şi fiecare jumătate se înfăşoară în jurul ei însăşi, formând două nuclee turbionare de intensitate ro egală cu circulaţia din secţiunea mediană (fig. 21.2). In acest caz, vitesa indusă în punctul E este datorită celor două vârtejuri marginale libere, situate fiecare la o distanţă şi vârtejului legat de aripă, de lungime b' şi de aceeaşi intensitate ro, ca şi cele dintâi. Este foarte uşor de stabilit expresia acestei vitese induse şi unghiul de deflecţiune este dat de (21.42) 8 = 1 + Cz TtX' e' + Vl+£'2 (21.43) 7t6' V e' ] TtX' 2s' Ţinând seamă de relaţiile (21.3) şi (21.28), se poate scrie 2D 2D e b'z v?b% Z X X' = x2 X , xb x ' 8 8 unde x are următoarea expresie în funcţie de coeficienţii de formă*) : A, (21.44) x = tc 4 1 3h) + Bo 1 + S2 5(J<» + so + B0j 5[x0 4- B0 P4 înlocuind mai departe în expresia (21.42) pe s' şi X' daţi de relaţiile (21.43), se obţine pentru unghiul de deflecţiune o expresie în funcţie de s, x şi X : (21.45) 8 = TtX 2x2 y 1 + i + Această formulă, comparată cu expresiile (21.39) şi (21.41), dă valori mai mici, astfel după cum se poate constata din tabela 21. II şi diagramele respective din fig. 21.8. *) Câteodată este necesar sa avem o expresie mai exactă pentru x 1 4 3[*o 4 Po l 5|x0 4 Po P4 5^4)4 P f1 + 7^4 Po) P4 7^o 4 Po ?M*4 Po Fig. 21.7. 266 D RFLECT IUN EA CURENTULUI IN AVAL Tabela 21.11 Coeficient de deflecliune : — cz - 8 q — 0,75 q = 0,50 q = 0,25 q =0 elipsă 0,2 3,950 3,646 3,450 3,390 3,275 3,455 0,4 2,924 2,513 2,330 2,200 2,108 2,335 0,6 2,655 2,246 2,010 • 1,860 1,761 2,011 0,8 2,540 2,120 1,870 1,712 1,607 1,871 1,0 2,484 2,050 1,793 1,625 1,525 1,796 1,2 2,414 2,006 1,749 1,581 1,473 1,750 1,4 2,416 1,980 1,718 1,552 1,440 1,720 1,6 2,398 1,960 1,695 1,528 1,420 1,700 1,8 2,385 1,943 1,674 1,513 1,403 1,685 2,0 2,372 1,932 1,666 1,500 1,390 1,670 co 2,316 1,876 1,612 1,446 1,332 1,618 V. 0,657 0,730 0,786 0,832 0,866 0,7854 Trebue să facem aceeaşi remarcă în ceeace priveşte determinarea lui v.; pentru X este necesar să luăm o alungire mijlocie egală cu 2n, aşa cum am făcut deja pentru a (21.40). Observaţie. In ceeace priveşte influenţa vârtejului legat, în locul unei lungimi b' şi unei intensităţi turbionare T0, ar fi la fel de exact să se ia anvergura totală b şi intensitatea mijlocie Ym. In acest caz, deflecţiunea curentului are o formă diferită, care este uşor de stabilit: (21.46) TîX JL 2x2 V \ 1 1 + S2 / Aplicarea acestei formule (a se vedea diagramele din fig. 21.8) ne dă rezultate mai mici pentru valorile mici ale lui e. 21.5. Influenţa înălţimii Expresiile precedente dau unghiul de deflecţiune în planul pânzei de vârtejuri, plan materializat aproximativ prin bordul de fugă al aripii şi direcţia vitesei. Locul ampenajelor nu este în general în acest plan, astfel încât este necesar să stabilim deflecţiunea curentului într'un punct Eh situat la o înălţime Ti deasupra lui E. Vom face aceeaşi ipoteză ca şi înainte, considerând sistemul turbionar format de vârtejul B'A' legat de aripa de lungime V şi două vârtejuri marginale libere A'Ă şi B'B de aceeaşi intensitate, ro. Vom avea astfel o problemă asemănătoare cu cea precedentă (fig. 21.4), în care punctul P, notat aci cu Eh, se găseşte în planul median. Notând deasemenea prin Dx şi —1 distanţele dela Eh la vârtejurile legate şi la cele libere (fig. 21.9), este 2 ■ -- - INFLUENŢA ÎNĂLŢIMII 267 uşor de văzut că componenta verticală a vitesei induse, datorită sistemului turbionar în formă de potcoavă, va fi dată de formulele (21.8) şi (21.11), unde Yi Şi T2 vor fi înlocuiţi prin ya, ) CEAPLÂGHIN S.A. : Rezultatele cercetărilor teoretice despre mişcarea aeroplanului, Culegere de opere, voi. II, 1933. ■G) FUCHS R. : Aerodynamik, Teorie der Lultkrăfte, II Band. Verlag. Julius Springer, Berlin 1930. j) GLAUERT II. : The elements o£ Aerofoil and Airscrew thcory, Cambridge, University press London 1930. 270 DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN AVAL 8) GOLVBEV V.V. : Teoria aripei aeroplanului de anvergură finită. Lucrările ŢAGHI Nr. 108, 1931. 9) GOLUBEV V.V : Lectiuni din teoria aripei, Editura de Stat a literaturii tehnice şi teoretice. Moscova, Leningrad, 1949. 10) JUCOVSCHI N.E.: Theorie tourbillonnaire de 1'helice propulsive traduit par A. Apostol. revue par Wettchinkine et W. Margoulis, Gauthier-Villars, Paris 1929. 11) LOTZ IRMGARD : Berechnung der Auftriebverteilung beliebiggeformter Fliigcl, Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 14 April 1941, J. Heft. 12) MALAVARD L. : Applications des analogies electriques â la solution de quelques problemes de l'Hydrodynamique, Paris 1936. 13) MUNK M. : Elements of the Whig section theory and of the wing theory, NACA, Report 191, Washington. 14) ROY M. : Sur l'Aerodynamique des ailes sustentatrices et des Ilelices, Gauthier-Villars, Pari?, 1928. 15) TREFFTZ E. : Prandtlsche Tragflăchen und Propellertheorie Z.A.M.M. 1921. C A PITO L U L V TEORIA ARIPILOR DEFORMATE TEORIA MIŞCĂRILOR UNIFORME NERECTILIN1I In acest capitol vom trata aripile cu incidenţă variabilă, aripile deformate din cauza aripioarelor şi în fine cele prevăzute eu scobituri sau cu gondolele motorului. Aripile studiate până în prezent au fost considerate ca având conturul bine definit şi incidenţă constantă dealungul anvergurii, ceeace nu este totdeauna exact. Intr'adevăr, în timpul sborului, aripile au deformaţii care schimbă complet caracteristicile lor aerodinamice şi tocmai determin a-rea acestor caracteristici formează obiectul acestui capitol. 22. ARIPI CU INCIDENŢA VARIARILĂ In general, unghiul de incidenţă a variază dealungul anvergurii-fie din motive de construcţie, fie datorită torsiunii aripii sub acţiunea mo, mentelor aerodinamice, fie în fine din cauza aripioarelor, al căror braca într'un sens sau altul schimbă unghiul de incidenţă în porţiunea unde se află aceste aripioare. 22.1. Formule principale Pentru a stabili influenţa variaţiei unghiului de incidenţă, să revenim la ecuaţia (17.16) şi s'o aplicăm la cazul conturului general cu patru termeni (17.27)': (22.3) («|i0 + %)An + HAn-2 + A„+2) + [i4(Jn-A + An+i) + + P6(A„_6 + An+e) = y.0v.n. Coeficienţii a« provin din desfăşurarea în serie FOURIER (17.14), (22.2) « sin 6 = a.x sin 6 -f- a2 sin 26 4- a3 sin 36 + . . . + a„ sin «6, 272 ARIPI CU INCIDENŢĂ VARIABILĂ unde unghiul de incidenţă « variază după o lege determinată dealungul anvergurh. Reluând acelaş raţionament ca pentru aripa cu incidenţă constantă, vom admite că, începând dela un anumit indice (n + 2), coeficienţii An+2, An+i,.. . sunt suficient de mici pentru a putea neglija în parantezele expresiei (22.1) termenul de grad superior faţă de cel de grad inferior şi să se scrie astfel relaţia (22.3) [{n + i){±0 + p0] An+i + P2A„+,-_2 + M-n+<-4 + M-n+r-6 = ft,««+<- Punând i = 2,4,6, se obţine un sistem de trei ecuaţii care ne permite să determinăm pe An+2, An+i şi An+§ : (22.4) [(fl + 2) [Xg + ^]An+2 + + (M«-2 + $6An-4 =V-0 *«+2> [(n + 4) (x0 + %] An+i + p.2A„+2 + [34 An + h^-n-2 = fV«+4, \{n + 6) li0 + %]A„+6 + ?>2An+i + (34 An+2 + P6A„ = ft,a„+6, de unde se vede că prima ecuaţie dă pe An+2, a doua pe An+i şi a treia pe An+6. Dacă se introduc aceşti coeficienţi care conţin deasemenea pe ocn+2, ««-n, ««+6, în ecuaţia (22.1), se obţine următoarea formulă de recurenţă : (22.5) + p0 Pi PI ( (P2- 3ft, + Po «1 + f Pi P2 Pe^^ OftD + Po P2P6 3ft> + P0 5fio + P0 J 3^ + Po + P6 PI 5ft3 + P0j Pl Pe A1 = % (22.8) j 3fti + P0- P2 5fti + Po P4 5ft) + Po + [P2-P4 PI Pi P2(P4-Pe) Aa + P'i n 2 lJ4 3ft) + Po P2 + Po + % Hfto + Pc Ay = (Xq w3 -i,+P, 1 <>o + Po A3+ + P P2 Pe 'ft> + Po A, ft, şi două alte formule pentru termenii pari (P2 - Pe)2 2ft, + po - p4 - P2. 4ft> + Po 6ft) + Po 8tx„ + p0 A, = ft> (22.9) { w2 + P6 4fti + Po — Pi 4ft, + Po 2 P: P^ + 6ft, + Po 8^o + Po 10>0+Po P2 P* A, + P2 - Pe - 6ft + Po. A2 = ft>«4- Aceasta este soluţia generală a problemei. Pentru aplicaţii vom simplifica aceste expresii observând că P6 este foarte mic precum şi p4 şi că generalitatea se păstrează dacă vom stabili formulele numai pentru aripile dreptunghiulare, trapezoidale, quasieliptice, etc, care sunt cele mai 18 Aerodinamica 274 ARIPI CU INCIDENŢĂ VARIABILĂ utilizate în aviaţie. Aşa dar expresiile precedente devin (P2 ^ P4)2 (22.10) h) + S0 - P2 o„ , « 3ft) + Po 2f*0 + %- h~ •^î = ft) "i + P p! P^ 3h) + Po — + ( P2 *h> + Po + P2 Pi + Po ^o + Po Pt 3^o + Po A-%= tx0<02 > 5Md + Po 7^ + 3, P2P4 ^8 + P4 - Pi 5h) + Po 6h,+Po 8[Xo+B0'"4 P4 6jJ.0 + Po. ^4 + J.2 = unde (22.11) «Mo + Po + P2 O.H — P2 P3 (» + 2) ^ + Po P4 ___P4 P4 A„ + (n + 4) ix0 + B0 A„_2 + P4A„_4 = fV>>n , (» + 2) (x0 + Po OCn+4 (» + 2) (i, + Po (» + 4)-K, + Po Este uşor de văzut că termenii impari reprezintă o repartiţie simetrică -a circulaţiei, pe când temenii pari reprezintă o repartiţie a n t i-simetrică. Intr'adevăr, pentru 0 şi tc — 8 avem respectiv : (22.12) sin (2p + 1) 6 = sin [tc - (2p + 1)6], sin 2pd =—sin[2p(Tc—8)]. După forma acestor expresii, vedem că termenii impari şi termenii pari formează două sisteme diferite, care sunt independente unul de celălalt. Din această cauză, vom trata aceste probleme în mod separat :. variaţia simetrică şi variaţia anti - simetrică. Observaţie importantă. Formulele (22.5), (22.8), (22.9) şi (22.10) nu diferă de formulele stabilite anterior pentru incidenţa constantă decât prin membrul al doilea. VARIAŢIA SIMETRICĂ 275 22.2. Variaţie simetrică Să presupunem că secţiunea centrală rămâne neschimbată şi că secţiunile extremale sunt rotite' în sensul pozitiv al incidenţelor cu un unghiu s0. La coeficienţii Ai,. . ., An, stabiliţi pentru cazul unei incidenţe constante a, trebue să adăugăm coeficienţii A\,...,A"n datoriţi torsiunii simetrice de unghiu s0. Să presupunem că această incidenţă suplimentară variază după relaţiile 9i (22.13) *V tc { s = sn — = — sn cos 6 dela — la tc şi I ° 6 0 2 { 2y s0 cos 9 dela 0 la tc 2 luându-se valori negative pentru o torsiune care micşorează unghiurile de incidenţă. Desfăşurarea în serie FOUBIEE a lui s sin 6*), punând n = 2p + \, ne dă (22.14) tc s sin 0 = ex sin 8 + e3 sin 36 + . . . + en sin n% = ^ sin 38 + — sin 58 - -4 £ 5 re 21 sin 6 - — 3 re ^ sin 78 4-7t 45 tc 77 si în consecinţă sm , ,, 4 £0sin(2p 4-1)8 8—. .4- (- 1 p+1 — —-L-^J——- ^k tc (2p+3)(2p-l) (22.15) - tc j4_ tc 4_ tc 4 P2 3 3^ 4- Po 1 , ' P2 5 5[x0 4- B0 P2 9 + 21 7[x04-P0 1 — 1 — 1 -1 P4 P4 3^ + \%) 5 5[x0 4- Po 21J P4 P4 5[Xo4-Poi21 Ifr+Po^i 1 P4 1 7^o+Po/45 9[x04-P0 77 J P4 P* 45 9^ 4- Pol 9^o + Poi 77 ll^+Po 117 Aceste valori ale lui «■>„, introduse în (22.10), ne dau coeficienţii A'â în funcţie de s0. Pentru aripa dreptunghiulară de alungire X = 2k, (^=0,25), se găseşte (22.16) A" = - 0,105 A" = - 0,058s0, A" = 0,0032£0, At = - 0,0033£0 *) Litera e înlocueşte pe a din expresiile (17.14). 276 TEORIA ARIPIOARELOR şi coeficientul total devine prin urmare : (22.17) A, = A\ + A'i = 0,232a - 0,105s0, etc. Se pot multiplica exemplele, soluţiile fiind uşor de obţinut : este suficient pentru aceasta să se stabilească valorile lui + Po J _ sin (w + 5)0i { (n + 4)^0 + Po n + 5 '1 w + 3 Aceste expresii, introduse în ecuaţiile (22.10) care se referă la coeficienţii pari, ne dau soluţia generală a problemei aripioarelor de direcţie. ' Să aplicăm aceste rezultate la aripa dreptunghiulară de alungire \ = 2Tt şi cu yx = 0,5 — 0! =— | ; vom obţine : 3 A2 = 0,1215, (23.18) { 4i° =0,00388, a An = 0,002885, 0,00595, A, 0,01738, A, 0,00668, A 14 0,00236, A 16 0,00169 iar diagrama din fig. 23.5 reprezintă variaţia circulaţiei. Aceste rezultate verifică riguros formula exactă de bază (22.1), ceeace arată până la ce punct ele sunt corecte. Expresiile precedente pot fi încă simplificate neglijând pe B4 faţa de unitate. Fiindcă termenul Ax nu există, rezultă că aripioarele de direcţie zi, ■> 'x- l h r m t W * k; MOMENTE AERODINAMICE 283 nu au nici o influenţă asupra portantei. Dimpotrivă, rezistenţa creşte cu termenii pari găsiţi mai sus. Astfel, de exemplu, se adaugă la coeficientul 8 din expresiile (19.21) şi (19.25) care privesc aripa nedeformată, un nou coeficient 8' care reprezintă influenţa aripioarelor : (23.19) 8' = 2 A\ + 4 A\ + + 2p L2p Ai 2o 2 2p A 2p A\ Piff. 2H.5. Observaţie. Ca şi pentru cazul precedent trebue să remarcăm că bra-•cajul modifică rezistenţa de formă. Este foarte greu să determinăm această modificare, deoarece variaţia rezistenţei este diferită, după cum bracajul este pozitiv sau negativ. 23.3. Momente aerodinamice Efectul cel mai important al aripioarelor de direcţie este acel care priveşte momentele aerodinamice. . Momentul în jurul axei Ox, adică momentul de ruliu, pe care l-am notat cu L şi care va fi calculat după relaţia (19.38), este proporţional numai cu coeficientul A2; se defineşte deobicei un alt coeficient \, a cărui f expresie se deduce uşor din relaţiile următoare : <23.20.) L = Vl bs la 2 4 284 TEORIA ARIPIOARELOR MOMENTE AERODINAMIOE 285 de unde rezultă, ţinând seama de ecuaţiile (22.10) şi neglijând pe p4 faţă de unitate : (23.21) '"4 a 2 siiiO, "l +4(JLo+Po) (32 ^sin 38x f f (32 ft4 1 sin 59i^ ft4 _ sin TOţ 2m>+Po-p- fi 4^o + Po 6[i0 Această formulă este foarte importantă pentru aplicaţii în tehnica aeronautică. Pentru aripa dreptunghiulară din exemplul precedent am obţinut valorile notate în tabela 23.1. Pentru momentul în jurul axei Oz, sau momentul de giraţie, pe care l-am notat cu A7, se defineşte tot astfel un coeficient Z, a cărui expresie se scoate din relaţia următoare, care ţine seama de (19.48) : (23.22) AT = (aa) = Vţb3 --- "v (2p + 1) A„AP+1 , 2 2 4 pil prm urmare (23.23) tc 1 — — £(2p + l)APAp+l. 4 aa p=1 Pentru aplicaţii este mai important să se determine raportul dintre cele două momente, aşa cum este dat de formula (19.49) : (23.24) L v:n = «-|- = 3A, + 5A3 + (7A3 + 9A5) ^1 + (11A5 + 13A7) -f A, Pentru coeficienţii A,, A3, A5, A7, ... ai aripei nedeformate, se va putea scrie respectiv : (23.25) - 3 A, 5 A, 7A3 + 9A5 3ft, + Po P2 - P4 P2 3ft> + Po r P2 3ft + Po 9 S, 3 3ji.0 + Po P4 9 '[J-o Po ^1 f ^H-o + Po 11A5+13A7 = 11 P2 13 1] 7ll0 + % P22 (3ft,+ p0) (5{Xo+ Po) Oft) + Po. A,. Mai departe, după câteva simplificări necesare, putem scoate din ecuaţiile (22.10) : (23.26) (2ft + Po - P4M-2 = ft)w2, (4ft> + Po)^4 + P2-42 = ft)W4 . (6ft, + Po)^6 + P2A4 4- p4A2 = (x0w6 şi prm urmare : A± _ 2ft> + Po — P4 . w4 (23.27) { A, A„ 4ft) + Po w2 4ft)+.P0 2ft + Po - P4 . co„ j32 w2 6ltx0 + p0 ftl *f" Po - P4 «4 6ft + Po 4ft) + Po I + + PI P4 (4ft)+Po)(6ft,+ P0) 6[x0+p0 Dacă se introduc aceste relaţii în expresia (19.49), se obţine în cele din urmă : (23.28) 3 3n0 4- p„ 3 3^0 + p0 P2 ^ (2[Lo + Po . "4 P2 ^ , 11 1 < 5ft + Poi Uft> + Po w2 4[x0 + p0| 3 5fJt0 4- P X X 1 13 P2 11 7[i0 + p0j l3fx0 + Po 2ft> + Po w4 6ft> — + 12ft + Pq 1 — n — ? ~ sin 9 ^ , sin2 co „ I 288 FORŢA ŞI MOMENTUL DE ŞARNIERĂ PE ARIPIOARE 289 unde P (respectiv Gz) este portanta totală a unei porţiuni de aripă egală cu unitatea, la incidenţa totală a' =a 4- i—m (o -f sin 9 1 = — cr0 -i--- cPp >7- '">t"2 2tî cP, hi P -V01 = —CP 2tc sau mea (23.41) unde (23.42) J/i g — sin 9 (9— sin 9) (1. 4- cos 9) Să aplicăm aceste rezultate la aripa de anvergură finită. 23.4.2. Aripioare pe toată anvergura. Pentru aripa de anvergură finită, dacă aripioarele se întind pe toată anvergura, este uşor de văzut că se găsesc expresii analoage, observând că, în locul incidenţei geometrice a' =oc + a, vom avea incidenţa efectivă a'e=a 4- a — i, unde i este unghiul indus în fiecare secţiune. Deaceea, formulele (23.38) şi (23.39) se aplică identic în acest caz, însă P (respectiv Cz) reprezintă portanta totală a aripei de anvergură finită iar Pp (respectiv Gzp ) portanta corespunzătoare unui unghiu efectiv egal cu bracajul fi. In acelaş fel se pot stabili expresiile respective pentru momentul de şarnieră : (23.43) ..i/l = — 2tc 6 cdP JL c dPp + Jf01 « m Cm P JL 4tc2 Cm Pp unde, pentru a simplifica calculele, am înlocuit pe c prin coarda medie cm. Eezultă deasemenea : (23.44) Afi vi Uml —--Lz 2tt JL 4-2 C. moi r " Este adevărat că, dacă variaţia coardei este foarte mare, aproximaţia nu mai este permisă şi o integrare riguroasă este obligatorie: A. JL tc 23.45) bCăP=9V20 ^ cT ăy=PV20b\ ţj ■—| ^ A„ sin «6 jsin6 de. (23.46) Pentru aripa trapezoidală, punând Cq — Ce Ce 1 = = 1 variaţia coardei se poate exprima prin formula următoare, unde se va lua semnul — pentru 9 variind dela 0 la — si 4- pentru 8 variind dela — la tc : 2 2 (23.47) c = c0 (1 + q cos 8). Integralele precedente devin în acest caz, respectiv: (23.48) cdP=c0P -4:q?Vlb2cc + A, An + A7 (1)p+i A, 2p+1 (2p - 1) (2p 4- 3) P2 1-5 3 -7 5-9 1 + c0P 11 8q_ 3tc 3^o + Po l 5 7 5[x0 + P0J 7 5[i0 + S0_ + P4 w,P si (23.49) J_ÎL l 3 1-0,52. xBc0P zultat (23.50) Un calcul analog aplicat la aripa eliptică ne duce la următorul re- x = xp = — • 3r: In fine, expresia (23.44) devine (23.51) — ^mi— ~ XGZ--j— xp Gz$ +Cm0l. 2tc 4tc2 19 Aerodinamica 290 TEORIA ARIPI O A R EI. O R INFLUENŢA SCOBITURILOR ŞI A NACELELOR 291 23.4.3. Aripioare pe o porţiune a anvergurii. Pentru aripioarele ocupând numai o porţiune a anvergurii, fie ba (fig. 23.6), vom avea la fel: (23.52) 9 - sin 9 P , sin2 9 P , P cp — sin y #Q tc $ Sa r - cza, + + O, 0l« pentru forţe şi (23.53) 1 +\SV*c0 1)1 Sa D 9 Sa „ — • - ro--• - Jrop 2tc &a 4tc2 &a — r< ' — — ®a *®a o 2tc C0 0a $ 01" g Sa Sa 4tc2 c0 ba S + Cm (nia) pentru momentul de şarnieră, unde s'a însemnat cu Pa portanta totală a suprafeţei cu aripioare, Sa această suprafaţă şi Pa$ portanta acestei suprafeţe datorită bracajului 3. Pentru integralele : cdP, \ CdPp Sa am luat pentru coardă, o valoare medie cm= —, spre a nu complica for- ba mulele. Totuşi, portanta Pa corespunzătoare suprafeţei cu aripioare Sa nu are o formă simplă : (23.54) Pa 4 ?SV0 Uf Fi". 24.1. 24. INFLUENŢA SCOBITURILOR ŞI A NACELELOR PENTRU MOTOARE In tehnica aeronautică este necesar adesea, din motive de construcţie sau pilotaj, să se prevadă pe aripile avionului scobituri centrale (fig. 24.1) sau construcţii laterale (fig. 24.2) reprezentând nacelele motoarelor. Carac-teristicele aerodinamice ale unei astfel de aripi sunt desigur modificate faţă de cele corespunzătoare aripei iniţiale fără aceste neregularităţi de contur. Pentru a stabili noile caracteristice, vom determina mai întâi pentru fiecare secţiune a porţiunii perturbate a conturului, axa de portantă nulă a profilului corespunzător şi vom aplica apoi metodele cunoscute pentru calculul circulaţiei dealungul anvergurii. 24.1. Punerea problemei şi formule generale. Pentru ca să se poată aplica metoda lui GLAUEET, ar fi necesar să se prevadă un număr foarte mare de secţiuni care să satisfacă relaţia (17.5); ar rezulta prin urmare tot atâtea necunoscute şi ecuaţii ^_ de rezolvat; aceasta nu este comod şi este chiar imposibil de rezolvat prin mijloacele elementare curente. Prin metoda lui I. LOTZ este posibil să se rezolve problema, însă este foarte greu de găsit o soluţie generală explicită, cu toate calculele foarte laborioase pe care le comportă ; este aşa dar necesar să se reia calculele pentru fiecare caz particular. Deaceea, pentru a evita în parte cel puţin aceste dificultăţi, vom expune mai jos o metodă analoagă cu cele expuse în paragrafele precedente, care duce la o soluţie aproximativă explicită . Fie pentru aceasta o aripă cu conturul definit relaţia de bază (17.27) : Fiy An sin (n — 1)Q1 sin (n + 1) 6X n — 1 n=2 11 + 1 unde coeficienţii Ax,A2,. . ., An, conţin atât termenii datoriţi incidenţei « cât şi cei datoriţi bracajului aripioarelor. (24.1) sin 0 = 30 + 23, cos 26 + 234 cos 46 + 2B6 cos 60 şi să presupunem că coarda c' a aripii deformată de accidentele de contur este pusă sub forma (24.2) c' = c(l +t), 292 INFLUENŢA SCOBITURILOR ŞI A NACELELOR unde t nu este diferit de zero decât pe porţiunea deformată a conturului (scobitură sau nacele). Mai departe, notând cu oc incidenţa aripii normale, fără deformare, şi cu s variaţia incidenţei pe porţiunea deformată, vom putea scrie pentru incidenţa totală a' : (24.3) a' = oc -j-s într'un mod analog, vitesa indusă totală w' va fi împărţită în două, vitesa indusă referitoare la aripa normală, fie w, şi cea datorită deformării pe care o vom nota cu ws: (24.4) tv' =w+ws; ecuaţia lui PBAJSFDTL devine în acest caz : (24.5) r = JcV0c' loc' - — 1= lV0c Z +t\ oL- îv + Ws W Ws I de unde se vede că deformarea conturului nu face decât să introducă în plus o incidenţă e' variabilă dealungul anvergurii: (24.6) s = s + t w , Ws Problema este redusă astfel la cazul unei variaţii de incidenţă. Pentru aripile obişnuite incidenţa a, precum şi incidenţa indusă nu variază prea mult în jurul unui punct de pe anvergură; din această cauză, se pot admite pentru a şi w valorile din axa scobiturii sau a nacelei, fie afl şi wa. Pentru incidenţa s a porţiunii deformate vom ţine seama de variaţia acestei incidenţe numai în primul termen al membrului al doilea din (24.6); însă, pentru termenul al treilea, observând că t este mic în raport cu unitatea, se poate admite pentru z o valoare mijlocie zm sau, ca mai sus, valoarea Ea din centrul perturbaţiei. Totuşi este foarte greu să determinăm vitesa- indusă suplimentară ws care depinde tocmai de distribuţia circulaţiei dealungul anvergurii. Să punem circulaţia suplimentară sub forma obişnuită (17.2) : (24.7) Ts = 26K an sin nQ; vitesa indusă suplimentară în centrul perturbaţiei (6 = 6a, ws = wsa) va avea ca expresie în acest caz (17.4): (24.7 bis) Wsa sin n%a sin 6a [ mm: 1 -w- I Ip I .■SU- PUNEREA PROBLEMEI ŞI FORMULE GENERALE 293 de unde se vede că această vitesă depinde de coeficienţii aJf a.2,.. .an, care sunt tocmai necunoscutele problemei. Aceşti coeficienţi sunt puţin convergenţi şi calculele ar fi foarte laborioase, chiar pentru aripa eliptică pentru care s'ar putea obţine eventual o soluţie riguroasă. In cazul general nu este admisibil să ne limităm la câţiva termeni, deaceea, suntem obligaţi să ocolim dificultatea luând pentru wsa o valoare aproximativă, pe care o vom stabili prin raţionamentul următor. Putem presupune, intr'adevăr, că micşorarea circulaţiei datorită scobiturii sau mărirea circulaţiei datorită nacelelor este concentrată şi uniform repartizată pe o lungime ev care va depinde de lăţimea e a scobiturii sau pe lungimea lv funcţie de lăţimea l a nacelelor. Notând pe de altă parte cu d distanţa între' cele două nacele în cazul unui avion bimotor, vitesa ndusă aproximativă wSa în aceste două cazuri obişnuite va fi respectiv : (24.8) in cazul scobiturii *) (24.9) IVsa 4tc si 4tc 771 7llx h T' m 4r7 d2 - V în cazul nacelelor. Valorile lui Fm şi Tm vor fi deduse din portanta totală suplimentară, după (19.1) şi din cele ipotetice uniform repartizate pe ex sau 2Z, : (24.10) de unde rezultă în fine : Wsa 1 b2 2 e\ (24.il; Pv0vm ^i^^vţb2™. w' 1 b2 V0 4 l\ (24.12) In cazul unei singure nacele (perturbaţie disimetrică) vom avea : 1 b2 Vn 2 B k"av *) Am considerat perturbaţii simetrice sau eventual o singură nacelă situată pe semi-an-vergura aripei (perturbaţie disimetrică). Printr'un raţionament analog se poate formule similare pentru caz.ul perturbaţiilor antisimetrice. ajunge la 294 INFLUENŢA SCOBITURILOR ŞI A NACELELOR Să observăm mai departe că «a, wa, sa şi wsa au fost luate în axa per-turbaţiei şi să punem (24.13) au = «a expresia (24.6) devine : + £a, kax ; (24.14) t\ 0lt - ICs V t + cf.tt — kax% şi desfăşurarea în serie FOUBIEE a expresiilor s sin 6 şi t sin 6 : ('M 15) / e sin 6 = sx sin 6 + s2 sin 26 + ... + e„ sin to6, 1 i sin 6 = sin 0 + t.2 sin 20 + . . . + tn sin «6, ne dă soluţia problemei. Vom putea scrie după (22.11), limitându-ne prin urmare la aripile eliptice, quasi-eliptice, trapezoidale şi dreptunghiulare : (24.16) co„ x (e„ + arf„)-p4 £"+2+ Krfn+g- - S4 £"+4+a^-'-4-- (to + 2)[x0 + S0 (to + 4)(x0 + 80 — ka, tn - B2 +2 P4 (to + 2) jz0 + B0 (», + 4)[x0 + B0 unde am înlocuit prin to/, şi zn expresiile următoare : — co n — tt,~7n. (24.16 bis) is^' coH=(£„ + «rf„) - S2 -i?+2 °^"+2--34 e„+4+Mb+4 . (to + 2)^ + 80 (n + 4)fi0 + Po *» - P2 - +2 (to + 2)[x0 + B9 84 ^« + 4 (to + 4) (x0 + 80 Să introducem aceste valori în formulele (22.10); vom obţine în cele din urmă : Ho+Po~P2 - (!2 ~, + Ho Ni + "V [ '* 3[x0 + Po ' -"l ' ■ " 3[x0 + (V = Ho (<< + 84 / ( P2 -4- B2 "\ (24.17) t 2^ +80-B4 - 2—^Li «2 + {^T^1 = ^coâ, V 4fx0 + B0 j (3Ho + Po- 1 %+ fPS - P* - T^r+^sl «1 = W^ I 50Ho + Po / l 5(- 5Ho+Po ft2 _j_ R2 \ «Ho+Po— -7-™-"-a«+p2«vi-2 + P4«/l-4+HoTna1 = c0„ . (to+2) (Ho 4- Po)/ I ! f f 1-' APLICAŢII LA ARIPA ELIPTICĂ 295 Aceste formule sunt susceptibile de a fi simplificate dacă neglijăm din ambii membri termenii de ordin secundar B2., 84, 82 B4 şi B4. Observaţie. Pentru a calcula pe k şi k' din formulele (24.11), trebue să determinăm lungimile ex şi lx. Vom face ipoteza că înafara lărgimilor e sau l, o bună parte a anvergurii, de o parte şi de alta, suferă o micşorare a portantei în cazul scobiturii sau o mărire a portantei în cazul nacelelor de motor. Un raţionament simplu şi practic ne conduce la formulele următoare : (24.18) e, = 1_ TO (to—1) e h = — n i)i unde to poate lua valori care depind de e, l şi d. Practic se poate admite : to ^ 3. 24.2. Aplicaţii la aripa eliptică Pentru aripa eliptică B0 = 1, B2 = B4 = 0 şi formulele precedente devin (1 + Ho + Hofe (1 + n\i0)an + Ho^n^i = Ho(£« + xttn), sau încă, efectuând câteva transformări elementare, se ajunge la relaţia următoare : (24.20) an= Ho 1 + to^0 ti sj -f- a.ttt H h 1 + Ho(l + MO Adesea, variaţia lui e şi aceea a lui t au aceeaşi formă şi deci se poate scrie (24.21) £,<,, - tntx « 0, iar expresia lui an devine în acest caz mai simplă : 1 4- Ho tn (£!4-ocrfi)Ho (24.22) an 1 + toho h i + + Dacă aripa păstrează aceeaşi incidenţă iniţială a pe toată anvergura, adică clacă s = 0, vom avea : (24.23) Hoaf tn 1 + Ho . _ 1 4- «Ho 1 + Hol1 + 24.2.1. Exemplu. Vom aplica formula de mai sus sub această ultimă formă la un caz concret: scobitură de profunzime constantă (t = ct.). METODĂ APROXIMATIVĂ PENTRU CALCULUL ARIPILOR 297 Desfăşurarea în serie FOUEIEE ne dă 2t0 ( sin 2

de unde rezultă după (17.4) : Wa W (24.27) şi prin urmare (24.28) Vn y0 1 + ft) a sin 6 , 1 + ft> (24.29) Coeficientul an va avea în acest caz o expresie mai simplă tn ft, a an = l+« ft, l+j^+ft^i 24.3. Metodă aproximativă pentru calculul aripilor de contur dat. Metoda pe care am expus-o mai sus pentru determinarea influenţei scobiturilor sau a nacelelor de motor poate fi extinsă la aripele de contur dat. Fie, intr'adevăr, o aripă a cărei coardă c' variază după o lege oarecare dealungul anvergurii; să considerăm în acelaş timp o aripă eliptică având aceeaşi suprafaţă şi aceeaşi anvergură ca şi aripa reală (fig. 24.3); fie e coarda sa : (24.30) ■ n 4 s o = c0 sm 6 =-- tc b unde S este suprafaţa aripii. Să punem mai departe (24.31) e' = c{l+t); Ir rezultă imediat : (24.32) t = c0 sm 1, t sin 6 = sin 6. Putem desfăşura coarda în serie FOUEIER sau să o exprimăm printr'un polinom trigonometric finit (limitat de exemplu la patru termeni); vom avea în acest caz, considerând o aripă simetrică : (24.33) — — [sin 6 + t3 sin 36 re b t2p + i sin (2p + 1) 6]. Să introducem această valoare a lui c' în a doua expresie (24.32) şi, înmulţind cu sin 6, vom obţine : (24.34) t sin 6 = sin 6 + t3 sin 36 4- ... + t2p +1 sin (2p + 1)6 — sin 0 = = t3 sin 30 + ... + t2p +1 sin (2p + 1)6 . Fie mai departe a incidenţa, w' vitesa indusă a aripii reale, w vitesa indusă a aripii eliptice echivalente, având aceeaşi incidenţă; dacă notăm cu ws diferenţa lor, (24.35) w' = w+ws, ecuaţia (15.38) va putea fi pusă sub forma (24.36) T = Jcc'V01« - y- j = ftc70 ja w + fa - y0 Ws _ Ws ^0 ~^~0 unde prima expresie din membru al doilea corespunde aripei eliptice normale, cu incidenţă constantă, iar a doua, unei aripi eliptice eu incidenţa variabilă 298 INFLUENŢA SCOBITURILOR Şl A NACELELOR (24.37) w x = t a — - — t o Pentru aripile eliptice vom avea (24.38) V0 1 + Ho în ceeace priveşte vitesa suplimentară ivs, se poate lua o valoare mijlocie Wsm = 1 M (24.39) 7n ■ = — \ — dy = ^ + % + ... + «2 p • Coeficienţii an pentru aripile obişnuite descresc repede; observând pe de altă parte că a, este nul, ceeace vom stabili mai jos, şi că t este în general mic, se poate admite fără mare eroare : (24.40) U'sn «3 + «5 + = a , de unde rezultă pentru expresia (24.37) : (24.41) t sin 6 = a] p8 sin 30 + .. . +i2p+ i sin (2p+l)6] = .1 + Ho = t3 sin 30 + • • • + t 2P +1 sin (2p + 1)0, unde (24.42) Tn = U + Ho a\tn . Prin urmare, notând cu Ts circulaţia suplimentară care trebue adăugată la cea a aripii eliptice, vom scrie : (24.43) Ts = 2bV0 £ aa sin nd = kcV0 (x - = ^c0V0x sin 0 - 1 V 'o / ii — icc0V0 Y, nan sin nd (24.44 Să punem mai departe Tc c, Ho 2 ' b 2 o ca ° < tc Sg 6 H0! unde Ho precum şi coarda mediană c'0, sunt cele ale aripii reale ; ţinând seama de (24.42) şi (24.43), obţinem în cele din urmă soluţia problemei: (24.45) HoT« _ _ 1 + 3h0 tn 1 + to Ho 1 + '«ft) h *3 i <*1 a, = 0. f 1 • METODĂ APROXIMATIVĂ PENTRU CALCULUL ARIPILOR 299 Pentru a calcula pe a3, trebue să determinăm mai întâi pe a; dacă vom observa că pentru aripile obişnuite trei termeni ai desfăşurării (24.34) sunt suficienţi, se poate scrie : o % Oj + fl5 -)- a7 = no (24.46) 1 + 5^ 1 + 7^ de unde rezultă : 1 + Ho •)t Ho + 3 Ho h + h + h 1 +3ho (24.47) - 1 + Ho şi prin urmare (24.48) «3 = a = 1 + 3Ho 1 + ix0 1 + (3 + h + h + Hoa l + (3+t8 + t5 + <7)H0 1 +ih 24.3.1. Aplicaţie la aripile dreptunghiulare şi trapezoidale. Să considerăm mai întâi o aripă trapezoidală sau dreptunghiulară şi să ne limităm la patru termeni ai desfăşurării (24.33) 4 8 (24.49) c' = — . — (sin 0 + t3 sin 30 + t5 sin 50 + t7 sin 76). tc b Notând cu c„ şi c'e, respectiv coardele mediane şi extremale, punând ca în paragrafele precedente, (24.50) q = l - «o şi făcând să treacă curba (24.49) prin puncte convenabil alese pe contur (0 = 22° 30'; 45°; 67° 30'), suprafaţa rămânând aceeaşi, se găseşte în cele din urmă : (24.51) t3 = 0,274 0,3? 1 — 0,5 q t7 = 0,029 5 <5 = 0,135 0,004 q 1 — 0,5 q 1 0,061 q 0,5 q care reprezintă destul de bine conturul aripilor trapezoidale. Pentru primul termen al aripii eliptice echivalente, se găseşte uşor : 8 (24.52) Ho* Hoa 1 + \8 Ho 300 ROTAŢIA ARIPII IN JURUL UNEI AXE Pentru ceilalţi termeni, se aplică formulele (24.45) şi (24.48). Să observăm mai departe că pentru coarda mediană avem : 4 S (24.53) c0 = — • -f (1 tc b ^3 ~f~ ^5 h 4_ tc Al 0,83 6 0,243 q 1 - 0,5 q de unde rezultă c^ respective (cu -Ai = 0,83 — . — la aripa dreptunghiulară, unde calculele tc b 0,25) ne duc la rezultatele următoare : = 0,926 ; Vi a 0,124; 0,046 ; = 0,008. Se vede că primii doi termeni sunt aproape identici cu cei găsiţi înainte (tabela 18.1). Ultimii doi, termeni prezintă abateri sensibile, însă neglijabile totuşi faţă de valoarea primilor doi termeni. 24.3.2. Aplicaţii la aripi de formă oarecare. Ca şi pentru cazul precedent, se poate face să treacă prin puncte convenabil alese o curbă foarte apropiată de conturul real, care să fie reprezentată printr'un polinom trigonometric (24.33) limitat la patru termeni. După aceasta, calculele pentru determinarea coeficienţilor Alt a3, «5,... sunt elementare. 25. ROTAŢIA ARIPII IN JURUL UNEI AXE In acest paragraf vom trata câteva probleme speciale care au o aplicaţie imediată în mecanica avionului. 25.1. Aripă în viraj circular plan [2] Să presupunem că aripa se roteşte în jurul unei axe normale pe planul ei, această axă intersectând în acelaş timp şi linia anvergurei. Fie Ovitesa de rotaţie şi R0 raza virajului faţă de planul median al aripei. Vitesa în fiecare secţiue a aripii este (25.1) 7 = O(P0 + 2/) = Qi?0|l+^j= V0|l "^cosej, unde V0 = O R0 este vitesa secţiunii mediane. Se vede astfel că vitesa variază dealungul anvergurii şi că, pe de altă parte, vârtejurile libere sunt dispuse în cercuri concentrice în jurul axei de rotaţie; rezultă o variaţie a incidenţei şi o vitesă indusă diferite de cele datorite pânzei de vârtejuri rectilinii. Prin ipoteză numai semi-cercul posterior al vârtejului circular are influenţă în ceeace priveşte vitesa indusă, cealaltă jumătate fiind presupusă destrămată din cauza frecării, deformării, etc. ARIPĂ IN VIRAJ CIRCULAR. PLAN 301 In aceste condiţii, vitesa indusă într'un punct oarecare datorită unui semi-cerc turbionar de intensitate dr (notând cu x', y', z' coordonatele unui element al inelului (fig. 25.1) şi prin t\', XJ, acelea ale punctului considerat) va fi dată de a treia relaţie (2.27) : (25.2) dw = —( (x'-ţ')ăy' - (y' - V) dx' 4tc )s \{x' - l')* + (y' - V)a + («' - C)2] 3/2 Fig. 25.1 Inelul fiind în planul x'O'y' vom avea deci z' = C = 0 şi cum pe de altă parte punctul considerat se găseşte pe anvergură, avem în acelaş timp £' = 0. Să punem mai departe (fig. 25.1) : (25.3) x' = R sin v, y' = R cos v şi integrala precedentă devine dr [ „„ f tc dv (25.4) dw ■■ 4tc R* în 'o (P2+v)'2-2J?v)'cosvp cos v dv ln (R2 + t/2 -2JR7]'cOSv)3/2 + Să punem încă <25.5) R2 + 'ri'\ S2 = 2i?y)', 302 ROTAŢIA ARIPII IM JURUL UNEI AXE şi vom avea pentru cele două integrale din membrul al doilea (25.1) (25.6) şi (25.7) (25.8) cos v dv 72 V dv 2—22cosv |3/2 —r/4 ln p*-g* Jo 2— q2 cos v)1/2 dv . Să înlocuim aceste relaţii în (25.4), punând apoi v=7c—2 cp, Tc2 2q2 pi (i? + V)')2' p2 + g2 (-8 - V) (A> + V)2 vom găsi în cele din urmă două integrale eliptice complete, de prima (Ji> şi a doua (E) speţă : (25.9) d«, = i*_{^— dy -r- Fsin^)1'2 JB-7]'J0 - n' V (l-Fain2?)1'^ dr K + E 4tt l R +■»)' R — V Se vede, după fig. 25.1, că avem respectiv : (25.10) 7? = P0 + «, 1' = Ro + 1. # - 7]' = y - 7] pe de altă parte valoarea lui ¥2 fiind foarte mică : (25.11) ¥2 = (i?-v)')2 _ (?/~*!)2 (i?4V)2 (2p0 + 1/+7))2 2Rn ceeace ne permite să desvoltăm pe K şi E în funcţie de ¥, după LEGEÎf-DEE : (25.12) K = ln — + — Tc'2 ( ln —--11 + ■ 22 l :ln 1 /- 4 E = 1 + — Tc'2 ln - 2 l \¥\ + ... 1. înlocuind aceste valori în (25.9) şi integrând, se găseşte următoarea, expresie pentru vitesa indusă căutată : (25.13) 4rc — « In |7j - y \\ dr 2 R ) dy dy. ARIPĂ IN VIRAJ CIRCULAR PLAN 303 Să observăm că putem scrie succesiv : b (25.14) (2 ln | 7) - // | dr = (ln | vi -y\)2 J_6 2 2 dacă înlocuim mai departe pe r prin expresia sa în funcţie de 0 formula (25.13) a vitesei induse ia următoarea formă : V o f2 (ty = C¥ r . £ A„[sin(n-1) 6- (25.15) — = —— V «A„ sin »0 -f ——. — 7„ sin 6 f 8R0 sin 6 *i - sin (« + .1)6] şi în consecinţă, introducând această valoare în noua ecuaţie a circulaţiei, (25.16) r=lrF « w V TccVv. — TiCw--b = kcVQ (l--^-cosela- — vom ajunge, în sfârşit, la relaţia următoare : (25.17) sin 6VA„sm nQ + ^VnAn sin h6 + V An [(sin (w-l)6 — c i i 8/>'(j î sin (n + 1)6] = h0oc sin 6 Ho& 4Rn a sin 26. Este greu de rezolvat această ecuaţie în cazul general. Deaceea vom trata mai întâi un caz particular : aripa eliptică; vom da apoi o soluţie a-, proximativă pentru cazul general. 25.1.1. Aripa eliptieă. Pentru acest caz se ajunge uşor la o ecuaţie cu diferente finite de al doilea ordin : (25.18) (1 + ny.0)An Ho& 8R0 (An+l — An-!) 0 care pentru n = 1 şi n = 2, ne dă următoarele două ecuaţii neomogene f (25.19) j (1 + Ho)A Ho» 8Rn A% — Ho a> h0° (l + 2^0)A2+^-(A3-A]; SR0 Ho» 4i?n Utilizând aceeaşi metodă ca şi în paragraful (17.4), este uşor de văzut că soluţia va fi dată de integrala : (2.5.20) An = C )t n + _-—1 Fo $n0 0+4) dt, 304 ROTAŢIA ARIPII IN JURUL UNEI AXE care devine integrala caracteristică a funcţiei BESSEL, dacă se face schimbarea de variabilă t = ix : (25.21) sau încă An = Ci ^n + i-1e^G-f)d,, (25.22) An = Cin oo X c .(n+JL) 8 i£ r(n+—+1 ft> X m=l [-8iV m ! f ■» H---r- 11 ■■■ \n + ft> Să observăm că — fiind foarte mic, se poate scrie 8jB0 (25.23) An^C 6 Y 8B0) r n + —+ 1 V h) unde T reprezintă funcţia Gamma (să nu se confunde deci funcţia Gamma cu notarea obişnuită a'circulaţiei). ^ .... In locul constantei O să luăm, drept constanta de determinat, termenul A 2: (25.24) A, = C r |2 +—+ i în acest caz termenul An este de forma (25.25) An^V. A„ \8B0J (1 + 31Ao) ... (1 +#sxo) ' de unde se vede că coeficienţii An descresc repede din cauza termenului b ■, care este foarte mic. 8B0 Primul şi al doilea termen (Al5 A.) sunt deduşi din ecuaţiile (25.19) Ax (25.26) l+jxo aU^oJ (l + ^o)2 (l+2ft>) _ iit,6 (1 + 0,5^,) oc 4E0 (l + [x0) (l+2|Xo) i. ARIPĂ IN VIRAJ CIRCULAR PLAN 305 Dacă neglijăm termenii care conţin pe la o putere egală sau 8R0 superioară lui 2, ne putem limita, fără o eroare prea mare, la primii doi termeni şi regăsim astfel rezultatele lui WIESELSBEBGEB (25.27) r=2bV0(A1 sinO+A2sin 26) = 267^ sin 6 ^1+2 y2cos 6 j = 1+0,5^, y \ 2bV0A1 sin 6 11 + 1+0^° . JL\ = rn l+2;i.0 ■ 1 l+2[x0 R0, care presupune dela început o distribuţie a circulaţiei limitată la această ultimă formă : (25.28) 1 +v JL unde coeficientul v, care trebue să fie determinat, este presupus cunoscut n priori. Se poate obţine acelaşi rezultat direct fără a trece prin funcţiile BESSEL, observând că în ecuaţia eu diferenţe finite (25.18), An+l ar putea fi înlocuit printr'o valoare aproximativă care se obţine neglijând pe A,i+2 fată de An : (25.29) [i + («'+])[*„) An+1 Vom avea prin urmare : 8i?„ A/i — [j.q(z^^-j . (25.30) unde (25.31) 1 + w[x0 + MV 1 8B.J l + (»+l)ft [j.06 u.0 0.,,+! An (Xn6_ 8.ffn An-\-i — [Iq 0c« 8i?0 1 + (» +1)^ olx = oc, a2 = —• 4P„ OLn = 0. 25.1.2. Aripi dreptunghiulare şi trapezoidale. Să revenim la ecuaţia generală (25.17) şi s'o punem sub forma următoare : (25.32) sin 0 £ A„. sin «fl a0 £ »i„ sin «6 = ^0oc sin 6 — c 4E, a sin 20 o 8i?, Vj A„ [sin (h + 1)6 - sin (n - 1)6]. o i Să presupunem că al doilea membru reprezintă desfăşurarea în serie FOUEIEB a unui produs oc' sin 0, unde a' ar fi o incidenţă variabilă 20 Aerodinamica 306 ROTAŢIA ARIPII IN JURUL UNEI AXE dealungul anvergurii: (25.33) a' sin 8=^ sin 8+a2 sin 26+x3 sin 38+ . . . +a„ sin nQ. Coeficienţii a,- vor fi respectiv : (25.34) A2b (A1—A3)b ba. 8R0 (A^-AJb SR0 4Pn , . . ., an — 8P0 (i»-i — An+1)b 8P„ «3 (A2-At)b 8Rn şi ecuaţiile cu diferenţe finite se separă, în acest caz, în două grupe, termenii pari şi termenii impari: [ (2pft, + Po) A2P + p2 (A2P-2 + A2P+2) + p4 (A2p_4 + A2P+4) = (A2P^ -A2P+1)bţi0 (25.35) 8Rn I(2p + 1 )u0 + P0L42P+1 + p2 {Asp-i + A2P+3) +S4 U2P_3 + A2P+5) = __ (A2p — A2P+2) by.n ~~ 8R0 Din prima ecuaţie se vede că termenii pari sunt proporţionali cu •^A şi în consecinţă membrul al doilea din ecuaţia a doua este propor-8R0 ţional cu , deci neglijabil. Intr'adevăr, Rg > A şi deci, începând 18R0) 2 dela a3 se jjoate neglija influenţa acestor termeni, precum şi a termenului al doilea din expresia aj (25.34); astfel încât se poate admite că coeficienţii Av A3, A2P+i păstrează aceeaşi valoare ca şi pentru aripa normală în translaţie rectilinie. Rezultă aproximativ : (25.36) A^A^AAl+lţ—h], A3-A* 3ft) + P0 A5 - An « - P4 P2-2P4 3ft, + P0 Av 5ft> + Po şi ca urmare, după (25.34) Aib L + P2-p4 8R0 ba. _ AAX + o P0-P2 3[x0 + p0/ 4P0 8R0{ ft) (25.37) \ P2-P4 3ft,+Po a4: iii P2-2P4 P4 8P0 3(Xo +p0 AJ) _ 8P0 5fz0 + p0 PORTE ŞI MOMENTE DATORITE VIRAJULUI Urmează numaidecât : 307 f M f! | 2 Po ~ P2_ AziA (25.38) 8i?„ 'o ^ ft 3(io + p0;2(i.0 + 60 - B4 Jţob [0,5;^n + (p0-62)] ^1 ft 4P„ AA [i0b 1R« 2ft+P0 ^ £4 P2 ~ P4 + P2 (Po - P2)ţ A1 2ft + Po ft, (2ft, + p0)J 4u0 + B0 ' G C' unde Ai ar putea fi înlocuit prin - ft) + Po—P2 Pentru aripa eliptică (B0 = 1, S2 = B4 = 0) se regăsesc şi pe această cale rezultatele precedente (25.26). 25.2. Forţe şi momente datorite virajului Integrala portantei ne dă succesiv: b P = P7„ I 2jl + Aj r ăy = -t-SVţ (rclAJ - a (25.39) sau încă (25.40) 4P„ nKA. Cz = rclA1 - 4P0 r TC\A2 = TlXAj (l 1 + 4P0 A1 ±_Y 0,5ft) + Po - Pal 4P0 ) 2p.0 + B0 - S4 Se vede că pentru portantă influenţa virajului este aproape neglijabilă-Pentru rezistenţa, vom observa că vitesa indusă, care intră în inte- grala _b_ (25.41) R = p j 2^rd«/, 2 diferă de vitesa indusă din cazul mişcării de translaţie simplă prin următorul termen suplimentar : (25.42) ^ = -A- -±~tA" [sin (11 - 1)8 - sin (n + 1)8], ► o 8P0 sm 0 1 30S ROTAŢIA ARTI'U IX JUR UI. UXE1 AXK dar integrala respectivă este nulă : (25.43) S' = p 6_ 2 WsTăy = P b* y% -l— 2 Jo n f A„ [mi{n - 1)0 — sin (» -f 1)6] \Y An sin «6 j d8 = 0. Prin urmare, expresia generală a lui 8 este aceeaşi ca cea găsită anterior (25.44) n 4 2 de unde se vede că influenţa termenilor pari, care se poate scrie sub forma Al (25.45) AS = 2| + t| b \2 0,5^0 + B0 - Bs + 4 P2 (Po - P2) 2 Ho + Po — p4 este neglijabilă din cauza factorului (2^ + P0)(4(x0 + p0) b 4Bn (25.46) In acelaş fel se găseşte pentru momentul L : b y ' o b3 yT ăy = -, -x- Y2U ~ 7? I 2 2 -—- cos e] [j] i„ sin n6 ) sin 28 d6 _=--1- V\ b3 A2 + 2_R0 /Vi / ^2 4Eft 4 2 şi în consecinţă : (25.47) o& = — A2 4 ___l + -___ 4E0 U2 A, de unde rezultă o formulă generală pentru H,: ?_JL _______ 1 f 0,55(x0 + Po-P2 P2-P4 , 11. (2o.48) l- 4 ■ ^ - ^+^^{-2^+%-^ 3t_0 + B0 I Bis I I FORŢE Şl MOMENTE DATORITE VIRAJULUI 309 Aplicând acest rezultat la o aripă dreptunghiulară, de alungire X= 21c ([„„ = 0,25), se găseşte rezultatul următor : (25.49) = 0,111 * 4R„ care concordă bine cu rezultatele găsite de alţi autori. Să trecem acum la momentul A : vom avea doi termeni, unul datorit primului termen al expresiei (25.15) iar celălalt celui de al doilea : _b (25.50) A = ? \ 2 Wy dy = ^ F2o3 - j £ (2p +1) AP Ap+1 + 8i?„ An [sin (n — 1)0 — sin (h sau încă (25.51) cu (25.52) A = VI o3 — 2 0 4 £ (2p -f-l)__p_-p+1- Aî r(a2) = ^| 8.k0 1 = £-vib*U**), ^5 Jsl 6 1 n h 'a" 8E0J 4 4i?0 Ho + Po " - P2 1 0,5^ A* 3fH> + Po i 2ho + Po - P4 L Ho+Po-P 0,OHo (P2 — P4) (H0+P0-P2) (3Ho+Po). Pentru aripa dreptunghiulară, cu aceleaşi caracteristice ca cea precedentă, se găseşte : (25.53) £ = 0,0468 n , 4I?0 ceea ce corespunde coeficientului F2 al lui GLAUEET, pe care acesta îl defineşte punând momentul sub o altă formă : (25.54) A7 = SVf. C* b2 rrX 4i?f F2. 310 ROTAŢIA ARIPII IN JURUL UNEI AXE Intr'adevăr, găsim pentru F% o valoare egală cu 0,870 în raport cu 0,864 dată de acest autor. Trebue să observăm că momentul N are un nou termen T$0, datorit rezistenţei de formă, care se poate scrie : (25.55) ■Cx V* cy dy = - -P- Cxo Ap» y - G%f dy> 2 Ka 25.3. Rotaţia în jurul axei Oz Aceasta este o problemă analoagă cu cea precedentă şi intervine în special în studiul stabilităţii dinamice laterale a avioanelor. Vitesa variază dealungul anvergurii după aceeaşi lege : (25.56) V = V0 + ry = F, 1-1--y VA l rb ~2Vn cos 6 unde r este rotaţia în jurul lui Oz. Dacă, împreună cu rotaţia, aripa face un viraj circular, revenim la problema precedentă; dacă, din contră, rotaţia nu provoacă virajul, mişcarea fiind la început*), se poate presupune că pânza rămâne rectilinie.In acest caz expresia vitesei induse (25.13) nu conţine termenul logaritmic şi păstrează aceeaşi formă ca şi în cazul general. In aceste condiţii problema se reduce a o variaţie anti-simetrică a incidenţei : (25.57) unde : (25.58) r = iwv w V Tccio TtcV, 1 TcoV, rb_ ~2F0 w cos 6 Tb a.' sin 6 ~ a | 1 — — cos 2Vn sm x sin 6 — oc rb 4Fn sin 26 . Se obţin astfel două ecuaţii independente, una pentru termenii pari şi alta pentru termenii impari. Aceasta din urmă este identică cu cea corespunzătoare aripii normale, fără rotaţie, ai cărei coeficienţi i-am determinat în capitolele precedente. Pentru termenii pari se aplică relaţia (22.9). Astfel, de exemplu, primii doi termeni vor fi dati de expresiile următoare : (25.59) 4ft,+B0 6>0 + Po 8[x0+B0 6ft> + P0 4Vn P4 6ft>+ Po A2=0. *) Să observăm totuşi că mişcarea încetează de a mai ti permanentă, însă noi vom ne-plija variaţia in raport cu timpul a sistemului turbionar şi vom presupune că la momentul considerat mişcarea este permanentă. 1* ROTAŢIA IN JURUL AXEI Ox 311 Influenta rotaţiei asupra portantei şi a rezistenţei induse este neglijabilă: pentru momentele aerodinamice, respectiv pentru coeficienţii unitari corespunzători, se obţin următoarele formule : (25.60) { 7u rb 1 = T4V0 Ho+Po-P* _ JL. A_ a"1 4 4F0 1 fa + Pp-P... P2 - P4 + 1 2!x0 + P0-P4 3ft>+Po , - P2 - P4 ^ K> + Po -_P2 3[Ao + Po 2fi0 + B0-p4 Se adaugă bine înţeles montantul Ara (25.55) datorit rezistenţei de formă 2oA Rotaţia în jurul axei Ox Prin rotaţia p în jurul axei Ox, un punct y al anvergurii capătă o vitesă suplimentară py = — p A cos 6, normală pe vitesa F0 a curentului general. Admitem ca ipoteză prealabilă, că vitesa de rotaţie este mică faţă de curentul general şi prin urmare creşterea vitesei totale este neglijabilă : (25.61) V = v\ + p9- %f « F0 i + py F„ :F In schimb însă, unghiul de incidenţă suplimentar poate lua valori apreciabile dealungul anvergurii: (25.62) de unde rezultă (25.63) py pb AFn cos 6, : sin 6 pb AfT sin 20. Această problemă, care interesează de asemenea stabilitatea dinamică laterală a avioanelor, se reduce astfel la o variaţie disimetrică lineara a incidenţei si soluţia esteaatăde expresiile (25.59) din cazul precedent, înlocuind bine înţeles al doilea membru al primei ecuaţii prm: (25.64) pb 4K Portanta nu se schimbă, iar rezistenţa indusă, se măreşte cu : (25.65) A Cxi = *X (2A! + AAI+ ... + 2p A\p) pb 12 şi cum termenii ajp sunt proporţionali cu al doilea ordin, această creştere este neglijabilă. 470J deci foarte mici, de 312 ROTAŢIA ARIPII IN .1URUL UNEI AXK Momentul în jurul axei Ox, L, va avea ca expresie : (25.66) A2 2 4 ±V0 2fx0+b0-s4 In ceeace priveşte momentul în jurul axei Oz. el va fi (25.67) N - 3AX 1 _ 7 ____ 3 3,u0 + b0 ) + 3 (3h0 + b0) (4[z0 + b0) BIBLIOGEAFIE CAP. V. 1) CARAFOLI E. : Sur la theorie desailerons. Comunicare la Academia de Ştiinţe din România. Ianuarie 1944, Bucureşti. 2) CABAFOLIE. : Influenee du virage circulaire plan sur Ies proprietes aerodynamique des ailes. Comunicare la Academia Română, Septembrie 1944, Buletinul Secţiei Ştiinţifice Nr. 2, tom. XXVII. 3) C.11L4FOL- E. : Metodă practică pentru calculul aripilor de avion. Buletinul Ştiinţific al Academiei R.P.R., T.I, Nr. 9, 1949. 4) CEAPLÂGHIN S.A. şi GOLUBEV V.V.: Asupra teoriei aripioarelor. Lucrările TAGIII, Nr. 171, 1935. 5) GOLUBEV V.V. : Lecţiuni din teoria aripei. Editura de Stat a literaturii tehnice şi teoretice, Moscova, Leningrad, 1949. 6) 'KÂRMÂN and BURGERS: Aerodynamic Theory voi. II, Durând Editor, Julius Springer, Berlin 1945. 7) WIKSELSBERGER C. : Zeit f. Angew. Matern, u. Mceh. 1922. C A P I T O L U L A' I REPARTIŢIA IN SUPRAFAŢĂ A VÂRTEJURILOR LEGATE ŞI TEORIA POTENŢIALĂ Â MIŞCĂRII IN JURUL ARIPILOR In acest capitol vom trata câteva probleme privitoare la aripa de anvergură finită, pe care o vom înlocui printr'o pătură echivalentă de vârtejuri legate, distribuite pe toată suprafaţa aripii. Această metodă ne permite să calculăm uşor aripile de alungire mică cât şi cele de alungire foarte mică. 26. ARIPA ÎNLOCUITĂ PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE DE VÂRTEJURI l. Până în prezent am asimilat suprafaţa portantă a aripii cu o linie por-■ tantă, reprezentată printr'un filet de vârtej de intensitate variabilă dealungul anvergurii. într'un punct oarecare al acesteia, această variaţie este egală cu intensitatea vârtejurilor libere care se desprind în acel punct. Această ipoteză simplificatoare este perfect valabilă atâta timp cât raportul dintre anvergură şi coarda medie (alungirea), este destul de mare; drept urmare, rezultatele obţinute pe baza acestei ipoteze sunt confirmate de experienţă. In realitate totuşi, vârtejurile sunt repartizate pe suprafaţa aripii (extrados şi intrados) de o manieră compatibilă cu condiţiile scurgerii. 26.1. Punerea problemei Să presupunem că grosimea aripii este foarte mică ; o putem asimila cu un strat subţire de vârtejuri, de aceeaşi formă în plan ca şi aripa, având, drept secţiune, scheletul profilului real. Bepartiţia în suprafaţă a intensităţii turbionare cât şi direcţia vârtejurilor este foarte complicată ; deaceea pentru a rezolva problema, suntem obligaţi să facem anumite aproximaţii. Se poate presupune de exemplu că, dacă anvergura este mare faţă de profunzime, vârtejurile legate ar fi întinse dela o extremitate la alta, în fileturi elementare de vârtejuri de intensitate y dx, unde y este funcţie de x şi de y. 314 ARIPA ÎNLOCUITA PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE IH'l VÂRTEJURI Pentru calculele viteselor induse se poate neglija curbura acestor file-turi, acestea fiind considerate rectilinii. Se admite astfel implicit că aripa este aproximativ dreptunghiulară. Această ipoteză ar putea fi realizată, fie considerând un dreptunghiu c0b, unde e0 este coarda mediană (fig. 26.1 a), fie considerând un dreptunghiu cmb, unde cm este coarda medie (26.1 b). In primul caz intensitatea Y, înafara aripii însă în interiorul dreptunghiului c0b, va fi nulă ; în al doilea caz distribuţia lui y va fi continuă şi diferită de zero dela o extremitate laalta. Insă, în acest din urmă caz, trebue observat totuşi că poziţia reală a unui punct P de coordonate x, y, în dreptunghiul mediu asimilat cu aripa ar putea fi definit prin relaţiile următoare : , c . Cn (26.1) y Cm y> Fig, 26.1 a şi b. unde c este coarda în dreptul punctului P. Această ultimă ipoteză are desavanta-jul de a se adapta foarte greu la aripile de alungire mică, în timp ce prima prezintă mai multă precizie în această privinţă. Cum de altfel problema alungirilor mici va fi tratată pe o altă cale, vom folosi pentru alungirile mari metoda dreptunghiului mediu, cum este arătat în figura 26.1 b. Aripa va fi reprezentată printr'o pânză de vârtejuri quasi-rectilinii. In fiecare punct al acestor fileturi, se desprinde în direcţia axei Ox un vârtej <9y liber (fig. 26.2), de intensitate--- dx dy. Filetul turbionar y dx joacă, într'un fel, rolul unei aripi elementare de alungire foarte mare. Intr'o secţiune oarecare CD suma intensităţilor elementare răspândite pe coarda respectivă este egală cu circulaţia totală : (26.2) \ y dx iar făşia vârtejurilor libere care se desprind din aceeaşi secţiune, dela bordul de atac până 'la bordul de fugă, va avea ca intensitate totala : (26.3) dT dy dy da; — dy-- c &y - dy [ — da;. }c dy Aceasta este, într'un mod aproximativ, schema mişcării în jurul unei aripi, adică: a) un strat subţire de vârtejuri având m PUNEREA PROBLEMEI 315 acelaş contur cu al aripii, forţat să-şi păstreze poziţia, constitue sistemul de vârtejuri legate; b) vârtejurile libere care se desprind din fiecare punct al stratului de vârtejuri şi care sunt paralele la vitesa generală în acelaş punct, formează o pânză întinsă până la infinit a v a 1; c) în fine, curent general de vi t e s ă Vn. Fig. 26.2. In toată rigoarea ar trebui să ţinem seamă de grosimea aripii şi în consecinţă de influenţa distribuţiei în înălţime a fileturilor turbionare. Problema devine în acest caz aproape insolubilă din cauza complicaţiilor care intervin în calculul efectiv al viteselor induse. Deaceea, ipoteza simplificatoare pe care am făcut-o mai sus, neglijând grosimea, permite să se rezolve problema destul de riguros. Intr'adevăr, fie P un punct al aripii, de coordonate x, y [curbura pro-filelor fiind o dimensiune de al doilea ordin faţă de coardă, cotele în înălţime (Z) ale suprafeţei vor fi deasemenea de al doilea ordin faţă de xşiy~\; vitesa indusă în acest punct, presupusă foarte mică faţă de curentul general V0, va avea drept componente u, v, w. Dacă Ox este paralelă cu curentul general, componentele vitesei totale vor fi respectiv : (26.4) U = V0 + u, v,w. Vitesele u şi v n'au decât o influenţă slabă asupra rezultantei aerodinamice, m timp ce iv are o influenţă capitală în distribuţia incidenţei efective de-a-lungul anvergurii, din care cauză are un efect direct ' asupra 316 ARIPA ÎNLOCUITĂ PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE DE VÂRTEJURI rezultantei aerodinamice. Să presupunem deci că cunoaştem această vitesă w în punctul P(x,y, Z=0), al suprafeţei; unghiul vitesei rezultante cu curentul general este : (26.5) , . w tg.= _ o Acest unghiu este egal cu cel al tangentei la profil, trecând tot prin. punctul P, cu axa Ox. Fie Z cota suprafeţei deasupra planului xOy ; vom avea astfel : 6Z (26.6) w dx Vn 1 fD „ Z = — \ w dx. V0)c Dacă considerăm axa Ox', paralelă cu coarda, vom avea (26.7] BZ _ w _ dx' ~~ V0 pilor Eevenim oarecum la aceeaşi problemă ca cea a profilelor subţiri în mişcare plană (13.9); însă vitesa indusă este dată aci de un sistem mai. complex de vârtejuri şi anume : a) Vârtejurile legate, considerate aproximativ rectilinii în cazul an-drepte, de alungire mare. Prin extensiune se poate face aceeaşi ipoteză simplificatoare şi pentru alungirile mici (fig. 26.1). b) Vârtejurile libere, care se desprind din fiecare secţiune, pornind dela bordul de atac, progresiv, până la bordul de fugă, paralel cu vitesa şi care se întind până la infinit aval. Este dela sine înţeles că vârtejurile legate şi libere sunt unite pe suprafaţa" aripii într'un mod continuu, formând o curbă fără unghiuri ascuţite, însă, dificultăţile de calcul ne împiedică să luăm în consideraţie distribuţia fileturilor de vârtejuri, astfel cum este în realitate. Dispoziţia în potcoavă este o schemă simplificatoare după cum am mai arătat. Această simplificare ar fi eronată pentru formele foarte neregulate. Pentru aripile în săgeată, dispoziţia vârtejurilor legate va fi diferită, astfel cum se arată de exemplu în fig. 26.4. In cazul general se va ţine seama de vitesele induse u, v, w şi condiţiile la limită se vor exprima prin condiţia ca vitesa să fie paralelă la suprafaţa aripei, ca de altfel şi aceea ea vârtejul liber sau legat să fie paralel la aceeaşi suprafaţă. z V P V„ oc — \ 0 D X fl—--'-■---'-*m Fis,'. 26.3. CALCULUL VITESELOR INDUSE 317 Dacă Z reprezintă cotele în înălţime ale acestei suprafeţe, deasupra planului xOy, aceste condiţii vor fi : (26.8) (1 o + M) —- + V — dx dy w — =0, dz dZ dZ 6Z X — + y. —- + y — = 0, dx dy dz unde X, y., v sunt proiecţiile vârtejului Q iar w este considerată ca îndreptată în jos, în direcţia negativă. Dacă ţinem seama că ti, v sunt foarte mici, că— este neglijabilă, varia-dy ţia lui Z dealungul anvergurii fiind foarte redusă şi că r— = 3, se ajunge la ecuaţia dz (26.6), pe care am considerat-o dela început pornind dela ipotezele simplificatoare. 26.2. Calculul viteselor induse Să revenim la ecuaţia (26.6); problema constă în a calcula pe w după dispoziţia dreptunghiulară a sistemului turbionar, astfel cum este indicat în fig. 26.5. Fie \, 7) coordonatele punctului P pe suprafaţa aripii (£ % 0), x distanţa la axa Oy a vârtejului rectiliniu legat, y dx şi y distanţa la axa Ox a fascicolului de vârtejuri libere care se desprind din secţiunea y a aripii, dela bordul de atac până la bordul de fugă. Intensitatea "unui element al fascicolului care se desprinde în punctul x, y este — dx —- dy dy iar intensitatea totală a fascicolului care se formează dela 0 la re drx Fis. 20. i. (26.9) dy dy jj ax, dy Jo dy care devine pe toată anvergura, aşa cum am arătat-o mai sus (26.3) (26.10) dT dy dy = - dy [ ^ dx. Jo dy 318 ARIPA ÎNLOCUITĂ PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE DE VÂRTEJUR I După această schemă (fig. 26.5), este uşor de calculat vitesa indusă prin aplicarea formulei lui BIOT-SAVABT. Această vitesă va fi constituită din doi termeni, wx şi w2, deduşi după cum urmează : 1. Primul termen este datorit vârtejurilor legate, paralele cu anvergura. Un filet de vârtej elementar situat la distanţa x de bordul de atac, va avea ca intensitate y dx, unde y variază dealungul anvergurii; vitesa elementară în punctul P (£, 7)) va fi dată de formula următoare : (26.11) du\ = 1 CA y (,r — ţ)dy ~~ 4* )b [(» - lf + (>J - t))2]3^ Fi\r Clin m r\\t- . (26.12) wx = — f [ y sin v dv= : Jo x — l). vitesa indusă totală y (x — £) da? dy -T/2 4* Jo Jb i(x - If + (y - 7i)*l Dacă anvergura este destul de mare faţă de coardă şi dacă punctul P este destul de îndepărtat de extremităţile A şi B, se poate admite pentru y o valoare mijlocie şi integrala precedentă (26.12) devine : (26.13) __aCc'x 2t0<) x- y dx Vom remarca totuşi că în vecinătatea extremităţilor A şi B, chiar pentru aripile de alungire mare, această formulă nu mai este valabilă şi vitesa în aceste puncte se reduce la o valoare mai mică decât jumătatea valorii sale din centru. Pentru alungirile mici, influenţa extremităţilor se face simţită în toate punctele aripii; deaceea, este necesar în acest caz să se aplice, în toată rigoarea, formula (26.12). 2. Al doilea termen este datorit vârtejurilor libere, perpendiculare pe anvergură, care se desprind dintr'un punct al suprafeţei şi se întind până la infinit aval. CALCULUL VITESELOR INDUSE 319 Considerând tubul de vârtej legat y dx, în punctul (x, y) se desface o făsie elementară — dx —- dy ; vitesa indusă într'un punct P(ţ, -q), dato- dy rită fascicolului de şuviţe desprinse în secţiunea y (fig. 26.5), are valoarea (26.14) dw, 1_ 4tc _i_ . _dy_ r dy 1* y — 7] Jo [dy dy C° dy (1 sin v) da; V I Jo y — 7] Jo dy şi în consecinţă vitesa totală va fi 1 CA dy [c dy •i)2 dx (26.15) w9 Jb y _L [c CA rll 4 - Jo ),Bdy CA dy [° dy . \ —— V —' (1 — sm v) da; JB-y — 7]Jo dy 1 x — £, V - + (y - ^ dx dy y - 7] Din cauza variaţiei lui y în funcţie de x şi de y, expresia vitesei w.t este foarte complicată', integrala (26.15) fiind de altfel foarte greu de efectuat. Pentru problemele speciale pe care le vom trata mai departe, vom face o simplificare, considerând o repartiţie uniformă pentru y dealungul corzii. In acest caz, observând că se poate scrie : (26 .16) \ sinvda;= (y-ti)\ -r~ =- = Jo Jo cos2v Uosvjo x — \ c = - (»b — Tc), sm v J0 integrala (26.15) se reduce la o expresie mai simplă : (26.17) w. 1 + dy __±[A( + cos Tc c V cos t0 1 CA(1+ r0-rc\dr cos tc dy dT dy y — 7) 4 7i jB \_ c Jdy y — 7) In ipoteza liniei portante, se obţine expresia găsită anterior : (26.18) 4t-.1i dr dy dy y — t\ dT In ceea ce priveşte semnul, se vede că semnul unei făsii — dy este ne- dy gativ, dacă r creşte, şi în acest caz vitesa indusă este pozitivă. 320 ARIPA ÎNLOCUITĂ PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE t>E VÂRTEJURI ARIPI DREPTUNGHIULARE DE ALUNGIRE REDUSĂ 321 Vitesa totală în"punctul P(l, care trebue să satisfacă relaţiile (26.6) şi (26.7), va avea ca expresie finală : (26.19) w = + m-o = — \ -p \ T »in v dv + — V -(1t v 4 tc J0 x — £ Jb 4 tc Jo o 1/ d*JBy^n~ ~ ^\ )B~[(x-iy> + Iy~^fF lfcCAdyl__x-l } da? d 4^ \ )B dy\ [_(x- lfTiy^ifîk 1 v - + cos t) [(» - ^)2 + (y - vi)2] Sub această formă, cu toată schema simplificatoare (fig. 26.5), calculul vitesei este foarte complicat. Simplificarea adusă prin formula : (26.20) 1 CA w = —\ 4t:Jb A dr dy dy y~rt + Jfc T dx 2tcj0 x-V reduce problema la teoria clasică simplificată a liniei portante. 26.3. Aplicaţii la aripile dreptunghiulare. Metoda lui Blenk. După ce consideră o variaţie a circulaţiei în funcţie de y, de aceeaşi formă cu cea preconizată de BETZ, BLENK porneşte dela expresia (26.21) unde (26.22) 2y\n y-n = Cn x + ba 1 şi unde n este un număr întreg pozitiv; el calculează astfel vitesa indusă într'un punct P (l, ?]) şi introduce apoi această vitesă în expresia (26.7), unde %' va fi Înlocuită prin variabila curentă x, a^a'Ox fiind dirijată ddpă coarda profilului: (26.23) w , dZ — = a j--■ 7 o dx Ca aplicaţie, autorul ia un profil cunoscut, determin^ scheletul său după metodele cunoscute, ceea ce-i permite să calculeze --- în fiecare L dx ■ punct; punând condiţia ca ecuaţia (26.23) să fie satisfăcută în şase puncte : 126.24) y = — 3b x = ■ x = 1 ± — V"3~ BBS'. m m f'. f luând pe de altă parte pentru n valorile n — 0 şi n = 2, se găsesc şase ecuaţii cu şase necunoscute : a0, b0, c^ a%, b2, c2, care depind de unghiul de incidenţă Cunoscând aceşti coeficienţi se poate determina portanta Cz şi rezistenţa indusă Cxt. Pentru aripile dreptunghiulare de alungire X = 6, 4, 2, se găsesc aceleaşi caracteristice aerodinamice ca şi prin metoda liniei portante. Pentru alungiri mai mici decât 2, rezultatele nu mai sunt identice cu cele ale teoriei lineare şi metoda expusă mai sus permite în acest caz un calcul mai riguros. Autorul tratează prin aceeaşi metodă şi alte cazuri, ca de exemplu : aripa în derivă (26.6 b şi c), aripa în săgeată (26.6 d) etc. Vom relua mai jos toate aceste probleme printr'o metodă mai simplă, care dă rezultate rapide şi formule generale explicite. Observaţie. Distribuţia circulaţiei dealungul coreii, în fiecare secţiune, aşa cum este indicată de expresia (26.21), este un caz particular al expresiei generale (11.11) pe care am dat-o în paragraful (11). Intr'adevăr, considerând noua axă Ox, care porneşte dela bordul de atac spre bordul de fugă, — in comparaţie cu orientarea axelor în problema tratată în paragraful menţionat, unde axa Ox porneşte dela bordul de fugă spre bordul de atac — se poate scrie (26.25) x = — cos 6). Fig. 26.6. a, I), c, 2 T D = 0, (26.29) { b C = — c 2-kV2 \2A l b \ 2 2yj - ln 4A 1 - 2y) Y înlocuind pe x0 prin valoarea sa arătată mai sus (26.27) şi integrând în raport cu x, se obţine în fine vitesa w care trebue să satisfacă relaţia (26.23). Se găseşte în acest fel că curentul suferă o curbură şi o nouă deflecţiune şi că incidenţa indusă corespunzătoare, — în afară de cea care rezidtă din ipoteza liniei portante, precum şi raza de curbură vor fi date de formulele următoare : (26.30) A a= 0,059 —, A j — I = 0,056 P Cz b Trebue să remarcăm că această metodă greoaie, dar ingenioasă în acelaş timp, prezintă totuşi inconvenientul de a introduce o incertitudine în privinţa viteselor la extremităţile aripei şi prin aceasta un dubiu asupra valorii incidenţei suplimentare (26.30) care ni se pare destul de mare. 26.5. Aripi de alungire foarte mică Rezultatele precedente nu se mai aplică la aripile de alungire foarte mică, unde fenomenele sunt mai complexe şi nu se supun teoriei liniare elementare. Este foarte greu să se ţină seama de toate aceste fenomene şi pentru a rezolva problema se introduc, aproximaţii care reduc problema la. o schemă simplă, mai mult sau mai puţin apropiată de realitate, care se supune însă mai uşor analizei matematice. Astfel, de exemplu, W. BOLLAY face ipoteza că vârtejurile legate de intensitate y, constantă pe toată anvergura, se întind dela o extremitate la alta paralel cu aceasta. Fie o şuviţă de vârtej y dx; ea este în formă de potcoavă, C'CDD', cu latura CD sprijinită pe aripă şi reprezentând ARIPI DE ALUNGIRE FOARTE MICĂ 323 vârtejul legat iar CC, DD' vârtejurile libere care se desprind dela extre mitâţi şi se întind spre infinit aval (fig. 26.7), fiind paralele în fiecare punct la vitesa locală. Deaceea, unghiul a, pe care vârtejurile libere îl fac cu plamil aripei, este variabil cu profunzimea şi în consecinţă diferit de incidenţa a. Din această cauză, calculul vitesei induse devine foarte complicat, însă se poate lua la nevoie un unghiu mijlociu pentru a simplifica operaţiile. Fig. 26.7 Această schemă simplificatoare nu permite totuşi să se calculeze vitesa indusă la extremităţi, unde ea devine infinită. Deaceea, trebue să presupunem că sistemul de vârtejuri în potcoavă care înlocuieşte aripa este echivalent cu sistemul real în ceeace priveşte vitesa medie, care se admite a fi aceea corespunzătoare punctelor de pe linia mediană Ox. Prin urmare, într'un punct P (ţ, 0, 0) pe axa Ox, vitesa indusă elementară datorită fasiei ydx va fi, după formula lui BIOT-SAVABT, (26.31) dw, = — ydx 2cos PCD = — . Jjţ?L 4n 4rr x. de unde se obţine, integrând pe toată coarda, Ş)2 + b2 (26.32) 4tt y da; l) \Ux~-iy + b2 324 ARIPA ÎNLOCUITĂ PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE DE VÂRTEJURI_ Şuviţa de vârtejuri libere CC ne dă o vitesă elementară normală pe planul PC'C, a cărei valoare după fig. 26.7 va avea ea expresie (26.33) ar'--S PO, 1_ 4tc y drr (x - £)2 sin2 ct + — ^ (x — 2) cos cr r (a- 4 va fi (26.34) Componenta după PN, normală la planul CC DD'a vârtejurilor libere, 6 dF2 = cos PCJT ■ dF2 = —^=-~-- <17o ;)2 sin2 a + PI "4 iar componenta sa, normală pe planul aripii : (2*6.35) cbx2 =cos o dV'z = 8rc y cos a dx (x - l)2 sin2 a + — 4 1 - C) COS cr (« - Ş)2 b2_ T Rezultă în cele din urmă, ţinând seama şi de cealaltă făşie, DD\ care dă exact aceeaşi componentă normală la plan, şi luând integrala dealungul întregii profunzimi: w0 =--■ (26.36) ' 4tt y cos cr da; b2 ~y (x - l) sin2 a + -j- (x — 2) cos ff (x - 2)2 +-r Deoarece vitesa în punctele planului trebuie să fie tangentă la suprafaţă, vitesele normale, datorite respectiv curentului general (F0 sin a) şi sistemului de vârtejuri care înlocueşte aripa (w, + w»), au o rezultantă nulă şi prin urmare trebue să avem neapărat (26.37) »i + w2 = - F0 sin a, de unde rezultă următoarea ecuaţie integro-diferenţială : y cos cr dx 4TC (26.38) (a; — £)2 sin2 ct -- ' 2 4 y da; (a: — 2) cos o- (x-ţ)2 + ~ (X- l)2 +- = Fn sin oc. ARIPI OE ALUNGIRE FOARTE MICĂ 325 Această ecuaţie este greu de manipulat, pe de o parte din cauza variaţiei lui y şi pe de altă parte din cauza interdependenţei lui rj şi y. Deaceea, W. BOLLÂY admite pentru y o distribuţie de forma (26.39) şi efectuează calculele, de altfel foarte laborioase, luând pentru cr o valoare medie. Cu toate simplificările care s'au adus, reducând fenomenele reale la o schemă elementară, rezultatele obţinute sunt totuşi foarte interesante, după cum se poate constata de pe diagrama din fig. 26.8, unde se pot compara experienţele cu rezultatele teoretice. Notând cu Cn coeficientul componentei normale pe plan (26.40) Vn — Fn l?0 ?bcVÎ 0.80 / > = t/30 7 50--OC se găseşte, intr'adevăr, că pentru o alungire X = —, variaţia lui Cn ex- 30 ' oeo perimental în funcţie de incidenţă urmează într'un mod remarcabil curba teoretică. In aceeaşi chestiune trebue să menţionăm lucrarea lui GOLUBEV[6] care dă o teorie bazată pe o schemă o?o mai practică şi mai sugestivă. Este probabil că această schemă simplifi- catoare pe care o propune va căpăta o w' zo° 30' 40' mai departe o desfăşurare materna- — tică adecvată cu analiza unui feno- Fig- -6.8. men atât de complex ; mai ales că rezultatele obţinute până acum sunt în bun acord cu experienţa. 27. TEORIA POTENŢIALĂ A ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ Bazată pe teoria vârtejurilor, problema aripilor de anvergură finită a fost tratată până acum prin teoria liniei portante sau prin repartiţia în suprafaţă a vârtejurilor legate. Problema directă a mişcării în trei dimensiuni n'a fost încă atacată din cauza dificultăţilor insurmontabile pe care le comportă. Cu toate calculele foarte laborioase şi foarte complicate, încercările în această direcţie a câtorva autori au dus la rezultate concrete şi foarte interesante pe care le vom expune pe scurt mai jos. 326 TEORIA POTENŢIALĂ A ARIPILOR ])E ANVERGURĂ FINITĂ 27.1. Punerea problemei Fie 7 vitesa într'un punct al spaţiului şi să punem (27.1) V = 7„ + va, unde 70 este vitesa curentului iar va vitesa adiţională datorită prezenţei aripii; fie u, v, iv, proiecţiile lui va pe axele Ox, Oy, Oz şi să presupunem că axa Ox este dirijată după direcţia negativă a curentului; componentele vitesei totale vor fi respectiv : (27.2) * -y0 + v, v, ic. Să admitem pe de altă parte că vitesa va este foarte mică faţă de 70. Prima ecuaţie a mişcării, dacă neglijăm greutatea aerului, va putea fi redusă în acest caz la următoarea formă simplă : (27.3) ăV_ dt ev dx ( - V0 + «) dy ev dz w JT ev î . V0-=---grad p. dx p Inafara aripii şi a pânzei de vârtejuri, mişcarea este irotaţională; există deci un potenţial de vitese cp, fie (27.4) V şi ecuaţia precedentă devine : dv „ e dt grad cp (27.5) g unde funcţia (27.6) = - 'Pot- (grad ?) = - grad (y.-^W - grad <&, dx V dxj dx reprezintă astfel un potenţial de acceleraţii. Este uşor de văzut că potenţialul O satisface ecuaţia lui LAPLACE : (27.7) V2<&= For(v2, vom avea în acelaş timp valoarea presiunii şi, prin aceasta, forţele şi momentele. Intr'adevăr, admiţând pentru simplificare că grosimea aripii este foarte mică, adică aripa este redusă la o suprafaţă subţire, notând mai departe prin pe, <->_ respectiv pi, O/ valorile presiunii şi ale potenţialului, pe extrados şi intrados, vom putea scrie pentru portantă şi moment relaţiile următoare : (27.10) P=P ( (pi - pe) dS = = p \ (a>! - o.) ds, -^ = p\ x(pi - pe)dS = Js — p\ x ($>i — Oc) dS. B 0 Fig. 27.1. Pentru rezistenţa indusă, dacă w este vitesa indusă după Oz, vom avea : 27.11) (Vi Ve) — Vn [ (<->- , vom avea <90 p dx. Problema constă deci în căutarea potenţialului acceleraţiilor, pe care l-am notat cu <_> şi care este o funcţie armonică. 27.2. Aplicaţie la aripa circulară Această problemă este tratată şi desvoltată de W. KIKNEE [8] şi X. COCIÎf [4]. Printr'o schimbare convenabilă de variabile, şi anume în iocul coordonatelor x, y, z, se pun trei alte variabile X, (_, v, definite prin relaţiile : (27.13) x y z ■■ a ]/ 1 — !_2 1'' 1 + v2 cos X, a }' 1 a jx v, }' 1 + v2 sin X, 328 TEORIA POTENŢIALĂ A ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ unde a este raza conturului circular ce se studiază. Se înlocuesc astfel cele trei planuri ortogonale de referinţă (xOy, yOz, zOx) prin alte trei suprafeţe r hiperboloizi de revoluţie (y. = ct.), elipsoizi de revoluţie (v =ct.) şi plane trecând prin Oz (X = ct). Pentru orice punct x, y, z al spaţiului, noile variabile sunt cuprinse între următoarele limite : -l<|i<10 1, astfel cum s'a confirmat dealtfel prin 330 TEORIA ARIPILOR IN SĂGEATĂ SAU IN DERIVĂ VITESA INDUSĂ cercetările experimentale pe care le-am menţionat în paragraful 20. In aceste conditiuni s'ar părea că putem aplica aceeaşi metodă pentru cazul unei aripi a cărei linie mijlocie ar avea o formă arbitrară în raport cu direcţia curentului şi prin urmare linia portantă n'a r fi nici dreaptă, nici normală la vitesă. In acest caz însă, apare o dificultate, mare şi anume : vitesa într'un punct al liniei portante devine infinită. Intr'adevăr, într'un punct t] al anvergurii, vitesa indusă elementară datorită unei făşii--ăy va fi respectiv dacă avem dy 1 dr du\ = —• 4tl dy dy y — y] (1 — sin 8) , y — f\ i_ 4tt dT dy ăy (1 + sin 8), y dacă avem y 7] <0. dr Pentru două făşii simetrice, de aceeaşi intensitate^ dy dy dT d?/ dy dr = — drivom avea deasemenea (fig. 28.1) : dv) 2 sin 8 (28.3) dw = d (wx + w2) = - dv) 4tc dr dT) | y — V de unde se vede că vitesa indusă creşte peste orice limită pentru \y—v\\ = = e 0. Repartiţia vârtejurilor în suprafaţă evită această imposibilitate, însă calculele sunt'extrem de laborioase şi câteva cazuri studiate (fig. 26.6) con-stitue cazuri particulare, fără posibilitatea găsirii unei formule practice şi simple care să reprezinte rezultatul general. Deaceea, vom urma o metodă mixtă : pe deoparte vom considera vitesa indusă în dreptul liniei portante, pe de altă parte, pentru a evita vitesa infinită, vom presupune că vârtejurile libere într'o secţiune oarecare se desprind progresiv, dela bordul de atac la bordul de fugă, pe toată profunzimea aripii, după o lege care ţine seamă de repartiţia vârtejurilor legate. Pentru a simplifica calculele, vom admite că vârtejurile legate sunt uniform repartizate pe coardă. Totuşi, cu toate aceste simplificări, problema rămâne complicată. Vom încerca' însă să stabilim formula vitesei induse, '9 331 într'un mod cât se poate de simplu, adoptând totuşi o cale riguroasă de tratare. 211.1. Vitesa indusă Să considerăm linia mijlocie a aripii ca linie portantă şi fie y distribuţia uniformă a circulaţiei pe toată profunzimea. Această ipoteză nu ridică generalitatea problemei, deoarece este vorba, înainte de toate, să se evite vitesa infinită dată de formula (28.3) şi nu să căutăm influenta distribuţiei în profunzime, care nu este dealtfel prea importantă. Trebue observat pe de altă parte că pentru profilele moderne zise laminare a-ceastă distribuţie este destul de conformă cu realitatea, cel puţin o bună parte din coardă începând dela bordul de atac. Fie 7] secţiunea considerată şi P punctul pe linia portantă, Vitesa indusă elementară, datorită vârtejurilor libere, care scapă dealungul secţiunii y va fi dată de elementul diferenţial al expresiei (26.10), adică (28.4) dw2 dy rn — rc ^d^ 'dy X X y - 7) unde r0 şi rc sunt razele vectoare indicate în figura 28.2. In cazul liniei portante drepte (r0 = rc), această vitesă va avea ca expresie : (28.5) dt,1=i-dr ăy 4rc dy y — y\ de unde rezultă o diferenţă de vitesă indusă : {28.6) d (w2 — Wj) = dws 1_ ' 4tc Fi. dT ăy y dy pe care o vom considera ca vitesă indusă supliment a.ră a aripei în săgeată, faţă de o aripă dreaptă de aceeaşi alungire. ' * Pentru a calcula diferenţa (r0 — rc) i I I (28.7) | I I r.2 = r2 + r sin 8= r2 să observăm mai întâi că avem sin 81 cr ra = r2 +--rsinS= + - 1 cr sin 8 4 332 TEORIA ARIPILOR IN SĂGEATĂ SAU IN DERIVĂ Să observăm mai departe că valoarea lui sin § este mai mică decât . . cr . unitatea, ea nu întrece, practic, sin 45° « 0,71 ; raportul -este dea se ,.2 + menea mai mic decât 1, în afară de cazul r = A când acest raport este egal chiar cu 1 şi atinge astfel valoarea sa maximă, In acest caz, se poate scrie riguros : (28.8) 1 + cr \ sin ă r2 + -r 1 + cr sin S — r2 + cr sin2 S + . . şi ca urmare : (28.9) r0 - rc 12 ^ xh sau încă (28.10) rn — rc cr ' 1 4 r sin 5 sin 8 — . r2 _|_ (28.11) Să înlocuim pe r prin expresia sa în funcţie de y — r\, y — ri cos S relaţia (28.10) se poate pune sub forma : r0 - rc = _ j2/_=1^)_ţgJL cos2 S 4 de unde rezultă o vitesă indusă suplimentară [3] : (28.12) (28.13) W2—W1 = Ws=— -— tg8 dr , ^o^T+ 4 Această formulă diferă sensibil de cea a lui WEINIG [10][st^tt pe nltă cale - cele două formule devin egale m cazul când b este mic şi pu ?im nune deci cos 8 « 1 si tg 8 « sin 8. In general pentru avioanele rapide xiaodernts poate să atfngă 350 - 45» şi simplificările de mai sus nu mai sunt valabile. i L VITESA INDUSĂ 333 Este sigur că se poate pleca dela o altă distribuţie a intensităţii de vârtej y, ea de exemplu următoarea formă parabolică : (28.14) Y = Yo + Yi— î c c2 calculele nu prezintă nicio dificultate, însă rezultatul ar fi mai complicat, ceeace nu uşurează rezolvarea problemei. Dealtfel, forma distribuţiei nu trebue să prezinte o importanţă specială, deoarece vitesa indusă în fiecare punct al liniei portante îşi datorează valoarea sa principală fascicolului total dT —ăy al întregii secţiuni si repartiţia în profunzime a vârtejurilor legate n'ar dy avea o influenţă deosebită decât asupra termenilor secundari. Se poate ţine totuşi seama de această distribuţie într'un mod aproximativ, după cum urmează : Să luăm, de exemplu, ea linie portantă, locul geometric al centrelor de greutate ale circulaţiei dealungul corzii şi să considerăm pe cea mai mică distanţă la bordul de atac sau de fugă. In acest caz, putem presupune că circulaţia V este uniform repartizată pe coarda cx ait. .,a2P. Aşa de exemplu, termenul principal este dat de relaţia : (28.34) IV2 2|x0 + Po - h ~ PI + PI 2|x0 + %- [i4 4ft> + Po unde (x0, p0, p2, p4 sunt caracteristicele geometrice ale aripii, aşa cum au fost definite în capitolele precedente. Ceilalţi coeficienţi a4,a6,... ,se deduc uşor, însă sunt neglijabili faţă de termenul principal. *) Pentru x variind dela 0 la 20, expresia • mod satisfăcător prin polinomul următor : 1 ar putea fi reprezentată într'un 1 + = 2,1 — 1,54 \ x + 0,156 x — 0,0025 x2. fi APLICAŢIE LA ARIPILE IN DERIVĂ 337 28.3.1. Consideraţii geometrice-asupra aripii în derivă. Formulele stabilite mai sus, privitoare la aripa în derivă teoretică, Fig. 28.4. printr'o translaţie rectilinie a fiecărui profil, se obţin din cea dreaptă proporţională cu y (fig. 28.4). Secţiunile paralele cu curentul (normale la Oy) dau aceleaşi profile pe aripa dreaptă sau pe aripa în derivă şi variaţia corzii în funcţie de y este identică. Anvergura b a aripii, astfel cum a fost introdusă în calcule, este proiecţia anvergurii reale pe care o vom nota cu b'. Insă acest caz ideal nu este întâlnit în aplicaţiile obişnuite; deaceea, practic trebue să asimilăm deriva cu o rotaţie a aripii de un unghiu S (fig. 28.5 şi 28.6). Din acest fapt rezultă : 1) Secţiunile duse paralel cu curentul dau profile diferite faţă de profilele aripii în poziţia iniţială. 2) Pentru ± y secţiunile unei aripi eliptice de exemplu, nu sunt identice 22 Adrodinamica Fig. 28.5. 338 TEORIA ARIPILOR IN SĂGEATĂ SAU IN DERIVĂ APLICAŢII LA ARIPILE IN DERIVĂ 339 (fig. 28.6), ca dealtfel şi părţile. haşurate ale aripii dreptunghiulare (28.5); se admite totuşi, într'un mod aproximativ, că variaţia corzii este simetrică faţă de direcţia curentului. 3) Anvergura aparentă b, proiecţia anvergu-rei reale b', nu este întotdeauna precisă, după cum se vede pe fig. 28.5, se poate lua însă proiecţia anvergurii reale. 4) Unghiul de incidenţă suferă o modificare esenţială. Aşa de exemplu, dacă' «.' reprezintă incidenţa secţiunii drepte (_') faţă de vitesa curentului conţinută în planul aceleaşi secţiuni, incidenţa a faţă de noua direcţie a curentului, în secţiunea corespunzătoare 8, va fi dată de relaţia (fig. 28.7) : Pig. 28.6. (28.35) _ = a' cos 8. Aceste consideraţii geometrice ne permit să scriem relaţiile următoare (28.36) c' = c cos 8, -cm cos 8, 6 = 6' cosă, de unde rezultă, notând cu Xr alungirea reală a aripii: b 1 (28.37) A 6' Cm cos 8= cos 8 X- cos 8. Fig. 28.7. Vom avea mai departe ^ _ c0 _ 2 ' 6 ~~ Jc eL 1 ,1 - • -- •-- = MU--: 2 V cos2 8 cos2§ (28.38) Ho unde Ho reprezintă coeficientul aripii reale. Coeficientul Ax care intră în formulele precedente este deasemenea diferit de A'x care corespunde aripii drepte. Intr'adevăr, prima formulă (18.5) ne dă : (28.39) Ho cos28 ~t" Po ?2 (P2 3H0 cos28 = _Ho_ cos2S cos 8 Ceilalţi termeni vor fi obţinuţi înlocuind pe în (18.5), prin şi cos28 ' a prin a' cos 8. 28.3.2. Influenţa termenilor anti-simetrici. Pentru calculul integralei (28.22) am considerat mai sus o circulaţie simetrică şi am obţinut termenii pari ai unei variaţii antisimetrice : 2bV0(az~ sin 26 + a4 sin 46 + -j- ■ • • + a2P sin 2pQ). Aceşti termeni, la rândul lor, dau o incidenţă suplimentară is simetrică, care modifică coeficienţii A,, A3,. . .,A2P+l ai circulaţiei simetrice iniţiale. _ Această modificare este însă neînsemnată în ceeace priveşte valoarea lui Ax care intră în formulele precedente. Pentru a arăta acest lucru, vom evalua aproximativ variaţia coeficienţilor A1,...,A2P+1, variaţie pe care o vom nota prin termenii aditivi: a-, a3,. . ., aw+x. Să considerăm pentru aceasta, o variaţie anti-simetrică lineară: (28.40) Tas = yv), unde y poate fi uşor determinat, admiţând că intensitatea mijlocie a circulaţiei pe semi-anvergura aripii (fig. 28.8) este egală cu intensitatea mijlocie a repartiţiei reale, limitată totuşi la primii doi termeni [26F0(a2sin 26 + a4 sin 48)] : Fig. 28.8. = 2bV0 — f^K sin 20 2 -1 o + a4 sin 46) sinO d0 = 6270 — a2 + 15 340 TEORIA ARIPILOR IX SĂGEATA SAT IX DERIVA Rezultă : (28.42) 16 t/ ( , 2 16_ 3 70a, 2P2 5(4(x0 + Po) unde am înlocuit pe a4 printr'o expresie aproximativă în funcţie de a3 scoasă din relaţiile generale : (28.42 bis) ~ ~- ^ a9. 4[j.0 + Po Admiţând deci o variaţie lineară a circulaţiei, integrala (28.22) devine succesiv, pentru porţiunea lineară: (28.43) YţgŞ diQ YJuiSlT1 l 2 4*7,, cos28 2/ 2 ^2 + I^L cos2 8 4 y sin8 b , *2 cos2 8 n§ rr--- i ■--- — In y 1 + A2 (1 + cos6)2 +A(1 +cos8) yi+A2(l-cos e)2 + o IL 1L + A (1 - cos 6) 47t Pe de altă parte, pentru vârtejurile concentrate marginale, în A şi B, un raţionament analog cu cel precedent ne conduce la următorul rezultat : (28.44) Y sin 8 4xt7n A \! 1 +A2(1 - cos 6)2 J/ 1 +A2(1 + cos 6)2 Suma celor două expresii (28.43) şi (28.44) ne dă incidenţa suplimentară i's care este simetrică. Valoarea mijlocie a acestei incidenţe este foarte mică. Intr'adevăr, pentru o alungire reală mijlocie Xm = 6, pentru 8 ţa 30°, această incidenţă mijlocie este de ordinul 0,01 Av deci neglijabilă. Putem deci neglija influenţa distribuţiei anti-simetrice asupra repartiţiei portantei. 28.3.3. Exemplu de calcul. Pentru a verifica rezultatele obţinute mai sus concretizate prin formulele (28.32) şi (28.34), care sunt generale fiind totuşi simple ca formă, vom face o aplicaţie la o aripă dreptunghiulară de alungire reală Xr = 6 şi o derivă 8 = 0,5. Calcule elementare ne conduc la rezultatul următor : (28.45) a2 == —0,0575 Av "5-'" agi APLICAŢIE LA ARIPILE IN SĂGEATĂ 341 28.4. Aplicaţie la aripile în săgeată Acest caz este foarte important pentru construcţia avioanelor moderne de vitesă mare. Intr'adevăr, forma în săgeată evită într'o bună măsură supravitesele pe extradosul aripii şi prin aceasta este micşorată si rezistenţa. Fie 8 unghiul săgeţii; vom avea (fig. 28.9) : (28.46) 8fl = 8 86 = 7t - 8' şi formula (28.26) devine, punând ca deobicei t) = — — cos 6, 9 (28.47) is = unde (2 8.48) A = ■ A' = XAX tg 8 1 + A*(l -f cos 6)a + tg 8' 1 + A'2 (1- cos 6)2_ X cos 8 X' COS 6 Avem mai departe : (28.49) tg 8' = X + "1 , « l+cosB, ^ tg 8 = -t- tgS 1—cos 6 Xs / V / v \ 1 b i^- -S , a \^ 1 X Fig. 28.' şi prm urmare : (28.50) is = — XA,tgS 4 î+cos e 1—cos 6 1 + A2(l + cos 6)2 |/ 1 + A'2 (1- cos 6)2 Această relaţie este valabilă pentru 6 variind dela ^- la tv, pe partea dreaptă a aripii. Pentru partea stângă je variind dela 0 la un raţionament 342 TEORIA ARIPILOR IN SĂGEATĂ SAU IN DERIVĂ simplu ne conduce la formula următoare : 1—cos 6 (28.51) is = — X_4.,tg8 4 1+cos 6 Yl+ A'2(l + cosG)2 V 1+ A2(l - cos 8)2 In prima formulă, influenţa primului termen este preponderentă (cos 8 < 0); pentru cea de a doua, influenţa termenului al doilea este preponderentă (cos 8 >0); rezultă deasemenea că valoarea lui A influenţează rezultatul într'un mod preponderent, Se poate pune, în aceste condiţii, (28.52) A'«A = - cos 8 şi unghiul indus suplimentar va fi dat de o singură formulă (28.53) is = —X A[ tg8 4 + ,7 cos f 1 + A2(l + cos 8)2 1 + cos V 1 + A2(l - cos 8)2 J 1 + | cos 8| Să observăm din nou că putem scrie, pentru x variind dela 0 la 20, relaţia următoare : (28.54) 2,1 - 1,54 \f x _|_ 0,156a; - 0,0025a;2 + . . Pe de altă parte, se poate pune aproximativ (28.55) iar după (28.54) (28.56) j/'l+cos 6 + 1/1 -cos 8 a_ 1,7 — 0,3 cos 28, + - V 1+ A2(l + cos8)2 ]/ 1 + A2 (1 — cosa)2 3 _ «_(4,2 - 2,78 ]/A -f 0.312A — 0,0075A2) + 3 _ 3 _ +(0,262 l/A - 0,0025A2) cos 26 + 0,03 J/'A cos Ţinând seamă de (28.30) şi (28.31), vom avea mai departe : (28.57) C°S 9 C0S ° \ 1 + A2 (1 - cos 8)2 ]' 1 + A2(l + cos 0)2 3 _ = (0,616 YĂT— 0,156 A + 0,005 A2) (1 + cos 28). 'iitîi m H ■ W APLICAŢIE LA ARIPILE IN SĂGEATĂ 343 Să- mai observăm că ■ sin 8 s'ar putea reprezenta într'un mod l + |cos8| destul de riguros printr'un polinom trigonometric simplu : (28.58) sin 8 1 + |cos 8j 0,75 sin 8 — 0,10 sin 38. In cele din urmă, introducând aceste relaţii în expresia (28.53) şi înlocuind pe X prin A cos S, se găseşte : (28.59) unde (28.60) is sin 6 = ix sin 8 + iz sin 38 + i5 sin 58 + i7 sin78 *3 1 3__ — AA, sin 8(3,15-1,99]/A4- 0,183A - 0,0029A2) 4 ' 1 3 _ -AA1sin8-(0,42+0,61ţ/'A o,074A + 0,0012A2) 1 s_ —AA! sin 8(- 0,034 ya + 0,008A - 0,00013A2) 4: sin 8 ( - 0,0015 fĂ) » 0. Dacă punem acum circulaţia suplimentară Ts sub forma sa obişnuită (28.61) Ts= 2&F0(a1 sin 6 + a3 sin 38 + • • •), determinarea coeficienţilor a,, a3,. . se va face aplicând formulele (22.10) şi (22.11). 28.4.1. Influenţa vârtejurilor legate. In consideraţiile precedente nu s'a ţinut seamă decât de vârtejurile libere. In realitate, de îndată ce linia portantă care reprezintă vârtejurile legate nu este dreaptă, se stabileşte o influenţă mutuală între diversele părţi ale acestei linii în ceeace priveşte vitesele pe care şi le induc reciproc. Astfel, de exemplu, vârtejul legat din partea stângă induce în punctul P al părţii din dreapta (fig. 28.10) o vitesă suplimentară care rezultă imediat, din legea lui BIOT-SAVABT : (28.62) w's = — •-____r-(cos S - cos 28). 4nPN Se mai poate pune (28.63) PN = OP sin 28 = 2vj sin 8; observând pe de altă parte că cos 8, care variază dela 1 până la cos 8 când 7) variază dela 0 la — , ar putea fi înlocuit prin relaţia lineară următoare : 2 (28.64) cos B = 1 — 2 sin2 — • — , 2 6 344 TEORIA ARIPILOR IN SĂGEATĂ SAU IN DERIVĂ BIBLIOGRAFIE 345 putem scrie pentru noua incidenţă indusă suplimentară : (28.65) i's = - sinsf— - ——-] ■ 8 lv) 1 + eosSj Din cauza simetriei, în punctul — r\ avem aceeaşi incidenţă indusă trebue să scriem prin urmare : (28.66) A i sin 8 1 + cos 8 =--A, sin < 4 |cos6| 2(1 + cos 8) Această formulă este valabilă până în vecinătatea secţiunii mediane. In această'ultimă secţiune, fenomenul este mai complicat. Vom face ipoteza simplificatoare că pe partea centrală, B' A' (fig. 28.10), vitesa indusă este constantă şi egală cu cea din punctele B' şi A', iar abscisa respectivă (28.64) B>o = OĂ' = % =CSL cot 8, 2 va fi introdusă în relaţia (28.66) pentru a obţine în sfârşit valoarea incidenţei induse pe porţiunea centrală B'A' : (28.67) — A, sin8 4 a sin 8 2(1+cos 8) Ţinând seama de această valoare în centru şi de relaţia (28.66), considerând pe de altă parte alungirile uzuale, expresia i's sin 6 ar putea fi reprezentată într'un mod destul de satisfăcător prin următorul polinom trigonometric : (28.68) is sin 6 = 8 Ax sin 8 sin 8 1+cos 8 + 1,41 sin 6 _ J_ (A gin 8 - 1,15) sin 30 + — (a sin 8 - 1,92) sin 56 3 3 care se obţine prin calcule elementare. l|t Iii #5 Este uşor să se determine mai departe coeficienţii circulaţiei suplimentare : (28.69) Ti = 2V0b(a\ sin 0 ffg sin 30 ... + an sin »0), prin metoda pe care am folosit-o în cazurile precedente. Observaţie. Distribuţia circulaţiei totale r va fi egală cu suma circulaţiilor datorite aripei drepte (r')> vârtejurilor libere (Ts) si vârtejurilor legate (Ts) : (28.70) r = r' r's, de unde rezultă, notând cu A\ A 3, . . ., An, coeficienţii corespunzători ai aripei drepte, coeficienţii circulaţiei totale : (28.71) An = A'n + an + a'n. BIBLIOGRAFIA CAP. VI. 1) BLENK H. : Zeitsch. f. angew. Math. u. Mechanik, 5 pag. 3C„ 1925. 2) BOLLAY W. : Zeitsch, fur ang. Math. u. Mech. voi. 19 (1939). 3) CARAFOLI E. şi T1PEI N. : Asupra teoriei aripilor în săgeată sau în derivă. Buletinul Ştiinţific al Academiei R.P.R. t. Nr. 4. 1948. 4) COC IN N.E. : Teoria aripei de anvergură finită cu formă circulară in plan. „Pricladnaia matematica i mehanika", 1940, Nr. 1. 5) DORODNITAN A. A. : Generalizarea teoriei liniei portante pentru cazul aripei cu axa defor- mată şi cu axă care nu este perpendiculară pe curent „Pricladnaia matematica i me-hanica" voi. VIII, 1944, Nr. 1. 6) GOLUBEV V.V.: Asupra teoriei aripii de alungire mică. Isvestia Akademii Nauk S.S.S.R., 1947, Nr. 3. 7) GOLUBEV V.V.: Lecţii din teoria aripii, Editura de Stat a literaturii tehnice şi teoretice, Moscova, Leningrad, 1949. 8) KINNEB W. :Die Kreisformigen Tragflache auf potentialtheoretischer Grundlage, Zeit. fur Angew. Mathem. u. Mechanik, 18, 1937. 9) KRIENES K. : Die elliptische Tragflache auf potentialtheoretischer Grundlage, Zeit. fiir ang. Mathem. u. Mech., 20, 1940. 10) WEINIG F. : Schiebende und gepfeilte Tragfliigel, Luftfahrtforschung, 20 Februarie 1937. NAŞTEREA CIRCULAŢIEI ŞI FORMAREA STRATULUI DE VÂRTEJURI 347 CAPITOLUL VII TEORIA SUSTENTAŢIEI ÎN MIŞCAREA NEPERMANENTĂ - Mişcarea pe care am studiat-o până'n prezent a fost presupusă permanentă, iar rezultatele obţinute privesc prin urmare deplasarea rectilinie şi uniformă a aripii. Dacă vitesa acesteia nu este nici rectilinie, nici uniformă, sau dacă avem o mişcare mai generală, o translaţie asociată cu o rotaţie de exemplu, scurgerea fluidului' înconjurător este nepermanentă. Această mişcare generală nu comportă de altfel nicio dificultate, cel puţin pentru problema plană, şi soluţiile respective au fost indicate în-tr'o lucrare anterioară [2][3] unde am tratat amplu şi într'un mod special mişcarea de translaţie asociată cu o rotaţie. Insă aceste soluţii se referă exclusiv la potenţialul uniform, iar termenul multiform datorit circulaţiei, pe care l'am adăugat la rezultatul general, a fost considerat tot timpul invariabil, conform cu legea circulaţiei, a lui KELVLN. Ori, această ipoteză nu este valabilă pentru anumite probleme ale aerodinamicei, ca de exemplu scurgerea în jurul unei aripi pornind din repaus, mişcarea în jurul aripilor batante, sborul păsărilor, etc, unde explicaţia sustentaţiei şi a efectului propulsiv se bazează pe existenţa circulaţiei şi pe variaţia ei. 29. CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR IN JURUL UNEI ARIPI IN MIŞCARE VARIATĂ Teorema lui JUCOVSCHI explică sustentaţia cu ajutorul circulaţiei care ia naştere în jurul aripii. Determinarea circulaţiei la rândul său este bazată pe necesitatea fizică de a avea o vitesă finită la vârful din coada profilului. In mişcarea permanentă această circulaţie, odată determinată, rămâne mereu constantă. Insă cum ia naştere şi care este legea variaţiei sale în timp ce regimul tinde să se stabilească sau în timpul variaţiei mişcării? Aceasta este problema pe care o vom trata mai jos. 29.1. Naşterea circulaţiei şi formarea unei pături de vârtejuri în spatele aripii Nulă la început, când fluidul este în repaus, circulaţia ia naştere şi variază continuu cu timpul de îndată ce a început mişcarea. Această a variaţie a circulaţiei, care trebue să satisfacă totodată teorema lui KELVIN, are un mecanism destul de complicat, însă vom încerca, s'o explicăm pe o schemă simplă. Fie, intr'adevăr, o aripă care este la momentul iniţial în repaus şi începe mişcarea sa cu o vitesă care se poate presupune, pentru simplificare, rectilinie. In primul moment, scurgerea este determinată de potenţialul uniform, care comportă după cum am văzut două puncte de vitesă nulă în A şi în B şi o vitesă infinită la vârf (fig. 29.1 a). Această vitesă infinită nu poate să se producă în realitate în interiorul fluidului (depresiunea ar fi deasemenea infinită), însă particulele care se găsesc pe intrados, din cauza tendinţei lor de a înconjura vârful de îndată ce acesta a început să se deplaseze, îşi măresc vitesa şi prin aceasta se stabileşte în apropierea a-cestui vârf o discontinuitate de vitese, între filetele de pe extrados şi intrados (fig. 29.1 b). Această suprafaţă de discontinuitate este în fapt un strat de vârtejuri a cărui intensitate totală — Ar este compensată prin circulaţia Ar ce se naşte în jurul profilului şi care, prin vitesa pe care o produce pe contur, face ca punctul B de vitesă nulă să se deplaseze spre coadă. Prin acest fapt, tendinţa de învăluire a vârfului dispare şi vitesa devine finită şi tangentă la coadă; însă stratul de vârtejuri se menţine şi se întinde dela punctul iniţial (t = 0) până la noua poziţie a vârfului (t = tt) Fig. 29.1. a, b, c. Feno- menul continuă astfel şi circulaţia r care se formează în jurul profilului este egală cu intensitatea totală a stratului de vârtejuri. Particulele, care formau în starea iniţială un circuit închis C, formează la momentul t = circuitul C„ în jurul căruia circulaţia totală rămâne mereu nulă, conform cu legea circulaţiei. Când vitesa atinge valoarea sa de regim, variaţia circulaţiei r este datorită în acest caz exclusiv poziţiei relative a aripei faţă de stratul de vârtejuri. Intr'adevăr, acest strat presupus rectiliniu şi paralel cu vitesa, sau înfăşurat în parte în forma unui nucleu turbionar (fig. 29.1 c), induce o vitesă verticală în dreptul aripii, care produce la rândul său pe aripă o circulaţie suplimentară. Această circulaţie suplimentară provoacă la rândul său variaţia circulaţiei, astfel că stratul de vârtejuri continuă să se formeze, însă intensitatea turbionară cât şi variaţia circulaţiei la care corespunde devin din ce în ce mai mici, tinzând spre zero odată cu îndepărtarea de .aripă. 348 CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR Când distanţa la nucleul turbionar devine destnl de mare, — şi aceasta se întâmplă după câteva momente —, influenţa acestuia devine neglijabilă şi se stabileşte în jurul conturului o circulaţie de regim, a cărui studiu, sub toate aspectele sale, a fost făcut în paragrafele precedente. In timpul regimului variabil, când se trece dela timpul t la timpul t + dt, circulaţia în jurul profilului variază cu dr; intensitatea stratului turbionar, care se formează în spatele vârfului, este în consecinţă — dr. In acest interval de timp, vârful profilului, care se deplasează cu vitesa V presupusă aproximativ rectilinie, trece dela punctul s la punctul s + ds = _|_ y pe traiectorie şi dacă y este intensitatea turbionară pe unitatea de lungime, vom avea : (29.1) y ds = — dr. Dacă circulaţia în jurul profilului este nulă la început, — cum ar.fi cazul când aripa ar porni din repaus sau când mişcarea ei, presupusă periodică, ar începe cu o incidenţă nulă—, ea va deveni la momentul t, când aripa va fi parcurs distanţa s : (29.2) y ds, luând drept origine poziţia iniţială a vârfului. Stratul de vârtejuri, care se întinde în formă de trenă în spatele aripii şi a cărui intensitate totală este egală prin urmare cu — V, influenţează la rândul său mişcarea în jurul ari- -l 1 •Jet" v, Fig. 29.2. pii care se găseşte astfel plasată în câmpul de vitese induse a întregului sistem de vârtejuri. Din această cauză, circulaţia, sferă influenţa lor şi problema, se complică astfel într'un mod considerabil. Totuşi această problemă a fost abordabilă graţie simplificărilor care s'au adus, iar rezultatele obţinute de diferiţi autori, între care vom cita pe PRANDTL, BIRNBAI7M, WÂGNER, GLATJERT, CEAPLÂGHIN, sunt remarcabile prin lumina pe care o aruncă asupra acestei probleme complicate şi delicate. Acum în urmă, A. I. NECRASOV a făcut o sinteză a problemei şi aduce în lucrarea sa o contribuţie excepţională [9]. In general, aceşti autori tratează mişcarea plană. Se consideră că mişcarea aripei se îndepărtează foarte puţin de translaţia rectilinie, vitesele verticale sau oscilaţiile în jurul unei axe fiind foarte reduse faţă de vitesa de translaţie. Se admite prin acest fapt că suprafaţa aripii este paralelă cu direcţia vitesei, iar stratul de vârtejuri presupus plan este în continuarea sa (fig. 29.2). -1 fi VA DETERMINAREA CIRCULAŢIEI IN JURUL PROFILULUI 349 Să luăm drept origine a axelor vârful profilului şi fie x distanţa parcursă de vârf în timpul t. Se presupune că făşia elementară y d?, care a luat naştere atunci când vârful era în punctul s = x — l, rămâne mereu pe locul unde s'a format. Rezultă că intensitatea turbionară în punctul s va fi după (29.1) : (29.3) dr dx d_n dxjx-E, V \dt )t-T' unde t este timpul necesar pentru ca vârful aripii să parcurgă distanţa Această relaţie este uşor de dedus dacă se observă că dr corespunde la pornirea vârfului din punctul s = x — l; în consecinţă, în locul lui x (respectiv t), în expresia derivatei, trebue să punem x — \ (respectiv t — t). 29.2. Determinarea circulaţiei în jurul profilului Fie V vitesa orizontală a profilului, pe care îl vom asimila cu o placă subţire, r vitesa sa verticală şi « rotaţia în jurul axului său central. Aceste două vitese din urmă sunt mici faţă de V şi au un caracter periodic. Să presupunem, pe de altă parte, că deplasarea verticală a aripei este îndreptată în jos astfel încât vitesa relativă a aerului faţă de aripă să fie pozitivă ; un- ghiul de incidenţă corespunzător, —, va fi deasemenea pozitiv. Dacă, la y un moment dat, a este incidenţa aripei faţă de curentul V, incidenţa totală a aripei va fi: |3 = a V şi circulaţia corespunzătoare, considerând numai efectul vitesei de transla ţie şi notând cu o coada aripei, va fi : (29.4) ■kcV a. + Tze (Va. -4- v). - Tot astfel, rotaţia w = ~ dă o vitesă infinită la vârf care va fi dt evitată, bine înţeles, dacă se introduce circulaţia corespunzătoare, dedusă din formula deja stabilită într'o lucrare anterioară [2]: (2 9.5) c TlCW--: 4 „ da — c2 — 4 dt Se poate stabili această expresie şi pe altă cale bazată pe considera-ţiunile expuse în paragraful 11, unde s'a tratat teoria profilelor subţiri. Intr'adevăr, luând drept axă a absciselor coarda profilului însuşi şi drept T ¥ 350 CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR origină centrul ei, punând mai departe x' cos 6', vitesa fiecărui element al plăcii, normală la aceasta, va fi dată de expresia : (29.6) x — co cos 6'. Pe de altă parte, placa va fi înlocuită printr'o pătură turbionară de intensitate y' (finită, chiar la extremităţi, unde vitesa este deasemenea finită), care va putea fi desvoltată în serie EOURLER : (29.7) din care rezultă relaţia (29.8) r2 y' = coc Y a" sm n®'> l /' da?' = — toc2a, Pe de altă parte, vitesa indusă, care este normală pe placă, va avea ca expresie, după (11.23) : (29.9) c 2 w £ an cos nQ'. î Această expresie fiind identică cu vn (29.6), se poate deduce uşor «, = 1 şi în consecinţă relaţia (29.8) devine deasemenea identică cu (29.5), pe care am dedus-o pe o cale directă. Rămâne acum de calculat influenţa trenei turbionare care însoţeşte aripa şi care este datorită variaţiei circulaţiei în raport cu timpul. Să urmăm pentru aceasta procedeul lui WAGNER, efectuând transformarea planului profilului rectiliniu în planul cercului şi stabilind potenţialul mişcării datorit unui vârtej de intensitate — Ar situat la o distanţă \ de vârful profilului. Prin transformarea bina cunoscută (6.1), ţinând seamă de noile variabile \ şi ct (fig. 29.3), poziţia aceluiaş vârtej în planul cercului va fi dedusă din formula (29.10) de unde rezultă (29.11) l-\---= _ H----- 2 4 16 -i{ţ + |rîţ+p-)-|î(i + ^) - 1 fcfi»; * îsfc'- DETERMINAREA CIRCULAŢIEI IN JURUL PROFILULUI 351 Mişcarea în jurul cercului va fi dată de potenţialul corespunzător celor trei vârtejuri, dispuse ca în figura 29.3 b, unde este dat de formula mătoare, dedusă din relaţia (3.26) : ur- (29.12) c 16 CT + — 4 — b) Fig. 29.3. Dar pentru ca vitesa la vârf (0), în planul profilului, să nu fie infinită trebue sa mai adăugam o circulaţie Ar2 care să anuleze în planul cercului Ar2 (29.13) Rezultă : 2tc 1 4 Ar /1___ 2tc c o 1\ CT Ar TCCT (29-14) Ar2 = -Ar punând mai departe (29-15) a = x - l, ds = - dl înlocuind apoi Ar prin- y ds = y dl şi ţinând seama de (29.2), vom avea 352 CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR în sfârşit : (29.16) rs Jo V dt -i U Astfel prin urmare, circulaţia totală în jurul profilului va fi : (29.17) r = r0 + r, + r2 şi ţinând seamă de relaţiile (29.4), (29.5), şi (29.16), se obţine ecuaţia fundamentală a circulaţiei: (29.18) Cx 1 /"TXT n ^. ^/C-ţ-Sd5+W(F« + r) + T c*¥(=.0. Aceasta este o integrală care se rezolvă greu, în afară de unele cazuri simple pe care le vom trata succint mai jos. 29.3. Mişcare rectilinie accelerată, pornită din repaus întrebuinţând metoda menţionată mai sus, ecuaţia (29.18), devine în acest caz, punând s = x — 2 : «au.) ^t« = £ < c + x — s x — s y ds = — izcVa., însă ea nu devine prin aceasta mai uşor de rezolvat. Deaceea WAGNER desvoltă y în se™ speciale, făcând în acelaşi timp aproximaţii potrivite, si obţine astfel soluţii interesante pentru diferite cazuri particulare. Aşa de exemplu, când x este mic faţă de coardă, se obţine ecuaţia integrală : (29.20) — y ds = —TtcVa. Jo i x Să presupunem că mişcarea este impulsivă şi că vitesa, care trece dela 0 la V0 în intervalul dt, continuă să rămână constantă ; o primă soluţie va fi dată de 29.21) care devine infinită pentru s = 0 şi descreşte apoi uşor cu s. MIŞCARE OSCILATORIE CU VITESĂ DE TRANSLAŢIE CONSTANTĂ 353 Pentru ca valoarea finală a lui Tsă fie egală cu ncV0, soluţia trebue să fie corectată şi pusă sub forma (29.22) y « — s c + s F„-oo). In acest caz, adăugând la (29.23) circulaţia totală T, la primul şi al doilea membru, vom obţine ecuaţia următoare : (29.27) 23 Aerodinamieă — 1 Vf dc,+G0 + Gl sin [ii = ro + F1 sin \d + t2 cos y.t. 354 CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR Să punem : l (29.28) 5i = — , a = (xc -, x 4~ 04i fl/î+^i -l |d^; vom obţine, înlocuind y prin expresia sa (29.26 (29.29) [ ( - 1 T di; X [cr (rx sin \xt + T2 cos \it) + + x (T, cos [xi — T2 sin [ti)], iar integrala precedentă devine în cele din urmă : (29.30) T0 + I\ sin fii + T2 cos fx i = (?0 + gx sin jit - X [a (r^in ui 4- + r2 cos ui) + x (rx cos ui — T2 sin ui)]. Această ecuaţie trebue să fie identic satisfăcută în toate punctele x şi în orice moment't; constantele precum şi coeficienţii lui sin ui şi cos ui trebue să fie egali în ambii membri. Vom avea astfel ecuaţiile : (29.31) r0 = g0, (i + x c)rx - x xr2 = X, iar vitesele relative devin respectiv c*9 (29.39) sau, încă, (29.40) Ur = dx Vr = dy (x>X, Wr = tir — IV r = dcp dx ". d? , . . . . d/ . . - % —— + iw (x — ty) =--[- i z dy ăz unde z = x — iy este conjugata lui z = x -{- iy. In această mişcare relativă totul se petrece ca şi cum axele şi conturul ar fi imobile, iar aerul ar fi animat de o vitesă de rotaţie co în jurul originii. Ecuaţia liniilor de curent (29.41) ăWr = ur ăy — vr ăx = 0 este identic satisfăcută pe contur, acesta fiind o linie de curent în această mişcare relativă. Observând mai departe că avem : (29.42) tir ăy — vr ăx = partea imaginară (ur — vr) (dx 4- iăy) = ăf p.im. ăz + mz dz, se poate scrie relaţia fundamentală. : (29.43) p. im. {df + io>z~ăz)c = 0 unde C reprezintă conturul profilului. im Ijfc llP* Wm HISI m îjjjp 811 mm POTENŢIALUL OE VITESE 357 Considerăm, din nou, transformarea bine cunoscută dată de expresia : (29.44) unde a este raza cercului generator, egală cu —. 4 (29.45) Observând că, pe conturul cercului generator, avem ,2 — _ a" r şi înlocuind z şi 'dz prin expresiile lor scoase din (29.44), relaţia (29.43) ia forma următoare : " (29.46) p.im d F + iu K + = 0. K Funcţia F(Q este uniformă şi olomorfă în tot spaţiul, iar derivata sa care reprezintă vitesa absolută, este nulă la infinit; rezultă prin urmare că F( X, )se poate pune sub forma, (29.47; unde Qm este o constantă complexă, (29.48) Qm =Am + iBn Avem, mai departe, (29.49) dF dţ mQ" care devine pe cerc, dacă punem (29.50) ţ = ae<® şi considerăm numai partea imaginară : (29.51) p.im.(cLF)jf = - d6 mi. 'mB„ cos m6 + V-— sin m% T a'" T am Avem, pe de altă parte, (29.52) p. im. = - 2wa2 sin 26 d6, 358 CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL 359 de unde rezultă, ţinând seama de (29.46), relaţiile următoare : (29.53) B% = - aa*, Ax = A2 = . . . = Am = 0, Bx = B3 = . . . = Bm=i). Aşa dar, potenţialul datorit rotaţiei, pe care îl vom nota cu F2(X), va avea următoarea expresie : (29.54) F&) = -i<*£, care este un caz particular al soluţiei generale, pe care am stabilit-o într'o lucrare anterioară [2]. — ir, Observaţie. Adăugând la expresia (29.o4) un termen 2tz ln X, datorit circulaţiei, se găseşte : (29.55) F2'{Q = - ia- şi vitesa pe placa subţire va fi : dfi cLF; 1 iT 2tt Inc; (29.56) dz dt; ds dX, X2 2-kX, ) x}-a2 Pentru X = ± a, această vitesă devine infinită; ea nu este finită decât în cazul când T2 = 47ra2co = —• c2co, 4 relaţie pe care am găsit-o mai sus (29.5) şi (29.8). 29.5.3. Potenţial datorit stratului turbionar. Expresiile (29.36) şi (29.54), nu reprezintă decât mişcarea datorită viteselor de translaţie (7 şi — v), celei de rotaţie (co) şi circulaţiei centrale (T) : a2 «* iV (29.57) F(Q = (7 + iv) ţ + (7 - iv) — e-<* -4u---ln ţ, X' X? 2tc unde a este egal cu un sfert din coardă (4a = c). Pentru a avea potenţialul total trebue să adăugăm potenţialul datorit stratului turbionar, pe care îl presupunem aproximativ în prelungirea plăcii subţiri. Pentru un vârtej elementar — Ar, situat după cum se arată în fig. (29.4 a), potenţialul elementar va fi de forma : (29.58) 2r> X, — Oq unde a0 este dat de formula (29.12). Pentru potenţialul întregei trene turbionare, trebue să înlocuim AT cu y dS; şi observând că a şi <70 sunt tot funcţii de 5, este uşor de văzut că F3{X) este obţinut printr'o simplă cuadratură. Nu este însă necesar să se efectueze această integrală, deoarece vom utiliza mai jos acest potenţial sub forma sa diferenţială (29.58). 30. FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL Formulele BLASIUS-CIAPLÂGHL¥ pentru forţe şi momente nu sunt valabile decât pentru mişcările staţionare. Deaceea, pentru a calcula rezultanta aerodinamică şi momentul rezultant care acţionează asupra unei aripi în mişcare variată, este necesar să se stabilească în prealabil expresiile generale ale presiunii, forţei şi momentului, în condiţiile mişcării nepermanente. 30.1. Eeuaţia presiunii Să considerăm un sistem de axe fixe O-^x^! şi un altul Oxy legat de corpul în mişcare şi fie y-^x^y^t) şi 9(37, y, t) potenţialele mişcării absolute respectiv faţă de axele fixe şi mobile. Dacă notăm, ca mai sus, prin ?< şi v vitesele absolute faţă de axele mobile, ecuaţia lui LAGBANGE pentru presiune se va scrie : (30.1) P + — [u2 + v2) + p = C(t), 2 31 unde partea din constanta C(t), care depinde de timp ar putea fi înglobată in expresia lui — ■ dt Se poate trece dela + Pe de altă parte, conturul fiind o linie de curent în mişcare relativă (dTr = vr dx — ur dy=0), vom avea (30.15) (ur 4- ivr) (dx - idy) = (ur - ivr) (dx + idy) = (— + iaz \dz , \ dz de unde rezultă în fine, pe contur, (30.16) («a 4- vţ) dz = (— 4- * to z~X dz. \ăz Cea de a doua integrală din membrul al treilea al expresiei (30.11) devine în acest caz : (30.17) *Vf , 2 . 2v -.- ip C -\ (Ur 4" Vr) dz= -\ 2 Jc 2 J, dz=H ^dP- pco \cZdF- --— to o 2 Jc dz 2 ( (z)2 dz. 362 FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL A treia si a patra integrală au o semnificaţie simplă; dacă se notează cu A aria secţiunii delimitate de contur, vom avea respectiv : (30A8) şi prin urmare (30A9) i? | ii xdz = [ x dy = A, i \ y dz = i\ y dx )c Jc Jc Jc iA = PA (*P \ dt ia>wn unde (30.20) Notând cu xg şi yg coordonatele centrului de greutate al ariei conturului, vom putea scrie deasemenea, pentru a cincea integrală (30.21) _ltw2C (sJ.) dz = — p«2 A zg . 2 Jc Pentru ultima integrală vom observa mai întâi că avem pe contur, după (30.12) : d® 30.22) dY = dTr = tv ăx - ur dy = — dx - o>x dx - — dy dy - t&y ăy = - dT - — d (zz) = 0 sau mea (30.23) Y-f- — (zz) -f k(t) 2 0, unde k(t) este o constantă care variază numai cu timpul. Se poate scrie deci: (30.24) (2A^ 2 Jc Jc şi rezultanta generală ia forma următoare : (30.27) Q = R - iP = ^_\ ăF 2 V ăz ±[ ^ăF-Pco [ -zăF + ip[ v0 j . 30.4. Forţele ee se exercită pe o aripă subţire Am stabilit în paragraful precedent expresia potenţialului în jurul unei aripi în mişcare variată. Pentru a aplica formula (30.27) a rezultantei, este preferabil să considerăm separat potenţialul datorit translaţiei rectilinii şi rotaţiei, pe de o parte, şi a stratului tuo rerier, pe de altă parte, aducând bine înţeles aproximaţiile necesare pe cab unnaplică această separaţie. 364 FORŢE ŞT MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL Să punem deci mai întâi, ţinând seama de (29.36) şi (29.54), expresia potenţialului fără influenţa stratului de vârtejuri: (30.31) f(Z) = (V+iv)Z eia + (7 - iv) y e -ia. io) iT — In Z şi să aplicăm formula rezultantei acestei expresii, observând mai întâi că pentru placa subţire aria A este nulă. Pe de altă parte, integralele (30.27) vor fi efectuate dealungul conturului circular K în planul Z; expresia rezultantei se reduce deci la următorii trei termeni: )ic ăZ ăz Primul termen ne dă foarte simplu (30.33) = iL[ ^.^iF=ipvr-PvT. 2 )K ăZ dz Pentru al doilea termen, vom observa întâi că transformarea profilului subţire în cerc va fi dată de : (30.34) 2 16 C 16 considerând, bine înţeles, că vârful profilului este în origine; rezultă că pentru punctele cercului vom avea (30.35) z +— = 0 + — + p.r.2ţ. 2 2 In cazul unui profil arcuit, a cărui axă de portantă nulă face unghiul t cu coarda, se poate asimila acest profil cu un segment rectiliniu rotit de un unghiu t şi funcţia de transformare devine : o 2 (30.36) sau respectiv, pentru punctele de pe cerc (30.37) z +-1=» + —= C«*t + ?e_iT = P-r- 2^ FORŢELE CE SE EXERCITĂ PE O ARIPĂ SUBŢIRE 365 Ţinând seama de aceste relaţii, vom putea scrie mai departe, (30.38) Q2 = - wp [ zăF = jk = p. r w\ |(7———.—=— e!a-—2«o| — | -=r-f + AA 2rc ? 16 Z2 2Z,e-iT--~ | dţ şi prin urmare, punând sin a a şi cos a 1, se găseşte : (30.39) #2 — c2(7oc - 7t + c) + — r 4 2 Pentru cel de al treilea termen, observând că integrala se efectuează începând dela 6 = 0, vom avea {30.40) Q3 = iP-r\ Făz= dt Jc p. im. 2ip ir dt )A -iv) Z e~ict + (7 + iv) — • ~ 16 Z -Mw — -f — ln Z Z2 2tv -ÎT d Z = ip dt — c2(7a - 7t+c) +— r 4 2 S'ar fi putut obţine uşor această expresie, din rezultatul precedent, ■dacă remarcăm că, în cazul nostru special, vom avea : (30.41) [ Fdz = (z f) - i z ăF = - [ Jc v 77=o Jc Jc zăF. Să revenim la mişcarea datorită stratului turbionar şi să considerăm mai întâi un singur vârtej real în exteriorul cercului (29.58); cele două vârtejuri imagine în interiorul cercului, fiind egale şi de semne contrarii, curentul general 7 -4- iv n'are niciun efect. Acţiunea asupra acestor două vârtejuri, dirijată după axa Ox, datorită vitesei induse de vârtejul real exterior, ar putea fi dedusă în felul următor. Asupra vârtejului imagine central, de intensitate totală — V, acţiunea este anulată de cea corespunzătoare vârtejului real de intensitate totală + r. Pe o făşie elementară y dr, situată pe rază, la o distanţă r de centru, vom avea deasemenea (fig. 29.3), {30.42) ăq _ py dr f x 1-^Oo tr + a— r 366 FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL FORŢELE CE SE EXERCITĂ PE O ARIPĂ SUBŢIRE 367 iar pe toată făşia de vârtejuri, distribuită pe întreaga rază, (30.43) q1 = M° y dr T _If*L_ . 2tJo Jo a + a— r Această integrală este destul de complicată, rezultatul este pe de altă parte de al doilea ordin; deaceea, vom considera un rezultat mijlociu, repartizând o jumătate din circulaţie în centrul cercului, iar cealaltă jumătate în Q. Această ipoteză este în special valabilă pentru mişcarea oscilatorie *). Rezultă deci, ţinând seama de (29.11) şi (29.12) : (30.44) fll = v— r 4iz [x jriL +CX _JLdi_] = Jo a + a Jo a J 2* c 2:r c L Jo r 5. c Jo l l + l2\ d^ Această expresie reprezintă rezultatul primei integrale (30.32). Ace s te integrale sunt destul de complicate, însă pentru câteva probleme spe ciale, ele vor fi efectuate cu ajutorul funcţiilor BESSEL. Să trecem acum la ceilalţi doi termeni ai rezultantei (30.32) şi să observăm în acelaş timp că circulaţia în jurul cercului este nulă, cele două vârtejuri-imagine în interior fiind egale şi de semne contrarii. Rezultă că potenţialul este uniform şi că se va putea pune în consecinţă, ţinând seama de (30.41) şi notând cu F' noul potenţial, (30.45) -copt ~ză¥'+ip — \ ¥' ds= - p (w + i —) [s(ţ)ăF'. Jc dt Jc l dtJKjK Să aplicăm această formulă potenţialului urnii singur vârtej real exterior (29.58; fig. 29.3); vom pune, pentru aceasta, d(AI") sub forma (30.46) d(AF') -. iAT iAT 2iz 1 (T x, + x + X 2iz [a -f- a (a -\- a> I2 xj ^ *) In cazul unei mişcări rectilinii accelerate, la început, se poate repartiza 2/3 clin T în punctul fl şi 1/3 în centru; din contra, dacă aripa a parcurs o distanţă apreciabilă, mai mare decât coarda sa proprie, eroarea ar fi mai mică dacă se consideră 2/3 din V în centru şi 1/3 în O.. şi, neglijând curbura profilului (t as 0), se găseşte uşor (30.47) Aţy2= - pfco + *4:\ \ sd(AP') = t> iE (o> + i 6'] X dt ) Jc dt Jc \ prm -, se obţine : dt (30.48) q2 = p\^ + i± dt dt X ±T + {X y{l-]jcl + l2)d 2 J o Rezultanta aerodinamică, în cazul general, va avea în cele din urmă expresia următoare : (30.49) Q = Ql + Q2 + Q3 + qt + q2 = ipTV - pvT - . — + 2tc c fi c \\ Vc-ţ^ dl + ±\\(5 - 1/cFTF) d? + Jo F ^ c Jo + P--h * — 1 dt dt c2(Vv. - Vt + v) + d + l2) dl In ultima din aceste integrale intensitatea y trebue să fie derivată în raport cu timpul. Dacă y este luată în raport cu axele legate de aripă, valoarea sa va varia cu l şi t. In realitate, faţă de un sistem de axe fixe, y este constantă. Rezultă că într'un punct l (dl = V dt), vom avea (30.50) il = *L+*LV = 0 dt dt dl *) Această relaţie poate fi dedusă dealtfel din ecuaţiile generale ale mişcării (1.18). Intr'adevăr, pentru mişcarea plană (w — 0), aceste ecuaţii, sc reduc la următoarele expresii, unde y reprezintă proiecţia vârtejului pe axa Oz, normală la planul mişcării: dt di - = — 1 dP d» , d M dx >■ dy U J uy = — i_ . âp_ p dy Derivând prima ecuaţie în raport cu y, iar a doua în raport cu x şi apoi scăzând, se găseşte relaţia (30.50) : il +Mil +vdl^dl+vdl =0 ■dt dx dy dt dx punând, bine înţeles, u « V. 368 FORŢE Şl MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL Din această expresie se scoate valoarea derivatei — care se mt rodi duce apoi în integrala menţionată; integrând după aceea prin părţi, se obţine succesiv : - + = - v[x^(i - YcT+W)dl = Jo 61 Jo dc, (30.51) l + c \ 7V,1 1 + dl vr - v Insă se mai poate scrie încă, ţinând seama de (29.18), dl. (30.52) l + ~ __JL dl = y \ , dl__ 2 JoY TcTTW JoY ?d£ d£ 'c£ + £2 to (Fa -f- v) tt da — - 4 di şi introducând aceste relaţii în expresia rezultantei, se găseşte în cele din urmă pentru portantă şi rezistenţă, respectiv : -P = p7rc(F2a + Vv) + ~ ?c2 V — + — ec2 [(« _ T) — + 2 dt 4 L di + d« di c Ff yd£ oVc5 + l* (30.53) . p-or -\icTTW) di 4 27t c da di c2(7a - Ft ») + ^y C l- 2tî c ţj c^+IO d£ o 'e + l dl + Semnul minus care afectează portanta provine din faptul că sistemul de axe este inversat (vezi fig. 29.3). Limitându-ne numai la portantă, să aplicăm prima formulă (30.53) la următoarele două cazuri : 1) mişcarea rectilinie accelerată şi 2) mişcarea oscilatorie cu vitesă constantă. 1) Pentru mişcarea rectilinie accelerată, luând semnul pozitiv, expresia portantei se reduce la tz dV c f1 >ă (30.54) P = pwF2H--pc2(a - t)— + o — V\ - 2 Joi di ici + l* i FORŢELE CE SE EXERCITĂ PE ARIPĂ SUBŢIRE 369 «are admite o soluţie simplă pentru prima perioadă a mişcării, când deplasarea x a aripii este mică faţă de coardă. Intr'adevăr, în acest caz (l Este uşor de văzut mai departe, dacă se notează cu »■ distanţa dintre cele două elemente considerate, că vom avea succesiv Fig. 31.1. (31.3) dw 12 sin ^ _ ăl\ 4w ds > ds2, 12 4^ J(S) sin % dr2 —^ds2 , ds2 sau încă, integrând prin părţi şi observând că la cele două extremităţi ale aripii T 2 este nulă, (31.4) 4rc J,2) d Asin (3[ ds9 ds2, rezultă formula rezistenţei induse : (31.5) *lt = M [ r.r, JLf^]ds2ds,. 4rc J(I) J(2) ds2 V r ) Insă se poate scrie (31.6) d /sin p,^ _ d (sin p^ dr ^ 8 Asin ${\ dp, ds, dr ds, ap, . q dr . dp, sm p,--hrcosPi ds, ds. şi observând mai departe că avem (fig. 31.1) (31.7) dr = ds2 sin p2, r âp, = ds2 cos p2, se obţine relaţia următoare : (3-1.8) d ds, cos (p, + p2) 374 FORMULELE FUNDAMENTALE ALE BIPLANELOR ACŢIUNEA RECIPROCĂ A ELEMENTELOR UNUI BIPLAN 375 înlocuind această relaţie în expresiile (31.4) şi (31.5), vom găsi în cele din urmă ds? (31.9) Wl2 = A- [ Iî^h±h 4~ J(2) f- pentru vitesa indusă şi (31.10) p12 = *- C C rir, J^ih+hL dSi d,2 4^ J(i)J(2) r- pentru rezistenţa indusă. Pentru a calcula P21, raza vectoare r = P,P2 trebue luată în sens invers P2Pj (dela elementul inferior la elementul superior), adică trebue înlocuit J3, şi (S2 prin 7î + (_, şi k + % (fig. 31.1); se obţine astfel rezultatul remarcabil găsit pentru prima oară de MUXK : (0 | z 1 k 1 1 w ° 41 Fig. 31.2. (31.11) PI2 = P2I, adică, rezistenţa indusă a planului (1) datorită influenţei planului (2) este egală cu rezistenţa indusă a planului (2) datorită influenţei planului (1). In cazul unui biplan cu aripi paralele (fig. 31.2), avem (31.12) p, — 82 = B, h =• r cos 3, &sl = dy„ ds2 de unde rezultă o formulă mai simplă : (31.13) -#12 P21 = -P— f \ T, r2cos2,ŞcoB 2,3 dy, dy2. 47rA2 tiv lo, .'(1) .(2) 31.1.2. Biplan decalat. Presupunem că aripile se găsesc pe două plane paralele diferite, situate la distanţa a una de cealaltă; se spune că există un decalaj între aceste două aripi (fig. 31.3). Să luăm ca mai sus două elemente ds, şi ds2 aparţinând respectiv aripii superioare şi inferioare şi fie P distanţa între ele a cărei proiecţie pe primul plan este r. Unghiul dintre P şi r, fie a, este dat de relaţia (31.14) tg a a r dr ds2 (31.15) Este foarte uşor de văzut că în dreptul elementului ăst vârtejul liber -2 ds» induce o vitesă a cărei componentă normală este egală cu dic12 sm a 4_r dr; ds., ds2, Fig. 31.3. exact ca şi pentru aripile nedecalate, dar multiplicate prin factorul (1 —sine). Vom găsi, astfel, (31.16) in. I. d 12 4rc. J(2) 2 d«2 Se poate scrie mai departe (1 — sin a) sin Pi <31.17) d ds2 sin 8, (1 — sina d sin B, v d /sin a, (1 — sm ac) - 1 ds„ (1 — sin a) = (1 — sina) ds, cos (p, + M sin (3, d ds2 (sin a). 376 FORMULELE FUNDAMENTALE ALE BIPLANELOR Pe de altă parte, ţinând seama de relaţia (31.14), (31.18) se obţine (31.19) -— ds., ds. (sm a) == cos a a da ds., = — sin B„ — cos3 a cos a sin 3, da dr dr ds. R2 sm a, (1 — sin a) sin 3, + sin a (1 — sin a) sin 3, sin32 B2 cos (3, + 32) rz In cele din urmă vom putea scrie (31.20) w,2 = ^- [ r 4tt . J(2) + sin a (1_sina) J^L + M + sfn 3, sin 32 i?2 ds, pentru vitesa indusă şi (3i.2i) sti= -f ( ( r,r2 4îC J(l) J(2) sin B, sin 32 + sin a 11 ■ ' (1_sina) + B2 ds, ds, pentru rezistenţa indusă. Pentru aripa inferioară, vom pune, ca mai sus, tz -4- 3,, 71 -f B2, tz + «, în loc de B,, 32 şi a; de unde rezultă (31.22) B2l 4rc 'o J(2) r,r, (1 + sin a) cos (B, + B2) sin a sin Bj sin B2 -B2 ds, ds2 şi prin urmare rezistenţa indusă totală, (31.23) Bt = i?12 + B. '21 r r cos (3i + P») 4tt .Li],!, 1 2 »-2 5 S JlD Jc S, ds2 , este independentă de decalaj. Acest rezultat conduce la concluzia următoare, datorită lui MUNK : ■!' \ fer Aţi' Ut: V > ACŢIUNEA RECIPROCA A ELEMENTELOR UNUI BIPLAN 377 Rezistenţa indusă totală rămâne constantă dacă deplasăm.în sensul vitesei, o aripă sau ambele deodată, fără a schimba circulaţiile Tx şi F2, ceeace putem face variind convenabil un g h i u r i 1 e de incidenţă. Această teoremă este valabilă şi pentru un element de aripă oarecare. Astfel, prin urmare, pentru a calcula rezistenţa totală a unui biplan decalat se pot considera cele două aripi ale biplanului în acelaş plan normal la vitesa generală a curentului, exact ca şi pentru biplaniîl drept. 31.1.3. Influenţa vârtejurilor legate. Pentru a introduce acţiunea reciprocă a vârtejurilor legate, să considerăm după PRAXDTL, două tuburi de vârtej infinit de subţiri, de intensitate r, şi T2, care vor înlocui aripile (se consideră deci două linii portante) şi să calculăm vitesa elementară pe care elementul u2ds2 a tubului de vârtej o induce în dreptul lui ds,. Aplicând formula lui BIOT-SAVART, se găseşte că vitesa este în planul vertical P^Q^Pl, dirijată după normala la P^, (fig. 31.3) şi egală cu (31.24) r2 ds2 sin

,, respectiv v2, — w2, componentele viteselor induse după Oy şi după direcţia negativă a lui Oz; ţinând seamă de relaţiile precedente (31.38), se poate scrie pentru variaţia âP,- a rezistenţei induse, următoarea relaţie : (31.39) SBi = — (w,Ar,A2/. + vx Ar, Az, + «•2Ar2yAy2 + + *2Ar~2*A«2) = - §r, [Ay,(w, - w2) + A«,(«, - v2)\ Am presupus că distribuţia circulaţiei este optimă şi corespunde la rezistenţa indusă minimă. Răzuită că orice perturbaţie elementară Srîn jurul acestei distribuţii optime dă o variaţie nulă pentru rezistenţa indusă; în consecinţă SP,- = 0, de unde se deduce : (31.40) (w, - w2) + Azi(r, - v2) = 0. REZISTENŢA MINIMĂ A UXUI SISTEM. PORTANT SS1 Cum pe de altă parte această relaţie subsistă pentru orice element As, sau As2, rezultă condiţia căutată sub o formă foarte simplă : (31.41) u\ = w2 = . . . = ct. t\ = v2 = . . . = ct. Se vede astfel că vitesa indusă este constantă în mărime şi în direcţie f în toate punctele liniilor portante lvl2,. . .,lm, care constitue ansamblul sis- temului portant. \ Să revenim la expresia rezistenţei (31.36) şi fie a unghiul pe care-1 face ds cu Oy, vom avea ds cos a= dy, ds sin oc = dzşi prin urmare (fig.31.4) : (31.42) iin = v sin a -j- w cos a ; în acest caz, punând tc = 2w0, v = 2v0, unde «•„ şi v0 sunt vitesele induse în planul sistemului portant, se va putea scrie pentru rezistenţa indusă : (31.43) Bi = V \ . Tnn ds = pl~0 V \ F cb+ ■ - 1 Am ~T Am + p«-0 v \ v dy = 9t; r„ y; \ r dz+ p ^ r0 v \ r dy. 1 Am I o 1 Am ' o î Am Să presupunem mai departe că portanta totală a sistemului este dirijată după Oz, de unde ar rezulta m r m r (31.44) Pz= P= PF0 V \ r dy, Py = 0 = £ \ Y ăz ■ •■ T Am 1 Am '. expresia precedentă se reduce astfel la următoarea relaţie simplă : (31.45) Bt=^P. j o Pentru a elimina nedeterminarea vitesei induse în ceeace priveşte direcţia ei, trebue să observăm că ea este îndreptată după direcţia portantei, ; adică, în conformitate cu ipoteza făcută, după Oz; ceeace este evident,'de \ o altfel, pentru un sistem simetric faţă de Oz. j / Să presupunem prin urmare că în dreptul urmelor lx, l2,. . .,4 ale sis- ; ternului portant vitesa indusă este—tu : totul se petrece ca şi cum lx, l2, . . . ar fi arce solide animate de vitesa de translaţie — w. '■■ _ Acesta este un rezultat care permite să obţinem pentru rezistenţa : ' indusă o soluţie foarte simplă. Intr'adevăr, scurgerea în jurul straturilor 1 , turbionare \,l2,...,lm este identică în acest caz cu cea datorită mişcării de trans- laţie a arcelor solide lx,l2....lm, Aceasta este o problemă de mişcare plană a cărei soluţie este întotdeauna posibilă prin mijloacele curente pe care le-am k tratat de altfel anterior. ' fe 382 FORMULELE FUNDAMENTALE ALE BIPLANELOR Pentru a face soluţia mai comodă, să considerăm spaţiul fluid animat de vitesa w; liniile îj, l2.....lM . sunt imobile şi ansamblul sistemului se găseşte astfel aşezat într'un curent de vitesă w la infinit. 31.2.1. Cazul unei linii închise. In cazul unei linii închise C (fig. 31.5), raţionamentul este identic. Se găseşte deasemenea, notând domeniul exterior şi interior respectiv cu (1) şi (2), că circulaţia într'un punct al circuitului va fi dată, ca şi mai sus (31.33), prin diferenţa potenţialelor din interior si exterior : (31.46) r = ?2 — 9l- jNbtând cu ii normala dirijată spre interiorul domeniului (1), energia, cinetică a fluidului va fi dată de expresia : (31.47) E (, O având dimensiunea unei lungimi; expresia portantei devine (31.51) P = - 2pV0w0 J] \ ®dy = 29V0w0a, 1 JSm unde a este o suprafaţă definită prin integrala m (* (31.52) a = - S V 0ăy- 1 J^tn Ţinând seama de (31.51), expresia rezistenţei induse minime devine (31.53) 4^ F2„ 9 * °G iar coeficientul unitar ia următoarea formă simplă : 8 (31.54) 4cr unde 8 este suprafaţa totală a sistemului portant. w Prin urmare pentru calculul rezistenţei induse, este suficient sa se caute potenţialul0>în jurul linilor portante l,. . .,lm, sau în jurul conturului portant C, m ipoteza că ele sunt aşezate într'un curent de vitesă egală cu unitatea. to 384 SISTEME PORTANTE DE REZISTENŢA MINIMA 31 A. Distribuţia circulaţiei Ea rezultă din relaţiile (31.33) şi (31.46) şi în consecinţă problema se reduce întotdeauna la găsirea potenţialului cp. Pentru cazul unei linii portante, diferenţa T = cps— 9<, între valoarea potenţialului pe faţa superioară şi cea corespunzătoare în acelaş punct pe faţa inferioară, este egală cu circulaţia. Pentru un contur închis apare o nedeterminare în ceeace priveşte valoarea potenţialului cp 2 în interiorul conturului. Această circumstanţă nu schimbă întru nimic portanta, după cum am văzut deja mai sus (31.49 bis), deoarece cp2 conservă aceeaşi valoare constantă. Aşa dar, această constantă nu joacă nici un rol în ceeace nriveste portanta; deaceea se poate considera 92 = 6. 32. SISTEME PORTANTE DE REZISTENŢĂ MINIMĂ Problema rezistenţei minime are o importanţă dublă : mai întâi pentru a găsi sistemul portant cel mai bun în vederea aplicaţiilor şi apoi jientru calculul însuşi al rezistenţei induse. Intr'adevăr, după cum s'a putut constata deja în cazul monoplanului, rezistenţa indusă a unui sistem portant oarecare diferă în general foarte puţin de rezistenţa minimă a unui sistem echivalent, având aceeaşi portantă totală. Cum, pe de altă parte, pentru câteva cazuri interesante, găsirea rezistenţei minime este foarte uşurată în aceste condiţii, vom avea în acest fel cea mai bună metodă de calcul pentru rezistenţa indusă a sistemului considerat. Sistemul echivalent de rezistenţă minimă comportă un potenţial cp bine determinat; distribuţia circulaţiei prin urmare, după (31.33), este de asemenea bine definită. Deaceea, o schimbare în distribuţia circulaţiei, păstrând totodată portanta totală constantă, va face să varieze desigur rezistenţa, dar această variaţie este mică şi se poate neglija în prima apro* ximaţie. Astfel de exemplu, dacă se cunoaşte portanta şi configuraţia geometrică a unui sistem portant oarecare, metoda aproximativă pentru calculul rezistenţei este căutarea suprafeţei a (31.52) a unui sistem de rezistenţă minimă echivalent, de aceeaşi portantă şi aceeaşi configuraţie geometrică cu sistemul real considerat. Trebue să observăm totuşi că vom trata mai jos şi alte metode, mai generale, care să poată rezolva destul de riguros diversele probleme ale biplanului. Deaceea, în aplicarea formulei (31.52) ne vom limita numai la cazuri particulare susceptibile de o soluţie mai simplă şi uşor de tratat. 32.1. Aripa monoplană Potenţialul cp corespunde la cazul unei plăci subţiri într'un curent ele vitesă w. Potenţialul complex al acestei mişcări va fi dat de expresia ARIPA MONOPLANĂ 385 (13.4), unde a = —şi T =0, însă într'un sistem diferit de axe de coordonate y, ca abscisă, z, ca ordonată şi deci x = y + iz, ca variabilă complexă. Vom avea în aceste condiţii, (32.1) f(x) = 9 -f ity — iw x* — b2 unde b este anvergura aripii monoplane. Se poate scrie astfel, notând cu O ■circuitul închis în jurul plăcii şi a vecinătăţii sale, (32.2) t — — \

2 — 0, iar semnul minus pentru z < 0. Am menţionat mai sus că mişcarea este riguros plană la infinit aval, unde vitesa indusă este w[ = 2wx; rezultă că expresia precedentă (33.2) reprezintă potenţialul câmpului de vitese induse în planul aripilor. Să considerăm acum vitesa indusă de acest potenţial, într'un punct a?2 = y2 — ih al planului inferior (2); ea va fi dată de relaţia 394 REZISTENŢA INDUSĂ TOTALĂ A UNUI BIPLAN următoare : (33.3) U2l — V2l dxjx., np Vnb x->--j- 4 11 = = + i 2P, y2 — ih + 1 (y2 - ih) 2 &1 Trebue să remarcăm mai întâi că nu ne interesează decât componenta vitesei după Oz, adică w2J, pe care o vom putea scrie sub forma următoare : (33.4) 2P, — w 21 *pV0b2 1+p.r. y2 — ih [y2 - i hf Eezistenţa indusă a aripei influenţate (2), datorită aripei active (1), pe care o vom însemna prin P21, rezultă imediat : (33.5) #21= - p \ w2\ r2i pT>-i bx *) In realitate, după cum vorn vedea mai jos, vitesele mijlocii Vt Şi V2 sunt diferite de V0 Dacă notăm cu «12 Şi ?<2i vitesele mijlocii după or, datorite jnllucnţei reciproce a aripilor, se poate pune V\ — Vq -- im Şi V% =~> V'o -.- '.'21- Cum pe rtc altă parte m,2 « — v21, vom avea. Vi F2 ~ V\ Şi prin urmare formula (33.10) este riguroasă. In formula (33.14) s'a neglijat influenţa incidenţei care introduce un decalaj între cele două plane. Liniile portante ale acestora nu sunt deci într'un plan normal pe direcţiile vârtejurilor libere, adică pe vitesă. In paragraful următor vom stabili formula generală care ţine seamă în acelaş timp de decalaj şi de incidenţă. Vom avea mai departe, notând prin, Vm circulaţia mijlocie a aripii (2), (33.16) P21 = 9T£ { w2l dy2 = • (2) V2Y.2b2 J(2) [ w2l dy2! p,p2 4-pF2,x1x2&1&2 ln (x^ + x^+4/*2 (^-xjfesj)2 + 4A2 de unde rezultă, în funcţie de parametrii anteriori [x şi e (33.6) : (33.17) a = iY.,Y., ln (X, + LLX2)2 + (1 + tf* (Xj — JJ.X, (1 + fi)8 S2 Avantajul acestei formule constă în forma sa simplă şi simetrică şi în faptul că ea reprezintă probabil mai bine fenomenul real. Valorile lui a calculate astfel sunt destul de apropiate de cele indicate în tabela precedentă. Punând mai departe (33.18) m = x,&, + x262 y.xbx — x262 2h 2h formula (33.17) se poate pune sub o formă mai comodă 1 -f- TO2 (33.19) 1 x,x„ ln ln yi + 7)1 VT 33.3. Repartiţia optimă a portantei pe cele două aripi ale biplanului Dacă punem rezistenţa indusă a fiecărei aripi sub forma (16.40), se va putea scrie pentru rezistenţa totală a unui biplan : (33.20) P=P1 + P2+2P1 P\ j_ P2 + 2g PlJ>2 1 Tr2 Uf ' b\ ■ b,b2 9 Să căutăm acum, pentru o portantă totală dată, P = P1 + P2, repartiţia optimă a acestei portante, care să corespundă rezistenţei minime. Să punem pentru aceasta (33.21) XP, P, = (1 - X) P, 398- REZISTENTA INDUSA TOTALA A UNUI BIPLAN unde raportul X trebue determinat. Expresia rezistenţei, care se scrie, în acest caz, în funcţie de X sub forma (33.22) P P2 vV>\ (l-X)2+^ + 2aMi^ devine minimă pentru (33.23) X 1 y. +--°r Rezultă (33.24) Rmin = P2 1-ct2 P2 1—2\m +[x2 ? T72 i2 unde x este deci dat de formula următoare : jll-ob ^-os (33.25) x = 1 ~~ 1 — 2y.a + [x2 Coeficienţii x şi X sunt indicaţi în tabelele următoare; xeste reprezentat şi prin diagramele din figura 33.3. Fifi. 33.3. Tabela pentru x (33.11) \ h V- N. 0 0,03 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 O.G 1 0.990 0,974 0,954 0,932 0,911 0,S92 0,875 0,861 0,848 0,839 0,7 1 0.982 0,956 0,926 0,897 0,871 0,849 0,830 0,812 0,797 0,783 0,8 1 0,974 0,932 0,892 0,855 0,825 0,800 0,778 0,758 0,740 0,728 0,9 1 0,950 0.893 0,847 0,807 0.773 0,744 0,719 0,699 0,683 0,671 1 1 0,890 0,827 0,779 0,742 0,710 0,684 0,662 0,645 0,629 0,615 4 REPARTIŢIA OPTIMĂ A PORTANTEI 399 1>2 Tabela pentru X = -(33. III) I' ^\ h'bi 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0.6 0 0,060 0.104 0,134 0,157 0.176 0,191 0,202 0.211 0.218 0,224 0,7 0 0,105 0.164 0,202 0,228 0.248 0,262 0,272 0,281 0,288 0.294 0.8 0 0,172 0.246 0,285 0.310 0.327 0,338 0.347 0.355 0,361 0,364 0,9 0 0.303 0,359 0,387 0.402 0.412 0,419 0,425 0.429 0,431 0,433 1 0,500 0,500 0,500 0,500 0.500 0,500 0.500 0,500 0,500 0,500 Fie mai departe P0, rezistenţa de formă, datorită frecării şi desprinderilor de pe extradosul posterior; dacă se adaugă P0 la expresia (33.24), se obţine rezistenţa totală a biplanului : (33.26) Bb = P0 tt2i.2 Să notăm cu S suprafaţa totală a biplanului, raS, cea a aripii (1) şi cu S.? cea a aripii (2); mai departe, cu Czb coeficientul de portantă a biplanului şi cu Cxb coeficientul de rezistenţă. Cu aceste notaţii vom putea scrie o relaţie asemănătoare cu cea a monoplanului : (33.27) Cxb = Cxo + (C. zb) 8__ x = (7, (Czb? TTX, 1+ ^ Si unde am notat cu X! alungirea aripii superioare. Dacă X este alungirea unei aripi monoplane având acelaş profil, notând cu Cz şi Cx, portanta şi rezistenţa unitară, diferenţa de rezistenţă pentru acesaş portantă va fi dată de formula (33.28) C cx cl 1 + Si X X, 1 In cazul general, notând cu Cx\, CX2, CzX Cz2, caracteristicile aerodinamice ale aripilor luate separat, vom avea (33.29) C: — o 1 j_ n 2 i o-r* n Sx82 xb -^xi -7 + ux2 —• -+- ^cju21uz2 —-—-—— 8 8 tî bxb2 8 = Cy0b + Tt),x 8 7tx2 S2 8 + 2aCzxCz2 8X 82 ■nbxb28 Această ultimă formulă implică cunoaşterea prealabilă a portantelor unitare Czx şi Czv problemă pe care o vom trata în paragraful următor. 400 CARACTERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI .Vi. CARACTERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPÎ A UNUI BIPLAN In acest paragraf vom determina caracteristicele aerodinamice ale aripilor unui biplan decalat, fiecare aripă fiind luată separat. Problema constă în a stabili acţiunea aripii perturbatoare asupra aripii influenţate. Această problemă, care este foarte dificilă şi laborioasă, chiar pentru 'cazul biplanului de anvergură infinită, devine aproape insolubilă ; deaceea, vom aduce simplificările necesare pentru a ajunge la soluţii aproximative, suficiente pentru aplicaţii. 3LI. Determinarea circulaţiilor mijlocii Pentru a stabili acţiunea reciprocă a aripilor, vom admite, ca şi pentru biplanul de anvergură infinită, că efectul aripii perturbatoare se suprapune pur şi simplu pe caracteristicele aripii influenţate, considerată în stare izolată, In consecinţă, vom avea pentru fiecare aripă în parte : a) circulaţia mijlocie a aripii în stare izolată, b) influenţa vârtejurilor libere ale aripii perturbatoare, c) influenţa vârtejurilor legate ale aripii perturbatoare. 34.1.1. Circulaţiile aripilor în stare izolată. Presupunând, pentru simplificare, că incidenţa este constantă pe toată anvergura, distribuţia circulaţiei nu depinde, în acest caz, decât de forma în plan a aripei considerate. Să notăm cu Tx\, respectiv T22, circulaţiile mijlocii uniform repartizate pe toată anvergura aripilor superioară (1) şi inferioară (2) şi fie ix şi i.2 unghiurile induse mijlocii respective. Observând că pentru aripa de anvergură finită portanta unitară, pe care o vom nota cu Kz, este legată de circulaţia mijlocie (rm) prin relaţia (34.1) Kz = ?V0Tmb 2bTn şi aplicând formula (19.3) a portantei unitare în funcţie de incidenţă, {34.2) Kg = 21ck* *), se poate scrie în fine pentru circulaţiile Fu şi 8 (34.3) S2 ^22 = k\2 - ^oa2> *) In formala (19.3) coeficientul unitar este însemnat cu notaţia obişnuită Cz, ln loc de Kz , pe care am introdus-o aci pentru a indica într'un fel special portanta unitara a rnonopla-ului, spre a evita astfel o confuzie. i DETERMINAREA CIRCULAŢIILOR MIJLOCII 401 unde coeficienţii 1cu şi JcX2 vor fi daţi de formula (19.6) în funcţie de coeficientul aripii de anvergură infinită, a cărui valoare teoretică este Tct = 1 / dC "\ = tc(1+s) sa tc iar valoarea experimentală Jce = — -— ss 0,9 2 i doc j Din motivele care se vor înţelege mai jos, circulaţia se va repartiza pe o anvergură redusă respectiv x2&2, unde x, şi x2 'vor fi daţi de for- mulele (33.13); se va putea scrie în acest caz, introducându-se pe de altă parte coardele medii cx 8. (34.4) hi — V0tx.u x, 22 Z- C2 jr n«-2 34.1.2. Influenţa vârtejurilor libere. Ca şi în paragraful precedent, a,ripile vor fi reprezentate prin liniile AXBX şi A2B2, de lungime v.xbx, respectiv y.2b2, având circulaţiile mijlocii rx şi P2 uniform repartizate pe toată anvergura ; pânzele de vârtejuri vor fi reprezentate prin două perechi de nuclee turbionare marginale, de aceeaşi intensitate (fig. 34.1). Vitesa indusă Fig. 34.1. într'un punct Px al aripii superioare (1), datorită vârtejului liber care se desface din extremitatea B2 a aripii inferioare (2), este conţinută în planul AXBX AXB2 normal la curentul general, este perpendiculară pe segmentul PXB2 şi egală cu (34.5) V 12- 4tc PXB'2 - (1,— cosy) ■ Proiecţia sa după verticală, singura componentă care ne interesează, va avea ca valoare (34.6) 12" Vl2 cos v = — 4- PiB cos v - (1 —cos y. 23 Aerodinamica 402 CARACTERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI Observând mai departe că avem relaţiile următoare, *2&2 x2b2 h2 (34.7) tg Y cos v = ■ 2 - Vx P^2 B'2B.2 h2 o--2/il cos ■ h sin 8 h tg 3 este uşor de văzut că expresia componentei verticale devine : x2b2 ^2+(^-y,]2cos2s. (34.8) IC, o Vi ( 4tu h2 h sin 8 w+[^p-yi\ cos2 a Această vitesă indusă micşorează unghiul de incidenţă al aripii (1) w cu o cantitate variabilă egală cu , ceeace dă o micşorare corespunzătoare şi circulaţiei din jurul aripii. Dacă se ţine seama de variaţia acestui unghia indus suplimentar dealungul anvergurii, problema devine foarte complicată şi lipsită de altfel de interes practic. Deaceea, vom admite un unghiu suplimentar mijlociu 712, dat de formula (34.9) '12- Este uşor de efectuat această integrală pe o cale elementară ; în acest scop, pentru a ajunge la o formulă convenabilă care să prezinte oarecari avantagii, este mai comod să se introducă o nouă variabilă Yv definită prin relaţia (34.10) Y, + h sin 3 = şi să se înlocuiască yx în funcţie de Y,. După câteva calcule elementare, ţinând seama între altele de relaţiile (33.18) şi dublând rezultatul pentru a ţine seama şi de al doilea vârtej liber care se desprinde în Aa (al cărui efect este identic cu al primului), se găseşte în fine : (34.11) r2 _ \ 1+w2 cos2 8 + sin 8 2ttxi&170 \ 1 + n2 cos2 8 + sin 8 DETERMINAREA CIRCULAŢIILOR MIJLOCII 403 Pentru unghiul indus mediu i21 în dreptul aripii inferioare (2), datorit vârtejurilor libere ale aripii superioare (1), trebue să schimbăm 8 în — 8, şi vom obţine astfel, în mod analog : (34.12) — f1! ln ţ/1 + m2 cos2 8 — sin 6 2ny.2b2V0 ('1 + n2 cos2 8 — sin 8 Fie mai departe (34.13) p = ]/ 1 + m2 cos2 8, q = ]/'l 4- n2 cos2 8 şi să punem, prin analogie cu coeficientul cr definit de expresia (33.19), (34.14) cr, = -i-in P+J*5! 1 , p — sin 8 cr, =--ln —-— 4x,x2 q + sin 3 ' 2 4x,x2 q — sin 8 ' este uşor de văzut că pentru 8 = 0, cr, şi cr2 se reduc identic la coeficientul cr corespunzător biplanului drept (33.19). Acest coeficient este în acelaş timp egal cu valoarea mijlocie a lui cr, si cr, (34.15) — (cr, + cr2) Zi -ln pi sin2 3 1 4" W2 3x,x3 q2 — sin2 8 8x,x2 1 -4- n2 ln In formulele precedente, interplanul Ji precum şi decalajul definit prin tg 8 depind de direcţia curentului şi în consecinţă de incidenţă. El se numeşte pentru acest motiv decalaj aerodinamic. Pentru a stabili influenţa incidenţei, să definim mai întâiu înălţimea h0 şi decalajul 80 la incidenţă nulă. Fie pentru aceasta O, şi 02 centrele aripilor *), A, şi A2, axele lor de portantă nulă (fig. 34.2). In mod curent se ia A, ca axă de referinţă a biplanului şi în aceste condiţii înălţimea biplanului va fi definită prin h0 = O,jff0, astfel după cum am arătat în paragraful privitor la bipla-nele de anvergură infinită, unde am notat această înălţime pur şi simpla *) In realitate, O, şi 02 reprezintă urmele liniilor portante şi trebue considerate ca atari pe acelea ale liniilor centrelor de presiune. Insă poziţia acestora variază cu incidenţa, ceeace ar complica considerabil problema. Cum pe de altă parte aripile moderne au un moment foarte mic la portantă nulă (Cmo mic), centrele de presiune se pot lua la o pătrime dela bordul de atac al profilelor. In fine, dacă coardele nu diferă prea mult, poziţia relativă a centrelor de presiune este aproximativ egală cu cea a centrelor aripilor, ceeace am făcut de altfel mai sus, mai mult pentru a fixa ideile. Fie că se notează cu Ox, 02 centrele aripilor, focarele sau alte poziţii intermediare, formulele finale au aceeaşi construcţie şi variaţia lui a în funcţie dc această poziţie ar putea fi neglijată. Intr'adevăr, neglijând practic curbura profilelor modeme şi considerând în consecinţă centrul de presiune la o pătrime dela bordul de atac, diferenţa decalajului cl — e2 este As =- . Pentru e2 O.GOC'x- *o*Ci; vom avea A(î » sin (A(3) «s 0.10 ceeace 4 nu afectează prea mult valoarea lui a (34.15). Totuşi, ar fi poate tot aşa de corect să se ia ca linii portante, liniile focarelor. 404 CARACTER!STICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI prin litera îi fără indice. Unghiul făcut de cu Ox02, fie 80, este deca- lajul iniţial al biplanului, sau decalajul geometric. Este uşor de văzut că se pot scrie următoarele relaţii (fig. 34.2) : (34.16) b = % - «j, sin q « sin (30— Kl cos b0, —— °— = D cos S cos p0 şi punând mai departe + x262 Ji—1-- L/90» A /V* / i 1 V loc, Fig. U 34.2. (34.1'i 2ftn x2&2 2ftft vom avea mea : (34.18) w cos 3 = m0 cos 3,„ n cos 3 = «,0 cos %. Rezultă că p şi q (34.13) sunt independente de incidenţă şi din motive de simetrie le vom nota cu p0 şi q0. Să considerăm acum expresiile (34.14) şi să observăm că unghiul de incidenţă este mic. Se pot desvolta aceste expresii în funcţie de acest unghiu şi se poate scrie (34.19) ln p + sin 8 ln Po + sm Po ln sin 6 —a; cos b0 ■ sin 3 q0 + sin p0 1 .Po + sin Po <îo+ sin Po. sin p g0 + a, cos p0 ln Po - sui p0 sin S0 1 Lp0 - sin Po 2o - sin P0. Dacă notăm mai departe prin 2 ^0*12 0*21 2i>2 *b,Va rr 2r.X. X2 nb2V0 34.1.3. Influenţa vârtejurilor legate. Pentru a simplifica problema, se înlocueşte aripa perturbatoare printr'un tub turbionar infinit mic şi se calculează vitesa indusă în.dreptul aripii influenţate, înlocuită şi ea prin linia sa portantă. Astfel prin urmare influenţa unei aripi asupra celeilalte va fi reprezentată în acest caz prin acţiunea unui tub de vârtej în formă de potcoavă, reprezentând vârtejurile libere unite prin vârtejul legat (fig. 34.1). Totuşi, această aproximaţie simplificatoare nu reproduce fenomenul real; deaceea este preferabil să folosim metoda utilizată la biplanul de anvergură infinită având aripi plane subţiri, care credem, că este o deducţie mai raţională a proprietăţilor scurgerii în jurul aripii influenţate după cum am constatat-o prin exemplul concret (14.4.1). Se va înlocui deci aripa perturbatoare printr'un vârtej unic de lungime y.b situat la un sfert din coardă (care este centrul circulaţiei — asimilând aripile cu planuri drepte subţiri) şi se va calcula vitesa indusă verticală în punctele situate pe porţiunea din spate a aripii influenţate (fig.34.3). Aşa dar, ţinând seamă de lungimea finită a vârtejurilor legate, se pot aplica formulele obţinute pentru biplanul de anvergură infinită cu aproximaţia unui coeficient de reducere, datorit tocmai acestei limitări a lungimii vârtejurilor. Trebue să remarcăm totuşi că acţiunea vârtejului înlocuitor este diferită în fiecare secţiune a aripii influenţate, deoarece vitesa indusă, aşa cum am definit-o mai sus (14.64) — şi deci şi circulaţia suplimentară — sunt diferite în fiecare secţiune. Astfel tratată problema devine foarte dificilă şi se complică încă prin variaţia circulaţiei datorită anvergurii limitate. Deaceea vom considera o acţiune mijlocie constantă pe toată anvergura, ceeace echivalează cu o vitesă indusă constantă şi vom presupune în acest caz că incidenţa indusă corespunzătoare nu face decât să modifice cu o valoare constantă unghiul de incidenţă geometric. In consecinţă se poate admite că circulaţia suplimentară, datorită acestei incidenţe induse, are aceeaşi lege de variaţie ca şi pentru aripa monoplană izo- lată. Această ipoteză defineşte ea însăşi coeficientul care va înlocui pe Ic în formulele (14.62). Pentru a găsi acţiunea mijlocie a unei aripi asupra celeilalte, vom observa că vitesa într'un punct Pi(yj) al aripii influenţate (1), situată la un sfert din coardă spre bordul de fugă (fig. 34.3), datorită vârtejului legat A2B2, care înlocueşte aripa perturbatoare (2), aşezat din contră la un sfert din coardă spre bordul de atac, — această vitesă 406 CARACTERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI DETERMINAREA CIRCULAŢIILOR MIJLOCII 407 reprezintă tocmai influenţa unei aripi asupra celeilalte, expresie : — va avea ca (34.22) r2 cos PlA.iB2 + cos PXB2A2> 47T Qfo Fi". 34.3. unde Qx G2 este egal cu distanţa punctului Px la segmentul A2B2. Dacă punem mai departe y-9. b. (34.23) + îh cos P,A0B2 = Vi x2 b2 cos PXB2A2 = se poate calcula vitesa medie printr'o cuadratură simplă. 2 - ' ' QXG^ Efectuând calculele şi înlocuind pe Qx G2 prin (34.24) QXG22 = K + ' Cl + °2 .1 '4 se găseşte că vitesa medie are aceeaşi expresie cu cea corespunzătoare biplanului de anvergură infinită, însă redusă cu factorul (34.25) gX2 y.xbx xxbx + y.2b2 c, + c2 In acelaş fel se găseşte pentru factorul de reducere al vitesei mijlocii din dreptul aripii inferioare (2), datorită aripii superioare (1) (34.26) g2l xxbx + x2M2 h2 cx4-c2 y.xbx Cl Cu aceste corecturi, formulele (14.61), pentru biplanul de anvergură finită, devin : (34.27) Yl2 = #12 Yl2 : Y21 = #21 Y21 unde Y,2 şi y21 vor fi daţi de expresiile (14.61), punând \ şi s0 în loc de h şi s, acestea din urmă având pentru biplanul de anvergură infinită aceeaşi semnificaţie ca primele pentru biplanul de anvergură finită. Eezultă în cele din urmă psntru circulaţia suplimentară : (34.28) r" _ i-> °l v ffi2Ti2 r*2 j 1 12 — 1 o ~ zz » t; ^ ^2 y 92\ Y21 r*i x2 0 kxcxV0 34.1.-5. Circulaţiile mijlocii totale. Să considerăm formulele (34.4), (34.21) şi (34.28); putem scrie ecuaţiile : r\ = ru + r12 + r12 = ku ±l vq 012Y12 nbxV0 + (34.29) j TCCoV. 2* 0 r2 — r22 + r2i -\- V2\ = k%2 — v0 &1Y21 -2 r, izb2V0 care au o soluţie simplă. Intr'adevăr punând : <34.30) i1 = &12|_^4^+ ^YI2 Tzb,b lu2 2a28x g2iY2i 1"2 408 CARACTERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI se găsesc uşor următoarele relaţii: *iFi _ a, — )xv.2 (34.33) tt2r2 k\2C2V0 ?2aI care au exact aceeaş formă ca cele pentru biplanul de anvergură infinită. (14.62), bine înţeles cu alţi coeficienţi. 34.2. Forte rezultante Aripile vor fi reprezentate, ca şi în fig. 34.1, prin liniile portante AxBt şi A2B2, de lungime x^ respectiv y-2b2, având o circulaţie medie constantă Ti şi T2. Fie ti 12, u2l componentele după direcţia curentului viteselor induse mijlocii în dreptul aripilor superioară (1) şi inferioară (2) şi wX2, tv2X componentele corespunzătoare după verticala ascendentă (Oxzx şi 02s2). Se va putea scrie pentru portantă şi rezistenţă, respectiv : (34.32) Pi = p(V0 + «j2) r>i&i > p2=p (^0 + w2i)r2x2&2, #1 = #01 + #11 - PW12F1X1&1 > #2= #02 + #22 ~ p«,2ir2x2^2 » unde rox, J?02 sunt rezistenţele de formă datorite frecării şi desprinderilor pe extrados, iar rn, i?22 reprezintă rezistenţele induse ale aripilor (1) şi (2), considerate în stare izolată (monoplane). Să determinăm acum vitesele induse ; intervine însă o dificultate şi anume : poziţia liniilor portante AXBX şi ^42#2- In principiu vom relua raţionamentul precedent; vârtejurile care în-locuesc aripa vor fi situate în centrele de presiune, iar acţiunea reciprocă, în afară de interferenţa asupra circulaţiei pe care am determinat-o mai sus pe o altă cale, se reduce la efectul viteselor induse care vor afecta portanta şi rezistenţa fiecărei aripi. Pentru a evita nedeterminarea asupra poziţiei centrelor de presiune şi ţinând seama de profilele moderne de curbură foarte mică (aproape nulă) putem admite că aceste centre corespund cu focarele profilelor, adică sunt situate la sfertul din faţă al corzii. Această ipoteză defineşte deci poziţiile centrelor Ox şi 02 reprezentând aripile (fig. 34.2). Să revenim la vitesele induse şi să observăm că vârtejurile libere ne dau următoarele componente verticale ale viteselor induse mijlocii, după (34.11, 34.12 şi 34.14): (34.33) J£l2_ Vo 2x2F2 7T&, W21 *To 2x1r, nb9 In ceeace priveşte vârtejurile legate, formula lui BIOT-SAVART ne dă uşor vitesa într'un punct Px, datorită vârtejului A2B2; ea va fi normală pe planul AXBXA2B2 (adică perpendiculară pe dreapta Ox02) şi egală cu FORTE REZULTANTE 409 expresia următoare (fig. 34.1) : r, (34.34) 4-D 4nD cosPxA2B2 + cos PXB2A2 y.2b2 v-zb2 D2 yA + b2 (34.35) Printr'o integrală elementară luată pe toată anvergura v.xbx , se obţine r, 1 v 12 2tu y.xbx L 1 -4- y..b, + x2b2\2 -p'i_i_ 2h * cos2 3 1 + ~ cos2 3 Introducând notaţiile (34.13), rezultă pentru componentele uX2 şi w"2 : (34.36) ult=^^(P-g), Vom avea deasemenea Tx cos 3 W12 ~~ T2 sin 3 , 2ny.,b, (34.37) u2X 2nv.2b2 (p - q), w' = - T2 sin 3 2tux2&2 (p - 3) şi punând mai departe cos 3 (34.38) 4x,x2 se poate scrie în cele din urmă : {p — q) şi iz = sin 3 4/.jX2 (p - S). (34.39) 7, = F0 + uX2 = V0 [1+ -^y- 1» 2I\ = V0+ u21 = V0\l- 2Txyx nbxV0 WX2 = W\2 + W\Z = W2l = w2\ + W 21 2r,x 2 2 / _ \ (<*1 — <-z) . nbx 2Txx 7ib„ -(^2 + T*)- 410 CA R ACT ERISTIC EL E AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI Cu aceste rezultate se poate calcula portanta şi rezistenţa după cum urmează. 34.2.1 Portanta. Relaţiile (34.32) devin respectiv (34.40) = pr0 1 + ?V0 1 -hv0 "-2^2r 2 . de unde se vede că portanta totală P = Pj + P2 este independentă de poziţia relativă a aripilor : (34.41) P = pT^x^I, + x262r2). Mai departe, din formulele (34.31) se scoate (34.42) xi&iri = foi si «1 — jl<*2 1 - h ?2 2&2r2 = l'X2 S2 —2---~7~ ^ 0 ' 1 - Jl?2 care vor fi introduse în expresiile (34.40); rezultă în cele din urmă P, (34.43) { _P t/2 I V Czl = 2hi 1 + 2fc «j.2 #2 «2— ?2al tc bxb2 1 - j,i2 J 1 - j,j2 ?la2 CZ2 = 2*u| 1 - 2*X1 «AZlilŞ* T>"fc<. TC&!&2 1 - 7,?2 Jl - jj2 Aceste formule fundamentale pot fi puse sub diferite forme, care ar putea fi utile pentru aplicaţii. Aşa de exemplu, observând că termenul aditiv din paranteză este mic, se poate scrie aproximativ : (34.44) Czi «* 2ku «i — 3l«2 1 - hh Cz2 21- 12" «2 — 7iKi Introducând aceste expresii în paranteză, şi .notând cu w interincli-naţia, ceeace ne permite să înlocuim - care se poate obţine de altfel direct din expresiile (34.48), scriind (34.50) CzbS = CzlSx + CZ2S2 . Pentru un biplan cu aripile egale (c, = c2 = c, 6, = 62 = b), fără decalaj (S = 0), fără interinclinaţie (to = 0), vom avea x, = x2 = x, y12 == = T21 = Yt ffi == CT2 = c» &i = &2 = ^' foi = fo2 = fo ; un calcul elementar ne dă numaidecât : \tca tcx J 91=92=9 1 1 + / 4x2 (34.51) j c(1 + * _ 1 4x2 C«2 czb TCX 1 + 1 + j 1 +/ Tv ^Cz, TcX'l + iJ 1 +1 1 +1 Kz --Cz 412 CARACTERISTICILE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI 34.2.2. Rezistenţa. Punând Rn şi lî.i2 sub forma obişnuită (16.40) şi remarcând apoi că putem scrie (34.5: (x^r,) (x262r2) #i p. formulele (34.32) ale rezistentei devin respectiv : ' o t-2 P" * 0 [ (34.53) \ I l #l = #0! + ~77t i?, = i?„, + 02 1 -^v2' p I o . H bib2 _ -f + (a2 + ^)-7-r- Se vede uşor, ţinând seamă de relaţia 2a obţine pentru rezistenţa totală expresia următoare a2 (34.15), că putem (34.54) Ttpl u m bi 1 care nii diferă de relaţia (33.20), găsită pe altă cale, decât prin termenul R0 datorit rezistenţei de formă. Pentru coeficienţii unitari, vom avea de asemenea, împărţind expre- 2 2 siile (34.53), respectiv prin—^— şi—^— : (34.55) Oxi — Cxoi 4" 7ta, 82 ~bxb2 CX2 = Cx02 + ^ + K + tz) Oz[0Z2 7tX2 TOjO.j de unde rezultă coeficientul unitar al biplanului (34.56) Cxb = Ox] —ţ + —ţ — C*xo6 + 8 8 ttX, 6' ttX2 Tzbxb2S Pentru rezistenţa de formă am considerat o valoare medie : (34.57) SCxib = #,0x0, 4- fl2Cxo£. Această formulă este identică cu cea a biplanului drept, fără decalaj (33.29), ceeace trebue de altfel să obţinem deoarece, după teorema lui MUKK, rezistenţa totală este independentă de decalaj. I NC 11) E NŢE EFECTIV K 413 Pentru un biplan cu aripi egale, fără decalaj şi fără interinclinaţie, vom avea de asemenea : (.34.58) Cxi = Ox., = Cx = Cx0 -\--(1 + a) = 0X6 • TîX In raport cu un monoplan de alungire Xm, diferenţa de rezistenţă va fi dată de o formulă analoagă cu (13.23), (34.58 bis Cxb — Cxm — Cz(l+g 1 X Am care ne va permite să trecem dela polara unui monoplan la polara biplanului. 3i.3. Incidenţe efective Este util câteodată să se considere incidenţele efective pentru fiecare aripă a biplanului. Am determinat de altfel în mod global aceste incidenţe pentru calculul circulaţiei (34.29), însă le vom pune mai jos sub o altă formă, similară cu cea a monoplanului. Aşa de exemplu, notând cu a2 = a2—a21 Să notăm cu a.\e şi «2e unghiurile efective ale celor două aripi; vom putea pune ca şi pentru aripile monoplane (19.10) : (34.61) «ie = a-j — a12 — (1 4- Tj O ttx, '•2e_ «1—a2l — (14-T2) cz2 Pentru a explicita pe a12 şi a21 în funcţie de portantele unitare Czl şi Oz2, vom pune aproximativ (34.62) Ti 7T P, F0 pT>2*2 0Z i si, I 414 CARACTERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI şi notând cu X, şi 22 , respectiv (34.63) 2, -al + foYi . Xş_ bt 2 bi + ft2Y2 h • ~-, h 2 vom putea scrie în cele din urmă : (34.64) a,e = a, - (1 Cz TcX, r2;---i2 ;.X? c2 TtX, Dacă biplanul are aripi egale (X, = X2 = X), este fără decalaj ((3 = 0) şi fără interinclinaţie (to = 0), punând (34.65) E, = E = CT + — ■ —- şi observând că avem Czi = Cz2 = Cz (34.51), se poate scrie : (34.66) a6-(l + t + 2) TUX Să considerăm acum un monoplan de alungire Xm , având aceeaşi portantă şi prin urmare acelaş unghiu efectiv; să notăm cu a.m incidenţa sa geometrică, vom putea obţine o formulă analoagă cu cea a aripilor mo-noplane (19.14) : (34.67; 0c& — xm tc care ne va permite să trecem dela un monoplan la un biplan drept cu aripi egale. 34.4 Câteva perfecţionări ale teoriei Pentru a elabora teoria biplanului de anvergură finită, a fost necesar să se aducă câteva simplificări importante care n'au alterat, după părerea noastră, rezultatele principale. Aşa de exemplu, am înlocuit aripa perturbatoare printr'un vârtej situat în focarul profilului, ceeace nu este riguros, însă reprezintă totuşi o primă aproximaţie. Am neglijat în felul acesta influenţa repartiţiei în profunzime a circulaţiei aripii perturbatoare, precum si grosimea si curbura acesteia. CÂTEVA PERFECŢIONĂRI ALE TEORIEI 415 Pentru biplanul de anvergură infinită am încercat să determinăm într'un mod aproximativ influenţa grosimii, însă n'am căutat să transpunem aceste rezultate la studiul biplanului de anvergură finită, calculele fiind foarte laborioase şi lipsite de altfel de interes practic. Mijloacele actuale de investigaţie matematică nu ne permit deci să punem uşor la punct toată complexitatea problemei. Insă ne putem mulţumi cu rezultatele căpătate, deoarece ele sunt suficiente pentru aplicaţii. Sunt totuşi două chestiuni pe care le-am trecut sub tăcere : mai întâi efectul asupra aripii izolate a repartiţiei în suprafaţă a vârtejurilor legate şi apoi curbura curentului în dreptul aripii influenţate datorită acţiunii aripii perturbatoare. 34.4.1. Curbura curentului în dreptul aripii în stare izolată. Am găsit deja că repartiţia în suprafaţă a vârtejurilor legate are ca efect curbura curentului şi micşorarea incidenţei cu o valoare apreciabilă, în special pentru alungirile mici. Aşa de exemplu, notând cu Sa, şi 8a2 micşorările incidenţelor, am găsit mai înainte următoarele formule : (34.68) Sa, =0,059-^- Sa2= 0,059 C Z2 Unghiurile geometrice xx şi a2 sunt micşorate cu aceste valori care vor fi astfel introduse în expresiile (34.64) ale incidenţelor efective. Influenţa principală constă în modificarea coeficientului fo. (34.2) Intr'adevăr, dacă se ţine seama de acesta corecţie, unghiul ax al unei a rip de alungire X trebue să fie mărit cu Aa pentru a obţine acelaş Cz : 0,059 X (34.69) a = ax + de unde rezultă : (34.70) Cz = 2fo Cz 0,059 2fo Cz X X+0,12fo 2h ia şi prin urmare coeficienţii foi şi fo2 ai expresiilor (34.29) vor fi înlocuiţi respectiv prin (34.71) fo Xi X, + 0,12fe; fo' 12 hi X2 + 0,12 h 12 34.4.2. Curbura curentului datorită acţiunii reciproce a aripilor. Pe o cale directă şi riguroasă am înglobat în formulele (34.27) efectul curburii datorit vârtejului legat de aripa perturbatoare; nu rămâne decât acţiunea vârtejurilor libere. Să revenim pentru aceasta la formulele (34.11), (34.12) Aceste formule depind de decalajul B w 12 care ne dau respectiv — şi (fig. 34.4). 416 CAR ACT ERISTICELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI Vitesele induse medii, care intră în calculele precedente, sunt cele corespunzătoare punctelor Cx şi C,, centrele de presiune ale aripilor. Insă variaţia vitesei dealungul corzii, care n'are o influenţă sensibilă asupra acestor valori medii (presupuse cele ale punctelor O, şi 02), are totuşi o acţiune importantă în ceeace priveşte curbura curentului. Intr'adevăr, după formula razei de curbură: (34.72) — 7n dw dx r ig. o-k. t. revine să derivăm expresiile ln (p + sinfi) şi ln (g±sin B) (34.14) în funcţie de x. într'un punct P, (xx) pe aripa superioară (1), unghiul p este dat-de următoarea relaţie (fig. 34.4) (34.73) te 3 (13= — cos -2 o h ' h ceea ce ne permite să scriem, ţinând seama de (33.18) : (34.74) d ( p + sin & \ cos3 3 dx\ q + sin 3 J h m2sinS—p ?j2sin 3—q _p(p+sinS) g(3+sinS) Observând că sin B este suficient de mic în jurul centrului aripii, fie sin p„ se poate desvolta expresia precedentă şi se obţine succesiv : (34.75) cos3 3, 1 + m2 l+m2cos23, l+%2cos23, isin Pi m Pi -sin2 —- 8i Pi cos3p , sm3 8, — -s— -3-1+m2 l+n2J Ui «î 2 ai 2 l__± Si P sin2 B, cos3 B, jl Pi într'un mod analog, pentru aripa inferioară (2) se găseşte exact acelaş rezultat, dar se va înlocui indicele 1 prin indicele 2. Punând mai departe (34.76) COS3P! 4x,x2 1_ 1_ Pi v, = cos3p2 4x,x2 1_ «2 1 P2 CÂTEVA PERFECŢIONĂRI ALE TEORIEI 417 Taportându-ne la relaţiile (34.11) şi (34.12) şi înlocuind, rişir2 prin valorile aproximative (34.62), vom avea, pentru variaţiile incidenţelor, expresiile următoare : (34.77) { Sa, 2 da.,. Pl2 P21 3_ 4 c ZI 2x2r2 -hvn cz Cn c ZI m. C; m2 c. 2*,r, tc62V0 TîX, Ct /l c2 Cz _v2c2_ Cm2 3 4 m2 C Z2 Trebue să observăm că pentru mici decalaje avem p2 eonsecinţă : cos3 BM 1 ~\ 1 fl i 1 Pj.st! p şi în (31.78) 4*1*2 P 4*i*2 p Aceste noi micşorări de incidenţe vor fi introduse în expresiile (34.29) pentru determinarea circulaţiei, sau în expresiile unghiurilor efective (34.64). Trebue să observăm că aceste adaosuri sunt destul de mici şi putem să le neglijăm în aplicaţiile practice. 34.4.3. Modificările momentelor aerodinamice. Momentele aerodinamice nu suferă modificări apreciabile în raport cu monoplanul, în afară de cele datorite curburii curentului. Să observăm întâi că, prin efectul distribuţiei în suprafaţă a vârtejurilor legate, o uşoară modificare intervine asupra coeficientului unitar de moment la portantă nulă, întocmai ca şi la monoplan de altfel. Prin acţiunea reciprocă a aripilor, curentul suferă o nouă curbură; o parte este datorită vârtejurilor legate, cealaltă parte vârtejurilor libere. Din acest fapt rezultă modificări corespunzătoare la momentele aerodinamice. Totuşi experienţa ne arată că coeficienţii unitari ai acestor momente suferă variaţii foarte reduse în raport cu cele ale aripilor în stare izolată (în monoplan), cel puţin pentru interplanurile obişnuite. Deaceea, trebue să recunoaştem că formulele teoretice nu prezintă un interes practic şi că rezultatele obţinute asupra aripii monoplane (în stare izolată) vor fi practic utilizate şi pentru biplane. BIBLIOGRAFIA CAP. VIII. î) FUCUS R.: Aerodynamik, Bând II, Jiilius Springer, Berlin 1935. 2) MUNK M. : Isoperimetrische Aufgaben aus der Theorie des Fluges, Disertation Gtit- tinge.n, 1919. / 3) PRANDTL L. : Tragflugeltheorie II 3, Technişche Berichte der Flugzeugmeisterei, IU 7, pag. 309. 4) PRANDTL L. : Ergebnisse der Acrodynainischen Versuchsanstalt zu Gtittingen, voi. II. ' 27 Aerodinamica CONDIŢIILE LA FRONTIERĂ ŞI FORMULE FUNDAMENTALE 419 CAPITOLUL IX INFLUENŢA FRONTIERELOR ASUPRA MIŞCĂRII ÎN JURUL SISTEMELOR PORTANTE Fie că este vorba de influenţa fusela jului asupra caracteristicelor aerodinamice ale aripilor, fie de suflul elicei, fie încă de influenţa pereţilor liberi sau rigizi ai sufleriilor aerodinamice, problema constă în a determina modificările mişcării datorită frontierei care separă cele două domenii diferite în ceeace priveşte vitesa curentului sau natura pereţilor despărţitori : rigizi sau liberi. Odată aceste modificări determinate, se vor putea deduce uşor carac-teristicele aerodinamice ale sistemelor portante, fie pornind dela cele obţinute în domenii limitate pentru a ajunge la cele corespunzătoare domeniilor nelimitate, fie în fine pornind dela acestea din urmă pentru a ajunge la cele corespunzătoare domeniilor restrânse. Aceasta este tema paragrafelor următoare. 35. SCURGEREA ADITIVĂ DATORITĂ PREZENŢEI FRONTIERELOR Să presupunem că un sistem portant este aşezat în două domenii diferite, D şiD', separate printr'o suprafaţă de discontinuitate care constitue într'un fel frontiera. La infinit amonte, vitesele sunt presupuse constante şi paralele în fiecare domeniu, fie V0 şi V0. într'un punct oarecare, vitesele perturbatoare datorite sistemului portant sunt foarte mici faţă de F0, (respectiv V'0), dacă acest punct este destul de departe de sistem. In această ipoteză, se poate admite că frontierele formează o suprafaţă aproximativ cilindrică. Aceasta este aproximaţia care se va face pentru suprafeţele libere. Dacă este vorba de pereţi rigizi, această ipoteză este satisfăcută automat. Forma pereţilor rigizi ar putea fi oarecare în cazul general, însă noi vom trata în cele ce urmează pereţii cilindrici. 35.1. Condifiile la frontieră si formule fundamentale Să considerăm cele două domenii D si D', separate printr'o suprafaţă quasicilindrică, a cărei generatoare mijlocie este paralelă cu curentul general F0 din domeniul D, respectiv V'0 din domeniul D'. Să ducem într'un punct O al acestei frontiere cilindrice un plan tOn normal la vitesă şi fie astfel C conturul secţiunii drepte (fig. 35.1). Drept axă Ot să luăm tangenta la contur iar pentru On normala la tangentă ; fie Ox, paralelă cu vitesa, a treia axă a triedrului Oxtn. Planul xOn taie suprafaţa quasicilindrică F după o generatoare curbă, foarte apropiată de Ox după ipoteza admisă mai sus. Normala uf în punctul O al suprafeţei este foarte vecină de normala n la conturul C. Fie (35.1) F(x,t,n) = i) ecuaţia suprafeţei şi cF f'F £F dx dt dn F,S- 351 • cosinuşii directori ai normalei la suprafaţă. Să notăm cu u,vt, vn, respectiv u', v't, v'n vitesele perturbatoare în acelaş punct O pe frontieră; componentele vitesei totale vor fi respectiv : (35 U =VQ + u, V = Fo + «', Yt vt, v't, Vn = Vn, Vn = V'n. Frontiera fiind formată de linii de curent, aceste vitese sunt paralele cu F, şi în consecinţă perpendiculare în acelaş timp la uf, de unde rezultă : (35.3) (V'o+u') dF dF + Vn dF + vt — - = dx dt dn dF + v't dF + V'n dF ■— — = dx dt dn o, Pentru punctele de pe frontieră, destul de depărtate de sistemul portant, cum este cazul punctului O, de exemplu, am admis că vitesele perturbatoare sunt foarte mici faţă de F0, respectiv V'a; pe de altă parte, dF dF . , dF . cosinuşii directori-si-sunt foarte mici faţa de- şi prin urmare dx ' dt dn ... dF putem neglija u-- dx Vt dF dt dF dx V, dF dt obtinându-se astfel 420 SCURGEREA ADITIVĂ DATORITĂ PREZENŢEI FRONTIERELOR următoarea relaţie (35.4) Vn ' 0 care este o primă condiţie, valabilă pentru toate punctele frontierei F. Să observăm că vn, respectiv vn, sunt aproximativ egale cu proiecţiile vitesei după normala la suprafaţă (iif). Pentru pereţii rigizi este uşor de văzut că vitesa normală la perete este nulă, de unde rezultă următoarea condiţie simplă, (35.5) Vn o, care este de altfel condiţia la limită pentru toate mişcările în jurul obstacolelor variate sau dealungul pereţilor rigizi imobili. Această relaţie ar putea fi dedusă din expresia (35.4) presupunând că peretele rigid este echivalent cu o valoare infinită a vitesei. O altă condiţie rezultă din ecuaţia lui BERÎsOTJLLI. Intr'adevăr, frontiera este formată din linii de curent în care constanta lui BERXOULLI este aceeaşi, dela infinit amonte până la infinit aval. Rezultă, prin urmare, pe punctele frontierei, următoarele relaţii : (35.6) v + i {V0 + u)* + v*t- = + ~ TI, Po V'o2 unde prima corespunde la suprafaţa care limitează domeniul B iar a doua la suprafaţa care limitează domeniul B'. Pentru o mişcare staţionară frontiera este în echilibru şi în consecinţă presiunea de o parte şi de alta, pe ambele feţe, este aceeaşi (35.7) p = p . Rezidtă din (35.6), neglijând pătratele viteselor perturbatoare, acestea fiind foarte mici în raport cu V0 sau V0, o a doua condiţie, care trebue să fie satisfăcută la frontieră : V0u (35.8) In cele două domenii D şi D' mişcarea este irotaţională, ea derivă deci dintr'un potenţial de vitese cp, respectiv cp' şi prin urmare (35.9) <9cp dx u dx Observând pe de altă parte că la infinit amonte valorile lui cp şi cp' se reduc la constante arbitrare care se pot lua egale cu zero, putem integra ecuaţia (35.8) şi obţine o formulă mai generală 35.10) 7o9 = YW- REZISTENŢA INDUSĂ 421 Dacă V'0 este egală cu zero, dacă este vorba deci de un jet (domeniul D) într'un mediu fluid imobil (domeniul D'), rezultă din expresia (35.8) următorul rezultat remarcabil: (35.11) m = 0; din expresia (35.4), se deduce pe de altă parte : (35.12) Vn = 0, ceeace indică, în conformitate cu realitatea de altfel, că nu există mişcare în domeniul D'. Se găseşte un rezultat analog interpretând relaţia (35.8) pentru cazul pereţilor rigizi (Y^ =00). Intr'adevăr, produsul V0u fiind finit, se găseşte în mod necesar : (35.13) 0, relaţie care are aceeaşi semnificaţie ca şi în cazul jetului fluid, adică nu există mişcare perturbatoare în spaţiu, dincolo de pereţii rigizi. 35.2. Rezistenţa indusă Prin analogie cu cazul fluidului nelimitat, care ne-a condus la teoremele lui Ml".\K, putem stabili aceeaşi relaţie între energia cinetică şi rezistenţa indusă ; însă, din cauza frontierelor, este mult mai comod de a urma o cale diferită de cea folosită în primul caz. Fie într'adevăr, Oxyz un sistem de axe, cu Ox paralelă la vitesa V0 a curentului şi frontiera quasi-pris-matică F a cărei generatoare este deasemenea paralelă aproximativ cu V0 (fig. 35.2). Să presupunem că un sistem portant 2 este aşezat în acest curent; în spatele sistemului se desprind vârtejuri libere care sunt paralele aproximativ cu V0. Rezultă din acest fapt şi din constrângerile datorite frontierei o vitesă perturbatoare, ale cărei componente după cele trei axe sunt respectiv u, v, w. Foarte departe în aval, influenţa lui Ii (sistemul de vârtejuri legate) este nulă şi vitesa axială u este tot nulă. Su rămân decât componentele v şi w, ale căror valori limită vor fi notate prin : Fig. 35.2 (35.14) («0* = < Vitesele de intrare şi de ieşire prin secţiunile situate la — ^ şi -f sunt egale cu V0; aceste două secţiuni sunt prin urmare egale. Să aplicăm teorema impulsului la masa fluidă cuprinsă între aceste două secţiuni si frontiera F. 422 SCURGEREA ADITIVĂ DATORITĂ PREZENŢEI FRONTIERELOR REZISTENŢA INDUSĂ 423 Impulsul în direcţia lui Ox fiind acelaş, la intrare şi la ieşire, rezistenţa indusă (abstracţie făcând de frecare şi de desprinderile din spate) va fi în echilibru cu rezultanta presiunilor în aceeaşi direcţie. Notând cu p0 presiunea la — oo, cu p presiunea într'un punct oarecare al curentului, cu V0 + u, v, w, componentele vitesei după cele trei axe ale sistemului de referinţă, formula lui BERNOTJLLI ne dă : (35.15) V + -r = Po + tFo* {V0 + u)2 + v2 de unde rezultă o diferenţă de presiune faţă de cea dela infinit amonte (35.16) *~ - - ~ - • P care devine la infinit aval, unde u 8p = p — p0 = '--~ (2V0u + w2 + v2 -f- w2), 6, (35.17) (Sp)f« = (vi. + w ■)2 Integrând această expresie pe toată secţiunea a, vom obţine rezultanta presiunilor orizontale : (35.18) + O ăc . Pe frontiera F, presiunile sunt riguros normale la Ox în cazul pereţilor rigizi şi în consecinţă nu există componente paralele cu Ox; ele sunt aproximativ perpendiculare pe această direcţie în cazul pereţilor liberi şi prin urmare se pot neglija deasemenea componentele orizontale. In acest din urmă caz, trebue să observăm de altfel un oarecare caracter de simetrie faţă de poziţia sistemului portant care justifică această presupunere. Intr'adevăr, admiţând pentru simplificare că sistemul portant este concentrat într'o linie portantă normală pe curent, marcată de urma sa 2 pe fig. 35.3, vitesele v, şiv2, induse de această linie portantă în două puncte simetrice Px şi P2, sunt egale, precum şi componentele lor orizontale ux şi u2, Fig. 35.3. (35.19) u0 Observând din nou că vitesele perturbatoare sunt mici faţă de F0, putem neglija pătratele acestor vitese în expresia (35.15) şi scrie astfel, pentru presiunile px şi p, : (35.20) Pl = Po - PF0M1 = PO - PT>2 = P2 Să remarcăm pe de altă parte că direcţiile de acţiune ale presiunilor sunt aproximativ simetrice faţă de un plan vertical; rezultă din acest fapt că proiecţiile orizontale au o rezultantă nulă. In concluzie deci, nu rămâne decât rezultanta orizontală indicată de expresia (35.18); ea este egaă cu rezistenţa indusă şi se poate scrie în consecinţă : (35.21) Bt 2 > + wiL) du, de unde se vede că rezistenţa indusă nu depinde decât de distribuţia vârtejurilor libere la infinit aval şi în consecinţă de distribuţia circulaţiei şi nu de poziţia elementului portant în lungul axei Ox. Trebue să observăm că relaţia (35.17) revine la cea deja stabilită anterior pentru fluidul nelimitat, privitoare la energia cinetică. Prin urmare, multiplicând cei doi membri ai expresiei (35.17) cu V0, este uşor de văzut că al doilea membru reprezintă în acest caz energia cinetică a jetului fluid şi că relaţia (16.6) este generală şi se poate extinde şi la domeniile limitate. Din concluziile de mai sus, putem aduce deci toate elementele sistemului portant în acelaş plan paralel cu yOz, fără a modifica valoarea rezistenţei, păstrând bine înţeles aceeaşi circulaţie. Rezultă din acest fapt o simplificare remarcabilă pentru calculul viteselor şi al rezistenţei induse. Putem considera deci sistemul portant concentrat în planul yOz şi lua ca vitesă indusă în dreptul acestui sistem, jumătatea aceleaşi vitese la infinit : (35.22) 2 Problema constă prin urmare în a cunoaşte distribuţia circulaţiei ca şi pentru cazul fluidelor nelimitate. Astfel de exemplu, considerând o linie portantă S în planul yOz, a cărei circulaţie Y, variabilă în lungul acestei linii, să fie cunoscută, se poate scrie conform cu teorema lui K17TTA-JUKOVSKI, (35.23) r (v0 ăz + w0 ăy), presupunând bine înţeles că'vitesa w0 va fi dirijată în jos, în sensul negativ al axei Oz. Dacă linia portantă este o dreaptă paralelă la Oy, cum se prezintă adesea cazul în practică, regăsim relaţia precedentă (15.28) : (35.24) Ri = p [ rV0 ăy, i d 424 SCURGEREA A1.V-T1VĂ DATORITĂ PREZENŢEI FRONTIERELOR unde limitele de integrare sunt chiar extremităţile aripei redusă la linia portantă AB. Astfel deci, formulele rezistenţei induse nu diferă deloc de cele corespunzătoare în cazul unui fluid nelimitat şi totuşi problema nu este mai puţin greu de rezolvat, deoarece frontierele implică modificări ale distribuţiei circulaţiei, pe care dorim tocmai să le determinăm. De pe acum însă, prin rezultatele obţinute, problema rezistenţei induse s'a redus la căutarea viteselor perturbatoare la infinit aval: vx şi icx. Aceasta constitue o simplificare considerabilă, deoarece mişcarea la infinit aval este plan paralelă şi prin aceasta se supune mai uşor analizei matematice. 35.3. Potenţial aditiv datorit prezenţei frontierelor. Metoda imaginilor Influenţa pereţilor implică mişcării din dreptul frontierelor satisfacerea condiţiilor exprimate prin relaţiile (35.4) şi (35.10). Găsirea potenţialelor 9 şi cp' este totuşi foarte laborioasă şi chiar imposibilă în cazul general. Se poate totuşi simplifica problema, observând că pentru rezistenţa indusă este necesar să se cunoască numai vitesele perturbatoare la infinit aval: «x =0, vx, «?x. într'un plan paralel cu yOz mişcarea este plană şi frontiera se reduce la un contur C, conţinut în acelaş plan. Dacă notăm cu n normala la contur, cu 9 x şi cp 4 potenţialele la infinit aval, condiţiile într'un punct P al frontierei (fig. 35.4) iau formele următoare : (35.25) -- ^9-x V0V dn )p 1 dn V0 (9x)p= ^0 (9» )p- Problema, redusă astfel la o scurgere plană, nu este mai puţin greu de rezolvat în cazul general. Pentru a face cercetările mai comode, să punem (35.26) O 4- „ 4- o: unde , respectiv ', reprezintă potenţialele datorite exclusiv sistemelor portante situate respectiv în domeniile D sau D', în absenţa oricărei frontiere şi ®a Şi ®'a potenţialele aditive corespunzătoare, datorite exclusiv influenţei pereţilor. Dacă observăm, pe de altă parte, că această ultimă mişcare este datorită exclusiv sistemului de vârtejuri libere, ale căror urme se găsesc în interiorul conturului, în domeniul D (2), sau în exterior, în domeniul D'(£), sau în fine în ambele domenii deodată, se poate rezolva uşor problema pentru anumite contururi (linii drepte corespunzătoare frontierelor plane, cerc corespunzător unei frontiere cilindrice, etc), folosind metoda imaginilor. Este suficient pentru aceasta să rezolvăm problema pentru un tub de vârtej infinit de subţire, de intensitate u, în următoarele două cazuri : cilindru circular şi suprafeţe plane. POTENŢIAL ADITIV DATORIT PREZENŢEI FRONTIEREI. OR 425 35.3.1. Cilindru circular. Fie un contur circular de rază r0 raportat la un sistem de axe Oyz, având centrul drept origine; să presupunem ca punctul A [OA = a), din interiorul cercului, sau punctul B (OB = b), din exterior, este urma tubului de vârtej de intensitate V (fig. 35.5). Vom numi imaginea punctului A, în sensul pur formal al metodei imaginilor, pe care o vom folosi mai jos, punctele O, centrul cercului, şi B, situat pe aceeaşi axă Oy, la o distanţă b dată de relaţia (35.2 o a In mod reciproc, imaginea punctului B va fi reprezentată prin O şi punctul A, a cărui distanţă la origine va fi dată de : (35.28) a = Fia 35.5. Considerând un punct P pe cerc, triunghiurile OAP şi OPB sunt asemenea, deoarece unghiul în O este acelaş şi rapoartele laturilor, deduse din relaţiile precedente, sunt egale : (35.29) OA OP Rezultă deasemenea OP OB OP A = OBP = tt - db , OPB = OAP = n - 8fl , (35.30) -7-5 v ' AP __ ra _ a PB n r0 de unde se deduce mai departe : (35.31) Qa + Qb = 6 + * şi, în fine, (35.32) sin OAP sin Qa sin OP A sin Os Cu aceste relaţii se poate rezolva problema frontierelor, presupunând că există în fiecare punct O, Aşi B vârtejuri de intensitate diferită, dintre care unul singur real, cel aşezat în A, în interiorul cercului, sau cel aşezat în B, în exterior. 426 SCURGEREA ADITIVĂ DATORITĂ PREZENŢEI FRONTIERELOR a) Vârtej real în interior. Pentru a determina mişcarea în interiorul cercului, în cazul unui vârtej real aşezat în interior m A este i£™ deju-zut că potenţialul O, în absenţa oricărei frontiere, va fi dat de următoarea expresie simplă : (35.33)

■ observând pe de altă parte că avem : 0 pentru cazul pere-cazul pereţilor rigizi Fig. 35.7. 0n unghiul negativ pe pe care InP îl face cu (35.51) 430 SCURGEREA ADITIVĂ DATORITA PREZENŢEI FRONTIERELOR vom putea scrie pentru potenţialul în P : (35.52) ?x)p= — (1 - v) £ v" 2tt r In domeniul T>', în partea superioară, mişcarea va avea acelaş potenţial pentru toată seria de vârtejuri v" T, care se găsesc în partea inferioară â frontierei Fs — intensităţile fiind afectate cu coeficientul v'—şi potenţialul respectiv va fi în acest caz : (35.53) (?',)p = ^-V £ V~i6fl. In mod analog, se va putea scrie pentru vitesele normale la fron- tieră (35.54) J \ dn Jp 2tl *i " v"-1 COS 0,1 (9* \>! >)! S> >) •o1 S> 1 >) v1 S> s> >) \>! Fig. 35.8. ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE SOLIDE 431 36. ARIPA TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE SOLIDE Rezultatele obţinute în paragraful precedent se aplică la câteva probleme practice privind suprafeţele sustentatoare. Astfel de exemplu, aripa care traversează un fuselaj cilindric indefinit este o problemă a cărei importanţă nu scapă nimănui şi al cărui aspect teoretic şi practic va fi tratat în acest paragraf. 36.1. Aripa traversând un fuselaj indefinit Influenţa fuselajului asupra aripii unui avion este o problemă foarte complexă, dacă avem în vedere diversitatea formelor şi dimensiunilor fuselajului, ce nu pot fi încadrate în rezultatele actuale ale Aerodinamicei. De aceea, dificultăţile se ocolesc reducând problema la o schemă simplă, susceptibilă de a fi tratată prin mijloacele obişnuite ale analizei. Astfel de exemplu, să considerăm un fuselaj cilindric indefinit paralel cu axa Ox ; la infinit aval, mişcarea în jurul secţiunii drepte a cilindrului fiind plană, este uşor să găsim această mişcare pentru anumite contururi simple, cum este cercul, elipsa, ovalul, etc. 36.1.1. Fuselaj indefinit cu secţiune circulară. înlocuim aripa printr'o linie portantă dreaptă care trece prin axa cilindrului circular (fig. 36.1). Fie Fig. 36.1. O punctul de intersecţie care se ia drept origine a sistemului Oxyz şi b anvergura' totală a aripii. Pentru a simplifica problema, vom presupune că circulaţia este repartizată uniform pe toată anvergura; însă în acest caz, în loc de pânza de vârtejuri libere, care se întinde pe toată anvergura înafara i. ' li 432 ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE SOLIDE fuselajului, vom considera două vârtejuri marginale, în B şi B', la o distanţa B'B egală cu V, dedusă din expresia (21.44) : (36.1) V = y-b = b — .----1—-- ' 4 ^,-^+^5-^7+... unde Alt A3, A5, A-„ . . . sunt coeficienţii desvoltării în serie ai circulaţiei, astfel cum a fost indicat de expresia (16.8). Bine înţeles că prezenţa fuselajului modifică uşor coeficientul x, însă se poate neglija această modificare cu atât mai mult cu cât diametrul fuselajului este în general foarte mic în raport cu anvergura. Se va vedea de altfel mai jos că se poate admite aceeaşi formulă (36.1) pentru x, chiar în cazul unui diametru destul de mare. însemnând prin T circulaţia, pe care am presupus-o constantă dealungul anvergurii, considerând două puncte.4 şi A' aşezate pe Oy, în partea pozitivă şi negativă (fig. 36.1), la o distanţă a', dată de formula (36.2) b' mişcarea la infinit aval în jurul cercului va fi determinată de următoru potenţial complex : --ln X X 2r^ V x + b' X V unde X = y + iz este variabila complexă. Vitesa indusă suplimentară datorită vârtejurilor imagini, observând că în dreptul aripii această vitesă este jumătate din aceea corespunzătoare dela infinit aval, va fi dedusă uşor din formula lui BIOT-SAVABT (36.4) 8w = — ^ 4ir y - ii V y + b' V Integrând dela y = r0 până la y = —, se obţine valoarea mijlocie (36.5) ln 2»o) 2tc(6'-2j-0) 6'2 + 4 j-5 2rc(6'-2r0) unde am notat prin am expresia următoare : (b1 + 2 »■„)* -Om , (36.6) = ln b'2 + 4 r[ W ARIPĂ TRAVERSÂND IX Ft'SELA.I INDEFINIT 433 Rezultă o mărire corespunzătoare a rezistenţei induse : (36.7) $Bi=^ r .1 0111 ci <7m 4-x2Â această ultimă formă fiind obţinută înlocuind r prin P (36.8) r >Ty/ 2v.b In ceeace priveşte portanta, există pe de o parte o micşorare datorită unghiului indus suplimentar â/,„. (36.9) 8w, 2- (// - 2r0)r0 Cm CzGm lx-?, 1 iar pe de altă parte, o altă micşorare datorită fuselajului cilindrului. Pentru prima, ţinând seama de formula care dă portanta unitară pentru aripa singură, şi anume Cz = 2kxy., unde kx este dat de relaţia (1.6.44), se obţine următoarea micşorare a portantei unitare : (36.10) SC, = 2/o.S/, \0trn 2/u. Czrj„, V Fie 2Ai panta curbei Cz(Cz=2fav.); ea este foarte puţin diferită de cea corespunzătoare unei aripi singure : (36.11) ii 2kian 4xtîX 1 •li Micşorarea portantei datorită fuselajului va fi determinată prin integrarea presiunilor pe cilindrul nelimitat. Dacă neglijăm pătratul vitesei adiţionale (u2 = if- = w*«sQ) , ecuaţia (35.15) a presiunii se reduce la următoarea relaţie simplă : (36.12) P = Po - Pl>. Să notăm prin dS suprafaţa elementară a cilindrului şi prin ds un element al conturului circular C; vom avea dS = dx ds şi rezultanta presiunilor pe cilindru devine succesiv : (36.13) Pc = -Jj ^ p sin 0 dx ds = - pF0(j ăy (j+ 11 dx = f f +x 09 f ?Yo \ — dx = ~~ ?yo \ '?*ay- X J-oc dx }c 28 Aerodinamica 434 ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE 0 11,1 XI.) li 1<; E SOI,II Pentru a efectua această ultimă integrală, trebue observat mai întâi că vârtejul portant ia naştere din cilindru şi că segmentele b'b{ şi BXB reprezintă în realitate stratul de vârtejuri libere. Prin urmare, potenţialul oK, care este continuu in lungul conturului circular, după forma (36.3) a potenţialului, suferă în realitate salturi în i>, şi B\ (fig. 36.1), între punctele inferioare si superioare ale pânzei de vârtejuri (intre punctele 4 — J, în Bî si 2-3, 'în B[). Astfel deci, efectuând integrala precedentă (36.13) dealungul conturului, dela 1 la 4, se va putea scrie : (36.14) Pc= - ?V0\ ?x -r 2?F0r0F unde o ^ reprezintă potenţialul conlinuu dedus din expresia (36.3). Dealungul conturului funcţia de curent este nulă (i putea pune în acest caz : =0):se va (36.1.)) \ 9aod.y = C (?ac -f'V») d.y=p.r. ( P^fX) (d//+ ide) Jc Jc Jc =p.r.( Px(X)dX. Jc Avem pe de altă parte, aplicând formula lui CAUCHY : dP, (36.16) ( P00(A) dX Jc XP00(Y) X X b' •),.2 X+.t^- X- dX jX__ dX = O ,.2 dx = 2r^A 6' b' de unde rezultă în cele din urmă valoarea portantei pe cilindru, (36.17) •P = -W '» -'o b' Pr„r(2»-0-2«'). Totul se petrece deci ca şi cum linia portantă uniform încărcată, este* întreruptă între A'A, iar portanta totală ar fi astfel repartizată pe segmentele B'A' si AB : (36.18) pt = ?r0r y îl b' Pentru a calcula distribuţia portantei pe lărgimea cilindrului trebue să observăm mai întâi că avem : (36.19) ? ( _ 0) = _ ? (6) f ■ *, i I /. I -T I V r \ \| INIMĂ A IN El AIURI CC l-VSEl.A.I 435 şi prin urmare (36.20) —C - = 2r„ T ■a: ,i// = ■2>0V - 2 \" de unde rezultă (fig. 36.2) 1 dPc (36.21) = r c r = — (06 0„ -f 0fl - 0h) = —- (v + v'). Această formulă ne permite să trasăm distribuţia portantei dealungul diametrului B\B1. 36.1.2. Fuselaj nelimitat de secţiune ovală. Printr'o alegere potrivită a funcţiei de transformare, se poate transforma conturul circular într'un contur oval simetric oarecare. Mişcarea în jurul conturului circular fiind stabilită mai sus, aceea în jurul conturului oval va fi dedusă cu ajutorul acestei funcţii de transformare. Se va putea studia astfel portanta şi rezistenţa indusă totală pe un fuselaj de secţiune ovală; trecem peste amănuntele de calcul, care nu prezintă de altfel nicio dificultate specială. 36.2. Rezistenţa minimă a unei aripi cu fuselaj cilindric Pentru o aripă singură, fără fuselaj, am găsit în paragrafele precedente că rezistenţa indusă este minimă dacă vitesa indusă dealungul anvergurii este constantă, egală să spunem cu w0. Această condiţie nu mai este valabilă în cazul aripii cu fuselaj, deoarece portanta acestuia din urmă nu mai este datorită unui sistem portant care dă naştere vârtejurilor libere din aval, după cum este cazul celor două segmente portante B'B\ şi BXB. Totuşi, în compoziţia portantei totale date, trebue să se ţină seama de portanta datorită cilindrului, aşa cum am stabilit-o mai sus (36.17) Pentru rezistenţa minimă, distribuţia circulaţiei dealungul anverguri. 43(5 AHII'Ă TKAYK.IiSÂXI) FliuXT IKRF C I L f X I) ]! 11'. K SOLID RF.ZISTF.NTA VINI VĂ A UXF.I ARIPI CU Fl'SF.LA.I 437 (înafara fuselajului) urmează o lege pe care vrem tocmai s'o stabilim Din cauza acestei variaţii, formula (3(5.17) nu mai este valabilă pentru ansamblul portantei, însă ea este perfect justă pentru două făşii elementare de vârtejuri libere.de intensităţi--- dy aşezate în 4- i/ si-—)/. Tom avea in Ai/ acest caz, înlocuind — din formula (3(5.17) prin y şi V prin — dF, (30.22) dPc 2pF0 dT i r, şi prin urmare portanta totală pe cilindru, integrând prin părţi, va avea expresia : (36.2.3) Pc = -2Pr0 ţj2|,-0-^j dr 2pF r r i». dV. ru y2 Cum pe de altă parte portanta pe aripa propriu zisă va fi dată de următoarea integrală simplă : (36.24) Pa = 2?Y0y T Ai/ • r, portanta totală rezultă imediat : (36.2.-5) Pt=Pa + Pc= 2o r0 ij 2 ri i • a„. y*) Pentru rezistenţa indusă, însemnând prin ir vitesa indusă în dreptul aripii, se poate scrie, deasemenea, (36.26) P, Tic a;/ şi condiţia necesară şi suficientă pentru ca rezistenţa indusă să fie minimă se deduce imediat : (36.27) w = t„o(i +_JL| , unde w0 este o constantă pe care o vom determina mai jos. In aceste condiţiuni, rezistenţa indusă este dată de aceeaşi formulă ca şi pentru o distribuţie eliptică : 36.28) St -±Pt. Să revenim la condiţia (3(5.27) şi să căutăm mişcarea care să satisfacă această distribuţie a vitesei induse dealungul anvergurii. La infinit aval, unde mişcarea este plană, avem neapărat" : (3(5.20) = -2icn 1 b: b;i şi problema constă în a găsi scurgerea plană din jurul cercului şi din jurul stratului de vârtejuri P^Pj si P1 B0 (fig. 3(5.3)'. Soluţia problemei a fost dată de J. LEXXERTZ; el găseşte, intr'adevăr, însemnând prin F(X) potenţialul complex : Fi?. :50.:'i. (36.30) F(X) = O 2nvn X -f -hr + 4- 2iu\\X X Fl +F.2, însemnând prin P^O^+iY, şi P, = 2 + Vi',, primul şi al doilea termen al potenţialului complex. Rezultă mai departe vitesa complexă : (36.31) AF U = — Ax ,,2 \2 1 + ^ iiir. il w. X2 2rW Se vede din aceste expresii, că 1) vitesa este nulă la infinit, pe linia portantă 0, rf y 1 <; — , primul termen din (36.31) este real, vitesele sunt deci paralele la şi al doilea termen este identic cu condiţia (36.29) a viteselor dela infinit aval sau cu condiţia (36.27) a viteselor din dreptul aripii. Aceste două condiţii îndeplinite, scurgerea reprezentată prin (36.30) este prin urmare soluţia căutată. Este interesant de văzut că primul termen al potenţialului, Fu reprezintă scurgerea în jurul cercului şi al celor două segmente B'oB\ şi BXB0 aşezate într'un curent ascendent de vitesă 2w„; al doilea termen, F2, 438 ARIPĂ TRAVERSAM) FRONTIERE CI L I XDRICE SOLIDE reprezintă scurgerea în jurul cercului aşezat într'un curent a'ertical de vitesă — 2tc0 (fig. 36.4). Se vede, într'adevăr, că pentru punctele cercului (A' = rnei<}) şi pentru cele ale anvergurii j A" = j //; <; — |, FY este real, deci xi\ = 0 şi priu urmare segmentele şi cercul sunt linii de curent. Pentru a calcula circulaţia într'un punct P al anvergurii, să notăm prin s şi O, valorile potenţialului în acelaş punct pe faţa superioară şi inferioară; ţinând seama pe de o parte de relaţia, (36.32) T = Os- 0), Fig. rjti.i. (36.34) T = 2 pentru circulaţie şi (36.35) şi observând pe de altă parte că semnul radicalului este pozitiv pentru faţa superioară şi negativ pentru fala inferioară, (36.33) O, = - <1>S. se va putea scrie în cele din urmă : 2

6S ll 4r2\2 ' \ b3 I ■4S INFLUENTA FUSELAJULUI ASUPRA DISTRIBUŢIEI CIRCULAŢIEI 439 In raport cu aripa eliptică există deci o mărire a rezistenţei induse minime care nu este apreciabilă decât dacă raportul între diametrul fuse-lajului şi anvergura aripii depăşeşte 10%, ceeace se întâmplă foarte rar în practică, în afară de cazuri speciale (bombe sbnrătoare, etc). 36.3. Influenţa fuselajului asupra distribuţiei circulaţiei Dacă diametrul fuselajului este destul de mare în raport cu anvergura aripii, influenţa sa asupra distribuţiei circulaţiei nu poate fi neglijată. Pentru a determina această influenţă vom remarca, mai întâi, că pe toată lărgimea fuselajului nu există vârtejuri libere şi prin urmare sistemul aripă-fuselaj poate fi asimilat cir o aripă care are circulaţia constantă în regiunea ocupată de fuselaj. Această condiţie poate fi realizată presupunând că în acea regiune există o incidenţă suplimentară z, a cărei variaţie satisface condiţia impusă şi care urmează să fie determinată. Vom considera prin urmare o aripă izolată, de contur perfect determinat, având, pe lângă incidenţa sa proprie a, o incidenţă adiţională e pe partea centrală corespunzătoare lărgimii fuselajului şi o altă incidenţă adi- ţională —; datorită influenţei fuselajului pe partea din exteriorul acestuia*). F o In felul acesta, ecuaţia circulaţiei devine (36.38) r = IcYţfi (a + e + - -^-) V unde tc este vitesa indusă totală, corespunzătoare circulaţiei. Pentru simplificarea calculelor, circulaţia F se poate descompune în două părţi şi anume : circulaţia F' corespunzătoare aripei izolate, care .satisface condiţia de a fi constantă pe porţiunea ocupată de fuselaj şi circulaţia suplimentară Ts datorită influenţei fuselajului (T = F' -4- Fs ). Punând, prin urmare, (36.39) F' = 7cTV « + s tc n /,r,/l"7 - "x 1 vn r0 unde tv' şi tcs sunt vitesele induse respective; circulaţiile T' şi Fs pot fi determinate separat, cu respectarea condiţiilor date. Să considerăm în primul rând circulaţia T'; incidenţa suplimentară s trebue să varieze astfel încât circulaţia îutr'o secţiune oarecare din regiunea aripei cuprinsă în interiorul fuselajului să fie constantă şi egală cu circulaţia ro din secţiunea mediană. Observând mai departe că pe porţiunea de aripă considerată variaţia circulaţiei se poate asimila cu o parabolă, putem admite şi pentru s, în mod aproximativ, tot o variaţie de aceeaşi formă (36.40) s = £of4?/2 -l *) E. CARAFOLÎ şi T. OROVEANU : Influenţa fuselajului a*i 5tudii Şi ctwttiri df M variaţie de incidenţă în lungul anvergurii şi pentru a aplica metoda obişnuită de calcul este necesar să desvoltăm în serie FOTJRIER expresia, e sin 6, care va fi de forma p (36.44) s sin 6= V z2P+1 sin (2p + 1 )6. Un calcul simplu ne dă 1 (36.45) 2s0 7t 4k2 4-m 2 -6, -0] sin 261 , J_ '~~2 r4fc2_ 1__1j( sin 26, J__ sin 60! 4k9 6 sin 46x 4 sin 40 + 4F sin 2(p+l )6j sin 2pQ x 2(p + 1) 2p sin2(/> +2)0! sin 2(p — 1)^ 2(p 2(p - 1) + + iar coeficienţii a'>p+\ ai circulaţiei v se calculează apoi cu ajutorul ecuaţiilor cunoscute (22.10) corespunzătoare aripilor cu incidenţă variabilă. Să observăm, că aceşti coeficienţi pot fi priviţi ca suma dintre coeficienţii B'n care se referă la aripa izolată şi coeficienţii b'n care se introduc. pentru realizarea condiţiei de constanţă a circulaţiei în regiunea fuselajului (A'n = Bn -\-b'n ). Coeficienţii ./>,', se pot calcula prin urmare cu ajutorul ecuaţiilor curente (18.5) pentru aripa cu incidenţă constantă, iar pentru coeficienţii bn ,care reprezintă numai un supliment, putem utiliza un sistem de ecuaţii simplificat, delus din sistemul (22.10) prin suprimarea termenilor de ordin, secundar : (36.46) unde (36.47) ((jio + % - %)b[ = - now, [(2p -7 l)u0 + %1 &2p+] + 'XMp-l i- W'2p-3 = - ^0w2P+l . t02p+l Q 2p+5 (2/)-3)!x0-r-P0 Să trecem acum la calculul circulaţiei Ts care se va pune tot sub forma-obişnuită : (36.48) Ts = 2&T0 "S^ffn sin »6. Dacă indicăm cu ?'/ = irj_ incidenţa, suplimentară datorită influenţei fuselajului, această circulaţie suplimentară se va trata ca şi cazul aripei cu incidenţă variabilă dealungul anvergurii. A 13 Fi- :',r, Expresia acestui unghiu pentru exteriorul fuselajului se găseşte uşor, considerând, ca şi în cazurile anterioare, vârtejurile libere concentrate în 442 ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE SOLIDE INFLUENTA FUSELA.IULL'I ASUPRA DISTRIBUŢIEI CIRCULAŢIEI 443 două nuclee de intensitate F0 şi luând imaginile acestora faţă de cerc (fig. 36.5). Obţinem astfel imediat, dacă facem schimbarea de variabilă cunoscută, 2y = — b cos 6, u-f _ xr0 _k2 Y0~ -bY0 y.2cos26 ~/.■! (36.19) Pentru inferiorul fuselajului, prin analogie cu cazul precedent, vom considera pentru unghiul if o variaţie parabolică şi anume (36.50) *r0 -bV cos2 6 k2 k2 astfel încât Ts să fie constantă în regiunea considerată. Constanta i0 se va determina prin condiţia ca valoarea circulaţiei Ts la frontiera fuselajului să fie egală cu circulaţia în secţiunea mediană. Pentru coeficientul x. care depinde de circulaţia totală F, vom lua o valoare aproximativă, pornind dela circulaţia F'; în general, valoarea astfel obţinută este suficient de exactă, aşa că nu mai este necesar să refacem calculul. Desvoltarea în serie FOFEIEB a expresiei if sin 6 conduce la calcule foarte laborioase şi din această cauză am recurs la desvoltarea într'un polinom trigonometric de forma (36.51) if sin 0= /( 8 ) = ^ sin 0+ /3 sin 30- i.2m+i sin (2m + 1) 0. Dacă împărţim în •/• părţi egale perioada 2~ a acestui polinom, fiecare diviziune fiind egală cu (36.52) 0D 2r,p (p = 1, !>,...,r), coeficienţii rezultă din expresia următoare : (36.53) y fp sin (qdp); \q=l, 3, 5 />=! J. unde fp este valoarea funcţii /(0) pentru 6 = Gp. Dacă luăm r = 36 şi pimctele de diviziune 6 = 10/;, rezultă în virtutea simetriei, 8 (36.54) 9/« =2 fp (sin 10pq)+f9 sing cu q = .1, 3, 5, . . ., 17. Să trecem mai departe la determinarea coeficienţilor av «3,.. . ,a*p+i} se poate utiliza iarăşi sistemul de ecuaţii simplificat (36.46). In felul acesta se pot calcula coeficienţii Aa =A'n -f «„ ai circulaţiei totale F, care se j>oate pune astfel sub forma n n (36.55) r = T' Fs = 26(A'n -f «„ ) sin j,6 = 2bVoy1An sin «6 î î tinde A'n = B'n -\- b'n a fost dedus mai sus. 36.3.1. Exemplu de aplicaţie Pentru simplificare să considerăm o aripă eliptică cu un raport între diametrul fuselajului şi anvergura aripei k = 0,5. Luând pentru tj.0 valoarea 0,348, circulaţia aripei izolate este (36.56) Fe = 2&F0 X 0,258 a sin 6. Mai departe, găsim pentru e sin 6 desvoltarea (36.57) s sin 0= e0 ( — 0,414 sin 0+ 0,334 sin 30— 0,207 sin 56-f -f 0,083 sin 76— 0,030 sin .110), reprezentată de curba punctată din fig. 36.6, în comparaţie eu valoarea acestei expresiuni dedusă din relaţia (36.42). Fiu. ;;<'>.<;. Calculând coeficienţii circulaţiei F', găsim valorile (36.58) Ai =+ 0,231 a. A 3 = -f- 0,014 a. A'5 = - 0,007 a., Ai = 0,002 oc. 444 ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE SOLIDE Pentru a găsi acum circulaţia Ts, vom calcula coeficientul v. aşa cum am arătat mai sus ; găsim astfel = 0,825. In felul acesta, desvoltarea în polinom trigonometric a expresiei if sin 6 este : p if sinO =---5- (0,339 sin 6- 0,084 sin 3G-0,050 sin 58 -f (36.59) bV0 -f 0,063 sin 76 — 0,018 sin 96 — 0,024 sin 110 — 0,028 sin 130) iar curba reprezentativă este trasată în figura 36.6 bis, în comparaţie cu aoeea dedusă din relaţiile (36.49) şi (36.50). 2 i2 â 0 1 ! \ \ \ \ \ \ i \\ \\ \ \ \ 'OS. \ i i i i 0.1 02 0.3 O.i 05 0.6 0.7 08 0.9 / Fie. 3G.6 bis. Găsim astfel coeficienţii circulaţiei : (36.60) = — 0,031 a, a3 = + 0,005 k, a5 = 4- 0,002 a, a7 = — 0,002 a, «ii = 0,0005 a, 0,0006 a, 0,0006 a, de unde rezultă în cele din urmă pentru T, următorii coeficienţi: (30.61) [ At=+ 0,200 a., 1 A3 = + 0,019 a, As= - 0,005 a, A, = 0. In fig. 36.7 am trasat variaţia circulaţiei re şi a circulaţiei P în lungul anvergurii, aceasta din urmă completată în regiunea corespunzătoare fuselajului cu circulaţia acestuia dată de (36.21). INFLUENTA FUSELAJULUI ASUPRA D [STR I MUŢIEI CIRCULAŢIEI 445 r 2bV, 02i 0.20 016 0.1Z 0.8 OU »-^/ T \ ---- 1__ — — T N *--^ s n i 1 _\ ■ \ ! k \ v \ ! --; .._ . ------_| .—___-- 1 i V \\ -Vt— V V -» 0 0.1 0.2 0.3 0.4 OS 0.6 0.1 0.8 OS / Fiix. iu;./. 30.3.2. Calculul portantei şi rezistenţei induse totale. Pentru a găsi portanta totală a sistemului aripă-fuselaj, 'să remarcăm mai întâi că pentru aripa echivalentă, la care circulaţia este constantă pe porţiunea ocupată de fuselaj, portanta arc expresia (36.62) "Vom scădea din această portantă, partea corespunzătoare porţiunii ocupate de fuselaj şi vom adăuga iu schimb portanta fuselajului. Dacă ţmem seama de faptul că circulaţia T (36.55) este constantă pe porţiunea cuprinsă de fuselaj şi are valoarea (36.63) r0 = 2hY0 (A, A, .J. -A.+ ..) = "îlL^l , 2x iar portanta fuselajului este dată de relaţia (36.18), obţinem expresia portantei totale ' (36.64) Pt=JL y^Ai ^fl^^l 446 AUII'Ă THAVKKSĂNI.) FRO.VrTKIlK C 11.1 \ I Ui !•' K UBEUKj Şl (36.65) --I u»' suprafaţa S şi alungirea X fii iul acelea ale aripei izolate. Pentru a calcula rezistenţa indusă totală, vom considera deasemenea rezistenta indusă a aripei echivalente: (36.66) jî(=1fMit y nAn din care vom scădea rezistenţa porţiunii ocupate de fuselaj. Aceasta din urmă se calculează uşor dacă ţinem seama de faptul că este constantă în regiunea considerată. Avem deci (36.67) Et w dy Ai 11 / ■ST'-'1 " cos cu 61=arc cos Prin urmare rezistenţa indusă totală are expresia 1 + Ett = — TTo-/>2Aî (36.68) nA\ \ 1| a . 1--cos ex + Ai ^ cos «e. şi coeficientul unitar respectiv este Rn (36.69) Cxi = ttXA] — Y2S " -ii V* »a„ 2j a? — —f cos v— COS«8i 37: ARIPA TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE LIBERE Diferite porţiuni ale unei aripi se găsesc adesea în domenii diferite, de vitese V0 şi Vi, separate prin suprafeţe libere. Intre problemele ACT1CNKA UNUI JF.T DM SKCŢIUNF. C.l RCT'LARĂ 447 multiple de acest fel, vom trata acţiunea unui jet fluid asupra aripei şi influenţa suflului elicei. 37.1. Acţiunea unui jet de secţiune circulară asupra unei aripi Fie o aripă traversând un jet circular de diametru egal cu b ; să înlocuim pânza de vârtejuri libere prin două nuclee turbionare de intensitate r„, egală eu cea din centrul aripii. Distanţa dintre cele două vârtejuri este b' = y.b, unde x este dat de formula (21.44). Pentru a ţine seama de pereţii liberi, a căror urmă într'un plan normal pe jet este un cere, trebue să introducem în A si A' {dA=A'0 \ 2b' 2v, două a'ârtejuri ro şi — F0. Aceste două vârtejuri induc o vitesă suplimentară us, a cărei valoare într'un punct y al anvergurii va fi dată de formula : Fisr. :',T.l. (37.1) r. i = v Ar - cos 0 \2b' J 2b' ' -/ \x unde Ai are aceeaşi semnificaţie ca şi în formulele precedente. Unghiul indus suplimentar is = fi desvoltat în serie FOURIER : (37.2) is sin 6 = Sj sin 0 + s3 sin 36 -f unde vom avea : us 1 x •cos 6 y0 multiplicat cu sin 0, va putea + s2m+1 sin (2m -f 1 )0, (37.3) E2m+l = — — 4x tt ttx sin G sin 0 1_ x cos 0 1_ x sin (2m+l)6 d0= cos 0 sin 0 sin (2 m + 1)0 dO cos 0 Să observăm mai departe că avem : (37.4) 2 sin 0 sin (2m + 1)0 = cos 2m0 — cos 2(m + 1)0 448 ARIPĂ TRAVERSÂND .FRONTIERE CILINDRICE LIBERE şi să punem (37.5) = eh t ; se va putea scrie în locul celei de a doua integrale (37.3), altele două care se pot integra uşor : f- sin 6 sin (2w-f 1)6 d6 _ l_f^ cos 2/jiO dO (37.0) ch - + cos 8 dl T -l cos 6 Jl_ C- cos 2(m -l 1)6 dO 2 )0 ch t + cos 6 Pentru calculul integralei (37.7) In = cos «6 ch t+cos 6 -cie. vom proceda ca şi la paragraful 11.4, remarcând că avem relaţia (37.8) cos (h + 1)6 -f cos (» — 1)0 =2 cos nQ (cos 0-f-ch t)—2 cos «6 ch t care ne conduce la următoarea ecuaţie cu diferenţe finite : (37.9) I„+i+ 2 ch t 7„ + /„_,= 0. Soluţia unei astfel de ecuaţii este dată de expresia (37.10) /„ = Ax11 care. introdusă în (37.9), ne dă ecuaţia ( 7.11) x"- + 2 ch -.x + 1 =0. Această ecuaţie admite două rădăcini (37.12) x1 = — e~T şi x2 = — e+T, din care vom alege numai prima, deoarece a doua ne dă termeni In crescători, ceeace nu corespunde cu condiţiile reale. Vom pune astfel (37.13) , In = A(-l)ne-"-şi remarcând mai departe că avem d6 (37.14) cos 0+ch t — arctg \th--tg 0 sh ceeace ne permite să determinăm constanta A ; rezultă : (37.15) In =(-1)" sh- ACŢIUNEA UNI' I .1 ET DE SECŢIUNE CIRCULARĂ 44J Putem scrie în cele din urmă [2] : (37.16) A S2m+1 1. e — (2m + n~. Este uşor de văzut, sub această formă, că coeficienţii s2m+i descresc rapid, ceeace ne permite să limităm numărul termenilor s„ sin /<6, evitând astfel calculele laborioase. Coeficienţii A,, A3, . . ., A„ ai circulaţiei vor fi determinaţi prin aplicarea formulelor (22.8) sau (22.10), unde to,, . . ., to2m+i sunt daţi de expresiile (22.6) sau (22.11). Trebue să remarcăm totuşi că în locul coeficienţilor a,, a3, . . ., a„, se va pune respectiv : (37.17) a, = a — e,, a3 = — s3, . . ., a„ = — £„. Pentru calculul portantei, este suficient numai coeficientul A,. Pentru aceasta să aplicăm prima ecuaţie (22.10) privitoare la aripile dreptunghiulare şi trapezoidale; se găseşte <37.18) % ~ ?2 to3 3U-n Po ■care se mai poate simplifica, dacă neglijăm al doilea termen din membrul al doilea şi dacă punem aproximativ : (,(37.19) In aceste condiţii se găseşte : (37:2») A, ^ - (■1 - h 3Lt„ A,. lX0 I t-'o î*2 ,s*)2 3 Ha 3^ + % ) Jar panta lui Cz faţă de incidenţă rezultă imediat : ((37:21) C\ Calculul rezistenţei este mai laborios. Intr'adevăr, în afară de rezistenţa auto-indusă datorită vitesei induse de vârtejurile libere reale, trebue -să se ţină seama deasemenea de ws vitesa suplimentară indusă de vârteju-rile-imagine. Rezultă deci o rezistentă indusă suplimentară (37.22) . » -A ws r Aij = P6*rg s» sin «O £ A„ sin »6 dfl = - -?b*Y* Jj„An. 29 Aerodinamică 450 ARIDA TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE LUJERE (37.23) Şi notând cu CX!S coeficientul unitar aditiv, se va putea scrie în fine, cxis = —- o Y2S 37.1.1. --Metoda elementară pentru desvoltarea expresiei is sin 6. Am determinat mai sus coeficienţii s,, s3, . . ., £„ cu ajutorul integralelor speciale (3;.7); este interesant de văzut că se poate ajunge la acelaş rezultat prin-calcule algebrice elementare. Intr'adevăr, expresia (37.1) a vitesei se poate pune sub forma : (37.24) sin 6 A, sin 6 A, cli t sin 6 2/.2 1 cos2 6 2-/. ch2 t - cos2 6 care devine succesiv (37.25) /s-sin6 A „(0 L'ix () - i(0 - 1T) . 1 _ e^+i') 1. — e - '-''(° - 'T) 4 "! ^1 s- e-(-2m+ 1)t sm (2wj + 1)6_ Aceasta este tocmai desvoltarea găsită mai sus (37.16). 37.1.2., Determinarea coeficientului x. Termenii s„ (37.16) depind de-coeficientul x pe care l-am presupus cunoscut a priori. In realitate, după-expresia sa, (37.26) x = ^ ■_--_ 4 1 4.^5 ■ * ' ' •>, -l, ' '•' coeficientul y, variază cu Av . . ., A,„ care depind la rândul lor de x. Este deci necesar să se determine acest coeficient independent de A,,. . ., A„. Să observăm pentru aceasta că se poate neglija A5, A7 faţă de Aj şi A3 ; în consecinţă vom considera numai raportul . care se va putea deduce din. următoarea ecuaţie aproximativă scoasă din (22.10) : (37.27) (3y.0 -f ,%) A3 = (J32 - ,'i4) A, = - ;,0 co3 « - ^ e~ :!t . DISTR IIILŢIA CONŢINEA A Y RT I-..I t li 11.0 R IMAC.INE 451 A o Introducând această valoare a lui — în expresia coeficientului x, Ax se găseşte in cele din urmă : (37.28) 1 Pentru a aplica această formulă, ne alegem mai întâi o valoare a lui x, corespunzătoare de exemplu aripii singure, în fluid indefinit, şi se introduce această valoare în al doilea membru al expresiei (37.28). Ou această valoare a lui x astfel obţinută, se poate reîncepe calculul, însă în general o priniă operaţie este suficientă. 37.2. Distribuţie continuă a vârtejiirilor-iinauine In cele precedente, am reprezentat influenţa frontierei printr'un singur vârtej-imagine concentrat în A (şi A'). Această ipoteză este perfect valabilă şi rezultatele obţinute sunt în acord cu experienţa. Totuşi, în cazuri speciale, ca de exemplu în cazul unei circulaţii disi-metrice, unde apare o dificultate în ceeace priveşte intensitatea şi poziţia unui singur vârtej-imagine, este necesar să se considere o repartiţie continuă de vârtejuri-imagine ca si cea de pe aripa însăşi. dr Fie deci -- -dy intensitatea turbionară într'un punct y al anver- li' gurii; imaginea va fi aşezată înafara jetului la o distantă — de centru. Vitesa indusă suplimentară într'un punct "1 va avea ca expresie, luând ca semn pozitiv acela al vitesei descendente : 1 4tu b t" dr -l// (37.29) y^n A,, cos nO — , 1 Ml [•os 0 (10 cos 'h cos 0 unde am pus, ca deobicei, (37.30) r = 2bV0 VA„ sin «0, cos 6 = - , cos 6 = - 2 --T ■ h b 452 AK1PA TtiAVKP.- \NI< FIU>XT I VWV; ><". li .INDlllr, FI UJ )îk1v,i7. Pentru aplicarea metodei obişnuit*-* aă desvoltâm ini scris• FtJiUTRIKKi —^- sin v ■= sin V; Tom uvoa : (37.31) ?ssmy=- \ ^ " " n i = sin y ^ ei„ + sin 2y £ cos 0.4*): unde (37.32) sau (37.33) \ sin y si «=1 sin «ci di 1 — co* y cm (i n. r sin mii* ^ Sam» b.=l nAn fr cos u ft cos fi do f * cos tt ft cos fi <1 Jo 1 — cos v cos 8 zmn = — \-- cos 6 cos H0 d6 V - tc Jo .'a 1 ~ sin y sin »*y dy cos y cos 0 Integrând prima expresie (37.32) în raport cu 6, se ajunge, după câteva transformări destul de laborioase [l]v la integrala următoare : 2nA„ sin wy (37.31) Zmn — \ , v tc Jo eos y sin y cos y dy. Pe de altă parte, dacă efectuăm integrala expresiei (37.33) în raport cu y, se ajunge la o expresie analoagâ : (37.35) 2nA„ f- „ --\ cos >i0 tc Jn <=-m" sin O cos e de si integrând mai departe prin părţi, se găseşte : (37.36) 2nA„ m f" _sf ■II Jn 0 ~ sin »*0 !„ cos e 1 — sin 0 "» cos 0 de unde rezultă, comparând această integrală cu cea a expresiei (37.34), o relaţie importantă : (37.37) zm> A, Punând n (37.38) H. 2 , b ,____ r~~\ b 2 f * \ 2 B 1 \° D A v j/ Fia. :-!7.:! b. (37.44) 2) vitesa datorită vârtejurilor-imagine aşezate în interior, b ve_ l " dT _dy 4- ) dy 2 dr __dy dy y m » 456 AHII'Ă TK A\ KIISAM) FliO.XTI KRE <: I U X I >K 11 :E UISEUE I.XH.l'K.XŢA SU'T.U.r] ELir.Ef 457 unde ve, ţinând seamă de relaţiile (35.4.3) şi (37.46) şi observând eă S„ este în general mie, va fi dat de următoarea formulă : (37.45) fg - K V2 J_ V'2 'Ol ' l) (2 + h) K _ 2 + 2S0 + 5§ 8« = — v„ r, 3) vitesa datorită vârtejurilor interioare, -r« (37.46) ir „3 = ^ t ■ dl 4- J i f dr , vom avea : (37.53) H~t = «'t "'«3 + >cei = if — 4- <4T fi_ d/y ~2 i42 •+2 dr dt/ '1- ^o2 unde ir este vitesa indusă propriu-zisă, fără a ţine seama de frontiere, Pentru domeniul interior D', vom avea deasemenea : (37.54) i/v = ii'n + hv3 -j- ir/2 -ft, _dŢ_ di/ Mai departe, luând ca referinţă vitesa V0 a curentului, şi notând cu is un unghiu indus suplimentar, variabil dealungul anvergurii, care ia valoarea. (37.55) îs = he = m'e2 y0 -r» dr a dt/ + 2 dr _ ' în exteriorul suflului elicei şi respectiv m','2 ăl, ft2 (37.56) Is = Ist dr dt/ ^1 — t?2 în interiorul suflului, se poate serie în cele din urmă ecuaţia circulaţiei sub forma următoare : (37.57 lceV a (1 + S) ic Totul sc petrece ca şi pentru o aripă situată într'un curent omogen de vitesă P0, având o incidenţă geometrică cts = a(l + S) variabilă dealungul anvergurii şi o incidenţă indusă suplimentară, — it, deasemenea variabilă. Pentru a rezolva problema prin metoda curentă pe care am folosit-o până în prezent, vom considera mai întâi aripa pusă într'un curent de vitesă T'„, iară influenţa suflului, şi vom adăuga apoi efectul incidenţei 458 auii'ă thaykksâ.nii \'\{( > nt 1eh e ('. 11.1 \ I Ui i (: i'. lii! ei1 e variabile aS şi — /s, pe care le vom desvolta în serie FOURIEE sub forma cunoscută. Aşa de exemplu, se va pune : (37.58) xă sin 0 = a sin 0 -f â3 sin 30 -+-. . . -j- S2p+1 sin (2p — 1) 0 unde, pentru . . ., H„ vom avea expresii analoage eu (23.5) : (37.59) âi = ăt> ^~ 2o„ sin 26, Oi «3 = 2o0 i sin 40, sin 20, 2ă0 /'sin (h -J- 1)0, sin (n - 1)0, â„ =---------- - { n — 1 » — 1 0, fiind dat de relaţia următoare : (37.60) cos 0, = 2/4 Pentru expresia t» sin 0 calculele simt foarte complicate şi desfăşurarea în serie FOURIEE este. aproape imposibilă fără aproximaţii simplificatoare. 37.3.2. Ipoteze simplificatoare. Vom descompune circulaţia în jurul aripii în trei părţi : a) circulaţia aripii normale pusă într'un curent de vitesă Y0, fie (37.61) Tfl = 2bY0 £An sin ,><), unde coeficienţii A„. . ., A„ vor fi deduşi din ecuaţiile (18.5); b) circulaţia datorită suflului elicei, care este echivalentă cu cea corepunzătoare unei incidenţe variabile ocS în lungul anvergurii, fie (37.62) Tb = 2bY0 y B„ sin «8, unde coeficienţii vor fi determinaţi cu ajutorul ecuaţiilor (22.10) şi (22.11), a.„ fiind înlocuit prin aS». Soluţia acestei probleme este de altfel identică cu cea corespunzătoare aripioarelor de curbură centrale, [paragraful 23.1]; () circulaţia suplimentară datorită vârtejurilor imagine, care este echivalentă deasemenea cu variaţia de incidenţă— is, fie (37.63) I Xi'l.i KV-' \ > l' I 1.1 HI ELH'.EI 459 Calculul coeficienţilor an este foarte complicat, deaceea vom întrebuinţa o metodă aproximativă, din care să scoatem un rezultat practic foarte aproape de realitate. Din condiţia (35.10) stabilită anterior, rezultă că circulaţia la frontieră trebue să satisfacă următoarea relaţie : (37. 64) r, r;r0 = r,r0, o - s0) r; unde Y[ este circulaţia totală în interior, iar i", în exteriorul suflului. Indicând cu Ta{, r&, circulaţiile la frontieră, deduse respectiv din formulele (37.61 şi 37.62) şi notând cu rs, circulaţia suplimentară în interiorul şi exteriorul suflului datorită vârtejurilor imagine, vom avea (37 . 65) r: r rsl. r, r şi prin urmare, aplicând relaţia (37.64), deducem : (37 . 66) Ysl = -(Tai + r6i) 2-J-&, Am determinat astfel circulaţia la frontieră. Dacă ţinem seama acum că imaginile reciproce, pentru exteriorul şi interiorul suflului, au un ef<*ct maxim la frontieră şi că la extermităţile aripei putem neglija această influenţă; observând pe de altă parte că vâr-tejurile-imagine sunt reduse în proporţia coeficientului v0 (37.45 şi 37.50), nu vom comite o eroare mai însemnată, dacă vom înlocui variaţia circulaţiei prin două parabole şi anume : (37.67) rg = - (r,,4-r in interiorul suflului şi (37 . 68) Ys = r5, | 1 sa) sO «0 2Ro 2R0 în exterior. Rămâne acum să determinăm circulaţia mediană Ts3; pentru aceasta, să luăm vitesa indusă în centrul aripii, considerând în locul unei variaţiuni continue a vârtejurilor libere, trei vârtejuri concentrate de fiecare parte a aripii (fig. 37 . 4). Făcând ipoteze simplificatoare în ceeace priveşte poziţia acestor vârtejuri concentrate, dacă remarcăm pe de altă parte că în mod practic 2i?0 « 0,25 b ... 0,30 b, obţinem : (37 . 69) sO 0,75 it'0 1 0,25 - 0,15 i?0 1 0,75 i,'0 0,15 /,' 460 AHII'A TRAVERSÂND FR( ).\T 1 ERE i: I L I \ I) R 1 < )E L 11! KHK Vom presupune acum că Tsj este datorită incidenţei suplimentare efective, din centrul aripei şi vom scrie prin urmare : rs0 = ^\,r0 / (37 . 70) unde c0 este coarda medie. Vn , r sO 1 4- 3i?„ — ~c0T o^so. -r-r -f5R*0,25b- o Fig. 37.4. Incidenţa ;s0 este indusă de imaginile din exterior, datorite variaţiei circulaţiei în interior. Cum Ta nu variază aproape deloc în interior, nu rămâne decât T0 — Tnv Ts, pe care le vom presupune concentrate în punctele y = ± 0,75 i?0, precum şi — Fsi de pe frontieră. Imaginile acestor vârtejuri, aşezate ea în figura (37 . 4), induc incidenţa (3î n: 2*2?0 rsi 3 (Tfco — rftl-j-rso -4- r^i) din care se deduce o relaţie, pentru F 3v0c,, sO 2en Sltn 3 •rsi + 60 (37.71 bis) rso 1 + V -i?o Să remarcăm acum că membrul al doilea este mic; putem să admitem deci într'o primă aproximaţie Fs0 0 şi în acest caz relaţia (37 . 67) se simplifică si devine : (37.67 bis) r* = - 1 si~-, • i?o INFLUENŢA .-UKLI LUI ELICEI 461 In concluzie deci, calculul circulaţiei se efectuează în modul următor : a) se determină circulaţia în curent constant F0; b) se determină o circulaţie adiţională ca şi pentru'bracajul aripioarelor centrale producând o incidenţă a = aS (§23.1); se adaugă circulaţia Fs dată de formulele (37.68) şi (37.67-bis). Calculul portantei şi rezistenţei nu mai prezintă nici o dificultate şi deaceea vom trece peste acest calcul. 37.3.3. Condiţiuni pentru rezistenţa minimă. Pentru o portantă totală constantă, variaţiile 3PX şi SP2, în două puncte diferite, sunt egale şi de semne contrarii : (37 =0. Aceste modificări ale portantei au o influenţă neglijabilă asupra distribuţiei vitesei induse ; pe de altă parte, dacă distribuţia portantei corespunde la o rezistenţă minimă, variaţia Si? a acesteia este nulă. Notând cu u\ şi ic, vitesele induse în aceleaşi puncte, putem scrie, ca şi într'un caz precedent "(16.23) : (37.73) Si? Vi SP, de unde rezultă, ţinând seama de (3< (37.74) w Vi > 2 —2 SP., = o 1% " ct. rP' Unghiul indus este deci constant pe toată anvergura. In exteriorul suflului vitesa indusă, fie w0, este constantă ; în interior, această vitesă, pe care o vom nota eu ir'0, este deasemenea constantă. La infinit aval, într'un plan normal pe vitesa F0 (respectiv V'0), în dreptul urmei rectilini :a vârtejurilor libere, vitesele induse sunt respectiv tc = 2w0 şi w' = 2ic'0. Problema constă în a găsi distribuţia circulaţiei dealungul anvergurii, care dă această repartiţie a vitesei induse. Efectul vârtejurilor imagine complică considerabil această problemă, însă, pentru un suflu moderat se poate da o soluţie aproximativă, calculând circulaţia suplimentară Ts, ca în cazul precedent. Alai departe, notând cu w0 vitesa indusă constantă pe toată anvergura şi cu «■„" vitesa indusă care trebue adăugată în plus în interiorul suflului, unde domneşte vitesa wq («ii = w» — w0), se găseşte : (37.75) A, = ...: An pentru circulaţia Ta (eliptică) şi după paragraful (16.3), (37.76) Bn = 1 + — h sin 26, tCj) Vn sin (ii + I )G1 sin (n — 1)^ \ 462 lîIULfi iCiHAKl A pentru circulaţia r^, unde cos 0, = Pentru a calcula circulaţia rs„ se va proceda ca în cazul precedent. Circulaţia totală fiind cunoscută, vom putea deduce, uşor, variaţia corzii dealungul anvergurii. BIBLIOGRAFIA CAP. IX. 1) . HA 1IAXHFF A.: îvitrau zur Frâu.- .Iw B.M.infiussuii!.' .Ies Alnviiuli* rtuirh .len Solirau- iMMi.-tinhl. I.uft falirt-Fui^cliiinir. l-iil. Ui Ianuarie l'J'r.' I.l'u. 1. 2) . i' A li A FOL1 E. şi OKOVEAXF T.: Aripă' traversând ' un mn-nt .le secţiune eir- .■iiiară. Uuietiuiil >tiinţ]'i'ie al Aea.lrmii'i R.p.R. t. I Xr. 7. 1.949. 3) , LEXXEHTX J. :Bi'itnw zur thenretiselieu iMiHii'llutu.' .Ies s'eyeiLSCitiu'en Linflusses amu Ti'iHil'Iaehe im.l Ruinul, ahliand. aus .Inii Aern.l. Inst. .1. Ti'chn. I i.ielis.'hule-Aaelien. I left. S. 1 *■ I' C A P I T O L 1" L X CORECTĂRILE ÎNCERCĂRILOR EXECUTATE IN SUFLERII SAU PE CĂRUCIOARE AERODINAMICE Rezultatele obţinute în paragrafele precedente privitoare la influenţa frontierelor au o aplicaţie dintre cele mai importante în încercările executate în suflerii aerodinamice, unde vâna fluidă în mişcare este cuprinsă între pereţi rigizi sau liberi. încercările cu căruciorul aerodinamic simt deasemenea influenţate de prezenţa solului. Deaceea, este necesar să se evalueze influenţa suprafeţelor libere sau rigide care limitează vâna fluidă, pentru a obţine car acteristi cele aerodinamice ale aripilor într'un fluid nelimitat, condiţie care există în realitate într'un sbor al avionului la o altitudine de câţiva metri. încercările curente sunt executate deobicei într'un fluid limitat de o singură suprafaţă, de două suprafeţe paralele sau, în fine, de o suprafaţă cilindrică cu secţiune dreptunghiulară, circulară, eliptică sau alte contururi derivate din cele precedente. 38. ÎNCERCĂRI IX VÂXA FLUIDĂ PARŢIAL LIMITATĂ Pentru încercări speciale, vâna fluidă este adesea parţial limitată de suprafeţe de forme diverse, dintre care vom studia mai jos suprafeţele plane. 38.1. Fluid limitat de o singură suprafaţă plană. Influenţa solului Acesta, este cazul încercărilor cu căruciorul aerodinamic sau efectul solului în timpul aterizării unui avion. Este uşor de văzut că potenţialul adiţional este dat de imaginea aripii reale în raport cu suprafaţa solului,' care joacă astfel rolul unei oglinzi. Problema se reduce la cazul biplanului cu aripi egale, fără decalaj, însă cu incidenţe egale şi de semne contrarii. Xotând eu T circulaţia mijlocie în jurul aripii reale, şi prin urmare — T în jurul aripii — imagine, unghiul indus suplimentar is datorit aripii-imagine va fi dat de expresia (34.11), unde se înlocueşte r, prin —r şi se pune sinS =0 464 lNCEIfCÂH I l.\ VĂ NA FLl'lh ÎWUTIAL LIMITATĂ cos fi = 1, = x, = x*), bL = b.2 = b, m = x—, « = 0 ; vom avea prin ur-mare : (38.1) Va 2r.xbV ln r b* I 1 j_ y2 _ II 7r2 ■ Mai departe, înlocuind pe de o parte r prin : (38.2) ~ 2y.b şi notând cu cr coeficientul de influenţă reciprocă a unui biplan, a cărui expresie ra fi scoasă din (34.15), (38.3) ln 4x2 se poate scrie în fine Cz I / l.+ x*- 6* (38.4) ls Fi ir. aha. Trebue să observăm că acest unghiu măreşte incidenţa şi trebue luat deci în direcţia pozitivă ; astfel că incidenţa efectivă care este dată de formula (34.66), va avea ca valoare : (38.5 ole = a Cz 7TA iar coeficientul rezistenţei induse, ţinând seamă de relaţiile (34.58), va fi dat de asemenea de formula : (38.6) Cxi = cl_ TtX (1 + T - CT) *) Observăm, ca fi pentru biplune, că coeficientul v. reprezintă valoarea mijlocie : ede y.Q va Ii dat de formula cunoscută x0 «. ■ A, A, — A, - As — A7 Intr'adevăr. această ultimă valoare este valabilă mai curând pentru partea clin spate a vârtejului liber, în timp ce influenta pânzei turbionare «are reprezintă partea (lin fată a vârtejurilor libere ar fi echivalentă mai curând cu un vârtej mijlociu, aşezat către extremitate. Cui* este l'oarle greu să se stabilească acţiunea efectivă a poziţiei reale a vârtejurilor libere, luăm pcnlru ceeace urmează valoarea mijlocie a lui x. indicată mai sus. INFLUENŢA SOLULUI 465 Pe de altă parte, vitesa orizontală din dreptul aripii este micşorată cu valoarea us, care se poate scoate din expresia (34.11) : (38.7) Us = - r 2TCX& unde tx va fi dat de expresia (38.8) t) 4x2 TtX Calculând mai departe expresiile (34.25), (34.30), (34.47) aplicate la biplanul din figura (34.1), se găseşte respectiv : k 4x2 X2 (38.9) punând bine înţeles (38.10) c2 + 16/?2 1 - ?" . , xb 2kx TtX _1___1_ ( 2h \z 4yJ X2 [xb J fcyX 2x l—f TtX \ 2x 2fc = ăKz doc unde Kz este coeficientul unitar al portantei corespunzător aripei în stare izolată. Rezultă : (38.11) Cz = g\l -^gKz TtX tcX 2x TtX ■kAk TtX l 2x I d« 7cX 1 - Kz pentru portanta unitară şi (38.12 Cxi — cl_ TtX (1 + S - (T) fi 1 + 2 -± Kz TtX TtX + fcyX \ dKz 2x ) da pentru rezistenţa indusă unitară. 1 + S - CT 30 Aerodinamica 466 încercări in vâna fluidă parţial limitată Prin urmare, majorările portantei şi rezistenţei faţă de valorile respective corespunzătoare unei aripi izolate vor fi respectiv : (38.13) AC7Z fcvX \ dJi, da. AC* = + Kî TtX fcyX \dKz ^Kz TlX A(„. 2x I da 1+8—a ■al. Qbservând mai departe că 8 este foarte mic şi, pentru h suficient de mare, Tc şi y sunt deasemenea foarte mici, se poate scrie, neglijând termenii secundari: (38.14) Cx TcX TtX da. TtX Kt a\l +^KZ ~X 2(1 - a) ttX • da 38.2. Frontiera plană în cazul general Să presupunem că în locul solului există o suprafaţă de separaţie (ca în figura 35.6). In acest caz, intensitatea vârtejului-imagine este vT iar vitesele induse suplimentare vor fi respectiv : (38.15) TtX — = — Cz = u , Vn jtX unde v va fi dat de formula (35.50). Calculele pentru portantă şi rezistenţă se vor face în acelaş mod ca şi pentru cazul precedent, unde am avut — 1 în loc de v. Trecem peste detaliile acestor calcule, care nu prezintă de altfel un interes special. 38.2.1. Frontiera verticală. Fie D distanţa centrului G al aripii la suprafaţa verticală; vitesa indusă suplimentară într'un punct y al aripii, datorită vârtejurilor-imagine, va avea ca expresie : (38.16) IV s =' vr 4tc [y+B-f y+»+ţ\ unde sensul pozitiv este luat în direcţia descendentă. Valoarea medie a acestei vitese este egală cu (38.17) Wş vr 4tlx& ln vGz 2D 8x27iX ln 1 — _xfc 2Z> :curgere plană limitată la două suprafeţe 467 de unde rezultă, punând (38.18) a = 8x2 -ln- incidenţa efectivă şi rezistenţa indusă totală a aripei : (38.19) ae — oc — (1 + x + v ct) Cxi = (1 + 8 + vct) Cf_ TtX Fig. 38.2. Pentru cazul pereţilor rigizi (v = — 1), ar corespunde astfel o micşorare a rezistenţei induse, în timp ce pentru cazul suprafeţelor libere (v =1), ar corespunde o majorare de aceeaşi valoare. 38.3. Seurgere plană limitată de două suprafeţe plane paralele Acest dispozitiv de încercări este utilizat în special pentru studiul aripilor de anvergură infinită. Fie deci r circulaţia în jurul aripii de anvergură infinită, pusă chiar în origine, la o distanţă \ de frontiera inferioară Fi. In realitate, aripa este cuprinsă între doi pereţi rigizi, paraleli cu planul xOy, cu Ox în direcţia negativă a vitesei F0 şi Oy după verticala ascendentă (fig. 38.3). Fie F0 vitesa în camera de experienţă şi Fo în regiunea de dincolo de frontiere. In cazul general, când Fo este finită şi diferită de zero, potenţialul- aditiv al mişcării în vâna de experienţă va fi dat de şirul vertical de vârte-juri-imagine, după cum este reprezentat în fig. 38.3. Notând cu n numărul de ordine al imaginii, intensitatea turbionară respectivă va fi v" r, după cum am arătat deja în paragraful precedent (35, fig. 35.7) unde v va fi dat de formula (35.50). Cazul general este rar întâlnit în practică ; deaceea, vom trata mai întâi două cazuri interesante : pereţi rigizi (v= —1) şi suprafeţe libere (v = 1). Fig Vom trata deasemenea un al treilea caz şi anume : unul dintre pereţi va fi presupus rigid (cel inferior Ft, de exemplu) şi altul va fi presupus liber (cel superior Fs). .3 468 încercări in vâna fluidă parţial limitată scurgere plană limitată de două suprafeţe 469 38.3.1. Cazul pereţilor rigizi sau a suprafeţelor libere. Vitesa complexă adiţională wa, datorită influenţei pereţilor, va avea ca expresie, notând cu z == x 4- iy variabila complexă (fig. 38.3) : iT 1 iT +cc 1 (38.20) Wa = Ua — iVa = - ' —---^ -.„ ± 2tc f; 2tc 1 i2nh z — i2\ (n + l)h - j unde semnul plus al ultimului termen corespunde suprafeţelor rigide iar semnul minus, suprafeţelor libere. Observând mai departe că sumele precedente pot fi exprimate prin funcţii hiperbolice, se găseşte pentru vitesa adiţională o expresie mai simplă : ^r i (38.21) Wa = Ua lVa — -■ • ■-- 2tc z a cărei valoare în dreptul aripii (z (38.22) ir kz ir rz(z + 2 ihj) — coth — + — coth —5-— ih 2h 4h 2h 0) va fi: r . h 2/y, vitesa adiţio- lim wa = ± — cot —— te x-H) Ah li Dacă aripa este aşezată în centrul vanei (li = nală este nulă. Influenţa pereţilor asupra aripei se traduce totuşi prin curbura curentului în dreptul acesteia. După fig. 14.5, raza de curbură, pe care o vom nota cu R, va fi dată de expresia : (38.23) _1_ = p. r. V„ dX Jx=y=0 p. im. dwâ dz Z=0 Ttr 8V0h2 4 2 h tz z sin'1 z=0 ITZZ %-z 2h + 8V0li2 sm2 —tc h unde semnul minus al celui de al doilea termen al parantezei corespunde pereţilor rigizi iar semnul plus, suprafeţelor libere. Dacă aripa este aşezată în centrul vanei (h=2ht), vom avea : (38.24) i- 711 (1 + 3) = (1 + 3)^ — Cz, B 2±V0h2 48 h2 ceaece corespunde unei majorări Aa a incidenţei, B l 4 Cz (38.25) B\4, Cz) 48 li2 " h-41 îl pentru cazul pereţilor rigizi, sau o micşorare _C (j^_Cm B{4 Cz (38.26) ak = — 24 V- pentru cazul suprafeţelor libere. Din aceste formule, se constată că influenţa curburii curentului este neglijabilă atât timp cât coarda este mică faţă de înălţimea vanei. Notând cu Tc jumătate din panta curbei Cz în funcţie de unghiul de incidenţă din cazul aripii de anvergură infinită, se poate scrie, dacă GZQC este portanta corespunzătoare cazului unui fluid nehmitat : (38.27) Cz = 2fc(a ± Aa) = CZa0 ± 21c Aa, de unde se deduce : (38.28) pentru pereţii rigizi şi (38.29) Czoo — c ZOO 1 + Ictz c2 48 h2 A'tt e2 24 li2 cz pentru suprafeţele libere. 38.3.2. Incidenţă şi rezistenţă indusă aparente. Să revenim la expresia (38.21) a vitesei adiţionale; am văzut că această vitesă este nulă în dreptul aripii dacă aceasta este situată în centrul vanei. Să considerăm acum, vitesa totală la infinit amonte sau aval (z = ± oo ), datorită întregului şir de vârtejuri; putem scrie expresia : * hm w (38.30 care devine pentru li (38.31) iii ,, tzz tz(z 4- 2ihx) coth — zz. coth —5—1-— 2h 21% Z=±o 2hx: lim w = = U r IV r. _ ir „ Mi 1), unde semnul minus între paranteze corespunde pereţilor rigizi iar semnul plus, suprafeţelor libere. Se vede prin urmare că această vitesă este nulă _r 21i la infinit aval, în primul caz şi respectiv, — la infinit amonte şi 21i în cazul suprafeţelor libere. Pentru acest din urmă caz vom obţine deci un unghiu indus ic cărui valoare la +oo şi — oo va fi respectiv : (38.32) w. ± —— = ± — Cz 2V0h iii Se poate obţine acelaş rezultat printr'un raţionament mai simplu. Intr'adevăr, dacă considerăm întreaga vână fluidă, dela infinit amonte până 470 încercări in vâna fluidă parţial limitată la infinit aval, pe toată înălţimea h şi aplicăm teorema impulsului, vom găsi ?V0T = pFnfâ^, expresie identică cu (38.32). Care este influenţa acestei incidenţe induse la infinit? In dreptul aripei vitesa adiţională este nulă şi unghiul indus deasemenea, însă faţă de direcţia curentului, paralelă la rândul său cu pereţii rigizi ai tunelului aerodinamic (fig. 38.4), aripa suferă o micşorare a incidenţei, pe care o vom numi incidenţă indusă aparentă şi care va fi determinată după cum urmează. Să presupunem pentru aceasta că aripa este situată în centrul vanei (h = 2h1); vitesa complexă într'un punct z va fi dată de expresia : \38.33) w --coth — 2h h Pig. 38.4. Cum pe de altă parte, curbura curentului este foarte mică, se poate admite în prima aproximaţie că pereţii liberi sunt paraleli cu axa Ox. In h secţiunea de ieşire a curentului, z = x ± i — , pe cei doi pereţi, vitesa va f i: (38.34) wx = Ux ir ,, tc ( ih coth — I x ± — o 2h h — ir , , tzx - tgh —, 2h h de unde rezultă o incidenţă indusă aparentă în dreptul aripii egală cu 7zx ix = -£ = -±- tgh T = Cz- tgh h ih h V0 2h (38.35) şi o rezistenţă indusă aparentă: (38.36) ■kx C- = 0*777 ^ T = G* 77^ 2h h 4h h Aceste rezultate, pe care le-am stabilit în lucrările noastre anterioare[l], vor servi pentru corectarea experienţelor efectuate în sufleriile aerodinamice ■ î I if aripă de anvergură finită intre suprafeţe plane 471 Trebue să observăm pe de altă parte, că pentru x h 0,5 vom avea tgh — = 0,92: astfel încât, dacă modelul este situat la o distantă x > — h '2 după cum se întâmplă de altfel în practică, putem considera o incidenţă indusă egală cu — Cz. 4/i Notând şi aici cu C2oo portanta unitară în curent nelimitat, se poate scrie, ţinând seamă de (38.29) şi (38.35) : 38.3.3. Cazul suprafeţelor mixte : peretele inferior fix şi suprafaţa superioară liberă. Pentru studiul infiuenţei solului în sufleriile aerodinamice cu vâna libera, suprafaţa solului va fi reprezentată printr'un perete rigid. Condiţiile la frontieră sunt satisfăcute de şirul de vârtejuri - imagine, pe care l-am indicat în fig. 38.5. Vitesa adiţională complexă va fi dată de următoarea expresie [1] : — fn / 1 IA (38.38) w = ih sh -iz ihx) 2h care devine în dreptul aripii (z = 0) : JT_ . _1__ ih (38.39) w0 = u{ sm tc h h sh Un, tz(z + ihj) 2h ceeace corespunde la o micşorare a vitesei: U0 = V0 — u0. In mod analog, se găseşte pentru raza de curbură în dreptul aripei: K i <38.40) — = K 1270fe3 1 - 3 C0S7Cfe 2 • 2 \ sm2 h 38.4. Aripă de anvergură finită între suprafeţe plane paralele Prin metoda imaginilor problema se reduce la problema unei infinităţi de biplane drepte, cu aripile egale (fig. 38.6 şi 38.7). Vom distinge două cazuri: suprafeţe plane orizontale si verticale. r r ^7)'r T" Fig. 38.5 38.4.1. Suprafeţe plane orizontale. Dispoziţia biplanelor este arătată în fig. (38.6). Neglijând efectul vârtejului legat, care se poate evalua eventual 472 ÎNCERCĂRI IN VÂNA FLUIDĂ PARŢIAL LIMITATĂ ARIPĂ DE ANVERGURĂ FINITĂ INTRE SUPRAFEŢE PLANE 473 printr'o metodă aproximativă, vitesa suplimentară indusă de vârte-jurile-imagine libere de ordinul rf, punând după (33.18), (38.41) şi după (33.19), (38.42) mn =— , nn = 0 nli on = ln (1 + ml) = ln 8x2 8x2 1 + nli va avea ca valoare medie, dedusă din expresia (34.12) Wsn Vnr -vP0. (38.43) ln 4tcx6F0 1 + xr 0t TzbV0 Bezultă astfei un unghiu indus suplimentar total, (38.44) is=y ^ = 2 y vnatu nbVn Fig. 38.6. o "■"'o n= Insă se poate pune aproximativ (38.45) an = — ln f 1 + f—V 8x2 L de unde rezultă : (38.46) b2 8 n2li2 4xr b2 xbY r;bV0 ~? 8 n8fca 2tz1i2V0 ~ care devine (38.47) y-bY 2nh2Vn tc" 6 0,41 h- ■ 9± Jl2 TtX pentru suprafeţele libere (v = 1) şi xbY (38.48) . _ b2 Cz 2tc1i2V„ 12 = - 0,205 — h2 tcX pentru pereţii rigizi (v = — 1). Se poate scrie în cele din urmă pentru incidenţa şi rezistenţa indusă» totală, respectiv (38.49) a* = oc - I 1 + t — 0,205—] ^ , li2) tz X pentru cazul pereţilor rigizi şi b2\Cz (38.50) 1 + t + 0,41 ll2 tcx Cxi= 1 + 8 + 0,41 b2\ O. li2) tcX pentru cazul suprafeţelor libere. După cum am specificat dela început, am neglijat acţiunea vârtejurilor legate. Această acţiune se traduce, pe de o parte, printr'o curbură a curentului în dreptul aripii, care se poate calcula printr'o metodă aproxi- -vT vr -H- 1 I 1" i r |vr -vr vr vt I -H- Fig. 38.7. mativă, considerând vitesa indusă în jurul centrului aripii reale dată de fiecare vârtej imagine legat, pe de altă parte, prin incidenţa indusă aparentă, datorită aceloraşi vârtejuri legate, faţă de secţiunea de ieşire a jetului fluid, aşa cum am determinat-o pentru mişcarea plană (fig. 38.4). 38.4.2. Suprafeţe plane verticale. Vitesa adiţională este dată de un şir de vârtejuri-imagine dispuse ca în fig. 38.7. In coloana de ordinul n, în aval, sau în amonte, perechea de vârtejuri de intensitate (—l)"v™ Y induce în dreptul aripei o vitesă (-v)»r f 1 1 Wsn =-- |---- (38.51) 4tc I x6 „ xb v + nH + y + nH 2 » ' — 2 ) dirijată după verticala descendentă, a cărei valoare medie pe toată anvergura va f i: v)«r (38.52) ^ =±- V0 4tTX& ln 1 - xft nH 2xvnr TzbVn Cn . 474 ÎNCERCĂRI IN VÂNA FLUIDĂ PARŢIAL LIMITATĂ INFLUENŢA SUPRAFEŢELOR PLANE PARALELE 475 unde an va fi dat de formula : 1 (38.53) Gn 8x2 ln («#) b2 8 n2H* Ca şi mai sus, calculele ne conduc la următoarele rezultate : 1) Pentru pereţii rigizi (v=— 1), o majorare a unghiului de incidenţă cu (38.54) Aa = 0,41 — ■ -z-K H2 tcX şi prin urmare unghiul efectiv, precum şi rezistenţa indusă totală devin : ii) .Sţ* H2j tcX ' (38.55) { f «c — a - |1 + t - 0,41- 1 1 + 8 — 0,41 b°- c\ m \ tcx 2) Deasemenea, pentru suprafeţele libere , o micşorare a unghiului de incidenţă cu (38.56) Aa = — 0,205 — ■ — m tcx şi prin urmare formulele corespunzătoare pentru incidenţa efectivă şi rezistenta indusă totală vor fi : (38.57) CCe = Cxi — a — |l + t + 0,205 b2 1 + 8 + 0,205 i — m) ux ol H2 ) TtX 30.5. Influenţa suprafeţelor plane paralele stabilită prin metoda directă Această problemă a fost tratată mai sus cu ajutorul teoriei biplanelor. Se pot obţine aceleaş rezultate direct, mai uşor şi mai riguros, considerând vitesa complexă a sistemului format de vârtejurile-imagini, care înlocuesc influenţa frontierelor. Astfel de exemplu, pentru cazul suprafeţelor orizontale libere (fig. 38.6, v = 1), vitesa complexă va fi dată prin următoarea serie : (38.58) tw ir 2h 2- -oo x — — — inh 2' 00 x v.b Ti" inh care poate fi înlocuită printr'o funcţie hiperbolică simplă (38.59) v — tw 2Ji coth -— [x ——) — coth — [ x + — h \ 2 li \ 2 Trebue remarcat că axa Oy este îndreptată după anvergura aripii şi Oz, după verticala ascendentă; prin urmare x reprezintă variabila complexă x = y + iz. In centrul aripii (x = 0), vom avea : (38.60) ir - y.b iwn = - coth— — h 2 h ne, o) dacă scădem vitesa indusă propriu zisă a aripii (tot în centru), a cărei expresie este (38.61) 2r TZV.b vom avea în cele din urmă vitesa adiţională ws sau unghiul indus iRiplimentar is : (38.62) Is V0 — coth — h { 2 h Cz 4x6 h coth yJb _ 2Ji \ nxb J 2h\ TtX& I Pentru cazul pereţilor orizontali rigizi, aşezarea vârtejurilor-imagini (fig. 38.6, v = — 1) ne permite să scriem, în mod'analog cu cazul precedent, expresia vitesei complexe sub forma : (38.63) V — VW — 4h ■ir r „ ■ tu coth ■ L 2h x — Yb coth 2h x -f-: xb + -f- coth — {x — ——■ ih \ — coth — | x h \ 2 j 2h Yb_ 2 In centrul aripii (x = 0), scăzând din această expresie vitesa indusă propriu zisă a aripii, unghiul indus suplimentar va fi dat de următoarea formulă: (38.64) îs = Ws r 4h coth — Yb_ h th- y.b ~h nxb Este interesant de observat, că făcând desvoltările necesare, formulele (38.62) şi (38.64) se reduq respectiv la formulele (38.47) şi (38.48). Se poate face mai departe un raţionament analog pentru frontierele verticale. Trecând peste amănuntele calculelor, care sunt identice cu cele din cazurile precedente, se găseşte în cele din urmă : (38.65) is = + 3l 4x6 h iv, tc xb 2h coth — ■-- tcx6 476 SUFLERII CU VÂNA TOTAL LIMITATĂ SECŢIUNE DREPTUNGHIULARĂ 477 pentru cazul pereţilor rigizi şi: c- 8 f coth ii *b (38.66) is = - 8xb h \ h + th 4' h ih tcx?» pentru cazul suprafeţelor libere. Aceste rezultate au fost deja stabilite în lucrările noastre anterioare [1]. 39. SUFLERII CU VÂNĂ TOTAL LIMITATĂ In practică, secţiunile din camera de experienţă a sufleriilor aerodinamice au un contur finit reprezentând în general o figură geometrică simplă: dreptunghiu, cerc, elipsă, etc. încercările efectuate în aceste suflerii sunt transformate să corespundă la condiţiile reale ale unui fluid nelimitat, aplicând corectările rezultate din influenţa pereţilor, ale căror valori le vom stabili mai jos pentru câteva cazuri uzuale. 39.1. Secţiune dreptunghiulară Fie H şi h dimensiunile orizontale şi verticale ale dreptunghiului reprezentând secţiunea sufleriei. Pentru a simplifica calculele, să presupunem că aripa este aşezată în centrul secţiunii şi fie xb anvergura redusă a aripii. Avem de considerat următoarele patru cazuri: a) pereţi complect rigizi, b) suprafeţe orizontale libere şi pereţi laterali rigizi, o) suprafeţe total libere, d) pereţi orizontali rigizi şi suprafeţe laterale libere. Este uşor de văzut că aşezarea vârtejurilor-imagini care satisfac condiţhlor la frontieră este cea indicată în figura 39.1, a, b, c, d. Cazul a) şi l). Notând cu n numărul de ordine al unei coloane orizontale, vitesa complexă datorită şirului de vârtejuri-imâgine corespunzând acestei coloane, va avea la infinit aval următoarea expresie : (39.1) Vn IWn = (+1)" iV 2H cot x inh — 2 cot - x — inh + — H \ 2 unde semnul (—) corespunde primului caz (fig. 39.1 a) şi semnul ( + ), celui de-al doilea caz (fig.39.1 b) şi unde x=y A- iz este variabila complexă, aripa fiind raportată la sistemul de axe obişnuite. Această expresie ar putea fi pusă încă sub o altă formă : xb sin tc — (39.2) vn -iwn = - (+ l)n *T H H xb COS tc--ch tc H 2n h_ H . x \ ceeace ne conduce, pentru toate coloanele, la o vitesă totală egală cu (+1)" (39.3) v — iw = ir xb >ri -sm tc — y - -oo COS tc — ■— ch tc 2w--\- l — i I i © © i © ~r~T -r -i- ©i© j©i ©I© ©| i i 7~ '© ®i® I I —4©>^ " -i ©. ©i© ___t— ©i@ © „01© © tt~zs____i i i Ne putem da seama, din această expresie, că în orice punct al anvergurii (x = y, z = 0) nu există decât componenta verticală w, componenta orizontală fiind nulă (v = 0). xb Dacă pe de altă parte raportul — este destul de mic, putem admite H. aproximativ că vitesa indusă în dreptul aripii este cea corespunzătoare centrului său (x = 0). -. Expresia (39.3) devine în acest caz : {39.4) r . xb w = — sin tc — / H H ^ + 00 V (+1)" - oo cos tc — — eh 2nn — H H unde sensul lui w este considerat după direcţia pozitivă a lui z. 473 SUFLERII CU VÂNA TOTAL LIMITATĂ Scăzând mai departe vitesa indusă în centru de vârtejurile proprii ale aripii reale : (39.5) Wr = 2r tcx& observând pe de altă parte că în planul yOz, vitesa este jumătate din cea dela infinit, se obţine în cele din urmă formula vitesei induse suplimentare, pe care am stabilit-o deja în lucrările noastre anterioare [1]: (39.6) ws 2E sm tc (Tir + co - oo cos tc — — cb 2tto E E + 2H tcx& Să observăm acum că pentru ± n se obţin aceleaşi valori, astfel încât, se poate da o formă mai comodă vitesei aditive : (39.7) Ws = ■ 2H n i (+ 1)" suite xb E~ sm tc xb_ E cos tc — — ch 2tto — E E xb cos tc--1 E 2H TlXh Suma din paranteză este foarte convergentă, chiar pentru raporturile mici — : deaceea, este suficient să limităm desvoltarea la n = 2. E înlocuind mai departe T în funcţie deCz(pV0Txb = — pSV%Cz), se poate scrie pentru vitesa sau incidenţa indusă suplimentară: (39.8) is = i£i- = A. 7„ 4 S_ _ h_ S xb 1_ 2H tc xb cot tc- 4- - 2H \ ( + l)"sinTc 4-2^ xb_ H cos tc xb^ H ch 2nn unde S este suprafaţa aripii şi S secţiunea tunelului. Trebue să observăm că această formulă depinde în acelaş timp de raportul -—şi —, ceeace explică micile divergenţe care se găsesc între xb H SECŢIUNE DREPTUNGHIULARĂ 479 rezultatele date de această formulă şi cea a lui GLATJEET, care tine seama h numai de raportul—. Intr'adevăr, printr'o desvoltare potrivită si piin vb simplificări bazate pe ipoteza că raportul '— este foarte mic, autorul ajunge la următoarea formulă E (39.9) Wş 8 nh E 1 + e E h De altfel, chiar pentru — >0,5, valorile obţinute din cele două for- H muie sunt foarte apropiate. Eeamintim că semnul (— )al factorului (=pl)" din formula (39.8) se referă la pereţii rigizi (a), iar semnul 4- se referă la cazul mixt : pereţii laterali rigizi şi suprafeţele orizontale libere (b). Pentru acest ultim caz trebue luată în consideraţie şi incidenţa indusă aparentă întocmai ca la cazul vanei plane cu suprafeţe libere (38.32). Intr'adevăr, dacă secţiunea de ieşire a curentului este destul de îndepărtată de model, există în raport cu direcţia acestui curent o incidenţă indusă aparentă care poate fi dedusă din teorema impulsului : (39.10) P = p70rx& = PF0S 2wa, admiţând, bine înţeles, că deflecţiunile din amonte şi aval sunt egale şi de semn contrar. Eezultă deci, o micşorare corespunzătoare a incidenţei : (39.11) ta Wa 4 S Am pus semnul ( —) pentru a avea o formulă similară cu (39.8). Deasemenea, mai există şi efectul de arcuire a curentului în dreptul aripii, care poate fi evaluat în mod aproximativ, însă poate fi totuşi neglijat în raport cu corectările precedente, care sunt cu mult mai importante. Să revenim la formula (39.8) şi s'o punem sub forma (39.12) is = A a — s — Cz , S unde s este un coeficient scos din aceeaşi formulă; rezultă o majorare a incidenţei pentru s pozitiv, ceeace corespunde cazului pereţilor rigizi (se va lua semnul ( —) din expresia (+1)") şi o micşorare pentru s negativ, ceeace se întâmplă în al doilea caz (b). 480 SUPLERII CU VÂNĂ TOTAL LIMITATĂ (39.13) Vom avea deasemenea pentru rezistenţa indusă o micşorare egală cu 8 AC isCz £— CI. s z Cu titlu de comparaţie dăm mai jos o tabelă pentru valorile lui e în cazul pereţilor rigizi (a) : Tabela 39 I \. hH H 1 4 1 2 l2 2 1 2 4 0,5 0,112 0,113 0,11-4 0,140 0,270 0,540 0,75 0,063 0,090 0,110 0,150 0,290 0,580 Glauert 0,262 0,137 0,119 0,137 0,262 0,524 Toussaint 0,1 0,105 0,122 0,14 0,275 0,5 Cazul c) şi d). Pentru a calcula vitesa complexă datorită întregului sistem de vârtejuri-imagine şi vârtejuri reale, să considerăm mai întâi o coloană orizontală de ordinul n (fig. 39.1 c şi d); este uşor de văzut că vârtejurile acestei coloane induc o vitesă care va putea fi pusă sub forma : (39.14) Vn —iWtt=— (± 1)" 4JT cot —— | x — inii 2H xb\ tc TI 2/7 x — inii —) — cot -^—( x — inh 4-2 j 2H\ xb\ tc -\--— tg-- 2 j g 2H inii 4- xb unde semnul ( + ) se referă la suprafeţele libere (c) şi semnul (—) la cazul mixt (ă). Prin transformări simple, această expresie devine : (39.15) v„ vw„ i±ir ir 2H tz l . T xb cosec — x — — — /J l 2 cosec- — x — inh 4- — H { 2) SECŢIUNE DREPTUNGHIULARĂ 481 care ar putea fi pusă sub o formă mai comodă pentru calcul. Intr'adevăr, luând în considerare toate coloanele orizontale, putem scrie pentru vitesa complexă totală : (39.16) v — iw . tz Xb tc + cc sm —■ — cb — (nli — x) 2*T y {±ir 2 n H_ - ^ cos tc---cb — (nn — x) JS H In centrul aripii (x = 0) vitesa adiţională va fi egală cu jumătatea valorii acestei expresii, minus vitesa datorită vârtejurilor proprii ale aripii reale (39.5). Se poate scrie în cele din urmă, observând că obţinem aceleaş valori pentru ± n, (39.17) Ws = ■ HI tc xb — _ — cosec -- xb 2 2 H 2 (±1)" tc xb , li sm--cb n— 2 H H xb i, o ^ cos tc--ch 2tcii — H HJ Să punem mai departe, (39.18) 2 xb 1 H 1 tc xb ----cosec —--h tc xb 2 2 H tz xb _ ll sin--cIitcw- 4- 2 2' (± 1)" 2 H H xb , 0 h cos tc--ch 2nn — H H incidenţa şi rezistenţa indusă adiţională vor fi respectiv : (39.19) Kt, 2j Zi Se vede, din (39.17), că pentru suprafeţele libere (c) avem o micşorare a incidenţei şi o majorare a rezistenţei, pe când pentru cazul (d), este invers. 31 Aerodinamica 482 SUFLERII CU VÂNĂ TOTAL LIMITATĂ SUFLERIE CU SECŢIUNE CIRCULARĂ 483 Cu titlu de comparaţie, dăm mai jos o tabelă al coeficientului z în funcţie de —- si — . E ' E Tabela (39.11) \v h H 1 2 1 9 0,5 0,218 . 0,131 0,141 Glauert 0,262 0,137 Toussaint 0,203 0,13 0,155 Să remarcăm mai departe că, pentru cazul suprafeţelor libere, trebue să se ţină seama de incidenţa şi de rezistenţa induse aparente care depind de distanţa dintre model şi secţiunea de ieşirea curentului. Formula (39.11) se aplică integral şi aci. In ceeace priveşte curbura curentului, care poate fi evaluată în mod aproximativ, efectul ei este neglijabil şi prin urmare calculele ar fi fără interes practic. 39.1.1. Vitese adiţionale mijloeii. Am presupus că anvergura redusă a aripii (xb) este destul de mică pentru ca vitesa indusă suplimentară în orice punct al anvergurii să fie aproximativ egală cu cea din centru. Un calcul elementar ne arată că această ipoteză este perfect valabilă pentru — -< — ; E 3 observând pe de altă parte că, coeficientul x nu depăşeşte valoarea x=0,90, ceeace ne permite să extindem aplicaţia formulei până la raportul — <; 0,75, E este evident că relaţiile stabilite mai sus se aplică în toate cazurile curente din practică. Totuşi, pentru mai multă rigoare şi pentru valori ale lui — E destul de mari, este necesar de luat în consideraţie o vitesă adiţională mijlocie : (39.20) y-b S 2 T w dy, în locul vitesei din centrul aripii, aşa cum am considerat-o mai sus. Aceasta este metoda utilizată de A. TOUSSAINT, care calculează astfel vitesa adiţională mijlocie pentru toate cazurile tratate mai sus. Trecem peste amănuntele acestor calcule şi dăm formulele finale astfe stabilite : (39.21) < 4tc- E fxb\2 h \E ln th^ 2 h Tz_xb 2 h + °° th — (mE + xb) th — (mE 2h 21% zb) + > ln î tn- —m o. li — 1 Zb , E (xb\* 4tc— - h \E th ln tc xb 2 Ji tc xb 2 1% + V ( - !)m ln th — (mE + xb) th — (mE - xb) 2h _ 2h , „ tc E th* — m — 2 Ji zc = 4tc^ f^2 h \E v xb sh tc — ln xb xb \ sh tc — \ Zd = 4tc- E (xb\ h \E , xb sh tc — sh2 um xb \ ln xb [ sh2 tc— 1__h tc ■ h 1,8 h Tem— unde za, zb, ec, sd reprezintă coeficienţii corespunzători respectiv cazurilor a, b, e, d. Cu titlu de comparaţie am indicat în tabelele precedente valorile coeficientului e obţinute prin formulele lui A. TOUSSAINT. Se constată o concordanţă destul de bună cu rezultatele obţinute prin formulele pe care le-am obţinut prin metoda vitesei din centru. 39.2. Suflerie cu secţiune circulară Fie D diametrul sufleriei şi xb anvergura redusă a aripii pe care o presupunem aşezată în centru. Vârtejurile-imagine vor fi puse în A' şi 484 SUFLERII CU VÂNĂ TOTAL LIMITATĂ B', la o distanţă egală respectiv cu z (39.22) _D*_ + 2xb dela origine (fig. 39.2). Vitesa indusă suplimentară într'un punct y al anvergurii va fi dată de expresia : (39.23) us = — 4tt D2 \2v.b -y D2 2y.b -Vi Fig. 39.: (39.24) ws vr lni>2 + (^)2 de unde rezultă o valoare mijlocie pe toată anvergura aparentă y.b : i + [*)' 2nxb D2 — {y.b)2 2-nxb 1 - r Dacă considerăm anvergura reală b şi circulaţia mijlocie Tm, vitesa indusă devine : ,39.25) -• Vr^ [Dl W, 2nb -ln D Desvoltând mai departe logaritmul şi înlocuind r, respectiv rm, prin valoarea sa în funcţie de Cz, vom obţine în cele din urmă formulele incidenţei şi ale rezistenţei induse suplimentare, în cele două ipoteze : vC7z 8 %; = - (39.26) 8 s vGz _ 8_ 8 ' s 3 \D 5 \B 1 + * 3 \B 8 s L 3 VDj . 5 Uj voi . s + ... 8 2 unde 2 reprezintă secţiunea sufleriei. M4 1+T "5 +TĂ + SU FLER IE CU SECŢIUNE CIRCULARĂ 485 In cazul pereţilor rigizi (v = — 1), incidenţa este majorată iar rezistenţa micşorată, pe când pentru suprafeţele libere (v = 1), incidenţa se micşorează şi rezistenţa se măreşte. Formulele stabilite mai sus sunt bazate pe ipoteza unei distribuţii uniforme a circulaţiei dealungul anvergurii reduse. Rezultatele nu diferă însă prea mult faţă de cele corespunzătoare unei distribuţii reale a circulaţiei. 39.2.1. Influenţa poziţiei aripii în interiorul eercului. Dacă aripa este aşezată la o distanţă a deasupra centrului, vârtejurile-imagine vor avea deasemenea o poziţie excentrică (fig. 39.3), în A' şi B'. Vom avea, intr'adevăr, (39.27) OB' =.. B2 4 OB — 1 D2 OA' = — = , 4 O A şi inca (39.28) xb' = xb B2 a — 4 a2 D2 xb\2 2 a Fig. 39.3. a. B2 -4a2 - (xb)2 4 «2 + |- Să punem mai departe (39.29) h = a' - a este uşor de văzut că influenţa frontierei cilindrice se reduce la influenţa aripii superioare A'B' a unui biplan asupra aripii inferioare AB. însemnând prin a coeficientul de acţiune reciprocă, se poate scrie, după (33.17) şi (33.19), (39.30) ln 4h2 + (xb' + x b)2 8x2 4 h2 + (xb' - x b)°-şi prin urmare, incidenţa şi rezistenţa induse suplimentare vor fi respectiv (39.31) is = - 2xrv ibVf ACxt= vCÎ 7tX unde v = — 1 pentru pereţii rigizi şi v = 1 pentru suprafeţele libere. 486 SUFLERII CU VÂNA TOTAL LIMITATA Să observăm mai departe că putem regăsi aceleaşi formule din cazul precedent (39.25), corespunzătoare aripei aşezate în centru, dacă facem să tindă a către zero. Intr'adevăr, desvoltând expresia (39.30) a lui cr, vom obţine succesiv : (39.32) s=J-lnVx6'j 1-b- 8x2 f 4/^2 xb + 1 + 1 b_ 2x2 b' b' 1 + 4 x2 ln b' 1-1- -3-(^- U'i J 2 D2 [ 3 VZ? J de unde rezultă : (39.33) is = vCz 8 2 d2 v Cz S 1+ — l_f xb\* 3 [d. exact prima formulă (39.25). , 39.2.2. Cazul distribuţiei eliptice. Formulele stabilite mai sus sunt bazate pe o distribuţie uniformă a circulaţiei dealungul anvergurii. Rezultatele sunt practic aceleaşi pentru orice distribuţie care nu diferă prea mult de cea reală. Pentru a demonstra acest lucru, vom considera o variaţie eliptică a circulaţiei. Vitesa auto-indusă w0 este constantă în dreptul aripii şi am văzut (§16.4.1, formula 16.33) că potenţialul de mişcare în planul normal pe pânza de vârtejuri este în acest caz : (39.34) f(x) iwn + iw0x, unde x = y -f iz este variabila complexă, iar vitesa w0 este jumătate decât cea dela infinit (2 w0), deoarece vitesele din dreptul aripei sunt jumătate din cele dela infinit. Pentru ca cercul de raza R, care este conturul secţiunii circulare a sufleriei, să fie linie de curent (sau linie de egal potenţial în cazul suprafeţelor libere), va trebui să adăugăm un potenţial complementar : (39.34 bis) fs(x) = ± iw0 Ar* 4 R2 SUFLERIE CU SECŢIUNE CIRCULARĂ 487 unde primul semn corespunde pereţilor rigizi iar al doilea suprafeţelor libere. Intr'adevăr, dacă desvoltăm, potenţialul unei mişcări după puterile variabilei x, unui oarecare termen (An + iBn) xn * îi va corespunde un termen complementar R2n ± (An - iBn) Xn care trebue adăugat la primul, pentruca cercul de rază R să fie linie de cn^ rent (semnul plus pentru pereţi rigizi) sau linie de egal potenţial (semnul minus pentru suprafeţele libere). Intr'adevăr, vom avea respectiv, indicând cu x = Re'6 un punct de pe cerc : (39.35) Xn ) ' "_" V"" = 2Rn (An cos »9 - Bn sin n%), R2n A' n B?" \ i',n U"-- l Xn ) + iBn Xn+ Xn = 2iRn (An sin nQ + BH cos n6), de unde se vede că în primul caz <\i = 0, iar în al doilea caz

S trebue să fie nul, adică trebue să avem : n r ( b \2n 1 (39.56) = ®, + t'f» = * Ş Y» U» + I—J — Se vede, intr'adevăr, că pentru £0 = — eiS (pe cercul KQ), obţinem $s = 0. 4 Coeficienţii y„ trebue astfel determinaţi, încât cercul K să fie sau linie de curent,' în cazul pereţilor rigizi, sau linie de egal potenţial, în cazul suprafeţelor libere. Indicând prin Bem un punct pe cercul K vom avea respectiv : <39-57> -^tb« +H +1tJ * în primul caz şi V0SCZ (39.58) = 0 2tc On Rn pentru cazul suprafeţelor libere. Rezultă imediat pentru primul şi al doilea caz (39.59) ln = + = + 8V0GZ SVqCz 2tu 4 Y+* an An (« - py 2tc v & J 4i[(* + P)" ± (* — P)" 1 39.3.2. Incidenţa indusă suplimentară. Pentru a găsi vitesa indusă vom lua partea imaginară a vitesei complexe suplimentare dedusă din potenţialul Fs ; făcând înlocuirile necesare, vom obţine astfel formula lui PERBS si MALAVARD : ws 1 dF dţ (39.60) U = —^r- = - P •im- ~ — V0 V0 d^ dx = p . re. x n T« î -(tI 1 " ( b X v0? UJ SCZ 2tc oc2-P2 " An 16 5 6 Y~l sin «0 _ sin 6 (a - P)« sin n8 ■Ai [(« + P)re ± (*-P)"] sin6 Pentru incidenţa suplimentară medie, găsim o formulă mai simplă 8CZ PAn (a - P)2""1 <39.61) ism = ± ţAn_ 27i(a2-p2) \ A^ (oc + P)2p-i P)2p- -, (n=2p-l). 492 SUFLURII CU VANĂ TOTAL LIMITATĂ In cazul unei distribuţii eliptice (n = 1), vom avea respectiv, indicând cu 2 = uap suprafaţa secţiunii eliptice : (39.62) pentru pereţii rigizi şi (39.62 bis) SC* p 42 a + p 8CZ a 42 a + jă pentru vâna liberă. In primul caz incidenţa se măreşte, în al doilea caz incidenţa se micşorează. Este de remarcat faptul că incidenţa suplimentară este CQnstantă pe toată anvergura şi deci variaţia circulaţiei rămâne riguros eliptică. Dacă aripa se întinde numai pe o parte din distanţa focală, putem considera atunci că circulaţia este constantă pc anvergură şi o putem desfăşura într'o serie FOTJBIEE dealungul distanţei focale. Notând astfel AB = 2y şiy= — y cos 6, extremităţile anvergurei|--— ' — j vor corespunde la x şi tc — t, date de relaţia : b cos t = — ■ 2y înlocuind în acest caz pe b din formula (39.46) prin 2y, coeficienţii An vor fi daţi de formula : T. 2 f« . m 2rof*-< . 4r0 cos»t ' 0An = — V T sm nQ dQ = —- V sin nQ dQ = —- - TC Jo • Tt Jt TU 11 (39.63) 2-2yF0An = şi priii urmare (39.63 bis) ii An cos m cos t Aplicând mai departe formula (39.61) a incidenţei complementare medii, vom găsi: 39.64) + (« 8CZ 2tc a2 — a- P (a+P) ± (a-p) cos 5t (a — P)b cos 3t 3 cost (a+P)3±(a-P)3 ' 5 cost (a + P)5±(a—P)5 + ... Dacă considerăm acum că în practică axele nu diferă prea mult, în 8 1 cele mai multe cazuri raportul— nefiind mai mic de —, atunci termenii ol 2 începând dela al treilea se pot neglija şi vom găsi, în acest caz, înlocuind şi cos z prin valoarea sa de mai sus : (39.65) 42 a +p 1 + p)2 a2+3p2' b2 3y2 - 1 + SECŢIUNE IN DOUĂ ARCE DE CERC 493 psntru cazul pereţilor solizi şi (39.65 bis) ^^-fl + 42 a 4- p [ (a - P)2f b2 3a2 4- p2 Uy2 pentru cazul suprafeţelor libere. Dacă b = 2y, dăm de cazul vârtejurilor concentrate la extremităţile aripei şi constatăm că formulele diferă puţin de cazul distribuţiei eliptice (39.62) şi (39.62 bis). In mod practic se pot utiliza aceste formule din urmă pentru toate cazurile, întrucât al doilea termen din paranteză este neglijabil. Dacă anvergura depăşeşte distanţa focală, problema este ceva mai laborioasă, însă în cazul când depăşirea este mică se poate aduce o simplificare, considerând întreaga portantă concentrată numai pe distanţa fo-eală V = 2y < b, făcând însă ipoteza unei distribuţii uniforme. In' acest caz avem : [39.66) P'2 3y2 1 = l_ 3 iar portanta unitară se măreşte în raportul Cz = — 2y Remarcă. Problemele privind secţiunea eliptică şi cea dreptunghiu 1 ară se pot face cu ajutorul funcţiilor eliptice; acest lucru ar comporta însă o introducere în studiul funcţiilor eliptice care ar depăşi cadrul lucrării de faţă. 39.4. Secţiune în două arce de cerc « Pentru încercările aripilor de mare anvergură se utilizează adesea o parte din secţiunea circulară a unui tunel aerodinamic, mărginită de un perete vertical (fig. 39.5 a). Experienţele făcute pe o jumătate de aripă ar corespunde, în felul acesta, acelora relative la o aripă întreagă aşezată simetric într'o secţiune de tunel formată din două arce de cerc. Pentru calculul interacţiunilor, yom reprezenta regiunea cuprinsă între cele două arce de cerc din planul real x = y 4- iz pe o bandă verticală indefinită din planul \ = 7) 4- iC, (fig. 39.5 b). Aceasta se poate face cu ajutorul funcţiei de transformare : (39.67). x = h tg 5, \ = arctg x h ' Cea de a doua relaţie se mai poate scrie şi sub altă formă; intr'adevăr. adăugând lui \ şi constanta tz care nu schimbă nimic, deoarece tc este perioada tangentei, vom avea succesiv : (39.68) l = y\+iQ = arctg— + tc = — ln4- tc = h 2 h + ix 1 . x 4- ih , tc i , r' , tc 6' — 6" = —ln--1--= — ln------, 2 x-ih 2 2 r" 2 2 4S4 SUFLERII CU VÂNĂ TOTAL LIMITATĂ SECŢIUNE IN DOUĂ ARCE DE CERC 493 de unde rezultă (fig. 39.5) : (39.69) •») = tc o 1 r' 6 = z, 2= — ln — • Este uşor de văzut sub această formă că liniile verticale din planul ^ = (jf) ge' transformă în arce de cerc trecând prin cele două puncte ±ih din planul real x; iar dreptele orizontale se transformă în cercurile lui APPOLLONIUS, ortogonale la primele. In particular, cele două ;aree constituind frontierele în planul real, definite prin unghiurile + 2t0, se transformă în frontierele verticale ± t0 din planul \. b) rţ-t i i i ^ -i—* (±- ! ! b, l .T l-Z o ) 9-V-- 7 6 Fii* 39.5. Axa reală (y = 0) din planul x corespunde axei absciselor (^ = 0) din planul \. Extremităţile aripei, ± — , corespund respectiv la 1 = ± t„ unde : (39.70) 2 1_ 2 Oa şi pentru cazurile precedente, putem înlocui b prin x£> pentru o rigoare mai mare. Mişcarea totală în planul t\ este foarte uşor de stabilit. In cazul pereţilor rigizi (fig. 39.6 a), aplicând formula (3.43) obţinem : gj (39.71) -ir 2tc ln- sin- (l— tt) 2t0 sin— (?+t[) 2t, iar în cazul pereţilor liberi (fig. 39.6 b), vom avea deasemenea : (39.72) Ft(l) = 2tc sm— (5 4t„ ln- - 'o) cs 1-2 r7 3^ vJt sm- 4t, Fig. 39.6. tc + ln sm— (£-4t0 -} = — ln sin— (?+2t0 - tJ J 27t 4t0 tg— (?-Tl) 4t0 tgf- (? + t») 4t„ Pentru a găsi potenţialul suplimentar FS{V) trebue să scădem potenţialul datorit celor două vârtejuri marginale şi o constantă, eventual, (39.73) F{1) = — ln x— 2=i£ln- x- b_ 2 2tc tg l - tgTx = iV liisin(^-t1) tg^ + tg^ 2tc sin(£+T,) Dacă se adaugă o constantă adiţională, ea va fi determinată punând condiţia ca $ = 0 în cazul vanei libere şi \F = 0 în cazul pereţilor rigizi,. Potenţialul complementar va fi astfel, în cele două cazuri, respectiv : (39.74) Fs = Ft - F, Fs = Ft' - F. Derivatele lor ne vor da vitesele induse suplimentare din care vom lua numai cele din dreptul aripei, care sunt verticale şi jumătate din cele deduse din expresiile de mai sus, stabilite pentru mişcarea la infinit aval. Pentru vitesa medie este mai simplu să găsim fluxul de vitese (sau debitul) care trece prin intervalul —t15 şi să împărţim apoi prin 2 şi prin anvergura totală b. Intr'adevăr, am arătat în primul capitol (4.51) că fluxul se conservă şi după transformare şi este egal cu diferenţa dintre valorile funcţiei de curent din A şi B. Observând pe de altă parte că pe linia 496 SUFLERII CU VÂNĂ TOTAL LIMITATĂ 1 > îrlioi i r ak1e 497 absciselor Os=0 şi Fs=ivVs , incidenţa medie în dreptul aripei va fi dată respectiv de formulele următoare [3] : (39.75) ism = wms V0 pentru pereţii rigizi şi (39.76) i'm-. W ms ln sin— (f] — Tj) sin Cn -f tx) 2t0 4 tu V0b gin (Y)_Ti)sJnZ_ (yj + ti) 2rn #Oz , tu sin 2t. ln 4tu&2 2t0 sm tu— V0 tg—OQ - t2) sin (>1+ta) 4t0_ 4tu&F0 gin (y] _ Ti) tg_ZL_ (î] + Ti) 4t„ ln 4tu62 ln 4t, sin 2 t. 2 t0 pentru vâna liberă. Remarcăm din nou că putem înlocui b prin x 6, ceeace ar corespunde mai bine fenomenului real. Dacă cele două arce formează un cerc complet de rază h ^u0 = — atunci incidenţele suplimentare sunt egale şi de sens contrar (ism = — ism), ceeace corespunde cu rezultatul găsit anterior pentru cazul cercului (39.25). 6) PANICIKJN I. A. : Determinarea circulaţiei în lungul anvergurii aripii intr'o vână des- chisă şi semi-desehisă de secţiune dreptunghiulară. Prieladnaia Matematica i Melianica Voi. N, Nr. 4, 1946. 7) TOUSSAINT A. : Aerodynamic Theory, W. F. Durand-Editeur, voi. III, Julius Springor, Berlin 1935. 8) MALAVABD L. : Applications des analogies electiiques ă la soluti.on de quelques proMeiurs de l'Hydrodynamique, Paris. 1936. 9) MUNK AL: Elements oi' tiie Whig section theory and of the wiivg theory, Nac«, Repurt 191. Washington. 10) ROM AL : Sur l'Aerodynamique des ailes sustentatrices et des Helices, Gauthier-Villars. Paris, 1928. 11) TREFFTZ E. : Prandtlsche Tragfliichen und Propellertheorie Z.A.M.M. 1921. BIBLIOGRAFIA CAP. X. 1) CARAFOLÎ E. : Aerodynamique des ailes d'avion, Etienne Chiron Editeur, Paris 1928. 2) GLAUER T M. : The elements of Aerofoil and Airsorew Theory, Cambridge University Press. 3) KONDO KAZUO : The Wall Interference of Wind Tunnels with Boundaries of Circular Arcs. Rep. of. the Aeronaut. Research Institute, Tâkyo Imperial University. (voi. X No. 8) Nr. 126, 1935. 4) MALAVARD L : Etude de quelques problemes tehniques relevant de la thiorie des ailes, Gauthier-Villars, Paris, 1939. 5) PANICIKIN I. A.: Despre problema influenţei frontierelor unui curent cu secţiunea transversală circulară asupra caracteristicilor aerodinamice ale aripii. Prieladnaia Matematica i Mehanica Voi. IX, Nr. 2, 1945. TABLA DE MATERII CAPITOLUL I RECAPITULAREA PRINCIPIILOR ŞI TEOREMELOR FUNDAMENTALE ALE HIDROUKAMICEI CLASICE i. ECUAŢII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE 1.1. Consideraţii preliminare ........................ 3 1.1.1 Caracteristice comune fluidelor .................. 4 1.1.2 Densitatea......................... 4 1.1.3 Unităţi de măsură ...................... 4 1.1.4 Viscozitatea ........................ 5 1.1.5 Stare de mişcare ....................... 5 1.2. Ecuaţiile generale .......................... 5 1.2.1. Transformarea ecuaţiilor ................... 7 1.2.2. Linie de curent. Linie de vârtej................. 8 1.2.3. Mişcare variată şi mişcare permanentă ............. 9 1.2.4. Mişcare irotaţională. Potenţial de vitese ............. 9 1.2.5. Condiţiile la limite ...................... 10 1.2.6. Conexiune ............................ 10 1.3. Ecuaţia presiunii ........................... 10 1.4. Teoremele circulaţiei......................... 12 1.4.1. Teorema lui Stokes . . '...................... 12 1.4.2. Teorema lui Kelvin...... ................. 13 1.5. Teoremele mişcării impulsive ..................... 14 1.6. Teorema energiei cinetice....................... 14 1.7. Teorema impulsului......................... 16 1.7.1. Momentul impulsului........................ 17 2. ELEMENTE DIN TEORIA VÂRTEJURILOR 2.1. Gonsideraţiuni generale ........................ 18 2.2. Câmpul de vitese datorit unui sistem de vârtejuri ............. 19 2.3. Vitesa indusă de un segment rectiliniu al tubului de vâtrtej......... 22 2.4. Strat de vârtejuri .......................... 22 2.4.1. Suprafeţele de discontinuitate in spatele obstacolelor ........ 23 2.4.2. Pereţi fluizi......................... 23 2.4.3 Curenţi paraleli cu vitese diferite ................ 24 2.4.4. Vitese egale şi de direcţii diferite ................. 25 3. MIŞCAREA PLANĂ 3.1. Reprezentarea mişcării plane printr'o funcţie de variabilă complexă..... 25 3.2. Mişcarea în jurul vârtejurilor ...................... 27 3.2.1. Acţiunea unui curent asupra unui vârtej.............. 29 3.2.2. Vârtej în prezenţa unui cerc .................. 29 3.3. Dublet ................................ 31 3.3.1. Dublet în prezenţa unui cerc .................. 32 500 501 Pag. 3.4. Şir de vârtejuri ........................ 3.5. Strat de vârtejuri plan ...................... 3.6. Nuclee de vârtejuri ........................ 3.6.1. Knergia cinetică a două nuclee de vârtejuri egale şi de semne contrare 3.6.2. Distribuţia de vitesă în jurul nucleelor de vârtejuri..... 4. SCURGEREA IN JURUL UNUI CONTUR 4.1. Scurgerea în jurul unui cerc ................... 4.1.1. Schimbare de axe ................... 4.2. Reprezentarea conformă .................... 4.2.1. Reprezentarea unui contur pe un cerc ........... 4.2.2. Profile aerodinamice .................. 4.3. Scurgerea în jurul unui profil aerodinamic............. 4.4. Transformarea mişcării în jurul unei surse, unui vârtej sau unui dublet 4.5. Rezultanta presiunilor ..................... 4.6. Moment rezultant ....................... 4.7. Forţa de aspiraţie în jurul unui vârf ascuţit ............ CAPITOLUL II TE OKI A ARIPILOR MONOPLANE DE ANVERGURA INFINITA 39 50 46 47 48 50 57 5. TEORIA PROFILELOR AERODINAMICE 5.1. Caracteristice geometrice .................. 5.2. Proprietăţi aerodinamice.................. 5.2.1. Determinarea circulaţiei .............. 5.2.2. Focarul profilului ................. 5.2.3. Parabola metacentrică ............... 5.3. Coeficienţi unitari....................... 5.4. Profile cu vârf rotunjit (profile Carafoli)............ 6. CLASIFICAREA ŞI TRASAREA PROFILELOR 6.1. Profile Jucovschi .................... 6.1.1. Placa subţire ................... 6.1.2. Aspiraţia dela bordul de atac al plăcii subţiri ...... 6.1.3. Arc de cerc .................... 6.1.4. Cazul general al profilului Jucovschi ......... 6.1.5. Trasarea profilelor Jucovschi ............. 6.1.6. Distribuţia viteselor pe profil ............. 6.2. Profile cu diedru la vârf ................... 6.2.1. Profil în semilună................. 6.2.2. Caz general ........i........... 6.2.3. Caracteristice aerodinamice ............. 6.2.4. Distribuţia viteselor ................. 6.3. Profile diverse ..................... 6.3.1. Alte metode .................... .6.4. Profile de formă generalizată ................ 03 55 56 58 58 60 61 63 63 63 65 67 69 71 71 72 75 76 78 78 7. TRASAREA ŞI STUDIUL SISTEMATIC AL PROFILELOR DE FORMĂ GENERALĂ Pag. 7.1. Transformarea profilului de bază şi determinarea parametrilor geometrici . . 83 7.2. Profile cu vârf ascuţit ......................... 84 7.2.1. Distribuţia viteselor ....................... 85 7.2.2. Exemplu de trasare ...................... 85 7.2.3. Caracteristicile geometrice şi aerodinamice ........... 88 7.3. Profile generale cu vârf rotunjit..................... 90 7.4. Profile generale cu diedru ........................ 92 7.4.1. Distribuţia viteselor ...................... 96 8. DISTRIBUŢIA GROSIMII DEALUNGUL PROFILULUI ŞI POZIŢIA SECŢIUNII FRONTALE MAXIME .1. Variaţia grosimii ........................... 98 8.2. Grosimea maximă şi poziţia secţiunii de grosime maximă ....... 100 8.2.1. Profile n = 3 ......................... 101 5.3. Profile laminare cu vârf rotunjit ..................... 103 8.4. Profile laminare cu diedru ....................... 105 8.4.1. Variaţia lui y. ......................... 108 9. VERIFICĂRI EXPERIMENTALE ASUPRA ARIPILOR MONOPLANE DE ANVERGURĂ INFINITĂ 10. TEORIA PROFILELOR CU CONTUR DAT (Profile empirice) 10.1. Metode utilizând o transformare cunoscută ............... 115 10.1.1. Caracteristicile profilului ................... 117 10.2. Metoda directă .........................■. 119 10.2.1. Proprietăţi aerodinamice ................... 122 10.2.2. Calculul viteselor ....................... 125 10.2.3. Verificare........................... 125 10.3. Aplicaţie la profile empirice subţiri ................... 126 10.4. Profile deformate........................... 109 10.5. Bracajul părţii mobile ......................... 130 10.6. Aplicaţii la profile laminare ...................... 132 10.6.1. Grosimea maximă şi poziţia secţiunii frontale maxime........ 136 11. TEORIA TURBIONARĂ A PROFILELOR SUBŢIRI 11.1. Determinarea caracteristicilor aerodinamice ............... 137 11.2. Influenţa bracajului părţii mobile .........■........... 141 11.3. Forţa şi momentul de şarnieră pe partea mobilă............... 142 11.4. Calculul integralei ........................... j45 12. TRASAREA PROFILELOR DE GROSIME MIJLOCIE AVÂND PRESIUNI D VTE DEALUNGUL CONTURULUI 1.2.1. Relaţii fundamentale .......'.................. 147 12.2. Caracteristicile profilului rezultant.................. 151 12.3. Exemple de trasare .......................... 153 502 503 Pag. CAPITOLUL III TEORIA BIPLANULUI DE ANVERGURĂ INFINITA 13. BIPLANE SUBŢIRI AVÂND COARDELE ŞI INCIDENŢELE EGALE 13.1. Mişcarea în jurul plăcii subţiri .................... 160 13.2. Biplan în tandem .......................... 161 13.2.1. Circulaţia .......................... 163 13.2.2. Forţe şi moment ....................... 164 13.3. Biplan suprapus ........................... 165 14. TEORIA BIPLANULUI IN CAZUL GENERAL 14.1. Singularităţi ce înlocuesc aripa activă . .,............... 170 14.1.1. Conturul de bază al profilului ................. 171 14.1.2. Denumirea şi poziţia singularităţilor................ 172 14.2. Caracteristicile geometrice ale biplanului ................. 173 14.3. Determinarea circulaţiei pe aripa inferioară ............... 174 14.3.1. Influenţa vârtejului ...................... 175 14.3.2. Influenţa dubletului şi generalizarea problemei........... 176 14.3.3. Circulaţia suplimentară în jurul aripei superioare.......... 178 14.3.4. Calculul circulaţiilor...................... 179 14.4. Simplificarea problemei ln cazul aripilor subţiri.............. 181 14.4.1. Centrul de gravitate al circulaţiei.................. 181 14.4.2. Determinarea circulaţiei în jurul fiecărei aripi........... 182 14.4.3. Interpretarea geometrică a rezultatelor : Curbura curentului..... 183 14.5. Forţe şi momente pe aripile biplanului.................. 187 14.5.1. Calculul forţelor ....................... 187 14.5.2. Calculul momentelor ...................... 191 CAPITOLUL IV TEORIA ARIPILOR MONOPLANE DE ANVERGURA FINITA 15. CONDIŢIILE DE MIŞCARE IN JURUL UNEI ARIPI DE ANVERGURĂ FINITĂ 15.1. Vârtejuri libere şi vârtejuri legate .................... 193 15.2. Rezultanta aerodinamică ....................... 197 15.3. Fundamentele teoriei lui Prandtl..................... 201 16. PROBLEME SPECIALE PRIVITOARE LA ARIPILE DE ANVERGURĂ FINITĂ ŞI FORMULE PRACTICE 16.1. Consideraţii preliminare ........................ 203 16.2. Energia cinetică........................... 205 16.3. Calculul circulaţiei corespunzătoare unei vitese induse date......... 205 16.3.1. Exemple de aplicaţie ..................... 207 16.4. Aripa de rezistenţă indusă minimă ................... 207 16.4.1. Analogie cu scurgerea în jurul unei plăci aşezată normal pe curent . . 209 16.5. Caracteristicile aerodinamice ale aripilor eliptice............... 210 16.6. Formulele practice privind aripile de anvergură finită........... 212 Pag. ■ 17. METODE DIVERSE PENTRU CALCULUL ARIPILOR DE CONTUR DAT 17.1. Metoda lui Glaubert .......................... 213 17.2. Metoda lui I. Lotz .......................... 214 17.3. Metoda lui Fuchs........................... 215 17.4. Metoda generală ........................... 215 17.5. Soluţia aproximativă a problemei generale................. 217 18. STUDIUL ARIPILOR ÎNTREBUINŢATE IN AVIAŢIE ţ 18.1. Contur cu doi termeni ......................... 220 i 18.2. Aripi dreptunghiulare şi trapezoidale.................. 222 18.3> Contur cuasi-eliptic .......................... 228 | 18.4. Aripi dublu-trapezoidale ........................ 228 !1 18.5. Aripi de formă oarecare ........................ 234 | 19. FORŢE ŞI MOMENTE AERODINAMICE f 19.1. Portanta .............................. 237 f 19.2. Rezistenţa............................... 240 î 19.2.1. Aripa trapezoidalâ optimă ................... 241 ! 19.2.2, Rezistenţa totală ....................... 242 19.3. Momente aerodinamice ........................ 242 19.3.1. Momentul în jurul axei Ox: L................. 242 i 19.3.2. Momentul în jurul axei Oy: M.................. 243 19.3.3. Momentul în jurul axei Oz: N.................. 244 > 20. VERIFICĂRI EXPERIMENTALE ASUPRA ARIPILOR /- , DE ANVERGURĂ FINITĂ i 20.1. Distibuţia portantei .......................... 245 ţ 20.2. Variaţia presiunii în funcţie de alungire.................. 247 ii- 20.3. Portanta globală ........................... 247 ¥ 20.4. Rezistenţa indusă ........................... 251 f 20.5. Momentul M ............................ 251 ' 20.6. Observaţie finală ........................... 251 1 21. CÂMP DE VITESE INDUSE ŞI DEFLECŢIUNEA CURENTULUI IN AVAL 21.1. Transformarea pânzei în vârtejuri libere în două nuclee turbionare marginale . . 252 : 21.1.1. Diametrul nucleului turbionar .................. 253 I 21.2. Vitese induse în cazul unei circulaţii uniform repartizate pe anvergură..... 254 3 21.3. Vitese induse în cazul unei distribuţii eliptice a circulaţiei.......... 256 | 21.4. Deflecţiunea curentului în dreptul ampenajelor.............. 258 3 21.4.1. Deflecţiunea curentului în ipoteza unei pânze plane de vârtejuri .... 258 I 21.4.2. Deflecţiunea curentului în ipoteza curentului în ipoteza vârtejurilor I marginale. ........................... 263 ) 21.5. Influenta înălţimii ......................... 966 j I C A P I T O L U L V ! ' TEORIA ARIPILOR DEFORMATE, TEORIA MIŞCĂRILOR UNIFORME NERECTILINII 22. ARIPI CU INCIDENŢĂ VARIABILĂ 22.1. Formule principale .......................... 271 22.2. Variaţie simetrică .......................... 275 22..",. Variaţie antisimetrică ......................... 276 I 22.4. Aplicaţie la aripa eliptică................•........ 276 | 23. TEORIA ARIPIOARELOR 1 23.1. Aripioare de curbură......................... 277 | .23.2. Aripioare de direcţie.......................... 281 1 23.3. Momente aerodinamice ........................ 283 504 t 505 Pag. 23.4. Forţa şi momentul de şarnieră pe aripioare................. 2S6 23.4.1. Transformarea formulelor .................... 287 23.4.2. Aripioare pe toată anvergura................... 288 23.4.3. Aripioare pe o porţiune a anvergurii................ 29i> 24. INFLUENŢA SCOBITURILOR ŞI A NACELELOR PENTRU MOTOARE 24.1. Punerea problemei şi formule generale.................. 291 24.2. Aplicaţii la aripa eliptică........................ 295 24.2.1. Exemplu ........................... 290 24.3. Metoda aproximativă pentru calculul aripilor de contur dat......... 296 24.3.1. Aplicaţie la aripile dreptunghiulare şi trapezoidale......... 299 24.3.2. Aplicaţii la aripi de formă oarecare................ 300 25. ROTAŢIA ARIPII IN JURUL UNEI AXE 25.1. Aripă în viraj circular plan....................... 30O 25.1.1. Aripa eliptică ........................ 303 25.1.2. Aripi dreptunghiulare şi trapezoidale............... 305 25.2. Forţe şi momente datorite virajului................... 307 25.3. Rotaţia în jurul axei Oz........................ 310 25.4. Rotaţia în jurul axei Ox. ....................... 311 C A P1TOLUL VI REPARTIŢIA IX SUPRAFAŢA A VÂRTEJURILOR LEGATE ŞI TEORIA POTENŢIALA A MIŞCĂRII IN JURUL ARIPILOR 26. ARIPA ÎNLOCUITĂ PRINTR'UN STRAT SUBŢIRE DE VÂRTEJURI 26.1. Punerea problemei .......................... 313 26.2. Calculul viteselor induse.......................... 317 26.3. Aplicaţii la aripile dreptunghiulare.................... 320 26.4. Aripi dreptunghiulare de alungire redusă................. 321 26.5. Aripi de alungire foarte mică ...................... 322 27. TEORIA POTENŢIALĂ' A ARIPILOR DE ANVERGURĂ FINITĂ 27.1. Punerea problemei................... 326 27.2. Aplicaţie la aripa circulară....................... 32/ 27.3. Aplicaţie la aripa eliptică........................ 328 28. TEORIA ARIPILOR IN SĂGEATĂ SAU IN DERIVĂ 28.1. Vitesa indusă ............................ 331 28.1.1. Raţionalizarea formulei .................... 333 28.2. Aripa în săgeată sau în derivă asimilată cu o aripă dreaptă având incidenţa variabilă............................ 334 28.3. Aplicaţii la aripile în derivă ...................... 335 28.3.1. Consideraţii geometrice asupra aripii în derivă........... 337 28.3.2. Influenţa termenilor antisimetrici................. 339 28.3.3. Exemplu de calcul ....................... 340- 28.4. Aplicaţie la aripile în săgeată....................... 341 28.4.1. Influenţa vârtejurilor legate..................... 343, CAPITOLUL VII TEORIA SUSTENTAŢIEI IN MIŞCAREA NEPERMANEXTA ti', 29. CIRCULAŢIA ŞI POTENŢIALUL VITESELOR IN JURUL UNEI ARIPI IN MIŞCARE VARIATĂ Pag. -l 29.1. Naşterea circulaţiei şi formarea unei pături de vârtejuri în spatele aripii .... 346 | 29.2. Determinarea circulaţiei în jurul profilului................. 349 29.3. Mişcarea rectilinie accelerată, pornită din repaos.............. 352 29.4. Mişcarea oscilatorie cu vitesă de translaţie constantă............ 353 29.5. Potenţialul de vitese .......................... 355 \. 29.5.1. Potenţialul datorit vitesei de translaţie.............. 355 j ■ 29.5.2. Potenţialul datorit vitesei de rotaţie............... 356 \ 29.5.3. Potenţial datorit stratului turbionar............... 358 \ \ 30. FORŢE ŞI MOMENTE PE ARIPĂ IN REGIM VARIABIL î 30.1. Ecuaţia presiunii ........................... 358 : 30.2. Rezultanta generală .......................... 360 j 30.3. Moment rezultant ........................... 363 30.4. Forţele ce se exercită pe o aripă subţire.................. 363 j 30.4.1. Remarcă asupra rezistenţei sau a forţei propulsive ......... 370 IC A P I T O L U L VIII BIPLANE DE ANVERGURA FINITA ţ 31. FORMULE FUNDAMENTALE ALE BIPLANELOR ' 31.1. Acţiunea reciprocă a elementelor unui biplan................ 372 31.1.1. Biplan drept ......................... 372 31.1.2. Biplan decalat ......................... 374 .31.1.3. Influenţa vârtejurilor legate.................... 377 31.2. Rezistenţa minimă a unui sistem portant.................. 378 31.2.1. Cazul unei linii închise..................... 382 31.3. Calculul rezistenţei minime....................... 383 31.4. Distribuţia circulaţiei ......................... 384 32. SISTEME PORTANTE DE REZISTENŢĂ MINIMĂ 32.1. Aripa monoplană .......................... 384 | 32.2. Monoplan cu tăietură centrală...................... 385 32.3. Biplan cu aripi egale.......................... 387 32.4. Biplan în dreptunghi ......................... 389 w 32.5. Monoplan cu discuri marginale..................... 391 î 33. REZISTENŢA INDUSĂ TOTALĂ A UNUI BIPLAN OARECARE /i 33.1. Distanţa eliptică a circulaţiei ...................... 392 33.2. Circulaţia constantă dealungul anvergurii ................ 396 33.3. Repartiţia optimă a portantei pe cele două aripi ale biplanului......... 397 506 507 34. CARACTERISTIC ELE AERODINAMICE ALE FIECĂREI ARIPI A UNUI BIPLAN Pag. 34.1. Determinarea circulaţiilor mijlocii.................... 400 34.1.1. Circulaţiile aripilor în stare izolată................ 400 34.1.2. Influenţa vârtejurilor libere................... 401 34.1.3. Influenţa vârtejurilor legate................... 405 34.1.4. Circulaţiile mijlocii totale.................... 407 34.2. Forţe rezultante............................. 408 34.2.1. Portanta '.......................... 410 34.2.2. Rezistenţa .......................... 4l2 34.3. Incidenţele efective........................... 413 34.4. Câteva perfecţionări ale teoriei...................... 414 34.4.1. Curbura curentului în dreptul aripei în stare izolată........ 415 34.4.2. Curbura curentului datorită acţiunii reciproce a aripilor....... 415 34.4.3. Modificările momentelor aerodinamice .............. 417 CAPITOLUL IX INFLUENŢA FRONTIERELOR ASUPRA MIŞCĂRII IX JURI L SISTEMELOR PORTANTE 35. SCURGEREA ADITIVĂ DATORITĂ PREZENŢEI FRONTIERELOR 35.1. Condiţiile la frontieră şi formule fundamentale.............. 419 35.2. Rezistenţa indusă ........................... 421 35.3. Potenţialul aditiv datorit prezenţei frontierelor. Metoda imaginilor...... 424 35.3.1. Cilindrul circular........................ 425 35.3.2. Suprafeţe plane ........................ 428 36. ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE SOLIDE 36.1. Aripă traversând un fuselaj indefinit.................. 431 36.1.1. Fuselaj indefinit cu secţiune circulară............... 431 36.1.2. Fuselaj nelimitat de secţiune ovală................ 435 36.2. Rezistenţa minimă a unei aripi cu fuselaj cilindric.............. 435 36.3. Influenţa fuselajului asupra distribuţiei circulaţiei............. 439 36.3.1. Exemplu de aplicaţie...................... 443 36.3.2. Calculul portantei şi rezistenţei induse totale ........... 445 37. ARIPĂ TRAVERSÂND FRONTIERE CILINDRICE LIBERE 37.1. Acţiunea unui jet de secţiune circulară asupra unei aripi........... 447 37.1.1. Metodă elementară pentru desvoltarea expresiei i sin 9. ...... 450 37.1.2. Determinarea coeficientului x ..........?....... 450 37.2. Distribuţie continuă a vârtejurilor imagine................ 451 37.3. Influenţa suflului elicei........................i 453 37.3.1. Ecuaţia circulaţiei........................ 454 37.3.2. Ipoteze simplificatoare ..................... 458 37.3.3. Condiţiuni pentru rezistenţa minimă ............... 461 Pag. 38.3. Scurgere plană limitată de două suprafeţe plane paralele........... 467 38.3.1. Cazul pereţilor lichizi sau a suprafeţelor libere........... 468 38.3.2. Incidenţa şi rezistenţa indusă aparente.............. 469 38.3.3. Cazul suprafeţelor mixte : peretele interior fix şi suprafaţa superioară liberă ............................ 471 38.4. Aripa de anvergură finită între suprafeţe plane paralele ........... 471 i 38.4.1. Suprafeţe plane orizontale ................... 471 j 38.4.2. Suprafeţe plane verticale ................... 473 ; 38.5. Influenţa suprafeţelor plane paralele stabilită prin metoda directă ...... 474 1 39. SUFLERII CU VÂNĂ TOTALĂ LIMITATĂ 39.1. Secţiune dreptunghiulară ....................... 476 39.1.1. Vitese adiţionale mijlocii .................... 482 39.2. Sufierie cu secţiune circulară...................... 483 39.2.1. Iniluenţa poziţiei aripii în interiorul cercului......... . . 485 39.2.2. Cazul distribuţiei eliptice..................... 486 i 39.3. Secţiune eliptică............................ 488 39.3.1. Mişcarea în planul cercului.................... 489 39.3.2. Incidenţa indusă suplimentară.................. 491 ; 39.4. Secţiune în două arce de cerc..................... 493 CAPITOLUL X CORECTĂRILE ÎNCERCĂRILOR EXECUTATE IX SUFLERII SAU PE CĂRUCIOARE AERODINAMICE 38. ÎNCERCĂRI IN VÂNA FLUIDĂ PARŢIAL LIMITATĂ 38.1. Fluid limitat de o singură suprafaţă plană. Influenţa solului......... 464 38.2. Frontiera plană în cazul general..................... 466 38.2.1. Frontieră verticală ....................... 466